Текст
(-50
AC ЧЕРТОВ, А А ВОРОБЬЕВ
задачник
по физике
А.Т. ЧЕРТОВ, А. А. ВОРОБЬЕВ
ЗАДАЧНИК
ПО ФИЗИКЕ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено.
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1981
ББК 22.31
450
УДК 530,1(076)
Рецензент
кафедра общей физики МИЭМ
(зав. кафедрой физики — проф. А. Н Губкин)
Чертов А. Г., Воробьев А. А
450 Задачник по физике: 1А1еб. пособие. — 4-е изд., перераб. и
доп. — М.: Высш, школа, 1981. — 496 с., ил.
В пер.: 1 р. 20. к.
Задачник составлен в соответствии с программой по курсу физики для втузов.
По каждому разделу программы приводится достаточное количество задач» труд-
ность которых возрастает с увеличением порядкового номера. В начале каждого
параграфа приводятся основные законы н формулы, необходимые для решения за-
дач. даны примеры решения типовых задач с подробными объяснениям*!, что осо-
бенно может быть полезно студентам-заочникам, Третье издание вышло в 197Д Г*
Предназначается для студентов втузов»
20401—298 KRif 09 01
4 00i(0iy-8i 4’-8’ 1704010000 к!т
© Издательство «Высшая школа», 1881
ОГЛАВЛЕНИЕ .
Стр,
Предисловие к четвертому изданию . . . . . . • . • 4
Из предисловия к третьему изданию ........... 4
Глава 1. Физические основы механики ................................ 6
$ 1. Кинематика (5). § 2. Динамика материальной точки и тела, движу*
щегося поступательно (18). § 3. Динамика вращательного движения (39).
5 4. Силы в механике (57). $ 5. Релятивистская механика (71). $ в. Me*
ханическне колебания (80). § 7. Волны в упругой среде. Акустика (96).
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика........................109
§ 8. Законы идеальных газов (109). § 9. Молекулярно-кинетическая тео-
рия газов (113). § 10. Элементы статистической физнки(118)> § 11. Физи-
ческие основы термодинамики (131). § 12. Реальные газы. Жидкости
(146).
Глава 3. Электростатика.............................................160
§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел (160). § 14. Напря-
женность электрического' поля. Электрическое смещение (167). § 15. По-
тенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемеще-
нию заряда в поле (182). § 16. Электрический диполь (201). § 17. Элек-
троемкость. Конденсаторы (208). § 18. Энергия заряженного проводника.
Энергия электрического поля (213).
Глава 4. Постоянный ток.............................................220
§ 19. Основные законы постоянного тока. (220). § 20. Ток в металлах,
жидкостях и газах (230).
Глава 5. Электромагнетизм......................................... 236
§ 21. Магйитное поле постоянного тока (236). § 22. Сила, действующая
на проводник с током в магнитном поле (246). § 23. Сила, действующая
на заряд, движущийся в магнитном поле (254). § 24. Закон полного то- .
ка. Магнитный поток. Магнитные цепи (261). § 25. Работа перемещения
проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция.
Индуктивность (267). § 26. Энергия магнитного поля (276). § 27. Элек-
* тромагнитные колебания и волны (279).
Глава 6. Оптика.....................................................282
$ 28. Геометрическая оптика (282). § 29. Фотометрия (291). § 30. Интер-
ференция света (295). § 31. Дифракция света (305). § 32. Поляризация
света (313) . § 33. Оптика движущихся тел (320).
Глава 7. Квантовооптические явления. Физика атома...................325
?34. Законы теплового излучения (325). § 35. Фотоэлектрический эффект
329). .§ 36. Давление света. Фотоны (333). § 37. Эффект Комптона (336).
§ 38. Атом водорода По теории Бора (339). § 39. Рентгеновское излуче-
ние (341). § 40. Волны де Бройля (344).
Глава 8. Физика атомного ядра и элементарных частиц.................348
$ 41. Строение атомных ядер. Радиоактивность (348). § 42. Элементы
дозиметрии ионизирующих излучений (353). § 43. Дефект массы н энер-
гии связи атомных ядер (358). § 44. Ядерные. реакции (361).
Глава 9. Элементы квантовой механики ./. . . . . . 367'
§ 45. Волновые свойства микрочастиц (367). § 46. Простейшие случаи
движения микрочастиц (371). § 47. Строение атома (382). § 48. Спектры
молекул (394).
Глава 10. Физика твердого тела......................................400
§ 49. Элементы кристаллографии (400).. § 50. Тепловые. свойства (408).
§ 51. Электрические н магнитные свойства твердых тел (419).
Приложения.......................... .......................... . 433
О приближенных вычислениях ....................................... 433
Справочные таблицы................................................ 435
I. Некоторые сведения Но математике.................................435
П. Некоторые сведения о единицах физических величин..............‘ . 440
Ш. Таблицы физических величин.......................................443
Ответы..............................................................449
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ'
Четвертое издание «Задачника по физике» существенно перерабо-
тано. Введены новые параграфы: «Релятивистская механика» (гл. 1),
«Элементы статистической физики» (гл. 2). Значительно обновлен на-
бор задач, что не позволило сохранить в большинстве параграфов преж-
нюю нумерацию задач.
Использованные в задачнике терминология, обозначения и единицы
физических величин соответствуют стандартам СЭВ и государственным
стандартам СССР.
Как и в предыдущем издании, ответы даны с точностью до трех зна-
чащих цифр. С таким же числом значащих цифр выражены величины
в условиях задач, а также в справочных таблицах. Значащие цифры-
нули, стоящие в конце чисел, в целях упрощения записи опущены.
Авторы считают своим приятным долгом выразить признатель-
ность рецензентам рукописи — преподавателям кафедры общей фи-
зики Московского института электронного машиностроения: проф.
А. Н. Губкину, доцентам Г. Ф. Ефашкину, Д. В. Кузьмину, Н. М. Но-
виковой, старшим преподавателям Ю. А. Гороховатскому и А. Ф. Те*
нышову. Их советы позволили значительно улучшить данное учебное
пособие. . :
Авторы выражают также благодарность проф. О. М. Тодесу, при-
сларшему свои замечания по задачнику.:
Замечания по задачнику и предложения по его улучшению просим
направлять по адресу: Москва, К-51;, Нёглинная ул., д. 29/14, изда-
тельство «Высшая школа».
Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К. ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третьем издании задачник значительно пополнен новыми приме-
рами решения задач. Состав и их нумерация, за редкими исключениями,
остались прежними. ’ <
Вычисления в примерах решения выполнены в Международной
системе единиц. При выражении числовых значений величин как в ус-
ловиях задач, так и в ответах более широкое применение получили
кратные и дольные единицы, образованные от единиц СИ.
Авторы выражают благодарность доц. В. В. Лебедеву и ст. преп.
М. С. Пономаревой, прочитавшим рукопись задачника и сделавшим
ряд полезных рекомендаций.
Авторы
ГЛАВА I '-Л ' Ь-
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
f 1. КИНЕМАТИКА I Основные формулы
1. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-векто-
ром п
r=ix—jy-Ь’и,
где I; 1; к — единичные векторы направлений (орты}: к * — координаты
точки.
Кинематические уравнения движения (в координатной форме}
* = /1 (ft У = /» Wl г = /а (ft
где t — время.
2. Средняя скорость
<v>-=Ar/At,
где Дг — перемещение интервальной точки за интервал временя АД
Средняя путевая* скорость
<о> = As/ ДГ,’
где As — путь, пройденный точкой за интервал времени At
Мгновенная скорость
rtr
v = — = «t'3c + lo|,+’«’t,
где и dx/dft v„ = ^yt^f, — проекции скорости v на осн коорди-
нат.
Абсолютное значение скорости
о’+о’-ь»’.
8. Ускорение - > - . • - !>
а» —= 1вж4-Ир+1и»-. >*
где дя = toJOr, а„ == do„/dfi ez = dt)t/dz — проекции ускорения а на осн
координат. v
Абсолютное значение ускорения
a=V<ai+a’+<’l- -j
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нор.
мальной ип и тангенциальной ах составляющих (рис, 1.1):
а=ап+ах.
* См. этот термин, например, в кнл Детлаф А. А. и др. Курс физики. М.,
1973, т. 1, с. 17.
л аг Абсолютное значение этих ускорении
an=0»//?} a, = do/d/; «=р'°п+в?’
Сп v а где /? — радиус кривизны в дайной точке траек-
тории.
4. Кинематическое уравнение равномерного
Рис. 1.1 движения материальной точки вдоль осн х
X = Хо4~ vt,
тде х0 — начальная координата; I — время. При равномерном движении
v = const и a = О.
Б. Кинематическое уравнение равнопеременного движения (a = const)
вдоль оси х
X = Хо 4- aPIfy
где vB — начальная скорость; t — время.
Скорость точки при равнопеременном'движении
v = vB -г al
6. Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется уг-
лом поворота (или угловым перемещением) <р. Кинематическое уравнение враща-
тельного движения
____ ф = / (в-
7. Средняя угловая скорость 1
<о> = Д<р/Лй1^у „
где Дер — изменение угла поворота за интервал времени АГ.
Мгновенная угловая скорость*
со = dtp/ di.
8. Угловое ускорение*
в = dco/dt1
9. Кинематическое уравнение равномерного вращения
Ф = Фо + 4>t,
где <р0 — начальное угловое перемещение; I — время. При равномерном вра-
щении
со = const и е = О.
Частота вращения 1
п = Nit, или п = 1/7;
где N — число оборотов, совершаемых телом за время Г; 7 — пепиол впяшення
(время одного полного оборота).
10. Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (в = const)
Ф = Фо + со0/+ е/2/2;
где со0 — начальная угловая скорость; t — время.
Угловая скорость тела при равнопеременном вращении
со = со0 4" в/.
* Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векто-
рами, их.направления совпадают с осью вращения.
6
II. Связь между линейными и угловыми величинами; характеризующими
вращение материальной точки, выражается следующими формулами;
Длина пути, пройденного точ-
кой по дуге окружности радиу-
сом R..................................... s=q>R
(<р—угол поворота тела)
Скорость точки линейная . . v=oR, v=[®RJ
Ускорение точки;
тангенциальное ........................ aT=eR, aT = [eR)
нормальное................., an=to4/?, an = —co2R
Примеры решения задач
1. Кинематическое уравнение движения матеральной точки по прямой
(ось х) имеет вид х = А + Bt + Ct3, где А = 4 м, В = 2 м/с, С =
= —0,5 м/с3. Для момента времени 4 = 2 с определить: 1) коорди-
нату л, точки; 2) мгновенную скорость 3) мгновенное ускорение
й1-
Решение. 1. Координату точки, длй которой известно кинематическое
уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо
t заданное значение времени
= A -J- Btx Ч~ Ct3.
Подставим в это выражение значения А, В, С, 4 и произведем вычис-
ления:
X] = 4 м.
2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем,
продифференцировав координату х по времени: v = = В + &СР.
Тогда в заданный момент времени 4 мгновенная скорость
Vi = В + 3Ctf.
Подставим сюда значения В, С, tx и произведем вычисления:
vt = —4 м/с.
Знак минус указывает на то, что в момент времени 4 = 2 с точка дви-
жется в отрицательном направлении координатной оси.
3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем,
d*x
взяв вторую производную от координаты х по времени: а = =>
= ^ = 6Ct. Мгновенное ускорение в заданный момент времени 4
равно
= 6С4.
Подставим значения С, 4 И произведем вычисления:
di — —6 м/с*.
7
4к»к’'мйнус указывает на то, что напрайленйе вектора ускорения
•совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем
' в условиях данной задачи это имеет место для любого момента Време-
ни. ;
2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по пря-
мой (ось х) имеет вид х = А + Bt 4- С/2, где А = 5 м, В — 4 м/с, С =
= —1 м/с2. 1. Построить график зависимости координаты х и пути
s от времени. 2. Определить среднюю скорость <лх> за интервал вре-
мени от /1 = 1 с до /а = 6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость <»>
за тот же интервал времени.
Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки
от времени найдем характерные значения координаты — начальное
и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным коор-
динатам и координате, равной нулю.
Начальная координата соответствует моменту t = 0. Ее значение
равно
Х0 = х|/=о = Д = 5м.
Максимального значения координата достигает в тот момент, ког-
да точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак) Этот мо-
мент времени найдем, приравняв нулю первую производную от коор-
динаты по времени: и = ^ = В + 2С/ ~ 0, откуда
Максимальная координата
^тах = X |t =2 = 9 М.
Момент времени /, когда координата х = 0, найдем из выражения
х = А 4- Bi 4- Ct2 = 0.
Решим полученное квадратное уравнение относительно /:
t =-(-/3±|/В2—4ЛС)/(2С).
Подставим значения А, В, С и. произведем вычисления:
/ = (2±3) с. . •
Таким образом, получаем два значения времени: /' = 5 с и Г =«
= —1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удов-
летворяет условию задачи (/ О).
График зависимости координаты точки от времени представляет
собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь
пять точек, так как уравнение кривой второго порядка содержит пять
коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ранее характерных
значений координаты найдем еще два значения координаты, соответ-
ствующие моментам /1=1 си I, = 6 с:
X! » Л+fi/j+Cf? = 8 м, х2 = A+Bt2+CP2 = —7 м.
Полученное данные представим в виде таблицы: .
Время, с ?о=° 4>=2 /'=5 /s=6 ' ' 55
Координата, м «0 = Л=5 xt =8 xmax=9 х=0 ла=—7
Используя данные таблицы, чертим график зависимости коорди-
наты от времени (рис. 1.2).
График пути построим, исходя из следующих соображений: 1)
путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают;
2) начиная с момента возврата (/в) точки она движется в обратном на-
правлении и,следовательно, коор-
дината ее убывает, а путь продол- w
жает возрастать по тому же зако- 75
ну,, по которому убывает коорди-
ната.
Следовательно, график пути до jq
момента времени /в = 2 с совпа-
дает с графиком координаты, а
начиная с этого момента является
зеркальным отображением графика
координаты (рис. 1.2).
2. Средняя скорость <Zvx> за
интервал времени /2 — бпреде- q
ляется выражением
<о*> = (хг — xj/ (4 — 4).
Подставим значения xlt х2, 4, t2 из -5
таблицы и произведем вычисления:
<уя> = —3 м/с.
3. Среднюю путевую скорость “75
находим из выражения
<v> = st (tt — 4),
где s — путь, пройденный точкой за интервал времени 1а — Из гра-
фика рис. 1.2 видно, что, этот путь складывается из двух отрезков пу-
ти: Si = хшах —хь который точка прошла за интервал времени 1В — 11г
и % = *шах + | х2|,-который она прошла за интервал /.,—/в. '
Таким образом, путь
S ~ 81 ф~ S2 = (Xihak — *l) *)*(Xfnex 4- I X2 I) •= 2Хгиат + |X2(—>Xi. -
Подставим в это выражение значения хь |х2|, хшах и произведем вычис- ’
ления:
s = 17 м.
Тогда искомая средняя путевая скорость
<o> = s/(/2 — 4) — 3,4 м/о.
Ваметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.
9 .
3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус
кривизны /? = 50 м. Уравнение* движения автомобиля g (t) — А +
+ Bt + Ct2, где А = 10 м, В = 10 м/с, С = —0,5 м/с2. Найти: 1)
скорость v автомобиля, его тангенциальное <зт, нормальное ап и пол-
ное а ускорения в момент времени t — 5 с; 2) длину пути s и модуль
перемещения | Дг | автомобиля за интервал времени т = 10 с, Отсчи-
танный с момента начала движения.
Решение. 1 Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую
производную от координаты по времени: v = = В + 2Ct. Подста-
вим в это выражение значения В, С, I и
произведем вычисления:
о = 5 м/с.
Тангенциальное ускорение найдем, взяв
первую производную от скорости по вре-
мени: Or = = 2С. Подставив значение
аг 1
С, получим
* ат = —1 м/с2.
Нормальное ускорение определяется
по формуле ап — v2/R. Подставим сюда
найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны
траектории и произведем вычисления:
ап — 0,5 м/с2.
Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометри-
ческой суммой ускорений ат и ап: а = + аЛ. Абсолютное значение
ускорения а = + ah- Подставив в это выражение найденные
значения ат и ап, получим
а = 1,12 м/с2.
2. Чтобы определить длину пути s, пройденного автрмобилем, за-
метим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет мес-
то в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволи-
нейной координаты т. е.
s == £ (т) — | (0), или s = А + Bt + Ст2—А — Bt + Ст2.
Подставим в полученное выражение значения В, С, t и произведем
вычисления:
s = 50 м.
Модуль перемещения, как это видно из рис. .1.3, равен
| Ar | = 2R sin(a/2|,
где a — угол между радиус-векторами, определяющими начальное
Е (0) и конечное Е (т) положения автомашины на траектории. Этот,
* В заданном уравнении движения Е означает криволинейную координату,
отсчитанную от некоторой начальной точки из окружности.
ГО
угол (в радианах) находим как отношение длины пути $ к радиусу кри-
визны Л траектории, т. е. а = s/R. Таким образом, .
| Дг | = 2/? sin —
Подставим сюда значения R, s и произведем вычисления f Дг [ = 47,9 м.,
4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой п0 = 10 с-1, при
торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение
прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже
с частотой п = 6 с-1. Определить угловое ускорение е маховика и про-
должительность t торможения, если за время равнозамедленного дви-
жения маховик сделал N >= 50 оборотов.
Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной соо и Ко-
нечной со угловыми скоростями соотношением <оа — cog = 2е<р, откуда
е = (со2 — cog)/ (2<р). Но так как ф — 2nN, со = 2лп, то
__ — СОп л(п2—Пр)
2<р N
Подставив значения л, п, пй, N и вычислив, получим
е = —4,02 рад/с2.
Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно.
Определим продолжительность торможения, используя формулу,
связывающую угол поворота ср со средней угловой скоростью <«>>
вращения и временем t: ср = <со>/. По условиям задачи угловая ско-
рость линейно зависит от времени и поэтому можно написать =•
= (соо + <в)/2, тогда
<Р — (®о + <й) //2 = л (n0 + п) t,
откуда
<р 2N
я(п„+п) п0+п
Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем
t = 6,25 с.
[Задачи
Прямолинейное движение
1-1. Две прямые дороги пересекаются под углом а = 60°. От пере-
крестка по ним удаляются машины: одна со скоростью vt = 60 км/ч,
другая со скоростью va = 80 км/ч. Определить скорости v' и if, с ко-
торыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины про-
шли одновременно.
1 -2. Точка двигалась в течение /х = 15 с со скоростью = 5 м/с, /а=*
»= 10 с со скоростью Vg = 8 м/с и /3 = 6 с со скоростью va = 20 м/с.
Какова средняя путевая скорость <Lv> точки?
11
I-Зт 't'pn четвёрки своего ’пути автомобиль прошел со Скоростью *=
= 60 км/ч; ' детальную Чадть пути —гсо скоростью и2 =='80 км/ч'. Ка-
кова средняя путевая скорость <и> автомобиля?
1-4. Первую половину пути тело Двигалось со скоростью = 2 м/с,
вторую — со скоростью о2 = 8 м/с. Определить среднюю- путевую ско-
рость <п>.
1-5. Тело прошло первую половину пути за время \ — 2 с, вторую —
за Время /2 = 8 с. Определить среднюю путёвую скорость <о>тела,
если длина пути s = 20 м.
1-6. Зависимость скорости от времени для движения некоторого те-
ла представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость
<&> за время t = 14 с.
1-7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела
представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость
за время / = 8 с. Начальная скорость п0 = 0. .
1-8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид = At 4 5/2,
где А = 3 м/с; В - —0,25 м/с2. Построить графики зависимости ко-
ординаты и пути от времени для заданного движения.
1-9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для
некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости
и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело
покоилось.
1-10. Движение материальной точки задано уравнением х = At 4
+ Bt\ где А — 4 м/с; В = —0,05 м/с2. Определить момент' времени,
в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускоре-
ние в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути,
скорости и ускорения этого движения от времени.
1-11. Написать кинематическое уравнение движения х == f (/) точки
для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой позиции
рисунка —а, б, в, г — изображена координатная ось Ох, указаны на-
чальные положение х0 и скорость v0 материальной точки А, а также
ее ускорение а.
12
1-12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии I — 1,00 м от
стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается
вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т = 20 с. Най-
ти; 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой
четверти оборота; 2) скорость о, с которой Светлое пятно движется по
стене, в момент времени t — 2 с За начало отсчета принять момент,
когда направление луча совпадает с ОС
1-13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами парово-
за стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускоре-
нием а = 0,1 м/с2, человек начал идти в том же направлении со ско-
ростью v = 1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Оп-
ределить скорость поезда в этот момент и путь, пройденный за это
время человеком.
1-14. Из одного и того' же' места начали равноускоренно двигаться в
бдном направлении две точки, причем вторая начала свое движение
через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью
ц ±= 1 м/с и ускорением'а, = 2 м/с2, вторая — в начальной скоростью
v2 ='10 м/t й! ускорением^ = 1 м/с2. Через сколько времени ина ка-
ком расстоянии От исходного положения вторая точка догонит первую?
1-15.‘Движения двухjматериальных точек выражаются уравнениями.
х, = + Bxt + С/2, х2 = Д, + В,/ + С/2, .
где Д4 = 20 м; Аа — 2 м; Ва = Вх = 2 м/с; С, = —4 м/с2; С2 =
= 0,5 м/с*.
В какой момент времени I скорости этих точек будут одинаковы-
ми? Определить скорости vx и va и ускорения ах и а, точек в этот момент.
1-16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям
хх = Ах t + Вх? + Cjf, х2 = Aat + Bsfl + C2t'\
где Ах == 4 м/с; Вх = 8 м/с2; Сх = —16 м/с8; Д2 = 2 м/с; Вг =
= —4 м/с2; Cs = 1 м/с8.
В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы?
Найти скорости vx и оа точек в этот момент.
1-17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути
оно прошло за время I = 0,1 с?
13
1-18. Камень падает с высоты h — 1200 м. Какой путь « пройдет ка-
мень за последнюю секунду своего падения?
1-19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью ив =
= 20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на
Высоте h = 15 м? Найти скорость о камня на этой высоте. Сопротивле-
нием воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с8.
1-20. Вертикально вверх с начальной скоростью v0 — 20 м/с брошен
камень. Через т = 1 с после этого брошен вертикально вверх дру-
гой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся кам-
ни?
1-21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той
же высоте h — 8,6 м два раза с интервалом А/ = 3 с. Пренебрегая соп-
ротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного те-
ла.
1-22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной ско-
ростью п0 = 5 м/с. Через / = 2 с мячик упал на землю. Определить вы-
соту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.
1-23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v0 =
~ 10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h — 12,5 м.
Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скоро-
сть с момента бросания до момента падения на землю.
1-24. Движение точки по прямой задано уравнением х = At + В/8,
где Л =2 м/с; В = —0,5 м/с2. Определить среднюю путевую скорость
<Z.v> движения точки в интервале времени от — 1 с до /а = 3 с.
1-25. Точка движется по прямой согласно уравнению х = At + Bt\
где А = 6 м/с; В = —0,125 м/с3. Определить среднюю путевую ско-
рость <х>> точки в интервале времени от t± = 2 с до ts = 6 с.
Криволинейное движение
1-26. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению
г (/) = iA/3 + jB/2. Написать зависимости: 1) v (/); 2) а (/).
1-27. Движение материальной точки задано уравнением г (/) —
= А (1 cos со/ + j sin со/), где А = 0,5 м; со = 5 рад/с. Начертить
траекторию точки. Определить модуль скорости |v| и модуль нормаль-
ного ускорения | ап |.
1-28. Движение материальной точки задано уравнением г (/) =
= 1 (А + В/2) + jC7, где А = 10 м, В = —5 м/с2, С =* 10 м/с. Начер-
тить траекторию точки. Найти выражения v (/) и а (/). Для момента
времени /=1 с вычислить: 1) модуль скорости | v |; 2) модуль ускоре-
ния | а |; 3) модуль тангенциального ускорения | ат |; 4) модуль нор-
мального ускорения | ап |.
1-29. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным уско-
рением аг = 0,5 м/с2. Определить полное ускорение а точки на участ-
ке кривой с радиусом кривизны /? = 3м, если точка движется на этом
участке со скоростью v = 2 м/с.
1-30. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная
скорость Ц; точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение at — 1 м/с*
Для момента времени / ~ 2 с определить: 1) длину пути s, пройден
И
кого точкой; 2) модуль перемещения | Дг |; 3) среднюю путевую ско-
рость <.v>; 4) модуль вектора средней скорости | <п>|-
1-31. По окружности радиусом /?= 5 м равномерно движется матери-
альная точка со скоростью v = 5 м/с. Построить графики зависимо-
сти длины пути s и модуля перемещения | Дг | от времени t. В момент
времени, принятый за начальный (t — 0), s (0) и | Дг (0) | считать рав-
ными нулю.
1-32. За время t — 6 с точка прошла путь, равный половине длины
окружности радиусом /? = 0,8 м. Определить среднюю путевую ско-
рость <»> за это время и модуль вектора средней скорости | <о>|.
1-33. Движение точки по окружности радиусом R — 4 м задано урав-
нением* £ = А + Bt 4- Ct2, где А — 10 м; В’= —2 м/с; ,С = 1 м/с2.
Найти тангенциальное at, нормальное ап и полное а ускорения точки
в момент времени t = 2с.
1-34. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В не-
который момент времени нормальное ускорение точки ап = 4,9 м/с2;
в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют
угол ср = 60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение ах точки.
1-35. Точка движется по окружности радиусом R — 2 м согласно урав-
нению* ? = AR, vpg. А = 2 м/с3. В какой момент времени t нормаль
ное ускорение а,, точки будет равйо тангенциальному аг? Определить
полное ускорение а в этот момент.
1-36. Движение точки по кривой задано уравнениями х = и
у = A2t, где At — 1 м/с3; Л2 = 2 м/с. Найти уравнение траектории
точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t — 0,8 с.
1-37. Точка А движется равномерно со скоростью v по окружности
радиусом R. Начальное положение точки и направление движения
указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение движения
проекции точки А на направление оси х.
1-38. Точка движется равномерно со скоростью v по окружности ра-
диусом R и в момент времени, принятый за начальный (/ = 0), зани1-
мает положение, указанное на рис. 1.8. Написать кинематические урав-
нения движения точки: 1) в декартовой системе координат, располо-
жив оси так, как это указано на рисунке; 2) в полярной системе коор-
динат (ось х считать полярной осью).
1-39. Написать для четырех случаев, представленных на рнс. 1.9:
1) кинематические уравнения движения X — ft (/) и у = /2 (0; 2)
уравнение траектории у = <р (х) На каждой позиции рисунка — а,
б, в, г — изображены координатные оси, указаны начальное положе-
ние точки А, ее начальная скорость v0 и ускорение g.
1-40. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Че-
рез промежуток времени t — 2 с камень упал на землю на расстоянии
s = 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную
v скорости камня.
1-41. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со ско-
ростью v = 20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания баш-
• См. сноску на с. 10.
15
нй), вдвое' большем высоты й банши. Найти высбту ‘ башни.
1-42. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа
бумаги, расстояние I между которыми равно 30 м. Пробоина во втором
листе оказалась на h = 10 см ниже, чем в первом. Определить .ско-
рость и пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизон-
тально. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1-43. Самолет, летевший на высоте h — 2940 м со скоростью v =
— 360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над
целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бомбу,
чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1-44. Тело брошено под некоторым углом а к горизонту. Найти ве-
личину этого угла, если горизонтальная дальность s полета тела в
четыре раза больше максимальной высоты Н траекторйи.
1-45. Миномет установлен под углом а = 60° к горизонту на крыше
здания, высота которого h = 40 м. Начальная скорость v0 мины рав-
на 50 м/с. 1. Написать кинематические уравнения движения и урав-
нение-траектории и начертить эту траекторию с соблюдением масшта-
ба. 2. Определить Время т полёта мины, максимальную’высоту Я её
подъема, горизонтальную Дальность s полета, скорость v в момент
падения мины на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Указание. Начало координат поместить иа поверхности земли так;
чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости
v лежал в плоскости хОу.
1-46. Снаряд, выпущенный из орудия под углом а = 30° к горизон-
ту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя время 4 = 10 с
и /2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v9 и вы-
соту h.
1-47. Пуля пущена с начальной скоростью о0 = 200 м/с под углом
а — 60° к горизонту. Определить.максимальную высоту Н подъема,
дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наи-
высшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.
16
1-48. Камень брошен с вышки., в горизонтальном направлении с на-
чальной скоростью f0 = 30 м/с.' Определить скорость и, тангенциаль-
ное ах и нормальное ап ускорения камня в конце второй секунды пос-
ле начала движения.
1-49. Тело брошено под углом а — 30° к горизонту. Найти танген-
циальное at и нормальное ал ускорения в начальный момент движе-
ния.
Вращение тела вокруг
неподвижной оси
1-50. Определить линейную скорость v и центростремительное уско-
рение Оц точек, лежащих на земной поверхности: 1) на экваторе; 2) на
широте Москвы (<р = 56°).
1-51.. Линейная скорость vx точек на окружности вращающегося дис-
ка равна 3 м/с. Точки, расположенные на А/? = 10 см, ближе к оси
имеют линейную скорость vs = 2 м/с. Определить частоту вращения
п диска.
1-52. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось
так, что плоскости их параллельны и отстоят на d = 30 см друг от
друга. Диски вращаются с частотой п = 25 с-1. Пуля, летевшая
параллельно рей,, на расстоянии г =« 12 см от нее пробила оба дйска.
Пробоины в дисках смещены ’друг, относительно друга на расстояние
s = 5 см, считай по дуге окружности. Найти среднюю ттуТёвую ско-
рость <о> пули в промежутке между дисками и оценить создаваемое
силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Со-
противление воздуха не учитывать.
1-53. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной
Оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили
ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за
время t — 3 с опустился на h = =1,5 м- Определить угловое ускорение
е цилиндра, если его радиус г — 4 qm.
1-54. Диск радиусом г = 10 см, находившийся в состоянии покоя,
начал вращаться с постоянным угловым ускорением е == 0,5 рад/с?.
Найти тангенциальное ах, нормальное ап и полное а ускорения точек
на окружности диска в конце второй секунды после начала враще-
ния.
1-55. Диск радиусом г = 20 см вращается согласно уравнению <р =
А + Bt + С/3, где 4=3 рад; В — — 1 рад/с; С = 0,1 рад/с3.
Определить тангенциальное ат, нормальное ап и полное а ускорения
точек на окружности диска для момента времени I = 10 с.
1-56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток
времени А/ = 10 с достиг частоты вращения п = 300 мин-1. Опре-
делить угловое ускорение е маховика и число /V оборотов, которое он
сделал за это время.
1-57.. Велосипедное колесо вращается с частотой п = 5 с-1. Под дей-
ствием сил трения оно остановилось через интервал времени А/ —
1 мин. -Определить угловое ускорение е и число N оборотов, кото-
рое сделает колесо за это время;
17
1-58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N —
= 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от nt =
— 4 с-1 до и2 = 6 с-1. Определить угловое ускорение е колеса.
1-59. Диск вращается с угловым ускорением е = —2 рад/с2. Сколько
оборотов М сделает диск при изменении частоты вращения от =
= 240 мин-1 до л2 = 90 мин-1? Найти время Д/, в течение которого
это произойдет.
1-60. Винт аэросаней вращается с частотой п = 360 мин-1. Скорость
v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой ско-
ростью и движется один из концов винта, если радиус 7? винта равен
1 м?
1-61. На токарном станке протачивается вал диаметром d = 60 мм.
Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова ско-
рость и резания, если за интервал времени Д/ = 1 мин протачивается
участок вала длиной / = 12 см?
§ 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ Основные формулы
ПОСТУПАТЕЛЬНО
1. Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):
в векторной форме
Л N
-^-=2F|*или ma=2Fi*
i=i <=i
л,
где S F, — геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку,
т — масса; а — ускорение; р «= tnv — импульс; N — число сил^ действующих
на точку;
в координатной форме (скалярной):
max=TFxi, mav = 'S.Ftji, tna2. = 'S.FZi,\
или .
dax <Рр <Pz
т d/» № m d(1
где под знаком суммы стоят проекции сил F| на соответствующие оси коорди-
нат.
2. Сила упругости*
Fynp = —kx,
где А — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); х — абсолют-
ная деформация.
3. Сила гравитационного взаимодействия*
тг т2
F—G —-— ,
г2
где G — гравитационная постоянная; т, и т2 — массы взаимодействующих
тел, рассматриваемых как материальные^ ,точни; г — расстояние между ними.
* Силы упругости и гравитационного взаимодействия более подробно рас-
смотрены в § 4.
18
4. Сила треядя скольжения
где f — коффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.
5. Координаты центра масс системы материальных точек
Xj Smi yt 'Znij Zj
c Smj ’ hm-i ' *c Sfflj ’
где mi — масса Лй материальной точки; х,; у,; zt — ее координаты.
6. Закон сохранения импульса ’
N N
S Pi=COHSt, ИЛИ У, 7П,¥| = СО 5(:,
Г=1 6=1
где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.1
7. Работа, совершаемая постоянной силой,
ДЛ = РДг, или ДЛ = ГДг cos а,
где а — угол между направлениями векторов силы F и перемещения Дг.
8. Работа, совершаемая переменной силой,
Л=f F (г) cos'adr,
где интегрирование ведется вдоль траектории; обозначаемой L.
9. Средняя мощность за интервал времени At
<л/> = дл/дг.
10. Мгновенная мощность А
N = d_4/dt, или N = Fv cos a,
где dA — работа, совершаемая за промежуток времени dt.
11. Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося по-
ступательно)
Т = mv42; или Т = р2/2т.
12. Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в дайной точ-
ке поля, связаны соотношением
/ап ап анх
F=—ягабП, или F=—(i—~-J-J ~------------|-k~— I,
\ дх ду дг J
где i; j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил об-
ладает сферической симметрией (как, например, гравитационное), то
ап
13. Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или рас-
тянутой пружины)
П - V2ftx2.
14. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух мате-
риальных точек (или тел) массами и т2,"-находящихся на расстоянии г друг от
Друга,
„ „ "Л
II = —и------«
г
19
15. Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном .поле, силы
тяжести»
П = nigh,
где Л — высота тела над уровнем; принятым за нулевой для отсчета потенциаль-
ной энергии. Эта формула справедлива при условии h < R, где R — радиус
Земли.
16. Закон сохранения энергии в'мёханике выполняется в замкнутой систе-
ме, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде ,
Т4* П = const.
17. Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому централь-
ному удару шаров; получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров
после удара:
и — (ящ 4- т^уЦ/п! + т2)
н формулу скорости абсолютно упругих шаров после удара:
Hi (fflj—m2)+2mzv2
«1 =--------------------,
zn'i4-m2
^2 (Щ2—«О + 2/nj ох
Us = ’ f
I" ^2
где т1 н mz — массы шаров; щ и vs — их скорости до удара.
Примеры' решения задач
1. К концам однородного .стержня приложены две противоположно
направленные силы Ег = 40 Н и F2 = 1Q0.H (рис. 2.1, а). Опреде-
лить силу Т натяжения Стержня в поперечном сечении, которое делит
стержень на две части в. отношении 1 : 2.
Решение. Если бы силы :и Et были равны между собой, то сила на-
тяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной си-
лам, приложенным к концам стержня. Стержень в этом случае нахо-
Рис. 2.1
дался бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень,
отлична от нуля, то стержень будет двигаться с ускорением, величн-.
на и направление которого определяются по второму закону Ньюто-
на а = - Fz , где т — масса стержня. Поскольку обе силы дей-
ствуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить ал-
гебраической:
т
(1)
20
При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных се-
чениях различны. Для определения этих сил применим следующий
прием: разделим стержень на Две части в интересующем нас сечении
и отбросим одну из них, например левую. Действие левой части на
правую заменим силой натяжения Т (рис. 2.1,6). В результате дей-
ствия разности сил F2 — Т оставшаяся правая часть стержня массой
р ________________________________________р
mt должна двигаться с ускорением а = —, равным по величине
и направлению прежнему ускорению, выражаемому формулой (1).
Так как стержень однородный, то mt = m/З и, следовательно,
Д2—т
т/3>
Приравнивая правые части равенств (1) и (2) и выражая из полу-
ченного равенства силу натяжения Т, находим
Т = F8 - (F8 - Fx)/3.
Подставив значения F2 и Fv получим
Т = 80 Н.
(2)
2. В лифте на пружинных весах находится тело массой m = 10 кг
(рис. 2.2, а). Лифт движется с ускорением а — 2 м/с*. Определить по-
казания весов в двух слу-
чаях, когда ускорение лифта
направлено: 1) вертикально
вверх; 2) вертикально вниз.
Указание к
нию.
2.2
Рис.
р е ш е-
Определить показа-
ния весов — это значит най-
ти вес тела G, т. е. силу, с
которой тело действует на
пружину. Но эта сила по
третьему закону Ньютона
равна по абсолютному зна-
чению и противоположна по'
направлению силе упругости
(силе реакции опоры) /V, с ко-
торой пружина через посред-
ство прикрепленной к ней чашки . весов действует
на тело, т. е.
G — —N или G = N. (1)
Следовательно, задача определения показания весов сводится к
нахождению силы реакции опоры AL
Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной системе
отсчета.
Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две
силы: сила тяжести Р и сила N.
Направим ось г вертикально вверх и спроектируем на нее все си-
лы, действующие на тело. Индекс г у проекции сил опустим, так как
21
величины проекций и самих сил совпадают. Направление сил учтём
знаком плюс или минус. Напишем уравнение движения •
N — Р = та,
откуда
N = Р + та =?= т (g + а). (2)
Из равенств (1) и (2) следует
G = т (g + а). (3)
При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения:
1) ускорение направлено вертикально вверх (а >0), тогда
Gx = 10 (9,81 + 2)Н = 118 Н;
2) ускорение направлено вертикально вниз (а < 0), тогда
Gs = 10 (9,81 — 2) Н = 78 Н.
Отметим, что ни величина, ни направление скорости лифта не йлия-'
ют на показания весов. Существенны лишь величина и направление
ускорения.
Решение в неинерциальной системе отсчета, т. е. в системе, движу-
щейся ускоренно вместе с лифтом. В этой системе отсчета законы
Ньютона не выполняются. Однако если к телу в соответствии с прин-
ципом Даламбера дополнительно к действующим на него силам при-
ложить силу инерции
Ff — —ma,
где а — ускорение системы отсчета, то с учетом этой силы законы ’
Ньютона будут справедливы.
В этом случае на тело будут действовать три силы: сила тяжести
Р, сила упругости N и сила инерции F, (рис. 2.2, б). Под действием
этих сил тело в данной неинерциальной системе отсчета покоится.
Это значит, что вместо уравнений динамики (законов Ньютона) мож-
но воспользоваться законами статики. Если тело под действием систе-
мы сходящихся сил покоится, то геометрическая сумма этих сил рав-
на нулю. В данном случае это приводит к равенству
P + N + Ft = 0.
Спроектируем все силы на ось z и напишем соответствующее ра-
венство для проекций этих сил (индекс г опустим)
N — Р — та = 0,
откуда сила реакции опоры
N = Р + та — т (g + в). (4)
Из равенств (1) и (4) следует
G = т (g + а),
что совпадает с результатом, полученным при решении в инерцвалм
ной системе отсчета.
22
Fc-
= mg + Fo. Замени?
3. При падении тела с большой высоты его скорость иуст при устало
вившемся движении достигает значения 80 м/с. Определить время т,
в течение которого начиная от момента начала падения скорость ста-
новится равной 112^уСт- Силу сопротивления воздуха принять пропор-
циональной скорости тела.
Решение. На падающее тело действуют две силы (рис. 2.3, а): сила .
тяжести mg и сила сопротивления воздуха
Сила сопротивления воздуха по
условиям задачи пропорциональна
скорости тела и противоположна ей
по направлению:
Fc = -*v, (1)
где k — коэффициент пропорцио-
нальности, зависящий от размеров,
формы тела и от свойств окружаю-
щей среды.
Напишем уравнение движения
тела в соответствии со вторым за-
коном Ньютона в векторной форме:
Fo согласно (1), получим
dv
wd7
dv - z,
т-----= mg — k\.
df
(2)
Спроектируем все векторные величины на вертикально направленную
ось и напишем уравнение (2) для проекций:
do <
т — = mg — ко.
d/
После разделения переменных получим
do dt
mg—kv m
Выполним интегрирование, учтя, что при изменении времени от нуля
до т (искомое время) скорость возрастает от нуля до 42Vy0,
(рис. 2.3,6);
do Г dt
mg—kv J m
о
,/*Dycr
—-— In (mg—kv) =—.
k | | m
о
Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства:
_______________________1_ |п mg— VafeQycT _ _t_
k mg m
23
и найде». на.,полученного цвыразкрнця. .идормое время;,
fe mg — 1/a^t^ycT
Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим
из следующих соображений. При установившемся движении (скорость
постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось у) сил, действую-
щих на тело, равна нулю, т. е. mg — feoyCT = 0, откуда k = . Под*
°уст
ставим найденное значение k в формулу (3):
<г = Jgfrcr. 1П__________________
mg 1 mg
mS~ 9 гуот
л ^уст
После сокращений и упрощений получим
T==(oyCT/g)ln2.
Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как
результат очевиден. Подставив в эту формулу значения пуст, g, In 2
и произведя вычисления, получим
т = 5,66 с..
4. На спокойной воде пруда стоит лодка Длиной L и массой М пер-
пендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит
человек массой т. На какое расстояние в приблизится лодка к бе-
регу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и
воздух пренебречь.
Решение. 1-й способ. Для простоты решения будем считать, что
человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае
также будет двигаться равномерно. Поэтому перемещение лодки от-
носительно берега определим по формуле . ;
« e-ltf, Ч. '' / (1)
где v — скорость лодки относительно берега; t — время движения
человека и лодки. Направление перемещения человека примем за
положительное.
Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импуль-
са,? (количества движения). Так как по условию задачи система че-
ловек—лодка в начальный момент была относительно берега в покое,
то по закону сохранения импульса получим Mv — та = 0, где и —
скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то,
что скорости человека и лодки по направлению противоположны. От-
сюда v = tnti/M.
* В данном случае систему человек—лодка можно считать замкнутей, таи
как векторная сумма всех внешних, сил, действующих на отдельные тела систе-
мы, равна нулю.
24
Время t движения лодки равно времени перемещения человеке то
лодке, т. е. t = % = , где s, — перемещение человека относитель-
но берега.
Подставив полученные выражения v и t в формулу (1), найдем
i mu L — s п , I
s = —-------— — (L — s),
Ми М v '
откуда
s = mU (т + М).
Заметим, что предположение о равномерности движения человека не явля-
ется обязательным. В приведенном ниже более общем способе решения задачи
такое предположение ие используется.
2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импуль-
са, внутренние силы системы тел не могут изменить положение цент-
ра тяжести* системы. Применяя это следствие к системе человек—
const
&
Рис. 2.4
лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр
тяжести системы не изменит своего положения, т. е. останется на
прежнем расстоянии от берега.
Пусть центр тяжести системы человек —лодка находится на вер-
тикали, проходящей в начальный момент через точку Ct лодки
(рис. 2.4), а после перемещения лодки — через другую ее точку С,.
< * Точнее было бы говорить о центре масс (центре инерции системы). Но
в случае, когда система твердых тел находится в однородном поле силы тяже-
сти, центр масс и центр тяжести совпадают.
26
Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое
перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки
относительно вертикали. А это последнее легко определить по пере-
мещению центра тяжести О лодки. Как видно из рис. 2.4, в начальный
момент точка О находится слева от вертикали на расстоянии аг, а пос-
ле перехода человека — на расстоянии а2 справа от нее. Следова-
тельно, искомое перемещение лодки
s = Я! + я2. (2)
Для определения аг и а2 воспользуемся тем, что относительно
центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека долж-
ны быть равны. Для точки СА имеем MgaT = mg (I — aj, где I — пер-
воначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда
получим аг = mil (М + т). Для точки Сг имеем Mgat —
— mg (L — ая — /), откуда а2 т (L — I)/ (М 4- иг).
Подставив выражения и а2 в формулу (2), получим
s = mL / (Al + т),
что совпадает с результатом, полученным первым способом.
5. Два шара массами тх = 2,5 кг и т2 = 1,5 кг движутся друг дру-
гу навстречу со скоростями = 6 м/с и v2 = 2 м/с. Определить:
1) скорости шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров до
и после удара; 3) долю кинетической энергии шаров, превратившей-
ся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.
Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей
первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, оттал-
кивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться
совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по
закону сохранения импульса' Так как шары движутся по одной
прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:
tnpi + m2v2 = (ту 4- т2)и,
откуда
и — (mft 4- m2v^l (tnx 4- ш2).
Направление скорости первого шара примем за положительное,
тогда при вычислении скорость второго шара, который движется на-
встречу первому, следует взять со знаком минус; получим и = 3 м/с.
2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по
формулам
/2 4- m2v|/2; Т2 — (тг 4- т2)и2/2.
Произведя вычисления по этим формулам, получим:
Т\ = 48 Дж; Т2 = 18 Дж.
3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара пока-
зывает, что в результате неупругого удара шаров произошло умень-.
шение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутрен-
26
няя энергия. Долю, кинетической энергии шаров, пошедшей на уве-
личение их внутренней энергии, определим из соотношения
№ = (Л — Т2)/1\; w = 0,62.
6. Шар массой пги движущийся горизонтально с некоторой скоростью
Vi, столкнулся с неподвижным шаром массой т2. Шары абсолютно
упругие, удар прямой. Какую долю w своей кинетической энергии
первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выра-
зится соотношением
_ Mg / У
7\ ту uf т1 \ г>1 / ’ -
где 7t — кинетическая энергия первого шара до удара; иа и ТЬ —
скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из выражения (1), для определения w надо найти ия.
Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновре-
менно выполняются два закона сохранения: импульса и механической
энергии.
По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до
удара покоился, имеем = m1u1 + т2и2. По закону сохранения
энергии в механике, . Решая совместно два по-
следних уравнения, найдем
и2 — 2т{о^1 (т1 + т2).
Подставив это выражение и2 в равенство (1), получим
— ОТа Г 2от1 Й У — т2
ml I Й (mi+m2) J +
Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зави-
сит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энер-
гии не изменится, если шары поменяются местами.
7. Молот массой т1 = 200 кг падает на поковку, масса т2 которой
вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость молота в момент уда-
ра равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию молота в момент
удара; 2) энергию, переданную фундаменту; 3) энергию, затрачен-
ную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия
(к. п. д.) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматри-
вать как неупругий.
Решение. 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем
по формуле Ti = т^/2. Подставив значения т1 и и произведя
вычисления, получим
7, = 400 Дж.
2. Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предва-
рительно найдем скорость системы молот—поковка (с наковальней)
непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения
27
импульса, который в случае неупругого удара двухтедвыражается
формулой - -г 1 л.' ч '
mj?i + — (nil + nit)u, (1)
где v2 — скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и —
скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно
после удара. Так как поковка с наковальней до удара находилась
в состоянии покоя, то vt — 0. При неупругом ударе деформация не
восстанавливается, вследствие чего молот и поковка (с наковальней)
движутся как одно целое, т. е. в одинаковой скоростью и. Из фор-
мулы (1) найдем эту скорость;
В результате сопротивления фундамента скорость и быстро гасит-
ся, а кинетическая энергия, которой обладает система молот—поков-
ка (с наковальней), передается фундаменту. Эту энергию находим по
формуле Т2 = “*•
Заменим скорость и ее выражением (2); 7а = (m*^ m ) * или»
учитывая, что 7, = /2, запишем
Подставив в уравнение (3) значения mt и 7, и произведя вы-
числения, получим
Tt = 29,6 Дж.
3. Молот до удара обладал энергией Тх; Т9 — энергия, передан-
ная фундаменту. Следовательно, на деформацию поковки использова-
лась энергия
, . 7 = 7,- 7а.
Подставив в это выражение значения 7, и 7„'получим ,»
7 = 370 Дж.
4. Назначение молота — путем ударов о поковку, находящуюся
на наковальне, вызвать деформацию поковки; следовательно, энер-
гию 7 следует считать полезной. К. п. д. удара мблотао поковку ра-
вен отношению энергии 7, затраченной на деформацию поковки, ко
всей затраченной энергии
т) = 7/7„ или ч = (7, — 72)/7х.
Подставив в последнее выражение 7а по формуле (3), получим
т) = mJ (m, + m2).
После подстановки значений mJ и т, найдем
Н = 92,6%.
(См. примечание в конце примера 8.)
28
8. Боек (ударная часть) свайного, молота массой тг *= 500 кг падает
на сваю массой т2 = 100 кг со скоростью = 4 м/с. Определить:
1) кинетическую энергию бойка в момент удара; 2) энергию, затра-
ченную на углубление сваи в грунт; 3) кинетическую энергию, пе-
решедшую во внутреннюю энергию системы; 4) к. п. д. удара бойка
о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.
Решение. 1. Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю на-
ходим по формуле Т = mjof/2. Подставив значения и ог и произ-
ведя вычисления, получим
Tj = 4 кДж.
2. Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи,
предварительно найдем скорость системы боек — свая непосредствен-
но после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, ко-
торый в случае неупругого удара выражается формулой
+ m2v2 ~ + mz)u, (1)
где v2 — скорость сваи перед ударом; и — скорость бойка и сваи не-
посредственно после удара. Свая перед , ударом находилась в состоя-
нии покоя, поэтому и, == 0. Так как удар неупругий,, то боек и свая
после удара движутся как одно целое, T. ё. с одинаковой скоростью
и. Из формулы (1) найдем эту скорость:
- :(2)
^2
В результате сопротивлеш. га скорость бойка и сваи после
удара быстро гасится, а кинети . .ия энергия, которой обладает сис-
тема- боек т- свая, затрачивается иа углубление сваи1 в грунт. Эту
энергию находим по формуле Т2 = . Заменим скорость
и ее выражением (2): Та'= j • или’ Учитывая» что- =
= /njOi/2, запишем
Тг=—7\. (3)
. r .,
Подставив в формулу (3) значения mlt тй и Т\ и произведя вы-
числения, получим
Т2 = 3,33 кДж.
3. Боек до удара обладал энергией 7\; Т2—. энергия, затрачен-
ная на углубление сваи в грунт. Следовательно, во внутреннюю
энергию, связанную с неупругой деформацией сваи, превратилась
энергия
7 =
Подставив в это выражение значения 7\ и Т2, найдел
Т = 0,67 кДж.
‘ 29
4. Свайный молот служит для забивки сваи в грунт, следователь-
но, энергию Тя следует считать полезной. К. п. д. удара бойка о сваю
выразится как отношение энергии Та, затраченной на углубление
сваи в грунт, ко всей затраченной энергии 7Х;
Ч = 7УЛ-
Подставив в последнее выражение Тг по формуле /(3), получим
т] = mJ (тг 4- т2).
Подставим значения т1 и та и произведем вычисления:
1) = 83,3%.
Примечания к примерам 7 и 8. Оба примера решались одп-
наково с тем единственным различием, что при ударе бойка молота о поковку
полезной считалась энергия Т, затраченная на деформацию поковки, а при уда-
ре бойка свайного молота о сваю — энергия Т2, затраченпаа на углубление сваи
в грунт.
Задачи
Второй закон Ньютона
2-1. На гладком столе лежит брусок массой m »= 4 кг. К бруску при-
вязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F = 10 Н,
направленная параллельно поверхности стола. Найти ускорение а
бруска.
2-2. На столе стоит тележка массой тг = 4 кг. К тележке привязан
один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а
будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать ги-
рю массой т2 = 1 кг?
2-3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут
шнур, к концам которого привязали грузы массами 1,5 кг и
mt — 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов?
Массой блока и шнура пренебречь.
2-4. Два бруска массами - 1 кг и mt = 4 кг, соединенные шну-
ром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски,
если к одному из них приложить силу F = 10 Н, направленную го-
ризонтально? Какова будет сила Т натяжения шнура, соединяющего
бруски, если силу 10 Н приложить к первому бруску? ко второму
бруску? Трением пренебречь.
2-5. На гладком столе лежит брусок массой m = 4кг. К бруску при-
вязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикреп-
ленные к противоположным краям стола. К концам шнуров подве-
шены гири, массы которых тг =» 1 кг и ms = 2 кг. Найти ускоре-
ние а, с которым движется брусок, и силу Т натяжения каждого из
шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.
2-6. Наклонная плоскость, образующая угол а = 25° с плоскостью
горизонта, имеет длину I — 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, со-
скользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффи-
циент трения f тела о плоскость.
30
2-7. Материальная точка массой т = 2 кг движется иод действием
некоторой силы F- согласно уравнению х = А + Bt + Ct'2 + DP,
где С — 1 м/с®, D == —0,2 м/с®. Найти значения этой силы в моменты
времени ij=2 с и tt—5 с. В какой момент времени сила равна нулю?
2-8. Молот массой т — 1 т падает с высоты h = 2 м на наковальню.
Длительность удара t = 0,01 с. Определить среднее значение силы
<F> удара.
2-9. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью
и0 = 20 м/с, остановилась через i = 40 с. Найти коэффициент трсндя
f шайбы о лед.
2-10. Материальная точка массой т — 1 кг, двигаясь равномерно,
описывает четверть окружности радиуса г = 1,2 м в течение времени
t = 2 с. Найти изменение Др импульса точки.
2-11. Тело массой т = 5 кг брошено под углом а = 30° к горизонту
с начальной скоростью = 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воз-
духа, найти: 1) импульс силы F, действующей на тело, за время его
полета; 2) изменение Др импульса тела за время полета.
2-12. Шарик массой т = 100 г упал с высоты h = 2,5 м на горизон-
тальную плиту, масса которой много больше массы шарика, и отско-
чил, от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, определить им-
пульс р, полученный плитой.
2-13. Шарик массой- 300 Г ударился о стену и отскочил от нее.
Определить импульс рп полученный стеной, если в последний момент
перед ударом шарик имел скорость vQ = 10 м/с, направленную под уг-
лом а = 30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.
2-14. Тело массой т = 0,2 кг соскальзывает без трения по жело-
бу высотой h = 2 м. Начальная скорость и0 шарика равна нулю. Най-
ти изменение Др импульса шарика и импульс р, полученный желобом
при движении тела.
2-15. Ракета массой т — 1 т, запущенная с поверхности Земли вер-
тикально вверх, поднимается с ускорением а = 2g. Скорость v струи
газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. «Найти расход Qm го-
рючего.
2-16. Космический корабль имеет массу т = 3,5 т. При маневриро-
вании из его двигателей вырывается струя газов со скоростью о »
= 800 м/с; расход горючего Qm = 0,2 кг/с. Найти реактивную Силу
R двигателей и ускорение а, которое она сообщает кораблю.
2-17. Вертолет массой т = 3,5 т с ротором, диаметр d которого ра-
вен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью v ротор отбрасывает
вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным
диаметру ротора.
2-18. Брусок массой /иа = 5 кг может свободно скользить по горизон-
тальной поверхности без трения. На нем находится другой брусок
массой т1 = 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхно-
стей брусков f = 0,3. Определить максимальное значение силы Fn„t
приложенной к нижнему бруску, при которой начнется соскальзы-
вание верхнего бруска.
2-19. На горизонтальной поверхности находится брусок массой nij
— 2 кг. Коэффициент трения бруска о поверхность равен 0,2. На
»
бруске находится другой брусок массой та =* 8 кг. Коэффициент тре-
ния ^верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску при-
ложена сила F. Определить: 1) значение силы Fu при котором нач-
нется совместное скольжение брусков по поверхности; 2) значение си-
лы Fs, при котором верхний брусок начнет проскальзывать относи-
тельно нижнего.
2-20. Ракета, масса которой М = 6 т, поднимается вертикально вверх.
Двигатель ракеты развивает силу тяги F — 500 кН. Определить ус-
корение а ракеты и силу Т натяжения троса, свободно свисающего
с ракеты, на расстоянии, равном 1/4 его длины от точки прикрепления
троса. Масса т троса равна 10 кг. Си-
лой сопротивления воздуха пренебречь.
2-21. На плоской горизонтальной по-
верхности находится обруч, масса ко-
торого ничтожно мала. К внутренней
части обруча прикреплен груз малых
размеров, как это показано на рис. 2.5.
Угол а = 30°. С каким ускорением а
необходимо двигать .плоскость внаправ-
Рис. 2.5 лении, указанном - на рисунке, чтобы
обруч с грузом не изменил своего по-
ложения относительно плоскости? Скольжение обруча по плоскости
отсутствует.
2-22. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением
а = 20 м/с8. Какова перегрузка пассажира самолета? (Перегрузкой
называется отношение силы F, действующей z
на пассажира, к силе тяжести Р.) ^1IIIII'
2-23. Автоцистерна с керосином движется с f-Ц
ускорением а = 0,7 м/с8. Под каким углом <р TW
к плоскости горизонта расположен уровень I Щ
керосина в цистерне?
2-24. Бак в тендере паровоза имеет длину
I = 4 м. Какова разность А/ уровней воды у g _-у ~~~ р
переднего и заднего концов бака при движе-
нии поезда с ускорением а = 0,5 м/с8? '
2-25. Неподвижная труба с площадью S по-
перечного сечения, равной 10 см8, изогнута рИс. 2.6
под углом <р = 90° и прикреплена к стене
(рис. 2.6). По трубе течет вода, объемный расход Qv которой равен
50 л/с. Найти давление р струи воды, вызванной изгибом трубы.
2-26. Струя воды ударяется о неподвижную плоскость, поставленную
под углом <р — 60° к направлению движения струи. Скорость о
струи равна 20 м/с, площадь S ее поперечного сечения равна 5 см8.
Определить силу F давления струи на плоскость.
2-27*. Катер массой т = 2 т с двигателем мощностью W=50 кВт раз-
вивает максимальную скорость птах = 25 м/с. Определить время t.
' * Перед решением задач 2-27—2-30 следует предварительно разобрать при-
мер 3 нз § 2.
32
в течение которого катер после выключения двигателя потеряет по-
ловину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению
катера изменяется пропорционально квадрату скорости.
2-28*. Снаряд массой т = 10 кг выпущен из зенитного орудия вер-
тикально вверх со скоростью v0 = 800 м/с. Считая силу сопротивле-
ния воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъе-
ма снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k ~
=* 0,25 кг/с.
2-29*. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над
поверхностью Земли, сброшен груз массой т = 100 кг. Считая, что
сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости,
определить, через какой промежуток времени Д/ ускорение а груза
будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент
сопротивления k = 10 кг/с.
2-30*. Моторная лодка массой т = 400 кг начинает двигаться по
озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления
пропорциональной скорости, определить скорость v лодки через
А/ — 20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления
k — 20 кг/с.
2-31. Катер массой т — 2 т трогается с места и в течение времени
т = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость v =
= 4 м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной. При-
нять силу сопротивления Fc движению пропорциональной скорости;
коэффициент сопротивления k = 100 кг/с.
2-32. Начальная скорость v0 пули равна 800 м/с. При движении в
воздухе за время t = 0,8 с ее скорость уменьшилась до и = 200 м/с.
Масса т пули равна 10 г. Считая силу сопротивления воздуха пропор-
циональной квадрату скорости, определить коэффициент сопротив-
ления k Действием силы тяжести пренебречь.
2-33. Парашютист, масса которого т = 80 кг, совершает затяжной
прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна
скорости, определить, через какой промежуток времени А/ скорость
движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося
движения. Коэффициент сопротивления k « 10 кг/с. Начальная
скорость парашютиста равна нулю.
Закон сохранения импульс*
2-34. Шар массой т, = 10 кг, движущийся со скоростью = 4 м/в,.
сталкивается с шаром массой т2 = 4 кг, скорость о, которого равна
12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость и шаров пос-
ле удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, дви- '
жущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг
другу.
2-35. В лодке массой — 240 кг стоит человек массой mt = 60 кг.
Лодка плывет со скоростью = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в го-
ризонтальном направлении со скоростью v = 4 м/с (относительно лод-
ки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух
2 Зак. 94
33
случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сто-
рону, противоположную движению лодки.
2-36. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной
легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса чело-
века /И —= 60 кг, масса доски т = 20 кг. С какой скоростью и (отно-
сительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль
доски со скоростью (относительно доски) о=1 м/с? Массой колее
пренебречь. Трение во втулках не учитывать.
2-37. В предыдущей задаче найти, на какое расстояние d: 1) передви-
нется тележка, если человек перейдет на другой конец доски; 2) пе-
реместится человек относительно /пола; 3) переместится центр масс
системы тележка—человек относительно доски и относительно пола.
Длина I доски равна 2 м.
2-38. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса
платформы с орудием М = 15 т. Орудие стреляет вверх под углом
<р = 60° к горизонту в направлении пути. С какой скоростью по-
катится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда т = 20 кг
и он вылетает со скоростью о2 = 600 м/с?
2-39. Снаряд массой т = 10 кг обладал скоростью v = 200 м/с в верх-
ней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Мень-
шая массой т1 = 3 кг получила скорость = 400 м/с в прежнем на-
правлении. Найти скорость и2 второй, большей части после разрыва.
2-40. В предыдущей задаче найти, с какой скоростью ий и под каким
углом <р2 к горизонту полетит большая часть снаряда, если меньшая
полетела вперед под углом <р* = 60° к горизонту.
2-41. Два конькобежца массами = 80 кг и т2 = 50 кг, держась
за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один
против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая
его со скоростью v = 1 м/с. С какими скоростями Uj и ut будут дви-
гаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь. i
Динамика материальной точки,
движущейся до окружности
2-42. Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси.
На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения f ="
= 0,4, найти частоту п вращения, при которой кубик соскользнет
с диска.
2-43. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом
г = 4 м. С какой наименьшей скоростью fmin должен проезжать ак-
робат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?
2-44. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур
принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила
Т натяжения шнура в момент, когда гиря проходит положение рав-
новесия? Какой угол <р с вертикалью составляет шнур в момент, когда
сила натяжения шнура равна силе тяжести гири?
2-45. Самолет описывает, петлю Нестерова радиусом R — 200 м. Во
сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точ-
34
ке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость самолета v =
— 100 м/с?
2-46. Грузик, привязанный к шнуру длиной I = 50 см, описывает
окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол ф образует шнур
с вертикалью, если частота вращения п = 1 с-1?
2-47. Грузик, привязанный к нити длиной Z = 1 м, описывает окруж-
ность в горизонтальной плоскости. Определить период Т обращения,
если нить отклонена на угол ф = 60° от вертикали.
2-48. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на рас-
стоянии г = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется си-
ла F давления оси на подшипники, если частота вращения маховика
п = 10 с-1? Масса m маховика равна 100 кг.
2-49. Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального ци-
линдра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком
расположен на расстоянии / = 0,8 м от поверхности цилиндра. Ко-
эффициент трения f покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С
какой минимальной скоростью vmln должен ехать мотоциклист? Ка-
ков будет при этом угол ф наклона его к плоскости горизонта?
2-50. Автомобиль массой m = 5 т движется со скоростью v = 10 м/с
по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомобиля на мост
в его верхней части, если радиус R кривизны моста равен 50 м
2-51. Сосуд с жидкостью вращается с частотой п = 2 с-1 вокруг вер-
тикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему ра-
вен угол <р наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на ра-
стоянии г = 5 см от оси?
2-52. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны
которого равен 200 м. Коэффициент трения f колес о покрытие доро-
ги равен 0,1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется
его занос?
2-53. Какую наибольшую скорость vmax может развить велосипе-
дист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффициент
трения скольжения f между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков
угол ф отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист дви-
жется по закруглению?
2-54. Самолет массой m = 2,5 т летит со скоростью v = 400 км/ч.
Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж — полет
самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R
траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный угол ф накло-
на самолета и подъемную силу F крыльев во время полета.
2-55. Вал вращается с частотой п = 2400 мин-1. К валу перпендику-
лярно его длине прикреплен стержень очень малой массы, несущий
на концах грузы массой ш =» 1 кг каждый, находящиеся на расстоя-
нии г =- 0,2 м от оси вала. Найти: 1) силу F, растягивающую стер-
жень при вращении вала; 2) момент М силы, которая действовала
бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом ф = 89° к оси
вала.
2-56. Тонкое однородное медное кольцо радиусом R = 10 см враща-
ется относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой
скоростью ш = 10 рад/с. Определить нормальное напряжение а, воз-
" 35
никающее в кольце в двух случаях: 1) когда ось вращения перпенди-
кулярна плоскости кольца и 2) лежит в плоскости кольца. Деформа-
цией кольца при вращении пренебречь.
Работа и энергия
2-57. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s =
= 5 м и приобрела скорость v = 2 м/с. Определить работу Л-силы,
если масса т вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения f = 0,01.
2-58. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном подъе-
ме груза массой т — 100 кг на высоту h = 4 м за время / = 2 с.
2-59. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной
/ = 2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона <р = 30°, ко-
эффициент трения f — 0,1 и груз движется с ускорением а = 1 м/с2.
2-60. Вычислить работу А, совершаемую на пути s = 12 м равномер-
но возрастающей силой, если в начале пути сила Fj = 10 Н, в конце
пути F2 = 46 Н. '
2-61. Под действием постоянной силы F = 400 Н, направленной вер-
тикально вверх, груз массой т = 20 кг был поднят на высоту h =
= 15 м. Какой потенциальной энергией П будет обладать поднятый
груз? Какую работу А совершит сила F?
2-62. Тело массой т — 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном
направлении со скоростью и0 = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю.
Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент
удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
2-63. Камень брошен вверх под углом <р = 60° к плоскости горизонта.
Кинетическая энергия То камня в начальный момент времени равна
20 Дж. Определить кинетическую Т и потенциальную П энергии
камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
2-64. Насос выбрасывает струю воды диаметром d — 2 см со скоро-
стью v — 20 м/с. Найти мощность /V, необходую для выбрасывания
воды.
2-65. Какова мощность W воздушного потока сечением S = 0,55 м2
при скорости воздуха v = 20 м/с и нормальных условиях?
2-66. Вертолет массой m = 3 т висит в воздухе. Определить мощ-
ность N, расходуемую на поддержание вертолета в этом положении, при
двух значениях диаметра d ротора: 1) 18 м; 2) 8 м. При расчете при-
нять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха
диаметром, равным диаметру ротора.
2-67. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась под действием
некоторой силы согласно уравнению х = А + Bt + Ct2 + Dt3, где
А — 10 м; В = —2'м/с; С = 1 м/с2; D = —0,2 м/с3. Найти мощность
N, затрачиваемую на движение точки, в моменты времени 4 = 2 с и
/2 = 5 с.
2-68. С какой наименьшей высоты h должен начать скатываться акро-
бат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке,
имеющей форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м, и не оторваться
от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.
2-69. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего фор
му полусферы. Какую дугу а опишет камешек, прежде чем оторвет-
ся от поверхности купола? Трением пренебречь.
2-70. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наимень-
шую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать
по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом R = -1 м? Тре-
нием и сопротивлением воздуха пренебречь
2-71. При выстреле из орудия снаряд массой тх = 10 кт получает ки-
нетическую энергию 7\ = 1,8 МДж. Определить кинетическую энер-
гию Тг ствола орудия вследствие отдачи, если масса т, ствола орудии
равна 600 кг.
2-72. Ядро атома распадается на два осколка массами тх =• 1,вХ
X Ю-и кг и т2 — 2,4 • 10-гь кг. Определить кинетическую энер-
гию Т8 второго осколка, если энергия Тх перво;о осколка равна
18 нДж.
2-73 Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой
= 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью о, = 1 м/с.
'Масса конькобежца т2 = 60 кг. Определить работу А, совершенную
конькобежцем при бросании гири.
2-74. Молекула распадается на два атома. Масса одного <з атомов
в п = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинети-
ческой энергией и импульсом молекулы, определить кинетические
энергии Л и Л атомов, если их суммарная кинетическая энергия
Т = 0,032 нДж.
2-75. На рельсах стоит платформа, на которой в горизонтальном по-
ложении закреплено орудие без противооткатного устройства. Из
орудия производят выстрел вдоль же-
лезнодорожного пути. Масса т} снаряда
равна 10 кг и его скорость v = 1 км/с.
Масса ms платформы с орудием и про-
чим грузом равна 20 т. На какое рас-
стояние I откатится платформа после
выстрела, если коэффициент сопротив-
ления f = 0,002?
2-76. Пуля массой т = 10 г, летевшая рИс. 2.7
со скоростью v = 600 м/с, попала в бал-
листический маятник (рис. 2.7) массой М = 5 кг и застряла в нем.
На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник?
2-77. В баллистический маятник массой М = 5 кг попала пуля мас-
сой т = 10 г и застряла в нем. Найти скорость и пули, если маятник,
отклонившись после удара, поднялся на высоту h = 10 см.
2-78. Дня груза массами т х = 10 кг и т2= 15 кг подвешены на ни-
тях длиной I = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Мень-
ший груз был отклонен на угол ср = 60° и выпущен. Определить вы-
соту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов
считать неупругим.
2-79. Два неупругих шара массами mi = 2 кг и та = 3 кг движутся
со скоростями соответственно vy = 8 м/с и va = 4 м/с. Определить уве-
личение внутренней энергии шаров при их столкновении в двух
37
случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся
навстречу друг другу.
2-80. Шар массой тъ летящий со скоростью = 5 м/с, ударяет не-
подвижный шар массой т2. Удар прямой, неупругий. Определить ско-
-рость и шаров после удара, а также долю w кинетической энергии ле-
тящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии
этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) гщ = 2 кг, т2 = 8 кг; 2)
т1 = 8 кг, т2 = 2 кг.
2-81. Шар массой тг = 2 кг налетает на покоящийся шар массой
т2 = 8 кг. Импульс рх движущегося шара равен 10 кг • м/с. Удар
шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после удара:
1) импульсы pl первого шара и р2 второго шара; 2) изменение Дрх
импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т{ первого шара и
Т'ч второго шара; 4) изменение кинетической энергии первого
шара; 5) долю w кинетической энергии, переданной первым шаром
второму.
2-82. Шар массой = 6 кг налетает на другой, покоящийся шар
массой т2 = 4 кг. Импульс рх первого шара равен 5 кг • м/с. Удар
шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после уда-
ра: 1) импульсы р{ первого шара и р2 второго шара; 2) изменение
А/?! импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т{ первого ша-
ра и Т2 второго шара; 4) изменение кинетической энергии перво-
го шара; 5) долю кинетической энергии, переданной первым шаром
второму и долю w2 кинетической энергии, оставшейся у первого ша-
ра; 6) изменение AU внутренней энергии шаров; 7) долю w кинети-
ческой энергии первого шара, перешедшей во внутреннюю энергию
шаров.
2-Й. Молот массой т, = 5 кг ударяет небольшой кусок железа,
лежащий на наковальне. Масса т2 наковальни равна 100 кг. Массой
куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить к. п. д. tj уда-
ра молота при данных условиях.
2-84. Боек свайного молота массой тг = 500 кг падает с некоторой
высоты на сваю массой т2— 100 кг. Найти к. п. д. 1) удара бойка,
считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сван
при углублении ее пренебречь.
2-85. Молотком, масса которого mt = 1 кг, забивают в стену гвоздь
массой т2 = 75 г. Определить к. п. д. т] удара молотка при данных ус-
ловиях.
2-86. Шар массой тг = 200 г, движущийся со скоростью vt = 10 м/с,
ударяет неподвижный шар массой т2 — 800 г. Удар прямой, аб-
солютно упругий. Каковы будут скорости иг и и2 шаров после удара?
2-87. Шар массой т = 1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром боль-
шей массы М. В результате прямого упругого удара шар потерял
w — 0,36 своей кинетической энергии 7\. Определить массу больше-
го шара.
2-88. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший
шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял
ш = 3/4 своей кинетической энергии Тг. Определить отношение k =
=« Mint масс шаров.
83
2-89. Определить максимальную часть w кинетической энергии Ти
которую может передать частица массой т1 = 2 - 10~22 г, сталки-
ваясь упруго с частицей массой т2 = 6 • 10-22 г, которая до
столкновения покоилась.
2-90. Частица массой = 10~2Б кг обладает импульсом pt —
= 5 • IO-20 кг • м/с. Определить, какой максимальный импульс
р2 может передать эта частица, сталкиваясь упруго с частицей массой
mt = 4 • 10-2в кг, которая до соударения покоилась.
2-91. На покоящийся шар налетает со скоростью = 2 м/с другой
шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар
изменил направление движения на угол а = 30°. Определить; 1) ско-
рости и и2 шаров после удара; 2) угол р между вектором скорости
второго шара и первоначальным направлением движения первого ша-
ра. Удар считать упругим.
2-92. Частица массой mt = 10~24 г имеет кинетическую энергию
7\ — 9 нДж. В результате упругого столкновения с покоящейся час-
тицей массой т2 = 4 • 10-24 г сообщает ей кинетическую энергию
Т2 = 5 нДж. Определить угол а, на который отклонится частица от
своего первоначального направления.
§ 3. ДИНАМИКА п .
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Основные формулы
1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси
Mdt — d (Jсо),
где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dZ; J — момент
инерции тела; и — угловая скорость; Ja> — момент импульса.
Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записы-
вается в виде
МЛ/ = ./Леи.
В случае постоянного момента инерции
М = Je,
где е — угловое ускорение.
2. Момент импульса вращающегося тела Угносительно оси
L — Ju.
3. Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения
М = EXZ,
где F± — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращення|
I — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия
силы).
4. Момент инерции материальной точки
где т — масса точки, г — ее расстояние от оси вращения.
Момент инерции твердого тела
f = S Д^г?,
z=l
39
где rt— расстояние элемента массы Дяц от оси вращения. То же, в интеграль-
ной форме
J = jr*d/n.
Если тело однородно, т. е. его плотность р одинакова по всему объему, то
dm = pdU и J = p£г1 dV,
где V — объем тела. Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
Тело Ось. относительно которой пределяется момент инерции Формула момента инерция
Однородный тонкий стержень массой т и дли- ной 1 Проходит через центр тя- жести стержня перпендику- лярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню — ml2 12 тР 3
Тонкие кольцо, обруч. Труба радиусом R н массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу Круглый однородный Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр ди- mR2 1
диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой ска перпендикулярно пло- скости основания Проходит через центр ша- 2
т н радиусом R ра 5
Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной осн
равен
J — + та2,
где Jo — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр
тяжести тела параллельно заданной осн; а — расстояние между осями; т_______
масса тела.
Б. Закон сохранении момента импульса
п
У, £<=«= const,
1
где Lt — момент импульеа тела с номером i, входящего в состав системы.
Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел i
где Jlt J2, <01 и — моменты инерцнн и угловые скорости тел до взаимодейст-
вия; J{, J't, Mi н <t»i — те же величины после взаимодействия.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции ко-
торого меняется,
-^1®1 ж ^2®2»
где Ji н — начальный и конечный моменты инерции; <oj я шг — начальная
и конечная угловые скорости тела.
в. Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся
тело,
А «= Л1<р,
где <р — угол поворота тела.
43
Т. Мгновенная мощность; развиваемая при вращении тела,'
N = Ма.
& Кинетическая анергия вращающегося тела
Т =
б. Кинетическая энергия тела; катящегося по плоскости без скольжения;
Т = i/2mo24- * 1/2Jco2,
где 1/2тп2 — кинетическая энергия поступательного движения тела; о —
скорость центра инерции тела; 1/2Fa>2 — кинетическая энергия вращательного
движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.
10. Работа, совершаемая при врашенни тела, и изменение кинетической
анергии его связаны соотношением
А = l/2 Ja>2—1/2 Ja>l.
11. Величины; характеризующие динамику вращательного движения,
формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам
и формулам поступательного движения.
Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:
Поступательное Вращательное Поступательное Вращательное
движение движение движение движение
Основной закон динамики .
F&t— mv2-— тщ M^t=J(o2—Jo>i
F=ma M—Je
Закон сохранения
импульса момента импульса
п п
2m/t)j=const у1, Jjioi =const
r=i /=|
Работа и мощность
A—Fs А = М<р
N=Fo N=Ma>
Кинетическая энергия
7 = -^- ~~2~
Примеры решения задач
1. Вычислить момент инерции J2 молекулы NOa относительно оси г,
проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости,
содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы
равно 0,118 нм, валентный угол а = 140°.
Решение. Молекулу NOa можно рассматривать как систему, состоя-
щую из трех материальных точек общей массой
т — 2mr+ га2, (1)
где /Д1 — масса атома кислорода; т2 — масса атома азота.
Расположим молекулу относительно координатных осей так, как
это указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром масе
С молекулы, ось г направим перпендикулярно плоскости чертежа
«к нам»).
41
Для определения Jz воспользуемся теоремой Штейнера:
J = Jc + та2.
Для данного случая эта теорема запишется в виде J,. = Л + та*,
где — момент инерции относительно оси г', параллельной оси t
и проходящей через атом
азота (точка О на рис. 3.1).
Отсюда искомый момент инер-
ции
JZ=JZ—та2. (2)
Момент инерции «7г. находим
как сумму моментов инерций
двух материальных точек
(атомов кислорода):
Л- - 2т! d2. (3)
Расстояние а между осями гиг' равно координате хс центра масс сис-
темы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2, п. 5) Хс =*
= В Данном случае
а = хс = (2га1х1 + т2х2)1 (2т± + m2) 1
или, учитывая, что х, = d cos (а/2) (рис. 3.1) и хв = О,
2m. , а
а = Хо —--------i— d cos —.
2mj -f-m3 2
(4)
Подставив в формулу (2) значения Jz>, т, а соответственно из вы-
ражений (3), (1), (4), получим
J2 = 2m.i d2—(2т! + ^г) (-——Y d2 cos2 —.
\ 2mi+m2 ) 2
или после преобразований
Jz = 2т! d2 (1----cos2 — Y; (5)
V 2mi-f-m2 2 / ' '
Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода
(Л о — 16) и азота (/1N = 14) и запишем массы атомов этих элементов
в атомных единицах массы (а. е. м.), а затем выразим в килограммах
(1 а. е. м. = 1,66 • 10“2? кг, см. табл. 9):
mi = 16 • 1,66 • 10"27 кг = 2,66 • 10-я кг,
т2 = 14 - 1,66 - 1(Г27 кг = 2,32 • 10"я кг.
Значения /л2, d и а подставим* в формулу (5) и произведем вы-
числения:
Jz = 6,80 . 10-« кг • м2.
* Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов
можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят
в виде отношений.
42
i. Физический маятник представляет собой стержень длиной / = 1 и
м массой m, = I кг с прикрепленным к одному из его концов диском
массой тв = 0,6 Определить момент инерции Jz такого маятни-
ка относительно оси Ог, проходящей через точку О на стержне пер-
пендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2).
Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов
инерции стержня JZ1 и диска J2S:
Л = Л1 + Лг- (1)
Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня Jt
и диска J2 относительно осей, проходящих через их центры масс, да-
ны в таблице на с. 40. Чтобы определить мо-
менты инерции JZ1 и JZ2, надо воспользо-
ваться теоремой Штейнера:
J = Jc + та2. (2)
Выразим момент инерции стержня соглас-
но формуле (2):
Jzi = t/izm1r + m1al.
Расстояние аг между осью Oz и парал-
лельной ей осью, проходящей через центр
масс Сг стержня, как следует из рис. 3.2,
равно г/21 — Ч31 = 1/в/. С учетом этого за-
пишем
= ^12 mi ? + пц (*/в/)2 = ’/gW! I2 = 0,111 /тг1 /2.
Момент инерции диска в соответствии с
формулой (2) равен
Л2 = 1/гт2/?2 Ч-тгОг,
где R — радиус диска; R — 1/4/. Расстояние а2 между осью Ог я па-
раллельной ей осью, проходящей через центр масс диска равно
(рис. 3.2), %/ 4- х/4/ — и/12/. С учетом этого запишем
Ja=4№ (1/J)24-w2(11/12/)2= 0,0312m2/24-0,840m2Z2 = 0,871m2P.
Подставив полученные выражения JZ1 и J22 в формулу (1), найдем
Jz = 4- 0,871m2/2 = (0,111m! 4- 0,871m,,)/2,
или, учитывая, что т2 = O.Smj,
Jz — 0,547
Произведя вычисления, получим значение момента инерции фи-
зического маятника относительно оси Oz:
J z = 1,09 кг • м2.
3. Вал в виде сплошного цилиндра массой mi=10 кг насажен н*
горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному кон-
цу которого подвешена гиря массой т2=2 кг (рис. 3.3), С каким
43
ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному уско-
рению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,
и связано с угловым ускорением 8 вала соотношением
а = ег, (1)
где г — радиус вала.
Угловое ускорение вала выражается основным уравнением дина-
мики вращающегося тела:
е = MU,
(2)
где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инер-
ции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его мо-
Рис. 3.3
мент инерции относительно геометрической оси
равен
J = 1/2т1га.
Вращающий момент М, действующий на вал,
равен произведению силы Т натяжения шнура на
радиус вала: М — Тг.
Силу натяжения шнура найдем из следующих
соображений. На гирю действуют две силы: сила
тяжести m2g, направленная вниз, и сила Т натя-
жения шнура, направленная вверх. Равнодейст-
вующая этих сил вызывает равноускоренное дви-
жение гири. По второму закону Ньютона, m2g —
— Т = т2а, откуда Т = m2(g — а). Таким обра-
зом, вращающий момент М = /п2 (g — а)г.
Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем
угловое ускорение вала:
m2(g—а) г 2m2(g — a)
с — ----------— -----------,
1/2т] № От] г
Для определения линейного ускорения гири подставим это вы-
ражением е в формулу (Г). Получим а = • 01КУДа
а = ——— g = 2,80 м/с2.
-р 2/7? 2
4. Через блок в виде диска, имеющий массу m = 80 г, перекинута
тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами
т1 = 100 г и тг = 200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут дви-
гаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
Решение. Применим к решению задачи основные законы поступатель-
ного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов дей-
ствуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т на-
тяжения нити, направленная вверх.
Гак как вектор ускорения а груза направлен вверх, то Т\ >
Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное дви-
44
жение и по второму закону Ньютона равна 7\ — mLg = т^а, отку-
да
Л = + mia- (D
Вектор ускорения а груза т2 направлен вниз, следовательно,
Т2 < /n2g. Запишем формулу второго закона для этого груза: m2g—
— Т2 — т^а, откуда _
Т2 = т<£ — m2a. (2) f Y'
Согласно основному закону динамики вращатель- , 4 z
ного движения, вращающий - момент М, приложен- т>
ный к диску, равен произведению момента инерции 2
J диска на его угловое ускорение в:
М = Je. (3) Ъ 2
Определим вращающий момент. Силы натяжения _L JL ,
нитей действуют не только на грузы, но и на диск. LJ l_Jm2
По третьему закону Ньютона силы Т{ и Т'г, прило- |
женные к ободу диска, равны соответственно силам гп]д
Тг и Т2, но по направлению им противоположны.
При движении грузов диск ускоренно вращается по Юг?
часовой стрелке, следовательно, Т2 >Т{. Вращаю-
щий момент, приложенный к диску, равен произведе- нс’ ’
нию разности этих сил на плечо, равное радиусу
диска, т. е. М = (Т2 — Т\)г. Момент инерции диска J = mr2/2; угло-
вое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением
е = а!г. Подставив в формулу (3) выражения М, J и е, получим
откуда
Ts—T'i — fm/tya.
Так как Т{ = 7\ и Т2 = Т2, то можно заменить силы Т\ и T'z вы-
ражениями по формулам (1) и (2), тогда
m / \
—mig—m±a — — а, или (гпъ—
s=/m2 + mi + — ja,
откуда
—т-.
а =-----—5—g.
тз+т! +т12
(Я
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безраз-
мерная. Поэтому значения масс ти т3и т можно выразить в граммах»
как они даны в условии задачи. После подстановки получим
а = 2,88 м/с2.
4&
б. Маховик в виде диска массой т — 50 кг и радиусом г = 20 см был
раскручен до частоты вращения пг = 480 мин-1 и затем предоставлен
самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент
М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик
остановился через t = 50 с; 2) маховик до полной остановки сделал
N — 200 оборотов.
Решение. 1. По второму закону динамики вращательного движения
изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению
момента силы, действующего на тело, на время действия этого мо-,
мента:
МAt =
где J — момент инерции маховика; <ох и со2 — начальная и конечная
угловые скорости. Так как ®2 = 0 и Д2 = £, то Mt = —J<alt откуда
М = —Jeyjt. (1).
Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен
j = Ч2тгг. Подставив это выражение в формулу (1), найдем
М = —tnr^J (2/). (2)
Выразив угловую скорость их через частоту вращения лх и произ-
ведя вычисления по формуле (2), найдем
М — —1 Н • м.
2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком
до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому применим фор-
мулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энер-
гии:
Л = Jcol/2 —J®?/2,
или, учтя, ЧТО С02 = 0,
А= — Ло?/2. (3)
Работа при вращательном движении определяется по формуле
А = М<р. Подставив выражения работы и момента инерции диска в
формулу (3), получим
М(р = —тг2 <£>х/4.
Отсюда момент силы трения
М = — mr2wf/(4<p). (4)
Угол поворота <р = 2nN = 2 • 3,14 • 200 рад = 1256 рад. Про-
изведя вычисления по формуле (4), получим
М = —1 н • м.
Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее
действие.
6. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой тх = 180 кг
вращается по инерции около вертикальной оси с частотой п =
** 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой т2 ==> 60 кг.:
46
Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь
человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. По закону сохранения момента импульса,
(Ji + J2) со = (Л + J2) <о', (1)
где «7Х — момент инерции платформы; J2 — момент инерции человека,
стоящего в центре платформы; со — угловая скорость платформы с че-
ловеком, стоящим в ее центре; Л — момент инерции человека, стоя-
щего на краю платформы; со' — угловая скорость платформы с чело-
веком, стоящим на ее краю.
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, свя-
зана с угловой скоростью соотношением
v = (H'R. (2)
Определив со' из уравнения (1) и подставив полученное выражение
в формулу (2), будем иметь
v = (Л + J2) ю/?/(7х + Л). (3)
Момент инерции платформы рассчитываем как для диска, следо-
вательно, Jx =1/am1/?a. Момент инерции человека рассчитываем
как для материальной точки. Поэтому J2 = О, J2 = m2№. Угловая ско-
рость платформы до перехода человека равна со = 2яп.
Заменив в формуле (3) величины Л, J2, Л и со их выражениями,
получим
р =----------------2nnR =-----------2nnR.
11 № R2 + ms R2 mx-)-2m2
Сделав подстановку значений mx, ms, n, R и л, найдем линейную
скорость человека:
о=0,942 м/с.
7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней
вращается по инерции. Частота вращения пх = 0,5 с-1. Момент инер-
ции Jo тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг-ма.
В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой т =
2 кг каждая. Расстояние между гирями /х = 1,6 м. Определить ча-
стоту вращения п2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и
расстояние /2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции
скамьи пренебречь.
Решение. Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет вместе со
скамьей замкнутую механическую систему*, поэтому момент импулг>
са Ja этой системы должен иметь постоянное значение. Следователь-
но, для данного случая
УхС0х J2(02» (О
* Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил реак-
ции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются
уравновешенными. Трением пренебрегаем.
47
где и «>! — момент инерции тела человека и угловая скорость ем-
мьи и человека с вытянутыми руками; /2 и — момент инерции тела
человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками.
Отсюда
= (J\U 2^ СОр
Выразив в этом уравнении угловые скорости (ох и <ot череа частота
вращения и п2 (<о == 2лп) и сократив на 2л, получим
н2 = (Jj/J2) nv (2)
Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен
сумме момента инерции тела человека Jo и момента инерции гирь
Рис. 3.5
в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их
от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по форму-
ле момента инерции материальной точки: J = тг2. Следовательно*,
Л = Л + 2т J2 = Jo + 2т (l2/2)2,
где т — масса каждой из гирь; /х и /2 — первоначальное и конечное
расстояния между гирями. Подставив выражения и J2 в уравнение
(2), получим
(3)
„ Jo+2m(i1/2y‘ „
J0 + 2m(l2/2?
Выполнив вычисления по формуле (3), найдем
п2 = 1,18 с-1.
8. Стержень длиной 1= 1,5 м и массой М — 10 кг может вращать-
ся вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний коней стерж-
* В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) из-
меняется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду
сложности учета этого изменения будем считать момент инерции Jo тела человека
постоянным.
48
ия (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой т = 10 г, ле-
тящая в горизонтальном направлении со скоростью оо = 500 м/с,
и застревает в стержне. На какой угол <р отклонится стержень после
Удара?
Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после
удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться
с одинаковыми скоростями.
Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала
нуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток вре-
мени приводит его в движение с угловой ско-
ростью <о и сообщает ему кинетическую энер-
гию
Т = Jwa/2,
(1)
где J — момент инерции стержня относи-
тельно оси вращения
Затем стержень поворачивается на иско-
мый угол <р, причем центр масс его подни-
мается на высоту h = (1/2) (I — cos <р) В от-
клоненном положении стержень будет обла-
дать потенциальной энергией
. П = Mg (1/2) (1 cos <р). (2)
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии
и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части
равенств (1) и (2), получим
Alg (Z/2) (1 — cos <р) — ./ы2/2.
Отсюда
cos <р = 1 — J(ai2l(Mgl).
Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня
J = МР/3, получим
cos tp = 1 — /co2/(3g). (3)
Чтобы из выражения (3) найти <р, необходимо предварительно оп-
ределить значение <в. В момент удара на пулю и на стержень дейст-
вуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вра-
щения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относи-
тельно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень
будет справедлив закон сохранения момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость стержня £оо = 0,
поэтому его момент импульса L01 = Ja>0 = 0. Пуля коснулась стерж-
ня и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение
и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент им-
пульса пули L02 = mo0r, где г — расстояние точки попадания от оси
вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость
to, а пуля — линейную скорость и, равную линейной, скорости точек
стержня, находящихся на расстоянии г от оси вращения. Так как
v = ыг, то конечный момент импульса пули L2 = mvr — mPa.
49
Применив закон сохранения импульса, можем написать
L01 4- Loa 4- La или mVoT — 4- /иг2со,
откуда
' mv(,r
со =----s---,
/+mr2
где J = Л4/2/3 — момент инерции системы стержень — пуля. Отсю-
да получим
Выполнив вычисления по формуле (4), а затем по формуле (3), най-
дем со = 0,5 рад/с; cos = 0,987; ср = 9°20'.
Задачи
Вычисление момента
инерции
3-1. Определить момент инерции J материальной точки массой т =*
= 0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на г — 20 см.
3-2. Два маленьких шарика массой т = 10 г каждый скреплены тон-
ким невесомым стержнем длиной I = 20 см. Определить момент инер-
ции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и про-
ходящей через центр масс.
и 3-3. Два шара массами т и 2т (т — 10 г) закреплены на тонком,
невесомом стержне длиной I = 40 см так, как это указано на
Рис. 3.7
рис. 3.7, а, б. Определить моменты инерции J системы относительно
оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих
двух случаях. Размерами шаров пренебречь.
3-4. Три маленьких шарика массой т = 10 г каждый расположены
в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 20 см и
скреплены между собой. Определить момент инерции J системы отно-
сительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и прохо-
дящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости
треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну
из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары,
пренебречь.
’3-5. Определить моменты инерции J х, J v, Jz трехатомных молекул
типа АВ8 относительно осей х, у, z (рис. 3.8), проходящих через центр
50
инерции С молекулы (й₽ь г перпендикулярна плоскости ху). Межья-
дерное расстояние АВ обозначено d, валентный угол а. Вычисления
выполнить для следующих молекул: 1) H2O(d = 0,097 нм, а =?
*=104°30'); 2) SO2 (d = 0,145 нм, а = 124°).
3-6. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня
длиной I = 30 см и массой т = 100 г относительно оси, перпендику-
лярной стержню и проходящей через: 1) его конец, 2) его середину;
3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. i
3-7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня дли-
ной I = 60 см и массой т = 100 г относительно оси, перпендикуляр-
ной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на а = 20 см
от одного из его концов.
3-8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со
сторонами а — 12 см и Ь = 16 см относительно оси, лежащей в пло-
скости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон.
Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плот-
ностью т = 0,1 кг/м.
3-9. Два однородных тонких стержня: АВ длиной /х = 40 см и мас-
сой тх = 900 г и CD длиной /2 = 40 см и массой т2 = 400 г скреплены
под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы
стержней относительно оси 00', проходящей через конец стержня
АВ параллельно стержню CD.
3-10. Решить предыдущую задачу для случая, когда ось ОО' прохо-
дит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.
3-11. Определить момент инерции J проволочного равностороннего
треугольника со стороной а — 10 см относительно: 1) оси, лежащей
в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллель-
но стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси,
совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса
т треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине про-
волоки.
3-12. На концах тонкого однородного стержня длиной I и массой Зт
прикреплены маленькие шарики массами т и 2т. Определить момент
: инерции J такой системы относительно оси, перпендикулярной стерж-
• ню н проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисле-
ния выполнить для случаев а, б, в, г, д, изображенных на рис. 3.11.
51'
При расчетах принять I — 1 м, т = 0,1 кг. Шарики рассматривать
как материальные точки.
3-13. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом
R = 20 см и массой т = 100 г относительно оси, лежащей в плоско-
сти кольца и проходящей через его центр.
3-14. Определить момент инерции J кольца массой т — 50 г и радиу-
сом R — 10 см относительно оси, касательной к кольцу.
3-15. Диаметр диска d = 20 см, масса т — 800 г. Определить момент
инерции J диска относительно оси, проходящей через середину од-
ного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
3-16. В однородном диске массой т = 1 кг и радиусом г = 30 см
вырезано круглое отверстие диаметром d = 20 см, центр которого
d
находится на расстоянии / = 15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти
момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей
перпендикулярно плоскости диска через его центр.
3-17. Найти момент инерции J плоской однородной прямоугольной
пластины массой т = 800 г относительно оси, совпадающей с одной
из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см.
3-18- Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сто-
ронами а = 10 см и Ь => 20 см относительно оси, проходящей через
центр масс пластины^параллельно большей стороне. Масса пластины
равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью
о = 1,2 кг/м2.
Основное уравнение динамикиW
вращательного движения
3-19. Тонкий однородный стержень длиной I = 1 м может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О на
стержне (рис. 3.13). Стержень отклонили от вертикали на угол а и
отпустили. Определить для начального момента времени угловое е
и тангенциальное а, ускорения точки В на стержне. Вычисления про-
извести для следующих случаев: 1) а = О, b = 2/3/, а = л/2; 2)
а = 1/3, b — I, а = я/3; 3) а = //4, b = 1/2, а — г/ап.
52
8-20. Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вращать-
ся вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска
и проходящей через точку О на нем (рис. 3.14). Диск отклонили на
угол а и отпустили. Определить для начального момента времени уг-
ловое е и тангенциальное ат ускорения точки
В, находящейся на диске. Вычисления выпол-
нить для следующих случаев: 1) а — R, b =
= R/2, а = л/2; 2) а = R/2, b = R, а = л/6;
3) а = 2/3R, b = 2/3R, а = 2/3л.
3-21. Тонкий однородный стержень длиной
I = 50 см и массой т = 400 г вращается с уг-
ловым ускорением е = 3 рад/с2 около оси, про-
ходящей перпендикулярно стержню через его
середину. Определить вращающий момент М.
3-22. На горизонтальную ось насажены махо-
вик и легкий шкив радиусом R = 5 см. На
шкив намотан шнур, к которому привязан
груз массой т = 0,4 кг. Опускаясь равно-
ускоренно, груз прошел путь s= 1,8 м за вре-
мя t = 3 с. Определить момент инерцйи J ма-
ховика. Массу шкива считать пренебрежимо
малой. '
3-23. Вал массой т = 100 кг и радиусом R = 5
стотой п = 8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали
тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал оста-
новился через t — 10 с. Определить коэффициент трения f.
3-24. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, мас-
сой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь.
Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили
цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линей-
ное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) по-
лый тонкостенный.
3-25. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам
шнура привязали грузики массой тг = 100 г и т2 = ПО г. С каким
ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна
400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.
3-26. Два тела массами тх = 0,25 кг и т2 — 0,15 кг связаны тонкой
нитью, переброшенной через блок (рис. 3.15). Блок укреплен на краю
53
горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой
/тг1. С каким ускорением а движутся тела и каковы силы я Т
натяжения нити по обе стороны от блока? Коэффициент трения
тела о поверхность стола равен 0,2. Масса tn блока равна 0,1 кг и ее
можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити
и трением в подшипниках оси блока пренебречь.
3-27, Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур,
к концам которого подвесили грузы массами = 0,3 кг и tnt “ 0,5 кг.
Определить силы 7\ и Т2 натяжения шнура по обе стороны блока
во время движения грузов, если масса блока равномерно распределе-
на по ободу.
3-28. Шар массой tn = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг
оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет
вид <р = А + Bt2 4- С/3, где В = 4 рад/с2; С = — 1 рад/с3. Найти
закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить мо-^
мент сил М в момент времени t = 2 с.
Закон сохранения’
момента импульса
3-29. Однородный тонкий стержень массой гщ = 0,2 кг и длиной
I — 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси 2,
проходящей через точку О (рис. 3.16). В точку А на стержне попада-
ет пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно
оси z) со скоростью v = 10 м/с и прилипает к стержню. Масса mt
шарика равна 10 г. Определить угловую скорость о стержня и ли-
нейную скорость и нижнего конца стержня в начальный момент вре-
мени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния
между точками А и О: 1) //2; 2) //3; 3) 1/4.
3-30. Однородный диск массой mt = 0,2 кг и радиусом /? = 20 см
может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси г, перпенди-
кулярной плоскости диска и проходящей через точку С (рис. 3.17).
В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик,
летящий горизонтально (перпендикулярно оси г) со скоростью v =*
— 10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса zn2 шарика равна
10 г. Определить угловую скорость to диска и линейную скорость
и точки О на диске в начальный момент времени. Вычисления выпол-
нить для следующих значений а и b: 1) а = fe = /?; 2) а — 7?/2,
b = R; 3) а = 2R/3, b = R/2; 4) а = R/3, b = 2R/3.
3-31. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой
т = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью
v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии г — 0,8 м от
вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью со
начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч,
если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м2?
3-32. Маховик, имеющий вид диска радиусом R = 40 см и массой
т-х = 48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его ци-
линдрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити,
к другому концу которой подвешен груз массой т2 0,2 кг (рис. 3.18).
54
Груз был приподнят и затем отпущен. Упав свободно о высоты ft =
= 2 м, груа натянул нить и благодаря этому привел маховик во вра-
щение. Какую угловую скорость о груз сообщил при этом маховику?
8-83. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска
радиусом Я = 2 м, стоит человек массой т1 = 80 кг. Масса т2 плат-
формы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти,
с какой угловой скоростью со будет вращаться платформа, если чело-
век будет идти вдоль ее края со скоростью о = 2 м/с относительно
платформы.
8-34 Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вер-
тикальной оси. На краю платформы стоит человек массой = 60 кг.
Рис. 3.16 Рис. 3.17 Рис. 3.18'
На какой угол ср повернется платформа, если человек пойдет вдоль
края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на плат-
форме? Масса т2 платформы равна 240 кг. Момент инерции J челове-
ка рассчитывать как для материальной точки.
3-35. Платформа в виде диска радиусом R — 1 м вращается по инер-
ции с частотой п± = 6 мин-1. На краю платформы стоит человек, мас-
са т которого равна 80 кг. С какой частотой п будет вращаться плат-
форма, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платфор-
мы равен 120 кг-м2. Момент инерции человека рассчитывать как для
материальной точки.
3-36 На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стер-
жень длиной I — 2,4 м и массой т = 8 кг, расположенный вертикаль-
но по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с ча-
стотой Л1= 1 с-1. С какой частотой п2 будет вращаться скамья с че-
ловеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение?
Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м2.
3-37. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень,
расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень
служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце
стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой /ij = 10 с-1.
Радиус R колеса равен 20 см, его масса т = 3 кг. Определить частоту
55
вращения п2 скамьи, если человек повернет стержень на угол 180*?
Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м2. Маа-
су колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.
Работа и энергия
3-38. Шарик массой т = 100 г, привязанный к концу нити длиной
1г — 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с ча-
стотой /ij = 1 с*-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси
вращения до расстояния 12 = 0,5 м. С какой частотой п2 будет при этом
вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укора-
чивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.
3-39. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением <р >=•
= А + Bt + Ct2, где А — 2 рад; В = 32 рад/с; С = — 4 рад/с2.
Найти среднюю мощность <JV>, развиваемую силами, действующими
на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции
J ~ 100 кг-м2.
3-40. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением <р —
= А + Bt + СВ, где А — 2 рад; В = 16 рад/с, С = — 2 рад/с2.
Момент инерции J колеса равен 50 кг-м2. Найти законы, по которым
меняются вращающий момент М и мощность N. Чему равна мощность
в момент времени t = 3 с?
3-41. Якорь мотора вращается с частотой п = 1500 мин-1. Опреде-
лить вращающий момент М, если мотор развивает мощность N =
= 500 Вт.
3-42. Со шкива диаметром d — 0,48 м через ремень передается мощ-
ность N = 9 кВт. Шкив вращается с частотой п = 240 мин-1. Сила
натяжения 7\ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяже-
ния Т2 ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня.
3-43. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром
d — 20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен дина-
мометр, к другому подвесили груз Р. Найти мощность N мотора,
если мотор вращается с частотой п — 24 с-1, масса т груза равна
1 кг и показание динамометра F = 24 Н.
3-44. Маховик в виде диска массой т = 80 кг и радиусом Д = 30 см
находится в состоянии покоя. Какую работу АТ нужно совершить,
чтобы сообщить маховику частоту п — 10 с-1? Какую работу Ая
пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую
толщину, но вдвое больший радиус?
3-45. Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж.
Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вра-
щаться равнозамедленно и, сделав N — 80 оборотов, остановился.
Определить момент М силы торможения.
3-46. Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг-м2, начал вра-
щаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента
силы М «= 20 Н-м. Вращение продолжалось в течение I = 10 с.
Определить кинетическую энергию Т, приобретенную маховиком.
3-47. Пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 800 м/с, вращаясь
около продольной оси с частотой п = 3000 с-1. Принимая пулю за
56
цилиндрик диаметром d “ 8 мм, определить полную кинетическую
энергию Т пули.
3-48. Сплошной цилиндр массой tn == 4 кг катится без скольжения
по горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси цилиндра
равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра.
3-49. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m =
= 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v = 5 м/с.
Найти кинетические энергии Тх и Tt этих тел.
3-50. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности.
Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить ки-
нетическую энергию 7\ поступательного и Т2 вращательного дви-
жения шара.
3-51. Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося
без скольжения с наклонной плоскости высотой h — 1 м.
3-52. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с
наклонной плоскости длиной I = 2 м и высотой h = 10 см?
3-53. Тонкий прямой стержень длиной I = 1 м прикреплен к гори-
зонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили
на угол <р = 60° от положения равновесия и отпустили. Определить
линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения
через положение равновесия.
3-54. Однородный тонкий стержень длиной I = 1 м может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси г, проходящей через точку О
на стержне. Стержень отклонили от положения равновесия на угол
а и отпустили (см. рис. 3.13). Определить угловую скорость w стерж-
ня и линейную скорость v точки В на стержне в момент прохождения
им положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих
случаев: 1) а = 0, b = 1/2, а = л/3; 2) а = 1/3, b = 21/3, а = п/2;
3) а = Z/4, b = I, а = 2л/3.
3-55. Карандаш длиной I = 15 см, поставленный вертикально, пада-
ет на стол. Какую угловую w и линейную v скорости будет иметь в
конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его конец? Счи-
тать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не
проскальзывает.
3-56. Однородный диск радиусом 20 см может свободно вращать-
ся вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска
и проходящей через точку О (см. рис. 3.14). Определить угловую со
и линейную v скорости точки В на диске в момент прохождения им
положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих слу-
чаев: 1) а b R, а = п/2; 2) а » R/2, b = 0, а = л/3; 3) а =
2R/3, Ь «= 2R/3, а = 5л/6; 4) а - R/3, b = R, а = 2л/3.
§ 4. СИЛЫ В МЕХАНИКЕ | Основные формулы
1. Закон всемирного тяготения
F = Gm1mi/r*j
где F — сила взаимного притяжения двух материальных точек; л?, и и»г
их массы;, г — расстояние между точками; G — гравитационная постоянная.
67
В написанной форме закон всемирного тяготения можно применять и я
взаимодействию шаров; масса которых распределена сферически симметрично.
В этом случае г есть расстояние между центрами масс шаров.
2. Напряженность гравитационного поля
g — Fim,
где F — сила тяготения; действующая на материальную точку массы т; поме-
щенную в некоторую точку поля.
3. Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу
М которой можно считать распределенной сферически симметрично,
g = GM/r2,
где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, нахо-
дящейся вне планеты.
4. Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли
_ g
8h (1+ft/W .
где R — радиус Земли; g — ускорение на поверхности Земли.
Если h < R, то
£Л ~ (1 — 2Л/Л?) g.
5. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух мате-
риальных точек массами т, и тг (шаров с массой, распределенной сферически
симметрично), находящихся на расстоянии г друг от друга:
П = — Gm-ytn^r
(Потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга материальных
точек принята равной нулю)
6- Потенциал гравитационного поля
«р = Шт,
где П — потенциальная энергия материальной точки массой т, помещенной
в данную точку поля.
7. Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М
которой можно считать распределенной сферически симметрично,
<р = — GM/r,
где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, нахо-
дящейся вие планеты
8. Законы Кеплера. 1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фоку-
сов которых находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты в равные времена
описывает одинаковые площади. 3. Квадраты периодов обращения любых двух
планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:
Т{/Т*=а1/а*.
Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг пла-
нет.
9. Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии
тела
е = х/1,
где в — относительное удлинение (сжатие); х — абсолютное удлинение (рис. 4.1);
I — начальная длина тела.
Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы
tg у = As/h,
где tg у — относительный сдвиг; As — абсолютный сдвиг параллельных слоев
тела относительно друг друга (рис. 4.2); h — расстояние между слоями; у —
угол сдвига. (Для малых углов tg у = у = &s/h.)
68
10. Напряжение нормальное
ст — ^ynp/S,
где Гупр — упругая
S — площадь этого
'7//////////Z. ’
сила; перпендикулярная поперечному сечению тела;
сечения.
Напряжение тангенциальное
* — Pynp/S,
где fynp — упругая сила, действующая вдоль слоя
тела; S — пощадь этого слоя.
Рис. 4.1
'I
Рис. 4.2
11. Закон Гука для продольного растяжения или сжатия
ГуПр = —kx, или о=е£,
где k — коэффициент упругости {в случае пружины — жесткость); Е — но-
дуль Юнга.
Закон Гука для сдвига
Fh
&s=—~ . или т=6у,
Ог>
где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).
12. Момент,' закручивающий на угол <р однородный круглый стержень]
М = Сф,
где С — постоянная кручения.
13. Работа, совершаемая цря деформации тела;
А = kx42.
14. Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня
Ьг2 eft Fp1 2
П = ——— , или п = -^- V, или П=—— V,
2 2£ 2
где V — объем тела.
Примеры решения задач
1. Определить вторую космическую скорость ракеты, запущенной
с поверхности Земли.
Примечание. Второй космической (или параболической)
скоростью v2 называется минимальная скорость, которую нужно со-
общить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконеч-
ность (при этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и пред-
полагается, что на тело действует только поле тяготения Земли).
Б9
Решение. При удалении тела массой т в бесконечность его потен-
циальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энергии
и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю.
Согласно определению второй космической скорости, кинетическая
энергия в бесконечности также равна нулю. Таким образом, в беско-
нечности ==• 0 и = 0. В соответствии с законом сохранения
энергии в механике
7' + П = Т«+Псо, или G —= 0,
2 /?
где М — масса Земли. Отсюда находим vt = V2GMIR. Преобразу-
ем эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R'.
va = V (2GM/R*)R.
Поскольку GMIR* = g (где g — ускорение свободного падения
у поверхности Земли), то
t>a = j/2gR.
Подставив в эту формулу значения g и R и произведя вычисления,
получим
V, •= 11,2 км/с.
2. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикаль-
ном направлении При какой минимальной скорости пг, сообщенной
ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, рав-
ное радиусу Земли (R 6,37-10е м)? Силами, кроме силы гравита-
ционного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.
Решение. Чтобы определить минимальную скорость ракеты, надо
найти ее минимальную кинетическую энергию 7\. Для этого восполь-
зуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон вы-
полняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только
консервативные силы.
Систему ракета—Земля можно считать замкнутой. Единственная
сила, действующая на систему, — сила гравитационного взаимодей-
ствия, являющаяся консервативной.
В качестве системы отсчета выберем инерциальную» систему отсче-
та, так как только в такой системе справедливы законы динамики и,
в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, свя-
ванная с центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной.
В рассматриваемом случае центр масс системы ракета—Земля будет
практически совпадать с центром Земли, так как масса М Земли
много больше массы т ракеты. Следовательно, систему отсчета, свя-
занную с центром Земли, можно считать практически инерциальной.
Согласно закону сохранения механической энергии, запишем
Л 4- П> = Т2 + Па, (1)
где Тг и Щ — кинетическая и потенциальная энергия системы раке-
та—Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); 7\ и П4 —•
те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу
Земли).
60
В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна
нулю. Поэтому Т1 есть просто начальная кинетическая энергия раке-
ты: Т1—1/2 mvf. Потенциальная энергия системы в начальном состоя-
нии* Dj = —GmMIR. По мере удаления ракеты от поверхности Земли
, ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетическая—убывать.
В конечном состоянии кинетическая энергия Та станет равной нулю,
а потенциальная энергия П2 достигнет максимального значения: П« =
= — GmM/(2R).
Подставив значения Tlt nit Т2 и П2 в выражение (1), получим
1 а а-. тМ „ тМ
— nw}—G =—G ,
2 R 2R ’
откуда после сокращения на т найдем
v^VGM/R .
Заметив, что GMIR* = g (g — ускорение свободного падения у по-
верхности Земли), перепишем эту формулу в виде
что совпадает с выражением для первой космической скорости
(см. пример 1). Подставив числовые значения величин <и произведя
вычисления, получим
Он = 7,9-108 м/с.
3. Найти выражение для потенциальной энергии П гравитационного
' взаимодействия Земли и тела массой т, находящегося на расстоянии
г от центра Земли за пределами ее поверхности. Построить график
: П(Г).
i Решение. Потенциальная энергия в поле консервативных сил (грави-
тационные силы консервативны) связана с силой следующим соотноше-
нием:
г? j п /• дП . , ЭП 6П
F = — gradll= — । —- + j — _|-k —
\ ox оу ' oz
где i, j, k — единичные векторы осей координат (орты); -д^
ап
=----частные производные потенциальной энергии по соответствую-
щим координатам. В случае, когда поле сил обладает сферической сим-
метрией, это выражение упрощается. Если ось х совместить с радиус-
, ОП ЗП ,
вектором г, направленным по радиусу сферы, то и обращаются
в нуль и тогда F = — i д^ . Так как векторы г и i совпадают
* (рис. 4.3) и П зависит только от г, то
ап г
dr г
(1)
* Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконеч-
но удаленных друг от друга, принимается равной нулю.
61
Запишем в векторной форме закон всемирного тяготения!
Р=Я^С—— (2)
гЗ Г
где G — гравитационная постоянная; М — масса Земли.
_ я dll „ тМ
Сравнивая выражения (1) и (2), найдем = G , откуда
dn = G — dr.
га
Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим
Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия
может быть определена лишь с точностью до некоторой произвольной
постоянной.
1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных
друг от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль.
В этом случае запишем
П (г) = — GmMIr.
Соответствующая зависимость П (г) изображается графиком, пред-
ставленным на рис. 4.4.
2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на по-
верхности Земли, то П (г) = — G + С = О, С *= G и тогда
Л, к
П(г) = С — — G
R г
Но так как г = R + h, где h — высота тела над поверхностью Зем-
ли, то
П (й) = Q — —G тМ => G т^— Л.
' R R + h (R+h)R
Если й R, то П (й) *= G й, или, так как g =* G
П (й) = mgh.
62
4. Вычислить работу Л12 сил гравитационного поля Земли при пере- ’
мешении тела массой т= 10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Рядиуд
R земли и ускорение g свободного падения вблизи поверхности Зем-
ли считать известными.
Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между
работой А и изменением ДП потенциальной энергии. Так как силы
системы — гравитационные — относятся к
то работа сил поля совершается за счет
убыли потенциальной энергии, т. е.
Л12 - ДП = Пх — П2, (1)
и П2 — потенциальные энергии
тело—Земля соответственно в на- ’
и конечном ее состояниях.
силам консервативным.
Рис. 4.5
где Пг
системы
чальном
Условимся, что потенциальная энер-
гия взаимодействия тела и Земли равна
нулю, когда тело находится на бесконечно
большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии г потенциальная
энергия выразится равенством П = — G--, где М — масса Земли -
Для расстояний = 3R и г2 = 2R, заданных в условии задача
(рис. 4.5), получим два выражения потенциальной энергии:
Щ = — GmMJ(3R), П2 = — GmM/(2R).
Подставив эти выражения П, и П2 в формулу (1), получим
1 у-. тМ
. тМ
Ди — —и
3/?
Q Hurl
6 V
Заметив, что G ~ = g, преобразуем последнее выражение к виду
Л12 = */« mgR.
Подставив значения т, g, R в это выражение и произведя вычис-
ления, найдем
Л12 = 104 МДж.
5. Верхний конец стального стержня длиной Z = 5 м с площадь»
поперечного сечения 5 = 4 см2 закреплен неподвижно, к нижнему
подвешен груз массой т — 2-108 кг. Определить: 1) нормальное на-
пряжение о материала стержня; 2) абсолютное х и относительно*
е удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого
стержня.
Решение. 1. Нормальное напряжение материала растянутого стерж-
ня выражается формулой и = F/S, где / — сила, действующая вдоль
оси стержня. В данном случае сила F равна силе тяжести mg и поэтому
можем записать
и = mg/S.
Сделав вычисления, найдем
о = 49 МПа.
2. Абсолютное удлинение выражается формулой
х = Fl/(ES),
где Е — модуль Юнга.
Подставив значения величин F, I, S и Е в эту формулу, взяв зна-
чение Е из табл. 13 и произведя вычисления, получим
х = 1,23 мм.
Относительное удлинение стержня
е = хН = 2,46- IO"4.
3. Потенциальная энергия растянутого стержня П = (ео/2) V,
где V — объем тела, равный SI. Поэтому
П = (ео/2) SI.
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
П = 12,1 Дж.
вертикально
пуля массой
сжата перед
со-
6. Из пружинного пистолета был произведен выстрел :
вверх. Определить высоту h, на которую поднимается
т = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была
выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.
Решение. Система пуля—Земля (вместе с пистолетом) является зам- .
кнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы
упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно
применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому за-
кону, полная механическая энергия системы в начальном состоя-
нии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е2
в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту /г), т. е.
fj = Е2, или 71] + П, = Т2 4- П2, (1)'
где Т\ и Т2 — кинетические энергии системы в начальном и конечном
состояниях; Щ и П2 — потенциальные энергии в тех же состояниях.
Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном
стояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид
Щ — П2.
Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее
верхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном
стоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. П1.==
— kx2/2, а в конечном состоянии — потенциальной энергии пули на
высоте h, т. е. П2 = mgh.
Подставив приведенные выражения Д и П2 в формулу (2), найдем
= mgh, h=-i
2-----------------------------------° 2mg
Произведя вычисления по последней формуле, получим
h = 5 м.
(2)
по-
со-
64
Задачи
Силы тяготения.
Гравитационное поле
4-1. Центры масс двух одинаковых однородных шаров находятся на
расстоянии г = 1 м друг от друга. Масса т каждого шара равна 1 кг.
Определить силу F гравитационного взаимодействия шаров.
4-2. Как велика сила F взаимного притяжения двух космических ко-
раблей массой m =10 т каждый, если.они сблизятся до расатояния
г = 100 м?
4-3.у Определить силу F взаимного притяжения двух соприкасающих?
ся железных шаров диаметром d = 20 см каждый.
4-4. На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность gh
гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли считать извест-
ным.
4-5. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту
h = 3200 км и начала падать Какой .путь ъ пройдет ракета за первую
секунду своего падения? * . . '
4-6. Радиус R планеты Маро. равен 3,4 Мм, ее масса М = 6,4 X
х 10й кг.- Определить напряженность' g гравитационного поля на
поверхности Марса ' <
4-7: Радиус Земли а п = 3,66 раза больше радиуса Луньг, "Средняя
плотность Земли в k — 1,66 раза больше средней плотности Луны.
Определить ускорение свободного падения g^ на поверхности Луны,
если на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать
известным.
4-8. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность р =
= 3 г/см: Определить ускорение свободного падения £ на поверх-
ности планеты.
4-9. Масса Земли в п = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние
I между центрами масс Земли н Луны равно 60,3/? (R — радиус Зем-
ли). На каком расстоянии ' (в единицах R) от центра Земли находит-
ся точка, в которой суммарная напряженность гравитационного поля
Земли и Луны равна нулю?
4 10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности
на высоте h = 3,6 Мм Определить линейную скорость v спутника.
Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности
Земли считать известным
4-11. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч.
Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h над по-
верхностью Земли движется спутник.
4-12. Стационарный- искусственный спутник движется по окружно-
сти в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним
И тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость
to спутника и радиус R его орбиты.
4-13. Планета Нептун в k = 30 раз дальше от Солнца, чем Земля.
Определить период- Т обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца.
8 Заа. 94 . 65
4-14. Луна движется вскруг Земли со скоростью v1 = 1,02 км/о.
Среднее расстояние I Луны от Земли равно 60,3/? (R — радиус Зем-
ли). Определить по этим данным, с какой скоростью va должен
двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на
незначительной высоте Над ее поверхностью.
4-15. Зная среднюю скорость о, движения Земли вокруг Солнца
(30’км/с), определить, с какой средней скоростью- и2 движется малая
планета, радауха- орбиты которой в п — 4 раза, больше радиуса ор--
битыЗемли..
4-16. Советская космическая ракета, ставшая первой искусственной
планетой, обращается -вокруг Солнца по. эллипсу. Наименьшее рас-
Рис. 4.6
стояние rmjn ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние
гюах равно 1,31 астрономической единицы (среднего расстояния Зем-
ли от Солнца). Определить период Т вращения (в годах) искусствен-
ной планеты.
4-17. Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, почти
совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного- устройства
ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Солнце (рис 4.6).
Определить время /, в. течение которого будет падать ракета
Указание. Принять, что, падая на Солнце, ракета движется по эллип-
су, большая- ось которого- очень мало отличается от радиуса орбиты- Земли, а
эксцентриситет — от единицы. Период обращения по. эллипсу не зависит от-
вис центрис итета.
4-18. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит,, двигаясь-вокрув
Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее расстояние г
планеты Марс от Солнца равно 1,5 астрономической едпйицы. В те-
чение какого времени / будет лететь ракета до встречи с Марсом?
4-19. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу в
эксцентриситетом е = 0,5. Во сколько раз линейная скорость спут-
ника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника),
больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)?'
У к-. а & а № и> е. Применить завон- сохранения момента импульса-.
66
4-20.' Комета движется .вокруг Салита во эллипсу с эксцентрисите-
том е = 0,6. Во опально -раз линейная скорость .кометы в ближайшей
к Солнцу точке орбиты больше, чем а наиболее удаленной?
4-21. .Ближайший (спутник Марса находится на расстоянии г
= 9,4 Мм от центра планеты и даижется вокруг нее со скоростью
» — 2,1 км/с. Определить массу ,Л1 Марса.
4-22. Определить массу А1 Земли по среднему ’расстоянию г от (цент-
ра Луны до центра Земли и периоду Т обращения Луны вокруг Зем-
ли (Т и г считать известными).
4 23. Один из ежутвиков плайе™ Сатурн находится приблизительно
на таком же расстиаами г от планеты, как Луна от Земли, но период
Г его ’обращйииа вокруг планеты почти в п « 10 раз меньше, чем у
Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли.
4 24. Найти зависимость ускорения свободного падения g от расстоя-
ния г, отсчитанного от центра планеты, плотность р которой можно
считать для всех точек одинаковой. Построить график зависимости
g (г). Радиус планеты считать известным.
4-25. Тело массой даг — 1 кг находится на поверхности Земли. Ояре-
делить изменение АР силы тяжести для двух случаев: 1) :при подъе-
ме чела на высоту <fe = 5 виа; 2) ®р.в «опускании тела в .шахту на глубину
А — 5 им. Земли считать однородным шаром радиусом R = 6,37 Мм
и плотностью р = 5^5 г/см8.
4-26. Определить работу Д, которую совершат силы гравитацион-
ного поля Земли, если тело масшн m = 1 кг упадет на поверхность
Земли: 1) с .высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности.
Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности
считать известными.
4-27. На какую высоту' h над поверхностью Земли поднимется ракета,
пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v ракеты рав-
на первой космической скорости?
4-28. Определить значения потенциала <р гравитационного поля на
поверхностях Земли и Солнца.
4-29. Вычислить .значения первой (круговой) и второй (параболиче-
ской) космических скоростей вблизи поверхности Луны.
4-30. Найти первую и вторую (космические скорости вблизи поверх-
ности Солнца.
4-31. Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность р
вещества планеты раина 3 г/см3. Определить параболическую скорость
4is у поверхности этой планеты.
4-32. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусу Зем- .
ли, если ракета лущена с Земли с начальной скоростью п0 — км/с?
Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение
свободного падения g на ее поверхности считать известными.
4-33. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью о0 = 15 км/с.
К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние
ракеты ют Земли бесконечно увеличивается.? Сопротивление воздуха
« притяжение других иебесвых тел, кроме Земли, не учитывать.
444. Метеорит >иадает на Солиж с ючень большого расстояния, ко-
торое практически можно считать бесконечно большим. .'Начальная
8* 67
скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость v будет иметь
метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равно среднему
расстоянию Земли от Солнца?
4-35. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно
считать параболической. С какой, скоростью v движется комета, ког-
да она проходит через перигей (ближайшую к Солнцу точку своей
орбиты), если расстояние г кометы от Солнца в этот момент -равно
50 Гм?
4-36. На высоте h = 2,6 Мм над поверхностью Земли космической ра-
кете была сообщена скорость v = J0 км/с, направленная перпендику-
лярно линии, соединяющей центр Земли с ракетой. По-какой орбите
относительно Земли будет двигаться ракета? Определить вид кониче-
ского сечения.
Силы упругости. Механическое
напряжение. Прочность
4-37. К проволоке диаметром d — 2 мм подвешен груз массой т =
— 1 кг. Определить напряжение о, возникшее в проволоке.
4-38. Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d = 2 см и дли-
ной I = 60 м закреплен неподвижно. К нижнему концу подвешен груз
массой т = 100 кг. Найти напряжение о материала: 1) у нижнего
конца; 2) на середине длины; 3) у верхнего конца проволоки.
4-39. Какой наибольший груз может выдержать стальная проволока
диаметром d *= 1 мм, не выходя за предел упругости оупр — 294 МПа?
Какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки
при этом грузе?
4-40. Свинцовая проволока подвешена в вертикальном положении за
верхний конец. Какую наибольшую длину I может иметь проволока,
не обрываясь под действием силы тяжести? Предел прочности опр
свинца равен 12,3 МПа.
4-41. Гиря массой т — 10 кг, привязанная к проволоке, вращается
с частотой п — 2 с-1 вокруг вертикальной оси, проходящей через ко-
нец проволоки, скользя при этом без трения.по горизонтальной по-'
верхности. Длина I проволоки равна 1,2 м., площадь S ее поперечного
сечения равна 2 мм2. Найти напряжение о металла проволоки. Мас-
сой ее пренебречь. \ ,
4-42. Однородный стержень длиной I = 1,2 м, площадью поперечно-
го сечения S = 2 см2 и массой т = 10 кг вращается с частотой п —
— 2 с-1 вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня,
скользя при этом без трения по горизонтальной поверхности. Найти
наибольшее напряжение ота1 материала стержня при данной частоте
вращения.
г Модуль упругости.
Жесткость
4-43. К вертикальной проволоке длиной Z = 5 м и площадью попереч-
ного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой т = 5,1 кг. В резуль-
тате проволока удлинилась на х = 0,6 мм. Найти модуль Юнга ма-
териала проволоки.
68
4-44. К стальному стержню длиной I = 3 м и диаметром d = 2 см
подвешен груз массой т — 2,5-10s кг. Определить напряжение о в
стержне, относительное в и абсолютное х удлинения стержня.
4-45. Проволока длиной I = 2 м и диаметром d = 1 мм натянута
практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили
груз массой т ~ 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка
подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга Е материа-
ла проволоки. •
4-46. Две пружины жесткостью kx = 0,3 кН/м и k2 — 0,8 кН/м со-
единены' последовательно. Определить абсолютную деформацию
первой пружины, если вторая деформирована на х2 = 1,5 см.
4-47. Определить жесткость k системы двух пружин при последова-
тельном и параллельном их соединении (рис. 4.8). Жесткость пружин
= 2 кН/м и k2 = 6 кН/м.
4-48. Нижнее основание железной тумбы, имеющей форму цилиндра
диаметром d = 20 см и высотой h = 20 см, закреплено неподвижно.
На верхнее основание тумбы действует сила F = 20 кН (рис. 4.9).
Найти: 1) тангенциальное напряжение т в материале тумбы; 2) отно-
сительную деформацию -у (угол сдвига); 3) смещение верхнего основа-
ния тумбы.
4-49. Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу
приложен момент силы М = 1 кН-м. Определить угол <р закручива-
ния стержня, если постоянная кручения С — 120 кН-м/рад.
4-50. Тонкая однородная металлическая ленга закреплена верхним
концом. К нижнему концу приложен момент силы М = 1 мН-м. Угол
<р закручивания ленты равен 10°. Определить постоянную кручения С.
Работа упругой силы. Энергия
деформированного тела
4-51. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х =
= 1 мм стальной стержень длиной 1 = 1 м и площадью S поперечного
сечения, равной 1 см2?
4-52. Для сжатия пружины на = 1 см нужно приложить силу
F = 10 Н. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжать пружину
на х2 = 10 см,- если сила пропорциональна сжатию?
69
Рис. 4.10
4-53. Пружина жесткостью k= 10 кН/м сжата силон F — 200 Н.
Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей эту
пружину еще на х = 1 см.
4-54. Пружина жесткостью k = 1 кН/м была сжата на х, =4. см.
Какую нужно совершить работу Аг чтобы сжатие пружины увеличить
до х2 = 1& см?
4 55. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, по-
ставленной на подставке, сжимает ее на х= 2 мм. На сколько сожмет
пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h — 5 см?
4-56. Пуля массой — 10 г вылетает со скоростью
v = 300 м/с из дула автоматического пистолета, мас\а
т2 затвора которого равна 200 г. Затвор пистолета
прижимается к стволу пружиной жесткостью k =
= 25 кН/м. На какое расстояние I отойдет затвор
после выстрела? Считать пистолет жестко закреп-
ленным.
4-57. Две пружины с жесткостями k = 0,3 кН/м и
ka ~ 0,5 кН/м скреплены последовательно и растя-
нуты так, что абсолютная деформация х2 второй пру-
жины равна 3 см. Вычислить работу А растяжения
пружин.
4-58. Пружина жесткостью /? = 100 кН/м была рас-
тянута на х, = 4 см. Уменьшая приложенную силу,
пружине дают возможность вернуться в первоначаль-
ное состояние (нерастянутое). Затем сжимают пружи-
ну на х2 = 6 см. Определить работу А, совершенную при этом внеш-
ней силой.
4-59. Стальной стержень массой т = 3,9 кг растянут на е = 0,001
своей первоначальной длины. Найти потенциальную энергию П рас-
тянутого стержня.
4-60. Стержень из стали длиной I — 2 м и площадью поперечного се-
чения S — 2 см2 растягивается некоторой силой, причем удлинение
х равно 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П растянутого
стержня и объемную плотность w энергии.
4-61. Стальной стержень длиной I = 2 м и площадью поперечного се-
чения S = 2 см* растягивается силой F — 10 кН Найти потенциаль-
ную энергию П растянутого стержня и объемную плотность w энер-
гии.
4-62. Две пружины, жесткости которых k} = 1 кН/м и k2 = 3 кН/м,
скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию П дан-
ной системы при абсолютной деформации х — 5 см
4-63. С какой скоростью о вылетит из'пружинного пистолета шарик
массой т — 10 г, если пружина была сжата на х = 5 см. Жесткость k
пружины равна 200 Н/м?
4-64. В пружинном ружье пружина сжата на х, = 20 см. При взводе
ее сжали еще на х2 = 30 см. С.какой скоростью v вылетит из ружья
стрела массой т = 50 г, если жесткость k пружины равна 120 Н/м?
4-65. Вагон массой т — 12 т двигался со скоростью v— 1 м/с. На-
70
летев на пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера
на х = 10 см. Найти жесткость k пружины.
4-66. Стальной стержень растянут так, что напряжение в материале
стержня о = 300 МПа. Найти: объемную плотность w потенциаль-
ной энергии растянутого стержня.
4-67. Стержень из стали имеет длину Z = 2 м и площадь поперечного
сечения S = 10 мм2. Верхний коней стержня закреплен неподвижно,
к нижнему прикреплен- упор. На стержень надет просверленный посе-
редине груз массой m = 10 кг (рис. 4.10). Груз падает с высоты h —
— 10 см и задерживается упором Найти: 1) удлинение х стержня при
ударе груза; 2) нормальное напряжение о, возникающее при этом
в материале стержня.
§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
МЕХАНИКА
Основные формулы
В специальной теории относительности рассматриваются только инер-
циальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и г, г‘ сона-
правлены, а относительная скорость о0 «штрихованной» системы координат К'
относительно «нештрихованной» К направлена вдоль общей оси хх’ (рис. 5.1).
1. Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержне
1=10 У1-(о/с)<
где — длина стержня в системе координат К'; относительно которой стер-
жень покоится (собственная длина) Стержень параллелен оси х'; 1 — длина
стержня, измеренная в системе К, относи-
тельно которой он движется со скоростью о;
с — скорость распространения электромагни-
тного излучения.
