Автор: Ханин Я.И.
Теги: электротехника квантовая радиотехника лекции радиофизика квантовая физика
ISBN: 5-8048-0057-4
Год: 2005
Текст
Я. И. Ханин
Лекции
по квантовой
радиофизике
€ ।
I
мп«Е
I’AHW
Российская академия наук
Институт прикладной физики
Я. И. Ханин
Лекции
по квантовой
радиофизике
Нижний Новгород - 2005
Издано по решению Редакционно-издательского совета
Института прикладной физики РАН
УДК 621.375.8(042)
ББК 32.86
X 19 Ханин Я. И. Лекции по квантовой радиофизике. — Нижний Нов-
город: ИПФ РАН, 2005. — 224 с.
ISBN 5-8048-0057-4
Изложены теоретические основы квантовой радиофизики. Приведена
формулировка квантовой механики на языке матрицы плотности, рассмот-
рена квантовая теория электромагнитного поля, квантовая теория излучения
и поглощения электромагнитных волн веществом, включая элементы нели-
нейной оптики, а также квантовая теория релаксации. Подробно рассмотрен
стационарный отклик двухуровневой квантовой системы на заданное элек-
тромагнитное поле, а также дано описание основных нестационарных эф-
фектов лазерной оптики (нутации, самоиндуцированная прозрачность, опти-
ческое эхо и др.). Изложены принципы действия лазеров, дается обзор наи-
более распространенных типов лазеров. Для трех- и четырехуровневых ак-
тивных сред рассмотрен переход к эквивалентному двухуровневому описа-
нию. Приведена полуклассическая самосогласованная система уравнений
лазера, обсуждается ее упрощение в балансном приближении, рассмотрены
динамические характеристики одномодовых лазеров.
Книга предназначена для студентов и аспирантов радиофизических и
оптических специальностей, а также специалистов в области квантовой
электроники и лазерной физики.
Рецензент
д. ф.-м. н., проф. Вл. В. Кочаровский
ISBN 5-8048-0057-4
© Институт прикладной физики РАН, 2005.
Оглавление
Предисловие.......................................................7
Тот самый Ханин (воспоминания об Учителе).........................9
Введение..........................................................13
Часть первая.
Квантовая теория излучения
Глава 1. Квантовые уравнения движения физических систем..........19
1.1. Основные постулаты квантовой механики...............19
1.2. Принцип дополнительности и соотношения
неопределенности........................................20
1.3. Чистые и смешанные состояния. Матрица плотности....22
1.4. Дираковская формулировка квантовой механики........26
1.5. Представления Шредингера, Гейзенберга
и представление взаимодействия..........................29
1.6. Дифференцирование операторов по времени.............30
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля.................32
2.1. Общие правила квантования физических систем.
Канонические переменные..................................32
2.2. Квантовая теория электромагнитного поля
без источников...........................................35
2.3. Свойства радиационных осцилляторов............................... 38
2.4. Фотоны.............................................40
2.5. Вторичное квантование..............................41
2.6. Когерентные состояния..............................44
2.7. Условие применимости классического
описания поля...........................................48
2.8. Взаимодействие электромагнитного поля
с веществом.............................................50
4 Оглавление
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени...............57
3.1. Общие положения. Методы теории возмущений......57
3.2. Вероятность радиационного перехода.............62
3.3. Поглощение излучения атомом....................64
3.4. Индуцированное и спонтанное излучение..........65
3.5. Естественная ширина линии.
Теория Вигнера — Вайскопфа..........................68
3.6. Правила отбора для электродипольного,
магнитодипольного и квадрупольного переходов........72
Глава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики.75
4.1. Классификация многоквантовых процессов.........75
4.2. Вероятность двухфотонного перехода в единицу
времени. Составные матричные элементы...............77
4.3. Двухфотонное поглощение........................79
4.4. Правила отбора при двухфотонных переходах......81
4.5. Двухфотонное поглощение лазерного излучения....81
4.6. Физические применения метода двухфотонного
поглощения..........................................84
4.7. Двухфотонное излучение.........................86
4.8. Комбинационное рассеяние.......................87
4.9. Когерентные трехфотонные процессы..............92
Глава 5. Квантовая теория релаксации........................94
5.1. Динамическая и диссипативная системы...........94
5.2. Квантовые кинетические уравнения...............96
5.3. Полуклассические уравнения....................106
Часть вторая.
Двухуровневая система в заданном поле
Глава 6. Уравнения дипольной системы.......................109
6.1. Электродипольный переход......................109
6.2. Магнитодипольный переход......................112
6.3. Укороченные материальные уравнения............116
Оглавление 5
Глава 7. Стационарное состояние дипольной системы,
взаимодействующей с заданным электромагнитным
полем.......................................................118
7.1. Восприимчивость................................118
7.2. Мощность электромагнитного поля, поглощаемая
дипольной системой..................................120
7.3. Связь между восприимчивостью и вероятностью
индуцированного перехода.............................122
Глава 8. Нестационарные процессы в дипольной системе,
помещенной в заданное электромагнитное поле.........123
8.1. Нутации в отсутствие расстройки................123
8.2. Нутации при наличии расстройки.................124
8.3. л- и 2л-импульсы...............................126
8.4. Адиабатическое быстрое прохождение резонанса...127
8.5. Насыщение в неоднородно уширенной
двухуровневой системе...........................129
8.6. Спиновое эхо...................................131
8.7. Кросс-релаксация...............................132
Часть третья.
Физика лазеров
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах.............137
9.1. Принцип действия и его реальные воплощения.....137
9.1.1. Индуцированные и спонтанные переходы.....137
9.1.2. Методы создания инверсного распределения
населенностей...................................140
9.1.3. Усиление в квантовых системах
без инверсии населенностей......................142
9.2. Нестационарные процессы в лазерах..............144
9.2.1. Динамические свойства лазера и их связь
с релаксационными параметрами..............144
9.2.2. Распространенные типы лазеров............147
9.2.3. Некоторые экспериментальные факты........162
6
Оглавление
Глава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера.........169
10.1. Уравнения электромагнитного поля................169
10.1.1. Волновое уравнение........................170
10.1.2. Модовый подход............................172
10.1.3. Уравнения для поля в кольцевом резонаторе.177
10.2. Материальные уравнения..........................179
10.2.1. Квантовые кинетические уравнения..........180
10.2.2. Двухуровневая среда.......................181
10.2.3. Трех- и четырехуровневые среды; переход
к эквивалентному двухуровневому
описанию...................................182
10.3. Самосогласованная полуклассическая система
уравнений лазера......................................185
Глава 11. Одномодовые лазеры...................................187
11.1. Динамические модели однородно уширенных
лазеров...............................................187
11.1.1. Уравнения для квадратичных величин........187
11.1.2. Адиабатическое исключение поляризации;
балансные уравнения одномодового лазера...........189
11.2. Динамические характеристики одномодовых
лазеров класса В......................................193
11.2.1. Стационарные состояния и релаксационные
колебания.........................................193
11.2.2. Фазовый портрет лазера; характеристики
пичков свободйой генерации........................195
11.2.3. Энергетические характеристики............................202
Список литературы..............................................204
Вопросы........................................................205
Приложение. Проблемы избыточного шума и адекватные модели
лазеров. Я. И. Ханин...........................................208
Предисловие
гтастоящее издание представляет собой курс лекций по кванто-
11 вой радиофизике, читавшийся Яковом Израилевичем Ханиным
в течение ряда лет в конце 70-х — начале 80-х годов двадцатого
века на радиофизическом факультете Нижегородского (тогда
еще Горьковского) государственного университета. Преждевре-
менная кончина Якова Израилевича не позволила ему осуществить
намерение издать лекции в виде книги. Ученики и коллеги Якова
Израилевича сочли своим долгом реализовать этот замысел.
Лекционный курс состоял из двух частей. Первая часть вклю-
чала квантовую теорию электромагнитного поля, квантовую
теорию излучения и поглощения электромагнитных волн вещест-
вом и квантовую теорию релаксации, т. е. теоретические основы
квантовой радиофизики. Ее можно рассматривать как адапта-
цию для учебных целей широко известной специалистам, но дос-
таточно сложной для студентов монографии В. М. Файна и
Я. И. Ханина «Квантовая радиофизика» (М.: Сов. радио, 1965).
Первая часть лекций (главы с первой по восьмую) дошла до нас в
виде авторского конспекта. Этим объясняется некоторая крат-
кость изложения материала. Очевидно, что был опущен ряд пояс-
нений, которые автор, несомненно, излагал своей аудитории. Мы
стремились полностью сохранить авторский стиль изложения,
ограничившись в основном исправлением неточностей и опечаток
в формулах. Тем не менее, довольно часто приходилось восстанав-
ливать отдельные слова и выражения, необходимые для связности
изложения и опущенные автором для краткости. Мы сочли воз-
можным не выделять такого рода вставки, чтобы не отвлекать
читателя и не нарушать целостность восприятия.
Вторая часть курса посвящалась теории лазеров. Она была
наиболее близка интересам автора и при каждом чтении курса
модернизировалась и обновлялась, чтобы соответствовать со-
временному состоянию предмета. Цельного конспекта этой час-
ти нет, однако нам известно по сохранившимся записям и со слов
самого Якова Израилевича, что в этой части курса излагались
принципы действия лазеров, давался обзор наиболее распростра-
ненных типов лазеров, рассматривались полуклассическая самосо-
гласованная система уравнений лазера и несколько актуальных
задач лазерной динамики. Достаточно полно этот круг вопросов
освещен автором в его монографии «Основы динамики лазеров»,
вЬ1пУЩенной издательством «Наука — Физматлит» в 1999 году.
8 Предисловие
Мы сочли необходимым включить в качестве второй части курса
адаптированную и немного сокрагценную версию первых трех
глав этой книги, чтобы сохранить целостность и законченность
курса.
Приведенный в конце лекций список вопросов, составленных
автором для допуска к экзамену, поможет читателям проверить
свои знания. Лекциям предпосланы воспоминания Ольги Анатоль-
евны Кочаровской — наиболее известной из учеников Якова Из-
раилевича, дающие яркое и точное представление о выдающемся
ученом и замечательном человеке. В приложении приведена по-
следняя статья Я. И. Ханина, опубликованная уже после его
смерти. Мы считаем, что она удачно дополняет настоящий курс
лекций, имеет несомненное методическое значение и служит хо-
рошим примером применения в научной практике знаний, изло-
женных в лекциях.
Книга предполагает знакомство читателя с теоретической
физикой (в основном квантовой механикой и электродинамикой) в
объеме университетского курса. Тем не менее, достаточно много
внимания в ней уделено разъяснению используемых понятий. Ис-
пользуется наиболее употребительная в квантовой электронике
гауссова система единиц (СГСЭ), однако при численных оценках
энергия и мощность выражаются в джоулях и ваттах.
По квантовой радиофизике и электронике уже имеется ряд
учебных пособий. Наиболее близкими к данному курсу являются
книги Д. Н. Клышко [1] и А. Ярива [4]. Однако первая из них не
рассматривает лазеры, а во второй довольно мало внимания уде-
лено квантово-механическим основам теории. Предлагаемый ори-
гинальный курс лекций включает обе части квантовой радиофизи-
ки, изложенные на основе единого квантовомеханического подхо-
да. Мы уверены, что этот курс лекций, прочитанный одним из
основоположников квантовой радиофизики, сохранит свою акту-
альность долгие годы и окажется полезным студентам вузов и
аспирантам, специализирующимся в области квантовой электро-
ники и лазерной физики.
И.В. Корюкин, Е.В. Радионычев
ТОТ САМЫЙ ХАНИН (воспоминания об Учителе)
О. А Комаровская
Солнечный сентябрьский день... Почти бесшумно я проскальзы-
ваю в большую лекционную аудиторию радиофака. Лекция уже
началась. Высокий, худощавый, элегантный мужчина в темных
солнцезащитных очках излагает материал свободно и ясно. Я
подталкиваю локтем соседа: «Кто это?» Лаконичный ответ:
«Ханин» — вызывает у меня одновременно недоумение и радость:
«Неужели тот самый? Не может быть!» Ведь в моем представ-
лении автор знаменитой монографии по квантовой радиофизике
должен быть, как минимум, вдвое старше. Достаю из сумки
книжку, с которой в последнее время практически не расстаюсь,
сравниваю инициалы и сразу же внезапно осознаю, до чего же мне
повезло. Это ощущение неимоверного везения, возникшее с первой
же встречи, сохранится на всю мою жизнь.
Яков Израилевич Ханин — выдающийся российский ученый в
области квантовой радиофизики, физики и динамики лазеров, один
из авторов полуклассической теории лазера. В России вообще вряд
ли можно найти сколъ-либо известного специалиста в этой об-
ласти, не знакомого с работами Ханина.
Ханиным впервые была объяснена природа пичковых режимов
при свободной генерации твердотельных лазеров и развиты мето-
ды стабилизации лазерного излучения, разработаны основы тео-
рии так называемых свип-лазеров. Им впервые были предложены
простые лазерные модели с периодической модуляцией парамет-
ров для демонстрации детерминированного хаоса в лазерной гене-
рации, послужившие основой для широкого экспериментального
исследования этого фундаментального явления как в нашей стра-
не, так и за рубежом.
Им была введена исключительно удобная и физически прозрач-
ная классификация типов квантовых генераторов по соотношению
релаксационных констант для разности населенностей, поляриза-
ции в активной среде лазера и поля в резонаторе (независимо пред-
ложенная также известным итальянским физиком Ф. Ареччи).
Его пионерские работы по комбинационному взаимодействию
мод объяснили многамодовость непрерывного режима генерации
лазеров на красителях, а также позволили определить пороговое
Условие для синхронизации мод и генерации ультракоротких им-
пульсов. Исследования релаксационных колебаний в твердотель-
ных кольцевых лазерах, проведенные им совместно с его учениками
Хандохиным и И. В. Корюкиным, позволили предложить но-
вЬ1и подход к созданию лазерного гироскопа.
10
О. А. Кочаровская
Наши совместные работы с Яковом Израилевичем 1986—
1988 гг., в которых были предсказаны явления электромагнитно-
индуцированной прозрачности и безынверсного усиления, наряду с
появившимися вскоре аналогичными теоретическими и экспери-
ментальными работами зарубежных ученых, положили начало
новому направлению в когерентной оптике и физике лазеров, ин-
тенсивно развивающемуся и нашедшему большое число примене-
ний в настоящее время.
Работы по когерентной оптической томографии, во многом
обязанные инициативе Ханина и начавшиеся в 1994 г. в возглав-
ляемом им Отделении нелинейной динамики и оптики ИПФ РАН
под руководством А. М. Сергеева, были удостоены в 1999 г. Госу-
дарственной премии Российской Федерации по науке и технике.
Ханину не был присущ кабинетный академический стиль рабо-
ты. Наоборот, он много путешествовал по стране (а как только
это стало возможным — и по всему миру), выступал на конферен-
циях, делал доклады на научных семинарах, активно взаимодейст-
вовал с экспериментаторами, охотно делившимися с ним своими
проблемами. Будучи человеком общительным, доброжелательным и
широко эрудированным, он быстро схватывал суть проблем и за-
частую немедленно предлагал их решение. Научные работы «писа-
лись» у него с удивительной легкостью. Как только решение про-
блемы становилось ясным, казалось, ему было просто необходимо с
исчерпывающей логикой изложить его на бумаге, чтобы «изба-
виться» от него и перейти к следующей задаче. За такой стиль ра-
боты его часто называли «летающим форвардом».
Научная деятельность Я. И. Ханина получила широкое признание
как в нашей стране, так и за рубежом. В 1991 г. он был избран
«Fellow» Американского оптического общества, в 1997 г. стал гум-
болъдтовским профессором, во второй половине 90-х годов был удо-
стоен стипендии Президента Российской Федерации, а в 2000 г. —
звания заслуженного деятеля науки Российской Федерации.
Имя Я. И. Ханина широко известно не только благодаря его
высокому научному авторитету. Совместно с В. М. Файном им
была написана одна из первых в мире монографий по квантовой
радиофизике (Сов. радио, 1965), переизданная в Германии, Англии
и США Трудно переоценить роль этой замечательной книги в
формировании многих поколений ученых в России и за рубежом.
Очень часто с гордостью за моего учителя доводилось мне вы-
слушивать признание многочисленных российских и зарубежных
коллег в том, что они изучали квантовую радиофизику «по Файну
и Ханину». Последующие монографии Ханина «Динамика квантовых
генераторов» (Сов. радио, 1975), «Principles of Laser Dynamics»
Тот самый Ханин (воспоминания об Учителе)11
(North Holland, Amsterdam, 1995) и «Основы динамики лазеров»
(Наука — Физматлит. 1999) также широко используются как
студентами, так и специалистами по квантовой электронике.
Яков Израилевич был блестящим лектором и педагогом. Мне
посчастливилось прослушать два его курса: общий курс квантовой
радиофизики и специальной курс по динамике многомодовых лазе-
ров. Оба курса сыграли решающую роль в моем образовании и даль-
нейшей научной карьере. До сих пор мне не известно ни одного учеб-
ника, где основы квантовой радиофизики излагались бы столь про-
сто и последовательно, как в лекциях Ханина. Каждый раз, когда
возникает необходимость вспомнить самой или пояснить студен-
там какой-то вопрос (будь это квантование электромагнитного
поля или понятие фотона, теория Вигнера—Вайскопфа естествен-
ной ширины линии или вычисление вероятности многофотонных
процессов), я обращаюсь к его лекциям. Что касается спецкурса, то
именно во время одной из его лекций у меня возник простой вопрос:
«Что будет, если две лазерные моды, резонансные смежным пере-
ходам в трехуровневом атоме, окажутся когерентно связанными в
условиях двухфотонного резонанса?» Он показался Якову Израиле-
вичу интересным, и это послужило началом нашего научного взаи-
модействия и толчком к развитию теории электромагнитно-
индуцированной прозрачности и лазеров без инверсии.
Мне посчастливилось также учиться у него в аспирантуре, а
в дальнейшем работать в возглавляемом им отделе в ИПФ РАН.
На мой взгляд, Яков Израилевич был идеальным научным руково-
дителем, он полностью доверял своим аспирантам, предоставлял
им неограниченную свободу поиска и в то же время всегда готов
был обсудить, посоветовать и поддержать. Той же тактики не-
вмешательства и доброжелательности я стараюсь придержи-
ваться по отношению к своим аспирантам.
Если попытаться определить суть его характера и жизнен-
ной позиции одним словом, я бы выбрала интеллигентность, гар-
монично включающую в себя гуманность, достоинство (по отно-
шению к себе и к другим) и высокую культуру. Любовь к стихам
Анны Ахматовой, прозе Исаака Бабеля, музыке Альфреда Шнитке,
полотнам Марка Шагала во многом сформировались у меня под
его влиянием. Мне не забыть, как однажды в Репино во время
конференции по оптике лазеров мы пытались отыскать могилу
Ахматовой на репинском кладбище. Мела пурга, начинало смер-
каться. Вокруг не было ни души. Мы почти отчаялись, когда вне-
запно увидели большой темный крест с ахматовским профилем и
горящей на нем лампадой. Это было так здорово, так по-пастер-
каковски, что промокшие сапоги и перчатки не имели никакого зна-
12
О. А. Кочаровская
чения. На обратном пути прямо у входа в гостиницу мы встретили
Виктора Ивановича Беспалова (в то время замдиректора нашего
Института прикладной физики), доброжелательно отметивше-
го, что мы выглядели как два свежевылепленных снеговика.
Где бы в дальнейшем нам ни приходилось бывать вместе: в
Брюсселе или Брюгге, Вене или Зальцбурге, Вашингтоне или Нью-
Йорке — нам всегда удавалось выкроить время и деньги для того,
чтобы посетить музей или выставку, концертный зал или оперу
(хотя цены на билеты в те времена иногда выглядели для нас со-
вершенно баснословными). Порой эти посещения выливались в
пропущенные последнюю электричку из Филадельфии в Брин Мор
или последний поезд из Вашингтона в Филадельфию, и тогда нам
приходилось вдвоем браво маршировать по ночной, местами спя-
щей, местами веселящейся Америке или прибегать к помощи на-
ших друзей. Я помню, как поздним звездным вечером, сидя у при-
вокзального белого мраморного памятника Христофору Колумбу в
Вашингтоне с видом на подсвеченный Капитолий и поджидая
профессора Дрексельского университета Хорхе Тредиччи (добро-
вольно вызвавшегося приехать за нами из Филадельфии в Вашинг-
тон, чтобы отвезти нас в Брин Мор), мы обсуждали, как это за-
мечательно иметь надежных друзей по всему миру.
К сожалению, последние годы жизни Якова Израилевича были
омрачены очень тяжелой болезнью, сильно ограничившей боль-
шинство любимых им видов деятельности, включая научную ра-
боту, путешествия и даже элементарную подвижность. По этой
причине несколько раз откладывалось его посещение моей группы в
Техасском AM Университете. Наконец, его визит состоялся вес-
ной 2002 года. Осознавая тяжесть его физического состояния, я
решила не предлагать ему публичного выступления. Однако Яков
Израилевич сам высказал пожелание провести научный семинар по
проблеме когерентной оптической томографии. Обсуждение про-
ходило оживленно, заинтересованно, и он буквально на глазах пре-
ображался в того самого блистающего Ханина... Разгоряченный
дискуссией, сразу же после семинара он сказал мне, что только во
время таких научных баталий ему удается отвлечься от боли и
болезни и снова чувствовать себя счастливым. Летом того же
года во время встречи в Нижнем Новгороде он с интересом обсу-
ждал наши последние научные результаты, с удовольствием
вспоминал свою поездку в Техас, планировал наше дальнейшее со-
трудничество и следующий визит в будущем году. К сожалению,
этим планам уже не суждено было сбыться... Однако его научным
идеям, работам и книгам, несомненно, предстоит еще долгая
жизнь в поколениях его сегодняшних и будущих учеников.
ВВЕДЕНИЕ
Название предмета, которому посвящен лекционный курс, со-
стоит из двух слов: квантовая радиофизика. Из этого следует,
что в своей основе и историческом контексте предмет является ча-
стью радиофизики, т. е., согласно Большой советской энциклопе-
дии, «областью физики, в которой изучаются процессы, связанные
с электромагнитными колебаниями и волнами радиодиапазона:
возбуждение, распространение, прием, преобразование частоты, а
также возникающее при этом взаимодействие полей с зарядами в
вакууме и веществе»1. Специфику предмета также отражает тер-
мин «квантовая», подчеркивающий квантово-механический подход
к анализу физических явлений. Наряду с термином квантовая ра-
диофизика часто используется термин квантовая электроника.
Чтобы понять смысл этого названия, обратимся вначале к знако-
мым электронным приборам, таким как радиолампы, магнетроны,
клистроны, транзисторы и др. В приборах такого типа происходит
преобразование энергии постоянного тока в энергию электромаг-
нитных колебаний. Если говорить более точно — преобразование
кинетической энергии электронов в энергию электромагнитных ко-
лебаний. Наиболее важно сейчас то, что указанные приборы исполь-
зуют в качестве рабочего вещества свободные электроны, т. е. элек-
троны, не связанные жестко с положительными зарядами. В проти-
воположность этому квантовая электроника имеет дело со связан-
ными зарядами: атомами, молекулами, кристаллами и т. п. В прибо-
рах квантовой электроники осуществляется преобразование внут-
ренней энергии атомов, молекул в энергию электромагнитного поля.
Подойдем к делу с другой стороны. Из квантовой механики
известно, что система связанных зарядов (атом, молекула) имеет
дискретный энергетический спектр и может излучать и поглощать
энергию электромагнитного поля только вполне определенными
Разумеется, современная квантовая радиофизика существенно выходит за рамки
радиочастотной области, охватывая оптику и простираясь фактически до границ
гамма-диапазона. — Прим. ред.
14
Введение
порциями — квантами. Чем выше по лестнице энергетических
состояний, тем ближе друг к другу расположены ступеньки, а в
пределе энергетический спектр становится вообще сплошным.
Последнее соответствует ионизации атома, в результате которой
электрон становится свободным и его движение подчиняется зако-
нам классической механики. Движение же связанного электрона в
атоме подчиняется законам квантовой механики и требует для сво-
его описания соответствующего формализма.
Фундаментальным для квантовой радиофизики является поня-
тие индуцированного (вынужденного, стимулированного) излуче-
ния, введенное А. Эйнштейном в 1916 г. Разрабатывая теорию тер-
модинамического равновесия между средой и полем излучения,
Эйнштейн выяснил, что наряду с очевидными процессами погло-
щения излучения веществом и спонтанного излучения должен
иметь место процесс индуцированного испускания, т. е. излучения
под влиянием внешнего поля. Замечательным свойством этого
процесса является то, что излученный квант по всем своим харак-
теристикам идентичен квантам вынуждающего поля, т. е. имеет ту
же частоту, фазу, поляризацию и волновой вектор.
Рассмотрим пространственный слой, заполненный атомами
определенного сорта. Выделим в энергетическом спектре атома
пару уровней с энергиями и W2 и предположим, что на слой
падает электромагнитная волна, имеющая частоту со = (IV2 -Wx)th.
Такая волна попадает в резонанс со средой. Взаимодействуя с ато-
мом, находящимся на нижнем из двух выделенных энергетических
уровней, поле может потерять один квант, а среда в этом случае
его приобретет. Взаимодействуя с атомом, находящимся на верх-
нем уровне, электромагнитное поле может вынудить его перейти
на нижний уровень и приобретет при этом квант энергии. Оба про-
цесса идут с равной вероятностью, определяемой свойствами ато-
ма и интенсивностью поля. Первый из упомянутых процессов —
поглощение — приводит к ослаблению волны, тогда как второй —
к ее усилению. Проходя через слой среды, содержащий много ато-
мов, волна производит большое число переходов и в результате
окажется ослабленной, если большинство атомов находится на
нижнем уровне. В противном случае результатом взаимодействия
будет усиление волны. Данный принцип усиления был впервые
предложен В. А. Фабрикантом в 1939 г. Однако реализован он был
лишь 15 лет спустя, в 1954 г., так как в естественных условиях все
тела стремятся к состоянию с минимальной энергией: N2 < N,, где
Введение
15
Ni и N, — числа атомов на верхнем и нижнем энергетических
уровнях соответственно. Исключение составляют некоторые кос-
мические объекты. Выражением этого закона термодинамики яв-
ляется известная формула Больцмана: N2/ =exp[-(lV2 -Wt)/kT,
и согласно ей все естественные среды поглощают излучение, а не
усиливают его.
Для реализации принципа квантового или молекулярного уси-
ления необходимо было придумать способ создания в среде термо-
динамически неравновесного состояния с N2 > , именуемого
инверсией населенностей. Первый такой способ был предложен
Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым в СССР и одновременно Ч. Та-
унсом в США. Способ заключается в механическом разделении
(сортировке) молекул в молекулярном пучке по энергетическим
состояниям с помощью пространственно-неоднородного электри-
ческого поля. На этом принципе двумя исследовательскими груп-
пами были созданы первые приборы квантовой электроники —
молекулярные квантовые генераторы на пучке молекул аммиака
NH3. Рабочая длина волны такого генератора составляет 1,25 см.
Весьма существенное влияние на все дальнейшее развитие
квантовой электроники оказал другой метод создания инверсии
населенностей, предложенный Басовым и Прохоровым в 1956 г.
Этот способ основан на использовании вспомогательного излуче-
ния и пригоден для сред в любом агрегатном состоянии, а не толь-
ко для газов. Появление нового способа инверсии населенностей
привело к созданию твердотельных квантовых генераторов и уси-
лителей диапазона СВЧ, рабочим телом которых служат парамаг-
нитные кристаллы. За квантовыми приборами радиодиапазона за-
крепилось название «мазеру>, что соответствует аббревиатуре анг-
лийской фразы «microwave amplification by stimulated emission of
radiation». Мазеры сыграли выдающуюся роль в науке и технике,
но главное их значение в том, что они привели к созданию кванто-
вого генератора оптического диапазона — лазера (light amplifica-
tion by stimulated emission of radiation»). Первый лазер на рубине
был создан Т. Мейманом в 1960 г. Оценивая значение квантовой
электроники с позиций более позднего времени, можно утверждать,
что ее основные достижения связаны с оптическим диапазоном.
Как устроен квантовый генератор?
Как любой генератор, лазер имеет в своем составе три основ-
ных компонента: активный элемент, источник энергии (накачку) и
обратную связь. Для функционирования устройства в качестве
16
Введение
усилителя достаточно первых двух из перечисленных компонен-
тов. Обратная связь в лазерах обеспечивается резонатором, кото-
рый направляет часть энергии излучения обратно в активный эле-
мент1. Наиболее простым и в то же время распространенным ти-
пом такого оптического резонатора является система из двух па-
раллельных зеркал, известная как интерферометр Фабри — Перо.
Несколько слов о технических проблемах, решению которых
способствовало появление квантовых методов усиления и генера-
ции. Становление и развитие квантовой радиофизики (квантовой
электроники) было подготовлено предшествовавшим бурным про-
грессом радиоэлектроники в 40-х годах. Однако в те годы стало
ясно, что возможности традиционных методов радиоэлектроники
ограничены и дальнейшее продвижение по таким направлениям,
как повышение стабильности частоты генераторов, снижение шу-
мового порога чувствительности усилителей, продвижение в ко-
ротковолновую сторону диапазона электромагнитных волн, натал-
кивается на принципиальные трудности. Стабильность генерато-
ров и чувствительность усилителей в классической электронике
ограничены дробовым шумом, т. е. дискретностью электрических
зарядов. Продвижение в сторону коротких волн сопряжено с пре-
одолением возрастающих трудностей по созданию миниатюрных
конструкций. Между тем, потребности радиолокации, радионави-
гации, радиоастрономии и радиосвязи вступали во все большее
противоречие с возможностями радиотехники. Кризис был пре-
одолен с появлением квантовой электроники.
Данный лекционный курс состоит из двух частей. Первая
часть создает необходимый базис, включая в себя элементы кван-
товой теории излучения, вторая дает общие сведения о лазерах.
Существует довольно много книг учебного характера по пред-
мету. В качестве основных пособий по курсу можно рекомендо-
вать книги [1—6], а в качестве дополнительных — работы [7— 12]
(библиография приведена в конце лекций).
1 В СВЧ-диапазоне обычно используются объемные металлические резонаторы,
размеры которых сравнимы с длиной возбуждаемой в них волны. При переходе к
оптическому диапазону размеры такого резонатора становятся слишком малы и
он не может быть применен как в силу трудностей изготовления, так и вследствие
резкого падения добротности. Для выхода из этой ситуации в 1958 г.
А. М. Прохоров и одновременно с ним А. Шавлов и Ч. Таунс предложили исполь-
зовать открытый резонатор. — Прим. ред.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ИЗЛУЧЕНИЯ
ФБ ННГУ '
Гпава 1.
КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Основная задача радиофизики — исследование взаимодейст-
вия электромагнитных колебаний и волн с материальными среда-
ми. В классическом варианте средой служит система свободных
зарядов, в квантовом — связанных зарядов. Поэтому среду в кван-
товой радиофизике необходимо описывать уравнениями квантовой
теории. Самая общая теория должна базироваться также и на кван-
товом описании поля. И хотя для решения большинства задач
квантовой электроники адекватен полуклассический подход, со-
стоящий в классическом описании поля и квантовом описании ве-
щества, в ряде случаев квантовое описание поля принципиально
(теория флуктуаций), а в других оно облегчает понимание сущест-
ва дела (теория квантовых переходов). Полуклассические методы
будут использованы во второй части курса. Первая же часть стро-
ится на полностью квантовой основе.
1*1. Основные постулаты квантовой механики
Квантовая механика изучает статистические ансамбли микро-
частиц, состояния которых являются функциями определенного
набора физических величин q (принимающих непрерывные или
дискретные значения) и часто обозначаются символом у/ = y/(q)
(волновая функция). В основу квантовой механики положена сле-
дующая система постулатов.
1 • Каждой физической величине сопоставляется линейный эр-
J^umoe оператор1 (или матрица).
Величины, обозначающие операторы, мы будем, как правило, изображать
Рямым шрифтом, не прибегая к дополнительным символам. Однако там, где
ходимо подчеркнуть операторный характер аеличины, будем использовать
°бозначение L.
2*
20
Часть пераая. Квантовая теория излучения
Сопряженный оператор определяется соотношением:
= jVjLV.'d/y, (1.1)
(рассмотрен случай непрерывной зависимости y/(q), для дискрет-
ных переменных интегрирование заменяется суммированием).
Самосопряженным, или эрмитовым, такой оператор будет, ес-
ли L+ = L.
2. Результатом точного измерения величины, представляемой
оператором L, может быть только собственное значение I этого
оператора. Действительность собственного значения обеспечива-
ется эрмитовостью оператора.
Уравнение для собственных значений / и соответствующих им
собственных состояний (волновых функций) у/ оператора L имеет
вид
LWl=Ivl. (12)
3. В том случае, когда состояние системы описывается волно-
вой функцией ул, среднее значение физической величины, пред-
ставляемой оператором L, вычисляется по формуле
(L) = JV*Ly/d?. (1.3)
4. Временная эволюция волновой функции описывается урав-
нением Шредингера.
= (1.4)
dt
в котором Н — оператор Гамильтона (гамильтониан).
1.2. Принцип дополнительности
и соотношения неопределенности
Статистичность квантовой механики определяется природой
описываемых ею объектов микромира. Она проистекает не из того,
что наши знания о каком-то объекте не полны, а из того, что мик-
ромир дуалистичен и каждый его объект обладает как корпуску-
лярными, так и волновыми свойствами. Следствием подобной
двойственности является принцип дополнительности Бора, утвер-
ждающий существование таких физических величин, которые од-
новременно не могут быть измерены со сколь угодной точностью.
Известным примером величин, удовлетворяющих принципу до-
полнительности, являются координата и импульс частицы.
Главе 1. Квантовые ураанения движения физических систем 21
---
Математическим отражением принципа дополнительности яв-
ляется некоммутативность операторов, соответствующих физиче-
ских величин. Так, например, между операторами координаты и
импульса имеются перестановочные соотношения:
хрА-ргх = 1й. (1.5)
(Здесь р, — проекция импульса на ось х). Из них вытекает извест-
ное соотношение неопределенностей Гейзенберга:
ДхЛрА>—й, (1.6)
устанавливающее предельную точность измерения выбранных пе-
ременных.
Вообще говоря, если физические величины представлены опе-
раторами А и В, между которыми имеется перестановочное соот-
ношение
АВ-ВА = 2/С, (1.7)
то средние квадратичные флуктуации ДА = дДА2^-(а)2 удовле-
творяют соотношению неопределенностей:
ДАДВ^-^с/. (1.8)
Соотношение (1.8) иногда называют неравенством Шварца.
Соотношения неопределенностей имеют следующую трактов-
ку: чем точнее мы измеряем одну из величин, тем более неопреде-
ленной оказывается другая. Отсюда видно, сколь важную роль в
определении состояния квантового ансамбля играют процесс из-
мерения и свойства измерительного прибора.
Пример из квантовой механики. Свет, рассеиваясь на электро-
не, позволяет определить координату последнего с точностью по-
рядка Л. В процессе рассеяния импульс электрона меняется. Чем
меньше Л и чем точнее, следовательно, измеряется координата х,
тем сильнее меняется импульс электрона рх, т. е. тем неопреде-
леннее pt становится. Если Л велико (импульс фотона мал), то
к°ордината определяется неточно, а импульс с большой точно-
СТью, т. к. отдача при рассеянии мала.
Не следует думать, что дополнительность присуща исключи-
тельно квантовым объектам и не имеет классической аналогии.
22
Часть первая. Квантовая теория излучения
Классический аналог соотношения неопределенностей. Пара
величин, которая не поддается одновременному точному опреде-
лению — время приема радиоимпульса и его частота. Для точного
определения времени прихода импульса требуется широкополос-
ный приемник. Попытка измерения частоты сопряжена с исполь-
зованием узкополосного фильтра, благодаря чему теряется локали-
зация.
Однако помимо квантовой статистичности, заложенной в при-
роде вещей, существует и другая, более привычная статистич-
ность, связанная с неполнотой наших знаний об объекте. Когда
подобное положение складывается в классической физике, дина-
мическое описание системы уступает место статистическому. Так,
например, приходится поступать при исследовании систем с боль-
шим (бесконечным) числом степеней свободы. Аналогичная си-
туация возможна и в квантовой физике.
1.3. Чистые и смешанные состояния. Матрица плотности
Волновыми функциями в квантовой механике характеризуют-
ся чистые состояния, о которых мы располагаем исчерпывающи-
ми данными, максимально возможными с позиций квантовой ме-
ханики. Чистые состояния обладают минимально возможной ста-
тистичностью, имеющей только квантово-механическое происхо-
ждение. Чистые состояния характерны для изолированной систе-
мы. Состояния же, о которых можно судить с какой-то вероятно-
стью, волновыми функциями не описываются и называются сме-
шанными состояниями. Смешанное состояние представляет собой
смесь (классическую) чистых состояний, о которых известно, что
каждое из них может реализоваться с определенной вероятностью.
В смешанных состояниях на квантово-механическую статистич-
ность дополнительно накладывается обычная классическая стати-
стичность, связанная с неполнотой наших знаний о системе. Сме-
шанное состояние характерно для не изолированной подверженной
внешним воздействиям системы.
Рассмотрим систему, состоящую из некоторого числа подсис-
тем, каждая из которых находится в чистом состоянии с волновой
функцией I/,. Мы не знаем, в каком именно состоянии находится
та или иная подсистема, но знаем вероятность pt реализации каж-
Глава 1- Квантовые уравнения движения физических систем
23
дого состояния. Тогда среднее значение физической величины,
представляемой оператором А, вычисляется по формуле:
(А) = Z Р< f К AV<,d9, (1.9)
i
причем
!«='•
i
Если затем разложить по полной базисной системе функций <рк
= X С^к ’ где С* = f Wk^ (1 • Ю)
(срк могут быть, например, собственными функциями гамильто-
ниана Н, т. е. решениями уравнения Н(рк = Wk(pk), то это приводит
к выражению для среднего значения:
(a)=XXXac;ga. (lid
i к I
Посредством Ак1 обозначен матричный элемент
а, =/ф;а^.
Если теперь воспользоваться обозначением
Plk ~ XPiGtGf ,
i
то можно записать другую формулу для среднего значения физи-
ческой величины:
<А) = ХХрИ«=Тг(РА). (1.12)
к I
Здесь Тг — след матрицы, т. е. сумма ее диагональных элементов.
Данный рецепт вычисления средних обладает большей общно-
стью, чем (1.3).
Вновь введенный оператор р называют статистическим опе-
ратором или матрицей плотности. Последнее название связано с
тем, что р, как и любой оператор, может быть задан в виде сово-
купности матричных элементов, а диагональные элементы дают ве-
роятность (плотность вероятности) найти систему в определенном
состоянии. Матрица плотности поставляет, в сущности, максималь-
но возможные сведения о системе, находящейся в смешанном со-
стоянии. (В рассматриваемом примере это смесь чистых состояний,
Ка>кдое из которых представлено с определенным весом р,.)
24
Часть первая. Квантовая теория излучения
Имея в виду смешанные состояния, следует заменить третий
из основных постулатов квантовой механики на следующий:
3. Среднее значение величины, представляемой оператором L,
вычисляется по формуле
(L) = Tr(pL). (1.13)
Развивая до конца систему постулатов, сформулированных для
смешанных состояний, мы должны добавить сюда еще один эле-
мент:
4. Уравнение временной эволюции р:
- гтЛ = [Н,р] = Нр-рН, (1.14)
ot
его иногда называют уравнением фон Неймана или квантовым
уравнением Лиувилля.
Чистое состояние является наиболее простым частным случа-
ем состояния смешанного. Оно выделено тем, что в сумме
p,C^Crf - plk остается лишь одно слагаемое с i = j, отвечающее
i
единственному достоверному состоянию (= 1), благодаря чему
матрица плотности факторизуется (индекс j опускаем): р,к = СкСк.
Чистое состояние отличается также тем, что
р2=р. (1-15)
Доказательство последнего свойства несложно:
Рит ~ У.РикРъп ~ ~ Рпт '
к к
Отметим также и следующие свойства матрицы плотности:
— нормированность
Trp = l (Trp = £At=£ft|C,J2=£p,=l); (1.16)
к *,«
— эрмитовость
Pnm-PL (Рпт^Р^О Р^^Р^С^ (Ы7)
i i
— неотрицательность диагональных элементов
рля=5>К12> dis)
i
которые представляют собой вероятность найти систему в собст-
венном состоянии \рК.
Глава 1 Квантовые уравнения движения физических систем
25
Уравнение для матрицы плотности системы, находящейся в
чистом состоянии, эквивалентно уравнению Шредингера. Дейст-
вительно,
/й^ = Нр-рН,
ih^(Cmcn)=^(Hnkckc:-н^с;сп).
от *
Поскольку набор Сп это волновая функция в базисе (рк (см. (1.10)),
то полученное уравнение и есть уравнение Шредингера:
,7,^ = ВД.
dt
Если система состоит из двух подсистем, то матрица плотно-
сти полной системы выглядит как pina.„p, где индексы т, п,и а, (3
нумеруют состояния первой и второй подсистем соответственно.
Матрица плотности одной из подсистем (например, «отд») записы-
вается как
&тп Рта;па '
а
Оператор любой величины, относящейся только к одной из под-
систем, имеет матричные элементы
^пш^ар ‘
При этом для среднего по определению имеем
<А)-Тг(рА) = £(рД)таиа =^((уА)тт . (1.19)
, та т
Матрица плотности дает возможность вычислить среднее зна-
чение любой физической величины, т. е., фактически, дает инфор-
. мацию о динамических характеристиках системы. В этом смысле
Уравнение фон Неймана можно назвать уравнением движения сис-
темы. К нахождению и решению такого уравнения в каждом кон-
кретном случае и сводится основная задача. Нам предстоит найти
Это Уравнение для системы, состоящей из поля излучения и взаи-
модействующей с ним молекулярной системы (среды).
26
Часть первая. Квантовая теория излучения
Мы будем действовать последовательно и начнем с электро-
магнитного поля. Но перед этим следует вспомнить дираковский
формализм квантовой механики, т. к. он встречается в литературе
столь же часто, как и формализм конкретных представлений.
1.4. Дираковская формулировка квантовой механики
В квантовой механике состояние системы полностью
описывается волновой функцией. Если функция \p(q, f) записана
так, что ее аргументом является координата частицы q, то это \р-
функция в ^-представлении. То же самое состояние можно задать,
используя волновую функцию в ^-представлении. Это будет функ-
ция (р(р, f), связанная с y/(q, t) преобразованием Фурье
(p{p,t) = —— |V(<7/)exp d</. (1.20)
2яп Д
Существование различных представлений вытекает из принципа
дополнительности. Формулируя квантовую механику на языке
волновых функций, необходимо оговаривать, в каком именно
представлении эти функции определены.
Дирак развил более общий формализм, который не требует
привязки состояния системы к конкретному представлению. Вели-
чиной, которой оперирует теория Дирака, является вектор состоя-
ния обозначающий состояние без указания конкретного пред-
ставления. Понять его смысл проще всего, обратившись к сопос-
тавлению (не отождествлению!) с обычными векторами.
Существует большой раздел математики — векторное исчис-
ление, в котором устанавливаются правила преобразования векто-
ров. Существенно, что эти преобразования не требуют привлече-
ния какой-то конкретной системы координат. Вот пример вектор-
ного соотношения:
ах (b хс) = b(ac) -c(ab).
Или другой пример:
VxVxA = V(V-A)-V2A.
Оба соотношения справедливы в любой системе координат. Ко-
нечно, на завершающей стадии вычислений, когда требуется дове-
сти результат «до числа», приходится апеллировать к конкретной
Глава 1. Квантовые уравнения движения физических систем 27
системе координат, но принципиально задача решается и без этого
шага.
В квантовой механике роль координатной системы играет
представление, и (//-функция может рассматриваться как проекция
вектора состояния |у/) на представление. Эта аналогия тем более
уместна, что в любом представлении, заданном оператором опре-
деленной физической величины, волновая функция полностью оп-
ределяется дискретным или непрерывным набором С-чисел — ко-
эффициентов разложения по собственным функциям этого опера-
тора (ортам), которые естественно рассматривать как компоненты
некоторого вектора в многомерном пространстве.
Величины, обозначаемые |...), Дирак назвал кет-векторами.
В общем случае эти векторы комплексны. Каждому кет-вектору
|</<) ставится в соответствие бра-вектор (1//| такой, что произведе-
ние = есть число.
Имея в своем распоряжении бра- и кет-векторы ((bracket)),
можно определить скалярное произведение как комплексное число
(ы | v) = ju'vdq . (1-21)
Некоторые свойства векторов бра и кет:
1. Если |h) = |v) + |w),to (h| = (v| + (m/|.
2. Если |h^ = C|v),to (iz| = C*(v|.
3. (M|v) = (v|M)‘,
откуда следует вещественность и положительность (и |«) = j u*udq.
Действие операторов на эти векторы записывается в форме
L|«) и (и|Ь.
Примеры некоторых известных соотношений, записанных в
Дираковской форме:
— уравнение Шредингера:
Э|^/А
^-П2 = н|у/>; (1.22)
матричный элемент оператора:
(1.23)
28
Часть первая. Квантовая теория излучения
— нормировка:
kk) = l-»Jk|2d<7 = l; (1.24)
— ортогональность:
(Vn I> = 8,т JVtWmdq = 8тп- (1.25)
— уравнение на собственные значения оператора:
<L26>
Произведение P = k)k| является оператором:
Р|и) = (<р | есть кет-вектор; (1.27а)
(и|Р = (и | )(<Р| есть бра-вектор. (1.276)
Оператор
5>Ж| = 1 (1-28)
п
называется единичным или тождественным. Приведем некоторые
его свойства:
k> = Sk")kdk)=Sk")k»k>’ (1-29)
k„k) = fv<>dV-C„, (1.30)
Sc»k>- а-3*)
п
Вернемся теперь к примеру, которым мы воспользовались для
введения матрицы плотности, и проведем все рассуждения в дира-
ковской форме.
Определение среднего:
(A) = XAk,|Ak1). (1.32)
I
Разложение по собственным векторам:
к)=ХкЖк), kJ=Xk.k>kl- <L33>
к I
Подставим теперь разложения (1.33) в выражение для среднего
значения (1.32):
(А) = X Pi к, I)к, I А|^Л > к* к,) =
i,k,l
=5>,к* к)к к)к/ |Ак*), (1.34)
i,kj
или, что то же,
Гпава 1. Квантовые уравнения движения физических систем 29
= (1-35)
kJ
где А1к = <^|А|^), ptt кЖ |Y0-
i
Чтобы завершить необходимый экскурс в область квантовой
механики, обратимся к теории представлений.
