Автор: Раскин Л.Г. Серая О.В. Воловщиков В.Ю.
Теги: математическое программирование математика учебник для студентов теория нечетких множеств прикладные задачи нечеткой математики
ISBN: 978-617-05-0179-0
Год: 2016
Текст
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Харьковский политехнический институт»
Л. Г. Раскин, О. В. Серая, В. Ю. Воловщиков
НЕЧЕТКАЯ МАТЕМАТИКА
Учебник
для студентов направлений подготовки «Компьютерные науки», «Прикладная математика», «Информатика», в том числе для иностранных студентов
Утвержденоано Ученым советом НТУ «ХПИ»
Харьков
НТУ «ХПИ» 20 16
УДК 519.85
ББК 22.18
Р24
Рецензенты:
О.Е. Федорович, д-р техн, наук, проф., зав. каф. информационных управляющих систем НАУ им. Н.Е. Жуковского «ХАИ»:
Г.Н. Жолткевич, д-р техн, наук, проф., декан факультета математики и информатики ХНУ им. В.Н. Каразина
Издается по решению Ученого совета НТУ «ХПИ» в качестве учебника для студентов направлений подготовки «Компьютерные науки», «Прикладная математика», «Информатика», в том числе для иностранных студентов, протокол № 10 от 27.11.2015 г.
Викладаються основж понятгя теорп нечггких множин. Особлива увага прндшя-сться прикладним задачам нечпжо! математики. Розглядаються методи розв’язання нечггких задач математичного програмування. Книга М1стить велику кшыбсть приклашв.
Для студеипв, як1 навчаються за напрямами подготовки «Комп'ютерш науки», «Прикладка математика», «1нформатика», i широкого кола фахйвшв у галуз! шформа-шйних i комп'ютерних технолог!й, а також моделей i метощв прийняття р1шень.
Раскин Л. Г.
Р24 Нечеткая математика : учебник / Л. Г. Раскин, О. В. Серая, В. Ю. Воловщиков. - X.: НТУ «ХПИ», 2016. - 204 с. - На рус. яз.
ISBN 978-617-05-0179-0
Излагаются основные понятия теории нечетких множеств. Особое внимание уделяется прикладным задачам нечеткой математики. Рассматриваются методы решения нечетких задач математического программирования. Книга содержит большое число примеров.
Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Компьютерные науки», «Прикладная математика», «Информатика», и широкого круга специалистов в области информационных и компьютерных технологий, а также моделей и методов принятия решений.
Ил. 79 Табл. 5. Библиогр.: 29 найм.
УДК 519.85
ББК 22.18
© Раскин Л. Г., Серая О. В., Воловщиков В. Ю., 2016
ISBN 978-617-05-0179-0
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.................................................. 5
1. Основные понятия ^теории нечетких множеств........... 11
1.1 Основные определения............................... 11
1.2 Основные характеристики нечетких множеств.......... 18
1.3 Основные типы функций принадлежности............... 25
1.4 Методы построения функций принадлежности........... 35
1.5 Контрольные вопросы................................ 46
2. Операции над нечеткими множествами.X.................. 47
2.1 Равенство и доминирование нечетких множеств........ 47
2.2 Унарные операции над нечеткими множествами......... 48
2.3 Бинарные операции над нечеткими множествами........ 52
2.4 Нечеткие операторы................................. 63
2.5 Контрольные вопросы................................ 66
3. Нечеткие отношения .\................................. 67
3.1 Нечеткое отношение и способы его задания........... 67
3.2 Основные характеристики нечетких отношений......... 75
3.3 Операции над нечеткими отношениями................. 78
3.4 Отображения нечетких множеств...................... 86
3.5 Свойства бинарных нечетких отношений, заданных на одном универсуме............................................. 90
3.6 Нечеткие отношения предпочтения.................... 99
3.7 Контрольные вопросы............................... 104
4. Нечеткие величины, числа и интервалы................. 105
4.1 Основные определения. Принцип обобщения........... 105
4.2 Операции над нечеткими числами.................... 109
4.3 Контрольные вопросы............................... 140
5. Нечеткое математическое программирование............. 141
5.1 Основные определения.............................. 141
5.2 Задача достижения нечетко поставленной цели....... 142
5.3 Задача максимизации четкой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив............. 148
3
5.4 Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования....................................... 163
5.5 Задача максимизации нечеткой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив..... 163
5.6 Задача математического программирования, в которой параметры целевой функции и ограничений заданы нечетко. 179
5.7 Контрольные вопросы................................ 196
Список литературы......................................... W6
Предметный указатель..................................... 199
ВВЕДЕНИЕ
Впечатляющие и безупречные результаты практического применения классической ньютоновской механики привели к формированию принципа детерминизма при построении моделей явлений и объектов реального мира. Суть этого принципа с исчерпывающей ясностью сформулировал Пьер Симон Лаплас. Он писал: «Разум, который в каждый заданный момент времени Знал бы все движущие силы природы, так же, как и относительное положение всех составляющих ее элементов, и, вдобавок, был бы столь объемлющим, чтобы подвергнуть анализу все эти данные, мог бы выразить единым соотношением как движение величайших тел мир;з, так и движение мельчайших атомов: ничто не осталось бы для него неизвестным, и он мог бы обозреть единым взглядом как будущее, так и прошлое». Еще более ортодоксальна позиция Рене Декарта: «Прошлое, настоящее и будущее жестко соединены между собой. Нужно лишь найти связывающую их правильную модель».
Возникновение принципиально иного взгляда на мир порождено теорией вероятностей, первоначальный интерес к которой вызван задачами, поставленными в азартных играх (задача кавалера де Маре). В переписке Паскаля и Ферма выкристаллизовались такие важнейшие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Последующее бурное развитие теории вероятностей связано с потребностями естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, проблемы статистики, страхового дела, демографии и т.п.). Успехи теории вероятностей привели к крушению привычных представлений. Характерно высказывание Лиона Бриллюэна: «Отказ от детерминизма по
5
требовал от многих ученых мучительной переоценки. Эта философия столетиями была основой научных исследований». Специфические возможности теории вероятностей для описания явлений и событий массового характера предопределили широкое и эффективное ее использование в физике, химии, экономике, технике, в задачах организации массового производства, в теории надежности. В результате всего этого к середине прошлого века умами специалистов владело убеждение, что существует только два объективно верных подхода к описанию явлений, процессов и объектов реальной действительности - детерминистский и вероятностный.
Традиционная рационалистская декартова методология восприятия мира сформировала концепцию, в соответствии с которой считается корректным использование таких терминов, как неясность, неопределенность, неточность только при качественном, поверхностном описании объектов ввиду отсутствия их однозначной и недвусмысленной трактовки. Однако в реальном мире постоянно возникает множество ситуаций, когда невозможно избежать или как-то обойти проблему учета неясной или неточной информации о событиях, явлениях, сведениях и т.д. Эта информация носит субъективный характер, и ее представление в естественном языке, как правило, содержит большое число терминов типа «много», «существенно лучше», «недостаточно эффективно» и т.п., которые не могут быть описаны языком традиционной математики. Вместе с тем неучет этой информации существенно обедняет математическую модель объекта, делая ее слишком грубой.
В связи с этим постепенно становилась все более ясной необходимость создания специфического математического аппарата для корректного учета не вполне четких, расплывчатых представлений и суждений людей о реальном мире. Первым шагом на этом пути следует считать основополагающую работу Лотфи Заде [28], которая была опубликована в 1965г., открывшую новое направление в прикладной математике, получившее название теории нечетких множеств. Предложенная Л. Заде теория послужила основой для создания нового мировоззрения, а также технологии для анализа и представления неясных и неточных понятий,
6
используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношений между объектами реального мира. Эта теория сформировала непротиворечивую схему решения проблем, в которых субъективные суждения или интуитивные оценки играют значительную роль при учете факторов, вносящих неясность и неопределенность. Невозможно игнорировать то обстоятельство, что следует уметь распознавать такие объекты, как «множество высокоразвитых стран», «множество небогатых людей», «множество больших чисел» и т.д. Лежащая в основе теории множеств технология предлагается в качестве средства математического моделирования неопределенных понятий, которыми оперирует человек при описании своих представлений о реальной системе, значений ее технических характеристик, цели ее функционирования и т.п. Нечеткое множество - эю математическая модель классов объектов с нечеткими или, иначе, размытыми границами [4, 7]. Например, когда говорят о множестве красных, красно-желтых и желтых объектов, то введение четкой границы, отделяющей объекты одного цвета от объектов другого цвета, невозможно, поскольку переход от красного к желтому непрерывен. В связи с этим становится понятной необходимость учета постепенного перехода от принадлежности элемента множеству к непринадлежности ему. Другими словами, каждый элемент может иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью. Теория нечетких множеств предоставляет конструктивную возможность учета таких реальных объектов.
Здесь следует обратить внимание на существование мнения о возможности успешного решения всех задач теории нечетких множеств (ТНМ) традиционными средствами теории вероятностей (ТВ). По этому поводу можно сказать следующее. Возникновение подобных критических суждений - удел всякой новой теории. Так было в связи с появлением матричного и тензорного исчислений, теории графов и вообще прикладной математики. Выдающийся современный математик А. Кофман говорит: «Возможно, критики теории нечетких множеств не понимают, где и как используется математика... Математика - это средство познания мира с помощью логических моделей, ее практическая си
7
ла состоит в способности давать объяснения... Теория нечетких множеств позволяет наилучшим образом объяснить и структурировать все то, что разделено не очень точными границами, например, мысль, язык, восприятие. Общественные науки наполнены всеми видами подобных абстрактных и конкретных форм, но и науки, называемые точными, могут иметь дело с ситуациями, в которых неопределенность заложена самой природой вещей» [10]. В этой же работе Кофман анализирует различия теории вероятностей и теории нечетких множеств на уровне аксиоматики. Вместе с тем можно привести ряд более общих соображений по поводу отличия теории нечетких множеств от теории вероятностей. Отметим некоторые из них.
Во-первых, теория вероятностей оперирует следующими категориями объектов: множество событий, носящих массовый повторяющийся характер (поток отказов, рождение и смерть живых организмов, число пассажиров на транспорте и т.п.); множество однородных объектов, обладающих некоторыми разными свойствами (множество студентов в потоке разного возраста, роста, веса); множество наблюдений за каким-либо конкретным объектом или их совокупностью (измерение температуры тела пациентов в больнице). При этом средствами ТВ вычисляются: вероятность наступления конкретных событий; вероятность попадания заданного числа объектов из некоторого их множества в заданное подмножество объектов с определенными свойствами; вероятность того, что конкретные наблюдаемые характеристики объектов окажутся в пределах некоторых заданных диапазонов. С другой стороны, в теории нечетких множеств обычно речь идет о единичных объектах (или о небольших их группах), относительно которых решается вопрос определения степени их принадлежности некоторому универсальному множеству (оно может содержать и бесконечное число элементов), или проблема выбора наилучшей альтернативы из множества нечетко заданных альтернатив.
Во-вторых, исчерпывающее описание случайных событий или случайных величин в ТВ дается с использованием соответствующих законов распределения или плотностей распределения вероятностей. В противоположность этому в ТНМ описание степени принадлежности нечетко за
8
данного объекта множеству объектов задается функцией принадлежности, свойства которой радикально отличаются от свойств и законов и плотностей распределения вероятностей (например, функция принадлежности в ТНМ не нормирована; в частности, интеграл от функции принадлежности для непрерывной нечеткой величины, вообще говоря, не равен единице).
В-третьих, в ТВ речь идет о событиях, которые могут (или не могут) произойти в будущем. При этом вычисляются вероятности реализации некоторых интересующих исследователя событий или вероятности попадания некой случайной величины в заданный интервал. Напротив, в ТНМ либо исследуются события, которые уже произошли, и относительно них в этом случае устанавливается степень их принадлежности заданному множеству, либо эта степень принадлежности для каждого из изучаемых элементов множества декларируется заранее.
В прекрасно написанном учебном пособии [18] обсуждаются и другие отличия вероятностного и нечеткого подходов к формализации неопределенности (понятийная основа, возможность учета человеческого фактора, способы формирования операций, круг охватываемых прикладных задач). Отметим также работу [13], содержащую безупречную по простоте и ясности изложения теорию нечетких множеств и описание ее основных приложений. К настоящему моменту имеется очень много публикаций по теории нечетких множеств. К числу наиболее важных и доступных, помимо уже упомянутых [4, 7, 10, 13, 18, 28], следует отнести работы [1-3, 5, 6, 11, 12, 14, 16, 17, 24]. Тем не менее следует отметить, что не все вопросы теории нечетких множеств изучены исчерпывающим образом. Нуждаются в проработке и много нерешенных задач. В соответствии с этим цель настоящей работы состоит в следующем: во-первых, кратко изложить основы теории нечетких множеств; во-вторых, рассмотреть возможности использования этой теории при решении ряда конкретных задач. При этом, стремясь сделать эту книгу предельно компактной, авторы намеренно оставили в стороне многие, примыкающие к описанным в работе, модели теории нечетких множеств (например, основы нечеткой логики, системы нечеткого вывода, приложения к ней
9
ронным сетям), поскольку они детально и очень ясно изложены в работах [3, И, 13,24].
Учебник состоит из пяти разделов. В первом разделе рассматриваются базовые определения и основные характеристики нечетких множеств, вводятся типы функций принадлежности и методы их построения. Второй раздел посвящен операциям над нечеткими множествами, среди которых выделены операции равенства и доминирования нечетких множеств, унарные и бинарные операции, а также нечеткие операторы. В третьем разделе описываются нечеткие отношения. Внимание уделяется способам задания, основным характеристикам и операциям над нечеткими отношениями, излагаются вопросы, связанные со свойствами бинарных нечетких отношений. Материал четвертого раздела сосредоточен вокруг нечетких величин, нечетких чисел и нечетких интервалов, рассматриваются основные определения и операции. Пятый раздел посвящен нечеткому математическому программированию. В разделе рассматриваются различные постановки задач математического программирования с нечетко заданной информацией.
Авторы будут признательны за все отзывы, критические замечания и конструктивные предложения, улучшающие изложение текста учебника.
Наш почтовый адрес: Украина, г.Харков-61002, ул. Фрунзе, 21.
Наш электронный адрес: valera@kpi.kharkov.ua.
10
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
1.1 Основные определения.
1.2 Основные характеристики нечетких множеств.
1.3 Основные типы функций принадлежности.
1.4 Методы построения функций принадлежности нечетких множеств.
1.5 Контрольные вопросы.
1.1 Основные определения
Одно из фундаментальных направлений классической математики - теория множеств, введенная Г. Кантором, не только реформировала основные концепции и язык математики, но и привела к постановке и решению многих теоретических и практических задач, которые ранее вообще не могли рассматриваться как объекты применения математических методов. Теория множеств оперирует с множествами и элементами, из которых они составлены. Интуитивно ясное определение множества принадлежит основателю теории Г. Кантору: «Множество есть объединение в одно целое объектов, обладающих некоторыми общими свойствами».
Основные понятия теории множеств формально вводятся следующим образом.
Пусть X есть множество, А - подмножество X. Этот факт формально отображается следующим образом:
АсХ.
Если элемент х множества X есть элемент подмножества АаХ, то этот факт обозначается формулой
хе А.
Множество X есть универсальное множество (универсум), если из его элементов формируются все подмножества, рассматриваемые в выбранном классе задач. Примеры универсальных множеств: множество вещественных чисел, множество чисел натурального ряда, множество непрерывных функций, множество дней недели, множество жителей pe
ll
Дл (*)=1
гиона и т.д.
Для выражения принадлежности элемента х подмножеству А используют понятие характеристической функции цА(х\ значение которой указывает, является ли х элементом А:
z ч [1, если хе А,
А 1^0, если х£ А.
Пример. Пусть
X = (a,b,c,d,e,f), A = (a,c,f).
Запишем теперь для каждого элемента из X степень его принадлежности подмножеству А. Имеем:
= = = Ь ^и(^) = 0, А4(е) = 0’ ^л(/)=1-
На практике используются и другие, эквивалентные способы описания степени принадлежности элементов из X подмножеству А:
А = {(а,1Цд,0Цс,1Ц</,0Ие,0>(/,1)},
ИЛИ
\9еслих = а9х = с,х - f, 09еслих = b9x = d9x = е.
Относительно подмножеств универсального множества X введены следующие операции.
Для двух любых подмножеств А о X и В о X пересечением А п В называется подмножество С такое, что хеС, если хе А и одновременно х е В, то есть
^с{х) = ЦАг>в(х) = цА(х) цв(х). (1.1)
Операция пересечения может быть введена иначе:
Ас(*) = Д*)= тМ^(4Ай(*)}- (1-2)
Для двух любых подмножеств АсХ и ВсХ объединением АиВ называется множество D такое, что xeD, если хе А, но хёВ, или хе В, но хё А, или наконец х е А и х е В, то есть
Ао(*) = = рА(х)+ цв{х)-цА{х)-цв(х). (1.3)
Используется и другая форма задания значения характеристической функции результата объединения:
12
/^(х)=тах{рл(х),/;д(х)}. (1.4)
В приведенных соотношениях операции п и и определяются таблицами на рис. 1.1 и 1.2.
п 0 1
0 0 0
1 0 1
и 0 1
0 0 1
1 1 1
Рис. 1.1. Определение операции п Рис. 1.2. Определение операции и
Дополнением А относительно X называется такое подмножество А, для которого
ЛиЛ=Х, АъА=0 (1.5)
При этом если
х е А, то х £ А , то есть, если
^л(х)=1,то ^(х) = 0.
Теория нечетких множеств представляет собой обобщение и, в известной мере, переосмысление основных понятий и формализмов обычной теории множеств. У ее истоков лежат идеи многозначной логики, определившей возможность перехода от двух к произвольному числу значений истинности; теории вероятностей, которая, породив возможность корректного описания неопределенности экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации не обязательно булевой функции принадлежности; дискретной математики, предложившей инструмент построения моделей многоуровневых систем и, наконец, собственно теории множеств, формальный аппарат которой послужил основанием для появления и развития нечеткой теории множеств.
Нечеткое множество представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно каждого из которых нельзя с полной определенностью утверждать - принадлежит ли этот элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа н?
13
вопрос: "Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?"
Подход к формализации понятия нечеткого множества состоит в обобщении понятия характеристической функции. При этом нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств на случай, когда характеристические функции могут принимать не только значения О или 1, но любое значение в интервале [о,1]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение рА(х) - степенью принадлежности элемента нечеткому множеству X.
Формально нечеткое множество А определяется как множество упорядоченных пар. или кортежей вида: <х,рА(х}>, где х является элементом некоторого универсального множества или универсума X, а рА (х) - функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементов х е X некоторое действительное число из интервала [0,1], то есть эта функция определяется в форме отображения:
(1.6)
При этом значение //л(х)=1 для некоторого хеХ означает, что элемент х определенно принадлежит нечеткому множеству А, а значение //^(х) = 0 означает, что элемент х определенно не принадлежит нечеткому множеству А.
Формально нечеткое множество, содержащее конечное число элементов, принято записывать следующим образом: а = а в общем случае - в
виде: А = {< х,//л(х) >}.
Пример 1.1. Пусть
X = (a,b,c,d,e), А = {< а,0 >,< 6,0.5 >,< с,0.1 >,< rf,0.9 >,< е,\ >}.
Тогда будем говорить, что элемент а не принадлежит множеству А, элемент с принадлежит ему в малой степени, элемент b более или менее принадлежит, элемент d принадлежит А в значительной степени,
14
элемент е является элементом множества А.
Пример 1.2. Пусть X - множество чисел натурального ряда: X = {0,1,2,...}.
Тогда нечеткое множество «небольших неотрицательных целых чисел» может быть введено следующим образом:
А = {< 0,1 >,<1,0.8 >,<2,0.6 >,< 3,0.4 >,<4,0.2 >,<5,0 >,< 6,0 >...}.
Заметим, что в литературе по нечетким множествам иногда используются другие обозначения для описания нечетких множеств.
Так, нечеткое множество из примера 1.2 может быть записано следующим образом:
Я = ^1>(1|04(2|0.б|(3|0.4|(4|0.2|(5|0|(б|0)..},
ИЛИ
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
- +— +— + — + — + - + -
0 1 2 3 4 5 6
Здесь вертикальная или горизонтальная черточки - просто разделители, а знак «+» обозначает не арифметическую операцию сложения, а теоретико-множественное объединение отдельных элементов.
Из всех нечетких множеств выделим два частных случая, имеющих свои классические аналоги. Таким является пустое нечеткое множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом 0 и формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности элементов которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов: ^(х) = 0, х е X.
Другое специальное множество - универсум уже было введено выше в качестве обычного множества, содержащего в выбранном классе задач все возможные элементы. Формально следует считать, что функция принадлежности элементов универсума как нечеткого множества тождественно равна единице для всех без исключения его элементов: цА (х) = 1, х е X.
Введем теперь понятие носителя нечеткого множества.
Носителем нечеткого множества А называется обычное м ноже ст-
15
во As. которое содержит те и только те элементы универсума, для которых значения функции принадлежности соответствующего нечеткого множества отличны от нуля. Математически носитель нечеткого множества определяется следующим образом:
As ={хе%|^(х)>0}. (1.7)
Заметим, что во многих работах для описания носителя используется обозначение suppА (от англ, support).
Понятно, что пустое нечеткое множество имеет пустой носитель, а носитель универсума, рассматриваемого как нечеткое множество, совпадает с самим универсумом. Заметим, что для записи произвольного нечеткого множества обычно указывают значения его функции принадлежности для элементов носителя, поскольку значения функции принадлежности для всех остальных элементов равны нулю.
В зависимости от количества элементов в нечетком множестве, по аналогии с обычными множествами, можно определить конечные и бесконечные нечеткие множества.
Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством. При этом говорят, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность, которая численно равна количеству элементов его носителя как обычного множества. Для задания мощности произвольного нечеткого множества А используется обозначение card(A). Естественно считать мощность пустого множества равной 0.
Аналогичным образом можно определить бесконечные нечеткие множества как такие нечеткие множества, носитель которых не является конечным множеством. При этом счетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество со счетным носителем, т.е. носитель которого имеет счетную мощность Ко. Несчетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество с несчетным носителем, т.е. носитель которого имеет несчетную мощность или мощность континуума К.
Рассмотрим два основных способа, которыми формально могут быть заданы произвольные нечеткие множества.
16
Список с перечислением всех элементов и соответствующих им значений функции принадлежности, образующих рассматриваемое нечеткое множество. При этом элементы с нулевыми значениями функции принадлежности в этом списке просто не указываются. Этот способ используется для задания нечетких множеств с конечным дискретным носителем и небольшим числом элементов. Как уже отмечалось, такое нечеткое множество записывают в виде А = {<хицА{хх')>,<х2,цА(х2)>,...,<х„,рА(х„)>}, где п - число эле-ментов нечеткого множества А.
Аналитическое выражение для описания соответствующей функции принадлежности. Этот способ может быть использован для задания произвольных нечетких множеств как с конечным, так и с бесконечным носителем. В этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде А = {< х >,^(х)}, где //л(х) - некоторая функция, заданная аналитически в форме математического выражения /(х), или графически - в виде некоторой кривой. При этом вид функции f(x) целиком определяется тем, какое именно нечеткое множество эта функция должна описать.
Пример 1.3. Пусть X - множество действительных чисел. Тогда нечеткое множество А чисел, «близких к 5», можно задать функцией
принадлежности, например, следующим образом:
^(х) = ехр-
(х-5)2] 2а1
(1.8)
или
^л(х) =—7“—О-9) 1+|х-5|т
При этом численные значения параметров <т2 (в соотношении (1.8)) и т (в соотношении (1.9)) выбираются в зависимости от того, как понимается нечеткий термин «близки». Для описания множества чисел, очень близких к 5, следует положить а2 равным *»цример, 0.1, а т = 10; для множества чисел, не очень далеюмг от97«стественно выбрать
17
or2 = m = 1.
Перейдем к рассмотрению основных характеристик нечетких множеств.
1.2 Основные характеристики нечетких множеств
Пусть А = {< х >, рА(х)} - произвольное нечеткое множество (конечное или бесконечное) с элементами из универсума X и функцией принадлежности рА(х).
Множеством уровня а (а -срезом) нечеткого множества А называется нечеткое подмножество универсального множества X, определяемое по формуле
Аа = где а е [0,1].
Множество строгого уровня а определяется в виде Аа =;{х|///4(х)> а}. В частности, носителем нечеткого множества А является множество строго уровня а = 0 множества Л, то есть множество элементов, для которых рА (х) > 0.
Пример 1.4. Рассмотрим нечеткое множество, представляющее "небольшое натуральное число" и равное:
А = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.9 >, < 4,0.8 >, < 5,0.6 >, < 4,0.5 >, < 7,0.4 >,
<8,0.2 >,<9,0.1>}.
Тогда некоторые из его множеств а-уровня: Aq8 = {1,2,3,4}, Л.5 = {1,2,3,4,5,6}, 4л = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
В случае бесконечных нечетких множеств для построения множеств а -уровня следует на графике соответствующей функции принадлежности провести прямую линию у-а. После этого нужно на оси X выделить те точки или интервалы, для которых соответствующие части графика расположены не ниже этой линии.
Пример 1.5. Рассмотрим бесконечное нечеткое множество В, ко
18
торое представляет 'действительное число, приближенно равное нулю", с функцией принадлежности
О, если х < -1, z ч х + 1, если-\ <х<0, 1 - х, если 0 < х < 1, О, если х > 1.
График этой функции приведен на рис. 1.3. Описанным выше способом получим, например, множество 0.5-уровня (рис. 1.4). При этом
Рис. 1.3. Графическое изображение функции принадлежности бесконечного нечеткого множества «действительное число, приближенно равное нулю»
Рис. 1.4. Графическое изображение функции принадлежности бесконечного нечеткого множества 0.5-уровня «действительное число, приближенно равное нулю»
Заметим, что для всех множеств а -уровня произвольного нечеткого множества А справедливо следующее утверждение: если а} >а2, то
^а2 ’
Высота нечеткого множества. Величина hA =8ир{//л(х)}, где су
19
премум берется по всем значениям хе As. называется высотой нечеткого множества А.
При этом высота конечного нечеткого множества А "небольшое натуральное число" из примера 1.4 равна 1 и соответствует двум элементам универсума: 1 и 2. Высота нечеткого множества В, которое представляет "действительное число, приближенно равное нулю" в примере 1.5, также равна 1 и //в(0) = 1.
Пример 1.6. Рассмотрим бесконечное нечеткое множество С, которое представляет "большое действительное число" с функцией принадлежности, заданной следующим математическим выражением:
= 1 - е~х, хе[х,оо).
Высота этого нечеткого множества также равна 1, среди элементов универсума X = R* отсутствуют числа, для которых рс(х)= 1 (рис. 1.5).
Нормальное нечеткое множество. Нечеткое множество А называется нормальным, если
max//4(x)= 1. (1.10)
Рис. 1.5. Графическое изображение функции принадлежности нечеткого множества «большое действительное число»
Субнормальное нечеткое множество. Нечеткое множество А называется субнормальным, если его высота равна 1, но условие (1.10) не выполняется.
Произвольное непустое нечеткое множество можно привести к нормальному (то есть нормализовать) по формуле
20
SUPA.4W
Пример 1.7. Нечеткое множество А "небольшое натуральное число" (пример 1.4) является нормальным, поскольку его высота равна 1 и соответствует двум его элементам: 1 и 2. Нечеткое множество В "действительное число, приближенно равное нулю" гакже является нормальным, поскольку его высота равна 1 и //До) = 1.
Однако нечеткое множество С «большое действительное число» является субнормальным, так как условие (1.10) не выполняется ни для какогох е X. но sup(l -е"х)= 1, х е [0,оо).
Унимодальное нечеткое множество. Нечеткое множество А называется унимодальным, если его функция принадлежности рА(х) является унимодальной на носителе множества А.
При этом точка хт е As является точкой максимума функции принадлежности, если
х„ = argmax{u(x)}, (1.11)
xeAs хт
где - е -окрестность точки .
Любая точка хте.А нечеткого множества Л, удовлетворяющая условию (1.11), называется модальным значением или модой нечеткого множества А.
Если точка хт, удовлетворяющая (1.11), является единственной, то соответствующая функция принадлежности называется строго унимодальной.
Ядро нечеткого множества. Ядром нечеткого множества А называется четкое множество А}, элементы которого удовлетворяют условию:
Л, ={хе Х|Ал(х)=1}. (1.12)
Например, ядро нечеткого множества "небольшое натуральное число" равно двухэлементному множеству Ах = {1,2}. Ядро нечеткого множе-21
ства В "действительное число, приближенно равное нулю" равно одноэлементному множеству Вх = {о}. Нечеткое множество С "большое действительное число" имеет пустое ядро.
Понятно, что если произвольное нечеткое множество является субнормальным, то ядро такого нечеткого множества будет пустым.
Границы нечеткого множества. Границами нечеткого множеств называются такие элементы универсума, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1. Другими словами, границы нечеткого множеств J = {x,///4(x)} включают те и только те элементы универсума
х е X, для которых выполняется условие: 0 < рА < 1.
Точки перехода нечеткого множества. Элементы нечеткого множества хе Я, для которых выполняется условие: ju/4(x)=0.5, называются
точками перехода этого нечеткого множества А.
Ближайшее четкое множество. Четкое множество Л*, ближайшее
к нечеткому множеству А, определяется следующим выражением:
ГО, если ^л(х)<0.5, [ 1, если /1А(х)>0.5.
(1-13)
Выпуклое нечеткое множество. Нечеткое множество
J = {x,/^(x)} с универсумом X называют выпуклым, если для каждой
пары точек х}еХ, х2 е X его функция принадлежности удовлетворяет
неравенству
Ал(^1 +0-)>Ра(хз)}> Яе[о,1].
На рис. 1.6 и 1.7 изображены графики двух функций принадлежности, первая из которых является выпуклой, а вторая - не является выпуклой.
Рис. 1.6. График функции принадлежности выпуклого нечеткого множества
22
Рис. 1.7. График функции принадлежности невыпуклого нечеткого множества
Кроме того, следует заметить, что первая функция принадлежности является строго унимодальной с модой хт=5, а вторая - не является унимодальной и имеет два модальных значения: хт =2 и хт -4.
Показатель размытости нечетких множеств. Уже отмечалось, что нечеткие множества используются для описания плохо определенных объектов, понятий, неоднозначно понимаемых и трактуемых ситуаций. Де Лука предложил ввести показатель этой неопределенности, который назван показателем размытости (или мерой энтропии) нечетких множеств. В качестве этого показателя предложен функционал, аналогичный шенноновской энтропии, используемой в теории информации. Представляется достаточно очевидной возможность различной трактовки показателя размытости нечетких множеств. Во-первых, это числовая характеристика внутренней неопределенности, двусмысленности, противоречивости, обусловленной неполной (частичной) принадлежностью объектов рассматриваемому множеству. Во-вторых, показатель размытости - мера отличия нечеткого множества от ближайшего четкого множества. Понятно, что технология расчета показателя размытости зависит от того, какая именно трактовка этого показателя выбрана для оценки рассматриваемого нечеткого множества.
Показатель размытости как мера внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества X по отношению к некоторому конкретному свойству, характеризующему эти объекты и определяющему в А" некоторое множество объектов рассчитывается следующим образом. Если какой-либо объект хеХ обладает упомянутым конкрет
23
ным свойством, но лишь частично, то меру принадлежности рассматриваемого объекта к множеству объектов, обладающих этим свойством, можно оценить значением функции принадлежности //л(х)е [0,1]. Внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х по отношению к этому свойству проявляется в том, что объект, хотя и в разной степени, принадлежит двум противоположным классам: классу объектов, обладающих выбранным свойством, и классу объектов, не обладающих этим свойством. Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта х к обоим классам равны, то есть //л(х)=^(х)=0.5. И наоборот, двусмысленность минимальна, когда объект определенно принадлежит одному из классов, то есть ^(х)=1, /лДх)=0, либо Х/л(х)=0, Z^(x)=l.
Один из возможных способов расчета показателя размытости для конечного множества А, содержащего п элементов, состоит в вычислении шенноновской логарифмической энтропии нечеткого множества </(я)=£5,(ал (*,)), /-1
где
SJ (*J ))= - Ра )|п Ра )- (1 - Ра JM - РА ))=
=" Ра (xj )1п Ал (*, )- Ра (xj )1п На (xj )
С другой стороны, показатель размытости может быть определен с помощью метрики как мера отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного множества.
Как уже отмечалось, множеством А*, ближайшим к нечеткому множеству А, является четкое, неразмытое множество с характеристической функцией
, ч fO, если Ua(x)<0.59 /о(х)=5 / ч
А [1, если рА(х)>0.5.
Тогда показатель размытости определяется соотношением ^а)=^Ра(х})-На>(ху).
п j=i
24
Если в последнем соотношении вместо хэмминговой метрики использовать колмогоровскую, то формула для расчета показателя размытости примет вид:
2
d(^)=~ 1 , р - положительное, целое число
Ясно, что в частных случаях, когда р = 1, получим хэммингово расстояние, а при р = 2 - евклидово.
13 Основные типы функций принадлежности
Введенное выше формальное определение нечеткого множества нс накладывает никаких ограничений на выбор вида функции для описание его функции принадлежности. Однако при практической работе с нечет кими множествами целесообразно выделить некоторые конкретные видь функций, аналитическое представление которых обеспечивает простот и удобство выполнения операций над нечеткими множествами.
Кусочно-линейные функции принадлежности. Одним из наибе лее простых типов функций принадлежности являются функции, коте рые, как следует из их названия, состоят из отрезков прямых линий. Тг личными примерами таких функций являются "треугольная"(рис. 1.8) "трапециевидная" (рис. 1.9) функции принадлежности.
Рис. 1.3. График функций принадлежности треугольной формы
Треугольная функция принадлежности в общем случае может бы аналитически задана следующим выражением:
25
Рис. 1.9. График функций принадлежности трапециевидной формы
(1-14)
О, если х <а9 х-а ,
------------------, если а<х<Ь9 /а(х;аДс) = р а С~Х---------------.
----, если Ь<х<с, с-Ь
О, если х > с, где а9Ь9с - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а < b < с.
Для конкретной функции, изображенной на рис. 1.8, значения параметров следующие: а = 2, b = 4, с = 7. Эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое унимодальное нечеткое множество с носителем - интервалом, (а,с), границами, (а,с)\{/>}, ядром {b} и модой Ь.