2. Релятивистское замедление хода ча-
сов
А^~....
V1 —(о/су»
где Д?о — промежуток времени между двумя рис g ]
событиями, происходящими в одной точке
системы К'; измеренный по часам этой си-
стемы (собственное время движущихся часов); А/ — промежуток времени между
двумя событиями; измеренный по часам системы К,
3. Релятивистское сложение скоростей
о'4-ц,
о=------------,
1+^0 V /с?
где o'—относительная скорость (скорость тела относительно системы К'У,
Vq — переносная скорость (скорость системы К’ относительно КУ. v — абсолют-
ная скорость (скорость тела относительно системы К)
В теории относительности абсолютно’й скоростью называется скорость тела
в системе координат, условно принятой за неподвижную.
4. Релятивистская масса
т =—. , или т = —;— ,
• Vl—Щ/с)’
где т0 — масса покоя; Р — скорость частицы, выраженная в долях скорости
света (₽ = о/с).
71
5. Релятивистский импульс
mov ' Р
p=mv=— — или p = m0 с— «
"|/1—(п/с)а V1 — Р2
6. Полная энергия релятивистской частицы
Е=тс2=ти
где Т — кинетическая энергия частицы; т0с2 = Ео — ее энергия покоя. Части-
ца называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью
света, и классической, если v < с.
7. Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы
Е2 — р2 ei — т* с*.
8. Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы
р2д2=7’(7’-|-2т0с2).
Примеры решения задач
1. Космический корабль движется со скоростью v = 0,9 с по направ-
лению к центру Земли. Какое расстояние I пройдет этот корабль в
системе отсчета, связанной с Землей (/(-система), за промежуток вре-
мени Д/о = 1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом
корабле (/('-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным
движением вокруг Солнца пренебречь.
Решение. Расстояние I, которое пройдет космический корабль .в си-
стеме отсчета, связанной с Землей (/(-система), определим по формуле
I = оЛ/, (1)
где Д/ — промежуток времени, отсчитанный в K-системе отсчета.
Этот промежуток времени связан с промежутком времени, отсчитан-
ным в К'-системе, соотношением Д/ = —===== . Подставив вы-
ражение Д/ в формулу (1), получим
I = иМд
1/1—(b/С)2
После вычислений найдем
/ = 619 Мм.
2. В лабораторной системе отсчета (/(-система) движется стержень
со скоростью v = 0,8 с. По измерениям, произведенным в /(-системе,
его длина I оказалась равной 10 м, а угол <р, который он составляет
с осью х, оказался равным 30°. Определить собственную длину /д
стержня в К'-системе, связанной со стержнем, и угол <р0, который он
составляет с осью х' (рис. 5.2).
72
Решение. Пусть в /('-системе стержень лежит в плоскости х'Ор'. На
рис. 5.2, а следует, что собственная длина 10 стержня и угол ф0, ко-
торый он составляет с осью к , выразятся равенствами
l0 = У(ДУ)а + (Ду')а, tg фо = ^уЧ^хЧ " ’ (1)’
В /(-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б)
I = У (. Дл)2 + tg <р == &yl&x. (2)
Заметим, что при переходе от системы К' к К размеры стержня в на-
правлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят реляти-
вистское (лорениево) сокращение, т. е.
Др = Др‘, Дл = Дл' У 1 — (За. (3)
С учетом последних соотношений собственная длина стержня вы-,
разится равенством
I -1 /7 У + (Д«)« - У(л^+(Дг/)2-Ра(Ду)а,
*•*> °V (ут^Ч +( у) ~ УГ^
или
" /0 = УР-0а(Др)а/УП=F.
Заменив в этом выражении Др на I sin <р (ем. рис. 5.2, б), получим
4=yp-PaPsin»y2_ _____L
- yi—0з yi—P2
Подставив значения величин I, ₽, фв это выражение и произведя, вы-
числения, найдем'
10 = 15,3 м.
Для определения угла фв воспользуемся соотношениями (1), (2)
и (3):
tg ф0 = Др/(Дх) У1 — Ра, или ^Фо = 1яфУ1—
откуда
Фо = arctg (tg ф У1—₽а).
73
Подставив значения <р и $ ъ это выражение и произведя вычисления,
полупим
<Ро = J-9„1Q.
3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить ско-
рость ’электрона.
Решение. Релятивистская формула кинетической энергии
Выполнив -относительно (3 преобразования, найдем скорость- ча-
стицы, выраженную в долях скорости света $ = vlcy.
$ = iK(2Eo + n ?/(£« + Т), (1)
где Ео — энергия покоя электрона (см. табл. 25).
Вычисления по этой формуле можно производить в любых едини-
цах энергии, так как наименования единиц в правой части формул со-
кратятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.
Подставив числовые значении £0 'и Т в мегаэлектрон-'вольтах, по-
лучим •
'Р = 0,'941.
Так как v — рс, то
п = ;2,'82-4№ м/с.
Чтобы определить, является ли частица с .кинетической энергией Т реля-
'тивистской «или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию час-
тицы с ее энергией покоя.
Т
Если — < 1, частицу м жно считать классической. В этом случае реля-
Ео
тивистская формула (1) лерехедит в классическую:
Р = 1/27’/Е0, или v = '\/2Tjm0.
4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию
Т электрона,, движущегося со скоростью v — 0./9 е '(где в — скорость
света в вакууме)
Решение. Релятивистский импульс
- p^moc—jL—» (1)
Vi-Р2
После вычисления по формуле (1) получим
р = 5,6-10-22 кг-м/с.
В релятивистской .механике кинетическая энеуалия Т частицы опре-
деляется как разность между полной энергией Е и энергией покоя £й
этой частицы, т. е.
Т = £ - Ео.
74
Так как'Д = тс2 и Ео = mvc2, то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим
V«—₽2
или окончательно
Т = тос2(—— 1Y ЭД
\Vl—Р4 J.
Сделав вычисления, найдем
7 — 106, фДж..
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона1 тос* »
= 0,51 МэВ Подставив это значение в формулу (2), получим
Т = 0,66 МэВ
5. Релятивистская частица с кинетической энергией Т — m0c2 (m0 —
масса покоя частицы)1 испытывает неупругое столкновение' с такой же
покоящейся (в лабораторной системе, отсчета) частицей. При этом об-
разуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу
m движущейся частицы; 2) релятивистскую массу tn' и массу покоя
то составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т’.
Решенья. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы до столк-
новения найдем из выражения для кинетической энергии релятиви-
стской частицы Т = (т — т0) с2. Так как Т = тас2, то т = 2/пв.
2. Для того-чтобы найти релятивистскую массу составной части-
цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц
сохраняется*: т + т0 = т', где т 4- т0 — суммарная релятивист-
ская масса частиц дог столкновения; тк — релятивистская масса со-
ставной частицы. Так- как т — 2/п0, то;
to! = 3;п0,
Массу покоя т'й составной частицы найдем из соотношения
т’ =------------» W
У I —/«:)»
Скорость if составной частицы (она совпадает со скоростью Vc цент-
ра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохра-
нения импульса р = р', где р.—импульс релятивистской частицы
до столкновения; р' — импульс составной релятивистской1 частицы.
Выразим р через кинетическую энергию Г:
,р»= (1 /с) У (2Е.О + Т).Т.
Так как Т = Ео = тор2, то
р— с®:==тсеУЗ.
* Этет аа-консм., например,. в кт: Савельев И. В. Курс общей физики. М.,
1977, Т„ L §;70.
75
Релятивистский импульс р' = m’v'. Учитывая, что т' =* Зт0,
закон сохранения импульса можно записать в виде m0c]/r3-= Зтйи',
откуда
v' = с/У 3.
Подставив выражения с/ и т' в формулу (1), найдем массу покоя
составной частицы:
то — Зт0 У1-(1/Уз)\ или то = ть V6.
3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы
найдем как разность полной энергии /п'с2 и энергии покоя mjc2 со-
ставной частицы:
Т* = (тг—то)(?.
Подставив выражения т' и т'о, получим
Т' —(Зт0 —Уб т0)с2 = (3—Уб)т0 с2~О,55то с2.
Задачи
Релятивистское изменение длин
и промежутков времен
5-1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точно-
стью А/ = 0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инер-
циальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское
сокращение длины стержня, собственная длина; У которого равна 1 м?
5-2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы
координат К и К', движущиеся друг относительно друга. При какой
скорости и их относительного движения возможно обнаружить реля-
тивистское замедление хода часов, если собственная длительность т0
измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени
производится с точностью Дт = 10 пс.
5-3. На космическом корабле-спутнике находятся.часы, синхрони-
зированные до полета с земными. Скорость и0 спутника составляет
7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям зем-
ного наблюдателя по своим часам за время т0 = 0,5 года?
5-4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью
v = 0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки
зрения земного наблюдателя?
5-5. В системе К’ покоится стержень, собственная длина /0 кото-
рого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол <р0 =
= 45° с осью х'. Определить длину I стержня и угол <р в системе К,
если скорость о0 системы К' относительно К равна 0,8 с.
5-6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллельна
оси х'. Определить угол <р между его диагоналями в системе К, если
система К' движется относительно К со скоростью v = 0,95. с. ’
76
5-7. В лабораторной системе отсчета (/(-система) пи-мезон с момента
рождения до момента распада пролетел расстояние I = 75 м. Скорость
v пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни
т0 мезона.
5-8. Собственное время жизни т0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки
рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-ме-
зон пролетел расстояние I = 6 км. С какой скоростью v (в долях ско-
рости света) двигался мезон?
Релятивистское сложение
скоростей
5-9. Показать, что формула сложения скоростей релятивистских ча-
стиц переходит в соответствующую формулу классической механики
при v с.
5-10. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной. систе-
ме отсчета со скоростями = 0,6 с и vs = 0,9 с вдоль одной прямой.
Определить их относительную скорость ы21 в двух случаях: 1) ча-
стицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в проти-
воположных направлениях.
5-11. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две
частицы с одинаковыми, по абсолютному значению скоростями. Их
относительная скорость и в той же системе отсчета равна 0,5 с. Опре-
делить скорости частиц.
5-12. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении
своего движения. Определить скорость фотона относительно ускори-
теля, если скорость v иона относительно ускорителя равна 0,8 с.
5-13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру "скорость = 0,4 с.
В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего
движения р-частицу со скоростью иа — 0,75 с относительно ускорите-
ля. Найти скорость иа1 частицы относительно ядра.
5-14. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со:
скоростями | v | = 0,9 с. Определить относительную скорость иа1
сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из
частиц.
. г Релятивистская масса
и релятивистский импульс
5-15.- Частица движется со скоростью v = 0,5 с. Во сколько раз ре-
лятивистская масса частицы больше массы покоя?
5-16. С какой скоростью v движется частица, если ее релятивистская
масса в три раза больше массы покоя?
5-17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, опре-
деленное из опыта, равно 0,88-10“ Кл/кг. Определить релятивистс-
кую массу т электрона и его скорость v.
5-18. На сколько процентов релятивистская масЬа частицы больше
массы покоя при скорости v = 30 Мм/с?
5-19. Показать, что выражение релятивистского импульса перехо-
дит в соответствующее выражение импульса в классической механике
при v < с.
Tl'
5-20. Электрон движется со скоростью v = 0,6 с. Определить реля-
тивистский импульс р электрона.
5-21. Импульс р релятивистской частицы равен тос (т0 — масса
покоя). Определить скорость v частицы (в долях скорости света).
5-22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых ча-
стиц покоится, другая движется со скоростью v = 0,8 с по направ-
лению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу
движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость
частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) ре-
лятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром
инерции.
5-23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна
частица с массой покоя т0 движется со скоростью v = 0,6 с, другая
с массой покоя 2ш0 покоится. Определить скорость Vc центра масс
системы частиц. * /
Взаимосвязь массы и энергии *
5-24. Полная энергия тела возросла на Д£ = 1 Дж. На сколько при
ггом изменится масса тела?
5-25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия
тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Длг = 1 г?
5-26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) «-ча-
стицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.
5-27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37-10** км®. Опреде-
лить, на сколько возрастет масса воды в океане, если температура во-
ды повысится на Д/ = Г С. Плотность р воды в океане принять рав-
ной 1,03-10® кт/м®.
5-28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии электро-
магнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему рас-
стоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить марсу,
которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменит-
ся масса масса воды в океане за один год, если предположить, что по1
глощается 50% падающей на поверхность океана энергии излучения?
При расчетах принять площадь S поверхности океана равной
3,6-10® км8.
Кинетическая энергия
релятивистской частицы
5-29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько
раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же
подсчет для протона.
5-30. Во сколько раз релятивистская масса протона больше реляти-.
вистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кине-
тическую энергию Т = I ГэВ?
5-31. Электрон летит со скоростью v = 0,8 с. Определить кинетиче-
скую энергию Т электрона (в мегаэлектрон вольтах).
• Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных превраще-
ниях, помещены в § 43.
га
5-32. При какой скорости v кинетическая энергия любой частицы ве-
щества равна ее энергии покоя?
5-33. Определить скорость v электрона, если его кинетическая энер-
рия равна: 1) Т = 4 МэВ; 2) Т = 1 кэВ.
5-34. Найти скорость v протона, если его кинетическая энергия равна:
1) Т = 1 МэВ; 2) Т = 1 ГэВ.
5-35. Показать, что релятивистское выражение кинетической энергии
Т = (т — т0) с2 при v < с переходит в соответствующее выражение
классической механики.
5-36. Какая относительная ошибка будет допущена при вычислении
кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо реляти-
вистского выражения Т = (т — т^) с2 воспользоваться классиче-
ским Т = l/2mov2? Вычисления выполнить для двух случаев: 1) v =
- 0,2 с; 2) v = 0,8 с.
5-37. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с
одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энер-
гиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) скорости частиц
в лабораторной системе отсчета; 2) относительную скорость сближе-
ния частиц (в единицах с): 3) кинетическую энергию (в единицах
тоса) одной из частиц в ciicilmc отсчета, связанной с другой части-
цей.
Связь энергии релятивистской
частицы с ее импульсом
5-38. Показать, что выражение релятивистского импульса через ки-
нетическую энергию р — (1/с)]/(2£0 + Г) Г при v < с переходит в
соответствующее выражение классической механики.
5-39. Определить импульс р частицы (в единицах тос), если ее кине-
тическая энергия равна энергии покоя.
5-40. Определить кинетическую энергию Т релятивистской частицы
(в единицах /п0с2), если ее импульс р — тос.
5-41. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энер-
гии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинети-
ческая энергия увеличится в п = 4 раза?
5-42. Импульс р релятивистской частицы равен mnc. Под действием
внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько
раз возрастет при этом энергия частицы; 1) кинетическая? 2) полная?
5-43. При неупругом столкновении частицы, обладающей импульсом
р = т^с, и такой же покоящейся частицы образуется составная ча-
стица. Определить: 1) скорость v частицы (в единицах с) до столкнове-
ния; 2) релятивистскую массу составной частицы (в единицах т0);
3) скорость составной частицы; 4) массу покоя составной частицы
(в единицах т0); 5) кинетическую энергию частицы до столкновения
и кинетическую энергию составной частицы (в единицах т^).
5-44. Частица с кинетической энергией Т = mftcl налетает на другую
такую же частицу, которая в лабораторной сиАеме отсчета покоится.
Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в системе отсче-
та, связанной с центром инерции системы частиц.
79
§ * | Основные формулы
, 1. Уравнение гармонических колебаний
х — A cos (со/ + <р),
где х — смещение колеблющейся точки от пс^ожения равновесия; t — время;
А, а. <р — соответственно амплитуда, круговая (циклическая) частота, началь-
ная фазд колебаний; (со/ + ф) — фаза колебаний в момент t.
2. Круговая частота колебаний
<о = 2nv, или со = 2л/Т,
где v и Т — частота и период колебаний.
8. Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
v = х = —А со sin (со/ + ф).
4, Ускорение при гармоническом колебании
а — х = —А co1 cos (со/ + ф).
в. Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении
двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой,
определяется по формуле
А» = А >-}- AJ4-2A! А, соз(ф2 —q>i),
где At и А, — амплитуды составляющих колебаний; Фс и фа — их начальные
фазы.
6. Начальная фаза ф результирующего колебания может быть найдена из
формулы
А151Пф1 + А»81Пф2
tg ф = — — -----------
At COS ф! -f- А2 COS ф2
7. Частота биений, возникающих при сложении двух (колебаний, происхо-
дящих по одной прямой с различными, но близкими по*значению частотами
Vi и v2,
V=Vi—v2.
8. Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпенди-
кулярных колебаниях с амплитудами Ах и Д2 и начальными фазами ф1 и ф,,
х® tp *^ху
-7Г +-7Г — . •cos (ф, — ф1) = sina (Ф» —ФО.
• *2 /т.£
Если начальные фазы ф, и фа составляющих колебаний одинаковы, урав-
нение траектории принимает вид
Xs с/2
---А--2—= 1.
Д’ + А* ?
т. е. точка движется по эллипсу.
9. Дифференциальное уравнение ’ гармонических колебаний материальной
точки
пгх =—kx, илн х'-|-соах=0,
где т — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k = та1).
10. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические ко^
лебания,
. £=1/а тА2сйа =*/а ^Аа.
80
11. Период колебаний тела, подвешенного иа пружине (пружинный маят- '
ник),
Т = 2л
где m — масса тела; k — жесткость пружины.
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых
выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой
тела).
Период колебаний математического маятника
7 = 2nV/7i?
где I — длина маятника; g— ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
Т — 2л l/L/g=2n ~VJHmga),
где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;
а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L = Л (та) —< приве-
денная длина физического маятника.
Приведенные формулы являютси точными для случая бесконечно ма-
лых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные
результаты. При амплитудах не более ~ 3° погрешность в значении периода не
превышает 1%. .
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
7=2я УТ/Г.
где J — момент инерции Тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью;
k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникаю-
щего при закручивании нити, к углу, иа который нить закручивается.
12. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
тх— —kx—гх, или х + 2бх+<в^ х = 0,
где г — коэффициент сопротивления; б — коэффициент затухания [6 =
= r/(2ffl)|; <в0 — собственная круговая частота колебаний* (<в0 = Уа//п).
13. Уравнение затухающих колебаний (решение дифферениального урав-
нения ц. 12)
х = А (!) cos (at -f- <p),
где A (t) — амплитуда затухающих колебаний в момент 1; св — их круговая
частота.
14. Круговая частота затухающих колебаний
(0 = У<1)2—З2.
1Б. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
• Л(/) = Х)ое-6(,
где Л, — амплитуда колебаний в момент t = О.
16. Логарифмический, декремент колебаний
Л(<+П
где А (1) я A (t 7) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоя-
щих по времени друг от друге иа период. х
* В приведенных ранее формулах гармонических колебании та же величи-
на обозначалась прост? <о (без индекса «О»).
81
17. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ?
тх = — kx—rjr4-f0cos at, или x4-26x+wjx = /ocos at,
где Fo cos at — внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся
материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; Fo — ее амплитуд-
ное значение; f0 = F0/m.
18. Амплитуда вынужденных колебаний
А = fo/V(co§— С0г)2+4б2«2.
19. Резонансная частота и резонаисиая амплитуда
“pe3 = V«>o—2бг и '4реэ=/о/(2б 62)-
Примеры решения задач
1. Точка совершает колебания по закону х (t) = A cos (at 4^ф);
где А = 2 см. Определить начальную фазу <р, если х (0) = — р^З см
векторную диаграмму для момента t “ 0.
Решение. Воспользуемся уравнением
движения и выразим смещение в мо-
мент t = 0 через начальную фазу:
х (0) — A cos <р. Отсюда найдем началь-
ную фазу:
- и х (0) < 0. Построить
х(0)
Ф = arccos —
/1
Подставим в это выражение заданные
значения х (0) и А: ф = arccos (— У3/2).
Значению аргумента (—р^З/2) удовлет-
. воряют два значения угла:
фх = 5л/6 и ф2 = 7л/6.
Для того чтобы решить, какое из этих значений угла <р удовлет- (
воряет еще и условию х (0) < 0, найдем сначала х (t):
х (I, — —a A sin {at + ф).
Подставив в это выражснг.? значение t — 0 и поочередно значения
начальных фаз фх = 5л/6 и ф2 = 7л/6, найдем
хл(0) = —г!2Аа и x2(0)=i/24w.
Так как всегда 4 >0и и>0, то условию х (0)< 0 удовлетворяет
только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая
начальная фаза ф — 5л/6.
По найденному значению ф построим векторную диаграмму
(рис. 6.1). -I
82
2. Материальная точка массой т — 5 г совершает гармонические
колебания с частотой v — 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см.'
Определить: 1) скорость о точки в момент времени, когда смещение
х » 1,5 см; 2) максимальную силу Fmax, действующую на точку;
3) полную энергию Е колеблющейся точки.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
х = A cos (wZ + ф), (1)
а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени
от смещения:
v = x = dx/dt =—Aw sin (о/+ ф). (2)
Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из фор
мул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат,
разделим первое на Аа, второе на Aawa и сложим:
Xя . Vя . х1 . О2 .
—;--Ь —------ 1, ИЛИ---------------J 1.
Д» Даш« Д« ^Д«
Решив последнее уравнение относительно v, найдем
и = ± 2лт ]/Аа—х3.
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
v = ± 8,2 см/с.
Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости
совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — когда
направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.
Смешение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть
определено также уравнением
« = A sin (со/ + ф).
Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.
2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Нью-
тона:
F — та, (3)
где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по
времени от скорости:
а = х = dv/dt — — Aw2 cos (wZ + ф), или
а = — 4navaA cos (wZ + ф).
Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим
F ~ — 4navamA cos (wZ ф).
Отсюда максимальное значение силы
/?так = 4л2^тА.
Подставив в это уравнение значения величин л, v, т и А, найдем
^шах=1»49 мН..
, 83
*3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической
и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.
Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетиче-
ская энергия достигает максимального значения. В этот момент по-
тенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеб-
лющейся точки равна максимальной кинетической энергии Ттах:
Е ~ Т'щах = 1/а^^тах- 0)
Максимальную скорость определим из формулы (2), положив
cos (<oZ-j-<р) = 1: = 2nv/4. Подставив выражение скорости в
формулу (4), найдем
Е =.2namvM®.
Сделав вычисления по этой формуле, получим
Е = 22,1 мкДж.
3. На концах тонкого стержня длиной I = 1 м и массой ms = 400 р
укреплены шарики малых размеров массами тх — 200 г и т2 = 300 г.
Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через его середину (точка О
на рис. 6.2). Определить период Т колебаний; совер-
шаемых стержнем.
Решение. Период колебаний физического маятника,
каким является стержень с шариками, определяется
.соотношением
T^2nVJ/(mglc), (1)
где J — момент инерции маятника относительно оси
колебаний; т — его масса; 1с — расстояние от центра
масс маятника до оси.
Момент инерции данного маятника равен сумме
моментов инерции шариков и J, и стержня J 8:
/ = Л + Л + J». (2)
--- Принимая шарики за материальные точки, вы-
разим моменты их инерций: = тл (Z/2)a, J2 —
= та (1/2)2. Так как ось проходит через середину
Рис. 6.2 стержня, то его момент инерции относительно этой
оси Ja = Ч12т3Р. Подставив полученные выраже-.
ния У,, JjhJ,b формулу (2), найдем общий момент инерции физи-
ческого маятника:
J = Щх (Z/2)a + т2 (//2)а 4- Р = Ч12 Р (Suh 4- Зт2 + Щз)-
Произведя вычисления по этой формуле; найдем
J — 0,158 кг-м2.
Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:
т — тл 4* т2 4- та =* 0,9 кг.
£4' . •>
Расстояние 1с центра масс маятника от оси колебаний найдем,
исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стерж-
ня и начало координат совместить с точкой О (рис. 6.2), то искомое
расстояние / равно координате центра масс маятника, т. е.
1С = Хс = 'М —</2) + ffl2 (</2)+>Из-0 или
' Е/п, /п1+/пг+т3
lc _ (w2—'mt)< __ (tn-j—mi) i
2 (mj + m2 + тз)
Подставив значения величин тъ т2, т, I и произведя вычисления,
найдем
1с = 5,55 см.
Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний фи-
зического маятника
Т = 11,2 с.
4. Физический маятник представляет собой стержень длиной I = 1 м
и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диа-
метрЬм d 1/2/ и массой tnt. Горизонтальная ось Ог маятника про-
ходит через середину стержня перпендикулярно
ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний
такого маятника.
Решение Период колебаний физического маят-
ника определяется "по формуле
Т = 2nV J(1)
где J — момент инерции маятника относительно
оси колебаний; m — его масса; 1с — расстояние
от центра масс маятника до оси колебаний.
Момент инерции маятника равен сумме мо-
ментоа инерции стержня Jt и обруча J2: '
J = Л + J2 (2)
Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через
его центр масс, определяется по формуле
Ji = В данном случае. m = Зи^ и
Ji = % m1 I2.
Момент инерции обр'уча найдем, воспользо- _ „„
вавшись теоремой Штейнера J = Jo + пит, где
J — момент инерции относительно произ-
вольной оси; Jo — момент инерции относительно оси, проходящей че-
рез центр масс параллельно заданной оси; а — расстояние между ука-
занными осями (рис 6.3). Применив эту формулу к обручу, получим
J2 - mi (Z/4)2 + mY (3Z/4)2 = 6/B m1 P.
85
Подставив выражения и Je в формулу (2), найдем момент инер-
ции маятника относительно оси вращения:
J = '/< тх Р 4- VeMi Р ?/8 tnr Р.
Расстояние 1с от оси маятника до его центра масс равно
. EmgXf Smt-O-f-B*! (3Z/4)
Iq — --x =.--------— =----- 7 ИЛИ
Zc = 8/ie/.
Подставив в формулу (1) выражения J, 1С и массы маятника
(т =» 3/TZj + ml “ 4mi), найдем период его колебаний:
7 = 2л 1/-2л 1/ -А_-
V ^mig-3/^ у 6g
После вычисления по этой формуле получим
Т = 2,17 с.
Б. Складываются два колебания одинакового направления, выражае-
мых уравнениями х, =« cos m (t 4* tj, x2 = A 2 cos w (t 4- т2), где
At — I cm; At = 2 cm; Tj — Ve с; т2 — *4 с; <b — л с-1. 'I. Опре-
делить начальные фазы fr и <p2 составляющих колебаний; найти ам-
плитуду А и начальную фазу ф результирующего
колебания. Написать уравнение результирующего ко-
лебания.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания
имеет вид ;
х = A cos (at + <р). (1)
Преобразуем уравнения^ заданные в условии за-
дачи, к такому же виду:
*i =-4j cos (at 4- ыт1), х2 = Аг cos (at 4- ®т2) (2)
Из сравнения выражений (2) с равенством (1) На-
ходим начальные фазы первого и второго колебаний:
q>! — (0Tr == л/6 рад и ф2 = сот2 = л/2 рад.
2. Для определения амплитуда А результирующего колебания
удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на
рис. 6.4 Согласно теореме косинусов, получим
А —'КД? 4-414-2.4! Л 2 cos Дф, (3)
где Дф — разность фаз составляющих колебаний. Так как Аф =»
= ф2 — ф|, то, подставляя найденные значения ф2 н <рп получим
Дф = л/3 рад.
Подставим значения Аи А3 и Дф в формулу (3) и произведем вы-
числения:
А = 2,65 см.
' 86
1
Тангенс начальной фазы <р результирующего колебания определим
непосредственно из рис. 6.4: tg ф = Z ' откУда
, /1 j Wo -J- Zig W3 t|7g
начальная фаза
Ф « arctg A1 5,'ПФ1+Л«5|'П<Р» ,
Л1 COS ф! + Л a cos <p2
Подставим значения Дп Л2, фх, ф2 и произведем вычисления:
Ф =arctg (5/1^3) = 70,9° — 0,394л рад.
Так как циклические частоты складываемых колебаний одинако»
вы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту to. Это
позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде
х = A cos (oil + ф), где А — 2,65 см, со = л е”1, ф = 0,394 л рад.
6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно пер-
пендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых
то уравнение траектории
. /—;-----------------;------ Рис. 6.5
У — А-2 (*/2) (1 4-х/ At). (3)
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы,
ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что
смешение точки по осям координат ограничено и заключено в преде
лах от — 1 до d- 1 см по оси Ох и от — 2 до 4- 2 см по оси Оу.
Для построения траектории найдем по уравнению (3} значения у.
соответствующие ряду значении х, удовлетворяющих условию | х | С
I см, и составим таблицу:
ж, см —i —0,75 —0,5 0 4-0,5 4-1
у. см 0 ±0,707 ±1 ±1,41 ±1.73 ±2
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на пло
скость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим
траекторию. точки совершающей колебания в соответствии а урав
нениями движения (1) и (2) (рио. 6.5).
8>
Для того чтобы указать направление движения точки, проследим
за тем, как изменяется ее положение с теченьем времени. В началь-
ный момент t = 0 координаты точки равны л (0) ==- I см и у (0) =
= 2 см. В последующий момент времени, например при tx = 1 о,
координаты точек изменятся и станут равными х (1) = — 1 см, у (t) —
= 0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий)
моменты времени, можно указать направление движения точки по
траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой
(от точки А к началу координат). После того как в момент t2 — 2 в
колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двшаться в обраг^
ном направлении.
Задачи
(
- Кинематика гармонических колебаний
6-1. Уравнение колебаний точки имеет вид х = A cos со (/ 4- т), где
со = л с-1, т = 0,2 с. Определить период Т и начальную фазу ф ко-
лебаний.
6-2. Определить период Г, частоту v и начальную фазу <р колебаний,
заданных уравнением х = A sin со (I 4- т), где со = 2,5л с~’, т =
= 0,4 с.
6-3. Точка совершает колебания по закону х = A cos (со/4- ср), где
А = 4 см. Определить начальную фазу ср, если: 1) -я (0) = 2 см и
х (0) < 0; 2) х (0) — — 2У2 см и х (0) < 0; 3) х (0) = 2 см и х (0) >
>0; 4) х (0) = — 2]ЛЗсм и х (0) >0. Построить векторную диаграм-
му для момента t = 0.
6-4. Точка совершает колебания по закону х = A sin (со/ 4- <р), где
А = 4 см. Определить начальную фазу ср, если; 1) х (0) = 2 см и
х (0) < 0; 2) х (0) = 2/3 см и х (0) >0; 3) х (0) = — 2/Г см и
х (0) <0; 4) х (0) = — 2/3 см и х (0) > 0. Построить векторную
диаграмму для момента 1=0.
6-5. Точка совершает колебания по закону х = Л cos (со/ 4- ср), где
А = 2 см; со = л с-1; ср = л/4 рад. Построить графики зависимости
от времени: 1) смешения х (/); 2) скорости х (I); 3) ускорения
х (/).
6-6. Точка совершает колебания с амплитудой А = 4 см и периодом
Т — .2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент
1 = 0 смещения х (0) = 0 и х (0) < 0. Определить фазу (со/ 4- ф) для
двух моментов времени: 1) когда смещение х = 1 см и х>0; 2) кор-
да скорость х =ч= — 6 см/с и х < 0.
6-7, Точка равномерно движется по окружности йротив часовой
стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр d окружности равен 20 см. На-
писать уравнение движения проекции точки на ось х, проходящую че-
рез центр окружности, если в момент времени, принятый за начал*»
88
ный, проекция на, ось х равна нулю. Найти смещение х, скорость X
и ускорение х проекции точки в момент I — 1 с.
6-8. Определить максимальные значения скорости хтах и ускорения
Хгаах точки, совершающей гармонические колебания а амплитудой
А = 3 см и циклической частотой со = л/2 с-1.
6-9. Точка’ совершает колебания по закону х ~ A cos cot, где А =
= 5 см; со — 2 с-1. Определить ускорение |л | точки в момент вре-
мени, когда ее скорость х = 8 см/с.
6-10. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смеще-
ние xmai точки равно 10 см, наибольшая скорость xmaI — 20 см/в.
Найти циклическую частоту со колебаний и максимальное ускорение
*тах ТОЧКИ.
6-11. Максимальная скорость хшах точки, совершающей гармонические
колебания, равна 10 см/о, максимальное ускорение хтах = 100 см/с2.
Найти циклическую частоту со колебаний, их период Т и амплитуду
А. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной
нулю.
6-12. Точка совершает колебания по закону х — A sin cot. В некоторый
момент,- времени смешение xt точки оказалось равным 5 см Когда
фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х2 стало равным 8 см.
Найти амплитуду А колебаний.
6-13. Колебания точки происходят по закону х — A cos (cot + ф)
В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ей ско
рость х = 20 см/с и ускорение х = — 80 см/о2. Найти амплитуду
А, циклическую частоту со, период Т колебаний и фазу (cot + ф)
в рассматриваемый момент времени.
Сложение колебаний
6-14. Два одинаково направленных гармонических колебания одного
периода о амплитудами At = 10 см и А2 — 6 см складываются в одно
колебание с амплитудой А = 14 см. Найти разность фаз Дф склады-
ваемых колебаний.
6-15. Два гармонических колебания, направленных по одной пря-
мой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в
одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз Дф складывае-
мых колебаний.
6-16. Определить амплитуду А и начальную фазу ф результирующего
колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых
направления и периода: xr == A, sin cot и х2 = А2 sin и (t + т), где
А1 == А 8 = 1 см; со = л с1; т = 0,5 о. Найти уравнение результи-
рующего колебания. (
6-1/. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:
х, = Ai sin cot и х2 = Ag eos cot, где А, = 1 см; А2 — 2 см; со = 1 с”1.
Определить амплитуду А результирующего колебания, его частоту v
и начальную фазу ф. Найти уравнение этого движения.•
89
6-18. Складываются два гармонических колебания одного направле-
ния с одинаковыми периодами Tt == 1,5 с и амплитудами =»
= At — 2 см. Начальные фазы колебаний = л/2 и <р2 ~ л/3.
Определить амплитуду А и начальную фазу <р результирующего коле-
бания. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба век-
торную диаграмму сложения амплитуд.
6-19. Складываются три гармонических колебания одного направле-
ния с одинаковыми. периодами 7\ — Т2 = Т3 . = 2 с и амплитудами
= А 2 = А3 = 3 см. Начальные фазы колебаний <pj = 0; <р3 =а
= л/3; <Рз =?= 2л/3. Построить векторную диаграмму сложения ам-
плитуд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу <р ре-
зультирующего колебания. Найти его уравнение.
6-20. Складываются два гармонических колебания одинаковой ча-
стоты и одинакового направления: jq = Аа cos (at 4- и лс, = Аа X
X cos (и/ + <р2). Начертить векторную диаграмму для момента вре-
мени i - 0. Определить аналитически амплитуду А и начальную фазу
«р результирующего колебания. Отложить А и ф на векторной диаграм-
ме, Найти уравнение результирующего колебания (в тригонометриче-
ской форме через косинус). Задачу решить для двух случаев: 1) At==
= 1 см, <рх = л/3; А 2 = 2 см, <р2 = 5л/6; 2) = I см, = 2л/3;
Аа = 1 см, <р3 = 7я/6.
6-21. Два камертона звучат одновременно. Частоты и ve их ко-
лебаний" соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т
биений.
6-22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, вы-
ражаемых уравнениями х = sin tot и у — Аа cos со (t + т), где
Ai = 2 см; А 2 = 1 см; со = л с”1; т = 0,5 с. Найти уравнение тра.-.
ектории и построить ее, показав направление движения точки.
6-23. Точка совершает одновременно два гармонических колебания,
происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выра-
жаемых уравнениями х = cos at и у = Л2 cos со (I 4- т), где Аг ==
= 4 см; А = 8 см; и — л с-1; т — 1 с. Найти уравнение траектории
точки и построить график ее движения.
6-24. Точка совершает одновременно два гармонических колебания
одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикулярным на-
правлениям и выражаемых уравнениями:
1) х = A cos at и у = A cos at; 2) х = A cos at и у = А> cos at,
3) х = Л сое at и у = 4 cos (at + фг); 4)х = А2созса/ и у «
= A cos (at 4- <Ра); 5) х = Aj cos cot и У = АХ sin at; 6) х = A cos at
и у = A, sia at; 7) x = A3 sin at и у = Ax sin at; 8) x == Aa sin al
и у = A sin (at + <p2).
Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, постро-
ить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.
Принять: А == 2 см; Aj — 3 см; А2 = 1 см; ~ л/2; ф, = л.
90
6-25. . Точка участвует одновременно в- Двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаниях, выражаемых уравнениями к = Hj cos mt и у =
= As sin mt, где Д1 = 2смиЛ‘2 = I см. Найти уравнение траектории
точки и построить ее, указав направление движения.
6-26. Точка одновременно совершает два гармонических колебания,
происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выра-
жаемых уравнениями х = Д, sin mt и у = Д 2 cos mt, где Л, = 0,5 см;
Л г = 2 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав
направление движения.
6 27. Движение точки задано уравнениями х = At sin ml н у = Д2 X
X sin е> (I 4- т), где Л, = Ю ем; А2 = 5 см. <в== 2 а*1; т = я/4 е.
Найти уравнение траектории и скорости точки. в момент времени
t — 0,5 с.
6 28. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях, Выражаемых уравнениями х — X
X cos mt и у = — А2 со«2ы, где At - 2 см; Л2 = I ем. Найти урав-
нение траектории и построить ее.
6-29. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и опи-
сываемых уравнениями;
I) х = A sir* mt и у — A cos 2®/; 2) х = A cos mt в у = 4 sin2®/;
3) х = A cos 2ml и у — А•, cos nW; 4) х = A t sin mt и у = A cos mt.
Найти уравнение трагитории тонки, построить ее е соблюдением
масштаба и указать направление движения. Принять: А = 2 см;
Ai ~ 3 см
6-30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаниях, выражаемых уравнениями х —A t. cos mt и у—
= Z2sin 0,5®/, где At = 2 см; At = 3 ем Найти уравнение траек-
тории точки и построить, ее, указав направление движения
6-31. Смешение светящейся точки на экране осциллографа является
результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний,
которые описываются уравнениями:
1) х = A sin Зоя и у = A sin 2а>1; 2) х = A sin Зш/ и у — A cos 2®/;
3) х — A sin 3®/ и у = A cos ml
Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, по-
строить траекторию светящейся точки на экране Принята А = 4 см
Динамика гармонических колебаний
Маятники
6-32. Материальная точка массой ап = 50 г совершает колебания,
уравнение которых имеет вид х — A cos mt„ где А — 10 см; ® = 5 с-1.
Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: I) в момент,
когда фаза mi = я/3 с-1; 2) в положении наибольшего смещения точ
ки.
.9»
6-33. Колебания материальной точки массой т = 0,1 г происходя!
согласно уравнений х = A cos at, где А = 5 см; <о = 20 с~1. Опре-
делить максимальные значения возвращающей силы Гшах и кинетиче-
ской энергии Тюах.
6-34. Найти возвращающую силу F в момент t = 1 с и полную энер-
гию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х =
== A cos at, где А = 20 см; со == 2л/3 с"1. Масса т материальной
точки равна 10 г.
6-35. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению
х = A cos at, где А = 8 см; а = л/6 с-1. В момент, когда возвращаю-
щая сила F в первый раз достигла значения — 5 мН, потенциальная
энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени
t и соответствующую ему фазу at.
6-36. Грузик массой т — 250 г, подвешенный к пружине, колеблется
по вертикали с периодом Т = Г с. Определить жесткость. Л пружины.
6-37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пру-
жина растянулась на к = 9 см. Каков будет период Т колебаний гру-
зика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?
6-38. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с ам-
плитудой А = 4 см. Определить полную энергию Е колебаний гири,
если жесткость k пружины равна 1 кН/м.
6-39. Найти отношение длин двух математических маятников, если
отношение периодов их колебаний равно 1,5.
6-40.-Математический маятник длиной /= 1 м установлен в лифте.
Лифт поднимается с ускорением а = 2,5 м/с2. Определить период
Т колебаний маятника.
6-41. На концах тонкого стержня длиной I — 30. см укреплены оди-
наковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками
колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, уда-
ленную на d — 10 см от одного из концов стержня. Определить при-
веденную длину L и период Т колебаний такого физического маятни-
ка. Массой стержня пренебречь.
6-42. На стержне длиной I, — 30 см укреплены два одинаковых гру-
зика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов.
Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, прохо-
дящёй через свободный конец стержня. Определить приведенную дли-
ну L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренеб-
речь.
6-43 Система их трех грузов, соединенных стержнями длиной I =
= 30 см (рис. .6.6), колеблется относительно горизонтальной оси,
проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Най-
ти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, гру-
зы рассматривать как материальные точки.
6-44. Тонкий .оВруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в
стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обру-
ча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.
6 45. Однородный диск радиусом R — 30 см колеблется около гори-
зонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндри-
ческой поверхности диска. Каков период Т его колебаний?
92
6-46. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной
оси, проходящей через” середину одного из радиусов перпендикуляр-
но плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т
колебаний такого маятника.
6-47. Из тонкого однородного диска радиусом R = 20 см вырезана
часть, имеющая вид круга радиусом г = 10 см, тйк, как это показа-
но на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно го-
ризонтальной оси О, совпадающей
с одной из образующих цилиндри-
ческой поверхности диска. Найти
период Т колебаний такого маят-
ника.
Рнс. 6.6
6-48. Математический маятник длиной = 40 см и физический ма-
ятник в виде тонкого прямого стержня длиной /2 = 60 см синхрон-
но колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить
расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.
6-49. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной
I = 120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей пер-
пендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстоя-
ние а от центра масс стержня, При каком значении а период Т коле-
баний имеет наименьшее значение?
6-50. Физический маятник представляет собой тонкий однородный
стержень массой ш с укрепленным на нем маленьким шариком массой
т. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, прохо-
дящей через точку О на стержне. Определить период Т гармонических
колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 6.8.
Длина / стержня равна 1 м. Шарик рассматривать как материаль-
ную точку.
6-51. Физический маятник представляет собой тонкий однородный
стержень массой m с укрепленными на нем двумя маленькими шари-
ками массами m и 2m. Маятник совершает колебания около горизон-
тальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить час-
тоту v гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изоб-
раженных на рис. 6.9. Длина I стержня равна I м. Шарики рассмат-
ривать как материальные точки.
6-52. Тело массрй m = 4 кг, закрепленное на горизонтальной оси,
совершало колебания с периодом 7\ = 0,8 с. Когда на эту ось был
насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период
93
•Рис. 6Л0
Тш колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса
его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относительно оси
колебаний.
6-53. Ареометр массой т = 50 г, имеющий трубку диаметром d =
= 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем
предоставили самому себе, в резуль-
тате чего он стал совершать гармо-
нические колебания. Найти .период
7 этих колебаний.
-6-54. В открытую с обоих концов
U-образнуго трубку с площадью попе-
речного сечения 3 = '0,4 см® быстро
вливают ртуть массой т — 200 г.
Определить период Т колебаний рту-
ти в трубке.
6-55. Набухшее бревно, сечение ко-
торого постоянно по всей длине,
погрузилось вертикально в воду так, 'что над водой находится лишь
малая (по сравнению с длиной) его’ часть. Период Т колебаний бревна
равен 5 с. Определить длину I бревна.
' Затухающие колебания
6-56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время \ = 5 мин
уменьшилась в два раза. За какое время tt, считая от начального мо-
мента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
6-57. За время Ч — 8чинн амплитуда затухающих колебании маятни-
ка уменьшилась в три раза. 'Определить коэффициент затухания б.
6-58. Амплитуда колебаний маятника длиной I — 1 чи за «ремя t =•
= 40 мин уменьшилась >в два раза. 'Определить логарифмический дек-
ремент колебаний 0.
•6-59. Логарифмический декремент колебаний 0 маятника равен 0,003.
Определить число N тюлнв1Х колебаний, которые должен сделать ма-
ятник, чтббы амплитуда уменьшилась -в два раза.
94
6-60. Гиря массой m = 50Q г подвешена, к. спиральной пружине
жесткостью k = 20 Н/м и совершает упругие: колебания в некоторой
среде. Логарифмический декремент колебаний 0 = 0,004,. Определить
число N полных Колебаний, которые должна совершить, гиря, чтобы
амплитуда колебаний уменьшилась. в, п == 2 раза. За какое время I
произойдет это уменьшение?
6-61. Тело массой- т = 5 г совершает затухающие: колебания., В те-
чение времени I = 50 с тело потеряло. 60%. своей энергии. Опреде-
лить коэффициент сопротивления- г>.
6-62. Определить период Т затухающих, колебаний* если период Tj
собственных колебаний системы равен 1 в и логарифмический декре-
мент колебаний 0 = 0,628.
. 6-63. Найти число N полных, колебаний системы, в. течение которых
энергия системы уменьшилась н п = 2 раза.. Логарифмический декре-
мент колебаний 0. = 0,01.
6-64. Тело -массой т = 1 кг находится в вязкой среде в коэффици-
ентом сопротивления г = 0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пру-
жин жесткостью fe = 50 Н/м. каждая тело удерживается в положе-
нии равновесия, пружины при этом не деформированы, (рис. 6.10).
Тело сместили от положения равновесия, и отпустили». Определить!
1) коэффициент затухания 6; 2) частоту v колебаний;. 3) логарифми-
ческий декремент колебаний 0; 4) число' N. колебаний* по прошесг-
вии которых амплитуда уменьшится в е раз.
Вынужденные колебания. Резонанс
6-65. Под действием силы тяжести электродвигателя, консольная бал-
ка, на которой он установлен, прогнулась на h — 1 мм. При какой
частоте вращения п якоря электродвигателя может возникнуть опас-
ность резонанса? '
6-66. Вагон массой т. = 80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k пру-
жин каждой рессоры равна1 500- кН/м. При: какой скорости v вагон
начнет сильно раскачиваться вследствие толяков на стыках рельс,
если длина I рельса равна 12,8 м? 1
667. Колебательная система совершает затухающие колебания с час-
тотой v = 1000 Гц. Определить частоту v0 собственных колебаний,
если резонансная частота vp_3 — 998 Гц.
6-68. Определить, на сколько резонансная частота отличается от час-
тоты v0 = 1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой
коэффициентом затухания 6 = 400 с-1.
6-69-1 Определить логарифмический декремент колебаний 0 колеба-
тельной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте,
меньшей собственной частоты v0 = 10 кГц на Av = 2 Гц.
6-70. Период То собственных колебаний пружинного маятника равен
0,55 с. В вязкой среде: период Т того же. маятника стал равным 0,56 о.
Определить резонансную частоту vpe колебаний.
6-71. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м,
масса, tn груза равна Г00' г)' совершает вынужденные колебания в вяз-
кой среде с коэффициентом сопротивления г — 2 . 10"2 кг/с. Опреде-
" S5
лить коэффициент затухания 6 и резонансную амплитуду Арез, если
амплитудное значение вынуждающей силы Fo = 10 мН.
6-72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициен-
том сопротивления г — 1 г/с. Считая затухание малым, определить
амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная ампли-
туда AptB = 0,5 см и частота v0 собственных колебаний равна 10 Гц.
6-73. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при час-
тоте vb = 400 Гн и v2 = 600 Гц равны- между собой Определить ре-
зонансную частоту vpE3 Затуханием пренебречь.
6-74. К спиральной пружине жесткостью k = 10 Н/м подвесили
I рузик массой т = 10 г и погрузили всю систему в вязкую среду.
Приняв коэффициент сопротивления г равным 0,1 кг/с, определить:
1) частоту v0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту vf>ea;
3) резонансную амплитуду Древ, если вынуждающая сила изменя-
ется по гармоническому закону И ее амплитудное значение /*0 =
= 0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому сме-
щению под действием силы Го.
6-75. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет мень-
ше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей
силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10%? 2) р два раза?
Коэффициент затухания 6 в обоих случаях принять равным 0,1 ш0
(<оо — круговая частота собственных колебаний).
§ 7. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. I Л *
АКУСТИКА Основные формулы
I. Уравнение плоской волны
(х, f) — A cos <а (Z — x/v). или £ (х, () = A cos (coz — kx),
где | (х, С) — смещение точек среды с координатой х в момент t; со — круго-
вая частота; о — скорость распространения колебаний в среде (фазовая ско-
рость); k — волновое число (k = 2л/Л, Л. — длина волны).
2. Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой v соотношениями
К = vT и А = v/v.
3. Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми
(разность хода) равно Дх.
Д<р = (2л/Х) Дх,
где Л — длина волны.
4. Уравнение „стоячей волны
х
£(х, /) —/I cos сг>— -cos nt, или £(х, Л ~ A cos fex-cos cat,,
v
5. Фазовая скорость продольных волн в упругой среде; в твердых ;елах
V — Vf/p,
где Е — модуль Юнга; р — плотность вещества]
в газах _____ _____
о = Д/yRTIM или о=Утр/Р-
где у — показатель адиабаты (у = cplcv — отношение удельных теплоемкостей
газа при постоянных давлении и объеме); R — молярная газовая постоянная]
Т — термодинамическая температура; М — молярная масса; р — давление
газа. - -
96
в. Акустический эффект Доплера
°--иИС1
где-v— частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом))
v — скорость звука в среде; — скорость прибора относительно среды)
Кист — скорость источника звука относительно среды; v0 — частота звука, ис-
пускаемого источником.
7. Амплитуда звукового давления
р0 =• 2nvpvA,
где v — частота звука) А амплитуда Колебаний частиц среды; и — скорость
звука в среде; р — ее плотность.
8. Средняя объемная плотность энергии звукового поля
<?>=4- =4" =тла<
где £о’~ амплитуда скорости частиц среды; ш—круговая частота звуковых
волн.
9. Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме к» -
U7 «= <w> У.
10. Поток звуковой энергии
Ф => IF/f,
где W — энергия, переносимая через данную поверхность за время (,
11. Интенсивность звука (плотность потока авуковой энергии)
/ = Ф/S.
12. Интенсивность звука связана со средней объемной плотностью энергии
звукового поля соотношением
I = V,
где v — скорость звука в среде.
13. Связь мощности N точечного изотропного источника звука в интенсив-
ностью звука
1 = M(W).
где г — расстояние от источника звука до точки звукового пола, в которой оп-
ределяется интенсивность.
14. Удельное акустическое соптотивление среды
•= ре.
15. Акустическое сопротивление
га ~ Zs/S'
где S — площадь сечения участка акустического поля (например, площадь по-
перечного сечения трубы при распространении ь ней звука;
16. Уровень интенсивности звука (уровень звуковой мощности в децное-
лах)
L₽ = Ю 1Й ('//»),
где /0 _ условная иитенсийность, соответствующая нулевому уровню интен-
сивности (1в *= 1 нВт/и2).
4 а»к ат - 97
17. Уровень громкости звука LN в общем случае является сложной функ-
цией уровня интенсивности и частоты звука и определяется по кривым уроаия
громкости (рис. 7.1). На графике по горизонтальной оси отложены логарифмы
частот звука (сами частоты указаны под соответствующими им логарифмами).
На вертикальной оси отложены уровни интенсивности звука в децибелах. Уров-
ни громкости звука отложены по вертикальной оси, соответствующей эталон ной
частоте v = 1000 Гц. Для этой частоты уровень громкости, выраженный в деци-
белах, равен уровню интенсивности в децибелах. Уровень громкости звуков
других частот определяется по кривым громкости, приведенным на графике.
Каждая кривая' соответствует определенному уровню громкости.
j Примеры решения задач
1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого (пиура со ско-
ростью v = 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амп-
литуда А = 2 м. Определить: 1) длину волны Л; 2) фазу <р колебаний,
смещение скорость | и ускорение | точки, отстоящей на расстоянии
X ~ 45 м от источника волн в момент 1= 4 с; 3) разность фаз Дер коле-
баний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника вели
на расстояниях хл = 20 м и х» = 30 м.
Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна прохо-
дит за один период, п может быть найдена из соотношения
K = vT.
Подставив значения величин и и Т, получим
Л «= 18 м.
W
2. Запишем уравнение волны:
5 = A cos со (/ — x!v), (1)
где | — смещение колеблющейся точки; к — расстояние точки от ис-
точника волн; v — скорость распространения волн.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t опреде-
ляется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косин/*
са:
(, х А 2л {. х \
t-----I, ИЛИ ф= —— (Z--------),
v ] Т \ v /
где учтено, что со = 2п/Т.
Произведя вычисления по последней формуле, получим
ср =5,24 рад, или ср = 300°.
Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения
амплитуды Л и фазы ср:
Е = 1 см.
Скорость t точки находим, взяв первую производную от смещения
по времени:
ё d£ , . /. х А . 2лД . /. х А 2яЛ .
Е= —2- = —Лео sin a t------1 —--------since Z----1 =-----sin <p.
d/ \ v J ~ T \ v / T
Подставив значения величин л, Л, Т и ср 'и произведя вычисле-
ния, получим
i = 9 см/с.
Ускорение есть первая производная от скорости по времени, пи-
этому
£ dt /. х А 4л2 А
. —— = —/ko’cos ши----------1=---------COS®,
& \ V ) Г2
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
| = 27,4 см/с’.
3. Разность фаз Дф колебаний двух точек волны связана а раием»
нием Дх между этими точками соотношением
Дер = (2л/Х)Дх = (2л/Х) (ха — xt).
Подставив значения величин X, хг и х2 и вычислив, получим
Дф = 3,49 рад, или Дф = 200е.
2. На расстоянии I = 4 м от источника плоской волны частотой т w
= 440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена -стена. Определит»
расстояния от источника волн до точек, в которых будут первая фИ
узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложе-
ния бегущей и отраженной от стены волн. Скорость v волны считать
равной 440 м/с.
S0
4*
Решение. Выберем- систему координат так, чтобы ось х была направ-
лена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с
точкой, находящейся на источнике MN плоской волны -(рис. 7.2). С
учетом этого уравнение бегущей волны запишется в виде
— Л’cos (at — kx). (1)
Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, пройдя
дважды расстояние I — х, и при отражении от стены, как среды бо-
• лее плотной, изменит фазу на л, то
Источник Стена
। пл осн их Волн |
уравнение отраженной волны может
быть записано в виде
ё2 = A cos {со/— k [х +
+ 2 (I — х)| + л).
После очевидных упрощений получим
= — A cos [со/ — k (21 — x)J. (2)
Сложив уравнения (1) и (2), найдем
уравнение стоячей волны:
| = В, + Вг = A cos (со/ — kx) — A cos [со/ — k (21 — х)[.
Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем
В = —2А sin k (I — х) sin (со/ — kl).
Так как выражение» A sin k (I — х) не зависит от времени, то, взятое
по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:
Лст = |2Д sin k (I — х)|.
Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пуч-
ностей.
Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна
нулю: | 2А sin k (I — х) [ = 0. Это равенство выполняется для точек,
координаты хп которых удовлетворяют условию
k (I — хп) = пл (п = 0, 1, 2, ...). (3)
Но k = 2л/Х, или, так как X = v/v,
k = 2nv/v. (4)
Подставив это выражение k в (3), получим
2л¥ (I — хп) = rmv,
откуда координаты узлов
хп — I — nv! (2v).
Подставив сюда значения /, v, v и п — 0, 1,2; найдем координаты
первых трех узлов:
х0 — 4 м, Xi = 3,61. м, х3 — 3,23 м.
:оо
Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны
максимальна: 2/1 sin k (I — х') = 2Л. Это1 равенство выполняется
для точек, координаты Хи которых удовлетворяют условию
fe (/ — Хд) тг (2n -j- 1) (я/2)
(п = 0, 1, 2, 3, ...).
Выразив здесь k по (4), полу-
чим
4vx„ == 4vZ — (2п + 1)ц,
откуда координаты пучностей
х’п — I — (2п 4- 1)ц/ (4v).
• Подставив сюда значения Z, и,
гы первых трех пучностей:
v п п = 0, 1, 2, найдем координа-
хо — 3,81 м, х1 — 3,42 м, xj ='3,04 м.
Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от
их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены координаты
х0, xlt ха, ... узлов и координаты Ко, х[, xi, пучностей стоячей вол-
ны.
3. Источник звука частотой v = 18 кГц приближается к неподвижно
установленному резонатору, настроенному *на акустическую волну
длиной X — 1,7 см. С какой скоростью'должен двигаться источник
звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания ре-
зонатора? Температура Т воздуха равна 290 К.
Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимае-
мая прибором (резонатором), зависит от скорости пист источника зву-
ка и скорости ипр прибора. Эта зависимость выражается формулой
ч, (1)
р Чист
где v — скорость звука в данной среде; v0 — частота звуковых волн,
излучаемых источником.
Учитывая, что резонатор остается неподвижным (uup = 0), из
формулы (1) получим v = —-— v0, откуда
“ ’ О--^ист . -г
"ист=У(1—Vo/V). Г(2)
В этом выражении неизвестны значения скорости v звука и часто-
ты V.
Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и
определяется по формуле
v = V \RTlM. (3)
101
Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания,
частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с соб-
ственной частотой треа резонатор®, т. е.
У ~ vpea == ^/^Рез’
где — длина волны собственных Колебаний резонатора.
Подставив выражения и и v из равенств (3) и (4) в формулу (2), по-
лучим
Иист = р^ — /е j ~ V — v0'^pe3« или Иист ~|/^Г'^“ vo ^рев-
Взяв значения у = 1,4, М — 0,029 кг/моль, а также значения R, Т,
vo> ^рез и подставив их в последнюю формулу, после вычислений по-
лучим
иИст = 36 м/с.
4. Уровень громкости Ln звука двух тонов с частотами Vj = 50 Гц
и va = 400 Гц одинаков и равен 10 дБ. Определить уровень интенсив-
ности Lp и интенсивность J звука этих тонов.
Решение. Искомые в задаче уровни интенсивности, соответствующие
частотам V! = 50 Гц и v2 = 400 Гц, определим, пользуясь графиком
на рис. 7.1. Вторая кривая снизу является кривой уровня громкости,
равного 10 дБ. Из точек на горизонтальной оси, соответствующих час-
тотам Vj и v2, восстанавливаем ординаты до кривой уровня громкости
в 10 дБ. Значения этих ординат укажут искомые уровни интенсивно-
сти: Lpi = 60 дБ для частоты vx = 50 Гц и Lp? = 20 дБ для частоты
т2 = 400 Гц.
Зная уровни интенсивностей LP^ и Le_?, определим соответствую-
щие им интенсивности /, и /2 по формуле
LP = 10 1g (Ц10\
где / — интенсивность данного звука; /0 — интенсивность, соответ-
ствующая нулевому уровню интенсивности (/0 = 1 пВт/м2).
Из приведенной формулы получим
lg 1 = 0,1Lp’+ lg /0.
Подставив сюда значения LP и /0 и учтя, что 1 пВт/м5 =я
= 10-12 Вт/м®, найдем для ту = 50 Гц и v2 = 400 Гц соответствен-
но
lg /j = 0,1 • 60 + lg 1'0-м = 6 — 12 = — 6; /t = 10-6 Вт/Ма
и
lg la = 0,1 • 20 + lg 10-12 =2—12= —10; /2 = 10~'<> Bt/m2.
' Эти значения /х ,и /2 можно получить и по графику, пользуясь шка-
лой интенсивности звука (на рис. 7.1 правая шкала)..
Сопоставим полученные результаты: интенсивность первого тона
в 104 раз больше интенсивности второго тона; уровень интенсивности
первого тона на 40 дБ больше уровня интенсивности второго тона;
уровень громкости обоих тонов одинаков и равен 10 дБ,
102
Задачи
Уравнение плоско* волглы
7-1. Задано уравнение плоской волны I (х, t) — A cos (ю/ — kx), где
А — 0,5 см; со — 628 (Г1; k = 2 м-1. Определить: I) частоту колеба-
ний v и длину волны к, 2) фазовую скорость v; 3) максимальные
значения скорости tmax и ускорения |шах колебаний частиц среды.
7-2. Покажите, что выражение Е (х, t) = Л cos (со/— kx) удовлет-
воряет волновому уравнению при условии, что со — kv.
7-3. Плоская звуковая волна возбуждается источником колебаний
частоты v = 200 Гц. Амплитуда А колебаний источника равна 4 мм.
1. Написать уравнение колебаний источника | (0, /), если в началь-
ный момент смещение точек источника максимально. 2. Найти сме-
щение | (х, /) точек среды, находящихся на расстоянии х — 100 см
от источника, в момент / = 0,1 е. Скорость и звуковой волны при-
нять равной 300 м/с. Затуханием пренебречь.
7-4. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 0,5 кГц и амплиту-
ду А = 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны А, =
= 70 см. Найти: 1) скорость v распространения волн; 2) макси-
мальную скорость gmai частиц среды.
7-5. Плоская звуковая волна имеет период 7 = 3 мс, амплитуду А =»
= 0,2 мм и длину волны X, = 1,2 м. Для точек среды, удаленных от
источника колебаний на расстояние х = 2 м, найти: 1) смещение
5 (х, /) в момент I — 7 мс; 2) скорость £ и ускорение | для того же мо-
мента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.
7-6. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой
линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение
точки, удаленной от источника на х = 3/4Х, в момент, когда от на-
чала колебаний прошло время / = 0,97?
7-7. Волна с периодом Т = 1,2 с и амплитудой колебаний А = 2 см
распространяется со скоростью г = 15 м/с. Чему равно смещение
Е (х, /) точки, находящейся на расстоянии х = 45 м от источника
волн, в тот момент, когда откачала колебаний источника прошло вре-
мя / = 4 с?
7-8. Две точки находятся на расстоянии х = 50 см друг от друга на
•прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью v =
— 50 м/с. Период Т колебаний равен 0,05 в. Найти разность фаз Дф
колебаний в этих точках.
7-9. Определить разность фаз Дф колебаний, источника волн, нахо-
дящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на х =» 2 м
от источника. Частота т колебаний равна 5 Гц; волны распространя-
ются со скоростью о = 40 м/с.
7-10. Волна распространяется в упругой среде со скоростью v =
— 100 м/с. Наименьшее расстояние Дх между точками среды, фазы -
колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определять частоту
v колебаний. ' v
тез
7-11. Определить скорость v распространения волны в упругой сре-
де, если разность фаз Д<р колебаний двух точек среды, отстоящих
друг от друга на Ах = 10 см, равна л/3. Частота v колебаний равна
25 Гц.
Скорость звука •
7-12. Найти скорость v распространения продольных упругих коле-
баний в следующих металлах: 1) алюминии; 2) меди; 3) вольфраме.
7-13. Определить максимальное и минимальное значения длины %
звуковых волн, воспринимаемых человеческим ухом, соответствую-
щие граничным частотам == 16 Ги и v8 — 20 кГц. Скорость v зву-
ка принять равной 340 м/с.
7-14. Определить скорость v звука в азоте при температуре Т = 300К.
7-15. Найти скорость v звука в воздухе при температурах 7\ = 290 К
и Тй = 350 К
7-16. Наблюдатель, находящийся на расстоянии I = 800 м от источ-
ника звука, слышит звук, пришедший по воздуху, иа А1— 1,78с'позд-
нее, чем звук, пришедший по воде. Найти скорость v звука в воде,
если температура Т воздуха равна 350 К.
7-17. Скорость v звука в некотором газе при нормальных условиях
равна 308 м/с. Плотность р газа равна 1,78 кг/мя Определить отно-
шение Cp/<zr для данного газа.
7-18. Найти отношение скоростей v^Vz звука в водороде и углекис-
лом . газе при одинаковой температуре газов
7-19. Температура Т воздуха у поверхности Земли равна 300 К; при
увеличении высоты она понижается на Д7' = 7 мК на каждый метр
высоты За какое время звук, распространяясь, достигнет высоты
h — 8 км?
Суперпозиция волн
7*20 Имеются два источника, совершающие колебания в одинаковой
фазе и возбуждающие в окружающей среде плоские волны одинако-
вой частоты и амплитуды (Дх — Д8 =* 1 мм). Найти амплитуду Д ко-
лебаний точки среды, отстоящей от одного источника колебаний на
расстоянии Xj = 3,5 м и от другого— на х2 = 5,4 м. Направления
колебаний в рассматриваемой точке совпадают. Длина волны I —
= 0,6 м.
7-21. Стоячая волна образуется при наложении бегущей волны и вол-
ны, отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной на-
правлению распространения волны. Найти положения (расстояния от
границы раздела сред) узлов и пучностей стоячей волны, если отра-
жение происходит: 1) от среды менее плотной; 2) от среды более
плотной. Скорость v распространения звуковых колебаний равна
340 м/с и частота v = 3,4 кГц.
* В задачах, где в условии на указана скорость звука и не заданы величи-
ны, по которым ее можно вычислить, значение скорости следует брать из табл. 18.
104
7-22. Определить* длину й, бегущей волны, если в стоячей волне рас-
стояние I между: 1) первой и седьмой пучностями равно 15 см, 2) пер-
вым и четвертым узлом равно 15 см.
7-23. В трубе длиной I = 1,2 м находится воздух при температуре
Т = 300 К. Определить минимальную частоту vmln возможных коле-
баний воздушного стол-
ба в .двух случаях:
1)труба открыта; ^тру-
ба закрыта.
7-24. Широкая трубка,
закрытая снизу и рас-
положенная вертикаль-
но, наполнена до краев
водой. Над верхним от-
верстием трубки поме-
щен звучащий камертон,
частота v колебаний ко-
торого равна 440 Гц..
Через кран, находящий-
ся внизу, воду медленно
выпускают. Когда уровень воды в трубке понижается на А// =»
— 19,5 см, звук камертона усиливается. Определить скорость v зву-
ка в условиях опыта.
7-2Б. Один из способов измерения скорости звука состоит в следую-
щем. В широкой трубке А может перемещаться поршень В. Перед
открытым концом трубки А, соединенным с помощью резиновой
трубки с ухом наблюдателя, расположен звучащий камертон X
(рис. 7.4). Отодвигая поршень В от конца трубки А, наблюдатель от-
мечает ряд следующих друг за другом, увеличений и уменьшений гром-
кости звука. Найти скорость v звука в воздухе, если при частоте ко-
лебаний v = 440 Гц двум по-
следовательным усилениям ин-
тенсивности звука соответствует
расстояние А/ между положе-
ниями поршня, равное 0,375 м.
7-26. На рис. 7.5 изображен при-
бор, служащий для определения
скорости звука в твердых телах
и газах. В латунном стержне А,
зажатом посередине, возбуждаются колебания. При определенном
положении легкого кружочка В, закрепленного на конце стержня,
пробковый порошок, находящийся в трубке С, расположится в виде
небольших кучек на равных расстояниях. Найти скорость v звука в
латуни, если расстояние а между кучками оказалось равным 8,5 см.
Длина стержня Z = 0,8 м.
7-27.*Стальной стержень длиной I = 1 м, закрепленный посередине,'
натирают суконкой, посыпанной канифолью. Определить частоту v
возникающих при этом собственных продольных колебаний стержня.
Скорость v продольных волн в стали вычислить.
105
Эффект Допжврв*
7-28. Поезд проходит мимо станции со скоростью и — 40 м/с. Часхо-
та v0 тона гудка ааектроаоза равна 3Q0 Ец. Определить кажущуюся
частоту w тона для человека, -стоящего на платформе, -в двух «случая^
1) поезд приближается; 2) поезд удаляется. 1
7-29. Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сигнал
частотой v0 = 300 Гц, проезжает поезд со скоростыр и = ДО'м/с. Ка-
кова кажущаяся частота v тона для пассажира, когда поезд прибли-
жается к электровозу? когда удаляется от него? '
7-30. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд:
Наблюдатель, стоящий ла платформе, 'слышит звук сирены поезда.
Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука Vj = ИДО Гц;
когда удаляется, кажущаяся частота v2 = 900 Гц. Найти скорость и
электровоза и частоту v0 звука, издаваемого сиреной.
7-31. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, вы-
сота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить относи-
тельное изменение частоты Av/v, если скорость и поезда равна 54 км/ч.
7-32. Резонатор и источник звука частотой v0 = 8 кГц расположены
на одной прямой. Резонатор настроен на длину волны v == 4,2 см и
установлен неподвижно. Источник звука может перемещаться по на-
правляющим вдоль прямой. С какой скоростью и и в каком направле-
нии должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им зву-
ковые волны вызвали колебания резонатора?
7-33. Поезд движется со скоростью и — 120 км/ч. Он .дает свисток
длительностью т0 = 5 с. Какова будет кажущаяся продолжительность
х свистка для люподвйжяого наблюдателя, если.: 1) поезд приближа-
ется к нему; 2) удаляется? Принять .скорость звука равной 348 м/е.
7-34. Скорый поезд приближается к стоящему на путях электропоезд
ду со скоростью и — 72 км/ч. Электропоезд подает звуковой сигнал
частотой = 0,6 кГц? Определить кажущуюся частоту v звукового;
сигнала, воспринимаемого машинистом скорого поезда. J
7-35. На шоссе сближаются две автомашины со скоростями щ =с
= 30 м/с и иа = 20 м/с. Первая из них подает звуковой сигнал час-
тотой vr = 600 Гц. Найти кажущуюся частоту v2 звука, воспринимав
емого водителем второй автомашины, в двух случаях: 1) до встречи;;
2} после встречи. ’Изменится ли ответ (если изменится, то как) в слу<|
чае подачи сигнала второй машиной?
.7-36. Узкий пучок ультразвуковых волн частотой v0 = 50 кГц на.?
правлен от ^неподвижного .локатора к приближающейся подводно?
лодасе. Определить скорость и подводной лодки, если частота Vj
ений (разность частот колебаний источника и сигнала, отраженное
от лодки) равна 250 Гц. Скорость v ультразвука в морской воде
нять равной 1,5 км/с.
* См. сноску не с. И54.
W6
Энергия звуковых волн
7-37. По цилиндрической трубе диаметром d = 20 см и длиной L =
й= 5 м-, заполненной: сухим воздухом, распространяется звуковая
рол на средней за период интенсивностью / = 50- мВт/м2. Найти энер-
гию IT звукового поля, заключенного в трубе.
7-М Интенсивность звука / = 1 Вт/м2, Определить среднюю объем-
ную плотность •<&>>- энергии звуковой волны, если звук распростра-
няется в сухом воздухе при нормальных условиях,
7-39. Мощность N изотропного точечного источника звуковых волн
равна 10 Вт, Какова средняя объемная плотность энергии на
расстоянии г = 10 м от источника волн? Температуру Т воздуха при-
нять равной 250 К.
7-40. Найти мощность N’ точечного изотропного источника звука,
если на расстоянии- г = 25 м от него интенсивность / звука рав
на 20 мВт/м2. Какова средняя объемная плотность энергии на
этом расстоянии?
Звуковое давление.
Акустическое сопротивление *
7-41. Определить удельное акустическое сопротивление Zs воздуха
при нормальных условиях.
7-42'. Определить удельное акустическое сопротивление Zs воды при
’ температуре t = 15° С.
7-43. Какова максимальная скорость |тах колебательного движе-
ния частиц кислорода, через который проходят звуковые волны, ес-
ли амплитуда звукового давления р0 = 0,2 Па, температура Т кис-
лорбда равна 300 К и давление р = 100 кПа?
7-44. Определить акустическое сопротивление Za воздуха в трубе диа-
метром d = 20 см при температуре Т = 300 К в давлении-, р =
= 290 кПа.
7-45. Звук чистотой v = 400 Гц распространяется в азоте при темпе-
ратуре Т = 290 К и давлении р = 104 кПа. Амплитуда звукового
давления р0 = 0,5 Па. Определить амплитуду А колебаний частиц
азота
7-46. Определить амплитуду р0 звукового давления, если амплитуда
А колебаний частиц воздуха равна 1 мкм-. Частота звука v = 600 Гц.
7-47 На расстоянии г — 1*00 м от точечного изотропного источника
звука амплитуда звукового давления р0 = 0;2 Па. Определить мощ-
ность AZ источника, если удельное акустическое сопротивление Zs воз-
духа равно 420 Па • с/м. Поглощение звука в воздухе не учитывать.
7-48.’ Источник звука небольших линейных размеров имеет мощность
IV = 1 Вт. Найти амплитуду звукового- давления р0 на расстоянии
г= 100 м от источника звука, считая его изотропным. Затуханием
звука пренебречь.
7-49. В сухом воздухе при нормальных условиях интенсивность
звука равна 10 пВт/м2. Определить удельное акустическое сопротив
* См. сноску на с, 104,
107
ление Zs воздуха при данных условиях и амплитуду р0 звукового дав-
ления.
7-50. Найти -интенсивности и /2 звука, соответствующие амплиту-
дам звукового давления р01 = 700 мкПа и р02 = 40 мкПа.
Уровень интенсивности
и уровень громкости звука
7-51. Определить уровень интенсивности Lp звука, если его интен-.
сйвность равна: 1) 100 пВт/ма; 2) 10 мВт/м2.
7-52. На расстоянии /у = 24 м от точечного изотропного источника
• звука уровень его интенсивности LP = 32 дБ. Найти уровень интен-
сивности Lp звука этого источника на расстоянии г2 = 16 м.
7-53. Звуковая волна прошла через перегородку, вследствие чего
уровень интенсивности LP звука уменьшился на 30 дБ: Во сколько
раз уменьшилась интенсивность / звука?
7-54. Уровень интенсивности LP шума мотора равен 60 дБ. Каков
будет уровень интенсивности, если одновременно будут работать:
1) два таких, мотора, 2) десять таких моторов?
7-55. Три тона, частоты которых равны соответственно Vj = 50 Гц,
v2 = 200 Гц и у., — 1 кГц, имеют одинаковый уровень интенсивности
LP — 40 дБ. Определить уровни громкости LN этих тонов.
7-56. Звук частотой v = 1 кГц имеет уровень интенсивности LP =
= 50 дБ. Пользуясь графиком на рис. 7.1, найти уровни интенсив-
ности равногромких с ним звуков с частотами: = 1 кГц, v2 =
= 5 кГц, v3 = 2 кГц, v4 = 300 Гц, v6 — 50 Гц.
7-57. Уровень громкости тона частотой v = 30 Гц сначала был LNi =
= 10 фон, а затем повысился до Lns = 80 фон Во сколько раз уве-
дичилась интенсивность тона?
7-58. Пользуясь графиком уровней на рис. 7.1, найти уровень гром-
кости LN звука, если частота v звука равна 2 кГц и амплитуда звуко-
вого давления р0 = 0,1 Па. Условия, при которых находится воздух,
нормальные.
7-59. Для звука частотой v = 2 кГц найти интенсивность /, уровень
интенсивности LP и уровень громкости LN, соответствующие: а) п<5- '
рогу слышимости; б) порогу болевого ощущения. При решении за- '
дачи пользоваться графиком на рис. 7.1.
7-60. Мощность N точечного изотропного источника звука равна
100 мкВт. Найти уровень громкости LN при частоте v — 500 Гц на
расстоянии г = 10 м от источника звука.
7-61. На расстоянии г = 100 м от точечного изотропного источника.
звука уровень громкости LN при частоте v = 500 Гц равен 20 дБ. Оп-
ределить мощность М источника звука.
ГЛ А В.А. 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 8. ЗАКОНЫ идеальных ГАЗОВ Основные формулы
. “ 1. Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапейрона—Мен-
делеева):
т
pV — —RT, или p^=v/?7,
М
где т — масса газа; М — его молярная масса; R — молярная газовая постоян-
ная; v = т/М — количество вещества*; Т —-термодинамическая температура.
2. Закон Дальтона:
Р = Р1 + ₽2 4- — + Рп<
где р — давление смеси газов; pt — парциальное давление /-го компонента сме-
си;' п — число компонентов смеси.
3. Молярная масса смеси газов
М = (mt 4- гп3 + ... 4* mft)/(vi + v2 4* ... 4* v^),
где От/ — масса /-го компонента смеси; — количество вещества f-го компо»
нейта смеси; k — число компонентов смеси.
4. Массовая доля** /-го компонента смеси газа
' w, - milm,
где mtмасса J-го компонента смеси; т — масса смеси.
Примеры решения задач
1. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением pt =
~ 1 МПа при температуре 7\ = 300 К. После того как из баллона
был израсходован гелий массой т = 10 г, температура в баллоне по-
низилась до Т2 = 290 К- Определить давление р2 гелия, оставшегося
в баллоне.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапей-
рона—Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному
состояниям газа. Для начального состояйия уравнение имеет вид
P1V = ' (1)
* Количество вещества — это число структурных элементов (молекул, ато-
мов, иоиов и т. п.), содержащихся в системе или теле. Количество вещества вы-
ражается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столь-
ко же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массей
0,012 кг. Число молекул в моле равно числу Авогадро.
** Массовой долей компонента называется безразмерная величина, равная
отношению массы компонента к массе смеси.
10»
а для конечного состояния —
p2v =
(2)
где fflj и m2 — массы гелия в начальном и конечном состояниях.
Выразим массы тх и т2 гелия из уравнений (1) и (2):
т1 = MP1VI (RTj), (3)
тя — MPiV/ (RT8). 'Д)
Вычитая из (3) равенство (4), получаем
MPi V Мрг и
т = т, —те — --------—
RT,
Отсюда найдем искомое давление:
_ RTа /МРг V Т’з Л т RR2
к MV \R7\ ) -Т1 М V
После вычисления получим
рг = 3,64 • 106 Па = 364 кПа.
2. Найти молярную массу М смеси кислорода массой = 25 г и
азоТа массой т2 — 75 г.
Решение. Молярная масса смеси Л4СМ есть отношение массы смеси тсы
к количеству вещества смеси vCM, т. е.
Мем = шсм/ vCM. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси: тсм = тг +
4- т2. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества
компонентов:
vcm = Vj + v2 = тг/М1 + т2/М2.
Подставив в формулу (1) выражения тсы и vCM, получим
----1
После вычислений найдем
Л4см ™ 30 • IO"3 кг/моль.
I Задачи
Уравнение газового состояния
8-1. В цилиндр длиной I = 1,6 м, заполненный воздухом при нор-
мальном атмосферном давлении р0, начали медленно вдвигать пор-
шень площадью 3 = 200 см’. Определить силу F, которая будет дей-
ствовать на поршень, если его остановить на расстоянии R = 10 см
от дна цилиндра.
8-2. Колба объемом V = см8, закрытая пробкой с краном, содер-
жит разреженный воздух. Для измерения давления в колбе горлышко
ПО
колбы погрузили б воду на незначительную глубину и открыли кран,
в результате чего в колбу вошла вода массой т — 292 г. Определить
первоначальное давление р в колбе, если атмосферное давление р0 =
— 100 кПа.
8-3. В U-образный манометр налита ртуть. Открытое колено мано-
метра соединено с окружающим пространством при нормальном ат-
мосферном давлении р0, и ртуть в открытом колене стоит выше, чем
в закрытом, на A/i = 10 см. При этом свободная от ртути часть труб-
ки закрытого колена имеет длину I = 20 см. Когда открытое колено
присоединили к баллону с воздухом, разность уровней ртути.увели-
чилась и достигла зна-
чения A/ij = 26 см.
Найти давление р воз-
духа в баллоне.
8-4. Манометр в виде
стеклянной U-образной
трубки с внутренним
диаметром d = 5 • мм
(рис. 8.1, о) наполнен
ртутью так, что остав-
шийся в закрытом коле-,
не трубки воздух зани-
Рис. 8.1
f
мает при нормальном ат-
мосферном давлении объем = 10 мм3. При этом разность уровней
Д/ij ртути в обоих коленах трубки равна 10 см. При соединении откры-
того конца трубки с большим сосудом (рис. 8.1, б) разность Ай2 уров-
ней ртути уменьшилась до I см. Определить давление р в сосуде.
8-5. В баллоне содержится газ при температуре tt = 100° С. До ка-
кой температуры t2 нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось
в два раза?
8-6. При нагревании идеального газа на АТ = 1 К при постоянном
давлении объем его увеличился на 1/35О первоначального объема.
Найти начальную температуру Т газа.
8-7. Полый шар объемом V = 10 см3, заполненный воздухом при тем-
пературе Т, = 573 К, соединили трубкой с чашкой, заполненной
ртутью. Определить массу т ртути, вошедшей в шар при остывании
воздуха в нем до температуры Т2 = 293 К. Изменением объема шара
пренебречь.
8-8. Оболочка воздушного шара объемом V = 800 м8 целиком запол-
нена водородом при температуре 7\ = 273 К. На сколько изменится
подъемная сила шара при повышении температуры до Т2 = 293 К?
Считать объем V оболочки неизменным и внешнее давление нормаль-
ным. В нижней части оболочки имеется отверстие, через которое во-
дород может выходить в окружающее пространство.
8-9. В оболочке сферического аэростата находится газ объемом V «
= 1500 м3, заполняющий оболочку лишь частично. На сколько из-
менится подъемная сила аэростата, если газ в аэростате нагреть от
111
То = 273 К до Т = 293 К? Давления газа в оболочке и окружающе-
го воздуха постоянны и равны нормальному атмосферному давлению.
8-10. Газовый термометр состоит из шара с припаянной к нему гори-
зонтальной стеклянной трубкой. Капелька ртути, помещенная в труб-
ку, отделяет объем шара от внешнего пространства (рис. 8.2): Площадь
5 поперечного сечения трубки равна 0,1 см2. При температуре Tt =«
= 273 К капелька находилась на расстоянии = 30 см от поверх-
ности шара, при температуре Т2 =
= 278 К — на расстоянии /2 = 50 см.
Найти объем V шара.
Рис. 8.2 Рис. 8.3
8-11. В большой сосуд с водой был опрокинут цилиндрический сосуд
(рис. 8.3). Уровни воды внутри и вне цилиндрического сосуда нахо-
дятся на одинаковой высоте. Расстояние I от уровня воды до дна опрб- -
кинутого сосуда равно 40 см. На какую высоту h поднимется вода в •
цилиндрическом сосуде при понижении температуры от Тг = 310 К
до Т2 = 273 К? Атмосферное давление нормальное.
8-12. Баллон объемом V = 12 л содержит углекислый газ. Давление
р газа равно 1 МПа, температура Т = 300 К. Определить массу m га-,
за в баллоне.
8-13. Какой объем V занимает идеальный газ, содержащий количест-
во вещества v = 1 кмоль при давлении р = 1 МПа и температуре Т =
= 400 К?
8-14. Котел объемом V = 2 м3 содержит перегретый водяной пар мас-
сой т= 10 кг при температуре Т — 500 К. Определить давление р
пара в котле.
8-15. Баллон объемом V = 20 л содержит углекислый газ массой m =
= 500 г под давлением р = 1,3 МПа. Определить температуру Т газа.
8-16. Газ при температуре Т == 309 К и давлении р = 0,7 МПа имеет
плотность р = 12 кг/м3. Определить относительную молекулярную
массу Мг газа.
8-17. Определить плотность р насыщенного водяного пара в воздухе
(фи температуре Т = 300 К. Давление р насыщенного водяного пара
при этой температуре равно 3,55 кПа.
8-18. Оболочка воздушного шара имеет объем V = 1600 м3. Найти
подъемную силу F водорода, наполняющего оболочку, на высоте, где
давление р = 60 кПа и температура Т = 280 К. При подъеме шара
водород может выходить через отверстие в нижней части шара.
8-19. В баллоне объемом V = 25 л находится водород при температу-
ре Т = 290 К. После того как часть водорода израсходовали, давле-
112
ние в баллоне понизилось, на Др — 0,4 МПа. Определить массу т из-
расходованного водорода.
8-20. Оболочка аэростата объемом V — 1600 м3, находящегося на по-
верхности Земли, на k = 7/8 наполнена водородом при давлении р =
= 100 кПа и Температуре Т = 290 К- Аэростат подняли на некото-
рую высоту, где давление рг == 80 кПа и температура 7\ = 280 К. Оп-
ределить массу tn водорода, вышедшего из оболочки аэростата при его
подъеме.
Смеси газов
8-21. Какой объем V занимает смесь газов — азота массой т± =
= 1 кг и гелия массой т2 = 1 кг — при нормальных условиях?
8-22. В баллонах объемом V± = 20 л и V2 = 44 л содержится газ. Дав-
ление в первом баллоне рх = 2,4 МПа, во втором — р2 == 1,6 МПа.
Определить общее давление р и парциальные p't и р' после соединения
баллонов, если температура газа осталась прежней.
8-23. В сосуде объемом V = 0,01 м3 содержится смесь газов — азота
массой т2 = 7 г и водорода массой т2 — 1 г — при температуре Т =
= 280 К. Определить давление р смеси газов.
8-24. Найти плотность р газовой смеси водорода и кислорода, если
их Массовые доли и w2 равны соответственно 1/в и 8/в. Давление р
смеси равно 100 кПа, температура Т = 300 К.
8-25. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в-бал-
лоне под давлением р = .1 МПа. Определить парциальные давления
Pi кислорода и р2 азота, если массовая доля да, кислорода в смеси рав-
на 0,2.
8-26. В 1 кг сухого воздуха содержится т, = 232 г кислорода и тг =
= 768 г азота (массами других газов пренебрегаем). Определить от-
носительную молекулярную массу Мг воздуха.
8-27. Баллон объемом V == 30 л содержит смесь водорода и гелия при
температуре Т = 300 К и,давлении р — 828 кПа. Масса m смеси равна
24 г. Определить массу водорода и массу т2 гелия.
8-28. В сосуде объемом V = 15 л находится смесь азота и водорода
при температуре t = 23° С и давлении р — 200 кПа. Определить мас-
сы смеси и ее компонентов, если массовая доля “4 азота в смеси равна
0,7.
8-29. Баллон вместимостью V = 5 л содержит смесь гелия и водоро:
да при давлении р = 600 кПа. Масса т смеси равна 4 г, массовая
доля да! гелия равна 0,6. Определить температуру Т смеси.
§ 9-
КИНЕТИЧЕСКАЯ
1. Количество
v = т/М, или v = Nl Nд?
где N — число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т. п.);
Л’д — постоянная Авогадро.
МОЛЕКУЛ ЯРНО-
ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Основные формулы
вещества
113
2. Молярная масса вещества
М = m/v;
где т — масса.
3. Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы
n = NIV = /VAp/M,'
где V — объем системы; р — плотность • вещества.
4. Основное уравнение кинетической теории газов
Р—2/зп <еп>,
где <еп> — средняя кинетическая энергия* поступательного движения моле-
кулы. . •
Б. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы
молекулы,
<el>=1/2fe7’
а приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)
. <е>-=(*72) kT.
где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура. Сред-
няя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
<еп> =»/sAT.
6. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
р = nkT.
7. Скорость молекул: средняя квадратичная
<окв> —~\/3kTlml, или <окв> = ~\/3>RT)М,
средняя арифметическая
<Ч>= V8k77 или
наиболее вероятная
ов = 1/247’/т1( или г.'в = 1/2/?7’/Л/,
где л?! — масса одной молекулы.
| Примеры решения задач
1. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при темпера-
туре t = 4°С объем V = 1 мма; 2) массу молекулы воды; 3) диа-
метр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют форму шариков,
соприкасающихся друг с другом.
Решение. 1. Число N молекул, содержащихся в теле некоторой мас-
сы т, равно'произведению постоянной Авогадро NA на количество ве-
щества v: N = vWA- Так как v — т!М, где М — молярная масса,
то N •= Выразив в этой формуле,массу как произведение
плотности р на объем V, получим
N = (pWM)JVA.
* Здесь и далее кинетическая энергия молекул и других частиц обознача-
ется е. *.....
Подставив сюда значения р и И, выраженные в единицах СИ, а «ак-
же значения М и Ал, взятые из таблиц, и произведя вычисления, най-
дем
N = 3,34 • I01® молекул.
2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной мас-
сы на постоянную Авогадро: ту = М/Л\. Произведя вычисления по
этой формуле, получим
mt = 2,99 • 10-2е кг.
3. Будем считать, что молекулы плотно прилегают друг к другу,
тогда на каждую молекулу диаметром d приходится объем (кубичес-
кая ячейка) V, — d3. Отсюда
d«Wi. (1)
Объем найдем, разделив молярный объем вещества на числ'о
молекул в моле, т. е. на постоянную Авогадро WA: Vt — Vra/TVA. Мо-
лярный объем равен отношению молярной массы к плотности вещест-
ва, т. е. V'm == М/р. Поэтому можем записать, что = ТИ/(рЛ/А).
Подставив полученное выражение Vt в формулу (1), получим
d = KM/(pMA). (2)
Проверим, дает ли правая часть выражения (2) единицу длины:
гл ( (MJ U/3 ( КГ/МОЛЬ )1/3
I а I = <----> = <---------------> = М.
I fpj {/Va] J I кг/м3>1/моль J
Теперь подставим значения величин в формулу (2) и произведем вы-
числения:
d = 3,11 • 10"10 м = 311 пм.
2. Найти среднюю кинетическую энергию <евр> вращательного
движения одной молекулы кислброда при температуре Т = 286 К,
а также кинетическую энергию №ВР вращательного движения всех
молекул этого газа,, если его масса m — 4 г.
Решение. Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа
приходится одинаковая средняя энергия, выражаемая формулой
<е,>= l/zkT. Так как молекула кислорода является двухатомной,
а следовательно, обладает двумя вращательными степенями свободы,
то средняя кинетическая энергия вращательного движения молеку-
лы кислорода
<евР>=2-^-^ = ЛТ.
Подставив в эту формулу значения k и Т и произведя вычисления,
получим
•. <рвр>=^ 3>94 ‘ 10-81 Дж-
I1S
Средняя кинетическая энергия вращательного движения всех мо-
лвил газа выражается соотношением
№’вр = А'<8вр>. (1)
Если учесть, что число молекул системы равно произведению по-
стоянной Авогадро.на количество вещества v, то равенство (1) можно
записать в виде
, - Wвр = vMA <евР> = (m/M) JVА<евр>, (2)
где т — масса газа; М — его молярная масса.
Подставив в (2) значения величии и произведя вычисления, най-
дем
Й7вр = 296 Дж.
Задачи
Закон Авогадро.
Масса и размер молекул.
Количество вещества
9-1. Колба вместимостью V = 0,5 л содержит газ при нормальных
условиях. Определить число N молекул газа, находящихся в колбе.
9-2. Сколько атомов содержат газы массой т = 1 г каждый: 1) ге-
лий; 2) углерод; 3) фтор; 4) полоний?
9-3. В баллоне вместимостью V — 5 л содержится кислород массой
т = 20 г. Определить концентрацию п молекул в баллоне.
9-4. Одна треть молекул азота массой т ~ 10 г распалась на атомы.
Определить полное число N частиц, находящихся в таком газе.
9-5. Рассматривая молекулы жидкости как шарики, соприкасающие-
ся друг с другом, оценить порядок размера диаметра молекулы серо-
углерода CS2. При тех же предположениях оценить порядок размера
диаметра атомов ртути. Плотности жидкостей считать известными.
9-6. Определить среднее расстояние <Zb> между центрами молекул
водяных паров при нормальных условиях и сравнить его с диаметром
d самих * молекул (d = 0,31 нм).
9-7. Определить молярную массу М и массу т,! одной молекулы сле-
. дующих газов: 1) кислорода, 2) азота, 3) окиси азота NO.
9-8. В баллоне вместимостью V = 3 л находится кислород массой
т — 4 г. Определить количество вещества v газа и концентрацию п
его молекул.
9-9. В сосуде вместимостью V — 2,24 л при нормальных условиях
находится кислород. Определить количество вещества v и массу т
кислорода, а также концентрацию п его молекул в сосуде.
9-10. В сосуде находится смесь кислорода и водорода. Масса т сме-
си равна 3,6 г. Массовая доля кислорода составляет 0,6. Опреде-
лить количества вещества v смеси, и va каждого газа в отдельности.
9-11. В баллоне вместимостью V == 1 л находится азот при нормаль-
ных условиях. Когда азот нагрели до температуры Т — 1,8 кК, то
116
часть молекул азота оказались диссоциированными на атомы. Сте-
пень диссоциации а = 0,3. Определить: I) количество вещества v и
концентрацию п молекул азота до нагревания; 2) количество веще-
ства vM концентрацию пы молекул молекулярного азота после нагре-
вания; 3) количество вещества va -и концентрацию па атомов атомар-
ного азота после нагревания; 4) подное количество вещества vnwi и
концентрацию ппол частиц в сосуде после нагревания. Диссоциацией
молекул при нормальных условиях пренебречь.
Примечание. Степенью диссоциации называют отношение числа
молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул газа.
Основное уравнение
кинетической теории газов.
Энергия молекул
9-12 Определить концентрацию п молекул идеального газа при тем-
пературе Т = 300 К и давлении р = I мПа.
9-13. Определить давление р идеального газа при двух значениях
температуры газа: 1) Т = ЗК; 2) Т = I кК Принять концентрацию
п молекул газа равной ~101е см-3. ' .
9-14. Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью V —
= 30 л при температуре Т — 300 К и давлении р = 5 МПа?
9-15. Определить количество вещества v и число N молекул газа, со-
держащегося в колбе вместимостью V = 240 см3 при температуре Т ==
: = 290 К и давлении р = 50 кПа.
9-16. В колбе вместимостью V — 100 см3 содержится некоторый газ
при температуре Т = 300 К. На сколько понизится давление р газа
в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N = 10го молекул?
9-17. В колбе вместимостью V — 240 см3 находится газ при темпера-
туре Т = 290 К и давлении р = 50 кПа. Определить количество ве-
щества v газа и число /V его молекул.
9-18. Давление р газа равно 1 мПа, концентрация п его молекул рав-
на I010 см-3. Определить: 1) температуру Т газа; 2) среднюю кинети-
ческую энергию <еп> поступательного движения молекул газа.
9-19. Определить среднюю кинетическую энергию <бп> поступа-
тельного движения и среднее значение <е> полной кинетической
_ энергии -молекулы водяного пара при. температуре Т = 600 К- Най-
ти также кинетическую энергию W поступательного движения всех
молекул пара, содержащего количество вещества v = 1 кмоль.
9-20. Определить среднее значение полной кинетической энер-
гии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при темпера-
туре Т — 400 К.
9-21. Определить кинетическую энергию <е1>, приходящуюся в
среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре
Т = 1 кК, а также среднюю кинетическую энергию <еп> поступа-
тельного движения, <eD> вращательного движения и среднее зна-
чение полной кинетической энергии молекулы.
9-22. Определить число N молекул ртути, содержащихся в воздухе
объемом .V = 1 м3 в помещении, зараженном ртутью, при температу-
117
ре Т — 20° С, если давление р насыщенного пара ртути при этой тем-
пературе равно 0,13 Па.
9-23. Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде необхо-
димо прогревать его при откачке с целью удалить адсорбированные
газы. Определить, на сколько повысится давление в сферическом со-
суде радиусом R = Ю см, если все адсорбированные молекулы перей-
дут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолеку-
лярным, сечение о одной молекулы равно Ю-18 см2. Температура
Т, при которой производится откачка, равна 600 К.
9-24. Молярная энергия диссоциации (энергия, затрачиваемая
на диссоциацию всех молекул газа, содержащего количество вещест-
ва, равное молю) водорода равна 419 кДж/моль. При какой темпера-
туре Т газа Средняя кинетическая энергия поступательного
движения его молекул достаточна для их расщепления?
Скорости молекул
9-25. Найти среднюю квадратичную <окв>, среднюю арифмети-
ческую и наиболее вероятную ов скорости молекул водорода.
Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) Т = 20 К;
2) Т = 300 К; 3) Т = 5 кК.
9-26. При такой температуре Т средняя квадратичная скорость ато-
мов гелия станет равной второй космической скорости оа = 11,2 км/с?
9-27. При какой температуре Т молекулы кислорода имеют такую
же среднюю квадратичную скорость <окв>, как молекулы водоро-
да при температуре Тг = 100 К?
9-28. Колба вместимостью V = 4 л содержит некоторый газ массой
m = 0,6 г под давлением р — 200 кПа. Определить среднюю квадра-
тичную скорость <окв> молекул газа.
9-29. Смесь гелия и аргона находится при температуре Т = 1,2 к.К.
Определить среднюю квадратичную скорость <окв> и среднюю ки-
нетическую энергию атомов гелия и аргона.
9-30. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как
если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю
квадратичную скорость <г>вв> пылинки массой пг — 10~10 г, если
температура Т воздуха равна 300 К.
9-31. Во сколько раз средняя квадратичная скорость <пКв> моле-
кул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки мас-
сой m = 10-8 г, находящейся среди молекул кислорода?
9-32. Определить среднюю арифметическую скорость <о> молекул
газа, если их средняя квадратичная скорость <укв> = 1 км/с.
9-33. Определить наиболее вероятную скорость vE молекул водоро-
да яри температуре Т = 400 К.
§ 10. ЭЛЕМЕНТЫ 1 л .
статистической физики I Основные формулы
1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)
118
где n — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; п0 — концен-
трация частиц в точках поля, где U = 0; k — постоянная Больцмана; Т —
термодинамическая температура; е — основание натуральных логарифмов.
2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле
силы тяжести)
р=Р6е-"«г/<*г», или p = p,e-Mei/1Rr',
где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; г — коор-
дината (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 —
давление на этом уровне; g — ускорение свободного падения; R — молярная
газовая постоянная.
3. Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая моле-
кулу, лежит в интервале значений от х до x-f- dx, равна
d W (х) = / (х) dx*;
где f (х) — функция распределения молекул по значениям панной фичичрекпй
величины х (плотность вероятности)
4. Количество молекул, для которых физическая величина х, харакхеризую-
щая их, заключена в интервале значений от х до х -J- dx,
dЛ/ = Nd IV (х) = Nf (х) dx
5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям! вы-
ражается двумя соотношениями:
а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от и до и у do.
dN (о) = Nf (v) du=4nJV (——— 1 e ^0> •
\ inkT J
где f (v) — функция распределения молекул , по абсолютным значениям ско-
ростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит
в интервале от о до у У do, к величине этого интервала, а также долю числа
молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число мо-
лекул; m — масса молекулы;
б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах
от и до и 4- du.
4 а
dN (и) — Nt (и) du= у— Ne и и2 du
Ул
где и — v/vB — относительная скорость; равная отношению скорости v н
наивероятиейшей скорости ов (о скоростях молекулы см. § 9); f (и) — функция
распределения по относительным скоростям.
6. Распределение молекул по импульсам. Число молекул; импульсы ко-
торых заключены в пределах от р до р У dp.
dN (р) = Nf (р) dp =4лЛ/
1__
2nmkT
^-pUZmkT'i pi Apt
где f (p) — функция распределения по импульсам.
7. Распределение молекул тю энергиям. Число молекул} энергии которых
Заключены в интервале от в до в у de,
2 е—e/(kT)
dN (е) =N[ (е) da =-——- N --— e1/2 de,
Ул (АТ)3/а
где / (е) — функция распределения по энергиям.
• Приведенная формула выражает также долю числа молекул, для кото-
рых физическая величина х заключена в интервале от х до х У dx.
119
8- Среднее значение* физической величины х в общем случи
J xf (х) dx
<Х> ~ $ f (х) dx
з в случае; если функция распределения нормирована на единицу,
<х> = j xf (х) dx,
где [ (х) — функция распределения; а интегрирование ведется по всей совокуп-
ность изменений величины х.
Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя ариф-
СО
метнческая скорость) <v> = J vf (г) cto) средняя квадратичная скорост*
о
оо
= гДе <^> == J & f(v) средняя кинетическая энергии
поступательного движения молекулы
оо
<е> =| е/ (в) de. ч
9. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в еди-
ницу времени,
ц <z> = 1/2 nd1« <й> ,
где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул; <о> —
средняя арифметическая скорость молекул.
- 10. Средняя длина свободного пробега молекул газа
</> = I/CI/2 nda п).
11. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного
слоя газа в другой через элемент поверхности,
dp = т) (dc>/dz) ASd/,
где г; — динамическая вязкость газа; do/dz — градиент (поперечный) скорости
течения его слоев; AS — площадь элемента поверхности; d/ — время переноса.
12. Динамическая вязкость
Ч*=*/з Р<0> <£>,
где р—плотность газа (жидкости); <о> — средняя скорость хвотического дви-
жения его молекул; </> — их средняя длина свободного пробега.
13. Закон Ньютона
F. = dpldt — т] (do/dz) AS;
где 7 — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.
14. Закон Фурье
AQ = — X (dT/dx) SM,
где AQ — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение
площадью S за время А(; Л. — теплопроводность; d77dx — градиент темпера-
туры.
15. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа
k=1/8cvp или Х=1/в/гп<о> <(>,
где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; р — плотность
гзза; <ti>—средняя арифметическая скорость его молекулы; </2> — средняя
длина свободного пробега молекул.
* Табличные интегралы для вычисления средних значений приведены в
табл. 2.
120
16. Закон Фика
Am = — D (dzi/dx) miS&t)
где Am — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность
площадью S за время А Г; D — диффузия (коэффициент диффузии); dn/dx —
градиент концентрации молекул; mj — масса одной молекулы.
16- Диффузия (коэффициент диффузии)
Я =*/з <*><>.
Примеры решения задач
1. Пылинки массой т = 10“м г взвешены в воздухе. Определить
толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок
различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всем объе-
ме одинакова й равна 300 К.
Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их
зависит только от координаты г по оси, направленной вертикально.
В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу
Больцмана
n = noe-°/<ftr». ' (1)
Так как в однородном поле силы тяжести U = tngz, то
п=лое-т«’/'*г>. (2)
По условию задачи изменение Дл концентрации с высотой мало по
сравнению с л (Дл/л = 0,01), поэтому брз существенной погрешности
изменение концентрации Дл можно заменить дифференциалом dn.
Дифференцируя выражение (2) по г, получим
. dn = —п0-^е-ст«г/‘л7»аг.
Так как лое~ = п, то
dn — —ndz.
kT
'Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:
mg п
Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты
_(dz >0) соответствует уменьшение относительной концентрации
(dn < 0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и за-
пеним дифференциалы дг и dn конечными приращениями & и Дп;
Дг = ^-^.
mg а.
121
Подставим в эту формулу значения величин Дл/п=0,01, k =•
= 1,38- 10-28 Дж/к, т w 300 К, m « 10~и кг, g = 9,81 м/с2 и,
произведя вычисления, найдем
Дг = 4,'23 мм.
Как видно из полученного результата, концентрация даже таких
маленьких пылинок (tn — 10“ г) очень быстро изменяется с высотой.
2. В некотором объеме газа содержится число молекул, равное посто-
янной Авогадро Ад- Рассматривая этот газ как идеальный, опреде-
лить число ДА молекул, скорости v которых меньше 0,001 наиболее
вероятной скорости vB.
Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распределе-
нием молекул по относительным скоростям и (и = сй^).. Число dN (и)
молекул, относительные скорости и которых заключены в пределах
о! и до н -j- du, определяется формулой
dN (и) = е~"‘ и2du, (1)
Ул
где N — полное число молекул в рассматриваемом объеме.
По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас
молекул отвх = 0,001 vB, откуда umaх — —та- =0,001. Для таких
vB
значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом де-
ле, для и 1 имеем е~“' « 1 — и2. Пренебрегая значением и2 =>
— (0,001)2 = 10-8 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем
в виде
4jV.
dN (и) = —- и2 du. (2)
1/л
Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до итах, получим
4Л'.
ДА =-----d.
"max
4МЛ I и3 |Un>ax
4/V.
ИЛИ ДА =-------т-Ьийах.
31/л
Подставив в Последнюю формулу значения величин NA, л и umaj
и произведя вычисления, найдем
ДА = 4,53 - 1017 молекул.
3. Зная функцию / (р) распределения молекул по импульсам, опре-
делить среднее значение квадрата импульса <р8>.
Решение. Среднее значение квадрата импульса <рй> можно опреде-
лить по общему правилу вычисления среднего:
,<Р2> = J Р2/ (Р) dp / J f (р) dp. (1)
о ‘ о
122,
Функция распределения молекул по импульсам имеет вид
« /(p) = 4nf—-L— I е-₽‘/(*пМ> д*. (2)
Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.
1. С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:
и
CD
<р®> = § (д) йр. (3)
о
Подставим выражение f (р) по уравнению (2) в формулу (3) и выне-
сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:
ос
(р2> = 4л/-----!---'j /S Г f]„
\ 2nmkT / J
о
Этот интеграл можно свести к табличному (см. табл. 2)
ОС
rt 3 ““ 1
lx4e~Q*2dx =— 1Ллй-5/2, положив а —-------------.
J 8 2тЬГ
О
В нашем случае этот даст
<п2> = 4л --------] — V л ------
I 2nmkT /8 \ 2mkT
-5/5
После упрощений и сокращений найдем
<р2> “ ЗткТ.
4. Средняя длина свободного пробега <7> молекулы углекислого
газа при нормальных условиях равна 40 нм Определить -реднюю
арифметическую скорость молекул и число г соударений, кото-
рые испытывает молекула в I с.
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется
по формуле
<р> = У8/?Т/(лЛП,
где М — молярная масса вещества.
Подставив числовые значения, получим
<jj> — 362 м/с.
Среднее число <г> соударений молекулы в 1 с определяется отно-
шением средней скорости молекулы к средней длине ее свобод-
ного пробега <1>:
<z>= <о>/</>.
Подставив в эту формулу значения <ц>=362 м/с, <7> = 40 нм==
— 4 • 10~8 м, получим • "
<Zz>= 9,05 . 10* с-1.
123
5. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной I = 10 см могут
свободно вращаться вокруг их общей оси Z. Радиус R большого ци-
линдра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d —
= 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных услови-
ях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной частотой
nt = 20 с-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой
промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он
приобретет частоту вращения п2 — 1 с-1. При расчетах изменением
относительной скорости цилиндров пренебречь. Масса т внешнего
цилиндра равна 100 г.
Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воздуха увлека-
ется им и начинает участвовать во вращательном движении. Вблизи
поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем
практически такую же линейную скорость, как и скорость точек на
поверхности цилиндра, т. е. v = 2nnj (R — d). Так как d R, то при-
ближенно можно считать
ел 2лпг/?. (I)
Вследствие внутреннего трения момент импульса передается со-
седним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За .ин-
тервал времени Д/ внешний цилиндр приобретает момент импуль-
са L =. pR, где р — импульс, полученный за Д/ внешним цилинд-
ром. Отсюда
р = L/R. , . (2)
С другой стороны,
р — т| (dp/dz)SA£, (3)
где т) — динамическая вязкость; dti/dz — градиент скорости; S —
площадь поверхности цилиндра (S = 2л/?/).
Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу-
ченного равенства искомый интервал Д/, получим
Д/ = -— . (4)
r7?{dti/dz)S
Найдем входящие в эту формулу величины L,- du/dz и S. Момент
импульса L — Ja>s, где J — момент инерции цилиндра (J — mR2);
tn — его масса; <о2 — угловая скорость внешнего цилиндра (<о2 =
= 2лп2). С учетом этого запишем
L — mR2 • 2лп2 = 2ят/?2п2.
Градиент скорости — у- — Площадь цилиндра равна S =
= 2л/?2.
Подставив в (4) выражения L, dt'/dz, S, получим
Д/ = mdn2!
Заменив здесь v по'(1), найдем
ду mdn2
(5Ц
124
Динамическая вязкость воздуха я — 17,2 мкПа • с = 1,72- 10~в Па • о
(см. табл. 14).
Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вы-'
числения, получим
Д/ = 18,5 с.
Задачи
Распределение Больцмана
10-1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу т = 10~м г.
Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высо-
ты на Дй = 10 м? Температура воздуха Т — 300 К.
10-2. Одинаковые частицы массой т = 10-12 г каждая распределены
в однородном гравитационном поле напряженностью G = 0,2 мкН/кг.
Определить отношение концентраций частиц, находящихся на
эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на Дг = 10 м.
Температура Т во всех слоях считается одинаковой и равной 290 К.
10-3. Масса т каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 1 аг.
Отношение концентрации пх пылннок на высоте йх = 1 м к концентра-
ции п0 их на высоте h0 = 0 равно 0,787. Температура воздуха Т —
= 300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро МА.
10-4. Определить силу Г, действующую на частицу, находящуюся
во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение пг/п8
концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на
Дг = 1 м, равно е. Температуру Т считать везде одинаковой и рав-
ной 300 К.
10-5. На сколько уменьшится атмосферное давление р — 100 кПа
при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h —
= 100 м? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изме-
няется с высотой.
10-6. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное
давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что темпера-
тура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.
10-7. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление
р — 90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной пло-
щадке барометр показывал давление р0 = 100 кПа? Считать, что тем-
пература Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.
10-8. Найти изменение высоты Дй, соответствующее изменению дав-
ления на Др = 100 Па; в двух случаях: 1) вблизи поверхности Зем-
ли, где температура Т\ = 290 К, давление рх — 100 кПа; 2) на неко-
торой высоте, где температура 7\ — 220 К, давление ря = 25 кПа.
10-9. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает
одинаковое давление р = 80 кПа, благодаря чему летчик считает вы-
соту й полета неизменной. Однако температура воздуха изменилась
на Д7 = 1 К. Какую ошибку Дй в определении высоты допустил лет-
чик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверх-
ности Земли давление р0 = 100 кПа.
10-М. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью ». Исполь-
зуя функцию распределения Больцмана, установить распределение
концентрации и частиц массой т, находящихся в роторе центрифуги,
как функцию расстояния г от оси вращения.
10-11. В центрифуге с ротором радиусом а, равным 0,5 м, при темпе-
ратуре Т = 300 К находится в газообразном состоянии вещество о
относительной молекулярной массой Мт = 10s. Определить отно-
шение па1п0 концентрации молекул у стенок ротора и в центре его,
если ротор вращается с частотой п = 30 с-1.
10-12. Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с час-
тотой п = 50 с-1.. Радиус а ротора равен 0,5 м. Определить давление
р газа на стенки ротора, если в его центре давление р0 равно нормаль-
ному атмосферному. Температуру Т по всему объему считать одина-
ковой' и равной 300 К.
10-13. В центрифуге находится некоторый газ при температуре Т - -
= 271 К- Ротор центрифуги радиусом а = 0,4 м вращается с угло-
вой скоростью « = 500 рад/с. Определить относительную молекуляр-
ную массу Мт газа, если давление р у стенки ротора в 2,1 раза боль-
ше давления р0 в его центре.
10-14. Ротор ультрацентрифуги радиусом а = 0,2 м заполнен ато-
марным хлором при температуре Т = 3 кК. Хлор состоит из двух
изотопов: ^Cl и S6CI. Доля атомов изотопа 3?С1 составляет 0,25. Оп-
ределить доли и w' атомов того и другого изотопов вблизи сте-
нок ротора, если ротору сообщить угловую скорость в> вращения,
равную 104 рад/с.
Распределение молекул
по скоростям и импульсам
10-15. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести
формулу наиболее вероятной скорости vB.
10-16. Используя функцию распределения молекул по скоростям,
получить функцию, выражающую распределение молекул по отно-
сительным скоростям и {и = о/ов).
10-17. Какова вероятность W того, что данная молекула идеально-
го газа имеет скорость, отличную от 1/2vB не более чем на 1%?
10-18. Найти вероятность ТГ того, что данная молекула идеального
газа имеет скорость, отличную от 2пв не более чем на 1%.
10-19. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывес-
ти формулу, определяющую долю w молекул, скорости v которых мно-
го меньше наиболее вероятной скорости vB.
10-20. Определить относительное число w молекул идеального газа,
скорости которых заключены в пределах от нуля до одной сотой наи-
более вероятной скорости иа.
10-21. Зная функцию распределения молекул по скоростям, опреде-
лить среднюю арифметическую скорость <о> молекул.
10-22. По функции распределения молекул по скоростям определит?
среднюю квадратичную скорость
126
10-23. Определить, какая из двух средних величия, <Zllv> turn
1КяС>, больше, в иайти их отношение k.
10-24. Распределение молекул по скоростям в молекулярных пучках
при эффузионном истечении* отличается: от максвелловского и ваге-
ет вид I (u)dv — Определить из условия норми-
ровки коэффициент С.
10-25. Зная функцию распределения молекул но скоростям в неио-
тором молекулярном пучке [ (и) = найти выра-
жения для: 1) наиболее вероятной скорости ов; 2) средней арифме-
тической скорости <у>.
10-26. Водород находится при нормальных условиях и занимает объ-
ем V = 1 см3. Определить число N молекул в. этом объеме, обладаю-
щих скоростями, меньшими некоторого значения пЮах = 1 м/с.
16-27. Вывести формулу наиболее вероятного импульса рв молекул
идеального газа.
10-28. Найти число N молекул идеального, газа, которые имеют им-
пульс, значение которого точно равно наиболее вероятному значению
Рв-
10-29. Вывести формулу, определяющую средмее значение компонен-
ты импульса ~<Zpx> молекул идеального газа.
10-30. На сколько процентов изменится наиболее вероятное значение
рв импульса молекул идеального газа при изменении температуры на
один процент?
10-31. Найти выражение для импульса молекул идеального газа, энер-
гии которых равны наиболее вероятному значению энергии.
Распределение молекул
по кинетическим энергиям
10-32. Найти выражение средней кинетической, энергии <еи> по-
ступательного движения-молекул. Функцию распределения молекул
по энергиям, считать известной
10-33. Преобразовать формулу распределения молекул по энергиям
в формулу"; выражающую распределение молекул по относительным
энергиям ш (to = £n/<eB>), где еп — кинетическая энергия и <еп>—
-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
10-34. Определить долю w молекул идеального газа» энергии которых
отличаются от средней энергии <Геп> поступательного движения мо-
лекул при той же температуре не более чем на Т%.
10-35. Вывести формулу, определяющую долю ш молекул, энергия
е которых много меньше kT. Функцию распределения. молекул по
энергиям считать известной.
10-36. Определить долю т молекул, энергия которых заключена в
пределах от ех = О до е2 = 0,01 /гТ.
* Эффузионным называется истечение газов через отверстия, малые по
сравнению с длиной свободного пробега молекулы,
> 127
10-37. Число молекул, энергия которых заключена в пределах от ну-
ля до некоторого значения е, составляет 0,1 % от общего числа моле-
кул. Определить величину в в долях КТ..
10-38. Считая функцию распределения молекул по энергиям извест-
ной, вывести формулу, определяющую) долю w молекул, энергия е
которых много больше энергии теплового движения молекул.
10-89. Число молекул, энергия которых выше некоторого значения
еи составляет 0,1 от общего числа молекул. Определить величину е,
в долях kT, считая, что kT.
Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить гра-
фически.
10-40. Используя функцию распределения-молекул по энергиям, оп-
ределить наиболее вероятное значение энергии гв.
10-41. Преобразовать функцию f (e)de распределения молекул по
кинетическим энергиям в функцию / (0)dO распределения молекул
по относительным кинетическим энергиям (где 0 — ъ!е.ъ, ев — наибо-
лее вероятное значение кинетической энергии молекул).
10-42. Найти относительное число w молекул идеального газа, ки-
нетические энергии которых отличаются от наиболее вероятного вле-
чения ев энергии не более чем на 1%.
10-43. Определить относительное число w молекул идеального газа,
кинетические энергии которых заключены в пределах от нуля до зна-
чения, равного 0,01 ев (ев—наиболее вероятное значение кинети-
ческой энергии молекул).
10-44. Найти выражение для кинетической энергии молекул идеаль-
ного газа, импульсы которых имеют наиболее вероятное значение рв.
10-45. Во сколько раз изменится значение максимума функции / (е)
распределения молекул идеального газа по энергиям, если темпера-
тура Т газа увеличится в два раза? Решение пояснить графиком
10-46. Определить, во сколько раз средняя кинетическая энергия
<еп> поступательного движения молекул идеального газа отлича-
ется от наиболее вероятного значения е(, кинетической энергии посту-
пательного движения при той же температуре.
Длина свободного пробега
и число столкновение молекул-
10-47. Найти среднюю длину свободного пробега </> молекул во-
дорода при давлении р = 0,1 Па и температуре Т — 100 К.'
10-48. При каком давлении р средняя длина свободного пробега <7>
молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?
10-49. Баллон вместимостью V = 10 л содержит водород массой m =
= 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега <7> молекул.
10-50. Можно ли считать вакуум с давлением р = 100 мкПа высоким,
если он создан в колбе диаметром d = 20 см, содержащей азот при
температуре Т = 280 К?
10-51. Определить плотность р разреженного водорода, если средняя
длина свободного пробега <7> молекул равна 1 см.
128
10-52. Найти среднее число <г> столкновений, испытываемых в те-
чение I — 1 с молекулой кислорода при нормальных условиях.
10-53. Найти число N всех соударений, которые происходят в тече-
ние i = 1 с между всеми' молекулами водорода, занимающего при
нормальных условиях объем V => 1 мм3.
10-54. В газоразрядной трубке находится неон при температуре Т =
— 300 К и давлении р = 1 Па. Найти число N атомов неона, ударяю-
щихся за время Д/ = 1 со катод, имеющий форму диска площадью
S = 1 смг.
10-55. Найти среднюю продолжительность свободного пробега а
молекул кислорода при температуре 7 = 250 К и давлении р
= 100 Па.
10-56 Найти зависимость средней длины свободного пробега </>
молекул идеального газа от давления р при следующих процевсах:
1) изохорическом, 2) изотермическом Изобразить эти зависимости
на графиках.
10-57 Найти зависимость средней длины свободного пробега </>
молекул идеального газа от температуры Т при следующих процессах!
1) изохорическом: 2) изобарическом Изобразить эти зависимости
на г-рафиках
10-58 Найти зависимость среднего числа столкновений моле-
кулы идеального газа в 1 с от давления р при следующих процессах!
1) изохорическом: 2) изотермическом Изобразить эти зависимости
на графиках
10-59 Найги зависимость среднего числа столкновений <г>> моле-
кулы идеального газа в 1 от температуры 7 при следующих процес-
сах 1) изохорическом; 2) изобарическом Изобразить эти зависимо-
сти на графиках.
Явления переноса: диффузия,
вязкость, теплопроводность
10-60. Средняя длина свободного пробега </> атомов гелия при нор-
мальных условиях равна 180 нм Определить диффузию D гелия.
10-61. Диффузия D кислорода при температуре / = 0°С равна
0,19 см2/с. Определить среднюю длину свободного пробега <7> мо-
лекул кислорода
10-62 Вычислить диффузию D азота: I) при нормальных условиях;
2) при давлении р = 100 Па и температуре 7 = 300 К.
10-63. Определить, во сколько раз отличается диффузия Dx газооб-
разного водорода от диффузии О2 газообразного кислорода, если оба
газа находятся при одинаковых условиях.
10-64. Определить зависимость диффузии D от температуры 7 при
следующих процессах: 1) изобарическом, 2) изохорическом.
10-65. Определить зависимость диффузии D от давления р при еле
дующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорическом.
10-66. Вычислить динамическую вязкость п кислорода при нормаль-
ных условиях.
10-67. Найти среднюю длину свободного пробега </> молекул азо
та при условии, что его динамическая вязкость ц = 17 мкПа • с.
Ь Зак. 94
129
10-68. Найти динамическую вязкость г; гелия при нормальных усло-
виях, если диффузия D при тех же условиях равна 1,06 • 10-4 м2/с.
10-69. Определить зависимость динамической вязкости ц от темпе-
ратуры Т при- следующих процессах: 1) изобарическом; 2) изохори-
ческом. Изобразить эти зависимости на графиках.
10-70. Определить зависимость динамической вязкости т] от давления
р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорическом.
Изобразить эти зависимости на графиках.
10-71. Цилиндр радиусом RL = 10 см и длиной I — 30 см расположен
внутри цилиндра радиусом /?2 = 10,5 см так, что оси обоих цилинд-
ров совпадают. Малый цилиндр неподвижен, большой вращается от-
носительно геометрической оси с частотой п = 15 с-1. Динамическая
вязкость т) газа, в котором находятся цилиндры, равна 8,5 мкПа - с.
Определить: 1) касательную силу Fx, действующую на поверх-
ность внутреннего цилиндра площадью 8 — 1 ме; 2) вращающий мо-
мент М, действующий на этот цилиндр.
10-72. Два горизонтальных диска радиусами R = 20 см расположены
друг над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d между плос-
костями дисков равно 0,5 см Верхний диск неподвижен, нижний вра-
щается относительно геометрической оси с частотой п = 10 с-1. Най-
ти вращающий момент Л1, действующий на верхний диск. Динамичес-
кая вязкость т] воздуха, в котором находятся диски, равна 17,2 мкПа-о.
10-73. В ультраразреженном азоте, находящемся под давлением р —
« 1 мПа и при температуре Т = 300 К, движутся друг относитель-
но друга две параллельные пластины со скоростью и — 1 м/с. Рас-
стояние между пластинами не .изменяется и много меньше средней
длины свободного пробега молекул. Определить силу F внутреннего
трения, действующую на поверхность пластин площадью 8=1 м2.
10-74. Вычислить теплопроводность X гелия при нормальных усло-
виях.
10-75. В приближенной теории явлений переноса получается соотно-
шение ЙЛ) = Су. Более строгая теория приводит к значению 7i/tj ='
«= Kcv, где К — безразмерный коэффициент, равный (9у — 5)/4 (у —
показатель адиабаты4). Найти значения К, вычисленные по приве-
денной формуле и по экспериментальным данным, приведенным в
табл. 14, для следующих газов: 1) аргона; 2) водорода; 3) кислоро-
да; 4) паров воды.
10-76. При нормальных условиях динамическая вязкость Т| воздуха
равна 17,2 мкПа • с. Найти для тех же условий теплопроводность X
воздуха Значение К вычислить по формуле, приведенной в задаче
10-75.
10-77. Найти зависимость теплопроводности X от. температуры Т при
следующих процессах: 1) изобарическом; 2) изохорическом Изобра-
вить эти зависимости на графиках.
10-78. Найти зависимость теплопроводности ?. от давления р при сле-
дующих процессах: 1) изотермическом, 2) изохорическом. Йзобра-
бразить эти зависимости на графиках.
. 10-79. Пространство между двумя большими параллельными плас-
тинами, расстояние d между которыми равно 5 мм, заполнено гелием,
130
Температура 7\ одной пластины поддерживается равной 290 К» дру-
гой — 7\ = 310 К. Вычислить плотность теплового потока | q | . Рао-
четы выполнить для двух случаев, когда давление р гелия равно:
1) 0,1 МПа; 2) 1 МПа.
термодинамики”" | Основные формулы
L Связь между молярной (Сш) удельной И) «ешгоемжвстш гам:
Ст = сМ)
где М — молярная масса газа.
2. Молярные теплоемкости* ара постоянном объем в помааямв лавмвм
соответственно равны:
Cp=:/?/2j Gp~(l+^RH,
где i — число степеней свободы; R — молярная газовая жостожяжал.
3. Удельные теплоемкости при постоянном объема я жоотояияон давлапв
соответственно равны:
I R >4-2 R~
'v~ > М * в₽~ 2 М.'
4. Уравнение Р. Майера
Gp—Cy=*R.
5. Показатель адиабаты
y = tp/sv, или y=Cp/CPi или
6. Внутренний энергия идеального газа
О = М<в>, или U = vCv7j
где <в>—средняя кинетическая энергия молекулы; N — число молекул гази*
v — количество вещества
7. Работа; связанная с изменением объема газа; в общем случае вычисляется
по формуле
к,
Д = У pdK
v,
где Vi -г начальный объем газа; Р2 — его конечный объем.
Работа газа при изобарическом процессе (р — const)
А = р (V, - УД
при изотермическом процессе (7" = const)
А = (т/Al) RT In (Vs/Vj;
при адиабатическом процессе
Л = ——Т2), или А—
м v у— 1
М .fJiy-’
М [ \vj
где Ti — начальная температура газа; Ts — его конечная температура
* Здесь и далее в целях упрощения записи в индексах обозначений моляр-
ной теплоемкости прн постоянных давлении и объеме букву m будем опускать
б*
131
8. Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатическом
процессе)
pV' = const
9. Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний
газа при адиабатическом процессе:
р2 ( у. \? га / vt y~i Тг ( Рг Yv-1)Zv
Pi \ \ У? / T'i \ Pi /
10. Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде
Q = ЛУ+ Д;
✓
где Q — количество теплоты; сообщенное газу; Д(7 —изменение его внутрен-
ней энергии; А — работа, совершаемая газом против внешних сил
Первое начало термодинамики при изобариче с к в м процессе
Q«=A(7-M = — Cv ДГ+— Ш = —СрЛГ,
М v М Л1 ₽
при изохорическ <^м процессе (А = 0)
(? = Д(7 = (m/M) CVAT;
при изотермическом процессе (Л 17 = 0)
Q = А = (m/M) RT In (Vj/VJj
при адиабатическом процессе (Q = 0) ;
4 = — Д77 = - (m/M) CVAT.
11. Термический коэффициент полезного действия (к. п. д.) пикла в общем
случае
о = (Qi - Q8)'Qi,
где Qt — количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревате-
ля; Qe — количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.
К. и. д. цикла Карно
О = (Qi — Qe)/Qi; или я = (Тт — T^/Tfj
где 7"i — температура нагревателя; 7\ — температура охладителя.
12. Изменение энтропии
А
где А и б — пределы интегрирования, соответствующие начальному и конеч-
ному состояниям системы Так как процесс равновесный, то интегрирование
проводится по любому пути.
13. Формула Больцмана
S = k In И7.
где S — энтропия системы; W — термодинамическая вероятность ее состояния!
k — постоянная Больцмана.
132
| Примеры решения задач
1. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода ври постоян-
ных объеме (бу) и давлении (ср), принимая втигазы м идеальные.
Решение. Удельные теплоемкости идеальных тазов выражаются фор-
мулами
(1) н *
Для неона (одноатомный газ) — 3, Л1, = 20 • 10“* кг/Ьюль.
Подставив в формулы (1) и (2) значения ilt Мг и R и вронавеая
вычисления, найдем:
t-Vi ” 624 *Дж/ (кг • К); сР1 = 1,04 кДж / (кг • К).
Для водорода (двухатомный газ) it => 5, Mt ==• 2 • 1О~* кг/мояь.
Вычисление но формулам (1) и (2) дает следующие значения удель-
ных теплоемкостей водорода;
cys = 10,4 кДж/ (кг • К); вр1 = 14,6 кДж/ (кг • К).
2. Вычислить удельные теплоемкости су и ир смеси неона и водорода.
Массовые доли газов соответственно равны w, = 0,8 и и», •» 0,2. Зна-
чения удельных теплоемкостей газов взять из примера 1.
Решение., Удельную теплоемкость смеси нри постоянном объеме «г
найдем из следующих рассуждений. Теплоту, необходимую для аа-
гревания смеси на ДТ, выразим двумя соотношениями:
Q — а <т, 4- те)Л1, (1)
где су — удельная теплоемкость смеси, mt - масса неона, тя — Маа-
са водорода, и
- Q = (су^п, + су^^ДТ, (2)
где су, и суг — удельные теплоемкости небна и водорода соответст-
венно
Приравняв правые части выражений (1) и (2) и разделив оис части
полученного равенства на Д'Г, найдем
су (т, + тв) — + cys/ne,
откуда
Су = Су | ----Су2------------«
тл -j-m m, 4-т?
Отношения tt>, = m,/ (mi + me) и o>8 = mt I {tn1 + m2) выражают
массовые доли соответственно неона и водорода. С учетом этих обозна-
чений последняя формула примет вид
Су — cvtWj + еуги?2.
Подставив в эту формулу числовые значения величин, найдем
су — 2,58 кДж/ (кг • К).
133
Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления >
удельной теплоемости смеси при постоянном давлении:
ср = cplwt + ср2даг.
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
Ср = 3,73 кДж/ (кг • К).
3. Определить количество теплоты, поглощаемой водородом массой
т = 0,2 кг при нагревании его от температуры /, = 0° С до темпера-
туры /9 = 100° С при постоянном давлении. Найти также изменение
внутренней энергии газа и совершаемую им работу.
Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарическом
нагревании, определяется По формула
Q = тСрДГ, (1)
где т — масса нагреваемого газа; ср — его удельная теплоемкость
-при постоянном давлении; ДТ — изменение температуры газа
Как известно, св = ii? —. Подставив это
р 9 М
мулу (1), получим
выражение ср в фор-
(2=/п_£±1Лдг.
2 М
Произведя вычисления по этой формуле,
Q = 291 кДж
Внутренняя энергия выражается формулой
вательно, изменение внутренней энергии
— 21 R&T
2 М
найдем
U = —RT, следи-
2 М
Д£7 =
После подстановки в эту формулу числовых значений величин и
вычислений получим
Д С/ = 208 кДж.
Работу расширения газа определим по формуле, выражающей пер-
вое начало термодинамики: Q = Д(/ + А, откуда
А = Q — Д(/.
Подставив значения Q и Д(/, найдем
А = 83 кДж.
4. Кислород занимает объем = 1 м3 и находится под давлением
= 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объе-
ма Ув = 3 м2, а затем при постоянном объеме до давления р2 =
= 500 кПа Построить график процесса и найти: 1) изменение Д£/
внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу Д; 3) количест-
во теплоты Q, переданное газу.
134
А
Pt
Рио, 11.1
как
ДЛЯ
Решение. Построим график процесса (рис. 11.1). На графике точками ,
1, 2, 3 обозначены состояния газа* характеризуемые параметрами
(Pn 7\), (ри 7'2), (р„ v2, Т8).
1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состоя-
ния I в состояние 3 выражается формулой
Д(7 = cvm&T,
где су — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; т—
масса газа; Д7 — разность температур, соответствующих конечному
3 и начальному 1 состояниям, т. е. ДТ’=Т8—Tt.
Так как cv — -~р, где М — молярная масса
газа, то
Д^-^^/ад-Л).' (1)
Температуры Т, и Ts выразим из уравне-
ния Менделеева—Клапейрона (pV RT)t
М
т ____________М/н
1 1 — —-— И i я — " •
mR mR
С учетом этого равенство (1) перепишем в виде
Д1У = (i/2) (p,Ve - pjV,).
Подставим сюда значения величин (учтем, что
двухатомного газа, i = 5) и произведем вычисления:
ДО = 3,25 МДж.
2. Полная работа, совершаемая газом, равна'' А = Аг + А& где
А1 — работа на участке 1-2, А2 — работа на участке 2-3.
На участке 1-2 давление постоянно (р = const). Работа в этом слу-
чае выражается формулой Л, = Р1ДИ — рх (V,— VJ. На участке
2-3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом
участке равна нулю (Аъ = 0). Таким образом.
А = А, = р, (Уг - V\)
Подставим в эту формулу значения физических величин и произ-
ведем - вычисления:
А = 0,4 МДж.
3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты
Q, переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и из-
менению ДО внутренней энергии:
Q = А + ДО, или Q = 3,65 МДж.
Б. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
•V = 1 моль, находится под давлением Pi = 250 кПа и занимает объем
Vi — 10 л. Сначала газ изохорически нагревают до температуры Ts =
135
Рис. П.8
= 400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первона-
чального давления. После этого путем изобарического сжатия воз-
вращают газ в начальное состояние. Определить термический к. п. д.
