УДК 530.1 @75.8)
ББК 22.3
С 23
Авторы:
В.Л. Гинзбург, Л.М. Левин, Д. В. Сивухин, И. А. Яковлев
Сборник задач по общему курсу физики. В 5 кн. Кн. П. Термодинамика
и молекулярная физика / Гинзбург В. Л., Левин Л.М., Сивухин Д. В.,
Яковлев И. А.; Под ред. Д. В. Сивухина. — 5-е изд., стер. — М.:
ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006. - 176 с. - ISBN 5-9221-0603-1.
В предлагаемом сборнике задач по физике использован опыт преподавания
общего курса физики в МГУ, Московском физико-техническом институте и
Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина. По
степени трудности задачи охватывают широкий диапазон: от самых элемен-
элементарных до задач, стоящих на уровне оригинальных научных исследований,
выполнение которых возможно на основе углубленного знания общего курса
физики.
Сборник состоит из пяти книг: I. Механика. П. Термодинамика и моле-
молекулярная физика. III. Электричество и магнетизм. IV. Оптика. V. Атомная
физика. Физика ядра и элементарных частиц.
Для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
Учебное издание
ГИНЗБУРГ Виталий Лазаревич, ЛЕВИН Лев Михайлович
СИВУХИН Дмитрий Васильевич, ЯКОВЛЕВ Иван Алексеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Книга II
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
Подписано в печать 30.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 13,2. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru	9 785922 Т06030
ISBN 5-9221-0603-1
ISBN 5-9221-0603-1
© В. Л. Гинзбург, Л.М. Левин,
Д. В. Сивухин, И. А. Яковлев, 1977, 2006

Содержание
Предисловие к четвертому изданию	 4
о	Ответы и
Задачи	решения
§ 1. Температура. Термические свойства тел	 5	87
§ 2. Идеальные газы		10	90
§ 3. Работа и количество тепла. Первое начало термоди-
термодинамики		14	91
§ 4. Второе начало термодинамики		26	99
§ 5. Теплопроводность		40	ИЗ
§ 6. Кинетическая теория вещества		46	И9
§ 7. Реальные газы		65	142
§ 8. Поверхностное натяжение		71	147
§ 9. Фазовые превращения. Растворы		11	158
Приложения		172

Предисловие к четвертому изданию
В настоящем издании раздел термодинамики и молекулярной физи-
физики задачника выходит отдельной книгой. По сравнению с предыдущим
изданием объем этого раздела увеличился примерно вдвое. К автор-
авторскому коллективу присоединился И. А. Яковлев, предложивший 57 за-
задач. Несколько задач представлено В. Л. Гинзбургом. Задачи 37, 131,
189, 338, 416 отобраны из материалов, присланных профессором Окс-
Оксфордского университета тер Хааром во время подготовки английского
издания этого задачника. Остальные задачи добавлены мною, часть
их заимствована (часто в переработанном виде) из второго тома моего
«Общего курса физики». Другие задачи публикуются впервые. Многие
из них предлагались студентам Московского физико-технического ин-
института. Идеи некоторых из этих задач принадлежат преподавателям
кафедры физики того же института. Всем лицам, способствовавшим
улучшению и пополнению этого труда, авторский коллектив задачника
приносит глубокую благодарность.
Весь текст задачника заново просмотрен мною, а расположение за-
задач стало более логичным и систематичным. В книге принята сквозная
нумерация формул для каждой задачи, причем начало нумерации мо-
может быть дано в условии задачи, а продолжение — в ответе (например,
формулы B69.1)-B69.3) приведены в условии задачи 269, а формулы
B69.4)-B69.6) — в ответе к этой задаче).
Задачник рассчитан на студентов и преподавателей физических
факультетов университетов, физико-технических институтов и всех
прочих высших учебных заведений, где физика является основной
дисциплиной. По степени трудности задачи охватывают широкий диа-
диапазон — от самых легких до задач, стоящих на уровне оригинальных
научных работ.
Авторы выражают глубокую благодарность заведующему кафедрой
общей физики Киргизского государственного университета доценту
Дж. И. Ибраимову, заведующему кафедрой физики твердого тела про-
профессору Л. В. Тузову, доценту той же кафедры П.М. Козлову и дру-
другим сотрудникам обеих кафедр за внимательный просмотр рукописи,
ценные замечания и рецензирование нового издания нашего сборника
задач.
Д. В. Сивухин

ЗАДАЧИ
§ 1. Температура. Термические свойства тел
1.	В 1829 г. во Флоренции был случайно найден ящик, наполнен-
наполненный термометрами флорентийских академиков A660 г.) со шкалами
в 50°Фл (флорент). Оказалось, что 50°Фл соответствуют 44 °К и 0°Фл
= —15 °R. Найти выражение для перевода шкалы флорентийских гра-
градусов в градусы Цельсия.
2.	Член С.-Петербургской Академии наук И.Н. Делиль в 1733 г.
описал свою термометрическую шкалу. В качестве термометрического
тела он применял ртуть и принимал за нуль температуры температуру
кипящей воды. Объем ртути при этой точке он делил на 100000 частей
(большой термометр) и на 10000 (малый) и наносил соответствен-
соответственные деления на шкалу; оказалось, что ртуть маленького термометра
в тающем льде опустилась до 150-го деления. Найти выражения для
перевода градусов Делиля (малый термометр) в градусы Цельсия.
3.	Академику С.-Петербургской Академии наук И. Брауну 25 де-
декабря 1759 г. впервые удалось заморозить ртуть при морозе на улице
в 199°D (т.е. по шкале Делиля, см. предыдущую задачу). Об этом
Б.Н. Меншуткин в своей книге «М. В. Ломоносов» пишет:
«Погруженный в холодильную смесь ртутный термометр был раз-
разбит, и Браун впервые получил шарик твердой ртути. Она оказалась
мягкой, как свинец, и похожей на полированное серебро. 26 декабря
опыты продолжались уже вместе с Ломоносовым; мороз все крепчал
и к 10 часам утра 26 декабря достиг 212°D... В холодную смесь из
снега, крепкой водки (азотной кислоты) и купоросного масла (серной
кислоты) был помещен ртутный термометр. Дальнейший ход опытов
Ломоносов описывает так: «Не сомневаясь, что она уже замерзла,
вскоре ударил я по шарику медным, при том бывшим циркулом, от чего
тотчас стеклянная скорлупа расшиблась и от ртутной пули отскочила,
которая осталась с хвостиком бывшия в трубке термометра достальные
ртути, наподобие чистой серебряной проволоки, которая как мягкой
металл свободно нагибалась, будучи толщиною в четверть линии. Уда-
Ударив по ртутной пуле после того обухом, почувствовал я, что она имеет
твердость, как свинец или олово. От первого удара, даже до четвертого,
стискивалась она без седин, а от пятого, шестого и седьмого удара
появились щели... И так перестав больше ртуть ковать, резать стал
ножом, и по времени около 20 минут стала она походить на амальгаму
или на тесто, и вскоре получила потерянную свою жидкость, то есть
растопилась при таком великом морозе в 208 градусов».
Найдите из опытов М. В. Ломоносова температуру замерзания рту-
ртути в градусах Цельсия.

Задачи
4.	Термометр в тающем льде показывает температуру to, в парах
воды, кипящей при давлении Н [мм рт. ст.], — tu- Найти выражение
истинной температуры t при любом промежуточном показании термо-
термометра tn в предположении, что трубка термометра делится линиями
шкалы на равные объемы. Температура кипения воды при давлении Н
равна Тн-
5.	Термометр в тающем льде показывает to = —3,0°С, в парах
кипящей при давлении Н = 760 мм рт. ст. воды — tu = 101,4 °С. Ка-
Какую температуру tn покажет термометр в парах кипящего метилового
спирта (t = 66,9°C)?
6.	Два совершенно одинаковых термометра наполнены при 0°С
равными по объему количествами ртути и толуола. Найти отношение
длины / деления, соответствующего 1 градусу, на шкале ртутного
термометра, к длине 1\ деления на шкале толуолового термометра. Ко-
Коэффициент объемного расширения ртути а, толуола а\, коэффициент
линейного расширения стекла /3.
7.	Разобрать, как будет вести себя при разных температурах от 0 до
10°С термометр, наполненный водой. Для каких температур показания
этого термометра будут одинаковыми? Для объема воды в зависимости
от температуры можно принять формулу
V= 1 -0,000061051 + 0,00000773312,
где V — объем при температуре t. Объем при 0°С принят за единицу.
8.	Водородный термометр с постоянным объемом Vq при нагревании
от to = 0°С до t\ изменяет давление от Pq до Р\ мм рт. ст. Определить
температуру газа t\, если коэффициент объемного расширения сосуда
ао, водорода а.
9.	Термометр, погруженный в воду массы m = 6, 7 г, повысил свою
температуру на At = 14,6°С и показывает температуру t = 32,4°С.
Какова температура воды х перед измерением. Водяной эквивалент
термометра к = 0,46кал/°С 0.
10.	Температурная шкала газового термометра обычно строится та-
таким образом, что равным приращениям объема или давления термомет-
термометрического тела соответствуют равные приращения температуры. Даль-
Дальтон A802 г.) предложил иную шкалу, в которой равным приращениям
температуры соответствуют равные относительные приращения объема
идеального газа при постоянном давлении. В дальтоновой шкале, как
и в шкале Цельсия, за нуль температуры принимается температура
тающего льда, а температура паров кипящей при нормальном давлении
воды принята за 100 °С. Выразить температуру г по дальтоновой шкале
через температуру t по шкале Цельсия.
х) Водяным эквивалентом калориметра называется масса воды, теплоем-
теплоемкость которой равна теплоемкости калориметра.

§ 1. Температура. Термические свойства тел
11.	Для измерения температуры термостата применили железную
проволочку, имеющую при температуре 18 °С сопротивление 15 Ом.
В термостате ее сопротивление оказалось равным 18,25 Ом. Опре-
Определить температуру термостата t, если температурный коэффициент
сопротивления железа к = 0,006 °С-1.
12.	Сопротивление линейного болометра из зачерненной плати-
платиновой полоски R= 108 Ом. С какой точностью можно производить
измерения температур при помощи такого болометра, если все сопро-
сопротивления определяются с точностью AR = 0,001 Ом, а температурный
коэффициент сопротивления платины к = 0,0039 °С-1?
13.	Объемное расширение ртути между 0 и 100 °С описывается
уравнением V = Vfo(l + a\t + atf2), где коэффициенты а\ = 1,82 х
х 10~4 °С-1, <%2 = 7, 8 • 10~9 °С~2, а линейное расширение стекла в том
же температурном интервале — уравнением / = /qA + /3\t + /^t2), где
/?i = 8 • 10-6оС-1, fa = 3,5 • 10-9оС-2. Найти связь между темпера-
температурой t и температурой в по шкале ртутного термометра. При какой
температуре t отклонение в — t в рассматриваемом температурном
интервале максимально?
14.	Имеются два газовых термометра с постоянным объемом, в ко-
которых за меру изменения температуры принимается изменение давле-
давления газа. Один термометр наполнен идеальным газом, другой — газом,
подчиняющимся уравнению состояния вида
где 7r(V), ip(V) и в(?) — произвольные функции, зависящие только от
объема и температуры газа соответственно. Термометры градуируются
обычным способом по двум реперным точкам. Показать, что если
в обоих термометрах температуры реперных точек выбраны одинако-
одинаковыми, то показания термометров совпадут при любых температурах.
15.	Каким образом с помощью медицинского термометра можно
измерить температуру человеческого тела, если она ниже температуры
окружающего воздуха, в котором находится человек? Предварительное
охлаждение термометра перед измерением не допускается.
16.	Для определения коэффициента объемного расширения а стек-
стекла взвешивают небольшой стеклянный баллон с оттянутым кончи-
кончиком — сначала пустой, а затем с количествами ртути, необходимыми
для наполнения всего баллона при двух температурах, например 0°С
и t. Пусть то и гп\ — массы ртути при указанных температурах.
Определить коэффициент объемного расширения стекла а, если коэф-
коэффициент объемного расширения ртути а\.
17.	Стеклянный шарик с коэффициентом объемного расширения а
взвешивается в жидкости при температурах t и t\. Массы вытесненной
жидкости соответственно пгипг\. Определить коэффициент объемного
расширения жидкости а\ в интервале температур от t до t\.
18.	Пикнометр при некоторой температуре t заполнен спиртом, мас-
масса которого равна т. Затем пикнометр вместе со спиртом нагревается

Задачи
до температуры t\, и излишек спирта против прежнего уровня уда-
удаляется фильтровальной бумагой. После этого масса спирта оказалась
равной т\. Определить средний коэффициент объемного расширения
спирта а, если коэффициент линейного расширения стекла C.
19. Коэффициент линейного расширения нейзильбера /3 определял-
определялся при помощи рычажного прибора (рис. 1). Длина стержня А при
температуре to = 0°С равна /о — 23,02 см. При нагревании до t\ =
= 99,3°С стрелка второго рычага отклонилась на угол ср = 9°3(У.
Короткое плечо второго рычага DE = а = 2,5 см. Отношение плеч
первого рычага ВС : BD = 1 : 10. Определить величину /3.
Рис. 1
20.	Для определения коэффициентов объемного расширения раз-
разных металлов может быть применен следующий метод. Металлический
стержень массы га с плотностью р при 0°С помещается в стеклянный
баллон с оттянутым кончиком. Баллон заполняется ртутью. Коэффи-
Коэффициенты объемного расширения ртути а и стекла /3 считаются извест-
известными. Массы ртути, заполняющей пространство в баллоне, не занятое
металлом, при 0°С и t равны соответственно Mq и Mt. Плотность
ртути при 0°С равна 5$. На основании этих данных найти коэффициент
объемного расширения х металла.
21.	Для определения истинного коэффициента объемного расши-
расширения жидкостей применяется следующий метод. Два сообщающихся
сосуда наполняются жидкостью, расширение которой исследуется; при
одинаковой температуре обоих сосудов жидкость в них находится на
одной высоте. Если один из сосудов охлаждать тающим льдом, а другой
нагревать в парах кипящей при нормальном атмосферном давлении
воды, то при равновесии уровни жидкостей будут различны. Эта раз-
разность уровней дает возможность вычислить коэффициент объемного
расширения а. Вывести выражение для а.
22.	Барометр имеет латунную шкалу. При температуре t\ = 27 °С
высота ртутного столба, отсчитанная по шкале, равна Н\ = 751,3 мм.
Определить высоту столба Щ при to = 0 °С. Коэффициент линейного
расширения латуни C = 0,000019 °С-1, коэффициент объемного рас-
расширения ртути а = 0,000182°С.
23.	Колесо паровоза имеет радиус го = 1 м при to = 0°С. Опреде-
Определить разницу в числах оборотов колеса летом при температуре t\ =

§ 1. Температура. Термические свойства тел	9
= 25 °С и зимой при температуре t^ = — 25 °С на пути пробега паровоза
I = 100 км. Коэффициент линейного расширения металла колеса C =
= 0,000012 °С-1.
24.	В сосуде, наполненном водой, плавает кусок льда. Изменится
ли уровень воды после того, как лед растает, если окончательная
температура воды останется равной 0°С?
25.	Из кварца параллельно его оси вырезана круглая пластинка,
радиус которой при температуре t\ равен г. Определить площадь
пластинки S при температуре t^. Коэффициент расширения кварца
параллельно оси /Зц, а перпендикулярно к ней /3±.
26.	Из кварца вырезан цилиндр, ось которого параллельна оси
кварца. При температуре t\ = 18 °С радиус цилиндра г = 10 мм, а вы-
высота / = 50 мм. Определить объем этого цилиндра V^ при температуре
?2 = 300 °С. Для кварца коэффициент линейного расширения /Зц =
= 0,000072°С, а C± = 0,0000132 °С~1.
27.	Коэффициенты линейного расширения кристалла по трем глав-
главным направлениям равны соответственно /Зх, /Зу, /3Z. (Главные направ-
направления приняты за координатные оси X, Y, Z.) Найти коэффициент
объемного расширения кристалла а, а также коэффициент линейного
расширения /3S вдоль прямой, направление которой характеризуется
единичным вектором s.
28.	Доказать, что если три величины х, у, z связаны функциональ-
функциональным уравнением f(x,y,z) =0, то их производные (dx/dy)z, (dy/dz)x,
(dz/dx)y удовлетворяют соотношению
)=-'- <*¦¦>
29.	Доказать, что коэффициент объемного расширения а, темпе-
температурный коэффициент давления Л и изотермическая сжимаемость 7
физически однородного и изотропного тела связаны соотношением
Voa = PoV\-y,	B9.1)
где Vo и Pq — объем и давление тела при 0 °С.
30.	Коэффициент объемного расширения ртути а при 0°С
и атмосферном давлении равен 0,00018 °С-1. Сжимаемость 7 =
= 0,0000039 атм. Вычислить температурный коэффициент давления
Л для ртути.
31.	На сколько надо увеличить внешнее давление, чтобы сохранить
постоянным объем ртути при нагревании ее от 0 до 10°С. (См. преды-
предыдущую задачу.)
32.	Какую силу F надо приложить к стальному стержню сечением
в 1 см2, чтобы растянуть его настолько же, насколько он удлиняется
при нагревании на At = 1 °С. Коэффициент линейного расширения /3 =
= 12- Ю-^С. Модуль Юнга Е = 2, 1 • 107Н/см2.
33.	Стальной бандаж нагоняется на вагонное колесо при темпе-
температуре t\ = 300°С. Определить силу натяжения Т в бандаже при

10	Задачи
температуре to = 20°С, если сечение бандажа S = 20см2. Модуль
Юнга Е = 2, 1 • 107 Н/см2 и коэффициент линейного расширения /3 =
= 12- Ю-^С-1.
34.	Найти плотность р морской воды на глубине 5 км, если на
поверхности океана плотность р= 1,03 г/см3, а сжимаемость воды
в пределах давлений от 1 до 500 атм равна 7 — 47, 5 • 10~6 атм.
35.	Какое максимальное давление может произвести вода при за-
замерзании? Плотность льда р = 0, 917 г/см3, модуль Юнга для льда Е =
= 2, 8 • 1011 дин/см2, коэффициент Пуассона а = 0, 3.
36.	Имеется несколько часов с маятниками из одинакового мате-
материала, но разной длины. Показать, что если все эти часы выверены
при некоторой температуре t\, то при температуре t<i относительное
изменение хода одинаково для всех часов и не зависит от длины
маятника.
37.	Компенсационный маятник состоит из длинной тонкой нике-
никелевой трубки пренебрежимо малой массы, небольшая часть объема
которой заполнена ртутью. Коэффициент линейного расширения ни-
никеля /3= 1,0- 10~5оС~1, коэффициент объемного расширения ртути
а = 18,0- 10~5оС~1. Какую часть объема трубки следует заполнить
ртутью, чтобы период колебаний маятника не изменялся с изменением
температуры? Для простоты сначала рассматривать маятник как мате-
математический, т. е. считать, что центр качаний его совпадает с центром
масс ртути. Затем учесть несовпадение центра качания с центром масс
ртути.
38.	Любопытное явление, замеченное и объясненное Каноном Мо-
зели, описано Джоном Тиндалем в книге «Теплота, рассматриваемая
как род движения». Тиндаль писал: «Хоры Бристольского собора были
покрыты свинцовыми листами. Длина крыши 60 футов, ширина 19
футов 4 дюйма 0. Свинец был положен в 1851 г., и два года спустя
он всей массой подвинулся вниз на 18 дюймов. Понижение свинца
происходило постоянно с тех самых пор, как им были покрыты хоры.
Попытка остановить его движение вколачиванием гвоздей в стропила
не удалась, потому что сила, с которой опускался свинец, вырывала
гвозди. Крыша была некрутая и свинец мог бы оставаться на ней,
не скользя вниз из-за действия силы тяжести». Объяснить описанное
явление.
§ 2. Идеальные газы
39.	Вычислить для идеального газа следующие величины: коэффи-
коэффициент объемного расширения а, температурный коэффициент давления
Л, изотермическую сжимаемость 7т > изотермический модуль объемной
упругости Кт = — У(дР/дУ)т- (См. задачу 29.)
х) 1 фут = 0,3048 м, 1 дюйм = 25,4 мм.

§ 2. Идеальные газы	11
40.	Пользуясь уравнением Клапейрона PV = RT, убедиться непо-
непосредственным расчетом в справедливости соотношений B9.1) и B9.2).
41.	Имеется смесь различных идеальных газов с массами М\,
М2, М3, ... и относительными молекулярными массами /ib /i2, /^з>
... соответственно 0. Показать, что уравнение состояния такой смеси
М
можно записать в виде PV = — RT, где М = М\ + М2 + Мз + ... —
полная масса смеси, а постоянная /i играет роль средней относительной
молекулярной массы смеси. Найти /i.
42.	Найти плотность р двухатомного кислорода при давлении Р =
= 50атм и температуре t = 27 °С.
43.	Для определения плотности газа поступили следующим обра-
образом. Большой стеклянный баллон емкостью V был наполнен испытуе-
испытуемым газом до давления Н [мм рт. ст.] и взвешен. Его масса оказалась
равной М. Затем часть газа была удалена, и давление его упало до
h [мм рт. ст.]. Новая масса баллона — т. Какова плотность газа при
атмосферном давлении?
44.	Электрическая газонаполненная лампа накаливания наполнена
азотом при давлении в 600 мм рт. ст. Емкость лампы 500 см3. Какое
количество воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой
при нормальном атмосферном давлении?
45.	Найти число ходов п поршня, чтобы поршневым воздушным на-
насосом откачать сосуд емкостью V от давления Р\ до давления Р2, если
емкость хода поршня равна v. Вредным пространством пренебречь.
46.	Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содер-
содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути. Когда
трубка обращена закрытым концом кверху, воздух внутри нее занимает
длину /; когда же трубка обращена кверху открытым концом, то воздух
внутри нее занимает длину V < I. Длина ртутного столбика /г [мм].
Определить атмосферное давление.
47.	Барометрическая трубка погружена в глубокий сосуд со ртутью
так, что уровни ртути в трубке и в сосуде совпадают. При этом воздух
в трубке занимает столб длиною /см. Трубку поднимают на /'см. На
сколько сантиметров А/ поднимается ртуть в трубке? Атмосферное
давление равно Н [см рт. ст.].
48.	Цилиндрическая пипетка длиной / наполовину погружена
в ртуть. Ее закрывают пальцем и вынимают. Часть ртути вытекает. Ка-
Какой длины столбик ртути останется в пипетке? Атмосферное давление
равно Н.
49.	Манометром Мак-Леода нужно измерять давления до
0,1 мм рт. ст. Емкость шара манометра не должна превышать 150 см3,
а длина капилляра не должна превышать 20 см. Каково должно быть
минимальное сечение капилляра?
1) По старой терминологии относительные молекулярная и атомная массы
назывались молекулярным и атомным весами.