1.5. Представления Шредингера, Гейзенберга
и представление взаимодействия
До сих пор мы предполагали, что операторы, представляющие
физические величины, от времени явно не зависят. Всю эволюцию
во времени квантовых систем принимает на себя волновая функ-
ция или матрица плотности. При этом уравнение
/Й^ = [Н,р] (1.36)
ot
имеет формальное решение
р(г) = е’*Н'р(О>*Н'. (1.37)
Поскольку физический смысл имеет лишь среднее значение вели-
чины, можно использовать и другие способы описания. Так, выра-
жение (1.37) можно записать в виде унитарного преобразования,
Р(0) pG = u-,p(Ou , (1.38а)
которое справедливо также для любого не зависящего явно от вре-
мени оператора А:
ir’Au = AG(t), (1.386)
где
(1-39)
( ‘и 1
u =ехр ~Ht I-
Эи
Дифференцируя (1.386) с учетом равенств /й-----= -iT‘H,
dt
Эи
7/7 Ни, которые непосредственно следуют из (1.38а) с учетом
(1-36), получим уравнение временной эволюции оператора А в гей-
зенберговском представлении:
dA i
dt й G
(1-40)
30
Часть первая. Квантовая теория излучения
Часто наиболее удобным оказывается представление взаимо-
действия, в котором лишь часть временной зависимости перено-
сится на операторы. Для перехода в это представление гамильто-
ниан системы разбивается на два слагаемых:
H = H0 + V. (1.41)
Как правило, гамильтониан взаимодействия V составляет
лишь небольшую поправку к невозмущенному гамильтониану Но ,
характеризующую взаимодействие невозмущенной системы с дру-
гими системами. Унитарное преобразование таково, что
( i \
Av =Uq'Au0. u0 =ехр --H0Z .
I h J
Чтобы получить уравнения движения, проведем преобразова-
ния, аналогичные переходу к гейзенберговскому представлению
для Но. Воспользуемся соотношением pv = u0'pu0, продифферен-
цировав которое по времени, получаем:
3pv Эи0‘ Эр Эи0
'эГ=”эГри° + и° э7ио + и°р“эГ’
что вместе с
^e = _l[H0 + V,p], ^ = Houo (1.44)
ot n ot ot
приводит к уравнению
^ = [V,pvL
ot
Зависимость операторов от времени здесь соответствует гей-
зенберговской для невозмущенной системы. Зависимость от вре-
мени матрицы плотности (волновой функции) связана с наличием
возмущения V, в котором заключена основная (нетривиальная)
зависимость от времени.
(1.42)
(1.43)
(1.45)
1.6. Дифференцирование операторов по времени
В шредингеровском представлении дифференцирование опе-
раторов по времени эквивалентно определению нового операто-
ра — оператора производной. Это легко сделать, отталкиваясь от
определения среднего и определив производную от оператора та-
ким образом, чтобы среднее значение величины, представляемой
Глава 1. Квантовые уравнения движения физических систем
31
этим новым оператором, совпадало с производной от среднего
значения величины, представляемой исходным оператором. Сред-
нее значение величины А, взятое по ансамблю, находящемуся в
чистом состоянии, определяется как
<А> = <уг| A|v<>-'
Дифференцируем почленно это равенство,
(1.46)
и, воспользовавшись уравнением Шредингера
*\=-1нк),^=^|н,
dt / h \dt /Р 1
преобразуем полученное уравнение к виду
d(A)
dr
= /уг ^-(НА-АН)у/\ + (у
ЭА
dt
(И,
(1-47)
(1-48)
из которого заключаем, что производная от оператора А есть
dA ЭА i/TT. дттЧ ЭА z Гтт ., „
— = ——+ —(НА-АН) = —— + -|Н, А]. (1.49)
dr dt hV dt ti J
В случае, если оператор не зависит от времени явно, получаем:
(150)
Гпава 2.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Описать состояние системы с точки зрения квантовой теории
— значит найти ее матрицу плотности (в частном случае чистых
состояний — волновую функцию). Соответствующее уравнение,
гй^ = [Н,р], (2.1)
ot
показывает, что в первую очередь нужно знать гамильтониан сис-
темы. Система, которая является объектом исследования в кванто-
вой радиофизике, состоит из поля излучения, взаимодействующего
со средой (совокупностью атомов, ионов, молекул). К отысканию
квантового оператора Гамильтона и сводится, в сущности, пробле-
ма квантования физической системы. Начнем рассмотрение с элек-
тромагнитного поля.
2.1. Общие правила квантования физических систем.
Канонические переменные
Переход от классического описания к квантовому (квантова-
ние) состоит в замене физических величин операторами. Согласно
принципу соответствия между операторами сохраняются те же
соотношения, что и между соответствующими классическими ве-
личинами. Если исходить из принципа соответствия, а также из
того, что оператору Гамильтона сопоставляется классическая
функция Гамильтона, т. е. энергия системы, выраженная через ка-
нонические переменные, становится очевидным, что именно кано-
ническим переменным должны сопоставляться операторы в про-
цессе квантования.
В классической механике уравнения движения можно вывести
из принципа наименьшего действия (принципа Гамильтона). Для
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля
33
характеристики системы вводится функция Лагранжа от обобщен-
ных координат и скоростей
Liq^q^t), (2.2)
где i — индекс частиц, составляющих систему. Интеграл
г2
S=fL(qi,q„t)dt (2.3)
'1
называется действием. Пределы интегрирования — это моменты
времени, в которые частицы располагаются в точках с координа-
тами q{'} и q™. Принцип наименьшего действия гласит, что реали-
зующаяся траектория движения между указанными точками отве-
чает минимуму действия S, т. е. вариация
{2
SS - SL(ql,qiJ')dt = 0. (2.4)
Это условие эквивалентно системе дифференциальных уравнений
движения в форме Лагранжа:
d dL dL
dt dqt dqt
(2.5)
Лагранжева функция выражается через кинетическую и потен-
циальную энергию системы:
L=T-U. (2.6)
Гамильтоново описание отличается от лагранжева тем, что на-
ряду с обобщенными координатами в качестве переменных ис-
пользуются не скорости, а импульсы частиц pt. По определению
dL
р, = -— — обобщенный импульс, (2.7)
dL
= -— — обобщенная сила, (2.8)
d9(
Н = 5} Я; -L^^Pi-L — энергия. (2.9)
dg,
Функция Лагранжа не содержит время в явном виде (что является
бедствием однородности времени), благодаря чему ее полный
Дифференциал представляется как
3 - 1473
34
Часть первая. Квантовая теория излучения
dL = £—d<7,+£—d,?,. (2.10)
d<7, d<7,
Из определения импульса и уравнения Лагранжа следует
dL = X^d^ + X P^i = X + X Р&> •
Используя соотношение
d(pi,g,) = g,dp1+ pfd^,
имеем
dL = £ p,d<7, + d£ ptq, - £dp,.
Дифференцируя выражение для гамильтониана
H = ^q,Pi-L, (2.11)
получаем
dH = d £ p,g, - dL = £ (4,dp, - p,d<7,),
а уже из этого дифференциального соотношения следуют класси-
ческие уравнения Гамильтона:
дН . дН
(212)
Функция Гамильтона — это энергия, выраженная через обоб-
щенные координаты и импульсы системы. Удовлетворяющие
уравнениям Гамильтона переменные q, и р,. носят название
канонических.
Осуществляя процедуру квантования, мы заменяем канониче-
ские переменные операторами:
q->q, Р->Р> (2.13)
причем последние должны удовлетворять перестановочным соот- |
ношениям
[Ч, .4 J = 0» IP,, Ру] = 0, [q,, ру ] = ihSij. (2.14) 1
Из последнего ясно, что канонические переменные удовлетворяют •
принципу дополнительности и не могут, следовательно, быть од-
новременно точно измерены.
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля 35
2.2- Квантовая теория электромагнитного поля
без источников
Действуя по изложенной общей схеме квантования физиче-
ских величин, следует, прежде всего, привести уравнения Мак-
свелла к канонической форме. В случае свободного поля уравне-
ния имеют вид
VxE = --—, V-E = 0,
с dt
VxH =——, V-H = 0. (2.15)
c dt
Эта система эквивалентна волновому уравнению
V2E-4^| = 0. (2.16)
с dt
Чтобы решить задачу на собственные значения, необходимо
задать граничные условия. Предположим, что речь идет о поле в
объемном резонаторе, стенки которого обладают идеальной про-
водимостью. Следовательно, на стенках ставятся граничные усло-
вия Ет=0 (Ехп = 0). Форма граничной поверхности пока не су-
щественна. Будем искать частные решения волнового уравнения в
виде функций с разделяющимися переменными:
E(f,r) = e„(/)E„(r). (2.17)
Подставив одно из таких решений в (2.16), найдем
= = (218)
Ч с ev
Отсюда получаем уравнение для собственных функций Ev(r) и
собственных значений kv:
V2E;+^E>0- (2-19)
Отсюда же вытекает уравнение для амплитуд мод:
<+44=0, (2.20)
пРичем ц -ckv. Точно такие же по форме уравнения получаются
и Для мод магнитного поля.
Мы ^аМ ПОКа не важен конкретный вид собственных функций, и
не будем их искать. Для этой цели нам понадобились бы гра-
инчные условия.
3»
36
Часть первая. Квантовая теория излучения
Собственные функции — моды идеального резонатора — об-
разуют полную ортогональную систему. Наложим на них условия
нормировки:
/E„E„dV = 4л^ „; JHvHpdV = . (2.21)
Произвольное поле в резонаторе может быть представлено в
виде суперпозиции мод. Для дальнейшего удобно записать разло-
жение по модам в следующей форме:
Е(г,г) = Pv (OEv (г); H(z,r) = (0Hv (г). (2.22)
V v
Коэффициенты разложения qv и pv являются каноническими
переменными. С целью доказательства этого утверждения рас-
смотрим выражение для энергии поля:
(|Е|2 +1Н|2)dV = А2 + ^.2) = Н • (2-23)
Не составляет труда получить уравнения движения. С этой це-
лью осуществим цепочку преобразований:
?хЕ + Ц^ = О, ^fpv(VxEJ-^Hv |=0,
с dt с >
VxE„ = ^Н,, =0, qv = pv, qv = ^~. (2.24a)
v dpv
Совершенно аналогично надо действовать и в параллельном
случае:
VxH--^ = 0, yf-wv9v(VxHv)--pvEj = 0,
с ot vV с J
VxHv =kvEv, ^(pv + rfqv)Ev =0, pv = -<o2vqv,
(2.246)
dH
Pv =-3—
d4v
Гамильтониан системы соответствует гамильтониану набора
гармонических осцилляторов с единичной массой. В этом смысле
проведенная процедура именуется разложением поля на осцилля-
торы.
Являются ли qv и pv каноническими переменными, а И
функцией Гамильтона, зависит от того, справедливы ли в данном
случае уравнения (2.24).
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля
37
Если воспользоваться приведенным выражением для гамиль-
тониана, то (2.24) несложно привести к виду
<7,-= Pv- Pv (2-25)
от которого один шаг до уравнения гармонического осциллятора с
единичной массой
?v +чЧ = 0’
(2.26)
которое уже было получено выше. Этим и доказывается канониче-
ский характер переменных.
Квантование поля осуществляется заменой канонических пе-
ременных операторами:
qv 4v. А- -> Pv = -iti (2-27)
В результате, приходим к квантовому гамильтониану
H = |£(Pv+42qv) = XHv- (2.28)
Операторы напряженностей электрического и магнитного по-
лей выражаются через канонические операторы посредством соот-
ношений
Ё = Хр.Я(г), H = -^wv2qvHv(r). (2.29)
Электромагнитное поле можно, как известно, описывать с по-
мощью потенциалов: векторного и скалярного. В случае свободно-
го поля достаточно лишь первого из них. Вектор-потенциал А
связан с напряженностями полей соотношениями
1 г)А
H = VxA, Е =------, V-A=O. (2.30)
с dt
Он удовлетворяет волновому уравнению
V2A-1|A=o. (2.31)
с дг
Уравнение для собственных функций резонатора имеют вид
У2А„+*Х=0. (2.32)
'Цля них имеет место условие ортонормированности:
/д,Ад(1У=4^„ . (2.33)
т°р-потенциал произвольного поля представляется в виде ряда
собственным функциям:
38
Часть первая. Квантовая теория излучения
A(r,r) = £9v(z)Av(r), (2.34)
V
где qv — та же каноническая переменная, что и в разложении Н .
Между собственными функциями существует следующая связь:
Е = -—А , Н„ VxA. (2.35)
с (Ov
2.3. Свойства радиационных осцилляторов
Квантование поля привело к набору радиационных квантовых
осцилляторов для временных полевых переменных. Отдельный
квантовый осциллятор обладает, как известно из курса квантовой
механики, следующими свойствами.
1. Стационарные собственные функции осциллятора удовле-
творяют уравнению:
Н п + (2.36)
Собственные значения энергии осциллятора даются выражениями:
IV =fn + —|йщ. (2.37)
I 2)
2. Матричные элементы канонических операторов, взятые по
стационарным собственным функциям осциллятора, равны нулю,
за исключением элементов, окаймляющих главную диагональ мат-
рицы:
7„,Я+1 = ’ Рп.п+1 = Р*п+1.п = + Г) С2-38)
у 20){п + 1) V 2
3. Как следствие предыдущего, средние значения координаты
и импульса в стационарном состоянии равны нулю:
<q>=<v<n|qk„>=0, (р)=0. (2.39)
Теперь рассмотрим свойства поля, которое представляет собой
набор осцилляторов.
1. Стационарные собственные функции поля удовлетворяют
уравнению:
£HvV/n=WnV/n. (2.40)
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля 39
Собственные значения энергии даются выражениями:
а стационарная волновая функция поля —
• <2-42>
V
2. Суммирование по радиационным осцилляторам приводит к
бесконечной энергии Wn вследствие наличия слагаемого 1/2 в вы-
ражениях для энергии каждого осциллятора. Энергия нулевых ко-
лебаний, обусловленных взаимодействием с вакуумом, хотя она и
бесконечна, не приводит к принципиальным трудностям в теории,
т. к. выбор начала отсчета энергии произволен.
В стационарном состоянии средние значения полей равны нулю:
{Б} = (п | Ё| п) = 0, поскольку (р^-0,
(Н) = {п\Н\п) = 0, поскольку (q) = 0. (2.43)
3. Вследствие того что операторы Е и Н не коммутируют с
гамильтонианом, в состоянии с определенной энергией (т. е. в ста-
ционарном состоянии) напряженности полей не имеют определен-
ного значения. Мерой неопределенности напряженности полей
служит дисперсия
D(E) = {e2)-{e}2={e2). (2.44)
В одномодовом случае
£>(Е) = (е2) = (Р2)Ё2, (2.45)
и аналогично,
О(Н) = (я2) = Ч2(Ч2)Й2. (2.46)
В правых частях полученных выражений имеются собственные
Функции, а значит, сами эти выражения являются локальными ха-
рактеристиками системы. Удобнее перейти к интегральным харак-
теристикам:
^f[D(E) + D(H)]dV=|((p2)+42(qv2))=<Hv)=fn + |)tov. (2.47а)
Z 2 J
Из последнего выражения следует, что среднеквадратичное откло-
нение электрического поля ДЕ есть
40
Часть первая. Квантовая теория излучения
/г(У„ ( 1
—-п+— .
2
(2.476)
Д£ =
V v
В качестве меры неопределенности напряженности одной моды
поля фигурирует энергия поля (классическая).
Полученный результат не удивителен. Он хорошо согласуется
с существованием известного соотношения неопределенности ме-
жду числом квантов и фазой осциллятора:
ДлДф>1. (2.48)
Поскольку рассматривается состояние с определенным числом
квантов, Дп = 0, то фаза полностью не определена. В классическом
понимании случайное поле также имеет нулевое среднее значение
напряженности.
2.4. Фотоны
Исходя из классической картины, мы пришли к квантовому
представлению электромагнитного поля в виде набора радиацион-
ных осцилляторов. Отметим существенную особенность такого
подхода: изучаемый объект описывается волновой функцией (оп-
ределенной в пространстве обобщенных координат, каковыми яв-
ляются амплитуды радиационных осцилляторов), которая дает
эволюцию во времени состояния именно этого выделенного объек-
та. Так проявляется характерная черта нерелятивистской кванто-
вой теории: система не исчезает и не возникает вновь, а лишь ме-
няет свое состояние. Электрон может двигаться в пространстве,
менять свою энергию, рекомбинировать с ионом, но при этом он
остается электроном. Процессы аннигиляции и рождения элек-
тронно-позитронных пар в нерелятивистской теории отсутствуют.
Можно, однако, подойти к делу с других позиций и следить не
за эволюцией системы, а за эволюцией определенных состояний,
выбрав в качестве динамической переменной число частиц в этих
состояниях. Такое описание носит название представления чисел
заполнения. В рамках такого подхода в теории и возникает понятие
фотона как элементарного возбуждения радиационного осцилля-
тора. Оно особенно привлекательно в том случае, когда речь идет о
бозе-частицах, число которых в фиксированном состоянии не ог-
раничено какими-либо запретами. Для ферми-частиц справедлив,
как известно, принцип Паули, запрещающий пребывание более
чем одной частицы в каждом состоянии.
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля 41
Фотон, как квазичастица с целым спином, подчиняется стати-
стике Бозе—Эйнштейна. Масса покоя фотона равна нулю, но он
пребывает в движении со скоростью света. Между собой фотоны
не взаимодействуют. При взаимодействии же с другими частицами
фотоны излучаются и поглощаются, благодаря чему их число не
сохраняется.
Индивидуальной характеристикой фотона служит энергия
И7 = h(i) . Если с фотоном ассоциируется плоская волна, то он имеет
определенный импульс к-(1ко/с)п и поляризацию еА (Л = 1,2).
Существуют, однако, и такие состояния фотона, в которых им-
пульс и поляризация не определены, но зато определены другие
величины. Скажем, фотон сферической волны обладает моментом
количества движения и четностью.
Заметим, что импульс фотона отнюдь не идентичен канониче-
скому импульсу pv. Последний не может быть определен одно-
временно с энергией, ибо оператор pv не коммутирует с гамильто-
нианом. Импульс же фотона непосредственно выражается через
его энергию, k = W/c, и следовательно, эти величины одновре-
менно измеримы. Если обратиться к классической теории поля, то
в ней импульс поля определен как
p = _Lf(ExH)dV.
4л с J
Это же определение импульса поля сохраняется в квантовой тео-
рии, если под Е и Н понимать соответствующие операторы. Ни-
же будет показано, что в случае плоской волны (Е ± Н ) операторы
Р и Н коммутируют.
2.5. Вторичное квантование
В релятивистской квантовой теории не принято оперировать
волновыми функциями, тем более что координатной волновой
Функции фотона вообще не существует. Более адекватен пробле-
матике другой формализм, именуемый вторичным квантованием,
к которому относится и упоминавшееся представление чисел за-
полнения.
Сам термин «вторичное квантование» имеет историческое
происхождение: впервые к этому представлению пришли, заменяя
координатную волновую функцию оператором. Современный же
42 Часть первая. Квантовая теория излучения
способ состоит в следующем. Предположим, что поле прокванто-
вано, т. е. представлено набором радиационных осцилляторов.
Из матричных элементов канонических операторов отличны от
нуля только те, которые берутся по смежным состояниям гамиль-
тониана. Действие указанных операторов на стационарную волно-
вую функцию у/п сводится, следовательно, к замене ее на или
y/n+i. Образуем из канонических операторов две линейные комби-
нации:
а = .1—-—(Ct)q + гр), (2.49а)
V 2tio)
а + = |—-— (roq - гр). (2.496)
V 2йщ
Действие новых операторов а и а* на стационарную волно-
вую функцию также состоит в замене ее на смежную. Однако в
отличие от предыдущего это действие является направленным. От
нуля отличны лишь матричные элементы
Ч.-1.п = > Ci,» = . (2.50)
Поэтому действие вновь введенных операторов (2.49) на волновую
функцию осциллятора выражается уравнениями
= (2.51а)
a+|^) = >/^+l^n+1). (2.516)
Действие оператора а имеет следствием перевод радиацион-
ного осциллятора в состояние, энергия которого на квант ha>
меньше исходной. Квант представляет собой элементарное воз-
буждение осциллятора, именуемое фотоном. Оператор а благо-
даря характеру его действия на осциллятор получил название опе-
ратора уничтожения фотона. Аналогично, оператор а+ называ-
ют оператором рождения фотона.
Операторы рождения и уничтожения
1) не эрмитовы, хотя и являются сопряженными:
а+ ^а;
2) удовлетворяют перестановочным соотношениям:
аа+-а+а = 1. (2.52)
Энергия осциллятора выражается через а и а+ формулой
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля
43
h=-W
2 '
Из вида уравнения Шредингера
( 1А
= п + - К)
а+а + аа+)=/гго а+а + — .
ясен смысл оператора
п = а+а,
который ест ественно назвать оператором числа фотонов.
Воспользовавшись выражениями
х/2Л(У
Ч=^Г
\l2ha)
2i
и гамильтоновыми уравнениями
q = p, p = -C02q,
приходим к новым уравнениям движения
а = -icoa, а' = -icoa+ .
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
Понимая под а и а+ гейзенберговские операторы, интегриру-
ем уравнения (2.58):
аг = а(0>"“, аг = а+(О)с'“ . (2.59)
Здесь а(0) и а+(0) —шредингеровские операторы.
Операторы электромагнитного поля в представлении вто-
ричного квантования. До настоящего момента знание конкретно-
го вида собственных функций резонатора не требовалось, хотя не-
явно предполагалось, что эти функции действительны. Но для за-
писи разложения вектор-потенциала в ряд, коэффициентами кото-
рого являются операторы рождения и уничтожения, вид собствен-
ных функций знать нужно.
Будем считать, что резонатор имеет форму куба. Этой форме
отвечают простейшие собственные функции — плоские волны.
ли использовать действительный базис, то эти волны будут стоя-
чими, и с учетом условия нормировки J A2d V = 4яс2 имеем:
Av (Г) = sin(k*r) (2.60)
44
Часть первая. Квантовая теория излучения
Однако при работе с комплексными операторами а и а+ более
предпочтительно разложение по комплексным модам (бегущим
волнам):
АДг) = ^^еХКг. (2-61)
удовлетворяющим условию ортонормированности
J A*A;idV = 4тгс25^(. (2.62)
(При такой нормировке получается верное выражение для энергии.)
Частные решения типа бегущих волн внутри полости получаются
при задании периодических граничных условий взамен условий на
идеальном проводнике, которым отвечают стоячие волны.
Окончательно для гейзенберговских операторов поля в ком-
плексном базисе имеем следующие выражения:
А = У ^^ev Гave,(k‘r‘‘4') + аХ'^’4'’ 1, (2.63а)
“ V Vcov L J
Ё = ГаХ^’”4'’ -аХ'^-401 = , (2.636)
V V V L J с dt
Н = xk„)[ave'(k™ -аХ'^'Ъ VxA.(2.63b)
V V Ж L J
Записанные разложения приводят к правильному виду оператора
энергии
Н =—|(ЁЁ + НЙ)бУ = £йщ аХ+-
8 д (. 2
(2.64)
и к выражению для оператора импульса поля
Р = — f(ExH)dV = Уйк„| п + -|. (2.65)
4?rcJ v ( 2)
। Плоская волна имеет, таким образом, одновременно определенные
энергию и импульс. Это утверждение относится в равной мере и к
фотону.
2.6. Когерентные состояния
Для стационарных состояний поля было найдено, что они ха-
рактеризуются значительной неопределенностью электрического и
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля 45
магнитного полей, средние значения которых равны нулю. Это
значит, что стационарному состоянию, т. е. состоянию с опреде-
ленной энергией, соответствует классическое шумовое поле. Для
описания лазерного излучения, для которого характерна высокая
степень фазовой упорядоченности, необходимо найти другое пред-
ставление, отличное от энергетического. Базисом такого представ-
ления служат, как выяснилось, собственные функции оператора
уничтожения а.
Хотя оператор уничтожения а неэрмитов и не соответствует
поэтому никакой физической величине, он имеет собственные со-
стояния, которые удовлетворяют уравнению:
а\У/а)=(Х\У/а}- (2-66)
Собственные состояния не ортогональны, но обладают
свойствами полноты, собственные значения a — комплексные
величины. Собственные состояния оператора уничтожения полу-
чили название когерентных, или глауберовских, состояний. Пер-
вый термин мотивирован физическими свойствами этих состояний,
а второй дан в честь Р. Глаубера, который ввел в физику эти со-
стояния и исследовал их свойства.
Найдем в энергетическом представлении, т. е. определим
коэффициенты разложения
к) = ХСЛв|^и). (2.67)
п
Для этого подействуем на обе части равенства (2.67) оператором а :
аШ = а\у/а) = а^Сю\^п) — слева, (2.68а)
SC««akn) = £CnaVn|v/n_1) — справа. (2.686)
п п
Выражение
«Сла=>/7йСл+1.а (2.69)
получается приравниванием коэффициентов при одинаковых
Последовательное применение этого рекуррентного соотношения
чеРез конечное число шагов приводит к финишу:
С(п
Спа=~=сОа. (2.70)
ум!
Подставив (2.70) в исходную формулу разложения (2.67), имеем
46
Часть первая. Квантовая теория излучения
к«)=соаХ-7=ткв)- с2-71)
п yin'.
Воспользовавшись условием нормировки
(2.72)
окончательно получаем
kJ=^,2/2Z-^kJ- (2.73)
» л/м'
Вероятность обнаружения п фотонов в поле, находящемся в
когерентном состоянии подчиняется пуассоновскому рас-
пределению
ICj2=^-e_W (2.74)
п!
со средним значением (и) =| а |2. Дисперсия пуассоновского рас-
пределения составляет (п2 — (и)2 - (и). Отсюда видно, что в коге-
рентном состоянии неопределенность энергии поля весьма велика1.
Найдем среднее значение напряженности электрического поля
Е в когерентном состоянии:
(Е) = (а|Ё|а). (2.75)
Поскольку оператор напряженности электрического поля дается
формулой (2.636), задача сводится к вычислению средних:
(а) = (а|а|а) = а = |а|е'’’, (2.76а)
(а+) = (а|а+ |а)=а* =|а|е-*. (2.766)
И в конечном счете находим для одномодового поля:
(E) = 2^^^e^njsin(wr-kr-^), (2.77)
где -jin) =| а |. Найденное среднее значение напряженности элек-
трического поля есть не что иное, как классическая монохромати-
ческая волна. Отсюда видна близость когерентных состояний клас-
1 Заметим при этом, что относительная неопределенность энергии
^лг) - (л)2 /(л) = 1/стремится к нулю при увеличении энергии поля. — Прим,
ред.
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля
47
сическим полям с определенной фазой. В этом убеждает и анализ
дисперсии
d(E)=[e2)-{e}2.
Оба слагаемых вычисляются относительно несложно:
(Е2) = (а|Ё2|а) =
= I (а+)21а)е2^-ы,> + (а | а21a)e2,(kr-w)]-
~(а|аа++а*а|о^. (2.78)
Приняв во внимание соотношения
(а2^=а2, т.к. а|а) = а|а),
((а+)2} = (<*‘)2> т.к. (сг|а+=(а|а‘,
(a*aj = (n), (аа+^ = (и) + 1,
прейдем от (2.78) к
^£2^ = _2^|-a2e2«kr-«> +(a^2ae-2i^-^ -2(п)-1], (2.79а)
(Е)2 = -^^[6Z2e2'<kr-“> + (a')2ae-2i<br-m) - 2(л)]. (2.796)
Полученные выражения приводят к дисперсии
£>(Е) = О(Я) = ^у^, (2.80)
которая постоянна и не зависит от числа фотонов в моде. [При
этом относительная неопределенность поля имеет вид
^e‘H£)7(£H(2Vw) . Так же как неопределенность энер-
гии, она стремится к нулю при переходе к классическому пределу
(п) »1. — Прим. ред. ].
Если теперь взять интеграл по объему, подобно тому как это
Делалось при исследовании стационарных состояний, то результат
оказывается следующим:
~\[D(E)+D(H)]dV=h(O, (2.81)
сРеднеквадратичное отклонение напряженности электрического поля
48
Часть первая. Квантовая теория излучения
ДЕ =
(2.82)
Сравнивая (2.81) — (2.82) с полученными ранее выражениями
(2.47) для стационарных состояний
— f[O(E) + £)(/7)]dV
8лJ
(2.83)
и + — flCt), ,
2
(2.84)
приходим к выводу, что когерентное состояние характеризуется
минимально возможной неопределенностью поля и в этом смысле
оно наиболее близко к классической монохроматической волне.
Необходимо подчеркнуть, что когерентные состояния опреде-
ляются исключительно собственными функциями оператора унич-
тожения а . Поскольку операторы а и а+ не коммутируют, они не
имеют общих собственных функций, а значит, когерентные со-
стояния не являются собственными состояниями оператора рожде-
ния а+, следовательно, и операторов полей. Более того, оператор
а+ вообще не имеет собственных функций. Действительно, если
бы они существовали, то коэффициенты С , разложения в ряд по
|п) давались бы формулой
(2.85)
Но ряд не сходится, поскольку | С . |—> °° при «—><».
2.7. Условие применимости классического описания поля
Обратимся к перестановочному соотношению между операто-
рами рождения и уничтожения
аа+ -а+а = 1
и вспомним, что а+а = п — оператор числа фотонов. Если число
фотонов в моде, находящейся в когерентном состоянии, велико, то
велики и матричные элементы операторов аа+ и а+а. Значит, при
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля 49
и»1 единицей можно пренебречь, после чего операторы а и а+
становятся коммутирующими и могут рассматриваться как класси-
ческие величины, определяющие напряженность поля.
Условие п »1 эквивалентно W »ho. В оптическом диапа-
зоне о ~ 1015с~‘, а значит, Йг»~1О“19 Дж и условие справедливо-
сти классического описания количественно выражается неравен-
ством W »1СГ19 Дж. Если лазер излучает даже небольшую мощ-
ность в 1 мВт, энергия поля в резонаторе составляет по порядку
величины
W ~ РтлТс = 10 3 Х10’7 = КГ10 Дж
(TQ — время жизни фотона в резонаторе).
Если генерируется одна мода, то запас в неравенстве достигает
девяти порядков. Когда излучение многомодово, запас сокращает-
ся, но все же остается вполне достаточным. Нарушения условия
применимости классического приближения в теории лазеров мож-
но ожидать только на пороге генерации. Поэтому основным вари-
антом является полуклассическая теория лазеров, в которой со-
стояние вещества описывается с квантовых, а состояние поля — с
классических позиций.
Связь квантовой теории свободного поля с экспериментом.
Любая истинная теория должна содержать рецепт эксперимен-
тальной проверки своих выводов. Именно наличие ясных путей
экспериментальной проверки отличает науку от лженауки.
Эксперимент, позволяющий судить о состоянии электромаг-
нитного поля, неизбежно включает в себя взаимодействие поля с
веществом, приводящее к какому-то изменению в последнем.
Примером эффекта, применяемого для регистрации, служит фото-
эффект — испускание электронов под действием падающего на
среду излучения. В этом эксперименте происходит поглощение
фотона, т. е. проявляется действие оператора уничтожения. Другой
вариант — трехуровневый счетчик фотонов. Эксперимент такого
Рода заключается в счете поглощаемых фотонов. Статистика счета
оказывается весьма чувствительной к состоянию поля. Когерент-
ному состоянию поля отвечает одно распределение вероятности
Регистрации определенного числа фотонов за единицу времени, а
стационарному (шумовому) состоянию поля — другое.
4 ~ 1473
50
Часть первая. Квантовая теория излучения
2.8. Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
Усложним объект исследования, предположив, что в электро-
магнитном поле находится атом, т. е. система, состоящая из ядра и
связанных с ним электронов. Соответственно, энергия системы
складывается из трех частей:
H = Hfielll + Hrle,v„n+V. (2.86)
Гамильтониан поля имеет тот же вид, что и раньше:
(2-87)
z v
Пренебрегая движением ядра, запишем сумму двух последних сла-
гаемых в виде
= Z^-lPk --А(гд ,012 + £КФ(Г4) + М(гд)], (2.88)
к 2тк с к
где и(г4) — потенциальная функция, учитывающая наличие ядра и
внешних полей.
К такому гамильтониану мы приходим, отправляясь от урав-
нений Максвелла:
VxE + — ? = 0, У-Е = 4лр, с dt VxH-—— = — j, V H = 0, c dt с (2.89)
где j - плотность тока, ар- плотность заряда.
Поля Е и Н можно выразить через потенциалы А и Ф:
_ 1 оА Е = УФ, с dt H=VxA. (2.90)
Уравнения для потенциалов:
v2a— с~ dt Г1ЭФ л"! + V-А с dt > 4я . = J, с (2.91)
У2Ф + -—V-A = с dt -~4пр. (2.92)
В силу неоднозначности введения потенциалов на них следует
наложить дополнительные условия. Сделать это можно по-
разному.
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля
51
1. Лоренцева калибровка
1 дФ
V-A + -—= 0 (2.93)
с Эг
приводит к симметричной форме уравнений:
fv2--VX)a = -—j, (2.94)
С dr J с
V2 - Д-Д’|Ф = -4лр . (2.95)
с dt )
2. Кулоновская калибровка
VA=0 (2.96)
означает, что А описывает только поперечное поле. Скалярный
потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
\72ф = -4лр (2.97)
и, следовательно, характеризует статическое поле. Энергия вихрево-
го и статического полей аддитивна, благодаря чему гамильтониан
поперечного поля может быть записан в прежней форме (как для
свободного поля). Решение же пуассоновского уравнения известно и
для системы точечных зарядов р = ^е,<5 (г - г, ) имеет вид
Ф = . (2.98)
i |r-rj
Полный оператор Гамильтона системы выглядит с учетом сказан-
ного как
H = av+av+- +
v k 2 7
Р*-—At(r,Z) +£и(г*).
* L с J 2 rit д.
(2.99)
1 L
il
Следующий этап рассмотрения предполагает разделение вто-
рого слагаемого справа (2.99) на две части: кинетическую энергию
электрона и энергию взаимодействия электрона с электромагнит-
ным полем.
Существуют два пути, которыми можно следовать.
1 Раскрыть квадрат разности и, используя перестановочные
соотношения
₽*A~Apt =-ift(VA) = 0,
(2.100)
52
Часть первая. Квантовая теория излучения
получить
-2 С 2 \ -2
Zt*— Е — р.л-т^-а1 =Xt4~+v- <2|01>
к2тк куткс 2.ткс J к 2тк
Основная составляющая гамильтониана взаимодействия элек-
трона с электромагнитным полем пропорциональна рЛА , но она не
единственна, а входит в сумме с дополнительным нелинейным
членом.
Ни р, ни А непосредственно в эксперименте не измеряются.
Поэтому выражение для V нуждается в преобразовании, которое за-
ключается в разложении A(r,Z) в ряд Тейлора относительно точки, в
которой расположено ядро атома. Возможность разложения следует
из того, что в оптическом диапазоне длина волны излучения значи-
тельно больше размера атома и поле на размерах атома квазиодно-
родно (радиус боровской орбиты основного состояния атома водоро-
да а0 = 0,529 А). Оптический диапазон соответствует Л ~ 103—104 А.
Учитывая сказанное, осуществляем разложение
A(R,0 = A(R0,r) + (rVRo )A(R,r) +..., (2.102)
где
„ . a . а , а
V„ =i—+i—+ k —•
дх dy dz
Оператор — это производная по направлению, взятая в точке Д,.
Подстановка разложения в V приводит после некоторых преобразо-
ваний к результату, имеющему наглядный физический смысл. Мы его
получим способом, который предложила Геперт-Майер.
2. Для этого нужно вернуться от гамильтониана одного элек-
трона
1 ( е \ Н= р--А 2ту с у к соответствующей функции Лагранжа L-—mr +—гА + Д(г) с учетом того, что е . dL у- . р = /иг +—А, р =—H=y,q!p.-L. (2.103) (2.104) (2.105)
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля 53
Используем то, что лагранжева функция L определена с точно-
стью до полной производной по времени от некоторой величины.
Добавка d/7dz дает постоянный вклад в действие и не влияет на ва-
риацию 8S. Добавим к функции Лагранжа величину
р d
——{г-A(R0,z)}
с dz
и будем считать, что в L присутствует только A = A(R0,z), т. е.
первый член разложения.
Модифицированной функции Лагранжа L' = — тг2 - —гА + Д (г) 2 с (2.106)
отвечает теперь канонический импульс
p = n?f. Значит, гамильтониан имеет вид (2.107)
7/ = pr-L = -^—+—гА = ——ггЕ ^—dE, (2.108)
2т с 2т 2т
где d — дипольный момент.
Первый член разложения вектор-псп енциал а описывает элек-
тродипольное взаимодействие между атомом и полем, которое по
порядку величины составляет 10-1 —1СГ19 СГСЭ. Из-за второго
члена разложения вектор-потенциала,
(rV^)A(R0,r),
в лагранжиане появляется дополнительное слагаемое
£f,(rV )A(R0,z),
с
к которому мы добавим полную производную по времени:
е d
^lr(rV^)A(R0’Z)l =
=“ 27k(rv^)А+r(fv^)А+r(rv^} А] • (2109)
Существует векторное тождество
[axb][cxd] = (ac)(bd) - (bc)(ad),
подставив в которое
а = г, b = г, с - V„ , d = А,
Получим
(Г X r)(V х А) = (rV^ )(rA) - (rV^ )(гА). (2.110)
54
Часть первая. Квантовая теория излучения
Далее, осуществим преобразование правой части:
(rV^)(rA) = rV^(rA) =
= r|(rV^)А + (AV^ )r + AxVxr + rxVxA} =
= r(rV^)A + r(rxVxA). (2.111)
Аналогично,
(rV^ )(rA) = r(rV^ )A -r(rx Vx A). (2.112)
Векторное тождество преобразовалось в
r(rV^ )А = r(r\\ )А + r(r х V х А). (2.113)
Добавка в лагранжиан слагаемых, обусловленных вторым членом
разложения, дает:
L” = -/«г2 -—гА -—r(rVх А) - — r(rV )А + Д. (2.114)
2 с 2с 2с
Таким образом, мы приходим к выражениям для каноническо-
го импульса
дГ е
рх-----,р = тг-----(rxVxA) (2.115)
Эх 2с
и гамильтониана
Р2 е
Н =——сгЕ +------p(rxVxA) +
2т 2тс
1 с2 с
+—y(rxVxA)2+— r(rV)A-£j, (2.116)
2т 4с“ 2с
или
п2 С
Н = +u(r) - dE - pH —r(rV )Е +... (2.117)
2т 2
Здесь использовано очевидное равенство:
p(rxH) = -(rxp)H = -LH, (2.118)
где L — орбитальный момент количества движения. По определе-
нию
1^“L. (2.119)
2тс
Мы не учитывали спина электрона, с которым связан спино-
вый магнитный момент
ЬР(И=—S- (2.120)
Глава 2. Квантовая теория электромагнитного поля
Гамильтониан спина в магнитном поле записывается как
(2.121)
Поэтому, не задумываясь о природе магнитного момента, за-
пишем магнитодипольное взаимодействие как -pH .
Остается еще один член:
IV = --r(rV^)E. (2.122)
Если расписать это соотношение в проекциях на оси прямоуголь-
ной системы координат, то получим выражение для энергии квад-
рупольного взаимодействия:
е ж-.
<Z123>
Здесь хо — компонента вектора г, Ха — компонента вектора
Ro.
Мы несколько преобразуем выражение (2.123), воспользовав-
шись условием калибровки потенциала V • А = 0. Из него следует,
что V - Е = 0, т. е.
y^L=y5 ^=0.
Zu Tv Zu GP tv
а ОЛа ct.fi ОЛа
Умножим этот нуль на г2/6 и прибавим его к (2.124), от чего
> разумеется, не изменится:
(2.124)
iv =—У
quad ,
Va,fi
(2.125)
Тензор
Dap = e^>xaXp - S^r2) (2.126)
называется квадрупольным моментом системы. Именно в такой
форме он приведен в «Теории поля» Ландау и Лифшица. Тензор
этот симметричен: Dap = . Сумма его диагональных элементов
Daa = 0. Значит, число независимых компонент тензора равна
пяти. Теперь можно интерпретировать Wquml как скалярное произ-
ведение тензора квадрупольных моментов на тензор градиентов
электрического поля VE.
56
Часть первая. Квантовая теория излучения
Настало время подвести итоги и записать оператор Гамильто-
на атома в поле излучения:
Н — + Ня(от + Hv —
-2
ХР* / ч 1 V1 eiek
^-+^к) -
к _ 27/1* J 2 rik
1 Эе
к к V к ар ОХа
Здесь
Afield
= аАаЛ+ —
Л
1к
(2.127)
= Yh(t)* aX+- ,
A V
Pi z . 1 V1 ei^k
=Z ’
к 2,.,. n
(2.128а)
(2.1286)
тт
Г1ают
к
Hv=Vfrf
1 зе
к к ° к ар ола
Оценим относительную величину слагаемых в гамильтониане
взаимодействия. Точнее, рассмотрим такие величины как
2
'"Ч
1 + V
md quad
«**• 'а
(2.128в)
V quad 2
rnd
V'd
ибо они определяют относительный вклад каждой из составляю-
щих гамильтониана в вероятность перехода, о которой речь пойдет
чуть ниже.
Энергия электромагнитного взаимодействия jdl~ea, где а —
радиус боровской орбиты, е = 4.8КГ10 СГСЭ. Возьмем <у=2 КГ15сч,
т. е. Л = 1мкм, ао=51О~9см, масса электрона т = 10 27 г, что
приводит нас к | d |~ 1СГ18 СГСЭ, и это 1 дебай. Воспользовавшись
теми же цифрами, оценим |/A|=^/2mc = lO_20 СГСЭ, и это магне-
тон Бора. Отсюда имеем
2 2 = 10’4, ^quad 2 . 7 2 4 2 2 к~е а 22 (0 а 7 —— -к а =—— = 10 . (2.129)
d е'а' с
Гпава 3.
ЭВОЛЮЦИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ВО ВРЕМЕНИ
3.1. Общие положения. Методы теории возмущений
Состояние квантовых систем меняется во времени вследствие
их взаимодействия с другими системами. В самой общей поста-
новке задачи в понятие системы включается как подсистема, яв-
ляющаяся объектом рассмотрения (1), так и все другие подсисте-
мы, с ней взаимодействующие (2). Глобальная система консерва-
тивна и поэтому описывается гамильтонианом, не зависящим от
времени:
Н = Н1(Х) + Н2(У) + У(Х,У). (3.1)
Если V = 0, то консервативна и каждая из подсистем, но при
V 0 между ними возможен обмен энергией и состояния подсис-
тем меняются. Примером подобной системы служит атом и мода
электромагнитного поля (радиационный осциллятор). Характерной
особенностью указанной конкретной системы является то, что обе
подсистемы — атом и поле — обладают конечным числом степе-
ней свободы и дискретным энергетическим спектром. Системы,
удовлетворяющие этим условиям, называются динамическими.
Можно несколько видоизменить пример и предположить, что
атом взаимодействует не с одной модой поля, а с полем в свобод-
ном пространстве, содержащем бесконечное число мод. Такое поле
характеризуется бесконечным числом степеней свободы и непре-
рывным спектром, а это определяющие признаки диссипативной
системы.
Когда рассматривается взаимодействие двух динамических
подсистем, то извлекается равноценная информация об обеих ком-
понентах. В случае взаимодействия динамической и диссипатив-
ном систем нас не интересует детальная информация о последней
(какая именно мода поля возбудилась). Важна лишь вероятность
58
Часть первая. Квантовая теория излучения
перехода динамической подсистемы из одного состояния в другое.
Поэтому развиты методы, позволяющие в рамках общего пред-
ставления о консервативной системе выделить ее динамическую
часть. С точки зрения математики это означает переход от матри-
цы плотности к рпп., и этот переход следует сделать до ре-
шения задачи в целом, получив уравнение для матрицы плотности
динамической подсистемы, учитывающее влияние диссипативной
подсистемы.
В рассмотренном примере атом играет роль динамической, а
поле — диссипативной системы. Но возможна и другая ситуация,
когда с самого начала выделяется динамическая система. Воздей-
ствие на нее других систем учитывается как проявление внешних
сил, которые считаются заданными. Выделенная система в этом
случае не будет ни замкнутой, ни консервативной. Для нее не вы-
полняется закон сохранения энергии. Формально, сказанное выра-
жается в том, что гамильтониан взаимодействия явно зависит от
времени:
H = H,(X) + V(X,r). (3.2)
Так обстоит дело, например, в случае, когда атом, обладающий
дипольным моментом, помещен в заданное электрическое поле.
Для замкнутой системы мы должны были бы записать:
Н = Н1(Х,У) + У(Х,У). (3.3)
Наиболее просто это различие воспринимается, если подсистема
(2) может считаться классической. Если, к тому же, влиянием под-
системы (1) на (2) можно пренебречь, то У — заданные функции
времени и тогда V(X , У(г)) = V(X ,t), а значит,
H = H,(X) + V(X,O, (3.4)
где Н](Х) — гамильтониан подсистемы (1).
Гамильтониан взаимодействия системы, состоящей из атома с
электрическим дипольным моментом и поля, имеет вид
V = -dE. (3.5)
Задача об эволюции состояния системы решается методом
возмущений. Поэтому прежде всего следует разделить гамильто-
ниан на невозмущенную часть Н] и возмущение V. Если система
замкнута, то V от времени не зависит. Далее удобно перейти к
представлению взаимодействия-.
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени 59
где символы с «угловой крышкой» обозначают операторы в пред-
ставлении взаимодействия. В этом представлении запишем урав-
нение для матрицы плотности:
ift^ = [V,p]. (3.6)
dt
Это уравнение можно записать и в интегральной форме
Р = Ро +Т J[V(T),P(T)]dT, (3.7)
где ро =р0 • Явная зависимость V(t) не должна удивлять, т. к. это
оператор в представлении взаимодействия. Когда говорится о ста-
ционарном возмущении, имеется в виду, что в шредингеровском
представлении VShred = const.
В нулевом приближении теории возмущений
Р = Ро • (3-8)
Первое приближение р<п в последовательности
Р = Ро + р(” + Р® + Р® + - (3-9)
получим, подставив р(т) = р0 в подынтегральное выражение (3.7):
р'^^НШро^)]^. (3.10)
in J
Подставив, в свою очередь, туда же р(1> вместо р0, получим вто-
рое приближение:
P<2’=^f[V(T),p(1,(T)]dT =
z/z J
= 7^ j f dT2[V(T1),[V(T2),p0(T)]]. (3.11)
(z/z) £
Последующие приближения вычисляются по тому же рецепту.
Малым параметром задачи является V(r), и скорость сходимости
зависит от него.
Рассмотрим вначале эволюцию системы при наличии стацио-
нарного возмущения. Задача формулируется следующим образом:
в момент t = 0 система с достоверностью находится в п -м состоя-
60
Часть первая. Квантовая теория излучения
нии, т. е. РЬ = Р„„=1- Требуется найти вероятность нахождения
системы в момент t > 0 на каком-либо другом уровне, т. е. величи-
ну . Она дается первой неисчезающей поправкой в (3.9), ко-
торая соответствует поправке второго приближения (3.11). Дейст-
вительно,
= дЫ dT> J [V(T1),[V(T2),Po(T)]UdT2 =
(|Й) До Л,
|2
--1- cos
(k-wj L
(3.12)
/Л # n.
I
Й
Эта формула определяет вероятность перехода системы из состоя-
ния п в состояние т за время I. Из нее следует, что отличной от
нуля вероятность перехода будет лишь в том случае, когда энергии
конечного и начального состояний примерно совпадают. Переходя
к пределу |W„ -WJ—>0, следует иметь в виду соотношение неоп-
ределенностей Д1УД/ ~ h.
Рассмотрим теперь другой случай, когда энергия конечного
состояния системы принадлежит непрерывному, а энергия началь-
ного состояния — дискретному спектру. Например, в начальном
состоянии b атом возбужден, а фотонов в поле нет. В конечном
состоянии а атом пребывает на основном энергетическом уровне и
в поле появился один фотон, имеющий энергию в интервале от Wn
до W„ + dW„. Число состояний (осцилляторов поля) в интервале
энергий dlVn равно g(We)dJVe. Таким образом, матричный элемент
P„„(W„) в конечном состоянии «атом на основном уровне + фо-
тон» является непрерывной функцией в интервале энергий dW„.
