ББК 22.31
Ч 50
УДК 530.1(076)
ЧЕРТОВ А. Г., ВОРОБЬЕВ А. А. Задачник по физике: Учеб, пособие
для втузов. — 7-е изд., перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-
математической литературы, 2001.—640 с.—ISBN 5-94052-032-4.
Задачник составлен в соответствии с действующей программой по курсу фи¬
зики для втузов. В каждый раздел включено достаточное количество задач, труд¬
ность которых возрастает с увеличением порядкового номера. В начале каждого
параграфа приводятся основные законы и формулы, даются примеры решения
типовых задач. В конце задачника приведены ответы ко всем задачам.
В 7-е издание (6-е — 1997 г.) включено более 150 новых задач и примеров,
существенно расширена теоретическая часть каждого раздела, а также внесены
необходимые исправления.
Для студентов высших технических учебных заведений.
i ЬИЬ.
УНйГг
гСИНО1
УЧЕБ* *
-I
ISBN 5-94052-032-4
© Издательство Физико-математической
литературы, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 	 5
Глава 1. Физические основы механики 	 7
§1. Кинематика	.	7
§2. Динамика материальной точки и тела, движущихся по¬
ступательно 	 23
§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела вокруг
неподвижной оси	 50
§ 4. Силы в механике	 75
§ 5. Релятивистская механика	 91
§ 6. Механические колебания	 101
§ 7. Волны в упругой среде. Акустика 	 120
Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика 	 132
§ 8. Молекулярное строение вещества. Законы
идеальных газов	 132
§ 9. Молекулярно-кинетическая теория газов	 142
§ 10. Элементы статистической физики	 149
§ 11. Физические основы термодинамики	 165
§ 12. Реальные газы. Жидкости	 185
Глава 3. Электростатика 	 202
§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел	 202
§ 14. Напряженность электрического поля. Электрическое сме¬
щение 	 210
§15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Ра¬
бота по перемещению заряда в поле	 233
§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков	 255
§ 17. Электрическая емкость. Конденсаторы	 270
§ 18. Энергия заряженного проводника. Энергия электриче¬
ского поля	 276
Глава 4. Постоянный электрический ток 	 285
§ 19. Основные законы постоянного тока	 285
§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах	 297
Глава 5. Электромагнетизм	 307
§21. Магнитное поле постоянного тока	 307
§ 22. Сила, действующая на проводник с током в магнитном
поле	 320
§ 23. Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном
поле	 334

4
Оглавление
§ 24. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи 344
§ 25. Работа по перемещению проводника с током в магнитном
поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность . . .	352
§ 26. Энергия магнитного поля	 365
§ 27. Магнитные свойства вещества 	 370
Глава 6. Оптика 	 380
§ 28. Геометрическая оптика	 380
§29. Фотометрия	 390
§30. Интерференция света	 395
§ 31. Дифракция света	 406
§ 32. Поляризация света	 415
§33. Оптика движущихся тел	 423
Глава 7. Квантовооптические явления. Физика атома 	 428
§ 34. Законы теплового излучения	 428
§ 35. Фотоэлектрический эффект	 434
§ 36. Давление света. Фотоны	 437
§ 37. Эффект Комптона	 441
§ 38. Атом водорода и водородоподобные ионы	 444
§ 39. Рентгеновское излучение	 449
Глава 8. Физика атомного ядра н элементарных частиц ....	453
§ 40. Строение атомных ядер	 453
§41. Радиоактивность	 458
§ 42. Элементы дозиметрии ионизирующих излучений		463
§ 43. Дефект массы и энергия связи атомных ядер	 468
§ 44. Ядерные реакции	 472
Глава 9. Элементы квантовой механики	 478
§ 45. Волновые свойства микрочастиц	 478
§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц	 487
§ 47. Строение атома 	 501
§ 48. Спектры молекул	 516
Глава 10. Физика твердого тела 	 524
§ 49. Элементы кристаллографии	 524
§ 50. Тепловые свойства	 533
§51. Электрические и магнитные свойства твердых тел ....	547
Ответы 	 559
Приложения 	 619

ПРЕДИСЛОВИЕ
В седьмом, частично переработанном, исправленном и допол¬
ненном издании «Задачника по физике* общая структура задач¬
ника осталась прежней. Для удобства и экономии времени сту¬
дентов каждый параграф начинается с перечня основных формул,
относящихся к данному разделу, и кратких пояснений к ним. За¬
тем следуют примеры решения задач и задачи для самостоятель¬
ного решения с ответами, помещенными в конце задачника.
Примеры решений не имеют цели научить решению задач: на¬
учить нельзя — можно только научиться. Но для этого суще¬
ствует единственный путь — самостоятельное решение большого
числа задач. Примеры решения типовых задач выполняют другую
роль: они показывают последовательность физических рассужде¬
ний, применимость того или иного физического закона к данной
задаче. Решения задач приводятся в общем виде. Вычисления и
проверка единиц измерений ради экономии места в ряде примеров
опускаются.
Ответы к задачам даны с точностью до трех значащих цифр.
С такой же точностью приведены величины в условиях задач и
справочных таблицах. Значащие цифры — нули, стоящие в конце
чисел, в целях упрощения записи, опущены (например, запись
т = 2 кг следует читать т — 2,00 кг).
При подборе задач отдавалось предпочтение реальным зада¬
чам, заимствованным из практики, науки и техники. Мы стре¬
мились располагать там, где это возможно, задачи в логической
последовательности и возрастающей сложности.
Существенная переработка коснулась пункта «Основные фор¬
мулы» практически в каждом параграфе. Помимо дополнений,
наряду со скалярной формой записи соотношений была введена
и векторная форма (в старом издании векторная форма записи во
многих случаях отсутствовала).
Добавлены несколько новых примеров решения задач и не¬
сколько примеров были переработаны.
В задачник включено дополнительно около 150 новых задач.
Так, например, в разделе «Динамика» добавлены задачи на упру¬
гое и неупругое столкновения шаров, движение тела под действием
переменной силы и движение тела с переменной массой. В па¬
раграфе «Элементы статистической физики» добавлены новые за-

6
Предисловие
дачи оценочного характера (по порядку величины). Несколько рас¬
ширен раздел термодинамики — добавлены задачи на вычисле¬
ние изменения внутренней энергии, энтальпии и энтропии в раз¬
личных термодинамических процессах. В главу «Электростатика»
включены задачи на определение напряженности электрического
поля, создаваемого распределенными (вдоль линии, по поверхно¬
сти и объему) зарядами. Добавлены задачи по тепловому излу¬
чению, элементам квантовой механики, квантовой статистике и
квантовой теории теплоемкости. Новые задачи помещены в конце
параграфа и отмечены звездочкой (*), что позволило не нарушать
прежней нумерации задач.
Следует отметить, что в результате переработки был несколько
сокращен раздел акустики.
Авторы выражают благодарность коллегам: профессору Кузне¬
цову В.М. (зав. кафедрой РХТУ им. Д.И. Менделеева) и доцентам
Турдакину В.М. и Хромову В.И. Их ценные советы и предложен¬
ные темы ряда задач были использованы авторами при подготовке
задачника к новому изданию.
Все замечания по структуре задачника и подбору задач авторы
примут с благодарностью.
А. Г. Чертов
А. А. Воробьев

Глава 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§ 1. Кинематика
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-
вектором г:
г = iz + jy + kz,
где i, j, k — единичные векторы направлений (орты); х, у, z — коорди¬
наты точки.
Кинематические уравнения движения в координатной форме:
* = /i(0; у = /г(0; ^ = /з(0.
где t — время.
• Средняя скорость
(v> =
Дг
Др
где Дг — перемещение материальной точки за интервал времени At.
Средняя путевая1) скорость
(v) =
As
Др
где As — путь, пройденный точкой за интервал времени At.
Мгновенная скорость
v = ^ =ivx+jvy+kvz,
da:	dn	dz
где vx = —-; vy = —; vz =  	проекции скорости v на оси
at	d£	at
координат.
Модуль скорости
V = yjvl+vl + vj.
l) См. об этом термине, например, в кн.: Детлаф А. А. и др. Курс физики.—
М.: Высшая школа, 1973. Т. I. С. 17.

8
Гл. 1. Физические основы механики
Ускорение
dv • . •
а = — = шх + jay + к az,
dvx	du„	dwz
где ax = —ay =	az = —	проекции ускорения a на оси
d t ’
координат.
Модуль ускорения
dt ’
d t
a= ^a2+a2+a2.
При криволинейном движении ускорение можно представить как сум¬
му нормальной а„ и тангенциальной аг составляющих (рис. 1.1):
а = а„ + ат.
Модули этих ускорений:
v2	dn
Рис. 1.1	°п = Д5 °r = dt1
где R — радиус кривизны в данной точке траектории.
• Кинематические уравнения прямолинейного равномерного (v =
= const) движения:
а)	в векторной форме
r(t) = г0 + vi,
где r(t) — радиус-вектор, определяющий положение материальной точки
в момент времени t; го — радиус-вектор, определяющий положение ма¬
териальной точки в начальный момент времени (t = 0);
б)	в координатной форме (в проекции на координатные оси Ох,
Оу, Oz)
a = Van + а?,
x(t) = х0 + vxt\ y(t) =yo+ vyt] z(t) = z0 + vzt,
где loi l/0> zo — начальные координаты; vx, vy, vz — проекции скорости
на координатные оси.
• Кинематические уравнения прямолинейного равноускоренного (а =
= const) движения:
а)	в векторной форме
at2
r(t) = г0 + v0t + —,
где v0 — начальная скорость (скорость материальной точки в момент
времени t = 0);
б)	в координатной форме
/ ч	azt2 / ч	aut2
x(t) = х0 + v0xt +y(t) - yo + voyt + -у-;
.	azt2
z(t) = Zo+V0zt+

§ 1. Кинематика
9
где vox, vov, voz — проекции начальной скорости на координатные оси;
ах, ау, аг — проекции ускорения.
• Скорость точки при равноускоренном движении:
а) в векторной форме
v(t) = v0 + at;
б) в координатной форме
— Vqx "t" 0>xt, Vy(t) —	4" dyt,	— VOz azt,
• Положение твердого тела (или материальной точки) при заданной
оси вращения определяется угловым перемещением (углом поворота)
S
где S — путь, пройденный точкой по дуге окружности радиуса R. При
дифференциально малом угловом перемещении его можно рассматри¬
вать как вектор dip, направление которого совпадает с осью вращения и
определяется правилом правого винта.
• Средняя угловая скорость
, \ _ Ау?
^ At ’
где Дip — угловое перемещение за время At.
• Мгновенная угловая скорость
в проекции на ось вращения
Угловое ускорение
в проекции на ось вращения
ш =
U1 =
£
Е -
dip
dt’
dip
dt
du
dt'
dw
dt'
• Кинематическое уравнение равномерного (w = const) вращения в
проекции на ось вращения
<p{t) =<Ро+ u>t,
где ipo — начальное угловое перемещение

10
Гл. 1. Физические основы механики
Частота вращения
N	1
П = 	 ИЛИ	71=—,
t	т’
где N — число оборотов, совершаемое телом за время t\ Т — период
вращения (время одного полного оборота).
Угловое перемещение ip и угловая скорость ш связаны с числом обо¬
ротов, частотой вращения и периодом вращения соотношениями
„	„	2я
ip = 2 тг/V; и = 27m; w = —.
•	Кинематическое уравнение равноускоренного вращения в проекции
на ось вращения
...	et2
<Р(Ч = <Ро +u0t + —,
где ы0 — начальная угловая скорость.
Угловая скорость при равноускоренном вращении
cu(t) = Lj0 + et.
Число оборотов N связано со средней частотой (7г) вращения соотно¬
шением
N = (n)t.
При равноускоренном вращении (тг) есть полусумма начальной тго и
конечной п мгновенными частотами вращения
"0+71
<"> = —2~- ••	Связь между линейными и угловыми величинами, характеризую¬
щими вращение материальной точки, выражается следующими форму¬
лами:
путь, пройденный точкой по дуге окружности радиуса R,
s = tpR (ip — угол поворота тела);
скорость точки (линейная)
v = wR\ v = [aiR];
ускорение точки
aT = eR; ат = [eR] (тангенциальное);
ап = uj2R; а„ = — ц;2К (нормальное).

§ 1. Кинематика
11
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной
точки по прямой (ось х) имеет вид х = А + Bt + Ct3, где А = 4 м,
В = 2м/с, С = —0,5м/с3. Для момента времени ti = 2с определить:
1) координату х\ точки; 2) мгновенную скорость i>j; 3) мгновенное уско¬
рение Oi-
Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинемати¬
ческое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения
вместо £ заданное значение времени £j:
Xj = А + Bt\ + Ct3.
Подставим в это выражение значения А, В, С, 11 и произведем вычи¬
сления:
xi = 4 + 2 ■ 2 - 0,5 • 23 = 4 м.
2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем,
dx
продифференцировав координату х по времени: v = —- = В + ЗС£2.
d t
Тогда в заданный момент времени 11 мгновенная скорость
Vi — Б + 3 Ct3.
Подставим сюда значения В, С, ti и произведем вычисления:
v\ — -4 м/с.
Знак минус указывает на то, что в момент времени ti = 2 с точка дви¬
жется в отрицательном направлении координатной оси.
3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем,
d2x dn
взяв вторую производную от координаты х по времени: a = ——
d£^
dt
= 6Ct. Мгновенное ускорение в заданный момент времени £i равно
ai - 6C£i-
Подставим значения С, £i и произведем вычисления:
ai = — 6 - 0,5 • 2 = —6 м/с2.
Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпа¬
дает с отрицательным направлением координатной оси, причем в усло¬
виях данной задачи это имеет место для любого момента времени.
Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной
точки по прямой (ось х) имеет вид x(t) = А + Bt + Ct2, где А = 5 м,
В = 4м/с, С = —1м/с2. 1. Построить график зависимости координаты
х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость (vx) за интервал
времени от £i = 1 с до £г = 6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость (v)
за тот интервал времени.

12
Гп. 1. Физические основы механики
Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты
точки от времени найдем характерные значения координаты — началь¬
ное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным
координатам и координате, равной нулю.
Начальная координата соответствует моменту t = 0. Ее значение
равно
то = я(0) = А = 5 м.
Максимального значения координата достигает в тот момент, когда
точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент
времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты по
d.3?
времени: v = — = В + 2Ct = 0, откуда
а£
t = ~55 = 2c-
Максимальная координата
•Бщах — ®(2) — 9 М.
Момент времени t, когда координата х = 0, найдем из выражения
х = A + Bt + Ct2 = 0.
Решим полученное квадратное уравнение относительно t:
-В ± у/В2 - 4АС
2 С
Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:
t = (2 ± 3) с.
Таким образом, получаем два значения времени: *' = 5 с и t" = — 1 с.
Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяв:
условию задачи (* ^ 0).
График зависимости координаты точки от времени представляет со¬
бой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять
точек, так как уравнение кривой второго порядка содержит пять коэффи¬
циентов. Поэтому кроме трех вычисленных ранее характерных значе¬
ний координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие
моментам *i = 1 с и *2 = 6 с:
xi = А + Bt\ + Ct2 — 8 м; Х2 = А + Bt2 + Ct^ = — 7 м.
Полученные данные представим в виде таблицы-
Время, с
О
II
о
40
*1=1
U-2
t' = 5
t2 = 6
Координата, м
хо = А = 5
xi = 8
^твх г= 9
х = 0
Is-
1
II
N
н

§ 1. Кинематика
13
Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты
от времени (рис. 1.2).
График пути (штриховая линия) построим, исходя из следующих
соображений: 1) путь и координата до момента изменения знака ско¬
рости совпадают; 2) начиная с момента возврата (£„) точка движется
в обратном направлении и, следовательно,
координата ее убывает, а путь продолжает
возрастать по тому же закону, по которому
убывает координата.
Следовательно, график пути до момента
времени £„ — 2с совпадает с графиком коор¬
динаты, а начиная с этого момента является
зеркальным отображением графика коорди¬
наты.
2. Средняя скорость (vx) за интервал вре¬
мени £2 — h определяется выражением
.	Х-2 - Х\
ы = ТГЙ-
Подставим значения , х2, ti, £2 из таблицы
и произведем вычисления:
, .	-7-8м „	.
(vx) = —— 	= -3 м/с.
6 — 1 с
Рис. 1.2
3. Среднюю путевую скорость (v) находим из выражения
(v) = —,
h~ti
где s — путь, пройденный точкой за интервал времени £2 — £i- Из гра¬
фика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути:
*1 = Xm&x — Xi, который точка прошла за интервал времени £в — £1, и
«2 = £max + |x2|j который она прошла за интервал £2 — £„- Таким образом,
путь
S = S! + S2 = (хтах - 1х) + (жгаах + |х2|) - 2zmax + \х2\ - ®1-
Подставим в это выражение значения х\, |х2|, хтах и произведем вычи¬
сления:
(s) = 2-9 + 7 —8= 17 м.
Тогда искомая средняя путевая скорость
. .	17 м
М = —- = 3,4м/с.
Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.
Пример 3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имею¬
щему радиус кривизны Д = 50 м. Уравнение2 *) движения автомобиля
2) В заданном уравнении движения £ означает криволинейную координату,
отсчитанную по дуге окружности.

14
Гл. 1. Физические основы механики
4(1) = А + Bt + Ct2, где А = 10м, В — 10м/с, С = —0,5м/с2. Найти:
1) скорость v автомобиля, его тангенциальное ат, нормальное ап и пол¬
ное а ускорения в момент времени 1 = 5 с; 2) длину пути s и модуль
перемещения |Дг| автомобиля за интервал времени т = 10 с, отсчитан¬
ный с момента начала движения.
Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв пер-
df
вую производную от координаты по времени: v — — = В + 2Ct. Под-
dl
ставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:
v = 5 м/с.
Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от ско-
du
рости по времени: ат = — = 2С. Подставив значение С, получим
at
ат = —1 м/с2.
Нормальное ускорение определяется по формуле ап = v2 /R. Подста¬
вим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса
кривизны траектории и произведем вычисления:
ап = 0,5 м/с2..
Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометри¬
ческой суммой ускорений аг и ап: а = ат + а„. Модуль ускорения
а = л/а2 + п2. Подставив в это выражение
найденные значения ат и ап, получим
а = 1,12 м/с2.
2. Чтобы определить путь s, пройденный
5(0) автомобилем, заметим, что в случае движе¬
ния в одном направлении (как это имеет ме¬
сто в условиях данной задачи) длина пути
s равна изменению криволинейной коорди¬
s =	- 4(0),
или
s = А + Вт + Ст2 — А = Вт + Ст2.
Подставим в полученное выражение значения В, С, т и произведем вы¬
числения:
s — 50 м.
Модуль перемещения, как это видно из рис. 1.3, равен
|Дг| = 2.Rsin
где а — угол между радиусами-векторами, определяющими начальное
^(0) и конечное 4(т) положения автомобиля на траектории. Этот угол (в

§ 1. Кинематика
15
радианах) находим как отношение длины пути s к радиусу кривизны R
траектории, т. е. a = s/R. Таким образом,
|Дг| = 2/isin 2^.
Подставим сюда значения R, s и произведем вычисления:
|Дг| = 47,9 м.
Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой «о =
= 10 с-1, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда тор¬
можение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным,
но уже с частотой п = 6 с-1. Определить угловое ускорение е маховика
и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного
движения маховик сделал N = 50 оборотов.
Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной wq и
конечной и) угловыми скоростями соотношением и2 —	= 2eip, откуда
£ = (и2 —	Но так как ip = 2-nN, и> = 27rn, то
_ Ш2 — UJq _ ТТ(п2 — Ир)
£ ~	2 <р	~ N ‘
Подставив значения п, п, no, N и ьычислив, получим
3,14(62 - 102)
50
= -4,02 рад/с2.
Знак минус указывает на то, что маховик вращается замедленно.
Определим продолжительность торможения, используя формулу, свя¬
зывающую угол поворота ц> со средней угловой скоростью (ш) вращения
и временем t: ip = {ui)t. По условию задачи угловая скорость линейно
зависит от времени и поэтому можно написать (и) — (lu0 +w)/2, тогда
Ч> =
(ыр + ui)t
2
= 7Г(П0 + Tl)t,
откуда
t =
Ч>
2N
7Г(П0 + п) По + П ’
Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим
2-50
t =
10 + 6
= 6,25 с.
ЗАДАЧИ
Прямолинейное движение
1.1.	Две прямые дороги пересекаются под углом a = 60°. От
перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью hi =
= 60 км/ч, другая со скоростью нг = 80 км/ч. Определить скорости,

16
Гл. 1. Физические основы механики
с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток ма¬
шины прошли одновременно. Рассмотреть два возможных вари¬
анта.
1.2.	Точка двигалась в течение t\ = 15 с со скоростью v\ =
= 5м/с, в течение <2 = Юс со скоростью г>2 = 8м/с и в течение
<з = 6 с со скоростью уз = 20 м/с. Определить среднюю путевую
скорость (v) точки.
1.3.	Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью
г>1 = 60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью г>2 = 80 км/ч.
Какова средняя путевая скорость (v) автомобиля?
1.4.	Первую половину пути тело двигалось со скоростью V\ =
— 2 м/с, вторую — со скоростью г>2 = 8 м/с. Определить среднюю
путевую скорость (v).
1.5.	Тело прошло первую половину пути за время t\ = 2 с, вто¬
рую — за время = 8 с. Определить среднюю путевую скорость
(v) тела, если длина пути s = 20 м.
1.6.	Зависимость скорости от времени для движения некото
рого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевун
скорость (г) за время t = 14 с.
а, м/сг 1
I
О
-1
I 5
10 t.c
Рис. 1.4	Рис. 1.5
1.7.	Зависимость ускорения от времени при некотором движе¬
нии тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую
скорость (v) за время t = 8 с. Начальная скорость г>о = 0.
1.8.	Уравнение прямолинейного движения имеет вид х = At +
+ Bt2, где А = 3 м/с, В — —0,25 м/с2. Построить графики зави¬
симости координаты и пути от времени для заданного движения.
1.9.	На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени
для некоторого движения тела. Построить графики зависимости
скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный
момент тело покоилось.
1.10.	Движение материальной точки задано уравнением х =
= At + Bt2, где А = 4 м/с, В = —0,05 м/с2. Определить момент
времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти коорди¬
нату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости

§ 1. Кинематика
17
координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от вре¬
мени.
1.11. Написать кинематическое уравнение движения х — f(t)
точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На ка-
ждой позиции рисунка
—
a, б, в, г —
изображена координатная
»
а
а ^
А
А
°1. ,
v0
х v0
I О х
*0
х0
a
б
а
^ а
А
А
О у0
X
X
О х
'*о Г
* *0 *
в
Рис. 1.6
г
ось Ох, указаны начальные положение xq и скорость vo матери¬
альной точки А, а также ее ускорение а.
1.12.	Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии I =
= 100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Про¬
жектор вращается вокруг вертикальной оси, де¬
лая один оборот за время Т = 20 с. Найти:
1)	уравнение движения светлого пятна по стене
в течение первой четверти оборота; 2) скорость
v, с которой светлое пятно движется по стене, в
момент времени t = 2 с. За начало отсчета при¬
нять момент, когда направление луча совпадает
с ОС.
1.13.	Рядом с поездом на одной линии с пе¬
редними буферами паровоза стоит человек.
В тот момент, когда поезд начал двигаться с
ускорением a = 0,1м/с2, человек начал идти в том же направле¬
нии со скоростью v = 1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит
человека? Определить скорость v\ поезда в этот момент и путь,
пройденный за это время человеком.
1.14.	Из одного и того же места начали равноускоренно дви¬
гаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое
движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с началь¬
ной скоростью hi = 1м/с и ускорением ai = 2м/с2, вторая — с
начальной скоростью V2 = 10м/с и ускорением a<i = 1м/с2. Через
сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения
вторая точка догонит первую?	! у|_|^р
КИНС (
УЧЕБК ЪОНЛ
Рис. 1.7
3 Зак 237

18
Гл. 1. Физические основы механики
1.15.	Движения двух материальных точек выражаются урав¬
нениями
Tj = А\ + Bit + Clt2, Х2 = А2 + B2t + Cj2^ j
где А\ = 20м, Л2 = 2м, В2 = В\ = 2м/с, Ci = —4м/с2, С2 =
= 0,5 м/с2.
В какой момент времени t скорости этих точек будут одинако¬
выми? Определить скорости щи^и ускорения а\ и 02 точек в
этот момент.
1.16.	Две материальные точки движутся согласно уравнениям
xi = A\t + Bit2 + (7i(3, Х2 = A2t + B2t2 +•
где Л! = 4 м/с, В\ = 8 м/с2, Ci = —16 м/с3, А2 = 2 м/с, В2 =
= —4м/с2, (72 = 1м/с3.
В какой момент времени t ускорения этих точек будут одина¬
ковы? Найти скорости hi и нг точек в этот момент.
1.17.	С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего
пути оно прошло за время t = 0,1 с?
1.18.	Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь s пройдет
камень за последнюю секунду своего падения?
1.19.	Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью
но = 20 м/с. По истечении какого времени камень будет нахо¬
диться на высоте h = 15 м? Найти скорость н камня на этой вы¬
соте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять д = 10м/с2.
1.20.	Вертикально вверх с начальной скоростью «о = 20 м/с
брошен камень. Через т = 1с после этого брошен вертикально
вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h
встретятся камни?
1.21.	Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной
и той же высоте h = 8,6 м два раза с интервалом At = 3 с. Пре¬
небрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость
брошенного тела.
1.22.	С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной
скоростью г>о = 5 м/с. Через t = 2 с мячик упал на землю. Опре¬
делить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент
удара о землю.
1.23.	Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью
по = Юм/с. Высота балкона над поверхностью земли h = 12,5 м.
Написать уравнение движения и определить среднюю путевую ско¬
рость (г>) с момента бросания до момента падения на землю.
1.24.	Движение точки по прямой задано уравнением х = At +
+ Bt2, где А = 2 м/с, В - -0,5 м/с2. Определить среднюю
путевую скорость (v) движения точки в интервале времени от t\ =
= 1 с до (г=3 с.

§ 1. Кинематика
19
1.25.	Точка движется по прямой согласно уравнению х = At +
+ Bt3, где А = 6 м/с, В = —0,125 м/с3. Определить среднюю
путевую скорость (v) точки в интервале времени от t\ = 2с до
t2 = 6 с.
Криволинейное движение
1.26.	Материальная точка движется по плоскости согласно урав¬
нению г(t) = iAt3 +}Bt2. Написать зависимости: 1) v(f), 2) a(t).
1.271 Движение материальной точки задано уравнением г(f) =
= A(icost<jf + jsinwf), где А = 0,5м, ш = 5рад/с. Начертить
траекторию точки. Определить модуль скорости |v| и модуль нор¬
мального ускорения |ап|.
1.28.	Движение материальной точки задано уравнением г(f)
= i(j4 -l- Bt2) + jCt, где A = 10 м, В — —5 м/с2, С = 10 м/с.
Начертить траекторию точки. Найти выражения v(f) и a(t). Для
момента времени t — 1с вычислить: 1) модуль скорости |v|; 2) мо¬
дуль ускорения |а|; 3) модуль тангенциального ускорения |ат|;
4)	модуль нормального ускорения |ап|.
1.29.	Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным
ускорением ат = 0,5 м/с2. Определить полное ускорение а точки
на участке кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка дви¬
жется на этом участке со скоростью v = 2 м/с.
1.30.	Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. На¬
чальная скорость vo точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение
ат = 1м/с2. Для момента времени t = 2 с определить: 1) длину
пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения |Аг|; 3) сред¬
нюю путевую скорость (г); 4) модуль вектора средней скорости
l(v)|. '
1.31.	По окружности радиусом R = 5м равномерно движется
материальная точка со скоростью v = 5 м/с. Построить графики
зависимости длины пути s и модуля перемещения | Дг| от времени
t. В момент времени, принятый за начальный (t = 0), s(0) и
|Дг(0)| считать равными нулю.
1.32.	За время f = 6 с точка прошла путь, равный половине
длины окружности радиусом R = 0,8 м. Определить среднюю пу¬
тевую скорость (v) за это время и модуль вектора средней скорости
l(v)|-
1.33.	Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано
уравнением3) £ = А + Bt + Ct2, где А — 10м, В = —2м/с,
С = 1м/с2. Найти тангенциальное ат, нормальное ап и полное а
ускорения точки в момент времени f = 2 с.
3) См. сноску на с. 13.
з*

20
Гл. 1. Физические основы механики
1.34.	По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка.
В некоторый момент времени нормальное ускорение точки ап =
= 4,9 м/с2; в этот момент векторы полного и нормального ускоре¬
ний образуют угол <р = 60°. Найти скорость г; и тангенциальное
ускорение ат точки.
1.35.	Точка движется по окружности радиусом R — 2 м согласно
уравнению3) £ = At3, где А = 2м/с3. В какой момент времени t
нормальное ускорение ап точки будет равно тангенциальному от?
Определить полное ускорение а в этот момент.
1.36.	Движение точки по кривой задано уравнениями х = A\t3
и у = A%t, где А\ = 1 м/с3, А^ = 2м/с. Найти уравнение траекто¬
рии точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени
t = 0,8 с.
1.37.	Точка А движется равномерно со скоростью v по окружно¬
сти радиусом R. Начальное положение точки и направление дви¬
жения указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение
движения проекции точки А на направление
оси х.
1.38.	Точка движется равномерно со скоро¬
стью v по окружности радиусом R ив момент
времени, принятый за начальный (t = 0), за¬
нимает положение, указанное на рис. 1.8. На¬
писать кинематические уравнения движения
точки: 1) в декартовой системе координат,
расположив оси так, как это указано на ри¬
сунке; 2) в полярной системе координат (ось
х считать полярной осью),
для четырех случаев, представленных на
рис. 1.9: 1) кинематические уравнения движения х = fi{t) и
У — /г(0; 2) уравнение траектории у — <р(х). На каждой пози¬
ции рисунка — а, б, в, г — изображены координатные оси, ука¬
заны начальное положение точки А, ее начальная скорость Vo и
ускорение g.
1.40.	С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.
Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на рас¬
стоянии 5 = 40 м от основания вышки. Определить начальную Vq
и конечную v скорости камня.
1.41.	Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении
со скоростью v = 20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от
основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту
башни.
1.42.	Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных
листа бумаги, расстояние I между которыми равно 30 м. Пробо¬
ина во втором листе оказалась на h = 10 см ниже, чем в первом.
Определить скорость v пули, если к первому листу она подлетела,
двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.39. Написать

§ L Кинематика
21
>
О X
h . h
|*
Л * | А
О х
.2
a	б
Рис. 1.9
1.43.	Самолет, летевший на высоте h = 2940 м со скоростью
v = 360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения
над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить
бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.44.	Тело брошено под некоторым углом а к горизонту. Найти
этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре
раза больше максимальной высоты Н траектории.
1.45.	Миномет установлен под углом a = 60° к горизонту на
крыше здания, высота которого h = 40 м. Начальная скорость vq
мины равна 50 м/с. Требуется: 1) написать кинематические урав¬
нения движения и уравнения траектории и начертить эту траекто¬
рию с соблюдением масштаба; 2) определить время т полета мины,
максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность
s полета, скорость v в момент падения мины на землю. Сопроти¬
влением воздуха пренебречь.
Указание. Начало координат поместить на поверхности земли
так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы
вектор скорости v лежал в плоскости хОу.
1.46.	Снаряд, выпущенный из орудия под углом a = 30° к го¬
ризонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя время
ti = 10 с и <2 = 50 с после выстрела. Определить начальную ско¬
рость vq и высоту h.
1.47.	Пуля пущена с начальной скоростью по = 200 м/с под
углом a = 60° к горизонту. Определить максимальную высоту

22
Гл. 1. Физические основы механики
Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории
пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.48.	Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении
с начальной скоростью vq = 30 м/с. Определить скорость v, тан¬
генциальное ат и нормальное ап ускорения камня в конце второй
секунды после начала движения.
1.49.	Тело брошено под углом а = 30° к горизонту. Найти тан¬
генциальное от и нормальное ап ускорения в начальный момент
движения.
Вращение тела вокруг неподвижной оси
1.50.	Определить линейную скорость v и центростремитель¬
ное ускорение ац точек, лежащих на земной поверхности: 1) на
экваторе; 2) на широте Москвы (tp = 56°).
1.51.	Линейная скорость v\ точек на окружности вращающе¬
гося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на AR = 10 см
ближе к оси, имеют линейную скорость V2 = 2 м/с. Определить
частоту вращения п диска.
1.52.	Два бумажных диска насажены на общую горизонталь¬
ную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d = 30 см
друг от друга. Диски вращаются с частотой п = 25 с-1. Пуля, ле¬
тевшая параллельно оси на расстоянии г = 12 см от нее, пробила
оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга
на расстояние s = 5 см, считая по дуге окружности. Найти сред¬
нюю путевую скорость (и) пули в промежутке между дисками и
оценить создаваемое силой тяжести смещение пробоин в верти¬
кальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.53.	На цилиндр, который может вращаться вокруг горизон¬
тальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и
предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноуско¬
ренно, грузик за время t = 3 с опустился на h = 1,5 м. Определить
угловое ускорение е цилиндра, если его радиус г = 4 см.
1.54.	Диск радиусом г - 10см, находившийся в состоянии
покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением е =
= 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное ат, нормальное ап и полное
а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды
после начала вращения.
1.55.	Диск радиусом г = 20 см вращается согласно уравнению
= А + Bt 4- Ct3, где А = Зрад, В = — 1 рад/с, С = 0,1 рад/с3.
Определить тангенциальное аТ, нормальное ап и полное а ускоре¬
ния точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.
1.56.	Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежу¬
ток времени At = 10 с достиг частоты вращения п = 300 мин-1.
Определить угловое ускорение е маховика и число N оборотов,
которое он сделал за это время.

§ 2. Динамика материальной точки и тела
23
1.57.	Велосипедное колесо вращается с частотой п = 5 с-1. Под
действием сил трения оно остановилось через интервал времени
At = 1 мин. Определить угловое ускорение е и число N оборотов,
которое сделает колесо за это время.
1.58.	Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав
N = 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от п\ —
= 4с-1 до 77.2 = 6 с-1. Определить угловое ускорение е колеса.
1.59.	Диск вращается с-.угловым ускорением е = —2 рад/с2.
Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты враще¬
ния от 77i = 240 мин-1 до 772 = 90 мин-1? Найти время At, в
течение которого это произойдет.
1.60.	Винт аэросаней вращается с частотой п = 360 мин-1.
Скорость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч.
С какой скоростью и движется один из концов винта, если радиус
R винта равен 1 м?
1.61.	На токарном станке протачивается вал диаметром d =
= 60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот.
Какова скорость v резания, если за интервал времени At = 1 мин
протачивается участок вала длиной I = 120 мм?
§ 2. Динамика материальной точки и тела,
движущихся поступательно
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):
а)	в векторной форме
, /V	N
Fi, или ma = ^Fjt
i=l	t—1
N
где 53 Fi — геометрическая сумма сил, действующих на материальную
1=1
точку; 7П — масса точки; а — ускорение; р = тп\ — импульс; N —
число сил, действующих на точку;
б)	в координатной форме (скалярной)
Щах — ^ ] Rxii 77ICLy —	Ryii TTICIZ — 5 ~ Rzi»
171 dt2 “ ^ Fxi’ m dt2 ~ Fvi' 171 df2 - 2^ F«’
где под знаком суммы стоят проекции сил F* на соответствующие оси
координат.

24
Гл. 1. Физические основы механики
•	Сила упругости4)
р _ _и~
L упр —
где к — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); х —
абсолютная деформация.
•	Сила гравитационного взаимодействия4)
F = G
mi m2
г2
)
где G — гравитационная постоянная; mj и т2 — массы взаимодейству¬
ющих тел, рассматриваемые как материальные точки; г — расстояние
между ними.
• Сила трения скольжения
F-гр — pNy
где р — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального да¬
вления.
• Координаты центра масс системы материальных точек
хс =
'E.rUiXi
Еггч ’
_ Emi
Em
zC =
ETOi^
Em, ’
где rrii — масса г-й материальной точки; xtl yi, zt — ее координаты.
• Закон сохранения импульса замкнутой системы
N	/V
У" pi = const, или	mi Vj = const,
i—\	t=l
где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.
•	Работа, совершаемая постоянной силой,
АА = FAr, или АЛ = FAr cos а,
где а — угол между направлениями векторов силы F и перемещения Дг
•	Работа, совершаемая переменной силой,
А = J F[r) cos a dr,
L
где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.
• Средняя мощность за интервал времени At
*) Силы упругости и гравитационного взаимодействия более подробно рассмо¬
трены в § 4.

§ 2. Динамика материальной точки я тела
25
• Мгновенная мощность
dA
N = ——, или N — Fvcosa,
dt
где dA — работа, совершаемая за промежуток времени dt.
• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся
поступательно,
Т =
mir
или Т = -—.
2 m
• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной
точке поля, связаны соотношением
F = -gradll, или
_ /.ап .ап , ап\
Vax +Jaj/ +kdz) ’
где i, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле
сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),
F =
сШг
dr г
• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или
растянутой пружины)
П =
кх2
2 '
• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух ма¬
териальных точек (или тел) массами mi и тг, находящихся на рассто¬
янии г друг от друга,
п=ст!та »
Г
• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы
тяжести,
П = mgh,
где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета
потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h <& R,
где R — радиус Земли.
• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой
системе, в которой действуют только консервативные силы, и записыва¬
ется в виде
Т + П = const.
• Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому цен¬
тральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупру¬
гих шаров после удара
miV\ + Ш2^2
и =	—
mi + m2
2 Зэк 237

26
Гл. 1. Физические основы механики
и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:
Ui
г>1 (ттт-i — т2) + 2т2ц2
7711 + 7П2
U2 =
v2(m2 - mi) + 2mivi
mi + 7712
где mi и m2 — массы шаров; vi ии2 — их скорости до удара.
• Формула Циолковского
v = u In
тпс
тпс — /it ’
где v — скорость ракеты в момент времени t, и — скорость истечения
продуктов сгорания (газов), тс — стартовая масса ракеты, ц — массо¬
вый расход топлива.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. К концам однородного стержня приложены две проти¬
воположно направленные силы: F\ = 40Н и F2 — 100 Н (рис. 2.1а).
Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, которое
делит стержень на две части в отношении 1:2.
Решение. Если бы силы F\ и F2 были равны между собой, то сила
натяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной си-
Рис. 2.1
лам, приложенным к концам стержня. Стержень в этом случае находился
бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень, отлична от
нуля, то стержень будет двигаться с ускорением, величина и направление
которого определяются по второму закону Ньютона: а = (Fi + F2)/m,
где m — масса стержня. Так как обе силы действуют вдоль прямой, то
геометрическую сумму можно заменить алгебраической:
(1)
При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сече¬
ниях различны. Для определения этих сил применим следующий прием:
разделим стержень на две части в интересующем нас сечении и отбро¬
сим одну из них, например, левую. Действие левой части на правую
заменим силой натяжения Т (рис. 2.1 б). В результате действия раз¬
ности сил F2 - Т оставшаяся правая часть стержня массой тп\ должна
двигаться с ускорением a = (F2 — T)/mi, равным по величине и на¬
правлению прежнему ускорению, выраженному формулой (3). Так как

§ 2. Динамика материальной точки и тела
27
стержень однородный, то mi = m/З и, следовательно,
_ F2-T
°	m/3
(2)
Приравнивая правые части равенств (1) и (2) и выражая из полученного
равенства силу натяжения Т, находим
T = F2-
F2 - F\
3
Подставив значения F2 и F\, получим Т = 80 Н.
Пример 2. В лифте на пружинных весах находится тело массой
тп = 10кг (рис. 2.2а). Лифт движется с ускорением а = 2м/с2. Опреде¬
лить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено:
1) вертикально вверх; 2) вертикально вниз.
Решение. Определить показания весов — это значит найти вес
тела Р, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по
третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по напра¬
влению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через
посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.
Р = —N, или P = N.	(3)
Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахожде¬
нию реакции опоры N.
Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной
системе отсчета.
Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две
силы: сила тяжести mg и сила N.
Направим ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы,
действующие на тело. Индекс z у проекций сил опустим, так как проек¬
ции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком
2'

28
Гл. 1. Физические основы механики
плюс или минус. Напишем уравнение движения:
N — тд = та,
откуда
N = тд + та - т(д + а).
Из равенств (3) и (4) следует
(4)
Р = т(д + а).
При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения:
1) ускорение направлено вертикально вверх (а > 0), тогда
Pi = 10(9,81 + 2) кг • м/с2 = 118 Н;
2)	ускорение направлено вертикально вниз (а < 0), тогда
Р2 = 10(9,81 - 2) кг ■ м/с2 = 78 Н.
Отметим, что ни модуль, ни направление скорости лифта не вли¬
яют на показания весов. Существенны лишь величина и направление
ускорения.
Решение в неинерциальной системе отсчета, т. е. в системе, дви¬
жущейся ускоренно вместе с. лифтом. В этой системе отсчета законы
Ньютона не выполняются. Однако если к телу, в соответствии с принци¬
пом Даламбера, дополнительно к действующим на него силам приложить
силу инерции
F, = —та,
где а — ускорение системы отсчета, то с учетом этой силы законы Нью¬
тона будут справедливы. В этом случае на тело будут действовать три
силы: сила тяжести mg, сила упругости N и сила инерции F, (рис. 2.26).
Под действием этих сил тело в данной неинерциальной системе отсчета
покоится. Это значит, что вместо уравнений динамики (законов Нью¬
тона) можно воспользоваться законами статики. Если тело под дей¬
ствием системы сходящихся сил покоится, то геометрическая сумма этих
сил равна нулю. В данном случае это приводит к равенству
mg + N + Fj = 0.
Спроецируем все силы на ось z и напишем соответствующее равен¬
ство для проекций этих сил (индекс г опустим):
N — тд — та = 0,
откуда сила реакции опоры
N = тд + та - т(д + а).
(5)

§ 2. Динамика материальной точки и тела
29
Из равенств (3) и (5) следует
Р = m(g + a),
что совпадает с результатом, полученным при решении в инерциальной
системе отсчета.
Пример 3. При падении тела с большой высоты его скорость иуст
при установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время т, в
течение которого, начиная от момента начала падения, скорость стано¬
вится равной г1уСТ/2. Силу сопротивления воздуха принять пропорцио¬
нальной скорости тела.
Решение. На падающее тело действуют две силы (рис. 2.3а): сила
тяжести mg и сила сопротивления воздуха Fc.
Рис. 2.3
Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна
скорости тела и противоположна ей по направлению:
Fc = -fcv,
(6)
где к — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров,
формы тела и от свойств окружающей среды.
Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым зако-
dv
ном Ньютона в векторной форме: m— = mg — Fc. Заменив Fc согласно
dt
(6), получим
т— -mg- kv.	(7)
Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось
и напишем уравнение (7) для проекций:
= тд — kv.
После разделения переменных получим
dv _ dt
тд — kv т

30
Гл. 1. Физические основы механики
Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от
нуля до т (искомое время) скорость возрастает от нуля до vyCT/2
(рис. 2.3б):
**уст/2
/
dn
тд — kv
о
I Пуст/2
(тд - fcv)|
г
т'
Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства:
1 In mg ~ fctW2 _ Z-
k	mg	m
и найдем из полученного выражения искомое время:
m,	mo
т = — In			—.
k тд — kvyCT/2
(8)
Входящий сюда коэффициент пропорциональности к определим из сле¬
дующих соображений. При установившемся движении (скорость посто¬
янна) алгебраическая сумма проекций (на ось у) сил, действующих на
тело, равна нулю, т.е. тд — kvyOT = 0, откуда к = mg/vyCT. Подставим
найденное значение к в формулу (8):
77Ш
т —
уст
тд
In
тд
1 тд
m9~2~V
** 1/уст
уст
После сокращений и упрощений получим
т = ^1п2.
9
Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как ре¬
зультат очевиден. Подставив в эту формулу значения vycT, у, In 2 и про¬
изведя вычисления, получим г = 5,66 с.
Пример 4. Шар массой т = 0,3кг, двигаясь со скоростью v =
= 10 м/с, упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что ско¬
рость его направлена под углом a = 30° к нормали. Определить импульс
р, получаемый стенкой.
Решение. Сначала проанализируем условие задачи. Стенка непо¬
движна, поэтому система отсчета, связанная с ней, будет инерциальной.
Удар о стенку упругий; следовательно, можно воспользоваться законом
сохранения механической энергии. Из него, учитывая, что масса стенки
много больше массы шара, следует равенство модулей скоростей шара
|v| до и после удара
Покажем, что угол а' отражения шара от стенки равен углу а па¬
дения шара. Спроецируем векторы v и и на координатные оси Ох и

§ 2. Динамика материальной точки и тела
31
Оу (рис. 2.4). Так как стенка гладкая, то u„ = vy. Учитывая, кроме
того, что |u| = |v|, получим ux = — vx, а отсюда следует равенство углов
падения и отражения (а' = а).
Рис. 2.4	Рис. 2.5
Для определения импульса, полученного стенкой, воспользуемся за¬
коном сохранения импульса. Для нашего случая этот закон можно за¬
писать в виде
Pi = Pi + Р,
где pi и p'j — импульсы шара до и после удара (|pi| = |p'j |). Отсюда
импульс, полученный стенкой,
р = pi -р1-
Из рис. 2.5 видно, что вектор р сонаправлен с осью Ох и его модуль
р = |р| = 2picosa. Подставив сюда выражение импульса р\ = mv,
получим
р = 2mv cos a.
Произведем вычисления:
л/3
р — 2 • 0,3 ■ 10— = 5,20 кг • м/с.
Пример 5. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой
М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит
человек массой тп. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу,
если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух
пренебречь.
Решение. 1-й способ. Для простоты решения будем считать, что
человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также
будет двигаться равномерно. Поэтому перемещение лодки относительно
берега определим по формуле
s = vt,	(9)
где v — скорость лодки относительно берега; t — время движения че¬
ловека и лодки. Направление перемещения человека примем за положи¬
тельное.

32
Гл. 1. Физические основы механики
Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса5)
(количества движения). Так как, по условию задачи система человек-
лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по за¬
кону сохранения импульса получим Mv — mu = 0, где и — скорость
человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости
человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда v = ти/М.
Время t движения лодки равно времени перемещения человека по
лодке, т. е. t = si /и — (L — s)/и, где si — перемещение человека отно¬
сительно берега.
Подставив полученные выражения и и t в формулу (9), найдем
mu L — s
М и
т ,т ч
откуда
mb
s 		.
m + М
Заметим, что предположение о равномерности движения человека не
является обязательным. В приведенном ниже более общем способе ре¬
шения задачи такое предположение не используется.
2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импульса,
внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра тя-
5) В данном случае систему человек-лодка можно считать замкнутой, так как
векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

§ 2. Динамика материальной точки и тела
33
жести6) системы. Применяя это следствие к системе человек- лодка,
можно считать, что при перемещении человека по лодке центр тяже¬
сти системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем
расстоянии от берега.
Пусть центр тяжести системы человек лодка находится на верти¬
кали, проходящей в начальный момент через точку С\ лодки (рис. 2.6),
а после перемещения лодки — через другую ее точку С2. Так как эта
вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s
лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вер¬
тикали. А это последнее легко определить по перемещению центра тяже¬
сти О лодки. Как видно из рис. 2.6, в начальный момент точка О нахо¬
дится слева от вертикали на расстоянии щ, а после перехода человека —
на расстоянии а2 справа от нее. Следовательно, искомое перемещение
лодки
s = Ох + а2.	(10)
Для определения Oi и а2 воспользуемся тем, что относительно центра
тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть
равны. Для точки С\ имеем Mga\ = тпд{1 — а\), где I — первоначальное
расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим ai =
= ml/(M + тп). Для точки С2 имеем Мда2 = mg(L — а2 — I), откуда
а2 = m(L — I)/(М + тп).
Подставив выражения % и а2 в формулу (10), получим
тпЬ
М + тп’
что совпадает с результатом, полученным 1-м способом.
Пример 6. Два шара массами тп\ = 2,5кг и т2 = 1,5кг движутся
навстречу друг другу со скоростями vi = 6м/с ив2 = 2м/с. Определить:
1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров Т\ до и
Т2 после удара; 3) долю кинетической энергии «/шаров, превратившейся
во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.
Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара
своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, от¬
талкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться
совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по
закону сохранения импульса. Так как шары движутся по одной прямой,
то этот закон можно записать в скалярной форме:
mivi + m2«2 = (mi + m2)u,
откуда
mivi + m2«2
и =	.
mi + m2
6) Точнее было бы говорить о центре масс (центре инерции системы). Но
в том случае, когда система твердых тел находится в однородном поле силы
тяжести, центр масс и центр тяжести совпадают.

34
Гл . 1. Физические основы механики
Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда
при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу
первому, следует взять со знаком минус:
и
2,5 • 6 - 1,5 • 2
2,5 +1,5
= 3 м/с.
2.	Кинетические энергии шаров до и после удара определим по фор¬
мулам
тщи? . m2v\ m (т!+т2)и2
—+ —, Т2-	2	‘
Произведя вычисления по этим формулам, получим
т-г = (2’5 + *’5) •3-2 _ 18 ДЖ.
3.	Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показы¬
вает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение
их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энер¬
гия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей н§. увеличение их
внутренней энергии, определим из соотношения
Т\ — Т2	п со
w - ———; w = 0,62.
Пример 7. Шар массой mi, движущийся горизонтально с некото¬
рой скоростью vi, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары
абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю ги своей кинетической
энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, вы¬
разится соотношением
К = П = ™1 =	(11)
Ti miff mi \Vi)
где Ti — кинетическая энергия первого шара до удара; f2 и Т'г ско¬
рость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из выражения (11), для определения w надо найти щ.
Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно
выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.
По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара
покоился, имеем тщгч = miUi + m2wг- По закону сохранения энергии в
механике miff/2 = miuf/2 + m2u2/2. Решая совместно два последних
уравнения, найдем
2mifi
Uo = —		■
mi + тп2

§ 2. Динамика материальной точки и тела
35
Подставив это выражение и2 в равенство (11), получим
2mivi ]2 _ 4mim2
vi(mi+m2)J (mi+Tn2)2'
Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит
только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не
изменится, если шары поменяются местами.
Пример 8. Молот массой mi = 200кг падает на поковку, масса
т2 которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость Vi молота в
момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию Т\ молота в
момент удара; 2) энергию Т2, переданную фундаменту; 3) энергию Т, за¬
траченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия
г) (к.п.д.) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать
как неупругий.
Решение. 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем
по формуле Ti = mi Hi /2. Подставив значения mi и щ и произведя
вычисления, получим
Ti = 400 Дж.
2. Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предвари¬
тельно найдем скорость системы молот-поковка (с наковальней) непо¬
средственно после удара. Для этого применим закон сохранения им¬
пульса, который в случае неупругого удара двух тел выражается форму¬
лой
т2
w = —
т 1
mini + m2n2 = (mi + m2)u,	(12)
где п2 — скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и —
скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после
удара. Так как поковка с наковальней до удара находилась в состоянии
покоя, то ц2 = 0. При неупругом ударе деформация не восстанавли¬
вается, вследствие чего молот и поковка (с наковальней) движутся как
одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (12) найдем эту
скорость:
mi
и =	«1.
mi + m2
(13)
В результате сопротивления фундамента скорость и быстро гасится,
а кинетическая энергия, которой обладает система молот-поковка (с на¬
ковальней), передается фундаменту. Эту энергию находим по формуле
Т2 = (mi + m2)u2/2. Заменим скорость и ее выражением (13):
Т2 =
mf^i
2(mi + m2) ’
или, учитывая, что 7\ = тщу2/2, запишем
т2 = т2 - -Ti
т 1 + т2
(14)

36
Гл. 1. Физические основы механики
Подставив в уравнение (14) значения mi, т2 и 7\ и произведя вычисле¬
ния, получим
Т2 = 29,6 Дж.
3.	Молот до удара обладал энергией 7\; Т2 — энергия, переданная
фундаменту. Следовательно, на деформацию поковки использовалась
энергия
Т - Тх - Т2.
Подставив в это выражение значения Т\ и Т2, получим
Т = 370 Дж.
4.	Назначение молота — путем ударов о поковку, находящуюся на
наковальне, вызвать деформацию поковки; следовательно, энергию Т
можно считать полезной; к.п.д. удара молота о поковку равен отношению
энергии Т, затраченной на деформацию поковки, ко всей затраченной
энергии 7\:
Т	Тх-Т2
V — ^Ti или »?=—уГ—•
Подставив в последнее выражение Т2 по формуле (14), получим
тп2
п =
mi + тп2
После подстановки значений тп2 и mi найдем
11 = 92,6%.
Пример 9. Из сопла ракеты вылетают продукты сгорания (газы) со
скоростью и = 2 км/с (относительно ракеты). Массовый расход горючего,
Рис. 2.7
х
т. е. масса ежесекундно выбрасываемых газов, /г = 5 кг/с. Определить
реактивную силу R, возникающую при выбрасывании газов.
Решение. Реактивная сила R, действующая на ракету, согласно
третьему закону Ньютона, равна по модулю и направлена противопо¬
ложно силе F, действующей со стороны ракеты на выбрасываемые газы:
R = —F.
Эту силу найдем, используя второй закон Ньютона, который запишем в
виде
„ dp

§ 2. Динамика материальной точки и тела
37
где dp — импульс, получаемый порцией газа массой dm за время dt
(рис. 2.7):
Тогда
dp = udm.
F =
udm
dt ’
dm
где -г— и есть массовый расход ц, т. е.
F - /т.
Следовательно, реактивная сила
R = —/ш.
Знак минус указывает на то, что реактивная сила R направлена проти¬
воположно скорости и выбрасываемых из сопла газов.
Модуль реактивной силы
R = |R| = /х|и|.
Проверим единицы измерения
[/х][ц] = 1 кг/с • 1 м/с = 1 кг - м/с2 = 1 Н.
Подставим числовые значения в СИ и произведем вычисления
*	R = 5 • 2 • 103 = 104 Н = 10 кН.
Пример 10. Ракета, имеющая стартовую массу тс = 10т, запу¬
щена вертикально вверх. Пренебрегая действием внешних сил (силы
тяжести и силы сопротивления), определить скорость v ракеты через
интервал времени т = 2 мин после запуска. Массовый расход топлива
/х = 25 кг/с и скорость и истекающих из сопла ракеты газов равна 2 км/с.
Решение. Запишем уравнение движения для тела переменной
массы в векторной форме:
т(*)^Г = EFi + R"
i
В процессе движения масса ракеты m(t) будет убывать, поэтому ее мас¬
совый расход следует считать величиной отрицательной, и тогда мгно¬
венную массу ракеты можно записать следующим образом:
m(t) = mc — /xt.
Так как влиянием внешних сил можно пренебречь, то
EF- = °-

38
Гл. 1. Физические основы механики
Учитывая, что реактивная сила (см. пример 9) выражается как
R = —/хи,
уравнение движения примет вид
(тс -/xt)^ = /хи.
Проведем координатную ось 2/ по направлению вектора скорости ра¬
кеты v (рис. 2.8). Спроектируем на эту ось все векторные величины,
входящие в последнее уравнение. Учитывая, что проекция скорости га¬
зов и отрицательна, перепишем уравнение движения
в координатной форме:
(mc - /xi) 37 = /xix.
dt
Произведем разделение переменных v и t
dn _ /х dt
u mc — fit
и проинтегрируем по времени в пределах от 0 до т и
по скорости от 0 до v
V	Т
[ &v _ f /х dt
J u J mc - /xt ’
Подставим пределы
— '= — In |mc — /хт| + In mo
u
и, опуская знак модуля под знаком логарифма, так
как мгновенная масса ракеты (то— /хт) положительна,
получим
Рис. 2 8
н = lx In
ТПс
тпс — /хт
Это одна из форм записи формулы Циолковского. Поскольку логарифм
любого числа представляет собой величину безразмерную, то единицы
измерения правой и левой части равенства совпадают. Поэтому скорость
и в единицах СИ можно не выражать, а оставить единицу, приведенную в
условии задачи (км/с), тогда как стартовую массу тс ракеты, массовый
расход /х и время т обязательно надо выразить в единицах СИ.
Произведем вычисления
/ 10 • 103 \
<, = 21n(lO№-25.12o)=0-713KM/c-

§ 2. Динамика материальной точки и тела
39
ЗАДАЧИ
Второй закон Ньютона
2.1.	На гладком столе лежит брусок массой т = 4 кг. К бруску
привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F =
= ЮН, направленная параллельно поверхности стола. Найти
ускорение а бруска.
2.2.	На столе стоит тележка массой mi = 4 кг. К тележке при¬
вязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким уско¬
рением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура
привязать гирю массой т2 = 1 кг?
2.3.	К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут
шнур, к концам которого привязали грузы массами mi = 1,5 кг
и т,2 — Зкг. Каково будет показание весов во время движения
грузов? Массой блока и шнура пренебречь.
2.4.	Два бруска массами mi = 1кг и m2 = 4 кг, соединенные
шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться
бруски, если к одному из них приложить силу F = ЮН, направ¬
ленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, со¬
единяющего бруски, если силу 10 Н приложить к первому бруску?
ко второму бруску? Трением пренебречь.
2.5.	На гладком столе лежит брусок массой m = 4 кг. К бруску
привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки,
прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шну¬
ров подвешены гири, массы которых mi = 1кг и m2 = 2 кг.
Найти ускорение а, с которым движется брусок, и силу натяже¬
ния каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.
2.6.	Наклонная плоскость, образующая угол а,= 25° с плоско¬
стью горизонта, имеет длину I = 2 м. Тело, двигаясь равноуско¬
ренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить
коэффициент трения р тела о плоскость.
2.7.	Материальная точка массой тп — 2 кг движется под дей¬
ствием некоторой силы F согласно уравнению х = А + Bt + Ct2 +
+ Dt3, где С — 1 м/с2, D = —0,2м/с3. Найти значения этой силы
в моменты времени ti = 2 с и <2 = 5 с. В какой момент времени
сила равна нулю?
2.8.	Молот массой m = 1 т падает с высоты h — 2 м на на¬
ковальню. Длительность удара т = 0,01 с. Определить среднее
значение силы (F) удара.
2.9.	Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоро¬
стью Vo = 20 м/с, остановилась через t = 40 с. Найти коэффици¬
ент трения р шайбы о лед.
2.10.	Материальная точка массой тп = 1 кг, двигаясь равно¬
мерно, описывает четверть окружности радиусом г = 1,2 м в тече¬
ние времени t = 2 с. Найти изменение Др импульса точки.

40
Гл. 1. Физические основы механики
2.11.	Тело массой т = 5 кг брошено под углом а = 30° к го¬
ризонту с начальной скоростью щ = 20 м/с. Пренебрегая сопро¬
тивлением воздуха, найти: 1) импульс силы F, действующей на
тело, за время его полета; 2) изменение Др импульса тела за время
полета.
2.12.	Шарик массой т = 100 г упал с высоты h — 2,5 м на
горизонтальную плиту, масса которой много больше массы ша¬
рика, и отскочил от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим,
определить импульс р, полученный плитой.
2.13.	Шарик массой т = 300 г ударился о стену и отскочил
от нее. Определить импульс р\, полученный стеной, если в по¬
следний момент перед ударом шарик имел скорость vo = 10 м/с,
направленную под углом а = 30° к поверхности стены. Удар счи¬
тать абсолютно упругим.
2.14.	Гладкий наклонный желоб имеет в нижней части гори¬
зонтальный участок. По желобу соскальзывает с высоты h = 2 м
брусок массой т — 0,2 кг. Начальная скорость г>о бруска равна
нулю. Определить изменение Ар импульса бруска и импульс р,
полученный желобом при движении тела.
2.15.	Ракета массой т = 1т, запущенная с поверхности Земли
вертикально вверх, поднимается с ускорением a = 2д. Скорость
v струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200м/с. Найти
расход Qm горючего.
2.16.	Космический корабль имеет массу т = 3,5 т. При ма¬
неврировании из его двигателей вырывается струя газов со скоро¬
стью v — 800 м/с; расход горючего Qm = 0,2 кг/с. Найти реак¬
тивную силу R двигателей и ускорение а, которое она сообщает
кораблю.
2.17.	Вертолет массой тп = 3,5 т с ротором, диаметр d которого
равен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью v ротор отбра¬
сывает вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать
равным диаметру ротора.
2.18.	Брусок массой m2 = 5 кг может свободно скользить по
горизонтальной поверхности без трения. На нем находится другой
брусок массой mi = 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся
поверхностей брусков р = 0,3. Определить максимальное значение
силы Fmах, приложенной к нижнему бруску, при которой начнется
соскальзывание верхнего бруска.
2.19.	На горизонтальной поверхности находится брусок массой
mi = 2 кг. Коэффициент трения р\ бруска о поверхность равен
0,2. На бруске находится другой брусок массой тг = 8 кг. Коэф¬
фициент трения р2 верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верх¬
нему бруску приложена сила F. Определить: 1) значение силы Fi,
при котором начнется совместное скольжение брусков по поверх¬
ности; 2) значение силы F2, при котором верхний брусок начнет
проскальзывать относительно нижнего.

§ 2. Динамика материальной точки и тела
41
2.20.	Ракета, масса которой М = 6 т, поднимается вертикально
вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги F = 500 кН. Опре¬
делить ускорение а ракеты и силу Т натяжения троса, свободно
свисающего с ракеты, на расстоянии, равном 1/4 его длины от
точки прикрепления троса. Масса m троса равна 10 кг. Силой
сопротивления воздуха пренебречь.
2.21.	На плоской горизонтальной поверхности находится об¬
руч, масса которого ничтожно мала. К внутренней части обруча
прикреплен груз малых размеров, как это
показано на рис. 2.9. Угол а = 30°. С ка¬
ким ускорением а необходимо двигать
плоскость в направлении, указанном на
рисунке, чтобы обруч с грузом не изме¬
нил своего положения относительно плос¬
кости? Скольжение обруча по плоскости
отсутствует.
2.22.	Самолет летит в горизонтальном
направлении с ускорением a = 20 м/с2.
Какова перегрузка пассажира, находяще¬
гося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F,
действующей на пассажира, к силе тяжести тпд.)
2.23.	Автоцистерна с керосином движется с ускорением a =
= 0,7 м/с2. Под каким углом <р к плоскости горизонта расположен
уровень керосина в цистерне?
2.24.	Бак в тендере паровоза имеет длину I = 4 м. Какова
разность АI уровней воды у переднего и заднего концов бака при
и прикреплена к стене
движении поезда с ускорением a = 0,5 м/с2?
2.25.	Неподвижная труба площадью поперечного сечения S,
равной 10 см2, изогнута под углом ip = 90°
(рис. 2.10). По трубе течет вода, объемный
расход Qv которой 50 л/с. Найти силу F
давления струи воды, вызванную изгибом
трубы.
2.26.	Струя воды ударяется о неподвиж¬
ную плоскость, поставленную под углом
ср — 60° к направлению движения струи.
Скорость v струи равна 20 м/с, площадь S
ее поперечного сечения равна 5 см2. Опре¬
делить силу F давления струи на плос¬
кость.
2.27.7) Катер массой m = 2 т с двига¬
телем мощностью N = 50 кВт развивает максимальную скорость
^тах = 25 м/с. Определить время t, в течение которого катер
7) Перед решением задач 2.27-2.30 следует предварительно разобрать пример
3 из § 2.