12	Задачи
50.	На каком расстоянии от конца капилляра манометра преды-
предыдущей задачи будет находиться черточка, соответствующая давлению
0,00005 мм рт. ст.?
51.	В плохо просушенном баллоне при температуре t = 20 °С со-
содержится смесь воздуха и водяного пара, парциальные давления ко-
которых соответственно равны 0,25 и 0,1мм рт. ст. Определить ошибку
в показании манометра Мак-Леода, подсоединенного к баллону для
измерения давления, если объем баллона манометра V = 50 см3, ра-
радиус капилляра г = 1мм. Упругость водяного пара при 20 °С равна
17,5 мм рт. ст.
52.	Какой объем занимает моль идеального газа при давлении Затм
и температуре Т = 400 К?
53.	Плотность воздуха при температуре 0°С и давлении
760 мм рт. ст. равна 0,001293 г/см3. Определить массу литра воздуха
при температуре 27,3 °С и давлении 750 мм рт. ст.
54.	Аэростат объемом V м3 наполнен водородом при температуре
t\ = 15 °С. При неизменном давлении атмосферы под влиянием сол-
солнечной радиации его температура поднялась до t^ = 37 °С, а излишек
газа вышел через аппендикс, благодаря чему масса аэростата с газом
уменьшилась на М = 6,05 кг. Плотность водорода ро — 0, 000089 г/см3.
Определить объем аэростата V.
55.	Действием кислоты на некоторое количество мрамора (СаСОз)
получено V = 1320 см3 углекислоты при температуре t\ = 22 °С и дав-
давлении Р = 1000 мм рт. ст. Определить массу М вошедшего в реакцию
мрамора. Плотность СО2 при 0°С и давлении 760 мм рт. ст. равна ро =
= 0,001977 г/см3.
56.	Фабричная труба высотой / = 50 м выносит дым при температу-
температуре t\ = 60 °С. Определить статическое давление Р, производящее тягу
в трубе. Температура воздуха ^ = —10°С. Плотность воздуха ро =
= 1,29- Ю-3 г/см3.
57.	В ртутном барометре с правильной цилиндрической баромет-
барометрической трубкой расстояние от уровня ртути в чашке до запаянного
конца трубки равно L. В трубку при нормальном барометрическом
давлении Н и температуре t\ попал пузырек воздуха, благодаря чему
длина ртутного столба уменьшилась и стала равной h\. Найти выра-
выражение для поправки р\, прибавляя которую к показанию h барометра,
можно было бы пользоваться последним при любых температурах t
и любых высотах h ртутного столба.
58.	Давление воздуха, заключенного в закрытом колене манометра
длины /, уравновешивает столб ртути длиной h при барометрическом
давлении Щ и абсолютной температуре То. Какой столб ртути h\
будет уравновешивать давление этого воздуха при барометрическом
давлении Н\ и температуре Т\?
59.	В тонкостенный сферический баллон массы М = 1 кг нагнета-
нагнетается азот при температуре Т = 300 К. Найти максимальное количество

§2. Идеальные газы	13
азота, которое можно поместить в сосуд, если допустимое напряжение
в стенках баллона а = 50Н/мм2. Плотность стали р = 7, 8 г/см3.
60.	Мощностью насоса или скоростью откачки К называется вели-
величина объема газа, откачиваемая насосом в 1 с и измеряемая при том
давлении, которое имеется в рассматриваемый момент времени в на-
насосе. Вообще говоря, она зависит от давления. Считая К постоянной,
найти изменение давления Р внутри откачиваемого сосуда, если насос
и сосуд сообщаются капилляром длины / и диаметра D, а газ в сосуде
настолько разрежен, что длина свободного пробега молекул в откачи-
откачиваемом сосуде очень велика по сравнению с D. Согласно Кнудсену
(см. задачи 425 и 426), при таких условиях масса газа, протекающая
ежесекундно по капилляру, на концах которого давления равны Р\
Г) 	 73	1	I rj1
и Р2, определяется выражением —	-, где w = 2, 18 • 104—т w — ,
w	D6 у \i
Т — абсолютная температура газа, /i — его относительная молекуляр-
молекулярная масса. Все величины измеряются в системе СГС.
61.	Скорость откачки вращающегося масляного насоса 150см3/с.
Сколько потребуется времени, чтобы колбу в 5л откачать от нормаль-
нормального атмосферного давления до давления в 1 • 10~2мм рт. ст.?
62.	Через какое время г насос Ленгмюра откачает двухлитро-
двухлитровый баллон с воздухом от давления Pq = 10~3 мм рт. ст. до Р =
= 10~5 мм рт. ст., если баллон соединен с насосом трубкой дли-
длины / = 25 см и диаметра D = 7 мм? Скорость откачки насоса К =
= 1000см3/с. Температура воздуха t = 18 °С.
63.	Два сосуда А и В с воздухом соединены между собой капил-
капилляром с краном. Сосуд А погружен в водяную ванну температурой
t\ = 100 °С, а сосуд В — в охлаждающую смесь с температурой t^ =
= — 20 °С. Вначале сосуды были разобщены друг от друга краном,
и давления воздуха в сосуда А и В были равны соответственно Р\ =
= 400 мм рт. ст. и Р2 = 150 мм рт. ст. Найти давление, установившееся
после открытия крана, если объем А равен V\ = 250см3, а объем В
равен V2 = 400 см3.
64.	Показать, что результирующая всех сил давления реального
газа на стенки вертикального закрытого цилиндрического сосуда, в ко-
котором заключен газ, при любой длине цилиндра тогда и только тогда
равна весу газа, когда плотность газа определяется барометрической
формулой
|^|	F4.1)
где \i — относительная молекулярная масса газа, R — газовая по-
постоянная, Т — температура и g — ускорение свободного падения.
Температура газа предполагается одинаковой во всем цилиндре, а газ
находится в равновесии.

14	Задачи
§ 3. Работа и количество тепла. Первое начало
термодинамики
65.	В калориметр с водой массы т\ погружен кусок льда массы
ni2. Определить температуру воды t после того, как лед растаял, если
начальная температура воды была равна t\, а льда — 0°С. Удельная
теплота плавления льда равна q.
66.	Какое количество воды т при температуре to = 20 °С можно
заморозить испарением М = 100 г серного эфира, имеющего темпера-
ТУРУ t\ = 20 °С, удельные теплоемкость сэ = 0, 5кал/(г-°С) и теплоту
испарения q3 = 90 кал/г (при условии, что теплота испарения берется
исключительно за счет воды)? Считать теплоту испарения эфира не
зависящей от температуры.
67.	Для определения удельной теплоемкости цинка с^ кусок его
массы 1712 = 235,6 г нагрет до температуры t^ = 99, 3 °С и опущен в ла-
латунный калориметр. Удельная теплоемкость латуни с\ = 0,093 кал/(г х
х °С), масса калориметра и мешалки т\ = 100 г, масса воды m =
= 209, 3 г; начальная температура калориметра и воды to = 20, 5°С.
Температура воды в калориметре повысилась до t = 27,6°С. Опреде-
Определить удельную теплоемкость цинка.
68.	Две жидкости нагреваются в одинаковых сосудах одним и тем
же электрическим током, для чего в каждый сосуд вставлены одинако-
одинаковые проволочные сопротивления. В первом сосуде жидкость нагрелась
от to до t\. Масса жидкости в первом сосуде га, удельная теплоем-
теплоемкость с, полная теплоемкость первого сосуда С\. Определить удельную
теплоемкость жидкости с', налитой во второй сосуд, если за то же
время она нагрелась от t' до t[, полная теплоемкость второго сосуда
С[, а масса жидкости в нем га/'.
69.	Вода при соблюдении необходимых предосторожностей может
быть переохлаждена до температуры t = —10 °С. Какая масса льда
га образуется из М = 1 кг такой воды, если бросить в нее кусочек
льда и тем вызвать замерзание? Теплоемкость переохлажденной воды
считать не зависящей от температуры и равной теплоемкости обычной
воды.
70.	1 г водорода, сгорая и превращаясь в воду, выделяет 34 000 кал
тепла. Сколько граммов угля надо сжечь для диссоциации 1 г воды,
если из выделяемой углем теплоты используется 50%? Удельная теп-
теплота сгорания угля равна 7000 кал/г.
71.	В приборе, предназначенном для определения механическо-
механического эквивалента теплоты, мешалка, снабженная лопатками, вращается
внутри наполненного водой калориметра. Трение воды о стенки калори-
калориметра вызывает силу, стремящуюся вращать калориметр в направлении
вращения мешалки. Но вращению его препятствует груз массы га,
висящий на нити, перекинутой через блок и прикрепленной к крышке
калориметра на шкиве радиуса R. При таком устройстве момент силы

§3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики 15
тяжести груза постоянен и противоположен по знаку моменту сил тре-
трения, действующих на стенки калориметра со стороны жидкости. Груз
при вращающейся мешалке не падает и не поднимается. Определить
механический эквивалент Е, если температура повысилась на At после
того, как мешалка сделала N оборотов. Масса воды в калориметре М,
w — его водяной эквивалент.
72.	Какую скорость v должна иметь свинцовая пуля, чтобы при уда-
ударе о стальную плиту она расплавилась? Температура пули to = 27 °С,
температура плавления t\ = 327 °С, удельная теплота плавления свин-
свинца q = 5 кал/г, удельная теплоемкость свинца с = 0,03 кал/(г • °С).
73.	Выразить в системе СГС теплоту Q, затраченную на нагревание
свинцового шарика массы т = 100г на (t\ —to) = 10°С. Удельная
теплоемкость свинца с = 0,0307 кал/(г • °С).
74.	На диаграмме Р, V, изображенной на рис. 2, показаны различ-
различные обратимые процессы изменения состояния некоторой термодинами-
термодинамической системы. Известно, что когда си-
система переходит из состояния / в состоя-
состояние 2 по пути 132, то она получает Q132 =
= 80 Дж тепла и при этом совершает ра-
работу Ai32 = 30 Дж.
1)	Какое количество тепла Qi42 по~
лучит система, переходя из состояния /
в состояние 2 по пути 142, если известно,
что при этом она совершает работу А\42 =
= 10 Дж?
2)	Система возвращается из состояния
2 в состояние / по пути 21. Совершенная
при этом над системой внешняя работа
равна А21 = 20 Дж. Какое количество тепла
этого процесса?
3)	Найти количества тепла Qh и ??42> поглощаемые системой в про-
процессах 14 и 42, если разность внутренних энергий \]\ — U\ = 40 Дж 0.
75.	При сгорании 12 г твердого углерода в углекислый газ СО2
выделяется Q\ = 97 000 кал, а при сгорании 28 г окиси углерода СО
выделяется Q% = 68 000 кал. Какое количество тепла Q выделилось бы
при сгорании 12 г твердого углерода, если бы в результате сгорания
получалась только чистая окись углерода?
3
1
1
2
4
V
Рис. 2
отдаст система в ходе
1) Работу, производимую системой, и количество тепла, получаемое ею,
мы обозначаем через А и Q соответственно; работу же, производимую над
системой, и количество тепла, отдаваемое ею, — через А' и Q'. Если А и Q —
величины отрицательные, то это означает, что в действительности работа
производится над системой и последняя отдает тепло. Если же отрицательны
А' и Q', то система производит положительную работу и ей сообщается
положительное тепло.

16	Задачи
76.	При сгорании водорода при 100 °С с образованием одного моля
водяного пара выделяется Q\ = 58 000 кал. При конденсации одного
моля водяного пара при 100 °С выделяется Q^ = 9700 кал. Найти теп-
теплоту образования одного моля жидкой воды Q из водорода и кислорода
при той же температуре.
77.	При полном сгорании моля метана в углекислоту и воду вы-
выделяется Q\ = 887 кДж. При образовании из элементов моля воды
выделяется Q% = 287 кДж, а при полном сгорании углерода с образова-
образованием моля СО2 выделяется тепло Q% = 407 кДж. Определить теплоту
Q образования моля метана из твердого углерода и газообразного
водорода.
78.	Согласно закону Джоуля внутренняя энергия идеального газа
зависит только от его температуры и не зависит от давления. Пользу-
Пользуясь этим и уравнением Клапейрона, показать, что энтальпия / = U +
+ PV идеального газа не зависит от давления, а является функцией
только его температуры.
79.	Доказать, что если начальные и конечные продукты реакции
являются идеальными газами, то 1) тепловой эффект реакции при
постоянном объеме не зависит от объемов газов после реакции, 2)
тепловой эффект реакции при постоянном давлении не зависит от
давлений газов.
80.	Рассматривая воздух как идеальный газ, показать, что при
нагревании воздуха, находящегося в комнате, его внутренняя энергия
не изменяется, если только внешнее давление остается постоянным.
81.	В комнате в течение некоторого времени был включен нагре-
нагреватель. При этом температура воздуха поднялась от t\ до t^, давление
же его не изменилось и осталось равным давлению вне здания. Считая
воздух идеальным газом, найти количество тепла Q, которое пошло на
увеличение внутренней энергии воздуха, находящегося в комнате.
82.	Моль идеального газа изотермически расширяется (или сжима-
сжимается) от объема V\ до объема V^. Определить совершаемую им работу
А и количество тепла Q, сообщенное газу.
83.	Определить количество тепла Q', выделяющееся при изотерми-
изотермическом сжатии т = 7 г азота, если при этом давление газа повышается
в п = 50 раз. Определить также работу А', которую надо затратить на
это сжатие. Температура газа t = 27 °С.
84.	Найти механический эквивалент тепла, зная, что для воздуха
ср = 0, 237 кал/(г • °С) и 7 = cp/cv = 1,41. Относительная молекуляр-
молекулярная масса воздуха /i = 28, 84.
85.	Политропическим процессом называется процесс, происходя-
происходящий с постоянной теплоемкостью С. Кривая, изображающая полит-
политропический процесс, называется политропой. Найти уравнение полит-
политропы для идеального газа, теплоемкость Су которого не зависит от
температуры. Рассмотреть частные случаи: 1) С = Су, 2) С = Ср, 3)
С = 0, 4) С = оо.

§3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики 17
Рис. 3
86.	При каких значениях показателя политропы п идеальный газ
нагревается при сжатии, а при каких охлаждается?
87.	1) Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расши-
расширяется по закону PV2 = const? 2) Какова его молярная теплоемкость
при этом процессе?
88.	Решить предыдущую задачу для идеального газа, расширяюще-
расширяющегося по закону P2V = const.
89.	При некотором политропическом процессе гелий был сжат от
начального объема в 4 л до конечного объема в 1 л. Давление при этом
возросло от 1 до 8 атм. Найти тепло-
теплоемкость С всей массы гелия, если его
начальная температура была 300 К.
90.	Вычислить молярную теплоем-
теплоемкость идеального газа для процесса,
в котором давление Р пропорциональ-
пропорционально объему V. Теплоемкость Су не
зависит от температуры.
91.	На диаграмме Р, V (рис. 3)
через произвольную точку А проведе-
проведена изотерма ТТ и адиабата SS для
идеального газа, теплоемкость Су ко-
которого не зависит от температуры.
Показать, что политропе, проходящей
через А и лежащей в заштрихованной области, соответствует отри-
отрицательная теплоемкость, а политропе в незаштрихованной области —
положительная теплоемкость.
92.	Найти уравнение процесса для идеального газа, при котором
теплоемкость газа меняется с температурой по закону С = аТ, где а —
постоянная.
93.	Состояние идеального газа изменяется по
политропе Р = kV. Найти работу, совершаемую
молем газа при повышении его температуры от
Тх до Т2.
94.	Моль идеального газа нагревают в ци-
цилиндре под поршнем, удерживаемым в положе-
положении равновесия пружиной, подчиняющейся зако-
закону Гука (рис. 4). Стенки цилиндра и поршень
адиабатические, а дно проводит тепло. Началь-
Начальный объем газа Vo, при котором пружина не
деформирована, подобран так, что PqS2 = kVo,
где Pq — наружное атмосферное давление, S —
площадь поршня, к — коэффициент жесткости
пружины. Найти теплоемкость газа для этого
процесса.
95. Боковые стенки цилиндра АС и BD, его крышка CD и поршень
MN сделаны из материала, не проводящего тепло (рис. 5). Дно АВ
Рис. 4

18
Задачи
С
В
Рис. 5
проводит тепло. Поршень MN может двигаться в цилиндре без трения.
Сверху и снизу поршня находится по одному молю одного и того же
идеального газа с молярной теплоемкостью
при постоянном объеме Су и показателем
адиабаты 7- Первый газ в нижней части
цилиндра квазистатически нагревают (или
охлаждают), вследствие чего поршень MN
перемещается. Выразить теплоемкость пер-
первого газа С\ при таком процессе через объ-
объемы газов V\ и V2. Чему равна при этом
теплоемкость второго газа Cfi
96.	Как изменится ответ предыдущей
задачи, если верхнюю крышку CD сде-
сделать теплопроводящей, а температуру га-
газа в верхней части цилиндра поддерживать
постоянной?
97.	Вычислить работу одного моля иде-
идеального газа в политропическом процессе,
если объем газа изменяется от начального
значения V\ до конечного значения V^.
98.	Путем предельного перехода п —> 1 получить из ответа преды-
предыдущей задачи выражение для работы идеального газа при изотермиче-
изотермическом процессе.
99.	Найти изменение внутренней энергии АС/ массы азота при его
квазистатическом адиабатическом расширении от объема V\ = Юл,
занимаемого при нормальном давлении Р\, до объема У% = 320л.
100.	Найти изменение внутренней энергии АС/ моля идеального
одноатомного газа, изобарически расширившегося от объема V\ = Юл
до объема У% = 20 л при давлении Р = 5атм.
101.	Какое количество тепла Q потребуется на нагревание 1 м3
воздуха от 0 до 1 °С при постоянном объеме и начальном давлении
Р = 760 мм рт. ст.? Плотность воздуха при нормальных условиях ро —
= 0,00129 г/см3, сР = 0,237кал/(г-°С), >y = cP/cv = 1,41.
102.	Решить предыдущую задачу в предположении, что воздух
нагревается не от 0 до 1 °С, а от 91 до 92 °С.
103.	Какое количество тепла Q нужно сообщить 75 г водных паров,
чтобы нагреть их от 100 до 250 °С при постоянном объеме?
104.	1 м3 водорода при 0°С находится в цилиндрическом сосуде,
закрытом сверху легкоскользящим невесомым поршнем. Атмосферное
давление 730 мм рт. ст. Какое количество тепла Q потребуется на на-
нагревание водорода до 300 °С?
105.	Смешано т = 4,032 г водорода с т\ = 32 г кислорода. Их
удельные теплоемкости ср = 3, 50кал/(г- °С) и ср\ = 0,218кал/(гх
х °С). Определить уменьшение внутренней энергии АС/ этой смеси
при охлаждении ее на At = 20 °С при постоянном объеме. Для обоих
газов 7 = 1,40.