Вероятность перехода мы получим, осуществив интегрирование по
энергии выражения (3.12):
^я=]ряЖЖ 1-СО5И/ g(w„)dwa .(3.13)
Теперь воспользуемся известным соотношением
Cz , 1 1-cos Кг
о (х) = — lim---z-—
л к Кх
(3.14а)
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени
61
в котором x = Wb-Wa, K-tlh. Значит, при достаточно большом t
мы можем интерпретировать один из сомножителей подынтеграль-
ного выражения как 5-функцию и преобразовать (3.13) к виду
1Ч„|2Ж,)'- (3.146)
й
Необходимое условие применимости (3.146), при котором функ-
ция, которую мы трактуем как 5-функцию, близка к нулю, имеет
вид | Кх |»1. Оно заключается в том, чтобы при любом интере-
сующем нас времени изменением остальной части подынтеграль-
ного выражения в (3.13) можно было бы пренебречь:
K|2g(W„) = const.
Если характерный интервал изменения |Vfcn|2 g(W„) обозначить
как A W*, то условие | Кх |»1 преобразуется к виду
Z»ft/AW*=l/w*. (3.15)
В этом случае справедлива формула (3.146) и можно ввести поня-
тие вероятности перехода в единицу времени.
'"Утг
ОВД
п
Эта формула играет важную роль в квантовой теории излучения и
является одной из форм записи так называемого золотого правим
Ферми.
При t«hl AW* вероятность перехода, как следует из (3.13),
2
пропорциональна t и вероятность перехода в единицу времени
ввести не удается.
Теперь посмотрим, как ведет себя система под влиянием гар-
монического возмущения
\(t)-\'e‘“' + \*eito'. (3.17)
Предполагается, что возмущение включается в момент / = 0.
Матричный элемент гамильтониана в представлении взаимодейст-
вия имеет вид
V„„,(О = КУ'+ V* е,(щ'-+ы>'. (3.18)
В первом порядке теории возмущений отличны от нуля только
недиагональные элементы
р"=^~------------~+^~-----------i. (3.19)
й 0)nm-(0 й солт+ы
62
Часть первая. Квантовая теория излучения
Во втором приближении выполним интегрирование аналогич-
но (3,12), учтем соотношение неопределенностей, пренебрежем
малыми членами при условии
cot»1 (3.20а)
и получим следующую формулу:
Рм.<» = = Г1-со5(б>„ -ш»
Зная смысл величины pmm(t) и воспользовавшись соотношени-
ем (3.14а) при условии (3.20а), находим вероятность перехода в
единицу времени из состояния п в состояние т под действием гар-
монического возмущения:
Тле
wn^m = ту I|2 {Sico^ - со)+8(сопт + ш)}. (3.20в)
п
[Выражение (3.20в) — это другая формулировка золотого правила
Ферми, полученного для случая гармонического возмущения. Дос-
таточно просто установить соответствие между двумя полученными
формулировками правила Ферми — выражениями (3.20в) и (3.16).
Если в (3.20в) учесть спектральное уширение атомных переходов,
т. е. ввести так называемый форм-фактор перехода g((О„т), и проин-
тегрировать по (ко™,, то получим с точностью до обозначений фор-
мулу (3.16). С другой стороны, можно рассматривать формулу
(3.20в) как вероятность перехода в системе «атом + фотон». Тогда
й(<Упт - (О) есть в точности разность энергий системы «атом + фо-
тон» в начальном и конечном состояниях и отличную от нуля веро-
ятность имеют лишь переходы с (Опт = ±со или | Wn - Wm |= ftco. Вво-
дя функцию спектральной плотности непрерывных состояний и ин-
тегрируя (3.20в), получаем формулу (3.16). — Прим, ред.}
3.2. Вероятность радиационного перехода
Мы получили формулу для вероятности перехода, не конкрети-
зируя природу квантовой системы. Теперь будем считать, что взаи-
модействующие подсистемы — это атом и поле излучения. Взаимо-
действие считаем электродипольным, V = -dE, следовательно, мат-
ричный элемент гамильтониана взаимодействия имеет вид
(a; n1,n2,...,n2,...|dE|fe; п,,и2..
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени 63
—
В рассматриваемом приближении второго порядка теории
возмущений отличную от нуля вероятность имеют только однофо-
тонные переходы. Это хорошо видно из рассмотрения гармониче-
ского возмущения, где получено условие | Wa - Wb | = ho). Поэтому
в записи матричного элемента можно оставить только одно из чи-
сел заполнения — то, которое меняется в результате перехода
(a,nA |dE|Z>,z0.
В силу коммутативности операторов d и Ё, зависящих от раз-
ных переменных, возможно разбиение матричного элемента на два
сомножителя, и в результате получаем:
|dE|Z?,n0 = (a|d|Z?)(nz |Ё|<).
Подставляя вместо оператора Е его выражение
Ё = сЛ (аЛАЛ - аХ) (3.21)
и учитывая, что в дипольном приближении |АЛ | = e'te = 1, получаем:
пЛ+1,
«л-
ЕЬ>ЕО
Eb<Ea
(3.22)
Если в начальный момент атом находился на верхнем уровне
Ь, то сработает оператор рождения фотона а+ и в выражении
матричного элемента оператора поля будет стоять коэффициент
JnA +1. Если же атом находился вначале на нижнем уровне а, то
сработает оператор уничтожения фотона а и коэффициентом бу-
дет ^п~А . Формула для вероятности перехода в единицу времени,
справедливая в том случае, когда либо начальное, либо конечное
состояние поля принадлежит сплошному спектру, имеет, согласно
(3.20в), вид
= — I Vab I2 {<5(Wb -Wa-h(0A)+8(Wb - W„ + huA)}=
Fl
4^4 . p 2 J(nA+l) 8(Wb-Wa-h(OA)
E3 d nA 8(Wb-WB+ltcoA)
(3.23)
64
Часть первая. Квантовая теория излучения
3.3. Поглощение излучения атомом
Допустим, что атом в начальный момент находится на ниж-
нем уровне b и помещен в электромагнитное поле, характери-
зующееся числами заполнения иА. Согласно золотому правилу
Ферми (3.16)
ЧоГЛ=^г1^|2т)- (3-24)
При переходе от g(W) к g(wA) мы использовали равенство
g(W)dW = g(fif)dco, из которого вытекает g(W)~ g(w)/h. В вы-
ражении для vvnoiJ] нашел отражение тот факт, что результатом пе-
рехода атома в конечное состояние явилось поглощение фотона с
частотой tyA.( Заметим, что непрерывному спектру принадлежит
начальное, а не конечное состояние системы.
Рассмотрим вначале вопрос о поглощении поляризованного
излучения с выделенным направлением распространения, напри-
мер под углом £2 в некоторой полярной системе координат. Под-
ставив в общую формулу для вероятности поглощения (3.24) зна-
чение | Vab |2, найденное в (3.22), получаем
2л 2nhco, , ч. .о „ __ч
ЧоГЛ = £3 ("л) I I (3-25)
Здесь индекс <7=1,2 обозначает одно из двух направлений линей-
ной поляризации, йсоАС3иА£д(шА) = рй(соА) — объемная спек-
тральная плотность энергии поля в выделенном направлении Х2, ее
размерность Дж/м3 Гц, gfi(coA) = (L/2?rc)3co2d42 . Она связана с из-
вестным выражением для интегральной плотности равновесного
излучения в однородном изотропном пространстве (распределени-
ем Планка)
Йсо3 1
р(ш) = ро(ю)и(со) = —
я с —
екТ -1
соотношением рй(со) = р(ш)/(8тг). Приняв все это во внимание,
запишем
(3.26)
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени 65
В (3.26) учтено, что поляризация в рассматриваемом случае не
зависит от номера моды Л. Формулу для скорости поглощения
1Упогл неполяризованного изотропного излучения получим, про-
суммировав (3.26) по обоим направлениям поляризации и проин-
тегрировав по всевозможным направлениям распространения.
Суммирование по поляризациям тривиально (рис. 3.1):
г
У J| <Va I2 dQ = 2 f I dflfc I2 sin2 e d£2 . (3.27)
cr=l T2 a
z> <
dah
6 *
Рис. 3.1
I
. r----i------►
/X^pJу
/x
Поскольку в сферической системе координат сШ = sin0 d0d<p,
интегрирование дает
2 2л л л
XjKeJ2 <7X2 =|<V Г Jd<pJsin30d6= — |dnt|2. (3.28)
ст=1р 0 0 3
В итоге для изотропного излучения имеем скорость поглощения
4тг21 d I2
Кога = ' Я^-Р(со) = Вр&). (3.29)
I d I
Здесь В - —ab — коэффициент Эйнштейна для поглощения и
индуцированного излучения. Поглощаемая атомом мощность
рю, = = Bhojpipj). (3.30)
3.4. Индуцированное и спонтанное излучение
Теперь будем считать начальное состояние атома возбужден-
ным и пользоваться формулой (3.22) для матричного элемента
взаимодействия
5 ~ 1473
66
Часть первая. Квантовая теория излучения
L-j
(3.31)
Слагаемое, пропорциональное мЛ, ответственно за индуцированное
у испускание и приводит к формуле вероятности излучения, в точно-
j ста совпадающей с формулой вероятности поглощения.
Второе слагаемое, ответственное за спонтанное излучение,
, следует рассмотреть отдельно. Первое отличие между этими сла-
гаемыми заключается в том, что при индуцированном переходе
непрерывному спектру принадлежит начальное состояние (пред-
полагающее некое распределение возбуждений по модам). При
спонтанном излучении размыто конечное состояние, т. к. заранее
не известно, какой именно осциллятор поля возбудится (закон со-
j хранения энергии соблюдается с точностью до соотношения неоп-
. ределенностей AEAt ~h).
Начальное состояние системы таково: атом в возбужденном
состоянии, фотонов в поле нет. Конечное состояние: атом в основ-
ном состоянии, в поле присутствует один фотон. Поскольку фотон
может быть испущен с любой поляризацией и в любом направле-
нии, следует осуществить суммирование и интегрирование подоб-
но тому, как это делалось при расчете вероятности поглощения в
изотропном поле излучения. Стартуя с выражения (3.24) и проде-
лывая последовательно все действия, приведшие к формуле (3.29),
получаем
п L а=1 а <0
= J । J-‘c- i1 ° |2= <332)
fl o7l CT=i р jriC
Здесь Дм — коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения.
Обратная величина тяЬ = представляет собой время жизни атома
в возбужденном состоянии а. Если атом из состояния а может спон-
танно переходить в различные состояния с меньшей энергией, то
i = S2r = S^- (3 33)
* ьТвЬ Т
Если провести оценку по формуле (3.32), задав и = 2-1015 с-1 (ви-
димый диапазон) и d = 10 ^ СГСЭ.(1 Дебай), то получим т ~ 10-6 с.
Заметим, что коэффициент Эйнштейна пропорционален кубу часто-
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени
67
ты, и это значит, что чем выше расположен уровень, тем меньше его
время жизни, причем, зависимость эта очень крутая.
Излучение в одну моду монохроматического поля (нестро-
гий вывод правильных формул). Если поставить вопрос об инду-
цированном испускании атома в поле монохроматической волны,
то в свете сказанного выше вероятность перехода в единицу вре-
мени ввести нельзя, поскольку нет непрерывного спектра. Однако
нужно принять во внимание размытость энергетических уровней
атома, обусловленную разными причинами, из коих простейшая —
конечное время жизни состояний. Благодаря этому дискретный
энергетический уровень трансформируется в полосу конечной ши-
рины с функцией формы g0(W)*8(W -W;). Подставляя g0(W) в
золотое правило Ферми (3.16), находим
2л
инд й*
Допустим, что линия атомного перехода имеет лоренцеву форму
z . 7 1 8ы0
g0 (со) = L = —--° 2
Л (СО-СО0) +ОСОо
с нормировкой
= ^Мп8о((0).
(3.34)
(3.35)
J L((0)d(0 = 1. (3.36)
О
Подстановка функции L и матричного элемента | Vab |2 в фор-
мулу (3.34) приводит к вероятности перехода в поле бегущей мо-
нохроматической волны:
w = 4тг|<1пЬеет |2 _________п,_________
h8(o0L3 1 + (ша-ш0)2/(<5со0)2 ’
Если модой является стоячая волна и атом находится в ее пучно-
сти, то вероятность излучения вдвое выше.
Теперь заметим, что не только линия атомного перехода, но и
состояние поля является размытым. В силу того что реальный ре-
зонатор обладает потерями, моде отвечает не одна частота сол, а
конечная полоса частот 28(ОЛ вблизи сол. Только что рассмотрен-
ии случай фактически означает, что 8(О0 » 3(0А . В обратной си-
туации, 8юа » 8(О0, мы можем повторить все рассуждения и по-
лучить формулу, подобную (3.37), с той лишь разницей, что имеет
5»
68
Часть первая. Квантовая теория излучения
место замена 8соо -> 8сол. Формулы для вероятности спонтанного
излучения в одну моду отличаются от приведенных лишь отсутст-
вием множителя .
3.5. Естественная ширина линии. Теория Вигнера—Вайскопфа
Эта теория в значительной мере оправдывает сделанное выше
допущение о конечной ширине линий квантовых систем.
До сих пор мы строили теорию радиационных переходов,
пользуясь методами теории возмущений и формализмом матрицы
плотности. Однако никакой особой необходимости в привлечении
аппарата матрицы плотности в данном случае нет, хотя при обра-
щении к непрерывному спектру и появляется дополнительная ста-
тистичность. Здесь вполне можно обойтись волновой функцией,
рассматривая сначала переход из дискретного состояния в какое-то
определенное конечное состояние системы, а уже затем прибег-
нуть к статистическому усреднению по возможным конечным со-
стояниям. Кстати говоря, мы это и делали, работая с матрицей
плотности чистого состояния.
На данном этапе мы временно расстаемся с р и возвращаемся
к ц/ , во-первых, и отказываемся от получения решения в виде ряда
по малому параметру V, хотя сам параметр по-прежнему считаем
малым.
Уравнение Шредингера, записанное в представлении взаимо-
действия для замкнутой системы
= (3.38)
dt 1 '
мы преобразуем в энергетическое представление, воспользовав-
шись разложением
к)=Хедк„). (3-39)
п
Зависимость Cn(t) отражает нестационарность задачи. Под-
ставив (3.39) в уравнение (3.38),
“S^|K)=Lc.vk.)- <3 40)
п ш п
умножим скалярно обе части на (уп | и получим
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени 69
ih^ = | \v,}e^Cn . (3.41)
Здесь уже \shred —шредингеровский оператор, а (от =(Wm -Wn)/h.
Зададим начальные условия С„(0) = 1, Си(0) = 0 и перепишем
уравнения, выделив начальное состояние:
Иг^ = Утпе,ш-'Сп, (3.42а)
at
ih^-Vnme-^'Cm. (3.426)
dr
Действуя по теории возмущений, мы должны подставить в
правую часть (3.42а) Сп =1 и найти Ст :
(3.43а)
тп
, 21V I2 ( IV -IV )
IС J = р =--- J 1 - c°s- nt (3.436)
и (и^-иоЧ h J
Этот результат справедлив при | Ст |2« 1.
Вигнер и Вайскопф предложили другой метод решения задачи,
свободный от указанного ограничения, а значит, и от ограничений
по времени. Необходимое предположение заключается в том, что
начальное состояние включает возбужденный атом и не содержит
фотонов, |и^ = |а,О), конечное же состояние |ш) = |&,1А). Это не-
тривиальное допущение, ибо мы априори не располагаем доказа-
тельствами отсутствия многофотонных переходов и лишь предпо-
лагаем, что их нет. В теории возмущений это получается автомати-
чески, но лишь для низших порядков теории.
Решение для Сп ищем в виде
Сп=е^'2 (3.44)
и путем замены <у =—------ + <уА = tt)A -соо получаем
It
iflC =v exp[i(toA-ш0)?-уг/2]-1
i(wA -w0)-y/2
Подставим Cm в (3.426). Это приводит нас к соотношению
(3.45)
70
Часть первая. Квантовая теория излучения
(346)
2 / (tOg ) iy 12
Суммирование заменяем интегрированием:
^Г = Тг(К,)1~еХр1,(Ю'-~‘1,Иу;21<<1Ю. (3.47)
2 { (<и„-Ю)-)у/2
Полагая затухание слабым (у«соо), пренебрежем у под знаком
интеграла, что преобразует подынтегральное выражение к виду
jF(co)£ (со0 ~ w)dco. (3.48)
о
Стоящая здесь функция F(co) расшифровывается как
F(co) = JI ^(со, Д) |2 ga (co)<U2 . (3.49)
а
Дзета-функция, как и дельта-функция, относится к категории не-
собственных функций:
Р 1 _ g'40*»-0”'
£ (соо - со) =------1л8 (со0 - со) = lim--------=
со0—со со0—со
,. 1 - cos(con - co)t - i sin(con - co)t
= lim----------=---------------H--------
coo - co
(3.50)
Несобственные функции имеют смысл только как операторы при
интегрировании. Оператор Р означает, что интеграл берется в
смысле главного значения от функции, на которую Р умножается:
ь Р
f — F(x) = linJ f
J Y >0 J
~a
Fix), AF^a
----dx + -----dx
X ' X
В результате получаем уравнение:
-ih2 — = [ Р -^-dco-iTrF(co).
2 1 coo—co
Мнимая часть,
2 г ~
Imy=^JP
п J
F(CO) Ял,
-------dco,
соо-со
(3.51)
(3.52)
(3.53)
представляет собой добавку к со0 и дает, следовательно, малый
сдвиг частоты перехода из-за взаимодействия атома с полем. Ра-
диационный сдвиг известен в литературе как лэмбовский сдвиг.
71
(3.54)
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени
Наличие действительной части y0 = Rey означает наличие у
линии конечной ширины:
Го=Тг1КЬ|2 g^ = Wab-
п
Заметим, что wab — вероятность в единицу времени и у0 «со.
Если теперь вернуться к формуле для амплитуды вероятности
С и записать ее при t —» °°, когда переход уже с достоверностью
произошел,
I I2
(3.55)
IKJ2 1
Й2
то мы получаем форму линии спонтанного излучения. Интегрируя
теперь по поляризациям и направлениям распространения, нахо-
дим вероятность спонтанного излучения в полосу частот от со до
со + dco:
. 2co3|dnfl|2_______dco
<ЧП
(3.56)
Зл-Йс3 , ,2 Уо '
(со-со0)2+^-
Этот результат эквивалентен соотношению неопределенностей
«энергия — время», т. к. wab = 1/Дс, где Ас — время жизни исход-
. ного состояния, уяЬ=ДИЛ/й —размытость энергетического уров-
ня и соотношение у0 = wab эквивалентно ДW At = h. Эксперимен-
тально положение энергетического уровня регистрируется по пе-
реходу на другие уровни. Время жизни принципиально конечно, и
уровень обязательно размыт.
Полученное уширение линии обусловлено исключительно
спонтанным излучением; поскольку этот вид уширения принципи-
ально неустраним, он получил название естественного уширения.
Такое уширение приводит к лоренцевой форме линии с полушири-
ной
8ы0=^- = ^. (3.57)
2 2
Полученная формула естественной ширины линии справедли-
ва применительно к атому в свободном пространстве или в резона-
торе с длиной L » Л. Поэтому правильная постановка задачи об
ИнДуцированном взаимодействии атома с монохроматическим
72
Часть первая. Квантовая теория излучения
излучением такова: вынужденное излучение сосредоточено в од-
ной моде, тогда как спонтанное идет во все моды. Так, например,
может обстоять дело в открытом резонаторе.
Рассмотренный подход не справедлив, если и-инд » wcn. Нужно
обратное соотношение вероятностей этих процессов, эквивалент-
ное Гиид »1/у0, где гинд — время индуцированного перехода. Если
атом помещен в резонатор с L ~ Л, то в окрестности собственной
частоты атома окажется лишь одна частота резонатора или ма-
лое число таких частот, а это значит, что интегрирование по часто-
те невозможно. В этом случае надо учесть неидеальность резона-
тора и воспользоваться приведенной выше формулой (3.47), если
только tma »1/<5шс. Такая ситуация может возникнуть в
радиодиапазоне.
Нужно сказать, что спонтанное излучение — не единственная
причина уширения спектральных линий. К другим относятся со-
ударения между атомами и т. п., о чем речь пойдет позже.
3.6. Правила отбора для электродипольного,
магнитодипольного и квадрупольного переходов
Исследуя вопрос об индуцированном и спонтанном испуска-
нии, мы для конкретности считали переход электродипольным и
нашли выражение для вероятности испускания, пропорциональное
| <1яЬ |2. Выясним теперь, в каких случаях предположение об элек-
тродипольном характере излучения оправдано, т. е. dn6 + 0.
Правила, регламентирующие возможность или невозможность
того или иного квантового перехода, называют правилами отбора.
Их существует довольно много. Обсудим наиболее общие из них,
базирующиеся на понятии четности состояния.
Существует широкий класс квантовых систем, инвариантных к
преобразованию инверсии, при котором замена пространственной
координаты г на -г оставляет гамильтониан неизменным:
Н0(-г,) = Н0(г,.). (3.58)
К числу указанных относятся любые системы, обладающие
центром симметрии. Инверсию нужно применять одновременно ко
всем частицам, составляющим рассматриваемую систему. К пре-
г
Глава 3. Эволюция квантовых систем во времени 73
образованию инверсии инвариантны атомы, поскольку энергия
кулоновского взаимодействия зависит лишь от расстояния между
взаимодействующими частицами (ядром и электронами) |г( -гх |.
Считая собственные функции гамильтониана невырожденны-
ми, запишем:
Но («*)«//„ (г) = Wnwn (г), (3.59а)
Н0(г>Д-г)=И^л(-г). (3.596)
В силу отсутствия вырождения существуют лишь альтерна-
тивные возможности:
V<n(-r) = ±^„(r). (3.60)
Невырожденные собственные функции системы, инвариант-
ной к преобразованию инверсии, могут быть либо четными
1]/п (-г) = (г), либо нечетными цгп (-г) = -ipn (г). Соответственно
состояния классифицируются на четные и нечетные. К состояниям,
обладающим определенной четностью, применимы следующие
утверждения.
1. Если состояния ц/т и ц/п, принадлежащие разным собствен-
ным значениям Wn и Wm, имеют одинаковую четность, то dmn = 0,
поскольку
Jy<(r)ry/,,(r)dV = O.
i - Электродиполъный переход возможен только между состояниями
с противоположной четностью.
2. Состояния определенной четности в отсутствие вырождения
характеризуются dm = 0. Поэтому среда, обладающая центром ин-
't версии, не может иметь статического электрического дипольного
момента. Это справедливо для основного состояния любых атомов.
3. Постоянный дипольный момент может быть отличен от ну-
ля в вырожденном случае, даже если каждое из состояний имеет
определенную четность. Система ортогональных базисных векто-
ров и состояний образуется путем суперпозиции состояний разной
четности, и потому базисные векторы не имеют определенной чет-
ности.
4. В системах, неинвариантных по отношению к преобразова-
нию инверсии, могут существовать постоянные дипольные момен-
ты и разрешены электродипольные переходы. К числу таких сис-
тем относятся атомы, помещенные в изменяющие симметрию
L
74
Часть первая. Квантовая теория излучения
внешние электрические поля. По этой причине для атомов, вне-
дренных в кристаллическую структуру, может иметь место полное
или частичное снятие запрета на дипольные переходы. К такой ка-
тегории относится, например, переход между энергетическими
уровнями иона Сг3+ в рубине, который используется в работе ла-
зера, а также оптические переходы трехвалентных редкоземельных
ионов, в том числе широко применяемого в твердотельных лазерах
иона неодима Nd .
Правила отбора для магнитодипольного и квадрупольного пе-
реходов прямо противоположны указанному. Квадрупольное взаи-
модействие имеет вид
=--r(rV„)E. (3.61)
квадр 2 V Л
При вычислении квадрупольного матричного элемента по состоя-
ниям определенной четности дело сводится к интегралу
JVmr«V„dV.
Поскольку г • г — четная функция, интеграл отличен от нуля толь-
ко в случае одинаковой четности Ц/п и Ц!т.
Если говорить о магнитодипольном взаимодействии, то
t (д А
н™ ~\ч'т hrxr k"dv (362)
и оператор опять-таки четная функция г.
Из общих соображений, касающихся четности состояний, сле-
дуют вполне конкретные правила отбора по квантовым числам I
и т:
электродипольный переход: Д/ = ±1, Дли = О; ±1,
магнитодипольный переход: Д/ =0, Дли = ±1,
квадрупольный переход: Д/ = 0; ±2, Дли = 0; ±1; ±2.
Поскольку магнитодипольное и квадрупольное взаимодейст-
вие слабее электродипольного, соответствующие переходы могут
наблюдаться только в случае, когда электродипольный переход
запрещен.
Глава 4.
МНОГОКВАНТОВЫЕ ПРОЦЕССЫ.
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ
4.1. Классификация многоквантовых процессов
Ограничиваясь низшим приближением теории возмущений,
мы нашли вероятности всех возможных одноквантовых процессов
(рис. 4.1). Если обратиться к высшим приближениям, то обнару-
живаются возможности более сложных превращений с изменением
числа фотонов в поле излучения более чем на единицу. Устано-
вить, каковы возможные варианты многоквантовых процессов,
можно не прибегая к строгим методам, исходя из простых нагляд-
ных представлений.
Рис. 4.1
Двухквантовые процессы исчерпываются следующими воз-
можностями: рэлеевское рассеяние (рис. 4.2, а), двухфотонное по-
глощение (рис. 4.2, б), двухфотонное излучение (рис. 4.2, в), ком-
бинационное рассеяние — стоксово (рис. 4.2, г) и антистоксово
(рис. 4.2, д'). К одноквантовым процессам поглощения и излучения
Добавились не только двухфотонные аналоги, но и процессы рас-
сеяния — рэлеевского (без изменения частоты) и комбинационного
(с изменением частоты). В случае рэлеевского рассеяния начальное
и конечное состояния атома совпадают.
76
Честь перввя. Квантовая теория излучения
Рис. 4.2
Увеличив теперь число квантов, участвующих в процессе, до
трех, получим трехфотонные процессы поглощения и излучения, а
также трехфотонные аналоги комбинационного рассеяния. Все эти
процессы идут с изменением состояния атома. Но кроме них воз-
можны и такие процессы, в результате которых атом возвращается
в исходное состояние. Такие процессы носят название когерент-
ных. Это название связано с тем, что взаимодействие между поля-
ми в этом случае зависит не только от интенсивностей, как в слу-
чае комбинационного рассеяния, но и от фаз полей. Они удовле-
творяют условиям частотного синхронизма.
(4.1)
Кроме трехфотонных процессов сложения частот и генера-
: ции второй гармоники (рис. 4.3, а), а также параметрической гене-
! рации (рис. 4.3, б), к числу когерентных относится и процесс рэле-
Гпава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики 77
евского рассеяния (двухфотонный). Четырехфотонный когерент-
ный процесс размена двух фотонов на два других
ыа+ыр=о)а.+ыр. (4.2)
также следует отметить, поскольку он играет определенную роль в
динамике многомодовых лазеров.
Рис. 4.3
В когерентных процессах закон сохранения энергии выполня-
ется только за счет электромагнитного поля. В процессах погло-
щения, излучения и комбинационного рассеяния изменение энер-
гии поля компенсируется соответствующим изменением энергии
атома (среды). Из указанной специфики когерентных процессов и
вытекает необходимость выполнения условий частотного синхро-
низма. это просто закон сохранения энергии. Закон сохранения
импульса влечет за собой необходимость выполнения условий про-
странственного синхронизма (или фазового согласования).
4.2. Вероятность двухфотонного перехода в единицу времени.
Составные матричные элементы
Вычислим вероятность многоквантовых переходов в единицу
времени. Для коэффициентов разложения волновой функции по
стационарному базису
^=Хс»(^л- (4-3)
п
из уравнения Шредингера следует система уравнений:
dr
= (4.4)
78
Часть первая. Квантовая теория излучения
Из нее при начальных условиях cn(0) = 1, cnVn(0) = 0 в первом при-
ближении следует
(4.5)
henV '
inn
Подставив полученное выражение в правую часть уравнений (4.4),
получаем уравнения для нахождения поправок второго порядка:
Щ = V Vmn’Vnn /_ е^...' \ (4.6)
* hcom. >
Решение этого уравнения имеет вид
-—— --—— <4-7>
7/ П (£) CD CD.
п пп у тп тп у
Как и в случае однофотонных переходов, вероятность макси-
мальна, если hcomn = Wm - Wn = 0, т. е. энергия системы до и после
перехода одинакова. Если принять это как факт, то сразу же следу-
ет, что ficomn. = Wm - Wn * О, поскольку промежуточное состояние
п не совпадает ни с начальным п, ни с конечным т. Это дает
возможность пренебречь вторым слагаемым и записать
(2) _ ^тп
т
(4-8)
Йсо„,„
тп
где
nV .V.
1 "т п 1
*
I пп
Ктп=У
тп
(4.9)
так называемый составной матричный элемент.
Отнесенная к единице времени вероятность перехода из со-
стояния |п) в состояние дается формулой, аналогичной по ви-
ду формуле вероятности однофотонного перехода (3.24). Если в
первом порядке теории возмущений процесс не идет (V„,„ = 0), то
во втором порядке его вероятность равна
w = — I К I2 <5(W - W). (4.10)
тп j. 2 1 /пл I 4 т п' v х
п
Структура составного матричного элемента, содержащая про-
изведения матричных элементов Vmn. и Vn.n, как раз и свидетельст-
вует о том, что имеет место двухфотонный процесс. Один фотон
возникает (исчезает) в результате перехода системы из начального
Гпава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики
79
состояния |и) в промежуточное |/i'), второй фотон — при перехо-
де из промежуточного в конечное состояние |ти).
Особенность фигурирующих в рассмотрении промежуточных
состояний в том, что они являются виртуальными. Элементарный
акт здесь — это весь двухквантовый процесс в целом. Его нельзя
расчленить на последовательность двух разделенных во времени
переходов. Время жизни промежуточного состояния равно нулю.
Следовательно неопределенность его энергии бесконечна. Из этих
соображений ясно, что переходы в промежуточное состояние не
регламентируются законом сохранения энергии. Последний вы-
полняется только для всего перехода в целом.
Следуя тому же алгоритму, по которому был найден составной
матричный элемент двухфотонного процесса, можно получить Ктп
для процессов с участием любого числа фотонов. Скажем, выражение
у Ки'К-я*Е|-л
(4.11)
относится к трехфотонному процессу.
4.3. Двухфотонное поглощение
Получив общее представление о многофотонных процессах,
перейдем к более детальному анализу конкретных ситуаций.
1. Явления однофотонного резонансного поглощения и излу-
чения уже давно нашли практическое применение. На использова-
нии этих явлений основана спектроскопия — наука, занимающаяся
исследованием свойств вещества по спектрам поглощения и излу-
чения. На этом принципе строятся квантовые генераторы и
усилители.
2. Двухфотонное поглощение идет по следующей схеме:
= «а, = п“~1' пР~[\ (412)
Начальное состояние здесь таково, что атом находится на уровне
две моды поля имеют числа заполнения па и пр, остальные
пл = 0. Частоты выделенных мод удовлетворяют условию
ыа ~со0 = (Wn -Wb)/h. В конечном состоянии атом находится
На уровне а , выделенные моды имеют числа заполнения па -1 и
80
Часть первая. Квантовая теория излучения
Пр-i. Промежуточное состояние можно интерпретировать сле-
дующим образом: атом находится на некотором энергетическом
уровне I, число фотонов в поле меньше исходного на единицу.
Возможны два варианта: либо поглотился фотон моды а, либо
фотон моды /3.
Предположим, что
и тогда
)=-<«!, <413)
Аналогично, для перехода из промежуточного состояния в конеч-
ное имеем:
« - » » - х I2nhci)nn„
пд-1|Е|па-1, пр) = -i(dalep)J--^-(4.14)
Наряду с указанным имеется и второй путь между теми же край-
ними состояниями, изображенный вместе с первым на диаграмме
(рис. 4.4). Эти два пути можно схематически описать как
а)|/х па, па-1, па-1, пр-1),
б) |&, па, па, -1)—>|«, па-1, Пр-1).
Учитывая обе возможности, получаем
I 7г№аЩПаПр2_ ь 1 Ь,па, н(4> н' VrC \ll.lia-l . Ир> (dnlCp)(dlbea) । (Дд/ес )(d№e^) 0 |5 '[ h(colb-coa) h(colb-cop) ‘ \a.n„ -l, np-l> m n' \h,na, np-l>
Рис. 4.4
Гпава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики 81
4.4. Правила отбора при двухфотонных переходах
В составной матричный элемент входят произведения типа
daldlb. Матричные элементы электрического дипольного момента
отличны от нуля только по состояниям с различной четностью. Та-
кое возможно для обоих перемножающихся элементов только при
условии, что состояния а и b имеют одинаковую четность и, сле-
довательно, однофотонный переход между ними запрещен. Это
правило носит название альтернативного запрета.
Двухфотонное поглощение с переходом между состояниями
разной четности может состояться лишь в случае комбинации
электродипольного и магнитодипольного переходов или электро-
дипольного и квадрупольного. Однако вероятность перехода, про-
( порциональная | Кт„ |2, т. е. \dbl |2| р1п |2, будет на 4—6 порядков
i меньше, чем в случае перехода между состояниями одинаковой
. четности. Иногда переход между состояниями одинаковой четно-
сти называют разрешенно-разрешенным, а переход между состоя-
ниями противоположной четности — разрешенно-запрещенным.
4.5. Двухфотонное поглощение лазерного излучения
Непрерывность спектра конечных состояний обеспечивается
размытием энергетических уровней атома. Поэтому вероятность
двухфотонного поглощения в единицу времени запишется как
f Y it I2 z
— tOaW/!«an/!|S,| £0(tO),
/
^2 phot f 2
(4.16)
где
(dn,ep )(d/tea) , (^n/eg )
(4.17)
h{0Jlb-(ea) Ыы1Ь-сор)
есть выражение, стоящее в формуле для составного матричного
элемента (4.15), тогда как
1 ScDgb
(4-18)
g°(6t))= / 42 42
Л (C0a +CDp -conb) + (8C'),J
Функция формы линии двухфотонного перехода (здесь 8о)аЬ —
спектральная ширина линии перехода а—Ь). Формулу (4.16) уме-
стно переписать в более практичном виде, введя взамен чисел за-
6-
1473
82
Часть первая. Квантовая теория излучения
полнения поток мощности через единицу поверхности
(интенсивность):
(4.19)
что приводит к
(4.20)
Эксперименты по двухфотонному поглощению в подавляю-
щем большинстве случаев ставятся с одним лазерным пучком, так
что па = Пр = п, соа =а>р =со. Величина, имеющая размерность
площади,
g = = 2%^ (4.21)
1 пс
именуется сечением поглощения (Рпогл — поглощенная атомом
мощность излучения). По смыслу О' — это площадь, с которой
атом перехватывает поток падающего излучения.
Для рассматриваемого процесса сечение дается формулой
«»(<»>• W-22)
ПС
Для численной оценки будем полагать, что основной вклад в
переход дает третий уровень, образующий с а и b эквидистант-
ную систему, в которой со1Ь = 2соаЬ (рис. 4.5). Предположим также,
что частота излучения со удовлетворяет условию резонанса второ-
го порядка 2щ=гояА откуда g0(co) = l/n8conb.
Будем считать, что вектор поляризации поля ориентирован от-
носительно дипольных моментов d/fc и dn, случайным образом
Рис. 4.5
(среда ориентационно не упорядочена),
так что l<VJ2=ldtol2/3- ПРИ таких
предположениях, задав частоту
со = 2 10” с-1, получаем
| Е, Г=-—™ = 10’°. (4.23)
' 910“5 х9х41О30
В знаменателе здесь стоит величина
hcolb - tico = Зйщ. Подставив вычислен-
83
(4.24)
Глава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики
ное значение комбинационной суммы, а также характерную для
примесных кристаллов цифру 8сопЬ = 1012 с-1 в формулу сечения
(4.22), находим
8л2 х2-1015 х1О~50 1П_39,Г 21
^luho, ~--ЭТ---21---= Ю ' [СМ ].
' 10~27х102 х10 2
Если плотность потока мощности в падающем излучении
/ = 10 МВт/см2 = 107 Дж/см2-с, то =10-25см2. Принятая плот-
ность излучения без труда достигается в импульсных лазерах, на-
пример в рубиновом.
Сечение двухфотонного поглощения, в отличие от однофотон-
ного, зависит от плотности мощности в световом пучке. Поэтому
• поглощение называется нелинейным. Зависит сечение и от кон-
кретной структуры энергетического спектра атома. Чем меньше
разность | сопЬ - со |, тем больше составной матричный элемент
Кт1. Но по мере приближения к резонансу первого порядка с про-
межуточным уровнем / возрастает вероятность конкурирующего с
двухфотонным процесса ступенчатого возбуждения атома посред-
ством двух однофотонных переходов, Ь-^>1 и / —> a.
Для сравнения вычислим сечение однофотонного перехода.
Его вероятность в резонансном случае (со = солЬ), согласно (3.37),
дается формулой
4л I d . е I2 со
W =---1—Qb-L—п
h8co^
Полагая | |2=| |2 /3, с учетом (4.19) получаем для сечения
однофотонного перехода:
g _ 4я |dnfe |2ш
Зсй8ы0
Подставив сюда |dnil |= 10“18 СГСЭ, <у = 41015 с~', 8со0 -1012 с-1,
находим су = 5-10"16 см2.
Некоторые комментарии к сказанному.
1. Сечение поглощения (индуцированного излучения) ионов
HJ3+ в алюмоиттриевом гранате (Y3AI5O12) на рабочей длине вол-
НЬ1 лазера <т ~ 3.5 • 10~19 см2. Используемый переход относится к чис-
лу запрещенных, но запрет отчасти снят полем внутри кристалла.
6»
(4.25)
(4.26)
84
Часть первая. Квантовая теория излучения
2. Ширина линии Sco0 ~2-10n с'1 значительно больше естест-
венной ширины, которая для видимого диапазона составляет
Y ~ 107 с'1. В приводимых примерах используются цифры, харак-
терные для линий примесных ионов в кристаллах. Для газов сече-
ние поглощения должно быть больше, т. к. спектральные линии
уже на 2—3 порядка при низких давлениях.
3. Сечение поглощения зависит от удаленности промежуточных
___________ Q уровней атома от исходного (рис. 4.6).
м Чем меньше | a>lb - со |, тем больше
+, составной матричный элемент Ктп.
Но по мере приближения к резонансу
возрастает и вероятность конкури-
_______ * рующего процесса ступенчатого воз-
Т /)С0ы буждения, представляющего собой
----'--------------Ь последовательность двух однофотон-
ных переходов, Ь-^1 и I —>а. Для
Рис. 4.6 чистого двухфотонного эксперимента .
такая ситуация не подходит.
Двухфотонное поглощение оказалось мощным средством ис-
следования свойств вещества. Этот метод работает там, где отка-
зывает однофотонный подход.
4.6. Физические применения метода
двухфотонного поглощения
Рассмотрим несколько примеров применения двухфотонного
поглощения в физике.
Нелинейная спектроскопия. Довольно часто возникает необ-
ходимость исследовать свойства атома или молекулы в состоянии
а, которое не связанно с основным состоянием b разрешенным пе-
реходом. Те состояния, в которые переход из а разрешен, не засе-
лены. Остается двухфотонный метод возбуждения. Для снятия фор-
мы линии поглощения нужен перестраиваемый в некоторых преде-
лах источник монохроматического излучения. Результат взаимодей-
ствия света со средой можно зарегистрировать, измеряя поглощение
на частоте со, но в силу того что мощность излучения велика, а по-
глощение мало, прямой метод не обладает должной чувствительно-'
Глава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики
85
стью. Чаще всего для индикации двухфотонного поглощения ис-
пользуется люминесцентная методика. Для этого требуется присут-
ствие ниже возбуждаемого уровня еще одного уровня к, на который
переход с а идет с большой веро-
ятностью, например безызлуча-
тельным образом. Переход же
к —>Ь обязательно должен быть
излучательным, т. к. он соответст-
вует каналу индикации (рис. 4.7).
Измерение длительности
ультракоротких световых им-
пульсов. Идею метода поясняет
схема на рис. 4.8. Делительная
пластинка расщепляет световой пучок на две части, которые на-
правляются навстречу друг другу с помощью системы зеркал. По-
скольку поглощение нелинейно, оно достигает максимальной ве-
личины там, где импульсы пересекаются. Именно здесь люминес-
ценция среды наиболее сильна и по ней регистрируется корреля-
ционная функция (/(г)7(г-т))г, позволяющая судить о длительно-
сти импульса.
Рис. 4.8
Двухфотонная накачка полупроводников. Проблема оптиче-
ской накачки полупроводников сложна потому, что чрезвычайно
велик коэффициент поглощения, когда энергия кванта больше ши-
рины запрещенной зоны. Практически все излучение в этом случае
поглощается в тонком приповерхностном слое порядка 1 мкм.
т°оы осуществить межзонные переходы во всей толще кристалла,
• нУжно попасть частотой источника света точно на край зоны
86
Часть первая. Квантовая теория излучения
ЙСО
Рис. 4.9
поглощения. Для этого требуется мощный
перестраиваемый лазер. Требования к час-
тоте источника значительно мягче при
двухфотонном возбуждении: достаточно
лишь выполнить условие Йсо < W*
(рис. 4.9). Метод применим как для иссле-
дования свойств полупроводников, так и
для оптической накачки полупроводнико-
вых лазеров.
4.7. Двухфотонное излучение
Предложения создать лазер на явлении двухфотонного излу-
чения появились в первой половине 60-х годов. Как должен рабо-
тать такой лазер? Прежде всего, необходимо вещество с подходя-
щей системой уровней. Уровень а должен быть стабильным и на-
качиваться через другие, вышележащие уровни. Вещество поме-
щается в резонатор, имеющий две добротные моды на выбранных
частотах ыа и сор. Вероятность индуцированного излучения в та-
кой системе совпадает с вероятностью двухфотонного поглощения,
рассчитанного выше.
Преимущество перед обычным лазером заключается в более
широком диапазоне перестройки, т. к. резонансным условием свя-
зана лишь сумма частот соа + Шр, а не сами частоты.
Однако реализовать это предложение оказалось совсем не про-
сто. Основную трудность можно понять, обратившись к выраже-
нию для вероятности перехода:
. (4.27)
и с лосо0
Здесь стоит произведение двух интенсивностей. Чтобы начался
процесс индуцированного излучения, в резонаторе изначально
должно присутствовать излучение на обеих частотах. Для работы
устройства в режиме двухфотонной генерации усиление должно
превышать потери как на частоте соа, так и на частоте Ыр . Но се-
чение перехода очень мало, и лишь впрыснув большую мощность,
можно достигнуть условия, соответствующего порогу генерации. К
тому же нужен и большой уровень инверсии. И тут мы приходим К]
Глава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики 87
разочаровывающим выводам. Во-первых, очень трудно найти под-
ходящее вещество. Во-вторых, чтобы перестраивать лазер, нужно
иметь перестраиваемый источник затравочного излучения, обеспе-
чивающий жесткое возбуждение двухфотонного лазера. В-третьих,
трудности усугубляются конкуренцией со стороны однофотонного
перехода, вероятность которого хотя и мала, но в столь экстре-
мальных условиях вполне может превысить вероятность двухфо-
тонного перехода, и даже при малой добротности резонатора на
частоте соа+сор однофотонный процесс может доминировать.
[Эти трудности были преодолены лишь почти 30 лет спустя:
первый двухфотонный мазер был продемонстрирован в 1988 г., а
двухфотонный лазер создан только в 1992 г. (Gauthier D. J.,
Wu Q., Morin S. E., Mossberg T. W. // Rhys. Rev. Lett. 1992. V. 68.
P. 464). — Прим, ped.]
4.8. Комбинационное рассеяние
Комбинационное рассеяние — тоже двухфотонный процесс,
который приводит к изменению состояния атома. Но в отличие от
поглощения здесь в элементарном акте уничтожается лишь один
фотон h(oa. Другой фотон ho)p, рождается в рассеянном поле
(рис. 4.2, г). Формальное отличие, связанное с этим обстоятельст-
вом, в формуле для скорости перехода
' 2л Y
0)аС0рПа(пр +1)|Z, |2 8(сопЬ -соа+а)р),
(4.28)
w
xp
L2
отражено множителем np +1 и структурой комбинационной сум-
мы, которая теперь имеет вид
(dn/eg )(d<fee^) , (dn)e^ )(d№eg)
(4.29)
. / [ ft(.colb-coa) tl(CDlb+CDp)
Множитель np +1 отражает наличие двух видов комбинаци-
онного рассеяния: вынужденного и спонтанного. Вероятность
, спонтанного рассеяния пропорциональна па, т. е. мощности па-
дающего на рассеивающую среду излучения с частотой (оа. Веро-
ятность вынужденного рассеяния пропорциональна произведению
Папр
88
Часть первая. Квантовая теория излучения
Спонтанное комбинационное рассеяние было эксперименталь-
но открыто в 1928 г., индуцированное — в 1962 г. И в том, и в дру-
гом случае не обошлось без курьезов.
История восходит к 1918 г., когда Л. И. Мандельштам получил
теоретические результаты по рассеянию света на акустических вол-
нах в кристаллах. Одновременно к тем же выводам пришел
Л. Бриллюэн. Опубликованы эти результаты были Бриллюэном в
1922 г., а Мандельштамом в 1926 г. Экспериментальная проверка
была предпринята Мандельштамом и Ландсбергом в опытах по рас-
сеянию света ртутной лампы в кристалле кварца. Результат, однако,
не совпал с предсказанным теоретически. Мандельштам правильно
понял, в чем заключается природа открытого ими эффекта, и назвал
его комбинационным рассеянием. Для Мандельштама и Ландсберга
всегда была характерна чрезвычайная ответственность за публикуе-
мые результаты. Поэтому заметку в немецкий журнал Naturwissen-
schaften они направили лишь после многочисленных и тщательных
проверок. Опубликована она была в 1928 г. Но всего за десять дней
до выхода номера журнала в свет в английском журнале Nature поя-
вилась заметка индийских физиков Рамана и Кришнана, которые
обнаружили тот же эффект в жидкостях. И хотя в работе Рамана и
Кришнана не было ни расчета, ни даже правильной физической ин-
терпретации явления, Раман в 1930 г. получил Нобелевскую премию
за открытие эффекта, который в зарубежной литературе именуется
не иначе как рамановское рассеяние1.
О квантовой интерпретации комбинационного рассеяния уже
говорилось выше. Следует лишь добавить, что экспериментально
это явление чаще всего наблюдается на колебательных уровнях мо-
лекул. Частотный зазор между колебательными уровнями различ-
ных молекул варьируется от 200 см-1 до 4000 см-1. Это соответству-
ет частотам vv =6 -1012 —1,2 -1014 Гц или (Ov = 4-1013 — 8 -1014с~’.
С классической точки зрения процесс комбинационного рас-
сеяния состоит в том, что свет, рассеиваясь на колеблющейся мо-
лекуле, несколько меняет свой спектральный состав, в котором
наряду с соа появляются компоненты Ыр - соа ± na)v . Первая сто-
ксова компонента а>р - (Оа -cov и была рассмотрена выше.