Трапециевидная функция принадлежности в общем случае может быть аналитически задана следующим выражением:
О, если х<а9 х-а ,
-----------------, если а<х<Ь, Ь-а fr(x-9a,b,c) = < 1, если Ь<х<с9 d~X ' 'Л
----, если с <х<а, d-с
О, если x>d9
где а9 b9 с9 d - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением:
(1,15)
26
Для конкретной функции, изображенной на рис. 1.9, значения параметров следующие: а = 1, b = 3 с = 5 d = %. Эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое нечеткое множество с носителем -интервалом (a, J), границами ((a,6)U(c,t/)) и ядром [б, с]. Понятно, что в частном случае, когда Ь = с9 трапециевидная функция принадлежности вырождается в треугольную.
Z -образные и S -образные функции принадлежности. Эти функции принадлежности также получили свое название по виду кривых, которые представляют их графики.
Z -образная функция принадлежности может быть задана аналитически, например, следующим выражением:
1, если х<а9
0.5 + 0.5 cod------n L если a <x<b9 (1,16)
О, если х>Ь9 где а9 b - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь.
График этой функции для некоторого нечеткою множества А и универсума X =- [0,10] изображен на рис. 1.10. Z-образная функция может быть также задана другим выражением:
a + b
(1,17)
1, если х<а9
( \р
1 р~ 1 I
1-2F ---- , если а
, ' 1Л \Ъ-а)
fz^T,a,b) = \ z
b-x\p a + b ,
2P ------ , если----< .v < b9
\b-aj 2
0, если x> b9
где a9b - произвольные действительные значения, упорядоченные отношением: а< b9 tip- целое положительное число.
График этой функции для некоторого нечеткого множества А и универсума X - [0,10] изображен на рис. 1.11.
27
Рис. 1.10. График Z -образной функции принадлежности f для значений параметров а = 3, b = 6
Рис. 1.11. График Z -образной функции принадлежности fz для значений параметров я = 3, 6 = 6,р = 2
Z-образные функции принадлежности (1.16), (1.17) порождают нормальные выпуклые нечеткие множества с ядром (~<х>,а) и носителем (-».*)•
S -образная функция принадлежности может быть задана аналити
чески следующим выражением:
0, если х<а, ( х—Ь А
0.5 + 0.5 соя-я* , если а<х<Ь,
\b-a J
1, если х>Ь9
(1.18)
где а, b - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь.
График этой функции для некоторого нечеткого множества А и универсума X = [0,10] изображен на рис. 1.12. S-образная функция принадлежности может быть также задана другим выражением:
28
О, если х<а, эР_]<х-аУ а + Ь
2Р ----- , если а <х<-----,
2 (L19)
1-2р-1(-—-1 , если а + ^ < х<Ь, \b-aj 2
1, если х>Ь9 где а, b - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь,ар - целое положительное число.
График этой функции для некоторого нечеткого множества А и универсума X =[0,10] изображен на рис. 1.13.
Рис. 1.12. График S-образной функции принадлежности / для значений параметров а = 3, b = 6
Рис. 1.13. График S-образной функций принадлежности fs для значений параметров а = 3, 6 = 6,р = 2
S-образные функции принадлежности (1.18), (1.19) порождают
29
нормальные выпуклые нечеткие множества с ядром [й,оо) и носителем (л,оо). Заметим, что если в соотношениях (1.17), (1.19) параметр р = 1, то описываемые этими соотношениями функции становятся кусочнолинейными.
Более гибкое задание 5-образных и Z-образных функций принадлежности может быть получено с использованием функции вида
fs_2 (х; Ь, с) = 0.5 + 0.5гй(йх + с), (1.20)
где 6, с - числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения.
Эта функция при некоторых конкретных значениях Ь, с описывает так называемую сигмоидальную функцию. Пусть, например, с - 0. Тогда
/t_.(x;/>) = O.5 + O.5^(Z>x) = O.5 +hl =--------------(1-21)
* ’ v ~е~ь) еь+е~ь 1 + е'2Ьх
При этом если b > 0, то полученная функция является S -образной, если же, b <0,то это Z -образная функция принадлежности.
Графики функции (1.20) для некоторого нечеткого множества А и универсума X = [0,10] изображены на рис. 1.14, 1.15.
Рис. 1.14. График S-образной функции принадлежности fs_z для значений параметров 6 = 1.5, с = -9
При этом S-образной функции принадлежности соответствуют значения параметров b = 1.5, с = -9 (рис. 1.14), a Z-образной функции принадлежности соответствуют значения параметров b = -1.5, с = 9 (рис. 1.15).
Функции принадлежности (1.20) порождают нормальные выпуклые
30
Рис. 1.15. График Z-образной функции принадлежности fs_z для значений параметров Ь = -1.5, с = 9
нечеткие множества с носителем и границей R и точкой перехода
с
Как уже указывалось, частными случаями Z- и 5-образных кривых являются линейная Z-образная функция и линейная 5-образная функция.
При этом линейная Z-образная функция в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:
1, если х<а,
f±(x-,a,b)=
---, если а <х<Ь9 Ь-а
(1.22)
О, если х>Ь,
где а, Ь - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а < Ь.
График этой функции для некоторого нечеткого множества А и универсума X = [0,10] изображен на рис. 1.16.
Рис. 1.16. График линейной Z -образной функции принадлежности для значений параметров а = 3, b = 6
31
Линейная S -образная функция в общем случае может быть задана
аналитически следующим выражением:
О, если х <а.
fr(x;a,b) =
----, если а <х<Ь. Ь-а
1, если х>Ь,
(1-23)
где а, Ь - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а<Ь.
График этой функции для некоторого нечеткого множества А и
Рис. 1.17. График линейной S -образной функции принадлежности для значений параметров а = 3, b = 6
Эти функции принадлежности порождают нормальные выпуклые нечеткие множества с границами (a,b).
Т\-образные функции принадлежности. К этому типу функций принадлежности можно отнести целый класс так называемых колоколообразных кривых.
Один из возможных способов задания П-образной функции принадлежности состоит в использовании композиции S -образной и Z -образной функций в соответствии с соотношением
/п, (*; а, ь, с, d) = fs (х; a, b) • fz (х; с, d), (1.24)
где a,b,c,d - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением a<b<с<d.
При этом могут быть использованы любые из рассмотренных вы-
32
ше Z - и S -образных функций. В частности, если использовать функции Д и Д, то получим П-функцию /П|, график которой для некоторого нечеткого множества А и универсума X = [0,10] изображен на рис. 1.18. При этом значения параметров для функции Д равны а = \,Ь = 4, а для функции Д соответственно с = 5,d = 9.
Этот тип функций принадлежности порождает нормальные выпуклые нечеткие множества с носителем (a,d) и ядром [Ь,с].
Другой пример композиционного формирования П-образных функций - произведение двух сигмоидальных функций. Такая функция в общем случае может быть задана аналигически следующим выражением:
/п 2 & bl, Cl ,b2, с2) = fs _z (x; bl, c,) • fs_z (x; b2 ,c2), (1.25)
где &],q,Z>2>c2 “ некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем Ь} > 0, q < О, Ь2 < 0, с2 > 0 и упорядоченные отношением: ^q >b2c2.
Рис. 1.18. График П -образной функции принадлежности /п для значений параметров а = 1, Ь = 4, с = 5, d = 9
На рис. 1.19 приведен график П-образной функции, полученной в соответствии с (1.25) для = 0.62, q = -3,Z?2 = ~3,с2 = 27.
Типичная некомпозиционная колоколообразная функция задается аналитически следующим выражением:
(1.26)
а
33
Рис. 1.19. График П-образной функции принадлежности /Пз для значений параметров Ь' - 0.62, С] = -3, Ь2 = -3, с2 = 27
где а,Ь,с - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем параметр b > 0.
Приведем еще один, наиболее простой, удобный, и поэтому часто применяемый способ формирования колоколообразной функции принадлежности с использованием гауссовой кривой:
/П4(х;<7,с)=е’^. (1.27)
Здесь а и с - числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем сг > 0.
Функции принадлежности (1.26), (1.27) порождают нормальные выпуклые нечеткие множества.
Рис. 1.20. График П -образной функций принадлежности /п для значений параметров а = 2, 6 = 4, с = 6
Наконец, асимметричная колоколообразная функция принадлежности может быть получена в соответствии с выражением
34
Рис. 1.21. График П -образной функции принадлежности /п< для значений параметров а = 1, с = 4
/п, (*) = exp- - (I + - ех)) •.
2и2
Здесь
1, если w > О,
5/gw(u) = 0, если и = О,
-1, если и < О,
где 0l502,03 - действительные числа, причем 02 > °, |^з| 1 • На рис. 1.22 приведен график П-образной функции принадлежности, определяемой по приведенной выше формуле, для 0} = 4,02 = 1,03 = -0.8.
Рис. 1.22. График П -образной функции (л) для 0, = 4, 0г = 1, =-0.8
1.4 Методы построения функций принадлежности
В основании всякой теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики - это материальная точка,
35
для электродинамики - вектор напряженности поля. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется и определяется функцией принадлежности. Посредством нечетких множеств можно строго описывать присущие природе расплывчатые, не точно заданные объекты, без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов. Однако основной проблемой, затрудняющей интенсивное применение теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена средствами теории. В каждом известном методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого ее построения.
Л. Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из отрезка [0,1]. Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичные или производные) и тип шкалы, в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, применяемых при экспертной оценке. С другой стороны, каждому объекту присущи два типа его свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих оцениваемым свойством, чтобы определить их место по отношению к рассматриваемому понятию.
Существует ряд мегодов построения функции принадлежности нечеткого множества по экспертным оценкам, которые можно разделить на две группы: прямые и косвенные методы.
Прямые методы определяются тем, что эксперт или группа экспертов непосредственно задают правила определения значений функции принадлежности, характеризующей данное понятие. При этом, чем в большей степени элемент хе X обладает рассматриваемым свойством, тем более близким к единице должно быть значение функции принадлежности. И наоборот, чем в меньшей степени элемент х е X обладает
36
рассматриваемым свойством, тем ближе к нулю должно быть это значение. Если элемент хе X определенно не обладает рассматриваемым свойством, то соответствующее значение функции принадлежности равно нулю. Если же элемент х е X определенно обладает рассматриваемым свойством, то этр значение равно единице. Кроме того, значения функции принадлежности согласуются с экспертными предпочтениями на множестве объектов X следующим образом:
-для любых хих2 е X, //^(х])< рА(х2) тогда и только тогда, когда х2 предпочтительнее т.е. в большей степени обладает свойством А;
-для любых хх,х2 е X, рА(х}) = рА(х2) тогда и только тогда, когда х, и х2 в равной мере обладают свойством А.
Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, перечислением. Заде обосновывает назначение прямого метода следующим образом: '<По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях достаточна весьма приблизительная характеризация набора данных, поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуегся высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную для решения задачи, элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается, таким образом, в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с допустимой степенью точности».
Процесс построения или задания нечеткого множества на основе количественных значений измеряемого признака получил специальное название - фаззификация, или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что даже если исследователю бывает известно некоторое значение измеряемой величины, следует иметь в виду, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньшей является уверенность в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно
37
представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.
В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворять заранее сформулированным условиям. Экспертная информация формирует только исходные данные для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону; объекты множества X являются точками в некотором параметрическом пространстве; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при попарном сравнении объектов, если один объект по какой-то характеристике оценивается в а раз сильнее, чем другой, то второй объект обязательно оценивается в М а раз сильнее, чем первый, и т.д.
Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими, как высота, рост, вес, объем. В этом случае, в предположении, что в процессе измерений не делается случайных ошибок, удобно и естественно непосредственное задание значений степени принадлежности.
Однако реально ошибки всегда имеются. Кроме того, могут быть искажения, например, субъективная тенденция сдвигать количественные оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении функции принадлежности, могут использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.
Косвенные методы основаны на более пессимистических представлениях о людях как об «измерительных приборах». Рассмотрим, например, понятие «КРАСОТА», которое, в отличие от понятий «ДЛИНА» или «ВЫСОТА», является сложным и трудно формализуемым. Практически не существует универсальных элементарных измеримых свойств, через которые определяются подобные понятия. В таких случаях используются только ранговые измерения при попарном сравнении объек
38
тов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество - в стойкости по отношению к искажениям в измерениях. Для косвенных методов обычно используется условие «безоговорочного экстремума»: при определении степени принадлежности множество исследуемых объектов должно содержать по крайней мере два объекта, численные представления которых на интервале [0,1] принимают значения 0 и 1
соответственно.
Среди косвенных методов наибольшее применение получил так называемый метод попарных сравнений. Этот метод используется для ко
нечных нечетких множеств и основан на естественном предположении, что непосредственное оценивание значений функции принадлежности в точках х, е %, / = 1,2,..., и, затруднительно, однако попарное их сравнение в разных точках носителя проблем не вызывает. Пусть по результатам экспертного оценивания построена матрица А = каждый
элемент которой оценивает величину отношения соответствующих неизвестных значений функции принадлежности, то есть
ач = ' = ’’2.j = <L28)
А/*,)
Поставим задачу отыскания неизвестного набора значе-ний{^(х,)},/ = 1,2,...,я.
Из соотношения (1.28) имеем
а = АУ J= — , а, =1, / = l,2,...,n, У = 1,2,...,и, (1.29)
UaM а<>
и, кроме того,
_ _ _ АлОС Ал(*у) _ ^(х,) _
U..14.2. — — ---- — U.L
Ра^ШаМ Ра(Хь)
i = 1.2....п,
к- 1,2,..., и.
(1.30)
Из (1.29)—(1.30) следует, что матрица составленная по
правилу (1.28), является обратносимметричной и обладает транзитивностью. Такую маприцу будем называть согласованной.
Далее, из (1.28) получим а,—-------=1, / = 1,2,...,л/, j = l,2,...,w,
Ра(х,)
39
откуда, суммируя слева и справа по у, имеем то есть
= > = 1,2,...,п. (1.31)
7=1
Совокупность соотношений (1.31) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции принадлежности в точках х,, i = 1,2,..., л. Эта система в матричной форме имеет вид
АМ=пМ, (1.32)
где Мт = (цА(х1),цА{хг),...,цА{хп)'}. Отсюда следует, что для обратносимметричной согласованной матрицы А имеется собственное число, равное л, и соответствующий этому числу положительный собственный вектор М, компонентами которого является искомый набор значений функции принадлежности. Таким образом, полученное соотношение устанавливает связь между матрицей попарных сравнений значений функции принадлежности и самими этими значениями. Понятно, что если задана матрица Л, то неизвестный вектор М может быть получен путем расчета с использованием (1.32) собственного вектора этой матрицы, соответствующего собственному числу, равному п. Этот результат лежит в основе предложенного Т. Саати [22] метода анализа иерархий. Вместе с тем, как легко показать [21], искомый вектор М может быть получен и гораздо более простым способом. В целях упрощения записи введем следующие обозначения:
^U) = w<> ' = 1,2,...,и , WT = (wl,w2,...,w„).
Тогда в соответствии с (1.28) матрица А имеет вид
40
W1 -L '
W2
W2 -2-
А =
W2
Вычислим суммы элементов для каждой из строк матрицы А. Для произвольной i-й строки имеем
сиз) ;=1 ;=1 ™j ;=]
Из соотношения (1.33) следует, что каждый компонент собственного вектора М с точностью до константы может быть рассчитан непосредственно по элементам матрицы А. Константу С определим исходя из естественного требования к нормировке вектора М, в соответствии с
которым введем условие
2>,=1. (1.34)
/=1
Просуммируем левую и правую части соотношения (1.33) по i.
При этом с учетом (1.34) получим
п п п
11^=^ =с.
/=1 J=1 /=1
Тогда
1»
^aM = w, =-^ач = ’ ' = 1’и- (,35)
Cj--' ЕЕч,
/=) /=|
Таким образом, соотношение (1.35) позволяет рассчитать значения функции принадлежности, соответствующие каждому из элементов носителя. При этом понятно, что нечеткое множество, описываемое полученной функцией принадлежности, не является нормальным. Приведение множества к нормальному осуществляется стандартным образом по формуле
41
Рл(Х,) =
тахрА(х,)
I
Отметим, что соотношение (1.35) позволит точно оценить значения компонентов функции принадлежности только в случае, если матрица А является обратносимметричной и согласованной. Однако на практике эта матрица, содержащая результаты попарных сравнений значений функции принадлежности, формируемых экспертами, является обратносимметричной, но не удовлетворяет (1.30). В связи с этим вектор, определяемый в соответствии с (1.35), оценивает компоненты этой функции с погрешностью тем большей, чем сильнее реальная матрица А отличается от требуемой.
Легко проверить, что получаемый в соответствии с (1.35) вектор Мг =(х//4(х1),х/л(х2)э-является собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу, равному п. Действитель-
но, вычислим:
W2 sis' s| s' 'Hi
AW = *2 ™2 W2 1
W2 7=1
/ 5 I.* W2 У 22» i = l ; = 1
1
*1 Г ' Л 1 •^Z~+ 7=1 WJ 2^. W2 W2 -If i. + .. lMa ^1- >
1 n n w zz22 rl £ V’ 1 •wiZ—+ 7=1 WJ W2 w2 •w2 -I Г ,.+M n 1 7=1 W7 —
,=1 ;=|W; A 1 •m'iZ— + 7=1 WJ wn w2 •w2 -1 s’ Л 1 •^zJ- 7=1 W7 J
42
л л W
,=\J=\W
у ^2 ,=i W,
= nW,
_2_ yy
V n
п
что и требовалос ь.
Рассмотрим процедуру [21] коррекции реальной матрицы, приближающую эту матрицу к согласованной.
Используя реальную матрицу А, введем матрицу
А\ =(а(/.1)=- АА' и
то есть
1 п
= “ ^Laikakj ' И *=]
(1.36)
Убедимся з том, что диагональные элементы этой матрицы равны единице. Действительно,
Теперь, продолжая процедуру, вычислим
а(!) = —, ,• = 12,...,j = 1,2,...,п. (1.37)
Получаемая при этом матрица J(,) будет более согласованной, нежели исходная. Продолжим операцию корректировки. При этом фактическая вычислительная процедура на каждой итерации коррекции может быть упрощена за счет объединения соотношений (1.36), (1.37).
£
Iя ( п ^2
— &ik ' &ki S &ik ’ &kj
При этом «*1) =--------------------------------j = ------- =
&ik ’ & jk ’ a kt \ A =1 )
J J
43
&ik ‘ akj к=\
А=1 ®tk ^kj j
1,2,...,л, у = 1,2,..., п.
Пусть проделано / итераций коррекции, в результате которых получена матрица Я(/) = (а^). Тогда на очередной (/ + 1)-й итерации вы
полняются следующие вычисления:
z = 1,2,..., и, J = 1,2,..., п.
(1.38)
Соотношения (1.38) позволяют рассчитать элементы матрицы непосредственно через элементы матрицы Я(/). Сходимость предложенной процедуры проверена экспериментально.
Полученная в результате коррекции согласованная матрица попарных сравнений используется далее для расчета в соответствии с (1.35) искомых значений функции принадлежности.
Пример 1.8. Зададим нечеткое множество А = {< хицА(хх) >,
< Х2 'Ра (*2 ) >> < *3, Ра (*3 ) >, < *4, Ра (*4 ) >, < Х5 ’Ра (*5 ) >> < Х6 ,РА (Х6 ) >} •
Пусть по результатам экспертного оценивания получена матрица А
( 1 0.2 0.08 0.04 0.15 1.5'
1 1 0.5 0.2 0.8 10
0.2
1 1 1 0.5 2.0 15
0Ю8 0.5
А = 1 1^ 1 1 4 40
0.04 0.2 0.5
1 1 1 1
1 10
0Л5 o.s 2Л 4
1 1 1 1 1
- » - , . — 1
1 1.5 10 15 40 10 7
44
Матрица А представляет собой матрицу попарных сравнений значений функции принадлежности.
Эта матрица обратносимметрична, но не транзитивна. Например, а34а46 * д36. Действительно, а34а46 = 0.5 • 40 = 20 * а36 = 15.
В связи с этим непосредственное использование матрицы А для оценивания значений функции принадлежности невозможно.
Проведем процедуру коррекции.
Первая итерация
В соответствии с (1.38) вычислим:
' 1 0.182 0.085 0.039 0.155 1.533 '
5.504 1 0.47 0.215 0.853 8.436
л(,) = 11.728 2.13 1 0.459 1.817 17.973
25.544 4.641 2.178 1 3.957 39.144
6.455 1.173 0.55 0.253 1 9.891
ч 0.652 0.119 0.056 0.026 0.101 1 ,
Эта матрица существенно более согласована, нежели исходная. В самом деле, для той же тройки элементов имеем
а34а46 = 0.459 • 39.144 = 17.967 « а36 = 17.973.
Выполним еще одну итерацию коррекции, в результате которой получим
f 1 0.182 0.085 0.039 0.155 1.533 '
5.505 1 0.469 0.215 0.853 8.436
Л(2) = 11.726 2.13 1 0.459 1.817 17.971
25.543 4.64 2.178 1 3.957 39.147
6.455 1.173 0.55 0.253 1 9.892
k 0.652 0.119 0.056 0.026 0.101 1 ,
Эта матрица практически согласована. В частности,
взба4б =036=17.971.
Процедура коррекции завершена. Теперь, используя полученную матрицу, в соответствии с (1.35) рассчитаем значения функции принадлежности в точках х1,х2,х3,х4,х5,х6. При этом
45
/ул(х, ) = 0.02, //л(х2) = 0.108, дл(х3) = 0 23, Ал(х4) = 0.502, //л(х5) = 0.127, дл(х6) = 0.013.
Далее, после нормализации окончательно имеем описание нечеткого множества А = {< Х| .0.039 >, < х2,0.215 >,< х3,0.459 >,< х4,1 >, <х5,0.253 >,<х6,0.026 >}.
1.5 Контрольные вопросы
1. Что такое нечеткое множество и каковы основные способы его задания?
2. Каковы основные характеристики нечетких множеств?
3. Проведите сравнительный анализ основных форм задания функций принадлежности.
4. В каких случаях для построения функций принадлежности используются прямые и косвенные методы?
5. В чем положительные особенности прямых и косвенных методов?
46
2. ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ
2.1 Равенство и доминирование нечетких множеств.
2.2 Унарные операции над нечеткими множествами.
2.3 Бинарные операции над нечеткими множествами.
2.4 Нечеткие операторы.
2.5 Контрольные вопросы.
Введем совокупность операций над нечеткими множествами. При рассмотрении этих операций следует иметь в виду, что нечеткие множества - обобщение традиционных, классических множеств. Поэтому операции над нечеткими множествами должны быть введены таким образом, чтобы они оставались верными, то есть давали правильные ответы в частных случаях, когда вместо нечеткого множества используется его четкий аналог. Поскольку обобщение может быть реализовано различными способами, то какой-либо операции над обычными множествами могут соответствовать несколько разных операций над множествами нечеткими.
2.1 Равенство и доминирование нечетких множеств
Простейшими отношениями, которые могут иметь место между двумя произвольными нечеткими множествами А и В, заданными на одном и том же универсуме X, являются равенство двух нечетких множеств и нечеткое доминирование.
Равенство нечетких множеств. Два нечетких множества А = {х,//у4(х)} и В = {х,//5(х)} считаются равными, если их функции принадлежности принимают равные значения на всем универсуме X:
цА (х) = /лв (х) для любого х g X.
Равенство множеств записывается как А = В.
Нечеткое подмножество. Нечеткое множество А = {х,//л(х)} является нечетким подмножеством нечеткого множества 2? = {х,//5(х)} тогда и только тогда, когда значения функции принадлежности первого не превосходят соответствующих значений функции принадлежности вто
47
рого, т.е. выполняется следующее условие:
хеХ.
Для обозначения нечеткого подмножества, как и для обычных множеств, используется символ с. При этом в случае ЛсВ говорят, что нечеткое множество В доминирует нечеткое множество А, а нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В. Это определение не исключает случай возможного равенства двух нечетких множеств А и В. Если же в определении нечеткого подмножества равенство соответствующих нечетких множеств исключается, то факт доминирования обозначается следующим образом: ЛсВ. Тогда говорят, что нечеткое множество В строго доминирует нечеткое множество А, а нечеткое множество А строго содержится в нечетком множестве В.
Из приведенного определения, в частности, следует, что для любого нечеткого множества, не являющегося универсумом X, справедливо утверждение: А с X.
Если для двух нечетких множеств А и В, заданных на одном универсуме, не выполняется ни отношение Л с В, ни отношение Яс Я, то в этом случае говорят, что нечеткие множества А и В - несравнимые.
Пример 2.1. Рассмотрим два конечных нечетких множества 4 и А2, представляющих "небольшое натуральное число", и равных соответственно:
Д = {< 1,1.0 >,<2,1.0 >,< 3,0.9 >,< 4,0.8 >,< 5,0.5 >,< 6,0.2 >,<7,0.1 >}
И
А2 = {< 1,1.0 >, < 2,0.9 >, < 3,0.8 >, < 4,0.6 >. < 5,0.3 >, < 6,0.2 >, < 7,0.1 >}.
Тогда справедливо следующее отношение доминирования: А2 с АГ
2.2 Унарные операции над нечеткими множествами
Рассмотрим основные унарные операции, которые используются при построении нечетких моделей сложных систем.
Дополнение. Дополнением нечеткого множества А называется нечеткое множество А, заданное на том же универсуме X, функция при
48
надлежности которого //- (х) определяется по формуле:
Н-а(х)=\-ца{х), хеX. (2.1)
Пример 2.2. Рассмотрим конечное нечеткое множество А, которое представляет «небольшое натуральное число» и равно
А = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.9 >, < 4,0.8 >, < 5,0.5 >, < 6,0.2 >, < 7,0.1 >}, и нечеткое множество В, представляющее «натуральное число, приближенно равное трем» и равное
В = {< 1,0.5 >, < 2,0.8 >, < 3,1.0 >,< 4,0.6 >, < 5,0.4 >,< 6,0.1 >,< 7,0 >}.
Их дополнения будут равны:
А = {< 1,0 >,< 2,0 >,< 3,0.1 >,< 4,0.2 >,< 5,0.5 >,<6,0.8 >,< 7,0.9 >} и
В = {< 1,0.5 >, < 2,0.2 >, < 3,0 >, < 4,0.4 >, < 5,0.6 >, < 6,0.9 >, < 7,1.0 >}.
При этом нечеткое множество А представляет "натуральное число, не являющееся небольшим", а нечеткое множество В - "натуральное число, не равное приближенно трем".
Операция дополнения для бесконечного нечеткого множества А представлена графически на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Графическое изображение операции дополнения нечеткого множества А
Для конечных нечетких множеств операция дополнения может быть использована с целью расчета показателя размытости по формуле
Дл,л)= 1^1^ (х; )-^(^ 1 = | i К (х, )-1| •
п J=\ п у=1
49
ИЬ=|
Если при этом для расчета вместо хэмминговой метрики использовать Колмогорову, то эта формула примет вид । р
, р - положительное, целое число.
Возведение в степень. Пусть А - произвольное нечеткое множество, заданное на универсуме X, к - положительное действительное число (к е R\ Операцию возведения в степень определим по формуле
Ав(*) = Ал(Д х^Х. (2.2)
Эту операцию обычно обозначают через Ак.
Пример 2.3. Для конечного нечеткого множества:
А = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.9 >, < 4,0.8 >, < 5,0.5 >, < 6,0.2 >, < 7,0.1 >}
и числа к - 3 нечеткое множество А2 равно:
А3 = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.729 >, < 4,0.512 >, < 5,0.125 >, < 6,0.008 >, < 7,0.001 >}.
Операция возведения бесконечного нечеткого множества с гауссовой функцией принадлежности (1.27) для с = 3, сг = 1 в степень к = 4 иллюстрируется графически на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Графическое изображение операции возведения в степень нечеткого множества А
Операция возведения в степень используется для осуществления специальных преобразований функций принадлежности нечетких множеств: концентрирования и растяжения.
50
Концентрирование. Пусть на универсуме X задано произвольное нечеткое множество А с функцией принадлежности Операция
концентрирования, обозначаемая через CON(A\ дает в результате нечеткое множество С, функция принадлежности которого равна значениям функции принадлежности исходного нечеткого множества, возведенным в степень р > 1, то есть
^с(х) = хеХ.
Пример 2.4. Для конечного нечеткого множества А = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.9 >, < 4,0.8 >, < 5,0.5 >, < 6,0.2 >, < 7,0.1 >} и
р = 2 его концентрирование равно:
CON(A) = А2 = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.81 >, < 4,0.64 >, < 5,0.25 >, <6,0.04 >,< 7,0.01 >}.
Растяжение. Операция растяжения, обозначаемая через DIL(a), дает в результате нечеткое множество D, функция принадлежности которого равна значениям функции принадлежности исходного нечеткого множества, возведенным в степень q е (0,1), то есть
Ао(*)=^и(Д Х&х-
Пример 2.5. Для конечного нечеткого множества А = {< 1,1 >,<2,1 >,<3,0.9 >,< 4,0.8 >,<5,0.5 >,<6,0.2 >,< 7,0.1 >} и q = 0.5 его растяжение равно:
DIL(A) = А0 5 = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.949 >, < 4,0.894 >, < 5,0.707 >, < 6,0.447 >,<7,0.316 >}.
Применение операции концентрирования к нечеткому множеству приводит к уменьшению нечеткости или неопределенности в задании этого множества. Напротив, в результате применения операции растяжения происходит усиление неопределенности в задании нечеткого множества.
51
2.3 Бинарные операции над нечеткими множествами
Пусть А и В - произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества, заданные на одном и том же универсуме X.
Пересечение. Пересечением двух нечетких множеств А и В будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле
Ас (*) = ™п W4 Дв(*)Ь х е х (2-3)
Операция пересечения нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком п. Результат операции пересечения двух нечетких множеств записывается в виде С = Ап В.
Понятно, что результат пересечения Ап В есть наибольшее нечеткое подмножество С, которое содержится одновременно в нечетких множествах А и В. Операцию пересечения нечетких множеств в смысле (2.3) иногда называют min-пересечением или л-пересечением. Соответствующая функция принадлежности пересечения ^с(х) записывается в виде /2г(х)= рА(х)^\рв(х), хеХ. При этом знак л используется в качестве синонима операции нахождения минимального значения.
Операция min-пересечения нечетких множеств корректна в том смысле, что она сохраняет свое определение для случая обычных множеств. Действительно, если в качестве нечетких множеств А и В взять обычные множества как их частный случай, то определение операции пересечения (2.3) превратится в определение операции пересечения для характеристических функций обычных множеств.
Пример 2.6. Рассмотрим конечное нечеткое множество А, которое представляет "небольшое натуральное число" и равно:
А = {< 1,1.0 >,< 2,1.0 >,< 3,0.9 >,<4,0.8 >,< 5,0.5 >,<6,0.2 >,<7,0.1 >}. и конечное нечеткое множество В, которое представляет "натуральное число, приближенно равное двум" и равно:
В = {< 1,0.5 >, < 2,1.0 >, < 3,0.6 >, < 4,0.3 >, < 5,0.1 >, < 6,0 >, < 7,0 >}.
Тогда нечеткое множество С как результат операции пересечения С = А п В будет равно:
52
с = {< 1,0.5 >,<2,1.0 >,<3,0.6 >,< 4,0.3 >,< 5,0.1 >,< 6,0 >,< 7,0 >}.
В этом случае нечеткое множество С представляет "небольшое натуральное число, приближенно равное двум".
Результат операции пересечения двух и большего числа нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме X, можно изобразить графически в декартовой системе координат на плоскости.
Результат операции пересечения двух бесконечных нечетких множеств Л и В с функциями принадлежностями /<Дх) и рв(х) приведен на рис. 2.3. При этом каждое из нечетких множеств изображается соответствующей функцией принадлежности, а функция принадлежности результата операции пересечения изображается утолщенной линией.
х
Рис. 2.3. Графическое изображение операции пересечения множеств А и В
Отметим следующее свойство выпуклых нечетких множеств. Если нечеткие множества А и В - выпуклые, то их пересечение А п В также является выпуклым нечетким множеством.
Объединение. Объединением двух нечетких множеств А и В называется некоторое третье нечеткое множество Р, заданное на том же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле
= Рл^в(х)= тах{//л(4//й(х)}, х е X. (2.4)
Операция объединения нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком и. Результат операции объединения двух нечетких множеств записывается в виде D = А и В.
53
Понятно, что объединение A<jB есть наименьшее нечеткое множество D, которое доминирует одновременно как Л, так и В. Операцию объединения нечетких множеств в смысле (2.4) иногда называют max-объединением или v-объединением. Соответственно функция принадлежности объединения ^(х) в этом случае записывается в виде /^(х) = ACi(x)v Ив(х)> хеХ. При этом знак max используется в качестве синонима операции нахождения максимального значения.
Операция max-объединения нечетких множеств также корректна в том смысле, что она сохраняет свое определение для случая обычных множеств. Если в качестве нечетких множеств А и В взять обычные множества как их частный случай, то определение операции объединения (2.4) превратится в определение операции объединения для характеристических функций обычных множеств.
Пример2.7. Рассмотрим нечеткое множество Л, которое представляет "небольшое натуральное число" и равно:
А ={<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1 >}, и нечеткое множество В, которое представляет "натуральное число, приближенно равное трем", и равно:
В ={<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.
Тогда нечеткое множество D как результат операции объединения D = Аи В будет равно:
£> = {<1,1.0>, <2,1.0>, <3,1.0>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>}.
В этом случае множество D представляет "небольшое натуральное число или натуральное число, приближенно равное трем".
Результат операции объединения двух и большего числа нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме X, также можно изобразить графически в декартовой системе координат на плоскости.
Для случая объединения двух нечетких множеств АиВ, заданных различными функциями принадлежности, результат операции изображен на рис. 2.4.
54
Разность. Разностью двух нечетких множеств А и В называется некоторое третье нечеткое множество Е, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле
Ие(х)= тах{^ (х)-//в(До}, х е X. (2.5)
X
Рис. 2.4. Графическое изображение операции объединения множест в А и В
Операция разности двух нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком \. Результат операции разности двух нечетких множеств записывается в виде Е-А\В.
Пример 2.8. Рассмотрим нечеткое множество
А ={<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1 >}, представляющее "небольшое натуральное число", и нечеткое множество В, которое представляет "натуральное число, приближенно равное трем", и равно:
В = {<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1 >, <7,0>}.
