Текст
О. Ф. Кабардин В. А. Орлов Н. И. Шефер
ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ
КУРС ФИЗИКИ
10 КЛАСС
Учебное пособие для учащихся
Рекомендовано
Главным управлением
общего среднего образования
Министерства просвещения СССР
Издание третье, переработанное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1987
ББК 22.3я72
К12
Рецензенты:
Ф. А. Вульфсон и А. 3. Синяков (учителя физики)
Книга награждена премией АПН СССР в 1982 г.
Кабарднн О. Ф. и др.
К.12 Факультативный курс физики: 10 кл.: Учеб. пособие
для учащихся /О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов, Н. И. Ше-
фер.— 3-е изд., перераб. — М.: Просвещение, 1987.—208 с,
4 л. ил.: ил.
Пособие содержит необходимый теоретический материал, примеры решения задач,
задания для самопроверки и экспериментальные задания в соответствии с программой
факультативного курса X класса.
4306021100—503
К 103@3)-87 ИНф- ПИСЬМ° ~ 8? ББК 223я72
© Издательство «Просвещение», 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначена для учащихся, углубленно изучаю-
изучающих физику на факультативных занятиях. Ее можно изучать
и самостоятельно.
Особенность настоящего пособия заключается в том, что
материал, изучаемый в основном курсе физики X класса
общеобразовательной школы, излагается в нем кратко лишь
для связности изложения и напоминания ранее изученного.
Углубленное изучение физики предполагает в основном не
изучение новых явлений, а более глубокое и полное рассмотрение
тех же явлений, которые изучаются в основном курсе
физики, знакомство с практическими применениями изученных
явлений. Например, при изучении электромагнитных колебаний
выводится закон Ома для цепей переменного тока, дается
представление о методе векторных диаграмм. Это позволяет
выполнять количественные расчеты для электрических цепей
переменного тока.
На основе более глубокого знакомства с физическими
основами механических и электромагнитных колебаний рас-
рассматриваются различные виды механических волн1 в природе,
способы записи и воспроизведения звука, способы производства,
передачи и применения электрической энергии.
Оптические явления рассматриваются на основе знакомства
с принципом Гюйгенса — Френеля, методом зон Френеля и
принципом Ферма. Это позволяет глубже разобраться в прин-
принципах действия оптических приборов, выяснить причины,
ограничивающие их возможности.
Более подробно, чем в основном курсе, рассматриваются в
книге принципы действия лазеров и их практические применения,
включая методы получения голографических изображений,
вопросы строения атома и атомного ядра. Для приближения
к современному уровню развития основных физических пред
ставлений р свойствах окружающего мира в книге рассматри-
рассматриваются явления нелинейной оптики, проблемы структуры
элементарных частиц, даются первоначальные сведения о волно-
волновых свойствах частиц и соотношении неопределенностей.
В конце каждой главы имеются практикум по решению
задач, описания лабораторных работ и задания с выбором
правильного ответа для самопроверки.
1* з
Глава I
КОЛЕБАНИЯ
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И СПОСОБЫ ИХ ОПИСАНИЯ
Движение маятника в часах, землетрясение, переменный
ток в электрической цепи, процессы радиопередачи и радио-
радиоприема — это совершенно различные, не связанные друг с другом
процессы. Каждый из них имеет свои особые причины, но их
объединяет один признак — признак общности характера
изменения физических величин с течением времени. Эти и
многие другие процессы различной физической природы во
многих случаях оказывается целесообразным рассматривать как
один особый тип физических явлений — колебания.
Общий признак физических явлений, называемых коле-
колебаниями,— это их повторяемость во времени. При различной
физической природе многие колебания происходят по одина-
одинаковым законам, что позволяет применять общие методы для
их описания и анализа.
Гармонические колебания. Из большого числа различных
колебаний в природе и технике особенно часто встречаются
гармонические колебания. Гармоническими называют колебания,
совершающиеся по закону косинуса или синуса:
X=XmCOS((i>t + ({>o) ИЛИ X=XmS\n((j)t-\-(fo), A-1)
где х — величина, испытывающая колебания; / — время; ю —
постоянная величина, смысл которой будет выяснен далее.
Максимальное значение хт величины, изменяющейся по
гармоническому закону, называют амплитудой колебаний.
Аргумент косинуса или синуса при гармонических колебаниях
называют фазой колебания ср:
(f,=(C,t-\- ф0.
Фазу колебания ср0 в начальный момент времени называют
начальной фазой. Начальная фаза определяет значение
величины х в начальный момент времени <=0.
Значения функции синуса или косинуса при изменении
аргумента функции на 2л повторяются, поэтому при гармо-
гармонических колебаниях значения величины х повторяются при
изменении фазы колебания на Дср=2л. С другой стороны, при
гармоническом колебании величина х должна принимать те же
значения через интервал времени, называемый периодом
колебаний Т. Следовательно, изменение фазы на 2л происходит
Рис. 1
через период колебаний Т. Для случая, когда сро=О, получим:
хт cos ш(/+ Т) =xm cos (ш^+2л),
A.2)
Из выражения A.2) следует, что постоянная ш в уравнении
гармонических колебаний есть число колебаний, происходящих
за 2л секунд. Величину ш называют циклической частотой
колебаний. Используя выражение A.2), уравнение A.1) можно
выразить через частоту v или период Т колебаний:
^ A.3)
Наряду с аналитическим способом описания гармонических
колебаний широко используют графические способы их пред-
представления.
Первый способ — задание графика колебаний x=f(t)
в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают
время /, а по оси ординат — значение изменяющейся величины х.
Для гармонических колебаний этот график — синусоида или
косинусоида (рис. 1).
Второй способ пред-
представления колебательного про-
процесса — спектральный. По
оси ординат отсчитывают
амплитуду, а по оси абсцисс —
частоту гармонических колеба-
колебаний. Гармонический колеба-
колебательный процесс с частотой шо
и амплитудой хт представлен в
этом случае вертикальным от-
отрезком прямой длиной хт, про-
проведенным от точки с координа-
координатой шо на оси абсцисс (рис. 2). рис 2
Рис. 3
Третий способ описа-
описания гармонических колеба-
колебаний — метод векторных диа-
диаграмм. В этом способе исполь-
используют следующий, чисто фор-
формальный прием для нахождения
в любой момент времени / зна-
значения величины х, изменяющей-
изменяющейся по гармоническому закону:
Х=Хт COS U)t. A.4)
Выберем на плоскости произвольно направленную коорди-
координатную ось Ох, по которой будем отсчитывать интересующую
нас величину х. Из начала координат вдоль оси Ох проведем век-
вектор Хт, модуль которого равен амплитуде гармонического колеба-
колебания хт. Если теперь представим себе, что вектор хт вращается
вокруг начала координат в плоскости хОу с постоянной угло-
угловой скоростью со против часовой стрелки, то угол а между
вращающимся вектором и осью Ох в любой момент времени
определится выражением:
а=о>/.
A.5)
Проекция х вращающегося вектора хт на ось Ох (рис. 3)
будет изменяться со временем по закону:
х=хт cos со/. A.6)
Мы получили уравнение, тождественное по форме уравнению
A.4). Следовательно, значение величины х, изменяющейся
по гармоническому закону, можно найти в любой момент
времени, определив проекцию на ось Ох вектора хт, модуль
которого равен амплитуде гармонического колебания хт, если
начало этого вектора совпадает с началом координат, а сам
он вращается в плоскости хОу с угловой скоростью со против
часовой стрелки. В начальный момент времени ^=0 угол
между вектором и осью Ох равен нулю.
1. Что называют периодом колебаний?
2. Что такое частота колебаний?
3. Какие колебания называют гармоническими?
4. Что такое амплитуда колебаний?
5. Что называют фазой колебаний?
6. Что такое начальная фаза колебаний?
7. Что такое циклическая частота?
8. Какова связь циклической частоты с периодом колебаний?
9. Как описывается гармонический колебательный процесс спектральным
методом?
10. Опишите способ задания гармонического колебания с помощью векторной
диаграммы.
§ 2. ПОНЯТИЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Негармонические колебания. При теоретическом рассмотрении
колебаний наибольшее внимание уделяется гармоническим коле-
колебаниям. Однако ни один реальный физический процесс не
происходит в действительности в точности по гармоническому
закону.
Ни один колебательный процесс в природе или технике не
продолжается бесконечно долго, а имеет начало и конец во
времени. А колебательный процесс, ограниченный во времени,
не является гармоническим. Шарик, подвешенный на нити, и
груз, подвешенный на пружине, совершают колебания, которые
лишь близки к гармоническим. Сопротивление воздуха,
необратимые потери энергии на нагревание нити и пружины
при их деформации приводят к тому, что амплитуда колебаний
уменьшается и колебания становятся негармоническими.
Встречаются в природе колебательные процессы, протекающие
весьма длительное время. Примером колебаний такого рода
могут служить периодические изменения напряжения между
различными участками человеческого тела, возникающие в ре-
результате работы сердца. График зависимости от времени «вы-
«вырабатываемого» сердечной мышцей напряжения, называют
электрокардиограммой. Изучение формы электрокардиограммы
очень часто помогает врачу определить характер сердечного
заболевания. Электрокардиограмма человека очень мало похожа
на синусоиду, т. е. колебания биотоков являются негармони-
негармоническими (рис. 4).
Другой пример негармонических колебаний, происходящих
в природе,— колебания уровня воды в открытых морях и
океанах. Колебания уровня воды во многих морских портах
настолько значительны, что точное предсказание отливов и
приливов оказывается важной практической задачей: глубина
осадки современных морских судов велика, и многие морские
порты могут принимать их лишь в часы прилива.
Рис. 4
I . I . I , I . I . I . I . I I 1 I 1 . I . I . I . I . I . I . I .1,1.1 l!|
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2| 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 t,4
Рис. 5
Хотя причины возникновения приливов были выяснены еще
Ньютоном, теоретический расчет уровня прилива на любой день
и час путем применения закона всемирного тяготения к системе
«Земля — Луна — Солнце» оказывается слишком сложной за-
задачей и сегодня. Зависимость высоты прилива от времени
оказывается очень сложной (рис. 5), и выразить ее какой-то
одной формулой довольно трудно. Обычно задачу предвычисления
приливов и отливов и ряд других задач по исследованию
периодических негармонических процессов решают применением
гармонического анализа.
Гармонический анализ. Сущность метода гармонического
анализа заключается в том, что негармонический периодический
колебательный процесс представляют как результат сложения
некоторого числа гармонических колебаний. Возможность
представления почти любой периодической функции в виде
суммы бесконечного тригонометрического ряда была показана
французским ученым Ж- Фурье в прошлом веке. Этот ряд
для функции f(t) с периодом Т имеет вид:
sin
sin
или
f(t)=A0+nTAn sin (n^-
B.1)
Его называют рядом Фурье.
Первое слагаемое ряда Фурье Ло — постоянная составля-
составляющая f(t), не зависящая от времени. Второе слагаемое
А\ sm(-^-t-\-q>\\ представляет собой первую, или основную,
гармоническую составляющую разложения с периодом Т, рав-
ным периоду функции /(/). Третье слагаемое называют второй
гармоникой. Период второй гармоники в два раза меньше перио-
периода функции f(t). Период третьей гармоники в три раза меньше Т
и т. д.
Если бы для анализа периодической функции f(t) одинаково
важны были все члены бесконечного тригонометрического
ряда Фурье B.1), гармонический анализ не имел бы никакой
практической ценности, так как с его помощью невозможно
было бы произвести никаких вычислений. Но в действительности
амплитуда гармоник ряда Фурье с увеличением номера гармоники
п имеет тенденцию к убыванию. Поэтому для практических
целей оказывается важным использовать вместо бесконечного
ряда тригонометрических функций их конечное число. Количе-
Количество членов ряда Фурье, которые необходимо использовать
в расчетах, определяется видом функции f(t) и заданной
точностью вычислений. Определение амплитуд гармоник является
сложной математической задачей, поэтому мы ограничимся
лишь приведением без вывода нескольких примеров разложения
периодических функций в ряд Фурье.
Примером негармонической периодической функции может
служить функция, график которой представлен на рисунке 6.
Периодический колебательный процесс, описываемый этой
функцией, может быть получен, например, в электрической
цепи, состоящей из источника тока напряжением U на выходных
зажимах, ключа и резистора R. Если ключ замкнуть и через
интервал времени т разомкнуть, а затем, спустя время Т после
момента первого замыкания, вновь замкнуть на время т и таким
образом повторять процесс включения и выключения, то график
зависимости напряжения на резисторе R от времени будет
иметь вид, представленный на рисунке 6. Переменное напряжение
такого типа называют периодической последовательностью
прямоугольных импульсов с периодом Т и длительностью т.
Амплитуда м-й гармоники спектрального расположения
Рнс. 7
Рис. 6
и i
0,4-
0,3-
0,2
0,1
\
1
1 2 3 4- 5 t
|
i 7 L
) 9 10 fn
to
периодической последовательности прямоугольных импульсов
напряжения определяется выражением:
где Un — амплитуда n-й гармоники; U — амплитуда прямоуголь-
прямоугольного импульса; т — длительность импульса; Т — период повторе-
повторения импульса; п — порядковый номер гармоники.
Постоянная составляющая определяется выражением:
U0=U-jr. B.2)
Амплитудный спектр гармонических составляющих периоди-
периодической последовательности прямоугольных импульсов, пред-
представленной на рисунке 6, показан на рисунке 7.
В импульсной технике гармонический анализ позволяет
производить расчеты электрических цепей при прохождении
через них электрических сигналов сложной формы, применяя
простые правила расчета для гармонических составляющих.
Анализ звука. Применение метода гармонического анализа
к исследованию акустических явлений позволило разрешить
многие теоретические и практические проблемы. Одним из трудных
вопросов акустики является вопрос об особенностях вос-
восприятия человеческой речи.
Физическими характеристиками звуковых колебаний являются
частота, амплитуда и начальная фаза колебаний. Для восприятия
звука человеческим ухом важны только две физические
характеристики — частота и амплитуда колебаний.
Но если это действительно так, то каким образом мы узнаем
одни и те же гласные а, о, у и т. д. в речи разных людей?
Ведь один человек говорит басом, другой — тенором, третий —
сопрано; поэтому высота звука, т. е. частота звуковых колебаний,
при произношении одной и той же гласной оказывается у
разных людей различной. Можно пропеть на одной и той же
гласной а целую октаву, изменяя частоту звуковых колебаний
вдвое, и все же мы узнаем, что это а, но не о или у.
Не изменяется наше восприятие гласных и при изменении
громкости звука, т. е. при изменении амплитуды колебаний. И
громко и тихо произнесенное а мы уверенно отличаем от и,
У. о, э.
Объяснение этой замечательной особенности человеческой
речи дают результаты анализа спектра звуковых колебаний,
возникающих при произнесении гласных.
Анализ спектра звуковых колебаний может быть осуществлен
различными способами. Самый простой из них заключается в
использовании набора акустических резонаторов, называемых
резонаторами Гельмгольца.
Акустический резонатор — это полость обычно шарообразной
ю
формы, сообщающаяся с внешней средой через небольшое
отверстие. Как показал Гельмгольц, собственная частота колеба-
колебаний воздуха, заключенного в такой полости, в первом приближе-
приближении не зависит от формы полости и для случая круглого
отверстия определяется формулой:
V , / D /О Q\
где vo — собственная частота резонатора; v — скорость звука
в воздухе; D — диаметр отверстия; V — объем резонатора.
Если иметь набор резонаторов Гельмгольца с различными
собственными частотами, то для определения спектрального
состава звука от какого-нибудь источника нужно поочередно
подносить разные резонаторы к уху и определять на слух
наступление резонанса по усилению громкости звучания. На
основании таких опытов можно утверждать, что в составе слож-
сложных акустических колебаний имеются гармонические составляю-
составляющие, являющиеся собственными частотами резонаторов, в которых
наблюдалось явление резонанса.
Такой способ определения спектрального состава звука
слишком трудоемок и не очень надежен. Можно было бы
попытаться усовершенствовать его: применить сразу весь
комплект резонаторов, снабдив каждый из них микрофоном
для преобразования звуковых колебаний в электрические и
прибором для измерения силы тока на выходе микрофона.
Для получения сведений о спектре гармонических составляющих
сложных звуковых колебаний с помощью такого прибора
достаточно снять показания со всех измерительных приборов
на выходе.
Однако и такой способ не применяют на практике, так как
разработаны более удобные и надежные способы спектрального
анализа звука. Сущность наиболее распространенного из них
состоит в следующем. С помощью микрофона исследуемые
колебания давления воздуха звуковой частоты преобразуются
в колебания электрического напряжения на выходе микрофона.
Если качество микрофона достаточно высокое, то зависимость
напряжения на выходе микрофона от времени выражается той
же функцией, что и изменение со временем звукового давления.
Тогда анализ спектра звуковых колебаний можно заменить
анализом спектра электрических колебаний. Анализ же спектра
электрических колебаний звуковой частоты осуществляется тех-
технически проще, и результаты измерений оказываются значитель-
значительно более точными. Принцип действия соответствующего
анализатора также основан на явлении резонанса, но уже
не в механических системах, а в электрических цепях.
Применение метода анализа спектров к исследованию
человеческой речи позволило обнаружить, что йри произнесении
человеком, например, гласной а на высоте тона до первой октавы
возникают звуковые колебания сложного частотного спектра.
Кроме колебаний с частотой 261,6 Гц, соответствующих тону
до первой октавы, в них обнаруживается ряд гармоник более
высокой частоты. При изменении тона, на котором произносится
гласная, в спектре звуковых колебаний происходят изменения.
Падает до нуля амплитуда гармоники с частотой 261,6 Гц, и
появляется гармоника, соответствующая тому тону, на котором
теперь произносится гласная, но ряд других гармоник при этом
не изменяет своей амплитуды. Устойчивую группу гармоник,
характерную для данного звука, называют его формантой.
Если проиграть на скорости 78 об/мин грампластинку с
записью исполнения какой-нибудь песни, предназначенную для
проигрывания на скорости 33 об/мин, то мелодия песни
останется неизменной, но звуки и слова звучат не просто более
высоко, а становятся неузнаваемыми. Причина этого явления
состоит в том, что изменяются частоты всех гармонических
составляющих каждого звука.
Мы приходим к выводу, что мозг человека по сигналам,
поступающим через нервные волокна от слухового аппарата,
способен определять не только частоту и амплитуду звуковых
колебаний, но и спектральный состав сложных звуковых
колебаний, как бы выполняя работу анализатора спектра
гармонических составляющих негармонических колебаний.
Человек способен узнавать голоса знакомых людей, отличать
звуки одного тона, полученные с помощью различных музыкаль-
музыкальных инструментов. Эта способность также основана на различии
спектрального состава звуков одного основного тона от разных
источников. Наличие в их спектре устойчивых групп — формант
гармонических составляющих — придает звучанию каждого
музыкального инструмента характерную «окраску», называемую
тембром звука.
1. Приведите примеры негармонических колебаний.
2. В чем заключается существо метода гармонического анализа?
3. Каковы практические применения метода гармонического анализа?
4. Чем отличаются друг от друга различные гласные звуки?
5. Как осуществляется на практике гармонический анализ звука?
6. Что такое тембр звука?
§ 3. ИНДУКТИВНОЕ И ЕМКОСТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Среди различных примеров гармонических колебаний в
природе и технике особого рассмотрения заслуживают электро-
электромагнитные колебания, возникающие в электрических цепях. Это
колебания силы тока и напряжения в электрических цепях
переменного тока, в антеннах радио- и телевизионных станций,
в радиоприемниках, магнитофонах, телевизорах. Для анализа
12
процессов, протекающих в сложных электрических цепях
переменного тока, прежде всего необходимо выяснить связь
между колебаниями силы тока и напряжения на отдельных
элементах цепи переменного тока.
Рассмотрим связь между амплитудами колебаний напряжения
и силы тока при включении конденсатора и катушки в цепь
переменного тока и найдем выражения для вычисления емкостного
Хс и индуктивного X L сопротивлений.
Емкостное сопротивление. Если конденсатор включен в
цепь переменного тока и напряжение на его обкладках
изменяется по гармоническому закону
U C=U Cm COS ii)t, C-1)
то электрический заряд на его обкладках в момент времени t
определяется выражением:
<7=ucC=?/c,,Ccosa>f. C.2)
Вычислив первую производную от электрического заряда q по
времени, найдем закон колебаний силы тока с:
q' = i= — UCmCu> sin u>/=?/ с„Си> cos(a>*+-?г )• C-3)
Таким образом, при изменении напряжения на обкладках
конденсатора по гармоническому закону C.2) сила тока
изменяется по гармоническому закону C.3). Амплитуда колебаний
силы тока 1т связана с амплитудой колебаний напряжения
U Ст выражением:
колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения
на обкладках конденсатора на я/2.
Из выражений C.1) и C.3) следует, что отношение
мгновенного значения напряжения ис на конденсаторе к мгновен-
мгновенному значению силы тока i не является постоянной величиной и
равно:
C.5)
шС sin tat '
Таким образом, связь между мгновенными значениями напря-
напряжения на конденсаторе и силы тока в цепи переменного тока
оказывается более сложной, чем связь между напряжением
на участке цепи постоянного тока и силой тока в цепи, выражае-
выражаемая законом Ома. Однако для нахождения амплитуды 1т
колебаний силы тока по известной амплитуде V Ст колебаний
напряжения на конденсаторе можно воспользоваться выраже-
выражением, совпадающим по форме с законом Ома для участка
цепи постоянного тока. Действительно, обозначив
13
из выражения C.4) получим:
и с.
/«=-
Хс' C.7)
Последнее выражение показывает, что амплитуда колебаний
силы тока 1т цепи переменного тока прямо пропорциональна
амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе U Ст и
обратно пропорциональна величине X с, называемой емкостным
сопротивлением конденсатора. Емкостное сопротивление X с
обратно пропорционально частоте колебаний ш и электроемкости
С конденсатора.
Индуктивное сопротивление. Если электрическое сопротивле-
сопротивление провода катушки считать бесконечно малым, то напряжение
на ней и L можно принять равным по модулю и противоположным
по знаку ЭДС самоиндукции катушки:
U L= — % is-
При прохождении через катушку электрического тока,
изменяющегося по гармоническому закону
i=lmcoswt, C.8)
ЭДС самоиндукции равна:
iT,-s=—Li'=L(o/m sin ш/.
Тогда:
U L= — Я и =— Lwlm Sin<i)/=G)L/m COS ( 0)/ 4") = U imCOS I (ot +"|").
C.9)
где U Lm — амплитуда колебаний напряжения на катушке:
U i.=<BL/«. (ЗЛО)
Следовательно, для получения гармонических колебаний
силы тока с в катушке к ее концам необходимо приложить
переменное напряжение и L, изменяющееся по гармоническому
закону. Частота вынужденных колебаний силы тока в катушке
при этом совпадает с частотой колебаний напряжения, а по
фазе колебания напряжения на -?- опережают колебания силы
тока.
Из выражений C.8) и C.9) следует, что отношение
напряжения на катушке и L к силе тока i не является постоянной
величиной. Однако, как и в случае с конденсатором, для
нахождения амплитуды колебаний силы тока 1т в катушке
при известной амплитуде колебаний напряжения U L_ можно
воспользоваться выражением, совпадающим по форме с законом
Ома для участка цепи постоянного тока.
14
Действительно, из выражения C.10) следует:
и,
-^=ш/,. C.11)
Обозначив
X L=(oL, C.12)
получим:
/«=-—• (ЗЛЗ)
л L
Выражение C.13) показывает, что амплитуда колебаний
силы тока 1т. протекающего через катушку, прямо пропорциональ-
пропорциональна амплитуде колебаний напряжения на катушке U и и обратно
пропорциональна величине X ь называемой индуктивным сопро-
сопротивлением катушки. Индуктивное сопротивление катушки прямо
пропорционально частоте колебаний ш и индуктивности L
катушки.
Активное сопротивление. Конденсатор с бесконечно большим
электрическим сопротивлением и катушку с электрическим
сопротивлением, равным нулю, называют идеальными. В идеаль-
идеальном конденсаторе и в идеальной катушке прохождение пере-
переменного тока не сопровождается превращением энергии
электрического и магнитного полей в другие виды энергии.
Элемент электрической цепи переменного тока, в котором
происходят превращения энергии электрического поля во
внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул
вещества, называют активным сопротивлением.
*|> 1. Каков механизм возникновения переменного тока в цепи, содержащий
конденсатор?
2. Что называют емкостным сопротивлением конденсатора?
3. Какова связь между фазами колебаний силы тока и напряжения иа
конденсаторе в цепн переменного тока?
4. Какова причина ограничения амплитуды колебаний силы тока в катушке
с нулевым активным сопротивлением при включении ее в цепь переменного
тока?
5. Что называют индуктивным сопротивлением?
6. Какова связь между фазами силы тока и напряжения иа катушке в цепи
переменного тока?
7. Что называют активным сопротивлением?
§ 4. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последова-
последовательно соединенных активного сопротивления, конденсатора и
катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи
15
Рис. 8
приложить электрическое на-
напряжение, изменяющееся по
гармоническому закону с часто-
частотой ш и амплитудой Um, то в
цепи возникнут вынужденные
колебания электрического тока
с той же частотой и некоторой
амплитудой 1т. Установим связь
между амплитудами колебаний
силы тока 1т и напряжения Um.
В любой момент времени
сумма напряжений на последо-
последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значе-
значению приложенного напряжения:
u=uR+uL+uc. D.1)
Во всех последовательно включенных элементах цепи сила
тока изменяется практически одновременно, так как распростра-
распространение электромагнитных взаимодействий происходит со скоростью
света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех
элементах последовательной цепи происходят по одному закону:
j=/„cos at. D.2)
Колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают
по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на
конденсаторе отстают по фазе на -|- от колебаний силы тока,
а колебания напряжения на катушке опережают по фазе
колебания силы тока на -—. Поэтому уравнение D.1) можно
записать так:
u=U «mcos
U u
-jp V D.3)
где U Rm, V Cn и ULm — амплитуды колебаний напряжения на
активном сопротивлении, конденсаторе и катушке.
Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока
можно выразить через амплитудные значения напряжения
на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных
диаграмм.
При построении векторной диаграммы необходимо учитывать,
что колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают
по фазе с колебаниями силы тока, вектор напряжения 0 Rm
совпадает по направлению с вектором силы тока 1т. Колебания
напряжения на конденсаторе отстают по фазе на ~ от
колебаний силы тока, поэтому вектор напряжения 0 Ст отстает
от вектора силы тока 1т на угол 90°. Колебания напряжения
16
на катушке опережают колебания силы тока по фазе на -р
поэтому вектор напряжения V Lm опережает вектор силы тока
1т на угол 90°.
На векторной диаграмме (рис. 9) напряжения на резисторе,
конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизон-
горизонтальную ось векторов 0 Ят, 0 Ст, 0 и, вращающихся с одинаковой
угловой скоростью ш против часовой стрелки. Общее мгновенное
напряжение и равно сумме мгновенных напряжений и R, и с,
и L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов
О д , 0 Ст, 0 Lm на горизонтальную ось. Так как сумма проекций
векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих
векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения
можно найти как модуль суммы векторов:
0т=0 Rm+D Cm+0 Lm. D.4)
Из рисунка 9 видно, что:
-t/cJ. D-5)
или
Um=
L-IJC сJ =/
отсюда:
/»=-
um
D.6)
Введя обозначение
Z=
-±y, D.7)
связь между амплитудными
значениями силы тока и напря-
напряжения в цепи переменного тока
можно выразить так:
Z • D-8)
Из векторной диаграммы,
приведенной на рисунке 9, вид-
видно, что фаза колебаний полного
напряжения равна ш/-}-ф- По-
Поэтому мгновенное значение пол-
YI/
>
'г
17
ного напряжения определяется формулой:
u—Umcos((at+q>). D.9)
Начальная фаза ср также может быть определена из векторной
диаграммы:
+^L-^c) D.10)
Величину cos ф важно зиать при вычислении мощности в
электрической цепи переменного тока.
Мощность в цепи переменного тока. Мгновенная мощность
в цепи переменного тока равна:
Поскольку среднее значение функции cos2<o^ за период равно
—, среднее значение мощности Р, выделяющейся в активном
сопротивлении R при прохождении переменного тока, изменяю-
изменяющегося со временем по гармоническому закону с амплитудой
1т, равно:
P=-^f. D-12)
В электрической цепи переменного тока, содержащей,
кроме активного сопротивления R, индуктивное сопротивление
X L и емкостное сопротивление X с, амплитуда колебаний силы
тока 1т связана с амплитудой колебаний полного напряжения
в цепи ит законом Ома для цепи переменного тока:
Поэтому среднюю мощность тока можно выразить через
амплитудные значения силы тока 1т и полного напряжения в
цепи Um:
P=^f-. D.13)
D
Поскольку выполняется равенство coscp=-j-, среднюю мощ-
мощность, выделяющуюся в цепи переменного тока, можно выразить
так:
D14)
где ф — сдвиг фазы между колебаниями силы тока и напря-
напряжения.
18
Реальные конденсаторы и катушки обладают активным
сопротивлением. Потери энергии в них обусловлены отличием
от нуля электрического сопротивления обмотки катушки, токами
Фуко в сердечнике и работой по его перемагничиванию, а
также нагреванием диэлектрика конденсатора в переменном
электрическом поле. Обычно для учета активных потерь в
катушке или конденсаторе в цепи переменного тока каждый
из этих элементов представляют состоящим из двух последова-
последовательно соединенных элементов — чисто реактивного и чисто
активного. Для действующих значений силы тока /— " и на-
напряжения U-— выражение для вычисления средней мощ-
мощности, выделяющейся в цепи переменного тока, приобретает
вид:
P=-fR=I2R, D.15)
или
Р=/U cos ф. D.16)
Средняя мощность Р, выделяющаяся в цепи переменного
тока, равна произведению действующих значений силы тока /
и напряжения U, умноженному на cos ср, где ср — сдвиг фазы
между колебаниями силы тока и напряжения в цепи.
*|> 1. Почему принимается, что колебания силы тока во всех элементах электри-
электрической цепи, соединенной последовательно, совпадают по фазе?
2. Каков сдвиг фазы колебаний напряжения на конденсаторе и катушке
относительно фазы колебаний силы тока в цепи переменного тока?
3. Как строится векторная диаграмма для электрической цепи, составленной
последовательно из активного сопротивления, катушки и конденсатора?
4. Какова связь амплитуды колебаний силы тока с амплитудой колебаний
полного напряжения в электрической цепи, включенной последовательно?
5. Что называют полным сопротивлением электрической цепи перемеииого тока?
6. Как зависит средняя мощность переменного тока от параметров электри-
электрической цепи и сдвига фаз колебаний силы тока и иапряжения?
§ 5. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Резонанс при последовательном включении элементов цепи.
Полное сопротивление электрической цепи переменному току
зависит не только от параметров цепи, но и от частоты перемен-
переменного тока. Эта зависимость, выражаемая законом Ома D.7)
при последовательном включении элементов цепи переменного
тока, имеет довольно сложный вид. Основные особенности зави-
зависимости полного сопротивления цепи из последовательно
включенных конденсатора, катушки и лампы накаливания от
19
№-
300-
200-
100-
0
Q
I
У
= 12
I
\
\
Q--2\
1000 2000 ]>,Гц
Рнс. 10
частоты приложенного напря-
напряжения можно обнаружить в.
простом опыте.
Соединим последовательно
конденсатор, катушку и лампу
накаливания, концы составлен-
составленной цепи подключим к выходу
генератора переменного напря-
напряжения звуковой частоты. Под-
Поддерживая амплитуду колебаний
напряжения на выходе генера-
генератора неизменной, будем плавно
увеличивать частоту колеба-
колебаний. Опыт показывает, что при
увеличении частоты яркость
свечения лампы постепенно уве-
увеличивается, что свидетельству-
свидетельствует о возрастании амплитуды ко-
колебаний силы тока, достигает
некоторого максимального зна-
значения и затем плавно убывает.
Если в электрическую цепь
включить амперметр перемен-
переменного тока и исследовать зави-
зависимость амплитуды колебаний
силы тока от частоты при по-
постоянной амплитуде колебаний напряжения, то обнаруживается
зависимость, представленная на рисунке 10.
Явление возрастания амплитуды колебаний силы тока при
некотором значении частоты шо до максимального значения
называют электрическим резонансом, а частота шо, при
которой амплитуда колебаний силы тока достигает максимального
значения,— резонансной частотой.
Такая зависимость силы тока в цепи от частоты объясняется
следующим образом. На низких частотах емкостное сопротивле-
сопротивление конденсатора переменному току X с очень велико. С
увеличением частоты это сопротивление убывает, а сила тока
в цепи возрастает.
Индуктивное, сопротивление катушки X L на низких частотах
мало, но увеличивается с ростом частоты. При некоторой
частоте шо, называемой резонансной, индуктивное сопротивление
катушки X L становится равным емкостному сопротивлению
конденсатора X с.
XL=XC. E.1)
При более высоких частотах X L превышает X с. Возрастание
индуктивного сопротивления с частотой приводит к убыванию
силы тока в цепи на частотах, больших резонансной.
20
Так как колебания напряжения на конденсаторе и катушке
индуктивности при их последовательном включении происходят
в противофазе, а ток через все элементы цепи протекает один
и тот же, то при равенстве индуктивного и емкостного сопротивле-
сопротивлений напряжения на них в любой момент времени одинаковы
по модулю, но имеют противоположные знаки:
и L=-u c. E.2)
Такой вид резонанса в электрической цепи переменного тока
называют резонансом напряжений.
При резонансе напряжение на активном сопротивлении
оказывается равным напряжению на всех трех элементах цепи:
u=uR+uL+uc=uR.
Отсюда можно найти мгновенные и действующие значения
силы тока в цепи при наступлении резонанса:
tpea— R —р 'рез— R —R-
Тот же результат можно получить из выражения D.6),
используя условия резонанса E.1). Это условие позволяет
определить резонансную частоту шо по известным значениям
индуктивности катушки L и электроемкости конденсатора С:
^ {ЪЛ)
Таким образом, резонанс наступает при совпадении частоты
переменного тока ш с частотой свободных колебаний в контуре.
Индуктивное сопротивление катушки XL и емкостное сопротив-
сопротивление конденсатора X с при резонансе можно выразить через
величины L и С:
1 /77^" / /
v * У *jlj •* / *- /с с\
Величину у — называют волновым сопротивлением ко-
колебательного контура и обозначают буквой q:
Определим амплитуду колебаний напряжения на катушке
индуктивности U Lm и на конденсаторе U Ст при наступлении
резонанса:
21
и
II I Um /L
Lm U Cm imQ ~~jj~ \~Q •
E.7>
Выражение E.7) показывает, что при наступлении резонанса
амплитуды U Lm и U Ст колебаний напряжения на катушке и
конденсаторе могут превосходить амплитуду колебаний при-
приложенного напряжения Um. Отношение амплитуды напряжения
на катушке (или на конденсаторе) при наступлении резонанса
к амплитуде приложенного напряжения равно отношению
волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению:
U Lm f Cm IrnQ q
E.8)
Это отношение называют добротностью контура и обозначают
буквой Q:
Q=-j- E-9)
Добротность может достигать значений порядка 100 и
даже более высокого.
Зная добротность контура, можно определить амплитуду
вынужденных колебаний напряжения на катушке или конден-
конденсаторе при наступлении резонанса, если известна амплитуда
напряжения, подведенного к контуру.
Если, например, в колебательный контур с добротностью
Q=100 включен источник переменного напряжения с амплитудой,
равной 1 В, то при наступлении резонанса амплитуда вынуж-
вынужденных колебаний напряжения на катушке и конденсаторе
достигает 100 В!
Явление увеличения амплитуды колебаний напряжения при
настройке контура в резонанс с источником колебаний широко
используют в радиотехнике: в схемах радиоприемников,
усилителей, генераторов высокочастотных колебаний.
С увеличением добротности контура уменьшается ширина
резонансного пика. Вид резонансных кривых, полученных при
различных значениях добротности контура, представлен на
рисунке 10.
Резонанс при параллельном
соединении элементов цепи пере-
переменного тока. При параллель-
параллельном соединении резистора, кон-
конденсатора и катушки (рис. 11)
напряжение на всех этих эле-
элементах электрической цепи из-
изменяется по одному и тому же
закону:
Рис. 11
u—Um cos
22
С учетом возникновения сдвига
фазы между током и напряже-
напряжением на реактивных элементах
электрической цепи сила тока
в ветвях определяется форму-
формулами:
* c=Umb>C cos (c»t-\~ у
i l =-^r-cos (tot—^V
Рис. 12
Полный ток в цепи в любой момент времени равен сумме
токов в параллельных ветвях:
*¦=**+*• с+«/.. E.10)
Для нахождения полного тока построим векторную диаграмму
(рис. 12). Из нее видно, что суммарный ток можно найти по
формуле:
»=/„ cos (©f+ф), E.11)
где 1т — амплитуда колебаний тока в общей цепи; ф —
сдвиг фазы между током и напряжением.
Амплитуда тока выражается так:
-^y. E.12)
Действующие значения силы тока / и напряжения U связаны
аналогичным выражением:
^) E.13)
Из векторной диаграммы можно найти сдвиг по фазе между
колебаниями силы тока и напряжения:
* т
E.H)
Полное сопротивление электрической цепи переменному
току определяется следующим выражением:
-, ит и 1 ^5Л5^
23
Рис. 13
При равенстве индуктив-
индуктивного и емкостного сопротив-
сопротивлений токи через катушку и
конденсатор в любой момент
времени равны друг другу по
модулю и противоположны
по направлению (или по фазе
колебания), т. е.
@0= V -г,
E.16)
Их сумма в этом случае равна нулю, а сила тока в общей цепи
равна силе тока через активное сопротивление:
Этот же результат можно получить формально подстановкой
выражения E.16) в выражение E.12).
При выполнении условия E.16) полное сопротивление
электрической цепи принимает максимальное значение Z=R.
Максимальному значению полного сопротивления такой электри-
электрической цепи соответствует минимальное значение силы тока.
Следовательно, при выполнении условия E.16), называемого
условием резонанса токов в колебательном контуре, сила тока
в общей цепи минимальна.
Зависимость амплитуды колебаний силы тока от частоты
приложенного напряжения при постоянной его амплитуде в
общем участке цепи при параллельном соединении катушки,
конденсатора и элемента с активным сопротивлением пред-
представлена на рисунке 13.
1. В чем заключается явление электрического резонанса?
2. Чем объясняется явление электрического резонанса?
3. При каком условии наблюдается электрический резонанс?
4. Что называют волновым сопротивлением электрического контура?
5. Что называют добротностью контура?
6. Какие свойства электрического контура определяют его добротность?
7. Какие практические применения находит явление электрического резонанса?
§ 6. ТРЕХФАЗНЫЙ ТОК
Сложение электрических гармонических колебаний. Рассмот-
Рассмотрим один замечательный пример сложения переменных токов.
Пусть в электрической цепи, принципиальная схема которой
представлена на рисунке 14, действуют три электрических
генератора гармонических колебаний, вызывающие в цепи
вынужденные колебания электрического тока. Пусть также
колебания силы тока в резисторах Rl, R2, R3 происходят с
одинаковой частотой и амплитудой, но со сдвигом по фазе
2 4
2 4
на —л и —л:
i\=lm cos tot,
B \
(о/ + — я»,
i=lm COS ( wt -\- -|-
На участке цепи между точками О и О' сила тока в любой
момент времени равна алгебраической сумме сил токов, про-
протекающих через резисторы Rl, R2, R3:
B \
-f- ImCOs((ot-\—j-n^=/mj"cOS (D^-(-COS (ot ¦ ( S") —
Таким образом, при сложении трех токов, изменяющихся по
гармоническому закону с одинаковой частотой и амплитудой
и отличающихся по фазе на —л и —л друг относительно друга,
о о
алгебраическая сумма токов в любой момент равна нулю.
Рис. 14
25
Этот эффект находит применение в линиях электропередач
переменного тока.
Если на электростанции имеются три одинаковых генератора
переменного тока и передача электроэнергии от них ведется
по трем парам электрических проводов, то при одинаковых
частотах и амплитудах вырабатываемого ими переменного
напряжения, сдвиге фаз колебаний напряжения на ~-я и -^-я
о о
и одинаковых нагрузках во всех трех цепях в линиях протекают
переменные токи одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые
2 4
по фазе на —я и —я. При совмещении трех проводов из трех
О О
линий в один провод алгебраическая сумма токов в нем при
симметричной нагрузке в любой момент времени оказывается
равной нулю; при этом уменьшается расход металла, так как
три из шести проводов можно исключить.
Трехфазную систему переменных токов впервые в 1888 г.
предложил использовать в практике выдающийся русский
электротехник Михаил Осипович Доливо-Добровольский. Он же
первым сконструировал и построил трехфазный генератор,
трехфазный асинхронный электродвигатель и трехфазную линию
электропередачи.
Трехфазный генератор. Поддержание постоянного сдвига
по фазе между колебаниями напряжения на выходе трех
независимых генераторов является довольно сложной технической
задачей. На практике для получения трех токов, сдвинутых
по фазе, используются трехфазные генераторы. Индуктором в
генераторе трехфазного тока служит электромагнит, обмотка
которого питается постоянным током. Индуктор является ротором,
а якорь генератора — статором. В пазах статора расположены
три независимые электрические обмотки, сдвинутые в простран-
I
стве одна относительно другой на — окружности статора,
т. е. на углы \я A20°).
О
Один из выводов фазной обмотки генератора называют ее
началом, другой — концом. Начала обмоток трехфазного гене-
генератора обычно обозначают латинскими буквами А, В, С,
а концы — соответственно X, Y и Z (рис. 15).
При вращении ротора с угловой скоростью со в каждой
из трех обмоток возникает ЭДС индукции, изменяющаяся
по гармоническому закону с частотой со . Вследствие сдви-
сдвига обмоток в пространстве фазы колебаний в них сдвинуты
на —л и —я. Таким образом, один генератор трехфазного
о о
тока заменяет три генератора однофазного тока, колебания
напряжения на выходе которых сдвинуты друг относительно
друга по фазе на -^-.
26
1
в
г
с
Рис. 15
Рис. 16
Соединение фаз генератора звездой. Существует два
основных способа соединения фазных обмоток генератора между
собой: звездой и треугольником. При соединении звездой все
концы фазных обмоток X, Y, Z соединяют в общий узел О, который
называют нейтральной или нулевой точкой генератора, а начала
служат зажимами для подключения нагрузки (рис. 16).
Напряжение между началом и концом каждой фазной
обмотки генератора называют фазным напряжением (Уф,
а напряжение между началами любых двух фазных обмоток —
линейным напряжением Uл.
Найдем связь между линейным и АВ и фазными и во, иА0
напряжениями. Из рисунка 16 видно, что
= « AB = U ВО —Ч- АО= Um COS
— Щ- \ — ilm COS (dt =
^-y F.1)
Отсюда видно, что при соединении звездой линейное
напряжение изменяется по гармоническому закону с той же
частотой, что и фазное напряжение, амплитуда колебаний
линейного напряжения больше амплитуды колебаний фазного
напряжения в /3~ раза. Следовательно, в этом случае линейное
действующее напряжение превышает действующее фазное на-
напряжение также в /3~раза:
F.2)
Соединение нагрузки звездой. При соединении трех концов
нагрузки в один узел О получаем соединение звездой. Три
других вывода нагрузки соединяют с началами фазных обмоток
генератора проводами, которые называют линейными. Провод,
27
Рис. 17
соединяющий точки О и О', называют нейтральным или
нулевым проводом. Из схемы, изображенной на рисунке 17,
видно, что фазные токи /ф равны соответствующим токам,
текущим в линейных проводах:
/ф=/л-
При симметричной нагрузке (#|=#2=#з) сила тока во всех
фазных обмотках одинакова. Поэтому сила тока в нулевом
проводе равна нулю. В этом можно убедиться, если собрать
электрическую цепь по схеме, изображенной на рисунке 17, и
измерить силу тока в линейных проводах и в нейтральном
проводе.
Но при несимметричной нагрузке фаз, что имеет место в
осветительных сетях, сила тока в нулевом проводе не равна
нулю, поэтому нулевой провод необходим.
Для питания трехфазных двигателей, являющихся симмет-
симметричной нагрузкой, часто прокладывают трехпроводную линию.
На стороне потребителей применяют линейные-и фазные напря-
напряжения 380/220 В или 220/127 В.
Соединение фазных обмоток генератора треугольником.
Обмотки трехфазного генератора можно соединить треуголь-
треугольником. Для этого конец X первой обмотки генератора соединяют
с началом В второй фазной обмотки, конец Y второй обмотки
соединяют с началом С третьей обмотки, а конец Z третьей
обмотки соединяют с началом А первой обмотки. При таком
соединении сумма фазных ЭДС равна нулю:
е = е\ + е2 + е3 = 0.
Следовательно, при отсутствии внешней нагрузки сила тока
в обмотках генератора равна нулю.
При подключении генератора, обмотки которого соединены
28
по схеме треугольника, к трехпроводной линии фазное
напряжение оказывается равным линейному:
Следовательно, для получения нужного линейного напряжения
каждая фазная обмотка генератора должна быть рассчитана на
напряжение в /сГ раза большее, чем в случае соединения
обмоток генератора звездой. Это приводит к удорожанию
генератора. В связи с этим обмотки генератора обычно
соединяют звездой.
Соединение нагрузки треугольником. Независимо от того,
как соединены обмотки генератора, нагрузка может быть
соединена как звездой, так и треугольником.
На рисунке 18 показано соединение нагрузки треугольником.
В этом случае напряжение на каждой нагрузке равно линейному
напряжению трехфазной системы. Используя метод векторных
диаграмм, можно показать, что при симметричной нагрузке,
включенной по схеме треугольника, между фазными и линейными
значениями сил токов выполняется соотношение:
При несимметричной нагрузке это соотношение не выполняется.
Асинхронный трехфазный двигатель. Важнейшим достоин-
достоинством трехфазной системы для современной промышленности
является возможность создания и широкого использования в
практике очень простых и надежных электродвигателей, принцип
действия которых основан на использовании трехфазного тока.
Рассмотрим устройство и принцип действия трехфазного
электродвигателя. Его статор имеет такое же устройство, как
статор трехфазного генератора. Три обмотки электродвигателя
соединяют звездой или треугольником и подключают к трех-
трехфазной сети.
При прохождении тока каждая обмотка создает переменное
магнитное поле. Так_ как в любой момент времени модуль
магнитной индукции В пропорционален силе тока в катушке i,
то изменения индукции магнитного поля любой катушки будут
/ — V 1
Рис. 18
29
происходить по тому же закону, по которому происходят
изменения силы тока в ней. Учитывая сдвиг фаз между
токами в катушках, можно записать:
B]=Bms\nv)t, F.3)
2=?m sin (©*—
В3=Вт sin f(ot—
F.4)
F.5)
Если бы векторы магнитной индукции всех трех магнитных
полей были направлены по одной прямой, то сумма векторов
магнитной индукции была бы равна нулю в любой момент
времени.
Однако в трехфазном электродвигателе обмотки сдвинуты
друг относительно друга по окружности статора на 120°
(рис. 19). Такие же углы образуют между собой векторы
магнитной индукции В\, ?*г и ?3 в межполюсном пространстве.
Их следует складывать геометрически:
Б=Б\+В2+Б3. F.6)
Выполнив такое сложение, можно убедиться, что модуль
вектора магнитной индукции результирующего магнитного поля
трех катушек является постоянным: ?=1,5 Вт. Сам же вектор
магнитной индукции В вращается в плоскости осей катушек
с угловой скоростью со.
Этот вывод можно проверить экспериментально. Если во
вращающееся магнитное поле поместить магнитную стрелку
или рамку, питаемую постоянным током, то они будут вращаться
с той же угловой скоростью, с какой вращается магнитное
поле, т. е. синхронно с ним. Это явление используют в синхронных
двигателях, которые широко
применяют в промышленности.
Рассмотрим принцип дей-
действия асинхронного двигателя.