1 Эта интересная история подробно изложена в статье И. Л. Фабелинского (УФН.
2003. Т. 173, №10. С. 1137). — Прим, ред]
Глава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики 89
Под действием того же падающего света может идти переход
молекулы из состояния а (если молекула в нем находилась) в со-
стояние b, и при этом частота рассеянного света превышает часто-
ту света падающего: C0p = coa + (0v. Это первая антистоксова ком-
понента.
Если первые компоненты достаточно интенсивны, то они бу-
дут, в свою очередь, рассеиваться на тех же молекулах, что повле-
чет за собой появление вторых стоксовых и антистоксовых компо-
нент и т. д. Интенсивности антистоксовой и стоксовой компонент
относятся как населенности возбужденного и невозбужденного
уровней молекулы соответственно.
Условия для наблюдения комбинационного рассеяния значи-
тельно улучшились с появлением лазеров. Предпочтение сразу
стали отдавать индуцированному рассеянию. Впервые его наблю-
дали Вудбери и Нг в 1962 г., причем наблюдали чисто случайно, не
сумев разобраться в сути явления. Они пытались осуществить мо-
дуляцию потерь в резонаторе рубинового лазера с помощью ячей-
ки Керра, заполненной нитробензолом. Наряду с основной компо-
нентой рубинового лазера они получили также компоненту, сдви-
нутую в красную сторону на 1300 см-1. Конечно, явление недолго
оставалось непонятым, и в том же 1962 г. состоялась публикация
группы Хэлварса, в которой были расставлены все точки над i.
Выражение для вероятности комбинационного рассеяния, при-
веденное выше, имеет чересчур общий вид. В нем даже не уточня-
ется, по каким состояниям непрерывного спектра проводится сум-
мирование. Рассмотрим два конкретных случая: спонтанное и вы-
нужденное рассеяние при монохроматической накачке.
С появлением лазеров эксперименты по комбинационному
рассеянию ориентируются почти исключительно на лазерную на-
качку. Поэтому можно без натяжки считать индекс а фиксиро-
ванным и по нему не суммировать (начальное состояние принад-
лежит дискретному спектру). Спонтанное рассеяние или индуци-
рованное испускание могут происходить в любую моду теплового
поля. Поэтому интегрировать следует по всем осцилляторам поля,
каковых на элементарный телесный угол приходится
( l Y
ga (Юр) = --- . (4.30)
I 2пс I
90
Часть первая Квантовая теория излучения
(4.31)
Подставив (4.30) в (4.22) и разделив полученное выражение на
поток фотонов падающего пучка, т. е. на величину спа / А?, полу-
чим формулу для дифференциального сечения спонтанного ком-
бинационного рассеяния :
d<"p = IX, |2 d£> .
с
Чтобы получить полное сечение, следует провести интегриро-
вание по телесному углу, но эксперимент ставится обычно так, что
приемник улавливает лишь компоненту, рассеянную в определен-
ном направлении.
В случае вынужденного рассеяния интереснее другая поста-
новка задачи, предполагающая и накачку, и рассеяние монохрома-
тическими. При этом непрерывность спектра конечных состояний
связана только с уширением энергетических уровней. Таково об-
щее правило: форма линии атомного перехода всплывает только в
случае взаимодействия атома с монохроматическим излучением,
спектр которого уже линии атомного перехода. В противном слу-
чае в игру вступает спектр осцилляторов поля.
Скорость индуцированного рассеяния в одну моду (или в уз-
кую полосу) дается формулой
' 2тг Y Ктг3
(0а(0рпапр\Ъ, |2 g0(to) = -rT/a//! |Х, |2 (4.32)
L у с
где /А = сЬыапа / Z? — плотность потока мощности (интенсивность).
Теперь представим себе распространение плоской волны с час- 1
тотой (Ор через слой среды, содержащий N рассеивающих частиц в '
единице объема. Параллельно рассеиваемому пучку распространя- j
ется рассеянный. Обозначим поток через сечение z посредством J
1р (г). Через сечение z + Az поток будет иным. Этот участок волна 4
проходит за время за которое успевает возникнуть j
Nw^At фотонов/см3, т. е. прирост потока Д/^ составляет
и'""?
Ыр = *4? ~^р = ^лЛсОр^.
Теперь мы получаем известное уравнение переноса:
d/p _ ,
dz К,р р'
(4.33)
(4.34)
91
(4.35)
Гпава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики
Погонный показатель преломления составляет:
Если в среде помимо комбинационного рассеяния присутствуют
потери, то к = ккр -кпотерь.
Решение уравнения переноса (4.34),
Л г X
^(z) = /₽(O)exp $KKp(z,cop)dz ,
(4.36)
k° 7
выражается через интеграл, потому что мощность волны накачки
/a(z) убывает с расстоянием, рассеиваясь комбинационным обра-
зом. Если этим затуханием пренебречь в пределах рассматривае-
мого слоя конечной толщины, то
Ip(z) = IpW)eK^}z. (431)
Зависимость показателя экспоненты от частоты, имеющая
форму линии вещества, обеспечивает более резкую форму спектра
рассеянного излучения, если к(со)>0: в центре линии усиление
больше, чем на периферии. Это и позволяет пользоваться моно-
хроматическим приближением в задаче о вынужденном рассеянии.
Задавшись значениями параметров
сор = 21015 с-', g(O) = l/7i8coo, 8(о0 = 10” с"',
|E,|2=10_50cm6, W = 1022 cm’3,
оценим величину ккр:
_ 8я2 -2-Ю15 ЦТ50 -1О22 9
10’34-102,10“
"потерь выполняется, если /а>109кпогерь,
кппттк =10“' см-1,
потерь ’
4>ю8-^.
см
Справа стоит типичная импульсная мощность, излучаемая твердо-
тельными лазерами в режиме модулированной добротности. Фак-
тически, мы получили условие самовозбуждения раман-лазера,
который представляет собой комбинационно рассеивающую среду
в резонаторе.
Ккр
Условие усиления ккр >к,
или, при
92 Часть первая. Квантовая теория излучения
4.9. Когерентные трехфотонные процессы
Квантовая теория излучения, которую мы изучаем, является
микроскопической теорией. Рассматривая однофотонные и двухфо-
тонные процессы, причем процессы некогерентные в том смысле,
что они идут с изменением состояния вещества, мы сумели в рамках
микроподхода получить много полезных сведений. Кое-что можно,
разумеется, узнать и о когерентных трехфотонных процессах, к ко-
торым относятся генерация второй гармоники (ГВГ) и параметриче-
ская генерация света. Но в целом подобный подход не адекватен
явлению в силу, главным образом, условий синхронизма:
^соа+сор=сог, (4.38)
|ко+кд=ку. (4.39)
В реальных средах всегда имеется дисперсия, т. е. зависимость
показателя преломления г] от частоты. Благодаря этому
к *7(<у)
— =----- const, (4.40)
со с
и, вообще говоря, условия временного и пространственного син-
хронизма одновременно не выполняются. Этого удается добиться
только в специальных случаях. Например, в двупреломляющих
кристаллах при определенной ориентации оптической оси относи-
тельно волновых векторов удается добиться выполнения условий
синхронизма для фиксированных частот. При этом, скажем, у —
необыкновенная волна, а и fl — обыкновенные.
Но это все далеко от квантовой теории излучения, которой мы
сейчас интересуемся. Поэтому ограничимся одним замечанием.
Оно касается общих свойств сред, в которых могут иметь место
когерентные трехфотонные процессы.
В составной матричный элемент когерентного трехфотонного
процесса входят произведения матричных элементов
V . V.. V. .
тп пп пт
Начальное и конечное состояния среды тождественны. Если
это состояние имеет определенную четность, то такой процесс не
пойдёт^т. к. сработает правило отбора. Пусть, для конкретности,
т — четное состояние атома (+):
Гпава 4. Многоквантовые процессы. Элементы нелинейной оптики
93
тп
ПП
п т
Видно, что один из трех переходов запрещен.
Рассуждая подобным образом, нетрудно прийти к выводу, что
трехфотонные переходы возможны между состояниями противо-
положной четности. Значит, трехфотонные когерентные'процессы
могут происходить только в среде без центра инверсии. Примером
подобной среды может служить известный в нелинейной оптике
кристалл KDP (дигидрофосфат калия КН2РО4).
Первым нелинейным оптическим эффектом, эксперименталь-
но обнаруженным с помощью лазеров, была ГВГ (Франкен,
1961 г.). Обратный процесс — параметрическая генерация в оптике
— был теоретически рассмотрен Кингстоном и Кроллом, а также
Хохловым и Ахмановым в 1962 г. Но экспериментально парамет-
рическая генерация была получена лишь в 1965 г. Джордмейном и
Миллером.
Пример четырехфотонного когерентного процесса — генера-
ция антистоксовой компоненты при вынужденном комбинацион-
ном рассеянии (ВКР). Стоксова компонента имеет частоту
^=tya-wni, (4.41)
антистоксова —
(Оу -=ша+ a>lib = 2соа - сор . (4.42)
Условия пространственного синхронизма в среде с нормаль-
ной дисперсией выполняются в векторном случае:
ку+кд=2ко. (4.43)
По этой причине антистоксово излучение наблюдается только
в направлениях, образующих коническую поверхность.
Гпава 5.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ
При изучении изолированных систем, включающих две взаи-
модействующие динамические подсистемы, часто возникают про-
блемы, которые требуют выхода за пределы этой простейшей
идеализации. Например, рассматривая излучение атома в одну мо-
ду, приходится привлекать соображения о конечной полосе частот,
относящейся к моде, или о размытости энергетических уровней
атома.
5.1. Динамическая и диссипативная системы
Характерной особенностью предыдущего рассмотрения было
то, что изучались единичные акты взаимодействия вещества и по-
ля. Для того чтобы сделать теорию внутренне непротиворечивой,
нужно ввести в рассмотрение наряду с динамической также и дис-
сипативную подсистему, или термостат. Практически такая систе-
ма всегда есть. Неявно и раньше предполагалась такая подсистема,
когда говорилось о конечной ширине спектральных линий1.
Если обратиться к примеру лазера, т. е. среды, помещенной
внутрь резонатора, то динамическую подсистему образуют моле-
кулы активной (усиливающей) компоненты среды, которые в
большинстве своем переведены на возбужденный энергетический
уровень, и немногочисленные избранные моды резонатора, резо-
нансно взаимодействующие с активной компонентой среды.
1 Основное свойство диссипативной системы заключается в том, что ее состояние
определяет эволюцию динамической системы, в то время как воздействие дина-
мической системы на диссипативную пренебрежимо мало. — Прим. ред.
Гпава 5. Квантовая теория релаксации
95
Активные молекулы
П
Моды резонатора
Молекулы матрицы и внешние
степени свободы активных молекул
Стенки резонатора и моды
свободного пространства
Динамическая
подсистема
Диссипативная
подсистема
Полное число степеней свободы активных молекул не сводит-
ся к тем единичным внутренним степеням, которые, взаимодейст-
вуя с полем резонатора, обеспечивают усиление электромагнитных
колебаний. Например, взяв газовую среду, мы обнаруживаем про-
цессы соударения между молекулами, которые сопровождаются
обменом энергией между внутренними степенями свободы и, ска-
жем, поступательным движением. Внешние степени свободы мо-
гут играть роль диссипативной подсистемы.
В рабочем веществе лазеров (особенно твердотельных) есть,
кроме того, огромное число атомов, отличных от активной компо-
ненты. В твердотельных лазерах роль диссипативной системы иг-
рает матрица кристалла, т. е. основа, в которую внедрены относи-
тельно Немногочисленные активные центры.
Моды резонатора взаимодействуют не только с активными
молекулами, но и со стенками резонатора, частично в них погло-
щаясь и просачиваясь через них в свободное пространство.
Особенности, присущие процессу релаксации. В приведен-
ных примерах матрица кристалла, поступательные (вообще —
внешние) степени свободы молекул газа и молекулы другого сорта
служат диссипативной подсистемой для активных молекул (актив-
ных центров). Диссипативной подсистемой для поля в резонаторе
являются неидеальные стенки резонатора. Вспомним также пример
со спонтанным излучением атома в свободное пространство, в ко-
тором поле излучения играло роль диссипативной системы для
атома. На этом примере хорошо видны все характерные черты
процесса релаксации, т. е. установления термодинамического рав-
новесия между динамической и диссипативной подсистемами.
1. Взаимодействие приводит к накапливающемуся эффекту:
вероятность перехода пропорциональна времени.
96
Часть первая. Квантовая теория излучения
2. Выражение для вероятности перехода в единицу времени
как функция времени справедливо на ограниченном интервале
4«t«T^= — . (5-1)
W«b
В случае спонтанного излучения т0 = 2п/со0 — период колебаний,
Трел — среднее время жизни атома в возбужденном состоянии.
3. Сумма
2<«,0|V|Mz>M|V|«,0>, (5.2)
А
взятая по состояниям с одинаковой энергией, конечна, хотя каж-
дый матричный элемент (а,0| V|fe,lz^ —>0. Таким образом, отлич-
ная от нуля вероятность перехода обеспечивается даже исчезающе
малым взаимодействием.
4. В результате взаимодействия с термостатом динамическая
система приходит в термодинамически равновесное состояние, ха-
рактеризуемое температурой термостата (диссипативной системы).
В примере со спонтанным излучением поле не содержит фотонов,
т. е. имеет нулевую температуру. Атом, излучив фотон, также ох-
лаждается до Т = 0. Температура поля излучения при этом практи-
чески не меняется, т. к. единственный фотон теряется в системе
бесконечного числа осцилляторов поля. Это еще одна черта релак-
сационного процесса.
5. Диссипативная система находится в состоянии термодина-
мического равновесия при температуре Т и не меняет его из-за
взаимодействия с динамической системой. Таким образом, дисси-
пативная система действует на динамическую, тогда как обратным
действием можно пренебречь. Это свойство вытекает из сопостав-
ления числа степеней свободы той и другой систем.
Указанные особенности присущи всем процессам релаксации
независимо от их физической природы.
5.2. Квантовые кинетические уравнения
Вся замкнутая система, включая динамическую и диссипатив-
ную ее части, описывается уравнением фон Неймана:
^=-|[н.р]. ,53)
dt п
Глава 5. Квантовая теория релаксации 97
в котором
H = E + F +V = H0 + V, (5.4)
причем, Е и F — гамильтонианы динамической и диссипативной
подсистем, соответственно, Но = Е + F — невозмущенный гамиль-
тониан, V — гамильтониан взаимодействия динамической и дис-
сипативной подсистем.
Матрица плотности р содержит полную информацию о сис-
теме. Нас, однако, интересует не вся эта информация, а только
лишь та ее часть, которая относится к динамической подсистеме.
Присутствие диссипативной системы достаточно учесть только
посредством релаксации динамической системы. Поэтому мы сде-
лаем первое принципиальное допущение, полагая подсистемы ста-
тистически независимыми. Представим p(t) в виде произведения
матриц плотности динамической (о) и диссипативной (f ) подсис-
тем
p(z) = <j(r)f(O (5.5)
и будем стремиться получить уравнение для о, т. е. квантовое ки-
нетическое уравнение. Приближение (5.5) часто называют корре-
ляционным или борновским. Кроме сделанного предположения
будем считать также, что:
а) энергия взаимодействия V — малый параметр;
б) диссипативная система столь велика, что влиянием на нее со
стороны динамической системы можно пренебречь;
в) диссипативная система находится в термодинамическом
равновесии, так что
f(0 = f = Тг^е-ГЛвГ • (5-6)
Выражение (5.5) в случае p(z) = o(r)f является основным усло-
вием необратимости эволюции о(г), т. е. релаксации. Мы предста-
вили закон Больцмана в операторной форме. Запись ехр(-Р/ЛвГ)
следует понимать в том смысле, что экспонента представляет со-
бой ряд Тейлора:
еА=£^А". (5.7)
п
Если речь идет о стационарном состоянии, матрица плотности f
коммутирует с гамильтонианом и
7 - 1473
98
TrFe-F/*®r
Часть первая. Квантовая теория излучения
е-%'*вг
-%/ЛвГ
~fya’ I ) ’у» е~У/„-!къТ ~ у e~W„.lkKT -(5-8)
Мы хотим получить уравнения только для матричных элементов
оператора о, относящегося к динамической подсистеме, т. е.
<T™=TrFp = 5}pmana- (5.9)
(5.10)
Первое, что необходимо сделать, — это преобразовать уравнение
фон Неймана к интегро-дифференциальной форме. Нам удобнее
будет работать в представлении взаимодействия, и поэтому мы
перейдем в него посредством унитарного преобразования:
Д, -,!к,
А = е А Ае * .
Исходное уравнение в представлении взаимодействия:
^ = [V,p]-
ut
Проинтегрируем
p(0 = P(0)+^j[V(/'),p(/W.
щ 0
а результат подставим в правую часть исходного уравнения (5.11),
что дает
= l[V(f ),р(0)]~ j[V(r),[V(/ -Г),р(г -T)]]dr.
ot in h Jo
Попутно была сделана замена переменных: t' = t-T.
Теперь подставим сюда p = o f и возьмем TrF. Поскольку
f — стационарный оператор, это приводит к уравнению
(TrF[V(Z),[V(r - T),p(t - T)]]dT.
dt h J
Первое слагаемое выпало по следующей причине. Матрица f диа-
гональна по а, благодаря чему
TrF[V(z)p(0)] = o(0)£vaa/a .
а
(5.Н)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Глава 5. Квантовая теория релаксации 99
Диагональные элементы Vaa мы вправе считать равными нулю. Они
описывают постоянное возмущение и приводят, следовательно, к
сдвигу энергетических уровней. Но постоянное возмущение мы мо-
жем включить в Но и таким способом избавиться от Vaa.
Оставшийся член — это, по существу, интеграл столкновений,
фигурирующий в классических кинетических уравнениях (напри-
мер, для функции распределения частиц по скоростям). Пока в
уравнении стоит оператор р, но мы заменим его на o(z -т) • f.
Заметим также, что гамильтониан взаимодействия можно
представить в виде произведения операторов Q и F, относящихся
только к динамической ( Q) и только к диссипативной (F ) подсис-
темам: V = QF. Например, взаимодействие атома с полем излуче-
ния описывается гамильтонианом взаимодействия V = -dE или
V = -pH. Используя это обстоятельство, раскроем коммутатор
[V(z),[V(z-r),p(z-T)]=
= V(z)V(z - z)p(t - -г) - V(Z)p(Z - T)V(t - T) -
-V(Z - T)p(Z - T)V(Z) + p(Z -T)V(Z -T)V(Z) . (5.16)
Первому из четырех однотипных слагаемых отвечает интеграл
-Л-j Q(z)Q(z-T)o(z-r)TrF{F(z)F(z-r)f}dT. (5.17)
" о
По определению среднего
TrF {F(Z)F(Z - T)f } = (F(Z)F(Z - т)), (5.18)
а эта величина хорошо известна под названием функции корреля-
ции /?(z). Аналогичные выражения получаются для остальных сла-
гаемых (5.16).
На следующем этапе вступает в игру одно из наиболее суще-
ственных предположений — предположение о малости времени
корреляции ткор по сравнению со временем релаксации Грел. Это
означает, что на интервале Az<TKop, где только и можно считать
^(z)*0, матрица плотности 6(Z) практически не успевает изме-
ниться и можно считать 6(Z - т) = 6(z).
Напомним, что 6 здесь предполагается в представлении взаи-
модействия. Следовательно, матричные элементы <7т„ не содержат
7*
100
Часть первая. Квантовая теория излучения
быстро колеблющихся множителей е±,ш"'"', которые переходят на
операторы физических величин. Переход в представление взаимо-
действия аналогичен замене переменных с «быстрой» зависимо-
стью от времени на медленно меняющиеся, столь популярные в
теории колебаний.
Предположение о малости ткор означает мгновенный характер
воздействия со стороны диссипативной системы на динамическую
и отсутствие последействия. Иными словами, процесс релаксации
в принятой идеализации принадлежит к числу марковских случай-
ных процессов.
Матричная форма кинетических уравнений. Теперь вернем-
ся к уравнению для матрицы плотности и перейдем от операторной
формы к матричной. Проследим за трансформацией одного из че-
тырех слагаемых правой части уравнения (5.14) (для остальных
нужно сделать то же самое):
-ЧА. « СО
= ~-yTrF J V(r)V(r — T)6(T)fdT +...
dr n Jo
(5.19)
dt
та,па
* rdt + ...
(5.20)
=~ X j ww* - vww
Ct [o
= —— V V .V . в f e'^'le
«2 Z i rma:sa ¥ sa ,la^InJJ c
™ aa'sl 0
Гамильтониан взаимодействия мы вернули в шредингеровское
представление, а матрицу плотности оставили в представлении
взаимодействия. Это дает возможность заменить еи>'""' на 8Ю —
символ Кронекера. Из всей суммы остается лишь слагаемое с I = т.
Интеграл по Т — это новое представление старой знакомой
^-функции:
i _ iKx
£(j) = lim—-—
Je'-dr
О К->.
Из этого общего определения следует, что
Г fty+W -ИС
lexpi —----g---5---—
о
--in8(x). (5.21)
Т dr =
h
Глава 5. Квантовая теория релаксации
101
= +WQ - W -Wa.)+------------------------ (5.22)
1 W,+Wa-Ws-Wa.
Здесь верхний предел t заменен на °° в силу малости времени
корреляции ткор. Сдвигами линий мы не интересуемся и мнимой
частью этого выражения пренебрегаем, а S-функция остается. Это
очень сильно перекликается с теорией Вигнера—Вайскопфа.
Таким образом, первое слагаемое правой части уравнения
(5.20) выглядит как
-wa 1квГ
-Ws -Wy). (5.23)
Я aa si /
a'
Второе и третье слагаемые преобразуются по идентичной схеме, и
они совпадают:
M8(W, + Wa. -W„ -Wa) .(5.24)
" aa si /,е
a"
Четвертое слагаемое мы не приводим.
Для упрощения записи введем коэффициенты
г№Р1 +w„-мп -и;.), (5.25)
Я aa'
что позволяет представить кинетическое уравнение в следующем
виде:
Эст
-^ = Х(2ГИ5(пст5/ -Г5(гоа,л -Г/Л). (5.26)
Настало время для еще одного предположения. Оно касается
отсутствия вырождения в динамической подсистеме. Это значит,
что частотный зазор между уровнями превышает их размытость,
связанную с конечным Грел, т. е. 0)т1 »2я7Трел. Сначала рассмот-
рим уравнение для диагональных элементов отт:
Эст
= X (^mslm^d ~ ~ ^Imd^ms ) ' (5-27)
Существуют единственные возможности обеспечения отлич-
ных от нуля 810 0, если нет вырождения:
в выражении для Гт5/т остается лишь s = l;
102
Часть первая. Квантовая теория излучения
в выражении для Г,,№ остается лишь I = пт,
в выражении для Г,(Я1/ остается лишь s = т.
Если теперь обозначить
2Г ~ = w, . 2Г. . = w ., (5.28)
mllm im7 immi ml 7 v '
то уравнение сведется к
^22к = У(^та„-и’т .a^). (5.29)
Величина wlm имеет смысл вероятности перехода в единицу вре-
мени динамической подсистемы с уровня I на уровень т, ибо
2Г .. = УI to- Г faS(Wl + К - И' - ™а- ) =
mllm / 71 ma,ia I Ja ' I а т и '
= I A-У V1 |2 S(w‘ +и/« "w« (5’30)
а а "
Под знаком внутренней суммы стоит вероятность перехода из со-
стояния 1а' в состояние та. Суммируя по спектру конечных со-
стояний (У), мы приходим к вероятности перехода 1а' —> т. Но
а
а' нам известно с вероятностью, задаваемой больцмановской функ-
цией fa., и, просуммировав по а' с этим весом, мы приходим к wlm.
Таким образом, (5.29) есть уравнение баланса населенностей.
Рассмотрим далее релаксацию недиагональных элементов ст.
Для упрощения дела прибегнем еще к одной идеализации: условие
отсутствия вырождения наложим не только на энергетические
уровни, но и на частоты переходов, т. е. исключим возможность
существования эквидистантных пар уровней. Тогда
из всех возможных Гmsln остается лишь s = т, 1 = п\
из всех возможных Tj/mj остается лишь I = пг,
из всех возможных Г/ю, остается лишь s = п,
и уравнение (5.26) приобретает вид
= а , (5.31)
dt tmn ™
где
— = У (Г, + Г, .) - 2Г = - У (w . + w„.)-2Г. (5.32)
v Imml Innl ' ттпп q \ ml ni / ттпп v
Тип I 2 /
Глава 5. Квантовая теория релаксации
103
Мы получили в наиболее часто встречающемся виде кинети-
ческие уравнения для элементов матрицы плотности, пребываю-
щей в контакте с термостатом. Эти уравнения позволяют найти
матрицу плотности динамической подсистемы, находящейся в
равновесии с термостатом. С этой целью вернемся к уравнениям
баланса
= £(w,^u ~ ) (5.33)
и рассмотрим более внимательно выражение для вероятности пе-
рехода:
2д e~w° 'к*т
Чп = yEl Г ^e-wa.HBrS^ +К--W„~Wa). (5.34)
а"
Прежде всего, проведем суммирование по а и с учетом имею-
щейся 5-функции получим
Отт У-
%= ye-vv =Се‘-г. (5.35)
а"
Теперь обратимся к выражению для вероятности обратного пере-
хода
' 2л е-ч.'Ы
Ча *—XI vla,m I2 + wa. - Wm - Wa), (5.36)
i ™ aa / &
(5.37)
exp -
(5.38)
которое просуммируем по a:
о- -<.wl+wu.-w„,)ikBr
= 2Л_у 2 e= квГ
a"
Обратим теперь внимание на то, что из аргумента 5-функции сле-
дует равенство W, + Wa- =Wm + Wa, а значит,
wm-w,
къТ
Таким образом, релаксационный переход с верхнего уровня на
нижний более вероятен, чем обратный переход. Отличие в вероят-
ностях определяется энергетическим зазором и температурой сис-
темы.
104
Часть первая. Квантовая теория излучения
В стационарном случае уравнение баланса сведется к деталь-
ному равновесию населенностей:
w. а<0) (5.39)
Подставив в (5.39) найденную связь (5.38), находим
-W^k^T
a™ =-~w . (5.40)
е
Взяв сумму по I от обеих частей равенства, с учетом ^ст*0’ = 1
получаем
-w„H„r
<7(<”=—-------- (5 41)
mm ^^-W,lkKT ’
I
Диагональный матричный элемент а™ имеет смысл вероят-
\ ности нахождения динамической подсистемы в состоянии с энер-
гией Wm. Мы получили, таким образом, больцмановское распреде-
; ление вероятностей заселенности энергетических уровней. В рав-
новесном состоянии недиагональные элементы матрицы плотности
динамической подсистемы =0.
Кинетические уравнения в шредингеровском представле-
нии. Соберем теперь воедино кинетические уравнения для диаго-
нальных и недиагональных элементов. Попутно мы вернемся в
шредингеровское представление, что весьма полезно с точки зре-
ния возможного обобщения уравнений.
Матрицу плотности в шредингеровском представлении чаще
всего обозначают как р. Мы пользовались этим обозначением
применительно ко всей системе, включая диссипативную ее часть.
Теперь наличие диссипативной подсистемы учитывается релакса-
ционными параметрами wml и Тт1, а матрица плотности, которую
будем обозначать тем же символом р, относится лишь к динами-
ческой подсистеме. Во избежание путаницы мы вначале напишем
ряин, а в дальнейшем индекс будем опускать.
Матричные элементы в представлениях взаимодействия и
Шредингера связаны соотношением
(5.42)
которое следует из унитарного преобразования. Следовательно,
Глава 5. Квантовая теория релаксации
105
дРтп + id) п Ъ""""'
тл^тп I
-^2-+-[Е,р]
dt h т"
ito t
е
Эстт„
тп ___
dt
или, в эквивалентной форме,
<4™ =
dt
Теперь мы можем переписать кинетические
окончательном виде:
^- + -[E,p]m„
dt h m"
1
----Р™’
^тп
(5-43)
(5.44)
уравнения в
(5.45)
Последовательно квантовый подход и его трудности. Кван-
товая электроника исследует взаимодействие молекул с электро-
магнитными полями. Значит, под р подразумевается матрица
плотности сложной системы, включающей активные молекулы и
поле. Под т скрывается два набора квантовых чисел: один отно-
сится к веществу, другой — к полю. Последовательно квантовая
теория описывает все возможные эффекты в квантовых приборах.
Но в общем виде она неимоверно сложна, и практически прихо-
дится прибегать к различного рода упрощениям.
В рамках квантового описания и поля, и вещества удается
удержаться, если скорость релаксации недиагональных матричных
элементов значительно больше, нежели диагональных, и больше,
чем вероятность индуцированных переходов. В этом случае произ-
„ Эст
водной можно пренебречь и, выразив р^ через ри, исклю-
dt
чить ртп из оставшихся уравнений. В указанных рамках проходит
еще одно весьма существенное упрощение:
Pnv.nv = Р«аРп . (5-46)
означающее статистическую независимость состояний атомной
системы и поля. Кинетические уравнения разделяются на уравне-
dp dp
ния для "" и ----, содержащие, разумеется, также связь между
dt dt
полем и веществом.
Этот подход используется при исследованиях квантовых
флуктуаций излучения лазера.
106
Часть первая. Квантовая теория излучения
5.3. Полуклассические уравнения
В динамической теории лазеров используется полуклассиче-
ский подход. Среда по-прежнему описывается квантовым образом,
однако поле считается классическим. В обоснованности подобного
подхода мы уже убедились, оценив энергию в моде.
В полуклассической теории матрица плотности р относится
только к молекуле. Поле выступает как внешняя сила. Пока взаи-
модействие с этой силой можно считать слабым, оно учитывается
небольшим усложнением квантового кинетического уравнения
(5.45):
^^1тРц-^Ртт^ т = П,
! (5.47)
----Ртп-
Т
тп
Гамильтониан взаимодействия V'(r) = -dE(Z) можно рассматри-
+ „ + ~[V'frYpl
-х тп^тп 1 L ''’г Jwi
dt п
вать как малое возмущение, если
Задав сот =2-1015с’1, dm = 10’18СГСЭ, получаем |£|«2106СГСЭ =
= 6-108В/см. Этот критерий хорошо выполняется в лазерах
(Е-Ю’В/см — характерное значение внутриатомного поля
Ео ~ е! а0 ).
Может возникнуть вопрос, годится ли в квантовой электрони-
ке приближение заданного поля? Ответ состоит в том, что задан-
ным поле является только в материальных уравнениях (для матри-
цы плотности). Но его величина, конечно, зависит от состояния
среды. При полуклассическом подходе уравнения для матрицы
плотности не образуют замкнутой системы. К ним необходимо до-
бавить уравнения Максвелла. В этой общей системе неизвестными
являются переменные поля и матричные элементы статистического
оператора.
Полуклассическая теория составит предмет дальнейшего рас-
смотрения. Она будет развита применительно к конкретным моде-
лям активной среды. Простейшей среди этих моделей является
двухуровневая.
ДВУХУРОВНЕВАЯ
СИСТЕМА
В ЗАДАННОМ ПОЛЕ
Гпава 6.
УРАВНЕНИЕ ДИПОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
В квантовой электронике очень часто рассматривается следую-
щая ситуация: монохроматическое излучение индуцирует переходы
только между одной парой уровней молекулы, тогда как наличие
других уровней несущественно. Такая ситуация обеспечивает воз-
можность так называемой двухуровневой идеализации квантовой
системы. Кинетические уравнения двухуровневой системы следуют
как частный случай из полученных выше в более общей форме урав-
нений (5.45). Теперь каждый из индексов принимает лишь два
возможных значения: т, п = 1,2. [Условия применимости двух-
уровневой идеализации могут включать, помимо упоминавшегося
в предыдущей главе требования неэквидистантности энергетиче-
ского спектра, также ограничения на амплитуду взаимодействую-
щего с системой поля и его отстройку от частоты атомного резо-
нанса. — Прим, ред.}
6.1. Электродипольный переход
Рассмотрим вначале двухуровневые молекулы с электроди-
польным переходом. Энергия взаимодействия молекулы с полем
выражается как V = -dE(Z). Система уравнений (5.47), описываю-
гцая состояние молекулы, имеет следующий вид: E(z) Р12 ~ ~W2lP22 *" W12011 ~ 1 7 (021^12 — 012^21) ’ П (6.1)
021 ~ (. 1 .E(z)d21 1(У21 + Р21 1 . (Р22 0ц)» h 1 217 (6.2)
012 =" IW21+ Pl2+l 12 (022 Р11)’ 1 й (6-3)
Рц Pi 1 — 1
(6.4)
110
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
Точка означает частную производную времени. В эти уравнения не
входят диагональные элементы dH и d22, поскольку в случае сред
с центром симметрии они равны нулю.
Преобразуем эти уравнения к несколько иному виду. Для этого
перейдем к величинам
= Р22 — Рп> В0 = р22 — Рп . Т2 = т12 = т21, (6.5)
а 7] определим соотношениями:
^21=^1?’ w12=^p^.
Здесь р™ — равновесная матрица плотности в отсутствие элек-
тромагнитного поля. В случае электрического дипольного момента
матричный элемент d21 действителен, благодаря чему d21 = d12.
Для вновь введенных переменных кинетические уравнения
принимают вид
Г... . 1
XI --XI • гг,
(6-6)
(6-7а)
(6.76)
.E(/)d21
Р21 — *^21 + — Р21 1 . В .
I тч h
Исходя из этих уравнений для матрицы плотности можно по-
лучить другие уравнения, в которых переменными будут средние
значения физических величин, характеризующих состояние систе-
мы. Проще всего перейти от диагональных элементов к разности
населенностей. Поскольку р^ — вероятность заполнения ги-го
энергетического уровня, то среднее число атомов рабочего веще-
ства, находящихся на этом уровне,
Nm = Nspmm, (6.8)
где Ns — общее число атомов данного типа в образце (или едини-
це объема). Отсюда для разности населенностей имеем
7V = /V2-JV, =WSD. (6.9)
Величина Tr(dp) дает средний дипольный момент атома, а
р = ^Tr(dp) = Ns (d21 р12 + d12P2,) (6-10)
представляет собой поляризацию всего образца (или единицы объ-
ема), т. е. средний дипольный момент.
Гпава 6. Уравнения дипольной системы
111
(6.11а)
Начнем с преобразования уравнений для недиагональных эле-
ментов р21 и р12, составив из них две комбинации:
Р21 "* P\i ~ ~^2i^Pn ~ Ргг)- ZT^Pii + Р12)»
'2
Р21 — Р12 ——^гЛРп + Р22) ~ ^(Рг! —Pn)-^1 Z • (6-1 16)
Г2 П
Умножим первое из полученных равенств на d21/V5, что дает
Р = —ity2id2i(p2) — Р|г)^х —“Р-
'2
Выразив отсюда р21 - р|2 через Р и подставив результат в (6.7а),
получаем
Л=_^+^_
Tj hio2l
Теперь дифференцируем (6.12) и с помощью (6.11) получаем
Г : 2 "
Т2
(6.12)
[ . 1
Е Р +—Р .
т
I У2
(6.13)
•• 2 - Г 11
р+—р+ <у22.+-4 р=-
'Р yZ I
К такому виду уравнения мы пришли через промежуточные преоб-
разования:
i<y21d2l(p2l ~Pyi)Ns —
= w2ip-- Pi2)Ns + ^-(Ed21)d21N =
*2
= ty22.P+Д-Р+ —P+^J-(Ed21)d2IlV.
zi *r»Z nr t- ' zi' zi
/2 12 n
Система уравнений для состояния среды
2 - ( 1 А
Р+—Р+ (И21+Л Р = -
у» rpz
2
=---------—Е р+Ар
7] й(У21
^L(Ed21)d21N.
и
Т‘
'2
2
3^L(Ed21)d21/V,
п
(6.14а)
(6.146)
т
полностью характеризует отклик электродипольных молекул на
действие поля.
1
1
112
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
6.2. Магнитодипольный переход
Получим теперь уравнения, описывающие поведение среды,
состоящей из молекул с магнитодипольным переходом. Для того
чтобы не выйти за рамки двухуровневой идеализации, ограничим
рассмотрение частицами со спином 5 = 1/2. Наложение на среду,
содержащую такие частицы, постоянного магнитного поля Н,
приводит к расщеплению каждого из энергетических уровней на
2S +1 = 2 подуровня, т. е. к снятию спинового вырождения. Два
спиновых состояния отличаются значениями проекции спинового
магнитного момента на направление постоянного поля.
В отличие от электрического дипольного момента магнитный
имеет диагональные матричные элементы. Компоненты оператора
магнитного момента выражаются через спиновые операторы Паули:
уй^О -А _ уй 1 0
Г ~~2 0 -1
уй Г о 11
U. = — >
х 2 10
(6.15)
О
2
Здесь посредством у обозначено так называемое гиромагнитное
отношение (коэффициент пропорциональности между механиче-
ским и магнитным моментами):
у = -^-
2тс
(6.16)
Фактор спектроскопического расщепления g зависит от типа час-
тицы. Для свободного электрона g = 2. Если задаться значениями
g ~ 2, е ~ 5 1О"10 СГСЭ, т ~ КГ27 г, получаем у ~ 1071/с Гс.
Благодаря наличию диагональных элементов у оператора р и
происходит расщепление уровней в магнитном поле. В уравнении
для недиагонального элемента р21 это проявляется в виде допол-
нительных членов:
^-+7[(V22 -Ц,)р21 +У21(рн -р22)] = ~р21. (6.17)
dt й Т2
Теперь можно записать:
V22 -Ц, = -(/С22 -р;11 )#- = у 2Н = ЙуН, = Йы21. (6.18)
Мы получили слагаемое i(O2lp2l, которое фигурирует в уравнении
для матрицы плотности.
Гпава 6. Уравнения дипольной системы 113
Уравнение для матрицы плотности принимает привычный вид:
^- + iyHzpu + |м21Н,(г)О = -^-р2|. (6.19)
Ot Fl 1 2
Высокочастотное магнитное поле Н,(г) поляризовано в плоскости
ху.
Перейдем от матрицы плотности к намагниченности среды. По
определению средних
AfЛ — Л/5Тг(рхр) — (PX21Pi2 + Hxi2Pi\)Ns» (6.20а)
Му = М;Тг(ц ур) = (р,,21р12 + pjl2p2I )NS, (6.206)
Л/, = Л\Тг(щр) = (Дг11рн + Pz22P22)Ns (6.20в)
Чтобы получить уравнения, в которых переменными являются
компоненты вектора намагниченности М, обратимся к уравнению
(6.19) и подставим в него элементы матриц р„ из (6.15):
р21 + iyH.p2l + -iy (Нх - iHy)D = ~p2l, (6.21 а)
*2
pl2+iyHzpl2 ~iy(Hx+iHy)D = ~-pn. (6.216)
Z /2
Умножив (6.21а) на рх12, а (6.216) на рх21, сложим эти равенства и
получим
Мх + iyHz(p2lpxl2 - p2lpx2l)N +
+ ~МХ2|) — ^у^РхП +Дх21)]^ ~ (6.22)
Заметив, что
Pxl2 ~Px2l' Pvl2 ~~Py2l =—f'Pxl2’ Pzll = ~Hz22 ~ Мх12 ’
сразу получаем
М
Mx=y(HzMf-HyMz)--------х-, (6.23а)
^2
и совершенно аналогичным образом
Mv=y(HzMx-HxMz)--------у~. (6.236)
^2
Уравнения для диагональных матричных элементов по форме
не отличаются от тех, что были получены в случае
электродипольного перехода:
8 ~ 1473
114
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном полв
D + ~(V2ipi2~Vl2p2i) = -D D° (6.24)
А 7]
Умножив это уравнение на уЙ/2 и приняв во внимание, что
У2| = -р21Н, мы приходим к третьему уравнению:
М -М
М, =у(НvMх - НХМу)---г----2-. (6.25)
Полученные три скалярных уравнения объединяются в век-
торное уравнение Блоха.
M = y(MxH)-i^-j^-k^;~3/° . (6.26)
Г2 Т2 Tt
Уравнение (6.26) является основным в теории парамагнитного
резонанса. Оно описывает поведение парамагнитной среды, поме-
щенной в постоянное и переменное магнитные поля. Среда являет-
ся парамагнитной, поскольку содержит слабо взаимодействующие
между собой частицы со спином. Если бы взаимодействие между
частицами было сильным, то среда обладала бы не парамагнитны-
ми, а ферромагнитными свойствами. О резонансе говорят потому,
что на частоте <у21 = у Но имеет место резонансное поглощение
энергии переменного поля. Частота <У21 = 107 Гц попадает в СВЧ-
диапазон. Уравнения Блоха имеют наглядную геометрическую ин-
терпретацию, и от них пошла терминология, проникшая затем в
другие разделы квантовой электроники.
Магнитный момент парамагнитного образца совершает пре-
цессию относительно магнитного поля Н,, если его отклонить от
направления поля. В отсутствие высокочастотного поля продоль-
ная компонента намагниченности М. релаксирует к равновесному
значению Мо с постоянной времени Tt. Отсюда и термины про-
дольная релаксация и время продольной релаксации. Энергия маг-
нетика в статическом поле составляет -М ,Н,, так что продольная
релаксация сопровождается изменением энергии системы. Теряе-
мая магнетиком энергия передается решетке кристалла, в которую
внедрены парамагнитные частицы (ионы, ядра). Следовательно,
взаимодействие спинов с решеткой существенным образом опре-
деляет физическую сущность механизмов продольной релаксации,
которую поэтому часто называют спин-решепючной релаксацией.
Время спин-решеточной релаксации сильно зависит от температу-
Гпава 6. Уравнения дипольной системы
115
ры кристалла. Так, в рубине при температуре жидкого азота
7] - 10~3с, ас повышением температуры 7] резко падает.
Поперечная компонента намагниченности релаксирует к
Мху = 0 с постоянной времени Т2. Этот параметр называют попе-
речным временем релаксации или временем поперечной релакса-
ции. Поперечная релаксация не сопровождается изменением внут-
ренней энергии парамагнетика. Единственно возможный физиче-
ский процесс, скрывающийся под поперечной релаксацией, —
расфазировка прецессии отдельных спинов. Поэтому Т2 — это
также и время релаксации фазы.
В отсутствие других релаксационных механизмов спин-
решеточное взаимодействие приведет, наряду с продольной, также
и к поперечной релаксации. В этом случае Т2 = 7j. Но, если любой
процесс продольной релаксации автоматически влечет за собой
также и поперечную релаксацию, то обратное неверно. Упругие
взаимодействия не могут сказаться на 7], но вклад в Т2, несомнен-
но, будет. К их числу относятся процессы спин-сп инового взаимо-
действия. Такое взаимодействие осуществляется через поле и име-
ет резонансный характер. Здесь просматривается аналогия со свя-
занными осцилляторами. Именно этот механизм и определяет Т2 в
парамагнетиках, благодаря чему он получил название спин-
спиновой релаксации.
Итак, принципиально, Т2 < 7], а в твердых телах 7\ » Т2. Па-
рамагнитные переходы при гелиевых температурах характеризу-
ются временами релаксации 7J ~ 10"3с, Т2 ~ 10 9с. Для оптических
переходов с метастабильных уровней характерны времена
Т\ - 10-3...10"4с, Т2 - 1(Г|2с. Правда, механизм уширения линий оп-
тических переходов нельзя назвать спин-спиновым. В рубине, на-
пример, основную роль играет взаимодействие примесного центра
с колебаниями решетки. С последними связаны колебания элек-
трического поля решетки, размывающие положение уровней. В
Разреженных газах доминирующим механизмом релаксации элек-
тронных возбужденных состояний атома является спонтанное из-
лучение, благодаря чему Т2 = 7]. По мере увеличения давления
возрастает роль соударений, что приводит к уменьшению обоих
времен релаксации. Однако соударения бывают как неупругие —
116
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
с изменением внутренней энергии атома, так и упругие. На про-
дольную релаксацию влияют только неупругие соударения, тогда
как на поперечную — и те, и другие. Поэтому при превышающих
1 Торр давлениях 7] > Т2.
6.3. Укороченные материальные уравнения
Вернемся к уравнениям движения дипольной системы в задан-
ном поле (6.14):
Г 2 "
Т2
Tt ho)2l
Эти уравнения справедливы для однородной системы молекул.
В частности, молекулы должны быть одинаковым образом ориен-
тированы в пространстве. Относительно поля предположим, что
его амплитуда и фаза могут лишь медленно меняться во времени:
Е(г) = l[F(Oe-i“ + F* (/)<?'“' ] -
Медленность изменения выражается неравенством
1 0F
----«(У .
F dt
2 . । 1
Р+—Р+ су21+—z- Р = -
QT у Z
^-(Ed2l)d217V,
п
. 1
Е Р +—Р .
Т\
2
(6.27)
(6.28)
Если обратиться к процессам, идущим в молекулярной систе-
ме при наличии поля, то здесь явно просматриваются два времен-
ных масштаба: период высокочастотных колебаний То=2л/О)
(малый масштаб) и времена релаксации плюс времена, характери-
зующиеся энергией взаимодействия молекул с полем (большой
масштаб). Порядок величины последних нетрудно оценить из са-
мых простых соображений: % =|dF| — энергия взаимодействия,
Q -1 dF | / h — характерная частота [которую, как правило, назы-
вают частотой Раби. — Прим, ped.], Tv ~ 2nhl | dF |.
Наибольший интерес представляют медленные процессы,
идущие с временами порядка 7], Т2, Tv, которые удовлетворяют
условию
Глава 6. Уравнения дипольной системы
117
(6.29)
(6.31)
1 1 1
со » —,—,—
т; т2 tv
К этому добавим предположение, ограничивающее расстройку:
|со21-со|«со. (6.30)
Написанные условия дают возможность представить решение
системы (6.14) в виде
Р = ||Р(Г)Р'“ +Р*(/)е<“],
N = У(/) - медленная функция. Подстановка выражения для Р в
(6.14а) дает
|(> - W - to2P) + -^(f - toP) + ~(со21 + 2-)Р = (d2IF)d2iy. (6.32)
2 /2 2 /2
Это уравнение можно упростить, используя (6.29), а также сле-
дующие соотношения:
Р 0)
«со2, —21 = 1, со21 -со2 ~ 2to(co21 —со).
(6.33)
(6.34)
Р
Р
(О
В результате пренебрежения малыми членами приходим к укоро-
ченному уравнению:
Р + i(C02I - со)Р + ^-Р = -J-(d21F)d21W.
Тг п
Теперь перейдем к уравнению (6.146) и сразу же заметим, что
1 „
» —. После подстановки выражений для Р и Е получаем
^2
• Л/ — /V /Г/) ~ —
W +------2- =-------(Fe"““ + F'e'm ХРе’*1* + Р*е"0'). (6.35)
?! 2йсо21
Усреднение по времени за период высокочастотных колебаний
избавляет уравнение от слагаемых с зависимостью от времени типа
, и мы из (6.35) приходим к
/V + N~N° = -—(F*P - FP’).
т; 2h
(6.36)
Гпава 7.
СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ
ДИПОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
С ЗАДАННЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
7.1. Восприимчивость
Будем считать F = const и найдем стационарные (Р = N = 0)
решения укороченных уравнений (6.34), (6.36). Полагая, что поле
поляризовано линейно и его единственная компонента направлена
вдоль оси х, найдем компоненты поляризации среды Рх и Ру. По-
скольку выбор фазы поля произволен, можно считать (р - 0, т. е.