§3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики 19
106.	В объеме Vo при температуре t = 0°С содержится v молей
водорода и и/2 молей кислорода. Найти выражение для максимального
давления Pt при той же температуре водяного пара, полученного при
взрыве смеси, если молярная теплоемкость водяного пара С, а моляр-
молярная теплота образования воды из кислорода и водорода Q?
107.	Два теплоизолированных сосуда с объемами V\ = 1 л и V^ =
= 3 л соединены трубкой с краном. До открытия крана в первом сосуде
содержался азот под давлением Р\ = 0, 5 атм при температуре t\ = 0°С,
а во втором — аргон под давлением Р% = 1,5 атм при температуре
?2 = 100°С. Определить, какие давление и температура установятся
в смеси газов, если открыть кран.
108.	Показать, что закон Дальтона для смеси газов, имеющих
одинаковое значение 7 — Ср /Су и химически не реагирующих друг с
другом, есть следствие закона сохранения энергии.
109.	Определить удельную теплоемкость cv смеси 50% по весу
водорода и гелия, заключенной в объеме V = 1 л при температуре 27 °С
и давлении Р = 800 мм рт. ст. Молярные теплоемкости водорода Н2
Су\ = 5 калДмоль • °С) и гелия Су2 = 3 калДмоль • °С).
110.	При некоторых условиях а% молекул водорода диссоциирова-
диссоциировано на атомы. Найти молярную теплоемкость Су этого газа при а = 25.
Молярные теплоемкости атомарного водорода Су\ = 2, 94 калДмоль х
х °С), молекулярного водорода Су2 = 4,9 калДмоль • °С).
111.	Какое количество тепла Q' отдает моль одноатомного иде-
идеального газа при его изобарическом обратимом охлаждении, если на
сжатие газа в ходе этого процесса затрачена работа А = 10 Дж?
112.	Какое количество тепла Q потребовалось подвести к молю
одноатомного газа при его изобарическом обратимом нагревании, если
в процессе нагревания газ совершил
внешнюю работу А = 10 Дж?
113.	Какое количество тепла Q от-
отдает моль одноатомного идеального га-
газа при его изобарическом обратимом
охлаждении от температуры Т\ до тем-
температуры T%, если на сжатие газа в ходе
этого процесса затрачена работа А =
= 12 Дж?
114.	Моль идеального газа с моляр-
молярной теплоемкостью Су = %^ ТРИ Раза
обратимо переводится из состояния /
в состояние 2 в результате поочередно-
поочередного выполнения трех различных термо-
термодинамических процессов: 132, 142 и 12 (рис. 6). Найти количества
тепла Qi32> Q\A2 и Qi2> получаемые газом в ходе каждого из этих
процессов. Найти молярную теплоемкость С\2 газа для процесса 12.
Все результаты выразить через газовую постоянную R и температуру
Т\ газа в состоянии /.
Pi\
3
i
/
'/•
1
2
4
V,
Рис. 6
V

20	Задачи
115.	В сосуде емкостью V = Юл находится кислород О2 под дав-
давлением Ро = 1 атм. Стенки сосуда могут выдержать давление до Р\ =
= Юатм. Какое максимальное количество тепла Q можно сообщить
газу?
116.	Воздух, находящийся в трубке «воздушного огнива» при тем-
температуре t\ = 17 °С, подвергается адиабатному сжатию от давления
Р\ = 1 атм до давления Р^ = Юатм. Найти температуру воздуха после
сжатия, если отношение 7 — Ср/Су для воздуха равно 1,4. Считать
применимым уравнение адиабаты. «Воздушным огнивом» называет-
называется закрытый с одного конца цилиндр с толстыми адиабатическими
стенками, внутрь которого можно быстро вдвигать поршень и таким
путем воспламенять пары эфира, подмешанные к воздуху. (Вместо
эфира можно взять кусочек пироксилиновой ваты, положенный на дно
цилиндра или прикрепленный к поршню.)
117.	Объем воздуха, находящегося в трубке «воздушного огнива»,
уменьшается в 10 раз. Найти температуру воздуха после уменьше-
уменьшения его объема, если начальная температура воздуха была 17 °С.
(См. предыдущую задачу.)
118.	Найти адиабатический модуль объемного сжатия идеального
газа Кая = — V(dP/dV)ajx и сравнить его с изотермическим модулем
объемного сжатия Кт = —У{дР/дУ)т- (См. задачу 39.)
119.	Чему равно отношение 7 = Ср/Су для аргона, если при
нагревании 1 кг аргона на 2°С при постоянном давлении 760 мм рт. ст.
требуется 250 кал, а при охлаждении его от 100 до 0°С при давлении
10 атм в постоянном объеме 5 л выделяется 500 кал?
120.	Для аргона отношение 7 — Ср/Су = 1,68. Определить дав-
давление Р2, получившееся после адиабатического расширения этого газа
от объема V\ = 1 л до объема У% = 2 л, если начальное давление Р\ =
= 1 атм.
121.	Для определения 7 = Ср/Су иногда применяется следующий
метод. Определенное количество газа, начальная температура, объем
и давление которого соответственно равны to, Vo и Pq, нагревается
платиновой проволокой, через которую проходит электрический ток
в течение определенного времени: один раз при постоянном объеме,
причем газ достигает температуры t\ и давления Р\ (объем Vo), другой
раз при постоянном давлении, причем температура становится рав-
равной ^2, а объем V\ (давление Pq). Показать, что
_ (Л - Ро)Уо
1 (Vi-V0)P0'
122.	Для определения Ср/Су методом Клемана-Дезорма (рис. 7)
в сосуд А через кран В нагнетают газ, чтобы давление в нем Р\ было
несколько выше атмосферного. Затем быстро открывают кран С. При
этом газ расширяется адиабатически до атмосферного давления Pq.
Через некоторое время, когда газ в сосуде примет снова температуру

§3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики 21
комнаты, давление его станет Р^. На основании этих данных найти
выражение для 7 = Ср/Су.
С	В.
Рис.7
123.	Для определения отношения удельных теплоемкостей ср и cv
газа измерили период Т\ малых колебаний ртути в U-образной стек-
стеклянной трубке с незапаянными концами. После этого на обе ветви
трубки были насажены большие одинаковые полые стеклянные шары
с исследуемым газом, вследствие чего период колебаний изменился
и стал равным Т^. Считая процесс сжатия и разрежения газа в шарах
адиабатическим, вывести формулу для 7 = cp/cv. Объем каждого шара
равен V [см3], давление газа в них в состоянии покоя h [см рт. ст.],
а площадь поперечного сечения трубки S [см2]. Объемом незаполнен-
незаполненной части трубки можно пренебречь по сравнению с объемом шара V.
124.	Для получения газов при сверхвысоких температурах и дав-
давлениях иногда применяется установка, состоящая из закрытого с од-
одного конца цилиндра-ствола и поршня-пули, влетающей в цилиндр
с открытой стороны. При хорошей обработке ствола и пули удается
добиться малой утечки газа через зазор. Благодаря очень высоким
температурам сильно сжатые газы в этих условиях еще можно считать
идеальными. Оценить верхний предел температуры Т, давления Р
и плотности р аргона, подвергнутого сжатию в такой установке, если
пуля массы га = 100 г влетает в ствол, имеющий объем V = 200см3, с
начальной скоростью v = 250 м/с. Начальные температура и давление
соответственно равны То = 300 К и Pq = 1 атм.
125.	Для измерения теплоемкости газа исследуемый нагретый газ
заставляют протекать через спиральную металлическую трубку (зме-
(змеевик), опущенную в воду калориметра. На одном конце змеевика
поддерживают постоянными давление Р\ и температуру Т\. На выходе
змеевика поддерживают давление Р% и измеряют температуру газа Т^.
По повышению температуры воды в калориметре можно определить
количество тепла, отданное газом. Разделив полученную величину на
понижение температуры и на число молей прошедшего газа, найдем
его молярную теплоемкость. Какая теплоемкость измеряется таким
методом?
126.	В длинной вертикальной цилиндрической трубке, закрытой с
нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса М которого

22	Задачи
велика по сравнению с массой газа, заключенного внутри трубки.
В положении равновесия расстояние между поршнем и дном трубки
равно /о- Определить период малых колебаний, которые возникнут при
отклонении поршня из положения равновесия, в предположении, что
они являются изотермическими, а газ идеальным. Площадь попереч-
поперечного сечения трубки равна S, нормальное атмосферное давление Ро.
Рассмотреть предельный случай, когда Ро — 0.
127.	Решить предыдущую задачу в предположении, что колеба-
колебания — адиабатические. Будет ли сказываться на результате зависи-
зависимость показателя адиабаты 7 для газа от температуры?
128.	Два баллона с объемами V\ и V2, наполненные разными
газами, соединены цилиндрической трубой с площадью поперечного
сечения, равной S. В трубе находится поршень массы М. В положе-
положении равновесия давление газов по обеим сторонам поршня одинаково
и равно Ро. Найти период г малых колебаний, которые возникнут
при отклонении поршня из положения равновесия в предположении,
что процесс сжатия и расширения газов адиабатический. Показатели
адиабат для газов равны соответственно 71 и 72- Объемом трубы по
сравнению с объемами V\ и V^ пренебречь, трение между поршнем
и стенками трубы не учитывать.
129.	Идеальный газ находится в эластичной адиабатической обо-
оболочке под давлением Р\, имея температуру Т\. Определить температуру
газа Т2, которая установится после того, как внешнее давление на
газ скачкообразно изменится до величины Р2. Сравнить изменение
температуры в этом процессе с изменением ее, которое получилось бы,
если бы адиабатический процесс проходил квазистатически.
130.	Выразить показатель адиабаты 7 смеси нескольких идеальных
газов через показатели адиабат 71, 72 > ••• и парциальные давления Р\,
Р2, ... этих газов.
Указание. Воспользоваться выражением для внутренней энергии
идеального газа U = PV/(j — 1).
131.	Двухступенчатый компрессор адиабатически и квазистати-
квазистатически сжимает некоторое количество идеального газа, теплоемкости
которого Ср и Су не зависят от температуры. Сначала газ сжимается
от давления Ро до промежуточного давления Р\. Затем сжатый газ при
постоянном давлении Р\ охлаждается до начальной температуры То.
Наконец, газ сжимается до окончательного давления Р2. При каком
значении промежуточного давления Р\ полная работа компрессора
минимальна и чему она равна? Давления Ро и Pi, а также начальный
объем газа Vo считаются заданными. Как связана минимальная работа
АМИН с работой А\, которую надо было бы затратить на сжатие газа до
того же давления Р2, применяя одноступенчатый компрессор? Найти
эту связь для гелия и воздуха, если Ро = 1 атм, Р2 = 200 атм.
132.	Двухступенчатый компрессор адиабатически и квазистати-
квазистатически сжимает некоторое количество идеального газа, теплоемкости
которого Ср и Су не зависят от температуры. Сначала газ сжимается

§3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики 23
от объема Vo до промежуточного объема V\. Затем сжатый газ при по-
постоянном объеме V\ охлаждается до начальной температуры То. После
этого газ сжимается до объема У%. При каком значении промежуточно-
промежуточного объема V\ полная работа компрессора минимальна и чему она равна?
Объемы Vo и V2, а также начальное давление Pq считаются заданными.
Как связана минимальная работа АМИН с работой А\, которую надо
было бы затратить, чтобы произвести такое же сжатие газа с помощью
одноступенчатого компрессора? Найти эту связь для аргона и азота,
если V0/V2 = 50.
133.	Земная атмосфера нагревается в основном от контакта с зем-
земной поверхностью, поглощающей энергию солнечного излучения. Если
температура воздуха достаточно быстро убывает с высотой, то нагре-
нагретые массы воздуха будут подниматься вверх, адиабатически расширя-
расширяясь и охлаждаясь при этом. Это приводит к конвекции и связанному с
ней нарушению механической устойчивости атмосферы. Каково долж-
должно быть максимальное значение температурного градиента атмосфер-
атмосферного воздуха, чтобы он мог находиться в устойчивом механическом
равновесии? Влияние влажности воздуха не учитывать. Абсолютную
температуру воздуха у земной поверхности принять равной Т = 273 К.
134.	Найти закон изменения давления воздуха с высотой в предпо-
предположении, что температура воздуха равномерно понижается с высотой,
так что температурный градиент постоянен и равен —а. Найти также
давление воздуха как функцию температуры. Получить отсюда форму-
формулы для предельного случая изотермической атмосферы (а = 0).
135.	Какова была бы высота земной атмосферы, если бы темпера-
температурный градиент ее был постоянен и равен —а? Вычислить эту высоту
для частного случая адиабатического расслоения атмосферы, предпо-
предполагая, что температура воздуха у земной поверхности То = 273 К.
136.	Исходя из первого начала термодинамики, найти разность
теплоемкостей Ср — Су для любого физически однородного и изо-
изотропного вещества. Предполагается, что известно уравнение состояния
f(P, V, Т) = 0, а также зависимость внутренней энергии тела от темпе-
температуры и объема: U = U(T,V). (См. также задачи 146, 147, 182, 231.)
137.	Доказать, что адиабатическая и изотермическая сжимаемости
физически однородного и изотропного вещества связаны соотношением
1 (®ХЛ -II (®Х\
V Up Ад ~ 7 V \дР)т'
где 7 — Ср/Су. Показать, что это соотношение является следствием
только первого начала термодинамики и функциональной зависимости
между Р, V и Т (уравнения состояния).
138.	Принимая, что процесс распространения звука в воздухе
изотермический, Ньютон получил следующую формулу для скорости
звука:
v = y/pjp,

24	Задачи
где Р — давление, р — плотность воздуха. Эта формула давала слиш-
слишком малые значения для v. Лаплас принял, что процесс распростра-
распространения звука в воздухе адиабатический, и получил согласующуюся с
опытом формулу
v = л/jP/p,
где 7 — Ср/Су. Объяснить качественно, почему скорость звука по
формуле Лапласа больше, чем по формуле Ньютона. В местах сжатия
воздух нагревается, вследствие чего его упругость по сравнению с
упругостью при таком же изотермическом сжатии увеличивается. В ме-
местах же разрежения воздух охлаждается, а его упругость соответствен-
соответственно уменьшается. Казалось бы, что влияние нагревания в местах сжатия
должно компенсироваться влиянием охлаждения в местах разрежения,
и скорости звука при изотермическом и адиабатическом процессах
должны быть одинаковыми.
139.	Показать, что скорость звука в идеальном газе есть функция
одной только температуры.
140.	Найти производную скорости звука v в идеальном газе по
температуре Т.
141.	Найти увеличение скорости звука в воздухе при нагревании
последнего от 0 до 1 °С.
142.	Скорость звука в воздухе при 0°С составляет 332 м/с. Опре-
Определить скорость звука в водороде при той же температуре. Относитель-
Относительную молекулярную массу воздуха принять равной М = 28, 8.
143.	Зная скорость звука в водороде (см. предыдущую задачу),
вычислить скорость звука в гелии при 0°С.
Указание. Принять во внимание, что водород — двухатомный
газ, а гелий — одноатомный.
144.	Определить 7 — Ср/Су, если скорость звука в воздухе при
температуре 0°С и нормальном давлении Р = 76 см рт. ст. равна v =
= 332 м/с и плотность воздуха р = 0,001292 г/см3.
145.	Найти отношение скоростей распространения звука в водо-
водороде v и в углекислоте v\ при равных температурах. Для водорода
7 = Ср/Су =1,4, для углекислоты 71 — Ср/Су = 1,3. Плотности
водорода р = 0,0000899 г/см3, углекислоты р\ = 0,001977 г/см3 (при
нормальных условиях).
146.	Доказать, что для любого физически однородного тела имеет
место соотношение
дСЛ (дТ\ fdCv\ (дТ\ _1
(Г
{Ср ~ Cv)Wdv + VW)V {w)p Vdv)p {др)у
Это соотношение справедливо для всякой эмпирически определенной
температуры Т и в принципе может служить для проверки первого
начала термодинамики.
147. Газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона PV = RT.
Найти для него разность теплоемкостей Ср — Су, используя только
первое начало термодинамики.

§3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики 25
148.	Найти конечную температуру Т^ и верхний предел скорости v
стационарного потока углекислого газа СО2, вытекающего через сопло
в атмосферу из баллона, где он имел температуру Т\ = 300 К и нахо-
находился под давлением Р\ = Юатм, если давление наружного воздуха
р2 = 1 атм. Показатель адиабаты для СО2 равен 7 — 1,30, удельная
теплоемкость ср = 0,202 кал/(г • °С).
Указание. Применить уравнение Бернулли.
149.	Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре Т\ =
= 273 К, вытекает в атмосферу по трубке, в конце которой он приоб-
приобретает скорость v = 400 м/с. Найти температуру вытекающего воздуха
Т% в конце трубки, а также давление Р\ воздуха в баллоне. Процесс
истечения газа считать адиабатическим.
150.	Определить максимальную скорость, которой может достиг-
достигнуть газ при адиабатическом истечении из баллона, если абсолютная
температура газа в баллоне равна Т.
151.	Найти конечную температуру Т% и верхний предел скорости
v стационарного потока перегретого пара, вытекающего через сопло
в атмосферу из камеры, где он имел температуру Т\ = 600 К и на-
находился под давлением Р\ = 5 атм, если давление наружного воздуха
равно Р% = 1 атм. Перегретый пар считать идеальным газом с молярной
теплоемкостью Ср = AR.
152.	Допустим, что температура горения химического горючего для
ракетных двигателей Т = 3000 К, средняя относительная молекулярная
масса продуктов горения /i = 30 и что истечение продуктов горения
происходит в вакуум адиабатически. Найти, во сколько раз стартовая
масса одноступенчатой ракеты Mq должна превышать ее конечную
массу М, чтобы ракета могла достичь первой космической скорости
v = 8 км/с. Молярную теплоемкость продуктов горения ориентировоч-
ориентировочно принять равной Ср = 8кал/(моль • °С). При вычислении скорости
ракеты силу тяжести и трение о воздух не учитывать.
153.	Тело (например, космический корабль) движется в идеальном
газе со скоростью v. В какой точке тела температура газа будет макси-
максимальной? Определить эту температуру, если температура окружающего
газа равна Т.
154.	Моль идеального газа с постоянной теплоемкостью Су за-
заключен в цилиндр с адиабатическими стенками и поршнем, который
может перемещаться в цилиндре без трения. Поршень находится под
постоянным внешним давлением Р\. В некоторый момент времени
внешнее давление скачкообразно уменьшают или увеличивают до Р%.
(Этого можно достигнуть, снимая часть груза с поршня или добавляя
новый груз.) В результате газ адиабатически изменяет свой объем.
Вычислить температуру и объем газа после того, как установится
термодинамическое равновесие.
155.	В предыдущей задаче, после того как установилось состоя-
состояние равновесия, давление газа снова меняют скачкообразно до пер-
первоначального значения Р\. Вычислить окончательную температуру Хз

26	Задачи
и окончательный объем газа V3, когда он опять придет в состояние
термодинамического равновесия. Показать, что в результате обоих
адиабатических процессов температура и объем газа всегда возраста-
возрастают. Рассмотреть специально случай, когда изменение давления Р% —
— Р\ мало. Определить для этого случая порядок малости изменений
температуры Т% —Т\ и объема V3 — V\.
156. Газ находится в цилиндре с поршнем, нагруженным песком.
Стенки цилиндра и поршень — адиабатические. Снимая песчинку за
песчинкой, производят адиабатическое расширение газа. Затем газ
адиабатически сжимают, кладя обратно на поршень последовательно
по одной песчинке. Пользуясь результатами решения предыдущей за-
задачи, показать, что в предельном случае, когда масса песчинки исче-
зающе мала, а их число бесконечно велико, газ в обратном процессе
пройдет через ту же последовательность равновесных состояний, что и
в прямом процессе.
§4. Второе начало термодинамики
157.	Привести пример процесса, при котором вся теплота, заим-
заимствованная из теплового резервуара, превращается в работу.
158.	Показать непосредственным расчетом, что КПД цикла Карно,
проведенного с газом, термически идеальным, но калорически не иде-
идеальным, определяется выражением
6i -e2
где Bi и в2 — абсолютные температуры нагревателя и холодильника
по шкале газового термометра, наполненного рассматриваемым идеаль-
идеальным газом. Показать, что если температуру в в тройной точке воды
принять равной 273,16°С, то температурная шкала этого термометра
будет совпадать с абсолютной термодинамической шкалой Кельвина.
Примечание. Газ называется термически идеальным, если он
подчиняется уравнению Клапейрона. Термически идеальный газ назы-
называется калорически не идеальным, если его теплоемкость не зависит
от объема, но зависит от температуры.
159.	Каким путем теоретически эффективнее повысить КПД ма-
машины Карно: увеличивая температуру нагревателя Т\ на AT при
фиксированном значении температуры холодильника Т% или понижая
температуру холодильника Т^ на такую же величину AT при фиксиро-
фиксированном значении температуры нагревателя Т\?
160.	Тепловая машина Карно, имеющая КПД г] = 40%, начинает
использоваться при тех же тепловых резервуарах как холодильная ма-
машина. Сколько тепла Q^ эта машина может перевести от холодильника
к нагревателю за один цикл, если к ней за каждый цикл подводится
работа А = ЮкДж?

§4. Второе начало термодинамики
27
161.	Один моль одноатомного идеального газа G = 5/з) совершает
в тепловой машине цикл Карно между тепловыми резервуарами с
температурами t\ = 127 °С и ?2 = 27 °С. Наименьший объем газа в ходе
цикла V\ = 5 л, наибольший — V^ = 20л. Какую работу А совершает
эта машина за один цикл? Сколько тепла Q\ берет она от высокотем-
высокотемпературного резервуара за один цикл? Сколько тепла Q2 поступает за
цикл в низкотемпературный резервуар?
162.	Тепловая машина Карно используется в качестве холодиль-
холодильной машины для поддержания температуры некоторого резервуара при
температуре ?2 = —3°С. Температура окружающего воздуха t\ = 27 °С.
Какая механическая работа требуется для выполнения одного цикла
машины, если при этом от оболочки резервуара отводится Q2 = 900 кал
тепла?
163.	Найти КПД цикла, состоящего из двух изотерм и двух изобар,
предполагая, что рабочим веществом является идеальный газ.
164.	Найти КПД цикла, проводимого с идеальным газом и со-
состоящего из двух изотерм с температурами Т\ и Т2 и двух изохор с
объемами V\ и V2 (Т\ > Т2, V\ > V2).
165.	На рис. 8 изображена диаграмма обратимого цикла, выпол-
выполняемого молем идеального газа в некоторой тепловой машине. Найти:
работы Aik, выполняемые машиной на каждом этапе цикла; количества
тепла Qik, получаемые газом на каждом этапе и КПД цикла, выразив
его как функцию температур Т\, Т2, Т$. Процесс 31 — адиабатический.
—Г,
Рис.
Рис. 9
166.	На рис. 9 изображена диаграмма обратимого цикла, выпол-
выполняемого молем идеального газа в некоторой тепловой машине. Найти
работы Aik, выполняемые машиной, и количества тепла Qik, получа-
получаемые газом на каждом этапе цикла. Найти КПД цикла, выразив его
в функции Т\ и Т2. Процесс 31 — изотермический.
167.	Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего
вещества совершает обратимый цикл, состоящий из изохоры 12, адиа-
адиабаты 23 и изотермы 31 (рис. 10). Рассчитать количества тепла, по-
получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла. Найти КПД

28
Задачи
машины как функцию максимальной Т^ и минимальной Т\ температур,
достигаемых газом в этом цикле.
Рис. 10
Рис. 11
168.	Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего
вещества совершает цикл, состоящий из изотермы 31 при температу-
температуре Т\, изобары 12 и изохоры 23 (рис. 11). Найти количества тепла,
получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла. Найти также
КПД этого цикла как функцию максимальной Т\ и минимальной Т^
температур рабочего вещества, участвующего в цикле.
169.	Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего
вещества совершает обратимый цикл, состоящий из изобары 12, адиа-
адиабаты 23 и изотермы 31 (рис. 12). Найти КПД машины как функцию
максимальной Т\ и минимальной Т^ температур рабочего вещества, ис-
используемого в этом цикле. Найти также количества тепла, получаемые
рабочим веществом на каждом этапе цикла.
Рис. 12
Рис. 13
170. Найти КПД обратимого цикла, изображенного на рис. 13, как
функцию максимальной Т\ и минимальной Т^ температур вещества
в этом цикле. Цикл совершает машина с идеальным газом в качестве
рабочего тела. Найти также количества тепла, получаемые рабочим
веществом на каждом этапе цикла.