г; цикла.
Решение. Для наглядности построим сначала график цикла, который
состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р, V этот
цикл имеет вид, представленный на
рио. 11.2. Характерные точки цикла
обозначим 1, 2, 3
Термический к п. д. любого' цикла
определяется выражением
Ч = (Q| — Qa)/Qi, или Т) = 1 — Qz/Qu
(1)
где Qi — количество теплоты, получен-
ное газом за цикл от нагревателя;
Qs — количество теплоты, отданное га-
зом за цикл охладителю.
Заметим, что разность количеств
теплоты Q] — Q2 равна работе А, совер
шаемой газом за цикл. Эта работа на
V (рио, 11.2) изображается площадью
цикла (площадь цикла заштрихована).
Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Qj на двух
участках: Qva на участке 1-2 (изохорический процесс) и Q2.s на учас-
тке 2-3 (изотермический процесс). Таким образом,
Qi — Qi-? + Qz-я
Количество теплоты, полученное газом при изохорическом процессе,
равно
Qi-г = Си v (Pt — Pi),
где Су — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, v —
количество вещества. Температуру Tt начального состояния газа най-
дем, воспользовавшись уравнением* Клапейрона — Менделеева:
7t=-^±L«300 К. (2)
Количество теплоты, полученное газом при изотермическом про-
цессе, равно
Qs-s = vRP?ln (vyK),
графике в координатах р,
где Vs — объем, занимаемый газом при температуре 7,и давлении рл
(точка 3 на графике».
На участке 3-1 газ отдает количество теплоты Q2, равное
Q, = Q3., = Cpv (Tt - Ру),
где Cp — молярная теплоемкость газа при изобарическом процессе.
13Ь
Поставим найденные значения и Q2 в формулу (1):
у, __ д________vCy — Т'i) •___
vCv(T> — Tj + vRr.lntV /1/0 '
В. полученном выражении заменим отношение объемов V2/Vt, соглас-
но- закону Гей-Люссака, отношением температур (VjVi = Ttf7t)
и выразим Су и Ср через число степеней свободы молекулы (Cv .=»
= tR/2, Cv = (i + 2) /?/2]. Тогда после сокращения на v и R/2 по-
лучим
>+2)(Г2-7\)
'(Л — Л)+2Г 1п(Г,,/Т1)'
Подставив значения i, Tlt 7, и R и произведя вычисления, найдем
ц = 0,041 = 4,1%.
6. В цилиндре под поршнем находится водород массой т = 0,02 кг
при температуре 7\ — 300 К. Водород начал расширяться адиабати-
чески, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермиче-
ски, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру
Т» в конце адиабатического расширения и работу А, совершенную та-
зом. Изобразить процесс графически
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический
процесс, связаны между собой соотношением
т. / ki \у-1
т, ~~ \ V J •
где ? — показатель .адиабаты (для водорода как двухатомного газа
V=l,4)
- Отсюда получаем выражение- для конечной гемпературы Tgi
Подставляя числовые значения заданных величин, находим
7'г = 300-j1'4-' К =300(-L)° К-
Прологарифмируем обе части полученного выражения:
lg Гв = 1g 300 + 0,4 (1g 1 — 1g 5) = 2,477 -Ь 0,4 (— 0,699) =
- = 2,477 — 0,280 = 2,197
Зная 1g Та, по таблицам антилогарифмов находим искомое значе-
ние Tt:
Ts = 157 К.
Работа Лигаза при адиабатическом расширении определяется па
формуле
13Т
Подставив сюда числовые значения ве-
личин, после вычислений получим
Л1 = 29,8 кДж.
Работа A s газа при изотермическом
сжатии выражается формулой
Аг == RT, (mlM) In (VJVJ.
Произведя вычисления по этой фор-
муле, найдем
Дд =• — 21 кДж.
Знак минус показывает, что при сжа-
тии газа работа совершена внешними си-
лами.
Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах,
А « Лх 4- Л, ~ 29,8 кДж + (— 21 кДж) *= 8,8 кДж.
График процесса приведен на рис. 11.3.
7. Нагреватель тепловой машины, работающей по обратимому циклу
Карно,, имеет температуру = 200° С. Определить температуру Tt
охладителя, если при получении 'от нагревателя количества теплоты
Qi « 1 Дж машина совершает работу А = 0,4 Дж? Потери на тре-
ние и теплоотдачу не учитывать.
Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выражение
для термического к. п. д машины, работающей по циклу Карно,
Ч — (71— T2)/7’i- Отсюда
Тъ = 7t (1 - Ч). (1)
Термический к. п. д. тепловой машины выражает отношение коли-
чества теплоты, которое превращено в механическую работу Л, к ко-
личеству теплоты ft, которое получено рабочим телом тепловой ма-
шины из внешней среды (от нагревателя), т. е. г] = Л/ft. Подставив
это выражение в формулу (1), найдем
7г = Т, (1 - Л/ft). (2)
Учтя, что 7j — 473 К, после вычисления по формуле (2) получим
Тг = 284 К.
8. Найти изменение AS энтропии при нагревании воды массой m =*
100 г от температуры = 0° С до температуры ts — 100° С и по-
следующем превращении воды в пар той же температуры.
Решение. Найдем отдельно изменение энтропии AS' при нагревании
воды и изменение энтропии AS" при превращении ее в пар. Полное
изменение энтропии выразится суммой AS' и AS".
Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой
2
AS==S2—Sx = (1)
о
133
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого
тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где т — мдсса
тела; в — его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в
равенство (1), найдем формулу для вычисления изменения энтровин
при нагревании воды;
г,
Вынесем за знак интеграла постоянные величина и нровввфем
интегрирование, тогда получим
AS' =* тс In (Ta/rj.
После вычислений найдем
AS' = 132 Дж/К.
При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время пре-
вращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т
выносится за знак интеграла Вычислив интеграл, найдем
2
, J (2)
где Q — количество теплоту, переданное при превращения нагретой
воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (2) выражение количества гшлотв Q
"• Lm, где 1 — удельная теплота парообразования, получим
. СТ
Произведя вычисления по формуле (3), найдем
AS" = 605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем
превращении ее в пар
AS = AS' + AS" 737 Дж/К.
0. Определить изменение AS энтропии при изотермическом раещире-
йии кислорода массой т — 10 г от объема V'1 « 25 я до объема V, =*
~ 100 л.
Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении
Г do
•нтропин AS = S. — S, = J — температуру выносят за знак инте-
грала. Выполнив это, получим
2
AS=-y-fdQ = ~« (If
13Э
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому на-
чалу термодинамики: Q = At/ + А. Для изотермического процесса
= О, следовательно,
Q = А, ' (2)
а работа А для этого процесса определяется по формуле
А = (т/М) RT In (Va/VJ ' (3)
С учетом (2) и (3) равенство (1)- примет вид
AS = (т/М) R In (Va/V,). (4)
Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим
AS = 3,60 Дж/К.
Задачи
Теплоемкость идеального газа
11-1. Вычислить удельные теплоемкости су и ир газов: I) гелия;
2) водорода; 3) углекислого газа.
11-2. Разность удельных теплоемкостей ср—ty некоторого двух-
атомного газа равна 260 Дж/(кг-К). Найти молярную массу /Л га-
за и - его удельные теплоемкости су и ср
11-3.-Каковы удельные теплоемкости с-у и ср смеси газов, содер-
жащей кислород массой т, = 10 г и азот массой т2 = 20 г?
11-4. Определить' удельную теплоемкость t\ смеси газов, содержа-
щей — 5 л водорода и = 3 л гелия. Газы находятся при оди-
наковых условиях.
11-б. Определить удельную теплоемкость tp смеси кислорода и азо-
та, если количество вещества* Vj первого компонента равно 2 моль,
а количество вещества v2 второго равнсг 4 моль,
11-6. В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную теп-
лоемкость Су смеси этих газов,- если массовые доли* аргона (w^
и азота (ш») одинаковы и равны w = 0,5.
11-7. Смесь газов состоит-из хлора и криптона, взятых при одинако-
вых условиях и в равных объемах. Определить удельную теплоемкость
ср смеси.
11-8. Определить удельную теплоемкость су смеси ксенона и кисло-
рода, .если количества вещества* газов в смеси одинаковы и равны v.
11-9. Найти показатель адиабаты у для смеси газов, содержащей
гелий массой nij = 10 г и водород массой та = 4 г.
11-10. Смесь газов состоит из аргона и азота, взятых при одинаковых
условиях и в одинаковых объемах. Определить показатель адиабаты
у такой смеси. '
* См. сноску на с. 109.
140
11-11. Найти показатель адиабаты у смеси водорода и неона, если
массовые доли* обоих газов в смеси одинаковы и равны w = 0,6.
11-12. Найти показатель адиабаты у смеси газов, содержащей кисло-
род и аргон, если количества вещества* того и другого газа в смеси
одинаковы и равны v.
11-13. Степень диссоциации ** а газообразного водорода равна 0,6.
Найти удельную теплоемкость ёу такого частично диссоциировав-
шего водорода.
11-14. Определить показатель адиабаты у частично диссоциировав-
шего газообразного азота, степень диссоциации а которого равна 0,4.
11-15. Определить степень диссоциации а газообразного хлора, МЛЯ
показатель адиабаты у такого частично диссоциировавшего rasa ра-
вен 1,55.
Первое начало термодинамика
11-16. Азот массой т = 5 кг, нагретый на ДГ = 150 К, сохранил
неизменный объем V. Найти: 1) количество теплоты Q, сообщенное
газу; 2) изменение ДО/ внутренней энергии; 3) совершенную газом
работу А.
41-17. Водород занимает объем V\ = 10 м3 при давлении pt »
«= 100 кПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления pt *
«= 300 кПа. Определить: 1) изменение ДО/ внутренней энергии rasa;
2) работу А, совершаемую газом; 3) количество теплоты Q, сообщен-
ное газу.
11-18. При изохорическом нагревании кислорода объемом V « 50 л
давление газа изменилось на Др == 0,5 МПа. Найти количество тепло-
ты Q, сообщенное газу.
11-19. Баллон объемом V = 20 л содержит водород при температуре
Т = 300 К под давлением р = 0,4 МПа. Каковы будут температура
7\ и давление ръ если газу сообщить количество теплоты Q =• 6 кДж?
11-20. Кислород при неизменном давлении р — 80 кПа нагреваетвя.
Его объем увеличивается от = I мя до = 3 м3. Определить:
1) изменение ДО/ внутренней энергии кислорода; 2) работу А, совер-
шенную им при расширении; 3) количество теплоты Q, сообщенное
газу.
11-21. Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему было
сообщено количество теплоты Q — 21 кДж Определить работу А,
которую совершил при этом газ, и изменение ДО/его внутренней энер-
гии.
11-22. Кислород массой т = 2 кг занимает объем = 1 мэ н на-
ходится под давлением рг — 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при по-
стоянном давлении до объема У2 = Зм3,а затем при постоянном объе-
ме до давления — 0,5 МПа Найти; 1) изменение ДО/ внутренней
энергии газа; 2) совершенную им работу А; 3) количество теплоты
Q, переданное газу. Построить график процесса.
* См. сноску на с. 109..
** См. задачу 9-11.
11-23. Гелии массой т « 1 г был нагрет на ДГ =* 100 К. при постоян-
ном давлении р. Определить: Д) количество теплоты Q, переданное
гаау; 2) работу А расширения; 3) приращение AU внутренней энер-
гии газа.
11-24. Водород массой т *= 4 г был нагрет на ДГ =* 10 К. при по-
" стоявном давлении. Определить работу А расширения газа.
11-26. Газ, занимавший объем V - 12 л под давлением р = 100 кПа,
tag изобарически нагрет от Т\ =» 300 К до Га — 400 К. Определить
работу А расширения газа.
11-98. Какая доля количества теплоты подводимого к идеаль-
Иому газу при изобарическом процессе, расходуется на увеличение
Ду внутренней энергии газа и какаяЛдоля и>2—на работу А расши-
рения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двух-
атомный; 3) многоатомный.
11-27. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Определить
рабрту А расширения, если пару передано количество теплоты Q =*
* 4 кДж.
11-28. На нагревание кислорода массой т = 160 г на ДГ 12 К
было затрачено количество теплоты Q = 1,76 кДж. Как протекал
процесс: при постоянном объеме или постоянном давлении?
11-29. Какая работа А совершается при изотермическом расширении
водорода массой т = 5 г, взятого при температуре Т — 290 К, если
объем газа увеличивается в три раза?
11-30. Азот массой т — 200 г расширяется изотермически при тем-
пературе Т = 280 К, причем объем газа увеличивается в два раза.
Найти: 1) изменение Д£/ внутренней энергии газа; 2) совершенную
при расширении газа работу А; 2) количество теплоты Q, полученное
газом.
11-31. В цилиндре под поршнем находится азот массой т = 0,6 кг,
занимающий объем = 1,2 м3 при температуре Т 560 К. В ре-
зультате подвода теплоты газ расширился и занял объем У2 = 4,2 м3,
Йичем температура осталась неизменной. Найти; 1) изменение Ди
утренней энергии газа; 2) совершенную им работу А; 3) количест-
во теплоты Q, сообщенное газу.
11-32. Водород массой т = 10 г нагрели на ДГ = 200 К, причем
гаэу было передано количество теплоты Q = 40 кДж. Найти изменение
Ау внутренней энергии водорода и совершенную им работу А.
11-33. При изотермическом расширении водорода массой от « I г,
имевшего температуру Т — 280 К, объем газа увеличился в три раза.
Определить работу А расширения газа.
11-34. Азот, занимавший объем Ух = Юл под давлением р1 = 0,2МПа,
изотермически расширился до объема V2 = 28 л. Определить работу
А расширения газа.
11-35. При изотермическом расширении кислорода, содержавшего
количество вещества v = 1 моль и имевшего температуру Г = 300 К,
газу было передано количество теплоты Q =» 2 кДж. Во сколько раз
увеличился объем газа?
И2
11 -36. Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой т =*
= 1 г, взятый при температуре Т = 280 К под давлением Р\ «= 0,1
МПа, изотермически сжать до давления ра == I МПа?
11 -37. Расширяясь, водород совершил работу А = 6 кДж. Определить
количество теплоты Q, подведенное к газу если процесс протекал:
1) изобарически; 2) изотермически.
11-38. Автомобильная шина накачена до давления рх “ 220 кПа при
температуре 7\ = 290 К Во время движения она нагрелась до темпе-
ратуры Tt = 330 К и лопнула. Считая процесс, происходящий посла
повреждения шины, адиабатическим, определить изменение темпера-
туры АТ вышедшего из нее воздуха. Внешнее давление р0 воздуха рва-
но 100 кПа.
11-39. При адиабатическом сжатии кислорода массой т » 1 «г со-
вершена работа А « 100 кДж Определить конечную температуру Та
газа, если до сжатия кислород находился при температуре 7\ = ЭГО К.
11-40. При адиабатическом расширении кислорода с начальной тем-
пературой Тх 320 К внутренняя энергия уменьшилась на Av =*•
= 8,4 кДж, а его объем увеличился в п = 10 раз. Определить тесу
т кислорода.
11-41. Водород при нормальных условиях имел объем = 100 м*.
Найти изменение &U внутренней энергии газа при его адиабатическом
расширении до объема == 150 м8.
11 -42. В цилиндре под поршнем находится водород массой т
= 0,02 кг при температуре 7\ = 300 К Водород сначала расширился
адиабатически, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изо-
термически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти темпе-
ратуру Т, в конце адиабатического расширения и полную работу А,
совершенную газом. Изобразить процесс графически.
11-43. При адиабатическом сжатии кислорода массой т = 20 г его
внутренняя энергия увеличилась на &.U = 8 кДж и температура по-
высилась до Та = 900 К Найти: 1) повышение температуры АТ;
2) конечное давление газа р8, если начальное давление р, — 200 кПа.
11-44. Воздух, занимавший объем = 10 л при давлении рх —
= 100 кПа, был адиабатически ежат до объема Vj = 1 л Под каким
давлением ps находится воздух после сжатия?
11 -45. Горючая смесь в двигателе дизеля воспламеняется при темпера-
туре Та = 1,1 кК Начальная температура смеси Т1 = 350К. Во
сколько раз нужно’ уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы она вос-
пламенилась? Сжатие считать адиабатическим Показатель адиабаты
у для смеси принять равным 1,4. ♦
11-46. Углекислый газ, находившийся под давлением рл = 10Q кПа
при температуре 1\ = 29(; К, был адиабатически сжат до давления
р2 = 200 кПа какова температура Т5 газа после сжатия?
11-47. При адиабатическом сжатии газа его объем уменьшился л *=
«= 10 раз, а давление увеличилось в k — 21,4 раза Определить отно-
шение ср/су теплоем'кбстей газа. •
11-48. Из баллона, содержащего водород под давлением ру «1 МПа
при температуре Тг = 300 К, выпустили половину находившегося
143
в нем газа. Определить конечную температуру Та и давление ра, счи-
тая процесс- адиабатическим.
11-49. Воздух, находившийся под давлением pt = 100 кПа, был адиа-
батически сжат до давления рй = 1 ЛШа Найти давление р8, которое
установится, когда сжатый воздух, ^сохраняя объем неизменным, ох-
ладится до первоначальной температуры.
11-50. Определить работу А адиабатического расширения водорода
массой т « 4 г, если температура газа понизилась на АТ = 10 К.
11-81. Азот массой m == 2 г, имевший температуру Tj = 300 К, был
адиабатически сжат так, что его объем уменьшился в л - 10 раз.
Определить конечную температуру Та газа и работу А сжатия.
11-52. Кислород, занимавший объем V, = 1 л под давлением =•
в 1,2 МПа, адиабатически расширился до объема Ув Юл. Опреде-
лить работу А расширения газа.
Круговые процессы.
Термически! к. п. д. Цикл Карно
- А
цоа
' 18
18
И
a
л.
11-53. В результате кругового процесса газ совершил работу А
1 Дж и передал охладителю количество теплоты QB *“ 4,2 Дж.
Определить термический к. п. д. ») цикла.
11-54. Совершая замкнутый процесс, газ получил от нагревателя ко-
личество теплоты Qi =» 4 кДж. Определить работу А газа при про-
текании цикла, если его термический
к. п. д. т] -= 0,1.
11-55. Идеальный двухатомный газ, содер-
жащий количество вещества v 1 моль,
совершает цикл, состоящий Из двух изо-
хор и двух изобар Наименьший объем
Vmin “ 10 л, наибольший = 20 л,
наименьшее давление р^ ™ 246 кПа,
наибольшее ршах а 410 кПа. Построить
график цикла. Определить температуру Т
О
з
Рис. 11.4 газа для характерных точек цикла и его
термический к. п. д. т>.
11-56. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещест-
ва v e 1 кмоль, совершает замкнутый цикл, график которого изобра-
жен на рис. 11.4. Определить: 1) количество теплоты Qlt полученное
от нагревателя; 2) количество теплоты Qa, переданное охладителю;
3) работу А, совершаемую газом за цикл; 4) термический к. п. д. t]
цикла.
11-57. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
v « 1 моль, находящийся под давлением рг = 0,1 МПа при темпера-
туре Т, « Э00 К, нагревают при постоянном объеме до давления pt »»
•=» 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального
давления и затем изобарически был сжат до начального объема
Построить график цикла. Определить температуру Т газа для харак-
терных точек цикла и его термический к. п. д. тр '
11-58. Одноатомный газ, содержащий количество вещества v =
«=«0,1 кмоль, под давлением pL 100 кПа занимал объем м*.
144
Газ сжимался изобарически до -объема V, = 1 м3, затем сжимался
адиабатически и расширялся при постоянной температуре до на-
чальных объема и давления. Построить график процесса. Найти:
1) температуры Ти 7'3, объемы Va, Vs и давление рв, соответствующее
характерным точкам цикла; 2) количество теплоты полученное
газом от нагревателя; 3) количество теплоты Q2, переданное газом
охладителю; 4) работу А, совершенную газом за весь цикл; б)термиче-
ский к. п. д. г] цикла.
11-59. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий ив
двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза
больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наи-
меньшего. Определить термический к. п. д.
1] цикла.
11-60. Идеальный газ, совершающий цикл
2
Карно, -д- количества теплоты полу-
ченного от нагревателя, отдает охладите-
лю. Температура 7\ охладителя равна
280 К. Определить температуру Tt нагре-
вателя.
11-61? Идеальный газ совершает цикл
Карно. Температура Т8 охладителя равна
290 К. Во сколько раз увеличится к. п. д.
цикла, если температура нагревателя по-
высится от Г! = 400 К до Т\ — 600 К?
11-62. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура 7\ нагре-
вателя в три раза выше температуры Tt охладителя Нагреватель пе-
редал газу количество теплоты Qj = 42 кДж. Какую работу А со-
вершил газ?
11-63. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура 7\ нагре-
вателя равна 470 К, температура 7а охладителя равна 280 К. При изо-
термическом расширении газ совершает работу А = 100 Дж. Опре-
делить, термический к. п д. 1] цикла, а также количество теплоты Qt,
которое газ отдает охладителю при изотермическом сжатии.
11-64. Идеальный газ совершает цикл Карно. Темпёратура 7\ нагре-
вателя в четыре раза выше температуры 7\ охладителя Какую долю
w количества теплоты, получаемого за один цикл от нагревателя,
газ отдает охладителю?
11-65. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагре-
вателя количество теплоты Qj = 4,2 кДж, совершил работу А
590 Дж. Найти -термический к. п. д. т) этого цикла. Во сколько раз
температура 7\ нагревателя больше - температуры Tt .охладителя?
11-66. Идеальный газ совершает цикл Карно Работа Ал изотермиче-
ского расширения газа равна 5 Дж. Определить работу А2 изотермиче-
ского сжатия, если термический к. п. д. т] цикла равне 0,2.
11-67. Наименьший объем Vi газа, совершающего цикл Карно, ра-
вен 163 л. Определить наибольший объем V3, если объем К,в конце
изотермического расширения и объем 1?« в конце изотермического
сжатия равны соответственно 600 и 189 л»
145
11-68. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, график
которого изображен на рис. 11.5. Объёмы газа в состояниях В к С
соответственно 12 л и V, = 16 л. Найти термический к п. д.
1] цикла.
Энтропия
11-GB. Смешали воду массой тг = б кг при температуре 7\ “
» ЙО К с водой массой та = 8 кг при температуре Та 360 К.
Найти: 1) температуру 0 смеси; 2) изменение AS энтропии, проиб-
ходящее при смешивании.
11-70. В результате изохорического нагревания водорода массой
Ш" 1 г давление р газа увеличилось в два раза. Определить изме-
нение AS энтропии газа..
11-71. Найти изменение AS энтропии при изобарическом расширении
азота массой т — 4 г от объема V, — Б л до объема V, = 9 л.
11-72. Кусок льде'массой т — 200 г, взятый при температуре k «*
— — 10fc С, был нагрет до температуры /я = 0° С и расплавлен, пос-
ле чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры i = 10° G
Определить изменение AS энтропии в ходе указанных процессов.
11-78. Лед массой т1 - 2 кг при температуре = 0° С был превра-
щен в воду той же температуры с помощью пара, имеющего темпера-
туру G “ 100° С. Определить массу та израсходованного пара. Ка-
ково изменение AS энтропии системы лед—пар?
11-74. Кислород массой /п — 2 кг увеличил свой объем в п = 5 раз
един раз изотермически, другой — адиабатически. Найти изменения
энтропии в каждом из указанных процессов.
11-75. Водород массой т = 100 г был изобарически нагрет так, что
объем его увеличился в и«=8 раза, затем водород был изохорически
охлажден так, что давление его уменьшилось в п = 3 раза Найти
изменение AS энтропии в ходе указанных процессов
| 12. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ,
жидкости I
Основные формулы
1. Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа
(p+C/V«m)(Vm-6)=₽T,
для произвольного количества вещества v газа
(р-|- v*a/V*) (V - vb) = vRT}
гм Л > — постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа)]
“ — Объем, занимаемый газом; — молярный объем; р — давление газа нВ
етеякЭ сосуда;
a v2a
Р =~$г • р' =
m
— внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул.
2. Связь критических параметров — объема, давления и температуры газя —'
е постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:
'/,шкр=31’> рКр = о/(27й2), ТКр = 00/(27/^^),
Ив
8. Внутренняя энергия реального газа
U=v(CvT-alVm)'
где Cv — -молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
4. Поверхностное натяжение
а — FH}
где F — сила поверхностного натяжения; действующая на контур li ограничи-
вающий поверхность жидкости; или
о =« ЕЕ/AS}
до АВ — изменение свободной энергии поверхностной пленки жиддоетц пи*
данное с изменением площади AS поверхности этой пленки.
В. Формула Лапласа в общем случае записывается а ваде
{ 1 , 1 А
’"’Viir+Tbr
где р — давление; создаваемое изогнутой поверхностью жидкости! ° “ позера»
постное натяжение} и Rt — радиуса! кривизны двух взаимно перпендикуляр*
мых сечений поверхности жидкости; а в
случае сферической поверхности «
р — 2о/₽.
в. Высота подъема жидкости в ка-
пиллярной трубке
h = 2а CM.6/(pg£);
где в — краевой угол; R — радиус кана-
ла трубки; р — плотность жидкости; g —
ускорение свободного падения.
7. Высота подъема жидкости между
двумя близкими и параллельными плоско-
стями
h = 2о cos 6/(pgd),
где d — расстояние между плоскостями.
8. Расход жидкости в трубке тока (рие. 12.1)1
а) объемный' расход — vS;
б) массовый расход Qm — poS; где S — площадь поперечного сечеииа труб-
ки тока; v — скорость жидкости; р — ее плотность.
9- Уравнение неразрывности. струи
ojSj 02<52;
где и Ss — площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; Oj
и vt — соотетствующие скорости течений.
10. Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем
случае
Р1+Р^/2+Р£Л1=Р: +Р»1/2 + р£Лг.
где pi и р2 статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока;
01 й б, — скорости жидкости в этих сечениях; poJ/2 и ро“/2 — динамические дав-
ления жидкости в этих же сечениях; fa и fa — высоты их над некоторым уровнем
(рис. 12.1); pgfti и pgft2 — гидростатические давления
Уравнение Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной аысо
w (fa = fa).
Pi +ри* /2 = P-+P°s
И. Скорость течения жидкости из малого отверстия к открытом широком
сосуде
v=]/ 2gfa
14
где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидко-
сти в сосуде.
— 12. Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t
через длинную трубку,
V «= пл4/Лр/(8/г|),
где г — радиус трубки; 7 — ее длина; Др — разность давлений на’ концах
трубки; t; — динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения^ жид-
кости.
18. Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках
Re = p<v>d/r],
где <t>>—средняя по сечению скорость течения жидкости; d — диаметр труб-
Ий, и для движения шарика в жидкости
Re =“ ptvi/t],
где о — скорость шарикд| Л — его диаметр.
Число Рейнольдса Re есть функция скорости о тела, линейной величины
7, определяющей размеры тела, плотности р и динамической вязкости к) жидко-
сти, V. о.
Re — f (р, tj, 7, о).
При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критиче-
ского зиачеиия ReKp, движение жидкости является ламинарным.При значениях
Re > R*kp движение жидкости переходит в турбулентное.
Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости ReBp ”
— 0.8: для потока жидкости в длинных трубках ReKp — 2300.
14. Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны по-
тока жидкости на медленно движущийся в ней шарик,
F 6лт)го,
где т — радиус шарика; 0 — его скорость.
Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса мно-
го меньше единицы (Re < 1).
Примеры решения задач
1. В баллоне вместимостью V = 8 л находится кислород массой
m = 0,3 кг при температуре Т — 300 К. Найти, какую часть вмести-
мости сосуда составляет собственный объем молекул газа. Определить
отношение внутреннего давления р' к давлению р газа на стенки со-
суда.
Решение. Для получения ответа на первый вопрос задачи необходимо
найти отношение
k = V/V, (1)
где V — собственный объем молекул.
Собственный объем молекул найдем, воспользовавшись постоян-
ной Ь Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, со-
держащихся в одном моле реального газа В уравнении Ван-дер-
Ваальса
(р -j- v1 2a/V2) — vb) = vPT (2)
148
поправка vb означает учетверенный объем молекул всего газа, т. е.
vb = 4 И'.* Отсюда
V — vb/4, или V = тЬЦЬМ),
где v = т/М.— количество вещества; М — молярная масса.
Подставив полученное значение V' в выражение (1), найдем
k = mb/(4MV).
После вычисления по этой формуле получим
k = 0,91%.
Следовательно, собственный объем молекул составляет 0.91 % •*
объема сосуда.
Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение
fei = р'/р. ф
Как следует из уравнения (2),
р' — v2a/V'\ или р' = (т/М)2 а/У3, (4)
где а — постоянная Ван-дер-Ваальса для одного моля газа.
После вычисления по формуле (4) найдем
р' — 179 кПа.
Давление р, производимое газом на стенки сосуда, найдем из урав-
нения (2):
После вычисления по этой формуле получим
р = 2,84 МПа.
Подставив в выражение' (3) значения р при произведя вычисле-
ния, найдем
fej = 6,3%.
Следовательно, давление газа, обусловленное силами притяжения
молекул, составляет 6,3% давления газа на стенки сосуда.
2. Углекислый газ, содержащий количество вещества v = 1 моль,
находится в критическом состоянии. При изобарическом нагревании
газа его объем V увеличился в k = 2 раза. Определить изменение
ЛТ температуры газа, если его критическая температура 7кр = 304 К-
Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением
Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда
давление р, молярный объем Уго и температура Т реального газа с со-
ответствующими критическими параметрами представлены в виде сле-
дующих отношений:
= ® = кр> Ъ = Т/Ткр.
Из этих равенств получим:
Р ~ лр№. — ю V ш кр, Т — т! кр.
149
Подставив сюда выражения ркр, VmKp и 7вр через постоянные
Ван-дер-Ваальса а и о, найдем:
р«——я; Vm-36®;
г 27** “ 27 bR
Полученные выражения р, Ve и Т подставим в обычное уравнение
Ван-дер-Ваальса!
|_JL_ «4. «_ 1[36®-6]« R т.
|_ 27*» $*•)*] 27bR
После сокращения на al(27b) и в правой части на R получим
(я + 8/®‘) (8® — 1) - 8т. (1)
Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенной ф о р-
м е. Оно не содержит никаких параметров, характеризующих индиви-
дуальные свойства газа, и поэтому является универсальным.
Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается по-
стоянным (р — Р*у), то я « 1; молярный объем газа согласно уело*
вию увеличился в два раза, т. е. Ve — 2Vmiip; следовательно, • 1
Из уравнения (1) выразим приведенную температуру Т1
ч - 1/8 (я + 8/®*) (3® — 1).
Подставив сюда значения пиви произведя вычисления, найдем
с - 35/82.
Температура Т, как отмечало^, связана с приведенной темпера-
турой т и критической 7жр соотношением Т » т7\р Произведя вы-
числения по «той формуле, получим
Т- 832 К.
8. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m ” 20 г. Опре-
делить изменение Д(/ внутренней внергин хлора при изотермическом
расширении его от Уд — 200 ей8 до Ve — 500 см4.
Решение. Виутреняя анергия U реального (ван-дер-ваальсового) газа
определяется выражением
U . v (CYT - alVm). ’ (!)
Выразив в равенстве (1) молярный объем Уш через объем V к кол»
чество вещества v (Уш » Vfv) и учтя, что v « mlM, получим
1/-c2L(cfT——V (В
м V mv ) ”
Изменение Д(/ внутренней анергии в результате изотермического
расширения найдем как разность двух значений внутренней знаргом
при объемах Vt и Kt.*
HU - Ut-иг=Д
160
Выпишем значения величии, входящих в эту формулу, и выразим
иж в единицах СИ: а — 0,650 Н-м /моль* (ем. табл. 15); М =«
— 0,071 кг/моль; У, — 2«10~4 м*; Vt =* 5«10~* м*; т — 2* 10”* кг.
Надставив эти значения в формулу (3) и произведя вычисления, найдем
ДГ/ — 154 Дж.
бтметян, что для идеального rasa такое изменение внутренне! анергия со-
енегствовало бы нагреванию на 26,3 К.
4. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром
d — 10 см. Определить также работу Л, которую нужно емюршнть,
чтобы выдуть этот пузырь.
Решение. Пленка мыльного пузыря имеет дм сферические поверх-
ности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давле-
ние иа воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки
чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практнчееки оди-
наковы. Поэтому добавочное давление р — 2-2а/г, гдад — радиус
пузыря. Так как г =» d/2, то
р — 8о/Д
Подставив в эту формулу значения о — 40« 10“* Н/и (ем. табл. 17)
и d — 0,1 м и произведя вычивления, найдем
р —= 3,2 Па.
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку,
увеличить ее поверхность на Д5, выражается формулой
А = oAS, или А — a (S — So)
В данном случае S — общая площадь двух сферических поверх-
ностей пленки мыльного пузыря; 50 — общая площадь двух поверх-
ностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания
вузыря. Пренебрегая So, получим
Z « aS => 2nd2o.
Сделав подстановку значений величин, получим
А = 2,5 мДж.
В. Определить изменение свободной энергии А£ поверхности мыль-
ного пузыря при изотермическом увеличении его объема от V, —
— 10 см3 до V2 = 2V,
Решение. Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорциональ-
на площади S этой поверхности: Е — aS, где о — поверхностное иа
тяжение.
У мыльного пузыря имеются две поверхности — внешняя и вну
треиняя, площади которых практически равны из-за малой толщины
мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней
и внутренней вместе) мыльного пузыря
Е - 2oS. (1)
161
Так как, по условию задачи, процесс изотермический,-го поверх-
ностное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией толь-
ко температуры, остается постоянным. Следовательно, по формуле
(1) изменение свободной энергии
ДЕ = 2oAS, “ .(2)
где AS — изменение поверхности пузыря (одной — внутренней или
внешней).
Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изменение
площади поверхности:
AS ~ 4лг? — 4лг ’, . (3)
где ft и г, — радиусы сфер, соответствующие начальному V, и конеч-
„ А (3V,W3 (ЗУ, W3 т .
ному У, объемам; = 1-т-Ч > rs ~ (-г-1 2,) • теперь формула (3)
примет вид
А5 = 4Л[^У/3-^У/3].
[Д 4л / \ 4я ) ]
Учитывая, что V2 = 2V
fey, V'3 е
за скобку
получим после вынесения
общего члена
AS = 4’4-^у/’ (22/3 - 1).
\ Гл )
Подставим выражение AS в формулу (2):
Рис. 12.2
АЕ = 8лсс (22/3 - 1) (4)
После вычисления . по форм уле (4)
получим
АЕ = 106 мкДж.
6. Вода подается в’ фонтан из боль-
шого цилиндрического 'бака (рис. 12.2)
и бьет из отверстия // со скоростью
иа = 12 м/с. Диаметр D бака равен 2 м,
диаметр d сечения // равен 2 см. Найти:
1) скорость Uj понижения воды в баке;
2) давление plt под которым вода подается в фонтан; 3) высоту /ц уров-
ня воды в баке и высоту ht струй, выходящей из фонтана.
Решение. 1. Проведем сечение / в баке на уровне сечения II фонтана.
Так как площадь S, сечения I много больше площадй S2 сечения //,
то высоту /ц уровня воды в баке можно считать для малого промежут-
ка времени постоянной, а поток — установившимся. Для установив-
шегося потока справедливо условие неразрывности струи OjSx = oaSa,
откуда следует, что
о, = OgSjj/Sj, или = оа [dJD)\
(1)
152
Подставив в это равенство значения заданных величин и произве-
дя вычисления, найдем
vt = 0,0012 м/с.,
С такой же-скоростью будет понижаться уровень в баке. Как вид-
но, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.
2. Давление plt под которым вода подается в фонтан, найдем по •
уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно име-
ет вид
Л + РУ1 /2 = pz'+ pvl/2. (2}
Учтя, что ps = 0 (под давлением подразумевается избыточное нал
атмосферным давление), из уравнения (2) получим
Pi = Pf2/2 —рП|/2. (3)
Так как о, <£ vs, то из равенства (3) следует ‘
, р, = ро,72.
После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем
— 72 кПа.
3. Высоту уровня воды в баке найдем из соотношения — htpg,
откуда
= PAPS)-
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
h, = 7,35 м
Зная скорость о8, с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем
высоту на которую она будет выброшена:
й, = v*/(2g) = 7,35 ,м.
Подчеркнем, что высота уровня воды < баке равна высоте, на кото-
рую поднимается фонтан воды* (по правилу сообщающихся сосудов).
Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением.воздуха.
7. В сосуде с глицерином падает свинцовой шарик. Определить мак-
симальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев
глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарном
Движение считать установившимся _
Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как
одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой
вследствие внутреннего трения увлекаем за собой и соседние, слои.
Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным
или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его ско
рости. Характер движения зависит таже от свойств жидкости и опре-
деляется безразмерным числом' Рейнольдса.
Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром
. d, то число Рейнольдса определяется по формуле
Re = pvd/t], (1)
а критическое .значение этого числа ReKP = 0,5.
153
Скорость v выразим, исходя из следующих соображений.
На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:
1) сила тяжести шарика
= Vp„gd*.
где рсв — плотность свинца; V — объем шарика;
2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда,
^выт ~ Pt Л ^8 ~ Vб^Ргл ’
где рм — плотность глицерина;
3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,
= бтуо = Злт]с!о
При установившемся движении шарика в жидкости (v = const)
сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы
и -силы внутреннего трения, т. е.
8^ = 11е яргл gds + 3лт0и,
откуда
v = (Рев—Ргл).ё j2 /2)
181(
Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем
' d^j/_.WRe—.
г Рвл (рсв PpJ S
Максимальное значение диаметра dmaI, при котором движение
остается еще ламинарным, соответствует критическому значению чис-
ла Рейнольдса ReBP. Поэтому
4 _13/ 18т)а ReKp t
“max I/ , “
V Ргл (Рсв—Ргл) S
Подставив сюда значения величин т; (см. табл. 16), Re„r, рсв|
Ргл в н произведя вычисления, получим
йшах ~ 5,29 ММ.
| Задачи
Уравнение Ван-дер-Ваальса
12-1. В сосуде вместимостью V — 10 л находится азот массой т =•
— 0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление р' газа; 2) собствен-
ный объем V' молекул.
12-2. Определить давление р, которое будет производить кислород,
содержащий количество вещества v = 1 моль, если он занимает объем
V = 0,5 л при температуре Т = 300 К. Сравнить полученный ре-
154
зультат с давлением, вычисленным по уравнению Менделеева—Кла-
пейрона.
12-3. В сосуде вместимостью Г = 0,3 л находится углекислый газ,
содержащий количество вещества v = 1 моль при температуре Т =
— 300 К. Определить давление р газа: I) по уравнению Менделеева-
Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса,
12-4 Криптон, содержащий количество вещества v = 1 моль, нахо-
дится при температуре Т = 300 К Определить относительную погреш
ность е = Ар/р, которая будет допущена при вычислении давления,
если вместо уравнения Ван-дер-Ваальса воспользоваться уравнением
Менделеева—Клапейрона. „Вычисления выполнить для двух значений
объема: I) V = 2 л; 2) V = 0,2 л
12-5. Внутреннюю полость толстостенного стального баллона наполо-
вину заполнили водой прр комнатной температуре. После этого баллов
герметически закупорили и нагрели до температуры Т *= 650 К
Определить давление р водяного пара в баллоне при этой температуре.
12-6. Давление р кислорода равно 7 МПа, его плотность р 100
кг/м3. Найти температуру Т кислорода
12 7. Определить давление р водяного пара массой m = I кг, взято
го при температуре Т — 380 К и объеме V: I) 1000 л; 2) 10 л; 3) 2 л
Критическое состояние
12-8. Вычислить постоянные а й Ь в уравнении Ван-дер-Ваальса для
азота, если известны критические температуры TKV = 126 К и дав
ление ркр = 3,39 МПа
12 9 Вычислить критические температуру Ткр и давление ркр:
1) кислорода, 2) воды
12-10. Критическая температура аргона равна -151 К и критиче
ское давление ркр = 4,86 МПа Определить по этим данным критиче
ский молярный объем VmKP аргона
12-11. Жидким пентаном С5Н12, плотностьр которого равна 626 кг/ма,
частично заполняют прочную кварцевую колбу и запаивают ее так,
что над пентаном остаются только насыщающие пары. Определить,
какую часть в внутреннего объема колбы должен занимать пентан, что-
бы можно было наблюдать при нагревании переход вещества через
критическую точку Постоянная b Ван-дер-Ваальса равна 14,5 X
X 10~6 м3/моль.
12-12. Определить наибольший объем Вшах, который может занимать
вода, содержащая количество вещества v = 1 моль
12-13. Определить плотность р водяных паров в критическом состоя
НИИ.
12-14. Определить наибольшее давление ртах насыщающих водяных
паров.
12-15. Во сколько раз концентрация пкр молекул азота в критическом
состоянии больше концентрации пп молекул при нормальных уело
виях?
12-16. Найти критический объем |/кр веществ; I) кислорода массой
tn = 0,5 г; 2) воды массой и = 1 г.
155
12-17. Газ, содержащий количество вещества v = 1 моль, находится
при критической температуре и занимает объем V, в п = 3 раза пре-
вышающий критический объем* Кир. Во сколько раз давление./? газа
в этом состоянии меньше критического давления ркр?
12-18. При какой температуре Т находится окись азота, если ее объем
V и давление р в k *= 3 раза превышают соответствующие критические
значения Уир и рир? Критическая температура Т'нр окиси азота рав-
на 180 К.
12-19. Газ находится в критическом состоянии. Как и во сколько
раз его давление р будет отличаться от критического рК9 при одновре-
менном увеличении температуры Т и объема V газа в к — 2 раза?
12-20. Газ находится в критическом состоянии Во сколько раз возра-
стет давление р газа, если его температуру Т изохорически увеличить
в 1 2 раза?
Внутренняя энергия
12-21. Определить внутреннюю энергию I) азота, содержащего количе-
ство вещества v 1 моль, при критической температуре Тир = 126 К.
Вычисления выполнить для четырех значений объемов V: 1) 20 л;-
2) 2 л; 3) 0,2 л; 4) Укр.
12-22. Кислород, содержащий количество вещества v = 1 моль, на-
ходится при температуре Т = 350 К. Найти относительную погреш-
ность в в вычислении внутренней энергии газа, если газ рассматривать
как идеальный. Расчеты выполнить для двух значений объема Vl
1) 2 л; 2) 0,2 л.
12-23. Найти внутреннюю энергию U углекислого газа массой m —
= 132 г при нормальном давлении р0 и температуре Т = 300 К в
двух случаях, когда газ рассматривают: 1) как идеальный; 2) как
реальный.
12-24. Кислород массой m = 8 г занимает объем И = 20 см при тем-
пературе Т » 300 К. Определить внутреннюю энергию U кислорода.
12-25. Определить изменение Д1/ внутренней энергии неона, содержа-
щего количество вещества v- 1 моль, при изотермическом расширении
его объема от V\ -= 1 л до V, «- 2 л.
12-26. Объем углекислого газа массой m —«0,1 кг увеличился от V,
= 10е л до Vt 104 л. Найти работу А внутренних сил взаимодей-
ствия молекул при этом расширении газа
12-27. В сосуде вместимостью V] = 1 л содержится т= 10. г азота.
Определить изменение АТ температуры азота, если он расширяется
в пустоту до объема Vt = 10 л.
12-28. Газообразный хлор массой m “ 7,1 г находится в сосуде вме-
стимостью У, »= 0,1 л. Какое количество теплоты Q необходимо подве-
сти к хлору, чтобы при расширении его в пустоту до объема V, 1 л
температура газа осталась неизменной?
* В задачах 12-17—12-20 при решении удобнее использовать уравнения
Ван-дер-Ваальса в приведенной форме (см. пример 2).
156
Поверхностное натяжение,
Капиллярные явления
12-29. Масса т 100 капель'спирта, вытекающего из капилляра, рав-
на 0,71 г. Определить поверхностное натяжение о спирта, ерли диа-
метр d шей-ки капли в момент отрыва равен 1 мм.
12-30. Трубка имеет диаметр dx = 0,2 см. На нижнем конце трубки
повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диа-
метр 42 этой капли.
12-31. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный
пузырь, увеличить его диаметр от dx = 1 см до 42 = 11 см? Считать
процесс изотермическим.
. 12-32. Две капли ртути радиусом г = 1 мм каждая слились в одну
большую каплю. Какая энергия Е выделится при этом слиянии? Счи-
тать процесс изотермическим.
12-33. Воздушный пузырек диаметром d — 2 мкм находится в воде
у самой ее поверхности. Определить плотность р воздуха в пузырьке,
если воздух над поверхностью воды находится при нормальных усло-
виях.
12-34. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря боль-
ше атмосферного давления р0, если диаметр пузыря d 5 мм?
12-35. Определить силу F, прижимающую друг к другу две стеклян-
ные пластинки размерами 10 X 10 см, расположенные параллельно
друг другу, если расстояние I между пластинками равно 22 мкм, а
пространство между ними заполнено водой. Считать мениск вогнутым
с диаметром 4, равным расстоянию между пластинками.
12-36. Покровное стеклышко для микроскопа имеет вид круга диа-
метром 4=16 мм. На него нанесли воду массой m = 0,1 г и наложил
другое такое же стеклышко; в результате оба стеклышка слиплись.
С какой силой F, перпендикулярной поверхностям стеклышек, надо
растягивать их, чтобы разъединить? Считать, что вода полностью сма-
чивает стекло и поэтому меньший радиус г кривизны боковой поверх-
ности водяного слоя равен половине расстояния 4•между стеклышками.
12-37. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h =•
= 20 мм. Определить поверхностное натяжение о глицерина, если
диаметр 4 канала трубки равен 1 мм.
12-38. Диаметр 4 канала стеклянной трубки чашечного ртутного ба-
рометра равен 5 мм. Какую поправку Др нужно вводить в отсчеты по
этому барометру, чтобы получить верное значение атмосферного дав-
ления?
12-39. Разность Д/l уровней жидкости в коленах U-образной трубки
равна ‘23 мм. Диаметры dl и 42 каналов в коленах трубкй равны со-
ответственно 2 и 0,4 мм. Плотность р жидкости равна 0,8 г/см8. Опре-
делить поверхностное натяжение о жидкости.
12-40. В жидкость нижними концами опущены две вертикальные ка-
пиллярные трубки с внутренними диаметрами 4, = 0,05 см и dt =»
= 0,1 см. Разность Д/j уровней жидкости в трубках равна 11,6 мм.
Плотность р жидкости равна 0,8 г/см3. Найти поверхностное натяже-
ние о жидкости.
157
12-41. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка
с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Найти массу т во-
шедшей в трубку воды.
12-42. Капиллярная трубка диаметром d = 0,5 мм наполнена водой.
На нижнем конце трубки вода повисла в виде капли. Эту каплю мож-
но принять за часть сферы радиуса г = 3 мм. Найти высоту h стол-
бика воды в трубке.
12-43. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет диа-
метр dj = 4 см, узкое d2 = 0,25 см. Разность Д/i уровней ртути в обоих
коленах равна 200 мм. Найти давление р, которое показывает манометр,
приняв во внимание поправку на капиллярность.
12-44. На какую высоту h поднимается вода между двумя параллель-
ными друг другу стеклянными пластинками, если расстояние d меж-
ду ними равно 0,2 у»-’
Гидродинамика
12-45. Вода в горизонтально расположенной трубе переменно-
го сечения. Скорость воды в широкой части трубы равна 20 см/с.
Определить скорость о2 в узкой части трубы, диаметр d2 которой в
1,5 раза меньше диаметра dx широкой части. ’
12-46. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть
течет со скоростью vr — 2 м/с. Определить скорость v2 нефти в узкой
части трубы, если разность Др давлений в широкой и узкой частях ее
равна 6,65 кПа.
12-47. В горизонтально расположенной трубе с площадью Sj попереч-
ного сечения, равной 20 см®, течет жидкость. В одном месте труба име-
ет сужение, в котором площадь S2 сечения равна 12 см®. Разность Дй
уровней в двух манометрических трубках, установленных в широкой
и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход Qv
жидкости.
12-48. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр dx ~ 20 см.
В нем движется со скоростью = 1 м/с поршень, выталкивая воду
через отверстие диаметром ds = 2 см. С какой скоростью иа будет вы-
текать вода'из отверстия? Каково будет избыточное давление р воды
в цилиндре?
12-49. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, прило-
жена сила F = 15 Н. Определить скорость v истечения воды из нако-
нечника спринцовки, если площадь S поршня равна 12 см®.
12-50. Давление р ветра на стену равно 200 Па. Определить скорость
v ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность р воздуха
равна 1,29 кг/м3.
12-51. Струя воды диаметром d — 2 см, движущаяся со скоростью
v = 10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность, постав-
ленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления струи на по-
верхность, считая, что после удара о поверхность скорость частил воды
равна нулю.
12-52. Бак высотой h = 1,5 мм наполнен до краев водой. На расстоя-
нии d = 1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диа-
158
метра. На каком расстоянии /отбака падает на пол струя, вытекающая
из отверстия?
12-53. Струя воды с площадью Sj поперечного сечения, равной- 4 см8,
вытекает в горизонтальном направлении из брандспойта, расположен-
ного на высоте Н = 2 м над поверхностью Земли, и падает на эту по-
верхность на расстоянии I = 8 м (рис. 12.3) Пренебрегая сопротивле-
нием воздуха движению воды, найти избыточное давление р воды в ру-
каве, если площадь S2 поперечного сечения рукава равна 50 см*?
12-54. Бак высотой Н = 2 м до краев
заполнен жидкостью. На какой высо-
те h должно быть проделано отвер-
стие в стенке бака, чтобы место паде-
ния струи, вытекающей из отверстия,
было на максимальном от бака рас-
стоянии?
У/77/Ж/Я- 7////////7////////////7^А
I
12-55. Вода течет по круглой глад- Рис. 12.3 ,
кой трубе диаметром d = 5 см со
средней по сечению скоростью <у> = 10 см/с. Определить число
Рейнольдса Re для потока жидкости в трубе и указать характер те-
чения жидкости.
12-56. По трубе течет машинное масло. Максимальная скорость
Утах. при которой движение масла в этой трубе остается еще ламинар-
ным, равна 3,2 см/с. При какой скорости о движение глицерина в той
же трубе переходит из ламинарного в турбулентное?
12-57. В трубе с внутренним диаметром d = 3 см течет вода. Опре-
делить максимальный массовый расход Qm max воды при ламинарном
течении.
12-58. Медный шарик диаметром d — 1 см падает с постоянной ско-
ростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное
падением в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа
Рейнольдса Re„p = 0,5.
12-59. Латунный шарик диаметром d — 0,5 мм падает,в глицерине.
Определить: 1) скорость у установившегося движения шарика;
2) является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным?
12-60. При движении шарика радиусом г\ = 2,4 мм в касторовом мас-
ле ламинарное обтекание наблюдается при скорости ot шарика, не
превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости у2 шарика
радиусом r2 ~ 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?
ГЛАВА S
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 13. ЗАКОН КУЛОНА. |
взаимодействие Основные формулы
ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ |
1. Закон Кулона
р I Qi Qi
4лв(. ег2
t
где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Qj и ф2; г — расстояние
между зарядами; в — диэлектрическая проницаемость среды; ва — электриче-
ская постоянная;
e'' = ~4i1.9L'iO°~ ф/м=й-ъ5>1й-1а ф/м-
8. Закон сохранения заряда
2 Of—const,
(=1
где S Qt — алгебраическая сумма зарядов, плодящих е изолированную систе»
му; * — число зарядов.
Примеры решения задач
1. Три одинаковых положительных заряда Q, — Q2 = Qs = I нКл
расположены по вершинам равностороннего треугольника (рио 13.1).
Какой отрицательный заряд Q, нужно поместить в центре треуголь-
ника, чтобы сила притяжения
Рис. 13.1
его стороны уравновесила силы взаим-
ного отталкивания зарядов, нахо-
дящихся в вершинах?
Решение. Все три заряда, располо-
женных по вершинам треугольника,
находятся в одинаковых условиях..
Поэтому для решения задачи доста-
точно выяснить, какой заряд следует
поместить в центре треугольника,
чтобы один из трех зарядов, напри-
мер Q), находился в равновесии
В соответствии с принципом супер-
позиции на заряд действует каждый
заряд независимо от остальных.
160
Поэтому заряд Qx будет находиться в равновесии, если векторная сум-
ма действующих на него сил равна нулю:
F? + F4 + F, =£+Ъ=0, (I)
где F2, Fs, F4 —силы, с которыми соответственно действуют на за-
ряд Q| заряды Q2, Qa и Q4, F — равнодействующая сил F.2 и Fs
Так как силы F и F4 направлены по одной прямой, то векторное
равенство (1) можно заменить скалярной суммой:
F — Fa = б, или = F.
Выразив в последнем равенстве F через F2 и Fs и учитывая, что
F3 = F3, получим
F4 — /'5/ 2(1 {-cosа) .
Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q2 ~ Q3 — Qb найдем
— = !-----S1 /'2(1 +cosa) , откуда *2)
4jw>0 ег( 4леъ er*
Qt = /2(1 +cosa).
=, cos a — cos Ь0'
3
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике
г/2
следует, что rt =------—-
cos оО
С учетом этого формула (2)
2 cos 30°
примет вид
2
=Qi/V3.
Подставив сюда значение Qb получим
Qt = 0,58 нКл.
Отметим, что равновесие системы зарядов Судет неустойчивым.
2. Два заряда 9Q и — Q закреплены на расстоянии I = 50 см друг
от друга Третий заряд Qx может перемещаться только вдоль прямой,
проходящей через заряды. Определить положение заряда Qb при ко-
тором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда рав-
новесие будет устойчивым*?
Решение. Заряд Qj будет находиться в равновесии в том случае, ес-
ли векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю.
Это.значит, что на заряд Q2 должны действовать две силы, равные по
абсолютному значению и противоположные по направлению. Рас-
смотрим,.на каком из трех участков 1, II, III (рис. 13.2) может быть
выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд
Q, — положительный**
На участке / (рис. 13.2, а) на заряд Q действуют две противополож-
но направленные силы F, и F2. Сила Fj, действующая со стороны за-
* Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от поло-
жения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия.
** Рекомендуется -читателю Самостоятельно выполнить решение задачи
для отрицательного "заряда
6 Зак 94
161
ряда 9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F, дей-
ствующая со стороны заряда — Q, так как больший (по абсолютному
значению) заряд 9Q всегда находится ближе к заряду чем меньший
заряд — Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.
На участке II (рис. 13.2, б) обе силы Fj и F2 направлены в одну
сторону — к заряду — Q. Следовательно, и на втором участке равно-
весие невозможно.
На участке III (рис. 13.2, в) силы Fj и F2 направлены в противо-
положные стороны, так же как и на участке /, но в отличие от него
меньший (по абсолютному значению) заряд (— Q) всегда находится
Рис. 13.2
ближе к заряду чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно
найти такую точку на прямой, где силы Fx и F2 будут одинаковы по
абсолютному значению, т. е.
Fr = F2. (!)
Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Qj равно х, тогда от
большего заряда будет I + х. Выражая в равенстве (1) и F2 в со-
ответствии с законом Кулона, получим
9QQ1 __ QQi
(/-|-х)3 х3' '
Сокращая на <>Qi и извлекая из обеих частей равенства квадратный
корень, найдш
14- х = ± Зх, откуда
1/2 и х2 — — //4.
162
Корень х2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой
точке силы Fx и F2 хотя и равны по абсолютному значению, но направ-
лены в одну сторону).
Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчи-
вым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда
от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в по-
ложение равновесия. Рассмотрим смещение заряда Qi в двух случаях:
1) заряд положителен и 2) заряд отрицателен
1. Если заряд Q] положителен, то при смещении его влево обе
силы F^ и F2 возрастают, но F^ возрастает медленнее (зарад 9Q всег-
да находится дальше, чем — Q). Следовательно, F2 (по абсолютному
значению) больше, чем Fb и на заряд будет, действовать результи-
рующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы
заряд Qi удаляется от положения равновесия. То же происходит и при
смещении заряда Q, вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем Fr Вектор-
ная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием
этой силы также будет перемещаться вправо, г. е. удаляться от по-
ложения равновесия. Таким образом, в случае положительного заря-
да равновесие является неустойчивым.
2. Если заряд Qj отрицателен,"то его смещение влево вызовет уве-
личение сил Ё2 и Fu но сила F, возрастает медленнее, чем Ff, т.е.
1^1 >1^1- Результирующая сила будет направлена вправо. Под
действием этой силы заряд возвращается к положению равновесия.
При смещении & вправо сила F, убывает быстрее, чем Flt т. е. |FX| >
>|F2|, результирующая сила направлена влево и заряд опять
будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном
заряде равновесие является устойчивым.
Величина самого заряда Qj несущественна.
Отметим, что в электростатике устойчивое
равновесие возможно только при определенных
ограничениях. В нашем примере заряд Qi может
перемещаться только вдоль прямой, проходящей
через заряды Q и — 9Q. Если это ограничение
снять, то устойчивого равновесия не будет. В си-
стеме зарядов, находящихся под действием одних
только электростатических сил, устойчивое рав-
новесие невозможно (теорема Ирншоу).
3. Тонкий стержень длиной. I = 30 см.
(рис. 13.3) несет равномерно распределен-
ный по длине заряд с линейной плотностью
т = 1 мкКл/м. На расстоянии г, =» 20 см
от стержня находится заряд Qi = 10 нКл,
равноудаленный от концов стержня. Определил» силу F аеаимвдтейе*-
вия точечного заряда с заряженным стержнем.
Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействяя
точечных зарядов. По условию задачи, один на зарядов не является
точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный м
дайне стержня. Однако если выделить на стержма дафферемциялшо
малый участок длиной dZ, то находящийся на нем- эяряд dQ*«dl
6*
. MI
можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона*сила
взаимодействия между зарядами Qi -и dQ:
dF =—_ (1)
4ne(i r!
где г — расстояние от выделенного элемента до заряда Qi.
Из чертежа (рис. 13.3) следует, «что г = и d/ = где
г0 — расстояние от заряда Qt до стержня. Подставив эти выражения
г и d/ в формулу (1), получим
dF^-Qlt da. (2)
4 ле,, г„
Следует иметь в виду, что dF — вектор, поэтому, прежде чем
интегрировать, разложим его на две составляющие; dFlt перпендику-
лярную стержню, и dF2, параллельную ему.
Из рис. 13.3 видно, что dFj = dF cos a, dF2 — dF sin a. Подстав-
* ляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем:
dFi^QjTcosa da. dFa=..........
4леп r„ 4ле<, г
, Интегрируя эти выражения в пределах от — Р до + Р, получим:
+₽ 4-Р „
Fx = Г & т cos а d а = -1— С cos a d a = | sin а ;
J 4ле,, го 4ле. r„ J 4ле0 rB
-13 — 6
рг = _ЯкI sin p—sin (—p)| = 2 sin P;
4jied rB 4ле
P — cinR
В силу симметрии расположения заряда Qt относительно стержня
интегрирования второго выражения дает нуль:
4*3
с С Qi т . , QiT . .443 Qi т
F.= | ——-------sinada=—-——--------|cosa| -------------X
J 4яе0г0 4ле0г0 —Р 4леог„-
Х-В
,Х (COS р — COS Р) = О
Таким образом, сила, действующая на заряд Qb
F==Fi = -^-sinp. (3)
2лв0 Го
* Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду,
что заряды, яааодятся в вакууме (в = 1).
164
1/2 1
Из (пио. 13.3) следует, что sin В = — = —---------Под-
У4^ + <4
Г ° “Г 4
ставив это выражение sin Р в формулу (3), получим
--------------------------------------_2------. (4)
2лвог, У^в+12
Подставив значения величин л, Qx, i, е0, г0 и I в выражение (5)
и произведя вычисление, найде.л
Ь = 0,54 мН.
Задачи
Взаимодействие точечных зарядов
13-1. Определить силу взаимодействия двух точечных зарядов =
= Q2 = 1 Кл, находящихся в вакууме на расстоянии г = 1 м друг от
друга
13-2. Два шарика массой т = 0,1 । каждый подвешены в одной точ-
ке'на нитях длиной / = 20 см кажда.я Получив одинаковый заряд,
шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол а —
= 60°. Найти заряд каждого шарика
13-3. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точ-
ке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол а.
Шарики погружаются в масло плотностью р0 = 8-102 кг/м3. Опре-
делить диэлектрическую проницаемость е масла, если угол расхожде-
ния нитей при погружении шариков в масло остается неизменным.
Плотность материала шариков р= 1,6-103 кг/м3.
13-4. Даны дв шарика массой т = 1 г каждый. Какой заряд Q
нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного отталки-
вания, зарядов урав'новесила силу взаимного притяжения шариков по
закону тяготения' Ньютона? Рассматривать шарики как материаль-
ные точки
13-5. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон
обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость v
электрона, если радиус орбиты г = 53 пм, а также частоту п враще
ния электрона.
1'3-6. Расстояние между двумя точечными зарядами Qi = / мкКл
и Q2 = — Qi равно Ю см. Определить силу F, действующую на то-
чечный заряд Q = 0,1 мкКл, удаленный на = 6 см от первого и на
rt = 8 см от второго зарядов
13-7. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а — 10см
расположены, точечные заряды Q, 2Q, 3Q, 4Q, 5Q, 6Q (Q = 0,1 мкКл).
Найти силу F, 'действующую на точечный заряд Q, лежащий в пло-
скости шестиугольника и равноудаленный от его вершин.
13-8. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на
расстоянии г = 60 см. Сила отталкивания /д шаров равна 70 мкН.
165
После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от
друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала
равной F2 = 160 мкН Вычислить заряды Qj и Q2, которые были на
шарах до их соприкосновения Диаметр шаров считать много меньшим
расстояния между ними.
13-9. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на
расстоянии г = 30 см. Сила притяжения F1 шаров равна 90 мкН. Пос-
ле того как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг
от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F2 =
= 160 мкН. Определить заряды Qi и которые были на шарах до
их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстоя-
ния между ними.
13-10. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на
расстоянии I «= 60 см друг, от друга. Определить, в какой точке на
прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд
так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак дол-
жен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым,
если перемещения заряда возможны только вдоль прямой, проходящей
через закрепленные заряды
13-11. Расстояние I между свободными зарядами Qj = 180 нКл
и Qe = 720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей
через заряды, в которой нужно поместить третий заряд Qs так/ чтобы
система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак
заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?
13-12.' Три одинаковых заряда Q = 1 нКл каждый расположены по
вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный за-
ряд Qj нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение
уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это
равновесие у стойчи вым ’
13-13. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q =
= 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд Qj нужно поместить
в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положитель-
ных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного
заряда?
Взаимодействие точечного заряда
с зарядом, равномерно
распределенным
13-14. Тонкий стержень длиной I — 10 см равномерно заряжен.
Линейная плотность т заряда равна 1 мкКл/м. На продолжении оси
стержня на расстоянии а= 20 см от ближайшего его кбнпа находится
точечный заряд Q = 100 нКл. Определить силу F взаимодействия за-
ряженного стержня и точечного заряда.
13-15. Тонкий длинный - стержень равномерно заряжен с линейной
плотностью т заряда, равной 10 мкКл/м. На продолжении оси стерж-
ня на расстоянии а = 20 см от его конца находится точечный заряд
Q — 10 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стерж-
ня и точечного заряда.
13-16. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с ли-
нейной плотностью т заряда, равной 10 мкКл/м. На перпендикуляре
166
к оси стержня, восставленном из конца его, находится точечный за-
ряд Q=10 нКл. Расстояние а заряда от конца стержня равно 20 см.
Найти силу Р взаимодействия заряженного стержня и точечного за-
ряда.
13-17. Тонкая нить длиной I = 20 см равномерно заряжена о линей-
ной плотностью т — 10 нКл/м. На расстоянии а = 10 см от нити, про-
тив ее середины, находится точечный заряд Q = 1 нКл. Вычислить
силу F, действующую на этот заряд со стороны заряженной нити.
13-18. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен о линейной
плотностью т = 10 мкКл/м. Какова сила F, действующая на точеч-
ный заряд Q = 10 нКл, находящийся на расстоянии а = 20 см от
стержня, вблизи его середины?
13-19. Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90°. Нить несет
заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью т =
= 1 мкКл/м. Определить силу F, действующую на точечный заряд
<2 = 0,1 мкКл; расположенный на продолжении одной, из сторон и
удаленный от вершины угла на а = 50 см.
13-20. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет раномерно распре-
деленный заряд <2 = 0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости коль-
ца, восставленном из его середины, находится точечный заряд =
= 10 нКл. Определить силу F, действующую на точечный заряд Q
со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на
1) li = 20 см; 2) 12 = 2 м.
13-21. Тонкое полукольцо радиусом R = 10 см несет равномерно
распределенный заряд о линейной плотностью т = 1 мкКл/м. В цент-
ре кривизны полукольца находится заряд <2 = 20 нКл. Определить
силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца.
13-22. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распре-
делен заряд с линейной плотностью т = 1 нКл/м. В центре кольца
находится заряд <2 = 0.4 мкКл. Определить силу F, растягивающую
кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь.
§ 14. НАПРЯЖЕННОСТЬ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
Основные формулы
1. Напряженность электрического поля
E-F/Q,
где F — сила, действующая на точечный положительный заряд О, помешенный
в данную точку поля.
2. Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный мёктричеваом
поле,
F=QB.
3. Поток вектора напряженности Е злектричесногв поля!
aj через произвольную поверхность S помещенную в неоднородно» пола,
ФЕ = ] В cosadS, или Ф£= I Еп dS.
167
где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к Элементу по-
верхности; dS — площадь элемента поверхности; Еп — проекция вектора на-
пряженности на нормаль;
б) через плоскую поверхность, помещенную, в однородное электрическое
поле,
Фе — Е>8 cos а.
4. Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность
dS,
где интегрирование ведется по всей поверхности.
5. Теорема Остроградского—Гаусса. Поток вектора напряженности Е че-
рез любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Qj, Q2.....Qn.
п
где 2 Qf — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой
г= 1
поверхности; п — число зарядов. .
6. Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом
Q на расстоянии г от заряда.
е=_
4лв<, ег2
7. Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сфе-
рой радиусом R, несущей заряд Q,' иа расстоянии г от центра сферы:
внутри сферы (r<_R) ....... Е =0
• Q
иа поверхности сферы (r = /J) . . Е-——:----—-
4ле0 е/?2
1 Q
вне сферы (<>/?)............... Е = —----------—
• ' 4ле0 ег2
8. Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно ко-
торому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более)
точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей
складываемых полей:
Е = Е1 + Et-(-Еп
В случае двух электрических полей с напряженностями Ej и Е2 абсолют-
ное значение вектора напряженности
E — ~l/Ef + Е2+2Е. Е2 cos а,
где а — угол между векторами Ej и Е2.
9. Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно за-
ряженной нитью (или цилиндром) иа расстоянии г от ее оси,
4лв0 ег ’
где т — линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, рас-
пределенного по нити, к длине нити (цилиндра):
т - AQ/AZ,
168
, 18. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжав-
но! плоскостью,
В=—--------- ,
2 вов
где в — поверхностная плотность заряда. .
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда,
распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
о = AQ/AS.
11. Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконеч-
ными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой м
абсолютному значению поверхностной плотностью о заряда (поле плоского кож-
денсатора)
Е = о/(80з).
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля
между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том слу-
чае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пла-
стин конденсатора.
12. Электрическое смешение D связано с напряженностью Ь- электриче-
ского поля соотношением
£>=е, еЕ,
Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.
13. Поток вектора электрического смещения выражается аналогично по»
току вектора напряженности электрического поля!
в случае однородного поля
АФ = DES cos aj
в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
Ф=^О„ dS,
где Dn — проекция вектора О на направление нормали к элементу поверхности,
площадь которой равна (1S.
14. Теорема Остроградского—Гаусса. Ноток вектора электрического сме-
щения через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Qt, Qt, ,.и
Qn,
Qi,
(=1
где п — число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой нж-
верхности.
15. Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть вели-
чина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положи-
тельного «заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегра-
лом по замкнутому' контуру где £j — проекция вектора напряженности
Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точ-
ке.
В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности
равна нулю:
$ Et dl = 0.
189
' Примеры решения зада?
1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: =•
= Зб нКл и Qt =— 10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см.
Определить напряженность электрического поля в точке, находящей-
ся на расстоянии rj = 15 см от первого и на расстоянии rt “ 10 см
от второго зарядов.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей,
кажиын заряд создает поле независимо от присутствия в пространст-
ве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля
в искомой точке может быть найдена
~Е как векторная сумма напряженностей Ех
и Е2 полей, создаваемых каждым заря-
дом в отдельности: Е — Ех + Е2.
Напряженности электрического поля,
Ц/' £\гг создаваемого в вакууме* первым и вто-
/ d 2 рым зарядами, соответственно равны
Т вг £1--. —!а . = 0)
* 4лв0 г? 4ле0 г;
Рис- Вектор Е, (рис. 14.1) направлен по
силовой линии от заряда Qlt так как
заряд & > 0; вектор Еа направлен также по силовой линии, но к
заряду <?„ так как Q2 < 0.
Абсолютное значение вектора Е найдем по теореме косинусов:
Е = 1ЛЕЛ-ЕЦ-2Е! £2cosa, (2)
где угол а может быть найден из треугольника со сторонами ru ra-
и di
В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдель-
но значение cos а. По этой формуле найдем
cos а = 0,25.
Подставляя выражения Ех и Ez по формулам (1) в равенство (2)
и вынося общий множитель 1/(4ле0) за знак корня, получаем
Подставив значения величин я, е0, Qr, Qz, ru га и а в последнюю •
формулу и произведя вычисления, найдем
Е SS 16,7 кВ/м.
* См. сноску на с. 164.
0»
В. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными
ааряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда
•i « 0,4 мкКл/м2 и Oj = 0,1 мкКл/м2. Определить напряженность
электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
Решение. Согласно принципу суперпозиции,- поля, создаваемые каж-
дой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на
друга, причем каждая заряженная плосксйиъ создает йектрическое
моле независимо от присутствия другой
заряженной плоскости (рис. 14.2).
Напряженности однородных электри-
полей, создаваемых первой и
плоскостями, соответственно
Рже, 144
чески?
второй
равны:
во
I Ста
2 в0
Плоскости делят все пространство
а три области: 1, 11 и 111. Как видно
из рисунка, в первой и третьей областях
электрические силовые линии обоих по-
лей направлены в одну сторону и, следовательно, напряжеиноети
суммарных полей и Е<П1> в первой и третьей областях равны
между собой и равны сумме напряжённостей полей, воздаваемых вер-
ной и второй плоскостями: -ЬЯа» или
второй плоскостями: E*l} = Еа1Ц •=* Е! Вл, или
£(1) = £(1Н) _ 2_ ql + oa
2 ео ‘
Во второй области (между плоскостями) электрические видовые
линии полей направлены в противоположные стороны и, следователь-
но, напряженность поля Е(П) равна разности' напряженностей долей,
создаваемых первой и второй плоскостями: ыа
£(П) = _!_ I?» —
2 • е,
Подставив данные и производя вычисления, получим
£‘" = £<111)= 28,3 кВ/м; £(П) = 17 кВ/м.
Картина распределения силовых линий суммарного поля вредетав-
лена на рис. 14.3.
3. На пластинах плоского воздушного конденсатора нахойДОфН за-
ряд Q -= 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсаторе равна
100 см2. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Пола
между пластинами считать однородным.
1Я
Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном за-
рядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый за-
ряд действует сила (рис. 14.4)
F = ЕЛ
(1)
где Ei — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пласти-
ны Но ~ , где о — поверхностная плотность заряда
пластины.
• 1
• *
’ Е<^
Рис. 14.3
Формула (1) с учетом выражения для Ел примет вид
F = Q2/(2e0S).
Подставив значения величин Q, е0 и S в эту формулу и произведя
вычисления, получим
F = 565 мкН.
4. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной
с поверхностной плотностью о = 400 нКл/м2, й бесконечной прямой
нитью, заряженной с линейной плотностью т = 100 нКл/м. На рас-
стоянии г — 10 см от нити находится точечный заряд Q = 10 нКл.
Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд
и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.
Решение. Сила действующая на заряд, помещенный в поле, •
F = EQ, (I)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию за-
дачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряжен-
ной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, ’
однородно, и его напряженность в любой точке
Ег== — —
' 2 ео
(2)
172
Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно.
Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле
e2=_l_
2ле0г
(8)
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряжен-
ность поля, в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме на-
пряженностей Ех и Е2 (рис. 14.5): Е — Ех -Ь Еа. Так как векторы В]
и Ег взаимно перпендикулярны,
то
Е =/Ef + £2 .
Подставляя выражения ЕА и
Е2 по формулам .(2) и (3) в это
равенство, получим '
Рис. 14.8
Л2Г3
или Е =
Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выраже-
ние Е в формулу (1):
' F=£Q = -2-1/ оа+_±_. (4)
2ев У я*!*
Подставив значения величин Q, 8в, о, т, л и г в формулу (4) и сде-
лав вычисления, найдем
F = 289 мкН.
Направление силы F, действующей на положительный заряд Q,
совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направлю
вне же вектора Е задается углом а к заряженной плоскости. Из риа. 14.1
следует, что
tg а = — = лг —, откуда
* . т
а = arctg л г — .
Подставив значения величин л, г, а и т в это выражение и вычислив,
получим
а = 51°34\
5. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым
бесконечным цилиндром радиусом /? = 1 см, равномерно заряженным
с поверхностной плотностью о = 2 мкКл/м*. Определить силу, дЛ-
ствующую на заряд, помещенный от оси цилиндр* на расетоянвв
г ₽= 10 см.
IR
Решение. Сила, действующая на заряд Q, находящийся в ноле,
F - QE, (П
где Е — напряженность поля 1} точке, в которой находится заряд бХ
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного раномерно
вар яженнего цилиндра
Е ” т/(2леог), (S)
где т — линейная плотность заряда.
выразим линейную плотность т через поверхностную плотность
9. Для этого выделим элемент цилиндра длиной I и выразим находя-
(цийся на нем заряд Qi двумя способами:
Qi = aS = O’2nRl и = il.
Приравняв правые части этих равенств, получим xl « 2 л/?/о. После
Сокращения на I найдем т = 2л/?а. С учетом этого формула (2) примет
вид Е »= Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем ив-
комую силу:
F = Qo/?/(e0r). (3)
Так как R и г входят в формулу в виде отношения, то они могут быть
выражены в любых, но только .одинаковых, единицах.
Выполнив вычисления по формуле (3), найдем
F = 0,565 мН.
Направление силы F совпадает с направлением вектора напряжен-
ности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный)
направлен перпендикулярно цилиндру.
в. Влектрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью,
равномерно заряженной с линейной плотностью т = 30 нКл/м. На
расстоянии а = 20 см от нити находится плоская- круглая площадка
радиусом г = 1 см. Определить поток вектора напряженности через
эту площадку, если плоскость ее составляет угол 0 = 30° с линией
напряженности, проходящей через середину площадки.
Решение. Поле, создаваемое бесконечно равномерно заряженной ни-
тью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом
случае выражается интегралом
®£ = $EndS, (1)
S
где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности площадки
ДО. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, ко-
торую пронизывают линии напряженности
Проекция Ел вектора напряженности равна, как видно из рис. 14.6,
Еп = Е cos a,
где а — угол между направлением вектора и нормалью п.
174
С учетом этого формула (1) примет вид
Е cos a dS.
(2)
Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению « рас-
стоянием до нити (г а), то электрическое поле в пределах площадки
можно считать практически однородным. Следовательно, вектор на-
пряженности Е очень мало меняется по абсолютному значению к на-
правлению в пределах площадки, что
позволяет заменить под знаком инте-
грала значения Е и cos а их средними
значениями <.Е> и <cos а> и выне-
сти их за знак интеграла:
Ф£ >= j* <£> <cosa> dS ===
s
= <F> <cos a>J dS.
Выполняя интегрирование и заменяя
<£> и <cosa>»-HX приближенными
значениями ЕА и cos ал> вычисленны-
ми для средней точки площадки, полу-
чим
Ф£ = Еа cos a a S = лг2 Е л cos аА. (3)
Напряженность ЕА вычисляется по формуле ЕА = Иа
рис. 14.6 следует cos аА = cos ---р) = sin 0.
С учетом выражения ЕА и cosa^ равенство (3) примет вцд
Фб = -~т- sin 0, или Фг = -S2— sin 0.
2я£ъ а 2е0а
Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисление*
найдем
Фя = 424 мВ-м.
Задачи
Напряженность иола
точечных зарадоа
14-1. Определить напряженность Е электрического поля, создавае-
мого точечным зарядом Q = 10 нКл на расстоянии г = 10 см от него.
Диэлектрик — масло.
14-2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q* = 4- 8 вКл
и <2а = “ 5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля
176
в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряжен-
ность, если второй заряд будет положительным?
14-8. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q, =«
“ 10 нКл и Q, « — 20 нКл, находящимися на расстоянии d — 20 см
друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной
от первого заряда на гх — 30 см и от второго на г, •» 50 ем.
14-4. Расстояние 4 между двумя точечными положительными заряда-
ми Qi 9Q 'и Q, — Q равно 8 см. На каром расстоянии г от первого
8>ряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов рав-
на нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был от-
рицательным?
14-6. Два точечных заряда Qx'» SQ и Qt — — Q находятся на рас-
стоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходя-
щей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю.
14-в. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами
м, 40 нКл и Qi = — Ю нКл, находящимися на расстоянии d
Q 10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке,
удаленной от первого заряда на гх •=• 12 см и от второго на гя = 6 см.
Напряженность поля заряда,
распределенного по кольцу н сфере
14-7. Тонкое кольцо радиусом 7? 8 см несет заряд, равномерно
распределенный с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Какова на-
пряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех
точек кольца на расстояние г — 10 см?
14-8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный о поверх-
ностной плотностью о « 1 нКл/м®. Найти напряженность Е электри-
ческого поля в геометрическом центре полусферы.
14-Й. Ж металлической сфере радиусом R ~ 10 см находится заряд
Q 1 ИКл. Определить напряженность Е электрического поля в сле-
дующих точках! J) иа расстоянии гх 8 см от центра сферы; 2)на
поверхности ее; 3) на расстоянии гя — 15 см от центра сферы. По-
строить график зависимости Е от г.
14-10. 'Две концентрические металлические заряженные сферы ради-
усами /?4 ** 6 см и R9 — 10 см несут соответственно заряды =•
1 нКХ й Q2 •=» — 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках,
отстоящих от центра сфер на расстояниях гх — 5 см; г2 = 9 га; rs «
" 16 см. Построить график зависимости Е (г).
, Напряженность поля
ааряженной линии
14-11. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равно-
мерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плот-
ность т заряда, если напряженность Е поля на расстоянии а = 0,5 м
of Проволоки против ее середины равна 200 В/м.
14-12. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволоками,
расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки
17В '
равномерно заряжены разноименными зарядами о линейной плотно-'
стью |т| = 150 мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точке, уда-
ленной на а = 10 см как от первой, так и от второй проволоки?
14-13. Прямой металлический стержень диаметром d = 5 см и длиной
1 » 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд
Q « 500 нКл.’Определить напряженность Е поля в точке, находящей-
ся против середины стержня на расстоянии а = 1 см от его поверхно-
сти.
14-14. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка ради-
усом R = 2 см несет равномерно распределенный по поверхности за-
Рис. 14.7
Рис. 14.8
ряд (о = 1 нКл/м2). Определить напряженность Е поля в точках, от-
стоящих от оси трубки на расстояниях гу — 1 см; rs = 3 см. Построит*
график зависимости Е (г).
14-15. Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки радиусами
«= 2 см и R2 — 4 см несут заряды, равномерно распределенные по
длине с линейными плотностями Тд = 1 нКл/м и т2 = — 0,5 иКл/м.
Пространство между • трубками заполнено эбонитом. Определить на-
пряженность Е поля в точках, находящихся на расстояниях t\ » 1 см,
rt = 3 см, г8 = 5 см. Построить график зависимости Е от г.
14-16. На отрезке тонкого прямого проводника длиной I —« 10 ем
равномерно распределен заряд с линейной плотностью т =• -3 мкКл/м.
Вычислить напряженность Е; создаваемую этим зарядом в точке, рао-
положенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца от-
резка на расстояние, равное длине этого отрезка.
14-17. Тонкий стержень длиной I = 12 см заряжен о линейной плот-
ностью т = 200 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поли
в точке, находящейся на расстоянии г ° 5 см от стержня против его
середины.
14-18. Тонкий стержень длиной I = 10 см заряжен с линейной плот-
ностью т = 400 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поли
в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенному
через один из его концов, на расстоянии г — 8 см от этого конца.
14-19. Электрическое поле создано зарядом тонкого равномерно за-
ряженного стержня, изогнутого по трем сторонам квадрата (рив. 14.7).
177
Длина а стороны квадрата равна 20 см. Линейная плотность т заряде»
равна 500 нКл/м. Вычислить напряженность £ поля в точке А.
14-20. Два прямых тонких стержня длиной = 12 см и = 16 сад
каждый заряжены с линейной плотностью т =‘400 нКл/м. Стержнй
образуют прямой угол. Найти напряженность £ поля в точке А
(рнс. 14.8).
Напряженность пол^
заряженной плоскости
М-21. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллель-
ными пластинами, несущими одинаковый равномерно распределенный
ПО пдощади заряд to *»= 1 н.Кл/м’). Определить напряженность £ пр-
лл: 1) между пластинами; 2) вне пластин Построить график изме-
нения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам-
14-22. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллель-
ными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади
заряд с поверхностными плотностями ай = 1 нКл/м® и о2 = 3 нКл/м2.
Определить напряженность Ё поля: 1) между пластинами; 2) вне пла-
стин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, пер-
пендикулярной пластинам.
14-28. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллель-
ными пластиками, несущими равномерно распределенный по площади
заряд с поверхностными плотностями оу = 2 нКл/м® и о2 = - 5 нКл/м8.
Определить напряженность £ поля: 1) между пластинами; 2) вне
пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии,
перпендикулярной пластинам.
14-24. Две прямоугольные одинаковые параллельные пластины, дли-
ны сторон которых а — 10 см и b — 15 см, расположены на малом
(по сравнению с линейными размерами пластин) расстоянии друг от
друга. На одной из пластин равномерно распределен заряд Qj = 50 нКл,
на другой — заряд Q2 = 150 нКл Определить напряженность £
электрического поля между пластинами.
14-25. Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряже-
ны с поверхностной плотностью оу = 10 нКл/м2 и о2 = — 30 нКл/м2.
Определить силу взаимодействия между пластинами, приходящуюся
на площадь S, равную 1 м2.
14-26. Две круглые параллельные пластины радиусом /? = 10 см
находятся на малом [по сравнению с радиусом) расстоянии друг от
друга. Пластинам сообщили одинаковые по абсолютному значению,
но противоположные по знаку заряды [Qj[ = | Q2 [ = Q. Определить
этот заряд Q, если пластины притягиваются с силой £ = 2 мН. Счи-
тать, что заряды, распределяются по пластинам равномерно
Напряженность поля заряда,
распределенного по объему
14-27. Эбонитовый сплошной шар радиусом- R — 5 см несет заряд,
равномерно распределенный с объемной плотностью р = 10 нКл/м3.
Определить напряженность £ и смещение D электрического поля в
точках.' 1) на расстоянии /у = 3 см от центра сферы; 2) на поверхно-
178
•та сферы; 3) на расстоянии г2 = 10 см от центра сферы. Построит!
График зависимости Е (г) и D (г).
14-28. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный во
объему заряд. Его объемная плотность р = 100 нКл/м®. Внутренний
радиус Rx шара равен 5 см, наружный — /?2 =• Ю см- Вычислить на-
пряженность Е и смещение D электрического поля в точках, отстоя-
щих от центра сферы на расстоянии: !)<]=»
3) <з =*• 12 см. Построить график зависимости
В (г) и D (г).
14-29. Длинный парафиновый цилиндр ра-
диусом R => 2 см несет заряд, равномерно
распределенный по.объему с объемной плот-
ностью р = 10 нКл/м®. Определить напряжен-
ность Е и смещение D электрического поля в
точках, находящихся от оси цилиндра на рас-
етоянииг 1) <1=1 см; 2) г2 = 3 см. Обе точки
равноудалены от концов цилиндра. Построить
Трафик зависимости Е (г), D (г).
14-30. Большая плоская, пластина толщиной -
d = 1 см несет заряд, равномерно распреде-
ленный по объему с объемной плотностью
р = 100 нКл/м®. Найти напряженность Е
электрического поля: вблизи центральной части
3 см; 2) г, =« 6 см;
Рио. 14.»
пластины вне ее, на
малом расстоянии от поверхности.
14-31. Лист стекла толщиной d = 2 см равномерно заряжен в объем-
ной плотностью р = 1 мкКл/м3. Определить напряженность В и вме-
щение D электрического поля в точках Д,»В, С (рис. 14.9). Построить
график зависимости Е (х) (ось х координат перпендикулярна Поверх-
ности листа стекла).
Метод зеркальных изеВражш^
рт бесконечной проводящей
1 нКл. Определить силу В,
14-32. На некотором расстоянии а « б см
плоскости находится точечный заряд Q ="
действующую на заряд со стороны индуци-
рованного им заряда на плоскости.
Рио. I4.lt
14-83. На расстоянии а «= 10 см от бесконечной проводящей плоскости
находится точечный заряд Q — 20 нКл. Вычислить напряженность
Е электрического поля в точке, удаленной от плоскости на расстояние
а и от заряда Q на расстояние 2а.
14-34. Точечный заряд Q = 40 нКл находится на расстоянии а =»
«= 30 см от бесконечной проводящей плоскости. Какова напряжен-
ность Ё электрического поля в точке А (рис. 14.10)?
14-ЗБ. Большая металлическая пластина расположена в вертикаль-
ной плоскости и соединена с землей (рис. 14.11). На расстоянии а =
«» 10 см от-пластины находится неподвижная точка, к которой на нити
длиной I »= 12 см подвешен маленький шарик массой т = 0,1 г. При
сообщении шарику заряда Q он притянулся к пластине, в результате
чего нить отклонилась от вертикали на угол а =« 30°. Найти за-
ряд Q шарика.
Сила, действующая на заряд
в электрическом поле
14-38. Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд
с линейной плотностью т == 2 мкКл/м. Вблизи средней части нити на
расстоянии г = 1 см, малом по сравнению с ее длиной, находится то-
чечный заряд Q = 0,1 мкКл. Определить силу F, действующую на
заряд.
14-37. Большая металлическая пластина несет равномерно распреде-
ленный по поверхности заряд (о = 10 нКл/м2). На малом расстоянии
от пластины находится точечный заряд Q = 100 нКл. Найти силу F,
действующую на заряд.
14-38. Точечный заряд Q = 1 мкКл находится вблизи большой рав-
номерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить по-
верхностную плотность о заряда пластины, если на точечный заряд
действует сила F = 60 мН.
14-39. Между пластинами плоского конденсатора находится точеч-
ный заряд Q = 30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой
Fx = 10 мН. Определить силу Fs взаимного притяжения пластин,
если площадь S каждой -пластины равна 100 см2.
14-40. Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, равномер-
но распределенный по площади с поверхностной плотностью о =
= 20 нКл/м2, расположена тонкая нить с равномерно распределенным
по длине зарядом (т = 0,4 нКл/м). Определить силу F, действующую
на отрезок нити длиной I = 1 м.
14-41. Две одинаковые круглые пластины площадью по S = 100 см2
каждая расположены параллельно друг другу. Заряд Qx одной пла-
стины равен + 100 нКл, другой Q, = — 100 нКл. Определить силу F
вааимного притяжения пластин в двух случаях, когда расстояние меж-
Йними: 1) г. > 2 см; 2) г, - 10 м.
-42. Плоский конденсатор .состоит иа двух пластин, разделенных
стеклом. Какое давлений р Производят пластины на стекло перед про-
боем, если напряженность Е электрического поля перед пробоем рав-
на 30 МВ/м?
180
14-43. Две параллельные, бесконечно длинные - прямые нити несут
заряд, равномерно распределенный по длине с линейными плотностя-
ми = 0,1 мкКл/м и т2 '= 0,2 мкКл/м. Определить силу F взаимо-
действия, приходящуюся на отрезок нити длиной 1 м. Расстояние г
между нитями равно 10 см.
14-44. Прямая, бесконечная, тонкая нить несет равномерно распре-
деленный по длине заряд Cq = 1 мкКл/м). В плоскости, содержащей
нить, перпендикулярно нити находится тонкий стержень длиной I.
Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии I от нее.
.Определить силу F, действующую на, стержень, если он заряжен с ли-
нейной плотностью т2 = 0,1 мкКл/м.
14-45. Металлический шар имеет заряд = 0,1 мкКл. На расстоя-
нии, равном радиусу шара, от его поверхности находится конец нити,
вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равномерно распреде-
ленный по длине заряд Qs = 10 нКл'. Длина нити равна радиусу шара.
Определить силу F, действующую на нить, если радиус R шара равен
10 см.
14-46. Соосно с бесконечной прямой равномерно заряженной линией
(Т1 = 0,5 мкКл/м) расположено полукольцо с равномерно распределен-
ным зарядом (т2 = 20 нКл/м). Определить силу F взаимодействия нити
с полукольцом. -
14-47. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный
заряд с линейной плотностью = 1 мкКл/м. Соосно с нитью распо-
ложено тонкое кольцо, заряженное равномерно с линейной плотно-
стью т2 = 10 нКл/м. Определить силу F, растягивающую кольцо. Вза-
имодействием между отдельными элементами кольца пренебречь.
14-48. Две бесконечно длинные равномерно заряженные тонкие нити
(тх = т2 = т = 1 мкКл/м) скрещены под прямым углом друг к другу.
Определить силу F их взаимодействия.
Поток напряженности и поток
электрического смещения
14-49. Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределен-
ный с поверхностной плотностью о = 1 мкКл/м2. На некотором рас-
стоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом
г = 10 см. Вычислить поток Ф£ вектора напряженности через этот
круг. _ .
14-50. Плоская квадратная пластина со стороной длиной а, равной
10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно
заряженной (б = 1 мкКл/м2) плоскости. Плоскость пластины состав-
ляет угол Р = 30° с линиями поля. Найти поток V электрического сме-
щения через эту пластину.
14-51. В центре сферы радиусом R = 20 см находится точечный за-
ряд Q = ю нКл. Определить поток Ф£ вектора напряженности че-
рез часть сферической поверхности площадью S = 20 см2.
14-52. В вершине конуса с телесным углом со = 0,5 ср находится то-
чечный заряд Q = 30 нКл. Вычислить поток Т электрического сме-
181
щен ия через площадку, ограниченную линией пересечения п—зуд
ности конуса с любой другой поверхностью.
14-58. Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины а |
которых равны 8 я2 см соответственно, находится на расстоянии Jf ы*
= 1 м от точечного заряда Q — 1 мкКл. Площадка ориентировав! як,
что линии напряженности составляют угол а = 30° с ее поверхность ж
Найти поток Фс вектора напряженности через площадку.
14-54. Электрическое ноле создано точечным зарядом Q — 0,1 мкКд»
Определить поток ¥ электрического смещения через круглую влб-
щадку радиусом R — 30 см. Заряд равноудален от краев площадка
и находится на расстоянии а «= 40 см от ее центра.
1-4-R5. Заряд Q — 1 мкКл разноудален от краев круглой площадки
на расстояние г 20 см. Радиус R площадки равен 12 см. Определить
среднее значение напряженности <£> в (пределах площадки.
14-66. Электрическое поле создано бесконечной прямой равномерно
заряженной линке* (ч 03 мкКл/м). Определить поток V элтрв*
ческого смещения через прямоугольную площадку, две большие сто-
роны которой параллельны заряженной линии и одинаково удалены о*
нее на расстояние г “ 20 см. Стороны площадки имеют размеры я
— 20 см, Ъ » 40 см.
| 16. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ
СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО
ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА
В ПОЛЕ
Основные формулы
I. Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению по-
тенцкэльиой энергии к точечному положительному заряду, помещенному в дан-
ную Точку поля:
ч = П/<2,
или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы
сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки по-
ля в бесконечность к величине этого заряда:
<Р = A/Q.
Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным
нулю.
Отметим, что при перемещении заряда в электрическом тэле работа
-внешних свя равна по абсолютному значению работе Лс.о сил воля и 1П0от,ивэ-
ноложиэ ей по знаку:
^в.с= — ^с.п-
1. Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом (? пэ
расстоянии г от вар яда,
Q'
W —-----------♦
4ЭТ6Ц er
182
, 8. Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей
еержд О сферой радиусом Я, ко расстоянии г от центра сферы:
л
внутри сферы (г<Я) ...... ф=—---------7Г
“ 4л80 е/?
о
на поверхности сферы (г=/?) . • • п>=— —
4лв0 eR
п
вне сферы (rZ>R) . , , , , , . . п> ==-------
4лев w
Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах в есть
дпмектрическая проницаемость -однородного безграничного диэлектрина, «
ружжющего сферу.
4. Потенциал электрического поля, созданного системой я точечных »а-
ржаов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических
полей равен алгебраической сумме потенциалов ед, ф|( ..., <рп, создаваемый от-
дельными точечными зарядами Qj, Qa, ....
п
Ф = 3 ФГ-
/ —1
В. Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов <&, Qn
определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удале-
ния вх относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
г» ф| — потенциал поля, создаваемого всеми я — ! зарядами (за исключением
/-го) в точке, где расположен заряд Qj.
в. Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Е = — grad ф.
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта
связь выражается формулой
dr г *
или в скалярной форме
' Е = — <1<р/ dr,
а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точ-
ке его одинакова как по абсолютному значению, так к по направлению,
£ = (Ф1 — Ф»У</,
где ф1 и <р2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей! Л —
расстояние между этими поверхностями вдоль элекгричесиой силовой длишь
7. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении томленого
заряда О из одной точки поля, имеющей потенциал <и, в другую, нмеющув по-
тенциал <р2,
—фг), или Д|<Ка
ь
где В( — проекция вектора напряженности В на направление переиевиииц
d( — перемещение.
В случае однородного поля последняя формула принимает низ
Л = QEl cos а,
где I — перемещение; а — угол между направлениями вектора В и церемещв*
НИЯ I,
Ш
Примеры решения задач
1. Положительные заряды Qj — 3 мкКл и Q2 = 20 нКл находятся в
вакууме на расстоянии гх = 1,5 м друг от друга. Определить работу
А, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния
r2 = 1 м.
Решение. Положим, что .первый заряд'(Д остается неподвижным, а
второй Q2 под действием внешних сил перемещается в поле, создан-
ном зарядом приближаясь к нему с расстояния г, = 1,5 м до г2 =•
— I м
Работа А' внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки
•поля с потенциалом ф в другую, потенциал которой ф2, равна по аб-
солютному значению и противоположна по знаку работеЛ сил поля
по перемещению заряда между теми же точками:
А' = —А.
Работа А сил поля по перемещению заряда А = Q (ф, — <р2) Тог-
да работа А' внешних сил может быть записана в виде
А’ = — Q (Ф1 — <р2) = Q (ф2 — Ф1) (1)
Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами
Qi Qi
Ф1 = , Фг = -~-
4лв(,г) 4лВ() г2
Подставляя выражения cpj и ф2 в формулу (1) и учитывая, что для
данного случая переносимый заряд Q = Q2, получим
Д' Ql 0'2. ( I 1
4лв(, \ г2 гх)'
Если учесть, что -Д- = 9 •
J 4л8а
то после подстановки значений
Рис. 15.1
(2)
10® м/Ф.
величин
в формулу (2) и вычисления найдем
А' ~ 180 мкДж.
2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q — 10 нКл из точ-
ки / в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя разноименно
заряженными с поверхностной плотностью о — 0.4 мкКл/м* 2 беско-
нечными параллельными плоскостями, расстояние I между которыми
равно 3 см.
Решение. Возможны два способа решения задачи.
1-й с п о с о б. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки-
1 поля с потенциалом фх в точку 2 поля с потенциалом ф2 найдем по
формуле
^ = <?(Ф1 —Фг). (1)
Для определения потенциалов в точках / и 2 проведем через эти
точки эквипотенциальные поверхности 1 и 11. Эти поверхности бу-
184
дут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными
бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого
поля справедливо соотношение
Фт — = Е1,
(2)
где Е — напряженность поля; I — расстояние между эквипотенциа-
альными поверхностями.
Напряженность поля между параллельными бесконечными раз-
ноименно заряженными плоскостями Е = о/е0. Подставив это выра-
жение Е в формулу (2) и затем выражение <р, — <ра в формулу (I), по-
лучим
Л = Q (о/80)/. (3)
2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая
на заряд Q, при его перемещении постоянна Поэтому работу переме-
щения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле
А — F&r cos а, ' (4)
где F — сила, действующая на заряд; Дг — модуль перемещения за-
ряда Q из точки / в точку 2; а — угол между направлениями переме-
щения и силы. Но F = QE = Q—. Подставив это выражение F в ра-
венство (4), а также заметив,
что Дг cos а- = I, получим
А = Q (о/гп)1 (5)
Таким образом, оба решения
приводят к одному и тому же
результату.
Подставив в выражение (5)
значения , величин Q, о, 8П и I,
найдем
А = 13.6 мкДж.
3. По тонкой нити, изогнутой
по дуге окружности радиусом
Д, равномерно распределен за-
ряд с линейной плотностью
т = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал <р элек-
трического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в
точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина I нити состав-
ляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.
Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпа-
дало с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположе-
на относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент
длины d/. Заряд dQ = rd/, находящийся на выделенном участке,
можно считать точечным.
185
Определим напряженность электрического поля в точке О. Для
этого найдем сначала напряженность dE поля, воздаваемого зарядом
dQj
dE = -I^—
4л8о Г2 г
где г — радиус-вектор, направленный от элемента 61 к точке, напря-
женность в которой вычисляется. Выразим век юр dE через проек-
ция dEs и d£B на оси координат:
dE = i d£x + } dEB.)
где I и J — единичные векторы направлений (орты).
Напряженность Е найдем интегрированием! 'т "
E=f dE = lJd£3C + jfdEI,.
I I Г
Интегрирование ведется вдоль дуги длины I. В силу симметрии ин-
теграл j' dZjs равен нулю. .Тогда
Е = j J dEv,
.<0
cos fl1. Так как г = R = const и dl =»
-----cos 0 dO.
cos#
где 6BV -dEcosO-
— /?d0, то
d£„ = --- —. ______
’ 4ле0 R2 4ле0Е
Подставим найденное значение 6EV в выражение (1) и, приняв во вни-
мание симметричное расположение дуги относительно оси у, пределы
интегрирования возьмем от 0 до п/3, а результат удвоим:
Я/3
Е = j -—-— f cos & de = j-------Isin е|"/э.
4ne,BR J 2лв.Я ' °
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (31
= 2п7?), получим
E-j—J-K3.
6eoz
Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным на-
правлением оси у. Подставив значения т и I в последнюю формулу и
сделав вычисления, найдем
Е = 2,18 кВ/м.
Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сна-
чала потенциал d<j>, создаваемый точечным зарядом dQ в точке Oi
j
dq> = ---.
186
Заменим г на R и произведем интегрирование;
Ф = -2—.
4ле07? J
о
Так как I = 2nR13. то
Ф = тДбеД
Произведя вычисления по этой формуле, получим
Ф = 188 В.
4. Электрическое поле создано длинны» цилиндром радиусом
R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью t »
= 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого по-
ля, находящихся на расстояниях гц = 0,5 см и о2 = 2 см от поверх*
ности цилиндра, в средней его части.
Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся ео-
отношением между напряженностью поля и изменением - потенциала
Е = — grad ф. Для поля с осевой симметрией, каким является яоле
цилиндра, это соотношение можно записать в виде
Е — —dip/dr, или dip = —Edr.
Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов
двух точек, отстоящих на rj и гъ от оси цилиндра:
Ч’г —<Pi= — £ dr.
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи
ти, то для выражения напряженности поля можно
формулой Е = . Подставив это выражение Е
получим
Ф2 —<Р1 =
(1)
его средней чае-
воспользоваться
в равенство (1),
т , Ы
ф!—(р2= --- In —
2ле Г|
(2)
Гак как величины г2 и rf входят в формулу в виде отношения, то
их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:
rx = R + flj = 1,5 см, г2 = R + а2 = 3 см.
Подставив значения величин т, в0, г, и г2 в формулу (2) и вычислив,
найдем
Фт — Та 35 250 В.
187
5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномер-
но распределенный по длине заряд т = 0,1 мкКл/м Определить по-
тенциал ф поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние,
равное длине стержня.
Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным,
поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала фор-
мулу
справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если раз-
бить стержень на элементарные отрезки d/, то заряд rd/, находя-
щиися на каждом из них. можно рас-
сматривать как точечный н тогда фор-
мула (1) будет справедлива. Применив
ату 'формулу, получим
dq> = -^-, (2)
4 ле,/
где г — расстояние точки, в которой
определяется потенциал, до элемента
стержня.
Из рис. 15.3 следует, что d/ = г — .
Подставив это выражение d/ в формулу
(2), найдем
Интегрируя полученное выражение в пределах от аг до as, полу-
чим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным на стерж-
не:
т Ла
4л», со» a
a,
т Г da
4л8о J cos a
В еилу симметрии расположения точки
А относительно концов
стержня имеем a, ™ н поэтому
da
Следовательно,
Sr (* da
<Р ж I -------------- •
4лвц J cos a
о
IKS
Так как.
• = In tg( — 4- —) Ч-С (см. табл. 2), то
cos a \ 2 4 /
2т
Ф = -------
4 ле,.
л/tt
4 / j
0
Подставляя пределы интегрирования, получим
— Intg —.
4лво 3
2т
<р=—---
4л,в.
Сделав вычисления по этой формуле, найдем
Ф = 990 В.
6. Электрон со скоростью v = 1,83» 10" м/с влетел в однородное
электрическое пбл'е в направлении, противоположном вектору напря-
женности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти
электрон, чтобы обладать энергией Et = 13,6 эВ*? (Обладая такой
энергией, электрон при столкновении о атомом водорода может иони-
зировать его. Энергия 13.6J3B называется энергией ионизации водорода.)
Решение. Электрон должен пройти такую разность- потенциалов U,
чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической
энергией Т, которой обладал электрон перед вхождением в поле, сос-
тавила энергию, равную энергии ионизации Et, т. е. ’W + Т = Et.
Выразив в этой формуле W = eU и Т = получим eU + -у“=*
= Et. Отсюда
2Ej—m&
2е
Произведем вычисления в единицах СИ:
. U ==4.15 В.
7. Определить начальную скорость оо сближения протонов, находя-
щихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если мини-
мальное расстояние rniin, на которое они могут сблизиться, равно
Ю-11 см.
Решение. Между двумя протонами действуют силы отталкивания,
вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому за-
дачу можно решить как в инерциальной системе координат (связан-
ной с центром масс двух протонов), так и в неинерциальной (связан-
ной с одним из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае
законы Ньютона не имеют места. Применение же принципа Далам-
бера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет перемен-
ным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной системе от-
счета.
* Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая
вар яд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта вне-
системная единица энергии в настоящее время допущена к применению и фи-
ви ке. ,
1Ю
Поместим начало координат в центр масс двух протонов. Посколь-
ку мы имеем делю с одинаковыми частицами, то центр масс будет на-
ходиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы.
Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент вре-
мени одинаковые по абсолютному значению скорости. Когда частицы
находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, скорость
каждой частицы равна половине о0, т. е. = v0/2.
Для решения задачи применим закон сохранения энергии, соглас-
но которому полная механическая энергия Е изолированной системы
постоянна, т. е.
Е = Т + П,
где Т — сумма кинетических энергий обоих протонов относительно
центра масс; П — потенциальная энергия системы зарядов.
Выразим потенциальную энергию в начальный. П, и конечный
П2 моменты движения.
В начальный момент, согласно условию задачи, протоны находи-
лись на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией мож-
но пренебречь (Пг = 0). Следовательно, для начального момента пол-
ная энергия будет равна кинетической энергии Т} протонов, т. е.
' • Е = Л- (1)
В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, ско-
рость и кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия будет
равна потенциальной энергии Па, т. е.
Е = П2. (2)
Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
Л=.П8. (3)
Кинетическая энергия равна сумме, кинетических энергий прото-
нов:
Т (4)
2 2 4
Потенциальная энергия системы двух зарядов и Q2, находя-
щихся в вакууме, определяется по формуле П = , где г—рас-
гтояние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, получим
G учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид
---------------------: , откуда
4 4леогт|п
Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем
v0 = 2,35 Мм/с,
190
Рис. 15.4
8. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов
Цп — 10 кВ и влетел в пространство между, пластинами плоского кон-
денсатора, заряженного до разности потенциалов = 100 В, по
линии АВ, параллельной пластинам (рйс. 15.4). Расстояние d между
пластинами равно 2 см. Длина пластин конденсатора в направлении
полета электрона равно 20 см. Определить расстояние ВС на экране
PQ, отстоящем от конденсатора на /2 = 1 м.
Решение. Движение электрона внутри конденсатора складывается из
двух движений: 1) по инерции вдоль линии АВ с потоянной скоро-
стью v9, приобретенной под действием разности потенциалов Uo, ко-
торую электрон прошел До кон-
денсатора; 2) равномерно уско-
ренного движения в вертикаль-
ном направлении к положитель-
но заряженной пластине под
действием постоянной силы поля
конденсатора. По выходе из кон-
денсатора электрон будет дви-
гаться равномерно со скоростью
v, которую он имел в точке М в
момент вылета из конденсатора.
Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние | ВС | = Л1+Л«, где
/?i — расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном на-
правлении во время движения в конденсаторе; h2 — расстояние меж-
ду точкой D на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по вы-
ходе из конденсатора по направлению начальной скорости v0, и точ-
кой С, в которую электрон попадет в действительности.
Выразим отдельно /?, и й2.
Пользуясь формулой длины пути равномерно ускоренного дви-
жения, найдем
h, = аР/2, (1)
где а — ускорение, полученное электроном под действием поля кон-
денсатора; t — время полета электрона внутри конденсатора.
По второму закону Ньютона; а = Flm, где F — сила, с которой
поле действует на электрон, т — его масса. В свою очередь, F = еЕ =»
— е-^ , где е — заряд электрона; Ut — разность потенциалов меж-
ду пластинами конденсатора; d — расстояние между ними.
Время полета электрона внутри конденсатора найдем из формулы
пути равномерного движения lt — v^, откуда
t = д/ц,,
где lt — длина конденсатора в направлении полета электрона. Вы-
ражение скорости о0 найдем из условия равенства работы, совершен-
ной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинети-
ческой энергии: = eU0. Отсюда
т
1N
Подставляя в формулу .(1) последовательно значения а, В, I и »о из
соответствующих, выражений, получим
ми.,
Длину отрезка й2 найдем из подобия треуюльников MDQ и век-
торного:
Л2=_-^, (3)
а
где Ох — скорость электрона в вертикальном няппявлрнир я точке М;
lt — расстояние от конденсатора до экрана |
Скорость ц найдем по формуле о, = at, которая и учетом выраже-
ний для a, В и / примет вид
о1 = -^.
dmv
Подставив выражение о, в формулу (3), получим ht — или,
заменив ио но формуле (3), найдем
Ui h (.
ми
Окончательно для искомого расстояния | ВС | будем иметь
lBCl"h‘+',’=-W +
U1 й G
мии
Подставив значения величин Ux, Uo, d, Zj и Za в последнее выра-
жение и произведя вычисления, получим
| ВС | = 5,5 см.
Задачи
Потенциальная энергия и потенциал
поля точечных зарядов
15-1. Точечный заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой точке поля,
обладает потенциальной энергией^! = 10 мкДж. Найти потенциал
<р этой точки поля.
15-2. При перемещении заряда Q = 20 нКл между двумя точками
поля внешними силами была совершена работа А — 4 мкДж. Опре-
делить работу Ах сил поля и разность Дф потенциалов этих точек по-
ля.
15-3. Электрическое поле создано точечным положительным зарядом
Qj — 6 нКл. Положительный заряд Q2 переносится из точки А этого
поля в точку В (рис. 15.5). Каково изменение потенциальной энергии
ДП, приходящееся на единицу переносимого заряда, если = 20 см
и г» = 50 см?
192
15-4. Электрическое поле создано точечным зарядом Qj *= 50 нКл.
Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу А внешних
сил по перемещению точечного заряда Q# •= —2 нКл из точки С в точ-
ку В (рис. 16.6), если гг Ш см, га = 20 см. Определить также изме-
нение ДП потенциальной энергии системы зарядов.
15-5. Поле создано точечным зарядом Q — 1 нКл. Определить потен-
циал ф поля в точке, удаленной от заряда на расстояние г — 20 см.
15-6. Определить потенциал ф' электрического поля в точке, удален-
ной от зарядов Qj « —0,2 мкКл и Qa = 0,5 мкКл соответственно на
Рис. 15.5
0
р
✓
ъ/
--------------о
2» ri -В
Рис. 15.6
г\ = 15 см и г2 = 25 см. Определить также минимальное и максималь-
ное расстояния между зарядами, при которых возможно решение.
15-7. Заряды Qi = 1 мкКл и Qa = —1 мкКл находятся на расстоя-
нии d = 10 см. Определить напряженность Е и потенциал <р поля в
точке, удаленной на расстояние г = 10 см от первого заряда и лежа-
щей на линии, проходящей через первый заряд перпендикулярно на-
правлению от Qj к Q2.
15-8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точечных
зарядов = 100 нКл и Q2= 10 нКл, находящихся на расстоянии
d = 10 см друг от друга.
15-9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных заря-
дов & — 10 нКл, Q.2 — 20 нКл и 0з = —30 нКл, расположенных в
вершинах равностороннего треуголь-
ника со стороной длиной а — 10 см. 2
15-10. Какова потенциальная энергия ? Г
П системы четырех одинаковых то-
чечных зарядов Q= 10 нКл, располо- »
женных в вершинах квадрата со стр- }
роной длиной а = 10 см? 1
15-11. Определить . потенциальную ©---------—----------Q-1
энергию П системы четырех точечных —-Хр—°—,—*2
зарядов, расположенных в вершинах
квадрата со стороной длиной а — Рис. 15.7
= 10 см. Заряды одинаковы по аб-
солютному значению Q = 10 нКл, но два из них отрицательны.
Рассмотреть два возможных случая расположения зарядов.
15-12. Поле создано двумя точечными зарядами +2Q и —Q, находя-
щимися на расстоянии d — 12 см друг от друга. Определить геометри-
ческое место точек на плоскости, для которых потенциал равен нулю
(написать уравнение линии нулевого потенциала).
7 Зек. 94 ' 193 .
15-13. Система состоит из трех зарядов — двух одинаковых по абсо-
лютному значению Q, = | Q21 = I мкКл и противоположных по зна-
ку и заряда Q = 20 нКл. расположенного в точке 1 посередине меж-
ду двумя другими зарядами системы (рис. 15.7). Определить измене-
ние потенциальной энергии АП системы при переносе заряда Q из
точки I а точку 2. Эти точки удалены от отрицательного заряда Qa
на расстояние а — 0,2 м.
Потенциал поля линейно
распределенных зарядов
15 14 По тонкому кольну радиусом R «= 10 ем равномерно распреде-
лен заряд в линейной плотностью т — 10 нКл/м. Определить потен-
циал ф в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а “ б ем от
центра.
15 15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рав-
пределен заряд в линейной плотностью г — 10 нКл/м Вычислить
потенциал <р. создаваемый этим зарядом в точке расположенной на
оси проводника и удаленной от ближайшего конца ni .езка на расстоя-
ние, равное длине этого отрезка.
15 16 Тонкий стержень длиной I = -10 ®м несет равномерно распре-
деленный заряд Q = 1 нКл. Определить потенциал ц электрического
поля в точке, лежащей иа оси стержня на расстоянии а == 20 «м от
ближайшего его конца
15-17. Тонкие стержни образуют квадрат so стороной длиной о. Стерж-
ни заряжены е линейной плотностью г = 1,83 нКл/м Найти потен-
циал <р в центре квадрата
15 18 Бесконечно длинная тонкая прямая нить песет равномерно
распределенный по длине нити заряд в линейной плотностью т «=
= 0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов Ач двух точек
поля, удаленных от нити на = Ё ем и г8 = 4 см
Потенциал поля зарядов,
распределенных по поверхности
15 19 Тонкая круглая пластина несет равномерно распределенный
по плоскости заряд Q = 1 нКл Радиус R пластины равен 5 см Опре-
делить потенциал ф электрического поля в двух точках: 1) в центре
пластины; 2) в точке, лежашей на оси, перпендикулярной плоскости
пластины и отстоящей от центра пластины на а = 5 см.
15-20. Имеются две концентрические металлические сферы радиуса-
ми А*, = 3 см и «= 6 см Пространство между сферами заполнено
парафином. Заряд 0] внутренней сферы равен —1 нКл, внешней
= 2 нКл. Найти потенциал ф электрического поля на расстоянии:
1) q = 1 ем: 2) rt = 5 см; 3) г8 = 9 см от центра сфер.
15-21. Металлический шар радиусом /? *= 5 см несет заряд Q =а
= I нКл Шар окружен глоем эбонита толщиной d = 2 ем. Вычис-
лить потенциал ф электрического поля па расстоянии:. I) г, = 3 ем|
2) г, = 6 см; 3) гв == 9 gm от центра шара. Построить график зависи-
мости ф (г).
<5-22. Металлический шар радиусом А?, = 10 см заряжен до потен-
циала q>! = 300 В. Определять потенциал <р, этого шара в двух слу-
чаях: 1) после того, как его окружат сферической проводящей обо-
лочкой радиувом R? — 15 «м я на короткое время воединят в ней про-
водником; 2) если его окружить сферической проводящей заземлен-
ной оболочкой радиувом R, = 15 см?
15-23. Заряд распределен равномерно по бевконечной плоскости о
поверхновтной плотностью ® = 10 нКл/м< Определить разность по-
тенциалов Д(р двух точек поля, одна из которых находится на плоско-
вти, а другая удалена от пловкости на рао-
втоянив d = 10 «м
15-24 Определить потенциал ф, до кото-
рого можно зарядить уединенный металли-
ческий шар радиувом R == 10 вм, если на-
пряженность Е поля при которой происходит пробой воздуха, равна
3 МВ/м. Найти также максимальную поверхностную плотность о
электрических зарядов перед пробоем
15-25. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на рас-
стоянии d = 0,5 ем друг от друга На плоскостях равномерно распре-
делены заряды « поверхностными плотностями Oj = 0,2 мкКл/м* и
оа — —0,3 мкКл/м< Определить разность потенциалов U между плос-
костями.
15-26 Две бесконечные параллельные плоскости находятся на рас-
стоянии d = I см друг от друга Плоскости несут равномерно распре-
деленные по поверхностям заряды и' плотностями о± = 0,2 мкКл/м*
и о2 — 0,5 мкКл/м^ Найти разность потенциалов U. пластин.
15-27. Металлический шарик диаметром d = 2 км заряжен отрица
гельно до потенциала ф = 150 В. Сколько электронов находится на по-
верхности шарика?
15-28. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до по:енциала <р =
— 20 В вливаются в одну большую каплю Каков потенциал ф, об
разевавшейся капли?
15-20 Две круглые металлические пластины радиусом R — 10 см
каждая, заряженные разноименно, равположены одна против другой
параллельно друг другу и притягиваются с силой F = ? мН Расстоя-
ние d между пластинами равно I см. Определить разновть потенциалов
U между пластинами.
Г
195
15-30. Электрическое поле воздано бесконечно длинным равномерно
заряженным (о = 0,1 мкКл/ма) цилиндром радиусом R = 5 см. Оп-
ределить изменение АП потенциальной энергии однозарядного поло-
жительного иона при перемещении его из,точки I в точку 2 (рис. 15.8).
15-31. Электрическое поле создано отрицательно заряженным метал-
лическим шаром Определить работу А1г внешних сил по перемеще-
нию заряда Q = 40 нКл из точки 1 з потенциалом <₽) * —300 В в точ-
ку 2 (риа. 15.9).
Потенциал поля зарядов,
распределенных по объему
15-32 Плоская стеклянная пластинка толщиной а в 2 ем заряжена
равномерно с объемной плотностью р — 10 мкКл/м®. Найти разность
потенциалов Дф между точкой, лежащей нэ поверхности пластины,
и точкой, находящейся внутри пластины в ее середине. Считать, что
размеры пластины велики по сравнению в ее толщиной
15-33. Сплошной парафиновый шар радиусом R = 10 ем равномерно
заряжен с объемной плотностью р = 1 мкКл/м® Определить потен-
циал ф электрического поля в центре шара и на его поверхности По-
строить график зависимости ф (г)
15-34 Эбонитовый толстостенный полый шар Hecei равномерно рас-
пределенный по объему заряд о плотностью р *= 2 мкКл/м8 Внутрен
ний радиус /?, шара равен 3 см, наружный /?2 = 6 см. Определить
потенциал ф шара в следующих точках I) на наружной поверхности
шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара.
Градиент потенциала и его
связь с напряженностью поля
15-35. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной
плотностью о = 4 нКл/м® Определить значение и направление гра-
диента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью.
15-36. Напряженность Е однородного электрического поля в неко-
торой точке равна 600 В/м Вычислить разность потенциалов U меж-
ду этой точкой и другой лежащей на прямой составляющей угол
а = 60 с направлением вектора напряженности Расстояние Дт меж-
ду точками равно 2_ мм.
15-37 Напряженность Е однородного электрического поля равна
120 В/м Определить разность потенциалов U между этой точкой и
другой, лежащей на той же силовой линии и отстоящей ot первой
на Дг = I мм
15-38 Электрическое поле создано положительным точечным заря-
дом Потенциал ф поля в точке, удаленной от заряде на г = 12 см,
равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциа-
ла в этой точке.
15-39 Бесконечная гонкая прямая нить несет равномерно распреде-
ленный по длине нити заряд а плотностью т = 1 нКл/м. Каков гра-
диент потенциала в гочке, удаленной на расстояние г == 10 ем от ни-
ти? Указать направление градиента потенциала.
15-40. Сплошной шар из диэлектрика (е = 3) радиуеом /? = 10 см
заряжен с объемной плотностью р = 50 нКл/м3; Напряженность
электрического поля внутри и на поверхности такого шара выража-
ется формулой Е = /, где * — расстояние от центра шара до
точки, в которой вычисляется нап|. лженность поля. Вычислить раз-
ность потенциалов A<j> между центром шара и точками, лежащими на
его поверхности.
Работа перемещения
зарядов в поле
15-41. Точечные заряды Q, == 1 мкКл и Q2 =» 0,1 мкКл находятся на
расстоянии гх — 10 см друг от друга. Какую работу А совершат си-
лы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от
него на расстояние: 1) rs = 10 м;
2) г3 = оо?
15-42. Электрическое поле создано --------->+-*------*-+<———Н
двумя одинаковыми положитель- I Jv,__________________1______ J,
ными точечными зарядами Q. Найти ? 2
работу Л112 сил поля по перемеще-
нию заряда Q, = 10 нКл из точки р
1 в потенциалом <р] = 300 В в точ- ис‘ ’ °
ку 2 (рис. 15.10).
15-43. Определить работу а по перемещению заряда Qi = 50 нКл
из точки 1 в точку 2 (рис. 16.11) в поле, созданном двумя зарядами,
модуль | Q| которых равен 1 мкКл и а = 0,1 м.
15-44 Электрическое поле создано бесконечной равномерно заряжен-
ной плоскостью с поверхностной плотностью заряда о = 2 мкКл/ма.
2 В этом поле вдоль прямой, состав-
<j>— ляющей угол а — 60’ с плоскостью,
I из гочки 1 в точку 2, расстояние I
между которыми равно 20 см
Рнс. 15.Н
Рис. 1Б.12
.(рио. 15.12), перемещается точечный электрический заряд Q =
= 10 нКл. Определить работу А сил. поля по перемещению заряда.
15-45. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд
с линейной плотностью т = 1 мкКл/м. Определить работу А сил поля
по перемещению заряда Q =?? I нКл из точки В в точку С (рис; 15.13).
197
15-46. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с
линейной плотностью т = 133 нКл/м. Какую работу А надо совер-
шить, чтобы перенести заряд Q — 6,7 нКл из центра полукольца в
бесконечность?
15-47. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом 7? = 10 см. Он
заряжен с линейной плотностою т = 300 нКл/м. Какую работу А на-
до совершить, чтобы перенести заряд
Q = 5 нКл из центра кольца в точ-
ку, расположенную на оси кольца на
расстоянии / = 20 см от центра его?
Рис. 15.13
15-48. Электрическое поле создано равномерно распределенным но
кольцу зарядом (т = 1 мкКл/м). Определить работу сил поля
по перемещению заряда Q = 10 нКл из точки 1 (в центре кольца)
точку 2, находящуюся на пер-
пендикуляре к плоскости кольца
(рис. 15.14).
15-49. Определить работу Д1>2 сил
поля по перемещению заряда Q =
Рис. 15.15
Рис. 15.16
= I мкКл из точки i в точку 2 поля, созданного заряженным про-
водящим шаром (рис. 15.15). Потенциал <р шара равен 1 кВ.
15-50. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный
заряд (т = 0,1 мкКл/м). Определить работу А1Л сил поля по перемо-
щению заряда Q = 50 нКл йз точки 1 в точку 2 (рис. 15.16).
Движение заряженных частиц
в электрическом поле
15-51. Электрон находится в однородном электрическом поле напря-
женностью Е — 200 кВ/м. Какой путь пройдет электрон за время
t = 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю? Какой ска»
198
ростъю будет обладать электрон в конце этого промежутка времени?
15-52. Какая ускоряющая разность потенциалов U требуется для то
го, чтобы сообщить скорость о = 30 Мм/с: 1) электрону; 2) протону?
15-53. Разность потенциалов U между катодом и анодом электронной
лампы равна 90 В, расстояние г = 1 мм. G каким ускорением а дви-
жется электрон от катода к аноду? Какова скорость о электрона в мо-
мент удара об анод? За какое время / электрон пролетает расстояние
от катода до анода? Поле считать однородным.
15-54 Пылинка массой т = I нг, несущая на себе пять электронов,
прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 3 МВ.
Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость v приоб-
рела пылинка?
15-55. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциа-
лов U = 600 кВ, приобрела скорость о = 5,4 Мм/с. Определить
удельный заряд частицы (отношение заряда в массе).
15-56. Протон, начальная скорость v которого равна 100 км/с, влетел
в однородное электрическое поле (Е = 300 В/см) так, что вектор
скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь
I должен пройти протон в направлений линий поля, чтобы его ско-
рость удвоилась?
15-57. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно G поверхност-
ной плотностью о = 35.4 нКл/ма. По направлению силовой линии
поля, созданного плоскостью, летит электрон. Определить минималь-
ное расстояние /га1п, на которое может подойти к плоскости электрон,
если на расстоянии /0 = 5 см он имел кинетическую энергию Т =
= 80 эВ.
15-58. Электрон, летевший горизонтально со скоростью v — 1,6 Мм/с.
влетел в однородное электрическое поле с. напряженностью Е =
— 90 В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по абсо-
лютному значению и направлению скорость о электрона через I нс?
15-59. Вдоль силовой линии однородного электрического поля дви-
жется протон. В точке поля потенциалом <р, протон имел скорость
с»! = 0,1 Mm/g. Определить потенциал гр2 точки поля, в которой ско-
рость протона возрастает в п = 2 раза. Отношение заряда протона к
его массе elm = 96 МКл/кг. ' .
15-60. В однородное электрическое поле напряженностью Е — 1 кВ/м
влетает вдоль силовой линии электрон со скоростью — 1 Мм/с.
Определить расстояние 1, пройденное электроном до точки, в которой
его скорость будет равна половине начальной.
15-61. Какой минимальной скоростью ога1п должен обладать протон,
чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до потенциала
<р = 400 В металлического шара (рис. 15.17)?
15-62. Электрон движется вдоль силовой линии однородного элек-
трического поля. В некоторой точке поля <з потенциалам = 100 В
* электрон имел скорость о* = 6 Мм/с. Определить потенциал <р# точки
поля, в которой скорость о, электрона будет равна O^t^.
! 15-63. Из точки 1 на поверхности бесконечно длинного отрицатель
' но заряженного цилиндра (т = 20 нКл/м) вылетает электрон
19Э
(у0 = 0). Определить кинетическую энергию Т электрона в точке 2, на-,
ходящейся на расстоянии 9/? от поверхности цилиндра, где R — его
радиус (рис. 15.18).
15-64. Электрон с начальной скоростью ов == 3 Мм/с влетел в однород-
ное электрическое поле напряженностью Е 150 В/м. Вектор на-
чальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электри-
ческого поля. Найти: 1) силу F, действующую на электрон; 2) уско-
рение а, приобретаемое электроном; 2)-скорость v электрона через
t = 0,1 мкс.
15-65. Электрон влетел в пространство между пластинами плоского
конденсатора со скоростью v = 10 Мм/с, направленной параллельно
пластинам. На сколько приблизится
электрон к положительно заряжен-
ной пластине за время движения
внутри конденсатора (поле считать
Рис. 15.17
однородным), если расстояние d между пластинами равно 16 мм,
, разность потенциалов U = 30 В и длина / пластин равна 6 см?
15-66. Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость v —
= 10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. В момент вылета
из конденсатора направление скорости электрона составляло угол
а = 35° с первоначальным направлением скорости. Определить раз-
ность потенциалов U между пластинами (поле считать однородным),
если длина / пластин равна 10 см и расстояние d между ними равно
2 см.
15-67. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одина-
ковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость v = 10 Мм/с,
направленную параллельно пластинам, расстояние d между которы-
ми равно 2 см. Длина I каждой пластины равна 10 см. Какую наимень-
шую разность потенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы
электрон не вылетел из конденсатора?
15-68. Протон сближается с а-частицей. Скорость Vj протона в лабо-
раторной системе отсчета на достаточно большом удалении от a-час-
тицы равна 300 км/с, а скорость' о2 a-частицы можно принять рав-
ной нулю. Определить минимальное расстояние гт1п, на которое по-
дойдет протон к a-частице, и скорости их и ыа обеих частиц в этот
момент. Заряд a-частицы равен двум элементарным положительным
200
зарядам, а массу тх ее можно считать в четыре раза большей, чем Маа-
са т2 протона*.
15-69. Положительно заряженная частица, заряд которой равен
элементарному заряду е, прошла ускоряющую разность потенциалов
U — 60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен трем
элементарным зарядам. На какое наименьшее расстояние гю(11 чао-
тица может приблизиться к ядру? Начальное расстояние частицы от
ядра можно считать практически бесконечно большим, а массу чао-
тицы — пренебрежимо малой по сравнению в массой ядра.
15-70. Два электрона, нахбдящиеся на большом расстоянии друг от
друга, сближаются с относительной начальной скоростью v >=
= 10 Мм/а. Определить минимальное расстояние гш;п, на которое
они могут подойти друг к другу.
15-71. Две одноименные заряженные частицы в зарядами Qj и Q,
сближаются с большого расстояния. Векторы скоростей v, и v8 час-
тиц лежат на одной прямой. Определить минимальное расстояние
rmtn, на которое могут подойти друг к другу частицы, если их массы
соответственно равны и тг. Рассмотреть два случая i I) тх = т9
и 2) т2 тг.
15-72 Отношение масс двух заряженных частиц равно k —
Частицы находятся на расстоянии г0 друг от друга. Какой кинетичес-
кой энергией Т( будет обладать частица массой ш,, если она под дей-
ствием силы взаимодействия со второй частицей удалится от нее на
расстояние г г0. Рассмотреть три случая: 1) k = I; 2) k = 0;
3) k -> оо. Заряды частиц принять равными Qj и Qs. Начальными ско-
ростями частиц пренебречь.
§ 16. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Основные формулы
1. Диполь есть система двух точечных, равных по абсолютному значению
и противоположных по знаку зарядов; находящихся на некотором расстоянии
друг от друга.
Электрический момент р диполя есть вектор, направленный от отрица-
тельного заряда к положительному, равный произведению заряда | Q | на век-
тор I, проведенный от отрицательного заряда к положительному и называемый
плечом диполя, т. е.
P = IQI I.
Диполь называется точечным, если плечо I диполя много меньше расстоя-
ния г от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя
(/ « г).
2. Напряженность поля точечного диполя
Е =------—— Vl +3cos2 а.
4лВ„ вг3
где р — электрический момент диполя; г — абсолютное значение радиус-век-
тора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля н которой
нас интересует;а — угол между радиус-вектором г и плечом 1 диполя (рис. 16.1)
• Задачи 15-68, 15-70—15-72 следует решать в движущейся инерциальпоЙ
системе координат, начало отсчета которой находится в центре масс обеих ча-
стиц.
201
Напряженность поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя
(а = 0),
2лев ez3
и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном
из его середины (а = л/2),
4ле0 ег3
3. Потенциал поля точечного диполя
р/ а
Потенциал поля точечного диполя в точке, .
ЛСЖащеИ НЯ ОСИ ДИПОЛЯ (а = 0),
Рис. 16.1
4ле„ег2
и в точке, лежащей иа перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из
его середины (а = л/2),
<р = 0.
Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются как для си-
стемы зарядов.
4. Механический момент, действующий на диполь с электрическим момен-
том р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е,
М = [рЕ], или М = рЕ sin а,
где а — угол между направлениями векторов р и Е.
В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары
сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего сим-
метрией относительно оси х, сила выражается соотношением
дЕ
где — — частная производная напряженности поля, характеризующая сте-
пень неоднородности поля в направлении оси х.
При а > л/2 сила Fx положительна. Это значит, что под действием ее ди-
поль втягивается в область сильного поля.
Примеры решения задач 4
1. Диполь с электрическим моментом р=2 нКл-м находится в одно-,
родном элекрическом поле напряженностью Е = 30 кВ/м. Вектор р
составляет угол а0 = 60° с направлением силовых линий поля. Оп-
ределить произведенную внешними силами работу А поворота дипо-
ля на угол р = 30°.
Решение. Из исходного положения (рис. 16.2, а) диполь можно повер-
нуть на угол р = 30° = л/6 двумя способами; или по часовой стрел-
202
ке до угла ct] = а0 — 6 = л/3 — л/6 = л/6 (рис. 16.2, б), или про-
тив часовой стрелки до угла а9 = а„ + р = л/3 4- л/6 = л/2
(рис. 16.2, в).