Если во вращающееся магнит-
магнитное поле поместить замкнутую
металлическую рамку на оси,
совпадающей с осью вращения
поля, то вследствие вращения
магнитного поля магнитный по-
поток, пронизывающий металли-
металлическую рамку, изменяется. Это
приводит к возникновению в
рамке ЭДС индукции:
Рис. 19
е=—
ЛФ
At
30
и возникновению индукционного тока /. При взаимодействии
вращающегося магнитного поля с током, протекающим в рамке,
возникают силы Ампера:
F=BH sin a,
действующие на каждую сторону рамки. Эти силы поворачи-
поворачивают рамку в направлении вращения поля.
По мере того как скорость вращения рамки приближается
к скорости вращения магнитного поля, скорость изменения
пронизывающего ее магнитного потока уменьшается, поэтому
уменьшаются ЭДС индукции и сила тока в рамке. Это приводит
к уменьшению момента сил, действующих на рамку.
При равенстве скоростей вращения магнитного поля и рамки
ЭДС индукции и сила тока в рамке равны нулю. Следовательно,
и момент сил, вызывающих вращение рамки, становится
равным нулю. Поэтому рамка в электродвигателе такого типа
вращается всегда медленнее магнитного поля, т. е. несинхронно
с ним. Электродвигатель, в котором вращающееся магнитное
поле взаимодействует с током в обмотках ротора, индуцирован-
индуцированным этим же магнитным полем, называют асинхронным
двигателем.
Вращающий момент на валу трехфазного асинхронного
электродвигателя возрастает с уменьшением скорости вращения
ротора и достигает максимального значения при его остановке.
Наиболее широко применяют асинхронные трехфазные
двигатели с короткозамкнутым ротором. В таких машинах
обмотка ротора представляет собой систему медных стержней,
заложенных в пазы ротора и соединенных с торцов медными
кольцами. Обмотку такого типа называют «беличьим колесом».
«Беличье колесо» может быть и алюминиевым (при его изготов-
изготовлении алюминий в расплавленном состоянии заливают в пазы
ротора под давлением).
Простота асинхронных двигателей в изготовлении и надеж-
надежность их в эксплуатации привели к тому, что большая часть
всех двигателей, применяемых в народном хозяйстве страны,
приходится на долю асинхронных двигателей.
Так как при изменении порядка включения начала и конца
любой из обмоток статора направление вращения магнитного
поля изменяется на противоположное, то для реверсирования
(т. е. для изменения направления вращения ротора) трехфазного
двигателя достаточно изменить порядок включения начала и
конца одной из обмоток статора к сети трехфазного тока.
1) I. Каковы преимущества линий электропередач трехфазного тока?
2. Опишите устройство генератора трехфазного тока.
3. Как осуществляется соединение фаз генератора и нагрузки звездой?
4. Как осуществляется соединение фаз генератора и нагрузки треуголь-
треугольником?
31
5. Каковы соотношения между фазными и линейными значениями напряжений
и токов при различных схемах включения фаз?
6. Как с помощью трехфазного тока создается вращающееся магнитное
поле?
7. Опишите устройство асинхронного трехфазного двигателя.
8. Каковы основные достоинства асинхронного двигателя?
§ 7. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Примеры решения задач
Пример 1. Число витков вторичной обмотки трансформатора вдвое
больше числа витков первичной обмотки. Активное сопротивление первичной
обмотки равно 20 Ом, а ее индуктивное сопротивление — 200 Ом. На
первичную обмотку подали переменное напряжение 100 В. Определите напря-
напряжение на вторичной обмотке в режиме холостого хода. Как изменится
напряжение на вторичной обмотке, если сердечник трансформатора заменить
другим того же размера, но сделанным нз матернала с магнитной проннцаемостью
в 10 раз меньшей? Рассеянием магнитного потока и потерями в сердечнике
пренебрегите.
Решение. Если бы не было потерь на активном сопротивле-
сопротивлении первичной обмотки, напряжение на вторичной обмотке
было бы равно:
1/2=21/ь
Вследствие же потерь на нагревание первичной обмотки
напряжение на вторичной обмотке определяется формулой:
1/2=21/, ,,
где
Напряжение же на первичной обмотке U\ определяется
формулой:
t/,= VU2\R+U\L.
Следовательно,
При замене сердечника индуктивное сопротивление умень-
уменьшается в 10 раз:
32
Х\в??=20 Ом.
В этом случае напряжение на вторичной обмотке станет
равным:
(/? = ¦ = ¦ «140 В.
Таким образом, необходимым условием для нормальной
работы трансформатора является выполнение соотношения
XR
Пример 2. Определите действующее значение силы тока в цепи,
состоящей из последовательно соединенных конденсатора электроемкостью
С=2 мкФ, катушки индуктивностью L=0,51 Гн и электрическим сопротив-
сопротивлением #=100 Ом, если к ней подводится переменное напряжение ?/=220 В
(действующее значение) с частотой v=50 Гц. Определите действующие
значения напряжения на отдельных элементах цепи. Рассчитайте, при какой
электроемкости конденсатора наступил бы резонанс напряжений. Определите
силу тока в цепи, волновое сопротивление н добротность при наступлении
резонанса.
Решение. Силу тока определим, применив закон Ома для
цепи переменного тока:
/- и
Так так
Xi=2nvL=2n-50c-1-0,5irH«160 Ом,
то
/= 220В -~П,1Б9 А.
/A00 ОмJ+A600 Ом —160 ОмJ
Применяя закон Ома для отдельных элементов цепи, получим:
UR=IR=0,\b2 A-100 Ом=15,2 В,
U L=IX L=0,\b2 А-160 Ом=24,3 В,
Uс=1Хс=0,\Ь2 А-1600 Ом=243 В.
Резонанс напряжений возникает при выполнении условия:
2. Зак. 1320 О. Ф. Кабардин 33
Отсюда:
С=—Л-=„ a ocnnJno г =2-1(Г5Ф=20 мкФ.
4л v~L 4л -2500с -0,51 Гн
При возникновении резонанса напряжений сила тока дости-
достигает максимального значения:
Ы~~ R ~ 100 Ом ~Z'Z A-
Волновое сопротивление q контура находим так:
0,51 Гн ,СГ1 ~
ою-«ф ^160 Ом-
Зная волновое сопротивление, определим добротность кон-
контура Q:
р. q 160 Ом . р.
Ч~ R~ 100 0м"'0-
Пример 3. В колебательном контуре последовательно включен источник
синусоидального переменного напряжения. При каких частотах достигаются
максимальные значения амплитуд колебаний силы тока и напряжения на
обкладках конденсатора?
Решение. Из закона Ома для цепи переменного тока
/ _ и-
следует, что сила тока достигает максимального значения при
выполнении условия:
o)oC '
откуда искомая частота со0 равна:
1_
U>0~ /LC '
Напряжение на обкладках конденсатора U Cm равно:
ыС
СО
Исследуя полученное выражение на максимум, получим
условие:
1 ггг- =<J>o
_
С
где Q==~~? добротность контура.
34
Таким образом, только для
контуров с высокой доброт-
добротностью максимум амплитуды
колебаний напряжения на кон-
конденсаторе достигается при ре-
резонансной частоте (о=соо-
Пример 4. Два конденсатора
одинаковой электроемкости С|=С2=С
и катушка индуктивностью L соедине-
соединены так, как показано на рисунке 20.
В начальный момент времени ключ ра-
разомкнут, конденсатор С/ заряжен до
разности потенциалов U, а конденсатор С2 не заряжен и сила тока в катушке
равна нулю. Определите максимальное значение силы тока в катушке после
замыкания цепи и период электромагнитных колебаний в цепи.
4= а =
1
= С2
L
Рис. 20
Решение. После замыкания ключа в первый момент
времени происходит перераспределение заряда между конденса-
конденсаторами. Это связано с тем, что цепь С1 — С2 можно считать
колебательным контуром с очень малой индуктивностью
проводов, а следовательно, большой собственной частотой.
си
Заряды конденсаторов С1 и С2 станут равными по ——, а пол-
полная их энергия будет равна:
си2 , си2
я ' я '
си2
CU'2
Полови-
Это вдвое меньше энергии первого конденсатора
на энергии электрического поля в результате нагревания
проводов превращается во внутреннюю энергию.
После перераспределения заряда возникают электромагнит-
электромагнитные колебания с периодом Т—2л /2Z.C . Максимальную силу
тока в катушке можно найти, используя закон сохранения
энергии:
си2
Пример 5. Из двух резисторов сопротивлением R каждый н двух
одинаковых конденсаторов электроемкостью С собрана электрическая цепь
(рис. 21) и подключена к цепи переменного тока с амплитудой колебаний
напряжения Um. Определите амплитуду колебаний напряжения между точками
а и ft.
Решение. Построим векторную диаграмму напряжений для
одной ветви цепи (рис. 22).
35
Рис 21 Рис. 22
Так как Uab = Uc—О R, из векторной диаграммы следует
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. На рисунке 23 дан спектр сложного колебания. Считая
начальную фазу составляющих колебаний равной нулю, напишите уравнения
колебаний, из которых состоит сложное колебание.
Задача 2. Гармонические колебания описываются уравнением
х=0,1 cos {2(Ы+-н- \ (м). Представьте эти колебания с помощью векторной
диаграммы и спектральным способом.
Задача 3. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора электро-
электроемкости С=0,26-10~7Ф в колебательном контуре от времени имеет вид:
u@=10cosB-103n0-
АЛ
см
5-
4-
J-
2-
1-
п
0,2 0,4 0,6 0,8 V.C'
Рис. 23
Определите период электромагнитных
колебаний, индуктивность контура, за-
зависимость силы тока от времени, мак-
максимальную энергию электрического и
магнитного полей в контуре.
Задача 4. В цепи переменного
тока напряжением U—220 В и часто-
частотой v=50 Гц включены последова-
последовательно конденсатор, нагрузка с ак-
активным сопротивлением /?=НИ) Ом и
катушка индуктивностью L=0,7 Гн.
Определите электроемкость конденса-
конденсатора С, если сила тока в цепи равна
1,34 А. Рассчитайте электроемкость
конденсатора, при которой возникает
резонанс напряжений. Определите си-
силу тока в цепи, волновое сопротивление
и добротность цепи при резонансе.
36
Задача 5. В цепь переменного тока частотой v=50 Гц последовательно
включены резистор (R=628 Ом) и катушка индуктивностью L. При этом
между колебаниями напряжения и силы тока наблюдается сдвиг по фазе ф=—.
Какова индуктивность катушки? Какую электроемкость нужно включить
последовательно в цепь, чтобы сдвиг фазы стал равен нулю?
Задача 6. Катушка индуктивностью 0,032 Гн, конденсатор переменной
электроемкости и резистор сопротивлением 400 Ом соединены параллельно
н подключены к источнику переменного тока напряжением 220 В с частотой
50 Гц. Определите электроемкость конденсатора, при которой наступает
резонанс токов, и силу тока в цепи при наступлении резонанса.
Задача 7. При включении первичной обмотки трансформатора в сеть
напряжением 220 В на вторичной разомкнутой обмотке возникает напряжение
127 в. Определите напряжение на активной нагрузке сопротивлением 10 Ом,
подключенной ко вторичной обмотке трансформатора, если активные сопротив-
сопротивления его первичной и вторичной обмоток равны 20 и 10 Ом соответственно.
Задача 8. Сила тока холостого хода в первичной обмотке трансформа-
трансформатора, питаемой от сети переменного тока с частотой v==50 Гц и напряжением
U—220 В, равна 0,2 А. Электрическое сопротивление первичной обмотки
#=100 Ом. Определите индуктивность первичной обмотки трансформатора.
Задача 9. В трехфазную сеть с линейным напряжением Uл=220 В
включены звездой три активные нагрузки сопротивлением по 100 Ом каждая.
Найдите фазные и линейные силы токов. Как изменятся токи в первых двух
нагрузках при обрыве провода, ведущего к третьей нагрузке?
Задача 10. В трехфазную цепь с линейным напряжением О1 ;1=220 В
включены треугольником три активные нагрузки сопротивлениями /?i = 100 Ом,
#2=50 Ом, Яз=30 Ом. Определите силу тока в фазах нагрузки. Какими
будут эти силы токов при обрыве линейного провода первой фазы?
Задача 11. В колебательный контур с добротностью Q=50 включен
последовательно источник синусоидального переменного напряжения с изменяемой
частотой, амплитуда колебаний напряжения на выходе источника 2 В. Найдите
амплитуды колебаний напряжения на
конденсаторе U Ст н катушке U Lm на
частоте, при которой амплитуда коле-
колебаний силы тока в контуре максималь-
максимальна. Как изменятся амплитуды колеба-
колебаний напряжения на конденсаторе и ка-
катушке и сила тока в контуре при уве-
увеличении индуктивности катушки в 2 ра-
раза н активного
2 раза?
Задача 12. Конденсатор элект-
электроемкостью С при разомкнутом ключе
(рис. 24) заряжают зарядом q. Чему
равны максимальные значения силы то-
тока в катушках с нндуктивностями U и
сопротивления в
L2
после замыкания ключа?
Рнс. 24
37
Cl
L
_ C2
QC1 II
0 II
220B
1
г
Ы
И
С2_
Рис. 25
|Рис. 26
Задача 13. Конденсатор электроемкостью С, первоначально заряжен до
напряжения U, а конденсатор электроемкостью Сг не заряжен (рис. 25).
Каким будет максимальное значение силы тока в катушке с индуктивностью L
после замыкания ключа?
Задача 14. В электрической цепи, состоящей из последовательно
соединенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L и
конденсатора электроемкостью С, происходят затухающие колебания. За не-
некоторое время амплитуда колебаний силы тока в цепи уменьшилась от
/ до И. Какое количество теплоты выделилось за это время на резисторе,
если затухание происходит только из-за потерь энергии на нагревание
резистора?
Задача 15. Электрическая цепь, состоящая из двух конденсаторов и
двух диодов (рис. 26), подключена к сети переменного тока с действующим
напряжением 220 В. До какого напряжения зарядится конденсатор С2?
Задание для самопроверки № 1
Решите каждую задачу и полученный результат сравните
с приведенными ответами, выберите правильный из них. После
выполнения всего задания сравните полученный результат
с кодом правильных ответов, приведенным в конце книги.
1. Как изменится амплитуда колебаний силы тока в катушке,
активное сопротивление которой равно нулю, если при неиз-
неизменной амплитуде колебаний напряжения частоту колебаний
увеличить в 2 раза?
А. Увеличится в 2 раза. Б. Уменьшится в 2 раза. В. Уве-
Увеличится в 4 раза. Г. Уменьшится в 4 раза. Д. Не изменится.
2. Какой из графиков (рис. 27) выражает зависимость
активного сопротивления в цепи переменного тока от частоты?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
3. Какой из графиков на рисунке 27 выражает зависимость
емкостного сопротивления в цепи переменного тока от частоты?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
4. Какой из графиков на рисунке 27 выражает зависимость
индуктивного сопротивления в цепи переменного тока от частоты?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
5. Как изменится период свободных электрических колебаний
38
Рис. 27
в колебательном контуре, если индуктивность катушки и электро-
электроемкость конденсатора увеличить в 2 раза?
А. Увеличится в 4 раза. Б. Увеличится в 2 раза. В. Не
изменится. Г. Уменьшится в 2 раза. Д. Уменьшится в 4 раза.
6. Определите амплитуду колебаний при сложении трех
гармонических колебаний: х\=хт cos (ot; x2=xm cos (at-\-— я);
/ 4 \ V J /
X3=Xm COS I (X>t-\—^n I.
A. 0. Б. xm. В. Зхт. Г. /ЗГ хп. Д. Среди ответов А—Г нет
правильного.
7. Каковы соотношения между линейными и фазными дей-
действующими значениями напряжения и силы тока в случае, если
обмотки трехфазного генератора и его нагрузка соединены
по схеме звезды?
А. /л=/ф, ил=иф. Б. /л=/ф, (/л=/3-?/ф. В. /Л=/3~/Ф.
ил=иф. Г. /л=/3~/ф, ?/л=/3~?/ф. Д. Среди ответов А—Г нет
правильного.
8. Каковы соотношения между линейными и фазными
действующими значениями напряжения и силы тока в случае,
если обмотки трехфазного генератора и его нагрузка соединены
по схеме треугольника?
А. /л=/ф, ил=иф. Б. /л=/ф, и=^иф. В. /л=/3/ф)
иа=и+. Г. /л=/3~/ф> ?/л=/3~?/ф. Д. Среди ответов А—Г нет
правильного.
9. В трех обмотках статора трехфазного асинхронного
двигателя протекает переменный ток. Фазы колебаний в обмотках
отличаются на —?- и —^-. Каждая катушка создает изменяю-
о о
щееся по гармоническому1 закону магнитное поле, амплитуда
колебаний модуля индукции равна Вт. Чему равен модуль
вектора индукции результирующего магнитного поля всех трех
катушек, если векторы индукции их магнитных полей расположены
в одной плоскости под углами 120 и 240°?
А. 0. Б. Вт. В. 1,5 Вт. Г. Bmcosu>t. Д. 1,5 Bmcos(ot.
10. В цепь переменного тока включены последовательно
39
активная нагрузка сопротивлением 2 Ом, катушка с индуктивным
сопротивлением 3 Ом, конденсатор с емкостным сопротивлением
5 Ом. Чему равно полное сопротивление электрической цепи
переменного тока?
А. 4 Ом. Б. 10 Ом. В. ]/Т Ом. Г. /38 Ом. Д. 38 Ом.
11. Какое из приведенных ниже условий выполняется при
резонансе в электрической цепи переменного тока, состоящей
из последовательно включенных активной нагрузки сопротивле-
сопротивлением R, конденсатора и катушки?
A. XL=XC, Z=R. Б. XL=?XC, Z=0. В. X ЬФХ с, #=0.
Г. /?<С2. Д. Ни один из приведенных ответов не является
правильным.
12. В электрическую сеть переменного тока частотой 50 Гц
и действующим напряжением 220 В включены последовательно
активная нагрузка сопротивлением 100 Ом, катушка индуктив-
индуктивностью 3,2 Гн и конденсатор электроемкостью 3,2 мкФ.
Определите действующее значение силы тока в цепи.
А. 0,2 А. Б. 0,1 А. В. 3,08 А. Г. 2,2 А. Д. Ни один из
приведенных ответов не является правильным.
13. Электрическая цепь состоит из последовательно вклю-
включенных резистора, конденсатора и катушки. Какие из приведенных
ниже соотношений для мощности Р, потребляемой цепью
от источника, и полного сопротивления Z цепи выполняются
при резонансе?
А. Р и Z — максимальны.
Рис. 28
\ Рис. 29
Б. Р и Z — минимальны. В.
Р — максимальна, Z — мини-
минимально. Г. Р — минимальна,
Z — максимально. Д. Среди от-
ответов А—Г нет правильного.
14. Резистор, катушка и
конденсатор соединены так, как
показано на рисунке 28, и под-
подключены к источнику перемен-
переменного напряжения. На каком из
графиков (рис. 29) представле-
представлена зависимость амплитуды ко-
колебаний силы тока в неразветв-
ленной части цепи от частоты?
40
A. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
15. В последовательной цепи переменного тока, составленной
из резистора, катушки и конденсатора, увеличили в 2 раза
активное сопротивление резистора, индуктивность катушки
и электроемкость конденсатора. Как при этом изменилось
волновое сопротивление контура?
А. Не изменилось. Б. Увеличилось в 2 раза. В. Уменьшилось
в 2 раза. Г. Увеличилось в 8 раз. Д. Уменьшилось в 8 раз.
16. В электрической цепи, составленной из последовательно
включенных резистора, катушки и конденсатора, индуктивность
катушки увеличили в 2 раза, а активное сопротивление резис-
резистора и электроемкость конденсатора уменьшили в 2 раза.
Как при этом изменилась добротность контура?
А. Не изменилась. Б. Увеличилась в 2 раза. В. Умень-
Уменьшилась в 2 раза. Г. Увеличилась в 4 раза. Д. Уменьшилась
в 4 раза. Е. Увеличилась в 8 раз. Ж. Уменьшилась в 8 раз.
17. На рисунке 29 приведены графики зависимости ампли-
амплитуды колебаний силы тока от частоты при постоянной амплитуде
колебаний переменного напряжения для разных электрических
цепей. Какой из них соответствует электрической цепи, состоящей
из последовательно включенных конденсатора и резистора?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
18. По условию задачи 17 определите, какой из графиков
соответствует электрической цепи, состоящей из параллельно
включенных конденсатора и резистора.
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
19. Система состоит из стальной пружины и груза массой
т. Верхний конец пружины закреплен. Груз прикрепили к
нижнему концу недеформированной пружины и отпустили.
Груз совершает колебания с постепенно убывающей амплитудой
и останавливается. Какое из приведенных ниже равенств
справедливо для этого случая, если Ео — максимальное значение
кинетической энергии груза, а Е — энергия системы после
прекращения колебаний?
А. Е=Е0. Б. ?=-у". В. Е=~. Г. ?=0. Д. Среди ответов
А—Г нет правильного.
20. Резистор и конденсатор соединили последовательно
и подключили к источнику переменного напряжения. Сигнал
с резистора подали на вертикально отклоняющие пластины
осциллографа, с конденсатора — на горизонтально отклоняю-
отклоняющие пластины. Какую траекторию нарисует луч на экране
осциллографа, если амплитуды колебаний напряжения на резис-
резисторе и конденсаторе одинаковы?
А. Прямую, расположенную под углом 45° к оси абсцисс.
Б. Эллипс. В. Окружность. Г. Синусоиду. Д. Горизонтальную
прямую.
41
§ 8. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Изучение механических колебаний
Оборудование: манометр открытый демонстрационный, резиновая
груша.
Задание. Рассчитайте период колебаний столба воды в
U-образной трубке. Проверьте результаты расчетов экспери-
экспериментально.
Указание. Если под действием некоторого избыточного
давления вода в одном колене трубки поднялась, а в другом
опустилась на высоту х (рис. 30), то после устранения избы-
избыточного давления вода в трубке начнет совершать колебательное
движение.
На всю массу воды действует сила, проекция которой на
вертикальную ось ОХ равна:
Fx=-2QgSx,
где q — плотность воды, g — ускорение свободного падения,
5 — площадь поперечного сечения трубки. Знак минус показы-
показывает, что вектор силы направлен против сме-
| щения.
W Запишем закон Ньютона в проекциях на
' ось Ох:
max=—2QgSx,
или
х"=
2Q8S
X.
B)
Если пренебречь трением воды о стенки трубки
и считать колебания гармоническими, можно
найти циклическую частоту колебаний:
или
@ =
C)
Обозначив через / суммарную длину столбов
жидкости в коленах трубки, получим выра-
выражение для массы воды:
m=QlS.
D)
Подставляя выражение D) в уравнение C),
получим для циклической частоты:
Рис. 30
@ =
E)
42
и для периода колебаний:
F)
Возможный вариант выполнения работы
Сожмите резиновую грушу и создайте действием избыточного
давления некоторую разность уровней в U-образной трубке.
Затем быстро уберите грушу и одновременно запустите секундо-
секундомер. Сосчитайте число колебаний N за время t, в течение которого
они совершались. Вычислите период колебаний:
Проделайте несколько опытов и результаты их занесите в
таблицу. Найдите среднее значение периода колебаний Т экс.
JS|b
1
2
N
1
ТЖС— д,
Т 1- л/ '
Сравните полученный результат с расчетным значением
периода колебаний для данной длины столба жидкости. Сделайте
вывод: находится ли различие в пределах погрешности
измерений; если нет, то укажите причины этих расхождений.
Дополнительное задание
1. Проверьте, зависит ли период колебаний от начального
смещения х столба жидкости от положения равновесия.
2. Измените количество жидкости в коленах трубки, рас-
рассчитайте период колебаний и сравните полученное значение
с экспериментальным.
Контрольные вопросы
1. Как изменится период колебаний, если высоту заполнения трубки удвоить?
2. Изменится ли период колебаний, если трубку вместо воды заполнить
ртутью до прежнего уровня?
3. Изменится ли период колебаний, если увеличить сечение трубки, оставив
уровень жидкости прежним?
43
2. Измерение сопротивления конденсатора
в цепи переменного тока
Оборудование: источник электропитания для практикума ИЭПП-1,
набор конденсаторов, комплект электроизмерительных приборов «Учебный-2»,
соединительные проводники.
Задание. Рассчитайте сопротивление конденсатора электро-
электроемкостью 6 мкФ в цепи переменного тока с частотой 50 Гц.
Выполните измерение силы тока через конденсатор при включении
в цепь с переменным напряжением 12 В.
Указание. Два проводника, разделенные слоем диэлектри-
диэлектрика, обладают электроемкостью С. При подаче переменного
напряжения между такими проводниками не происходит перенос
электрических зарядов сквозь диэлектрик, но периодически
повторяющиеся процессы зарядки и разрядки конденсатора
приводят к возникновению переменного тока в проводах,
ведущих к обкладкам конденсатора. Действующее значение
силы тока / в проводах, ведущих к конденсатору, определяется
значением его электроемкости С, частотой v вынужденных
колебаний силы тока в цепи и действующим значением
напряжения U на обкладках:
I=U2nvC.
Таким образом, конденсатор в цепи переменного тока эквивален-
эквивалентен элементу цепи с электрическим сопротивлением Xс, равным:
Хг =
2nvC '
Возможный вариант выполнения работы
1. Вычислите емкостное сопротивление Хс этого конденсатора
электроемкостью 6 мкФ на частоте 50 Гц.
2. Рассчитайте действующее значение силы тока через конден-
конденсатор при подаче на его обкладки переменного напряжения 12 В.
3. Выполните измерение силы тока через конденсатор при
напряжении 12 В между его обкладками. Сравните результаты
расчета и измерений.
Дополнительное задание
Исследуйте зависимость действующего значения силы тока
через конденсатор от действующего значения напряжения,
постройте график. Рассчитайте значения силы тока в цепи при
последовательном и параллельном включении конденсаторов с
электроемкостью 6 и 4 мкФ. Результаты расчета проверьте
экспериментально.
44
Контрольные вопросы
1. Объясните, почему через конденсатор не проходит постоянный ток, а
переменный ток проходит.
2. Как изменится емкостное сопротивление конденсатора при увеличении
частоты переменного тока в 2 раза?
3. Измерение индуктивности катушки
в цепи переменного тока
Оборудование: катушка дроссельная, батарея конденсаторная, набор
конденсаторов, источник электропитания для практикума ИЭПП-1, комплект
электроизмерительных приборов «Учебный-2», соединительные проводники.
Задание. Возбуждая вынужденные электромагнитные коле-
колебания в электрической цепи из катушки и батареи конденсаторов,
исследуйте явление электрического резонанса. Используя явление
резонанса, определите индуктивность катушки.
Указание. При подключении последовательно соединенных
конденсатора и катушки к источнику переменного напряжения
в электрической цепи возникают вынужденные электромагнитные
колебания. С частотой колебаний приложенного напряжения
происходят процессы зарядки и разрядки конденсатора и пре-
превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию
магнитного поля катушки. При гармонических колебаниях
приложенного напряжения амплитуда вынужденных колебаний
силы тока / в электрической цепи пропорциональна амплитуде
колебаний приложенного напряжения U и зависит от индуктив-
индуктивности L катушки, электроемкости С конденсатора и частоты со
колебаний напряжения:
При выполнении условия coL=—!—, т.е. при равенстве индук-
индуктивного X L и емкостного X с сопротивлений, амплитуда колебаний
силы тока в цепи достигает максимального значения, т. е.
наблюдается явление электрического резонанса.
Для наблюдения электрического резонанса при постоянном
значении амплитуды колебаний напряжения можно исследовать
зависимость амплитуды колебаний силы тока от электроемкости
С конденсатора или индуктивности L катушки в цепи.
Возможный вариант выполнения работы
1. Соедините последовательно в электрическую цепь дрос-
дроссельную катушку, батарею конденсаторов и миллиамперметр
переменного тока. При включении катушки в электрическую
цепь используйте ее выводы от 2400 витков.
45
2. Подайте переменное напряжение б В с частотой 50 Гц
и исследуйте зависимость силы тока в цепи от электроемкости
включенных в цепь конденсаторов.
3. Постройте график зависимости амплитуды колебаний
силы тока от электроемкости конденсаторов. Определите
значение электроемкости конденсаторов, при котором наблю-
наблюдается электрический резонанс.
4. По найденному значению электроемкости С конденсаторов,
при котором амплитуда колебаний силы тока в цепи достигает
максимального значения, и известному значению частоты
колебаний напряжения в цепи определите индуктивность L ка-
катушки.
Дополнительное задание
Включите катушку в цепь выводами от 1200 витков.
Повторите измерения и найдите значение индуктивности
катушки. Сделайте вывод о зависимости индуктивности катушки
от числа витков.
Контрольные вопросы
1. Почему зависимость амплитуды вынужденных колебаний силы тока в
электрической цепи из конденсатора и катушки от значения электроемкости
конденсатора имеет резонансный характер?
2. В каких приборах и каким образом используется настройка электрического
контура в резонанс с вынужденными колебаниями переменного напряжения?
3. Чем определяется значение амплитуды колебаний силы тока в контуре при
наступлении резонанса?
4. Исследование электрических схем с R-, L- и С-элементами
и определение параметров этих элементов
Оборудование: авометр, генератор звуковой частоты, «черный ящик»,
источник электропитания для практикума.
Указание. Исследование «черного ящика» в простейших
случаях можно выполнить путем измерения сопротивления и
снятия вольт-амперной характеристики. При этом следует
помнить, что схема может содержать полупроводниковый
прибор, электрическое сопротивление которого зависит от
полярности приложенного напряжения. Если при изменении
подключения выводов омметра на противоположное показания
изменяются, то в схеме содержится полупроводниковый прибор
с р—n-переходом (диод, транзистор). Сопротивление р—п-пере-
хода в прямом направлении обычно порядка 10 Ом, а в обратном—
порядка 1 МОм.
46
A
/ Ul
0 I 0
a
1 и,
Рис. 31
Если диод включен последовательно с резистором, электри-
электрическое сопротивление которого равно R, то измеренное
значение сопротивления будет примерно равно R при одном
варианте подключения выводов омметра и около 1 МОм —
при другом варианте.
В случае же, когда диод включен параллельно резистору,
электрическое сопротивление схемы будет примерно равно
электрическому сопротивлению R резистора при одном способе
подключения омметра и близко к нулю — при другом.
Если электрическое сопротивление не изменяется при измене-
изменении порядка подключения выводов омметра, то это значит,
что полупроводникового прибора с р—n-переходом в схеме нет.
Разумеется, такой вывод справедлив лишь для очень простых
схем.
Для более точного определения принципиальной схемы
«черного ящика» после его испытаний с помощью омметра
можно исследовать зависимость силы тока от напряжения
между зажимами и построить вольт-амперные характеристики.
Если между выводами «черного ящика» включен резистор,
то его вольт-амперная характеристика для двух направлений
приложенного напряжения имеет вид, представленный на рисун-
рисунке 31, а; вольт-амперная характеристика диода представлена
на рисунке 32, а.
На рисунках 32, б и 32, в представлены вольт-амперные
характеристики «черного ящика» соответственно при параллель-
параллельном и последовательном включении диода и резистора.
В первом случае для определения сопротивления резистора
можно воспользоваться линейным участком вольт-амперной
характеристики, на котором сопротивлением р—n-перехода в
прямом направлении допустимо пренебречь; во втором же случае
сопротивление резистора определяется по линейному участку
вольт-амперной характеристики, соответствующему включению
р—n-перехода в обратном направлении.
Если при снятии вольт-амперной характеристики неизвестного
элемента цепи в «черном ящике» происходит существенное
повышение его температуры за счет нагревания протекающим
47
I
щ
о и ^
а
\ i '
о и
5
1
! у
о и
в
Рис. 32
током, то вольт-амперная характеристика может оказаться
нелинейной. Вольт-амперная характеристика нити электрической
лампы накаливания имеет вид, представленный на рисунке 31, б.
Но если в «черном ящике» находится полупроводниковый
термистор, то уменьшение его сопротивления при нагревании
приводит к зависимости силы тока от напряжения, пред-
представленной на рисунке 31, в.
Измерения на постоянном токе не позволяют отличить в
«черном ящике» резистор от катушки, обнаружить конденсатор и
определить его электроемкость.
Чтобы отличить резистор от катушки, можно исследовать
зависимость силы тока от частоты приложенного напряжения.
Электрическое сопротивление резистора в диапазоне частот от
20 Гц до 20 кГц должно оставаться практически неизменным.
Следовательно, график зависимости силы тока от частоты при
неизменном значении амплитуды переменного напряжения будет
горизонтальной прямой.
Катушка с электрическим сопротивлением обмотки R и
индуктивностью L может быть представлена как цепь из
последовательно включенных резистора сопротивлением R и
идеальной катушки индуктивностью L.
С увеличением частоты v приложенного напряжения ин-
индуктивное сопротивление XL катушки растет прямо пропорцио-
пропорционально частоте:
XL=2nvL.
48
График зависимости силы
тока в катушке от частоты при
.постоянном значении амплиту-
амплитуды приложенного напряжения
представлен на рисунке 33 при
условии, что R^X L.
Для определения индуктив-
индуктивности L катушки можно вос-
воспользоваться результатами из-
измерения напряжения U и силы
тока / на такой частоте, при
которой активное сопротивле-
сопротивление R обмотки катушки пре-
пренебрежимо мало по сравнению
с ее индуктивным сопротивле-
сопротивлением X,. Активное сопротивле-
сопротивление R можно считать пренебре-
пренебрежимо малым по сравнению с индуктивным сопротивлением X L
при достаточно большой частоте, когда сила тока в цепи во
много раз меньше силы тока на частоте 20 Гц. Тогда:
Рис. 33
X ~7 — —
i —JLl—JL-
Если электрическое сопротивление между выводами «черного
ящика» настолько велико, что его значение не удается определить
с помощью омметра, то можно предположить, что в цепь
включен конденсатор. Наличие конденсатора в схеме «черного
ящика» можно установить, подключив к его клеммам источник
переменного тока и измеряя силу тока в цепи на различных
частотах. Так как емкостное сопротивление Xс конденсатора
обратно пропорционально частоте
у -
Л С —
то при постоянной амплитуде переменного напряжения сила
тока через конденсатор должна линейно возрастать с увеличением
частоты. Если в «черном ящике» заключен только конденсатор,
то график зависимости силы тока от частоты имеет вид, пред-
представленный на рисунке 34. Зависимость силы тока от частоты
при последовательном включении резистора и конденсатора пред-
представлена на рисунке 35, а; при параллельном включении
резистора и конденсатора эта зависимость имеет вид, показанный
на рисунке 35, б. Очевидно, что в первом случае сопротивлением
резистора при определении электроемкости конденсатора можно
49
0
i.
11
0
h
0
a
s v
Рис. 34 Рис. 35
пренебречь на достаточно низкой частоте; на высоких же
частотах может стать пренебрежимо малым сопротивление
конденсатора. Во втором случае измерение электрического
сопротивления резистора возможно с помощью омметра, а для
определения электроемкости конденсатора можно найти значение
его емкостного сопротивления Xс в области высоких частот,
где XC<^R и ZtuXq.
v - U „ 1 /
±
2nvX,
Если в «черном ящике» находится электрическая цепь из
последовательно соединенных катушки, конденсатора и резистора,
то график зависимости силы тока от частоты при постоянном
действующем значении переменного напряжения U имеет вид,
представленный на рисунке 10. Значение активного сопротив-
сопротивления R в этой цепи можно определить, воспользовавшись
тем фактом, что при наступлении резонанса Z=R и, следователь-
следовательно,
R'
откуда
Электроемкость конденсатора можно определить, приняв,
что на низких частотах полное сопротивление цепи Z прибли-
приблизительно равно емкостному сопротивлению Xс:
Отсюда находим:
С=-
50
Индуктивность катушки L можно определить из условия
резонанса
ШоС
по экспериментально найденному значению резонансной частоты
соо:
При получении графика зависимости силы тока от частоты
такого вида, какой представлен на рисунке 13, можно сделать
заключение: в «черном ящике» включены параллельно резистор,
конденсатор и катушка. Значения активного сопротивления,
электроемкости и индуктивности можно в этом случае определить
аналогичным способом.
Более сложные зависимости силы тока от частоты обнару-
обнаруживаются при различных комбинациях параллельного и после-
последовательного включения элементов цепей.
Глава II
ВОЛНЫ
§ 9. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Распространение колебаний в упругой среде. Твердые,
жидкие и газообразные тела больших размеров можно рассмат-
рассматривать как среду, состоящую из отдельных частиц, взаимо-
взаимодействующих между собой. Возбуждение колебаний частиц
среды в одном месте вызывает вынужденные колебания со-
соседних частиц, те, в свою очередь, возбуждают колебания
следующих за ними частиц и так далее. Процесс распространения
колебаний в пространстве называют волной.
При распространении волн на поверхности воды колебания
происходят перпендикулярно направлению распространения волн.
Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно
направлению распространения волны, называют поперечными.
Не всякие волны можно увидеть. После удара молотком
по ветви камертона мы слышим звук, хотя никаких волн в
воздухе не видим. Ощущение звука в наших органах слуха
возникает при периодических изменениях давления воздуха.
Звуковые волны. Рассмотрим процесс возникновения звуковой
волны в воздухе. В результате быстрого смещения пластины
(рис. 36) у ее поверхности происходит повышение давления
воздуха на величину Ар и повышение его плотности на величину
Дд. Сжатый воздух расширяется и вызывает сжатие прилегающе-
прилегающего к нему слоя воздуха. Этот процесс распространяется дальше.
При распространении волны сжатия масса Am воздуха, про-
проходящего за время At через площадку S перпендикулярно
направлению распространения волны, может быть выражена так:
Am=AQSvAt, (9.1)
где q — плотность воздуха и
v — скорость распространения
волны сжатия.
Отсюда следует, что измене-
изменение импульса равно:
Amv=AQSv2At. (9.2)
Это изменение импульса вызва-
вызвано избыточным давлением Др и
равно импульсу силы F за тот
рис зб же интервал времени At:
'¦: •¦.м- ¦
¦¦¦ . •¦.¦¦•! I:'
¦"¦• ¦: .'1 1
. •:••¦¦! 1 '
52
F •M=,
или
Др5-Д/=Де5у2-Д/. (9.3)
Отсюда для скорости распространения волны сжатия находим
следующее выражение:
/л
(9.4)
Если предположить, что сжатие воздуха происходит по изо-
изотермическому закону
PV=U>+\pXV+\V), (9-5)
то, принимая во внимание соотношения
V=^, Vi=V+AV=-^—, (9.6)
получим:
или
¦4^=—• (9-8)
ДО Q Ч '
Подставляя формулу (9.8) в выражение (9.4), приходим
к формуле для скорости распространения волны сжатия:
(9.9)
В том, что проделанный вывод не содержит погрешности
по физическому смыслу, можно убедиться путем проверки
наименований единиц измерения величин в правой и левой
частях выражения (9.9):
1 1
м.с-1=(Н-м-2.кг-'-м3)=(кг.м.с-2-кг-1-м3-м-2)=м-с-1.
Таким образом, скорость распространения волны сжатия в
газе прямо пропорциональна корню квадратному из давления газа
р и обратно пропорциональна корню квадратному из его плот-
плотности q. Подставив в выражение (9.9) значения давления и
плотности воздуха при нормальных условиях (р=10° Па, q=
= 1,29 кг/м3), получим для скорости звука в воздухе значение:
0s Па ООЛ ,
»280 м/с.
1,29 кг/м
При экспериментальном определении скорость звука в воз-
воздухе при нормальных условиях оказалась равной у«*331 м/с.
Расхождение между значениями, полученными теоретически
53
и экспериментально, Лаплас объяснил тем, что изменения давле-
давления и плотности при распространении звука в воздухе происходят
очень быстро, и эти процессы следует считать адиабатными,
а не изотермическими. Связь между давлением и объемом газа
в адиабатном процессе определяется соотношением:
pyv=consti (9.10)
где у — постоянная величина, равная для воздуха 1,4. Из
выражений (9.4) и (9.10) можно получить уточненную формулу
для скорости звука:
JL
"= К v о ¦ (9Л1)
Экспериментальные и теоретические значения скорости звука
в воздухе, полученные по уточненной формуле (9.11), согласуются
между собой с высокой степенью точности. По формуле (9.11)
можно вычислять скорость звука не только в воздухе, но и в
других газах, но для каждого газа численное значение коэффи-
коэффициента у имеет свое значение.
В заключение необходимо обратить внимание на то, что,
хотя волны сжатия и разрежения перемещаются в газе со
скоростью и, никакого перемещения вещества в пространстве
при этом не происходит, так как в любой точке пространства
расширение периодически сменяется сжатием и направление
движения частиц каждый раз изменяется на противоположное.
Зависимость скорости звука от свойств среды. Применяя
уравнение состояния идеального газа
РУ=Ъ*Т (9.12)
к выражению (9.11), получим:
Отсюда видно, что скорость звука в идеальном газе прямо
пропорциональна корню квадратному из абсолютной темпера-
температуры Т и обратно пропорциональна корню квадратному из
молярной массы М газа. Объясняется это тем, что процесс
распространения волн сжатия или разрежения в газе происходит
благодаря столкновениям молекул газа; следовательно, скорость
распространения волн должна быть примерно равной скорости
теплового движения молекул. Средняя скорость теплового дви-
движения молекул увеличивается с повышением температуры газа,
а при данном значении температуры она обратно пропорцио-
пропорциональна корню квадратному из молярной массы газа. Например,
при нормальных условиях скорость звука в воздухе равна
331 м/с, а в водороде— 1300 м/с. При понижении температуры
54
водорода от 300 до 17 К скорость звука уменьшается от
1300 до 320 м/с.
В жидкостях и твердых телах скорость звука обычно больше,
чем в газах. В водяном паре при нормальном давлении звук
распространяется со скоростью 494 м/с, а в воде — со скоростью
примерно 1500 м/с, во льду — со скоростью около 4000 м/с.
Силы упругости, возникающие при сжатии или растяжении
твердого тела, больше сил упругости, возникающих при такой
же деформации сдвига; поэтому скорость распространения про-
продольных волн в твердых телах больше скорости поперечных
волн.
При возникновении волн их частота v определяется частотой
колебаний источника волн, а скорость распространения v —
свойствами среды. Длина волны к зависит как от частоты,
так и от свойств среды:
Следовательно, звуковые волны одной и той же частоты
имеют различную длину волны в разных средах.
Характеристики звука и слух человека. Раздел физики,
в котором изучают звуковые явления, называют акустикой.
В акустике, кроме частоты, скорости звука и длины волны,
для описания звуковых явлений используют такие величины,
как звуковое давление и интенсивность звука.
Звуковое давление — это дополнительное давление, возни-
. кающее в газе или жидкости при прохождении звуковой волны;
измеряют звуковое давление в паскалях. Нижняя граница
ощущения звука человеческим ухом составляет 10~5 Па, т. е.
человек способен обнаруживать изменения давления воздуха,
составляющие 10~~'° от нормального атмосферного давления
(одну десятимиллиардную долю). При таком уровне звукового
давления амплитуда колебаний барабанной перепонки составляет
6-10~'° м, т.е. лишь в несколько раз превышает диаметр
атома.
При обычном разговоре на расстоянии 1 м от говорящего
создается звуковое давление около 2-10~4 Па. При значениях
звукового давления, превышающих примерно 100 Па, возникает
ощущение боли в ушах. Таким образом, самые сильные и самые
слабые звуки, ощущаемые человеческим ухом, отличаются по
амплитуде изменения звукового давления примерно в 107 раз.
Распространение волны не сопровождается переносом ве-
вещества, но сопровождается переносом энергии. Физическая
величина, выражающая поток звуковой энергии, проходящей
через единицу площади, расположенной перпендикулярно направ-
направлению распространения звука, за единицу времени, называют
интенсивностью звука. Интенсивность звука измеряют в ваттах
на квадратный метр.
55
Самые слабые слышимые человеком звуковые сигналы имеют
интенсивность около 10~13 Вт/м2. Принимая, что площадь
уха равна примерно 10 см2, мы получим, что человек может
услышать звуковые сигналы, если мощность звука у его ор-
органа слуха составляет ~10~16 Вт. Интенсивность звука при
разговоре составляет ~10~6 Вт/м2, двигатели самолета создают
звуки с интенсивностью около 10~2 Вт/м2, а удар грома —
до 1 Вт/м2.
Звуковые колебания, происходящие по гармоническому за-
закону, воспринимаются человеком как определенный музыкальный
тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки
высокого тона, колебания низкой частоты — как звуки низкого
тона. Звуковые колебания, не являющиеся гармоническими,
воспринимаются человеком как сложный звук, обладающий
тембром.
Диапазон частот звуковых колебаний, воспринимаемых че-
человеческим ухом, лежит в пределах примерно от 16 до 20 000 Гц.
Источником звуковых колебаний при произнесении гласных
звуков являются голосовые связки, расположенные в верхнем
конце дыхательного горла. Выходящий из легких воздух
проходит через щель, образуемую голосовыми связками, и
возбуждает колебания связок. Колебания связок вызывают
изменения давления в проходящем воздухе и тем самым создают
звуковые волны. Собственная частота колебаний связок зависит
от их натяжения. Изменяя натяжение связок, человек изменяет
высоту тона звука.
Возникновение звуковых колебаний в голосовом аппарате
человека является автоколебательным процессом. В этом процессе
голосовые связки одновременно являются и колебательной
системой, и регулятором, управляющим поступлением энергии
от воздушного потока на поддержание колебаний.
При произнесении различных гласных звуков изменяются
объем и форма полости рта, при этом изменяются и условия
акустического резонанса. В результате при произнесении,
например, гласного звука «а» усиливаются звуковые колебания
одного набора частот, а при произнесении звука «у» — другого
набора частот. Именно по нескольким характерным частотам
гармонических колебаний мы и узнаем каждый отдельный гласный
звук.
1. Какова зависимость скорости распространения звука в газе от его давления
и плотности?
2. От каких параметров среды зависит скорость звука?
3. Как создаются звуки человеческой речи?
56
§ 10. ЗАПИСЬ И ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ЗВУКА
Механическая запись звука. Впервые успешно осуществил
запись и воспроизведение звука в 1877 г. выдающийся американ-
американский изобретатель Томас Альва Эдисон. Прибор Эдисона для
звукозаписи назывался фонографом. Основные части фоно-
фонографа — цилиндр, покрытый оловянной фольгой, труба, закрытая
с одной стороны тонкой мембраной, и игла, прикрепленная к
мембране и прижатая острым концом к поверхности цилиндра
(рис. 37).
Звуковые волны вызывают изменения давления в трубе, и
диафрагма в конце трубы совершает колебания.
При равномерном вращении цилиндра и одновременном
медленном его перемещении вдоль оси вращения игла процара-
процарапывает на поверхности оловянной фольги винтовую линию. Из-за
колебаний диафрагмы давление иглы на фольгу изменяется
с частотой звуковых колебаний. Амплитуда колебаний про-
пропорциональна звуковому давлению. В результате глубина канавки
оказывается в разных местах различной.
После записи звуковых колебаний, выполненной таким спосо-
способом, тот же самый цилиндр с оловянной фольгой используют
для воспроизведения записанного звука. Для этого игла уста-
устанавливается в канавку на оловянной фольге и цилиндр
приводится во вращение с такой же скоростью, как и при записи
звука.
При скольжении по канавке переменной глубины игла
совершает колебания и заставляет колебаться с той же частотой
диафрагму. Колебания диафрагмы создают такие же звуковые
волны, какие вызывали колебания диафрагмы и иглы при записи
звука. Качество записи звука с помощью фонографа было очень
низким, запись быстро портилась при воспроизведении звука.
Снимать копии с однажды произведенной записи не удавалось.