§4. Второе начало термодинамики
29
171. Найти КПД обратимой тепловой машины с идеальным газом
в качестве рабочего вещества. Машина совершает цикл, состоящий из
адиабаты 12, изобары 23 и изохоры 31 (рис. 14). Выразить КПД цикла
через максимальную Т\ и минимальную Т3 температуры рабочего ве-
вещества.
Рис. 14
Рис. 15
172. Найти КПД обратимого теплового цикла Отто, состоящего из
адиабат 12, 34 и изохор 23, 41 (рис. 15), если в качестве рабочего тела
используется идеальный газ. Выразить КПД цикла через температуры
газа Т\ и Т% в состояниях / и 2.
i\P
Рис. 16
Рис. 17
173.	Обратимый термодинамический цикл, выполняемый с молем
идеального газа в качестве рабочего вещества, состоит из двух изотер-
изотермических процессов 12, 34 и двух политропических процессов 23, 41
с теплоемкостью газа Со (рис. 16). Найти работы, совершаемые газом,
и количества получаемого им тепла на всех этапах цикла. Найти КПД
тепловой машины, работающей по этому циклу.
174.	Найти КПД цикла Клапейрона, состоящего из двух изотерм
12, 34 и двух изохор 23, 41 (рис. 17), с идеальным газом в качестве
рабочего вещества.

30	Задачи
175. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовавшись
теоремой Карно, доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость фи-
физически однородного и изотропного тела удовлетворяют соотношениям:
(ди\ _т(дР\	(dcv	2
{)Т)Р \
С помощью этих соотношений и уравнения состояния для идеальных
газов доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального
газа зависят только от температуры, но не от объема, занимаемого
данной массой газа.
176. Энтальпией или тепловой функцией физически однородного
и изотропного вещества называется функция состояния, определяемая
выражением / = U + PV. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно
и применив к нему теорему Карно, показать, что энтальпия / и тепло-
теплоемкость Ср удовлетворяют соотношениям:
(дГ\ =V_T(dV_\ (дСр\ =_г
\дР)т	\дт)р' \дР)т
177.	Исходя из второго начала термодинамики, показать, что внут-
внутренняя энергия данной массы идеального газа не зависит от его объе-
объема, а является функцией только температуры (закон Джоуля).
178.	Исходя из второго начала термодинамики, показать, что эн-
энтальпия данной массы идеального газа не зависит от его давления,
а является функцией только температуры.
179.	Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоем-
теплоемкость Су которого не зависит от объема, а зависит только от темпера-
температуры.
180.	Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоем-
теплоемкость Ср которого не зависит от давления, а зависит только от темпе-
температуры.
181.	При 25 °С объем одного моля воды (в см3) для давлений от О
до 1000 атм определяется уравнением
причем в том же интервале давлений
где а = 18,066, Ь = -7, 15 • 10~4, с = 4,6 • 10"8, а = 4, 5 • 10, /3 =
= 1,4- 10~6. Определить работу А, необходимую для сжатия моля
воды от 0 до 1000 атм при 25 °С, и найти приращение ее внутренней
энергии AU.
182.	Известно уравнение состояния физически однородного и изо-
изотропного вещества. Найти разность теплоемкостей Ср — Су для этого
вещества.
Указание. Воспользоваться формулой A36.1).

§4. Второе начало термодинамики	31
183.	Выразить разность удельных теплоемкостей ср — cv физически
однородного и изотропного вещества через температурный коэффици-
коэффициент расширения а = — ( —- ) , изотермический модуль всестороннего
Vq KOI /Р
сжатия К = — V I —-) и плотность вещества р.
\dVjT
184.	Найти разность удельных теплоемкостей ср — cv для
воды и ртути при t = 0°С (Т = 273, 15 К). Для воды а =
= -6,10 • Ю-5 К, К = 2 • 109Н/м2, р = 103кг/м3. Для ртути
сР = 140Дж/(кг-К), а = 1,81 • КГ4 К, К = 2,6- 10ю Н/м2, р =
= 13,6 • 103 кг/м3. В чем причина малой разности ср — cv для воды?
185.	Причина различия между теплоемкостями ср и cv состоит
в том, что при нагревании вещества при постоянном давлении тре-
требуется подводить тепло, идущее на 1) производство работы против
внешнего давления Р и 2) приращение внутренней энергии тела при
изменении его объема, тогда как для нагревания тела при постоянном
объеме этого не требуется. Выяснить (на примере воды и ртути) отно-
относительную роль обоих этих факторов для жидкостей, а также твердых
тел и газов.
186.	Как доказывается в термодинамике, необходимыми условиями
стабильности физически однородного и изотропного вещества являют-
(ш) <0' с->°-
\dV Jt
Используя их, показать, что для любого вещества Ср > 0, причем
СР > Cv.
187.	Внешнее давление, действующее на воду, увеличивают, одно-
одновременно подводя или отводя тепло таким образом, что объем воды
остается неизменным. Нагреется или охладится вода, если начальная
температура была: 1) ниже 4°С; 2) выше 4°С?
188.	Тепловая машина совершает круговой процесс, обмениваясь
теплом с несколькими тепловыми резервуарами (нагревателями и холо-
холодильниками). Пользуясь неравенством Клаузиуса, показать, что КПД
такой машины не может превосходить величину
Т — Т
J- макс -L мин
-t макс
где Тмакс — максимальная, а Тмин — минимальная температуры тепло-
тепловых резервуаров, с которыми машина обменивается теплом.
189.	Какую максимальную работу можно получить из системы двух
тел, нагретых до разных абсолютных температур Т\о и Т20 (Т\о > Тэд),
если эти тела используются в качестве нагревателя и холодильника
в тепловой машине? Теплоемкости тел С\ и С^ считать не зависящими
от температуры. Найти окончательную температуру Т, которую будут
иметь тела, когда установится тепловое равновесие между ними.
190.	Рассмотреть предельный случай предыдущей задачи, когда
теплоемкость холодильника С^ бесконечно велика (нагретое тело, по-

32	Задачи
груженное в бесконечную среду, температура которой Т2о поддержива-
поддерживается постоянной).
191.	Рассмотреть другой предельный случай задачи 189, когда
бесконечно велика теплоемкость нагревателя С\ (холодное тело, погру-
погруженное в более теплую бесконечную среду, температура которой Т\о
поддерживается постоянной).
192.	Идея динамического отопления, высказанная В. Томсоном
A852 г.), заключается в следующем. Топливо сжигается в топке теп-
теплового двигателя, который приводит в действие холодильную машину.
Холодильная машина отнимает теплоту от природного резервуара во-
воды (например, от грунтовой воды) и отдает ее воде в отопительной
системе. Одновременно вода в отопительной системе служит холо-
холодильником теплового двигателя. Определить теоретическое (без учета
потерь) количество тепла, которое получает отапливаемое помещение
от сжигания 1 кг каменного угля, приняв следующие условия: удельная
теплота сгорания угля q = 8000 ккал/кг, температура в котле паровой
машины t\ =210 °С; температура воды в отопительной системе t2 =
= 60 °С; температура грунтовой воды ?3 = 15 °С.
193.	Тепловой двигатель совершает круговой процесс, обмениваясь
теплом с нагревателем (температура Т\ = 500 К) и природным резерву-
резервуаром воды (температура Т2 = 290К). Полученная работа используется
для приведения в действие холодильной машины, совершающей также
круговой процесс. Холодильная машина забирает тепло от охлаждаемо-
охлаждаемого резервуара (температура Тз = 250 К) и передает тепло тому же при-
природному резервуару воды. Найти минимальную мощность потока тепла
от нагревателя Q\, если мощность тепла, отводимого от холодильника
для поддержания его температуры постоянной, равна Qs = 100 Вт.
194.	Показать, что для любого вещества по-
литропа может пересекать изотерму не более чем
в одной точке.
195.	Показать, что для любого вещества адиа-
адиабата может пересекать изотерму не более чем
_	в одной точке.
t	3	196. Цикл состоит из двух изохор и двух изо-
у бар (рис. 18). Показать, что для любого вещества
*" с постоянными теплоемкостями Су и Ср темпе-
рис ig	ратуры в точках 1, 2, 3, 4 связаны соотношением
Т\Т3 = Т2Тл.
197.	Цикл состоит из изобары 12, изохоры 23 и адиабаты 31
(рис. 19). Показать, что для любого вещества с постоянными теплоем-
теплоемкостями Су и Ср температуры в точках 1,2,3 связаны соотношением
ТУТ3 = {Т2/Т{)\ где 7 = CP/CV.
198.	Определить работу цикла, совершаемого любым веществом
и состоящего из изотермы 12, политропы 23 и адиабаты 31 (рис. 20).
Известно, что теплоемкость тела на политропе 23 равна С, а темпера-
температуры на изотерме 12 и в состоянии 3 равны соответственно Т\ и Тз.

§4. Второе начало термодинамики
33
199. Цикл состоит из двух изотерм 12, 34 с температурами Т\ и Т^
и двух изохор 23, 41 (рис. 21). На изотерме с температурой Т\ полу-
получено тепло Q\. Определить работу цикла, если теплоемкость рабочего
вещества Су зависит только от его температуры, но не зависит от
объема.
Рис. 19
Рис. 20
Рис. 21
200.	Произвольная термодинамическая система квазистатически
переходит из равновесного состояния / в равновесное состояние 2 дву-
двумя способами. В первом способе система адиабатически охлаждается
до температуры То, затем изотермически получает тепло и, наконец,
адиабатически переходит в состояние 2. Во втором способе переход
осуществляется по произвольному пути, однако так, что на каждом
участке этого пути система получает тепло, а ее температура остается
выше То. Показать, что в первом способе для перевода системы из
состояния / в состояние 2 требуется меньшая затрата тепла, чем во
втором.
201.	Произвольная термодинамическая система квазистатически
переходит из равновесного состояния / в равновесное состояние 2
двумя способами. В первом способе система сначала изотермически
при температуре То переходит в какое-то промежуточное состояние,
поглощая при этом тепло, а затем адиабатически охлаждается, пе-
переходя в состояние 2. Во втором случае переход осуществляется по
произвольному пути, однако так, что на каждом участке этого пути
система получает тепло, а ее температура остается ниже То. Показать,
что в первом способе для перевода системы из состояния / в состоя-
состояние 2 требуется большая затрата тепла, чем во втором.
202.	Показать, что разность энтропии системы в состояниях 2 и /
(при условии, что S2 > S\) может быть определена как наименьшее
количество тепла, которое требуется сообщить системе, чтобы квази-
квазистатически перевести ее из состояния / в состояние 2 и притом так,
чтобы при переходе температура системы не опускалась ниже 1 К.
203.	Если во всех точках изотермы температурный коэффициент
расширения равен нулю, то такая изотерма совпадает с адиабатой.
Доказать.
204.	В цикле Карно в качестве холодильника выбрана вода при
4°С. Так как температурный коэффициент расширения при этой тем-
2 Под ред. Д. В. Сивухина

34
Задачи
пературе равен нулю, то для осуществления цикла Карно не надо
сообщать тепло холодильнику (см. предыдущую задачу), т.е. КПД
цикла равен единице. В чем ошибочность этого рассуждения?
205.	В качестве основных переменных, характеризующих состояние
тела, можно принять его температуру и энтропию. Изобразить графи-
графически цикл Карно на диаграмме, откладывая по оси абсцисс энтропию,
а по оси ординат температуру. Вычислить с помощью этого графика
КПД цикла.
206.	Тепловые машины с произвольным веществом в качестве ра-
рабочего тела совершают обратимые термодинамические циклы, пред-
представленные на рисунках 22 и 23. Выразить КПД этих циклов через
максимальную Т\ и минимальную Т2 температуры газа.
п
т2
\т
	1
\
S
Рис. 22
Рис. 23
207.	Найти изменение энтропии AS вещества при нагревании, если
его удельная теплоемкость с постоянна, а коэффициент объемного
расширения равен нулю.
208.	Приводимые в тепловой контакт одинаковые массы вещества
имеют разные температуры Т\ и Т2. Считая, что Ср = const, найти
приращение энтропии в результате установления теплового равновесия
при Р = const.
209.	Найти выражение для энтропии v молей идеального газа.
210.	Найти изменения энтропии моля идеального газа при изохо-
рическом, изотермическом и изобарическом процессах.
211.	Найти увеличение энтропии AS идеального газа массы М,
занимающего объем V\, при расширении его в пустоту до объема V^
(процесс Гей-Люссака).
212.	Вычислить изменения внутренней энергии и энтропии одного
моля идеального газа при расширении по политропе PVn = const от
объема V\ до объема V^. Рассмотреть частные случаи изотермического
и адиабатического процессов.
213.	Вычислить изменения внутренней энергии и энтропии одного
моля идеального одноатомного газа и количество поглощенного тепла
при расширении газа по политропе PV3 = const от объема V\ = 1 л
и давления Р\ = 20атм до объема V^ = Зл. Температура во время

§4. Второе начало термодинамики	35
процесса такова, что для молярной теплоемкости можно принять Су =
= 3/2д.
214.	При некотором политропическом процессе давление и объем
определенной массы кислорода меняются от Р\ = 4 атм и V\ = 1 л до
р2 = 1 атм и V2 = 2 л. Температура в начале процесса Т\ = 500 К. Какое
количество тепла получил кислород от окружающей среды? Насколько
изменились энтропия и внутренняя энергия газа?
215.	Найти изменение энтропии AS 5 г водорода, изотермически
расширившегося от объема Юл до объема 25л.
216.	В двух сосудах одного и того же объема находятся раз-
различные идеальные газы. Масса газа в первом сосуде М\, во втором
М2, давления газов и температуры их одинаковы. Сосуды соединили
друг с другом, и начался процесс диффузии. Определить суммарное
изменение AS энтропии рассматриваемой системы, если относительная
молекулярная масса первого газа fi\, а второго /i2-
217.	Два баллона с объемами V = 1 л каждый соединены трубкой с
краном. В одном из них находится водород при давлении 1 атм и темпе-
температуре t\ = 20°С, в другом — гелий при давлении 3 атм и температуре
^2 = 100°С. Найти изменение энтропии системы AS после открытия
крана и достижения равновесного состояния. Стенки баллона и трубки
обеспечивают полную теплоизоляцию газов от окружающей среды.
218.	Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен порш-
поршнем пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сто-
сторону поршня находится идеальный газ с массой М, относительной
молекулярной массой fi и молярными теплоемкостями Су и Ср, не
зависящими от температуры, а по другую сторону поршня создан
высокий вакуум. Начальные температура и давление газа То и Pq.
Поршень отпускают, и он, свободно двигаясь, дает возможность газу
заполнить весь объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая
давление на поршень, медленно доводят объем газа до первоначальной
величины. Найти изменения внутренней энергии и энтропии газа при
таком процессе.
219.	Найти изменение энтропии AS 30 г льда при превращении
его в пар, если начальная температура льда — 40 °С, а температура
пара 100 °С. Теплоемкости воды и льда считать постоянными, а все
процессы — происходящими при атмосферном давлении. Удельная теп-
теплоемкость льда с = 0, 5 кал/(г • °С).
220.	Найти суммарное изменение энтропии AS (воды и железа) при
погружении 100 г железа, нагретого до 300 °С, в воду при температуре
15°С. Удельная теплоемкость железа равна с = 0, 11 кал/(г-°С).
221.	Найти удельную энтропию s неоднородной системы, состо-
состоящей из жидкости и ее насыщенного пара. Теплоемкость жидкости
считать не зависящей от температуры.
222.	Два тела А и В, нагретые до разных температур, помещены
в жесткую адиабатическую оболочку и приведены в тепловой контакт
друг с другом. Тепло переходит от более нагретого тела А к менее на-

36
Задачи
гретому телу В, пока температуры обоих тел не сравняются. Показать,
что при этом процессе энтропия системы А + В увеличивается.
223. Идеальный одноатомный газ в количестве v = 10 молей, на-
находящийся при температуре Т\ = 300 К, расширяется без подвода и
отдачи тепла в пустой сосуд через турбину, необратимым образом со-
совершая работу (рис. 24). После установления равновесия температура
газа понижается до Т = 200 К. После этого газ квазистатически сжи-
сжимается: сначала изотермически, а затем адиабатически, возвращаясь
в первоначальное состояние. При этом сжатии затрачивается работа
А = 15кДж. Найти изменение энтропии газа при расширении.
Рис. 24
224.	В расположенном горизонтально теплоизолированном жестком
цилиндре может перемещаться поршень, по одну сторону от которого
находятся v = 2 моля двухатомного идеального газа, а по другую —
вакуум. Между поршнем и дном цилиндра находится пружина. В на-
начальный момент поршень закреплен, а пружина не деформирована.
Затем поршень освобождают. После установления равновесия объем
газа увеличился в п = 2 раза. Определить изменение энтропии газа.
При расчете пренебречь трением, а также теплоемкостями цилиндра,
поршня и пружины. Считать, что к деформациям пружины применим
закон Гука.
225.	Наряду с внутренней энергией U и энтальпией / = U + PV
в термодинамике широко пользуются функциями Ф = U — TS и Ф =
= Ф + PV. Первая из них называется свободной энергией, а вторая —
термодинамическим потенциалом системы. Доказать, что эти функции
удовлетворяют соотношениям
dU = TdS-PdV,
d$ = -SdT + VdP,
T=(dU) T
d^ = -SdT-PdV
dl =
-PdV, 1
dSjp'
dVjs'
\dPjs'
1 --\wjT'
226. Доказать соотношения
\дР)т'
B25.1)
B25.2)
B26.1)

§4. Второе начало термодинамики	37
227.	Доказать соотношения Максвелла
(дТ_\ _ _ (дР\	(дТ\ _ (dV\
\dVJs~ \dSJv' \dPJs~ \dSjp'
(dS\ =(дР\ (dS\ =_(^_\
\дУ)т~\дт)у' \дР)т~ \дт)р'
228.	Пользуясь методом термодинамических функций (соотноше-
(соотношениями Максвелла), найти производные (dU/8V)t и (д1/дР)т- (Ср. с
задачами 175 и 176.)
229.	В чем ошибочность следующего рассуждения? Элементарное
количество тепла dQ, полученное физически однородным телом при
квазистатическом процессе, равно
dQ = dU + PdV = dl- VdP,
И#)
отсюда
/ dl \ dQ _ ( dl \ у
KlJTj ~ \дт)р' ~дР~ \WJt~ '
dzQ _ 84	dzQ _ dzl _ fdV_\
дТдР ~ дТдР' дРдТ ~ дРдТ \дТ)р '
Приравнивая оба выражения, получим (dV/dT)p = 0; отсюда следует,
что тепловое расширение тел невозможно.
230.	Пользуясь условием, что дифференциальное выражение
Х(х,у) dx + Y(x,y) dy есть полный дифференциал, доказать, что
элементарная работа 5А не может быть полным дифференциалом.
231.	Используя понятие энтропии и соотношения Максвелла, по-
получить выражение для разности теплоемкостей Ср — Су- (Ср. с реше-
решением задачи 182.)
232.	Доказать соотношения
'dU\	„ (дТ\ „ fdl\	„ (дТ\ , тг
233.	Методом якобианов доказать соотношения
WJt ~ \др)т \8VJt ' \дР)т ~ [WJt \др)т '
234.	Доказать, что если внутренняя энергия физически однородно-
однородного тела не зависит от его объема, а зависит только от температуры, то
она не зависит и от давления. То же справедливо и для энтальпии.
235.	Пользуясь методом якобианов, найти отношение адиабатиче-
адиабатического модуля всестороннего сжатия к его изотермическому модулю.
(Ср. с решением задачи 137.)
236.	Доказать соотношения
fdS\ _ CV (дТ_\	(dS_\ _ Ср_ /0Т\
\dPJv~ Т \dP)v' \dVJp~ Т \dVJp'

38	Задачи
237.	Показать, что при квазистатическом расширении физически
однородного тела при постоянном давлении его энтропия возрастает,
если температурный коэффициент расширения положителен, и убыва-
убывает, если этот коэффициент отрицателен.
238.	Показать, что при квазистатическом увеличении давления
на физически однородное тело при постоянном объеме его энтропия
возрастает, если температурный коэффициент давления положителен,
и убывает, если этот коэффициент отрицателен.
239.	Методом якобианов доказать соотношения
(дТ\ _ Т (dV\	(дт\ __Т (дР\
\dPJs ~ CV \дт)р ' \dVJs ~ CV \dTJv '
(Ср. с задачами 243 и 246.)
240.	Из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при охла-
охлаждении (если его натяжение остается постоянным). Пользуясь этим,
доказать, что жгут нагреется, если его адиабатически растянуть.
241.	Из измерений найдено, что натяжение резинового жгута опре-
определяется выражением г = АA)Т, где Т — абсолютная температура,
а функция АA) зависит только от длины жгута (А > 0). Показать,
что внутренняя энергия такого жгута U не зависит от его длины,
а энтропия при изотермическом увеличении длины уменьшается.
242.	Доказать соотношения
(dU\ =T(dS\ -p(W) =-Т(д^) -Pffl
\дР)т \дР)т \дР)т	\дТ)р \дР)т'
dl_\ =T(dS_\ +v(dP\ =т(®Р-\ 4-у(—}
дУ)т \dVjT \dVjT \dTJv \ду)т'
dU\ r ryfdV\	fdl\ r >v(dP\
) СР{)	{) С + У{)
\дТ)р~ \др)т~ \dTjp\dPjs~ Т \dPJs~
= _Ср_ (дТ\ (dV_\
Т \dVJs\dPJs'
\dPJs \дР)т \дТ)р \dPJs
\дР)т \dTJp\dSjp \дР)т Ср \дт)р'
/ap\ _ /ap\ _ т_ (др_^
\dVJs ~ \dVjT Cv \dTJv'
(dcp\ (&E_\ _dc^(d]L\ =i
V dP ) \dVj dV \dPJ
т(—\ (—\ & ( (E_ ^(]L
\dTJv KdTJp dPdV V dP )v \dVjp dVP \dPJv
243. Физически однородное и изотропное вещество расширяется
(или сжимается) адиабатически и квазистатически от давления Р\
до давления Р2. Найти изменение его температуры Т2 — Т\ в этом
процессе.