Тогда нечеткое множество Е как результат операции разности Е = А \ В будет равно:
Е = {<1,0.5>, <2,0.2>, <3,0>, <4,0.2>, <5.0.1 >, <6,0.1>, <7,0.1 >}.
В этом случае нечеткое множество Е - А \ В представляет "не-большое натуральное число, не являющееся приближенно равным трем".
Результат выполнения операции разности двух нечетких множеств А и В, заданных на одном и том же универсуме X различными функциями принадлежности, изображен на рис. 2.5.
Симметрическая разность. Операция разности двух нечетких множеств в отличие от операций v -объединения и л-пересечения не яв-
55
ляется коммутативной, т.е. в общем случае А\ В * В\ А. Вместе с тем при решении многих практических задач оказывается полезной коммутативная операция симметрической разности двух нечетких множеств А и В (обозначим ее через Л0В). Результатом выполнения этой операции для двух нечетких множеств А и В является некоторое третье нечеткое множество F, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле:
Ир(*) = X G X. (2.6)
Легко проверить, что А®В = (А\В)и (в\а), то есть симметрическая разность двух нечетких множеств представляет собой объединение двух разностей нечетких множеств АнВ.
Рис. 2.5. Графическое изображение операции разности нечетких множеств А и В
Определенные выше операции разности и симметрической разности двух нечетких множеств корректны в том смысле, что они остаются справедливыми для случая обычных множеств.
Пример 2.9. Вновь рассмотрим нечеткое множество
А = {<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>}, представляющее "небольшое натуральное число", и нечеткое множество В, которое представляет "натуральное число, приближенно равное трем", и равно:
В = {<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.
Их симметрическая разность А®В будет равна:
Л0Я={<1,О.5>, <2,0.2>, <3,0.1>, <4,0.2>, <5,0.1>, <6,0.1>, <7,0.1>}.
Результат выполнения операции симметрической разности двух 56
нечетких множеств А и В, заданных на одном и том же универсуме А\ изображен на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Графическое изображение операции симметрической разности нечетких множеств А и В
Рассмотренные операции над нечеткими множествами обладают следующими фундаментальными свойствами, аналогичными свойствам обычных теоретико-множественных операций.
Пусть А, В и С - произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества, заданные на одном и том же универсуме X. Справедливы следующие утверждения.
Коммутативность операций объединения и пересечения нечетких множеств:
A\jB = B<jA\ АоВ = Вг\А (2.7)
Ассоциативность операций объединения и пересечения нечетких множеств:
Аи(ВиС)=(АиВ)иС; Аг>(ВпС) = (АпВ)пС. (2.8)
Дистрибутивность операций объединения и пересечения нечетких множеств относительно друг друга:
= иС);
А п (В и С) = (А п Д)и (А п С) (2.9)
Идемпотентность операций объединения и пересечения нечетких множеств:
АиА = А; АпА = А. (2.10)
Поглощение одного из нечетких множеств при операциях объединения и пересечения:
57
A(j(Ar\B)=Ar>(AuB)=A. (2.11)
Универсальные верхняя и нижняя границы (единичные элементы) операций пересечения и объединения нечетких множеств:
Ли0 = А;АиХ = Х ; (2.12)
АгуХ = А, Лп0 = 0. (2.13)
Инволюция (двойное дополнение) нечеткого множества:
А = А. (2.14)
Законы де Моргана:
(А^В) = Аг>В; (АгГВ)=А^В. (2.15)
Вместе с тем следует заметить, что для рассматриваемых операции над нечеткими множествами не выполняются закон исключенного третьего и закон тождества (свойства дополняемости операций пересечения и объединения). А именно в общем случае оказываются справедливыми неравенства:
ЯпЯ*0; (2.16)
AvAtX. (2.17)
Кроме того, отметим, что для операций min-пересечения и max-объединения нечетких множеств возможны и другие альтернативные способы их определения, корректные в смысле соответствия обычным теоретико-множественным операциям.
Пусть А и В - произвольные (конечные или бесконечные) нечеткие множества, заданные на одном и том же универсуме X.
Алгебраическое пересечение. Алгебраическим пересечением (или алгебраическим произведением) двух нечетких множеств А и В называется некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле
(2-18)
Алгебраическое пересечение двух нечетких множеств А и В обозначается через С = А• В.
Пример 2.10. Вернемся к введенным выше нечеткому множеству
А ={<1,1.0>, <2,1.0>, <3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.5>, <6,0.2>, <7,0.1>},
58
и нечеткому множеству
В = {<1,0.5>, <2,0.8>, <3,1.0>, <4,0.6>, <5,0.4>, <6,0.1>, <7,0>}.
Тогда нечеткое множество С, являющееся результатом операции алгебраического пересечения С = А • В, будет равно:
С ={<1,0.5>,<2,0.8>,<3,0.9>,<4,0.48>,<5,0.2>,<6,0.02>,<7,0>}.
Результат операции алгебраического пересечения двух бесконечных нечетких множеств А и В, заданных различными функциями принадлежности, иллюстрируется на рис. 2.7.
х
Рис. 2.7. Графическое изображение операции алгебраического пересечения нечетких множеств А и В
Алгебраическое объединение. Алгебраическим объединением (или алгебраическим суммой) двух нечетких множеств А и В называется нечеткое множество D, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по формуле
^о{х) = цА{х)+цв(х)-цА(х)цв(х\хе X. (2.19)
Алгебраическое объединение двух нечетких множеств А и В обозначается через D = А + В.
Пример 2.11. Для этих же нечетких множеств А и В (пример 2.10) результат алгебраического объединения будет равен:
D = А + В = {<1,1>, <2,1>, <3,1>, <4,0.92>, <5,0.7>. <6,0.28>, <7,0.1>}.
Графическая иллюстрация операции алгебраического объединения двух бесконечных нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме X, представлена на рис. 2.8.
Операции алгебраического пересечения и алгебраического объединения нечетких множеств обладают лишь некоторыми из свойств, анало
59
гичных свойствам обычных теоретико-множественных операций. При этом справедливы следующие утверждения.
х
Рис. 2.8. Графическое изображение операции алгебраического объединения нечетких множеств А и В
Коммутативность операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств:
А + В = В + А', А*В = В*А. (2.20)
Ассоциативность операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств:
Я + (В + С) = (Я + В)+С; А»(В»С) = (А»В)»С. (2.21)
Универсальные верхняя и нижняя границы (единичные элементы) операций алгебраического пересечения и объединения нечетких множеств:
Л + 0 = Л; А + Х = Х; (2.22)
А*Х = A,A*<Z) = <Z). (2.23)
Законы де Моргана:
(А + В)=А»В;(А»В)=А + ~В. (2.24)
Однако в общем случае остальные свойства не выполняются. Справедливы следующие утверждения.
Недистрибутивность операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств относительно друг друга:
Я + (В*С)*(Л + Д)*(Л + С); Л«(в + С)#(я*в)+(Л«С)1 (2.25)
Неидемпотентность операций алгебраического объединения и пересечения нечетких множеств:
А + А*А\ А*А*А. (2.26)
60
Непоглощение одного из нечетких множеств при операциях алгебраического объединения и пересечения:
А + (А»В)*А; А»(А + В)*А. (2.27)
Не выполняются закон исключенного третьего и закон противоречия:
(2.28)
А + А*Х. (2.29)
Продолжим рассмотрение операций над нечеткими множествами.
Граничное пересечение. Граничным пересечением двух нечетких множеств А и В называется нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме Х9 функция принадлежности которого определяется по формуле:
дс(х)=тах[ил(х)+//й(х)-1,0}, хеХ. (2.30)
Граничное пересечение нечетких множеств обозначается
С = ЛФВ.
Пример 2.12. Для приведенных выше нечетких множеств А и В результат граничного пересечения нечетких множеств А и В будет равен:
С = {< 1, 0.5 >, < 2, 0.8 >, < 3, 0.9 >, < 4, 0.4 >, < 5, 0 >, < 6, 0 >, < 7, 0 >}.
Результат операции граничного пересечения двух бесконечных нечетких множеств А и В, заданных различными функциями принадлежности, изображен рис. 2.9.
Рис. 2.9. Графическое изображение операции граничного пересечения нечетких множеств А и В
61
Граничное объединение. Граничным объединением двух нечетких множеств А л В называется нечеткое множество £>, заданное на этом же универсуме X, функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:
Ao (*) = min{ цА (х)+(х), 1}, х е X. (2.31)
Граничное объединение двух нечетких множеств А и В обозначается через D- А® В.
Пример 2.13. Результат операции граничного объединения для приведенных выше нечетких множеств А и В равен:
£> = {<1,1.0 >,<2,1.0 >,<3,1.0 >,<4,1.0 >,<5,0.9 >,<6,0.3 >,< 7,0.1 >}.
Графическая иллюстрация операции граничного объединения двух бесконечных нечетких множеств А и В, заданных различными функциями принадлежности, изображена рис. 2.10.
Рис. 2.10. Графическое изображение операции граничного объединения нечетких множеств А и В
Операция Л-суммы нечетких множеств. Л-суммой двух нечетких множеств А и В называется множество G, заданное на этом же универсуме Х9 функция принадлежности которого определяется по формуле
//б;(х)=2//я(х)+(1-Я)/2д(х), хеХ, (2.32)
где параметр Я. е [0,1].
Эта операция обозначается через G = А +л В.
Для введенных альтернативных операций над нечеткими множествами справедливо следующее соотношение:
62
0сА®ВеА*ВсАпВсА-^ВсАиВсА + ВсХ. (2.33) Эти неравенства означают, что для произвольных нечетких множеств А и В результат более левой операции всегда будет являться нечетким подмножеством результата более правой операции.
Обобщением операции Л-суммы двух нечетких множеств является операция определения выпуклой комбинации произвольного конечного числа нечетких множеств. Пусть Ах,А2,...9Ап - нечеткие множества, заданные на универсуме Х9 а - неотрицательные действитель-
ные числа, сумма которых равна 1.
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Выпуклой комбинацией нечетких множеств АХ9А29...9Ап называется нечеткое множество Н, функция принадлежности которого определяется по формуле
Мн(х) = ^А\х)+Л2^Аг(х)+... + Л„^Ап(х\ х<=Х, (2.34)
£л,=1Де[0,1], i = l,2,...,n. 1=1
Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивной суммой двух нечетких множеств А и В называется некоторое третье множество К, заданное на этом же универсуме X 9 функция принадлежности которого определяется по формуле
//к(х)=тах{тт{^(х>1-/Ув(х)},тт{1-^(х),^д(х)}}, хе%. (2.35) Эквивалентная запись для определения операции дизъюнктивной суммы имеет вид К = (а п в)и(лпй).
Пример 2.14. Для введенного ранее нечеткого множества:
А = {< 1,1.0 >, < 2,1.0 >, < 3,0.9 >, < 4,0.8 >, < 5,0.5 >, < 6,0.2 >, < 7,0.1 >} и нечеткого множества
В = {< 1, 0.5 >,< 2, 0.8 >, < 3,1.0 >, < 4, 0.6 >,< 5, 0.4 >, < 6, 0.1 >, < 7, 0 >}, результат их дизъюнктивной суммы будет равен: К - (а г» в)и (ас^в)= = {< 1, 0.5 >, < 2, 0.2 >, < 3, 0.1 >, < 4, 0.4 >, < 5, 0.5 >, < 6, 0.2 >, < 7, 0.1 >}
2.4 Нечеткие операторы
63
Введенные выше нечеткие теоретико-множественные операции не исчерпывают все потенциально возможные способы их гадания. В связи с этим большой практический интерес представляет построение обобщенных нечетких параметризованных операторов пересечения, объединения, дополнения и др. Общий и изящный подход к описанию операций пересечения и объединения заключается в их определении в классе тре-угольных норм и конорм.
Треугольная норма (Т- норм а). Произвольная действительная функция от двух переменных Т: [0,1 ] х (о, 1 ] —> [о, 1 ] называется треугольной нормой, если она удовлетворяет следующим свойствам, называемым аксиомами треугольной нормы:
7’(х,0)=0, Г(х,1) = х (ограниченность); (2.36)
Т(х,у)-Т(у,х} (коммутативность); (2.37)
1\х, Т(у, z)) = Т(Т(х,у\z) (ассоциативность); (2.38)
1\х, i ) < T(z|, z2), если х < Zj, у < z2 (монотонность), (2.39) Приведем примеры треугольных норм.
Операция /\ -пересечения нечетких множеств:
^.П (Ал (Д Нв (Д) = (Д цв (х)};
- операция граничного пересечения:
(На Ив (*)) = тах Д На (х)+Нв (х) -1};
- операция алгебраического пересечения:
Тр (На Нв (х)) = На (х)' Нв (Д
- специальная операция пересечения, задаваемая соотношением: Ал(Д если Нв(х) = 1.
СчЛДдДД)^ Нв(х\ если //л(х)= 1,
О, в остальных случаях.
Треугольная конорма (Г-конорма, 5-норма). Произвольная действительная функция от двух переменных 5 :[о,1]х[о,1]—> [0,1] называется треугольной конормой, если она удовлетворяет следующим свойствам, называемым аксиомами треугольной конормы:
5(х,0) = х,5(х,1) = 1 (ограниченность) (2.40)
S(x,y)-S(y,x) (коммутативность); (2.41)
64
S(x,S(y, z)) = S^iS^y^z) (ассоциативность); (2.42)
S(x, y)< S(zx,z2\eaiu x < zx,y < z2 (монотонность). (2.43) Приведем примеры треугольных конорм.
Операция ч-объединения нечетких множеств:
S'max (На (А Нв (*)) = тах(ил (4 рв (х)};
- операция граничного объединения:
smin (На (х\Ив(б) = min{/<4 (4+^fl(40;
- операция алгебраического объединения:
SP (На (д Нв (*)) = На (*)+Нв (*) - На (*) • Нв
- специальная операция объединения, задаваемая соотношением:
ju^(x),eou-ae(x) = 0,
Sv (На (х\нв (4) = ) Нв если На (х) = °>
О, в остальных случаях.
Помимо рассмотренных нечетких операторов треугольной нормы и конормы, обобщающих операции пересечения и объединения, в теории
нечетких множеств введены и другие нечеткие операторы, в частности, оператор отрицания, обобщающий операцию дополнения.
Оператор отрицания. Пусть задано некоторое отображение Л: [0,1]-* [0,1]. Это отображение называется оператором отрицания, ес
ли выполняется следующие условия:
Я(0) = 1, Л(1) = 0; (2.44)
если рА (х) < рв (х), то Л(рА (х)) > (х)). (2.45)
Функция Л( ) называется строгим отрицанием, если эта функция непрерывна и она строго убывает.
Функция Л( ) называется сильным отрицанием, или инволюцией, если вместе с условиями (2.44), (2.45) для нее справедливо:
A(A(^(x))) = //(4 (2.46)
Приведем примеры функции отрицания.
Классическое отрицание (дополнение): я(//(х))=1-Х4 - квадратичное отрицание:
65
^C“W)=(i-^2Wy5;
- отрицание Сугено:
1 -I- р\х)к
- пороговое дополнение'.
1 ( ( П, если//(*)*«>
[О, если р\х)> а.
Значение р(х), для которого Л(р(х)) = р(х) называется равновесной точкой.
2.5 Контрольные вопросы
1. Какие простейшие отношения можно определить между нечеткими множествами?
2. Дайте определите основным операциям над нечеткими множествами.
3. Определите функции принадлежности основных операций над нечеткими множествами.
4. В чем состоит разница между унарными и бинарными операциями над нечеткими множествами?
5. Что такое нечеткие операторы? Приведите примеры.
3. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
3.1 Нечеткое отношение и способы его задания.
3.2 Основные характеристики нечетких отношений.
3.3 Операции над нечеткими отношениями.
3.4 Отображения нечетких множеств.
3.5 Свойства бинарных нечетких отношений, заданных на одном универсуме.
3.6 Нечеткие отношения предпочтения.
3.7 Контрольные вопросы.
Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в теории нечетких множеств. Аппарат теории нечетких отношений используется при решении многочисленных задач моделирования структуры и поведения сложных систем, при анализе процессов принятия решений и, вообще, в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (четких) отношений.
3.1 Нечеткое отношение и способы его задания
Нечеткое отношение определяется как любое нечеткое подмножество упорядоченных кортежей, построенных из элементов тех или иных базисных множеств - универсумов. При этом под кортежем, так же, как и в случае обычных множеств, понимается произвольный набор или список упорядоченных элементов.
Нечеткое отношение. В общем случае нечетким k-арным отношением, заданным на множествах (универсумах) Хх,Х2,...,Хк, называется некоторое нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов. Обозначим произвольное нечеткое отношение через Q. По определению, Q = >, pQ{< хх.х2^,.,хк >)}, где
Pq(< хх,х2,...,хк >) - функция принадлежности данного нечеткого отношения, которая определяется как отображение Pq : Хх х Х2 х...хХк ->[0, 1J Здесь через < хх,х2,...,хк > обозначен кортеж из к элементов, каждый из которых выбирается из своего универсу-67
ма, то есть ххе Хх.х2е Х2,...,хк е Хк.
Простейший тип нечетких отношений задается как бинарное нечеткое отношение между элементами из двух универсальных множеств. При этом на форму и вид функции принадлежности нечеткого отношения предварительно никаких ограничений не накладывается.
Рассмотрим несколько важных частных случаев нечетких отношений.
Пустое нечеткое отношение. В теории нечетких отношений пустое нечеткое отношение определяется как отношение, которое не содержит ни одного кортежа. Это отношение обозначается через 0 и формально определяется как такое нечеткое отношение, функция принадлежности которого тождественно равна 0 на всех элементах декартова произведения его универсумов.
Полное нечеткое отношение совпадает с обычным полным отношением, которое, в свою очередь, равно, по определению, декартову произведению соответствующих универсумов Хх хХ2 х...хХк. Функция принадлежности полного нечеткого отношения тождественно равна единице для всех без исключения кортежей, т.е. рх(<хХ9х29...9хк >)sl.
Бинарное нечеткое отношение задается на базисных множествах Хх,Х2 и определяется как нечеткое отношение Q = {<xi9Xj >9py(<xl9Xj >)}. Здесь ^(<xz,xy >) - функция принадлежности бинарного нечеткого отношения, которая определяется как отображение Pq : Хх хХ2 ->[0,1], а через <х,,ху> обозначен кортеж из двух элементов, причем х, е %hxy е Х2.
Обратное нечеткое отношение. Если задано бинарное нечеткое отношение Q на декартовом произведении Хх х Х2, то обратным к нему нечетким отношением (обозначается через Q~l) называется такое бинарное нечеткое отношение, которое заданно на декартовом произведении Х2*Хх> а функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:
^-iU^y) = Д0(ху,х,), х, еХ2, Xj eXj. (3.1)
68
Бинарное нечеткое отношение, заданное на одном базисном множестве (универсуме) X, определяется как нечеткое отношение Q = {<xi9Xj >,^q(<xi9Xj >)}, где ро(<х,.х} >) - функция принадлежности бинарного нечеткого отношения, которая определяется как отображение : X х X -> [0,1]. Здесь через <х,.х} > обозначен кортеж из двух элементов, причем xt е Х,х} е X.
На практике используются различные способы, которыми могут быть формально заданы те или иные нечеткие отношения. Наибольшее распространение из них получили следующие.
В форме списка с непосредственным перечислением всех кортежей нечеткого отношения и соответствующих этим кортежам значений функции принадлежности:
e = {(w’i,^(M'1)),(w2,/zc,(w2))>...,(w(Z,/ze(w9))}, где w, - i-й кортеж <Х|,х2,...,х* > элементов этого отношения; q - число кортежей нечеткого отношения р. При этом для сокращения подобной записи кортежи с нулевыми значениями функции принадлежности в списке обычно не указываются. Понятно, что этот способ целесообразно применять только для задания нечетких отношений с конечным и небольшим числом кортежей q.
Пример 3.1. Отношение задано:
Q = {(< 1,1 >,0),(< 1,2 >,0.1),(< 2,1 >,0.5),(< 2,2 >,!)}.
Аналитически в форме некоторого математического выражения, обеспечивающего возможность вычисления значения функции принадлежности нечеткого отношения для каждого из кортежей. Этот очень удобный способ может быть применен для задания нечетких отношений как с конечным, так и с бесконечным числом кортежей. При его использовании нечеткое отношение записывается в виде:
0 = {<x1,x2,...,x* >,nQ(<xx,x2,...,xk >)}, где ^(<хх,х2,...,хк >) = /(x(,x2,...,xt) - некоторая заданная функция к переменных, удовлетворяющая стандартным требованиям к функциям 69
принадлежности.
Пример 3.2. Отношение задано аналитически:
(? = {<Х1,Х2,Х3 >./^(<х„х2,х3 >) = е_(х,+2х2+3хз,,х1 ^0,х2 >0,х3 >0}.
Для задания бинарных отношений, кроме перечисленных, могут дополнительно использоваться и некоторые другие способы.
Графически в форме некоторой поверхности или совокупности отдельных точек в трехмерном пространстве. При этом две координаты (независимые переменные) будут соответствовать значениям элементов х, и х2 из универсумов Х^Х2> а третья координата - функции принадлежности со значениями из интервала [0,1].
В форме матрицы нечеткого отношения. При этом нечеткое бинарное отношение с конечным числом кортежей описывается с использованием матрицы Л/q, первой строке которой соответствуют первые элементы кортежей Xj е а первому столбцу - вторые элементы кортежей х2 е Х2. Элементами матрицы являются соответствующие значения функции принадлежности /^(<х15х2>) данного отношения. Если бинарное нечеткое отношение задается на одном универсуме, то матрица такого отношения Mq является квадратной.
Пример 3.3 Отношение задано таблицей:
1 2 3 4 '
1 0 0.1 0.2 0.3
Л/q - 2 0.2 0 0.3 0.4 . В тех случаях, когда это не может привес-
_3 0.3 0.4 0 °-5.
ти к ошибкам, первую строку и первый столбец опускают. Тогда выделенная из таблицы матрица, задающая приведенное выше отношение,
0 0.1 0.2 0.3
имеет вид MQ = 0.2 0 0.3 0.4
0.3 0.4 0 0.5
70
В форме так называемого ориентированного нечеткого графа, который формально может быть задан в виде двух обычных конечных множеств и некоторой функции принадлежности следующим образом: G = (V,E,pG), где V = {vbv2,...,vn} - множество вершин нечеткого графа, £ = {e15e2,...,em} - множество дуг нечеткого графа, каждой из которых приписано значение функции принадлежности. Натуральное число п определяет количество вершин конкретного нечеткого графа, а натуральное число т - количество дуг нечеткого графа. При этом дуги с нулевой функцией принадлежности в нечетком графе обычно не изображаются.
Каждому ориентированному нечеткому графу G соответствует некоторое бинарное нечеткое отношение QG, состоящее из всех пар вида <v,,vy >, где vnVj е V. При этом для каждой пары < v,,vy > определено некоторое действительное число из интервала [0,1], которое равно значению функции принадлежности pG(ek) для дуги ек еЕ, соединяющей эту пару вершин. При задании нечеткого отношения Q с помощью ориентированного нечеткого графа G каждому элементу универсума х, g X будет соответствовать отдельная вершина v, g V этого нечеткого графа, а каждому кортежу нечеткого отношения <х,,ху >eQ будет соответствовать дуга графа ек =< vz,vy > с началом в вершине концом в вершине Vj и значением функции принадлежности р()(< >).
Пример 3.4. Отношение задано графом
Рис. 3.1. Ориентированный граф, отображающий бинарное отношение
В зависимости от количества кортежей нечеткое отношение может
71
быть конечным или бесконечным. Нечеткое отношение называется конечным, если его носитель является конечным отношением. При этом говорят, что такое нечеткое отношение имеет конечную мощность, которая численно равна количеству кортежей его носителя, рассматриваемого как обычное множество. В этом случае для обозначения мощности произвольного нечеткого отношения Q используют общепринятое обозначение card(Q). Аналогично счетным нечетким отношением называется нечеткое отношение со счетным носителем, то есть отношение, носитель которого имеет счетную мощность Ко. Несчетным нечетким отношением называется нечеткое отношение с несчетным носителем, то есть носитель которого имеет несчетную мощность или мощность континуума К.
Пример 3.5. Рассмотрим конечное бинарное нечеткое отношение Q, заданное на универсуме X ={11,12,13,14,15} и отображающее свойство: «натуральное число х, еХ приблизительно равно натуральному числу Xj еХ ».
Соответствующее нечеткое отношение Qx может быть задано в форме списка следующим образом:
Q = {(<11,11>,1.0),(<11,12>,0.8),(<11,13>,0.6), (<11,14>,0.3), (<11,15>,0), (<12,11>,0.8), (<12,12>, 1.0), (< 12,13>,0.8), (< 12,14>,0.6), (< 12,15>,0.3), (<13,11 >,0.6), (<13,12>,0.8), (< 13,13>, 1.0), (<13,14>,0.8), (< 13,15>,0.6), (<14,11>,0.3), (<14,12>,0.6), (<14,13>,0.8), (<14,14>, 1.0), (<14,15>,0.8), (<15,11 >,0), (<15,12>,0.3), (<15,13>,0.6), (<15,14>,0.8), (<15,15>,1.0)}.
Это же бинарное отношение может быть задано матрицей
' 1 0.8 0.6 0.3 0 '
0.8 1 0.8 0.6 0.3
0.6 0.8 1 0.8 0.6
0.3 0.6 0.8 1 0.8
<0 0.3 0.6 0.8 1 ,
Очевидно, что матричное представление нечеткого отношения является гораздо более наглядным, нежели списочное.
72
Пример 3.6. Рассмотрим теперь другое бинарное нечеткое отношение 02, заданное на том же универсуме X ={11,12,13,14,15} и отображающее свойство: «натуральное число xt g X несколько больше, чем натуральное число х} е X ». Зададим это нечеткое отношение 02 в мат“ ричной форме:
г 0 0 0 0 0^
1 0 0 0 0
0.8 1 0 0 0
0.6 0.8 1 0 0
.0.2 0.6 0.8 1 1>
Пример 3.7. Рассмотрим еще одно бинарное нечеткое отношение 03, заданное на том же универсуме X -{11,12,13,14,15} и отображающее свойство: «натуральное число х, еХ заметно меньше, чем натуральное число X' еХ».
Вновь используем матричную форму задания отношения:
г0 0 0.4 0.7 1 "
0 0 0 0.4 0.7
^3 = 0 0 0 0 0.4
0 0 0 0 0
<0 0 0 0 0,
Пример 3.8. Построим бинарное нечеткое отношение, упрощенно описывающее ситуацию дифференциальной диагностики для группы заболеваний, симптомы проявления которых во многом схожи. В качестве первого универсума рассмотрим совокупность симптомов X = {х1,х2,Хз,х4,х5}, где Xj - «боль в животе»; х2 - «повышение температуры»; х3 - «рвота»; х4 - «снижение диуреза»; х< - «увеличение содержания лейкоцитов в крови». Второй универсум }’ = {у}9У2,Уз} ~ на-бор диагнозов, где у{ - «почечная колика»; у2 - «воспаление аппендикса»; у3 - «кишечная инфекция». Здесь между элементами множества ди-73
агнозов и множества симптомов существует некоторая причинная связь, но эта связь не однозначна. Поэтому адекватным представлением этой взаимосвязи является бинарное нечеткое отношение 04 ={<х19у} >)}» заданное на универсумах X и Y. При
этом значение функции принадлежности ^4(<хпу} >) отображает степень уверенности в том, что симптом х, будет проявляться при заболевании yj. Зададим это бинарное отношение матрицей Mq4 :
' 1 1 1 "
0.2 0.5 0.9
0.1 0.1 0.9
0.8 0.1 0.2
.0.3 1 0.8,
Из анализа этой матрицы следует, что симптом «боль в животе»
проявляется при всех перечисленных заболеваниях, симптом «рвота» часто бывает в случае кишечной инфекции, но редко при почечной колике и воспалении аппендикса. А симптом «увеличение содержания лейкоцитов в крови» всегда проявляется при воспалении аппендикса, часто в случае кишечной инфекции, но редко при почечной колике.
Пример 3.9. Рассмотрим бесконечное бинарное нечеткое отношение 05, которое задается на одном универсуме X - множестве неотрицательных действительных чисел Содержательно отношение 05 описывает свойство: "действительное число xit значительно больше действительного числа х} ". Это нечеткое отношение можно задать аналитически, например, с использованием следующей функции принадлежности:
^5(<xnxj >)=0,если х,<х},
(< х,, ху >)=1 - , если х, > х}; р> 1, целое. (3.2)
Ясно, что это бесконечное нечеткое отношение нельзя представить в матричной форме или в форме нечеткого графа.
74
3.2 Основные характеристики нечетких отношений
Пусть Q = {<х1эх2,.-,^ >)} - произвольное не-
четкое к -арное отношение с кортежами из декартова произведения соответствующих универсумов %, хХ2 х...хХк и функцией принадлежно-СТИ Др(<Х1,Х2,.. ,Хк >).
Носитель нечеткого отношения. Носителем нечеткого отношения Q называется обычное отношение Qs, которое формально определяется следующим образом:
Qs = {<x1,x2,...,xit >,/iQ(<x},x2,...,xk >)\pQ(<x},x:,...,xk >)>o) . (3.3) <Х],х2,...,х* >eX} xX2x...xXk.
Другими словами, носитель нечеткого отношения содержит те и только те кортежи, для которых значение соответствующей функции принадлежности отлично от 0.
Отношение а -уровня. Обобщением понятия нечеткого отношения является отношение а-уровня, под которым понимается обычное отношение которое формально определяется следующим образом:
Qa = {<х1,х2,...,х* >|^(<хьх2...хк >)>а} , (3.4)
< Xj,x2,.-,^ >е х Х2 х...хХк, где а - некоторое действительное число, а е [0,1].
ПримерЗ.Ю. Отношением а-уровня для рассмотренного в примере 3.5 нечеткого отношения Qx может служить отношение: 0О8={(<11,11>, 1.0), (<11,12>, 0.8), (<12,11>, 0.8), (<12,12>, 1.0), (<12,13>, 0.8), (<13,12>, 0.8), (<13,13>, 1.0), (<13,14>, 0.8), (<14,13>, 0.8), (<14,14>, 1.0), (<14,15>, 0.8), (<15,14>, 0.8), (<15,15> 1.0)}.
Высота нечеткого отношения. Высотой нечеткого отношения Q называется величина =sup{u£)(<x1,x2,...,xi >)} , где супремум берется по всем значениям функции принадлежности, соответствующим кортежам <х1,х2,...,хд >е Х} хХ2 х...хХк.
75
Например, высота конечного нечеткого отношения Qx равна 1 и соответствует элементам главной диагонали матрицы этого отношения. Высота нечеткого отношения Q2 также равна 1, как и для нечеткого отношения Q5 из примера 3.9. Однако в этом случае среди элементов универсума R+xR+ отсутствуют кортежи, для которых ^Q5(<xt9Xj >)= 1. Действительно, значение функции принадлежности (3.2) всегда будет строго меньше 1.
Нормальное нечеткое отношение. Нечеткое отношение Q называется нормальным, если максимальное значение его функции принадлежности равно 1. Это означает, что для нормального нечеткого отношения необходимо выполнение условия:
maxр0(< хх,х2,...,хк >) = 1, < x1,x2,...,xi >6 Хх хХ2 х...хХк. (3.5)
Рассмотренные выше нечеткие отношения QX9 Q2, Q3, Q4 являются нормальными, поскольку их высота равна 1. Напротив, нечеткое отношение Q5 не является нормальным.
Субнормальное нечеткое отношение. Если высота нечеткого отношения равна единице (Л^ = 1), но условие (3.5) не выполняется, то такое нечеткое отношение называется субнормальным.
Очевидно, нечеткое отношение Q5 является субнормальным.
Произвольное непустое нечеткое отношение Q можно сделать субнормальным, используя следующее преобразование:
( М<Х1’Х2’-’Х* >) /ОАЧ
pQ{<xx,x2,...,xk >) = -*------------. (3.6)
ч?
Мода нечеткого отношения. Некоторый кортеж wm е Хх хХ2х,.,хХк нечеткого отношения Q называется модой, если этот кортеж является точкой локального максимума соответствующей функции принадлежности //^(<Х|,х2,...,х^ >), то есть выполняется условие:
= arg max{//g (< х,, х2хк >)} , (3.7)
где максимум рассматривается в некоторой локальной окрестности кор
76
тежа из области определения функции принадлежности.
Ядро нечеткого отношения. Ядром нечеткого отношения Q называется обычное отношение Р, которое определяется следующим обра
зом:
P = {<x1,x2,...,xi >,nQ(<xx,x2,...,xk >)\nQ(<x},x2,...,xk >) = 1} , (3.8)
<x1,x2,...,xjt >еХ{ хХ2х...хХк.
Например, ядро нечеткого отношения Qx
Р = {<Х\'У\ >><Х2,У2 >,<Х3,У3 >,<X4,J4 >,<х5,у5 >}.
Ближайшее четкое отношение. Ближайшим четким огношением
Р к нечеткому отношению Q называется четкое отношение, характери-
стическая функция которого определяется выражением
^(<xbx2,...,xt >) = <
О, если /^(<Х|,х2,...,хЛ >)<0.5,
1, если /^(<Х),х2,...,хА >)>0.5,
(3.9)
О или \9если pg(<Xi,x29...9xk >) = 0.5.
Например, ближайшее четкое отношение Р к нечеткому отношению Q3 есть отношение: Р = {<х]9у4 >9<xi9y5 >9<х2,у5 >}.
Границы, точки перехода, а также свойство выпуклости нечеткого
отношения определяются аналогично соответствующим понятиям, вве
денным для нечетких множеств
Рассмотрим простейшие отношения между двумя нечеткими отношениями: равенство двух нечетких отношений и нечеткое доминирование.
Равенство нечетких отношений. Два нечетких отношения считаются равными, если они заданы на одних и тех же универсумах ХХ9Х29...9Хк9 имеют одинаковую арность и их функции принадлежности
принимают равные значения на всех элементах декартова произведения соответствующих универсумов.