Рис. 37 Рис. 38
57
Механический способ записи звука существенно усовершен-
усовершенствовали Шарль Кро во Франции и Берлинер в США. Они
использовали для записи звука вместо вращающегося цилиндра
вращающийся цинковый диск, покрытый воском (рис. 38). Ко-
Колебания иглы при записи звука этим способом происходят
поперек звуковой канавки постоянной глубины, а сама звуковая
канавка представляет собой спираль. После записи цинковый
диск опускался в кислоту. Кислота взаимодействовала с цинком
только в тех местах, где игла при записи звука снимала восковое
покрытие; на прочном цинковом диске появлялась звуковая
канавка.
Достоинствами этого способа записи звуков были не только
более высокое качество записи, пригодность диска для много-
многократного воспроизведения звука, но и то, что оказалось воз-
возможным изготавливать большое количество пластмассовых
копий — граммофонных пластинок.
Изготовление граммофонных пластинок. Процесс изготовления
граммофонной пластинки в настоящее время стал довольно
сложным. Первым этапом звукозаписи является запись на
поверхности металлического диска, покрытого тонким слоем
ацетатного лака. Чтобы повысить качество записи, звуковые
колебания сначала преобразуют в электрические колебания
звуковой частоты с помощью микрофона. Переменный ток
с выхода микрофона поступает на вход усилителя. Переменное
напряжение звуковой частоты с выхода усилителя поступает
к рекордеру — электродинамическому преобразователю электри-
электрических колебаний в механические. Игла, или резец, рекордера
прорезает на поверхности диска спиральную волнистую канавку.
Чтобы повысить качество записи, резец рекордера нагревают,
и он может не прорезать, а проплавлять звуковую канавку.
Диск с первичной записью называют эталоном или первым
оригиналом. Эталон покрывают сначала тонким (толщиной
около 0,0025 мм) слоем, серебра, а затем, в электролитической
ванне,— более толстым слоем никеля или меди.
Полученный таким способом металлический диск является
как бы «негативом» граммофонной пластинки, так как в том
месте, где на эталоне была звуковая канавка, на нем образовался
извилистый спиральный выступ (рис. 39). Этот диск называют
матрицей. С помощью матрицы можно штамповать граммофон-
граммофонные пластинки. Однако обычно сначала аналогичным способом
с матрицы изготавливают второй оригинал, с которого прослуши-
прослушивают качество произведенной записи, и, если оно оказывается
достаточно высоким, то опять с применением электролитического
способа изготавливают металлический штамп. Штамп заклады-
закладывают в пресс-форму и используют для производства граммофон-
граммофонных пластинок из пластмассы. Для повышения прочности
поверхность штампа покрывают тонким слоем хрома.
58
Рис. 39
Стереофоническая звукозапись. Даже при самом высоком
качестве записи звука на одну звуковую дорожку — при моно-
монофонической записи — воспроизводимый с записи звук, например
звучание оркестра, заметно отличается от натурального звука.
Главная причина этого отличия заключается в том, что при
записи микрофон воспринимает .звуковые колебания лишь в
одном месте пространства, тогда как слушатель в концертном
зале воспринимает звуки одновременно левым и правым ухом.
Звуковые колебания от одного и того же источника достигают
одного уха чуть раньше, чем другого. Это позволяет определить
место расположения источника звука. Звуки от разных инстру-
инструментов оркестра воспринимаются нами исходящими из разных
точек.
Чтобы сохранить эту особенность при прослушивании запи-
записанного звука, производят запись одновременно с помощью
двух микрофонов, находящихся на некотором расстоянии друг
от друга. Обе записи воспроизводят затем одновременно с
помощью двух динамиков, разнесенных в пространстве. В резуль-
результате возникает полная иллюзия объемного звучания оркестра,
состоящего из большого числа инструментов, расположенных
в разных местах. Это стереофоническая запись звука.
Для полной синхронизации двух каналов записи и вос-
воспроизведения звука запись производят на двух звуковых
дорожках одновременно на один диск одним рекордером с
двумя электромагнитами, расположенными взаимно перпен-
перпендикулярно. Особенность этого процесса заключается в том,
что резец рекордера при стереофонической звукозаписи совершает
колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Усиленный сигнал от одного микрофона вызывает колебания
вдоль одной оси, а сигнал от другого микрофона — вдоль
второй оси (рис. 40).
Головка звукоснимателя стереофонического электрофона
также имеет особое устройство. В ней имеется одна игла,
которая соединена с двумя пьезоэлементами (рис. 41). При
движении вдоль звуковой канавки диска игла совершает
59
Рис. 40
Рис. 41
колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Каждый пьезоэлемент представляет собой кристалл, на поверх-
поверхности которого нанесены два металлических электрода. При
деформации кристалла на этих электродах возникают разно-
разноименные заряды; напряжение между электродами пропорцио-
пропорционально деформации кристалла.
Переменное электрическое напряжение с каждого пьезо-
элемента поступает на вход отдельного усилителя, а затем —
в катушки динамических громкоговорителей.
Магнитная запись звука. Магнитная запись звука основана
на свойстве ферромагнетиков сохранять остаточное намагни-
намагничивание после снятия внешнего магнитного поля. Запись звука
в магнитофонах производится на тонкую пластмассовую лен-
ленту, покрытую слоем порошка ферромагнитного материала
(рис. I на цветной вклейке). Колебания давления воздуха в
звуковой волне воспринимаются диафрагмой микрофона М.
В электродинамическом микрофоне с диафрагмой соединена
легкая проволочная катушка, находящаяся в магнитном поле
постоянного магнита. При колебаниях катушки в магнитном
поле в ней возникает ЭДС индукции, создающая в электри-
электрической цепи переменный ток звуковой частоты. После усиления
усилителем низкой частоты УЗ этот ток поступает в обмотку
кольцевого магнита записывающей головки ГЗ. При протяги-
протягивании магнитной ленты около зазора между полюсами коль-
кольцевого электромагнита записывающей головки ГЗ различные
участки ленты намагничиваются по-разному, в соответствии
с изменениями силы тока в обмотке. Полосу на магнитной
ленте, намагниченную в процессе записи, называют дорожкой.
Для воспроизведения записи магнитная лента протягивается
перед зазором кольцевого электромагнита воспроизводящей
головки ГВ с той же скоростью, с какой она протягивалась при
записи. Головка воспроизведения ГВ устроена так же, как и
записывающая головка. При движении ленты магнитное поле
намагниченных участков пронизывает обмотку воспроизводящей
головки. Изменения магнитного потока вызывают возникновение
ЭДС индукции.
60
Обычно напряжение на концах катушки воспроизводящей
головки ГВ имеет порядок тысячных долей вольта. Для его
усиления используют усилитель низкой частоты — так назы-
называемый усилитель воспроизведения УВ. После усиления пере-
переменное напряжение звуковой частоты подводится к катушке
громкоговорителя Гр. Переменный ток в катушке громкоговори-
громкоговорителя вызывает колебания катушки в магнитном поле постоянного
магнита. Прикрепленный к катушке диффузор воспроизводит
звук.
Для стирания ненужной записи с ленты служит магнитная
головка стирания записи ГС, устроенная так же, как и первые
две головки. По ее обмотке пропускается ток высокой частоты
D0—80 кГц) от генератора ультразвуковой частоты ГУЗЧ.
Высокочастотное магнитное поле производит разориентировку
доменов ферромагнитной ленты, т. е. устанавливает их хаотиче-
хаотически. Стирающая головка расположена таким образом, что лента
сначала подвергается стиранию, а затем поступает на запись.
В большинстве бытовых магнитофонов при записи и вос-
воспроизведении используют один и тот же усилитель низкой
частоты и одну и ту же универсальную магнитную головку.
Магнитный способ записи звука позволяет добиться самого
высокого качества. Поэтому в настоящее время его используют
для первичной записи звука при производстве граммофонных
пластинок, записи фонограмм для кинофильмов, телефильмов,
телепередач.
При стереофонической звукозаписи используют одновременно
две записывающие головки для одновременной записи звука
от двух микрофонов на параллельные дорожки одной ленты.
Воспроизведение звука производится также с помощью двух
головок, присоединенных к независимым усилителям низкой
частоты с раздельными громкоговорителями.
Наиболее высокое качество записи и воспроизведения зву-
звуковых сигналов получают при использовании цифрового метода
записи звука. В этом случае звуковые сигналы преобразуются
сначала в электромагнитные колебания, а затем в последователь-
последовательность электромагнитных сигналов в цифровой форме. Последо-
Последовательность цифр может быть зафиксирована в памяти ЭВМ,
а затем вновь преобразована в электрические и звуковые
колебания.
Один из вариантов записи и воспроизведения звука цифро-
цифровым методом — использование алюминиевого диска диаметром
120 мм и толщиной 1,2 мм. Запись на диске выполняется в
форме чередующихся выступов и ровных участков, соответ-
соответствующих 1 и 0 в двоичной системе, где высота выступа 0,16 мкм,
а ширина 0,6 мкм (см. рис. II на цветной вклейке).
Считывание записи осуществляется лазерным лучом.
61
1. Как впервые была осуществлена запись звука?
2. Опишите способ записи звука на граммофонные пластинки, воспроизведение
звука с грампластинки.
3. Как осуществляется стереофоническая запись и воспроизведение звука?
4. Опишите процессы, происходящие при магнитной записи звука и его
воспроизведении.
§ 11. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Особого рассмотрения требуют явления, наблюдающиеся
при движении источника колебаний и наблюдателя относитель-
относительно среды, в которой распространяются волны. Рассмотрим
случай движения источника колебаний со скоростью и, меньшей
скорости распространения волн в среде и: v<Zu (рис. 42).
Точки О, О\, О2, Ог показывают положение источника
колебаний через интервалы времени, равные периоду колебаний
Т. В тот момент, когда источник находится в точке Оз, фронты
Рис. 42
62
Ло = UT __
/v
0,
vT
0 Л2^-<
a
а
П
О
Рис. 43
Рис. 44
волн, испущенных источником в точках О, 0\, Оч, будут сфери-
сферическими с радиусами ЪиТ, 2иТ, иТ.
На рисунке 42 видно, что фронт каждой последующей
волны находится внутри фронта предыдущей. В этом случае
длина излученных волн, равная расстоянию между фронтами
волн, различна в разных направлениях и отличается от длины
волны неподвижного источника: Ко=иТ. Длина волны к\,
излученной источником по направлению его движения, меньше
длины волны Ко на величину vf (рис. 43).
Длина волны Я,2, излученной в направлении, противоположном
движению источника, больше Ко на величину vT (рис. 44).
Тогда:
где vo — частота излучения.
Неподвижные приемники, регистрирующие эти волны в
точках А и В, будут регистрировать волны с частотами vi и
V2, ОТЛИЧНЫМИ ОТ Vo:
A1.1)
Например, при приближении источника звуковых колебаний
тон звука повышается. Это легко заметить, слушая звук сирены
приближающегося поезда. При удалении источника звука высота
тона понижается.
Изменение частоты волн наблюдается и при движении
• приемника относительно неподвижного источника звуковых волн.
В этом случае длина волны в среде остается неизменной:
Vo
63
но скорость распространения волны относительно приемника
изменяется.
В случае приближения приемника к источнику колебания
со скоростью w скорость волны будет равна: u-\-w, в случае
удаления приемника со скоростью w скорость волны равна:
и—w.
Частота колебаний, регистрируемая приемником, равна
соответственно:
= —-'—=—!—vo=vol i-f—
, u — w и—w
V2=
Хо
.Vo=vo(l—ly
Сравнивая выражения A1.1) и A1.2), приходим к выводу: и
движение источника, и движение приемника приводят к изме-
изменению частоты, но эти изменения различны.
Например, при приближении источника волн к неподвижному
приемнику со скоростью и=0,95« из выражения A1.1) полу-
получаем:
При приближении с этой же скоростью приемника к непод-
неподвижному источнику из выражения A1.2) следует:
Полученный результат не противоречит принципу относи-
относительности, так как здесь важно не относительное движение
приемника и источника, а их движение относительно упругой
среды, в которой распространяется волна и с которой связана
система отсчета.
Явление изменения частоты регистрируемых волн при движе-
движении источника и приемника волн называют эффектом Доплера.
Этот эффект назван в честь австрийского физика К. Доплера,
который впервые в 1842 г. теоретически обосновал это явление
в акустике и оптике.
Эффект Доплера, наблюдающийся при движении источника
колебаний и приемника вдоль соединяющей их прямой, называют
продольным эффектом.
Если источник колебаний и приемник движутся навстречу
друг другу со скоростями v и w относительно среды, то приемником
регистрируют волны с частотой:
I
A1.3)
64
источник приемник
ггпр
Рис. 45
В общем случае, когда приемник и источник звуковых волн
движутся относительно среды с произвольно направленными
скоростями (рис. 45), формула, описывающая эффект Доплера,
имеет вид:
w
1 \ COS ф2
v=v0 ^ . (Ц.4)
ИЗ ЭТОЙ формулы ВИДНО, ЧТО ПрИ УСЛОВИИ ф1 = (р2=90О
частоты колебаний равны (v=vo), т. е. поперечного эффекта
Доплера для звуковых волн не наблюдается.
Эффект Доплера для электромагнитных волн имеет место,
но формула для вычисления частоты одинакова как для случая
движения источника колебаний, так и приемника электромагнит-
электромагнитных волн, так как воспринимаемая приемником частота электро-
электромагнитной волны зависит только от относительной скорости V
источника и приемника. Это связано с тем, что электромагнитное
поле в отличие от упругой среды не может служить системой
отсчета, так как скорость электромагнитных волн в вакууме
одинакова для всех инерциальных систем отсчета.
Точную формулу для расчета изменения частоты при относи-
относительном движении источника электромагнитных волн и приемника
можно получить только на основе специальной теории относи-
относительности. В случае сближения источника и приемника со
скоростью V регистрируемая частота равна:
v=v0
в случае их взаимного удаления со скоростью V:
V=Vo
3. Зак. 1320 О. Ф. Кабардин
65
Для общего случая движения источника и приемника воли
формула эффекта Доплера имеет вид:
A1.5)
1-) COS ф
Из этой формулы следует, что для электромагнитных волн
существует и поперечный эффект Доплера. При ф=90° частота
равна:
v=v0 j/ l-(yJ (П.6)
При малых значениях величины — поперечный эффект Доплера
значительно слабее продольного. Его экспериментальное обна-
обнаружение явилось одним из важнейших доказательств правиль-
правильности основных законов специальной теории относительности.
Эффект Доплера находит широкое практическое применение.
С его помощью можно измерить скорость движения источника
излучения или рассеивающих волны объектов. Так, в астрофизике
с помощью эффекта Доплера определяют скорости движения
звезд, а также скорости вращения небесных тел по смещению
спектральных линий. Впервые понятие о доплеровском смеще-
смещении спектральных линий было в 1848 г. введено французским
физиком А. Физо, а обнаружено в спектрах ряда звезд в 1868 г.
Путем измерения доплеровского смещения спектральной линии
элемента (например, водорода) в спектре Солнца с противо-
противоположных краев его диска можно определить период вращения
Солнца вокруг своей оси. Измерение доплеровского смещения
спектральных линий в спектрах излучения далеких галактик
привело в выводу о расширении Вселенной.
Доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов,
связанное с их движением, дает возможность измерить темпе-
температуру. В радио- и гидролокации эффект Доплера используют
для измерения скоростей движущихся объектов.
1. В чем заключается эффект Доплера?
2. Как изменяется частота звуковой волны при приближении источника волн
к приемнику?
3. Как изменяется частота звуковой волиы при удалении приемника от
источника воли?
4. Изменяется ли длина волны при движении источника волн относительно
неподвижного приемника?
5. Изменяется ли длина волны при движении приемника относительно
неподвижного источника?
6. Одинаково ли изменение частоты звуковой волны при движении с
одинаковой скоростью источника звука к неподвижному приемнику или
приемника к неподвижному источнику?
66
7. Одинаково ли изменение частоты электромагнитной волны при движении
с одинаковой относительной скоростью источника электромагнитных волн
к приемнику или приемника к источнику?
S. Наблюдается ли поперечный эффект Доплера для звуковых и электро-
электромагнитных воли?
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Волны на воде, звуковые волны в воздухе являются
примерами волн, распространяющихся в веществе. Процесс
распространения волн в веществе обусловлен взаимодействием
между частицами вещества. Совершенно иным является процесс
распространения электромагнитных волн.
Впервые гипотезу о существовании электромагнитных волн
и возможности распространения этих волн в вакууме высказал
в 1865 г. английский физик Дж. К. Максвелл. Экспериментально
электромагнитные волны были открыты в 1888 г. немецким фи-
физиком Г. Герцем.
Максвелл развил теорию электромагнетизма на основе обоб-
обобщения представлений Фарадея об электрических и магнит-
магнитных полях. Согласно этим представлениям, каждый электри-
электрический заряд является источником силовых линий и простран-
пространство вокруг заряда даже в отсутствии атомов вещества не
является совершенно пустым: в нем существует непрерывное
электрическое поле. Взаимодействие заряженных тел А и В
осуществляется через их электрические поля: на заряженное
тело А действует электрическое поле тела В, а на заряженное
тело В — электрическое поле тела А. Столь же реальными,
как электрические силовые линии, Фарадей считал силовые
линии магнитного поля.
Многим современникам Фарадея его гипотеза о существовании
электрических и магнитных полей как физических реальностей
казалась надуманной и ненужной, так как все известные в то
время электрические и магнитные явления получали полное
качественное и количественное описание в рамках теории
дальнодействия. Согласно теории дальнодействия, электрические
заряды действуют непосредственно друг на друга на любом
расстоянии; это действие распространяется иа любое расстояние
мгновенно, т. е. с бесконечно большой скоростью.
Теория, основанная на представлениях о существовании
непрерывных в пространстве электрических и магнитных полей
и конечной скорости передачи изменений в этих полях от одной
точки пространства к другой, получила название теории близко-
действия.
Как установлено экспериментально, электромагнитные волны
возникают при движении электрических зарядов с ускорением.
Возникновение электромагнитных волн можио объяснить, исполь-
3* 67
зуя представления Фарадея о силовых линиях электрического
поля, связанного с электрическим зарядом.
Пусть точечный электрический заряд q движется по прямой
MN сначала с постоянной скоростью v (рис. 46), а затем в
течение времени т замедленно до остановки в точке О.
Выясним, какой вид имеет картина силовых линий электри-
электрического поля спустя время t после остановки заряда в точке
О, если изменения в электрическом поле распространяются
со скоростью с.
Так как с момента начала торможения заряда прошло время
t-\-x, то возмущение электрического поля распространилось
на расстояние:
г2=с(/+т). A2.1)
За пределами сферы радиусом r<i поле должно иметь такой
вид, какой оно имело бы, если бы заряд q продолжал двигаться
равномерно со скоростью и. Но если бы заряд действительно
двигался после точки О со скоростью и, он к моменту t-\-x
находился бы в точке О\ на расстоянии OO\=vt от точки О.
Следовательно, силовые линии электрического поля за пределами
сферы радиусом гч являются прямыми, проходящими через
точку О\. Но на самом деле в течение времени t заряд q
неподвижен и находится в точке О. За время t электрическое
поле неподвижного заряда устанавливается в пределах сферы
радиусом:
n=r=ct. A2.2)
Чтобы установить, какие изменения происходят в электриче-
электрическом поле при движении заряда с ускорением в течение
времени т, найдем за пределами сферы радиусом гг продолжение
каждой силовой линии электрического поля, выходящей из
сферы радиусом г, и соединим их.
Рисунок 46 показывает, что на всех силовых линиях, кроме
линий, совпадающих по направлению с вектором скорости дви-
движения заряда, образуется изгиб.
Таким образом, воспользовавшись представлениями Фарадея
о силовых линиях электрического поля, мы получили, что тор-
торможение электрического заряда, двигавшегося со скоростью
и, приводит к возникновению изгиба на силовых линиях и
перемещению этого изгиба вдоль силовых линий со скоростью с.
Изгиб силовой линии (линии напряженности) электрического
поля свидетельствует о том, что при ускоренном движении
электрического заряда возникает составляющая вектора напря-
напряженности Ё электрического поля, направленная перпендикулярно
прямой, соединяющей данную точку поля с электрическим зарядом.
Найдем значение этой составляющей вектора напряженности на
расстоянии г от заряда q в направлении под углом в к вектору
скорости v движения заряда. Приближенный вывод, приводимый
V /
1 j
)
с
Рис. 46
Рис. 47
далее, основан на использовании того факта, что составляющая
(кулоновская) ?к вектора напряженности электрического поля,
направленная вдоль прямой О А (рис. 47), соединяющей заряд
с данной точкой поля Л, остается неизменной при ускоренном
движении заряда и равной:
Е =
4яео г
Этот факт можно доказать, используя теорему Гаусса.
Как видно из рисунка 47,
где
A2.3)
A2.4)
ЛР
ВО
Так как отрезок AD =О\Е и BD ж AF , то
tga
AF
= J2gi_sine—^sine.
Л/7
A2.5)
Подставляя в выражение A2.4) выражения A2.3), A2.5)
и A2.2), получим:
?±=-Г ^sin 6=-^.-22-sin в.
4лео г Ст 4леоС т
A2.6)
Если движение заряда в течение времени т было равно-
равноускоренным, то модуль а его ускорения равен:
т
A2.7)
Подставляя выражение A2.7) в выражение A2.6), получим:
Е ,=-
A2.8)
69
Таким образом, при движении электрического заряда с
ускорением а в произвольной точке А пространства возникает
нормальная составляющая Ё х вектора напряженности Е электри-
электрического поля, модуль которой прямо пропорционален модулю а
ускорения заряда, обратно пропорционален первой степени
расстояния г от заряда и зависит от угла в между прямой
ОА, соединяющей заряд с данной точкой А и вектором уско-
ускорения а.
Излучение электромагнитных волн электрическим зарядом,
совершающим гармонические колебания. Если электрический
заряд q совершает колебания вдоль оси Ох по гармоническому
закону
x=xmcosa>t, A2.9)
то модуль ускорения движения заряда также изменяется со
временем по гармоническому закону:
a=xm(o2 cos со/. A2.10)
Подставляя выражение A2.10) в формулу A2.8), получим:
?±= ' 2 qXm^ sin в cos (at. A2.11)
Следовательно, при гармоническом колебании электрического
заряда вдоль прямой Ох с амплитудой хт и частотой ш в
произвольной точке А на расстоянии г от заряда возникает
переменная составляющая Е ± напряженности электрического
поля, направленная перпендикулярно прямой ОА, модуль которой
изменяется со временем по гармоническому закону. Амплитуда
колебаний нормальной составляющей Е х прямо пропорциональ-
пропорциональна квадрату частоты колебаний ш.
Так как плотность энергии электрического поля прямо пропор-
пропорциональна квадрату напряженности Е электрического поля, то
энергия электромагнитного поля, излучаемая электрическим
зарядом при гармонических колебаниях, оказывается пропорцио-
пропорциональной четвертой степени частоты ш:
При всяком изменении электрического поля возникает вих-
вихревое магнитное поле. Поэтому возникновение электрического
поля с нормальной составляющей Е ± напряженности при ускорен-
ускоренном движении заряда обязательно сопровождается возникнове-
возникновением магнитного поля. Вектор магнитной индукции В этого поля
направлен перпендикулярно вектору Е ± и прямой ОА.
Таким образом, при гармоническом колебании электрического
заряда q в пространстве вокруг него возникают изменяющиеся
по гармоническому закону взаимосвязанные электрическое и
магнитное поля, или единое электромагнитное поле. Электро-
70
магнитное поле распространяется в вакууме со скоростью света с.
Векторы напряженности Ё и магнитной индукции В электро-
электромагнитного поля перпендикулярны направлению распространения
волны. Следовательно, электромагнитные волны являются по-
поперечными волнами.
Особо важны следующие два свойства электромагнитных
волн: 1) энергия излучаемого электромагнитного поля про-
пропорциональна четвертой степени частоты; 2) напряженность
Е электрического поля электромагнитной волны обратно про-
пропорциональна первой степени расстояния г от точечного источника
волн.
Пропорциональность излучаемой энергии электромагнитной
волны четвертой степени частоты обусловливает необходимость
использования для радиосвязи частот обычно не ниже
150 кГц. Чтобы понять, почему невозможна связь на электро-
электромагнитных волнах звуковой частоты, оценим, во сколько раз
потребовалось бы увеличить мощность радиопередатчика при
переходе с частоты vi=l МГц на частоту V2=l кГц для
обеспечения одинаковой мощности излучения. Так как мощность
Р излучения ускоренно движущегося заряда прямо пропор-
пропорциональна четвертой степени частоты v, то
Р2 _ У42 _ A03L . .А-12
Я, м\ A06L~Ш •
Следовательно, при одинаковой амплитуде колебаний силы
тока в антенне мощность излучения электромагнитных волн
на частоте 1 кГц в 1012 раз меньше мощности излучения на
частоте 1 МГц. Для достижения равной мощности излучения
потребовалось бы увеличить мощность генератора в 10 раз,
т. е. в тысячу миллиардов раз!
То, что напряженность Е электрического поля в электро-
электромагнитной волне убывает обратно пропорционально лишь первой
степени расстояния г от источника, обеспечивает возможность
радиосвязи на больших расстояниях.
Если бы напряженность поля электромагнитной волны убы-
убывала обратно пропорционально квадрату расстояния от точечного
источника, как в случае электростатического поля, то максималь-
максимальная дальность приема радиопередач оказалась бы существенно
меньшей. Например, вместо максимальной дальности приема
100 км прием был бы возможен лишь на расстоянии 10 км. А
вместо предельных расстояний 50—100 млн. км максимальная
дальность космической связи составляла бы не более 10 тыс. км,
и было бы невозможно не только управлять межпланетными
автоматическими станциями вблизи Марса и Венеры, но даже
получать информацию с поверхности Луны и управлять лунохо-
луноходом с помощью радиосигналов с поверхности Земли.
71
§ 13. ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ
Объяснение явлений дифракции и интерференции света было
дано английским ученым Т. Юнгом на основе волновой теории.
Независимо от Юнга и почти одновременно с ним объяснение
явлениям интерференции и дифракции было дано французским
ученым О. Ж- Френелем. На основе сочетания принципа
Гюйгенса для отыскания положения фронта вторичных волн и
принципа интерференции волн Френелю удалось не только дать
точное количественное описание экспериментов по наблюдению
явлений интерференции и дифракции света, но и объяснить
замечательное свойство прямолинейности распространения света
с позиций волновой теории.
Явления, наблюдаемые при пропускании света через отвер-
отверстия малых размеров. Причины, побудившие Френеля разра-
разработать новый метод анализа волновых процессов, можно понять,
если рассмотреть следующую задачу.
Между точечным источником света А и экраном С находится
непрозрачный экран В, в котором имеется малое круглое
отверстие, расположенное на прямой между точечным источником
света А и точкой О на экране С. Зависит ли освещенность в
точке О от радиуса отверстия в непрозрачном экране В (рис. 48) ?
Согласно корпускулярной теории света, ответ на поставленный
вопрос должен быть отрицательным, так как в точку О от
источника А могут попасть лишь частицы света, вылетающие в
направлении прямой АО. Увеличение отверстия в экране В
должно приводить лишь к увеличению размеров освещенного
пятна на экране С, но никак не должно повлиять на освещенность
в точке О.
Иной ответ на этот вопрос дает волновая теория света,
развитая X. Гюйгенсом. Каждая точка в пространстве, которой
достигли волны, идущие от точечного источника А, становится
вторичным источником волн. Чем больше размеры отверстия в
Т. Юнг
О. Ж. Френель
X. Гюйгенс
72
6
A
С
0
Рис. 48
экране В, тем от большего чис-
числа вторичных источников бу-
будут приходить колебания в точ-
точку О. Освещенность в точке О
должна возрастать с увеличе-
увеличением размеров отверстия в эк-
экране В.
Казалось, что опыт с про-
пропусканием света через отвер-
отверстие в непрозрачном экране дол-
должен дать однозначный ответ на
вопрос о том, что такое свет —
волны или поток частиц?
Однако результаты опыта
не соответствуют ни первому,
ни второму предположению.
Зависимость интенсивности све-
света в точке О от размеров от-
отверстия в экране В оказыва-
оказывается более сложной. При по-
постепенном увеличении радиуса
отверстия, начиная с очень ма-
малого, освещенность в точке О
сначала увеличивается, затем
убывает и падает почти до нуля,
затем вновь увеличивается и
опять убывает. При дальней-
дальнейшем увеличении радиуса от-
отверстия продолжаются колебания освещенности в точке О, но
они становятся все меньшими.
Хотя схема опыта, описанного выше, очень проста, техника
его выполнения должна быть довольно тонкой. Если источники
света и экраны находятся на расстоянии в несколько метров
друг от друга, описанные эффекты могут быть обнаружены лишь
при условии, что диаметры источника света и отверстия в
непрозрачном экране не превышают нескольких десятых долей
миллиметра.
Зоны Френеля. Для объяснения основных законов рас-
распространения света Френель дополнил принцип Гюйгенса по-
постулатом об интерференции вторичных волн и зависимости ин-
интенсивности колебаний от угла с нормалью к фронту волны.
Найти амплитуду световых колебаний от источника света А в
произвольной точке О (рис. 49), согласно принципу Гюйгенса —
Френеля, можно следующим способом.
Если источник света А точечный и монохроматический, а
среда, в которой распространяется свет, изотропна, волновой
фронт в произвольный момент времени будет иметь форму сферы
радиусом r=ct. Каждая точка на этой сферической поверхности
У
А
]
\
)
II
г г * Л
Рис. 49
73
является вторичным источником волн. Колебания во всех
точках волновой поверхности происходят с одинаковой частотой
и в одинаковой фазе. Следовательно, все эти вторичные
источники волн когерентны. Для нахождения амплитуды коле-
колебаний в точке О необходимо произвести сложение когерентных
колебаний от всех вторичных источников на волновой поверхнос-
поверхности. Так как расстояния от точки О до различных участков
волновой поверхности не одинаковы, то колебания от них в точку
О будут приходить в различных фазах.
Для нахождения результата интерференции колебаний от
вторичных источников Френель предложил метод разбиения
волнового фронта на зоны, называемые теперь зонами Френеля.
Обозначим расстояние от точки О до ближайшей точки
волновой поверхности В через го.
Первая зона Френеля ограничивается точками волновой
поверхности, расстояние от которых до точки О равно:
где К — длина световой волны. Эти точки располагаются на
окружности. Вторая зона находится между краем первой зоны
и точками волновой поверхности, расстояние от которых до
точки О равно:
Г2=Г,+-|-==Го-И.
Аналогично определяются границы третьей, четвертой и после-
последующих зон.
Расчеты показывают, что площади зон Френеля одинаковы.
Поэтому одинаковыми должны быть и амплитуды колебаний,
возбужденных каждой из зон. Но так как разность хода от двух
соседних зон равна —, то колебания от них приходят в точку
О в противоположных фазах.
Учитывая это, можно объяснить результаты опытов с про-
пропусканием света через отверстия малого радиуса. Пока радиус
отверстия меньше радиуса первой зоны Френеля, его увеличение
приводит к увеличению амплитуды колебаний в точке О (так как
разность хода для колебаний, пришедших от различных точек
первой зоны, не превышает —). Максимального значения ампли-
амплитуда колебаний в точке А достигает при равенстве радиуса от-
отверстия радиусу первой зоны Френеля.
При дальнейшем увеличении радиуса отверстия амплитуда
колебаний в точке О уменьшается в результате интерференции
колебаний, приходящих от первой и второй зон; она становится
минимальной при равенстве радиуса отверстия радиусу второй
74
зоны. При дальнейшем увеличении радиуса отверстия амплитуда
колебаний принимает минимальные значения, когда в отверстии
укладывается четное число зон Френеля, и максимальные
значения при нечетном их числе. Исходя из того факта, что
амплитуда колебаний при сложении действия двух соседних
зон при равенстве их площадей хотя и принимает минимальное
значение, но все же остается отличной от нуля, Френель пред-
предположил, что амплитуда колебаний, вызываемых действием
вторичных источников на поверхности зоны, зависит от направ-
направления распространения колебаний. Максимальная амплитуда
колебаний получается в направлении, нормальном к фронту
волны. По мере отклонения от нормали амплитуда возбуждаемых
вторичных волн убывает и становится равной нулю при
значениях угла, равных или превышающих 90° (отсутствуют
вторичные волны, распространяющиеся от волнового фронта в
обратном направлении).
Объяснение свойства прямолинейности распространения света.
Как мы видели, с помощью метода зон Френеля удается
объяснить результаты опытов по пропусканию света через
отверстия малых размеров, сравнимых с размерами зоны
Френеля. Но можно ли объяснить с помощью метода зон
Френеля световые явления, наблюдаемые в большинстве случаев,
когда размеры отверстий, через которые проходит свет, значитель-
значительно превышают размеры зоны Френеля?
Важнейшим свойством света, обнаруживаемым в этих
условиях, является прямолинейность его распространения. Оно
сводится к двум фактам: 1) освещенность в точке против
центра отверстия большого размера не зависит от размеров
отверстия; 2) освещенность в области геометрической тени равна
нулю.
Первый из них с помощью метода зон Френеля объясняется
так. Если в отверстии укладывается большое число зон Фре-
Френеля, то для нахождения суммарного их действия в точке О
нужно учитывать не только существование разности хода от
двух соседних зон, но еще и плавное убывание амплитуды
колебаний, возбуждаемых зонами, все более далекими от
центральной зоны. Будем считать, что действие второй зоны
в точке О полностью компенсируется действием прилегающих
к ней половин первой и третьей зон, а действие четвертой
зоны компенсируется действием прилегающих к ней половин
третьей и пятой зон и т. д. Продолжая рассуждать таким
образом, мы придем к выводу, что освещенность/в точке О,
создаваемая в результате сложения действия от всех вторичных
источников, расположенных на п зонах Френеля, укладывающих-
укладывающихся в отверстии, равна освещенности, создаваемой совместным
действием внутренней половины первой зоны и наружной поло-
половины последней. Если отверстие в экране велико, то угол а между
нормалью к волновому фронту у края отверстия и направлением
75
\
A 1
/
n
1
Рис. 50
на точку О велик (рис. 50). При
больших значениях угла а ам-
амплитуда колебаний, создавае-
создаваемых действием последней зоны,
становится настолько малой,
что влиянием половины послед-
последней зоны на освещенность в
точке О по сравнению с влия-
влиянием половины первой зоны
можно пренебречь. Более точ-
точные расчеты показывают, что
действие всей волны равно
половине действия централь-
центральной зоны. Результат полу-
получается таким, будто свет из
одной точки в другую рас-
распространяется прямолинейно
внутри цилиндра, диаметр которого меньше диаметра первой
зоны.
Расчет сложения колебаний от всех зон в точках, где
освещенность равна нулю, показывает, что амплитуда резуль-
результирующих колебаний в этих точках равна нулю. Темнота в этих
точках есть результат интерференции колебаний от всех зон.
Пластинка зон. Из теории Френеля можно получить ряд
замечательных, иногда парадоксальных следствий. Одно из них —
возможность использования в роли собирающей линзы пластинки
зон, или зонной пластинки.
Действительно, если на пути когерентного светового пучка,
проходящего через отверстие, в котором укладывается п. зон
Френеля для точки наблюдения О, поместить пластинку, на
которой в месте расположения всех четных зон нанесены
концентрические кольца из непрозрачного материала, то в точку
О будут приходить колебания только от нечетных зон, происхо-
происходящие в одной и той же фазе. Эти колебания в результате
интерференции должны усиливать друг друга. Освещенность в
точке О должна значительно возрасти после того, как половина
площади отверстия будет закрыта непрозрачным экраном!
Опыт полностью подтверждает правильность этого пред-
предсказания. Действие пластинки зон не опровергает, как это может
показаться, закона сохранения энергии. Закрывание половины
зон непрозрачным экраном не только приводит к увеличению
амплитуды световых колебаний в точке О, но и одновременно
сопровождается уменьшением амплитуды световых колебаний в
других точках вокруг точки О, т. е. пластинка зон действует
подобно собирающей линзе. Полная энергия светового потока,
проходящего через пластинку зон, равна лишь половине энергии
светового потока, который проходит через отверстие в отсут-
отсутствие пластинки зон.
76
A
I
\
у
Рис. 51
Дифракция от круглого эк-
экрана. Второе замечательное
следствие теории Френеля —
предсказание существования
светлого пятна в области гео-
геометрической тени от непро-
непрозрачного экрана. Если на пути
распространения света от то-
точечного источника поместить
непрозрачный экран, закрыва-
закрывающий одну или несколько зон
(рис. 51), то для нахождения
освещенности в центре области
геометрической тени необходи-
необходимо рассчитать результат сложе-
сложения волн от всех оставшихся
зон. Как и в том случае, когда
свет проходит через большое отверстие, в центре геометриче-
геометрической тени всегда должно быть светлое пятно, освещенность
которого равна освещенности, создаваемой половиной первой
зоны Френеля, отсчитываемой от края экрана.
На это следствие из теории Френеля обратил внимание
французский физик С. Д. Пуассон. Считая это предсказание
противоречащим здравому смыслу, он привел его в качестве
довода против теории Френеля.
Однако французский физик Д. Ф. Араго специально постав-
поставленным опытом доказал реальность существования светлого
пятна в центре геометрической тени, и это следствие из довода
против теории Френеля превратилось в один из веских аргументов
в ее пользу. Для наблюдения светлого пятна в области геометри-
геометрической тени (называемого часто пятном Пуассона) необходимо,
чтобы размеры непрозрачного экрана были сравнимы с размерами
первой зоны Френеля, а размеры неровностей на краю его
поверхности не превышали длины световой волны. В качестве
экрана можно использовать, например, шарик от подшип-
подшипника.
Трудность осуществления этого опыта заключается в том,
что источник света должен быть одновременно точечным и
достаточно мощным. Расстояние от шарика радиусом 1 см до
источника света и экрана, на котором наблюдается тень от
него, должно составлять примерно 10 м.
) 1. Как должна изменяться освещенность экрана напротив круглого отверстия
при увеличении его диаметра?
2. Что показывают опыты с пропусканием света через отверстия различных
размеров?
3. Какими положениями Френель дополнил принцип Гюйгеиса?
4. Что такое зона Френеля?
77
5. Как объясняется прямолинейность распространения света на основе
использования принципа Гюйгенса — Френеля?
6. Что такое зонная пластинка и какими свойствами она обладает?
§ 14. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Геометрическая оптика как предельный случай волновой оп-
оптики. В § 13 показано, что при прохождении света через отвер-
отверстия, размеры которых сравнимы с размерами зоны Френеля,
существенную роль играют такие волновые свойства света, как
интерференция и дифракция. Если размеры отверстия много
больше размера первой зоны Френеля, действие всего волнового
фронта равно действию половины центральной зоны. В этом
случае можно использовать понятие светового луча, рассматри-
рассматривая узкий пучок света половины центральной зоны Френеля
как луч.
Условием, при котором можно пользоваться законами гео-
геометрической оптики, служит соотношение:
A4.1)
где г — радиус отверстия; г\ — радиус первой (центральной)
зоны Френеля.
Рассчитаем радиус первой зоны для плоской волны. Из
рисунка 52 видно, что
~ A4.2)
где d — расстояние от отверстия до экрана; X — длина световой
волны.
Из выражений A4.1) и A4.2) получим искомое условие:
г> }fdi. A4.3)
Это условие показывает, что размеры г отверстия (экрана),
при котором можно использовать законы геометрической оптики,
зависят не только от длины волны, но и от расстояния до
места наблюдения. С увеличением расстояния d увеличивается
радиус первой зоны Френеля, поэтому явления дифракции и
интерференции наблюдаются при больших размерах отверстий
и экранов. Например, дифрак-
дифракция света наблюдается при по-
покрытии звезд таким экраном,
как диск Луны.
Принцип Ферма. Распро-
Распространение света описывается
законами геометрической опти-
оптики, когда дифракционными яв-
явлениями можно пренебречь. Эти
рис. 52 законы могут быть получены в
78
качестве следствий общего принципа, сформулированного в
1660 г. французским ученым П. Ферма. В наиболее простой
форме принцип Ферма сводится к утверждению: между двумя
точками свет распространяется по такой линии, по которой
время его прохождения минимально.
В среде с показателем преломления п время распространения
света на том же пути увеличивается в п раз по сравнению со
временем распространения в вакууме. Произведение пройденного
светом расстояния / на показатель преломления п называют
оптической длиной пути s: s=ln. Время прохождения светом
расстояния / пропорционально оптической длине пути s; поэтому
принцип Ферма утверждает: свет распространяется из одной
точки в другую по линии с наименьшей оптической длиной
пути.
В более общей и точной формулировке принцип Ферма
утверждает: свет идет из одной точки в другую по линии, вдоль
которой время его распространения экстремально или одинаково
со временем распространения вдоль всех других линий, соеди-
соединяющих эти точки.
Несмотря на трудность восприятия принципа Ферма с точки
зрения «здравого смысла» (как луч света «узнает» заранее,
какая из всех дорог будет кратчайшей? как вообще он может
выбирать себе путь?), плодотворность его применения в геометри-
геометрической оптике доказана, и его успешно используют при решении
многих практических задач.
Покажем, что, используя один лишь принцип Ферма и
предположение о постоянстве скорости света в однородной среде,
основные законы геометрической оптики можно получить как
следствия.
Закон прямолинейного распространения света. Если скорость
света в однородной среде одинакова в любой точке и при
любом направлении его распространения, то свет затратит
минимальное время на прохождение из одной точки в другую
по кратчайшему пути. Кратчайшей линией, соединяющей две
точки пространства, является прямая; следовательно, согласно
принципу Ферма, свет в однородной среде должен распростра-
распространяться по прямой.
Закон отражения света. При отражении света распростра-
распространение его происходит в одной и той же среде. Поэтому отыскание
пути, на прохождение которого свет затрачивает минимальное
время, вновь сводится к отысканию кратчайшего расстояния
между двумя точками при условии соединения их двумя отрез-
отрезками, концы которых находятся в некоторой точке на отражающей
плоскости.
Можно представить себе различные возможные варианты
распространения света из точки А в точку В при отражении от
плоскости MN — ACiB, АС2В, АС3В и т.д. (рис. 53). Какой же
из этих путей потребует минимального времени и будет действи-
79
Рис. 53
тельным при распространении
света? Для отыскания кратчай-
кратчайшего пути построим точку А'
(см. рис. 53), расположенную
симметрично точке А относи-
относительно плоскости MN. Соеди-
Соединив точки С\, С2, Сз с точкой А',
замечаем, что из равенства тре-
треугольников (АА'ОС\—ААОС[,
д А'ОС2=А АОС2 и Д А'ОС3 =
= ДЛОСз) следует равенство
их сторон А'С\=АС\, А'С2=
=АС2 и А'С3=АС3. Поэтому за-
задачу отыскания кратчайшего
пути из точки А в точку В с
условием отражения от пло-
плоскости MN можно заменить
задачей нахождения кратчайшего пути из точки А' в точку В с
пересечением плоскости MN. Очевидно, что из точки А' в точку В
кратчайшим является путь по прямой А'С2В. Из равенства
треугольников А'С2О и АС2О следует равенство углов А'С2О и
АС2О. Так как /- ОС2А'= /L BC2N, то выполняется равенство:
AAC2O=ABC2N.
Восставив перпендикуляр к плоскости MN в точке падения
луча С2 и используя последнее равенство, получим, что угол
падения луча ААС2К равен углу отражения <L\{C2B.
Закон преломления. Для нахождения закона преломления
света на границе MN двух сред учтем, что свет в более плотной
среде распространяется с меньшей по модулю скоростью и, чем
в вакууме. Найдем путь, по которому должен пройти луч света
из точки А (в вакууме) в точку В, находящуюся в прозрачной
однородной среде (v<Cc). В этом случае прямая АОВ не будет
тем отрезком пути, на прохождение которого затрачивается
минимальное время.
Для случая очень малого отличия пути АО\В от прямолиней-
прямолинейного можно принять, что удлинение пути в первой среде NO\
равно уменьшению пути во второй среде на ОМ (рис. 54). Свет,
пройдя по ломаной линии АО\В, затратит меньше времени, чем
при прохождении по прямой АОВ, так как укорачивается путь
во второй (более плотной) среде, где скорость света меньше;
примерно на столько же удлиняется путь в первой среде (в ва-
вакууме) , где скорость света больше.
Очевидно, что по мере удаления точки О\ от точки О длитель-
длительность времени распространения света не может все время
уменьшаться. По мере удаления точки О\ общая длина становит-
становится все больше, и при прохождении света через некоторую
80
точку Ог время прохождения его из точки А в точку В умень-
уменьшается за счет уменьшения длины во второй среде и, наконец,
уравнивается в связи с увеличением времени на прохождение
света в первой среде за счет увеличения длины пути. Этот
отрезок и является тем путем, на прохождение которого свет
затрачивает минимальное время. Прохождение света через точки,
лежащие на границе раздела двух сред правее или левее точки Ог,
требует большего времени.
Выведем теперь закон преломления света. Если свет из
точки А в вакууме проходит в точку В, находящуюся в
прозрачной среде, по пути АОВ (рис. 55), то, согласно принципу
Ферма, на прохождение его затрачивается Минимальное время.
На прохождение любых других путей, например АО\В и АО2В,
свет затрачивал бы большее время:
AOj . О,В АО . OB АОг , ОгВ
С V С V С V
A4.4)
Отложим отрезки AC=AOU AL=AO, BK-=BO, BD=BO2 и
преобразуем равенство A4.4):
АО-2 , 02В
( АО _ OB \
-{— IT)'
?1К__СО_ 0 Юг ОД>0
V С ' С V
A4.5).
Рис. 54
Рис. 55
о,
к \
D\l2j
02
81
При очень малых размерах отрезков OOi и ОО2 можно
считать, что О\С _L АО, ОК ± О\В, OL ± АО2 и O2D _L ОВ;
углы си и (Х2 равны углам падения лучей, а углы yt и уг —
углы преломления (как углы с взаимно перпендикулярными
сторонами). Так как О\К=О\О sin y\, CO=O\O sin си, LO2=
=002 sin a2, 0D=002 sin y2, неравенства A4.5) можно преобра-
преобразовать:
OOisinyi OOi sin a, q 001 sin g2 ООг sin 72 r.
V С ' С V '
I~<^> (H.6)
Таким образом, мы получили, что при прохождении света по
пути АО\В, очень мало отличающемуся от действительного,
для отношения синуса угла падения к синусу угла преломления
должно выполняться неравенство A4.6). При прохождении све-
света по пути АО2В с очень небольшим отклонением в правую
сторону от действительного пути должно выполняться неравен-
неравенство A4.7), но с противоположным знаком. Отсюда можно
сделать вывод: при распространении света по пути АО\В должно
выполняться равенство:
_!»!«.=-?-. A4.8)
sin y v ч '
Поскольку при выводе закона преломления света значение угла
падения предполагалось произвольным, из выражения A4.8)
следует, что при переходе светового луча из одной среды в
другую отношение синуса угла падения луча а к синусу угла
преломления у остается постоянным для всех значений угла
падения и равно отношению скорости света в первой среде с к
скорости v света во второй среде.
Отношение синуса угла падения луча к синусу угла прелом-
преломления при переходе из вакуума в прозрачную среду называют
абсолютным показателем преломления этой среды п:
я=^=^. A4.9)
sin у v v '
Линзы. Используя принцип Ферма, можно вывести формулу
линзы. Рассмотрим двояковыпуклую линзу. Согласно принципу
Ферма, свет из одной точки в другую распространяется
только по таким путям, на прохождение которых требуется
экстремальное или одинаковое время. Поэтому лучи света,
выходящие под различными углами из точки перед линзой и
собирающиеся после прохождения линзы в другой точке, пройдя
путь через линзу, должны затрачивать одно и то же время.
Это условие может быть выполнено за счет того, что по мере
82
отклонения светового луча от
прямолинейного толщина линзы
уменьшается. Увеличение вре-
времени, затрачиваемого светом на
прохождение дополнительного
(по сравнению с прямолиней-
прямолинейным) пути в воздухе должно
быть в точности равно умень-
уменьшению времени, затрачиваемо-
затрачиваемому на прохождение пути в
стекле.