42
Гл. 1. Физические основы механики
после выключения двигателя потеряет половину своей скорости.
Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется
пропорционально квадрату скорости.
2.28.	Снаряд массой т = 10 кг выпущен из зенитного орудия
вертикально вверх со скоростью по — 800 м/с. Считая силу сопро¬
тивления воздуха пропорциональной скорости, определить время
t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления
к = 0,25 кг/с.
2.29.	С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте
над поверхностью Земли, сброшен груз массой т — 100 кг. Счи¬
тая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально
скорости, определить, через какой промежуток времени т ускоре¬
ние о груза будет равно половине ускорения свободного падения.
Коэффициент сопротивления к = 10 кг/с.
2.30.	Моторная лодка массой т = 400 кг начинает двигаться
по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопро¬
тивления Fc пропорциональной скорости, определить скорость v
лодки через т = 20 с после начала ее движения. Коэффициент
сопротивления к = 20 кг/с.
2.31.	Катер массой т — 2 т трогается с места и в течение вре¬
мени т = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость
v = 4м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной.
Принять силу сопротивления Fc движению пропорциональной ско¬
рости; коэффициент сопротивления к = 100 кг/с.
2.32.	Начальная скорость vq пули равна 800 м/с. При движе¬
нии в воздухе за время t = 0,8 с ее скорость уменьшилась до
v = 200м/с. Масса т пули равна Юг. Считая силу сопроти¬
вления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить
коэффициент сопротивления к. Действием силы тяжести прене¬
бречь.
2.33.	Парашютист, масса которого m = 80 кг, совершает затяж¬
ной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорцио¬
нальна скорости, определить, через какой промежуток времени т
скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости уста¬
новившегося движения. Коэффициент сопротивления к = 10 кг/с.
Начальная скорость парашютиста равна нулю.
Закон сохранения импульса
2.34.	Шар массой тп\ = 10 кг, движущийся со скоростью v\ =
= 4 м/с, сталкивается с шаром массой m2 = 4 кг, скорость ь'2
которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти
скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар на¬
гоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары
движутся навстречу друг другу.
2.35.	В лодке массой mi = 240 кг стоит человек массой m2 =
= 60 кг. Лодка плывет со скоростью v\ — 2 м/с. Человек пры¬

§ 2. Динамика материальной точки и тела
43
гает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v =
= 4м/с (относительно лодки). Найти скорость и движения лодки
после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед
по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению
лодки.
2.36.	На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной
легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса
человека М = 60 кг, масса доски m = 20 кг. С какой скоростью v
(относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет
вдоль доски со скоростью (относительно доски) и = 1 м/с? Массой
колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.
2.37.	В предыдущей задаче найти, на какое расстояние: 1) пе¬
редвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски;
2)	переместится человек относительно пола; 3) переместится центр
масс системы тележка-человек относительно доски и относительно
пола. Длина I доски равна 2 м.
2.38.	На железнодорожной платформе установлено орудие.
Масса платформы с орудием М = 15 т. Орудие стреляет вверх
под углом ip = 60° к горизонту в направлении пути. С какой
скоростью Vi покатится платформа вследствие отдачи, если масса
снаряда m = 20 кг и он вылетает со скоростью v2 = 600 м/с?
2.39.	Снаряд массой тп = 10 кг обладал скоростью v — 200 м/с
в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две ча¬
сти. Меньшая массой тп\ = Зкг получила скорость щ = 400 м/с в
прежнем направлении. Найти скорость и2 второй, большей части
после разрыва.
2.40.	В предыдущей задаче найти, с га кой скоростью и2 и под
каким углом ip2 к горизонту полетит большая часть снаряда, если
меньшая полетела вперед под углом р>\ — 60° к горизонту.
2.41.	Два конькобежца массами тп\ = 80 кг и т2 = 50 кг, дер¬
жась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на
льду один против другого. Один из них начинает укорачивать
шнур, выбирая его со скоростью v = 1 м/с. С какими скоростями
щ и и2 будут двигаться по льду конькобежпы? Трением прене¬
бречь.
Динамика материальной точки, движущейся по окружности
2.42.	Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикаль¬
ной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент
трения р = 0,4, найти частоту п вращения, при которой кубик
соскользнет с диска.
2.43.	Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» ради¬
усом г = 4м. С какой наименьшей скоростью omin должен проез¬
жать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?
2.44.	К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так,
что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как

44
Гл. 1. Физические основы механики
велика сила Т натяжения шнура в момент, когда гиря проходит
положение равновесия? Какой угол р с вертикалью составляет
шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести
гири?
2.45.	Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м.
Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в ниж¬
ней точке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость само¬
лета v = 100 м/с?
2.46.	Грузик, привязанный к шнуру длиной I = 50 см, описы¬
вает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол р обра¬
зует шнур с вертикалью, если частота вращения п = 1 с-1?
2.47.	Грузик, привязанный к нити длиной / = 1 м, описывает
окружность в горизонтальной плоскости. Определить период Т
обращения, если нить отклонена на угол р = 60° от вертикали.
2.48.	При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на
расстоянии г = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меня¬
ется сила F давления оси на подшипники, если частота вращения
маховика п = 10 с-1? Масса m маховика равна 100кг.
2.49.	Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального
цилиндра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с чело¬
веком расположен на расстоянии I = 0,8 м от поверхности цилин¬
дра. Коэффициент трения р покрышек о поверхность цилиндра
равен 0,6. С какой минимальной скоростью wmjn должен ехать мо¬
тоциклист? Каков будет при этом угол р наклона его к плоскости
горизонта?
2.50.	Автомобиль массой тп = 5 т движется со скоростью v =
= 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления ав¬
томобиля на мост в его верхней части, если радиус R кривизны
моста равен 50 м.
2.51.	Сосуд с жидкостью вращается с частотой п = 2 с-1 во¬
круг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки.
Чему равен угол ip наклона поверхности жидкости в точках, лежа¬
щих на расстоянии г = 5 см от оси?
2.52.	Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кри¬
визны которого равен 200 м. Коэффициент трения р колес о по¬
крытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости v автомо¬
биля начнется его занос?
2.53.	Какую наибольшую скорость vmax может развить велоси¬
педист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффици¬
ент трения скольжения р между шинами и асфальтом равен 0,3?
Каков угол ip отклонения велосипеда от вертикали, когда велоси¬
педист движется по закруглению?
2.54.	Самолет массой m = 2,5 т летит со скоростью v = 400 км/ч.
Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж — по¬
лет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Ра¬
диус R траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный

§ 2. Динамика материальной точки и тела
45
угол (р наклона самолета и подъемную силу F крыльев во время
полета.
2.55.	Вал вращается с частотой п = 2400 мин-1. К валу пер¬
пендикулярно его оси прикреплен стержень очень малой массы,
несущий на концах грузы массой тп = 1 кг каждый, находящиеся
на расстоянии г = 0,2 м от оси вала. Найти: 1) силу F, растягива¬
ющую стержень при вращении вала; 2) момент М силы, которая
действовала бы на вал, если бы стержень был наклойен под углом
<р = 89° к оси вала.
2.56.	Тонкое однородное медное кольцо радиусом R = 10 см
вращается относительно оси, проходящей через центр кольца, с
угловой скоростью uj = 10 рад/с. Определить нормальное напря¬
жение ст, возникающее в кольце, если ось вращения перпендику¬
лярна плоскости кольца.
Работа и энергия
2.57.	Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь
s = 5 м и приобрела скорость v = 2 м/с. Определить работу А
силы, если масса т вагонетки равна 400кг и коэффициент трения
F = 0,01.
V 2.58. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном
подъеме груза массой гп = 100 кг на высоту h — 4 м за время
f = 2с.
2.59.	Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости
длиной I = 2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона <р =
— 30°, коэффициент трения р = 0,1 и груз движется с ускорением
а = 1 м/с2.
2.60.	Вычислить работу А, совершаемую на пути s = 12 м рав¬
номерно возрастающей силой, если в начале пути сила F\ = ЮН,
в конце пути F2 — 46 Н.
2.61.	Под действием постоянной силы F = 400 Н, направленной
вертикально вверх, груз массой т — 20 кг был поднят на высоту
h = 15 м. Какой потенциальной энергией П будет обладать подня¬
тый груз? Какую работу А совершит сила F?
2.62.	Тело массой m = 1 кг, брошенное с вышки в горизонталь¬
ном направлении со скоростью vq — 20 м/с, через t = Зс упало на
землю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело
в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
2.63.	Камень брошен вверх под углом <р = 60° к плоскости гори¬
зонта. Кинетическая энергия То камня в начальный момент вре¬
мени равна 20 Дж. Определить кинетическую Т и потенциальную
П энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
2.64.	Насос выбрасывает струю воды диаметром d = 2 см со
скоростью v = 20 м/с. Найти мощность N, необходимую для вы¬
брасывания воды.

46
Гл. 1. Физические основы механики
2.65.	Какова мощность N воздушного потока сечением S =
= 0,55 м2 при скорости воздуха v = 20 м/с и нормальных усло¬
виях?
2.66.	Вертолет массой т = Зт висит в воздухе. Определить
мощность N, расходуемую на поддержание вертолета в этом по¬
ложении, при двух значениях диаметра d ротора: 1) 18 м; 2) 8 м.
При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую
струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора.
2.67.	Материальная точка массой т = 2 кг двигалась под дей¬
ствием некоторой силы, направленной вдоль оси Ох согласно урав¬
нению х = А + Bt + Ct2 + Dt3, где А = 10м, В = —2м/с,
С = 1 м/с2, D — —0,2 м/с3. Найти мощность N, затрачиваемую
на движение точки, в моменты времени t\ — 2 с и <2 = 5 с.
2.68.	С какой наименьшей высоты h должен начать скаты¬
ваться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать
по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиусом R = 4 м,
и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пре¬
небречь.
2.69.	Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего
форму полусферы. Какую дугу а опишет камешек, прежде чем
оторвется от поверхности купола? Трением пренебречь.
2.70.	Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наи¬
меньшую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор,
проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом
R = 4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.
2.71.	При выстреле из орудия снаряд массой mi = 10 кг полу¬
чает кинетическую энергию Ti = 1,8 МДж. Определить кинетиче¬
скую энергию Т2 ствола орудия вследствие отдачи, если масса т2
ствола орудия равна 600 кг.
2.72.	Ядро атома распадается на два осколка массами mi =
= 1,6 • 10-25 кг и т2 = 2,4 • 10-25 кг. Определить кинетическую
энергию Т2 второго осколка, если энергия Т\ первого осколка равна
18нДж.
2.73.	Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой
mi = 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью ?;2 =
= 1м/с. Масса конькобежца т2 = 60 кг. Определить работу А,
совершенную конькобежцем при бросании гири.
2.74.	Молекула распадается на два атома. Масса одного из ато¬
мов в п = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной
кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кине¬
тические энергии Т\ и Т2 атомов, если их суммарная кинетическая
энер!ия Т = 0,032 нДж.
2.75.	На рельсах стоит платформа, на которой в горизонталь¬
ном положении закреплено орудие без противооткатного устрой¬
ства. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути.
Масса снаряда mi равна 10 кг и его скорость v = 1 км/с. Масса m2

§ 2. Динамика материальной точки и тела
47
Ml —
Рис. 2.11
платформы с орудием и прочим грузом равна 20 т. На какое рас¬
стояние I откатится платформа после выстрела, если коэффициент
сопротивления р = 0,002?
2.76.	Пуля массой тп = Юг, летевшая со скоростью v = 600м/с,
попала в баллистический маятник (рис. 2.11) массой М = 5 кг и
застряла в нем. На какую высоту
h, откачнувшись после удара, под-
нялся маятник?
2.77.	В баллистический маят¬
ник массой М = 5 кг попала пуля
массой m = Юг и застряла в нем.
Найти скорость v пули, если ма¬
ятник, отклонившись после удара,
поднялся на высоту h = 10 см.
2.78.	Два груза массами mi =
= 10 кг и тп2 = 15 кг подвешены на нитях длиной / = 2 м так,
что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был откло¬
нен на угол ip = 60° и пущен. Определить высоту h, на которую
поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим.
2.79.	Два неупругих шара массами mi = 2 кг и m2 = Зкг
движутся со скоростями соответственно v\ — 8 м/с и ц2 — 4 м/с.
Определить увеличение ДU внутренней энергии шаров при их
столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший;
2)	шары движутся навстречу друг другу.
2.80.	Шар массой mi, летящий со скоростью v\ = 5м/с, уда¬
ряет неподвижный шар массой тп2. Удар прямой, неупругий. Опре¬
делить скорость и шаров после удара, а также долю w кинетиче¬
ской энергии летящего шара, израсходованной на увеличение вну¬
тренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) mi =
= 2 кг, m2 = 8 кг; 2) mi = 8 кг, т2 = 2 кг.
2.81.	Шар массой mi = 2 кг налетает на покоящийся шар мас¬
сой т2 = 8 кг. Импульс р\ движущегося шара равен Юкг-м/с.
Удар шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после
удара: 1) импульсы р[ первого шара и р'2 второго шара; 2) из¬
менение Api импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т[
первого шара и Т2 второго шара; 4) изменение ДТ1 кинетической
энергии первого шара; 5) долю w кинетической энергии, передан¬
ной первым шаром второму.
2.82.	Шар массой mi = 6 кг налетает на другой, покоящийся
шар массой m2 = 4 кг. Импульс р\ первого шара равен 5кг-м/с.
Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно по¬
сле удара: 1) импульсы р\ первого шара и р'2 второго шара; 2) из¬
менение Др1 импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т[
первого шара и Т2 второго шара; 4) изменение ДТ1 кинетической
энергии первого шара; 5) долю n>i кинетической энергии, пере¬

48
Гл. 1. Физические основы механики
данной первым шаром второму, и долю W2 кинетической энергии,
оставшейся у первого шара; 6) изменение AU внутренней энергии
шаров; 7) долю w кинетической энергии первого шара, перешед¬
шей во внутреннюю энергию шаров.
2.83.	Молот массой тпi = 5 кг ударяет небольшой кусок железа,
лежащий на наковальне. Масса m2 наковальни равна 100 кг. Мас¬
сой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить к.п.д.
т] удара молота при данных условиях.
2.84.	Боек свайного молота массой mi — 500 кг падает с не¬
которой высоты на сваю массой m2 = 100 кг. Найти к.п.д. т]
удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной
энергии сваи при углублении ее пренебречь.
2.85.	Молотком, масса которого mi = 1 кг, забивают в стену
гвоздь массой m2 = 75 г. Определить к.п.д. т] удара молотка при
данных условиях.
2.86.	Шар массой mi = 200 г, движущийся со скоростью wi =
= 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m2 = 800 г. Удар
прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости щ и «2 шаров
после удара?
2.87.	Шар массой m — 1,8 кг сталкивается с покоящимся ша¬
ром большей массы М. В результате прямого упругого удара шар
потерял w = 0,36 своей кинетической энергии Ti. Определить
массу большего шара.
2.88.	Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров боль¬
ший шар покоится. В результате прямого удара меньший шар
потерял w = 3/4 своей кинетической энергии Ti. Определить от¬
ношение к = М/m масс шаров.
2.89.	Определить максимальную часть w кинетической энер¬
гии Ti, которую может передать частица массой гп\ — 2 ■ 10_22г,
сталкиваясь упруго с частицей массой m2 = 6 • 10“ 22 г, которая до
столкновения покоилась.
2.90.	Частица массой mi = 10-25 кг обладает импульсом р\ =
= 5 • 1(Г20 кг-м/с. Определить, какой максимальный импульс р2
может передать эта частица, сталкиваясь упруго с частицей массой
m2 = 4 • 10-25 кг, которая до соударения покоилась.
2.91.	На покоящийся шар налетает со скоростью v\ = 2 м/с
другой шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения
этот шар изменил направление движения на угол а = 30°. Опре¬
делить: 1) скорости щ и U2 шаров после удара; 2) угол /3 между
вектором скорости второго шара и первоначальным направлением
движения первого шара. Удар считать упругим.
2.92.	Частица массой mi = 10-24 г имеет кинетическую энер¬
гию Т\ = 9 • 10“9 Дж. В результате упругого столкновения с поко¬
ящейся частицей массой m2 = 4 • 10-24 г она сообщает ей кинети¬

§ 2. Динамика материальной точки и тела
49
ческую энергию Т2 = 5 • 10 9 Дж. Определить угол а, на который
отклонится частица от своего первоначального направления.
2.93*. Два шара массами m и 4т движутся в одном направле¬
нии, имея одинаковые кинетические энергии (Ti = Т2 = 100 Дж).
Определить непосредственно после удара: 1) кинетическую энер¬
гию Т2 второго (большего) шара; 2) изменение AU внутренней
энергии шаров. Удар считать прямым, центральным, неупругим.
2.94*. Два шара массами m и 4т движутся навстречу друг
другу, имея одинаковые кинетические энергии (Ti = Т2 = 200 Дж).
Определить непосредственно после удара: 1) кинетическую энер¬
гию Т[ первого (меньшего) шара; 2) изменение AU внутренней
энергии шаров. Удар считать центральным, неупругим.
2.95*. Кинетические энергии Т\ и Т2 двух шаров, движущихся
в одном направлении, соответственно равны 400 Дж и 100 Дж. Оп¬
ределить непосредственно после прямого, центрального, неупру¬
гого удара: 1) изменения ATi и ДТ2 кинетических энергий пер¬
вого и второго шара; 2) изменение внутренней энергии А Г/ шаров.
2.96*. То же условие что и в предыдущей задаче, но шары дви¬
жутся навстречу друг другу.
2.97*. Шар массой m налетает на другой шар массой 4т, дви¬
жущийся в том же направлении. Кинетические энергии шаров
до удара одинаковы (Т\ —	= 250 Дж). Удар шаров прямой,
центральный, упругий. Определить непосредственно после удара:
1)	кинетические энергии Т{ и Т'2 шаров; 2) изменения ATi и ДТ2
их кинетических энергий.
2.98*. То же условие, что и в задаче 2.97, но шары движутся
навстречу друг другу.
2.99*. В одном направлении движутся два шара с одинаковыми
импульсами (pi = Р2; |pi| = 10кг м/с). Считая удар шаров пря¬
мым, центральным и упругим, определить импульсы р', и ша¬
ров после удара, если отношение масс шаров равно четырем.
2.100*. То же условие, что и в задаче 2.99, но шары движутся
навстречу друг другу (pi = -рг)-
2.101*. Катер массой m = 1,5 т начинает движение по озеру
под действием постоянной силы тяги. Определить, через какой
промежуток времени т скорость катера достигнет значения, рав¬
ного половине максимально достижимой скорости. Принять силу
сопротивления пропорциональной скорости катера и коэффициент
сопротивления к = 100 кг/с.
2.102*. Моторная лодка массой m = 200 кг, достигнув скорости
г = 8м/с, стала двигаться далее с, выключенным двигателем. Счи¬
тая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить
путь s, пройденный лодкой за время т с момента выключения дви¬
гателя. Коэффициент сопротивления к принять равным 25 кг/с.
5 Зак. 237

50
Гл. 1. Физические основы механики
2.103*. С поверхности Луны стартовала ракета массой тс — 2 т.
Спустя время т ракета достигла первой (лунной) космической ско¬
рости Vi = 1,68 км/с. Определить массовый расход ц топлива,
если скорость и истечения газов из сопла ракеты равна 4 км/с.
Силой тяжести пренебречь.
2.104*. Топливо баллистической ракеты составляет Т) = 3/4 от
стартовой массы ракеты. Определить скорость v ракеты после пол¬
ного сгорания топлива, если скорость и истечения газов из сопла
ракеты постоянна и равна 2 км/с. Силой тяжести и сопротивле¬
нием воздуха пренебречь.
2.105*. Во сколько раз будет отличаться ускорение о ракеты от
стартового ускорения ас в тот момент времени, когда ее скорость
v станет равной скорости и истечения газов из сопла ракеты. Силу
тяги считать неизменной. Силами тяжести и сопротивления воз¬
духа пренебречь.
2.106*. Каково относительное изменение	массы ракеты
тс
(тс — стартовая масса) к тому моменту времени, когда ее ско¬
рость v достигнет скорости и истечения газов из сопла ракеты.
Силами тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.
§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
вокруг неподвижной оси
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
•	Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения
М = FJ,
где Fj_ — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вра¬
щения; I — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до
линии действия силы).
•	Момент инерции относительно оси Oz:
а)	материальной точки
Jz = тг2,
где т — масса материальной точки; г — расстояние от нее до оси вра¬
щения;
б)	системы материальных точек
П
Jz = 5>Г?,
i=l
где mi — масса г-й материальной точки; г* — расстояние от этой точки
до оси Oz\

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
51
в) твердого тела
-/
г2 dm,
где знак «т» у интеграла означает, что интегрирование ведется по всем
элементам твердого тела, обладающим массой.
Для однородного тела плотностью р
= Р1
г2 dF,
где dV’ — дифференциально малый объем тела, знак «V» у интеграла
означает, что интегрирование ведется по всем элементам объема твердого
тела.
• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической
формы: •Тело
Ось, относительно которой
определяется момент инерции
Формула
момента
инерции
Однородный тонкий стержень
массой m и длиной /
Проходит через центр тяжести
стержня перпендикулярно
стержню
ml2
ТТ
Проходит через конец стержня
перпендикулярно стержню
ml2
ТГ
Тонкое кольцо, обруч, труба
радиусом R и массой т,
маховик радиусом R и массой
т, распределенной по ободу
Проходит через центр
перпендикулярно плоскости
основания
mR2
Круглый однородный диск
(цилиндр) радиусом R и
массой m
Проходит через центр диска
перпендикулярно плоскости
основания
mR2
2
Однородный шар массой m и
радиусом R
Проходит через центр шара
2mR2
5
•	Для плоских фигур (тонких пластин и жестко связанных матери¬
альных точек, лежащих в одной плоскости) справедливо равенство
Jz — Jx "b Jy>
где Jz — момент инерции плоской фигуры относительно оси Oz, пер¬
пендикулярной плоскости; Jx и Jy — моменты инерции той же фигуры
относительно осей Ох и Оу, лежащих в плоскости.
•	Теорема Штейнера. Момент инерции Jz< твердого тела относи¬
тельно оси Oz'
= Jz,C + rna2,
5*

52
Гл. 1. Физические основы механики
где JZic — момент инерции тела относительно оси Oz, проходящей через
его центр масс (С); тп — масса тела; a — расстояние между параллель¬
ными осями Oz и Oz1.
•	Момент силы, действующий на тело, относительно точки О
М = [rF],
где г — радиус-вектор, направленный от точки О, относительно которой
определяется момент силы, к точке приложения силы F.
•	Момент силы, действующий на тело, относительно оси Oz (проек¬
ция вектора М на ось Oz)
Mz = [rF]np_2,
или
Mz = FJ,
где F±_ — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси Oz;
I — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси до линии действия
силы).
•	Момент импульса материальной точки относительно точки О
L = [гр],
где г — радиус-вектор, направленный от точки О, относительно кото¬
рой определяется момент импульса, к движущейся материальной точке,
импульс которой равен р.
•	Момент импульса материальной точки относительно оси Oz (про¬
екция вектора L на ось Oz)
Lz — [rpjnp.zj
или
Lz = pi_l,
где р±_ — проекция импульса р на плоскость, перпендикулярную оси
Oz; I — плечо импульса р (кратчайшее расстояние от оси Oz до линии,
вдоль которой движется материальная точка).
• Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно оси Oz,
Lz — Jzlj .
• Основной закон динамики вращательного движения:
а) относительно неподвижной точки
где М — главный (результирующий) момент всех внешних сил, действу¬
ющих на систему относительно неподвижной точки О;
dL
— — скорость изменения момента импульса системы относительно той
же точки;

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
53
б) относительно неподвижной оси Oz
где Mz и Lz — главный момент внешних сил и момент импульса си¬
стемы относительно оси Oz, или для твердого тела с неизменным мо¬
ментом инерции
Mz = Jz£,
где Jz — момент инерции твердого тела, е — угловое ускорение.
• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:
а)	относительно точки (М = 0)
L = const;
б)	относительно оси Oz (Mz = 0)
Lz = const,
или
Jzw — const,
где u> — угловая скорость тела.
• Работа постоянного момента силы Mz, действующего на вращаю¬
щееся вокруг оси Oz тело,
А = Mzip,
где (р — угол поворота тела.
• Мгновенная мощность
N = Mzu.
• Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвиж¬
ной оси Oz,
• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости,
где vc — скорость центра масс тела, Jz — момент инерции тела отно¬
сительно мгновенной оси Oz, проходящей через его центр масс.
• Величины, характеризующие динамику вращательного движения,
и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим
величинам и формулам поступательного движения.

54
Гл. 1. Физические основы механики
Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:
Поступательное движение
Вращательное движение
Основной закон динамики
F At - mv2 — mu 1;
MAt -- Jui2 — Jwi\
F = та
М — Je
Закон сохранения
импульса
момента импульса
Y rnxVi — const
1=1
Y, — Const ,
*'=1
Работа и мощность
А = Fs;
А = М<р\
N = Fv
N = Ми)
Кинетическая энергия
гг
2
2
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пр и мер 1. Вычислить момент инерции Jz молекулы NO2 относи¬
тельно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно
плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой
молекулы равно 0,118 нм, валентный угол a = 140°.
Решение. Молекулу NO2 можно рассматривать как систему, со¬
стоящую из трех материальных точек общей массой
т = 2m 1 + m2,	(1)
где mi — масса атома кислорода; m2 — масса атома азота.
Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это
указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром масс С (ось

	§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела	55
Оу) молекулы, ось г направим перпендикулярно плоскости чертежа «на
нас»).
Для определения Jz воспользуемся теоремой Штейнера
J = Jc + та2.
Для данного случая эта теорема запишется в виде Jz' = Jz + та2, где
Jz< — момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и прохо¬
дящей через атом азота (точка О на рис. 3.1). Отсюда искомый момент
инерции
Jz = Jz, — та2.	(2)"
Момент инерции JZ' находим как сумму моментов инерции двух мате¬
риальных точек (атомов кислорода):
Jz< 2m\dP.	(3)
Расстояние а между осями z и z' равно координате Хс центра масс
системы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2) хс ■ —
т,т'/ Ylmi- В данном случае
2mix\ -ИП2Х2
(X Хс — Z '	j
2т 1 + 7712
или, учитывая, что xi = dcos(a/2) и х^ = О,
2mi
О — Xq —
„	d cos^.
2mi + m2 2
(4)
Подставив в формулу (2) значения Jz>, m, а соответственно из выра¬
жений (3), (1), (4), получим
Л=2т1<?-(2т1+т,)(^!^)
(f cos2
a
2’
или после преобразований
2т г
2mi + m2
cos2
(5)
Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода (До —
= 16) и азота (An = 14) и запишем массы атомов этих элементов
в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах
(1а.е.м. = 1,66 ■ 10~27кг, см. табл. 9):
mi = 16 • 1,66 - КГ27 = 2,66 • 10-26 кг;
т2 = 14 • 1,66 • КГ27 = 2,32 НГ26 кг.

56
Гл. 1. Физические основы механики
Значения mi, m2, d и a подставим в формулу (5)8) и произведем вычи¬
сления:
/■ Jz = 6,80 • 10 46 кг • м
Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень дли¬
ной I = 1 м и массой mi = 1 кг с прикрепленным к одному из его концов
диском массой m2 — 0,5mi. Определить момент
инерции Jz такого маятника относительно оси
Oz, проходящей через точку О на стержне пер¬
пендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2).
Решение. Общий момент инерции маят¬
ника равен сумме моментов инерции стержня JZl
и диска
Jz — JZl + JZ2.	(6)
Формулы, по которым вычисляются моменты
инерции стержня Ji и диска J2 относительно
осей, проходящих через их центры масс, даны
в табл, на с. 51. Чтобы определить моменты
инерции Jzj и JZ2, надо воспользоваться теоре¬
мой Штейнера
Рис. 3.2
J = Jc + та2.
(7)
Выразим момент инерции стержня согласно формуле (7):
•7*1 —
mil2	2
-J2- +тЮ1-
Расстояние ai между осью Oz и параллельной ей осью, проходящей
через центр масс Ci стержня, как следует из рис. 3.2, равно 1/2 — 1/3 =
= 1/6. С учетом этого запишем
, mil2
•7*1 = -jy + mi
(O’-
mil2
= 0,lllmiJ2.
Момент инерции диска в соответствии с формулой (7) равен
•7*2 —
m2R2 .	2
—— + ?n202,
где R — радиус диска; R = 1/4. Расстояние аа между осью Oz и парал¬
лельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 3.2)
21/3 + 1/4 = 111/12. С учетом этого запишем
•7*2 = ^ (j) + m2	= 0,0312m2/2 + 0,840m2i2 = 0,871m2J2.
8) Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов
можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят
в виде отношения.

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
57
Подставив полученные выражения Jzi И в формулу (6), найдем
Jz = 0,111toiJ2 +0,871m2i2 = (0,lllmi + 0,871m2)i2,
или, учитывая, что m2 = 0,5mi,
Jz = 0,547ml l2.
Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического
маятника относительно оси Oz:
Jz = 0,547 кг • м2.
Пример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой mi = 10 кг на¬
сажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному
концу которого подвешена гиря массой т2 = 2 кг (рис. 3.3). С каким
ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
Решение. Линейное ускорение а гири равно тан¬
генциальному ускорению точек вала, лежащих на его ци¬
линдрической поверхности, и связано с угловым ускоре¬
нием е вала соотношением
a = ет,	(8)
где г — радиус вала.
Угловое ускорение вала выражается основным урав¬
нением динамики вращающегося тела
(9)
где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инер¬
ции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его мо¬
мент инерции относительно геометрической оси равен
_ mi г2
2 •
Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению
силы натяжения Т шнура на радиус вала: М = Тг.
Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На
гирю действуют две силы: сила тяжести m2g, направленная вниз, и
сила натяжения Т шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих
сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Нью¬
тона, m2g—Т = т2а, откуда Т = mi(g—a). Таким образом, вращающий
момент М = т2(д — а)г.
Подставив в формулу (9) полученные выражения М и J, найдем угло¬
вое ускорение вала:
Рис. 3.3
m2(g - a)r _ 2m2(g - а)
(l/2)mir2	mir
4 Зак. 237

58
Гл. 1. Физические основы механики
Для определения линейного ускорения гири подставим выражение е
в формулу (8). Получим о = 2т2(д - a)/mi, откуда
a
2 т2
mi + 2шг
9 =
2,80 м/с2.
П р и м е р 4. Через блок в виде диска, имеющий массу т = 80 г, пере¬
кинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами
mi = 100 г и т2 = 200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут двигаться
грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
Решение. Применим к решению задачи основные законы поступа¬
тельного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов
действуют две силы: сила тяжести mg, направленная
вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх.
Так как вектор ускорения а груза mi направлен вверх,
то Г] > rriig. Равнодействующая этих сил вызывает рав¬
ноускоренное движение и, по второму закону Ньютона,
равна Т] — тгц д = тха, откуда
Ti = m\g + mia.	(10)
Вектор ускорения а груза т2 направлен вниз; следо¬
вательно, Т2 < т2д. Запишем формулу второго закона
для этого груза: т2д — Т2 = m2a, откуда
T2=m2g-m2a.	(11)
Согласно основному закону динамики вращательного дви¬
жения, вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведе¬
нию момента инерции J диска на его угловое ускорение е:
М = Je.	(12)
''m-л
Рис. 3.4
Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют
не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы
Т! и Т2, приложенные к ободу диска, равны соответственно силам Т\ и
Т2, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск
ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, Т2 > Т[. Вра¬
щающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности
этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. М = (Т^ — Т[)г. Мо¬
мент инерции диска J = mr2/2, угловое ускорение связано с линейным
ускорением грузов соотношением £ = a/r. Подставив в формулу (12)
выражения М, J и е, получим
(П - Т{)г =
mr2 a
"Гг*
Т2 - т[ -
откуда

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
59
Так как Т{ = Т) и Т2' = Т2, то можно заменить силы Т[ и 7^ выра¬
жениями по формулам (10) и (11), тогда
или
тп
тпцд — т2а — тщд — mi а = —а,
/	т\
(т2 - mi)g = (т2 + mi + — J а,
откуда
а =
т2 — т\
т2 + тх + m/2
9-
(13)
Отношение масс в правой части формулы (13) есть величина безраз¬
мерная. Поэтому значения масс mi, m2 и тп можно выразить в граммах,
как они даны в условии задачи. После подстановки получим
а =
0,2 - 0,1
0,2 + 0,1 + 0,04
9,81 м/с2 = 2,88 м/с2.
Пример 5. Маховик в виде диска массой m = 50кг и радиусом
г = 20 см был раскручен до частоты вращения ni = 480 мин-1 и за¬
тем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился.
Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев:
1) маховик остановился через * = 50 с; 2) маховик до полной остановки
сделал N = 200 оборотов.
Решение. 1. По второму закону динамики вращательного движе¬
ния изменение момента импульса вращающегося тела равно произведе¬
нию момента силы, действующего на тело, на время действия этой силы:
МД* = Ju>2 — ,/w i,
где J — момент инерции маховика; u>i и w2 — начальная и конечная
угловые скорости. Так как ц>2 = 0 и Д* = *, то Mt = — Jui, откуда
(14)
Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен
J = mr212. Подставив эТо выражение в формулу (14), найдем
М = —
тпт2 u>i
21 '
(15)
Выразив угловую скорость u>i через частоту вращения ni и произведя
вычисления по формуле (15), найдем
М = -1 Н • м.
4*

60
Гл. 1. Физические основы механики
2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до
остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу,
выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:
Ju> 2	JlO j
или, учтя, что а>2 = 0,
(16)
Работа при вращательном движении определяется по формуле А =
= Му. Подставив выражения работы и момента инерции диска в фор¬
мулу (16), получим
Му — —
тг2ы\
4	'
Отсюда момент силы трения
2 2
mrLu{
Угол поворота у = 2пN = 2-3,14-200 = 1256рад. Произведя вычисления
по формуле (17), получим
М = — 1 Н • м.
Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее
действие.
Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5м и массой
mi = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой
п = 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой шг = 60 кг.
Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь
человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. По закону сохранения момента импульса,
(J\ + >/2)^ = (Ji + J'2W,	(18)
где J\ — момент инерции платформы; J2 — момент инерции человека,
стоящего в центре платформы; и> — угловая скорость платформы с чело¬
веком, стоящим в ее центре; J2 — момент инерции человека, стоящего
на краю платформы; ы' — угловая скорость платформы с человеком,
стоящим на ее краю.
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана
с угловой скоростью соотношением
v = lo'R.
(19)

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
61
Определив и/ из уравнения (18) и подставив полученное выражение в
формулу (19), будем иметь
(J\ + J2)uJl
Ji + J\
(20)
Момент инерции платформы рассчитываем, как для диска; следовательно,
Jj = miR2/2. Момент инерции человека рассчитываем, как для матери¬
альной точки. Поэтому J2 =0, Л = m2i?2. Угловая скорость платформы
до перехода человека равна oj = 27m.
Заменив в формуле (20) величины J\, J2, J'2 и w их выражениями,
получим
V
miR2/2
miR2/2 + т2Я2
2л nR =
mi
mi + 2 т2
2л nR.
Сделав подстановку значений mi, m2, п, R и 7Г, найдем линейную ско¬
рость человека:
180
180 + 2 ■ 60
. 2 • 3,14.	. 1,5 "г •С
• М
60
кг
= 0,942 м/с.
Пр имер 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе
с ней вращается по инерции. Частота вращения ni = 0,5 с-1. Момент
инерции Jq тела человека относительно оси вращения равен 1,6кг-м2.
В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой тп = 2 кг
каждая. Расстояние между гирями /1 = 1,6 м. Определить частоту вра¬
щения п2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние 12
между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи прене¬
бречь.
Решение. Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет вместе со
скамьей замкнутую механическую систему 0), поэтому момент импульса
®) Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил ре¬
акции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются
уравновешенными. Трением пренебречь.

62
Гп. 1. Физические основы механики
Jto этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для
данного случая
1 -- ^2ш2>
где Ji и — момент инерции тела человека и угловая скорость ска¬
мьи и человека с вытянутыми руками; J2 и lj-z — момент инерции тела
человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками.
Отсюда
Ji
U>2 — T”Wl.
j2
Выразив в этом уравнении угловые скорости и и>2 через частоты вра¬
щения «1 и П2 (ш = 2im) и сократив на 2тг, получим
*	т
«2 - -f-Щ.	(21)
Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен
сумме момента инерпии тела человека Jo и момента инерции гирь в
руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от
оси вращения, то момент инерпии гирь можно определить по формуле
момента инерции материальной точки: J = тт2. Следовательно10),
J\ — Jo + 2m f—^ ; J2 = Jo + 2m
где m — масса каждой из гирь; h и /2 — первоначальное и конечное
расстояния между гирями. Подставив выражения J\ и J2 в уравнение
(21), получим
_ Jp + 2m(h/2)2
"2 J0 + 2m(l2/2yni
(22)
Выполнив вычисления по формуле (22), найдем
П2 = 1,18 с-1.
Пример 8. Стержень длиной / = 1,5м и массой М = 10кг может
вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец
стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой т = Юг,
летящая в горизонтальном направлении со скоростью но = 500 м/с, и
застревает в стержне. На какой угол ip отклонится стержень после удара?
Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: по¬
сле удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с
одинаковыми скоростями.
10) В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) из¬
меняется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду
сложности учета этого изменения будем считать момент инерции Jo тела чело¬
века постоянным.

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
63
Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала
пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени
приводит его в движение с угловой ско¬
ростью ы и сообщает ему кинетическую
энергию
Ju?
Т=—,	(23)
где J — момент инерции стержня отно¬
сительно оси вращения.
Затем стержень поворачивается на
искомый угол if, причем центр масс
его поднимается на высоту h = (1/2) х
х (1 — cos ip). В отклоненном положении
стержень будет обладать потенциальной
энергией
П = М<Д(1 — cosip). (24)
Рис. 3.6
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна
ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (23)
и (24), получим
,,1,.	Л Ju2
Мд-(1-cosip) = ——.
Отсюда
cos If = 1 —
Jj2
MgV
Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня J =
= Ml2/3, получим
lu>2
COS If = 1 — ——.
3д
(25)
Чтобы из выражения (25) найти if, необходимо предварительно опре¬
делить значение ол В момент удара на пулю и на стержень действуют
силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и
направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вра¬
щения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив
закон сохранения момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость стержня шо = 0, по¬
этому его момент импульса Loi = Ju>o = 0. Пуля коснулась стержня и
начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участ¬
вуя во вращении стержня около оси. Начальный момент импульса пули
Ьо2 = mvQT, где г — расстояние точки попадания от оси вращения.
В конечный момент удара стержень имел угловую скорость ш, а пуля —
линейную скорость v, равную линейной скорости точек стержня, находя¬
щихся на расстоянии г от оси вращения. Так как v = иг, то конечный
момент импульса пули £-2 = mvr = тпг2ш.

64
Гл. 1. Физические основы механики
Применив закон сохранения импульса, можем написать
Lqi + L02 = Li + L2> или mv0r = Ju + mr2u>,
откуда
и =
mv^r
J + mr2 ’
(26)
где J = Ml2/3 — момент инерции системы стержень-пуля.
Если учесть, что в (26) mr2 < J = Ml2/3, а также, что г -1/2, то
после несложных преобразований получим
Zmvo
LJ — 	.
2 Ml
Подставив числовые значения величин в (27), найдем
3 • 10-2 ■ 500 кг ■ м/с _ _
и =	— = 0,5 с .
2 ■ 10 1,5 кг - м
По (25) получим
cosЧ> = 1 - Уэз}2 = 0,987,	= 9°20'.
О |
I
I
Ф-
ЗАДАЧИ
Момент инерции
3.1.	Определить момент инерции J материальной точки массой
тп = 0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на г = 20 см.
3.2.	Два маленьких шарика массой m = Юг каждый скреп¬
лены тонким невесомым стержнем длиной I = 20 см. Опреде¬
лить момент инерции J системы отно¬
сительно оси, перпендикулярной стерж¬
ню и проходящей через центр масс.
3.3. Два шара массами тп и 2т (тп -
= Юг) закреплены на тонком невесо¬
мом стержне длиной I = 40 см так, как
это указано на рис. 3.7а, 6. Определить
моменты инерции J системы относи¬
тельно оси, перпендикулярной стержню
и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами
шаров пренебречь.
3.4. Три маленьких шарика массой m = Юг каждый распо¬
ложены в вершинах равностороннего треугольника со стороной
т|
I
О
Ж.
2mi
нэ-
2т |
I
I
т
ж
Рис. 3.7

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
65
a = 20 см и скреплены между собой. Определить момент инер¬
ции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости
треугольника и проходящей через центр описанной окружности;
2)	лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр
описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой
стержней, соединяющих шары, пренебречь.
3.5.	Определить моменты инерции Jx, Jy, Jz трехатомных мо¬
лекул типа АВ2 относительно осей х, у, z (рис. 3.8), проходящих
через центр инерции С молекулы (ось z перпендикулярна плоско¬
сти ху). Межъядерное расстояние АВ обозначено d, валентный
угол а. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н20
(с? = 0,097нм, о = 104°30'); 2) S02 (d = 0,145нм, а = 124°).
3.6.	Определить момент инерции «7 тонкого однородного стерж¬
ня длиной / = 30 см и массой тп = 100 г относительно оси, пер¬
пендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его
середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.
3.7.	Определить момент инерции J тонкого однородного стерж¬
ня длиной I = 60 см и массой тп = 100 г относительно оси, перпен¬
дикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на
a = 20 см от одного из его концов.
3.8.	Вычислить момент инерции J проволочного прямоуголь¬
ника со сторонами a = 12 см и b = 16 см относительно оси, лежа¬
щей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины
малых сторон. Масса равномерно распределена по длине прово¬
локи с линейной плотностью т = 0,1 кг/м.
3.9.	Два однородных тонких стержня: АВ длиной 1\ = 40 см и
массой mi = 900 г и CD длиной 12 = 40 см и массой т2 = 400 г
скреплены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инер¬
ции «7 системы стержней относительно оси ОСУ, проходящей через
конец стержня АВ параллельно стержню CD.
3.10.	Решить предыдущую задачу для случая, когда ось ОО'
проходит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.
3.11.	Определить момент инерции J проволочного равносторон¬
него треугольника со стороной a = 10 см относительно: 1) оси, ле¬
в
Рис. 3.8
Рис. 3.9

66
Гл. 1. Физические основы механики
жащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину
параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10а);
2)	оси, совпадающей с одной из сто¬
рон треугольника (рис. 3.106). Мас¬
са т треугольника равна 12 г и рав¬
номерно распределена по длине про¬
волоки.
ЗЛ2. На концах тонкого однород¬
ного стержня длиной I и массой Зт
прикреплены маленькие шарики
массами т и 2т. Определить мо¬
мент инерции J такой системы относительно оси, перпендику¬
лярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси
стержня. Вычисления выполнить для случаев a-д, изображенных
на рис. 3.11. При расчетах принять / = 1м, т = 0,1кг. Шарики
рассматривать как материальные точки.
ЗЛЗ. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца ра¬
диусом R — 20 см и массой т = 100 г относительно оси, лежащей
в плоскости кольца и проходящей через его центр.
ЗЛ4. Определить момент инерции J кольца массой m = 50 г и
радиусом R = 10 см относительно оси, касательной к кольцу.
Рис. 3.11	Рис. 3.12
ЗЛ5. Диаметр диска d — 20 см, масса т — 800 г. Определить
момент инерции J диска относительно оси, проходящей через се¬
редину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
ЗЛ6, В однородном диске массой т = 1 кг и радиусом г = 30 см
вырезано круглое отверстие диаметром d = 20 см, центр которого
находится на расстоянии I = 15см от оси диска (рис. 3.12). Найти
момент инерции J полученного тела относительно оси, проходя¬
щей перпендикулярно плоскости диска через его центр.
ЗЛ7. Найти момент инерции J плоской однородной прямо¬
угольной пластины массой m = 800 г относительно оси, совпа¬
дающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна
40 см.
а	6
Рис. 3.10

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
67
3.18.	Определить момент инерции J тонкой плоской пластины
со сторонами о = 10 см и b = 20 см относительно оси, проходяшей
через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса
пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной
плотностью о -- 1,2кг/м2.
Основное уравнение динамики вращательного движения
3.19.	Тонкий однородный стержень длиной I = 1м может сво¬
бодно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через
точку О на стержне (рис. 3.13). Стержень отклонили от верти¬
кали на угол о и отпустили. Определить для начального мо¬
мента времени угловое е и тангенциальное аТ ускорения точки
В на стержне. Вычисления произвести для следующих случаев:
1) а = 0, Ь = 21/3, а = 7г/2; 2) а = 1/3, Ь = I, а = д/З; 3) а = 1/4,
b = 1/2, а = 2к/3.
3.20.	Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоско¬
сти диска и проходящей через точку О на нем (рис. 3.14). Диск
отклонили на угол а и отпустили. Определить для начального
момента времени угловое е и тангенциальное ат ускорения точки
В, находящейся на диске. Вычисления выполнить для следую¬
щих случаев: 1) а = R, b = R/2, а = п/2; 2) а = R/2, b = R,
а = 7г/6; 3) а = 2R/3, b = 2R/3, а = 2п/3.
3.21.	Тонкий однородный стержень длиной I = 50 см и массой
m = 400 г вращается с угловым ускорением е = 3 рад/с2 около
оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину.
Определить вращающий момент М.
3.22.	На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив
радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан
груз массой m = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел

68
Гл. 1. Физические основы механики
путь s — 1,8 м за время t = Зс. Определить момент инерции J
маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.
3.23.	Вал массой тп = 100 кг и радиусом R = 5 см вращался с
частотой п = 8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали
тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал
остановился через t = 10 с. Определить коэффициент трения /J.
3.24.	На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента,
массой которой по сравнению с массой цилиндра можно прене¬
бречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предо¬
ставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Опре¬
делить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр:
1)	сплошной; 2) полый тонкостенный.
3.25.	Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур.
К концам шнура привязали грузики массой mi = 100 г и m2 =
= 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если
масса тп блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно
мало.
3.26.	Два тела массами mi = 0,25 кг и m2 = 0,15 кг свя¬
заны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.15). Блок
укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого
скользит тело массой mi. С каким ускорением а движутся тела и
каковы силы Т) и натяжения нити по
обе стороны от блока? Коэффициент тре¬
ния р тела о поверхность стола равен 0,2.
Масса m блока равна 0,1 кг и ее можно счи¬
тать равномерно распределенной по ободу.
Массой нити и трением в подшипниках
оси блока пренебречь.
3.27.	Через неподвижный блок массой
m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам
которого подвесили грузы массами mi =
= 0,3 кг и тг = 0,5 кг. Определить силы
натяжения Ti и Т% шнура по обе стороны блока во время движения
грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.
3.28.	Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см враща¬
ется вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вра¬
щения шара имеет вид ip = А + Bt2 + Ct3, где В = 4рад/с2,
С = — 1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, действую¬
щих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 2 с.
Закон сохранения момента импульса
3.29.	Однородный тонкий стержень массой mi = 0,2 кг и дли¬
ной I = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси
z, проходящей через точку О (рис. 3.16). В точку А на стержне по¬
падает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпенди¬

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
69
кулярно оси z) со скоростью v = 10 м/с и прилипает к стержню.
Масса m2 шарика равна Юг. Определить угловую скорость ш
стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в началь¬
ный момент времени. Вычисления выполнить для следующих
значений расстояния между точками А к О: 1) I/2; 2) //3; 3) 1/4.
о-±-
о
Рис. 3-16	Рис. 3.17
3.30.	Однородный диск массой т\ = 0,2 кг и радиусом R —
= 20 см может свободно врашаться вокруг горизонтальной оси z,
перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О
(рис. 3.17). В точку А на образующей диска попадает пластили¬
новый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z)
со скоростью v = 10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса
m2 шарика равна Юг. Определить угловую скорость и> диска и
линейную скорость и точки В на диске в начальный момент вре¬
мени. Вычисления выполнить для следующих значений а и Ь:
1) a = b = R; 2) о = R/2, Ъ = R- 3) a = 2Я/3, Ь = R/2;
4) a = R/3, b = 2R/3.
3.31.	Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч
массой т = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со
скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча прохо¬
дит на расстоянии г = 0,8 м от вертикальной оси
вращения скамьи. С какой угловой скоростью и
начнет вращаться скамья Жуковского с челове¬
ком, поймавшим мяч, если суммарный момент
инерции J человека и скамьи равен 6кг-м2?
3.32.	Маховик, имеющий вид диска радиу¬
сом R = 40 см и массой mi = 48 кг, может вра¬
щаться вокруг горизонтальной оси. К его цилин¬
дрической поверхности прикреплен конец нера¬
стяжимой нити, к другому концу которой подве¬
шен груз массой тг = 0,2 кг (рис. 3.18). Груз
был приподнят и затем опущен. Упав свободно с высоты h = 2 м,
груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение.
Какую угловую скорость ш груз сообщил при этом маховику?

70
Гл. 1. Физические основы механики
3.33.	На краю горизонтальной платформы, имеющей форму
диска радиусом R = 2 м, стоит человек массой mi = 80 кг. Масса
m2 платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться во¬
круг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая
трением, найти, с какой угловой скоростью и будет вращаться
платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью
v = 2 м/с относительно платформы.
3.34.	Платформа, имеющая форму диска, может вращаться око¬
ло вертикальной оси. На краю платформы стоит человек мас¬
сой т] = 60 кг. На какой угол ip повернется платформа, если
человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в
исходную точку на платформе? Масса m2 платформы равна 240 кг.
Момент инерции J человека рассчитывать, как для материальной
точки.
3.35.	Платформа в виде диска радиусом R — 1м вращается
по инерции с частотой щ = 6 мин-1. На краю платформы стоит
человек, масса т которого равна 80 кг. С какой частотой п будет
вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент
инерции J платформы равен 120кг-м2. Момент инерции человека
рассчитывать, как для материальной точки.
3.36.	В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в ру¬
ках стержень длиной I = 2,4 м и массой т — 8 кг, расположенный
вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком враща¬
ется с частотой п\ — 1с-1. С какой частотой П2 будет вращаться
скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное
положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи ра¬
вен 6кг-м2.
3.37.	Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках
стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения ска¬
мьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на
верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается
с частотой п — 10 с-1. Радиус R колеса равен 20 см, его масса
т = Зкг. Определить частоту вращения пг скамьи, если чело¬
век повернет стержень на угол 180°? Суммарный момент инерции
J человека и скамьи равен 6кг-м2. Массу колеса можно считать
равномерно распределенной по ободу.
Работа и энергия
3.38.	Шарик массой т = 100 г, привязанный к концу нити дли¬
ной l\ = 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с
частотой ni = 1с-1. Нить укорачивается и шарик приближается к
оси вращения до расстояния fo = 0,5 м. С какой частотой пг будет
при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя
сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
71
3.39.	Маховик вращается по закону, выраженному уравнением
tp — А + Bt + Ct2, где А = 2рад, В = 32рад/с, С — —4рад/с2.
Найти среднюю мощность (N), развиваемую силами, действую¬
щими на маховик при его вращении, до остановки, если его мо¬
мент инерции J = 100кг-м2..
3.40.	Маховик вращается по закону, выраженному уравнением
tp — А + Bt + Ct2, где А = 2рад, В ~ 16рад/с, С = -2рад/с2.
Момент инерции J маховика равен 50кг-м2. Найти законы, по
которым меняются вращающий момент М и мощность N. Чему
равна мощность в момент времени t = 3 с?
3.41.	Якорь двигателя вращается с частотой п = 1500 мин*
Определить вращающий момент М, если двигатель развивает мощ¬
ность N = 500 Вт.
3.42.	Со шкива диаметром d = 0,48 м через ремень передается
мощность N = 9 кВт. Шкив вращается с частотой п ~ 240 мин-1.
Сила натяжения Т\ ведущей ветви ремня в два раза больше силы
натяжения Т2 ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей
ремня.
3.43.	Для определения мощности двигателя на его шкив диа¬
метром d = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты при¬
креплен динамометр, к другому подвесили груз. Найти мощность
N двигателя, вращающего с частотой п = 24 с-1. Масса m груза
равна 1 кг и показание динамометра F = 24 Н.
3.44.	Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом
R — 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А\ нужно
совершить, чтобы сообщить маховику частоту п = 10 с-1? Какую
работу А2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск
имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
3.45.	Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна
1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента махо¬
вик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N — 80 оборотов,
остановился. Определить момент М силы торможения.
3.46.	Маховик, момент инерции J которого равен 40кг м2, на¬
чал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием
момента силы М = 20 Нм. Вращение продолжалось в течение
t = 10 с. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную
маховиком.
3.47.	Пуля массой m = Юг летит со скоростью v = 800м/с,
вращаясь около продольной оси с частотой п = 3000 с-1. Прини¬
мая пулю за цилиндрик диаметром d = 8 мм, определить полную
кинетическую энергию Т пули.
3.48.	Сплошной цилиндр массой тп = 4 кг катится без сколь¬
жения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси
цилиндра равна 1м/с. Определить полную кинетическую энергию
Г цилиндра.

72
Гл. 1. Физические основы механики
3.49.	Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу
т — 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v =
= 5 м/с. Найти кинетические энергии Т\ и Т-2 этих тел.
3.50.	Шар катится без скольжения по горизонтальной поверх¬
ности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Опре¬
делить кинетическую энергию Т\ поступательного и Т2 вращатель¬
ного движения шара.
3.51.	Определить линейную скорость v центра шара, скатив¬
шегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.
3.52.	Сколько времени t будет скатываться без скольжения об¬
руч с наклонной плоскости длиной / = 2 м и высотой h = 10 см?
3.53.	Тонкий прямой стержень длиной I — 1м прикреплен к
горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень от¬
клонили на угол tp = 60° от положения равновесия и отпустили.
Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в мо¬
мент прохождения через положение равновесия.
3.54.	Однородный тонкий стержень длиной I — 1 м может сво¬
бодно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через
точку О на стержне. Стержень отклонили от положения равнове¬
сия на угол а и отпустили (см. рис. 3.13). Определить угловую
скорость и) стержня и линейную скорость v точки В на стержне
в момент прохождения им положения равновесия. Вычисления
выполнить для следующих случаев: 1) a — 0, 6 = I/2, a — 7г/3;
2)	о = 1/3, Ь = 2Z/3, а = тг/2; 3) а = 1/4, Ь = 1, а = 2тг/3.
3.55.	Карандаш длиной / = 15 см, поставленный вертикально,
падает на стол. Какую угловую и> и линейную v скорости будет
иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его
конец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец
карандаша не проскальзывает.
3.56.	Однородный диск радиусом R = 20 см может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плос¬
кости диска и проходящей через точку О (см. рис. 3.14). Опреде¬
лить угловую и и линейную v скорости точки В на диске в момент
прохождения им положения равновесия. Вычисления выполнить
для следующих случаев: 1) a — Ъ = R, a = 7г/2; 2) a = R/2,
6 = 0, a = 7г/3; 3) a = 2R/3, b = 2R/3, a = 5тг/6; 4) a = R/3,
b = R, a — 2ж/3.
3.57*. Атом гелия налетает на покоящуюся молекулу азота со
скоростью v = 103 м/с так, как это изображено на рис. 3.19 (mj —
масса атома гелия, m2 — масса атома азота). Определить не¬
посредственно после столкновения: 1) скорость щ, импульс р\ и
изменение Ар\ импульса атома гелия; 2) скорость vc центра масс,
импульс р'2, угловую скорость uj вращения и момент импульса Lz
молекулы азота относительно оси z, проходящей через ее центр
масс (С). Удар между атомами считать упругим. Атомы рассма¬

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела
73
тривать как материальные точки, молекулу как жесткий ротатор.
Межъядерное расстояние d = 0,109 нм.
3.58*. Атом неона, кинетическая энергия Т\ которого равна 5 х
х 10~21 Дж, налетает на покоящуюся молекулу кислорода так, как
это изображено на рис. 3.20 (mi — масса атома неона, m2 — масса
Рис. 3.19
-О
U
N2
6-
Ne Ту
О—
Q-
Тл
о2
о-
/я.
Рис. 3.20
атома кислорода). Определить непосредственно после столкнове¬
ния: 1) импульс р[, кинетическую энергию Т[ и изменение кине¬
тической энергии АТ\ атома неона; 2) скорость vc центра масс,
импульс р'2, кинетические энергии Т2поС1 поступательного и Т2вр
вращательного движения молекулы кислорода, а также ее угловую
скорость ш и момент импульса Lz относительно оси z, проходящей
через центр масс С молекулы. Удар между атомами считать упру¬
гим. Атомы рассматривать как материальные точки, молекулу как
жесткий ротатор. Межъядерное расстояние d = 0,121 нм.
Центр масс
3.59*. На рис. 3.21 изображен тонкий однородный стержень, на
концах которого прикреплены маленькие шарики. Массы стержня
в
Рис. 3.21
и шариков указаны на рисунке. Определить координату Хс цен¬
тра масс такой системы в случаях а, б и в. Длину I стержня

74
Гл. 1. Физические основы механики
принять во всех случаях равной 1,2 м. Шарики рассматривать
как материальные точки.
3.60*. Трехатомная молекула состоит из двух одинаковых ато¬
мов массой т\ и одного атома массой m2- Межъядерное рас¬
стояние d и валентный угол а
3.61*. На рис. 3.23 изображена четырехатомная молекула, име¬
ющая форму тригональной симметричной пирамиды, в основании
которой лежит равносторонний треугольник. Начало координат
совмещено с центром этого треугольника. Массы тп\ и шг атомов,
межъядерное расстояние d и валентный угол с* считать извест-
Рис. 3.24

§ 4. Силы в механике
75
ными. Определить координату Zc центра масс молекулы. Рас¬
четы выполнить для молекул: 1) NH3 (d = 101 пм, а = 106°);
2)	РС13 (d = 204пм, а = 100°); 3) РН3 (d = 144пм, а = 94°).
3.62*. Тонкую однородную проволоку изогнули так, как это изо¬
бражено на рис. 3.24. Определить координаты Хс и Yq центра
масс для каждого случая (о, б, в, г). При расчетах принять R =
= 10 см.
3.63*. Из плоской, тонкой, однородной пластины вырезали фи¬
гуры, изображенные на рис. 3.25. Определить координаты Хс и
Рис. 3.25
Yc центра масс для каждой фигуры (а, б, в, г). При расчетах
принять R = 10 см.
§ 4. Силы в механике
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Закон всемирного тяготения
F = G^,
rz
где F — сила взаимного притяжения двух материальных точек; mi и
m2 — их массы; г — расстояние между точками; G — гравитационная
постоянная.
В написанной форме закон всемирного тяготения можно применять
и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сферически-
симметрично. В этом случае г есть расстояние между центрами масс
шаров.

76
Гл. 1. Физические основы механики
• Напряженность гравитационного поля
9 =
F
т’
где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массы т,
помещенную в некоторую точку поля.
• Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, мас¬
су М которой можно считать распределенной сферически-симметрично,
где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля,
находящейся вне планеты.
• Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли
_ g
9h (1 + h/R)2'
где R — радиус Земли; д — ускорение свободного падения на поверхно¬
сти Земли. Если h R, то
9h «
9-
• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух ма¬
териальных точек массами mi и т? (шаров с массой, распределенной
сферически-симметрично), находящихся на расстоянии г друг от друга,
П = —G
ТП]ГП2
Г
(Потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга матери¬
альных точек принято считать равной нулю.)
• Потенциал гравитационного поля
где П — потенциальная энергия материальной точки массой тп, поме¬
щенной в данную точку поля.
• Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М
которой можно считать распределенной сферически-симметрично,
где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля,
находящейся вне планеты.
• Законы Кеплера:
1.	Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых на¬
ходится Солнце.
2.	Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, в равные времена
описывает одинаковые площади.

§ 4. Силы в механике
77
3.	Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как
кубы больших полуосей их орбит:
Z? = a?
Ц а3'
Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг
планеты.
• Относительная деформация при продольном растяжении или сжа¬
тии тела
х
£ =
Г
где £ — относительное удлинение (сжатие); х — абсолютное удлинение
(рис. 4.1); I — начальная длина тела.
'/////
<////£/////
I
? Г"
\
\
\
h \
\
77777777?777777ff77Z?7ZtV7777777777>
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы
где tg 7 — относительный сдвиг; As — абсолютный сдвиг параллельных
слоев тела относительно друг друга (рис. 4.2); h — расстояние между
слоями; 7 — угол сдвига. (Для малых углов tg7 = 7 = As/h.)
• Напряжение нормальное
где Fynp — упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела;
S — площадь этого сечения.
Напряжение тангенциальное
т =
р
S ’
где Fynp — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; S — площадь
этого слоя.

78
Гл. 1. Физические основы механики
• Закон Гука для продольного растяжения или сжатия
Fynp = -кх, или о = еЕ,
где к — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Е —
модуль Юнга.
Закон Гука для сдвига
A _Fh
As ~ GS’
или т = G7,
где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).
•	Момент, закручивающий на угол <р однородный круглый стержень,
М = Ctp,
где С — постоянная кручения.
•	Работа, совершаемая при деформации тела,
А =
кх2
~2~'
• Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня
„ кх2	~2
П = ~2~’
где V — объем тела.
или
о“	Ее2
П = —V, или П= —V,
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Определить вторую космическую скорость уц ракеты,
запущенной с поверхности Земли.
Примечание. Второй космической (или параболической) скоростью он
называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно
удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздуха
в расчет не принимается и предполагается, что на тело действует только поле
тяготения Земли).
Решение. При удалении тела массой тп в бесконечность его по¬
тенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энергии и
в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Со¬
гласно определению второй космической скорости, кинетическая энер¬
гия в бесконечности также равна нулю. Таким образом, в бесконечности
Too = 0 и Поо = 0. В соответствии с законом сохранения энергии в
механике
Т + П — Tqo + Пто,
или
mv pi „тМ
= 0,
где М — масса Земли. Отсюда находим vn = y/2GM/R. Преобразуем
эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R: уц =
= y/(2GM/R2)R.

§ 4. Силы в механике
79
Так как GM/R2 = д (где д — ускорение свободного падения у по¬
верхности Земли), то
ии = y/2gR.
Подставив в эту формулу значения д и R и произведя вычисления, по¬
лучим
i'll = 11,2 км/с.
Пример 2. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в
вертикальном направлении. При какой минимальной скорости v\, сооб¬
щенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние,
равное радиусу Земли (R — 6,37 • 106 м)? Силами, кроме силы гравита¬
ционного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.
Решение. Чтобы определить минимальную скорость vi ракеты,
надо найти ее минимальную кинетическую энергию Ti- Для этого вос¬
пользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон вы¬
полняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только кон¬
сервативные силы.
Систему ракета-Земля можно считать замкнутой. Единственная си¬
ла, действующая на систему, — сила гравитационного взаимодействия,
являющаяся консервативной.
В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему отсчета,
так как только в такой системе справедливы законы динамики и, в част¬
ности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с
центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной. В рассма¬
триваемом случае пентр масс системы ракета-Земля будет практически
совпадать с центром Земли, так как масса М Земли много больше массы
т ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли,
можно считать практически инерциальной. Согласно закону сохранения
механической энергии, запишем
Т\ + IIi = Ti + П2,	(1)
где X) и IIi — кинетическая и потенциальная энергия системы ракета-
Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); Гг и Пг — те
же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу
Земли).
В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна
нулю. Поэтому Т\ есть просто начальная кинетическая энергия ра¬
кеты: Ti = mvf/2. Потенциальная энергия системы в начальном со¬
стоянии11) IIi = —GmM/R. По мере удаления ракеты от поверхности
Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетическая —
убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Гг станет равной
нулю, а потенциальная энергия Пг достигнет максимального значения:
П2 = -GmM/(2R).
Подставив значения Ti, Щ, Г2 и П2 в выражение (1), получим
1 о „тМ
2™’, “ G~R
= -G
тМ
~2Я"’
п) Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно
удаленных друг от друга, принимается равной нулю.

80
Гл. 1. Физические основы механики
откуда после сокращения на т найдем
Vi =
Заметив, что GM/R2 = д (д — ускорение свободного падения у поверх¬
ности Земли), перепишем эту формулу в виде
vi - y/gR,
что совпадает с выражением для первой космической скорости (см. при¬
мер 1). Подставив числовые значения величин и произведя вычисления,
получим
vi - 7,9 • 102 м/с.
Пример 3. Найти выражение для потенциальной энергии П гра¬
витационного взаимодействия Земли и тела массой т, находящегося на
расстоянии г от центра Земли за пределами
ее поверхности. Построить график П(г).
Решение. Потенциальная энергия в
поле консервативных сил (гравитационные
силы консервативны) связана с силой сле¬
дующим соотношением:
„ ,п лот , .ап ьап\
F = -grlldn=-^,-+J- + k-j,
где i, j, k — единичные векторы осей ко-
,	. ап ап ап
ординат (орты); —, —, —	частные
ох оу oz
производные потенциальной энергии по соответствующим координатам.
В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией, это выра¬
жение упрощается. Если ось х совместить с радиусом-вектором г, на-
ап ап
правленным по радиусу сферы, то -р— и обращаются в нуль и тогда
оу oz
дП
F = —i~ - . Так как векторы г и i совпадают (рис. 4.3) и П зависит
только от г, то
„ апг
F = --—*
dr г
Запишем в векторной форме закон всемирного тяготения:
„	_тМ г
F = -G-j—,
г4 г
где G — гравитационная постоянная; М — масса Земли.
_	ап „тМ
Сравнивая выражения (2) и (3), найдем —— = G——, откуда
dr г*
тпМ
dn = G —=— dr.
(2)
(3)

§ 4. Силы в механике
.81
Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим
п = -С^ + С,
где С — постоянная интегрирования.
Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия мо¬
жет быть определена лишь с точностью до некоторой произвольной по¬
стоянной.
1.	Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг
от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль. В этом
случае запишем
.	_тпМ
П(г) = -G	.
г
Соответствующая зависимость П(г) изображается графиком, пред¬
ставленным на рис. 4.4.
2.	Если же принять потенциальную энергию равной нулю на поверх-
_	. _шМ _ Л „тпМ
ности Земли, то II(г) = —G———Ь 6 = О, С = G—^~ и тогда
R
. _шМ _шМ
П(г) = G—zr- - G-
R	г
Но так как г = R + h, где h — высота тела над поверхностью Земли, то
тпМ
П(Л)=С^-G^r=G
R
R + h (R + h)R
h.
Пример 4. В гравитационном поле Земли тело массой тп переме¬
щается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Определить скорость v2 тела в
точке 2, если в точке 1 его скорость v\ = yfgR = 7,9 км/с. Ускорение
свободного падения д считать известным.
Решение. Система теле-Земля является замкнутой, в которой дей¬
ствует консервативная сила — сила гравитационного взаимодействия.
7 Зак. 237

82
Гл. 1. Физические основы механики
Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энер¬
гии (инерциальную систему отсчета свяжем с центром масс системы).
Тогда можно записать
Ei = Е2, или Тх + IIi = Т2 + П2,	,	(4)
где Тх, IIi и Т2, П2 — соответственно кинетические и потенциальные
энергии в начальном 1 и конечном 2 состояниях. Заметим, что центр
масс системы тело- Земля практически совпадает с центром масс Земли
(тп *С М), и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конеч¬
ном состояниях равна нулю. Тогда
Тх
mv 2
~2~’
IIi = -G
mv2
~2~’
П 2 = ~G
Mm
~2R'
Подставив эти выражения в (4), получим
mv j Mm mv% ^Mm
~ ~ G~3R ~ ~2~ ~ G^R
Заменив GM = gR2 и произведя сокращения, найдем v2 = v2 +
+ gR/2>, откуда v2 = y/v2 + gR/3.
Так как vf = gR (по условию задачи), то
Произведя вычисления, г тучим
V2 =
■ 7,9 км/с = 9,12 км/с.
Пример 5. Вычислить работу АХ2 сил гравитационного поля Земли
при перемещении тела массой m = 10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5).
Радиус R земли и ускорение д свободного падения вблизи поверхности
Земли считать известными.
Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между
работой А и изменением ДП потенциальной энергии. Так как силы
системы — гравитационные — относятся к силам консервативным, то
работа сил поля совершается за счет убыли потенциальной энергии, т. е.
А\2 - —ДП = П] — П2,	(5)
где IIi и П2 — потенциальные энергии системы тело-Земля соответ¬
ственно в начальном и конечном ее состояниях.
Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли
равна нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от
Земли, тогда на расстоянии г потенциальная энергия выразится равен-
_ „тМ ,,
ством П = —G	, где М — масса Земли.
г

§ 4. Силы в механике
83
Для расстояний rj = 3R и гг = 2R, заданных в условиях задачи
(см. рис. 4.5), получим два выражения потенпиальной энергии:
Щ = -G
тпМ
П2 = -G
тпМ
3 R ’	” 2 R
Подставив эти выражения Щ и П2 в формулу (5), получим
Д12 = —G
.М
тпМ
Jr
- «) ■
,тпМ
~R~'
Заметив, что G— = д, преобразуем последнее выражение к виду
А12 —
mgR
6
Подставив значения m, д, R в это выражение и произведя вычисления,
найдем
А12 = I ■ 10 • 9,81 • 6,37 • 106 кг • м/с2 • м = 1,04 ■ 108 Дж = 104 МДж.
Пример 6. Верхний конец стального стержня длиной ( = 5м с
площадью поперечного сечения S = 4 см2 закреплен неподвижно, к ниж¬
нему подвешен груз массой m = 2 • 103 кг. Определить: 1) нормальное
напряжение а материала стержня; 2) абсолютное х и относительное е
удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого стержня.
Решение. 1. Нормальное напряжение материала растянутого стер¬
жня выражается формулой a = F/S, где F — сила, действующая вдоль
оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести тд и поэтому
можем записать
тд
Сделав вычисления, найдем
ст = 49 МПа.
2. Абсолютное удлинение выражается формулой
FI
Х~ ES’
где Е — модуль Юнга.
Подставив значения величин F, I, S и Е в эту формулу (значение Е
взять из табл. 11) и произведя вычисления, получим
х = ttf = “Егя = 1,23 • 10“3 м = 1,23 мм.
7*

84
Гл. 1 Физические основы механики
Относительное удлинение стержня
е = у = 2,46-ИГ4.
3.	Потенциальная энергия растянутого стержня П = (ест/2)V, где
V — объем тела, равный SI. Поэтому
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
П = 12,1 Дж.
Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вер¬
тикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля
массой тп = 20 г, если пружина жесткостью к = 196 Н/м была сжата
перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.
Решение. Система пуля-Земля (вместе с пистолетом) является за¬
мкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы
упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно приме¬
нить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, пол¬
ная механическая энергия Е\ системы в начальном состоянии (в данном
случае перед выстрелом) равна полной энергии Ег в конечном состоянии
(когда пуля поднялась на высоту К), т. е.
Е\ = Ei, или Т) 4- IIi = Тг + Пг,	(6)
где Т\ и Т2 — кинетические энергии системы в начальном и конечном
состояниях; Щ и Пг — потенциальные энергии в тех же состояниях.
Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состоя¬
ниях равны нулю, то равенство (6) примет вид
Пх = П2.	(7)
Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее поверх¬
ность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии
равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. Пх = кх2/2, а в
конечном состоянии — потенциальной энергии пули на высоте h, т.е.
Пг = mgh.
Подставив приведенные выражения Пх и Пг в формулу (7), найдем
кх2
— = mgh;
кх2
2 mg'
Произведя вычисления по последней формуле, получим
h = 5 м.