Формально равенство двух нечетких отношений можно записать следующим образом. Произвольное нечеткое отношение Q = {<xi9x29...9xk >,//^(<х1,х2,...,х| >)} равно нечеткому отношению R = {<x]9x29...9xk >9pR(<x]9x29...9xk >)} (записывается как Q = R) тогда
77
и только тогда, когда значения функций принадлежности этих отношений равны для всех элементов декартова произведения их универсумов, то есть выполняется следующее условие:
Ис(<х^х1,....хк >)=^я(<х|(х2,...,х* >), (3.10)
<Х],х2,...,хА >е хХ2 *...*Хк.
Нечеткое доминирование. Нечеткое отношение О строго включает в себя (строго доминирует) нечеткое отношение R (записывается как RaQ), если значения функции принадлежности первого строго больше соответствующих значений функции принадлежности второго, т.е. выполняется следующее формальное условие:
М<Х|,*2.....Хк >)> fiR{< Xi,x2,...,xk >), (3.11)
<Xj,х2,...,х^ >еХ} *Х2 *...*Хк.
Если в этом определении в условии (3.11) вместо знака строгого неравенства записать знак нестрогого неравенства >, то получим определение нестрогого включения нечетких отношений или нестрогого доминирования, которое обозначается как RczQ. При этом в случае R^Q говорят, что нечеткое отношение Q доминирует нечеткое отношение R, а нечеткое отношение R содержится в нечетком отношении Q.
Если для двух нечетких отношений Q и R, заданных на одних и тех же базисных множествах, не выполняется ни отношение RczQ, ни отношение Q с R, то эти нечеткие отношения Q и R - несравнимые.
3.3 Операции над нечеткими отношениями
Поскольку каждое нечеткое отношение представляет собой нечеткое множество, то применительно к нечетким отношениям оказываются справедливыми все операции, которые были определены выше в главе 2. В то же время при использовании нечетких отношений имеются дополнительные особенности, которые следует учитывать при оперировании соответствующими понятиями.
Пусть Q и R - произвольные (конечные или бесконечные) к-арные нечеткие отношения, заданные на одном и том же декартовом произве
78
дении универсумов Хх х Х2 х ...х Хк.
Пересечение. Пересечением двух нечетких отношений Q = {< X1V...X* >1 Hq{< х1(-,х* >)} , R = {< >1 pR(< X ,хк >)} на-
зывается некоторое третье нечеткое отношение S, заданное на этом же декартовом произведении универсумов Хх хХ2 х...хХк, функция принадлежности которого определяется по формуле
As(<х1>*2....X* >) = min{^(<X!,x2v.x* >\fiR(<xi,x2,...,xk >)} , (3.12)
<хьх2,...,хк >е хХ2 х...хХк.
Результат операции пересечения двух отношений записывается в виде S = Qr\R, где 5 = {< хх,х2,...,хк >,ps(< хх,х29...,хк >)} с функцией принадлежности jas(<x1,x2,...,xjt >), которая определяется по формуле (3.12). Операцию пересечения нечетких отношений в смысле (3.12) также называют min-пересечением или л-пересечением. Поэтому функция принадлежности пересечения двух нечетких отношений, обозначаемая для краткости через As(w)’ иногда записывается в виде ^s(w) = Z^(w)a^(m'), weXi*X2*...xXk.
Пример 3.11. Вновь рассмотрим два бинарных нечетких отношения Qx и ()2, заданные на универсуме X = {11,12,13,14,15}.
Нечеткое отношение Qx отображает свойство: «натуральное число xi g X приблизительно равно натуральному числу х} еХ ». Нечеткое отношение Q2 отображает свойство: «натуральное число х, еХ несколько больше, чем натуральное число Xj е X ». Пусть эти нечеткие отношения заданы матрицами:
Г 1 0.8 0.6 0.3 0 ' ' 0 0 0 0 О'
0.8 1 0.8 0.6 0.3 1 0 0 0 0
мог 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.8 1 0 0 0
0.3 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.8 1 0 0
0.3 0.6 0.8 1 > k0.2 0.6 0.8 1 о,
79
Тогда результат пересечения этих двух отношений будет задан матрицей:
' 0 0 0 0 0Л
0.8 0 0 0 0
0.6 0.8 0 0 0
0.3 0.6 0.8 0 0
0.3 0.6 0.8 о,
Эта матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее удовлетворению следующего сложного свойства: «натуральное число х, еХ приблизительно равно, но при этом несколько больше натурального числа xfeX ».
Объединение. Объединением двух нечетких отношений Q и R называется некоторое третье нечеткое отношение U, заданное на этом же декартовом произведении универсумов Х} хХ2 х...хХк, функция принадлежности которого определяется по формуле
Hv(<xx,x2,...,xk >)=тах{ие(<х|,х2,...,х* >\ця{<хьхг,. .,xk >)}, (3.13)
<xux29...9xk >еХ1 хХ2x...xXk
Результат операции объединения двух отношений можно записать в виде U = Qu R, где U = {<х1,х2,—,хк >.ри{<х^х2....ухЛ >)} с функцией принадлежности р1Г(<х},х2,...,хк >), которая определяется по формуле (3.13). Операцию объединения нечетких отношений в смысле (3.13) называют max-объединением или v-объединением. Поэтому функция принадлежности объединения двух нечетких отношений, обозначаемая для краткости через иногда записывается в виде
= <х},х2,...,хк >еА'1хА'2х...хА7.
Пример 3.12. Обратимся вновь к двум бинарным нечетким отношениям Q, и Q2, рассмотренным в предыдущем примере. Для этих отношений результат их объединения будет задан матрицей
80
М№Г
<0.2
0.8 0.6 0.3 0 '
1 0.8 0.6 0.3
1 1 0.8 0.6
0.8 1 1 0.8
0.6 0.8 1 1 >
Эта матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее свойству: «натуральное число х, еХ приблизительно равно или несколь
ко больше натурального числа х} еХ ».
Разность. Разностью двух нечетких отношений Q и R называется некоторое третье нечеткое отношение Т, заданное на этом же декартовом произведении универсумов Хх хХ2 х...хХк, функция принадлежности которого определяется по формуле:
Цг(<хъх2,...,хк >)=max(u{?(<X|,x2,...,xJl >)-хх,х2,...,хк >>о)
(3.14)
<хьх29...,хк >е Xi хХ2х...хХк.
Операция разности двух нечетких отношений в смысле (3.14) по аналогии с обычными отношениями обозначается знаком \. Результат операции разности двух отношений можно записать в виде Т = Q\ R, где Г = {<х1,х2»—>хк >)} с функцией принадлежности
/zr(<x1,x2v,^ >), которая определяется по формуле (3.14).
Симметрическая разность. Симметрической разностью двух нечетких отношений Q и R (обозначается через 0) называется такое нечеткое отношение Q&R, функция принадлежности которого равна:
^Оек(<^,х2,-,хк >)=|jue(<xI,x2,...,x* >)-pR(<xx,x2,...,xk >)|, (3.15)
<х},х2,...,хк >^ХххХ2х.,..хХк.
При этом справедливо следующее утверждение: QQR=(Q\R)<j(R\Q), т.е. симметрическая разность двух нечетких отношений представляет собой объединение двух разностей нечетких отношений Q и R.
81
Пример 3.13. Для тех же нечетких отношений Q} и Q2 запишем результат их разности Q\\Q2 в виде матрицы:
'1 0.8 0.6 0.3 0 '
0 1 0.8 0.6 0.3
- 0 0 1 0.8 0.6
0 0 0 1 0.8
,0 0 0 0 1 >
Эта матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее
свойству: «натуральное число х,еХ приблизительно равно, но не пре-
восходит значительно натуральное число Xj еХ».
Для тех же отношений запишем результат выполнения симметрической разности:
[ 1 0.8 0.6 0.3 0 '
0.2 1 0.8 0.6 0.3
0.2 0.2 1 0.8 0.6
0.3 0.2 0.2 1 0.8
.0.2 0.3 0.2 0.2 1 ,
Дополнение. Унарная операция дополнения нечеткого отношения Q обозначается через Q и определяется аналогично операции дополнения нечеткого множества, то есть »
где функция принадлежности ^(<x1,x2,...,xi >) определяется по форму
ле
^,(<х1,х2,...,х*>)=1-^(<х1,х2,...,х* >), (3.16)
<х^х2,...,хк >еХ{ хХ2*....хХк.
Пример 3.14. Запишем результат выполнения операции дополнения для нечеткого отношения Q3 из примера 3.7.
Полученная матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее свойству: «натуральное число xt е X несколько меньше или равно, или даже больше, чем натуральное число х} еХ»:
82
1 1 0.6 0.3 о'
1 1 1 0.6 0.3
111 1 0.6 .
11111 <111 1 1 >
Композиция двух бинарных нечетких отношений. Пусть Q и R - конечные или бесконечные бинарные нечеткие отношения. Пусть при этом нечеткое отношение Q = {<xi9Xj >,/^(<xz,x7 >)} задано на декартовом произведении универсумов Х{хХ2, а нечеткое отношение R = {< xJ9xk >,///?(< xJ9xk >)} - на декартовом произведении универсумов %2хХ3.
Нечеткое бинарное отношение, заданное на декартовом произведении ХххХ3 и обозначаемое через Q®R9 называется композицией бинарных нечетких отношений Q и R, а его функция принадлежности определяется выражением
Ae®«(<xt,xk >)= max jmin{^(<х„Х] >\ця(<xt,xk >))}, (3.17)
xyeX2
<xl9xk >еХххХ3.
Определенную таким образом композицию бинарных нечетких отношений называют иногда (гпах-шп)-композицией9 или максиминной сверткой нечетких отношений.
Можно показать, что эта операция ассоциативна и дистрибутивна относительно нечеткого объединения, но не дистрибутивна относительно нечеткого пересечения. Другими словами, для произвольных бинарных нечетких отношений Р, Q, Я, заданных на декартовых произведениях Х}хХ29 Х2хХ39 Х3хХ4 соответственно, имеют место следующие свойства:
P®(Q®R)=(P®Q)®R; (3.18)
P®(QuR) = (P®Q)<j(P®R). (3.19)
Однако
83
Р®(РпЯ)#(Р®0)п(Р®Л).
Заметим также, что для (тах-тт)-композиции произвольных бинарных нечетких отношений Р, Q, R, заданных на декартовых произведениях Х]хХ2, Х2*Х3, Х2хХ3 соответственно, выполняется следующее свойство монотонности: если Q cz R, то (Р ® Q) с (Р ® R).
Пример 3.15. Фирма для размещения своего филиала приобретает четыре помещения, расположенные на разных этажах в одном здании. Эти помещения предполагается использовать в соответствии с известными целевыми назначениями с учетом их технических характеристик. Построим соответствующую нечеткую модель. С этой целью введем следующие базисные множества.
X = {xj,x2,x3,x4} - набор целевых назначений для использования помещений, где X] комната для руководителя; х2 - комната для персонала; х3 - помещение для склада; х4 - помещение для мастерской.
¥ = {у^Уг^Уз^У^Уз} ~ набор технических характеристик, учитываемых при выборе рационального размещения, где yj - хорошая естественная освещенность помещения; у2 - большая площадь; у3 - помещение, хорошо отапливаемое; у4 - низкий этаж; у5 - высокий потолок.
Z = {zj,z2,z3,z4} - набор приобретаемых помещений.
Введем бинарные нечеткие отношения Q = {<х0у >^^(<Х^У) >)} и R - {<y7,z* >9^R(<yJ9zk >)}, значения функций принадлежности которых представлены в таблицах 3.1 и 3.2.
Таблица 3.1. - Нечеткое отношение Q, устанавливающее уровень
требований к помещениям в соответствии с их предназначением
Тип помеще-НИЯ Наименование характеристик
естест. осв. больш. площ. помещ, хор. отапл. низкий этаж выс. потолок
комната для руководителя 0.9 0.4 1.0 0.2 0.6
84
Окончание таблицы 3.1
Тип помеще-_______________Наименование характеристик
НИЯ естест. осв. болыи. площ. помещ, хор. отапл. 1 НИЗКИЙ I этаж выс. потолок
комната для персонала 0.8 0.7 1.0 0.1 0.6
помещение для склада 0.2 0.9 0.2 0.9 0.8
помещение для мастер. 0.8 0.6 0.6 0.9 1_ 0.6 1
Таблица 3.2. - Нечеткое отношение R, устанавливающее степень удовлетворенности предъявляемым требованиям в реальных помещениях
Наименование харак-теристик Помещения
*1 z2 =3 *4
естественная освещенность 0.8 0.9 0.4 0.8
большая площадь 0.9 0.3 0.9 б.Т
хорошо отапливается 0.2 0.6 03 0.9
низкий этаж 0.8 0.4 0.6 6.3
высокий потолок 0.7 0.7 0.5 0.6
Соответствующие матрицы нечетких отношений имеют вид
'0.8 0.9 0.4 0.8'
'0.9 0.4 1 0.2 0.6'
0.9 0.3 0.9 0.7
0.8 0.7 1 0.1 0.6
А/о = , Mr = 0.2 0.6 0.3 0.9
V 0.2 0.9 0.2 0.9 0.8
0.8 0.4 0.6 0.3
,0.8 0.6 0.6 0.9 0.6,
<0.7 0.7 0.5 0.6,
В соответствии с (3.17) функция принадлежности композиции бинарных нечетки?; отношений Q и R определяется выражением
>) = max{min{t^(<x„^ >)}},
yJer
<xnzk >eX*Z.
Результат композиции бинарных отношений Q и R задан матри-
85
цей:
'0.8 0.9 0.5 0.9
0.8 0.8 0.7 0.9
- 0.9 0.7 0.9 0.7
.0.8 0.8 0.6 0.8
В целях наглядности представим полученный результат композиции в виде таблицы 3.3.
Таблица 3.3. - Композиция нечетких отношений Q и R
Тип помещений Помещения
Z1 z2 z3 Z4
Комната для руководителя 0.8 0.9 0.5 0.9
Комната для персонала 0.8 0.8 0.7 0.9
Помещение для склада 0.9 0.7 0.9 0.7
Помещение для мастерской 0.8 0.8 0.6 0.8
Рассчитанные на основе композиции бинарных нечетких отношений значения функции принадлежности для всех пар
<х,.,г*>,/=1,2,3,4Д=1,2,ЗЛ
имеют смысл оценки степени целесообразности использования помещения zk в соответствии с предназначением х,. Из анализа таблицы 3.3 следует: руководителю разумно предоставить помещение z2, персоналу - z4, склад разместить в помещении z3, а мастерскую в помещении - zx.
3.4 Отображения нечетких множеств
Пусть А - некоторое нечеткое подмножество множества X с функцией принадлежности
Четкое отображение нечеткого множества. Бинарное нечеткое отношение F = \<xi,xJ >,jif(<xi9Xj >)}, заданное на декартовом произ
86
ведении х Х2 называется четким отображением нечеткого множества А, если для любого х, е А, А е Х}9 существует ровно один элемент Xj € Х2 с отличным от нуля значением функции принадлежности >).
Четкая функция нечеткого множества. Если в качестве универсумов Х1 и Х2 рассматривать числовые множества, то соответствующее отображение естественно назвать четкой функцией нечеткого множества^ или четкой функцией нечеткого аргумента.
Пусть (р: X -> Y - заданное отображение, то есть у = ф(х). Нечеткий образ нечеткого подмножества А при отображении <р есть нечеткое подмножество В множества У, описываемое соотношением:
в={< у, цв О') >}={< <р№ >. (*)>}•
При этом функция принадлежности рн(х} определяется следующим образом:
Ая(у)= sup рА(х\ (3.20)
хер’’(.у)
Ч>~'{у)={х:хеХ,(р(х) = у}.
Пример 3.16. Пусть задано нечеткое множество
А = ;< 1,0.1 >,< 2,0.5 >,< 3,1.0 >,< 4,0.6 >,< 5,0.2 >}.
Определим нечеткое подмножество В, являющееся результатом отображения у-<р(х) = х2 нечеткого множества А. В соответствии с (3.20) имеем
В = {< 1,0.1 >,< 4,0.5 >,< 9,1.0 >,<16,0.6 >,<: 25,0.2 >}.
Расширим область определения понятия отображения нечеткого множества на случай, когда каждому элементу х е X исходного нечеткого множества при отображении ставится в соответствие не один конкретный элемент множества У, а нечеткое подмножество элементов множества У с функцией принадлежности, зависящей от х.
Нечеткое отображение нечеткого множества. Бинарное отобра
87
жение Ф = {<хпх} >^p0(<x,.xJ >)} , заданное на декартовом произведении х JV2, называется нечетким отображением нечеткого множества А, если для любого х, е А, А cz Хх, может быть определено нечеткое подмножество множества Х2 с функцией принадлежности //ф(<х,,ху >), представляющей в Х2 нечеткий образ элемента х, е Х} при отображении Ф.
Нечеткая функция нечеткого аргумента представляет собой частный случай нечеткого отображения нечеткого аргумента, если Хх и Х2 - числовые множества.
Пусть Ф: X —> Y - заданная нечеткая функция, то есть у = Ф(х). Тогда функция принадлежности для нечеткого образа В нечеткого множества А при нечетком отображении Ф: X -> Y имеет вид
Рв(у)= sup min^/^v)}- (3.21)
ХбФ’1^)
Пример 3.17. Пусть задано нечеткое множество А = {<1,0.7 >,<2,1.0 >}. Нечеткое отображение Ф(х), определяющее нечеткие подмножества, являющиеся результатом этого отображения, введено таблицей 3.4.
Таблица 3.4. - Описание нечеткого отображения Ф (х).
X,G A Нечеткие подмножества - результат отображения
1 < 1,0.5 >, < 2,1.0 >, < 3,0.6 >, < 4,0.2 >
2 < 2,0.6 >,<3,0.8 >,< 4,1.0 >,< 5,0.8 >
Найдем нечеткое множество В, являющееся результатом нечеткого отображения нечеткого множества А.
В соответствии с (3.21) имеем:
/zs(l) = min{0.7,0.5} = 0.5,
= sup{min{0.7,l .0},min{l .0,0.6}} = 0.7,
(3) = sup{min{0.7,0.6}, min{l .0,0.8}} = 0.8,
цв (4) = sup{min{0.7,0.2}, min{l .0,1.0}} = 1.0,
88
^e(5) = min{l .0,0.8} = 0.8.
В этом примере результаты отображения элементов нечеткого множества А заданы табличным описанием соответствующих нечетких множеств. Рассмотрим случай, когда отображение задано нечеткой функцией.
Пример 3.18. Пусть А = {< 1,0.1 >,< 2,0.5 >,< 3,1.0 >}. Зададим нечеткую функцию соотношением у = Ф(х) = Сх, где С - натуральное число «приблизительно равное двум», определяемое нечетким множеством С = {<1,0.5 >,<2,1.0 >,< 3,0.6 >}.
Найдем нечеткое отображение нечеткого множества А. Для упрощения понимания техники расчетов построим таблицу 3.5.
Таблица 3.5». - Исходные данные и результаты отображения
1 2 3
0.5 1.0 0.6
1 0.1 1 1 2 3
2 0.5 2 4 6
3 1.0 3 6 9
X,
Число, находящееся в / -й строке и к -м столбце таблицы, представляет значение у;к = Скх,, соответствующее к -му варианту отображения элемента xf.
Теперь, в соответствии с (3.21), определим нечеткое множество Л, являющееся результатом нечеткого отображения у - Сх нечеткого множества А.
В = {< 1, min{0.1,0.5} >, < 2, sup{min{0.1,1.0}, min{0.5,0.5}} >,
< 3, sup{min{0.1,0.6}, min{l .0,0.5}} >, < 4, min{0.5,1.0} >,
< 6, sup{min{0.5,0.6}, min{l .0,1.0}} >, < 9, min{0.1,0.6} >} = = {< 1,0.1 >, < 2,0.5 >, < 3,0.5 >, < 4,0.5 >,<6,1.0 >, < 9,0.6 >}.
Нечеткая алгебраическая операция. Аналогичным образом вво
89
дится понятие нечеткой алгебраической операции, которая является частным случаем нечеткого отображения, когда все универсумы
хХ2 х...хХк тождественно равны X. При этом нечеткая к-местная операция записывается в форме F.XxXx...xX-^>X.
3.5 Свойства бинарных нечетких отношений, заданных на одном универсуме
Рассмотрим основные свойства бинарных нечетких отношений, которые обобщают известные свойства обычных отношений.
Рефлексивность. Бинарное нечеткое отношение Q = {< х,, Xj >, Pq (< х,, Xj >)} , заданное на декартовом произведении X х X, называется рефлексивным, если для любого из кортежей < х, ,ху > выполняется равенство:
Hq(< х,;х, >)= 1, х, е X. (3.22)
Ясно, что все элементы главной диагонали матрицы рефлексивного бинарного нечеткого отношения с конечным универсумом равны 1.
Антирефлексивность. Бинарное нечеткое отношение 0 = {< х,,ху >,/^(<х,,х7 >)} , заданное на декартовом произведении ХхХ, называется антирефлексивным, если для любого из кортежей < х,,х, > выполняется равенство:
pQ(< xi9x, >) = 0,Х; е X. (3.23)
При этом все элементы главной диагонали матрицы антирефлек-сивного бинарного нечеткого отношения с конечным универсумом равны 0.
В рассмотренных в п.3.1 примерах нечеткое отношение Q - рефлексивно, а нечеткие отношения ~ антирефлекивны.
Симметричность. Бинарное нечеткое отношение Q = {< х,, х, >, Pq (< х,, х} >)} , заданное на декартовом произведении ХхХ, называется симметричным, если для любого из кортежей <x,,Xj> выполняется равенство:
Pq^x^Xj >)=Pq(<Xj,x, >), <x„Xj >еХхХ. (3.24)
90
Матрица симметричного бинарного нечеткого отношения с конечным универсумом симметрична относительно главной диагонали. В частности, нечеткое отношение Q} является симметричным.
Асимметричность. Бинарное нечеткое отношение Q = {< х, 9 Xj >, Hq (< xt , хj >)} , заданное на декартовом произведении X х X 9 называется асимметричным, если выполняется следующее условие:
min{/^(< x,,Xj >\pQ{<xpxl >)} =0, <х,,х} >еХхX. (3.25)
Из (3.25) следует, что все элементы главной диагонали матрицы асимметричного бинарного нечеткого отношения с конечным универсумом равны 0. В дополнение к этому один из двух (а может быть? и оба) симметричных относительно главной диагонали элементов должен быть равен 0. Нечеткие отношения Q2 и Q3 являются асимметричными.
Антисимметричность. Бинарное нечеткое отношение Q = {< х, , Xj >, ру (< х, 9 х} >)} , заданное на декартовом произведении ХхХ, называется антисимметричным, если выполняется следующее условие:
min^^x^x, >),pQ{<xJ,xl >)} =0, <xl9Xj >eXxX, x, *x} (3.26)
Заметим, что антисимметричность является более слабым свойством, чем асимметричность, поскольку не требует равенства нулю элементов главной диагонали матрицы соответствующего бинарного нечеткого отношения.
Транзитивность. Бинарное нечеткое отношение 0 = {<Xj,x? >,^р(<х,.,Ху >)} , заданное на декартовом произведении X х X, называется транзитивным, если выполняется следующее условие:
^maxjminju^x,,^ >}рр(<х,,хЛ >)}) , х„хрхк е А'.(3.27)
Нечеткое отношение Q3 является транзитивным. Этим же свойством обладает нечеткое отношение Q5, поскольку его функция принадлежности монотонно возрастает относительно разности х, -хг
91
Котранзитивность. Бинарное нечеткое отношение Q = {< х, , xf >, Hq (< xt, Xj >)} , заданное на декартовом произведении X х X, называется котранзитивным, если выполняется следующее условие:
HQ(<x„xk >)<rnin{max{u(?(<x„x7 >\^<хрхк >)}} ,х„х},хк еX. (3.28)
Введенные свойства симметричности (антисимметричности), рефлексивности (антирефлективности), транзитивности (котранзитивности) дают возможность разбить все типы нечетких отношений на три класса. В первый класс входят симметричные отношения, которые характеризуют сходство или различия между объектами множества X. Второй класс образуют антисимметричные отношения, задающие отношения упорядоченности, доминирования. Остальные отношения входят в третий класс. Отношения каждого класса разделяются на подклассы в зависимости от выполнения условий рефлексивности и антирефлексивности.
Сходство. Бинарное нечеткое рефлексивное и симметричное отношение Q = {<x,,Xj >,Pq(< x,,Xj >)} , заданное на декартовом произведении X х X, называется отношением сходства, толерантности.
Пример3.19. Зададим в качестве универсума X = {х1,х2,...,хл} некоторую совокупность людей. На этом универсуме определим бинарное нечеткое отношение S, описывающее условие: «человек xz хорошо знаком с человеком х;». Ясно, что это отношение симметрично и рефлексивно.
Заметим, однако, что оно не транзитивно, поскольку из знакомства х, и х}, а также ху и хк не следует знакомство х, и хк.
Различие. Бинарное нечеткое антирефлексивное и симметричное отношение 0 = {<х,,ху >,Pq(<x1,xj >)} , заданное на декартовом произведении X х X, называется отношением различия.
92
Пример 3.20. Вновь в качестве универсума используем некоторую совокупность людей. Введем на универсуме бинарное нечеткое отношение, определяющее условие: «человек х, не равен по росту человеку ху».
Это отношение, очевидно, симметрично и антирефлексивно, но так же, как и предыдущее, не транзитивно.
Эквивалентность. Бинарное нечеткое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение Q = {< xi9x} >,//^(< х,,ху >)} , заданное на декартовом произведении X х X, называется отношением эквивалентности.
Пример 3.21. На том же универсуме X, представляющем некоторую совокупность людей, введем бинарное отношение, определяющее условие: «человек х, может непосредственно или через своих знакомых (или знакомых своих знакомых) связаться с человеком ху». Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Нечеткое разбиение. Система нечетких подмножеств Ак, А: = 1,2,..., л, нечеткого множества А называется нечетким разбиением, если
uAk = A,Ak czA, (3.29)
Л., <1,С.Ъ=А fUk,,AkiczA9 Ak czA, (3.30) ck\,k2 *ЬЯ2 *1 я2 Я1 я2 '
кх = 1,2,...,л, к2 = 1,2,...,л, кх *к2.
При этом соотношение (3.29) означает, что объединение всех (или части) нечетких подмножеств Ак совпадает с исходным нечетким подмножеством А.
Из (3.30) следует, что высота пересечения для любой пары подмножеств нечеткого разбиения строго меньше единицы.
Операция транзитивного замыкания бинарного нечеткого отношения. Рассмотрим произвольное конечное бинарное нечеткое отношение Q = [<x,,Xj >9Pq(<x19Xj >)} , заданное на одном базисном мно
93
жестве X. Операция транзитивного замыкания представляет собой обобщение определенной выше операции (max-min) - композиции (3.17) произвольных бинарных нечетких отношений.
Транзитивное замыкание бинарного нечеткого отношения. Транзитивным замыканием бинарного нечеткого отношения Q, заданного на конечном универсуме X, называется такое бинарное нечеткое отношение QT = {<х/,ху >,//<^(<х/,ху >)) , которое задано на том же универсуме, а его функция принадлежности определяется следующим выражением:
PqA<x^xj >) =
= max {min^fcx,,*/ >\^<х, х, >)...............>)}}
X/] ,Х/2,...Л/П_2ел
xi9x, еХхХ , /5 */, s = 1,2,.
Смысл операции транзитивного замыкания бинарного нечеткого отношения Q можно пояснить следующим образом. Универсуму X = {хих2,...,хл} и совокупности пар <х;,ху >, для каждой из которых определено некоторое действительное число из интервала [0,1], равное значению функции принадлежности //^>(<х/,ху >), поставим в соответствие граф G(X9E,fiG). Здесь X - множество вершин графа; Е - множество дуг графа, которым приписаны значения функции принадлежности, определяемые вершинами начала и конца дуг. Выберем теперь пару вершин графа, например, х, и ху и построим множество всех возможных путей, начинающихся в вершине х/ 9 заканчивающихся в вершине ху и проходящих через все остальные вершины графа. Для каждого такого пути (<x/5xZi >,<xz ,xz >,...,<xln 2,Xj) рассчитаем некую его характеристику, задаваемую числом, равным
Z.(x„x7)=min^o(<x,,x/| >\/^(<Xli,xl2 Х/< 2,Xj >)} .
Теперь среди всех возможных путей, соединяющих вершины х, и ху, найдем такой, для которого значение характеристики Z(xz,xy ) будет максимальным. Повторив эту процедуру для всех пар (х,,ху)еХхХ,
94
получим совокупность значений функции принадлежности для нечеткого отношения QT = {<x,,Xj >,^\<хпх} >)} .
Практическое выполнение операции транзитивного замыкания бинарного нечеткого отношения Q реализуется с использованием представления этого отношения в форме матрицы Mq. При этом результат операции транзитивного замыкания бинарного нечеткого отношения представляет матрица Mqt , рассчитываемая по формуле
Mqt = MqvM%vM^v...vM^v..., (3.31)
где через Mq обозначена к -степень композиции матрицы Mq нечеткого отношения Q. При этом к -степень матрицы бинарного нечеткого отношения определяется рекуррентно в соответствии с выражением
MkQ=MQ®MkQ-',k>\. (3.32)
Таким образом, в соответствии с (3.31) совокупность (и-1)-звенных путей, определяющих матрицу значений функции принадлежности для нечеткого отношения QT, определяется в результате объединения матриц, соответствующих однозвенным, двухзвенным, (и-1)-звенным путям. При этом следует иметь в виду, что если на каком-то, например, к-м шаге вычислений матриц Mq имеет место равенство MkQ=MkQ\ то, как нетрудно видеть, из этого равенства следует Mq~x = Mq = Mq[ . Поэтому, начиная с к -го шага, дальнейшие вычисления в этом случае можно прекратить.
Пример 3.22. Пусть моделью некоторой локальной компьютерной сети является граф, представленный на рис. 3.2, с матрицей инциденций Е.
Узлы сети обладают разной пропускной способностью. В связи с этим эффективность передачи данных для разных звеньев сети не равна потенциально возможной.
Реальные значения этой эффективности можно характеризовать с использованием бинарного нечеткого отношения Q.
95
Рис. 3.2. Граф модели и матрица инциденций
Пусть матрица значений функции принадлежности
Mq = >)} име = С целью оценки ет вид ' 1 0 0.6 0 0 0 ' 0 1 0.5 0.4 0.7 0 0.7 0.6 1 0 0.5 0 0 0.5 0 1 0 0.6 0 0.3 0.4 0 1 0.1 ч 0 0 0 0.6 0.3 1 , >фективности передачи данньс к между узлами се-
ти рассчитаем матрицу транзитивного замыкания нечезкого отношения
Q. Нг 1Йдем Мд = Mq ® Mq = ' 1 0 0.6 0 0 0 ' 0 1 0.5 0.4 0.7 0 0.7 0.6 1 0 0.5 0 0 0.5 0 1 0 0.6 0 0.3 0.4 0 1 0.1 k 0 0 0 0.6 0.3 1 , ® ' 1 0 0.6 0 1 0.5 1 0.7 0.6 1 0 0.5 0 0 0.3 0.4 , 0 0 0 1 0 0 0 ' 0.4 0.7 0 0 0.5 0 1 0 0.6 0 1 0.1 0.6 0.3 1 , =
96
1 0.6 0.6 0 0.5 0
0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.1
0 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.1
0 0.5 0.3 0.6 0.3 1
Сравнение матриц Mq и Mq, характеризующих соответственно эффективность однозвенных и двухзвенных путей, дает возможность сделать следующие выводы.
Во-первых, с использованием двухзвенных путей появилась возможность передачи данных между узлами jq и х2, х1 и х5, х3 и х6, х4 и х3, х4 и х5, которые не связаны между собой непосредственно. Во-вторых, что гораздо важнее, для нескольких пар узлов выявлены двухзвенные пути, более надежные, чем связывающие их непосредственно однозвенные пути (например, двухзвенному пути {<х5,х3 >,<х3,х2 >} соответствует более высокое значение функции принадлежности, чем пути <х5,х2 >).
Продолжая далее, получим Mq = Mq ®М^=
] 0 0.6 0 0 0 ' f 1 0.6 0.6 0 0.5 0 '
0 1 0.5 0.4 0.7 0 0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0 0.5 0 0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.1
0 0.5 0 1 0 0.6 'о' 0 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0 0.3 0.4 0 1 0.1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.1
0 0 0 0.6 0.3 1 , 0.5 0.3 0.6 0.3 1 ,
' 1 0.6 0.6 0.4 0.6 0.Р
0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.4
0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.3
k0.3 0.5 0.5 0.6 0.5 1 >
97
Так же, как и на предыдущей итерации, при расчете матрицы Mq обнаружены трехзвенные пути, для которых степень уверенности в надежной передаче данных выше, чем для двухзвенных (например, путь {< х6, х4 >, < х4, х2 >, < х2, х3 >} эффективнее двухзвенного пути {<х6,х5 >,<х5,х3 >}). Кроме того, заметим, что матрица уже не содержит нулевых элементов. Это означает возможность передачи данных от любого узла сети к любому с использованием пути, длина которого не превышает трех звенев.
Выполним еще одну итерацию расчетов.
M^=MQ®M[. =
f 1 0 0.6 0 0 0 " ' 1 0.6 0.6 0.4 0.6 0.Г
0 1 0.5 0.4 0.7 0 0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0 0.5 0 0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.4
0 0.5 0 1 0 0.6 0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0 0.3 0.4 0 1 0.1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.3
0 0 0.6 0.3 1 , ч0.3 0.5 0.5 0.6 0.5
' 1 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4'
0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.4
0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.4
.0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 1 ,
Анализ матрицы Mq показывает, что с использованием четырех-звенных путей может быть повышена эффективность передачи данных между узлами Xj и х6, х5 и х6, х6 и хР
Рассчитаем , наконец, матрицу
M5q =Mq®M* =
98
( 1 0 0.6 0 0 0 ' 1 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4"
0 1 0.5 0.4 0.7 0 0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0 0.5 0 0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.4
—
0 0.5 0 1 0 0.6 0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0 0.3 0.4 0 1 0.1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.4
, 0 0 0 0.6 0.3 1 ) ,0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 1 ,
' 1 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4Л
0.5 1 0.5 0.4 0.7 0.4
0.7 0.6 1 0.4 0.6 0.4
0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.6
0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.4
,0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 1 ,
3.6 Нечеткие отношения предпочтения
Типичным атрибутом задач принятия решений является необходимость выбора одного из множества возможных альтернативных решений, которое лучше (или, по крайней мере, не хуже) остальных в смысле заданного отношения предпочтения. Бинарное отношение предпочтения может быть описано в виде подмножества декартова произведения множества альтернатив само на себя. Если при этом отношение предпочтения задано нечетко, то возникает ситуация, требующая специального рассмотрения.