На рисунке 56 источник
света обозначен S\, его изобра-
изображение S2. Согласно принципу
Ферма, оптические пути для
всех лучей, выходящих из ис-
источника Si и попадающих в его
изображение S2, должны быть одинаковыми. Обозначив расстоя-
расстояние от источника Si до линзы через d, а от изображения до
линзы через /, получим:
, A4.10)
A»
/ \o
d U
h
21\ '
Рис. 56
где п — показатель преломления вещества линзы.
Отрезки S\A и S2A найдем из прямоугольных треуголь-
треугольников S\AO и AOS2 по теореме Пифагора:
Из курса математики известно, что для любой малой величины
l можно'записать:
Тогда при выполнении условий
{d + x>? < 1 И
(J
(т. е. для узкого пучка лучей) можно записать:
k2
d+Xl '
Подставив приближенные значения S\A и S2A в выражение
A4.10), получим:
83
f
X1
Рис. 57
Из рисунка 57 видно, что
I
r) (i4.ii)
Если линза тонкая, т. е.
d и X2<Cf, то выполняется
равенство:
4i
A4.12)
Выразим значения xi и хг
через радиусы кривизны R\ и R2
сферических поверхностей лин-
линзы (рис. 57). Точки С\ и С2 —
центры сферических поверхно-
поверхностей линзы.
~^)^&-
Подставив значения xi и х2 в выражение A4.12), получим:
Это выражение называют формулой тонкой линзы. Из нее
следует, что при условии d-^-oo
A4.14)
Это значит, что параллельный пучок лучей собирается тонкой
линзой в точку, находящуюся на расстоянии f от линзы.
Это расстояние определяется из выражения A4.14). Его
называют фокусным расстоянием F:
A4.15)
Величину, обратную фокусному расстоянию, называют опти-
оптической силой линзы D:
D=~. A4.16)
Отсюда формула тонкой линзы может быть представлена в
виде:
84
Используя формулу линзы, нужно учитывать следующие
правила знаков:
1) Считать для собирающей линзы фокусное расстояние F
положительным, для рассеивающей — отрицательным.
2) Считать для действительных изображений расстояние
f положительным, для мнимых — отрицательным.
3) Расстояние d до предмета или его действительного
изображения, находящегося перед линзой, считать положитель-
положительным. Если лучи, падающие на линзу, не образуют перед ней
действительного изображения, но образуют его на расстоянии
d за линзой, то это расстояние считается отрицательным.
Формула тонкой линзы справедлива для случая, когда
h<Cd, т. е. утверждение о том, что тонкая линза фокусирует
монохроматический пучок света в одной точке, справедливо
лишь для узкого пучка лучей, близких к оптической оси.
Аберрация линз. Как показывает опыт, лучи, параллельные
главной оптической оси линзы, собираются в одну точку, если
они проходят через линзу на одинаковом расстоянии от ее центра.
Точка, в которой собираются лучи, тем ближе к линзе, чем
дальше лучи от оптической оси (рис. 58). Поэтому широкий
пучок параллельных лучей не собирается линзой в одну точку,
изображение бесконечно удаленного точечного источника оказы-
оказывается размытым. Этот дефект линзы называют сферической
аберрацией. Существует и другой недостаток линз — хромати-
хроматическая аберрация. Показатель преломления зависит от длины
волны; поэтому из формулы A4.15) следует, что при падении
на линзу немонохроматического белого света лучи разного
цвета фокусируются в разных точках. На плоскости изображение
точки окружено разноцветными ореолами. Для ослабления
влияния сферической и хроматической аберраций на качество
изображений в оптических приборах используют систему
линз, в которых недостатки от-
отдельных линз в значительной
мере компенсируются.
Оптические приборы. Не все
предметы, от которых свет по-
попадает в глаз, человек спосо-
способен видеть. Первое ограничение
обусловлено тем, что поток из-
излучений, попадающий от пред-
предмета в глаз, должен превышать
некоторое минимальное, поро-
пороговое значение. Минимальный
поток светового излучения, ко-
который может быть обнаружен
глазом человека, составляет
примерно 2-10~17 Вт. Это очень
малая величина, соответствую- рис
85
щая нескольким десяткам квантов света в секунду. Она примерно
в миллион миллиардов раз меньше потока, попадающего в глаз
человека, смотрящего на солнце. Если поток светового излучения,
попадающего в глаз, меньше порогового значения, то его
можно сделать обнаружимым с помощью оптических приборов,
собирающих световое излучение с большей площади на малую
площадь зрачка глаза. Второе ограничение связано с особен-
особенностью строения сетчатки глаза человека. Она покрыта свето-
светочувствительными клетками, называемыми палочками и колбоч-
колбочками. Мозг человека воспринимает сигналы при раздражений
каждой отдельной светочувствительной клетки. Если изображения
от двух светящихся точек попадают на одну колбочку или
палочку, то они воспринимаются как один объект. Для разли-
различения двух точек их изображения должны попасть на разные
светочувствительные клетки сетчатки глаза. Зная среднее рас-
расстояние между колбочками (~0,0025 мм в центральной части
сетчатки) и расстояние от оптического центра глаза до сетчатки
(~15 мм), можно оценить минимальное значение угла, под
которым два точечных светящихся объекта могут воспринимать-
восприниматься человеческим глазом раздельно. Этот угол равен примерно
1'; его называют разрешающей способностью или остротой
зрения человека.
Для различения объектов, угловое расстояние между которыми
меньше разрешающей способности глаза, применяют оптические
приборы, увеличивающие угол зрения на предмет, т. е. угол ф, под
которым виден предмет из оптического центра глаза (рис. 59).
Увеличением оптического прибора называют отношение угла
зрения ф' при рассматривании предмета через данный прибор
к углу зрения ф при наблюдении невооруженным глазом:
Рис. 59
86
Рис. 60
Простейшим оптическим прибором для увеличения угла
зрения является лупа, представляющая собой короткофокусную
собирающую линзу. Рассматриваемый предмет располагается
перед лупой на расстоянии, немного меньшем ее фокусного
расстояния (dzzF). При этом получается мнимое прямое увели-
увеличенное изображение, которое рассматривается глазом, поме-
помещаемым непосредственно за лупой.
Определим увеличение лупы. Если поместить предмет АВ
на расстояние наилучшего зрения, равное примерно 0,25 м, то
угол зрения ф равен:
АВ
При использовании лупы угол зрения ф' увеличивается:
, АВ
Ф=—•
где F — фокусное расстояние лупы. Тогда увеличение лупы
равно:
и ф' 0,25
Л=—»—т.— •
Ф F
Большое увеличение при рассматривании малых предметов
можно получить с помощью микроскопа. Ход лучей в микроскопе
представлен на рисунке 60.
87
Предмет АВ помещают на расстояние d\, немного большее
фокусного расстояния F\ от первой линзы — объектива (d>F\).
Действительное перевернутое увеличенное изображение предмета
А'В' рассматривают с помощью второй линзы — окуляра,
используемой как лупа (d2~F2). Мнимое увеличенное изобра-
изображение А"В" рассматривают глазом.
Увеличение микроскопа равно произведению увеличений
объектива и окуляра:
Так как d\xF\, U2^F2, то
где / — расстояние между объективом и окуляром. Принимая
расстояние f2 до изображения равным расстоянию наилучшего
зрения (/2ж0,25 м), получим формулу для увеличения микро-
микроскопа:
К 0,25(f-F2)
Зрительная труба и телескоп. Для рассматривания удаленных
предметов используют телескоп. Простейший тип телескопа
получил название трубы Кеплера.
В трубе Кеплера (рис. 61) объектив и окуляр являются
собирающими линзами, расположенными на расстоянии, равном
сумме фокусных расстояний объектива и окуляра. Изображение
предмета в фокальной плоскости объектива находится одновре-
одновременно и в фокальной плоскости окуляра. Поэтому после окуляра
лучи идут параллельным пучком и рассматриваются ненапряжен-
ненапряженным глазом (без его аккомодации). Увеличение такой трубы
равно:
а
Ф _а /V
где а — размер действительного изображения в фокальной
плоскости.
Для получения большого увеличения используют длинно-
длиннофокусный объектив и короткофокусный окуляр.
Трубу Кеплера используют в астрономии, где она получила
название телескопа-рефрактора. Ее используют и для наземных
наблюдений, например в биноклях.
Высококачественные линзы больших размеров изготовить
не удается, трудно обеспечить для них и сохранение формы
при изменениях положения объектива в поле силы тяжести,
поэтому в телескопах-рефракторах наибольший диаметр объек-
объектива около 1 м. Значительно больших значений увеличения
Рис. 61
светового потока от удаленных объектов удается получить с
помощью зеркальных телескопов, в которых используют сфери-
сферические зеркала высокого качества и больших диаметров. Такие
телескопы называют рефлекторами. В СССР вблизи станицы
Зеленчукской (Северный Кавказ) построен самый крупный
в мире телескоп БТА с диаметром зеркала 6 м.
Зеркала совсем не обладают хроматической аберрацией,
так как лучи всех длин волн отражаются одинаково. Если
зеркало имеет форму параболоида вращения, то оно не имеет
и сферической аберрации. Это можно строго доказать на основе
использования принципа Ферма.
Пусть пучок параллельных лучей, выходящих из одной
бесконечно удаленной точки, падает на зеркальную поверхность,
фокусирующую все лучи в одной точке F (рис. 62). Рассмотрим
два параллельных луча: центральный, идущий вдоль оси Оу,
и произвольный, падающий на зеркало в точке А с координатами
ху.
На основании принципа
Ферма запишем:
CA+AF=BO+OF.
Так как
ВО=СА+у,
по теореме Пифагора
где F — фокусное расстояние
зеркала.
Рис. 62
89
Тогда:
-yf =y+F,
Мы получили уравнение параболы. Следовательно, если
сделать зеркало с параболической поверхностью, то все
параллельные лучи соберутся в одной точке.
"J) 1. При каком условии применимы законы геометрической оптики?
2. Сформулируйте принцип Ферма.
3. Как объясняются законы отражения и преломления света на основе
применения принципа Ферма?
4. Запишите формулу тонкой линзы.
5. Что такое аберрация линзы?
6. Как получается увеличенное изображение предмета с помощью оптического
микроскопа?
7. В чем преимущества телескопа-рефлектора перед телескопом-рефрактором?
§ 15. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Два вида дифракции. Дифракция света — явление отклонения
направления распространения света от прямолинейного в
однородной среде — является прямым следствием принципа
Гюйгенса — Френеля, согласно которому каждая точка простран-
пространства, которой достигла световая волна, становится вторичным
источником, от которого волны распространяются по всем
направлениям.
В зависимости от условий эксперимента различают два
вида дифракционных явлений: дифракцию в сходящихся лучах
(или дифракцию Френеля) и дифракцию в параллельных
лучах (или дифракцию Фраунгофера).
Первый вид дифракционных явлений наблюдается при
отсутствии каких-либо оптических приборов между отверстием
или экраном, на котором происходит дифракция света, и местом
наблюдения.
Результирующая дифракционная картина, например, от
отверстия малых размеров В для любой точки D на экране Э
в случае френелевской дифракции определяется как результат
интерференции волн, пришедших в эту точку от всех вторичных
источников волн, расположенных в отверстии экрана В (рис. 63).
Другой возможный и часто применяемый на практике
вариант наблюдения явления дифракции — использование опти-
оптического прибора, собирающего в одну точку все параллельные
лучи. Например, для наблюдения дифракции в параллельных
лучах от отверстия В между отверстием и экраном Э устанавли-
90
^
э
D
Рис. 63
вают линзу таким образом, чтобы экран Э был расположен в ее
фокальной плоскости (рис. 64). В результате дифракции свет
распространяется от отверстия по всевозможным направлениям
и каждый параллельный пучок собирается линзой в точку на
экране Э.
^^ г
э
Рис. 64
91
Световые волны, собранные линзой в одну точку, интерфе-
интерферируют между собой. Результат интерференции зависит от
разности фаз интерферирующих волн. В случае круглого
отверстия дифракционная картина состоит из центрального
светлого пятна и чередующихся темных и светлых колец
вокруг него.
Дифракция от круглого отверстия. Выполним приблизитель-
приблизительный расчет радиуса центрального светлого пятна при наблюдении
дифракции в параллельных лучах от отверстия радиусом R.
Для этого примем, что отверстие освещается монохроматическим
светом с длиной волны К таким образом, что колебания во всех
точках отверстия происходят в одной фазе. Линза, собирающая
параллельный пучок световых лучей в одну точку, обладает
замечательным свойством: оптическая длина пути для всех
параллельных лучей, идущих от некоторой плоскости, перпенди-
перпендикулярной направлению распространения, до фокуса линзы,
одинакова. Другими словами: на пути от любой плоскости,
перпендикулярной направлению распространения света, до фокуса
разность хода световых лучей остается неизменной.
Так как во всех точках отверстия колебания происходят
в одной фазе, разность хода для волн, собранных линзой в
направлении, перпендикулярном плоскости экрана, равна нулю.
Поэтому в точке Ог (рис. 65) наблюдается максимум интен-
интенсивности световых колебаний.
Световой пучок, распространяющийся в результате дифракции
под углом а к направлению прямолинейного распространения
A
R
R
v
Рис. 65
92
света, собирается линзой в точку О\. И в этом случае от
любой точки на плоскости, перпендикулярной направлению
распространения света, например на плоскости АВ, длина опти-
оптического пути до фокуса О\ одинакова. Однако к плоскости АВ
световые волны от разных точек отверстия приходят в разных
фазах, так как проходят различные пути.
Вычислим разность хода для волн, идущих от центра
отверстия и от его краев. Как видно из рисунка 65, эта разность
хода равна:
A/=Z)C=/lZ)sina=/?sina. A5.1)
Можно принять, что граница центрального светлого пятна,
или, точнее, положение первого темного кольца, определяется
условием:
M=R sin a=-|-. A5.2)
При увеличении угла а попеременно выполняются условия
минимума и максимума интерференции.
Таким образом, в результате дифракции света малое
отверстие в экране радиусом R воспринимается как светлое
пятно с угловым радиусом, приблизительно равным:
a«sina=^=-^. A5.3)
Это пятно окружено системой концентрических светлых и
темных колец.
Уравнение A5.3) показывает, что угловые размеры централь-
центрального светлого дифракционного пятна (как и угловые размеры
окружающих его светлых колец) зависят не только от радиуса
отверстия R, но и от длины волны света X. Поэтому при
освещении отверстия белым светом, состоящим из световых
волн различной длины, в результате дифракции наблюдается
центральное белое пятно, окруженное системой концентрических
цветных колец.
Дифракция и разрешающая способность оптических приборов.
Явление дифракции ставит предел для разрешающей способности
многих оптических инструментов и человеческого глаза.
При дневном освещении диаметр зрачка, т. е. диаметр D
отверстия, на котором происходит дифракция света, равен
примерно 2 мм; длину волны света к примем равной 5,6-10~7 м.
Тогда угловой радиус а центрального светлого дифракционного
пятна при попадании на зрачок глаза параллельного пучка
света может быть определен по формуле A5.3):
„—1 5,6-10-7м ^,до ,п
°~ ?>~ 2.1(Нм A»-1U
Таким образом, в результате дифракции бесконечно удаленный
точечный источник воспринимается глазом как светлое пятно
93
Рис. 66
с угловым радиусом, равным примерно одной угловой минуте.
Две светящиеся точки могут восприниматься глазом как
отдельные источники света при условии, если угловое расстояние
между ними превышает угловой радиус центрального дифрак-
дифракционного светлого пятна от одного точечного источника (рис. 66).
Следовательно, разрешающая способность человеческого глаза
равна примерно одной угловой минуте.
При фотографирований звезд с помощью телескопа изобра-
изображение звезд на фотопластинке получается не точечным. Это
является следствием дифракции света на отверстии объектива
телескопа (рис. 67). Радиус центрального светлого дифракцион-
дифракционного пятна на фотопластинке можно определить из условия
A5.3): ^ __г
Рис. 67
94
где F — фокусное расстояние. Но, с другой стороны,
_^_
Поэтому
откуда
г«Ц- A5.4)
Выражение A5.4) показывает, что изображения звезд на
фотопластинке тем ближе к точечным, чем больше диаметр D
объектива телескопа и чем меньше его фокусное расстояние F.
Оценим разрешающую способность крупнейшего в мире
советского телескопа с диаметром объектива 6 м:
а»—. 57• 60 • 60"» 5'6-10"'м -205200"»0 02".
и 6м
Следовательно, с помощью самого большого в мире опти-
оптического телескопа можно различить на небе светящиеся объекты:
звезды, детали на поверхности планет, отстоящие друг от
друга не менее чем на две сотые угловой секунды.
Явление дифракции ограничивает и разрешающую способность
микроскопа. Очевидно, что если в изображении, построенном
объективом микроскопа, две светящиеся точки становятся
неразличимыми в результате наложения их дифракционных
изображений, то дальнейшее увеличение изображения с помощью
окуляра не может сделать их различимыми. Следовательно,
как и в случае определения разрешающей способности глаза
и телескопа, минимальное угловое расстояние между точками,
которые могут быть разрешены как отдельные источники света,
приблизительно равно угловому радиусу а центрального
светлого дифракционного пятна. Согласно выражению A5.3),
угол а выражается через диаметр объектива D и длину
световой волны X:
Обозначив расстояние от предмета до объектива микроскопа
через d (рис. 68), получим для минимального линейного
расстояния у между двумя светящимися точками А и В, на
котором они могут быть разрешены при наблюдении в микроскоп,
следующее выражение:
95
Рис. 68
Отсюда видно, что разрешающая способность микроскопа
возрастает с увеличением диаметра объектива микроскопа, с
уменьшением длины световой волны и расстояния от объектива
до объекта.
Так как объектив микроскопа должен построить действи-
действительное изображение, то d>F.
Следовательно, для уменьшения расстояния d необходимо
использовать возможно более короткофокусные линзы. Увеличе-
Увеличение разрешающей способности объектива микроскопа при задан-
заданном фокусном расстоянии путем увеличения диаметра D
объектива ограничено естественным пределом:
D=2R,
где R — радиус кривизны линзы. Это означает, что плоско-
плосковыпуклая линза, обычно применяемая в качестве первой линзы
объектива микроскопа, должна быть полушаровой.
Так как фокусное расстояние плосковыпуклой линзы
определяется формулой
р_ R
/i-i '
то для объектива микроскопа можно записать соотношение:
d>
R
/г—1 '
Учитывая это, можно минимальное расстояние, на котором могут
находиться две светящиеся точки, различимые с помощью
микроскопа, выразить так:
Ы >?^ __ХЛ__ _ __А__
У~ D 2R~ 2R(n — 1) 2(/t—1) "
Принимая показатель преломления стекла, из которого сделана
линза объектива, «=1,5, получаем: г/~Я,.
Таким образом, минимальное расстояние, на котором с
помощью микроскопа могут быть разрешены две светящиеся
точки при оптимальной конструкции объектива, равно прибли-
приблизительно длине световой волны.
96
Один из возможных путей увеличения разрешающей способ-
способности оптического микроскопа заключается в использовании
коротковолнового ультрафиолетового излучения. Так как ультра-
ультрафиолетовое излучение не воспринимается человеческим глазом,
но сильно действует на фотопластинку, изображение фотографи-
фотографируется, проявляется и потом рассматривается.
Дифракция от одной щели. Важную роль в прикладной
оптике играют явления дифракции на отверстиях в форме щели
с параллельными краями. Рассмотрим сначала дифракцию в
параллельных лучах на одной узкой щели.
Пусть на щель, длина которой много больше ее ширины,
падает световая волна с плоским фронтом. Чтобы сделать
дифракционную картину видимой на конечном расстоянии, за
щелью помещают собирающую линзу, а за линзой в ее фокальной
плоскости — экран. Выясним, от чего зависит освещенность в
произвольно выбранной на экране точке А, в которую линза
собирает параллельный пучок лучей, идущих в результате
дифракции в некотором произвольном направлении (рис. 69, а).
Во всех точках волновой поверхности, достигшей щели,
совершаются колебания в одинаковой фазе. Но в точку А на
экране волны приходят с неодинаковыми фазами, так как
оптические пути их различны. Поскольку линза не изменяет длины
оптического пути, разность хода света от точек В а С щели
можно определить, опустив перпендикуляр из точки С на направ-
направление распространения света, проходящего через точку В. Если
разность хода BD=— то расстояние ВС=х является шириной
зоны Френеля.
Разобьем щель на зоны шириной, равной ширине зоны
Френеля. Все зоны ориентированы относительно выбранного
направления ф одинаково, но колебания, приходящие от двух
соседних зон в точку А, имеют разность хода —. Поэтому,
если на щели укладывается четное число зон, то в точке А
происходит полное взаимное гашение колебаний и освещенность
будет равна нулю. Если же число зон нечетно, то колебания
от одной из зон останутся непогашенными и в точке А будет
наблюдаться некоторая освещенность (максимум освещенности).
Итак, освещенность в точке А зависит от числа зон Френеля,
которые укладываются на щели. Найдем количественное выра-
выражение этой зависимости.
Пусть х — ширина зоны. Учитывая, что разность хода
между лучами, исходящими от краев зоны, равна —, можно
записать:
к
BD Y
4. Зак. 1320 О. Ф. Кабардин
97
K\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\^
а
V////////////////777X
М
а
Рис. 69
отсюда:
Если а — ширина щели, то легко определить число п
укладывающихся на ней зон:
a 2a sin
n——— ——
x к
15.6)
Из выражения A5.6) видно, как зависит число зон, уклады-
укладывающихся на щели, от угла ф, ширины щели а и длины волны X.
Если число зон является четным — n=2k, то можно записать
следующее равенство:
или
a sin (p=kX. A5.8)
Это условие, при выполнении которого наблюдается минимум
освещенности от одной щели.
Условием наблюдения максимума освещенности является
условие нечетности числа зон: n=2k-\-\. Тогда:
A5.9)
или
a sin ф=
A5.10)
Итак, для заданных значений длины волны X и ширины щели
а в направлениях, определяемых выражением A5.8), наблюдают-
наблюдаются минимумы освещенности, а в направлениях, определяемых
выражением A5.10), наблюдаются максимумы света.
Распределение интенсивности света на экране за щелью
показано на рисунке 69, б.
Картина на экране представляет собой изображение щели,
построенное линзой. Это изображение искажено дифракционными
явлениями.
Дифракция от двух щелей. Рассмотрим теперь дифракцию
от двух щелей шириной а, разделенных непрозрачным проме-
промежутком шириной b (рис. 70).
Пусть плоский фронт монохро-
монохроматической волны достиг поло-
положения, совпадающего с пло-
плоскостью пары щелей. С по-
помощью линзы соберем все па-
параллельные группы дифрак-
дифракционных параллельных лучей
на экране MN. Выберем на эк-
экране произвольную точку Л, в
которой собирается пучок па-
параллельных лучей, идущих в не-
некотором направлении, как пока-
показано на рисунке 70, и опреде-
определим, от чего зависит получе-
получение максимума или минимума
освещенности в этой точке. рис 7о
Mill
99
Пусть выбранное направление таково, что выполняется
условие A5.8) получения минимума света от одной щели:
a sin ф=/гЯ,.
Так как в этом направлении каждая щель в отдельности
на экране света не дает, значит, и при наличии двух щелей в
этом направлении не будет наблюдаться света.
Условие A5.8) в применении к двум щелям называют
условием прежних минимумов. Ясно, что оно справедливо для
любого числа щелей, так как независимо от числа щелей мини-
минимумы наблюдаются в тех же местах на экране, что и в случае
одной щели.
Теперь выберем такое направление, в котором каждая щель
в отдельности дает на экране свет. Для случая двух щелей
могут в зависимости от разности хода слагаемых колебаний
представиться две возможности: 1) интерференция на экране
света от обеих щелей приводит к усилению света; 2) происходит
взаимное гашение. Назовем точки щелей, расположенных на
расстоянии d—a-\-b, соответственными точками. Очевидно, что
усиление света будет происходить тогда, когда разность хода
Д от соответственных точек равна четному числу полуволн.
Как видно из рисунка 70, эта разность хода определяется
формулой:
A=dsin(p. A5.11)
При выполнении условия
dsm(p=2kj=kk A5.12)
свет от соответственных точек будет при интерференции в точке А
давать максимум освещенности. Выражение A5.12) называют
выражением для главных максимумов. Выражение для главных
максимумов так же, как и выражение для прежних минимумов,
справедливо при любом количестве щелей.
В направлении, для которого разность хода от соответственных
точек щелей равна нечетному числу полуволн, наблюдается
интерференционный минимум на экране. Поэтому в направлениях,
в которых каждая щель в отдельности дает на экране свет,
при совместном действии щелей света наблюдаться не будет,
если выполняется условие:
dsin(p=B*+l)-?-. A5.13)
Это справедливо для любого четного числа щелей. Направле-
Направления, определяемые выражением A5.13), называют направлениями
на дополнительные минимумы. Такое название происходит от-
оттого, что в случае одной щели в этих направлениях на экране
будет свет.
100
Дифракционная решетка. Прозрачную пластину, на которую
нанесен ряд параллельных непрозрачных полос, называют диф-
дифракционной решеткой. Прозрачные полосы в дифракционной
решетке можно рассматривать как щели. С увеличением числа
щелей главные максимумы и прежние минимумы, направления
на которые определяются выражениями A5.8) и A5.12),
справедливыми для любого числа щелей, остаются на прежних
местах, но максимумы становятся ярче, а промежутки между
ними все темнее. Дело в том, что с увеличением числа щелей
увеличивается число дополнительных минимумов и интенсивность
света в промежутке между максимумами уменьшается до исче-
зающе малого фона. С увеличением числа щелей энергия
световых колебаний в главных максимумах возрастает пропор-
пропорционально квадрату числа щелей.
Действительно, результирующая амплитуда А в главном
максимуме равна сумме амплитуд колебаний а, присылаемых
каждой щелью, так как в главных максимумах интерферируют
колебания в одинаковых фазах. Если число щелей N, то
A=Na.
Но поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату
амплитуды, то
E~A2=N2a2~N2.
Максимумы света на экране располагаются симметрично
относительно центрального максимума, для которого 6=0.
Максимумам присваиваются номера, соответствующие значениям
k. Различают максимумы первого, второго и т. д. порядка.
При освещении решетки белым светом максимумы одного и
того же порядка для различных длин волн будут наблюдаться
в различных направлениях. Это значит, что дифракционная
решетка разлагает свет сложного состава в спектр. На экране
все главные максимумы цветные, за исключением центрального
F=0) максимума, для которого разность хода всех длин волн
равна нулю; этот максимум остается белым.
Применение и изготовление дифракционных решеток. Спо-
Способность разлагать белый свет в спектр — ценное свойство
дифракционной решетки. Решетка, как и призма, является
спектральным прибором.
Чем шире спектр, чем на больший угловой интервал Аф
растягивается данный интервал длин волн АА,, тем лучше решетка
как спектральный прибор. Это качество дифракционных решеток
количественно характеризуется отношением —|-, называемым
дисперсией решетки.
Выражение A5.12) можно для малых углов ф записать так:
101
отсюда следует, что
Таким образом, дисперсия решетки тем больше, чем меньше
постоянная решетки d.
Хорошие решетки имеют тысячи щелей и непрозрачных
промежутков (штрихов) на миллиметре, а общее число щелей
на решетке шириной 15 см превышает 150 000.
Точность изготовления решетки должна быть велика. Если
хотя бы одна щель из 150 000 смещена от заданного положения
более чем на 10~5 мм (т.е. на — длины волны), решетку
бракуют. Нарушение правильности чередования щелей исказило
бы дифракционную картину, привело бы к появлению ложных
линий — «духов».
Изготовление хороших дифракционных решеток — трудней-
труднейшая научно-техническая задача. Машину для изготовления
решеток устанавливают на глубоко врытом в землю массивном
фундаменте. Температуру в помещении поддерживают постоянной
с точностью до 0,01 К. При изготовлении одной решетки алмазный
резец проходит путь до 27 км. Перед нарезанием машина
работает на холостом ходу от 5 до 20 ч для стабилизации
режима работы всех узлов. Нарезание одной решетки длится
до 7 сут. при времени нанесения одного штриха 3 с.
Основная область применения решеток — спектральный ана-
анализ. С помощью хороших решеток удается разделить спектраль-
спектральные линии, для которых разность длин волн составляет всего
1
400000
длины световой волны.
1. Каким условием определяются угловые размеры дифракционного пятна
на экране против малого отверстия?
2. Чем определяется разрешающая способность оптических приборов?
3. Почему белый свет после прохождения через узкую щель разлагается в
разноцветный спектр?
4. Почему для исследования оптических спектров применяют не одиночные
щели, а решетки с очень большим числом щелей?
5. Запишите условия для первого минимума при прохождении света через
одну щель и через две щели.
§ 16. ГОЛОГРАФИЯ
Интерференция света и когерентность. При сложении волн
от двух монохроматических точечных источников, колеблющихся
с одинаковой частотой ш, квадрат амплитуды колебаний напря-
напряженности результирующего колебания будет зависеть от ампли-
амплитуд колебаний напряженности слагаемых колебаний Ет< и Ет
102
и разности фаз ф|—фг:
22 ,--ф2). A6.1)
Этот результат легко можно получить, используя метод
векторных диаграмм. В зависимости от разности фаз амплитуда
напряженности в разных точках пространства имеет различные
значения — от максимального Е mi-\-E т„ до минимального
?т,—Е т,— и расположение максимумов и минимумов с течением
времени не изменяется.
Такое сложение волн, называемое интерференцией, возможно
только при выполнении условия когерентности.
Слово когерентность означает согласованность. Когерентными
называют колебания с одинаковой частотой и постоянной во
времени разностью фаз. Разность фаз постоянна во времени, если
источники волн возбуждают колебания одинаковой частоты
непрерывно или все изменения в источниках волн происходят
согласованно. Именно поэтому в опытах для наблюдения
интерференции волн на воде используют один вибратор с
двумя стержнями, а в опытах по наблюдению интерференции
звука — один генератор электрических колебаний с двумя
громкоговорителями. Волны от когерентных источников приходят
в каждую точку пространства с постоянной во времени раз-
разностью фаз.
Обычные источники света некогерентны. Чем это вызвано?
Элементарными источниками света являются атомы и молекулы
вещества. Излучение обычного источника света слагается из
излучений многих атомов. Каждый атом излучает независимо
от других. Следовательно, разность фаз колебаний все время
изменяется, и даже для излучений одинаковой частоты условие
когерентности не выполняется.
Результат сложения двух колебаний одинаковой частоты в
значительной степени зависит от того, как быстро изменяется
разность их фаз. Запишем выражение A6.1) для средних
значений амплитуд колебаний:
ф2). A9.2)
Если среднее значение выражения сов(ф|—ф2) за период
равно нулю, то результат сложения колебаний определяется
только их амплитудами и не зависит от фаз. В этом случае
говорят о полной некогерентности источников колебаний, при
этом
С-2 г-2 , г-2
рез т I 1 ^2 "
Для обычных источников света так и происходит. Плотность
потока излучения в любой точке, пропорциональная квадрату
амплитуды колебаний напряженности электрического поля
электромагнитной волны, равна сумме плотностей потоков
103
излучения, создаваемых каждым из них. Поэтому до недавнего
времени единственный способ наблюдения интерференции све-
световых волн заключался в том, что световые волны, испускаемые
одним источником света, разделяли с помощью экранов с
отверстиями, зеркал, пленок или преломляющих призм на две
части. Полученные таким образом две когерентные волны,
прошедшие различные оптические пути, затем накладывали друг
на друга и на экране наблюдали интерференционную картину.
Однако опыт показывает, что и при таком методе постановки
опыта интерференция наблюдается не всегда. Это объясняется
так. Излучение отдельного атома длится около 10~8с. За такое
время атом испускает ограниченный цуг волн некоторой длины L.
Длину цуга L можно найти как путь, пройденный световой
волной за время излучения атома т.«10~8с:
L^ct.^3- 108м/с- 1СГ8с«Зм.
При разности хода более трех метров будут встречаться
только волны разных цугов, и картина интерференции непрерыв-
непрерывно меняется.
Действительный предел разности хода в оптических интерфе-
интерференционных приборах оказывается значительно (на несколько
порядков) меньше 3 м в результате действия ряда других
причин. Рисунок 71 показывает, что по мере увеличения
разности хода Л/ картина интерференции ослабляется, так как
два цуга волн, излученные одним и тем же атомом, перекры-
перекрываются лишь частично, а при разности хода Al>L интерференция
Рис. 71
104
не наблюдается вовсе, так как при этом цуги волн, испущенные
одним атомом, не встречаются друг с другом.
Длину цуга L называют когерентным расстоянием, а время
свечения атома т — временем когерентности.
Рассмотренный тип когерентности называют временной
когерентностью. Существование временной когерентности учиты-
учитывается в опытах с интерферометрами типа интерферометра
Майкельсона. Картина интерференции будет наиболее четкой
при равенстве плеч интерферометра, когда имеет место полное
перекрытие волн одинаковых цугов.
Кроме временной, существует пространственная когерентность,
которую легко пояснить из опыта Юнга с двумя щелями
или отверстиями. В этом опыте световые волны от источника S
проходят через небольшое отверстие Si, а затем одновременно
и в одинаковых фазах достигают двух малых, близко расположен-
расположенных отверстий S2 и S3 (рис. 72). Эти отверстия в соответствии
с принципом Гюйгенса становятся источником новых волн.
Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране
Э было бы видно два световых пятна, расположенных раздельно
против отверстий S2 и S3. Но вследствие дифракции свет
распространяется расширяющимся конусообразным пучком, и на
экране светлые пятна частично перекрываются. Если источник
света монохроматический, например, испускается красный свет,
то в области перекрытия световых пятен наблюдается картина
Интерференции, представляющая собой чередование красных и
темных полос вокруг центральной красной полосы (см. обложку).
Рис. 72
105
Если закрыть одно из отверстий, наблюдается одно световое
пятно, и картина интерференции исчезает.
Каждая светлая полоса на экране является геометрическим
местом точек, разность расстояний от которых до отверстий
S2 и S3 равна четному числу полуволн, а каждая темная полоса —
геометрическое место точек, разность расстояний от которых
до отверстий равна нечетному числу полуволн.
Возможность наблюдения интерференции в опыте Юнга
обусловлена когерентностью волн, приходящих в любую точку
на экране от отверстий S2 и S3. Когерентность этих волн
обусловлена когерентностью волн, пришедших из отверстия
S[ к отверстиям S2 и S3.
Опыт показывает, что по мере увеличения размеров отверстия
Si, когда большое число точек получает возможность посылать
свет на щели S2 и S3, картина интерференции становится
все менее четкой и при некотором размере отверстия совер-
совершенно исчезает.
Это объясняется тем, что каждая точка большого отверстия
Si дает свою картину интерференции на экране, не совпадающую
с картинами интерференции от других точек.
Чем больше размеры отверстия, тем больше смещены друг
относительно друга картины интерференции от его крайних
точек. При некотором размере отверстия Si максимумы интер-
интерференции одной картины располагаются в местах минимумов
другой, и наблюдать интерференционную картину уже не
представляется возможным. В этих случаях принято говорить,
что нарушены условия пространственной когерентности на
щелях Si и S2 .
Фотография. Явления интерференции и дифракции света
могут быть использованы для получения объемных образов
предметов, принципиально отличающихся от тех, которые
получаются при обычном фотографировании.
При обычном фотографировании свет, отраженный от отдель-
отдельных точек освещенного объекта, фокусируется с помощью
объектива в точках на поверхности фотопленки.
Изображения точек, неодинаково удаленных от объектива,
получаются также на различных расстояниях от объектива.
Иными словами: если предмет является трехмерным, то и его
изображение получается объемным. Но так как это изображение
фиксируется в плоской фотопленке (фотоэмульсия имеет толщину
всего 6—25 мкм), то четким получается изображение только
части точек предмета, на которые была осуществлена наводка
на резкость. Другие точки объемного изображения, расположен-
расположенные ближе или дальше, на фотопленке дают нечеткие, размытые
пятна. Правда, с уменьшением размеров диафрагмы глубина
резкости может быть увеличена, но это дается ценой потери
света и увеличения экспозиции.
106
Почему же, рассматривая фотографию, мы все же получаем
представление о пространственном расположении предметов?
Ощущение объемности на пдоской фотографии создается
перспективой и тенями от бокового освещения предметов,
а также «привычкой» видеть объемные предметы плоскими.
Дело в том, что оптическая система глаза и фотоаппарата
одинакова (линза — фотопластинка, хрусталик — сетчатка). Рас-
Рассматривая объемный предмет или его фотографию, мы полу-
получаем на сетчатке глаза одинаковые «плоские» изображения.
Мозг человека «привык» распознавать объемные предметы
через их плоские изображения.
Но объемный объект и его фотография все же имеют
существенные различия в отношении их восприятия зрением.
Действительно, смещаясь относительно предмета, можно загля-
заглянуть за него и увидеть, как он выглядит сбоку, сзади и что за
ним находится. Это убеждает наблюдателя в том, что перед ним
расположен реальный предмет. Смещение же относительно
фотографии никаких дополнительных подробностей о предметах,
изображенных на ней, не дает. Так что обычная фотография
есть весьма условное изображение объемного предмета. В этом
изображении недостает значительной части той информации о
предмете, которую можно получить при непосредственном
рассматривании предмета.
Чем же вызвана эта потеря информации при фотографиро-
фотографировании? Дело в том, что фотопластинка регистрирует только
освещенность, т. е. амплитуду световых волн, отраженных от
различных точек предмета. Чем ярче точка предмета, тем
светлее изображение этой точки на позитиве. В то же время
световая волна в этой точке пространства характеризуется
не только амплитудой, но и фазой колебаний. А на почернение
фотопластинки фаза колебаний не влияет.
Можно сказать, что на фотопластинке не фиксируется
форма волновой поверхности, представляющей собой поверх-
поверхность равных фаз. А значит, фотография не несет никакой
объективной информации о расстоянии до различных точек
объемного объекта съемки. Ведь форма волновой поверхности,
достигающей наблюдателя или фотопластинки, зависит именно
от этих расстояний.
Если бы на фотопластинке удалось зафиксировать не только
амплитуду световых волн, рассеянных предметом, но и их фазу,
то при рассмотрении такой фотографии, рассеивающей свет
точно так же, как и объект, наблюдатель не смог бы отличить
ее от объекта.
Голография. Впервые более полную, чем в простой фотогра-
фотографии, регистрацию рассеянного предметом света удалось получить
в 1948 г. английскому физику Д. Габору. Он назвал пред-
предложенный им способ голографией (от греческого «голос» —
целый, весь).
107
В чем же состоит голографический метод получения изобра-
изображения? Для получения голограммы используют широкие пучки
когерентного света. Способы получения таких пучков мы
рассмотрим при знакомстве с устройством и принципом действия
лазера. Один из путей получения голограммы заключается в
следующем.
Широкий пучок когерентного света разделяется на две
части. Одна группа лучей достигает фотопластинки после
отражения от объекта. Это сигнальный пучок. Другая до-
достигает фотопластинки после отражения от плоского зеркала.
Это опорный пучок (рис. 73). В результате наложения этих
двух групп когерентных волн на фотопластинке образуется
интерференционная картина. Фотографию этой картины, получен-
полученную после обработки фотопластинки, называют голограммой.
Голограмма содержит информацию не только об амплитуде
волн, как обычная фотография, но в ней заложены данные и об
их фазе, т. е. о форме волновых поверхностей. Действительно,
Фотографи-
Фотографируемый
объект
Фотопластинка
Рис. 73
108
в Тех местах фотопластинки, где фазы опорных и сигнальных
BO.JIH совпадают, их амплитуда складывается, и результирующая
освещенность в таких местах будет больше той, какую каждая
из волн создает в отдельности. После позитивной обработки
фотопластинка в таких местах будет более прозрачной, чем
в тех, в которые обе волны прибывают со смещением по фазе.
Если для некоторых точек фазы волн окажутся противопо-
противоположными, а их амплитуды одинаковыми, то после обработки
эти точки будут черными, непрозрачными. Таким образом, явление
интерференции, преобразуя фазовые соотношения между волнами
в соотношения амплитуд, позволяет зафиксировать на фото-
фотопластинке фазовые соотношения между волнами в виде соответ-
соответствующих изменений прозрачности. Прямая фотографическая
регистация фазовых соотношений волн невозможна, так как
фотопластинка реагирует только на различие в освещенности,
т. е. на различие в амплитудах приходящих колебаний.
Характерно, что в отличие от обычной фотографии при
голографическом способе записи изображения не применяют
ни линзы, ни другие устройства, формирующие изображение.
Каждая точка объекта, отражая свет, посылает его на всю
голограмму, и каждая точка голограммы получает свет от
всего объекта.
Итак, голограмма предмета — это сложный интерференцион-
интерференционный узор из неравномерно расположенных интерференционных
полос, возникающих при взаимодействии сигнальной волны
сложной формы с плоской опорной волной. Она содержит в
себе полную информацию как об амплитудах, так и о фазах волн,
отраженных от объекта. Но голограмма не является фотогра-
фотографическим изображением объекта. Рассматривая ее, совершенно
невозможно догадаться, что на ней изображено. Каким же
способом можно извлечь из голограммы содержащуюся в ней
оптическую информацию об объекте?
Процесс получения изображения с помощью голограммы
называют восстановлением. Процесс восстановления голограммы
предельно прост.
Направим на голограмму точно таким же способом, как при
ее получении, опорный пучок когерентного света (рис. 74).
Через нее пройдут только те участки опорной волны, которые
находятся в фазе с сигнальной волной света, рассеянного
объектом при получении голограммы. А участки опорной волны,
отличающиеся по фазе от сигнальной волны объекта, будут
поглощены (или отражены) непрозрачными местами голограммы.
Таким образом, при прохождении опорной волны сквозь голо-
голограмму из нее исключается все то, чего не было в сигнальной
волне от объекта, и сохраняется все то, что в ней было.
В результате воспроизводится точно такое же распределение
фаз и амплитуд, какое было в сигнальном пучке, рассеянном
объектом.
109
Глаз
наблюдателя
Голограмма
Фотопластинка
Мнимое
изображение
Действительное^
изображение
Рис. 74
Все это происходит в соответствии с принципом Гюйгенса —
Френеля. Опорный пучок, падая на голограмму, возбуждает в
прозрачных ее местах колебания вторичных источников.
Амплитуды этих колебаний пропорциональны амплитудам сиг-
сигнальных волн в этих точках, и фазы их совпадают. По принципу
Гюйгенса — Френеля вторичные источники создают в окру-
окружающем пространстве такую же картину волновых полей, какая
была в сигнальном пучке от предмета.
Точное совпадение восстановленного волнового фронта с
сигнальным (падавшим на фотопластинку во время изготовления
голограммы) приводит к тому, что воспринимаемое зрением
изображение по внешнему виду неотличимо от предмета.
Голография с записью в трехмерной среде. В 1962 г.
советский физик Ю. Н. Денисюк предложил интересный и пер-
перспективный метод голографии с записью в трехмерной среде —
метод толстослойной фотоэмульсии. За эту работу он был
удостоен в 1970 г. Ленинской премии.
ПО
Рассмотрим процесс записи трехмерной голограммы, или
волновой фотографии (рис. III на цветной вклейке).
Предмет освещается монохроматическим когерентным источ-
источником. Свет, рассеянный объектом, интерферируя с основным
пучком, образует в пространстве вокруг предмета стоячие
вол^ы. Если в области стоячих волн располагается слой
прозрачной светочувствительной эмульсии, то после экспониро-
экспонирования и обработки этой эмульсии в местах образования пучностей
стоячих волн, где фазы опорной и сигнальной волн совпадают,
выделяется серебро. В эмульсии создаются серебряные слои —
зеркала с поверхностью сложной конфигурации, в точности
повторяющей конфигурацию расположения в пространстве пуч-
пучностей стоячих волн.
Если на полученную голограмму направить опорный пучок
от источника, для чего можно пользоваться даже обычным не-
некогерентным источником света, то, отражаясь от зеркал голот
граммы, образовавшихся на месте поверхностей пучностей,
свет изменит направление распространения. Причем на поверх-
поверхностях зеркал, в местах интерференционных максимумов, на-
направление распространения отраженных волн и распреде-
распределение фаз будут такими же, как и у волн, отраженных объектом
при экспонировании голограммы. Голограмма отражает свет
точно так же, как и предмет. Поэтому наблюдателю будет
казаться, что он видит реальный предмет, а не его голографиче-
ское изображение (рис. IV на цветной вклейке).
При освещении белым светом голограмма будет отражать
только волны таких длин, которые падали на нее при записи
и образовали серебряные слои, отстоящие друг от друга на
расстоянии -jj-. Волны других длин голограмма не отразит, и
они не примут участия в образовании изображения.
Если же при получении голограммы предмет осветить тремя
когерентными источниками видимого света с различными длинами
волн (рис. 75), то изображение, восстановленное белым светом
из полученной голограммы, будет таким же цветным, как и пред-
предмет. Черно-белая голограмма дает цветное изображение!
Голограмма — это материальная структура, отражающая
свет так же, как и заснятый на ней объект. Поэтому голограмму
называют иногда оптическим эквивалентом предмета. Именно
оптическим, а не действительным. Например, если взять в качестве
предмета вогнутое зеркало и получить его голограмму, то она
будет отражать и фокусировать свет точно так же, как и
вогнутое зеркало.
Свойства и особенности голограмм. Применения голографии.
Изображения, получаемые с помощью голограмм, обладают
удивительными особенностями.
Часть обычной фотографии предмета, разумеется, содержит
информацию только о части предмета. А если голограмму
ill
Рис. 75
разделить на несколько кусков, то при просвечивании опорные,
пучком света каждый из них в отдельности дает ту же картину
что и целая голограмма. Это свойство голограммы обусловленг
тем, что каждая ее точка при экспонировании подвергаете?
действию света, рассеянного всеми точками предмета, и све~.
отраженный каждой точкой предмета, освещает всю поверхностг
голограммы при экспонировании. Именно поэтому в каждол
112
небольшом куске голограммы в закодированном виде хранится
оптическая информация обо всем предмете.
Еще одна особенность голограммы состоит в том, что на
одной фотопластинке можно поочередно записать несколько
изображений различных предметов. Для этого после экспони-
экспонирования одного предмета другой располагают в другом месте
или просто меняют направление опорного пучка света. Каждое
изображение восстанавливается без помех со стороны других
изображений.
Еще Габор показал, что, применяя при восстановлении
голограммы расходящийся пучок света, можно получить большое
увеличение изображения предмета без помощи линзы. Он же
предложил получать голограммы с помощью электронных пучков,
а восстанавливать их видимым светом, так как методы получения
оптического изображения и проще, и более разработаны.
Уже сейчас получают голограммы с помощью рентгеновских
лучей, а восстанавливают их в видимом свете. Голограммный
метод позволяет снимать копии произведений искусства —
картин, скульптур,— ничем не отличающиеся от оригинала.
В 1977 г. в нашей стране состоялась первая эксперименталь-
экспериментальная демонстрация объемного голографического кинофильма.
Можно ожидать, что недалеко то время, когда объемное кино
и объемное телевидение на основе голографии станут повсед-
повседневной реальностью.
1. Что такое цуг световых волн?
2. Что такое временная и пространственная когерентность?
3. Каким способом можно получить когерентный пучок света?
4. Как получают голограмму? Восстанавливают топографические изображения?
5. Чем отличается голографнческое изображение от фотографического?
6. Как получают голограммы с записью в трехмерной среде?
§ 17. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Пример 6. Определите фокусное расстояние объектива, необходимого
для диапроекции в зале длиной L. Увеличение объектива равно К.
Решение. Из формулы линзы рассчитаем фокусное расстоя-
расстояние объектива:
Учитывая, что К=К, после преобразований получим:
Р_ Kd __ f
\ + К ~~ 1+/С"
Так как /«L, то
А~7+7г
из
Рис. 76
Пример 7. Фотоаппаратом, сфокусированным на бесконечность, сделали
фотоснимок. Фокусное расстояние объектива 5 см, отношение диаметра D
объектива к фокусному расстоянию F равно — =0,5. На каком минимальном
расстоянии </ от фотоаппарата предметы на снимке будут достаточно резкими,
если считать, что допустимое размытие изображения равно 0,1 мм?