§ 4. Силы в механике
85
ЗАДАЧИ
Силы тяготения. Гравитационное поле
4.1.	Центры масс двух одинаковых однородных шаров нахо¬
дятся на расстоянии г = 1м друг от друга. Масса m каждого шара
равна 1 кг. Определить силу F гравитационного взаимодействия
шаров.
4.2.	Как велика сила F взаимного притяжения двух космиче¬
ских кораблей массой m = Ют каждый, если они сблизятся до
расстояния г = 100 м?
4.3.	Определить силу F взаимного притяжения двух соприка¬
сающихся железных шаров диаметром d = 20 см каждый.
4.4.	На какой высоте h над поверхностью Земли напряжен¬
ность gh гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли
считать известным.
4.5.	Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту
h = 3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за
первую секунду своего падения?
4.6.	Радиус R планеты Марс равен 3,4 • 106 м, ее масса М =
= 6,4 -1023 кг. Определить напряженность д гравитационного поля
на поверхности Марса.
4.7.	Радиус Земли в п = 3,66 раза больше радиуса Луны; сред¬
няя плотность Земли в fc = 1,66 раза больше средней плотности
Луны. Определить ускорение свободного падения дп на поверхно¬
сти Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного паде¬
ния д считать известным.
4.8.	Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность
р = Зг/см3. Определить ускорение свободного падения д на по¬
верхности планеты.
4.9.	Масса Земли в гг = 81,6 раза больше массы Луны. Рас¬
стояние I между центрами масс Земли и Луны равно 60,ЗЛ (R —
радиус Земли). На каком расстоянии г (в единицах R) от цен¬
тра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность
гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?
4.10.	Искусственный спутник обращается вокруг Земли по ок¬
ружности на высоте h = 3,6-106 м. Определить линейную скорость
и спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения д на
поверхности Земли считать известными.
4.11.	Период Т вращения искусственного спутника Земли равен
2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h
над поверхностью Земли движется спутник.
4.12.	Стационарный искусственный спутник движется по окруж¬
ности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над од¬
ним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую
скорость ш спутника и радиус R его орбиты.

86
Гл. 1. Физические основы механики
4.13.	Планета Нептун в fc = 30 раз дальше от Солнца, чем
Земля. Определить период Т обращения (в годах) Нептуна вокруг
Солнца.
4.14.	Луна движется вокруг Земли со скоростью v\ = 1,02 км/с.
Среднее расстояние I Луны от Земли равно 60,ЗН (R — радиус
Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью V2 должен
двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на
незначительной высоте над ее поверхностью.
4.15.	Зная среднюю скорость Vi движения Земли вокруг Солнца
(30 км/с), определить, с какой средней скоростью v<i движется ма¬
лая планета, радиус орбиты которой в п = 4 раза больше радиуса
орбиты Земли.
4.16.	Космическая ракета, ставшая искусственной планетой,
обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние
J"mm ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние гтах
равно 1,31 а.е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Опреде¬
лить период Т вращения (в годах) искусственной планеты.
4.17.	Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите,
почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного
устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на
Солнце (рис. 4.6). Определить время t, в течение которого будет
падать ракета.
Указание. Принять, что, падая на Солнце, ракета движется по
эллипсу, большая ось которого очень мало отличается от радиуса орбиты
Земли, а эксцентриситет — от единицы. Период обращения по эллипсу
не зависит от эксцентриситета.
4.18.	Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит двигаясь
вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее рас¬
стояние г планеты Марс от Солнца равно 1,5 а.е. В течение какого
времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?
4.19.	Искусственный спутник движется вокруг Земли по элли¬
псу с эксцентриситетом е = 0,5. Во сколько раз линейная ско¬
Рис. 4.6
Рис. 4.7

§ 4. Силы в механике
87
рость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка ор¬
биты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка
орбиты)?
Указание. Применить закон сохранения момента импульса.
4.20.	Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентри¬
ситетом е = 0,6. Во сколько раз линейная скорость кометы в
ближайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в наиболее уда¬
ленной?
4.21.	Ближайший спутник Марса находится на расстоянии г =
= 9,4 -106 м от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью
v = 2,1км/с. Определить массу М Марса.
4.22.	Определить массу М Земли по среднему расстоянию г
от центра Луны до центра Земли и периоду Т обращения Луны
вокруг Земли (Т и г считать известными).
4.23.	Один из спутников планеты Сатурн находится приблизи¬
тельно на таком же расстоянии г от планеты, как Луна от Земли,
но период Т его обращения вокруг планеты почти в п = 10 раз
меньше, чем у Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли.
4.24.	Найти зависимость ускорения свободного падения д от
расстояния г, отсчитанного от центра планеты, плотность р кото¬
рой можно считать для всех точек одинаковой. Построить график
зависимости д{г). Радиус R планеты считать известным.
4.25.	Тело массой m — 1 кг находится на поверхности Земли.
Определить изменение Дтпд силы тяжести для двух случаев:
1)	при подъеме тела на высоту h = 5 км; 2) при опускании тела в
шахту на глубину h = 5 км. Землю считать однородным шаром
радиусом R = 6,37 • 106 м и плотностью р = 5,5г/см3.
4.26.	Определить работу А, которую совершат силы гравита¬
ционного поля Земли, если тело массой m = 1 кг упадет на по¬
верхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из
бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения
д на ее поверхности считать известными.
4.27.	На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется
ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v
ракеты равна первой космической скорости?
4.28.	Определить значения потенциала <р гравитационного поля
на поверхностях Земли и Солнца.
4.29.	Вычислить значения первой (круговой) и второй (пара¬
болической) космических скоростей вблизи поверхности Луны.
4.30.	Найти первую и вторую космические скорости вблизи по¬
верхности Солнца.
4.31.	Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность
р вещества планеты равна Зг/см3. Определить параболическую
скорость V2 у поверхности этой планеты.

88
Гл. 1. Физические основы механики
4.32.	Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной ради¬
усу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью
оо = 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R
Земли и ускорение свободного падения д на ее поверхности счи¬
тать известными.
4.33.	Ракета пущена с Земли с начальной скоростью vq =
= 15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты,
если расстояние ракеты от Земли бесконечно увеличивается? Со¬
противление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме
Земли, не учитывать.
4.34.	Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния,
которое практически можно считать бесконечно большим. На¬
чальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость
v будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца
равно среднему расстоянию Земли от Солнца?
4.35.	Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую мож¬
но считать параболической. С какой скоростью v движется комета,
когда она проходит через перигей (ближайшую к Солнцу точку
своей орбиты), если расстояние г кометы от Солнца в этот момент
равно 50 Гм?
4.36.	На высоте h = 2,6 • 106 м над поверхностью Земли косми¬
ческой ракете была сообщена скорость v = 10 км/с, направленная
перпендикулярно линии, соединяющей центр Земли с ракетой. По
какой орбите относительно Земли будет двигаться ракета? Опре¬
делить вид конического сечения.
Силы упругости. Механическое напряжение
4.37.	К проволоке диаметром d = 2 мм подвешен груз массой
т = 1 кг. Определить напряжение о, возникшее в проволоке.
4.38.	Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d = 2 см
и длиной I = 60 м закреплен неподвижно. К нижнему концу под¬
вешен груз массой т = 100 кг. Найти напряжение о материала:
1)	у нижнего конца; 2) на середине длины; 3) у верхнего конца
проволоки.
4.39.	Какой наибольший груз может выдержать стальная про¬
волока диаметром d = 1 мм, не выходя за предел упругости <тупр =
= 294 МПа? Какую долю первоначальной длины составляет удли¬
нение проволоки при этом грузе?
4.40.	Свинцовая проволока подвешена в вертикальном положе¬
нии за верхний конец. Какую наибольшую длину I может иметь
проволока, не обрываясь под действием силы тяжести? Предел
прочности сгпр свинца равен 12,3 МПа.
4.41.	Гиря массой т = 10 кг, привязанная к проволоке, вра¬
щается с частотой п = 2 с-1 вокруг вертикальной оси, проходящей
через конец проволоки, скользя при этом без трения по горизон¬
тальной поверхности. Длина I проволоки равна 1,2 м, площадь S

§ 4. Силы в механике
89
ее поперечного сечения равна 2 мм2. Найти напряжение а металла
проволоки. Массой ее пренебречь.
4.42.	Однородный стержень длиной I = 1,2 м, площадью попе¬
речного сечения S — 2 см2 и массой т = 10 кг вращается с часто¬
той п = 2 с-1 вокруг вертикальной оси, проходящей через конец
стержня, скользя при этом без прения по горизонтальной поверх¬
ности. Найти наибольшее напряжение сгтах материала стержня
при данной частоте вращения.
4.43.	К вертикальной проволоке длиной ! = 5м и площадью
поперечного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой т = 5,1кг.
В результате проволока удлинилась на х — 0,6 мм. Найти модуль
Юнга Е материала проволоки.
4.44.	К стальному стержню длиной / = Зм и диаметром d —
= 2 см подвешен груз массой ш = 2,5 • 103 кг. Определить напря¬
жение а в стержне, относительное е и абсолютное х удлинения
стержня.
4.45.	Проволока длиной I — 2м и диаметром d = 1 мм натянута
практически горизонтально. Когда к середине проволоки подве¬
сили груз массой т = 1 кг, проволока растянулась настолько, что
точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга
Е материала проволоки.
4.46.	Две пружины жесткостью к\ = 0,3 кН/м и к% = 0,8 кН/м
соединены последовательно. Определить абсолютную деформацию
Xi первой пружины, если вторая деформирована на х? = 1,5 см.
4.47.	Определить жесткость к системы двух пружин при после¬
довательном и параллельном их соединении (рис. 4.8). Жесткость
пружин к\ -- 2кН/м и к‘2 = бкН/м.
|F
Рис. 4 8
Ах
4.48.	Нижнее основание железной тумбы, имеющей форму ци¬
линдра диаметром d = 20 см и высотой h — 20 см, закреплено не¬
подвижно. На верхнее основание тумбы действует сила F = 20 кН
(рис. 4.9). Найти: 1) тангенциальное напряжение т в материале
тумбы; 2) относительную деформацию 7 (угол сдвига); 3) смеще¬
ние Дт верхнего основания тумбы.
6 Зак. 237

90
Гл. 1. Физические основы механики
4.49.	Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому
концу приложен момент силы М = 1 кНм. Определить угол ц> за¬
кручивания стержня, если постоянная кручения С = 120кН-м/рад.
4.50.	Тонкая однородная металлическая лента закреплена верх¬
ним концом. К нижнему концу приложен момент силы М —
= 1мН-м. Угол кр закручивания ленты равен 10°. Определить
постоянную кручения С.
Работа упругой силы. Энергия деформированного тела
4.51.	Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на
х = 1 мм стальной стержень длиной I = 1 м и площадью S попе¬
речного сечения, равной 1 см2?
4.52.	Для сжатия пружины на Xi = 1 см нужно приложить силу
F = ЮН. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжать пружину
на Х2 = Ю см, если сила пропорциональна сжатию?
4.53.	Пружина жесткостью к = 10кН/м сжата силой F =
— 200 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжи¬
мающей эту пружину еще на х = 1 см.
4.54.	Пружина жесткостью к = 1 кН/м была сжата на х\ =
= 4 см. Какую нужно совершить работу А, чтобы сжатие пружины
увеличить до Жг = Ю см?
4.55.	Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины,
поставленной на подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько
сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высотой
h = 5 см?
4.56.	Пуля массой mL = Юг вылетает со скоростью v = 300м/с
из дула автоматического пистолета, масса т,2 затвора которого
равна 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной
жесткостью к = 25кН/м. На какое расстояние I отойдет затвор
после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным.
4.57.	Две пружины, жесткости которых к\ = 0,ЗкН/м и к2 —
= 0,5кН/м, скреплены последовательно и растянуты так, что аб¬
солютная деформация Х2 второй пружины равна 3 см. Вычислить
работу А растяжения пружин. _
4.58.	Пружина жесткостью к\ = ЮОкН/м была растянута на
Х\ = 4 см. Уменьшая приложенную силу, пружине дают возмож¬
ность вернуться в первоначальное состояние (нерастянутое). За¬
тем сжимают пружину на Х2 = 6 см. Определить работу А, совер¬
шенную при этом внешней силой.
4.59.	Стальной стержень массой тп = 3,9 кг растянут на е =
= 0,001 своей первоначальной длины. Найти потенциальную энер¬
гию П растянутого стержня.
4.60.	Стержень из стали длиной I = 2 м и площадью попереч¬
ного сечения S — 2 см2 растягивается некоторой силой, причем
удлинение х равно 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П
растянутого стержня и объемную плотность w энергии.

§ 5. Релятивистская механика
91
4.61.	Стальной стержень длиной I — 2 м и площадью попереч¬
ного сечения S = 2 см2 растягивается силой F = 10 кН. Найти
потенциальную энергию П растянутого стержня и объемную плот¬
ность w энергии.
4.62.	Две пружины, жесткости которых fci = 1кН/м и &2 —
= ЗкН/м, скреплены параллельно. Определить потенциальную
энергию П данной системы при абсолютной деформации х = 5 см.
4.63.	С какой скоростью v вылетит из пружинного пистолета
шарик массой тп = 10 г, если пружина была сжата на х = 5 см.
Жесткость к пружины равна 200 Н/м?
4.64.	В пружинном ружье пружина сжата на Х\ = 20 см. При
взводе ее сжали еще на Х2 = 30 см. С какой скоростью v вылетит
из ружья стрела массой тп — 50 г, если жесткость
к пружины равна 120 Н/м?
4.65.	Вагон массой тп = 12 т двигался со ско¬
ростью v = 1м/с. Налетев на пружинный бу¬
фер, он остановился, сжав пружину буфера на
х = 10 см. Найти жесткость к пружины.
4.66.	Стальной стержень растянут так, что
напряжение в материале стержня о = 300 МПа.
Найти объемную плотность w потенциальной
энергии растянутого стержня.
4.67.	Стержень из стали имеет длину I = 2 м
и площадь поперечного сечения S = 10 мм2. Верх¬
ний конец стержня закреплен неподвижно, к ниж¬
нему прикреплен упор. На стержень надет про¬
сверленный посередине груз массой тп = 10 кг
(рис. 4.10). Груз падает с высоты h = 10см и Рис. 4.10
задерживается упором. Найти: 1) удлинение х стержня при ударе
груза; 2) нормальное напряжение о, возникающее при этом в ма¬
териале стержня.
§ 5. Релятивистская механика
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
В специальной теории относительности рассматриваются только инер¬
циальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и
z, z' сонаправлены, а относительная скорость о0 системы координат К'
относительно системы К направлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).
• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня
-«чЯэ1.
где 10 — длина стержня в системе координат К', относительно которой
стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'-,
6*

92
Гл. 1. Физические основы механики
I — длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он
движется со скоростью v; с — скорость распространения электромагнит¬
ного излучения.
• Релятивистское замедление хода часов
л/1 - (v/c)2 ’
где Ato — интервал времени между двумя событиями, происходящими
в одной точке системы К', измеренный по часам этой системы (соб¬
ственное время движущихся часов); At — интервал времени между
двумя событиями, измеренный по часам
системы К.
•	Релятивистское сложение скоростей
у1 + Ур
1 + Vov'/с2 ’
где у' — относительная скорость (скорость
тела относительно системы К1)-, vq — пе¬
реносная скорость (скорость системы К'
относительно К)', v — абсолютная ско¬
рость (скорость тела относительно систе¬
мы К).
В теории относительности абсолютной скоростью называется ско¬
рость тела (частицы) в системе координат, условно принятой за непо¬
движную.
•	Релятивистская масса
тп =
тп0
у/l -Мс)2’
или тп
ГПр
где тпо — масса покоя; /3 — скорость частицы, выраженная в долях
скорости света (Р = у/с).
• Релятивистский импульс
р = mv —
m0v
у/1 ~(v/c)2’
или
р = т0с
р
yfi-Р2'
• Полная энергия релятивистской частицы
Е — тс2 : m0c2 + Т,
где Т — кинетическая энергия частицы; тпос2 = Е0 — ее энергия покоя.
Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима
со скоростью света, и классической, если г; <С с.
•	Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы
Р2С? = Е2- El
•	Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы
pV = Т{Т + 2Ео).

§ 5. Релятивистская механика
93
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Космический корабль движется со скоростью v = 0,9с
по направлению к центру Земли. Какое расстояние I пройдет этот ко¬
рабль в системе отсчета, связанной с Землей (if-система), за интервал
времени Ato = 1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом
корабле (if'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным
движением вокруг Солнца пренебречь.
Решение. Расстояние I, которое пройдет космический корабль в
системе отсчета, связанной с Землей (if-система), определим по формуле
I = vA t,	(1)
где At — интервал времени, отсчитанный в if-системе отсчета. Этот
интервал времени связан с интервалом времени, отсчитанным в if'-
системе, соотношением At = —====. Подставив выражение At
л/i - Wc)2
в формулу (1), получим
I _ vAt0
~ л/1 - W
После вычислений найдем
J = 6,19 • 108 м.
Пример 2. В лабораторной системе отсчета (if-система) движется
стержень со скоростью v = 0,8с. По измерениям, произведенным в
if-системе, его длина, I оказалась равной 10 м, а угол </?, который он
составляет с осью х, оказался равным 30°. Определить собственную
длину 10 стержня в if'-системе, связанной со стержнем, и угол ipo, кото¬
рый он составляет с осью х' (рис. 5.2).
Решение. Пусть в if'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'.
Из рис. 5.2а следует, что собственная длина 1о стержня и угол ipo, кото¬
рый он составляет с осью х', выразятся равенствами
г0 = ч/(Д*')2 + (Aj/')2, *6^ = 15-
(2)

94
Гл. 1. Физические основы механики
В К-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.26) соответ¬
ственно
I = у/ (Ах)2 + {Ау)2,	*6¥>=д|-	(3)
Заметим, что при переходе от системы К' к К размеры стержня в на¬
правлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят реля¬
тивистское (лоренцево) сокращение, т. е.
Д у - А у', Ах = Ax'y/l — Р2.	(4)
С учетом последних соотношений собственная длина стержня выра¬
зится равенством
1о —
\1
Ах
+ (Д у)2 =
у/(Ах)2 + (Ду)2 - 02{Ау)2
Д^Р2
ИЛИ
. - V/12-Р2(Ау)2
Д-02
Заменив в этом выражении Ау на I sin tp (рис. 5.2б), получим
10 =
Д2~Р212 sin2 у2 _	I
у/T^W ~ ДД2
yj 1 - /?2 si
sm2 ip.
Подставив значения величин I, (5, <ръ это выражение и произведя вычи¬
сления, найдем
10 = 15,3 м.
Для определения угла щ воспользуемся соотношениями (2), (3) и (4):
Ау
откуда
= Ах ^1~02’ или *8 V*) = *8 ру/1-02,
Ро = afctg (tg p\f\ - р2).
Подставив значения ip и /? в это выражение и произведя вычисления,
получим
Ре = 19,1°.
Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1МэВ. Опре¬
делить скорость электрона.
Решение. Релятивистская формула кинетической энергии
Т = Е0
.v/T
~02 )

§ 5. Релятивистская механика
95
Выполнив относительно Р преобразования, найдем скорость частицы,
выраженную в долях скорости света (Р = v/су.
у/(2Е0 + Т)Т
Р Е0 + Т ’
где Е0 -— энергия покоя электрона (см. табл. 22).
Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах
энергии, так как наименования единиц в правой части формул сокра¬
тятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.
Подставив числовые значения Ео и Т в мегаэлектрон-вольтах, полу¬
чим
Р = 0,941.
Так как v = Рс, то
v = 2,82 • 108 м/с.
Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т
релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую
энергию частицы с ее энергией покоя.
Если Т/Е0 <§: 1, частицу можно считать классической. В этом случае
релятивистская формула (5) переходит в классическую:
(5)
Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую
энергию Т электрона, движущегося со скоростью v = 0,9с (где с — ско¬
рость света в вакууме).-
Решение. Релятивистский импульс
1	_		Р_
\/Г^
После вычисления по формуле (6) получим
р = 5,6 • 10-22 кг м/с.
В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы опре¬
деляется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Ео
этой частицы, т.е.
Т = Е — Е0.
Так как Е = тпс2 и Е0
скорости, получим
Т
= тпос2, то, учитывая зависимость массы от
то с2
n/W2
- т0с2,
(6)

96
Гл. 1. Физические основы механики
или окончательно
Т = тпоС2
(7)
Сделав вычисления, найдем
Т = 1,06 • 10“13 Дж.
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона Шос2 = 0,51 МэВ.
Подставив это значение в формулу (7), получим
Т = 0,66 МэВ.
Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией Т =
= тпос2 (то — масса покоя частицы) испытывает неупругое столкнове¬
ние с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей.
При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую
массу тп движущейся частицы; 2) релятивистскую массу тп' и массу по¬
коя тп'0 составной частипы; 3) ее кинетическую энергию Т'.
Решение. 1. Релятивистскую массу тп движущейся частицы до
столкновения найдем из выражения для кинетической энергии реляти¬
вистской частицы Т = (тп — ш0)с2. Так как Т = т0с2, то тп = 2т0.
2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы,
воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохра¬
няется12):	тп + тпо — тп' где тп + тпо — суммарная релятивистская
масса частиц до столкновения; тп' — релятивистская масса составной
частицы. Так как тп = 2шо, то
тп' — ЗтДу.
Массу покоя тп'0 составной частицы найдем из соотношения
тп =
ТПг*
\А - (v'/cY
(8)
Скорость v' составной частицы (она совпадает со скоростью Vc цен¬
тра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохра¬
нения импульса р = р', где р — импульс релятивистской частицы до
столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выра¬
зим р через кинетическую энергию Т:
у/(2Е0 + Т)Т
с
12)	Этот закон см., например, в кн.: Савельев И.В. Курс общей физики.—М.:
Наука, 1977. Т. I, §70.

§ 5. Релятивистская механика
97
Так как Т = Е0 = тпос2, то
I _ yj(2mpc2 + mpc^moc2 _ ^
р:
Релятивистский импульс р' = mV. Учитывая, что т' = Зто, закон
сохранения импульса можно записать в виде тпоСл/З = Зтпоп', откуда
v =
ч/б’
Подставив выражения v' и тп' в формулу (8), найдем массу покоя
составной частицы:
3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы най¬
дем как разность полной энергии тп'с2 и энергии покоя т'пс2 составной
частицы:
Т' = (тп1 - т^с2.
Подставив выражения т! и т'0, получим
Т' = (3 тп0 — у/0>тпо)(? = (3 — ч/б)т0с2 = 0,55тос2.
ЗАДАЧИ
Релятивистское изменение длин и интервалов времени
5.1.	Предположим, что мы можем измерить длину стержня с
точностью Д/ = 0,1 мкм. При какой относительной скорости и
двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить
релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина /о
которого равна 1 м?
5.2.	Двое часов после синхронизации были помещены в начало
систем координат К и К', движущихся друг относительно друга.
При какой скорости и их относительного движения возможно обна¬
ружить релятивистское замедление хода часов, если собственная
длительность tq измеряемого промежутка времени составляет 1 с?
Измерение времени производится с точностью Дт = 10 пс.
5.3.	На космическом корабле-спутнике находятся часы, син¬
хронизированные до полета с земными. Скорость vq спутника со¬
ставляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по из¬
мерениям земного наблюдателя по своим часам за время то = 0,5
года?

98
Гл. 1. Физические основы механики
5.4.	Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро¬
стью v — 0,6с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с
точки зрения земного наблюдателя?
5.5.	В системе К' покоится стержень, собственная длина Iq ко¬
торого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол
ipo = 45° с осью х'. Определить длину I стержня и у?ол ip в системе
К, если скорость vq системы К' относительно К равна 0,8с.
5.6.	В системе К находится квадрат, сторона которого парал¬
лельна оси х'. Определить угол р между его диагоналями в си¬
стеме К, если система К1 движется относительно К со скоростью
v = 0,95с.
5.7.	В лабораторной системе отсчета (К-система) пи-мезон с
момента рождения до момента распада пролетел расстояние I =
= 75 м. Скорость v пи-мезона равна 0,995с. Определить собствен¬
ное время жизни то пи-мезона.
5.8.	Собственное время жизни то мю-мезона равно 2мкс. От
точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета
мю-мезон пролетел расстояние I = 6 км. С какой скоростью v (в
долях скорости света) двигался мезон?
Релятивистское сложение скоростей
5.9.	Показать, что формула сложения скоростей релятивист¬
ских частиц переходит в соответствующую формулу классической
механики при w<c.
5.10.	Две релятивистские частицы движутся в лабораторной
системе отсчета со скоростями vi = 0,6с и v% = 0,9с вдоль од¬
ной прямой. Определить их относительную скорость U21 в двух
случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы
движутся в противоположных направлениях.
5.11.	В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга
две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относи¬
тельная скорость и в той же системе отсчета равна 0,5с. Опреде¬
лить скорости частиц.
5.12.	Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направле¬
нии своего движения. Определить скорость фотона относительно
ускорителя, если скорость v иона относительно ускорителя равна
0,8с.
5.13.	Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость vi =
= 0,4с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в напра¬
влении своего движения /3-частицу со скоростью г>2 = 0,75с отно¬
сительно ускорителя. Найти скорость U21 частицы относительно
ядра.
5.14.	Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу ча¬
стицы со скоростями |г;| = 0,9с. Определить относительную ско¬
рость U21 сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе
с одной из частиц.

§ 5. Релятивистская механика
99
Релятивистская масса и релятивистский импульс
5.15.	Частица движется со скоростью и = 0,5с. Во сколько раз
релятивистская масса частицы больше массы покоя?
5.16.	С какой скоростью v движется частица, если ее реляти¬
вистская масса в три раза больше массы покоя?
5.17.	Отношение заряда движущегося электрона к его массе,
определенное из опыта, равно 0,88 • 10п Кл/кг. Определить реля¬
тивистскую массу m электрона и его скорость и.
5.18.	На сколько процентов релятивистская масса частицы
больше массы покоя при скорости и = 3,0 • 107 м/с?
5.19.	Показать, что выражение релятивистского импульса пе¬
реходит в соответствующее выражение импульса в классической
механике при и -С с.
5.20.	Электрон движется со скоростью и = 0,6с. Определить
релятивистский импульс р электрона.
5.21.	Импульс р релятивистской частицы равен ttiqc (то —
масса покоя). Определить скорость и частицы (в долях скорости
света).
5.22.	В лабораторной системе отсчета одна из двух одинако¬
вых частиц покоится, другая движется со скоростью и = 0,8с по
направлению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивист¬
скую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета;
2)	скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инер¬
ции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета,
связанной с центром инерции.
5.23.	В лабораторной системе отсчета находятся две частицы.
Одна частица с массой покоя то движется со скоростью и — 0,6с,
другая с массой покоя 2тпо покоится. Определить скорость Vc
центра масс системы частиц.
Взаимосвязь массы и энергии13)
5.24.	Полная энергия тела возросла на ДЕ = 1 Дж. На сколько
при этом изменится масса тела?
5.25.	Определить, на сколько должна увеличиться полная энер¬
гия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Ат = 1 г.
5.26.	Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) а-
частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.
5.27.	Известно, что объем воды в океане равен 1,37 • 109 км3.
Определить, на сколько возрастет масса воды в океане, если тем¬
пература воды повысится на At — 1 °С. Плотность р воды в океане
принять равной 1,03 ■ 103кг/м3.
13)	Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных превраще¬
ниях, помещены в §43.

100
Гл. 1. Физические основы механики
5.28.	Солнечная постоянная С (плотность потока энергии элек¬
тромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему
расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4кВт/м2. 1. Определить
массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько
изменится масса воды в океане за один год, если предположить,
что поглощается 50% падающей на поверхность океана энергии
излучения? При расчетах принять площадь S поверхности океана
равной 3,6 ■ 108 км2.
Кинетическая энергия релятивистской частицы
5.29.	Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во
сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сде¬
лать такой же подсчет для протона.
5.30.	Во сколько раз релятивистская масса протона больше ре¬
лятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинако¬
вую кинетическую энергию Т = 1ГэВ?
5.31.	Электрон летит со скоростью v = 0,8с. Определить кине¬
тическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).
5.32.	При какой скорости v кинетическая энергия любой ча¬
стицы вещества равна ее энергии покоя?
5.33.	Определить скорость v электрона, если его кинетическая
энергия равна: 1) Т = 4 МэВ; 2) Т = 1 кэВ.
5.34.	Найти скорость v протона, если его кинетическая энергия
равна: 1) Т = 1 МэВ; 2) Т = 2ГэВ.
5.35.	Показать, что релятивистское выражение кинетической
энергии Т = (т — то)с2 при оСс переходит в соответствующее
выражение классической механики.
5.36.	Какая относительная ошибка будет допущена при вычи¬
слении кинетической энергии релятивистской частицы, если вме¬
сто релятивистского выражения Т = (ш — то)с2 воспользоваться
классическим Т = ttiqv2/2‘? Вычисления выполнить для двух слу¬
чаев; 1) v = 0,2с; 2) v = 0,8с.
5.37.	Две релятивистские частицы движутся навстречу друг
другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетиче¬
скими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) ско¬
рости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную
скорость сближения частиц (в единицах с); 3) кинетическую энер¬
гию (в единицах тос2) одной из частиц в системе отсчета, связан¬
ной с другой частицей.
Связь энергии релятивистской частицы с ее импульсом
5.38.	Показать, что выражение релятивистского импульса через
кинетическую энергию р = (1/с) у/ {2Eq + Т)Т при v « с перехо¬
дит в соответствующее выражение классической механики.

§ 6. Механические колебания
101
5.39.	Определить импульс р частицы (в единицах тос), если
ее кинетическая энергия равна энергии покоя.
5.40.	Определить кинетическую энергию Т релятивистской ча¬
стицы (в единицах тос2), если ее импульс р = т0с.
5.41.	Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее
энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если
ее кинетическая энергия увеличится в п = 4 раза?
5.42.	Импульс р релятивистской частицы равен гп0с. Под дей¬
ствием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во
сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая?
2)	полная?
5.43.	При неупругом столкновении частицы, обладающей им¬
пульсом р = тщс, и такой же покоящейся частицы образуется со¬
ставная частица. Определить: 1) скорость v частицы (в единицах
с) до столкновения; 2) релятивистскую массу составной частицы
(в единицах т0); 3) скорость составной частицы; 4) массу покоя
составной частицы (в единицах то); 5) кинетическую энергию
частицы до столкновения и кинетическую энергию составной ча¬
стицы (в единицах тос2).
5.44.	Частица с кинетической энергией Т = тос2 налетает на
другую такую же частицу, которая в лабораторной системе отсчета
покоится. Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в
системе отсчета, связанной с центром инерции системы частиц.
§ 6. Механические колебания
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
•	Уравнение гармонических колебаний
х — Acos(wt + tp),
где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t —
время; А, ш, (р — соответственно амплитуда, циклическая частота, на¬
чальная фаза колебаний; (wt + tp) — фаза колебаний в момент f.
•	Циклическая частота колебаний
w = 2kv,
2тг
Т’
где v и Т — частота и период колебаний.
•	Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
v = х = — Aw sin (wt + ip).
•	Ускорение при гармоническом колебании
а = х — —Aw2 cos {wt + <р).

102
Гл. 1. Физические основы механики
• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложе¬
нии двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной
прямой, определяется по формуле
А — A2 4- А2 + 2AiA2 cos (<f2 - <Pi),
где Ai и A2 — амплитуды составляющих колебаний; <f\ и </>2 — их
начальные фазы.
• Начальная фаза <р результирующего колебания может быть найдена
из формулы
А\ sin^ + А2 sin (fi2
tg f — 			1—■
A\ cos if i + A2 cos if 2
• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, про¬
исходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению
частотами ui и н2,
V = 1Ц - V2-
• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпен¬
дикулярных колебаниях одинаковой частоты с амплитудами Ai и А2 и
начальными фазами ifi и if 2,
2 ху
х2	у2
А2 + А2 ~ АхАг
cos (if2 - Ifi) = sin2 (if2 - if l).
Если начальные фазы if\ и f2 составляющих колебаний одинаковы,
то уравнение траектории принимает вид
А2	Л2
у=-х ИЛИ 1/ = -^*,
т. е. точка движется по прямой.
В том случае, если разность фаз Aif = if2 — <fi = л/2, уравнение
принимает вид
х
А?
+
У_
= 1,
т. е. точка движется по эллипсу.
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний матери¬
альной точки	..	„
тх = —кх, или х + ш х = 0,
где m — масса точки; к — коэффициент квазиупругой силы (к = ту2).
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические
колебания,
Е =
тА2ш2
кА2
2 '
• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный ма¬
ятник),
Т = 2тг
где m —- масса тела; к — жесткость пружины.

§ 6. Механические колебания
103
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых
выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой
тела).
Период колебаний математического маятника
Т =
где I — длина маятника; д — ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси коле¬
баний; a — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L =
= J[{ma) — приведенная длина физического маятника.
Приведенные формулы являются точными в случае линейного при¬
ближения, верного, как правило, для малых амплитуд. При отклонениях
от положенияравновесия не более и 3° ошибка в значении периода не
превышает 1%.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой
нитью; к — жесткость упругой нити, равная отношению упругого мо¬
мента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить
закручивается.
•	Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
тпх - —кх — тх, или х + 2ёх + ь%х = 0,
где г — коэффициент сопротивления; 6 — коэффициент затухания:
ё = г/(2тп); и>0 — собственная циклическая частота колебаний14) (шо =
= л/к]тп).
•	Уравнение затухающих колебаний
х — A(t) cos (wt + ip),
где A(t) — амплитуда затухающих колебаний в момент £; и — их ци¬
клическая частота.
•	Циклическая частота затухающих колебаний
w = sjul-ё2.
14)	В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина
обозначалась просто и> (без индекса 0).

104
Гл. 1. Физические основы механики
•	Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
A(t) = Aq exp {St),
где Ло — амплитуда колебаний в момент 1 = 0.
•	Логарифмический декремент затухания
в — In
A{t)
A{t + Т)
= ST,
где A{t) и A(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний,
отстоящих по времени друг от друга на период.
•	Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
тпх = —kx — rx + Fo coswt, или х +• 2ёх +- cjqX = /о cos wt,
где Fo coswt — внешняя периодическая сила, действующая на колеблю¬
щуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания;
Fo — ее амплитудное значение; /0 = F0/m.
•	Амплитуда вынужденных колебаний
y/(f4- W2)2 + 4£2w2‘
• Резонансная частота и резонансная амплитуда
^реэ
— \j^'о	2(52 И Лреэ
/о
2 6у/и% + <52'
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Точка совершает колебания по закону
x{t) = A cos (wt + <р),
где А = 2 см. Определить начальную фазу </з, если z(0) *= — л/Зсм и
х(0) < 0. Построить векторную диаграмму для момента 1 = 0.
Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим сме¬
щение в момент 1 = 0 через начальную фазу: т(0) = Acos<^. Отсюда
найдем начальную фазу:
а;(0)
ц> = arccos .
Л
Подставим в это выражение заданные значения т(0) и А:
tp = arccos (--у/з/2).
Значению аргумента (—л/3/2) удовлетворяют два значения угла:
бет	7л
Ч>\ = -0- и V>2 = -g-

§ 6. Механические колебания
105
Для того чтобы решить, какое из этих значений угла ip удовлетворяет
еше и условию ±(0) < 0, найдем сначала x(t):
x(t) = — wAsin (u)t + tp).
Подставив в это выражение значение t = 0 и поочередно значения
начальных фаз ipi = = 5л/6 и <р2 =
= 77г/6, найдем
Аш . Аи
*i(°) = —y и X^~~Y-
Так как всегда А > 0 и ш > 0,
то условию ±(0) < 0 удовлетворяет
только первое значение начальной
фазы. Таким образом, искомая на¬
чальная фаза ip = 5л/6.
По найденному значению ip
построим векторную диаграмму
(рис. 6.1).
Пример 2. Материальная точ¬
ка массой тп = 5 г совершает гармо¬
нические колебания с частотой v =
= 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = Зсм. Определить: 1) скорость v
точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную
силу Fmax, действующую на точку; 3) полную энергию Е колеблющейся
точки.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
х — A cos (wt + ip),
(1)
а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
смещения:
с1ж
v = х = — = —Аиsin (cut -f ip),
at
(2)
Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из фор¬
мул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, раз¬
делим первое на А2, второе на А2ш2 и сложим:
v
X2
А2 + А2ш2
= 1,
V
или
X2
А2 + 4л21/2 А2
= 1.
Решив последнее уравнение относительно v, найдем
v — ±2 ль'х/А2 —т2.
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
v = ±8,2 см/с.

106
Гл. 1. Физические основы механики
Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпа¬
дает с положительным направлением оси х, знак минус, — когда напра¬
вление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.
Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может
быть определено также уравнением
х = Лет (wt + ф).
Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.
2.	Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:
F - та,	(3)
где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени
от скорости:
du
а = х = — = — Аш1 cos (cut + ф), или а ~ —4k2v2Acos (cut + ф).
at
Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим
F = —47Г2 u2mA cos (cut + ф).
Отвода максимальное значение силы
Fmax = 4эт 2v2mA.
Подставив в это уравнение значения величин 7Г, v, т и А, найдем
Fmax = 1,49 мН.
3.	Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и
потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.
Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетиче¬
ская энергия достигает максимального значения. В этот момент потен¬
циальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся
точки равна максимальной кинетической энергии Ттах:
Е = Ттйх = 2^.	(4)
Максимальную скорость определим из формулы (2), положив
cos(wt + ф) — 1: итах = 2лvА. Подставив выражение скорости в фор¬
мулу (4), найдем
Е — 27г2тн2Л2.
Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления,
получим
Е = 2 - (3,14)2 • 5 • ИГ3 ■ (0,5)2 ■ (3 ■ 1(Г2)2кг ■ с~2 - м2 = 22,1 ■ 1(Г6 Дж,
или Е = 22,1 мкДж.

I
§ 6. Механические колебания
107
ПримерЗ. На концах тонкого стержня длиной I = 1 м и массой
-	= 200 г
тз = 400 г укреплены шарики малых размеров массами mi
и т2 = 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной
оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его се¬
редину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колеба¬
ний, совершаемых стержнем.
Решение. Период колебаний физического маятника,
каким является стержень с шариками, определяется соот¬
ношением
Т = 2тг,
mglc
(5)
J = Ji + J2 + Js-
(6)
Щ
где J — момент инерции маятника относительно оси ко¬
лебаний; m — его масса; 1С — расстояние от центра масс
маятника до оси.
Момент инерции данного маятника равен сумме момен¬
тов инерции шариков J\ и J2 и стержня J3:
щ
m2
О
I
I
W
с
Принимая шарики за материальные точки, выразим мо- рис g 2
менты их инерций: Ji = mi(//2)2; J2 = m2(//2)2. Так как
ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относи¬
тельно этой оси J3 = m3/2/12. Подставив полученные выражения Л, J2
и J3 в формулу (6), найдем общий момент инерции физического маят¬
ника:
J = miQ) +m2(0 +m3^
f2(3mi + 3m2 + m3)
12
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
J = 0,158 кг ■ м2.
Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:
m = mi + m2 + m3 = 0,9 кг.
Расстояние 1С центра масс маятника от оси колебаний найдем, ис¬
ходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня
и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние 1С
равно координате центра масс маятника, т. е.
_ mi(—//2) + m2(f/2) + m3 • 0
lc = Xc =	~	m\ + m2 + m3
или	,,	,	..
(m2 — mi)f	_ (m2 - mi)t
lc ~ 2(mi +ТП2+ТП3)
2m

108
Гл. 1. Физические основы механики
Подставив значения величин тпi, m2, m, I и произведя вычисленш
найдем
1С = 5,55 см.
Произведя расчеты по формуле (5), получим период колебаний физг
ческого маятника:
Т = 2' ЗД Vo,9-9,81-5,55-10-2 Vr ■ м -с'2 • м' = 11,2 С’
Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень дли
ной I = 1ми массой 3mi с прикрепленным к одному из его концов обру
чем диаметром d = I/2 и массой mi. Горизон
тальная ось Oz маятника проходит через сере
дину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3)
Определить период Т колебаний такого маят
ника.
Решение. Период колебаний физической
маятника определяется по формуле
Г = 2тгл
mglc
(7)
где J — момент инерции маятника относителы
оси колебаний; тп — его масса; 1С — расстоя¬
ние от центра масс маятника до оси колебаний.
Момент инерции маятника равен сумме мо¬
ментов инерции стержня Ji и обруча J%:
J — Ji + J2 ■
(8)
Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, опреде¬
ляется по формуле Ji := ml2/12. В данном случае тп = 3mi и
J\ =
mil2
Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штей¬
нера: J = Jo + та2, где J — момент инерции относительно произ¬
вольной оси; Jo — момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс параллельно заданной оси; a — расстояние между указан¬
ными осями. Применив эту формулу к обручу, получим
J2 = mi
+ mi

§ 6. Механические колебания
109
Подставив выражения J\ и Ji в формулу (8), найдем момент инерции
маятника относительно оси вращения:
J = ^rnil2 +
Расстояние 1С от оси маятника до его центра масс равно
, YLmixi Зшх • 0 + mi(3i/4)	(3/4)mi/		 ,	3,
в	.	• ИЛИ vл* “ I»
5^ m*	3mi -f mi	4m 1	16
Подставив в формулу (7) выражения J, 1С и массы маятника (тп =
= 3mi + т\ = 4mi), найдем период его колебаний:
Т =
2тг
(7/8)miP
4тпд5 • (3/16)7
После вычисления по этой формуле получим
Т = 2,17 с.
Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления,
выражаемых уравнениями xi = А\ cosoj(< + Tj); xi — Ai coscj(t + т2),
где Ai = 1см, A2 = 2см, Ti - 1/6с, т2 = 1/2с, ш = лс-1. 1. Опре¬
делить начальные фазы ipi и <^2 составляющих колебаний. 2. Найти
амплитуду А и начальную фазу <р результирующего колебания. Напи¬
сать уравнение результирующего колебания.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
х = Acos(u>t + ф).	(9)
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же
виду:
Xi = Ai cos (ut + wti), a'i = Ai cos (uit + ujti).	(10)
Из сравнения выражений (10) с равенством (9) находим начальные фазы
первого и второго колебаний:
7Г	7Г
<Р1 = ШТ1 - — рад и ipi = ujti = — рад.
о	2
2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно
воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Со¬
гласно теореме косинусов, получим
А = \JА\ + А\ + 2Aj Ai cos А<р,
(П)

110
Гл. 1. Физические основы механики
где Ар — разность фаз составляющих колебаний. Так как Ар = P2~Pi,
то, подставляя найденные значения р2 и р\, получим Ар = 7г/3рад.
Подставим значения Ai, Л2 и Дуэ в формулу
(11) и произведем вычисления:
А = 2,65 см.
Тангенс начальной фазы р результирующего
колебания определим непосредственно из рис. 6.4:
А\ sin ц>\ + А2 sin р2
tg р — —	;— 	, откуда начальная
фаза
Ai cos р\ + А2 cos <fi2
Ai sin p\ + A2 sin u>2
p = axctg -
' Ai COS <Pi + A'2 COS <P2
Подставим значения Ai, A2, pi, рг и произведем
вычисления:
tp = arctg	= 70,9° = 0,3947т рад.
Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то ре¬
зультирующее колебание будет иметь ту же частоту w. Это позволяет на¬
писать уравнение результирующего колебания в виде х = A cos (wt + tp),
где А — 2,65 см, w = 7ТС-1, tp = 0,3947град.
Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух
взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения ко¬
торых
х = Ai coswt,	(12)
У = А2 cos |t,	(13)
где Ai — 1см, А = 2 см, w = 7гс-1. Найти уравнение траектории точки.
Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление
движения точки.
Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим
время t из заданных уравнений (12) и (13). Для этого воспользуемся
формулой cos (а/2) = д/(1/2)(1 + cosa). В данном случае a = wt, по¬
этому
W .	/1 + cosuit
у = A2cos-t = А2у			.
Так как согласно формуле (12) cos wt = x/Ai, то уравнение траектории
У = а2
/
1 + x/Ai
2
(14)
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось
которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (12) и (13) следует, что
смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах
от —1 до +1 см по оси Ох и от —2 до +2 см по оси Оу.

§ 6. Механические колебания
111
Для построения траектории найдем по уравнению (14) значения у,
соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию |х| ^ 1 см,
и составим таблицу:
X, см
-1
-0,75
-0,5
0
±0,5
±1
У, см
0
±0,707
±1
±1,41
±1,73
±2
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плос¬
кость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим
траекторию точки, совершающей колеба¬
ния в соответствии с уравнениями движе¬
ния (12) и (13) (рис. 6.5).
для того чтобы указать направление
движения точки, проследим за тем, как
изменяется ее положение с течением вре¬
мени. В начальный момент £ = 0 коор¬
динаты точки равны ж(0) = 1 см и у(0) =
= 2 см. В последующий момент времени,
например при £i = 1с, координаты то¬
чек изменятся и станут равными х(1) =
= —1см, j/(l) = 0. Зная положения точек
в начальный и последующий (близкий) мо¬
менты времени, можно указать направле¬
ние движения точки по траектории. На
рис. 6.5 это направление движения указано
стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент
£2 — 2 с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в
обратном направлении.
Рис. 6.5
ЗАДАЧИ
Кинематика гармонических колебаний
6.1.	Уравнение колебаний точки имеет вид х — .Acosw(£ + т),
где ш — 7гс-1, т = 0,2 с. Определить период Т и начальную фазу
ip колебаний.
6.2.	Определить период Т, частоту v и начальную фазу ip коле¬
баний, заданных уравнением х — .Asinw(£ ± т), где ш = 2,57гс~1,
т — 0,4 с.
6.3.	Точка совершает колебания по закону х = A cos (ш£ ± ip),
где А = 4 см. Определить начальную фазу ip, если: 1) ж(0) = 2 см
и i;(0) < 0; 2) ж(0) = — 2\^2см и х(0) < 0; 3) х(0) = 2 см и
i(0) > 0; 4) х(0) = —2\/Зсм и i(0) > 0. Построить векторную
диаграмму для момента t — 0.
6.4.	Точка совершает колебания по закону х = Л sin (wt + ip),
где А = 4 см. Определить начальную фазу ip, если: 1) ж(0) = 2 см
и ±(0) < 0; 2) ж(0) = 2\/Зсм и х(0) > 0; 3) х(0) = —2\/2см и

112
Гл. 1. Физические основы механики
i(0) < 0; 4) х(0) = — 2\/Зсм и i(0) > 0. Построить векторную
диаграмму для момента t = 0.
6.5.	Точка совершает колебания по закону х = A cos [u)t + </?),
где А — 2см; ы = ттс~ ; <р = 7г/4рад. Построить графики зави¬
симости от времени: 1) смещения x(t)-, 2) скорости i(t); 3) уско¬
рения x{t).
6.6.	Точка совершает колебания с амплитудой А = 4 см и пе¬
риодом Т — 2с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что
в момент t = 0 смещение х(0) = 0 и i(0) < 0. Определить фазу
(cot + ip) для двух моментов времени: 1) когда смещение х = 1см
и х > 0; 2) когда скорость х = —6 см/с и х < 0.
6.7.	Точка равномерно движется по окружности против часовой
стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр d окружности равен 20 см.
Написать уравнение движения проекции точки на ось х, проходя¬
щую через центр окружности, если в момент времени, принятый
за начальный, проекция на ось х равна нулю. Найти смещение х,
скорость х и ускорение х проекции точки в момент t = 1с.
6.8.	Определить максимальные значения скорости imax и уско¬
рения imax точки, совершающей гармонические колебания с ам¬
плитудой А = Зсм и циклической частотой и> = 7г/2с-1.
6.9.	Точка совершает колебания по закону х = A coswt,' где
А = 5 см; ш — 2 с-1. Определить ускорение |£| точки в момент
времени, когда ее скорость х = 8 см/с.
6.10.	Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее
смещение хтах точки равно 10 см, наибольшая скорость xmzx =
= 20 см/с. Найти циклическую частоту ш колебаний и макси¬
мальное ускорение £гпах точки.
6.11.	Максимальная скорость imax точки, совершающей гар¬
монические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение
^тах — 100 см/с2. Найти угловую частоту ш колебаний, их пе¬
риод Т и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв
начальную фазу равной нулю.
6.12.	Точка совершает колебания по закону х = A sinut. В не¬
который момент времени смещение х\ точки оказалось равным
5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение Х2 стало
равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний.
6.13.	Колебания точки происходят по закону х = A cos (cat + ip).
В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее ско¬
рость х = 20см/с и ускорение х = —80см/с2. Найти амплитуду
А, угловую частоту ш, период Т колебаний и фазу (cot + ф) в рас¬
сматриваемый момент времени.
Сложение колебаний
6.14.	Два одинаково направленных гармонических колебания
одного периода с амплитудами А\ = 10 см и А^ = 6 см складыва-

г
	§ 6. Механические колебания	113
ютсп в одно колебание с амплитудой А — 14 см. Найти разность
фаз Aip складываемых колебаний.
6.15.	Два гармонических колебания, направленных по одной
прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складыва¬
ются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз
Aip складываемых колебаний.
6.16.	Определить амплитуду А и начальную фазу (р резуль¬
тирующего колебания, возникающего при сложении двух колеба¬
ний одинаковых направления и периода: х\ = А\ sin cut п Х2 =
= A2Sinu){t + т), где А\ = А^ — 1см; ш = 7гс-1; т = 0,5 с. Найти
уравнение результирующего колебания.
6.17.	Точка участвует в двух одинаково направленных колеба¬
ниях: х\ = Aisinwf и Х2 = A2Cosut, где А\ = 1см; А2 = 2см;
и = 1с-1. Определить амплитуду А результирующего колебания,
его частоту v и начальную фазу tp. Найти уравнение этого движе¬
ния.
6.18.	Складываются два гармонических колебания одного на¬
правления с одинаковыми периодами Т\ — Т2 — 1,5с и амплиту¬
дами Ai = А2 = 2 см. Начальные фазы колебаний <р\ = д/2 и
<Р2 = 7г/3. Определить амплитуду А и начальную фазу tp резуль¬
тирующего колебания. Найти его уравнение и построить с соблю¬
дением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
6.19.	Складываются три гармонических колебания одного на¬
правления с одинаковыми периодами Т\ = Т2 = Т3 = 2 с и ампли¬
тудами Aj — А2 = A3 = Зсм. Начальные фазы колебаний tp\ = 0,
ip2 = 7г/3, <рз = 2-тг/З. Построить векторную диаграмму сложения
амплитуд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу
ip результирующего колебания. Найти его уравнение.
6.20.	Складываются два гармонических колебания одинаковой
частоты и одинакового направления: х\ = А\ cos (u;t + <р\) и Х2 =
= А2 cos (cot, + ip2). Начертить векторную диаграмму для момента
времени t = 0. Определить аналитически амплитуду А и началь¬
ную фазу tp результирующего колебания. Отложить А и ip на век¬
торной диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания
(в тригонометрической форме через косинус). Задачу решить для
двух случаев: 1) А\ = 1см, ip\ — 7г/3, А2 = 2 см, tp2 = 5vr/6;
2) А\ = 1см, ipi = 27г/3, А2 = 1см, р>2 = 77г/6.
6.21.	Два камертона звучат одновременно. Частоты v\ и V2
их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить
период Т биений.
6.22.	Складываются два взаимно перпендикулярных колеба¬
ния, выражаемых уравнениями х = А\ sin cut и у = А2 cos w(t + т),
где А\ — 2см, А2 = 1см, ш — дс-1, т = 0,5с. Найти уравнение
траектории и построить ее, показав направление движения точки.
9 Зак. 237

114
Гл. 1. Физические основы механики
6.23.	Точка совершает одновременно два гармонических коле¬
бания, происходящих по взаимно перпендикулярным направле¬
ниям и выражаемых уравнениями
X = A] coswt И у = А2 cos w(t 4-т),
где А\ 4 см, А2 = 8 см, ш = 7Г с-1, т — 1с. Найти уравнение
траектории точки и построить график ее движения.
6.24.	Точка совершает одновременно два гармонических коле¬
бания одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпенди¬
кулярным направлениям и выражаемых уравнениями:
1)	х = Acoswt и у = Acoswt;
2)	х — Acoswt и у = A] cos wt;
3)	х = Acos wt и у = .Acos (wt + да);
4)	х — А2 cos wt и у = A cos (wt + да);
5)	x — A\ cos wt и у — Ai sinwt;
6)	x = A cos wt и у = A\ sinwt;
7)	x = A2 sin wt и у = A\ sinwt;
8)	x = A2 sinwt и у — Asm (wt + да).
Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, постро¬
ить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.
Принять: А = 2 см, А\ — 3 см, А2 = 1 см; да = 7г/2, да = 7Г.
6.25.	Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди¬
кулярных колебаниях, г тражаемых уравнениями х — А\ cos wt и
у = А2 sinwt, где А\ = 2см, А2 — 1см. Найти уравнение траек¬
тории точки и построить ее, указав направление движения.
6.26.	Точка одновременно совершает два гармонических коле¬
бания, происходящих по взаимно перпендикулярным направле¬
ниям и выражаемых уравнениями х = Ai sinwt и у — А2 cos wt,
где Ai = 0,5 см; А2 = 2 см. Найти уравнение траектории точки и
построить ее, указав направление движения.
6.27.	Движение точки задано уравнениями х — А\ sinwt и у =
— А2sinw(t + т), где Ai = 10см, А2 = 5см, w = 2с-1, т — 7г/4с.
Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени
f = 0,5 с.
6.28.	Материальная точка участвует одновременно в двух вза¬
имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
х = A | cos wt и у — — A2cos2wt, где А\ — 2 см, А2 = 1см. Найти
уравнение тректории и построить ее.
6.29.	Точка участвует одновременно в двух гармонических ко¬
лебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным напра¬
влениям и описываемых уравнениями:
1)	х — A sinwt и у = Acos2wt;
2)	х — Acoswt и у = Asin2wt;

§6. Механические колебания
115
3)	х — A cos 2wt и у = Ai cos wt;
4)	х — А\ sin wt и у — A cos wt.
Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением
масштаба и указать направление движения. Принять: А = 2 см;
А\ = 3 см.
6.30.	Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди¬
кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х — А\ cos wt
и у — А-i sin0,5wt, где А\ = 2 см, А^ = Зсм. Найти уравнение
траектории точки и построить ее, указав направление движения.
6.31.	Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля¬
ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле¬
баний, которые описываются уравнениями:
1)	х = Asin3wf и у = Asin2wt;
2)	х = A sin 3wt и у = A cos 2wt]
3)	х = A sin 3wt и у = A cos wt.
Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, по¬
строить траекторию светящейся точки на экране. Принять
А = 4 см.
Динамика гармонических колебаний. Маятники
6.32.	Материальная точка массой т — 50 г совершает колеба¬
ния, уравнение которых имеет вид х — Acoswt, где А = 10см,
w — 5с-1. Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях:
1)	в момент, когда фаза wt = д/З; 2) в положении наибольшего
смещения точки.
6.33.	Колебания материальной точки массой т = 0,1 г проис¬
ходят согласно уравнению х = .Acoswt, где А = 5см; w = 20с-1.
Определить максимальные значения возвращающей силы Fmax и
кинетической энергии Ттах.
6.34.	Найти возвращающую силу F в момент t = 1 с и пол¬
ную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по
закону х = Acoswt, где А = 20см; w = 2ж/3с~1. Масса т мате¬
риальной точки равна Юг.
6.35.	Колебания материальной точки происходят согласно урав¬
нению х = Acoswt, где А = 8см, w = 7г/6с-1. В момент, когда
возвращающая сила F в первый раз достигла значения —5мН,
потенциальная энергия П точки стала равной ЮОмкДж. Найти
этот момент времени f и соответствующую ему фазу wt.
6.36.	Грузик массой т = 250 г, подвешенный к пружине, коле¬
блется по вертикали с периодом Т = 1с. Определить жесткость к
пружины.
6.37.	К спиральной пружине подвесили грузик, в результате
чего пружина растянулась на х = 9 см. Каков будет период Т
колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпу¬
стить?
9*

116
Гл. 1. Физические основы механики
6.38.	Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали
с амплитудой А = 4 см. Определить полную энергию Е колебаний
гири, если жесткость к пружины равна 1кН/м.
6.39.	Найти отношение длин двух математических маятников,
если отношение периодов их колебаний равно 1,5.
6.40.	Математический маятник длиной I = 1 м установлен в
лифте. Лифт поднимается с ускорением о = 2,5 м/сI 2. Определить
период Т колебаний маятника.
6.41.	На концах тонкого стержня длиной / = 30 см укреплены
одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с гру¬
зиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через
точку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня. Опре¬
делить приведенную длину L и период Т колебаний такого физи¬
ческого маятника. Массой стержня пренебречь.
6.42.	На стержне длиной / = 30 см укреплены два одинако¬
вых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из
его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонталь¬
ной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить
приведенную длину L и период Т колебаний такой системы. Мас¬
сой стержня пренебречь.
6.43.	Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной
I = 30 см (рис. 6.6), колеблется относительно горизонтальной оси,
проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа.
Найти период Т колебаний системы. Массами стержней прене¬
бречь, грузы рассматривать как материальные точки.
6.44.	Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизон¬
тально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Ра¬
диус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.
6.45.	Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около
горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих ци¬
линдрической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?
d.
I О I
I
фт
Рис. 6.6
Рис. 6.7

§ 6. Механические колебания
117
6.46.	Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонталь¬
ной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпен¬
дикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и
период Т колебаний такого маятника.
6.47.	Из тонкого однородного диска радиусом R = 20 см выре¬
зана часть, имеющая вид круга радиусом г = 10см, так, как это
показано на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относи¬
тельно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из образую¬
щих цилиндрической поверхности диска. Найти период Т колеба¬
ний такого маятника.
6.48.	Математический маятник длиной 1\ = 40 см и физи¬
ческий маятник в виде тонкого прямого стержня длиной fo = 60 см
синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси.
Определить расстояние о центра масс стержня от оси колебаний.
6.49.	Физический маятник в виде тонкого прямого стержня
длиной I = 120 см колеблется около горизонтальной оси, прохо¬
дящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на неко¬
торое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении
а период Т колебаний имеет наименьшее значение?
6.50.	Физический маятник представляет собой тонкий одно¬
родный стержень массой тп с укрепленным на нем маленьким
шариком массой тп. Маятник совершает колебания около горизон¬
тальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить
период Т гармонических колебаний маятника для случаев о, б, в,
г, изображенных на рис. 6-8. Длина I стержня равна 1 м. Шарик
рассматривать как материальную точку.
Рис. 6.8	Рис. 6.9
6.51.	Физический маятник представляет собой тонкий одно¬
родный стержень массой тп с укрепленными на нем двумя ма¬
ленькими шариками массами тп и 2т. Маятник совершает ко¬
лебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на
стержне. Определить частоту v гармонических колебаний маят¬
ника для случаев о, б, в, г, изображенных на рис. 6.9. Длина
I стержня равна 1м. Шарики рассматривать как материальные
точки.

118
Гл. 1. Физические основы механики
6.52.	Тело массой тп = 4 кг, закрепленное на горизонтальной
оси, совершало колебания с периодом 7\ = 0,8 с. Когда на эту ось
был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела,
период Тг колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен
20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела
относительно оси колебаний.
6.53.	Ареометр массой m = 50 г, имеющий трубку диаметром
d = 1см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и
затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совер¬
шать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний.
6.54.	В открытую с обоих концов U-образную трубку с площа¬
дью поперечного сечения S = 0,4 см2 быстро вливают ртуть массой
тп = 200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.
6.55.	Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей
длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой нахо¬
дится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т
колебаний бревна равен 5 с. Определить длину I бревна.
Затухающие колебания
6.56.	Амплитуда затухающих колебаний маятника за время
ti = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t%, считая от
начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
6.57.	За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний
маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент за¬
тухания 6.
6.58.	Амплитуда колебаний маятника длиной I = 1 м за время
t ~ 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический
декремент затухания 6.
6.59.	Логарифмический декремент колебаний в маятника равен
0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен
сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.
6.60.	Гиря массой т = 500 г подвешена к спиральной пружине
жесткостью к — 20 Н/м и совершает упругие колебания в неко¬
торой среде. Логарифмический декремент затухания в = 0,004.
Определить число N полных колебаний, которые должна совер¬
шить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в п = 2
раза. За какое время t произойдет это уменьшение?
6.61.	Тело массой ш = 5 г совершает затухающие колебания.
В течение времени t = 50 с тело потеряло 60% своей энергии.
Определить коэффициент сопротивления Ь.
6.62.	Определить период Т затухающих колебаний, если пе¬
риод 7о собственных колебаний системы равен 1 с и логарифми¬
ческий декремент затухания в = 0,628.
6.63.	Найти число N полных колебаний системы, в течение
которых энергия системы уменьшилась в п = 2 раза. Логарифми¬
ческий декремент затухания в = 0,01.

§6. Механические колебания
119
6.64.	Тело массой т =«1 кг находится в вязкой среде с коэф¬
фициентом сопротивления г = 0,05 кг/с.
ковых пружин жесткостью к — 50 Н/м
каждое тело удерживается в положении
равновесия, пружины при этом не де¬
формированы (рис. 6.10). Тело смести¬
ли от положения равновесия и отпусти¬
ли. Определить: 1) коэффициент зату¬
хания 2) частоту и колебаний; 3) ло¬
гарифмический декремент затухания в\ 4) число N колебаний, по
прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.
0
Вынужденные колебания. Резонанс
6.65.	Под действием силы тяжести электродвигателя консоль¬
ная балка, на которой он установлен, прогнулась на h — 1 мм. При
какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возник¬
нуть опасность резонанса?
6.66.	Вагон массой т = 80 т имеет четыре рессоры. Жесткость
к пружин каждой рессоры равна 500кН/м. При какой скорости v
вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках
рельс, если длина I рельса равна 12,8 м?
6.67.	Колебательная система совершает затухающие колебания
с частотой v = 1000 Гц. Определить частоту щ собственных коле¬
баний, если резонансная частота vpe3 = 998 Гп.
6.68.	Определить, на сколько резонансная частота отличается
от частоты Ц) = 1 кГц собственных колебаний системы, характе¬
ризуемой коэффициентом затухания 6 = 400с-1.
6.69.	Определить логарифмический декремент затухания в ко¬
лебательной системы, для которой резонанс наблюдается при ча¬
стоте, меньшей собственной частоты щ = 10 кГц на Av = 2 Гц.
6.70.	Период 7о собственных колебаний пружинного маятника
равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал рав¬
ным 0,56 с. Определить резонансную частоту ^рез колебаний.
6.71.	Пружинный маятник (жесткость к пружины равна 10 Н/м,
масса тп груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в
вязкой среде с коэффициентом сопротивления г — 2 ■ 10-2 кг/с.
Определить коэффициент затухания 6 и резонансную амплитуду
Лрез, если амплитудное значение вынуждающей силы F0 =-10 мН.
6.72.	Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэф¬
фициентом сопротивления г — 1г/с. Считая затухание малым,
определить амплитудное значение вынуждающей силы, если ре¬
зонансная амплитуда Арез = 0,5 см и частота щ собственных ко¬
лебаний равна 10 Гц.
С помощью двух одина-
Рис. 6.10

120
Гл. 1. Физические основы механики
6.73.	Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при
частотах v\ — 400Гц и^ = 600Гц равны между собой. Опреде¬
лить резонансную частоту />рез. Затуханием пренебречь.
6.74.	К спиральной пружине жесткостью к = 10 Н/м подвесили
грузик массой m = Юг и погрузили всю систему в вязкую среду.
Приняв коэффициент сопротивления г равным 0,1 кг/с, опреде¬
лить: 1) частоту vq собственных колебаний; 2) резонансную ча¬
стоту г'рез; 3) резонансную амплитуду Арез, если вынуждающая
сила изменяется по гармоническому закону и ее амплитудное зна¬
чение Fq = 0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к стати¬
ческому смещению под действием силы Fq.
6.75.	Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет
меньше резонансной амплитуды, если частота изменения выну¬
ждающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10%?
2)	в два раза? Коэффициент затухания 6 в обоих случаях принять
равным 0,1ыо (ц>о — циклическая частота собственных колеба¬
ний).
§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Уравнение плоской волны
где £(ж, £) — смещение точек среды с координатой ж в момент времени
<; ui — циклическая частота; — скорость распространения колебаний
в среде (фазовая скорость); к — волновое число:- к = 2тг/А, А — длина
волны.
• Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой v соот¬
ношениями
• Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между кото¬
рыми (разность хода) равно Дж,
v
Atfi = —Ах,
Л
где А — длина волны.
• Уравнение стоячей волны
£(х, t) = 2A cos кх - cos cjt = Аст cos кх - cos ut,
где Аст — амплитуда пучности стоячей волны.