§4. Второе начало термодинамики	39
244.	Воду, находящуюся при 0°С и давлении Р = 100 атм, рас-
расширяют адиабатически и квазистатически до атмосферного давления.
Найти изменение температуры воды в этом процессе, если коэффици-
коэффициент объемного расширения воды в этих условиях отрицателен и равен
а = -6,1- Ю-^С-1.
245.	Ртуть, находящуюся при 0°С и давлении Р = 100 атм, рас-
расширяют адиабатически и квазистатически до атмосферного давления.
Найти изменение температуры ртути в этом процессе, если коэффици-
коэффициент объемного расширения ртути в этих условиях положителен и равен
а = 1,81 • 10~4 °С-1, удельная теплоемкость ртути ср = 0,033 кал/(г х
3
х
3
°С), плотность р = 13, 6 г/см
246. Доказать соотношение
дТ\ _ _ Т (дР\
dVJs~ CV \dTJv'
247.	Показать, что при квазистатическом адиабатическом расши-
расширении тела его температура понижается, если температурный коэффи-
коэффициент давления положителен, и повышается, если этот коэффициент
отрицателен.
248.	Показать, что при квазистатическом адиабатическом уменьше-
уменьшении давления на тело его температура понижается, если коэффициент
расширения положителен, и повышается, если этот коэффициент отри-
отрицателен.
249.	Железная проволока радиуса г = 1 мм квазистатически и адиа-
адиабатически нагружается при температуре Т = 273 К. Начальное значе-
значение растягивающей силы равно нулю, конечное F = ЮН. Определить
изменение температуры проволоки AT. Коэффициент линейного рас-
расширения железа C = 1,2- 10~5оС~1, удельная теплоемкость железа
с = 0,44 Дж/(г • °С), плотность р = 7,9 г/см3.
250.	В объеме V\ = Зл находится v\ =0,5 моля кислорода О2,
а в объеме V^ = 2 л — щ = 0, 5 моля азота N2 при температуре Т =
= 300 К. Найти максимальную работу, которая может быть произведена
за счет изотермического смешения этих газов в суммарном объеме V\ +
251.	Решить предыдущую задачу в предположении, что смешива-
смешивание газов производится адиабатически. Начальная температура газов
Тх =300 К.
252.	В процессе Джоуля-Томсона энтальпия газа не изменяется.
Пользуясь этим, найти общее термодинамическое выражение для из-
изменения температуры в таком процессе (эффект Джоуля-Томсона).
253.	Показать, что для идеальных газов эффект Джоуля-Томсона
не имеет места (AT = 0).
254.	В одном из методов получения низких температур использу-
используют охлаждение газа при его дросселировании через вентиль (эффект
Джоуля-Томсона). В другом методе используют охлаждение газа при
его обратимом адиабатическом расширении. Показать, что при одних

40	Задачи
и тех же начальном Р\ и конечном Р^ давлениях (Pi > Р^) понижение
температуры во втором методе больше, чем в первом.
255.	Показать, что в процессе Джоуля-Томсона энтропия газа
увеличивается.
256.	Сосуд с твердыми адиабатическими стенками разделен на две
части твердой адиабатической перегородкой. По одну сторону пере-
перегородки находится газ, по другую — вакуум. Вывести общую тер-
термодинамическую формулу для температуры газа, которая установится
в нем после удаления перегородки. Применить полученную формулу к
идеальному газу и показать, что в этом случае изменения температуры
не произойдет.
257.	С помощью второго начала термодинамики найти условие
конвективной устойчивости неравномерно нагретой жидкости или ре-
реального газа в однородном поле тяжести. Теплопроводность жидкости
или газа считать пренебрежимо малой. (См. задачу 133.)
§ 5. Теплопроводность
258.	Стальной стержень длины / = 20 см с площадью поперечного
сечения S = Зсм2 нагревается с одного конца до температуры t\ =
= 300°С, а другим концом упирается в лед. Предполагая, что передача
тепла происходит исключительно вдоль стержня (без потерь через
стенки), подсчитать массу т льда, растаявшего за время г = 10 мин.
Теплопроводность стали к = 0, 16 кал/(с • см • °С).
259.	Медный кофейник нагревается на примусе. Вода доведена до
кипения и выделяет каждую минуту т = 2 г пара. Толщина дна кофей-
кофейника / = 2 мм, а площадь S = 300 см2. Определить разность температур
^2 — t\ между внутренней и наружной поверхностями дна кофейника,
предполагая, что все дно нагревается равномерно. Теплопроводность
меди к = 0,92 кал/(с • см • °С).
260.	Решить предыдущую задачу, если дно кофейника с внутрен-
внутренней стороны покрыто слоем накипи толщины 1\ = 1 мм. Теплопровод-
Теплопроводность накипи к\ = 0,003 кал/(с • см • °С).
261.	Три пластинки одинакового размера сложены вместе,
образуя столбик. В середине — свинцовая пластинка, по кра-
краям — серебряные. Внешняя сторона одной серебряной пластинки
поддерживается при постоянной температуре t = 100 °С. Внеш-
Внешняя сторона другой серебряной пластинки имеет температуру
?3 = 0°С. Найти температуры t\ и t^ в местах соприкосно-
соприкосновения свинцовой пластинки с серебряными. Теплопроводности
свинца к\ = 30 ккал/(ч • м • °С), серебра к = 360 ккал/(ч • м х
х°С).
262.	Кубик сделан из чередующихся пластинок разной толщины
и разной теплопроводности. Толщина пластинок одного типа равна
Ь\, теплопроводность материала, из которого они сделаны, равна к\,
число всех пластинок этого типа щ. Соответствующие величины для

§5. Теплопроводность	41
пластинок второго типа равны ?>2, щ и n2. Найти теплопроводности
материала кубика вдоль пластинок хц и перпендикулярно к ним x_l.
Какая из этих теплопроводностей больше?
263.	Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с
радиусами R\ и R2 заполнено проводящим тепло однородным веще-
веществом. Найти распределение температуры в этом пространстве, если
температура внутреннего цилиндра t\, а внешнего t2.
264.	Найти распределение температуры в пространстве между дву-
двумя концентрическими сферами с радиусами R\ и R2, заполненном
проводящим тепло однородным веществом, если температуры обеих
сфер постоянны и равны t\ и t2.
265.	Урановый шар радиуса R = 10 см, помещенный в сосуд с
водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате ре-
реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q = 100 Вт/см3.
Температура воды Т = 373 К, теплопроводность урана х = 400 Вт/(м х
х °С). Найти стационарное распределение температуры в шаре, а так-
также температуру в его центре.
266.	По однородному цилиндрическому проводу без изоляции течет
постоянный электрический ток. Определить стационарное распределе-
распределение температуры в проводе, если его поверхность поддерживается при
постоянной температуре То.
267.	Для получения самоподдерживающейся термоядерной реакции
в дейтерии (или в смеси дейтерия с тритием) необходимо нагреть веще-
вещество до температуры порядка 108К. При таких температурах вещество
находится в состоянии плазмы, т. е. полностью ионизованного газа.
При этом сильно возрастают потери энергии за счет теплопроводности.
Как показывает теория (см. задачу 449), теплопроводность плазмы про-
пропорциональна абсолютной температуре в степени 5/2, т.е. я = аТ5/2,
где для дейтериевой или тритиевой плазмы в системе СГС а « 10~6.
Внутри малого объема, выделенного в плазме и имеющего форму шара
радиуса го = 1 см, поддерживается температура Т = 108 К. Вне шара
температура убывает в соответствии с законами теплопроводности. Ка-
Какую мощность надо подводить к этому объему, чтобы компенсировать
потери энергии за счет теплопроводности? К остальным частям плазмы
энергия не подводится.
268.	Стержень сечения S упирается концами в твердые пластины,
расстояние L между которыми поддерживается постоянным. Затем
температуру одной из пластин повышают, и в стержне устанавливается
постоянный поток тепла Q. Какое давление Р действует на единицу
поперечного сечения стержня, если начальное напряжение в стержне
было равно нулю? Теплопроводность стержня х, коэффициент линей-
линейного расширения а, модуль Юнга Е.

42	Задачи
269.	Показать, что решение одномерного уравнения теплопровод-
теплопроводности в однородной среде
рс*ж=HS+q{x'T) B69Л)
единственное, если заданы начальное и краевые условия:
Tt=o = f(x),	B69.2)
Тх=0 = y>i(*), Tx=i = ip2{t). B69.3)
Плотность мощности источника тепла q(x,t), а также функции f(x),
(f\(t) и (f2(t) предполагаются заданными.
270.	Два теплоизолированных тела / и 2 с бесконечными тепло-
проводностями (например, два куска металла) соединены между собой
однородным, также теплоизолированным стержнем длины / с площа-
площадью поперечного сечения S и теплопроводностью к. Теплоемкости тел
С\ и С2 очень велики по сравнению с теплоемкостью стержня. Найти
температуры тел Т\ и Т2 в любой момент времени t, если при t = О
они были равны соответственно Тю и Т20. Найти также разность этих
температур и время ^/2, по истечении которого она уменьшается в два
раза.
271.	Определить толщину льда, образующегося в течение задан-
заданного времени t на спокойной поверхности озера. Считать, что темпе-
температура Т окружающего воздуха все время постоянна и равна темпе-
температуре наружной поверхности льда (Т < Тпл, где Тпл — температура
плавления льда). Произвести численный расчет, предполагая, что Т =
= -10 °С. Для льда к = 2, 22 • 105 эрг/(с • см • °С), q = 3, 35 • 109 эрг/г,
р = 0,9 г/см3.
272.	Сферический кусок льда (с начальным радиусом До = 1 см)
погружен в большую массу воды с температурой 10 °С. Предполагая,
что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводно-
теплопроводностью, определить время г, в течение которого лед полностью растает.
Теплопроводность воды я = 6- 10~3 Дж/(с • см • °С), удельная теплота
плавления льда q = 330 Дж/г.
273.	Тело, помещенное в среду с постоянной температурой to, охла-
охладилось от температуры t\ = 80°С до температуры ?2 = 64 °С в течение
времени г и до температуры ?2 = 52 °С в течение времени 2г. Считая
справедливым закон охлаждения Ньютона, найти температуру окружа-
окружающей среды to. До какой температуры t\ тело охладится в течение
времени Зт?
274.	Определить количество тепла Q, теряемое 1 м2 стены в те-
течение времени г, равного одним суткам, при температуре воздуха
в помещении t\ = 20 °С и температуре наружного воздуха t± = —10 °С.
Толщина стены / = 20 см. Теплопроводность материала стены к =
= 0,003 кал/(с • см • °С). Коэффициент теплообмена на границе стена-
воздух а = 0,0002 кал/(с • см2 -°С). Определить также температуры
внутренней ?2 и внешней t$ поверхностей стены.

§5. Теплопроводность	43
275.	Сколько каменного угля нужно сжигать в течение времени т,
равного одним суткам, на водяное отопление дома, площадь поверхно-
поверхности стен и крыши которого равна S= 10000 м2, чтобы поддерживать
в квартирах температуру t\ = 18 °С, если температура снаружи здания
^2 = — 22 °С? Толщина стен L = 60 см, теплопроводность материала
стен к = 0,002 кал/(с • см • °С), а утечка тепла с единицы поверхности
крыши такая же, как с единицы поверхности стены. Коэффициент
теплообмена на границе воздух-стена а = 0,00025 кал/(с • см2 -°С),
удельная теплота сгорания угля q = 7500 кал/г.
276.	В тонкостенный замкнутый металлический сосуд налита жид-
жидкость, имеющая температуру t\. Температура воздуха вне сосуда Ц.
Найти температуру ^ внешней стенки, если известно, что теплопро-
теплопроводность металла х, коэффициент теплообмена на границе металл-
воздух а, а на границе металл-жидкость оо. Толщина стенки равна L.
Примечание. Сосуд считается тонкостенным, когда толщина
стенок мала по сравнению с его линейными размерами.
277.	Определить температуру ^ в предыдущей задаче в двух пре-
предельных случаях: 1) очень тонкого металлического сосуда и 2) сосуда
из материала с очень малой теплопроводностью.
278.	В тонкостенный замкнутый металлический сосуд с общей
поверхностью S налита жидкость при температуре t\. Через сколько
времени г жидкость охладится до температуры t^, если масса ее га,
удельная теплоемкость с, температура воздуха вне сосуда ?з> a коэф-
коэффициент теплообмена на границе металл-воздух равен а?
279.	По длинной тонкостенной медной трубе радиуса г = 1 см,
покрытой цилиндрическим теплоизолирующим слоем, течет горячая
вода. Теплопроводность изолирующего слоя х = 6 • 10~4 кал/(с • см х
х °С), коэффициент теплообмена трубы с изолирующим слоем а =
= 5- 10~4 кал/(с • см2 • °С). 1) При каком значении внешнего радиуса
R изолирующего слоя потери тепла максимальны? 2) При каком R
потери тепла уменьшатся вдвое по сравнению с потерями для трубы,
лишенной тепловой изоляции?
280.	На концах длинного однородного стержня, поперечные разме-
размеры которого малы по сравнению с его длиной, задаются температуры
t\ и ?2, которые могут меняться во времени. Температура однородной
среды, окружающей стержень, равна Ц. Показать, что благодаря теп-
теплообмену температура в стержне подчиняется уравнению
dt 2 d2t i2/, . \
0f = °te*-b(*-*3).
о	ж -.о ар
где а = у = —, о = —^, р — периметр поперечного сечения стержня,
ср	срЬ
S — площадь этого сечения, с — удельная теплоемкость вещества
стержня, р — его плотность, а — коэффициент теплообмена, к —
теплопроводность.
281.	Найти установившееся распределение температуры вдоль
длинного и очень тонкого стержня длины /, если температуры его

44	Задачи
концов t\ и ?2, а также температура окружающей среды t% поддержива-
поддерживаются постоянными. Остальные величины такие же, как в предыдущей
задаче.
282.	Решить предыдущую задачу в предположении, что ?3 — h-
Рассмотреть случай очень длинного стержня.
283.	Вычислить температуру средней точки круглого стержня дли-
длины / = 80 см, радиуса г = 2 см с теплопроводностью к = 0, 8кал/(сх
х см • °С) и коэффициентом теплообмена а = 5 • 10~4 кал/(с • см2 • °С),
если оба конца стержня поддерживаются при одной и той же темпера-
температуре t\ = ?2 = 100 °С, а температура комнаты ?3 = 20 °С.
284.	Сурьмяный и медный стержни покрыты очень тонким слоем
парафина и своими концами упираются в стенку металлического со-
сосуда, наполненного кипящей водой. Через некоторое время, по дости-
достижении стационарного состояния, плавление парафина прекращается на
расстоянии х\ от стенки сосуда на сурьмяном стержне и на расстоянии
Х2 на медном. Теплопроводность сурьмы н\. Определить теплопровод-
теплопроводность меди Х2.
285.	Для определения теплопроводностей жидкостей используются
три медные пластинки, расположенные горизонтально одна над другой.
Нижняя пластинка омывается потоком холодной воды (температура t\),
верхняя — теплой (температура to,). Пространство между нижней
и средней пластинками заполнено жидкостью с теплопроводностью щ,
а пространство между средней и верхней — жидкостью с теплопро-
теплопроводностью Х2. Расстояние средней пластинки от нижней равно d\,
а от верхней — &^. Выразить теплопроводность щ через щ, если
в установившемся состоянии температура средней пластинки равна t^.
В случае, когда в качестве известной жидкости взята вода (к\ =
= 0,00143 кал/(с • см • °С), а в качестве испытуемой — бензол, для
расстояний d\ = 1 мм и с?2 = 1,2 мм получились температуры t\ = 80°С,
?2 = 68,6°С, ?з — Ю °С. Найти щ для бензола.
286.	Температура одного конца однородного стержня равна t\,
а другого ^2, причем температура окружающей среды равна нулю.
Показать, что в стационарном состоянии между температурами вь в2
и вз трех равноотстоящих друг от друга сечений стержня, находя-
находящихся на расстояниях х, х + d и х + 2d от его начала, существует
следующее соотношение:
где
причем а — коэффициент теплообмена, к — теплопроводность, р —
периметр и S — площадь поперечного сечения стержня.
287. Для определения теплопроводностей стержней иногда приме-
применяют следующий метод. Если температуру окружающей среды принять

§5. Теплопроводность	45
за нуль, то между температурами вь в2 и вз трех равноотстоящих
друг от друга сечений стержня, нагреваемого с одного конца, в стаци-
стационарном состоянии существует зависимость:
В1+Вз = в?* + e-?d = 2п,
В2
где
(см. предыдущую задачу). Величину 2п можно определить непосред-
непосредственными измерениями. Если имеются два стержня из разных матери-
материалов, то, определив из нескольких измерений величину 2п для одного
из них и 2п\ для другого, можно определить отношение теплопровод-
ностей по формуле
n(ra + Vn2 - 1) п2
если только стержни имеют одинаковые поперечные размеры S и рав-
равные коэффициенты теплообмена а. Вывести эту формулу.
288.	Полупространство х > О заполнено веществом с температуро-
температуропроводностью а2 = к/(ср). В плоскости х = О происходят гармониче-
гармонические колебания температуры с периодом Т:
t = to + t\ cosujt,
где to и t\ — постоянные, а и = 2тг/Т. Найти температуру среды
в зависимости от координаты х и времени г.	^
Указание. Искать решение уравнения теплопроводности —- =
= о? —^ в комплексной форме t — to = X[x)eluJT', а затем перейти к
вещественной форме.
289.	Найти выражение для фазовой скорости v и коэффициента
затухания 7 температурных волн.
290.	Опыт показывает, что температурные волны с периодом в одни
сутки распространяются внутрь Земли со скоростью 1 м/сут. Найти
скорость распространения волн с периодом в 1 год.
291.	Во сколько раз коэффициент затухания годовых температур-
температурных волн 7i меньше коэффициента затухания суточных температурных
волн 72?
292.	При каком условии распространение звука в безграничной
однородной среде может рассматриваться как адиабатический процесс?
293.	При каком условии распространение звука в стержне радиуса
г может рассматриваться как адиабатический процесс, если температу-
температуропроводность окружающей среды пренебрежимо мала по сравнению с
температуропроводностью стержня?
294.	Однородная среда заполняет полупространство, ограниченное
плоскостью х = 0. В начальный момент времени t = 0 температура

46	Задачи
среды всюду одинакова и равна Tq. Температура на поверхности среды
все время поддерживается постоянной и равной Т\ ф То. Найти рас-
распределение температуры Т(х, t) в среде во все последующие моменты
времени. Найти также градиент температуры вблизи границы среды.
295. В. Томсон вычислил возраст Земли, исходя из следующих
предположений: Земля является однородным телом, температура кото-
которого в момент затвердевания по всей массе была равна температуре
затвердевания горных пород То « 4000°С, а температура поверхно-
поверхности Земли с момента ее затвердевания оставалась постоянной и рав-
равной 0°С. При вычислении температурного градиента вблизи поверх-
поверхности Земли В. Томсон заменил ее однородной средой, ограниченной
плоской поверхностью и занимающей бесконечное полупространство
х > 0 (см. предыдущую задачу). Вычислить в этих предположениях
возраст Земли (с момента затвердевания), если вблизи земной поверх-
поверхности температура Земли повышается на 1 °С при углублении в нее
на каждые 25 м, а скорость распространения суточных температурных
волн составляет v = 1 м/сут.
§ 6. Кинетическая теория вещества
296.	Сколько молекул азота находится в сосуде объемом в 1 л, если
температура азота 27 °С, а давление равно 10~6мм рт. ст.?
297.	Сколько молекул находится в одном грамме воды?
298.	Сколько молекул находится в одном кубическом сантиметре
воздуха при нормальном давлении и температуре 0°С?
299.	Допустим, что все молекулы воды в стакане как-то отмечены.
После этого вода была вылита в водопроводный сток. По прошествии
длительного времени вылитая вода равномерно перемешалась со всей
водой, имеющейся на Земле. Какое количество отмеченных молекул
окажется в стакане, если его вновь наполнить водопроводной водой?
300.	Каково давление смеси газов в колбе объемом 2,5 л, если в ней
находится 1015 молекул кислорода, 4 • 1015 молекул азота и 3, 3 • 10~7г
аргона? Температура смеси 150 °С.
301.	Вычислить среднюю квадратичную скорость теплового движе-
движения молекул: 1) водорода, 2) азота, 3) кислорода при 0°С.
302.	Масса крупной молекулы органического вещества m = 10~18 г.
Найти полную среднюю кинетическую энергию К теплового движения
такой молекулы, взвешенной в воздухе при температуре 27 °С. Найти
также среднюю квадратичную скорость молекулы при этой температу-
температуре.
303.	Найти средний квадратичный импульс молекулы Н2 при тем-
температуре 27 °С.
304.	Определить порядок величины максимальной скорости, с ко-
которой артиллерийский снаряд может вылететь из ствола орудия. Каким
должен быть порох, чтобы эта величина была возможно большей?