В первом случае диполь будет повертываться под действием сил
поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во
втором случае поворот может быть произведен только под действием
внешних сил, и, следовательно, работа внешних сил при этом поло-
жительна.
Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить дву-
мя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения эле-
Рис. 16.2
ментарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и из-
менением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.
1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на
угол а
cL4 = Alda == рЕ sin ada,
а полная работа при повороте на угол от afl до a
a a
А = f рЕ sin a d a = pE f sin a da.
j «0
a0
Произведя интегрирование, получим
A = —pE (cos a — cos a0) = pE (cos a0 — cos a). (1)
Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке
. Лг = рЕ ( cos a0 — cos aj = —21,9 мкДж,
против часовой стрелки
А а = рЕ ( cos a0 — cos a2) — 30 мкДж.
2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потен-
циальной энергии ДП соотношением
А — ДП = П2 — Пг,
где Щ и П2 — потенциальные энергии системы соответственно в на-
чальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия дв-
203
поля в электрическом поле выражается формулой П = —рЕ cos а,
то
А = рЕ ( cos сс0 — cos а), (2)
что совпадает с формулой (1), полученной первым способом.
2. Три точечных заряда Q2 и Q3 образуют электрически нейтраль-
ную систему, причем Qi •" Q2 ” Ю нКл. Заряды расположены в вер-
шинах равностороннего треугольника. Определить максимальные
значения напряженности Етах и потенциала <ртах поля, создаваемо-
го этой системой зарядов, на расстоя-
нии г=1 м от центра треугольника, Л,
длина а стороны которого равна 10 см. J
Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных заря-
дов, можно представить -в виде точечного диполя. Действительно,
«центр тяжести» зарядов Qx и Q2 лежит на середине отрезка прямой,
соединяющей эти заряды (рис. 16.3), В этой точке можно считать со-
средоточенным заряд Q = Qj + Qs = 2Qr. А так как система заря-
дов нейтральная (Qi + Q2 +'Q3 = 0), то
<2з = —(Qi + Q2) = —Q.
Таким образом, данная система из трех зарядов представляет со-
бой точечный диполь* (рис. 16.4) с электрическим моментом
P=IQH7
где 1 — плечо диполя, равное по модулю аУ%12 (см. рис. 16.3). По-
скольку | Q | = 2Qi, то электрический момент такого точечного ди-
поля
• P-=Q1ays~.
Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех за-
рядов представим как два диполя с электрическими моментами рх и р2 (рис. 16.5),
равными по модулю: Pi = | Pi I = Qifl. р2 = I р2 | == Q2a. Электрический момент
р системы зарядов найдем как векторную сумму | и р2, т. е. р=рх + р2. Как
это следует из рис. 16.5, и^леем р = 2pt cos (0/2). Так как pt — Qta и 0 = л/3,
то р = 2(?1сД/3/2 = 01<2~1/3, что совпадает с найденным ранее значением.
* Поскольку I г, то диполь можно считать точечным.
204
Напряженность Е и потенциал ср поля
точечного диполя выражаются формулами
Е —----------1 4- 3 cos2 а,
_ 4ле0с3 ’
р
<р =-------cos а,
4леи№
где а — угол между векторами риг (см.
рис. 16.1).
Напряженность и потенциал будут иметь
при а = 0, следовательно,
максимальные значения
?₽ р
-----л-----Г ’ tP'nax — —л---------'
4ле0 г3 4леиг*
Поскольку p—Qt а р4 3 , то
г ____ 2^1а 1 /~о~ _ Qiа 1 /Т
с max — —- — у <5 , «Ртах — V л •
4лб,)Г| . 4jwur2
Вычисления дают следующие значения:
£тах = 3,12 В/м, <ргаах = 1,56 В.
Задачи
Напряженность и потенциал
поля диполя. Электрически?
момент диполг,
16-1. Вычислить электрический момент р диполя, если его заряд Q—
= 10 нКл, плечо / = 0,5 см.
16-2. Расстояние I между зарядами Q — ±3,2 нКл диполя равно
12 см. Найти напряженность Е и потенциал <р поля, созданного дипо-
лем в точке, удаленной на г — 8 см как от первого, так и от второго
заряда.
16-3. Дипол^ электрическим моментом р = 0,12 нКл • м образован
двумя точечными зарядами Q = ±1 нКл. Найти напряженность L
и потенциал <р электрического поля
дящихся на расстоянии г = 8 см
от центра диполя.
16-4. Определить напряженность
Е и потенциал <р поля, создан-
ного'точечным диполем в точках А
и В (рис. 16.6). Его электрический
момент р — 1 пКл • м, а расстоя-
ние г от точек А и В до центра ди-
поля равно 10 см.
16-5. Определить напряженность Е
и потенциал <р поля, создаваемо-
го точечным диполем с электриче-
в точках А и В (рис. 16.6), нахо
с
Рис. 16.6
f 20 3
ским моментом р — 4 пКл • м на расстоянии г = 10 см от центра
диполя, в направлении, составляющем угол а = 60° с вектором
электрического момента.
16-6. Точечный диполь с электрическим моментом р = 1 пКл • м рав-
номерно вращается с частотой п = 103 в-1 относительно оси, прохо-
дящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Вывести
аакон изменения потенциала как функцию времени в некоторой точ-
ке, отстоящей от центра диполя на г — 1 см и лежащей в плоскости
вращения диполя. Принять, что в начальный момент времени потен-
циал <рп интересующей нас точки равен нулю. Построить график за-
висимости <р (I). ф
16-7. Точечный диполь с электрическим моментом р — 1 пКл • м рав-
номерно вращается с угловой скоростью со = 10* рад/с относитель-
но оси, перпендикулярной плечу диполя и проходящей через его
центр. Определить среднюю потенциальную энергию <П> заряда
Q = 1 нКл, находящегося на расстоянии г = 2 см от центра дипо-
ля и лежащего в плоскости вращения, за время, равное: 1) полуперио-
ду (от /, = 0 до t2 — Т12)‘, 2) в течение времени t Т. В начальный
момент считать П = 0.
16-8. Два точечных диполя в электрическими моментами =
= 1 пКл • м и р2 — 4 пКл • м находятся на расстоянии г — 2 см
друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей ле-
жат на одной прямой. '
16-9. Два точечных диполя с электрическими моментами р} =
= 20 пКл • м и р2 =* 50 пКл • м находятся на расстоянии г = 10 см
друг от друга, так что их оси лежат на одной прямой. Вычислить
взаимную потенциальную энергию диполей, соответствующую их ус-
тойчивому равновесию.
।
Диполь в электрическом поле
16-10. Диполь <з электрическим моментом р 100 пКл • м прикреп-
лен к упругой «и™ (рис. 16.7). Когда в пространстве, где находится
диполь, было создано электрическое поле напряженностью Е = 3 кВ/м
перпендикулярно плечу диполя и ни-
ти, диполь повернулся на угол а —
= 30°. Определить постоянную-кру-
чения* С нити
16-11. В условиях предыдущей задачи
-диполь под действием поля поворачи-
вается на малый угол. Определить
постоянную кручения С нити.
16-12. Диполь с электрическим мо-
ментом р =» 20 нКл » м находится
в однородном электрическом поле
‘ Постоянной кручения называют ве-
личину', равную моменту силы, который
вы&ывает закручивание нити на 1 рад.
206
напряженностью Е = 50 кВ/м. Вектор электрического момента со-
ставляет угол а = 60° с линиями поля. Какова потенциальная энер-
гия II диполя?
Указание. За нулевую потенциальную энергию принять энергию, со-
ответствующую такому расположению диполя, когд^ вектор электрического мо-
мента перпеиди1^1яреи линиям поля.
16-13. Диполь с электрическим моментом р.= 100 пКл • м свободно
устанавливается в однородном- электрическом поле напряженностью
Е = 150 кВ/м. Вычислить работу А, необходимую для того, чтобы
повернуть диполь на угол а = 180°.
16-14. Диполь с электрическим моментом р — 100 пКл • м свободно
установился в однородном электрическом поле напряженностью Е “
= 10 кВ/м. Определить изменение потенциальной энергии ДП дипо-
ля при повороте его на угол а = 60°.
16-15. Перпендикулярно плечу -диполя с электрическим моментом
р = 12 .пКл • м возбуждено однородное электрическое поле напря-
женностью Е = 300 кВ/м. Под действием сил поля диполь начинает
поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр.
Найти угловую скорость « диполя в момент прохождения им по-
ложения равновесия. Момент инерции J диполя относительно оси,
перпендикулярной плечу и проходящей через его центр, равен
2 • 10~® кг • м®. -
16-16. Точечный диполь с электрическим моментом р — 100 пКл • м
свободно установился в однородном электрическом поле напряжен-
ностью Е ~ 9 МВ/м. Диполь повернули на малый угол и предоста-
вили самому себе. Определить частоту v собственных колебаний ди-
поля в электрическом поле Момент инерции J диполя относительно
оси, проходящей через центр диполя, равен "4 • 10~12 кг • ма.
16-17. Диполь с электрическим моментом р = 20 пКл • м находится
в неоднородном электрическом поле. Степень неоднородности поля
характеризуется величиной = 1 МВ/м2, взятой в направлении оси
диполя. Вычислить силу F, действующую на диполь в этом направле-
нии.
16-18. Точечный диполь с электрическим моментом р = 5 пКл • м
свободно установился в поле точечного заряда Q = 100 нКл на рас-
стоянии г = 10 см от него. Определить для этой точки величину
| dE/dr |, характеризующую степень неоднородности поля в направле-
нии силовой линии, и силу F, действующую на диполь.
16-19. Точечный диполь с электрическим моментом р == 4 пКл • м
свободно установился в поле, созданном бесконечной прямой нитью,
заряженной с линейной плотностью т = 500 нКл/м на расстоянии
г — 10 см от нее. Определить в этой точке величину f dEfdr |, харак-
теризующую степень неоднородности поля в направлении силовой
линии, и силу F, .действующую на диполь. с
207
§ 17. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ.
КОНДЕНСАТОРЫ
Основные формулы
1. Электроемкость уединенного проводника или конденсатора
С =
где AQ -t- заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Д<р — изменение
потенциала, вызванное этим зарядом.
2. Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящей-
ся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью а,
С = 4яеов/?.
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от это-
го не изменяется.
3. Электроемкость плоского конденсатора
С = ee0S/d,
где S — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между ними;
з — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство
между пластинами.
Электроемкость плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектри-
ка толщиной di каждый с диэлектрическими проиицаемостями ej (слоистый
конденсатор),
Q во Ss
+ — -\-dn/e,n
4. Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы
радиусами Rx и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с-ди-
электрической проницаемостью е)
С = 4ле0е/?1/?2/(/?2 — Rx).
5. Электроемкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных ци-
линдра длиной I и радиусами Rx и R2, пространство между которыми заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е)
с 2лее0 Z
In (Ri/Ri) ‘
Г„ ~
/ о. .электроемкость последовательно соединенных конденсаторов!
г 1 1 , 1 , ,1
в общем случае - = — + — + ... + — .
С с2 Сп
где п — число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов С — ---------;
Ci т С2
в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С\ каждый
С — Cj/n.
7. Электроемкость- параллельно соединенных конденсаторов;
в общем случае С = Ct 4- С2 + ... + Сп;
в случае двух конденсаторов С = Сх + С2;
в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью Q каждый
С = пСг. . J
208
Примеры решения задач1
1. Определить электрическую емкость С плоского конденсатора с дву-
мя слоями диэлектриков: фарфора толщиной = 2 мм и эбонита тол-
щиной d2 = мм, если площадь 5 пластин равна 100 см2.
Решение. Емкость конденсатора, по определению, С = р , где Q—
заряд на пластинах конденсатора; U — разность потенциалов плас-
тин. Заменив в этом равенстве общую разность потенциалов U кон-
денсатора суммой U1 + U2 напряжений на слоях диэлектриков, по-
лучим
С = Q/(Ut +UJ. (1)
•з D
Приняв во внимание, что Q= oS, Uj = Etdt =----------dx и C/2=
— E2c/2 = — d2, равенство (1) можно переписать в виде
------
во Е] е0 е2
где и — поверхностная плотность заряда на пластинах; и Е2 —
напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответ-
ственно; D — смещение поля в диэлектриках.
Умножив числитель и знаменатель равенства (2) на е0 и учтя, что
О = о, окончательно получим
£__ ____Ер S
rfi/e, -М /е? *
Сделав вычисления по последней формуле, найдем
С = 98,3 пФ.
2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С\.— С2 —
— С соединены в батарею последовательно и подключены к источни-
ку тока с электродвижущей силой, ё. Как*-изменится разность потен-
циалов на пластинах первого конденсатора, если пространство
между пластинами второго конденсатора, не отключая источника
тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
е = 7?
Решение. До заполнения второго конденсатора диэлектриком раз-
ность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинако-
ва: = U2 = ё/2. После заполнения электроемкость второго кон-
денсатора возросла в е раз:
С2 — еС$ — еС.
Электроемкость, первого не изменилась, т. е. С{ = С.
209
Так как источник тока не отключался, то общая разность потен-
циалов на батарее конденсаторов осталась прежней,’ она лишь nep&i
распределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе
U\ = QfC\ = QIC, (I)
где Q — заряд пластинах конденсатора. Поскольку при последова-
тельном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на
всей батарее одинаков, то
бат '
С С‘
где С^ = —А-£-
1 2
с-еь ес „
------=--------. Таким образом,
С4-еС 1-f-e
l+s
Подставив это выражение заряда в формулу (I), найдем
_ Q _____________________ еС ______ е с$
‘ 1~ с ~ П4-е)С ~ 14-8
Чтобы найти,- как изменилась разность потенциалов на пластинах
первого конденсатора, вычислим отношение:
U’t __ е8-2 _ 2е
С/, (14-8)8 ~ 14-8'
После подстановки значения е получим
иуиг = 1,75.
Следовательно, разность потенциалов на пластинах первого кон-
денсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком воз-
росла в 1,75 раза.
Задачи
Электроемкость проводящей сферы
17-1. Найти электроемкость С уединенного металлического шара ра-
диусом /? = 1 см.
17-2. Определить электроемкость С металлической сферы радиусом
7? = 2 см, погруженной в воду.
17-3. Определить электроемкость С Земли, принимая ее за шар ра-
диусом /? = 6400 км:
17-4. Два металлических шара радиусами »= 2 см и /?2 = 6 см сое-
динены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам
сообщен заряд Q — 1 нКл. Найти поверхностную плотность о заря-
дов на шарах.
210
17-5. Шар радиусом /?, = 6 см заряжен до потенциала <рг = 300В, а
шар радиусом /?2 = 4 см —до потенциала <р2 = 500 В Определить по-
тенциал <р шаров после того, как их соединили металлическим провод-
ником. Емкостью соединительного проводника пренебречь.
Плоский конденсатор
17-6. Определить электроемкость С плоского слюдяного конденсато-
ра, площадь S пластин которого равна 100 сма, а расстояние между
ними равно 0,1 мм.
17jk. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до
‘^Ззности потенциалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектриков:
стекла толщиной dA =* 7 мм и эбонита толщиной d2 — 3 мм. Площадь
S каждой пластины конденсатора равна 200 сма. Найти: 1) электро-
емкость С конденсатора; 2) смещение D, напряженность Е поля и
падение потенциала Д<р в каждом слое.
17-8. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно
1,33 м, площадь S пластин равна 20 сма. В пространстве между плас-
тинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды тол-1
щиной dj = 0,7 мм и эбонита толщиной d2 = 0,3 мм. Определить
электроемкость С конденсатора.
17-9. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен
заряд g поверхностной плотностью о — 0,2 мкКл/м?. Расстояние d
между пластинами равно 1 мм. На сколько изменится разность потен-
циалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пласти-
нами до 3 мм?
17-10. В плоский конденсатор вдвинули плитку парафина толщиной
d = 1 см, которая вплотную прилегает к его пластинам. На сколько
нужно увеличить расстояние между пластинами, чтобы получить
прежнюю емкость?
17-11 Электроемкость С плоского конденсатора равна 1,5 мкФ. Рас-
стояние d между пластинами равно 5 м.м. Какова будет электроемкость
С конденсатора, если на нижнюю пластину положить лист эбонита
толщиной <4 = 3 мм?
17-12. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно
прилегающая стеклянная пластинка. Конденсатор заряжен до раз-
ности потенциалов — 100 В. Какова будет разность потенциалов
U~2, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора?
Сферический конденсатор
17-13. Две концентрические металлические сферы радиусами =
= 2 см и /?2 = 2,1 см образуют сферический конденсатор. Определить
его электроемкость С, если пространство между сферами заполнено
парафином.
17-14. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Радиус
/?! внутренней сферы равен 10 см, внешней /?2 = 10,2 см. Промежу
ток между сферами заполнен парафином. Внутренней сфере сообщен
варяд Q — 5ыкКл. Определить разность потенциалов U между сферами
211
Соединения конденсаторов
17-15. К воздушному конденсатору, заряженному до разности по-
тенциалов U = 600 В и отключенному от источника напряжения, при-
соединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких
же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Определить ди-
электрическую проницаемость 8 фарфора, если после присоединения
второго кондей|етора разность потенциалов уменьшилась до =
= 100 В.
17-16. Два конденсатора электроемкостями = 3 мкФ и С2 — 6 мкФ
соединены между собой и присоединены к батарее с э. д. с. $ —
= 120 В. Определить заряды и Q2 .конденсаторов й разности по-
тенциалов и U2 между их обкладками, если конденсаторы соеди-
17-17. Конденсатор электроемкостью Сг = 0,2 мкФ был заряжен цо
разности потенциалов Ux — 320 В. После того как его соединили па-
раллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности по-
тенциалов U2 = 450 В, напряжение U на нем изменилось до 400 В.
Вычислить ёмкость С2 второго конденсатора.
17-18. Конденсатор электроемкостью Сг = 0,6 мкФ был заряжен до
разности потенциалов — 300 В и соединен со вторым конденсато-
ром электроемкостью С2 = 0,4 мкФ, заряженным до разности по-
тенциалов U2 — 150 В. Найти заряд AQ, перетекший с пластин пер-
вого конденсатора на второй.
17-19.Три одинаковых плоских конденсатора соединены последова-
тельно. Электроемкость С такой батареи конденсаторов равна 89 пФ.
Площадь S каждой пластины равна 100 сма. Диэлектрик — стекло.
Какова толщина d стекла?
17-20. Конденсаторы соединены так, как это показано на рис. 17.1.
Электроемкости конденсаторов: Q = 0,2 мкФ; С2 — 0,1 мкФ; С3 =
•= 0,3 мкФ; С4 = 0,4 мкФ. Определить электроемкость С батареи
конденсаторов.
17-21. Конденсаторы электроемкостями = 0,2 мкФ, С2 = 0,6 мкФ,
С3~ 0,3 мкФ, С4 — 0,5 мкФ соединены так, как это указано на
рнс. 17.2. Разность потенциалов U между точками А и В равна 320 В.
Определить разность потенциалов Ut и заряд Qt на пластинах каж-
дого конденсатора (i = 1, 2, 3, 4).
17-22. Конденсаторы электроемкостями Сг = 10 нФ, С2 = 40 нФ,
- С3 = 2 нФ и С& — ЗО’нФ соединены так, как это показано на рис. 17.3.
Определить электроемкость С соединения конденсаторов.
212
17-23. Конденсаторы электроемкостями = 2 мкФ, Cz » 2 мкФ,
Сз^-3 мкФ, С4 = 1 мкФ соединены так, как указано на рие. 17.4.
Разность потенциалов на обкладках четвертого конденсатор! Ut
" 100 В. Найти заряды н разности потенциалов на обкладках каж-
дого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов
батареи конденсаторов.
17-24. Определить яектроемкость схемы, представленной на рис.1?.б,
где Ci =- 1 пФ, С2 =- 2 пФ, Са => 2 пФ, С4 — 4 нФ, Св »» 3 пФ.
Рис. 17.4 Рнс. 17.5 Рис. 17.6
17-25. Пять различных конденсаторов соединены согласно схеме,
приведенной на рис. 17.6. Определить электроемкость С4, при кото-
рой электроемкость всего соединения не зависит от величины элект-
роемкости Съ. Принять С] = 8 пФ, С2 = 12 пФ, С3 = 6 пФ.
§ 18. ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО
ПРОВОДНИКА. ЭНЕРГИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Основные формулы
1. Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, потенциал
ф н электроемкость С проводника следующими соотношениями:
1 1 ср 1
2. Энергия заряженного конденсатора
I
W = — CLP = 2-£2 = _L QU,
2 2 С 2
где С — электроёмкость конденсатора; U — разность потенциалов ня его пла-
стинах.
3. Объемная плотность энергии (энергия электрического пиля, приходя-
щаяся на единицу объема)
w = 1 е0е£2 = -I ED,
2 0 2
где Е — напряженность.электрического поля в среде с диэлектрической про-
ницаемостью е; D — электрическое смещение.
213
Примеры решения задач
1. Конденсатор электроемкостью С± = 3 мкФ был заряжен до раз-
ности потенциалов £/,-=40 В. После отключения от источника тока
конденсатор &тл соединен параллельно с другим незаряженным кон-
денсатором алектроемкостью = 5 мкФ. Определить энергию ДГ,
израсходованную на образование искры в момент присоединения вто-
рого конденсатора.
Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна
ДГ-^^-Г., (1)
где Wr — знергия, которой обладал первый конденсатор до присое-
динения к нему второго конденсатора; — энергия, которую име-
ет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Под-
ставив в равенство (1) формулу энергии заряженного конденсатора
W = CLP/2 и приняв во внимание, что общая электроемкость парал-
лельно соединенных конденсаторов равна сумме электроемкостей от-
дельных конденсаторов, получим
д Г = Clt/* (Cr + C9)Ui
2 2
(2)
где Cj и Ct — электроемкости первого и второго конденсаторов; иг—
разность потенциалов,--до которой был заряжен первый конденсатор;
Us — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора
остался прежним, выразим разность , потенциалов £/2 следующим
образом: U. — • Подставив это сражение Ua
Ci -f- Gc Ci -f- Cs
в формулу (2), получим
дг ...(Ci+cJctUl
2 2(С,+С2)«
После простых преобразований найдем
ДГ »=— а- £/Г.
2 Ci-f-Cs
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
ДГ == 1,Б мДж.
2. Плоский воздушный конденсатор с площадью S пластины, рав-
ной 500 смв, подключен к источнику тока, э. д. с. $ которого равна
200 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от
расстояния di “ 1 см до dt “ 8 ем в двух случаях: 1) пластины перед -
раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в про-
цессе раздвижения остаются подключенными к нему.
Решение. 1-й с л у ч а й. Систему двух заряженных и отключенных от
источника тока пластин можно рассматривать как изолированную
систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энер-
214
гии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии сис-
темы:
Л = .ДЦ7 = 1Г2 — (1)
где 1Г2 — энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пласти-
ны находятся на расстоянии d2); — энергия поля в. начальном
состоянии (пластины находятся на расстоянии dj.
Энергию в даЖом случае удобно выразить через заряд Q на плас-
тинах, так как заряд пластин, отключенных от источника при их раз-
движении, не изменяется. Подставив в равенство (1) выражения
= Q2/ (2С2) и IFj = Q2/ (2CJ, получим
л = _2^_______&_
2С, 2Сх ’
я Q2
или Л = —
2
J______1_\
С2 Сг/
Выразив в этой формуле заряд через э. д. с. S источника тока и
начальную электроемкость С\ (Q = С$), найдем
Подставляя в формулу (2) выражения электроемкостей (Сх =3j
= e0S/dx и С2 — e0S/d2) плоского конденсатора, получим
А = eg S2 / d,
2dx \ ео S во S / "
После сокращения на е05 формула примет вид
4 = ^^-(d2-di). ' (3)
Произведя вычисления по формуле (3), найдем
А = 3,9 мкДж.
2-й с л„.у чай. Пластины остаются подключенными к источнику
тока и система двух пластин уже не является изолированной (заряд
с пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). По-
этому воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае
нельзя.
Заметим, что при раздвижении пластин конденсатора: а) разность
их потенциалов остается неизменной ((7 = <S); б) емкость будет
(S \
С = е0 —). Будут уменьшаться также заряд на пласти-
d )
нах (Q = CU) и напряженность электрического поля (£ — U/d). Так
как величины Е и Q, необходимые для определения работы, изменя-
ются, то работу следует вычислять путем интегрирования.
Напишем выражение для элементарной работы:
6А = Q£\dx, (4)
где Ej — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пласти-
ны.
215
Выразим напряженность поля Ег и заряд Q через расстояние я
между пластинами:
E1=1£^I nQ = Cg, или <? = en —g.
Подставив эти выражения Ег и Q в равенство (4J, получим
» сМ = — е0---------dx.
2 X2
Проинтегрировав это равенство в пределах от dt до d8, найдем вы-
ражение искомой- работы:
d, d,
Л = ±е05#С ——-е0$Н---------------LI =_Lg0Sg2f----------L\
2 J -*a 2 I * 2 dij
7. ' d.
После упрощений последняя формула примет вид
Л----— е0 (dz—dj).
2 dj (I2
Сделав вычисления по полученной формуле, найдем
А = 1,33 мкДж.
3. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 1 кВ.
Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик — стекло.
Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.
Решение. Объемная плотность энергии поля конденсатора
w = WIV, (1)
где W — энергия поля конденсатора; V — объем, занимаемый полем,
•т е объем пространства, заключенного между пластинами конден-
сатора.
Эйергия поля конденсатора определяется по формуле
IT = С1ГЧ2, л (2)
где U — разность потенциалов, до которой заряжены пластины кон-
денсатора; С — его электроемкость. Но С — ee0S/d, V == Sd. Под-
ставив выражение С в формулу (2) и затем выражения W и V в фор-
мулу (1), получим
w — ee0U2/ (2d2).
Подставив значения величин в последнюю формулу и вычислив,
найдем
а> = 0,309 Дж/мэ.
4. Металлический шар радиусом R = 3 см несет заряд Q = 20 нКл.
Шар окружен слоем парафина толщиной d = 2 см. Определить энер-
гию U7 электрического поля, заключенного в слое диэлектрика
Решение. Так как поле, созданное заряженным шаром, является не-
однородным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена нерав-
‘ номеряо. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всея j
i 21b
(1)
Рис. 18.1
где
точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, так как
поле заряженного шара обладает сферической симметрией.
Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика
объемом dV:
dW = wdV.
где w — объемнее плотность" ' энергии
(рис. 18.1).
Полная энергия выразится интегралом
U7 = Ja)dV — 4л £ t№dr,
i?
где г — радиус элементарного сферического
слоя; dr — его толщина. Объемная плотность
энергии определяется по формуле w = Ч^огЕ\
ность поля. В нашем случае Е — -а
Q2
w ------------
32л2 Ео ег4
Подставив это выражение плотности в формулу (1) и вынеся за знак
интеграла постоянные величины, получим
R+d
w __ <? Г dr _ Q2 / 1 1 \ (pd
8леое J г2 8леое R R-}-d) 8ле.) B.R
R
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
W = 12 мкДж.
Е — Напряжен-
H. следовательно,
Задачи
Энергия плоского конденсатора
18-1. Конденсатору, электроемкость С которого равна 10 пФ, сооб-
щен заряд Q = 1 пКл. Определить энергию № конденсатора.
18-2. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно
2 см, разность потенциалов U = 6 кВ. Заряд Q каждой пластины
равен 10’нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F вза-
имного притяжения пластин, .
18-3. Какое количество теплоты Q выделится при разряде плоского
конденсатора, если разность потенциалов U между пластинами равна
15 кВ, расстояние d — 1 мм, диэлектрик — слюда и площадь S каждой
Властины равна 300 см2?
18-4. Сила F притяжений между пластинами плоского воздушного
конденсатора равна 50 мН. Площадь S каждой пластины равна
200 см2. Найти плотность^энергии w поля конденсатора.
18-5. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых плас-
тин радиусом г = 10 см каждая. Расстояние dL между пластинами
217
pa вно J см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U =*
= 1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу А нужно
совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить рас-
стояние между ними до = 3,5 см?
18-6. Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С = 1,11 нФ
заряжен до разности потенциалов U = 300 В. После отключения от
источника тоц^ расстояние между пластинами конденсатора было
увеличено в пять раз. Определить: 1) разность потенциалов I/ на об-
кладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу А внешних
сил по раздвижению пластин.
18-7. Конденсатор электроемкостью Сг = 666 пФ зарядили до. раз-
ности потенциалов У = 1,5 кВ и отключили от источника тока. За-
тем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаряженный
конденсатор электроемкостью Сг — 444 пФ. Определить энергию,
израсходованную на образование искры, проскочившей при соедине-
нии конденсаторов.
18-8. Конденсаторы электроемкостями С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ,
С3 = 3 мкФ включены в цепь в напряжением U — 1,1 кВ. Опреде-
лить энергию каждого конденсатора в случаях: 1) последовательно-
го их включения; 2) параллельного включения.
18-9. Электроемкость С плоского конденсатора равна 111 пФ, Ди-
электрик — фарфор. Конденсатор зарядили до разности потенциалов
U = 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу А
нужно совершить,. чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трение
пренебрежимо мало.
18-10. Пространство между пластинами плоского конденсатора за-
полнено диэлектриком (фарфор), объем V которого равен 100 см8. По-
верхностная плотность заряда о на пластинах конденсатора равна
8,85 нКл/м2. Вычислить работу А, которую необходимо совершить
для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора. Трением ди-
электрика о пластины конденсатора пренебречь.
18-11. Пластину из эбонита толщиной d — 2 мм и площадью S =
= 300 см® поместили в однородное электрическое поле напряжен-
ностью Е = 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии перпенди ку-
лярны ее плоской поверхности. Найти: 1) плотность о связанных
зарядов на поверхности пластин; 2) энергию It? электрического по-
ля, сосредоточенную в пластине.
18-12. Пластину предыдущей задачи переместили из поля в область
пространства, где внешнее поле отсутствует. Пренебрегая уменьшением
поля в диэлектрике с течением времени, определить энергию II? элект-
трического поля в пластине.
Энергия поля заряженной сферы
18-13. Найти энергию W уединенной сферы радиусом R = 4 см, за-
ряженной до потенциала <р = 500 В.
18-14. Вычислить энергию W электростатического поля металличес-
кого шара, которому сообщен заряд Q = 100 нКл, если диаметр d ша-
ра равен 20 см.
218
18-15. Уединенная металлическая сфера электроемкостью С = 10 пФ
заряжена до потенциала <р = 3 кВ. Определить энергию W поля, за-
ключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентри-
ческой с ней сферической поверхностью, радиус которой в три раза
больше радиуса сферы.
18-16. Электрическое поле создано заряженной (Q = 0,1 мкКл) сфе-
рой радиусом Я**3 10 см. Какова энергия W поля, заключенная в
объеме, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической
поверхностью, радиус которой в два раза больше радиуса сферы.
18-17. Уединенный металлический шар радиусом Rt = 6 см несет
заряд Q. Концентрическая этому шару поверхность делит прост-
ранство на две части (внутренняя конечная и внешняя бесконечная),
так что энергии электрического поля обеих частей одинаковы. Опре-
делить радиус Rt этой сферической поверхности.
18-18. Сплошной парафиновый шар радиусом R 10 см заряжен рав-
номерно по объему с объемной плотностью р = 10 нКл/м8. Опреде-
лить энергию электрического поля, сосредоточенную в самом ша-
ре, и энергию UZ8 вне его.
18-19. Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во сколько
раз энергия электрического поля виешара превосходит энергию поля,
сосредоточенную в шаре?
ГЛАВА 4
ПОСТОЯННЫЙ ток1
§ 19. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ I ~ .
ПОСТОЯННОГО ТОКА I Основные формулы
1. Сила постоянного тока
где Q — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение про
водника за время t.
2. Плотность электрического тока есть векторная величина, рав'ная отноше-
нию силы тока к п'лошади S поперечного сечения проводника:
. где к — единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением дви-
жения положительны* носителей заряда.'
3. Сопротивление однородного проводника "
R = pl/S,
где р — удельное сопротивление вещества проводника; 1 —его длина.
4. Проводимость О проводника и удельная проводимость у вещества:
О = UR, у = 1/р.
5. Зависимость удельного сопротивления от температуры
Р = Ро О + «О
где р и р0 — удельные сопротивления соответственно при I и 0° С: I — темпера-
тура (по шкале Цельсии); а — температурный коэффициент сопротивления,
*6. Сопротивление соедвиеиия проводников:
. п
i последовательно , ...........
1 ” 1
п — число проводников.
[ №1--фя)+^12 U
~ R ~ R.
. Ф;—фа и
“ R ~ R
/=«//?
/ параллельно
Здесь Ri — сопротивление /-го проводника;
7. Закон Ома:
для неоднородного участка це-
пи . . . . ....................,
для однородного участка цепи
12 = 0) ....................
для замкнутой цепи (ф;=Фг) »
Здесь (ф1 — ф2) — разность потенциалов на конца* участка цепи; — э. д. с.
источников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке цепи; R —
сопротивление цепи (участке цели); 46 — в,, д. с. всех источников тока цепи.
220
8. Правила Кирхгофа. Первое правило; алгебраическая сумма сил токоа,
сходящихся в узле, равна нулю, т, е.
2 о=°-
где п — число токов, сходящихся в узле.
Второе правило^ замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений
на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил,
<г. е.
2 /,•/?,= 2
4*1 «= I
где 7( — сила тока на f-м участке; /?, — активное сопротивление на 7-м участ-
ке; — в. д. с. источников гока на 7-м участке} л— число участков, содержа-
щих активное сопротивление; k — число участков, содержащих источники тока
9. Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами
в участке цепи постбинного тока за время 7,
А - lUt.
(0. Мощность гока
Р = IU,
11. Закон Джоуля—Ленца
Q = PRt.
где Q — количество теплоты, выделяющееся в участках цепи за время I.
Закон Джоуля—Ленца справедлив при условии, что участок цепи не-
подвижен и в нем ие совершаются химические преврвщения.
| Примеры решения задач
I. Определить заряд Q, прошедший по проводу п сопротивлением
R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах про-
вода от Uo = 2 В до U = 4 В в течение t = 20 с.
Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться
для подсчета заряда формулой Q = It нельзя. Поэтому возьмем диф
ференциал заряда d<2 — Idt и проинтегрируем;
I
= ,(1)
Выразив силу тока по закону Ома, получим
Q = [ dt Г(2)
о
Напряжение U в данном случае переменное В силу равномерно-
ти нарастания оно может быть выражено формулой
U - Uo + kt, (3)
221
где k — коэффициент пропорциональности. Подставив это выраже-
ние U в формулу (2), найдем
Q = (7-^24- —)d/ =—с f d/-{-—f/d/.
JU RJ KJ R J
0 0 0
Проинтегр^овав, получим
= (4)
t\ Z/\ Zzx
Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы
(3)/если ’заметим, что при / — 20 е U = 4 Bi
k = (U — U^lt <= 0,1 В/a.
Подставив значения величин л формулу (4),- найдем
Q = 20 Кл.
2. Потенциометр с сопротивлением R =» 100 Ом подключен к источ-
нику тока, э. д. a. <8 которого равна 150 В и внутреннее сопротивле-
ние г — 50 Ом (рив. 19.1). Определить показание вольтметра с сопро-
тивлением RB = 500 Ом, соединенного
с одной из клемм потенциометра под-
вижным контактом, увтановленным по-
середине потенциометра. . Какова раз-
ность потенциалов между теми же точ-
ками потенциометра при отключенном
вольтметре?
Решений. Показание Ur вольтметра, под-
ключенного к точкам А и В (риа, 19.1),
определяется по формуле
— />/?!,
где /j — сила тока в неразветвленной чаати цепи; — сопротивле-
ние параллельно соединенных вольтметра и половины потенциомет-
ра.
Силу тока 1г найдем по закону Ома для всей цепи;
К+г
(2)
где R — сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление R евть сумма двух сопротивлений!
R *= RJ2 + Rv (3)
Сопротивление Rt параллельного соединения може! оыть найдено
по формуле = jJ- -р , откуда
«1 - RRJ (R + 2R J,
222
Подставив в эту формулу числовые значения величин в произведя
вычисления, найдем
7?! = 45,5 Ом.
Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим
силу тока} _
В = -_____?-------- 1.ОЗА.
/?/2+Я,-Н
Если подставить значение it и Rj в формулу (1), то найдем пока-
зание вольтметра»
Ut = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном
вольтметре равна произведению вилы тока 19 на половину сопротив-
ления потенциометра, т. е. Ut = (R/2), или
D в 8 R_
Подставив еюда значения величин $, R и г, получим
1/в = 50 В.
3. Источники тока с электродвижущими силами и $8 включены
в цепь, как показано на рис. 19.2. Определить силы токов, текущих
в сопротивлениях R8.h Rg, если У, = 10 и
= 2 Ом и Rj«=R8«=4 Ом. Сопротивле-
ниями источников тока, пренебречь.
Решение. Силы токов в разветвленной це-
пи определяют в помощью законов Кирх-
гофа. Чтобы найти четыре значения еилы
токов, следует «оставить четыре уравне-
ния.
Указание. Перед составлением урав-
нений по вакоиу Кирхгофа необходимо, во-пер-
вых, выбрать произвольно^Рнаправлеиия токов,
текущих через сопротивления, указав их стрел-
ками иа чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров
нее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).
Выберем направления токов, как они показаны на рис. 19.2, и ус-
ловимся обходить контуры по часовой стрелке.
Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: Л и В. Но состав-
лять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одно-
го узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет
следствием первого уравнения.
При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необ-
ходимо соблюдать правило знаков» ток, подходящий к узлу, входит
в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, — со знаком
•минус. ।
223
По первому закону Кирхгофа для узла В имеем
Л+ 4 + ls~ 4 =0. (1)
Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхго-
фа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены
по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем
случае контур^ шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти
необходимое число независимых уравнений, следует придерживать-
ся правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый
контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из
ранее использованных контуров.
При составлении уравнений по второму вакону Кирхгофа необхо-
димо соблюдать следующее правило знаков:
а) если ток по направлению совпадает в выбранным направлением
обхода контуров, то соответствующее произведение //? входит в урав-
нение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит
в уравнение со знаком минус,
б) если э. д. а. повышает потенциал в направлении обхода конту-
ра, т. е. если при обходе контура приходится- идти от минуса к плю-
су внутри источника, то соответствующая э. д. с. входит в уравнение
со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.
По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров !
ARiBR^A, ARjBRsA, AR3BRtA:
liRi—4/4 = $i—z- (2) j
4 Ri — (3)
4* 3 + 4^4 =* 0- (4)
Подставив в равенства (2)—(4) значения сопротивлений и э, д. с.,
получим систему уравнений:
4 + 4 + 4 ~ 4 “ о,
24 — 44=6,
24 - 4/3 = 10,
4/3 + 24 = 0.
Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользо-
ваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепи-
шем уравнения еще раз в следующем виде:
4 + Ц + /3 — 4 ” О,
24 — 4/3 + о + о •» 6,
.24 + 0 — 4/3+0- 10,
0 + 0 + 4/, + 24 - 0.
Искомые значения токов найдем из выражений
/2=Ду,/Д и /3 = Д/8/Д,
224
где Д — определитель системы уравнений; Д/г и Д/я —определители,
полученные заменой соответствующих столбцов определителя Д столб-
цами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных
уравнений. Находим:
О
2
Отсюда получаем:
/2 = 0, /з = -1А..
Знак минус у значения силы тока /я свидетельствует о том, что при произ-
вольном выборе направления токов, указанных на рисунке, направление тока
7а было указано противоположно истинному. На самом деле ток /3 течет от узла
В к узлу А.
47 Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в
течение времени Д/ = 2 с по линейному закону от /0 = 0 до /тах =
= 6 А (рис. 19.3). Определить количество теплоты выделивше-
еся в этом проводнике за первую секунду, и Qa — за вторую, а также
найти отношение этих количеств теплоты QdQi-
Решение. Закон Джоуля—Ленца Q = PRt применим в случае посто-
янного тока (/ = const). Если же сила тока в проводнике изменяет-
ся, то указанный закон справед-
лив для бесконечно малого про-
межутка времени и записывается
в виде
dQ = PRdt. (1)
Здесь сила тока I является не-
которой функцией времени. В на-
шем случае
/ = kt, (2)
где k — коэффициент пропорциональности, равный отношению при-
ращения силы тока к интервалу времени, за который произошло это
приращение:
k = Д//Д/.
С учетом равенства (2) формула (1) примет вид
dQ = k2R?dt.
(3)
8 Зак. 94
225
Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный
промежуток времени Д/, выражение (3) следует проинтегрировать в
пределах от до
Q = k3R = ф.
tt
При опред^ении количества теплоты, выделившегося за первую
секунду, пределы интегрирования 4 = 0, 4=1 с и, следовательно,
Q, — 60 Дж,
а за вторую секунду — пределы интегрирования ty = 1 с, /2 = 2 с и
тогда
Q2 = 420 Дж.
Следовательно,
QdQi ~ 7,
т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за пер-
вую секунду.
Задачи
Закон Ома для участка цепи
19-1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от 10 — 0 до
/ = 3 А в течение времени t = 10 с. Определить заряд Q,прошедший
в проводнике.
19-2. Определить плотность тока / в железном проводнике длиной
I = 10 м, если провод находится под напряжением U = 6 В.
19-3. Напряжение U на шинах электростанции равно 6,6 кВ. Потре-
битель находится на расстоянии I = 10 км. Определить площадьS
сечения медного провода, который следует взять для устройства двух-
проводной линии передачи, если сила тока I в линии равна 20 А и
потери напряжения в проводах не должны превышать 3%.
19-4. Вычислить сопротивление R графитового проводника, изготов-
ленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой h =
= 20 см и радиусами оснований /> = 12 мм и г2 = 8 мм. Температу-
ра t проводника равна 20° С.
19-5. На одном конце цилиндрического медного проводника сопротив-
лением Ro = 10 Ом (при 0° С) поддерживается температура 4 = 20° С,
на другом t2 = 400° С. Найти сопротивление R проводника, считая
градиент температуры вдоль его оси постоянным.
19-6. Проволочный куб составлен из проводников. Сопротивление Rx
каждого проводника, составляющего ребро куба, равно 1 Ом. Вычис-
лить сопротивление R этого куба, если он включен в электрическую
цепь, как показано на рис. 19.4, а.
19-7. То же (см. задачу 19-6), если куб включен в цепь, как показано
на рис. 19.4, б.
226
19-8. То же (см. задачу 19-6), если куб включен в цепь, как показа-
но на рис. 19.4, в.
19-9. Катушка и амперметр соединены последовательно и присоеди-
нены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен вольтметр
сопротивлением RK = 1 кОм. Показания амперметра / = 0,5 А, вольт-
метра U = 100 В. Определить сопротивление R катушки. Сколько
процентов от ццшого значения сопротивления катушки составит по-
грешность, если не учитывать сопротивления вольтметра?
19-10. Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до / =
= 10 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот ампер-
метр без шунта, если сопротивление 7?а амперметра равно 0,02 Ом и
сопротивление шунта равно 5 мОм?
Рис. 19.4 Рис. 19.5
19-11. Какая из схем, изображенных на рис. 19.5, о, б, более при-
годна для измерения больших сопротивлений и какая — для изме-
рения малых сопротивлений? Вычислить погрешность, допускаемую
при измерении с помощью этих схем сопротивлений Rt = 1 кОм и
R2 = 10 Ом. Принять сопротивления вольтметра /?в и амперметра
Ra соответственно равными 5 кОм и 2 Ом.
Закон Ома для всей цепи
19-12. Внутреннее сопротивление г батареи аккумуляторов равно 3 Ом.
Сколько процентов от точного значения э. д. с. составляет погреш-
ность, если, измеряя разность потенциалов на зажимах батареи вольт-
метром с сопротивлением RB = 200 Ом, принять ее равной э. д. с.?
19-13. К источнику тока с э. д. с. = 1,5 В присоединили катуш-
ку с сопротивлением R = 0,1 Ом. Амперметр показал силу тока,
равную lt = 0,5 А. Когда к Источнику тока присоединили последова-
тельно еще один источник тока с такой же э. д. с., то сила тока / в
той же катушке оказалась равной 0,4 А. Определить внутренние со-
противления t\ и г2 первого и второго источников тока.
19-14. Две группы из трех последовательно соединенных элементов
соединены параллельно. Э. д. с. % каждого элемента равна 1,2 В,
внутреннее сопротивление г = 0,2 Ом. Полученная батарея замкну-
та на внешнее сопротивление R = 1,5 Ом. Найти силу тока / во внеш-
ней цепи.
19-15. Имеется N одинаковых гальванических элементов с э. д. а
S и внутренним сопротивлением rt каждый. Из этих элементов тре-
буется собрать батарею, состоящую из нескольких параллельно еое-
1* 127
диненных групп, содержащих по п последовательно соединенных
элементов. При таком значении п сила тока I во внешней цепи, имею-
щей сопротивление /?, будет максимальной? Чему будет равно внут-
реннее сопротивление батареи при этом значении п?
19-16. Даны 12 элементов с э. д. с. % — 1,5 В и внутренним сопро-
тивлением г = 0,4 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы
получить от соб^нной из них батареи наибольшую силу тока во внеш-
ней цепи, имеющей сопротивление R = 0,3 Ом? Определить макси-
мальную силу тока /тах.
19-17. Два одинаковых источника тока с э. д. с. Я = 1,2 В и внут-
ренним сопротивлением г = 0,4 Ом соединены, как показано на
рис. 19.6, а, б. Определить силу тока 1 в цепи и разность потенциалов
U между точками Л и В в первом и втором случаях.
19-18. Два элемента — 1,2 В, t\ = 0,1 Ом; $2 = 0,9 В, г2 =
= 0,3 Ом) соединены одноименными полюсами. Сопротивление R
соединительных проводов равно 0,2 Ом. Определить силу тока / в це-
пи.
Правила Кирхгофа
19-19. Две батареи аккумуляторов 10 В; 6 = 1 Ом; —
= 8 В; г2 = 2 Ом) и реостат (/? = 6 Ом) соединены, как показано на
рис. 19.7. Найти силу тока в батареях и реостате.
19-20. Два источника тока — 8 В, гг — 2 Ом; = 6 В; г2 =
— 1,5 Ом) и реостат (R — 10 Ом) соединены, как показано на
19-21. Определить силу тока 13 в резисторе сопротивлением Ra
(рис. 19.9) и напряжение (7а на концах резистора, если = 4 В,
$2 = 3 В, /?, = 2 Ом, /?2 = 6 Ом, R3 = 1 Ом. Внутренними сопро-
тивлениями источников тока пренебречь.
19-22. Три батареи с э. д. с. = 12 В, $2 = 5 В и jg = 10 В и оди-
наковыми внутренними сопротивлениями г, равными 1 Ом, соединены
между собой одноименными полюсами. Сопротивление соединитель-
ных проводов ничтожно мало. Определить силы токов /, идущих че-
рез каждую батарею.
19-23. Три источника тока с э. д. с. = 11 В, $2 = 4 В и $3 =
= 6 В и три реостата с сопротивлениями Rt = 5 Ом, /?2 = 10 Ом и
Ra — 2 Ом соединены, как показано на рис. 19.10. Определить силы
228
токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пре-
небрежимо мало.
19-24. Три сопротивления = 5 Ом, R2 = 1 Ом и Rs = 3 Ом, а так-
же источник тока с э. д. с. = 1,4 В соединены, как показано на
рис. 19.11. Определить э. д. с. $ источника тока, который надо под-
Рис. Г9.9
Рис. 19.10
Рис. 19.11
ключить в цепь между точками А и В, чтобы в сопротивлении R3 шел
ток силой / = 1 А в направлении, указанном стрелкой. Сопротивле-
нием источника тока пренебречь.
Работа и мощность тока
19-25. Лампочка и реостат, соединенные последовательно, присое-
динены к источнику тока. Напряжение U на зажимах лампочки рав-
но 40 В, сопротивление R реостата равно 10 Ом. Внешняя цепь по-
требляет мощность Р = 120 Вт. Найти силу тока / в цепи.
19-26. Э. д. с. батареи аккумуляторов ё = 12 В, сила тока / корот-
кого замыкания равна 5 А. Какую наибольшую мощность Ртах мож-
но получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей?
19-27. К батарее аккумуляторов, э. д. с. ё которой равна 2 В и внут-
реннее сопротивление г = 0,5 Ом, присоединен проводник. Опреде-
лить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность, выде-
ляемая в нем, максимальна; 2) мощность Р, которая при этом выде-
ляется в проводнике.
19-28. Э. д. с. ё батареи равна 20 В. Сопротивление R внешней цепм
равно 2 Ом, сила тока 1 — 4 А. Найти к. п. д. батареи. При каком
значении внешнего сопротивления R к. п. д. будет равен 99%?
19-29. К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагреватель.
Э. д. с. ё батареи равна 24 В, внутреннее сопротивление г = 1 Ом.
Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мощность Р = 80 Вэ.
Вычислить силу тока / в цепи и к. п. д. т] нагревателя.
19-30. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Ес-
ли включена только первая секция, то вода закипает через — 15 мин,
если только вторая, то через t2 = 30 мин. Через сколько минут заки-
пит вода, если обе секции включить последовательно? параллельно?
19-31. При силе тока = 3 А во вшнешней цепи батареи аккумуля-
торов выделяется мощность Pi = 18 Вт, при силе тока /2 *«• 1 А —
соответственно Р2 = 10 Вт. Определить э. д. с. ё и внутреннее соп-
ротивление г батареи.
229
19-32. Сила тока в проводнике сопротивлением г = 100 Ом равно-
мерно нарастает от /0 = 0 до /шах = 10 А в течение времени т = 30 с.
Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в про-
воднике.
19-33. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 12 Ом равномер-
но убывает от /0 = 5 А до / = 0 в течение времени t = 10 с. Какое
количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за указанный
промежуток темени?
19-34. По проводнику сопротивлением R — 3 Ом течет ток, сила ко-
торого возрастает. Количество теплоты Q, выделившееся в проводни-
ке за время т = 8 с, равно 200 Дж. Определить количество электри-
чества q, протекшее за это время по проводнику. В момент времени,
принятый за начальный, сила тока в проводнике равна нулю.
19-35. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 15 Ом равномер-
но возрастает от 10 = 0 до некоторого максимального значения в те-
чение времени т = 5 с. За это время в проводнике выделилось коли-
чество теплоты Q = 10 кДж. Найти среднюю силу тока </> в про-
воднике за этот промежуток времени.
19-36. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от 10 = 0
до некоторого максимального значения в течение времени т = 10 с.
За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q =
= 1 кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если
сопротивление R его равно 3 Ом.
§ 20. ТОК В МЕТАЛЛАХ,
ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Основные формулы
1. Плотность тока j, средняя скорость <v> упорядоченного движения но-
сителей заряда и их концентрация п связаны соотношением
j — еп < v > ,
где е — элементарный заряд.
2. Закон Ома в дифференциальной форме
1=?Е,
где у — удельная проводимость проводника; Е — напряженность электриче*
ского поля.
3. Закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме
ну = у/Г1 2 3 4 5,
где w — объемная плотность тепловой мощности.
4. Термоэлектродвижущая сила, возникающая в термопаре,
= Т2),
где а — удельная термо-э. д. с.; (Tt — Т2) — разность температур спаев тер-
мопары.
5. Законы электролиза Фарадея. Первый закон
m = kQ,
где m — масса вещества, выделившегося на электроде при прохождении через
электролит электрического заряда Q; k — электрохимический эквивалент ве-
щества.
230
Второй закон
k = M/(FZ),
где F — постоянная Фарадея (F — 96,5 кКл/моль); М — молярная масса ио-
нов данного вещества; Z — валентность ионов.
Объединенный закон
где I — сила тока, Доходящего через электролит; t — время, в течение которо-
го шел ток.
6. Подвижность ионов
Ь = <v>IE,
где <v> — средняя скорость упорядоченного движения ионов; Е — напряжен-
ность электрического поля.
7. Закон Ома в дифференциальной форме для электролитов и газов при са-
сомостоятельном разряде в области, далекой от насыщения,
J = <2n(b+ + b_) Е,
где Q — заряд иона; п — концентрация ионов; Ъ+ и Ь_ — подвижности соот-
ветственно положительных и отрицательных ионов.
8. Плотность тока насыщения
/нас = Опо^>
где пе — число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема в едини-
цу времени; d — расстояние между электродами [nu = N/ (V7), где N — чис-
ла пар ионов, создаваемых ионизатором за время t в пространстве между элек-
тродами; V — объем этого пространства].
Примеры решения задач
1. По железному проводнику, диаметр d сечения которого равен 0,6мм,
течет ток силой 16 А. Определить среднюю скорость <&> направлен-
ного движения электронов, считая,
электронов равна концентрации п
атомов проводника.
Решение. Средняя скорость на-
правленного (упорядоченного) дви-
жения электронов определяется по
формуле
<ц> = l/t, (1)
где t.— время, в течение которого
что концентрация п свободных'
Рис. 20.1
все свободные электроны, находя-
щиеся в отрезке проводника между сечениями / и II, пройдя через
сечение II (рис. 20.1), перенесут заряд Q = eN и создадут ток силой
/ =
t t ’
(2)
где е — элементарный заряд; /V — число электронов в отрезке про-
водника; I — его длина.
231
Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V мож-
но выразить следующим образом:
N = nV = nlS,
где S — площадь сечения.
. По условию задачи, п = п!. Следовательно,
% , ЛГД NAp
М
(3)
(4)
п = п —-----------------
Кп М/Р
где МА — постоянная Авогадро; Уш — молярный объем металла; М —
молярная масса металла; р —- его плотность.
Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равен-
ство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим
NkplSe
Mt *
Отсюда найдем
_ IMt
NApSe
Подставив выражение I в формулу (1) и сократив на I, найдем ис-
' комую величину средней скорости электронов: .
= \5)
NApSet NApSe v '
’Подставив значения величин I, М, NA, р, S и е, получим
= 4,20 мм/с.
2. Электрод в виде медной пластины площадью S = 25 см2 погружен
в электролитическую ванну с раствором медного купороса. При про-
хождении тока плотностью / = 200 А/м2 на пластинах отложилась
медь массой т = 100 мг. Определить время t пропускания тока. Счи-
тать медь двухвалентной.
Решение. Из закона Фарадея т = kit находим
t = ml{kl).
Так как k =——I =jS, то
F Z ’ J
= —. (1)
MjS v /
где F — постоянная Фарадея; Z — валентность; М — молярная мас-
са.
Подставив значения величина, F, Z, М, j и S в формулу (1), полу-
чим
t = 10 мин 2 с.
3. Между пластинами конденсатора площадью S = 250 см2 каждая
находится водород объемом V = 375 см®. Концентрация п ионов в га-
зе равна 5,3 » 10? см-3. Какое напряжение U нужно приложить к
233
пластинам, чтобы получить ток силой 1 — 2 мкА? Подвижность ионов:
положительных Ь+= 5,4 см2/ (В-с), отрицательных 6_ = 7,4 см2/(В-с).
Решение. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напря-
женностью Е электрического поля и расстоянием d между пластина-
ми соотношением
% V = Ed. (1)
Напряженность поля может быть найдена из выражения плотно-
сти тока / = Qn0 (b+ + b_) Е. Отсюда
£ =-------I--------------L------
<2л0 (Ь+ + Ь_) QNB (b+ + S
Так как объем пространства, заключенного между пластинами,
равен Sd , то d = V/S., Подставив выражения Е и d в формулу (1),
получим
QnB (b+ + ь_) S2
Произведя вычисления по формуле (2), найдем
и = НО в.
Задачи
Ток в металлах
20-1. Сила тока / в металлическом проводнике равна 0,8 А, сечение
S проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре
металла содержится п = 2,5 • 1022 свободных электронов, определить
среднюю скорость их упорядоченного движения.
20-2. Определить среднюю скорость упорядоченного движе-
ния электронов в медном проводнике при силе тока /= 10 А и сечении
S проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждый атом меди при-
ходится два электрона проводимости.
20-3. Плотность тока j в алюминиевом проводе равна 1 А/мм2. Найти
среднюю скорость <о> упорядоченного движения электронов, пред-
полагая, что число свободных электронов в 1 см3 алюминия равно чис-
лу атомов.
20-4. Плотность тока j в медном проводнике равна 3 А/мм2. Найти
напряженность Е электрического поля в проводнике.
20-5. В медном проводнике длиной I = 2 м и площадью S поперечно-
го сечения, равной 0,4 мм2, идет ток. При этом ежесекундно выделяет-
ся количество теплоты Q — 0,35 Дж. Сколько электронов N проходит
за 1 с через поперечное сечение этого проводника?
20-6. В медном проводнике объемом V = 6 см3 при прохождении по
нему постоянного тока за время t = 1 мин выделилось количество
теплоты Q = 216 Дж. Вычислить напряженность Е электрического
поля в проводнике.
233
20-7. Термопара медь — константан с сопротивлением = 5 Ом
присоединена к гальванометру, сопротивление R2 которого равно
100 Ом. Один спай термопары погружен в тающий лед, другой — в
горячую жидкость. Сила тока I в цепи равна 37 мкА. Постоянная тер-
мопары k = 43 мкВ/K. Определить температуру t жидкости.
20-8. Сила тока / в цепи, состоящей из термопары с сопротивлением
R± = 4 Ом и гальванометра с сопротивлением R3 = 80 Ом, равна
26 мкА при разности температур А/ спаев, равной 50° С. Определить
постоянную k термопары.
Ток в жидкостях
20-9. При силе тока / = 5 А за время t = 10 мин в электролитиче-
ской ванне выделилось т = 1,02 г двухвалентного металла. Опреде-
лить его относительную атомную массу Аг.
20-10. Две электролитические ванны соединены последовательно. В
первой ванне выделилось тг = 3,9 г цинка, во второй за то же время
т2 = 2,24 г железа. Цинк двухвалентен. Определить валентность же-
леза.
20-11. Электролитическая ванна с раствором медного купороса при-
соединена к батарее аккумуляторов с э. д. с. $ = 4 В и внутренним
сопротивлением г = 0,1 Ом. Определить массу т меди, выделившейся
при электролизе за время t = 10 мин, если э. д. с. поляризации SD —
= 1,5 В и сопротивление R раствора равно 0,5 Ом. Медь двухвалент-
на.
20-12. Определить толщину h слоя меди, выделившейся за время t —
— 5ч при электролизе медного купороса, если плотность тока / =
= 80 А/м2.
20-13. Сила тока, проходящего через электролитическую ванну с
раствором медного купороса, равномерно возрастает в течение вре-
мени At = 20 с от /0 = 0 до I = 2 А. Найти массу т меди, выделив-
шейся за это время на катоде ванны.
20-14. В электролитической ванне через раствор прошел заряд Q —
= 193 кКл. При этом на катоде выделился металл количеством веще-
ства v = 1 моль. Определить валентность Z металла.
20-15. Определить количество вещества v и число атомов N двухва-
лентного металла, отложившегося на катоде электролитической ванны,
если через раствор в течение времени t = 5 мин шел ток силой
I = 2 А.
20-16. Сколько атомов двухвалентного металла выделится на 1 см2
поверхности электрода за время t — 5 мин при плотности тока / —
= 10 А/м2?
Ток в газах
20-17. Энергия ионизации атома водорода Et = 2,18-10“18 Дж. Оп-
ределить потенциал ионизации водорода.
20-18. Какой наименьшей скоростью 1'И1П должен обладать электрон,
чтобы ионизировать атом азота, если потенциал ионизации Цг азота
равен 14,5 В?
234 ;
J
20-19. Какова должна быть температура Т атомарного водорода, что-
бы средняя кинетическая энергия поступательного движения атомов
была достаточна для ионизации путем соударений? Потенциал иони-
зации 171 атомарного водорода равен 13,6 В.
20-20. Посередине между электродами ионизационной камеры проле-
тела а-частица, двигаясь параллельно электродам, и образовала на
своем пути цепочку ионов. Спустя какое время после пролета a-части-
цы ионы дощ^т до электродов, если расстояние d между электрода-
ми равно 4 см, разность потенциалов U = 5 кВ и подвижность ионов
обоих знаков в среднем b = 2 см2/(В-с)?
20-21. Азот ионизируется рентгеновским излучением. Определить про-
водимость G азота , если в каждом кубическом сантиметре газа нахо-
дится в условиях равновесия п0 =107 пар ионов. Подвижность поло-
жительных ионов Ь+ = 1,27 см2/(В-с) и отрицательных =
= 1,81 см2/(В-с).
20-22. Воздух между плоскими электродами ионизационной камеры
ионизируется рентгеновским излучением. Сила тока I, текущего че-
рез камеру, равна 1,2 мкА. Площадь S каждого электрода равна 300 см2,
расстояние между ними d = 2 см, разность потенциалов U — 100 В.
Найти концентрацию п пар ионов между пластинами, если ток далек
от насыщения. Подвижность положительных ионов Ь+ = 1,4 и от-
рицательных Ь_ — 1,9 см2/(В-с). Заряд каждого иона равен элемен-
тарному заряду.
20-23. Объем V газа, заключенного между электродами ионизацион-
ной камеры, равен 0,5л. Газ ионизируется рентгеновским излучением.
Сила тока насыщения /вас — 4 нА. Сколько пар ионов образуется
в 1 с в 1 см3 газа? Заряд каждого иона равен элементарному заряду.
20-24. Найти силу тока насыщения между пластинами конденсатора,
если под действием ионизатора в каждом кубическом сантиметре про-
странства между пластинами конденсатора ежесекундно образуется
п0 = 108 пар ионов, каждый из которых несет один элементарный за-
ряд. Расстояние d между пластинами конденсатора равно 1 см, пло-
щадь S пластины равна 100 см2.
20-25. В ионизационной камере, расстояние d между плоскими электро-
дами которой равно 5 см, проходит ток насыщения плотностью j =*
= 16 мкА/м2. Определить число п пар ионов, образующихся в каждом
кубическом сантиметре пространства цамеры в 1 с.
ГЛАВА 5
ЭЛ ЕКТРОМАГН ЕТИЗМ
§ 21. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Основные формулы
1. Закон Био—Савара—Лаплаоа
а, _-Ш£. „I г) Л,
4л г3
где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с то-
ком; и — магнитная проницаемость; р0 — магнитная постоянная (р0 = 4лX
X 10”* Гн/м), dl — вектор, равный по модулю длине 61 проводника и совпадаю-
щий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; г — ради-
Рис. 21.1
3. Магнитная индукция в центре
ус-вектор, проведенный от середины
элемента проводника к точке, магнит-
ная индукция в которой определяется.
Модуль вектора dB выражается
формулой
ИоИ /sina
аВ =--------------<п,
4л г3
где a — угол между векторами dl и г.
2. Магнитная индукция В связана
с напряженностью Н магнитного поля
соотношением
В = рорН,
или в вакууме
Во = pg Н.
кругового проводника с током
I
R '
_ Ио И
2
где R — радиус кривизны проводника.
4. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым
проводником с током,
д Hot* 1
2л г ’
где г — расстояние от оси проводника.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника.
„ Но [* 1 ,
В = — -------(cos ср, —cos <р2).
• ЧЛ Гр
Обозначения ясны из рис. 21.1, а. Вектор индукции В перпендикулярен плос-
кости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.
236
При симметричном расположении концов проводника относительно точки,
в которой определяется магнитная индукция (рис. 21.1, 6), — cos <ра = cos
= cos <р и, следовательно,
В = - — cos<p
поля, с
аваемого соленоидом в средней его час-
5. Магнитная индукция
ти (или тороида на его оси),
% В = рорп/,
где п — число витков, приходящихся иа единицу длины соленоида; 1 — сила
тока в одном витке.
6. Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В ре-
зультирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций BIt В2, .../\
Вп складываемых полей, т. е.
В = 2 Вр
i - ।
В частном случае наложения двух полей
В = В1+Вг,
а абсолютное значение вектора магнитной индукции
В = VВ,2 + В2 + S2cosa,
где a — угол между векторами Вг и В2.
Примеры решения задач
1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым те-
кут в одном направлении токи силой Z = 60 А, расположены на рас-
стоянии d — 10 см друг от друга.. Определить магнитную индукцию В
в точке, отстоящей от одного Проводника на расстоянии = 5 см йот
другого — на расстоянии г2 = 12-мсм.
Решение. Для нахождения магнитной
индукции в указанной точке А (рис. 21.2)
определим направления векторов индук-
ций Bi и В2 полей, создаваемых каж-
дым проводником в отдельности, и сло-
жим их геометрически, т. е. В = В, 4-
+ В 2. Абсолютное значение индукции
найдем по теореме косинусов:
В 4-fi2 + 2BjB2cosa> (*)
Значения индукций и В2 выра-
жаются соответственно через силу тока
I и расстояния и г2 от провода до точки, индукцию в которой
мы вычисляем: Bi = , В2 = Подставляя Ву и В2 в формулу
ZjTi 2
(1)
и вынося
2л
в
за знак корня, получим
= Ц- + 4- + -^—c°sa.
2л rf t\r2
(2)
237
Вычисляем cos а. Заметим, что а £DA€. Поэтому ио теореме
косинусов запишем с? = г\ 4- /‘а — 2гхг2 cos а, где d — расстояние
между проводами. Отсюда
Подставив даЛые, вычислим значение косинуса:
cos а = 0,576.
Подставив в формулу (2) значения р0, /, гъ г2 и cos £, найдем
В — 286 мкТл.
2. По двум длинным .прямолинейным проводам, находящимся на рас-
стоянии г = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи силой 1 — 10 А
каждый. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого тока-
ми в точке, лежащей посередине между проводами, для случаев:
Рис. 21.3
1) провода параллельны, то-
ки текут в одном направлении
(рис. 21.3, а); 2) провода па-
раллельны, токи текут в про-
тивоположных направлениях
(рис. 21.3,6); 3) провода
перпендикулярны, направле-
ние токов указано на
рис. 21.3, в.
Решение. Результирующая
индукция магнитного поля
равна векторной сумме:
В = Bi + В2, где Вх — ин-
дукция поля, создаваемого
током /х; В2 — индукция по-
ля, создаваемого током /2.
Если Вх и В 2 направлены по одной прямой, то векторная сумма
может быть заменена алгебраической суммой:
В = В1-|-В2. (1)
При этом слагаемые Вх и В2 должны быть взяты с соответствую-
щими знаками.
В данной задаче во всех трех случаях абсолютные значения ин-
дукций В± и В2 одинаковы, так как точки выбраны на равных расстоя-
ниях от проводов, по которым текут равные токи. Вычислим эти
индукции по формуле
В==рн//(2лг). (2)
Подстаде значения величин в формулу (2), найдем модули Bt
и В3; V Y
'/ Вг = В2 = 80 мкТл.
1-й случай. Векторы Вх и В2 направлены по одной прямой
(рис. 21.3, Я^сдедеватеяш?, резудаирУЩйя индукция В опреде-
238
ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным,
вниз — отрицательным, запишем: BL/i= — 80 мкТл, В2 = 80 мкТл.
Подставив в формулу (1) эти значения и Bit получим
В = By + В2 = о.
2-й с л у ч а й. Векторы В и, В2 направлены по одной прямой в
одну сторон)^(рис. 21.3,6). Поэтому можем записать
By = В2 = — 80 мкТл.
Подставив в формулу (1) значения By и В2, получим
В = By +|в2 = — 160 мкТл.
3-й случай. Векторы |индукций магнитных полей, создавае-
мых токами в точке, лежащей' посередине между
перпендикулярны (рис. 21.3, в)| Результирую-
щая индукция по абсолютному значению и
направлению является диап
та,
теореме Пифагора найдем
1алыо квадра-
построепного на векторах Вх и В2. По
В=УВ1 + В1 (3)
Подставив в формулу (3) значения Вг и
В2 и вычислив, получим
В — 113 мкТл.
проводами, взаимнс
Рис. 21.4
поля, создаваемого
3. Определить магнитную индукцию В поля,
создаваемого отрезкой бесконечно длинного
прямого провода, в точке, равноудаленной
от концов отрезка и находящейся на расстоя-
нии г0 = 20 см от середины его (рис. 21.4).
Сила тока /, текущего по проводу, равна
30 А, длина I отрезка равна 60 см.
Решение. Для определения магнитной индукции
отрезком провода, воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа:
dB = -^/stnK dl.
4лга
(1)
Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его тай,
чтобы можно было интегрировать по углу а. Выразим длину элемента
dl проводника через da. Согласно рис. 21.4, запишем dl = 4^- ,
Подставим это выражение d/ в формулу (1):
Цо I sin a-rda р0 /da
. 4лг2 sin a 4лг
239
Но г — величина переменная, зависящая от а и равная г == .
Подставив г в предыдущую формулу, найдем
dB — ..foL- sjn а (ja< (2)
4лг0
Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от-
резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от
а4 до а2:
а8 «а
В = С -HS-L sin a da = (го— С sin a da, или
J 4лг0 4лг0 J
а, «1
В = -ElL (cos a!—cos а2).
4лг0
(3)
Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно
отрезка провода cos 02 = — cos a4. С учетом этого формула (3) при-
мет вид
В = — cos a,.
2лг0
(<
Из рис. 21.4
ставив выражение
следует
cos в
/71
fyosa
А
Рис. 21.5
//2
cos a, = — . .
V>/4 + r02 V4+ 12
формулу (4), получим
j3 = l1,0^
2лг0 у4г2_|_/2
Под-
(5)
Произведя вычисления по формуле
(5), найдем
В = 24,9 мкТл.
4. По проводнику, согнутому в виде
квадратной рамки со стороной дли-
ной а = 10 см, течет ток силой 1 =
= 5 А. Определить магнитную индук-
цию В поля в точке, равноудален-
ной от вершин квадрата на расстоя-
ние, равное длине его стороны,
индукция В_ в точке А (рис 21.5)
Bs, В4, создаваемых
Решение. Искомая магнитная
является векторной суммой индукций Вь В2,
в этой точке токами, текущими в каждом из четырех проводов, явля-
ющихся сторонами квадрата, т. е. В = В4 + 'В2 + В3 + В4. Из
соображений симметрии абсолютные значения всех четырех индукций
одинаковы. На рис. 21.5 изображен только один из четырех векторов
В4, соответствующий полю, создаваемому током в проводе DC. В со-
ответствии с правилом буравчика вектор В перпендикулярен пло-
скости треугольника ADC.
I
f
240
ЙёТтгаправлен вдоль оси 00 и равен
авдение этой оси, т. е. В =
s а = 1/фуЗ, и тогда
вы
/ /
(cos pi
I
в
ведя
-йМ'-
60°/как
1 в-виде
и к
чке
02
соз
(^/.рример^з
ния велич
Ио'
4;тл
)1сстояние
утят}# магнит
нем
овод
0
/r^je f — тока в/
' T?o|4ifH поАДДв которо
треугольник
ка в
ормулу (1):
*/2, так ка
(1)
эком Проводника,
енствс/ (3) перт
Задачи
(2)
f/^Водника до
цию; 0х и
и радиус-
— COS 0!
(3)
угол
(4)
жфтие (4) и произ-
вязь между напряженностью
и индукцией магнитного поля
в вакууме
. Но
21-1. Напряженность Н магнитного поля равна 79,6 кА/м. Опреде-
лить магнитную индукцию Во этого поля в вакууме.
21-2. Магнитная индукция В поля в вакууме равна 10 мТл. Найти
напряженность Н магнитного поля.
21-3. Вычислить напряженность Н магнитного поля, если его индук-
ция в вакууме Во = 0,05 Тл.
241
Поле кругового тока
и соленоида
21-4. Найти магнитную индукцию в центре тонкого кольца, по кото-
рому идет ток силой 1 = 10 А. Радиус г кольца равен 5 см.
21-5. По обмотке очень короткой катушки радиусом г = 16 см те-
чет ток силой 1 = 5 А. Сколько витков N проволоки намотано на ка-
тушку, если напряженность Н магнитного поля в ее центре равна
800 А/м? *
21-6. Напряженность И магнитного поля в центре кругового витка
радиусом г = 8 см равна 30 А/м. Определить напряженность Нг
на оси витка в точке, расположенной на
расстоянии d = 6 см от центра витка.
21-7. По тонкому проводящему кольцу ра-
диусом R = 10 см течет ток силой I =
= 80 А. Найти магнитную индукцию В S'"'
точке, равноудаленной от всех точек коль-
ца на г = 20 см.
Рис. 21.7
21-8. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см те-
чет ток. Чему равна сила I этого тока, если магнитная индукция В
поля в точке А (рис. 21.6) равна 1 мкТл? Угол р = 10°.
21-9. Катушка длиной I = 20 см содержит N = 100 витков. По об-
мотке катушки идет ток силой / = 5 А. Диаметр d катушки равен
20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, лежащей на оси
катушки на расстоянии а = 10 см от ее конца.
21-10. Длинный прямой соленоид из проволоки диаметром d = 0,5 мм
намотан так, что витки плотно прилегают друг к другу. Какова на-
пряженность Н магнитного доля внутри соленоида при силе тока
1 = 4 А? Толщиной изоляции пренебречь.
21-11. Обмотка катушки диаметром d = 10 см состоит из плотно при-
легающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить мини-
мальную длину /т111 катушки, при которой магнитная индукция в се-
редине ее отличается от магнитной индукции бесконечного соленоида,
содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более
чем на 0,5%. Сила тока, протекающего по обмотке, в обоих случаях
одинакова.
21-12. Обмотка соленоида выполнена тонким проводом с плотно при-
легающими друг к другу витками. Длина / катушки равна 1 м, ее диа-
метр d = 2 см. По обмотке идет док. Вычислить размеры участка на
242
осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть
вычислена по формуле бесконечного соленоида с погрешностью, не
превышающей 0,1%.
21-13. Тонкая лента шириной I = 40 см свернута в трубку радиусом
R — 30 см. По ленте течет равномерно распределенный по ее шири-
не ток силой I = 200 А (рис. 21.7). Определить магнитную индукцию
В на оси трубкЛз двух точках: 1) в средней точке; 2) в точке, совпа-
дающей с концом трубки.
Поле прямого тока
21-14. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток силой
/ = 50 А. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на
расстояние г = 5 см от проводника.
21-15. Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии
г = 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных
направлениях одинаковые токи силой 1 = 10 А каждый. Найти на-
пряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии
/у = 2 см от одного и г2 = 3 см от другого провода.
21-16. Расстояние d между двумя длинными параллельными провода-
ми равно 5 см. По проводам в одном направлении текут одинаковые
токи силой / = 30 А каждый. Найти напряженность Н магнитного
поля в точке, находящейся на расстоянии лу = 4 см от одного и г8 =
= 3 см от другого провода.
21-17. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам
текут токи силой = 50 А и /2 = 100 А в противоположных направ-
лениях. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить маг-
нитную индукцию В в точке, удаленной на лу = 25 см от первого и
на г2 = 40 см от второго провода.
21-18. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам
текут токи силой = 20 А и /2 = 30 А в одном направлении. Рас-
стояние d между проводами равно 10 см. Вычислить магнитную ин-
дукцию В в точке, удаленной от обоих проводов на одинаковое рав-
стояние г — 10 см.
21-19. Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под пря-
мым углом (рис. 21.8). По проводам текут токи силой = 80 А и /2=<
= 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить маг-
нитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих провод-
ников.
21-20. По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным
под прямым углом, текут токи силой — 30 А и /2 = 40 А. Расстоя-
ние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индук-
цию В в точке С (рис. 21.8), одинаково удаленной от обоих проводов
на расстояние, равное d.
21-21. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом.
По проводнику течет ток силой / = 20 А. Какова магнитная иидукцвв
В в точке А (рис. 21.9), если г =* 5 см?
21-22. По бесконечно длинному прямому проводу, изогнутому так,
как это показано на рис. 21.10, течет ток силой I =» 100 А. Опреде-
лить магнитную индукцию В в точке О, если г = 10 см.
24В
21-23. Бесконечно длинный прямой.провод согнут под прямым углом.
По проводу течет ток силой 7 = 100 А. Вычислить магнитную индук-
цию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от верши-
ны угла на а = 100 см.
21-24. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под уг-
лом а = 120е, течет ток силой I — 50 А. Найти магнитную индукцию
В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины
его на расстЛние а = 5 см.
21-25. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток
силой I = 40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Опре-
делить магнитную индукцию В в точке пере-
' Рис. 21.8
сечения высот.
21-26. По контуру в виде квадрата идет ток си-
лой 7 = 50 А. Длина а стороны квадрата равна
20 см. Определить магнитную индукцию В в
точке пересечения диагоналей.
Рис. 21.9
Рис. 21.10
21-27. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, те-
чет ток силой 7 = 60 А. Длины сторон прямоугольника равны а =
= 30 см и b = 40 см. Определить магнитную индукцию В в точке
пересечения диагоналей.
21-28. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиугольника.
Длина d стороны шестиугольника равна 10 см. Определить магнитную
индукию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток силой
7 = 25 А.
21-29. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника
с длиной а стороны, равной 20 см, течет ток силой 7 = 100 А. Найти
напряженность Н магнитного поля в центре шестиугольника. Для
сравнения определить напряженность 77О поля в центре кругового
провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного ше-
стиугольника.
21-30. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы
тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз из-
менилась магнитная индукция в центре контура?
21-31. Бесконечно длинный тонкий проводник с током силой 7 = 50 А
имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом Д = 10 см. Определить в точ-
ке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в случаях
а—е, изображенных на рис. 21.11.
244
21-32. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток силой Z яя
«= 100 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим
током в точке О, в случаях а—е, изображенных на рис. 21.12. Радиус
R изогнутой части контура равен 20 см.
Рис. 21.12
Поле движущегося заряда
21-33. Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг
ядра по окружности радиусом г = 53 пм. Вычислить силу эквивалент-
ного кругового тока I и напряжённость Н поля в центре окружности.
21-34. Определить максимальную магнитную индукцию Вшах поля,
создаваемого электроном, движущимся прямолинейно со скоростью
о = Ю Мм/с, в точке, отстоящей от траектории на расстоянии d = 1 нм.
245
21-35. На расстоянии г= 10 нм от траектории прямолинейно движу-
щегося электрона максимальное значение магнитной индукция
Вшах = 160 мкТл. Определить скорость v электрона.
§ 22. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ
НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Оснс ные формулы
1. Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном
поле,
F= [IB] I,
где 1 —сила тока; I —вектор, равный по модулю длине I проводника и совпа-
дающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля.
Модуль вектора F определяется выражением
F — ВП sin а.
где а — угол между векторами I и В.
2. Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных
проводников с токами lt и /2, находящихся на расстоянии d друг от друга, рас-
считанная на отрезок проводника длиной I, выражается формулой
р Но И Z
2л d
щДМагнитный момент контура с током
Pm = ZS.
где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и сов-
падающий по направлению с нормалью к его плоскости
4. Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в
однородное магнитное поле.
М = [Pm й] •
Модуль механического момента
М =рю В sin а,
где а — угол между векторами рт и В.
5. Потенциальная (механическая)' энергия контура с током в магнитном
поле
Пмех — Pm В ~Рт В cos сс.
6. Сила, действующая на контур с током в магнитном поле (изменяющемся
вдоль оси х),
р дВ
Р=-'Рт~— cos а,
дх
дВ
где ^——изменение магнитной индукции вдоль оси х, рассчитанное на единицу
длины; а — угол между векторами рт и В.
Примеры решения задач
1. На проволочный виток радиусом г = 10 см, помещенный между
полюсами магнита, действует максимальный механический момент
Almax = 6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2 А. Определить магнит-
ную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнит-
ного поля Земли пренебречь.
246
Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выраже-
ния механического момента, действующего на виток с током в маг-
нитном поле,
М — ртВ sin а. ~ (1)
Если учесть, что максимальное значение механический момент
принимает при о^= л/2 (sin а — 1), а также что рт = IS, то форму-
ла (1) примет ввд
Mmaz = lBS.
Отсюда, учитывая, что S — пг2, находим
В = MmaJ (лг2 /).
Произведя вычисления по формуле (2), найдем
В = 104 мкТл.
(2)
2. Квадратная рамка со стороной длиной а = 2 см, содержащая
N = 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, по-
стоянная кручения С которой равна 10 мкН-м/град. Плоскость сам-
ки совпадает с направлением линии ин-
дукции внешнего магнитного поля. Опре-
делить индукцию внешнего магнитного по-
ля, если при пропускании по рамке тока
силой I = 1 А она повернулась на угол
а = 60°.
Решение. Индукция В внешнего поля мо-
жет быть найдена из условия равновесия
рамки в поле. Рамка будет находиться в
равновесии, если сумма механических мо-
ментов, действующих на нее, будет равна
нулю:
SM=0. (1)
В данном - случае на рамку действуют
два момента (рис. 22.1): Мх — момент
сил, с которым внешнее магнитное поле
действует на рамку с током, и М2 — момент упругих сил, возни-
кающих при закручивании нити, на которой рамка подвешена. Сле-
довательно, формула (1) может быть переписана в виде
Mi + Мг^О.
Выразив Му и Л42 в этом равенстве через величины, от которых за-
висят моменты сил, получим
pfnB sin а — С<р = 0. (2)
Знак минус перед моментом Л42 ставится потому, что этот момент
противоположен по направлению моменту Му.
247
Если учесть, что pm = ISN = Ia2N, где I — сила тока в рам-
ке; S = а2 — площадь рамки; N — число ее витков, равенство (2)
перепишем в виде
A//a2Bsina — Сф = 0, откуда
В =----------^2---.
(3)
Nla* sin a ’
Из рис. 22.1 видно, что a = зт/2 — <р, значит, sin a = cos ф.
С учетом этого равенства (3) примет вид
Подставив данные в формулу (4) и произведя вычислений, получим*
В — 30 мТл.
3. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по
которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однород-
ном магнитном поле индукцией В — 1 Тл. Определить работу А, со-
вершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси,
проходящей через середину его противоположных сторон, на угол:
1) ф± = 90°; 2) <р2 = 3°. При повороте контура сила тока в нем под-
держивается неизменной.
Решение. На контур с током в магнитном поле действует механиче-
ский момент
М = ртВ sin ф.
(I)
По условию задачи, в начальном положении контур свободно уста-
новился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0),
а значит ф = 0, т. е. векторы рт и В совпадают по направлению.
Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то
возникший момент сил, определяемый формулой (I), будет стремиться
возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и
будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил пере-
менный (зависит от угла ф поворота), то для подсчета работы применим
формулу работы в дифференциальной форме
dA = А4бф.
(2)
Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что рт =
= AS — la2, где I — сила тока в контуре, S — а2 — площадь кон-
тура, получим
dA = IBa2 sin ф dф.
* Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не на ра-
диан, как это следовало бы выразить в СИ), оставим без изменения, так как
аначение угла <р‘ также дано в градусах.
248
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте
на конечный угол;
ф
А = IBa2 j sin ф йф. (3)
6
1. Работа при повороте на угол фх — 90°
л/2
А1~1Вай J sin ф бф —/Во21 — cos ф •= 7<Btz2. (4)
После вычисления по формуле (4) найдем
= 1 Дж.
2. Работа при повороте на угол ф2 = 3°. В этом случае, учитывая,
что угол ф8 мал, заменим в выражении (3) sin ф на ф:
Фа
Аг = 1Ва2 Сф<1ф = — /Вй2ф2. (5)
о
Выразим угол ф2 в радианах (см. табл. 9):
Ф2 = 3° = 3-1,75-10-2 рад = 0,0525 рад.
После подстановки значений 7, В, а и ф2 в формулу (5) получим
А 2 — 1,37 мДж.
Задачи
Сила Ампер*
22-1. Прямой провод, по которому течет ток силой 7=1 кА, распо-
ложен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям ин-
дукции. С какой силой F действует поле на отрезок провода длиной
I = 1 м, если магнитная индукция В равна 1 Тл?
22-2. Прямой провод длиной / = 10 см, по которому течет ток силой
7 = 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией
В — 0,01 Тл. Найти угол & ыеиццу направлениями вектора В и то-
ка, если на провод действует сила F = 10 мН.
22-3. Квадратная проволочная рамкд расположена в одной плоскости
с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны про-
воду. По рамке и проводу текут одинаковые токи силой 7= 1 кА. Оп-
ределить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу
сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.
22-4. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R = 10 см нахо-
дится в однородном магнитном поле с индукцией В = 50 мТл. По
проводу течет ток силой I = 10 А. Найти силу F, действующую на
провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индук-
ции, а проводящие провода находятся вне поля.
249
22-5. По тонкому проводу в виде кольца радиусом Я = 20 см течет
ток силой I — 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено
однородное магнитное поле с индукцией В = 20 мТл. Найти силу F,
растягивающую кольцо.
22-6. По двум параллельным прямым проводам длиной I = 2,5 м каж-
дый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут оди-
наковые токи сц^ой / = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.
22-7. Шины генератора представляют собой две параллельные мед-
ные полосы длиной I = 2 м каждая, отстоящие друг от друга на рас-
стоянии d = 20 см. Определить силу F взаимного отталкивания шин
в случае короткого замыкания, когда по ним течет ток силой 1 =
- 10 кА.
22-8. По двум параллельным проводам длиной I = 1 м каждый текут
токи одинаковой силы. Расстояние d между проводами равно 1 см.
Токи взаимодействуют с силой F = 1 мА. Найти силу тока I в проводах.
22-9. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на оди-
наковом расстоянии а = 10 см друг от друга, текут одинаковые токи
силой I == 100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вы-
числить силу F, действующую на отрезок длиной I — 1 м каждого про-
вода.
22-10. По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца радиу-
сом R — 10 см, текут одинаковые токи силой / = 10 А в каждом.
Найти силу F взаимодействия этих колец, если плоскости, в которых
лежат кольца, параллельны, а расстояние d между центрами колец
равно 1 мм.
22-11. По двум одинаковым квадратным плоским контурам со сторо-
ной а =* 20 см текут токи силой I = 10 А в каждом. Определить силу
F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответственны-
ми сторонами контуров равно 2 мм.
Магнитный момент
22-12. По витку радиусом г = 5 см течет ток силой / = 10 А. Опре-
делить магнитный момент рт кругового тока.
22-13. Очень короткая катушка содержит N = 1000 витков тонкого
провода- Катушка имеет квадратное сечение со стороной длиной а =
= 10 см. Найти магнитный момент рт катушки при силе тока / — 1 А.
22-14. Магнитный момент рга витка равен 0,2 Дж/Тл. Определить
силу тока 1 в витке, если его диаметр d = 10 см.
22-15. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка
равна 200 А/м. Магнитный момент рт витка равен 1 А-м2. Вычислить
силу тока I в витке и радиус R витка.
22-16. По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии
d =* 1 м от его плоскости магнитная индукция В = 10 нТл. Опреде-
лить магнитный момент рт кольца с током. Считать R много мень-
шим d.
22-17. Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг
ядра по окружности радиусом г = 53 пм. Вычислить магнитный мо-
мент рт эквивалентного кругового тока и механический момент Ж,
250
действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле,
линии индукции которого параллельны' плоскости орбиты электрона.
Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл.
22-18. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой
орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента рт
эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального
движения электрона. Заряд электрона и его массу считать известны-
ми. Указать вправления векторов рш и L.
22-19. По тонкому стержню длиной I = 20 см равномерно распреде-
лен заряд Q = 240 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной
угловой скоростью со = 10 рад/с относительно оси, перпендикуляр-
ной стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) маг-
нитный момент рш, обусловленный вращением заряженного стержня;
2) отношение магнитного момента к моменту импульса если
стержень имеет массу т — 12 г.
22-20. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет заряд Q= 10 нКл.
Кольцо равномерно вращается с частотой п = 10 с-1 относительно
оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее
центр. Найти: 1) магнитный момент рт кругового тока, создавае-
мого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импуль-
са если масса т кольца равна 10 г.
22-21. То же, что и в предыдущей задаче, но относительно оси, сов-
падающей с одним из диаметров кольца.
22-22. Диск радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный
по поверхности заряд Q — 0,2 мкКл. Диск равномерно вращается
с частотой п = 20 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоско-
сти диска и проходящей через его центр. Определить: 1) магнитный
момент рш кругового тока, создаваемого диском; 2) отношение маг-
нитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса т диска рав-
на 100 г.
22-23. Тонкостенная металлическая сфера радиусом R = 10 см не-
сет равномерно распределенный по ее поверхности заряд Q = 3 мКл.
Сфера равномерно вращается с угловой скоростью со = 10 рад/с от-
носительно оси, проходящей через центр сферы. Найти: 1) магнит-
ный момент рт кругового тока, создаваемый вращением сферы; 2) от-
ношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если мас-
са т сферы равна 100 г.
22-24. Сплошной шар радиусом R = 10 см несет заряд Q = 200 нКл,
равномерно распределенный по объему. Шар вращается относитель-
но оси, проходящей через центр шара, с угловой скоростью со =
= 10 рад/с. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока,
обусловленного вращением шара; 2) отношение магнитного момента
к моменту импульса (рш/Ь), если масса т шара равна 10 кг.
Контур в магнитном поле
22-25. Проволочный виток радиусом R — 5 см находится в однород-
ном магнитном поле напряженностью Н = 2 кА/м. Плоскость витка
образует угол а — 60° с направлением поля. По витку течет ток силой
I — 4 А. Найти механический момент Л1, действующий на виток.
251
22-26. Виток диаметром d = 20 см может вращаться около вертикаль-
ной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установи-
ли в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток силой
/ = 10 А. Найти механический момент М, который нужно приложить
к витку, чтобы удержать его в начальном положении*.
22-27. Рамка гальванометра длиной а = 4 см и шириной b ~ 1,5 см,
содержащая А7 = 200 витков тонкой проволоки, находится в магнит-
ном поле с индукцией В = 0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна ли-
ниям индукции. Шйти: 1) механический момент /И, действующий на
рамку, когда по витку течет ток силой I — 1 мА; 2) магнитный мо-
мент рт рамки при этом токе.
22-28. Короткая катушка площадью S поперечного сечения, равной
150 см2, содержит Л7 = 200 витков провода, по которому течет ток си-
лой I = 4 А. Катушка помещена в однородное магнитное поле напря-
женностью Н ~ 8 кА/м. Определить магнитный момент рт катушки,
а также вращающий момент М, действующий на нее со стороны поля,
если ось катушки составляет угол а = 60° с линиями индукции.
22-29. Рамка гальванометра, содержащая N = 200 витков тонкого
провода, подвешена на упругой нити. Площадь S рамки равна 1 см2.
Нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям магнитной ин-
дукции (В = 5 мТл). Когда через гальванометр был пропущен ток
силой 1 = 2 мкА, то рамка повернулась на угол а = 30°. Найти по-
стоянную кручения С нити.
22-30. По квадратной рамке из тонкой проволоки массой т = 2 г
пропущен ток силой / = 6 А. Рамка свободно подвешена за середи-
ну одной из сторон на неупругой нити. Определить период Т малых
колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией
В = 2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.
22-31. Тонкий провод в виде кольца массой т = 3 г свободно подве-
шен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу те-
чет ток силой I = 2 А. Период Т малых крутильных колебаний
относительно вертикальной оси равен 1,2 с. Найти магнитную ин-
дукцию В поля.
22-32. На оси контура с током, магнитный момент которого рга ра-
вен 10 мА-м2, находится другой такой же контур. Вектор магнитного
момента второго контура перпендикулярен оси. Вычислить механиче-
ский момент М, действующий на второй контур. Расстояние d между
контурами равно 50 см. Размеры’ контуров малы по сравнению с рас-
стоянием между ними.
22-33. Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом
R = 20 см, по которому течет ток силой / =100 А. На оси кольца
расположено другое кольцо малых размеров с магнитным моментом
рт = 10 мА-м2. Плоскости колец параллельны, а расстояние d меж-
ду центрами равно 1 см. Найти .силу, действующую на малое кольцо.
* Горизонтальную составляющую Вг магнитной индукции поля Земли
принять равной 20 мкТл.
252
Магнитный диполь
22-34. Магнитное поле создано бесконечно длинным проводником
с током силой 1 = 100 А. На расстоянии а = 10 см от проводника на-
ходится точечный диполь, вектор магнитного момента (рт = 1 мА-м2)
которого лежит в одной плоскости с проводником и перпендикулярен
ему. Определит%силу F, действующую на магнитный диполь.
22-35. Определить степень неоднородности магнитного поля (dB/dx),
если максимальная сила Fmax, действующая на точечный магнитный
диполь, равна 1 мН. Магнитный момент точечного диполя равен
2 мА-м2.
22-36. Проволочный виток радиусом R = 20 см расположен в пло-
скости магнитного меридиана. В центре витка установлен компас.
Какой силы I ток течет по витку, если магнитная стрелка компаса от-
клонена на угол а = 9° от плоскости магнитного меридиана*?
22-37. Определить число N витков катушки тангенс-гальванометра,
при котором сила тока, текущего по обмотке, численно равна танген-
су угла отклонения магнитной стрелки, помещенной в центре обмот-
ки? Радиус г катушки равен 25 см. Ось катушки перпендикулярна
плоскости магнитного меридиана*.
22-38. Длинный прямой соленоид, содержащий п = 5 витков на каж-
дый сантиметр длины, расположен перпендикулярно к плоскости маг-
нитного меридиана*. Внутри соленоида, в его средней части, находит-
ся магнитная стрелка, установившаяся в магнитном поле Земли.
Когда по соленоиду пустили ток, стрелка отклонилась на угол а = 60°.
Найти силу тока 1.
22-39. Короткий прямой магнит расположен перпендикулярно пло-
скости.магнитного меридиана. На оси магнита на расстоянии г=50 см
от его середины (которое много больше длины магнита) находится маг-
нитная стрелка. Вычислить магнитный момент рт магнита, если
стрелка отклонена на угол а = 6° от плоскости магнитного меридиа-
на*.
22-40. Конденсатор электроемкостью С = 50 мкФ заряжается от
источника тока, э. д. с. & которой равна 80 В, и с помощью особого
переключателя полностью разряжается 100 раз в секунду через обмот-
ку тангенс-гальванометра, расположенного в плоскости магнитного
меридиана*. На какой угол а отклонится магнитная стрелка, находя-
щаяся в центре тангенс-гальванометра, если его обмотка имеет N ~
= 10 витков радиусом т = 25 см?
22-41. Магнитная стрелка, помещенная в центре кругового провода
радиусом R = 10 см, образует угол а = 20° с вертикальной плоско-
стью, в которой находится провод. Когда по проводу пустили ток си-
лой I = ЗА, то стрелка повернулась в таком направлении, что угол
а увеличился. Определить угол поворота стрелки.
* См. сноску к задаче 22-26.
[253
§ 23. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ
НА ЗАРЯД, ДВИЖУЩИЙСЯ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Основные формулы
Сила F, действующая на зяряд, движущийся со скоростью v в магнитном
поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой
F = Q[vBJ, или F=|Q|t)Bsina,
где а — угол, образованный вектором скорости v движения частицы и вектором
В индукции магнитного поля.
Примеры решения задач
1. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В,
попал в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,5 мТл. Оп-
ределить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) частоту п вращения
электрона в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендику-
лярен линиям индукции.
Решение. 1. Радиус кривизны траектории электрона определим, ис-
ходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле
электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно
пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро-
сти и, следовательно, по второму закону Ньютона сообщает электрону
нормальное ускорение ап: F = тап. Подставив сюда выражения F
и ап, получим
| е | aBsin а = muHR, (I)
где е, v, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг-
нитного поля; R — радиус кривизны траектории; а — угол между на-
правлениями вектора скорости v и индукции В (в нашем случае v_LB
и а = 90°, sin а = 1).
Из формулы (1) найдем
Входящий в выражение (2) импульс mv выразим через кинетиче-
скую энергию Т эледтрона: л ,.
= 2тТ. (3)
Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую раз-
ность потенциалов U, определяется равенством Т = | е | U. Подставив
это выражение Т в формулу (3), получим mu = ]F2m|e|t/. Тогда вы-
ражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид
« 1 /ТГ-
После вычисления по формуле (4) найдем
jR = 45 мм,
254’
2. Для определения частоты'вращения воспользуемся формулой,
связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории,
V
п —-----,
2nR
Подставив R из выражения (2) в эту формулу, получим
1 1^1 о
п =-----—- В.
2п т
Произведя вычисления, найдем
п = 4,20-107 с-1.
2. Электрон, имея скорость v — 2 Мм/с, влетел в однородное маг-
нитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом а = 30° к направле-
нию линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии,
по которой будет двигаться электрон.
Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в маг-
нитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам
магнитной индукции В и ско-
рости v частицы:
F = QvB sin а, (1)
где Q — заряд частицы.
В случае, если частицей яв-
ляется электрон, формулу (1)
можно записать в виде
F = | е | vB sin а.
Так как вектор силы Лорен-
ца перпендикулярен вектору
скорости, то модуль скорости не
будет изменяться под действием
этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из форму-
лы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Их механики
известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызы-
вает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший
в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, пер-
пендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной
составляющей а, скорости (рис. 23.1); одновременно он будет двигать-
ся и вдоль поля со скоростью ож:
vz = v min a, vx = v cos a.
В результате одновременного участия в движениях по окружно-
сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.
Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле-
дующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное
255
’п-
ускорение яп. По второму закону Ньютона F = тап, где Л=|е|о2В
и ап =- v?/R. Тогда
|е t, В =
1 г R
откуда после сокращения на vt находим радиус винтовой линии:
„ mv. п то sin а
R = ---—, или R ------------.
1е|В |е|В
Подставив значения величин т, V, е, В и а и произведя вычисления,
получим
R = 0,19 мм.
Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль
поля со скоростью vx за время, которое понадобится электрону для
того, чтобы совершить один оборот,
h = vsT, (2)
где Т — “2t\RIvz — период вращения электрона. Подставив это вы-
ражение для Т в формулу (2), найдем
. 2nRvx , . 2nRv cos a n n ,
/1 =-----2-, или n = ----------= 2n/?ctga.
vz osina
Подставив в эту формулу значения величин л, R и а и вычислив,"
получим
h — 2,06 мм.
3. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,03 Тл по окружности радиусом г = 10 см. Определить скорость
v электрона.
Решение. Движение электрона по окружности в однородном магнит-
ном поле совершается под действием силы Лоренца (см. примеры 1
и 2). Поэтому можно написать
откуда найдем импульс электрона:
р = mv = | е | Вг. (2)
Релятивистский импульс выражается формулой
p = mftc₽/]/'l —₽а.
Выполнив преобразования, получим следующую формулу для оп’
ределения скорости частицы:
. (3)
Vl+(p/m0 с)2
5Е6
В данном елучае р. = | е| Sr. Следовательно,
р = |e|6r/m0c
1/l+(|e|ffr//noc/
В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение
\ е\ Вг/(тос). Вычислим его отдельно:
|е| Вг1{т<£) =1,76.
Подставив найденное значение отношения |е| Вг1(тйс) в формулу
(4), получим
(3 = 0,871. или v ~ с(3 = 2,61 • 10” м/а.
Электрон, обладающий такой скорошью, является релятививт-
ским (см. § 5).
Задачи
Сила Лорейна
23 1. Определить силу Лорейна R, действующую на электрон, влетев
ший со жоростыо с в однородное магнитное поле под углом а = 30s
к линиям индукции. Магнитная индукйия В поля равна 0,2 Тл
23-2. Вычислить радиус R дуги окружности, которую описывает про-
тон в магнитном ноле с индукцией В = 15 мТл, если скорость г про-
тона равна 2 Мм/с.
23-3 Двукратно ионизированный атом гелия (а-частица) движется в
однородном магнитном , поле напряженностью /У — 100 кА/м по ок-,
ружности радиусом R — ЮГ1 см Найти коросп, v st частицы.
23-4 Нои, несущий один элементарный заряд, движения в однородном
магнитном поле индукцией В = 0,015 Тл по окружности радиусом
R — 10 см Определить импульс р иона
23-5. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в одно-
родное магнитное поле с индукцией В = 0,5 1л Определить момент
импульна L, которым обладала частица при движении е магнитном
поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом
R = 0,1 см . , ".
23-6. Электрон движется в магнитном поле < индукцией В = 0,02 Тл
по окружности радиусом R — 1 см Определить кинетическую энер
гию Т электрона (в джоулях и электрон-вольтах)
23-7. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индук
ции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате вза
имодейсгвия с веществом частица, находясь в поле, потеряла полови
ну своей первоначальной энергии Во сколько раз будут отличаться
радиусы кривизны R траектории начала и конца пути?
23-8. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге ок
ружности радиусом Rt — 2 см, прошла через свинцовую пластину,
расположенную на пути частицы. Вследствие потери энергии части
9 Зак Vi 257
цей радиус кривизны траектории изменился и стал равным = 1 см.
Определить относительное изменение энергии частицы.
23-9. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U =*
= 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл
и начал двигаться по окружности, вычислить ее радиус R.
23-10. Заряженная частица, обладающая скоростью v = 2- 10е м/с,
влетела в одноирдное магнитное поле с индукцией В = 0,52 Тл. Най-
ти отношение У/m заряда частицы к ее массе, если частица в поле опи-
сала дугу окружности радиусом R = 4 см. По этому отношению опре-
делить, какая это частица.
23-11. Заряженная частица, 'прошедшая ускоряющую разность по-
тенциалов U = 2 кВ, движется в однородном магнитном поле с ин-
дукцией В = 15,1 мТл по окружности радиусом R = I см. Определить
отношение |е|//п заряда частицы к ее массе и скорость v частицы.
23-12. Заряженная частица с энергией Т — 1 кэВ движется в одно-
родном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Найти
силу F, действующую на частицу со стороны поля.
23-13. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В = 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции. Определить силу
F, действующую на электрон со стороны пбля, если радиус R кривиз-
ны траектории равен 0,5 см.
23-14. Электрон движется в однородном магнитном поле напряжен-
ностью Н = 4 кА/м со скоростью v = 10 Мм/с. Вектор скорости на-
правлен перпендикулярно линиям напряженности. Найти силу F,
с которой поле действует на электрон, и радиус R окружности, по
которой он движется.
23-15. Протон с кинетической энергией Т — 1 МэВ влетел в однород-
ное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции (В = 1 Тл).
Какова должна быть минимальная протяженность I поля в на-
правлении, по которому летел протон, когда он находился вне поля,
чтобы оно изменило направление движения протона на противопо-
ложное?
23-16. Электрон движется по окружности в однородном магнитном
поле напряженностью Н = 10 кА/м Вычислить период Т вращения
электрона.
23-17. Определить частоту п вращения электрона по круговой орбите
в магнитном поле, индукция В которого равна 0,2 Тл.
23-18. Электрон в однородном магнитном поле с индукцией В =
= 0,1 Тл движется по окружности. Найти силу / эквивалентного кру-
гового тока, создаваемого движением электрона.
23-19. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией
В — 0,2 Тл, стал двигаться по окружности радиусом R = 5 см. Оп-
ределить магнитный момент рш эквивалентного кругового тока.
23-20. , Два однозарядных иона, пройдя одинаковую ускоряющую раз-
ность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле перпендику-
лярно линиям индукции. Один ион, масса тг которого равна 12 а. е. м.*,
• А. е. м. — обозначение атомной единицы массы.
258
описал дугу окружности радиусом Rr4 см. Определить массу tnt
другого иона, который описал дугу окружности радиусом R* == 6 см.
23-21. Два иона, имеющие одинаковый заряд, но различные массы,
влетели в однородное магнитное поле. Первый ион начал двигаться по
окружности радиусом Rt = 5 см, второй ион — по окружности ради-
усом 7? 2 = 2,5 см. Найти отношение mjmt масс ионов, если они про-
шли одинаков^ ускоряющую разность потенциалов.
23-22. В однородном магнитном поле с индукцией В = 100 мкТл дви-
жется электрон по .винтовой линии. Определить скорость v электрона,
если шаг h винтовой линии равен 20 см, а радиус R => 5 см.
23-23. Электрон движется а однородном магнитном поле в индукцией
В = 9 мТл по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг
h = 7,8 см. Определить период Т вращения электрона и его скорость и.
23-24. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл движет
ся протоц. Траектория его движения представляет собой винтовукили-
нию о радиусом R = 10 ем и шагом ft = 60 см. Определить кинетиче-
скую энергию Т протона.
23-25. Электрон влетает в. однородное магнитное поле напряженно-
стью Н = 16 кА/м со скоростью v — 8 Мм/с. Вектор скорости со-
ставляет угол а = 60° с направлением линий индукции. Определить
радиус R и шаг ft винтовой линии, по которой будет двигаться электрон
в магнитном поле. Определить также шаг винтовой линии для элек-
трона, летящего под малым углом к линиям индукции.
23-26. Определить энергию 8, которую приобретает протон, сделав
N = 40оборотов в магнитном поле циклотрона, если максимальное знэ-
чение l/max переменной разности потенциалов между дуантамв равно
60 кВ. Определить также относительное увеличение Длг/г»0 массы про-
тона в сравнении с массой покоя, а также скорость о протона.
23-27. Вычислить скорость v и кинетическую энергию Т а-чэстиц,
выходящих из циклотрона, если, подходя к выходному окну, ионы
движутся по окружности радиусом R = 50 см. Индукция В магнит-
ного поля циклотрона равна 1,7 Тл.
23-28. Индукция В магнитного поля циклотрона равна 1 Тл. Какова
частота v ускоряющего поля между дуантами, если в циклотроне ус-
коряются дейтоны?
23-29. В циклотроне требуется ускорять ионы гелия (Не++). Ча-
стота v переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам,
равна 10 МГц. Какова должна быть индукция В мэ1нигного поля, что-
бы период Т вращения ионов совпадал а периодом изменения разно-
сти потенциалов?
23-30. Определить число N оборотов, которые должен сделать про-
тон в магнитном поле циклотрона, чтобы приобрести кинетическую
энергию Т = 10 МэВ, если при каждом обороте протон проходит меж-
ду дуантами разность потенциалов U = 30 кВ.
23-31. Электрон движется по окружности в однородном магнитном
ноле со скоростью о = 0,8 с (о — скорость света в вакууме). Магнит-
ная индукция В поля равна 0,01 Тл. Определить радиус окружности
9* 250
в двух случаях: 1) не учитывая увеличение массы со скоростью;
2) учитывая это увеличение.
23-32. Электрон движется ц. магнитном поле по окружности радиусом
/? = 2.см Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл. Определить ки-
нетическую энергию 7 электрона*.
23-33. 'Электрон, влетевший в камеру Вильсона, оставил след в виде
дуги окружпосш радиусом R — 10 см. Камера находится в однород-
ном магнитном поле с индукцией В = 10 Тл. Определить кинетиче-
скую энергию Т электрона*
23-34. Кинетическая энергия Т а-частицы равна 500 МэВ. Частица
-движется в однородном магнитном поле по окружности радиусдм R =
= 80 см. Определить магнитную индукцию В поля*.
" 23-35. Электрон, имеющий кинетическую энергию Г = 1,5 МэВ, дви-
жется в однородном магнитном поле по окружности. Магнитная ин-
дукция В поля равна 0,02 Тл. Определить период т вращения*.
Движение заряженных частиц
' . в совместных магнитном
и электрическом полях
23-36. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией В = 0,1 Гл
возбуждено электрическое поле напряженностью Е = 100 кВ/м Пер-
пендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолиней-
ной траектории, заряженная частица. Вычислить скорость с частицы.
23-37. Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно скрещенным
под прямым углом электрическому (Е — 400 кВ/м) и магнитному
- (В = '0,25 Тл) полям, не испытывает отклонения при определенной
скорости V. Определить эту скорость и возможные отклонения Ли от
нее, если значения электрического и магнитного полей могут быть обес-
печены с точностью, не превышающей 0,2%
23-38. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциа-
лов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электриче-
ское (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля Найти отношение
Q/m заряда частипы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обеим
полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной (раек--
тории
.23-39. Заряженная частица движется по окружности раяиу<-ом
/?= I см в однородном магни гном поле с индукцией В = 0,1 Тл Парал-
лельно магнитному полю возбуждено электрическое поле напряжен-
ностью Е — 1()0 В/м Вычислить промежуток времени А/, в течение ко-
торого должно действовать электрическое поле, для того чтобы кине-
тическая энергия частицы возросла вдвое.
23-40. Протон влетает со скоростью v = 100 км/с в область простран-
ства, где имеются электрическое (Е = 210 В/м) и магнитное (В =
= 3,3 мТл) поля Напряженность Е электрического поля и магнитная
* При решении задач 23-32—23-35 учесть изменение массы частицы от еа
скорости.
260
индукция В совпадают по направлению. Определить ускорение про
тона для начального момента движения в поле, если направление век-.
тора его скорости to 1) совпадает с общим направлением векторов Е
и В; 2) перпендикулярно этому направлению.
§ 24. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. I
МАГфПНЫЙ поток. Основные формулы
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ I
1. Закон полного гока для тока проводимости! циркуляция вектора напря-
женности H магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего тов I,
выражается формулой
<f Н, d* == 7,
где Hi — проекция вектора напряженности Н на направление касательной в
контуру, содержащей элемент d/; I —сила тока, охватываемого контуром.
Если контур охватывает п токов, то
' п
$№ = 2
п
где У- Р ~ ялгеЛцяиоегкяя сомма токов, охватываемых контуром,
ie I
2. Магни 1ныН поим Ф через плоский контур площадью Oi
в’случае»однородного поля
Ф =з BS cos а. или -Ф =» Вп8У
где а — угол меж'ду вектором нормали п к плоскости контура и вектором маг-
нитной индукции В; - проекция вектора В на нормаль п (Bit = В cos cc)j
в случае неоднородного поля
<D = jH„dS,
s
где Интегрирование ведется по всей -площади 5.
3 Потокосцепление, г. е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми
витками соленоида или тороида.
4' = W<D,
где Ф — магнитный поток через один виток; N — число витков соленоида или
тороида. ,
4 Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей,
изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями:
а) магнитная индукция на осевой линии тороида
IN
&=------------;,
/т/(р,.Щ) +Ъ/(Ц Uo)
где / — сила тока в обмотке тороида; N — число ее витков; /, и 7» — длины
первой и второй Частей сердечника тороида; р, и рг — магнитные проницаемо-
сти веществ первой и второй частей сердечника тороида; и„ — магнитная по-
стоянная;
б) напряженность магнитного ноля па осевой линии тороида в первой в
второй частях сердечника
Т/i ~ Ti/щ, ti2 —
261
в) магнитный поток в сер-
дечнике тороида
/«/(pg Цо S)
(1)
или по аналогии с законом
Ома. (формула Гопкинсона)
Ф = ^т/Вт.
где Fm — магнитодвижущая
сила, Rm — полное магнитное
сопротивление цепи;
г) магнитное сопротивле-
ние участка цепи
/?т =-i/(pPo ^)-
5. Магнитная проницае-
мость ц ферромагнетика свя-
зана с магнитной индукцией
В поля в нем и напряжен
ностЬю Н намагничивающего
поля соотношением
ц= В/(р() И)
6. Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напря-
женностью Н намагничивающего поля выражается графически (рис. 24.1).
Примеры решения задач
1. Определить индукцию В и напряженность Н магнитного поля на
оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N =
— 200 витков, идет ток силой / =*5 А Внешний диаметр тороида
равен 30 см, внутренний d2 = 20 см
Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри
тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии магнитной
индукции поля: § Hdl.
Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции
тороида представляют собой окружности и что во врех точках этой
линии напряженности одинаковы Поэтому J3 выражении циркуляции
напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование
проводить в пределах от нуля до 2л г, где г—радиус окружности, сов-
падающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция,
т. е.
dl — ZtnrH.
l о
(1)
С другой стороны, в соответствии с законом полного тока цирку-
ляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов,
2С2
охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция!
^А/,с1/=2/г. (2)
Приравняв правые чавти равенств (1) и (2), получим
2лг/7= 2 (3)
*==|
Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, рав-
ное числу витков тороида. Сила тока во всех виткаходинакова. Поэтому
формула (3) примет вид
2л,гН = N1, откуда
Для средней линии тороида г = l/a 4- R$) = (dj + d2). Под-
ставив это выражение г в формулу (4), найдем '
И . (5)
n'd, + d2)
Магнитная индукция Во в вакууме связана с напряженностью поля
соотношением 60 = РоД- Следовательно,
fi0 = —' (6)
n(d, 4- d2)
Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим!
Н = 1,37 кА/м; Вп = 1,6 мТл
2. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной /0 = 5мм. Длина
/ средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмот-
ка на кольце, если при силе тока / = 4 А индукция В магнитного по-
ля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянней магнитного потока
в воздушном зазоре можно пренебречь Явление гистерезиса не учиты-
вать.
Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем при-
нять, что индукция поля -в воздушном зазоре равна индукции поля
в чугуне. На основании закона полного тока запишем
IN = Hl + До/о
По графику (рис. 24.1) находим, что при В — 0,5 Тл .напряжен-
ность И магнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м Так как для возду-
ха р = 1, то напряженность ноля в «издушном зазоре
Но = В7ця = 0,4 МА/м.
Искомое число витков
д/ = = воо,
I
.задачи
Закон полного гока
24-1. По соленоиду длиной / = 1 м без сердечника, имеющему N- =
= 103 витков (рис. 24.2), течет ток силой / = 20 А. Определить цир-
куляцию вектооа магнитной индукции вдоль контура, изображенно-
го на рис. 24.2, а, б
24-2. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура, ох-
ватывающего токи 1Х — 10 А, /2 = 15 А, текущие в одном направле-
нии, и ток /а = 20 А, текущий в противоположном направлении.
24-3. По сечению проводника равномерно распределен ток плотно-
стью j = 2 МА/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль
окружности радиусом R — 5 мм, проходящей внутри проводника и
ориентированной так, что ее плоскость составляет угол а = 30° с век-
тором плотности тока
24-4. Диаметр D тороида без сердечника по средней линии равен 30 см.
В сечении тороид имеет круг радиусом г = 5 см . По обмотке тороида,
содержащей N = 2000 витков, течет ток силой / = 5 А (рис. 24.3).
Пользуясь законом полного тока, определить максимальное и мини-
мальное значения магнитной индукции В в тороиде
Магнитный потов
24-5. Найти магнитный поток Ф, создаваемый соленоидом сечением
S = 10 см2, если он имеет п — 10 витков на каждый сантиметр его
длины при силе тока / = 20 А.
24-6. Плоский контур, площадь S которого равна 25 см2, находится
в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл Определить
магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его со-
ставляет угол [3 — 30° с линиями индукции.
24-7. При двукратном обводе магнитного полюса вокруг проводника
с током силой I = 100 А была совершена работа А — 1 мДж. Найти
магнитный поток Ф, создаваемый полюсом...
264 f
24-8. Соленоид длиной I — 1 м п .сечением S — 16 см2 содержит N =•
— 2000 витков. Вычислить потокосцепление V при силе тока / в
обмотке 10 А ,
24-9. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому
течет ток силой / = 50 А, расположена прямоугольная рамка так, что
две большие стороны ее длиной. I — .65 см
расстояние от%гровода до ближайшей из
этих сторон равно ее ширине. Найти маг-
нитный поток Ф, пронизывающий рамку.
24-10. Определять, во сколько раз отли-
чаются магнитные потоки, пронизываю-
щие квадратную' рамку' при двух ее поло-
жениях относительно прямого проводника
с током, представленных на рис. 24.4.
24 11. Квадратная рамка со стороной дли-
ной а = 20 см расположена в одной плос-
кости с прямым, бесконечно длинным про-
водом с током Расстояние I от провода
до середины рамки равно I м Вычислить
относительную погрешность, которая бу-
параллельны проводу, а
и
и
и
и
п
к
дет допущена при расчете магнитного по-
тока, пронизывающего рамку, если поле Рис. 24.4
в пределах рамки считать однородным, а
магнитную индукнию — равной значению ее в центре рамки.
24 12. Тороид квадратного сечения содержит V = 1000 витков. На-
ружный диаметр D тороида равен 40 см, внутренний d = 20 см. Най-
ти магнитный поток Ф в тороиде, если сила тока /, протекающего по
обмотке, равна 10 А
У к а з а в и е. Учесть, что магшпнос поле гор: идя неоднородно.
Магнитная индукция
в ферромагнетике
24-13. Железный сердечник находится в однородном магнитном поле
напряженностью Н — I кА/м Определить индукцию В магнитного
поля в сердечнике и магнитную проницаемость р железа*
24-14. На железное кольцо намотано в один слой N — 500 витков про-
вода. Средний диаметр d кольца равен 25 см Определить магнитную
индукцию В в железе и магнитную проницаемость р железа*,-если
сила тока / в обмотке: i) 0,5 А; .2) 2,5 А
24-15. Замкнутый соленоид (тороид) со стальным сердечником* име-
ет п = 10 витков на каждый сантиметр длины. По соленоиду течет ток
силой / = 2 А Вычислить магнитный поток Ф в сердечнике, если его
сечение S = 4 см2.
24-16. Определить магнитодвижущую силу Fm, необходимую для по-
лучения магнитного потока Ф = 0,3 мВб в железном* сердечнике
‘ Для определения магнитной проницаемости носпользоьа1ься графиком
(см. рис. .24.1). Явление гистерезиса не учитывать.
235
замкнутого соленоида (тороида). Длина ./ средней линии сердечника
равна .120 см, площадь сечения S = 2,5 см2.
24-17. Соленоид намотан на чугунное* кольцо сечением $ = 5 см2.
При силе така I — 1 А магнитнЬш поток Ф = 250 «мкВб. Определить
число тг витков соленоида, приходящихся на отрезок длиной 1 см сред-
ней линии кс^ьца.
Магнитные цепи
24-18. Электромагнит изготовлен в виде тороида. Сердечник тороида
со средним диаметром d = Ы см имеет вакуумный зазор длиной 1п =
= 2 мм. Обмотка тороида равномерно распределена но всей его дли-
не. Во сколько раз уменьшился аддукция магнитного воля в зазоре,
если, не изменяя силы тока в обмотке, .зазор увеличить в п = 3 раза?
Рассеянием магнитного поля вблизи зазора пренебречь. Магнитную
проницаемость р сердечника считать постоянной и принять равной
800.
24-19. Определить магнитодвижущую силу Fm, необходимую для со-
здания магнитного поля индукцией В = 1,4 Тл в электромагните о
железным* сердечником длиной I = 90 см и воздушным промежутком
длиной 10 = 5 мм. Рассеянием магнитного потоке в воздушном про-
межутке пренебречь.
24-20. В железном* сердечнике соленоида индукция В = ] ,3 Тл. Же"
лезный сердечник заменили стальным. Определить, во сколько раз
следует изменить силу тока в обмотке соленоида, чтобы индукция
в сердечнике осталась неизменной.
24-21. Стальной* сердечник .тороида, длина I которого по средней
линии равна 1 м, имеет вакуумный зазор длиной /0 = 4 мм. Обмотка
содержит п = 8 витков на 1 см. При какой силе тока / индукция В
в зазоре будет равна 1 Тл?
24-22. Обмотка тороида, имеющего стальной* сердечник с узким ва-
куумным зазором, содержит N — 1000 витков. По обмотке течет ток
силой / = I А. При какой длине 10 вакуумного зазора индукция В
магнитного поля в нем будет равна 0,5 Тл? Длина /тороида по средней
линии равна 1м.
24-23. Определить магнитодвижущую силу, при которой в узком ва-
куумном зазоре длиной /0 = 3,6 мм тороида с железным* сердечни-
ком, магнитная индукция В равна 1,4 Тл. Длина I тороида по средней
линии равна .0,8 м.
24-24. Длина 1 чугунного* тара по средней линии равиа 1,2 w, сече-
ние S = 20 см2. По обмотке тороида течет ток, создающий л узкою ва-
куумном зазоре магнитный поток Ф = 0,5 мВб. Длина зазора
равна 8 мм. Каткова должна быть длина.зазора, чтобы магнитный иадтис
в нем при той же силе тока увеличился в два раза?
'* См. сноску на с, 265,
266
§ 25. РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
ПРОВОДНИКА С токЬм
В МАГНИТНОМ ПбЛЕ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ
ИНДУКЦИЯ. ИНДУКТИВНОСТЬ
Основные формулы’
1. Работа пе^цешения замкнутого контура с током в магнитном поле
А = /ДФ,
где ДФ — изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, огра*
ничейную контуром; / — сила тока в контуре.
2. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея—Максвел*
ла)
№ г'ф
е? = — А'—— =———,
где S’? — електродвижушая сила индукции; N — число витков контура; Т —-
потокосцепление.
Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции?
разность потенциалов Uла концах проводника длиной I, движущегося со
скоростью v в однородном магнитном поле,
U — Blv sin а,
где а — угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индук-
ции В;
электродвижущая сила индукции возникающая в рамке, содержащей N
витков, площадью S, при. вращении рамки с угловой скоростью со в однородном
магнитном поле с индукцией в
— BNSta sio 'at,
где со/ — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали п в
плоскости рамкн.
3. Количество электричества Q, протекающего в контуре,
Q = ДФ//?,
где R — сопротивление контура; ДЧ’ — изменение потокосцепления.
4. Электродвижущая сила самоиндукциия возникающая в замкнутом
контуре при изменении силы тока в нем,
Si = — L , или <$t> t
где L — индуктивность контура.
Б. Потокосцепление контура
Ф = LI,
r/ie L — индуктивность контура.
6. Индуктивность соленоида (тороида):
L = |T(1p.n2V.
Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердеч-
ником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости сле-
дует пользоваться графиком зависимости В от Н (см рис. 24.1), а затем формулой
ц =^е/(р(,//).
7. Мгновенное значение силы тока / в цени, обладающей активным сопро-
тивлением R и индуктивностью Li
2S?
после замыкания цепи I — — (] — е ,Л,г-’
I
где <?. — &. и. с. источника тока; I — время, прошедшее после чямыкяния пепи,
после размыкания цепи / = /пе <«/*-» ,
где 1е — значение силы тока в цепи при I = 0; I — врел,я, прошедшее е-миметь
та размыкания цени.
Примеры решения задач
1. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномер-
но вращается рамка, юдержащая N — 1000 витков, с частотой п =
=. 10 с-1. Площадь S рамки равна 150 смг. Определить мгновенное зна-
чение э д. е. й(> соответствующее углу поворота рам^и в 30е
Решение ЛАгновенное- значенш - д с. индукции ё’ определяется
основным уравнением ?лек1ромагнидной индукции Фарадея—Мак-
свелла:
%, - — d4’/dr - (I)
Потокосцепление V = ЛФ, где Л — число витков, пронизывае-
мых магнитным потоком Ф Подставив выражение V в формулу (1),
получим
g, = _ /у - (2)
При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку
в момент врем;-пи I, изменяется по закону Ф = BS os u>t, rjie В —
магнитная индукция, 5 - площадь рамки, •> — круговая частота.
Подшавив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по вре-
мени, найдем мгновенное значение а индукции:
Sj = Л/BStn <п/ ' (3)
Круговая частота гп связана <; частотой п вращения соотношением
<о = 2л/< Подставив выражение п> в формулу (3), получим
gt-.- яп/VBS 51п.о/ (4)
11риЩ-.ведя вычисления но формуле (4), найдем
-ё, = 4/,iB
2. По соленоиду течет ток силой / = z А Магнитный поток Ф, про-
низывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб Опреде-
лить индуктивность L соленоида, если эн имеет N — 800 витков
Решение Индуктивность L '-оленоида связана > потокосцеплением Т
соотношением Ч' = LI, откуда L = Чт7/ Заменив здесь потокосцепле-
ние V его выражением ч<:ре.- магнитный поток Ф и число витоь iV
соленоида (V -= ФМ), пОлучим -
L = ФМ//. ’ . (1)
После вычисления по формуле (1) найдем
L == 1,6 м! н.
268
1
3. При скорости изменения силы тока Д//Л/ в соленоиде, равной
50 А/с, на его концах возникает 9. д. с. самоиндукции <о, = 0,08 В
Определить индуктивность L соленоида.
Решение Индуктивность* соленоида связана с э. д. с. самоиндукции
и скоростью изменения силы .тока в его обмотке соотношением
* s? _• дЧ' _ & 0Q
Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим
Опустив знак «минус.» в этом равенстве (направление э. д. я. в данной
случае несущественно) и выразив интересующую нас величину —
индуктивность, получим
Ы/Ы‘
Сделав вычисления по этой формуле, найдем
L = 1,6 мГн.
4. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающм
друг к другу витков медного провода диаметром d — 0,2 цм. Диаметр
D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток силой I = 1 А. Опре-
делить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если
концы. ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
Решение. Возможны два способа решения. 1-й спойоб Количе-
ство электричества dQ которое протекает по проводнику за время it
при силе тока I, определяется равенством
dQ = /di. (I)
Полное количество электричества, протекающее через проводник
(
за время t, будет ф = [ idl. Сила юка в данном случае убываем эка»
поненниально со временем и выражается формулой
/ ==/йе~(Е'£) 1.
Внося выражение силы тока / под знак интеграла и ин1егрируя от
О до оо (при <-> оо / —► 0), получим
ТО ТО ’ . ОО
/ое—(R/L dt—ln
Подставим пределы интегрирования и определим количество элек-
тричества, протекающее через обмотку:
UR) (0 - 1) = 1OL(R. (2)
Сравните с предыдущим примером.
J8 - ,я/о < djf = .... -L'je-ai/tn t
n
2-й своеоб. Подставив в формулу (1) вместо силы тока 1 вы-
ражение ее через э. д. с. индукции и сопротивление R соленоида,
т. е. / = SJR, найдем dQ = — dt
Но St связана со скоростью изменения потокосцепления ¥ по
закону Фараду—Максвелла: St — — , тогда
dQ = - W/R.
Интегрируя, получаем
Q = - (¥,- ¥t)//?.. (3)
Потокосцепление ¥ пропорционально силе тока в соленоиде.
Следовательно, ¥, = L/o; ¥, = 0, так как ¥г соответствует тому
моменту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражение ¥г
и ¥2 в формулу (3), получим Q = ^JR, или
Q = f0L/R,
что совпадает в формулой (2).
Для определения заряда, протекающего терез обмотку соленоида,
следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки
соленоида, которые выражаются формулами
где р0 — магнитная постоянная; N — число витков; — длина со-
леноида; <S, — площадь сечения соленоида; р —кудельное сопротив-
ление провода; I — длина провода; S — площадь сечения провода;
d—диаметр провода; dx—диаметр соленоида.
Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим
Q= /0 А = w} (4)
R t/r4p/ 4
Заметим, что длина провода I может 'ыть выражена через диаметр
dj соленоида соотношением I — nc^N, где N — число витков, тогда
формуле (4) можно придать вид
Q — t4N* ncli п<Р I
16/, ond, N °
ago Ndi iP . ,
t о/. *”
Ho 1TIN есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают
дру/ к другу. Следовательно,
q « / = Л1£_ м / (5)
. I6pd 0 16р 1 ° k '
Произведя вычисления по формуле (5), получим
Q = 363 мкКл.
270
Задачи
Работа перемещения проводника
в магнитном пол*
25-1. В однороЛом магнитном поле а' индукцией В = 0,01 Тл нахо-
дится прямой провод дли нон I = 8 см, расположенный перпендикуляр-
но линиям индукции. По проводу течет ток силой I — 2 А. Под дей-
ствием сил поля провод переместился на расстояние s = 5 ем. Найти
работу А сил поля.
25-2. Плоский контур, площадь S которого равна 300 см2, находится
в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл. Плоскость
контура перпендикулярна линиям индукции. В контуре поддержива-
ется неизменный ток силой 1 = 10 А. Определить работу А внешних
сил по перемещению контура с током в область пространства, маг-
нитное поле в которой отсутствует.
25-3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной длиной
о=10 см, течет ток силой =^= 20 А, сила которого поддерживается
неизменной. Плоскость квадрата составляет угол а = 20° с линиями
индукции однородного магнитного поля (В = 0,1 Тл) Вычислить
работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить
провод за пределы поля.
25-4. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиусом
R = 10 см, течет ток силой 1 = 100 А. Перпендикулярно плоскости
кольца возбуждено магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, по на-
правлению совпадающей с индукцией Вг собственного магнитного по-
ля кольца. Определить работу А внешних сил, которые, действуя на
провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока
при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил
пренебречь.
25-5. Виток, по которому течет ток силой 1 = 20 А, свободно устано-
вился в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,016 Тл. Диа-
метр d витка равен 10 см. .Определить работу А, которую нужно со-
вершить, чтобы повернуть виток на угол а = л/2 относительно оси,
совпадающей с диаметром. То же, если угол а = 2л.
Электродвижущая сила индукции
25-6. Магнитный поток Ф = 40 мВб пронизывает замкнутый контур.
Определить среднее значение э. д. с. индукции <ё’г>, возникающей
в контуре, если магнитный поток, изменится до нуля за время Д/ =
= 2 мс.
25-7, Прямой провод длиной Z = 40 см движется в однородном маг-
нитном поле со скоростью v = 5 м/с перпендикулярно линиям индук-
ции. Разность потенциалов U между концами провода равна 0,6 В.
Вычислить индукцию В магнитного поля.
25-8. В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл находит-
ся прямой провод длиной I = 20 см, концы которого замкнуты вне
271
поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, кото-
рую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендику-
лярно линиям индукции со скоростью v — 2,5 м/с.
25-9. Прямой провод длиной I = 10 см помещен в однородном маг-
нитном поле с индукцией В = 1 Тл Концы его замкнуты гибким про-
водом, находяцшмся вне поля. Сопротивление /? всей цепи равно 0,4 Ом.
Какая мощность Р потребуется для того, чтобы двигать.провод перпен-
дикулярно линиям индукции со скоростью V— 20 м/с?
25-10 К источнику тока с э д. с. $ — 0,5 В и ничтожно малым вну-
тренним сопротивлением присоединены два металлических стержня,
расположенные горизонтально и параллельно друг другу Расстояние
/ между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном маг-
нитном поле, направленном вертикально. Матичная индукция В =
= 1,5 Тл По стержням под действием сил поля.скользит со скоростью
v = 1 м/с прямолинейный провод сопротивлением R = 0,02 Ом Со-
проп;влщ|щ- стержней пренебрежимо мало Определить: 1) э д с.
индт киш: &=; 2) сил} F, действутощук на провод со стороны поля;-
3) сил/ юка / в цепи, 4) мощность Pt, расходуемую на движение про-
вода, 5) мощност ь Р2, расходуемую на нагревание провода, 6) мощность.