§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
121
•	Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:
в твердых телах с^в = у/Е/р, где Е — модуль Юнга; р — плотность
вещества;		 -
в газах с,в = yJ^RT/M, или сзв = y/ур/р, где 7 — показатель адиа¬
баты (7 = Ср/су — отношение удельных теплоемкостей газа при посто¬
янных давлении и объеме); R — молярная газовая постоянная; Т —
термодинамическая температура; М — молярная масса; р — давление
газа.
•	Акустический эффект Доплера
СзВ + Ппр
V 				-Vo,
Сзв ^ИСТ
где v — частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или
ухом); Сдв — скорость звука в среде; ппр — скорость прибора относи¬
тельно среды; иисх — скорость источника звука относительно среды;
Vq — частота звука, испускаемого источником.
•	Средняя объемная плотность энергии звукового поля
(w) = ^pw2 А2,
где р — плотность среды; и — циклическая частота колебаний точек
среды; А — амплитуда колебаний.
•	Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V,
W = (w)V.
• Поток звуковой энергии
ж W
Ф = Т’
энергия, переносимая через данную поверхность за
где W
время t.
• Интенсивность звука (плотность потока энергии звуковой волны) •• Интенсивность звука связана со средней объемной плотностью энер¬
гии звукового поля соотношением
I = (w)c3B,
где Сэв — скорость звука в среде.
• Связь мощности N точечного изотропного источника звука с ин¬
тенсивностью звука:
N
I =
4ят2 ’
где г — расстояние от источника звука до точки звукового поля, в которой
определяется интенсивность.
8 Зак. 237

122
Гл. 1. Физические основы механики
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого
шнура со скоростью СэВ = 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура
равен 1,2 с, амплитуда А = 2 см. Определить: 1) длину волны А; 2) фазу
tp колебаний, смещение £, скорость £ и ускорение £ точки, отстоящей на
расстоянии х = 45 м от источника волн в момент t = 4 с; 3) разность фаз
Aip колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника
волн на расстояниях х\ = 20 м и Х2 = 30 м.
Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна про¬
ходит за один период, и может быть найдена из соотношения
А = СэвТ.
Подставив значения величин СэВ и Т, получим
А = 18 м.
2. Запишем уравнение волны:
£ = Acosu>(t—(1)
где £ — смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источ¬
ника волн; Сзв — скорость распространения волн.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t опреде¬
ляется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:
""и
где учтено, что ui = 2д/Т.
Произведя вычисления по последней формуле, получим
tp = 5,24 рад, или р — 300°.
Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения ам¬
плитуды А и фазы tp:
£ = 1 см.
Скорость £ точки находим, взяв первую производную от смещения
по времени:
• d£	( х \	2тгА .	( х \	2тгА .
f=—- = -Awsuuj t	| = —— sinu t	J = —-simp.
at	V Сзв/ T \ Сзв/ T
Подставив значения величин д, А, Т и tp и произведя вычисления,
получим
£ = 9 см/с.

§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
123
Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому
1- d£ . 2
£ = — = -Аш cos и
dt
47г2Л
"г2"
COS if.
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
\ = 27,4 см/с2.
3. Разность фаз Д(р колебаний двух точек волны связана с расстоя¬
нием Дх между этими точками соотношением
Л	2* Л
Aip = —Дх.
Л
Подставив значения величин А, х\ и Х2 и вычислив, получим
Д(р = 3,49 рад, или Aip = 200°.
Пример 2. На расстоянии I = 4м от источника плоской волны
частотой v = 440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Опре¬
делить расстояния от источника волн до точек, в которых будут первые
три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложе¬
ния бегущей и отраженной от стены волн. Скорость а,в волны считать
равной 440 м/с.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была на¬
правлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с
Источник
плоских волн
Стена
Рис. 7.1
точкой, находящейся на,источнике MN плоской волны (рис. 7.1). С уче¬
том этого уравнение бегущей волны запишется в виде
£i = A cos (uit — kx).	(2)
Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, пройдя два¬
жды расстояние I — х, и при отражении от стены, как среды более плот¬
ной, изменит фазу на д, то уравнение отраженной волны может быть
записано в виде
8'
£2 — A cosujt - k(x + 2(1 — х)) + 7Г.

124
Гл. 1. Физические основы механики
После очевидных упрощений получим
£2 = -A cos (u>t - k{2l - 2;)).	(3)
Сложив уравнения (2) и (3), найдем уравнение стоячей волны:
£ = £1 + £2 = A cos (ut - kx) - A cos (ut - k(2l - ж)).
Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем
£ = —2Asin k(l — x)sin(tdf — kl).
Так как выражение A sin k(l — х) не зависит от времени, то, взятое по
модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:
Лст = \2А sink(l — ж)|.
Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пуч¬
ностей.
Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна
нулю: |2.<4sinfc(l — ж)| =0. Это равенство выполняется для точек, коор-
Источник
плоских волн
Стена
Рис. 7.2
динаты хп которых удовлетворяют условию
к(1 — жп) = шг (п = 0, 1, 2, ...).
(4)
Но к = 27г/А или, так как А = с,B/f,
, 27ti^
к =	.
Сзв
(5)
Подставив это выражение к в (4), получим
2Ш>(1 - Хп) = П7ГСэВ,
откуда координаты узлов

§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
125
Подставив сюда значения I, Сэ„, v и п = 0, 1, 2, найдем координаты
первых трех узлов:
хо = 4 м, xi = 3,61 м, Х2 = 3,23 м.
Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны мак¬
симальна: 2.AsinA;(Z — х') = 2А. Это равенство выполняется для точек,
координаты х'п которых удовлетворяют условию k(l — x'n) = (2n + l)(7r/2)
(п = 0, 1, 2, 3,...). Выразив здесь к по (5), получим
4i/x'n = 4iЛ — (2n + 1)сэВ)
откуда координаты пучностей
I ,	(2л ~Ь 1)сзВ
Подставив сюда значения I, СзВ, v и п = 0, 1, 2, найдем координаты
первых трех пучностей:
Xq - 3,81 м, х[ = 3,42 м, х'2 = 3,04 м.
Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их
координат изображены на рис. 7.2. Здесь же отмечены координаты хо,
xi, Х2, ... узлов и координаты х'0, х\, х2, ... пучностей стоячей волны.
Пр и мер 3. Источник звука частотой v = 18 кГц приближается к
неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую
волну длиной Л = 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источ¬
ник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания
резонатора? Температура Т воздуха равна 290 К.
Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспри¬
нимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости иКст источника
звука и скорости цпр прибора. Эта зависимость выражается формулой
v =
Сзв Т Д
Сзв
пр
^0,
(6)
'ИСТ
где СэВ — скорость звука в данной среде; Vq — частота звуковых волн,
излучаемых источником.
Учитывая, что резонатор остается неподвижным (г*пр = 0), из фор-
Сэв
мулы (6) получим v —	vq , откуда
Сзв ^ист
^ист — Сзв
(7)
В этом выражении неизвестны значения скорости СзВ звука и ча¬
стоты V.

126
Гл. 1. Физические основы механики
Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и
определяется по формуле
(8)
Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания, ча¬
стота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собствен¬
ной частотой ^рез резонатора, т. е.
v = гфез =
Сэв
^рез
(9)
где Ареэ — длина волны собственных колебаний резонатора.
Подставив выражения с,„ и v из равенства (8) и (9) в формулу (7),
получим
^ИСТ 	 Оэв
^О^реэ
Сзв
)
— Сэв	Щ А|
рез!
ИЛИ
1тйт
ист = V ~м~
t'oA,
рез-
Взяв значения 7 = 1,4, М = 0,029 кг/моль, а также значения R,
Т, pfo, Арез и подставив их в последнюю формулу, после вычислений
получим
?i „с,- — 36 м J с.
ЗАДАЧИ
Уравнение плоской волны
7.1. Задано уравнение плоской волны £(ж, t) = A cos (ut — kx),
где А = 0,5 см, и = 628 с-1, к = 2 м-1. Определить: 1) частоту
колебаний v и длину волны А; 2) фазовую скорость сзв; 3) мак¬
симальные значения скорости £тах и ускорения £тах колебаний
частиц среды.
7.2.	Показать, что выражение £(ж, t) = A cos (ut — кх) удовле-
<92/	1 д2£
творяет волновому уравнению
и кс:т.
дх2
4 dt2
при условии, что
7.3.	Плоская звуковая волна возбуждается источником колеба¬
ний частоты и = 200 Гц. Амплитуда А колебаний источника равна
4 мм. Написать уравнение колебаний источника £(0, t) если в на¬
чальный момент смещение точек источника максимально. Найти
смещение £(ж, t) точек среды, находящихся на расстоянии х =
= 100 см от источника, в момент t = 0,1с. Скорость сзв звуковой
волны принять равной 300 м/с. Затуханием пренебречь.

§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
127
7.4.	Звуковые колебания, имеющие частоту v — 0,5 кГц и ам¬
плитуду А = 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина
волны Л = 70 см. Найти: 1) скорость сзв распространения волн;
2)	максимальную скорость /тах частиц среды.
7.5.	Плоская звуковая волна имеет период Т — 3 мс, амплитуду
А = 0,2 мм и длину волны А = 1,2 м. Для точек среды, удаленных
от источника колебаний на расстояние х = 2м, найти: 1) смеще¬
ние £(ж, t) в момент t = 7мс; 2) скорость £ и ускорение £ для того
же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной
нулю.
7.6.	От источника колебаний распространяется волна вдоль
прямой линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико
смещение точки, удаленной от источника на х = ЗА/4, в момент,
когда от начала колебаний прошло время t = 0,9Т?
7.7.	Волна с периодом Т = 1,2 с и амплитудой колебаний А =
= 2 см распространяется со скоростью сзв = 15 м/с. Чему равно
смещение £(ж, t) точки, находящейся на расстоянии х = 45 м от
источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источ¬
ника прошло время t = 4 с?
7.8.	Две точки находятся на расстоянии Ах = 50 см друг от
друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со ско¬
ростью сзв = 50 м/с. Период Т колебаний равен 0,05 с. Найти
разность фаз Aip колебаний в этих точках.
7.9.	Определить разность фаз Aip колебаний источника волн,
находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на
х = 2 м от источника. Частота v колебаний равна 5 Гц; волны
распространяются со скоростью сзв = 40 м/с.
7.10.	Волна распространяется в упругой среде со скоростью
Сзв = 100 м/с. Наименьшее расстояние Ах между точками среды,
фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить
частоту v колебаний.
7.11.	Определить скорость сзв распространения волны в упру¬
гой среде, если разность Aip колебаний двух точек среды, отстоя¬
щих друг от друга на Дж = 10 см, равна 7г/3. Частота v колебаний
равна 25 Гп.
Скорость звука15)
7.12.	Найти скорость сзв распространения продольных упру¬
гих колебаний в следующих металлах: 1) алюминии; 2) меди;
3)	вольфраме.
7.13.	Определить максимальное и минимальное значения дли¬
ны А звуковых волн, воспринимаемых человеческим ухом, соот¬
15) В задачах, где в условии не указана скорость звука и не заданы величины,
по которым ее можно вычислить, значение скорости следует брать из табл. 16.

128
Гл. 1. Физические основы механики
ветствующие граничным частотам у\ = 16 Гц и 1/2 = 20 кГц. Ско¬
рость звука принять равной 340 м/с.
7.14.	Определить скорость СзВ звука в азоте при температуре
Т = 300 К.
7.15.	Найти скорость сзв звука в воздухе при температурах Т\ =
= 290 К и Тг = 350 К.
7.16.	Наблюдатель, находящийся на расстоянии I = 800 м от
источника звука, слышит звук, пришедший по воздуху, на At =
= 1,78 с позднее, чем звук, пришедший по воде. Найти скорость
сзв звука в воде, если температура Г воздуха равна 350 К.
7.17.	Скорость сзв звука в некотором газе при нормальных усло¬
виях равна 308м/с. Плотность р газа равна 1,78кг/м3. Опреде¬
лить отношение cp/cv для данного газа.
7.18.	Найти отношение скоростей c3Bi/c3B2 звука в водороде и
углекислом газе при одинаковой температуре газов.
7.19.	Температура Т воздуха у поверхности земли равна 300 К;
при увеличении высоты она понижается на АТ = 7 мК на каждый
метр высоты. За какое время звук, распространяясь, достигнет
высоты h = 8 км?
Суперпозиция волн
7.20.	Имеются два источника, совершающие колебания в оди¬
наковой фазе и возбуждающие в окружающей среде плоские волны
одинаковой частоты и амплитуды (А\ = А? = 1мм). Найти ам¬
плитуду А колебаний точки среды, отстоящей от одного источ¬
ника колебаний на расстоянии х\ = 3,5 м и от другого — на
ж2 = 5,4 м. Направления колебаний в рассматриваемой точке со¬
впадают. Длина волны А = 0,6 м.
7.21.	Стоячая волна образуется при наложении бегущей волны
и волны, отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной
направлению распространения волны. Найти положения (рассто¬
яния от границы раздела сред) узлов и пучностей стоячей волны,
если отражение происходит: 1) от среды менее плотной; 2) от
среды более плотной. Скорость сзв распространения звуковых ко¬
лебаний равна 340 м/с и частота v = 3,4 кГц.
7.22.	Определить длину А бегущей волны, если в стоячей волне
расстояние I между: 1) первой и седьмой пучностями равно 15 см;
2) первым и четвертым узлом равно 15 см.
7.23.	В трубе длиной I = 1,2 м находится воздух при темпе¬
ратуре Т — 300 К. Определить минимальную частоту г>т;п воз¬
можных колебаний воздушного столба в двух случаях: 1) труба
открыта; 2) труба закрыта.
7.24.	Широкая трубка, закрытая снизу и расположенная верти¬
кально, наполнена до краев водой. Над верхним отверстием трубки
помещен звучащий камертон, частота и колебаний которого равна

§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
129
440 Гц. Через кран, находящийся внизу, воду медленно выпус¬
кают. Когда уровень воды в трубке понижается на АН = 19,5 см,
звук камертона усиливается. Определить скорость сзв звука в усло¬
виях опыта.
7.25.	Один из способов измерения скорости звука состоит в
следующем. В широкой трубке А может перемещаться поршень
В. Перед открытым концом трубки А, соединенным с помощью
резиновой трубки с ухом наблюдателя, расположен звучащий ка¬
мертон К (рис. 7.3). Отодвигая поршень В от конца трубки А,
наблюдатель отмечает ряд следующих друг за другом увеличений
и уменьшений громкости звука. Найти скорость сзв звука в воз¬
духе, если при частоте колебаний v — 440 Гц двум последователь¬
ным усилениям интенсивности звука соответствует расстояние А1
между положениями поршня, равное 0,375 м.
7.26.	На рис. 7.4 изображен прибор, служащий для определе¬
ния скорости звука в твердых телах и газах. В латунном стержне
А, зажатом посередине, возбуждаются колебания. При опреде¬
ленном положении легкого кружочка В, закрепленного на конце
С
в
А
r a
Рис. 7.4
стержня, пробковый порошок, находящийся в трубке С, располо¬
жится в виде небольших кучек на равных расстояниях. Найти
скорость сзв звука в латуни, если расстояние а между кучками
оказалось равным 8,5 см. Длина стержня I = 0,8 м.
7.27.	Стальной стержень длиной I = 1 м, закрепленный посе¬
редине, натирают суконкой, посыпанной канифолью. Определить

130
Гл. 1. Физические основы механики
частоту v возникающих при этом собственных продольных коле¬
баний стержня. Скорость сзв продольных волн в стали вычислить.
Эффект Доплера16)
7.28.	Поезд проходит мимо станции со скоростью и — 10 м/с.
Частота щ тона гудка электровоза равна 300 Гц. Определить ка¬
жущуюся частоту v тона для человека, стоящего на платформе, в
двух случаях: 1) поезд приближается; 2) поезд удаляется.
7.29.	Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сиг¬
нал частотой щ = 300 Гц, проезжает поезд со скоростью и =
— 40 м/с. Какова кажущаяся частота v тона для пассажира, когда
поезд приближается к электровозу? когда удаляется от него?
7.30.	Мимо железнодорожной платформы проходит электропо¬
езд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены
поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука v\ =
= 1100 Гц; когда удаляется, кажущаяся частота v2 — 900 Гц. Найти
скорость и электровоза и частоту щ звука, издаваемого сиреной.
7.31.	Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя,
высота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить от¬
носительное изменение частоты Аь'/ь', если скорость и поезда
равна 54 км/ч.
7.32.	Резонатор и истопник звука частотой щ = 8 кГц распо¬
ложены на одной прямой. Резонатор настроен на длину волны
А = 4,2 см и установлен неподвижно. Источник звука может пере¬
мещаться по направляющим вдоль прямой. С какой скоростью и
и в каком направлении должен двигаться источник звука, чтобы
возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора?
7.33.	Поезд движется со скоростью и = 120 км/ч. Он дает сви¬
сток длительностью то = 5 с. Какова будет кажущаяся продолжи¬
тельность т свистка для неподвижного наблюдателя, если: 1) по¬
езд приближается к нему; 2) удаляется? Принять скорость звука
равной 348 м/с.
7.34.	Скорый поезд приближается к стоящему на путях электро¬
поезду со скоростью и = 72 км/ч. Электропоезд подает звуковой
сигнал частотой щ — 0,6 кГц. Определить кажущуюся частоту и
звукового сигнала, воспринимаемого машинистом скорого поезда.
7.35.	На шоссе сближаются две автомашины со скоростями
Tij = 30 м/с и U2 = 20 м/с. Первая из них подает звуковой сигнал
частотой v\ — 600 Гц. Найти кажущуюся частоту звука, воспри¬
нимаемого водителем второй автомашины, в двух случаях: 1) до
встречи; 2) после встречи. Изменится ли ответ (если изменится,
то как) в случае подачи сигнала второй машиной?
16) См. сноску на с. 127

§ 7. Волны в упругой среде. Акустика
131
7.36.	Узкий пучок ультразвуковых волн частотой ьр = 50 кГц
направлен от неподвижного локатора к приближающейся подвод¬
ной лодке. Определить скорость и подводной лодки, если частота
у\ биений (разность частот колебаний источника и сигнала, от¬
раженного от лодки) равна 250 Гц. Скорость сзв ультразвука в
морской воде принять равной 1,5 км/с.
Энергия звуковых волн11)
7.37.	По цилиндрической трубе диаметром d — 20 см и длиной
/ = 5м, заполненной сухим воздухом, распространяется звуковая
волна со средней за период интенсивностью I = 50мВт/м2. Найти
энергию W звукового поля, заключенного в трубе.
7.38.	Интенсивность звука 1=1 Вт/м2. Определить среднюю
объемную плотность (w) энергии звуковой волны, если звук рас¬
пространяется в сухом воздухе при нормальных условиях.
7.39.	Мощность N изотропного точечного источника звуковых
волн равна 10 Вт. Какова средняя объемная плотность (w) энергии
на расстоянии г = 10м от источника волн? Температуру Т воздуха
принять равной 250 К.
7.40.	Найти мощность N точечного изотропного источника зву¬
ка, если на расстоянии г = 25 м от него интенсивность I звука
равна 20 мВт/м2. Какова средняя объемная плотность (w) энергии
на этом расстоянии?
17) См. сноску на с. 127

Глава 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 8. Молекулярное строение вещества.
Законы идеальных газов
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Количество вещества1) тела (системы)
N
где N — число структурных элементов (молекул, атрмов, ионов и т. п.),
составляющих тело (систему); Ад — постоянная Авогадро: N\ = 6,02 х
х 1023моль-1.
• Молярная масса вещества
где тп — масса однородного тела (системы); и — количество вещества
этого тела.
•	Относительная молекулярная масса вещества
Mr = ^
i
где rii — число атомов г-го химического элемента, входящего в состав
молекулы данного вещества; Ar<i — относительная атомная масса этого
элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Мен¬
делеева.
•	Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой
Мг вещества
М = Мгк,
где к = 10~3кг/моль.
') Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов,
ионов и т. п.), содержащихся в системе или теле. Количество вещества выража¬
ется в моль. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько
же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой
0,012 кг.

§ 8. Молекулярное строение вещества
133
•	Молярная масса смеси газов
к	к
£	£ Т7Ч
Мсм = ^	= -J=k	,
^	^ Е{тг/Мг)
i=i	»=1
где V{, mi, Mi — соответственно количество вещества, масса и молярная
масса г-го компонента смеси; к — число компонентов смеси.
•	Плотность идеального газа
• Массовая доля 2) г-го компонента смеси газов
ТПг
где тщ — масса i-го компонента смеси; тп — масса смеси.
•	Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона Мен¬
делеева)
тп	_
pV = —ВТ, или pV = vRT,
где тп — масса газа; М — его молярная масса; R — молярная газо¬
вая постоянная; Т — термодинамическая температура; v — количество
вещества.
•	Закон Дальтона
к
2=1
где р — давление смеси газов; Pi — парциальное давление г-го компо¬
нента смеси; к — число компонентов смеси.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Определить молярную массу М углекислого газа ССЬ-
Решение. Молярную массу данного вещества можно определить по
формуле
М = Мтк,	(1)
где Мг — относительная молекулярная масса вещества; к = 10-3 кг/моль.
Относительная молекулярная масса молекулы находится суммирова¬
нием относительных атомных масс Аг атомов, входящих в состав дан¬
ной молекулы. Молекула СОг содержит один атом углерода и два атома
2) Массовой долей компонента в смеси называется безразмерная величина,
равная отношению массы компонента к массе смеси.

134
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
кислорода, атомные массы которых обозначим Агс и АГ)о- Тогда отно¬
сительная молекулярная масса молекулы СОг
Мг, со2 = Аг,с + 2Аг,о-
По таблице Д. И. Менделеева найдем
Аг,с = 12 и Аг> о = 16,
соответственно,
Мг,со2 = 12 + 2 • 16 = 44.
Подставив это значение относительной молекулярной массы, а также
значение к в формулу (1), найдем молярную массу углекислого газа:
М = 44 ■ 10~3 кг/моль = 4,4 ■ 10-2 кг/моль.
Пример 2. Найти молярную массу М смеси кислорода массой
mi = 25 г и азота массой m2 = 75 г.
Решение. Молярная масса смеси Мом есть отношение массы смеси
тсы к количеству вещества смеси исм, т.е.
Мсм =	(2)
Vсм
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси тсм — mi + m2-
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компо¬
нентов.
Подставив в формулу (2) выражения тсм и vcu, получим
Мг,
ГГЦ +
mi/Mi +ГП2/М2'
(3)
Применив способ, использованный в примере 1, найдем молярные
массы Mi кислорода и Мг азота:
Mi = 32 - 1СГ3 кг/моль, М2 = 28 • 1СП3 кг/моль.
Подставим значения величин в (3) и произведем вычисления:
Мгм
25 ■ КГ3 + 75 • 1СГ3
25 • 10-3/(32 • IQ-3) + 75 ■ 10-3/(28 • Ю”3)
—- кг/моль
- 28,9 ■ 10 3 кг/моль.
Пример 3. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей
при температуре t = 4°С объем V = 1мм3; 2) массу mi молекулы во¬
ды; 3) диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют форму
шариков, соприкасающихся друг с другом.

§ 8. Молекулярное строение вещества
135
Решение. 1. Число N молекул, содержащихся в теле некоторой
массы /я, равно произведению постоянной Авогадро Na на количество
вещества v: N = Nav- Так как v = тп/М, где М — молярная масса,
то N = (m/M)NA- Выразив в этой формуле массу как произведение
плотности р на объем V, получим
N = <^N,.	(4)
Все величины, кроме молярной массы воды, входящие в (4), из¬
вестны: р = 1 • 103кг/м3 (см. табл. 9), V = 1 мм3 = 1 ■ 10-9 м3, Na =
= 6,02 • 1023 моль-1 (см. табл. 24).
Зная химическую формулу воды (НгО), найдем молярную массу
воды (см. пример 1):
М = Мтк = (2 ■ 1 + 1 ■ 16) • 10-3 кг/моль = 18 • 10-3 кг/моль.
Подставим значения величин в (4) и произведем вычисления:
N =
1 ■ 10-3 • 1 ■ 1СГ9
18 • 10-3
6,02-1023
(кг/м)3 ■ М3	19
			моль 1 = 3,34 -1019 молекул.
кг/моль
2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы
на постоянную Авогадро: m.\ = М/Nа ■ Произведя вычисления по этой
формуле, получим
771 j
18-10 3 кг/моль
6,02 -1023 моль-1
= 2,99 • 10-26 кг.
3. Будем считать, что молекулы плотно прилегают друг к другу, тогда
на каждую молекулу диаметром d приходится объем (кубическая ячейка)
Vi = d3. Отсюда
d= VVl
Объем Vi найдем, разделив молярный объем Vin вещества на чи¬
сло молекул в моле, т. е. на постоянную Авогадро Na- Vi — Vm/Nа■
Молярный объем равен отношению молярной массы к плотности веще¬
ства, т. е. Vm = М/р. Поэтому можем записать, что Vi = М/(р7Уд).
Подставив полученное выражение Vi в формулу (4), получим
d =
(5)
Проверим, дает ли правая часть выражения (5) единицу длины:
1/3
М =
Г W ]
1/3
1 кг/моль
UpMJ
1 (кг/м)3-1 моль-1
= 1 м.

136
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Теперь подставим значения величин в формулу (5) и произведем вы¬
числения:
d = 3,11 • 1(Г10 м = 311 пм.
ПР и м е р 4. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под да¬
влением pi = 1 МПа при температуре Т\ = 300 К. После того как из бал¬
лона был израсходован гелий массой тп = Юг, температура в баллоне
понизилась до Ti = 290 К. Определить давление pi гелия, оставшегося в
баллоне.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапей¬
рона-Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному со¬
стояниям газа. Для начального состояния уравнение имеет вид
PlV=Mm’	(6)
а для конечного состояния —
PiV = j^RTi,	(7)
где mi и m2 — массы гелия в начальном и конечном состояниях.
Выразим массы mi и mi гелия из уравнений (6) и (7):
mi
MpiV
RTi ’
(8)
mi -
MpiV
RTi
Вычитая из (8) равенство (9), получим
MpiV MpiV
m = mi - mi =
Отсюда найдем искомое давление:
RTi
RTi
RTi (MpiV \	Ti
P2~ MV { RTi	m)	TiPl
m RTi
M~V~'
(9)
(10)
Проверим, дает ли правая часть формулы (10) единицу давления.
Для этого выразим все величины, входящие в нее, в соответствующих
единицах. Единица, в которой выражается первое слагаемое, не вы¬
зывает сомнений, так как отношение Ti/Ti — величина безразмерная.
Проверим, в каких единицах выражается второе слагаемое:
[m] [R][Ti] _	1 кг 1 [Дж/(К • моль)] • 1 К =
[М]	[V]	1 кг/моль	1 м3
1 кг • Дж ■ К-1 ■ моль-1 ■ К _ 1 Дж _ 1 Н ■ м _ 1 Н
1 м3 1 м2 • м 1м2
1 кг • моль-1 - м3

§ 8. Молекулярное строение вещества
137
Убедившись в том, что правая часть полученной расчетной формулы
дает единицу искомой величины — давления, можем подставить в (10)
значения всех величин и произвести вычисления.
В формуле (10) все величины, кроме молярной массы М гелия, из¬
вестны. Найдем ее (см. пример 1). Для гелия как одноатомного газа
относительная молекулярная масса равна его относительной атомной
массе Аг.
Из таблицы Д. И. Менделеева найдем Ат = 4. Следовательно, моляр¬
ная масса гелия
М = Ат ■ 10^3 кг/моль = 4 ■ 10_3 кг/моль.
Подставив значения всех величин в (10), получим
Р2
290
.300
■ 10ь
10 • 10~3
4 ■ 10-3
8,31 ■ 290\
10 ■ ю-3)
ЗАДАЧИ
Па = 3,64 -105 Па = 364 кПа.
к
Молекулярное строение вещества
8.1.	Определить относительную молекулярную массу МТ: 1) во¬
ды; 2) углекислого газа СОг, 3) поваренной соли NaCl.
8.2.	Найти молярную массу М серной кислоты H2SO4.
8.3.	Определить массу mi молекулы: 1) углекислого газа; 2) по¬
варенной соли.
8.4.	В сосуде вместимостью V = 2 л находится кислород, коли¬
чество вещества v которого равно 0,2 моль. Определить плотность
р газа.
8.5.	Определить количество вещества v и число N молекул
азота массой m = 0,2 кг.
8.6.	В баллоне вместимостью V = 3 л находится кислород мас¬
сой ш = 4 г. Определить количество вещества v и число N моле¬
кул газа.
8.7.	Кислород при нормальных условиях заполняет сосуд вме¬
стимостью V — 11,2 л. Определить количество вещества v газа и
его массу ш.
8.8.	Определить количество вещества v водорода, заполняю¬
щего сосуд вместимостью V = Зл, если плотность газа р = 6,65 х
х 10~3 кг/моль.
8.9.	Колба вместимостью V — 0,5 л содержит газ при нормаль¬
ных условиях. Определить число N молекул газа, находящихся в
колбе.
8.10.	Сколько атомов содержится в газах массой 1 г каждый:
1)	гелии; 2) углероде; 3) фторе; 4) полонии?
8.11.	В сосуде вместимостью V — 5 л находится однородный
газ количеством вещества v = 0,2 моль. Определить, какой это
газ, если его плотность р = 1,12кг/м3.

138
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
8.12.	Одна треть молекул азота массой ш = Юг распалась на
атомы. Определить полное число N частиц, находящихся в газе.
8.13.	Рассматривая молекулы жидкости как шарики, соприка¬
сающиеся друг с другом, оценить порядок размера диаметра мо¬
лекулы сероуглерода CS2. При тех же предположениях оценить
порядок размера диаметра атомов ртути. Плотности жидкостей
считать известными.
8.14.	Определить среднее расстояние {/) между центрами мо¬
лекул водяных паров при нормальных условиях и сравнить его с
диаметром d самих молекул (d — 0,311 нм).
8.15.	В сосуде вместимостью V = 1,12 л находится азот при
нормальных условиях. Часть молекул газа при нагревании до
некоторой температуры оказалась диссоциированной на атомы.
Степень диссоциации а = 0,3. Определить количество вещества:
1)	v — азота до нагревания; 2) vMOn — молекулярного азота по¬
сле нагревания; 3)	— атомарного азота после нагревания;
4)	i'ihm — всего азота после нагревания.
Примечание. Степенью диссоциапии называют отношение числа
молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул газа. Степень
диссоциации показывает, какая часть молекул распалась на атомы.
Уравнение газового состояния
8.16.	В цилиндр длиной I = 1,6 м, заполненный воздухом при
нормальном атмосферном давлении ро, начали медленно вдвигать
поршень площадью S = 200 см2. Определить *<силу F, которая
будет действовать на поршень, если его остановить на расстоянии
Zi = 10 см от дна цилиндра.
8.17.	Колба вместимостью V = 300см2, закрытая пробкой с
краном, содержит разреженный воздух. Для измерения давления
в колбе горлышко колбы погрузили в воду на незначительную глу¬
бину и открыли кран, в результате чего в колбу вошла вода массой
т = 292 г. Определить первоначальное давление р в колбе, если
атмосферное давление ро = 100 кПа.
8.18.	В U-образный манометр налита ртуть. Открытое колено
манометра соединено с окружающим пространством при нормаль¬
ном атмосферном давлении ро, и ртуть в открытом колене стоит
выше, чем в закрытом, на Д/г = 10 см. При этом свободная от
ртути часть трубки закрытого колена имеет длину I = 20 см. Ко¬
гда открытое колено присоединили к баллону с воздухом, разность
уровней ртути увеличилась и достигла значения Ah\ — 26 см.
Найти давление р воздуха в баллоне.
8.19.	Манометр в виде стеклянной U-образной трубки с вну¬
тренним диаметром d = 5 мм (рис. 8.1а) наполнен ртутью так, что
оставшийся в закрытом колене трубки воздух занимает при нор¬
мальном атмосферном давлении объем V\ = 10 мм3. При этом раз-

§ 8. Молекулярное строение вещества
139
ность уровней Ahi ртути в обоих коленах трубки равна 10 см. При
соединении открытого конца трубки с большим сосудом (рис. 8.16)
Рис. 8.1
разность Д/12 уровней ртути уменьшилась до 1 см. Определить
давление р в сосуде.
8.20.	В баллоне содержится газ при температуре t\ = 100 °С.
До какой температуры <2 нужно нагреть газ, чтобы его давление
увеличилось в два раза?
8.21.	При нагревании идеального газа на ДТ — 1 К при посто¬
янном давлении объем его увеличился на 1/350 первоначального
объема. Найти начальную температуру Т газа.
8.22.	Полый шар вместимостью V = 10 см3, заполненный воз¬
духом при температуре Т\ = 573 К, соединили трубкой с чашкой,
заполненной ртутью. Определить массу тп ртути, вошедшей в шар
при остывании воздуха в нем до температуры 7г = 293 К. Изме¬
нением вместимости шара пренебречь.
8.23.	Оболочка воздушного шара вместимостью V = 800 м3
целиком заполнена водородом при температуре Т\ = 273 К. На
сколько изменится подъемная сила шара при повышении темпе¬
ратуры до Тг = 293 К? Считать вместимость V оболочки неизмен¬
ной и внешнее давление нормальным. В нижней части оболочки
имеется отверстие, через которое водород может выходить в окру¬
жающее пространство.
8.24.	В оболочке сферического аэростата находится газ объемом
V = 1500 м3, заполняющий оболочку лишь частично. На сколько
изменится подъемная сила аэростата, если газ в аэростате нагреть
от То = 273 К до Т — 293 К? Давления газа в оболочке и окружа¬
ющего воздуха постоянны и равны нормальному атмосферному
давлению.
8.25.	Газовый термометр состоит из шара с припаянной к нему
горизонтальной стеклянной трубкой. Капелька ртути, помещенная
в трубку, отделяет объем шара от внешнего пространства (рис. 8.2).
Площадь S поперечного сечения трубки равна 0,1см2. При темпе¬
ратуре Ti = 273 К капелька находилась на расстоянии = 30 см
от поверхности шара, при температуре Т? = 278 К — на расстоя¬
нии /г = 50 см. Найти вместимость V шара.

140
Гл. 2. Молекулярнгш физика и термодинамика
8.26.	В большой сосуд с водой был опрокинут цилиндрический
сосуд (рис. 8.3). Уровни воды внутри и вне цилиндрического со¬
суда находятся на одинаковой высоте. Расстояние I от уровня воды
до дна опрокинутого сосуда равно 40 см. На какую высоту Ah
Рис. 8.2
Рис. 8.3
поднимется вода в цилиндрическом сосуде при понижении тем¬
пературы от Ti = 310 К до Т% = 273 К? Атмосферное давление
нормальное.
8.27.	Баллон вместимостью V — 12 л содержит углекислый газ.
Давление р газа равно 1 МПа, температура Т = 300 К. Определить
массу тп газа в баллоне.
8.28.	Какой объем V занимает идеальный газ, содержащий ко¬
личество вещества v =■ 1 кмоль при давлении р = 1 МПа и темпе¬
ратуре Т = 400 К?
8.29.	Котел вместимостью V = 2м3 содержит перегретый водя¬
ной пар массой m = 10 кг при температуре Т — 500 К. Определить
давление р пара в котле.
8.30.	Баллон вместимостью V = 20 л содержит углекислый газ
массой тп = 500 г под давлением р = 1,3 МПа. Определить темпе¬
ратуру Т газа.
8.31.	Газ при температуре Т = 309 К и давлении р = 0,7 МПа
имеет плотность р — 12кг/м3. Определить относительную моле¬
кулярную массу Мг газа.
8.32.	Определить плотность р насыщенного водяного пара в
воздухе при температуре Т = 300 К. Давление р насыщенного во¬
дяного пара при этой температуре равно 3,55 кПа.
8.33.	Оболочка воздушного шара имеет вместимость V= 1600 м3.
Найти подъемную силу F водорода, наполняющего оболочку, на
высоте, где давление р — 60 кПа и температура Т = 280 К. При
подъеме шара водород может выходить через отверстие в нижней
части шара.
8.34.	В баллоне вместимостью V = 25 л находится водород при
температуре Т = 290 К. После того как часть водорода израсходо¬
вали, давление в баллоне понизилось на Ар = 0,4 МПа. Опреде¬
лить массу тп израсходованного водорода.

§ 8. Молекулярное строение вещества
141
8.35.	Оболочка аэростата вместимостью V = 1600м3, находя¬
щегося на поверхности Земли, на к = 7/8 наполнена водородом
при давлении pi = 100 кПа и температуре Т\ = 290 К. Аэростат
подняли на некоторую высоту, где давление Р2 = 80 кПа и темпе¬
ратура Т‘2 = 280 К. Определить массу Дт водорода, вышедшего
из оболочки при его подъеме.
Смеси газов
8.36.	Какой объем V занимает смесь газов — азота массой
mi = 1 кг и гелия массой m2 = 1 кг — при нормальных условиях?
8.37.	В баллонах вместимостью Vi = 20 л и Vz = 44 л содер¬
жится газ. Давление в первом баллоне р\ = 2,4 МПа, во втором —
Р2 = 1,6 МПа. Определить общее давление р и парциальные р\
и р'2 после соединения баллонов, если температура газа осталась
прежней.
8.38.	В сосуде вместимостью V = 0,01м3 содержится смесь
газов — азота массой mi = 7 г и водорода массой m<2 = 1 г — при
температуре Т = 280 К. Определить давление р смеси газов.
8.39.	Найти плотность р газовой смеси водорода и кислорода,
если их массовые доли n;i и W2 равны соответственно 1/9 и 8/9.
Давление р смеси равно 100 кПа, температура Т = 300 К.
8.40.	Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, нахо¬
дится в баллоне под давлением р — 1МПа. Определить парци¬
альные давления р\ кислорода и р2 азота, если массовая доля w\
кислорода в смеси равна 0,2.
8.41.	Сухой воздух состоит в основном из кислорода и азота.
Если пренебречь остальными составными частями воздуха, то
можно считать, что массовые доли кислорода и азота соответ¬
ственно wi = 0,232, и>2 = 0,768. Определить относительную мо¬
лекулярную массу Мт воздуха.
8.42.	Баллон вместимостью V = 30 л содержит смесь водорода
и гелия при температуре Т = 300 К и давлении р = 828 кПа. Масса
тп смеси равна 24 г. Определить массу mi водорода и массу m2
гелия.
8.43.	В сосуде вместимостью V = 15 л находится смесь азота
и водорода при температуре t = 23° С и давлении р = 200 кПа.
Определить массы смеси и ее компонентов, если массовая доля rui
азота в смеси равна 0,7.
8.44.	Баллон вместимостью V = 5 л содержит смесь гелия и
водорода при давлении р = 600 кПа. Масса m смеси равна 4 г,
массовая доля Wi гелия равна 0,6. Определить температуру Т
смеси.
8.45.	В сосуде находится смесь кислорода и водорода. Масса
тп смеси равна 3,6 г. Массовая доля w\ кислорода составляет 0,6.
Определить количество вещества v смеси, и v2 каждого газа в
отдельности.

142
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
§ 9. Молекулярно-кинетическая теория газов
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
•	Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы
N	р ..
n=v и n=MNk’
где N — число частиц; V — объем системы; р — плотность вещества (в
любом агрегатном состоянии); М — молярная масса; АГд — постоянная
Авогадро.
•	Основное уравнение кинетической теории газов
Р =
где р — давление газа; (еп) — средняя кинетическая энергия3) посту¬
пательного движения молекулы.
• Средняя кинетическая энергия молекулы (с учетом поступательного
и вращательного движения)
(е) = \кТ,
где г — число степеней свободы (г = 3 для одноатомной молекулы,
г = 5 для двухатомной и г = 6 для трех- и более атомной молекулы);
к = 1,38- 1СП23Дж/К — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая
температура.
• Средняя кинетическая энергия:
поступательного движения молекулы (гп = 3)
(£п> = \кТ-,
вращательного движения молекулы
р — *£Е LT
tBp —	2	>
где гвр ■— число вращательных степеней свободы (гвр = 2 для двухатом¬
ной молекулы, гвр = 3 для трех- и более атомной молекулы);
колебательного движения молекулы
(£кол) = кТ.
Энергетический вклад колебательного движения учитывается при до¬
статочно высоких, порядка нескольких тысяч кельвинов, температурах.
3) Здесь и далее кинетическая энергия молекул и других частиц обознача¬
ется е.

§ 9. Молекулярно-кинетическая теория газов
143
•	Зависимость давления газа от концентрации молекул и темпера¬
туры
р = пкТ.
•	Скорость молекул:
средняя квадратичная
{Vkb) "Vm,’
средняя арифметическая
наиболее вероятная
v» = \[
2кТ
ТП\ '
или
М = \
V 7Г7П1
ИЛИ
или
где mi — масса одной молекулы.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. В баллоне вместимостью V = 6,9л находится азот мас¬
сой тп = 2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы.
Степень диссоциации4) а = 0,2. Определить: 1) общее число N\ молекул
и концентрацию пi молекул азота до нагревания; 2) концентрацию П2
молекул и пз атомов азота после нагревания.
Решение. По определению, концентрация частиц газа есть отно¬
шение числа частиц к вместимости сосуда, занимаемого газом:
(1)
1. Число Ni молекул газа до нагревания найдем из соотношения
^=^NA = ^NA = j^-NA,	(2)
где v — количество вещества азота; АГд — постоянная Авогадро; М —
молярная масса азота; Мг — относительная молекулярная масса азота;
к = 10-3 кг/моль (см. пример 1 на с. 133).
Подставив значения величин в (2), получим
2	3 ■10_3
N\ = ^ з ^ • 6,02 • 1023 молекул = 4,94 • 1023 молекул.
4) См. примечание к задаче 8.15.

144
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Концентрацию гц найдем, подставив значения величин в (1):
Ni 4,94 • 1023 _3
711
• м-3 = 7,16 • 1025 м“3.
V 6,9 • 10-3
2. Концентрацию после нагревания найдем из соотношения
N2 Nj(l - a)
Tl2 =
V
V
(3)
где N2 — число молекул, не распавшихся на атомы.
После подстановки значений величин в (3) получим
712
4,94- 1023(1 -0,2)
6,9 • 10~3
м“3 = 5,73 • 1025 м~3.
Концентрация атомов после нагревания азота
п3
2Nia
V '
(4)
Число 2 в формуле (4) выражает тот факт, что каждая молекула после
распада дает два атома.
Подставим в (4) значения величин и произведем вычисления:
п з
2 • 4,94 • 1023 • 0,2
6,9 ■ IQ"3
м~3 = 0,286 • 1026 м“3
= 2,86 ■ 1025 м_3.
Пример 2. В колбе вместимостью V = 0,5л находится кислород
при нормальных условиях. Определить среднюю энергию {Wn) посту¬
пательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.
Решение. Средняя энергия (Wn) поступательного движения всех
молекул может быть выражена соотношением
Ш = (e„)N,	(5)
где (еп) -— средняя энергия поступательного движения одной молекулы;
N — число всех молекул, содержащихся в колбе.
Как известно,
(6)
где к — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.
Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле
N = h/Va,
(7)
где v — количество вещества кислорода; Na — постоянная Авогадро.

§ 9- Молекулярно-кинетическая теория газов
145
Количество вещества v найдем из таких соображений: известно, что
при нормальных условиях молярный объем Vm равен 22,4-10_3 м3/моль.
Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормаль¬
ных условиях, то количество вещества кислорода в колбе выражается
соотношением
<8)
Подставив выражение v по (8) в (7), получим
VNa
N =
Vrr,
(9)
С учетом (6) и (9) выражение (5) энергии поступательного движения
молекул примет вид
Проверим, дает ли правая часть расчетной формулы единицу энергии
(джоуль). Для этого вместо символов величин подставим единицы, в
которых эти величины выражаются:
[ИУ =
(Дж/К) • К ■ м3 • моль 1 Дж ■ К • м3 • моль
3/моль
м3 ■ К • моль
= Дж.
Подставив значения величин в (10) и произведя вычисления, найдем
3	-1,38 - IQ"23 • 273 ■ 0,5 • 10~3 ■ 6,02 • 10
2 ■ 22,4 • 10~3
23
Дж = 75,9 Дж.
Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы
аммиака NH3 при температуре t — 27 °С и среднюю энергию вращатель¬
ного движения этой молекулы при той же температуре.
Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по фор¬
муле
<е> = fa	(П)
где i — число степеней свободы молекулы; к — постоянная Больцмана;
Т — термодинамическая температура газа: Т = t + Т0, где Го = 273 К.
Число степеней свободы г четырехатомной молекулы, какой является
молекула аммиака, равно 6.
Подставим значения величин в (11):
С	'
(е) = - - 1,38 ■ 10_23(27 + 273) Дж = 1,24 • Ю“20 Дж.
Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется по
формуле
(£вР) =	(12)
где число 3 означает число степеней свободы поступательного движения.
11 Зак. 237

146
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Подставим в (12) значения величин и вычислим:
л о
(евр) =	■ 1,38 • 10“23(27 + 273) Дж = 6,21 • 1(Г21 Дж.
Заметим, что энергию вращательного движения молекул аммиака
можно было получить иначе, разделив полную энергию (е) на две равные
части. Дело в том, что у трех- (и более) атомных молекул число степе¬
ней свободы, приходящихся на поступательное и вращательное движе¬
ние, одинаково (по 3), поэтому энергии поступательного и вращательного
движений одинаковы.
ЗАДАЧИ
Концентрация молекул
9.1.	В сосуде вместимостью V = 12 л находится газ, число N
молекул которого равно 1,44 • 1018. Определить концентрацию п
молекул газа.
9.2.	Определить вместимость V сосуда, в котором находится
газ, если концентрация молекул п = 1,25 • 1026 м~3, а общее их
число N = 2,5 • 1023.
9.3.	В сосуде вместимостью V = 20 л находится газ количе¬
ством вещества v = 1,5кмоль. Определить концентрацию п моле¬
кул в сосуде.
9.4.	Идеальный газ находится при нормальных условиях в за¬
крытом сосуде. Определить концентрацию п молекул газа.
9.5.	В сосуде вместимостью V — 5 л находится кислород, кон¬
центрация п молекул которого равна 9,41 - 1023м~3. Определить
массу т газа.
9.6.	В баллоне вместимостью V = 5 л находится азот массой
т = 17,5 г. Определить концентрацию п молекул азота в баллоне.
9.7.	Определить количество вещества v водорода, заполняю¬
щего сосуд вместимостью V = Зл, если концентрация п молекул
газа в сосуде равна 2 • 1018 м-3.
9.8.	В двух одинаковых по вместимости сосудах находятся раз¬
ные газы: в первом — водород, во втором — кислород. Найти от¬
ношение п\/пч концентраций газов, если массы газов одинаковы.
9.9.	Газ массой т = 58,5 г находится в сосуде вместимостью
V = 5 л. Концентрация п молекул газа равна 2,2 • 1026 м-3. Какой
это газ?
9.10.	В баллоне вместимостью V = 2 л находится кислород
массой 771 = 1,17 г. Концентрация п молекул в сосуде равна 1,1 х
х 1025 м_3. Определить по этим данным постоянную Авогадро N&.
9.11.	В баллоне находится кислород при нормальных условиях.
При нагревании до некоторой температуры часть молекул оказа¬
лась диссоциированной на атомы. Степень диссоциации а = 0,4.

§ 9. Молекулярно-кинетическая теория газов
147
Определить концентрации частиц: 1) п\ — до нагревания газа;
2)	П2 — молекулярного кислорода после нагревания; 3) п3 — ато¬
марного кислорода после нагревания.
Основное уравнение кинетической теории газов.
Энергия молекул
9.12.	Определить концентрацию п молекул идеального газа при
температуре Т = 300 К и давлении р = 1 мПа.
9.13.	Определить давление р идеального газа при двух значе¬
ниях температуры газа: 1) Т = ЗК; 2) Т — 1кК. Принять концен¬
трацию п молекул газа равной « 1019 см-3.
9.14.	Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью
V = 30 л при температуре Т = 300 К и давлении р = 5 МПа?
9.15.	Определить количество вещества v и концентрацию п мо¬
лекул газа, содержащегося в колбе вместимостью V - 240 см3 при
температуре Т = 290 К и давлении р = 50 кПа.
9.16.	В колбе вместимостью V = 100 см3 содержится некоторый
газ при температуре Т — 300 К. На сколько понизится давление р
газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N = Ю20
молекул?
9.17.	В колбе вместимостью V = 240 см3 находится газ при
температуре Т = 290 К и давлении р = 50 кПа. Определить коли¬
чество вещества и газа и число N его молекул.
9.18.	Давление р газа равно 1 мПа, концентрация п его молекул
равна Ю10 см-3. Определить: 1) температуру Т газа; 2) сред¬
нюю кинетическую энергию (е„) поступательного движения моле¬
кул газа.
9.19.	Определить среднюю кинетическую энергию (еп) посту¬
пательного движения и среднее значение (е) полной кинетиче¬
ской энергии молекулы водяного пара при температуре Т = 600 К.
Найти также кинетическую энергию W поступательного движения
всех молекул пара, содержащего количество вещества v = 1 кмоль.
9.20.	Определить среднее значение (е) полной кинетической
энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при
температуре Т = 400 К.
9.21.	Определить кинетическую энергию (е^), приходящуюся в
среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре
Т = 1 кК, а также среднюю кинетическую энергию {еп) посту¬
пательного движения, (еВр) вращательного движения и среднее
значение полной кинетической энергии (е) молекулы.
9.22.	Определить число N молекул ртути, содержащихся в воз¬
духе объемом V = 1 м3 в помещении, зараженном ртутью, при
температуре t = 20°С, если давление р насыщенного пара ртути
при этой температуре равно 0,13 Па.
и*

148
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
9.23.	Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде не¬
обходимо прогревать его при откачке с целью удалить адсорби¬
рованные газы. Определить, на сколько повысится давление в
сферическом сосуде радиусом R = 10 см, если все адсорбирован¬
ные молекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стен¬
ках считать мономолекулярным, сечение а одной молекулы равно
10~15 см2. Температура Т, при которой производится откачка,
равна 600 К.
9.24.	Определить температуру Т водорода, при которой средняя
кинетическая энергия (еп) поступательного движения молекул до¬
статочна для их расщепления на атомы, если молярная энергия
диссоциации водорода Wm = 419кДж/моль.
Примечание. Молярной энергией диссоциации называется энер¬
гия, затрачиваемая на диссоциацию всех молекул газа количеством ве¬
щества v = 1 моль.
Скорости молекул
9.25.	Найти среднюю квадратичную (vKB), среднюю арифме¬
тическую (г;) и наиболее вероятную vB скорости молекул водо¬
рода. Вычисления выполнить для трех значений температуры:
1)	Т = 20К; 2) Т = 300К; 3)Т = 5кК.
9.26.	При какой температуре Т средняя квадратичная скорость
атомов гелия станет равной второй космической скорости v\\ —
- 11,2 км/с?
9.27.	При какой температуре Т молекулы кислорода имеют та¬
кую же среднюю квадратичную скорость (цкв), как молекулы во¬
дорода при температуре 7\ = 100 К?
9.28.	Колба вместимостью V = 4 л содержит некоторый газ
массой тп = 0,6 г под давлением р — 200 кПа. Определить среднюю
квадратичную скорость (г>кв) молекул газа.
9.29.	Смесь гелия и аргона находится при температуре Т —
= 1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость \vKB) и
среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.
9.30.	Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся
так, как если бы они были очень крупными молекулами. Опре¬
делить среднюю квадратичную скорость {vKB) пылинки массой
m = 10“10 г, если температура Т воздуха равна 300 К.
9.31.	Во сколько раз средняя квадратичная скорость (г>кв) мо¬
лекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки
массой m = 10~8 г, находящейся среди молекул кислорода?
9.32.	Определить среднюю арифметическую скорость (v) моле¬
кул газа, если их средняя квадратичная скорость (окв) = 1км/с.
9.33.	Определить наиболее вероятную скорость vB молекул во¬
дорода при температуре Т = 400 К.

§ 10. Элементы статистической физики
149
§ 10. Элементы статистической физики
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
•	Распределение Больцмана (распределение частип в силовом поле)
n = п о ехр
где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; щ —
концентрация частиц в точках поля, где U = 0; к — постоянная Больц¬
мана; Т — термодинамическая температура. 1
•	Барометрическая формула (распределение давления в однородном
поле силы тяжести)
(тпдг\
—fir), или Р = Ро ехр
где р — давление газа; тп — масса частицы; М — молярная масса;
z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому
за нулевой; р0 — давление на этом уровне; д — ускорение свободного
падения; R — молярная газовая постоянная.
• Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая
молекулу, лежит в интервале значений от х до х -I- dx, определяется по
формуле5)
dW(x) = /(х) dx,
где /(х) — функция распределения молекул по значениям данной фи¬
зической величины х (плотность вероятности).
• Количество молекул, для которых физическая величина х, харак¬
теризующая их, заключена в интервале значений от х до х + dx,
dN = N dW(x) = Nf(x) dx.
• Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям)
выражается двумя соотношениями:
а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до
v + dn,
dNM = Nf Mdi! = -~N (Jj;)3/2exp (-Ц:)»2<Я
где f{v) — функция распределения молекул по модулям скоростей, вы¬
ражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит
в интервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю
числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N —
общее число молекул; тп — масса молекулы;
5) Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физи¬
ческая величина х заключена в интервале от х до х + dx.

150
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пре¬
делах от и до u + du,
4
dN(u) = Nf(u) du = —piVexp (—u2)u2 du,
y/n
где u = v/vB — относительная скорость, равная отношению скорости v
к наивероятнейшей скорости vB (о скоростях молекулы см. §9); f(u) —
функция распределения по относительным скоростям.
•	Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы
которых заключены в пределах от р до р + dp,
Л /	1	\	/	2	\
dNW = N/Mdp=-^(—J	«Р \-^гУй*
где /(р) — функция распределения по импульсам.
•	Распределение молекул по кинетическим энергиям поступательного
движения. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от
е до е + de,
О	/	1	\ ^
dJV(e) = N/(£)d£ = -7=«(.-J exp(-£r)£l/2d£'
где /(е) — функция распределения по кинетическим энергиям.
• Среднее значение6) физической величины х в общем случае:
(х) =
J х }{х) dx
/(х) dx
и в случае, если функция распределения нормирована на единицу:
<х) = J х/(х) dx,
где /(х) — функция распределения, а интегрирование ведется по всей
совокупности изменений величины х.
Например, среднее значение скорости молекулы (т.е. средняя ариф-
ОО
метическая скорость) {v) = f vf(v) dv; средняя квадратичная ско-
о
ОО
рость (vKB) = (v2)1/2, где (v2) = Jv2f(v)dv; средняя кинетическая
о
ОО
энергия поступательного движения молекулы (е) = / е/(е) de.
о
• Эффективное сечение столкновения молекулы
о = 7гсР,
6) Интегралы для вычисления средних значений приведены в табл. 2.

§ 10. Элементы статистической физики
151
где d — эффективный диаметр молекулы (внесистемная единица изме¬
рения 1 барн = 10-28 м2).
•	Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в
единицу времени,
(z) = yfbs cPn(v), или (г) = л/2on{v).
где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул;
(v) — средняя арифметическая скорость молекул.
•	Средняя длина свободного пробега молекул газа
(I) = —7=-—~-, или (/) = —Р—;
у/2ж d2n	V2on
для оценок (I) ~ —.
on
•	Импульс (количество движения), переносимый молекулами из од¬
ного слоя газа в другой через элемент поверхности,
dv
dp = T]—-ASdt,
dz
где rj — динамическая вязкость газа; ^ — градиент (поперечный) ско¬
рости течения его слоев; AS — площадь элемента поверхности; dt —
время переноса.
•	Динамическая вязкость
где р — плотность газа (жидкости); (г ) — средняя скорость хаотического
движения его молекул; (I) — их средняя длина свободного пробега.
• Закон Ньютона
dt 4 dz
dp
где F
— сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.
Закон Фурье
AQ = -X^SAt,
где AQ — количество теплоты, прошедшее посредством теплопровод¬
ности через сечение площадью S за время At; X — теплопроводность;
dT
—	градиент температуры.
аж
• Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа
Л =
CvP{v)(l)
или Л =
kn(v)(l)
3

152
Гл. 2- Молекулярная физика и термодинамика
где cv — удельная теплоемкость 7) газа при постоянном объеме; р —
плотность газа; (и) — средняя арифметическая скорость его молекулы;
(I) — средняя длина свободного пробега молекул.
• Закон Фика
Дт{ ' -D^f^-SAt,
ax
где Дnrii — масса г-й компоненты газа, перенесенная в результате диф¬
фузии через поверхность площадью S, перпендикулярную оси Ох, за
a dPi
время Дf; —— ■— градиент парциальной плотности г-й компоненты,
dz
• Коэффициент диффузии
D =
ш
з
Коэффипиент диффузии D измеряется в м2/с (L2/т). Параметры
L и т можно рассматривать как некоторые характерные для диффузии
величины: L — расстояние, на которое успевает распространиться диф¬
фундирующее в среде вещество, т — характерное время «выравнива¬
ния» концентраций диффундирующего вещества. Тогда для оценок этих
величин можно пользоваться приближенным соотношением
т
I2
D '
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Пылинки массой тп = 10-18г взвешены в воздухе.
Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация
пылинок различается не более чем на 1%. Температура Т воздуха во
всем объеме одинакова и равна 300 К.
Решение. При равновесном распределении пылинок концентра¬
ция их зависит только от координаты z по оси, направленной верти¬
кально. В этом случае к распределению пылинок можно применить фор¬
мулу Больцмана
n = noexp^-£0.	(1)
Так как в однородном поле силы тяжести U = mgz, то
п = по ехр	(2)
По условию задачи, изменение Дп концентрации с высотой мало по
сравнению с п (Дп/п = 0,01), поэтому без существенной погрешности
изменение концентрации Дп можно заменить дифференциалом dn.
7)	См. §11, теплоемкость.

§10 Элементы статистической физики
153
Дифференцируя выражение (2) по г, получим
Так как по ехр (—mgz/(kT)) = п, то
л т9 л
an = --—ndz.
kT
Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:
_ kT Ап
тд п
Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты
(dz > 0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn <
< 0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим
дифференциалы dz и dn конечными приращениями Az и Дп:
Дг =
kT Ап
тд п
Подставим в эту формулу значения величин Дп/п — 0,01, к =
— 1,38 10-23 Дж/К, Т = 300 К, то = 10-21 кг, д = 9,81 м/с2 и, произведя
вычисления, найдем
Дг = 4,23 мм.
Как видно из полученного результата, концентрация даже таких ма¬
леньких пылинок (тп = 10~18 г) очень быстро изменяется с высотой.
Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества v кото¬
рого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить
число AN молекул, скорости и которых меньше 0,001 наиболее вероят¬
ной скорости vB.
Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распреде¬
лением молекул по относительным скоростям и (и = v/va). Число AN (и)
молекул, относительные скорости и которых заключены в пределах от и
до dn, определяется формулой
4 дг
AN(u) = —7= ехр (—и2)и2 Аи,	(3)
где N — полное число молекул.
По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас моле¬
кул vmax = 0,001пв, откуда umax — vmax/vB = 0,001. Для таких значений
и выражение (3) можно существенно упростить. В самом деле, для u С 1
имеем ехр (—и2) « 1 — и2. Пренебрегая значением и2 = (0,001)2 = 10-6
по сравнению с единицей, выражение (3) запишем в виде
4	/V „
AN(u) = —т=п2 dn.	(4)
х/тг 1010 Зак. 237

154
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до ипшх, получим
ишвх	_
. „	4 N Г .. 4N U3	4 N .
л" = 7? /	= ТгТ0 '””длг=зл<- <5>
о
Выразив в (5) число молекул N через количество вещества v и по¬
стоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:
ддг —
3v^ max'
(6)
Подставим в (6) значения величин v, Na и произведем вычисления:
4.1 О . К П9 - 1П23
AN =		(10-3)3 молекул = 5,44 • 1014 молекул.
Цример 3. Зная функцию /(р) распределения молекул по импуль¬
сам, определить среднее значение квадрата импульса (р2).
Решение. Среднее значение квадрата импульса (р2) можно опре¬
делить по общему правилу вычисления среднего:
ОО
/ Р2/(р) dp
<Р2> = ^	■	(7)
/ /(Р) dp
О
Функция распределения молекул по импульсам имеет вид
- ji (dir) 7 ехр (~dr)р!'	<8)
Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т.е.
ОО
/ /(p)dp= 1- С учетом нормировки формулу (7) перепишем иначе:
о
ОО
(Р2> = J P2f{p) dp-	(9)
О
Подставим выражение /(р) по уравнению (8) в формулу (9) и выне¬
сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:
о

§ 10. Элементы статистической физики
155
Этот интеграл можно свести к табличному (см. табл. 2)
Jж4 ехр (—аж2) da; =	5^2,
о
В нашем случае это даст
положив a —
2mkT
/	1	\3/2	9	/	1	\ ~5/2
8^ \2mkT)	•
После упрощений и сокращений найдем
(р2> = 3 тпкТ.
Пример 4. Средняя длина свободного пробега (/) молекулы углеки¬
слого газа при нормальных условиях равна 40нм. Определить среднюю
арифметическую скорость (v) молекул и число z соударений, которые
испытывает молекула в 1 с.
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется
по формуле
где М — молярная масса вещества.
Подставив числовые значения, получим
(и) = 362 м/с.
Среднее число (z) соударений молекулы в 1 с определяется отноше¬
нием средней скорости (v) молекулы к средней длине ее свободного про¬
бега (I):
Подставив в эту формулу значения (v) = 362 м/с, (/) = 40 нм =
м, получим
(г) =9,05-10® с^1.
= 4 10~8
Пример 5. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной
I = 10см могут свободно вращаться вокруг их общей оси г. Радиус
R большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор
размером d — 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных
условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной ча¬
стотой п 1 — 20 с-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через
какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра
он приобретет частоту вращения П2 = 1с-1. При расчетах изменением
ю*

156
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
относительной скорости цилиндров пренебречь. Масса тп внешнего ци¬
линдра равна 100 г.
Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воздуха увле¬
кается им и начинает участвовать во вращательном движении. Вблизи
поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем прак¬
тически такую же линейную скорость, как и скорость точек на поверх¬
ности цилиндра, т. е. v = 2mi\{R — d). Так как d<cJ?, то приближенно
можно считать
v » 2imiR.	(10)
Вследствие внутреннего трения момент импульса передается сосед¬
ним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал
времени At внешний цилиндр приобретает момент импульса L = pR,
где р — импульс, полученный за At внешним цилиндром. Отсюда
L
С другой стороны,
р = Tj^-SAt,	(12)
где т] — динамическая вязкость; 		градиент скорости; S — площадь
dz
поверхности цилиндра (S = 2ttRI).
Приравняв правые части выражений (11) и (12) и выразив из полу¬
ченного равенства искомый интервал At, получим
At =
4®
(13)
Av
Найдем входящие в эту формулу величины L, — и S. Момент им-
dz
пульса L = Jw2, где J — момент инерции цилиндра (J = mii2); тп — его
масса; — угловая скорость внешнего цилиндра (иг = 27ГП2). С учетом
этого запишем
L = mR2 ■ 27ГП2 = 2ж1пТ{1п2.
Градиент скорости ^ = - = - Площадь цилиндра равна S =
d z	z d
= 2тг Rl.
Av
Подставив в (13) выражения L, —, S, получим
dz
At =
Заменив здесь v по (10), найдем
mdn2
tjvI
At =
mdn2
2tti]RItii
(14)

§10. Элементы статистической физики
157
Динамическая вязкость воздуха 7) = 17,2 мкПа ■ с = 1,72 -10 5 Па • с
(см. табл. 14).
Подставив в (14) значения входящих в нее величин и произведя вы¬
числения, получим
At =
100 • КГ3 • 2 ■ 1(Г3 • 1
2 ■ 3,14 ■ 1,72 • 10-5 • 5 ■ 10-2 ■ 10 ■ 10“2 ■ 20
с = 18,5 с.
Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время пока¬
зывает одинаковое давление р = 79кПа, благодаря чему летчик считает
высоту h\ полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом
самолета изменилась с t = Ъ°С по t — 1 °С. Какую ошибку Ah в опре¬
делении высоты допустил летчик? Давление ро у поверхности Земли
считать нормальным.
Решение.
формулой
Для решения задачи воспользуемся барометрической
( Mgh\
р=ро ехр{~Ит)-
Барометр может показывать неизменное давление р при различных
температурах Х) и Ti за бортом только в том случае, если самолет нахо¬
дится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на неко¬
торой другой высоте h2.
Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:
р = Ро ехр
(-
Mghi\
—	I:	v =
RTi J'
р = ро ехр
( Mgh2\
\ RTi J’
Найдем отношение ро/р и обе части полученного равенства пролога¬
рифмируем:
, ро Mghi
1пр= иГ
ро Mgh2
In — =
Р
RTi
Из полученных соотношений выразим высоты h2 и hi и найдем их
разность:
Ah = h2 - hi
Д1п(ро/р)
Мд
(Т2 - Ti).
(15)
Проверим, дает ли правая часть равенства (15) единицу длины:
[Д][Г] = [1 ДжДмоль • К)] • К _ 1 Дж _
[М][р]	(1 кг/моль) ■ (м/с2)	1 Н М
Подставим в (15) значения величин (давления в отношении ро/р
можно выразить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный ре¬
зультат) :
Ah =
8,31 -In (101/79)
29 lO-3 • 9,8
(1 — 5) м = —28,5 м.