§ 6. Кинетическая теория вещества	47
305.	Найти зависимость между средней квадратичной скоростью
теплового движения молекулы газа vKB и скоростью звука в нем сзв.
306.	Импульс фотона связан с его энергией соотношением г = рс.
Написать выражение для давления Р фотонного газа.
307.	Показать на основании кинетической теории, что при квази-
квазистатическом передвижении поршня в цилиндре, наполненном идеаль-
идеальным одноатомным газом, давление и объем газа связаны соотношением
PV5/3 = const.
Стенки цилиндра и поршень теплонепроницаемы.
Указание. Рассмотреть удар молекулы о движущийся поршень
и учесть, что скорость поршня гораздо меньше скоростей ударяющихся
молекул.
308.	Решить предыдущую задачу для двухатомного газа. Показать,
что в этом случае давление Р и объем V связаны соотношением
PV7/5 = const.
У к а з а н и е. При решении воспользоваться теоремой о равномерном
распределении кинетической энергии по степеням свободы.
309.	Для применимости классического способа рассмотрения газа
необходимо, чтобы его температура Т была высока по сравнению с
так называемой температурой вырождения. Последняя определяется
выражением
h^ (Зп\2/3
g 2km \8тт) '
где п — число молекул в единице объема, m — масса молекулы, h —
постоянная Планка, к — постоянная Больцмана 0. Вычислить темпера-
температуру вырождения для: 1) гелия (гп = 6, 6 х 10~24 г, п = 2, 7 • 1019 см~3),
2) электронного газа в серебре (ш = 9, 11 • 10~22 г, п « 6 • 1022 см~3).
310.	Восемь граммов кислорода занимают объем V = 560 л. Опре-
Определить давление этого газа в том же объеме при температуре: 1) Т =
= 820 К, 2) Т = ЮкэВ, когда атомы кислорода полностью ионизованы.
311.	Найти отношение числа молекул водорода п\, скорости ко-
которых лежат в пределах от 3000 до 3010м/с, к числу молекул П2,
имеющих скорости в пределах от 1500 до 1510 м/с, если температура
водорода 300°С.
312.	Исходя из распределения Максвелла, найти средний квадрат
ж-компоненты скорости молекул газа. Найти отсюда среднюю кинети-
кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступатель-
поступательного движения молекулы газа.
1) Условие Т > Tg означает, что среднее расстояние между молекулами
газа должно быть велико по сравнению с длиной волны де-Бройля молекул,
движущихся с тепловыми скоростями.

48
Задачи
313.	Найти наиболее вероятную vm, среднюю v и среднюю квадра-
квадратичную vKB скорости молекул хлора при температуре 227 °С.
314.	При какой температуре средняя квадратичная скорость моле-
молекул кислорода равна таковой же скорости молекул азота при темпера-
температуре 100° С?
315.	Показать, что если за единицу скорости молекул газа принять
наиболее вероятную скорость, то число молекул, абсолютные значения
скоростей которых лежат между v и v + dv, не будет зависеть от
температуры газа.
316.	Как зависит от давления средняя скорость молекул идеального
одноатомного газа при адиабатическом сжатии или расширении?
317.	Написать выражение для среднего числа dN молекул газа,
кинетические энергии которых заключены между г и г + de.
318.	Найти наивероятнейшее значение кинетической энергии е
поступательного движения молекул газа, т.е. такое значение ет, при
котором в фиксированный интервал энергии de в газе находится мак-
максимальное число молекул.
319.	При каком значении температуры число молекул, находящих-
находящихся в пространстве скоростей в фиксированном интервале (v,v + dv),
максимально?
320.	Вычислить скорость v\/2 теплового движения молекулы газа,
определяемую условием, что половина молекул движется со скоростью,
меньшей, чем v\/2, а другая половина — со скоростью, большей,
чем г?1/2-
321.	Найти среднее значение обратной величины скорости молеку-
молекулы в газе.
322.	Найти среднее число молекул, компоненты скорости которых,
параллельные некоторой оси, лежат в интервале (^ц,^ц -\-dv\\), а абсо-
абсолютные значения перпендикулярной составляющей скорости заключе-
заключены между v± и v± -\- dv±.
323. В диоде электроны, эмиттируемые
накаленным катодом, попадают в задержива-
задерживающее поле анода. До анода доходят лишь
достаточно быстрые электроны. Считая, что
тепловые скорости эмиттируемых электронов
(вышедших из катода) распределены по за-
закону Максвелла с температурой Т = 1150 К,
определить долю электронов а, преодолеваю-
преодолевающих задерживающий потенциал: 1) V = 0, 2 В;
2) V = 0,4 В. Катодом является тонкая прямо-
прямолинейная нить, натянутая по оси цилиндриче-
цилиндрического анода.
рис 25	324. На рис. 25 изображено горизонталь-
горизонтальное сечение прибора, использованного в из-
известном опыте Штерна по определению скорости молекул и атомов.
Найти скорость атомов серебра, испаряющихся с центральной нити
С

§ 6. Кинетическая теория вещества	49
прибора, если при п = 50 об/с на внешнем цилиндре смещение следа
молекулярного пучка при вращающемся приборе по отношению к сле-
следу пучка в неподвижном приборе составило 5 = 4, 8 мм. Сопоставить
результаты расчета скорости атомов серебра из приведенных данных
с расчетом той же скорости при помощи соотношения между сред-
средней квадратичной скоростью атомов и температурой газа. Температура
нити в том опыте Штерна, для которого приведены указанные выше
данные, была равна 1607°С A880К), R= 10см.
325.	В опыте Штерна (рис. 25) на поверхности вращающегося
цилиндра С конденсируются молекулы серебра с различными скоро-
скоростями. Каким скоростям молекул, попадающих на пластинку DD',
соответствует ее наибольшее почернение?
326.	Выразить число молекул z, ударяющихся о квадратный санти-
сантиметр стенки сосуда в одну секунду, через среднюю скорость движения
газовых молекул, если функция распределения молекул по скоростям
изотропна (т. е. зависит только от абсолютного значения скорости
молекулы, но не от ее направления). Рассмотреть частный случай
максвелловского распределения.
327.	Найти полную кинетическую энергию Е молекул одноатом-
одноатомного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу
времени. Задачу решить сначала в общем виде для изотропной функ-
функции распределения, а затем применить результат к частному случаю
максвелловского распределения.
328.	В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ при тем-
температуре Т, имеется очень маленькое отверстие, через которое молеку-
молекулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение г кинетической
энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время опыта
изменения числа молекул и температуры газа в сосуде пренебрежимо
малы 0.
329.	В тонкостенном сосуде объема V, стенки которого поддержи-
поддерживаются при постоянной температуре, находится идеальный газ. Сосуд
помещен в вакуум. Как будет меняться с течением времени концен-
концентрация молекул п газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень
малое отверстие площади S? Определить время ti/2, по истечении кото-
которого давление газа внутри сосуда уменьшится в два раза. Считать, что
истечение газа происходит настолько медленно, что оно практически
не нарушает равновесность состояния во всем сосуде, за исключением
малой области вблизи отверстия. Температуру газа в сосуде считать
постоянной и равной внешней температуре.
330.	Откачанный тонкостенный сосуд, стенки которого поддержи-
поддерживаются при постоянной температуре, погружен в атмосферу идеального
газа с постоянной концентрацией молекул щ, поддерживаемого при той
1) В задачах 328-336 предполагается, что размеры отверстия и толщина
стенок малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа.

50	Задачи
же температуре. Как будет меняться с течением времени концентрация
молекул газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень малое
отверстие?
331.	Через какое время давление воздуха в тонкостенном отка-
откачанном сосуде, в стенке которого имеется отверстие площадью S =
= 10~6см2, возрастает от Р\ = 10~4мм рт. ст. до Р^ = 10~2мм рт. ст.,
если давление наружного воздуха Pq = 760 мм рт. ст., а температура
20°С? Объем сосуда V = 1 л. Через какое время давление в сосуде
станет равным половине атмосферного давления?
332.	Сосуд разделен перегородкой на две равные части объемом V
каждая. В одной части находится азот, а в другой кислород при
одинаковых давлениях Р и температурах Т. Газы в сосуде сильно
разрежены (средняя длина свободного пробега велика по сравнению с
размерами сосуда). В момент t = 0 в перегородке открывается неболь-
небольшое отверстие площади S. Найти давление в обеих частях сосуда в за-
зависимости от времени. Температуру газа во все время процесса считать
неизменной. Результат выразить через средние скорости молекул азота
и кислорода va и vK.
333.	Полностью эвакуированный герметический сосуд помещен
в атмосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные массы
которых относятся как 1 :4, а отношение концентраций (т. е. чисел
молекул в единице объема) равно а. Смесь газов вне сосуда поддержи-
поддерживается при постоянных давлении и температуре. В стенке сосуда ока-
оказалось малое отверстие, через которое оба газа стали очень медленно
натекать в сосуд. Определить максимальное и минимальное значения
отношения концентраций легкой и тяжелой компонент газовой смеси
в сосуде и моменты времени, когда достигаются эти значения.
334.	Полностью эвакуированный тонкостенный герметический со-
сосуд помещен в атмосферу кислорода, поддерживаемого при постоянной
температуре и невысоком давлении Р. В стенке сосуда оказалось малое
отверстие, через которое окружающий кислород стал натекать в сосуд.
Через час давление газа в сосуде повысилось от нуля до Р/2. Какое
давление было бы в том же сосуде через то же время, если бы после
откачки сосуд был помещен в атмосферу водорода при тех же давлении
и температуре?
335.	Тонкостенный сосуд объема V, наполненный идеальным га-
газом, поддерживается при постоянной температуре Т. В стенке сосуда
имеется маленькое отверстие площади S, через которое молекулы газа
вылетают в вакуум. Какое количество тепла Q = Q(t) надо подводить
к сосуду в единицу времени для поддержания в нем постоянной тем-
температуры?
336.	В тонкостенном сосуде, помещенном в вакууме, имеется очень
малое отверстие, на которое извне направляется параллельный пучок
одноатомных молекул, летящих с одной и той же скоростью vq, пер-
перпендикулярной к площади отверстия. Концентрация молекул в пучке

§6. Кинетическая теория вещества	51
равна по- Найти среднюю скорость v, концентрацию молекул п и тем-
температуру Т газа в сосуде в установившемся равновесном состоянии.
337.	Определить, какая часть молекул идеального газа, столкнув-
столкнувшихся со стенкой сосуда за определенное время (например, за одну
секунду), имеет кинетическую энергию, превосходящую е.
338.	Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при темпе-
температуре Т = 2000 К, уменьшается в массе, как показали измерения, со
скоростью q = 1, 14 • 10~13 г/(с • см2). Вычислить давление насыщенного
пара вольфрама при этой температуре.
339.	Какова была бы мгновенная скорость испарения воды с каж-
каждого квадратного сантиметра ее поверхности, если бы над этой по-
поверхностью был вакуум, а температура воды в этот момент равнялась
Т = 300 К? Табличное значение упругости насыщенного водяного пара
при этой температуре Р = 27 мм рт. ст. Сравнить полученную величину
с величиной скорости испарения воды при обычных условиях (т. е. ко-
когда над ее поверхностью находится воздух при нормальном давлении)
и объяснить получившееся расхождение.
340.	Отношение молекулярных масс различных газов можно изме-
измерять по скорости эффузии их, т. е. по скорости истечения из сосуда с
очень малым отверстием. Доказать, что время, в течение которого из
сосуда вытекает определенный объем газа, пропорционально квадрат-
квадратному корню из молекулярной массы газа.
341.	Для определения числа Авогадро Перрен измерял распреде-
распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде.
Он нашел, что отношение а числа частиц в слоях, отстоящих друг
от друга на расстояние / = ЗОмкм, равно 2,08. Плотности частиц р =
= 1, 194г/см3, воды ро — 1 г/см3. Радиусы частиц г = 0,212мкм. На
основании этих данных вычислить число Авогадро N. Температура
воды t= 18 °С.
342.	Для определения относительных молекулярных масс колло-
коллоидальных частиц исследуют распределение их концентрации в поле
центробежной силы, возникающей при вращении центрифуги. Найти
относительную молекулярную массу /i коллоидальных частиц, если
известно, что отношение их концентраций в местах, расположенных от
оси центрифуги на расстояниях т^ и п, равно а. Плотности частиц р,
растворителя — р$. Угловая скорость вращения центрифуги ио.
343.	При термодинамическом равновесии температура газа, находя-
находящегося в поле тяжести, постоянна по высоте. С молекулярно-кинети-
ческой точки зрения кажется на первый взгляд, что температура газа
должна убывать с высотой, так как летящая вверх молекула замедля-
замедляется полем тяжести, а летящая вниз — ускоряется. Дать качественное
молекулярно-кинетическое объяснение постоянства температуры газа
по высоте.
344.	Теплоизолированный сосуд с идеальным газом подвешен на
нити в поле тяжести. Из-за действия силы тяжести плотность газа
внизу сосуда больше, чем наверху. Нить пережигают, и сосуд свободно

52	Задачи
падает. Предполагая, что во время падения успевает установиться
термодинамическое равновесие, определить равновесную температуру
газа, которая в нем установится при падении.
345.	Пользуясь формулой Больцмана, найти среднюю потенциаль-
потенциальную энергию гпот молекулы газа в земной атмосфере, считая послед-
последнюю изотермической (с температурой Т), а поле тяжести однородным.
Вычислить теплоемкость газа С при этих условиях.
346.	Теплоизолированный герметический цилиндрический сосуд
высоты Н, наполненный газом, подвешен в вертикальном положении
в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде одинакова
и равна Т. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы газа гпот-
347.	В цилиндре предыдущей задачи помещен моль идеального
газа с относительной молекулярной массой /i. Найти теплоемкость
этого газа, учитывая влияние поля тяжести и предполагая, что figH <C
348.	Цилиндр радиуса R и длины Н, наполненный химически
однородным газом, равномерно вращается в однородном поле тяжести
вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью ио. Найти рас-
распределение концентрации молекул газа внутри цилиндра, если его ось
направлена вертикально.
349.	Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в поле силы
тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти связь
между его средними по времени значениями кинетической и потенци-
потенциальной энергий. Результат использовать для установления связи между
средними значениями кинетической и потенциальной энергий молеку-
молекулы воздуха в поле земного тяготения. Пользуясь этим результатом,
получить формулу для разности молярных теплоемкостей Ср — Су,
а также дать новое решение задачи 345.
350.	Доказать, что гравитационное поле планеты не может удер-
удерживать неограниченно долго планетную атмосферу. Последняя должна
рассеяться в окружающее пространство.
351.	Скорость рассеяния планетной атмосферы в мировое простран-
пространство можно характеризовать временем рассеяния атмосферы т. Так
называют время, по истечении которого число частиц в атмосфере
убывает в е раз. Оценить время рассеяния планетной атмосферы т,
предполагая, что атмосфера изотермическая и состоит из одинаковых
частиц. Атмосферу считать бесконечно разреженной. В этих условиях
взаимными столкновениями молекул можно пренебречь — максвел-
ловское распределение скоростей устанавливается в результате столк-
столкновений молекул с поверхностью планеты. Молекулы выбывают из
атмосферы и улетают в межпланетное пространство, если в резуль-
результате столкновений с поверхностью планеты они получают скорости,
превышающие вторую космическую скорость. (В проблеме рассеяния
планетных атмосфер вторая космическая скорость называется скоро-
скоростью убегания уу^.) Найти время г для атомарного и молекулярного

§ 6. Кинетическая теория вещества	53
водорода земной атмосферы, предполагая, что температура последней
т = зоок.	_
352.	Найти значение средней энергии Е, приходящейся, согласно
классической кинетической теории газов, на одну степень свободы
вращательного движения молекулы газа при t = 27 °С. Найти значение
средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при этих
условиях. Момент инерции молекулы кислорода вокруг оси, перпенди-
перпендикулярной к оси симметрии молекулы, 1± = 19,2 • 1О~4Ог-см2.
353.	Найти суммарную кинетическую энергию К теплового дви-
движения всех молекул кислорода О2, занимающих объем V = 5,5 л при
давлении Р = 2атм. Считать, что температура газа настолько низка,
что колебания атомов в молекулах еще не возбуждены, а вращения
возбуждены полностью.
354.	Какова будет средняя кинетическая энергия вращательного
движения молекулы водорода, если первоначально он находился при
нормальных условиях, а затем был адиабатически сжат в 32 раза?
355.	Смесь равных (по массе) количеств водорода и гелия при 0°С
помещена в цилиндрический сосуд объемом V = 1 м3, закрытый сверху
движущимся без трения невесомым поршнем. Атмосферное давление
Р = 740 мм рт. ст. Какое количество тепла по классической теории
потребуется для нагревания смеси до 200 °С?
356.	Подсчитать по классической теории удельную теплоемкость
при постоянном давлении газа следующего молярного состава:
Не - 20%; Н2 - 30%; СН4 - 50%.
(Молярный состав указывает отношение количества молей данного
газа к общему количеству молей всей смеси газов.)
357.	Вычислить по классической теории количество тепла Q, необ-
необходимое для нагревания воздуха от температуры Т\ = 273 К до темпе-
температуры Тъ = 298 К при постоянном объеме V\ = 30 м3, если первона-
первоначально он находился при нормальном атмосферном давлении Р\.
358.	Вычислить по классической теории количество тепла Q, необ-
необходимое для нагревания воздуха от температуры Т\ = 273 К до темпе-
температуры Т<2 = 303 К при постоянном давлении, если первоначально он
находился при нормальном атмосферном давлении Р\ и занимал объем
Vx =50м3.
359.	Вычислить по классической теории количество тепла Q, ко-
которое надо подвести к молю двухатомного идеального газа при его
изобарическом обратимом нагревании, если в процессе нагрева газ
совершил внешнюю работу А = 20 Дж.
360.	Вычислить по классической теории количество тепла Q, ко-
которое надо подвести, чтобы квазистатически повысить температуру
в комнате от Т\ = 290 К до Т% = 294 К. (Из-за наличия щелей и пор
в стенах комнаты давление воздуха в ней в каждый момент равно
внешнему давлению Р = 1 атм.) Объем комнаты V = 30м3.