Р :)> отдаваемую в цепь источником тока
25-11 В однородном магнитном поле с индукцией В0,4 Тл в пло-
скости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стер-
жень длиной I 10 см Ось вращения проходит через один из концов
стержня Определить разность потенциалов U на концах стержня
при частоте /ращения п = 1Ь -с-1
25-12. Рамка площадью S = 200 см' равномерно вращается с часто-
той п — 10 с“’ относительно оси, лежащей в плоскости-рамки и пер-
пендикулярно линиям индукции однородного магнитного ПОЛЯ (В =
= 0,2 Тл) Каково среднее значение э д с индукции < ёг> за вре-
мя, в течение которого-магнитный поток, пронизывающий рамку из-
менится от нуля до максимального -значения?
25-13 В однородном магнитном ноле с индукпиет В = 0,35 '1л рав-
номерно с частотой п = 480 мин-1 вращается рамка, содержащая
/V = 1560 витков площадью 8 = 50 см"' Ось вращения лежит в пло-
скости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить мак-
симальные s д с. индукции ё'щах> возникающую в рамке
25-1.4 Рачка площадью 8 = 100 см’ содержит N — 10s витков про-
вода ссирогивлсштем = 12.0м. К концам обмотки подключено внеш-
нее сопротивление Rt = 20 Ом Рамка равномерно вращается в одно-
родном магнитном поле (В = 0,1 Тл) с частотой п — 8 с~’ Опреде-
лить максимальную мощность Рта1 переменного тока в цепи
25-15. Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюс-
ного генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеет /V = 100 витков площадью
8 = 400 см2 Определить частоту л вращения якоря, если максималь-
ное значение s д с индукции $г- = 200 В.
25-16. Короткая катушка, содержащая N — 1000 витков, равномер-
но вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл
с угловой скоростыб и = 5 рад/с относительно оси, совпадающей о
диаметром катушки и перпендикулярной линиям индукции поля. Оп-
272
ределить мгновенное значение э. д. с. индукции для тех Моментов
времени, когда плоскость катушки составляет угол, а = 60° с линия-
ми индукции поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
Количество электричества,
протекающее в контуре
при- изменсииии магнитного потока4
25-17. Проволочный виток радиусом г = 4 см, имеющий сопротивле-
ние 7? = 0,01 Ом, находится в однородном магнитном поле с индук-
цией В = 0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол а = 30° с линия-
ми индукции поля Какое количество электричества Q протечет по вит-
ку, если магнитно< поле исчезнет?
25-18 Проволочное кольцо радиусом г = 10 см лежит на столе. Какое
количество электричества Q протечет по кольцу, если.его повернуть
сводной стороны на другую? Сопротивление /? кольца равно 1 Ом. Вер
тикальная составляющая индукции В магнитного поля Земли равна
50 мкТл
25-19. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому галь-
ванометру, вставили прямой магнит По цепи протекло количество
электричества Q *=- 10 мкКл Определить магнитный ноток Ф, пересе-
ченный кольном, если сопотивлейне R цепи гальванометра равно
30 Ом.
25-20. .Между гюлюсами электромагнита помещена катушка, соеди-
ненная с баллистическим,гальванометром Ось катушки параллельна
линиям индукции Катушка сопротивлением Rt = 4 Ом имеет Л' =
= 15 витков площадью 8 = 2 см2 Сопротивление /?2 гальванометра
равно 46 Ом Когда гок в обмотке электромагнита выключили, по не
нн гальванометра протекло количестве электричества Q = 90 мкКл.
Вычислить магнитную индукцию В поля электромагнита.
25-21 Рамка Иг провода сопротивлением R = 0,01 Ом равномерно
вращается в однородном магнитном поле <• индукцией В — 0,05 Тл.
Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям
индукции Площадь S рамки равна 100 см’ Найти, какое количество
электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол
а = 30е в следующих грех случаях: 1) от а8 = 0 до а, = 30°; 2) от
до а2 = 60е; 3) от а2 до а8= 90“. -
25-22. Тонкий медный гфовод массой m = 1 г согнут в виде квадрата,
и концы его замкнуты Квадрат помещен в однородное магнитное поле
(В = 0,ГТл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индук-
ции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет
по.проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины,
вытянуть в линию
25-23. На расстоянии а = 1 м от длинного прямого провода с током
силой / = 1 кА находится кольцо радиусом г — 1 см. Кольцо распо-
ложено так, что поток, пронизывающий его, максимален. Определить
’ При решении задач этого раздела собственный магнитный поток кон-
туров не учитывать.
—27Ь
количество электричества Q, которое протечет по кольцу, когда гок
в проводнике будет выключен. Сопротивление R кольца равно 10 Ом,
Указание. Поле в пределах кольца считать однородным.
25-24. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода рас-
положена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением
R = 0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее
сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны
flj — 10 см, аа = 20 см. Найти силу тока I в проводе, если при его
включении через рамку протекло количество электричества Q —
— 693 мкКл.
Самоиндукция и взаимоиндукция
25-25. По катушке, индуктивность L которой равна 0,03 мГн, течет
ток силой / = 0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется прак-
тически Йо нуля за время Д/ = 120 мкс. Определить среднюю э. д. G,
самоиндукции < возникающую в контуре.
25-26. £ помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в ка-
тушке на Д7 = 0,1 А в 1 с. Индуктивность L катушки равна 0,01 Гн.
Найти среднее значение э. д. с. самоиндукции <
25-27. Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой v =
= 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному
закону. Определить среднюю э. д. с. самоиндукции < $/>, возникаю-
щую за интервал времени Д/, в течение которого ток в катушке из-
меняется от минимального до максимального
L значения. Амплитудное значение силы тока
в один слой провод
/0 = 10 А.
। 25-28. Катушка сопротивлением — 0,5 Ом о
индуктивностью L = 4 мГн соединена парал-
лельно с проводом сопротивлением /?г = 2,5 Ом,
по которому течет постоянный ток силой / =
= 1 А. Определить количество электричества Q,
которое будет индуцировано в катушке при раз-
мыкании цепи ключом К (рис. 25.1).
25-29. На картонный каркас длиной I — 50 см
и площадью S сечения, равной 4 см2, намотан
диаметром- d = 0,2 мм так, что витки плотно при-
легают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить
индуктивность L получившегося соленоида.
25-30. Индуктивность L соленоида длиной 1—1 м, намотанного в
один слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сече-
ния соленоида равна 20- см2. Определить число п витков на каждом
сантиметре длины соленоида.
25-31. Сколько.витков проволоки диаметром d — 0,4 мм с изоляцией
ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диамет-
ром 0 = 2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивно-
стью L = 1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.
25-32. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас,
имеет A'j — 750 витков и индуктивность Lx — 25 мГн. .Чтобы уве-
274
личить индуктивность катушки до Г2 36 мГн, обмотку с кадушки
сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким рас-
четом, чтобы длина катушки осталась прежней. Определить число
Л/2 витков катушки после перемотки.
25-33. Определить индуктивность L двухпроводной линии на участ
ке длиной I = I км. Радиус R провода равен 1 мм, расстояние d меж-
ду осевыми Линями равно 0,4 м.
Указание. Учесть только внутренний магнитный поток, т. е. поток, про-
низывающий контур, ограниченный проводами.
25-34.-Соленоид индуктивностью L — 4 мГн содержит N — 600 вит-
ков. Определить магнитный поток Ф, если сила тока /, протекающего
по обмотке, равна 12 А.
25-35. Индуктивность L катушки без сердечника равна 0,02 Гн. Ка-
кое потокосцепление V создается, когда по обмотке течет ток силой
/ = 5 А?
25-36. Длинный прямой соленоид, намотанный на немагнитный кар-
кас, имеет N = 1000 витков и индуктивность L = 3 мГн. Какой маг-
нитный поток Ф и какое потокосцепление Т создает соленоид при
токе силой / = 1 А?
25-37. Соленоид, площадь S сечения которого равна 5 сма, содержит
N = 1200 витков. Индукция В магнитного поля внутри соленоида
при токе силой I = 2 А равна 0,01 Тл. Определить индуктивность L
соленоида.
25-38. Соленоид содержит N = 1000 витков. Площадь S сечения сер-
дечника равна Ю см2. По обмотке течет ток, создающий поле с индук-
цией В = 1,5 Тл. Найти среднюю э. д, с. индукции <С возникаю
щей в соленоиде, если гок уменьшится до нуля за время t = 500 мкс.
25-39. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N —
= 500 витков. Длина I сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз
изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекаю-
щего по обмотке, возрастет от /, = 0,1 А до /2 — 1 А (см. рио. 24.1).
25-40. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от
другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой:
= 5 А/с, во второй катушке возникает э. д. е. индукции <Sl =
= 0,1 В. Определить коэффициент Л4 взаимной индукции катушек.
25-41. Обмотка тороида о немагнитным сердечником имеет Nt = 251
виток. Средний диаметр тороида равен 8 см, диаметр d витков
равен 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка, имеющая Л/а =
= 100 витков. При самыкании первичной обмотки в ней в течение
t — 1 мс устанавливается гок силой / = 3 А. Найти среднюю э. д, в.
индукции возникающей на вторичной обмотке.
Экстратоки замыкания и размыкания
' 25-42. В цепи шел ток силой /в = 50 А. Источник гока можно отклю
чить от цепи, не разрывая ее. Определить силу гока / в этой цепи че-
рез t — 0,01 с после отключения ее от источника гока. Сопротивление
R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L =* 0,1 Гн.
27V
25-43. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R —
-- 10 Ом и индуктивностью L — 1 Гн Через сколько времени сила
тока замыкания достигнет 0,9 предельного значения?
25-44. Цепь состоиг из катушки индуктивностью i I Гн и сопротив-
лением R — 10 Ом Источник тока можно отключи гь, не разрывая
цепи Определить время t, по истечении которого сила тока уменьшится
.то 0,001 нервничального значения
25-45. К источнику шка < внутренним сопротивлением Rt = 2 Ом
подключают катушку индуктивностью L = 0,5 Гн и сопротивлением
R — 8 Ом Найти время /, в течение которого ток в катушке, на-
растая, достигнет значения, отличающегося от максимального на 1 %.
25-46. В цепи (см рис 25.1) Rr~ В Ом, Я8 = 95 Ом, L — 0,34 Гн,
S = 38 В. Внутреннее, сопротивление г источника тока пренебрежимо
мало. Определить силу тока / г резисторе •«противлением' Rs в сле-
дующих трех случаях: I) до размыкания цепи ключом К: 2) в момент
размыкания (2, = 0); 3) через (2 — 0,01 с после размыкания.
Бетатрон
25-47. Средняя скорость изменения магнитного потока <ДФ/Д£>
в бетатроне, рассчитанном на энергию Т = 6G МэВ, составляет
50 Вб/о. Определить: I) число N оборотов электрона на .орбите за
время ускоренного движения; 2) путь I, пройденный электроном,
если радиус г орбиты равен 20 см.
25-48. В бетатроне скорость изменения магнитной индукции =
= 60 Тл/с. Определить: I) напряженность Е вихревого электриче-
ского поля на орбите электрона, если ее радиус г = 0,5 м; 2) силу F,
действующую на электрон
25-49. Электрон в бетатроне движется по орбитч. радиусом г — 0,4 м
и приобретав। за один оборот кинетическую энергию Г = 20 эВ.
Вычислить скорость изменения магнитной индукции
считая эту скорость в течение интересующего’нас промежутка времени
постоянной
§ 2S ЭНЕРГИЯ МА1НИГНОГО
ПОЛЯ
Основные формулы
1. Энергия IV маетного поли, ^оздаьаимию iukvm о оальнуТОМ контур*
индуктивностью определяется формулой
где 1 — сила тока в контуре.
2. Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнии-
-юго поля длинного соленоида
__________________________________________
3 р
* <в> есть среднее значение магнитной индукции в предела» круга, очер-
ченного орбитой электрона.
276
Примеры решения задач
1. На стержень из немагнитного материала длиной I = 50 см намо-
тан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня
приходится 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри
соленоида, еслЛсила тока / в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения
стержня, равна 2 см®. -
Решение Энергия магнитного поля соленоида о индуктивностью. L,
по обмотке которого течет ток силой /, выражаеюя формулой -
. = 4,LP. (1)
Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника за-
висит только от числа витков на единицу длины и от объема V сердеч-
ника: L = где р0 —магнитная постоянная. Подставив вы-
ражение индуктивности L в формулу (1), получим -
U7 = 1/гИо п11/®.
Учтя, что У = IS, запишем
W' ~ 1/,р„ п' I- V (2)
Сделав .вычисления по формуле (2), найдем
IF = 12о мкДж.
2. По обмотке длинного соленоида со стильным сердечником течет
юк силой / = 2А Определить объемную плотность -ь- энергии маг-
нитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сантиметре
длины соленоида равно 7 см”1
Решение Объемная плотность энергии магии того поля определяет-
ся по формуле
w = В Н/(2р0) - (1)
Напряженность 7/ магнитного поля Найдем по формуле Н = nl.
Подставив сюда значения и (п — 7 см”1 = 700 м-1) и /, найдем
Н = 1400 А/м
Матни Шую индукцию В определим по графику (см. рис. '24 1) за-
висимости В от Н Находим, что напряженности Н = 1400 Д/м со-
ответствует магнитная индукция В — 1,2 Тл:
Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плогнисть
энергии;
w =,840 Дж/ма.
3. Железный сердечник длиной I = 2Q см малого сечения (d /)
содержит N — 200 витков. Определить магнитную проницаемость р.
железа при силе тока I = 0,4 А.
Решение- Магнитная проницаемость р связана с магнитной индукци-
ей В и напряженностью Н магнитного поля соотношением
А = РоР7А ' О)
277
Эта формула не выражает линейной зависимости В от Н, так как
р. является функцией Н. Поэтому для определения магнитной прони-
цаемости обычно пользуются графиком зависимости В (77) (см. рио.
24. f). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость;
р = BH&JT). (2)
НапряженнЛгь В магнитного ноля вычислим по формуле (катуш-
ку с малым сечением можно принять за соленоид) Н — wi, где га —
число витков, приходящихся на отрезок катушки давнюй I м. Выра-
зив в этой формуле п через число N витков катуЛ» и ее длину I,
получим
Н = (Nil) I.
Подставив сюда значения N, I и 7 и произведя вычисления, найдем
Н = 400 А/м.
По графику находим, что напряженности Н — 400 А/м соответст-
вует магнитная индукция В = 1,05 Тл. Подставив найденные значе-
ния В и И, а также значение ру> в формулу (2), вычислим магнитную '
проницаемость:
р = 2,09-Ю8.
•
| Задачи
Энергия магнитного- поля
соленоида и юроида
26-1. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет гок
силой 7 = 10 А. Определить энергию W магнитного воля соленоида.
26-2. Индуктивность L катушки (без сердечника) равна. 0,1 мГн. При
какой силе тока 7 энергия W магнитного поля равна 100 мкДж?
26-3. Соленоид содержит N == 1000 витков. Сила тока 7 в его обмот-
ке равна 1 А, магнитный поток Ф через поперечное сечение соленоида
равен 0,1 мВб. Вычислить энергию ГГ магнитного поля.
26-4. На железное кольцо намотано в один слой Л; = 200 витков.
Определить энергию W магнитного поля, если при токе силой 7 =
= 2,5 А магнитный поток Ф в железе равен 0,5 мВб.
26-5. По обмотке тороида течёт ток силой 7 = 0,6 А. Витки провода
диаметром d = 0,4 мм плотно прилегают друг к другу (толщиной изо-
ляции пренебречь). Найти энергию W магнитного поля в стальном
сердечнике тороида, если площадь 5 сечения его равна 4 см2, диаметр
D средней липни равен 30 см*.
Объемная плотность энергия
26-6. При индукции В поля, равной 1 Тлт плотнсить энергии w магнит-
ного поля в железе равна 200 Дж/м8. Определить магнитную проницае-
мость р железа в этих условиях*
* Для определения магнитной проницаемости следуе! висиольаиватьсн <рв»
фи ком на рис. 24.1. Явление гистерезиса не учитывать,
27»
26-7. Определить объемную плотность энергии w магнитного поля в
стальном сердечнике, если индукция В магнитного поля равна 0,5Тл*.
26-8. Индукция- магнитного поля тороида со стальным сердечником
возросла от — О»5 Тл до = 1 Тл_ Найти, во сколько раз изме-
нилась объемная плотность энергии w магнитного поля*.
26-9. Вычислить (плотность энергии w магнитного поля в железном
сердечнике ваЛиужого солеиоидя, если напряженность Н намагничи-
вающего доля (равна 1,2 кА/м*.
26-10.; Напряженность магнитного тюля тороида со стальным сердеч-
ником возросла от Нг = 2Q0 А/м до На = 800 А/м. Определить, во.
сколько раз изменилась объемная плотность энергии w магнитного
поля*.
26-11. При яексхворой силе вока / плотность энергии w магнитного по-
ля соленоида (без сердечника) равна 0,2 Дж/м3. Во сколько раз уве-
личится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид
будет иметь железный сердечник?
26-42. Найти плотность энергии w магнитного поля в железном сер-
дечнике соленоида, если напряженность Н намагничивающего поля
равна 1,6 кА/м*.
26-13. Обмотка тороида'с немагнитным сердечником имеет п = 10
витков на каждый сантиметр длины. Определить плотность энергии
w поля, если по обмотке течет ток силой 1 = 16 А.
26-14. Обмотка тороида содержит п = 10 витков на каждый санти-
метр длины. Сердечник немагнитный. При какой силе тока / в обмот-'
ке плотность энергии w магнитного поля равна 1 Дж/м3?
§ 27. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Основные формулы
1. Формула Томсона. Период собственных колебании а контуре без актив-
ного сопротивления
Т = 2л VLC.
где L — индуктивность .контура; С — его электроемкость.
2. Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой v коле-
баний
А = сТ или А = c/v,
где с — скорость электромагнитных волн в вакууме (с = 3 < 10s м/с}.
3. Скорость электромагнитных волн в среде
в=с/'1/ец.
где е—диэлектрическая прони-паепость; р. —магнитная проницаемость сре-
ды.
* См. сноску на с. 278.
27»
Примеры решения задач
I. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора
с двумя пластинами площадью S = 100 см2 каждая и катушки с ин-
дуктивностью L = 1 мкГн, резонирует на волну длиной А = 10 м.
Определить раЛгояние d между пластинами конденсатора.
Решение. Расстояние между пластинами конденсатора можно найти
из формульГ’ЗЙ^ктроемкости плоского конденсатора С — &^S/d, где
в — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденса-
тор, откуда
'd=eneS/C. ’ (1)
Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в электри-
ческом контуре: Т = 2л]/ LC, находим электроемкость
С = Г7(4л2А). (2)
Неизвестный в условии задачи период колебаний можно определить,
зная длину волны А, на которую резонирует контур. Из соотношения
К — сТ имеем
Т = А/с.
Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электроем-
кости С в формулу (1), получим
, 2 4л2 е0 SL
d — c2'---2.
V
Произведя вычисления, найдем
d = 3.14 мм.
2. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью
, L — 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости отС\ — 12 пФ
до С.2 = 'Д0'пФ. Определить диапазон длин электромагнитных волн,
которые могут вызывать резонанс в этом контуре'. Активное сопротив-
ление контура принять равным нулю.
Решение/Длина А электромагнитной волны, которая может вызвать
резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний
контура соотношением
' А-сТ (1)
Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью L
катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного контура
соотношением (формула Томсона) Т = 2л]ЛLC. Следовательно,
А= 2лсУЬС. (2)
Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а
электроемкость контура может изменяться в пределах от до С2.
Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн А, и А2,
определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резо-
нанс. После вычислений по формуле (2) получим:
Aj = 226 Mj Аа = 585 м.
280
Задачи
27-1. Катушка индуктивностью L — I мГн и воздушный конденса-
тор, состоящий из двух круглых пластин диаметром D = 20 см каж-
дая, соединены параллельно. Расстояние d между пластинами равно
I см. Опре^йлить период Т .колебаний.
27-2. Конденсатор электроемкостью С = 500 пФ соединен параллель-
но с катушкой длиной / = 40см и площадью S сечения, равной 5 см2.
Катушка содержит N — 1000 витков. Сердечник немагнитный. Най-
ти период Т колебаний.
27-3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
L = 20 мкГн и конденсатора электрс^емкостью С — 80 нФ. Величина
емкости может отклоняться от указанного значения на 2% Вычис-
лить, в каких пределах, может изменяться длина волны, на которую
резонирует контур.
27-4, Колебательный контур имеет индуктивность L = 1,6.мГн, элек-
троемкость С — 0,04 мкФ и максимальное напряжение на за-
жимах, равное 200 В. Определить максимальную силу тока /т<1
в контуре Сопротивление контура ничтожно мало
27-5. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью
С = 8 пФ и катушку индуктивностью L — 0,5 мГн Каково макси-
мальное напряжение на обкладках конденсатора, если максималь-
ная сила тока /тзх — 40 мА?
27-6. Катушка (без сердечника) длиной / = 50 см и площадью S,
сечения, равной 3 см2, имеет N = 1000 витков и соединена параллель-
но с конденсатором Конденсатор состоит из двух пластин площадью
S2 = 75 см2 каждая -Расстояние а между пластинами равно 5 мм. Ди-
электрик — воздух. “Определить период Т колебаний контура.
27-7, Колебательный контур состоит из паоаллельно соединенных
конденсатора электроемкостью С— 1 мкФ ч катушки индуктивно-
стью L = I мГн Сопротивление контура ничтожно мало. Найти ча-
стоту v колебаний. 1
27-8. Индуктивность L колебательного контура равна 0,5 мГн. Ка-
кова должна быть электроемкость С кон гура, чтобы он резонировал на
длину волны X = 300 м?
27-9. На какую длину волны А будет резонировать контур, состоя-
щий из катушки индуктивностью L = 4 мкГн и конденсатора электро-
емкостью С ~ 1,11 нФ?
27-10. Для демонстрации опытов Герца с преломлением электромаг-
нитных волн иногда берут большую призму, изготовленную из пара-
фина. Определить показатель преломления парафина, если его диэлек-
трическая проницаемость е = 2 и магнитная проницаемость р = 1.
27 11. Два параллельных провода, погруженных в глицерин, -индук-
тивно соединены с генератором электромагнитных колебаний частотой
v = 420 МГн Расстояние I между пучностями стоячих волн на про-
водах, равно 7 см Найти диэлектрическую проницаемость в глицери-
на Магнйтную проницаемость р принять равной единице.
281
ГЛАВА В
ОПТИКА*
§ 28. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Основные формулы
1. Фокусное расстояние сферического зеркала
J--R/2, ч
где R — радиус кривизны зеркала.
2. Оптическая сила сферического зеркала
Ф - 1//.
3. Формула сферического зеркала
1 1 1
I а b
где а и b — .расстояния от полюса зеркала соответствено до предмета и -изоб-
ражения.
Если изображение предмета мнимое, то величина t> берется со знаком ми-
нус.
Если фокус сферического зеркала мнимый (зеркало выпуклое), то величи-
на f берется со знаком минус.
4. Закон преломления света
sin
: = Иви
sitir.
где 1г~ угол ладения; iB —угол преломления; — njn\ — относительный
показатель преломления второй среды относительно первой; nj и — абсо-
лютные показатели* преломления соответственно 'первой и второй сред.
Индексы в обозначениях углов (1 и <2 указывают, в .какой среде (первой или
второй) идет луч. Если луч переходит из оераой среды во вторую, го Ц будет
углом падения, а ie — углом преломления. Если луч переходит из второй сре
ды в первую,- падая на поверхность раздела пол
углом is, то по принципу обратимости' световых
лучей угол преломления будет равен (/
(рис. 28.1).
5. Предельный угол полного отражения при
переходе света из среды более оптически плот-
ной в среду менее оптически пЛотную
(Пр — arc sin ;лч/п-|) n, <nL).
6. Оптическая сила тонкой линзы
1 1 \
Рис.-28.1
«л
Ф
L
R, R, Г
где f — фокусное расстояние линзы; пл — .абсолютный показатель преломле-
шия вещества линзы; — абсолютный показатель преломления окружающей
среды (одинаковой с обеих сторон линзы).
В приведенной формуле радиусы выпуклых поверхностей берутся со зна-
ком плюс, вогнутых — со знаком минус.
Некоторые задачи этой главы были составлены М. Ф. Федоровым.
282
Л, Оптическая-. сила, двух тонких, сложенных вплотную линз
Ф = Ф,_+
8. Формула гонкой лннзы
Т= ~ +
t а Ь
где
нне
а — расстояние от оптического центра линзы до предмета; в — расстоя
от оптического центра линзы до изображения.
Если фокус мнимый (линза рассеивающая), то величина [ отрицательна.
Если изображение мнимое, то величина 6 отрицательна.
0. Угловое увеличение лупы
Г = D/f,
где D — расстояние нанлучшего зрения (D = 25 см).
10. Угловое увеличение телескопа
Г — /об//ок'
где /ог, и fon — фокусные расстояния соответственно' объектива я окуляра.
Расстояние от объектива до окуляра телескопа
/-= /об + 'он
Эти формулы можно применять только в том случае, если в телескоп наблю-
дают весьма удаленные предметы
11 Угловое увеличение микроскопа
Г — бО/(/об /ок)<
где б — расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом оку-
ляра.
Расстояние от объектива до окуляра микроскопа
/- = /об 4-6+/ок-
Примеры решения задач
I. На стеклянную призму с преломляющим углом О = 50е падает
под углом г, = 30° луч света. Определить угол отклонения в луча приз-
мой, если показатель преломления п стекла равен 1,56
Решение Данную задачу целесообразно решать не в общем виде, как
принято, а пооперационно, производя все промежуточные вычисления.
В этом случае мы несколько проигрываем в точности расчетов, но вы
игрываем в наглядности и простоте вычислений Из рис. 28.2 видно, что
угол отклонения
6 = V + ?'» (0
а углы у и у' просто выражаются через углы f21 tf, которые
последовательно и будем вычислять-
n s'n г.
1) из закона преломления —у -= п имеем
. / sin I, \ 1 q ~7С-
arc sin ------L J = 18,7 ;
“ \ п J
В83
2) из рис. 28.2 следует, что угол падения Ц на вторую грань приз-
мы равен
И & -
Угол f? меньше предельного (i'z
на второй грани луч преломится
о. ж г. 1
о) так как ,
S’lT if п
то
f[ — arcsin (n-sin il) = 54.Г.
Теперь найдем углы у и у':
у = ц — it 1.1,3“
и у' = ii — is = 22.8°.
По формуле (1) находим
6 = у + у' = 34,1''.
f2 = 31,3°.
пред = arcsinV = 39,9°), поэтому
и выйдет из призмы;
Рис. 28.3
Рис. 28.2
2. Оптическая система представляет собой тонкую плосковыпуклую
стеклянную линзу, выпуклая поверхность которой посеребрена Оп-
ределить главное фокусное расстояние f такой системы, если радиус
кривизны Н сферической поверхности линзы равен 60 см
Решение Пусть на линзу iiaaaei параксиальный луч KL, параллель-
ный главной оптической оси MN линзы (рис. 28.3) Так как луч KL
перпендикулярен плоской поверхности линзы, то он проходит ее без
преломления. На сферическую посеребренную поверхность луч пада-
ет в точке L под углом и отражается от нее под углом =ix. От-
раженный луч падает на границу плоской поверхности линзы под
углом 2i! и по выходе из линзы пересекает главную оптическую ось
в точке’ F, образуя е осью угол i2. Длина полученною при этом отрез-
ка FP и равна искомому фокусному расстоянию рассматриваемой оп-
тической системы
Если учесть, что в силу параксиальное™ луча KL углы ij и 1а
малы, а их синусы и тангенсы практически равны самим углам, вы-
раженным в радианах, то из рис. 28.3 следует
/ = (Ij
284
Входящее в формулу (1) отношение ц/<2 углов найдем, пользуясь
законом преломления света,
2t. 1
е виде — = — , откуда
Подставив Ло отношение
который в нашем случае записывается
is 2л
углов в формулу (1), найдем
/ = Rl&nl ' (8)
Такой же результат можно получить и из формальных соображений. Тая
как луч KL последовательно проходит линзу, отражается от вогнутого зерм-
ла и еще раз проходит линзу, то данную оптическую систему можно рассматр*-
вать как центрированную систему, состоящую из сложенных вплотную двуа
плосковыпуклых линз и сферического зеркала. Фокусное расстояние оптячм*
кой системы может быть найдено по формуле
f= 1/ф,
где Ф — оптическая сила системы.
Как известно^ оптическая сила системы равна алгебраической сумме опти«
ческих сил отдельных компонентов' системы. В нагнем случае
Ф= Y+ «—1)-7Г= “ г. е.
f = 1/Ф = ?/ (2л).
что совпадает ,с результатом, выраженным формулой (3).
Произведя вычисления по формуле (3), получим
f — 20 см.
Задачи
1
Отрл-4»лччс ч преломление света
28-1. Два плоских прямоугольных черкал;. Ьоразукн двугранный угол
<р = 179“ На расстоянии I = 10 см oi линии соприкосновения зеркал
и на одинаковом расстоянии от каждого зеркала находится точечный
источник'света Определить расстояние d между мнимыми изображе-
ниями источника в зеркалах.
28-2. На сферическое зеркало падает луч света Найти построением
ход луча после отражения в двух случаях- а) от вогнутого зеркала
(риш 28.4, а\, б) от выпуклого зеркала (рис. 28 1, б). На рисунке:
Р — полюс зеркала, О — оптический центр.
28-3. Вогнутое сферическое зеркало дает на экране изображение
пред?лета, увеличенное в Г - 4 раза Расстояние л от предмета до
зеркала равно 25 см. Определить радиус R кривизны зеркала.
28-4. Фокусное расстояние / вогнутого зеркала равна 15 см Зеркало
дает действительное изображение предмета, уменьшенное в три раза.
Определить расстояние а от предмета до зеркала.
28-5. На рис. 28.5, а, б указаны положения главной оптической оси
MN сферического зеркала, светящейся точки S и ее изображения S1
- - 285
Найти построением положения оптического центра О зеркала, его по-
люса Р нглавного фокуса F. Определить, вогнутым или выпуклым -
является данное зеркало. Будет ли изображение действительным или
мнимым?
28-6. Вогнутое зеркало дает на экране изображение Солнца в виде
кружка диаметром d = 28 мм. Диаметр Солнца на небе в угловой ме-
ре р = 32'. Определить радиус R кривизны зеркала.
' о $
s -'<?<
S)
Рис. 28.5
28-7. Радиус R кривизны выпуклого зеркала равен 50 см. Предмет
высотой h — 15 см находится на расстоянии а, равном I м, от зеркала.
Определить расстояние b от зеркала до изображения и его высоту Н.
28-8. На рис. 28.6, а, б указаны положения главной оптической оси
MN сферического зеркала и ход луча Z. Построить ход луча 2 после
отражения его от зеркала.
28-9. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падающий на бумагу
под углом i — 30е, дает на ней светлое пятно. На сколько сместится
это пятно, если на бумагу положить плоскопараллельную стеклянную
пластину толщиной d = 5 см?
Рис. 28.6
28S
28-10. Луч падает под углом i — 60° на стеклянную пластинку тол-
щиной d = 30 мм. Определить боковое смещение Дз: луча после выхода
из пластинки.
28-11. Пучок параллельных лучей падает на толстую стеклянную пла-
стину под углом i= 60°, и преломляясь, переходит в стекло. Ширина
а пучка в воздухе равна 10 см. Определить ширину b пучка в стекле.
28-12. Луч света^ререходит из среды с показателем преломления- пг
в среду с показателем преломления п*. Показать, что если угол между
отраженным и преломленным лучами равен я/2, то выполняется ус-
ловие tg it — (Л — угол падения).
28-13. Луч света падает на грань призмы с показателем преломления
п под малым углом. Показать, что если преломляющий угол 0 приз-
мы мал, то угол отклонения 6 лучей не зависит от угла падения и ра-
" вен .6 (п — 1).
28-14. На стеклянную призму с преломляющим углом 0 = 60° па-
дает луч света. Определить показатель преломления п стекла, если
при симметричном ходе луча в призме угол отклонения б = 40°.
28-15. Преломляющий угол 6 стеклянной призмы равен '30°. Луч
света падает на грань призмы перпендикулярно ее поверхности и вы-
ходит в воздух из другой грани, отклоняясь на угол 6 =: 20° от пер-
воначального направления. Определить показатель преломления п стек-
ла.
28-16. Луч света падает на грань стеклянной призмы перпендикуляр-
но ее поверхности и выходит из противоположной грани, отклонив-
шись на угол 6 = 2£»° от первоначального направления. Определить
преломляющий угол 0 призмы.
28 17. На грань стеклянной призмы с преломляющим углом 6 = 60°
падает луч света под углом = 45°. Найти угол преломления if лу-
ча при выходе из призмы и угол отклонения 6 луча от первоначаль-
ного направления.
28-18. Преломляющий угол'0 призмы равен 60й. Угол наименьшего
отклонения луча от первоначального направления 6 = 30°. Опреде-
лить показатель преломления п стекла, из которого изготовлена приз-
ма.
28-19. Преломляющий угол 0 призмы, имеющей форму острого кли-
на, равен 2°. Определить угол наименьшего отклонения 6min луча при
прохождении через призму, если показатель преломления п стекла
призмы равен 1,6.
, ' Оптические системы
28-20. На тонкую линзу падает луч света. Найти построением ход
луча после преломления его линзой: а) собирающей (рис. 28.7, о);
б) рассеивающей (рис. 28,7, б). На рисунке: О — оптический центр
линзы, F — главный фокус.
28-21. На рис. 28.8, а, б указаны положения главной оптической оси
MN линзы и ход луча 1. Построить* ход луча 2 после преломления
его линзой.
* Считать, что среды по обе стороны линзы одинаковые.
287
Рис. 28.7
28 22. Найти построением положение светящейся точки, если из-
вестен ход лучей после преломления их в линзах: а) собирающей
(рис. 28.9, о); б) рассеивающей (рис. 28.9, б). На рисунке: О — оп-
тнческий центр линзы, В — ее главный фокус.
28-23. На рис. 28.10. о, б указаны положения главной оптической
оси MN тонкой линзы, светящейся точки S и ее изображения S'.
Найти построением* положения оптического центра О линзы и ее
фокусов F Укачать, собирающей или' рассеивающей буле! данная
линза. Буде! ли изображение деветви тельным или мнимым?
Рис. 28.9
28-24. Линза, расположенная на оптической скамье между лампочкой
п экраном, дает на экране резко увеличенное изображение лампочки.
Когда лампочку передвинули на Д/ = 40 см ближе к экрану, на нем
появилось резко уменьшенное изображение лампочки. Определит®
o-S'
-Я» ’ 70 ~
М------------—--------±-----N И----------------------------------N
б)
О с' •
5-
Рис. 28.10
* См. сноску на с. 287.
28s
фокусное расстояние f линзы, если расстояние I от лампочки до экра-
на равно 80 см.
28-25. Каково наименьшее возможное расстояние I между предметом
и его действительным изображением, создаваемым собирающей лин-
зой с главным фокусным расстоянием f = 12 см?
28-26. Человек движется вдоль главной оптической оси объектива
фотоаппарата ф скоростью и = 5 м/с. С какой скоростью и необхо-
димо перемещать матовое стекло фотоаппарата, чтобы изображение
человека на нем все время оставалось резким. Главное фокусное рас-
стояние f объектива равно 20 см. Вычисления выполнить для случая,
когда человек находился на расстоянии а = 10 м от фотоаппарата.
28-27. Из стекла требуется изготовить плосковыпуклую линзу, оп-
тическая сила Ф которой равна 5 дптр. Определить радиус /? кривиз-
ны выпуклой поверхности линзы.
28-28. Двояковыпуклая линза имеет одинаковые радиусы кривизны
поверхностей. При каком радиусе кривизны R поверхностей линзы
главное фокусное расстояние f ее будет равно 20 см?
28-29. Отношение k радиусов кривизны поверхностей линзы равно
2. При каком радиусе кривизны R выпуклой поверхности оптиче-
ская сила Ф линзы равна 10 дптр?
28-30. Определить радиус R кривизны выпуклой поверхности линзы,
если при отношении k радиусов кривизны поверхностей линзы, рав-
ном 3, ее оптическая сила Ф = —8 дптр.
28-31. Из двух часовых стекол с одинаковыми радиусами R кривизны,
равными 0,5 м, склеена двояковогнутая «воздушная» линза. Какой
оптической силой Ф будет обладать такая линза в воде?
28-32. Линза изготовлена из стекла, показатель преломления которо-
го для красных лучей пИ — 1,50, для фиолетовых пф = 1,52. Радиу-
сы кривизны R обеих поверхностей линзы одинаковы и равны I м.
Определить расстояние А/ между фокусами линзы для красных и фио-
летовых лучей.
28-33. Определить главное фокусное расстояние f плосковыпуклой
линзы, диаметр d которой равен 10 см. Толщина h в центре линзы рав-
на 1 см, толщину у краев можно принять равной нулю.
28-34. Определить оптическую силу Ф мениска*, если радиусы кри-
визны Rt и R2 его выпуклой и вогнутой поверхностей равны соот-
ветственно 1 м и 40 см.
28-35. Главное фокусное расстояние f собирательной линзы в воздухе
равно 10 см. Определить, чему оно равно: 1) в воде; 2) в коричном
масле.
28-36. У линзы, находящейся в воздухе, фокусное расстояние "
= 5 см, а погруженной в раствор сахара /я = 35 см. Определить по-
казатель преломления п раствора.
28-37. Тонкая линза, помещенная в воздухе, обладает оптической
силой Ф], = 5 дптр, а в некоторой жидкости Фа =« — 0,48 дэт>. Оп-
ределить показатель преломления п2 жидкости, если показатель пре-
ломления стекла, из которого изготовлена линза, равен 1,62.
* Мениском называют выпукло-вогнутую или вогнуто-выпуклую
10 Зак 94 •••
28-38. Доказать, что оптическая сила Ф системы двух сложенных
вплотную тонких линз равна сумме оптических сил Фх и Ф2 каждой
из этих линз.
28-39. В вогнутое сферическое зеркало радиусом 7? = 20 см налит
тонким слоем глицерин. Определить главное фокусное расстояние
f такой системы.
28-40. Плосковыпуклая линза имеет оптическую силу Фг = 4 дптр.
Выпуклую поверхность линзы посеребрили. Найти оптическую силу Фа
такого сферического зеркала.
28-41. Поверх выпуклого сферического зеркала радиусом кривизны
R = 20 см налили тонкий слой воды. Определить главное фокусное
расстояние f такой системы.
28-42. Человек без очков читает книгу, располагая ее перед собой на
расстоянии а — 12,5 см. Какой оптической силы Ф очки следует ему
носить?
28-43. Пределы аккомодации глаза близорукого человека без очков
лежат между ал = 16 см и а2 — 80 см. В очках он хорошо видит уда-
ленные предметы. На каком минимальном расстоянии d он может дер-
жать книгу при чтении в очках?
28-44. Лупа, представляющая собой двояковыпуклую линзу, изго-
товлена из стекла с показателем преломления п — 1,6. Радиусы кривиз-
ны R поверхностей линзы одинаковы и равны 12 см. Определить уве-
личение Г лупы.
28-45. Лупа дает увеличение Г = 2. Вплотную к ней приложили
собирательную линзу с оптической силой Ф] = 20 дптр. Какое уве-
личение Г2 будет давать такая составная лупа?
28-46. Оптическая сила Ф объектива телескопа равна 0,5 дптр. Оку-
ляр действует как лупа, дающая увеличение Tj = 10. Какое увели-
ч£цц£Г3 дает телескоп?
48-47. При окуляре с фокусным расстоянием f = 50 мм телескоп да-
ег-угловое увеличение Гг = 60. Какое угловое увеличение Г2 даст
один'объектив, если убрать окуляр и рассматривать действительное
изображение, созданное объективом, невооруженным глазом с рас-
стояния наилучшего зрения?
28-48. Фокусное расстояние объектива телескопа равно 1 м. В
телескоп рассматривали здание, находящееся на расстоянии а = 1 км.
В каком направлении и на сколько нужно передвинуть окуляр, что-
бы получить резкое изображение в двух случаях: 1) если после зда-
ния будут рассматривать Луну; 2) если вместо Луны будут рассматри-
вать близкие предметы, находящиеся на расстоянии аг = 100 м?
28-49. Телескоп наведен на Солнце. Фокусное расстояние Д объек-
тива телескопа равно 3 м. Окуляр с фокусным расстоянием f 2 = 50 мм
проецирует действительное изображение Солнца, созданное объекти-
вом, на экран, расположенный на расстоянии b = 60 см от окуляра.
Плоскость экрана перпендикулярна оптической оси телескопа. Опре-
делить линейный диаметр d изображения Солнца на экране, если диа-
метр Солнца на небе виден невооруженным глазом под углом а «= 32'.
28-50. Фокусное расстояние h объектива микроскопа равно 8 мм, оку-
290
ляра f2 = 4 см. Предмет находится на Ла = 0,5 мм дальше от объек-
тива, чем главный фокус. Определить увеличение Г микроскопа.
28-51. Фокусное расстояние объектива микроскопа равно 1 см, оку-
ляра /2 — 2 см. Расстояние от объектива до окуляра Ь = 23 см. Ка-
кое увеличение Г дает микроскоп? На каком расстоянии а от объек-
тива находится предмет?
28-52. Расстоян^ 6 между фокусами объектива и окуляра внутри
микроскопа рав!то 16 см. Фокусное расстояние Д объектива равно
4 мм. С каким фокусным расстоянием f2 следует взять окуляр, чтобы
получить увеличение Г = 500?
§ 29. ФОТОМЕТРИЯ Основные формулы
I. Световой поток Ф, испускаемый изотропным* точечным источником
света в пределах телесного угла со, в верщине которого находится источник, вы-
ражается формулой
Ф—/со,
где I — сила света источника; со = 2л (1 — cos О); © — угол между осью кону-
са и его образующей.
2. Полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источни-
ком света,
Ф0 = 4п/.
3. Освещенность поверхности определяется соотношением
£=Ф/£,
где S — площадь поверхности, по которой равномерно распределяется пада-
ющий на нее световой поток Ф.
Освещенность, создаваемая изотропным точечным источником снега,
„ 1
Е = — cos t,
. Г*
где г — расстояние от поверхности до источника света; i — угол падения луче!.
4. Сила света любого элемента поверхности косинусного излучателя
I = /0 COS ф,
где <р — угол между нормалью к элементу поверхности и направлением иабл*>
дения; 10 — сила света элемента поверхности по направлению нормали к это»
му элементу.
5. Яркость светящейся поверхности
В = I/O,
где I — сила света в направлении наблюдения; о — площадь нроещиж пет**
щейся поверхности на плоскость, перпендикулярную этому направлению.
6. Светимость определяется соотношением
R = Ф/S,
где ф — световой поток, испускаемый поверхностью; £ — площадь arei яа-
верхности.
Светимость косинусных излучателей
R - - пВ.
* Источник называется изотропным, если сила света источника одинакова
во всех направлениях,
Ю* 294
Примеры решения задач
1. Прожектор ближнего освещения дает пучок света в виде усечен-
ного конуса с углом раствора 20 — 40°. Световой поток Ф прожек-
тора равен 80 клм. Допуская, что световой поток распределен внутри
конуса равноь^ерно, определить силу света / прожектора.
Решение. Сила света / изотропного источника равна отношению све-
тового потока Ф К телесному углу со, в пределах которого распростра-
няется световой поток, т. е.
/ = Ф/to. (1)
Выразим телесный угол через угол раствора. Из рис. 29.1 следует
что элементарный телесный угол dco = 2 л sin О dO. Телесный угол,
соответствующий углу раствора 2# конуса, выразится интегралом:
Рис. 29.1
ф»
со = 2л J sin О dO, или
о
со — 2п (1 — cos О0)=4л sina (0/2).
Подставив выражение со в фор-
мулу (1), получим
/ = •----.
4л sin2 (д/2)
Произведя вычисления по фор-
муле (2), найдем
(2)
/ = 211 ккд.
2. Люминесцентная цилиндрическая лампа диаметром d — 2,5 см
и длиной I = 40 см создает на расстоянии г = 5 м в направлении,
перпендикулярном оси лампы, освещенность Е = 2 лк. Принимая
лампу за косинусный излучатель, определить: 1) силу света 1 в дан-
ном направлении; 2) яркость В\ 3) светимость R лампы.
Решение. 1. Больший из двух размеров лампы — длина — в 12 раз
меньше расстояния, на котором измерена освещенность. Следователь-
но, для вычисления силы света в данном направлении можно принять
лампу за точечный источник и применить формулу
Е — Нг\ откуда / = Ег*.
Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисле-
ния, получим
/ = 25 кд.
2. Для вычисления яркости применим формулу
В = //а,
где о — площадь проекции протяженного источника света на плос-
кость, перпендикулярную направлению наблюдения.
292
В случае цилиндрической люминесцентной лампы проекция имеет
форму прямоугольника длиной I и шириной d. Следовательно,
В = l/(ld).
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
В = 2,5 ккд/м2.
3. Так как люмЛгесцентную лампу можно считать косинусным из-
лучателем, то ее светимость
R = лВ — 7,9 клк.
Задачи*
Световой поток и сила света
29-1. Определить силу света / точечного источника, полный световой
поток Ф которого равен 1 лм.
29-2. Лампочка, потребляющая мощность Р = 75 Вт, создает на рас-
стоянии г = 3 м при нормальном падении лучей освещенность Е =
= 8 лк. Определить удельную мощность р лампочки (в ваттах на
канделу) и световую отдачу ц лампочки (в люменах на ватт).
29-3. В вершине кругового конуса находится Точечный источник све-
та, посылающий внутри конуса световой поток Ф = 76 лм. Сила све-
та / источника равна 120 кд. Определить телесный угол со и угол раст-
вора -20 конуса.
29-4. Какую силу тока / покажет гальванометр, присоединенный к
селеновому фотоэлементу, если на расстоянии г — 75 см от него по-
местить лампочку, полный световой поток Фо которой равен 1,2клм?
Площадь рабочей поверхности фотоэлемента равна 10 сма, чувстви-
тельность i = 300 мкА/лм.
Освещенность
29-5. Лампочка силой света 7 = 80 кд находится на расстоянии а
= 2 м от собирательной линзы с диаметром d = 12 см и главным фо-
кусным расстоянием f = 40 см. Линза дает на экране, расположенном
на расстоянии b = 30 см от линзы, круглое светлое пятно. Найти ос-
вещенность Е экрана на месте этого пятна. Поглощением света в лин-
зе пренебречь.
29-6. При печатании фотоснимка негатив освещался в течение 4 = 3 о
лампочкой силой света /х = 15 кд с расстояния гх = 50 см. Определить
время /2>в течение которого нужно освещать негатив лампочкой силой
света /2 = 60 кд с расстояния rt = 2 м, чтобы получить отпечаток
с такой же степенью почернения, как и в первом случае?
29-7. На высоте h = 3 м над землей и на расстоянии г = 4 м от сте-
ны висит лампа силой света 7 =100 кд. Определить освещенность Ех
* При решении задач по фотометрии электрические лампочки принимать
ва изотропные Точечные источники света.
293
стены и горизонтальной поверхности земли у линии их пересече-
ния,
29-8. На мачте высотой h = 8 м висит лампа силой света / = 1 ккд.
Принимая лампу, за точечный источник света, определить, на каком
расстоянии I от основания мачты освещенность Е поверхности земли
равна 1 лк.
29-9. Над цензом круглой площадки висит лампа. Освещенность Et
в центре площадки равна 40 лк, Et на краю площадки равна Б лк.
Под каким углом i падают лучи на край площадки?
29-10. Над центром круглого стола радиусом г = 80 см на высоте
Л = 60 см висит лампа силой света I — 100 кд. Определить: 1) осве-
щенность Е] в центре стола; 2) освещенность Е2 на краю стола;
3) световой поток Ф, падающий на стол; 4) среднюю освещенность
<Е> стола.
29-11. На какой высоте h над ценром круглого стола радиусом г =
— 1 м нужно повесить лампочку, чтобы освещенность на краю стола
была максимальной?
Яркость и светимость
29-12. Отверстие в корпусе фонаря закрыто плоским молочным стек-
лом размером 10 х 15 см. Сила света / фонаря в направлении, со-
ставляющем угол <р = 60° с нормалью, равна 15 кд. Определить яр-
кость В стекла.
29-13. Вычислить и сравнить между собой силы света раскаленного
металлического шарика яркостью Bj — 3 Мкд/м2 и шарового светиль-
ника яркостью в2 =» 5 ккд/м2, если их диаметры d, и d2 соответствен-
но равны 2 мм и 20 см.
29-14. Светильник из молочного стекла имеет форму шара диаметром
d = 20 см. Сила света / шара равна 80 кд. Определить полный свето-
вой поток Фо, светимость R и яркость В светильника
29-15. Солнце, находясь вблизи зенита, создает на горизонтальной
поверхности освещенность Е = 0,1 Млк. Диаметр Солнца виден под
углом а — 32'. Определить видимую яркость В Солнца
29-16. Длина I раскаленной добела металлической нити равна 30 см.
диаметр d = 0,2 мм. Сила света / нити в перпендикулярном ей на-
правлении равна 24 кд. Определить яркость В нити.
29-17. Яркость В светящегося куба одинакова во всех направлениях
и равна 5 ккд/м2. Ребро а куба равно 20 см. В каком направлении сила
света / куба максимальна? Определить максимальную силу света
Imax Куба.
29-18. Светящийся конус имеет одинаковую во всех направлениях
яркость В = 2 ккд/м2. Основание конуса не светится. Диаметр d ос-
нования равен 20 см, высота ft = 15 см. Определить силу света I
конуса в направлениях: 1) вдоль оси; 2) перпендикулярном оси.
29-19. На высоте й •» I м над горизонтальной плоскостью параллель-
но ей расположен небольшой светящийся диск. Сила света /0 диска
в направлении его оси равна 100 кд. Принимая диск за точечный
источник с косинусным распределением силы света, найти осве-
294
щенность Е горизонтальной плоскости в точке А, удаленной на
расстояние г = 3 м от точки, расположенной под центром диска.
29-20. На какой высоте h над горизонтальной плоскостью (см. пре-
дыдущую задачу) нужно поместить светящийся диск, чтобы освещен-
ность в точке А была максимальной?
29-21. Определить освещенность Е, светимость R и яркость В кино-
экрана, равномерно рассеивающего свет во всех направлениях, если
световой поток cP, падающий на экран из объектива киноаппарата
(без киноленты), равен 1,75 клм. Размер экрана 5 х 3,6 м, коэффициент
отражения р = 0,75.
29-22. На какой высоте h нужно повесить лампочку силой света / =
= 10 кд над листом матовой белой бумаги, чтобы яркость В бумаги
была равна 1 кд/м2, если коэффициент отражения р бумаги равен 0,8?
29-23. Освещенность Е поверхности, покрытой слоем сажи, равна
150 лк, яркость В одинакова во всех направлениях и равна 1 кд/м2.
Определить коэффициент отражения р сажи.
§ 30. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Основные формулы
1. Скорость света в среде
v — с!п,
где с — скорость света в вакууме, п — абсолютный показатель преломления
среды.
2. Оптическая длина пути световой волны
L = nl.
где I — геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем пре-
ломления п.
3. Оптическая разность
хода двух световых волн
Д = Lj — L>2*
4. Оптическая разность
хода световых волн, отра-
женных от верхней и ниж-
ней поверхностей тонкой
плоскопараллельной пла-
стинки или пленки, нахо-
дящейся в воздухе (рис.
.30.1, 6),
Д= 2d Т/п2—sin2 4+ Х/2,
или A = 2dn cos Х/2,
где d — толщина пластинки (пленки), 4 —угол падения, it — угол преломле-
ния.
Второе слагаемое в этих формулах учитывает изменение оптической длины
пути световой волны на Z/2 при отражении ее от среды оптически более плот-
ной .
В проходящем свете (рис. 30.1, о) отражение световой волны промходит
от с, еды оптически менее плотной и дополнительной разности иода еветовыж
лучей не возникает.
295
5i Связь разности фаз Дф колебаний с оптической разностью хода свето-
вых волн
Дф = 2лД/Х. •
6. Условие максимумов интенсивности света при интерференции
Д «= (А = 0, 1, 2, 3, ...)
7. УсловиЛшнимумов интенсивности света при интерференции
Д = ± (2* + 1) (Х/2).
8. Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в
проходящем)
гй=У(2А—1)/?(Х/2),
где k — номер кольца (k — 1, 2, 3, ...); R — радиус кривизны поверхности лин-
зы, соприкасающейся с плоскопараллельной стеклянной пластинкой.
Радиусы темных колен в отраженном свете (или светлых в проходящем)
Примеры решения задач
1. В точку А экрана от источника Si монохроматического света дли-
ной волныК^ 0,5 мкм приходят два луча: непосредственно от ис-
точника^ту^ГЗрЗ, перпендикулярный экрану, и луч SjBH, отраженный
в точке В от зеркала, параллельного лучу Sp4 (рис-. 30.2). Расстоя-
ние /, экрана от источника
равно 1 м, расстояние h
от луча Si/ до плоскости
зеркала равно 2 мм. Опре-
делить: 1) что будет на-
блюдаться в точке А эк-
рана — усиление или ос-
лабление интенсивности;
2) как изменится интенсив-
ность в точке А, если на
пути луча Sj/1 перпенди-
кулярно ему поместить
плоскопараллельную пла-
стинку стекла (п = 1,55)
толщиной d = 6 мкм.
Решение. Построим мни-
мое изображение S2 источ-
ника Sj в зеркале (рис.
30.3). Источники Sx и S2
являются когерентными,
поэтому при сложении волн, приходящих от этих источников на экран,
возникает интерференционная картина. Усиление или ослабление ин-
тенсивности в той или иной точке экрана зависит от оптической раз-
296
(1)
иости хода Д интерферирующих лучей, другими словами, от числа т
полуволн, укладывающихся на оптической разности хода:
Х/2
Если т — целое четное, то интенсивность будет максимальной;
если т — цел<^ нечетное, то интенсивность минимальна. При дроб-
ном т происходит или частичное усиление (если т ближе к четному
числу), или частичное ослабление (если т ближе к нечетному числу).
1. Оптическая разность хода Дг будет складываться из геоме-
трической разности /г — /j (оба луча идут в воздухе) и дополнитель-
ной разности хода V2, обусловленной изменением фазы колебаний на
л при отражении от среды оптически более плотной. Таким образом,
Д1 = к — Л + М2. (2)
Так как /а — У-Ц 4- № (рис. 30.3), то
/2- 4 = G V 1 + (Я//)а-= /х [V 1 + - 1].
Величина 1, поэтому для вычисления корня можно восполь-
*2
зоваться приближенной формулой (см. табл. 3) У I + а я? 1 + в
при о 1. Применив ее, получим
Подставив полученное выражение /г — 1г в формулу (2), найдем А,
= -Т57---(- -к-. Зная Alf по формуле (1) найдем т,:
_ Я«/(2/1) + Х/2 _ № .
mi~ W +
Так как Н = 2/г, то окончательно получим
771,-4------к 1.
После вычисления найдем
тх = 33.
Так как на разности хода укладывается нечетное число длин иолу-'
волн, то в точке А наблюдается минимум интенсивности.
3. Стеклянная пластина толщиной d, поставленная на пути луча
Sj/l (рис. 30.3), изменит оптическую длину пути. Теперь оптическая
длина пути L будет складываться нз геометрической длины пути — 4
и оптической длины пути nd луча в самой пластине, т. е.^
L = (lx — d) 4- nd = lx 4- (n — 1) d.
Оптическая разность хода лучей
А а » /а - L 4- X/2 = Z2 - Hi (n — 1) d] + W2,
297
или
Д2 = Д1 — -(« — !) d-
Пользуясь формулой (1), найдем
т _ *2 _ Д1—(я—ljd _т о d(« —1)
Jl/2 М2 1
Произведя вычисления, получим
т2 - 19,8.
Число длин полуволн оказалось дробным. Так как 19,8 ближе к
целому четному числу 20, чем к целому нечетному числу 19, то в точ-
ке А будет частичное усиление.
2. На толстую стеклянную пластинку, покрытую очень тонкой плен-
кой, показатель преломления п2 вещества которой равен 1,4, падает
нормально параллельный пучок монохроматического света (Х,=0,6 мкм).
Отраженный свет максимально ослаблен вследствие интерференции.
Определить толщину d пленки.
Решение. Из световой волны, падающей на пленку, выделим узкий
пучок 8Л. Ход этого пучка в случае, когда угол падения ц 0, по-
казан на рис. 30.4. В точках А и
В падающий пучок частично отра-
жается и частично преломляется.
Отраженные пучки света /ISj и
BCS2 падают на собирающую лин-
зу L, пересекаются в ее фокусе Р
и интерферируют между собой.
Так как показатель преломле-
ния воздуха (пг= 1,00029) меньше
показателя преломления вещества
пленки (п2 = 1,4), который, в свою
очередь, меньше показателя пре-
ломления стекла (п3 = 1,5), то в
обоих случаях отражение проис-
ходит от среды оптически более
идет падающая волна. Поэтому фаза
отражении в точке А изменяется на
Рис. 80.4
плотной, чем та среда, в которой
колебания пучка света при
л рад и точно так же как на л рад изменяется фаза колебаний пучка
света BCS2 при отражении в точке В. Следовательно, результат ин-
терференции этих пучков света при пересечении в фокусе F линзы будет
такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний ни у того,
ни у другого пучка не было.
Как известно, условие максимального ослабления света при ин-
терференции в тонких пленках состоит в том, что оптическая разность
хода А интерферирующих волн должна быть равна нечетному числу
полуволн: А — (2k + 1) М2.
Как видно из рис. 30.4, оптическая разность хода
А = 1йп2- 11П1 = (| АВ | + | ДС|) па — | ЛО |
298
Следовательно, условие минимума интенсивности света примет
вид
(| АВ | 4- |ВС|) п9 — \AD | и, = (2й + 1) (Х/2).
Если угол падения будет уменьшаться, стремясь к нулю, то AD -►
-> 0 и \АВ | + | ВС| -> 2d, где d — толщина пленки. В пределе при
ц = 0 будем иметь
• % Д = 2dnt = (2k + 1) X/2,
откуда искомая толщина пленки
d_ (2fe+i)X
4n,
Полагая k = О, 1, 2, 3....получим ряд возможных значений тол-
щины пленки:
dn =—— = 0,11 мкм; di — -Ю— — 3d0 = 0,33 мкм и т. д.
4л2 4«s
3. На стеклянный клин нормально к его грани падает монохроматиче-
ский свет с длиной волны X — 0,6 мкм. В возникшей при этом интер-
ференционной картине на отрезке Длиной / = 1 см наблюдается 10
полос. Определить преломляющий угол а клина.
Решение. Параллельный пучок света, падая нормально к грани кли-
на, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти пучки ко-
герентны, и поэтому наблюдается устойчивая картина интерференции.
Так как интерференционные полосы наблюдаются при малых углах
клина, то отраженные пучки света 1 и 2 (рис. 30.5) будут практически
параллельны.
Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность
хода кратна нечетному числу половины длины волны:
Д = (2k + 1) (Х/2), где k = 0, 1, 2, ... (I)
Разность хода Д двух волн складывается из разности оптических
длин путей этих волн (2Л? cos i2) и половины длины волны (Х/2). Ве-
личина Х/2 представляет собой добавочную разность хода, возникаю-
299
щую при отражении волны от оптически более плотной среды. Под-
ставляя в формулу (1) значение разности хода Л, получим
2dhn cos i2 + X/2 = (2k + 1) (1/2), (2)
где n — коэффициент преломления стекла (п 1,5); — толщина
клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствую-
щая номеру /г; /2 угол преломления.
Согласно условшЬ, угол падения равен нулю, следовательно, и
угол преломления 12 равен нулю, a cos 1г = 1. Раскрыв скобки в пра-
вой части равенства (2), после упрощения получим
2dhn = kK. (3)
Пусть произвольной темной полосе номера k соответствует опре-
деленная толщина клина в этом местей, а темной полосе номера k 4- 10
соответствует толщина клина d/t+10. Согласно условию задачи, 10
полос укладываются на отрезке длиной I = 1 см. Тогда искомый угол
(рис. 30.5) будет равен
a==(^+io—dh)/Z, (4)
где из-за малости преломляющего угла sin а « а (угол а выражен
в радианах)..........
Вычислив dh и dh +10 из формулы (3), подставив их в формулу (4)
и произведя преобразования, найдем
а = 51/(п/).
После вычисления получим.
а = 2-10“4 рад.
Выразим а в градусах.' Для этого воспользуемся соотношением
между радианом и секундой (см. табл. 9): 1 рад = 2,06"-10е, т. е.
а = 2-10~4-2,06"-10® = 41,2",
или в соответствии с общим правилом перевода из радиан в градусы
“град =-^-«рад. а =-^--2-10-*=1,15о-10^ = 0,688'= 41,2".
Искомый угол равен 41,2".
Задачи
Интерференция воли от двух
когерентных источников
30-1. Сколько длин волн монохроматического света с частотой коле-
баний v = 5-1014.Гц уложится на пути длиной I — 1,2 мм: 1) в ва-
кууме; 2) в стекле?
30-2. Определить длину 1г отрезка, На котором укладывается столь-
ко же длин волн в вакууме, сколько их укладывается на отрезке
/а — 3 мм в воде.
300
30-3. Какой длины 4 путь пройдет фронт волны монохроматическо-
го света в вакууме за то же время, за какое он проходит путь длиной
4=1 мв воде?
30-4. На пути световой волны, идущей в воздухе, поставили стек-
лянную пластинку толщиной h — 1 мм. На сколько изменится опти-
ческая длина пути, если волна падает на пластинку: I) нормально;
2) под углом i = 30°?
30-5. На пути мо%)хроматического света с длиной волны Л = 0,6 мкм
находится плоскопараллельная стеклянная пластина толщиной d =
= 0,1 мм. Свет падает на пластину нормально. На какой угол <р сле-
дует повернуть пластину, чтобы оптическая длина пути L изменилась
на Х/2?
Рис. 30.6
Рис. 30.7
30-6. Два параллельных пучка световых волн I и // падают на стек-
лянную призму с преломляющим углом О — 30° и после преломления
выходят из нее (рис. 30.6). Найти оптическую разность хода Д свето-
вых волн после преломления их призмой.
30-7. Оптическая разность хода Д двух интерферирующих волн мо-
нохроматического света равна О,ЗХ Определить разность фаз Дф.
30-8. Найти все длины волн видимого света (от 0,76, до 0,38 мкм),
которые будут: 1) максимально усилены; 2) максимально ослаблены
при оптической разности хода Д интерферирующих волн, равной
1,8 мкм.
30-9. Расстояние d между двумя когерентными источниками света
(X = 0,5 мкм) равно 0,1 мм. Расстояние b между интерференционными
полосами на экране в средней части интерференционной картины рав-
но 1 см. Определить расстояние I от источников до экрана.
30-10. Расстояние d между двумя щелями в опыте Юнга равно 1 мм,
расстояние I от щелей до экрана равно 3 м. Определить длину волны
X, испускаемой источником монохроматического света, если ширина
Ъ полос интерференции на экране равна 1,5 мм.
30-11. В опыте Юнга расстояние d между щелями равно 0,8 мм. На
каком расстоянии I от щелей следует расположить экран, чтобы ши-
рина Ь интерференционной полосы оказалась равной 2 мм?
30-.12. В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми
изображениями источника света равно 0,5 мм, расстояние / от
них до экрана равно 3 м. Длина волны X = 0,6 мкм. Определить ши-
рину b полос интерференции на экране.
801
3013. Источник S света (X =» 0,6 мкм) и плоское зеркало М распо-
ложены, как показано на рис. 30.7 (зеркало Ллойда). Что будет
наблюдаться в точке Р экрана, где сходятся лучи SP и SMP, — свет
или темнота, если [SP| = r=2 м, а =* 0,55 мм, |5Л4| = |Л4Р[?
Интерференция света
в тонких пленках
30-14. При некотором расположении зеркала Ллойда ширина b ин-
терференционной полосы на экране оказалась равной 1 мм. После
того как зеркало сместили параллельно самому себе на расстояние
Ad == 0,3 мм, ширина интерференционной полосы изменилась. В ка-
ком направлении и на какое расстояние
Д/ следует переместить экран, чтобы ши-
рина интерференционной полосы оста-
лась прежней? Длина волны X моно-
хроматического света равна 0,6 мкм.
30-15. Плоскопараллельная стеклянная
пластинка толщиной d == 1,2 мкм и
показателем преломления л = 1,5 по-
мещена между двумя средами с показа-
телями преломления nt и пг (рис. 30.8).
Свет с длиной волны X = 0,6 мкм па-
дает нормально на пластинку Опреде-
лить оптическую разность хода Д волн
1 и 2, отраженных от верхней и нижней
поверхностей пластинки, и указать, уси-
ление или ослабление интенсивности света происходит при интерфе-
ренции в следующих случаях: 1) пг < п < л2; 2) пх > п > п2;
3) л, < п > п2; 4) лх > л < л2.
30-16. На мыльную пленку (л = 1,3), находящуюся в воздухе, па-
дает нормально пучок лучей белого света. При какой наименьшей
толщине d пленки отраженный свет с длиной волны ц=0,55 мкм ока-
жется максимально усиленным в результате интерференции?
30-17. Пучок монохроматических (X — 0,6 мкм) световых волн па-
дает под углом i == 30° на находящуюся в воздухе мыльную пленку
(п =• 1,3). При какой наименьшей толщине d пленки отраженные
световые волны будут максимально ослаблены интерференцией? мак-
симально усилены?
30-18. На тонкий стеклянный клин (л = 1,55) падает нормально мо-
нохроматический свет. Двугранный угол а между поверхностями кли-
на равен 2'. Определить длину световой волны X, если расстояние b
между смежными интерференционными максимумами в отраженном
свете равно 0,3 мм.
30-19. Поверхности стеклянного клина образуют между собой угол
« =“ 0,2'. На клин нормально к его поверхности падает пучок лучей
монохроматического света с длиной волны X = 0,55 мкм. Определить
ширину Ь интерференционной полосы.
84»
30-20. На тонкий стеклянный клин в направлении нормали к его по-'
верхности падает монохроматический свет (X = 600 нм). Определить
угол а между поверхностями клина, если расстояние b между смеж-
ными интерференционными минимумами в отраженном свете равно
4 мм.
30-21. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластин-
ками положили оч^ь тонкую проволочку, расположенную параллель-
но линии соприкосновения пластинок и находящуюся на расстоянии
I — 75 мм от нее. В отраженном свете (X = 0,5 мкм) на верхней пла-
стинке видны интерференционные полосы. Определить диаметр d по-
перечного сечения проволочки, если на протяжении а = 30 мм на-
считывается т = 16 светлых полос.
30-22. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки приложены
одна к другой так, что между ними образовался воздушный клин с
углом а, равным 30". На одну из пластинок падает нормально моно-
хроматический свет (Л. = 0,6 мкм). На каких расстояниях 1А и /3
от линии соприкосновения пластинок будут наблюдаться в отражен-
ном свете первая и вторая светлые полосы (интерференционные мак-
симумы)?
30-23. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки образуют клип
с углом а = 30". Пространство между пластинками заполнено гли-
церином. На клин нормально к его поверхности падает пучок моно-
хроматического света с длиной волны Л = 500 нм. В отраженном свете
наблюдается интерференционная картина. Какое число N темных
интерференционных полос приходится на 1 см длины клина?
30-24. Расстояние Дгад между вторым и первым темными кольцами
Ньютона в отраженном свете равно 1 мм. Определить расстояние Дг10 9
между десятым и девятым кольцами.
30-25. Плосковыпуклая линза выпуклой стороной лежит на стек-
лянной пластинке. Определить толщину h слоя воздуха там, где в от-
раженном свете (Л = 0,6 мкм) видно первое светлое кольцо Ньютона.
30-26. Диаметр второго светлого кольца Ньютона при наблюде-
нии в отраженном свете (Л = 0,6 мкм) равен 1,2 мм. Определить оп-
тическую силу D плосковыпуклой линзы, взятой для опыта.
30-27. Плосковыпуклая линза с оптической силой D = 2 дптр выпук-
лой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус г4 четвертого
темного кольца Ньютона в проходящем свете равен 0,7 мм. Опреде-
лить длину световой волны.
30-28.. Диаметры dt и dh двух светлых колец Ньютона соответствен-
но равны 4,0 и 4,8 мм. Порядковые номера колец не определялись, но
известно, что между двумя измеренными кольцами расположено три
светлых кольца. Кольца наблюдались в отраженном свете (X — 500 нм).
Найти радиус кривизны плосковыпуклой линзы, взятой для опыта.
30-29. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковы-
пуклой стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления
которой меньше показателя преломления стекла. Радиус г8 восьмого
темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете (X ==
= 700 нм) равен 2 мм. Радиус R кривизны выпуклой поверхности
линзы равен 1 м. Найти показатель преломления п жидкости.
SOS
30-30. На установке для наблюдения колец Ньютона был измерен в
отраженном свете радиус третьего темного кольца (k—З). Когда про-
странство между плоскопараллельной пластиной и линзой заполнили
жидкостью, то тот же радиус стало иметь кольцо с номером, на еди-
ницу большим. Определить показатель преломления п жидкости.
30-31. В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной вол-
ны X = 0,5 мкькпадает нормально на плосковыпуклую линзу с радиу-
сом кривизны * = I м, положенную выпуклой стороной на вогнутую
поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны £г = 2 м.
Определить радиус rs третьего темного кольца Ньютона, наблюдае-
мого в отраженном свете.
30-32. Кольца Ньютона наблюдаются с помощью двух одинаковых
плосковыпуклых линз радиусом R кривизны, равным 1 м, сложен-
ных вплотную выпуклыми поверхностями (плоские поверхности линз
параллельны). Определить радиус rt второго светлого кольца, наблю-
даемого в отраженном свете (X — 660 нм) при нормальном падении
света на поверхность верхней линзы.
Интерференционные приборы
30-33. На экране наблюдается интерференционная картина от двух
когерентных источников света с длиной волны 1 = 480 нм. Когда на
пути одного из пучков поместили тонкую' пластинку из плавленого
кварца с показателем преломления п = 1,46, то интерференционная
картина сместилась на т = 69 полос. Определить толщину d кварце-
вой пластинки.
30-34. В оба пучка света интерферометра Жамена были помещены
цилиндрические трубки длиной Z = 10 см, закрытые с обоих концов
плоскопараллельными прозрачными пластинками; воздух из трубок
был откачан. При этом наблюдалась интерференционная картина в
виде светлых и темных полос. В одну из Трубок был впущен водород,
после чего интерференционная картина сместилась на т — 23,7 по-
лосы. Найти показатель преломления п водорода. Длина волны Z. све-
та равна 590 нм.
30-35. В интерферометре Жамена две одинаковые трубки длиной I =
= 15 см были заполнены воздухом. Показатель преломления пг воз-
духа равен 1,000292. Когда в одной из трубок воздух заменили аце-
тиленом, то интерференционная картина сместилась на т — 80 полос.
Определить показатель преломления пъ ацетилена, если в интерферо-
метре использовался источник монохроматического света с длиной вол-
ны 1 = 0,590 мкм.
30-36. Определить перемещение зеркала в интерферометре Майкель-
сона, если интерференционная картина сместилась на т = 100 полос.
Опыт проводился со светом с длиной волны X = 546 нм.
30-37. Для измерения показателя преломления аргона в одно из плеч
интерферометра Майкельсона поместили пустую стеклянную трубку
длиной I = 12 см с плоскопараллельными торцовыми поверхностя-
ми. При заполнении трубки аргоном (при нормальных условиях) ин-
терференционная картина сместилась на т =• 106 полос. Определить
304
показатель преломления п аргона, если длина волны X света равна
639 нм,
30-38. В интерферометре Майкельсона на пути одного из интерфери-
рующих пучков света (X, = 590 нм) поместили закрытую с обеих сто-
рон стеклянную трубку длиной I = 10 см, откачанную до высокого
вакуума. При заполнении трубки хлористым водородом произошло
смещение ин^ференционной картины. Когда хлористый водород
был заменен бромистым водородом, смещение интерференционной кар-
тины возросло на Длг = 42 полосы. Определить разность Дп показа-
телей преломления бромистого и хлористого водорода.
§ 31. ДИФРАКЦИЯ -СВЕТА Основные формулы
1. Радиус k-й зоны Френеля: _____
для сферической волны Рь=Т/ —k'K, где а — расстояние диафрагмы
т a -f- b
с круглым отверстием от точечного источника света; b — расстояние диаф*
рагмы от экрана, на котором ведется наблюдение дифракционной картины; k —
номер зоны Френеля; X длины волны;
для плоской волны pk = ~\/bkK.
2. Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Усло-
вие минимумов интенсивности света
X
osin ф= ± 26 — = ± 6Х; 6=1,2, 3, ...,
где а — ширина щели; <р — угол дифракции; k — номер минимума; X — длина
волны.
Условие максимумов интенсивности света
X
esin ф'=(26+1) —; 6=1,2,3,...,
где <р' — приближенное значение угла дифракции.
3. Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падення
лучей. Условие главных максимумов интенсивности
d sin <p = ±6Х; 6=0, 1, 2, 3...
где d — период (постоянная) решетки; 6 — номер главного максимума! у -«*'
угол между нормалью к поверхности решетки и направлением днфрагнуавааным
волн.
4. Разрешающая сила дифракционной решетки
/? = -^-=61У,
АХ
где АХ — наименьшая разность длин волн двух соседняя снектральжых лимм*
(X и X + АХ), при которой эти линии могут быть видны равдмьво * спаитра,
полученном посредством данной решетки; N — число штрихов реветкв| А —
порядковый номер дифракционного максимума.
5. Угловая дисперсия дифракционной решетки
6ф 6
6Х dcoscp 1
линейная дисперсия дифракционной решетки
Dt =
Ы
61 '
Для малых углов дифракции
где f — главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экране дифраги-
рующие волны.
6. Разрешающая сила объектива телескопа
„ 1 _ D
Р 1,221 ’
где Р — наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при
котором изображения этих точек в фокальной плоскости объектива могут быть
видны раздельно; D — диаметр объектива; К — длина волны.
7. Формула Вульфа—Брэгга
2d sin & = 61,
где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла; в — угол сколь-
жения (угол между направлением пучка параллельных рентгеновских излу-
чений, падающих на кристалл, и гранью кристалла), определяющий направле-
ние, в котором имеет место зеркальное отражение излучений (дифракционный
максимум).
Примеры решения задач
1. На диафрагму с круглым отверстием радиусом г — 1 мм падает
нормально параллельный пучок света длиной волны 1 = 0,5 мкм. На
пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Опреде-
лить максимальное расстояние 6тах от центра отверстия до экра-
на, при котором в центре дифрак-
ционной картины еще будет наблю-
даться темное пятно.
Решение. Расстояние, при котором бу-
дет видно темное пятно, определяется
числом зон Френеля, укладывающих-
ся в отверстии. Если число зон чет-
ное, то в центре дифракционной кар-
тины будет темное пятно.
Число зон Френеля, помещающих-
Рис. 31.1
ся в отверстии, убывает по мере уда-
ления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно
двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще
будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется усло-
вием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны
Френеля.
Из рис. 31.1 следует, что расстояние от точки наблюдения О на
экране до края отверстия на 2 (1/2) больше, чем расстояние Ro = tmax.
306
По теореме Пифагора получим
Г2 = ^&тах 4“ 2 — &тах = 2Х&тах -|- X2.
Учтя, что 1 < Ьтах и что членом, содержащим Ха, можно пренеб-
речь, последнее равенство перепишем в виде
% г2 = 2Мтах, откуда ^гпах —’ г2/(2Х).
Произведя вычисления по последней формуле, найдем
^max -1 м-
2. На щель шириной а = 0,1 мм нормально падает параллельный
пучок света от монохроматического источника (X = 0,6 мкм). Опре-
делить ширину I центрального максимума в дифракционной картине,
проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за
щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L = 1 м.
• Решение. Центральный максимум ин-
тенсивности света занимает область
между ближайшими от него справа и
слева минимумами интенсивности.
Поэтому ширину центрального мак-
симума интенсивности примем равной
расстоянию между этими двумя ми-
нимумами интенсивности (рис. 31.2).
Минимумы интенсивности света
при дифракции от одной щели наблю-
даются под углами <р, определяемы-
ми условием
a sin ф = ±&Х, (1)
где k — порядок минимума; в нашем
случае равен единице.
Расстояние между двумя минимумами на экране определим непо-
средственно по чертежу: I = 2L tg ф. Заметив, что при малых углах
tg ф л? sin ф, перепишем эту формулу в виде
I = 2Ь sin ф. (2)
Выразим sin ф из формулы (1) и подставим его в равенство (2):
I = ШгМа. (3)
Произведя вычисления по формуле (3), получим
I = 1,2 см.
3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает
параллельный пучок света с длиной волны X = 0,5 мкм. Помещенная
вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плос-
кий экран, удаленный от линзы на L = 1 м. Расстояние I между дву-
мя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на
экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постоянную d ди-
фракционной решетки; 2) число п штрихов на 1 см; 3) число макси-
8О~
Рис. 3J.3
ледних трех равенств соотношение (1)
мумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максималь-
ный угол фтах отклонения лучей, соответствующих последнему ди-
фракционному максимуму.
Решение. 1. Постоянная d дифракционной решетки, длина волны X
и угол ф отклонения лучей, соответствующий /г-му дифракционно-
му максимуму, связаны соот-
ношением
d sin <p = ЛХ, (1)
где k — порядок спектра,
или в случае монохромати-
ческого света порядок мак-
симума.
В данном случае k = 1,
sin ф = tg ф (ввиду того, что
j < Ь), tg ф (следует
из рис. 31.3). С учетом вос-
примет вид
откуда постоянная решетки
d = 2LK/1.
Подставляя данные, получим
d = 4,95 мкм.
2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы
п = 1/d.
После подстановки числовых значений получим
п = 2,02 • 10s см-1.
. '3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной
решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmas, исходя
из того, что максимальный угол отклоне'ния лучей решеткой йе может
превышать 90°.
Из формулы (1) запишем
fcmax = d sin ф/Х. (3)
Подставляя сюда значения величин, получим
h = о Q
''-щах
Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не мо-
жет принять значение, равное 10, так как при этом значении sin ф
должен быть больше единицы, что невозможно. Следовательно, -
ь — Q
308
Определим общее число максимумов дифракционной картины, по
лученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от
центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу
максимумов, равному йтах, т. е. всего 2йтах. Если учесть также
центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов
% Л/ = 2йтах + 1.
Подставляя значение йтах, определим
Л/ — 2 • 9 4- 1 = 19.
4. Для определения максимального угла отклонения лучей, слот
ветствующего последнему дифракционному максимуму, выразим из
соотношения (3) синус этого угла:
S1H Фтах ~ ^roa-ii^d.
Отсюда
Фтах = arc sin
Подставив сюда значения величин X, d, йгаах и произведя вычисления,
получим
Фтах = 65,4°.
Задачи
Зоны Френеля
31-1. Зная формулу радиуса й-й зоны Френеля для сферической вол-
ны (ph = УЪЬ/гМ (а 4- b)), вывести соответствующую формулу для
плоской волны.
31-2. Вычислить радиус р5 пятой зоны Френеля для плоского волно-
вого фронта (X — 0,5 мкм), если построение делается для точки на-
блюдения, находящейся на расстоянии b — 1 м от фронта волны.
31 -3. Радиус рз четвертой зоны Френеля для плоского волнового фроя-
та равен 3 мм. Определить радиус рв шестой зоны Френеля.
31-4. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм пада-
ет нормально параллельный пучок лучей монохроматического светя
(X = 0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия нв
расстоянии b = 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в
отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифракци-
онной картины, если в месте наблюдения поместить экран?
31-5. Плоская световая волна (X == 0,5 мкм) падает нормально на ди-
афрагму с круглым отверстием диаметром d = 1 см. На каком рао
стоянии b от отверстия должна находиться точка наблюдения, чтоби
отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две аоны Френеля?
31-6. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму е
круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых течках
оси отверстия, находящихся на расстояниях Ь{ от его центра, наблю-
809
даются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функции b =*•
= f (г, X., п), где г — радиус отверстия; X — длина волны; и — чие-
ло зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2.
Сделать то же самое для точек
оси отверстия, в которых наблю-
даются минимумы интенсивности.
31-7. Плоская световая волна
(X = 0,7 мкм) падает нормально
на диафрагму с круглым отвер-
стием радиусом г — 1,4 мм. Оп-
ределить расстояния blf b2, bt
от диафрагмы до трех наиболее
удаленных от нее точек, в кото-
рых наблюдаются минимумы
интенсивности.
Рис. 31.4
31-8. Точечный источник 5 света (X — 0,5 мкм), плоская диафрагма
с круглым отверстием радиусом г = 1 мм и экран расположены,
как это указано на рис. 31.4 (а= 1 м). Определить расстояние
Ь от экрана до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы
для точки Р три зоны Френеля.
31-9. Как изменится интенсивность в точке Р (см. задачу 31-8), если
убрать диафрагму.
Дифракция на щели.
Дифракционная решетка
31-10. На щель шириной а = 0,05 мм падает нормально монохрома-
тический свет (X — 0,6 мкм). Определить угол <р между первоначаль-
ным направлением пучка света и направлением на четвертую темную
дифракционную полосу.
31-11. На узкую щель падает нормально монохроматический свет.
Угол <р отклонения пучков света, соответствующих второй светлой
дифракционной полосе, равен 1°. Скольким длинам волн падающего
света равна ширина щели?
31-12. На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохрома-
тический свет (Х= 0,5 мкм). За щелью помещена собирающая линза,
в фокальной плоскости которой находится экран. Что будет наблю-
даться на экране, если угол <р дифракции равен: 1) 17'; 2) 43'.
31-13. Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит дифракци-
онная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (X =
— 0,6 мкм) максимум пятого порядка отклонен на угол <р = 18°?
31-14. На дифракционную решетку, содержащую и = 100 штрихов
на 1 мм, падает нормально монохроматический свет. Зрительная тру-
ба спектрометра наведена на максимум третьего порядка. Чтобы на;
вести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повер-
нуть на угол А<р = 20°. Определить длину волны X света.
31-15. Дифракционная решетка освещена нормально падающим мо-
нохроматическим светом. В дифракционной картине максимум вто-
рого порядка отклонен на угол чд = 14°, На какой угол <р2 отклонен
максимум третьего порядка?
310
31-16. Дифракционная решетка содержит п = 200 штрихов на 1 мм.
На решетку падает нормально монохроматический свет (X = 0,6 мкм).
Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
31-17. На дифракционную решетку, содержащую п — 400 штрихов
на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (X = 0,6 мкм).
Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта
решетка. Определить угол <р дифракции, соответствующий последнему
максимуму. %
31-18. При освещении дифракционной решетки белым светом спект-
ры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На
какую длину волны в спектре второго порядка накладывается фиоле-
товая граница (X — 0,4 мкм) спектра третьего порядка?
ЗГ-19. На дифракционную решетку, содержащую п — 500 штри-
хов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый
свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на
экран. Определить ширину b спектра первого порядка на экране, ес-
ли расстояние d линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спект-
ра Хкр = 780 нм, Хф = 400 нм.
81-20. На дифракционную решетку с периодом d = 10 мкм под углом
а = 30° падает монохроматический свет с длиной волны X = 600 нм.
Определить угол <р дифракции, соответствующий второму главному
максимуму.
31-21. Дифракционная картина получена с- помощью дифракционной
решетки длиной / = 1,5 см и периодом d = 5 мкм. Определить, в спект-
ре какого наименьшего порядка этой картины получатся раздельные
изображения двух спектральных линий с разностью длин волн ДХ ==
= 0,1 нм, если линии лежат в крайней красной части спектра
(X « 760 нм).
31-22. Какой наименьшей разрешающей силой R должна обладать
дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было разрешить
две спектральные линии калия (X, = 578 нм и Х2 = 580 нм)? Какое
наименьшее число N штрихов должна иметь эта решетка, чтобы раз-
решение было возможно в спектре второго порядка?
31-23. С помощью дифракционной решетки с периодом d = 20 мкм
требуется разрешить дублет натрия (Хг = 589,0 нм и Х2 = 589,6 нм)
в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине I решетки
это возможно?
31-24. Угловая дисперсия дифракционной решетки для излучения
некоторой длины волны (при малых углах дифракции) составляет 5 нм.
Определить разрешающую силу R этой решетки для излучения той же
длины волны, если длина I решетки равна 2 см.
31-25. Определить угловую дисперсию Оф дифракционной решетки
для угла дифракции <р = 30° и длины волны X = 600 нм. Ответ вы-
разить в единицах СИ и в минутах на нанометр.
31-26. На дифракционную решетку, содержащую п = 500 штрихов
на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны
= 700 нм. За решеткой помещена собирающая линза с главным фо-
кусным расстоянием f = 50'см. В фокальной плоскости линзы распо-
ложен экран. Определить линейную дисперсию Dt такой системы для
311
максимуме третьего порядка. Ответ выразить в миллиметрах на на-
нометр.
31-27. Нормально поверхности дифракционной решетки падает пу-
чок света. За решеткой помещена собирающая линза с оптической си-
лой Ф = I дптр. В фокальной плоскости линзы расположен экран.
Определить число п штрихов на 1 мм этой решетки, если при малых
углах дифрак^и линейная дисперсия Dt = 1 мм/нм.
31-28. На дифракционную решетку нормально ее поверхности пада-
ет монохроматический свет (X = 650 нм). За решеткой находится
линза, в фокальной плоскости которой расположен экран. На экра-
не наблюдается дифракционная картина под углом дифракции <р =’
= 30°. При каком главном фокусном расстоянии / линзы линейная
дисперсия D, 0,6 мм/нм?
Дифракция иа
кристаллической решетке
31-29. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пу-
чок рентгеновского излучения (л = 147 пм). Определить расстояние
<1 между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный мак-
симум второго порядка наблюдается, когда излучение падает под
углом О = ЗГЗО' к поверхности кристалла.
31-30. Какова длина волны 7- монохроматического рентгеновского из-
лучения, падающего на кристалл кальцита, если дифракционный мак-
симум первого порядка наблюдается, когда угол 0 между направле-
нием падающего излучения и гранью кристалла равен 3°? Расстоя
ние d между атомными плоскостями кристалла принять равным
0,3 нм.
31-81 Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на
грань кристалла. Под углом О — 65° к плоскости грани наблюдается
максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостя-
ми кристалла 280 пм. Определить длину волны Л рентгеновского из-
лучения.
Разрешающая сила
объектива телескопа
31-32. Диаметр D объектива телескопа равен 8 см. Каково наимень-
шее угловое расстояние р между двумя звездами, дифракционные изо-
бражения которых в фокальной плоскости объектива получаются раз-
дельными? При малой освещенности глаз человека наиболее чувстви-
телен к свету с длиной волны X. = 0,5 мкм.
31-33. На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две
красные лампы (X = 640 нм). Расстояние d между лампами 20 см.
Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния г = 15 км. Оп-
ределить наименьший диаметр £>min объектива, при котором в его фо-
кальной плоскости получатся раздельные дифракционные изображе-
ния.
312
§ 32. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА Основные формулы
1. Закон Брюстера
где iB — угол паденм, при котором отраженная световая волна полностью ни.
ляризоваиа; n»i — отаосительный показатель преломления.
2. Закон Малюса
/ —/ecos2a,
где I — интенсивность плоскополяризоваииого света, прошедшего через ана-
лизатор; /0 — интенсивность плоскополяризоваииого света, падающего на ана-
лизатор; а — угол между направлением ’ колебаний светового вектора волны,
падающей на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.
3. Степень поляризации света
Р=(/шах—^ш1п)/(^тах 4“^ mln),
где /тах и ^min — максимальная и минимальная интенсивности частично-по-
ляризованного света, пропускаемого анализатором.
4. Угол поворота <р плоскости поляризации оптически активными вещест-
вами определяется соотношениями:
в твердых телах <р — ad,
где а — постоянная вращения; d — длина пути, пройденного светом в оптически
активном веществе;
в чистых жидкостях <р = [ajpd,
Где [а] — удельное вращение; р — плотность жидкости;
в растворах <р = [a]Cd,
где С — массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.
Примеры решения задач
1. Пучок естественного света падает на полированную поверхность
стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от
пластины пучок света составляет угол <р — 97е с падающим пучком
(рис. 3.21). Определить показатель преломления п жидкости, если
отраженный свет полностью поляризован.
Решение. Согласно закону Брюстера, свет, отраженный от диэлект-
рика, полностью поляризован в том случае, если тангенс угла паде-
ния
tg ^В
где н21 — относительный показатель
преломления второй среды (стекла) от-
носительно первой (жидкости).
Относительный показатель прелом-
ления равен отношению абсолютных
показателей преломления этих сред.
Следовательно,
tg tB = Па/Пр
Рис, 32,1
813
Согласно условию задачи, отраженный луч повернут на угол <р от-
жосщельно падающего луча. Так как угол падения равен углу отра-
жения, то с'в “ ф/2 и, следовательно, tg (<р/2) = njnu откуда
tg(4>/2) '
Сделав подстановку числовых значений, получим
= 1,33.
2. Два николя и A/t расположены так, что угол а между их плос-
костями пропускания равен 60°. Определить: 1) во сколько раз
уменьшится интенсивность света при прохождении через один николь
(Л 2) во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохож-
Естественный.
.. луч света
Рис. 32.2
•/w^/wh 2 U к)2соега
/ \
.Л
Ленин через оба николя? При прохождении каждого из николей поте-
ре ча отражение и поглощение света составляют 5%.
Реш-нив. 1. Пучок естественного света, падая на грань николя Д/х
(рис. 32.2), расщепляется вследствие двойного лучепреломления
из два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинако-
вы щ> интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колеба-
щ.-.й аля необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плос-
кость главного сечения). Плоскость колебаний для обыкновенного пуч-
ка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок (о)
вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на за-
чериеяную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный
пуч< -к (е) проходит через николь. При этом интенсивность света умень-
шается вследствие поглощения в веществе николя.
Таким образом, интенсивность света, прошедшего через николь
Л'ь
Л (1 -------&)>
где = 0,05— относительная потеря интенсивности света в николе;
/□ — интенсивность естественного света, падающего на николь Nt.
Относительное уменьшение интенсивности света получим, разде-
лив интенсивность /0 естественного света на интенсивность поляри-
зованного света:
А =,-----1°----= _2_ (1)
h Uilod-k) l-A ‘ ’
314
Подставив числовые значения, найдем
/0//х = 2,10.
Таким образом, интенсивность света при прохождении через николь
A/j уменьшается в 2,10 раза.
2. Пучок плоскополяризованного света интенсивности падает
иа николь Л/^и также расщепляется на обыкновенный и необыкновеп
ный. Обыкновенный пучок полностью поглощается в николе, а интен-
сивность необыкновенного пучка света, вышедшего из николя, опре-
деляется законом Малюса (без учета поглощения в этом николе):
/2 — /j cos2 а,
где а — угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучкэ
и плоскостью пропускания николя ДГ2.
Учитывая потери интенсивности во втором николе, получим
/2 = (1 — k) cos2 d.
Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света ч>
рез оба николя найдем, разделив интенсивность /0 естественное»
света на интенсивность 72 света, прошедшего систему из двух Нико-
лей:
7о __{а
h 6(1— k) cos2 а *
Заменяя его выражением по формуле (1), получим
2
/2 (1 — kf cos2 а _
Подставив данные, произведем вычисления:
/0//2 = 8,86.
Таким образом, после, прохождения света через два николя интен-
сивность его уменьшится в 8,86 раза.
3. Пучок частично-поляризованного света рассматривается через
николь. Первоначально николь установлен так, что его плоскость
пропускания параллельна, плоскости колебаний линейно-поляризо-
ваного света. При- повороте николя на угол <р = 60° интенсивность
пропускаемого им света уменьшилась в k = 2 раза. Определить от-
ношение 1е/1а интенсивностей естественного и линейно-поляризован-
ного света, составляющих данный частично-поляризованный свет, а
также степень поляризации Р пучка света.
Решение. Отношение интенсивности 1е естественного света к интен-
сивности /п поляризованного света найдем из следующих соображе-
ний. При первоначальном положении николя он полностью пропус-
тит линейно-поляризованный свет и половину интенсивности естест-
венного света. Общая интенсивность пропущенного при этом света
При втором положении николя интенсивность пропущенного по-
ляризованного света определится по закону Малюса, а интенсивност*
пропущенного естественного света, как и в первом случае, будет рав-
на половине интенсивности естественного света, падающего на николь.
Общая интенсивность во втором случае
72 = /ucosaq>4-1/2/₽-
В соответствии с условием задачи = kl2, или
/п + Ч2 le = k(la cos® <p + l/s /₽)•
Подставив сюда значение угла ф, k и произведя вычисления, по
лучйм
=- 1, или 1е = /п,
т. е. интенсивности естественного и поляризованного света в заданном
пучке равны между собой.
Степень поляризации частично-поляризованного' света определя-
ется соотношением
7й|и)/(/так/mfn), (1)
где /тах и 7min — соответственно максимальная и минимальная ин-
тенсивности света, пропущенного через николь.
Максимальная интенсивность /таах = /1 = /п + Ча1в, или, учи-
тывая, что 1е —
/й/д-
Минимальная интенсивность соответствует положению николя,
при котором плоскость пропускания его перпендикулярна плоско-
сти колебаний линейно-поляризованного света. При таком положе-
нии николя поляризованный свет будет полностью погашен и через
николь пройдет только половина интенсивности естественного света.
Общая интенсивность выразится равенством
7гпIn V2 /П-
Подставив найденные выражения /тах и /1п1и в формулу (1),полу-
чим
р_ 8/?^п — 1;
*/«/D + ‘/./n ~ Z"
Следовательно, степень поляризации пучка света
Р = 1/2.
4. Пластинка кварца толщиной = 1 мм, вырезанная перпендику-
лярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляриза-
ции монохроматического света определенной длины волны на угол
Фг = 20°. Определить: 1) какова должна быть толщина d2 кварцевой
пластинки, помещенной между двумя «параллельными» никелями,
чтобы свет был полностью погашен; 2) какой длины / трубку с раство-
ром сахара массовой концентрацией С = 0,4 кг/л надо поместить
814
между николями для получения того же эффекта? Удельное вращение
fa] раствора сахара равно 0,665 град/ (м • кг • м-8).
Решение. 1. Угол поворота плоскости поляризации кварцевой плас-
тинкой определяется соотношением ф = ad.
Пользуясь этой формулой выразим искомую толщину d2 пластин-
ки:
с!г = ф2/а, (I)
где <ра —угол поворота плоскости поляризации, при котором свет
будет полностью погашен (ф8 = 90°).
Постоянную вращения а ддя кварца найдем также из формулы
Ф = ad, подставив в нее заданные в условии задачи значения и ф1:
а —
Подставив это выражение, а в формулу (J), получим
^2 = (<Р2/<Р1М1-
Произведя вычисления по этой формуле, найдем толщину плас-
тинки:
= 4,5 мм.
2. Длину трубки с сахарным раствором найдем из соотношения
Ф2 = IctlC/, выражающего угол поворота плоскости поляризации рас-
твором сахара, где I — толщина раствора сахара (принимается рав-
ной длине трубки). Отсюда получим
I = фа/ ( ЫС).
Подставив сюда значения ф2, la], С — 0,4 кг/л =400 кг/м8 и про-
изведя вычисления, найдем
I — 3,8 дм.
| Задачи
Закон Брюстера. Закон Малюса
32-1. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жид-
кости под углом i — 54°. Определить угол преломления /' пучка,
если отраженный пучок полностью поляризован.
32-2. На какой угловой высоте ф над горизонтом должно находиться
Солнце, чтобы солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был
полностью поляризован?
32-3. Пучок естественного света, идущий в воде, отражается от гра-
ни алмаза, погруженного в воду. При каком угле падения /в отражен-
ный свет полностью поляризован?
32-4. Угол Брюстера /в при падении света из воздуха на кристалл
каменной соли равен 57°. Определить скорость света в этом кристал-
ле.
317
32-5. Предельный угол I полного отражения пучка света на границе
жидкости с воздухом равен 43°. Определить угол Брюстера 1в для па-
дения луча из воздуха на поверхность этой жидкости.
32-6. Пучок естественного света падает на стеклянную (п = 1,6)
призму (рис. 32.3). Определить двугранный угол а призмы, если оя»
раженный пучок максимально поляризован.
32-7. Алмазная призма находится в некоторой среде с показателем
преломления пг. Пучок естественного света падает на призму так, как
это показано на рис. 32.4. Определить показатель преломления nt
среды, если отраженный пучок максимально поляризован.
Рис. 32.6
32-8. Параллельный пучок естественного света падает на сферичес-
кую каплю воды. Найти угол а между отраженным и падающим пуч-
ками в точке А (рис. 32.5).
32-9. Пучок естественного света падает на стеклянный шар (п = 1,54).
Найти угол у между преломленным и падающим пучками в точке А
(рис. 32.6).
32-10. Пучок естественного света падает на стеклянный шар, находя-
щийся в воде, Найти угол а между отраженным и падающим пучками
318
в точке А (рис. 32.7). Показатель преломления п стекла принять рав-
ным 1,58.
32-11. Анализатор в k = 2 раза уменьшает интенсивность света, при-
ходящего к нему от поляризатора. Определить угол а между плос-
костями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями интен-
сивности света в анализаторе пренебречь.
32-12. Угол а между плоскостями пропускания поляризатора и ана-
лизатора равен 4^. Во сколько раз уменьшится интенсивность света,
выходящего из анализатора, если угол
увеличить до 60°?
32-13. Во сколько раз ослабляется ин-
тенсивность света, проходящего через
два николя, плоскости пропускания ко-
торых образуют угол а — 30°, если в
каждом из николей в отдельности те-
ряется 10% интенсивности падающего
на него света?
32-14. В фотометре одновременно рас-
сматривают две половины поля зрения:
в одной видна эталонная светящаяся по-
верхность с яркостью Bj = 5 ккд/м®, в ’ “ ’
другой — испытуемая поверхность, свет
от которой проходит через два николя. 1|С'
Граница между обеими половинами поля
зрения исчезает, если второй николь повернуть относительно первого
на угол а = 45°. Найти яркость В2 испытуемой поверхности, если из-
вестно, что в каждом из николей интенсивность падающего на него
света уменьшается на 8%.
Степень поляризации света
32-15. В частично-поляризованном свете амплитуда светового векто-
ра, соответствующая максимальной интенсивности света, в п = 2 ра-
за больше амплитуды, соответствующей минимальной интенсивности.
Определить степень поляризации Р света.
32-16. Степень поляризации Р частично-поляризованного света рав-
на 0,5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивность света,
пропускаемого через анализатор, от минимальной?
32-17. На пути частично-поляризованного света, степень поляриза-
ции Р которого равна 0,6, поставили анализатор так, что интенсивность
света, прошедшего через него, стала максимальной. Во сколько раз
уменьшится интенсивность света, если плоскость пропускания ана-
лизатора повернуть на угол а = 30°?
32-18. На николь падает пучок частично-поляризованного света. При
некотором положении николя интенсивность света, прошедшего че-
рез него, стала минимальной. Когда плоскость пропускания николя
повернули на угол 0 = 45°, интенсивность света возросла в k= 1,5 ра-
за. Определить степень поляризации Р света.
819
Вращение плоскости поляризация
82-19. Пластинку кварце толщиной d “ 2 мм, вырезанную перпен-
дикулярно оптической оси, поместили между параллельными нике-
лями, в результате чего плоскость поляризации света повернула®
на угол <р = 53°. Определить толщину h пластинки, при которой дан-
ный монохроматический свет не проходит через анализатор.
32-20. Никотин (чистая жидкость), содержащийся в стеклянной
трубке длиной I «= 8 см, поворачивает плоскость поляризации жел-
того света натрия на угол ф = 137°. Плотность никотина р = 1,01 X
X103 кг/м®. Определить удельное вращение [а] никотина.
32-21. Раствор глюкозы с массовой концентрацией Сг = 280 кг/м1,
содержащийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляри-
зации монохроматического света, проходящего через этот раствор,
на угол ф, — 32°. Определить массовую концентрацию С2 глюкозы
другом растворе, налитом в трубку такой же длины, если он повора-
чивает плоскость поляризации на угол фг = 24°.
32-22. Угол ф поворота плоскости поляризации желтого света натрия
при прохождении через трубку с раствором сахара равен 40°. Длина
трубки I = 15 см. Удельное вращение [а] сахара равно 1,17 X
X 10~2 рад • м3/ (м • кг).
§ 33. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ~ .
* ТЕЛ Основные формулы
1. Эффект Доплера в релятивистском случае
V V|) 1 + Р cos ft '
где v — частота электромагнитного излучения, воспринимаемого наблюдателем;
v0 — собственная частота электромагнитного излучения, испускаемого непод-
вижным источником; Р = vic — скорость источника электромагнитного излу-
чения относительно наблюдателя; с — скорость распространения электромаг-
нитного излучения в вакууме; ft — угол между вектором v и направлением на-
блюдения, измеренный в системе отсчета, связанной с наблюдателем.
При движении источника вдоль прямой, соединяющей наблюдателя и ис-
точник, возможны два случая:
а) источник удаляется от наблюдателя (ft = 0)
v = v„ V(l-P)/(l+₽),
б) источник приближается к наблюдателю (ft = л)
v=v0 V(l + P)/(l-P> .
2. Эффект Доплера в нерелятивистском случае
Av v
---= — cos ft,
V--с
где Av — изменение частоты (Av = v — v0).
3. Эффект Вавилова—Черенкова.
При движении заряженной частицы в некоторой среде со скоростью о, боль-
шей фазовой скорости света в данной среде, возникает излучение света. Свет этот
распространяется по направлениям, составляющим острый угол ft с траектори-
320
ей "'(истицы, т. е. вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направле-
нием скорости частицы. Угол О определяется из соотношения
cos О = с/ (nv), или cos 0=1/ (рл),
где п — показатель преломления среды, в которой движется заряженная час-
тица.
Примеры решения задач
I. Источник монохроматического света в длиной волны Хо — 600 га
движется по направлению к наблюдателю ео екоростью v » 0,1 с (в —
скорость распространения электромагнитных волн). Определить дли-
ну волны Л излучения, которую зарегистрирует спектральный прибор
наблюдателя.
Решение. В системе отсчета, связанной в наблюдателем, спектраль*
ный прибор зарегистрирует электромагнитное излучение частоты
v=v0]/’l— Ря/(1 4-₽cosO), (1)
где v0 — собственная „ частота монохроматического излучения источ- .
ника; р = v/c; & — угол между вектором v и направлением, наблюдя*
ния, измеренный в системе отсчета, связанной о наблюдателем.
Выразим частоты v и v0 через длины волн X и Хо: v е/Х и v0 «
= с/Х0. Заметив, что в’ нашем случае О = я ( cos б = —1), перепи-
шем формулу (1) с учетом последних соотношений:
' 1 — 1 V1—
’А ~ X) 1—Р ‘
откуда
Х = Х0]/(1-р)/(Ц-Р).
Подставим значения р (р = v/c — 0,1) и Хо в полученное выражение
и произведем вычисления:-
X = 542 нм.
2. Каким минимальным импульсом pmin (в,единицах МэВ/c) должен
обладать электрон, чтобы эффект Вавилова—Черенкова можно было
наблюдать в воде?
Решение. Эффект Вавилова—Черенкова состоит в излучении евета,
возникающем при движении в веществе заряженных частиц со ско-
ростью v, превышающей скорость распространения световых волн (фа-
зовую скорость) в этой среде. Так как фазовая скорость света =•
= dn (с — скорость распространения электромагнитного излучения
в вакууме; п — показатель преломления среды), то условием возник-
новения эффекта -Вавилова—Черенкова является
v > Пф, или v > с!п.
11 Зак. 94
321
Обычно это условие записывают иначе, учитывая, что fl = o/ct
₽н>1. (I)
Поскольку черенковское излучение наблюдается для релятивист-
ских частиц, то запишем сначала выражение для релятивистского им-
пульса
р — t^ — mQ o/'Kl — (3s, или р = <.₽/]/!—fl2,
где учтено, что v — flc.
Минимальному импульсу соответствует минимальное значение
₽га1п, которое находим из условия (I):
flmtn = !/«-
Тогда минимальное значение импульса
Pmtn=/noC/V I. (2)
Вычисления выполним во внесистемных единицах — МэВ/c (с —
скорость распространения электромагнитного излучения). Для это-
го поступим следующим образом. Известно, что — 0,511 МэВ,
отсюда запишем т^р — 0,51I МэВ/c. Подставив в (2) п = 1,33 и най-
денное значение тос, произведем вычисления:
Pmin = 0,583 МэВ/с.-
j Задачи
Эффект Доплера
33-1. При какой - предельной скорости v (в долях скорости
света) источника можно вместо релятивистской формулы v =
= v0K(l -₽)/(! + fl) для эффекта Доплера пользоваться при-
ближенным выражением v лг v0 (1 — fl), если погрешность в опреде-
лении частоты не должна превышать 1%?
33-2. Для определения угловой скорости вращения солнечного диска
измеряли относительный сдвиг ДЛ/Л спектральных линий от восточ-
ного и западного краев Солнца. Он оказался равным 1,5 • 10~6. Оп-
ределить угловую скорость со вращения солнечного диска. Радиус /?
Солнца считать известным.
33-3. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью v =
= 10 км/с. Частота v0 электромагнитных волн, излучаемых антенной
корабля, равна 30 МГц. Определить доплеровское смещение Av часто-
ты, воспринимаемой приемником.
33-4. При изучении спектра излучения некоторой туманности линия
излучения водорода (ка = 656,3 нм) оказалась смещенной на Л Л =
= 2,5 нм в область с большей длиной волны (красное смещение).
Найти скорость о движения туманности относительно Земли и ука-
зать, удаляется она от Земли или приближается к ней.
322
33-5. Определить обусловленное эффектом Доплера уширение ЛАА
спектральных линий излучения атомарного водорода, находящегося
при температуре Т = 300 К.
33-6. В результате эффекта Доплера происходит уширение линий
у-излучения ядер. Оценить уширение A v/v линий у-излучения ядер
кобальта, находящихся при температуре: 1) комнатной (Т = 290 К);
2) ядерного ц|рыва (Т — 10 МК).
33-7. Два космических корабля движутся вдоль одной прямой. Ско-
рости о, и о, их в некоторой инерциальной системе отсчета соответст-
венно 12 и 8 км/с. Определить частоту v сигнала электромагнитных
волн, воспринимаемых вторым космическим кораблем, если антенна
первого корабля излучает электромагнитные волны частотой v0 =
= I МГц. Рассмотреть следующие случаи: 1) космические корабли
движутся навстречу друг другу, 2) космические корабли удаляются
друг от друга в противоположных направлениях; 3) первый косми-
ческий корабль нагоняет второй; 4) первый космический корабль
удаляется от второго, движущегося в том же направлении.
33-8. Монохроматический свет с длиной волны X = 600 нм падает на
быстро вращающиеся в противоположных направлениях зеркала
(опыт А. А. Белопольского). После N = 10 отражений от зеркал пу-
чок света попадает в спектрограф. Определить изменение А X длины
волны света, падающего на зеркала нормально их поверхности. Ли-
нейная скорость v зеркал равна 0,67 км/с. Рассмотреть два случая,
когда свет отражается от зеркал: 1) движущихся навстречу одно дру-
гому; 2) удаляющихся одно от другого.
33-9. Плоское зеркало удаляется от наблюдателя со скоростью v вдоль
нормали к плоскости зеркала. На зеркало посылается пучок света
длиной волны 10 = 500 нм. Определить длину волны X. света, отражен-
ного от зеркала, движущегося со скоростью: 1) 0,2с (с — скорость
распространения электромагнитного излучения в вакууме), 2) 9 км/с.
33-10. Приемник радиолокатора регистрирует частоты биений меж-
ду частотой сигнала, посылаемого передатчиком, и частотой сигнала,
отраженного от движущегося объекта. Определить скорость г при-
ближающейся по направлению к локатору ракеты, если он работает
на частоте v0 = 600 МГн и частота Vj биений равна 4 кГц
33-11. Рассказывают, что известный физик Роберт Вуд, проехав од-
нажды на автомашине на красный евет светофора, "был остановлен
блюстителем порядка. Роберт Вуд, сославшись на эффект Доплера,
уверял, что он ехал достаточно быстро и красный свет светофора для
него изменился на зеленый. Оценить скорость v, с которой должна
была бы двигаться автомашина, чтобы красный сигнал светофора
(Xj = 650 нм) воспринимался как зеленый (Х2 = 550 нм)
33-12. Длины волн излучения релятивистских атомов, движущихся
по направлению к наблюдателю, оказались в два раза меньше, чем
соответствующие длины волн нерелятивистских атомов. Определить
скорость о (в долях скорости света) релятивистских атомов
33-13. Наиболее короткая длина волны X, в спектре излучения водо
рода равна 410 нм. С какой скоростью v должно удаляться от нас
скопление атомов водорода, чтобы их излучение оказалось вс л едет
Н*
323
вне эффекта Доплера 'за предела-
ми видимой части спектра. Граница
Видимой части спектра соответст-
вует длине волны Z2 = 760-нм.
33-14. На некотором расстоянии I
от’наблюдателя (рис. 33.1) прямо-
линейно со скоростью v — 0,6 о
движется источник радиоизлуче-
ния, собственная частота v0 кото-
рого равна 4 ГГц. .В каких преде-
лах изменяется частота v сигна-
ла, воспринимаемого наблюдате-
лем, если наблюдение ведётся в течение всего времени движения ис-
точника из положения 1 в положение 2? Углы указаны в системе от-
счета, связанной с наблюдателем.
Эффект Вавилова—Черенкова
33-15. Какой наименьшей скоростью v должен обладать электрон-
чтобы в среде с показателем преломления п = 1,60 возникло череп-
ковское излучение?
33-16. При какой скорости v электронов (в долях скорости света) че-
репковское излучение происходит в среде с показателем преломления
п = 1,80 под углом & = 20° к направлению их движения?
33-17. Найти наименьшую ускоряющую разность потенциалов Umin,
которую должен пройти электрон, чтобы в среде с показателем прелом-
ления п — 1,50 возникло черенковское излучение.
33-18.-Известно, что быстрые частицы, входящие в состав космичес-
кого излучения, могут вызывать эффект Вавилова—Черенкова в воз-
духе (п = 1,00029). Считая, что такими частицами являются электро-
ны, определить их минимальную кинетическую энергию (МэВ).
33-19. Электрон с кинетической энергией Т = 0,51 МэВ движется в
воде. Определить угол &, составляемый черепковским излучением с
направлением движения электрона..
33-20. Импульс релятивистского электрона равен тос. При каком ми-
нимальном показателе преломления лт1п среды уже можно наблю-
дать эффект Вавилова—Черенкова?
33-21. Мю- и пи-мезоны имеют одинаковые импульсы р = 100 МэВ/с.
В каких пределах должен быть заключен показатель преломления, п
среды, чтобы для р-мезонов черенковское излучение наблюдалось, а
для л-сезонов — нет.
ГЛАВА 7
КВАНТОВООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ. ФИЗИКА АТОМА
§ 34. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
Основные формулы
В данном параграфе использованы новые термины, рекомендовмные М«*
дународной организацией по стандартизации (ИСО) и Государстмаиым вошь
тетом СССР по стандартизации. В приведенной таблице укаааны нааммовмм
величин новые и соответствующие им прежние:
Новое, наименование Прежнее наименована*
Излучательность Облученность Спектральная плотность тельностн Сила излучения Лучистость Энергетическая светимость Энергетическая освещенность излуча- Спектральная плотность M«>r«nooi ской светимости Энергетическая сила света : Энергетическая яркость
1. Закон Стефана—Больцмана
/?е=<тТ\
где Re — излучательность абсолютно черного тела; Т — термодииамяческая
температура; о — постоянная Стефана—Больцмана (о = 5,67 • 10-• Вт/ (м*Ж
ХК4)].
2. Излучательность серого тела
Re = aro7'4, 1
где аг —коэффициент черноты (коэффициент излучения) серого тела.
3. Закон смещения Вина
где ?.га — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения)
b — постоянная закона смещения Вина (Ь = 2,90 • 1б~э м • К).
4. Формула 'Планка
2лйс2 I
eftc/(W)_ I *
Ли/ 1
• Г“’г = 4л® с« ’
где г , г _ — спектральные плотности излучательности абсолютно черного
Л» 7 <й, 7
тела; X — длина волны; <и — круговая частота; с —.скорость света в вакууме;
325
k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура; Л — посто-
янная Планка; ft = Л/ (2л) — постоянная Планка, деленная на 2л*.
5. Зависимость максимальной спектральной плотности излучательвости
от температуры
(fX r)max = ^-j
где С — постоянная [С = 1,30 i 10~S Вт/ (м3 < К6)].
Примеры решении задач'
1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что макси-
мум спектральной плотности излучательности соответствует длине
волны к — 500 вм Принимая Солнце за абсолютно черное тело, оп-
ределить: 1) излучателыюсть Rrt Солнца; 2) поток энергии Ф, излу-
чаемый Солнцем; 3) массу пг электромагнитных волн (всех длин),
излучаемых Солнцем за 1 с.
Решение. 1. Излучателыюсть Re абсолютно черного тела выража-
ется формулой Стефана—Больцмана:
Re = оГ. (1)
Температура излучающей поверхности может быть определена из
закона смещения Вина: Хт = ЫТ. Выразив отсюда температуру Т и
подставив ее в формулу (I), получим
/?е = о (&/Хт)*. (2)
Произведя вычисления по формуле (2), найдем'
Re = 64 ,МВт/м2.
2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению
излучательности Солнца на площадь S его поверхности: Ф = ReS,
или
Ф = 4№/?е, (3)
где г — радиус Солнца.
Подставив в формулу (3) значения л, г и Re и произведя вычисле-
ния, получим
Ф = 3,9 г 10ав Вт.
3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солн-
цем за время t = 1 с, определим, применив закон пропорционально-
сти массы и энергии Е = тс2. Энергия электромагнитных волн, из-
лучаемых за время /, равна произведению потока энергии Ф (мощно-
сти излучения) на время: Е = Ф/. Следовательно, Ф/ == тс2, откуда
т ~ (&tlc2.
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
т = 4 Тг.
_________
* Первоначально постоянной Планка называлась величина h = 6,63 X
X 10“34 Дж < с. Позднее портоянной Планка стали называть также величину
•fi=ft/2jt = 1,05 < Ю-®4 Дж-с. При дальнейшем изложении в данном пособии
все больше будет отдаваться предпочтение величине Д.
326
2. Длина волны A,m, на которую приходится максимум энергии в спект-
ре излучения абсолютно- черного тела, равна 0,58 мкм. Определить
максимальную спектральную плотность излучательности (г^. г)гаах.
рассчитанную на интервал длин волн ДХ = 1 нм, вблизи Хга.
Решение. Максимальная спектральная плотность излучательности
пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражает-
ся формулой %
{гк.Г)^СТ\ (1)
Температуру Т выразим из закона смещения Вина = Ь1Т, от-
куда Т = д/Кш.
Подставив полученное выражение температуры в формулу (1),
найдем
= ~~ (2)
В таблице «Основные физические постоянные* значение С дано в
единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн ДЛ = 1 м.
По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность
излучательности, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому
выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный
интервал длин волн:
С =1,30. • IO"5 Вт/(м® К5) = 1,30 • 10-» Вт/(м2 • м • К6) =»
= 1,30 • 10~14 Вт/ (м2 • нм • К»).
Вычисление по формуле (2) дает
(/>., т)тах = 40,6 кВт/(м-нм).'
Задачи
Закон Стефана—Больцмана
34-1.. Определить температуру Т, при которой излучательность /?в
абсолютно черного тела равна 10 кВт/м2.
34-2. Поток энергии Ф, излучаемый из смотрового окошка плавиль-
ной печи, равен 34 Вт. Определить температуру Т печи, если площадь
отверстия S = 6 см2.
34-3. Определить энергию излучаемую за время t = 1 мин из
смотрового окошка площадью S = 8 см2 плавильной печи, если ее
температура t = 1,2 кК.
34-4. Температура Т верхних слоев звезды Сириус равна 10 кК. Оп-
ределить поток энергии Ф, излучаемый с поверхности площадью
S = I км2 этой звезды.
34-5. Определить относительное увеличение излучательности
абсолютно черного тела при увеличении его температуры на 1%.
34-6. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температу-
ру абсолютно черного тела, чтобы его излучательность возрскла
в два раза?
, 327
34-7. Принимая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, вы.,
числить его излучательность Re и температуру Т его поверхности
Солнечный диск виден с Земли под углом О' = 32'. Солнечная постоян-
ная* С = 1,4 кДж/ (м2 • с).
34-8. Определить установившуюся температуру Т зачерненной ме-
таллической пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным
лучам вне.земч^й атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солн-
ца. Значение солнечной постоянной приведено в предыдущей задаче.
34-9. Принимая коэффициент черноты а7 угля при температуре Т —
= 600 К равным 0,8, определить: 1) излучательность, Re угля;
2) энергию W, излучаемую с поверхности угля площадью S — 5 см2
за время t = 10 мин.
34-10. С поверхности сажи площадью S = 2 см2 при температуре
Т — 400 К за время t = 5 мин излучается энергия W = 83 Дж. Оп-
ределить коэффициент' черноты ат сажи.
34-11. Муфельная печь потребляет мощность Р = 1 кВт. Температу-
ра Т ее внутренней поверхности при открытом отверстии площадью
S = 25 см2 равна 1,2 кК. Считая, что отверстие печи излучает как
абсолютно черное тело, определить, какая часть е мощности рассеи-
вается стенками.
34-12. Можно условно принять, что Земля излучает 'как серое теЛо,
находящееся при температуре Т = 280 К. Определить коэффициент
черноты ат Земли, если излучательность Ре ее поверхности равна
325 кДж/ (м2 - ч).
34-13. Мощность Р излучения шара радиусом R — 10 см при некото-
рой постоянной температуре Т равна 1 кВт. Найти эту температуру,
считая шар серым телом с коэффициентом черноты ат = 0,25.
Закон Вина. Формула Планка
34-14. На какую длину волны Хга приходится максимум спектраль-
ной плотности излучательности (гх, T)raax абсолютно черного тела при
температуре t = 0° С?
34-15. Температура Т верхних слоев Солнца равна 5,3 кК. Считая
Солнце абсолютно черным телом, определить длину волны Zm, кото-
рой соответствует максимальная спектральная плотность излучатель-
ности (/>, r)raax Солнца.
34-16. Определить температуру Т абсолютно черного тела, при кото-
рой максимум спектральной плотности излучательности (a, т-)тах
приходится на красную границу видимого спектра (Xj = 750 нм); на
фиолетовую (Х2 = 380 нм).
34-17. Максимум спектральной плотности излучательности (rKi 7-)гаах
яркой звезды Арктур приходится на длину волны Хга === 580 нм. При-
нимая, что звезда излучает как абсолютно черное тело, определить
температуру Т поверхности звезды.
* Солнечной постоянной называется величина; равная поверхностной плот-
ности потока энергии,- излучения Солнца вне земной атмосферы на среднем рас-
стоянищ,от Земли до Солнца.
328
34-18. Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела"
максимум спектральной плотности излучательности (/>,, 7jmax смес-
тился с Аг = 2,4 мкм на А2 = 0,8 мкм. Как и во сколько раз измени-
лись излучательность Re тела и максимальная спектральная плот-
ность излучательности?
34-19. При увеличении термодинамической температуры Т асболют-
но черного те% в два раза длина волны Ага, на которую приходится,
максимум спектральной плотности излучательности (а. г)тат. умень-
шилась на Д А = 400 нм. Определить начальную и конечную темпе-
ратуры 7\ и Т2.
34-20. Эталон единицы силы света — кандела — представляет собой
полный (излучающий волны всех длин) излучатель, поверхность ко-
торого площадью S = 0,5305 мм2 имеет температуру t затвердевания
платины, равную 1063°С. Определить мощность Р излучателя.
34-21. Максимальная спектральная плотность излучательности
(а, г)тах абсолютно черного тела равна 4,16 • 1011 . На какую
длину волны Аш оно приходится?
34-22. Температура Т абсолютно черного тела равна 2 кК. Опреде-
лить: 1) спектральную плотность излучательности г^.т для длины вол-
ны А = 600 нм; 2) излучательность Re в интервале длин волн от Ах =
— 590 нм до А2 = 610 нм. Принять, что средняя спектральная плот-
ность излучательности тела в этом интервале равна значению, най-
денному для длины волны А — 600 нм.
§ 35. ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ~
ЭФФЕКТ Основные формулы
1. Формула Эйнштейна в общем случае
e=ftv=^ + 7'maK, или йш = Л-Р7’тах,
где е — hv = Й<о — энергия фотона, падающего на поверхность* металла; А —
работа выхода электрона из металла; Гтах — максимальная кинетическая энер-
гия фотоэлектрона;
в случае, если энергия фотона много больше работы выхода (hv > Л),
= илн
2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в двух случая»
(нерелятивистском н релятивистском) выражается различными формулами:
а) если фотоэффект вызван фотоном, имеющим незначительную энергию
(Av = ftw < 5 кэВ), то
Лпах = 1/гто ьтах,
где т0 — масса покоя электррна;
б) если фотоэффект вызван фотоном, обладающим большой энергией
(hv = Лео > 5 кэВ),, то
7’твх = («—т0)с2, или 7’max = "JoC2 [-_ — 1 ],
где Р = vmaxlc, m — масса релятивистского электрона.
329
8. Красная граница фотоэффекта
Х0=/ц:/Л, или Л0»=2лЛв/Л; Л/Л, или га0 = Л/Л/
где Хо — максимальная длина волны излучений (v0 и ю0 — минимальные соот-
иетственно частота и круговая частота), при которых еще возможен фотоэффект.
% | Примеры решения задач
I. Определить максимальную скорость о,пах фотоэлектронов, выры-
ваемых с поверхности серебра: I) ультрафиолетовым излучением в
длиной волны 1, *= 0,155 мкм: 2) у — излучением о длиной волны
Х.а = 2,47 пм.
Решение. Максимальную скорость фотоэлек фонов определим иа урав-
нения Эйнштейна для фотоэффекта
'• = + Т,,^. (1)
Энергия фотона вычисляется по формуле в = WX. работа выхо-
да А указана в табл. 22; для серебра А — 4,7 эВ
Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, ка-
кая скорость ему сообщается, может быть выражена или по класси-
ческой формуле
7 = (2)
или по релятивиетской
Т = (/л — т„)А (3)
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фо-
тоэффект: если энергия фотона и много меньше энергии покоя элект-
рона Еп, то может быть применена формула (2); если же в сравнима
по размеру « Ео, го вычисление по формуле (2) приводит к грубой
ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необхо-
димо выражать по формуле (3)
I. В формулу энергии фотона в =* WA подставим значения вели,
чин Л, о и А и, произведя вычисления, для ультрафиолетового излу-
чения получим
8, = 1,28 аДж = 8 эВ.
Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электро^
на (0,51 МэВ) Следовательно, для данного случая максимальная ки-
нетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена
по классической формуле (2) е, = А 4- откуда
V 2 - А)/то д4)
Выпишем вёличины. входящие в формулу (4);
в, = 1,28 • 10*ь Дж (вычислено выше);
А =,4,7 эВ = 4,7 • 1,6 - IO-lf Дж = 0,75 - Ю"18 Дж;|
т0 = 9,11 • 10~8‘ кт (см. табл. 25).
ззо
Подставив числовые значения в формулу (4), найдем максималь-
ную скорость:
°шаз — 1 >08 Мм/в.
2. Вычислим теперь энергию фотона у-излученияз
%е2 — hofh3 = 8,04 фДж == 0,502 МэВ.
Работа выхода электрона (А — 4,7 эВ) пренебрежимо мала по срав-
нению а энергией у-фотона, поэтому можно принять, что максималь
ная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:
^тах ~ ^1 — 0,502 МэВ
Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравни-
ма в его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона
следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии Т =
= £о^^7===—1J, где Ео — товК Выполнив преобразования
найдем
R = У(2Е0 + Т)Т/{Е0 ф- П’
Сделав вычисления, получим
₽ = 0,755.
Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых
у-излучением.
°тах = = 226 Мм/С.
2. Определить красную границу фотоэффекта для цезия, если при
облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны 1 =
= 400 нм максимальная скорость oraaj фотоэлектронов равна
0,65 Мм/в.
Решение. При облучении светом, длина волны которого соответст-
вует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и ки
нетичесиая энергия фотоэлектронов равны нулю Поэтому уравне-
ние Эйнштейна для фотоэффекта а = А 4- Т в случае красной грани-
цы запишется в виде
е = А, или *= А.
К
Отсюда
9bfll -= WA. (1)
Работу выхода для цезия определим в помощью уравнения Эйн
штейна;
(2)
л
ч
831
. Выпишем числовые значения величин, выразив их в СИ: h =
6,62 • 10~84‘Дж - с; с = 3 • 10s м/с; к = 400 нм = 4 • 10~7 м;
т = 9,11 • 10-31 кг; v — 6,5 • 105 м/с. Подставив эти значения ве-
личин в формулу (2) и вычислив, получим
А = 3,05 • 10-19 Дж = 0,305 аДж.
Для определяя красной границы фотоэффекта подставим значе-
ния A, h исв формулу (1) и вычислим:
Хо=640 нм.
Задачи
35-1. Определить работу выхода А электронов из натрия, если крас-
ная граница фотоэффекта Хо = 500 нм.
35-2 Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность сереб-
ра направить ультрафиолетовое излучение с длиной волны X =
= 300 нм?
35-3, Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырыва-
ния фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта = 307 нм
и максимальная кинетическая энергия Ттах фотоэлектрона равна
1 эВ?
35-4. На поверхность лития падает монохроматический свет (X =
= 310 нм). Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить
задерживающую разность потенциалов U не менее 1,7 В Определить
работу выхода А.
35-5. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультра-
фиолетовым светом платиновой пластинки, нужно приложить задер-
живающую разность потенциалов Ux =3,7 В. Если платиновую плас-
тинку заменить другой пластинкой, то задерживающую разность по-
тенциалов придется увеличить до 6 В. Определить работу А выхода
электронов с поверхности этой пластинки. '
35-6. На цинковую пластинку падает монохроматический свет в дли-
ной волны X — 220 нм. Определить максимальную скорость фо-
тоэлектронов.
35-7. Определить длину волны X ультрафиолетового излучения, па-
дающего на поверхность некоторого металла, ври максимальной ско-
рости фотоэлектронов, равной 10 Мм/с. Работой выхода электронов из
металла пренебречь.
35-8. Определить максимальную скорость птах фотоэлектронов, выле-
тающих из металла 'под действием у-излучения с длиной волны
X = 0,3 нм.
35-9. Определить максимальную скорость т'тах фотоэлектронов, вы-
летающих из металла при облучении у-фотонами с энергией е = 1,53
МэВ.
35-10. Максимальная скорость ь'тах фотоэлектронов, вылетающих из
металла при облучении его у-фотонами, равна 291 Мм/с. Определить
энергию в у-фотонов.
332
§ Зв.|ДАВЛ ЕНИЕ СВЕТА. ФОТОНЫ Основные формулы
1. Давление, производимое светом при нормальном падении,
Ее "
р=---- (1-рр), пли p = w(l+p),
с
где Ее — облученность поверхности; с — скорость электромагнитного шлуче-
ния в вакууме; w — объемная плотность энергии излучения; р — ковффвцивит
отражения.
2. Энергия фотона
B—hv=hc/h, или e=»ft<n, .
где h — постоянная Планка; ft = hl (2л); v — частота светя, » — крутоэм
частота; X — длина волны.
3. Масса и импульс фотона выражаются соответственно формулами
eft .ft
~аяр~тс-Т'
Примеры решения задач'
1. Пучок монохроматического света с длиной волны X = 663 нм па-
дает нормально на зеркальную плоскую' поверхность. Поток энергии
Ф = 0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой по-
верхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время t
= 5 с.
Решение. Сила светового давления на поверхность равна произведе-
нию светового давления р на площадь S поверхности: -
F = pS. (1)
Световое давление может быть найдено по формуле'
р=Ее(р+1)/с (2)
Подставляя выражение (2) давления света в формулу (1), получим
F«M(p+l). , (3)
С
Так как произведение облученности Ее на площадь S поверхности
равно потоку Ф энергии излучения, падающего на поверхность, то со-
отношение (3) можно записать в виде
f=T-(p+D-
С-
После подстановки значений Ф и с с учетом, что р = 1 (поверхность
зеркальная), получим
333
F == 4 нН.
Число N фотонов, падающих за время Д/ на поверхность, опреде-
ляется по формуле
N = Д>/я = ФД//8,
где Д U7 — анергия излучения получаемая поверхностью за время ДЛ
Выразив в этой формуле энергию фотона через длину волны
(8 = ha'K) получим
% N = <Dkht/(hc). '
Подставив в этой формуле числовые значения величин, найдем
N = 10*’* фотонов
2. Параллельный пучок света длиной волны к = 500 нм падает нор-
мально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа.
Определить: 1) концентрацию п фотонов в пучке; 2) число пг фотонов,
падающих на поверхность площадью 1 м? за время 1 в.
Решение. 1. Концентрация п фотонов в пучке может быть найдена,
как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию е
одного фотона:
п = w/я. (1)
Из формулы р = w (I + р), определяющей давление евета, где
р — коэффициент отряжения, найдем
® = р/(р+1) (2)
Подегав и в выражение для w из уравнения (2) в формулу (1), полу-
чим
(3)
п = —-
<₽4-0
Энергия фотона зависит от частоты v, а следовательно, и от длины
световой волны X:
(5)
в « hv — ЬсГК (4)
Подставив выражение для энергии фотона в формулу (3), опреде-
лим искомую концентрацию фотонов:
(р + h he
Коэффициент отражения р для зачерненной поверхности принима-
ем равным нулю.
Подставив числовые значения в формулу (Б), получим
п - 2,52-1618 м-8.
2. Число пх фотонов, падающих на поверхность площадью 1
за время I с, найдем из соотношения пх = /V/(£/), где /V — число фото-
нов, падающих за время / на поверхность площадью S. Но N = ncSt,
следовательно,
Подставив сюда значения п и о, получим
П1 = 7,56» 10?1 Л
334
37-11. Энергия е падающего фотона равна энергии покоя электрона
Определить долю w1 энергии падающего фотона, которую сохранит рас
сеянный фотон, и долю о>2 этой энергии, полученную электроном отда
чи, если угол рассеяния 6 равен: I) 60°; 2) 90°; 3) 180\
§ АТОМ ВОДОРОДА
ПО ТЕОРИИ БОРА
Основные формулы
1; Момент импульса электрона на стационарных орбитах*
L = mvr => nh (п => 1, 2, 3, ...),
где т — масса электрона; г — радиус орбиты; о — скорость электрона на орби
те; п — главное квантовое число; Л — постоянная Планка.
2, Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одной
стационарного состояния в другое,
е = 2лЛШ=£^-Е„1, ’
где со — круговая частота излучения; ЕП) и ЕП1 —энергии атома в стационар
них состояниях, соответственно из которого атом переходит и в которое он пе
реходит, или
e~Et(—-----— ),
\ п, п., )
где Ei — энергия ионизации** атома водорода.
3. Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,
F_ — те“
п=“ 32л» к? Л2 п2 '
4. Сериальная формула, определяющая длину волны светя, излучаемого
или поглощаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на
другую.
£_\
«I/’
где R' — постоянная Ридберга (/?' = 1,10 . Ю7 м“*).
г-*'
Примеры решения задач -
1. Вычислить радиув первой орбиты атома водорода (боровский ради
• ус) и скорость электрона на этой орбите.
Решение. Согласно теории Бора, радиус г электронной орбиты и ско
рость v электрона на ней связаны равенством mvr — nh Так как в за
• Бор исходил из предположения; что электроны обращаются по круговым
орбитам./ Зоммерфельд дополнил теорию Бора введением эллиптических орбит
Современная физика отказалась от представления об электронных орбитах Вме-
сто орбит введено понятие об энергетические уровнях атома. При этом номера
уровней совпадают с номерами воровских орбит. Одиако в целях наглядности
иногда пользуются термином «орбита» Подробнее см в § 47
** Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах; равна потенциалу
ионизации; выраженному в вольтах Потенциалом ионизации называется уско-
ряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирующий
электрон; чтобы приобрести кинетическую энергию; достаточную для иониза
ции атома
33
§ 37. ЭФФЕКТ КОМПТОНА
Основные формулы
1. Изменение длины волны ДХ фотона при рассеянии его на электроне на
угол 0
2лД 2лЛ 6
АХ = Х'—X =------(1—cos6), или ЛХ=2 - sin2 —
тс тс 2
где т — масса электрона отдачи; X и X' — длины волн.
2. Комптоновская длина волны
Хс= 2nft/(mc).
(При рассеянии фотона на электроне Хс = 2,436 пм).
Примеры решения задач
1. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с элект-
роном был рассеян на угол 0 = 90°. Энергия е' рассеянного фотона
равна 0,4 МэВ. Определить энергию е фотона до рассеяния.
Решение. Для определения энергии первичного фотона воспользуемся
формулой Комптона в виде
V—Х = 2—sin2—, (1)
тс 2
Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) выразим длины
волн Г и X через энергии е' и е соответствующих фотонов, воспользо-
вавшись соотношением е — 2nhcl'K‘, 2) умножим числитель и знамена-
тель правой части формулы на с. Тогда получим
2лйс 2лЛс 2лйс 2 sin2 ®
е' е тс2 2
Сократив на 2зхйс, выразим из этой формулы искомую энергию:
е =_____ (2)
тс2—в' -2sin2 (0/2) Ев—2е' sin2(0/2) ’
где Ео = тс2 — энергия покоя электрона.
Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных едини-
цах. Взяв из таблицы 25 значение энергии покоя электрона в мега-
электрон-вольтах и подставив числовые данные, получим
е = 1,85 МэВ.
2. Фотон с энергией е = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне
под углом 0 = 60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс
>лектрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, опреде-
лить: 1) энергию е' рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т
электрона отдачи; 3) направление его движения.
336
Решение. 1. Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись
формулой Комптона:
^-(l—cos0).
тс
Выразив длины волн X' и X через энергии е' и е соответствующих
Ьотонов, получим
2лПс 2лЛс 2лЛ
=--- (1 —СО 0).
е' е-тс
Разделим обе части этого равенства на 2лйс: 4------ = !—. От-
г е е тс2
сюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона тс2 через £0,
найдем
е' =-----------------« (1)
(е/£„) (I - cos 6) +1
Подставив числовые значения величин, получим
е' = 0,43 МэВ.
2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из за-
кона сохранения энергии, равна разности между энергией е падающего
фотона и энергией е' рассеянного фотона:
Т = е — е' = 0.32 МэВ.
3. Направлениедвижения электрона от'
дачи найдем, применив закон сохранения
импульса, согласно которому импульс па-
дающего фотона р равен векторной сумме
импульсов рассеянного; фотона р' и элек-
трона отдачи mv.
р = р' + mv.
Векторная диаграмма импульсов изображена на рис. 37.1. Все век-
торы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударе-
ния с фотоном. Угол q> определяет направление движения электрона
отдачи.
Из треугольника OCD находим
| CD I jC/llsinO
tg (р — Д-L —---------- ИЛИ
| OD | | 0/11 —I СЛ I cos 0
. р' sin 0 sin 0
tg ф = —t;----------------.
р — p'cosO р/р'—cos 0
Так как р = е/с и р' = е'/с, то
tgT- ,.Slnq-,r (2>
«/8 —г COS 0
337
Преобразуем формулу (2) так, чтобы угол ф выражался непосред-
ственно через величины е и 0, заданные в условии задачи. Из формулы
(1) следует
А_ = J_(l-cose) + l.
е Ел
Заменим в формуле (2) соотношение е/е' по формуле (3):
sin 6
tg <р ----------------------------------.
d+e/E0)(l— cos 6)
Учитывая, что sin 0 = 2 sin (0/2) cos (0/2) и 1 — cos 0 = 2 sin2 (0/2),
после соответствующих преобразований получим
1 +е/Е0
После вычисления по формуле (4) найдем tg<p = 0,701, откуда
<р = 35е.
(3)
(4)
Задачи
37-1. Рентгеновское излучение длиной волны X = 55.8 пм рассеива-
ется плиткой графита (комптон-эффект). Определить длину волны А*
света, рассеянного под углом 0 = 60° к направлению падающего пуч-
ка света.
37-2. Определить максимальное изменение длины волны при компто-
новском рассеянии: 1) на свободных электронах; 2) на свободных про-
тонах.
37-3. Определить угол 0 рассеяния фотона, испытавшего соударение со
свободным электроном, если изменение длины волны ДА при рассея-
нии равно 3,62 пм.
37-4. Фотон с энергией е = 0,4 МэВ рассеялся под углом 0 = 90е на
свободном электроне. Определить энергию е' рассеянного фотона и
кинетическую энергию Т электрона отдачи.
37-5. Определить импульс р электрона отдачи при эффекте Комптона,
если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян
на угол 0 = 180°.
37-6. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона приходится
на электрон отдачи, если фотон претерпел рассеяние на угол 0 = 180°?
Энергия е фотона до рассеяния равна 0,255 МэВ.
37-7. Фотон с энергией е = 0,25 МэВ рассеялся на свободном элект-
роне. Энергия е' рассеянного фотона равна 0,2 МэВ. Определить угол
рассеяния 0.
37-8. Угол рассеяния 0 фотона равен 90°. Угол отдачи ф электрона ра-
вен 30°. Определить энергию е падающего фотона.
37-9. Фотон (А = 1 пм) рассеялся на свободном электроне под углом
0 = 90е. Какую долю своей энергии фотон передал электрону?
37-10. Длина волны А фотона равна комптоновской длине Ас элект-
рона. Определить энергию е и импульс р фотона.
338
37-11. Энергия е падающего фотона равна энергии покоя электрона.
Определить долю энергии падающего фотона, которую сохранит рас-
сеянный фотон, и долю w2 этой энергии, полученную электроном отда-
чи, если угол рассеяния 6 равен: 1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.
§ 38. АТОМ ВОДОРОДА
ПО ТЕОРИИ БОРА
Основные формулы
1. Момент импульса электрона на стационарных орбитах*
L = mvr = nh (и = 1, 2, 3, ...),
где т — масса электрона; г — радиус орбиты; о — скорость электрона на орби-
те; п — главное квантовое число; h — постоянная Планка.
2. Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одного
стационарного состояния в другое,
е = 2лЛсо = Е — Е„ ,
где со —круговая частота излучения; Еп и Еп —энергии атома в стационар-
ных состояниях, соответственно из которого атом переходит и в которое он пе-
реходит, или
8_ e.(_L__L)
\ «1 «2 /
где Et — энергия ионизации** атома водорода.
3. Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,
те4
Еп — —--------------.
32л2 ej ft2 п2
4. Сериальная формула, определяющая длину волны света, излучаемого
или поглощаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на
другую,
где R' — постоянная Ридберга (/?' = 1,10 < 107 м-1).
Примеры решения задач
1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский ради-
ус) и скорость электрона на этой орбите.
Решение. Согласно теории Бора, радиус г электронной орбиты и ско-
рость v электрона на ней связаны равенством mvr = nh. Так как в за-
* Бор исходил из предположения, что электроны обращаются по круговым
орбитам. Зоммерфельд дополнил теорию Бора введением эллиптических орбит.
Современная физика отказалась от представления об электронных орбитах. Вме-
сто орбит введено понятие об энергетических уровнях атома. При этом номера
уровней совпадают с номерами боровских орбит. Однако в целях наглядности
иногда пользуются термином «орбита».' Подробнее см. в § 47.
** Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах, равна потенциалу
ионизации, выраженному в вольтах. Потенциалом ионизации называется уско-
ряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирующий
электрон, чтобы приобрести кинетическую энергию, достаточную для иониза-
ции атома.
339
даче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите,
то главное квантовое число п = Г и равенство примет вид
mvr = Й. (Г)
.Для определения двух неизвестных величин г и v необходимо еще
одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравне-
нием движени1Щэлектрона. Согласно теории Бора, электрон вращается
вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими за-
рядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ус-
корение. На основании вто-
рого закона Ньютона можем
записать
mtfl 1 е®
г 4ле< г2
(епт — заряд и масса элек-
трона), или
mv2 = —!----— . (2)
4ле(, г
Совместное решение равенств
(1) и (2) относительно г дает
Рис- 38л г = 4 ле0Й2/(те2).
Подставив сюда значения й, е, т и произведя вычисления, найдем бо-
ровский радиус:
Г, = о = 5,29-10-11 м.
Из равенства (1) получим выражение скорости электрона на первой
орбите:
v — h/(mr).
Произведя вычисления по этой формуле, найдем '
.. v == 2,18 Мм/с.
- 2. Определить энергию е фотона, соответствующего второй линии в
первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода
Решение. Энергия е фотона, излучаемого атомом водорода при перехо-
де электрона с одной орбиты на другую.
где Et — энергия ионизации атома водорода; nt => 1,2,3,... — номер
орбиты, на которую переходит электрон (рис. 38.1); пъ — пг +1;
rtj + 2; ...; пг + т — номер орбиты, с которой переходит электрон;
т — номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена
= 3; для второй линии этой серии т = 2. = п, + т = 34-2=5.
Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:
е=0,97 эВ.
340
Задачи
38-1. Вычислить радиусы г2 и г3 второй и третьей орбит в атоме водоро-
да.
38-2. Определить скорость v электрона на второй орбите атома водо-
рода. %
38-3. Определить частоту f вращения электрона на второй орбите ато-
ма водорода:
38-4. Определить потенциальную П, кинетическую Т и полную Е
энергии электрона, находящегося, на первой орбите атома водорода.
38-5. Определить длину волны Л, соответствующую третьей спектраль-
ной линии в серии Бальмера.
38-6. Найти наибольшую Хгаах и наименьшую Xmln длины волн в пер-
вой инфракрасной серии спектра водорода (берии Пашена).
38-7. Вычислить энергию е фотона, испускаемого при переходе элект-
рона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый.
38-8. Определить наименьшую 8^1п и наибольшую ешах энергии фо-
тона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана).
38-9. Атомарный водород, возбужденный светом определенной длины
волны, при переходе в основное состояние испускает только три спект-
ральные линии. Определить длины волн этих линий и указать, каким
сериям они принадлежат.
38-10. Фотон с энергией е = 16,5 эВ выбил электрон из невозбужден-
ного атома водорода. Какую скорость v будет иметь электрон вдали о?
ядра атома?
38-11. Вычислить, длину волны X, которую испускает ион гелия Нё+
при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать
такой же подсчет для иона лития Li++.
38-12. Найти энергию Et и потенциал Ut ионизации ионов Не+ и Li++.
38-13. Вычислить частоты и /2 вращения электрона в атоме водорода
на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой v из-
лучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту.
38-14. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света в
длиной волны X = 121,5 нм. Определить радиус г электронной орби-
ты возбужденного атома водорода.
38-15. Определить первый потенциал Ux возбуждения атома водорода.
8 " ptT™s | о-—
1. Коротковолновая граница Хга1п сплошного рентгеновского спектра
2лЛс
Zmln
где е — заряд электрона; U — разность потенциалов, приложенная к рентге-
новской трубке; Й — постоянная Планка.
2. Закон Мозли в общем ’ случае’
<о = CR (Z — о)3, •
Л
341
г ле го — частота Линий рентгеновского спектра; Z — атомный номер елемента,
излучающего этот спектр; R — постоянная * Ридберга (R = 2,07 - 10~16 с-1);
о — постоянная экранирования; С — постоянная.
Закон Мозли для Ка-линий (о = 1, С = 3/4
гок ip, или —=*fsR4Z— 1)»
а
где R’ — штрихованная постоянная Ридберга (/?'= 1,10 . 10’ м-1); Д =й—• ”
А 2аа
волновое число*,
3. Энергия фотона Ка-линии рентгеновского излучения
ека = а/*£Н2-1>1!.
гле £| — энергия ионизации атома водорода.
Пример решения задачи '
Определить длину волы кКа и энергию e«a фотона Аа-линии рентге-
новского спектра излучаемого вольфрамом при бомбардировке его
быстрыми электронами
Решение. При бомбардировке вольфрама быстрыми электронами воз-
никает рентгеновское излучение, имеющее линейчатый «пектр Быст-
рые электроны, прони-
кая внутрь электронной
оболочки атома, выби-
вают электроны, при-
надлежащие электрон-
ным слоям Ближайший
к ядру электронный
слой (A-слой) «одержит
два электрона Если
один из этих электронов
оказывается выбитым за
пределы атома, то на
освободившееся место
переходит электрон из
вышележащих «лоев (А,
М, N) При этом возни-
кает соответствующая линия А-еерии. При переходе электрона о
A-слоя на К слой излучается наиболее интенсивная Ка-линия рентге-
новского спектра (рио. 39.1)
Длина волны этой линии определяется по закону Мозли; А'х
лко 4
X (2 — 1)‘4, откуда
j ________________________________4____
Л’“ 3/?’ (7- В» ’
Волновое число, равное 1/Х; не следуег путать о волновым ппггтлм S —
= 2лА = а!о.
342
Подставив сюда значения Z (для вольфрама Z = 74) и /?', найдем
ККа = 2,28. IO"11 м = 22,8 пм.
г
8ная длину волны, определим энергию фотона по формуле
еЛа = 2лАс/Х.
Подставив в эту формулу значения Л, о, hKa и произведя вычисле-
ния, найдем
ексг = 54,'1 кэВ:
Заметим, что энергию фотона a-линии К -серии рентгеновского из-’
лучения можно определить также непосредственно по формуле вк =я
= д приведенной в начале параграфа (см. п. 3).
Задачи
39-1. Определить скорость о электронов, падающих на антикатод
рентгеновской трубки, если минимальная длина волны lmlD в сплош-
ном спектре рентгеновского излучения равна 1 пм.
39-2. Определить коро1коволновую границу 1Ш1П сплошного спектра
рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает под
напряжением U = 30 кВ.
39-3 Вычислить наибольшую длину волны Лтах в К-серии характе-
ристического рентгеновского спектра скандия
39-4. При исследовании линейчатого рентгеновского спектра некоторо-
го элемента было найдено что длина волны X линии Ка равна 76 пм
Какой это элемент?
39-5 Какую наименьшую разность потенциалов (/т1п нужно прило-
жить к рентгеновской трубке, антикатод которой покрыт ванадием
(Z = 23), чтобы в спектре рентгеновского излучения появились все
линии К-серии ванадия? Граница /<-серии ванадия Х=226 пм.
39-6 Определить энергию е фотона, соответствующего линии Ка в ха-
рактеристическом спектре марганца (7 — .25).
39-7 В атоме вольфрама электрон перешел с М-слоя на 6-елой. При-
нимая постоянную экранирования о равной 5,5. определить длину вол-
ны К испущенного фотона.
39-8 Рентгеновская трубка работает под напряжением U.= 1 МВ.
Определить наименьшую длину волны А,п10 рентгеновского излуче-
ния.
39-9. Вычислить длину волны А и энергию е фотона, принадлежащего
Ка-линии в спектре характеристического рентгеновского излучения
платины
39-10 При каком наименьшем напряжении (7mln на рентгеновской
трубке начинают появляться линии серии Ка меди?
343
§ 40. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
Основные формулы
- 1. Формула-де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом р
движущейся частицы, для двух случаев:
а) в классическом приближении (v с; р = rnbv)
K=2nh/p;
б) в релятивистском случае (скорость у частицы сравнима
света в вакууме; р = mv = /поц/"|/ 1 — г,'2/с2).
2лй _ ,---------
X =-----Д/1 — ц2/с2.
- tnDv
2. Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией
в классическом приближении X == 2nfl/'V2m()T;
в релятивистском случае К — 2лйс/Т/Т (Т + 2£0),
где Ев — энергия покоя частицы (£0 = т0с2).
со скоростью с
Т частицы:
Примеры решения задач
1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел
ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля
% для двух случаев: 1) Ur = 51 В; 2) £72 = 510 кВ.
Решение. Длина волны де Бройля X частицы зависит от ее импульса
р и определяется формулой,
1 ~ 2nh/p. (1)
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетичес-
кая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для нереля-
тивнстского (когда Т Ео) и для релятивистского (когда Т ж Ео)
случаев соответственно выражается формулами
р = (2) и p = — l^t2E0 + T) Т- (3)
с
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответствен-
но в нерелятивистском и релятивистском случаях:.
* 2ttfl I л\ 2лй /с\
Х = — ; (4) Х =--------- » (5)
V2mt,T (1/с)1/ (2Е0+Т)Т
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в
условии задачи разности потенциалов Ul = 51 В и U2 — 510 кВ, с
энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, ко-
торую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины
волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего уско-
ряющую разность потенциалов U,
Т=\е\ U.
344
В .первом случае Т, = | е J Ut = 51 эВ = 0,51 • 10~4 МэВ, - что
много меньше энергии покоя электрона Ео = /л(1с2 = 0,51 МэВ, Сле-
довательно, можно применить формулу (4).
Для упрощения расчетов заметим, что 7\ = 10-4 ш0с2. Подста-
вив это выражение в формулу (4), перепишем, ее в виде
« 2лй 102 2л Й
—------ ----------------ZZ* -- а
, • 1/2т0-10~4т,|С2 1/2 -тос .
Учтя, что есть комптоновская длина волны Ас, получим
... - ^-(Ю2//^.,
Так как кс = 2,43-10~12 м, то
= — -2,43.10-^ м = 172 пм.
V2
Во втором случае кинетическая энергия Т2 = |г|С/2 = 510 кэВ «
= 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, не-
обходимо применить релятивистскую формулу (5).
Учтя, что Т2• = 0,51 МэВ = ш0с2, по формуле (5) найдем
__ 2л/2 2jt/Z
Л2 — ““j ------, — — --------------- , ИЛИ .
— 1/(2гпд с2 + т0 с2) от,, с2 т<> с ' 1/3
с
Подставив значение А.с в последнюю формулу и произведя вычисления,
получим
Z2 = 1,4 пм.
2. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок
электронов, имеющих скорость v = 3,65 Мм/с. Учитывая волновые
свойства электронов, определить расстояние х между двумя максиму-
мами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полу-
ченной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели.
Решение. Согласно гипотезе де Бройля, длина волны Z., соответствую-
щая частице массой т, движущейся со скоростью v, выражается фор-
мулой
X — 2лЙ/(/ло). (1)
Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблю-
дается при условии
asintp = (2 /? 4- 1) (л/2), (2)
где k = 0,1, 2, 3, ... — порядковый номер максимумов: а — ширина
щели.
Для максимумов первого порядка (k = 1) угол <р заведомо мал, по-
этому sin <р = <р, и, следовательно, формула (2) примет вид .
‘ а<р = s/zZ., (3)
345
а искомая величина х, как следует из рис. 40.1,
х = 2Ъ tg <р = 2Лф, (4)
так как tg «р = <р.
Подставив значение <р из соотношения (3) в формулу (4), получим
x = 2L — — = 3 — .
2 а а
Подстановка в последнее равенство
длины волны де Бройля по формуле
(1) дает
nhL
х=6-----»
amv
После вычисления по формуле (5)
получим
х — 6* Ю"® м — 60 мкм.
3. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электро-
нов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения •& изменяется.
Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное от-
ражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму
первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостя-
ми кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля Я
электронов и их скорость v.
Решение. К расчету дифракции электронов от кристаллической решет-
ки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое исполь-
зуется в случае рентгеновского излучения (см. §31):
2 d sin О = Кк,
где d — расстояние между атомными плоскостями кписталла; й —
угол скольжения; k — порядковый номер дифракционною максимума;
X — длина волны де Бройля. Очевидно, что
X = (2 d sin й)//г.
Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим
к = 360 пм.
Из формулы длины волны де Бройля Л = выразим скорость
электрона:
v — 2 лЙ/(п?Х).
Подставив в эту формулу значения л, Й, т (масса электрона), Л и
произведя вычисления, найдем
v = 2 Мм/с.
346
Задачи
40-1. Определить длину волны де Бройля X, характеризующую вол-
новые свойства электрона, если его скорость v == I Мм/с. Сделать
такой же подсчет для протона.
40-2. Электрон движется со скоростью v = 200 Мм/с. Определить дли-
ну волны де Бройля X, учитывая изменение массы электрона в зависи-
мости от скорости
40-3. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти
электрон, чтобы длина волны де Бройля Я была равна 0,1 нм?
40-4. Определить длину волны де Бройля Л электрона, если его кине-
тическая энергия Т = 1 кэВ.
40-5. Найти длину волны де Бройля X протона, прошедшего ускоряю-
щую разность потенциалов (У: 1) кВ; 2) I МВ.
40-6. Найти длину волны де БройляХ для электрона, движущегося по
круговой орбите атома водорода; находящегося в основном состоянии.
40-7. Определить длину волны де Бройля X электрона, находящегося
. ч на второй орбите атома водорода.
40-8. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де
Бройля "К электрона равна его комптоновской длине волны Хе?
40-9. Определить длину волны де Бройля Л электронов, бомбардирую-
щих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рент
геновского спектра приходится на длину волны X — 3 нм.
40 10. Электрон движется по окружности радиусом г — 0,5 см в од-
нородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину
волны де Бройля X электрона.
40-11. На грань некоторого кристалла под углом а = 60° к ее поверх-
ности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одина-
ковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испыты
вают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние d
между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм.
40-12. Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой
скоростью V — 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью
шириной а — ( мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и
образуют дифракционную картину на экране, расположенном на рас-
стоянии I = 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Оп-
ределить линейное расстояние х между первыми дифракционными ми
нимумами
40-13. Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность по
тенциалов U = 30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота,
проходит через него и рассеивается. На фотопластинке, расположен
ной за листком на расстоянии / = 20 см от него, получена дифракцион
ная картина, состоящая из круглого центрального пятна и ряда кои
центрических окружностей. Радиус первой окружности г = 3,4 мм
Определить: I) угол О отражения электронов от микрокристаллов зо -
лота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверх
ногти кристалла); 2) длину волны де Бройля X электронов; 3) постоян
ную и кристаллической решетки золота, х "
347
ГЛАВА 8
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ,
формулы
§ 41. СТРОЕНИЕ АТОМНЫХ ЯДЕР.
РАДИОАКТИВНОСТЬ
1. Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом!
Z*.
где X — символ химического элемента; Z — атомный номер (число протонов в
' ядре); А — массовое число (число нуклонов в ядре). Число N нейтронов в ядре
равно разности Д — Z.
2. Основной закон радиоактивного распада
N =N0 e-X1,
где А/ — число иераспавшихся атомов в момент времени t; No — число, нерас-
павшихся атомов в момент, принятый за начальный (при t = 0); е — основание
натуральных логарифмов; X — постоянная радиоактивного распада.
3. Период полураспада — промежуток времени, за который число не-
распавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада связан с по-
стоянной распада соотношением
In 2 0,693
А “ А
4. Число атомов, распавшихся за время t,
AN= Ne—N=NB(l — e~Kt).
Если промежуток времени Д/ 7’t/g,^ro для определения числа распавших-
ся атомов можно применять приближенную формулу
ДА/ ~ ^NAt.
б. Среднее время жизни т радиоактивного ядра — промежуток времени,
за который число иераспавшихся ядер уменьшается в е раз:
т = 1/А.
6. Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,
N = (т/Л1)Ад,
где m — масса изотопа, М — его'молярная масса; NА — постоянная Авогадро.
7. Активность А нуклида в радиоактивном источнике (активность изотопа)
есть величина, равная отношению числа dN ядер, распавшихся в изотопе, к
промежутку времени dZ, за которое произошел распад. Активность определяет-
ся по формуле
или после замены W по основному закону радиоактивного распада
A —
348
Активность изотопа в начальный момент времени (/ = 0)
Ав=ХЛ'о.
Активность изотопа изменяется со временем по тому же закону, что и чис*
ло нераспавшихся ядер:
А = Д е~и.
8. Массовая активность а радиоактивного источника есть величина, равная
отношению его активности А к массе т этого источника, т. е.
, а = Alm.
9. Если имеется смесь ряда радиоактивных изотопов, образующихся один
из другого, и если постоянная распаДа К первого члена ряда много меньше по-
стоянных всех остальных членов ряда, то в смеси устанавливается состояиие
радиоактивного равновесия, при котором активности всех членов ряда равны
между собой:
Л'1== Х2 N2 = ... = Nk.
Примеры решения задач *
Г. Определить начальную активность Ао радиоактивного магния
27Mg массой т = 0,2 мкг, а также активность А по истечении времени
t = 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.
Решение. Начальная активность изотопа
A0=bN0, _ (1)
где* Z. — постоянная радиоактивного распада; Nn — количество ато-
мов изотопа в начальный момент (1 = 0).
Если учесть, что , Nn = — Ад, то формула (1) примет вид
1 1/2 М
До = ^-г1П2,- (Щ
Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вы-
числения:
А„ = 5.15-1012 Бк = 5,15 ТБк.
Активность изотопа уменьшается со временем по закону
А = Лое-Ч (Э)
Заменив в формуле (3) постоянную распада X ее выражением, по-
. луч!&1
А = Лое-,п 2 i/r>/2 = А (е,п 2)-,/г’/2.
Так как е,п2 = 2, то окончательно будем иметь
А = А0/2'/г,/2.
Сделав подстановку числовых значений, получим
’ . А = 8,05-1010 Бк = 80,5 ГБк.
349
2. При определении периода полураспада Т1/2 короткоживущего ра-
диоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время Д/=
= 1 мин в начале наблюдения (/=0) было насчитано Дл1=250 импульсов,
а в момент времени t = I ч — Д/г2 = 92 импульса. Определить постоян-
ную радиоактивного распада X и период полураспада Т1/2 изотопа.
Решение. Число импульсов Ди, регистрируемых счетчиком За время Дг,
пропорционально числу распавшихся атомов ДА'. Таким образом, при
первом измерении
Дп1 = МЛ/1 = АА1(1 -е-^*), (1)
где Л\ — количество радиоактивных.атомов к моменту начала отсчета;
k — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного при-
бора и данного расположения прибора относительно радиоактивного
изотопа).
При повторном измерении (предполагается, что расположение при-
боров осталось прежним)
Дп2 = /гДТУ2 = (2)
где N2 — количество радиоактивных атомов к моменту начала второго
измерения.
Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внимание,
что по условию задачи Д/ одинаково в обоих случаях, а также что A/j
и N2 связаны между собой соотношением N2 = , получим
(3)
Дп2
где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вы-
числения Л выражение (3) следует прологарифмировать: In = Xf,
откуда
X
Дп2
Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактивного •
распада, а затем и период полураспада:
. 1 . 250
X = — In------ч 1 = 1 ч1;
1 92
ГГ 1П 2 0.693 АСПО с
: Тi/г = —-= —— ч = 0,693ч = 41,5 мин. ,
Л 4
Задачи
Строение ядра
41 -1. Зная постоянную Авогадро N&, определить массу нейтраль-
ного атома углерода 12С и массу пг, соответствующую углеродной еди-
нице массы.
41 -2. Хлор представляет собой смесь двух изотопов с относительными
атомными массами =а 34,969 и ЛГ18 = 36,966. Вычислить относи-
ло
тельную атомную массу Аг хлора, если массовые доли иу и te>s первого
и второго изотопов соответственно равны 0,754 и 0,246.
41-3. Бор представляет собой смесь двух изотопов с относительными
атомными массами Дг г — 10,013 и Ат е — 11,009. Определить мас-
совые доли и ьу2 первого и второго изотопов в естественном боре.
Относительная атомная масса Аг бора равна 10,81’1.
41-4. Определить атомные номера, массовые числа и химические сим- 1
волы ядер, которые получатся, если в ядрах 2 Не, «Ве, е'О протоны
заменить нейтронами, а нейтроны — протонами.
41-5. Какую часть массы нейтрального атома плутония составляет
масса его электронной оболочки?
41 -6. Полагая, что атомные ядра имеют форму сферы, радиус которой
определяется формулой г = г0^~А, где г0 = 1,4,-10“13 ем и А — мас-
совое число, показать, что средняя плотность <р> ядерного вещества
одинакова для всех ядер. Определить (по порядку величины) ее значе-
ние.
. Превращение ядер
при радиоактивном распаде
41 7. Покоившееся ядро радона I^Rn выбросило а-частицу со ско-
ростью v — 16 Мм/с. В какое ядро превратилось ядро радона? Какую,
скорость О1 получило оно вследствие отдачи?
41 8. Ядро изотопа кобальта “/Со выбросило отрицательно заряжен-
ную 0-частицу. В какое ядро превратилось ядро кобальта?
41 -9 В какое ядро превратилось ядро изотопа фосфора ?|Р, выбросив
положительно заряженную 0-частицу?
41 10 Ядро |Ве захватило электрон е /(-оболочки атома. Какое ядро
образовалось в результате К-захвата?
41-11. Определить зарядовое Z и массовое А числа изотопа, который
получится из тория ео’Тй после трех сс- и двух 0-превращений.
4112. Сколько а- и 0-частиц выбрасывается при превращении ядра
урана Ц3 О в ядро висмута вз”В1?
Закон радиоактивного
распада
41-13. Какова вероятность W того, что данный атом в изотопе радио-
активного йода 1311 распадается в течение ближайшей секунды?
41 14. Определить постоянные распада А изотопов радия JJ’Ra и ORa.
41 15. Постоянная распада! рубидия 88 Rb равна 6,00077 с*1. Опреде-
лить его период полураспада Т1/2.
41-16. Какая часть начального количества атомов распадется за один
год в радиоактивном изотопе тория 229 Th?
.41-17, Какая часть начального количества атомов радиоактивного ак-
тиния 82вАс останется через 5 сут? через 15 сут?
41-18. За один год начальное количество радиоактивного изотопа
уменьшилось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за два года?
41 19. За какое время I распадается 1/д начального количества ядер
радиоактивного изотопа, если период его полураспада 71/2 = 24 ч?
351
41-20. За время t = 8 сут распалось k — 3/4 начального количества
ядер радиоактивного изотопа. Определить период полураспада 7\/2.
41-21. При распаде радиоактивного полония 210 Ро в течение времени
t = 1 ч образовался гелий 4Не, который при нормальных условиях
занял объем у = 89,5 см3. Определить период полураспада Т1/а поло-
ния.
41-22. Период полураспада Т1/2 радиоактивного нуклида равен 1 ч.
Определить среднюю продолжительность т жизни этого нуклида.
41-23. Какая часть начального количества радиоактивного нуклида
распадается за время /, равное средней продолжительности т жизни это-
го нуклида?
Активность. Радиоактивное
равновесие
41-24. Определить число N атомов, распадающихся в радиоактивном
изотопе за время t — 10 с, если его активность А = 0,1 МБк. Считать
активность постоянной в течение указанного времени.
41-25. Активность А препарата уменьшилась в k = 250 раз. Скольким
периодам полураспада Т1/2 равен протекший промежуток времени /?
41-26. За время t = 1 сут активность изотопа уменьшилась от Аг—
— 118 ГБк до Az = 7,4 ГБк. Определить период полураспада Т1/2
этого нуклида.
41-27. На сколько процентов снизится активность А изотопа иридия
182 1г за время t — 30 сут?
41-28. Определить промежуток времени т, в течение которого актив-
ность А изотопа стронция ®°Sr уменьшится в — 10 раз? в k2 = 100
раз?
41-29. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата радиоак-
тивного изотопа серебра, регистрирует поток (J-частиц. При первом из-
мерении поток Фх частиц был равен 87 с'1, а по истечении времени
t «= 1 сут поток Ф2 оказался равным 22 с-1. Определить период полу-
распада 7\/2 изотопа.
41-30. Определить активность А фосфора 32Р массой m = 1мг.
41-31. Вычислить удельную активность а кобальта 60 Со.
41-32. Найти отношение массовой активности аг стронция ®°Sr к мас-
совой активности а2 радия 226Ra.
41-33. Найти массу урана 238U, имеющего такую же активность А,
как стронций ®°Sr массой m2 = 1 мг.
41-34. Определить массу т2 радона 222Rn, находящегося в радиоак-
тивном равновесии с радием 228 Ra массой tn\ = 1 г.
41-35. Уран 234 U является продуктом распада наиболее распростра-
ненного изотопа урана 238U. Определить период полураспада Т\/2
урана 234 U, если его массовая доля w в естественном уране 238 U рав-
на 6-10“Б.
41-36. Радиоактивный изотоп ffNa излучает у-кванты энергией
= 1,28 МэВ. Определить мощность Р гамма-излучения и энергию W,
излучаемую за время t = 5 мин изотопом натрия массой т = 5 г.
Считать, что при каждом акте распада излучается один у-фотон с ука-
занной энергией.
352
41-87. Точечный изотропный радиоактивный источник создает на рас-
стоянии г = 1 м интенсивность / гамма-излучения, равную 1,6мВт/ма.
Принимая, что при каждом акте распада ядра излучается один у-фо-
тон с энергией в = 1,33 МэВ, определить активность А источника.
41-38. Определить интенсивность / гамма-излучения на расстоянии
г=5 см от точечного изотропного радиоактивного источника, имеюще-
го активность А = 148 ГБк. Считать, что при каждом акте распада из-
лучается в среднем п = 1,8 гамма-фотонов с энергией е=« 0,51 МэВ
каждый.
§ 42. ЭЛЕМЕНТЫ ДОЗИМЕТРИИ
ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Основные формулы
1. Закон ослабления узкого пучка моноэнергетических у-излучений прж
прохождении через поглощающее вещество:
а) ослабление плотности потока ионизирующих частиц или фотонов
поверхность вещества; J
вещества толщиной ж; ц —
' / = Уое-Р’,
где Jo — плотность потока частиц, падающих иа
плотность потока частиц после прохождения слоя
линейный коэффициент ослабления (рис. 42.1);
б) ослабление интенсивности излучений
/ = /ое—м*,
Рис. 42.1
12 Зак. 94
житеисив»
. 2. Слоем половинного ослабления называется слой, толщина которого,
такова, что интенсивность проходящих через него v-излучений уменьшается в
два раза;'
in 2 0,693
3. Доза излучения (поглощенная доза излучения)
D = ЛТС'/Дт.
где Д№ —энергия ионизирующего излучения, переданная элементу облучае-
мого вещества, Д/п — масса этого Элемента.
Доза излучения выражается в греях (1 Гр = 1 Дж/кг).
4. Мощность дозы излучения (мощность поглощенной дозы излучения)
Ь = &D/M.
где Д/ — время, в течение которого была поглощена объектом облучения до-
за излучения ДР.
Мощность дозы излучения выражается в греях в секунду (Гр/с).
5. Экспозиционная доза фотонного излучения (экспозиционная доза гам-
ма- и рентгеновского излучения) есть величина, равная отношению суммы
электрических зарядов &Q всех ионов одного знака, созданных электронами,
освобожденными в облученном воздухе при условии полного использования
ионизирующей способности электронов, к массе Дт этого воздуха:
X - Д(?/Дт.
Единица экспозиционной дозы — кулон на килограмм (1 Кл/кг).
6. Мощность экспозиционной дозы фотонного излучения X есть величина,
равная отношению экспозиционной дозы ДХ фотонного излучения к интервалу
времени Д/, за которое получена эта доза, т. е.
X = ЬХ/М.
Мощность экспозиционной дозы выражается в амперах на килограмм (1 А/кг).
7. Экспозиционная доза рентгеновского и у-излучения, падающего на
объект, экранированный защитным слоем толщиной х,
Х=Х9е~'л’
где Хо — экспозиционная , доза при отсутствии защитного слоя.
8. Экспозиционная доза у-излучения, падающего за время t на объект, на-
ходящийся в воздухе иа расстоянии R от точечного источника,
X = Xt/R3,
где Хо — мощность экспозиционной дозы на расстоянии, равном единице. По-
глощением у-излучения в воздухе пренебрегаем.
Примеры решения задач
1. Вычислить толщину слоя половинного ослабления х1/2 параллель-
ного пучка у-излучения для воды, если линейный коэффициент ослаб-
ления р = 0,047 см-1.
Решение. При прохождении у-излучения через слой вещества проис-
ходит их поглощение за счет трех факторов: фотоэффекта, эффекта
Комптона и образования пар (электрон—позитрон). В результате дей-
354
ствия этих трех факторов интенсивность у-излучения экспоненциаль-
но убывает в зависимости от толщины слоя;
/ = /ое-^. (1)
Пройдя поглощающий слой толщиной, равной толщине слоя по-
ловинного ослабления х1/2, пучок у-излучения будет иметь интенсив-
ность I = IJ2. Подставив значения / их в формулу (1), получим IJ2=
= /ое-их,/», или после сокращения на /0
*/2 = е-цл'/«.
Прологарифмировав последнее выражение, получим искомое зна-
чение толщины слоя половинного ослабления;
х1/2=1п2/ц. (2)
Подставив в формулу (2) значения р и In 2, найдем величину х1/2;
хП2 = 14,7 см.
Таким образом, слой воды толщиной в 14,7 см снижает интенсив-
ность у-излучения в два раза
2. Точечный радиоактивный источник е0Со находится в центре свин-
цового сферического контейнера с толщиной стенок х — 1 см и на-
ружным радиусом R = 20 см. Определить максимальную активность
Лтах источника, который можно хранить в контейнере, если допусти-
мая плотность потока Jnon у-фотонов при выходе из контейнера равна
8-10® с-1-м“2. Принять, что при каждом акте распада ядра ®°Со ис-
пускается п — 2 у-фотона, средняя энергия которых <е>= 1,25 МэВ.
Решение. Активность радиоактивного источника связана с потоком
излучения у-фотонов соотношением Ф = Ап, где п — число у-фотонов,
испускаемых при одном акте распада, откуда
А = Ф/п. (1)
Поток Ф, входящий в эту формулу, выразим через плотность пото-
ка. Плотность потока на расстоянии R от точечного источника из-
лучений х
Л = Ф/(4л/?2). (2)
После прохождения излучений через свинцовую стенку контейнера
плотность потока уменьшится и выразится соотношением Js =
Выразив отсюда Jt и подставив в формулу (2), найдем
=Ф/ (4лЯ2),
Откуда
Ф = 4л/?2 J2e^.
Подставив выражение Ф в (1), получим
А •= nR?
12» , ЗИ •
Если в полученной формуле принять J2 — JRon, то эта формула
будет выражать искомую максимальную активность источника, кото-
рый можно хранить в контейнере:
Апах = 4 л#2 /яоп е**/п. (3)
По графику на рис. 42.1 находим, что линейный коэффициент ос-
лабления р. для у-фотонов с энергией в = 1,25 МэВ равен 0,64 см'1.-
Выразим величины, входящие в формулу (3), в единицах СИ и,
выполнив вычисления, получим
А = 3,8 МБк.
3. Космическое излучение на уровне моря на экваторе образует в воз-
духе объемом V = 1 см8 в среднем N = 24 пары ионов за время 4=»
= 10 с. Определить экспозиционную дозу X, получаемую человеком
за время /2 = 1 год.
Решение. Экспозиционную дозу, получаемую человеком, можно выра-
зить по формуле
X = Xt2, (1)
где X — мощность экспозиционной дозы излучения.
Мощность дозы X = , где Q — заряд ионов одного знака, обра-
зуемых излучением за время ti в воздухе массой т. Масса воздуха мо-
жет быть найдена как произведение плотности р воздуха на его объ-
ем V : т — рУ. Заряд всех ионов одного знака найдем, помножив
элементарный заряд на число ионов: Q = | е | N.
Формула (1) с учетом выражений X, т и Q примет вид
X = X/2 = -^-Z2 = l^L^. (2)
щ/, pVG
Выразим величины, входящие в формулу (2), в единицах СИ и,
выполнив вычисления, получим
X = 9,41 мкКл/кг.
| Задачи
Поглощение гамма-излучений*
42-1. Определить число N слоев половинного ослабления," уменьшаю-
щих интенсивность / узкого пучка у-излучения в /е = 100 раз.
42?2. Определить для бетона толщину слоя половинного ослабления
*г/а узкого пучка у-излучения с энергией фотонов е = 0,6 МэВ.
42-3. На какую глубину нужно погрузить в воду источник узкого
пучка у-излучения (энергия е гамма-фотонов равна 1,6 МэВ), чтобы
- „ ----- •
* При решении задач 42-2—42-7 воспользоваться графиком, изображенным
на рис. 42.1. “
356
v интенсивность / пучка, выходящего из воды, была уменьшена в
= 1000 раз?
42-4. Интенсивность / узкого пучка у-излучен и я после прохождения
через слой свинца толщиной х = 4 см уменьшилась в k = 8 раз Опре-
делить энергию е гамма-фотонов и толщину х1/2 слоя половинного ос-. .
давления.
42-5. Через свинец проходит узкий пучок у-излучения. При каком зна-
чении энергии е гамма-фотонов толщина х1/2 слоя половинного ослаб-
ления будет максимальной? Определить максимальную тощину хшаж
слоя половинного ослабления для свинца.
42-6. Узкий пучок у-излучения (энергия е гамма-фотонов равна
2,4 МэВ) проходит через бетонную плиту толщиной х± = 1 м. Какой
толщины х2 плита из. чугуна дает такое же ослабление данного пуч-
ка у излучения? •
42-7. Чугунная плита уменьшает интенсивность I узкого пучка у-
йзлучения (энергия е гамма-фотонов равна 2,8 МэВ) в k — 10 раз.
Во сколько раз уменьшит интенсивность этого пучка свинцовая плита
такой же толщины?
Элементы дозиметрия
42-8. Какая доля, w всех молекул воздуха при нормальных условиях
ионизируется рентгеновским излучением при экспозиционной дозе
X = 258 мкКл/кг?
42-9. Воздух при нормальных условиях облучается у-излучением.
Определить энергию W, поглощаемую воздухом массой т = 5 г прм
экспозиционной дозе излучения X = 258 мкКл/кг.
42-10. Под действием космических лучей в воздухе объемом V = 1 см*
на уровне моря образуется в среднем N. — 120 пар ионов за промежу-
ток времени Д/ = 1 мин. Определить экспозиционную дозу X излуче-
ния, действию которого подвергается человек за время t == 1 сут.
42-11. Эффективная вместимость V ионизационной камеры карман-
ного дозиметра равна 1 см3, электроемкость С — 2 пФ. Камера содер-
жит воздух при нормальных условиях. Дозиметр был заряжен до по-
тенциала qjj = 150 В. Под действием излучения потенциал понизился
до q?2 = НО В. Определить экспозиционную дозу X излучения.
42-12. Мощность X экспозиционной дозы, создаваемая удаленным ис-
точником у-излучения с энергией фотонов 8 = 2 МэВ, равна
0,86 мкА/кг. Определить толщину х свинцового экрана, снижающего
мощность экспозиционной дозы до уровня предельно допустимой ,.
X — 0,86 нА/кг (см. рис. 42.1).
42-13. На расстоянии /= 10 см от точечного источника у-излучения
мощность экспозиционной дозы X = 0,86 мкА/кг. На каком наимень-
шем расстоянии /ш1п от источника экспозиционная доза излучения X
за рабочий.день продолжительностью t = 6 ч не превысит предельно
допустимую 5,16 мкКл/кг? Поглощением у-йзлучения ввоздухе пре-
небречь.
42-14. Мощность экспозиционной дозы X гамма-излучения на расстоя-
нии /у = 40 см от точечного источника равна 4,30 мкА/кг. Определить
, 357
время I, в течение которого можно находиться на расстоянии г2 = 6 м
от источника, если предельно допустимую экспозиционную дозу X
принять равной 5,16 мкКл/кг. Поглощением у-излучения в воздухе
пренебречь.
§ 43. ДЕФЕКТ МАССЫ И
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
АТОМНЫХ ЯДЕР
Основные формулы
1. Согласно релятивистской механике, масса покоя т устойчивой систе-
мы взаимосвязанных частиц меньше суммы масс покоя 4- т9 4- ... 4" mh
тех же Частиц, взятых в свободном состоянии. Разность
Д/n = («1 4- тя + ... + /пд) — гп
(U
называется дефектом массы системы частиц.
2. Энергия связи прямо пропорциональна дефекту массы системы частит
£св=с2Дт,
где «с®— коэффициент пропорциональности (с® = 8,987 10“ Дж/кг =
= 8,987 » 10“ м®/с®).
Если энергия выражена в мегаэлектрон-вольтах, а масса — в атомных еди-
ницах, то
Т с® = 931,4 МэВ/a. е. м.
3. Дефект массы* Дт атомного ядра есть разность между суммой масс
свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося из ни/ ядра:
Д/я = (Zmp + Nmn)—тя,
где Z — зарядовое число (число протонов в ядре); тр и тп — массы протона и
нейтрона соответственно; тя — масса ядра.
Если учесть, что
И1я=упв — Zme, mP+me=tniM, N^(A^Z),
то формулу дефекта массы ядра можно представить в виде
Am = Zm. +(A—Zimn—ma,
где А — массовое число (число нуклонов в ядре).
4. Удельная энергия связи (энергия связи на нуклон)
Еуд== Eq^IA.
• Термин «дефект массы» иногда применяют в другом смысле, а именно)
дефектом массы Д называют разность между относительной атомной массой Аг
данного изотопа и его массовым числом А:
Д = АГ —А.
Таким образом, дефект массы Д показывает отклонение относительной атомной
массы от целочисленного значения Эта величина прямого физического смысла
не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить
вычисления.
В настоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы Дт, определяемый
общей формулой (1),
358 •
Примеры решения задач
1. Вычислить дефект массы Ат и энергию'связи Есо ядра j’В.
Решение. Дефект массы ядра определим по формуле
Am = ZmiH + (A — Z) тп—та.
Подставив в эту формулу значения величин (см. табл. 24 j 25),
получим
Ат 0,08186 а.е.м.
Энергия связи ядра
Дев = с2&т.
Подставив в это выражение значения с2 и Ат, получим
Дев = 931,4 МэВ/а.е.м.-0,08186а.е.м. = 76,2МэВ. = 12,2 пДж.
2. Энергия связи £св электрона с-ядром невозбужденного атома водо-
рода |Н (энергия ионизации) равна 13,6 эВ. Определить, на сколько
масса атома водорода мен wife суммы масс свободных протона и элект-
рона.
Решение. Искомая величина представляет собой дефект массы
устойчивой системы, состоящей из протона и электрона, т. е. дефект
массы атома водорода.
По закону пропорциональности массы и энергии,
. Дт = -^£2-= 1,49-10-8 а. е. м.
С2
Определение дефекта массы атома водорода по формуле
Дт = т„-|-те—/п.
в настоящее время невозможно, так как по своей величине (0,0000000149) он
значительно меньше погрешностей современных методов измерения масс час-
тиц.
У наиболее тяжелых атомов энергия связи электронной оболочки с ядром
Достигает дестятых долей мегаэлектрон-вольта, но так как энергия связи нукло-
нов в тяжелых ядрах близка к 1900 МэВ, то и в этом случае энергией связи элек-
тронной оболочки с ядром можно пренебречь.
3. Определить энергию £св, которую нужно затратить для отрыва
нейтрона от ядра ”Na.
Решение. После отрыва нейтрона число нуклонов А в ядре уменьшится
на единицу, а число протонов Z останется неизменным; получится
ядро 22Na. Ядро 23 Na можно рассматривать как устойчивую систему,
образовавшуюся в результате захвата свободного нейтрона ядром MNa.
Энергия отрыва нейтрона от ядра 23Na равна энергии связи нейтрона
с ядром MNa.
Выразив энергию связи нейтрона через дефект массы системы, по-
лучим
£св = с2&пг = с1 (тпЫл + тп—M«»Na).
При подстановке числовых значений заменяем массы ядер масса-
ми нейтральных атомов. Так как число электронов в оболочках атомов
359
®®Na и ®3Na одинаково, то разность масс атомов ®3Na и ®®Na от такой за-
мены не изменится:
£св = 931,4 МэВ/а.е.м.-0,01334 а.е.м. = 12,42 МэВ = 1,99 пДж.
Задачи
43-1. Используя известные значения масс нейтральных атомов }Н,
JH, 62С и электрона, определить массы тр протона, md дейтона, та
ядра “С.
43-2. Масса та альфа-частицы (ядро гелия *Не) равна 4,00150 а.е.м.
Определить массу та нейтрального атома гелия.
43-3. Зная массу та нейтрального атома изотопа лития зЫ (см. табл.
24), определить массы mlt т2 и т3 ионов лития: однозарядного (’Li)+,
двухзарядного (зЫ)++ и трехзарядного (?Li)+++.
43-4. Определить дефект массы Ага и энергию связи £св ядра атома
тяжелого водорода.
43-5. Определить энергию £св, которая освободится при соединении
одного протона и двух нейтронов в атомное ядро.,
43-6. Определить удельную энергию связи £уд ядра ' бС.
43-7. Энергия связи £св ядра, состоящего из двух протонов и одного
нейтрона, равна 7,72 МэВ. Определить массу та нейтрального атома,
имеющего это ядро.
43-8. Определить массу та нейтрального атома, если ядро этого ато-
ма состоит из трех протонов и двух нейтронов и энергия связи £св ядра-
равна 26,3 МэВ.
43-9., Атомное ядро, поглотившее у-фотон (X = 0,47 пм), пришло в воз-
бужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетев-
шиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия Т нукло-
нов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи £св ядра.
43-10. Какую наименьшую энергию £св нужно затратить, чтобы раз-
делить на отдельные нуклоны ядра зЫ и ?Ве? Почему для ядра берил-
лия эта энергия меньше, чем для ядра лития?
43-11. Определить энергию связи £св, которая выделится при образо-
вании из протонов и нейтронов ядер гелия 1Не массой т = 1 г.
43-12. Какую наименьшую энергию связи £св нужно затратить, чтобы-
оторвать один нейтрон от ядра азота 4N?
43-13. Найти минимальную энергию связи £св, необходимую для уда-
ления одного протона из ядра азота ‘IN.
43-14. Энергия связи £св ядра кислорода “О равна 139, 8 МэВ, ядра
фтрра gBF — 147,8 МэВ. Определить, какую минимальную энергию
£св нужно затратить, чтобы оторвать один протон от ядра фтора.
43-15. Какую наименьшую энергию связи £св нужно затратить, что-
, ’ бы разделить ядро *Не на две одинаковые части?
43-16. Определить наименьшую энергию связи £Св, необходимую для
разделения ядра углерода ЧС на три одинаковые части.
360
§ 44. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ | Основные формулы
1. Символическая запись ядерной реакции может бить дана или в развер-
нутом виде, например
$Be+}H-*He‘+«Li,
• или сокращенно
®Ве (р, a)eLi.
При сокращенной записи порядковый номер атома не пишут, так как он
определяется химическим символом атома. В скобках на первом месте ставят
обозначение бомбардирующей частицы, на втором — частицы, вылетающей из
составного ядра, и за скобками — химический символ ядра-продукта.
Для обозначения частиц приняты следующие символы: р — поотон, п —
нейтрон, d — дейтон, i — тритон, a — альфа-частица, у — гамма-фотон.
2. Законы сохранения:
а) числа нуклонов + Л2 = А3 + Л4;
б) заряда Z2 + Z2 = Z3 + Z4;
в) релятивистской полной энергии Д4 + Ег — Е3 -ф Д4;
г) импульса Pi -ф р2 = р3 + р4.
Если общее число ядер и частиц, образовавшихся в результате реакция,'
больше двух, то запись соответственно дополняется.
3. Энергия ядерной реакции
Q = с1 [ (m, -ф т2) — (т3 -ф w4)J,
где тг и т2 — массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; т3 -ф
сумма масс покоя ядер Продуктов реакции.
Если т2 -ф т2 > т3 -ф щ4, то энергия освобождается, энергетический вф»
фект положителен, реакция экзотермическая.
Если т2 -ф т2 < т3 -ф mt, то энергия поглощается, энергетический *ф»
фект отрицателен, реакция эндотермическая.
Энергия ядерной реакции может быть записана также в виде
Q = (Т\ + Т2) - (Т3 -ф Г4),
где 7\ и Т2 — кинетические энергии соответственно ядра-мишени и бомбард»»'
руюшей частицы; Т3 и Tt — кинетические энергии вылетающей частицы и я>»
ра-продукта реакции.
При экзотермической реакции Т3 -ф Г4 > Тх -ф Т2, при эндотермической
реакции Т3 -ф 7\ < 3\ -ф Т 2.
Примеры решения задач
1. Найти энергию реакции
?Ве-|-Ш->Ше + т,
если известно, что кинетические энергии протона Ун = 5,45 МэВ,
ядра гелия Тне = 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 9СГ
к направлению движения протона. Ядро-мишень "Be неподвижно.
Решение. Энергия реакции Q есть разность между суммой кинетичес-
ких энергий ядер,-продуктов реакции и кинетической энергией нале-
тающего ядра:
Р^Тщ + Тне-Тн. ' (1)
861
В этом выражений неизвестна кинетическая энергия Ти лития. '
Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса
рн = Рне + Pl, 2)
Векторы рн и рне, по условию задачи, взаимно перпендикулярны
и, следовательно, вместе с вектором рЕ. образуют прямоугольный тре-
угольник. Поэтому
Ри=РИе+Рн (3)
Выразим в этом равенстве импульсы ядер через их кинетические
энергии. Так как кинетические анергии ядер, по условию задачи,
много меньше энергий покоя этих ядер (см. табл. 25), то можно вос-
пользоваться классической’формулой
р1 = 2 тТ. <4)
Заменив в уравнении (3) квадраты импульсов ядер их выражения-
ми (4), после упрощения получим
/ДЬ Тц = /Дне Тне + ГПН ТЦ,
откуда 4
ти— МэВ,
'«L
Подставив числовые значения в формулу (1), найдем
<? = 7’не + Т'и—7н = 2,13 МэВ
2. Решить задачу предыдущего примера, считая, что кинетические
энергии и направления движения ядер неизвестны.
Решение. Применим закон сохранения релятивистской полной энергии
Две + Ен ~ Еце~1~ ELi. (1)
Релятивистская полная энергия ядра равна сумме энергии покоя н
кинетической энергии:
Е = гти? +Т. (2)
В формуле (2) для упрощения записи масса покоя обозначена не
через т0, а через т.
Так как ядро-мишень ®Ве неподвижно, то на основании формулы
(2) уравнение (1) примет вид
Шве С® + тн & +Тн = /Дне с2 + ТНе + Шц С®+Лл. (3)
Определим энергию реакции:
Q = Тне + Ти — Тн = с21(mBe + тн)—(/Дне + (4)'
При числовом подсчете массы ядер заменим массами нейтральных
атомов. Легко убедиться, что такая замена не повлияет на результат
вычисления. В самом деле, так как масса т ядра равна разности между
массой ша нейтрального атома и массой Zme электронов, образующих
электронную оболочку, то
Q = с2 [(гдВе — 4/Д* + /Пн—mJ — (mHe—2/де -j- /д u — Зги J). (5)
362
Упростив уравнение (5), найдем
= ' Q =оЧ("?Ве + 'Ин) — (Л1№ 4-ffit.AV
Подставив числовые значения коэффициента пропорционально^
ти с1 и масс нейтральных атомов, получим
Q — 2,13 МэВ,
что совпадает с результатом, полученным в примере I.
3. Радиоактивное ядро магния fflMg выбросило позитрон и нейтрино.
Определить энергию Q £+-распада ядра/,
Решение Реакцию £}+-распадз ядра магния можно записать следую-
щим образом:
t§Mg— HNa+Ve + gv.
Принимая, что ядро магния было неподвижным, я учитывая, что мас-
са покоя нейтрино равна нулю, напишем уравнение энергетического
баланса. На основании закона сохранения релятивистской полной
энергии имеем
0я fJlMg — Оа т^а 4" 7к1а +" О* те 4" Т * 4* Ту. (1)
. Энергия распада
Q — TNa + T^ + Tv — c^CmMs, — mNa— тв). (2>
Выразим массы ядер магния и натрия через массы соответствующих
нейтральных атомов:
Q — c2[(mM? -12m,) —(m^- llmj—те].
Так как массы покоя электрона и позитрона одинаковы, то после упро-
щений получим
Q = о2 (mtAg—тца — 2те).
। Сделав подстановку, найдем
Q = 3,05 МэВ.
, j Задачи
Законы сохранения п ядерных
реакциях
44-1. Определить порядковый номер Z и массовое число А частицы,
обозначенной буквой к, в символической записи ядерной реакции:
‘£04-1 Не-> JO+x
44-2. То же, для реакции щА1 4- х |Н 4- f!Mg.
363
44-3. Определить энергию Q ядерных реакций-:
1ЙВе + ?Н-Ч°В-Нп; 4) з-Li + t Н ->iBe + fin;
2) fLi + fH !Не + Ше; 5) УСа + }Н ПК + 1Не;
3) ILi + Ше -> 6°В + Ьп.
Освобождается цди поглощается энергия в каждой из указанных
реакций?
44-4. Найти энергию Q ядерных реакций:
1) 3Н (р, у) 4Не; 2) 2Н (d, у) 4Не; 3) 2Н (п, у)3Н; 4) 1BF (р, а) “О.
44-5. При соударении у-фотона с дейтоном последний может расще-
питься на два нуклона. Написать уравнение ядерной реакции н опре-
делить минимальную энергию у-фотона, способного вызывать такое
расщепление.
44-6. Определить энергию Q ядерной реакции вВе (и, у) 10Ве, если из-
вестно, что энергия связи Есв ядра вВе равна 58,16 МэВ, а ядра 10Ве —
64,98 МэВ.
44-7. Найти энергию Q ядерной реакции 14 N (/г, р)14С, если энергия
связи Есв ядра 14N равна 104,66 МэВ, а ядра 14С — 105,29 МэВ.
44-8. Определить суммарную кинетическую энергию Т ядер, образо-
вавшихся в результате реакции 18 С (d, а) иВ, если кинетическая энер-
гия Л дейтона равна 1,5 • МэВ. ’ Ядро-мишень 13С считать непод-
вижным.
44-9. При ядерной реакции вВе (а, п) 12С освобождается энергия Q —
= 5,70 МэВ. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер бериллия
и гелия и принимая их суммарный импульс равным нулю, опреде-
лить кинетические энергии 7\ и Т2 продуктов реакции.
44-10. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер дейтерия и при-
нимая их суммарный импульс равным нулю, определить кинетические
энергии 7\ и 7, и импульсы и р2 продуктов реакции
fH + fH^!He + in.
44-11. При реакции 8Li (d, р)’Ll освобождается энергия Q —
=5,028 МэВ. Определить массу m 8Li. Массы остальных атомов взять
из табл. 24.
44-12. При реакции 2Н (d, р) 3Н освобождается энергия Q =
=4,033 МэВ. Определить массу m атома 3Н. Массы остальных атомов
взять из табл. 24.
44-13. При ядерной реакции sHe (d, р) 4Не освобождается энергия
Q = 18,34 МэВ. Определить относительную атомную массу Аг изо-
топа гелия 3Не. Массы остальных атомов взять из табл. 24.
Реакция деления
44-14. Определить кинетическую энергию Т и скорость v теплового
нейтрона при температуре t окружающей среды, равной 27°С.
44-15. Найти отношение скорости нейтрона после столкновения его
с ядром углерода 12С к начальной скорости гу нейтрона. Найти такое
364
же отношение кинетических энергий нейтрона. Считать ядро углерода
до столкновения покоящимся; столкновение — прямым, центральным,
упругим.
44-16. Ядро урана 9z6U, захватив один нейтрон, разделилось на два
осколка, причем освободилось два нейтрона. Одним из осколков ока-
залось ядро ксенона 1мХе. Определить порядковый номер Z и массовое
число А второго осколка.
44-17. При делении одного ядра, урана-235 выделяется энергия Q =
= 200 МэВ. Какую долю Энергии покоя ядра урана-235 составляет вы-
делившаяся энергия?
44-18. Определить энергию Е, которая освободится при делении всех
ядер, содержащихся в уране-235 массой m = 1 г.
44-19. Сколько ядер урана-235 должно делиться за время / = 1 с,
чтобы тепловая мощность Р ядерного реактора была равней 1 Вт?
44-20. Определить массовый расход mt ядерного горючего S36U в ядер-
ном реакторе атомной электростанции. Тепловая мощность Р электро-
станции равна 10 МВт. Принять энергию Q, выделяющуюся при одном
акте деления, равной 200 МэВ. К. п. д. ц электростанции составляет
20%. . *
44-21. Найти электрическую мощность Р атомной электростанции,
расходующей 0,1 кг урана-235 в сутки, если к. п. д. г) станции равен
16%.
Энергия радиоактивного
распада яде*
44-22. Определить энергию Q альфа-распада ядра полония ’JJPs.
44-23. Покоившееся ядро полония г8°Ро выбросило а-частицу с кине-
тической энергией Т = 5,3 МэВ. Определить кинетическую энергию
Т ядра отдачи и полную энергию Q, выделившуюся при сх-распадя.
44-24. Ядро углерода 'gC выбросило отрицательно заряженную 0-час-
тицу и антинейтрино. Определить полную энергию Q бета-распада ядра.
44-25. Неподвижное ядро кремния jJSi выбросило отрицательно заря-
женную 0-частицу с кинетической энергией Т = 0,5 МэВ. Пренебрегая
кинетической энергией ядра отдачи, определить кинетическую энер-
гию Тгантинейтрино.
44-26. Определить энергию Q распада ядра углерода ‘^С, выбросив-
шего позитрон и нейтрино.
44-27. Ядро атома азота “N выбросило позитрон. Кинетическая энер-
гия Те позитрона равна 1 МэВ. Пренебрегая кинетической энергией
ядра отдачи, определить кинетическую энергию Tv нейтрино, выбро-
шенного вместе с позитроном.
* ' Элементарные частицы
44-28. Свободный нейтрон радиоактивен. Выбрасывая электрон и ан-
тинейтрино, он превращается в протон. Определить суммарную кння-
- ’ тическую энергию Т всех частиц, возникающих в процессе превраще*
ния нейтрона. Принять, что кинетическая энергия нейтрона равна ну-
лю и что масса покоя антинейтрино пренебрежимо мала.
44-29. Фотон с энергией 8 = 3 МэВ в поле тяжелого ядра превратился
в пару электрон — позитрон. Принимая, что кинетическая энергия
частиц одинакова, определить кинетическую энергию Т каждой части-
цы.
44-30. Электрон и позитрон, имевшие одинаковые кинетические энер-
гии, равные 0,24 МэВ, при соударении превратились в два одинаковых
фотона. Определить энергию р фотона и соответствующую ему длину
волны X.
44-31. Нейтральный л-мезон (л°), распадаясь, превращается в два оди-
наковых у-фотона. Определить энергию е фотона. Кинетической энер-
гией и импульсом мезона пренебречь.
ГЛАВА 9
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 45. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА
МИКРОЧАСТИЦ
Основные формулы
1. Фазовая скорость
v = ы/k,
где <о — круговая частота; ft — волновое число (k — 2п!К).'
Групповая скорость
и = dw/dft.
2. Соотношения де Бройля : \
E—hw, р=Лк,
где Е — энергия движущейся частицы, р — импульс частицы, к — волновой
вектор; | к | = k — 2л/А; h — постоянная Планка |Л — — = 1,05.Ю"8'’Дж-с).
\ 2л )
3. Соотношения неопределенностей:
а) для координаты и импульса частицы
Ару Дх
где Арх — неопределенность проекции импульса частицы на ось х\ \х — неоп-
ределенность ее координаты;
б) для энергии и времени
&E&t ti, *
где Д£ — неопределенность энергии данного квантового состояния; Д/ — вре-
мя пребывания системы в этом состоянии.
Примеры решения задач
1. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет ве-
личину порядка 10 эВ Используя соотношение неопределенностей,
оценить минимальные линейные размеры атома
Решение. Неопределенность координаты и импульса электрона связа-
ны соотношением
ДхДр h,
(О
где Дх — неопределенность координаты электрона; ’ Др — неопреде-
ленность его импульса.
Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется поло-
жение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится
импульс, а следовательно, и энергия частицы: Пусть атом имеет ли-
нейные размеры I, тогда электрон атома будет находиться где-то в пре-
делах области с неопределенностью: Дх = Z/2, Соотношение неопреде-
867
леяьостей (1) можно записать р этом случае в виде (Z/2) Др й, от-
куда
2Д
Др
(2)
Физически разумная неопределенность импульса Др, во всяком
случае,’не должна превышать значения самого импульса р, т. е.
Др<р.
Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением р =
= У2тТ. Заменим Др значением У2пгТ (такая замена не увеличит
I). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим .
, _ 2Й
*min — — . *
V 2mT
Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем
ZraJn = 124 пм-
2. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, оп-
ределить естественную ширину ДХ спектральной линии излучения ато-
ма при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее
время т жизни атома в возбужденном состоянии принять равным
10~8 с, а длину волны % излучения — равной 600 нм.
Решение. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное
существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускае-
мых фотонов. Это связано с тем, что энергия
возбужденного состояния не является точно
определенной, а имеет конечную ширину Г
(рис. 45.1). Согласно соотношению неопреде-
ленностей энергии и времени, ширина Г энер-
гетического уровня возбужденного состояния
связана со средним временем т жизни атомов
в этом состоянии соотношением '
Гт - tt.
Тогда ширина- энергетического уровня опре-
деляется выражением
Г = Й/т.
Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состоя-
ния энергия фотонов испускаемых атомами также имеет разброс, рав-
ный ширине энергетического уровня, т. е. Де = Г. Тогда
Де = hlx. (1)
Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны X соотношением
е — 2 лЙс/Z,
368
то'разбросу Де (Де е) энергии соответствует разброс ДЛдаивр^еян
(ДЛ«Л)
Де=2лЛсд%
А2 . 7
(знак минус опущен).
Входящий в это выражение конечный интервал длин волн ДЛ и
есть естественная ширина спектральной линии. Выразив ДЛ из фор-
мулы (2) и заменив. Де согласно (1), получим
ДЛ = -^-. -
2лст
Произведем вычисления:
ДЛ= 2.10-им =20фм.
Вопросы и задачи
Фазовая н групповая скорость
45-1 Прибор зарегистрировал скорость распространения электромаг-
нитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прибор — фазо-
вую или групповую?
45-2. Можно ли измерить фазовую скорость?
45-3. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматически-
ми: волнами:
(х, t) = cos (1002 t — Зх), g2 (х, 0 = cos (1003 t — 3,01 x). .
Определить фазовые скорости и и2 каждой волны и групповую ско-'
рость и волнового «пакета».
45-4. Известно, что фазовая скорость v-= (й/k. Найти выражения
фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивист-
ском случаях..
45-5. Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в ва-
кууме (в релятивистском случае). Не противоречит-лй это постулатам
теории относительности?
45-6. Зная общее выражение групповой скорости, найти групповую
скорость и волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском
случаях.
45-7. Написать закон дисперсии (т. е. формулу, выражающую зависи-
мость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нереляти-
вистском и релятивистском случаях.
45-8. Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, образован-
ные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля?
Соотношение неопределенностей
45-9. Определить неточность Дх в определении координаты электрона,
движущегося в атоме водорода со скоростью v = 1,5- 10е м/с, если до-
пускаемая неточность Дп.в определении скорости составляет 10% от
ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома
369
водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и ука-
зать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
45-10. Электрон с кинетической энергией Т= 15 эВ находится в метал-
лической пылинке диаметром d — 1 мкм. Оценить относительную не-
точность До, с которой может быть определена скорость электрона.
45-11. Во сколько раз дебройлевская длина волны 1 частицы меньше
неопределенности Дх ее координаты, которая соответствует относитель-
ной неопределенности импульса в 1%?
45-12. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся
частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную
неточность Др/р импульса этой частицы.
45-13. Используя соотношение неопределенностей ДхДрх Й, найти'
выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона,
находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной /.
45-14. Используя соотношение неопределенностей ДхДрх Й, оце-
нить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода.
Принять линейные размеры атома I ~ 0,1 нм.
45-15. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна
10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линей-
ные размеры ядра.
45-16. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре
не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять рав-
ными 5 фм.
45-17. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моно-
энергетический пучок электронов (Т — 10 эВ) падает на щель шириной
а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его коорди-
ната известна с неточностью Дх = а. Оценить получаемую при этом
относительную неточность в определении импульса Др/р электрона в
двух случаях: 1) а = 10 нм; 2) а = 0,1 нм.
45-18. Пылинки' массой tn = 10-12 г взвешены в воздухе и находятся
в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением
пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять,
что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют
сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки,
равна2-103 кг/м3.
45-19. Какой смысл вкладывается в соотношение неопределенностей
.ДЕД/> Й?
45-20. Используя соотношение неопределенности Д£А/ й, оценить
ширину Г энергетического уровня в атоме водорода,, находящегося:
1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время т жиз-
ни атома в возбужденном состоянии равно 10-8 с).
45-21. Оценить относительную ширину Дсо/со спектральной линии,
если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (т л; 10-8 с)'
• и длина волны излучаемого фотона (X = 0,6 мкм).
45-22. В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энер-
гия Е электрона точно определена. Значит, точно определено и значе-
ние квадрата импульса электрона (р2 = 2 mE). С другой стороны, элект-
рон заперт в ограниченной области с линейными размерами I. Не про-
тиворечит ли это соотношению неопределенностей?
370
5 46. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАЙ
ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ
Основные формулы
1. 'Одномерное временное уравнение Шредингера
’ дЧ & М
Й-------------------,
Ф 2т дх2
где i — мнимая единица (]/—1); т — масса частицы, Ч’’ h Л — -функ-
ция,, описывающая состояние частицы.
Волновая функция, описывающая одномерное движение своооанои часгн-
цы,
W(х, t) =ехр-4- (рх— Et),
п
где А — амплитуда волны де Бройля? р — импульо частицы; В — чиепгня час-,
тицы.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состоянии
<12ф 2т
—(£-О)ф=0,-
где В — полная энергия частицы; U (х) — потенциальная энергии; Ф М — ко-
ординатная (или амплитудная) часть волновой функции.
Для случая трех измерений ф (х, у, г) уравнение Шредингера записыва-
ется в виде
02ф с^ф 0гф 2т „ ,, - „
—— 4- —— 4- —— 4----------(. Z1—U) ф — О,
Эх» т dtf т )г2 И*
или в операторной форме
2/71
Дф +-7Г (В—(/)ф= О,
ча 1
. 0» , Э3 , 5» п
где Д = <-; + 5-5 + — оператор Лапласа.
дхв оу* аг2
При решении уравнения Шредингера- следует иметь в виду стандартные
условия, которым должнв удовлетворять волновая функция: конечность (ве
всем пространстве), однозначность, непрерывность самой ф-функции и-ее пер-
вой производной.
2. Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от х до х + Ох (а
одномерном случае) выражается формулой
dW — | ф (х) |а dx,
где I ф (х) |в — плотность вероятности.
Вероятность В7 обнаружить частицу в интервале от, xj до Xg находится ин-
тегрированием dlP в указанных пределах;
X,
№== jl4,fx)|B dx.
3. Собственное значение энергии Еп частицы, находящейся на n-м энерге*
тическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенци-
альном ящике, определяется формулой
л2 ft2
<Л=Ь2,3,...),1
где I — ширина потенциального ящика.
371
Низкий барьер
Рис; 46.1
Соответствующая этой энергии собственная
волновая функция имеет внд
, Г 2 пл
Фп(-к)“1/ у siny *•
X 4. коэффициент преломления л волн
де Бройля на границе низкого потенциального
барьера бесконечной ширины* (рис. 46.1)
л =----= -----,
fei '
где и — длины волн де Бройля в областях iw.il (частица движется из
области / во П)-, к k2 — соответствующие значения волновых чисел.
5. Коэффициенты отражения р и пропускайся т волн де Бройля через
низкий (U < £) потенциальный барьер бесконечной' ширины:
I kj--fe8 Р " _ 4fet k-2
₽ I kt I " (fei -|- fea)2
где fcj и — волновые числа волн де Бройля в областях 1 и 77
6. Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера
конечной ширины
г 2 _________
D ~ ехр — — V2"1 (U—Е) d
где U — высота потенциального барьера; Е — энергия частицы; d — ширина
барьера.
Примеры 'решения задач
1. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоуголь-
ном потенциальном ящике шириной /. Вычислить вероятность того, что,,
электрон, находящийся в возбужденном состоянии (п = 2), будет об-
наружен в средней трети ящика.
Решение. Вероятность W обнаружить частицу .в интервале хх < х О2
определяется равенством
r=f’|ipn(x)№ (1)
где 1]>п (х)— нормированная собственная волновая функция, отвечаю-
щая данному состоянию.
Нормированная собственная волновая функция, описывающая со-
стояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид
• Такой барьер называют также потенциальной ступенью; если при пере-
ходе мз области 1 в область 11 потенциальная энергия частицы уменьшается.
372
Возбужденному состоянию (п = 2) отвечает собственная функция
ф2(х) =1/ ~ sin у-х. (2)
Подставив ф2 (а?) в под]
вынося постоянные величи-
ны за знак интеграла, по-
лучим
*»
W = -j- J sin2^xdx. (3)
Согласно условию за-
дачи, xt = V3 I и х2 —
= 2/3 / (рис. 46.2). Под-’
ставим эти пределы инте-
грирования в формулу
(3), произведем замену-sin
грал на два:
выражение -формулы (1) и
Рис. 46.2
1 /. 4л. \
х = — 11 — cos— XI и разобьем инта-
21/3
№ = — f Sin2 — xdx = _L
I J l i
1/3
21/3 21/3
.1/3 1/3
I. I .'4л |2</3
-----------sin------ X
3 4л I |j/3
j_______1_
3 4л
Заметив, что sin -g- = sin g , a sin -g- = — sin g-, получим
W = 0,195.
2. Моноэнергетический поток электронов (E = 100 эВ) падает Яф
низкий* прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширине
(рис. 46.1). Определить высоту потенциального барьера U, если извев>
но, что 4% падающих на барьер электронов отражается.
Решение. Коэффициент отражения р от низкого потенциального барь-
ера выражается формулой
р=1^Г,
I fe + I
где /?1 и k2 — волновые числа, отвечающие движению электронов
областях / и II (см. рис. 46.1).
В области I кинетическая энергия электрона равна Е и волновф
число ____
k1^(llb)V'2mE.
* Прямоугольный потенциальный барьер называется низким; если энергия
Е частицы больше высоты U потенциального барьера, в противном случае барь-
ер называется высоким. ' ’
373
Поскольку координата электрона не определена, то импульс» элект-
рона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно гово-
рить о точном значении кинетической энергии
В области II кинетическая энергия электрона равна Е — U и вол-
новое число
Й2=(1/Й ^m(E — UY
Коэффициент отражения может быть записан в виде*
(V" 2ягЕ —'т (Е— U- V
Т7=--------•
У 'тЕ -j-]/ т(Е—U} /
Разделим числитель и знаменатель дроби на )/ 2mEt
/1 -V 1 —UiE V
Р = |----г. ..... •
\ 1 + И \ + UiE /
Решая уравнение относительно У1 — UIE, получим •
1+Ь
Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциаль-
ного барьера:
Подставив сюда значения величин и произведя вычисления, най-
дем
. U = 55.6 эВ
3. Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном на-
правлении оси X (рис 46.3) Высота U потенциального барьера рав-
на 5 эВ При какой ширине d барьера вероятность W прохождения
электрона через него будет равна 0,2?
Решение Вероятность W прохождения частицы через потенциальный
барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом про-
зрачности D (W = £)) Тогда вероятность гого. что электрон пройдет
через прямоугольный потенциальный
барьер, выразится соотношением
W а; ехр
-4- V2m(U— Е) d , (I)
। । х !' * В случае низкого потенциального
11 'барьера и k2 действительны, а знак модуля
Рис. 46.3 _ можно опустить;
374
где т — масса электрона. Потенцируя это выражение, получим
. - In W ------------- У^т(и—Е)<1.
й
Для удобства. вычислений изменим знак у правой и левой части этого
равенств и найдем di
Л1п(|/У)
?И 2m (4/—Е)
Входящие в эту формулу величины выразим в единицах СИ и про-
изведем вычисления]
d — 4.95.10-*° м = 0,495 нм.
Учитывая, что формула (J) приближенная и вычисления носят оценоч-
ный характер, можно принять d ж 0,5 нм.
| Вопросы и задачи
Уравнение Шредингера
46-1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в
водородоподобном атоме.
46-2 Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического
осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение
равновесия. / = — рх (где й — коэффициент пропорциональности,
х — смешение).
<34'
46-3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид = Е^¥.
Найти решение уравнения.
46 4 Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, дви-
жущегося в положительном направлении оси X со скоростью и. Най-
ти решение этого уравнения.
46-5. Почему при физической интерпретации волновой функции* гово-
рят не о самой ф-функпии, а о квадрате ее модуля фа?
46-6 Чем обусловлено требование конечности ф-функции?
46-7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
W — Е)Ф ~ 0- Обосновать, исходя -из этого уравнения, тре-
бования, предъявляемые к волновой функции, — ее непрерывность и
непрерывность первой производной от волновой функции,
46-8. Может ли j ф (х) |2 быть больше единицы?
46-9. Показать, что для ф-функции выполняется равенство | ф (х) [а =»
= Ф (*) Ф* W. ме ф* (х) означает функцию, комплексно сопряжен-
ную ф (х).
46-10. Доказать, что если ф-функция циклически зависит от времени
1т. е. Т (х,/) = ехр[--Д/)ф (х) , то плотность вероятности есть
\ й / J
функция только координаты.
375
Одномерный бесконечно глубокий
потенциальный ящик
46-11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном од-
номерном потенциальном ящике шириной I (рис. 46.4). Написать урав-
нение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для
области //(0 < х < /).
46-12.’ Известна волновая функция, описывающая состояние электро-
на в потенциальном ящике шириной I: ф (х) = Ct sin kx + С2 cos kx.
I U^°° а и=о т
L
Рис. 46.4
. Используя граничные условия ф (0) = 0 и ф (/) = 0, определить коэф-
фициент Ci и возможные значения волно-
вого вектора k,. при котором существуют
нетривиальные решения.
46-13. Электрону в потенциальном "ящике
шириной I отвечает волновое число k =
= т/l (и = 1,2,3. ...). Используя связь
энергии Е электрона с волновым числом k,
получить выражение для собственных зна-
чений энергии £„.
46-14. Частица находится в потенциальном
ящике. Найти отношение разности сосед-
них энергетических уровней lXEn+1 „ к
энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 3; 2) и — 10; 3) п -> оо.
Пояснить полученные результаты.
46-15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной I =
— 0,5нм. Определить наименьшую разность АЕ энергетических уров-
ней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
46-16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в по-
тенциальном ящике, имеет видф„ (х) = С sin — х. Используя условия
нормировки, определить постоянную С.
46-17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого
однрмерного прямоугольного потенциального ящика можно записать
в виде ф (х) = Cj eikx + .C2e~ikx, где /г = ]/ c2.mElfl. Исполь-
зуя граничные условия и нормировку ф-функции, определить: 1)
коэффициенты и С2; 2) собственные значения энергии Еп. Найти
выражение для собственной нормированной ф-функции.
46-18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций
ф„ (х), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике ши-
риной I, а также вид | ф„ (х) |2. Установить соответствие между числом
N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция
обращается в нуль в интервале 0 < х < I) и квантовым числом п.
Функцию считать нормированной на единицу.
46-19. Частица в потенциальном ящике шириной I находится в воз-
бужденном состоянии (п = 2). Определить, в каких точках интервала
(0 < х < /) плотность вероятности | ф2(х)|2 нахождения частицы мак-
симальна и минимальна.
46-20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной I. В ка-
ких точках в интервале (0 < х < /) плотность вероятности нахожде-
376
ния электрона на первом и. втором энергетических уровнях одинако-
ва? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояс-
нить графически.
46-21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоя-
нии. Какова вероятность W нахождения частицы: .1) в средней трети
ящика; 2) в крайней трети ящика?
46-22. В одномерном потенциальном ящике шириной I находится элект-
рон. Вычислить вероятность Ц7 нахождения электрона на первом энер-
гетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
46-23. Частица в потенциальном ящике шириной/находится в'низшем
возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения час-
тицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
46-24. Вычислить отношение вероятностей нахождения элект-
рона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, рав-
ноудаленном от стенок одномерной -потенциальной ямы шириной I.
46-25. Показать, что собственные функции (х) — j/j-sin~x
-i /2” пт
и фт(х) = у j-sin~x, описывающие состояние частицы в потен-
циальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.
।
J Фп (х) Ф™ (X) dX =
1 при п — т,
О при п=^т. *
46-26. Электрон находится в одномерном потенцйальном ящике шири-
ной /. Определить среднее значение координаты <х> электрона
(0< х< /).
46-27. Используя выражение энергии Еп = л2й2л2/(2т/2) частицы, нахо-
дящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение
энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома.
Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.
Двух- и трехмерный
потенциальный ящик
46-28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциаль-
ном ящике кубической нормы с линейными размерами 7=10 фм, оце-
нить низший .энергетический уровень нуклонов в ядре.
46-29. Определить из условия нормировки коэффициент1 С собствен-
ной ф-функции фП1Г>8 (х, у) = С sin yix-sin у, описывающей со-
стояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном
ящике со сторонами 1Г и 12.
46-30. Электрон, находится в основном состоянии в двухмерном квад-
ратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной /.
Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограни-
ченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь ко-
торого составляет Vj площади ящика.
377
46-31. Определить из условия нормировки коэффициенте собственной
ф-функции фП1папа (х, у, г) = С sin х sin у sin -ц г, описываю-
щей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глу-
боком ящике со сторонами llt l2,
• Низкий * потенциальный барьер
бесконечной ширины
46-32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией Е,
движущегося в положительном направлении оси X для областей lull
(см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потен-
циальный барьер высотой U.
46-33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую
задачу) для областей / и II. Какой смысл имеют коэффициенты А, и.
By для ф, (х) и А2 и В2 для фу/ (х)? Чему равен коэффициент В2?
46-34. Зная решение уравнений Шредингера для областей 1 и II
потенциального барьера фу (х) = A1eikiX + фу/ (х) =
= А2е'кх, определить из условий непрерывностиф-функций и их первых
производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности
Ву/Ау и А2/Ау.
By k,—ks
46-35. Зная отношение амплитуд вероятности т- = J-, для
/Ij Kj -f- «2
, 712 2ky
волны, отраженной от барьера, и j- = д—для проходящей вол-
ны, найти выражение для коэффициента отражения р и коэффициента
прохождения т.
46-36. Считая выражение для коэффициента отражения р от потенци-
ального барьера и коэффициента прохождения т известными, показать,
что р + т = 1.
46-37. Электрон с энергией Е=25 эВ встречает на своем пути потенци-
альный барьер высотой U ~ 9 эВ (см. рис.46.1). Определить коэффи-
циент преломления п волн де Бройля на
границе барьера.
46-38. Определить коэффициент преломле-
ния п волн де Бройля для протонов на
границе потенциальной ступени (рис. 46.5).
Кинетическая энергия протонов равна
16 эВ, а высота U потенциальной ступени
равна 9 эВ.
46-39. Электрон обладает энергией Е —
— 10 эВ. Определить, во сколько раз из-
менятся его скорость v, длина волны,де Бройля X и фазовая скорость
при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1)
высотой U = 6 эВ.
46-40. Протон с энергией £=1 МэВ изменил при прохождении потен-
циального барьера дебройлевскую длину волны на 1%. Определить
высоту U потенциального барьера.
I И
Рис.- 46-5
* См. сноску на с. 373.
378
46-41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны А, = 0,1 нм
находится.потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить
длину волны де Бройля Аа после прохождения барьера.
46-42. Электрон с энергией Е — 100 эВ попадает на потенциальный
барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность W того, что элект-
рон отразится от барьера.
46-43. Найти приближенное выражение коэффициента отражения р
от очень низкого потенциального барьера (U Е).
4644 Коэффициент отражения р протона от потенциального барьера
равен 2,5-10-6. Определить, какой процент составляет высота U
барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов
46-45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления п
волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффи-
циент отражения р от него.
46-46. Определить показатель преломления п волн де Бройля при про-
хождении частицей потенциального барьера о коэффициентом отра-
жения р .= 0,5.
46-47 При каком отношении высоты U потенциального барьера и
энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения
р = 0,5?
46-48. Электрон с энергией Е = 10 эВ падает на потенциальный барьер.
Определить высоту U барьера, при которой показатель преломления
л волн де Бройля и коэффициент отражения р численно совпадают.
46 49. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высо-
ту (У потенциального барьера. Определить коэффициент отражения
р и коэффициент прохождения т электронов на границе барьера.
46-50. Коэффициент прохождения т электронов через низкий потен-
циальный барьер равен коэффициенту отражения р. Определить, во
сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U по-
тенциального барьера.
46-51 Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения
т электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления
п волн де Бройля.
46 52 Коэффициент прохождения т протонов через потенциальный
барьер равен 0,8. Определить показатель преломления, п волн де Брой-
ля на границе барьера
46-53. Электрон с кинетической энергией Т движется в положитель-
ном направлении оси X Найти выражение для коэффициент отраже-
ния р и коэффициента прохождения т на границе потенциальной ступе-
ни высотой U (рис. 46.5).
46-54. Найти приближенное выражение для коэффициента прохож-
дения т через низкий потенциальный барьер при условии, что кинети-
ческая энергия Т частицы в области // (см. рис. 46.1) много меньше
высоты U потенциального барьера.
46-55. Вычислить коэффициент прохождения т электрона с энергией
Е — 100 эВ через потенциальный барьер высотой U — 99, 75 эВ.
46-56. Показать на .частном примере низкого потенциального барьера
сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность потока N элект-
ронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока элект-
' В79
ронов, отраженных от барьера, и плотности потока Л'т электронов,
прошедших через барьер
46-57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетичес-
кий поток электронов с плотностью потока энергии = 10 Вт/м2.
Определить плотность потока энергии J2 электронов, прошедших барь-
ер, если высота его U = 0,91 эВ и энергия Е электронов в падающем
потоке равна 1 эВ.
46-58. Моноэнергетнческйй поток электронов падает на низкий по-
тенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения т =
=0,9. Определить отношение плотности потока энергии волны,
прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей, на
барьер.
46-59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергетнческйй
поток электронов. Концентрация п0 электронов в падающем .потоке
равна 10е мм-3, а их энергия Е = 100 эВ. Определить давление, кото-
рое испытывает барьер, если его высота И = 9,7 эВ.
Высокий * потенциальный барьер
бесконечной ширины
46-60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для
электрона, движущегося в положительном направлении оси X для об-
ластей lull (рис. 46.6), если на границе этих областей имеется потен-
циальный барьер высотой U
46-61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис.
46.5)ф -функции имеют вид фу = Д]е'^л: + В^е~ik'x ифуу (х) = Д2е~>гх-
, Используя непрерывность ф-функций и
Высокий барьер
Рис. 46.6
их первых производных на границе
барьера, найти отношение амплитуд
Д2/Ду.
46-62. Написать выражение для фуу (х)
в области II (рис. 46.6) высокого потен-
циального барьера, если ф-функция нор-
мирована так, что Д1=1.
46-63. Амплитуда Д 2 волны в области //
высокого потенциального барьера
(рис. 46.6) равна 2/г1/(^14-уЛ) (kr = ].^2mE/h, k — [/2m (U —Efflh).
Установить выражение для плотности вероятности нахождения
частицы в области II (х> 0), если энергия частицы равна Е, а высота
потенциального барьера равна U.
46-64. Используя выражение для коэффициента отражения от низкой
I I — k212 , , \
ступени |р= —-------Кгде^и k2 — волновые числа , наити выраже-
\ ‘Ml +.^2 I )
ние коэффициента отражения от высокой ступени (Т < U).
46-65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от вы-
сокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может
, ife, — ik 12
быть записан в виде-р = —--------.
|fcj +
* См. сноску на с. 373.
380
46-66. Определить плотность вероятности |ф//(0)|2 нахождения элект-
рона в области // высокого потенциального барьера в точке х — О,
если энергия электрона равна Е, высота потенциального барьера рав-
на U и ф-функция нормирована так, что = 1.,
Прямоугольный потенциальный
барьер конечной ширины
46-67. Написать уравнения-Шредингера для частицы с энергией Е,
движущейся в положительном направлении оси X для областей /,
II и111 (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется пря-
моугольный потенциальный барьер высотой U и шириной d.
46-68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую
задачу) для областей 1,11 и III, пренебрегая волнами, отраженными
от границ /— II и II — III, и найти коэффициент прозрачности D
барьера.
46-69. Найти вероятность W прохождения электрона через прямоу-
гольный потенциальный барьер при разности энергий U — Е = I эВ,
если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0.5 нм.
46-70. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барь-
ер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электро-
на на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия элект-
рона: 1) Е = 10 эВ; 2) Е = 100 эВ
46-71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна
0,2 нм. Разность энергий U—Е= \ эВ. Во сколько раз изменится веро-
ятность W прохождения электрона через барьер, если разность энер-
гий возрастет в п = 10 раз?'
46-72. Электрон с энергией Е=9эВ движется в положительном направ-
лении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффи-
циент прозрачности D = 0,1. если высота U барьера равна 10 эВ?
Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее дейст-
вительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см.
рис. 46.3).
46-73. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера
коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность
энергий U — Е — 10 эВ.
46-74. Электрон с энергией Е движется в положительном направле-
• Нии оси X. При каком значении U — Е, выраженном в электрон-воль-
тах, коэффициент прозрачности D — Ю-3, если ширина d барьера
равна 0,1 нм?
46-75. Электрон с энергией Е=9 эВ движется в положительном направ-
лении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через
потенциальный барьер, если его высота U = 10 эВ и ширина d = 0,1 нм.
46-76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d
= 0,1 нм. При какой разности энергий U — Е вероятность W прохож-
дения электрона через барьер равна 0,99?
46-77. Ядро испускает а-частицы с энергией £=5МэВ. В грубом приб-
лижении можно считать, что «-частицы проходят через прямоуголь-
881
ный потенциальный барьер высотой U = 10 МэВ и шириной d = 5 фм.
Найти коэффициент прозрачности D барьера для а-частиц.
46-78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность
потенциалов Дф = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты
прозрачности De для электрона и Dp для протона, если высота U барье-
ра равна 20 кэВ и ширина d = 0,1 пм?
§ 47. СТРОЕНИЕ АТОМА
Основные формулы 1
1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сферических ко-
ординатах
1 Z » \ . 1 [ 1 d / . „ дф \ 1 <92ф 1
- ' --- Iу2 — |—!— ~ I ' " / STD $ "" — I | ———— — .. ! -- I - К
г3 dr k dr J. t* [ sin 6 \ dQ } sin3 6 3<j>3 J \
2m
+ -TT (Е-и.)ф= 0,
где ф — ф (г, О, <р) — волновая функция; Е — полная энергия частипьт: W —
потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат).
2. В атоме водорода (или водородоподобном ионе) потенциальная энергия
U (г) имеет вид
t/(r> =----т---,
41X80 г
где Z — зарядовое число; е — элементарный заряд; е0 — электрическая посто-
янная.
3. Собственное значение энергии Еп электрона в атоме водорода
„ 7? е4 т
п 32л2 е$ Л2 п3 ’
где Л — постоянная Планка, п — главное квантовое число (n = 1, 2, 3,
4. Символическая запись ф-функции, описывающей состояние электрона
в атоме водорода,
фп, I, т (г, 6, <р),
где п, I, т — квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное.
Вероятность сПГ того, что электрон находится в области, ограниченной эле-
ментом объема dV, взятого в окрестности точки- с координатами г, 6, <р, -
й^ = |Фп, I, т(г, 6, <р) F dV,
где dV = rs sin OdOdtpdr (в сферических координатах).
В s-состоянии (1=0, т = 0) волновая функция сферически симметрична
(т. е. не зависит от углов й и 9).
Нормированные- собственные ф-фувкции, отвечающие ls-состояиию (основ-
ному) и 2з-состоянию,
Фют(г) =- и фгм(/-)=---7=г(^ ——')е~'/2%
Ули’ _ 4У2ла« к а)
иля в атомных единицах
Ф1М(р}=—~ е~₽ и фяжГр) = —J-— (2—р) t ~^s,
Ул 4У2я
где в качестве единицы длины принят боровский радиус а = = 52 9 пм.
382
При таком выборе елиницы длины расстояние от ядра р == г!а будет выражать-
ся в безразмерных единицах длины, называемых атомными единицами.
Вероятность d W найти электрон в атоме водорода, находящемся в s-состоя-
нии, в интервале (г, г + dr) одинакова по всем направлениям и определяется
формулой (см также пример 4)
нW = | ф„ о, 'е (/) Р 4лг2 dr
6. Орбитальные моменты импульса* и магнитный момент электрона!
«1=й VU/+D, щ=ць !/'(!+ 1).
"где 1 — орбитальное квантовое число
0. I, 2, ..., я — 1; рн — магнетон Бора:
которое может принимать значения
: (р = — = 0,927 . 10"23 Дж/Тл ]
-X 2m /
6. Проекции орбитальных момента импульса и магнитного момента на на-
правление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью 2}:
7. Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механическо-
го моментов
Р( t*jz Рв 1 е
SS't Й 2 т‘
8. Спиновые момент импульса* и магнитный момент электрона!
Szs == Й Д/s (s-|-11, р* = 2рв ~[/s (эф-1).
где s — спиновое квантовое число (s = 1/2).
9. Проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на направ-
ление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z):
~ • Ps? ~ 2р,в ms.
где ms — спиновое магнитное квантовое число (ms = —1/2; 4-1/2)
10. Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического
моментов
р __ р»; „ Ив_______
SBsz h т
11 Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с по-
мощью спектроскопических символов:
Значение побочного кпанго
в(3го числа
Спектроскопический
символ
6 р d I g fl I k
Электронная конфигурация записывается следующим образом: число, стоя-
; шее слева перед спектроскопическим символом, означает главное квантовое чис-
ло п, а сам спектроскопический символ отвечает тому или иному значению ор-
битального квантового числа I (пример: обозначению 2р отвечает электрон о
л = 2 и I = 1; 2р2 означает, что таких электронов в атоме 2, и т. д.).
। * Вместо термина «момент импульса» употребляют также термин «механи-
ческий момент» (механический орбитальный момент, механический спиновой мо-
' мент).
38Э
12. ПринцигГ Паули. В атоме не может находиться два (и более) электрона,
характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел: п, /, mi, mt.
13. Полный момент импульса электрона
<е,=ЛУ/(/4-1).
где /— внутреннее квантовое «число (/ = I 4- 1/2, I—.1/2).
14. Полный орбитальный момент атома
где L — полное орбитальное квантовове число.
15. Полный спиновой момент атома
ys(s+ij,
где 5 — полное спиновое квантовое число.
. 16. Полный момент импульса атома
SSj=n VJ(J 4-1),
где J — полное внутреннее квантовое число.
17. Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм)
2S+1£/,
где 25 4- 1 — мультнплетность. Вместо полного орбитального квантового чис-
ла L пишут символ в соответствии с таблицей:
Значение 0 1 2 3 4 5
Символ S Р D F G И
Пример: терм ®Р3^2 расшифровывается следующим образом: мульти-
плетность 25 4" 1 = 2, следовательно, S = 1/2, символу Р соответству-
ет L = 1, a J = 3/2..
18. Магнитный момент атома i
Pj — g|-lB У'/(/4-1). # _
где g — множитель (или фактор) Ланде:
= /(74-1)4-5(54-1)—£<’£4-1)
g + 27(74-1)
19. Проекция магнитного момента атома на направление внешнего магнит
кого поля (совпадающего с осью Z)
К/г =8PBmJ,
где mj — полное магнитное квантовое число (mj = 7, 7 — 1, ..., —7).
20. Сила, действующая на атом в неоднородном магнитном, поле,
дБ
где dBldz — градиент магнитной индукции.
21. Частота ларморовой прецессии
ыл = еВ/(2т),
где т — масса электрона.
22. Энергия атома в магнитном поле
384
23. Величина расщепления спектральной линии при эффекте Зеемана:
а) сложном (аномальном)
= g" — m} g') ыл,
где mj, m'j н g" , g* — магнитные квантовые числа и множители Ланде соответ-
ствующих термов; *
б) простом (нормальном)
Ди=0, ± сол.
24. Правила отбора для квантовых чисел S, L, J и ms, mL, ту.
Д5 = 0;. Ams=0|
Д£=±1; Дт^ = 0, ±h
Д7 = 0, ± 1;. Дщу = 0, ±1.
Не осуществляются переходы J — 0 —> J = 0, а при 7 = 0 — переходы trij =•
= 0 —> nij — 0.
Примеры решения задач
1. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность W
пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом г = 0,1 а
(где а —.радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, опи-
сывающая это состояние, считается известной.
Решение. Вероятность обнаружить электрон в окрестности точки о
координатами г, &, <р в объеме dV определяется равенством
= „,(/, 0, ффМУ.
В ls-состоянии волновая функция ф сферически симметрична, т. е.
зависит только от г, и поэтому
d№=H4oo(/-)l2dV, ' (1)
где ф100 (г) — собственная нормированная волновая функция, отве-
чающая основному состоянию: фгоо (г) = е—г/“.
Д/ЛйЭ
Благодарй сферической симметрии ф-функции вероятность обндру^
жить электрон на расстоянии г одинакова по всем направлениям. По-
' этому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероят-
ности, можно представить в виде объема сферического слоя радиусом .
г и толщиной dr : dV = 4 яг2 dr.
С учетом выражений ф1ов (г) и dV формула (1) запишется в виде
—1----е-г/я
|/ ла3 .
При вычислении вероятности удобно перейти к атомным .единицам,
приняв в качестве единицы длины радиус первой боровской орбиты а.
Если ввести безразмерную величину р = r/а. то -
г- — р2аг, dr = odp и dlV = 4-е 2рр* dp.
2 4nr2dr =-± e-2f/ar2dr.
ая
d№ =
13 Зак. 94
385
Вероятность найдем, интегрируя dI7 в пределах от == О до
•*= 0,1 а (или от р> = 0 до рг = 0,1)1
о. I
17 = 4 j pse~2pdp.
Этот интеграл может быть точно вычислен интегрировано»» по час-
тям, однако при малых р (ртах = 0,1) выражение е"=р можно разло-
жить в ряд Маклорена:
е-2р=1-2р + J_(2p)s-...
и произвести приближенное вычисление.
Пренебрегая всеми членами степени выше первой, запишем интег-
рал в виде
0,1 0.1 0,1
17 = 4 f (1—2p)p3dp =4 f раdp—8 | psdp.
Первый и второй интегралы дают соответственно результаты
9
—. 10-3
3
Р»
з
o.i
0.1
=. 0,2-10
о
4
о
и 8 -£
i
Таким образом, искомая вероятность
17 = 1.33.10-8—0JM0-8 = 1 43-10-8.
2. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3 р-состоянип.
Определить изменение магнитного момента, обусловленного орбиталь-
ным движением электрона, при переходе атома в основное состояние
Решение. Изменение Др, магнитного момента найдем как разность
магнитных моментов в конечном (основном) и начальном (возбужден-
ном) состояниях, т. е. Др, = pja — pIt.
Магнитный момент орбитального движения электрона зависит голь-.
ко от орбитального квантового числа I:
Рг=Р Кн/+1) '.
Отсюда имеем: в основном состоянии I = 0 и ц!г«= 0; в возбужден-
ном (Зр) состоянии Z = 1 и рн = рррЯГ. Следовательно, изменение
магнитного момента
Дрг=—Pi,V2,
Знак минус показывает, что в данном случае магнитный момент
уменьшился. Подставив значение р;. = 0,927-10-?3 Дж/Тл. получим
Ди, = - 1,31 • 10-|а Дж/Тл. ‘
SS6
Вопросы и задачи
Атом водорода
47-1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат
для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид
JL —L/8jnogtU-l...et)-bz' •
dv \ dr J г» (sin О d& \ dd / sirPO dtp J /
+ ^~l£ + л------W = °-
Я2 \ 4пвоГ / 4
Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функ-
кию представить в виде произведения двух функций!
Ф (А,Ф.ф).« R (г) у
где R (г) — радиальная и Y (ft, тр) — радиальная и угловая функции.
47-2. Уравнение для радиальной R (г) функции, описывающей состоя-
ние электрона в атоме водорода, имеет вид
_ЁА_+ L + 2Р _./±+...9.| /?=(),
И Г2 г d г I г г2 I
где а, Р и I — некоторые параметры. Используя подстановку / (г)^
•= rR (г), преобразовать его к виду
^+^+а_2Ш_1х_о.
47-3. Уравнение для радиальной функции х (г) может быть преобразо-
вано к виду
^м_+1а+а._Л!±й_1х(И_о.
где а = 2 mElh*\ р = Ze£m/(4 лвой)£; I — целое число. Найти асимпто-
тические решения уравнения при больших числах г. Указать, какие
решения с Е > О или с Е < 0 приводят к связанным состояниям.
47-4. Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое решение
уравнения при малых г.
У Казани е. Считать при малых г члены а в 2$!г малыми по сравнению
в I.U+ 1)/А Применить подстановку у (г) = т¥.
47-5. Найти решение уравнения для радиальной функции R (г), опи-
сывающей основное состояние {I = 0), и определить энергию электрона
в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной функции мЬжет
быть записано в виде
,»+1'
где а = 2т£7Йа; 0 = Г— азиму!альное квантовое чис-
ло.
13*
387
Указание. Применить подстановку /?.(г) = е vr.
47-6. Атом водорода находится в основном состоянии. Собствен-
ная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме,
имеет вид ф (г\ = Се~г,а, где С — некоторая постоянная. Найти из
условия нормировки постоянную С.
47-7. Собственная функция, описывающая основное состояние элект-
рона в атоме водорода, имеет вид ф (г) ='Се~'/а, тд$ а = Апе0Ь2Цегт)
(боровский радиус). Определить расстояние г, на котором вероятность
нахождения электрона максимальна.
47-8. Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии
волновой функцией ф (г) = Се~г,а. Определить отношение вероятнос-
тей пребывания электрона в сферических слоях толщиной Дг=
= 0,01 а и радиусами rj = 0,5 а и гг = 1,5 а.
47-9. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить:
1) вероятность coj того, что электрон находится внутри области, огра-
ниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а\ 2) вероят-
ность того, что электрон находится вне этой области; 3) отноше-
ние вероятностей Волновую функцию считать известной:
Фюо 0 = е-г,а-
(/ла?
47-10. Зная, что нормированная собственная волновая функция, опи-
сывающая основное состояние-электрона в атоме водорода, имеет вид
1
' Ф (/) = —• е~г/о, найти среднее расстояние <7> электрона от яд-
рлс3
ра. .
47-11. Принято электронное облако (орбиталь) графически изобра-
жать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обна-
ружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атомных единицах
радиус орбитали для ls-состояння электрона в атоме водорода. Вол-
новая функция, отвечающая этому-состоянию, ф100 (р) = e~p/]Yn, где
р — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах.
Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графи-
чески.
47-12. Волновая функция, описывающая 2 s-состояние электрона в ато-
ме водорода, имеет вид
Фгоо (Р) = (2 — р) е-р'2, где р — рас-
стояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Опреде-
лить: 1) расстояний pi от ядра, на которых вероятность обнаружить
электрон имеет максимум; 2) расстояния р2 от ядра, на которых Ве-
роятность нахождения электрона равна нулю; 3) построить графики
зависимости | ф20й (р) |2 от р и р21 ф20п (р) |2 от р.
47-13. Уравнение для угловой функции Y (&, <р) в сферической систе-
ме координат может быть записано в виде
Jf_l____д_
, Y [ sin 0- &&
I » .
sin2 О J
388
где — некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно
разделить на два, если угловую функцию представить в виде произве-
дения двух функций: У (&, ф) = 0 (&) Ф (ф), где 0 (&) — функция,
зависящая только от угла О; Ф (ф) — то же, только от угла ф.
47 14. Угловая функция Ф Хф) удовлетворяет уравнению + тФ =
= 0. Решить уравнение и указать значения параметра т, при которых
уравнение имеет решение.
47-15. Зависящая от угла ф угловая функция имеет вид Ф (ф) = Сф"!ф.
Используя условие нормировки, определить постоянную С.
47-16. Изобразить графически угловое распределение плотности ве-
роятности нахождения электрона в атоме водорода, если угловая
функция Yi\ т (&, ф) имеет вид: 1) в s-состоянии (/ = 0) У0,0 =
= l/pGr; J2) в р-состоянии (/ = 1) при трех значениях т: а) т = I,
У и — ^3/(8 л) sin_#e/<₽; б) т = 0, У1>0 •= jZ3/(4 л) cos в) т
= — 1, Уi,-i = ]/3/(8 л) sin & е_'ч>. Для построений воспользоваться
полярной системой координат.
4717. Угловое распределение плотности вероятности нахождения
электрона в атоме водорода определяется видом угловой функции
У(. т ($. ф). Показать., что р-подоболочка имеет сферически симмет-
ричное распределение плотности. вероятности. Воспользоваться дан-
ными предыдущей задачи.
Орбитальный момент импульса
и магнитный момент электрона
47-18 Вычислить момент импульса орбитального-движения элект-
рона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) .в р-состоянии.
47 19. Определить возможные значения проекции момента импульса
Х1г орбитального движения электрона в атоме^на направление внеш-
него магнитного поля. Электрон находится в d-состоянии.
47-20. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоя-
нии, поглотил квант света с энергией 8 = 10,2 эВ. Определить измене-
ние’ момента импульса ДЖ, орбитального движения электрона. В воз-
бужденном атоме электрон находится в р-состоянии
47-21 Используя векторную модель атома, определить наименьший
угол а, который может образовать вектор Ж, момента импульса орби-
- тального движения электрона в атоме о направлением внешнего маг-
нитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии.
47-22. Электрон в атоме находится в /-состоянии Найти орбитальный
момент импульса электрона и максимальное значение проекции мо-
мента импульса Жита1 на направление внешнего магнитного поля.
47-23. Момент импульса орбитального движения электрона в ато-
ме водорода равен 1,83-10“® Дж-с. Определить магнитный момент
р(, обусловленный орбитальным-движением электрона
47-24. Вычислить полную энергию Е, орбитальный момент импульса
и магнитный момент р{ электрона, находящегося в 2 р-состоянии .
в атоме водорода.
- 389 '
47-25. Может ли вектор магнитного момента цг Орбитального движе-
ния электрона установиться строго вдоль линий магнитной индукции?
47-26. Определить возможные значения магнитного момента рг, обус-
ловленного орбитальным движением 3£г??ктрона в возбужденном атоме
водорода, если энергия е возбуждения равна 12,09 эВ
Спиновые момент импульса
и магнитный момент електрона
47 27^ Вычислить спиновый момент импульса £е электрона и проек”
цию этого момента на направление внешнего магнитного поля
47-28. Вычислить спиновый магнитный момент рв электрона и проек-
цию магнитного момента р<2 па направление внешнего поля
47-29. Почему для обнаружения спина электрона в опытах Штерна и
Герлаха используют пучки атомов, принадлежащих первЗй группе пе-
риодической системы, причем в основном состоянии?
47-30. Атомы серебра, обладающие скоростью в = 0,6 км/с, пропус-
каются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям
индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха).
В поле протяженностью I = 6 см пучок расщепляется на два. Опреде-
лить степень неоднородности дВ1дг магнитного поля, при которой рас-
стояние b между компонентами расщепленного пучка по выходе его
из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии.
47-31. Узкий пучок атомарного водорода пропускается в опыте Штер-
на и Г ерлаха через поперечное неоднородное (дВ!дг = 2 кТл/м) маг-
нитное поле протяженностью
1= 8 см. Скорость с атомов во-
дорода равна 4 км/с. Опреде-
лить расстояние b между ком-
понентами расщепленного пучка
атомов по выходе его из магнит-
ного поля Все атомы водорода
в пучке находятся в основном
состоянии.
47-32 В опыте Штерна и Гер-
лаха узкий пучок атомов цезия
(в основном состоянии) проходит
Рис. 47.1
через поперечное неодн2родное
магнитнре поле и попадает на экран Э (рис. 47.1) Какова должна быть
степень неоднородности dB/dz магнитного поля, чтобы расстояние &
между компонентами расщепленного пучка на экране было равно
6 мм? Принять /j = 12 = 10 см. Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с.
47-33. Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) пропуска-
ется через поперечное неоднородное магнитное поле^дротяженностью
4 = 10 см (рис. 47.1). На экране .9, отстоящем на расстЖнии /2 = 20 см
от магнита, наблюдается" расщепление'*пучка на два. Определить силу
fz, действующую на атомы рубидия, если расстояние b между компо-
нентами пучка на экране равно 4 мм и скорость и атомов равна 0,5 км/с.
390
47-34. Узкий пучок атомов серебра при прохождении неоднородного
(AB/dz = I кТл/м) магнитного поля протяжённостью 4 — 4 см рав-
щепился на два пучка. Экран для наблюдения удален от границы маг-
нитного поля на расстояние /2 = 10 см (рис. 47.1). Определить (в
магнетонах Бора) проекции руг магнитного момента атома на направ-
ление вектора магнитной индукции, если расстояние b между компо-
нентами расщепленного пучка на экране равно 2 мм и атомы «еребра
обладают скоростью в = 0,5 км/а.
Застройка электронных оболочек
47-35. Какое максимальное число я-, р- и d-электронов может нахо-
диться в электронных К-, Л- и М слоях атома?
47-36. Используя принцип Паули, указать, какое максимальное что-
ло A/mex электронов в атоме могут иметь одинаковыми следующие
квантовые числа: 1) п, I, т, т*, 2) п, I, т; 3) п, I; 4)п.
47-37. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым
числом п = 3 Указать число М электронов в этом слое, которые
имеют одинаковые следующие квантовые числа: I) mt = + 1/2;
2) т = _ 2; 3) ==—1/2 и т = 0; 4) = + 1/2 и 1 = 2.
47-38. Найти число N электронов в атомах, у которых в основном со-
стоянии заполнены: I) К и L-слои, 3 s-оболочка и наполовину Зр-
оболочка; 2) К-, L- и /И-слон и 4 я-, 4 р- и 4 d-оболочки. Что это за
атомы?
47 39. Написать формулы электронного строения атомов: I) бора;
2) углерода; 3) натрия.
Векторная модель атома.
Спектральные термы
47-40. Как можно согласовать использование векторной модели атома
с соотношением неопределенности для проекций момента' импульса?
47-41. Электрон в атоме водорода находится в р-состоянии. Опреде-
лить возможные значения квантового числа / и возможные значения
(в единицах Я) полного момента импульса Й, электрона. Построить со-
ответствующие векторные диаграммы.
47-42. В возбужденном атоме гелия один из электронов находится в
р-состоянии, другой в d-состояннн. НайтйГ возможные значения полно-
го орбитального квантового числа L и соответствующего ему момента
импульса (в единицах Л). Построить соответствующие векторные ди-
аграммы.
47-43. Определить угол <р между орбитальными моментами импульсов
двух электронов, один из которых находится в d-состоянии, другой —
в ^-состоянии, при следующих условиях: J) полное орбитальное кван-
товое число L = 3; 2) искомый угол — максимальный: 3) искомый
угол — минимальный.
47-44. Система из .трех электронов, орбитальные квантовые числа lt,
16 которых соответственно равны 1,2,3, находятся в S-состоянии.
Найти угол ч>1. г между орбитальными моментами импульса первых
двух электронов.
391
47-45. Каковы возможные значения полного момента импульса
электрона, находящегося в d-состоянии? Чему равны при этом углы
<р между спиновым моментом импульса д орбитальным?
'47-46. Спиновый момент импульса ' двухэлектронной системы опре-
деляется квантовым числом 5=1. Найти угол <р между спиновыми мо-
ментами импульса обоих электронов.
47-47. Система, состоящая из двух электронов, находится в состоянии
с L = 2, Определить возможные значения угла <р между орбитальным
моментом импульса р-электрона и полным орбитальным моментом им-
пульса Xj системы.
47-48. Найти возможные значения угла между спиновым моментом
импульса и полным моментом: 1) одноэлектронной системы, состоящей
из d-электрона; 2) двухэлектронной системы с J = 2.
47-49. Определить возможные значения (в единицах Й) проекции Xsi
спинового момента импульса электронной системы, находящейся в со-
стоянии 8О3, на направление полного момента.
47-50. Определить возможные значения квантового числа J элект-
ронной системы, для которой: 1) 5 = 2 и L = 1; 2) 5 = 1 и L = 3.
Найти' (в единицах й) возможные значения полного момента импульса
X системы и построить соответствующие векторные диаграммы. *
47-51. Определить возможные значения квантового числа J, соответст-
вующего полному моменту импульса Xs электронной системы, у кото-
рой L = 3, а 5 принимает'следующие значения: 1) 3/2; 2) 2; 3) 5/2;
4) 4. Построить соответствующие векторные диаграммы.
47-52. Записать основные термы для следующих атомов: 1) Н; 2) Не;
3) Be; 4) Li; 5) В.
47-53. Перечислить возможные термы Для следующих состояний ато-
мов: 1) 25; 2) 2Р; 3) 4Р; 4) 6D.
47-54. Определить кратности вырождения следующих термов: 1)
+)я/2; 2)+3; 3)+.
47-55. Объяснить на основе векторной модели атома наличие двух си-
стем термов (синглетных и триплетных) в атомах с двумя валентными
электронами. ’ *
47-56. Определйть возможные мультиплетности (2 5+ 1) термов сле-
дующих атомов: 1) Li; 2) Be; 3) В; 4) С; 5) N.
47-57. Выписать все возможные термы для комбинации р- и d-элект-
ронов по типу связи Рассель ^Саундерса. Дать их спектральные обо-
значения. . -
Магнитный момент атома,.
Атом в магнитном поле-
47-58. Вычислить множитель Ланде g для атомов с одним валентным
электроном в состояниях 5 и Р.
47-59. Вычислить множитель Ланде g для атомов, находящихся в синт
глетных состояниях. , '
47-6(17 Определить магнитный момент' pj атома в состоянии 1D. От-
вет выразить в магнетонах Бора (рв)-
47-61. Вычислить магнитный момент pj атома в состоянии ®Р2. Ответ
выразить в магнетонах Бора.
392
47-62. Атом находится в состоянии гР8/я Найти число возможных
проекций’ магнитного момента на направление внешнего поля и вычис-
лить (в магнетонах Бора) максимальную проекцию max-
47-63. Вычислить в магнетонах Бора магнитный момент ру атома во-
дорода в основном состоянии.
47-64. Атом находится в состоянии lF. Найти соответствующий маг-
нитный момент yj и возможные значения его проекции Mjz на направ-
ление внешнего магнитного поля.
47-65. Максимальная проекция pj2max магнитного момента атома, на-
-ходящегося в состоянии Dz, составляет четыре магнетона Бора. Опре-
делить мультиплетность (2 S + I) соответствующего терма.
.47-66. На сколько составляющих расщепляется в опыте Штерна и
Герлаха пучок атомов, находящихся в состояниях: 1) 2Р8/Я; 2) lD;
3) BFi- - .
47-67. Определить максимальные проекции ругтак магнитных момен-
тов атомов ванадия (4Р), марганца (eS) и железа (БО), если известно, что
пучки этих атомов при прохождении через сильно неоднородное маг-
нитное поле по методу Штерна и Герлаха расщепляются соответствен-
но на 4,6 и 9 составляющих. (В скобках указаны состояния, в которых
Находятся атомы.)
47-68. Вычислить частоты ларморовой прецессии электронных обо-
лочек атомов: 1) в магнитном поле Земли (В = 5-10~в Тл); 2) в поле,
магнитная индукция В которого равна 50 Тл.
47-69. Найти угловую скорость <о прецессии магнитных моментов ато-
мов, помещенных в магнитном поле (В = 10 мТл) в случае, когда ато-
мы находятся в состояниях: 1) *Р; 2) ®Р8/2.
47-70. Определить максимальную энергию t/maK магнитного взаи-
модействия атома, находящегося, в состоянии lD с магнитным полем,
индукция которого: 1) В = 1 Тл; 2) В = 50 Тл. Ответ выразить в
электрон -во л ьта х.
. Эффект Зеемана
47-71. Какое магнитное поле в случае эффекта Зеемана следует счи-
тать: I) «слабым», 2) «сильным»?.
47-72. Состояния аУома характеризуются двумя спектральными тер-
мами. Указать квантовые числа S, L и возможные значения квантово-
го числа J для состояний: .1) *5;и *Р; 2) *£> и *Р. Изобразить для этих
состояний схему энергетических уровней при отсутствии магнитного
поля.
47-73. Состояние атома характеризуется двумя спектральными тер-
мами. Указать возможные значения квантового числа J для состояний:
f 1) и ®Р; 2) 9Р и 2О; 3) 8S и 8D. Изобразить для этих состояний схе-
му энергетических уровней с учетом спин-орбита л ьного взаимодей-
ствия (естественного мультиплетного расщепления) при отсутствии
магнитного поля.
47-74. Определить возможные значения квантового числа m.j и изоб-
разить на схеме расщепление энергетических уровней атома в магнит-
ном поле для состояний, определяемых спектральными термами:
1) SS; 2) ®Р8/2; 3) 2Ов/а; 4)‘Р.
. I 393
47-75. Построить схему возможных энергетических переходов в сла-
бом магнитном поле между состояниями атома, определяемыми сле-
, дующими термами: 1)2 Pi/2~* *S; 2) гР3/2 ®5; 3)аО3/г-^2Р3/2.
47-76. Вычислить смещение Д<о спектральных линий при сложном
(аномальном) эффекте Зеемана в случае перехода атома из состояния,
определяемого термом 2Pi/2, в состояние — 2S1‘/a. В качестве единицы
смещения принять нормальное (лоренцово) смещение Лы = (ръ1К)В.
§ 48. СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ j Основные формулы
1. Приведенная масса двухатомной молекулы
р. = mitnj (т1 4- тг),
где mt и ms — массы атомов, входящих в состав молекулы.
2. Собственная круговая частота осциллятора
где Р — коэффициент квазнупругой силы.
3. Нулевая собственная волновая- функция одномерного квантового гар-
' ионического осциллятора
ф0(х) = Саехр(—аа Х*/2),
где параметр а — Д/рю/Л.
4. Колебательная энергия гармонического осциллятора
E'n=^<B(n4-1/s),
где л — колебательное квантовое число (л = О, 1, 2, 3, ...). •
Для квантового числа п существует правило отбора, согласно которому
Дп = ±1.
' 5. Нулевая энергия
-
Колебательная энергия ангармонического осциллятора
Ер = Я(о [(о-Н/а)—у(о-Ь1/2)2],
где v — колебательное квантовое число (о = 0, 1,2,...); у — коэффициент
ангармоничности, Av — любое целое число. Для квантового числа v нет прави-
ла отбора, поэтому Да может принимать Любые-целочисленные значения.
7. Разность энергий дв х соседних колебательных уровней
ДЕс+1. о = Л<о (I—2у(о4-1)],
, 8. Максимальное значение квантового числа v
2у
9. Максимальная колебателънаи энергия
Етаг—
10. Энергия диссоциации двухатомной молекулы
„ ЙК
P=V(
254
II. Момент инерции двухатомной молекулы относительно оси проходящей
через ее центр инерции перпендикулярно прямой, соединяющей ядра атомов,
J = pel3,
где р — приведенная масса молекулы; d — межъядерное расстояние,
12. Вращательная постоянная
В = Л2/(2,7).
13. Вращательная энергия двухатомной молекулы
Е>=В^(^-Н). '
где 7 — вращательное квантовое число (7 = О, I, 2,
14. Спектроскопическое волновое числе
у— 1/Х,
где Z. — длина волны излучения.
15. Энергия в фотона излучения связана с спектроскопическим- волиовмв
числом соотношением
в= 2nftcv,
где с — скорость распространения электромагнитного излучении.
Примеры решения задач
1. Собственная циклическая частота со колебаний молекуад НС1 рав-
на 5,63-1014с-1, коэффициент ангармоничности « 0,0201. Опреде-
лить: I) энергию (в электрон-вольтах) перехода молекулы с вер-
ного на второй колебательный энергетйческий уровень; 2) максималь-
ное квантовое число omai; 3) максимальную колебательную энергию
Е
та х> 4) энергию диссоциации Ed
Решение. 1. Энергию перехода ДЕВ+Ап между двумя соседними уров-
нями найдем как разность двух зна'чёний колебательной энергии:
ДЕо+i.» EtH-i —Ев
Так как колебательная энергия двухатомной молекулы определя-
ется соотношением
то
Ео =h со
, 1 \ . . 1
D_j---_т o+-j-
2 ] I Z
(1)
Пойстявив значения ft, со, у и произведя вычисления, найдем
ДЕгн = 0,682 эВ.
395
2. Максимальное квантовое число сП1ах найдем, приравняв раз-
ность соседних энергетических уровней нулю:
Д£о+1. в = Йо f 1 — 2у (ишах 4-1 )J = О,
или 1 — 2 у (ишвх 4- 1) = 0, откуда
Ощах = —--1» (2) ч
2у
Подставив сюда значение у ,и округлив до ближайшего (снизу) це-
лого значения найденное vmaxt получим
Рщ.х = 23.
3. Максимальную колебательную энергию Emfll найдем, если в
выражение (1) вместо v подставим оШах по формуле
F Е* + I / 1 1 , 1 \
С I Etna» = Й СО |---14—- —’j
I - -' Ця? 2 7
1__ Л / Выполняя простые преобразо-
V ~7 ' вания и пренебрегая" у/4 по срав-
V-------J нению с 1/(4 у), получаем
\ / z Etnas = Й Ы/(4у)
----------------------- Подставим значения й, о, у п
г. произведем вычисления:
Рис-48-1 Emax = 4,61 эВ.
4. Энергия диссоциации есть энергия, которую необходимо затра-
тить, чтобы отделить атомы в молекуле друг от друга и удалить их без
сообщения им кинетической энергии на расстояние, на котором взаи-
модействие атомов пренебрежимо мало. На рис. 48.1 эта энергия отве-
чает переходу с нулевого колебательного уровня на самый высокий воз-
бужденный, соответствующий ошвх. Тогда энергия, диссоциации
О = £т'пх—Л<в; или Ed = (1 — 2у)
4v 2 .. 4у
Подставив значения ft, ш, у и произведя вычисления, найдем
' D - 4,43 эВ.
2. Для молекулы HF определить: 1) момент инерции J, если межъядер-
ное расстояние d = 91,7 пм; 2) вращательную постоянную В; 3) энер-
гию, необходимую для возбуждения молекулы на первый вращатель-
ный уровень. ;
Решение 1. Если воспользоваться формулой приведенной массы у мо-
лекулы, то ее момент инерции можно выразить соотношением
J = или J ~ т' т— d2,
396
где tn^ и та — массы атомов водорода и фтора (относительные атомные
массы химических элементов приведены в табл. 30).
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
J = 1,33-10"« кг-м®.
. 2. Вращательная постоянная В с учетом выражения для равна
В = й2/(2 pd2).
Подставив значения й, р, d и произведя вычисления, получим
В = 2,73 мэВ.
3. Энергия, необходимая для возбуждения молекулы на первый вра-
щательный уровень, равна разности энергий молекулы на первом и ну-
левом вращательных, уровнях.
Так как вращательная энергия двухатомной молекулы выражается
соотношением Еа = В~ (# + 1), то разность энергий двух соседних
а гг
вращательных уровней
ДЕ>+1, = £^+1 - Ер = {[В & + 1) + 2)]-[В^ +1)]}.
После упрощений получим '
ДВ^+1,у =2В(^ + 1).
Положив здесь #• = О, найдем значение энергии, необходимое для
возбуждения молекулы с нулевого уровня на первый:
ЛЕЬ0 = 2 В = 5,46 мэВ.
Задачи
Колебательный спектр
двухатомной молекулы
48-1. Изобразить графически зависимость ф0 (х) и | ф0 (х) |2 для нуле-
вой собственной волновой функции осциллятора.
48-2. Используя условие нормировки, определить нормировочный
множитель Со нулевой собственной волновой функции осциллятора.
48-3. Рассматривая молекулу как квантовый гармонический осцилля-
тор,, находящийся в основном состоянии-^ = 0), найти амплитуду А
классических колебаний, выразив ее через параметр а.
48-4. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии {п=>
= 0). Какова вероятность W обнаружения частицы в области (— A<Z
х < А), где А — амплитуда- классических колебаний?
48-5. Определить среднюю потенциальную энергию <(7 (х)> гармони-
ческого осциллятора, находящегося в основном состоянии, выразив
ее через нулевую энергию Ео.
48-6. Собственная круговая частота со колебаний молекулы водорода
равна 8,08- 1014с-1. Найти амплитуду А классических колебаний мо-
лекулы.
397
48-7. Зная собственную круговую частоту ф колебаний молекулы СО
(ф — 4,08-10 14с-1), найти коэффициент р квазнупругой силы;
48-8. Определить энергию Е„оъ^ возбуждения молекулы НО с нуле-
вого колебательного энергетического уровня на первый, если извест-
ны собственная круговая частота ® = 5,63- 10м о-1 и коэффициент ан-
гармоничности у = 0,020&
48-9. Определить число Л) колебательных энергетических уровней, ко-
торое имеет молекула НВг,* если коэффициент ангармоничности у s
«= 0,0208.
48-10. Во сколько раз отличаются максимальная и минимальная (от-
личная от нуля) разности двух соседних энергетических уровней для
молекулы Йв fa « 0,0277)?'
48-11. Определить максимальную колебательную энергию £тах мо-
лекулы О2, для которой известны собственная круговая частота '»>=»
= 2,98- iOKsr* и коэффициент ангармоничности у = 9,46-10~®.
48-12. Определить эиергию диссоциации D (§ электрон-вольтах) моле-
кулы СО, если ее собственная частота ® = 4,08-1014с.-1 и коэффициент
ангармоничности у"=5,83-10“®. Изобразить на потенциальной кривой
схему колебательных энергетических уровней и. отметить на ней энер-
гию диссоциации.
48-13. Найти коэффициент ангармоничности у молекулы Л/2, если ее
энергия диссоциации D -» 9,80 эВ и собственная круговая частота
со = 4,45- 1014с-1. На потенциальной кривой изобразить схему энерге-
тических уровней молекулы и отметить на ней энергию диссоциации.
48-14. Молекула NO переходит из низшего возбужденного состояния в
основное. Определить длину волны'Л. испущенного при этом фотона,
если собственная круговая частота ф = 3,59- 1014с“' и коэффициент
ангармоничности у = 8,73 • 10"®. На потенциальной кривой изобра-
зить схему колебательных энергетических уровней молекулы и отме-
тить на ней соответствующий энергетический переход.
Вращательный спектр
двухатомной молекулы
48-15. Найти момент импульса Ж двухатомной молекулы, соответству-
ющий низшему возбужденному, состоянию.
48-16. Определить изменение &£ момента импульса двухатомной мо-
лекулы при переходе ее с первого вращательного уровня на второй.
48-17. < Определить угловую скорость ® вращения молекулы S2,
находящейся на первом возбужденном вращательном уровне. -
48-18. Вычислить вращательную постоянную В для молекулы СО,
если межъядерное расстояние d = ИЗ пм. Ответ выразить в милли-
электрон -вольтах.
48-19. Найти момейт импульса £ молекулы кислорода, вращательная
энергия Ер которой равна 2,16 мэВ.
48-20. Найти момент инерции J и межъядерное расстояние d молекулы
СО, если интервалы Д£ между соседними линиями чисто вращатель-
ного спектра испускания молекул СО равны 0,48 мэВ.
заа
48-21. Определить для молекулы НС1 вращательные квантовые числа
У- двух соседних уровней, разность энергий Д£^ + 1 которых равна
7,86 мэВ.
48-22. Для молекулы Na найти: 1) момент инерции J, если межъядер-
ное расстояние d=l 10 пм; 2) вращательную постоянную В; 3) изменение
I АД | энергии при переходе молекулы с третьего вращательного энерге-
тического уровня на втэрвж. Относительная атомная масса AN = 14.
48-23. Для молекулы О2 найти: 1) нриведенную массу р; 2) межъядер-
ное расстояние d, если вращательная постоянная В =« 0,178 мэВ;
3) угловую скорость со вращения, если молекула находится на первом
вращательном энергетическом уровне. Относительная атомная мас-
са Ао = 16.
48-24. Для молекулы NO найти: 1) момент инерции J молекулы, ев-
ли межъядерное расстояние d = 115 пм; 2) вращательную постоян-
ную В молекулы; 3) темяературу Т, при которой средняя кинетичес-
кая энергия поступательнвго движения молекулы равна энергии, необ-
ходимой для ее возбуждения на первый вращательный энергетический
уровень. Относительные атомные массы An и Ао равны соответствен-
но 14 и 16. ,
48-25. Установить числовое соотношение между энергией е излучения
и спектроскопическим волновым числом v.
48-26. Найти расстояние d между ядрами молекулы СН, если интер-
валы Av между соседними линиями чисто вращательного спектра ис-
пускания данной молекулы равны 2© см"1.