Нечеткое отношение нестрогого предпочтения. Бинарное нечеткое отношение 7? = {<х;,ху >,//Л(<х;,ху >)}, заданное на декартовом произведении X х X , называется отношением нестрогого предпочтения, если для любой пары )е Xх X с некоторой степенью уверенности, равной //Л(<х/,ху>), верно следующее утверждение: «х, не хуже ху» (обозначается таким образом: х,^ху, или (х;,х7)е R). В соответствии с этим запись (х7,х;)е7? означает, что «ху не хуже х,», а из записи (x/sxy )g R и (xJ9x, )g R следует, что «х, и ху не сравнимы между собой».
Отношение нестрогого предпочтения рефлексивно, то есть
99
//я(<х,х>)=1 при любом хе А'..Равенство //я(< x;,xz>)==0 означает либо то, что с положительной степенью выполняется обратное предпочтение ху^х/, то есть, что //я(<ху,х/>) = 0, либо то, что х, и ху не сравнимы между собой ни с какой положительной степенью.
По заданному на множестве X нечеткому отношению R можно однозначно определить следующие соответствующие ему нечеткие отношения. используемые в задачах принятия решений для выделения наиболее предпочтительных, недоминируемых альтернатив.
Нечеткое отношение строгого предпочтения. Бинарное нечеткое отношение Rs = {< х,,х, >, р s (< х,,ху >)) называется отношением строгого предпочтения, если для любой пары х/,ху еX со степенью уверенности, равной pR\<xt,Xj>}, верно следующее: xfcxy и не верно ху^х;, то есть (х,,ху )е R и одновременно (xy,x,)g R. Компактная запись определения отношения R5 имеет вид
/Г =Я\/Г1. (3.33)
Здесь R~] - отношение, обратное R, то есть из (x/5xz)e R~* следует, что (ху,х,)еЯ. Запись (3.33) означает, что из всего множества пар (x,,xz), для которых х,±х или х,fcx,, удаляются те, для которых ху tx,.
Если (x,j>) е R\ то будем говорить, что альтернатива х доминирует альтернативу у. Альтернатива х называется недоминируемой, если не
существует альтернативы у такой, что (,у,х)е Rs. Отношение R5 анти
рефлексивно и антисимметрично.
Функция принадлежности (<х,,х7 >) для пар (х,,ху)е Rs на ос
новании (3.33) может быть получена через функцию принадлежности /*/?(< >)•*
;/Л(<х/,ху >)-^(<ху,х, >),если
(< Xl9Xj >) = pR(< X„Xj >) > pR(< Xj,Xt >),
(334)
О, если pR(< x„Xj >) < pR(< xJ9x, >).
100
Нечеткое отношение безразличия. Бинарное нечеткое отношение R1 = {<xl,xJ >,р>)} называется отношением безразличия, если либо не выполнено ни предпочтение х,ъх^ ни предпочтение х 'ех,, либо оба эти предпочтения выполняются одновременно.
Понятно, что этому определению соответствует следующая компактная запись:
R1 =((X*X)\(JiuR-'))u(RryR-1).
Отношение R1 рефлексивно и симметрично.
Используя определения операций пересечения, объединения и дополнения над нечеткими отношениями, запишем функцию принадлежности pRl(<xt,xf >) через функцию принадлежности pR(<x,,Xj >):
min^(<x„xy х„х, >))
(335)
Нечеткое отношение квазиэквивалентности. Бинарное нечеткое отношение RL = {<х„х} >,р^(<х,,х} >)} называется отношением квазиэквивалентности, если для любой пары х,,ху е X со степенью уверенности, определяемой функцией принадлежности pRL(<xf,Xj >), имеет место Xjttj иодновременно ху^х,.
Компактная запись определения отношения R1 имеет вид:
RL=RnR~'
а соответствующая функция принадлежности определяется соотношением
(< *i,Xj >) = min{^(< x„Xj >,pR(< xrx, >)}. (3.36)
Отношение RL рефлексивно и симметрично.
В дальнейшем, для упрощения записи, там, где это не вызывает недоразумений, будем вместо pA(<xf,Xj >) писать //4(х,,ху).
Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Рассмотрим задачу рационального выбора альтернативы из множества допустимых альтернатив X, на котором задано нечеткое отношение не
101
строгого предпочтения R с функцией принадлежности ^R(x,,Xj).
Пусть, кроме того, R* - соответствующее R нечеткое отношение строгого предпочтения с функцией принадлежности pRS (x,,Xj). В соответствии с определением отношения Rs для любой пары альтернатив х9уе X величина nRS(x9y) есть степень, с которой альтернатива у до-минируется альтернативой х. Следовательно, при фиксированном у е Y определенная на X функция /^,(у,х) есть функция принадлежности нечеткого множества Qy(x) всех тех альтернатив х, которые строго до-минируются альтернативой у. Понятно, что множество Qy(x) тех альтернатив х, которые не доминируются альтернативой у, может быть определено как дополнение к множеству Qy(x) доминируемых, причем функция принадлежности множества Qy(x) в соответствии с (3.16) определяется по формуле
W = 1 " О'’*) • <3-37)
Теперь можно отыскать подмножество Q(x) всех тех альтернатив х, каждая из которых не доминируется ни одной из альтернатив из X. Это подмножество представляет собой пересечение всех подмножеств вида Qy(x) по всем у е X, то есть
QW = пё/х).
уеХ
При этом функция принадлежности для подмножества Q(x) в соответствии с (3.12) определяется соотношением
/^(Х)(х) = inf {Hq >(j)(x)} = inf {1 - (у,х)} = 1 - sup/z^ (у,х). (3.38)
Значение //^(х)(х) задает степень, с которой альтернатива х не доминируется ни одной из альтернатив множества X.
Теперь, используя (3.34), запишем выражение (3.38) в более удобной для расчетов форме:
^О(х)(х) = 1-8ир{Ал(.У»*)-АЛ(*.:>0}, (3.39)
уеХ
102
где jtR(x<>y) - функция принадлежности исходного нечеткого отношения предпочтения R на множестве X.
Так как величина есть степень недоминируемости Альтер-
нативы х, то при выборе наилучшей альтернативы естественно отыскать ту из допустимых, которой соответствует максимальная степень принадлежности нечеткому множеству Q(x) недоминируемых альтернатив.
Пример 3.23. Пусть на множестве X = {х1,х2,хъх4,х5} задано нечеткое отношение предпочтения с матрицей значений функции принадлежности:
*1 Х2 *3 Х4
*1 1 0.3 0.4 0.1 0.2
( \ Х2 0.6 1 0.3 0.5 0.1
х3 0.1 0.3 1 0.6 0.2
Х4 0.7 0.4 0.3 1 0.4
0.5 0.8 0.7 0.1 1
С использованием (3.34) рассчитаем матрицу значений функции принадлежности для нечеткого отношения строго предпочтения:
*1 Х2 _х2
*1 0 0 0.3 0 0
( \ Х2 0.3 0 0 0.1 0
хз 0 0 0 0.3 0
Х4 0.6 0 0 0 0.2
*5 0.3 0.7 0.5 0 0
Теперь по формуле (3.39) определим степень недоминируемости
для каждой из альтернатив, вычитая из единицы максимальное значение в каждом из столбцов матрицы (х, ,х;).
Имеем р p(j)(x)= {0.4, 0.3,0.5,0.7,0.8}.
Наибольшую степень недоминируемости, равную 0.8, имеет альтернатива х5.
В рассмотренном выше подходе предполагалось, что все возмож
103
ные альтернативы в равной мере допустимы. В реальных задачах это допущение может не выполняться. В этом случае степень допустимости различных альтернатив может быть задана функцией принадлежности /тДх,), х, е X. Тогда наиболее предпочтительными будут те альтернативы, которые имеют наибольшие степени недоминируемости и допустимости. Поскольку эти два качества каждой из альтернатив никак не связаны между собой, возникает необходимость компромисса, который может быть достигнут, например, следующим образом.
Пусть ^А(х,) и ^(х)(х/)’ х, еX, - наборы значений степени допустимости и недоминируемости альтернатив. Тогда рациональную альтернативу х, предлагается отыскать из соотношения Дх,’)=тахтт{^л(хД^(х)(х,)) .
Пример 3.24. Пусть
/^(х,) = (0.7,1.0,0.8,0.6,0.5) и A5(x)(xf) = (0.4,0.3,0.5,0.7,0.8).
Тогда
/ [min(0.7,0.41min(l,0.31min(0.8,0.511
z/lxJ=max4 z ч z ч > =
v" X, [min(0.6,0.7),min(0.5,0.8) J
= max {0.4,0.3,0.5,0.6,0.5} = 0.6.
Таким образом, компромиссной альтернативой является х4, имеющая достаточно высокие значения степени допустимости и недоминируемости.
3.7 Контрольные вопросы
1. В чем разница между нечетким множеством и отношением?
2. Выделите основные способы задания нечетких отношений и определите их ключевые особенности.
3. Определите основные операции над нечеткими отношениями.
4. Для решения какого класса задач целесообразно использование композиции нечетких отношений?
5. Определите основные свойства нечетких отношений предпочтения, приведите примеры.
104
4. НЕЧЕТКИЕ ВЕЛИЧИНЫ* ЧИСЛА И ИНТЕРВАЛЫ
4.1 Основные определения. Принцип обобщения.
4.2 Операции над нечеткими числами.
4.3 Контрольные вопросы.
4.1 Основные определения. Принцип обобщения
Принципиальное преимущество теории нечетких множеств, определяющее целесообразность ее практического применения для исследования систем, функционирующих в условиях неопределенности, основывается на возможности адекватного представления переменных таких систем с использованием этих множеств. При этом для описания переменных системы могут использоваться различные специальные нечеткие множества. Рассмотрим их.
Нечеткая величина. Нечеткой величиной называется произвольное нечеткое множество В = {x,//fl(x)}, заданное на множестве действительных чисел R. Функция принадлежности нечеткой величины есть отображение //9(х): R -> [0.1]. Если в качестве универсума взять подмножество неотрицательных действительных чисел то получим определение неотрицательной нечеткой величины
Конкретизацией общего понятия нечеткая величина являются понятия нечеткий интервал и нечеткое число.
Нечеткий интервал. Нечетким интервалом называется нечеткая величина с выпуклой функцией принадлежности.
Нечеткое число. Нечетким числом называется нечеткая величина, имеющая нормальную и выпуклую функцию принадлежности.
Нечеткий нуль. Нечеткое число называется нечетким нулем, если его модальное значение равно 0.
Положительное (отрицательное) нечеткое число. Нечеткое число называется положительным (отрицательным), если оно имеет строго положительный (соответственно, строго отрицательный) носитель.
Пример 4.1. Нечеткое число «нечеткая тройка» есть нечеткая вели
105
чина с функцией принадлежности, имеющей, например, вид
О, если х < 1,
Х*) =
---, если 1 < х < 3, 2
-—если 3 < х < 5, 2
О, если х > 5.
Соответствующее нечеткое множество имеет носитель - интервал [1,5] и моду, равную 3. Понятно, что нечеткое число «нечеткая тройка» может иметь множество разных, других описаний, например,
Хх) = ехр^-^— О
однако, во всех случаях функция принадлежности - нормальная и выпуклая функция и мода равна трем.
Введенных выше понятий недостаточно для корректного определения всего множества математических (в частности, арифметических) операций, необходимых для решения конкретных задач анализа и синтеза систем. Перейдем к рассмотрению этой проблемы.
Так как нечеткие числа и интервалы представляют собой нечеткие множества, то для них верны все свойства и выполнимы все операции, определенные ранее для нечетких множеств.
Теория нечетких множеств, в частности, нечетких чисел - шаг на пути сближения безупречной точности классической математики и всепроникающей неточности реального мира. Очевидная их несовместимость приводит к необходимости разработки комплекса понятий, методов, теории, в которых неточность воспринимается как универсальная реальность нашей жизни и которые в совокупности формирует некую полную и непротиворечивую систему правил выполнения операций над объектами этой теории, то есть алгебру. Как известно, алгебра есть раздел математики, изучающий операции над элементами множества любой природы, в частности, над числами. Алгебра - аксиоматическая теория, то есть введенные и используемые в этой теории операции определяются
106
некоторым набором основополагающих аксиом. Этот набор может быть разным, в соответствии с этим могут быть построены разные алгебры. Все сказанное в полной мере относится к алгебрам над множеством нечетких чисел. Проведем анализ известных результатов в области построения алгебр над нечеткими числами.
При разработке алгебр над множеством нечетких чисел обычно используется так называемый принцип обобщения [4, 7, 10, 28], позволяющий перенести различные математические операции с четких множеств на нечеткие. Рассмотрим этот принцип.
Принцип обобщения представляет собой одну из фундаментальных идей теории нечетких множеств и широко используется при решении всех задач, неотъемлемым элементом которых является нечеткое отображение.
Пусть задано обычное, четкое отображение f: X -> Y, где X и У -обычные конечные или бесконечные множества. Пусть далее А - некоторое нечеткое подмножество множества X с функцией принадлежности //л(х). Существенным и нетривиальным является вопрос о том, как построить образ нечеткого множества А при отображении f. Л. Заде [28] предложил следующий подход (именно он и назван принципом обобщения), результатом применения которого является отыскание образа нечеткого множества при обычном (четко описанном) отображении. В соответствии с этим принципом образ А при отображении f: X —> У определяется как нечеткое подмножество В множества У, представляющее собой совокупность пар
где /лв(у) - функция принадлежности образа. Понятно, что эту функцию принадлежности нечеткого множества В, являющегося образом нечеткого множества А при отображении f, можно записать в виде
АвЫ = SUP (41)
Здесь множество /’'(у) для любого фиксированного yeY определяется соотношением
107
r'(y)={x-.xbX,f(x)=y}, то есть это множество представляет собой множество всех элементов х е X, образом каждого из которых при отображении f является элемент у. Если, в частности, отображение f: X Y является взаимно однозначным, то соотношение (4.1) упрощается к виду
Рв Су) = На (/"’ Су)). У е У • (4-2)
Пример 4.2. Пусть А - множество «небольших неотрицательных целых чисел» с функцией принадлежности
дл(0)=1, д,(1)=0.8, ^(2) = 0.6, //л(3) = 0.4, ^(4)=02,дл(5)=0.1.
Введем отображение: у- f(x)=x2.
Тогда носитель нечеткого множества В «квадратов небольших неотрицательных целых чисел», являющийся носителем образа нечеткого множества А при отображении у = х2, содержит набор чисел {0,1,4,9,16,25}. Найдем функцию принадлежности рв(у\ Так как в дан-
2
ном случае = у2, то в соответствии с (4.2) имеем: ^(о)=аЛо)=1, Дв(1) = ^(1) = 0.8, дв(4)=дл(2)=0.6,
Рв(9)=^(3) = 0.4, дй(1б)=^(4) = 0.2, дв(25) = д/5) = 0.1.
Пример 43. Пусть А - нечеткое множество, которое представляет «действительное число, приближенно равное двум», с функцией принадлежности
0, если х < 1,
х -1, если 1 < х < 2, 3-х, если 2 < х < 3, 0, если х > 3.
Зададим отображение: у = /(х) = х3.
Тогда нечеткое множество В, представляющее «куб действительного числа, приближенно равного двум», будет иметь носитель - интервал [1. 27] и моду, равную 8. Найдем функцию принадлежности /Ав(у).
108
Поскольку f 1 (у) = у3, то в соответствии с (4.2) получим
О, если у < 1,
1 у3 -1, если 1 < у < 8,
3 - у3, если 8 < х < 27, О, если х > 27.
График функции принадлежности нечеткого множества В, представляющего «куб действительного числа, приближенно равного двум», приведен на рис. 4.1.
У
Рис. 4.1. График функции принадлежности рв(у)
4.2 Операции над нечеткими числами
Из сказанного выше понятно, что принцип обобщения может быть непосредственно использован для выполнения унарных операций над
нечеткими числами.
Пусть у = /(х) - непрерывная, монотонная функция, х - нечеткое число с функцией принадлежности рА(х\ Тогда функция принадлежности образа /(х) в соответствии с (4.1), (4.2) имеет вид
' sup дл(х)
*=Г'(у)
О, если f *(j)=0
(/"-1 О')) еслиизх^ * х2 следует, что /(xj* /(x2)i
(4.3)
109
Пример 4.4. Пусть у = /(х)=-х. Тогда х = / 1(у)=-у, A/(.r)G)=Pn(-j)-
Если, в частности, «нечеткая двойка» представлена нечетким множеством
А = {< 0,0.2 >, < 1,0.6 >, < 2,1.0 >, < 3,0.5 >, < 4,0.1 >}, то нечеткое число В, получаемое в результате применения операции у = -х и представляющее нечеткое число «минус два», записывается следующим образом:
В = {< 0,0.2 >, < -1,0.6 >, < -2,1.0 >, < -3,0.5 >, < -4,о. 1 >}.
Пример 4.5. Пусть у = f(x) = kx, к *0. Тогда
>•=/'00=7,
к \к J
Если, в частности, нечеткое множество А, представляющее «нечет-х2
кий нуль», задано функцией принадлежности //л(х) = е 2 , то нечеткое множество В, получаемое в результате применения операции у = кх, у2
имеет функцию принадлежности рв(у) = е 2k . На рис. 4.2 и 4.3 приве-
У
у1
Рис. 4.2. График /лв(у)-е 8
Оба полученные нечеткие множества: для к = 2 и к = -, представ-
110
ляют «нечеткий нуль», но с разной степенью неопределенности: в первом случае - большей, во втором - меньшей.
Рис. 4.3. График рв(у) = е
^л(У) = -
Пусть теперь нечеткое множество Я, представляющее «нечеткую четверку», задано функцией принадлежности
О, если х < 2, х-2 _ .
---, если 2 < х < 4, 2
6~Х Л' -----, если 4 < х < 6, 2
О, если х>6.
Тогда нечеткое множество В, получаемое в результате применения операции у = кх, имеет функцию принадлежности
О, если — < 2, к
У-2
—--, если 2 < — < 4,
2 к
6-У
----если 4 < — < 6, 2---к
у
О, если — > 6. к
Если, в частности, к = 3, то
111
Ив(у)=
О, если у < 6,
У-6 г/
'--, если 6 < у < 12,
6
——если 12 < у <18, 6
О, если >’>18.
Пример 4.6. Пусть у - Тогда
х
x=f~4y}=~, У
Если, в частности, нечеткое множество Я, представляющее «небольшое положительное число», задано функцией принадлежности /лА(х) = е~\ хе[0, ос), то нечеткое множество В, получаемое в
1
результате применения операции у = -, имеет функцию принадлежно-х
сти fiB(y) = e у.
На рис. 4.4 и 4.5 приведены графики функции принадлежности Ра(х) И рв(у).
Нечеткое множество В представляет «большое положительное число».
X
Рис. 4.4. График //л(х) = е
112
У
Рис. 4.5. График рв(у) = е У
Пример 4.7. Пусть у = /(х) = хк, к > 0. Тогда
x = f~'(y) = y1’, = yk •
Если, в частности, трапецевидное нечеткое множество Я,
представляющее принадлежности
«нечеткую четверку», задано функцией
О, если х < 2,
х - 2, если 2 < х < 3,
^(х) = < 1, если 3 < х < 5,
6-х, если 5 <х<6,
О, если х > 6,
то нечеткое множество В, получаемое в результате применения операции у = хк, имеет функцию принадлежности
О, если у <2к, 1
ук -2, если 2к < у<Зк,
Ue(y) = -
1, если Зк < у <5к, 1
6-ук, если 5к < у < 6*,
О, если х > 6к.
При этом нечеткое множество В для к = 2 представляет «нечеткое
ИЗ
число шестнадцать», а для к =-«нечеткую двойку».
Пример 4.8. Пусть у = /(х) = ех. Тогда
* = ГЧу) = In У, = ^пУ)
Если, в частности, нечеткое множество А, представляющее «положительное число, приблизительно равное нулю», задано функцией принадлежности рА(х) -е~х, хе [О, оо), то нечеткое множество В, полученное в результате применения операции у = ех, имеет функцию принадлежности pi8(y) ~ e“lnjp = - . у > 1.
У
На рис. 4.6 и 4.7 приведены графики функций принадлежности
Рис. 4.6. График функции (х) = е
Рис. 4.7. График функции Ав(у) = —
У
114
При этом нечеткое множество В представляет «нечеткую единицу». Понятно, что эти примеры можно продолжить.
Легкость выполнения унарных операций над нечеткими числами определяется простотой реализации. В этом случае операции х = позволяющей найти значение х, являющееся прообразом у при отображении у = /(х). Для бинарных и, вообще, Л-арных операций ситуация существенно усложняется. Рассмотрим, например, простейшую бинарную операцию сложения z = x + y. Понятно, что некоторое значение результата сложения z может быть получено бесконечным числом способов, если комбинировать произвольное значение х и значение y = z-x. С учетом этого обстоятельства в [10, 13] предложена иная, отличная от (4.3), форма принципа обобщения.
Пусть “ набор произвольных нечетких чисел с функциями принадлежности (xj), цА2 (х2),... цАк (хк) соответственно.
Тогда функция принадлежности нечеткого числа В = f(xl9x2,...,xk) имеет вид
Ив О’) = supjminlu^ (Х|), цАг (х2),..., (хк )|у = /(х(, х2,..., хк) }} . (4.4)
В простейшем частном случае сложения двух нечетких чисел 4 и А2 соотношение (4.4) упрощается к виду
HbW) = max min{^.(x ),//. (х2)}= max min{fb (х (у-Х|)} .(4.5) xltx2 114 ХЬХ2 1
Л+х2=у xj + x2=y
Пример 4.9. Пусть А1 и А2 - «нечеткие двойки» с функциями принадлежности
/1А} (xi) = Иа2 (х2 ) = {< 0’0-2 >> < 1,0.6 >, < 2,1.0 >, < 3,0.6 >, < 4,0.2>}.
Найдем функцию принадлежности нечеткого числа В = А} + А2. Имеем
/2в(0) = max{min{0.2;0.2}} = 0.2;
/2В(1) = max{min{0.2;0.6},min{0.6;0.2}} = 0.2;
115
цв (2) = max {min {0.2; 0.1}, min{0.6; 0.6}, min {1.0; 0.2}} = 0.6;
/4*^(3) = max{min{0.2;0.6},min{0.6;1.0},min{1.0;0.6},min{0.6;0.2}} = 0.6; X/B(4) = max[min{0. 2;0.2j,min{0.6;0.6},min{1.0;1.0},min{0.6;0.6},min{0.2;02}} = 1.0;
/лв(5) = max{min{0.6;0.2},min{1.0;0.6},min{0.6;1.0},min{02;0.6}} = 0.6;
pB(6) - max{min{l .0;0.2},min{0.6;0.6},min{0.2;1.0}} = 0.6;
,uB(T) - max{min{0.6;0.2},min{0.2;0.6}} = 0 2;
/zfi(8) = max{min{0.2;0.2}} = 0.2.
Таким образом,
//я(х) = {< 0,0.2 >,< 1,0.2 >,< 2,0.6 >,< 3,0.6 >,< 4,1 >,< 5,0.6 >,< 6,0.6 >,
<7,0.2 >,< 8,0.2>}.
Полученное нечеткое число есть «нечеткая четверка».
Таким образом, при реализации операции суммирования двух нечетких чисел 4 и А2 степень принадлежности конкретного значения у нечеткому числу В, являющемуся результатом суммирования, равна максимальной степени среди всех таких пар слагаемых, которые отображаются в одно и то же значение у.
Аналогично определяются функции принадлежности чисел, являющихся результатом вычитания, умножения и деления:
Ав(.у) = max min{/z4 (х(),дл (х2)} = max min{/zx (Х]),дл (>’+х1)}„ х1 ,х2 X] ,х2
х2“х1"У г2-х|=у
= maxmin^ (х,),^л (х2)} = тахтт{//лЛх{),рА(у1хх)}, (4.6)
xbx2 Xj,X2
Х2Х1=> *2*1 =>
у *0,х#0, Ин(у)= max тт{дл (х,),//л (х2)) = max тт{^л (xt),цЛух^}.
Х|,Х2 Ч»Х2 z
*2/*i=.’- jf2/x]=y
Понятно, что непосредственный расчет по формулам (4.5)-(4.6)
легко реализуется для нечетких чисел с дискретным носителем. Однако для непрерывных нечетких чисел непосредственное выполнение этих операций затруднено.
Дело в том, что для нечетких чисел с непрерывной функцией при
116
надлежности результат выполнения даже перечисленных простейших операций не может быть получен в общем виде, поскольку на вид функции принадлежности при описании нечетких чисел никаких ограничений не накладывается. В связи с этим в [4] описана нашедшая широкое применение аналитическая аппроксимация (форма представления) функций принадлежности нечетких чисел в виде так называемых (£-7?)-функций.
Функции £-типа и Я-типа. Функции (£-7?)-типа определяются как произвольные невозрастающие на множестве неотрицательных действительных чисел функции, удовлетворяющие условиям
L (-х) = £(х), Я(-х) = R(x), ЦО) = Я(0) = 1.
Понятно, что рассмотренные ранее треугольная функция принадлежности /д(х;б/,й,с) при Ь = 0 и а = -с (1.14), трапециевидная функция принадлежности fT(x;a,b,c,d) при a--d и с = -Ь (1.15), а также П-образные функции принадлежности (1.24)-(1.27) при надлежащем выборе параметров являются функциями (£-/?)-типа.
Нечеткое число (Л-Я)-типа. Нечетким числом (L-R)-muna называ
ется нечеткая величина В = {х,/^(х)}, функция принадлежности которой может быть представлена в форме композиции некоторой 1-функции и некоторой /^-функции следующим образом:
(4.7)
Ая(*) = '
Ц------ , если х<а,
V а )
к ----- , если х> а,
V а )
где а> 0 и Р> 0. При этом параметр а является модой нечеткого числа, а параметры а и р являются левым и правым коэффициентами нечеткости соответственно. Как ясно из этого определения, при задании нечетких чисел (£-Я)-типа могут использоваться, вообще говоря, две различные функции указанного вида, что существенно расширяет диапазон их возможных представлений.
Из определения (4.7) следует, что нечеткое число (А-Я)-типа с функцией принадлежности рв(х) при фиксированных L и R функциях однозначно определяется тройкой своих параметров <а,а,Р>. Нечет
117
кие числа (£-Я)-типа обозначаются специальным обра-зом:В/д =<a,a,/3>LR.
Пример 4.10. Пусть нечеткое число (А-Я)-типа задано с использованием функций у2
L(u) = e 2 ,и~-—x<a\R(y) = e 2,v = -—-,х>а,
<* Р
причем а = 3, а = 1, р = 2. Соответствующее нечеткое число BLR =< 3,1,2 > имеет функцию принадлежности о-*)2
е 8 ,еслих>3
и отображает «нечеткую тройку».
Расширением понятия нечеткого числа (Л-Я)-типа является понятие нечеткого интервала (Л-Я)-типа.
Нечеткий интервал (Л-Л)-типа. Нечетким интервалом (L-R)-muna называется нечеткая величина В- {х,^в(х)}, функция принадлежности
которой может быть представлена в форме композиции некоторой L-
функции и некоторой Я-функции следующим образом:
W =
(а-х\
L\----L если х<а,
V a )
1, если а<х <Ь, n(x-b} .
Л-----L если х>Ь,
. I р J
где а > 0 и р > 0. При этом параметры а и Ъ определяют ядро нечеткого интервала [a,ft] и называются соответственно нижним и верхним модальными значениями нечеткого интервала. Параметры а и Р по-прежнему называются левым и правым коэффициентами нечеткости соответственно. Нечеткий интервал (Л-Я)-типа часто называют толерантным нечетким числом (£-/?)-типа.
118
Функция принадлежности £tB(x) нечеткого интервала (£-7?)-типа при фиксированных L и R функциях однозначно определяется четверкой своих параметров <а,Ь,а,0>. Нечеткие интервалы (£-Я)-типа обозначаются специальным образом: BLR=<a,b,a,f}>LR. Понятно, что при а = Ь нечеткий интервал (Л-Я)-типа превращается в нечеткое число (L-R)-типа.
Пример 4.11. Зададим нечеткое число (£-/?)-типа следующим обра
зом:
-< 2,1,2 >/Л, <
е 2 , если х < 2, (х-2)2
е 8 , если х >2.
График этой функции приведен на рис. 4.8.
Рис. 4.8. График функции принадлежности нечеткого числа Вщ =< 2,1,1 >LR
Пример 4.12. Зададим нечеткий интервал (£-/?)-типа следующим образом:
[ <3~Л)2
е 8 , если х < 3,
=
Вц" -< 3,5,2,1 >LR,
1, если 3< х <5, (х-5)2
е 2 , если х > 5.
График соответствующей функции принадлежности приведен на рис. 4.9.
119
Рис. 4.9. График функции принадлежности нечеткого интервал а =< 3,5,2,1 >LR
Операции над нечеткими числами и интервалами (£-7?)-типа.
Простой и предельно формализованный способ представления нечетких чисел и нечетких интервалов с помощью функций (Л-Л)-типа инициировал разработку специфической технологии выполнения простейших операций с этими числами с использованием только значений параметров соответствующих функций (Л-Л)-типа [4,13].
Пусть Alr и - произвольные нечеткие числа (Л-Л)-типа, заданные в виде ALR =<ах,ах.р >, BLR =<а2,а2,Р2 > •
Тогда основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) над этими числами реализуются следующим образом.
Сложение. Операция сложения нечетких чисел (Л-Я)-типа обозначается через^ + ^А/? - Clr ~<a^a’>P>LR^ где параметры а,а и Р результата определяются следующим образом:
а = ах -а2,а = ах +а2,Р = Д + Р2. (4.8)
Вычитание. Операция вычитания нечетких чисел (Л-Я)-типа обозначается через ~BLR ~CLR -<а,а,Р >LR, где параметры а, а и Р результата определяются следующим образом:
а = ах -а2,а = ах+ Р2,Р = рх +а2. (4.9)
Операции умножения и деления нечетких чисел (Л-Л)-типа могут быть определены при выполнении некоторых дополнительных условий.
Умножение положительных нечетких чисел (£-Л)-типа А^ и BLR, носители которых являются подмножествами Л+, то есть модальные
120
значения и а2 - положительны. Операция умножения таких нечетких чисел (£-Я)-типа обозначается через AL[^ BLR =СlR а,а,Р >LR, где параметры а9а и Р результата определяются следующим образом:
а = аха19а = аха2 + а2аХ9Р = ахР2 +а1Р\- (4.10)
Умножение нечетких чисел (£-Я)-типа ALR и BLR, для которых модальные значения имеют разные знаки: ах < 0 и а2 > 0. Операция умножения таких нечетких чисел (£-Я)-типа также обозначается через A}R* BLR—C1R -<a>a^P>LR^ где параметры а,а и р результата определяются следующим образом:
а = аха19а = а2ах -ахР2^Р = (4-1 О
Умножение нечетких чисел (£-Я)-типа А^ и BLR, для которых модальные значения ах и а2 - отрицательны. Операция умножения таких нечетких чисел (£-Я)-типа по-прежнему обозначается через Alr*Blr =Clr =<а,а,Р >LR9 где параметры а,а и Р результата определяются следующим образом:
а = = -QiPx ~a\Pi*P = -672aj -<*i<*2* (4.12)
Деление положительных нечетких чисел (£-Я)-типа AlRn BLR, носители которых являются подмножествами R+. Операция деления таких нечетких чисел (£-Я)-типа обозначается через Alr^Blr=Clr =<а,а,Р >LR, параметры а,а и р определяются следующим образом:
. ахР2+а2ах п аха2+а2Рх ,Л а-ах1а19а = -,,Р - • (4.13)
а2 а2
Обратное нечеткое число для положительного нечеткого числа (£-7?)-типа ALR9 носитель которого является подмножеством Л+. В этом случае обратное нечеткое число обозначается через A^r -CLR =<а9а9р >LR, где параметры а,а и р определяются следующим образом:
а = 1/аХ9а = Рх /ах,Р = ах/а*. (4.14)
Проиллюстрируем сформулированные правила выполнения операций над нечеткими числами (£-Я)-типа на конкретных примерах. Зада-121
дим нечеткое число AlR =< 4,2,1 > - «нечеткая четверка» и число 5/J? =< 2,1,2 > - «нечеткая двойка» соответствующими функциями принадлежности
(4-х)2
I е 8 , если х < 4, (х-4)2
е 2 , если х > 4,
(2-х)2
е 2 , если х < 2, (х-2)2
е 8 , если х > 2.
Ив W =
Пример 4.13. Определим нечеткое числоС£/? = ALR +BLR. В соответствии с (4.9) имеем CLR=<a,a.fl >LR, где а = а, + а2 = 6,а = +а2,/3 = /Зх + /32 = 3 • Соответствующая функция
принадлежности имеет вид
Pc (*) =
<6~*)2
е 18 , если х < 6,
е 18 , если х > 6.
График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.10.
Рис. 4.10. График рс(х) в результате выполнения операции сложения
Результатом выполнения операции сложения является «нечеткая
шестерка».
Пример 4.14. Определим нечеткое число C1R =Aal ~Blr. В соответствии с (4.10) имеем CLR=<a,a,(J >LR, где а = ах -а2 = 2, а = ах + Д = 4,/? = Рх + а2 =2. Соответствующая функция принадлежности имеет вид
122
^с(Х) = Г
(2-х)2
32 , если х < 2, (х-2)2
е 8 , если х > 2.
Рис. 4.11. График рс(х) в результате выполнения операции вычитания
Результатом выполнения операции вычитания является «нечеткая
двойка».
Пример 4.15. Определим нечеткое число CLR - AlR^BLR. В соответствии с (4.11) имеем CIR =<а9а,Р >LR, где а = аха2 = 8,а = аха2 +а2ах = %,Р-ахр2 +а2Р\ = Ю-
Соответствующая функция принадлежности имеет вид
(8-х)2
128
(х-8)2
200
если х < 8,
если х > 8.
График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.12.
Рис. 4.12. График //с(х) в результате выполнения операции умножения
123
Результатом выполнения операции умножения является «нечеткая восьмерка».