поле — действительным, и F = | F | еир = F*.
Из уравнения для поляризации в стационарном случае следуют
соотношения
Р, о)21-а>-
.2
——NF,
h
dd
—x-^-NF.
h
(7.1а)
Р¥ со2}-а>-
(7.16)
(7.26)
I
Т2
i
t2
которые можно разрешить относительно компонент поляризации:
Р = (fOu-(O)T2+± ’
х h 1 + (cd21-cd)2T22
р _ — о)Т2 + i
h 1 + (й)21-со)2Т2 х'
Коэффициент пропорциональности между поляризацией и на-
пряженностью вызывающего ее поля называется восприимчиво-
стью среды и обозначается буквой %. Вообще говоря, % — тензор,
и мы нашли его диагональную компоненту:
Й l + (t021-£0)2T22
(7.3а)
Гпава 7. Стационарное состояние дипольной системы...
119
В качестве положительного значения N мы взяли инверсное,
и график на рис. 7.1 нарисован для N > 0. Рисунок иллюстрирует
частотный ход действительной и мнимой частей диагональной
компоненты восприимчивости вблизи резонансной частоты. Не-
диагональная же компонента восприимчивости
dxdyT2 (<у21 -ы)Т2 + i кг , . ,
Хху h l + (cD2i-co)2T22 Xxy+lXxy-
(7-36)
качественно ведет себя так же, как диагональная. Различие сводит-
ся лишь к замене d2 на dxdy.
Рх в укороченное уравнение
Подставив найденное значение
для населенностей (6.36), получаем
W =----------.
! , ?72(d21F)2
Й2[1 + (со21-ш)2Т22]
(7.4)
Из формулы (7.4) вытекает ряд следствий.
1. До тех пор пока поле существенно меньше насыщающего
значения
(7.5)
разность населенностей практически не зависит от амплитуды поля
и можно считать W = No от поля не зависящим.
2. С ростом амплитуды поля в области F > FKax разность насе-
ленностей убывает в пределе до нуля. Эффект насыщения разно-
сти населенностей иллюстрирует график, построенный на рис. 7.2
для случая точного резонанса, со = со21:
N =----
HF/Fj
(7-6)
120
Часть вторая. Двухуровневая системе в заданном поле
3. Величина N(F) знака не меняет, и следовательно, стацио-
нарное поле не пригодно для осуществления инверсии населенно-
стей в двухуровневой системе.
Рис. 7.2
(7.7)
Чтобы узнать отклик среды на насыщающее поле, необходимо
заменить N в выражении поляризации (7.2) значением (7.4), что
приводит к формуле для восприимчивости:
у _ _______(й)21 — <&)Т2 + i_
h l + (a2l-(O)2T2+(F/F„J2 °'
Рост F сопровождается уменьшением | х^ | и одновременно —
уширением контура х"Аы) — мнимая часть вос-
приимчивости среды, ответственная за поглощение излучения. —
Прим, ред.} При Fx«FH8C функция формы линии перехода
1
(7.8)
е(ы)------, -------
1 + Т2((О21-ы)2
имеет полуширину по уровню 0,5, равную 8а>0 -1/7,. В общем же
случае линия
1
g(fl),F)= , , ,
1 +Г2(ш21-<У)+(F/FHac)
имеет полуширину
(7.9)
8а> =
(7.Ю)
F _ F
----= 8й)0----.
Т Т F F
12 121 нас г нас
Предельное значение достигается при F » FHac.
Основной вывод из проведенного рассмотрения: в поле насы-
щающего излучения спектральные линии уширяются.
7.2. Мощность электромагнитного поля,
поглощаемая дипольной системой
Изменение внутренней энергии системы во времени характе-
ризует производная
Глава 7. Стационарное состояние дипольной системы...
121
dH ЭН ,
— = —+ -[Н,р].
dz Э/ h1
(7.И)
Гамильтониан системы состоит из двух частей: Н = Но + V, но
лишь вторая часть явно зависит от времени. Чтобы вычислить дис-
сипацию энергии поля, нужно найти среднее по квантовому
ансамблю:
= = = №Tndp)Ns=.«p
dt dt dt dt dt
Представляющая интерес неосциллирующая часть этой мощности
определится в результате усреднения по периоду колебаний
е4—
\ dr (
Если поле линейно поляризовано, то
Q = + F/e^X^e-'™
(7-12)
- ® р\.
\э> /.
(7-13)
= уа;-^„)/\2 (7.14)
Положительному значению %* отвечает поглощение энергии поля
средой. В противном случае %” < 0 среда отдает энергию полю.
Нетрудно видеть, что в состоянии термодинамического равновесия
имеет место поглощение, ибо N0<6 (см. формулы (6.5) и (6.9)),
т. е. х" > 0.
По мере роста интенсивности поля поглощение ведет себя та-
ким образом, что поглощаемая мощность растет, асимптотически
стремясь к некоторому предельному значению:
= _<»(dE)2T,__________N.___________
2Й 1 + Т22(<У21-to)2+(F/FHac)2
Если частота поля равна резонансной частоте, то формула уп-
рощается и выглядит как
Wd;T2N0 F* N0ho
2Й l + ^/F^)2 2ТХ
(7.16)
Эта зависимость показана на рис. 7.3. Ее характер и послужил ос-
нованием для того, чтобы эффект был назван насыщением.
122
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
(7.17)
(7-18)
(7-19)
7.3. Связь между восприимчивостью
и вероятностью индуцированного перехода
Излучение среды характеризует величина Q, которая равна из-
лучаемой мощности, но противоположна ей по знаку; следовательно
Р ____
изл 2 2й 1 + (®-со21)2Т22
Сопоставим это выражение с формулой для вероятности вынуж-
денного излучения (3.37), которую перепишем в виде
4nd2ci) п.
W —--------- -------------------
инд /;<5<y0L3 1 + (шл-too)2/(<5wo)2'
Нетрудно убедиться в том, что обе формулы, (7.18) и (7.17), иден-
„ „ х 1 F2 ,
тичны. Действительно, Ртп = Т7 =——, — = —— и фор-
изл ннд 2 &о0 8л L3
мула для вероятности излучения (7.18) эквивалентна выражению
р (Dd2T2 F2
изл 2Й l + (to-too)2T22 '
От (7.17) эта формула отличается только отсутствием множи-
теля N, поскольку вероятность индуцированного перехода рас-
считывалась для одной молекулы в возбужденном состоянии. Та-
ким образом, обе характеристики среды — восприимчивость и ве-
роятность индуцированного перехода — отражают одни и те же ее
свойства. Восприимчивость среды связана с диэлектрической про-
ницаемостью £ известным соотношением:
Е = 1 + 4л/. (7.20)
Выше было показано, что мнимая часть восприимчивости от-
ветственна за диссипацию энергии. Что касается действительной
части, то она определяет показатель преломления среды, образо-
ванной двухуровневыми молекулами, и в силу зависимости от час-
тоты ответственна за ее дисперсию.
Гпава 8.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ДИПОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ,
ПОМЕЩЕННОЙ В ЗАДАННОЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
8.1. Нутации в отсутствие расстройки
Вернемся к системе укороченных уравнений (6.34), (6.36) и,
положив в них d || F и F = F*, запишем ее в скалярном виде:
P+i((02.-C0)P + — P = -—NF, (8.1)
Т2 *
N - N iF -
N + ----- = (Р-Р*). (8.2)
Т, 2Й
Стационарность поля означает, что нестационарные процессы
в квантовой системе могут происходить только на интервалах вре-
мени, малых по сравнению с временами релаксации. Будем поэто-
му считать 2n/co«At«T2 и пренебрежем релаксационными
членами в уравнениях. Если к тому же выдерживается точный ре-
зонанс и со = <У21, то Р — чисто мнимая величина и ее можно за-
менить действительной переменной Pt=iP. Уравнения в указан-
ных переменных переходят в
j2
Pt= — NF, (8.3)
п
N = ~FF\. (8.4)
Исключив Pt, полученную систему можно свести к уравнению вто-
рого порядка
j2
N + — NF2=O, (8.5)
Й
124
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
описывающему гармонические колебания разности населенностей
с частотой Раби
Q=dF/ti, (8.6)
которая была введена в главе 6. Условие применимости данного
рассмотрения формулируется как Г^.1 «Т, или F » hlT2d.
Заметим, что после пренебрежения релаксацией система стала
чисто динамической и понятие вероятности перехода в единицу
времени потеряло смысл. Вероятность обнаружить частицу на оп-
ределенном энергетическом уровне стала не линейной, а гармони-
ческой функцией времени.
Зададим численные значения параметров, типичные для руби-
1на: d = 1О~20 СГСЭ, Т2 =10-12 с. Они приводят к следующему огра-
ничению на амплитуду поля: F>105 СГСЭ = 3-107 В/см. Требуе-
'мое поле чересчур велико, чтобы питать надежду на эксперимен-
тальное обнаружение эффекта. Но взятые цифры относятся к тем-
пературе кристалла Т = 300 К. При охлаждении кристалла Т2 рас-
тет, а уже значение Т2 - 1О10 с делает задачу разрешимой. Полу-
ченная цифра для поля в 1Т2 раз превышает значение насы-
Й 2
щающего поля, составляющего F - —f= ~ 3 СГСЭ ~ 100 В/см .
''Ж
8.2. Нутации при наличии расстройки
Эту же задачу можно решить и при наличии расстройки между
молекулярной системой и приложенным полем. В этом случае
Р = Р2 - iPt и нужно решить систему уравнений
F2-(to-to21)^=O, (8.7а)
>2
Pl+(a>-(D2l)P2=—^-NF, (8.76)
h
N = ~F\F (8.7в)
при начальных условиях
/>(0) = Р2(0) = 0, N(O) = No. (8.8)
Система элементарно сводится к осцилляторному уравнению
Глава 8. Нестационарные процессы в дипольной системе...125
^+&2^=0, (8.9)
но теперь выражение для частоты осцилляций выглядит несколько
сложнее:
/ j
q2= I^f + (co-to21)2 =^2(1+<52), (8.10)
h )
S <«21_£0
где 8 = —.
Решение осцилляторного уравнения
Pt =Csm(£2t+y/) (8.11)
зависит от двух произвольных постоянных, которые нужно найти
из начальных условий (8.8):
d2 F
уг = О, C = -^-No. (8.12)
п£2
Это дает для /V(f) решение
N
W = j-^T(cos£2f + <52). (8.13)
Две характерные особенности полученного решения:
1. При наличии расстройки состояние инверсии не достигается.
Если при t = 0 разность населенностей N - No, то при t = пIQ
1 — <5 2
N = ——-N0-)N0 при <52-»оо. (8.14)
1 + о
2. Частота нутаций увеличивается с ростом расстройки
Казалось бы, с ростом расстройки взаимодействие между моле-
кулами и полем ослабевает и, как следствие, частота нутаций долж-
на уменьшаться. Между тем, она возрастает. Дело в том, что здесь
не пригодны чисто энергетические оценки. Молекулярная система
после включения поля находится в суперпозиционном состоянии
с,!//, + с2у2, где i//i и I/, — волновые функции верхнего и нижнего
состояний. В каком направлении будет изменяться N, зависит от
сдвига фазы между движением системы и вынуждающим полем.
Движение же оказывается сложным, т. к. начальное условие ступен-
чатое. На классическом языке, в системе возбуждаются два прецес-
сионных движения: вынужденное с частотой со и собственное с
частотой со0. Благодаря нелинейности системы сложные прецесси-
онные движения находят отражение в нутационном.
126 Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
8.3. п- и 2я-импульсы
Посмотрим теперь на задачу с несколько иных позиций. В от-
сутствие релаксации система уравнений (8.3), (8.4) обладает инте-
гралом движения
Р2 +d22lN2 =d22lN20 (8.15)
(в случае парамагнетика этот интеграл выражает закон сохранения
энергии магнитного момента системы), что позволяет характеризо-
вать (при (О = со21) систему не двумя переменными 1} и W, а од-
ной. В качестве таковой выберем некий угол прецессии (р :
F\ = dnN0 sin<p, N = No cos<p . (8.16)
Подстановка соотношений (8.16) в (8.9) дает уравнение
dtp d-,,F
= (8.17)
ck h
которое легко интегрируется, и при начальном условии <р(0) = 0
результатом будет
= (818)
Мгновенное состояние системы полностью определяется площа-
дью, ограниченной кривой F(t), т. е. огибающей поля.
В момент времени tp, которому соответствует ф(Гр) = 2я,
квантовая система оказывается вновь в исходном состоянии
N(tp) = No. Следовательно, существует импульс, действие которо-
го на систему таково, что после его окончания система оказывается
в исходном состоянии. Он называется 2л-импулъсом. Замечатель-
ным свойством 2я-импульса является то, что он проходит сквозь
двухуровневую среду без изменения своей энергии. В оптике это
явление носит название самоиндуцированной прозрачности.
Наряду с 2я-импульсом существует и я-импульс, который пере-
водит квантовую систему в состояние с инверсией населенностей.
Полагая форму импульса прямоугольной, найдем его длительность:
tn=nhld2xF, (8.19)
которая обратно пропорциональна амплитуде поля. Поскольку су-
ществует ограничение t« Т,, должно быть выполнено неравенст-
во F » nhld2iT2, о котором упоминалось выше.
Глава 8. Нестационарные процессы в дипольной системе ..127
Как практический способ создания инверсии населенностей в
лазерах я-импульсы не используются, так как требуется мощный
вспомогательный лазер на ту же рабочую частоту, и проект теряет
смысл. Но на заре квантовой электроники импульсная инверсия
применялась для возбуждения двухуровневых спиновых систем.
В случае магнитодипольных систем необходимое условие на
п- им пульс имеет вид
Н »лЫр2]Т2, (8.20)
и при д21 ~ Ю 20 и Т2 -10~7 с отсюда следует Н »1 Гс, что прак-
тически достижимо и требует мощности импульса 100 Вт, если
парамагнетик находится в малодобротном резонаторе.
8.4. Адиабатическое быстрое прохождение резонанса
Наряду с я-импульсом существует еще один нестационарный
способ достижения инверсной заселенности. Он требует не ампли-
тудной, а частотной модуляции источника накачки.
По-прежнему будем пренебрегать релаксацией. Но даже в от-
сутствие строгого резонанса уравнения (8.7) обладают интегралом
движения (8.15). Стационарное решение (Р - N - 0) найдем путем
совместного рассмотрения соотношения
й(ш21 — со)
и общего интеграла. Используя уже знакомое нам обозначение от-
носительной расстройки 8, запишем
N = ±-^U, J = ± . (8.22)
J1 + 82 л/1 + «52
Нетривиальным моментом является само существование ста-
ционарных режимов при наличии поля, но в отсутствие релакса-
ции. Каждому значению амплитуды поля и расстройки соответст-
вуют два таких режима, отличающихся значениями N.
Возникает вопрос: как реализовать (хотя бы в мысленном экс-
перименте) стационарные (точнее, квазистационарные) состояния?
Если мы в момент включения поля неверно зададим N и Р, то по-
лучим незатухающие нутации. Единственный реальный способ ос-
нован на том, что при 18 |»1 одновременно N ~ No. Поэтому, вы-
128
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
брав достаточно большую расстройку, мы в момент включения поля
не нарушим равновесия. Далее будем уменьшать расстройку, но
проведем этот процесс адиабатически, чтобы не возбудить нутаций.
Тогда система будет последовательно проходить цепочку стацио-
нарных состояний. При со = <У21 разность населенностей достигнет
нулевого значения, тогда как поляризация атомной системы достиг-
нет максимума, т. е. вектор с компонентами (d21, N, Р) повернется
на 90° относительно начального положения. Дальнейшее прохожде-
ние линии приведет к инверсии населенностей, когда вновь достига-
ется значение 18 |»1, но при 8 = -<5ноч.
Условие адиабатичности изменения параметра Л, определяю-
щего состояние системы, по Ландау и Лифшицу выглядит как
г"
dr
где Т — наибольшее из характерных времен системы. Самым
медленным движением рассматриваемой системы является нута-
ция с частотой ^2=jQ,yl+<52. Параметр, к которому мы применим
критерий адиабатичности (8.23), — это угол прецессии
Р 1
ср = arctan—— - arctan—. Теперь преобразуем (8.23) к виду
d2tN 8
d(lO2, — СО)
dr
Минимального значения правая часть достигает при 8 = 0, и сле-
довательно, критерий адиабатичности (8.23) преобразуется в
d(to21-to)
dr
Основные изменения в системе происходят при перестройке в
области 181 < 1. Ее необходимо пройти за время Дг« Т2'. Значению
181 = 1 соответствует [(У,, Q. Отсюда следует условие быстроты:
d(co2, -со)
dr
В совокупности неравенства (8.24) и (8.25) очерчивают границы адиа-
батического быстрого прохождения. Они совместимы, если » Tf1.
(8.23)
£
8
(8.24)
(8.25)
2
Глава 8. Нестационарные процессы в дипольной системе...
129
8.5. Насыщение в неоднородно уширенной
двухуровневой системе
К неоднородному уширению спектральных линий приводят те
механизмы, которые сдвигают резонансные частоты отдельных
молекул. Например, для парамагнетиков весьма актуальным явля-
ется неоднородность магнитного поля, обусловленная конечными
размерами используемых магнитов. Вторая причина — неодно-
родные внутрикристаллические поля. Третья причина — тонкая
структура линий, обусловленная расщеплением уровней, скажем,
из-за наличия магнитного момента у ядра атома. В этих случаях
наблюдаемая линия является результатом наложения линий со
слегка разными центральными частотами. Доплеровский механизм
неоднородного уширения мы пока рассматривать не будем.
Чтобы найти восприимчивость спектрально неоднородной
среды, нужно сложить вклады всех групп молекул с частотами пе-
реходов со0 + . Форма линии индивидуальной группы молекул,
собственные частоты которых сосредоточены на интервале от
+ £ до <д0 + £ + d£ , дается выражением
у" --------------У—?---------(j/y
°дн Й[1 + (ш0 + ^-ы)2Т22]
(8.26)
Здесь d/V — разность населенностей для указанной группы моле-
кул. При наличии насыщающего поля на частоте щ. имеем
= —------ N°f^--------------d£ , (8.27)
1 F 1
где /(£) — функция распределения, удовлетворяющая условию
нормировки /(£)d£ =1.
Наиболее сильно насыщаются молекулы, частоты которых
Ц, + £ близки к частотам насыщающего поля щ.. По мере увели-
чения относительной расстройки Т2 (w0 + £ - щ.) насыщение
уменьшается, поскольку поле слабее взаимодействует с этими мо-
лекулами. Поэтому на профиле функции образуется провал,
9 - 1473
130
Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
показанный на рис. 8.1.
Отсюда и происхождение
термина «выжигание провала
на функции распределения
разности населенностей».
Чтобы получить воспри-
имчивость всей спектрально
неоднородной двухуровневой
системы, необходимо учесть
вклад от всех молекул. Если
это сделать, то восприимчи-
вость на частоте со в присутствии насыщающего поля с частотой
cos дается формулой
г' ^21^2 7____________________
/неодн( } й li+V^+^-w)2 (8' }
Функция х”еоаи(с°) также имеет провал. Эта кривая представляет
собой форму насыщенной линии спектрально неоднородной двух-
уровневой среды. Именно ее получают, исследуя спектральное
распределение спонтанного излучения.
Сосредоточим далее внимание на частоте со = <ys. В этом случае
*'еодн = J +£-colftfW <
(8.29)
причем
у' _ dllTl ____________N0_____________ Zg
S Й l + r>c-m£)!</FJ2’
Свертка функций и /(£) легко осуществляется в двух пре-
дельных случаях. Первый из них тривиален: функция распределе-
ния /(£) много уже однородной части линии и выражение сво-
дится к известному для однородно уширенной среды. Второй —
это случай чисто неоднородного уширения. Функция /(£) очень
широка, и действует как 5-функция. Поэтому /(£) выносится
из-под интеграла при значении £ = со - со0, что приводит к
Х'одн = Z(co-<»о)J /Ж-w + g)d^ = -^21 Юо) ./VO.(8.31)
(8.32)
Глава 8. Нестационарные процессы в дипольной системе...131
Такая зависимость восприимчивости от насыщающего поля, как
+ / FHac)2 ’ типична для неоднородно уширенных линий. В
случае однородной линии насыщение проявляется как
l/[l + (F/FHiJ2].
В частном случае лоренцевой функции распределения
Г/ ________1
Л 1 + (Т2*)2(СО-€Оо)2
формула для восприимчивости отличается от однородной лишь
заменой Т2 —> Т2 . Если рассматривать Т2 как время релаксации, то
оно также характеризует расфазировку молекул, но механизм рас-
фазировки в данном случае тривиален: из-за разницы в частотах
собственные движения молекул расползаются во времени.
8.6. Спиновое эхо
Спектрально неоднородные системы обладают большим чис-
лом степеней свободы, нежели однородные. Поэтому и динамика
таких систем богаче. Дополнительно к тем нестационарным эф-
фектам, о которых мы говорили, имеется еще один. Он был впер-
вые осуществлен в экспериментах с парамагнетиками в радиодиа-
пазоне и получил название спинового эха.
Представим себе парамагнитный образец, помещенный в резо-
натор (колебательный контур) и находящийся в неоднородном
магнитном поле. В момент t = 0 образец подвергается воздейст-
вию 90°-ным импульсом. Этот импульс поворачивает вектор на-
магниченности М в плоскость ху, перпендикулярную Но. По за-
вершении 90°-ного импульса начинается свободная прецессия в
плоскости ху. Но благодаря несовпадению собственных частот
отдельных спинов имевшийся вначале единый вектор М± распа-
дается на целый веер векторов, и с течением времени этот веер все
больше раскрывается. Через время А/ образец облучается
180°-ным импульсом, в результате чего крайние вектора веера ме-
няются местами и веер начинает складываться. Через интервал
2 А/ он опять соберется в общий вектор М±.
Нужно принять во внимание, что вращающийся магнитный
Момент излучает на резонансной частоте (когерентное спонтанное
9>
132 Часть вторая. Двухуровневая система в заданном поле
излучение). Это излучение максимально в момент окончания пер-
вого импульса и в момент 2 А/. Разумеется, 2Аг < Т2.
8.7. Кросс-релаксация
В системах идентичных молекул возможны следующие релак-
сационные процессы, идущие без изменения энергии системы: мо-
лекула из состояния с энергией W2 переходит в УЦ, а взаимодейст-
вующая с ней молекула совершает обратный переход. Такой про-
цесс называется кросс-релаксацией. Когда система однородно
уширена, т. е. все переходы имеют одинаковую частоту, кросс-
релаксация дает вклад в поперечную релаксацию (в Т2) и только.
В неоднородно уширенных средах с кросс-релаксацией связан и
другой важный эффект — восстановление равновесной формы ли-
нии.
Забудем на время обо всех возможных квантовых переходах в
системе, кроме кросс-релаксационных. Будем далее считать, что
W2' - W' хотя и мало, но отличается от W2 - 1У,. Если и N' —
плотности атомов в состояниях и W' соответственно, то веро-
ятность кросс-релаксационного перехода W2 —> MJ запишется как
= wCKN{ Дело в том, что для осуществимости перехода
W2 —> УЦ необходим соседний атом, пребывающий в состоянии
W/. Этим объясняется наличие множителя N', a wCR — коэффи-
циент, характеризующий эффективность процесса. Мы можем на-
писать закон изменения числа частиц в состоянии УЦ, учитываю-
щий прямые и обратные процессы:
cLV d/V
~ W2N{ - NxN2 ) = . (8.33)
dr dr
Перейдем теперь от населенностей уровней к разности насе-
ленностей: N + N2 - /V,, N' + N'2 - N' и к числу частиц каждого
типа Ns = N2 + Nx, N's=N'2 + N'. Перепишем уравнение (8.33) в
этих обозначениях:
---= wcr (WN'S - N'NS) = -wCKN' N-N'-*-
J. X Л Л ' J ж jf
at Nc
(8.34)
Глава 8. Нестационарные процессы в дипольной системе..-
133
Предположим теперь, что коэффициент wCR одинаков для лю-
бой пары молекул, входящих в состав среды, и не зависит от раз-
ности частот переходов. Это очень сильное, но не очень обосно-
ванное предположение. Оно годится для обсуждения ситуации ка-
чественно, но вряд ли способно отвечать за количественные нюан-
сы процесса кросс-релаксации. Зато это предположение приводит к
наглядному и простому виду уравнений, пригодному для построе-
ния теории лазеров. Всякие уточнения и усложнения сильно сни-
жают шансы на успех в построении теории.
Сделанное предположение позволяет понимать под Ns и N's
величины интегральные по всей неоднородной линии, а под W и
N' — спектральные плотности соответствующих величин. В такой
/у , 7
интерпретации —7=/(£) — функция распределения, N'- | Ncd£
Ns 1
— интегральная разность населенностей. Обозначив по аналогии с
другими временами релаксации wcrN's=——, где TCR — время
^CR
кросс-релаксации, можем записать уравнение в виде
dN^_
d/ TCR
(8.35)
В такой формулировке четко видно, что благодаря кросс-
релаксации спектральное распределение разности населенностей
будучи отклоненным от равновесного значения /(^)f^d^,
стремится вернуться к этому значению.
Теперь мы можем добавить в (8.35) слагаемое, учитывающее
продольную релаксацию:
dN. _ N6~N{0 N(-f(^Ntd^
* ~ Tt TCR
И наконец, уравнение для величины N, введенной посредст-
вом равенства имеет вид
(8.36)
cLV _ _ /У-/Уо _
dt \ T^R
(8.37)
ФИЗИКА ЛАЗЕРОВ
Гпава 9.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О КВАНТОВЫХ ГЕНЕРАТОРАХ
Мы переходим от изложения общих вопросов квантовой тео-
рии излучения и его взаимодействия с атомными системами к тео-
рии лазера и начинаем с общих сведений об этих устройствах. На-
стоящая глава не претендует на детальное изложение основ кван-
товой электроники. При необходимости читатель может найти его
в таких известных книгах, как [4—6]. Ниже приводятся главным
образом лишь те сведения, которые имеют непосредственное от-
ношение к динамическому поведению лазера.
9.1. Принцип действия и его реальные воплощения
Можно указать на три проблемы, которые привели к возник-
новению квантовой электроники: необходимость снижения шумо-
вого порога усилителей, необходимость повышения стабильности
генераторов и потребность в освоении миллиметрового и более
коротких диапазонов длин волн. При разрешении этих проблем
классическая электроника столкнулась с принципиальными труд-
ностями, многие из которых удалось преодолеть, только восполь-
зовавшись явлением индуцированного испускания света система-
ми связанных зарядов.
9.1.1. Индуцированные и спонтанные переходы
Ряд сведений, относящихся к данной теме, уже был приведен в
предыдущих главах, прежде всего в гл. 3. Поэтому мы можем ог-
раничиться лишь беглым обзором. Возможность усиления элек-
тромагнитного поля квантовыми системами основана на явлении
индуцированного испускания. Под влиянием падающего извне из-
лучения квантовая система (атом, молекула, кристалл) способна
перейти в более низкое энергетическое состояние, испустив при
138
Часть третья. Физика лазеров
этом фотон. По всем своим характеристикам индуцированное из-
лучение идентично падающему. Процессом, обратным индуциро-
ванному испусканию, является поглощение фотона с переходом
квантовой системы в состояние с большей энергией.
В квантовой электронике, как правило, приходится иметь дело
не с изолированной молекулой, а со средой, состоящей из большо-
го числа молекул. Преобладание переходов с испусканием фотона
над переходами с поглощением, когда, собственно, и реализуется
усиление в среде, достигается только в неравновесных системах.
Так обстоит дело в случае инверсии населенностей какой-либо па-
ры уровней при условии неэквидистантности энергетического
спектра. Последнее условие необходимо для того, чтобы монохро-
матическое поле, резонансное инвертированному переходу, не бы-
ло резонансным по отношению к другим переходам с преобла-
дающим поглощением.
С неэквидистантностью энергетического спектра связана воз-
можность упрощенного описания квантовой системы, при котором
во внимание принимается минимальное число уровней. В кванто-
вой электронике очень часто используется двухуровневая идеали-
зация.
Квантовый усилитель в простейшем варианте — это слой сре-
ды, в котором тем или иным способом осуществлена инверсия на-
селенностей на выбранном переходе. Электромагнитная волна при
распространении в такой среде усиливается. Повышение эффек-
тивности использования активной среды обеспечивается замедле-
нием волны или многократным ее пропусканием через активный
элемент. Последнее может быть достигнуто, в частности, помеще-
нием активного элемента в резонатор. Таким образом, резонатор в
квантовой электронике выполняет функцию элемента обратной
связи.
Процесс индуцированного испускания приводит к увеличению
плотности энергии поля внутри активной среды. Различные дисси-
пативные процессы и излучение в окружающее пространство дей-
ствуют в обратном направлении. Когда эти процессы сбалансиро-
ваны или индуцированное излучение преобладает над диссипаци-
ей, рассматриваемое устройство функционирует как генератор.
В отличие от фотонов, испущенных вынужденно, спонтанные
фотоны не согласованы по своим характеристикам с полем в объе-
ме активной среды. Поэтому спонтанные процессы играют роль
Гпава 9. Общие сведения о квантовых генераторах
139
(9.2)
естественного источника шума, которым ограничивается чувстви-
тельность квантовых усилителей и стабильность генераторов. Они
же выполняют функцию спускового механизма при возникновении
автоколебаний.
Активная среда (лазерная среда, рабочее вещество) лазера или
мазера должна обеспечивать необходимый коэффициент усиления
при допустимом расходе энергии на создание инверсии населенно-
стей. Выражается коэффициент усиления формулой
^=^(^-^), (9.1)
в которой <У1Г — сечение квантового перехода, (Na -Nb) — раз-
ность населенностей рабочих уровней. В дальнейшем будет полез-
на формула [1]
a |d |2
,r hc8o)o
выражающая сечение через дипольный момент перехода d, часто-
ту перехода ш0 и ширину спектральной линии 5ta0.
Большое сечение перехода предопределяет малое время жизни
верхнего уровня, что отнюдь не способствует накоплению на нем
молекул. На практике используются обе альтернативные возмож-
ности достижения нужного усиления: как создание большой пере-
населенности метастабильного верхнего уровня, когда сечение пе-
рехода мало, так и ставка на большое сечение при относительно
малой населенности лабильного верхнего уровня. Примерами сред
первого типа служат слаболегированные кристаллы, такие как ру-
бин, алюмоиттриевый гранат и стекла с примесью неодима. К ак-
тивным средам второго типа относятся растворы органических
красителей. Однако в любом случае важна эффективность исполь-
зования энергии накачки, характеризуемая долей возбуждаемых
молекул, которые забрасываются в конечном счете на нужный
энергетический уровень. Отсюда вытекает общее требование к ра-
бочим веществам — наличие высокого квантового выхода.
Поскольку усиление определяется разностью населенностей, а
не населенностью верхнего уровня, преимуществом обладают ак-
тивные среды с быстро очищающимся нижним уровнем. Подобное
возможно, если этот уровень приподнят над основным не менее
чем на къТ . Именно так обстоит дело в кристаллах и стеклах, ак-
тивированных неодимом. Примером противоположного свойства
140
Часть третья. Физикв лазеров
являются среды с самоограниченными переходами, заканчиваю-
щимися на метастабильных уровнях. К их числу принадлежат пары
металлов, кристаллы с примесью эрбия. Вообще говоря, к этому
классу следовало бы отнести и рубин, нижний лазерный уровень
которого является основным, но его очистка совмещается с про-
цессом накачки. Самоограниченность перехода препятствует
функционированию лазера в непрерывном режиме.
9.1.2. Методы создания инверсного распределения населенностей
Начало квантовой электронике положили пучковые молеку-
лярные генераторы сантиметрового диапазона. Термин «мазер»
закрепился за всеми квантовыми приборами микроволнового диа-
пазона, использующими принцип усиления за счет индуцирован-
ного испускания. Попытка ввести в обращение термин «оптиче-
ский мазер» долговременного успеха не имела. После практиче-
ского прорыва в оптический диапазон утвердилась новая аббревиа-
тура «лазер». Она оказалась столь устойчивой, что сегодня мы уже
слышим и читаем о рентгеновских лазерах, гамма-лазерах и даже
лазерах субмиллиметрового диапазона! Привычка возобладала над
смысловой нагрузкой, что не так уж и редко случается с термино-
логией. Тем не менее, принадлежность к определенному диапазону
длин волн является одним из классификационных признаков в
квантовой электронике. Другим признаком служит агрегатное со-
стояние рабочего вещества, а третьим — способ создания в нем
инверсии населенностей.
Короткого комментария заслуживают особенности лазеров на
конденсированных и газообразных активных средах. Отличия обу-
словлены тем, что с повышением плотности частиц усиливается
взаимодействие между ними. Это приводит к увеличению одно-
родного уширения спектральных линий, которые в условиях кон-
денсированной среды значительно шире, чем в газе. Высокая же
подвижность молекул газа проявляется в доплеровском уширении
линий.
Перейдем к способам получения инверсии населенностей. От-
талкиваясь от вида потребляемой энергии, можно выделить лазеры
с оптической, электрической, тепловой и химической накачкой. Но
для полной характеристики системы необходимо указать и тип
процесса в среде, приводящего к инверсии. Таким процессом мо-
жет быть поглощение фотона, соударение молекулы с электроном
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах
141
или молекулой другого сорта, химическая реакция, динамический
процесс типа перемещения молекул между областями с различны-
ми физическими условиями.
Перебирая возможные комбинации из вида потребляемой энер-
гии и характера процесса возбуждения активных молекул, можно
получить полный перечень возможных способов создания инверсии
населенностей. Оптическая накачка является наиболее универсаль-
ным способом получения инверсии, но самым известным примером
здесь служат твердотельные лазеры с оптической накачкой. Полу-
проводниковый лазер являет собой пример лазера с электрической
накачкой. Весьма распространенной является ситуация, когда по-
требляемая энергия трансформируется в лазерное излучение более
сложным образом. Так, возбужденный продукт химической реакции
может выполнять функцию вспомогательного газа, передающего
энергию молекулам рабочего газа в результате столкновений. Такой
лазер естественно называть столкновительным лазером с химиче-
ской накачкой. По тому же принципу, газоразрядные лазеры следует
отнести к столкновительным лазерам с электрической накачкой. К
ним относятся и хорошо известные гелий-неоновые лазеры, равно
как и лазеры на углекислом газе.
Несовпадение времен релаксации для различных состояний
молекулы открывает возможность получения инверсии в процессе
установления термодинамического равновесия после резкого из-
менения температуры среды. Для получения необходимой величи-
ны инверсии при адиабатическом газодинамическом разлете дос-
таточно большое число молекул должно быть изначально переве-
дено в возбужденное состояние. В газодинамическом лазере с теп-
ловой накачкой это достигается предварительным нагревом газа.
Аналогичный результат достигается и при использовании других
средств: оптической накачки, возбуждения в газовом разряде. То-
гда следует говорить о газодинамическом лазере с оптической или
электрической накачкой соответственно.
Хотелось бы обратить внимание, возможно, на самое сущест-
венное с точки зрения динамики лазеров обстоятельство. Все про-
цессы получения инверсии являются некогерентными. Единствен-
ное исключение составляет оптическая накачка, осуществляемая с
помощью лазерного источника. Специфика состоит в том, что дей-
ствие когерентной накачки может приводить не только к измене-
нию распределения населенностей, но и к более сложным
(многофотонным) процессам в активной среде с участием как
142
Часть третья. Физика лазеров
фотонным) процессам в активной среде с участием как накачки,
так и генерируемого поля.
9.1.3. Усиление в квантовых системах без инверсии населенностей
Выше утверждалось, что усиление может быть достигнуто
только в неравновесных средах. И это действительно так. Однако
набор переменных, характеризующих состояние среды, не ограни-
чивается населенностями энергетических уровней, а инверсия на-
селенностей не является единственным типом неравновесности,
делающим среду усиливающей.
Проще всего проиллюстрировать сказанное на примере пара-
магнетика — среды, атомы которой являются микромагнитами (см.
разд. 6.2). Энергетические уровни элементарного магнитного ди-
поля, помещенного в постоянное магнитное поле, соответствуют
двум ориентациям диполя: по направлению вектора напряженно-
сти поля (нижний уровень) и против него (верхний уровень). В со-
стоянии теплового равновесия большинство диполей ориентиру-
ются вдоль поля, занимая, тем самым, нижний уровень. Другими
словами, результирующий вектор намагниченности среды направ-
лен по магнитному полю. Инверсия населенностей эквивалентна
переориентации вектора намагниченности. Но, вообще говоря,
угол между векторами намагниченности среды и магнитного поля
может принимать любые значения, а не только Ойл. Будучи при-
нудительно отклоненным на произвольный угол, вектор намагни-
ченности начинает прецессировать относительно магнитного поля
с частотой парамагнитного резонанса, пропорциональной разности
энергий противоположно ориентированных магнитных диполей.
Поставить же в соответствие прецессирующему диполю какой-то
один энергетический уровень невозможно. Здесь явно присутству-
ет новая степень свободы, представленная поперечной компонен-
той намагниченности. Ясно и то, что наличие прецессии уже само
по себе означает неравновесность среды, но совсем иного рода,
чем инверсия населенностей. Создать ее можно, наложив на пара-
магнетик перпендикулярно к постоянному полю переменное маг-
нитное поле, имеющее частоту квантового перехода.
К произвольной квантовой системе применимо все сказанное о
парамагнетике, кроме образа вектора намагниченности в реальной
трехмерном пространстве (см. гл. 8). Будучи помещенной в резо-
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах
143
нансное электромагнитное поле, квантовая система может быть
переведена в состояние, аналогичное прецессии намагниченности,
не характеризующееся полностью населенностями энергетических
уровней. В таком случае говорят о когерентной суперпозиции со-
стояний с ненулевыми значениями недиагональных элементов
матрицы плотности. Пребывая в суперпозиционном состоянии,
двухуровневая система способна излучать на частоте перехода,
после того как возбуждающее поле выключено (когерентное спон-
танное излучение). Проку от такого генератора немного: энергия
из него извлекается в том же виде, в каком и затрачивается, но в
заведомо меньшем количестве.
Усложним ситуацию, обратившись к трехуровневой системе,
которая получается из двухуровневой, если, например, расщепить
нижний уровень на два близких
подуровня (рис. 9.1). Когерент-
ная суперпозиция может быть
создана между этими подуров-
нями, 1 и 2. Поскольку
(У21 « ш32 и со21 « <д31, говорят
о низкочастотной когерентно-
сти. Такого рода неравновес-
Рис. 9.1. Трехуровневая Л-схема:
монохроматические поля Е13 и
E2i создают когерентную супер-
позицию состояний 1 и 2, перехо-
ды из которой на уровень 3 под
действием этих полей оказывают-
ся полностью подавленными. Это
создает предпосылки для лазер-
ного действия без инверсии насе-
ленностей.
ность кардинально меняет
свойства всей трехуровневой
системы, включая вероятности
переходов между нижними и
верхним уровнями. Атомы, на-
ходящиеся в определенном су-
перпозиционном состоянии по-
дуровней теряют способность
переходить на верхний уровень.
Так же как при дифракции света
на двух щелях, когда некоторые
области пространства благодаря интерференции остаются не осве-
щенными, так и при наличии двух путей перехода на верхний уро-
вень (1 —> 3 и 2 —> 3), последний остается пустым, невзирая на на-
личие резонансного поля. Это значит, что поглощение на частотах
оптических переходов 1—>3 и 2—>3 в трехуровневой Л-схеме
(рис. 9.1) отсутствует. Но если находящиеся на нижних уровнях
144
Часть третья. Физика лазеров
атомы не поглощают, то даже совсем небольшой населенности
верхнего уровня достаточно для того, чтобы трехуровневая среда
стала усиливающей. Достоинство метода в том и заключается, что
возбуждение низкочастотной когерентности приводит к ослабле-
нию требований населенности верхнего уровня благодаря специ-
альному способу внесения неравновесности в атомную систему.
Именно эта идея была высказана и обоснована в 1988 г.1.
Вряд ли можно рассчитывать на то, что лазеры без инверсии
населенностей составят в прикладной сфере конкуренцию лазерам,
использующим метод инверсии населенностей. Но в некоторых
случаях усиление без инверсии населенностей может представлять
практический интерес. И это именно те ситуации, в которых осу-
ществление инверсии наталкивается на принципиальные трудно-
сти. В первую очередь сказанное касается проблемы создания ге-
нераторов и усилителей в диапазоне очень коротких длин волн:
вакуумного ультрафиолета, рентгеновского и гамма-излучения2.
9.2. Нестационарные процессы в лазерах
Помимо трех линий классификации лазеров, обсуждавшихся
выше, существует еще одна — по динамическим характеристикам.
9.2.1. Динамические свойства лазера и их связь с релаксационными
параметрами
Вынужденный переход под действием электромагнитного по-
ля не является единственной причиной изменения состояния сис-
темы. Время жизни возбужденного состояния имеет естественный
предел, определяемый спонтанным излучательным переходом в
какое-либо состояние с меньшей энергией. Но существуют и бе-
зызлучательные переходы, вызываемые соударениями молекул,
взаимодействием атома с колебаниями решетки и т. п. Безызлуча-
тельные процессы и спонтанное излучение можно рассматривать
1 Комаровская О. А., Ханин Я. И. // Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 48. С. 581. Анало-
гичные предложения были независимо сделаны и опубликованы чуть позже (Har-
ris S. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1033; Scully M. O., Zhu S. Y., Gavrielides A. //
Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 2813).
2 Именно в этом диапазоне созданию инверсии противодействует высокая ско-
рость спонтанной релаксации вследствие кубичной зависимости последней от
частоты (см., например, формулу (3.32)). — Прим. ред.
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 145
как результат взаимодействия ограниченного числа выделенных
степеней свободы (динамической системы) со всеми остальными
(диссипативной системой или термостатом). Эти вопросы мы под-
робно рассматривали в гл. 5.
Релаксационные процессы решающим образом сказываются на
динамических свойствах лазера, так как от них зависит способ-
ность той или иной степени свободы реагировать на изменившую-
ся ситуацию. Двухуровневая среда характеризуется двумя релак-
сационными параметрами: скоростью релаксации разности насе-
ленностей Уц и скоростью релаксации поляризации у±, которая
совпадает с полушириной спектральной линии у± = <5щ0/2. Часто
используются и обратные величины — времена продольной
(7] =1/уц) и поперечной (Т2 = 1/у±) релаксации1.
Если двухуровневая идеализация среды недостаточна, в опи-
сание вовлекаются релаксационные параметры других переходов.
Для полной характеристики лазера в целом к ним следует присое-
динить определяемое добротностью резонатора Qe время жизни
фотона в нем Тс = Qc /<1)с. Можно, по аналогии со скоростями ре-
лаксации среды, пользоваться параметром к = \12ТС, который сов-
падает с полушириной энергетической полосы пропускания резо-
натора <5сос / 2.
Когда речь идет о многомодовом лазере, набор временных па-
раметров следует пополнить характерным периодом межмодовых
биений То =1/А(У, который применительно к системе продольных
мод равен времени полного обхода резонатора световой волной.
Будем называть процессы в лазере медленными или быстрыми
и, соответственно, динамику низкочастотной или высокочастотной
в зависимости от того, укладывается или не укладывается спектр
процесса в полосу резонатора. Быстрые процессы могут быть обу-
словлены, разумеется, только интерференцией мод. Характер мед-
ленных процессов зависит от соотношения между релаксационны-
ми параметрами у^ у± и к .
1 Терминология и символика пришли из магнитного резонанса, где аналогами раз-
ности населенностей и поляризации являются продольная и поперечная по отноше-
нию к статическому магнитному полю компоненты намагниченности (см. разд. 6.2).
10- муз
146
Часть третья. Физика лвзерое
Чтобы сделать последующее изложение более наглядным, об-
ратимся, забегая вперед, к одной из основных моделей динамиче-
ской теории лазера — системе уравнений Лоренца — Хакена:
^ = к(Р-£),
dz
^ = Г1(ПЕ-Р),
at
^- = Ytl(A-n-PE). (9.3)
Переменными системы уравнений (9.3) служат: амплитуда
электрического поля волны Е, амплитуда поляризации активной
среды Р и разность населенностей рабочих уровней (инверсия) п.
С целью упрощения записи все эти переменные нормированы. На-
бор коэффициентов системы включает, помимо трех релаксацион-
ных констант, также и параметр накачки А. Модель Лоренца—
Хакена соответствует одномодовому лазеру бегущей волны с
двухуровневой однородно уширенной активной средой.
Мыслимы четыре варианта соотношений между релаксацион-
ными коэффициентами модели Лоренца—Хакена, которым отве-
чают четыре динамических класса лазеров [2].
Класс Ai k«y^,Y1- (9.4)
Активная среда безынерционно следует за всеми изменениями
поля. Материальные переменные — инверсию и поляризацию —
удается адиабатически исключить из системы уравнений лазера1.
Фазовое пространство одномерно, и особенности в нем могут быть
представлены только точками. Переходные процессы апериодичны.
Класс В: ух » к » уй. (9.5)
Безынерционно за полем следует только поляризация, которая
единственно и исключается из числа переменных. Фазовое про-
1 Идеология и процедура адиабатического исключения переменных будет обсуж-
дена в разд. 11.1.2, но, забегая вперед, сразу отметим, что соотношения между
релаксационными константами дают лишь необходимые условия адиабатического
исключения тех или иных переменных. Вообще же говоря, следует принимать во
внимание также скорость индуцированных переходов, которая не должна превы-
шать самую большую из релаксационных констант. Последнее условие ограничи-
вает сверху интенсивность поля, взаимодействующего с активной средой, а зна-
чит, и параметр накачки А.
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 147
странство двумерно и допускает существование особых траекто-
рий (предельных циклов) наряду с особыми точками. Переходные
процессы имеют преимущественно колебательный характер.
Класс С: к ~ у± > у|(. (9.6)
Здесь все переменные равноправны, а наличие более двух из-
мерений означает, что фазовое пространство может содержать лю-
бые притягивающие образования, включая странные аттракторы.
Системы, удовлетворяющие условию (9.4), иногда называют
адиабатическими, а удовлетворяющие условию (9.6), — неадиаба-
тическими. Однако, следуя Арекки, часто говорят о лазерах класса
А, класса В и класса С. Но для полноты картины эту группу следу-
ет пополнить еще одним классом.
Класс D: к » Уц, у± . (9.7)
В этом случае безынерционным является лишь поле. Оно сле-
дит за состоянием активной среды и по этой причине может быть
исключено из числа переменных.
Основные данные, характеризующие указанные четыре класса
лазеров, приведены ниже в таблице.
Динамический класс А В С D
Соотношения между скоростями релаксации Ух, Уц »к у1»к»у, Yl~k К»у±, Уц
Адиабатически исклю- чаемые переменные Р, п р — Е
Размерность модели 1 2 3 2
Когда речь идет о многомодовых лазерах, на первый план вы-
ходит и межмодовый частотный интервал Дш. Достаточно большая
величина Дел по сравнению с Уц и к означает, что населенности
рабочих уровней не успевают реагировать на биения, и это оправ-
дывает использование простых балансных моделей. Если же часто-
ты мод близки, приходится принимать во внимание осцилляции на-
селенностей с частотами биений, что приводит к более сложным
моделям лазеров с фазочувствительным взаимодействием.