Решение. Если объектив фотоаппарата установлен на бес-
бесконечность, то фотопленку размещают в его фокальной плоскос-
плоскости (рис. 76).
Точечный источник света S на фотопленке будет изображать-
изображаться в виде кружка диаметром х.
Из подобия треугольников запишем:
Р__ f
х — f-F ¦
Из условия задачи D-— и формулы линзы следует:
«-¦?¦
@.05J м-
2- 10 м
= 12,5 м.
Пример 8. Две собирающие тонкие линзы с фокусными расстояниями
Ft и F'2 имеют общую главную оптическую ось и находятся на расстоянии / друг
от друга. Найдите связь между расстоянием d от предмета до первой линзы и
расстоянием / от второй линзы до изображения, созданного системой линз.
Найдите фокусное расстояние системы линз.
Решение. Запишем формулу линзы для обеих линз:
F-2
(О
B)
Если свет падает сначала на первую линзу, то изображение,
построенное первой линзой, является предметом для второй линзы.
При этом выполняется равенство:
di=l-fi. C)
114
Из уравнений A), B) и C) следует:
_1_ 1 , _!__ [
I-
+r
d-F,
Если d-+oo, то f=F', где F' — фокусное расстояние системы
в том случае, когда свет падает на линзу с фокусным рас-
расстоянием F\\
+ <5'
Если свет падает сначала на линзу с фокусным расстоянием
F2, то фокусное расстояние F" оптической системы опреде-
определяется из уравнения:
' ' " ' F)
F"
F,
Из уравнений E) и F) следует, что F'^F", и лишь при
/==0, когда линзы находятся в контакте,
F' — F" F^ F2>
т. е.
D=Di+D2.
Оптическая сила двух тонких линз, находящихся в контакте,
равна сумме оптических сил каждой линзы.
Пример 9. Труба Кеплера наведена на Солнце. Фокусное расстояние
объектива равно /^j =50 см, окуляра Fi=5 см. На расстоянии /=15 см от окуляра
расположен экран. При каком расстоянии L между объективом и окуляром на
экране получится четкое изображение Солнца? Чему равен диаметр D этого
изображения? Угловой диаметр Солнца а=30'.
Решение. Объектив трубы Кеплера в фокальной плоскости
дает изображение Солнца диаметром x—aF\. Это изображение
служит предметом для окуляра (рис. 77).
Рис. 77
115
Из формулы линзы для окуляра запишем:
JiJ___L d—Jh-
d ^ f f2 ' " f-F, ¦
Из рисунка 77 видно, что
f — F2
==50 см
15 ,cnM'5 см
10 см
= 57,5 см.
Диаметр изображения D можно найти из подобия треуголь-
треугольников АОВ и M0N:
D _ f
х L-F,
—— -50 см-15 см
57
7,5 см
*0,88 см.
Пример 10. Докажите, что с помощью сферического зеркала можно полу-
получать изображения предметов. Выведите формулу сферического зеркала.
Решение. На рисунке 78 представлено схематическое изоб-
изображение вогнутого сферического зеркала. Точка О — центр
сферической поверхности зеркала радиусом R, точка Р — верши-
вершина сферического сегмента, называемая обычно полюсом зеркала.
Прямую, проходящую через точки О и Р, называют главной
оптической осью. Точка S — положение светящейся точки. Луч,
испущенный из точки S вдоль главной оптической оси, после
отражения от зеркала пойдет в противоположном направлении
по той же оси, так как угол падения луча равен нулю градусов.
Если все лучи, исходящие из точки S, после отражения от зеркала
сходятся в одну точку, то эта точка должна лежать на главной
оптической оси. Для нахождения точки S', называемой изображе-
изображением точки S, направим из точки S произвольный луч под малым
углом Pi к главной оптической оси. После отражения от зеркала
в точке А (угол падения и угол отражения обозначены через а)
этот луч пересечет главную оптическую ось в точке S'.
Чтобы доказать, что любые
другие лучи, исходящие из точ-
точки S, пройдут через точку S',
нужно показать, что расстоя-
расстояние f от полюса Р зеркала до
изображения S' при заданном
расстоянии d от источника све-
света до полюса зеркала не зави-
зависит от угла Рь
Для узких пучков лучей,
рис. 78 близких к главной оптической
116
6
s
---¦—.
0
i V
¦*" s'
Рис. 79 Рис. 80
оси, справедливо условие h<^R. Для них углы Pi, ф и ^2 до-
достаточно малы, поэтому выполняются приближенные равенства:
h_
d '
A)
г sin ф«—
h_
R '
Так как внешний угол любого треугольника равен сумме
двух внутренних, не смежных с ним, то справедливы равенства:
f<P=pi+a,
1р2=Ф+а. B)
Из условия B) получаем:
р, + р2=2ф. C)
С учетом выражения A) находим:
±4-1 = 1.
d'1' f R'
D)
Это выражение называют формулой сферического зеркала. Из по-
полученной формулы следует, что величина f= ** не зависит
2.U — R
от угла Pi. Следовательно, все лучи, испускаемые источником S,
соберутся в точке S'.
Если источник света находится очень далеко от зеркала
(d—voo), то из формулы зеркала получаем:
f=±
1 2 '
т. е. при падении на вогнутое сферическое зеркало пучка лучей,
параллельного главной оптической оси, все они собираются в
одной точке F, называемой фокусом зеркала. Фокусное расстоя-
расстояние F, расстояние от полюса зеркала до его фокуса, равно
половине радиуса кривизны зеркала: ?=-§- (рис. 79).
Используя свойство лучей, идущих параллельно главной оп-
оптической оси, можно построить изображение в сферическом зер-
зеркале от источника, находящегося в произвольном месте. После
отражения от зеркала луч, идущий параллельно главной оптиче-
оптической оси, пересекает главную оптическую ось в фокусе зеркала
(рис. 80). На основе принципа обратимости световых лучей
117
любой луч, проходящий через фокус, после отражения от зерка-
зеркала пойдет параллельно главной оптической оси.
Примечание. При использовании формулы сферического
зеркала следует учитывать правила знаков:
1. Фокусное расстояние вогнутого зеркала считают поло-
положительным, фокусное расстояние F выпуклого зеркала — отри-
отрицательным.
2. Расстояние / до действительного изображения счита-
считают положительным, до мнимого изображения — отрицательным.
Пример 11. Постройте изображение предмета, находящегося на расстоя-
расстоянии d от сферического зеркала радиуса R.
Решение. Для построения изображения используем любые
из трех лучей, ход которых легко предсказать, исходя из основных
свойств сферического зеркала, не проводя строгих геометриче-
геометрических построений:
1) луч, падающий на зеркало параллельно главной оптиче-
оптической оси, после отражения проходит через фокус, находящийся
на расстоянии — от полюса зеркала;
2) луч, падающий на зеркало через главный фокус, вслед-
вследствие принципа обратимости световых лучей после отражения
идет параллельно главной оптической оси;
3) луч, проходящий через оптический центр зеркала, падает
перпендикулярно поверхности зеркала и после отражения идет
по этой же прямой.
В зависимости от соотношения между d и R, а также от вида
зеркала (вогнутое или выпуклое) изменяются характер изобра-
изображения и его размер. Например, построение изображения для
вогнутого зеркала при условии d>R представлено на рисунке 81.
В этом случае изображение действительное, уменьшенное, пере-
перевернутое. Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.
Выпуклое зеркало всегда дает изображение мнимое, прямое,
уменьшенное (рис. 82).
Рис..81
Рис. 82
118
Пример 12. Определите условия
наблюдения интерференционных макси-
максимумов и минимумов при отражении
монохроматического света с длиной
волны X от тонкой плоскопараллель-
плоскопараллельной пленки толщиной а. Показатель
преломления пленки равен п.
Решение. На рисунке 83
показан ход луча АО, падаю-
падающего на тонкую плоскопарал-
плоскопараллельную пленку под углом а. В
результате многократного отра-
отражения и преломления падаю-
падающая на пленку световая волна
разделится на ряд волн, отра-
отраженных п. проходящих через
пластинку.
Для расчета интерференционной картины при малом отраже-
отражении достаточно ограничиться двумя лучами ОВ\ и D\Bz, так
как энергия последующих отраженных волн будет мала по сравне-
сравнению с энергией первых двух волн.
Оптическая разность хода для этих двух волн равна:
M=(OCi + ClDi)n-OF=^IL-2a tg psin a.
cos р
Так как по закону преломления sin " =п, то
Рис. 83
cos
1—cos p sin
cosp
=2ancos fr=2a yV-si
sin2a.
При отражении волны в точке О от оптически более плот-
плотной среды происходит смена ее фазы на противоположную, при
отражении волны в точке С\ от оптически менее плотной среды
изменения фазы не происходит. Поэтому интерференционная кар-
картина будет определяться разностью хода А/' с учетом потери
2 '
Из условия интерференционного максимума Д/'=2/г-|-следует:
2av^2-sin2a =Bk+ 1)-^-,
а из условия интерференционного минимума Al' = Bk— 1)—:
2a
— sin2 a = 2k -|-= kX.
119
Задачи для самостоятельного решения
Задача 16. Найдите частоту звука, регистрируемую приемником при часто-
частоте источника звука 450 Гц, скорости звука в воздухе 340 м/с для случая:
а) источник звука движется в воздухе со скоростью 34 м/с к неподвижному
приемнику; б) приемник звука движется в воздухе со скоростью 34 м/с к не-
неподвижному источнику звука; в) источник и приемник звука движутся навстречу
друг другу, скорость каждого из них относительно воздуха 17 м/с.
Задача G. В трубу органа вдувается воздух при температуре 17° С, и при
этом труба издает звук с частотой 440 Гц. При какой температуре вдуваемого
воздуха эта же труба будет издавать звук с частотой 466 Гц?
Задача 18. Реактивный самолет пролетел со скоростью, в 2,5 раза пре-
превышающей скорость звука, на высоте .5 км над наблюдателем. На каком рас-
расстоянии от наблюдателя был самолет, когда человек услышал звук?
Задача 19. Вычислите радиусы первых двух зон Френеля на расстоянии
2 м от точечного источника света с длиной волны 4,9-10 7 м. Расстояние от
источника света до наблюдателя 4 м.
Задача 20. На расстоянии 1 м от точечного источника света с длиной
волны 5-10 м расположена диафрагма с круглым отверстием. При каком
радиусе отверстия центральная часть дифракционной картины на расстоянии
2 м от отверстия будет наиболее светлая и при каком радиусе наиболее темная?
Задача 21. На каком минимальном расстоянии от наблюдателя должна
находиться автомашина, чтобы две включенные фары машины он видел как то-
точечный источник света? Расстояние между фарами 1,2 м, а диаметр зрачка
в ночное время 5 мм. Длину волны света, испускаемого фарами, считайте
равной 5,5-10~7 м.
Задача 22. На каком угловом расстоянии ср возникнут максимумы ин-
интенсивности света при расстоянии между щелями </, меньшими длины волны Л?
Задача 23. Как можно оптическим путем измерить ширину щели?
Задача 24. Предложите оптический метод измерения толщины волоса.
Задача 25. Сколько длин волн желтого света (Л=5,7-10~7 м) уложится
в цуге световых волн, излучаемых отдельным атомом? Считайте, что время
излучения света отдельным атомом равно 10 " с.
Задача 26. Можно ли увидеть космонавта на Луне в самый большой
в мире оптический телескоп с диаметром зеркала 6 м?
Задача 27. В микроскопе фокусное расстояние объектива равно F\ =
=0,52 см, а окуляра ^2=2,6 см. Предмет находится от объектива на расстоя-
расстоянии di=0,54 см. Определите увеличение микроскопа для нормального глаза.
Задача 28. Расстояние от оптического центра глаза до сетчатки f=
= 15 мм. Человек пользуется очками с оптической силой Di = -)-3 дптр для чтения
книги на расстоянии 25 см. На каком расстоянии от глаз он должен держать
книгу для чтения без очков? Оптическая сила нормального глаза D0=70,6 дптр.
Задача 29. Определите оптическую силу очков для дальнего зрения, вос-
восполняющих недостаток зрения близорукого человека, для которого дальняя точ-
точка аккомодации находится на расстоянии 25 см. (Для нормального глаза дальняя
точка аккомодации находится на бесконечности.)
Задача 30. Стеклянная линза, у которой одна поверхность сферическая
радиусом /?=8,6 м, а вторая плоская, положена выпуклой стороной на плоскую
120
стеклянную пластину. Прн освещении сверху параллельным пучком монохромати-
монохроматического света, падающим перпендикулярно плоской пластине, в отраженном
свете наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся темных
и светлых колец (кольца Ньютона). Определите длину световой волны, если
радиус четвертого темного кольца равен /ч=4,5 мм.
Задача 31. Как изменяется изображение и его положение относительно
собирающей линзы при перемещении предмета нз бесконечности к линзе?
Задача 32. Как изменяется изображение и его положение относительно
рассеивающей линзы прн перемещении предмета из бесконечности к линзе?
Задача 33. Какую форму имеет фронт волиы, распространяющейся от
источника, движущегося прямолинейно со скоростью v, большей скорости рас-
распространения волн и?
Задача 34. Для получения направленного пучка света в прожекторе в ка-
качестве отражателя используют вогнутое сферическое зеркало диаметром ?)=0,2 м
с радиусом кривизны R—-2 м. Точечный источник света находится на расстоянии
d=l,14 м от полюса зеркала. Определите диаметр а светового пучка на рас-
расстоянии 12 м от прожектора.
Задача 35. Как следует расположить двояковыпуклую линзу и сфериче-
сферическое вогнутое зеркало, имеющие общую оптическую ось, чтобы лучи от источника
света, расположенного на этой оси, пройдя через линзу и отразившись от
зеркала, создали изображение источника в той же точке, где находится -источник
света?
Задача 36. К вогнутому сферическому зеркалу приложена вплотную
собирающая линза, закрывающая центральную часть отражающей поверхности
зеркала, Эта оптическая система дает два изображения одного источника света:
одно получается на расстоянии /i=0,6 м, а другое — на расстоянии /=0,2 м от
зеркала. Чему равно фокусное расстояние линзы?
Задание для самопроверки № 2
1. Уравнение колебаний ис-
источника волн х=2 sin 200 Jit.
Модуль скорости распростра-
распространения колебаний в среде 400 м/с.
Чему равна длина волны?
А. 2 м. Б. 2л м. В. 4 м.
Г. 4л м. Д. Среди ответов А — Г
нет правильного.
2. На рисунке 84, а пред-
представлен график зависимости
координаты у конца резинового
шнура от времени, а на рисун-
рисунке 84, б — профиль волны, соз-
созданной в этом шнуре. Чему ра-
равен модуль скорости распрост-
распространения волны?
А. 2,5 м/с. Б. 5 м/с. В. 10 м/с.
Г. 20 м/с. Д. 40 м/с.
Рис. 84
121
Рис. 85
3. От каких из перечисленных ниже параметров зависит ско-
скорость распространения звуковой волны в воздухе?
А. От температуры воздуха. Б. От частоты колебаний источ-
источника волны. В. От длины звуковой волны. Г. Скорость звуковой
волны зависит от всех перечисленных в ответах А — В парамет-
параметров. Д. Скорость звуковой волны ни от одного из перечислен-
перечисленных параметров не зависит.
4. Звучащий динамик подносят к цилиндру, частично запол-
заполненному водой. При каком минимальном расстоянии от поверхнос-
поверхности воды до края цилиндра наблюдается усиление звука на часто-
частоте 340 Гц? Скорость звука в воздухе считайте равной 340 м/с.
А. 0,125 м. Б. 0,25 м. В. 0,5 м. Г. 1 м. Д. 2 м.
5. Два динамика подключены к выходу одного генератора
электрических колебаний с частотой 170 Гц. Определите резуль-
результат интерференции звуковых волн в точках А и В (рис. 85).
Модуль скорости звука в воздухе равен 340 м/с. Колебания
диффузоров в динамиках считайте происходящими в одной фазе.
А. В точках А и В — максимум. Б. В точках А и В — мини-
минимум. В. В точке А — максимум, в точке В — минимум. Г. В точ-
точке Л — минимум, в точке В — максимум. Д. Ни один из приведен-
приведенных ответов не является правильным.
6. Точечный источник звука с частотой 680 Гц находится
в точке А над отражающей звук поверхностью MN (рис. 86).
Амплитуда звуковой волны источника равна а. Чему равна ампли-
амплитуда А волны в точке В, если скорость звука в воздухе равна
340 м/с?
А. 0. Б. а. В. 2а. Г. 0<Л<а. Д. а<Л<2а.
7. Имеется три свободных электрических заряда. Первый из
них движется равномерно и прямолинейно, второй прямолинейно
с постоянным ускорением, третий совершает гармонические коле-
колебания. Какой из зарядов излучает электромагнитные волны?
А. Только первый. Б. Только второй. В. Только третий. Г. Все
три заряда. Д. Второй и третий.
8. Какова зависимость напряженности Е электрического поля
электромагнитной волны от расстояния г до ускоренно движуще-
движущегося электрического заряда?
А.
Б.
1
-г- в-
Е—1-.
г
ность Е от расстояния не зависит.
-5- Г.
-—. Д. Напряжен-
122
9. Сравните энергии Wi и
W2 электромагнитных волн, из-
излучаемых колеблющимися по
гармоническому закону элект-
электрическими зарядами в единицу
времени при одинаковой ампли-
амплитуде колебаний, если частоты
колебаний зарядов равны vi=
= 1 МГц, v2=10 МГц.
А -^ = 1 Б -^ = 10 В -^ = 102 Г —
10. При пропускании монохроматического света длиной вол-
волны X через круглое отверстие на экране получается дифрак-
дифракционная картина. Что наблюдается в центре дифракционной
картины?
А. Спектр. Б. Белое пятно. В. Обязательно темное пятно.
Г. Обязательно свет длиной волны X. Д. Свет длиной волны X или
темное пятно.
11. При освещении монохроматическим светом длиной волны
X непрозрачного диска малых размеров на экране наблюдается
дифракционная картина. Что наблюдается в центре дифракцион-
дифракционной картины?
А. Спектр. Б. Белое пятно. В. Обязательно темное пятно.
Г. Обязательно свет длиной волны X. Д. Свет длиной волны X или
темное пятно.
12. Свет переходит из вакуума в стекло с показателем пре-
преломления п. Какое из следующих утверждений справедливо?
А. Частота и скорость света уменьшились в п раз. Б. Длина
световой волны и скорость света уменьшились в п раз. В. Частота
и скорость света не изменились. Г. Длина световой волны увеличи-
увеличилась в п раз, а частота уменьшилась в п раз. Д. Длина свето-
световой волны уменьшилась в п раз, а частота увеличилась в
п раз.
13. Чему равна разность хода лучей в отраженном свете
при переходе света из воздуха в тонкую пленку из вещества с
показателем преломления л и из пленки снова в воздух (рис. 87)?
A. AB+BC-AD.
Б. (AB+BC)n-AD.
B. АВ+ВС—AD— -i-.
Г. (AB+BQn—AD—j:
Д. (AB+BC)n-AD-X.
14. Для «просветления оп-
оптики» на поверхность линзы на-
наносят тонкую пленку с показа-
показателем преломления п, меньшим
показателя преломления стек- рис. 87
1 ZO
\
1
1
V
в
1С
/
п
ла. Чему должна быть равна минимальная толщина пленки,
чтобы свет, длина волны которого в воздухе X, полностью про-
проходил через линзу?
15. Плоская световая волна длиной X падает перпендику-
перпендикулярно плоскости дифракционной решетки, у которой ширина
прозрачной области а, а непрозрачной Ь. Какая из приведен-
приведенных ниже формул выражает для такой решетки условие максиму-
максимума для угла ф между перпендикуляром к плоскости решетки и на-
направлением, по которому наблюдается первый максимум?
A. a sin ц)=Х. Б. acoscp=L В. (a-(-fe)cos ц>=Х. Г. b sin <p=X.
Д. (а-\-b) sin cp=X. E. b cos ц>=Х.
16. Для какого излучения можно в качестве дифракционной
решетки использовать кристалл?
А. Для инфракрасных лучей. Б. Для видимого света. В. Для
ультрафиолетовых лучей. Г. Для рентгеновских лучей. Д. Для
всех излучений, перечисленных в ответах А — Г.
17. Плоская электромагнитная волна проходит через круг-
круглое отверстие в экране. Какой из графиков, приведенных на
рисунке 88, соответствует зависимости амплитуды колебаний век-
вектора Ё напряженности электрического поля от диаметра отвер-
отверстия d на прямой, проходящей через его центр и перпенди-
перпендикулярной к экрану?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
18. Чему приблизительно равна разрешающая способность
человеческого глаза?
А. 15". Б. 1'. В. 4'. Г. 15'. Д. Г.
19. Чему равно минимальное расстояние, на котором с по-
помощью микроскопа могут быть разрешены две светящиеся точки,
испускающие свет длиной волны X?
A. ~0,U, Б. ~А,. В. ~10Х. Г. ~100Л.. Д. Среди ответов
А — Г нет правильного.
20. Известно, что вследствие дифракции изображения звезд,
получаемые с помощью телескопа, не являются точечными. Это
ограничивает разрешающую способность телескопа. Каким обра-
образом можно улучшить его разрешающую способность?
Е Е
E
A
E
E
AM
1 d 2 d 3 d 4 d
Рис. 88
124
А. Увеличить диаметр D объектива телескопа и его фокус-
фокусное расстояние F. Б. Уменьшить D и F. В. Увеличить D и умень-
уменьшить F. Г. Уменьшить D и увеличить F. Д. Ни один из пере-
перечисленных в ответах А — Г способов не изменит разрешающую
способность.
§ 18. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
5. Получение оптических изображений с помощью отверстия
в непрозрачном экране
Оборудование: лист станиоля, игла, лист миллиметровой бумаги.
Указание. Проколите острием иглы в листе станиоля или
бумаги отверстие. Поместив лист с отверстием между настоль-
настольной лампой и белым листом бумаги, пронаблюдайте полученные
изображения нити лампы. Объясните наблюдаемое явление.
Приблизив лист станиоля на 1—2 см к одному глазу, посмотри-
посмотрите через отверстие на текст, напечатанный мелким шрифтом, или
на лист миллиметровой бумаги с расстояния в 2—3 сантиметра.
Объясните, каким образом отверстие малых размеров дает
возможность наблюдать увеличенные изображения предметов.
Сделайте поясняющий чертеж.
6. Оценка длины световой волны по наблюдению
дифракции от щели
Оборудование: штангенциркуль, лампа накаливания с прямой нитью,
белый экран н рулетка измерительная.
Указание. Оценку длины световой волны можно произвести
на основании наблюдения дифракции света от щели. Условие
наблюдения первого дифракционного максимума от щели имеет
вид:
a sin ф=уК
где а — ширина щели; ср — угол дифракционного отклонения
света от направления первичного луча; i — длина световой волны.
Следовательно, для определения длины световой волны в опыте
по наблюдению дифракции необходимо измерить ширину щели
и угол, под которым наблюдается первый максимум.
Щель для наблюдения дифракции следует выбрать шириной
0,05—0,1 мм. Точность определения ширины зазора между нож-
ножками штангенциркуля можно несколько повысить, если восполь-
воспользоваться следующим приемом. Взяв 20 листов бумаги, измеряют
с помощью штангенциркуля их общую толщину. Разделив общую
толщину на 20, находят толщину одного листа бумаги. Сжав
плотно один лист бумаги ножками штангенциркуля, устанавли-
устанавливают между ними зазор шириной а, равной толщине одного
листа бумаги. Зафиксировав подвижную ножку штангенциркуля,
вынимают осторожно лист бумаги.
125
Рис. 89
Затем на демонстрационном столе устанавливают лампу с
прямой нитью накала и небольшой экран из белой бумаги шири-
шириной около 10 см таким образом, чтобы нить лампы находилась
против середины экрана. При рассматривании нити через щель
между ножками штангенциркуля, расположенную параллельно
нити, наблюдают на экране дифракционные полосы. Изменяя
расстояние от места наблюдения до лампы, можно добиться полу-
получения такой картины дифракции, при которой, например, первая
дифракционная полоса красного цвета проецировалась бы на
край экрана за лампой (рис. 89). Измерив расстояние / от
места наблюдения до края экрана и расстояние b от середины
до края экрана и зная ширину а щели, можно вычислить длину
световой волны:
Я,=-|а sin <рж-|а-р
7. Определение разрешающей способности глаза
Оборудование: игла, лист миллиметровой бумаги, лист белой бумаги,
рулетка измерительная.
Указание. Разрешающая способность глаза как оптической
системы зависит от диаметра зрачка. Если перед глазом распо-
расположен непрозрачный экран с отверстием, диаметр которого мень-
меньше диаметра зрачка, то разрешающая способность глаза умень-
уменьшается вследствие дифракции света на отверстии.
Для проведения исследования необходимо подготовить объект
наблюдения и ряд отверстий различного диаметра в непрозрач-
непрозрачном экране. Для наблюдения можно использовать лист бумаги с
двумя черными точками на расстоянии 1 мм одна от другой.
В качестве экрана можно использовать полосу миллиметровой
бумаги, в которой иглой прокалываются отверстия диаметром
0,3, 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0 мм.
Выполнять измерения удобно вдвоем. Один из эксперимента-
экспериментаторов наблюдает через отверстие в экране черные точки, а вто-
126
рой измеряет максимальное расстояние от глаза наблюдателя до
этого листа, при котором через данное отверстие две точки еще
видны раздельно.
Возможный вариант выполнения работы
1. Установите перед правым глазом экран из миллиметровой
бумаги и наблюдайте через отверстие диаметром 0,3 мм в экране
две точки на листе белой бумаги, находящиеся на расстоянии
1 мм. Постепенно удаляясь от листа бумаги, определите макси-
максимальное расстояние, на котором две точки еще не сливаются в
одну, а видны раздельно.
2. Такие же наблюдения выполните с отверстиями диаметром
0,5, 1,0, 1,5 и 2,0 мм. Результаты измерений занесите в таб-
таблицу.
3. Принимая расстояние / между точками, равное 1 мм, за
длину дуги окружности, а расстояние R от глаза до листа бума-
бумаги — за радиус окружности, вычислите минимальное угловое рас-
расстояние ф между точками при наблюдении через отверстия с диа-
диаметром 0,3, 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0 мм по формуле
Постройте график зависимости разрешающей способности глаза ф
от диаметра d отверстия в экране.
4. Установив значение угла, которое практически не умень-
уменьшается при дальнейшем увеличении диаметра отверстия в экране
перед глазом, оцените линейные размеры светочувствительных
элементов сетчатки глаза — колбочек. В расчетах можно принять,
что расстояние от роговицы до сетчатки глаза равно 18 мм, и
считать, что два точечных источника света регистрируются гла-
глазом как раздельные, если расстояние между их изображениями на
сетчатке превышает удвоенный диаметр колбочки.
Наблюдения и расчеты выполните отдельно для правого и ле-
левого глаза.
8. Определение параметров линзы
Оборудование: симметричная двояковыпуклая линза, плоское зеркало,
сосуд с водой, карандаш, штатив для фронтальных работ.
Указание. Определение фокусного расстояния собирающей
линзы не представляет затруднений, если есть яркий и доста-
, точно удаленный источник света. В этом случае фокусное рас-
расстояние может быть найдено путем измерения расстояния от лин-
линзы до действительного изображения удаленного источника на эк-
экране. Если же нет яркого удаленного источника света и экрана,
то фокусное расстояние F линзы можно определить по измерен-
127
ным расстояниям d до предме-
предмета и / до действительного изоб-
изображения.
Для точного йпределения
положения действительного
изображения в пространстве
можно использовать метод па-
параллакса с применением пло-
плоского зеркала. Положите на
стол плоское зеркало, на него
линзу. Закрепите в штативе
остро отточенный карандаш.
Изменяя расстояние от ка-
карандаша до линзы, найдите та-
такое положение карандаша, при
котором он и его изображение
не будут смещаться друг относительно друга при изменениях
положения глаза наблюдателя (рис. 90).
В этом случае d=f. Так как свет проходит через линзу
дважды, оптическая сила D\ системы линза — зеркало оказыва-
оказывается в два раза больше оптической силы линзы D:
Di=2D,
а фокусное расстояние F\ системы в два раза меньше фокус-
фокусного расстояния F линзы:
П~~ 2 •
Поэтому фокусное расстояние F линзы определяется из вы-
выражения:
Рис. 90
_!_=-? =.±4-— F—
F F f -^ d'
F
f
d'
f+d-
Показатель преломления стекла, из которого изготовлена лин-
линза, можно определить из формулы:
Так как линза симметричная и двояковыпуклая, то Ri=R2=R,
а следовательно,
1 2
откуда
2f
(О
Для определения радиуса кривизны поверхности линзы мож-
можно налить на зеркало немного воды в место контакта его с лин-
128
зой. В этом случае получается
оптическая система, состоящая
из стеклянной двояковыпуклой
линзы, водяной плосковыпуклой
линзы и зеркала (рис. 91). Ис-
Используем аналогичную методи-
методику для определения фокусно-
фокусного расстояния этой оптической
системы, добиваясь равенства
/' и d'. Оптическая сила ?)с
этой системы равна: Dc=DB-(-
+Д где D — оптическая сила
стеклянной линзы, DB — оп-
оптическая сила водяной линзы.
Фокусное расстояние FB во-
водяной линзы можно найти из
уравнения:
Рис 91
'F,.
B)
С другой стороны,
Так как Ri=—R, #2=°°, получим:
±==(\-nB)R.
Из выражений A), B) и C) получаем:
C)
Фокусное расстояние Fc системы линз определяется методом,
использованным в первой части работы.
5. Зак. 1320 О. Ф. Кабардин
Глава III
КВАНТЫ И ЧАСТИЦЫ
§ 19. ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
Электромагнитная теория света и законы излучения черного
тела. Открытие электромагнитных волн, изучение их свойств и
законов распространения показали, что основные свойства света
объясняются электромагнитной теорией света. Однако для полно-
полного торжества электромагнитная теория должна была дать объяс-
объяснение не только закономерностям распространения света, но и
законам излучения и поглощения света веществом.
Для теоретического рассмотрения наибольший интерес пред-
представляют нагретые тела, свойства которых близки к свойствам
абсолютно черного тела, т. е. тела, полностью поглощающего па-
падающее на него электромагнитное излучение с любой длиной вол-
волны. Моделью черного тела может служить полый сосуд произ-
произвольной формы, например цилиндрический, с отверстием в стенке
столь малых размеров, что луч света, проникший в этот сосуд
через отверстие, практически полностью поглощается при много-
многократных отражениях от его стенок и не может выйти наружу
(рис. 92).
Экспериментально было установлено, что при нагревании сте-
стенок такого абсолютно черного тела интенсивность и спектраль-
спектральный состав электромагнитного излучения, исходящего из отвер-
отверстия, совершенно не зависят от того, из каких материалов из-
изготовлены стенки сосуда, и определяются только их температурой.
Для выяснения общих законов теплового излучения нагретых
тел физики сосредоточили свои усилия в первую очередь на
изучении законов излучения абсолютно черного тела. Австрийский
физик Й. Стефан экспериментально установил, что полная энер-
энергия Е, излучаемая за 1 с едини-
единицей поверхности абсолютно чер-
черного тела, пропорциональна
четвертой степени абсолютной
температуры Г:
Е=оТ\ A9.1)
К такому же выводу пришел
теоретически австрийский фи-
физик Л. Больцман.
Если энергию излучения аб-
абсолютно черного тела выражать
в джоулях, а площадь поверх-
Рис. 92
130
140,
120-
"^ 80-
1
1 60-
1
%20-
n
и
/]Y~ "~—— Мб к
/ \
j \ ^^ 1449 К
I \^^
W\\
/j [ \\^^
7 2 J 4 J 5 A,/ikm
Видимый, свет
Рис. 93
ности — в квадратных метрах,
постоянная о в законе Стефа-
Стефана — Больцмана равна:
о=5,67.1(Г8 Дж/(м2-К4-с).
Закон Стефана — Больцмана
позволяет определить темпера-
температуру нагретого тела путем из-
измерения полной энергии, излу-
излучаемой нагретым телом в еди-
единицу времени, или, наоборот,
вычислить энергию излучения
черного тела по известной тем-
температуре.
Наибольшую трудность для
теоретической физики конца
XIX в. представила задача
объяснения распределения
энергии в спектре излучения
абсолютно черного тела. Экспе-
Экспериментально было установлено,
что нагретое черное тело излу-
излучает электромагнитные волны
всевозможных частот.
Пример экспериментально полученных кривых распределения
энергии в спектре излучения черного тела представлен на рисун-
рисунке 93. По оси абсцисс отложены длины волн, по оси ординат —
интенсивность электромагнитного излучения черного тела (в от-
относительных единицах). Как видно из рисунка 93, при каждом
заданном значении температуры Т интенсивность излучения чер-
черного тела максимальна при некотором определенном значении дли-
длины волны X тах. При удалении от этого значения длины волны
как в область более длинных волн, так и в область более коротких
интенсивность электромагнитного излучения плавно убывает.
Различным значениям температуры соответствуют разные
длины волн, на которых интенсивность излучения черного тела
максимальна. Немецкий физик В. Вин обнаружил, что при изме-
изменении температуры длина волны, на которую приходится макси-
максимум излучения, убывает обратно пропорционально абсолютной
температуре:
^max^=const. A9.2)
Это соотношение получило название закона смещения Вина. Ис-
Используя законы термодинамики, Вин получил следующий закон
распределения энергии в спектре черного тела:
131
где F — некоторая функция, зависящая только от отношения
частоты v к температуре Т. Оказалось, что, подбирая вид этой
функции, можно добиться хорошего совпадения формулы A9.3)
с экспериментальными результатами лишь в области больших
частот; получить же при этом хорошего согласия с данными
эксперимента в области малых частот не удавалось.
Попытка более строгого теоретического вывода закона рас-
распределения энергии в спектре черного тела была сделана англий-
английским физиком Д. Рэлеем. Рэлей исходил из предположения, что
внутри каждого атома имеются электроны, способные под дейст-
действием падающей электромагнитной волны приходить в колебатель-
колебательное движение. Колебания же электронов, в свою очередь, должны
сопровождаться излучением новых электромагнитных волн, кото-
которые поглощаются другими атомами, и т. д.
Как показал Рэлей, распределение энергии в спектре элект-
электромагнитного излучения черного тела при условии равенства
поглощаемой и излучаемой энергии определяется формулой:
4
Av
A9.4)
известной как закон Рэлея — Джинса.
Замечательная особенность этого закона заключается в том,
что равновесие между процессами излучения и поглощения элект-
электромагнитных волн зависит только от температуры. Заряд, масса
и другие параметры частиц, совершающих колебания, в формулу
закона Рэлея — Джинса не входят.
Закон Рэлея — Джинса приводил к хорошему согласию с опы-
опытом в области малых частот (рис. 94). Но по этому закону ин-
интенсивность излучения должна возрастать пропорционально квад-
квадрату частоты. Это значит, что в тепловом излучении должно
быть много ультрафиолетовых и рентгеновских лучей, чего на
самом деле не наблюдается. Если бы закон Рэлея — Джинса
выполнялся во всем диапазоне частот, то полная (просуммирован-
(просуммированная по всем частотам) энергия излуче-
излучения абсолютно черного тела была бы бес-
бесконечно большой.
Эти затруднения в согласовании тео-
теории с результатами эксперимента (осо-
(особенно для излучения высоких частот)
получили название «ультрафиолетовой
катастрофы».
Гипотеза Планка. Стремясь преодо-
преодолеть затруднения классической теории
при объяснении излучения черного тела,
М. Планк в 1900 г. высказал гипоте-
гипотезу, которая положила начало подлинной
революции в теоретической физике. Смысл
М. Планк этой гипотезы заключается в том, что
132
Рис. 94
запас энергии колебательной системы, какой является атом с вхо-
входящими в его состав электронами, не может принимать любые
значения. Энергия и колебательного движения в атоме обяза-
обязательно должна быть равна целому кратному некоторого опре-
определенного количества энергии.
Минимальное количество энергии, которое атом может по-
поглотить или излучить, называют квантом энергии.
Если обозначить энергию одного кванта через е, то ряд
значений энергии, которыми может обладать атом, запишется
следующим образом:
ы=е, 2е, Зв пе, ... . A9.5)
Из закона распределения энергии A9.3) Планк нашел, что
энергия кванта должна быть пропорциональна частоте колебаний:
e=ftv. A9.6)
Коэффициент пропорциональности h в этом выражении носит
название постоянной Планка. В СИ постоянная Планка равна
6,626- 1(Г34 Дж-с.
Исходя из этой новой идеи, Планк получил для распределе-
распределения энергии в спектре абсолютно черного тела следующую фор-
формулу:
133
Этот закон хорошо согласуется с экспериментом. «Ультрафиоле-
«Ультрафиолетовая катастрофа» снимается, потому что при росте частоты ин-
интенсивность излучения стремится к нулю, а не к бесконечности
/IV
(экспонента екТ растет значительно быстрее, чем v3). Хорошее
согласие теоретически полученного закона с экспериментом было
основательным подтверждением квантовой гипотезы Планка,
согласно которой поглощение и излучение энергии атомами про-
происходят не непрерывным потоком, а отдельными порциями, кван-
квантами.
§ 20. ФОТОН
Фотоэлектрический эффект. С новыми затруднениями встре-
встретилась электромагнитная теория света после открытия в конце
XIX в. фотоэлектрического эффекта — явления освобождения
электронов с поверхности тел при их освещении.
В то время уже было известно, что атом любого химическо-
химического элемента содержит положительный электрический заряд, ка-
каким-то образом связанный с основной частью массы атома, и от-
отрицательно заряженные электроны, обладающие массой, пример-
примерно в 2000 раз меньшей массы самого легкого из атомов —
атома водорода. Падение света на любое вещество должно приво-
приводить, согласно электромагнитной теории, к возникновению вынуж-
вынужденных колебаний разноименных электрических зарядов, входя-
входящих в состав атомов вещества, относительно их общего центра
масс.
В первом приближении можно считать, что колеблются под
действием переменного электромагнитного поля (света) лишь
более легкие частицы — электроны, и частота их вынужденных
колебаний равна частоте колебаний в падающей световой волне.
Причем под действием света, падающего, например, на поверх-
поверхность твердого тела, должны приходить в вынужденные колеба-
колебания одновременно все электроны в слое вещества такой толщины,
на какую проникает в него электромагнитная (световая) волна.
Когда амплитуда вынужденных колебаний электрона достигает
некоторого предельного значения, электрон может преодолеть
кулоновские силы притяжения между ним и положительно за-
заряженной частью атома, которому он принадлежит, а также
силы притяжения, действующие на него со стороны положитель-
положительных зарядов остальных атомов твердого тела, и вылететь с по-
поверхности тела. Это может произойти лишь после того, как он
получит от электромагнитного поля достаточное количество
энергии. Так можно объяснить явление фотоэффекта, исходя
из волновой электромагнитной теории света.
Затруднения волновой теории в объяснении фотоэффекта.
Произведем Оценку длительности интервала времени, за который
электрон в твердом теле может приобрести энергию вынужден-
134
ных колебаний, достаточную для того, чтобы он вылетел с по-
поверхности тела.
Количество энергии Е, получаемое от светового потока
одним электроном в единицу времени, определяется выражением:
Ф
Е=
ndS
где Ф — световой поток, падающий на участок поверхности пло-
площадью S; п — число электронов в единице объема твердого
тела; d — толщина слоя вещества, в котором отдают свою энер-
энергию падающие световые волны.
Для освобождения с поверхности твердого тела электрон
должен обладать кинетической энергией, превышающей работу
выхода для данного вещества А, т. е. работу, которую необходимо
совершить для разрыва связей электрона с его собственным
атомом и всей совокупностью остальных атомов твердого тела.
Работа выхода электронов с поверхности твердого тела может
быть определена, например, в экспериментах по изучению явле-
явления термоэлектронной эмиссии. Для металлов значения работы
выхода лежат в пределах от 1,8 эВ (для цезия) до 5,3 эВ
(для платины).
Интервал времени т, в течение которого электрон может
накопить энергию, необходимую для своего освобождения, можно
определить, разделив работу выхода А на энергию Е, приоб-
приобретаемую электроном в единицу времени от электромагнитного
поля световой волны:
A AndS
Е Ф '
Таким образом, согласно волновой электромагнитной теории
света, фотоэлектрический эффект может наблюдаться, но вылет
электронов с освещенной поверхности должен происходить не в
момент попадания света на поверхность твердого тела, а лишь
некоторое время т спустя после начала действия света.
Пусть световой поток ф=10~3 Дж/с (что примерно в 105 раз
превосходит значение минимального светового потока, регистри-
регистрируемого современными фотоэлементами), S=l м2, а работа вы-
выхода Л=4 эВ«6,4-10~'9 Дж. Число электронов в веществе
объемом 1 м3 примем равным числу атомов в этом объеме:
л«3-1028 м~3. Толщину слоя вещества, в котором свет отдает
свою энергию электронам, будем считать соизмеримой с длиной
волны видимого света: af«5-10~7 м. Тогда получим:
AndS 6,4-1(Г19 Дж-3-1028 м~:1-5-10 7 м3 1п7 цС
т= = — = —; «10 с«116 сут.
Даже если принять, что электромагнитная световая волна
полностью отдает свою энергию на возбуждение вынужденных
колебаний электронов, расположенных лишь непосредственно на
135
поверхности твердого тела, т. е. принять толщину слоя d равной
поперечнику атома d«5-10~'° м, то в этом случае т«104 с«3 ч.
В действительности же запаздывания возникновения фото-
фотоэлектрического тока хотя бы на миллионные доли секунды после
момента начала освещения в экспериментах не наблюдается.
Уже из этого несоответствия можно прийти к выводу, что электро-
электромагнитная теория света не способна объяснить явление фото-
фотоэффекта. Следовательно, представления о свете как непрерывном
электромагнитном волновом процессе нельзя считать полностью
соответствующими действительной природе света.
Открытие основных законов фотоэффекта подтвердило спра-
справедливость такого вывода. Согласно волновой теории, кинетиче-
кинетическая энергия вырываемых из фотокатода электронов должна
возрастать с увеличением амплитуды вынуждающих электромаг-
электромагнитных колебаний, т. е. с увеличением интенсивности света. Но
экспериментами было установлено, что начальная скорость фото-
фотоэлектронов совершенно не зависит от интенсивности света.
Сила фототока в цепи при прочих постоянных условиях про-
пропорциональна потоку световой энергии, падающему на фотокатод.
Фотоэффект наблюдается лишь при условии, что длина волны
света меньше некоторого предельного значения Ко, характерно-
характерного для данного типа катода («красная граница фотоэффекта»).
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов Ек линей-
линейно возрастает с увеличением частоты света, вызывающего фото-
фотоэффект:
Ek—a-\-bv.
Фотоны. Объяснение основных законов фотоэффекта было
дано А. Эйнштейном в 1905 г. Гипотезу Планка об излуче-
излучении и поглощении света атомами в виде отдельных порций —
квантов — с энергией, пропорциональной частоте света, А. Эйн-
Эйнштейн дополнил предположением о дискретности, локализации
этих квантов в пространстве. В своей статье «Об одной эвристи-
эвристической точке зрения, касающейся излучения и поглощения света»
он писал, что законы фотоэффекта и излучения черного тела
«сделаются более понятными, если предположить, что энергия све-
света распределена в пространстве не непрерывно. С точки зре-
зрения принятого здесь предположения при распространении вы-
вышедшего из какой-либо точки луча света энергия не непрерывно
распространяется во все более и более возрастающем простран-
пространстве, но состоит из конечного числа локализованных в точках
пространства квантов энергии, которые движутся без того, чтобы
делиться на части, и могут испускаться и поглощаться только
как целое».
Согласно квантовым представлениям, свет — это поток осо-
особых частиц — фотонов. Энергия каждого фотона определяется
формулой:
e=/zv.
136
Поскольку каждый фотон может излучаться или поглощаться
лишь как целое, явление фотоэффекта получает в фотонной
теории света простое объяснение: поглощая один фотон, электрон
внутри фотокатода увеличивает свою энергию на значение
энергии фотона hv.
При hv>A электрон может покинуть фотокатод. Если на
пути к поверхности фотокатода этот электрон не растратит часть
полученной от фотона энергии во взаимодействиях с электронами
других атомов, то он выйдет из фотокатода с кинетической
энергией:
EK=hv-A. B0.1)
Это соотношение называют уравнением Эйнштейна. Таким обра-
образом, фотонная теория света предсказывает наблюдаемую экспери-
экспериментально пропорциональность максимальной кинетической энер-
энергии фотоэлектронов частоте света, вызывающего фотоэффект.
«Красная граница фотоэффекта» в фотонной теории опреде-
определяется из условия равенства энергии фотона hv0 работе выхо-
выхода электронов из фотокатода А:
1 л А , с lie
Ьо=Л, vo=-p Хо=—=т. B02)
Становится понятным и отсутствие запаздывания возникно-
возникновения фототока после начала освещения: фотон, достигший
фотокатода, практически мгновенно может освободить из него
один электрон. Пропорциональность фототока интенсивности све-
светового потока в фотонной теории просто очевидна.
Эффект Комптона. Существование фотонов доказывается
также явлением, обнаруженным в 1922 г. американским физиком
А. Комптоном при исследовании законов рассеяния рентгенов-
рентгеновских лучей.
Комптон установил, что при прохождении пучка рентгенов-
рентгеновских лучей через слой вещества возникает рассеянное рентгенов-
рентгеновское излучение с частотой v', меньшей частоты v первичного
пучка.
Согласно волновой теории, механизм рассеяния рентгеновско-
рентгеновского излучения объясняется возникновением вторичных электро-
электромагнитных волн в результате вынужденных колебаний электро-
электронов в атомах вещества под действием переменного электриче-
электрического поля первичного пучка; при этом частота рассеянного рент-
рентгеновского излучения должна совпадать с частотой первичного
излучения. Наблюдаемое же различие частот первичного и рас-
рассеянного излучения на основе волновой теории объяснить не пред-
представляется возможным.
Если же считать пучок рентгеновских лучей состоящим из
отдельных частиц — фотонов, летящих со скоростью света и
способных испытывать столкновения с другими частицами, то сле-
следует допустить возможность обмена с ними энергией и импуль-
137
Налетающий
фотон
(E=M;p=M/c) -~ft электрон
4 (?=mc2; p=mv)
Рис. 95
сом. Тогда результаты опытов Комптона легко объяснить. Рент-
Рентгеновский фотон с частотой v обладает энергией:
s=hv, B0.3)
массой: h
т=-=— B0.4)
и импульсом:
р=тс=-2. = ^. B0.5)
При столкновении фотона с электроном, находящимся в по-
покое, происходит передача части энергии и импульса фотона
этому электрону. Уменьшение энергии фотона в результате столк-
столкновения приводит, согласно выражению B0.3), к уменьшению
его частоты (рис. 95).
Изменение частоты фотона при рассеянии его на электроне
под некоторым углом ср к направлению его первоначального
движения может быть найдено путем совместного решения двух
уравнений, представляющих собой запись законов сохранения
энергии и импульса для системы «фотон — электрон»:
B0.6)
B0.7)
В этих уравнениях тос2 есть полная энергия неподвижного элект-
электрона; тс2 — полная энергия электрона после столкновения с
фотоном; hv — энергия первичного фотона; hv' — энергия фотона
после столкновения с электроном (рассеянного фотона);
р=— и р' =z—— — импульсы фотона до и после столкновения;
С С
mv — импульс электрона после столкновения с фотоном.
Вычисления, выполненные на основе представлений о фото-
фотонах как о частицах, способных испытывать столкновения с элект-
138
ронами и другими частицами по законам релятивистской меха-
механики, дают результаты, прекрасно согласующиеся с данными
эксперимента.