158
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Знак «—» означает, что < h\ и, следовательно, самолет снизился на
28,5 м по сравнению с предполагаемой высотой.
ЗАДАЧИ
Распределение Больцмана
10.1.	Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m —10-18 г.
Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении
высоты на Д/г = 10 м? Температура воздуха Т = 300 К.
10.2.	Одинаковые частицы массой тп = 10-12 г каждая рас¬
пределены в однородном гравитационном поле напряженностью
G = 0,2мкН/кг. Определить отношение щ/п2 концентраций ча¬
стиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих
друг от друга на Дг = 10 м. Температура Т во всех слоях счита¬
ется одинаковой и равной 290 К.
10.3.	Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе,
равна 1 аг. Отношение концентрации ni пылинок на высоте hi =
= 1 м к концентрации щ их на высоте ho = 0 равно 0,787. Тем¬
пература воздуха Т = 300 К. Найти по этим данным значение по¬
стоянной Авогадро Na-
10.4.	Определить силу F, действующую на частицу, находящу¬
юся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение
П\/п2 концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от
друга на Дг = 1 м, равно е (е — основание натуральных логариф¬
мов). Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К.
10.5.	На сколько уменьшится атмосферное давление р —100 кПа
при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h —
= 100 м? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не
изменяется с высотой.
10.6.	На какой высоте h над поверхностью Земли атмосфер¬
ное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что
температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.
10.7.	Барометр в кабине летящего вертолета показывает давле¬
ние р = 90кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлет¬
ной площадке барометр показывал давление ро = 100 кПа? Счи¬
тать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с
высотой.
10.8.	Найти изменение высоты Д/г, соответствующее измене¬
нию давления на Др = 100Па, в двух случаях: 1) вблизи поверх¬
ности Земли, где температура 7\ = 290 К, давление р\ = 100 кПа;
2)	на некоторой высоте, где температура Т2 = 220 К, давление
Р2 - 25кПа.
10.9.	Барометр в кабине летящего самолета все время пока¬
зывает одинаковое давление р = 80кПа, благодаря чему летчик
считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха

§ 10. Элементы статистической физики
159
изменилась на АТ — 1 К. Какую ошибку АН в определении вы¬
соты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от
высоты и что у поверхности Земли давление ро = 100 кПа.
10.10.	Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью ui. Ис¬
пользуя функцию распределения Больцмана, установить распре¬
деление концентрации п частиц массой т, находящихся в роторе
центрифуги, как функцию расстояния г от оси вращения.
10.11.	В центрифуге с ротором радиусом а, равным 0,5 м, при
температуре Т = 300 К находится в газообразном состоянии веще¬
ство с относительной молекулярной массой Mr = 103. Определить
отношение па/по концентраций молекул у стенок ротора и в цен¬
тре его, если ротор вращается с частотой п = 30 с-1.
10.12.	Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с
частотой п = 50 с-1. Радиус а ротора равен 0,5 м. Определить
давление р газа на стенки ротора, если в его центре давление ро
равно нормальному атмосферному. Температуру Т по всему объ¬
ему считать одинаковой и равной 300 К.
10.13.	В центрифуге находится некоторый газ при температуре
Т = 271 К. Ротор центрифуги радиусом а = 0,4 м вращается с
угловой скоростью и = 500 рад/с. Определить относительную мо¬
лекулярную массу Мг газа, если давление р у Стенки ротора в 2,1
раза больше давления ро в его центре.
10.14.	Ротор ультрацентрифуги радиусом а = 0,2 м заполнен
атомарным хлором при температуре Т = 3000 К. Хлор состоит
из двух изотопов: 37С1 и 35С1. Доля wi атомов изотопа 37С1 соста¬
вляет 0,25. Определить доли w\ и w'2 атомов того и другого изото¬
пов вблизи стенок ротора, если ротору сообщить угловую скорость
вращения и, равную 104 рад/с.
Распределение молекул по скоростям и импульсам
10.15.	Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы¬
вести формулу наиболее вероятной скорости vB.
10.16.	Используя функцию распределения молекул по скоро¬
стям, получить функцию, выражающую распределение молекул по
относительным скоростям и (u = v/vB).
10.17.	Какова вероятность W того, что данная молекула иде¬
ального газа имеет скорость, отличную от vB/2 не более чем на 1%?
10.18.	Найти вероятность W того, что данная молекула иде¬
ального газа имеет скорость, отличную от 2vB не более чем на 1%.
10.19.	Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы¬
вести формулу, определяющую долю w молекул, скорости v кото¬
рых много меньше наиболее вероятной скорости vB.
10.20.	Определить относительное число w молекул идеального
газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до одной
сотой наиболее вероятной скорости vB.

160
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
10.21.	Зная функцию распределения молекул по скоростям, Оп¬
ределить среднюю арифметическую скорость (v) молекул.
10.22.	По функции распределения молекул по скоростям опре¬
делить среднюю квадратичную скорость (vKB)-
10.23.	Определить, какая из двух средних величин, (l/v) или
1 /(«), больше, и найти их отношение к.
10.24.	Распределение молекул по скоростям в молекулярных
пучках при эффузионном истечении8) отличается от максвеллов¬
ского и имеет вид f(v) dn = Cv3 ехр (—mv2/(2kT))v3 d?;. Опре¬
делить из условия нормировки коэффициент С.
10.25.	Зная функцию распределения молекул по скоростям в не-
т2
котором молекулярном пучке /(?;) =	ехр (—mv2/(2kT))v3,
найти выражения для: 1) наиболее вероятной скорости пв; 2) сред¬
ней арифметической скорости (v).
10.26.	Водород находится при нормальных условиях и зани¬
мает объем V = 1 см3. Определить число N молекул в этом объеме,
обладающих скоростями, меньшими некоторого значения пгпах =
= 1 м/с.
10.27.	Вывести формулу наиболее вероятного импульса рв мо¬
лекул идеального газа.
10.28.	Найти число N молекул идеального газа, имеющих им¬
пульс, значение которого точно равно наиболее вероятному значе¬
нию рв.
10.29.	Вывести форм„ iy, определяющую среднее значение ком¬
понента импульса (рх) молекул идеального газа.
10.30.	На сколько процентов изменится наиболее вероятное
значение рв импульса молекул идеального газа при изменении тем¬
пературы на один процент?
10.31.	Найти выражение для импульса молекул идеального газа,
энергии которых равны наиболее вероятному значению энергии.
Распределение молекул по кинетическим энергиям
поступательного движения
10.32.	Найти выражение средней кинетической энергии (е) по¬
ступательного движения молекул. Функцию распределения моле¬
кул по энергиям считать известной.
10.33.	Преобразовать формулу распределения молекул по энер¬
гиям в формулу, выражающую распределение молекул по относи¬
тельным энергиям w (w = е/(е), где е — кинетическая энергия;
(е) — средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекул).
8) Эффузионным называется истечение газов через отверстия, малые по срав¬
нению с длиной свободного пробега молекулы.

§ 10. Элементы статистической физики
161
10.34.	Определить долю w молекул идеального газа, энергии
которых отличаются от средней энергии (е) поступательного дви¬
жения молекул при той же температуре не более чем на 1%.
10.35.	Вывести формулу, определяющую долю w молекул, энер¬
гия е которых много меньше кТ. Функцию распределения молекул
по энергиям считать известной.
10.36.	Определить долю w молекул, энергия которых заключена
в пределах от е\ = 0 до ег = 0,01 кТ.
10.37.	Число молекул, энергия которых заключена в пределах
от нуля до некоторого значения е, составляет 0,1% от общего числа
молекул. Определить величину е в долях кТ.
10.38.	Считая функцию распределения молекул по энергиям из¬
вестной, вывести формулу, определяющую долю w молекул, энер¬
гия е которых много больше энергии теплового движения молекул.
10.39.	Число молекул^ энергия которых выше некоторого зна¬
чения £\, составляет 10 4 от общего числа молекул. Определить
величину Е\ в долях кТ, считая, что е 2> ткТ.
Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить гра¬
фически.
10.40.	Используя функцию распределения молекул по энергиям,
определить наиболее вероятное значение энергии ев.
10.41.	Преобразовать функцию /(е) de распределения молекул
по кинетическим энергиям в функцию f{6) dв распределения моле¬
кул по относительным кинетическим энергиям (где в = е/ев; ев —
наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул).
10.42.	Найти относительное число w молекул идеального газа,
кинетические энергии которых отличаются от наиболее вероятного
значения ев энергии не более чем на 1%.
10.43.	Определить относительное число w молекул идеального
газа, кинетические энергии которых заключены в пределах от
нуля до значения, равного 0,01ев (ев — наиболее вероятное зна¬
чение кинетической энергии молекул).
10.44.	Найти выражение для кинетической энергии молекул
идеального газа, импульсы которых имеют наиболее вероятное
значение рв.
10.45.	Во сколько раз изменится значение максимума функции
f(e) распределения молекул идеального газа по энергиям, если
температура Т газа увеличится в два раза? Решение пояснить
графиком.
10.46.	Определить, во сколько раз средняя кинетическая энер¬
гия (е) поступательного движения молекул идеального газа отли¬
чается от наиболее вероятного значения ев кинетической энергии
поступательного движения при той же температуре.

162
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Длина свободного пробега и число столкновений молекул
10.47.	Найти среднюю длину свободного пробега (/) молекул
водорода при давлении р = 0,1 Па и температуре Т = 100 К.
10.48.	При каком давлении р средняя длина свободного пробега
(I) молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?
10.49.	Баллон вместимостью V = Юл содержит водород мас¬
сой тп = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега (/)
молекул.
10.50.	Можно ли считать вакуум с давлением р = ЮОмкПа
высоким, если он создан в колбе диаметром d = 20 см, содержащей
азот при температуре Т = 280 К?
10.51.	Определить плотность р разреженного водорода, если
средняя длина свободного пробега (I) молекул равна 1 см.
10.52.	Найти среднее число (z) столкновений, испытываемых
в течение t = 1с молекулой кислорода при нормальных условиях.
10.53.	Найти число N всех соударений, которые происходят в
течение t — 1с между всеми молекулами водорода, занимающего
при нормальных условиях объем V = 1мм3.
10.54.	В газоразрядной трубке находится неон при температуре
Т = 300 К и давлении р = 1 Па. Найти число N атомов неона,
ударяющихся за время At = 1 с о катод, имеющий форму диска
площадью S — 1см2.
10.55.	Найти среднюю продолжительность (т) свободного про¬
бега молекул кислорода при температуре Т = 250 К и давлении
р = 100 Па.
10.56.	Найти зависимость средней длины свободного пробега
(I) молекул идеального газа от давления р при следующих процес¬
сах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зависимо¬
сти на графиках.
10.57.	Найти зависимость средней длины свободного пробега
(I) молекул идеального газа от температуры Т при следующих про¬
цессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости
на графиках.
10.58.	Найти зависимость среднего числа столкновений (г) мо¬
лекулы идеального газа в 1 с от давления р при следующих про¬
цессах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зави¬
симости на графиках.
10.59.	Найти зависимость среднего числа столкновений (г) мо¬
лекулы идеального газа в 1 с от температуры Т при следующих
процессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависи¬
мости на графиках.

§ 10. Элементы статистической физики
163
Явления переноса-, диффузия, вязкость, теплопроводность
10.60.	Средняя длина свободного пробега {I) атомов гелия при
нормальных условиях равна 180 нм. Определить коэффициент
диффузии D гелия.
10.61.	Коэффициент диффузии D кислорода при температуре
t — 0°С равна 0,19см2/с. Определить среднюю длину свободного
пробега (I) молекул кислорода.
10.62.	Вычислить коэффициент диффузии D азота: 1) при нор¬
мальных условиях; 2) при давлении р = 100 Па и температуре
Т = 300 К.
10.63.	Определить, во сколько раз отличается коэффициент диф¬
фузии D\ газообразного водорода от коэффициента диффузии D?
газообразного кислорода, если оба газа находятся при одинаковых
условиях.
10.64.	Определить зависимость коэффициента диффузии D от
температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изо¬
хорном.
10.65.	Определить зависимость коэффициента диффузии D от
давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изо¬
хорном.
10.66.	Вычислить динамическую вязкость т] кислорода при нор¬
мальных условиях.
10.67.	Найти среднюю длину свободного пробега (I) молекул
азота при условии, что его динамическая вязкость 77 = 17 мкПа ■ с.
10.68.	Найти динамическую вязкость т] гелия при нормальных
условиях, если коэффициент диффузии D при тех же условиях
равен 1,06 -10-4 м2/с.
10.69.	Определить зависимость динамической вязкости т] от
температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изо¬
хорном. Изобразить эти зависимости на графиках.
10.70.	Определить зависимость динамической вязкости т] от
давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изо¬
хорном. Изобразить эти зависимости на графиках.
10.71.	Цилиндр радиусом fij = 10 см и длиной I = 30 см распо¬
ложен внутри цилиндра радиусом R2 — 10,5 см так, что оси обоих
цилиндров совпадают. Малый цилиндр неподвижен, большой вра¬
щается относительно геометрической оси с частотой п — 15с-1.
Динамическая вязкость т] газа, в котором находятся цилиндры,
равна 8,5мкПа - с. Определить вращающий момент М, действую¬
щий на поверхность внутреннего цилиндра.
10.72.	Два горизонтальных диска радиусами R = 20 см распо¬
ложены друг над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d
между плоскостями дисков равно 0,5 см. Верхний диск неподви¬
жен, нижний вращается относительно геометрической оси с ча¬
стотой п = 10 с-1. Найти вращающий момент М, действующий

164
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
на верхний диск. Динамическая вязкость 7] воздуха, в котором
находятся диски, равна 17,2 мкПа-с.
10.73.	В ультраразреженном азоте, находящемся под давле¬
нием р — 1 мПа и при температуре Т — 300 К, движутся друг
относительно друга две параллельные пластины со скоростью и =
= 1м/с. Расстояние между пластинами не изменяется и много
меньше средней длины свободного пробега молекул. Определить
силу F внутреннего трения, действующую на поверхность пластин
площадью S — 1 м2.
10.74.	Вычислить теплопроводность А гелия при нормальных
условиях.
10.75.	В приближенной теории явлений переноса получается
соотношение Х/р = cv. Более строгая теория приводит к соотно¬
шению Х/т] = Kcv, где К — безразмерный коэффициент, равный
(97 — 5)/4 (7 — показатель адиабаты). Найти значения К, вы¬
численные по приведенной формуле и по экспериментальным дан¬
ным, приведенным в табл. 12, для следующих газов: 1) аргона;
2)	водорода; 3) кислорода; 4) паров воды.
10.76.	При нормальных условиях динамическая вязкость р воз¬
духа равна 17,2 мкПа-с. Найти для тех же условий теплопровод¬
ность А воздуха. Значение К вычислить по формуле, приведенной
в задаче 10.75.
10.77.	Найти зависимость теплопроводности А от температуры
Т при следующих1 процессах: 1) изобарном; 2) изохорном. Изо¬
бразить эти зависимости на графиках.
10.78.	Найти зависимость теплопроводности А от давления р
при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорном. Изо¬
бразить эти зависимости на графиках.
10.79.	Пространство между двумя большими параллельными
пластинами, расстояние d между которыми равно 5 мм, заполнено
гелием. Температура Т\ одной пластины поддерживается равной
290 К, другой — Тъ = 310 К. Вычислить плотность теплового по¬
тока \q\. Расчеты выполнить для двух случаев, когда давление р
гелия равно: 1) 0,1 МПа; 2) 1 мПа.
10.80*. Определить коэффициент теплопроводности А насыщен¬
ного водяного пара, находящегося при температуре Т = 373 К
(100°С). Эффективный диаметр d молекул водяного пара принять
равным 0,30 нм.
10.81*. Найти среднее время (т) между соударениями молекул
азота, если азот находится под давлением р = 10-5 Па при темпе¬
ратуре Т = 300 К.
10.82*. Аргон находится при температуре Т = 320 К. При каком
давлении р один атом аргона будет испытывать в среднем тысячу
столкновений.

§11. Физические основы термодинамики
165
10.83*. Хлор находится в сосуде при нормальных условиях.
Оценить, за какое время т любая из молекул хлора сместится от
своего начального положения на расстояние L = 1 см.
10.84*. Сосуд кубической формы объемом V = 1 л заполнен во¬
дой. В сосуд бросили щепотку соли (NaCl). Оценить, какое время
т потребуется для установления практически равномерной концен¬
трации соли в воде (без перемешивания). Среднюю скорость (v)
теплового движения молекул NaCl принять равной 300 м/с и сред¬
нее расстояние S между молекулами воды равным 0,3 нм.
10.85*. Плотность р кислорода, находящегося в сосуде, равна
1кг/м3. Оценить среднее число (z) соударений, которое испытает
одна молекула кислорода за время смещения ее от начального по¬
ложения на расстояние L = 1 мм.
10.86*. Быстрые нейтроны, попав в жидкость, молекулы кото¬
рых содержат водород, быстро замедляются до тепловых скоростей
(v ~ 300 м/с). Тепловые нейтроны диффундируют в жидкости до
тех пор, пока не окажутся захваченными ядрами водорода (про¬
тонами). Эффективное сечение а захвата нейтронов протонами
можно принять равным 0,3 барн. Пренебрегая захватом нейтронов
ядрами других атомов, входящих в состав молекул, оценить время
т жизни тепловых нейтронов в следующих жидкостях (в скоб¬
ках указаны химические формулы соединений и плотности р этих
соединений в жидком состоянии; плотности выражены в кг/м3):
1)	вода (Н20; 103); 2) этанол (С2НбО; 0,81 • 103); 3) глицерин
(С2Н803; 1,3 • 103); 4) гексан (C6Hi4; 0,71 ■ 103); 5) октан (C8Hi8;
0,72 • 103).
§ 11. Физические основы термодинамики
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Связь между молярной (Ст) и удельной (с) теплоемкостями газа
Сщ — cAf,
где М — молярная масса газа.
• Молярные теплоемкости9) при постоянном объеме и постоянном
давлении соответственно равны
г	г ±2)д
v ~ 2 ’ “ 2 ’
где г — число степеней свободы; R — молярная газовая по стоянная.
9) Здесь и далее в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной
теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву «тп» будем
опускать.

166
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
•	Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном
влении соответственно равны
i	R	г + 2 R
Су~2 м' Ср~ НГм'
•	Уравнение Майера
Ср - CV = Я.
•	Показатель адиабаты
Ср	Ср	г + 2
7 = —, или 7 = —или 7 = —:—.
Су	О у	2
•	Внутренняя энергия идеального газа
U = N(e), или U = vCvT,
где (е) — средняя кинетическая энергия молекулы; N — число молек]
газа; v — количество вещества.
•	Работа, совершаемая газом при изменении его объема, в обще
случае вычисляется по формуле
где Vj — начальный объем газа; V2 — его конечный объем.
Частные случаи:
а) при изобарном процессе (р = const)
A = p(V2-V,);
б) при изотермическом процессе (Т = const)
А =
jjRTi п
М
в)	при адиабатном процессе
тп
А = — Cv(Ti - Т2), или
RT\ тп Г
7 — 1 М |
где Т\ — начальная температура газа; Т2 — его конечная температура.
• Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона)
pV'7 = const.

§11. Физические основы термодинамики
167
•	Связь между начальным и конечным значениями параметров со¬
стояний газа при адиабатном процессе:
Р2 (пу Ъ (VA^	72	(Р2 У7_1)/7
Pi \V2J ’ Т\	’ т, \Р1)
1
•	Первое начало (закон) термодинамики:
а)	для бесконечно малого изменения состояния системы (элементар¬
ного квазистатического процесса)
’6Q = dU + 6Aw),
где 6Q — бесконечно малое (элементарное) количество теплоты, подво¬
димое к системе; dU бесконечно малое изменение внутренней энергии
системы; SA — бесконечно малая (элементарная) работа, совершаемая
системой против внешних сил;
б)	для конечного изменения состояния системы
Q = AU + А.
•	Количество теплоты Q, подводимое к системе, изменение AU вну¬
тренней энергии газа и работа А, совершаемая газом против внешних
сил при изопроцессах:
а)	изохорном (V = const)
772	ТП,
Q = j;cv(r2-Ti), AU = -СЛЪ - 7\), А = 0;
б)	изобарном (р = const)
Q = ^СР(Т2 - 7\), AU = ~Cv(T2~T1),
ТП	Vo
A=p(V2-V1) или А=— ЙТ,1п^;
в)	изотермическом (Г = const)
AU = 0,
А= Т7Д1п77;
м Vi
ш) Такая форма записи подчеркивает, что из трех величин только бесконечно
малое изменение dU внутренней энергии является полным дифференциалом и
сама внутренняя энергия U есть функция состояния термодинамической си¬
стемы. Количество теплоты Q и работа А функциями состояния системы, в
общем случае, не являются. Поэтому элементарные количество теплоты 6Q и ра¬
боту SA нельзя рассматривать как полные дифференциалы. В математической
записи это обстоятельство учитывается заменой символа d (дифференциал) на
символ <5 (элементарное бесконечно малое изменение).

168
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
г)	адиабатном (5 = const при обратимом процессе)
0	= 0, AU = ^CV(T2-T1),
т г, trr, гт, \	А 171 ^Tl
A = jfCAT,-n) ига. ^ = s —
7-11
где Т\ и Vi — начальные температура газа и его объем; Т2 и V2 —
конечные температура газа и его объем; CV — молярная теплоемкость
газа; 7 — показатель адиабаты.
• Энтальпия и ее изменение
Н = U +pV, АН = AU + pAV = Q (при р — const);
АН = AU + VАр (при V = const).
• Изменение энтропии:
а)	при обратимых процессах
х
d 5 = ^ и SB-SA= J
А
б)	при необратимых процессах
is> jT
и
в
А
где SA и SB — энтропии начального и конечного состояний системы.
• Термический коэффициент полезного действия (к.п.д.) цикла в
общем случае
Qi — Q2
ц =
Q1
где Q1 — количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от на¬
гревателя; Q2 — количество теплоты, переданное рабочим телом охла¬
дителю.
К.п.д. цикла Карно
т] =
Q1 ~ Q2
Qi
или
V -
Г1-Г2
Тг
где Т\ — температура нагревателя; Т2 — температура охладителя.
• Формула Больцмана
S	= k\nW,
где S — энтропия системы; IV — статистический вес или термодина¬
мическая вероятность состояния системы; к — постоянная Больцмана.

§11. Физические основы термодинамики
169
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода
при постоянных объеме (cv) и давлении (ср), принимая эти газы за
идеальные.
Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются
формулами
i	R
Cv ~ 2 М ’
г + 2 R
Ср==~:Гм'
(1)
(2)
Для неона (одноатомный газ) н = 3, Mi = 20 ■ 10 3 кг/моль. Под¬
ставив в формулы (1) и (2) значения »i, Mi ийи произведя вычисления,
найдем
cv, = 624 Дж/(кг - К); Ср, = 1,04 кДж/(кг • К).
Для водорода (двухатомный газ) г2 = 5, М2 = 2 ■ 10 3 кг/моль.
Вычисление по формулам (1) и (2) дает следующие значения удельных
теплоемкостей водорода:
cV2 = 10,4 кДж/(кг • К); Ср2 = 14,6 кДж/(кг ■ К).
Пример 2. Вычислить удельную теплоемкость cVCM смеси двух
газов (гелия массой тп\ = 6г и азота массой тп2 = Юг) при постоянном
объеме.
Решение. Удельная теплоемкость смеси газов определяется отно¬
шением теплоемкости Ссм к массе шсм этой смеси:
ССМ
Сем
ТПсы
Теплоемкость вещества есть величина аддитивная, поэтому для двух
газов можно написать
Ci + С2
mi + ТП2 ’
(3)
где Ci и С2 — теплоемкости газов; mi и т2 — их массы.
Теплоемкости газов при постоянном объеме определяются соотноше¬
ниями
г - aiLiLp „
Cv'l~ Mi2R
r _ ШИ'Лв
Cv'2 - М2 2 ’
(4)
где М\ и М2 — молярные массы газов; i\ и г2 числа степеней свободы
и R — молярная газовая постоянная.

170
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Подставив (4) в (3), найдем
+ ^(шг/Мг) R
Су,см —	,	0 ■
mi + тг	2
Для гелия г‘х = 3 (газ одноатомный), М\ = 4 ■ 10~3 кг/моль; для азота
г2 = 5 (газ двухатомный), Мг = 28-10~3кг/моль.
Вычисление по этой формуле дает следующее значение:
cv, см = 1,63 к Дж/(кг ■ К).
Пример 3. Определить количество теплоты, поглощаемое водоро¬
дом массой m = 0,2 кг при нагревании его от температуры t\ = 0°С
до температуры t2 = 100 °С при постоянном давлении. Найти также
изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу.
Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобар¬
ном нагревании, определяется по формуле
Q = тпСрАТ,	(5)
где m — масса нагреваемого газа; ср — его удельная теплоемкость при
постоянном давлении; ДГ — изменение температуры газа.
Как известно, ср = 		—. Подставив это выражение ср в формулу
(5), получим
2 М
t + 2fl
Q = тп—т——АТ.
2	М
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
Q = 291 кДж.
Внутренняя энергия выражается формулой
и=швт-
следовательно, изменение внутренней энергии
. ,т г m „
AU = 2MRAT-
После подстановки в эту формулу числовых значений величин и вы¬
числений получим
AU = 208 кДж.
Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое
начало термодинамики: Q = AU + А, откуда
A = Q - AU.

§11. Физические основы термодинамики
171
Подставив значения Q и AU, найдем
А = 83 кДж.
Пример 4. Кислород занимает объем V\ = 1м3 и находится под
давлением р\ = 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении
до объема V2 = Зм3, а затем при постоянном объ¬
еме до давления р> — 500 кПа. Построить график
процесса и найти: 1) изменение AU внутренней
энергии газа; 2) совершенную им работу А; 3) ко¬
личество теплоты Q, переданное газу.
Решение. Построим график процесса
(рис. ll.l). На графике точками 1, 2, 3 обозна¬
чены состояния газа, характеризуемые параметра¬
ми (pi, Vi, Ti), {pi, V2, T2), (P2, Vi, T3).
1.	Изменение внутренней энергии газа при пе¬
реходе его из состояния 1 в состояние 3 выража¬
ется формулой
AU = cvmAT,
Рис. 11.1
где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; тп —
масса газа; АТ — разность температур, соответствующих конечному
i R
3	и начальному 1 состояниям, т. е. АТ = Т3 — Т). Так как cv = ——,
.,	2 М
где М — молярная масса газа, то
Аи=шп{г>-Т')-
(6)
Температуры Х) и Тз выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева
(pV = (m/M)(R/T)):
_ Mp\V\	MP2V2
1 mR '	3 mR '
С учетом этого равенство (6) перепишем в виде
AU = ~(pM-piVi).
Подставим сюда значения величин (учтем, что для кислорода как
двухатомного газа i = 5) и произведем вычисления:
ДU = 3,25 МДж.
2.	Полная работа, совершаемая газом, равна А = А\ + А2, где Лт —
работа на участке 1-2; А2 — работа на участке 2-3.
На участке 1-2 давление постоянно (р = const). Работа в этом случае
выражается формулой Ai = p\AV = pi(V2 — V)). На участке 2-3 объем

172
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
газа не изменяется и, следовательно, работе газа на этом участке равна
нулю (А2 — 0). Таким образом,
A- Ai =Pi(V2 - Vi).
Подставив в эту формулу значения физических величин, произведем
вычисления:
А = 0,4 МДж.
3.	Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q,
переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и измене¬
нию ДU внутренней энергии:
<5 = А + ДU, или Q = 3,65 МДж.
Пример 5. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество
вещества v = 1 моль, находится под давлением р\ = 250 кПа и зани¬
мает объем V! = Юл. Сначала газ изохорно нагревают до температуры
Т2 — 400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первона¬
чального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают
газ в начальное состояние. Определить термический к.п.д. т] цикла.
Решение. Для наглядности построим сначала график цикла, кото¬
рый состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р, V этот
цикл имеет вид, представленный на рис. 11.2.
Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3.
Термический к.п.д. любого цикла опреде¬
ляется выражением
Qi — Qi	, Q2
V = —п	> или 71 = 1 ~ гГ’ (7)
VI	VI
где Qi — количество теплоты, полученное га¬
зом за цикл от нагревателя; Q2 — количество
теплоты, отданное газом за цикл охладителю.
Заметим, что разность количеств теплоты
Qi — Q2 равна работе .4, совершаемой газом за
цикл. Эта работа на графике в координатах р,
V (рис. 11.2) изображается площадью цикла (площадь цикла заштри¬
хована).
Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q\ на двух
участках: Q1-2 на участке 1-2 (изохорный процесс) и Q2-3 на участке
2-3 (изотермический пропесс). Таким образом, Q\ = Q1-2 + Q2-з- Ко¬
личество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно
Q1-2 — Cvis(T2 — Т\),
где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; v — ко¬
личество вещества. Температуру Т\ начального состояния газа найдем,
воспользовавшись уравнением Клапейрона Менделеева:
_ PlVl
1//?

§11. Физические основы термодинамики
173
Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим
Тх
250 ■ 103 - 1(Г3 Па ■ м3
1 • 8,31	моль ■ Дж/(моль ■ К)
= 300 К.
Количество теплоты, полученное газом при изотермическом процессе,
равно
Q2„3 = yRT2\n
где V\ объем, занимаемый газом при температуре Т2 и давлении рх
(точка 3 на графике).
На участке 3-1 газ отдает количество теплоты Q2, равное
д2 = д3_1 = сру{т2 - Ту),
где Ср — молярная теплоемкость газа при изобарном процессе.
Подставим найденные значения Qx и Q2 в формулу (7):
уСр{Т2-Тх)
vCv(T2 - Тх) + vRT2 In (V2/Vi) ‘
В полненном выражении заменим отношение объемов V2/Vx, согласно
закону Гей-Люссака, отношением температур {V2/V\ = Т2/7\) и вы¬
разим Cv и Ср через число степеней свободы молекулы [Cv = iR/2,
Ср = (г + 2)77/2]. Тогда после сокращения на у и R/2 получим
(г+ 2 )(Т2-Тх)
i{T2 — 7\) + 2Т2 1п (Т2/Тх)
Подставив значения г, Тх, Т2 и R и произведя вычисления, найдем
(5 + 2) (400 - 300)
5(400 - 300) + 2 ■ 400 In (400/300)
= 0,041 = 4,1%.
Пример 6. В цилиндре под поршнем находится водород массой
тп = 0,02 кг при температуре Х) = 300 К. Водород начал расширяться
адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотерми¬
чески, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру
Т2 в конце адиабатного расширения и работу А, совершенную газом.
Изобразить процесс графически.
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный
процесс, связаны между собой соотношением

174
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
где 7 — показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа 7 =
= 1,4). Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:
7-1
Подставляя числовые значения заданных величин, находим
m1,4-1
Т2 = 300 I - J К = 300 • 0,525 К = 158 К.
Работа А\ газа при адиабатном расширении определяется по формуле
Л1 = ^сИГ1-Г2) = ^(Г1-Г2).
Подставив сюда числовые значения величин, после вычисления по¬
лучим
л, =
0,02 5
2 • 10_32
- • 8,31(300 - 158)
кг • Дж/(моль • К) • К
кг/моль
= 29,5 • 103 Дж = 29,5 кДж.
Работу Л2 газа при изотермическом сжатии можно выразить формулой
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
Л2 = —21 кДж.
Знак минус показывает, что при сжатии газа
работа совершена внешними силами. Общая
работа, совершенная газом при рассмотренных
процессах,
А = Ai+A2 = 29,8 кДж+(—21 кДж) = 8,8 кДж.
График процесса приведен на рис. 11.3.
Пример 7. Нагреватель тепловой машины, работающей по обра¬
тимому циклу Карно, имеет температуру ti = 200 °С. Определить тем¬
пературу Т2 охладителя, если при получении от нагревателя количества
теплоты Qi = 1 Дж машина совершает работу А = 0,4 Дж? Потери на
трение и теплоотдачу не учитывать.
Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выраже¬
ние для термического к.п.д. машины, работающей по циклу Карно,
т] = (Т, - Т2)/Т1. Отсюда
Та = Г1(1-ч).
(8)

§11. Физические основы термодинамики
175
Термический к.п.д. тепловой машины выражает отношение количе¬
ства теплоты, которое превращено в механическую работу А, к количе¬
ству теплоты Q1, которое получено рабочим телом тепловой машины из
внешней среды (от нагревателя), т.е. т) — A/Q\. Подставив это выра¬
жение в формулу (8), найдем
г-п(1-£)- <9)
Учтя, что 7\ = 473 К, после вычисления по формуле (9) получим
Т2 = 284 К.
Пример 8. Найти изменение Д5 энтропии при нагревании воды
массой тп = 100 г от температуры ti = 0°С до температуры t2 = 100 °С
и последующем превращении воды в пар той же температуры.
Решение. Найдем отдельно изменение энтропии ДS' при нагрева¬
нии воды и изменение энтропии ДS" при превращении ее в пар. Полное
изменение энтропии выразится суммой ДS' и ДS".
Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой
2
Д5 - S2 - 5Х = J	(10)
о
При бесконечно малом изменении dТ температуры нагреваемого тела
затрачивается количество теплоты dQ = тпс АТ, где тп — масса тела; с —
его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (10),
найдем формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании
воды:
т2
AS'=
Г тпс АТ
J Т ‘
т,
Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем ин¬
тегрирование, тогда получим
Д S' = me In
После вычислений найдем
ДS' = 132 Дж/К.
При вычислении по формуле (10) изменения энтропии во время пре¬
вращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т
выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем
(И)

176
Гп. 2. Молекулярная физика и термодинамика
где Q — количество теплоты, переданное при превращении нагретой
воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (11) выражение количества теплоты Q = Ат,
где А — удельная теплота парообразования, получим
(12)
Произведя вычисления по формуле (12), найдем
ДS" = 605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем
превращении ее в пар
Д5 = AS' + AS" = 737 Дж/К.
Пример 9. Определить изменение AS энтропии при изотермиче¬
ском расширении кислорода массой ш = Юг от объема V) = 25л до
объема V2 = 100 л.
Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении
2 сЮ
энтропии AS = S2 —Si = J — температуру выносят за знак интеграла.
1 ■*
Выполнив это, получим
(13)
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу
термодинамики: Q = AU + А. Для изотермического процесса AU = 0,
следовательно,
Q = А,	(14)
а работа А для этого процесса определяется по формуле
л=^га'1”(Ю'	(15)
С учетом (14) и (15) равенство (13) примет вид
Л5=Х1)-	(1б>
Подставив в (16) числовые значения и произведя вычисления, получим
кг ■ ДжДмоль ■ К)
д5=1гт!£'8'311п
/100 10~3у
V 25■IQ-3 /
кг/моль
= 3,60 Дж/К.

§11. Физические основы термодинамики
177
ЗАДАЧИ
Теплоемкость идеального газа
11.1.	Вычислить удельные теплоемкости cv и Ср газов: 1) ге¬
лия; 2) водорода; 3) углекислого газа.
11.2.	Разность удельных теплоемкостей Cp—cv некоторого двух¬
атомного газа равна 260Дж/(кг-К). Найти молярную массу М
газа и его удельные теплоемкости cv и Ср.
11.3.	Каковы удельные теплоемкости cv и Ср смеси газов, со¬
держащей кислород массой ггц = 10 г и азот массой тг = 20 г?
11.4.	Определить удельную теплоемкость cv смеси газов, со¬
держащей V\ = 5 л водорода и V2 = 3 л гелия. Газы находятся при
одинаковых условиях.
11.5.	Определить удельную теплоемкость Ср смеси кислорода и
азота, если количество вещества11) v\ первого компонента равно
2 моль, а количество вещества ь>2 второго равно 4 моль.
11.6.	В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную
теплоемкость cv смеси этих газов, если массовые доли11) аргона
(wi) и азота (1U2) одинаковы и равны w = 0,5.
11.7.	Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при
одинаковых условиях и в равных объемах. Определить удельную
теплоемкость Ср смеси.
11.8.	Определить удельную теплоемкость cv смеси ксенона и
кислорода, если количества вещества11) газов в смеси одинаковы
и равны V.
11.9.	Найти показатель адиабаты 7 для смеси газов, содержа¬
щей гелий массой mi = Юг и водород массой m2 = 4г.
11.10.	Смесь газов состоит из аргона и азота, взятых при оди¬
наковых условиях и в одинаковых объемах. Определить показа¬
тель адиабаты 7 такой смеси.
11.11.	Найти показатель адиабаты 7 смеси водорода и неона,
если массовые доли11) обоих газов в смеси одинаковы и равны
w = 0,5.
11.12.	Найти показатель адиабаты 7 смеси газов, содержащей
кислород и аргон, если количества вещества п) того и другого газа
в смеси одинаковы.
11.13.12) Степень диссоциации13) а газообразного водорода
равна 0,6. Найти удельную теплоемкость cv такого частично дис¬
социировавшего водорода
11) См. сноску на с. 132.
lz) В задачах 11.13-11.15 для частично диссоциировавшего газа следует учи¬
тывать колебательные степени свободы для недиссоциировавших молекул (см.
§9, Основные формулы).
13) См. задачу 9.11.
13 Зак 237

178
Гл. 2. Молекулярная физика, и термодинамика
11.14.	Определить показатель адиабаты 7 частично диссоции¬
ровавшего газообразного азота, степень диссоциации а которого
равна 0,4.
11.15.	Определить степень диссоциации а газообразного хлора,
если показатель адиабаты 7 такого частично диссоциировавшего
газа равен 1,55.
11.16.	На нагревание кислорода массой тп = 160 г на АТ = 12 К
было затрачено количество теплоты Q — 1,76 кДж. Как протекал
процесс: при постоянном объеме или постоянном давлении?
11.17.	При адиабатном сжатии газа его объем уменьшился в
п — 10 раз, а давление увеличилось в к = 21,4 раза. Определить
отношение Cp/Cv теплоемкостей газов.
Работа расширения газа
11.18.	Водород массой т = 4 г был нагрет на АТ = 10 К при
постоянном давлении. Определить работу А расширения газа.
11.19.	Газ, занимавший объем V\ = 12 л под давлением р\ =
= 100 кПа, был изобарно нагрет от температуры Т\ = 300 К до
Т2 = 400 К. Определить работу А расширения газа.
11.20.	Какая работа А совершается при изотермическом рас¬
ширении водорода массой тп = 5 г, взятого при температуре Т =
= 290 К, если объем газа увеличивается в три раза?
11.21.	При адиабатном сжатии кислорода массой тп = 1кг
совершена работа А = 100 кДж. Определить конечную темпера-
туру Т2 газа, если до сжатия кислород находился при температуре
Ti =300 К.
11.22.	Определить работу А адиабатного расширения водорода
массой m = 4 г, если температура газа понизилась на АТ — 10К.
11.23.	Азот массой тп = 2 г, имевший температуру Т\ — 300 К,
был адиабатно сжат так, что его объем уменьшился в гг = 10 раз.
Определить конечную температуру Тг газа и работу А сжатия.
11.24.	Кислород, занимавший объем V\ = 1л под давлением
pi = 1,2 МПа, адиабатно расширился до объема V2 — Юл. Опре¬
делить работу А расширения газа.
Первое начало термодинамики
11.25.	Азот массой т = 5кг, нагретый на АТ = 150К, со¬
хранил неизменный объем V. Найти: 1) количество теплоты Q,
сообщенное газу; 2) изменение AU внутренней энергии; 3) совер¬
шенную газом работу А.
11.26.	Водород занимает объем V\ = 10 м3 при давлении pi =
= 100 кПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления рг =
= 300кПа. Определить: 1) изменение AU внутренней энергии га¬
за; 2) работу А, совершенную газом; 3) количество теплоты Q,
сообщенное газу.

§11. Физические основы термодинамики
179
11.27.	При изохорном нагревании кислорода объемом V = 50 л
давление газа изменилось на Ар = 0,5 МПа. Найти количество
теплоты Q, сообщенное газу.
11.28.	Баллон вместимостью V = 20 л содержит водород при
температуре Т\ — 300 К под давлением р\ = 0,4 МПа. Каковы бу¬
дут температура Т2 и давление Р2, если газу сообщить количество
теплоты Q = 6 кДж?
11.29.	Кислород при неизменном давлении р = 80кПа нагрева¬
ется. Его объем увеличивается от V\ = 1 м3 до V2 — Зм3. Опреде¬
лить: 1) изменение AU внутренней энергии кислорода; 2) работу
А, совершенную им при расширении; 3) количество теплоты Q,
сообщенное газу.
11.30.	Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему
было сообщено количество теплоты Q = 21 кДж. Определить ра¬
боту А, которую совершил при этом газ, и изменение AU его вну¬
тренней энергии.
11.31.	Кислород массой тп = 2 кг занимает объем V\ = 1м3
и находится под давлением р\ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сна¬
чала при постоянном давлении до объема V2 = Зм3, а затем при
постоянном объеме до давления рз = 0,5 МПа. Найти: 1) изме¬
нение внутренней энергии AU газа; 2) совершенную им работу
А; 3) количество теплоты Q, переданное газу. Построить график
процесса.
11.32.	Гелий массой тп = 1г был нагрет на АТ = 100 К при
постоянном давлении р. Определить: 1) количество теплоты Q,
переданное газу; 2) работу А расширения; 3) приращение AU
внутренней энергии газа.
11.33.	Какая доля wi количества теплоты Q1, подводимого к
идеальному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличе¬
ние AU внутренней энергии газа и какая доля W2 — на работу А
расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный;
2)	двухатомный; 3) трехатомный.
11.34.	Водяной пар расширяется при постоянном давлении.
Определить работу А расширения, если пару передано количество
теплоты Q = 4 кДж.
11.35.	Азот массой тп — 200 г расширяется изотермически при
температуре Т = 280 К, причем объем газа увеличивается в два
раза. Найти: 1) изменение AU внутренней энергии газа; 2) со¬
вершенную при расширении газа работу А; 3) количество теплоты
Q, полученное газом.
11.36.	В цилиндре под поршнем находится азот массой тп =
= 0,6 кг, занимающий объем V\ = 1,2 м3 при температуре Т =
= 560 К. В результате подвода теплоты газ расширился и занял
объем V2 = 4,2 м3, причем температура осталась неизменной. Най-
13*

180
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
ти: 1) изменение ДГ/ внутренней энергии газа; 2) совершенную
им работу А; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.
11.37.	Водород массой тп = Юг нагрели на ДТ = 200К, при¬
чем газу было передано количество теплоты Q = 40кДж. Найти
изменение ДГ/ внутренней энергии газа и совершенную им ра¬
боту А.
11.38.	При изотермическом расширении водорода массой m =
= 1 г, имевшего температуру Т = 280 К, объем газа увеличился
в три раза. Определить работу А расширения газа и полученное
газом количество теплоты Q.
11.39.	Азот, занимавший объем Vi = Юл под давлением pi =
= 0,2 МПа, изотермически расширился до объема Уч = 28 л. Опре¬
делить работу А расширения газа и количество теплоты Q, полу¬
ченное газом.
11.40.	При изотермическом расширении кислорода, содержав¬
шего количество вещества v = 1 моль и имевшего температуру
Т = 300 К, газу было передано количество теплоты Q = 2 кДж. Во
сколько раз увеличился объем газа?
11.41.	Какое количество теплоты Q выделится, если азот мас¬
сой тп = 1 г, взятый при температуре Т = 280 К под давлением
pi = 0,1 МПа, изотермически сжать до давления р2 = 1 МПа?
11.42.	Расширяясь, водород совершил работу А = бкДж. Опре¬
делить количество теплоты Q, подведенное к газу, если процесс
протекал: 1) изобарно; 2) изотермически.
11.43.	Автомобильная шина накачана до давления р\ = 220 кПа
при температуре Т\ = 290 К. Во время движения она нагрелась
до температуры Тч = 330 К и лопнула. Считая процесс, проис¬
ходящий после повреждения шины, адиабатным, определить из¬
менение температуры ДТ вышедшего из нее воздуха. Внешнее
давление ро воздуха равно 100 кПа.
11.44.	При адиабатном расширении кислорода с начальной тем¬
пературой Ti = 320 К внутренняя энергия уменьшилась на ДГ/ =
= 8,4 кДж, а его объем увеличился в п = 10 раз. Определить массу
m кислорода.
11.45.	Водород при нормальных условиях имел объем Vi =
= 100 м3. Найти изменение ДГ/ внутренней энергии газа при его
адиабатном расширении до объема Уч = 150 м3.
11.46.	В цилиндре под поршнем находится водород массой тп =
= 0,02 кг при температуре Т\ = 300 К. Водород сначала расши¬
рился адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был
сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз.
Найти температуру Тч в конце адиабатного расширения и полную
работу А, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
11.47.	При адиабатном сжатии кислорода массой тп = 20 г его
внутренняя энергия увеличилась на ДГ/ = 8кДж и температура
повысилась до Тч = 900 К. Найти: 1) повышение температуры

§11. Физические основы термодинамики
181
ДТ; 2) конечное давление газа р2, если начальное давление рi =
= 200 кПа.
11.48.	Воздух, занимавший объем Vi = Юл при давлении
pi = 100 кПа, был адиабатно сжат до объема Уч — 1л. Под ка¬
ким давлением рч находится воздух после сжатия?
11.49.	Горючая смесь в двигателе дизеля воспламеняется при
температуре Тч —1,1 кК. Начальная температура смеси Т] = 350 К.
Во сколько раз нужно уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы
она воспламенилась? Сжатие считать адиабатным. Показатель
адиабаты 7 для смеси принять равным 1,4.
11.50.	Углекислый газ СО2 массой тп = 400 г был нагрет на
ДТ = 50 К при постоянном давлении. Определить изменение ДГ/
внутренней энергии газа, количество теплоты Q, полученное га¬
зом, и совершенную им работу А.
11.51.	Кислород массой тп = 800 г, охлажденный от темпера¬
туры t\ = 100 °С до температуры Ьч = 20°С, сохранил неизмен¬
ным объем. Определить: 1) количество теплоты Q, полученное
газом; 2) изменение ДГ/ внутренней энергии и 3) совершенную
газом работу А.
11.52.	Давление азота объемом V = Зл при нагревании уве¬
личилось на Др = 1МПа. Определить количество теплоты Q,
полученное газом если объем газа, остался неизменным.
Круговые процессы. Термический к.п.д. Цикл Карно
11.53.	В результате кругового процесса газ совершил работу
А — 1 Дж и передал охладителю количество теплоты Q4 = 4,2 Дж.
Определить термический к.п.д. т) цикла.
11.54.	Совершая замкнутый процесс, газ получил от нагрева¬
теля количество теплоты Qi = 4кДж. Определить работу А газа
при протекании цикла, если его термический к.п.д. т) = 0,1.
11.55.	Идеальный двухатомный газ, содержащий количество
вещества и = 1 моль, совершает цикл, состоящий из двух изо¬
хор и двух изобар. Наименьший объем
Knin = 10 л, наибольший Кпах = 20 л,
наименьшее давление рт;п = 246 кПа,
наибольшее ртах = 410 кПа. Постро¬
ить график цикла. Определить темпе¬
ратуру Т газа для характерных точек
цикла и его термический к.п.д. т).
11.56.	Идеальный двухатомный газ,
содержащий количество вещества v =
= 1 кмоль, совершает замкнутый цикл,
график которого изображен на рис. 11.4.
Определить: 1) количество теплоты Qi, полученное от нагрева¬
теля; 2) количество теплоты Q4, переданное охладителю; 3) работу
А, совершаемую газом за цикл; 4) термический к.п.д. т) цикла.
V, м3

182
Гл. 2. Молекулярная физика, и термодинамика
11.57.	Идеальный двухатомный газ, содержащий количество
вещества v = 1 моль и находящийся под давлением р\ = 0,1 МПа
при температуре Т\ = 300 К, нагревают при постоянном объеме
до давления р2 = 0,2 МПа. После этого газ изотермически рас¬
ширился до начального давления и затем изобарно был сжат до
начального объема Vi. Построить график цикла. Определить тем¬
пературу Т газа для характерных точек цикла и его термический
к.п.д. 7].
11.58.	Одноатомный газ, содержащий количество вещества и =
= 0,1 кмоль, под давлением pi = 100 кПа занимал объем Vi = 5м3.
Газ сжимался изобарно до объема V2 = 1 м3, затем сжимался адиа¬
батно и расширялся при постоянной температуре до начальных
объема и давления. Построить график процесса. Найти: 1) тем¬
пературы Ti, Т2, объемы V2, V3 и давление рз, соответствующее
характерным точкам цикла; 2) количество теплоты Qi, получен¬
ное газом от нагревателя; 3) количество теплоты Q2, переданное
газом охладителю; 4) работу А, совершенную газом за весь цикл;
5)	термический к.п.д. т) цикла.
11.59.	Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоя¬
щий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление
газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в че¬
тыре раза больше наименьшего. Определить термический к.п.д.
т) цикла.
11.60.	Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количе¬
ства теплоты Qi, полученного от нагревателя, отдает охладителю.
Температура Т2 охладителя равна 280 К. Определить температуру
7i нагревателя.
11.61.	Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Тг
охладителя равна 290 К. Во сколько раз увеличится к.п.д. цикла,
если температура нагревателя повысится от Т[ = 400 К до Т" =
= 600 К?
11.62.	Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Ti
нагревателя в три раза выше температуры Тг охладителя. На¬
греватель передал газу количество теплоты Qi = 42кДж. Какую
работу А совершил газ?
11.63.	Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Ti
нагревателя равна 470 К, температура Тг охладителя равна 280 К.
При изотермическом расширении газ совершает работу А = 100 Дж.
Определить термический к.п.д. т\ цикла, а также количество те¬
плоты Q2, которое газ отдает охладителю при изотермическом
сжатии.
11.64.	Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Ti
нагревателя в четыре раза выше температуры Тг охладителя. Ка¬
кую долю w количества теплоты, получаемого за один цикл от
нагревателя, газ отдает охладителю?

§11. Физические основы термодинамики
183
11.65.	Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от
нагревателя количество теплоты Q\ = 4,2 кДж, совершил работу
А = 590 Дж. Найти термический к.п.д.
т] этого цикла. Во сколько раз темпера¬
тура Т\ нагревателя больше температуры
Тг охладителя?
11.66.	Идеальный газ совершает цикл
Карно. Работа А\ изотермического расши¬
рения газа равна 5 Дж. Определить работу
.Аг изотермического сжатия, если термиче¬
ский к.п.д. 7j цикла равен 0,2.
11.67.	Наименьший объем Vi газа, со¬
вершающего цикл Карно, равен 153 л. Оп¬
ределить наибольший объем V3, если объем
V2 в конпе изотермического расширения и объем V4 в конце изо¬
термического сжатия равны соответственно 600 и 189 л.
11.68.	Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, гра¬
фик которого изображен на рис. 11.5. Объемы газа в состояниях
В и С соответственно Vi = 12 л и V2 = 16 л. Найти термический
к.п.д. 7] цикла.
Энтпротшя
11.69.	Смешали воду массой mi = 5 кг при температуре Ti =
= 280 К с водой массой m2 = 8 кг при температуре Тг = 350 К.
Найти: 1) температуру в смеси; 2) изменение AS энтропии, про¬
исходящее при смешивании.
11.70.	В результате изохорного нагревания водорода массой
m = 1 г давление р газа увеличилось в два раза. Определить из¬
менение AS энтропии газа.
11.71.	Найти изменение AS энтропии при изобарном расши¬
рении азота массой m = 4 г от объема V\ = 5 л до объема Уг = 9 л.
11.72.	Кусок льда массой m = 200 г, взятый при температуре
t\ = —10 °С, был нагрет до температуры <2 = 0°С и распла¬
влен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до темпера¬
туры t\ = 10 °С. Определить изменение AS энтропии в ходе ука¬
занных процессов.
11.73.	Лед массой mi = 2 кг при температуре t\ = 0°С был
превращен в воду той же температуры с помощью пара, имеющего
температуру <2 = 100°С. Определить массу m2 израсходованного
пара. Каково изменение AS энтропии системы лед пар?
11.74.	Кислород массой тп = 2 кг увеличил свой объем в п — 5
раз один раз изотермически, другой адиабатно. Найти измене¬
ния энтропии в каждом из указанных процессов.
11.75.	Водород массой m = 100 г был изобарно нагрет так, что
объем его увеличился в тг = 3 раза, затем водород был изохорно
Рис. 11.5

184
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
охлажден так, что давление его уменьшилось вв = 3 раза. Найти
изменение AS энтропии в ходе указанных процессов.
11.76*. Неон находится при температуре Т\ = 300 К. Опреде¬
лить конечную температуру Т2 в конце адиабатного сжатия в двух
случаях: 1) объем газа уменьшается в п = 5 раз; 2) давление газа
возрастает в п = 5 раз.
11.77*. Один моль двухатомного газа, находящегося при темпе¬
ратуре Ti = 400 К, расширяется сначала изотермически от объема
Vi до V2 = 2Vi, а затем адиабатно до объема V3 = 3Vi. Опре¬
делить: 1) работу А\-2 и А2-з, совершенную газом на участках
1-2 и 2 3; 2) конечную температуру Т3; 3) изменением AU1-3
внутренней энергии газа на участке 1-3.
11.78*. Один моль одноатомного газа, находящегося при тем¬
пературе Т\ = 300 К сжимается сначала изотермически, так, что
давление возрастает от р\ до р2 = 2pi, а затем адиабатно до да¬
вления рз = 4рь Определить: 1) работу AL_2 и А2~з на участках
1-2 и 13; 2) конечную температуру Т3; 3) изменение ДС/1-3 вну¬
тренней энергии на участке 1-3.
11.79*. Водород в количестве v = 6 моль находится под давле¬
нием р = 1 МПа и температуре 300 К. При изохорном нагрева¬
нии давление возросло на Др = 1,5 МПа. Определить изменение:
1)	внутренней энергии AU; 2) энтальпии АН; 3) энтропии AS.
11.80*. Кислород массой тп = 80 г изохорно нагрели от темпе¬
ратуры Ti = 300 К до Т2 — 400 К. Определить изменения: 1) вну¬
тренней энергии AU; 2) энтальпии АН; 3) энтропии AS.
11.81*. Определить к.п.д. г) цикла 12-31 (рис. 11.6), состо¬
ящего из изохоры (1-2), адиабаты (2 3) и изобары (3 1). Газ
одноатомный.
11.82*. Определить к.п.д. 77 цикла 1-2-3-1 (рис. 11.7), соверша¬
емого идеальным двухатомным газом (участок 2-3 — изотерма).
11.83*. Одноатомный идеальный газ совершает цикл 1-2-3-1
(рис. 11.8). Определить к.п.д. т/ цикла.

§12. Реальные газы. Жидкости
185
11.84*. Вода массой тп = 36 г находится при температуре кипе¬
ния (атмосферное давление нормальное). Определить изменение
AU внутренней энергии при полном выкипании воды. Удельная
теплота L парообразования воды равна
2,26 МДж/кг. Объемом жидкой воды пре¬
небречь.
11.85*. Лед массой тп = 1кг, находя¬
щийся при температуре t = — 30 °С, на¬
гревают до температуры плавления (при
нормальном атмосферном давлении) и
плавят. Определить изменение AS эн¬
тропии. Удельная теплоемкость суд льда
равна 2,09 кДж/(кг • К) и удельная тепло¬
та плавления г = ЗЗЗкДж/кг.
11.86*. Определить изменение AS эн¬
тропии при нагревании до кипения тп =
= 100 г воды, взятой при температуре Т\ = 300 К, и превращении
ее в пар при температуре кипения и нормальном атмосферном
давлении. Для воды известны: молярная теплоемкость Ст =
= 75,4ДжДмоль • К); удельная теплота парообразования L =
= 2,26 МДж/кг.
§ 12. Реальные газы. Жидкости
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
•	Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа
(р+^г) (Vm-b) = RT,
для произвольного количества вещества и газа
(p+^fj (V-vb) = vRT,
где а и b — постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль
газа); V — объем, занимаемый газом; Vm — молярный объем; р —
давление газа на стенки сосуда.
•	Связь критических параметров — объема, давления и температуры
газа — с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:
1/	_ ,L „	г - 3q
vm«p - м, РкР - т2, 1Кр - 27Rb-
•	Внутренняя энергия реального газа
12 Зак 237

186
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
• Коэффициент поверхностного натяжения
F
где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур I, огра¬
ничивающий поверхность жидкости, или
Д Е
Д5’
где ДЕ — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидко¬
сти, связанное с изменением площади ДS поверхности этой пленки.
• Формула Лапласа в общем случае записывается в виде
где р — давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости; a —
коэффициент поверхностного натяжения; R\ и R2 — радиусы кривизны
двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в слу¬
чае сферической поверхности
2 a
• Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
t	2о cos в
P9R ’
где в — краевой угол; R — радиус канала трубки; р — плотность жид¬
кости; g — ускорение свободного падения.
•	Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллель¬
ными плоскостями
L _ 2ocos6
~~pgd~'
где d — расстояние между плоскостями.
•	Расход жидкости в трубке тока (рис. 12.1):
а)	объемный расход Qv — vS\
б)	массовый расход Qm = pvS, где S — площадь поперечного сечения
трубки тока; v — скорость жидкости; р — ее плотность.
•	Уравнение неразрывности струи
vi Si = v2S2,
где Si и S2 — площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;
vi и v2 — соответствующие скорости течений.

§12. Реальные газы. Жидкости
187
•	Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в об¬
щем случае
pv\ ,	OV 9
Pi +	+ рдЫ —Р2 + -у + pghi,
где pi и р2 — статические давления жидкости в двух сечениях трубки
тока; V] и ц2 — скорости жидкости в этих сечениях; pv\/2 и рг>|/2 — ди¬
намические давления жидкости в этих же сечениях; hi и h2 — высоты их
над некоторым уровнем (рис. 12.1);
pghi и pgh2 — гидростатические да¬
вления.
Уравнение Бернулли в случае, ко¬
гда оба сечения находятся на одной
высоте (hi = h2):
2 2
PVT	PVо
Pl + *f=P2 + -j-.
•	Скорость течения жидкости из
малого отверстия в открытом широ¬
ком сосуде
v = i/2gh,
где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня
жидкости в сосуде.
•	Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время
t через длинную трубку,
ЛГ Tir^tAp
V = ~8hT'
где г — радиус трубки; I — ее длина; Др — разность давлений на концах
трубки; 7j — динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)
жидкости.
•	Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках
Re = p(v) -
где (v) — средняя по сечению скорость течения жидкости; d — диаметр
трубки, и для движения шарика в жидкости
Re =
V
где v — скорость шарика; d — его диаметр.
Число Рейнольдса Re есть функция скорости v тела, линейной ве¬
личины I, определяющей размеры тела, плотности р и динамической
вязкости г) жидкости, т. е.
Re = /(р, 77,1, v).
При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого кри¬
тического значения ReKp, движение жидкости является ламинарным.
12*

188
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
При значениях чисел Рейнольдса Re ReKp движение жидкости пере¬
ходит в турбулентное.
Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости
ReKp = 0,5; для потока жидкости в длинных трубках ReKp = 2300.
• Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны
потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик,
F = 6m)rv,
где г — радиус шарика; v — его скорость.
Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса
много меньше единицы (Re 1).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. В баллоне вместимостью V = 8л находится кисло¬
род массой тп = 0,3 кг при температуре Т = 300 К. Найти, какую часть
вместимости сосуда составляет собственный объем молекул газа. Опре¬
делить отношение внутреннего давления р' к давлению р газа на стенки
сосуда.
Решение. Для получения ответа на первый вопрос задачи необхо¬
димо найти отношение
(1)
где V — собственный объем молекул.
Собственный объем молекул найдем, воспользовавшись постоянной Ь
Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, содержащихся
в одном моле реального газа. В уравнении Ван-дер-Ваальса
(V - vb) = vRT
(2)
поправка vb означает учетверенный объем молекул всего газа, т. е. vb =
— 4V'. Отсюда
или
V' =
mb
4М’
где v = ш/М — количество вещества; М — молярная масса.
Подставив полученное значение V в выражение (1), найдем
mb
~ 4MV'
После вычисления по этой формуле получим
к = 0,91%.
Следовательно-, собственный объем молекул составляет 0,91% от объема
сосуда.

§ 12. Реальные газы. Жидкости
189
Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение
fci = —.
Р
(3)
(4)
Как следует из уравнения (2),
, v2a	,	(m/M)2a
P=V2> ИЛИ р ~ - 'у2’	,
где a — постоянная Ван-дер-Ваальса для одного моля газа.
После вычисления по формуле (4) найдем
р' — 187 кПа.
Давление р, производимое газом на стенки сосуда, найдем из урав¬
нения (2):
vRT 0 a
р-
V-vb " V2'
После вычисления по этой формуле получим
р =
(0,3/(32 ■ 1(Г3)) ; 8,31 • 300
8'-10 3 - (0,3/(32 • 10-3)) • 3,17 ■ 10-5 “
_ /	0,3	\2 136 ю~3'
\32 ■ 10-3/ (8 ■ 10-3)2
Па = 2,84 МПа.
Подставив в выражение (3) значенияр' ири произведя вычисления,
найдем
h = 6,6%.
Следовательно, давление газа, обусловленное силами притяжения моле¬
кул, составляет 6,6% давления газа на стенки сосуда.
Пример 2. Углекислый газ, содержащий количество вещества v =
= 1 моль, находится в критическом состоянии. При изобарном нагрева¬
нии газа его объем V увеличился в к = 2 раза. Определить изменение
ДТ температуры газа, если его критическая температура Гкр = 304 К.
Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться уравне¬
нием Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда
давление р, молярный объем Vm и температура Г реального газа с соот¬
ветствующими критическими параметрами представлены в виде следу¬
ющих отношений:
Р	Vm	Т
* =—; w = ——; т =	■
Ркр	*ТПкр	1 кр
Из этих равенств получим:
р = 7гркр» Vm = wV^nKp; Г = тТкр.

190
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Подставив сюда выражения ркР, VmKp и Гкр через постоянные Ван-дер-
Ваальса а и Ь, найдем:
Р =
27 Ь2
тг;
Vm = 3 bur,
Т =
8 a
27ШТ'
Полученные выражения р, Vm и Т подставим в обычное уравнение
Ван-дер-Ваальса:
(
= R
8 a
27 bRT'
После сокращения на а/ (275) и в правой части на R получим
(тг +	(3w - 1) = 8т.	(5)
Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенной форме. Оно не со¬
держит никаких параметров, характеризующих индивидуальные свойс¬
тва газа, и поэтому является универсальным.
Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается посто¬
янным (р = ркр), то 7г — 1; молярный объем газа согласно условию
увеличился в два раза, т.е. Vm = 2Vmitp; следовательно, w = 2. Из
уравнения (5) выразим приведенную температуру т:
т=К7г+^) (3w_i)‘
Подставив сюда значения тс и w и произведя вычисления, найдем
т =
35
32'
Температура Т, как отмечалось, связана с приведенной температурой
т и критической Ткр соотношением Т = тТкр. Произведя вычисления
по этой формуле, получим
Т = 332 К.
Пример 3. В цилиндре под поршнем находится хлор массой тп =
= 20 г. Определить изменение ДС/ внутренней энергии хлора при изо¬
термическом расширении его от V\ = 200 см3 до Vi — 500 см3.
Решение. Внутренняя энергия U реального (ван-дер-ваальсового)
газа определяется выражением
(6)

§ 12. Реальные газы. Жидкости
191
Выразив в равенстве (6) молярный объем Vm через объем V и коли¬
чество вещества v (Vm = Vfv) и учтя, что v — m/М, получим
С/ =
та \
MVJ '
(7)
Изменение Д1У внутренней энергии в результате изотермического
расширения найдем как разность двух значений внутренней энергии
при объемах V2 и Vj:
Д U =U2- U\
т2а{У2 - HQ
M2V{V2
(8)
Подставив значения величин в формулу (8) и произведя вычисления,
получим
Д U = U2- t/i
(20 ■ 10 3)2 ■ 0,650(5 - 2) ■ 10~4
(71■10“3) • 2■10~4•5 • 10~4
Дж = 154 Дж.
Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энер¬
гии соответствовало бы нагреванию на 26,3 К.
Пример 4. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря
диаметром <1=10 см. Определить также работу А, которую нужно со¬
вершить, чтобы выдуть этот пузырь.
Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверх¬
ности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление
на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрез¬
вычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы.
Поэтому добавочное давление р = 2 • 2<т/г, где г — радиус пузыря. Так
как г = <1/2, то
8 о
Подставив в эту формулу значения а = 40 ■ 10 3 Н/м (см. табл. 15)
и d = 0,1 м и произведя вычисления, найдем
р = 3,2 Па.
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увели¬
чить ее поверхность на Д5, выражается формулой
А = <тД5, или А = <т(5 — So).
В данном случае S — общая площадь двух сферических поверхностей
пленки мыльного пузыря; So — общая площадь двух поверхностей плос¬
кой пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пре¬
небрегая So, получим
А и aS = 2-ndPo.

192
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
Сделав подстановку значений величин, получим
А = 2,5 мДж.
Пример 5. Определить изменение свободной энергии ДЕ поверх¬
ности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от
Vу = 10 см3 до V2 = 2V).
Решение. Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорци¬
ональна площади S этой поверхности: Е = oS, где a — поверхностное
натяжение.
У мыльного пузыря имеются две поверхности — внешняя и вну¬
тренняя, площади которых практически равны из-за малой толщины
мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней и
внутренней вместе) мыльного пузыря
Е = 2 aS	(9)
Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то поверх¬
ностное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только
температуры, остается постоянным. Следовательно, по формуле (9) из¬
менение свободной энергии
Д Е = 2oAS,	(10)
где ДS — изменение поверхности пузыря (одной — внутренней или
внешней).
Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изменение
площади поверхности:
AS = 47Г7-2 - 47rrf,	(11)
где ri и Г2 — радиусы сфер, соответствующие начальному V) и конечному
*/3	/Ql/~\ 1/ъ
(3Vi\ '	(3Vi\ '
> г2 = (	• Теперь формула (11) при-
— Pf-mf]-
мет вид
(0
Учитывая, что Vi = 2V), получим после вынесения общего члена
2/3
за скобку
Подставим выражение AS в формулу (10)
(12)

§ 12. Реальные газы. Жидкости
193
После вычисления по формуле (12) получим
АЕ = 106 мкДж.
Пример 6. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического
бака (рис. 12.2) и бьет из отверстия II II со скоростью v2 = 12 м/с. Диа¬
метр D бака равен 2 м, диаметр d сече¬
ния II- II равен 2 см. Найти: 1) скорость
vi понижения воды в баке; 2) давление
Pi, под которым вода подается в фонтан;
3)	высоту hi уровня воды в баке и вы¬
соту Д2 струи, выходящей из фонтана.
Решение. 1. Проведем сечение I-
I в баке на уровне сечения II II фон¬
тана. Так как площадь Si сечения I-I
много больше площади S2 сечения II II,
то высоту hi уровня воды в баке можно
считать для малого промежутка времени
постоянной, а поток -— установившимся. Для установившегося потока
справедливо условие неразрывности струи: t>iSi = o2S2, откуда
Рис. 12.2
Vi - v2
§2
Si'
или Vi
(13)
Подставив в равенство (13) значения заданных величин и произведя
вычисления, найдем
Hi = 0,0012 м/с. 1
С такой же скоростью будет понижаться уровень воды в баке. Как
видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.
2. Давление pi, под которым вода подается в фонтан, найдем по урав¬
нению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид
pV?	pv\
Pi +	+
(14)
Учтя, что р2 = 0 (под давлением подразумевается избыточное над
атмосферным давление), из уравнения (14) получим
Pi =
pv 2
pv\
2	2
Так как ui -С о2, то из равенства (15) следует
(15)
Pi
Р»2
После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем
Pi = 72 кПа.