9.2.2. Распространенные типы лазеров
Класс D является наименее населенным из указанных классов.
В него попадают лишь пучковые мазеры, среди которых более
ю»
148
Часть третья. Физика лазеров
других известны аммиачный и водородный. Рабочая длина волны
1,25 см соответствует самой сильной линии инверсионного спектра
аммиака. Сортировка молекул по состояниям осуществляется при
пропускании их через неоднородное электрическое поле. Сорти-
рующая система располагается в пространстве между источником
молекулярного пучка и резонатором мазера.
Вероятность спонтанного перехода, пропорциональная Л"3, в
сантиметровом диапазоне ничтожно мала. Столкновения молекул
пучка, движущегося в вакууме, также весьма редки. Поэтому
инерционные свойства активной среды определяются в данном
случае временем пролета молекул через область взаимодействия с
полем излучения, т. е. через резонатор мазера. Оно составляет по
порядку величины КГ4 с, что заметно больше времени жизни фо-
тона в микроволновом резонаторе, которое не превышает К)-6 с.
Тем самым обеспечивается выполнение неравенства (9.7).
В последнее время обсуждается вопрос о возможности созда-
ния лазеров, работающих в режиме сверхизлучения. Здесь необхо-
димо выполнение условия к » у±, что означает формальную при-
надлежность к классу D. Однако принципиальна и экстремально
высокая вероятность радиационных переходов, которая должна
превышать скорости всех диссипационных процессов, включая к .
Класс С. Подразумеваемое соотношением (9.6) примерное ра-
венство полосы резонатора и однородной ширины линии не реали-
зуется в подавляющем большинстве существующих лазеров. Ис-
пользуя формулу
Sco = —= ,
с Qc ь
получаем полосу Sa)c / 2л = 5 МГц для типичных значений пара-
метров резонатора: длина L - 100 см и потери за проход П/ои = 0,1.
На столь малую однородную ширину спектральных линий можно
рассчитывать только в разреженных газах. Но для обеспечения ла-
зерного действия усиление в этих линиях должно быть достаточно
большим. Таковы причины, по которым класс С долгое время чис-
лился пустым. Первыми к нему были отнесены некоторые атомар-
ные газоразрядные лазеры.
Выдающейся с точки зрения достижимого усиления является
линия 3,51 мкм ксенона. Ее естественная ширина составляет
Гпава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 149
4,6 МГц, что соответствует временам жизни атомных уровней
ta = 1,2-КГ6 с и tb = 3,3 10~6. Спонтанный распад верхнего лазер-
ного уровня идет преимущественно с переходом на нижний лазер-
ный уровень. Дополнительное уширение вследствие столкновений
атомов ксенона между собой (11,5 МГц/Topp) при парциальном
давлении в десятки миллиторр пренебрежимо мало. С целью кон-
тролируемого воздействия на однородную ширину линии в раз-
рядную трубку вводят гелий, обеспечивающий уширение
18,5 МГц/Topp. Выдержать соотношение (9.6) в конечном диапа-
зоне давлений удается, жертвуя добротностью резонатора, что тре-
бует определенного запаса по усилению.
Ситуация с лазерными переходами схожа для разных благо-
родных газов. Отметим, что оба лазерных уровня расположены
достаточно высоко над основным уровнем. Вследствие того что
процесс возбуждения не является селективным, на верхние уровни
попадают атомы с различными скоростями движения. Этим опре-
деляется неоднородный характер уширения линий усиления.
Доплеровская ширина линии 3,51 мкм в Хе составляет 110 МГц.
Столкновения атомов имеют следствием не только дефазиров-
ку их взаимодействия с полем излучения, но также и изменение
скорости движения. Если первый фактор проявляется через однород-
ное уширение, то второй — через спектральную кросс-релаксацию.
Скорость кросс-релаксационного процесса оценивается в 10-6 с-1.
Соотношение (9.6) удается реализовать в He-Ne лазере на дли-
не волны 3,39 мкм, хотя в силу меньшего, чем в линии 3,51 мкм
Хе, усиления это достигается труднее.
В класс С попадают также молекулярные газовые лазеры дале-
кого ИК-диапазона, получившие название FIR-лазеров (FIR — аб-
бревиатура от Far Infrared). Список активных сред таких лазеров
включает НСООН, CH3F, CH3OD, CH2F2, но на первое место в нем
претендует аммиак NH3.
Оптическая накачка аммиачного FIR-лазера осуществляется по
колебательному переходу. Усиление достигается при этом на вра-
щательных переходах. Если не обращать внимания на тонкую
структуру, то налицо трехуровневая схема (рис. 9.2).
Длина генерируемой FIR-лазером волны намного превосходит
Длину волны накачки. Например, генерационному вращательному
переходу aR{l,T) в молекуле l4NH3 соответствует Л = 81 мкм, а для
150
Часть третья. Физика лазеров
накачки используется колебательный переход о(2(8,7) с
Л = 10,8 мкм, согласованный с излучением К2О-лазера'. В 15NH3-
лазере различие еще больше: генерационные переходы имеют дли-
ны волн 374 мкм (линия а/?(2,0)) и 153 мкм (линия а/?(4,4)), а для
накачки используются СО2-лазеры.
Рис. 9.2. Диаграмма энергетических
уровней молекулы аммиака (а) и ]
трехуровневая схема, поясняющая I
принцип действия молекулярного (
FIR-лазера с лазерной накачкой (б).
Применение монохроматической накачки в виде бегущей вол-
ны позволяет осуществить селективное возбуждение молекул с
определенным значением проекции скорости на волновой вектор.
Это избавляет линию усиления от доплеровского уширения. Одно-
родное же уширение на столь длинных волнах целиком определя-
ется соударениями молекул. Ширина линии в 1 МГц, реализую-
щаяся в условиях эксперимента, позволяет выдержать соотноше-
ние (9.6) даже в относительно добротном резонаторе.
Способность обеспечивать очень большое усиление в узких
однородных линиях при лазерной накачке присуща не только вра-
щательным переходам в избранных молекулах. Подобный эффект
может быть достигнут также на колебательных и электронных пе-
реходах, а общее число таких переходов в различных газах оцени-
вается в 106.
Класс В представляют твердотельные лазеры на слаболегиро-
ванных кристаллах и стеклах (рубин, материалы с добавлением
неодима, эрбия и других редкоземельных элементов), волоконные
полупроводниковые и некоторые молекулярные газовые лазеры
1 Здесь Q означает принадлежность перехода О-ветви (HJ = 0), а —
антисимметричность волновой функции, в скобках даны вращательные квантовые
числа J и К нижнего уровня.
Гпава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 151
низкого давления. Среди последних наиболее известен лазер на уг-
лекислом газе.
Рубин (Сг3+:А12Оз) не менее известен в квантовой электронике,
чем аммиак. На переходах между спиновыми уровнями ионов
хрома работают парамагнитные мазеры. На рубине загенерировал
первый в истории лазер. Система энергетических уровней примес-
ных ионов Сг3+ в корунде изображена на рис. 9.3. Если абстрагиро-
ваться от второстепенных подробностей, дело сводится к трех-
уровневой схеме.
Рис. 9.3. Диаграмма энерге-
тических уровней иона Cru
в рубине (а) и схема, пояс-
няющая принцип действия
трехуровневого твердотель-
ного лазера с оптической
накачкой (б). В
И', 103 ст’1
В спектре люминесценции рубина выделяются две узкие ин-
тенсивные линии, сопоставляемые переходам из метастабильного
2Е состояния в основное состояние 4А2. При температуре 300 К
максимум /?1-линии приходится на Л = 0,6943 мкм, а максимум
/?2*линии — на Л = 0,6927 мкм. Охлаждение кристалла сдвигает R-
линии в коротковолновую сторону. Возбуждение метастабильных
Е-уровней осуществляется через широкие зоны 4р! и 4F2, связан-
ные с 2Е безызлучательными переходами. Электроны из зоны 4F2
через время г32=5 1О-8 с переходят на уровни 2Е или через
^з, =2 -10-7 с спонтанно излучают, возвращаясь в основное состоя-
ние. Спонтанный распад состояния 2Е характеризуется постоянной
времени Г21 = ЗЮ“3 с.
Населенности подуровней Е и 2А устанавливаются в соот-
ветствии с законом Больцмана. Поскольку расстояние между поду-
ровнями равно 29 см-1, разница в их населенностях составляет 15%
при 300 К. Время релаксации между Е и 2 А не превышает 10’7 с.
152 Часть третья. Физика лазеров
По этой причине генерация на длине волны /?2-линии обычно от-
сутствует: процесс генерации на /?|-линии делает населенность
2Е -уровня ниже пороговой.
Ширина /?1-линии зависит от степени легирования рубина. В
розовом рубине с концентрацией Сг3+ порядка 1019 см“3 при 300 К
ширина близка к 10 см’1 или 3-10" Гц. При охлаждении кристалла
линия сужается. Как известно, кристаллическое поле корунда рас-
щепляет основное состояние Сг3+ на две компоненты с расстояни-
ем 0,38 см-1 между ними. Это приводит к раздвоению /?1-линии
уже при 77 К, когда ширина отдельной компоненты равна 0,3 см-1.
Основной вклад в ширину линии при высоких температурах дают
тепловые колебания решетки, и линию в этом случае можно счи-
тать однородно уширенной. Сечение перехода, отвечающего
/?1-линии, составляет сг,г = 10~2° см2.
Основным недостатком трехуровневой схемы рубина является
то, что лазерный переход опирается на основное состояние. Поло-
вина всех ионов хрома должна быть заброшена наверх только для
того, чтобы уравнять населенности. Лишь избыток возбужденных
ионов создает генерационный эффект. От подобного недостатка
свободны активные среды, работающие по четырехуровневой схе-
ме. К их числу принадлежат кристаллы и стекла, активированные
неодимом. Оптические спектры ионов редкоземельных элементов
обусловлены переходами в пределах незаполненных внутренних
оболочек. Поэтому окружение редкоземельного иона относительно
слабо сказывается на этих спектрах. При внедрении одного и того
же иона в разные матрицы тонкая структура линий может варьиро-
ваться, но положение линий заметных изменений не претерпевает.
Энергетическая диаграмма иона Nd3+ представлена на рис. 9.4.
Уровень 4Fj/2 является метастабильным. Спонтанные переходы с
этого уровня на уровни 41 проявляются как четыре линии люми-
несценции. Наиболее интенсивная из них, 4F3/2 —> 4111/2, имеет
максимум вблизи Л = 1,06 мкм. Уровень 41ц/2 приподнят над ос-
новным примерно на 2000 см-1, что больше квТ значительно1. Эта
линия наиболее благоприятна для лазерного действия. Она, как,
впрочем, и другие линии, обладает структурой, обязанной расщеп-
1 Температуре 300 К отвечает kBT!h порядка 200 см '.
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах
153
лению начального и конечного состояний электрическим полем
ионов окружающей матрицы. Метастабильный уровень 4F3/2 рас-
щепляется на два, а 41ц/2 — на шесть штарковских подуровней. Ес-
ли не использовать технику перестраиваемых резонаторов, в гене-
рацию вовлекается только наиболее интенсивная из компонент
этой структуры. В случае алюмоиттриевого граната с неодимом
при 300 К эта компонента характеризуется следующими данными:
Л = 1,06мкм, <5v0=6cm'!, 7J = 2• 10"4 с, ст,г =10’18 см2. Факти-
чески линия усиления 1,06 мкм состоит из двух близких компо-
нент, сопоставляемых разным парам штарковских подуровней. По-
этому, строго говоря, ее нельзя считать спектрально однородной.
Рис. 9.4. Диаграмма
энергетических уровней
иона Nd3+ (а) и схема,
поясняющая принцип
действия четырехуровне-
вого твердотельного ла-
зера с оптической накач-
кой (б).
24-
16-
8-
0 -
Щ 103cm'*
: ±l4/is/*
%/2
а
В стекле упорядоченная структура отсутствует, и внедренные
в него ионы испытывают неодинаковое воздействие со стороны
окружения. Благодаря этому частоты штарковских компонент от
иона к иону несколько варьируются и линия усиления оказывается
неоднородно уширенной. Это утверждение справедливо и для оп-
тических волоконных световодов, матрицей которых служит стек-
ло. В распространенном лазерном материале — силикатном стекле
— переход 4F3/2 —> 4111/2 характеризуется сечением alr = 1О'20 см2,
временем жизни метастабильного уровня 7] = 2-104 с и шириной
неоднородной линии люминесценции <5vinb =300 см'1. Вклад одно-
родных механизмов уширения на порядок меньше.
Классу В принадлежат и полупроводниковые лазеры. Основное
их отличие от лазеров других типов состоит в том, что вместо уз-
ких энергетических уровней отдельных атомов приходится иметь
154
Часть третья. Физика лазеров
дело с широкими энергетическими зонами кристалла. Но и в этих
условиях оказывается возможной инверсия населенностей, доста-
точная для лазерного действия. Этого достаточно сложно добиться
внутри одной зоны, поскольку велика скорость внутризонной
релаксации, и обычно игра идет на межзонных переходах.
Диапазон рабочих частот лазера регламентируется шириной за-
прещенной зоны.
Оптические свойства полупроводников определяются взаим-
ным расположением и населенностью двух верхних энергетиче-
ских зон. Электроны подчиняются статистике Ферми—Дирака,
согласно которой вероятность заполнения уровня с энергией W
дается выражением
l + expKW-M'yJ/V] '
Если кристалл находится в состоянии термодинамического
равновесия, то Wr = WFv = WF и имеется лишь один энергетический
уровень W = WF, вероятность заполнения которого равна 0,5. Он
называется уровнем Ферми. В неравновесных состояниях WFv и WFc
не совпадают, и в этом случае говорят о двух квазиуровнях Ферми.
Они полностью характеризуют квазиравновесные функции рас-
пределения в соответствующих зонах. Возможность столь просто-
го описания неравновесных состояний объясняется быстрым уста-
новлением квазиравновесия в пределах зоны.
Если накачка отсутствует или слаба, полупроводник очень
сильно поглощает излучение на частотах, превышающих ширину
запрещенной зоны. Условие инверсии населенностей в полупро-
воднике выглядит как WFc - WFv > Wo, где IVO — ширина запрещен-
ной зоны. Оно означает, что квазиуровни Ферми располагаются
внутри соответствующих зон и, следовательно, состояния вблизи
дна зоны проводимости заполнены электронами, а вблизи потолка
валентной зоны — свободны.
Известен целый ряд способов достижения инверсии в полу-
проводниках: оптическая накачка, в том числе двухфотонная, воз-
буждение пучком быстрых электронов, лавинный пробой под
влиянием приложенного электрического поля и инжекция носите-
лей через р — и-переход. Наибольшее распространение в силу
простоты и эффективности получил последний способ.
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 155
В собственном полупроводнике, находящемся в тепловом рав-
новесии, уровень Ферми располагается точно в центре запрещен-
ной зоны (рис. 9.5, а). При наличии донорной примеси (полупро-
водник «-типа) уровень Ферми лежит ближе к зоне проводимости,
а в случае вырождения — внутри этой зоны. Аналогичный сдвиг,
но уже в сторону валентной зоны, дает акцепторная примесь (по-
лупроводник р-типа). Можно легировать неодинаковым образом
разные участки одного кристалла и сделать границу между облас-
тями п- и р-типов весьма резкой. Пограничный слой носит назва-
ние р — «-перехода.
Рис. 9.5. Энергетическая диаграмма и положение уровней
Ферми собственного полупроводника (а), кристалла ср — п-
переходом в отсутствие напряжения (б) и при наличии напряже-
ния, приложенного в прямом направлении (в). В заштрихован-
ных частях зон электронные уровни заполнены.
Положение уровня Ферми одинаково в разных частях неодно-
родно легированного кристалла, если к нему не приложено элек-
трической поле. Энергетическая диаграмма, отвечающая этому
случаю, представлена на рис. 9.5, б. Проникновению носителей
через р — «-переход препятствует потенциальный барьер. Напря-
жение, приложенное к переходу в прямом направлении (от элек-
тронной части к дырочной), снижает барьер (рис. 9.5, в), благодаря
чему электроны получают возможность проникать в p-область, а
дырки — в «-область. По обе стороны перехода образуются слои с
повышенной концентрацией неосновных носителей. Толщина этих
активных слоев не превышает нескольких микрометров. Диффузия
носителей на большие расстояния от границы невозможна вследст-
вие рекомбинационных процессов.
156
Часть третья. Физика лазеров
В лазерах на арсениде галлия основную роль играет инжекция
электронов в p-область. Здесь, около границы р— n-перехода, и
создается инверсная населенность. Зеркала резонатора располага-
ются перпендикулярно плоскости р — «-перехода. Часто ими слу-
жат две противоположные грани лазерного кристалла. В силу
большого показателя преломления полупроводника френелевское
отражение составляет десятки процентов, так что добротность ре-
зонатора достаточно велика и без отражающих покрытий. К этому
следует добавить, что вследствие высокой плотности состояний в
зонах коэффициент усиления при инверсии может достигать чрез-
вычайно больших величин.
Большое значение для работы инжекционного лазера в обсуж-
даемой простейшей конфигурации имеет то обстоятельство, что в
области р — «-перехода показатель преломления несколько выше,
чем в остальной части кристалла. Такой профиль способствует ло-
кализации поля излучения вблизи плоскости р — « перехода.
Только здесь и имеется усиление, тогда как вне активной области
поглощение на рабочей длине волны очень велико.
В описанном полупроводниковом лазере с гомоструктурой все
свойства по обе стороны р — «-перехода одинаковы и поэтому
волноводные свойства выражены слабо, что означает большие по-
тери за счет сильного поглощения света в соседних с активным
слоем областях полупроводника. Помимо этого имеется и другой
недостаток: часть носителей вследствие пространственной диффу-
зии уходит за пределы активной области, что понижает коэффици-
ент усиления. Указанных недостатков можно избежать, перейдя от
гомоструктуры к гетероструктуре. В этом случае слои, примы-
кающие к р — «-переходу, отличаются по своему составу, а зна-
чит, по электрическим и оптическим свойствам от активной облас-
ти. Помимо того что скачок диэлектрической проницаемости на
границах активного слоя способствует локализации поля, обра-
зующийся потенциальный барьер препятствует выходу инжекти-
рованных электронов за пределы этого слоя. Кроме того, умень-
шаются потери вне активного слоя, если ширина запрещенной зо-
ны там больше, чем внутри него.
Активный слой лазерного диода, к которому с обеих сторон
примыкают слои другого химического состава, представляет собой
потенциальную яму. При ширине ямы, сопоставимой с длиной
волны де Бройля электрона, расстояние между энергетическими
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 157
уровнями (уровнями пространственного квантования) превышает
ширину самих уровней, что, разумеется, сказывается на оптиче-
ских свойствах системы, а значит и на параметрах лазера. Устрой-
ства такого типа получили название квантово-размерных лазеров
или полупроводниковых лазеров с квантовыми ямами. В чем же
заключаются их преимущества перед традиционными лазерными
диодами? Одно из них даже не связано с эффектами пространст-
венного квантования. Простое уменьшение толщины активного
слоя приводит к пропорциональному уменьшению соответствую-
щего просветлению полупроводника тока инжекции, а значит, и
порогового тока лазера. Дальнейшее снижение требуемого тока
является следствием качественного изменения функции распреде-
ления плотности энергетических состояний, которая приобретает
ступенчатую форму. Вблизи дна потенциальной ямы уровней по-
просту нет, и это избавляет от необходимости забрасывать в зону
проводимости большое количество электронов только для того,
чтобы достигнуть нужной локализации квазнуровня Ферми.
Очень важным фактором, влияющим на пороговые характери-
стики и энергетические возможности лазера, является добротность
резонатора. Снижение добротности при уменьшении длины резо-
натора можно скомпенсировать, увеличивая коэффициент отраже-
ния зеркал. Но этого трудно достигнуть в рамках традиционной
геометрии, предполагающей распространение генерируемого из-
лучения в плоскости активного слоя с выходом через перпендику-
лярные этому слою торцы кристалла. Качественный скачок про-
изошел с переходом к конфигурации, в которой направление гене-
рации перпендикулярно активному слою. Это позволяет резко
уменьшить боковые размеры резонатора и наращивать многослой-
ные диэлектрические зеркала, используя единую для всей структу-
ры лазера технологию послойного эпитаксиального роста.
Приборы последнего типа получили название поверхностно
излучающих лазеров с вертикальным резонатором (Vertical Cavity
Surface Emitting Lasers, что послужило основой для аббревиатуры
VCSELs).
Наглядное представление о структуре последнего типа дает
рис. 9.6. Очень важной особенностью такого лазера является от-
сутствие выделенного направления поляризации генерируемого
излучения.
158
Часть третья. Физика лазерое
Рис. 9.6. Конструкция кванто-
во-размерного полупроводни-
кового поверхностно излу-
чающего лазера с вертикаль-
ным резонатором, в которой
малый объем резонатора соче-
тается с высоким коэффициен-
том отражения зеркал, что
обеспечивает очень низкий
порог генерации:
1 — верхний контакт, 2 — область с
неупорядоченной структурой, 3 —
распределенный брэгговский отража-
тель р-типа, 4 — нитрид кремния, 5 —
многослойная активная область, 6 —
распределенный брэгговский отража-
тель zi-типа, 7 — подложка из GaAs,
8 — нижний контакт, 9 — выходное
излучение.
Очень малая длина резонатора, не превышающая сотых долей
сантиметра, отличает полупроводниковые лазеры от квантовых
генераторов других типов. По этой причине Д«У ~ 1012 с-1, а ско-
рость затухания поля к ~ 1011 —1012 с-1. Что касается скорости ус-
тановления квазиравновесного распределения носителей внутри
зон, то оно существенно превышает скорость межзонной релакса-
ции. Характерное время первого из указанных процессов составля-
ет по порядку величины 10-13 с. Это и есть время поперечной ре-
лаксации Т2. Внутризонная релаксация вызывается соударениями
между электронами. Механизмом межзонной релаксации является
электрон-дырочная спонтанная рекомбинация. Постоянная време-
ни этого процесса зависит от концентрации носителей, но обычно
она не бывает меньше 10-9 с. Постоянная времени совпадает со
временем жизни
Лазеры на растворах органических красителей относятся к
классу А. Характерная зоноподобная структура энергетического
спектра органических молекул изображена на рис. 9.7. Благодаря
четному числу электронов основное состояние молекулы является
синглетным (спины попарно антипараллельны). Основной синглет
5(0) и первый возбужденный синглет S(]) играют главную роль в
работе лазера. Существенное влияние на свойства среды оказыва-
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах
159
ют и триплетные состояния, соответствующие параллельной ори-
ентации спинов оптических электронов.
Интеркомбинационные перехо-
ды между уровнями разной мульти-
плетности правилами отбора запре-
щены. Поэтому оптическая накачка
может перевести молекулу из 5(0)
только в 5(|). Будь эти состояния
чисто электронными, усиление в
среде органических молекул было бы
невозможным. Однако каждый из
электронных уровней обладает
сложной структурой, обусловленной
колебаниями молекулы и ее враще-
нием. Благодаря этому реализуется
один из вариантов четырехуровневой
схемы.
Расстояния между колебатель-
ными подуровнями энергетического
Рис. 9.7. Диаграмма энергети-
ческих уровней лазера на ор-
ганическом красителе. Корот-
кими линиями изображена
колебательно-вращательная
структура.
спектра органических молекул варь-
ируются в пределах нескольких тысяч обратных сантиметров.
Вращательная структура имеет шаг дискретности порядка
10—100 см . При температуре 300 К населен лишь основной уро-
вень 5(00). Под действием света накачки молекула переходит на
один из колебательных подуровней 5(lv) первого возбужденного
синглета. После этого через время, малое по сравнению со време-
нем жизни состояния 5(1), молекула оказывается на нижнем коле-
бательном подуровне 5(|0), совершив безызлучательный переход
5(lv) —> S(10). Здесь молекула остается в течение КГ8—КГ9 с, а затем
возвращается на нижний синглет по прямому пути или через три-
плетное состояние. Линию поглощения формируют переходы
5(00) ~* S(lv), тогда как линию люминесценции — переходы
5(10) ~> 5(0v). Последняя сдвинута в длинноволновую сторону отно-
сительно первой и частично перекрывается с нею (стоксов сдвиг).
160
Часть третья. Физика лазеров
Время жизни состояния 5(|) мало, а значит, относительно не-
велика и его населенность в присутствии накачки. Она, тем не ме-
нее, больше населенности возбужденных колебательных подуров-
ней основного состояния. Таким образом, на целом ряде электрон-
но-колебательных переходов создается инверсия, которой сопутст-
вует усиление.
Часть молекул из состояния S(1) безызлучательным путем по-
падает на триплетный уровень Т(1). Переход Т(1) —> 5(0) с излучени-
ем в дипольном приближении запрещен, и в отсутствие других
возможностей состояние Г(1) является метастабильным. Его суще-
ствование мешает работе лазера во многих аспектах. В частности,
индуцированные переходы T(l} —> 7J2) вносят дополнительное по-
глощение на рабочей длине волны лазера (так называемое три-
плетное поглощение). Скорость накопления молекул в триплетном
состоянии определяется вероятностью интеркомбинационного пе-
рехода 5(|) —> Т(1), которая составляет 107—109 с-1. Благодаря этому
при накачке гигантским импульсом излучения твердотельного ла-
зера триплетное поглощение не ощущается. Но применение в каче-
стве источника накачки импульсных газоразрядных ламп возмож-
но лишь при условии эффективной очистки нижнего триплета, ко-
торое может быть достигнуто подбором специальной примеси.
Если проблема триплетного поглощения решена, на первый
план выходят потери, обусловленные пространственно неоднород-
ным нагревом среды в процессе накачки. Возникающих в кювете с
раствором красителя градиентов показателя преломления вполне
достаточно для того, чтобы заметно исказить геометрию резонато-
ра и даже сделать его конфигурацию неустойчивой. Этот вид наве-
денных потерь является основным препятствием в осуществлении
непрерывной генерации в лазерах на растворах красителей. Непре-
рывный режим реализован в случае активной среды (раствора ро-
дамина 6Ж), имеющей вид свободно падающей струи при накачке
излучением аргонового ионного лазера.
Зоноподобный энергетический спектр роднит молекулы орга-
нических красителей с полупроводниками. Времена релаксации
для этих двух случаев также очень близки: 7\ = КГ8—1(Г9 с и Тг =
= КГ12—10~13 с. Однако резонаторы этих двух типов лазеров не
Гпава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 161
имеют ни малейшего сходства. Для жидкостных лазеров Тс ~ 10-7 с,
что и обеспечивает их принадлежность классу А.
Популярность лазеров на красителях объясняется, главным
образом, возможностью плавной перестройки рабочей частоты в
пределах широкой линии усиления рабочей среды. Набором отно-
сительно небольшого числа красителей удается перекрыть весь
видимый диапазон. Продвинуться же в инфракрасную область
вплоть до длин волн 3,5 мкм позволяют активные среды другого
типа — ионные кристаллы с собственными центрами окраски
(F-центрами). Простейшим примером F-центра является электрон,
локализованный на анионной вакансии в кристалле. Сильная связь
F-центра с кристаллической решеткой не позволяет рассматривать
его как изолированное образование типа атома водорода. Элек-
тронные уровни энергии благодаря действию ближайшего окруже-
ния приобретают колебательную зоноподобную структуру, напо-
минающую структуру уровней сложных молекул. Времена релак-
сации (10-12 с в пределах одного электронного состояния и 10"8 с
между электронными состояниями) имеют тот же порядок величи-
ны, что и в растворах красителей.
Подобная же спектроскопическая ситуация реализуется в неко-
торых примесных лазерных кристаллах, к числу которых принадле-
жат александрит (хромовый хризоберилл) С/ЛВеАЬОд и сапфир с
титаном ТЁСггОз- И здесь причиной появления широких полос в
спектре выступает сильное влияние кристаллической решетки на
примесные ионы. В отличие от редкоземельных ионов типа Nd3+,
ионы переходных металлов группы железа имеют незаполненные
оболочки, не экранированные внешними по отношению к ним элек-
тронами. Соответствующие состояния подвержены возмущающему
действию окружения, а значит, ощущают наличие фононов решетки.
Как следствие, спектры обнаруживают колебательную структуру,
соответствующую переходам с одновременным изменением элек-
тронного состояния примесного иона и колебательного состояния
кристаллической матрицы. Конкретный вид спектра и времена жиз-
ни состояний зависят от того, в какую именно матрицу внедрен ион.
Время жизни верхнего лазерного уровня александрита составляет
6 мкс, что обеспечивает принадлежность этого лазера классу В.
В класс А попадает большинство атомарных газовых лазеров.
Правда, как уже было сказано выше, для переходов с очень большим
усилением можно реализовать условия, характерные для класса С.
И - 1473
162
Часть третья. Физика лазеров
Наиболее распространенным из атомарных газовых лазеров
является гелий-неоновый лазер. Генерирующей компонентой сме-
си служит неон. Наиболее интенсивная генерация в непрерывном
режиме имеет место на длинах волн 0,6328, 1,1523 и 3,39 мкм. Ос-
новному состоянию атома неона отвечает ир6-конфигурация внеш-
ней электронной оболочки. В символике Пашена первое возбуж-
денное состояние с конфигурацией пр5(п +1)5 обозначается как 1s,
а его четыре подуровня перенумерованы в порядке убывания энер-
гии от 152 ДО 1^5- Следующее возбужденное состояние пр5(п + 1)р,
обозначаемое как 2р, состоит из 10 подуровней от 2pt др 2pw.
Электронные 5-конфигурации обладают большим временем жизни,
нежели р-конфигурации. Благодаря этому, а также вследствие пре-
имущественного заселения 2s- и 35-уровней неона при соударениях
с метастабильными атомами гелия, обеспечивается усиление среды
на переходах 5 —э р.
Уширение спектральных линий газа обусловлено спонтанным
излучением, соударениями и эффектом Доплера. В зависимости от
температуры и давления газа, массы излучающего атома, характера
перехода и длины волны основным может оказаться вклад любого
из указанных механизмов. В характерных для гелий-неонового ла-
зера условиях линия 352-2р4 ( Л = 0,63 мкм) неона имеет доплеров-
скую ширину 8vd =1700 МГц, а линия 3s2—Зр4 (Л = 3,39 мкм)
ширину 6vD =320 МГц. Для учета однородного вклада в ширину
линии 3s2-3p4 можно воспользоваться эмпирической формулой:
у± / 2п = 200 МГц + 42 МГц/Торр (0,32 МГц/Па),
справедливой для оптимального соотношения парциальных давле-
ний гелия и неона 5:1. Для перехода 3s2-3p4 аналогичная зависи-
мость выглядит как у1/2тг = 8,5МГц + 59,5МГц/Торр (0,45 МГц/Па),
Вероятности распада уровней 3s2 и 2pi даются эмпирическими
формулами:
уя /2я = 8,35 МГц+ 4,3 МГц/Торр (0,32 МГц/Па).
уЛ/2л = 9,75 МГц +14,9 МГц/Торр (0,11 МГц/Па).
9.2.3. Некоторые экспериментальные факты
По динамике лазеров накоплен обширный экспериментальный
материал. Остановимся на основных экспериментальных фактах,
касающихся свободной генерации.
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах
163
Одномодовые лазеры класса А отличаются очень простым по-
ведением, и мы на них остановимся очень коротко. Малой инерци-
онностью активной среды предопределяется апериодический ха-
рактер переходных процессов. Время выхода на устойчивый ста-
ционарный режим зависит от добротности резонатора и превыше-
ния порога генерации. Для гелий-неонового лазера это время нахо-
дится в пределах 10“6—10~4 с. Для того чтобы в пределы доплеров-
ской линии попала только одна продольная мода, длина резонатора
не должна превышать 10 см при Л = 3,39 мкм. В более длинных
резонаторах осуществление одномодовой генерации требует при-
менения селектирующих элементов. Одномодовый режим лазеров
на красителях, линии усиления которых чрезвычайно широки, во-
обще не достижим без селекции.
Зависимость выходной мощности газового лазера от частоты
генерации обладает характерной особенностью: при точной на-
стройке моды на центр линии наблюдается локальный минимум.
Эта особенность, получившая название лэмбовского привала, спе-
цифична для активных сред с доплеровским уширением линий.
Наличие эффекта затягивания частоты генерации было уста-
новлено при исследовании спектра биений. Ввиду того что генери-
руемые частоты сдвинуты от собственных частот резонатора в сто-
рону центра линии, биения между продольными модами оказыва-
ются меньше частотного интервала между модами резонатора
qd 2L (L — длина резонатора, q — целое число). При возбужде-
нии более двух продольных мод в спектре биений часто просмат-
ривается тонкая структура, свидетельствующая о неэквидистант-
ности генерируемого спектра. Воздействовать на нее можно, меняя
накачку и длину резонатора.
Установлено, что пока в генерации участвует не более трех
продольных мод, режим гелий-неонового лазера регулярен. На
степень неэквидистантности спектра трехмодовой генерации влия-
ет величина отстройки наиболее сильной из мод от центра линии.
Хаотизация огибающей излучения возможна лишь при вовлечении
в генерацию четвертой моды. Лазер с Л = 0,63 мкм обнаружил все
тРи возможных сценария перехода от регулярной автомодуляции
излучения к хаотической при изменении управляющего параметра:
Через последовательность бифуркаций удвоения периода (в данном
случае — периода вторичных биений), через появление в спектре
Огибающей несоизмеримых частот и через перемежаемость.
И*
164
Часть третья. Физика лазеров
Лазеры класса В демонстрируют большое разнообразие вари-
антов поведения. Характерным является феномен пичковой генера-
ции, когда излучение представляет собой последовательность изо-
лированных всплесков. Впервые он был обнаружен еще в экспери-
ментах с парамагнитными мазерами, но энергичное его изучение
началось с появлением твердотельных лазеров, накачиваемых им-
пульсными газоразрядными лампами.
Процесс свободной генерации твердотельных лазеров протека-
ет по-разному в зависимости от конкретных спектроскопических
свойств рабочего вещества, типа резонатора и параметров накачки.
Существенное влияние на него могут оказывать механические
вибрации и непостоянство температуры элементов лазера. Основой
конструкции лазеров первого поколения является осветитель с по-
мещенными внутрь него активным элементом и лампами накачки.
Иногда этот блок называют квантроном. Резонатор лазера чаще
всего образуется зеркалами, устанавливаемыми вне квантрона. В
необходимых случаях предусматривается система принудительно-
го охлаждения активного элемента и ламп.
Очень много экспериментальных работ посвящено свободной
генерации рубинового лазера с импульсной накачкой. Индуциро-
ванное излучение рубина при комнатной температуре в резонаторе,
образованном плоскими параллельными зеркалами, представляет
собой последовательность пичков. Изменения амплитуды пичков и
интервала между ними не обнаруживают регулярной закономерно-
сти, а колебания в целом — тенденции к затуханию. Начало генера-
ции запаздывает по отношению к моменту поджига ламп на доли
миллисекунды, необходимые для достижения пороговой инверсии
населенностей. Средняя длительность пичка близка к 5 10-7 с, а
пиковая мощность излучения достигает 10~3—10"4 Вт.
Процесс свободной генерации несет на себе отпечаток влияния
многих физических факторов. Для выявления роли каждого из них
необходимо идти на изменение условий эксперимента, в первую
очередь, полезно устранить влияние технических флуктуаций па-
раметров. В импульсных лазерах механические колебания актив-
ного элемента вызываются ударом в момент поджига ламп накач-
ки. Вибрации других узлов конструкции могут вызываться внеш-
ними источниками. Определенную роль играет характер обтекания
активного элемента потоком охлаждающей жидкости. Последствия
изгибных колебаний стержня, проявляющиеся в виде амплитудной
Глава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 165
модуляции излучения с частотой порядка 10 кГц, можно сущест-
венно ослабить тщательным подбором диаметра и положения диа-
фрагм, размещаемых по обе стороны активного элемента. Эта мера
избавляет также и от влияния непостоянства тепловой линзы в ак-
тивном элементе. Борьба с вибрациями зеркал и других оптических
элементов заключается в механической развязке узлов при повы-
шении жесткости их конструкции. Важную роль играет тщатель-
ная юстировка зеркал и устранение внутри резонатора отражаю-
щих поверхностей, параллельных зеркалам. Поэтому торцы актив-
ного элемента ориентируются под углом Брюстера, либо при ма-
лом угле наклона просветляются.
В результате, после принятия всех этих мер пассивной стаби-
лизации лазера, пичковый характер генерации сохраняется, но сте-
пень его упорядоченности заметно возрастает. Широкий вначале
спектр излучения быстро сужается, и в дальнейшем на пичок при-
ходится одна продольная мода. Смена мод от пичка к пичку соот-
ветствует перестройке лазера с шагом дискретности, зависящим от
коэффициента заполнения резонатора и положения активного эле-
мента. Следует подчеркнуть, что скорость перестройки способна в
несколько раз превосходить тепловой дрейф линии усиления ру-
бина.
На характере генерации сказывается пространственная моду-
ляция инверсии, обусловленная насыщением активной среды соб-
ственным полем излучения. С этим эффектом связано усиление
различий в коэффициентах усиления мод, а значит, и степень дис-
криминации некоторых из них. Для продольных мод подобный эф-
фект устраняется в лазере бегущей волны. Если же модами являются
стоячие волны, их равноправие можно утвердить, лишь непрерывно
меняя локализацию узлов и пучностей в процессе генерации.
Одна из возможностей сглаживания наведенных пространст-
венных неоднородностей инверсии заключается в поступательном
перемещении активного элемента. Опыты с «бегущей средой» по-
казали, что беспичковая генерация рубина может быть достигнута
при скорости его движения, превышающей 20 см/с. Выше 50 см/с
обеспечивается одночастотность излучения. Побочным же эффек-
том оказывается так называемая кинематическая модуляция с час-
тотой, пропорциональной скорости. Дело в том, что параллельный
Зеркалам торец стержня при движении вдоль оси резонатора зани-
жает эквивалентные положения через интервалы, равные Л/2.
166
Часть третья. Физика лазеров
Добротность составного резонатора при этом модулируется с доп-
леровской частотой 2coU / с. Это проявляется в виде модуляции
излучения, особенно заметной в беспичковом режиме.
Перемещать картину стоячих волн вдоль активной среды мож-
но движением одного из зеркал резонатора. Но и здесь есть побоч-
ный эффект — сканирование собственных частот резонатора.
От указанных недостатков свободен метод компенсируемой
фазовой модуляции. Изменение оптической длины зазора между
активным элементом и зеркалом осуществляется с помощью элек-
трооптического фазового модулятора. Когда идентичные модуля-
торы располагаются по обе стороны кристалла и управляющее на-
пряжение к ним прикладывается в противофазе, общая длина резо-
натора сохраняется все время неизменной. Этот метод, в противо-
положность «бегущей среде», допускает брюстеровскую ориента-
цию всех границ раздела внутри резонатора.
Использование методов сглаживания продольной неоднород-
ности вкупе с пассивными методами стабилизации резонатора пе-
реводит рубиновый лазер в режим регулярных затухающих пуль-
саций. На стадии переходного процесса спектр сужается до одной
продольной моды, а в дальнейшем происходит их чередование со
скоростью теплового дрейфа, не сопровождающееся пульсациями.
Иной результат был получен в эксперименте с Nd: YAG-
лазером. Для достижения беспичковой генерации достаточно упо-
мянутых мер борьбы с механической и тепловой нестабильностью.
После переходного процесса устанавливается стационарная мно-
гомодовая генерация.
Пассивных методов защиты от технических флуктуаций дос-
таточно для устранения пульсаций интенсивности и в лазерах на
неодимовых стеклах. Однако структура спектра генерации оказы-
вается иной, нежели у лазеров на кристаллических активных эле-
ментах. Объясняется это неоднородным уширением спектральных
линий примесных ионов в стекле. Характерной деталью эволюции
спектра является его расщепление на дискретные полосы.
Лазеры на углекислом газе, которые также принадлежат классу
В, не обнаруживают, тем не менее, склонности к пичковой генера-
ции.
Твердотельные лазеры нового поколения отличаются от своих
предшественников, главным образом, устройством накачки. Для
этой цели используются не газоразрядные лампы, а лазерные ис-
Гпава 9. Общие сведения о квантовых генераторах 167
точники света: полупроводниковые или, как в некоторых экспери-
ментах, ионные газовые лазеры. Схема твердотельного лазера с
продольной накачкой излучением диодного лазера представлена на
рис. 9.8. Достоинством лазерной накачки является узкий спектр,
который удается совместить с линией поглощения активной среды,
благодаря чему достигается высокая эффективность использования
накачки при относительно слабом нагреве активного элемента.
Другая особенность современных твердотельных лазеров заключа-
ется в том, что используется моноблочная конструкция излучателя
с зеркалами, нанесенными непосредственно на торцы активного
элемента. Миниатюризация лазера имеет следствием небольшое
число генерирующихся продольных мод, что очень удобно с точки
зрения исследования динамики. Значительно богаче стал и ассор-
тимент лазерных кристаллов.
Рис. 9.8. Схема лазера на гранате с неодимом, накачиваемого излуче-
нием полупроводникового лазера вдоль оси резонатора Фабри—Перо:
1 — лазерный диод; 2 — согласующая оптика; 3 — излучение накачки; 4 — зеркало; 5 —
активный элемент; 6 — зеркало; 7 — выходное излучение.
Диодная накачка по сравнению с ламповой обеспечивает на-
много более стабильный режим генерации даже без применения
специальных мер. Непрерывная беспичковая генерация характери-
зуется близким к естественному пределу уровнем флуктуаций.
Проявлением динамических особенностей лазера являются резо-
нансные пики в спектрах мощности (флуктуаций интенсивности
излучения).
Лазеры класса С, в отличие от лазеров других типов, способ-
ны демонстрировать неустойчивое поведение, обусловленное ко-
герентным взаимодействием генерируемого поля с активной сре-
дой и не связанное с взаимодействием мод. В идеале одномодовый
лазер бегущей волны, как показал Хакен (Haken Н. // Phys. Lett.
1975. V. А-53. Р. 77), изоморфен знаменитой модели Лоренца, ко-
168
Часть третья. Физика лазеров
торая положила начало эре автостохастичности в нелинейной ди-
намике. Многолетние попытки достижения этого идеала венчают
эксперименты с аммиачными лазерами далекого ИК-диапазона.
Уникальность лазеров данного типа заключается в том, что много-
кратное превышение порога генерации достигается в условиях,
когда ширина линии активной среды меньше полосы пропускания
резонатора. Спектральная однородность линии усиления обеспе-
чивается благодаря селективному возбуждению молекул газа в по-
ле монохроматической бегущей волны накачки. Отстройка накачки
по частоте от центра линии поглощения приводит к тому, что на
частоте рабочего перехода активная среда способна взаимодейст-
вовать только с одной из двух встречных волн. Поэтому результат
не зависит от того, какой резонатор используется: кольцевой или
Фабри — Перо.
Поскольку в субмиллиметровом диапазоне вероятность спон-
танного излучения мала, основной вклад в однородную ширину
линии дает давление газа. Существует компромиссная область
давлений (10-1—10-2Торр), в которой ширина линии порядка мега-
герца сочетается с возможностью получения большого усиления.
Помимо доказательства существования порога динамической
неустойчивости, эксперименты с |5МН3-лазером показали также,
что порог этот достаточно высок, что после его преодоления уста-
навливается режим регулярных пульсаций конечной амплитуды,
что хаотизация пульсаций достигается через последовательность
бифуркаций удвоения периода при увеличении интенсивности на-
качки и что спектр, регистрируемый при гетеродинном приеме из-
лучения лазера, может в зависимости от сочетания параметров
(давления газа, интенсивности и частоты накачки) иметь или не
иметь несущей, т. е. процесс может иметь характер амплитудной
модуляции или биений.
Гпава 10.
БАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА
Самосогласованная система уравнений лазера включает в себя
уравнения электромагнитного поля плюс уравнения, определяю-
щие состояние среды, которая с этим полем взаимодействует.
Имея в виду две составляющие, всю систему часто называют сис-
темой уравнений Максвелла—Блоха. В общем виде эта система
слишком сложна, и при рассмотрении конкретных ситуаций при-
ходится прибегать к радикальным упрощениям.
Существует много разновидностей уравнений лазера, и неко-
торые из них будут фигурировать в следующей главе. Данная же
глава призвана дать представление о наиболее общих приемах уп-
рощения уравнений электромагнитного поля и материальных
уравнений, позволяющих прийти к динамическим моделям кон-
кретных лазеров.
Поскольку об уравнениях для поля и материальных уравнени-
ях было довольно много сказано в гл. 2, 5 и 6, мы здесь сосредото-
чимся на тех вопросах, которые там не были затронуты.
10.1. Уравнения электромагнитного поля
Хорошо известно (см. разд. 2.7), что применительно к проблемам
физики лазеров классическое описание электромагнитного поля
вполне оправдано. Поэтому будем исходить из уравнений Максвелла:
VxE = --—, с dt (10.1a)
V7 I. j 1 3D VxH = i + , с с dt (10.16)
VD = 0, (10.1b)
V-B = 0. (10.1г)
170
Часть третья. Физика лазеров
(10.3)
Материальные уравнения запишем пока в традиционной форме:
j = crE, (10.2а)
В = Н + 4яМ, (10.26)
D = E + 4/rP. (10.2в)
Проводимость О' отражает наличие объемных потерь в среде. На-
магниченность М и поляризация Р распадаются в общем случае
на две составляющие каждая. Первая составляющая учитывает не-
резонансный вклад всех молекул среды (матрицы) и может быть
представлена в виде
Р(=—Е, М,=^—!-Н.
4л 4д
В дальнейшем будут рассматриваться только немагнитные
матрицы, для которых р = 1. Диэлектрическая проницаемость сре-
ды, вообще говоря, может зависеть от напряженности поля, но по-
добная нелинейность пока в расчет приниматься не будет. Вторая
составляющая поляризации обусловлена исключительно резонанс-
ным взаимодействием поля с активными молекулами. Она пред-
ставляет наибольший интерес; определяющие ее уравнения обсуж-
даются ниже, в разд. 10.2.
10.1.1. Волновое уравнение
Рассмотрим электромагнитное поле в слабо поглощающем ди-
электрике с внедренными в него активными молекулами, переходы
между энергетическими уровнями которых считаем электроди-
польными.
Продифференцировав (10.16) по времени, подставим в него
значения ЭН/Эг из (10.1а) и j из (10.2а). Имея в виду, что В = Н,
приходим к уравнению
VxVxE = V(V-E)-V2E = -^— —.
с dt с dt
Индукцию D с помощью (10.2в) можно записать как
D = E + 4?r(PI + Р) = е (Е + 4яР/е)
и затем преобразовать (10.4) к виду
v"E-V(V.E) = i^+44
с1 dt с2 dt2
(Ю.4)
к, 4яР)
Е +---
£
(10.5)
Гпава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера
171
Если среда пространственно однородна, то V(V-E) = 0 вслед-
ствие (10.1 в). Эффект насыщения активных молекул несколько
осложняет дело, поскольку вызываемая им неоднородность поля
приводит к неоднородности среды. Однако квантовая электроника
оперирует квазиоптическими пучками вида
Е(г,г) = Е0(г,г)ехр[-Кшг - kz)\,
Р(г,г) = P0(r,z)exp[-i(cot - kz)]. (10.6)
Комплексная амплитуда является медленной функцией коор-
динат и времени, так что формулы (10.6) описывают квазимоно-
хроматический волновой пучок ограниченного, но большого по
сравнению с длиной волны сечения, распространяющийся в на-
правлении оси z. Медленность здесь понимается в том смысле,
что характерное время изменения амплитуды и фазы существенно
превышает период колебаний, а характерный масштаб пространст-
венной структуры пучка намного больше длины волны. Из послед-
него обстоятельства и из поперечности волны следует неравенство
V(V-E)«V2E.