48-27. Определить, на сколько изменится .импульс молекул азота при
испускании спектральной линии с длиной волны 1 = 1250 мкм, кото-
рая принадлежит чисто вращательному спектру.
48-28. Длины волн и К2 Двух соседних спектральных линий в чисто
вращательном спектре молекулы НС1 соответственно равны 117 и 156
мкм. Вычислить вращательную постоянную (см-1) для молекулы НС1.
48-29. Будет ли монохроматическое электромагнитное излучение с дли-
ной волны 1 = 3 мкм возбуждать вращательные и колебательные уров-
ни молекулы HF, находящейся в основном состоянии?
48-30. Определить кратность вырождения энергетического уровня
двухатомной молекулы с вращательным квантовым числом
ГЛАВА 10
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 49. ЭЛЕМЕНТЫ
КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Основные формулы
1. Молярный объем кристалла
Уш = М/р,
где 'М — молярная масса вещества; р —плотность кристалла.
Объем V элементарной ячейки в кристаллах:
при кубической сингонии................. V = а9
У~~3
при гексагональной сингонии ....... V——-— а2о
Здесь а и с — параметры решетки.
Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение с «
= Д/в/За, то V = V2&.
2. Число Zm элементарных ячеек а одном моле кристалла
Zm = Vm/V, или Zm== kNfjtl,
где k — число одинаковых атомов в химической формуле соединения (напри-
мер, в кристалле Ag Вг число одинаковых атомов Ag или Вг в химической фор-
муле соединения равно единице); МА — число
Авогадро; п — число одинаковых атомов,
приходящихся на элементарную ячейку.
На рис. 49.1 представлена структура NaCl;
аналогичную структуру имеют соединения
КВг, AgBr, МпО и др.
Число Z элементарных ячеек в единице
объема кристалла
2 = Zra/Vra,
или в общем случае
Рис. 49. J
©-Na
О-Ct
, k NA
Z=PT7T:
для кристалла,
атомов (k = 1)
состоящего из одинаковых
Ад
Z=p——•
1 пМ
3. Параметр а кубической решетки
a =v/'nM/(kpNh).
Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:
в гранепеитрированной................ . d=a/V 2
в объемно-центрйрованной........................ d—]f 3 с/2
400
4, Для обозначения узлов,
. направлений и нпоскостей в ре-
шетке вводятся специальные ин-
- дексы.
Индексы узлов записывают в
двойных квадратных скобках
[[тпр]].
Для отрицательных индексов
над буквой ставится знак минус,
например т (рис. 49.21
5. Индексы направлений, за-
писываются в одинарных, -квад-
ратных скобках [тпр]. Индекс
- направлении совпадает с индек-
сом узла, через который проходит
. прямая, если эта прямая одноаре-
менно’проходит и' через начало
координат [[ООО]] (рис. 49:2).
Индексы направления задают
не одну прямую в кристалле, а
семейство_параллельных прямых. Изменение, всех индексов на обратные по
знаку [тпр] означает то же самое направление в кристалле.
в. Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [тпр], в ку-
бической решетке выражается соотношением
/ = а Д/и2-J-n2 Ч-р2 >
где апараметр решетки.
7. Угол <р между прямыми [/zii«iPi] и [т2п2р2] в кубической решетке выра-
жается формулой
т1 т2~1~п1 п2
cos <р = — —— .............
l/mf+njM-pi2 Vm»+nf +pI
8. Индексы плоскости (индексы Мнллер.а) записывают в круглых скобках
(hkl). Изменение всех индексов на обратные (hkl) отвечает тому же семейству
плоскостей.
Индексы Миллера связаны с минимальными отрезками, отсекаемыми плос-
костью на осях координат.
г 9. Дли нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов
Миллера (1/Л; 1//г; 1/1) и привести их к наименьшему целому, кратному каждо-
му из полученных .чисел. Полученные значения и есть наименьшие отрезки, от-
секаемые плоскостью (hkl) на осях координат.
Если известны отрезки, отсеваемые на осях координат, то индексы Милле-
ра находится аналогичным путем (см. пример 4). Индексы Миллера пропорцио-
нальны направляющим косинусам вектора нормали к данной плоскости. Поэто-
му индексы Миллера для некоторого семейств^ плоскостей совпадают с индекса-
ми направлений нормали к этим плоскостям.
10. Угол <р между плоскостями (h^li) и (h2k2l2) определяется из формулы
hi h2 4- k\k2 -J--1} l2
cos <p = —. —— --- . ;
+ Vhl + + 4
а между прямой [тпр] и плоскостью (hkl) — из формулы
hm -|- kn 4- lp
' COS ф => - -------------•
V ft2 4- № 4- z2 Vm2 4- л2 + рг
401
Примеры решедря задач
1. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную
ячейку в гранецентрированной кубической решетке.
Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис.
49.3) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принад-
лежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются
узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся
на гранях куба в точке пересече-
ния диагоналей).
Узел А принадлежит одновре-
менно восьми элементарным ячей-
кам. Следовательно, в данную
ячейку узел А входит с долей 1/8.
Узел В входит одновременно только
в две ячейки и, следовательно, в
данную ячейку узел В входит о
долей 1/2. Если учесть, что число
узлов типа А в ячейке равно
восьми, а число узлов типа В равно
шести, т. е. числу граней, то об-
щее число узлов, приходящихся
на одну элементарную ячейку • в
гранецентрированной решетке,
(1/8)-8 + (1/2)-6 ===
= 1 +3 = 4 узла
Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей
структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома
2. Определить параметр а решетки « расстояние d между ближайшими
соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрирован-
ная кубической сингонии). Плотность р кристалла кальция равна
1,55-103 кг/м3.
Решение. Параметр а кубической решетки связан с объемом элемен-
тарной ячейки соотношением Е = о8. С другой стороны, объем элемен-
тарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементар-
ных ячеек в одном моле кристалла: V = V^IZa,. Приравняв правые
части приведенных выражений для V, найдем
а3 = VJZm (1)
Молярный объем кальция — М/р, где р — плотность кальция;
М — его молярная масса Число элементарных ячеек в одном моле
Zjy, ~ Л^д/и,
где п — число атомов,- приходящихся на одну ячейку. Подставив в
формулу (1) приведенные выражения для и Zm, получим
а3 = нЛ1/(рЛд).
402
Отсюда
_. з__________________,
a^VnMl(pNA): (2)
Подставим значения величин п,>
Л4, р и N& в формулу (2), учи-
тывая, что п = 4 (см. предыдущий
пример). Произведя вычисления, най-
дем
а — 556 дм. ₽ис’ 49«4
Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится
из простых геометрических соображений, ясных из рис. 49.4:
d ** ctfyf 2.
Подставив в это выражение найденное ранее значение а, получим
d *= 393 пм.
3. Написать индексы направления прямой, проходящей через узлы
U1OOJJ и 11001И кубической примитивной решетки.
Решение. Эту задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Изобразим кубическую примитивную ячейку, от-
метим на ней узлы с индексами ftlOO]] и 11001]] и проведем через эти
узлы прямую (рис. 49.5, а).
Если бы прямая проходила через начало координат, то индексы ее
направления совпадали бы с индексами узла, ближайшего к началу
координат, через который проходит прямая
Заданная прямая не проходит через начало координат. Но этого
можно достигнуть, перенеся начало координат в один из узлов, через
которые проходит прямая.
Если перенести начало координат в узел 11100]I (рис. 49.5, б), то
узел, лежащий на той же прямой и ближайший к выбранному началу
403
координат, будет иметь индексы. 1(101]], а искомое направление в
этом случае определится индексами [101].
Если же начало координат перенести в узел [[001]] (рио._49.5, в),
то соответственно индексы искомого направления будут [101]. Итак,
индексы искомого направления в кристалле [101] или [101].
2-й способ. Не всегда бывает легко определить, как изменятся
индексы узлов при переносе ^начала координат. Поэтому рассмотрим
аналитический метод решения.
Напишем в общем виде уравнение прямой, проходящей через две
точки в пространстве, с индексами узлов [[/rz1n1p1JJ и [[лгапгра]]:
x—ntj = у~пг = г—Pt (р
m.2—т, п2 — «1. Ра—Pi *
Величины, стоящие в знаменателе, пропорциональны направляю-
щим косинусам прямой. Но так как эти величины целочисленны, то они
и будут являться индексами направления.
Подставив в знаменатель выражения (1) значения индексов узлов
tn-i =1, и, = 0, pj = 0 и ms = 0, п2 = 0, ръ = 1, получим:
та— т1 — 0—1= — 1, па— п1 = 0 — 0 = 0, ра— А =
• = 1 — 0=1.
Таким образом, искомые индексы направления [101].
4. Написать индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с ин-
дексами [[200]],-[[010]] и [[001]]. Решетка кубическая, примитивная.
2 Решение. Возможны два способа
решения задачи.
1-й способ применим в тех
случаях, когда узлы, принадлежа-
ТГ0Ю/П щие плоскости, лежат одновременно
X и на осях координат (т. е. извест-
/5 ны отрезки, отсекаемые плоскостью
iggs. на осях координат}.
-------1-- В данном случае узлы, принад-
лежащие плоскости, лежат на осях
координат, и отрезки (в единицах
I постоянной решетки), отсекаемые
на осях координат этой плос-
Рнс. 49.6 • костью, соответственно будут
(рис. 49.6)2, 1, 1.
В соответствии с общим правилом нахождения индексов Миллера
напишем обратные значения полученных чисел у, -р; -р и приведем их
к наименьшему целому кратному этих чисел. Для этого умножим числа
на два. Полученная совокупность значений, заключенная в круглые
скобки, и есть искомые индексы Миллера (I, 2, 2).
2-й способ (аналитический) особенно удобен тогда, когда из-
вестные узлы не лежат на-осях координат. Этот способ является об-
щим и применим во всех случаях.
404
Известно, что индексы Миллера равны наименьшим целочисленным
коэффициентам при переменных в уравнении плоскости. Поэтому, ре-
шение задачи по определению индексов Миллера сводится, по существу,
к отысканию уравнения плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами
IlmtHtPj], Ит^ПгрЛ, П/ПаПярЛ, дается определителем третьего
порядка
х—y—rii г—pi
гпг—т.1 «г—«i Рг—p-L ’°-
та—тл п„—П1 р9—р!
В нашем случае! т1 - 2, гц -fc 0, рх = 0; mt = 0, ns-= .1, ръ = О,
ms = 0, п8 = 0, р3 = 0. Подставляя значения индексов узлов в оп-
ределитель, получим
х—2
0—2
0 — 9
Р-0
1—0
0—0
г—О
0—0
1—6
= 0, или
х—2 у
—2 1
—2. О
= 0.
z
О
1
Разложим этот определитель по элементам первой строки!
Раскрывая определитель второго порядка, получим
(х — 2) (+1) — у (— 2) 4- г (4- 2) — 0, или х14- 2р 4- 2г 2
Выписав коэффициенты при х, у, г и задоючив их в круглые скобки,
получим индексы Миллера
• (12,2).
Эти значения индексов, как и следовало ожидать, совпадают со зна-
чениями, полученными первым способом.
Задачи
Элементарная ячейка.
Параметры решетки
49-1. Сколько атомов приходится на одну элемеюарную ячейку:
1) примитивной решетки кубической сингонии; 2) объемно-центриро-
ванной решетки ромбической сингонии; 3) гранецентрированной ре-
шетки кубической сингонии; 4) базоцентрированной решетки ромби-
ческой сингонии; 5) примитивной решетки гексагональной сингонии!
6) гексагональной структуры с плотной упаковкой
49-2. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом к=*
= I м3: 1) хлористого, цезия (решетка объемно-центрированная куби-
ческой сингонии); 2) меди (решетка гранецентрированная кубичее-,-
кой сингонии); 3) кобальта, имеющего гексагональную структуру а
плотной упаковкой.
405
49-3. Найти плотность р кристалла неона (при 20 К), если известно, что
решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная а
решетки при той же температуре равна 0,452 нм.
49-4. Найти плотность р кристалла стронция, если известно, что решет-
ка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние d между
ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм.
49-5. Определить относительную атомную массу Ат кристалла, если
известно, что расстояние d между ближайшими соседними атомами рав-
но 0,304 нм. Решетка объемно-центрированная кубической сингонии.
Плотность р кристалла равна 534 кг/м’.
49-6. Найти постоянную а решетки и расстояние d между ближайшими
соседними атомами кристалла: 1) алюминия (решетка гранецентриро-
ванная кубической сингонии); Ё) вольфрама (решетка объемно-центри-
рованная кубической сингонии).
49-7. Используя метод упаковки шаров, найти отношение da парамет-
ров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать при-
чины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычислен-
ного.
49-8. Определить постоянные а и с решетки кристалла магния, кото-
рый представляет собой гексагональную структуру о плотной упаков-
кой. Плотность р кристаллического магния равна 1,74-10я кг/м8.
49-9. Вычислить постоянную а решетки кристалла бериллия, которйй
представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой.
Параметр а решетки равен 0,359 нм. Плотность р кристалла бериллия
равна 1,82- 10я кг/м8.
49-10. Найти плотность р кристалла гелия (при температуре 7 =»
= 2 К), который представляет, собой гексагональную структуру в
плотной упаковкой. Постоянная а решетки, определенная при той же»
температуре, равна 0,357 ,нм.
Индексы узлов, направлений
и плоскостей
49-11. Определить индексы узлов, отмеченных на рис. 49.7 буквами
А, В, С, D .
49-12-. Написать индексы направления прямой, проходящей в кубичес-
кой решетке через начало координат и узел с кристаллографическими
•- индексами, в двух случаях»
1) [[242JJ; 2) ЦГТ511
49-13. Найти индексы направ-
лений прямых АВ, CD, KL,
изображенных на рис 49.8,
а, б; в.
49-14. Написать индексы на-
правления прямой, проходя-
щей через два узла с кристал-
лографическими индексами
(в двух случаях): 1) (1123]]
и U32TJJ; 2) [[121 ]] и [[20П].
406
49-15. Вычислить период I идентичности вдоль прямой [111] в решет-
ке кристалла NaCl, если плотность р кристалла равна 2,17-10s кг/м3.
49-16. Вычислить угол ф. между двумя направлениями в кубической
решетке кристалла, которые заданы кристаллографическими индек-
сами [ЦО] и [111].
49-17. Написать индексы Миллера для плоскостей в примитивной ку-
бической решетке, изображенных на рис. 49.9, а — е.
49-18. Плоскость проходит через узлы ][100]], [[010]], [[001]] кубичес-
кой решетки. Написать индексы Миллера для этой плоскости.
49-19. Система плоскостей в примитивной кубической решетке за-
дана индексами Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсекае-
мые плоскостью на осях
координат, и изобразить
эту плоскость графически.
49-20. Направление нор-
мали к некоторой плоско-
сти в кубической решетке
задано индексами 1110].
Написать индексы Милле-
ра-для этой плоскости и
указать наименьшие отрез-
ки, отсекаемые плоскостью
на осях.
49-21. Написать индексы
Миллера для плоскостей,
содержащих узлы с кри-
сталлографическими индек-
сами, в двух случаях:
1)П1Ш], [[H2J, 1Н01]]; 2) [[1T1J], [[010]], ППЦ]. Найти отрезки,
отсекаемые этими плоскостями на осях координат.
49-22. Система плоскостей примитивной кубической решетки- задана
индексами (111). Определить расстояние d между соседними плоскос-
тями, если параметр а решетки равен 0,3 нм.
49-23. Определить параметр а примитивной кубической решетки, ес-
ли межплоскостное расстояние f/для системы плоскостей, заданных ин-
407
дексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказа-
лось равным 0,12 нм.
49-24. Три системы плоскостей в примитивной кубической решетке
заданы индексами Миллера: а) (111); б) (НО); в) (100). Указать, для
какой системы межплоскостные расстояния d минимальны и для какой
.системы — максимальны. Определить отношения межплоскостных рас-
стояний dm'^uo-^ioo-
49-25. Вычислить угол <р между нормалями к плоскостям (в кубичес-
кой решетке), заданных индексами Миллера (111) и (111).
49-26. Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Мил-
лера (010) и (011). Определить угол <р между плоскостями.
49-27. В кубической решетке направление прямой задано индексами
[0Ш. Определить угол ср между этой прямой и плоскостью (1Т1).
49-28. Определить в кубической решетке угол <р. между прямой [111]
"и плоскостью (111).
*49-29. Плоскость в кубической решетке задана индексами Миллера
(ОН), направление прямой—индексами [111]. Определить угол <р
между прямой и плоскостью.
§ 50. тепловые^СвойСТВА- Основные формулы
1. Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из оди«
паковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается
формулой
’ <7т = 3/?Т,
где R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура.
2. Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме определяется кав
производная от, внутренней энергии U по температуре, т. е.
С = «117/67.
3. Закон Дюлонга ’и Пти. Молярная теплоемкость химически простых
твердых тел j
Cm = 3R
4. Закон Неймана—Коппа. Молярная темплоемкость химически сложных
тел (состоящих из различных атомов)
Cm = п < 3R,
где п — общее число частиц в- химической формуле соединения.
5. Среднее значение энергии <е> квантового осциллятора, приходящегося
на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается форму-
лой <
Аы
<е> = во 4- - -——- • ~,
схр (Л®/(А7)| — I
где е0 — нулевая энергия (е0 =. 1/аЛ<£>); Л —постоянная Планка;.® — круговая
частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; f — термолина-
мнческая температура.
6. Молярная, внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемко
сти Эйнштейна определяется по формуле
I
Rm= б'mu 4 • 4R
exp (6д/г)— 1
408 ’
гае £/т0 = 3/гД0д — молярная нулевая энергия по Эйнштейну; 0F = ha>/k —
характеристическая- температура Эйнштейна.
,7. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости
Эйнштейна
I
т
Л ' ехр (Од/Т)
' (ехр (0д/7) - 1)«
При низких температурах (Т < 0е)
СЮ = 3/?(0Е/Т) ехр(-0д77).
8. Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая
задается функцией распределения частот g (©). Число dZ собственных частот
тела, приходящихся на интервал частот от © до © + d©, определяется выраже-
нием
<1Z = g (©)d©.
Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов, -
dZ = —-— и8 d©,
где ©max — максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.
9. Энергия U твердого тела связана с средней энергией <е> квантового
осциллятора н функцией распределения частот g (ш) соотношением
“max
, U= f <8>£<©>dto.
10. Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю
хз
--:------ dx,
ехр (х)— 1
k’m — t/mo+ 3RT-3
' ' о
где l/mo = в/я/?0р,— молярная нулевая энергия кристалла по ДебгГю; 0D =
•-= Л©тах^ — характеристическая температура Дебая.
11. Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю
0D/r
хЗ dx
ехр (х)— 1
о
3(0р/7’)
Cm=3/? 12(7/0d)« J
exp(0D/T)—• 1
Предельный закон Дебая. В области низких температур* * (Т < 0D) послед-
. ния формула принимает вид
12л4 „
' On — R
О
з
Т
®D
12. Энергия е фонона** связана с круговой, частотой ® колебаний клас-
сической волны соотношением
8= Ни'
* Считать для решения задач Т < 0D; если T/0D < 0,1.
• *• Фонон —квазичастица, являющаяся .квантом поля колебаний кристал-
лической решетки.
409
IS. Квазиимпульс фонона
P*n$nJlfKl
14. Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в крие»
талле
и = de/dp.
При малых значениям энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и
тогда групповая и фазовая скорости совпадут:
и =» ₽ = е/рс
15. Скорости продольных (ой ® поперечин» (pj) волн в кристалле опреде-
лнютс» ио формулам!
Oz = VE7P. Of =
где £ и О — модули соответственна продольной и поперечной упругости.
Усредненное значение скорости звука о связано о V( и vt соотношением
_3_____2 I
о» ~ vf ’
16. Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через поверхность
площадью 3, перпендикулярную направлению' теплового погона, за время di,
равно
dQ = —HdrZdxJSdZ,
где X — теплопроводность; dTlAx — градиент температуры. Знак минус в фор-
муле показывает, что направление теплового потока противоположно аектору
градиента температуры.
17. Теплопроводность К, теплоемкость С, рассчитанная иа единицу объема,
скорость v звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега
Л фоновое связаны соотношением
< = 1/,СиЛ
18. Относительное изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера,
Дщ v
-----= —cos О
•-с .
где v — скорость атома; с — скорость распространения электромагнитного из-
лучения; © — угол между вектором * и. направлением наблюдения (от атома 6
наблюдателю).
19. Энергия отдачи ядра, при испускании гамма-фотона
где firn — энергия гамма-фотона; тп — масса ядра.
20. Естественная ширина спектральной линии
Г=Л/т,
где т — среднее время жизни ядра (атома) в возбужденном состоянии.
21.. Сила f (х), возвращающая частицу в положение рано веси я при ангар-
монических колебаниях, определяется выражением
I (х) = — ₽х + ух2,
гле Р — коэффициент гармоничности, связанный о равновесным расстоянием
х0 между атомами, кристалла, и модулем продольной упругости Е соотношением
0 “ г0£)
410
22. Коэффициент
V — коэффициент ангармоничности, характеризующий ассиметрию колебаний
атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величин можно принять
1 ₽
Т=7Т
линейного расширении, по определению,
1 dl
<х = — - .
I г1Т
выражается через коэффициенты В и у формулой
или приближенно
р г. г \ л р* у
где k — постоянная Больцмана,
Теоретически ов
Примеры решения задач
1. Определить количество теплоты AQ, необходимое для нагревания
кристалла NaCl массой т = 20 г на АТ = 2 К, в двух случаях, если
нагревание происходит от температуры: 1) 7\ = OdJ 2) Та = 2 К-
Характеристическую температуру Дёоая 6d для NaCl принять равной
320 К.
Решение. Количество теплоты AQ, подводимое для нагревания тела от
температуры tj до т2, может быть вычислено по формуле
A<? = JCdT, (1)
t.
где С — теплоемкость тела (системы). ч
Теплоемкость гела связана с молярной теплоемкостью (?т соотнптпр- ’
нием С = (zn/M) Сга, где т — масса тела; М — молярная масса. Под-
ставив это выражение С в формулу (1), получим
Д(? = (/п/Л!) j Ст dT.
(2)
В общем случае Ст есть функция температуры, поэтому за -знак ин-
теграла ее выносить нельзя* Однако в первом случае изменением теп-
лоемкости’по сравнению с ее значением при температуре Тх можно пре-
небречь и считать ее на всем интервале температур АТ постоянной и
равной Cm (TJ. Ввиду этого формула (2) примет вид
AQ = (т/М)Ст (Тж) АТ (3)
Молярная теплоемкость Ст (Тж) в теории Дебая выражается форму-
лой
rCm(Tt) = 3/? 12(Ti/Go Г J
_ 3(-ер/Г1)
'411
°D/7' I
Вт n С X3 dx C *3 <1*
первом случае при Tг = 0D интеграл I -----------=|------- —
J е*'—1 J еА — 1
о о
= 0,225 (см. табл. 2) и,-следовательно,
Сга = 2,87 R.
Подставляя это значение Ст в формулу (3), получим,
Д<2 == 2,87 (т/М} R&T. ' (4)
Произведя вычисление по формуле (4), найдем
ДО = 16,3 Дж. .
Во втором случае (Т <£ 0D) нахождение AQ облегчается гем, что
можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с кото-
рым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры.
В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного’
интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в фор-
муле (2). \
Используя выражение предельного закона Дебая Ст — — R (д-| ,
° \”о/
получим
Т»+А?
д<2==-1^-—— С rad7.
' 5 М О» J
Г,
Выполним интегрирование: '
дС„ i2j*4 m R Г (Т,+ ДТ)« Ш ’ (5)
б М > 4 ] * v *
С учетом того, что Т2 4- ДГ *= 2 Т2, выражение (5) примет вид
ДО = — £- 15TJ, или &Q = 9л® — R 21..
• 5 М % . М %
Подставив в последнюю формулу значения величин л, /л, М, R, Т
й 0£> и произведя вычисления; найдем
ДО = 1,22 мДж.
Задачи
Классическая теория"
теплоемкости
50-1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюминия и ме-
ди по классической теории теплоемкости
50-2. Пользуясь классической теорией, вычислись удельные геплоем-
кости с кристаллов NaCl и СаС1а.
412
50-3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость -
С кристалла бромида алюминия А1Вг3 объемом- V = 1 м3. Плотность
р кристалла бромида алюминия равна 3,01 • 103 кг/м3.
БО-4. Определить изменение Д(7 внутренней энергии кристалла нике-
ля при нагревании его от t = 0° С до t2 = 200° С. Масса т кристалла
равна 20 г. Теплоемкость С вычислить.
50-5. Вывести формулу, для средней энергии классического ли-
нейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вы-
числить значение при Т = 300 К.
БО-6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоящей иа
N — 1025 классических трехмерных независимых гармонических ос-
цилляторов. Температура Т = 300 К-
У Казани е. Использовать результат решения задачи 50-5.
Теория теплоемкости Эйнштейна
50-7. Определить: 1) среднюю энергию <е> линейного одномерного
квантового осциллятора, при температуре Т = 0£ (0£ = 200 К);
2) энергию U системы, состоящей из N = 10®5 квантовых трехмерных
независимых осцилляторов, при температуре Т = 0£ (0£ = 300 К).
50т8. Найти частоту v колебаний атомов серебра по теории теплоем-
кости Эйнштейна, если характеристическая температура - 0£ серебра
равна 165 К.
50-9. Во сколько раз изменится средняя энергия <е> квантового ос-
циллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении
температуры от Т\ = 0£/2 до Т2 = 0£? Учесть, нулевую энергию.
50-10. Определить отношение <е>/<;ег2> средней энергии кванто-
вого осциллятора к средней энергии теплового движения молекул иде-
ального газа при температуре Т = 0£.
50-11. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна,- вы-
числить изменение Д t/m молярной внутренней энергии кристалла при
нагревании его на Д7 = 2 К от температуры Т = 0£/2.
50-12. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изме-
нение At/m молярной внутренней энергии кристалла при нагревании
его от нуля до Tt = 0,1 0£. Характеристическую температуру 0£
Эйнштейна принять для данного кристалла равной 300 К.
50-13. Определить относительную ’погрешность, которая будет допу-
щена, если при вычислении теплоемкости С вместо значения, даваемого
теорией Эйнштейна (при Т = 0£), воспользоваться значением, давае-
мым законом. Дюлонга и Пти.
50-14. Вычислить по. теории Эйнштейна молярную нулевую энергию
l/m0 кристалла цинка. Характеристическая температура. 0£ для.цин-
'ка равна 230 К.
Теория теплоемкости Дебая
50-15. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как сис-
тему из продольных и.поперечных стоячих волн, установить функцию
распределения частот g (<о) для кристалла с трехмерной кристалличес-
кой решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний
Z огриннчеяо и равно 3 Д' (jV — число атомов в рассматриваемом объ-
еме).
9Л/
БО-16. Зная функцию распределения частот g (о>) = -у— ®- для трех-
1П1НХ
мерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергия
кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) ато-
мов.
50-17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла
Г лМ д
J ?Г7‘
п
Um = 3RT.3
получить выражение для молярной теплоемкости.
50-18. Молярная теплоемкость трехмерного кристалла
! - eDjT
“ - 1 ee°/r - 1
Найти предельное щыра-кеаие .молярной теплоемкости при низких тем-
пературах (Т 4Ь).
50-19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Дт,в
кристалла меда. Характеривтичаская температура 9т, меди равна 320К.
50-20. Определить максимальную частоту %, собственных колеба-
ний в кристалле золо,т.е по теории Дебая. Характеристическая темпе-
ратура 0d равна <<80 К.
50-21. Вычислять максимальную частоту Дебая, если известно,
что молярная теплоемкость Ст серебра при Т — 20 К равна
1,7 ДжДмоль-К).
50-22. Найти отношение изменения AU внутренней энергии кристалла
при нагревании его пт нуля до Т — 0,1 к нулевой энергии U*. Счи-
тать Т •< О©.
50-23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение
AUa молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его
от нуля до Т — >0.1 'Oio X арак герпетическую температуру 0д Дебая
принять для .данного кристалла равной 300 К.. Считать Т < ©о.
50-24. Используя «вантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить
изменение AUn -молярной внутренней энергии кристалла при нагрева-
нии его на Д7 = 2 К от температуры Т — 0о/2.
50-25. При нагреваний серебра массой «г =,10 г от 7’4"=10 К до 7^=
= .20 К было подведено AQ = 0,71 Дж теплоты. Определять характе-
ристическую температуру 0D Дебая серебра. Считать У < 0т>
50-26. Определить относительную погрешность, которая будет допу-
щена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения,
даваемого теорией Дебая (при Т = 0О), воспользоваться значением,
даваемым законом Дюлонга ,® Пти.
50-27. Найти «липшение 0в/0с характеристических температур Эйнш-
тейна и Дебая.
414
Указание. Использовать выражения для' нулевых энергий, вычислен-
ных по теориям Эйнштейна и Деба’й
60-28. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как сис-
тему из продольных и поперечных стоячих воли, установить функ-
цию распределения частот g (го) для кристалла е двухмерной решеткой
(т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При вы-
воде принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно
3 N (М — число атомов в рассматриваемом объеме).
50-29. Зная функцию распределения частот g (<в}=® для криетал-
ла в двухмерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергии
U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50-30 Получить выражение для молярной теплоемкости Ст> исполь-
зуя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмер-
ной решеткой:
50-31. Молярная теплоемкость кристалла в двухмерной решеткой вы-
ражается формулой
Cm = 3R 6 (Т/ёо )г
2(®Р/Ч
Найти предельное выражение малярной теплоемкости кристалла при
низких температурах (!Г <£ 0G).
50 32. Вычислить молярную внутреннюю энергию кристаллов о
двухмерной решеткой, если характеристическая температура 0Р Де-
бая равна 350 К.
50-33. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как сис-
тему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию
распределения частот g (го) для кристалла в одномерной решепр й
(т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействую-
щие друг в другом). При выводе принять, что число собственных .коле-
баний Z ограничено и равно 3 N(N — число атомов в рассматриваемом
объеме).
50-34. Зная функцию распределения частот g (го) = 3 Л//ютах для'
кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутренней
энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогад-
ро) атомов.
50-35. Получить выражение для молярной теплоемкости, используя
формулу для молярной внутренней энергии кристалла с одномерной
решеткой:
,um=3RT(TieD) f
ьл J с j.
о
I
415
Г * *** вр /Т'
J e’-J Л/г_!
50-36. Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой вы-
ражается формулой
Cm = 3R 2(770р)
Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при
низких температурах (Г 0DK
50-37. Вычислить молярную нулевую энергию Um0 кристалла с одно-
мерной решеткой, если характеристическая температура 0р Дебая
равна 300 К.
Теплопроводность неметаллов.
. Фононы
50-38. Вода при температуре 4 = 0° С покрыта слоем льда толщиной
h — 50 см. Температура tx воздуха равна 30° С. Определить количество
теплоты Q, переданное водой за бремя т = 1 ч через поверхность льда
площадью 3=1 мг. Теплопроводность X льда равна 2,2 Вт/(м-К).
50-39. Какая мощность N требуется.для того, чтобы поддерживать
температуру — 100° С в термостате, площадь 5 поверхности которого
равна 1,5ма, толщина Л изолирующего слоя .равна 2 см и внешняя тем-
пература t = 20° С?
50-40; Найти энергию е фоноиа, соответствующего максимальной час-
тоте сошах Дебая, если характеристическая температура 0р Дебая рав-
на 250 К.
50-41. Определить квазиимпульс р фонона,- соответствующего частоте
ха = 0,1 ®тах. Усредненная скорость о звука в кристалле равна-1380
м/с, характеристическая температура ,0р Дебая -равна 100 К. Диспер-
сией'звуковых волн в кристалле пренебречь.
50-42. Длина волны X фонона, соответствующего частоте -и =
= 0,01 ютах, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн,
определить характеристическую температуру 0D Дебая, если усред-
ненная скорость v звука в кристалле равна 4,8 км/с.
50-43. Вычислить усредненную скорость v фононов (скорость.звука) в
серебре. Модули продольной Е и поперечной G упругости, а также
плотность р серебра считать известными?
50-44. Характеристическая температура 0р Дебая для вольфрама рав-
на 310 К. Определить длину’волны Л фононов, соответствующих часто-
те v = 0,1 утду. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить.
Дисперсией волн в кристалле пренебречь.
50-45. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы ко-
торого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен
0,3 нм. Определить максимальную энергию етак фононов, распростра-'
няющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость и звука
в кристалле равна 5 км/с.
50-46. Определить усредненную скорость v звука в кристалле, харак-
теристическая температура 0 которого равна 300 К- Межатомное рас-
стояние d в кристалле равно 0,25 нм.
416
50-47. Вычислить среднюю длину <£> свободного пробега фононов в
кварце SiO2 при некоторой температуре, если при той же температуре
теплопроводность А = 13 Вт/(м-К), молярная теплоемкость С =
— 44 Дж/(моль- К) и усредненная скорость v звука равна 5 км/с.
Плотность р кварца равна 2,65-103 кг/мя.
50-48. Найти отношение средней длины <£> свободного пробега фоно-
нов к параметру d решетки при комнатной температуре в кристалле
NaCI, если теплопроводность X при той же температуре равна
71 Вт/(м-К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана — Коппа.
Относительные атомные массы: Л Na = 23, Ла — 35,5; плотность р
кристалла равна 2,17«103 кг/ма. Усредненную скорость и звука при-
нять равной 5 км/с.
50-49. Вычислить фононное давление р в свинце при температуре
t = 42.5 К Характеристическая температура 9О Дебая свунца равна
85 К.
50-50. Определить фононное давление р в меди при температуре Т =
= 0р. если 0D = 320 К.
Эффект Мёссбауэра
50-51. Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испус-
кании фотона движущимся атомом, получить формулу доплеровского
смещения Д<о/<о для нерелятивистского случая.
50-52. Вычислить энергию /?, которую приобретает атом вследствие от-
дачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спектра (А =.
= 500 нм); 2) при рентгеновском излучении (А = 0,5 нм); 3) при гам-
ма-излучении (А == 5-10-3 нм). Массу т& атома во всех случаях считать
одинаковой и равной 100 а. е. м.
50-53. Уширение спектральной линии излучения атома обусловлено
эффектом Доплера и соотношением неопределенностей. Кроме того,
•вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии.
Оценить для атома водорода относительные изменения (АА/A) длины
волны излучения, обусловленные каждой из трех причин; Среднюю
скорость <Zv> теплового движения атома принять равной 3 км/с,
время т жизни атома- в возбужденном состоянии 10 нс, энергию в
излучения атома — 10 эВ,
50-54. При испускании у-фотона свободным ядром происходит смеще-
ние и уширение спектральной линии. Уширение обусловлено эффек-
том Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение—яв-
лением отдачи. Оценить для ядра 67 Fe относительные изменения
(Av/v) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При
расчетах принять среднюю скорость <р> ядра (обусловленную тепло-
вым движением) равной 300 м/с, время т жизни ядра в возбужденном
состоянии — 100 нс и энергию е,у гамма-излучения равной 15 кэВ.
50-55. Найти энергию А£ возбуждения свободного покоившегося ядра
массы jnR, которую оно приобретает в результате захвата гамма-фото-
на с энергией е.
50-56. Свободное ядро 40К испустило гамма-фотон с энергией eY =•
= 30 кэВ. Определить относительное смещение АА/Аспектральной-ли-
нии, обусловленное отдачей ядра.
14 Зак. 94
'417
50-57. Ядро 67Zn с энергией возбуждения ДЕ = 93 кэВ перешло в ос-
новное состояние, испустив гамма-фотон. Найти относительное изме-’
нение &£у/Еу энергии гамма-фотона, возникающее вследствие отдачи
свободного ядра.
50-58. Энергия связи £св атома, находящегося в узле кристаллической
решетки, составляет 20 эВ. Масса те атома равна 80 а.е.м. Определить
минимальную энергию гамма-фотона, при испускании которого атом
вследствие отйачй может быть*вырван из узла решетки.
50-59. Энергия возбуждения Д£ ядра 101 1г равна 129 кэВ. При какой
скорости v сближения- источника и поглотителя (содержащих свобод-
. ные ядра 191 1г) можно вследствие эффекта Доплера скомпенсировать
сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер?
50-60. Источник и поглотитель додержат свободные ядра "Кг. Энер-
гия возбуждения ДЕ ядер равна 9,3 кэВ. Определить скорость v сбли-
жения источника и поглотителя, при которой будет происходить ре-
зонансное поглощение гамма-фотона.
50-61. Источник и поглотитель содержат ядра 161Dy. Энергия возбуж-
дения ДЕ ядра равна 26 кэВ, период полураспада 7\/а = 28нс. При ка-
кой минимальной скорости пш1п сближения источника и поглотителя
нарушится мёссбауэровское поглощение гамма- фотона?
50-62, При скорости v сближения источника и поглотителя (содержа-
щих свободные ядра 1взЕг), равной 10 мм/с, нарушается мёссбауэров-
" ское поглощение гамма-фотона с энергией = 98 кэВ. Оценить по
этим данным среднее время т жизни возбужденных ядер 168 Ег.
50-63. Источник гамма-фотонов расположен над детектором поглоти-
телем на расстоянии 1= 20 м. С какой скоростью v необходимо пере-
мещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было
полностью скомпенсировано изменение энергии гамма-фотонов, обус-
ловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?
Тепловое расширение твердых тел
50-64. Найти коэффициент объемного расширения р для анизотроп-
ного кристалла, коэффициенты линейного расширения которого по
трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют <хэ =
= 1,25-10-» К"1; а2= 1,10-Ю^К"1; а3 = 1,15-lO-’K"1--
50-65. Вычислить максимальную силу Ешах, возвращающую атом
твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармонично-
сти ₽ = 50 Н/м, а коэффициент ангармоничности у = 500 ГПа.
50-66. Определить силу F (соответствующую максимальному смеще-'
нию), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда
тепловых колебаний составляет 5% от среднего межатомного расстоя-
ния при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гар-
моничности Р = 50 Н/м, коэффициент ангармоничности у = 500 ГПа,
среднее межатомное расстояние г0 = 0,4 нм.
50-67. Каково максимальное изменение ДПШИ потенциальной энер-
гии атомов в кристаллической решетке твердого тела при гармоничес-
ких колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5%
от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние г0 между ато-
мами принять равным 0,3 нм, модуль Юнга Е = 100 ГПа.
418
50-68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решет-
ке твердого тела подчиняется закону Гука F (х) = — fix, то тепловое
расширение отсутствует.
50-69. Определить коэффициент гармоничности 0 в уравнении колеба-
ний частиц твердого тела, если равновесное расстояние гп между части-
цами равно 0,3 нм, модуль Юнга Е — 200 ГПа.
50-70. Оценить термический коэффициент расширения а твердого тела,
считая, что коэффициент ангармоничности у а; 0/(2 г0). При оценке
принять: модуль Юнга Е = 100 ГПа. межатомное расстояние гп =*
*= 0,3 нм.
50-71. Вычислить коэффициент ангармоничности у для железа, если
температурный коэффициент линейного расширения а =1,2- 10-5К~1.
межатЬмное расстояние = 0,25 нм, модуль Юнга Е = 200 ГПа.
50-72, Определить, на сколько процентов изменится межатомное рас-
стояние в твердом теле (при нагревании его до Г=400 К) по сравне-
нию с равновесным расстоянием гв = 0,3 нм, отвечающим минимуму
потенциальной энергии При расчетах принять у = 0/(2 лп), модуль
Юнга Е = 10 ГПа
50-73. Оценить термический коэффициент расширения а твердого тела,
обусловленного фононным давлением (в области Т 0В) При оцен-
ке принять: плотность р кристалла равной 10* кг/м®, модуль Юнга£=
= 100 ГПа, относительную атомную массу Аг — 60.
§ 51. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА Основные формулы
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Поляризация диэлектриков.
1. Поляризованность (при .однородной поляризации)
* N
— 1
где pz — электрический момент отдельной (f-й) молекулы (или атома)*; N —
число молекул, содержащихся в объеме ДГ.
2. Связь.поляризованное™ с напряженностью Е среднего макроскопичео-
кого поля в диэлектрике
Р = х«0£,
где х — диэлектрическая восприимчивость; в0 — электрическая постоянная.
3. Связь диэлектрической проницаемости 8 с диэлектрической восприми*
чивостью
е = 1 + к.
4. Напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике евя» -
вана с напряженностью Ео внешнего поля соотношениями
Е = Е0/в и Е = .Ео —
* В дальнейшем везде, кратности ради, будем говорить только о моленулч
подразумевая, что то же самое относится и к атому.
14* «»
к
5. Напряженность £лок локального поля для неполярных Жидкостей
кристаллов кубической сингонии- выражается формулами
1 Р „ е + 2
3 V Л0'“ Зе
6. Индуцированный электрический момент молекулы
Елок— Е4
р —аво Елдк,
где а — поляризуемость молекулы (й=ае-|-аа),
!уемость, ага — атбмная поляризуемость).
7. Связь диэлектрической восприимчивости
х 1
• ------—= —ал,
— _ х 4-3 3
где —электронная ттолярн-
с поляризуемостью молекулы
где
п — концентрация молекул.
8. Г
Уравнение Клаузиуса—Мосотти '
е—1 1 ' М
----— = — ал, или , „
е4~2 3 р е + 2
е—1
— аЛ\ '
3 А’
где
М
9.
— молярная масса вещества; р — плотность
Формула Лоренц—Лорентца
л2—Т 1 ' М
------= —a»n, или —
л2-|-2 3 р л2+-2
вещества.
п2— 1
=
где л — показатель преломления диэлектрика; ае — электронная поляризуе-
мость атома или молекулы.
10. Ориентационная поляризуемость молекулы
«ор=Р2/<Зе0 kT),
где р — электрический момент молекулы; k — постоянная Больцмана; Т —
термодинамическая температура.
11. Формула Дебая—Ланжевена
8 — i 1 -/ р2 \ А 8—1 1 / . р2 \
е + 2 3 \ 3eefeT } р е-|-2 ЗД 3ee kT J А*
Проводимость металлов (по классической теории).
12. Законы Ома и Джоуля — Ленца в дифференциальной форме имеют вид
i=yE w~yE2.
где j—плотность тока; w—объемная плотность тепловой мощности; у —
удельная проводимость; Е — напряженность электрического поля.
13. Удельная электрическая проводимость
у=Ч2е2п <1>/(ти),
где е и т — заряд и масса электрона; п — концентрация электронов; </> —
средняя длина их свободного пробега; и — средняя скорость хаотического
движения элеитронов.
. 14. Закон Видемана—Франца
. X. „ k2 '
—=3—— Т,
. у е2
где X — теплопроводность.
420
Электроны в металле (по квантовой статистике)
15. ' Распределение Ферми по анергиям для свободных электронов в метал-
ле:
1 / 2m \ ' в;'е >
при / =Ь0 ИЛ(8) = -------( --- I ---------------------rf
2л2 \ Л* /. ехр {(в—е,)/(йГ)] +1
т „ - * / 2ГП V's , . ,
при ' =0 П(8) = - -— I в '• de (при в < ел,
£31* \ И2 /
где dn (в) — концентрация электронов, энергия которых заключена в интерва-
ле значений от в до в + de; т и в — масса и энергия электрона; в) — уровень
(или энергия) Ферми.
16. Уровень Ферми в металле при 7=0
Я2 .. ч
в# =-т— Зл2п>
. 2m
17. Температура Ткр вырождения
П олу проводи ика
18. Удельная проводимость собственных полупроводников
? = etl (Ьц 4~йр).
где е — заряд электрона, п — концентрация носителей заряда (электронов в
дырок), Ьп и Ьр — подвижности электронов и дырок
19. Напряжение UB на гранях образна при эффекте Холла
</н=Лн ВЦ.
где /?в — постоянная Холла; В — индукция магнитного поля; 7 — ширина
пластины; / — плотность тока.
20. Постоянная Холла для- полупроводников типа алмаза, кремнии,- гер-
мания и др., обладающих носителями заряда одного вида (л или р),
где п — концентрация носителей заряда.
Магнитные свойства веществ
21. Намагниченность J — величина, рааная отношению магнитного мо-
мента магнетика к его объему:
J== Л’дй 2 Цм1‘
где Цм< — магнитный момент отдельной (1-й) молекулы; N — число мллекчл в
объеме ДУ
22. Намагниченность j в изотропном магнетике пропорциональна напря-
женности магнитного поля Н:
;=7н.
Где — магнитная восприимчивости (безразмерна)
421
23. Удельная магнитная восприимчивость ууп связана с магнитной вос-
приимчивостью у соотношением '
Худ=Х/Р.
где р — плотность вещества.
24. Молярная магнитная восприимчивость Хп- связана с магнитной вос-
приимчивостью у соотношением
Xm =(WP)X-
25. Магнетон Бора рв — елементарный магнитный момент — определяет-
ся формулой.
Цв=еЛ/(2т),
где е и т — заряд и масса электрона.
26. Магнитная индукция В, напряженность Н и намагниченность J в изот-
ропном магнетике связаны соотношением
В= [х0 (НJ),
где р0 — магнитная постоянная.
27. Намагниченность изотропного парамагнетика (по Лянжевепу)
J=пр.ыЦа),
где п — концентрация молекулу цм — магнитный момет отдельной молекулы;
L (а) — функция Ланжевена.
28. Функция Ланжевена
где а = рмВ/ (kT).
Приближенное значение функции Ланжевена можно представить в виде
знакопеременного ряда
11 2
При а « 1 (|iMB < kT) L(a) го 1/3 и намагниченность
- 29. Магнитная восприимчивость. парамагнитных веществ при рмВ kT
//-=Ии 3kT '
Магнитный резонанс
30. Магнитный момент ядра*
Ц/ 1//(/+1).
где g— ядерный фактор Лайде (g-фактор); pw—ядерный магнетон (p,N = eh!2mp)^
тр — масса протона); 7 — спиновое квантовое число ядра (спин ядра).
31. Связь магнитного момента ядра с моментом импульса S£t ядра
где у — гиромагнитное' отношение (у = и 5?, = ft1!/ / (/ Ц- 1).
* Магнитным моментом ядра называют также максимальное значение про-
екции магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции
внешнего поля, т. е. р =
422
32. Проекция магнитного момента ядра на направление вектора магнитной
индукции внешнего поля
аг =йРл т1,
где mt — спиновое магнитное квантовое число ядра, mt = 1, 1 — 1, ..., —/.
33. Круговая частота <в0 переменного магнитного поля, при которой про-
исходит резонансное поглощение энергии,
*о=7бо. ’
где Во — магнитная ^индукция внешнего постоянного магнитного поля.
34. Отношение заселенностей энергетических уровней (в отсутствие вы-
сокочастотного поля)
--.. — к—<В,—НцдкП
V ’
где A/j — заселенность энергетического уроввя £ji /V2 — заселенность энер-
гетического уровня Es; Е2 > £±.
Примеры решения задач
1. В атоме йода, находящемся на расстоянии г — 1 нм от альфа-части-
цы, индуцирован электрический момент р = 1,5-10“88 Кл-м. Опреде-
лить поляризуемость а атома иода.
Решение. По определению поляризуемости, она может быть выражена
по формуле
а =-----£---,
В(| „
где р — индуцированный электрический момент атома; Елок — на-
пряженность локального поля, в котором этот атом находится.
В данном случае таким полем является поле, созданное а-частицей.
Напряженность этого поля определяется выражением
F = Е —
лок - 4леоТ’
Подставив выражение £лок из равенства (2) в формулу (1), найдем
а = 2 лг*р/| е |
Произведя вычисления по этой формуле, получим
а = б.Э-Ю-и’м3
(1)
(2)
2. Кусок металла объема V 20 ем® находится при температуре Т ®»0-
Определить число A7V свободных электронов, импульсы которых отли-
чаются от максимального импульса ргаа, не более чем на 0,1ртах.
Энергия Ферми е; = 5 эВ.
Решение. Воспользуемся распределением электронов в металле по
импульсам!
Л2 A3 e(p’/2m-ef)/(ftn ’
где d п (р) — число электронов в единице объема, импульсы которых
заключены от р до р +jip. Так как при Т = 0 функция распределения
Ферми -Дирака f = ‘ n , , 1 ’ то
е -|-1
dW(P)==^p2dp*
Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены
в интервале от ртах—0,1 ртах до ртах, найдем интегрированием в со-
ответствующих пределах: *
Ртах
Лп =----5- С Р*&Р=------------Ртах[1--(0,9)®], ИЛИ
я»й3 J Зл2Л® к 1 '
• ®-9ртах
Учитывая, что максимальный импульс ртах и максимальная энергия
е, электронов в металле (при Т — 0) связаны соотношением’ р„ах — *
— 2mSf, найдем искомое число ДА свободных электронов в металле:
ААГ '0,271,о .... 0,271 / 2/ney V/2
aN---------(2metr'2 V, или ДА = • I ---— ] V.
Зл2Й’ . Зл2 й2 /
Подставив значения величин л, m, e,t, Л. и V и произведя вычисле-
ния (5 эВ — 8-10“18 Дж), получим
ДА — 2,9-1023 электронов. ~
3. Молярная магнитная восприимчивость окиси хрома Сг2О3
равна 5,8-1 О*8 м3/моль. Определить магнитный момент рм молекулы
С12О3 (в магнетонах Бора), если температура Т = 300К.
Решение. Магнитная восприимчивость % парамагнитных веществ вы- ’
ражается по теории Ланжевена формулой
Нм
5С = Но"-^г, О)
Or? i \
где п — концентрация молекул; рм — магнитный момент молекулы.
Учитывая, что п = pNfJM, и формулу (1), получим
na ni
. <2>
Выразив магнитную восприимчивость % через молярную магнит-
ную восприимчивость %ш, найдем Хт = РоАгаР^/(3 kT). Отсюда
3^TXm/(po А/д ) . (3)
Произведя вычисления по формуле (3), получим
рм = 3,09’КГ28 А-м2.
Выразим^ ответ в магнетонах Бора (р-вУ- Так как рв — 0,927 X
• хТ0-?3А-м2, то •
пм — 3,34рв.
421
Задачи
Поляризация диэлектриков
51-1. Указать, какими типами поляризации (электронной — е, атом-
ной — а, ориентационной — о) обладают следующие атомы й молеку-
лы: 1) Н, 2) Не, 3) Ог, 4) НС1, 5) Н2О, 6) СО, 7) СОа, 8) СНЯ,
9) СС14.
51-2. Молекула HF обладает электрическим моментом, р ==,6,4-К)-80
Кл-м. Межъядерное расстояние d = 92 пм. Найти заряд Q такого ди-4
поля и объяснить, почему найденное значение Q существенно отлича-
ется от значения элементарного заряда | е |.
51-3. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно
2 мм, разность потенциалов U => 1,8 кВ. Диэлектрик — стекло. Оп-
ределить диэлектрическую восприимчивость х сУекла и поверхностную
плотность о' поляризационных (связанных) зарядов на поверхности
стекла. •
5.1-4. Металлический шар радиусом R = 5 см окружен равномерно
слоем фарфора толщиной d = 2 см. Определить поверхностные плот-
ности aj и аё связанных зарядов соответственно на внутренней и внеш
ней поверхностях диэлектрика. Заряд Q шара равен 10 нКл.
51-5. Эбонитовая плоскопараллельная пластина помещена а однород-
ное электрическое поле напряженностью.— 2 МВ/м. Грани пласти-
ны перпендикулярны линиям напряженности. Определить поверхност-
ную плотность о' связанных зарядов на гранях пластины.
51-6. Пространство между пластинами плоского конденсатора запол
нено диэлектриком, молекулы которого можно рассматривать как
жесткие диполи с электрическим моментом рм = 2-10-80 Кл-м. Кон-
центрация п диполей равна 102в м-3. Определить напряженность Е
среднего макроскопического поля в таком диэлектрике, если при от-
сутствии диэлектрика напряженность Ео поля между пластинами кон-
денсатора была равна 100 МВ/м. Дезориентирующим действием тепло-
вого движения молекул пренебречь.
51-7. В электрическое поле напряженностью Ео — 1 МВ/м внесли
пластину диэлектрика (в — 3). Определить напряженность Елок ло-
кального поля, действующего на отдельную молекулу в диэлектрике,-*
полагая, что внутреннее поле является полем Лоренца.
51-8, Во сколько раз напряженность Елок локального поля в кристалле
кубической сингонии больше напряженности Е среднего макроскопи-
ческого поля? Диэлектрическая проницаемость е кристалла равна 2,5.
51-9. При какой максимальной диэлектрической проницаемости е по-
грешность при ’замене напряженности £лок локального поля напря-
женностью Ео внешнего поля не превысит 1%?
51-10. Определить относительную погрешность, которая будет допу-
щена, если вместо напряженности Елок локального поля брать напря-
жённость Е среднего макроскопического поля в диэлектрике. Расчеты
выполнить для двух случаев: 1) е = 1,003; 2) е — 2.
.425
51-11. При какой поляризованное™ Р диэлектрика (а = 5) напря-
женность £лок локального поля равна 10 МВ/м?
51-12. Определить, при какой напряженности Е среднего макроскопи-
ческого поля в диэлектрике (е = 3) поляризованность Р достигнет зна-
чения, равного 200 мкКл/м2.
51-13. Определить поляризованность Р стекла, помещенного во внеш-
нее электрическое поле напряженностью Ео — 5 МВ/м.
51-14. Диэлектрик поместили в электрическое поле напряженностью
= 20 кВ/м. Чему равна поляризованность Р диэлектрика, если на-
пряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике ока-
залась равной 4 кВ/м?
51-15. Во внешнем электрическом поле' напряженностью Ео =
= 40 МВ/м поляризованность Р жидкого азота оказалась равной
109 мкКл/м2. Определить: 1) диэлектрическую проницаемость в
жидкого азота; 2) индуцированный электрический момент р одной
молекулы. Плотность р жидкого азота принять равной 804 кг/м3.
51-16. Связь поляризуемости а с диэлектрической восприимчивостью
х для неполярных жидкостей и кристаллов кубической сингонии за-
дается выражением х/ (х + 3) = а п/3, где п — концентрация моле-,
кул. При каком наибольшем значении х погрешность в вычислении а не
будет превышать 1%, если воспользоваться приближенной формулой
х да ап? .
51-17. При каком наибольшем значении произведения ап формула
Клаузиуса — Мосотти (е—1)/(е + 2) = ап/3 может быть заменена
более простой е = 1 + ап при условии, что погрешность в вычисле-
нии е не превысит 1%?
51-18. Определить поляризуемость а молекул азота, если диэлектри-
ческая проницаемость е жидкого азота равна 1,445 и его плотность р =
= 804 кг/м3.
51-19. Поляризуемость а молекулы водорода можно принять равной
1.,0-Ю"2® м3. Определить диэлектрическую восприимчивость х водо-
рода для двух состояний: 1) газообразного при нормальных условиях;
2) жидкого, плотность р которого равна 70,8 кг/м3..
51-20. Диэлектрическая восприимчивость х газообразного аргона при
нормальных условиях равна 5,54-10-4. Определить диэлектрические
проницаемости и жидкого (ра == 1,40 г/см?) и твердого (ps =
= 1,65 г/см3) аргона.
51-21. Система состоит из двух одинаковых по значению и противопо-
ложных по знаку зарядов | Q | = 0,1 нКл, связанных квазиупругими
силами. Коэффициент k упругости системы зарядов равен 1 мН/м.
Определить поляризуемость а системы.
51-22. Вычислить поляризуемость а атома .водорода и диэлектричес-
кую проницаемость е атомарного водорода при нормальных условиях.
Радиус г электронной орбиты принять равным 53 пм.
5123. Атом водорода находится в однородном электрическом поле на-
пряженностью Е — 100 кВ/м. Определить электрический момент р
и плечо / индуцированного двдолд, Радиус /- электронной орбиты ра-
вен 53 пм. ' г'
I2G \
51-24. Диэлектрическая проницаемость е аргона при нормальных ус-
ловиях равна 1,00055. Определить .поляризуемость а атома аргона.
51-25. Атом ксенона (поляризуемость а = 5,2-10~-8 м3) находится
на расстоянии г = LjjM- OT протона. Определить индуцированный в ато-
ме ксенона электрический момент р
51 26. Какой максимальный электрический момент рша1 будет инду-
цирован у атома неона, находящегося на расстоянии г== I нм от моле-
кулы врды? Электрический момент р молекулы воды равен 6,2-Ю*80
Кл-м Поляризуемость а атома неона равна 4,7-10-80 м3.
51-27 Криптон при нормальных условиях находится в однородном
электрическом поле напряженностью Е — 2 МВ/м. Определить объем-
ную плотность энергии w поляризованного криптона, если поляризуе-
мость а атома криптона равна 4,5-10^-9 м8.
51-28. Определить поляризуемость а атомов углерода в алмазе. Ди-
электрическая проницаемость е алмаза равна 5,6, плотность р =*
= 3,5-103 -кг/м3.
51-29. Показатель креломления п газообразного кислорода при нор-
мальных условиях равен 1,000272. Определить электронную поляри-
зуемость ае молекулы кислорода.
51*30. Показатель преломления п газообразного хлора при нормаль-
ных условиях равен 1,000768. Определить диэлектрическую проницае-
мость в жидкого хлора, плотность р которого равна 1,86-103 кг/м4.
51-31. При нормальных условиях показатель преломления п углекис-
лого газа СО2 равен 1,000450. Определить диэлектрическую проница-
емость е жидкого СО 2>. если его плотность р = 1,19-104 кР/М6.
51-32. Показатель преломления п жидкого сероуглерода CSs равен
1,62. Определить электронную поляризуемость молекул сероугле-
рода, Зная его плотность.
51 33. Поляризуемость а атома аргона равна 2,03-Ю-** м8. Опреде-
лить диэлектрическую проницаемость е и показатель преломления а
жидкого аргона, плотность р которого равна 1,44-16* кг/м8.
51-34. Определить показатель пр*еломления nt жидкой) кислорода, ес-
ли показатель преломления п2 газообразного кислорода при нормаль-
ных условиях равен 1,000272. Плотность р( жидкого кислорода равна
1,19-10s кг/м8.
51-35. Вычислить ориентационную поляризуемость а™, молекул воды
при температуре t — 27° С, если электрический момент р молекулы во-
ды равен 6, ЫО-80 Кл-м.
51-36. Зная, что показатель преломления п водяных паров при нор-
мальных условиях равен 1,000252 и что молекула воды обладает элект-
рическим моментом р = 6.Ы0-30 Кл-м, определить, какую долю от
общей поляризуемости (электронной и ориентацибнной) составляет
электронная поляризуемость молекулы.
51-37. Электрический момент р молекул диэлектрики равен 5-10“*
Кл-м. Диэлектрик (е = 2) помещен в электрическое поле напряженно-
стью Елон = 100 МВ/м. Определить температуру Т, ври которой сред-
нее значение проекции <ре> электрического момента на направле-
ние вектора Елон будет равно Ч2 р.
,4Я^
»
51-38. Диэлектрик, молекулы которого обладают электрическим мо-
ментом р = 5-10“*® Кл-м находится при температуре Т = 300 К в
электрическом поле напряженностью Епок — 1(Ю МВ/м. Определить,
во сколько раз’число молекул, ориентированных «по полю»(0^Ф^ 1°),
больше числа молекул, ориентированных «против поля» (179° ^ О'
180°) Угол О образован векторами р и Елои
Классическая теория
электропроводности металлов
51-39. Металлический проводник движется с ускорением а — 100 м/с2-
Используя модель свободных электронов определить напряжен*
ность Е электрического поля в проводнике
51-40. Медный диск радиусом. R = 0,5 м равномерно вращается (со =
== 10' рад/с) относительно оси, перпендикулярной плоскости диске и
проходящей через его центр Определить разность потенниальв U
между центром диска и его крайними точками
51-41. Металлический стержень движется вдоль своей оси со скоростью
и = 200 м/с Определить заряд Q, который протечет через гальвано-
метр, подключаемый к концам стержня при резком его торможении, -
если длина I стержня равна 10 м, а сопротивление R всей цепи (вклю-
чая цепь гальванометра) равно 10 мОм
51 42 Удельная проводимость у металла равна 10 МСм/м. Вычислить
среднюю длину <£> Свободного пробега электронов в металле, если
концентрация п свободных электронов равна 10s® м“3. Среднюю ско-
рость и хаотического движения электронов принять равной 1 Мм/с.
51-43 Исходя из модели свободных электронов определить число
г соударений, которые испытывает электрон за время t = 1с, находясь
в металле, если концентрация п свободных электронов равна 1029-м“3.
Удельную проводимость у металла принять равной 10 МС/м.
51-44. Исходя из классической теории электропроводности металлов,
определить среднюю кинетическую энергию <Z£> электронов в метал-
ле, если отношение Х/у теплопроводности к удельной проводимости
равно 6,7-10“® В®/К.
51 -45. Определить объемную плотность тепловой мощности w в метал-
лическом проводнике, если плотность тока / — 10А/мм2 Напряжен-
ность Е электрического поля в проводнике равна 1 мВ/м..
Электроны в металле.
Распределение Ферми—Дирака
51-46. Определить концентрацию’ п свободных электронов в металле
при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми е принять равной 1 эВ.
5V-47. Определить отношение концентраций nt/n2 свободных элэктро-
нов при Т =0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в
этих металлах соответственно равны j = 4,72 эВ, ел 2 = 1,53 эВ.
51 -48. Определить число свободных электронов, которое приходится
на один атом натрия при .температуре Т — 0 К Уровень Ферми
для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна 970 кг/м3,
428
51-49.. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на
один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если
уровни .Ферми соответственно равны efl = 11,7 эВ, еу 2 = 7,0 эВ?
51-50. Определить вероятность того, что электрон в металле займет
энергетическое состояние, находящееся в интервале Д е =£= 0,05 эВ
ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1)'
Л = 290 К; 2) 7\ = 58 К-
51-51. Вычислить среднюю кинетическую энергию <е> электронов
в металле при температуре Т=0 К, если уровень Ферми е, = 7 эВ.
51-52. Металл находится при температуре Т =„0 К- Определить, во
сколько раз число электронов с кинетической энергией от е^/2 до
больше числа электронов с энергией от 0 до ef/2.
51-53. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К.
Найти относительное число AN/N свободных электронов, кинетическая
энергия которых отличается от. энергии Ферми не более чем на 2%.
51-54. Оценить температуру 7кр вырождения для калия, если принять,
что на каждый атом приходился пб одному свободному электрону.
Плотность р калия 860 кг/м3. •
. 51-55. Определить отношение концентрации птаж электронов в метал-
ле (при Т = 0 К), энергия которых отличается от максимальной не бо-
лее чем на Де, к концентрации nmin электронов, энергии которых не
превышают значения 8 = Де; Де принять равным 0*01 ez:
51-56. Зная распределение dn (е) электронов в металле по-энергиям,
установить распределение dn (р) электронов по импульсам. Найти част-
ный случай распределения при Т = О К.
51-57. По функции распределения dn (р) электронов в металле по им-
пульсам установить распределение dn(o) по скоростям: 1)-при любой
температуре Т\ 2) - при 7 - 0 К.
51-58. Определить максимальную скорость отах электронов в металле
при 7=0 К, если уровень Ферми =‘5 эВ.
51-59. Выразить среднюю скорость '<v> электронов в металле при
Т=0 К через максимальную скорость отах. Вычислить <о> для метал-
ла, уровень Фермн е, которого при 7=0 К равен 6 эВ.
51-60. Металл находится при температуре 7 s= 0 К. Определить, во
сколько раз число электронов со скоростями от отах/2 до итах больше
: числа электронов со скоростями от 0 до »юах/2. ______
51-61. Выразить среднюю квадратичную, скорость электро-
нов в металле при 7 = 0 К через максимальную скорость ошах элект-
ронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать из-
вестной. . ‘
51-62. Зная распределение dn (о) электронов в металле по скоростям,
< выразить <Z\tv> через максимальную скорость огаах электронов в ме-
' талле. Металл находится при 7 = 0 К.
Полупроводники. Эффект Холла
' 51-63. Определить уровень Ферми e.f в собственном полупроводнике,
' если энергия &Е0 активаций равна 0,1 эВ. За нулевой уровЛь от-
счета кинетической энергии электронов принять низший уровень зоны
, проводимости. ’ - ’ »
429
51-64. Собственный полупроводник (германий) имеет ври некоторой
температуре удельное сопротивление р = 0,48 Ом - м. Определить кон-
центрацию п носителей заряда, если подвижности Ьа и Ьр электронов
и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м2/(В-с).
51 -65. Удельная проводимость у кремния « примесями равна 112 См/м.
Определить подвижность Ьр дырок и их концентрацию пр, если посто-
янная Холла 7?н = 3,66-10-4 м3/Кл. Принять, что полупроводник об-
ладает только дырочной проводимостью
51-66. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассмат-
ривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора,
оценить его энергию £ связи и радиус г орбиты.
Диэлектрическая проницаемость в германия равна 1.6.
51-67. Полу прородник в ваде тонкой пластины шириной I = 1 см
и длиной Ь = 16 см помещен в однородное магнитное поле в индукци-
ей В=0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости
пластины. К концам пластины (по направлению L.) приложено постоян-
ное напряжение U — 300 В. Определить холловскую разность потен-
циалов на 4/н на гранях пластины, если постоянная Холла /?н = 0,1
м3/Кл, удельное сопротивление р « 0,5 Ом м.
51-68. Тонкая пластина из кремния шириной Z = 2 см помещена пер-
пендикулярно ЛИНИЯМ индукции однородного магнитного ПОЛЯ (В =
=0,5 Тл). При плотности тока /®=2 мкА/мм2, направленного вдоль пла-
стины, холловская разность потенциалов U» оказалась равной 2,8 В.
Определить концентрацию п носителей тока.
Магнитные свойства.
51-69. Определить намагниченность J тела при насыщении, если маг-
нитный момент каждого атома равен магнетону Бора рв и концентра-
ции атомов б-КЯ’ м-8.
51-70. Магнитная восприимчивость х марганца равна 1,21-10-4. Вы-
числить намагниченность J, удельную намагниченность и молярную
намагниченность Jm марганца в магнитном поле напряженностью //=
= 100 кА/м. Плотность марганца считать известной.
51-71. Найти магнитную восприимчивость х AgBr, если его молярная
магнитная восприимчивость Хт = 7,5-10~10 м3/моль.
51-72. Определить магнитную восприимчивость х и молярную магнит-
ную восприимчивость Хт висмута, если удельная магнитная воспри-
имчивость Худ =» — 1,3-10“® м8/кг.
51-73. Магнитная восприимчивость х алюминия равна 2,1-10“®.
Определить его удельную магнитную Худ и молярную у,т восприимчи-
вость.
51-74. Висмутовый шарик радиусом /? = 1 см помещен в однородное
магнитное поле (Ве = 0,5 Тл). Определить магнитный момент рш,
приобретенный шариком, если магнитная восприимчивость х висмута
равна,— 1,5-10"*.
51-75. Напряженность Н магнитного поля в меди равна 1 МА/м. Опре-
делить намагниченность J меди и магнитную индукцию Bt если извест-
430 .
но, что удельная магнитная восприимчивость 7V_ === — 1,1 • 10“®
м8/кг.
51-76. Определить частоту соь ларморовой прецессии электронной ор
биты в атоме, если индукция В магнитного поля равна 1 Тл.
51-77. Атом водорода находится в магнитном поле с индукцией В—
== 1 Тл. Вычислить магнитный момент |.iM, обусловленный прецессией
электронной орбиты. Принять, что среднее значение квадрата расстоя
ния </г> электрона от ядра равно 2/s r\ (г, — радиус первой боров
ской орбиты).
51-78. Молекула NO имеет магнитный момент цм = 1,8рв- Опреде-
лить удельную парамагнитную восприимчивость хув газообразной оки-
си азота при нормальных условиях.
51-79. Удельная парамагнитная восприимчивость %уд трехокиси вана
дия (V2O3) при./= 17° С равна 1,80-10“? м3/кг. Определить магнит-
ный момент рм (в магнетонах Бора), приходящийся на молекулу V2O3
если плотность р трехокнси ванадия равна 4,87-103 кг/м8.
51-80. Молекула кислорода имеет магнитный момент рм «= 2,8рв (где
рв — магнетон Бора). Определить намагниченность J газообразного
кислорода при нормальных условиях в слабом магнитном поле (Во*=
= 10 мТл) и в очень сильном поле.
51-81. Определить, при каком наибольшем значении магнитной индук-
ции В уже следует пользоваться не приближенным выражением функ-
- ции Ланжевена L (а) та а/3, а точным, чтобы погрешность вычислений
не превышала 1%.Для расчетов принять магнитный момент молекул
равным магнетону Бора. Температура Т — 300 К.
51-82. Определить наибольшее значение величины а, при котором по-
грешность, вызванная заменой точного выражения функции Ланже-
вена приближенным Ь (а) та а/3, не превышает 1 %
51-83. Определить температуру Т, при которой вероятность того, что
данная молекула имеет отрицательную проекцию магнитного момента на
направление внешнего магнитного поля, будет равна 10-8. Магнитный
момент молекулы считать равным одному магнетону Бора, а магнит-
ную индукцию В поля — равной 8 Тл.
51-84. Определить, во сколько раз число молекул, имеющих положи-
тельные проекции магнитного момента на направление вектора маг-
нитной индукции внешнего поля (В = 1 Тл), больше числа молекул,
имеющих отрицательную проекцию, в двух случаях: 1) 7\ = 300 К;
2) Г2 = 1 К. Магнитный момент молекулы принять равным магнето-*
ну Бора.
51-85. При температуре Tj = 300 К и магнитной индукции Bt =з 0,5
Тл была достигнута определенная намагниченность J парамагнетика.
Определить магнитную индукцию В2, при которой сохранится та же
намагниченность, если температуру Т2 повысить до 450 К.
51-86. Кусок стали внесли в магнитное поле напряженностью Н
=1600 А/м. Определить намагниченность J стали (см. график на с. 262).
51-87. Прямоугольный ферромагнитный брусок объемом V = 10 см*-
приобрел в магнитном поле напряженностью Н — 800 А/м магнитный
момент рт — 0,8 А-м2. Определить магнитную проницаемость у фер-
ромагнетика.
431
51-88. Вычислить среднее число<н> магнетонов Бора, приходящих-
ся на один атом железа, если при насыщении намагниченность Унас же-
леза равна 1,84 МА/м.
51-89. На один атом железа в незаполненной 3</-оболочке приходится
четыре неспаренных электрона. Определить теоретическое значение
намагниченности /нас железа при насыщении.
Магнитный резонанс
51-90. Определить гиромагнитное отношение у для свободного элект-
рона.
51-91. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле
(Во = 1 Тл). Определить частоту ve переменного магнитного поля, при
которой происходит резонансное поглощение энергии- электроном
- (g-фактор для свободного электрона равен 2).
51-92. Определить отношение юЭпр/иЦИ1! резонансной частоты элект-
ронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (g-фактор
равен 2,00232).
51-93. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного па-
рамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксиро-
ванную частоту v0 = 9,9 ГГц. Определить магнитную индукцию Во
поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии радио-
частотного поля свободным электроном (g-фактор равен 2).
51-94. Определить гиромагнитное отношение у для свободного протона.
51-95. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле ,
(Во = 1 "Гл). Определить’ частоту v0 переменного магнитного поля,
при которой происходит резонансное поглощение энергии протоном
(g -фактор равен 5,58).
51-96. В опытах по изучению магнитным резонансным методом маг- '
нитных свойств атомов 28 Mg в основном состоянии обнаружено резо-
нансное поглощение энергии при магнитной индукции Во поля, равной
0,54 Тл, и частоте v0 переменного магнитного поля, равной 1,4 МГц.
Определить ядерный g-фактор.
51-97. Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент
нейтрона, Резонансное поглощение наблюдается при магнитной индук-
ции Во поля, равной 0,682 Тл, и частоте v0 переменного магнитного
поля, равной 19,9 МГц. Вычислить ядерный g-фактор и магнитный мо-
мент рп нейтрона. Известно, что направления спинового механичес-
кого и магнитного моментов противоположны. Спин нейтрона / = 1/2.
51-98. Для молекулы HD, находящейся в основном состоянии, ядер-
ный магнитный резонанс наблюдался: 1) для протонов (/ = 1/2) в по-
стоянном магнитном поле (Во = 94 мТл) при- частоте v0 переменного
магнитного' поля, равной 4 МГц; 2) для дейтонов (/ = 1) соответст-
венно при Во = 0,37 Тл и v0 = 2,42 МГц.Определить по этим данным
g - факторы и магнитные моменты рр и pd протона и дейтона (в едини-
цах p;v).
51-99. При какой частоте v0 переменного магнитного поля будет на-
блюдаться. ЯМР ядер **Р (/ = 1/2; рг = 2,63 pjv), если магнитная ин-
’ ^дукция Во постоянного поля равна 2,35 Тл?
‘ 432
L -
ПРИЛОЖЕНИЯ
О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при реше-
нии физических задач, являются большей частью приближенными.
К таким величинам относятся, в частности, многие константы, приводимые
в справочниках- Например, для нормального ускорения свободного падения р
справочниках дается значение 9.81 м/с2, для отношения длины окружности к
диаметру — 3,14, для массы электрона —9,11 10~31 кг и т. п. При более
точном вычислении или измерении эти величины оказываются равными о =
— 9,80665 м/с2, зт = 3,1416, т = 9,106 • 10“31 кг. Однако и эти значения, в
свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности
измерения, или в силу того, что получены путем округления еще более. Точных
значений.
Очень часто неопытные лица при вычислениях добиваются получения такой
точности результатов, которая совершенно не оправдывается точностью исполь-
зованных данных. Это приводит к бесполезной затрате труда и времени.
Рассмотрим такой пример. Пусть требуется определить плотность р вещест-
ва некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01 г опре-
делили массу тела: т = 9,38±0,01 г. Затем с точностью до 0,01 cms был изме-
рен объем тела: V = 3,46±0,01 см3.
Без критического подхода к вычислениям можно получить такой резуль-
тат:
т 9,38 г
р =— = ---- = 2,71098 г/см3.
V- 3,46 см3
Но так как числа 9,38 и 3,46 приближенные, то последние цифры в этих числах
сомнительные. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое —
9,39 или 9,37, второе — 3,45 или 3,47. В самом деле, при взвешивании е указан- '
ной выше точностью могла быть допущена погрешность на 0,01 как в сторону
увеличения массы, так и в сторону ее уйеньшения. То же самое в отношении
объема.
Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого
десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться
9 37 г 9 39 г
р = -------=2,70028 г/см3, или р = * ---= 2,72174 г/см3
' v 3,47 см3 . ’ - к 3,45 см3
Сравнение всех трех результатов показывает, что они отличаются уже вто-
рыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятич-
ный знак, а второй — сомнительным. Цифры, выражающие остальные десятич-
ные знаки, являются совершенно случайными и способны лишь ввести в заблуж-
дение пользующегося вычисленными результатами. Следовательно, работа по
вычислению большинства знаков затрачена впустую.
Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кро-
ме достоверных знаков еще только один сомнительный.
В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второго десятич-
ного знака:
9,38г „ . , .
Р =----7—Г =2,71 г/см3.
3,46 см3
Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующий правил.
.-. 433
1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный резуль-
тат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр* в тех разрядах, которые
отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных.
Например, при сложении чисел
4,462
, 2,38
+ 1,17273
1,0262
9,04093
следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04,
2. При умножении следует округлять сочааеясятели так, чтобы каждый вд
них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с,наи-
меньшим числом таких цифр.
Например, вместо вычисления выражения
3,723 . 2,4-5,1846
следует вычислять выражение
3,7 . 2,4 . 5,2.
В окончательном результате необходимо оставлять такое же число значил-
щих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.
В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую .циф-
ру больше. Такое же правило соблюдается ®£при делении приближенных чисел.
3. При возведении в квадрат иди в *6 следует в степени брать столько зна-
чащих цифр, сколько их имеется в основание степени. Найример,
1,324 = 1,74.
4. При извлечении квадратного иля кубического корня в результате нуж-
но брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выраже-
нии. ______________________
Например, 1/1,17 10-в« 1,08 , 10~4.
5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные
правила в соответствии с видом производимых действий.
Например,
(3,2+ 17,062) V3J
5,1-2,007.1©»
Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр — две. Поэтому
результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех зна-
чащих цифр:
(3,2+17,062) 20,3-1,92 39,0
——'---------£—X - ~ --О 7Q Ю—S
5,1-2,007-10а 10,3-10* 10,3. ГО* *
После округления результата до двух значащих цифр получаем 3,8 • 10~3. В
заключение даем совет: при вычислении пользоваться счетной линейкой.
* Значащими цифрами называются все цифры, кроме нуля, а также и нуль
в двух случаях: 1) когда он стоит между значащими цифрами; 2) когда он стоит
в конце числа и когда известно; что единиц соответствующего разряда в данном
числе не имеется.
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
1. Формулы алгебры и тригонометрии
—b ± Д/b2—4ао
я =---------------
2а
Z=p(cos<j>4-f sin <р)
Z = ре'’
|2|=р=У^+^
sin (х + у) = sin х cos у + sin у cos я
cos (х + у) = cos х cos р — sin г sin у
Z* —а—tb
Z*—p 'cos ср—i sin <p)
Z* = pe—
ZZ* = |ZP
sin (x — y) = sin x cos у — sin у cos я
cos (x — y) = cos x cos у + sin x sin у
sin 2x = 2 sin x cos у cos 2x = cos2 x — sin2 x
sin3 x = 1/2 (1 — cos 2x) cos2- x = 1/2 (1 + cos 2x)
sin ex sin bx = 1/2 cos (a — b)x — 1/2 cos (a + fr)x
sin ax cos bx •=> 1/2 sin (a + b)x + 1/2 sin (o — b)x
2. Формулы дифференциального и интегрального исчислений
d(uo)
dx
du
dx
do
dx
d (xm)
dx
= тхт~*
d(ln x)
dx
d (cos x)
----------= -Sin я
dx
d(ctgx)
dx
1
sin3 x
-----— x"’+,w(upHffl=£l)
m-J-1
-(f) ('U •
dx
dx o2
d(ex) o.
dx ~e
1^- =ax dx Ina
d(sin x)
dx COS X
1
dx cos3 X
f dx 1
J X
J sin xdx =—cos я
. do
“ dx
dx
---= Inx
X
1
X
j cos xdx = sin x
J ex dx—-e*
* Здесь n далее постоянная интегрирования опускается?
433
f 1 I
I sin2 xdx =-— x]—— sin 2x
J 2*4'
J xne~*dx = n!
о
DO
f xne-^ dx = _21—
J ar!+* 1
о
•o
P Q
I x^-ax*dx==—
0
DO
fxdx л2
. e* — 1 ~ 6
о
2,405
oo
0
x3 dx
------=0,225
ex— 1
= 1,18
3. Формулы для приближенных вычислений . *
4
Если а < 1, то в первом приближении можно приняты
1 1-1
—— 1 -р д; ' --- = 1 ~р О}
1 ± а у 1 ± а 2
(1 ± а)2= 1± 2д; е°=1 + а;
- ,—— 1
VI ± 0=1 ±— а-, 1п(1+о) = а.
Если угол а мал (а < 5° или а < 0,1 рад) и выражен в радианах, то в пер-
вом приближении можно принять:
sin а = tg а = а~ cos а = I.
436
4. Значения тригонометрических функций
Угол. е. ад sir Cl у- ~ СО
О' 0,0000 0,0000 оо 1,0000 90
1 0,0175 0,0175 57,29 0,9998 89 —
2 0,0349 0,0349 28,64 0,9994 88
3 0,0523 0,0524 19,08 0,9986 87
4 0,0698 0,0699 14,30 О;9976 86
5 0,0872 0,0875 11,43 0,9962 85
6 0,1045 0,1051 9,514 0,9945 84
7 0,1219 0,1228 8,144 0,9925 83
8 0,1392 0,1405 7,115 0,9903 82
0,1564 0,1584 6,314 0,9877 81
16 0,1736 0,1763 5,671 0,9848 80
И 0,1908 0,1944 5,145 0,9816 79
12 0,2079 0,2126 4,705 0,9781 78
13 0,2250 0,2309 4.331 0,9744 77
14 0,2419 0,2493 4,011 0,9703 76
15 0,2588 0,2679 3,732 0,9659 75
16 0,2756 0,2867 3.487 0,9613 74
17 0,2924 0,3057 3,271 0,9563 73
1'8 0,3090 0,3249 3,078 0,9511 72
19 0,3256 0,3443 2,904 0,9455 71
20 0,3420 0,3640 2,747 0,9397 70
21 0,3584 0,3839 2,605 0,9336 69
22 0,3746 0,4040 2,175 0,9272 68
23 0,3907 0,4245 2,356 0,9205 67
24 0,4067 0,4452 2,246 0,9135 66
25 0,4226 0,4663 2,145 0,9063 65
26 0,4384 0,4877 2,050 0,8988 64
27 0,4540 0,5095 1.963 0,8910 63
28 0,4695 0,5317 1,881 0,8829 62
29 0,4848 0,5543 1.804 0,8746 61
30 0,5000 0,5774 1,732 0,8660 ' 60
31 0,5150 0,6009 1,664 0,8572 59
32 0,5299 0,6249 1,600 0,8480 58
33 0,5446 0,6494 1,540 0,8387 57
34 0,5592 0,6745 1,483 0,8290 56
35 0,5736 0,7002 1.428 0,8192 55 х
36 0,5878 0,7265 1,376 0,8090 54
37 0,6018 0,7536 1,327 0,7986 53
38 0,6157 D,7813 1,280 0,7880 52
39 0,6293 0,8098 1,235 0,7771 51
40 0,6428 - 0,8391 - 1,192 0,7660 50
41 0,6561 0,8693 ' 1,150 0,7547 49
42 0,6691 0,9004 1,111 0,7431 48
43 0,6820 0,9325 1,072 0,7314 47
' 44 0,6947 0,9657 1,036 0,7193 46
45 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 45
со> ctg 'в sit Угол, град
Примечание. Синусы и тангенсы малых углов (до 5°) можно принимать равными углу,
выраженному в радианах Допускаемая при этом относительная ошибка не будет превы-
шать- 0Л%. О переводе градусной меры углов, в радианную и обратно см. табл. В,
437
5. Мантиссы десятичных логарифмов
V i г 4 4 5 (3 1 а У
100 , . 0000 0004 0009 СС13 0017 0022 0026 0030 0035 0039
101 0043 0048 0052 0056 0060 0065 0069 0073 0077 0082
-ГО2 0086 0090 0095 0099 0103 0107 0111 0)16 0120 012Д
103 0128 0133 0137 0141 0145 0149 0154 0158 0162 0166
104 0170 0175 0179 0183 0187 0191 0195 0199 0204 0208
105 0212 0216 0220 0224 0228 0233 0237 0241 0245 0249
106 0253 0257 0261 0265 0269 0273 0278 0282 0286 0290
107 0294 0298 0302 0306 0310 0314 0318 0322 0326 0330
108 0334 • 0338 0342 1Й46 0350 035: 0358 . 0362 0366 0370
109 0374 0378 0382 0386 0390 .0394 0398 0402 0406 0410
НО 0414 0418 0422 0426 0430 0434 0438 0441 0445 0449
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 6682 0719 0755
12 0792 0828 0861 0899 0934- 0969 1004 1038 1072 1106
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1307 1399 ИЗО
14 1461 1492 1523 1553 1584 1014 1644 1673 1703 1732
15 1761 1790 ' 1818 1847 1$75 1003 1031 1959 1987 Ж
16 2041 2068 2005 2|22 2380 2148 2175 2201 2226 2253
17 2304 2330 , 2356 2465 2430 '2455 2504 2529
18 2553 2577 260! 2625 2856 264.8 2672 2695 2^18 2742
19 2788 2810 2833 2878 2900 2923 2967 2989
20 ЗОЮ 3032 3054 3075 3096 ЗН8 3324 3139 3]б0 3181 3201
21 3222 3243 3263 3284 3304 3345 3365 3385 $404
22 23 3424 3617 3444 3636 3464 3655 Ж § 3522 3711 3541 3729 3560 3747 3579 3766 3598 3784
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133
26 4150 4166 4183 4200 4?16 4232 4249 4265 4211 4298
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456
28 4472 4487 4502 4518 4548 4564 4579 4594 4609
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757
30 4771 4786 4860 4814 4809 4$43 4857 4871 4886 4900
31 49(4 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172
33 5185 5198 5211 6224 5237 5250 5263 5276 5289 5302
34 35 5315 5441 5328 5453 5340 5465 6353 5478 5366 5400 5378 5391 5514 5403 5527 5416 5539 5428 5551
36 5563 5575 5587 5705 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670
37 5682 5694 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786
38 5798 5809 5821 5832 5843 5866 5866 5877 5888 5899
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117
41 6128 6138 6149 6160 6170 ' 6180 6191 6201 6212 6222
42 6232 • 6243 6253 6263 6274 6284 '6294 6304 6314 6325
43 6335 6Й46 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618
46 6628 6637 6646 6730 6656 (56 6675 6684 6693 6702 6712
47 6721 6730 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803
48 6812 6821 6830. 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7162
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396
55 7404 7412 7419 7417 7435 7443 7451 7459 7466 7474
• 438
Продолжение
0 1 2 3 4 5 t 7 8 9
56 7482 7490 7597 7505 ' 7513 7520 7528 7536 7543' 7551
57 7559 7566 9574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701
59 7709 7716 7723 7731 • 7738 7745 7752 7760 7767 7774
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818' 7825 7832 7839 7846
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987
63 7993 8000 8007 8014 8021- 8028 8035 8041 8048 8055
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 . 8176 8182 8189
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319
68 8325 8331 8338 • 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445
70 8451 8457 8463 8470- 8476 8482 8488 8494 8500 8506
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745
75 8751 8756 8762 '8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802
76 . 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 .
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025
80 9031 9036 9042 904/ 9053 9058 9063 9069 9074 9079
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 ‘ 9180 9186
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238
- 84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 '9390
• 87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586
91 9590 9594 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 . . 9671 9675 9680
. 93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727
94 9731 9736 9741 9745 97’50 9754 9759 9763 9768 9773
95 8777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9§14 9818
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863
97 9868 9872 . 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908
98 9912 9916- 9921 9926 9930- 9934 9939 9943 9948 9952
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9969
В таблице даны значения мантисс десятичных логарифмов с четырьмя зна-
ками. Таблица распадается на две части.
В первой части указаны значения мантисс для чисел от 1000 до 1100 череа
интервалы, равные 1; первые три цифры указаны в первом столбце таблицы,
последняя — наверху ее.
Во второй части указаны значения мантисс для чисел от ПО до 999 череа
интервал, равный 1; первые две цифры указаны в первом столбце таблицы, по-
следняя—наверху ее.
Соотношения между десятичными и натуральными логарифмами:
In W«2,303 1g N, 1g //«0,4343 In N.
£.,439
II. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЕДИНИЦАХ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
6. Единицы физических величин СИ, имеющие собственные наименования
Величина Единица Величина Единица
наименование обозначе- ние наименование обозначен нне
Длина Масса Ъ<етр килограмм м. кг . Поток электри- ческого смещения кулон [Кл
Время Плоский угол Телесный угол Сила, вес секунда радиан стерадиан НЬЮТОН* с рад Г Потенциал элек- трического поля, электрическое на- пряжение ВОЛЬТ 1
Давление Напряжение (механическое) Модуль упруго- сти Работа, энергия паскаль паскаль паскаль. джоуль •Па Па Па Дж Электрическая емкость Электрическое сопротивление Электрическая проводимость фарад рм симеис Ф Ом См
Мощность Частота колеба- ний Термодинамиче- ская температура Разность темпе-. ватт герц, . Вт [Гц Магнитная ин- дукция Магнитный по- ток Индуктивность Сила света тесла вебер генрн каидела Тл - Вб Гн кд
ратур кельвин К Световой поток люмен лм
Теплота (коли- Дж Освещенность люкс лк
чество теплоты) джоуль Поток излучения ватт Вт
Количество, ве- щества Электрический заряд Сила тока моль кулон ампер моль Кл А Доза излучения (поглощенная до- за излучения) Активность изо- топа грей беккерель (Гр. ' Бк
7.'Множители и приставки для образования десятичных!
кратных н дольных единиц и их наименований
Множитель Приставка | Пример А ! € X г S' Приставка
наимено- вание » обозначе- ние наимено- вание !<. а с х Пример
1018 экса э эксаметр Эм jo-1 деци д дециметр «Mj
104 пета П пета герц ПГц 10—3 санти с сантиметр СМ
10й тера т тераджоуль ТДж 10-» милли м миллиампер мА
109 гига г гиганьютон ГН io-® микро мк микровольт мкВ
10® мега м мегаом МОм ю-в нано и наносекунда НС
10» кило к километр КМ 10-i2 ПИКО п пикофарад пф
10» гекто гч гектоватт гВ 10-4 фемто ф фемтограмм ' фг
10* дека^ . да декалитр дал IO-18 атто а аттокулон' адл
440 ,
Примечание к таблице 7. Перечисленные в таблице множители и приставки испбХь-
яуются для образования кратных и дольных единиц от единиц Международной системы
и от внесистемных единиц, допущенных к применению.
Приставки гекто, дека, детг» и саити допускается применять только в наименованиях
кратных и дольных единиц, уже получивших широкое распространение (гектар, декалитр,
дециметр, сантиметр и др.).
Приставки рекомендуется выбирать таким образом, чтобы числовые значения величин
находились в пределах от 0,1 до 1000 Например, для выражения числа 7.5-10-5 м следует
выбрать приставку микро, а ие приставку. милли или нано С приставкой микро получим
1,5-10-5 м—75 мкм, т. е. число находящееся в пределах от'0,1 до 1000.
С приставкой милли получим 7.5* 10“5 м= 0,075 мм, т. е. число, меньшее 0,1. а с при-
ставкой нано — 7,5-10-5-= 75 000 нм,'т. е. число, большее 1000.
Наименования и обозначения десятичных кратных и дольных единиц образуются при- •
соединением приставок к наименованиям исходных единиц. Присоединений двух (и более)
приставок подряд не допускается. Например, вместо единицы «микромикрофарад» следует
применять единицу «пикофарад».
- Обозначение приставки пишется слитно с обозначением единицы, к которой она, при-
соединяется.
При сложном наименовании произвоДиой единицы СИ приставку присоединяют к на-
именованию первой единицы, входящей н произведение илй числитель дроби. Например. .
кПа-с/м, но не Па-кс/м.
В виде исключения из этого правила временно в обоснованных случаях, т. е. в случа-
ях, когда* это нашло широкое распространение, допускается присоединение приставки к на-
именованию единицы, входящей в знаменатель дроби. Например. кВ/см, А/мм2. Одна ко
в интересах упрощения н унификации единиц следует постепенно переходить к правильно
образованным кратным и дольным единицам (наприМер, от ампера на квадратный милли-
метр к мегаамперу на квадратный метр, от киловольта на сантиметр к мегавольту, иа метр
и т. д.).
Кроме десятичных кратных и дольных единиц стандартом СЭВ. «Единицы физических
величин» допущены к использованию кратные и дольные единицы времени, плоского угла
и относительных величин, ие являющиеся десятичными. Например, единицы времени (ми-'
нута, час, сутки); единицы плоского угла (градус, минута, секунда).
- 8. Внесистемные единицы, допущенные к применению
наравне с единицами СИ
(в соответствии со£тан/\артом'СЭВ 1052—78 «Метрология.
Единицы физических величин»)
Величина Единица
наименование обозначение соотношение с единицей СИ
Масса тонна т 103 кг
-- атомная единица
м ассы з. е. м. 1,66-10-27 кг
Об>ем, вместимость литр Л' IO-3 мв
Плоский угол градус 1,74-10-’ рад
минута а.. 2,91-10-4 рад
секунда 4,85-10-е рад-
Работа, энергия электрон-вольт эВ 1,60-10-» Да
Относительная величина единица (число 1) —— 1
процент % 10-2
Логарифмическая величи- бел Б
на децибел ’ дБ —
• Температура градус Цельсия °C . Iе С=1 к
9. Соотношения между внесистемными единицами
и единицами СИ
Единицы пространства и времени.
Единицы механических величин
Длийа^ 1 ангестрем (А) = 10-9 10 м=10-8 см
Время 1 сут ==86400 с
"1 год=365,25 сут = 3,16’107 с
Плоский угол 1°=л/180 рад = 1,75-10“в рад
1'=л/108-10“2 рад=2,9Ы0“4 рад
1*=л/648-10“ & рад=4,85-10~6 рад
441
Продолжения
Объем, вместимость j
Масса
Сила
Работа, энергия
Мощность
Давление
Напряжение {механическое)
Частота вращения
Волновое "число
1 л =10“* м3 = 10® см’
1 т= 108' кг
1 а, е. м. =1,66.10-” кв
j кгс=9,81 Н
1 кгс-м=9,81 Дж
1 Вт-ч=3,640е Дж
1 эВ=4,6040-1в Дя
1 л. с. = 736 Bi •
1 кгс/см2=9,8140* Па
1 мм рт. ст.'=133 Па
1 бар — 10® Па
1 атм = 1,01 -10? Па
1 кгс/мм*1=аг9,81 • 10* Па
I об/с = 1 с—*
1 об/мин =1/60 с"1
1 см-1 = 100 м-1
Единицы величин молекулярной физики и термодинамики
Концентрация частиц 1 см~8 = 10* м-3
Теплота {количество тепло- 1 кал =4,19 Дж
ты) I ккал =4,1940е Дж
Единицы электрических и магнитных величин
Электрический момент дипо- ля 1 D =3,34-10~30 Кл.м
. Удельное электрическое со- противление Магнитная индукция Магнитный поток Напряженность магнитного ) Ом • мм2/м =10-в Ом-м 1 Гс=ГЬ— Тл 1 Мкс= 10—” Вб 10® А
поля id — —79. о \jfjt 4;тг м Единицы световых величин и величин энергетической- фотометрии Освещенность 1 рот= 10J лк
Единицы величин ионизирующих излучений Доза излучения (поглощен-. ная доза излучения) 1 рад= 0,01 Гр Мощность дозы излучения 1 рад/с =0,01 Гр/с
(мощность поглощенной дозы излучения) - Экспозиционная доза . рент- геновского и гамма-излучений Мощность экспозиционной дозы рентгеновского я гамма- излучений , Активность нуклида в радио- активном источнике (актив- ность изотопа) Плотность потока ионизиру- ющих частиц 1 рад/ч ="2,78- 10-в Гр/с 1 Р= 2,58 40-а Кд/кг 1 Р/с= 2,58- 10-а А/кг 1 Р/мин = 4,30-10-в А/кг 1 Р/ч=7,17-ГО-« А/кг 1 расп./с=1 Бк , 1 Ки = 3.70-IO*" Бк 1 част, /(с м2) = 1 с’Т м'«
1П. ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
10. Некоторые астрономические величины
Радиус Земли .......................
Масса Земли..........................
Радиус Солнца .......................
Масса Солнца.........................
Радиус Луны..................... .
Масса Лупы...........................
Расстояние от центра Земли до .центра
Солнца................
То же, до центра Л у вы..............
Период вращения Луды вокруг Земли ,
6,37-10'’ м
5.98 Ю24 кг
6,95-10* м
1,98 1030 кг
1,74-106 м
г 7,33-1022 кг
1.49-10" м
3,84 КУ м
27.3 сут—2,36-106 о
11. Плотность р твердых тел и жидкостей
(Мг/мэ, или г/см3)
Твердые тела
Алюминий .......................... 2,70
Висмут . .............................9,80
Вольфрам...........................' . 19,3
Железо (чугун, сталь).................7,87
Золото................................19,3
Каменная соль........................2,20
Латунь................................8,55
Марганец ....................... 7,40
Медь..................................8,93
Никель............................... 8,80
Платина........................... -21,4
Свинец................................ 11,3
Серебро..........................• . . 10,5
Урай ..................................18,7
Жидкости (при 15аС)
Вода (дистиллированная при 4° С) . . 1,00
Глицерин.........................1,26
Керосин................................0,8
Масло (оливковое, смазочное) .... 0,9
Масло касторовое 0,96
Ртуть.................................13,6
Сероуглерод . ....................... 1,26
Спирт................ . . ... . . , 0,8
Эфир................................0,7
12. Плотность р газов
при нормальных условиях (кг/м®)
Азот-.................................1,25
Аргон............................... , 1,78
Водород . . . . .....................0,09
Воздух................................1,29
Гелий.................................0,18
Кислород..............................1,43
13. Упругие постоянные твердых тел
(округленные значения)
Вещество Модуль Юнга Е. ГПа Модуль сдвига О, ГЛ я
Алюминий 69 24
Вольфрам 380 140
Железо (сталь) 200 76
Медь 98 , . 44
Серебро 74 27
14. Эффективный диаметр молекул, динамнческаи вязкость
и теплопроводность.газон при нормальных условиях
Вещество Эффективный диаметр d . Динамическая вяз- Теплопроводность
кость tj. мкПа-С К. мВт/(м-К)
Азот 0,38 16,6 24,3
Аргон 0.35 21 5 16,2
Водород 0,28 8,66 168-
Воздух • 0,27 17,2 - 24,1
Гелий 0,22 18,9 142
Кислород 0,3g 19,8 24,4
Пары воды 0,30 8.32 15,8
15. Критические параметры и поправки Ван-дер-Ваальса -
Критическая Критическое Поправки Ван-дер-Ваальса
Газ температура давление Гкр, К Ркр, МПа а, Н-м*/моль5 Ь, 10-6 м9/моль
Азот 126 3.39 0.135 3,86 ’
Аргон 151 4,86 0,134 3,22 ,
Водяной пар 647 22,1 0,545 3,04
Кислород 155 5,08. 0,136. 3,17
Неои 44,4' 2,72 0,209 1,70
Углекислый газ 304 7,38 0,361 4,2Й
Хлор 417 7,71 0,650 5,62
16. Динамическая вязкость >| жидкостей
при 20° С (мПа с)
Вода . . . .. .... -..................... 1,00
Глицерин..............................1480
1 Масло касторовое ....................987
Масло машинное.........................100
Ртуть ..................... 1,58
17. Поверхностное натяжение о жидкостей
при 20° С (мН/м)
Вода . ..............'.............. 73
Глицерин . ;........................ 62
Мыльная вода ..................... 40-
Ртуть................................5,0 I О2
. Зпирт......................... . 22 •
444
/18. Скорость звука с (м/с) '
Вода ................................. 1450
Воздух (сухой, при нормальных условиях) 332
19. Диэлектрическая проницаемость в
Вода .................................81
Масло (трансформаторное)..............2,2
Парафин...............................2,0
Слюда . ..................... 7,0
Стекло................................7,0
Фарфор................................5,0
Эбонит...................3,0
20. Удельное сопротивление р и температурный
коэффициент а проводников
Вещество р (при 20 °C), нОм-м «, °C-1 Вещество р (при 20 ®С). нОм a, ’G~l
Алюминий 26 3,6-10-8 Железо 98 6,2-10-’
Графит 3,9-10» -0,8-Ю-з Медь 17 4,2-10-в
21. 'Показатель преломления п
Алмаз ................;.................2,42
Вода . -................................1,33
Масло коричное..........................1,60
Сероуглерод.............................1,63
Стекло................................ 1,50
Примечание. Показатели преломления стекла зависят
от сорта стекла и длины волны проходящего через него
излучения. Поэтому приведенное здесь значение показа-
теля преломления следует рассматривать как условное и
использовать его только в том случае, когда он*ие ука-
зан в условии задачи.
22. Работа выхода электронов из металла,
Металл А. эВ А, 10-” Дж Металл . А, эВ’ А. 10г» Дж
Калий 2.2 3,5 . Платина 6,3 10,1
Литий 2,3 3,7 Серебро. 4,7 7,5
Натрий 2,5 4,0 Цинк 4,0 6,4
445
23. Элементы вериодической системы
2, — порядковый номер элемента; А — относительная атомная масса
химического элемента (округленные значения)
Z Элемент Символ А Z Элемент Символ Л Z Элемент Симе э A
1 Водород Н к.0) 35 Бром Вг 79,9 69 Тулий Ти 169
2 Гелий Не 4.0С 36 Криптон Кг 83,8 70 Иттербий Yb 173
3 Литий Lt 6,94 37 Рубидий Rb 85,5 71 Лютеций Lu 175
4 Бериллий Be 9,01 38 Стронций Sr 87,6 ! 72 Гафний Hf 178
5 Бор В 10,8 39 Иттрий Y 88,9 73 Тантал Та 181
6 Углерод С 12,0 40 Цирконий Zr 91,2 74 Вольфрам W 184
7 Азот N 14,0 41 Ниобий Hb 92,9 75 Рений Re 186
8 Кислород О 16,0 42 Молибден ‘ Mo 96,0 76 Осмий Os 190
9 Фтор F 19,0 43 Технеций Tc 99 77 Иридий ' Ir 192
10 Неон Ne 20,2 44 Рутений Ru 101 78 Платина Pt 195
11 Натрий Na 23,0 45 Роднй Rh 105 79 Золото Au 197
12 Магний Mg 24,4 46 Палладий Pd 106 80 Ртуть Hg 201
13 Алюминий Al 27,0 47 Серебро Ag 108 81 Таллий Tl 204
14 Кремний Si 28,1 48 Кадмий Cd 112 82 Свинец Pb 207
15 Фосфор P 31,0 49 Индий In 115 83 Висмут Bi 209
16 Сера S 32,1 50 Олово > Sn 119 84 11елоний Po 210
17 Хлор Cl 35,5 51 Сурьма Sb 122 85 Астат At 210
18 Аргон Ar 40,0 52 Теллур Tp 128 86 Радон Rn 222
19 Калий К 3£,1 53 Йод 1 ' 127 87 Франций Fr 223
20 Кальций Ca 40,1 54 Ксенон Xc 131 88 Радий Ra 226
21 Скандий Sc 45,0 55 Цезий Cs 133 89 Актиний Ac 227
22 Титан Ti 47,9 56 Барий Ba 137 90 Торий Tb 232
23 Ванадий V 51,0 57 Лантан La 139 91 Протактн- Pa 231
24 Хром Cr 52,0 58 Церий Ce 140 НИЙ
25 Марганец Mn 54,9 59 Празеодим Pr 141 92 Уран U 238
26 Железо Fe 55,9 60 Неодим Nd 144 93 Нептуний Np (237)*
27 Кобальт .Co 58,9 61 Прометий Pm 145 94 Плутоний Pu (244)
28 Никель Ni 58,-7 62 Самарий Sm 150 95 Америций Am (243)
29 Медь Cu 63:5 63 Европий Eu 152 96 Кюрий Cm (247)
30 Цинк Zn 65,4 64 Гадолиний Gd 157 97 Берклий Bk (249)
31 Галлий Ga 69,7 65 Тербий Tb 159 98 Калифорний Cf (249)
32 Германий Ge 72,6 66 Диспрозий Dy 163 99 Эйнштейний Es (254)
33 Мышьяк As 74,9 67 Гольмий Ho 165 100 Фермий Fm (262)
34 Селен Se 79,0 68 Эрбий Er 167 101 Менделевий Md (259)
• В скобках даны массовые числа наиболее устойчивых изотопов элемента.
24. Масса нейтральных.атомов (а. е. м)
Элемент Порядно- выв номер Изотоп Масса j Элемент Порядно- .. выв иомерИзотоп Масса
(Нейтрон) 0 • п 1,00867 Бериллий 4 ’Be 7,01693
Водород 1 *Н 1,00783 »Ве 9,01219
2Н 2,01410 10Ве 10,01354
«н 3,01605
Гелий 2 «Не 3,01603 Бор 5 8В 9,01333
4Не 4,00260 10В 10,01294
Литий 3 °Li 6,01513 “В 11,00931
’Li •7,01601
446
П родплженпе
У Элемент Порядко- вый номер Изотоп Масса 1 Элемент 1 Грядко- вый номер ИзОТО! Масса
Углерод 6 юс 10,00168 Натрий 11 22Na 21,99444
12Q 12,00000 23 Na 22,98977
13Q 13,00335 Магний 12 23 Mg 22.99414
14С 14,00324 Алюминий 13 80 Al 29,99817
Азот 7 * i3N 13,00574 Кремний 14 «’Si 30,97535
14N 14,00307 Фосфор 15 sip 30,97376
«N 15,00011 Калий 19 «к 40,96184
Кислород 8 • «О 15,99491 Кальций 20 *4Ca 43,95549
1’0 16,99913 Свинец 82 говрь 205,97446
180 17,99916 Полоний 84 aiopo 209.98297
Фтор 9 19р 18.99840
25. Масса и энергия покоя некоторых элементарных и легких ядер
Масса Энергия
Частице
К1 moi а. е. м. £. Дж £., МэВ
Электрон 9,11-10-»’ 0,00055 8,16-10-14 0,511
Нейтральный л-мезон 2,41 -IO-28 0,14526 — 135
Протон 1.672-10-2’ 1,00728 1,50-10-’° 938
Нейтрон 1,675.10-27 1,00067 1,51-10-10 939
Дейтон 3,35-10-” 2,01355 3,00-io-’6 1876
а-частица 6,64-10-” 4,00149 5,96-10-’° 3733
26. Период полураспада радиоактивных изотопов
. Изотон Гип распада Период юлураспадэ Изото Гип распада Период полураспада
225 Актиний gg Ас а 10 сут Радон 222 R 86 Кп а 3,8 сут
Йод ’|11 V 8 сут Стронций 90 Sr 38 * В’ 28 лет
.. - 192 , Иридии уу 1г V 75 сут Торий 229 ть 90 ТЬ а, у 7.J0» лет
Кобальт Со Р_. т 5,3 года Уран 238 и 92 и а, у 4,5-10“ лет
27 Магний jgMg 10 мин Фосфор 32 р 15 И 14,3 сут
п - 219 По Радии gg На а ,10-« с Натрий 22 ы 11 Na 7 2,6 года
D К 226 D, Радий gg Ra а, у 1,62•103 лет
447
Основные физические постоянные
Нормальное ускорение свобод-
ного падения , ........
Гравитационная постоянная . .
Постоянная Авогадро ....
Молярная газовая постоянная
Стандартный объем* ....
. Постоянная Больцмана
Постоянная Фарвдея . . . .
Элементарный заряд . , . .
Масса электрона.............
Удельный заряд электрона . .
Скорость света в вакууме**
Постбянная~ Стефана—Больцма-
на .................... . .
Постоянная закона смещения
Вина........................
Постоянные в формуле Планка
Постоянная Планка...........
Постоянная Ридберга . ,
Боровский радиус . . . . ,
Комптоновская длина волны
электрона ....................
Магнетон Бора...............
Энергия ионизации атома водо-
рода .........................
Атомная единица массы . . .
Ядерный магнетон ....-•
Электрическая постоянная . , .
Магнитная постоянная . . .. ..
* Молярный объем идеального газа
** Скорость света в вакууме по да
(299792,462±0.018) км/с.
8=9,81 м/с2
С =6,67 10“ п _м3/(кг-с2)
Ал = 6,02-1023 моль-’
R = № ,31 Дж/(К -моль)
Уот =22,4-10“ 3 м3/моль
k= 1,38-10-» Дж/К ' '
F = 9,65-10’ Кл/моль
е= 1,60-Ю-19 Кл
wie = 9,lbl0-sl кг
elm = 1,76-1011 Кл/кг
6=3,00-10* м/с
о=5,67- 10-8 Вт/(м2-К4)
6=2,90-Ю-8 м-К
С, =3,74-Ю^10 Вт м2 -
С2= 1,44-10~а м К
Л =6,63-10“ 34 Дж с
Л= 1,05-1084 Дж с
R = 2,07-10-18 с-2
Я' = 1,10-10’ м-i
0 = 5,29-10-4 м
Кс= 2,43-10-12 м' -
рв=9,27-10-24 Дж/Тл
£, = 2,1810'-18 Дж
1 а. е. м. = 1,66-10-27 кг
р-дг =5,05,- Ю-3’ А-м2
ео = 8,85-10-12 Ф/м
Ро=4л-1О-’ Гн/м ,
I нормальных условиях.
м измерений йа 1973 г. рання
ОТВЕТЫ
У
1-1. v’ = 122 км/ч; V =72,2 км/ч. 1-2. 8,87 м/с. t-8. 64 км/ч. 1-4. <o> =
=2о1р1/(с»1+ог)=3,2 м/с. 1-5. <u> =s/(ti+G) =2 м/с. 1-6. 3,93 м/с.
1-7. 2 м/с. 1-8. Графики изображены на
на рис. 2. 1-10. 40 с; 80 м; —0,1 м/с*}
графики изображены на рис. 3. 1-11.
а) x=x0-|-i»0 t+aP/2: б) х=—х0—Ьо< +
4-а/г/2; в) х = х0—vot—г) х =
2л
х0+о0/—а!«/2. 1-12. l)x=/tg -^-1j
„ 11 2л \
2) v = 2л1 //Г cos* — tj = 48;0 м/с,
1-13. 30 с; 3м/с; 45 м. 1-14. Встретятся
дважды! через 3,4 с на расстоянии 15 м
и через 10,6 с на расстоянии 123 м.
рис. 1. 1-9. Графики изображены
Рис. 2
Рис. 3
1-16. 0,235с; 5,1м/с; 0,286м/с. 1-17. Н = (2s+gl»)«/(8g/»)= 5,61 м. где а 1м.
1-18. 150 м. 1-19. 1 с; 10 м/с (при движении вверх); 3 с; —10 м/с (при паде-
нии). 1-20. 19,2 м. 1-21. 19,6 м. 1-22. 9,62 м; —14,6 м/с. 1-23. х=й-}-ц,/—
—g<*/2; 7,77 м/с. 1-24. 0,5 м/с. 1-25. 3 м/с. 1-26. 1) v = i 341»-|-j 28/j
2) а=16Л/+/2в. 1-27. 2,5 м/с; 12,5 м/с». 1-28. 1) 14,1 м/с; 2) —10 м/с»}
3) 7,07 м/с»} 4) 7,07 м/с». 1-29. 1,42 м/с». 1.30. I) 8 м; 2) 6,73 м; 3) 4 М/С}
4) 3,36 м/о. 1-31. Графики см. на рис. 4. 1-32. <о>= л/?/т=0,837 м/с;
15 Зак. 94
449
Рис. 4
1<у> [ = 2Я/т=0,267 м/с. 1-33. 2м/с*;
1м/с»; 2,24 м/с*. 1-34. 7.м/с; 8,5 м/с?.
1-35. 0,872 с; 14,8 м/с». 1-36. g8 — 8х = 0}
2,77 М/с; 4,8 м/с*. 1-37. х =
= Rt siti (c/jR). 1-38. 1) y = Rtcos (ti/Rf,
x=Rtsin(v/R); 2) r = R, <p=-^-—
— — t. 1-39. Случай a: I) x=vet,
случай 6: 1) x = ci,Zcesa, g=—fc+t)0Zsina—gZ*/2; 2) y—— ft-J-xlga—
— . ; случай в: 1) x=s-j-o0f. у = й—gt*/2; 2) y=h——;
2f* cos* a
случай t: 1) x = s+o0/cosa, р=й—oe 1 sin a—gZ»/2; 2) y=h — (x— s) tg a—
. .---ЁЛ---2—. 1.40. 20 м/с; 28 м/с. 1-41. ft=o*/2g=20,4 M. 1-42.
2v% cos* a
v=l Vg/(2ft) = 210 м/с. 1-43. 24,5 c; 2,45 km. 1-44. 45°. 1-45. y = h-j-v0 Zsina—
n'* ex*
—— x=t>oZcosa; g=5-)-xtga.—•—------— ; 2) т=9,28 с, /7=136 м,
2 2v% cos* a
e(Z.+Z2)
L = 242 m, o = 57,3 м/с. 1-46. o0 =--:---=588 м/с; ft=gljl2 = 2.45 km.
2sm a
1-47. //=oJsin*a/(2g) = l,53KM; s = (2oj[ sin acosa)/g=3,53 km; R—(og cos*a)/g=
= 1,02 км. 1-48. 35,8 м/с; 5,37 м/с*; 8,22 м/с*. 1-49. 4,9 м/с*; 8,55 м/с».
1-50. о=(2я/7’) R coscp, ац=(4л*/Т*) R cos<р(7’— период вращения Земли);
1) 463 м/с, 3,37 см/с»; 2) 259 м/с, 1,88 см/с*. 1-51. n = (oi—о2)/(2лй) = 1,59 с-»,
где 5=10 см. 1-52. 113 м/с; 35 мкм. 1-53. в=2й/(г1*)=8,33 рад/с*. 1.54.
5 см/с*; 10 см/С»; 11 см/с*. 1-55. 1,2 м/с*; 168 м/с»; ~ 168 м/с*. 1-56.
в=2лп/(Д/)=3,14 рад/с»; М=»/8пД1=25. 1-57. —0,523 рад/с*; 150. 1-58.
в = л(«§—nJ)//V = l,26 рад/с*. 1-59. N=-n(n%—nJ)/B=21,6; AZ=2n (z^—wJ/b*»
= 7,85 c. 1-60. ы=1/4л*n*R*-)-v* = 40',6, м/с. 1-61. v—ndl/hbt=0,754 м/с.
2-1. 2,5 м/с*. 2-2. o=m2g/(m1+m2)=l,96M/c*. 2-3. F= g—39,2 H.
»?!-}-/Пг
2-4. 2 м/с*; 8H; 2-H. 2-5. o= (m*~W1)g =,1,40 м/с»; 7,1=«i(g+a) = H.2Hj
___________________ Д
-'«'i--— " й/" "
T’i = /n2(g—a) = 16,8H.i 2-6. / =tga——----=0,35. 2-7. F1=—0.8H;
______ —4" g/2 cos a
F,= -8H; F=0 при 1=1,67 c. 2-8. <F> = (m/l) V2gft=626 кН. 2-9. 0,051.
2-10. 1,33 кг-м/с. 2-11. lOOH’C; 100 кг-м/с. 2-12. l,4H«c. 2-13. p1=2mv0 sina=«
=3H-c. 2-14. l,25H c; —1.25H.C. 2-15. Qm=m (g+c)/o = 24,5 кг/с.
450
2*1в. /?= —QTO v= —160H; a= — Qm vim—— 4,57 см/с». 2-17.v=—1/
- • . d V np-
= 10,2 м/с; p—плотность воздуха. 2-18. Fmax=f(OTi+m2)g:=i17.7Hi'
2-19. /71=fi(m14-/n1)g = 19,6H; Fa=(ft—ft) (т^/т^ (mi+mj)g=39,2 Hi
2-20. a^—~—g=73,5 м/с»; T = 4~ —^-F=625 H. 2-21. a = gStn?-„
M+m s * 4 M-t-m I—coea
=36,6 м/с». 2-22. 2,27. 2-23. ss4°. 2-24. 20,4 cm. 2-25. p=V2pQ^/S»
=3,5< 10*Н/м» (p—плотность воды). 2-26. F=2pSo» sin<p=346H (p—плотность
воды). 2-27. <=mtimax^V=25 c. 2-28. t = — In Wg~^~^- =.44,5 6.
k mg
2-26. &/ = (m/fe) In 2=6,93 c. 2-30. t>=—(1—e~(ft/m) A')=6,3 м/с. 2-31.
k
„ kv m un—v ’ i
------—-— = 1,03 кН. 2-32. k=-------2---=4,7.10-4 кг/м. 2-3».
[—e—(«/mix T o0o
In 10 = 18,4 o. 2-34. 1)6,3 м/с; 2)—0,57 м/с. 2-35. I) I n/q
2) 3 м/с. 2-36. 0,75 м/с. 2-37. 1) 1,5 m; 2) 0,5 м; 3) 1,5 м, 0. 2-38. 0,4 м/с.
2-39. «а=114 м/о. 2-40. «2=250 м/с, <p, = —36,6°. 2-41. «1=0,385 m/cj
«2=—0,615 м/с. 2-42. 0,5 c-1. 2-43. t>mln =6,26 м/с 2-44. 3mg\ 70*30’.
2-45. В 6,1 раза. 2-46. w=arccos---------=60,2°. 2-47. 1,42 c. 2-48.
4л» n» /
F=m(g ± 4л» n?ry, Fraal = l,02 кН; Fmln=942 H. 2-49. vmln = Vg[R~l)/f ~
= 13 м/с; q>=arctg/=31° 2-50. 39 кН. 2-51. q>=arctg (4л2 n» r/g) =38° 50’.
Указание. При равновесии жидкости равнодействующая всех сил, дей-
ствующих на частицу жидкости, находящуюся иа ее поверхности, направ-
лена по нормали к поверхности. 2-52. v—~[/fgR=i4 м/с. 2-53. 12,1 м/с;
16° 42’.
2-54.
о»
<p=arctg—— = 58,2
g/?
F=mg/cos <р = 66,2 кН.
2-55. 1) F =
= 4л» rflmr = 12,7 кН; 2) М = 2Fr cos<p = 86,5 Н«м. 2-56. о = рш»/?»;
1) о=8,9 кН/м»; 2) 0=8,9 кН/м». 2-57. Л =/gms+то’/2 = 996 Дж. 2-58.
Л=тЛ^+2Л//»)=4,72 кДж. 2-59. 1,35 кДж. 2-60. 336 Дж. 2-61. 2,94 кДж,
’ 6 кДж. 2-62. 7=(m/2)(^+g»/»)=663 Дж. 2-63. 5 Дж; 15 Дж. 2-64.
W=npd»o3 */8 = 1,26 кВт (р—плотность воды). 2-65. TV=1/2 pSO»=2,84 кВт
1 -, /* m3 g»
(р—плотность воздуха). 2-66. W = — |/ ------;
1) 139 кВт; 2) 313 кВт.
2-67. 0,32 Вт; 56 Вт. 2-68. h =5/?/2 = 10 м. 2-69. a=arccos (2/3) =0,268л рад.
2-70. o=V^g^ = 14 м/с. 2-71. 7’2 = (m1/m2) 7\ = 30 кДж. 2-72. T’a=(m1/m2) =
= 1,2«10—11 Дж = 12 иДж. Решение. По закону сохранения импульса,
импульсы осколков после разрыва должны, быть равны; Pi=p3 (1). .Выразим
импульс через кинетическую энергию р—ти, р2—т'ги1; T = mvl/2; 2тТ — т2 tF.
15* 451
Из этих равенств вайдем р — ~\/2тТ, Подставив в <1>, ййлуиим- 1/24^7^=
= l/2Aii7’a, откуда найдем Т3. 2-73, 390 Дж. 2-74. Т^=п7./(я4-1)=24 пДЖ]
78=7/(п+1)=8 пДж. 2-76. /=m4o{/(2fgmj)=6,37 м. 2-76. к=т»&/(28М) —
= 7,34 см. 2-771 ‘ р—У ~V^hь= 701 кг/е. 2-78. Л=/(1—cos<p)f--—1—)«
т \ /Пд /
= 16 см. -9-79. ди=^У* <Г1 t 1) 9,6 Дж; 2) 86,4 Дж. 2:80.
2(mi+ma)
u-=mi0i/(mi4-/n1); w=ma/(mi4-zzi1|); l) ^ = 1 м/с; w==0,8; 2) и =4 м/с; w=0,2.
2-81. 1) pJ = (/Hi—ms)/(mi-{-ffla)= —6 кг»м/с, р2 =>2m2/(mi-]-wi1) = 16 кг.м/с;
1 -а
2) Др1 = — р' = —16 кг-м/с; 3) 7'-----*-
т1—/»а
=,——i —1=9 Дж, Т i = _
2Ж1 \ ffli+ff*» Г (ffti + m»)4
= 16 ДЖ; 4) |Д71|=7$ = 16 Дж; 5) „ д0,64. 2-82.
71 (nh+mrf
1) р;=7П1Р1/(т1-}-/п2) = Зкг*м/с, р’г=т»р1/(т1-]-т3) = 2 кпм/с; 2) Др,=—р'=
. /Hi pl , tn3pi
—21 Т!~ 2!„,+»> ---------
О IAT.I—-1.33
... mi
а —
=0,75 Дж, =0.5 Дж;
_ 7i /п. т«
Дж; 5) Wi = —=~" — =0,24,
<1. (Як+^а)2
W» = ----Г--.. - =0,36; 6) Л(/ =—--------=0,833 Дж; 7)и>=Д1//71=
71 (mi4-ms)2 2mi(mi4-m2)
= ~---;---- = 0,4. 2г83. »)=т2/(т1+Я1а)=0,952. 2-84. in=»li/(mi+'n2)=0.833.
(Ml-f-zn2)
2-85. «)=---—=0,93. 2-86. —6 м/с, 4 м/с. 2-87. М =т(1 +1/П=ш)а/ю=
/П1+/Па
= 16,2 кг. 2-88. fe=(l+V^1—o>)a/tti=3. 2-89. w=4m1mi/{m1-}-mi)i=0,7b.
2-90. pa=?2map1/(mi4-ma)=8f 10“*° кг«м/с. 2*91. ui=i>icosa = l ,73 м/с;
«s=Vi9ina,= lM/c; Р=л/2—a=60*. 2*92.a=arccosГ1+\ ?lu.i —
2T/7i(7i—7J
= 144*.
3-1. 0,012 КГ.М». 3-2. 2>10~* кг»м». ‘3-3. a) J=e/«mla=3,6.10-« кг-м®;
6) J«=®/am/?=2,4«10-8 кг>м®. 3-4. 1) 4П0-* кг<ма; 2) 2<10“* иг*м4.
3-5. 1) Jx = 0,607<10-17 кг*м®, J1/ = l,14»10-17 кг‘М», Jz= 1,75il0_*’ кг-и1;
2) Л»=1,23>10-« кЬм», У{,=8,71;.10-« кпм», /2=9,94<10-« кг.м4.
3-6. 1) J=i/8m/»=.3.10-« кг.м«; 2) J=i/iaraP=0,75.10-s кг*м»; 3) J=i/,m/® =
— 10-« кг-м4 8-7. 4*10-» кг«м4. 3-8. /*=’/2та4 (Ь'Н/а «) = 1,44< 10~‘кг-м4.
3-9. J -(mi/8+m,) IJ =0,112 кг.м4. 3-10. J = >/81} (mt +3ms) +»/„т31* =
= 6,114 КГ‘М4. 3-11, 1) /=‘/iSma4 = 5»10-S кпм4; 2) / = 1/ame4=2il0-4 кг-м4.
3-12. а) /“Зтй-О.З кг-м4; 6) J-»/# тР=0,122 кг>м»; в)/=»/вт/4= 0,0833 кг-м4;
0 /*=’/атР =0,0777 кг.м4; д) J=8/fwiP= 0,0833 кг.м4. 3-13, J=i/2m/?a.
452
3-14. /=«/s m/?» = 7,5-10-*/кг-м». 3-15. J=*lt m/?»=0.16-» нг-м». 3-1*
r 1 „ nuP .
/=— mR*——- (d»+8Z«) =4,19.10-» kf.m». 3-17. /=»/, md»»
• oz/\*
=4,27.10-» kf.M». 3-18. /?=*/« се»h==2»ip-S KF.M». 3-1». 1) e=-y*
3 g '
------sin a=12,7 раа/s», a, =g sin a<
14,7 рад/о», <L=g?9,8 м/с»; 2) e= „
’ ' 2 . 1
=8,49 м/с»; 3) e=-—^у-sin а=14,в рад/с», «, =-у-g sin а =7,27 м/«Д.
3-20. 1) 65,3 рад/с». 9,8 м/с»; 2) 32,7 рад/с», 4,9 м/с>; 3) 59,9 рад/<^,
7,99 м/с» (см. задачу 3-19)., Зу21. М=1/^ тР 8 = 0,025 Н*м. 3-22.
J=mR^
0,0235 кг-м». 3-23. i=JW!/?n/(F<) =0,31. 3-24. a) a=2g/3;
6) a=g/2. 3-25. a = —^e-=0,24 м/с».
(m-)-2m1+2ma)
= 1,96 м/с»’ 74 = j/+1)ma*fe^lg=0,98H,
тг+тг+т le
= 1,18 H. 3-27. Tt = —(W + 2m^-g =.3,53 H; 7a
m+znj-J-ma
3-28.
==2,61
M=*/6m/?» (£4-3C7) = —0,64 H.m. 3-29.
(nh—fmj
а= ‘ g =
(mi
(^ + 1)Л>1 + 'Ия .
Л 2 -- - Щ n =я
mi+ma+m
= m2(m+2mi) 392tL
m-|-/ni-)-ma
6mat>
1) <0 =--------------=
(3m2+mi)l
З/П2 v
=I,43 рад/е,
3-26.
3m2t>
рад/с, ы=—-------------= 1,30 м/с; 2) ш =
3ma+mi (ma+wij) I
2m->v " 4/nao
--------- =0,952 м/с; 3) ш= ---------------------— =0,833 рад/с,
(/п4 ’/д mi) /
Згпз v
u =
a—------———=0,625 м/с. 3-30. 1) 4,55 рад/с, 0,909 м/с; 2) 2,27 рад/о,
0,454 м/C; 3) 3,03 рад/с, 0,303 м/с; 4) 1,52 рад/с, 0,202 м/с (см. ответы на
2m. l/23i
задачу 3-29.). 3-31. со = тог/(/4-тг») = 1,02 рад/с. 3-32. <о=---—- =
(mj+2/Пя) R
2m, v „ . 4лт- -
= 0,129 рад/с. 3-33. w =—----------- = 0,445 рад/с, 3-34.®=-------—а
(ma -j- 2m j) R nti H" 2mj
= 2л/3. 3-35.. ns=(J-)-m/?a.) nJ J = 10-’J мин. 3.36 na=12Jn1/(12-7+'»P) =
= 0,61 c-1. 3-37. na = 2m/?»ni// = 0,4 c->. 3-38. Ла = (ЬП^гц =
=4 с-1; Л = 2л»тл1 (/j/lj)2^’ —la)=5«92 3-39- l2>8 кВт- З’40-
A4=const=200 Н.м; ^=Р + Б/, где £>=3,2 кВт; Е=—0,8 кВт/с; Л/=0,8 кВт.
*41. M=/V/(2nn)=3,18 Н.м. 3-42. 71=2W/nnd = 2,98 кН; Tt = N/(nnd) =
= 1,49 кН. 3-43. N = nnd (F—mg) =214 Вт. 3-44. А = я» пт№; Ах ~ 7J1 кДж;
Ла = 28,4 кДж. 3-45.M = 7/(2n/V) = l,99 Н.м, 3-46. Т=М* (Д/)»/(27)=500 Дж.
453
дер. Т=(«/4>(21Л+л*1^£₽>=Зу21:кДж;-дев»- Т=3то*/4=3 Дж:- де*
=10 Дж; Л=4 Дж; 3-51.
3-53. o=']/3gl (1 —с<жф)=
7’1 = тс2=50 Дж; 7’2=3ти*/4 = 37,5 Дж. 3-50. 7\
р=У10/7£/=3,74 м/с. 3-52. l = 21/Vgft =4,04 с.
2) са =
3g
— =5,42 рад/с
=3,83 рад/с,
в3,84 м/с. 3-54. 1) <»
1,81
-y-g/?=5,32 м/с.
v—
3
— gl=l,92 м/с;
О
м/с; 3) ш=6
g
71
9
7,10 рад/с, v=—
8-85,
1) 14 рад/с, 1,05 м/с;
2) 14 рад/с, 2,1 м/с (см. задачу 3-54). 3-56.
1) <в = 2
ff
— =8,08 рад/с,
ОК
о=4
— g/?=3,23 м/с; 2) <в =
3
2g
„„ —5,71 рад/с, t) =
оК
о.6п ./« з>._/PWc, „А/!2Й±1а_
Г WK о у 17
1 / 2g э / 2
= 3,04 м/с; 4) ш=3 I/ ——=8,95 рад/с, о=4 I/ —g/? = 2,39 м/с.
Г 1 1Г\ - Г 1 1
4-1. 66,7 пН. 4-2. 667 пН. 4-3. F=G(np412/6)a = l,78 мкН (р—плотность
железа). 4-4. Л=/? (Vg/gft —0 = 13,6 Мм. 4-5. 2,18 м. 4-6. 3,7 Н/кг. 4-7.
8л=8/(А«) = | .61 м/с2. 4-8. g=«
=54,3/?. 4-10. 6,33 км/с. 4-11. 1
4-13. 164 г. 4-14. 7,92 км/с. 4-15.
7snGp/?=0,21 м/с2. 4-9. г =-------------- =
1 + 1 У«
,69 Мм. 4-12. 7,27.10-» рад/с; 42,2 Мм.
15 км/с. 4-16. 1,22 года. 4-17. 65 сут.
4-18. 255 сут. 4-19. — = = з
Vi 1—8 ’
Oj — скорость спутника в перигее, v2 —в
апогее. 4-20. В четыре раза. 4-21.
6,21110м кг. 4-22. 5,98.10** кг. 4-23. 100.
4
4-24. g (г) =— nGpr при г</?, g(r) =
4jiQ>/?®
= ^3 при *>/?; График зави-
симости g(r) дан на рис. 5. 4-25. 1) ДР=8/3nGpmft = 15,4 мН; 2) ДР =
= */gnGpm/i = 7,7l мН. 4-26. 1) 4=1/2mgl?=31,2 МДж; 2) 4=mg/? =
= 62,4 МДж. 4-27. h=R. 4-28. <р=—62,6 МДж/кг; <р= —190 ГДж/кг.
4-29. 1,68 км/с; 2,37 км/с. 4-30. 436 км/с; 617 км/с. 4-31. 130 м/с. 4-32.
1>=Уоа—₽/? = 6,12км/с. 4-33. о=Уо»—2g/? = 10 км/с. 4-34. о=У§3/И//? =
=42,1 км/с, 4-35. 72,6 км/с. 4-36. Ракета будет двигаться по гиперболе.
454
„Указание.. «Перед решением задачи рекомендуется ознакомиться с приме-
ром 1 /С. 59). Сравнить задавиую в,условии задачи скорость Р=10км/е Со
скоростями . круговой оКр и параболи.ческой оп иа указанной , высоте, предвари-
тельно вычислив и. Если окажется, что о=оцр> то ракета движется по окруж-
ности;: если онр < оп. то ракета, .'движется ho эллипсу; если сИр=ьоп,
то ракета движется по параболе; если v > vo, то траектория ракеты—гипер-
бола. 4-37. o=4mg/(nd2)—3,12 МПа. 4-38. 1) a=4mg/(nd»)=3,12 МПа;
_ 4та —1 at 8т \ 4ms '
г)“-^-+—»'-т (^г+о')-6'45 31
/'* 4т \
=gf-^--}-p/1=9,78 МПа. 4-39. P=jwls Оупр/4 =231 Н; 8 = оуар/Е = 1,47« 10-».