Справедливость этих представлений о механизме эффекта
Комптона подтверждается еще и тем, что, как показывает опыт,
каждому фотону, испытавшему рассеяние на угол <р, сопутствует
появление электрона, движущегося именно с такой скоростью д
и под таким углом в к направлению первичного пучка фотонов,
какие получаются при решении уравнений B0.6) и B0.7).
Решение этих уравнений дает следующее выражение для из-
изменения длины волны при рассеянии фотонов на электронах:
тос
— cos<p).
B0.8)
Величину
ШоС
называют комптоновскои длиной волны рассеиваю-
рассеивающей частицы. Для электрона получаем:
-=2.4-Ю-12
тас
М.
Из выражения B0.8) следует, что максимальное увеличение
длины волны фотона при комптоновском рассеянии равно удвоен-
удвоенному значению комптоновскои длины волны (при <р=180°).
К сказанному о фотонах как частицах следует, однако, до-
добавить, что они обладают рядом свойств, существенно отличных
от свойств частиц вещества. Фотоны не обладают массой покоя,
и ни при каких условиях не изменяется скорость их движения.
Опыт Боте. Еще один замечательный опыт, доказывающий
корпускулярную природу света-, был поставлен немецким физи-
физиком Боте. Опыт заключался в регистрации с помощью двух счет-
счетчиков Гейгера — Мюллера Z\ и Z2 рентгеновского излучения,
возбуждаемого в медной фольге F (рис. 96).
Если рентгеновское излучение распространяется волнами, то
одна и та же сферическая волна должна проходить одновре-
одновременно через два счетчика, поэтому одновременно должны возни-
возникать в них импульсы.
Если же рентгеновское из-
излучение представляет собой по-
поток фотонов, каждый из кото-
которых испускается независимо от
других и может быть зарегист-
зарегистрирован лишь одним из двух
счетчиков, то одновременная
регистрация двух фотонов, по-
попавших в счетчики Z\ и 1ч в
один и тот же момент времени,
должна быть случайным и очень
редким событием. Число совпа- Рис. 96
139
дений, зарегистрированных в опыте Боте, не превышало ожи-
ожидавшегося числа случайных совпадений и было значительно
меньше числа совпадений, которые должны были получаться
согласно волновой теории.
Корпускулярные свойства света обнаруживаются в опытах
по наблюдению слабых потоков видимого света. В опытах совет-
советского физика С. И. Вавилова было установлено, что при постоян-
постоянной интенсивности слабого светового потока, падающего на глаз,
человек то видит свет, то не видит. Как показали исследования,
этот эффект является следствием того, что свет представляет
собой поток отдельных квантов. При постоянной в среднем ин-
интенсивности светового потока число фотонов, попадающих в глаз
человека в единицу времени, изменяется во времени, флюктуирует.
Из-за флюктуации числа фотонов в слабом световом потоке чело-
человеческий глаз то видит свет, то перестает его обнаруживать.
Дуализм свойств света. Обнаружение корпускулярных свойств
света в опытах по фотоэффекту, в опыте Комптона и в ряде
других экспериментов не может отменить твердо установленных
фактов наличия у света волновых свойств, обнаруживаемых
при наблюдении явлений интерференции, дифракции, поляриза-
поляризации. Тот факт, что свет обладает как волновыми, так и корпуску-
корпускулярными свойствами, называют корпускулярно-волновым дуа-
дуализмом.
Противоположность свойств волн и частиц в классической
физике делает неправомерным утверждение, что свет является
одновременно и волной, и потоком частиц. Свет не является ни
волной, ни потоком частиц. Природа света более сложна и не
может быть без внутренних противоречий описана с применением
наглядных образов классической физики. Смысл корпускулярно-
волнового дуализма свойств света заключается в том, что в за-
зависимости от условий эксперимента природа света может быть
приближенно описана с применением либо волновых, либо корпус-
корпускулярных представлений.
Одним из вариантов сведения сложной природы света к бо-
более простой является попытка представления фотона в виде ог-
ограниченного в пространстве и во времени цуга электромагнит-
электромагнитных волн, получившегося в результате сложения большого числа
гармонических электромагнитных волн. Если бы такое представле-
представление о фотоне соответствовало действительности, то при прохожде-
прохождении пучка света через пластину с полупрозрачным зеркальным
покрытием половина каждого цуга проходила бы, а половина от-
отражалась. Разделение каждого фотона на два можно было бы
обнаружить по одновременному срабатыванию приборов, постав-
поставленных на пути проходящего и отраженного пучков света. Однако
опыт показывает, что приборы не срабатывают одновременно.
Срабатывает либо первый из них, либо второй в отдельности.
Это значит, что каждый фотон не разделяется пластиной с полу-
полупрозрачным покрытием на два, а с равной вероятностью либо
140
отражается, либо проходит сквозь пластину как единое целое.
Ограниченная применимость образов классической физики
для описания свойств света выражается не только в том, что
для описания результатов одних опытов оказываются пригодными
волновые представления, а для других — корпускулярные, но и
в условности применения этих образов в каждом случае. Исполь-
Используя корпускулярные представления при описании фотоэлектричес-
фотоэлектрического эффекта и комптоновского рассеяния, нельзя забывать о
существенных отличиях свойств фотона от свойств частиц в
классической физике. Масса покоя фотона равна нулю, скорость
его движения в любой инерциальной системе отсчета одинакова,
и нет такой системы отсчета, в которой его скорость была бы
равна нулю. Рассматривая свет как поток частиц — фотонов,
мы должны для определения массы фотона использовать чисто
волновую характеристику света — частоту. При исследовании
таких волновых явлений, как интерференция и дифракция света,
для регистрации интерференционной или дифракционной картины
необходимо применять фотоэлемент или фотопластинку, т. е.
использовать квантовые свойства света для обнаружения его
волновых свойств.
¦J) I. Какие закономерности явления фотоэффекта невозможно объяснить на основе
волновой теории света?
2. Объясните, почему из волновой теории следует запаздывание фотоэффекта.
3. Одинакова ли кинетическая энергия электронов, освобождаемых из металла
под действием фотонов одинаковой частоты?
4. Можно лн наблюдать явление комптоновского рассеяния фотонов видимого
света?
5. Можно ли выполнить опыт Боте, используя в качестве источника фотонов
лампочку карманного фонаря и счетчики фотонов видимого света?
§ 21. КВАНТЫ И АТОМЫ
Линейчатые спектры и строение атомов. После того как опы-
опытами Резерфорда в 1909 г. была доказана ядерная структура
атомов, встала задача теоретического объяснения известных
физических и химических свойств атомов различных элементов.
В начале XX в. среди большого числа нерешенных проблем
физики атома одной из наиболее важных была проблема объясне-
объяснения оптических спектров атомов.
Линейчатый спектр, испускаемый атомами каждого химическо-
химического элемента, не совпадает со спектром ни одного другого хими-
химического элемента. Это свидетельствует о том, что у всех ато-
атомов^ одного и того же химического элемента электронные обо-
оболочки имеют совершенно одинаковое строение, но электронные
оболочки атомов разных химических элементов обязательно
чем-то отличаются друг от друга. Теория атома должна была
определить положение каждой спектральной линии в спектрах
141
всех элементов таблицы Менделеева, объяснить их происхож-
происхождение.
Задача объяснения происхождения линейчатых спектров ато-
атомов оказалась для классической физики неразрешимой, так как,
согласно ее законам, само существование атомов, состоящих
из положительно заряженных ядер и обращающихся вокруг
них электронов, невозможно. Действительно, движение электрона
по окружности вокруг ядра является ускоренным движением.
Согласно классической теории электромагнетизма, электрон при
движении по своей орбите вокруг ядра должен излучать элект-
электромагнитные волны. Но это должно приводить к уменьшению
энергии электрона, постепенному его приближению к атомному
ядру и, наконец, падению на ядро. Атом, состоящий из атом-
атомного ядра и обращающихся вокруг него электронов, согласно
законам классической физики, неустойчив. Он может существо-
существовать лишь очень короткое время, за которое электроны израсхо-
израсходуют всю свою энергию на излучение и упадут на ядро. Но
в действительности атомы устойчивы и в обычных условиях
не излучают света.
Квантовые постулаты Бора. Противоречия между теорией и
результатами эксперимента в физике атома были устранены в
1913 г. датским физиком Н. Бором. Он заложил основы новой
теории, развитие которой завершилось возникновением квантовой
механики.
Создание своей теории строения атома Бор начал с обобще-
обобщения известных экспериментальных данных о свойствах атомов,
полученных на основе изучения их линейчатых спектров. Свои
выводы он сформулировал в виде двух постулатов, содержание
которых можно упрощенно изложить следующим образом:
1. Атом или атомная система могут находиться лишь в со-
состояниях, которым соответствует определенный дискретный ряд
значений энергии ?,, Ei, ?з, ¦•• • Эти состояния называют стацио-
стационарными состояниями. Находясь в стационарном состоянии, атом
не излучает энергию и не поглощает ее.
2. При переходе из одного стационар-
стационарного состояния в другое атом поглощает
(рис. 97) или излучает энергию, равную
разности энергий стационарных со-
состояний:
АЕ=Ет—Еп.
Таким образом, излучение света мо-
может происходить при переходе атома из
стационарного состояния с большим запа-
запасом энергии Ет в состояние с меньшим
запасом энергии Еп. Частота v излучаемо-
излучаемого при этом фотона может быть найде-
Н. Бор на из соотношения:
142
hv=Em-En. B1.1)
Постулаты Бора дают каче-
качественное объяснение происхож-
происхождению линейчатых спектров из-
излучения и поглощения, связы-
связывая их существование с нали-
наличием дискретного ряда энерге-
энергетических состояний атомов.
Переходы атомов из состояния
с большим запасом энергии в
состояние с меньшим запасом
энергии сопровождаются излу-
излучением света. Поглощение же
атомом фотона света может
перевести его из стационарного рис Э7
состояния с меньшим запасом
энергии в стационарное состояние с большим запасом энер-
энергии.
Если бы содержание теории Бора сводилось только к такому
объяснению, то эта теория по существу лишь заменила бы
загадку закономерностей распределения линий в спектре элемен-
элементов загадкой распределения стационарных энергетических состоя-
состояний атомов. В действительности же теория Бора разрешила загад-
загадку распределения линий в атомных спектрах, так как дала способ
расчета запаса энергии атомов в стационарных состояниях.
Спектр атома водорода. Первым успехом теории Бора был
расчет спектра водорода. Еще в 1885 г. швейцарский учитель
И. Бальмер показал, что длины волн спектральных линий водо-
водорода можно получить из простой формулы. Преобразовав фор-
формулу Бальмера, для частот спектральных линий водорода можно
получить:
v=3,29-10l5(- -\с'[ B1.2)
В этой формуле п принимает целые значения, начиная с 3.
В 1904 г. американский физик Т. Лайман обнаружил в ультра-
ультрафиолетовой части спектра водорода новый ряд линий, получивший
название серии Лаймана. Оказалось, что частоты линий серии
Лаймана определяются формулой:
v = 3,29.1016(-j!r—i^c-1, B1.3)
где п принимает целые значения, начиная с 2. Позднее были
открыты серии линий в инфракрасной части спектра водорода;
при этом оказалось, что для вычисления частот линий любой
спектральной серии водорода пригодна общая формула:
B1.4)
143
где тип — целые числа, п всегда1 больше т. Эту формулу для
расчета частот линий спектра водорода удалось впервые вывести
теоретически Н. Бору.
Атом водорода в соответствии с моделью Резерфорда со-
состоит из одного протона с положительным элементарным зарядом
+е и обращающегося вокруг него электрона с отрицательным
зарядом —е.
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия
электрона и протона на расстоянии г определяется формулой:
?р=-/ ¦ B1-5)
Если электрон обращается вокруг протона по круговой орбите
радиусом г со скоростью v, то он обладает кинетической энер-
энергией: 2
Е=^-. B1.6)
Полная энергия атома водорода равна:
Так как силой, удерживающей электрон на круговой орбите,
является сила его электростатического взаимодействия с прото-
протоном, можно записать следующее равенство:
B1.8)
Из выражений B1.7) и B1.8) получим:
^ B1.9)
Из теории Бора следует, что атом водорода может нахо-
находиться лишь в определенных стационарных состояниях с дискрет-
дискретным набором значений энергии Е\, Еч, ?з, ¦•• • Если электрон
в атоме водорода движется по круговым орбитам, то каждому
из стационарных энергетических состояний соответствует своя
разрешенная орбита, радиус которой определяют из выраже-
выражения B1.9):
Ж|- BМ°)
Переходам атома из одного стационарного состояния в другое
соответствуют перескоки электрона с одной разрешенной круго-
круговой орбиты на другую. Движение электрона по разрешенной
круговой орбите, вопреки законам классической физики, не сопро-
сопровождается электромагнитным излучением. Частота электромаг-
электромагнитного излучения при перескоке электрона с одной разрешенной
круговой орбиты на другую не связана с частотой его обраще-
144
ния вокруг ядра, а определяется лишь разностью энергий ста-
стационарных состояний.
Таким образом, из предположения о существовании стацио:
нарных энергетических состояний атома водорода следует
возможность существования разрешенных круговых орбит для
движения электрона вокруг ядра. Но как определить радиусы
разрешенных орбит?
Квантование момента импульса. Н. Бор высказал пред-
предположение, что в стационарных состояниях электроны облада-
обладают моментом импульса':
mvrn=n^, B1.11)
где п — любое целое положительное число.
Это предположение не только накладывает дополнительные
ограничения на форму возможных траекторий движения элект-
электронов в стационарных состояниях, но и позволяет количественно
вычислить энергию атома водорода в стационарных состояниях
и частоты всех возможных спектральных линий.
Действительно, из условия B1.11) можно найти модуль ско-
скорости электрона:
^ B1.12)
Подставив это выражение для модуля скорости v в выражение
B1.8), получим равенство:
mn2h2
r,,4it2m'2ri
из которого находим радиус стационарной круговой орбиты в
атоме водорода:
гп=Л^р.. B1.13)
те2п
Подставляя выражение B1.13) в B1.9), находим значение
энергии атома водорода в стационарном состоянии:
?„= ^—. ¦ B1.14)
При переходе атома из стационарного состояния k в состояние
п излучается квант света с энергией:
hv=Ek—En.
Момент импульса тела массой т, движущегося по окружности радиусом г
со скоростью v, — это произведение mvr. Момент импульса — вектор. Его на-
направление перпендикулярно вектору скорости v и радиус-вектору г.
6. Пак. 1320 О. Ф. Кабардин D5
Отсюда определяем частоту кванта, соответствующую этому
переходу:
Г Г те4 / 1 1 \ ,п, .г»
v*n= =——(--—). B1.15)
Подставив числовые значения величин т, е, ео и /г, получим:
9,1-10-" кгA,6-10~'9 КлL
<y——
8(8,854-Ю-'2 Ф/м)-'-F,626.10-:!4Дж-с):(
«3,29-1016(-—— \c~l B1.16)
\пг к1)
Выражение B1.16), полученное теоретически на основе исполь-
использования постулатов Бора о квантовании энергетических состоя-
состояний атома водорода B1.13) и гипотезы о квантовании момента
импульса электрона B1.11), с высокой степенью точности совпа-
совпадает с выражением B1.4), описывающим наблюдаемое в экспе-
эксперименте распределение частот в спектре водорода.
Таким образом, квантовая теория дает не только качествен-
качественное, но и точное количественное описание основных закономер-
закономерностей излучения и поглощения энергии атомами и атомными
системами. Высокая степень точности расчетов спектров атомов
и молекул является одним из важнейших доказательств правиль-
правильности постулатов, положенных в основу квантовой теории.
Расчет спектров многоэлектронных атомов является очень
сложной задачей и для квантовой теории, так как при расчетах
стационарных состояний многоэлектронных атомов необходимо
учитывать не только взаимодействие электронов с атомным яд-
ядром, но и взаимодействие каждого электрона со всеми остальны-
остальными электронами атома.
Схема энергетических уровней. Стационарные энергетические
состояния атомов принято представлять с помощью схем энер-
энергетических уровней (рис. 98, а). Основное стационарное состоя-
состояние с минимальной энергией ?i=0 изображается на схеме ниж-
нижней горизонтальной линией. Каждое стационарное состояние с
большей энергией, например, Ет изображается горизонтальной
линией, находящейся над основной (первой) на расстоянии,
пропорциональном разности энергий: Ет—Е\.
По вертикальной оси можно отсчитывать энергию атома в
возбужденном состоянии. Переход атома из одного стационарно-
стационарного состояния в другое отмечается стрелкой: поглощению энер-
энергии атомом соответствует стрелка, направленная вверх, излуче-
излучению энергии — стрелка, направленная вниз. На* рисунке 98, а
стрелками обозначены переходы атомов от всех возбужденных
состояний к основному, сопровождающиеся излучением фотонов,
соответствующих спектральным линиям спектра, названным се-
серией Лаймана. Переходы со второго, третьего и далее возбуж-
возбужденных уровней на первый возбужденный уровень сопровожда-
сопровождаются излучением фотонов, соответствующих серии Бальмера.
146
?,эВ
13,53
12
а
ю
9
8
7
6
5
4
3
2
i
О
Серия
Лайпана
Серия
Балъпера
Рис. 98
На схеме круговых воровских орбит происхождение серии
Лаймана объясняется переходами электронов с удаленных орбит
на первую стационарную орбиту, происхождение серии Бальме-
Бальмера — переходами электронов с третьей и далее орбит на вторую
стационарную орбиту (рис. 98, б).
Особенность спектров энергетических состояний всех ато-
атомов — постепенное уменьшение разности энергий двух соседних
энергетических состояний по мере увеличения энергии возбуж-
возбуждения и существование некоторого предельного значения энер-
энергии, выше которого нет стационарных состояний. Это предель-
предельное значение энергии (энергия ионизации атома) равно работе,
которую необходимо совершить для полного освобождения
электрона, удаления его из поля притяжения ядра на бесконеч-
бесконечное расстояние. Например, энергия ионизации водорода равна
13,53 эВ.
Опыт Франка и Герца. Прямое доказательство квантовой
теории могло быть получено только путем экспериментальной
проверки справедливости постулатов Бора. Что же именно тре-
требовалось проверить экспериментально? Чтобы ответить на этот
вопрос, обсудим еще раз физический смысл основных положений
квантовой теории атома по Бору.
Электрон, обращающийся вокруг ядра, не может изменять
свою энергию плавно, постепенно. Минимальное количество
энергии, которое может принять атом при взаимодействии с
другим атомом или электроном, равно разности энергий в его
нормальном и первом возбужденном состояниях. Отсюда можно
сделать вывод: если пропускать через газ пучок электронов,
в котором энергия каждого электрона меньше разности энергий
атома в первом возбужденном и основном состояниях, то при
147
столкновениях с атомами эти электроны не должны терять энер-
энергию. Если же энергию электронов в пучке увеличивать, то при
достижении значения энергии, равного указанной разности,
электроны при соударениях с атомами смогут отдавать свою
кинетическую энергию на возбуждение атомов.
Взаимодействие атома с электроном или другой частицей,
в результате которого часть кинетической энергии частиц пре-
превращается в энергию возбуждения атома, называют неупругим
столкновением.
Впервые неупругие столкновения электронов с атомами рту-
ртути были обнаружены в 1913 г. в опытах немецких физиков
Д. Франка и Г. Герца. В этих опытах применялась стеклянная
трубка, заполненная парами ртути (рис. 99). Катод К нагре-
нагревается электрическим током. Электроны, вылетевшие из катода,
ускоряются электрическим полем, созданным между катодом и
сеткой, и движутся к сетке. Их кинетическая энергия при до-
достижении сетки равна работе
электрического поля:
где е — заряд электрона; U —
напряжение батареи Б1.
Между сеткой и анодом А
электроны тормозятся электри-
электрическим полем создаваемым
электрической батареей Б2. По-
Потенциал сетки выше потенциа-
потенциала анода на 0,5 В.
В опыте Франка и Герца
исследовалась зависимость си-
силы тока в цепи анода от на-
напряжения между катодом и сет-
сеткой. Так как потенциал сетки
был выше потенциала анода на
0,5 В, то достигнуть анода мог-
могли только электроны, кинети-
кинетическая энергия которых за сет-
сеткой превышала 0,5 эВ. Ре-
Результаты, полученные в одном
из опытов, представлены на
рисунке 100.
При увеличении напряжения
между катодом и сеткой до 4,9 В
сила тока в цепи возрастает,
так как с увеличением напря-
напряженности поля вблизи катода
облегчается выход электронов
Рис. 99
Рис. 100
148
из электронного облака вокруг катода. Уменьшение силы тока
в цепи анода при достижении напряжения 4,9 В между катодом и
сеткой показывает, что электроны, обладающие кинетической
энергией 4,9 эВ, полностью теряют ее при соударениях с ато-
атомами ртути вблизи сетки. Так как кинетическая энергия электро-
электронов после такого соударения оказывается близкой к нулю, даже
слабое встречное поле между сеткой и анодом не пропускает
их к аноду, и сила тока в цепи анода уменьшается.
Таким образом, на основании результатов опыта Франка и
Герца можно сделать вывод, что передача энергии от электро-
электронов к атомам ртути наблюдается лишь тогда, когда энергия каж-
каждого из электронов достигает 4,9 эВ. При меньших значениях
энергии происходят только упругие столкновения электронов с
атомами ртути, т. е. такие столкновения, при которых изменя-
изменяется направление движения электрона, но его кинетическая
энергия остается неизменной.
В соответствии с теорией Бора можно сделать вывод: раз-
разность между первым возбужденным стационарным состоянием
атома ртути и его основным стационарным состоянием равна
4,9 эВ:
?2-?,=4,9 эВ.
Этот вывод подтверждается результатами еще одного замеча-
замечательного эксперимента.
Атомы ртути, переведенные в результате неупругого столк-
столкновения с электронами из основного стационарного состояния в
первое возбужденное состояние, должны через короткий интервал
времени самопроизвольно возвращаться в основное состояние.
Переход каждого атома должен сопровождаться излучением фо-
фотона с частотой:
v=-^=^. B1.17)
Наблюдения показали, что, пока напряжение между катодом
и сеткой меньше 4,9 В, пары ртути в трубке не светятся. Как
только напряжение достигает этого значения, пары ртути испуска-
испускают свет с частотой v,'определяемой выражением B1.17).
1. В чем заключались трудности классической физики при попытке объясне-
объяснения спектральных закономерностей?
2. Сформулируйте квантовые постулаты Бора.
3. Какой дополнительный постулат позволил Бору рассчитать спектр водорода?
4. Чем линейчатые спектры атомов различных химических элементов отлича-
отличаются друг от друга?
5. Каково назначение батареи Б2 в схеме опыта Франка и Герца (см. рис. 99)?
6. Какой вид будет иметь кривая зависимости силы тока от напряжения, пред-
представленная на рисунке 100, при дальнейшем увеличении напряжения?
149
§ 22. ОПТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
Спонтанное и вынужденное (индуци-
(индуцированное) излучение. Излучение, испу-
испускаемое при самопроизвольном переходе
атома из одного состояния в другое, на-
называют спонтанным излучением. Спонтан-
Спонтанное излучение различных атомов проис-
происходит некогерентно, так как каждый атом
начинает и заканчивает излучение незави-
независимо от других.
В 1916 г. А. Эйнштейн предсказал,
что переход электрона в атоме с верхнего
энергетического уровня на нижний и со-
А. Эйнштейн провождающее этот акт излучение могут
происходить не только самопроизвольно.
Под влиянием внешнего электромагнитного поля возбужденный
атом может преждевременно освободиться от избытка энергии
путем излучения фотона. Такое излучение называют вынужден-
вынужденным или индуцированным.
Вероятность индуцированного излучения резко возрастает
при совпадении частоты электромагнитного поля с собствен-
собственной частотой излучения возбужденного атома.
Таким образом, в результате взаимодействия возбужденно-
возбужденного атома, готового испустить фотон hv—E2—Е\, с фотоном hv
получаются два совершенно одинаковых по энергии и направ-
направлению движения фотона-близнеца (рис. 101). Пролетающий фо-
фотон как бы «стряхивает» с возбужденного атома подобный себе
фотон, не затрачивая на это энергии. С точки зрения вол-
волновой теории атом излучает электромагнитную волну, совер-
совершенно одинаковую по направлению распространения, частоте,
фазе и поляризации с той, которая вынудила атом излучать.
В итоге получается результирующая волна с амплитудой боль-
большей, чем у падающей. Особенностью индуцированного излучения
является то, что оно монохроматично и когерентно. Именно это
свойство индуцированного излучения положено в основу устрой-
устройства лазеров.
Необходимо подчеркнуть, что индуцированное излучение
происходит в полном соответствии с законом сохранения энергии.
Вынуждающая световая волна играет роль «спускового устрой-
устройства» в механизме излучения атомом запасенной ранее энергии.
Инверсная населенность уровней. При хаотическом тепловом
движении распределение энергии среди атомов неравномерно.
Некоторая часть атомов возбуждена, что соответствует их на-
нахождению на более высоких, чем основной, уровнях энергии.
В условиях теплового равновесия и при отсутствии внешнего
электромагнитного поля большая часть атомов обладает миниму-
минимумом энергии. Образно говоря, населенность верхних уровней мень-
меньше населенности нижних.
150
Рис. 101
Под влиянием энергетических воздействий — повышения тем-
температуры, освещения, бомбардировки быстрыми частицами —
доля возбужденных атомов возрастает, т. е. населенность верх-
верхних уровней увеличивается. Этот процесс иллюстрируется ри-
рисунком 102, а, б.
e,—e-e-
Е1 ОООО— Е1 ОООООО
(Г2>Т,)
Ег ОООООООО <.2
а
Е9 ОООООО
Ег ОООО
в
Рис. 102
151
Казалось бы, по мере повышения тем-
температуры можно получить такое распре-
распределение частиц по уровням, при котором
населенность верхних уровней больше, чем
нижних. Но это не так. Ведь возбуж-
возбужденное состояние неустойчиво. По мере
увеличения заселенности верхних уровней
увеличивается вероятность спонтанных
переходов, которые сопровождаются излу-
излучением.
В 1939 г. советский физик В. А. Фаб-
Фабрикант высказал предположение о воз-
возможности создания такого распределения
в. А. Фабрикант частиц по энергиям, при котором число
возбужденных атомов больше числа ато-
атомов, находящихся в основном состоянии (рис. 102, в). Такое
состояние называют состоянием с инверсной населенностью
уровней (от латинского inversio — переворачивать).
Выясним, какие особые свойства присущи состоянию с ин-
инверсной населенностью уровней.
При распространении света в веществе обычно происходит
поглощение света. Это происходит потому, что в состоянии тер-
термодинамического равновесия число невозбужденных атомов в
веществе много больше, чем число возбужденных, и, следова-
следовательно, фотоны чаще взаимодействуют с невозбужденными атома-
атомами, т. е. поглощаются веществом.
В веществе же с инверсной населенностью уровней число
возбужденных атомов больше числа невозбужденных. При этом
уменьшается вероятность встречи фотонов с невозбужденным
атомом, т. е. уменьшается вероятность поглощения фотонов. Ве-
Вещество становится более прозрачным или даже способным уси-
усиливать свет. Действительно, если в нем движется фотон, энер-
энергия которого в точности равна разности энергий атомов в состоя-
состояниях ?г и Е[ (рис. 102, в), то, взаимодействуя с возбужденным
атомом, такой фотон вызовет индуцированное излучение. В ре-
результате появится второй такой же фотон. Взаимодействуя с
другими двумя возбужденными атомами, эти два фотона вызовут
высвечивание еще двух атомов. В конечном счете вместо одного
фотона из вещества выйдет много фотонов, что является уси-
усилением света. Усилению света способствует то обстоятельство,
что фотоны с частотой _ _
слабо поглощаются веществом. Среду называют активной, если
в ней число индуцированных фотонов превышает число поглощен-
поглощенных.
Эти особенности сред с инверсной населенностью уровней
были установлены в 1951 г. В. А. Фабрикантом, М. М. Вудын-
152
ским и Ф. А. Бутаевой. В 1964 г. Государственный комитет
по делам изобретений и открытий СССР выдал этим ученым
диплом на открытие, в котором, в частности, говорится: «Уста-
«Установлено неизвестное ранее явление усиления электромагнитных
волн при прохождении через среду, в которой концентрация
частиц или их систем на верхних энергетических уровнях, соот-
соответствующих возбужденным состояниям, избыточна по сравнению
с концентрацией в равновесном состоянии».
Условия, необходимые для создания в веществе инверсной
населенности энергетических уровней. Какими же способами мож-
можно создать состояние с инверсной населенностью энергетиче-
энергетических уровней в веществе? Создать инверсную населенность в
системе двух уровней путем длительного освещения вещества
мощным световым импульсом невозможно. Во-первых, с увеличе-
увеличением концентрации частиц на верхнем уровне возрастает вероят-
вероятность спонтанных переходов; во-вторых, возбуждающее излучение
вызывает индуцированное излучение, переводящее частицы на
нижний уровень.
Иные возможности открываются при использовании веществ,
среди энергетических состояний которых имеются такие возбуж-
возбужденные состояния, в которых атомы могут находиться не 10~8 с,
как обычно, а значительно более длительное время. Такие со-
состояния и соответствующие им уровни энергии называют мета-
стабильными.
Пусть уровень энергии Ei на рисунке 103, а метастабиль-
ный, характеризуемый «временем жизни», в 1000 раз большим
«времени жизни» уровня Ез (т»10~8 с).
При наличии уровня Ег возможны спонтанные переходы из
состояния Ез не только в основное состояние ?\, но и перехо-
переходы на метастабильный уровень ?2. Оба перехода сопровождают-
сопровождаются выделением соответствующей им энергии:
Большое различие во временах жизни в состояниях Ез и ?2
приводит к тому, что под действием возбуждающих фотонов
с энергией ку^Ез—?i атомы переходят сначала в состояние
a 5
Рис. 103
153
?з, а затем, излучая квант с энергией ?32=?з—Ег, они переходят
в состояние Ег. В результате происходит накопление атомов
в метастабильном состоянии ?2, и число их со временем оказы-
оказывается большим числа атомов в основном состоянии Е\. Значит,
в веществе с такой системой уровней действием возбуждающего
излучения hv^Ei—Е\ может быть создана инверсная населен-
населенность уровней.
Если направить в предварительно подготовленное таким об-
образом вещество квант электромагнитного излучения hv2\=E2—Е\,
то вследствие явления индуцированного излучения произойдет
усиление света, что условно и показано на рисунке 103, б.
Число фотонов увеличивается в геометрической прогрессии. На
выходе усилителя света фотонов больше, чем на входе, или, что
то же самое, амплитуда электромагн-итных колебаний возрастает
пропорционально числу индуцированных переходов.
Система атомов с инверсной населенностью уровней способ-
способна не только усиливать, но и генерировать электромагнитное
излучение. Для работы в режиме генератора необходима положи-
положительная обратная связь, при которой часть сигнала с выхода
устройства подается на его вход. Для этого активная среда,
в которой создается инверсная населенность уровней, располага-
располагается в резонаторе, состоящем из двух параллельных зеркал.
В результате одного из спонтанных переходов атомов с метаста-
бильного уровня на основной возникает фотон с энергией:
hv2]=E2—Е\.
При движении в сторону одного из зеркал он вызывает ин-
индуцированное излучение, и к зеркалу подходит целая лавина
фотонов с энергией /iV2i каждый. После отражения от зеркала
лавина фотонов движется в противоположном направлении, по-
попутно заставляя высвечиваться с метастабильного уровня воз-
возбужденные атомы, оставшиеся в этом состоянии.
С квантовых позиций генерация света должна происходить
при любом расстоянии между зеркалами. Но опыт показывает,
что она возникает только при определенной длине L резонато-
резонатора, кратной целому числу полуволн:
При этом условии разность хода между вышедшей волной и
волной, испытавшей отражение от двух зеркал, оказывается рав-
равной целому числу длин волны, и на выходе лазера происхо-
происходит сложение амплитуд световых волн.
Рассмотренный принцип усиления и генерации электромагнит-
электромагнитного излучения был предложен советскими физиками Н. Г. Б а-
совым и А. М. Прохоровым и одновременно американ-
американским физиком Ч. Таунсом. За работы в этой области Н. Г: Басов
и А. М. Прохоров удостоены Ленинской премии в 1959 г. и вместе
с Ч. Таунсом в 1964 г. им была присуждена Нобелевская премия.
154
Н. Г. Басов
А. М. Прохоров
Устройство рубинового лазера. Оптический квантовый генера-
генератор состоит из двух основных частей: активной среды и резо-
резонатора.
В первых лазерах активной средой был кристалл рубина
(А12Оз) с примесью около 0,05% хрома (рис. 104). Этот основной
элемент лазера обычно имеет форму цилиндра / диаметром
0,4—2 см и длиной 3—20 см. Торцы цилиндра 3 к 4 строго
параллельны, и на них нанесен слой серебра. Одна из зеркаль-
зеркальных поверхностей частично прозрачна: 92% светового потока
отражается от нее и около 8% пропускается ею.
Рубиновый стержень помещен внутри импульсной ксеноновои
спиралевидной лампы 2, питаемой импульсами высокого напряже-
напряжения от батареи конденсаторов
электроемкостью до 104 мкФ,
заряжаемой до напряжения в
несколько тысяч вольт. При
разряде через лампу конденса-
конденсаторы батареи отдают энергию
в сотни тысяч джоулей. Дли-
Длительность вспышки составляет
10~3 с, а мощность лампы пре-
превышает 107 Вт. Лампа являет-
является источником возбуждающе-
возбуждающего излучения. Инверсная насе-
населенность уровней в рубине
создается использованием трех
уровней энергии атомов хрома.
Атомы хрома, поглощая излуче-
излучение с длиной волны 560 нм,
содержащееся в спектре ксено-
ксеноновои лампы, переходят с ос-
основного уровня Е\ на возбуж-
возбужденный уровень ?з. Поглощение
рубином излучения лампы с Рис. 104
155
другими длинами волн вызывает его нагревание. Для предохра-
предохранения от теплового разрушения рубин охлаждается жидким
азотом.
Время жизни атомов хрома на возбужденном уровне Ег мало.
Для перехода с уровня ?3 на основной Е\(Ез-*-Е[) оно составляет
10~5 с, а для перехода Еъ-^Еч оно меньше 10~7 с. Поэтому
большая часть атомов, возбужденных на уровень Е3, совершает
переходы на второй возбужденный уровень Ei.
Время жизни атома хрома на уровне ?2 сравнительно вели-
велико— порядка 10~3 с. Этот уровень является метастабильным:
Если мощность лампы-вспышки достаточно велика, то населен-
населенность метастабильного уровня окажется больше, чем населенность
основного уровня. При достижении инверсной населенности уров-
уровней кристалл рубина становится активной средой.
Процесс перевода атомов из основного в возбужденное со-
состояние называют накачкой. Соответственно используемую для
этого импульсную ксеноновую лампу называют лампой накачки.
Достаточно одному атому хрома совершить спонтанный пере-
переход с метастабильного уровня Ег на основной Е[ с испуска-
испусканием фотона с частотой V2i= 2~ ' , которой соответствует дли-
на волны красного света 694,3 нм, как возникает лавина фо-
фотонов, вызванная индуцированным излучением атомов хрома,
находящихся в метастабильном состоянии. Если направление
вылета первичного фотона было перпендикулярно плоскости
зеркал резонатора, то из полупрозрачного зеркала резонатора
вырывается монохроматическое, когерентное и остронаправленное
излучение с длиной волны 694,3 нм.
Процессы, протекающие в кристалле рубина, схематически
представлены на рисунке V цветной вклейки.
Кристалл рубина изображен на этой вклейке прямоугольни-
прямоугольником; штриховкой слева обозначено зеркало; более редкой штри-
штриховкой справа обозначено частично прозрачное зеркало, являю-
являющееся и выходным окном для луча лазера. Атомы кристалличе-
кристаллической решетки рубина на рисунке не показаны; кружками обозна-
обозначены атомы хрома, распределенные внутри кристалла хаотически.
До воздействия света все атомы хрома в кристалле находят-
находятся в основном состоянии, они обозначены светлыми кружками
(см. рис. V, а на цветной вклейке). Под воздействием фото-
фотонов света различной частоты, испускаемых лампой накачки, боль-
большинство атомов хрома переходит в возбужденное метастабиль-
ное состояние. Возбужденные атомы хрома обозначены темными
кружками (см. рис. V, б на цветной вклейке).
Возбужденный атом хрома при переходе в основное состоя-
состояние испускает фотон света. Все направления для спонтанного
излучения фотонов равновероятны, и поэтому сначала большин-
большинство излученных фотонов покидает кристалл, вылетая из него по
различным направлениям. Только фотоны, летящие вдоль оси
156
рубинового стержня, не могут быстро его покинуть, испыты-
испытывая многократные отражения от зеркал на торцах кристалла
(см. рис. V, в на цветной вклейке). Пролетая вблизи возбужден-
возбужденных атомов хрома, эти фотоны вызывают вынужденное излучение
таких же фотонов, летящих в том же направлении. Этот процесс
развивается лавинообразно, и за короткий интервал времени в
него оказывается вовлеченной большая часть возбужденных ато-
атомов хрома: сквозь частично прозрачное зеркало на правом торце
кристалла вырывается мощный пучок когерентного света
(см. рис. V, г на цветной вклейке).
Описанный режим работы лазера называют режимом свобод-
свободной генерации. Свободная генерация начинается после вспышки
лампы накачки и длится около 1 мс. В этом режиме получены
рекордные значения энергии излучения, достигающие 1000 Дж в
импульсе при мощности около 106 Вт.
КПД рубинового лазера невелик: он составляет всего около
1%. Столь низкий КПД обусловлен многими причинами. Основ-
Основными из них являются следующие:. не весь запас электриче-
электрической энергии, накапливаемой в конденсаторе, превращается в
световую энергию; лишь часть светового потока лампы накачки
поглощается рубином.
Устройство газовых лазеров. Активной средой в газовых
лазерах является газ или смесь газов в стеклянной или кварце-
кварцевой трубке. Зеркала резонатора устанавливают вблизи концов
внутри трубки или за ее пределами (рис. 105).
Наиболее распространенными являются неон-гелиевые лазеры.
С помощью внешних электродов и высокочастотного генера-
генератора в трубке, содержащей смесь гелия (р~102 Па) и неона
(;?~10 Па), возбуждается газовый разряд. В плазме газового
разряда атомы гелия и неона возбуждаются при неупругих столк-
столкновениях с электронами. Вероятности возбуждения атома на раз-
различные уровни неодинаковы. В некоторые состояния атом пере-
переходит с большей вероятностью. Если большим оказывается и
время их жизни в этих со-
состояниях, то такие состояния
можно использовать в качестве
верхних рабочих уровней для
создания инверсной заселен-
заселенности.
Упрощенная схема энергети-
энергетических уровней неона и ге-
гелия показана на рисунке 106.
Основным, или рабочим, газом
является неон. В возбужден-
возбужденных атомах неона электроны за-
занимают уровни ?3, Е2 И ?,. Вре- Рис- 105- Схема УстР0Й«ва газового
мя жизни на уровнях Ез и
лазера: / — газоразрядная трубка, 2-
электроды, 3 — непрозрачное зеркало,
больше, чем на располо- 4 — частично прозрачное зеркало.
157
Рис. 106
женном ниже уровне Е\ (то=
=96- Ю-9 с, т,= 12.1(Г9 с).
Это дает возможность создать
инверсную заселенность уров-
уровней ?3 и Ег относительно уров-
уровня Е\. Но генерация, наблюда-
наблюдающаяся в чистом неоне, очень
слаба. Для увеличения заселен-
заселенности уровней неона ?3 и Е2
в разрядную трубку добавляет-
добавляется гелий. Среди возбужденных
уровней атома гелия уровни
Е'2 и ?з близки по энергиям к
уровням ?2 и Еъ неона. Это об-
обстоятельство делает возможной
резонансную передачу энергии
возбужденными атомами гелия
атомам неона при неупругих столкновениях. Возбуждение атомов
гелия осуществляется электронными ударами.
Уровни E'i и ?з гелия являются метастабильными. Поэтому
концентрация атомов гелия, находящихся в возбужденных со-
состояниях Е'ч и Еъ, оказывается в газоразрядной плазме довольно
высокой. Вероятность встречи возбужденных атомов гелия с невоз-
невозбужденными атомами неона повышается при увеличении кон-
концентрации гелия, которая оказывается оптимальной, если атомов
гелия в 5—10 раз больше, чем атомов неона.
Резонансная передача энергии возбужденными атомами гелия
атомам неона приводит к возникновению инверсной заселен-
заселенности уровней Еъ и Е2 атомов неона. Переходы с этих уровней
на уровень Е\ могут обеспечить генерацию когерентного ин-
индуцированного излучения с длинами волн 632,8 и 1150 нм.
Если есть необходимость усилить генерацию только видимо-
видимого излучения с длиной волны 632,8 нм, нужно подавить генера-
генерацию инфракрасного излучения с длиной волны 1150 нм. Это дости-
достигается применением зеркал, отражающих, а следовательно, и уси-
усиливающих только излучение с длиной волны 632,8 нм. Тогда
первые же кванты спонтанного излучения, многократно отражаясь
от зеркал резонатора, вызывают лавинообразное увеличение ин-
интенсивности света с длиной волны 632,8 нм. Неон-гелиевые лазеры
обладают небольшими значениями КПД, порядка 10~3—10~'%.
Среди газовых лазеров выделяются лазеры на углекислом
газе (СО2). Их КПД 10—40%, а мощность достигает десятков
киловатт.
Применения лазеров. Все применения лазеров основаны на
использовании специфических свойств их излучения — высокой
монохроматичности, острой направленности, когерентности и
большой мощности излучения. Промышленность выпускает раз-
разные типы лазеров различного назначения. Конкретные практиче-
158
ские применения лазеров столь многочисленны, что их трудно
даже просто перечислить.
Остановимся на некоторых применениях лазеров. Одно из
первых применений лазеров — обработка твердых материалов.
Раньше, например, на прошивание одного отверстия в алмазе
при изготовлении фильер затрачивалось два дня. С применением
лазера эту же операцию выполняют за две минуты. Лучу легко
придать в сечении любую форму, а значит, и получить любую
форму прошиваемого им отверстия. Этим методом изготавли-
изготавливают, например, фильеры треугольной формы, которые исполь-
используют при изготовлении волокна для объемной пряжи.
В часовой промышленности производительность труда по об-
обработке рубинов с применением лазеров возросла в десятки раз.
При плотности мощности 105—10 Вт/см лазерный луч пла-
плавит и сваривает металлы. Скорость сварки металлов лазерным
лучом доходит до нескольких сантиметров в секунду, а стои-
стоимость работ в 1000 раз меньше, чем при обычных методах.
Современные лазеры способны резать листы металла толщиной
в несколько сантиметров со скоростью около 1 м/мин. На не-
некоторых предприятиях уже осуществляется фигурный раскрой
тканей лучом лазера. При этом края среза оплавляются и не
требуют обметывания при пошиве одежды.
Большие преимущества по сравнению с радиоволнами дает
использование лазерного луча в системах связи. По одному ла-
лазерному лучу можно в принципе одновременно передавать до 109
телефонных разговоров и 105 телепрограмм. Экспериментальные
линии лазерной связи уже работают.
Лазер может служить инструментом для измерения расстоя-
расстояний. С помощью лазерного локатора расстояние до Луны из-
измерено с точностью до четырех метров!
Лазеры нашли применение в строительстве. Например, при
сооружении Останкинской телебашни был применен лазерный
зенит-центрир, которым контролировалось отклонение оси башни
от вертикали с точностью до 6 мм.
Лазеры широко применяются для контроля горизонтальности
взлетно-посадочных полос при их строительстве, для контроля
движения под землей проходческих щитов во время прокладки
тоннелей. Достигаемая точность — 4 мм на 200 м.
Широко применяют лазеры и в медицине. Например, довольно
распространенной причиной потери зрения является отслаивание
сетчатки глаза. С помощью лазера за доли секунды и без боли
сетчатку «приваривают» к глазному дну. С помощью лазеров
уничтожают опухоли внутри кровеносных сосудов, питающих
глаз.
Исключительно разнообразны применения лазеров в научных
исследованиях. Лазерный луч позволяет биологам определять со-
состав отдельных частей клетки. Для этого его фокусируют с по-
помощью линзы на избранный участок клетки; вещество этого
159
участка испаряется и превращается в облачко ионов. Maqi-
спектрометр улавливает ионы и производит качественный и коли-
количественный анализ.
Высокая монохроматичность и направленность лазерного
излучения позволяют с помощью обычных оптических систем
сфокусировать его в пятно площадью 10~6 см2 и диаметром
-~10 длин волн видимого излучения. При этом достигаются ре-
рекордно высокие значения поверхностной плотности потока излуче-
излучения. Современные лазеры непрерывного действия дают поверх-
поверхностную плотность потока сфокусированного излучения до
1014 Вт/м2, а в импульсных схемах — до 1022 Вт/м2, тогда как
плотность потока солнечного излучения у поверхности Земли
составляет лишь около 103 Вт/м2 и при фокусировке — до
108 Вт/м2.
Высокая интенсивность лазерного излучения позволяет ис-
использовать его как уникальный инструмент для локальной тепло-
тепловой обработки материалов. Возможность нагреть облучаемый
участок детали за короткое время без распространения тепла на
соседние участки позволяет, в зависимости от дозировки, раз-
размягчить, рекристаллизировать, расплавить или даже испарить
ограниченный участок. Это позволяет осуществить любой ре-
режим термообработки: закалку, легирование и плавление, сварку,
резку и сверление.
Для некоторых деталей самолетов достигнуто повышение
прочности в 100 раз при использовании излучения импульсно-
периодических лазеров. При плотности потока излучения 108—
10 Вт/см2 над обрабатываемой поверхностью возникает слой
плазмы, распространяющейся навстречу лучу. Вблизи поверх-
поверхности образуется ударная волна с пиковым давлением ~107 Па.
Ее воздействие на металл оказывается таким же, как и холод-
холодная обработка давлением.
В США разрабатываются различные варианты военного при-
применения лазеров, включая программу «звездных войн» с размеще-
размещением лазерного оружия в космическом пространстве. Советский
Союз выступает за прекращение разработки каких-либо новых
видов вооружений и призывает договориться о запрещении раз-
размещения в космосе любых видов оружия. '
§ 23. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
При изучении оптики обычно среди основных ее законов
называют такие, как принцип суперпозиции световых пучков,
независимость коэффициентов поглощения и преломления веще-
вещества от интенсивности света, неизменность частоты монохромати-
монохроматического света, проходящего через прозрачную среду, существо-
существование красной границы фотоэффекта. Однако оказалось, что все
эти законы имеют определенные границы применимости. Оптиче-
Оптические явления, в которых наблюдается отклонение от линейной
160
зависимости некоторых физических величин от напряженности
электрического поля световой волны, называют нелинейными
оптическими явлениями.
Явление просветления среды. Первый нелинейный оптический
эффект обнаружили в 1925 г. советские физики С. И. Вавилов
и В. Л. Левшин. Они установили, что при больших значениях
поверхностная плотность потока света /г, прошедшего через
урановое стекло, перестает быть прямо пропорциональной по-
поверхностной плотности потока падающего света 1\. Следователь-
Следовательно, линейная зависимость между значениями /2 и 1\ оказалась
нарушенной и коэффициент поглощения вещества
*~ h
оказался непостоянным (рис. 107). Правда, в опытах С. И. Ва-
Вавилова и В. Л. Левшина наблюдались сравнительно небольшие
изменения коэффициента поглощения: при изменении поверхност-
поверхностной плотности светового потока в 3 раза коэффициент погло-
поглощения света в урановом стекле изменялся от 2,576 до 2,544,
т. е. на 1,5%.
Тот факт, что урановое стекло становится более прозрач-
прозрачным при увеличении поверхностной плотности проходящего
через него светового потока, имеет простое объяснение.