Пример 4.16. Определим нечеткое число CLR = ALR ^-BLR.. В соответствии с (4.14) имеем CLR =<a,a,ft >LR, где
/ о а\Р1 + о о а\аг + а2Р\ 1 с г-
а = ах/ а2 = 2,а = 1 = 3,р = ? = 1.5. Соответствующая
а2
функция принадлежности имеет вид
z ч е 18 , если х < 2, ^(х)=
е 4 5 , если х > 2.
График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.13.
Результатом выполнения операции деления является «нечеткая двойка».
Рис. 4.13. График //с(х) в результате выполнения операции деления
Приведенные выше правила выполнения операций над нечеткими числами (Л-Я)-типа, естественно, верны для треугольных нечетких чисел. Для того чтобы правила (4.8)-(4.14) можно было реализовать применительно к треугольным нечетким числам, необходимо перейти от стандартной формы записи функции принадлежности (1.14) таких чисел к виду (4.7). Это легко сделать, если задать функцию Z-типа и R-типа следующим образом: l(u)=-u; и = -—R(y)=-v; v =
a = b-a\ Р = с— b. Тогда функция принадлежности, заданная в форме
124
(1.14), примет стандартный для (L - R) функций вид (4.7).
Пример 4.17. Пусть Ах и А2 - треугольные нечеткие числа с функ-
циями принадлежности 0, если хх <ах ——— , если ах < Xj <
)=• Л-а1 ——если 1\<хх< сх, q-Л! 0, если > сх. 0, если х2 <а2 ———-, если а2<х2< Ь2,
Ь2-а2 ——— , если Ь2<х2< с2, с2 -Ь2 0, если х2 >с2.
Тогда функция принадлежности суммы этих чисел в соответствии с
введенным правилом имеет вид
е \ 0, если z <at+a2 z-(a,+a2) х 1 х /7 -X- /7 Z<6j+62,
, U1 TU-) (Z>,+i>2)-(a1+a2)
Д2=Х!+Х2) = < (c,+c2)-z , , v L ' ОГНИ п. 4-п Д-
, сЛ I 1/9 — Z (cx+c2)-{bl+b2) 0, если z > с, +с2. s сх +с2,
Из примера 4.17 видно, что сумма двух треугольных нечетких чисел есть снова треугольное число. Понятно, что это плохо согласуется с принципом обобщения. С учетом этого обстоятельства рассмотрим технологию реализации операции суммирования нечетких чисел, предложенную в [10].
Пусть по-прежнему два нечетких числа А^ и А2 заданы своими
125
функциями принадлежности //^(jq), /<42(х2)- Тогда функция принадлежности числа В~А1 + А2 определяется соотношением
A«(z)= (4.15)
-ОС
В этой формуле в полной мере отражается принципиальная позиция, в соответствии с которой при расчете значения функции принадлежности конкретного результата суммирования z должны быть учтены все возможные комбинации слагаемых, определяющих при суммировании это значение z. Эго важное преимущество введенного с использованием (4.15) правила суммирования определило его широкое практическое использование. Следует заметить, что получаемая в соответствии с (4.15) функция принадлежности, естественно, не будет совпадать с функцией принадлежности для суммы тех же слагаемых, задаваемой (4.5). Дело в том, что по правилу (4.5) для любого нечеткого значения результата суммирования у соответствующее значение функции принадлежности не может быть больше значений функции принадлежности слагаемых, задающих у. В то же время для правила (4.15) значение функции принадлежности результата суммирования формируется по типу «сумма произведений» значений функций принадлежности слагаемых, то есть может быть больше любого из них.
Соотношение (4.15) в дискретном случае упрощается к виду
Ай(у)= (4.16)
J=X,+X2
Пример 4.18. Пусть А} и А2 - «нечеткие двойки» с функциями принадлежности
(xi) - В а. (х2)=0,0.2 >, < 1,0.6 >, < 2,1.0 >, < 3,0.6 >, < 4,0.2 >}.
Найдем функцию принадлежности нечеткого числа В=А}^-А2 по правилу (4.16) и сравним результат с ранее полученным в соответствии с правилом (4.5). Имеем
цв (у)={< 0.0.2 • 0.2 >,< 1,0.2 • 0.6+0.6 • 0.2 >, < 2,0.2 • 1+0.6 0.6+1 • 0.2 >,
< 3,0.2 • 0.6+0.6 1+1 • 0.6+0.6 • 0.2 >,
126
< 4,0.2 0.2+0.6 0.6 + 1 1 + 0.6 0.6 + 0.2 0.2 >,
< 5.06 0.2 + 10.6+0.6 1 + 0.2 0.6 >,<6,10.2 + 0.6 0.6+0.2 0.1 >,
< 7,0.6 0.2+0.2 0.6 >,< 8,0.20.2 >} =
= {< 0,0.04 >,< 1,0.24 >,< 2,0.76 >,< 3,1.44 >,< 4,1.8 >,
< 5,1.44 >, < 6,0.76 >, < 7.0,24 >, < 8,0.04 >}.
В целях наглядности отобразим графически результаты суммирования по правилам (4.5) и (4.16).
Рис. 4.14. Функция принадлежности результата суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.5)
Рис. 4.15. Функция принадлежности результата суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.16)
Очевидный недостаток результата суммирования по правилу (4.5) состоит в равенстве степеней принадлежности четких нуля и единицы к нечеткому множеству В, отображающему «нечеткую четверку», хотя из соображений здравого смысла степень принадлежности единицы к множеству В должна быть выше степени принадлежности нуля. То же относится и к трудно объяснимому равенству степеней принадлежности множеству В четких двойки и тройки, четких пятерки и шестерки, чет-127
ких семерки и восьмерки. Функция принадлежности результата суммирования по правилу (4.16) имеет более естественный вид. С другой стороны, принципиальный недостаток обоих правил проявляется в том, что максимальное значение функции принадлежности результата не обязательно равно единице, то есть получающееся число не обязательно будет нормальным, не удовлетворяя при этом одному из основополагающих требований к нечетким числам. Кроме того, если функции принадлежности нечетких чисел Xj и х2 заданы на всей оси, то совершенно не мотивированной является фиксация верхнего предела для интеграла (4.15) на уровне z.
Недостатки известных методик определения операций над нечеткими числами делает актуальной разработку некоторой ортодоксальной алгебры, задающей правила реализации основных алгебраических операций, удовлетворяющих двум основным требованиям: сохранение нормальности результата и соответствие принципу обобщения.
Рассмотрим произвольную бинарную операцию над двумя нечеткими числами 4 и А2 с функциями принадлежности //^(Xj), Введем символ * произвольной бинарной операции (сложение, вычитание, умножение, деление), ставящей в соответствие элементам композиции чисел 4 и А2 результат В. Одновременно с этим введем «обратную» операцию ®, с использованием которой по результату композиции В и одному из ее элементов (например, А}) отыскивается второй элемент.
Пусть
В—А1 * А2 — Ах + А2,
В—Ах * А2 — Aj — А2,
В — * А2 — Ах А2, В=Ах ♦ А2 = Ах / А2.
Тогда с использованием «обратной» операции соответственно будем иметь
A2=B®Al = В—Ах,
128
Л2=В®Л, =А}-В,
A2=B®At =—, А
а2=в®а. =^-.
2 1 в
Функцию принадлежности бинарной композиции B=At*A2 опре-
делим соотношением
Ab(z)= Й(0д2(г®д^- (4-17)
-00
В частности, если * есть операция суммирования, то соответствующая результату функция принадлежности будет иметь вид
-00
Нормализуем получаемую с использованием (4.17) функцию принадлежности, нормируя ее максимальным значением
^(z)=[max{/zB(z)}]-1 X\^(f)^i2(z®t)dt. (4.18)
При этом для операции суммирования имеем
/zB(z)=[max{/zB(z)}]-1 Jxz,(r)/z2(z-t)dt. (4.19)
г
Соотношение (4.18) для дискретных нечетких множеств приобретает вид
//B(z)=[max{JuB(z)}r1 ^Ал/^^АлД2®^)- (4.20)
2 X|+X2=Z
Применим нормировку к результату суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.16), полученному в примере 4.18. Имеем
(z)={< 0,0.22 >, < 1,0.13 >, < 2,0.42 >, < 3,0.8 >, < 4,1 > < 5,0.8 >, < 6,0.42 >, < 7,0.13 >, < 8,0.022 >}.
График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.16.
129
Рис. 4.16. Функция принадлежности результата суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.20)
Функция принадлежности (4.18) результата выполнения бинарной операции, во-первых, реализует принцип обобщения и, во-вторых, удовлетворяет требованию нормальности.
Пример 4.19. Пусть Ах и А2 есть нечеткие треугольные числа, представляющие «нечеткие единицы». Зададим их функции принадлежности:
0, если х < 0,
ДлМ=^л|М=^2(*)=<
х, если 0 < х < 1,
2-х, если 1 < х < 2,
(4.21)
0, если х > 2.
Найдем функцию принадлежности нечеткого числа В, являющегося результатом суммирования нечетких чисел Ах и А2 с функциями принадлежности (4.21).
С целью удобства выполнения суммирования по формуле (4.19) найдем предварительно
0, если z-x < 0,
z-x, если 0 < z -х < 1, A,i(z-x)=<
2-z + x, если 1 < z-x <2,
0, если z-x >2
или
130
О, если x<z-2,
Va(z~x)=-
x-z + 2, если z-2 <x < z-1, z - x, если z -1 < x < z,
О, если x>z.
Теперь рассчитаем fdB(z). Удобно интервал возможных значений
нечеткого числа z разбить на подынтервалы, в каждом из которых осуществляются вычисления по формуле (4.17). Носителем нечеткого числа z, являющегося результатом суммирования Я + Л, является интервал [0;4]. Разобьем его на подынтервалы постоянства аналитических представлений функций принадлежности цА(х) и //^(z-х).
При этом если z е [0;1], то
Ae(z)=Jx(z-x)ic=^-. о 0
Если zg [1;2], то
Z-1 1
ZZ2b(Z)= Jx(x-z + 2)ir+ jx(z-x)6& + О z-1
+](2-x)(z-x)dx= -y+2z2-2z+| .
Если zg [2;3], то
i
Mib(z)= Jx(x-z + 2)fc+
z-2
z-1
+ f(2-x)(x-z + 2)<fr+ i
2
+ f(2-x)(z-x)dx= z-1
J-<-4z2+10z-2al
I 2 3)
Наконец, если zg[3;4], то
2
^4b(z)= J(2-x)(x-z+2)<fe=(4-z)3. z-2
131
Pb(z') =
В этих соотношениях учтена задаваемая (4.21) неотрицательность слагаемых в сумме Ах + А2, что и определяет особенности выбора верхних пределов в интегралах, используемых при расчете искомой функции при надл ежности.
Объединяя полученное, имеем
—, если z е [0;1 6
^з 2
----+ 2z2 - 2z + -, если z g [l;2l
2 3 L *
— -4z2 + 10z- —, если z g [2;3l 2 3
(4-z)3, если zg[3;4].
Так как //1Я(1) = р1В(У\^1В№ = ^зв(2)»^зв(3) = ^в(3), то полученная функция fiB{z) -- непрерывна. Легко проверить, что эта функция непрерывна также по первой и второй производным.
Проведем нормализацию функции //B(z). Так как
2
Snax = argmax^(z) = 2,^(2) = -,
то
(4.22)
Дв(^) =
z3
—, если z g[0;1],
о _3
-----+ 3z2 - 3z +1, если z g [1 ;2], 3z3
—- - 6z2 +15z -11, если z g [2;3],
-(4-z)3, если z g [3,4]. 4
Построим график функции принадлежности pB(z) нечеткого числа В, полученного в результате проведенной операции суммирования.
Таким образом, сумма двух треугольных нечетких чисел не есть треугольное число.
132
Рис. 4.17. Функция принадлежности pB(z)
Сделаем важное замечание. Реализация процедуры отыскания максимального значения функции pB(z) с последующей нормировкой, как правило, не является обременительной операцией. Для операций суммирования, вычитания, произведения двух нечетких чисел значение
zmax = argmax{/zB(z)} = argmax{/ze(4 *Л2)} = х|тах *х2тах, где
X/, max = "8 max{x/t (хк)}, к = 1,2.
*k
5 Z к r.
----+ + + —, если ze[l;2], 24---‘---------' л ™
12 _? 12 z5 -----z 24
Пример 4.20. Выполним операцию суммирования, рассчитав сумму трех треугольных чисел с функцией принадлежности (4.21). Опуская несложные выкладки, приведем результат. z5 --------------------------------------, если z е [0;1 ]. 120
Z4 Z3 Z2 Z 1 г,А1
1 , х rz I i.x. I, 4 2 2 4-20
9z3 19z2 39z 79
+------------+---------, если z g [2:3],
2 2 4 20
21z3 71z2 23Iz 731 r, лп
-------1- —------------1- —. если z e [3;4],
2 2 4 20
19z3 89z2 409z 1829 -------------+-------------, если z g [4:5],
2 2 4 20
———, если z e [5,6]. 120
Mb(z)=
3z4 4
,4
133
Максимальное значение pB(z) достигается в точке z = 3 и равно
Тогда нормализованная функция принадлежности суммы А+А+А будет иметь вид
/W) =
если z g[0;1], 5z5 5z4 10z3 10z2 5z 1
ч 1- 1- —, если z e [1:2], 66---------------------11 11-11 11-11
5z5 20z4 90z3 190z2 195z 79
-- 4 4 , если z e [2;3], 33 11-11 11-11 11-(4 23)
5z5 30z4 210z3 710z2 1155z 731 M
33 11 11 11 11 11
5z5 20z4 190z3 890z2 2045z 1829 r, „
—- + —— + , если z e [4:5], 66---------------------------------------11 11-11 11-11
(6-z)3 ....
------—, если z g [5;6]. 66
В соответствии с характером проделанных вычислений можно сделать вывод о том, что операция суммирования треугольных нечетких чисел коммутативна и ассоциативна.
Кроме того, как нетрудно видеть, кривая, соответствующая функции принадлежности суммы нескольких треугольных чисел, по мере увеличения числа слагаемых все более приобретает характер гауссоиды. В качестве приближения к функции принадлежности (4.22) выберем ,21 9 2
-к где т2 =2,az =-.
3
(z-m)
/(z) = exp<---
2^2
Соответствующие графики приведены на рис. 4.20. Они близки.
z
Рис. 4.18. Графики = 2,сг = 2/3
134
Сказанное в еще большей степени справедливо относительно гаус
сова приближения к функции принадлежности суммы трех треугольных
чисел. При этом гауссова кривая задается формулой
/(z) = exp
(z~wg) 2ст2 ]'
где тд = 3, = 0.72.
Соответствующие графики приведены рис. 4.19.
Рис. 4.19. Графики /7/r(z),/(z).m = 3,a -0.72
Непосредственные расчеты показывают, что при увеличении числа слагаемых гауссово приближение к результату суммирования становится все более точным. Этот факт позволяет использовать гауссову аппроксимацию для описания исходных «первичных» нечетких чисел. Есть еще одно существенное обстоятельство в пользу гауссова описания нечетких чисел: при выполнении операций сложения и вычитания двух гауссовых нечетких чисел по правилу (4.18), а также при умножении гауссова числа на скаляр снова получается гауссово число. Действительно, легко показать, что при суммировании двух нечетких чисел А} и Л2 с функциями
принадлежности, соответственно равными
| (х-тх)2
^(x) = extf----r-f—Ь
I 2<Тх J
, . ( (.У-Пу)2
^А2(У) = е*Р\--W I’
[ 2аУ J
получим нечеткое число В с функцией принадлежности
(4.24)
135
HB(z) = ex|
(4.25)
2 2 2
mz = mx + my,a2 = ax +ay.
Действительно, в соответствии с (4.17) имеем
00 оО z х2
Xz)= f Ц\(х) p^z -x)dx} = J exp] -Ц- ™x)
1 (x-mx)2 (z-x-my) о „2 + „2
o-:
® I 1 I
dx = - j exp] - - A(x,z) >dx.
-СЛ L 2 J
Далее, , (x-m )2 (z-x —mu)2
A(x, z) = >- ™x> + ---------=
O-x <7,
- 1 Г-2..2 _'>„2^.n, , „2m2 , 22 , 22 , 22 _
2 2 LCyX 2ffyXntx + CTy2Пx + <TXZ +CTxX +&xtny
-2crxzx+2crxxmy-2axzmy] = - 2 2[(a2 +a2)x2 -
-2x(crymx + cr2z-cr2my) + m2a2 + m2a2 + a2z2 -2a2zmy] =
1
2—2
Лт2 4- +/т2г2 -?^2гж _ (”>x^+(z-^x)2
lxCT^ 4-/И^СТХ 4-<TXZ £O>xZTny 2
*[mxcr2cr2 +m2ax +z2crx +o-2cr2z2+trxmy+a2a2m2-2axzmy-2a2a2zmy
-axm2-m2cr*-z2<Tx +2cr2a2mxmv + 2axzmv -2a2a2mvz] = л у л У •* АЛЛЛ л У л У У J
136
x [z2 + m2 + m2 - 2zmy - 2znix + 2mxmv ] =
Тогда
|>-(тх + /и0]2
-J2xayav
= exp<
2
-J2acr,crv
-7=,—rex₽i
Нормируя функцию принадлежности p(z), получим
p(z) -exp-
(z-m,)2]
2ff2 Г
где
m2 = mx + my;a2 = a2 + a2.
Аналогично можно показать, что и разность двух гауссовых нечетких чисел является гауссовой.
137
+ 2zmv - 2zmr - 2mrrn = У л л У J
ехр<
42лсгхсгу
Нормируя функцию принадлежности //(z), получим
Х0 = ехр<
J (Z “ т2 > = ехгк - -----
2 2 2
где mz =тх-ту . ст. =стх +ctv.
139
Используя функции принадлежности (4.24), получим функцию принадлежности нечеткого числа z=xl-x2. В соответствии с (4.17)
имеем
00
-00
(х-mJ2
Далее,
_L_r<r2v2 _zt2v», ±/т2ж2Х/т2,2±/т2у2 ±^2J _
2 2^УХ ^y^^x + ^y^x + &xZ + °x* + °x™y °x°y
-2a2zx-2a2xmy + 2axzmy] =
—f—2 [(o’2 + ст2)x2 -2x(aymx + axz + axmy) + °xay
। „2 2 2 2 , 2 2 9 2 -i _
4- mx exy + myax 4- <xx z 4- z<jx zmy J —
. 72J _L_ ^r2^2-T2 I /Г4Ж2 ^r2ZT2™2 J- Э/Аж -L.
4* Z 4- 6T & z 4- Grmv 4- 6T O’ m 4- ZO\.Z7H 4- ZOrr(TvZtnv ~~ A Ay л у У У л У л У У
—.4 2 ».2 4 2 4 q 2 _2 Эхт2^2»» «г1 —
— <Jxmy ~ тх®х ~ z &х — ^х^утутх ~ z<xxzmy — z<yxc>yinyz |—
138
Наконец отметим, что и функция принадлежности результата умножения гауссова числа на константу является гауссовой. Пусть функция принадлежности числа А имеет вид
/ ч (х-т)2
яДх)=ехр^-у / к 2СГ
Используя (4.3), получим функцию принадлежности числа В-кА. Имеем
/'вбо=Л/"1 ьо)=aJ j 1=
- exp* -
\2
У ml ---ТП \ к--)
2<т2
> - exp*
(y-mkf 1 _ 2к2а2 |
>9тк =кт9а} =к2а2.
= ехр* -
2а2к
Введенные выше правила выполнения операций над нечеткими числами будут использованы в дальнейшем для решения практических
задач.
4.3 Контрольные вопросы
1. В чем разница между нечетким интервалом и нечетким числом?
2. Дайте определение функции (А-Л)-типа и укажите сферу использования такой функции.
3. Что такое нечеткое число и нечеткий интервал (£-Л)-типа и при каких условиях нечеткий интервал превращается в нечеткое число?
4. Основные операции над нечеткими числами (А-Л)-типа?
5. Основные правила выполнения операций над нечеткими числами (£-Я)-типа?
140
5. НЕЧЕТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
5.1 Основные определения.
5.2 Задача достижения нечетко поставленной цели.
5.3 Задача максимизации четкой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив.
5.4 Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования.
5.5 Задача максимизации нечеткой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив.
5.6 Задача математического программирования, в которой параметры целевой функции и ограничений заданы нечетко.
5.7 Контрольные вопросы.
5.1 Основные определения
Неотъемлемым атрибутом любой практической деятельности является необходимость принятия решений, связанных с наилучшим выбором. Эта проблема наиболее остро стоит при разрешении конфликтных ситуаций, составляющих существо нашей повседневной жизни (или, по крайней мере, один из типичных ее моментов). Простейшие примеры конфликтных ситуаций часто формулируют в терминах «стоимость-эффективность». Желание получить высокоэффективную систему вступает в противоречие с ограничениями на затраты ресурсов. Однако проблема носит более общий характер, поскольку конфликтные ситуации возникают не только в задачах рационального использования ограниченных ресурсов. Например, попытка повысить пропускную способность системы за счет увеличения числа ее каналов приводит к увеличению не только ее стоимости, но и времени простоя каждого из них, ухудшению управляемости системы. Ситуацию, в которой необходимо принимать решение, называют проблемной, если число возможных альтернатив превышает единицу. При этом задача выбора наилучшего решения из множества допустимых может быть описана в терминах отношений предпочтения одних решений перед другими. Наиболее простой
141
способ задания отношений предпочтения - бинарные отношения, в которых сравниваются друг с другом пары альтернатив. Тогда задача принятия решения сводится к выбору такой допустимой альтернативы, которая в паре с любой другой альтернативой будет лучше (или, по крайней мере, не хуже).
Бинарное отношение предпочтения на множестве альтернатив может быть введено двумя способами: в виде подмножества декартова произведения множества альтернатив на себя (как это было сделано в п.3.6); в форме так называемой функции полезности (ее часто называют целевой функцией). Эта функция полезности обычно задается отображением множества альтернатив на числовую ось, то есть каждой альтернативе ставится в соответствие некоторое число тем большее, чем лучшей является альтернатива. Задачи принятия решений, в которых отношение предпочтения описано в форме функции полезности, называют задачами математического программирования.
В математическом программировании можно выделить два направления. К первому, уже сложившемуся направлению, относятся детерминированные задачи, когда вся исходная информация, нужная для решения, является полностью определенной. Ко второму направлению следует отнести задачи, в которых исходная информация содержит элементы неопределенности. При этом методы решения задач в случаях, когда какие-то их параметры являются случайными величинами с известными законами распределения, объединены в класс задач стохастического программирования. Если же постановка задачи содержит неточные, неопределенные элементы, описание которых использует теорию нечетких множеств, то это задача нечеткого математического программирования. Нечеткость в постановке таких задач может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в задании функции полезности. В соответствии с этим возможны различные формулировки задач нечеткого математического программирования. Рассмотрим их.
5.2 Задача достижения нечетко поставленной цели
По-видимому, одной из первых и наиболее простых задач нечетко
142
го математического программирования является задача достижения нечетко определенной цели, решение которой предложено Р. Веллманом и Л. Заде [29]. Это решение основано на предположении, что цель принятия решения и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Технология получения искомого решения состоит в следующем.
Пусть X - универсальное множество альтернатив, исчерпывающее совокупность всевозможных выборов лица, принимающего решение (ЛПР). Пусть далее определены нечеткая цель в X и нечеткие ограничения, выделяющие из всего множества X подмножество допустимых альтернатив. Нечеткая цель и нечеткие ограничения описываются функциями принадлежности //G(x) и //с(х), / =
Пример 5Л. Пусть X - числовая ось. Нечеткая цель - «нечеткое множество G чисел X, больших 5», описываемое функцией принадлежности
PG(X) = '
О, если х > 5, 1-е~(х-5), если х>5.
Нечеткое ограничение - «нечеткое множество С чисел X, приблизительно равных 6», описываемое функцией принадлежности
(х-6)2
А?(*) = е 2
При этом чем большей является степень принадлежности альтернативы х нечеткому множеству цели G , тем больше степень достижения цели. Аналогично этому чем большей является степень принадлежности альтернативы х нечеткому множеству С, тем в большей мере удовлетворяется ограничение.
Пусть некоторая альтернатива х обеспечивает достижение цели со степенью //G(x) и удовлетворяет ограничению со степенью //с(х). Тогда принимают, что степень принадлежности этой альтернативы искомому решению задачи равна минимальной этих величин. Таким образом, не-
143
четкое решение задачи достижения нечеткой цели определяется пересечением нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функция принадлежности решения имеет вид
/*/>(*) = min{/z6.(x),XJr(x)}. (5.1)
Если в задаче сформулированы несколько целей и ограничений, то нечеткое решение описывается функцией принадлежности
/2у(х) = min{uf. (х),...,/^ (х);//с. (х),...,//Сп (х)) . (5.2)
При этом если цели и ограничения отличаются по важности и заданы соответствующие весовые коэффициенты относительной важности целей Л , 7 = 1.2,...,/? иограничений у,, / = 1,2,..., т, то функция принадлежности решения определяется выражением
//D(x) = min{л}рС1 (х);и,дС)(х),...,ит//Гя(х)} .
Пример 5.2. Получим решение задачи для нечетко определенных цели и ограничения, описанных в примере 5.1. В соответствии с (5.1) нечетким решением задачи является нечеткое множество D с функцией
принадлежности
-(х-6)2
//D(x) = niin{//G(x),//C(x)} = min h-e~(x~5),e 2
х>5
которая отображена графически на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Функции принадлежности цели, ограничения и нечеткого решения х*
Нечеткость полученного решения является следствием нечеткости цели и ограничения. При таком представлении решения остается неопределенность в отношении выбора наилучшей альтернативы. Наиболее ес-144
тественный способ разрешения этой неопределенности состоит в выборе альтернативы х*, имеющей максимальную степень принадлежности нечеткому решению, т.е.
х* =argmaxmin{//G(x),^c(x)}. (5.3)
Более общей является задача, в которой нечеткие цели и ограничения представляют собой подмножества разных универсальных множеств.
Пусть X - универсальное множество альтернатив и пусть, кроме того, задано однозначное отображение ср: X -> Y. Значение у = (р(х) е Y для некоторого конкретного х можно трактовать как оценку качества (эффективности) выбора этой альтернативы х. При этом нечеткая цель задается в виде нечеткого подмножества G множества Y с функцией принадлежности pG(y). Определим теперь нечеткое множество альтернатив GcX, обеспечивающих достижение заданной цели G.
Это множество G представляет собой прообраз нечеткого множества G при отображении (р, причем
= (5.4)
Понятно, что теперь задача достижения нечеткого целевого подмножества G cz Y редуцирована к эквивалентной задаче достижения подмножества G cz X на множестве альтернатив, удовлетворяющих ограничениям, то есть сведена к предыдущей.
Пример 5.3. Торговая фирма продает штучный товар по цене х единиц за штуку. Доход у, получаемый от продажи одной единицы товара, пропорционален его цене и вероятности продажи р, которая также зависит от цены, то есть у(х) = хр(х). Необходимо установить цену, обеспечивающую максимальный доход.
Если зависимость р(х) выбрать в виде р(х) = то
у(х) = хе~ах. (5.5)
Графически зависимость (5.5) имеет вид, представленный на рис. 5.2.
145
Рис. 5.2. Зависимость дохода от цены на единицу товара
Легко показать, что максимальный доход достигается при х* = (а)’!, и он равен _утах = (ае)’’.
Предположим, что в результате обработки ограниченного набора реальных данных об эффективности продаж получена оценка параметра а = 0.5. Тогда утач а 0.736.
Поскольку в реальных условиях точная оценка параметра а в (5.5) затруднительна, то цель продаж формулируется нечетко: «Получить доход, близкий к утах, но при этом не меньший, чем _Утп1» В соответствии
с этим функцию принадлежности нечеткого целевого подмножества за
пишем следующим образом:
0, если
У Тттип Tmax-Tmin
(5.6)
0, если у >ув№к
Пусть ymin выбрано равным 0,6. Тогда рис. 5.3 может быть использован для отыскания оценок минимальной и максимальной цены на единицу товара. Соответствующие значения х^^тах найдем из рис. 5.3 графически. При этом интервал [xmin х^ ] задает нечеткое множество альтернатив О9 являющееся прообразом нечеткого множества G, отображающего цель продаж.
С учетом (5.4), (5.5) отыщем функцию принадлежности //^(х) альтернатив для прообраза G нечеткого множества цели G при отображе-
146
нии (5.5), используя это соотношение как уравнение относительно х для КаЖДОГО у G [ymin, -Углах ] •
Рис. 5.3. Зависимость дохода от цены за единицу товара
Нетрудно показать, что эта функция принадлежности альтернатив х для нечеткого подмножества G имеет вид, приведенный на рис. 5.4.
Рис. 5.4. График функции принадлежности nG(x)
С другой стороны, с учетом рыночной ситуации фирма считает целесообразным ввести нечеткое ограничение на цену единицы товара: «цена х должна быть близка к середине допустимого интервала цен». Соответствующая функция принадлежности для нечеткого ограничения на значение цены может быть описана следующим образом:
(*-Х)2
цс(х) = е 05 , х = . (5.7)
Теперь задача отыскания целесообразного значения цены на единицу товара может быть решена с использованием результата пересечения нечеткого множества //^(х) и нечеткого множества ограничения 147
//г(х). Нечеткое решение задачи отображено на рис. 5.5.
Искомое значение целесообразной цены х*, отыскиваемое в соответствии с (5.3), приведено на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Функции принадлежности цели, ограничения и нечеткого решения задачи
Изложенный подход к решению задачи достижения определенной цели основан на возможности симметричного описания цели и ограничений в виде нечетких подмножеств одного и того же универсального множества альтернатив. Однако этот подход может быть использован далеко не для всех задач нечеткого математического программирования. Перейдем к рассмотрению таких, более сложных задач.
5.3 Задача максимизации четкой целевой функции на заданном
нечетком множестве допустимых альтернатив
Пусть X - универсальное множество, на котором задана четкая целевая функция /(х) и нечеткое ограничение, описываемое функцией
принадлежности (х). Для решения соответствующей задачи математического программирования в [26] предлагается осуществить нормировку функции /(х) следующим образом:
=
/(X) sup/(x)
(5.8)
и рассматривать далее /(х) как функцию принадлежности нечеткого множества цели лица, принимающего решение. Значение этой функции для альтернативы х трактуется как степень достижения цели при выборе этой альтернативы. Теперь для решения задачи может быть применен 148
подход Беллмана - Заде. При этом наилучшим считается выбор альтернативы, имеющей максимальную степень принадлежности нечеткому решению, то есть альтернативы х, для которой достигается
max min{/(х),// (х)} • X
Пример 5.4. На универсуме X = {х:0<х <8} найти значение х, максимизирующее целевую функцию /(х)=-х2 + 8х и удовлетворяющее нечеткому ограничению - «значение х должно быть близко к 6».
В соответствии с описанной технологией сначала найдем максимальное значение функции /(х) = -х2 +8х. Оно, очевидно, равно 15. Теперь осуществим нормировку целевой функции f (х) и получим f(x\ = = ~*2 + 8х
н^Л*) 16
хб[0,8]
Будем рассматривать /(х) как функцию принадлежности цели.
Пусть нечеткое ограничение задано функцией принадлежности
//с(х) = < 0, если х < 4, х — 4 , если 4<х<6, 2 8 — х , если 6 < х < 8, 2 0, если х > 8.
Тогда нечегким решением задачи является нечеткое множество D с функцией принадлежности
ао(х) = тт{Дх),д.(*)>
отображенное на рис. 5.6.
При этом наилучшей альтернативе соответствует значение х , оп-— у Зх х — 4 ределяемое формулой (5.3) как решение уравнения--------= ----. От-
16 2
сюда х* = 472 .
149
Рис. 5.6. Функции принадлежности цели, ограничения и нечеткого решения задачи
Другой подход к решению задачи максимизации четкой целевой функции на нечетком множестве допустимых альтернатив предложен в [7]. Этот подход состоит в том, что исходная задача нечеткого математического программирования сводится к совокупности обычных задач максимизации целевой функции ср(х) на всевозможных множествах уровня Л множества допустимых альтернатив. При этом если для конкретного Л альтернатива х0 е X есть решение задачи максимизации ф(х) на множестве уровня Л, то это число Л рассматривается как степень принадлежности альтернативы х0 нечеткому множеству решений задачи. Перебирая возможные значения Л, получим функцию принадлежности нечеткого решения задачи.
Рассмотрим формальную процедуру получения решения. Пусть
Сл={х-.х^Х,цс(х)>Х} (5.9)
есть множество уровня Л нечеткого множества альтернатив С. Далее для любого Л > 0 введем множество
У(Л) = ]х* :х* g X, x*x‘ = argsup^(x)k (5.10)
I J
Понятно, что N(A) представляет собой множество решений обычной задачи максимизации целевой функции ф(х) на четком множестве альтернатив, определяемом Сл. Теперь для построения функции принадлежности //D(x) нечеткого множества решений D необходимо каждой альтернативе Хд поставить в соответствие максимальное значение (точную верхнюю грань) из чисел Л, для которых Xq g N(2), то есть
150
fiDM= sup Л. (5.П)
A xeN(A)
Если при этом решение задачи реализуется путем последовательного увеличения значения А - степени принадлежности альтернатив нечеткому множеству, задаваемому функцией принадлежности рс (х), то
для каждой альтернативы Хд максимальное значение 2, для которого
Xq€ JV(2), естественно, равно //с(хо)-
Таким образом, если альтернатива х принадлежит носителю нечеткого множества решений £>, то
//DW = //r(x).
Формальная запись этого утверждения имеет вид
//с(х), если xg u N(A\ Л>0
О, в противном случае.
(5.12)
(5.13)
Таким образом, решение задачи существует тогда и только тогда, когда найдется такое число А > 0, для которого #(Я) * 0.
Полученному нечеткому решению соответствует множество «максимальных» значений функции г = ^(х), представляющее собой образ нечеткого множества решений D при отображении <р(х). Функция принадлежности /Лф(г) нечеткого «максимального» значения функции ^?(х) по определению образа задается соотношением
ju(P(r)= sup nD(x)= sup /2(.?(<‘(г)). (5.14)
xeq> *(r) r=<p{x)
Сделаем несколько важных замечаний. Альтернатива xj, соответствующая максимальной степени принадлежности нечеткому множеству решений Z), не обязательно совпадает с альтернативой, обеспечивающей максимальную степень принадлежности нечеткому множеству ограничений С. Поэтому при выборе конкретного «наилучшего» решения задачи необходимо идти на компромисс между значениями максимизируемой функции и значениями степени допустимости выбираемой альтернативы. При этом нужно учитывать, что чем больше значение целевой функции г0, тем меньше степень принадлежности р( (х0) той аль
151
тернативы х0, которая дает значение ^(х0) = г0. Отметим, наконец, что при построении функции принадлежности pD(x) нечеткого множества решений D каждой альтернативе Хд ставилось в соответствие максимальное значение Я, для которого Хд максимизирует ^(х).