194
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
3. Высоту hi уровня воды в баке найдем из соотношения pi = hxpg,
откуда
Р9 -
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
hi - 7,35 м.
Зная скорость с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем
высоту ft2, на которую она будет выброшена:
h-2 — ~ = 7,35 м.
2S
Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на кото¬
рую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это
замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.
Пример 7. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Опре¬
делить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение
слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинар¬
ным. Движение считать установившимся.
Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе.с ним,
как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот
слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои.
Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или
турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости.
Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется
безразмерным числом Рейнольдса.
Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром
d, то число Рейнольдса определяется по формуле
(16)
а критическое значение этого числа ReKp = 0,5.
Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свин¬
цовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:
1) сила тяжести шарика
mg - pCBgV =
7rpc„'/d3
где р — плотность свинца; V — объем шарика;
2)	выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда,
Рвыт — Ргл 1.(/ —
'К Ргл /j/d
где ргл — плотность глицерина;

§12. Реальные газы. Жидкости
195
3)	сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,
FT р = бщги = 3>TTT]dv.
При установившемся движении шарика в жидкости (г; = const) сила
тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы
внутреннего трения, т. е.
^Рсв9^
6
крглдсР
6
+ Зтг T]dv,
откуда
(Рсв Ргл ) J2
V — 	77	“ •
18??
(17)
Решая совместно уравнения (16) и (17) относительно d, найдем
d =
l8y2Re
Ргл (рс,« Ргл) 9
Максимальное значение диаметра dmax, при котором движение оста¬
ется еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рей¬
нольдса ReKp. Поэтому
flinax —
j 187?2ReKp
Ргл(Рсв Ргл) 9
Подставив сюда значения величин ij (см. табл. 14), ReKp, рсв, рГл и
д и произведя вычисления, получим
dmax — 5,29 мм.
ЗАДАЧИ
Уравнение Ван-дер-Ваальса
12.1.	В сосуде вместимостью Р = Юл находится азот массой
m = 0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление р' газа: 2) соб¬
ственный объем V молекул.
12.2.	Определить давление р, которое будет производить ки¬
слород, содержащий количество вещества v = 1 моль, если он за¬
нимает объем V = 0,5 л при температуре Т = 300 К. Сравнить
полученный результат с давлением, вычисленным по уравнению
Менделеева-Клапейрона.
12.3.	В сосуде вместимостью V = 0,3 л находится углекислый
газ, содержащий количество вещества v = 1моль при темпера¬
туре Т = 300 К. Определить давление р газа: 1) по уравнению
Менделеева-Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.

196
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
12.4.	Криптон, содержащий количество вещества v = 1 моль,
находится при температуре Т = 300 К. Определить относитель¬
ную погрешность е = Др/р, которая будет допущена при вычи¬
слении давления; если вместо уравнения Ван-дер-Ваальса вос¬
пользоваться уравнением Менделеева Клапейрона. Вычисления
выполнить для двух значений объема: 1) V — 2 л; 2) V = 0,2 л.
12.5.	Внутреннюю полость толстостенного стального баллона
наполовину заполнили водой при комнатной температуре. После
этого баллон герметически закупорили и нагрели до температуры
Т = 650 К. Определить давление р водяного пара в баллоне при
этой температуре.
12.6.	Давление р кислорода равно 7 МПа, его плотность р =
= 100 кг/м3. Найти температуру Т кислорода.
12.7.	Определить давление р водяного пара массой m = 1 кг,
взятого при температуре Т = 380К и объеме V: 1) 1000л; 2) Юл;
3)	2л.
Критическое состояние
ш
12.8.	Вычислить постоянные а и Ь в уравнении Ван-дер-Вааль-
са для азота, если известны критические температура Ткр = 126 К
и давление ркр = 3,39 МПа.
12.9.	Вычислить критические температуру Ткр и давление ркр:
1) кислорода; 2) воды.
12.10.	Критическая температура Ткр аргона равна 151 К и кри¬
тическое давление ркр = 4,86 МПа. Определить по этим данным
критический молярный объем Vmi<p аргона.
12.11.	Жидким пентаном С5Н12, плотность р которого равна
626кг/м3, частично заполняют прочную кварцевую колбу и запа¬
ивают ее так, что над пентаном остаются только насыщающие
пары. Определить, какую часть е внутреннего объема колбы дол¬
жен занимать пентан, чтобы можно было наблюдать при нагре¬
вании переход, вещества через критическую точку. Постоянная b
Ван-дер-Ваальса равна 14,5 ■ 10_5м3/моль.
12.12.	Определить наибольший объем Утах, который может за¬
нимать вода, содержащая количество вещества и — 1 моль.
12.13.	Определить плотность р водяных паров в критическом
состоянии.
12.14.	Определить наибольшее давление ртах насыщающих во¬
дяных паров.
12.15.	Во сколько раз концентрация пкр молекул азота в крити¬
ческом состоянии больше концентрации tiq молекул при нормаль¬
ных условиях?
12.16.	Найти критический объем Укр веществ: 1) кислорода
массой т = 0,5 г; 2) воды массой т = 1 г.

§ 12. Реальные газы. Жидкости
197
12.17.14) Газ, содержащий количество вещества v — 1 моль,
находится при критической температуре и занимает объем V, в
п = 3 раза превышающий критический объем 14р. Во сколько раз
давление р газа в этом состоянии меньше критического давления
Ркр?
12.18.	При какой температуре Т находится оксид азота, если
его объем V и давление р в к = 3 раза превышают соответствую¬
щие критические значения VKp и ркр? Критическая температура
Ткр оксида азота равна 180 К.
12.19.	Газ находится в критическом состоянии. Как и во сколь¬
ко раз его давление р будет отличаться от критического ркр при
одновременном увеличении температуры Т и объема V газа в к =
~ 2 раза?
12.20.	Газ находится в критическом состоянии. Во сколько
раз возрастет давление р газа, если его температуру Т изохорно
увеличить в к — 2 раза?
Внутренняя энергия
12.21.	Определить внутреннюю энергию U азота, содержащего
количество вещества v — 1моль, при критической температуре
Ткр — 126 К. Вычисления выполнить для четырех значений объ¬
емов V: 1) 20 л; 2) 2 л; 3) 0,2 л; 4) Укр.
12.22.	Кислород, содержащий количество вещества v = 1 моль,
находится при температуре Т = 350 К. Найти относительную по¬
грешность е в вычислении внутренней энергии газа, если газ рас¬
сматривать гак идеальный. Расчеты выполнить для двух значе¬
ний объема V: 1) 2 л; 2) 0,2 л.
12.23.	Найти внутреннюю энергию U углекислого газа массой
тп = 132 г при нормальном давлении ро и температуре Т = 300 К в
двух случаях, когда газ рассматривают: 1) как идеальный; 2) как
реальный.
12.24.	Кислород массой m = 8 г занимает объем V = 20 см'1
при температуре Т = 300 К. Определить внутреннюю энергию U
кислорода.
12.25.	Определить изменение ДU внутренней энергии неона,
содержащего количество вещества v = 1 моль, при изотермиче¬
ском расширении его объема от Vi = 1 л до Уг = 2 л.
12.26.	Объем углекислого газа массой тп = 0,1кг увеличился
от V\ — 103 л до Гг = Ю4 л. Найти работу А внутренних сил
взаимодействия молекул при этом расширении газа.
и) В задачах 12 17-12.20 при решении удобнее использовать уравнение Ван-
дер-Ваальса в приведенной форме (см. пример 2).

198
Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика
12.27.	В сосуде вместимостью Vi = 1л содержится m = Юг
азота. Определить изменение ДТ температуры азота, если он рас¬
ширяется в пустоту до объема V2 — Юл.
12.28.	Газообразный хлор массой тп = 7,1 г находится в сосуде
вместимостью Vj = 0,1л. Какое количество теплоты Q необхо¬
димо подвести к хлору, чтобы при расширении его в пустоту до
объема Vi = 1 л температура газа осталась неизменной?
Поверхностное натяжение. Капиллярные явления
12.29.	Масса т 100 капель спирта, вытекающего из капилляра,
равна 0,71 г. Определить поверхностное натяжение о спирта, если
диаметр d шейки капли в момент отрыва равен 1 мм.
12.30.	Трубка имеет диаметр d\ — 0,2 см. На нижнем конце
трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид ша¬
рика. Найти диаметр di этой капли.
12.31.	Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыль¬
ный пузырь, увеличить его диаметр от di = 1см до (I2 = 11см?
Считать процесс изотермическим.
12.32.	Две капли ртути радиусом г = 1мм каждая слились
в одну большую каплю. Какая энергия Е выделится при этом
слиянии? Считать процесс изотермическим.
12.33.	Воздушный пузырек диаметром d = 2мкм находится
в воде у самой ее поверхности. Определить плотность р воздуха
в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при
нормальных условиях.
12.34.	На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря
больше атмосферного давления ро, если диаметр пузыря d = 5 мм?
12.35.	Определить силу F, прижимающую друг к другу две сте¬
клянные пластинки размерами 10 х 10 см, расположенные парал¬
лельно друг другу, если расстояние I между пластинками равно
22мкм, а пространство между ними заполнено водой. Считать
мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пла¬
стинками.
12.36.	Покровное стеклышко для микроскопа имеет вид круга
диаметром d — 16 мм. На него нанесли воду массой т = 0,1 г и
наложили другое такое же стеклышко; в результате оба стеклышка
слиплись. С какой силой F, перпендикулярной поверхностям сте¬
клышек, надо растягивать их, чтобы разъединить? Считать, что
вода полностью смачивает стекло и поэтому меньший радиус г
кривизны боковой поверхности водяного слоя равен половине рас¬
стояния d между стеклышками.
12.37.	Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h =
= 20 мм. Определить поверхностное натяжение о глицерина, если
диаметр d канала трубки равен 1 мм.

§ 12. Реальные газы. Жидкости
199
12.38.	Диаметр d канала стеклянной трубки чашечного ртут¬
ного барометра равен 5 мм. Какую поправку Ар нужно вводить
в отсчеты по этому барометру, чтобы получить верное значение
атмосферного давления?
12.39.	Разность Ah уровней жидкости в коленах U-образной
трубки равна 23 мм. Диаметры d\ и d? каналов в коленах трубки
равны соответственно 2 и 0,4 мм. Плотность р жидкости равна
0,8г/см3. Определить поверхностное натяжение о жидкости.
12.40.	В жидкость нижними концами опущены две вертикаль¬
ные капиллярные трубки с внутренними диаметрами d\ = 0,05 см
и ^2 = 0,1см. Разность Ah уровней жидкости в трубках равна
11,6мм. Плотность р жидкости равна 0,8г/см3. Найти поверх¬
ностное натяжение о жидкости.
12.41.	В воду опущена на очень малую глубину стеклянная
трубка с диаметром d внутреннего канала, равным 1мм. Найти
массу тп вошедшей в трубку воды.
12.42.	Капиллярная трубка диаметром d = 0,5 мм наполнена
водой. На нижнем конце трубки вода повисла в виде капли. Эту
каплю можно принять за часть сферы радиуса г = Змм. Найти
высоту h столбика воды в трубке.
12.43.	Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет
диаметр d\ = 4 см, узкое d? = 0,25 см. Разность Ah уровней ртути
в обоих коленах равна 200 мм. Найти давление р, которое показы¬
вает манометр, приняв во внимание поправку на капиллярность.
12.44.	На какую высоту h поднимается вода между двумя па¬
раллельными друг другу стеклянными пластинками, если рассто¬
яние d между ними равно 0,2 мм?
Гидродинамика
12.45.	Вода течет в горизонтально расположенной трубе пере¬
менного сечения. Скорость v\ воды в широкой части трубы равна
20 см/с. Определить скорость V2 в узкой части трубы, диаметр d^
которой в 1,5 раза меньше диаметра di широкой части.
12.46.	В широкой части горизонтально расположенной трубы
нефть течет со скоростью t;i = 2 м/с. Определить скорость «2
нефти в узкой части трубы, если разность Ар давлений в широкой
и узкой частях ее равна 6.65 кПа.
12.47.	В горизонтально расположенной трубе с площадью Si по¬
перечного сечения, равной 20 см2, течет жидкость. В одном месте
труба имеет сужение, в котором площадь S2 сечения равна 12см2.
Разность Ah уровней в двух манометрических трубках, устано¬
вленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить
объемный расход Qv жидкости.
12.48.	Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр di =
= 20 см. В нем движется со скоростью гп = 1м/с поршень, вы¬

200
Гл. 2. Молекулярная физика, и термодинамика.
талкивал воду через отверстие диаметром = 2 см. С какой ско¬
ростью V2 будет вытекать вода из отверстии? Каково будет избы¬
точное давление р воды в цилиндре?
12.49.	К поршню спринцовки, расположенной горизонтально,
приложена сила F = 15 Н. Определить скорость v истечения воды
из наконечника спринцовки, если площадь S поршня равна 12 см2
12.50.	Давление р ветра на стену равно 200 Па. Определить
скорость v ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность
р воздуха равна 1,29 кг/м3.
12.51.	Струя воды диаметром d = 2 см, движущаяся со скоро¬
стью v = 10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность,
поставленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления
струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность ско¬
рость частиц воды равна нулю.
12.52.	Бак высотой h = 1,5 м наполнен до краев водой. На
расстоянии d = 1 м от верхнего гфая бака образовалось отверстие
малого диаметра. На каком расстоянии I от бака падает на пол
струп, вытекающая из отверстия?
12.53.	Струп воды с площадью S\ поперечного сечения, равной
4 см2, вытекает в горизонтальном направлении из брандспойта,
расположенного на высоте Н = 2 м над поверхностью Земли, и па¬
дает на эту поверхность на расстоянии I = 8 м (рис. 12.3). Прене¬
брегая сопротивлением воздуха дви¬
жению воды, найти избыточное да¬
вление р воды в рукаве, если пло¬
щадь 1S2 поперечного сечения рукава
равна 50 см2?
12.54. Бак высотой Н — 2 м до
краев заполнен жидкостью. На ка¬
кой высоте h должно быть проделано
отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, вытекающей
из отверстия, было на максимальном от бака расстоянии?
12.55.	Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см
со средней по сечению скоростью (v) = 10 см/с. Определить число
Рейнольдса Re для потоЕ^а жидкости в трубе и указать характер
течения жидкости.
12.56.	По трубе течет машинное масло. Максимальная ско¬
рость nmax, при которой движение масла в этой трубе остается
еще ламинарным, равна 3,2 см/с. При какой скорости v движение
глицерина в той же трубе переходит из ламинарного в турбулент¬
ное?
12.57.	В трубе с внутренним диаметром d = Зсм течет вода.
Определить максимальный массовый расход Qmmax воды при ла¬
минарном течении.
Рис. 12.3

§12. Реальные газы. Жидкости
201
12.58.	Медный шарик диаметром d — 1 см падает с постоян¬
ной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла,
вызванное падением в нем шарика, ламинарным? Критическое
значение числа Рейнольдса ReKp — 0,5.
12.59.	Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в гли¬
церине. Определить: 1) скорость v установившегося движения
шарика; 2) является ли при этой скорости обтекание шарика ла¬
минарным?
12.60.	При движении шарика радиусом т\ = 2,4 мм в касто¬
ровом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости v\
шарика, не превышающей 10см/с. При какой минимальной ско¬
рости V2 шарика радиусом Г2 = 1 мм в глицерине обтекание станет
турбулентным?

Глава 3
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Закон Кулона:
а)	в векторной форме
^ _	1 Q1Q2 Г12
Р 12 — 	5	,
47Г£о£ г2 г
где F12 — сила, действующая на точечный заряд Qi со стороны точеч¬
ного заряда Q2 (F12 = — F21); ео — электрическая постоянная (ео =
8,85 • 10-12 Ф/м); е — диэлектрическая проницаемость среды; —
радиус-вектор, направленный от заряда Q2 к заряду Qx-,
б)	в скалярной форме
р — 1 Q1Q2 _ , Q1Q2
47гео ег2	ег2 ’
где к =	-	= 9 • 109 м/Ф.
4тге0
• Закон сохранения заряда
П
У] Qi = const,
i= 1
n
где Qi — алгебраическая сумма зарядов, входящих в электрически
i=1
изолированную систему; п — число зарядов.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Три одинаковых положительных заряда Q\ = Q2 =
= Q3 = 1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника
(рис. 13.1). Какой отрицательный заряд Q4 нужно поместить в центре
треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы
взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
Решение. Все три заряда, расположенных по вершинам треуголь¬
ника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи

§13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел
203
достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треуголь¬
ника, чтобы один из трех зарядов, например Qi, находился в равновесии.
В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый
заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Q\ будет находиться
в равновесии, если векторная сумма
действующих на него сил будет равна
нулю:
F2 + F3 + F4 — F + F 4 = 0,	(1)
где F2, F3, F4 — силы, с которыми
соответственно действуют на заряд Q\
заряды Q2, Q3 и Qi \ F — равнодей¬
ствующая сил F2 и F3.
Так как силы F и F4 направлены
по одной прямой (см. рис. 13.1), то
векторное равенство (1) можно заме¬
нить скалярной суммой:
F — Fi — 0, или F4 = F.
Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что
F-.i = F2, получим
F4 = F2y/ 2(1 + cos q).
Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q2 — Q3 = Qi, найдем
1 QiQi
47Г£0 El'i
1
47Г£о ег2
О2 /
—V л/2(1 + cos а),
(2)
откуда
Q4 = ^Д\/2(1 +COSQ).
г*
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике сле¬
дует, что
П =
г/2
cos 30°	2 cos 30°	v/з’
С y^ieTOM этого формула (2) примет вид
Qi
cos а = cos 60°
Qi —
V*'
Подставив сюда значение Q i, получим
1
2
Qi = 0,58 нКл.
Отметим, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Пример 2. Два заряда 9Q и — Q закреплены на расстоянии I друг
от друга. Третий заряд Qi может перемещаться только вдоль прямой,

204
Гл. 3. Электростатика
проходящей через заряды- Определить положение заряда при кото¬
ром он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равно¬
весие будет устойчивым1)?
Решение. Заряд Q\ будет находиться-в равновесии в том случае,
если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это
значит, что на заряд Q\ должны действовать две силы, равные по мо¬
дулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из
Рис. 13.2
трех участков I, II, III (рис. 13.2) может быть выполнено это условие.
Для определенности будем считать, что заряд Q\ — положительный2).
На участке I (рис. 13.2а) на заряд Q\ действуют две противоположно
направленные силы: Fi и F2. Сила Pi, действующая со стороны заряда
9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действу¬
ющая со стороны заряда —Q, так как больший (по модулю) заряд 9Q
всегда находится ближе к заряду Qi, чем меньший заряд —Q. Поэтому
равновесие на этом участке невозможно.
На участке II (рис. 13.26) обе силы Fi и F2 направлены в одну сто¬
рону — к заряду —Q. Следовательно, и на участке П равновесие невоз¬
можно.
На участке III (рис. 13.2е) силы Fi и F2 направлены в противопо¬
ложные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший
(по модулю) заряд (-Q) всегда находится ближе к заряду Q1, чем боль¬
ший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой,
где силы Fi и F2 будут одинаковы по модулю, т. е.
|Fi| = |F2|.
(3)
*) Равновесие называется устойчивым, если при малом смещении заряда от
положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равно¬
весия.
2) Рекомендуется читателю самостоятельно выполнить решение задачи для
отрицательного заряда.

§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел
205
Пусть'расстояние от меньшего заряда до заряда Qx равно х, тогда
расстояние от большего заряда будет I + х. Выражая в равенстве (3) Fx
и Fi в соответствии с законом Кулона, получим
Сокращая на QQ\ и извлекая из обеих частей равенства квадратный
корень, найдем I + х = ±3х, откуда
Корень Х2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой
точке силы Fx и F2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну
сторону). Определим знак заряда, при котором равновесие будет устой¬
чивым. Рассмотрим смещение заряда Q\ в двух случаях: 1) заряд поло¬
жителен; 2) заряд отрицателен.
1.	Если заряд Qi положителен, то при смещении его влево обе силы
F\ и i<2 возрастают, но Fx возрастает медленнее (заряд 9Q всегда нахо¬
дится дальше, чем —Q). Следовательно, Fi (по модулю) больше, чем Fx,
и на заряд Qx будет действовать результирующая сила, направленная
также влево. Под действии этой силы заряд Qx удаляется от положения
равновесия. То же происходит и при смешении заряда Qx вправо. Сила
Fi убывает быстрее, чем Fx. Векторная сумма сил в этом случае напра¬
влена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемешаться
вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в слу¬
чае положительного заряда равновесие является неустойчивым.
2.	Если заряд Qx отрицателен, то его смещение влево вызовет уве¬
личение сил Р2 и Fx, но сила Fx возрастает медленнее, чем Fi, т.е.
I-P2I > |.Fi|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под дей¬
ствием этой силы заряд Qx возвращается к положению равновесия. При
смещении Qх вправо сила Fi убывает быстрее, чем Fx, т.е. |Fi| > |F2|,
результирующая сила направлена влево и заряд Qx опять будет возвра¬
щаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие
является устойчивым. Величина самого заряда Qx несущественна.
Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно
только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Qx мо¬
жет перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды — Q
и 9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет.
В системе зарядов, находящихся под действием одних только электро¬
статических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).
Пример 3. Тонкий стержень длиной I = 30см (рис. 13.3) несет
равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью т =
= 1мкКл/м. На расстоянии го = 20 см от стержня находится заряд
Qx = ЮнКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F
взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.
Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодей¬
ствия точечных зарядов. По условию'задачи, один из зарядов не явля¬
ется точечным, а равномерно распределен по длине стержня. Однако
9QQi QQi
(l + х)2 X2 '
l
и х2 = ——
4

206
Гл. 3. Электростатика
если выделить на стержне малый участок длиной dl, то находящийся на
нем заряд dQ = rdl можно рассматривать как точечный и тогда по за¬
кону Кулона3) сила взаимодействия
между зарядами Qx и dQ:
d F =
1	Qxrdl
47Г£о Г2 ’
(4)
где г — расстояние от выделенного
элемента до заряда Qx.
го
Из рис. 13.3 следует, что г =
г da
cos a
и dl =	. Подставив эти выраже-
cosa
ния г и dl в формулу (4), получим
d F =	da. (5)
47Г£оГо
Следует иметь в виду, что dF —
вектор, поэтому, прежде чем интегри¬
ровать, разложим его на две составляющие: dFi, перпендикулярную
стержню, и dF2, параллельную ему.
Из рис. 13.3 видно, что dFx = dFcosa, dF2 = dF sin a. Подставляя
значение dF из выражения (5) в эти формулы, найдем:
с1Л = %гсша df Орт2dQ
47Г£оГ0	47Г£0Го
Интегрируя эти выражения в пределах от —/3 до +/3, получим
+0
Г Qircosa ,
/ —		da —
+0
QiT f
-	 / cos a da =
Qit
		sma
+0
J 47Г£0Г0
-0
47Г£0Г0 J
-0
4тГ£0Го
-0
= ^lT- (sin/3 — sin(-/3)) = ■■^lT--2sin/3; Fx — -®lT sin/3.
47re0r0v r K ” 4тг£0го	27Г£0г0
В силу симметрии расположения заряда Q \ относительно стержня
Интегрирование второго выражения дает нуль:
+0
F2
■/
-0
Qi?	j	Qit
■ smada = —;	cosa
4ж£о r0
47Г£0Го
+0
= 0.
-0
3)	Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что
заряды находятся в вакууме (е = 1).

§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел
207
Таким образом, сила, действующая на заряд Qi,
F = FX =	sin/3.
27ге0го
1/2
Из рис. 13.3 следует, что sin (3 = _—
yjrl + P/А	у/А г%+12
это выражение sin/З в формулу (6), получим
F —
Qit
I
(6)
Подставив
F =
2-keoTq у/Атц +1'2
Произведем вычисления по формуле (7):
10 10 9 -1 -10~6	0,3 Кл ■ (Кл/м) • м
2 • 3,14 8,85 ■ 10“12 • 0,2 ^4 ■ 0,22 + 0,32 (®/м) ■ м ■ м
(7)
= 5,4 • 10"
1 Кл2
Ф ■ м
= 5,4 ■ 1(Г4 Н = 0,54 мН.
ЗАДАЧИ
Взаимодействие точечных зарядов
13.1.	Определить силу взаимодействия двух точечных зарядов
Qi = Q2 = 1 Кл, находящихся в вакууме на расстоянии г = 1 м
друг от друга.
13.2.	Два шарика массой т = 0,1 г каждый подвешены в одной
точке на нитях длиной I = 20 см каждая. Получив одинаковый
заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой
угол а = 60°. Найти заряд каждого шарика.
13.3.	Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной
точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись
на угол а. Шарики погружаются в масло плотностью ро = 8 х
х 102 кг/м3. Определить диэлектрическую проницаемость е масла,
если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло
остается неизменным. Плотность материала шариков р = 1,6 х
х 103кг/м3.
13.4.	Даны два шарика массой т = 1г каждый. Какой за¬
ряд Q нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного
отталкивания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения
шариков по закону тяготения Ньютона? Рассматривать шарики
как материальные точки.
13.5.	В элементарной теории атома водорода принимают, что
электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить

208
Гл.З. Электростатика
скорость v электрона, если радиус орбиты г = 53 пм, а также ча¬
стоту п вращения электрона.
13.6.	Расстояние между двумя точечными зарядами Qi = 1 мкКл
и Q2 = —Q\ равно 10 см. Определить силу F, действующую на
точечный заряд Q = 0,1мкКл, удаленный на rj = 6 см от первого
и на Г2 — 8 см от второго зарядов.
13.7.	В вершинах правильного шестиугольника со стороной
а — 10 см расположены точечные заряды Q, 2Q, 3Q, 4Q, 5Q, 6Q
(Q = 0,1мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд
Q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный От
его вершин.
13.8.	Два одинаковых проводящих заряженных шара нахо¬
дятся на расстоянии г = 60 см. Сила отталкивания Fj шаров рав¬
на 70 • ИГ6 Н. После того как шары привели в соприкосновение и
удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания
возросла и стала равной F2 = 1,6 • 10 4 Н. Вычислить заряды Q\
и д2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр
шаров считать много меньшим расстояния между ними.
13.9.	Два одинаковых проводящих заряженных шара нахо¬
дятся на расстоянии г = 30 см. Сила притяжения F\ шаров равна
90мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение
и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали от¬
талкиваться с силой F2 = 160 мкН. Определить заряды Q\ и Q2,
которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров
считать много меньшим расстояния между ними.
13.10.	Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреп¬
лены на расстоянии I = 60 см друг от друга. Определить, в какой
точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить
третий заряд Q\ так, чтобы он находился в равновесии. Ука¬
зать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы рав¬
новесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны
только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.
13.11.	Расстояние I между свободными зарядами Q\ = 180 нКл
и Q2 = 720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, про¬
ходящей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд
(2з так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Опреде¬
лить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет
равновесие?
13.12.	Три одинаковых заряда Q = 1 нКл каждый расположены
по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицатель¬
ный заряд Qi нужно поместить в центре треугольника, чтобы его
притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов?
Будет ли это равновесие устойчивым?
13.13.	В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q =
= 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд Q\ нужно помес¬

§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел
209
тить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания
положительных зарядов была уравновешена силой притяжения
отрипательного заряда?
Взаимодействие точечного заряда с зарядом,
равномерно распределенным
13.14.	Тонкий стержень длиной I = 10 см равномерно заряжен.
Линейная плотность т заряда равна 103нКл/м. На продолжении
оси стержня на расстоянии о = 20 см от ближайшего его конца
находится точечный заряд Q = 100 нКл. Определить силу F вза¬
имодействия заряженного стержня и точечного заряда.
13.15.	Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с ли¬
нейной плотностью т заряда, равной 104нКл/м. На продолжении
оси стержня на расстоянии а = 20 см от его конца находится то¬
чечный заряд Q = ЮнКл. Определить силу F взаимодействия
заряженного стержня и точечного заряда.
13.16.	Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с
линейной плотностью т заряда, равной 104 нКл/м. На перпенди¬
куляре к оси стержня, восставленном из конца его, находится то¬
чечный заряд (3 = 10 нКл. Расстояние о заряда от конца стержня
равно 20 см. Найти силу F взаимодействия заряженного стержня
и точечного заряда.
13.17.	Тонкая нить длиной I = 20 см равномерно заряжена с
линейной плотностью т = 10 нКл/м. На расстоянии а = 10 см от
нити, против ее середины, находится точечный заряд <3 = 1 нКл.
Вычислить силу F, действующую на этот заряд со стороны заря¬
женной нити.
13.18.	Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с ли¬
нейной плотностью т = 104 нКл/м. Какова сила F, действую¬
щая на точечный заряд Q = ЮнКл, находящийся на расстоянии
а = 20 см от стержня, вблизи его середины?
13.19.	Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90°. Нить
несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью
т = 1мкКл/м. Определить силу F, действующую на точечный
заряд Q = 0,1 мкКл, расположенный на продолжении одной из
сторон и удаленный от вершины угла на о = 50 см.
13.20.	Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет равномерно
распределенный заряд Q = 102 нКл. На перпендикуляре к плоско¬
сти кольца, восставленном из его середины, находится точечный
заряд Qi = ЮнКл. Определить силу F, действующую на точеч¬
ный заряд Q со стороны заряженного кольца, если он удален от
центра кольца на: 1) ix = 20 см; 2) /2 = 2 м.
13.21.	Тонкое полукольцо радиусом Л = 10 см несет равномерно
распределенный заряд с линейной плотностью т = 103 нКл/м.
15 Зак. 237

210
Гл. 3. Электростатика
В центре кривизны полукольца находится заряд <5 = 20нКл. Опре¬
делить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного
полукольца.
13.22.	По тонкому кольцу радиусом Д = 10 см равномерно рас¬
пределен заряд с линейной плотностью т = 1 нКл/м. В центре
кольца находится заряд Q = 400 нКл. Определить силу F, растя¬
гивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь.
§ 14. Напряженность электрического поля.
Электрическое смещение
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Напряженность электрического поля в точке
где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, по¬
мещенный в данную точку поля.
•	Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электри¬
ческое поле,
F = (?Е.
•	Поток вектора напряженности Е электрического поля:
а)	через произвольную поверхность 5, помещенную в неоднородное
поле,
Фе = / Е cos а (15, или ФЕ = J Еп d5,
S	S
где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу
поверхности; d5 — площадь элемента поверхности; Еп — проекция век¬
тора напряженности на нормаль;
б)	через плоскую поверхность, помещенную в однородное электриче¬
ское поле,
ФЕ = ES cos a.
•	Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность
ФЕ
где интегрирование ведется по всей поверхности.
• Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности Е
через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Qx, Q2, ...
• • •» Qni
ф*
1 "
=—х>.
£о£

§14. Напряженность электрического поля
211
П
где YhQt — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри за-
i=i
мкнутой поверхности; п — число зарядов.
• Напряженность электрического поля, создаваемого точечным заря¬
дом Q на расстоянии г от заряда,
Е =
1 Q г
47Г60 £Г2 г
или
Е_ 1 Q
47ге0 ег2 ’
где г/г — единичный радиус-вектор, направленный от заряда Q к точке,
в которой определяется Е.
•	Напряженность электрического поля, создаваемого металлической
сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии г от центра сферы:
а)	внутри сферы (г < R)
Е — 0;
б)	на поверхности сферы (г = R)
Е = —
47Г£о eR2 ’
в)	вне сферы (г > R)
Е_ 1 Q
47Г£0 ег2 ’
•	Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно
которому напряженность Е результирующего поля, созданного N точеч¬
ными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженно¬
стей складываемых полей:
N
Е = £Е-
1=1
В случае наложения двух электрических полей с напряженностями
Ej и Ег модуль вектора напряженности определяется по теореме коси¬
нусов:
Е = \JЕ^ +	+ 2Е\ Ег cos си,
где a — угол между векторами Ei и Ег.
• Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно
заряженной нитью (иди цилиндром) на расстоянии г от ее оси,
J_2r
47Г£0 ег'
где т — линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению за¬
ряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):

212
Гл. 3. Электростатика
• Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заря¬
женной плоскостью,
F^- —
2е0е'
где ст — поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению
заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
ст =
A Q
AS'
•	Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными
бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями с
одинаковой по модулю поверхностной плотностью ст заряда (поле плос¬
кого конденсатора):
Е = ±-.
е0е
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности
поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его)
только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше
линейных размеров пластин конденсатора.
•	Электрическое смещение (электрическая индукция) D связано с
напряженностью Е электрического поля соотношением
D = е0еЕ.
Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.
•	Поток вектора электрического смещения выражается аналогично
потоку вектора напряженности электрического поля:
а)	в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность
ДФ = DAS cos а;
б)	в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
* = 1 DndS,
где Dn — проекпия вектора D на направление нормали к элементу по¬
верхности, площадь которой равна dS.
•	Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора электрического сме¬
щения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды
I Qli - • ■, Qm
»=£«*.
t=i
где п — число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкну¬
той поверхности.

§ 14. Напряженность электрического поля
213
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными заря¬
дами: Q\ — 30 нКл и Q2 = —10 нКл. Расстояние d между зарядами равно
20 см. Определить напряженность элек¬
трического поля в точке, находящейся на
расстоянии Гх = 15 см от первого и на рас¬
стоянии Гг = 10 см от второго зарядов.
Решение. Согласно принципу супер¬
позиции электрических полей, каждый за¬
ряд создает поле независимо от присут¬
ствия в пространстве других зарядов. По¬
этому напряженность Е электрического
поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напря¬
женностей Ех и Ег полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
Е = Ei 4* Ег-
Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме4) пер¬
вым и вторым зарядами, соответственно равны
р _ l<?i| . р _ IQ2I
1 47re0rj ’	4же0г\
Вектор Ei (рис. 14.1) направлен по силовой линии от заряда Qx, так
как заряд Qx > 0; вектор Ег направлен также по силовой линии, но к
заряду Q2, так как Q2 < 0.
Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:
Е =
yjEl + E22+2ExE2 cos а,
(2)
где угол а может быть найден из треугольника со сторонами Гх,г2к d:
cos а =
d2-r l-rj
2ГхГ2
В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно
значение cos а. По этой формуле найдем
cos а = 0,25.
Подставляя выражения Ех и Е2 по формулам (1) в равенство (2) и
вынося общий множитель 1/(47Г£о) за знак корня, получаем
Е =
IQillOal
*.2 *.2
cos а.
4)	См. сноску на с. 206.

214
Гл. 3- Электростатика
Подставив значения величин д, е0, Qi, Q2, Ti, г2 и а в последнюю
формулу и произведя вычисления, найдем
Е = 9 ■ ИГ
(ЗО Ю-9)2	(10 10-9)2 (зр. iq-9)(iq. ip-9)
(15 ■ 10-2)4	(10 10-2)4	(15 10-2)2(10 ■ 10-2)2 ’ /М
= 1,67 ■ 104 В/м = 16,7 кВ/м.
Пример 2. Электрическое поле создано двумя параллельными бес¬
конечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями
заряда о\ = 0,4 мкКл/м2 и стг = 0,1 мкКл/м2. Определить напря¬
женность электрического поля, созданного этими заряженными плоско¬
стями.
Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые
каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на
друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле
независимо от присутствия другой заряженной плоскости.
Напряженности однородных электрических полей, создаваемых пер¬
вой и второй плоскостями, соответственно равны:
Ei
Е _ 1 (Т2_
2 £о	2 £о
Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III (рис. 14.2).
Как видно из рисунка, в областях I и III электрические силовые линии
обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженно-
I
II
111
В,
Ё,
Ё,
^
^

Е2
е2
£(1)= £, + Е2
£(11,-|£1-й2|
£(||1)=£,+£2
I	II III

	W
R(U>
■ '■ <
Е(“)
Рис. 14.2	Рис. 14.3
сти суммарных полей Е0> и Е(П,> в областях I и III равны между собой и
равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плос¬
костями: Е{1) = Eilll) = Ei + Е2, или
£ЧО _ £<Ш) _ 1 P'1 + (72
2	£0
Во области II (между плоскостями) электрические силовые линии
полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напря¬
женность поля Е(и) равна разности напряженностей полей, создаваемых
первой и второй плоскостями:
Е<"> = |Ej. - Е21, или £(п> = -lgl
2 £q

§ 14. Напряженность электрического поля
215
Подставив данные и произведя вычисления.
получим Е{1) = ЕЩ1) — 28,3 кВ/м; Е(11> = 17 кВ/м.
Картина распределения силовых линий суммарного поля предста¬
влена на рис. 14.3.
Пример 3. На пластинах плоского воздушного конденсатора на¬
ходится заряд Q = ЮнКл. Площадь S каждой пластины конденсатора
равна 100 см2. Определить силу F, с кото¬
рой притягиваются пластины. Поле между
пластинами считать однородным.
Решение. Заряд Q одной пластины
находится в поле, созданном зарядом дру¬
гой пластины конденсатора. Следователь¬
но, на первый заряд действует сила
(рис. 14.4)
F = ElQ,	(3)
где Ei — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины,
сг Q
Но Ei = —— = -——, где с — поверхностная плотность заряда пла-
2ео	2еоо
стины.
Формула (3) с учетом выражения для Е\ примет вид
’F
+
+
+
+
+
+
Рис. 14.4
F =
2 e0S
Подставив значения величин Q, ео и S в эту формулу и произведя
вычисления, получим
F = 565 мкН.
Пример 4. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью,
заряженной с поверхностной плотностью a = 400 нКл/м2, и бесконечной
прямой нитью, заряженной с линейной плотностью т = 100 нКл/м. На
расстоянии г = 10см от нити находится точечный заряд Q = ЮнКл.
Определить силу, действующую на заряд, и ее направление, если заряд
и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.
Решение. Сила, действующая на заряд, помещенный в поле,
F = EQ,	(4)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи,
бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью.
Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его
напряженность в любой точке

216
Гл 3- Электростатика
Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его
напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле
Е2
т
2-кеог'
(6)
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряжен¬
ность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме на-
Рис. 14.5
пряженностей Ei и Е2 (рис. 14.5): Е = Ех + Е2. Так как векторы Ei и
Е2 взаимно перпендикулярны, то
е = у/е?+е1
Подставляя выражения Е\ и Е2 по формулам (5) и (6) в это равен¬
ство, получим
Е=\1{\т$ + { 2^)"' ша Е =	+
Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение
Е в формулу (4):
F = EQ
Q /77^
= 2^\Г +Л
(7)
Подставив значения величин Q, е0, ст, т, тг и г в формулу (7) и сделав
вычисления, найдем
F = 289 мкН.
Направление силы F, действующей на положительный заряд Q, со¬
впадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление
же вектора Е задается углом а к заряженной плоскости. Из рис. 14.5
следует, что ** Ei а	( а\
tga = — = 7гг—, откуда а = arctg 17гг— ).
hj 2 т	V т /

§ 14, Напряженность электрического поля
217
Подставив значения величин ж, г, ст и т в это выражение и вычислив,
получим
а = 51° 34'.
Пример 5. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, создан¬
ном прямым бесконечным цилиндром радиусом R — 1см, равномерно
заряженным с поверхностной плотностью ст = 2 • 103 нКл/м2. Опре¬
делить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на
расстоянии г = 10 см.
Решение. Сила, действующая на заряд <5, находящийся в поле,
F = QE,	(8)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно
заряженного цилиндра
2тге0г ’
где т —- линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность т через поверхностную плотность ст.
Для этого выделим элемент цилиндра длиной I и выразим находящийся
на нем заряд Qi двумя способами:
(9)
Q1 — aS = a • 2тгШ и Q\ = т1.
Приравняв правые части этих равенств, получим т1 = 2’kRIcx. После
сокращения на I найдем т = 2тгRcr. С учетом этого формула (9) примет
вид Е = /?ст/(е0г). Подставив это выражение в формулу (8), найдем
искомую силу:
F=QaR
£о Г
(10)
Так как Я и г входят в формулу в виде отношения, то они могут быть
выражены в любых, но только одинаковых единицах.
Выполнив вычисления по формуле (10), найдем
F =
25 • 10~э • 2 • 10~6 ■ 10~2 Кл ■ (Кл/м) • м
8,85 • 10-12 • 10 • 10-
(Ф/м)
м
= 565 ■ 10"6 Н = 565 мкН.
Направление силы F совпадает с направлением вектора напряжен¬
ности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный)
направлен перпендикулярно оси цилиндра.
Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной
нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью т = 30 нКл/м.
На расстоянии a = 20 см от нити находится плоская круглая площадка
радиусом г — 1 см. Определить поток вектора напряженности через эту
14 Зак 237

218
Гл.З. Электростатика
площадку, если плоскость ее составляет угол /3 = 30° с линией напря¬
женности, проходящей через середину площадки.
Решение. Поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной
нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом
случае выражается интегралом
$E = jEndS,	(11)
s
где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности площадки dS.
Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую
пронизывают линии напряженности.
,	Проекция Еп вектора напряженности
равна, как видно из рис. 14.6,
Еп = Е cos а,
где а — угол между направлением Е век¬
тора и нормалью п.
С учетом этого формула (11) примет
вид
Ф,
-/
Е cos a dS.
Рис. 14.6
1ак как размеры поверхности площадки
малы по сравнению с расстоянием до ни¬
ти (г <§; а), то электрическое поле в пределах площадки можно счи¬
тать практически однородным. Следовательно, вектор напряженности Е
очень мало меняется по модулю и направлению в пределах площадки,
что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cos а их
средними значениями (Е) и (cos а) и вынести их за знак интеграла:
ФЕ
Выполняя интегрирование и заменяя (Е) и (cos а) их приближен¬
ными значениями ЕА и cosaA, вычисленными для средней точки пло¬
щадки, получим
ФЕ = ЕЛ cosaAS = nr2EA cosqa.	(12)
Напряженность EA вычисляется по формуле Ел = т/(2тгес,а). Из
рис. 14.6 следует cosaA = cos(7t/2 — /3) = sin/3.
С учетом выражения ЕА и cosaA равенство (12) примет вид
2 2
7ГГ Т	ТТ
ФЕ = 		sin/З, или ФБ = 		sin/3.
27T£na	2ena

§ 14. Напряженность электрического поля
219
Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления,
найдем
ФЕ = 0,424 В • м.
Пример 7. Две концентрические проводящие сферы радиусами
Ri = 6 см и R2 = Юсм несут соответственно заряды Qx = 1 нКл и
Q1 — — 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от
центра сфер на расстояниях г\ = 5 см, гг = 9 см и гз = 15 см. Построить
график Е(г).
Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти на¬
пряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7):
область I (ri < Ri), область II (Rx < г2 <
< R2), область III (r3 > R2).
1.	Для определения напряженности Е\
в области I проведем сферическую поверх¬
ность Si радиусом ri, и воспользуемся те¬
оремой Остроградского-Гаусса. Так как
внутри области I зарядов нет, то согласно
указанной теореме получим равенство
j En dS = 0,	(13)
Si
где Еп — нормальная составляющая на¬
пряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормаль¬
ная составляющая Еп должна быть равна
самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. Еп =
= Ei = const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство
(13) примет вид
Ех <р dS = 0.
Si
Так как площадь сферы не равна нулю, то
Ех=0,
т.е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию
ri < R\, будет равна нулю.
2.	В области II сферическую поверхность проведем радиусом г2. Так
как внутри этой поверхности находится заряд Qx, то для нее, согласно
теореме Остроградского-Гаусса, можно записать равенство
<fi EndS= —.
J	£0
s2
(14)
Так как En = Е2 = const,, то из условий симметрии следует
E2<fdS= —,
J £0
s2
Q j
или E2S2 = —,
So
14'

220
Гл.З. Электростатика
откуда
Bk =
Qi
e0S2
Подставив сюда выражение площади сферы, получим
Qi
Е,=
4тео»*2
3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом г$. Эта
поверхность охватывает суммарный заряд Q\ +Q2. Следовательно, для
нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского-Гаусса,
будет иметь вид
EndS =Ql+®2
/
5з
£о
Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях,
найдем
Е3 =
Qi + Q2
(15)
47Г£0г|
Убедимся в том, что правые части равенств (14) и (15) дают единицу
напряженности электрического поля:
[Q]	1 Кл	1 Кл
1 Ф • 1 м
= 1 В/м.
[е0]И	1 Ф/м • 1 м2
Выразим вСе величины в единицах СИ (Qi = 109 Кл, Q2 = —0,5 х
х 10“9 Кл, г\ — 0,09 м, г2 = 0,15 м, 1/(47гео) = 9 • 109 м/Ф и произведем
вычисления:
щ-э
^=910WB/U=
= 1,11 • 103 В/м = 1,11 кВ/м;
^ __
= 9-1Q9—(0 15)2 В/м = 200 в/м-
4. Построим график Е{г). В обла¬
сти I (г < Ri) напряженность Е = 0.
В области II (Ri ^ г < R2) напряжен¬
ность Е2(г) изменяется по закону 1 /г2.
В точке г = Ri напряженность E2(R\) = Qi/(47r£o-R() = 2500В/м.
В точке г = R2 (г стремится к R2 слева) E2(R2) = Qi/i^TTSoR2) =
= 900 В/м. В области III (г > R2) Е3(г) изменяется по закону 1 /г2,
причем в точке г = R2 (г стремится к R2 справа) E3(R2) = {Qi—\Q2\) х
х (47геоД2)-1 = 450 В/м. Таким образом, функция Е{г) в точках г = R\
и г = R2 терпит разрыв. График зависимости Е(г) представлен на
рис. 14.8.
Рис. 14.8

§ 14. Напряженность электрического поля
221
ЗАДАЧИ
Напряженность поля точечных зарядов
14.1.	Определить напряженность Е электрического поля, со¬
здаваемого точечным зарядом Q = ЮнКл на расстоянии г=10см
от него. Диэлектрик — масло.
14.2.	Расстояние d между двумя точечными зарядами Q\ —
= +8нКл и Q2 = —5,ЗнКл равно 40 см. Вычислить напряжен¬
ность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему
будет равна напряженность, если второй заряд будет положитель¬
ным?
14.3.	Электрическое поле создано двумя точечными зарядами
Qi = ЮнКл и Q2 = —20нКл, находящимися на расстоянии d =
= 20 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке,
удаленной от первого заряда на п = 30 см и от второго на Г2
= 50 см.
14.4.	Расстояние d между двумя точечными положительными
зарядами Q\ = 9Q и Q2 = Q равно 8 см. На каком расстоянии
г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е
поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы
второй заряд был отрицательным?
* 14.5. Два точечных заряда Q\ = 2Q и Q2 = —Q находятся на
расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой,
проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой
равна нулю.
14.6.	Электрическое поле создано двумя точечными зарядами
Qi = 40нКл и Q2 = —ЮнКл, находящимися на расстоянии d =
= 10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке,
удаленной от первого заряда на г\ = 12 см и от второго на Г2 = 6 см.
Напряженность поля заряда,
распределенного по кольцу и сфере
14.7.	Тонкое кольцо радиусом R — 8 см несет заряд, равно¬
мерно распределенный с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Ка¬
кова напряженность Е электрического поля в точке, равноудален¬
ной от всех точек кольца на расстояние г = 10 см?
14.8.	Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с по¬
верхностной плотностью о = 1 нКл/м2. Найти напряженность Е
электрического поля в геометрическом центре полусферы.
14.9.	На металлической сфере радиусом R = 10 см находится
заряд Q = 1нКл. Определить напряженность Е электрического
поля в следующих точках: 1) на расстоянии г\ = 8 см от центра
сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии Т2 = 15 см от центра
сферы. Построить график зависимости Е от г.

222
Гл. 3. Электростатика
14.10.	Две концентрические металлические заряженные сферы
радиусами R\ — 6 см и i?2 = 10 см несут соответственно заряды
Qi = l нКл и Qi = —0,5 нКл. Найти напряженности Е поля
в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях г\ = 5 см,
7~2 = 9 см, гз = 15 см. Построить график зависимости Е(г).
Напряженность поля заряженной линии
14.11.	Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд,
равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линей¬
ную плотность т заряда, если напряженность Е поля на расстоя¬
нии а = 0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.
14.12.	Расстояние d между двумя длинными тонкими проволо¬
ками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Про¬
волоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линей¬
ной плотностью |т| = 150 мкКл/м. Какова напряженность Е поля
в точке, удаленной на г = 10 см как от первой, так и от второй
проволоки?
14.13.	Прямой металлический стержень диаметром d = 5 см и
длиной I — 4 м несет равномерно распределенный по его поверх¬
ности заряд Q = 500 нКл. Определить напряженность Е поля
в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии
а — 1 см от его поверхности.
14.14.	Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка
радиусом R = 2 см несет равномерно распределенный по поверх¬
ности заряд (сг = 1 нКл/м2). Определить напряженность Е поля
в точках, отстоящих от оси трубки на расстояния r\ = 1 см, Г2 =
= Зсм. Построить график зависимости Е(г).
14.15.	Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки ради¬
усами i?i = 2 см и i?2 — 4 см несут заряды, равномерно распре¬
деленные по длине с линейными плотностями Т\ = 1 нКл/м и
Тг = —0,5 нКл/м. Пространство между трубками заполнено эбони¬
том. Определить напряженность Е поля в точках, находящихся
на расстояниях ri = 1см, Г2 = Зсм, гз = 5см от оси трубок.
Построить график зависимости Е от г.
■ 14.16. На отрезке тонкого прямого проводника длиной I = 10 см
равномерно распределен заряд с линейной плотностью т =
= 3 мкКл/м. Вычислить напряженность Е, создаваемую этим за¬
рядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной
от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого
отрезка.
14.17.	Тонкий стержень длиной I = 12 см заряжен с линей¬
ной плотностью т = 200 нКл/м. Найти напряженность Е элек¬
трического поля в точке, находящейся на расстоянии г = 5 см от
стержня против его середины.

§ 14. Напряженность электрического поля
223
14.18.	Тонкий стержень длиной I = 10 см заряжен с линейной
плотностью т = 400 нКл/м. Найти напряженность Е электриче¬
ского поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню,
проведенном через один из его концов, на расстоянии г = 8 см от
этого конца.
14.19.	Электрическое поле создано зарядом тонкого равномер¬
но заряженного стержня, изогнутого по трем сторонам квадрата
(рис. 14.9). Длина а стороны квадрата равна 20см. Линейная
плотность т зарядов равна 500 нКл/м. Вычислить напряженность
Е поля в точке А.
г
ci
а
14.20.	Два прямых тонких стержня длиной 1\ = 12с,м и /2 =
= 16 см каждый заряжены с линейной плотностью т = 400 нКл/м.
Стержни образуют прямой угол. Найти напряженность Е поля в
точке А (рис. 14.10).
Напряженность поля заряженной плоскости
14.21.	Электрическое поле создано двумя бесконечными парал¬
лельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распре¬
деленный по площади заряд (а = 1 нКл/м2). Определить напря¬
женность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить
график изменения напряженности вдоль линии, перпендикуляр¬
ной пластинам.
14.22.	Электрическое поле создано двумя бесконечными парал¬
лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по
площади заряд с поверхностными плотностями о\ — 1 нКл/м2 и
02 — 3 нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между
пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напря¬
женности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
14.23.	Электрическое поле создано двумя бесконечными парал¬
лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по
площади заряд с поверхностными плотностями о\ = 2 нКл/м2 и
02 = —5нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между
пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напря¬
женности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

224
Гл. 3. Электростатика
14.24.	Две прямоугольные одинаковые параллельные пластины,
длины сторон которых a — 10 см и b = 15 см, расположены на ма¬
лом (по сравнению с линейными размерами пластин) расстоянии
друг от друга. На одной из пластин равномерно распределен за¬
ряд Q1 = 50нКл, на другой — заряд Q2 = 150 нКл. Определить
напряженность Е электрическогр поля между пластинами.
14.25.	Две бесконечные параллельные пластины равномерно
заряжены с поверхностной плотностью о\ - 10 нКл/м2 и сг2 =
= —30нКл/м2. Определить силу взаимодействия между пласти¬
нами, приходящуюся на площадь S, равную 1м2.
14.26.	Две круглые параллельные пластины радиусом Д = 10 см
находятся на малом (по сравнению с радиусом) расстоянии друг
от друга. Пластинам сообщили одинаковые по модулю, но проти¬
воположные по знаку заряды |Qx| = |Q2| = Q- Определить этот
заряд Q, если пластины притягиваются с силой F — 2 • 10~3 Н.
Считать, что заряды распределяются по пластинам равномерно.
Напряженность поля заряда, распределенного по объему
14.27.	Эбонитовый сплошной шар радиусом R = 5 см несет
заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью р =
= 10нКл/м3. Определить напряженность Е и смещение D элек¬
трического поля в точках: 1) на расстоянии г\ — Зсм от центра
сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии г2 = 10 см от
центра сферы. Построить графики зависимостей Е(г) и D(r).
14.28.	Полый стеклянный шар несет равномерно распределен¬
ный по объему заряд. Его объемная плотность р — 100 нКл/м3.
Внутренний радиус R\ шара равен 5 см, наружный — Д2 = 10 см.
Вычислить напряженность Е и смещение D электрического поля
в точках, отстоящих от центра сферы на рас¬
стоянии: 1) Гх = Зсм; 2) Г2 = 6см; 3) гз =
= 12 см. Построить графики зависимостей
Е(г) и D(r).
14.29.	Длинный парафиновый цилиндр ра¬
диусом Д = 2 см несет заряд, равномерно
распределенный по объему с объемной плот¬
ностью р — 10 нКл/м3. Определить напря¬
женность Е и смещение D электрического
поля в точках, находящихся от оси цилин¬
дра на расстоянии: 1) гх = 1 см; 2) г2 = 3 см.
Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики
зависимостей Е(г) и D(r).
14.30.	Большая плоская пластина толщиной d = 1см несет
заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотно¬
стью р = 100нКл/м3. Найти напряженность Е электрического

§14. Напряженность электрического поля
225
поля вблизи центральной части пластины вне ее, на малом рас¬
стоянии от поверхности.
14.31.	Лист стекла толщиной d = 2 см равномерно заряжен
с объемной плотностью р = 1 мкКл/м3. Определить напряжен¬
ность Е и смещение D электрического поля в точках А, В, С
(рис. 14.11). Построить график зависимости Е(х) (ось х перпен¬
дикулярна поверхности стекла).
Метод зеркальных изображений
14.32.	На расстоянии а = 5 см от бесконечной проводящей
плоскости находится точечный заряд Q = 1 нКл. Определить силу
F, действующую на заряд со стороны заряда, индуцированного им
на плоскости.
14.33.	На расстоянии а — 10 см от бесконечной проводящей
плоскости находится точечный заряд Q = 20 нКл. Вычислить на¬
пряженность Е электрического поля в точке, удаленной от плос¬
кости на расстояние а и от заряда Q на расстояние 2а.
14.34.	Точечный заряд Q = 40нКл находится на расстоянии
а = 30 см от бесконечной проводящей плоскости. Какова напря¬
женность Е электрического поля в точке А (рис. 14.12)?
Ас
1
1
1
2 а
1
Qf)—
1
| ,
а
7777777A^7ZV7777>
I
I
/
/
/сН*
От
Рис. 14.12
Рис. 4.13
14.35.	Большая металлическая пластина расположена в верти¬
кальной плоскости и соединена с землей (рис. 14.13). На расстоя¬
нии а = 10 см от пластины находится неподвижная точка, к кото¬
рой на нити длиной I = 12 см подвешен маленький шарик массой
тп = 0,1 г. При сообщении шарику заряда Q он притянулся к пла¬
стине, в результате чего нить отклонилась от вертикали на угол
а = 30°. Найти заряд Q шарика.
Сила, действующая на заряд в электрическом поле
14.36.	Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине
заряд с линейной плотностью т = 2 мкКл/м. Вблизи средней ча¬
сти нити на расстоянии г = 1 см, малом по сравнению с ее длиной,
находится точечный заряд (2 = 0,1мкКл. Определить силу F, дей¬
ствующую на заряд.

226
Гл.З. Электростатика
14.37.	Большая металлическая пластина несет равномерно рас¬
пределенный по поверхности заряд (сг — 10нКл/м2). На малом
расстоянии от пластины находится точечный заряд Q = 100 нКл.
Найти силу F, действующую на заряд.
14.38.	Точечный заряд Q — 1 мкКл находится вблизи боль¬
шой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вы¬
числить поверхностную плотность а заряда пластины, если на
точечный заряд действует сила F — 0,06 Н.
14.39.	Менаду пластинами плоского конденсатора находится то¬
чечный заряд Q — ЗОнКл. Поле конденсатора действует на заряд
с силой F\ — 10-2 Н. Определить силу F2 взаимного притяжения
пластин, если площадь S каждой пластины равна 100 см2.
14.40.	Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, рав¬
номерно распределенный по площади с поверхностной плотностью
о — 20нКл/м2, расположена тонкая нить с равномерно распреде¬
ленным по длине зарядом (т = 0,4нКл/м). Определить силу F,
действующую на отрезок нити длиной I = 1м.
14.41.	Две одинаковые круглые пластины площадью по S =
= 100 см2 каждая расположены параллельно друг другу. Заряд Qi
одной пластины равен +100нКл, другой Q2 = —100 нКл. Опреде¬
лить силу F взаимного притяжения пластин в двух случаях, когда
расстояние между ними: 1) т\ = 2 см; 2) Г2 = 10 м.
14.42.	Плоский конденсатор состоит из двух пластин, разделен¬
ных стеклом. Какое давление р производят пластины на стекло
перед пробоем, если напряженность Е электрического поля перед
пробоем равна ЗОМВ/м?
14.43.	Две параллельные, бесконечно длинные прямые нити
несут заряд, равномерно распределенный по длине с линейными
плотностями ti = 100 нКл/м и Т2 = 200 нКл/м. Определить силу
F взаимодействия, приходящуюся на отрезок нити длиной 1 м.
Расстояние г между нитями равно 10 см.
14.44.	Прямая бесконечная тонкая нить несет равномерно рас¬
пределенный по длине заряд (т^ = 1 мкКл/м). В плоскости, где
находится нить, перпендикулярно нити расположен тонкий стер¬
жень длиной I. Ближайший к нити конец стержня находится на
расстоянии I от нее. Определить силу F, действующую на стер¬
жень, если он заряжен с линейной плотностью = 0,1 мкКл/м.
14.45.	Металлический шар имеет заряд Q\ = 100 нКл. На рас¬
стоянии, равном радиусу шара, от его поверхности находится
конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равно¬
мерно распределенный по длине заряд Q2 = ЮнКл. Длина нити
равна радиусу шара. Определить силу F, действующую на нить,
если радиус R шара равен 10 см.
14.46.	Соосно с бесконечной прямой равномерно заряженной
линией (ri = 500 нКл/м) расположено полукольцо с равномерно

§ 14. Напряженность электрического поля
227
распределенным зарядом (тг = 20нКл/м). Определить силу F
взаимодействия нити с полукольцом.
14.47.	Бесконечная прямая нить несет равномерно распреде¬
ленный заряд с линейной плотностью т\ = 103 нКл/м. Соосно с
нитью расположено тонкое кольцо, заряженное равномерно с ли¬
нейной плотностью Тг = 10 нКл/м. Определить силу F, растягива¬
ющую кольцо. Взаимодействием между отдельными элементами
кольца пренебречь.
14.48.	Две бесконечно длинные равномерно заряженные тонкие
нити (tj = Т2 = т = 1 мкКл/м) скрещены под прямым углом друг
к другу. Определить силу F их взаимодействия.
Поток напряженности и поток электрического смещения
14.49.	Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распре¬
деленный с поверхностной плотностью о — 1 мкКл/м2. На неко¬
тором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг
радиусом г = 10 см. Вычислить поток Фв вектора напряженности
через этот круг.
14.50.	Плоская квадратная пластина со стороной длиной а,
равной 10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной
равномерно заряженной (гг = 1 мкКл/м2) плоскости. Плоскость
пластины составляет угол /3 = 30° с линиями поля. Найти поток
Ф электрического смещения через эту пластину.
14.51.	В центре сферы радиусом R — 20 см находится точечный
заряд Q = ЮнКл. Определить поток ФЕ вектора напряженности
через часть сферической поверхности площадью S — 20 см2.
14.52.	В вершине конуса с телесным углом fi = 0,5 ср нахо¬
дится точечный заряд Q = ЗОнКл. Вычислить поток Ф электри¬
ческого смещения через площадку, ограниченную линией пересе¬
чения поверхности конуса с любой другой поверхностью.
14.53.	Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины
а и b которых равны 3 и 2 см соответственно, находится на рассто¬
янии R = 1 м от точечного заряда Q — 1 мкКл. Площадка ориен¬
тирована так, что линии напряженности составляют угол а - 30°
с ее поверхностью. Найти поток ФЕ вектора напряженности через
площадку.
14.54.	Электрическое поле создано точечным зарядом Q =
= 100 нКл. Определить поток Ф электрического смещения через
круглую площадку радиусом R = 30 см. Заряд равноудален от кра¬
ев площадки и находится на расстоянии а = 40 см от ее центра.
14.55.	Заряд Q = 1мкКл равноудален от краев круглой пло¬
щадки на расстояние г = 20 см. Радиус R площадки равен 12 см.
Определить среднее значение нормальной составляющей напря¬
женности (Еп) в пределах площадки.

228
Гл. 3. Электростатика
14.56.	Электрическое поле создано бесконечной прямой равно¬
мерно заряженной линией (т = 300нКл/м). Определить поток
Ф электрического смещения через прямоугольную площадку, две
большие стороны которой параллельны заряженной линии и оди¬
наково удалены от нее на расстояние г = 20 см. Стороны пло¬
щадки имеют размеры a = 20 см, b = 40 см.
14.57*. По тонкому стержню длиной I = 20 см равномерно рас¬
пределен заряд Q = 50нКл. Определить в точке А (рис. 14.14)
напряженность Е электрического поля по модулю и направлению
(угол (5 с осью Ох).
14.58*. Бесконечный тонкий стержень несет равномерно рас¬
пределенный заряд с линейной плотностью т = 0,2 мкКл/м. Стер¬
жень согнут под прямым углом. Определить в точке А (рис. 14.15)
напряженность Е электрического поля по модулю и направлению
(угол /3 с осью Ох)] расстояние тр = 15 см.
14.59*. Треть тонкого кольца радиуса R = 10 см несет равно¬
мерно распределенный заряд Q = 50нКл. Определить в точке О,
совпадающей с центром кольца (рис. 14.16):
1)	напряженность Е электрического поля;
2)	силу F, действующую на точечный заряд q = 2 нКл.
14.60*. По поверхности плоского полукольца, радиусами R и
2R, равномерно распределен заряд Q = 20нКл (рис. 14.17). Ра¬
диус R = 10 см. Определить в точке О, совпадающей с центром
кольца, напряженность Е электрического поля.
14.61*. По поверхности кольцевого сектора равномерно рас¬
пределен заряд с поверхностной плотностью о = 0,15 мкКл/м2
(рис. 14.18). Определить в точке О, совпадающей с центром круга,
напряженность Е электрического поля. Угол в = д/З.
14.62*. В бесконечной плоскости, несущей равномерно распре¬
деленный заряд с поверхностной плотностью и = 40нКл/м2, сде¬
лан вырез в виде круга, который удален из плоскости (рис. 14.19).
Определить в точке А, лежащей на оси круга напряженность Е
электрического поля.
14.63*. По поверхности сферического сегмента равномерно
распределен заряд с поверхностной плотностью a = 60 нКл/м2
(рис. 14.20). Определить в точке О, совпадающей с центром сферы:
1)	напряженность Е электрического поля;
2)	силу F, действующую на точечный заряд q — 20нКл. Угол
в = тг/4.
14.64*. Половина шара радиуса R = 10 см несет равномерно
распределенный по объему заряд с объемной плотностью р =
= 6мкКл/м3 (рис. 14.21). Определить в точке О, совпадающей с
центром шара, напряженность Е электрического поля.

§ 14. Напряженность электрического поля
229
Рис. 14.15
О
Рис. 14.16
Рис. 14.17
Рис. 14.21

230
Гл. 3. Электростатика
14.65*. По объему сферической чаши радиусами R и 2R равно¬
мерно распределен заряд с объемной плотностью р = 10 мкКл/м3
(рис. 14.22). Радиус R = 6см. Определить в точке О, совпадаю¬
щей с центром сфер, напряженность Е электрического поля.
14.66*. Шаровой сектор радиуса Я = 10 см равномерно заряжен
с объемной плотностью р — 4мкКл/м3 (рис. 14.23). Определить
в точке О, совпадающей с центром шара: 1) напряженность Е
электрического поля; 2) силу F, действующую на точечный заряд
q = 8нКл. Угол в = 7г/6.
14.67*. На двух концентрических сферах радиусами R и 2R
равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями
—2сг и о (а = 0,1 мкКл/м2) (рис. 14.24). 1. Используя теорему
Остроградского Гаусса, найти выражение для напряженности Е
электрического поля в трех областях (I, И, III). 2. Вычислить на¬
пряженность Еа в точке А, удаленной от центра сфер на рассто¬
яние г = 3Я, и указать направление вектора Ел. 3. Построить
график Е(г).
Z
Рис. 14.22
Рис. 4.23
Рис. 14.24
Рис. 14.25

§ 14. Напряженность электрического поля
231
14.68*. На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиу¬
сами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными
плотностями а и — о (о = 60нКл/м2) (рис. 14.25).
1.	Используя теорему Остроградского Гаусса, найти выраже¬
ние для напряженности Е электрического поля в трех областях
(I, и, ш).
2.	Вычислить напряженность ЕА в точке А, удаленной от оси
цилиндров на расстояние г = 3R, и указать направление век¬
тора Е„.
3.	Построить график Е(г).
14.69*. На двух бесконечных параллельных плоскостях равно¬
мерно распределены заряды с поверхностными плотностями —4о
и 2сг (<т = 40нКл/м2) (рис. 14.26).
1.	Используя теорему Остроградского Гаусса и принцип супер¬
позиции электрических полей, найти выражение для напряженно¬
сти Е поля в трех областях (I, II, III).
2.	Вычислить напряженность ЕА поля в точке А и указать
направление вектора Е„.
3.	Построить график Е(х).
А
Рис. 14.26	Рис. 14.27
14.70*. В шаре радиуса 2R, несущем равномерно распределен¬
ный заряд с объемной плотностью р = 10мкКл/м3, сделан сфери¬
ческий вырез радиусом R (рис. 14.27). Используя теорему Остро¬
градского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей,
найти напряженность Е поля в точках О, А и В. Радиус R ~
= 10 см.
14.71*. В бесконечном цилиндре радиуса 2R, несущем равно¬
мерно распределенный заряд с объемной плотностью р = 6 мкКл/м3,
сделан продольный цилиндрический вырез радиусом R (рис. 14.28).
Используя теорему Остроградского Гаусса и принцип суперпози¬
ции электрических полей, найти напряженность Е поля в точках
О, А и В. Радиус R = 10 см.