Вот как С. И. Вавилов объяснил механизм этого явления
в книге «Микроструктура света» еще в 1950 г.: «Факт конеч-
конечной длительности возбужденных состояний при поглощении света
имеет непосредственное отношение к вопросу о пределах выпол-
выполнения линейной зависимости законов распространения света в по-
поглощающей среде и к суперпозиции света.
Чем большее число молекул находится в возбужденном со-
состоянии при распространении света в среде, т. е. чем больше
световая мощность, тем заметнее должна уменьшаться доля погло-
поглощаемой энергии, так как возбужденные молекулы до своего воз-
возвращения в нормальное состояние перестают абсорбировать свет
прежним образом. Поглощение должно, таким образом, зависеть
от мощности светового потока.
Очевидно, что отклонение от
линейности будет тем заметнее,
чем больше средняя длитель-
длительность возбужденных состояний.
Для обычных состояний с дли-
длительностью жизни около 10~8 с
требуются весьма большие све-
световые мощности, до сих пор
недоступные в лабораторных
условиях, для того, чтобы за-
заметить отклонение от линей-
линейности».
Рис. 107
161
Обнаружить явление просветления именно на образце урано-
уранового стекла удалось потому, что средняя длительность жизни
возбужденных состояний атомов в этом веществе очень велика —
около 3- 1СГ4 с.
Явление просветления — один из многих нелинейных эффек-
эффектов, которые долгое время невозможно было обнаружить и иссле-
исследовать из-за отсутствия достаточно мощных источников света.
Предположение о существовании других нелинейных оптических
явлений высказывалось на том основании, что в опытах было
замечено влияние сильных электрических полей с напряженностью
порядка 106—107 В/м на диэлектрическую проницаемость и пока-
показатель преломления среды. Естественно было предположить, что
электрическое поле световой волны, распространяющейся в ве-
веществе, должно оказывать влияние на его параметры. Свето-
Световые волны от обычных источников света не могут оказать за-
заметного влияния на оптические свойства среды потому, что
соответствующие им напряженности электрических полей очень
малы по сравнению с напряженностью внутриатомных полей,
имеющей порядок 10" В/м. Например, напряженность электриче-
электрического поля солнечного света на поверхности Земли составляет
около 700 В/м. Обычные источники света с поверхностной плот-
плотностью потока 1 —10 Вт/см2 создают напряженность элект-
электрического поля, не превышающую 10—1000 В/м; это очень ма-
малые напряженности по сравнению с напряженностью внутриатом-
внутриатомных полей.
С появлением лазеров, позволяющих получать мощные свето-
световые пучки с напряженностью электрического поля, сравнимой
с напряженностью внутриатомных полей, появилась возможность
экспериментального изучения нелинейных оптических явлений и
применения этих явлений в различных приборах и технических
устройствах.
Самофокусировка лазерного луча. Параллельный пучок света
в прозрачной жидкости вследствие дифракции на различного рода
неоднородностях постепенно расширяется (рис. 108, а). Однако,
если увеличивать мощность луча, то, начиная с некоторого ее
значения, световой пучок начинает распространяться без расхо-
Рис. 108
162 1
димости, а при дальнейшем увеличении мощности он фокусирует-
фокусируется, сжимаясь в тонкую нить диаметром порядка длины волны све-
света (рис. 108, б, в).
Это явление, называемое самофокусировкой, наблюдается
при пропускании через прозрачное вещество очень мощных пуч-
пучков света от лазера. Оно было предсказано в 1962 г. советским
физиком Г. А. Аскарьяном и впервые наблюдалось в 1965 г. в
МГУ им. Ломоносова Н. Ф. Пилипецким и А. Р. Рустамовым-.
Явление самофокусировки лазерного пучка объясняется так.
Плотность потока в световом пучке лазера возрастает от его на-
наружной границы к оси пучка. При большой плотности потока
светового пучка показатель преломления вещества увеличи-
увеличивается с ее ростом. В рассмотренном случае коэффициент пре-
преломления среды растет с приближением к оси пучка. Поэтому
световые лучи испытывают преломление по направлению к
оси. В результате они искривляются и фокусируются на оси.
Нарушение принципа суперпозиции световых пучков и преоб-
преобразование частоты света. В классической линейной оптике све-
световые пучки при пересечении не оказывают друг на друга ника-
никакого влияния, что соответствует принципу суперпозиции свето-
световых пучков. При пересечении двух достаточно мощных свето-
световых пучков от лазеров каждый из пучков изменяет показатель
преломления среды и тем самым изменяет условия прохожде-
прохождения пучка через этот участок среды. Это приводит к взаимной
модуляции световых пучков и появлению света с частотами,
равными сумме и разности частот взаимодействующих пучков.
Именно благодаря нарушению принципа суперпозиции световых
пучков стало возможно создание советскими физиками Р. В. Хох-
ловым и С. А. Ахмановым A962 г.) лазеров с плавной регулиров-
регулировкой частоты. Создание таких лазеров дало физикам чрезвычайно
важный инструмент для изучения строения вещества.
Многофотонные процессы. Опыты с применением лазеров за-
заставили пересмотреть и такое, казавшееся очевидным утвержде-
утверждение, как невозможность фотоэффекта при условии:
При достаточно большой мощности лазерного пучка фотоэф-
фотоэффект наблюдается и при этом условии. Объясняется это возмож-
возможностью одновременного поглощения двух и более фотонов одним
электроном атома. Очевидно, что в этом случае внешний фотоэф-
фотоэффект возможен при выполнении условия:
. А
Nh
где N — число фотонов, одновременно поглощенных электроном.
В результате красная граница фотоэффекта смещается в сторону
меньших частот.
163
Q 5 6
Рис. 109
Механизм влияния света на оптические свойства среды.
Электромагнитная теория света объясняет распространение све-
света в среде как результат последовательного взаимодействия
световой волны с атомами и молекулами: под действием электри-
электрического вектора световой волны происходит смещение в противо-
противоположные стороны разноименно заряженных электронов и ядер
атомов (рис. 109).
Смещение х квазиупруго связанных электронов зависит ли-
линейно от напряженности электрического.поля Е световой волны:
где k — «коэффициент упругости», определяемый силами связи
электрона в атоме; Е — модуль вектора напряженности электри-
электрического поля световой волны.
В переменном электрическом поле
?=?ocos со/
колеблющиеся электроны сами становятся источниками вторич-
вторичных световых волн той же частоты, но отличающихся от первич-
первичной световой волны амплитудой и фазой. Сдвиг по фазе между
падающими электромагнитными волнами и вторичными (переиз-
(переизлученными) является причиной того, что распространение резуль-
результирующей волны, являющейся их геометрической суммой, проис-
происходит в веществе со скоростью v, отличной от скорости света
в вакууме с.
Пока напряженность электрического поля световой волны
мала, амплитуда колебаний электронов в атомах пропорциональ-
пропорциональна напряженности поля. При этом переизлучение света колеблю-
колеблющимися электронами происходит без искажений и каждая волна
распространяется так, как если бы других волн не было, т. е.
выполняется принцип суперпозиции.
Но если плотность потока света такова, что напряженность
электрического поля световой волны сравнима с напряженностью
внутриатомных полей, линейный характер зависимости нарушает -
164
ся, т. е. коэффициент упругости k атомных диполей при больших
смещениях электронов уменьшается подобно тому, как уменьшает-
уменьшается жесткость пружины при больших деформациях. Изменение
упругости атомного диполя макроскопически проявляется в изме-
изменении показателя преломления вещества.
§ 24. АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
Атомные линейчатые спектры. Все атомы одного химического
элемента имеют одинаковое строение электронных оболочек, об-
обладают одинаковым дискретным набором возможных энергетиче-
энергетических состояний, которому соответствует набор частот линейчатых
спектров излучения и поглощения. Пример распределения энер-
энергии в спектре ртути в зависимости от длины волны представ-
представлен на рисунке 110.
Рисунок показывает, что линейчатый спектр излучения ато-
атомов вещества в газообразном состоянии не состоит из чисто
монохроматических спектральных линий; каждая линия имеет
довольно значительную ширину. Можно предположить, что эта
картина обусловлена несовершенством спектральных прибо-
приборов, применяемых для наблюдения, например, обусловлена ши-
шириной щели в спектроскопе. Однако такое предположение ошибоч-
ошибочно. Любая спектральная линия имеет конечную ширину.
Шириной спектральной линии Av называют разность частот,
которым соответствует уменьшение интенсивности в 2 раза по
сравнению с максимальной 1т (рис. 111).
Ширина спектральной линии зависит как от квантового пе-
перехода, соответствующего этой линии, так и от внешних усло-
условий. Линия атомного спектра имеет наименьшую ширину, если
фотоны излучаются неподвижными атомами, изолированными от
взаимодействий с другими атомами. Ширину спектральной ли-
Рис. ПО
165
1
L
г
/
К
нии в этих условиях называют
радиационной или естествен-
естественной. Естественная ширина спект-
спектральной линии А?тп, соответ-
соответствующая квантовому переходу
атома из состояния с энергией
Ет в состояние с энергией Еп,
равна сумме ширины уровней
энергии атома АЕт и Л?„:
Конечная ширина уровня
Рис. 111 энергии А? каждого квантово-
квантового состояния атома обуслов-
обусловлена неопределенностью, неоднозначностью этого состояния.
Неопределенность энергии атома в любом стационарном со-
состоянии является проявлением фундаментального принципа
квантовой физики — соотношения неопределенностей. (Этот
принцип будет подробнее рассмотрен в § 27.) Из него следует,
что ширина уровня энергии А? квантовой системы зависит от
времени жизни At ее в этом состоянии:
где »=¦?-.
2л
Время жизни атомов в возбужденном состоянии обычно лежит
в пределах 10~7—10~9 с, этим и определяется естественная ши-
ширина спектральных линий атомных спектров.
Ширина спектральных линий близка к естественной в спект-
спектрах излучения разреженных газов. По мере увеличения давления
увеличивается частота столкновений возбужденных атомов. Их
взаимодействие приводит к уменьшению времени жизни атома
в возбужденном состоянии и к расширению спектральных линий.
Второй причиной расширения спектральных линий является эф-
эффект Доплера.
Сплошной спектр излучения вещества в газообразном состоя-
состоянии. Спектр излучения нагретого вещества, находящегося в газо-
газообразном состоянии, не во всех случаях является линейчатым.
Наглядным примером тому служат спектры Солнца и большин-
большинства звезд — они сплошные.
Существует несколько возможных способов возникновения
в газе излучения со сплошным спектром. Первый из них —
рекомбинация положительных ионов с электронами.
Если при одном из столкновений атом газа был ионизирован,
то освободившийся в результате ионизации электрон может дви-
двигаться с любой скоростью, приобретая или теряя энергию при
166
столкновениях с атомами, ионами и электронами. Энергия свобод-
свободного электрона не квантована.
При встречах свободных электронов с положительными иона-
ионами (рис. 112) происходит рекомбинация ионов, в результате ко-
которой возникает нейтральный- атом. Избыток энергии системы
«свободный электрон — положительный ион» может быть отдан
фотону света, излучаемому при рекомбинации. Так как энергия
свободного электрона до встречи с ионом могла иметь любое
значение, то излучаемый фотон также может обладать любой
энергией, которая превышает энергию, освобождающуюся при
рекомбинации неподвижного электрона с ионом. Следователь-
Следовательно, спектр рекомбинационного излучения ионов получается сплош-
сплошным, но имеющим резкую границу со стороны низких частот.
Вторым возможным механизмом возникновения сплошного
спектра является тормозное излучение электронов в электриче-
электрических полях положительных ионов. При высокой температуре
часть атомов газа ионизирована. Свободный электрон вблизи
положительного иона (рис. 113) в результате взаимодействия
с ним движется с ускорением. Ускоренное движение электри-
электрических зарядов сопровождается, как известно, излучением элект-
электромагнитных волн.
Так как свободные электроны в горячей плазме движутся с
различными скоростями и могут пролетать на различных расстоя-
расстояниях от положительных ионов, ускорение при каждой встрече
получается различным. Следовательно, электромагнитное излу-
излучение имеет всевозможные длины волн и спектр получается
сплошным.
Третий возможный механизм возникновения сплошного спект-
спектра связан с образованием отрицательных ионов.
Атомы многих элементов способны присоединять к себе лиш-
лишний электрон, при этом они превращаются в отрицательные
ионы. Присоединение свободного электрона к нейтральному атому
сопровождается излучением фотона (рис. 114). По тем же причи-
причинам, что и при рекомбинации положительных ионов, спектр из-
излучения, возникающего при образовании отрицательных ионов,
сплошной.
Рис. 112
Рис. 113
167
Все рассмотренные процес-
процессы возникновения излучения со
сплошным спектром происхо-
происходят в фотосфере Солнца, но
основным из них в области ви-
видимой части спектра являет-
является механизм излучения при
образовании отрицательных ио-
ионов водорода.
Рентгеновские спектры.
Рис. 114 Энергетические уровни атомов
распределены неравномерно,
расстояния между ними уменьшаются по мере увеличения их
высоты. Переход в нормальное состояние атомов, у которых
на возбужденном уровне находится внешний валентный элект-
электрон, сопровождается испусканием квантов небольшой энергии.
Это может быть квант ультрафиолетового, видимого или даже
инфракрасного света.
По мере увеличения атомного номера элемента, а следова-
следовательно и заряда ядра, энергия связи электронов внутренних
оболочек с ядром возрастает. Связь электронов внешних обо-
оболочек с ядром ослабляется вследствие экранирующего действия
внутренних электронных оболочек. Более сильная связь электро-
электронов внутренних оболочек с ядром приводит к увеличению энер-
энергии фотонов, возникающих при переходах электронов с внешних
оболочек на внутренние. Если при переходах электронов в пре-
пределах внешних оболочек атомов испускаются фотоны инфракрас-
инфракрасного, видимого или ультрафиолетового света, то переходы электро-
электронов на внутренние оболочки сопровождаются испусканием кван-
квантов рентгеновского излучения. Рентгеновское излучение, возни-
возникающее при переходах электронов на внутренние оболочки ато-
атомов, называют характеристическим рентгеновским излучением.
Граничной длиной волны между ультрафиолетовыми и рентгенов-
рентгеновскими лучами принята длина волны 10 нм.
Схема, поясняющая возникновение характеристического рент-
рентгеновского излучения, представлена на рисунке 115. При выби-
выбивании электрона с одной из внутренних оболочек атома тяжелого
элемента, например Л^-оболочки, освободившееся место тотчас
занимает электрон с более удаленной оболочки, например L-обо-
лочки. Избыток энергии при этом испускается в виде кванта
характеристического рентгеновского излучения. Освободившееся
место в L-оболочке заполняется электроном из М-оболочки,
испускается еще один рентгеновский квант и т. д.
Наиболее распространенный способ возбуждения рентгенов-
рентгеновских спектров — бомбардировка атомов быстрыми электронами.
При столкновениях с атомами вещества анода (или антикатода)
быстрые электроны пучка могут выбивать электроны из внутрен-
внутренних оболочек атомов или испытывать торможение в электри-
168
Рис. 115
ческих полях атомных ядер. Первый процесс сопровождается
испусканием характеристического рентгеновского излучения с ли-
линейчатым спектром, второй процесс является источником тор-
тормозного рентгеновского излучения со сплошным спектром. Если
максимальная энергия электронов, бомбардирующих антикатод,
меньше энергии связи электро-
электронов внутренних оболочек ато-
атомов, то возникает только тор-
тормозное рентгеновское излуче-
излучение со сплошным спектром. Ес-
Если же энергия электрона пре-
превышает энергию связи электро-
электрона на К-оболочке атома, то,
кроме сплошного рентгеновско-
рентгеновского спектра, возникает полный
линейчатый спектр характери-
характеристического излучения (рис. 116).
Характеристический спектр
рентгеновского излучения оста-
остается линейчатым и при объеди-
объединении атомов в кристаллы, так
как внутренние электронные
оболочки атомов экранируются
от внешних воздействий внеш-
внешними электронными оболоч-
оболочками. Энергетические уровни
электронов внутренних оболо-
оболочек почти не изменяются при
объединении атомов в молекулы
и кристаллы.
Для исследования спектров
рентгеновского излучения не-
непригодны спектроскопы и спект-
спектрографы, применяемые для ви-
видимого света. В стеклянной
призме в результате взаимо-
взаимодействия с атомами вещества
рентгеновское излучение по-
глошается или рассеивается.
Обычные дифракционные ре-
решетки непригодны для иссле-
исследования рентгеновского излуче-
излучения из-за того, что ширина ще-
щелей в них во много раз пре-
превосходит длину волны рентге-
рентгеновского излучения. Для полу-
получения спектров рентгеновского
излучения используется явле- Рис цб
169
ние дифракции их на монокристаллах. Роль дифракционной
решетки в этом случае выполняют ряды атомов, расположен-
расположенные в монокристаллах строго периодически на расстояниях,
сравнимых с длиной волны рентгеновского излучения. Регистра-
Регистрация рентгеновского излучения обычно осуществляется с помощью
фотопластинки или счетчика рентгеновских квантов.
При использовании монокристаллов с хорошо известным пе-
периодом решетки можно по дифракционной картине определить
длины волн спектральных линий рентгеновского излучения, ис-
испытывающего дифракцию. Наоборот, используя источник рентге-
рентгеновского излучения с известным спектром, по наблюдаемой диф-
дифракционной картине можно определять межатомные расстояния
в кристаллах.
Молекулярные спектры. Молекулы каждого химического
соединения, как и атомы каждого химического элемента, об-
обладают своим, неповторимым спектром излучения. Однако, если
любой химический элемент по спектру его атомов определя-
определяется совершенно безошибочно и довольно легко, то определе-
определение молекулярного соединения по его спектру является значи-
значительно более сложной и не всегда разрешимой задачей.
Во-первых, следует отметить, что число известных хими-
химических соединений очень велико и спектры большинства из них
еще не исследованы.
Во-вторых, молекулярные спектры значительно сложнее атом-
атомных по своей структуре. Большая сложность спектров моле-
молекул объясняется несколькими причинами. Основная из них заклю-
заключается в том, что в отличие от атомов энергия молекулы может
изменяться не только при переходах электронов с одного уровня
на другой, но и в результате изменения взаимного положения
атомов в молекуле или скорости вращения молекулы как целого.
Изменение взаимного положения атомов в молекуле приводит
к возникновению колебаний, подобных колебаниям тел, связан-
связанных между собой упругой пружиной.
Колебательное и вращательное движения молекул подчиняют-
подчиняются квантовым законам, поэтому их энергия квантована. Разность
энергий между соседними вращательными уровнями очень мала,
так что даже при комнатной температуре кинетическая энергия
молекул оказывается достаточной для перевода молекул на воз-
возбужденные уровни. Следовательно, уже при комнатной температу-
температуре молекулы наряду с поступательным совершают и вращательное
движение. При этом разные молекулы вращаются с различными
угловыми скоростями.
Энергия же, необходимая для перевода молекулы на первый
возбужденный уровень колебательного движения, значительно
превосходит энергию теплового движения молекул при комнатной
температуре. Поэтому колебания молекул возбуждаются только
при повышенных температурах вещества или при поглощении
света.
170
Расщепление электронных уровней на большое число коле-
колебательных и вращательных уровней, расположенных близко друг
к другу, приводит к тому, что молекулярные спектры излучения
и поглощения состоят из большого числа спектральных линий,
сливающихся в широкие полосы.
Так как большинство молекул при высоких температурах
разрушается, то обычно исследуют не спектры излучения моле-
молекул, а спектры их поглощения.
Для получения спектра поглощения пропускают свет от ис-
источника со сплошным спектром излучения через исследуемое
вещество. Последнее поглощает фотоны, энергия которых соответ-
соответствует возможным переходам молекул из одного состояния в дру-
другое.
Радиоспектроскопия. Исследование веществ путем анализа
спектров поглощения и излучения электромагнитных.волн радио-
радиодиапазона называют радиоспектроскопией. Основными элемен-
элементами экспериментальных установок в радиоспектроскопии явля-
являются не призмы, дифракционные решетки, линзы и фотопластин-
фотопластинки, а специальные радиотехнические устройства сверхвысокой
частоты (СВЧ).
Устройство радиоспектроскопа схематически показано на ри-
рисунке 117. Генерирование радиоволн СВЧ-диапазона обычно
производится с помощью специальной электронной лампы —
клистрона /. Частота колебаний в генераторе СВЧ зависит от
напряжения, приложенного к одному из электродов клистрона.
Для передачи генерируемых радиоволн применяют металлические
трубы — волноводы 2.
Исследуемое вещество помещают в так называемую погло-
поглощающую ячейку 3 волновода, закрытую с двух сторон слюдяны-
слюдяными перегородками. Прошедшие через вещество радиоволны попа-
попадают на полупроводниковый детектор 4, с которого сигнал далее
подается на У-вход осциллографа.
Если пилообразное напря-
напряжение от генератора горизон-
горизонтальной развертки 5 использо-
использовать для модуляции частоты
клистрона, то горизонтальное
смещение луча будет пропор-
пропорционально частоте сигнала.
Если вещество в поглоща-
поглощающей ячейке не поглощает
радиоволн применяемого диа-
диапазона, то энергия излучения
радиоволн, попавших на детек-
детектор, будет постоянной, и луч
на экране осциллографа 6 дви-
движется по горизонтальной пря-
прямой линии. Если же в погло- рис. 117
171
щающей ячейке находится вещество, спектральная линия погло-
поглощения которого лежит в диапазоне частот, излучаемых клистро-
клистроном, то при достижении резонансного значения частоты веще-
вещество сильно поглощает радиоволны. Это приводит к умень-
уменьшению амплитуды сигнала, принимаемого детектором. На экране
осциллографа луч вычертит кривую зависимости прошедшей
через газ энергии радиоволн от частоты, т. е. контур спектраль-
спектральной линии поглощения.
Современные радиоспектроскопы обладают высокой чувстви-
чувствительностью. Например, для спектрального анализа вещества в
сантиметровом диапазоне достаточно иметь образец массой
10^6 г, а при исследованиях на длине волны порядка 0,1 мм доста-
достаточно использовать образец массой 10~9 г.
Радиоспектроскопическими методами более точно, чем опти-
оптическими, определяется структура молекул: взаимное располо-
расположение атомов, расстояние между атомами и углы между линиями,
проходящими через атомы.
Радиоволны космического происхождения. В 1932 г. в США
инженер К- Янский впервые зарегистрировал радиоволны, кото-
которые излучались из центра нашей Галактики. Позднее другими
исследователями было обнаружено радиоизлучение Солнца, обла-
облаков межзвездного газа, планет Солнечной системы, остатков
сверхновых звезд, внегалактических туманностей, квазаров,
пульсаров.
Самым ярким источником на «радионебе», как и в диапазо-
диапазоне видимого света, является Солнце. Энергия, приносимая радио-
радиоизлучением Солнца, находящегося в спокойном состоянии (когда
на Солнце мало пятен и вспышек), на поверхность Земли пло-
площадью 1 м2 за 1 с, равна примерно 10~10 Дж, тогда как в оптиче-
оптическом диапазоне поток солнечной энергии составляет 1,4 -103 Дж за
1 с на площади 1 м2, т. е. примерно в 1013 раз больше. Мощность
потока радиоизлучения от всех остальных космических источ-
источников радиоволн в сотни и тысячи раз меньше мощности потока
радиоизлучения Солнца.
Трудность регистрации космического радиоизлучения сущест-
существенно возрастает еще по той причине, что радиоприемные устрой-
устройства обычно обладают сравнительно узкой полосой пропускания,
т. е. принимают и усиливают радиоволны в небольшом диапазоне
длин волн.
Обычно полоса пропускания радиотелескопа составляет при-
примерно 104—106 Гц. В таком интервале частот даже от самого
мощного космического источника радиоволн — Солнца — поток
энергии радиоволн составляет примерно 3 • 10~16 Дж/м2 за 1 с,
тогда как даже радиоприемник 1-го класса способен улавливать
лишь потоки радиоволн, энергия которых превышает 10~13 Дж/м2
за 1 с. Потоки радиоизлучения от других космических объектов
оказываются в десятки и сотни тысяч раз меньшими, чем от
Солнца. Поэтому чувствительность приемных устройств радио-
172
Рис. 118
телескопов должна быть примерно в миллиард раз выше чув-
чувствительности обычного радиоприемника.
Для увеличения энергии, поступающей на вход приемника,
в радиоастрономии применяют антенны радиотелескопов с боль-
большой площадью поверхности. Крупнейший в мире радиотелескоп
АН СССР РАТАН-600 (рис. 118) вступил в строй в 1977 г. Его
антенна имеет диаметр 600 м и представляет собой систему
из 895 алюминиевых вогнутых зеркал, общая площадь которых
превышает 10 000 м2.
§ 25. ЯДЕРНЫЕ СПЕКТРЫ
Исследования атомных и молекулярных спектров доказывают
квантовый характер внутриатомных и межатомных взаимодей-
взаимодействий. Однако все рассмотренные до сих пор типы спектров
относились только к электромагнитному взаимодействию частиц.
Это — взаимодействие электронов в атомах с атомными ядрами
между собой, а также взаимодействие между атомами в молеку-
молекулах и кристаллах. Но действуют ли квантовые законы в систе-
системах, связанных силами не электромагнитной природы? На этот
вопрос дает ответ физика атомного ядра и элементарных частиц.
Внутри атомных ядер наряду с электромагнитными силами
действуют ядерные силы, называемые еще сильным взаимодей-
взаимодействием. Сильное взаимодействие не зависит от того, обладают ли
частицы электрическим зарядом. Это взаимодействие совершенно
иной физической природы.
Исследования свойств атомных ядер обнаружили, что, подоб-
подобно атомам, ядра обладают дискретными энергетическими спектра-
спектрами. Ядро, переведенное из основного состояния в возбужденное,
173
самопроизвольно возвращается
иш-ень в состояние с минимальной энер-
энергией (основное состояние) за
время порядка 10~14—10~16 с.
Избыток энергии при этом пере-
переходе испускается в виде кванта
электромагнитного излучения
Магнитный
спектрометр
Детектор
протпоноЬ
называемого гамма-квантом.
Гамма-фотоны отличаются
от фотонов видимого света зна-
значительно большей энергией, а
Рис 119 следовательно, и большей час-
частотой. Это объясняется тем,
что разность энергии между основным и первым возбужденным
уровнями ядра выражается величиной порядка 1 МэВ, тогда
как для внешней электронной оболочки атомов эта величина
обычно не превышает 10 эВ. Малое время жизни возбужденных
состояний ядер (~10~14 с) по сравнению со временем жизни
возбужденных состояний атомов (~1СГГ с) и большое зна-
значение энергии гамма-квантов объясняются тем, что ядерные
силы значительно превосходят электромагнитные силы.
Для возбуждения атомных ядер и получения их спектров из-
излучения можно использовать процессы неупругих столкновений
быстрых заряженных частиц с атомными ядрами. Очевидно, что
энергия частиц, которыми бомбардируется ядро, должна быть
больше разности энергий между основным и возбужденными
состояниями ядра. Так как эта энергия измеряется миллионами
электрон-вольт, то частицы, используемые для бомбардировки
атомных ядер с целью изучения их спектров, должны обладать
энергиями в миллионы электрон-вольт. Для получения пучков
частиц с такими энергиями используют ускорители заряженных
частиц.
Например, можно направить моноэнергетический пучок прото-
протонов из ускорителя на тонкую мишень, содержащую вещество,
спектр возбужденных состояний атомных ядер которого предстоит
исследовать. Протоны, испытавшие рассеяние при неупругих
столкновениях с атомными ядрами, попадают в магнитный
спектрометр, разделяются в магнитном поле по импульсам и,
следовательно, по энергиям (рис. 119). Измерив энергию про-
протона после рассеяния на атомном ядре, можно определить измене-
изменение его энергии и тем самым определить энергию возбужденного
состояния ядра.
Распределение по энергиям протонов, испытавших рассеяние
на мишени, содержащей изотоп железа 58Fe, представлено на
рисунке 120.
По этому спектру можно определить спектр энергетических
уровней ядра изотопа железа 58Fe (рис. 121).
Спектры большого числа атомных ядер удается исследовать
174
3,0
2,5 2,0 1,5 1,0
Потери энергии, МэВ
0,5
Рис. 120
более простым способом — путем изучения самопроизвольного
распада ядер (радиоактивность).
Если ядро, возникающее в результате альфа-распада, имеет
возбужденные уровни, лежащие ниже основного уровня исходного
ядра, то возможен переход ядра путем альфа-распада на один
из них. Возбужденное ядро, образовавшееся в результате альфа-
распада, за время порядка 10~14 с переходит в нормальное
состояние с испусканием одного или нескольких гамма-квантов.
Таким образом, альфа-распад часто сопровождается гамма-излу-
гамма-излучением. Гамма-кванты испускаются практически одновременно с
испусканием альфа-частиц, но не исходным ядром, а ядром-
продуктом. Изучение энергетического спектра альфа-частиц или
гамма-квантов позволяет определить схему энергетических уров-
уровней ядра-продукта.
Возбужденные ядра возникают и при другом типе радиоак-
радиоактивного превращения атомных ядер — при бета-распаде.
Эффект Мессбауэра. Из то-
того факта, что спектры излуче-
излучения атомных ядер возникают
подобно спектрам излучения
атомов и молекул, казалось
почти очевидным, что атомные
ядра, излучающие при переходе
из возбужденного состояния в
нормальное гамма-кванты с не-
некоторой частотой v, должны в
нормальном состоянии избира-
избирательно поглощать такие же
кванты. Резонансное поглоще-
поглощение гамма-кванта должно пере-
переводить ядро в возбужденное
состояние подобно тому, как
поглощение света переводит в
возбужденное состояние атом
или молекулу. Однако попытки
.2,87
-2,78
- 2,60
-2,26
¦2,13
- 1,67
.0,81
7/////Y///////////////////.
О
58
26
Fe
Рис. 121
175
экспериментального обнаружения резонансного поглощения гам-
гамма-квантов такими же атомными ядрами, какими эти кванты
излучались, долгое время были безрезультатными.
Отрицательные результаты опытов по обнаружению резонан-
резонансного поглощения гамма-квантов имеют простое объяснение.
Если переход ядра из возбужденного состояния Е\ в нормаль-
нормальное состояние ?о происходит путем излучения гамма-кванта,
то энергия этого кванта не равна в точности разности энергий
Е\—?о- По закону сохранения импульса при излучении гамма-
кванта атомное ядро приобретает импульс, равный импульсу
излученного гамма-кванта и направленный в противоположную
сторону. Ядро испытывает при излучении фотона отдачу подоб-
подобно орудию при выстреле. В связи с этим освобожденная энергия
распределяется между гамма-квантом и ядром. Следовательно,
энергия фотона меньше разности Е\—?о на величину кинетиче-
кинетической энергии ядра, испытавшего отдачу.
hv=(E\—E0)—EK.
Понятно, что энергия этого гамма-кванта меньше энергии,
необходимой для перевода такого же ядра из нормального состоя-
состояния в возбужденное:
i— ?о.
Немецкий физик Р. Мессбауэр в 1958 г. показал, что в не-
некоторых кристаллах можно создать такие условия, при которых
импульс отдачи при излучении гамма-кванта сообщается не от-
отдельному ядру, а всему кристаллу в целом. При этом изменение
кинетической энергии кристалла из-за большой его массы (по
сравнению с массой одного ядра) приближается к нулю, а энер-
энергия излученного гамма-кванта оказывается почти в точности
равной разности Е\—?о. При пропускании пучка таких гамма-
квантов через образец, содержащий атомные ядра того же изото-
изотопа, наблюдается резонансное поглощение.
Замечательной особенностью эффекта Мессбауэра является
необычайно малая ширина спектральной линии поглощения,
т. е. узость резонансного пика поглощения. Например, при ис-
использовании изотопа железа 5rFe резонанс нарушается при из-
изменении частоты гамма-кванта на величину Av, составляющую
10~'5 от его частоты v:
Это значит, что появляется возможность зарегистрировать изме-
изменение энергии гамма-кванта на величину, составляющую 10~15 от
ее первоначального значения!
Использование эффекта Мессбауэра позволило осуществить
один из самых тонких экспериментов современной физики —
обнаружение гравитационного красного смещения спектральных
176
линий. Существование гравитационного красного смещения пред-
предсказано общей теорией относительности. Приводим здесь упро-
упрощенное объяснение этого эффекта, основанное на использовании
закона взаимосвязи массы и энергии.
Гамма-фотон с энергией hv обладает массой:
При его перемещении в поле тяготения Земли вверх на вы-
высоту Н совершается работа A=mgH, в результате чего энергия
фотона убывает на величину:
Этому убыванию энергии соответствует уменьшение частоты:
д., Ле hvgH vgH
h c2h с2
Отсюда определяется относительное изменение частоты кванта:
\v _gH
Для высоты #=20 м получаем:
Av 9,81 м/с2 • 20 м о in-15
= /^ L • 1 U
v
9 ¦ 1016м2/с
Таким образом, при движении вертикально вверх на высоту
20 м частота любого фотона убывает на 2-Ю5 от своего пер-
первоначального значения. И столь малое изменение частоты тем не
менее удалось экспериментально обнаружить в I960 г. путем ис-
использования резонансного поглощения гамма-лучей в ядрах изо-
изотопа железа Fe.
§ 26. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Открытие электрона. Один из первых экспериментальных
фактов, свидетельствующих о сложности атомов, о существовании
у них внутренней структуры электрической природы, был установ-
установлен М. Фарадеем. На основании опытов по электролизу раз-
различных солей и других соединений можно было с уверенностью
утверждать, что электрические заряды имеются в атомах всех
элементов.
Решающие эксперименты, доказавшие реальность существо-
существования электронов, были выполнены в 1899 г. английским физиком
Дж. Дж. Томсоном.
Первые измерения заряда одиночного электрона были прове-
проведены в 1909 г. американским физиком Р. Милликеном.
7. JaK. 1320 О. Ф. Кабардин 177
Нуклоны. Изучение структуры и свойств атомных ядер при-
привело к открытию еще двух частиц — протона и нейтрона. Протон
имеет положительный элементарный заряд и обладает массой
1,672648-107 кг, или 1,0072765 а. е. м. Нейтрон — незаряженная
частица с массой, равной 1,674954-10~27 кг, или 1,0086650 а. е. м.
Во взаимодействиях между собой и с другими частицами
протон и нейтрон (если исключить кулоновское взаимодействие)
совершенно неразличимы. Поэтому во многих случаях их рассмат-
рассматривают как одну частицу — нуклон — с электрическим зарядом
или без него.
Частицы, из которых построены атомы, после их открытия
на первых порах считались последними «кирпичиками» вещества,
неспособными ни к каким изменениям и превращениям. Поэтому
их назвали элементарными частицами. Однако от такой простой
картины мира вскоре пришлось отказаться. Одна из трех частиц,
входящих в состав атома, — нейтрон — в свободном состоянии
оказалась неустойчивой. Свободный нейтрон самопроизвольно
распадается на три частицы — протон, электрон и нейтрино:
Явление распада нейтрона называют бета-распадом. Сред-
Среднее время жизни свободного нейтрона равно примерно 16 мин.
Испускаемая при бета-распаде особая частица — нейтрино — не
имеет электрического заряда, масса покоя ее равна нулю, а ско-
скорость движения равна скорости света в вакууме. Протон, элект-
электрон и нейтрино являются стабильными частицами. Однако счи-
считать их «настоящими» элементарными частицами, а нейтрон
«ненастоящей» элементарной частицей оказывается невозмож-
невозможным. Каждая из этих трех частиц при взаимодействии с други-
другими частицами или атомными ядрами может испытывать превра-
превращение в другие частицы. Например, протон, взаимодействуя
с другим протоном и имея в результате этого взаимодействия
избыточную энергию и массу, может распадаться по следующей
схеме:
где е+ — позитрон, частица с массой электрона, но обладающая
положительным элементарным зарядом.
При столкновении нейтрино с протоном может произойти пре-
превращение:
Таким образом, элементарные частицы оказались взаимопре-
вращаемыми.
В настоящее время элементарными частицами принято назы-
называть частицы, не состоящие из других известных частиц. Атом
водорода, например, не является элементарной частицей; это
система из двух элементарных частиц — протона и электрона.
178
Нейтрон является элементарной частицей, так как он не состоит
из протона, электрона и нейтрино. Эти частицы возникают в мо-
момент распада нейтрона, подобно тому как при переходе атома из
возбужденного состояния в нормальное возникает фотон.
Создание ускорителей заряженных частиц расширило возмож-
возможности ученых в исследовании взаимодействий быстрых заряжен-
заряженных частиц с атомными ядрами. С каждым годом увеличивается
количество открытых элементарных частиц.
В 1928 г. английский физик П. Дирак предсказал существо-
существование позитрона — частицы, равной по массе электрону, но об-
обладающей положительным электрическим зарядом. Эта частица
была экспериментально обнаружена в 1933 г. французскими
физиками Фредериком и Ирен Жолио-Кюри. Позитрон назвали
античастицей электрона. В настоящее время установлено, что
каждой частице в мире соответствует античастица. Встреча
двух античастиц кончается их взаимной гибелью, превращением
в кванты ядерного или электромагнитного поля.
Полное число параметров, определяющих свойства частиц
довольно велико. Важнейшими из них являются масса частицы,
ее электрический заряд, спин и время жизни. Спином называют
величину, дающую количественную характеристику вращатель-
вращательного движения частицы — ее собственный момент импульса. Ча-
Частицу можно представить себе в виде вращающегося шарика,
однако это лишь вспомогательное, упрощенное представление о
значительно более сложной действительности. Спин частицы
(механический момент) у различных частиц может иметь разные
значения, но все частицы одного типа имеют абсолютно одина-
одинаковые спины.
Любой из электронов обладает спином — Й=0,50272Х
X Ю~34 Дж-с {h=—; h — постоянная Планка). Величина h при-
принята за единицу спина. В таблице представлены сведения об
элементарных частицах, время жизни которых превышает 10~20 с;
частицы в ней расположены в порядке возрастания масс. Части-
Частицы первой группы называют лептонами, вторую группу называют
мезонами, протон и более тяжелые частицы составляют группу
барионов. Особое место в таблице занимает фотон, не входя-
входящий ни в одну из названных групп.'
Кроме частиц, представленных в таблице, открыто много
частиц с очень короткими временами жизни — около 10~22 с.
Эти частицы называют резонансами.
Спектры элементарных частиц. Картина многообразия элемен-
элементарных частиц значительно упрощается и приводится в стройную
систему, если использовать представление о нормальных и воз-
возбужденных состояниях элементарных частиц.
Все барионы отличаются друг от друга по многим физиче-
физическим параметрам (массе, электрическому заряду, спину), но у них
7* ' 179
Таблица элементарных частиц
Наименова-
Наименование частиц
Фотон
Лептоны
Мезоны
| Барионы
Нейтрино элект-
электронное
Нейтрино мю-
онное
Нейтрино тау-
лептонное
Электрон
Мюон
Тау-лептон
Пи-мезоны
(пионы)
Ка-мезоны
(каоны)
Эта-нуль-мезон
Нуклоны
Гипероны
Протон
Нейтрон
Гиперон-лямбда
Гипероны-
сигма
Гипероны-
кс и
Омега-ми-
нус-гиперон
Символ
Частица
V
vf
V|>
Vt
е~
й~
х~
л°
л+
к+
К"
п"
р
п
Л°
2+
2°
2~
Н"
я-
й-
Анти-
Античастица
V
V|X
Vr
е+
й+
т+
л°
л~
к-
к°
п"
й
п
А°
2+
2°
2-
^°
^н-
Масса
в элект-
электронных
массах
0
0
0
0
1
207
3492
264,1
273,1
966,4
974,1
1074
1836 1
1838,6
2183,1
2327,6
2333,6
2343,1
2573,2
2585,6
3273
Элект-
риче-
рический
заряд
0
0
0
0
— 1
— 1
— 1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
(
(
Время жизни,
с
Стабилен
Стабильно
Стабильно
Стабильно
Стабилен
2,2-10-6
3,4-Ю-'3
8,3-10~17
2,6-Ю-8
1,2- Ю-8
K°s-8,9-10-"
K"Z-5,2-10-8
7-10-'9
Стабилен
10'
2,63-10-'°
8-10-"
5,8- Ю-2"
1,48-10-'°
2,9-10-'°
1,64-10-'°
8,2-10-"
180
все же есть общее свойство: каждый ба-
рион после испускания одного или не-
нескольких мезонов превращается в нуклон,
т. е. в протон или нейтрон. Эти превра-
превращения схематически можно изобразить
так:
2°
2+
Л ¦
a0
2°
2+
2"
Л
Э. Ферми
Процесс распада бариона можно рассматривать как процесс
перехода нуклона из возбужденного состояния в нормальное с
испусканием кванта ядерного поля—мезона (рис. 122).
При таком подходе к проблеме снимается вопрос о большом
количестве элементарных частиц. Из всех барионов действитель-
действительно элементарными тогда следует считать нуклоны, а все осталь-
остальные, более тяжелые частицы рассматривать как возбужденные
состояния нуклона.
Задача построения системы элементарных частиц в этом слу-
случае заменяется задачей изучения и расчета спектров возбужден-
возбужденных состояний небольшого числа частиц.
Первое возбужденное состояние протона было открыто в
1951 г. Э. Ферми при изучении рассеяния пи-мезонов на прото-
протонах. Эти опыты по существу аналогичны опытам Франка и
Герца. На графике (рис. 123) приведен результат одного из
опытов по рассеянию электронов на протонах. По оси абсцисс
отложены значения изменения внутренней энергии Е протона
ж
л
ж
я
ж
я
ж
ж
-1°
i.-
ж
л
. п
р
Рис. 122
Рис. 123
80 ЮО 120 140 160 180 Е,Г1эВ
181
после неупругого столкновения с электроном, по оси ординат —
интенсивность 1т пучка рассеянных электронов.
Кварки. Существенно новый шаг в разработке теории эле-
элементарных частиц был сделан в результате выдвижения в 1964 г.
американскими физиками М. Гелл-Манном и Г. Цвейгом гипо-
гипотезы о существовании кварков.
Кварками назвали предполагаемые «настоящие элементарные
частицы», из которых состоят все мезоны, барионы и резонансы.
Сначала возможная картина построения частиц из кварков
казалась довольно простой: все известные барионы и резонансы
(а их несколько сотен!) можно было представить состоящими
всего из трех кварков! Правда, предсказанные свойства этих
гипотетических частиц оказались довольно неожиданными. На-
Например, их электрические заряды должны быть равными +2/3 и
—1/3 элементарного электрического заряда! Частиц с такими
зарядами никто в экспериментах не обнаруживал.
Как могут быть составлены элементарные частицы с целы-
целыми элементарными электрическими зарядами и нейтральные
частицы из кварков с дробными электрическими зарядами, пока-
показывает рисунок 124. На нем буквами и, d и s обозначены
три кварка. Эти обозначения происходят от английских слов
up — вверх, down — вниз, strange — странный. Однако из этих
трех кварков построить все многообразие мира элементар-
элементарных частиц не удалось. Были обнаружены такие частицы, для
объяснения свойств которых пришлось предположить существо-
существование еще трех кварков. Эти кварки обозначают буквами с, Ь
и /. (От английских слов charm — очарование, beauty — пре-
прелесть, красота, truth — истина.) Но и шести кварков оказалось
мало, так как у каждой элементарной частицы есть античастица,
у каждого из шести кварков ы, d, s, с, Ь и t есть свой антикварк.
Таким образом, кварков оказывается уже 12. Но и это еще не
все. При изучении свойств атомов, атомных ядер и элементар-
элементарных частиц установлен один из фундаментальных законов физи-
физики: в одной системе взаимосвязанных частиц никогда не суще-
существуют хотя бы две частицы с тождественными параметрами,
если эти частицы обладают полуцелым спином. Этот физический
закон называют принципом Паули.
Все кварки обладают спином, равным 1/2, поэтому к ним
относится принцип запрета Паули. Однако некоторые элемен-
элементарные частицы состоят из трех одинаковых кварков. Например,
омега-минус-гиперон Q~ состоит из трех s-кварков. Нет никаких
оснований для сомнений в применимости принципа Паули к
системам из кварков. Поэтому следовало сделать вывод, что
три s-кварка, входящие в состав Й~-гиперона, в действитель-
действительности не тождественны, а отличаются друг от друга какими-то
свойствами, до сих пор неизвестными в физике. Эти новые, не-
неизвестные ранее свойства назвали цветовыми зарядами или
цветами кварков. Эти цвета, конечно, никак не связаны с обычны-
182
Рис. 124
ми оптическими цветами тел; они лишь условно обозначают су-
существование трех различных типов зарядов у кварков.
Обычно цветовые заряды называют красным, синим и желтым
цветами кварков. Антикварки соответственно обладают антикрас-
антикрасным, антисиним и антижелтым цветами. Существование таких
элементарных частиц, как омега-гиперон, ставит и другую пробле-
проблему: какими силами связываются между собой три кварка с одина-
одинаковыми электрическими зарядами? И эта проблема разрешается,
если предположить, что между кварками с разными цветовыми
зарядами действуют силы притяжения, обусловленные цветовым
взаимодействием. Теорию, которая описывает цветовые взаимо-
взаимодействия кварков, называют квантовой хромодинамикой. С учетом
того, что каждый из шести кварков обладает тремя разными
цветовыми зарядами, число различных кварков оказывается рав-
равным 18, а общее число кварков и антикварков — 36.
183
Гипотеза о существовании кварков полностью объясняла все
основные свойства мезонов и барионов, но она встретилась и с
рядом принципиальных трудностей. Во-первых, попытки отыскать
хотя бы один свободный кварк с дробным электрическим заря-
зарядом в природе или освободить из недр элементарных частиц
при их столкновениях неизменно оканчивались неудачей. Однако
серия неудач в поисках свободных кварков не привела к отказу
от гипотезы о существовании кварков. Изучение особенностей
элементарных частиц в опытах, сходных с опытами Резерфорда
по наблюдению рассеяния альфа-частиц, но при более высоких
энергиях, показало, что внутри протонов и нейтронов, как и внутри
атомов, большая часть пространства пуста и существуют частицы
очень малых размеров и большой массы, на которых происходит
рассеяние пролетающих частиц. Невозможность освобождения
одиночного кварка из элементарной частицы получает следующее
объяснение.
Изучение особенностей рассеяния частиц при очень высоких
энергиях позволяет высказать предположение, что силы цветового
взаимодействия между кварками не убывают с расстоянием,
как это происходит при сильном взаимодействии частиц, при
электромагнитном и гравитационном взаимодействиях тел. .Но
если цветовые силы не убывают с расстоянием, то работа, со-
совершаемая против действия цветовых сил притяжения, должна
линейно возрастать с увеличением расстояния между кварками.
Поэтому нельзя указать какое-то конечное значение энергии,
которое было бы достаточным для полного разрыва связи между
кварками. Цветовые взаимодействия между кварками можно упо-
уподобить связи в виде нити, сила упругости в которой остается
неизменной при любом растяжении. Но неужели такую нить
связи между двумя мельчайшими частицами нельзя разорвать,
располагая такими «орудиями», как современные гигантские
ускорители заряженных частиц?
Связи между кварками «снаряды» из современных ускорите-
ускорителей разорвать смогли, но это не привело к получению свобод-
свободных кварков. Дело в том, что для разрыва связей между квар-
кварками затрачивается энергия, значительно превосходящая значе-
значение энергии, необходимой для «рождения пары» кварк — анти-
антикварк. В результате каждый акт вырывания одного свободного
кварка из элементарной частицы сопровождается рождением
одной или нескольких пар кварк — антикварк. Один из вновь
рожденных антикварков соединяется с освобождающимся кварком
и образует с ним мезон; второй рожденный кварк возвращает-
возвращается цветовыми силами в исходную элементарную частицу, состав
частицы восстанавливается (рисунок на форзаце в конце книги).
Если силы цветового взаимодействия так велики и не убывают
с расстоянием, то почему же их влияние не обнаруживается
в обычных условиях? Почему не заметно их действие между
атомными ядрами, между Землей и Солнцем? Ответ на этот
184
вопрос довольно прост: в каждой элементарной частице, состоя-
состоящей из трех кварков, обязательно имеются кварки с тремя
разными цветами. Эти три цвета взаимно нейтрализуют друг
друга. Частица в целом имеет нулевой цветовой заряд, становит-
становится бесцветной.