4-40, /==оПр/(р£) = Ш м (р—плотность свинца). 4-41. о=4ла na ml/S=948 МПа.
М2. МПа. М3. £-4</<S«>-
•J Jo
О
•=208 ГПа. 4-44. o=4mg/(nda)=78,5 МПа; e^mg/(ES) =3.90.10“*; л=в/ = 1,2 мм.
met3 Jfe, fe
4-46. Е as-------= 196 ГПа. 4-40. «>=(*«/*!) х2 =4 см. 4-47. k' = - =
2nd»/г8 ^-l-fea
= 1,5 кН/м; fe"=fe1+fea=8 кН/м. 4-48. 1)t=F/S=637 кПа; 2) у=т/б=8,37 Мкрад)
3) х=Лу=1,68 мкм. 4-49. ф=/И/С=8,34 мрад. 4-50. С=Л4/ф=5,71 мН*м/рад.
4-51. A = ES (х)а/(21) = 10 Дж. 4-52. Д=Г(^/(2x0=5 Дж- 4-53.
Л = Гл+»/!!*(х)а = 2,5 Дж. 4-54. A = i/tk(x3 —х») = 15,4 Дж. 4-55. 16,3 мм.'
4-56. / = Ут» Ра/(Лт2)=4,25 см. 4-57. Д=—— (fei + feaJjc’=0,6 Дж.
2 ki
Её2 tn
4-58. 100 Дж ( см. задачу 4-54). 4^-59. П=----—50 Дж (р—плотность
2 р
ES / х V
стали). 4-60. П=—у-1—1=160 Дж; w = H/(Sl) =0,4 МДж/м8. 4-61.
П = Е»1/(2ЕЗ)=2,6 Дж; ш=П/(51) =6,25 кДж/м3. 4-62. П=1/2 (^+Л2) л» =
=5 Дж. 4-63. v=sx~\/k/m — 7,07 м/с.' 4-64. о = 1/(й/т) (лса—лса) = 22,5 м/с.
4-65. Jfe=mt>a/Jta=l,2 МН/м. 4-66. ш=оа/(2Е) = 225 кДж/м3. 4-67. 1)4,53 mmj
2) 453 мН/м».
_ ____ _ ---------------------- 1 ь?
5-1. и—с р2Д///0= 134 км/с. 5-2. ы=с1/2Дт/т0=1.34 км/с. 5-3. с=-
2 с®
= 0,57 с. 5-4. 1,25. 5-5. 1 = 4 1/1—о»/с»cos»<р=0,825 м; <p=arctg
=59". 5-6. q>=arctg — ' - = 72<’ 66*. 5-7. <г0 = | —) V1 —О»/с» = 25 нс.
1/1—Р»/са
5-8. 6= — 1 —=0.995. 5-10. 1) 0,195с; 2) 0,974с. 5-11. 0,268с. 5-12.с.
Vl+Tjc»//»
455
5-18. 0,6c, S-14. ММя-К'ЛДгШ-ОЖ 5-IT. m *-2^0,666 в.
5-18. 0,6%. 5-20. 2,05-10-“ кг* м/с. 5-21,,c/V2=0,707 С. .5-22,1) »/sm0 ?= 1,67^;
2) v=l/ac-, 3) 2m0/V3 = l,15m(>. 5-23. VG=®/Uс=0,231 с. 5-24. 11,1 фг.
5-25. 90 ТДж. 5-26. 1) 81,6 фДж. или 0,511 МэВ; 2) 150 пДж, или 938 МэВ;
3) 596 пДж, или 3,73-108 МэВ. 5-27. 6,57.10’ кг. 5-28. 1) 1,37.101’ кг,
2) 8,Й2 1'О’кг. 5-29. 20,6; 1,01. 5-30; Г,94 . 5-31. 0,341 МэВ. 5-32. 260 Мм/С;
5-33. 1) 298 Мм/с; 2) 18,9 Мм/с. 5-34. 1) 13,8 Мм/с; 2) 263 Мм/с. 5-36.
1) 0,03; 2) 0,&2 . 5-37. 1) 0,866 с; 2) 0,9897 с; 3) 6т„с2. 5-39. 1,73т» с. 5-40.
О,414тос2. 5-41. 2,82. 5-42. 1) 2,98; 2) 1,58. 5-43. I) 0,707с; 2) 2,4142т0;
3) 0,414с; 4) 2,1973т0, 5) 0,414т0е2, О,217тос!. 5-44. О,551тос2.
6-1. 2 с; 36°. 6-2. 0,8 с; 1,25 Гц; л рад. 6-3. 1) л/3 рад; 2)3л/4рад;
3) 5л/3 рад; 4) 7л/6 рад. 6-4. 1) 5п/6 рад; 2) л/3 рад; 3) 5л/4 рад; 4) 5я/3 рад.
6-в. х = А cos (at -р ф), где /1=4 см, <а = 2л/Т = л рад/с, <р= л/2 рад;
I) 5л/3 рад; 2) 0,842л рад. 6-7. х-.<= A cos (wt 4- <р), где А =. d/2 = 10 см,
<в = я/3 рад/с, ф = я/2 рад; ; X = —8,66 см; х=—5;24 см/с, х =
=9,50 см/с2. 6-8. 4,71 см/с;. 7,40 см/с2. 6-9. |х|.= <i>V (и2 <42 —-х®) =»
= 12см/с2. 6-10. 2с~1; 40см/с2. 6-11. Юс-1; 0,628с; 1 см; х= Acosot.
6-12. А = 2х2/У4х2 — х2 = 8,33см.>643. (0=1^—х/х= 4с-1; Т = 2л/бз =
= 1,57 с; А — х24-о>2 ’= 7,07 см; at 4- <р = arc cos (х/А) = я/4 рад.
6-14. я/Зрад. 6-15. 2я/3 рад или 4я/3рад. 6-16. 4 = 1,41 см; ф=л/4 рад; х=>
= A cos (<Dt+<p), где <о—лс-1. 6-17. А=2,24см; у=0,159Гц; ф = 0,353л рад;
х=А cos где со=4 с-1.-6-18. А = 3,86 см, ф=О,417ярйд; x=AcosX
Х(<в/+ф), где со = 2л/7’ = 4,19с~1. 6-19. А=6см; ф = л/3рад; x=Acos(<pt4-
+ф), где со = 2я/7' = лс—1. 6-20. 1)А = 2,24см, ф=0,686ярад; 2) А = 1,41 см,
Ф=0,917лрад. 6-21. 2с. 6-22. у=—(Аа/А0 х, или у = — 1/tx. 6-23. у =
= ^-(A2/Ai),. или у=—2х. 6-24. l) j/a=x; 2) j/ = (Ai/A1) х, j/=«/t*; -3)x*-f-
4-у2 = А2. х«4-у2=4; 4)у=— (4S/At) х, у=— 2х; 5)x2 + j/2=42, xi^-y*=9;
6) ~ТГ+ “дГ = 1, "Т"+ = 7)l/=(’V4)x,p= Зх; 8)р=— (A./AJX,
^*2 ’ . V" •
X2 «/* X2 ifl X2 u2
у= — 2Х. 6-25. —-4- -7Г = 1,—-+ -Т~ = 1. 6-26. ---------
AJ 4 .1 0,25 4
в-27. о=13,7м/с. 6-23. j/ = -2(As/A1)*1+Aa, j,= _i/2x»4.
1W
4-1. 6-29. 1)у=А-2 ~ , у=— х*4-2; 2) j/ = 2 - А, у = х2 - 2;
3) 2Ау—<Aj х» = АА1, у = 8/4х24-»/в; 4) Х=2 (AJA) у l/l — У*/А2* х<= ?/, у =
= 1/4—р2 . 6-Ж !/=-5Т-Мг- х). х=~(2—х). 6-32. 1)-62,5мН;
456
2) — 125мН. 6-33. 2мН; 50 мкДж. 664. 4,39мН; 877 МкДж. 66Б. 2 г, л/3.;
6-36. 4,87Н/м. 6-37. 0,6 с/ 6-Зв' 0,8 Дж. 6-30. -^- = — (—Г==2,Й1 ’ ''
6-40. 7=2л1///(^а) = 1,8 с. 6-41. . £ = Р =50 см;
/—2«
= 2nl/Z7g‘= 1,42с. 6-42. £=*/в7= 25см; Г = ,2я1/ZTg = 1в. 6-43,7 —
= 2л l/577g= 1,90 с. 6-44, 7=2п у2Щг= 1,55с. 6-45. Т=2я V3₽/(2f)—
=.1,35с. 6-46. 36 см; 1,2с. 6-47. 7 = 2л1/. -1,14а.
2g(/?s4-Rr-H») '
: I : ' а '! I гт-т~ i ।
6-48. 10см. 6-49. a = //(2 1/3) = 34,6cm. 6-50. a) T = -2-л 1/ ~ —
: . .'Al 3 К 2g
/ 21 in 3 у /
= 1,89c; 6) 7 = 2л -^- = l,’64c; в) 7 = — я — =l,34c; p) 7—
= 2л1/ -^-—= 1,53c. 6-51. a)v = --1-]/4 JL = 0,386 Гц; 6)v-
I/ о О 2Л I/1‘ □' I ' > <
0,582 Гц. 6-52. Jt
=0,537 Гц; в) v
0,345 Гц; r) v = -£- X
‘ *л
j vnR2 T'j
2(7?—7]
= 6,4.Ю-*кг:м». 6-53
7=—|/ -^-=l,6c (p—плотность). ,f6!-54.' 7 =2rt ‘}/m/(2pgS) = 0,86c(p —
. « |Z pg,, ! . .. -A ' > ,
— плотность ртути). ,-6->55.,l =j=i g7*/(4n*) =6,21 m. 6-56. 15 мин. 6-57.
. „ • 2jx ’ / ' / • A I ’’ Л '
0,0023c-1. 6-58. X.= —^-1/ —In—i-=2,3140-’. 6-59. N=—In-т^= .
1 1 у g A x, A i- *
1 Л, Г m
= 231. 6-60. W = — In —— = 173; t = 2nn<}/ — = 2 мин 52 c. 6-61. 9,16x
x A I/ . k
XlO-’кг/с. 6-62. 1,005 . 663 . 35 . 6-64. 1)0,025; 2)1,59 Гц; 3)0,0157; 4)64.
665. n=-!~ 1/^-7-= 16c-1. 666.o=(l/n)V(fe7m)= 10,2 м/с. 667. 1002Гц.
2л I/ n
6-68 . Av= 6a/(4n2 v0) =4,05 Гц. 669. Х = 2л VSv7^= 0,089 . 6-70. vpea =
= 1/2/7’ —1/72 = 1,75c-1. 6-71. 0,1c-1.; 5см. 6-72. Fo= 2«v0rAe8 =
=0,314 mH. 6-73. 510 Гц. 6-74. 1)5,03 Гц; 2) 4,91 Гц; 3)6,4 мм; 4)3,2,
6-75. 1)1,53; 2) 15,2. • • .
7-1. .1) 100 Гц, 3,14 м; 2) 314 м/с; 3)0;314 м/с, 197 м/с®. 76.1)5(0,0=1
= Acos 2nvt;- 2)5 = —2 мкм. 7-4. 1)350 м/с; 2) 0,79 м/с. 7^5. 1)—0,1 мм;
2) 0,363 м/с, 0,439 кг/с2. 76. 5,88 см. 7-7. —1,73 см/ 7-8. 1,26 рад. 7-9.
457'
1,В7рад. 7-Ю. 5®Гц. 7-11. 15 м/с. 7-12. 1) 5,05 км/с; 2) 3,31 км/с, 3)4,44 км/с.
1ЛА. 21м; 17мм. 7-14. 350 м/с1. '7-15. 339 м/с; 375 м/с. 7-16. 1,45 км/с.'
7-17.1,67, 7-18. 4.§. 7-19. 25,8с. 7-2.0. 1,73 мм. 7-21. 1)/у8л=(2т7|;1)Х
X p/(4v);.,/у8Л==2,5, 7,5, 12,Бем, ...; /чучн=ти/(2'у); 0,5, 10с_м,...,,
2)Jy8n=fftt)/(2v); /узд = 0,5, 10см, ...; 1Пу«ш = (2*и +1)e/(4v); /пучп =,2,5,
7,5, 12,5 см, .... 7-22. 1) 5 см: 2) 10см, 7-23. 1) 144 Гц; 2) 72 Гц. 7-М.
343 м/с. 7-25. 330 м/с. 7-26. oi=(//a)o=3,12 км/t. 7-27. 2,62 кГц. 7-28.
1) 341 Гц; 2) 268 Гц. 7-2». 336 Гц; 264 Гц. 7-30. 120 км/ч; 990 Гц. 7-31. 0,09.
7-ЭЙ«. 4,1 м/с; по направлению к резонатору. 7-33. 1)4,5 с; 2) 5,5 с. 7-34,
636 Гц. 7-35, 1)699Гц; 2) 517Гц. Изменится: 1)696 Гц, 2) 515 Гц. 7-36 ы =
= ----о ==3,74 м/с. 7-37. 23,7 мкДж. 7-38. 3,01 мДж/м». 7-39.
2-ve-|-Av
0,251 Дж/м». 7-40. 157 Вт; 60,2мкДж/м®. 7-41. 428 Па-с/м. 7-42. 1,39МПа-с/м.
7-43 . 0,472 мм/с. 7-44. 25.7 кПа-с/м». 7-45. 475 нм. 7-46. 1,61 Па. 7-47 J
6,98 Вт.. , 7-48. 82,5 мПа. 7-49. 430 Па-с/м; 93 мкПа. 7-50. 27,2пВт/м2 и
1,87пВт/м2. 7-51. 1)20 дБ; 2) 100 дБ. 7-52. 35,6 дБ. 7-53. В 10» раз. 7-54.
1)63 дБ; 2) 70 дБ. 7-55. Первый тон не слышен: 20; 40 фон. Указание. Вос-
пользоваться графиком на с.98. 7-56. 64 дБ; 50 дБ; 50 дБ; 56 дБ; 77 дБ. 7-57. В
100 раз. 7-58 . 70. 7-59. а)0,4пВт/м2. 4 дБ, 0; б) 0,5 Вт/м2, 117 дБ. 120.
7-60. 50. 7.61. 40 мкВт.
8-1. 32,3 кН. 8-2. 2,66 кПа. 8-3. 47,2 кПа. 8-4. 2,32 кПа. 8-5. 473 °C.
8-6. 350К. 8-7. 66,4г. 8-8. Уменьшится на 642Н. 8-9. 1,39кН. 8-10. 106см».
8-11. 4,5см. 8-12. 0,212кг. 8-13. 3.32м». 8-14. 1,16МПа. 8-15. 276К.
8-16. 44. 8-17.26,6 г/м». 8-18. 10,9кН. 8-19. 8,3г. 8-20. 6,2кг. 8-21. 6,4 м».
8-22. 0,76МПа; 1,12МПа; 1,88МПа.' 8-23. 175 кПа. 8-24. 0,402кг/м».
8-25. 0,18МПа; 0,82МПа. 8-26. 28,8. 8-27. 16г; 8г. 8-28. 6,87г; 4,81 и
2,06. 8-29 . 258 К.
9-1. 1,34*10»». 9-2. 1) 1,61-10»»; 2)5,01-1022; 3)3,17.10“; 4)2,87-10».
9-3. 7,52-101* см-8. 9-4. 2,86-10“ 9-5..4бнм; 29 нм. 9-6. <fc> = ==
= 3,34 нм, где V#—молярный объем вещества при нормальных условиях;
<5>/d=ll. 9-7. 1)32-10—8кг/моль, 5,30-10-“ кг; 2) 28-10-» кг/моль, 4,65 X
X 10—“ кг; 3) 30-10“3 кг/моль, 4,99-10-“ кг. 9-8. 0,125моль; 2,51-10»? н-».
9-9. 0, (моль; 3,2 г; 2,68-10»? м—». 9-10. 788 ммоль; 67,5 ммоль; 720 ммоль,
9-11. 1)44,6ммоль, 2,69-10»5 м—»; 2)31,2ммоль, 1,88-102?м-3; 3) 26,8 ммоль,
1,61-102! м—»; 4)58 ммоль, 3,49-10“ м~». 9-12. 2,42-10” м~». 9-13. 1)414Па;
2) 138 кПа. 9-14. 3,62-1028. 9-15. 4,98 ммоль; 3-10». 9-16. 4,14 кПа. 9-17.
4,97 ммоль; 2,99-1021. 9-18. 7,25 кК; 1,5-10-“ Дж. 9-19. 1,24-10-“ Дж;
2,48-10—“ Дж; 14,9МДж. 9-20. 8,28-10-21 Дж; 13,8-10-» Дж; 16.6-10-»Дж.
9-21. 6,9-10-» Дж; 20,7.Ю-21Дж; 13.8-10-21 Дж; 34,5-10-»Дж. 9-22. 3,22х
458
‘ ~ 2 wu
Х10-». 9-23 Ар=ЗА77(о/?) = 2,48 Па. 9-24. Т = —• —7— — 33,6 кК*. 9-25.
З а
1)500 м/с, 462 м/с, 407 м/с; 2)1,94 км/с, 1,79км/с, 1,58км/с;
1 3)7,90 км/с, 7,30 км/с, 6.48 км/с. 9-26. 20,1 кК. 9-27.1,6 кК. 9-28. 2 кМ/с.
9-2». Гелий: 2,73 км/с и 2,4840-» Дж; аргон 864 м/с и 2,48-10-» Дж. 9-39.
352мкм/с. 9-31. 1,3740* раз. 9-32. 0,92 Км/с. 9-33. 1,82 км/с.
10-1. В е»8-»раза. 10-2. 1,65. 10-3. 5,9740»* моль-1.10-4. 4,|410-«Н.
10-5.1,18 кПа. 10-0. 5,88 кМ. 10-7. 885м. 10-8. 1)8,78 м; 2) 25,8 м. 10-9.
6,5 м. 10-10. п = п0 е"ий" г,/(г*Г), где п0—концентрация частиц на оси ротора.
10-11. 5,91. 10-12. 3<’4кПа. 10-13. 84 (криптон). 10-14. 28%; 72%. 10-15.
vB=l/2kT/m. 10-16. f(U)du = -~е~и‘ иЧа. 10-17. 4,3940-». 10-18. 6,63X
У«
„ ДА/ 1/2 \ 1/2 / т \3/2 ,
X 10~». 1049. » = ——=—-(—) I —— о». 10-20.» = 7,5240-1.
/V 3 \ Я / \ kl /
10-21. <t)> = l/8fef'/(nai). 10-22. окв = У<^ =УзШт. 10-23.-^^-=— =
1/<о> я
= 1,27. 10-24. С = ——-. 10-25. цв=УЗЙ7т; <»> =3Уп/г77(8ш). 10-20. 6.0м
2«2 Г2
ХЮ». 10-27. рв = У2тА:Т. 10-28. 0. 10-29. <_рху = Ут677(2л) . 10-30.
0,5%. 10-31. p=y«fe7. 10-32. <8B> = s/sfeT. 10-33. ОЛ/ (и)’ ; -е~3ц/2*
(2л)1/*
ДЛ/ 4
X<ol/2d<B. 10-34. 9,3-10-». 10-35. »= -— = -—„ -,77 610-30. 7,53 х
N 3 V л (kT) '
к 10-«. 10-37. в =8,28-10-8feT. 10-38. w = -~ = —77— е-••/<*г>
N я ,л \ kT ]
10-39. e1=8,lfe7. 10-40. eB = l/1fer. 10-41. /(0) d0 = • - ' - e~9/2 0*/» d0.
(2 л/ '
10-42. 4,84-10—». 10-43 . 2,67.10—». 10-44. e=W. 10-45. Уменьшится в два
раза. 10-40. В три раза. 10-47. 6,4 см. 10-48. 3,5 мПа 10-49. 1,55 им.
10-50. Можно, так как длина свободного пробега (</> =97 м) много больше диа-
метра d колбы. 10-51. 1,55мг/м». 10-52. 3.7-10» с-1. 10-53. 1.57-10»1. 1Q-54.
3,38-1018. 10-55.288 нс. 10-50. 1)Не зависит; 2) </> — 1/р. 10-57. 1) Не за-
висит; 2) </> - Т. 10-58. I) <г> ~ 1/р; 2) <»> ~ р. 10-59. 1) <г> ~ У?; 2)
<г>~иУТ. 10-00 . 7,23-10-1 м»/с. 10-01. 135 нм. 10-62. 1)940-1 м»/с; 2)
0,061 м»/с. 10 63 . 7,1. 10-64. l)D~yr»; 2)D~yT. 10-65. 1)D~ 1/р-
2)О~Ур^ 10-66. 18ык'Па-с. 10-67. 90пм. 10-68. 19мкПа-с. 10-69. 1)«)—
— УТ", 2) ч — УТ. 10-70. 1) не зависит; 2)ч ~Ур- 10-71. 1)16.8 Н; 2)3,17х
469
> . > .. 1 / «и М/»
Х10-4Н.м. 10-72 /И==л»плй*/<1=0,б8мН.м. 10-73. F= — 1------------- 1 ри =
. ’ ,-**. 3 \ Л- • /
= 0,89>мкЙ. 10-74. 38,6 мВт/<м-К). >10-75. 1)2,5. 2,41; 2)1,90, 1.86; 3)1,90,
1,^0; 4) 1,75, 1,38. 10-76. .23,4 мВт/(мтК). 10-77. 1)1 — УЙ 2)Д ~ У?.
10-78. 1) Не зависит; 2) к — "|/р. 10-79. 1)196Вт/м*; 2) 35 мВт/м*.
11-1.3,12кДж/(кг>К), 5,19кДж/(кг«К); 2) 10,4 кДж/(кг-К), 14,6кДж/(ке-К)|
3) 567 Дж/(кг-К), 756 Дж/(кг К). s 11-2. 0,032 кг/моль» 650 Дж/(кг К),
910 Дж/(кг-К). 11-3. 715 Дж/(кг-К); 1,61 кДж/(кг>К). Н-4. 4,53 кДж/(кг-К).
11-5;> 981 ДжДжг-К). 11*. 526 Дж/(кг-К). 1V7. 417 Дж/fitF-K).
11-8. 204 Дж/(кг-К), 11-9... .1,61. 11-10. 1,50. 11-11. „1,42. 11-12.1,50.
,11-13. 11,6 кДж/(кг-К). 11-14. 1,52. 11-15. 0,517. 11-16. 1) 7,75 МДж|
2) 7,75 МДж; 3) 0. 11-17. 1) 5 МДж; 2) 0; 3) 5 МДж. 11-18. 62,5 Дж.
11 -19. 390К; 520кПа. 11-20. 1)0,4МДж; 2) 160кДж; 3)560кДж. 11-21. 6 кДж)
,15 кДж. 11-22. 1) 3,25 МДж; 2) 0,4 МДж;-3)3,65 МДж. 11-23. 1) 520 Дж1
2) 208Дж; 3)312Дж^ 11-24. 166Дж. 11-25. 400Дж. 11-26. 1)0,6, 0,4; 2)0,71,
'6,29; 3)0,75 , 0,25. 11-27. 1 кДж. 11-28. При постоянном давлении. 11-29.
6,62 кДж.. 11-30., 1) 0; 2) 11,6.кДж; 3) Н.бкДж. 11-31. 1)0; 2) 126кДж;
3) 126 кДж.
11-32 . 20,8 кДж; 19,2 кДж. 11-33. 1,28 кДж. 11-34 . 2,06 кДж.
eQ/(vRr)_21!23t где V—количество вещества кислорода. ’ 11-36,
191 Дж. 11-37. 1) 21 КДж; 2) 6 кДж. 11-381 Д7 = Та 11 —[ — : =
L
= 76 К. 11-39. 454 К.' ii-40. т ----— = 67,2 г. 11-41.
. , . R7\(„v-i_ 1) .
2/ИД1/
—3,8 МДж. 11-42. 157 К; —21 кДж. 11-43. 1)ДТ =--------------— = 616 К; 2)
imR
=Pi(7’«/Ti)v/«-l>== Ц,4МПа, где Тг = Та—&Т. 11-44. 2,52МПа. 11-45. 17,6.
11-46. 345 К. 11-47. 1,33. 11-48. 224Д; 379кПа. 11-40. 518кПа. 11-50. 416Дж.
11-51. Т8=71л’’-1 = 754К; А 4-И(Л—Tt) =674 Дж. 11-52. 4,81 кДж.
М 2
11-53. 0,193. 11-54. 400Дж,. 11-55. 300 К; 500К; 1 кК; 605К; 8,55%. 11-56.
1)7,61 МДж; 2)7,21 МДж; 3)0,4МДж; 4)5,3%. 11-57. TS = T8=T1-^- =.
Pi .
Tain-^--(Ta-T^
=600 К; Т) =---£к—------:----=0,099 = 9,9 %. 11-58. 1) 7, =600 К|
Tgln-^-b-^-fTs-T!)
Pi '
7а=120 К; v»=l М«; Ve=0,09 м«; р8=б,б6 МПа; 2) 2 МДж; 3) 1 МДж; 4) 1 МДж»
5)50%. 11-59. 0,11. 11-60. 420К. 11-61, 1,88. 11-62. 28 кДж. 11-63. 0,404)
400
59,6-Дж. 11-64. */4. 11-65. 14 %; 1,16 раза. 111-66. 4 Дж. Н-в?. 0,74 м3.
11-68. 10,9%. 11-69. 8 = "“У/”*—— =323К; Д5=с(т11п-^—|-лчх
е \
X1п~^-1=0,3кДж/K, где с—удельная теплоемкость воды. 11-7(К 7,2Дж/К.
' Ч * гь '*! I ?
11-71. 2,43 Дж/К. 11-72. 291 Дж/К. 11-73. тя = --—------=251 г; AS —
.. . Х+с(4*ч1)1
тгг тяк Тя - . । ч
“ ~z.--------——ста 1п —- =610 Дж/кг, где г — удельная теплота парооб-
1Г . . ‘ 2 -./1 :
разования; X—удельная теплота плавления. 11-74. Д51=836Дж/К; ASj=0.
11-75. ЛЗ=-£-(Ср—Су) 1пи = -^-/? Inn=457 Дж/К-
> Л1 ' Л1
12-1. 1)108иПа; 2)86,2смв. 12-2. 4,78 МПа (4,99 МПа). .12-3. 1)8,31 МПа?
2)8,67 МПа. 12-4. 1) 0,0264; 2)0,272. 125. р = — — — = 644 МПа
2М—pb 4М ,
,(р—плотность воды; а и Ъ—постоянные Ван-дер-Ваальса; М—молярная масса).
„ 1 / Мр ар abp2 \
12-6. 7=—(------— pb-\——------——1= 287 К (/И— молярная масса). 12-7.
к \ р М М‘ }
27 7» Д»
1) 174кПа; 2)3,94 МПа; 3) 101 МПа. 12-8. а =--——=0,13бНм*/моль»>
64 ркр
Ъ =_1__1«££_==3>86.10-6мз/моль. 12-9. 1)150 К, 5 МПа; 2) 654 К, 22,6 МПа.
о Ркр
3 Тип м '
12-10. УИКр=35=—----— R =96,8см»/моль. 12-11. е=-------=0,264. 12-12.
8 рКр 35р
Утах ^ткрт = 3bv, Упоах = 91,2см3. 12-13. 197 кг/мЗ. 12-14. Ртах—Дкр аш-
а . ’ .
= -^-=21,8 МПа. 12-15. В 193 раза. 12-16. 1) 1,45 см’; 2) б см». 12-17. В
1,5 раза. 12-18.7= 1О’ТКр/3 = 6ООК. 12-19. Увеличится в 2,46 раза. 12-20.
В 5 раз. .12-21. 1) 2,61 кДж; 2)2,55 кДж; 3)1,94 кДж; 4) 1,45 кДж. 12-22.
1) 9,43-10-8; 2)0,103. 12-23. I) 22,4 кДж;:2) 9,2 кДж. 12-24. 1/ = -^-бу 7—
М
Л1а в ’ ’ вД V
—-------=1,13 кДж (где а—постоянная Ван-дер-Ваальса). 12-25. Д1/=——•=
Л4а V ViVs
= 104Дж. 12-26. А = -^-) = 1,65 Дж. 12-27. ДТ=—
\ М J \ Vi V2 ) mCj,
ду / т \2 ДУ
X----=—20,9К. 12-28. Q= —-] а-—- = 58,5Дж. 12-29. 22,2мН/м.
Vi Vs \ М / У>У2
12-30. 4,4 мм. 12-31. ЗмДж. 12-32. мкДж. 12-33. 3,2 кг/мЗ. 12-34. 62,5 Па.
12-35. 73 Н. ,12-36. 58,2 мН. 12-37. 62 мН/м. 12 38. Др= -)-399Па. 12-39.
22,5 мН/м. 12-40. 22 мН/м. 12-41. 23,1 мг, 12-42 . 6,37см. 12-43. 26кПа.
461
12-44.-7,3 с»е. 42-45» 0,45 м/с. -42-44» 4,33 м/с. 12-47. Qv = - Sa S.K
XI/ ——= 1,88 л/с (о» — скорость жидкости в широкой части Трубы).
у $1 —
12-48. 100 м/с; 5 МПа. 12-49. 5 м/с. 12-50. 8.80 м/с. 12-51. 31.4 Н. 42-52.
1,4 м. 12-53. р — -^— [1 —1= 77,9 кПа (р — плотность воды). 12-54.:
ю 4Н £ V Sa jJ '
p <ti> d
1м. 12-55. Re=—------------=5000, где tj—динамическая вязкость; движение
*1
турбулентное, так как полученное число Рейнольдса Re > ReKp (ReKp = 2300).
12-56. 1,94 см/с. 12-57. Qm гаах=1/4л'Г]РекР rf=54,2 г/с (т;—динамическая вяз-
кость масла; ReKP —критическое чнсЛо Рейнольдса). 12-58. Re=pt(p1— pj) X
,^<gd3/(18T]a)=4,17 (р, и ра—плотности меди и масла; т;—динамическая вяз-
кость масла); так как полученное число, ейнольдса Re > ReKp, то движение
турбулентное. 12-59. 1)п=(р1—р») £«Р/(18т]) = 6,71 мм/с(р» и р2 — плотности
латуни н глицерина; т;—динамическая вязкость глицерина); 2) обтекание шари-
ка ламинарное. 12-60. оа = —— Г1 Т|г - = 27,7 см/с (р, и тц— плотность и дина-
ра i"a t)i
мическая вязкость касторового масла; р2 и т)2—те же величины для глицерина).
13-1; 9 ГН. 13-2. Q=41 sin (а/2) ]/ле0 gm tg (а/2) =50,1 нКл. 13-3. е=р/(р—
—р0)=2. 13-4. Q==2m У пее 0=86,7 фКл. 13-5. о =— е —=219 км/с;
V 4ле0 тг
п ——— =6,59-10м с-1 (т — масса электрона, е—его заряд). 13-6. F—
2лг I
= - 1/ —-к — = 287 мН. 13-7. F= —^—=54 мН. 13-8. <?1 = 2гКяё^Х
4ле0 у rj rj 4ле0 cfi
x(V.₽2 +Vfs—Fi) =0,14 мкКл; & =2r Уле. (|Ч — У Fa—Ft ) = 20 нКл.
13-9. 0,09 мкКл; —0,01 мкКл. 13-10. Между зарядами, на расстоянии х=
=40 см от заряда 4Q, положительный. 13-11. Точка находится на расстоянии
/х=20 см от заряда Qi,— 8-10—8 Кл; неустойчивое. 13-12. Q1=(?V 3/3= —
—0,577 нКл; не будет устойчивым. 13-13. Q» =------2~(У 2
0x1 Ох
= —0,287 нКл. 13-14. F=-----------= 1,5 мН. 13-15. F=—-—=4,5 мН.
4 ле0 (/ -|-а) а 4ле0 а
13-16. F= 2 ^-=6,37 мН. 13-17. F=^—^~ - =1,27 мкН. 13-18. 9мН.
4пв0 а 2 2 леоа
У~5~ От QQi а
13-19. F=--------- =4,03мН. 13-20. 1) F1 =-----—----——=0,16 mHj
4я80,а 4лв0(Я2-Н1)3/
462
QQ, От
Ъ :-F3^- =2,25- мкН. 13-21. -F±=----------==3',6 мН. 13-Й-
4ле0 ll 2new /?
14-1. 1 кВ/м. 14-2. 2.99 кВ/м. 607 В/м. 14-3. 280 В/м. 14-4. 6 ем. 12 см.
14-5. За отрицательным зарядом на расстоянии d1=d(pr 2 -)-1). 14-6. 34 кВ/м.
= 2,71 кВ/м. Решение. Из рис. 6 следует, что'
2 во г3
элемент заряда dQ, находящийся'на элементе di, создает напряжённость ЙЕ —
dQ rdf ’
—--------- , или dE =-------.. Разложим dE на две составляющие: dE, — но
4ле0 г2 4леога
нормали к плоскости кольца и dEj — параллельно ей — и просуммируем йа
составляющие для всех Элементов кольца. При этом составляющие, параллель-
ные плоскости кольца, в сумме дадут нуль. Сумма вертикальных составляющая
чим после интегрирования окончательную формулу, приведенную выше. 14-8.
Е —---=28,3 В/м. Решение.
4е0
тонкие кольца (рне. 7) с зарядом
Полусферу разобьем на дифференциально
dQ = o Js = 2nru#d<p, тогда напряженность
a d О
dE, создаваемая таким кольцом в центре полусферы dE =----------------- (см. зада-
4ле(| R3
чу 14-7). Учитывая, что r=/?sinq> н а=/? coscp, после интегрирования получим
л/2
Е =----- I sin<p cos<pdq> = ——. 14-9. 1) 0; 2) 900 В/м; 3) 400 В/м; график
2ес J 4е0
см. на рис. 8. 14-10. Ei=0; Е2 =----------- =1,11 кВ/м; Е3=——=
4лз0 г‘ 4ле0 г I
==200 В/м; график см. на рис. 9. 14-11. 5,55 нКл/м. 14-12. 43,2 МВ/м.
463
14-13. 64,3 кВ/м. 14-14. Et=0; Es =—— =75,5 В/м; график см. на рис. 10.
80 rt
14-15. Е;=0;‘ Ё8= =200 В/М; £,=-•—^-^- = 180 В/м; график см.
т т/
на ' рис. 11. 14-16. Е=~---- = 135 кВ/м. 14-17. fi=—-- - =
2лво rV4f*+l*
=55,7 кВ/м. 14-18. 35,6 кВ/м. 14-1». 60,2 кВ/м. 14-20. 38,0 кВ/м. 14-21.
* . . j
1) £=О. 2) £=0/во = 113 В/м; график см. иа рис. 12. 14-22. 1) Et=—X
у ——21» _из В/м;- 2) Es=-*-“ =226 В/м; график см, на рис, 13.
Ед 2 Во
IQ.—р
14-23, 1) : 396 R/н;, 2)170 В/м; .график до. рис, 14, 14-24, £ = - —— =
464
Рис. 14
= 377 кВ/м. 14-25. р=—=-?- ——— = 17 мкПа 14-26. |Q| = R]/r2nenP =
S *? е,,
1 р ' I
=33,3 нКл. 14-27. 1) £1 = —------г1=:3,78 В/м, Dl = —pri = 0,l нКл/м'2;
О Bq 8 О
2) S' =~-----— /?=6,28 В/м (для — /? = 18,8 В/м (для
я 3 80 8 .Зв,,
1 1 р/?3 I /?3
> R)i D'= — pfl = 167 пКл/й»; 3) £3=j- -^—=4,72 В/м; £>3 =—р^-=
з з ео г; з . rj
=41,7 пКл/м2; график см. на рнс, 16. 14-28. 1) Е,=0; Dt=0; 2) Е2 = —— х
Зе„8
х(г2— —^ = 13,6 В/м; D2 = 843 пКл/м*. 3) Е3= = 229 В/м.
\ rt / 38и ег?
£>s=2,02 нКл/ма; график см, на рис. 16. 14-29. 1) Et = —---—rt=2,83 В/м:
п в„ е
р#2
Di = 50 пКл/м2; 2) Еа = ---= 7,55 В/м; Da=66,7 пКл/м2; график см. на
Ze© г
рис. 17. 14-30. Е=-^— =56,5 В/м. 14-31. ЕА = 0; D. = 0; Е„ = =
2е0 в л « 4£Ко
16 Зав. 94
465
= 80,8 В/м; Dr = — =5 нКл/м®; Е'г— —= 162 В/м (х d); Е"с = — =
4 2в0 в ' 2въ
pd
= 1,13 кВ/м U<d); Dc = — =10 нКл/ма; график см на рис. 18. 14-32.
Действие индуцированного заряда эквивалентно действию точечного заряда,
Q2
являющегося зеркальным изображением заряда Q; F=----------------=0,9 мкН.
16ле0 а2
14-33. Е— ®—- I'/'s—2 = 3,32 кВ/м (см. задачу 14-32). 14-34 Е=
32ле0 а2
3Q . -я-------------
» —--------= 750 В/м. 14-35. Q = 2 (а—I sin а) у 4ne0tfzgtga = 20 н[<л. 14-36.
64л^) а2
F= —^-— = 0,36 Н. 14-37. F = =56,5 мкН. 14-38 о = =
2ле0 г 2е0 Q
= 1,06 мкКл/м®. 14-39. F2 = —=4,92 мН. 14-40.— =—=452 нН/м.
2Q I 2вц в
1 F
14-41. 1) 66,5 мН; 2) 0,9 мкН. 14-42. р=—в0 e£2 = 27,9 кПа. 14-43 — =
2 I
21
= =3,6 мН/м. 14-44. F = 2 С —= ^1-Тз 1п2 = 1,25 мН. 14-45.
2яе0 г 2ле0е J г 2ле0 е
i
466
3R
г _ Qx Qs C 1L =J
4ле0 s/? J Г2 6
2R
Qi
4лво е7?» = 150 МКН‘ *4'46, f==T1 г«/(пе“)=36 мН’
14-47 F=xt т2/ео = 1,13 мН. 14-48. Е=т2/(2в0)«=56,5 мН 14-49. Ф£ =
= лог2/(2е0)= 1,78 кВ.м, 14-50. ^=-^- ао» sin р — 2,5 нКл. 14-81. Ф£ —
= <25/(4л80Я2) = 4,5 В.м. 14-52. ¥=Qa>/(4n) = 1,19 нКл. 14-53. Фя —
abQ si па
—-----— =2,7 В.м. 14-54
4лео R»
R
Qa Г г dr Q/
2 (О2_|_Г2)3/2 2
а
о ( 1/7»—₽»\
= 10нКл. 14-55. <Е> = „ --- I — -------- =.250 кВ/м. 14-50. Ти-
глей 7?» \----------------------------г /
tn а
=—arcsin—=20 нКл.
л 2г
15-1. 1 кВ. 15-2. Л,=— А=— 4 мкДж; Д<р = Л/(? = 20Э В. 15-3. =-^-5?
Q» 4яво
/ i 1 \
Х|———1 =—162 Дж/Кл. 15-4. /1=4,5 мкДж. Интегрируя в пределах
\ г2 /
О. 0^ Q,Q«t\. 1 \
от Га до г2 выражение d4 = Edr =- dr, найдем Л= -----I — — —||
> 4ле0 г2 4ле0 \ г2 гг }
потенциальная энергия возрастет на ДП=4,5 мкДж. 15-5. ф=45 В. 15-6. ф =
О
=6 кВ, dmln=r2—г, = 10 см; dmax=r,-|-r2=40 см. 15-7. Е=—---X
4лвв
~ 1 2 Г 1 _
7Г+-^Д-.-—+d;;M «в'“. г
1 \ О. Qi I
--------- - | =26.4 кВ. 15-8. П = ----— =90 мкДж. 15-9. Ц = (£iga+
4леог 4пеоа
Q2 / ] \
+gi gs+g2gs) = — 63 мкДж. 15-10. П = ----------I 24-—-—- | =48.8 мкДж.
Q8 ------
15-11. П =------V 2 =12,7 мкДж, если заряды одного знака расположена
4ле0 а
Q2 1/-—
в противоположных вершинах квадрата; П=----V 2 =—12,7 мцДж,
4ле0 а
если в противоположных вершинах заряды разных знаков. 15-12. (х—10),"i*
О. О. / I \
+ 4^ = 8’. 15-13. ДП=?а-^-/——— 1|=— 498 мкДж. 15-14. в—
4nsd 5 у
16»
«Я
'tR т О
=--------------=505 В. 1545. ф = —-—1п2 = 62,4 В. 1546. ф=----- X
2ec]/^TF 4пе° 4л6о/‘
X |n-f-° =36.5 В. 15-17. 33,6 В. 15 18. Д<р=—— In — = 125 В. 15-19.
а 2ла0 гх
1) ф = --=360 в. 2) ф =-----2---(У Я2Ц-а2 — а) = 149 В. 15-20. 1) 75 В;
2ле0 R 2ле0 R2
2) 135 В, 3) 100 В. 15-21. 1) 146 В; 2) 136 В; 3) 100 В, график см. на рис. 19.
15-22. 1) ф2 = -^ Ф1=200 В; 2)ф2= ——— ф1=100 В. 15-23. Дф=-|-Х
X—-d = 56,6 В. 15-24. ф —£R=300 кВ; о’=еп £=55,6 мкКл/м2. 15-25. U —
«о
=---------------— d=141 В. 15-26. 170 В. 15-27. 1,04 10». 15-28. 432 В. 15-29.
2 во
d , Л 2F eoR 3
U =—1/ ------------= 1,2 кВ. 15-30; ДП=—-1----------In—— =229 эВ. 15-31. Л, ,=
R у лво еи 2 *•*
1 1 od‘
— ~Z~Q4>i—6 мкДж. 15-32. Дф =---------— =8,07 В.
2 8 е0 в
1 р
15-33., Ф1 = -— ~ R2X
3 8о
/ 1 \ 1 О
X I 1 +— 1=472 В. ф» = ~— -—/?2 = 377 В,_ график см. на рис. 20. 15-34.
\ / О Bq
(Rl~ Ri)p
1)Ф1 =-----—----=238 В; 2) и 3) ф2=ф3=Н6 В. 15-35. grad ф=—Е;
3Cq R а
|£га<1ф| = Е =—---= 226 В/м; градиент направлен к плоскости, перпендику-
2 ес
лярно ей. 15-36. 0,6 В. 15-37. 0,12 В. 15-38. I drad ф| =-= 200 В/м; градиент
направлен к заряду. 15-39. |drad ф | = ----=180 В/м; градиент направлен н
pR2 О, О,
нити вдоль силовой линии. 15-40. Лф =------=3,14 В. 15-41. А1 = —— X
6е0 в 4ле0
468
к
1 1 \ О, О,
------— 1 = 8.91 мДж: . Л„= у - =9 мДж 15-42. А. „ =-—
Г1 Га / 4лк0 rt '• 3
2 „
<2, <Р1 =
= 2 мкДж. 15-43. Ах2 =
= 659 мкДж. 15-44. А =
<jQl
= - cos(n/2—a) = 1,96 мкДж. 15-45. 2,o2 мкДж; см. пример 5 на с. 188.
2 Ву
Qi
А =------= 25,2 мкДж. 15-47.
4е.,
15-46.
А = -^
2et
R
V R2 + P
=47 мкДж.
15-48.
^1,2 =
= 165
мкДж.
15-49. А12
= 250
Qt
мкДж. 15-50. А. о —-----------In 2=62,4
1,2 2л8о
мкДж.
| е I ЕР
15-51. s=-L----------
2 т
= 1,76
15-52
ie 1 E
см; o =-------=35,2 Мм/с (здесь m
m
1) 2,55 кВ; 2) 4,69
и е — масса
н заряд электрона).
МВ.
15.53.
1,58.101»
м/с2;
15-54.
15 Мэв; 2,19 м/с.
(т—масса протона). 15-57.
15-55. 24,3 МКл/кг.
?e0 T
< = <o — -~— = 1 cm.
|e|o
45® от первоначального направления.
15-56.
5,63 Мм/с; 0,356 нс,
Зтт®
1~ 2еЕ
5,19 мм
ся на
2,24 Мм/с;
3
15-59. ф1=<Р1——
15-58.
отклонит-
(т/е)о\ =
= 289
3 т V,
В (т и е—масса н заряд протона). 15-60. -------—
8 I е| t
= 2,13 мм.
15-61.
3 |е|
------Ф =0,24 Мм/о (е/т —удельный заряд
2 т
электрона).
1
4" <?Ф =
4
15-62.
3
<р2=<р1—— (m/|e|) oj =23,3 В (т — масса электрона)
О
15,63. Т =
= -|е-1 — in 10 = 828 эВ. 15-64. F = 2,4.10~‘7 Н; а = 2,75.1013 м/с2, р=
2ле0
=4,07 Мм/с. 15-65. 5,9 мм. 15-66. 79,6 В. 15-67 . 22,5 В. 15-68. гМИн =
еО (1 A-mi/m»} „
=--------5------------= 7,67пм (е—заряд протона, Q—заряд а частицы). их =
2ле0 mifai-Ha)2
= u2=-------— V=60 км/с. 15-69. rmln = Зб ,,=72 фм. 15-70. rmin =
“г* f7l2 4 U
е2 г. QiQz
= ----------=10,1 пм (т — масса электрона). 15-71. г„|п =-------------------------I
ле0то2 гп1п 2л8ит1(ц1-ьн8)*
Qi <?а г <21 15-72. Т - <2. <2v . .
Го1 ле0 mt (Oi-J-L’s)2 ’ и2 2лео mx (О]-|-на)2 1 4ле0 (I k)
1) Гх= ?1<?г ; 2) Тх = -1 ; 3) Тх = 0.
8jiEq Го
469
16-1. 50 нКл-м. 16-2. 6,75 кВ/м. 16*3. Ед=1,08кВ/м; фл=О; Ев = 22 кВ/м;
фв = 386 В. 16-4. Ел=9В/м; <рл = 0; Ев=18 В/м; <рв=0,9 В. 16-5. 47,6 В/м;
ор
1,8В. 16-6. <p = Hsin<oZ, где Д=9О В ы = 6,28-103 c-i, 16-7. <П> = --- X
’ ' 4лео
7/2
X<sinco/>; 1) <П> = 4jtg~i ~у J sin-у- 1=14,3 нДж; 2) при t>T <sin wT> -»0
о
и <П>=0. 16-8. Е = ЗР1 =1,35 мкН. 16-9. П= —^^-=18 нДж.
2лев г4 2ле0 г3
16-10. С=-^—— =286 нН-м/рад. 16-11. С = рЕ = 300 нН-м/рад. 16-12. П =
а
= —рЕ cos а ——500 мкДж. 16-13. А = 2рЕ = 30 мкДж. 16-14. ДП =
- /---- I
— рЕ(1—cosa)=0,5 мкДж. 16-15. (й=у2рЕ// =6 рад/с. 16-16. v = —— X
Zn
.___ dE dE Q
X.l/pE/J = 239 Гц. 16-17. F = p- =0,2 mH. 16-18. ------ = ——------=
ox dx 2ne„ r*
= 1,8 МВ/м2; F =--^—=9 мкН. 16-19. — =--------- =0,9 МВ/м2;
” 2леог« dr 2леога
dE
F=p ----= 3,6 мкН.
dr
17-1. 1,11 пкФ. 17-2. 180 пкФ. 17-3. 712 мкФ. 17-4. Oj=49,8 нКл/м2;
oa= 16,6 нКл/м2. 17-5. <p = —Ripi+^2<Pa = 380 В. 17-6. 6,2 нФ. 17-7.
Ri + ”г
1) 88,5 пФ; 2) D1 = D2 = 2,66 мкКл/м2; E, = 42,8 кВ/м; E2=100 кВ/м, Д<р1 =
_ r, I di d2 d—(d, -|-d2) \—I
= Дф2 = 300 В. 17-8. C = e0S —-j- — + —------------ =35,4 пФ; здесь
\ 81 e2 83 /
e3—диэлектрическая проницаемость воздуха. 17-9. Д(7 = (o/e0) (d2—dj) = 22,6 В,
17-10. 0,5 см. 17-11. 2,5 мкФ. 17-12. 700 В. 17-13. С = 4пее0 Rr R2/(R2—Rt) =
=93,3 пкФ. 17-14. 4,41 кВ. 17-15. 5. 17-16. 1) 360 мкКл, 720 мкКл, 120 В;
и—U,
2) 240 мкКл, 80 В, 40 В. 17-17. С2 = —-— С, =0,32 мкФ. 17-18. Дф =
Е 2—Ui
С, С 2
= - ~ (Et—1/2)=36 мкКл. 17-19. 2,32 мм. 17-20. С = (С2 + (С3 +
£1+^2
+C4)/(C1+C2+Cs+C4)=0,21 мкФ,. 17-21. и^С2 =240 В- Ua =
= Cjl//(C1+C2)=80 В; </3 = С4Ш(С8+С4) = 120 В; 1/4 = С3 t//(C8 + C4) = 200 В;
Qi ^=Q2 = Ci С2 t//(Cj+C2) = 48 мкКл; <23 = <24 = C3C4l//(Cs-|-C4)=60 мкКл.
17-22.
E3 4~E4
Cs+C4
= 20 пФ. 17-23. 200 мкКл; 12C мкКл;
120 мкКл; 100 мкКл; 110 В; 60 В; 40 В; 220 мкКл; 210 В. 17-24. 2 пФ. Указание.
Доказать, что если С1/С2=С3/С4, то <рл =<РВ и, следовательно, емкость С8
при определении общей емкости схемы значения не имеет. 17-25. С4 = С2С3/С1=
=9 пФ.
470
18-1. 0,05 мкДж. 18-2. ЗОмкДж; 15 мН. 18-3. 0,209 Дж. 18-4. 2,5 Дж/м».
18-5. 50 мкДж. 18-6. 1500 В; 0,2 мДж. 18-7. 0,3 мДж. 18-8. 1) 0,18 Ди:,
0,09 Дж, 0,05 Дж; 2) 0.С05 Дж, 1,21 Дж, 1,815 Дж. 18-9. 80 мкДж. 18-10.
. 1 а2 /в — 1\/2е —1 \
А = — -----1------И--------W =63,5 нДж (в—диэлектрическая проницаемость
фарфора). 18-1L 1) ст = в0 Е (в— 1)/в=5,9 нКл/м2 (в—диэлектрическая прони-
цаемость эбонита); 2) 1Г =1/2 во (£2/е) Sd=88,5 пДж. 18-12. W = -^-воЯ’Х
/ е — 1
X ------- Sd = 118 пДж. 18-13. 0,55 мкДж. 18-14. 450 мкДж. 18-15. ЗОмжДж.
\ е / .
18-16. 1Г =----------= 225 мкДж. 18-17. 12 см. 18-18. 1171 = — Rb =
16nee0 R 45 ее#
= 7,88 нДж; 1Г2 = R? = 78,8 нДж. 18-19. 1Р1/1172=5е= 15; здесь а—
9 еа
диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар; см. задачу
18-18.
19-1. 15 Кл. 19-2. 6,1 МА/м2. 19-3. 34,2 мм2. 19-4. 2,58 мОм. 19-5,
18,8 0м. 19-6.5/6 Ом. 19-7. 3/4 Ом. 19-8. 7/12 Ом. 19-9. 250 Ом; 20%.
19-10. 2А. 19-11. Для схемы а) 16,7%; 0,2%. Для схемы б) 0,2%)
20%. 19-12. 1,48%. 19-13. 2,9 Ом, 4,5 Ом. 19-14. 2А. 19-15. л =
= VAR/rf; /?{=Д. 19-16. Meibipe параллельно соединенных группы. по три
последовательно соединенных элемента в каждой; 7,5 А. 19-17. а) 7=3 А,
/7=0, б) 1=0, U = 1,2 В. 19-18. 0,5 А. 19-19. 6,4 А; 5,8 А, 0,6 А. 19-20.
0,63 А. 19-21. /в=0, t/s=0. 19-22. 3 А; 4 А; 1 А. 19-23. 0,8 А; 0,3 А; 0,5 А.
19-24. 3,6 В. 19-25. 2 А. 19-26. 15 Вт. 19-27. 0,5Ом; 2 Вт. 19-28. 0^4; 297 Ом.
19-29. 71 = 20Ал 1)1=0,17; '72 = 4 А, т]2 = 0,83. 19-30. 45 мин; 10 мин. 19-31.
12В; 2 Ом. 19-32. Q = —^— | di =— /2 Кт = 100 кДж. 19-33. 1 кДж
т2 J 3 тах
о
(см. задачу 19-32). 19-34. <? = 1/2 }/3Qt/R =20._Кл. Решение. Из условия
d<?
равномерности возрастания тока следует l=kt, или ——=41, где k—коэффици-
d(
г
ент пропорциональности, отсюда Aq = klAt и q = k J (di = l/2fex2. Значение к
о
найдем из выражения количества теплоты, выделившегося в проводнике: dQ =
f 1
=/2 г dt = k* rfl dt. Интегрируя, получим Q = k2 г I Z2dz = —- 42т8г. Отсюда
J о
4=1/ , После подстановки получим q= 1/2 1/3Qt/t = 20 Кл. 19-35.
471
1 , / 30 <17 1 i / 3Q
</>сх т|/ к=,0А (CMi 5адачу 19'34b <1936, 'df=T V ~
= 1 А/с (см. задачу 19-34).
20-1. 0,05 мм/с. 20-2. 3,7 мкм/с. 20-3. 0,1 мм/с. 20-4. 0,05 В/м. 20-5.
1,27.101®-с-1. 20-6. 0J В/м. 20-7. 90°С. 20-8. 4,4-10-® В/К- 20-9. 65,4.
О
20-10. 3 . 20-11. 0,83 г. 20-12. 54 мкм. 20-13. 6,6 мг. 20-14. Z — —— =2, где'
vF
F — постоянная Фарадея. 20-15. v = =3,12 ммоль, /У = Л?л v= 1,87-1021 .
20-16. 9,3-Ю1’. 20-17. 13,6 В. 20-18. 2,3-10“ м/с. 20-19. 210 кК. 20-20. 0,8мс.
20-21. 0,5 нСм. 20-22. 1,52-10м м~3. 20-23. 5-Ю7 1/(см3-с). 20-2;. 1,6-10-’ А.
20-25. 2 10’ tM^-c-1.
21-1. 0,1 Тл. 21-2. 7,96 кА/м. 21-3. 39,8 кА/м. 21-4. 126 мкТл. 21-5. 51.
21-6. 15,4 А/м. 21-7. В= №=62,8 мкТл. 21-8. 7= —— =305 А.
2гЗ р0 sin3 р
цв N1 I а +/ а \
21-9. В=—------ .. =606 мкТл. 21-10. 8 кА/м.
2/ \ Д/сР-На-Н)2 1/а2 + <12 /
21-11. 1м. 21-12. А/ = 68,4 см; границы участка отстоят от концов катушки на
15,8 см. 21-13. 349 мкТл; 251 мкТл. 21-14. 200 мкТл. 21-15. 132 А/м. 21-16.
200 А/м. 21-17. В=-^-1/ 4-+"^-------------^T-(rJ+r2-d2)^21,2 мкТл.
2л У г, /
21-18. В = ^2-V/2 4-/2 +///2 = 87,2 мкТл. 21-19. В= — V/f + Z^
2лг nd -
= 400 мкТл. 21-20. 50 мкТл (см. задачу 21-20). 21-21. 40 мкТл. 21-22. В =
= л.+.4 -HP-L-357 мкТл. 21-23. Bj=-^- (У2+1)= 482 мкТл-Hi!
8л г 2ла 2ла
(1/2—1) =82,8 мкТл.- 21-24 В, =-3^Ис/=346 мкТл; В8 = 7= 116 мкТл.
2ла 2ла V 3
21-25. В = = 240 мкТл. 21-26. 1/2 = 282 мкТл. 21-27.
2па па
2ре / l/o’ + fc2 1/3 ц0/
В = --=200 мкТл. 21-28. В = -- ио = 173мкТл. 21-29. 275 А/м-
ПОГ ПО
250 А/м. ?<-30. 8 =1,15. 21-31. а) В = -^- = 157 мкТл; б) В = -^х
л2 ' 4R 4л/?
Х(л+2)=257 мкТл; в) 6 = (Зп+2)=286 мкТл; г) В = -~- (л—1)=214 мкТлз
2пн '
д) В “ (П 4- П «= 414 мкТл; е) В = ) = 132 мкТл.
4 К \ 3 2л /
472
21-32. a) B = =236 мкТл; б) В = =78,5 мкТл, в) В = =
SR 8R ' 3R
=209 мкТл; г) В = -^ (4“+ =305 мкТл; д) В = -^- (з + — ) =
4/^ \ 2 п J 8/? y зх /
ц„/ / 1 1/2 \
=271 мкТл; е) В=-^^—\-------|- —— =298 мкТл. 21-33. 1,1 мА; 10 МА/м.
2R \ 2 п )
21-34. 16 мТ. 21-35. 1 Мм/с.
22-1. 1 кН/м. 22-2. л/6 рад. 22-3. В=щ /»/(4л)=0,1 Н. 22-4. F=2B/R=0,l Н.
22-5. 0,4 Н. 22-6. F = ^^-=2,5 Н. 22-7. 200 Н. 22-8. 7А. 22-9. F, = Fe =
2nd
= ^°/а =20 мН: F8= - =34,6 мН. 22-10. F=t^-^= 12,6 мН. 22-11.
2ла 2па d
F=2p0/2o/(nd) = 8 мН. 22-12. 78,6 мА-м2. 22-13. 10 А.м2. 22-14. 25,5 А. 22-15.
/ = ~|/4Н2рт/л =37 А; /? = '|/Рт/2лН = 9,25 см. 22-16. рт = ^ = 50 mAiM2.
Но
22-17. 94. Ю"24 А-м2; 9,4.10~2» Н-м. 22-18.—= — — = 87,9 ГКл/кг. 22-19.
L 2 т
1)₽т= =4 нА-м2; 2) -^2- = — = 10 мкКл/кг. 22-20. 1) рт=л<?п/?2 =
24 L 2т
=3.14 нА<м2; 2) 500 иКл/кг. 22-21. рт = -^-лрп/?2=1 -57 нА»м2; 500 нКл/кг. 22-22.
1) 62,8 нА-м2: 2) 1 мкКл/кг. 22-23. 1) 1 нА.м2; 2) 1,5 нКл/кг. 22-24. 1)рга =
= —<//?2<о=4 нА-м2: 2) 10 иКл/кг. 22-25. Л4-=цпл//77?2соза=39,5мкН/м. 22-26.
э
М =— nBr/d2=6,28 мкН-м. Здесь Вг—горизонтальная составляющая индукции
магнитного поля Земли. 22-27. 1) 12 мкН .м; 2) 120 мкА-м2. 22-28. рш=12А-м2:
/" т.
Л4=0,1Н<м. 22-29. C—NISB cos а/а = 332 пН.м/рад. 22-30. Т.=2л, 1 /
у GIB
2пт ’•Цо Рт
= 1.05 с. 22-31. В=—— =6,65 мТ. 22-32. М=~.-----------= 160 пН-м. 22-33. F=
/Г2 2nd3
= Зро/Рт£ =5 вд мН. 22-34. F= t^ = 2 мкН. 22-35. а
2RS 2ла2 d* pm
=0,5 Тл/м. 22-36. / = 2rBrtga/pc = l,01A (Вг—горизонтальная составляющая
индукции магнитного поля Земли). 22-37. 8. 22-38. 55 мА. 22-39. рт =
, 2лг3Вг tg a
= ------- =1,32 А-м». 22-40. 26,5°. 22-41. 33,5“.
23-1. 64 фН. 23-2. 1,38 м. 23-3. 0,61 Мм/с. 23-4. 2,4-10-22 кг-м/с. 23-5.
В2 г2 е2
В = В | е | /?2 = 3,2-10—26 кг-м2/с. 23-JB. 7 = — -=0,563 фДж(3,52 кэВДт —
473
Ri -» / Ti -r- f Ri\*
— масса электрона) 23-7. —— — I —— = V2- 23-8. =1— I *±~) ==
R« r ‘ 2 ' \ R\ I
e v
=0,75. 23-9. 12 мм. 23-10. Q/m —— = ——- =96,3 МКл/кг; протон и антипро-
га RB
тон. 23-11. 175 ГКл/кг; 26,5 Мм/с. 23-12. F=2T/R =0.32 пН. 23-13. F =
г _____________________________________________________________
— -----=1,4 пН. 23 14. 8,05 фН; 1.13 см. 23-15. I. =г= у/2тТ/(В | е | ) =
га
«=14,5 см (г—радиус окружности, по дуге которой электрон двигался в поле).
23-16. 2,84 нс, 23-17. п—----—- = 562 МГн (га—масса электрона). 23-18. / =
2пга
,1 Be'- Be-R*
—• -—-=448 nA. 23-19. pIU =----------=7,04 nA-м2 (га—масса электрона). 23-20.
2лга 2га
В I е I . / ft2
mt == №//?!)«! = 27 а. е м. 23-21. 4 . 23-22. t/= ——L I/ Rt -j-----------=
га у 4л2
= 1,04 Мм/с (га— масса электрона). 23-23. 3,97 нс; 25 Мм/с. 23-24. Т =
(4л2/?* -4- Л2) в» г2
= ----------------- = 580 фДж (га — масса протона). 23-25. 1,96 мм; 7,1 мм;
8 л2 га
Ага Дгас2 в „ _____
14,2 мм. 23-26. е = 2 I е I UN = 4,8 МэВ; -=----=—==0,5%; о=У2е/гап=
га0 га0с2 £0
=30 Мм/с. Указание. Учесть что за один оборот протон дважды пройдет
QBR QBvR
между дуантами циклотрона. 23-27. v —-------=41 Мм/с; Г =--------=34,9 А эВ
га 2
(га—масса а-частицы, Q—ее заряд). 23-28. v= --^ = 7,7 МГц. 23-29. В =
2пга
nrav Т
----- = 1,3 Тл. 23-30. М=-=167; см. задачу 23-26. 23-31. I) 13,7см;
|е|-----------------------------2|е|U
2) 22,8: см. 23-32. 0,28 МэВ. 23-33. 300 МэВ. 23-34. 4,2 Тл. 23-35. т =
2л Е„ 4- Т
=•-------=7,02 нс. 23-36. и = £/В = 1 Мм/с. 23-37. о = £/В = 1,6 Mm/cj
с2 | е | В
. /Д£ ДВ \ „ е Е2
Ао=± — + — Р=±6,4 км/с. 23-38. — = —— = 48 МКл/кг. 23-39.
\ С D / tn WO*
&t=BR/E=lO мкс. 23-40. 1) а=|е| £/га=20,1 Гм/с2; 2) а= "|/(е£/га)2-[-(Веу/га)2=
=37,5 Гм/с».
24-1. a) <|>Bfd/=0; б) §8^1 = = 25,2 мТл м 24-2. =
3
eHo мкТл*м 24-3. ф Hi d/ — nr* / sin a = 78,6 A. 24-4. Bmax =»
/*=1
- 20 “T" e"“ - 77^7? - 10 2« ф - -
474
= 25,2 мкВб. 24-6. 50 мкВб. 24-7. 5 мкВб. 24-8. '1'=-р0 /(№//) S = 80,5 мВбХ
р,./1 ДФ 1 !а V
X виток. 24-9. Ф = -^—1п 2 = 4,5 мкВб. 24-10. 3,81. 24-11. =
2л Ф 24 \ I /
= 0,617%. 24-12. ф=-&!-^- (D — d) 1п-^-=139 мкВб. 24-13. 1,29 Тл; 1,03.10».
4л а
21-14. 1) 1 Тл, 2,5-103, 2) 1,4 Тл, 700. 24-15. 0,52 мВб. 24-16. 840 А. 24-17. 15.
24-18. В 2 раза. 24-19. 7,1 кА. 24-20. В 2,4 раза. 24-21. 5 А. 24-22. 2,25 мм.
24-23 . 5,8 кА. 24-24. 1,8 мм.
25-1. 80 мкДж. 25-2. 3 мДж. 25-3. 6,84 мДж. 25-4. А = л/В/?2(1—л/4) =
ДФ
= 67,5 мДж. 25-5. 2,51 мДж: 0. 25-6. <$,•>=------ = 20В. 25-7. 0,3 Тл. 25-в.
Д1
„ В* Р V
F—~z— = 1 Н. 25-9. 10 Вт. 25-10. 1) 0.3 В; 2) 3 Н; 3) 10 А; 4) 3 Вт; 5) 2 Вт;
п
6) 5 Вт. 25-11. (7 = л/8Вп = 201 мВ. 25 12. <gt> = 4nBS=0,16 В. 25-13. /шах—
= 2n/i(VBS= 132 В. 25-14. Р„ах = <2ппбУУ5)2 = 79 Вт. 25-15. 600 мин"1. 25-16.
/?, + /?,
71
%i=<oBNScosa= 1 В. 25-17. Q~ -------------соза = 10мКл. 25-18. 3,14 мкКл.
/?
25-19. 0,3 мВб. 25-20. 1,5 Тл. 25-21. Q = ДФ//?; 1) Q = BS (1 — cos aJ/R —
=’6,27 мКл; 2) Q = BS (cos at—cos a2)//? = 18 мКл; 3) Q = BS (cos a2—cosaj)//?=
= 25 мКл. 25-22. Q =-----= 41,4 мКл (D — плотность меди). 25-23. =
16pD 2aR
=62,8 мкКл. 25-24. I = ---------------------- = 1 kA. 25-25. ©,15 В. 25-96.
(as—аД In (а2/аД
1 мВ. 25-27. 4 B. 25-28. Q = M//(/?1-j-/?a) = 1.33 мКл. 25-29. 6,28 Гн. 25-36.
Un I d— R
8 витков на 1 см. 25-31. 103. 25-32. 90. 25-33. L— —— In-------- = 2,4 мГн.
Л R
25-34. 80 мкВб. 25-35. 0,1 Вб. 25-36. 3 мкВб; 3 мВб. 25-37. ЗмГи. 25-38. <gf>=
= WBS//=3kB. 25-39. —= — = —!—. Уменьшитсн в 5.8 раза. 25-40. 20мГн.
Lj Ui 5,8
25-41. 118 мВ. 25-42. 6,75 А. 25-43. 0,23с. 25-44. 0 69с. 25-45. f= £
«+<
= 0,23 с. 25-46. 1) 0,4 А, 2) 7,6 А; 3) 0,4 А. 25-47. 1) 1,2-10<5 об; 2) 1,51 Мм;
3) 5,03 мс. 25-48. 1) 12 В/м; 2) 1,92 аН. 25-49. 40 Тл/с.
26-1. 10 Дж. 26-2. 14 А. 26-3. 50 мДж. 26-4. 0,15 Дж. 26-5 W=nDS/B/(2d)=
=324 мДж. 26-6. 2»1б8. 26-7. 25 Дж/ма. 26-8. — = —-—-=6,4. Увеличилась
uit Bt Нх
в 6,4 раза. 26-9. 800 Дж/м8. 26-10. Увеличилась в 10,5 раза. 26-11. В 1,6*103
раза. 26-12. 1,1 кДж/м8. 26-13. 161 Дж/м3. 26-14. /=(!/«)КгйтрГ =1,26 А.
475
27-1. T=nD Vae.o L/d =33.2 нс 27-2. Т=2лЛ/ P p0 SC/i = 5,57 мкс 27-3.
К = 2,38-103 ±23.8 м. 27-4. 1 А. 27-5; t7max=/maxKL/C =317 В.. 270.
628 нс. 27-7. 5,05 кГц. 27-8. 51 пФ. 27-9. 126 м. 27-10. 1,4 . 27-11 26.
28-1. 3.5 мм. 28-3. 40 .м. 28-4. 60 см. 28 6. 6 м. 28-7. —20 см; 3 см.
28-9. 1,1 см. 28-10. 15,4 мм. 28-11. 16,3 см. 28-14. 1,53. 28-15. 1,63. 28 16.
35°30\ 28-17. 53°38'. 28-18. 1,41. 28-19. |°12'. 28-24. 15 см. 28-25. 48 см.
28-26. 2,08 мм/с. 28-27. 10 см. 28-28. 7,5 см. 28-30. 12,5 см. 28-31. —1,32 дптр.
28-32. 3,84 см. 28-33. 26 см. 28-34. —0,75 дптр. 28-35. 1) 39 см; 2) —80 см.
28-36. 1,4. 28-37. 1,6. 28-39. 8,1 см. 28-40. 24 дптр. 28-41. —8 см. 28-42.
—4 дптр. 28-43. 20 см. 28-44. 2,5. 28-45. 7. 28-46. 80. 28-47. 12. 28-48. 1)
К объективу на I мм; 2) от объектива иа 9 мм. 28-49. 30,3 см. 28-50. 100.
28-51. 250; 10,5 мм. 28-52. 2 см.
29-1. 0,08 кд. 29-2. 1 Вт/кд; 12,1 лм/Вт. 29-3. со = О,633ср; & = 52°. 29-4.
51 мкА. 29-5. 180 лк. 29-6. 12 с. 29-7. 3,2 лк; 2,4 лк„ 29-8. 18,3 м. 29-9. 60°.
29-10. 1) 278 лк; 2) 60 лк; 3) 251 лм; 4) 125 лк. 29-11. 0,707 м. Указание.
По правилам дифференциального исчисления найти максимум функции Е =
fh
= —-------——29-12. 2 ккд/м2. 29-13. 9,4 кд; 157 кд 29-14. 1 клм; 8 клк;
,2)3/2
Е
2,5 ккд/м3. 29-15. В =----------=1.5 Гкд/м2. 29-16. 400 кд/м2 29-17. По
л tg2 (а/2)
диагонали куба; /тах = рГ 3 Ва2=350 кд. 29-18. 1) 63 кд; 2) 30 кд. 29-19.
I И2
Б =——— = 1 лк. 29-20. й = /=3м. Указание. По правилам диффе-
ренциального исчисления найти максимум функции Е — 29-21. 97 лк;
73 лк; 23 кд/м2. 29-22. 1,6 м. 29-23. 0,98.
30-1. 2-103; 3-103. 30-2. 4 мм. 30-3. 1,33 мм. 30-4. Увеличится: 1) иа
0,50 мм; 2) иа 0,548 мм. 30-5. а=\/~ nX/[2d(n—1)] =30 мрад = 1,72“.
Указание. При решении задачи угол поворота пластины считать малым.
30-6. 1,73 см. 30-7. 0,6 п. 30-8. 1) 0,6 и 0,45 мкм; 2) 0,72, 0.51 и 0 4 мкм
30-9. 2м. 30-10. 500 нм. 30-11. l = db/'k = 2,5 м. 30-12. 3,6мм. 30-13. Темнота;
Геометрическая разность хода лучей Лгеом-= К =0,6 мкм. Оптическая разность
хода А = Лгсом±Х./2. 3-14. Л/=2 (Ad/X)J>= 1 м: отодвинуть от источника иа
I м. 3-15. 1) 4,8 мкм; 2)4,8 мкм; 3) 5,1 мкм; 4) 5,1 мкм; в первых двух случаях
усиление, в последних двух — ослабление. 30-16. 0,1 мкм. 30-17. 0,25 мкм;
0,125 мкм. 30-18. 541 нм. 30-19. 6 = К/(2па)=3,15 мм. 30-20. 10,3". 30-21.
10 мкм. 30-22. 3,1 мм; 5,2 мм. 30-23. N = 2ла/Х=8,55 см—1. 30-24. 0,39 мм.
30-25 0,15 мкм. 30-26. 1,25 дптр. 30-27. 490 нм. 30-28. 880 мм. 30-29.; 1,4.
30-30. п = (/г±1)/Е = 1,33. 30-31. rh = =1 -73 мм- 30'32-
О1=/(2/г±1)/?(Х/4) =0,704 мм. 30-33. d = 1) = 72 мкм. 30-34.
1,00014. 30-35. = ± тХ/( =1,000607 . 30-36. 27,3 мкм. 30-J7. и = 1±
±ЕЛ/(2<) = 1,000282. 30-38. Лп =0.000124, z
31-2- 1,58 мм. 31-3. 3,69 мм. 31-4. 8 зон; темное пятно.
476
31-5. 1) 50 м; 2) 25 м. 31-6. 1) Ь = г2/(пА), n=l, 3, 5,...; 2) b=r2/(nX), л=
= 2, 4, 6,... 31-7. ^ = 1,4 м; 7>s = 0J м; 7>3 = 0,47 м. 31-8. b = ar‘i/(ak^—^) =
= 2 м. 31-9. Уменьшится в 4 раза 31-10. 2“45'. 31-11. 143. 31-12. 1) первый
дифракционный минимум: 2) дифракционный максимум, соответствующий k = 2.
31-13. 103. 31-14. 580 нм. 31-15. 21°17'. 31-16. 8. 31-17. 8; 74°. 31-18 0,6 мкм.
31-19.66 см. 31-20. «р=агс sin (sin a+mA/d) =38,3°. 31-21. 3. 31-22. R —
= А/ДА.=290; N^=R/k = 145. 31-23. l = ld/(kW.) = lO мм. 31-24. 7? = Оф/ =
=5,82-103. 31-25. D9 = (tg<jp)/A = 9,62* 10е рад/м=3,31...'/нм. 31-26. 1 мм/нм.
31-27 IO3 штрихов/мм. 31-28. f. — Di A.cos3jp/sin<p.=21,1 cm. 31-29. 0,28 нм.
31-30. 31 пм. 31-31. 506 пм. 31-32. 1,6”. 31-33. 6 см
32-1. 36“. 32-2. 37“. 32-3. 61°12'. 32-4. 194 Мм/с. .32-5. 55°45'. 32-6. 32е.
32-7. 1,52. 32-8. 106°. 32-9. 156°. 32-10. 100°. 32-11. 45°. 32-12. В 2 pasa.
32-13. В 3,3 раза. 32-14. 23,6 ккд/м2. 32-15. 0,33. 32-16. В 3 раза. 32-17. В
),23 раза. 32-18. 0,348 . 32-19. 3,4 мм. 32-20. 169 град-см8/(дм.г) 32-21.
0,21 г/см3. 32-22. 0,4 г/см3.
•/ '
с Av
33-1. о = 0,141с. 33-2. £0=-----=3,2 мкрад/с. 33-3. Воспринимаемая часто-
27? v
ДЬ Л3RT .
та меньше v0 на 10 кГц. 33-4. 1,1 Мм/.с. 33-5. х ~ с |/ ---= 1,8*10 °. 33-6.
1) 2,3.10~e; 2) 4,3.10“33-7. 1) 1000067 Гц; 2) 999933 Гц; 3) 1000013Гц;
2/Vt> 1+6
4) 999987 Гц. 33-8. ДА = =F--------------Л=Т 26,8пм. 33-9. А = Х0—Чт —
с 1 — 0
, с + » / V \ 1
= Хо-----—=750 нм; Х = А». 11 + 2— 1 = 600,03 нм. 33-10. ,с = с.=?.
~ V с = 5-10* км/с. 33-12. 6 о. ’ 83-13. 0=
Х*+Ц . , . . ,
с. 33-14. Частота измеряемся от Vi=4,57 ГГи до v2 =
’ Юг, с
1,88 м/с. 33-16. и = 0,591 с. 83-17. \ Я
I е I
х ( п — Л =175 кВ. 33-18. 29,5 МэВ. 33-19. 30°. 33-20. 1,4k 33-21.
. A Kns—1 /
1,45 < п < 1,72.
34-1. 648 К. 34-2. 1 кК. 34-3. 5,65 кДж. 34-4. 56.7 ГВт. 34-5. 4%. 34-6.
В 1,19 раза. 34-7. 64,7 МВт/м«; 5,8 кК 34-8. 396 К 34-9. 7?е=аг07^=5,88
кДж/(м2-с); 1₽' = 7?е57'= 1,76 кДж. 34-10. 0,953. 34-11. i]= 1—о7’а S/P=0,71.
34-12. ar=-^j-=0,26. 34-13. Г = ^ /?г~о j 4 =866 К. 34-14. 10,6 мкм.
34-15. 547 нм. 34-16. 3,8 кК; 7,6 кК- 34-17. 4,98 кК. 34-18. Увеличились в 81
и в 243 раза. 34-19. 3,62 кК; 7,24 кК. 34-20. 95,8 мВТ. 34-21. 1,45 мкм. 34-22
1) 30 МВт/(м3-мм); 2} 600 Вт/м3,
47?
= 1 км/с. 33-11. V —
М —М
;—гг?=!Q.549
^2 +7*1
46 ГГц. 33-15.
35-1. 2,49 эВ. 35-2. Не будет, так, как энергия фотона (4,1 эВ) меньше ., ра-
боты выхода (4,7 эВ). 35-3. 0,8 . 35-4. 2,3 эВ. 35-5. 4эВ. 35-6 . 760 км/с.
35-7. 4,36 нм. 35-8. Электрон релятивистский; 0=0,83; о=0с=249 Мм/с.
35-9. 291 Мм/с. 35-10. 1,59 МэВ.
36-1. 4,6 мкПа. 36-2. 1,5 кВт/м2. 36-3. 0,1 нН. 36-4. 10“’ кг-м/с. 36-5.
11,2мН. 36-6. 3,27 эВ. 5,810-8е кг; 1,74-10—27 кг-м/с. 36-7. 1,24пм. 1,8-10-»»
КТ- 5,310~22 кг-м/с; тфя=2те. 36-8. 73 пм. 36-9. 1) 2,42 пм; 2) 1,32 фм.
36-10. 9-1018. 36-11. 3,77-1018. 36-12. 1012 м~3.
37-1. 57 пм. 37-2. 1) 4,84 пм; 2) 2,64 фм. 37-3. 120° или 240°. 37-4.
0,224 МэВ; 0,176 МэВ. 37-5. 3,6-10~22кг-м/с. Решение. Кинетическая энер-
гий электрона отдачи 7’=2/ЗЕ0; электрон релятивистский. Из- соотношения
£2==£2 + (рс.)2 находим ₽ = 4Е0/(Зс). 37-6. 0,5. 37-7. 60° 40' или 229’ 20'. 37-8.
0,37 МэВ. 37-9. 70%. 37-10. 0,511 МэВ; 2,7-Ю-22 кг-м/с. 37-11. 1) и>1 = 0,67,
и2 = 0,33; 2) ,a>i =U'2=0,5; 3) ^=0,33, о>2=0,67.
е2
38-1. г = 4ne(, Л2 я2/(те2); т2=212 пм; г3 = 477 пм. 38-2. - --—' =
. 4ле0 пп
= 1,09 Мм/с. 38-3, /=-^—= - ."7* г =8,19-101*с-1. 38-4. —27,2 эВ;
2лг 32л3 е3 Л3 п3
13,6 эВ; —13,6 эВ. 38-5. 434 пм. 38-6. 1,87 мкм; 820 пм. 38-7. 12,1 эВ. 38-8.
10,2 эВ; 13,6 эВ. 38-9. Серия Лаймана: 121,6 нм; 102,6 нм; серия Бальмера:
656,3 нм. 38-10. 1 Мм/с. 38-11. 30,3 нм; 13,5 нм. 38-12. Гелий: 8,64 аДж =
?=54эВ; 54В; литий: 19,5 аДж = 122 эВ; 122 В. 38-13. 8,2-1014с~»; 2,4-10“с-1;
4,6,10м Гц, 38-14. 212 пм. 38-15. 10,2 В.
39-1. 21 Мм/с. 39-2. 41 пм. 39-3. 304 пм. 39-4. Ниобий (Z=41). 39-5. 5,5
кВ. 39-6. 5,9 кэВ. 39-7. 0,14 нм. 39-8. 1,24 пм. 39-9. 20,5 пм; 60,5 кВ. 39-10.
8,00 кВ.
40-1. 727 пм; 0,396 пм. 40-2. 2,7 пм. 40-3. 150 В. 40-4. 39 пм. 40-5. 907 фм;
28,6 фм. 40-6. 0,33 нм. 40-7. 0,67 нм. 40-8. 212 Мм/с. 40-9. 0,06 нм. 40-10.
0,1 нм. 40-11. 2,10 Мм/с. 40-12. 1,10 Мм. 40-13. 30'; 7 пм; 0,41 нм.
41-1. 19,9-10—27 кг; 1,66-Ю-27 кг. 41-2. 35,46. 41-3. 0,2; 0,8. 41-4. }Н;
JLi; }5N. 41-5. 2-10-4. 41-6. 1017 кг/м8. 41-7. 2J«Po; 290 км/с. 41-8. JgNi.
41-9. 3JSi. 41-10. |Li. 41-11. Z = 86; Д = 220 (22“Rn). 41-12. Шесть а-частищ
три 0-частицы. 41-13. 10~6. 41-14. 700 с~*; 13,6 пс-1. 41-15. 15 мин. 41-16.
Ю-4. 41-17. 0,71; 0,36. 41-18. В 9 раз. 41-19. 10,5 ч. 41-20. 4 дня. 41-21.
138 сут. 41-22. 1,44 года. 41-23. 63,3 %. 41-24. 10е атомов. 41-25.8. 41-26. 6ч.
41-27. На 24%. _ 41-28- 93 года; 186 лет. 41-29. 0,5 сут. 41-30. 10.5 ТБк.
41-31. 40,7 ТБк/г. 41-32. 145 . 41-33. тя=т1МаТ1/(М1Т1)=425 кг, где н
478
Ti—молярная масса и . период полураспада “°Sr; Л12 и Tt—то же для 2з®(/.
41-34. 6,33 мкг. 41-35. 2,7-10? лет. 41-36. IT = In 2 —=.70,6 кДж, где
MTl/2
М и 7" 1/2 — молярная масса и период полураспада 22Na. 41-37. Л = 4лг2ф/е =
=94,4 ГБк. 41-38. ф=-^-=0,6 Вт/м2. .
т 4лг2
42-1. 6,6. 42-2. 3,85 см. 42-3. На глубину 115 см. 42-4. 2 МэВ или 6,2 МэВ)
1,33 см. 42-5. 3,6 МэВ; 1,57 см. 42-6. 28,6 см. 42-7. В 59 раз. 42-8. g=
. =рХ/(п0 е) =7,73-10—и, где р—плотность воздуха; л0—концентрация молекул
воздуха при нормальных условиях; е—элементарный электрический заряд.
42-9. W ==—-—в=8,77 мкДж, где е—элементарный электрический заряд.
П€
42-Ю. Х = <=21,4 нКл/кг, где р—плотность воздуха, е—элементарный
электрический заряд. 42-11, 62 мкКл/кг. 42-12. 13 см. 42-13. 6 м. 42-14. 4,4 мин.
43-1. 1,00728 а. е. м.; 2,01355 а. е. м.; 11,9967 а. е. м. 43-2. 4,00260 а. е. м.
43-3. 7,01546 а. е. м.; 7,01491 а. е. м.; 7,01436 а. е. м. 43-4. 0,00240 а. е. к;
2,23 МэВ. 43-5. 8,49 МэВ. 43-6. 7,68 МэВ/нуклон. 43-7. 3,01604 а. е. м.
43-8. 5,01258 а. е. м. (атом лития |Li). 43-9. 2,2 МэВ. 43-10. 39,2 МэВ;
37,6 МэВ. 43-11. 682 ГДж. 43-12. 10,6МэВ. 43-13. 7,55МэВ. 43-14. 8,0 МэВ.
43-15. 23,8 МэВ. 43-16. 7,26 МэВ. .
44-1. Л = 1; 2=0; частица—нейтрон (Jn). 44-2. Л=0; 2 = 0; частица—фотон.
44-3. 1) 4,36 МэВ, освобождается; 2) 22,4 Мэв, освобождается; 3) 2,80 МэВ,
поглощается; 4) 1,64 МэВ, поглощается; 5) 1,05 МэВ, поглощается. 44-4. 1)
19,8 МэВ, освобождается; 2) 23,8 МэВ, освобождается; 3) 6,25 МэВ, освобож-
дается; 4) 8,12 МэВ, освобождается. 44-5. 2,23 МэВ. 44-6. 6,82 МэВ. 44-7.
0,63 МэВ. 44-8. 6,7 МэВ. 44-9. 5,26 МэВ; 0,44 МэВ. 44-10. 0,82 МэВ; 2,44
МэВ; |рНе| = |Рп|=3,6-10-2“ кг-м/с. 44-11. 6,01514 а. е. м. 44-12. 3,01604
а. е. м. 44-13. 3,01604. 44-14. 6,22-10-21 Дж; 2,70 км/с. 44-15. ~ =
о,
= т1~т2 = 0,847; —= =0,716. 44-16. ySr. 44-17. 0,00091.
mi+ms 71,
44-18. 82 ГДж. 44-19. 3,1-10le. 44-20. S3 г. 44-21. 15 МВт. 44-22. 5,41 МэВ.
44-23. 0,104 МэВ; 5,40 МэВ. 44-24. 0,156 МэВ. 44-25. 1 МэВ. 44-26. 2,6 МэВ.
44-27. 0,2 МэВ. 44-28. 0,78 МэВ. 44-29. 0,99 МэВ. 44-30. 0,75 МэВ; 1,65 пм.
44-31. 67,5 МэВ.
45-1. Прибор зарегистрировал групповую скорость. 45-2.' Нельзя. Для измере-
ния фазовой скорости надо пометить каким-либо импульсом данный участок
монохроматической волны. Измеряя же скорость перемещения импульса, 1иы
479
измеряем не фазовую, а групповую скорость. 45-3 334 м/с; 333,23 м/с; 100 м/с.
45-4. о/2; с2/о. 45-5. Не противоречит. Фазовая скорость не характеризует
ни скорости «сигнала», ни скорости переноса энергии, и поэтому может быть
как больше, так и меньше скорости света в вакууме. 45-6. В обоих случаях
групповая скорость равна скорости v частицы. 45-7. 1) Оф = Л/(2тЛ);
2) оф = V^ + fio №/№, где £0 —т0с2. 45-8. 1) Не будет (иет дисперсии);
2) будет (дисперсия есть); оф—f(X). 45-9. 0,77 нм; 10,'6 нм; так как Дх > d,
то понятие траектории в данном случае неприменимо. 45-10. До/о=10-4. 45-11.
В 160 раз. 45-12. 16%. 45-13. £mln =2Я2/(т/2). 45-14. £mln = 2Л2/(и/2) = 15 эВ.
45-15. /=.2Л/’|/2тЁ = 2,9 фм. 45-16. 80 МэВ. Решение. Из . соотношения
Я
неопределенности следует Др > . . Разумно считать, р > Ар, следовательно,
1/2
2fi __________
р > —j— , где р = 1/(2£0+ Т) Т/с (случай релятивистский) Поскольку Т > Еа,
то Traln=2tic/l. Так как эта энергия (80 МэВ) значительно больше энергии
связи, приходящейся на один нуклон в ядре (10 МэВ), то пребывание электронов
в ядре невозможно. 45-17. 1) 1,2-Ю-2; 2) 1,2. 45-18. Ввиду малости Др/р (3-10-11)
обнаружить отклонение в поведении частицы от законов классической механики
нельзя. В этом случае можно говорить о траектории движения частицы, так
как если даже,Др_1_р, то отклонения частицы от классической траектории
невозможно обнаружить. 45-19. Это соотношение показывает, .что если система
пребывает в некотором энергетическом состоянии в течение промежутка време-
ни Д/, а затем переходит в другое состояние, то существует Некоторая неопре-
„ Я
деленность энергии Дс^——. Этим, например, объясняется естественная ши-
Д/
рина спектральных линий. 45-20.' !) Время пребывания электрона В: основном
.состоянии бесконечно велико, , вследствие чего Г = Д£=0;' 2) в возбужденном
состоянии электрон .пребывает в течение Д/«10 нс. Следовательно, ширина
уровня Г «Л/Д/=0,1 мкэВ. 45-21. 3.10- 8. 45-22. Нет. Точно определен
квадрат импульса, а сам импульс имеет неопределенность по направлению
что отвечает бегущей и отраженной от стенок ящика волнам.
2m / _ Ze2 \ d2 ф 2m / I \
»+т;!' +«*
• Зф Л2 д2 ф
ф = Сехр ( — iEt/h}. 46-4. /й-^-= —— —-^-; ф (%,/)=ехр (-/(E/-Pjc х)/й|.
” I &1Г1 О Хг
46-5. Квадрат модуля волновой функция имеет определенный'физический смысл.
Аналогично тому как в волновой оптике мерой интенсивности волны является
квадрат амплитуды, так I ф |2 является мерой интенсивности электронной волны
(плотностью вероятности), пропорциональной концентрации частиц.' 46-6. Только
прн условии конечности ф функции возможна физическая интерпретация |фр*
480
как плотности вероятности 46-7. Значения энергий U и Е, а Также ф конечны.
Следовательно, d2 ф/dx2 должна быть ограничена, а это возможно, если
непрерывна dif/dx. Но чтобы dijj/dx существовало во всей интересующей нас
области, if (х) должна быть непрерывна. 46-8. Может. Меньше единицы должно
быть выражение | ф (х) |2 dx, означающее вероятность обнаружения частицы
в интервале от х до x-f-dx. Но | ф (х) |2 dx может быть меньше единицы и при
условии |<р(х)|2> 1. 46-9. Если ф (х) =а+/Ь, то ф*(х)=а—Иг; |ф(х)|а =
=а2-|-52; ф(х)ф* (х) = (а-|-<1>) (a— ib) = а2-|-52. Следовательно, )ф (х)|а =
Рис. 21
и>ф(х)ф*(х). 46-10. |ф(х, 0 |2=ф (х,Г) ф* (х, /)=ехр(—iEt/ti)exp(iEt/fi\ х
Х ф(х)ф*(х) или |ф(х, 1)|а = |ф(х)|2. 46-11. ф" (х) + (2/п/Л2) Еф (х) =0;
^)(x) = C1sinfex+C2cos/sx. 46-12. С2 = 0; й = лп/1. 46-13. £ = п2 ftan«/(2ml2).
46-14. A£n+1’ n . ц 0,78; 2) 0,21; 3) 0. При малых п Отчетливо вы-
Еп п»
ступает дискретный характер энергетического спектра, при больших п дискрет-
ный характер сглаживается и энергетический спектр становится квазииепрерыв-
ным. 46-15. 4,48 эВ. 46-16. Сп = 1/271. 46-17. I) С, = —Са=1/УЙ;
8) Еп = л2Лапа/(2т/2) и фп (х)=/1/2/7sin — х. 46-18. См. рис. 21 Число
узлов N растет с увеличением квантового числа n: N = n—I, т. е. на единицу
меньше, чем квантовое число. G увеличением энергии X уменьшается, а число
узлов возрастает. 46-19. Максимальна при Xj и xs = 3Z/4; минимальна при
Xj—1/2. 46-20. Х1= 1 1; xs = li; | ф (х) |2 = 3/(21), см рис. 22 46-21.
1) 0,609; 2) 0,195 . 46-22. 0,475 . 46-23. 0,091. 46-24. 5,22. 46-25. Решение.
-481
I I I
P 2 f ли . nm 2 Г 1 п(л—tri)
Фп (*) Фт (*) J* = — j Sin — X sin — xdx — j — cos---------------- хбх-
c © ©
I
-- I 2 C 1 n(n-f-m) , _ , ,
— — 1 — cos -------у---хах. При n=m первый интеграл обращается в 1/2, а
о
второй —в нуль. При пфт оба интеграла дают нуль и, следовательно,
f ( I при т = п,
Фп(*)Фт(*) dX = {
J [ 0 при т у= п.
Рис. 22
46-26. <х>=//2. Решение. По общему правилу нахождения среднего зна-
i .
чения <х>= J х |фп (х) |2 dx, где фп (х) —нормированная иа единицу ф-функ-
о
ция. В случае бесконечно глубокого прямоугольного потенциального ящика
ф-функция имеет вид
.— .лп _
фп = y2]l sin —р- х. Следовательно,
I I
2 Р ли If/ 2лп \
<х> = — I х sin2 —— xrix = -j—I х 11 —cos —-— x I dx.
0 0
Интегрируя это выражение, получаем искомый ответ. 46-27. 1. В случае гармониче-
ского осциллятора Стах — kA2/2, где Л = //2, fe=m&>2, т. е. Ctnax = ^-WKo2/2 (1).
С другой стороны, {/шах = £п = л2 Л2л2/(2/п/2) (2). Исключая I из равенств (1) и
(2). находим £'п = (п/4) Лшгг. Полученное выражение отличается от истинного
(бей учета нулевой энергии) в л/4 раза. 2. В случае атома водорода U =
= — Ze2/(4ne.0r) где r = l/2. Так как |/7| = 2|Е{, то £ = 2е2/(4пв0 /). С другой
стороны, энергия электрона, находящегося в потенциальном ящике, Еп=л2Л2/(2ml)3 4.
4 Za е* т
Исключая из обоих равенств I, находим Еп =---- -----------• Полученное
п3 32л2е?Лап2
выражение отличается от истинного в 4/ла раза. 46-28. 6,2 МэВ. 46-29.
С«=2/У<Г<а. «-SO. 0,67, 46-31. С =2 1/2 IV46-32. ф^ (*)+*? Ф/
482
=0; ф], (х) + (х) = 0, где fcj=2/n£/fta; k*.=2m (Е — U)/№ 46-33.
ф/(х) = Л1е‘*' *+0ie-‘ftl *; фп (х) = Л2е‘/г-* + В,е-'7'гЛ, где kt = (1 /Л) У$тЁ
и fe2=(l /й) У2т (Е—U) (рис. 23). Коэффициент УЦ —амплитуда вероятности
для падающей волны (в положительном направлении оси X); St—то же, для
волны, отраженной от барьера; At—амплитуда вероятности волны, прошедшей
через барьер (область //), В2—то же, для волны, идущей справа налево в
области /{. Так. как такая волна отсутствует, то В2 =0. 46-34.
В1/А1 = (й] — Й2)/(й1 + ^г); A2/At =2kl/(ki-[-k^. 46-35. р=| I 2 I |
I «1+«. I
Ak1k2 л» on । -j-4/fj fe2 £1-|-2<>1 fe2-|-fe2
= 7~~“~ = 1 • 46-37. 0,8. Указание. n = Xt/X2 =k2!kx. Но так как
(*1+Ма
k^y^inE/fl и k2 = l/2m(E — U)/h, то n=VI—C/£. 46-38. n = ~[/i+U/E^
= 1,25. 46-39. 0,632; 1,58; 0,632. 46-40. 20 кэВ. Указание, Зц = X2 Vl—c7fi,
U
так как “<1. то Х2 ss [1 4-(7/(2£)], откуда (/= гдХВ/Л.,. 46-41.
<=218
Д/1—т4/Х?/(2паЛ2)
I 1—« Р
46-44. 2%. 46-45. р= —-—
пм. 46-42. 0,0625.
, 46-46. 0,172 и 5,83 Решение. Коэффи-
циент отражения р=1(УЁ—УЕ—и )/(УЕ + ^Е—С/ )]а. Разделим числитель
на Уе. Далее, заменив У1—U/E — n (коэффициент преломления), получим
р=[(1—п)/(1+«)Р. Отсюда п= - . 46-47. 0,971. Решение.
1 Т Ур
483
Коэффициент отражения р=1(УЕ—~V Е—ЕОЛУЕ+УЕ—U )]8. -Разделим
числитель и знаменатель на ^Е и обозначим U/E^=x. Тогда р =
=((1-УГ=7)/(1+УГ=7)]2 у..г 2
или x = UfE. 46-48. 9,13 эВ. 46-49. 0,0295; 0,97.
на Д/Е и обозначим U/E±=x.
'. При р = ~ находим х=1 —1(^2—1)/(У2+ I)]8
46-50. В 1,03 раза. <6-51.
а
T = 4n/(l + n)a 46-52. 0,384; 2,61. 46-53.
T = —tVi+n/f _ 4в_54. т 4
0 + У1 +и/т)*
По определению, p = -^-
довательио, f>-\-x=A/f)/N-}-Nx/N=l,
1-У1-Ц7/Т
1+УГ+777Ё
0,2. 46-56. Решение.
р =
46-55.
Г „
г = Л/т|Л’ = 4/г1 k2/<ki + kt)2 Сле-
A/p-f-/Vx=yV. 46-57. 0,64 Вт/мг.
откуда
46-58. 0,242. 46-59. 48 мПа. 46-60. Для области I (рис. 24) <pj' (х)ф-А’ tpl (х)=»
= 0; ф; (х) = Дуе'*1 х ф- Eje-1Й1Л, где ftj=(l/ft) У2тЕ; для области II
ф;;(х)=0; фЛ/(*) =Д. е—*Л, гдепринято k^lh; k=(lJfi) '\/2m(U—E).
46-61. Д,/Д, =2 *!/(*, +«). 46-62. ^>п(х) =2k1e-kx/(kt+ik). 46-63.
I’ . 46-65.
—2 Ц- Ik).
$11 W|2 == ——ехр/——~\/2т(и—Е)х).
U \ Л )
46-64.
kx—ik
fei + ife
. xr I / k^-ik
1. Указание. IpI2 = PP = I —--
fei + lfe
ki—ik
. 46-66. |фн(0)|«=4Е/1Л
46-67. ф, (x) + fej ф; (х)=0; Ф?;-Н1ФП (х)=0; фр/(x)+fe« фп/(х)=0, где
fe; = fe'=2mE/fts. fe‘=2m(E —U)/№ 46-68. ф, (х) = Д, e*fe‘ * ; ф;/ (х) = Дге-**,
1)-,;/ = Д8ей>’:, где fei = fe3 = (l/ft) У2тЁ, fe = (l/ft) V2m (U — Ё), Дг—ампли-
туда вероятности для падающей волны, Дэ—то же, для волны, прошедшей'
через барьер. Пренебрегая отраженными волнами на границах 1 — П и II—III,
можно написать Д, а= А, и Д8«е Aae~lld; £> = 1 Aa/Ai |2 = ехр (— 2kd). 46-69.
484
I
0,35; 5,9- Ю-3. 46-70. 0,2; (э,5 IO-3 46-71. Уменьшится в 79- раз. 46-72.
A In (1/D) - ,. Ь
d=--------- = Q.22 нм. 46-73. 0.143 нм. 46-74. Uo — Е =---------------- X
2 /2т (Do — Е) 2т
X =°>45 эВ- 48-75. °-2- 46-76- 10"‘ эВ. 4в’77- °*89- 4(78-
Примерно 74.
47-1. Подставим в уравнение Шредингера ф = /?У, тогда
1__&Y
^sin2O дф2
! |_ sin 0-
2m
Цё~
dY
д&
RY=0.
d (
——I sin i>
dp- \
Ze2
4ne0 r
Деля на RY, умножая на г2 и разделяя переменные, получаем
1 О { dR \ 2m I Z&
-------га ~г— 1 +------(£ +-------
R dr \ dr ) h2 \ ' 4леи г
1 d»y
г2 =
1_____d_
sin О &&
sin2 О дф2 ]
Это равенство должно выполняться при любых значениях г, О и ф, что возмож*
нг только в том случае, если обе части его могут быть приравнены к одной
и той же постоянной к. После преобразования получим
d2 R 2 dR 2m / Ze2 X \ „ .1 / „ dY
-----4- j- (£4-------------— —
dr2--г dr--A2 \ 4ле0 г-. re
1
+-------------= — ХУ.
r=o; ’—Г
sin 0
sin2 0 !?ф2
Таким образом исходное уравнение распалось на два: радиальное и у1ловпе
47-2. Применим подстановку x(f) = r£ (г) и найдем первую и вторую производные
dR 1 dy 1 d2 R I dx , I d2 у 2 I dx
dr r dr re л <'r2 ri dr re dr2 гэ л r? dr
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после упрощений получаем
X , / ч Л 4«Н-0
7=0.
- dr2 \ г &
47-3. При больших г членами 2р/г и/(/+1)/г2 можно пренебречь по сравнению
d2x
с а. Тогда уравнение примет вид-----------|-<zx —0. Решение -этого уравнения-
dr2
l^(r) = C1el + С-ге~‘уГа/. При.а>0(Е >0) функция х (г) конечна при лю-
бых г, энергетический спектр непрерывный и движение электрона не связанное.
При а<0(£<0) выражение х<г) преобразуемся к виду x(r)=Cie—,Z|0!|'-h
_|_С2е+,,<| “ 1' , где введено обозначение а=—|а| (этим подчеркивается, что
а < 0). Тогда из условия кснечности ф-функции Са = 0 и х (г) е-1 1а 1'.
Решение с £ < 0 приводят к связанным состояниям. 47-4. При малых г членам!
У d
t* dr
£4
4S5
а и 2р/г можно пренебречь по сравнению 1(/ +1)№, тогда исходное уравнение
примет вид 7=0. Применим подстановку у (r)-f-rv, тогда
dr2 г2
— 1) rv~2 —I (l-j-l}rv/r2 — 0 или у (? — !) = /(/ + •) откуда yt=— / и
у Из двух решений у (г) = г~1 и x(r)=r,,1 только второе удовлетво-
ряет при малых г условие конечности функции. Поэтом/ решение уравнения
— уг
Применим подстановку R(r)=.e
г, —V'
После сокращения на е получим
'f + a—Z/r у+Р). Член, содержа-
щий I, не вошел, так как в основном
состоянии / = 0. Полученное равен-
ство выполняется при любых г, но
это возможно только тогда, когда
левая и правая части равенства по-
рознь равны нулю: у,? + а=0 и y-f-
+Р=0. Решая оба уравнения совмест-
но, имеем р2 + а=0. Подставляя
значения а и (J в это выражение, на-
ходим энергию основного состояния
атома водорода Е = — Z2 е* ml
/(32л2 е£ Я2). 47-6. С = l/l/iia3. 47-7.
г = 4ле0Я2/(е2т). 47-8. 0,825 . 47-9.
0,324; 0,676; 2.09. 47-10. |_а. 47 11. 2,62. 47-12. 1) 0,76; 5,24; 2) 0.2; оо;
3) см. рис. 25 . 47-13. Подставим в исходное уравнение У (&, <р) = 9 (О) Ф (<р) и
перенесем в правую честь равенства переменные, зависящие от <р:
1 Г 1 d / <50 \] 1 о’Ф
— ——— —- sin О ——) -J-Л sin2 ft = — — —---------------•
0 [ sin ft dft \ dft /J Ф dip2
Это равенство должно выполняться при любых ft и <р, что возможно только
в том случае, если правая и левая части раин л некоторой постоянной величине,
которую обозначим т2. Тогда исходное уравнение распадается на два:
, д ( „ г?0 VI 1 d2Ф
sin ft --I sin ft----11 4-K sin2 ft = m2;--------=—tn2.
dft \ 0ft /| Ф 0<p2
47-14. Решением уравнения является функция: Ф (гр) = С, e"”4>4-Cf е~,т® Так
как встречная волна отсутствует, со Са=0. Из условия однозначности
eTm<p = eCm (ф4-2л», откудв е/’гя'п=| нли cos 2nm-|-i sin 2лт= 1. Последнее
равенство возможно лишь при целочисленных значениях т. Таким образом,
Ф(ф)=Се'т®. где .т = 0, ± 1. ±2,... 47-15. С=1/У2л. 47-16. См. рис. 26.
47-17. Согласно принципу суперпозиции состояний, =
<86
I I2 = I K1>0 |2 + | И । |2 + | p, так как все смешанные функции типа
^г,в> У 1,1 и т- я. при интегрировании дают из-за ортогональности нуль. Тогда
— cos2 Ф sin2 О + sin2 О = —— .
4л 8л 8л 4л
Отсюда видно, что плотность вероятности не зависит от углов, т. е. обладает сфе-
рической симметрией. 47-18. 1) 0; 2) 1.50. К)-3* Дж-с. 47-19. 0; ±1,055.10-** Дж-с;
±2,11.10-»» Дж-с. 47-20. 1,49.10-»» Дж.с. 47-21. 35°21'. 47-22. П 1/12 = 3, 46Л;
|yt0|=cas^
т=о m=-i
Рис. 26
ЗЛ. 47-23. 1,61 • I0-23 Дж/Тл. 47-24. —3.4 эВ; 1.50-10-»» Дж.с; 1,31 • 10" 23 Дж/Тл.
47-25. Не может, так как максимальная проекция рг = А/, а модуль вектора
р=Й 1/1 (I + 4), т. е. всегда р2 < р. Тот же результат следует и из соотноше-
ния неопределенностей. Действительно, если вектор орбитального магнитного
момента р электрона установился строго вдоль линий индукции, то это значит,
что все три проекции р*, ру, р* вектора р точно определены. Но этого
не допускают соотношения неопределенностей. 47-26. 0; 1,31-Ю-23 Дж/Taj
2,27<10~28 Дж/Тл. 47-27. 0,912-10-3» Дж-с; 0,528- Ю-3’ Дж-с. 47-28.
1,61.10-23 А-м2; 9,27.10-2* А-м». 47.30. 5,8 кТл/м. 47-31. 4,46 мм. 47-32.
432 Тл/м. 47-33. 2,86-Ю-21 Н. 47-34. — рв, +рв. 47-35. Два s-электрона;
два s-электроиа и шесть р-электронов, два s-электрона, шесть р-электронов и
десять d-электронов. 47-36. 1) 1; 2) 2; 3) 2(21 + 1); 4) 2л2. 47-37. 1) 9; 2) 2;
,3) 3; 4) 5 . 47-38. 1) 15 (атом фосфора); 2) 46 (атом палладия). 47-39.
1) ls22s2p1; 2) lsz2s2p2; 3) ls22s*p« 3s1. 47-41. -1 и 1 ; Й V3/2 и Й У15/2.
Z *3
47-42. 1, 2 , 3; Й У 2, fl Уб, йУ12. 47-43. I) 110° 45', 2) 45°; 3) 160° 35'.
47-44. 54° 45'. 47-45. Й1/35/2 в й 1/15/2; 61° 5Г и 135°. 47-46 . 71°31‘.
47-47. 54° 45'; 106° 45' и 150°. 47 48. 1) 46° 50' W=y). 116° 35' У =-|);
487
2) Б4*" 45.' (8 = 1, L = 3); 106°45'(S = l E=2); я 150“ (8 = 1, t = l). 47-49,
ГЙ/УЗ; Й1/Уб; -111/У 2. 47-60. 1) 1; 2; 3; Л У% Л Уб; П У12; 2 2; 3; 4;
«Уб, йуЧ2;-Й}У2б. 47-51. 1) У 1 1, I; 2) 1,2, 3, 4, 5; 3)1, У...
1; 4) 1, 2 ...... 7. 47-52. 1) ®Si/s; 2) 1SO; 3) *S1/s? 4) 1SO; 5) *P1/?. 47-53.
1) *8,/.; 2) 2Pl/a; 2PS/S; 3) «Pl/a, *P3/S, ’Ph/g; ,4) »D0; «Di: Ю2- »D3, •£>,.
47-54. 1) 4; 2>, 7; 3) 7 47-56. 1) 2; 2) 1 и 3; 3) 2 и 4; 4) 1, 3 и 6; 5) 2, 4 и 6.
47-57- -СинглёТные тер.мы *Р1, *В.
=i - ..4 > - .
RF ;з.4- 47-58. 2 в 8-сОстоянйи';
Уб Ив- 47-61. 1убрв- 47-62. 4,
, lF3-,. триплетные термы: 3Р, х s, 3Dy г 3,
'24 - ’ ’
— и — в Р-состоянии. 47-59. 1. 47-60.
О □ „
1ИВ- 47-63. УзИв. 47-64. И-/ = 2УЗрВ1
О
Y3 1s„ ’о2 1) 2)
Ъ
Яр *5/2 \
Zp Ча !и, т-
\ —
zs - — - 3Р, »5,
SP —— 'О
11 21
Рис. 28
Рис. 27
М;г=3цв, 2рв, 1рв, 0, —1цч.
47-66.
5цв (марганец); 6рв. (железо). 47-68. I) 4,4.104с-1; 2) 4,4-1014с-1. 47-69.
1) 8,80-108 .рад/с; 2) 1,17.10» рад/с. 47-70, 1) 1,16< 10-* sB; 2) 5,80* 10-8 аВ.
47 72. 1) Для терма *S: S=Q, L=0, ‘
7 = 1; 2) для терма ‘О: S=O, Ье=2. 7
Схема энергетических уровней изображена
а8: 7 = 1; для терма 2Р:
терма aD: /=. 1, У 3) для
Схема энергетических уровней
2) —1 , — 1 1. 1 3) —
2 2 2 2
— 1. 0, 1, 2, 3. Магнитное растепление энергетических уровней изображение
на рис. 29.
переходов
-1
48-2. С0=(а2/л)»/< 48-3. Д = 1/а. 48-4. 0,84 . 48-5. Ео/2. 48-6. /I = Уй/(р<в).=
= 12,5 пм. 48-7. б=|мо»=1.89 кН/м. 48-8. Е0036 = й<о (1—2у) =0,356 эВ.
48-9. 24 . 48-10. 16,2 . 48-11. EmaJt = Лсо/(4у) = 5,18 эВ. 48-12.
— 1цв, — 2рв, — Зцв. 47-65. 7(S=3).
1) 4; 2) 5; 3) не расщепляется, гак как g=0. 47-67. 0,брв (ванадий);
-= 1 У
2 ’ 2*
терма *81
J =0; для терма *Р: 8 = 0, Е = 1,
2; для терма ‘F: 8=0/. L=3, 7=3.
на рис. 27. 47-73. 1) Для терма
2) для терма 8Р: J =0, 1, 2; для
изображена
Б 3
2 ’ 2 ’
7=1, для терма *£>: 7 = 1, 2, 3.
на рис. 28 . 47-74. 1) — 1 . 1 j
- 1 . 1 , 1, У 4) -3, -2,
2 2 2 2
47-75. Схемы переходов изображены на рис. 30. При построении
учитывается правило отбора &nj=0, ± 1. 47-76. 1. Д<ов,
3
2 4
- Д<оп. - Л<оо.
•Э <5
.0 = (а2/л)’/4. 48-3. А
48-9.
488
D=ftco(l — 2y)/(4y)==ll ,4 эВ. 48 13
у = ttel(4D + 2Лш) = 7,36 • 10-«.
48-14. Л = 2лс/[<и (I —2у)| =5,39 мкм.
48-15. 1,49-10““ Дж/с. 48-16.
1,10.10““ Дж-с. 48-17. 1,57.10»
С-*. 48-18. 0,238 мэВ. 48-19.
3,66-10-“ Дж «.с. 48-20. !,46-10-««
кг-м2; 113 пм. 48-21, ,2 и 3. 48-22.
1) 1,40-10““ кг.м2; 2) 0,259 мэВ;
3) 6 3 = 1,55 кэВ. 48-23. 1) 1,33х
х 10“2« кг; 2) 121 пм; 3) 7,61 «10» С"1.
48-24. 1) l,64-I0“4li кг-м2;
2) 0,212 МэВ; 3) T = 4B/(3k) = 3,3 К.
48-25. I мэВ соответствует 8,06-Ю9 см-1. 48-26. 112 пм 48-27. —1,035Л.(^«и
= 2—»^ = 1). 48-28. В = .А-П/к, — 1/Х.2) = 10,7 см-1. 48-29. Будет возбуждать
только вращательные уровни. 48-30. 2^-}-1.
49-1. 1) 1; 2) 2; 3)4; 4) 2; 5) 1; 6)2. 49-2. 1) 1.44-1028; 2)2,Ь1028; 3)4,54-10s8.
49-3. 1,46-Ю3 кг/м3 . 49-4. 2,6-103 кг/м3. 49-5. 6,95 (литий). 49-6. 1) 0,404 нм;
0.286 нм; 2) 0,316 нм; 0,274 нм. 49-7. 1,63. Отклонение обусловлено тем. что
в реальном кристалле атомы не обладают сферической симметрией. 49-8.
0.320 им; 0,521 им. 49-9. 0.23 нм 49-10. 207 кг/мз. 49-11. Л [[221]]; В [[021]];
С [[122]]; О[[Т12|]. 49-12. 1) [121]; 2) [112]. 49-13. [110]; £111]; [101]. 49:14.
1) [111]; 2) [122] или [122]. 49-15. 0,975 им. 49-16. 35' 15'. 4947. а) (111);
6) (ОН); в) (111); г) (НО); д) (112); е) (111). 49-18. (111). 49-19. Отрезки, отсе-
каемые иа осях х, у, г. соответственно равны 1 1,2 (рис. 31). 19-20. (НО);
отрезки на осях- 1, 1. со. 49+21. 1), (124); отрезки на осях — 4, 2, 1, 2) (012);
489
отрезки на осях об, 2, 1. 49-22. 0,173 нм. 49-23. 0,36 нм. 49.24. Минимальные
для (111) максимальные для (100); dui : duo : d100 =—— '•—7ZT !• 49-25.
УЗ V12
70’20'. 49- 6. л/4. 49-27. 0 (прямая лежит в плоскости). 49-28. л/2. 49-29.
54 ’ 40'.
50-1. 925 ДжДкг-К), 390 Дж/(кг-К). 50-2. 825 ДжДкг-К); 675 Дж/(кг-К).
50-3. 1,12 МДж/К- 50-4. 1,70 кДж 50-5. <£>=й7; <£>=4,14.10"»’ Дж.
50-6. 124 кДж; 414 Дж/К 50-7. 2,99 10-2’ Дж; 134 кДж. 50-8. 3,44 ТГц.
50-9. В 3,74 раза. 50-10. 1,16. 50-11. 36 кДж/моль 50-12. 340 Дж/моль.
50-13. 8,8%. 50-14. 2,87 МДж/моль 50-15. g (со) = (>№/&. 50-16.
, v3eD/' Г /
/ Т V г X» dx (ту
U=3RT3 I -— I ------- , где 0D = fttomax/fe. 50-17. С = 37? 12 —- J Я
\ 0D / J ех — 1 \ /
' о *-
®D/3
р х» dx 3(0D/7) 12 ( Т У
X —---------—-------—— . 50-18. С = ——л4/? —] . 50-19. 2,99 МДж.
J ех —1 е и/ -1 5 \®о/
о с 1 J
50-20. 2,36-10’». с-’. 50-21. 2,75.10” с"’. 50-22. 5,2.10"». 50-23. 14,6 кДж.
50-24. Д£ = 2,49 £ДГ = 41,4 кДж. 50-25. 212 К. 50-26. 4,83%. 50-27. Д-.
. .2 ®D/r
/ т V С х» dx
,50-28. g (to) = б/Vco/co». 50-29. (/=3 £7.2 —- I -----— . 50-30.
\ ®D / J ex— 1
o
C = 3£
2(вр/у)
50-31. C = 43,37? (7/вь)». 50-32.
eD/’
2,91 МДж. 50-33. g (co) = ЗЛ/comax. 50-34. (/ = 3£7[ —| |
J ex—1
(вр/П
ех —1 евЕ)/Г—1
xdx
где eL->=/icomal/fe. 50-35. C=3£
C=rf> £(7/0D). 50-37. 1,87 МДж/моль. 50-38. 475 кДж. 50-39. 600 Вт.
50-40. 3,45. IO"” Дж. 50-41. 10"»» H.с. 50-42. 443 К. 50-43. 1,50 км/С. 50-44.
4.8 нм. 50-45. 1.1.10-и Дж. 50-46. 3,13 км/с. 50-47. 4,0 км. 50-48. 4,1.
- 50-36.
2
50-49 46 МПа. 50-&0. 77,7 МПа. 50-51. Дсо/со о cos Ь]с. 50-52. /? =---------------X
tna
{ nh \»
XI —1 ; 1) 33 пэВ; 2) 33 мэВ; 3) 0,33 эВ. 50-53. 2.10"»; 5.10е; 7.10"».
50-54. 2.10"‘, 1,3.10"’; 4,4.10"». 50-55. Д£ =ет [1 — ev/(maC% 50-56.
490
ДХ ₽v Ле е ________
'°-’ ^’х-^Ь-7"5 s-V^STS^.-
= 1,73 МэВ. 50-59. о = ДЕ/(тн с) = 218 м/с. .0 6(1. р= &Е/[тя с) =3'6 м/с.
50-61. п=Лс In 2/(7'ev)=0,19 мм/с. 50-62. г=Лс/(и<) =0,2 нс. 50-63- v=g//c=
= 64 мкм/с. 50-64. 3,40-10-ь К-1. 50-65. 1,25 нН. 50-66. Максимальная
сила притяжения 0,8 нН, отталкивания 1,2 нН 50-67. 3,4-I0-21 Дж 50-68.
Среднее смещение <х> обращается в нуль при чисто гармонических колебани-
ях 50-69. 60 Н/м. 50-70. 2,5-10-в К-*. 50-71. 540 ГПа. 50-72. 1%. 50-73.
3.10-* К"1.
51-1. 1) е; 2) е; 3) е; 4) е, а, о; 5) е, а, о; 6) е , а, о; 7) е, а; 8) е, а, о; е;
9) е, а. 51-2. 0,695-10-*2 Кл; электронное облако вблизи протона лишь
частично смешается к ядру атома фтора 51-3. 6; 47,7 мкКл/м2. 51-4.
О е— 1
----------- = —0,255 мкКл/м2;
4лД2 е
Q
4л (/? + <й)2
=0.130 мкКл/М*.
51-5, ±11,8 мкКл/м2. 51-6. 77,4 МВ/м. 51-7. 555 кВ/м. 51-8. В 1,5 раза.
519 1,015. 51-10. 1) 0,1%; 2)25%. 51-11. Р = 3 (в-1) вп ЕЛО1[/(е±2) =
= 152 мкКл/м2. 51-12. 11,3 МВ/м. 51-13. Р=(е— I) ви Е0/е = 37,9 мкКл/м3.
51-14. 142 нКл/м2. 51-15. I) 1,44; 2) 6,3-10~* Кл-м. 51 16 0.03. 51-17.
ал <0,183. 51-18. а=З.М (е - 1)/[рА?д fe-f-2)] = 2,24 . 10-28 м3. 51-1».
1) х = ал = 2,7-10-*; 2) и = ЗрМА а/(ЗЛ4 — рЛ/А а) = 0,23. 51-20.
ЗЛ4 — 2xpV0
8= —---------— ; е. = 1,51; е2=1.61. 51-21. 1,13 см3. 51-22. 1.87-10-3« м«1
ЗЛ1—xpVom .
е= 1+ап= 1,00005. 51-23. 1.65-10-32 Кл-м; 1,03-10-” м. 51-24. 2,0-10-28 м3.
51-25- 5,1-Ю-’1 Кл-м. 51-26. 4-10-33 Кл-м. 5127. 11,7 мДж/м3. 51-28.
ЗЛ1±2р (л2—1) I'
104-Ю-28 м3. 51-29. 2,02-10-28 м3. 51-30. е =----------------—=2,02.
ЗЛ1—р (л2—1) VOm
51-31. 2,14. 51-32. ае.= ЗЛ4 (л2 —1)/|рЛ/д (л2±2)] = 1.05-10-28 м3. 51-33.
е = (1 + 2р)/(1 — Р) = 1,52, где р = ap/V А/(ЗЛ1); п = д/7 = 1.23. 51-34.
"* 3-38'"’” s,'3‘-
0,046 51 37. 326 К- 51-38. В 1,27 раза. 51-39. 568 пВ/м. 51-40. 71 мкВ.
51-41. 1,14 мкКл. 51-42. 71 нм. 51-43. 1,4-10**. 51-44. 39 мэВ. 51-45.
10 кВт/м3. 51-46. 4,57-102’ м-3 51-47. 5,41. П-48. 0,9. 51-49, В 3 раза. 51-50.
1) 0,893 и —0,119; 2) 0,999955 и 4,5-Ю-3. 51-51. <е> = 2е/=4,2 эВ.
7 5
51-52. В 1.83 раза. 51-53. 0,03 . 51-54. 31,2 кК- 51-55. В 14.9 раза. 51-56.
1 • р2 dp 1
/р2/2ш-еЛ (ПРИ Г*°К); dMP)=—Р^РОфИ Т = °^
ехЧ kT~" )
491
51-57. dn (v) =
лаЛ3
cA do
exp(^F
(при T Ф OK); <bi (d) — ——— t/*dn
st2 Ла
(при 7 = OK). 51-58.
1,09 Мм/с. 51-60.
В 7 раз. 51
2 ema x
51-63.
—0,05. 51-64. 2,5,101» м-3. 51-65. 3,5-10“2 ма/(В-с);
2-10*2 и-3. 51-66. 0,053 эВ; 0,85 нм. 51-67. 1,2В. 51-68. 5,25-101» м"3.
51-69. 556 кА/м. 51-70. 12,1 А/м, 1,66 мА*ма/кг; 91 мкА.ма/моль 51-71.
—7,3-10^». 51-72. — 1,3«10-а; 2,7s 10-1» мз/моль. 51.73. 7,8-10-» м3/кг;
4 В
2,1-10-10 м3/моль. 51г74. р =— лх—— */?3 = 250 мкА-ма. 51-75. —9,8 А/м;
3 р0
1,26 Тл’ 51-76. 8,8-101® с-*. 51-77. 1,3110-®» А ма. 51-78. 6,2.10-’ м3/кг.
51-79. 2,24 рв. 51-85, 15,9 мА/м; 695 А/м. 5Ь81. В <54 Тл. 51-82. а < 0,387.
51-83. 0.78 К- 51-84. 1) В 1,0022 раза; 2) В 1,91 раза. 51-85. 0,75 Тл. 51-86.
991 кА/м. 51-87.101. 51-88. 2,36 рв. 51-89. 3,13 МА/м. 51-90. 1,76.10».(Тл*с)-Ч
51-91. vu=gpB В0/(2лЛ) = 28 ГГц. 51-92. <оЭПР 7<оЦИКл =g/2= 1,00116 51-93.
2яй
Во=------v0 =0.353 Тл. 51-94. 2,68.10е (Тл.с)-к 51-95. v„ = уВ0/(2л) =
= 42,6 МГц. 51-96. g = 2nftv0/(p„ Во) =0,34. 51-97. —3.82; — 1,91^.
51-98. Для протона g=»5,58, ц1) = 2,79рл,; для дейтона g=0,86, pn=0,86ptf<
51-99.
уод , о~Т~, So —94 МГц,
Обозначения физических величин,
принятые в задачнике
Активность изотопа А
Активность изотопа удельная
(массовая активность) а
Амплитуда А
Вектор Пойнтинга S
Вероятность W
Восприимчивость диэлектриче-
ская и
Восприимчивость магнитная х
Вращение плоскости поляриза-
ции удельное [«]
Время i
Время жизни среднее т
Вязкость динамическая (коэф-
фициент внутреннего трения) т)
Граница фотоэффекта красная Хо, v0
Давление Р
Декремент колебаний логариф-
мический 0
Дефект массы Ат
Деформация относительная в
Деформация сдвига ' у
Дисперсия линейная D[
Дисперсия угловая £>ф
Диффузия (коэффициент диф-
фузии) D
Длина, волны Л
Длина волны комптоновская Хс
Длина физического маятника
приведенная L
Длина пути (путь) s
Длина пути оптическая L
Длина свободного пробега
средняя </>
Доза излучения (поглощенная
доза излучения) D
Доза излучения эквивалентная Deg
Доза излучения экспозицион-
ная X
Емкость электрическая G
Жесткость (коэффициент упру-
гости) k
Заряд электрический (коЛиче-
. ство электричества) Q .
Заряд элементарный е
Излучательность (энергетиче-
ская светимость) Rg
Импульс (количество движе-
ния) тела , р .
Импульс силы f
, Индуктивность ,r .L
Индуктивность взаимная
Ийдукция магнитная '« :'*‘в
Интенсивность звука (сила зву-
ка) /
Интенсивность ионизирующего
излучения I
Интенсивность света /
Количество вещества v
Количество теплоты (теплота) Q
Концентрация частиц (плот-
ность числа частиц) п
Коэффициент (степень) диссо-
циации а
Коэффициент ангармоничности у
Коэффициент затухания 6
Коэффициент ослабления ли-
нейный ц
Коэффициент отражения р
Коэффициент поглощения ли-
нейный а
Коэффициент полезного дейст-
ВИЯ Г}
Коэффициент пропускания т
Коэффициент сопротивления г
493
Коэффициент • температурный -
линейного расширения а
Коэффициент температурный
объемного расширения Р
Коэффициент трения скольже-
ния f
Коэффициент упругости ' k
Коэффициент черноты
Лучистость (энергетическая яр-
кость) , £
Магнетон Бора Рв
Масса т
Масса молярная М
Масса относительная атомная Л,.
Масса относительная молеку-
лярная МР
Масса приведенная р
Множитель (фактор Ланде) g
Модуль сдвига G
Модуль Юнга £
Момент, инерция J
Момент импульса (момёит ко*
личества движения)
Момент импульса частицы (ме-
ханический момент) SS
Момент магнитный контура с
током рт
Момент магнитный частицы р, рм
Момент силы' М
Момент электрический Диполя р
Мощность N, Р
Мощность поглощенной дозы
излучения Ь
Мощность эквивалентной дозы
излучения
Мощность экспозиционной дозы
излучения X
Намагниченность J
Напряжение механическое ка-
сательное »
Напряжение механическое нор-
мальное а
Напряжение электрическое U
Напряженность гравитационно-
го поля G
Напряженность магнитного по-
ля Н
Напряженность электрического
поля Е
Натяжение поверхностное (ко-
эффициент поверхностного
натяжении) ... о
Vm
Ё
V
Лг
т
Г1/3
I
о
Облученность (энергетическая
освещенность) £« .
Объем (вместимость)
Объем молярный
Освещенность
Отношение гиромагнитное
Перемещение
Период колебаний
Период полураспада
Плечо диполя
Плотность
Плотность . излучательности
спектральная rv,T$ ГЬ, Т ’ !
Плотность оптическая D-
Плотность потока иоиизнру-
юших частиц /
Плотность электрического -тока» -• /
Плотность электрического заря-
да. линейная >- V
Плотность электрического за-
ряда объемная р
Плотность электрического за-
ряда поверхностная -
Плотность энергии объемная «ш
Подвижность ионов Ф
Показатель адиабаты у
Показатель преломления абсо-
лютный п
Показатель преломления отнр- __ .
сительный л4, i
Поляризованность ' Р'
Поляризуемость молекулы й
Постоянная Авогадро Кд
Постоянная Больцмана k
Постоянные Ваи-дер-Ваальса. . а,Ь
. Постоянная вращательная Й
Постоянная вращения плоскр-
» сти поляризации а
Постоянная газовая молярная R
Постоянная закона смещения
Вина b
Постоянная гравитационная G
Постоянная дифракционной ре-
шетки d
Постоянная магнитная ...
Постоянная Планка .. 4, А
Постоянная радиоактивного :
распада X
Постоянная Ридберга R, R'
Постоянная Стефана-Больцм»-
А на . . а
*94
Постоянная Фарадея F
Постоянная электрическая
Потенциал электрический U
Поток излучения спектральный
Поток магнитный Ф
Поток напряженности электри-
ческого поля Ф
Потокосцепление
Поток световой Ф
ПотсТк тепловой Ф
Поток электрического смещения V
Поток энергии излучения Ф
Проводимость активная элект-
рическая G
Проводимость удельная элект-
рическая V
Проницаемость относительная
диэлектрическая е
Проницаемость относительная
магнитная Н
Работа А
Работа выхода - А
Радиус боровский в
Разность хода оптическая А
Разность фаз Аф
Разность Потенциалов V
Расстояние фокусное f,
Расход массовый Qm
Расход объемный Qy
Светимость
Сила F
Сила оптическая Ф
Сила разрешающая R
Сила света /
Сила тоКд (ток) /
Сила электродвижущая $
Скорость угловая <о
Смешение точек среды при рас-
пространении в ней колеба-
ний ~ 5
Смещение электрическое D
Сопротивление активное элек-
трическое R
Сопротивление удельное элект-
рическое ₽
Сопротивление акустическое ZB
Сопротивление акустическое
удельное 2$
Степень поляризаций * Р
Температура термодинамиче-
. ская — - Т
Температура характеристиче-
ская в ,
Температура в градусах Цель- ...;
сия 4
Теплоемкость молярная ,Ст
Теплоемкость при постоянном
давлении Ср
Теплоемкость при постоянном
объеме Су •
Теплоемкость системы ' С
Теплоемкость удельная '
Теплопроводность’ (коэффици-
ент теплопроводности)
Толщина _ слоя половинного
ослабления *1/>.
Увеличение линейное р
Увеличение угловое Г-
Угол краевой О
Угол отражения i[
Угол падения tj
Угол поворота (угловое пере-
мещение) ф
Угол преломления i2
Угол скольжения О
Угол телесный ы
Уровень громкости звука
Уровень звукового давления Lf
Уровень интенсивности звука L?
Ускорение линейное а
Ускорение касательное (танген-
циальное) .
Ускорение нормальное (центро-
стремительное) ап
Ускорение свободного падения g .
Ускорение угловое е
Функция волновая V
Функция волновая (координат-
ная) ф
Частота вращения п
Частота излучения у
Частота колебаний v
Частота ларморова (угловая) Ыд,
Частота круговая (цикличе-
ская) ш
Число витков ДО
Число витков на единицу дли-
ны п
Число волновое k
Число волновое спектроскопи- _
веское v
495
Число зарядовое (атомный но-
мер элемента) Z
Число Лошмидта nL
Число массовое А
Число степеней свободы i
Число нейтронов в ядре N
Число Рейнольдса Re
Число столкновений молекулы
в единицу времени (среднее) <г>
Ширина интерференционной по-
лосы b
Эквивалент электрохимический k
Энергия Е
Энергия внутренняя U
Энергия внутренняя молярная Um
Энергия диссоциации D
Энергия звуковая
Энергия излучения
Энергия ионизации
Энергия кинетическая-
Энергия покоя
Энергия полная
& 1ц Ь. щ Щ
Энергия потенциальная П Ь
Энергия связи Есв
Энергия частицы е
Энергия электромагнитная W
Энергия электромагнитная
удельная и»
Энергия ядерной реакции Q
Энтропия S
Яркость В
Александр Георгиевич Чертов
Анатолий Александрович Воробьев
ЗАДАЧНИК
ПО.ФИЗИКЕ
Зав. редакцией Е. С. Гридасова
Редактор Р. Н. Бойцова
Младшие редакторы С. А. Доровскнх,
Н. П. Майкова, И. С. Соколовская
Художественный редактор В И. Пономаренко
Технический-редактор Э. М. Чижевский 4
Корректор Г. И. Кострнкова
И Б № 2863
Изд № ФМ 669 Сдано в набор 26.02.81. Подписано в печать
Ю07 81 Формат 60х90'/ц. Бум тип. № 2. Гарнитура литера-
турная. Печать высокая. Объем 31 усл. печ. л. Усл. кр.-отт. 31,12
31.90 уч.-изд л Тираж 150.000 экз. Зак. М 94. Цена 1 р, 20 к.
Издательство «Высшая школа»
Москва. К-51. Неглинная ул., д. 29/14.
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфия и книжной торговли,
Москва, 129041, Б. Переяславская, 46