232
Гл. 3. Электростатика
14.72*. В шаре радиуса 2Я, несущем равномерно распределен¬
ный заряд с объемной плотностью р — 8мкКл/м3, сделаны два
сферических выреза радиусом R (рис. 14.29). Используя теорему
Остроградского Гаусса и принцип суперпозиции полей, найти на¬
пряженность Е поля в точках ()\ и А. Радиус R = 10 см.
Рис. 4.29
14.73*. В бесконечном цилиндре радиусом 2R, несущем равно¬
мерно распределенный заряд с объемной плотностью р = 6 мкКл/м3,
сделаны два продольных цилиндрических выреза радиусом R
(рис. 14.30). Используя теорему Остроградского-Гаусса и прин¬
цип суперпозиции полей, найти напряженность Е поля в точках
0\ и А. Радиус R = 10 см.
14.74*. Две бесконечные пластины толщиной d и 3d (d = 1см)
расположены параллельно друг другу на расстоянии равном d. На
пластинах равномерно распределены заряды с объемными плотно¬
стями —р и р (р — 20мкКл/м3) (рис. 14.31). 1. Используя теорему
Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических по¬
лей, найти выражения для напряженности Е(х) электрического

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 233
поля в пяти областях (I, II, III, IV, V). 2. Вычислить напряжен¬
ность Еа поля в точке А с координатой х = 3d. 3. Построить
график Е(х) в единицах pdjeо-
Рис. 14.31	Рис. 4.32
I
14.75*. Две бесконечные пластины толщиной d и 3d (d = 1см)
расположены параллельно друг другу на расстоянии равном d. На
пластинах равномерно распределены заряды с объемными плот¬
ностями 2р и -р (р = 20мкКл/м3) (рис. 14.32). 1. Используя
теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электри¬
ческих полей, найти выражения для напряженности Е(х) элек¬
трического поля в пяти областях (I, II, III, IV, V). 2. Вычислить
напряженность ЕА поля в точке А с координатой х = 3d. 3. По¬
строить график Е(х) в единицах pd/e0-
§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов.
Работа по перемещению заряда в поле
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Потенциал электростатического поля
П
где П — потенциальная энергия точечного заряда, помещенного в данную
точку поля, при условии, что его потенциальная энергия в бесконечности
принята равной нулю.
•	Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q
на расстоянии г от заряда,
Q
(Г) = 	.
47Г£о £Т ••	Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несу¬
щей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии т от центра сферы:

234
Гл. 3. Электростатика
внутри сферы (г < R)
Q
^ 4те0е R ’
на поверхности сферы (г = R)
Q
^	47Г£qER ’
вне сферы (г > R)
[Л — 	.
47ге0ет
Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах
е есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного ди¬
электрика, окружающего сферу.
• Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных
зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции элек¬
трических полей равен алгебраической сумме потенциалов tp\, <р2, ■■■
..ipn, создаваемых отдельными точечными зарядами Qi, Q2, ..., Qn:
П
Ч> - ^2v>i-
•	Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Qi, Q2,
Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить
при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается
формулой
г i=i
где ipi — потенциал поля, создаваемого всеми п — 1 зарядами (за ис¬
ключением г-го) в точке, где расположен заряд Qi.
•	Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотно¬
шением
Е = —gradyj.
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией,
эта связь выражается формулой
Е = -
d ip г
dr г’
или в скалярной форме
р- d<^
а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой
точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,
Е =
Ч> 1 — У2
d ’

§15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 235
где <р\ и <^2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей;
d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической сило¬
вой линии.
•	Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точеч¬
ного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал ipiy в другую,
имеющую потенциал ip2,
А = Q(ip 1 — ip2), или A — Q J Etdl,
L
где Ei — проекция вектора напряженности Е на направление перемеще¬
ния; d I — перемещение.
В случае однородного поля последняя формула принимает вид
А = QEl cos а,
где I — перемещение; а — угол между направлениями вектора Е и
перемещения 1.
•	Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть вели¬
чина, численно равная работе по перемещению единичного точечного
положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выра¬
жается интегралом по замкнутому контуру <f Ei dl, где Ei проекция
вектора напряженности Е в данной точке контура на направление каса¬
тельной к контуру в той же точке.
В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженно¬
сти равна нулю:
jEtdl = 0.
i
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Положительные заряды Q\ = ЗмкКл и Q2 — 0,02мкКл
находятся в вакууме на расстоянии ri = 1,5 м друг от друга. Определить
работу А', которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстоя¬
ния г2 — 1 м.
Решение. Положим, что первый заряд Q\ остается неподвижным,
а второй Qi под действием внешних сил перемещается в поле, сиЗпанном
зарядом Qx, приближаясь к нему с расстояния гх = 1,5м до г2 = 1м.
Работа А! внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки
поля с потенциалом ipx в другую, потенциал которой <р2, равна по модулю
и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда
между теми же точками:
А' = -А.
Работа А сил поля по перемещению заряда А = Q(<px — Тогда
работа А' внешних сил может быть записана в виде
А! - -Q(v> 1 ~ ^2) = Q{<P2 ~ <pi)-
(1)

236
Гл.З. Электростатика
Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами
Q1	Q1
ч>\ = 	;	<р2 = 	•
4тг£0Г1	4лЕ0Г2
Подставляя выражения уч и ip2 в формулу (1) и учитывая, что для
данного случая переносимый заряд Q = Q2, получим
Если учесть, что 1/(47ге0) = 9 • 109 м/Ф, то после подстановки зна¬
чений величин в формулу (2) и вычисления найдем
А! = 180 мкДж.
Пример 2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q =
— ЮнКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя раз¬
ноименно заряженными с поверхностной плотностью о = 0,4 мкКл/м2
бесконечными параллельными плоскостями, расстояние I между кото¬
рыми равно Зсм.
Решение. Возможны два способа решения задачи.
1-	й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1
поля с потенциалом уч в точку 2 поля с потенциалом <р2 найдем по фор¬
муле
А - Q(ipi - (р2).	(3)
Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти
точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут
плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бес¬
конечными параллельными плоскостями од¬
нородно. Для такого поля справедливо соот¬
ношение
Ч>\ ~ Ч>2 — Е1,	(4)
где Е — напряженность поля; I — рассто¬
яние между эквипотенциальными поверхно¬
стями.
Напряженность поля между параллель¬
ными бесконечными разноименно заряжен¬
ными плоскостями Е = o/eq. Подставив это выражение Е в формулу
(4) и затем выражение уч — уч в формулу (3), получим
А = Q—1.
£о
2-	й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд
Q, при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда
из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле
А = FAr cos а,
+ СГ
1
п	1	*>
-о
Рис. 15.1
(5)

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов	237
где F — сила, действующая на заряд; Дг — модуль перемещения заряда
Q из точки 1 в точку 2\ a — угол между направлениями перемещения и
силы. Но F = QE = Q —. Подставив это выражение F в равенство (5),
£о
а также заметив, что Дг cos а = I, получим
А = Q—1.	(6)
£о
Таким образом, оба решения приводят к одному и тому же результату.
Подставив в выражение (6) значения величин Q, о, е0 и I, найдем
А = 13,6 мкДж.
Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом
R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м.
Определить напряженность Е и потенциал
tp электрического поля, создаваемого таким
распределенным зарядом в точке О, совпа¬
дающей с центром кривизны дуги. Длина
I нити составляет 1/3 длины окружности и
равна 15 см.
Решение. Выберем оси координат так,
чтобы начало координат совпадало с цен¬
тром кривизны дуги, а ось у была симме¬
трично расположена относительно концов
дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент
длины di. Заряд dQ = г di, находящийся
на выделенном участке, можно считать то¬
чечным.
Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого
найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:
jt-, _ rdi г
dE~ 4тге0г2г’
где г — радиус-вектор, направленный от элемента di к точке, напряжен¬
ность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проекции dЕх
и d-Ej, на оси координат
Рис. 15.2
dE = id Ех + jdEj,,
где i и j — единичные векторы направлений (орты).
Напряженность Е найдем интегрированием:
Е
= J dE — ij dEx + j J dEy.

238
Гл. 3. Электростатика
Интегрирование ведется вдоль дуги длины I. В силу симметрии интеграл
f dЕх равен нулю Тогда
I
Е =ifdEy,	(7)
I
т dl
где dEv — dЕ cos в —		 cos в. Так как г = R = const и dl = Rd6, то
У	AttEq 'г
d Щ
tR d0
47Г£о R2
cos в —
т
AtteoR
cos в d$.
Подставим найденное выражение dЕу в (7) и, приняв во внимание сим¬
метричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегриро¬
вания возьмем от 0 до д/З, а результат удвоим
Е = j
2т
AttEoR
тг/З
/
cos в d# = j
2we0R
sin 0
7Г/3
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3/ = 2ttR),
получим
Е=^'
Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным на¬
правлением оси Оу. Подставив значение т и I в последнюю формулу и
сделав вычисления, найдем
Е = 2,18 кВ/м.
Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сна¬
чала потенциал dip, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О:
d у> =
rdl
47Г£Го г '
Заменим г на R и произведем интегрирование:
у? = —т—= [ dl =
A-keqR j
tI
AtteqR
Так как I = 2irR/3, то
т
Произведя вычисления по этой формуле, получим
V? = 188 В.

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 239
Пример 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром ра¬
диусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью т =
= 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля,
находящихся на расстояниях щ = 0,5 см и «2 = 2 см от поверхности
цилиндра, в средней его части.
Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся
соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала
Е = — grad ух Для поля с осевой симметрией, каким является поле ци¬
линдра, это соотношение можно записать в виде
d tp
Е = ——, или d<^ = — Ear.
dr
Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов
двух точек, отстоящих на г\ и г? от оси цилиндра:
Г2
Г1
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то
для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой
т
Е = —	. Подставив это выражение Е в равенство (8), получим
27Г£'оГ
г2
Т Г dr	Т	Го	Г	Го
<Р2-<Р1 = —ТГ— — =		1п —> или <Р1 - ч>2 = г— In —. (9)
27ге0 J г	27ге0 ri	27ге0 гг
Г1
Так как величины г? и г\ входят в формулу в виде отношения, то их
можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:
Г\ = R + ai = 1,5 см; гг = -R + иг = 3 см.
Подставив значения величин г, ео, ri и Г2 в формулу (9) и вычислив,
найдем
— V>2 = 250 В.
Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим
равномерно распределенный по длине заряд т = 0,1 мкКл/м. Определить
потенциал поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние,
равное длине стержня.
Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точеч¬
ным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала
формулу
Q
^	4тг£0г ’
справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если разбить
стержень на элементарные отрезки dl, то заряд rdl, находящийся на

240
Гл. 3. Электростатика
каждом из них, можно рассматривать как точечный и тогда формула
(10) будет справедлива. Применив эту формулу, получим
dy? =
rdl
47Г£0Г ’
(П)
где г — расстояние от точки, в которой определяется потенциал, до эле¬
мента стержня.
Из рис. 15.3 следует, что dl = 	. Подставив это выражение dl в
cos а
формулу (11), найдем
,	rda
d(p= 		.
47Г£о cos a
Интегрируя полученное выражение в пределах от а! до аг, получим
потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным на стержне:
Ч>
02 02
/т da	т Г da
47Г£о cos а 47Г£о J cos a
В силу симметрии расположения точки А относительно концов стержня
имеем «2 = c*i и поэтому
/
da
cos a
«I
= 2
/
da
cos a
4> =
2 т
47T£o
I
da
cos a
Следовательно.

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 241
Так как
(см. табл. 2), то
Г da ,
ra
7Г \
/ -Intg
+ t)
J cos a
о
^ 2
4/
V> =
2т
47Г£о
. /а тгч i^/6
lnt6(2+l)lo •
Подставляя пределы интегрирования, получим
2т /, 7Г	7Г \ 2т , 7Г
(lntg--lntgi) = —tatg-.
v> =
47Г£0 V ° 3	°4/	47Г£о
Сделав вычисления по этой формуле, найдем
if = 990 В.
Пример 6. Электрон со скоростью v = 1,83 ■ 106м/с влетел в од¬
нородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору
напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти
электрон, чтобы обладать энергией Ei = 13,6 эВ5)? (Обладая такой энер¬
гией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать
его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)
Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов
U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической
энергией Т, которой обладал электрон перед вхождением в поле, соста¬
вила энергию, равную энергии ионизации Ei, т.е. W + Т = Ei. Выразив
TTIV^	TTIV^
в этой формуле W = eU иТ = - -	, получим eU Н—— = Ei. Отсюда
и =
2Ei — mv2
2e '
Произведем вычисления в единицах СИ:
U =4,15 В.
Пример 7. Определить начальную скорость vo сближения прото¬
нов, находящихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если
минимальное расстояние rmin, на которое они могут сблизиться, равно
10-11 см.
Решение. Между двумя протонами действуют силы отталкивания,
вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу
можно решить как в инерциальной системе координат (связанной с цен¬
тром масс двух протонов), так и в неинерциальной (связанной с одним
из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае законы Ньютона
5) Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая
элементарный заряд (заряд электрона), прошедшая разность потенциалов 1 В.
17 Зак. 237

242
Гл. 3. Электростатика
не имеют места. Применение же принципа Даламбера затруднительно
из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно
рассмотреть задачу в инерциальной системе отсчета.
Поместим начало координат в центр масс двух протонов. Поскольку
мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет нахо¬
диться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. От¬
носительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени
одинаковые по модулю скорости. Когда частицы находятся на доста¬
точно большом расстоянии друг от друга, скорость v, каждой частицы
равна половине Vo, т.е. v\ = Vo/2.
Для решения задачи применим закон сохранения энергии, согласно
которому полная механическая энергия Е изолированной системы по¬
стоянна, т. е.
Е = Т + П,
где Т — сумма кинетических энергий обоих протонов относительно цен¬
тра масс; П — потенциальная энергия системы зарядов.
Выразим потенциальную энергию в начальный Пг и конечный Пг
моменты движения.
В начальный момент, согласно условию задачи, протоны находились
на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно прене¬
бречь (П1 = 0). Следовательно, для начального момента полная энергия
будет равна кинетической энергии Т\ протонов, т. е.
Е = Ть	(12)
В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, ско¬
рость и кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна
потенциальной энергии Пг, т.е.
Е = П2.	(13)
Приравняв правые части равенств (12) и (13), получим
Тг = П2.	(14)
Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий протонов:
Тг =
mv.
+
mv.
= mv, =
mv q
(15)
Потенциальная энергия системы двух зарядов Q, и <Эг> находящихся
,	rT Q1Q2
в вакууме, определяется по формуле П = -——, где г — расстояние
47Г£ог
между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, получим
П2 =
47Г£о^ш1п
С учетом равенств (15) и (16) формула (14) примет вид
(16)
mVr,
47Г£оГп
откуда vo —
^/tteqjhv mjn

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 243
Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем
п0 = 2,35 • 106 м/с.
Пример 8. Электрон без начальной скорости прошел разность по¬
тенциалов Uo = 10 кВ и влетел в пространство между пластинами плос¬
кого конденсатора, заряженного до разности потенциалов f/j = 100 В, по
линии АВ, параллельной пластинам (рис. 15.4). Расстояние d между
Катод
Э
Рис. 15.4
пластинами равно 2 см. Длина 1\ пластин конденсатора в направлении
полета электрона равна 20 см. Определить расстояние ВС на экране Р,
отстоящем от конденсатора на /2 = 1 м.
Решение. Движение электрона внутри конденсатора складывается
из двух движений: 1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоро¬
стью vo, приобретенной под действием разности потенциалов Uo, которую
электрон прошел до конденсатора; 2) равномерно ускоренного движения
в вертикальном направлении к положительно заряженной пластине под
действием постоянной силы поля конденсатора. По выходе из конденса¬
тора электрон будет двигаться равномерно со скоростью v, которую он
имел в точке М в момент вылета из конденсатора.
Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние \ВС\ — hi+hi, где hi —
расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении
во время движения в конденсаторе; Лг — расстояние между точкой D
на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конден¬
сатора по направлению начальной скорости vq, и точкой С, в которую
электрон попадет в действительности.
Выразим отдельно hi и /12.
Пользуясь формулой длины для пути равномерно ускоренного дви¬
жения, найдем
hi
(17)
где а — ускорение, полученное электроном под действием поля конден¬
сатора; t — время полета электрона внутри конденсатора.
По второму закону Ньютона а = F/m, где F — сила, с которой поле
действует на электрон; m — его масса. В свою очередь, F = еЕ = eUi/d,
где е — заряд электрона; Ui — разность потенциалов между пластинами
конденсатора; d — расстояние между ними.
17*

244
Гл. 3- Электростатика
Время полета электрона внутри конденсатора найдем из формулы
пути равномерного движения li = wot, откуда
где li — длина конденсатора. Выражение скорости ио найдем из условия
равенства работы, совершенной полем при перемещении электрона, и
приобретенной им кинетической энергии: thvq/2 = eUo■ Отсюда
2eU0
тп
(18)
Подставляя в формулу (17) последовательно значения a, F,t и v$ из
соответствующих выражений, получим
hi —
Uilj
4 effV
Длину отрезка /i2 найдем из подобия треугольников MDC и вектор¬
ного:
/l2 =
vih
J
V
(19)
где vi — скорость электрона в вертикальном направлении в точке М;
h — расстояние от конденсатора до экрана.
Скорость Wi найдем по формуле wi = at, которая с учетом выражений
для a, F и t примет вид
_ et/i/i
Vl dmvo
Подставив выражение V\ в формулу (19), получим /г2 =
заменив v$ по формуле (18), найдем
eI/1/1/2
dmvQ
, или,
. _Uihh
Ы	2 dU0 ‘
Окончательно для искомого расстояния \ВС\ будем иметь
|БС7| — h\ + /12 —
Uil\	Vihl 2
4dU0 + 2dU0
Подставив значения величин U\, Uo, d, /j и /2 в последнее выражение
и произведя вычисления, получим
\ВС\ = 5,5 см.

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов	245
ЗАДАЧИ
Потенциальная энергия и потенциал поля точечных зарядов
15.1.	Точечный заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой точке
поля, обладает потенциальной энергией П = ЮмкДж. Найти по¬
тенциал ip этой точки ПОЛЯ.
15.2.	При перемещении заряда Q = 20нКл между двумя точ¬
ками поля внешними силами была совершена работа А = 4 мкДж.
Определить работу А\ сил поля и разность Atp потенциалов этих
точек поля.
15.3.	Электрическое поле создано точечным положительным за¬
рядом Qi = 6 нКл. Положительный заряд <5г переносится из точки
А этого поля в точку В (рис. 15.5). Каково изменение потенциаль¬
ной энергии ДП, приходящееся на единицу переносимого заряда,
если ri = 20 см и гг — 50 см?
~оВ
Рис. 15.5
Рис. 15.6
15.4.	Электрическое поле создано точечным зарядом Qx =
= 50нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу
А внешних сил по перемещению точечного заряда Q2 = —2нКл
из точки С в точку В (рис. 15.6), если гх = 10 см, — 20 см.
Определить также изменение АП потенциальной энергии системы
зарядов.
15.5.	Поле создано точечным зарядом Q = 1 нКл. Определить
потенциал tp поля в точке, удаленной от заряда на расстояние г =
= 20 см.
15.6.	Определить потенциал ip электрического поля в точке,
удаленной от зарядов Q\ = —0,2мкКл и Q2 = 0,5мкКл соответ¬
ственно на гх = 15 см и гг = 25 см. Определить также минималь¬
ное и максимальное расстояния между зарядами, при которых
возможно решение.
15.7.	Заряды Qx = 1 мкКл и Q2 = — 1мкКл находятся на рас¬
стоянии d = 10 см. Определить напряженность Е и потенциал ip
поля в точке, удаленной на расстояние г = 10 см от первого заряда
и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпенди¬
кулярно направлению от Qx к Q2.
15.8.	Вычислить потенциальную энергию П системы двух то¬
чечных зарядов Qx = 100нКл и Q2 = ЮнКл, находящихся на
расстоянии d = 10 см друг от друга.

246
Гл. 3. Электростатика
15.9.	Найти потенциальную энергию П системы трех точечных
зарядов Q1 = ЮнКл, Q2 = 20нКл и Q3 = —ЗОнКл, расположен¬
ных в вершинах равностороннего треугольника со стороной дли¬
ной а = 10 см.
15.10.	Какова потенциальная энергия П системы четырех оди¬
наковых точечных зарядов Q — ЮнКл, расположенных в верши¬
нах квадрата со стороной длиной a = 10 см?
15.11.	Определить потенциальную энергию П системы четырех
точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со сторо¬
ной длиной a = 10см. Заряды одинаковы по модулю Q = ЮнКл,
но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая
расположения зарядов.
15.12.	Поле создано двумя точечными зарядами +2Q и —Q, на¬
ходящимися на расстоянии d — 12 см друг от друга. Определить
геометрическое место точек на плоскости,
для которых потенциал равен нулю (напи¬
сать уравнение линии нулевого потенци¬
ала).
15.13.	Система состоит из трех заря¬
дов — двух одинаковых по величине Q i =
= IQ2I = Ю3нКл и противоположных по
знаку и заряда Q — 20нКл, расположен¬
ного в точке 1 посередине между двумя дру¬
гими зарядами системы (рис. 15.7). Определить изменение потен¬
циальной энергии АП системы при переносе заряда Q из точки
1 в точку 2. Эти точки удалены от отрицательного заряда Q2 на
расстояние a = 0,2 м.
2Г~1
I
I а
Q	QA
	/С	-£>
a
п
Рис. 15.7
Потенциал поля линейно распределенных зарядов
15.14.	По тонкому кольцу радиусом Д = 10 см равномерно рас¬
пределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Опреде¬
лить потенциал уз в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии
а = 5 см от центра.
15.15.	На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас¬
пределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Вычислить
потенциал уз, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной
на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на
расстояние, равное длине этого отрезка.
15.16.	Тонкий стержень длиной I = 10 см несет равномерно
распределенный заряд <5 = 1 нКл. Определить потенциал уз элек¬
трического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии
а = 20 см от ближайшего его конца.
15.17.	Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной а.
Стержни заряжены с линейной плотностью т = 1,33 нКл/м. Найти
потенциал уз в центре квадрата.

§15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 247
15.18.	Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равно¬
мерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотно¬
стью т = 0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов Ду? двух
точек поля, удаленных от нити на н = 2 см и = 4 см.
Потенциал поля зарядов, распределенных по поверхности
15.19.	Тонкая круглая пластина несет равномерно распределен¬
ный по плоскости заряд Q = 1 нКл. Радиус R пластины равен
5 см. Определить потенциал у> электрического поля в двух точках:
1)	в центре пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендику¬
лярной плоскости пластины и отстоящей от центра пластины на
о = 5 см.
15.20.	Имеются две концентрические металлические сферы ра¬
диусами Ri = Зсм и Й2 = 6см. Пространство между сферами
заполнено парафином. Заряд Qi внутренней сферы равен —1 нКл,
внешний Q2 = 2 нКл. Найти потенциал уз электрического поля на
расстоянии: 1) гх = 1см; 2) г? = 5 см; 3) гз = 9 см от центра сфер.
15.21.	Металлический шар радиусом R = 5 см несет заряд
Q = 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной d = 2 см. Вы¬
числить потенциал уз электрического поля на расстоянии: 1) гх =
= Зсм; 2) гг = 6см; 3) гз = 9см от центра шара. Построить
график зависимости уз(г).
15.22.	Металлический шар радиусом Дх = 10 см заряжен до по¬
тенциала узх = 300 В. Определить потенциал ip2 этого шара в двух
случаях: 1) после того, как его окружат сферической проводящей
оболочкой радиусом Дг = 15 см и на короткое время соединят с
ней проводником; 2) если его окружить сферической проводящей
заземленной оболочкой радиусом Дг = 15 см.
15.23.	Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости
с поверхностной плотностью а = 10нКл/м2. Определить разность
потенциалов Ду> двух точек поля, одна из которых находится на
плоскости, а другая удалена от плоскости на расстояние d = 10 см.
15.24.	Определить потенциал уз, до которого можно зарядить
уединенный металлический шар радиусом Д = 10 см, если напря¬
женность Е поля, при которой происходит пробой воздуха, равна
ЗМВ/м. Найти также максимальную поверхностную плотность а
электрических зарядов перед пробоем.
15.25.	Две бесконечные параллельные плоскости находятся
на расстоянии d — 0,5 см друг от друга. На плоскостях равно¬
мерно распределены заряды с поверхностными плотностями о\ —
= 0,2 мкКл/м2 и <72 = —0,3 мкКл/м2. Определить разность потен¬
циалов U между плоскостями.
15.26.	Две бесконечные параллельные плоскости находятся
на расстоянии d = 1 см друг от друга. Плоскости несут равномер¬
но распределенные по поверхностям заряды с плотностями о\ =

248
Гл.З. Электростатика
= 0,2 мкКл/м2 и 02 = 0,5мкКл/м2. Найти разность потенциалов
U пластин.
15.27.	Металлический шарик диаметром d = 2 см заряжен от¬
рицательно до потенциала (р = 150 В. Сколько электронов нахо¬
дится на поверхности шарика?
15.28.	Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенци¬
ала tp = 20 В, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал
ipi образовавшейся капли?
15.29.	Две круглые металлические пластины радиусом R =
= 10 см каждая, заряженные разноименно, расположены одна про¬
тив другой параллельно друг другу и притягиваются с силой F =
= 2 мН. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Определить
разность потенциалов U между пластинами.
15.30.	Электрическое поле создано бесконечно длинным равно¬
мерно заряженным (ст = 0,1 мкКл/м2) цилиндром радиусом R =
= 5 см. Определить изменение АП потенциальной энергии одно¬
зарядного положительного иона при перемещении его из точки 1
в точку 2 (рис. 15.8).
15.31.	Электрическое поле создано отрицательно заряженным
металлическим шаром. Определить работу А[ 2 внешних сил по
перемещению заряда Q = 40 нКл из точки 1 с потенциалом р>\ =
= — 300 В в точку 2 (рис. 15.9).
Потенциал поля зарядов, распределенных по объему
15.32.	Плоская стеклянная пластинка толщиной d = 2 см заря¬
жена равномерно с объемной плотностью р = 10мкКл/м3. Найти
разность потенциалов A ip между точкой, лежащей на поверхности
пластины, и точкой, холящейся внутри пластины в ее середине.
Считать, что размеры пластины велики по сравнению с ее тол¬
щиной.
15.33.	Сплошной парафиновый шар радиусом Д = 10 см рав¬
номерно заряжен с объемной плотностью р = 1 мкКл/м3. Опре-

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 249
делить потенциал ip электрического поля в центре шара и на его
поверхности. Построить график зависимости ip(r).
15.34.	Эбонитовый толстостенный полый шар несет равномер¬
но распределенный по объему заряд с плотностью р = 2 мкКл/м3.
Внутренний радиус R\ шара равен Зсм, наружный i?2 = 6см.
Определить потенциал <р шара в следующих точках: 1) на на¬
ружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара;
3)	в центре шара.
Градиент потенциала и его связь с напряженностью поля
15.35.	Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверх¬
ностной плотностью ст = 4 нКл/м2. Определить значение и на¬
правление градиента потенциала электрического поля, созданного
этой плоскостью.
15.36.	Напряженность Е однородного электрического поля в
некоторой точке равна 600 В/м. Вычислить разность потенциалов
U между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей
угол а = 60° с направлением вектора напряженности. Расстояние
Дг между точками равно 2 мм.
15.37.	Напряженность Е однородного электрического поля рав¬
на 120 В/м. Определить разность потенциалов U между этой точ¬
кой и другой, лежащей на той же силовой линии и отстоящей от
первой на Дг = 1 мм.
15.38.	Электрическое поле создано положительным точечным
зарядом. Потенциал поля в точке, удаленной от заряда на г =
= 12 см, равен 24 В. Определить значение и направление гради¬
ента потенциала в этой точке.
15.39.	Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно рас¬
пределенный по длине нити заряд с плотностью т = 1 нКл/м.
Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние г =
= 10 см от нити? Указать направление градиента потенциала.
15.40.	Сплошной шар из диэлектрика (е = 3) радиусом R =
= 10см заряжен с объемной плотностью р = 50нКл/м3. Напря¬
женность электрического поля внутри и на поверхности такого •
шара выражается формулой Е = —— г, где г — расстояние от цен-
Зеое
тра шара до точки, в которой вычисляется напряженность поля.
Вычислить разность потенциалов Д<р между центром шара и точ¬
ками, лежащими на его поверхности.
Работа по перемещению зарядов в поле
15.41.	Точечные заряды Qi = 1мкКл и Q2 — ОДмкКл нахо¬
дятся на расстоянии ri = 10 см друг от друга. Какую работу А
совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого,
удалится от него на расстояние: 1) гг — 10 м; 2) гз = оо?
16 За* 237

250
Гл. 3. Электростатика
15.42.	Электрическое поле создано двумя одинаковыми положи¬
тельными точечными зарядами Q. Найти работу сил поля
по перемещению заряда Q\ = ЮнКл из точки 1 с потенциалом
<р\ = 300В в точку 2 (рис. 15.10).
la
Q 1
/Тч
1 2
« Q
>1!? a fu—J
Рис. 15.10
Рис. 15.11
15.43.	Определить работу А\^ по перемещению заряда Q\ =
= 50нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.11) в поле, созданном двумя
точечными зарядами, модуль |Q| которых равен 1 мкКл и о =
— 0,1 м.
15.44.	Электрическое поле создано бесконечной равномерно
заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда
о = 2 мкКл/м2. В этом поле вдоль прямой, составляющей угол
a = 60° с плоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние I между
которыми равно 20 см (рис. 15.12), перемещается точечный элек¬
трический заряд Q = ЮнКл. Определить работу А сил поля по
перемещению заряда.
Рис. 15.12
Рис. 15.13
15.45.	На отрезке прямого провода равномерно распределен за¬
ряд с линейной плотностью т = Ю3 нКл/м. Определить работу А
сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл из точки В в точку
С (рис. 15.13).
15.46.	Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заря¬
жен с линейной плотностью т = 133 нКл/м. Какую работу А надо
совершить, чтобы перенести заряд Q = 6,7 нКл из центра полу¬
кольца в бесконечность?
15.47.	Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = Юсм.
Он заряжен с линейной плотностью т = 300 нКл/м. Какую работу

§15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 251
А надо совершить, чтобы перенести заряд Q = 5нКл из центра
кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии I =
= 20 см от центра его?
Рис. 15.14
Рис. 15.15
15.48.	Электрическое поле создано равномерно распределенным
по кольцу зарядом (т = 103 нКл/м). Определить работу сил
поля по перемещению заряда Q = ЮнКл
из точки 1 (в центре кольца) в точку 2, на¬
ходящуюся на перпендикуляре к плоскости
кольца (рис. 15.14).
15.49.	Определить работу А\2 сил поля
по перемещению заряда Q = 1 мкКл из
точки 1 в точку 2 поля, созданного заря¬
женным проводящим шаром (рис. 15.15).
Потенциал <р шара равен 1 кВ.	'
15.50.	Бесконечная прямая нить несет	рИс. 15.16
равномерно распределенный заряд (т =
= 100нКл/м). Определить работу Ai^z сил поля по перемещению
заряда Q = 50нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.16).
2a
Движение заряженных частиц в электрическом поле
15.51.	Электрон находится в однородном электрическом поле
напряженностью Е = 200кВ/м. Какой путь пройдет электрон за
время t = 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю?
Какой скоростью будет обладать электрон в конце этого интервала
времени?
15.52.	Какая ускоряющая разность потенциалов U требуется
для того, чтобы сообщить скорость п = 3- 107м/с: 1) электрону;
2)	протону?
15.53.	Разность потенциалов U между катодом и анодом элек¬
тронной лампы равна 90 В, расстояние г = 1 мм. С каким ускоре¬
нием а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость v
электрона в момент удара об анод? За какое время t электрон про¬
летает расстояние от катода до анода? Поле считать однородным.
16*

252
Гл. 3. Электростатика
15.54.	Пылинка массой тп = 10-12г, несущая на себе пять
электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов
U = ЗМВ. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую ско¬
рость v приобрела пылинка?
15.55.	Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность по¬
тенциалов U = 600 кВ, приобрела скорость v = 5,4- 106м/с. Опре¬
делить удельный заряд частицы (отношение заряда в массе).
15.56.	Протон, начальная скорость н которого равна 100 км/с,
влетел в однородное электрическое поле (Е = ЗООВ/см) так, что
вектор скорости совпал с направлением линий напряженности.
Какой путь I должен пройти протон в направлении линий поля,
чтобы его скорость удвоилась?
15.57.	Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверх¬
ностной плотностью о = 35,4 нКл/м2. По направлению силовой
линии поля, созданного плоскостью, летит электрон. Определить
минимальное расстояние Zm;n, на которое может подойти к плоско¬
сти электрон, если на расстоянии Iq = 5 см он имел кинетическую
энергию Т = 80 эВ.
15.58.	Электрон, летевший горизонтально со скоростью н =
= 1,6 ■ 106м/с, влетел в однородное электрическое поле с напря¬
женностью Е = 90 В/см, направленное вертикально вверх. Какова
будет по модулю и направлению скорость и электрона через 1 нс?
15.59.	Вдоль силовой линии однородного электрического поля
движется протон. В точке поля с потенциалом кр\ протон имел
скорость i>i = 105м/с. Определить потенциал <^2 точки поля, в
которой скорость протона возрастает в п — 2 раза. Отношение
заряда протона к его массе е/ш =
= 9,6- 107Кл/кг.
15.60.	В однородное электри¬
ческое поле напряженностью Е =
= 1 кВ/м влетает вдоль силовой
линии электрон со скоростью
но = 106м/с. Определить рассто¬
яние I, пройденное электроном до
точки, в которой его скорость Hi
будет равна половине начальной.
15.61.	Какой минимальной скоростью Hmin должен обладать
протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до по¬
тенциала </з — 400 В металлического шара (рис. 15.17)?
15.62.	Электрон движется вдоль силовой линии однородного
электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом (pi =
= 100 В электрон имел скорость hi = 6 ■ 106м/с. Определить
потенциал точки поля, в которой скорость нг электрона будет
равна Hi/2.
[Г У \
Vmin
** к
3 R
Рис. 15.17

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 253
15.63.	Из точки 1 на поверхности бесконечно длинного отрица¬
тельно заряженного цилиндра (т = 20 нКл/м) вылетает электрон
(vq = 0). Определить кинетическую энер¬
гию Т электрона в точке 2, находящейся
на расстоянии 9R от поверхности цилиндра,
где R — радиус цилиндрах (рис. 15.18).
15.64.	Электрон с начальной скоростью
Vo = 3-106 м/с влетел в однородное электри¬
ческое поле напряженностью Е — 150 В/м.
Вектор начальной скорости перпендикулярен
линиям напряженности электрического поля.
Найти: 1) силу F, действующую на электрон; 2) ускорение о, при¬
обретаемое электроном; 3) скорость v электрона через < = 0,1 мкс.
15.65.	Электрон влетел в пространство между пластинами
плоского конденсатора со скоростью v = 107м/с, направленной
параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон к по¬
ложительно заряжецной пластине за время движения внутри кон¬
денсатора (поле считать однородным), если расстояние d между
пластинами равно 16 мм, разность потенциалов U = 30 В и длина
I пластин равна 6 см?
15.66.	Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость
v = 107м/с, направленную параллельно пластинам. В момент вы¬
лета из конденсатора направление скорости электрона составляло
угол а = 35° с первоначальным направлением скорости. Опре¬
делить разность потенциалов U между пластинами (поле считать
однородным), если длина I пластин равна 10см и расстояние d
между ними равно 2 см.
15.67.	Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на
одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость v =
= 107м/с, направленную параллельно пластинам, расстояние d
между которыми равно 2 см. Длина I каждой пластины равна
10 см. Какую наименьшую разность потенциалов U нужно прило¬
жить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?
15.686). Протон сближается с а-частицей. Скорость цу про¬
тона в лабораторной системе отсчета на достаточно большом удале¬
нии от о-частицы равна 300 км/с, а скорость V2 о-частицы можно
принять равной нулю. Определить минимальное расстояние гт;п,
на которое подойдет протон к а-частице, и скорости щ и U2 обеих
частиц в этот момент. Заряд а-частицы равен двум элементарным
положительным зарядам, а массу тп\ ее можно считать в четыре
раза большей, чем масса тг протона.
6) Задачи 15.68; 15.70-15.72 следует решать в движущейся инерциальной си¬
стеме координат, начало отсчета которой находится в центре масс обеих частиц.

254
Гл. 3. Электростатика
15.69.	Положительно заряженная частица, заряд которой равен
элементарному заряду е, прошла ускоряющую разность потенциа¬
лов U = 60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен
трем элементарным зарядам. На какое наименьшее расстояние
rmin частица может приблизиться к ядру? Начальное расстояние
частицы от ядра можно считать практически бесконечно большим,
а массу частицы — пренебрежимо малой по сравнению с массой
ядра.
15.70.	Два электрона, находящиеся на большом расстоянии
друг от друга, сближаются с относительной начальной скоростью
v = 107м/с. Определить минимальное расстояние гт,п, на кото¬
рое они могут подойти друг к другу.
15.71.	Две одноименные заряженные частицы с зарядами Q\
и Q2 сближаются с большого расстояния. Векторы скоростей vj
и V2 частиц лежат на одной прямой. Определить минимальное
расстояние гт,п, на которое могут подойти друг к другу частицы,
если их массы соответственно равны тп\ и m2. Рассмотреть два
случая: 1) тпi = m2 и 2) шг тп\.
15.72.	Отношение масс двух заряженных частиц равно к =
=	Частицы находятся на расстоянии го друг от друга.
Какой кинетической энергией Т\ будет обладать частица массой
mi, если она под действием силы взаимо¬
действия со второй частицей удалится от
нее на расстояние г го- Рассмотреть
три случая: 1) к = 1; 2) к = 0; 3) к —>
—>■ оо. Заряды частиц принять равными
Q1 и Q2- Начальными скоростями частиц
пренебречь.
15.73*. На расстоянии I = 50 см от то¬
чечного заряда q = 20 нКл находится центр
проводящего шара радиуса R = 10 см. Оп¬
ределить потенциал шара, если на нем
распределен заряд Q = 6 нКл.
15.74*. Четыре электрона и протон рас¬
положены так, как это указано на рис. 15.19. Определить потен¬
циальную энергию П такой системы зарядов (в Дж и эВ). При
расчетах принять a = 0,3 нм.
15.75*. Три протона удерживаются в вершинах равносторон¬
него треугольника со стороной a = 10-15м. При освобождении
протонов от удерживающих их связей, они разлетаются под дей¬
ствием сил отталкивания. Определить скорости v протонов на
достаточно большом расстоянии I (/ 2> ч).
15.76*. Найти собственную потенциальную энергию П, которой
обладает проводящий шар радиуса R = 10 см, несущий распреде¬
ленный заряд с поверхностной плотностью a = 10нКл/см2.

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
255
15.77*. Металлический шар радиуса R = 5 см заряжен до по¬
тенциала ip = 1 кВ. Определить собственную электростатическую
потенциальную энергию П заряженного шара.
§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
•	Диполь есть система, состоящая из двух равных по модулю и про¬
тивоположных по знаку зарядов.' Вектор 1, проведенный от отрицатель¬
ного к положительному заряду, называется плечом диполя.
•	Электрический момент диполя
р = 10|1,
где |Q| — заряд диполя.
• Диполь называется точечным, если расстояние г от центра ди¬
поля до точки, в которой действие диполя рассматривается, много больше
плеча диполя I.
Напряженность поля точечного диполя:
а) на оси диполя
Е =
1 2р
или Е =
1	2р
47Г£0 ЕГ3 ’	47Г£о ЕГ3 ’
б) на перпендикуляре к оси диполя
1 Р	-	1 Р
Е = ~. з’
47Г£о ЕГ3
в) в общем случае
Е =
47Г£о ЕГ3 '
Е =
1	/3(Е)г	1 JLyrTw^,
47Г£о£ V Г Г Г3 /	4тг£о£ Г3
где в — угол между радиус-вектором г и электрическим дипольным мо¬
ментом р (рис. 16.1).
• Потенциал поля диполя
<Р =
Р
47Г£о£Г2
cos а.
• Потенциальная энергия диполя в электростатическом поле
П - —рЕ = —рЕ cos a.
• Механический момент, действующий на диполь с электрическим
моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряжен¬
ностью Е,
М = [рЕ], или М = pEsma,
где а — угол между направлениями векторов р и Е.

256
Гл.З. Электростатика
• Сила Fx, действующая на диполь в неоднородном электростатиче¬
ском поле, обладающем осевой (вдоль оси Ох) симметрией,
Fx
дЕ
= р—cosa,
ох
дЕ
где ——— величина, характеризующая степень неоднородности электро¬
да:
статического поля вдоль оси Ox; a — угол между векторами р и Е.
• Поляризованность (вектор поляризации) однородно поляризован¬
ного диэлектрика
Р =
ДЕ
N
£
1=1
Pi j
где — электрический дипольный момент отдельной (г-й) молекулы;
N — число молекул, содержащихся в объеме ДЕ.
• Связь поляризованности с напряженностью Е среднего макроско¬
пического поля в диэлектрике
Р = хеоЕ, или Р = (е — 1)е0Е,
где х — диэлектрическая восприимчивость; £о — электрическая посто¬
янная; £ — диэлектрическая проницаемость.
•	Напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике
связана с напряженностью Ео внешнего поля соотношениями
Е=— и Е = Ео-~.
£	£о
•	Напряженность Елок локального поля для неполярных жидкостей
и кристаллов кубической сингонии выражается формулами
Елок = Е + \- и Елок=—Е=е-±±Е0.
3 £о	£	3£
•	Индуцированный электрический момент молекулы
Р — оеоЕЛОК1
где a — поляризуемость молекулы (а = ае + аа, где ае — электронная
поляризуемость; aa — атомная поляризуемость).
•	Связь диэлектрической восприимчивости х с поляризуемостью мо¬
лекулы a
х 1
		 ■ -an,
х+3	3
где п — концентрация молекул.
•	Уравнение Клаузиуса Мосотти
£ — 1
£ + 2
1
—an, или
М £ — I
р £ + 2
где М — молярная масса вещества; р — плотность вещества.

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
257
• Формула Лоренц Лорентца
п2- 1
п2 + 2
Г*"*
или
Мп2 - 1
р п2 + 2
дОе-^А,
где п — показатель преломления диэлектрика; ае — электронная поля¬
ризуемость атома или молекулы.
• Ориентационная поляризуемость молекулы
С*ор —
Р2
3e0fcT’
гдер — электрический момент молекулы7); к — постоянная Больцмана;
Т — термодинамическая температура.
• Формула Дебая-Ланжевена
е - 1
7+2
1
3
Зе0 кТ )
п,
или
М £ - I
р £ + 2
1
3
Ага-
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Диполь с электрическим моментом р = 2нКл м нахо¬
дится в однородном электрическом поле напряженностью Е = ЗОкВ/м.
Вектор р составляет угол ао = 60° с направлением силовых линий поля.
Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя
на угол /3 = 30°.
Решение. Из исходного положения (рис. 16.2а) диполь можно по¬
вернуть на угол 0 = 30° = 7г/6 двумя способами: или по часовой стрелке
Рис. 16 2
до угла c*i = ао — 0 = д/З — 7г/6 = ж/6 (рис. 16.2б), или против часовой
стрелки до угла а2 = ао + 0 = 7г/3 + 7г/6 = эт/2 (рис. 16.2в).
В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил
поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во
втором случае поворот может быть произведен только под действием
внешних сил и, следовательно, работа внешних сил при этом положи¬
тельна.
7) Электрический дипольный момент молекулы принято выражать в единицах
атомного масштаба — дебай: 1 дебай (D) = 3,33 - 1СГ30 Кл • м.

258
Гл. 3. Электростатика
Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя
способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементар¬
ной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением
потенциальной энергии диполя в электрическом поле.
1-	й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол а
dA = М da = рЕ sin a da,
а полная работа при повороте на угол от ао до a
а	а
А = J pEsmada = рЕ J sin a da.
С*0	с*о
Произведя интегрирование, получим
А = —pE(cosa — cosa0) = pE(cosa0 - cos а).	(Г)
Габота внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке
Ai - pE(cosao — cosai) -- —21,9 мкДж,
против часовой стрелки
А2 = pE(cosao - cosa2) = 30 мкДж.
2-	й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потенци¬
альной энергии ДП соотношением
А = ДП = П2 — II i,
где П1 и П2 потенциальные энергии системы соответственно в началь¬
ном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в
электрическом поле выражается формулой П = —pEcosa, то
А = рЕ(cos ao — cos а),	(2)
что совпадает с формулой (1), полученной первым способом.
Пример 2. Три точечных заряда Q1, Q2 и Q2 образуют элек¬
трически нейтральную систему, причем Qi = Q2 — ЮнКл. Заряды
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить
максимальные значения напряженности Етах и потенциала <ртах поля,
создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии г = 1м от центра
треугольника, длина а стороны которого равна 10 см.
Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных за¬
рядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяже¬
сти» зарядов Qi vi Q2 лежит на середине отрезка прямой, соединяющей
эти заряды (рис. 16.3). В этой точке можно считать сосредоточенным
заряд Q = Qi + Q2 = 2Q\. А так как система зарядов нейтральная
(Qi + Q2 + <2з = 0), то
Qs — ~{Q 1 + Q 2) — ~ Q-

§ 16. Электрический диполь. Свойств а диэлектриков
259
Так как расстояние / между зарядами Q3 и Q, равными по значению,
много меньше расстояния г (/ <ЗС г) (рис. 16.4), то систему этих двух
зарядов можно считать диполем с электрическим моментом, равным
р = МЪ
где 1 — плечо диполя, равное по модулю ал/3/2 (см. рис. 16.3). Так как
|Q\ = 2Qi, то электрический момент такого точечного диполя
р = Qiov^3.
Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех
зарядов представим как два диполя с электрическими моментами pi и
Р2 (рис. 16.5), равными по модулю: р\ —
= Ipi| = (?io; Р2 = |р21 = (?20- Электричес¬
кий момент р системы зарядов найдем как
векторную сумму pt и рг, т. е. р = pi + р2.
Как это следует из рис. 16.5, имеем р —
= 2р\ cos(/3/2). Так как р\ = Qxa и /3 =
= 7г/3, ТО
л/3	г
р = 2Q\a— - QiaV3,
Рис. 16.5
что совпадает с найденным ранее значением.
Напряженность Е и потенциал <р поля диполя выражаются форму¬
лами
Р	/	 р
Е = 			 VI + 3 cos2 a; w = 		т cos а,
47Г£оГ3	47Г£оГ2
где а.— угол между векторами риг (см. рис. 16.1).
Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения
при а = 0; следовательно,
F - 2р ■
■С/тах — .	ч )
47Г£оГ3
V^raax —
Р
47Г£о Г
2 ’

260
Гл. 3. Электростатика
Так как р = <3iO\/3, то
-Ртах —
2Qia
V3;
47Г£оТ3 '	^max 47Г£()Г2
Вычисления дают следующие значения:
■Етах = 3,12 В/м; v?max = 1,56 В.
Пример 3. В атоме иода, находящемся на расстоянии г = 1нм
от а-частицы, индупирован электрический момент р = 1,5 ■ 10~32 Кл • м.
Определить поляризуемость а атома иода.
Решение. По определению поляризуемости, она может быть выра¬
жена по формуле
Qia
х/3.
a =
£(j l-Ч"
(3)
где р — индуцированный электрический момент атома; Елок — напря¬
женность локального поля, в котором этот атом находится.
В данном случае таким полем является поле, созданное а-частицей.
Напряженность этого поля определяется выражением
-Елок = Е =
2|е|
47Г£0Г2 ’
Подставив выражение Елок из равенства (4) в формулу (3), найдем
27ГГ2р
(4)
a —
И
Произведя вычисления по этой формуле, получим
а = 5,9 • 10'
-30 м3.
Пример 4. Криптон находится под давлением р = 10 МПа при тем¬
пературе Т = 200 К. Определить: 1) диэлектрическую проницаемость е
криптона; 2) его поляризованность Р, если напряженность Ео внешнего
электрического поля равна 1МВ/м. Поляризуемость а криптона равна
4,5 • 10_29м3.
Решение. 1. Для определения диэлектрической проницаемости
криптона воспользуемся уравнением Клаузиуса-Мосотти, записанным в
виде
£-1 1
		 = -ап,
£ + 2	3
где п — концентрация атомов криптона. Выразим из этой формулы
диэлектрическую проницаемость:
£ =
1 + (2/3)ап
1 — (1/3)ап’

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
261
Так как концентрация молекул (атомов) связана с давлением и темпера¬
турой соотношением n = р/(кТ), то
ЗкТ 4- 2ар
ЗкТ-ap '
Выразив все величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ
(а = 4,5 • 10~29 м3, р = 10 МПа = 107Па, к = 1,38 • ИГ23 Дж/К, Т =
= 200 К) и произведя вычисления, получим
е = 1,17.
2. По определению поляризованность
1 N
p=af£p..
i= 1
где -— электрический дипольный момент, индуцированный в г-м ато¬
ме; N — число атомов в объеме ДТ\ В однородном электрическом поле
все pi совпадают по модулю и направлению, поэтому геометрическую
сумму можно заменить на арифметическую. Обозначив |pi| = р, получим
AV’
Отношение числа N атомов к объему Д V есть концентрация тг атомов.
. Тогда
Р = пр.
Так как электрический дипольный момент атома пропорционален напря¬
женности ЕЛ0К локального поля (р = а£оЕлок), то поляризованность
Р — Ос£()Т1Елок.
Выразив Елок через напряженность Ео внешнего поля
=	^ EoJ и п через давление р и температуру Т (тг =
х 1027м~3), получим
Р = ае0 пЕо-
Подставим числовые значения и произведем вычисления (при
этом воспользуемся значением е = 1,17 найденным в п. 1 данного при¬
мера):
Р = 1,30 • 10_6 Кл/м2 = 1,30 мкКл/м2.
Пример 5. Жидкий бензол имеет плотность р = 899кг/м3 и по¬
казатель преломления п = 1,50. Определить: 1) электронную поляризу¬
емость ае молекул бензола; 2) диэлектрическую проницаемость е паров
бензола при нормальных условиях.
(елок —
= 3,6 х

262
Гл. 3. Электростатика
Решение. 1. Для определения электронной поляризуемости вос¬
пользуемся формулой Лоренц-Лорентца:
откуда
М п2 - 1
р п2 +2
3М(п* 2 - 1)
p7VA(n2 + 2)-
(5)
В полученное выражение входит молярная масса М бензола. Най¬
дем ее. Так как химическая формула бензола СбНе, то относительная
молекулярная масса Мт = 6 • 12 + 6 ■ 1 = 78. Следовательно, молярная
масса М — 78 • 10-3 кг/моль.
Подставим в формулу (5) числовые значения физических величин и
произведем вычисления:
3-78-10 3((1,50)2 — 1) кг/моль
899 • 6,02 • 1023 ((1,50)2 + 2) (кг/м3) • моль-1
2. Диэлектрическую пронипаемость паров бензола найдем, восполь¬
зовавшись уравнением Клаузиуса-Мосотти:
е-1	1
		 = -ап
е + 2	3
где п —- конпентрация молекул бензола.
Заметим, что молекулы бензола неполярны и поэтому обладают толь¬
ко двумя типами поляризации: электронной и атомной, — причем атом¬
ная поляризация мала и ею можно пренебречь, считая а « ае- Кроме
того, при нормальных условиях е мало отличается от единицы и при¬
ближенно можно считать е + 2 и 3. Учитывая эти соображения, формулу
(6) можно упростить:
£ — 1 s=s аеп,
откуда
£ = 1 + аеп.
При нормальных условиях концентрация п молекул известна и равна
числу Лошмидта (пл = 2,69-1019 см-3). Выразим концентрацию молекул
бензола в СИ (я = 2,69 • 1025м-3) и произведем вычисления:
£ = 1 + 1,27 • 10-28 • 2,69 -1025 = 1,00342.
ЗАДАЧИ
Напряженность и потенциал поля диполя.
Электрический момент диполя
16.1. Вычислить электрический момент р диполя, если его за¬
ряд Q = ЮнКл, плечо I -- 0,5см.

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
263
А
16.2.	Расстояние I между зарядами Q = ±3,2 нКл диполя равно
12 см. Найти напряженность Е и потенциал р поля, созданного
диполем в точке, удаленной на г = 8 см как от первого, так и от
второго заряда.
16.3.	Диполь с электрическим моментом р = 0,12нКл-м обра¬
зован двумя точечными зарядами Q = ±1 нКл. Найти напря¬
женность Е и потенциал ip электрического поля в точках
В (рис. 16.6), находящихся на расстоянии
г = 8 см от центра диполя.
16.4.	Определить напряженность Е и
потенциал р поля, созданного диполем в
точках А и В (рис. 16.6). Его электриче¬
ский момент р = 10-12 Кл ■ м, а расстояние
г от точек А и В до центра диполя равно
10 см.
16.5.	Определить напряженность Е и по¬
тенциал р поля, создаваемого диполем с элек-
т
I
Рис. 16.6
трическим моментом р — 4 • 10~12 Кл • м на расстоянии г = 10 см
от центра диполя, в направлении, составляющем угол a = 60° с
вектором электрического момента.
16.6.	Диполь с электрическим моментом р = 10 12 Кл ■ м рав¬
номерно вращается с частотой n — 103 с-1 относительно оси,
проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу.
Вывести закон изменения потенциала как функцию времени в не¬
которой точке, отстоящей от центра диполя на г = 1 см и лежащей
в плоскости вращения диполя. Принять, что в начальный момент
времени потенциал ро интересующей нас точки равен нулю. По¬
строить график зависимости p(t).
16.7. Диполь с электрическим моментом р = 10 12 Кл • м рав¬
номерно вращается с угловой скоростью u> = 104 рад/с относи¬
тельно оси, перпендикулярной плечу диполя и проходящей через
его центр. Определить среднюю потенциальную энергию (П) за¬
ряда Q — 1 нКл, находящегося на расстоянии г = 2 см от центра
диполя и лежащего в плоскости вращения, за время, равное: 1) по-
лупериоду (от t\ = 0 до <2 = Т/2); 2) в течение времени < > Т.
В начальный момент считать П = 0.
16.8.	Два диполя с электрическими моментами pi = 10“12 Кл ■ м
и Р2 = 4 • 10~12 Кл • м находятся на расстоянии г = 2 см друг от
друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на
одной прямой.
16.9.	Два диполя с электрическими моментами р\ = 2 х
х10-11Кл-м и р2 = 5-10_11Кл-м находятся на расстоянии
г = 10 см друг от друга, так что их оси лежат на одной прямой.
Вычислить взаимную потенциальную энергию диполей, соответ¬
ствующую их устойчивому равновесию.

264
Гл. 3. Электростатика.
Диполь в электрическом поле
16.10.	Диполь с электрическим моментом р = 10”10 Кл • м при¬
креплен к упругой нити (рис. 16.7). Когда в пространстве, где на¬
ходится диполь, было создано элек¬
трическое поле напряженностью Е —
= ЗкВ/м перпендикулярно плечу ди¬
поля и нити, диполь повернулся на
угол a = 30°. Определить постоян¬
ную кручения8) С нити.
16.11.	В условиях предыдущей
задачи диполь под действием поля
поворачивается на малый угол. Опре¬
делить постоянную кручения С нити.
16.12.	Диполь с электрическим
моментом р = 20 нКл • м находится
в однородном электрическом поле напряженностью Е — 50кВ/м.
Вектор электрического момента составляет угол а = 60° с лини¬
ями поля. Какова потенциальная энергия П диполя?
Рис. 16.7
Указание. За нулевую потенциальную энергию принять энергию,
соответствующую такому расположению диполя, когда вектор электри¬
ческого момента диполя перпендикулярен линиям поля.
16.13.	Диполь с электрическим моментом р — 1()”10Кл-м сво¬
бодно устанавливается в однородном электрическом поле напря¬
женностью Е = 150кВ/м. Вычислить работу Л, необходимую для
того, чтобы повернуть диполь на угол a — 180°.
16.14.	Диполь с электрическим моментом р = 10”10Кл-м сво¬
бодно установился в однородном электрическом поле напряженно¬
стью Е = 10 кВ/м. Определить изменение потенциальной энергии
ДП диполя при повороте его на угол a = 60°.
16.15.	Перпендикулярно плечу диполя с электрическим момен¬
том р = 1,2 • 10-11Кл-м возбуждено однородное электрическое
поле напряженностью Е = ЗООкВ/м. Под действием сил поля
диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей
через его центр. Найти угловую скорость и> диполя в момент про¬
хождения им положения равновесия. Момент инерции J диполя
относительно оси, перпендикулярной плечу и проходящей через
его центр, равен 2 • 10“9 кг • м2.
16.16.	Диполь с электрическим моментом р = 10”10 Кл • м сво¬
бодно установился в однородном электрическом иоле напряженно¬
стью Е = 9МВ/м. Диполь повернули на малый угол и предоста¬
вили самому себе. Определить частоту и собственных колебаний
8)	Постоянной кручения называют величину, равную моменту гилы, который
вызывает закручивание нити на 1 рад.

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
265
диполя в электрическом поле. Момент инерции J диполя относи¬
тельно оси, проходящей через центр диполя, равен 4 • 10-12 кг • м2.
16.17.	Диполь с электрическим моментом р — 2 • Ю-10Кл-м
находится в неоднородном электрическом поле. Степень неодно¬
родности поля характеризуется величиной dE/dx = 1 МВ/м2, взя¬
той в направлении оси диполя. Вычислить силу F, действующую
на диполь в этом направлении.
16.18.	Диполь с электрическим моментом р = 5 • 10-12 Кл • м
установился вдоль силовой линии в поле точечного заряда Q =
= 100 нКл на расстоянии г = 10 см от него. Определить для этой
точки величину |di£/dr|, характеризующую степень неоднородно¬
сти поля в направлении силовой линии, и силу F, действующую
на диполь.
16.19.	Диполь с электрическим моментом р = 4 ■ 10_12Кл-м
установился вдоль силовой линии в поле, созданном бесконечной
прямой нитью, заряженной с линейной плотностью т = 500 нКл/м
на расстоянии г — 10 см от нее. Определить в этой точке величину
|d.E/dr|, характеризующую степень неоднородности поля в напра¬
влении силовой линии, и силу F, действующую на диполь.
Поляризация диэлектриков
16.20.	Указать, какими типами поляризации (электронной —
е, атомной — а, ориентационной — о) обладают следующие атомы
и молекулы: 1) Н; 2) Не; 3) 02; 4) НС1; 5) Н20; 6) СО; 7) С02;
8) СН3; 9) СС14.
16.21.	Молекула HF обладает электрическим моментом р =
= 6,4 • Ю-30 Кл • м. Межъядерное расстояние d = 92 пм. Найти
заряд Q такого диполя и объяснить, почему найденное значение
Q существенно отличается от значения элементарного заряда |е|.
16.22.	Расстояние d между пластинами плоского конденсатора
равно 2 мм, разность потенциалов U = 1,8 кВ. Диэлектрик — сте¬
кло. Определить диэлектрическую восприимчивость к стекла и
поверхностную плотность о' поляризационных (связанных) заря¬
дов на поверхности стекла.
16.23.	Металлический шар радиусом R — 5 см окружен рав¬
номерно слоем фарфора толщиной d = 2 см. Определить поверх¬
ностные плотности о\ и (72 связанных зарядов соответственно на
внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд Q шара
равен ЮнКл.
16.24.	Эбонитовая плоскопараллельная пластина помещена в
однородное электрическое поле напряженностью Ео = 2 МВ/м.
Грани пластины перпендикулярны линиям напряженности. Опре¬
делить поверхностную плотность а' связанных зарядов на гранях
пластины.

266
Гл.З. Электростатика
Электрическое поле в диэлектрике
16.25.	Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено диэлектриком, молекулы которого можно рассматривать
как жесткие диполи с электрическим моментом /гм = 2-Ю-30 Кл • м.
Концентрация п диполей равна 1026 м~3. Определить напряжен¬
ность Е среднего макроскопического поля в таком диэлектрике,
если при отсутствии диэлектрика напряженность Ео поля между
пластинами конденсатора была равна 100 МВ/м. Дезориентирую¬
щим действием теплового движения молекул пренебречь.
16.26.	В электрическое поле напряженностью Ео = 1 МВ/м вне¬
сли пластину диэлектрика (е = 3). Определить напряженность
Елок локального поля, действующего на отдельную молекулу в ди¬
электрике, полагая, что внутреннее поле является полем Лоренца.
16.27.	Во сколько раз напряженность Елок локального поля в
кристалле кубической сингонии больше напряженности Е сред¬
него макроскопического поля? Диэлектрическая проницаемость е
кристалла равна 2,5.
16.28.	При какой максимальной диэлектрической проницаемо¬
сти е погрешность при замене напряженности Елок локального
поля напряженностью Ео внешнего поля не превысит 1%?
16.29.	Определить относительную погрешность, которая будет
допущена, если вместо напряженности Елок локального поля брать
напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике.
Расчеты выполнить для двух случаев: 1) е = 1,003; 2) е = 2.
Поляризованность диэлектрика
16.30.	При какой поляризованное™ Р диэлектрика (е = 5) на¬
пряженность Елок локального поля равна 10 МВ/м?
16.31.	Определить, при какой напряженности Е среднего ма¬
кроскопического поля в диэлектрике (е = 3) поляризованность Р
достигнет значения, равного 200мкКл/м2.
16.32.	Определить поляризованность Р стекла, помещенного во
внешнее электрическое поле напряженностью Ео = 5 МВ/м.
16.33.	Диэлектрик поместили в электрическое поле напряжен¬
ностью Ео = 20кВ/м. Чему равна поляризованность Р диэлек¬
трика, если напряженность Е среднего макроскопического поля в
диэлектрике оказалась равной 4кВ/м?
16.34.	Во внешнем электрическом поле напряженностью Ео =
— 40 МВ/м поляризованность Р жидкого азота оказалась равной
109мкКл/м2. Определить: 1) диэлектрическую проницаемость е
жидкого азота; 2) индуцированный электрический момент р одной
молекулы. Плотность р жидкого азота принять равной 804 кг/м3.

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
267
Электронная и атомная поляризации
16.35.	Связь поляризуемости а с диэлектрической восприим¬
чивостью х для неполярных жидкостей и кристаллов кубической
сингонии задается выражением х/(х+3) = ст/3, где п — концен¬
трация молекул. При каком наибольшем значении х погрешность
в вычислении а не будет превышать 1%, если воспользоваться
приближенной формулой х и ап?
16.36.	При каком наибольшем значении произведения ап фор¬
мула Клаузиуса Мосотти (е — \)/{е + 2) = ап/3 может быть за¬
менена более простой е = 1 + ап при условии, что погрешность в
вычислении е не превысит 1%?
16.37.	Определить поляризуемость а молекул азота, если ди¬
электрическая проницаемость е жидкого азота равна 1,445 и его
плотность р — 804кг/м3.
16.38.	Поляризуемость а молекулы водорода можно принять
равной 1,0 • 10-29 м3. Определить диэлектрическую восприим¬
чивость х водорода для двух состояний: 1) газообразного при
нормальных условиях; 2) жидкого, плотность р которого равна
70,8	кг/м3.
16.39.	Диэлектрическая восприимчивость х газообразного ар¬
гона при нормальных условиях равна 5,54 ■ 10~4. Определить ди¬
электрические проницаемости е\ и £2 жидкого (р\ = 1,40г/см3) и
твердого {р2 = 1,65 г/см3) аргона.
16.40.	Система состоит из двух одинаковых по величине и про¬
тивоположных по знаку зарядов |<2| = 0,1 нКл, связанных ква-
зиупругими силами. Коэффициент к упругости системы зарядов
равен 1мН/м. Определить поляризуемость а системы.
16.41.	Вычислить поляризуемость а атома водорода и диэлек¬
трическую проницаемость е атомарного водорода при нормальных
условиях. Радиус г электронной орбиты принять равным 53 пм.
16.42.	Атом водорода находится в однородном электрическом
поле напряженностью Е — 100кВ/м. Определить электрический
момент р и плечо I индуцированного диполя. Радиус г электронной
орбиты равен 53 пм.
16.43.	Диэлектрическая проницаемость е аргона при нормаль¬
ных условиях равна 1,00055. Определить поляризуемость а атома
аргона.
16.44.	Атом ксенона (поляризуемость а = 5,2 ■ 10-29 м3) нахо¬
дится на расстоянии г = 1 нм от протона. Определить индуциро¬
ванный в атоме ксенона электрический момент р.
16.45.	Какой максимальный электрический момент ртах будет
индуцирован у атома неона, находящегося на расстоянии г = 1 нм
от молекулы воды? Электрический момент р молекулы воды равен
6,2-10_3° Кл • м. Поляризуемость а атома неона равна 4,7-Ю”30 м3.