54	Задачи
361.	Удельные теплоемкости кобальта и золота соответственно с\ =
= 0, 104 кал/(г • °С) и с2 = 0,0312 кал/(г-°С). Определить их атомные
теплоемкости С\ и С2.
362.	Определить молярную теплоемкость при постоянном объеме
твердых соединений типа XV и XV2, считая справедливой классиче-
классическую статистику.
363.	Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме
кислорода, нагретого до очень высокой температуры (порядка несколь-
нескольких килоэлектронвольт).
364.	При взрыве атомной (урановой) бомбы в ее центре дости-
достигаются температуры порядка Т~ ЮкэВ. Принимая ориентировочно
плотность урана в центре бомбы равной р = 20 г/см3, найти давление
внутри бомбы при этой температуре. Сравнить это давление с давле-
давлением в центре Земли, вычисленным в предположении, что плотность
Земли постоянна и равна рз — 5, 5 г/см3. Давление светового излучения
не учитывать.
365.	По одной из старых теорий (Гельмгольц, 1854 г.; лорд Кельвин,
1861 г.) солнечное излучение поддерживается за счет тепла, образу-
образующегося при сжатии Солнца. Предполагая, что Солнце представляет
собой однородный шар, плотность вещества которого на любых рассто-
расстояниях от центра одна и та же, подсчитать, какое количество тепла Q
образуется, если радиус Солнца уменьшится от R\ до R%. На сколько
лет хватит выделившегося тепла, если предположить, что интенсив-
интенсивность солнечного излучения постоянна во времени и если радиус Солн-
Солнца уменьшится на 1/10 своей первоначальной величины {R^ = 0, 9R\)?
Масса Солнца М = 2 • 1033 г, средний радиус R\ = 6,95 • 1010 см, гра-
гравитационная постоянная G = 6, 67 • 10~8 дин • см2/г2, солнечная посто-
постоянная А = 1, 39 • 106 эрг/(с • см2), среднее расстояние Земли от Солнца
1,5- 1013см. Оценить также, насколько повысилась бы температура
Солнца, если бы сжатие произошло внезапно. Теплоемкость солнечно-
солнечного вещества можно грубо оценить, предполагая, что Солнце целиком
состоит из водорода. (Это дает завышенное значение для теплоемкости.
По современным данным масса Солнца состоит приблизительно на 70-
80% из водорода.)
366.	Определить постоянную адиабаты для газовой смеси, содержа-
содержащей v\ молей водорода и щ молей гелия. Рассмотреть частный случай,
когда смесь содержит одинаковые (по массе) количества этих газов.
367.	Найти выражение для скорости звука в смеси v\, z/2> Щ, •••
молей различных идеальных газов при температуре Т.
368.	Вычислить скорость звука в кислороде при температуре Т =
= 1 кэВ.
369.	Найти значения средней колебательной энергии теплового
движения для двух различных атомных осцилляторов при температуре
27 °С. Частота колебаний одного осциллятора v\ = 1013 с, а другого
V2 = Ю14 с. Сравнить найденные значения этих энергий со значением
средней энергии Екл, приходящейся на одну степень свободы коле-

§ 6. Кинетическая теория вещества	55
бательного движения, согласно теореме о равномерном распределении
энергии по степеням свободы.
370.	Найти характеристические температуры для колебаний атомов
в молекулах Н2, O2 и НС1, если частоты колебаний атомов в этих мо-
молекулах равны соответственно ущ = 12, 7 • 1013 с, z/q2 = 4, 7 • 1013 с,
1УНС1 = 8,75- 1013 с. Характеристической температурой в в теории
теплоемкости принято называть ту минимальную температуру, при ко-
которой АЕ = кв, где АЕ — минимальная энергия возбуждения системы
и к — постоянная Больцмана.
371.	Найти молярную колебательную теплоемкость Су кислорода
при температуре 27 °С, если частота валентных колебаний молекулы
О2 равна v = 4, 7 • 1013 с. (См. предыдущую задачу.)
372.	Найти характеристическую температуру для вращения мо-
молекул Н2 и О2, если моменты инерции этих молекул имеют значе-
значения соответственно 1щ = 0,47 • 10~40 г • см2 и Iq2 = 19,2 • 10~40 г • см2.
(Ср. с задачей 370.)
373.	Показать, что при достаточно высокой температуре атом-
атомная теплоемкость твердого тела должна быть равна Су = SR ~
~ 6 калДмоль • °С).
374.	По классической теории молярная теплоемость водорода С =
= 5/2^- Какие отклонения от этого значения нужно ожидать при доста-
достаточно низких температурах?
375.	Вычислить среднюю энергию Е моля одноатомного газа, со-
состоящего из молекул, имеющих два дискретных уровня энергии: е\
и ?2 > ?\- Показать, что при очень низких температурах теплоемкость
такого газа равна %^. Вращением молекул пренебречь. Для упроще-
упрощения записи формул принять е\ = 0, е^ = е.
376.	Вычислить по квантовой теории молярные теплоемкости Су
и Ср углекислого газа СО2 при 0°С. Молекула СО2 является ли-
линейной @-С-О), т.е. три атома, из которых она состоит (точнее,
их положения равновесия), расположены на одной прямой. Момент
инерции молекулы I = 7,2 - 10~39г-см2. Частоты нормальных колеба-
колебаний молекулы по спектроскопическим данным: й\ = щ = 667,3 см,
щ = 1388,3 см, щ = 2349,3 см. Частотам щ и щ соответствуют
поперечные колебания, совершающиеся во взаимно перпендикулярных
плоскостях; частоте щ — продольные колебания, в которых атомы
кислорода колеблются синфазно; частоте щ — также продольные ко-
колебания, но в них атомы кислорода колеблются в противоположных
фазах (рис. 26).
Примечание. Под v здесь понимается так называемая спектро-
спектроскопическая частота, т.е. v = 1/А, где А — длина волны. Величина v
связана с обычной частотой v соотношением v = ей, где с — скорость
света.
377.	Используя решения задач 369-376 и результаты измерения
теплоемкости Н2, O2 и СО2 при нормальных условиях, построить

56	Задачи
приблизительный график зависимости от температуры молярной теп-
теплоемкости Су для этих газов.
Т
vx=v2
—О
Рис. 26
378.	Согласно теории теплоемкостей Дебая свободная энергия твер-
твердого тела при низких температурах выражается формулой
Ф = U0-AT\
где Щ — внутренняя энергия тела при абсолютном нуле (нулевая
энергия), а А — положительный коэффициент, зависящий только от
объема V. Пользуясь этой формулой, показать, что при низких тем-
температурах отношение коэффициента объемного расширения тела а к
теплоемкости Су не зависит от температуры (закон Грюнейзена).
379.	Зеркальце висит на кварцевой нити, модуль кручения которой
равен D, и освещается таким образом, что его повороты, вызванные
ударами окружающих молекул газа, можно регистрировать на шкале.
Положению покоя соответствует угол поворота (р = 0. Как изменяется
средний квадрат угловой скорости ф2 и средний квадрат углового от-
отклонения (р2, если момент инерции зеркальца, длину нити и ее диаметр
увеличить соответственно в а, /3, 7 Раз? Какое значение получится
для числа Авогадро N из измерений при температуре Т = 287 К, если
D = 9, 43 • 10~9дин-см, (р2 = 4, 18 • 10~6? (Данные взяты из опытов
Герлаха и Капплера.)
380.	Рассматривая зеркальце, подвешенное на кварцевой нити
(см. предыдущую задачу), как_гармонический осциллятор с незатуха-
незатухающими колебаниями, найти ср2 и ф2 в квантовом случае. Написать
условие применимости классических выражений. Найти квантовые по-
поправки, используя данные предыдущей задачи. Для момента инерции
зеркальца взять / « 0,01 г • см2.
381.	Пусть / и g — произвольные физические величины, флукту-
флуктуирующие вокруг своих средних значений / и g7, так что / = / + А/,
g = gr + Ag. Найти среднее значение произведения fg.

§ 6. Кинетическая теория вещества	57
382.	Выразить средний квадрат флуктуации А/2 = (/ — /J произ-
произвольной физической величины / через /2 и / .
383.	Величины / и g называются статистически независимыми,
если_Д,/А§- = 0. Показать, что для статистически независимых вели-
величин fg = fg.
384.	Пусть F — какая-либо аддитивная физическая величина, ха-
характеризующая систему N молекул идеального газа, так что F = J2fi,
где величины fi характеризуют г-ю молекулу того же газа. Выразить
средний квадрат флуктуации величины F через средний квадрат флук-
флуктуации величины /, а также найти относительную флуктуацию той же
величины.
385.	В закрытом сосуде объема V в отсутствие силовых полей нахо-
находятся N молекул идеального газа. Определить среднее число молекул
и его флуктуации в объеме v, являющемся малой частью объема V.
386.	Газообразный водород при температуре Т = 300 К и давле-
давлении Р = 10~6атм вытекает в вакуум из тонкостенного сосуда через
отверстие с площадью S = 0, 1 мм2. Через определенные промежутки
времени на опыте измеряется полный поток атомов через отверстие
за интервал времени t = 10~3 с. Предполагая, что давление водорода
в сосуде остается постоянным, найти относительную флуктуацию этого
потока.
387.	В кубическом сосуде емкостью V = 1 л при комнатной темпе-
температуре находится N молекул водорода. Найти вероятность Р того, что
эти молекулы соберутся в одной половине сосуда. Оценить величину
N, при которой такое событие можно ожидать один раз на протяжении
эпохи порядка возраста наблюдаемой части Вселенной (Т ~ 1010 лет).
388.	Определить величину объема V в идеальном газе, в котором
средняя квадратичная флуктуация числа частиц составляет а = 10~6
от среднего числа частиц в том же объеме. Определить также среднее
число частиц в таком объеме п. Газ находится при стандартных усло-
условиях.
389.	Сосуд с N молекулами идеального газа разделен перегородкой
на две части с объемами V\ и V^. Найти вероятность того, что в первой
части будет содержаться N\, а во второй 7V2 молекул.
390.	Убедиться, что выражение C89.1) удовлетворяет условию нор-
нормировки ^2Pn\N2 = 1> гДе суммирование производится по всем числам
N\ и N2, удовлетворяющим условию N\ + N2 = N. (Для определенно-
определенности вероятность Р мы снабдили индексами N\ и N2, смысл которых не
нуждается в пояснении.)
391.	Два одинаковых сосуда, в которых находится по молю одного
и того же идеального газа при одинаковых условиях, сообщаются
между собой через отверстие. Какое число молекул п должно перейти
из одного сосуда в другой, чтобы возникшее состояние стало в а = е
раз менее вероятным, чем исходное?

58	Задачи
392.	Решить предыдущую задачу, используя формулу Больцмана
S = кЫР и термодинамическое выражение для энтропии идеального
газа. Сравнить результат с предыдущим решением и объяснить рас-
расхождение.
393.	Получить результаты C85.1) и C85.2) с помощью формулы
C89.1).
394.	Определить асимптотическое выражение, в которое переходит
формула C93.1), когда N —> оо при фиксированных п и п. Такое
выражение определяет вероятность того, что число молекул в объеме
v равно п при условии, что объем v окружен однородным газом,
простирающимся бесконечно во всех направлениях.
395.	Преобразовать выражение C94.1) с помощью асимптотической
формулы Стерлинга
N1 = л/2тгАГ (—) .	C95.1)
V е )
396.	Если п велико, то вероятность C95.2) имеет очень резкий
максимум при п ~ п. Этим можно воспользоваться для упрощения
формулы C95.2), разлагая 1пРп в ряд Тейлора по степеням (п —
— п) и обрывая это разложение на члене второй степени. Получить
выражение для вероятности Рп в этом приближении.
397.	Получить распределение Гаусса C96.1) из формулы Больцма-
Больцмана S = кЫР, используя термодинамическое выражение для энтропии
идеального газа.
398.	Тепловые флуктуации малого объема, заполненного жидко-
жидкостью или газом и окруженного средой, температура Т которой поддер-
поддерживается постоянной, можно рассчитать следующим образом. Предпо-
Предположим, что рассматриваемая часть жидкости или газа заключена в ци-
цилиндр, стенки которого идеально проводят тепло. Одна из стенок —
поршень — может свободно без трения перемещаться в цилиндре. К
движению поршня можно применить теорему о равномерном распре-
распределении кинетической энергии по степеням свободы и таким образом
найти искомую флуктуацию. Провести этот расчет.
399.	Найти среднюю квадратичную относительную флуктуацию
объема капельки ртути радиуса г = 0,01 мм в воздухе при температуре
Т = 300 К. Изотермическая сжимаемость ртути 7т = 3,9 • 10~6атм~1.
400.	Найти выражение для флуктуации плотности жидкости или
газа, возникающей из-за теплового движения в малом объеме V, мыс-
мысленно выделенном в рассматриваемой среде.
401.	Вычислить флуктуацию кинетической энергии поступательно-
поступательного движения молекулы идеального газа.
402.	Малая макроскопическая часть системы (подсистема) являет-
является частью большой замкнутой системы. Флуктуации энергии и энталь-
энтальпии такой подсистемы в принципе можно вычислить так же, как это
было сделано для молекулы идеального газа (см. предыдущую задачу).
Только вместо максвелловского распределения надо пользоваться его
обобщением на макроскопические подсистемы (так называемым рас-

§ 6. Кинетическая теория вещества	59
пределением Гиббса). Таким путем можно показать, что флуктуации
внутренней энергии и энтальпии подсистемы определяются выражени-
выражениями
v = kT2Cv,	D02.1)
р = кТ2СР,	D02.2)
где Су и Ср — теплоемкости подсистемы, а индексы V и Р, как всегда,
означают, что в первой формуле остается постоянным объем подси-
подсистемы V, а во второй — давление Р. Пользуясь этими выражениями,
найти для подсистемы (AT2)V,(AS2)V, (AS2)P, (АР2)Т и (AP2)S.
403.	Для упрощения вычислений средней длины свободного пробе-
пробега Л молекулы газа можно предположить, что все молекулы находятся
в покое, за исключением рассматриваемой молекулы, скорость которой
принимается равной средней скорости теплового движения v. Пользу-
Пользуясь этим упрощением, вычислить Л, а также среднее число столкнове-
столкновений z, испытываемое молекулой в единицу времени. Молекулы считать
твердыми шариками диаметра d.
404.	Клаузиус усовершенствовал модель предыдущей задачи, счи-
считая при вычислении z и Л, что все молекулы газа имеют одинаковые
по абсолютной величине скорости, равные v и распределенные в про-
пространстве изотропно. Вычислить z и Л в этом предположении.
405.	Используя формулы D03.1) и понятие приведенной массы,
получить точные выражения для z и Л с учетом максвелловского
распределения скоростей.
406.	Для водорода при атмосферном давлении длина свободного
пробега Л = 1,28 • 10~5см. Найти газокинетический диаметр молекулы
водорода d.
407.	Сколько столкновений z за 1 с испытывает молекула неона
при температуре 600 К и давлении 1 мм рт. ст., если газокинетический
диаметр молекулы неона равен d = 2,04 • 10~8 см?
408.	Сколько столкновений z испытывает в среднем молекула СО2
за одну секунду при нормальном давлении и температуре? Газокинети-
Газокинетический диаметр молекулы СО2 d = 10~7см.
409.	Сколько столкновений v происходит ежесекундно в 1 см3 меж-
между молекулами кислорода, находящегося при нормальных условиях?
Газокинетический диаметр молекулы кислорода d = 3, 1 • 10~8см.
410.	Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как из-
изменяются длина свободного пробега Л и число z столкновений его
молекул в одну секунду с изменением температуры?
411.	Идеальный газ сжимают изотермически. Найти зависимость Л
и z от давления.
412.	Идеальный газ сжимают адиабатически. Найти зависимость Л
и z от давления.

60	Задачи
413.	Найти молярную теплоемкость процесса, совершаемого иде-
идеальным газом, при котором число столкновений между молекулами
газа в единице объема в единицу времени остается неизменным.
414.	Найти молярную теплоемкость процесса, совершаемого иде-
идеальным газом, при котором число столкновений между молекулами во
всем объеме газа в единицу времени остается неизменным.
415.	Вязкость азота при температуре 0°С т\ = 16,8- 10~5динх
х с/см2. Найти значение средней длины свободного пробега Л молекул
азота при этих условиях.
416.	Вязкость аргона (относительная атомная масса А = 40) при
0°С т\ = 21 • 10~5 дин • с/см2. Вычислить следующие величины для
аргона при нормальной температуре и давлении: 1) среднюю скорость
теплового движения атомов, 2) среднюю длину свободного пробега
атома, 3) среднее число v столкновений атомов в 1 см3 в 1 с, 4)
газокинетическое эффективное сечение атома а, 5) газокинетический
радиус атома аргона г.
417.	Найти среднюю длину свободного пробега Л молекулы кисло-
кислорода при нормальном давлении, если коэффициент диффузии кислоро-
кислорода при том же давлении и температуре 0°С равен D = 0, 19см2/с.
418.	Определить расход массы газа Q при стационарном изотерми-
изотермическом пуазейлевом течении его вдоль цилиндрической трубы длины
I и радиуса г, на концах которой поддерживаются давления Р\ и Р%
(Pi > р2).
419.	Для определения вязкости г] углекислого газа им наполнили
колбу с объемом V = 1л при давлении Р\ = 1600 мм рт. ст. Затем
открыли кран, позволяющий СО2 вытекать из сосуда через капилляр
длиною / = 10 см и диаметром D = 0, 1 мм. Через время г = 22 мин
давление в колбе понизилось до Р^ — 1350 мм рт. ст. Вычислить из
этих данных вязкость и газокинетический диаметр d молекулы СО2.
Наружное атмосферное давление Р% = 735 мм рт. ст. Процесс можно
считать изотермическим, происходящим при 15 °С.
420.	Для измерения теплопроводности азота им наполнили про-
пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, ради-
радиусы которых ri = 0, 5 см и 7*2 = 2 см. Внутренний цилиндр равномерно
нагревался спиралью, по которой проходил ток силой г = 0, 1 А. Сопро-
Сопротивление спирали, приходящейся на единицу длины цилиндра, равно
R = 0, 1 Ом. Внешний цилиндр поддерживался при температуре t^ =
= 0°С. При установившемся процессе оказалось, что температура внут-
внутреннего цилиндра равна t\ = 93 °С. Найти газокинетический диаметр d
молекулы азота. Давление газа в таких опытах берется малым (порядка
десятков миллиметров), и поэтому конвекцией можно пренебречь.
421.	Считая, что газокинетическое поперечное сечение не зависит
от температуры, определить зависимость теплопроводности газа от тем-
температуры. Пользуясь полученной зависимостью, найти стационарное
распределение температуры в плоскопараллельном слое газа толщи-
толщины /, на границах которого поддерживаются постоянные температу-

§6. Кинетическая теория вещества	61
ры Т\ и T<i. Нагревание производится таким образом, что конвекция не
возникает. Найти также стационарное распределение температуры для
сферического и цилиндрического слоев. (Ср. с задачами 263 и 264.)
422.	Найти верхний предел давления Р водорода в сосуде объемом
V = 1 л, при котором длина свободного пробега молекулы больше
размеров сосуда. Газокинетический диаметр водорода d = 2, 2 • 10~8 см,
а температура его Т = 300 К.
423.	Теплопроводность газа, как известно, не зависит от давления.
Объяснить, зачем из пространства между двойными стенками сосуда
Дьюара выкачивают воздух, создавая в этом пространстве возможно
более высокий вакуум?
424.	Оценить массу М жидкого воздуха, испарившегося за время
г = 1 час из плохо откачанного сосуда Дьюара, если давление воздуха
(при комнатной температуре То = 293 К), оставшегося между стенками,
равно Р = 10~3мм рт. ст. Поверхность сосуда S = 600см2, удельная
теплота испарения жидкого воздуха q = 48,4 кал/г, а его температура
Т = 93 К. Зазор между стенками сосуда мал по сравнению с длиной
свободного пробега.
Указание. Для упрощения считать, что молекулы воздуха, попе-
попеременно ударяясь о холодную и теплую стенки, каждый раз отража-
отражаются от них со средними кинетическими энергиями поступательного
движения, соответствующими температурам стенок. Различием меж-
между средней и средней квадратичной скоростями молекул пренебречь,
рассчитывая скорость молекул по формуле для средней квадратичной
скорости.
425.	Течение ультраразреженного газа через трубу можно рассмат-
рассматривать как процесс диффузии. Коэффициент диффузии определяет-
определяется исключительно столкновениями молекул газа со стенками трубы.
Столкновениями молекул между собой можно полностью пренебречь.
Роль длины свободного пробега играет диаметр трубы 2г. Исходя из
этих представлений, оценить число молекул N, ежесекундно проходя-
проходящих через поперечное сечение цилиндрической трубы длины /, если на
одном конце трубы концентрация молекул газа равна п\, а на другом —
нулю. Течение считать изотермическим.
426.	Решить ту же задачу в предположении, что на одном конце
трубы концентрация молекул равна щ, а на другом — щ. Результат
сравнить с формулой D18.1).
427.	Два сосуда одинакового объема соединены трубками. Диа-
Диаметр одной из трубок очень велик, а другой очень мал по сравнению
с длиной свободного пробега молекул газа, находящегося в сосуде.
Первый сосуд поддерживается при постоянной температуре Т\ = 800 К,
а второй — при постоянной температуре Т% = 200 К. В каком направ-
направлении будет перетекать газ по узкой трубке, если перекрыть краном
широкую трубку? Какая масса m газа перейдет при этом из одного
сосуда в другой, если общая масса газа в обоих сосудах равна М?

62	Задачи
428.	Стеклянный сосуд с толщиной стенок / = 5 мм и объемом
V = 1 л наполнен азотом и окружен вакуумом. В стенке сосуда обра-
образовался узкий цилиндрический канал радиуса а = 0, 1 мм. Начальное
давление газа в сосуде настолько мало, что радиус канала пренебрежи-
пренебрежимо мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Как
меняется во времени концентрация молекул газа в сосуде? Определить
время т, по истечении которого давление газа в сосуде уменьшится
в е раз, если температура поддерживается постоянной и равна Т =
= 300 К.
429.	Полностью эвакуированный стеклянный сосуд с толщиной
стенок / = 3 мм и объемом V = 1 л погружен в атмосферу углекислого
газа (СО2). В стенке сосуда образовался узкий цилиндрический канал
диаметра D = 0, 1 мм. Давление окружающего газа настолько мало, что
диаметр канала пренебрежимо мал по сравнению с длиной свободного
пробега молекул газа. Как меняется во времени концентрация молекул
газа в сосуде? Определить время т, по истечении которого давление
газа в сосуде будет составлять (е — 1)/е = 0,628 от давления окружа-
окружающего газа при условии, что температура поддерживается постоянной
и равна Т = 300К.
430.	Сосуды с объемами V\ и У% соединены между собой цилин-
цилиндрическим капилляром радиуса а и длины /, по которому происхо-
происходит изотермическое кнудсеновское перетекание газа из одного сосуда
в другой. Как будут меняться во времени концентрации молекул газа
в сосудах щ и П2, если их начальные значения были равны п\о и П20?
431.	Изотермическая эффузия газа через пористую перегородку
(поры которой малы по сравнению с длиной свободного пробега)
используется для разделения изотопов. Естественная смесь изотопов
помещается в сосуд с пористыми стенками. Газ, прошедший через поры
сосуда в результате эффузии, откачивается и собирается в специальном
резервуаре. С ним производится второй цикл эффузии, затем третий
и т.д., пока не будет достигнута требуемая степень разделения изото-
изотопов. Сколько циклов эффузии необходимо произвести, чтобы отноше-
отношение концентраций частиц легкого и тяжелого изотопов увеличить в 10
раз, если относительные молекулярные массы их равны соответственно
АИ и /i2?
432.	Оценить по порядку величины установившуюся скорость, с
которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск,
одна из сторон которого нагрета до температуры Т\ = 310 К, а другая
до температуры Т2 = 300 К. Температура воздуха Т = 300 К.
433.	Определить, на какой угол ср повернется диск, подвешенный
на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см вращается
второй такой же диск с угловой скоростью uj = 50 рад/с. Радиус
дисков R = 10 см, модуль кручения нити / = 100 дин • см/рад, вязкость
воздуха считать равной г] = 1,8- 10~4 дин • с/см2. Краевыми эффектами
пренебречь. Движение воздуха между дисками считать ламинарным.