Предположенная
фазы волны,
1 дЕ0
Ео dt
дает возможность, производя дифференцирование, пренебречь ря-
дом членов:
выше медленность изменения амплитуды и
ЭЕ0
Ео dz
1
( ЭЕ А
V2E= V2E0-^2E0+2iA—2- exp[-i(cor - kz)],
dz
r dE '
co2E0 + 2ico—- exp[-i(wr-A:z)],
dt
~ -icoEo exp[-i(wz - £z)],
ot
э2е
dt2
d2P
—— ~-(o2P0exp[-i(a)t-kz)]. (10.7)
ot
Подставляя (10.7) в волновое уравнение (10.5), приходим к укоро-
ченному уравнению, известному под названием параболического-.
^Р0.(10.8)
V2E0+2i к^
Г, ЭЕ„ щ ЭЕJ
dz+c2 dt
4ni(0
с2
аЕо+| %-*2]е0=-
172 Часть третья. Физика лазеров
Наиболее простой вид оно приобретает в одномерном случае, ко-
гда среду и поле можно считать однородными в плоскости, пер-
пендикулярной направлению распространения волны, и справед-
лив закон дисперсии ы = с'к:
ЭЕ0 1 ЭЕ0 2ло ~ п
+—Ео = 2я/—Ро.
OZ С Ut СЕ СЕ
Здесь с — скорость распространения света в среде.
Довольно часто в теории лазеров отличие Е от единицы не
принимается во внимание. Из уравнения (10.9) видно, что обобще-
ние на случай Е Ф1 осуществляется заменами
с—>с, о^о/е, Ро^Ро/£. (10.10)
Вид волнового уравнения сохраняется и в том случае, если ак-
тивные молекулы обладают магнитодипольным переходом. В
(10.5) следует лишь заменить Е на Н и Р на М и помнить, что
намагниченность не зависит от Е.
10.1.2. Модовый подход
Разложение поля по собственным функциям (модам) резонато-
ра (см., например, [13, 14]) преследует цель свести (10.1) к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядок получаю-
щейся системы, строго говоря, бесконечен. Однако практически
всегда можно ограничиться конечным числом уравнений, посколь-
ку конечен набор возбуждающихся мод.
Если собственные значения частот и собственные функции ре-
зонатора известны, задача не вызывает принципиальных затрудне-
ний. Но обычно задачу на собственные значения удается решить не
для реального, а для некоторого близкого к нему идеального резо-
натора. В случае замкнутой полости идеализация состоит в полном
пренебрежении потерями. Это выражается в замене реальных гра-
ничных условий на металлизированных (S,) и открытых (52) уча-
стках поверхности стенок идеальными:
(nxE)Si =0, (nxH)S; =0. (10.11)
Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности. Проводи-
мость помещенной в резонатор среды, а значит и потери в ней,
считаются отсутствующими.
Произвольное поле в резонаторе представляется суперпозици-
ей собственных функций
Гпава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера
173
E(rj) = 5>A(')EA(r), Н(г,О = £йа(ОЕл(г). (10.12)
Системы функций ЕЛ(г) и НА(г) ортогональны и удовлетворяют
условиям нормировки:
EAEpdV = Vc^, HAH,dV = Vc8^ . (10.13)
Сами же функции идеального резонатора удовлетворяют уравне-
ниям
V2EA+*A2EA=0, V2Ha+*a2Ha=0, (10.14)
а зависящие о времени коэффициенты разложения — уравнениям
d2e, 7 d2/z, 7
—A + ft£eA =0, -^ + ЧЛ=0- (Ю-15)
dz dz
Последние колеблются по гармоническому закону с частотами
сосА=ЛАс. Воспользовавшись этим, нетрудно получить из (10.1)
еще пару соотношений, связывающих собственные функции:
VxEa = i*AHA, VxHa = -z‘AaEa . (10.16)
Перейдем к рассмотрению свободных колебаний в реальном
резонаторе. В отсутствие значительных объемных (омических) по-
терь поле в нем можно аппроксимировать рядами (10.12) по функ-
циям идеального резонатора. Специфика, обусловленная отличием
граничных условий от (10.12), проявится при разложении других
функций. Чтобы найти разложение VxE, воспользуемся вектор-
ным тождеством:
V(ExVxEa) = (VxE)(VxEa)-E-VxVxEa =
= i*AHAVxE-*2EEA.
Его интегрирование по объему с последующим применением тео-
ремы Гаусса приводит к равенству
f n(ExHA)dS = f HA(VxE)dV+zVA^-
* J •> V
Учтя, что вклад в поверхностный интеграл вносят лишь металли-
зированные участки границы, получаем:
VxE=7XHJvH^VxE)dv =
=£нА ~ik^ +
-J-f (nxE)HAdS .
"с
(10.17)
Аналогичным образом убеждаемся в справедливости формулы
174
Часть третья. Физика лазеров
Vx Н = ikAhA +
(nxH)EAdS .
"г
(10.18)
При переходе к идеальному резонатору поверхностные инте-
гралы в формулах (10.17) и (10.18) обращаются в ноль, поскольку
справедливы граничные условия (10.11).
Подставив (10.12), (10.17) и (10.18) в (10.1) и прибегнув к ус-
ловиям (10.13), получаем систему уравнений:
+ 4лстеА - ick,hA = — f (n х H)EAdS,
dr Vc J s2
-^-ickA = -£f (nxE)HAdS. (10.19)
dr Vc J s2
Далее, дифференцируя первое из уравнений по времени, ис-
ключаем с помощью второго функцию dAA/dr и приходим к урав-
нению
d. . de, 21 2
—+ 4ла —~ + с к, e. =
dr2 dr A Л
,c2C
= -i—-
К
J (nxE)HAdS + ~f (nxH)EAd5 .
(10.20)
Преобразуем интеграл по поверхности St, на которой выпол-
няются импедансные граничные условия Леонтовича [14]:
nxE = ZH. (10.21)
Здесь через Z обозначен поверхностный импеданс, равный для ме-
талла (/т/е)‘/2. Записав поле Н в виде ряда (10.12), подставим
(10.21) в (10.20). С точностью до несущественных в данном случае
малых членов из (10.19) следует hA = -(i/ckA)deA/dt и в результате
^(nxE^d^Z^
'de^/dt
к,,
,(.Н;Н.<К . (10.22)
Слагаемое правой части (10.22) с д = Л дает затухание сво-
бодных колебаний А-й моды, обусловленное поглощением в стен-
ках резонатора. Остальные слагаемые имеют смысл вынуждающих
сил, действующих на данную моду со стороны всех других мод.
Подобная связь мод через поглощающие границы явилась следст-
вием использования системы собственных функций идеального
резонатора для разложения поля в реальном резонаторе.
Гпава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера
175
Линейная связь между модами реального резонатора отсутст-
вует, если базисные функции обладают свойством ортогонально-
сти на стенках
J5H,HAd5 = /5^. (10.23)
Условию (10.23) удовлетворяют, например, моды прямоуголь-
ного резонатора. В отсутствие ортогональности развязыванию
уравнений (10.20) способствует несовпадение собственных частот.
Если частотный интервал между модами превышает ширину резо-
нансной кривой, взаимодействие можно не принимать во внима-
ние. Указанные обстоятельства позволяют оставить в (10.22) толь-
ко одно слагаемое с /л = Л . Когда связь между модами значитель-
на, это означает неадекватность базисной системы функций рас-
сматриваемому резонатору. Величина
SA-zfs|HA|2ds
представляет собой добротность резонатора, обусловленную по-
глощением в его стенках. С ее помощью преобразуем правую часть
соотношения (10.22) в (шсА IQSA)deA/dt.
Совершенно аналогично удается распорядиться интегралом по
поверхности S2, входящим в (10.20), и записать
—— f (nxH)EAd5=^-^
vcdJ^ е„А d/
Величина QeA — добротность связи — характеризует потери резо-
натора, обусловленные излучением через отверстия в его стенках.
Остается ввести понятие добротности, соответствующей объем-
ным потерям в заполняющей среде,
Qva ~
4 лет
а также нагруженной добротности для моды с индексом Л
1
и переписать уравнение (10.20) в форме
d2eA ш А de, 2 п
dr2 Qa dt сА Л
(10.24)
(10.25)
176
Часть третья. Физика лазеров
Его решения — это колебания, затухающие со скоростью
<4
к =——
2£
(10.26)
Чтобы получить уравнение, описывающее вынужденные коле-
бания, возбуждаемые в резонаторе активной средой, следует дей-
ствовать по той же схеме. С помощью разложений (10.12), (10.17)
и (10.18) уравнения (10.1) приводятся к виду
+ + = _±Lf
dr2 Q, dt сЛ Л Vc J
^EzdV.
К dr Л
(10.27)
Задача о возбуждении открытых резонаторов ставится не-
сколько иначе. Специфика проявляется в граничных условиях, ко-
торые задаются не на замкнутой поверхности, а только на отра-
жающих участках, т. е. зеркалах. К ним добавляются условия излу-
чения, регламентирующие поле на бесконечности. Допустимой
идеализацией при нахождении собственных функций является
пренебрежение потерями на зеркалах. Излучением из пространства
между зеркалами пренебречь нельзя принципиально, поскольку с
ними связано разрежение спектра мод. По этой причине все собст-
венные типы колебаний оказываются затухающими и по затуха-
нию подразделяются на две группы. Относительно малочисленную
группу образуют слабозатухающие моды, локализованные между
зеркалами. Они представляют наибольший интерес и в разложении
поля должны быть выделены:
Е = ^еА(0ЕА(г) + Е,Мр .
Член Ednmp представляет группу сильно затухающих мод, и в даль-
нейшем этот континуум может быть опущен.
Действуя в основном так же, как и в случае объемного резона-
тора, но помня, что интегрирование распространяется только на
поверхность S,, а радиационное затухание (дифракционные поте-
ри) учитывается комплексностью собственных частот, приходим к
уравнению (10.27). Через сосЛ обозначена действительная часть
собственной частоты, тогда как ее мнимая часть включена в ди-
фракционную добротность Qdi)jl . Нагруженная добротность откры-
того резонатора складывается из грех частей, характеризующих
дифракционные потери, объемные потери и потери на зеркалах.
Последние, помимо поглощения в материале зеркала, включают
Глава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера
177
также вывод излучения для его полезного использования. Развязы-
вание уравнений возможно потому, что моды открытых резонато-
ров, имеющие разную поперечную структуру (поперечные моды),
удовлетворяют условию ортогональности на зеркалах, а моды, от-
личающиеся числом полуволн между зеркалами (продольные или
аксиальные моды), удалены друг от друга по частоте.
При выводе уравнения (10.27) были приняты во внимание по-
правки к собственным значениям частоты идеального резонатора.
Поправок к собственным функциям в этом приближении нет.
Поскольку потери в резонаторе малы, а возбуждающие источ-
ники не слишком интенсивны, в уравнении (10.27) удается выде-
лить малый параметр p = (o!Q и представить уравнение в виде
d4
dz2
+ Чл^=~Д
сЛ Л dt wcAj
^EAdV
К dz2
(10.28)
Его решениями являются близкие к гармоническим колебания с
медленно меняющимися амплитудой и фазой [15]:
<?А = ^[FA(z)exp(-zG)z) + FA* (z)exp(itoz)]. (10.29)
Подставляя (10.29) в (10.27), пренебрегая малыми членами порядка
р2 и проводя далее усреднение по периоду колебаний Т = 2л/<д,
приходим к укороченным уравнениям:
dF,
—- + [к + z(tycA - w)]FA = 4nicoPx. (10.30)
dr
Комплексная амплитуда Л компоненты поляризации введена по-
средством равенства
77/v PEAdv = (Oexp(-itDZ) + FA*(Z)exp(zwz). (10.31)
*с
Опорная частота со, или, как ее иногда называют, «частота
вращающейся волны», пока остается неопределенной. При ее вы-
боре следует исходить из специфики конкретной задачи. Необхо-
димо лишь иметь в виду обязательное требование:
|w-WcA|«w.
Ю.1.3. Уравнения для поля в кольцевом резонаторе
В предыдущем разделе речь шла о резонаторах, модами кото-
рых являются стоячие волны. К их числу относятся объемные ре-
*2 - 1473
178
Часть третья. Физика лазеров
зонаторы и открытые двухзеркальные резонаторы типа Фабри—
Перо. Но кольцевые резонаторы, используемые на практике не ме-
нее часто, имеют своими модами бегущие волны с противополож-
ными направлениями распространения. Это обстоятельство прив-
носит свою специфику, связанную с вырождением мод (встречных
волн) по частоте. Благодаря этому становится существенным сла-
бое перерассеяние волн друг в друга на микронеоднородностях
оптических элементов резонатора или же на предметах, располо-
женных на пути луча вне резонатора. Ясно, что здесь требуется *
более деликатный учет связи между встречными волнами, чем в
случае, когда модами являются стоячие волны.
Вернемся к формуле (10.5) и, проведя усреднение по времени,
получим в одномерном случае укороченное уравнение:
= -4niwoF— Е co2F + 2ito— \-4л(О2Р.
dt
(10.32)
дг2
Теперь представим переменные в виде суперпозиции волн, бегу-
щих во встречных направлениях:
F = Fteila + F^e'*, Р = Pleikz + Pte~ikz. (10.33)
При подстановке выражений (10.33) в (10.32) примем во внимание
малость изменения амплитуды поля на периметре высокодоброт-
ного резонатора и, осуществив усреднение по пространственной
координате, получим
dz
w2 - с2к1 L/L'
2ia>
0
.4лсг
E+l-----
(O
Эффективная длина резонатора определяется формулой
L' = L+^(£-l), (10.35)
в которой L — длина резонатора, L3 — длина активного элемента.
Волновое число к принадлежит дискретному ряду собственных
значений, определяемых условием цикличности F(z + L,f)=F(z,t)-
Таким образом, ск>1ы L' -сос — собственное значение частоты
резонатора. Заметим далее, что величины
* . „ _ КО г'
= 2mcoP±l + F±1 —J
n
I ±2ikz j
e dz.
(10.34)
L о
±2 ikz i
’ dz
(10.36)
Глава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера 179
имеют смысл коэффициентов потерь и коэффициентов связи мод.
Теперь можно переписать уравнение (10.34) в более компактном
виде:
dF i
-3—+ [к -i(ty-tyc))]F±1 =2тпюР±1 + -£±F (10.37)
d/ 2
Основной вклад в обусловлен пространственными неодно-
родностями с размерами порядка длины волны. Неоднородности
диэлектрической проницаемости и проводимости вносят в рассе-
янные на них волны фазовые сдвиги, отличающиеся на я/2. Раз-
ность фаз самих коэффициентов связи £+ и равна нулю в пер-
вом случае и л во втором.
Очевидное обобщение (10.37) расширяет область применимости
на случай, когда условия для встречных направлений неодинаковы.
Скажем, внесение внутрь резонатора ячейки Фарадея в комбинации
с поляризаторами приводит к снятию вырождения по потерям (ам-
плитудная невзаимность) и по фазовым скоростям (фазовая невза-
имность) волн. К невзаимности приводит и вращение резонатора
относительно оси, перпендикулярной его плоскости. Поэтому в
уравнениях появляются два коэффициента потерь к+ и к_, а также
две собственные частоты со* и (О~, и вместо (10.37) имеем
+ [к± - i(« - Ч* )И±1 = 2яоР±1 + • (10.38)
at 2
10.2. Материальные уравнения
Материальные уравнения были выведены и довольно подроб-
но обсуждены в разд. 5.2 и 5.3. Это позволяет нам сейчас сосредо-
точиться на способах упрощения уравнений лазера. К ним отно-
сятся усреднение по периоду высокочастотных колебаний (при-
ближение вращающейся волны) и адиабатическое исключение бы-
стрых переменных. Естественное упрощение описания среды,
взаимодействующей с полем, основывается на возможности выде-
ления динамической системы с конечным числом степеней свобо-
ды, как о том говорилось в гл. 5. Ее образуют лишь те молекулы,
взаимодействие которых с полем имеет резонансный характер (ак-
тивные молекулы), а из энергетического спектра этих молекул вы-
делены только те уровни, между которыми индуцируются перехо-
12*
180
Часть третья. Физика лазеров
ды. Воздействие на динамическую систему со стороны оставшего-
ся окружения (термостата) рассматривается как возмущение, стре-
мящееся установить в ней равновесное состояние.
С точки зрения квантовой механики взаимодействующая с
термостатом динамическая система находится в смешанном со-
стоянии. Наиболее адекватен задаче ее описания формализм мат-
рицы плотности. Поляризация среды выражается через матрицу
плотности соотношением
Суммирование распространяется на все молекулы в пределах
физически бесконечно малого объема ДУ . Суммирование можно
трактовать как усреднение Tr(dypy) по такому объему и, рассмат-
ривая матрицу плотности (статистический оператор) р(/,г) как
непрерывную функцию координат, записать:
P = 2VsTr(dp). (10.39)
Здесь через Ns обозначено число молекул в единице объема. Про-
изведение pNs имеет смысл объемной плотности статистического
оператора.
10.2.1. Квантовые кинетические уравнения
Уравнения для элементов матрицы плотности (5.47), в кото-
рых, как следствие усреднения по состояниям термостата, присут-
ствуют релаксационные члены, называют квантовыми кинетиче-
скими уравнениями. Эти уравнения можно переписать в виде
^ + (Г„ +<Ч”)Р™ = -d^p„). (10.40а)
(10.406)
Следует иметь в виду также условия нормировки и эрмитовости
матрицы плотности:
Хрии=1, P„,„=pL- (10.41)
Кроме того, использовано обозначение ут = 1/ттл, имеющее
смысл скорости релаксации недиагонального элемента матрицы
плотности.
Гпава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера
181
Представим поле суммой квазимонохроматических состав-
ляющих, частоты которых (Отп близки к частотам переходов со"'":
E(z’r) = |LlF-^’r)exP(-lty™z)+ FL(,’r)exP('4„/)l • (Ю.42)
Элементы матрицы плотности молекулы, находящейся в таком
поле, можно представить как
р,т (0 = (Oexp(-to№,r), (10.43)
если только выполнены неравенства
IdEl
У™«". (Ю-44)
й
Комплексная амплитуда матричного элемента отп является мед-
ленной функцией времени. Подставляя (10.42) и (10.43) в (10.40) и
произведя затем усреднение по периоду колебаний, приходим к
уравнениям
-°-— = -{г - г(Щ - со2" )]агал +
+—V (d Fa -d F a ),
2/i X mq qn qn qn mq'9
daram
dr
(10.45а)
= —V w a -wo +—(d Fa -d F a ) . (10.456)
/ -i mq mm qm qq mq mq qm qm qm mq ' V /
4
Переменные и коэффициенты в уравнениях (10.45) зависят от
двух индексов, и они, вообще говоря, чувствительны к тому, в ка-
кой последовательности эти индексы записаны:
a = a* ; d =d* ; F =F‘ ;
mn nm9 mn nm9 mn nm9
= и» exp( й/ к „ t ).
mn nm7 mn nm гv mn z
И лишь ym„ = y„„ .
10.2.2. Двухуровневая среда
Последующее упрощение материальных уравнений (10.45) ос-
новывается на том, что реально приходится учитывать не все
Уровни в энергетическом спектре молекулы. В самом простом слу-
чае в расчет принимаются только переходы между двумя энерге-
182
Часть третья. Физика лазеров
тическими уровнями. Система уравнений (10.45) трансформирует-
ся при этом в систему
“- = -[/21 - № - й)0 )а2, -^-d2IF2l(CT22 -ст„), (10.46а)
dr 2п
— - — = — w,2ct,, + и/2,СУ22 + —— (d,2F,2a2, — d2lF2,u,2), (10.466)
dr 2й
J = ^12^11 — W2I^22 — ТТ‘(^12®'12^21 ~ ^21 ^21^12) ' (10.46в)
dr 2п
Вместо двух параметров wmn можно оперировать одним временем
релаксации Tt = а™ ™ / wmn, где ст™" — равновесная матрица.
Несколько изменив обозначения О = ст22-ст,,, у21 = ух, ст2, = а,
учтя (10.41) и опустив излишние в данном случае индексы перехо-
да, вместо (10.46) получаем систему второго порядка:
— + [у± -г(со-си0)ст = —— dF£>, (10.47а)
dr 2й
— + Т.-' (D - £>(0)) = -—(d*F‘cr - dFст*). (10.476)
dr ' ' h
Здесь £>(0) —ненасыщенное значение D, соответствующее F = 0.
Заметим, что скорость релаксации инверсии определяется только
одним параметром у. =1/7].
10.2.3. Трех- и четырехуровневые среды; переход к эквивалентно-
му двухуровневому описанию
Все известные способы создания инверсии населенностей,
кроме лазерной накачки, базируются на некогерентных процессах,
что позволяет прибегнуть к вероятностному их описанию. Так об-
стоит дело в трехуровневой среде типа рубина при накачке газо-
разрядной лампой (см. рис. 9.3). Большие по сравнению с квТ рас-
стояния между уровнями позволяют пренебречь релаксационными
переходами снизу вверх. Поскольку лазерными уровнями служат 1
и 2, то уравнения (10.45) сводятся к системе уравнений
^ + [У2, -r(co-w02,)]o-2, =^-d2,F2,(a„ -ff22)],
dr 2n
A = Wpurnp ((Tj j — (T33 ) “ (w31 + W32 )o*33 ,
Гпава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера
183
^21^22 "* W32&33 "* (*^21^21^12 ^12^12^21) ’
О/ 2Й
dtT,,
ф — ^21^22 + W31<^33 ~Григор(°\ 1 ~ °33 ) +
+ ’^~'(*112^12<721 —<^21®*21<712)’ (10.48)
где Wpump = | d31F3112 /2й2у31 — вероятность перехода между уров-
нями 1 и 3, индуцируемого накачкой.
Данная модель сведется к эквивалентной двухуровневой, если
возможно адиабатическое исключение <733. Необходимым услови-
ем в данном случае является высокая скорость безызлучательного
распада третьего уровня. Если ориентироваться на рубин, которо-
му свойствен также высокий квантовый выход люминесценции, то
W32>>Wmi’WPump-
Это позволяет считать drr33/dr = 0 и получить
W
^зз“-^Ч.«^... (10.49)
w32
что означает слабую населенность уровня 3. Подставив соотноше-
ние (10.49) в другие уравнения и пользуясь нормировочным соот-
ношением (Т„ + а22 = 1, сводим систему (10.48) к уравнениям
-/(ы-Ч21)]^! “d21F21 D, (10.50а)
at 2п
^ + y1|(D-D<‘») = -^(d12F12Cr21 -d21F21a12). (10.506)
Скорость релаксации инверсии
1 + 71V
Г,=----(10.51)
определяется не только распадом верхнего уровня, но и накачкой.
Инверсия в отсутствие насыщения дается формулой
W Т -1
D(0’ = ритр 1- (j0 52)
И^+1
Обратимся теперь к четырехуровневой схеме, свойственной
неодимовым лазерам (см. рис. 9.4). Прибегнув к той же аргумента-
ции, что и выше, запишем
184
Часть третья. Физика лазеров
W
W43
Изменения населенностей верхнего и нижнего лазерных уров-
ней происходят в соответствии с уравнениями
—- — (w32 + W31) + ZT (d32F32^23 — d23F23^32 ) ’ (10.53а)
dt 2л
d^ = Ст]1 +адз _ВД2 -J_(d32F32CT23 -d23F23a32) ,(10.536)
dr w43 2л
при условии нормировки
°) 1 + СТ22 + СТ33 = 1 •
Если скорость распада нижнего лазерного уровня намного
превышает скорости всех процессов, ведущих к его заселению,
можно считать ст22 « ст,,, ст33 и Di2 = D~ ст33. Это упрощает дело,
и в целом система уравнений лазера запишется в виде
= 4/1 - " С )^32 - ^d32F32^ ’
dr 2л
= — Уц(D — D ) — “(d23F23<732 ~d32F32CT23) •
В данном случае эффективная скорость релаксации
v J+*W;
у" т;
а инверсия в отсутствие генерации равна
w Т
£j(0) _ ’’pump 1
i+«‘
В трехуровневой среде, как видно из (10.52), инверсия насе-
ленностей достигается при условии WIMmp > 7]“‘, которому соответ-
ствует более чем двукратное превышение Уц над 1/7]. В четырех-
уровневой среде для инверсии достаточно Wplwv, > 0 и лазерная ге-
нерация возможна при условиях W 7] «1 и Уц = 1/7].
Сопоставление систем (10.47), (10.50) и (10.54) показывает,
что отличие между ними выражается лишь в коэффициенте при
последнем члене уравнения для разности диагональных элементов.
В трехуровневой среде, когда нижний лазерный уровень является
(10.54а)
(10.546)
(10.55)
(10.56)
Глава 10. Базовые уравнения динамической теории лазера 185
основным, испускание фотона сопровождается, как и в двухуров-
невой среде, изменением инверсии на две единицы. В четырех-
уровневой среде, где этот уровень приподнят над основным и ла-
билен, излучению фотона отвечает изменение инверсии на едини-
цу. Введя коэффициент /Зп, равный единице для четырехуровневой
среды и двум для трехуровневой и двухуровневой сред, запишем
уравнения в форме, объединяющей все рассмотренные случаи:
= -[У± - i(w -<)]<т , (10.57а)
dr 2ft
— = - £><0>)" —d(F’ff - F<T*). (10.576)
dt " 2й
Предполагается, что матрица дипольных моментов действительна,
т. е. dmn = d = d.
tnn пт
Система (10.57) может рассматриваться как обобщение из-
вестных уравнений, полученных Блохом в теории парамагнитного
резонанса (см. разд. 6.2 и гл. 8), на случай двухуровневой системы
произвольной природы. Разность населенностей и поляризация
имеют в этой интерпретации смысл продольной и поперечной
компонент некоторого вектора (энергетического спина, обобщен-
ного вектора Блоха [3, 12]) в конфигурационном пространстве.
10.3. Самосогласованная полуклассическая система
уравнений лазера
В предыдущих разделах были по отдельности приведены урав-
нения, описывающие поляризацию среды в заданном поле и излуче-
ние, обеспечиваемое заданной поляризацией среды. Объединяя
уравнения, т. е. полагая, что поляризация, являющаяся источником
поля, в свою очередь, определяется этим же полем, приходим к са-
мосогласованной системе уравнений, описывающей квантовый ге-
нератор. В общем виде указанная система записывается как
V х V х Е -+ 4тгР),
с dt с dt
P = ^(Tr(dp)),
= + (10.58)
dr ft
186
Часть третья. Физика лазеров
Ее часто называют полуклассической или квазиклассической, под-
черкивая классический характер уравнений поля и квантовый ха-
рактер материальных уравнений.
Сузим задачу, полагая среду двухуровневой, спектрально од-
нородной и ориентационно упорядоченной. Последнее дает воз-
можность считать поле линейно поляризованным в направлении
ориентации дипольного момента перехода. Чтобы описать распро-
странение плоской волны в такой среде, обратимся к уравнению
(10.8). Если речь идет о неограниченной среде, то справедлив за-
кон дисперсии (О = ск. В случае же кольцевого резонатора условие
цикличности
E(Z,z) = E(r,z + L) (10.59)
определяет спектр собственных значений постоянной распростра-
нения кл, которым отвечают собственные частоты резонатора
(10.60а)
(10.606)
(Ю.бОв)
(10.61а)
сосА = скл. Под L в (10.59) понимается периметр резонатора.
Объединяя (10.9) с (10.57) и считая d || F, приходим к скаляр-
ной модели лазера бегущей волны:
dF dF r _ . ,,,
с— + —— + [k-i((D-cdc)]F = 2niwdNs(y ,
az at
+ (Xi - i(« - w0)]ct = ~—dFD,
at 2n
+ y„(F> - D(0>) = -Fa),
Самосогласованная система, полученная посредством разло-
жения поля по модам идеального многомодового резонатора (стоя-
чим волнам), включает в себя уравнения (10.30) и (10.57):
+[х - i(co - сосЛ )]FA = 4ni(odNs [аЕ, (r)dV,
at Vc J
-^+[y1-i(to-<u0)]CT = -—DjEA(r)FA ,
Ol In
^ + y||(D-D<0,) = -^-X(FA’a-FACT’)EA(r).
Ot Ln
Эта система широко используется при формулировке конкретных
моделей лазеров.
(10.616)
(10.61b)
Глава 11.
ОДНОМОДОВЫЕ ЛАЗЕРЫ
Простейшие одномодовые модели играют особую роль в ди-
намической теории лазера. Они обладают предельно низкой раз-
мерностью и включают лишь самую фундаментальную и неустра-
нимую нелинейность, сопутствующую процессу взаимодействия
поля и активной среды, проявление которой не завуалировано
взаимодействием мод, наличием дополнительных нелинейных
элементов или внешних управляющих сигналов. Поведение одно-
модовых лазеров зависит от их принадлежности к одному из дина-
мических классов, определенных в разд. 9.2.1.
11.1. Динамические модели однородно уширенных лазеров
В дальнейшем удобно использовать уравнения, записанные в
безразмерной форме. С переходом к этой форме удается «спря-
тать» практически все коэффициенты, не определяемые на опыте.
В то же время, нормировка наблюдаемых имеет очень ясный физи-
ческий смысл: амплитуда поля нормируется на насыщающее зна-
чение, а инверсия — на величину, соответствующую порогу гене-
рации лазера.
11.1.1. Уравнения для квадратичных величин
Обратимся к модели лазера, выражающейся уравнениями
(10.60). Если потери на отдельных элементах резонатора (зеркалах)
малы и, следовательно, на периметре нет участков с резким нарас-
танием поля, можно считать ЭГ/Эг = 0. Введем безразмерные обо-
значения:
t
dF'
h
2
mod2
n =-----
h'yji
NSD,
188
Часть третья. Физика лазеров
7 / х-1/2 ,
= IniwdT 2 А = mod т
hK й/л
К = Kt, у, = у,7, Д = (co-to0)/y1, Дс = (Щ-СОс)/К . (111)
Нормирующий множитель t удобнее всего выбирать соизме-
римым с характерным временным масштабом реализующегося в
лазере нестационарного процесса, и жесткая унификация здесь не-
целесообразна. Разнообразие вариантов требует индивидуального
подхода в каждом конкретном случае. Чаще всего в качестве нор-
мирующих множителей используются времена релаксации Ть Т2 и
Тс, определяемые обратными скоростями yJ, у[‘ и к-1. В обозна-
чениях (11.1) уравнения принимают вид
^--ii^cf = K(p-f),
dr
dp - _
----iY^0P = YAnf-p),
ат
d/г
dr
Комплексная форма уравнений наиболее компактна, но не все-
гда удобна. Во многих случаях резонно обращаться к действитель-
ным переменным, каковыми являются, например, реальные и мни-
мые части f,p либо их модули и аргументы. В качестве действи-
тельных переменных могут фигурировать и квадратичные величины
w=l/r> г=1рГ’ *=^Up + Г pl q=^(Jp -Гр)- (Н.З)
Эти переменные связаны между собой и с инверсией л пятью
уравнениями, которые нетрудно получить из системы (11.2):
— = 2к(л-л1), (11.4а)
dr
d/г
— = A-n-s,
dr
dr ,
— -ly^ns-r},
dr
d.v A
— = ~(У1 + к )s + yx AOcq + y1mn + Kr,
dr
dn „ . 1,,.
— = у„ A-n--(f p + fp ) .
(11.2а)
(11.26)
(11.2в)
(11.46)
(11.4в)
(11.4г)
Глава 11. Одномодовые лазеры
189
-J = -(h +к)д-/1Д0с5. (Н.4д)
ат
Здесь нормировка времени выбрана в виде t = уГ1 и введено обо-
значение ДОс = (<У0 -й>с)/ух. Уравнения (11.4) удобны, в частности,
для исследования условий перехода к скоростным уравнениям
второго порядка.
11.1.2. Адиабатическое исключение поляризации; балансные
уравнения одномодового лазера
Уравнения баланса инверсии N и числа фотонов М можно
написать, исходя из простых соображений, основываясь на поня-
тии вероятности перехода в единицу времени:
= -2кМ , (11.5а)
^ = у||(У(0>-У)-Дл5Л/У. (11.56)
Они отражают тот факт, что число фотонов в резонаторе возраста-
ет в результате индуцированных переходов со скоростью BMN
(В — коэффициент Эйнштейна, определенный по отношению к
полному числу фотонов в резонаторе) и убывает со скоростью
2кМ из-за наличия потерь. На инверсию оказывают влияние ин-
дуцированное испускание, уменьшающее /V, а также релаксаци-
онные потери и накачка, благодаря которым инверсия стремится
достигнуть равновесного значения У(0). Уравнения (11.5) были
впервые опубликованы Статцем и ДеМарсом и иногда упоминают-
ся в литературе под их именами.
Вероятностный способ написания уравнений баланса прост и
нагляден, однако он не дает информации о границе их применимо-
сти. Ее можно получить, рассматривая более общую систему (11.2)
или (11.4), откуда (11.5) следует как один из предельных случаев.
Система (11.5) имеет в качестве переменных (с точностью до
обозначений) те же т и п, которые входят в число переменных
системы (11.4). Следовательно, переход к уравнениям баланса от
(11.4) заключается в пренебрежении производными dr/dr, ds/dr и
dg/dr.
190
Часть третья. Физика лазеров
В общем случае возможность уменьшения числа дифференци-
альных уравнений посредством адиабатического исключения части
переменных наступает, когда в фазовом пространстве системы вы-
деляется подпространство, в котором отсутствуют быстрые движе-
ния [15]. Стартуя с произвольной начальной позиции, изображаю-
щая точка быстро оказывается в этом подпространстве, а затем
движется по траектории, локализованной в его пределах. Это под-
пространство называется центральным множеством.
Движения в системе, описываемые уравнениями
jwx, = Ft (х, у), у; = G; (х, у),
где jU — малый параметр, мало отличаются от движений в пре-
дельной системе:
F,(x,y) = 0, у}=С^х,у).
Таким образом, для адиабатического исключения переменных
требуется, прежде всего, наличие малого параметра перед некото-
рыми производными. Это означает, что коэффициенты в уравнени-
ях резко различны по величине, а переменные делятся на «быст-
рые» и «медленные». Быстрые переменные способны за короткое
время достигать квазистационарных значений, определяемых
мгновенными значениями медленных переменных, отслеживая в
дальнейшем изменения последних.
Применительно к уравнениям (11.4), в которых адиабатиче-
скому исключению подлежат переменные г, s и q, можно счи-
тать, что роль малого параметра играет величина, пропорциональ-
ная 1/уА (т. е. Уц/у±), и первая группа условий, обеспечивающих
переход к балансным уравнениям, выглядит как
У±»Уц, Уа.»*- (П.6)
Эти неравенства выполняются в случае лазеров класса В. Так, для
твердотельных лазеров типичны значения параметров
у||=103-104с'1, у1=10|2с“|, к = 108с*.
Локализация фазовых траекторий в пределах центрального
множества обеспечивается, согласно [15], отрицательностью дей-
ствительной части корней характеристического уравнения:
Глава 11. Одномодовые лазеры
191
dF* dF\ dxs = 0
dxt дх2
dFs dF dFs i
— • •
dxt dx2
(117)
Применительно к подсистеме (11.4в), (11.4г) характеристиче-
ское уравнение (11.7) приобретает вид
Л3+4Л2+(5 + Аос-2ик)Л + 2(1 + Дос)-2ик=О.
Заметим, что последнее уравнение содержит величину к=к/у±,
которая, согласно условиям (11.6), может претендовать на роль
малого параметра. Воспользовавшись критерием Рауса—Гурвица,
находим условие отрицательности ReA:
п<-
(1 + Д2с)/к дляД2с<3,
(9 + Дос)/к дляД2с>3.
(11.8)
Будем считать, что критерии (11.6) и (11.8) выполнены. Поэто-
му воспользуемся стандартной процедурой адиабатического исклю-
чения переменных г, s к q из уравнений (11.4), полагая Эг/Эт =
= Эл /Эт = dq/dt = 0 и выражая эти переменные через m и п:
Д0с5
- -— г - ns,
тп
(11.9)
q --г = ns, s = ————:-------------г .
1 + К 1 + к(1-и) + Д^(1 + кГ'
Далее, подставляя эти соотношения в уравнения (11.4а) и (11.46),
находим
dm __
---= 2кт
dr
dn
— = А- п-----------------—.
dr 1 + к(1-л) +Д2с(1 + к)
Ограничиваясь нулевым приближением по малому параметру к,
приходим к уравнениям баланса в их традиционной форме:
dm „
— = Gm
dr
1 + к(1-«) + Дос(1 + к) ‘
тп
(11.10а)
(11.106)
—1 ,
1 + Дое
(11.11а)
п
192
Часть третья. Физика лазеров
где остался единственный фундаментальный параметр
6^2к = 2к/уц.
Неравенства (11.6) и (11.8) представляют собой необходимые
условия применимости уравнений баланса. Достаточными их при-
знать нельзя, поскольку малость параметра 1/у2 пока только дек-
ларирована. Для того чтобы установить критерий малости, про-
дифференцируем уравнение (11.11а) по времени, а затем подста-
вим в него вместо dm/dr и dn/dr их значения согласно (11.4) и
учтем условия (11.6). Искомые условия эквивалентны малости по-
лученного выражения по сравнению с правой частью уравнения
(11.4). Почленное сравнение показывает, что к неравенствам (11.6)
добавляются еще два: | п |«1 /к, m«yL.
Выполнение системы неравенств
Гх»Гг /±>>к’ Г±»Гц"г’ 1И1«Г±/^ (П-12)
обеспечивает существование области медленных движений систе-
мы (11.4), а более мягкое неравенство (11.8) — устойчивость этих
движений. Заметим, что, согласно (11.1), неравенство m«yL! Уц
эквивалентно W «у±, причем W = {dF)2 !h1y1 имеет смысл веро-
ятности индуцированного перехода. Это же неравенство можно
трактовать и как «у±, где £2R=dF!ti — частота раби-
осцилляций.
Уравнения баланса можно получить непосредственно из сис-
темы (11.2), полагая dp/dr = O и F -mylev. Адиабатическое ис-
ключение поляризации с последующим переходом к действитель-
ным переменным дает
dm ~
— = Gm
dr
п
1+д!
dn
— = А-п
dr
т
i+aI
d® G п&п
— =--------2т + дс
dr 2 1 + Др
(11.13а)
(11.136)
(11.13в)
Глава 11. Одномодовые лазеры 193
Отличие уравнений (11.1 За) и (11.136) от (11.11) состоит в том, что
место Дрс занимает . В условиях у± » к такое различие лежит
за пределами точности приближения.
11.2. Динамические характеристики одномодовых лазеров
класса В
Рассматриваемая ниже модель опирается на предположение о
возбуждении единственного типа колебаний резонатора и об одно-
родности, спектральной и пространственной, рабочего вещества. В
наибольшей мере этим предположениям удовлетворяет однона-
правленный кольцевой лазер. Однако пространственная однород-
ность инверсии обеспечивается и в том случае, когда в генерацию
вовлекается большое число мод типа стоячей волны, находящихся
примерно в равных условиях. Уравнения баланса для суммарной
интенсивности излучения и разности населенностей в таком мно-
гомодовом лазере формально не отличаются от уравнений одномо-
дового лазера (11.11), к рассмотрению которых мы переходим.
11.2.1. Стационарные состояния и релаксационные колебания
(11.14а)
(11.146)
При точном совмещении частот резонатора и рабочего перехо-
да уравнения (11.11) принимают вид
— = Gm(n -1),
dr
dn
— - А -л(ш + 1).
dr
Стационарные состояния
ш„=0, па=А,
ть=А-1, пь=1.
(11.15)
без труда находятся из системы (11.14) при условии d/dr = 0. Пер-
вое из них соответствует отсутствию генерации, а второе — непре-
рывной генерации с постоянной интенсивностью. Для выяснения
типа и устойчивости особых точек следует линеаризовать (11.14) в
окрестности каждой из них по малым отклонениям 8т = т-т,
Sn=n-n.
Вблизи точки а справедливы линеаризованные уравнения
13 - 1473
194
Часть третья. Физика лазеров
—{8m)-G{A-Y)8m, —(8п)--А8т-8п,
dr dr
подстановка в которые решений {8т, 8п} = {8т', 8п'}еЛт приво-
дит к характеристическому уравнению:
(Л + 1)[Л-С(А-1)] = 0. (11.16)
Один из корней (11.16), а именно Л, =-1, отрицателен всегда,
тогда как знак второго, Л2 =G(A-1), зависит от величины А. При
А < 1 этот корень также отрицателен и особая точка оказывается
устойчивым узлом. При А > 1 знак Л2 положителен и особая точка
оказывается седлом, т. е. стационарное состояние перестает быть
устойчивым. Неравенство
(11.17)
выражает условие самовозбуждения лазера.
Движение системы в окрестности особой точки b
в соответствии с линеаризованными уравнениями:
—(<5лп) = 6(А —1)<5п, — (8п) = -8т~ Абп .
dr dr
Соответствующее характеристическое уравнение
Л2 + АЛ + С(А-1) = 0
обладает корнями
\2=~А
4.2 2
происходит
(11.18)
(П-19)
А А2
Особая точка может быть либо устойчивым узлом, если
А2-46(А-1)>0,
либо устойчивым фокусом, если выполняется обратное неравенст-
во. Для лазеров класса В имеет место G = 2к//ц »1. Поэтому ис-
следуемая особая точка практически всегда будет фокусом, и
уравнения (11.18) описывают затухающие колебания интенсивно-
сти излучения около стационарного состояния ть с частотой
я = VG(A-l) [ уДГц] = /у к(А-1)
I 171
и декрементом
eR=-A/2.
(11.20)
(11.21)
Гпава 11. Одномодовые лазеры 195
Именно их чаще всего имеют в виду, употребляя термин релакса-
ционные колебания.
Формулы вида (11.20) и (11.21) остаются в силе и в том случае,
когда резонатор не настроен на центр линии. Достаточно лишь за-
менить А на А/(1 + Дос).
Частота релаксационных колебаний согласно (11.20) находит-
ся как среднее геометрическое от скоростей релаксации инверсии и
поля. Поскольку для большинства диэлектрических лазерных кри-
сталлов /ц -103 -104 с-1, а превышение порога генерации варьиру-
ется для твердотельных лазеров в пределах от десятков до тысяч
процентов, частота релаксационных колебаний попадает в диапа-
зон десятков килогерц [до единиц мегагерц для миниатюрных чип-
лазеров. — Прим. ред.}. Что же касается полупроводниковых ла-
зеров, которым свойственны значения уц -109 с'1 и к ~ 1012 с"1, то
vR перемещается в гигагерцовый диапазон.
Таким образом, простейшая балансная модель имеет единст-
венное нетривиальное состояние равновесия, соответствующее не-
прерывной генерации с постоянной интенсивностью, и предсказы-
вает колебательный характер переходного процесса к этому со-
стоянию.
11.2.2. Фазовый портрет лазера; характеристики пичков
свободной генерации
Довольно полную информацию о переходных процессах в рас-
сматриваемой модели лазера удается получить, прибегнув к при-
ближенным аналитическим методам.
Уравнения фазовых траекторий получим, осуществив деление
(11.14а) на (11.146):
Ат (n-V)m
--= G------------
dn А - (т + 1)и
Линейное приближение, определяя характер движений в близ-
кой окрестности особых точек, дает представление о структуре
всей фазовой плоскости. Это представление можно уточнить исхо-
дя из общих свойств уравнения (11.22). Поскольку G »1, наклон
фазовых траекторий велик на всей плоскости, за исключением об-
ластей, примыкающих к прямым
(11.22)
13*
196
Часть третья. Физика лазеров
п = 1, т = 0, (11.23)
которые являются изоклинами (линиями одинакового наклона) фа-
зовых траекторий с горизонтальным расположением касательных.
Изоклина с вертикальным расположением касательных задается
уравнением
т = —-1. (11-24)
п
Структура фазовой плоскости лазера, находящегося как выше, так
и ниже порога генерации, показана на рис. 11.1.
Рис. 11.1. Фазовый портрет балансной модели лазера, пред-
ставленной системой уравнений (11.14), при значениях пара-
метра накачки ниже (о) и выше (6) порогового: жирной лини-
ей выделена сепаратриса седла, штриховыми — изоклины.
Точное решение уравнений (11.14) в аналитическом виде не
представляется возможным. Однако основные параметры нели-
нейного процесса могут быть найдены и путем приближенного
анализа (Беспалов В. И., Гапонов А. В. // Изв. вузов. Радиофизика.
1965. Т. 8. С. 70). Приближенный метод основан на большом зна-
чении параметра G, благодаря чему фазовые траектории удается
разбить на участки с быстрым и медленным движением. Подобное
разбиение не удается вблизи особых точек, но там реализуется ли-
нейное приближение. Изображающая точка медленно проходит
нижние, близкие к оси абсцисс отрезки траекторий. Вероятность
индуцированного испускания здесь мала, и скорость движения оп-
ределяется исключительно темпом накачки. Участок траектории,
на котором процесс индуцированного высвечивания доминирует
Гпава 11. Одномодовые лазеры
197
над накачкой (интервал излучения), изображающая точка проходит
с высокой скоростью. Для каждого из указанных интервалов урав-
нения (11.14) допускают упрощения, связанные с пренебрежением
теми или иными членами, благодаря чему их удается проинтегри-
ровать. «Сшивание» решений облегчается тем, что на переходных
участках накачка сбалансирована с индуцированным высвечивани-
ем и разность населенностей меняется слабо.
Фазовые траектории на рис. 11.1, б имеют вид спиралей, мед-
ленно накручивающихся на особую точку b. Один оборот спирали
соответствует пичку в излучении (рис. 11.2). Характерно, что ми-
нимуму и максимуму интенсивности излучения отвечает одна и та
же разность населенностей п = 1. Медленность затухания пичков
позволяет разделить решение задачи на два этапа. Вначале, пре-
небрегая изменением амплитуды пичков (консервативное прибли-
жение), найдем такие параметры, как амплитуда и длительность
пичка, интервал между пичками. Затем, учитывая затухание в ка-
честве возмущения, определим закон убывания амплитуды пичков.
Рис. 11.2. Характер неста-
ционарных решений баланс-
ных уравнений в консерва-
тивном приближении.
Для нахождения амплитуды и длительности пичка воспользу-
емся тем, что в условиях свободной генерации изменения разности
населенностей ограничены небольшими пределами | п -11«1.
Справедливость этого утверждения можно подтвердить непосред-
ственной оценкой. Обратимся к уравнению (11.146), которое при
условии т«Л упрощается:
— = А-п. (11.25)
dr
Решение уравнения (11.25) очевидно:
и = А + [п(О)-А]е г. (11.26)
Время т, за которое п изменяется от и(0) = 1 до и1гах, мало по
сравнению с единицей, и поэтому выражение (11.26) сводится к
198
Часть третья. Физика лазеров
(11.28)
1/2
т
(11.29)
и-1 = (А-1)т. (11.27)
Подстановка (11.27) в (11.14а) дает закон нарастания поля на ин-
тервале накачки:
In— = -G(A-1)т2.