Из этих замечаний следует важный вывод: множество пар Значение целевой функции г0; максимальное значение степени принадлежности Я альтернативы х0, обеспечивающей ^(х0) = г0>, является Парето-эффективным. Альтернатива х0 для двух функций ^(х0) и //с(х0) называется Парето-эффективной, если не существует другой альтернативы х15 для которой одновременно выполнялись бы неравенства ^(xj)> ^(х0) и /*с(х1) - М?(*о)- в связи с этим увеличение значения целевой функции сопряжено со снижением степени принадлежности соответствующей альтернативы множеству допустимых альтернатив, и напротив, увеличение степени принадлежности альтернативы допустимому множеству приводит к уменьшению степени принадлежности соответствующего значения целевой функции нечеткому множеству максимальных ее значений. Этот факт легко объясним: он следует из того, что увеличение степени принадлежности Я альтернативы х допустимому множеству сужает четкое множество значений СЛ, в пределах которого решается задача максимизации функции (р(х). При этом, естественно, максимальное значение ^>(х), х е СЛ, не возрастает. Задача выбора наилучшей альтернативы из множества Парето-эффективных остается за лицом, принимающим решение.
Пример 5.5. Максимизировать ф(х) = 1 + 4х - х2 при условии, что х - нечеткое число, «приблизительно равное четырем».
Зададим ограничение на выбор х дискретным нечетким множеством С с функцией принадлежности
цс(х) = {< 0,0.01 >,< 1,0.3 >, < 2,0.6 >, < 3,0.8 >, < 4,1.0 >,< 5,0.8 >,< 6,0.6 >,< 7,0.3 >,< 8,0.01 >}.
Осуществим перебор значений Л в интервале [0,1] с дискретностью
152
0.1, отыскивая для каждого из них соответствующие множества уровня Я и У(Я). Имеем a, =o.i, Л =0.2, Л =0.3, Л4=0.4, /15=0.5, /15=0.6, Л =0.7, Л =0.8, Л, =0.9, 4,0 =1.0,
-V(^)={2};
МЛ)={2};
Ж)={2};
МЛ)={з};
№)={з};
МЛ)={4};
л^(Ло)={4}.
поставим в соответствие макси-
v0.5 Q.6 0)7 ^0.8
С01 = {1,2,3,4,5,6,7}, МЯ,)={2};
С02 = {1,2,3,4,5,6,7}, ЛГ(Л ) = {2}; Соз = {1,2,3,4,5,6,7}, С04 = {2,3,4,5,6}, = {2,3,4,5,6}, = {2,3,4,5,6}, = {3,4,5}, = {3,4,5},
С09 = {4}, Qo = {4}, Теперь каждой альтернативе х*
мальное значение Л, для которого х входит в множество значений,
максимизирующих (р(х). При этом если х* =2, то Я = 0.6; если х* =3, то Л = 0.8, если х* = 4, то Л = 1.
Таким образом, нечеткое множество решений D имеет вид D = {<2,O.6>,<3,O.8>,<4,1>}. Теперь, с учетом того, что ^(2)=5, 0>(3) = 4, ^(4)= 1, построим Парето-эффективное множество пар Значение целевой функции г*; максимальное значение степени принадлежности Л альтернативы х*, для которой ^>(x*)=r*>. Это множество приведено на рис. 5.7.
Рис. 5.7. Парето-эффективное множество решений
153
Аналогично решается задача в случае, когда нечеткое ограничение задано на непрерывном множестве.
Пример 5.6. Максимизировать q>(x) = 1 + 4х - х2 при условии, что х - нечеткое число, «приблизительно равное четырем», с функцией принадлежности
О, если х < 1,
-—-, если 1 < х < 4,
Х'с(*)=]73
7~Х
-----, если 4 < х < 7, 3
О, если х > 7.
В соответствии с изложенной выше методикой введем множества уровня 2 нечеткого множества альтернатив. При этом
(5.15)
Множество Сл с учетом (5.15) легко описать аналитически, решив неравенства
х-1 т~
7-х
3
Отсюда
Сл = {х:1 + 32<х<7-32). (5.16)
Теперь для формирования множества 2V(2) решим четкую задачу максимизации (р(х) = 1 + 4х - х2 на четком множестве альтернатив (5.16). Легко видеть, что для Ле 0,^ максимуму $?(х) соответствует х* = 2.
При больших значениях Л в интервале Л е [1/3,1] этот максимум достигается на левой границе интервала [1 + 32,7 -32]. Таким образом,
2, если Ле 0,- ,
L 3j
1 + 32, если 2 е(|,1] .
У(Л)=
(5.17)
154
Соотношение (5.17) для каждого Л устанавливает значение х*, максимизирующее ^(х). При этом, как ясно из (5.17), максимизирующие альтернативы х лежат в интервале [2,4], то есть D = {х : х е [2,4]}.
Теперь с учетом того, что каждой альтернативе х* следует поставить в соответствие максимальное значение 1, для которого х* входят в множество значений х, максимизирующих <р(х) при ограничении (5.16), опишем нечеткое множество решений D функцией принадлежности
0, если х < 2,
Vd(*)=
----, если 2 < х < 4, 3
0, если х > 4.
Полученному нечеткому решению соответствует нечеткое «максимальное» значение функции (р(х). Значения этого нечеткого числа зависят от Я и, в соответствии с (5.17), рассчитываются по формуле
=р(х) = 1 + 4(1 + ЗЛ)-(1 + ЗЛ)2 =-9Л2+6Л + 4. Ае^.1 . (5.18)
Функция принадлежности нечеткого «максимального» значения функции (р(х) в соответствии с (5.14) имеет вид
х 6 [м]-
Наконец, с учетом (5.18), построим Парето-эффективное множество пар < г, 2 >. Оно приведено на рис. 5.8.
-
*
»
:j 5
4.4 3.3
Г 2.2 1.1
О
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
Рис. 5.8. Парето-эффективное множество решений
Из рисунка видно, что максимальное значение функции ^>(х), рав
155
ное #>(2)= 5, имеет степень принадлежности множеству максимальных 1
значении, равную -.
Заметим теперь, что если ослабить ограничение (расширить интервал, соответствующий носителю нечеткой «четверки»), то это максимальное значение будет достигнуто при большем значении степени принадлежности. Например, если
О, если х < О,
/4-(*) =
-, если 0<х<4, 4
8 — х
---, если 4 < х < 8, 4
О, если х > 8, то, повторяя предыдущие рассуждения, получим Парето-эффективное множество, описываемое функцией = 1 +162-1622, Ле ^,1 и представленное на рис. 5.9. При этом максимальному значению функции 0>(х), равному 5, соответствует степень принадлежности 2 = 0.5.
Рис. 5.9. Парето-эффективное множество пар < гЛ,2 >
Описанная в примере 5.5 технология решения задачи нечеткого математического программирования, естественно, не меняется, если целевая функция зависит от многих переменных.
156
Пример 5.7. Минимизировать ^(хих2)= xj2+2х2 при условии, что сумма Xj + х2 = с, где с - нечеткое число, «приблизительно равное трем», с функцией принадлежности
0, если с < 1, с-1 < .
----------, если 1 < с < 3, Xc)=i ,2 5-с
----, если 3 < с < 5,
2
0, если с >5.
Введем множества уровня Л нечеткого множества альтернативных значений параметра с:
= к: л! = к1Л,с2Л] (5.19)
Для расчета левой и правой границ интервала Сл решим уравнения
2
^л=Л.
Отсюда
с1Л =22 + 1, с2Л =5-22. (5.20)
Таким образом, при выбранном Л возникает следующая четкая задача математического программирования: найти набор (х15х2), минимизирующий 0>(Х| ,х2) = х|2 + 2х2 и удовлетворяющий ограничениям
Xj + х2 >с1Л = 22 + 1. (5 21)
Х1 + х2 < с2Л = 5 - 22. (5.22)
Изобразим линии уровня функции ^(х19х2) и прямые, соответствующие ограничениям (5.21), (5.22), при Л, например, равном 0.5.
Положение прямых х1+х2=с1Л, Х|+х2=с2Л определяется значением Л, однако для всех 2е[0,1) прямая, соответствующая с1Л лежит ниже прямой, соответствующей с2Л (при Л -1 они обе сливаются в одну: Xj+x2 =3).
Поэтому ограничение (5.22) не является активным и минимум
157
Рис. 5 10. Линии уровня (р{х^х2) и прямые ограничений
^(xj, х2) = х2 + 2х2 достигается в точке на прямой Xj + х2 = сы.
Найдем эту точку методом неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид
ф(х!,х2,а) = х2 + 2х2 -а(х] + х2 -с1Л). (5.23)
Дифференцируя (5.23) по х15 х2 и а, получим
ЗФ(х15х2,а) _
—= 2хх - а, (5.24)
дхх
= (5.25)
дх2
^i^ = cu-x,-x2. (5.26)
Приравнивая полученные производные к нулю, выразим х15 х2 через а. Имеем
а а х1 = 2> х2=^- (5-27)
Подставив (5.27) 4 в соотношение Х| +х2 = с1Л, найдем а = -с]Л, от-
куда, с учетом (5.27), • 2 • 1 *2=^, с1Л=2Л+1. (5.28)
158
Соотношение (5.28) определяет множество допустимых пар (хи»х2л)’ минимизирующих р(хРх2) с заданным уровнем принадлежности 2. Соответствующее этому уровню принадлежности значение целевой функции ^(х*Л,х2Л) равно
Гя = ^1л^2л)=^ы + |си = |(2А + 1)2.
Парето-эффективное множество пар <гл,Л> изображено на рис. 5.11.
Рассмотрим теперь задачу, в которой нечеткими являются коэффициенты перед переменными в ограничении.
6 4.8 3 6 "Гд 2 4 1.2 0 -
*
-
_ • ш
- * “
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Л
Рис. 5.11. Парето-эффективное множество пар <гл,Л>
Пример 5.8. Минимизировать ^(х1,х2) = х12 + 2х2 при условии, что cixi +С2Х2 = Ю, Xj >0, х2 >0, где с, и с2 - нечеткие числа 0, если сх < 2, с, - 2 _ .
—---, если 2 <с.<4,
я(а)=- 6
------------, если 4 <Cj< 6,
(5.29)
2
0, если С| > 6.
0, если с2 < 2, с -2
—----, если 2 с7 < 6,
4 2
Ю~С2 ^1Л
-----если 6 < с2 < 10,
#(с2) =
4
0, если с2 > 10.
159
(5.30)
В этой задаче множество уровня Л нечеткого множества альтернативных значений параметров q и с2 является двумерным, а его границы отыскиваются из уравнений
_(тш) ? А_Дтах) (min)__9 (max)
с_\л __£1Л = 2 С2Л = Л — = Л
~ 2 ’ 2 ’4 ’ 4
Отсюда
С|™'п) = 2Л + 2, с^] = 6-2Л-, 47> = 4Л + 2, с<Т’=10-4Л.
Теперь при выбранном значении Л возникает следующая четкая задача математического программирования: найти набор (х19х2), минимизирующий ^(х, ,х2) -- х? 4- 2х2 и удовлетворяющий ограничениям
CjXj+с2х2 +10, с^<с2<с^\ (5.31)
Ограничения (5.31) порождают множество прямых, целиком заполняющих область, ограниченную прямыми
c-fr^Xi +4™п'х2 =10 или (2Я + 2)Х] +(4Я + 2)х2 = !0, (5.32)
с^’х, + 4Т)х2 =10 или (6-2^ +(10-4Я)х2 =10, (5.33)
Х|>0, х2>0. (5.34)
Эта область (для Л = 0.5), вместе с линиями уровня функции 0>(х],х2), изображена на рис. 5.12.
Рис. 5.12. Линии уровня (р(х^х2) и прямые ограничений
160
Прямые (5.32) и (5.33) максимально разнесены при 2 = 0. С увеличением 2 они сближаются и при 2 = 1 сливаются. Однако при любом 2е[0,1] прямая (5.32) лежит над прямой (5.33), поэтому в задаче минимизации ограничение (5.32) не является активным и минимум (р(хх,х2)
достигается в точке, лежащей на прямой (5.33). Найдем эту точку, ис
пользуя метод неопределенных множителей Лагранжа. Имеем
ф(*1 ,х2 ,а) = xf + 2х2 - afcfr0*! + с^х2 -1 о).
Далее
ЗФ(х„х2,а) = 2х] _^(тах) = 0, (5 35)
дхх
дФ{хх,х2,а) = = Q , (5 36)
дх2
дФ(хх,х2,а) = j0_ (max) _с(™х) =
1А 1 ZA Z /
да
Из (5.35) и (5.36) находим
<5-з8>
Теперь, подставляя (5.38) в (5.37), вычислим а:
2
4
откуда
а =
10
Тогда
10С1(Г<)
(539)
*2 =
сДтах) ЭС2Я
(5.40)
Далее, так как = 6 - 22, = 10 - 42, то
161
10(6 - 2Л)_____=___________60 - 202___________
(6-22f + ! + (10-42)2 4^ -242 + 36 + 822 - 402 + 50
60-202 30-102 10(3-2) ,в,,.
122 - 642 + 86 622 -322 + 43 622-324 + 43
• = _ 5(10-42) = 5 2(5-22) =
(6 - 22)2 + ~ (10 - 42)2 12А2 “ 64Л + 86
= 5(5~22)
622 -322 + 43
Соотношения (5.41), (5.42) определяют множество допустимых пар (хи’х2л)» минимизирующих р(х15х2) с заданным уровнем принадлежности Л. Соответствующее этому уровню значение целевой функции ИХМ’Х2л):
r -.Jx‘ / )_ Ю0(3-2)2 |2 25(5-22)2 _
л 2л) (6Л2_32Я + 43) (б22-322 + 43)2
= —Z— --------у(18-122 + 222+25-202 + 422) =
(622-322+ 43)2
= 50(622 -322 + 43) = 50
~ (622-322 + 43)2 ~(622 -322 + 43)
Парето-эффективное множество пар < гЛ, Л > изображено на рис. 5.13.
Рис. 5.13. Парето-эффективное множество пар <гл Л >
162
5.4 Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования
Пусть задана следующая задача математического программирования: найти хе X, максимизирующий целевую функцию ф(х) и удовлетворяющий ограничению g(x) < 0. Нечеткий вариант этой задачи получается, если «ослабить» ограничения, то есть допустить ту или иную степень их нарушения, и, кроме того, заменить задачу максимизации функции (р(х) на близкую к ней задачу достижения некоторого заданного значения z0, причем различным отклонениям значений ср(х) от z0 присваивать разные степени допустимости. При этом можно задать два пороговых значения а и b такие, что неравенства ф(х) <zQ-a и g(x) > b означают недопустимость нарушения требований к целевой функции и ограничению. Тогда можно ввести следующие нечеткие множества цели и ограничений:
О, если ф(х) <zQ-a, ц(х,а\ если zQ- а < р(х) < z0,
1, если q>(x) > z0,
О, если g(x) > b,
Рс(х) = -
v(x,b), если 0 < g(x) < b, 1, если g(x) < 0.
(5.43)
(5.44)
Здесь и v(x,ft) - некоторые функции, описывающие степень выполнения требований к целевой функции и ограничению для заданной альтернативы х.
В результате исходная задача преобразована к рассмотренной выше задаче выполнения нечетко определенной цели, для решения которой применим подход Веллмана - Заде.
5.5 Задача максимизации нечеткой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив
Пусть X - универсальное множество альтернатив и заданы функция г-ф(х)ь хе X9 а также соответствующее этой функции нечеткое
163
отображение д :.Vx Rl ->[0,1], где /?’ - числовая ось. При этом функция /7^(х0,г) играет роль целевой и для каждого фиксированного х0 е X задает подмножество, представляющее нечеткое описание результата выбора альтернативы х0, то есть //Дх0,г) - функция принадлежности нечеткого множества возможных значений г = ^?(х) для х = х0. Пусть, кроме гого, задано нечеткое множество С допустимых альтернатив с функцией принадлежности //г(х).
Таким образом, поскольку разным альтернативам соответствуют разные значения функции принадлежности, то в этой задаче максимизации нечетко заданной целевой функции выбираемые альтернативы нужно сравнивать между собой по соответствующим им нечетким значениям функции цели. В связи с этим возникает нетривиальная проблема построения отношения предпочтения одних нечетких множеств перед другими. Эта проблема решается следующим образом.
Пусть на декартовом произведении универсальных множеств X и У задано нечеткое отношение предпочтения R с функцией принадлежности //я(х,у). Эта функция задает степень уверенности в том, что элемент х е X предпочтительнее элемента у е У. С другой стороны, это нечеткое отношение предпочтения можно рассматривать как нечеткое отображение элементов хе X в элементы yeY, которые связаны с х отношением R, то есть (х5оу)е R. Выберем произвольный элемент х0 е X. Образ х0 в У есть нечеткое подмножество множества У с функцией принадлежности pR(xQ,y), определяющей нечеткое подмножество тех элементов из У, которые связаны с х0 отношением R, то есть (x0,y)eR.
Пусть теперь А(х) - нечеткое подмножество X. Тогда нечеткий образ В е У нечеткого подмножества А(х) при отношении R описывается функцией принадлежности
П(Л(х),у) = fiB(A(x),y) = sup min у)}, (5.45)
то есть функция т](А(х),у) = цв(А(х),у) определяет степень предпочте
164
ния нечеткого подмножества А(х) перед у.
При этом в соответствии с (5.45) для фиксированного подмножества J°(x) функция /2B(J°(x),y) описывает нечеткое множество BQ элементов К, связанных с Л°(х) отношением R, то есть таких, что для хе/(х), yeBQ имеет место (x,y)eR. Таким образом, функция //д(/4°(х),у) устанавливает степень, с которой нечеткое множество Л°(х) предпочтительнее элемента у.
Также несложно получить формулу для оценки степени предпочтения конкретного элемента перед нечетким множеством. Пусть А(х) -нечеткое подмножество множества X, у - элемент множества У, R -нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности //д(х,у). При этом, поскольку jiR(x,y) можно рассматривать как отображение элементов хеХ в элементы уеК, то f/R-i(x9y) = jiR(y,x) -есть обратное отображение элементов у е Y в элементы хе/. Тогда для фиксированного у функция принадлежности
т](у,А(х)) = supmin^(x),^(y,x)} (5.46)
определяет степень предпочтения у перед А(х).
Пример 5.9. Пусть X - числовая ось и R - четкое отношение предпочтения больших чисел перед меньшими, то есть
[О, если х< у, ^к(х,У) = \.
[1, если х > у.
Тогда для любого А(х) . , , . , (тт{//л(х),1} = ^л(х). еслих>у,
[min{//y4(x),0} = 0, если х < у, и соотношение (5.45) упрощается к виду
fh(A(x),y) = s\ipfiA(x). (5.47)
х>у хеЛЛ
Зададим нечеткое множество А(х) функцией принадлежности
165
(5.48), отображенной на рис. 5.14.
^а(х) =
О, если х < О, х
—, если 0<х<2,
2
4 — х
----, если 2 < х < 4, 2
О, если х > 4,
(5.48)
Рис. 5.14. Функция принадлежности цА(х)
Пусть у{ = 0.5. Тогда в соответствии с (5.47) ^в(Л(х),0.5) = sup /хл(х) = 1, 0.5£х£4
то есть степень предпочтения нечеткого множества А(х), описываемого (5.48), перед 0.5 равна 1.
Пусть теперь у2 = 2.5. Тогда ^в(Л(х),2.5) = sup //л(х) = 0.75, 2 5<х<4
то есть степень, с которой А(х) предпочтительнее, чем 2.5, равна 0.75. Определим теперь степень предпочтения конкретных элементов
и у2 перед нечетким множеством А(х).
Так как
/ \ . / ч (О, если у <х,
^^х)=1-^Ах’У)=^
[1, если у > х, и при этом
( (\ I U [тт{//л(х),о} = о,если у<х, 1т,п1«л W если у >х,
166
то соотношение (5.46) упростится к виду 7(у,Л(х)) = sup/z/x).
хе А,
Тогда для нечеткого множества Л(х), заданного (5.48), и у,= 0.5 имеем
7(0.5, л(х)) = sup цА (х) =рА (0.5)=0.25.
х^0.5
Таким образом, степень предпочтения элемента у,= 0.5 перед нечетким множеством j(x) равна 0.25.
Вычислим теперь степень предпочтения элемента у2=2-5 перед нечетким множеством Л(х). Имеем
7(2.5, Л(х))= sup/z^(x)=ju^(2.0)- 1.
х<2 5
Понятно, что численное значение степени предпочтения заданного нечеткого множества перед заданным числом зависит от того, как определено нечеткое отношение предпочтения R.
Пример 5.10. Пусть X - числовая ось и R - нечеткое отношение предпочтения больших чисел перед меньшими, задаваемое функцией принадлежности
0, если х - у < 0, Мя(х,у) = - ^—^-,если 0<х-> <5, 1, если х-у >5.
Пусть нечеткое множество А(х) задано соотношением (5.48). Положим >>j= 0.5. При этом из (5.49) следует:
0, если х < 0.5,
-——, если 0.5 < х < 5.5, 5
1, если х > 5.5.
Тогда в соответствии с (5.45) имеем
(5.49)
//й(х,0.5) = <
167
77(я(х),О.5)= sup тт{//л(х),/уя(х,0.5)}.
хеЛ,
На рис. 5.15 приведены графики функций принадлежности //л(х), //я(х,0.5>
Из рис. 5.15 следует, что функции min{/z/4(x),///?(x,0.5)} соответствуют отрезки прямых, отображенные на этом рисунке жирно, а значение х, определяющее sup т1п{^л(х),//я(х,0.5)}, отыскивается как точка пе-
ресечения функций принадлежности //л(х) и //я(х,0.5).
Рис. 5.15. Функции принадлежности /лА(х\ дя(х,0.5)
Решим соответствующее уравнение. Имеем
4-х _ х-0.5
~2~” 5 ’
откуда
20-5х = 2х-1, х = 3.
При этом
^(3)=//я(3,0.5)=0.5,
и в соответствии с (5.45)
7(Дх>0.5) = 0.5.
Таким образом, если отношение предпочтения задано (5.49), то степень предпочтения нечеткого множества Я(х) перед 0.5 равна 0.5.
0, х<2.5,
Пусть теперь у2=2.5. При этом //я(х,2.5) = х-2 5 2.5<х<7.5, 5 1, х>7.5.
168
Тогда
r](A(x\2.5) = sup min{/z^(x),Aw(x,2.5)}.
•T€^.S‘
На рис. 5.16 приведены графики функций принадлежности //л(х), //я(х,2.5)).
К ,ИЯ'Х,2.5
л ч *
* % ч
*
0 2 4 6 8
X
Рис 5.16. Функции принадлежности ^л(х), jjr(x,2 5))
Действуя аналогично предыдущему, имеем 4-х_х-2.5
2 " 5 ’ откуда
20-5х = 2х-5, х = 3.571.
При этом
А(х\2.5) =ца (3.571) =//й(3.571,2.5) = 0.214.
Полученное значение 0.214 оценивает степень предпочтительности подмножества а(х) перед 2.5.
Введем нечеткие множества уеК, и r2(z), зеУ,с функциями принадлежности ^(у) и //2(z) соответственно, а также нечеткое отношение R предпочтения у перед z. При этом для фиксированного у в соответствии с (5.46) степень предпочтения у перед v2(z) рассчитывается по формуле
(z))=SUP minUz z)} •
zeY
Тогда степень предпочтения множества Vj перед множеством v2 определяется соотношением
169
7(^i^2 ) = sup min{u1 (Я rj(y,v2 (z))} = уеГ
(5.50)
= sup min уеГ
= sup min{u1(y),//2(z),//y?(y,z)}.
y,zeY
Аналогично этому легко получить оценку степени предпочтения у2
перед v1:
^(v2)= sup
У,2€У
(5.51)
Пример 5.11. Пусть Y - числовая ось и R - четкое отношение пердпочтения больших чисел перед меньшими, то есть z ч (0, если у <z, [1, если у> z.
В этом случае для любых Vj(y) и v2(z) соотношения (5.50) и (5.51) упростятся к виду
sup min{//1(_y)>/z2(z)}. y.zeY
(5.52)
т(»'2,»'1) = sup min{/zl(y>/z2(z)}.
(5.53)
Зададим нечеткие множества V](y) и v2(z) функции принадлежности
0, если у < 3, у - 3, если 3 < у < 4, 5-у, если4<у <5,
0, если у > 5;
О, если z < 1, z-1 , _
----, если 1 < z < 5,
4 9 — z ----, если 5 £ z < 9,
4
О, если z>9,
(5.54)
(5.54)
170
которые отображены на рис. 5.17.
1
0.75
0.5 ^'о25
о
О 2 4 б 8 „ „ 10
7 \
\ *
_А__
Рис. 5.17. Функции принадлежности д,(у). A2G)
Тогда, в соответствии с (5.52), степень предпочтения Vj(y) перед v2(z) определяется точкой А на рис. 5.17, координата у которой отыскивается из уравнения
откуда
20-4j> = j/-l, 5у = 21, у = 4.2.
При этом степень предпочтения Vjfy) перед v2(z) равна 7(vi,v2)=//i(4.2) = 0.8.
С другой стороны, в соответствии с (5.53), степень предпочтения v2(z) перед I равна 1, поскольку в области возможных значений пар (z,j>), таких, что z>y, имеются у = 4 и z = 5, для которых М (4) = щ (5) = 1 и, следовательно, rj(y}, v2) = (4), ц2 (5)} = 1.
Вернемся теперь к задаче максимизации нечеткой целевой функции на множестве альтернатив.
Пусть множество X допустимых альтернатив описано четко. Качество выбранной альтернативы оценивается нечеткими значениями нечеткой функции 0>(х). Таким образом, любой альтернативе х0 е X функция q>(x) ставит в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы в форме нечеткого подмножества ^(х0,у) множества оценок У. Пусть т] - степень предпочтения (соотношения (5.50), (5.51)), индуцированное некоторым нечетким отношением предпочтения R. Как было показано, 171
это отношение позволяет сравнить между собой по предпочтению нечеткие оценки альтернатив, а следовательно, и сами альтернативы. Другими словами, степень предпочтения альтернативы ххеХ перед альтернативой х2 е X определяется степенью предпочтения нечеткой оценки перед нечеткой оценкой (р(х2,у), то есть
^(Х!, Х2 ) = ^(Xj, у), р(х2 у )).
Для краткости обозначим через Vj(y), y^Y нечеткое подмножество ^(хьу) значений функции <р(х} при выборе альтернативы Xj и через v2(z), z е У нечеткое подмножество (р(х2,у) значений функции <р(х} при выборе альтернативы х2. Тогда т](хх, х2) = т](ух, v2).
При этом в соответствии с (5.50), имеем
7(хрх2)= sup mm{<p(x},y),<p{x1,y\nR(y,z)}. (5.56)
г.уеУ
Здесь, как уже сказано, нечеткие функции ^(х1эу), р(х2,у) имеют смысл функций принадлежности нечетких множеств, индуцируемых функцией 0>(х) для аргументов Xj и х2.
Заметим, что если бы некоторая целевая функция ср(х) была описа
на четко, то есть
<Р^у)=
1, если ^(х)= у, 0, иначе,
и функция предпочтения также была четкой, то есть
^(z>y) =
1, если y>z,
0, иначе,
,*2)
то (5.56) приняло бы понятный и естественный вид 1, если ^xi)><p(x2), 0, иначе.
Полученное соотношение (5.56) сводит задачу выбора наилучшей альтернативы к следующей. На универсальном множестве альтернатив А" задано нечеткое отношение предпочтения г](хх,х2}. Теперь, с использованием методики, изложенной в п.3.6, выделим в множестве X нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. В соответствии с (3.39) за
172
пишем выражение для расчета степени, с которой альтернатива х, не доминируется ни одной из альтернатив множества^:
А5(х)(*1)= 1- supfofa.xj-^xpxj}. (5.57)
Х2^Х
Отсюда, с учетом (5.56), получим
^О(х) = 1 -suJ sup min{^(x],y),^(x2,y),//s(z,y)}-l/.Xer
- sup т'т{^,г),<р(х2,у)^к(у,2)}\. (5.58)
J
В простом частном случае, когда множество альтернатив задано на числовой оси с естественным предпочтением больших чисел перед меньшими, соотношение (5.56) упрощается к виду
7(х„х2)= sup min{^(x!,y\<p(x2,z)\. (5.59)
z,ye.Y
У-2
Аналогично этому
т?(х2, X,) = sup min{Xxi, у), <р(х2, z)}. (5.60)
г.уеГ
Понятно, что описанная методика максимизации нечеткой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив может быть реализована, только если множество альтернатив конечно и содержит не слишком много элементов.
Пример 5.12. Фирма выпускает продукцию двух видов. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида равна сх единиц, а от реализации продукции второго вида - с2 единиц. С другой стороны, затраты на изготовление единицы продукции первого и второго видов равны соответственно ах и а2 единиц. Найти рациональную структуру производства, если суммарные затраты не должны превышать b единиц.
Введем и, - количество единиц продукции i -го вида, планируемое для производства, i -1,2.
Тогда сформулированная задача сводится к следующей: найти план (м1,м2), максимизирующий суммарную прибыль
173
L(u},u2) = с}и} + с2и2 (5.61)
и удовлетворяющий ограничениям
alwl + ^2М2 =^’ (5.62)
и}>0,и2>0. (5.63)
Решение этой задачи элементарно и достигается следующим обра-
зом. Введем новые переменные vz = -1-i = 1,2. Тогда соотношения b
(5.61)-(5.63) примут вид
Z(Vj,V2) = 6--Vi —v2 =</iVj + J2V2, (5.64)
a2
V] + v2 = 1, (5.65)
Vj > 0, v2 > 0. (5.66)
Оптимальное решение задачи очевидно:
♦ 1, если i-i ,
V'=<L (5.67)
0, если ,
где
z* = arg max{ dt} = arg max< b — k 1 ' я, (5.68)
При этом
M, = \b —, если i = i , 4
0, если z * z .
Таким образом, рациональное решение состоит в том, чтобы вы
пускать тот вид продукции, для которого максимально отношение
Ьс. . , _ Ь
—L. z = 1,2, в количестве - единиц. az а,
Задача усложняется, если какие-то параметры задачи являются нечеткими числами. Пусть, например, по условию задачи прибыль от реализации единицы продукции z-ro вида есть нечеткое число, «приблизительно равное с,», с функцией принадлежности
174
//(с,) = ехр- -
(5.69)
М^2|’/=1’2-2а,2 J
Из (5.65) следует, что структура производства однозначно задается значением одного любого элемента из пары (vj,v2). В связи с этим введем переменную х = v, и запишем нечеткое значение прибыли с использованием этой переменной:
L(x) = dlx + d2(]-x) = c1 —х + с2 — ai а2
Теперь, с использованием (4.3) и (4.24), (4.25), получим функцию принадлежности д(х) нечеткого числа Л(х). Имеем
(5.70)
/ ч J (х-т^У //(х) = ехр(- 2^'2 р
(5.71)
2
- Ь - b А =с\— х + с2 — (1 *1 *2
2 Ь 2^ Ь /. =ai — х + а2 —(] 1*1 ) 1*2
Дальнейшая последовательность действий такова: а) ведем конечное множество альтернатив решения задачи;
б) с учетом (5.71)—(5.73) рассчитаем степени предпочтения каждой из альтернатив перед другими;
в) полученную матрицу нечетких отношений предпочтения используем для отыскания недоминируемых альтернатив.
Решим задачу для следующих исходных данных: ^ = 21, с2 = 16, О-,2 =4, а2 =1, ах =10, а2 = 8, 6 = 120.
Для простоты введем универсальное множество альтернатив, содержащее всего три элемента: Xj = 0, то есть все средства используются Ъ для производства продукции второго вида в количестве — единиц;
*2
х2 =0.5, то есть средства распределяются между продукцией первого вида, производимого в количестве , и продукцией второго вида,
(5.72)
(5.73)
175
b
производимого в количестве -— единиц; х3 = 1, то есть все средства ис-
b
пользуются для производства продукции первого вида в количестве —
единиц.
Теперь, с использованием (5.71)-(5.73), получим функции принадлежности нечетких значений прибыли, соответствующих перечисленным
альтернативам:
2 2(
=:<^2 —
k°2j
А2 (*2) = ехр|-
< 2°Ъ J
с,Ь
Wy2 = —
2а,
с?Ь
-ь—=—
2а2
Аз (*з) = ехр!- Ц, = с, —,
I 2ап а,
С учетом конкретных значений параметров задачи имеем:
6 J29 = 240, = 225;
8
21120 16120 = + = 246, 210 2-8 ^4220? Н20? 200.25; 13 u-ioj U-8J
21 120 ю тгз = —= 252- 2 /120А , Ог3 = 4 = 576. \ ю)
Тогда
„h'-e-J , ч (_(хд-24б);|
45О J. 4005 J.
3V 37 к 1152
Перейдем к оценке степени предпочтения альтернатив. Поскольку оценки альтернатив заданы на числовой оси с естественным предпочтением больших чисел перед меньшими (большей прибыли перед меньшей), используем соотношение (5.59).
176
Найдем оценку степени предпочтения нечеткого множества с функцией принадлежности ^(xj перед нечетким множеством с функцией принадлежности /z2(x2), а также оценку степени обратного предпочтения.
Рис. 5.18. Функции принадлежности ) и р2(х2)
Из графиков функций и приведенных на рис. 5.18, ясно, что степень предпочтения первой альтернативы Х| перед второй х2 определяется точкой А, координата которой отыскивается из уравнения (х-240)2 _(х-24б)2 450 400.5
Из (5.74) имеем х-240 +х-246 21.21 ~~ 20.01 ’
Меньший корень полученного уравнения равен х = 243.087. При этом степень предпочтения первой альтернативы перед второй равна Tj(xlyx2) = /4 (243.087) = 0.979.
С другой стороны, в соответствии с (5.60), степень предпочтения альтернативы х2 перед х3 равна 1.