268
Гл. 3. Электростатика
16.46.	Криптон при нормальных условиях находится в одно¬
родном электрическом поле напряженностью Е = 2 МВ/м. Опре¬
делить объемную плотность энергии w поляризованного криптона,
если поляризуемость а атома криптона равна 4,5 ■ 10-29 м3.
16.47.	Определить поляризуемость а атомов углерода в алмазе.
Диэлектрическая проницаемость е алмаза равна 5,6, плотность
р = 3,5 • 103 кг/м3.
16.48.	Показатель преломления п газообразного кислорода при
нормальных условиях равен 1,000272. Определить электронную
поляризуемость ае молекулы кислорода.
16.49.	Показатель преломления п газообразного хлора при нор¬
мальных условиях равен 1,000768. Определить диэлектрическую
проницаемость е жидкого хлора, плотность р которого равна 1,56 х
х 103кг/м3.
16.50.	При нормальных условиях показатель преломления п
углекислого газа СОг равен 1,000450. Определить диэлектриче¬
скую проницаемость е жидкого СОг, если его плотность р = 1,19 х
х 103 кг/м3.
16.51.	Показатель преломления п жидкого сероуглерода CS2
равен 1,62. Определить электронную поляризуемость ае молекул
сероуглерода, зная его плотность.
16.52.	Поляризуемость а атома аргона равна 2,03 ■ 10-29 м3.
Определить диэлектрическую проницаемость е и показатель пре¬
ломления п жидкого аргона, плотность р которого равна 1,44 х
х 103 кг/м3.
16.53.	Определить показатель преломления п\ жидкого кисло¬
рода, если показатель преломления пг газообразного кислорода
при нормальных условиях равен 1,000272. Плотность р\ жидкого
кислорода равна 1,19 • 103кг/м3.
Ориентационная поляризация
16.54.	Вычислить ориентационную поляризуемость аор моле¬
кул воды при температуре t — 27 °С, если электрический момент
р молекулы воды равен 6,1 • 10~3° Кл • м.
16-55. Зная, что показатель преломления п водяных паров при
нормальных условиях равен 1,000252 и что молекула воды обла¬
дает электрическим моментом р — 6,1 • 10“3°Кл-м, определить,
какую долю от общей поляризуемости (электронной и ориентаци¬
онной) составляет электронная поляризуемость молекулы.
16.56.	Электрический момент р молекул диэлектрика равен
5 • Ю-30 Кл • м. Диэлектрик (е = 2) помещен в электрическое поле
напряженностью Елок = 100 МВ/м. Определить температуру Т,
при которой среднее значение проекции {рЕ) электрического мо¬
мента на направление вектора Елок будет равно 1/2р.

§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков
269
16.57.	Диэлектрик, молекулы которого обладают электрическим
моментом р = 5 • 1СГ30 Кл • м, находится при температуре Т =
= 300 К в электрическом поле напряженностью Елок = 100 МВ/м.
Определить, во сколько раз число молекул, ориентированных «по
полю» (0^0^ 1°), больше числа молекул, ориентированных
«против поля» (179° ^ в ^ 180°). Угол в образован векторами р
и Едок-
16.58*. Точечный заряд Q = ЗнКл находится на расстоянии
г = 1 м от точечного диполя с электрическим моментом р = 5 х
х 10-11 Кл ■ м. Определить потенциальную энергию П и силу F
их взаимодействия в двух случаях: 1) точечный заряд находится
на оси диполя; 2) точечный заряд находится на перпендикуляре к
оси диполя.
16.59*. Два одинаковых диполя (рис. 16.8) с электрическими
моментами р = 2 нКл - м находятся на расстоянии г = 21 друг от
друга (I — плечо диполя равное 10 см). Определить потенциальную
энергию П взаимодействия диполей.
\
I <
JL a
ь ^ Р m
к
/
г
1
Рис. 16.8	Рис. 16.9
16.60*. Два одинаково ориентированных диполя (рис. 16.9) с
электрическими моментами р — 1 нКл • м находятся на расстоянии
г = 21 друг от друга (/ — плечо диполя равное 10см). Определить
потенциальную энергию П и силу F взаимодействия диполей.
16.61*. Две молекулы водяного пара с электрическими диполь¬
ными моментами р = 1,84 D, ориентированные параллельно друг
другу, находятся на расстоянии г =
= 5 нм (рис. 16.10). Считая молекулы
точечными диполями, определить по¬
тенциальную энергию (в Дж и эВ) П
их взаимодействия.
16.62*. Аргон (Z = 18) находится
при нормальных условиях в электри¬
ческом поле напряженностью Е = ЗОкВ/м. Определить плечо I
индуцированного дипольного момента, если диэлектрическая про¬
ницаемость е аргона при этих условиях равна 1,000554.
16.63*. Кислород (Ог) при нормальных условиях поместили в
электрическое поле напряженностью Е = 10кВ/м. Определить
индуцированный дипольный момент р (в дебаях), если диэлек¬
трическая проницаемость е кислорода при этих условиях равна
1,000532.
Р ..
-С Р
Рис. 16.10

270
Гл.З. Электростатика
16.64*. Концентрация п молекул насыщенного водяного пара
при температуре t = 100°С равна 1,97 • 1025м_3 и его диэлектри¬
ческая проницаемость е = 1,0058. Считая, что основной вклад в
поляризацию дает ориентационная поляризация, оценить электри¬
ческий дипольный момент р (в D) молекулы воды.
16.65*. Определить электрический дипольный момент р моле¬
кулы, если для связи Н-0 дипольный момент р\ = 1,51 Ь и ва¬
лентный угол a = 104,5°.
§ 17. Электрическая емкость. Конденсаторы
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Электрическая емкость уединенного проводника
где Q — заряд, сообщенный проводнику; <р — потенциал проводника.
• Электроемкость конденсатора
Ч>\ ~ Ч>1'
где <pi — <р2 — разность потенциалов на обкладках конденсатора.
•	Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R,
находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью е,
С = 47Г£о eR.
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее
от этого не изменяется.
•	Электрическая емкость плоского конденсатора
^	££о S
С-~Г’
где S — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между
ними; е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего
пространство между пластинами.
Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п сло¬
ями диэлектрика толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемо¬
стями £i (слоистый конденсатор),
с_	£оS
c?i/ci + d2/£ 2 + • • • + dn/en
•	Электрическая емкость сферического конденсатора (две концен¬
трические сферы радиусами Hi и Д2, пространство между которыми
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е)
_ 47ге0еД1Д2
Д2-Д1	'

§ 17. Электрическая емкость. Конденсаторы
271
• Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коак¬
сиальных цилиндра длиной I и радиусами Ri и R2, пространство между
которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е)
• Электрическая емкость С последовательно соединенных конденса¬
торов:
в общем случае
в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С\ каждый
• Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:
в общем случае
в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С\ каждый
Пример 1. Определить электрическую емкость С плоского конден¬
сатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной di = 2 мм и
эбонита толщиной d2 = 1,5 мм, если площадь 5 пластин равна 100 см2.
Решение. Емкость конденсатора, по определению, С = Q/U, где
Q — заряд на пластинах конденсатора; U — разность потенциалов пла¬
стин. Заменив в этом равенстве общую разность потенциалов U конден¬
сатора суммой U\ + U2 напряжений на слоях диэлектриков, получим
2ттее01
ln(R2/Riy
где п — число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов
г_ СгС2
Ci+CV
П
п
c = S>.
*=1
в случае двух конденсаторов
С = Су+С2)
С = пС\.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
их +и2'
(1)

272
Гл-3. Электростатика
Приняв во внимание, что Q - (tS, U\ = Е\ di = 	di и U2 =
D
£o£i
= E2d2 =	d2l равенство (1) можно переписать в виде
£о£г
С -
D . D '
-Qi Н	02
(2)
£o£l
где a — поверхностная плотность заряда на пластинах; Е\ и Е2 ■— на¬
пряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответственно;
D — электрическое смещение поля в диэлектриках.
Умножив числитель и знаменатель равенства (2) на £о и учтя, что
D = ст, окончательно получим
£0<S
di/ei + d2/£2
Сделав вычисления по последней формуле, найдем
С =
8,85 • КГ12 -100 • 10~4 (Ф/м) • м2
2 10-3/5+1,5 10-3/3 м
= 9,83 • НГ11
Ф = 98,3 пФ.
Пример 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости
С\ = С‘2 = С соединены в батарею последовательно и подключены к
источнику тока с электродвижущей силой £. Как изменится разность
потенциалов U\ на пластинах первого конденсатора, если пространство
между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока,
заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 7?
Решение. До заполнения второго конденсатора диэлектриком раз¬
ность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова:
С/х = С/2 = £/2. После заполнения электроемкость второго конденсатора
возросла в £ раз:
С' = еС2 = еС.
Электроемкость первого не изменилась, т. е. С[ = С.
Так как источник тока не отключался, то общая разность потенциа¬
лов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспре¬
делилась между конденсаторами. На первом конденсаторе
V-Q.-9.
Ul~ С[~ С ’
(3)
где Q — заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последова¬
тельном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей
батарее одинаков, то
Q = С'бЛТ£,
С[С2 СвС еС гп
ГД6 = ТД - сТеС = ГГе- ТаКИМ °браз°М’
Q =
еС
1 + Е
£.

§17. Электрическая емкость. Конденсаторы
273
Подставив это выражение заряда в формулу (3), найдем
п,	Q = еС£ _ е г
1	С (1+е)С	1+е
Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах
первого конденсатора, вычислим отношение
щ
е£- 2
2е
UI	(1 + е)£	1 + е
После подстановки значения е получим
01-175
Следовательно, разность потенциалов на пластинах первого конден¬
сатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в
1,75 раза.
ЗАДАЧИ
Электрическая емкость проводящей сферы
17.1.	Найти электроемкость С уединенного металлического
шара радиусом R = 1 см.'
17.2.	Определить электроемкость С металлической сферы ра¬
диусом R = 2 см, погруженной в воду.
17.3.	Определить электроемкость С Земли, принимая ее за
шар радиусом R = 6400 км.
17.4.	Два металлических шара радиусами R\ = 2см и Дг =
— 6 см соединены проводником, емкостью которого можно прене¬
бречь. Шарам сообщен заряд Q = 1нКл. Найти поверхностную
плотность а зарядов на шарах.
17.5.	Шар радиусом R\ = 6 см заряжен до потенциала (р\ =
= 300 В, а шар радиусом R2 = 4 см — до потенциала <р2 = 500 В.
Определить потенциал <р шаров после того, как их соединили ме¬
таллическим проводником. Емкостью соединительного провод¬
ника пренебречь.
Электрическая емкость плоского конденсатора
17.6.	Определить электроемкость С плоского слюдяного кон¬
денсатора, площадь S пластин которого равна 100см2, а расстоя¬
ние между ними равно 0,1 мм.
17.7.	Между пластинами плоского конденсатора, заряженного
до разности потенциалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектри¬
ков: стекла толщиной d\ — 7 мм и эбонита толщиной = Змм.
Площадь S каждой пластины конденсатора равна 200 см2. Найти:
1) электроемкость С конденсатора; 2) смещение D, напряжен¬
ность Е поля и падение потенциала Atp в каждом слое.
19 Зак. 237

274
Гл. 3. Электростатика
17.8.	Расстояние d между пластинами плоского конденсатора
равно 1,33м, площадь S пластин равна 20см2. В пространстве
между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков:
слюды толщиной d\ - 0,7 мм и эбонита толщиной ^2 = 0,3 мм.
Определить электроемкость С конденсатора.
17.9.	На пластинах плоского конденсатора равномерно распре¬
делен заряд с поверхностной плотностью о -- 0,2 мкКл/м2. Рас¬
стояние d между пластинами равно 1 мм. На сколько изменится
разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстоя¬
ния d между пластинами до Змм?
17.10.	В плоский конденсатор вдвинули плитку парафина тол¬
щиной d = 1 см, которая вплотную прилегает к его пластинам. На
сколько нужно увеличить расстояние между пластинами, чтобы
получить прежнюю емкость?
17.11.	Электроемкость С плоского конденсатора равна 1,5 мкФ.
Расстояние d между пластинами равно 5 мм. Какова будет элек¬
троемкость С конденсатора, если на нижнюю пластину положить
лист эбонита толщиной d\ = 3 мм?
17.12.	Между пластинами плоского конденсатора находится
плотно прилегающая стеклянная пластинка. Конденсатор заря¬
жен до разности потенциалов Щ — 100 В. Какова будет разность
потенциалов С/г, если вытащить стеклянную пластинку из конден¬
сатора?
Электрическая емкость сферического конденсатора
17.13.	Две концентрические металлические сферы радиусами
Ri = 2 см и /?2 = 2,1 см образуют сферический конденсатор. Опре¬
делить его электроемкость С, если пространство между сферами
заполнено парафином.
17.14.	Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Ра¬
диус Ri внутренней сферы равен 10 см, внешней R? — 10,2 см.
Промежуток между сферами заполнен парафином. Внутренней
сфере сообщен заряд Q = 5мкКл. Определить разность потен¬
циалов U между сферами.
Соединения конденсаторов
17.15.	К воздушному конденсатору, заряженному до разности
потенциалов U — 600 В и отключенному от источника напряжения,
присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор
таких же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Опреде¬
лить диэлектрическую проницаемость е фарфора, если после при¬
соединения второго конденсатора разность потенциалов уменьши¬
лась до U\ = 100 В.
17.16.	Два конденсатора электроемкостями С\ = ЗмкФ и Сг =
= 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС

§17. Электрическая емкость. Конденсаторы
275
£ — 120 В. Определить заряды Q\ и Q2 конденсаторов и разности
потенциалов U\ и U2 между их обкладками, если конденсаторы
соединены: 1) параллельно; 2) последовательно.
17.17.	Конденсатор электроемкостью С\ = 0,2 мкФ был заря¬
жен до разности потенциалов Ui = 320 В. После того как его со¬
единили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до
разности потенциалов С/2 = 450 В, напряжение U на нем измени¬
лось до 400 В. Вычислить емкость Сг второго конденсатора.
17.18.	Конденсатор электроемкостью С\ = 0,6 мкФ был заря¬
жен до разности потенциалов U\ = 300 В и соединен со вторым
конденсатором электроемкостью Сг = 0,4 мкФ, заряженным до
разности потенциалов U2 = 150 В. Найти заряд AQ, перетекший
с пластин первого конденсатора на второй.
17.19.	Три одинаковых плоских конденсатора соединены по¬
следовательно. Электроемкость С такой батареи конденсаторов
равна 89 пФ. Площадь 5 каждой пластины равна 100 см2. Диэлек¬
трик — стекло. Какова толщина d стекла?
17.20.	Конденсаторы соединены так, как это показано на
рис. 17.1. Электроемкости конденсаторов: С\ = 0,2 мкФ, С2 =
— 0,1 мкФ, Сз = 0,3 мкФ, С4 = 0,4 мкФ. Определить электроем¬
кость С батареи конденсаторов.
ЧН
С,
Рис. 17.1
Рис. 17.2
17.21.	Конденсаторы электроемкостями С\ = 0,2 мкФ, С2 =
= 0,6 мкФ, Сз = 0,3 мкФ,	= 0,5 мкФ соединены так, как это
указано на рис. 17.2. Разность потенциалов U между точками А
и В равна 320 В. Определить разность потенциалов Ui и заряд Qi
на пластинах каждого конденсатора (* = 1, 2, 3, 4).
17.22.	Конденсаторы электроемкостями С\ = 10 нФ, Сг =
= 40 нФ, Сз = 2нФ и Ci = 30 нФ соединены так, как это по¬
казано на рис. 17.3. Определить электроемкость С соединения
конденсаторов.
17.23.	Конденсаторы электроемкостями С\ = 2мкФ, С2 =
= 2мкФ, Сз — ЗмкФ, Ci = 1мкФ соединены так, как указано
на рис. 17.4. Разность потенциалов на обкладках четвертого кон¬
денсатора Ui = 100 В. Найти заряды и разности потенциалов на
19*

276
Гл. 3. Электростатика
обкладках каждого конденсатора, а также общий заряд и разность
потенциалов батареи конденсаторов.
Рис. 17.3
Рис. 17.4
17.24.	Определить электроемкость схемы (рис. 17.5), где С\ =
= 1 пФ, С2 = 2 пФ, Сз = 2 пФ, С4 = 4 пФ, Сз = 3 пФ.
А
Рис. 17.5
Рис. 17.6
17.25.	Пять различных конденсаторов соединены согласно схе¬
ме, приведенной на рис. 17.6. Определить электроемкость С4, при
которой электроемкость всего соединения не зависит от величины
электроемкости С5. Принять С\ = 8 пФ, С2 = 12 пФ, Сз = 6 пФ.
§ 18. Энергия заряженного проводника.
Энергия электрического поля
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, по¬
тенциал tp и электрическую емкость С проводника следующими соотно¬
шениями: •W = -Ср2 = \911
2 *	2 С
• Энергия заряженного конденсатора
191
2 С
W = ^CU2 = ^ = £QU,

§ 18. Энергия заряженного проводника
277
где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциа¬
лов на его пластинах.
• Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, прихо¬
дящаяся на единицу объема)
1	г,2 Inn
w = -е0еЕ = -ED,
где Е — напряженность электрического поля в среде с диэлектрической
проницаемостью е; D — электрическое смещение.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Конденсатор электроемкостьюCj = 3 мкФ был заряжен
до разности потенциалов Ui = 40 В. После отключения от источника тока
конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конден¬
сатором электроемкостью С2 = 5мкФ. Определить энергию AW, из¬
расходованную на образование искры в момент присоединения второго
конденсатора.
Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна
AW = Wi - W2,	(1)
где Wi — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоедине¬
ния к нему второго конденсатора; W2 — энергия, которую имеет батарея,
составленная из первого и второго конденсаторов. Подставив в равенство
(1) формулу энергии заряженного конденсатора W = Ct/2/2 и приняв
во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных кон¬
денсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, по¬
лучим'
А„,_ад2 (с1+сг)щ
2 2
где Ci и С2 — электроемкости первого и второго конденсаторов; U\ —
разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор;
U2 — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора ос¬
тался прегкним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
U2 = —	— : -	Подставив это выражение U2 в формулу (2),
Ci + Сг Ci + Сг
получим
Д1У = ^_ (Ci+C2)C2t/2
2 2(Ci + С2)2 '
После простых преобразований найдем
Д1У = 1- с'с>
2 Ci + С2
ul
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
ДW = 1,5 мДж.

278
Гл.З. Электростатика
Пример 2. Плоский воздушный конденсатор с площадью S пла¬
стины, равной 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС Е которого
равна 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пла¬
стин от расстояния di = 1см до d2 = '3см в двух случаях: 1) пластины
перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в про¬
цессе раздвижения остаются подключенными к нему.
Решение. 1-й случай. Систему двух заряженных и отключенных
от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную си¬
стему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии.
В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы:
где W2 — энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины
находятся на расстоянии d%)', W\ — энергия поля в начальном состоянии
(пластины находятся на расстоянии d\).
Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q на пла¬
стинах, так как заряд пластин, отключенных от источника при их раз-
движении, не изменяется. Подставив в равенство (3) выражения W-2 =
— Q2/{2С2) и Wi = Q2/(2Ci), получим
Выразив в этой формуле заряд через ЭДС Е источника тока и началь¬
ную электроемкость С\ (Q = С\Е), найдем
Подставляя в формулу (4) выражения электроемкостей (С\ = £oS/d\
и С2 = £0S/d2) плоского конденсатора, получим
А = AW = W2- Wi,
(3)
= £%S2E2 (d2_ _ di\
2d2 UoS £0Sj ‘
UoS1 £0 S J
После сокращения на £0S формула примет вид
(5)
Произведя вычисления по формуле (5), найдем
8,85 • 10-12 • 500 • 10-4 • 3002
А ~ 2(1 • 10-2)2
(3 — 1)10-2 Дж —
— 3,98 • 10_6 Дж = 3,98 мкДж.

§ 18. Энергия заряженного проводника.
279
2-й случай. Пластины остаются подключенными к источнику тока
и система двух пластин уже не является изолированной (заряд с пла¬
стин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Поэтому
воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.
Заметим, что при раздвижении пластин конденсатора: а) разность
их потенциалов остается неизменной (U = Е), б) емкость будет умень-
Будут уменьшаться также заряд на пластинах
шаться
(с=£°!У
(Q = CU) и напряженность электрического поля (Е = U/d). Так как
величины Е и Q, необходимые для определения работы, изменяются, то
работу следует вычислять путем интегрирования.
Напишем выражение для элементарной работы:
dA = QEi da:,
(6)
где Ei — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины.
Выразим напряженность поля Ei и заряд Q через расстояние х
между пластинами:
и Q = СЕ,
или
г» ^ с
Q = е0—Е.
X
Подставив эти выражения Е\ и Q в равенство (6), получим
1	s2e2 Л
dA = —е0—5—dx.
2	х2
Проинтегрировав это равенство в пределах от до d2, найдем вы¬
ражение искомой работы:
После упрощений последняя формула примет вид
з	1	5£2.	, .
•	2£od^№“dl)-
Сделав вычисления по полученной формуле, найдем
А - 1,33 мкДж.
Пример 3. Плоский конденсатор заряжен до разности потенпиалов
U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик —
стекло. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.

280
Гл. 3. Электростатика
Решение. Объемная плотность энергии поля конденсатора
W
w
V ’
(7)
где W — энергия поля конденсатора; V — объем, занимаемый полем,
т.е. объем пространства, заключенного между пластинами конденса¬
тора.
Энергия поля конденсатора определяется по формуле
(8)
где U — разность потенциалов, до которой заряжены пластины конден¬
сатора; С — его электроемкость. Но С = ееоS/d, V = Sd. Подставив
выражение С в формулу (8) и затем выра¬
жения W и V в формулу (7), получим
еео U2
W	2 (Р ‘
Подставив значения величин в послед¬
нюю формулу и вычислив, найдем
w = 0,309 Дж/м3.
Пример 4. Металлический шар ра¬
диусом R = Зсм несет заряд Q — 20нКл.
Шар окружен слоем парафина толщиной d =
= 2 см. Определить энергию W электри¬
ческого поля, заключенного в слое диэлек¬
трика.
Решение. Так как поле, созданное заряженным шаром, является
неоднородным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена нерав¬
номерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех
точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, так как
поле заряженного шара обладает сферической симметрией.
Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика
объемом dV '.
dW^wdV,
где iv — объемная плотность энергии (рис. 18.1).
Полная энергия выразится интегралом
W =
J w dV = 47г
R+d
J wr2 dr,
Я
(9)
где г — радиус элементарного сферического слоя; dr — его толщина.
Объемная плотность энергии определяется по формуле w = е^еЕ2/2, где

§ 18. Энергия заряженного проводника
281
Е — напряженность поля. В нашем случае Е =
Q
тельно,
4ж£0£Г2
и, следова-
w =
Q2
32тг2е0ег4
Подставив это выражение плотности в формулу (9) и вынеся за знак
интеграла постоянные величины, получим
Я+d
W = -Q- [ dr- Q2 f1 1 Ь
87ге0е J г2	87re0£ \-R R + dJ
Q2d
87Г£о	+ d)
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
W =12 мкДж.
Пример 5. Определить собственную потенциальную энергию П
электростатического поля, которой обладает шар радиуса R = Зсм, не¬
сущий равномерно распределенный по объему заряд Q = 5 нКл.
Решение. Собственная потенциальная энергия равномерно заря¬
женного по объему шара равна работе А внешних сил, которую нужно
совершит!), «собирая» шар из дифференциально малых порций зарядов
cl<j, перенося их из бесконечности.
Пусть шар уже имеет некоторый заряд q и радиус г. Потенциал
поверхности такого шара
q
tp —	.
4д £0Г
Для присоединения заряда dq необходимо совершит!, работу
ПДвн.сил — tpdq.
Эта работа равна приращению собственной потенциальной энергии
dll - Двн. СИЛ = Р — —	.
47Г£0Г
Будем считал,, что заряд dq равномерно распределяется по поверхности
шара радиуса г. Тогда
dq = р dF — pS dr = 4-кг2 р dr,
где p — объемная плотность заряда; dF — объем сферического слоя.
Тогда
_	9	_ (4/3)тггV _ 1р_г2
47Г£оГ 47Г£оГ 3 £о
И
dll = г—г4 • 4-Kpdr =	—г4 dr.
о £q
4к f?
3 £о
18 Зак. 237

282
Гл-3. Электростатика
Проинтегрируем это выражение в пределах от 0 до Я:
П =
4тг£/Р
3 £о 5
Так как
то
Q	2	 Q2
Р (4/3)тгй3 И Р (4тг/3)2йс ’
п 4тг Q2Rb	п _ 3 Q2
3 (4тг/3)2й65е0’ ИЛИ 5 4тге0й'
Подставим числовые значения:
П = '109 Дж = 4)5 ■10 6
и о • 1U
Дж = 4,5 мкДж.
ЗАДАЧИ
Энергия плоского конденсатора
18.1.	Конденсатору, электроемкость С которого равна 10пФ,
сообщен заряд Q = 1 пКл. Определить энергию W конденсатора.
18.2.	Расстояние d между пластинами плоского конденсатора
равно 2 см, разность пг"енциалов U = 6 кВ. Заряд Q каждой пла¬
стины равен ЮнКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и
силу F взаимного притяжения пластин.
18.3.	Какое количество теплоты Q выделится при разряде плос¬
кого конденсатора, если разность потенциалов U между пласти¬
нами равна 15 кВ, расстояние d = 1 мм, диэлектрик — слюда и
площадь S каждой пластины равна 300 см2?
18.4.	Сила F притяжения между пластинами плоского воздуш¬
ного конденсатора равна 50 мН. Площадь S каждой пластины рав¬
на 200 см2. Найти плотность энергии w поля конденсатора.
18.5.	Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круг¬
лых пластин радиусом г = 10 см каждая. Расстояние d\ между
пластинами равно 1 см. Конденсатор зарядили до разности потен¬
циалов U = 1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу
А нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, уве¬
личить расстояние между ними до d2 = 3,5 см?
18.6.	Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С =
= 1,11 нФ заряжен до разности потенциалов U = 300 В. После
отключения от источника тока расстояние между пластинами кон¬
денсатора было увеличено в пять раз. Определить: 1) разность

§ 18. Энергия заряженного проводника
283
потенциалов U на обкладках конденсатора после их раздвижении;
2) работу А внешних сил по раздвижению пластин.
18.7.	Конденсатор электроемкостью С\ = 600 пФ зарядили до
разности потенциалов U — 1,5 кВ и отключили от источника тока.
Затем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаря¬
женный конденсатор электроемкостью = 400 пФ. Определить
энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей
при соединении конденсаторов.
18.8.	Конденсаторы электроемкостями С\ = 1мкФ, С2 = 2 мкФ,
Сз = ЗмкФ включены в цепь с напряжением U = 1,1 кВ. Опреде¬
лить энергию каждого конденсатора в случаях: 1) последователь¬
ного их включения; 2) параллельного включения.
18.9.	Электроемкость С плоского конденсатора равна 111 пФ.
Диэлектрик — фарфор. Конденсатор зарядили до разности потен¬
циалов U = 600 В и отключили от источника напряжения. Какую
работу А нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конден¬
сатора? Трение пренебрежимо мало.
18.10.	Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено диэлектриком (фарфор), объем V которого равен 100 см3
Поверхностная плотность заряда о на пластинах конденсатора
равна 8,85нКл/м2. Вычислить работу А, которую необходимо
совершить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора.
Трением диэлектрика о пластины конденсатора пренебречь.
18.11.	Пластину из эбонита толщиной d = 2 мм и площадью
S = 300 см2 поместили в однородное электрическое поле напря¬
женностью Е = 1кВ/м, расположив так, что силовые линии пер¬
пендикулярны ее плоской поверхности. Найти: 1) плотность о
связанных зарядов на поверхности пластин; 2) энергию W элек¬
трического поля, сосредоточенную в пластине.
18.12.	Пластину предыдущей задачи переместили из поля в
область пространства, где внешнее поле отсутствует. Пренебрегая
уменьшением поля в диэлектрике с течением времени, определить
энергию W электрического поля в пластине.
Энергия поля заряженной сферы
18.13.	Найти энергию W уединенной сферы радиусом R — 4 см,
заряженной до потенциала = 500 В.
18.14.	Вычислить энергию W электростатического поля метал¬
лического шара, которому сообщен заряд Q = 100 нКл, если диа¬
метр d шара равен 20 см.
18.15.	Уединенная металлическая сфера электроемкостью С =
= 10 пФ заряжена до потенциала </? = 3 кВ. Определить энергию W
поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и
концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой
в три раза больше радиуса сферы.
18*

284
Гл-3. Электростатика
18.16.	Электрическое поле создано заряженной (Q = 0,1 мкКл)
сферой радиусом R = 10 см. Какова энергия W поля, заключенная
в объеме, ограниченном сферой и концентрической с ней сфери¬
ческой поверхностью, радиус которой в два раза больше радиуса
сферы?
18.17.	Уединенный металлический шар радиусом Ri = 6 см
несет заряд Q. Концентрическая этому шару поверхность делит
пространство на две части (внутренняя конечная и внешняя бес¬
конечная), так что энергии электрического поля обеих частей оди¬
наковы. Определить радиус R2 этой сферической поверхности.
18.18.	Сплошной парафиновый шар радиусом R = 10 см заря¬
жен равномерно по объему с объемной плотностью р = 10нКл/м3.
Определить энергию W\ электрического поля, сосредоточенную в
самом шаре, и энергию W2 вне его.
18.19.	Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во
сколько раз энергия электрического поля вне шара превосходит
энергию поля, сосредоточенную в шаре?
18.20*. Два шара радиусами R\ = 4 см и i?2 = 6 см несут равно¬
мерно распределенные по объему заряды Qi = 2 нКл и Q2 = 3 нКл.
Расстояние / между центрами шаров равно 20 см. Определить по¬
тенциальную электростатическую энергию П такой системы с уче¬
том собственной потенциальной энергии заряженных шаров.
18.21*. После того, как на проводящую сферу радиуса R = 10 см
и массой ш = Юг поместили заряд Q = ЗмкКл, сфера под
действием электростатических сил отталкивания разорвалась на
большое число осколков одинаковой массы. Определить макси¬
мальную скорость г>тах, которую может приобрести любой из этих
осколков.

Глава 4
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
§ 19. Основные законы постоянного тока
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Сила постоянного тока
где Q — количество электричества (заряд), прошедшее через поперечное
сечение проводника за время t.
• Плотность электрического тока есть векторная величина, равная
отношению силы тока к плошали S поперечного сечения проводника:
где к — единичный вектор, по направлению совпадающий с направле¬
нием движения положительных носителей заряда.
• Сопротивление однородного проводника
где р — удельное сопротивление вещества проводника; I — его длина.
• Проводимость G проводника и удельная проводимость 7 вещества
7
1
Р
•	Зависимость удельного сопротивления от температуры
р = р0(1 + at),
где р и ро — удельные сопротивления соответственно при t и 0°С; t —
температура (по шкале Цельсия); а — температурный коэффициент со¬
противления.
•	Сопротивление соединения проводников:
последовательного
П
R = ^
*=1

286
Гл. 4. Постоянный электрический ток
параллельного
Здесь R{ — сопротивление г-го проводника, п — число проводников.
• Закон Ома:
для неоднородного участка цепи
т _ (<pi - Ы ± £12 _ и_'
R ~ R'
для однородного участка цепи
у?! -	_ U
R	R’
для замкнутой цепи (ip\ —1^2)
Здесь (tpi — у?г) — разность потенциалов на концах участка цепи; £12 —
ЭДС источников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке
цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); 8 — ЭДС всех источников
тока цепи.
•	Правила (законы) Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая
сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.
Х> = 0,
»=1
где п — число токов, сходящихся в узле.
Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма на¬
пряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме элек¬
тродвижущих сил, т.е.
t=i	t=i
где П — сила тока на г-м участке; Ri — активное сопротивление на г-м
участке; 8г — ЭДС источников тока на г-м участке; тг — число участков,
содержащих активное сопротивление; к — число участков, содержащих
источники тока.
•	Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними си¬
лами в участке цепи постоянного тока за время t,
А = IUt.
• Мощность тока
P = IU.

§19. Основные законы постоянного тока
287
• Закон Джоуля-Ленца
Q = i2m,
где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.
Закон Джоуля Ленца справедлив при условии, что участок цепи не¬
подвижен и в нем не совершаются химические превращения.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопроти¬
влением R — 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах
провода от U0 = 2 В до U = 4 В в течение t = 20 с.
Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользо¬
ваться для подсчета заряда формулой Q = It нельзя. Поэтому возьмем
дифференциал заряда dQ = I dt и проинтегрируем:
t
Q = Jldt.	(1)
о
Выразив силу тока по закону Ома, получим
t
e = /Id'-	<2>
о
Напряжение U в данном случае переменное. В силу равномерности
нарастания оно может быть выражено формулой
U = U0 + kt,	(3)
где к — коэффициент пропорциональности. Подставив это выражение U
в формулу (2), найдем
Q =
+
dt =
Проинтегрировав, получим
Uot kt2
~В~ + 2R
Jt_
2 R
(2 Uo + kt).
(4)
Значение коэффициента пропорциональности к найдем из формулы
(3), если заметим, что при t = 20 с С/ = 4 В:

288
Гл. 4. Постоянный электрический ток
Подставив значения величин в формулу (4), найдем
Q = 20 Кл.
Пример 2. Потенциометр с сопротивлением R — 1000м подключен
к источнику тока, ЭДС £ которого равна 150 В и внутреннее сопроти¬
вление г = 50 0м (рис. 19.1). Определить показание вольтметра с со¬
противлением RB = 500 Ом, соединенного про¬
водником с одной из клемм потенциометра и по¬
движным контактом с серединой обмотки потен¬
циометра. Какова разность потенциалов между
теми же точками потенциометра при отключен¬
ном вольтметре?
Решение. Показание Uy вольтметра, под¬
ключенного к точкам А и В (рис. 19.1), опреде¬
ляется по формуле
' 'А
4-4
Рис. 19.1
Uy=IyRy,
(5)
где 1у — сила тока в неразветвленной части цепи; Ry — сопротивление
параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока 1\ найдем по закону Ома для всей цепи:
h =
R + r’
(6)
где R — сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивлеь е R есть сумма двух сопротивлений:
д=| + Л|.
(7)
Сопротивление Ry параллельного соединения может быть найдено по
формуле \/Ry — 1/RB + 2/R, откуда
Ry =
RRB
R + 2 RB
Подставив в эту формулу числовые значения величин и произведя
вычисления, найдем
Ry = 45,5 Ом.
Подставив в выражение (6) правую часть равенства (7), определим
силу тока:
11 = R/2 + Ry +г = 1,03 А‘
Если подставить значения 1у и Ry в формулу (5), то найдем показа¬
ние вольтметра:
U = 46,9 В.

§ 19. Основные законы постоянного тока
289
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольт¬
метре равна произведению силы тока /2 на половину сопротивления
потенциометра, т.е. U2 = hiR/2), или
и2
£ R
R + r 2
Подставив сюда значения величин £, Ли г, получим
U2 = 50 В.
Пример 3. Источники тока с Электродвижущими силами £\ и £2
включены в цепь, как показано на рис. 19.2. Определить силы токов,
текущих в сопротивлениях R2 и Й3, если
£\ = 10 В и £2 = 4 В, a R\ = 1?4 = 2 0м и
R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлениями источ¬
ников тока пренебречь.
Решение. Силы токов в разветвлен¬
ной цепи определяют с помощью законов
Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения
силы токов, следует составить четыре урав¬
нения.
Указание. Перед составлением уравне¬
ний по закону Кирхгофа необходимо, во-первых,
выбрать произвольно направления токов, те¬
кущих через сопротивления, указав их стрел¬
ками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее
только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).
Выберем направления токов, как они показаны на рис. 19.2, и усло¬
вимся обходить контуры по часовой стрелке.
Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но соста¬
влять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного
узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием
первого уравнения.
При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо
соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение
со знаком плюс; ток, отходящий от узла, — со знаком минус.
По первому закону Кирхгофа для узла В имеем
h +12 + 1з ~ h = 0.
Недостающие три уравнения полущим по второму закону Кирхгофа.
Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по вто¬
рому закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае
контуров шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необхо¬
димое число независимых уравнений, следует придерживаться правила:
выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур вхо¬
дила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее исполь¬
зованных контуров.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо
соблюдать следующее правило знаков:

290
Гл. 4. Постоянный электрический ток
а)	если ток по направлению совпадает с выбранным направлением
обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в урав¬
нение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в
уравнение со знаком минус;
б)	если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е.
если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри
источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс,
в противном случае — со знаком минус.
По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров
AR1BR2A, AR1BR3A, AR3BR4A1
hRi — I2B2 = €1 — Е2,	(8)
I\R\ — I3R3 = Ei,	(9)
I3R3 + I4R4 = 0.	(10)
Подставив в равенства (8)-(10) значения сопротивлений и ЭДС,
получим систему уравнений:
h + I2 + h — h — 0,
21х - 4/2 = 6,
2Ji - 4/з = 10,
4/3 + 2/4 — 0.
Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться
методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем урав¬
нения еще раз в следующем виде:
h +12 + h — h — 0,
/1 — 4/г +0 + 0 = 6,
2h + 0 - 4/3 + 0 = 10,
0 + 0 + 4/з + 2/4 = 0.
Искомые значения токов найдем из выражений
h
I - Д'3
где Д — определитель системы уравнений; Д/2 и Д/3— определители,
полученные заменой соответствующих столбцов определителя Д столб¬
цами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных
уравнений. Находим:
1
1
1
-1
2
-4
0
0
2
0
-4
0
0
0
4
2

§ 19. Основные законы постоянного тока
291
Д/2 =
д/з =
Отсюда получаем
/а=0,
0
1
-1
6
0
0
10
-4
0
0
4
2
1
0
-1
-4
6
0
0
10
0
0
0
2
0,
/3 =
-1 А.
= -96.
Знак минус у значения силы тока /з свидетельствует о том, что при
произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, на¬
правление тока /3 было указано противоположно
истинному. На самом деле ток /3 течет от узла
В к узлу А.
Пример 4. Сила тока в проводнике сопро¬
тивлением R = 20 Ом нарастает в течение вре¬
мени At = 2 с по линейному закону от /о = 0
ДО Апах — 6 А (рис. 19.3). Определить количе¬
ство теплоты Q1, выделившееся в этом провод¬
нике за первую секунду, и ft — за вторую, а
также найти отношение этих количеств теплоты
Qi/Qr-
Решение. Закон Джоуля-Ленца Q = 12Ш
применим в случае постоянного тока (/ = const,).
Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон спра¬
ведлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в
виде
d<3 = I2Rdt.
(П)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем слу¬
чае
I = kt,
(12)
где к — коэффициент пропорциональности, равный отношению прира¬
щения силы тока к интервалу времени, за который произошло это при¬
ращение:
к =
AJ
At'
С учетом равенства (12) формула (11) примет вид
dQ = k2Rt2dt.
(13)

292
Гл. 4. Постоянный электрический ток
Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный
промежуток времени At, выражение (13) следует проинтегрировать в
пределах от ti до t?:
При определении количества теплоты, выделившегося за первую
секунду, пределы интегрирования tx = Ос, ti — 1с и, следовательно,
Qi = 60 Дж,
а за вторую секунду — пределы интегрирования t\ = 1 с, ti = 2 с и тогда
Qi = 420 Дж.
Следовательно,
т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую
секунду.
19.1.	Сила тока в проводнике равномерно нарастает от /о = 0
до I = ЗА в течение времени t = 10с. Определить заряд Q,
прошедший в проводнике.
19.2.	Определить плотность тока j в железном проводнике дли¬
ной / = 10 м, если провод находится под напряжением U = 6 В.
19.3.	Напряжение U на шинах электростанции равно 6,6 кВ.
Потребитель находится на расстоянии I = 10 км. Определить
площадь S сечения медного провода, который следует взять для
устройства двухпроводной линии передачи, если сила тока I в
линии равна 20 А и потери напряжения в проводах не должны
превышать 3%.
19.4.	Вычислить сопротивление R графитового проводника, из¬
готовленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой
h = 20 см и радиусами оснований г\ = 12 мм и Г2 = 8 мм. Темпе¬
ратура t проводника равна 20° С.
19.5.	На одном конце цилиндрического медного проводника со¬
противлением Rq = 100м (при 0°С) поддерживается температура
t\ = 20°С, на другом <2 = 400°С. Найти сопротивление R про¬
водника, считая градиент температуры вдоль его оси постоянным.
h
ЗАДАЧИ
Закон Ома для участка цепи

§ 19. Основные законы постоянного тока
293
19.6.	Проволочный куб составлен из проводников. Сопроти¬
вление R\ каждого проводника, составляющего ребро куба, равно
7 Z
' /
7 - /
' /
7
'
7 /
Рис. 19.4
1 Ом. Вычислить сопротивление R этого куба, если он включен в
электрическую цепь, как показано на рис. 19.4а.
19.7.	То же (см. задачу 19.6), если куб включен в цепь, как
показано на рис. 19.45.
19.8.	То же (см. задачу 19.6), если куб включен в цепь, как
показано на рис. 19.4е.
19.9.	Катушка и амперметр соединены последовательно и при¬
соединены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен
вольтметр сопротивлением RB = 1к0м. Показания амперметра
/ = 0,5 А, вольтметра U = 100 В. Определить сопротивление R
катушки. Сколько процентов от точного значения сопротивления
катушки составит погрешность, если не учитывать сопротивления
вольтметра?
19.10.	Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до
I = 10 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот
амперметр без шунта, если сопротивление _Ra амперметра равно
0,02 Ом и сопротивление Rw шунта равно 5 мОм?
19.11.	Какая из схем, изображенных на рис. 19.5а, 5, более
пригодна для измерения больших сопротивлений и какая — для
измерения малых сопротивлений? Вычислить погрешность, до-
a	6
Рис. 19.5
пускаемую при измерении с помощью этих схем сопротивлений
R\ = 1 кОм и i?2 = 10 Ом. Принять сопротивления вольтметра RB
и амперметра RA соответственно равными 5 кОм и 2 Ом.

294
Гл. 4. Постоянный электрический ток
Закон Ома для всей цепи
19.12.	Внутреннее сопротивление г батареи аккумуляторов рав¬
но 3 Ом. Сколько процентов от точного значения ЭДС составляет
погрешность, если, измеряя разность потенциалов на зажимах ба¬
тареи вольтметром с сопротивлением RB = 2000м, принять ее
равной ЭДС?
19.13.	К источнику тока с ЭДС £ = 1,5 В присоединили катуш¬
ку с сопротивлением R = 0,10м. Амперметр показал силу тока,
равную 7i = 0,5 А. Когда к источнику тока присоединили пос¬
ледовательно еще один источник тока с такой же ЭДС, то сила
тока I в той же катушке оказалась равной 0,4 А. Определить
внутренние сопротивления г\ и гг первого и второго источников
тока.
19.14.	Две группы из трех последовательно соединенных эле¬
ментов соединены параллельно. ЭДС £ каждого элемента равна
1,2 В, внутреннее сопротивление г = 0,2 0м. Полученная батарея
замкнута на внешнее сопротивление R = 1,5 0м. Найти силу тока
I во внешней цепи.
19.15.	Имеется N одинаковых гальванических элементов с ЭДС
£ и внутренним сопротивлением г, каждый. Из этих элементов
требуется собрать батарею, состоящую из нескольких параллельно
соединенных групп, содержащих по п последовательно соединен¬
ных элементов. При каком значении п сила тока I во внешней
цепи, имеющей сопротивление R, будет максимальной? Чему бу¬
дет равно внутреннее сопротивление Rl батареи при этом зна¬
чении п?
19.16.	Даны 12 элементов с ЭДС £ = 1,5 В и внутренним сопро¬
тивлением г = 0,4 0м. Как нужно соединить эти элементы, чтобы
получить от собранной из них батареи наибольшую силу тока во
внешней цепи, имеющей сопротивление R = 0,3 Ом? Определить
максимальную силу тока /тах-
19.17.	Два одинаковых источника
тока с ЭДС £ = 1,2 В и внутренним
сопротивлением г = 0,40м соедине¬
ны, как показано на рис. 19.6а, б.
Определить силу тока I в цепи и
разность потенциалов U между точ¬
ками А и В в первом и втором слу¬
чаях.
Рис. 19 6	19.18. Два элемента {£\ = 1,2 В,
г\ = 0,1 Ом; £2 — 0,9 В, Г'2 = 0,3 0м)
соединены одноименными полюсами. Сопротивление R соеди¬
нительных проводов равно 0,20м. Определить силу тока I в
цепи.

§ 19. Основные законы постоянного тока
295
Правила Кирхгофа
19.19.	Две батареи аккумуляторов (£\ = 10 В, г\ — 10м; £2 —
= 8 В, Г2 = 2 Ом) и реостат (R = 6 Ом) соединены, как показано
на рис. 19.7. Найти силу тока в батареях и реостате.
Рис. 19.7
Рис. 19.8
19.20.	Два источника тока (£] = 8 В, г\ = 2 0м; £2 = 6 В,
Г2 = 1,5 0м) и реостат {R = 100м) соединены, как показано на
рис. 19.8. Вычислить силу тока /, текущего через реостат.
19.21.	Определить силу тока /3 в резисторе сопротивлением Д3
(рис. 19.9) и напряжение U3 на концах резистора, если £\ — 4 В,
£2 = 3 В, R\ — 2 0м, i?2 = 6 Ом, 7?з = 1 Ом. Внутренними
сопротивлениями источников тока пренебречь.
19.22. Три батареи с ЭДС £\ = 12 В. £2 = 5 В и £ — 10 В
и одинаковыми внутренними сопротивлениями г, равными 1 Ом,
соединены между собой одноименными полюсами. Сопротивление
соединительных проводов ничтожно мало. Определить силы токов
I, идущих через каждую батарею.
Рис. 19.9
Рис. 19.10
Рис. 19.11
19.23.	Три источника тока с ЭДС £\ = 11 В, £2 = 4 В и £3 = 6В
и три реостата с сопротивлениями R\ = 5 0м, R2 — 100м и
Яз = 20м соединены, как показано на рис. 19.10. Определить
силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника
тока пренебрежимо мало.
19.24.	Три сопротивления R\ = 5 Ом, R2 = 1 Ом и R3 = 3 Ом,
а также источник тока с ЭДС £\ — 1,4 В соединены, как показано
на рис. 19.11. Определить ЭДС £ источника тока, который надо
подключить в цепь между точками А и В, чтобы в сопротивлении

296
Гл. 4. Постоянный электрический ток
Из шел ток силой I — 1А в направлении, указанном стрелкой.
Сопротивлением источника тока пренебречь.
Работа и мощность тока
19.25.	Лампочка и реостат, соединенные последовательно, при¬
соединены к источнику тока. Напряжение U на зажимах лам¬
почки равно 40 В, сопротивление R реостата равно 100м. Внеш¬
няя цепь потребляет мощность Р = 120 Вт. Найти силу тока I в
цепи.
19.26.	ЭДС батареи аккумуляторов £ = 12 В, сила тока I ко¬
роткого замыкания равна 5 А. Какую наибольшую мощность Ртах
можно получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей?
19.27.	К батарее аккумуляторов, ЭДС £ которой равна 2 В и вну¬
треннее сопротивление г = 0,5 Ом, присоединен проводник. Опре¬
делить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность,
выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность Р, которая при этом
выделяется в проводнике.
19.28.	ЭДС £ батареи равна 20 В. Сопротивление R внешней
цепи равно 2 0м, сила тока I = 4 А. Найти к.п.д. батареи. При ка¬
ком значении внешнего сопротивления R к.п.д. будет равен 99%?
19.29.	К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагре¬
ватель. ЭДС £ батареи равна 24 В, внутреннее сопротивление г =
= 1 Ом. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мошность
Р = 80 Вт. Вычислить силу тока I в цепи и к.п.д. г) нагревателя.
19.30.	Обмотка электрического кипятильника имеет две сек¬
ции. Если включена только первая секция, то вода закипает через
<1 = 15 мин, если только вторая, то через = 30 мин. Через какое
время закипит вода, если обе секции включить последовательно?
параллельно?
19.31.	При силе тока 1\ = 3 А во внешней цепи батареи акку¬
муляторов выделяется мощность Р\ = 18 Вт, при силе тока I2 =
— 1А — соответственно Р2 = 10 Вт. Определить ЭДС £ и внутрен¬
нее сопротивление г батареи.
19.32.	Сила тока в проводнике сопротивлением г = 100 Ом рав¬
номерно нарастает от Iq = 0 до /тах = 10 А в течение времени
т — 30 с. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это
время в проводнике.
19.33.	Сила тока в проводнике сопротивлением R — 12 Ом рав¬
номерно убывает от То = 5 А до J = 0 в течение времени t = 10 с.
Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за ука¬
занный промежуток времени?
19.34.	По проводнику сопротивлением R = 3 Ом течет ток, сила
которого возрастает. Количество теплоты Q, выделившееся в про¬
воднике за время т = 8 с, равно 200 Дж. Определить количество
электричества q, протекшее за это время по проводнику. В момент

§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах
297
времени, принятый за начальный, сила тока в проводнике равна
нулю.
19.35.	Сила тока в проводнике сопротивлением R = 15 Ом рав¬
номерно возрастает от /о = 0 до некоторого максимального зна¬
чения в течение времени т = 5 с. За это время в проводнике вы¬
делилось количество теплоты Q = ЮкДж. Найти среднюю силу
тока (I) в проводнике за этот промежуток времени.
19.36.	Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от
/о = 0 до некоторого максимального значения в течение времени
т = 10 с. За это время в проводнике выделилось количество те¬
плоты Q = 1 кДж. Определить скорость нарастания тока в про¬
воднике, если сопротивление R его равно 3 0м.
§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
• Плотность тока j, средняя скорость (v) упорядоченного движения
носителей заряда и их концентрация п связаны соотношением
j = en(v),
где е — элементарный заряд.
•	Закон Ома в дифференциальной форме
j = 7E,
где 7 — удельная проводимость проводника; Е — напряженность элек¬
трического поля.
•	Закон Джоуля Ленца в дифференциальной форме
w = 'уЕ2,
где w — объемная плотность тепловой мощности.
• Удельная электрическая проводимость
1	е2п(1)
2	mu
где ей m — заряд и, масса электрона; п — концентрация электронов;
(I) — средняя длина их свободного пробега; и — средняя скорость хао¬
тического движения электронов. Удельная электрическая проводимость
измеряется См/м (Сименс на метр).
• Закон Видемана Франца
где А — теплопроводность.

298
Гл. 4. Постоянный электрический ток
• Термоэлектродвижушая сила, возникающая в термопаре,
£ = а(7\-Т2),
где а — удельная термо-ЭДС; (7\ — Т2) — разность температур спаев
термопары.
• Законы электролиза Фарадея. Первый закон
m = kQ,
где m — масса вещества, выделившегося на электроде при прохожде¬
нии через электролит электрического заряда Q\k — электрохимический
эквивалент вещества.
Второй закон
где F — постоянная Фарадея (F = 96,5кКл/моль); М — молярная
масса ионов данного вещества; Z — валентность ионов.
Объединенный закон
1	М	\М
т = — —Q = — —It,
F	F Z
где I — сила тока, проходящего через электролит; t — время, в течение
которого шел ток.
• Подвижность ионов
где (v) — средняя скорость упорядоченного движения ионов; Е — на¬
пряженность электрического поля.
•	Закон Ома в дифференциальной форме для электролитов и газов
при самостоятельном разряде в области, далекой от насыщения,
j = Qn{b+ + Ь-)Е,
где Q — заряд иона; п — концентрация ионов; b+nb — подвижности
соответственно положительных и отрицательных ионов.
•	Плотность тока насыщения
(V)
./наг — Qn^d,
где По — число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема
в единицу времени; d — расстояние между электродами [п0 — N/(Vt),
где N — число пар ионов, создаваемых ионизатором за время t в про¬
странстве между электродами; V — объем этого пространства].
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. По железному проводнику, диаметр d сечения которого
равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определить среднюю скорость {v) напра¬
вленного движения электронов, считая, что концентрация п свободных
электронов равна концентрации и! атомов проводника.

§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах
299
Решение. Средняя скорость направленного (упорядоченного) дви¬
жения электронов определяется по формуле
(v) =	(1)
где t — время, в течение которого все свободные электроны, находящи¬
еся в отрезке проводника между сечениями I и II, пройдя через сечение
II (рис. 20.1), перенесут заряд Q = eN и создадут ток
T_Q_eN_
t t ’
элементарный заряд; N — число электронов в отрезке провод-
— его длина.
где е —
ника; I -
I	и
Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно
выразить следующим образом:
N = nV = nlS,
где S — площадь сечения.
По условию задачи, п — п1. Следовательно,
_ I _ Nа _ Na Nap
П~П ~ Vm~ М/р - М ’
(3)
(4)
где TVa — постоянная Авогадро; Vm — молярный объем металла; М —
молярная масса металла; р — его плотность.
Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство
(3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим
г _ NAplSe
Mt '
Отсюда найдем
IMt
NApSe
Подставив выражение I в формулу (1), сократив на t и выразив пло¬
щадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость
направленного движения электронов:
(v) =
AIM
ncPNApe

300
Гл. 4. Постоянный электрический ток
(v) =
Произведем по этой формуле вычисления:
4 • 16 • 56 • 10-3
3,14 • (0,6 • 10-3)2 • 6,02 • 1023 • 98 • 10~9
1	А • (кг/моль)
1,6 • 10 19 м2 • моль-1 • (кг/м3) • Кл
= 4,20 • 10 3 м/с = 4,20 мм/с.
Пример 2. В цепь источника постоянного тока с ЭДС £ = 6В
включен резистор сопротивлением R = 800м. Определить: 1) плот¬
ность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения
S = 2 мм2; 2) число N электронов, проходящих через сечение проводов
за время t = 1с. Сопротивлением источника тока и соединительных
проводов пренебречь.
Решение. 1. Плотность тока по определению есть отношение силы
тока / к площади поперечного сечения провода:
3 =
/
S'
Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома:
(5)
I =
R + Ri + г,'
(6)
где R — сопротивление резистора; R] — сопротивление соединительных
проводов; Ti — внутреннее сопротивление источника тока.
Пренебрегая сопротивлениями Rx и г* из (6), получим
-I-
Подставив это выражение силы тока в (5), найдем
3 =
RS'
Произведя вычисления по этой формуле, получим
6	В
3 =
80-2-10-6 Ом-м2
= 3,75-104 А/м .
2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сече¬
ние, найдем, разделив заряд Q, протекающий за это время через сечение,
на элементарный заряд:
N =—,
€
или с учетом того, что Q = It и / = £/Я,

§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах
301
Подставим сюда числовые значения величин и вычислим (элемен¬
тарный заряд возьмем из табл. 24: е = 1,6 - 10-19 Кл):
N =
61	Вс
80 • 1,6 • 10-19 Кл-Ом
= 4,69 • 1017 электронов.
Пример 3. Пространство между пластинами плоского конденсатора
имеет объем V — 375 см3 и заполнено водородом, который частично ио¬
низирован. Площадь пластин конденсатора S = 250 см2. При каком
напряжении U между пластинами конденсатора сила тока I, протекаю¬
щего через конденсатор, достигнет значения 2мкА, если концентрация
п ионов обоих знаков в газе равна 5,3 107 см-3? Принять подвижность
ионов Ь+ = 5,4 • 10~4 м2/(В • с),	= 7,4 ■ 10-4 м2/(В ■ с).
Решение. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с на¬
пряженностью Е электрического цоля между пластинами и расстоянием
d между ними соотношением
U = Ed.
(7)
Напряженность поля может быть найдена из выражения ’плотности
тока
j — Qn{b+ + b-)E,
где Q — заряд иона.
Отсюда
Е —
Qn(b+ + b_) Qn(b+ + b-)S'
Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (7), найдем из
соотношения
-I-
Подставив выражения Е и d в (7), получим
IV
и =
Qn(b+ + b-)S2
(8)
Проверим, дает ли правая часть полученной расчетной формулы еди¬
ницу напряжения:
№)
1 А -1 м3
[<3][n][6][52]	1 Кл • 1 м-3[1 м2/(с • В)] м4
1 А • 1 м6 • 1 с • 1 В 1 Кл • 1 В
1 Кл•1 м6
1 Кл
= 1 В.
Подставим в формулу (8) значения величин и произведем вычи¬
сления:
U = 110 В.

302
Гл. 4. Постоянный электрический ток
Пример 4. Определить скорость и (мкм/ч), с которой растет слой
никеля на плоской поверхности металла при электролизе, если плотность
тока j, протекающего через электролит, равна 30 А/м. Никель считать
дву хва лентным.
Решение. Для решения задачи воспользуемся объединенным за¬
коном Фарадея
1	Af
тп = ——It.
F Z
(9)
Будем считать, что электролитическое осаждение никеля идет равно¬
мерно по всей поверхности металла. Тогда массу тп выделившегося за
время t никеля можно выразить через плотность р, площадь S поверх¬
ности металла и толщину h слоя никеля:
тп = pSh.	(10)
Силу тока I выразим через плотность тока и площадь поверхности
металла:
I = jS.	(11)
Подставив в формулу (9) выражения для массы (10) и силы тока (11),
получим
i 1 М
Ph=F~Z3t'	(12)
При неизменной плотности тока нарастание слоя никеля будет проис¬
ходить с постоянной скоростью и, определяемой отношением толщины
слоя, наращенного за некоторый интервал времени, к этому интервалу
(и = h/t). Тогда из формулы (12) следует
1 Mj
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости:
[M][j]	1 кг/моль • 1 А/м2 _1А1м_1А1м
[F][p]	1 Кл/моль • 1 кг/м3 1 Кл 1 А/с М
При этом было учтено, что валентность Z величина неименованная
(безразмерная).
Выпишем значения величин, выразив их в единицах СИ: F = 9,65 х
х 104 Кл/моль (см. табл. 24), М = 58,7Т0-3 кг/моль (см. Периодическую
систему элементов Д. И. Менделеева на форзаце), Z = 2, j = 30 А/м2,
р = 8,8 • 103 кг/м3 (см. табл. 9).
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
и = 1,04 • КГ9 м/с.

§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах
303
ЗАДАЧИ
Ток в металлах
20.1.	Сила тока I в металлическом проводнике равна 0,8 А,
сечение S проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубиче¬
ском сантиметре металла содержится п = 2,5 • 1022 свободных
электронов, определить среднюю скорость (v) их упорядоченного
движения.
20.2.	Определить среднюю скорость (v) упорядоченного движе¬
ния электронов в медном проводнике при силе тока / = 10 А и
сечении S проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждый
атом меди приходится два электрона проводимости.
20.3.	Плотность тока j в алюминиевом проводе равна 1 А/мм2.
Найти среднюю скорость (v) упорядоченного движения электро¬
нов, предполагая, что число свободных электронов в 1 см3 алюми¬
ния равно числу атомов.
20.4.	Плотность тока j в медном проводнике равна ЗА/мм2.
Найти напряженность Е электрического поля в проводнике.
20.5.	В медном проводнике длиной / = 2 м и площадью S попе¬
речного сечения, равной 0,4 мм2, идет ток. При этом ежесекундно
выделяется количество теплоты Q = 0,35 Дж. Сколько электронов
N проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника?
20.6.	В медном проводнике объемом V — 6 см3 при прохожде¬
нии по нему постоянного тока за время t = 1 мин выделилось
количество теплоты Q — 216 Дж. Вычислить напряженность Е
электрического поля в проводнике.
Классическая теория электропроводности металлов
20.7.	Металлический проводник движется с ускорением а =
= 100 м/с2. Используя модель свободных электронов, определить
напряженность Е электрического поля в проводнике.
20.8.	Медный диск радиусом R = 0,5 м равномерно вращается
(и = 104 рад/с) относительно оси, перпендикулярной плоскости
диска и проходящей через его центр. Определить разность потен¬
циала U между центром диска и его крайними точками.
20.9.	Металлический стержень движется вдоль своей оси со ско¬
ростью v = 200 м/с. Определить заряд Q, который протечет через
гальванометр, подключаемый к концам стержня, при резком его
торможении, если длина I стержня равна 10 м, а сопротивление R
всей цепи (включая цепь гальванометра) равно ЮмОм.
20.10.	Удельная проводимость 7 металла равна 107 См/м. Вы¬
числить среднюю длину (I) свободного пробега электронов в ме¬
талле, если концентрация п свободных электронов равна 1028 м~3.

304
Гл. 4. Постоянный электрический ток
Среднюю скорость и хаотического движения электронов принять
равной 106 м/с.
20.11.	Исходя из модели свободных электронов, определить чи¬
сло z соударений, которые испытывает электрон за время t = 1с,
находясь в металле, если концентрация п свободных электронов
равна 1029 м~3. Удельную проводимость 7 металла принять рав¬
ной 107 См/м.
20.12.	Исходя из классической теории электропроводности ме¬
таллов, определить среднюю кинетическую энергию (е) электро¬
нов в металле, если отношение А/7 теплопроводности к удельной
проводимости равно 6,7 • 10-6 В2/К.
20.13.	Определить объемную плотность тепловой мощности w
в металлическом проводнике, если плотность тока j = 10А/мм2.
Напряженность Е электрического поля в проводнике равна 1 мВ/м.
20.14.	Термопара медь -константен с сопротивлением Ri = 5 Ом
присоединена к гальванометру, сопротивление R2 которого равно
100 Ом. Один спай термопары погружен в тающий лед, другой — в
горячую жидкость. Сила тока I в цепи равна 37 мкА. Постоянная
термопары к = 43мкВ/К. Определить температуру t жидкости.
20.15.	Сила тока I в цепи, состоящей из термопары с сопроти¬
влением R\ = 4 Ом и гальванометра с сопротивлением Дз = 80 Ом,
равна 26мкА при разности температур At спаев, равной 50° С.
Определить постоянную к термопары.
Ток в жидкостях
20.16.	При силе тока I = 5 А за время t — 10 мин в электро¬
литической ванне выделилось т = 1,02 г двухвалентного металла.
Определить его относительную атомную массу Аг.
20.17.	Две электролитические ванны соединены последователь¬
но. В первой ванне выделилось mi = 3,9 г цинка, во второй за то
же время m2 = 2,24г железа. Цинк двухвалентен. Определить
валентность железа.
20.18.	Электролитическая ванна с раствором медного купороса
присоединена к батарее аккумуляторов с ЭДС € = 4 В и внутрен¬
ним сопротивлении г = 0,1 Ом. Определить массу т меди, выде¬
лившейся при электролизе за время t = 10 мин, если ЭДС поляри¬
зации £п — 1,5 В и сопротивление R раствора равно 0,5 0м. Медь
двухвалентна.
20.19.	Определить толщину h слоя меди, выделившейся за
время t = 5 ч при электролизе медного купороса, если плотность
тока j - 80 А/м2.
20.20.	Сила тока, проходящего через электролитическую ванну
с раствором медного купороса, равномерно возрастает в течение

§ 20. Ток в металлах, жидкостях и газах
305
времени At = 20 с от /о = 0 до I = 2 А. Найти массу m меди,
выделившейся за это время на катоде ванны.
20.21.	В электролитической ванне через раствор прошел заряд
Q = 193 кКл. При этом на катоде выделился металл количеством
вещества v = 1моль. Определить валентность Z металла.
20.22.	Определить количество вещества v и число атомов N
двухвалентного металла, отложившегося на катоде электролитиче¬
ской ванны, если через раствор в течение времени t = 5 мин шел
ток силой I = 2 А.
20.23.	Сколько атомов двухвалентного металла выделится на
1 см2 поверхности электрода за время t = 5 мин при плотности
тока j = 10 А/м2?
Ток в газах
20.24.	Энергия ионизации атома водорода Е{ = 2,18 • 10~18 Дж.
Определить потенциал ионизации Ui водорода.
20.25.	Какой наименьшей скоростью nmjn должен обладать
электрон, чтобы ионизировать атом азота, если потенциал иони¬
зации Ui азота равен 14,5 В?
20.26.	Какова должна быть температура Т атомарного водо¬
рода, чтобы средняя кинетическая энергия поступательного дви¬
жения атомов была достаточна для ионизации путем соударений?
Потенциал ионизации U\ атомарного водорода равен 13,6 В.
20.27.	Посередине между электродами ионизационной камеры
пролетела «-частица, двигаясь параллельно электродам, и обра¬
зовала на своем пути цепочку ионов. Спустя какое время после
пролета а-частицы ионы дойдут до электродов, если расстояние d
между электродами равно 4 см, разность потенциалов U — 5 кВ и
подвижность ионов обоих знаков в среднем b — 2см2/(В-с)?
20.28.	Азот ионизируется рентгеновским излучением. Опреде¬
лить проводимость G азота, если в каждом кубическом сантиме¬
тре газа находится в условиях равновесия по = Ю7 пар ионов.
Подвижность положительных ионов Ь+ = 1,27см2/(В - с) и отри¬
цательных Ь_ = 1,81 см2/(В • с).
20.29.	Воздух между плоскими электродами ионизационной
камеры ионизируется рентгеновским излучением. Сила тока I, те¬
кущего через камеру, равна 1,2мкА. Площадь S каждого электрода
равна 300 см2, расстояние между ними d = 2 см, разность потенци¬
алов U = 100 В. Найти концентрацию тг пар ионов между пласти¬
нами, если ток далек от насыщения. Подвижность положительных
ионов Ь+ = 1,4см2/(В-с) и отрицательных Ь_ = 1,9см2/(В • с).
Заряд каждого иона равен элементарному заряду.
20.30.	Объем V газа, заключенного между электродами иони¬
зационной камеры, равен 0,5 л. Газ ионизируется рентгеновским
21 Зак. 237

306
Гл. 4. Постоянный электрический ток
излучением. Сила тока насыщения /нас = 4нА. Сколько пар ионов
образуется в 1 с в 1 см3 газа? Заряд каждого иона равен элемен¬
тарному заряду.
20.31.	Найти силу тока насыщения между пластинами кон¬
денсатора, если под действием ионизатора в каждом кубическом
сантиметре пространства между пластинами конденсатора ежесе¬
кундно образуется по = Ю8 пар ионов, каждый из которых несет
один элементарный заряд. Расстояние d между пластинами кон¬
денсатора равно 1см, площадь S пластины равна 100см2.
20.32.	В ионизационной камере, расстояние d между плоскими
электродами которой равно 5 см, проходит ток насыщения плот¬
ностью j = 1СмкА/м2. Определить число п пар ионов, об