Wmin 2
Исключая время из (11.27) и (11.28), получаем в явном виде связь
между пит:
r] = n-l= —(А-1)1п
G ттп _
Максимального значения разность населенностей достигает,
как это видно из (11.24), при т<ть. При таких интенсивностях
поля формула (11.29), вообще говоря, неприменима. Однако, учтя,
что вблизи т = ть разность населенностей практически неизменна
и что т входит в (11.29) под знаком логарифма, можно без замет-
ной погрешности принять
Г _ I1'2
= 2-(A-l)lni
G minin
Изображающая точка проникает тем дальше в область п > 1,
чем ниже она перед этим пересечет прямую п = 1. Следовательно,
величина Т]пт должна быть наибольшей для первого пичка после
включения накачки, когда тиш1 определяется только интенсивно-
стью флуктуационного поля в резонаторе. В [2] показано, что
1п(л24 /ттп) ~ 25 для всех твердотельных лазеров, откуда
Уравнения консервативного приближения получаем, пренеб-
регая малой величиной т] в уравнении (11.146):
(11.30)
^шах
dm GmTl, dr (11.31a)
dn _ — = т. - т . dr (11.316)
Система (11.31) имеет интеграл
j| TYI -G(lf -»7о) = Ч In m + m0, 2 m0 (11.32)
Гпава 11. Одномодовые лазеры
199
которому отвечает семейство замкнутых траекторий на фазовой
плоскости.
Для нахождения амплитуды пичка следует зафиксировать тра-
екторию, задав в (11.32) Т]о =Т]т№, m0=inb. Предположив, что пи-
ковое значение тпт » ть, и зная, что оно достигается при г) = 0,
находим
(11.33)
2
Вычислим длительность пичка, определяя ее как время движе-
ния изображающей точки по верхней части траектории между зна-
чениями minax = inb. На участке »ть удобно пользоваться
уравнением (11.316). Поскольку логарифмический член здесь мал,
равенство (11.32) разрешается относительно т, и время движения
по фазовой траектории между точками с одинаковыми ординатами
т = т1 составляет
dr? 2 h 27?,
р {^-ш(т?) Ст?, (r12+2G 'mi^rli)112 '
Если w, «/ппах, то т?, = т?пих, и, ограничиваясь в разложении зна-
менателя логарифма линейным членом, имеем
, 2 2GT]2
Время, за которое интенсивность поля нарастает от т = ть до
т?! = 777,, нетрудно найти из (11.31 а), полагая Г] = Т]^ :
, 1 , т1
т =------111-•
СППИХ ть
Искомая длительность пичка определяется формулой
т =< +2< = -^-ln^k (11.34)
Gt?^ А-1
Интервал времени между пичками т0 находится из формулы
(11.27)и равен
(11.35)
200
Часть третья. Физика лазеров
Пример 11.1
Рубиновый лазер
Уц^Ю’с'1;
к—5 107 с'1; G = 105;
А =5;
ln(wt/minin) = 25;
/711ИХ=4,5-1О-2;/ппах=1ОО;
тр = 210"3; то=2,25 1О’2;
гр = 2 мкс; t0 = 22,5 мкс;
тр/то=0’08-
Пример 11.2
Nd:YAG лазер
У||=5 103с-1;
к = 5-107 с’1; G = 2104;
А = 2;
ln(wb/mmin) = 25;
^x=510’2; ^=25;
тр=9,2 10’3; то=О,1;
гр = 1,8 мкс; го=20 мкс:
тр/то=0,09.
Скорость затухания пичков в нелинейном режиме можно вы-
числить, отказавшись от консервативного приближения. Прежде
всего найдем изменение величины г]пах за один оборот по спирали
(рис. 11.3).
Рис. 11.3. Виток спиральной фазо-
вой траектории в неконсерватив-
ной балансной модели.
На интервале излучения (т » ть) движение изображающей
точки подчиняется приближенному уравнению
— = —(11.36)
d?7 г/ +1
решение которого, если пределы интегрирования по т одинаковы,
имеет вид
Гпава 11. Одномодовые лазеры
201
T^-r^ln^-. (11.37)
1 + ?),
На интервале накачки (т «1) справедливы уравнения:
dm dn _
— ~Gr]m, —- = mb-T). (11.38)
dr dr
Интегрируя (11.38) по нижней части витка в пределах Т]2 <т] <т}3,
соответствующих одинаковым значениям т, приходим к равенству
7)3 ~П2 + ™ь —— = 0. (11.39)
ть ~И2
Выше уже неоднократно говорилось, что медленнее всего раз-
ность населенностей меняется вблизи точек г/ = Tlnax. Теперь необ-
ходимо оценить, какова же здесь в действительности скорость из-
менения. С этой целью разложим функцию г)(т) в степенной ряд в
окрестности точки г] = r)mix. Поскольку первая производная в экс-
тремальной точке обращается в нуль,
2G(A-l)T]inM '
(11.40)
Предполагая, что изменение г) на один виток спирали составляет
малую величину порядка т]2, попытаемся «сшить» решения (11.37)
и (11.39). Это можно сделать, если значения на сшиваемых концах
отличаются менее чем на Т]2. Критерий законности такой операции
получим из (11.40):
(/п-^)2«2С(А-1)7?п2ах. (11.41)
Приведенные соображения позволяют в формуле (11.37) по-
ложить 7J, = г]^, т]2 - . Ограничив точность вычисления вели-
чины Aty = |??21-членами порядка г]2, мы тем самым задаем
число членов в разложении логарифма и получаем
2 ,
ДП! (11.42)
С той же точностью из (11.39) получаем следующее выражение
для А?72 =U3-|U21 -'
ДП2 =-2?)2/Зшь. (П-43)
202
Часть третья. Физика лазеров
Малость изменения амплитуды соседних пичков позволяет
объединить формулы (11.42) и (11.43) в одну:
7 л
(11.44)
3 Л-1
Формулы (11.33) и (11.44) дают возможность установить закон
убывания амплитуды пичков во времени. Из (11.33) следует, что
каждый последующий пичок меньше предыдущего на величину
Д^^.пахМпах-
Подставляя сюда значение Д??1Пах (11.44), находим
4 А
Д^ = --—— П^т^. (11.45)
3 А-1
Разделив это выражение на интервал времени между пичками
(11.35), определяем производную от огибающей пичков:
dwiini„ __ Д/п0 _ _ 2А/н
dr т0 3
Сама огибающая, представляющая закон убывания амплитуды
пичков, дается выражением
ехр(-2 Ат 13). (11.46)
Скорости затухания интенсивных пичков и малых релаксационных
колебаний оказались очень близкими.
Основной физический результат проведенного рассмотрения
состоит в том, что система возвращается к положению равновесия
при любом отклонении от него. Режимы незатухающих пульсаций
лежат за пределами рассмотренной модели и не описываются про-
стейшими уравнениями баланса (11.14).
11.2.3. Энергетические характеристики
В предыдущем разделе проводились оценки длительности
пичков и частоты их следования. Эти оценки хорошо согласуются
с экспериментальными данными. Балансные уравнения позволяют
оценить и энергетические характеристики лазеров. К этой оценке
можно подойти следующим образом. Энергия поля в резонаторе
выражается через амплитуду и объем: W -1F |2 Vc / 8тг. Воспользо-
вавшись связью F с безразмерной интенсивностью т, которая
извлекается из соотношений (11.1), получаем
W = h ^^-т. (11.47)
Гпава 11. Одномодовые лазеры 203
Во многих случаях более удобной представляется формула,
содержащая не матричный элемент дипольного момента перехода
d, а сечение перехода ст,г. Между собой эти величины связаны
посредством соотношения (9.2). С учетом сказанного запишем
энергию поля в числах фотонов:
М = - = -^-т. (11.48)
hco 2ссг1г
Излучаемая лазером мощность при условии, что вывод энер-
гии наружу служит основным источником потерь, находится эле-
ментарно:
W faoyjcV. .
/UBt] = - = —~т -107. (11.49)
Тс «L,
Желая вычислить мощность стационарной генерации, мы должны
подставить в (11.49) значение т = А-1. Для нахождения макси-
мальной мощности в пичке свободной генерации следует восполь-
зоваться выражением (11.33).
Пример 11.3
Nd. YAG лазер
о-,г = 10“18 см2; W = 10'8 с-1; Р^ = 0,3 Вт;
Уц = 5 • 103 с"1; к = 108 с-1; М т = 2 Ю10 фотонов;
А = 1,2; ln(mt/ю.™) = 25; Р™ = 8 Вт.
Ус = 1см3;
Для рубинового лазера с сг,г = Ю-20 см2, у# = 103 с"1, А = 5
мощность возрастает до Р™ = 3 кВт.
Эти примеры показывают, что простейшая теория лазера верно
отражает закономерности, которыми определяются характеристи-
ки свободной генерации.
Одномодовые балансные модели занимают особое место в
теории лазера. При всей упрощенности они дают верную качест-
венную и даже количественную информацию о ряде практически
важных характеристик излучения. Существен также вывод о гру-
бости таких характеристик, как частота следования и длительность
пичков, о малой чувствительности их, равно как энергии и мощно-
сти, к небольшим изменениям модели.
204
Список литературы
1. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники. — М.:
Наука, 1986.
2. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. — М.: Наука-Физматлит,
1999.
3. Файн В.М. Фотоны и нелинейные среды. — М.: Сов. радио, 1972.
4. Ярив А. Квантовая электроника: Пер. с англ. / Под. ред. Я.И. Хани-
на.— М.: Сов. радио, 1980.
5. Звелто О. Принципы лазеров: Пер. с англ. / Под. ред. Т.А. Шмаоно-
ва.—М.: Мир, 1990.
6. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. 2-е изд. — М.: Нау-
ка, 1988.
7. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 6-е изд. — М.: Наука,
1983.
8. Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. — М.: Мир,
1983.
9. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая элек-
тродинамика. 3-е изд. — М.: Наука, 1989.
10. Лоудон Р. Квантовая теория света. — М.: Мир, 1976.
11. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия
в квантовой электронике. — М.: Наука, 1987.
12. Макомбер Дж. Динамика спектроскопических переходов. — М.:
Мир, 1979.
13. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2-е
изд. — М.: Наука, 1982.
15. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. —-
М.: Наука, 1981.
ВОПРОСЫ
1. Чистое состояние
а) описывается волновой функцией (//;
б) описывается волновой функцией + а2^2;
в) не описывается волновой функцией.
2. Какие из перечисленных систем находятся в чистом состоянии?
а) изолированный атом;
б) два взаимодействующих атома;
в) атом в кристаллической решетке.
3. Матрица плотности - это:
а) оператор, сопоставляемый плотности вещества;
б) оператор, сопоставляемый плотности энергии поля;
в) оператор, позволяющий вычислять средние значения физических
величин.
4. Какое из приведенных уравнений соответствует смешанному состоя-
нию?
a) = ;
dt V
б)^ = [Н,р].
ot
5. Квантование поля - это:
а) разбиение энергии поля на дискретные порции;
б) замена канонических переменных поля соответствующими опера-
торами.
6. Стационарным в квантовой теории излучения называется электро-
магнитное поле,
а) обладающее постоянными во времени амплитудой и фазой;
б) характеризующееся определенным числом фотонов;
в) состояние которого является собственным состоянием гамильтониана.
7. В когерентном состоянии поле излучения имеет
а) определенное число фотонов;
б) определенную фазу.
8. Когерентное состояние является собственным состоянием
а) оператора Гамильтона;
б) оператора импульса;
в) оператора уничтожения фотонов.
206
Вопросы
9. Классическое описание поля справедливо, если
а) велико число фотонов;
б) мала энергия одного фотона.
10. Вероятность поглощения фотона атомом равна вероятности
а) индуцированного излучения;
б) спонтанного излучения;
в) релаксационного перехода.
11. Какое из выражений дает вероятность спонтанного излучения?
a) w = Bp((if)-.
б) w= А.
12. На диаграмме представлен процесс двухфотонного поглощения. Ка-
кое из состояний (а, б, с) является виртуальным и почему оно так на-
зывается?
--------------- -------------- б
с
а
13. Вероятность квантового перехода дается формулой:
W =—|к I2 * * * б) <5(W -W).
пт ^.2 । пт i х т п 7
Какова фотонная кратность процесса, если матричный элемент
_ V ,у, .V.
_ X л пт пп п п *2
14. Динамическая система обладает
а) конечным числом степеней свободы;
б) непрерывным спектром;
в) дискретным спектром;
г) бесконечным числом степеней свободы.
15. Электродипольный переход возможен только между состояниями
а) одинаковой четности;
б) противоположной четности.
Вопросы 207
16. Каков физический смысл приведенного ниже соотношения?
17. Каков физический смысл и название величины
у = ^^2 (fi>21 —G))^2+l д/ 9
" h l + (ty21-w)2T22
18. Ниже приведена формула восприимчивости двухуровневой кванто-
вой системы, учитывающая эффект насыщения. В чем состоит этот
эффект?
Z = ____________N.____________
ft \ + &2l-vYT22+(FIFHX)2
19. Постоянная инверсия населенностей при оптической накачке возможна
а) в двухуровневой системе;
б) в трехуровневой системе;
в) в четырехуровневой системе.
20. Действие квантовых усилителей и генераторов основано на принципе
а) индуцированного испускания;
б) спонтанного испускания.
21. Основная функция резонатора лазера -
а) выделение рабочей частоты;
б) обратная связь.
22. Порог генерации выше для активных сред
а) с узкими спектральными линиями;
б) с широкими спектральными линиями.
23. Для создания инверсии населенностей требуемая энергия накачки
больше
а) в трехуровневой системе;
б) в четырехуровневой системе.
24. Инверсия населенностей в твердотельных лазерах достигается с по-
мощью
а) химических реакций;
б) оптической накачки;
в) пропускания электрического тока.
25. Непосредственное преобразование энергии электрического тока
в лазерное излучение достигается в
а) газоразрядных лазерах;
б) лазерах на красителях;
в) полупроводниковых лазерах.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Ниже приведена последняя статья Я. И. Ханина, опубликованная в
специальном выпуске журнала «Известия ВУЗов: Радиофизика», посвя-
щенном памяти Якова Израилевича (Известия вузов. Радиофизика. 2004.
Т. 47, №10—11. С. 799).
ПРОБЛЕМЫ ИЗБЫТОЧНОГО ШУМА
И АДЕКВАТНЫЕ МОДЕЛИ ЛАЗЕРОВ1
Я. И. Ханин
Институт прикладной физики РАН, 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, д. 46
Рассматриваются проблема избыточного шума в лазерах различных динамиче-
ских классов и модели, необходимые для адекватного описания такого шума. По-
казано, что избыточный шум обусловлен связью мод, при этом линейная связь
мод приводит к явлению избыточного шума в узком смысле слова (по Питерма-
ну), а нелинейная связь мод является универсальным механизмом избыточного
шума, имеющим динамическую природу. Теория избыточного шума в лазерах
класса В может строиться на базе модели с адиабатически исключенной поляриза-
цией, полученной стандартным образом, и не требует привлечения новых подходов.
1. Введение
Желая обозначить особое место лазеров среди других уст-
ройств, о них часто говорят как об источниках когерентного света.
В действительности, однако, этот идеал недостижим. Принципи-
ально неустранимый процесс спонтанного испускания в лазерные
моды обеспечивает наличие в выходном излучении флуктуацион-
ной компоненты. Минимальный уровень (фундаментальный пре-
дел) шума достигается, когда нелинейные процессы в лазере не
затрагивают того, что дает источник шума. Так бывает в одномо-
довых лазерах бегущей волны.
Естественная ширина линии в таких лазерах дается формулой
Шавлова — Таунса [1]:
* hv к2
Av =-------,
Рои,
(1)
1 Статья подготовлена к публикации И. В. Корюкиным и П. А. Хандохиным.
Проблемы избыточного шума и адекватные модели лазеров
209
которая справедлива для модели лазера с
— однородным уширением;
— однородным распределением поля в резонаторе лазера;
— адиабатически исключенной поляризацией активной среды;
— полной инверсией населенностей;
— отсутствием насыщения инверсии.
Более общим является следующее выражение для ширины ли-
нии излучения лазера [2]:
у± + к72
Ду=^Л,»>
K + Av0.
(2)
Здесь У® — фактор спонтанного излучения в отсутствие лазерно-
го поля, ух — скорость распада поляризации, к — полоса моды
резонатора, К — фактор Питермана, Av0 — не зависящий от
мощности лазера вклад в ширину линии (он равен нулю в идеаль-
ной четырехуровневой схеме и в настоящей работе не рассматри-
вается).
Первое отличие выражения (2) от формулы Шавлова—
Таунса — /V®’ = N2 l(N2 ~ Nx), где N2 и Nt — населенности верх-
него и нижнего лазерных уровней соответственно. Этот фактор
учитывает неполную инверсию населенностей. Вклад поляризации
активной среды учитывается сомножителем в круглых скобках.
Формула Шавлова — Таунса, скорректированная этими двумя
факторами, определяет фундаментальный предел ширины линии
излучения лазера, обусловленный квантовыми флуктуациями.
Уровень шума, превышающий квантовый предел, обычно называ-
ют избыточным. Избыточный шум учитывается фактором Питер-
мана. Необходимо отметить, что повышенный уровень флуктуаций
на выходе лазера имеет место во всех многомодовых лазерах, и
обусловлен он взаимодействием мод.
2. Избыточный шум по Питерману. Тезисы Сигмена
Если не упоминать о небольших отклонениях уровня флуктуа-
ций и ширины линии лазера от фундаментального предела, пред-
сказываемого формулой Шавлова — Таунса [1], то впервые о на-
личии избыточного шума заговорили в связи с работой Питермана
[3]. В этой и последовавших за ней работах других авторов [4—10]
14 - 1473
210
Приложение
было показано, что в лазерах с неортогональными модами превы-
шение минимального уровня естественного шума может состав-
лять десятки и сотни раз!
Поначалу казалось, что объяснение столь сильного эффекта
потребует радикального пересмотра всей квантовой теории излу-
чения. А. Сигмен высказал по этому поводу ряд очень сильных
предположений [4]:
— эффект избыточного шума имеет квантовую природу;
— эффект обусловлен неортогональностью мод и наиболее
сильно проявляется в лазерах с неустойчивыми резонаторами;
— для объяснения эффекта, возможно, придется отказаться от
убеждения в равенстве коэффициентов Эйнштейна для индуциро-
ванного и спонтанного излучения А и В;
— наличие избыточного шума в лазерах ставит под сомнение
саму концепцию фотона.
Но объяснение этого, грандиозного, на первый взгляд, фено-
мена оказалось удивительно простым. Неортогональность мод оз-
начает наличие сильной линейной связи между ними, благодаря
которой вместо парциальных мод возникают новые образования,
называемые квазимодами [11]. В область притяжения лазерной
квазимоды может попадать значительно больше спонтанных фото-
нов, чем в одиночную моду резонатора. Фактически ситуация не
отличается от описанной в теории Шавлова и Таунса ничем, кроме <
частоты актов спонтанного излучения в квазимоду. Это находит
подтверждение в последовательно квантовой теории эффекта [11],
которая свидетельствует о наличии всего лишь незначительных
поправок к результатам феноменологического рассмотрения.
3. Нелинейная связь мод
и избыточный шум динамического происхождения
Значительно больший интерес представляет влияние нелиней-
ного взаимодействия мод на флуктуационные характеристики ла-
зера. Одним из первых этот эффект экспериментально и теорети-
чески исследовал Ю. И. Зайцев [12, 13], который рассмотрел двух- ।
модовый режим гелий-неонового газового лазера. Нелинейное
взаимодействие, каковым в данном случае является эффект насы- j
щения неоднородно уширенной активной среды (выжигание спек- |
Проблемы избыточного шума и адекватные модели лазеров 211
тральных провалов полями генерирующихся мод), приводит к сле-
дующим основным последствиям.
Флуктуации суммарной интенсивности лазерного излучения
не претерпевают изменения по сравнению с сопоставимым од-
номодовым режимом.
Очень сильно возрастают флуктуации интенсивности отдель-
ных мод (примерно на два порядка), однако эти флуктуации
антикоррелированы.
Поскольку речь идет о флуктуациях интенсивности, явление
не связано с уширением соответствующих спектральных компо-
нент. Проведенные Зайцевым экспериментальные исследования
очень хорошо согласуются с результатами его же теоретического
рассмотрения на базе балансной модели, предложенной в свое
время Лэмбом [14].
Но закономерности, выявленные на примере конкретной моде-
ли с конкретным типом нелинейного взаимодействия мод, получи-
ли подтверждение и в других случаях, когда на первый план выхо-
дят иные нелинейные эффекты. Так обстоит дело в случае твердо-
тельных лазеров. Здесь, в первую очередь, работает выжигание
пространственных, а не спектральных провалов в активной среде.
Взаимодействие мод на этих провалах приводит к известной про-
тивофазной динамике релаксационных колебаний [15—17], что
является, в сущности, тем же, что и антикоррелированные флук-
туации интенсивности мод.
Привести таких примеров можно много. И не обязательно ог-
раничиваться нелинейностями типа эффекта насыщения и числом
мод, равным двум. Избыточный шум наблюдается и в результате
четырехволнового взаимодействия (комбинационного взаимодей-
ствия) мод [18, 19].
Эффекты, подобные тем, что наблюдал Зайцев, имеют место и
в лазерах с поляризационными модами [9]. В основе явления лежит
неоднородное насыщение углового (ориентационного) распреде-
ления атомов.
Таким образом, избыточный шум возникает во всех типах ла-
зеров, поскольку моды непременно связаны через те или иные не-
линейные эффекты. Это обстоятельство является реальной причи-
ной ограничения чувствительности в устройствах внутрирезона-
торной лазерной спектроскопии (см. [19] и приведенную в этом
обзоре литературу). Метод внутрирезонаторной лазерной спектро-
14*
212
Приложение
скопим является, с другой стороны, адекватным способом экспе-
риментального исследования явления избыточного шума.
Характером нелинейного взаимодействия мод предопределя-
ется и выбор моделей, используемых в теории лазера. Скажем,
чисто энергетическому взаимодействию отвечают скоростные
уравнения. Казалось бы, этот вопрос исчерпан. Однако исследова-
тели проявляют интерес к лазерам, характеризующимся не совсем
типичными соотношениями между релаксационными константами:
ширина линии усиления у± меньше полосы моды резонатора к.
Условие к » у± определяет принадлежность таких лазеров к тому
из четырех возможных динамических классов или групп, который
иногда называют классом D [18].
4. Модели лазера, применяемые в теории избыточного шума
Разделение всех лазеров на четыре группы по их динамиче-
скому поведению [18, 20—22] основывается на разном соотноше-
нии между значениями релаксационных констант: уп — скорости
релаксации разности населенностей (инверсии), у± — скорости
распада поляризации атомной системы (ширины однородной ли-
нии усиления) и к — скорости затухания поля в резонаторе.
Напомним существо дела, обратившись к двухуровневой мо-
дели однородно уширенного лазера бегущей волны, известной как
модель Лоренца — Хакена [23]:
dF
— = к(Р-Е), (За)
dt
^- = у^пЕ-Р), (36)
at
^- = y^W-n-EP). (Зв)
Здесь использованы нормированные переменные Е (амплитуда
электрического поля), Р (амплитуда атомной поляризации) и п
(инверсия населенностей) и параметр накачки W, тогда как релак-
сационные константы у±, Уц, к, равно как время г, оставлены в
естественной размерности.
Арекки предложил [20] относить к классу А лазеры (атомар-
ные газовые, лазеры на красителях), удовлетворяющие условию
Проблемы избыточного шума и адекватные модели лазеров 213
У± ’ Уц >:> к Класс В составляют лазеры (твердотельные, полупро-
водниковые, молекулярные газовые), для которых у1»к'»уц.
К классу С отнесены лазеры с у± ~ к, каковыми являются некоторые
молекулярные газовые лазеры далекого инфракрасного диапазона,
например аммиачный лазер с оптической накачкой. Но к этим груп-
пам необходимо добавить еще одну (класс D [18]), отличающуюся
соотношением между релаксационными константами к»у1, уя.
Сюда попадают пучковые молекулярные генераторы, а также неко-
торые газовые лазеры с очень сильной и узкой линией усиления,
которая может быть достигнута в активной среде НеХе-лазера.
Практическая ценность такой классификации заключается в
том, что разные классы (кроме класса С) допускают снижение по-
рядка системы уравнений за счет адиабатического исключения тех
или иных переменных, что существенно облегчает последующий
анализ. В случае класса А к числу «быстрых» можно отнести обе
материальные переменные, поляризацию и инверсию; их исключе-
ние сводит систему (1)—(3) к уравнению для поля, и это есть
предмет теории газовых лазеров, развитой Лэмбом [ 14]1. Для лазе-
ров класса В «быстрой» переменной является только поляризация.
Процедура адиабатического исключения поляризации позволяет
считать dPldt = G, что сводит уравнение (36) к простому алгеб-
раическому соотношению:
Р = пЕ . (4)
Это означает, что в принятых обозначениях переменная п иг-
рает роль резонансной восприимчивости атомной системы. Под-
становка выражения (4) в (За) и (Зс) переводит указанные уравне-
ния в известную систему уравнений баланса Статца — ДеМарса
для числа фотонов в резонаторе и разности населенностей рабочих
уровней активной среды [24]:
^ = 2к/(п-1), (5)
dt
1 Фактически к числу неравенств, выполнение которых делает возможным адиа-
батическое исключение тех или иных переменных, следует добавить еще одно.
Его смысл заключается в том, что скорость самого быстрого релаксационного
процесса должна заметно превышать вероятность индуцированного перехода
между квантовыми состояниями. Это условие ограничивает сверху интенсивность
поля излучения.
214
Приложение
— = y^W-n-nI), (6)
где I = Е2 — интенсивность поля излучения.
Несколько по-иному обстоит дело с лазерами класса D, для ко-
торых соотношение между релаксационными параметрами выра-
жается неравенствами к»у±, уц. Теперь «быстрой» переменной
выступает амплитуда поля, которую и следует адиабатически ис-
ключить из уравнений (3). Полагая dE/dt~G, находим из (За):
Е = Р. (7)
Резонансная восприимчивость атомной системы в данном случае
равна единице. Подстановка соотношения (7) в (36) и (Зв) приво-
дит к скоростным уравнениям:
^- = 2у±/(п-1), (8)
at
^- = h(W-n-I). (9)
Сопоставление систем уравнений, описывающих лазеры клас-
сов В и D, (8), (9) и (5), (6) показывает, что уравнения (8) и (5) от-
личаются лишь величиной коэффициента в правой части: в (5) это
2к, тогда как в (8) фигурирует 2у±. Физически такое различие
(или сходство!) легко объяснимо. Активная среда и резонатор ла-
зера могут рассматриваться как два связанных осциллятора. В пре-
деле у± » к доминируют резонансные свойства электродинами-
ческой системы, что и объясняет наличие в уравнении баланса (5)
скорости потерь резонатора. В обратном предельном случае, когда
к » у±, определяющую роль играют резонансные свойства атом-
ной системы и к уступает место у±. Уравнение (9) качественно
отличается от (6) тем, что оно линейно по интенсивности поля.
5. Несостоятельность «модели» Вордмана (J. Р. Woerdman)
Собственно, вывод системы (8), (9) является одной из целей
данной заметки. Мотивация же ее написания связана с работами
[25—27], в которых предлагается иная версия скоростных уравне-
ний лазеров класса D, которые именуются в этих работах лазерами
Проблемы избыточного шума и адекватные модели лазеров 215
с низкодобротным резонатором1. Если сопоставить системы урав-
нений, приведенные выше, с системой (1) из работы [26], то обна-
руживается совпадение (1а) с (8) и (1b) с (6). Нам трудно коммен-
тировать подход, приведший к уравнениям (1) из работы [26], по-
скольку ни в одной из цитируемых работ он не изложен полно-
стью. Можно лишь понять, что он не связан с адиабатическим ис-
ключением какой-либо из переменных. Применение преобразова-
ния Лапласа к уравнению для поляризации из системы Лоренца —
Хакена с введением понятия «одетого» резонатора представляется
недостаточно обоснованным, а полученный результат вызывает
принципиальный вопрос: на основании чего удается понизить по-
рядок системы дифференциальных уравнений, если отсутствует
малый коэффициент перед соответствующей производной? Вид
уравнения для инверсии (1b) в цитируемых работах вообще не
комментируется. Тот же факт, что система (1) из [26] качественно
отличается от (8), (9), полученной в рамках строго обоснованной
процедуры адиабатического исключения соответствующей «быст-
рой» переменной и не требующей привлечения каких-либо допол-
нительных искусственных предположений вроде концепции «оде-
того резонатора», свидетельствует о ее несостоятельности.
6. Модели с фазочувствительным взаимодействием мод
Еще одно замечание касается многомодовых моделей, которые
только и могут использоваться в теории избыточного шума, когда
принципиальную роль играет неортогональность мод [3]. Специ-
фика класса D, заключающаяся в том, что линия усиления значи-
тельно уже полосы резонатора, с неизбежностью приводит к тому,
что частотный интервал между генерирующимися модами может
быть только меньше полосы моды. В этих условиях уравнения ба-
лансного типа, строго говоря, неприменимы. Здесь следует пользо-
ваться моделями, учитывающими фазочувствительное взаимодей-
ствие мод [28—30], которое осуществляется через наведенную их
совместным действием осциллирующую решетку инверсии. Нали-
чие фазочувствительного взаимодействия значительно меняет фи-
1 Это установившаяся терминология, которая не совсем точно отражает существо
дела. Основное отличие таких лазеров от обычных заключается не в больших
потерях резонатора, а в очень малой ширине линии усиления, благодаря которой
и выполняется условие к » уу.
216
Приложение
зическую картину происходящих в лазере процессов. В частности,
возникают избыточные флуктуации частоты и, как следствие, ано-
мальное уширение соответствующих спектральных компонент ла-
зерного излучения.
Приведем в качестве примера спектр флуктуаций двухмодово-
го лазера класса В с резонатором Фабри — Перо, рассчитанный по
следующей системе уравнений с учетом фазового взаимодействия
мод [30]:
—-5- = —-Г—£, + Ei(n0 +«j)+ Е2 (и]2 +И]2^1,
ат 2L J
= ^[-(1 + 0 + 1ДС )Е2 + Е2 (и0 + п2)+Е1 (п^ + <2)],
ат 2L J
= W-n0 -п0(| £, |2 +|£2 fj+n, | £, |2 +и2|£212 +
dr ' '
+(£] Е2 + £]£2 )(и12 "^^12)’
^. = -п1-п1(|£1|2+|£2|2) + |п0|£1|2 +
dr ' '2
+ 2(^1 + ^1^2 )(П12 +п1г) ’
^2- = -„2-„2(|£1|2+|£2|2)+ln0|£2|2 +
аТ ' '2
+^(^1 ^2 +^1^2)(П12 +п1г)’
^-=-<2 I2 +1*2 I2 +|е2 Г)+
dr 2
+ ^(£1*£2 + £1£2*Х«0 +П1 +”2) ’
= "«О " «U (I I' + I £2 Г ) + I <2 (I £, Г + I £2 Г ) +
aT 2
+i(£,‘£2 + £,£2)(и0 +«! +n2). (10)
Здесь Ei, E2 — нормированные амплитуды полей мод. Фурье-
компоненты инверсии населенностей определены следующими
соотношениями:
Проблемы избыточного шума и адекватные модели лазеров 217
1 1
п0 =—^N(z,t)dz, rij N{z,t)co^,(2ktz)dz,
о о
1 L
nf2 =+—j?/(z,r)cos[(A:l ±k2)z]dz ,
Lo
где N(z,t) — инверсия населенностей, нормированная на число ак-
тивных центров в единице объема, / L — волновые вектора
мод, L — длина резонатора. Кроме того, т=Уц/, G -2к7/ц, [3 — отно-
сительная разность потерь мод, — разность собственных частот мод.
Эта модель адекватна лазеру с близкими по частоте модами,
когда межмодовый интервал меньше полосы отдельной моды.
В этом случае требуется скрупулезный учет межмодовых биений и
амплитуды пульсирующих решеток инверсии с различными про-
странственными масштабами оказываются в числе переменных
системы [18]. В отличие от балансных моделей принципиальную
роль играют не только амплитуды, но и фазы полей мод и пере-
менных среды. За фазовое взаимодействие отвечают последние
слагаемые правых частей (решетки инверсии п?2 и п,'2). Следует
отметить, что к фазовому взаимодействию непременно приводит
линейная связь мод. Следовательно, наличие такой связи означает
невозможность использования балансных уравнений даже для ла-
зеров класса В.
При используемых в расчете параметрах система (10) имеет
устойчивое состояние равновесия, соответствующее стационарной
двухмодовой генерации. Релаксация к этому состоянию происхо-
дит путем затухающих колебаний, которые проявляются в спек-
трах флуктуаций интенсивности в виде пиков на релаксационных
частотах. В рассматриваемом двухмодовом случае имеются две
таких частоты — QR, QL (£2R > £2t) и, соответственно, два типа ре-
лаксационных колебаний. Первый, более высокочастотный тип
соответствует синфазным колебаниям интенсивностей мод. Он
существует и в одномодовом лазере, поскольку обусловлен взаи-
модействием генерируемого излучения как целого с медленно ре-
лаксирующей (к »Уц) активной средой. Второй тип релаксацион-
ных колебаний — это противофазные колебания интенсивностей
мод с частотой QL, обусловленные межмодовой конкуренцией и
отсутствующие в одномодовом случае.
218
Приложение
о i w -з
oooi -4
оою -
1 000 -3
Спектры флуктуаций интен-
сивности (а) и частоты (б)
лазера класса В в одномо-
довом (кривые 7, /3=0,5) и
двухмодовом (кривые 2,
/3 = 0,05) режимах генера-
ции. Остальные параметры:
W=3,G = 2000, Лс = 0.
MJ *
0010- " ।
0 100-
о '<1 100 □
Oi OR
Результат расчета спектров флуктуаций отдельной моды в
двухмодовом режиме приведен на рисунке. Для сравнения здесь же
представлены спектры флуктуаций одномодового лазера при тех
же параметрах. В спектре флуктуаций интенсивности избыточный
шум, как это и следовало ожидать для многомодового лазера клас-
са В, проявляется в виде резонансного пика на частоте противо-
фазных релаксационных колебаний £2, и повышенного уровня на
частоте £2ц (рис. а). Помимо флуктуаций интенсивности избыточ-
ность проявляется и в спектрах флуктуаций частоты (рис. б). Этим
объясняется появление фактора Питермана в обобщенной формуле
ширины спектра излучения лазера, о чем шла речь выше.
7. Заключение
В работе показано, что
— избыточный шум в лазерах обусловлен связью мод;
— линейная связь мод приводит к явлению избыточного шума
в узком смысле слова (по Питерману);
Проблемы избыточного шума и адекватные модели лазеров 219
— нелинейная связь мод является универсальным механизмом
избыточного шума, имеющим динамическую природу;
— эффект имеет чисто классическое происхождение, он нахо-
дит свое объяснение в рамках существующих представлений и не
требует пересмотра базовых положений теории излучения;
— теория избыточного шума в лазерах класса В может стро-
иться на базе модели с адиабатически исключенной поляризацией,
полученной стандартным образом, и не требует привлечения «но-
вых» подходов, не имеющих должного обоснования;
— строго говоря, балансные модели непригодны для построе-
ния теории избыточного шума; адекватными являются модели с
фазочувствительным взаимодействием мод.
Благодарности. Автор признателен фондам, при поддержке которых
была выполнена настоящая работа: фонду Александра фон Гумбольдта,
РФФИ и Президентской программе поддержки ведущих научных школ.
Литература
1. Schawlow A.L, Townes С.Н. infrared and optical masers // Phys. Rev. 1958.
V. 112, №6. P. 1940.
2. Kuppens S.J.M.. van Exter M.P., van Duin M.. Woerdman J.P. Evidence of non-
uniform phase-diffusion in a bad-cavity laser // IEEE J. Quantum Electron. 1995.
V. 31, №7. P. 1237-1241.
3. Petermann K. Calculated spontaneous emission factor for double-heterostructure
injection lasers with gain-induced waveguiding // IEEE J. Quantum Electron.
1979. V. QE-15, №7. P. 566-570.
4. Siegman A.E. Lasers without photons — or should it be lasers with too many pho-
tons // Appl. Phys. B. 1995. V. 60. P. 247.
5. Sieginan A.E. Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. I.
Laser amplifiers //Phys. Rev. A. 1989. V. 39. №3. P. 1253-1263.
6. Siegman A.E. Excess spontaneous emission in non-Hermitian optica) systems. II.
Laser oscillators // Phys. Rev. A. 1989. V. 39, №3. P. 1264-1268.
7. Haus H.A., Kawakami S. On the «Excess spontaneous emission factor» in gin-
guided laser amplifier//IEEE J. Quant Electron. 1985. V. QE-21, №1. P. 63-69.
8. Grangier Ph.. Poizat J.-Ph. A simple quantum picture for the Petermann excess
noise factor // Eur. Phys. J. D. 1998. V. I P. 97.
9. Van der Lee A.M., van Druten N.J., Mieremet A.L, van Eijkelenborg M.A.,
Lindberg A.M., van Exter M.P., Woerdman J.P. Excess quantum noise due to
nonorthogonal polarization modes // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79, №22. P. 4357-
4360.
10. Lindberg A.M., van Eijkekelenborg M.P., Joosten K„ Nienhuis G., Woerdman J.P.
Observation of excess noise in a geometrically stable laser // Phys. Rev. A. 1998.
V. 57, №4. P. 3036-3039.
220 Приложение
11. Bandroff P.J., Stenholm S. Quantum theory of excess noise // Phys. Rev. A. 1999.
V. 60. №3. P. 2529-2533.
12. Зайцев Ю.И. О естественных флуктуациях интенсивности и частоты двухмо-
дового лазера// Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т. 13, №6. С. 898-903.
13. Зайцев Ю.И. Экспериментальное исследование флуктуаций интенсивности
излучения двухмодового гелий-неонового лазера // Квант, электроника. 1973.
№5(17). С. 77-86.
14. Lamb W.E. Theory of an optical maser // Jr. Phys. Rev. 1964. V. 134, №6.
P. 1429-1450.
15. Nguen B.A., Mandel P. Intensity phase coherence in three-mode Fabry—Perot
lasers // Phys. Rev. A. 1996. V. 54, №2. P. 1638-1646.
16. Khandokhin P.A., Mandel P., Koryukin I.V., Nguen B.A., Khanin Ya.l. Disappear-
ance of relaxation oscillation frequencies in a multimode solid-state laser // Phys.
Lett. A. 1997. V. 235. P. 248.
17. Kozyrejf G., Mandel P. Antiphase dynamics and self-pulsing due to a low-
frequency spatial population grating in a multimode laser // Phys. Rev. A. 1998.
V. 58, №6. P. 4946-4955.
18. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. М.: Наука: Физматлит, 1999. 368 с.
19. Baev V.M., Latz. Т, Toschek Р.Е. Laser intracavity absorption spectroscopy
// Appl. Phys. B. 1999. V. 69. P. 171.
20. Arecchi T.F. Instabilities and chaos in single-mode homogeneous line lasers
// Instabilities and chaos in quantum optics / Eds. F.T. Arecchi, R.G. Harrison.
N.Y.: Springer Verlag, 1987. P. 9-48.
21. Abraham N.B., Mandel P.. Narducci LM. Dynamical instabilities and pulsations
in lasers // Progress in Optics I Ed. E. Wolf. North-Holland, Amsterdam. 1988.
V. 25. P. 1-90.
22. Khanin Ya.l. Low-frequency dynamics of laser // Chaos. 1996. V. 6, №3. P. 373-
380.
23. llaken H. I I Phys. Lett. A. 1975. V. 53. P. 77.
24. Statz H., deMars G. Transients and oscillation pulses in masers // Quantum Elec-
tronics. N.Y.: Columbia Univ. Press, 1960. P. 530.
25. Kuppens S.J.M., van Exter M.P., Woerdman J.P. Quantum-limited linewidth of a
bad-cavity laser // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72, №24. P. 3815-3818.
26. Van Eijkelenborg M.A., van Exter M.P., Woerdman J.P. Threshold characteristics
and intensity fluctuations of lasers with excess-noise // Phys. Rev. A. 1998. V. 57,
№1.P. 571-579.
27. Dutra S.M., Joosten K. Nienhuis G., van Druten N.J., van der Lee A.M.. van Exter
M.P., Woerdman J.P. Maxwell—Bloch approach to excess quantum noise // Phys.
Rev. A. 1999. V. 59, №6. P. 4699-4702.
28. Etrich С., Mandel P., Abraham N.B., Zeglache H. Dynamics of a two-mode semi-
conductor laser// IEEE J. Quantum Electron. 1992. V. 28, №4. P. 811.
29. Mandel P., Etrich C., Otsuka K. Laser rate equations with phase-sensitive interac-
tions // IEEE J. Quantum Electron. 1993. V. 29, №3. P. 836-843.
30. Khandokhin P.A., Koryukin I.V., Khanin Ya.l., Mandel P. Influence of carrier dif-
fusion on the dynamics of a two-mode laser // IEEE J. Quantum Electron. 1995.
V. 31, №4. P. 647-652.
Ya. I. Khanin
LECTURES ON QUANTUM RADIOPHYSICS
Theoretical fundamentals of quantum radiophysics are stated. Quantum
mechanics is formulated in terms of density matrix; quantum theory of an elec-
tromagnetic field, quantum theory of radiation and absorption of electromag-
netic waves by a substance including elements of nonlinear optics and quantum
theory of relaxation are considered. A stationary response of a two-level quan-
tum system to an assigned electromagnetic field is thoroughly examined, basic
non-stationary effects of laser optics (nutation, self-induced transmittance, op-
tical echo, etc.) are described. Operation principles of lasers are presented,
most commonly used types of lasers are reviewed. Conversion to an equivalent
two-level description for three- and four-level active media is considered.
A semi-classical self-consistent set of equations for a laser is given, its simpli-
fication in the balance approximation is discussed, and dynamic characteristics
of single-mode lasers are studied.
The book is intended for students and post-graduates of radiophysical and
optical specialities, as well as for experts in the field of quantum electronics
and laser physics.
Contents
Preface.....................................................................................7
Just Khanin I reminiscences of the teacher).................................................9
Introduction...............................................................................13
Part one. Quantum theory of radiation
Chapter 1. Quantum equations of the motion of physical systems...........................19
1.1. The main postulates of quantum mechanics...........................................19
1.2. The concept of additionality and the relations of uncertainty.......................20
1.3. Pure and mixed states. The matrix of density.......................................22
1.4. Dirac formulation of quantum mechanics.............................................26
1.5. Schrodinger and Heisenberg representations and representation of interaction.......29
1.6. Differentiation of operators in time...............................................30
Chapter 2. Quantum theory of the electromagnetic field...................................32
2.1. General rules of physical systems quantization. Canonic variables..................32
2.2. Quantum theory of the electromagnetic field without sources .......................35
2.3. The features of radiation oscillations.............................................38
2.4. Photons............................................................................40
2.5. Secondary quantization.............................................................41
2.6. Coherent states....................................................................44
2.7. The conditions for the applicability of the classic description of the field.......48
2.8. Th electromagnetic field interaction with substance................................50
Chapter 3. Evolution of quantum systems in time..........................................57
3.1. General statements. The methods of the perturbation theory........................57
3.2. The probability of the radiation transition.......................................62
3.3. Absorption of radiation by an atom................................................64
3.4. Induced and spontaneous radiation.............................................-...65
3.5. The natural width of the line. Wigner-Weisskopf theory............................68
3.6. The rules of selection for electrodipole, magnetodipole and quadrupole transitions.72
Chapter 4. Multiquantum processes. Elements of nonlinear optics..........................75
4.1. Classification of multiquantum processes...........................................75
4.2. The probability of a two-photon transition per time unit. Compound matrix elements..77
4.3. Two-photon absorption..............................................................79
4.4. The rules of selection for two-photon transitions..................................81
4.5. Two-photon absorption of laser radiation...........................................81
4.6. Physical applications of the method of two-photon absorption.......................84
4.7. Two-photon absorption..............................................................86
4.8. Raman effect.......................................................................87
4.9. Coherent three-photon processes....................................................92
Chapter 5. Quantum theory of relaxation..................................................94
5.1. Dynamic and dissipative systems....................................................94
5.2. Quantum kinetic equations..........................................................96
5.3. Semi-classic equations............................................................106
Part two. Two-level system in the assigned field
Chapter 6. Equations of the dipole system.............................................. 109
6.1. Electrodipole transition..........................................................109
6.2. Magnetodipole transition..........................................................112
6.3. Shortened material equations......................................................116
223
Chapter 7. The stationary state of the dipole system, interacting with the assigned
electromagnetic field .....................................................................118
7,1. Susceptibility........................................................................118
7.2. The power of the electromagnetic field, absorbed by the dipole system.................120
7.3. The relation between the susceptibility and the probability of the induced transition.122
Chapter 8. Nonstationary processes in the dipole system,
placed in the assigned electromagnetic field...............................................123
8.1. Nutation in the absence of detuning...............................................123
8.2. Nutation in the presence of detuning..............................................124
8.3. n - and 2л -pulses....................................................................126
8.4. Adiabatic rapid transition of the resonance.......................................127
8.5. Saturation in the inhomogeneously-broadened two-level system......................129
8.6. Spin echo.........................................................................131
8.7. Cross-relaxation..................................................................132
Part three. Physics of lasers
Chapter 9. General information on quantum oscillators..................................137
9.1. The principle of operation and its realizations..................................137
9.1.1. Induced and spontaneous transitions.......................................137
9.1.2. Methods of the formation of the inverse distributioin of populations......140
9.1.3. Amplification in quantum systems without population inversion.............142
9.2. Nonstationary processes in lasers.....................................................144
9.2.1. Dynamic laser features and their relation with relaxation parameters......144
9.2.2. Commonly used types of lasers.............................................147
9.2.3. Some experimental factors......................................................162
Chapter 10. Base equations of the laser dynamic theory..................................169
10.1. Electromagnetic field equations......................................................169
10.1.1. The wave equation.............................................................170
10.1.2. The mode approach........................................................172
10.1.3. Field equations a ring cavity.................................................177
10.2. Material equations..............................................................179
10.2.1. Quantum kinetic equations................................................180
10.2.2. The two-level medium.....................................................181
10.2.3. Three- and four-level media; transition to the equivalent
two-level description..............................................................182
10.3. A self-consistent semi-classic sistem of laser equations .......................185
Chapter 11. One-mode lasers.............................................................187
11.1. Dynamic models of homogeneously-broadened lasers...............................187
11.1.1. Equations for quadratic values..........................................187
11.1.2. Adiabatic exclusion of polarization: Balance equations of a one-mode laser.189
11.2. Dynamic characteristics of one-mode lasers of B-class...........................193
11.2.1. Stationary states and relaxation oscillations...........................193
11.2.2. Phase picture of the laser; characteristics of free oscillation spikes..195
11.2.3. Energy characteristics..................................................202
References ...............................................................................204
Questions ................................................................................205
Appendix. The excess-noise problems and adequate laser models. Ya. I. Khanin..............208
Ханин Яков Израилевич
Лекции
по квантовой радиофизике
Утверждено к печати Институтом прикладной физики РАН,
603950 г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46
Редактор Л. О. Кузнецова
Компьютерная верстка С. Н. Новиковой
Подписано к печати 16.08.2005 г. Формат 60 х 90’/1в- Бумага офсетная № 1.
Усл. печ. л. 14,0. Уч.-изд. л. 8,9. Темплан 2005 г. Поз. 6.
Тираж 500 экз.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в ППП «Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6.
Заказ № 1473