Аналогично этому найдем оценки предпочтения альтернативы перед х3 и, наоборот, альтернативы х3 перед хР Графики функций принадлежности ^(xj и //3(х3) приведены на рис. 5.19.
Уравнение для отыскания координаты точки, определяющей иско-(х-240)2 (х-252)2 мую степень предпочтения х, перед х3, имеет вид ----= -———
177
Рис. 5.19. Функции принадлежности ^(х,) и
Отсюда хА =244.615, ^(хих3) = (244.615) = 0.954.
С другой стороны т]{х3,хх) = 1.
Приведем, наконец, без пояснений результаты расчета оценок
предпочтения альтернативы х2 перед х3 и альтернативы х3 перед х2. Имеем
7?(х2 , х3) = //2 (248.226) = 0.988, т](хг, х2) = 1.
Введем теперь матрицу опенок функций принадлежности для нечетких отношений предпочтения на множестве (х15х2,х3).
Имеем
'I
ь
0.979 0.954А
1 0.988
1 1 J
Далее
0
0 0"
0 0
^0.046
0.012 0)
Завершая решение задачи в соответствии с методикой, изложенной в подразделе 3.6, определим степень недоминируемости каждой из аль
тернатив путем вычитания из единицы максимального значения в каждом из столбцов матрицы (хпху). Получим
/^(х)(х) = {0.954, 0.988,1}.
Наибольшую степень недоминируемости, равную 1, имеет альтер
нативах3.
178
5.6 Задача математического программирования, в которой параметры целевой функции и ограничений заданы нечетко
Пусть задано универсальное множество альтернатив X и подмножество допустимых альтернатив, описываемое ограничениями-неравенствами вида
£у(хД,,...,^)<0, У = 1,2,..„л. (5.75)
Здесь gj( ) - заданные функции XxRp^>R'; btJ, / = 1,2......р,
j = 1,2,..., п - числовые параметры, значения которых описаны нечегко в форме подмножеств числовой оси своими функциями принадлежности VM' i = b2,...,p, У = 1,2,..„и.
Эффективность каждой из возможных альтернатив оценивается значением функции цели
/(х,^,^,...,^), (5.76)
в которой at, i = 1,2,..., 7 - числовые параметры, значения которых также описаны нечетко своими функциями принадлежности к*,(a,), i = 1,2,...,/и. Поскольку значения целевой функции заданы на числовой оси, степень предпочтения одних альтернатив перед другими оценивается естественным предпочтением больших чисел перед меньшими.
Введем набор i = 1,2,...,/?, у = 1,2,..., л конкретных значений параметров ограничений (5.75), степени принадлежности которых определяются соответствующим набором i = 1,2,...,/?,j = 1,2,...,л.
Пусть - минимальное из этих чисел, то есть
//(0)= min {vy(ft$0))}. (5.77)
y=I,2,...,w
Если при этом некоторая конкретная альтернатива # е X удовлетворяет неравенствам
то естественно считать, что эта альтернатива принадлежит множеству допустимых альтернатив со степенью, не меньшей //°\ Понятно, что полученная степень допустимости альтернативы # может быть повыше-
179
на, если найдется другой набор удовлетворяющий ограничениям жм............^о. ш) >0, / = 1,2,...,р, у = 1,2,..., л, для которого
значение = min
/-1.2. Рп
окажется большим, чем Отсюда следует, что истинная степень допустимости любой альтернативы х е X может быть получена из соотношения
Л =sup min {v )} , (5.78)
й(х),=12 р у=],2, „я
где В(х) - множество наборов {b:j} , таких, что gJ(x,biJ,b2j,...,bpj)<0, v,J(bIJ)>0, i = \,2,...,p, j = \.2,...,n.
Соотношение (5.78) задает функцию принадлежности множества допустимых альтернатив.
vi(M = *
Пример 5.13. Пусть в задаче математического программирования подмножество допустимых альтернатив определяется неравенствами ^х-62<0, (5.79)
х>0, (5.80)
причем Ь{ и Ь2 - нечеткие параметры с функциями принадлежности 0, если bi < 2, 5,-2 А
----, если 2<Ь} <4,
2 '
------, если 4<Ы <6, 2----1
0, если Ьх > 6, 0, если Ь2 < 2, b ~2 ——, если 2<ЬУ <6, 4 2
<
——, если 6 < b2 £ 10, 4 2
0, если b2 > 10, 180
(5.81)
v2(M=
(5.82)
графики которых приведены на рис. 5.20.
\ V2'b2
* X
х
* * X
0 2 4 6 & 10
х
Рис. 5.20. Графики функций принадлежности v,^), v1(b2)
Найдем функцию принадлежности допустимых значений х.
Сначала определим интервал значений х, соответствующий носителю нечеткого числа, задающего степень допустимости альтернативы х.
Левая граница этого интервала равна нулю, так как при минимальном возможном значении х = 0 неравенства (5.79). (5.80) удовлетворяются при любых возможных значениях нечетких чисел и Ь2. При этом степень допустимости альтернативы х = 0 равна 1. Действительно, при этой альтернативе неравенство (5.79) удовлетворяется, в частности, для &i(0) = 4 и ^20) = <> • Поэтому
//Д0) = supminfofo ),v2(/>2)} = supmin{vj(4), г2(б)} = min{l,l} = 1.
Далее, степень допустимости альтернатив остается равной 1 для всех тех х, для которых неравенство (5.79) выполняется при условии, что нечеткие числа Ьх и Ь2 принимают значения, равные модальным. Отсюда граничное значение хг, при котором дХ*г)=1 отыскивается из уравнения
4хг-6 = 0, хг =1.5.
Таким образом,
дс(х)=1, хе[0,1.5]. (5.83)
С другой стороны, понятно, что правая граница искомого интервала - носителя - определяется максимальным значением х, при котором выполняется неравенство
181
^Imin* ^2 max — 6, где
*imin =min{fel :vj(*,)>()}, ^тп =2, ^2max =max{/>2 :v2(fe2)>0}, fe2nMX =10.
Отсюда
2x-10<0, xmax =5. (5.84)
Определим теперь закон изменения функции принадлежности //с(х) нечеткого числа, задающего степень допустимости альтернативы х в интервале [1.5,5]. В этом интервале
Ac W=sup min {v, (bt \ v2 (b2)} e (0,1).
B(x)
Пусть, например, x = 2. Тогда неравенство (5.79) принимает вид г^-^о.
Необходимо отыскать такую пару значений и Ь2, чтобы выполнялось приведенное выше неравенство и одновременно значение 1Шп{у1(бДу2(М} было максимально возможным. Эту пару можно отыскать, если построить функцию принадлежности //(х) нечеткого числа у = 26| и отобразить ее на одном рисунке с v2(fe2). В соответствии с (4.3), с учетом (5.81),
0, если у < 4,
у — 4
------------------------, если 4 < у < 8, aGO=J 4 12 — v -----------если 8 < у < 12, 4-----------Л
0, если у >12.
Рис. 5.21. Графики функций принадлежности //(у), v2(/>2)
182
На рис. 5.21 функция г] = min{/z(y), v2(^2)} отображена жирно, а значение степени допустимости выбранной альтернативы х = 2
А (2) = supminify), v,(b2)}
определяется точкой Л пересечения //(у) и v2(fe2). При этом имеем
у —4 _ 10-у
4 ~~4_ ’
Отсюда у -= 7, /лс (2) = v2 (7) = 0.75.
Это рассуждение можно повторить для произвольного значения х из интервала (1.5,5). При этом если у = xt\, то соответствующая функция принадлежности примет вид
0, если у < 2х, у - 2х _ .
-----, если 2х < у < 4х,
Ду)= ,2х
6х - у
-------, если 4х < у < 6х, 2х
0, если у >6.
Тогда точка пересечения //(у) и v2(fe2) определяется из уравнения у-2х _ 10-у ~2х~ ~ 4
14х
Отсюда у = ——.
2 + х
При этом
< \ ( \ Ю-у If 14х > 5-х .....
Mc\x) = v2(y)=— — = - 10-----<5-85)
4 4< 2 + х) 2+х
Полученное соотношение позволяет рассчитать степень допустимости альтернативы х в интервале (1.5, 5). Объединяя (5.83)-(5.85), построим на рис. 5.22 график соответствующей функции принадлежности.
Таким образом, искомая функция принадлежности нечеткого значения допустимости альтернативы х построена.
183
1.2 -
и. У
*
из о " ’ - _
0 1 2 3 4 5
х
Рис. 5.22. График функции рс(х)
Вернемся к нечеткой целевой функции (5.76). Пусть
/ = 1,2,...,д - конкретные числовые значения нечетких параметров функции (5.76), степени принадлежности которых соответствующим нечетким множествам определяются набором /г,(а,°)), Z = 1,2,...,<?. Определим теперь - минимальное из этих чисел, то есть
(jp^ = min
Пусть, наконец, £ е X - некоторая конкретная альтернатива и при этом число
есть соответствующее выбранной альтернативе X и значениям параметров / = 1,2,.значение функции цели (5.76). По аналогии с предыдущим естественно считать, что это значение принадлежит нечеткой (вследствие нечеткости параметров a[Q\ i = l,29...,q) оценке альтернативы Я со степенью, не меньшей Понятно, что степень принадлежности значения функции нечеткому множеству значений функции (5.76), соответствующих альтернативе £ и равных может быть повышена, если найдется другой набор }, для которого
Ш"...........ч,'")=гв’
и одновременно min
184
Пример 5.14. Пусть целевая функция имеет вид f(x,ax,a2) = a}x + a2, причем параметры и а2 - нечеткие числа с функциями принадлежно-
сти, соответственно равными
0, если ах < 2, 67 2 1 лиц; Э /7 А
, о С-714 Ui *т, 2 1 L огни А /7
, CCJIU Ч _i Ui L О, 2 1 0, если а} > 6, 0, если а2 < 0,
/г2(а2) = . —, если 0 < а2 < 6, 6 2 ——~, если 6 < а2 < 12, 6 0, если а2 >12.
(5.86)
(5.87)
Зададим конкретный набор значений параметров целевой функции: а^=3, а^=8. Степени принадлежности выбранных значений параметров соответствующим нечетким множествам равны: к'1(3) = 0.5,
2 Г 1
jq (в) = -, а значение равно min< 0.5, = 0.5. Выберем альтернативу
£ = 2 и вычислим
г(0) = /(£, , 40)) = 3 • 2 + 8 = 14.
При этом значение = 14 принадлежит нечеткой оценке альтернативы £ = 2 со степенью не ниже 0.5. Попытаемся найти другой набор для которого
+а2 =14
и одновременно
= min {/г, >0-5.
<^2+02=14
185
С этой целью решим следующую четкую задачу математического программирования: найти набор (а19а2)9 максимизирующий
<р = min{iq (а,), к2 (а2)} (5.88)
и удовлетворяющий ограничению
2а1+а2=14. (5.89)
Из (5.89) выразим а2 через а}:
а2 = 14-2^. (5.90)
Подставим полученное выражение для а2 в (5.87). При этом
0, если 14-2aj < 0, 14-2а, Л .. * ,
------если 0< 14-2Д] <6,
12-14+2а, , , . _
--------если 6 <14-2а, <12,
6 1
О, если 14-2а} >12.
Отсюда, после элементарных упрощений,
О, если ах < 1, а, — 1 ——, если 1<а, <4, ^(а1)=17_3а ----------------------------, если 4 < а, <7, 3-------------1
О, если а} > 7.
(5.91)
Теперь для отыскания набора, максимизирующего (5.88), отобразим функции принадлежности (5.86) и (5.91) на рис. 5.23.
Рис. 5.23. Функции принадлежности к*,(a,),
Из рисунка ясно, что для всех а} имеет место к:2(а{)9 при-
186
чем равенство достигается в точке ах = 4, в которой (4) = к2(4) - 1.
При этом, в соответствии с (5.89), а2 = \4-2ах -6.
Таким образом, найдена пара (ах,а2), которой соответствует мак
симально возможное, равное единице, значение степени принадлежности нечеткого значения г0 =14 функции /(x,aba2) для выбранной альтернативы X = 2.
Проведенные в примере 5.14 рассуждения можно повторить при
отыскании степени принадлежности нечеткого значения г = /(х,а15а2,....а ) функции цели, являющегося нечеткой оценкой произвольной допустимой альтернативы х. Для выбранной пары (х,г), г = /(х,а1,а2,....а ) введем множество Q(a;x,r) всех наборов а = (aj,a2,...,a ), таких, что /(х,а)=г. Тогда степень принадлежности нечеткого значения г, являющегося нечеткой оценкой альтернативы х,
имеет вид
(p(x.r)= sup /г(а), ue(?(a;x,r)
где
а = ач), ф) = =min к, (а,), Q(a; х, г) = {а: /(х, а,, а2aq ) = г}
(5-92)
(5.93)
(5.94)
Понятно, что описанная технология решения нечеткой задачи математического программирования реально может быть использована
только в тех случаях, когда множество альтернатив конечно и содержит не слишком много элементов.
Пример 5.15. Сформулируем нечеткую задачу линейного программирования: найти набор (хих2), максимизирующий линейную целевую функцию
/(х,,х2) = а1х1 + «2х2 (5.95)
и удовлетворяющий ограничениям
Х|+х2<2, (5.96)
3х]+х2<3, (5.97)
187
х,>0. х2 >0, (5.98)
причем параметры целевой функции а} и а2 - нечеткие числа с функциями принадлежности, соответственно равными
О, ai~2 2 6-а, ~2~ О,
(5.99)
0, а2 < 0,
а2 0 < а2 с 6,
к-2(а2) = - 6 ’ 12-д2 6 ’ 6 < а2 <12,
.°’ а2 >12.
(5.100)
Ограничения (5.96)-(5.98) высекают на плоскости ХхОХ2 выпуклый многоугольник, определяющий допустимые решения задачи. Граница области допустимых решений на рис. 5.24 выделена жирно.
На этом же рисунке помечены крайние точки многогранника (О, А, В, С), определяющие решения - опорные планы задачи. Пусть точке А соответствует первая допустимая альтернатива решения -
~ (Х11**12)’ точке В ~ вторая альтернатива Х^ =(*21»х22)’ точке С -третья альтернатива = (х31,х32).
0 0.5 1 15 Х12
Рис. 5.24. Область допустимых решений
188
Из рис. 5.24 следует, что = (хи,х12) = (0,2),
%(3>=(*31 ,х32)=(1,0). Координаты точки Х^ найдем, решив систему уравнений
|*21 +*22 = 2>
[Зх21+х22 =3.
1 3
Отсюда х91 = -, х99 = -.
2 2 2
Зададим некоторый конкретный допустимый набор значений параметров целевой функции =3, =9. Степени принадлежности вы-
бранных значений параметров соответствующим нечетким множествам равны: /г1(а^)=/г1(з) = 0.5, /г2(а^)=/г2(9)= 0.5.
Выберем альтернативу = (0,2) и вычислим r(l) =/(xlhx12>al1)’O2l)) = a2)jC12 =9-2 = 18.
Прямая 3xj + 9х2 =18 касается многоугольника ограничений в его крайней точке X = (0,2). Поэтому альтернатива Л^=(0,2) может рассматриваться как решение задачи линейного программирования с целевой функцией f(X) = 3xj + 9х2 и ограничениями (5.96)-(5.98).
При этом значение = 18 принадлежит нечеткой оценке альтернативы = (0,2) со степенью, равной
= minf^ (З), лг2 (9)} = min{0.5,0.5) = 0.5.
С целью отыскания другого возможного набора для ко-
торого
f(x(x\a^\a^}=\Z (5.101)
и одновременно =0.5, решим следую-
,О2
щую четкую задачу математического программирования: найти набор (а!, а2), максимизирующий
(р = min {де, (а,), к2 (а2)} (5.102)
и удовлетворяющий ограничению ajXH + а2х12 = 18.
189
В данном случае, поскольку хп =0, параметр а2 фиксирован, и поэтому значение критерия (5.102) не может быть улучшено.
Эти же рассуждения повторим для альтернативы Х^ = (x3i ,х32) = (1,0). Вновь выберем =3, = 9 и вычислим
f - 7^31^32^1 '^2 J= 1-3 = 3.
Прямая 3xj + 9x2=3, проходя через крайнюю точку ^^^=(1,0) многогранника ограничений, пересечет его. Поэтому альтернатива X® не является решением задачи линейного программирования с целевой функцией /(х) = 3х1 + 9х2 и ограничениями (5.96)-(5.98).
В связи с этим выберем другую пару параметров целевой функции, например, = 5, а^ = 1. Степень принадлежности этих параметров задачи соответствующим нечетким множествам равна: ^(5)=^;
При этом для альтернативы ^^^=(1,0) имеем 6
Г =7^31^32^1 ^2
Прямая 5х! + х2 = 5 касается многогранника ограничений в крайней точке X = (1,0). Поэтому альтернатива Х^ = (1,0) может рассматриваться как решение задачи линейного программирования с целевой функцией /(х)= 5xt +х2 и ограничениями (5.96)-(5.98). Значение /3) = 5 принадлежит нечегкой оценке альтернативы X® = (1,0) со степенью, равной
<р{3 > = min {г, (5), к2 (1)} = min ||, U = .
(2 0J О
При этом, так как х32 =0, параметр а} фиксирован и значение степени принадлежности альтернативы X® = (1,0) не может быть улучшено.
/ 1 3 \
Рассмотрим, наконец, альтернативу ^(2) = (х21,х22 )=-,-!. Зададим набор значений параметров целевой функции ар'=3, а^ = 2 со степенями принадлежности, соответствующими нечетким множествам,
190
равными к-|(з) = 0.5, к*2(2) =
Вычислим
3
= /(х21’Х22’аР^а220=^’“+^*~ = 4.5.
•'yZl’ZZ’I’Z/ з 2
Прямая Зх,+2х2=4.5 касается многогранника ограничений в
« - v f 1 п v(2) ( 1
крайней точке л =1 -,-1. Поэтому альтернатива Xv /-I может
рассматриваться как решение задачи линейного программирования с целевой функцией /(х)= Зх, + 2х2 и ограничениями (5.96)-(5.98).
При этом значение г® = 4.5 принадлежит нечеткой оценке альтер-
нативы X® = со степенью, равной
<р{2} = min {г, (3), лг2 (2)} = min||, |.
Для отыскания другого набора (oj, а2), для которого
f(x(?},al,a2)=4.5
и одновременно
<3 = min {г, (а,\к2(а2)} > р(2) =
решим следующую задачу математического программирования: найти набор (а19а2), максимизирующий
<р = пйп^ (fl! ), к2 (а2)} (5.103)
и удовлетворяющий ограничению
1 3 л с
а(х21+а2х22 = -а,+-а2 =4.5.
Из этого соотношения имеем ах = 9 - За2.
Подставим полученное выражение для а} в (5.99).
При этом /г1(а2) = ^ 0, если 9-За2 <2, -———-, если 2 < 9 - За, < 4, 2 2 -—— если 4<9-За2 <6, 2 2 0, если 9 - За2 > 6. 191
Отсюда, после упрощения, имеем:
О, если а2 < 1,
-~, если 1 < За2 < -,
2 2 3
K\\al)= 7 ~~~*а2 5 _
2 3 2 3
О, если а2 > -.
I 3
(5.104)
Теперь для отыскания набора, максимизирующего (5.103), отобразим функции принадлежности (5.100) и (5.104) на рис. 5.25.
Рис. 5.25. Функции принадлежности /q(a2), **2(^2)
Из рис. 5.25 ясно, что максимальное значение функции (5.103) достигается в точке А, координаты которой найдем из уравнения
7-За2 _^2
~Т~” б~*
Отсюда а2 =2.1 и а, = 9-За2 =2.7. При этом значение г(2) =4.5
принадлежит нечеткой оценке альтернативы со степенью
//r(x(2))= minfo (2.7), v2(2.1)} = min] ——l = min{0.35,0.35} = 0.35.
( 2 6 J
Таким образом, в результате решения задачи для допустимых аль-тернатив Аг(|) = (0,2), %<2) =1 ^<3> =0>®) получены соответст-
вующие значения целевой функции /(лгП))= /(0,2) = 18,
192
Д%(2))= = 4.5, /(%(2))=/(1,0)=5, которые принадлежат не-
четким оценкам перечисленных альтернатив со степенями, равными 0.5; 0.33; 0.166.
Следует отметить, что описанная технология решения задачи математического программирования с нечетко заданными параметрами целевой функции и результат ее применения не вполне соответствуют интуитивно ясному представлению о том, что в действительности ожидалось получить, а именно - альтернативу, обеспечивающую наибольшее значение целевой функции с возможно большим значением степени принадлежности к нечеткому множеству, описывающему максимально возможные значения целевой функции на множестве допустимых альтернатив. Сказанное является естественным следствием конструктивных особенностей методики: произвольный выбор начального набора значений нечетких параметров целевой функции и допустимой альтернативы навязывают в такой же мере произвольное значение этой целевой функции и степень его принадлежности максимально возможному значению. Дальнейшая процедура не ориентирована на улучшение начальной альтернативы, поскольку направлена лишь на повышение степени ее принадлежности искомому решению.
В связи с этим рассмотрим другой подход к решению поставленной задачи.
Выберем некоторое число а из интервала 0 < а < 1 такое, что для всех функций принадлежности нечетких параметров целевой функции выполняется неравенство sup/r/aj^a. Понятно [7], что в этом случае
функция (5.92) обладает следующим свойством: для любого хеХ sup^(x,r)>a. г
Это означает, что если все нечеткие множества, описывающие нечеткие параметры целевой функции, имеют высоту, не меньшую а, то для нахождения альтернатив, степень недоминируемости которых не меньше а, достаточно решить следующую четкую задачу математического программирования: максимизировать функцию цели
193
/(х, ai,a2,...,a4)
при ограничениях
к,{а^>а9 i = \,2,...,q4
Следует заметить, что этот подход к решению может быть использован, если сама задача достаточно проста. Применение описанной технологии для решения общей задачи математического программирования с нечеткими параметрами сопряжено с серьезными трудностями.
Пример 5.16. Найти набор (х1?х2), максимизирующий линейную целевую функцию (5.95) и удовлетворяющий ограничениям (5.96)-(5.98), причем параметры целевой функции а} и а2 - нечеткие числа с
функциями принадлежности:
K-JaJ^exp-
8
Зададим a = 0.5. Тогда диапазоны значений ax и я2, для которых
Kt{ai)> а = 0.5, отыскиваются из уравнений (*2-б)2
J (fli-4)4 n. J exp< - —---> = 0.5, exp -
^ = 0.5.
2
8
Отсюда
(ai-4)2 = -21n0.5 = ln4 = 1.386, ^imin — 2.823 < О] iS 5.177 — Я]тах,
(5.105)
(а2-б)2 =-8 In 0.5 = In 256 = 5.545,
a2min = 3.645 <а2 <8.355 = a2max. (5.106)
Таким образом, получена следующая четкая задача математического программирования: максимизировать (5.95) при ограничениях (5.96)-(5.98), (5.105), (5.106).
Ограничения (5.96)-(5.98) задают многоугольник, определяющий допустимые наборы (хъх2) (рис. 5.24). С другой стороны, ограничения (5.105), (5.106) определяют область значений нечетких параметров целе
194
вой функции (ai9a2)9 имеющих степень принадлежности не ниже заданной (рис. 5.26).
а2 8.335
3.645
2.823 5.177 а{
Рис. 5.26. Область значений параметров а,, а2, имеющих степень принадлежности не ниже чем 0.5
В полученной задаче целевая функция f(x}ix29a{9a2) оказывается квадратической, а ограничения - линейные неравенства. Специфическая конструкция целевой функции позволяет свести задачу (5.95)-(5.98), (5.105), (5.106) к последовательности задач линейного программирования. С этой целью используем метод блочной релаксации [9, 15, 23].
Выберем из допустимой области значений (арв?), ограниченной неравенствами (5.105), (5.106), произвольный начальный набор, например, = 5, а2(°) = 4 • Тогда задача сведется к следующей: найти набор (х19х2), максимизирующий
/(х1,х2,а1(0),а2(0))=5Х| +4х2 (5.107)
и удовлетворяющий ограничениям (5.96)-(5.98).
Легко видеть (рис. 5.24), что максимальное значение (5.107) на множестве наборов (х1?х2), удовлетворяющих (5.96)-(5.98), достигается в точке (х/!\х2^)= (0.5,1.5) и равно:
/(х1(1),х2(1),а1(0),а2(0)]= /(0.5,1.5,5.4) = 5 0.5+4-1.5 = 8.5.
Зафиксируем набор (х/’\х2^^ и поставим задачу отыскания (аРа2)’ максимизирующего
/(х/1\х2^,а1,а2)=а1Х|(1) + а2х2(1) =0.5^ +1.5а2 (5.108)
195
и удовлетворяющего ограничениям (5.105), (5.106).
Максимальное значение (5.108) достигается (рис. 5.26) в точке (aI<,),o2(1>)= (^inMx.a2max)= (5.177,8.355) и равно:
/(0.5,1.5,5.177,8.355) = 5.177 • 0.5 + 8.355 • 1.5 = 15.121.
Зафиксируем теперь пару (5-177,8.355) и сформулируем
задачу отыскания набора (х1?х2), максимизирующего
/(х|,х2,а1(|),а2(|))= 5.177х, +8.355х2 (5.109)
и удовлетворяющего ограничениям (5.96)-(5.98).
Максимум (5.109) достигается (рис. 5.24) в допустимой точке (х,(2),х2(2))= (0,2) и равен /(xp.x^.a^.a/0^8.355-2 = 16.71.
Дальнейшая процедура поиска пары максимизирующей
/(x/2\x/2\ai,a2)= 2а2 вновь приводит к набору ах = 5.177, а2 = 8.355.
Решение задачи закончено.
5.7 Контрольные вопросы
1. В чем состоит суть задач нечеткого математического программирования?
2. Каким образом применяется подход Веллмана - Заде к решению нечетких задач в различных постановках?
3. Каковы особенности первого подхода к решению задачи нечеткого математического программирования?
4. Каковы особенности второго подхода к решению задачи максимизации четкой целевой функции на нечетком множестве допустимых альтернатив?
5. Принцип решения задачи математического программирования, в которой параметры целевой функции и ограничений заданы нечетко?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А.Н. Аверкин. - М.: Наука, 1985. - 312 с.
2. Батыршин И.З. Основные операции нечеткой логики и их обоб-
196
шения / И.З. Батыршин. - Казань: Отечество, 2001. - 100 с.
3. Борисов А.А. Нечеткие модели и сети / А.А. Борисов, В.В. Круглов, А.С. Федулов. - М.: Горячая линия, 2007. - 284 с.
4. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад : пер. с франц. - М.: Радио и связь, 1990. - 286 с.
5. ЗадеЛ. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. Заде : пер. с англ. - М.: Мир, 1975.- 100 с.
6. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация / Ю.П. Зайченко. - К.: Вища школа, 1991. - 191 с.
7. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1981. - 206 с.
8. Корбут А.А. Дискретное программирование / А.А. Корбут, Ю.Ю. Финкельштейн. - М.: Наука, 1969. - 368 с.
9. Костенко Ю.Т. Прогнозирование технического состояния систем управления / Ю.Г. Костенко, Л.Г. Раскин. - X.: Основа, 1995. - 303 с.
10. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А.Кофман : пер. с франц. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
11. Круглов В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И.Дли, Р.Ю. Годунов. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -224 с.
12. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений / В.Б. Кузьмин. - М.: Наука, 1982.- 168 с.
13. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzy TECH / А.В. Леоненков. - СПб.: БХВ - Петербург, 2003. - 736 с.
14. Мелихов А.Н. Конечные четкие и расплывчатые множества / А.Н. Мелихов, Л.С. Бернштейн. - Таганрог: ТРТИ, 1981. - 198 с.
15. Мину М. Математическое программирование / М.Мину : пер. с франц. - М.: Наука, 1990. - 488 с.
16. Негойцэ К. Применение теории систем к проблемам управления / К. Негейцэ : пер. с англ. - М.: Мир, 1981. - 180 с.
197
17. Нечеткие множества и теория возможностей: пер. с англ, под ред. Ягера Р.Р. - М.: Радио и связь, 1985. - 408 с.
18. Пономарев А.С. Нечеткие множества в задачах автоматизированного управления и принятия решений / А.С. Пономарев. - X.: НТУ «ХПИ», 2005. -232 с.
19. Раскин Л.Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления / Л.Г. Раскин. - М.: Сов. радио, 1975. - 344 с.
20. Раскин Л.Г. Континуальное линейное программирование / Л.Г. Раскин, И.О. Кириченко. - X.: ВИВВ, 2005. - 176 с.
21. Раскин Л.Г. Формирование скалярного критерия предпочтения по результатам попарных сравнений объектов / Л.Г. Раскин, О.В. Серая // В1сник НТУ «ХП1». - X.: НТУ «ХПИ», 2003. - №5. - С. 63-68.
22. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Т. Саати : пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1984. - 316 с.
23. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау : пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 534 с.
24. Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети / Г.Э. Яхъяева. - М.: БИНОМ, 2005. - 316 с.
25. Kwakemaak Н. Fuzzy random variables. Definitions and theorems. - Information Sciences, 1978. - vol. 15. - 1-29.
26. Negoita C.V., Ralescu D.A. Application of fuzzy sets to systems analysis. - Basel: Birkhauser Verlag, 1975.
27. Negoita C.V., Ralescu D. Simulation, Knowledge - based Computing and Fuzzy Statistics. - Van Nostrand Reinhold. - New York, 1987.
28. Zadeh L.A. Fuzzy sets. - Inf. Conf., 1965.8, p. 338-353.
29. Zadeh L.A., Bellman R.E. Decision - making in a fuzzy environment. - Managem. Sci., 1970, 17. - p. 141-164.
198
предметный указатель
3
Задача математического программирования 142 нечеткого математического программирования 142 стохастического программирования 142
М
Метод косвенный 38 прямой 36
Множество 11 бесконечное 16 ближайшее четкое 22 выпуклое 22 высота 20 граница 22 конечное 16 мода 21 модальное значение 21 несравнимые 48 нечеткое 13, 14 нормальное 20 носитель 15 пустое 15 строгого уровня 18 субнормальное 20 точка перехода 22 универсальное 11 унимодальное 21 уровня 18
199
ядро 21
Н
Нечеткая величина 105 неотрицательная 105
Нечеткие интервал 105 (А-Я)-типа 118
Нечеткое число 105 нуль 105 положительное 105 обратное 121 отрицательное 105 (£-/?>типа 117
О
Отношение
безразличия 101
бинарное 68 ближайшее четкое 77 высота 75 квазиэквивалентности 101 конечное 72 мода 76 носитель 75
нестрогого предпочтения 99 несчетное 72 нечеткое 67 обратное 68 различия 92
строгого предпочтения 100 счетное 72
200
сходства 92 субнормальное 76 полное 68 пустое 68 эквивалентности 93 ядро 77 а-уровня 75
Оператор отрицание 65 треугольная конорма 64 треугольная норма 64
Операция над нечеткими множествами алгебраическое объединение 59 алгебраическое пересечение 58 алгебраическое произведение 58 алгебраическая сумма 59 возведение в степень 80 выпуклая комбинация 63 граничное объединение 62 граничное пересечение 61 дизъюнктивная сумма 63 дополнение 13,48 концентрирования 51 объединение 12, 53 пересечение 12, 52 равенство 47 разность 55 растяжения 51 симметрическая разность 55 строго унимодальная 21 унарная 48
201
Л-сумма 62
Операция над нечеткими отношениями дополнение 82 композиция 83 нечеткая алгебраическая 89 нечеткая к -местная 90 объединение 80 пересечение 79 разность 81 симметрическая разность 81 транзитивное замыкание 93
Операция над нечеткими числами вычитание 120 деление 121 сложение 120 умножение 120
Отображение нечетких множеств нечеткое 87 четкое 86
П
Показатель размытости 23
С
Свойство нечеткого отношения антирефлексивность 90 антисимметричность 91 асимметричность 91 котранзитивность 92
202
рефлексивность 90 симметричность 90 транзитивность 91
Способ задания нечеткого отношения аналитический 69 графический 70 матричный 70 ориентированный нечеткий граф 71 список 69
Ф
Функция кусочно-линейная 25 принадлежности 14,36 трапециевидная 25, 26 треугольная 25 характеристическая 12 четкая нечеткого аргумента 87 четкая нечеткого множества 87 L-типа 117 Я-типа 117 П-образная 32
S -образная 27
Z-образная 27
203
Навчальне видання
PACKIH Лев Григорович CIPA Оксана Володимир1вна ВОЛОВЩИКОВ Валерш Юршович
НЕЧ1ТКА МАТЕМАТИКА
ГКдручник для студентчв напрямюв пщготовки «Комп’ютерш науки», «Прикладна математика», «1нформатика»,
Роботу* до видання рекомендував проф. О. В. Горший Редактор О. С. СамЬнна
План 2016 р., поз. 35.
Пщп. до друку 17.06.2016 р. Формат 60 х 84 !/|6. Патр офсетний. Riso-друк. Гарнпура Таймс. Ум. друк. арк. 11,9. Наклад 300 пр., 1-й з-д 1-50. Зам. № 87. Цша догов1рна.
Видавець i виготовлювач Видавничий центр НТУ «ХП1», вул. Фрунзе, 21, м. Харюв-2,61002
Свщоцтво суб’екта видавничо! справи ДК № 3657 вш 24.12.2009 р.
Викладаються основы поняття теори нечггких множин. Особлива увага придшяеться прикладним задачам нечггко!' математики. Розглядаються методи розв'язання неч!тких задач математичного програмування. Книга мктить велику юльюстъ приклад! в.
Для студент!в, як! навчаються за напрямами пщготовки «Комп'ютерн! науки», «Прикладна математика», «1нформатика», i широкого кола фах!вц!в у галуз! !нформац!йних ! комп'ютерних технолопй, а також моделей i метод!в прийняття р!шень.
Излагаются основные понятия теории нечетких множеств. Особое внимание уделяется прикладным задачам нечеткой математики. Рассматриваются методы решения нечетких задач математического программирования. Книга содержит большое число примеров.
Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Компьютерные науки», «Прикладная математика», «Информатика», и широкого круга специалистов в области информационных и компьютерных технологий, а также моделей и методов принятия решений.
Л. Г. Раскин
0. В. Серая
В. Ю. Воловщиков
£ s
1 ш
S
МАТЕМАТИКА
Учебник
для студентов направлений подготовки «Компьютерные науки», «Прикладная математика», «Информатика», в том числе для иностранных студентов