Мезоны, состоящие из кварка и антикварка, также бесцвет-
бесцветны, так как цвет в сложении с антицветом дает нулевой цвет,
и мезоны в целом бесцветны. Кварковая модель строения эле-
элементарных частиц была бы неполной без ответа на вопрос, ка-
каким образом осуществляется цветовое взаимодействие между
кварками.
Для объяснения цветового взаимодействия кварков оказа-
оказалось необходимым предположить существование еще одного типа
частиц — глюонов. Каждый глюон является носителем двух цве-
цветовых зарядов: одного цвета и одного антицвета. При испуска-
испускании глюона кварк изменяет свой цвет, поглощение глюона также
приводит к изменению цвета кварка. Комбинациями из трех
цветов и трех антицветов получается восемь разных глюонов.
Так как глюоны обладают цветовыми зарядами, их, как и квар-
кварки, нельзя получить в свободном виде. Кварки взаимодей-
взаимодействуют между собой путем обмена глюонами только на очень
коротких расстояниях, порядка 10~'5 м.
Если в природе 36 кварков и антикварков, 8 глюонов, 12 леп-
тонов и фотон, то общее число «самых элементарных» частиц
оказывается равным 57.
Поиски самой простой первоосновы материи вновь привели
к открытию качественно новой ступени познания природы, под-
подтвердили справедливость гениального предвидения В. И. Лени-
Ленина, высказанного еще в 1908 г.: «Электрон так же неисчерпаем,
как и атом, природа бесконечна...»'.
Сейчас обсуждаются вопросы о возможности существова-
существования еще более «простых» частиц, из которых состоят кварки
и глюоны. Уже открыты еще три частицы, названные бозона-
бозонами: W+, W~ и Z°. Эти частицы являются переносчиками взаимо-
взаимодействия между лептонами. Возможно существование гравитона
как частицы — переносчика гравитационного взаимодействия.
1. Какие частицы называют элементарными?
2. Назовите основные параметры элементарных частиц.
3. На какие группы делятся элементарные частицы?
4. Что такое спектры элементарных частиц?
5. Что такое кварки?
6. Почему до сих пор не обнаружены свободные кварки?
¦ 7. Как осуществляется взаимодействие между кварками?
Ленин В. И. Поли. собр. соч. — Т. 18. — С. 160.
185
§ 27. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ
Квантовая природа света. Волновые свойства света, обна-
обнаруживаемые в явлениях интерференции и дифракции, и корпуску-
корпускулярные свойства света, проявляющиеся при фотоэффекте и эф-
эффекте Комптона, кажутся взаимно исключающими друг друга.
Однако такие противоречия существовали лишь в классиче-
классической физике. Квантовая теория полностью объясняет с единых
позиций все свойства света. Характерной чертой квантовой теории
света является объяснение всех явлений, в том числе и тех, ко-
которые ранее казались объяснимыми лишь с позиций волновой
теории. Например, явления интерференции и дифракции света
квантовая теория описывает как результат перераспределения
фотонов в пространстве.
Распределение фотонов в пучках света при интерференции
и дифракции описывается статистическими законами, дающими
те же результаты, что и волновая теория. Однако торжество
современной квантовой теории в объяснении всех световых явле-
явлений не означает, что никаких волн в природе нет.
Волновые свойства электрона. Полному отказу от волновых
представлений о природе света препятствуют не только сила
традиции, удобство волновой теории и трудность современной
квантовой теории. Есть и более серьезная причина. В 1924 г.
французский физик Луи де Б р о й л ь впервые высказал идею,
согласно которой одновременное проявление корпускулярных и
волновых свойств присуще не только свету, но и любому дру-
другому материальному объекту. Эта идея была лишь теоретиче-
теоретической гипотезой, так как в то время наука не располагала экспери-
экспериментальными фактами, которые бы подтверждали существование
волновых свойств у элементарных частиц и атомов., В этом зак-
заключалось существенное отличие гипотезы де Бройля о волновых
свойствах частиц от гипотезы Эйнштейна о существовании фото-
фотонов света, выдвинутой им после открытия явления фотоэффекта.
Гипотеза де Бройля о существовании
волн материи была детально разработа-
разработана, и полученные из нее следствия могли
быть подвергнуты экспериментальной
проверке. Основное предположение де
Бройля заключалось в том, что любой
[ материальный объект обладает волновыми
свойствами и длина волны связана с его
импульсом таким же соотношением, ка-
каким связаны между собой длина свето-
световой волны и импульс фотона. Найдем
выражение, связывающее импульс фото-
фотона р с длиной волны света К. Импульс
фотона определяется формулой:
Л. де Бройль р—тс. B7.1)
186
Рис. 125
Из уравнения
можно определить
массу
E—mc2—hv
фотона:
/IV
т=—.
Рис.
126
B7.2)
B7.3)
Учитывая это, можно формулу B7.1) преобразовать так:
_hv_ _h_
с к
Отсюда получаем для длины световой волны формулу:
B7.4)
B7.5)
Если это выражение справедливо, как предположил де Бройль,
для любого материального объекта, то длина волны тела мас-
массой т, движущегося со скоростью v, может быть найдена так:
Х=^- B7-6)
Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Брой-
ля получили в 1927 г. независимо друг от друга американские
физики К- Д- Дэвиссон и Л. X. Джермер и английский физик
Д. П. Томсон. Дэвиссон и Джермер изучали отражение электрон-
электронных пучков от поверхности кристаллов на установке, схема кото-
которой изображена на рисунке 125. Перемещая приемник электро-
электронов по дуге окружности, центр которой находится в месте паде-
падения электронного пучка на кристалл, они обнаружили сложную
зависимость интенсивности отраженного пучка от угла (рис. 126).
Отражение излучения только под определенными углами означа-
означает, что это излучение представляет собой волновой процесс и
его избирательное отражение есть результат дифракции на атомах
кристаллической решетки. По известным значениям постоянной
кристаллической решетки d и угла ср дифракционного максимума
можно по уравнению Вульфа — Брэггов
2d sin (f=kl
187
вычислить длину волны дифрагировавшего излучения и сопоста-
сопоставить ее с дебройлевской длиной волны электронов Я=-
численной по известному ускоряющему напряжению U:
вы-
eU=-
Вычисленная таким образом из опытных данных длина волны
совпала по значению с дебройлевской длиной волны.
Интересны результаты другого опыта, в котором пучок
электронов направлялся на монокристалл, но расположение при-
приемника и кристалла не изменялось. При изменении ускоряющего
напряжения, т. е. скорости электронов, зависимость силы тока
через гальванометр от ускоряющего напряжения имела вид,
представленный на рисунке 127. Электронный пучок испытывал
наиболее эффективное отражение при скоростях частиц, удовлет-
удовлетворяющих условию дифракционного максимума.
Последующие эксперименты полностью подтвердили правиль-
правильность гипотезы де Бройля и возможность использования урав-
уравнения B7.6) для расчета длины волны, связанной с любым
материальным объектом. Обнаружена дифракция не только эле-
элементарных частиц (электрон, протон, нейтрон), но и атомов.
Выполнив расчеты длины дебройлевской волны для различных
материальных объектов, можно понять, почему мы не замечаем
в повседневной жизни волновых свойств окружающих нас гел.
Их длины волн оказываются столь малыми, что проявление
волновых свойств невозможно обнаружить. Так, для пули массой
10 г, движущейся со скоростью 660 м/с, длина дебройлевской
волны равна:
Дж-с
mv ИГ2 кг-660 м/с
-1-34
М.
Дифракция электронов на решетке кристалла никеля стано-
становится заметной лишь при таких скоростях движения электронов,
Рис. 128
Рис. 127
1
5
п п
ш
п
J
/
J
10 15
\
L
(\
1
20
A
25 ЦВ
.'. 4M.-4ftif.-At ь и ГЛМ.ЦГ+ !ЛЩ ¦, *-> ;-.<.:-:"*»
a
188
при которых их дебройлевская длина волны становится сравни-
сравнимой с постоянной решетки. При этом условии дифракционная
картина, получаемая от электронного пучка, становится подоб-
подобной картине дифракции пучка рентгеновских лучей с такой же
длиной волны. На рисунке 128 представлены фотографии дифрак-
дифракционных картин, наблюдающихся при прохождении пучка света
(а) и пучка электронов (б) у края экрана.
Гипотеза де Бройля и атом Бора. Гипотеза о волновой при-
природе электрона позволила дать принципиально новое объяснение
стационарным состояниям в атомах. Для того чтобы понять
это объяснение, выполним сначала расчет длины дебройлевской
волны электрона, движущегося по первой разрешенной круговой
орбите в атоме водорода. Подставив в уравнение B7.6) выраже-
выражение для скорости электрона на первой круговой орбите, получим:
=2 B77)
mv nth
Это значит, что в атоме водорода, находящемся в первом
стационарном состоянии, длина дебройлевской волны электрона
в точности равна длине его круговой орбиты! Для любой другой
орбиты с порядковым номером п получаем:
пХ=2пгп. B7.8)
Этот результат позволяет выразить постулат Бора о стацио-
стационарных состояниях в такой форме: электрон вращается вокруг
ядра неопределенно долго, не излучая энергии, если на его орби-
орбите укладывается целое число длин волн де Бройля.
Такая формулировка постулата Бора соединяет в себе одно-
одновременно утверждение о наличии у электрона волновых и корпус-
корпускулярных свойств, отражая его двойственную природу. Соедине-
Соединение волновых и корпускулярных свойств в этом постулате проис-
происходит потому, что при расчете длины волны электрона Я исполь-
используется модуль скорости v, полученный при расчете движения
электрона как заряженной частицы по круговой орбите радиуса г.
Интерференция волн де Бройля. Если трудно представить
себе, что свет обладает одновременно и корпускулярными и
волновыми свойствами, то еще труднее представить электрон
как волну. Трудности увеличиваются потому, что электрон в отли-
отличие от фотона обладает массой покоя и электрическим заря-
зарядом. И масса, и электрический заряд электрона не могут де-
делиться на части и не могут исчезать. Отсюда возникает необхо-
необходимость введения статистического истолкования результатов опы-
опытов по наблюдению дифракции электронов и интерференции
электронных пучков. Каждый электрон при прохождении через
малое отверстие не делится на части и не исчезает при встрече
с другим электроном в тех местах, где по условию интерферен-
интерференции волн де Бройля находится минимум. Условия максимумов
и минимумов при интерференции деброилевских волн определяют
189
О
Инт енсибность
I
В
О
Интенсивность
В
Ь
ИнтенсиЬность
А
\В
ИнтенсиЬность
места, в которые электроны
после прохождения через отвер-
отверстие попадают с максималь-
максимальной или минимальной вероят-
вероятностью.
Вероятностная трактовка
волновых свойств электрона не
снимает всех принципиальных
трудностей. Если явление диф-
дифракции электронов при прохож-
прохождении через узкую щель рас-
рассматривать как результат взаи-
взаимодействия частиц с краями
экрана, то в опытах с двумя
щелями должны наблюдаться
следующие результаты. При от-
открывании одной щели А на
фотопластинке Ф электроны
должны вызвать потемнение в
виде полосы, плотность потем-
потемнения из-за явления дифракции
должна плавно уменьшаться от
центра полосы против отверстия
Л к ее краям. Распределение
плотности потемнения на фото-
фотопластинке Ф представлено гра-
графиком за пластинкой (рис.
129, а). При открытой щели В
на фотопластинке должна поя-
появиться другая размытая полоса,
наиболее темная напротив
центра щели В (рис. 129, б).
Если и далее рассматривать
электрон как частицу, взаимо-
взаимодействующую с краями экрана,
то при одновременном открыва-
открывании двух щелей на фотопла-
фотопластинке следует ожидать появле-
появления темной полосы, получаю-
получающейся простым наложением
двух полос, возникающих при
поочередном открывании щелей А и В (рис. 129, в). Однако в
действительности от двух щелей наблюдается значительно более
сложная интерференционная картина с чередованием максиму-
максимумов и минимумов (рис. 129, г). Этот результат нельзя объяснить,
если считать, что каждый электрон взаимодействует только с
одной щелью, так как в этом случае открывание второй щели
не могло бы привести к такому результату.
Рис. 129
190
Можно было предположить, что сложная картина дифракции
электронов возникает в результате взаимодействия частиц в пуч-
пучке за экраном. Советские физики Л. Г. Биберман, Н. Б. Сушкин
и В. А. Фабрикант выполнили опыты с пучками электронов
столь низкой интенсивности, что их можно было рассматривать
как поочередно летящие отдельные частицы. Однако и в случае
прохождения через отверстие индивидуальных электронов полу-
получается такая же картина, как и в интенсивных пучках.
Интерференционная картина от двух щелей получает объясне-
объяснение только в том случае, если принять, что каждый отдель-
отдельный электрон обладает волновыми свойствами и взаимодейст-
взаимодействует сразу с двумя открытыми щелями. Этот пример убедитель-
убедительно показывает, что законы квантовой физики не могут получить
полного и непротиворечивого описания в наглядных образах и
понятиях классической физики.
Соотношение неопределенностей. Обнаружение волновых
свойств частиц привело к открытию фундаментального закона,
управляющего всеми явлениями микромира,— принципа неопре-
неопределенности, или соотношения неопределенностей.
Соотношение неопределенностей открыто в 1927 г. немецким
физиком В. Гейзенбергом.
Рассмотрим явление дифракции моноэнергетического парал-
параллельного пучка частиц на щели шириной d (рис. 130). На эк-
экране, находящемся на расстоянии L, в результате явления диф-
дифракции частиц образуется размытая полоса с максимумом про-
против центра отверстия (см. рис. 130). Можно приблизительно
принять, что все частицы после прохождения отверстия попадут
на экран в области между центральным максимумом и первыми
минимумами по обе стороны от него. Положение первого ми-
минимума на экране определяется обычным условием дифракцион-
дифракционного минимума от щели:
dsm ф=Х.
Частица с импульсом р обладает длиной волны:
Р '
поэтому условие первого мини-
минимума можно представить в
виде:
d sin cp=—, или dpsmi$=h.
B7.9)
Отклонение частицы в ре-
результате дифракции от перво-
первоначального направления дви-
движения свидетельствует об из-
изменении ее импульса. По углу
L
X
i
>
ИнтенсиЬность
Рис. 130
191
р
X
\
)
/
(._
С
\
у
ИнтенсиЬность
отклонения ф можно определить
изменение импульса частицы
Арх (рис. 131):
$\ПЦ)==А?±. B7.10)
Подставляя выражение B7.10)
в условие первого минимума
B7.9), получаем:
d-Apx—h.
B7.11)
Рис. 131
Таким образом, если известно, что частица с первоначаль-
первоначальным точно известным значением импульса р прошла через щель
шириной d и тем самым положение частицы в пространстве, ее
координата х были определены с точностью до Ax = d, то све-
сведения об импульсе частицы становятся менее определенными.
Неопределенность импульса Арх частицы определяется получен-
полученным соотношением:
\x-\Px=h, B7.12)
где h — постоянная Планка. Смысл полученного соотношения,
называемого соотношением неопределенностей, заключается в
следующем. При любой попытке все более точного определе-
определения положения частицы в пространстве (ее координаты) обяза-
обязательно будут все менее определенными сведения об импульсе
частицы. Если же каким-либо способом более точно опреде-
определять значение импульса частицы, то сведения о координатах
будут все менее точными.
Более точное выражение соотношения неопределенностей
имеет вид:
Арх-Ах^П, B7.13)
где П=
±.
Принципиально важно, что соотношение неопределенностей
не связано с несовершенством применяемых измерительных при-
приборов, а отражает особенности физической природы объектов
микромира. Существенно и то, что соотношение неопределен-
неопределенностей применимо только к будущему предсказанию физических
характеристик микрообъектов.
Вместо выражения, связывающего неопределенности коорди-
координаты и импульса, можно получить выражение, связывающее
неопределенности энергии АЕ и времени At.
Для фотона, излучаемого атомом, неопределенности импуль-
импульса Арх и координаты Ах можно представить:
\Е .
с
192
Отсюда для атома, излучающего фотон, получаем соотноше-
соотношение неопределенностей:
Apx.Ax=AE-At^h. B7.14)
Оно устанавливает связь между неопределенностью Л^ момента
изменения энергии и неопределенностью АЕ изменения энергии
системы.
Связь неопределенностей энергии АЕ и момента времени
At применима к любой системе. Она может быть использована
для оценки по известному радиусу действия ядерных сил массы
частиц, с помощью которых осуществляется взаимодействие
нуклонов в ядре, для введения понятия о ширине спектральных
линий.
Взаимные превращения света и вещества. Глубокое единст-
единство двух различных форм материи — вещества в виде различных
элементарных частиц и электромагнитного поля в виде фотонов —
обнаруживается не только в двойственной корпускулярно-вол-
новой природе всех материальных объектов, но главным образом
в том, что все известные частицы и фотоны взаимно превращаемы.
Самый известный пример взаимных превращений частиц —
это превращение пары электрон — позитрон в два или три гамма-
кванта. Этот процесс наблюдается при каждой встрече электрона
с позитроном и называется аннигиляцией (т.е. исчезновением).
При аннигиляции строго выполняются законы сохранения энер-
энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда (элект-
(электрон и позитрон обладают равными зарядами противоположного
знака), но материя в форме вещества исчезает, превращаясь в
материю в форме электромагнитного излучения.
Процесс, обратный аннигиляции, наблюдается при взаимо-
взаимодействии гамма-квантов с атомными ядрами. Гамма-квант, энер-
энергия которого превышает энергию покоя Ео=2пгос2 пары элект-
электрон — позитрон, может превратиться в такую пару.
Таким образом, материя не только многообразна в своих
формах, но и едина в своей сущности. Разделение материаль-
материальных объектов на отдельные группы и виды условно и относи-
относительно.
1. Что такое волны де Бройля?
2. В каких условиях проявляются волновые свойства частиц вещества?
3. В каких опытах обнаруживается явление интерференции волн де Бройля?
4. Каков смысл соотношения неопределенностей?
5. Какова связь между неопределенностью изменения энергии системы и мо-
моментом времени изменения энергии?
§ 28. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Пример 13. Определите температуру поверхности Солнца, если известно,
что на границе земной атмосферы плотность потока солнечного излучения равна
шH=1,37-103 Вт/м2. Излучение Солица считайте близким к излучению черного
тела.
Решение. Плотность потока теплового излучения, испускае-
испускаемого единицей поверхности черного тела, определяется законом
Стефана — Больцмана:
w—oT4,
где о=5,67-1(Г8 Вт/(м2-К4). Отсюда:
т- '/¦? ¦
Для определения значения плотности потока до надо пол-
полную мощность W излучения Солнца разделить на площадь его
поверхности:
где R\ — радиус Солнца.
Полную мощность излучения Солнца определим из выражения:
W=w0S,
где S — поверхность сферы, имеющей радиус /?2, равный расстоя-
расстоянию от Солнца до Земли. Так как S=4nH2, то
Сл едовательно,
Подставляя значения входящих в эту формулу величин, полу-
получим:
т 4/
1,37-1У Bt/m»A,5-10" м)» _гоПП
5.67.10-" Вт/(„2.К4) F,95.10е MJ~bbUU
Пример 14. Металлический шар радиусом 10 см облучают светом с дли-
длиной волны 2-10 ' м. Определите установившийся заряд шара, если работа
выхода электрона с его поверхности равна 7,2-10 '' Дж.
Решение. Заряд на шаре будет установившимся при усло-
условии, что самые быстрые электроны, покидающие поверхность
шара вследствие фотоэффекта, возвращаются на шар под дей-
действием электростатического поля. В этом случае выполняется
194
равенство:
mv1
max , eq
2 ¦" R
Используя уравнение Эйнштейна
получим:
4 ke ke
Подставив значения величин, найдем:
6.6- 10~'м Дж-с 3''°8 m/c-7,2-10""j ДжУо.1 м
2- 10' ' м I inift-ii vn
9-109 Н.м2/Кл2-1,6.10-19 Кл '
Пример 15. Две плоские заряженные металлические пластины распо-
расположены параллельно на расстоянии 1 см в вакууме. Напряжение между пласти-
пластинами 10 В. Отрицательно заряженная пластина освещается узким пучком
света, длина волны которого 1,3 • 10~7 м. Определите радиус окружности на
поверхности положительно заряженной пластины, ограничивающей область по-
попадания фотоэлектронов. Красная граница фотоэффекта с поверхности пластины
равна 3,3 • 1<Г7 м.
Решение. Выберем начало координат (точку О) на поверх-
поверхности пластины, в которую попадает пучок света. Ось Ох напра-
направим перпендикулярно к плоскости пластины, а ось Оу пусть
лежит в плоскости пластины.
В этом случае радиус R искомой окружности равен макси-
максимальному значению координаты у фотоэлектрона при достиже-
достижении им положительно заряженной пластины:
^ У max ^ ^тах п1ах*
Двигаясь между пластинами, фотоэлектрон удаляется от оси
Ох на максимальное расстояние в том случае, когда модуль
составляющей скорости vy имеет максимальное значение, а мо-
модуль составляющей ох — минимальное (так как при этом время
t движения электрона между пластинами становится максималь-
максимальным). Максимальное значение модуля составляющей скорости
vy равно максимальному значению начальной скорости фотоэлект-
фотоэлектрона:
v „ =v,
195
Максимальную скорость найдем из уравнения Эйнштейна:
mv2 т,„
„ — J 2 ^ - л> — л/
Работу выхода определим по известной красной границе фотоэф-
фотоэффекта:
A=hv=-hc
1
'тр
Максимальное время движения фотоэлектрона между пластинами
at2,
определится так: 2
2
~2сГ , / 2dm
Тогда для искомого радиуса окружности имеем:
/
Подставляя в это выражение значения величин, получим:
3.3-I0-' м-1,3-10-' м-10 В-1,6-10~'9 Кл
м.
Пример 16. При бомбардировке быстрыми электронами металлического
антикатода рентгеновской трубки возникает рентгеновское тормозное излучение.
Определите коротковолновую границу спектра рентгеновского излучения при
скорости электронов 150 000 км/с.
Решение. Коротковолновая граница спектра рентгеновского
излучения определяется условием равенства кинетической энер-
энергии электрона энергии фотона:
откуда получаем:
*o=-jf- (*)
с к
196
Так как скорость электрона v сравнима со скоростью све-
света, то его кинетическую энергию следует рассчитывать по реля-
релятивистской формуле:
Е к=(т—т0)с2=—т"с —тос2.
В этом случае выражение A) можно записать:
пос I 1 1 / _/. V \
\ / Г / niocl-y Ч— -7+1 I
При условии v=—
h _ 6,62-10- Дж-с ^4,7-10-" М.
т J 2. l\ 9.1 -10—" кг-3-108 м/с-0,155
Пример 17. Неподвижный атом водорода излучил квант света, соответ-
соответствующий головной линии серии Лаймана (серия Лаймана соответствует пере-
переходам на уровень га=1). Определите относительное изменение частоты фотона
вследствие отдачи атома. Какую скорость приобрел атом за счет энергии отдачи?
Решение. Для явления излучения фотона запишем законы
сохранения энергии:
hvo=E2[=hv+^f- A)
и импульса:
Jll-=Mv. B)
с
Из уравнений A) и B) следует:
"= *(vv)?0 ^H
v=2c^. C)
Из выражений A) и B) следует и другое равенство:
D)
/,(vov)=-^L, ^L
2Мс2 v
Запишем выражение полной энергии для атома водорода:
е
4яе0г ' E)
197
Из второго закона Ньютона можно записать:
mv* e* F)
Из выражений E) и F) получим:
F—
8лгпг ¦ G)
Из условия квантования орбит mvr=nh и выражения G)
найдем радиус орбиты:
и полную энергию:
где
А=—те"-- Л»2,17-1(Г'8 Дж.
Dле„J2й.2
На основании постулата Бора запишем:
=4~Л. (8)
Проведя преобразования выражений D) и (8), получим:
Av __ /ivo Ег\ 3/1
v ~~ 2Мс2 ~ 2Мс2 ~ 2 '
Av 3 2,17-10-18 Дж
v 8 1840-9,1 -10-" кг-9-10'6 м2/с2
Подставим полученное значение —— в выражение C), най-
найдем скорость:
у=2с—=2-3-108 м/с-5,4-1(Г9=3,24 м/с.
Прим-ер 18. Пользуясь соотношением неопределенностей, оцените размер
атома водорода.
Решение. В устойчивом состоянии полная энергия атома
минимальна. Энергия атома водорода складывается из потен-
потенциальной энергии системы «электрон — ядро»:
? = L__?l
р 4лео г
198
и кинетической энергии электрона:
2т
где р — импульс электрона. В соответствии с соотношением неоп-
неопределенности
где Ах — неопределенность в координате электрона, которую мож-
можно принять равной искомому радиусу го атома водорода. Им-
Импульс электрона р можно принять равным его неопределенности
\рх. Тогда из соотношения неопределенностей следует:
а для кинетической энергии электрона имеем:
Полная энергия атома равна:
h2 1
?=-
2г2т 4ле0 г
Так как в устойчивом состоянии полная энергия системы должна
быть минимальной, для нахождения радиуса первой орбиты элект-
электрона найдем значение г о, соответствующее минимуму энергии.
Найдем производную энергии атома по его радиусу Е'(г) и
приравняем ее нулю:
'2т г» 4ле0''о
отсюда находим искомый размер:
4ле.рН'2 г0Я2
2 2
Подстановка числовых данных приводит к результату:
8,85-10-'- Ф/мF,626-10~йJ Дж2-с2 _RQ 1П_ц „
Го . i- 1 ~O,O-1U М,
A,6-Ю-'9)'2 Кл2-3,14-9,1-10~" кг
что соответствует действительному значению радиуса атома во-
водорода в нормальном состоянии.
Пример 19. Пользуясь соотношением неопределенностей, докажите, что
энергия ионизации обратно пропорциональна квадрату диаметра атома.
Решение. Считая неопределенность координаты Ах элект-
электрона в атоме равной его диаметру Ax=d, а неопределенность
199
импульса Арх равной импульсу рх, Арх—рх= ]/2mWn , из соот-
соотношения неопределенностей получим:
П, d
тогда:
2md2
Задачи для самостоятельного решения
Задача 37. Принимая, что излучение Солнца подчиняется законам
излучения абсолютно черного тела с температурой поверхности 5800 К, опре-
определите полную энергию, излучаемую Солнцем за I с. Определите длину волны,
на которую приходится максимум теплового излучения в спектре Солнца.
Задача 38. Через сколько времени масса Солнца уменьшилась бы вдвое
за счет излучения света, если бы мощность его излучения оставалась по-
постоянной?
Задача 39. Во сколько раз увеличивается мощность излучения черного
тела при изменении его температуры от 500 до 1000 К? Определите длины
волн, на которые приходится максимум энергии излучения при этих температу-
температурах.
Задача 40. Определите красную границу фотоэффекта для цезия. Ка-
Какую максимальную скорость могут приобрести электроны, вылетевшие с по-
поверхности цезия при освещении его светом с длиной волны 4-10^7 м? Работу
выхода для цезия примите равной 1,9 эВ.
Задача 41. Определите работу выхода электрона с поверхности фотокатода
и красную границу фотоэффекта, если при облучении фотоэлемента светом с часто-
частотой 1,6• 10 Гц фототок прекращается при запирающем напряжении 4,1 В.
Задача 42. Докажите, что видимая область спектра излучения атома
водорода возникает только при переходах электронов с любых энергетиче-
энергетических уровней выше второго на второй энергетический уровень.
Задача 43. Определите наименьшую скорость электрона, чтобы при его
столкновении с атомом водорода мог произойти переход атома из первого стацио-
стационарного состояния во второе.
Задача 44. Определите частоту света, излучаемого однократно ионизи-
ионизированным атомом гелия при переходе .электрона со второй боровской орбиты
на первую.
Задача 45. Определите потенциал ионизации для однократно ионизиро-
ионизированного гелия и двукратно ионизированного лития.
Задача 46. В опытах, осуществленных впервые Франком и Герцем, элект-
электрон при столкновении с нейтральными атомами ртути переводит их в возбуж-
возбужденное состояние только в том случае, если его энергия не меньше 4,9 эВ.
Рассчитайте длину волны, излучаемой при переходе возбужденных атомов ртути
в нормальное состояние.
Задача 47. Определите коротковолновую границу рентгеновского спектра
для случая, когда к рентгеновской трубке приложено напряжение 50 кВ.
200
Задача 48. Рентгеновский фотон с частотой 1,5-Ю1' Гц испытывает
комптоновское рассеяние под углом 60°. Определите изменение длины волны
рентгеновского излучения, импульс и энергию 'рассеянного фотона.
Задача 49. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы соот-
соответствующая ему волна де Бройля имела длину, равную: 1) длине волны света
зеленого цвета (/ц=5,5-10^' м); 2) длине волны рентгеновского излучения
(Х2=1,2-10 " м)? Какую разность потенциалов электрического поля необходимо
приложить, чтобы разогнать электрон до этой скорости?
Задача 50. До какой температуры нагреются излучением Солнца малые
черные шары из вещества с хорошей теплопроводностью, находящиеся на
орбитах Венеры, Земли и Марса?
Задача 51. Рентгеновский фотон с частотой 7,5-1018 Гц испытывает рассея-
рассеяние на 90° на свободном электроне. Определите частоту фотона после столкнове-
столкновения, импульс и энергию электрона отдачи.
Задача 52. При прямом комптон-эффекте фотон отдает часть своей энер-
энергии покоящемуся электрону. При обратном комптон-эффекте фотон получает
часть энергии от движущегося электрона. Оцените энергию фотона, испускаемо-
испускаемого в результате обратного комптон-эффекта при лобовом столкновении «оптиче-
«оптического фотона» (>. ==0,63 мкм) с электроном, обладающим кинетической энер-
энергией 500 МэВ. Фотон движется вдоль траектории электрона.
Задача 53. Используя теорию Бора, рассчитайте радиус мезоатома,
состоящего нз ядра с зарядом Ze и ц-мезона. Массу ц-мезона примите равной
mk=210 т.
Задача 54. Оцените длину волны де Бройля для электрона в трубке
телевизора при анодном напряжении 25 кВ.
Задача 55. Зная, что радиус первой боровской орбиты атома водорода
равен г=0,05 нм, оцените, пользуясь соотношением неопределенностей, энергию
атома водорода в основном состоянии.
Задача 56. Источником энергии Солнца являются ядерные реакции, в
результате которых водород превращается в гелий.
При образовании одного ядра гелня освобождается 27 МэВ энергии, нз
которых 1 МэВ испускается Солнцем в виде нейтрино (по два нейтрино на
каждое новое ядро гелня), а остальная энергия испускается в виде фотонов.
Сколько нейтрино проходит в 1 с через поверхность площадью 1 м . располо-
расположенную перпендикулярно солнечным лучам? Плотность потока солнечного из-
излучения у границы земной атмосферы составляет 1,37 • 10' Вт/м2.
Задача 57. Докажите, что равномерно н прямолинейно движущийся
электрон в вакууме не может нзлучнть фотон.
Задача 58. Параллельный пучок электронов, ускоренных в электрическом
поле с разностью потенциалов ?/=10 В, падает на узкую щель шириной d=
=0,001 мм. Чему равна ширина х главного дифракционного максимума на
экране, расположенном на расстоянии L=0,5 м от щелн?
Задача 59. Пользуясь теорией Бора, рассчитайте орбитальную скорость
электрона на уровне с минимальной энергией. Найдите отношение этой ско-
скорости к скорости света в вакууме.
Задача 60. Сравните разрешающие способности ионного проектора н
электронного микроскопа при одинаковых значениях ускоряющих напряжений.
201
Задание для самопроверки № 3
1. Какое из приведенных ниже высказываний правильно опи-
описывает способность атома к излучению и поглощению фотонов
света при переходах между двумя различными стационарными
состояниями?
А. Может поглощать и излучать фотоны с любой частотой.
Б. Может поглощать фотоны с любой частотой, излучать фотоны
лишь с некоторыми определенными значениями частоты. В. Мо-
Может поглощать фотоны лишь с некоторыми определенными зна-
значениями частоты, излучать фотоны с любой частотой. Г. Может
поглощать и излучать фотоны только с некоторыми определен-
определенными значениями частоты, частота фотонов излучаемого и погло-
поглощаемого света различна. Д. Может поглощать и излучать фотоны
только с некоторыми определенными значениями частоты, частота
фотонов излучаемого и поглощаемого света одинакова.
2. Температура абсолютно черного тела увеличилась от 500
до 1000 К. Во сколько раз изменилась мощность излучения
этого тела?
А. Не изменилась. Б. Увеличилась в 2 раза. В. Увеличи-
Увеличилась в 4 раза. Г. Увеличилась в 8 раз. Д. Увеличилась в 16 раз.
3. Температура абсолютно черного тела уменьшилась от
1000 до 500 К. Как изменилась длина волны, на которую прихо-
приходится максимум излучения?
А. Уменьшилась в 4 раза. Б. Уменьшилась в 2 раза. В. Не
изменилась. Г. Увеличилась в 2 раза. Д. Увеличилась в 4 раза.
4. Какие из названных ниже законов можно рассматривать
как частные или предельные случаи закона Планка: 1. Закон
Стефана — Больцмана. 2. Закон Вина. 3. Закон Рэлея — Джинса?
А. Только 1. Б. Только 2. В. Только 3. Г. 1 и 2. Д. 2 и 3.
Е. 1 и 3. Ж. 1, 2 и 3. 3. Ни один из названных законов.
5. На главной оптической оси собирающей линзы находится
точечный источник света S (рис. 132). Определите направле-
направление вектора силы светового давления на линзу.
А. -> Б. ¦*— В. f Г. \ Д. Сила светового давления равна
нулю.
6. На главной оптической оси собирающей линзы находится
точечный источник света S (рис. 133). Определите направле-
202
Рнс. 132
Рис. 133
Рис. 134
ние вектора силы светового
давления на линзу.
А. -+ Б. -> В. f Г. | Д.
Сила светового давления равна
нулю.
7. На рисунке 134 представ-
представлена зависимость силы тока от
напряжения в эксперименталь-
экспериментальной установке Франка и Герца.
При каком минимальном зна-
значении напряжения электроны
в сосуде приобретают энергию,
достаточную для неупругих столкновений с атомами ртути?
A. Ui. Б. U2. В. U3. Г. U4. Д. U6.
8. Для чего в опытах Франка и Герца между сеткой и анодом'
создавалась разность потенциалов?
А. Для ускорения электронов после их упругих соударений
с атомами ртути. Б. Для торможения электронов после их упру-
упругих соударений с атомами ртути. В. Для ускорения электронов
после их неупругих соударений с атомами ртути. Г. Для тормо-
торможения электронов после их неупругих соударений с атомами
ртути. Д. Для ускорения электронов перед их столкновениями
с атомами ртути.
9. Какие из перечисленных параметров определяют скорость
фотоэлектронов при фотоэффекте: 1. Число фотонов, падающих
на фотокатод. 2. Частота света. 3. Работа выхода освещаемой
поверхности?
А. Только 1. Б. Только 2. В. Только 3. Г. 1 и 2. Д. 2 и 3.
Е. 1 и 3. Ж. 1, 2, 3. 3. Ни один из перечисленных па-
параметров.
10. Какие из перечисленных параметров определяют красную
границу фотоэффекта: 1. Частота света. 2. Вещество катода.
3. Площадь катода?
А. Только 1. Б. Только 2. В. Только 3. Г. 1 и 2. Д. 2 и 3.
Е. 1 и 3. Ж. 1, 2, 3. 3. Ни один из перечисленных парамет-
параметров.
П. Как изменится частота красной границы фотоэффек-
фотоэффекта, если шарику радиусом R сообщить положительный за-
заряд <7?
eg
А. Не изменится. Б. Увеличится на
4лео/?Л '
В. Уменьшится
Г. Увеличится на
Д. Уменьшится на
eg
203
Ек
3
2
1
С
эВ
-
Э 1 1
А
Ек,эВ
А
-
-
> М,эВ i 2
Б
Ек,
3
2
/1
М,эВ
эВ
/
i i
1 2
В
Рис
Ек,эВ
3
2
i
, /
г
135
Ек,эВ
1
-
ЩЭЬ i
\
J
2 М,эВ
А
12. Работа выхода электронов с катода фотоэлемента равна
2 эВ. Какой из графиков, приведенных на рисунке 135, соот-
соответствует зависимости максимальной кинетической энергии фото-
фотоэлектронов Е к от энергии hv падающих на катод фотонов?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. 5.
13. Какая из приведенных формул определяет длину волны
де Бройля для электрона?
А. Х=сТ. Б. X=f. В. Х=Х Г. Х=А. Д. l=± sin «p.
14. Что подтверждает результат опытов Дэвиссона и Джер-
мера?
А. Квантовый характер поглощения света. Б. Квантовый
характер излучения света. В. Волновую природу света. Г. Кор-
Корпускулярные свойства электронов. Д. Волновые свойства элект-
электронов.
15. Какими из перечисленных частиц обмениваются нуклоны
в ядре при взаимодействии: 1. Электронами. 2. Нейтрино.
3. я-мезонами?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 1 и 2.
Д. 1 и 3. Е. 2 и 3. Ж. 1, 2 и 3.
16. Кривые радиоактивного
распада для четырех изотопов
представлены на рисунке 136.
Какая из них относится к изо-
изотопу с наибольшим периодом
полураспада?
А. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Д. У
всех четырех элементов период
полураспада одинаков.
17. Радиоактивный изотоп
тория go2 Th, испытывая шесть
сс-распадов и четыре р~-распа-
Рис 136 да> превращается в стабиль-
204
ный изотоп элемента X. Чему равны заряд и массовое число
этого изотопа?
A. Z=74 Л=208. Б. Z=78, Л=208. В. Z=82, Л=208.~
Г. Z=78, Л=204. Д. Z=78, Л=212.
18. При взаимодействии фотона со свободным электроном
происходит передача части энергии и импульса фотона этому
электрону в результате комптоновского рассеяния. Какие из
перечисленных параметров определяют значение максимального
увеличения длины волны фотона при комптоновском рассеянии:
1. Частота фотона. 2. Угол рассеяния фотона?
А. Только 1. Б. Только 2. В. 1 и 2. Г. Не зависит от 1 и 2, а
является постоянной величиной . Д. Не зависит от 1 и 2,
2h
а является постоянной величиной .
19. Сравните число фотонов, излученных двумя излучателя-
излучателями одинаковой мощности за один период, если частоты излуче-
излучения равны: vi = 108 Гц, v2=104 Гц.
А. -И=0,01. Б. -^l =0,1. В. п,=/12. Г.-Si-= 10. Д.-Si-=100.
20. При каких ядерных процессах возникают нейтрино?
А. При а-распаде. Б. При ^-распаде. В. При излучении -^-кван-
-^-квантов. Г. При любых ядерных превращениях. Д. Ни при каких
ядерных превращениях.
Индивидуальные экспериментальные задания
1. Рассчитайте и измерьте периоды колебаний груза на двух
пружинах, соединенных последовательно и параллельно.
2. Исследуйте зависимость периода колебаний линейки от
расстояния между ее центром тяжести и осью качаний.
3. Исследуйте зависимость периода крутильных колебаний
стержня, подвешенного за середину, от длины и диаметра лески.
Дайте объяснение полученным результатам.
4. Рассчитайте, соберите и испытайте модели микроскопа и
телескопа.
5. Изготовьте модель дифракционной решетки.
6. Изготовьте модель зонной пластинки.
7. Определите КПД солнечной батареи.
8. Рассчитайте и изготовьте действующую модель опыта
Девиссона — Джермера, используя вместо пучка электронов
электромагнитное излучение СВЧ (к=3 см), а вместо кристалли-
кристаллической решетки — систему деревянных реек с упорядоченно заби-
забитыми в них гвоздями.
Исследуйте зависимость амплитуды колебаний в отраженной
электромагнитной волне от угла падения.
ОТВЕТЫ
3. Г=10~3 с; 1=1 Гн; /(А) =
= l,6-10~3sin2-103n<; Wзл =
— W ^= 13*10~** Л ж
4. С=35,4 мкФ; С =14,5 мкФ;
/рез =2,2 А; е=220 Ом; <2=2,2.
5. L=2 Гн; С=5 мкФ.
6. Срез =320 мкФ; /рез =0,55 А.
7. ?/д=47,5 В.
8. ?=3,5 Гн.
9. /л =/ф = 1,27 А; /'=1,1 А.
10. /,=2,2 А; /2=/3=4,4 А; /f=/2=
= 1,47 А; /5=4,4 А.
11. иСт = и,.т=100 В; U'Cn=U'Lm»
r^'JX D. Г'
12. /, = (;
/2 =
13 / =U V ^
IU* * max у f(C -\-Co) '
14. 0=4
15. UC=2U /2~ж622 B.
16. v,=500 Гц; v2=495 Гц; v3=497 Гц.
17. Г=326 К.
18. 5=12,5 км.
19. /-i=7- 10~4 m; r2=10-3 м.
20. n =5,75-10~4 м; r2=8,05-10-4 м.
21. / min—1.1 - 10* m.
22. ф=0.
25. /г=5,26-106.
26. Нельзя, так как минимальный раз-
размер предмета, который можно уви-
увидеть в такой телескоп, »36 м.
27. К=-
-=276.
28. d=-
;1,07 м.
29. ?>=— 4 дптр.
tJVS. А -
kR
0,59- Ю-6 м.
31. При уменьшении d от оо до F изо-
изображение (действительное и перевер-
перевернутое) увеличивается. При уменьше-
уменьшении d от F до 0 изображение (мни-
(мнимое и прямое) уменьшается.
32.
33.
При уменьшении d от оо до 0 изо-
изображение (прямое и мнимое) увели-
увеличивается.
Фроит волны представляет собой
поверхность кругового коиуса, ось
которого совпадает с траекторией
источника, вершина в каждый мо-
момент времени — с источником, а
угол ф между образующей конуса
и его осью определяется соотноше-
соотношением sin ф = — .
v
34
-44-V)
i 0,095
35.
ж 0,1 м.
Изображение, создаваемое линзой,
должно совпасть с оптическим
центром зеркала.
36. F=J^b 0,6 м.
37.
38.
39.
40.
41.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Л?=4- 1026 Вт; А=5-10~7 м.
7-1012 лет.
16; Х|=5,8-10'6 м; Л2=2,9-10~6 м.
Хо=6,54- 10~7 м; v max=6,5- 10° м/с.
Л=0,4- 10-'8 Дж=2,5 эВ; v»=
=6-10й Гц.
umin=l,9.106 м/с.
v=9,9- 1015 Гц.
t/i=54,4 В; 1/2=122,4 В.
А=2,54-10-7 м.
Хо=2,5-1О-" м.
ДА=0,12-10~" м; р,=3.15Х
ХЮ~23кг-м/с; С,=9,4- 10~15 Дж.
1) ui = l,32-10J м/с; Дф| = 10~6 В;
и2=0,6-108 м/с; Дф2=1О4 В.
/¦в=329 К=56°С; Г3 =
=279 К=6°С; Гм=226 К=
=—46,6 °С.
51. v,=
Р
2т
Гц, где
J кг-м/с;
=0,22-10~15 Дж.
52.
г AF2
/iv, «Л-зЧ
к mic
:1,3-10-12Дж=8 МэВ.
206
58. *=-
54. Я,=
y2emU
65. ?=?„+?„=
7.8-10~12 м.
2emlI
59. tii= e =2,19-106 м/с;а= —=
_ 1
f37"
56. n=6,6-1014 м~2- c~'
57. Перейдя в систему отсчета «элект- 60. Разрешающая способность ионного
рон», получаем, что излучение фо- проектора больше разрешающей
тона запрещается законом сохране- способности электронного микро-
ния энергии. скопа приблизительно в 86 раз.
Коды правильных ответов к заданиям для самопроверки
Задание № 1
1
Б
2
В
3
г
4
А
5
Б
6
А
7
Б
8
В
9
В
10
в
11
А
12
Г
13
В
14
д
15
А
16
Г
17
В
18
Б
19
Б
20
В
Задание № 2
1
В
2
В
3
А
4
Б
Задание № 3
1
Д
2
Д
3
Г
4
Ж
5
Г
5
Б
6
Г
6
А
7
Д
7
Б
8
А
8
Г
9
Д
9
Д
10
д
10
Б
11
Г
11
Б
12
Б
12
Б
13
Г
13
г
14
Б
14
Д
15
Д
15
В
16
г
16
в
17
Д
17
В
18
Б
18
Д
19
Б
19
Д
20
В
20
Б
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Колебания
§ 1. Гармонические колебания и способы их описания 4
§ 2. Понятие о гармоническом анализе периодических процессов .... 7
§ 3. Индуктивное и емкостное сопротивления в цепи переменного тока 12
§ 4. Закон Ома для электрической цепи переменного тока 15
§ 5. Резонанс в электрических цепях 19
§ 6. Трехфазный ток 25
§ 7. Практикум по решению задач 32
§ 8. Практические задания 42
Глава П. Волны
§ 9. Механические волны 52
§ 10. Запись и воспроизведение звука 57
§ 11. Эффект Доплера 62
§ 12. Электромагнитные волны 67
§ 13. Зоны Френеля 72
§ 14. Геометрическая оптика 78
§ 15. Дифракция света 90
§ 16. Голография 102
§ 17. Практикум по решению задач 113
§ 18. Практические задания 125
Глава III. Кванты и частицы
§ 19. Законы излучения абсолютно черного тела 130
§ 20. Фотон 134
§ 21. Кванты и атомы 141
§ 22. Оптические квантовые генераторы 150
§ 23. Нелинейная оптика 160
§ 24. Атомные и молекулярные спектры 165
§ 25. Ядерные спектры 173
§ 26. Элементарные частицы 177
§ 27. Частицы и волны 186
§ 28. Практикум по решению задач 194
Ответы 206
Олег Федорович Кабардин ИБ № 10086
Владимир Алексеевич Орлов Сда,Нп°пв,на7в0&''Ш8^°а'Я!1саик к пеТ
к к ти 30.03.87. Формат 60X90'/i6- Бум. оф-
НИКОДИМ Иванович Шефер сетная № 2. Гарнит. литературная. Пе-
Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,0-f-
ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС +0-25 вкл-+0-2п5п4!ор3о/сл- Kp;°ol" L5'31"
..._...... Уч.-изд. л. 12,99+0,23 вкл.+0,28 форз.
ФИЗИКИ Тираж 151 000 экз. Заказ 1320. Це-
Цена 55 коп.
11) класс Ордена Трудового Красного Знамени из-
издательство «Просвещение» Государствен-
Зав редакцией И. А. Иванов ного комитета РСФСР по делам изда-
издать я ы rr\ t тельств, полиграфии и книжной торговли.
Редактор А. И. Юдина J9846> Моск?аф3.й „рое3д марьиной
Младший редактор О. В. Агапова рощи, 41.
ХУДОЖНИКИ С. Ф. Лухин, Т. Я Демина Смоленский полиграфкомбинат Росглав-
Художественный редактор В. М. Прокофьев полиграфлрома Государственного ко-
*r u r-/fo митета РСФСР по делам издательств.
Технический редактор ?. Н. Зелянина полиграфии и книжной торговли. 214020,
Корректор И. В. Чернова Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
Рис. I. Схема магнитной jbiil.oi и воспроизведения звука
с использованием магнитной ленты.
Рис II. Запись и воспроизведение звука цифровым методом
с использованием атюминисвого диска
Рис III. Схема записи трехмерной голограммы
?
?
?
?
?
fnHi/J /ss|k
){
III
Bf/
1
P^S:1.1
Щ
Рис. IV. Схема восстановления трехмерной голограммы
i/A. о ,• г
1-
О
о
о
к
•
о
о
ОЛЛ
о ° ^
\"^ *
о
• °
С-
о
W
о
W
ten
с
:г -
Рис. V. Схема процессов, протекающих в лазере на рубиновом кристалле.