§ 6. Кинетическая теория вещества	63
434.	Решить предыдущую задачу в предположении, что диски по-
помещены в сильно разреженный воздух с давлением Р = 10~4 мм рт. ст.,
когда длина свободного пробега молекул воздуха велика по сравнению
с расстоянием между дисками. Для упрощения расчета считать, что
все молекулы движутся с одинаковыми по абсолютному значению
скоростями, равными средней скорости молекул воздуха v = 450 м/с.
435.	В жидкости находятся одинаковые броуновские частицы, кон-
концентрация которых зависит только от одной координаты х. Выравнива-
Выравнивание концентрации частиц происходит вследствие диффузии. Выразить
коэффициент диффузии броуновских частиц D через средний квадрат
смещения частицы в направлении оси X за время т.
436.	Подвижностью В броуновской (или какой-либо другой) ча-
частицы называется коэффициент пропорциональности между скоростью
и установившегося движения ее под действием постоянной силы /
и величиной самой силы:
u = Bf.
Взвесь одинаковых броуновских частиц в жидкости находится в по-
поле силы тяжести. Написать выражение для суммарного потока частиц
вследствие диффузии и действия силы тяжести. В стационарном состо-
состоянии суммарный поток должен равняться нулю. В то же время стацио-
стационарное распределение броуновских частиц по высоте дается формулой
Больцмана (барометрической формулой). Исходя из этих соображений,
установить связь между подвижностью частицы и коэффициентом диф-
диффузии.
437.	Используя результаты решения двух предыдущих задач, найти
связь между средним квадратом смещения броуновской частицы за
время г в каком-либо определенном направлении Ах2 с подвижностью
этой частицы. Какой вид принимает эта связь для шарообразной ча-
частицы радиуса а? (По формуле Стокса В = 1/Fтггуа), где г\ — вязкость
жидкости.)
438.	Определить среднее квадратичное горизонтальное перемеще-
перемещение зерен гуммигута в воде при температуре 20 °С за 1 мин, если из-
известно, что радиус их а = 0, 5 мкм, а вязкость воды г] = 0,01 дин • с/см2.
439.	Согласно Эйнштейну и Смолуховскому, число Авогадро N
можно определить, наблюдая броуновское движение зерен гуммигута
и измеряя среднее квадратичное перемещение их в некотором фикси-
фиксированном направлении. Чему равно это число, если среднее квадра-
квадратичное перемещение за 5 мин зерен гуммигута радиуса а = 0, 385 мкм
в глицерине при температуре 20°С равно 1,5 мкм? Вязкость глицерина
т\ = 1,49 дин • с/см2.
440.	При обработке экспериментальных данных, относящихся к
броуновскому движению, удобнее и проще вычислять не Ах2, а \Ах\.
Предполагая, что распределение смещений Ах подчиняется закону
ошибок Гаусса, найти выражение для среднего смещения броуновской
частицы \Ах\ за время т.

64	Задачи
441.	Капелька масла массы т = 10 10 г падает в воздухе с высоты
h = 1 м, совершая при этом броуновское движение. Предполагая, что
к ее падению применима формула Стокса, найти средний квадрат г2
отклонения капельки от ожидаемой точки падения, если температура
воздуха Т = 300 К. Проверить, выполняются ли условия применимости
формулы Стокса, если плотность масла р = 0,9 г/см3, а вязкость воз-
воздуха г] = 1,8 • 10~4 дин-с/см2.
442.	При измерении заряда электрона по методу Милликена на-
наблюдается броуновское движение масляных капель. Наблюдая это
движение, можно найти не только заряд электрона, но и число Аво-
гадро. Пусть г; 1 — скорость установившегося падения капли в поле
тяжести при отсутствии электрического поля. Пусть в электрическом
поле напряженности Е капля поднимается вверх с установившейся
скоростью i?2. Из этих наблюдений, как известно, можно вычислить
заряд капли е. Пусть (АхJ — средний квадрат смещения частицы за
время г в направлении (горизонтальной) оси X. Считая, что устано-
установившаяся скорость частицы пропорциональна приложенной силе, найти
выражение для Ne, где N — число Авогадро.
443.	При наблюдении броуновского движения масляной капли
в конденсаторе Милликена (см. предыдущую задачу) было найдено
(АхJ = 1,05 • Ю-5 см2, г = 10 с, vx + v2 = 0,0268 см/с, Т = 300 К.
Напряжение на обкладках конденсатора V = 940 В, расстояние между
пластинами конденсатора d = 0, 7 см. Вычислить по этим данным число
Авогадро. Измеренный на опыте заряд капли оказался равным заряду
электрона е = 4, 8 • 100 СГСЭ.
444.	Космические лучи блуждают в Галактике, отклоняясь в меж-
межзвездных магнитных полях. Этот процесс подобен диффузии. Найти
время т, за которое частицы пройдут путь порядка размеров Галактики
R ~ 5 • 1022 см, если эффективная длина свободного пробега I « 3 х
х1020см.
445.	Звук какой длины волны начинает сильно затухать при рас-
распространении в одноатомном газе?
446.	Каково по порядку величины эффективное сечение для со-
соударений электронов с ионами плазмы, нагретой до температуры Т?
Имеются в виду соударения с передачей импульса, сопровождающиеся
сильными отклонениями электронов.
447.	Используя результат решения предыдущей задачи, получить
приближенное выражение для удельной электрической проводимости
Л и удельного электрического сопротивления р водородной или дейте-
риевой плазмы, нагретой до абсолютной температуры Т. Как зависит
удельная электрическая проводимость плазмы от ее плотности и тем-
температуры?
448.	При какой температуре Т удельная электрическая проводи-
проводимость водородной или дейтериевой плазмы будет равна удельной элек-
электрической проводимости меди при комнатной температуре? Удельная

§ 7. Реальные газы
65
электрическая проводимость меди 5, 14 • 1017 с 1 = 5, 72 • 105Ом х
: см
-1
449.	Получить приближенное выражение для теплопроводности
водородной или дейтериевой плазмы х, нагретой до абсолютной тем-
температуры Т. Как зависит теплопроводность плазмы от ее плотности
и температуры?
§ 7. Реальные газы
450.	Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа записывает-
записывается в виде	/	х
(Р+-72) (V-b) =RT.	D50.1)
Записать это уравнение для газа, содержащего v молей.
451.	Найти выражения для давления, температуры и объема газа
и установить связь между этими величинами в критической точке,
предполагая, что вещество подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
452.	Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных парамет-
параметрах	т
7Г = -^-, if =
р
V
т. е. таких параметрах, когда за единицы приняты критическая темпе-
температура, критическое давление и критический объем моля газа.
453.	Если температура газа ниже так называемой температуры
Бойля, то при изотермическом сжатии его произведение PV сначала
убывает, проходит через минимум, а затем начинает возрастать. Если
же температура газа выше температуры Бойля, то при изотермическом
сжатии произведение PV монотонно возрастает. Убедиться в этом
и выразить температуру Бойля через критическую температуру для
газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.
454.	Критическая температура углекислоты (СО2) равна 31 °С, кри-
критическое давление 73 атм. Определить критический объем VKp моля
СО2.
455.	Ниже приведены значения постоянных Ван-дер-Ваальса для
некоторых газов:
Газ
Гелий
Водород
Азот
Кислород
со2
а, 106атм -смб/моль2
0,034
0,24
1,39
1,36
3,60
Ь, см2/моль
23,7
26,6
39,1
31,8
42,7
Пользуясь этими значениями, вычислить критическое давление,
критическую температуру, критический объем, а также температуру
Бойля для приведенных газов в предположении, что они подчиняются
уравнению Ван-дер-Ваальса.
3 Под ред. Д. В. Сивухина

66
Задачи
456.	Найти постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса для азота, если
?кр азота равна —146 °С, Ркр = ЗЗатм.
457.	Найти критическую плотность воды, если критическое давле-
давление для воды равно Ркр = 195 атм, а критическая температура Ткр =
= 374°С, предполагая, что вода подчиняется уравнению Ван-дер-Ва-
Ван-дер-Ваальса.
458.	Принимая постоянную а Ван-дер-Ваальса для воды равной
5,47 • 106атм-см6/моль2, найти внутреннее давление воды Р.
459.	Было предложено много эмпирических и полуэмпирических
уравнений состояния реальных газов. Ниже приводятся простейшие из
них.
Уравнение Бертло:
Уравнение Клаузиуса:
(V-b)= RT.
Первое уравнение Дитеричи:
Второе уравнение Дитеричи:
где а, Ь, с — постоянные. Найти для этих уравнений критиче-
критические параметры Ркр, Ткр, VKp, значение критического коэффициента
RTKp/(PKpVKp) и температуры Бойля Тв.
460.	Найти выражение для изотермической сжимаемости 7т газа
Ван-дер-Ваальса.
461.	Найти температурный коэффициент расширения а для газа
Ван-дер-Ваальса при постоянном давлении.
К
Рис. 27

§ 7. Реальные газы
67
V
Рис. 28
462.	На рис. 27 кривая CLMGD представляет одну из реальных
изотерм вещества, а штриховая кривая ALKGB отделяет область од-
однофазного состояния вещества от области двухфазного. Показать, что
в состоянии, изображаемом точ-
точкой М, массы жидкой и газообраз-
газообразной фаз относятся как тж/тт =
= MG/LM (правило рычага).
463.	На рис. 28 представлены
две изотермы, переводящие веще-
вещество из жидкого состояния L в га-
газообразное G: реальная изотерма,
изображаемая горизонтальным от-
отрезком LCG, и теоретическая изо-
изотерма LACBG, содержащая подни-
поднимающийся участок АСВ, которому
соответствует абсолютно неустой-
неустойчивое состояние вещества. Рассмотрим цикл LACL и применим к нему
равенство Клаузиуса. Так как вдоль цикла Т = const, то равенство
Клаузиуса примет вид 15Q = 0, или | dU + | Р dV = 0. Поскольку U —
функция состояния, § dU = 0 и, следовательно, § PdV = 0. А так как
изотермы LAG и CL в рассматриваемом цикле не пересекаются, то
они должны совпадать между собой. В чем ошибочность приведенного
рассуждения?
464.	Чему равна теплоемкость Ср вещества в двухфазном состоя-
состоянии, изображаемом точкой под кривой ALKGB (рис. 27)?
465.	Найти распределение плотности в поле силы тяжести фи-
физически однородного вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-
Ваальса, в окрестности критической точки.
466.	Как впервые указал А. Г. Столетов A892 г.), для приведения
жидкости, заключенной в данный объем, в критическое состояние
должно быть взято вполне определенное количество ее. Рассмотреть
следующий пример. Сосуд, объем которого V\ = 15 см3, должен быть
наполнен водой при температуре t\ = 18 °С с таким расчетом, чтобы
при нагревании ее в данном сосуде (предварительно откачанном и за-
запаянном) до критической температуры в нем установилось критическое
давление. В предположении, что вода подчиняется уравнению состо-
состояния Ван-дер-Ваальса, найти, какой объем воды должен быть налит
в сосуд, если известно, что критическая температура воды ?кр = 374 °С,
критическое давление Ркр = 205, 5атм, относительная молекулярная
масса /i = 18, плотность при 18 °С равна р = 1 г/см.
467.	Почему в известных демонстрационных опытах с нагревани-
нагреванием жидкостей в запаянных ампулах для приведения этих жидкостей
в критическое состояние не требуется заполнять ампулу строго опре-
определенным количеством жидкости (см. предыдущую задачу)? Мениск
между жидкой и парообразной фазами при нагревании исчезает, а при

68	Задачи
охлаждении появляется вновь в пределах ампулы, даже если это усло-
условие не выполнено.
468.	Рассматривая удельную теплоту испарения q как работу, за-
затрачиваемую на преодоление внутреннего давления Pi, найти зависи-
зависимость между Pi, q и плотностью жидкости р. Считать, что жидкость
подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
469.	Доказать, что теплоемкость Су газа, подчиняющегося урав-
уравнению Ван-дер-Ваальса, не зависит от объема, а является функцией
только температуры. Найти выражение для внутренней энергии газа
Ван-дер-Ваальса, теплоемкость которого не зависит от температуры.
(См. задачи 175, 179.)
470.	Вычислить внутреннюю энергию газа Ван-дер-Ваальса как
теплоту, сообщенную газу при нагревании при постоянном объеме,
за вычетом работы, произведенной газом при изотермическом расши-
расширении. При этом надо учесть, что при изотермическом расширении
газ, кроме внешней работы, производит работу против внутреннего
давления. В чем недостаток этого способа по сравнению с термодина-
термодинамическим способом предыдущей задачи?
471.	Моль азота расширяется в пустоту от начального объема
1л до конечного Юл. Найти понижение температуры AT при таком
процессе, если постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота
равна 1, 35 • 106 атм • см6/моль2.
472.	Два сосуда с объемами V\ и V^ соединены трубкой с краном.
В каждом из них при закрытом кране находится по одному молю
одного и того же газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.
До открытия крана температура газа в обоих сосудах была одинакова
и равна Т. Нагреется или охладится газ, если открыть кран? На
сколько при этом изменится температура газа? Определить давление
газа после открытия крана. Стенки сосуда и соединяющей их трубки
считать адиабатическими, а теплоемкость Су — не зависящей от
температуры.
473.	Два баллона с объемами V\ = V^ = V = 1 л соединены трубкой
с краном. В объеме V\ находится воздух под атмосферным давлени-
давлением, а объем V2 откачан до предельного вакуума. Считая, что воздух
подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а стенки баллонов и трубки
адиабатические, определить, на сколько изменится температура газа
после открытия крана. Начальная температура Т = 290 К, для воздуха
а = 1, 39 • 106 атм • смб/моль2.
474.	Азот при критической температуре Ткр = 147 °С имеет кри-
критический объем VKp = 0, 12 л/моль. Считая, что азот подчиняется
уравнению Ван-дер-Ваальса, найти понижение температуры 7 г азота
при расширении в пустоту от объема v\ = 5л до объема v^ = 50л.
475.	Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа
Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в пустоту от объема V\ до
объема V2 его температура не изменилась?

§ 7. Реальные газы	69
476.	Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа
Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в пустоту от объема V\ до
объема V2 его давление осталось постоянным и равным Р?
477.	Найти выражение для удельной теплоты испарения моля жид-
жидкости при постоянной температуре Т под давлением ее насыщенного
пара в предположении, что уравнением состояния жидкости и ее пара
является уравнение Ван-дер-Ваальса. Считать известными температуру
Т и молярные объемы жидкости Уж и ее насыщенного пара Vn при этой
температуре.
478.	Найти Ср — Су для моля газа Ван-дер-Ваальса.
479.	Найти выражение для энтропии v молей газа Ван-дер-Ваальса.
480.	Найти уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса, счи-
считая, что его теплоемкость С не зависит от температуры.
481.	Показать, что в критической точке для любого вещества
разность Ср — Су, а также теплоемкость Ср обращаются в бесконеч-
бесконечность.
482.	Показать непосредственным детальным расчетом, что КПД
цикла Карно не зависит от параметров газа Ван-дер-Ваальса, исполь-
используемого в качестве рабочего тела в этом цикле. Внутренняя энергия
моля газа Ван-дер-Ваальса дается выражением
и = /(т) - ?,
где функция /(Т) зависит только от температуры. (В предлагаемом
расчете эту формулу бессмысленно рассматривать как термодинамиче-
термодинамическую, поскольку термодинамический вывод ее по существу использует
теорему Карно о независимости КПД цикла Карно от рода рабочего
вещества. Предлагаемый расчет имеет смысл, если выражение для U
обосновано как-то иначе, например, эмпирически или молекулярно-
кинетически.)
483.	Получить формулу для изменения температуры газа в диффе-
дифференциальном эффекте Джоуля-Томсона, предполагая, что газ подчиня-
подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса. (См. решение задачи 252.)
484.	Рассмотреть предельный случай формулы D83.1), предполагая
газ настолько разреженным, что квадратами и высшими степенями
поправок а и Ъ можно пренебречь. Показать, что при температурах
выше так называемой температуры инверсии Тинв дифференциального
эффекта Джоуля-Томсона газ при дросселировании будет нагревать-
нагреваться, а при температурах ниже температуры инверсии — охлаждаться.
Получить выражение для Тинв и установить связь этой температуры с
критической температурой Ткр.
485.	Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Вааль-
Ван-дер-Ваальса, с а = 0 в опыте Джоуля-Томсона всегда нагревается. Определить
повышение температуры при расширении.

70	Задачи
486.	Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Вааль-
са, с Ъ = 0 в опыте Джоуля-Томсона всегда охлаждается. Определить
понижение температуры при расширении.
487.	При какой температуре Т гелий в опыте Джоуля-Томсона
начнет охлаждаться, если известно, что критическая температура ге-
гелия Ткр = 5, 1 К? Считать, что состояние гелия описывается уравнением
Ван-дер-Ваал ьса.
488.	Найти температуры инверсии Тинв дифференциального эффек-
эффекта Джоуля-Томсона для разреженных водорода, воздуха и углекислоты
в предположении, что эти газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ва-
альса. Определить также изменение температуры AT в опыте Джоуля-
Томсона с этими газами, если Т = 300 К, а давление понижается на
|АР| = 0, 1 атм. Постоянные Ван-дер-Ваальса указанных газов приве-
приведены в условии задачи 455 (для воздуха а и Ъ взять такими же, как
для азота).
489.	Предполагая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса,
найти уравнение кривой инверсии, т. е. такой кривой в плоскости VT,
при переходе через которую эффект Джоуля-Томсона меняет знак.
490.	То же для газа, подчиняющегося уравнению состояния Дите-
ричи.
491.	Газы в задаче 488 в начальном состоянии были сильно сжаты
до молярных объемов V = 100 см3, а затем в процессе Джоуля-Томсона
расширились до атмосферного давления. Предполагая, что газы под-
подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса, найти изменение температуры
AT = Т' — Т в таком процессе.
Примечание. При столь сильном сжатии нельзя пользоваться
формулой для дифференциального эффекта Джоуля-Томсона. При ат-
атмосферном давлении газы могут считаться идеальными.
492.	Расширение газа в процессе Джоуля-Томсона производится
от начального состояния Т, V до сильно разреженного состояния,
в котором газ может считаться идеальным. Если начальное состояние
газа изображать на диаграмме Т, V, то на ней можно начертить
кривую, которая делит плоскость TV на две области: точкам одной
области соответствует AT < 0 (газ охлаждается), а другой AT > 0 (газ
нагревается). Эта кривая называется кривой инверсии интегрального
эффекта Джоуля-Томсона. Найти ее уравнение и начертить кривые
инверсии для азота, водорода и гелия в предположении, что эти газы
подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса.
493.	Теплоизолированный сосуд наполнен газообразным гелием
при температуре То = 10К (выше критической точки). Газ медленно
вытекает через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в сосуде
не станет равным Р\ = 1 атм, а температура Т\ = 4,2 К (точка кипения
гелия при нормальном давлении). Найти начальное давление газа в со-
сосуде Р, если в конце процесса сосуд оказался полностью заполненным
жидким гелием. Молярная теплота испарения гелия при 4,2 К равна
q = 20 кал/моль. Газообразный гелий считать идеальным газом.

§8. Поверхностное натяжение
71
§ 8. Поверхностное натяжение
494.	Для определения поверхностного натяжения воды взвешивают
капли, отрывающиеся от капилляра, и измеряют диаметр d шейки
капли в момент отрыва. Оказалось, что масса 318 капель воды равна
5 г, a d = 0, 7 мм. Найти поверхностное натяжение воды.
495.	Вертикальная капиллярная стеклянная трубка подвешена к
коромыслу весов и уравновешена гирями. Что произойдет с весами,
если под капиллярную трубку осторожно поднести сосуд с водой так,
чтобы кончик капилляра коснулся ее поверхности?
496.	Как велико поверхностное натяжение а жидкости, если петля
из резинового шнура длиной / с поперечным сечением S, положенная
на пленку этой жидкости, растянулась в окружность радиуса R после
того, как пленка была проколота внутри петли? Считать, что при малых
растяжениях для резины справедлив закон Гука и модуль Юнга резины
равен Е.
497.	Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные ко-
колебания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюс-
сплюснутой, сферической, снова вытянутой и т.д. Как зависит период этих
пульсаций Т от плотности р, поверх-
поверхностного натяжения а и радиуса кап-
капли г?
498.	Струя жидкости вытекает че-
через горизонтальную трубку в боковой
стенке сосуда (рис. 29). Поперечное
сечение трубки имеет форму эллипса,
вытянутого в горизонтальном направ-
направлении. Струя принимает форму цепи,
звенья которой попеременно то вытя-
вытянуты, то сплюснуты в горизонтальном
направлении. Объяснить явление. Как
зависит длина звена / в начальной части струи от плотности жидко-
жидкости р, поверхностного натяжения а, расстояния h от основания трубки
до уровня жидкости и ускорения свободного падения g, если сечение
трубки остается неизменным? Рэлей использовал описанное явление
для сравнения поверхностных натяжений различных жидкостей.
499.	Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости в предположе-
предположении, что температуры нагревателя и холодильника бесконечно мало
отличаются друг от друга, и применив к этому циклу теорему Карно,
найти производную поверхностного натяжения а жидкости по темпе-
температуре Т.
500.	Найти выражение для внутренней энергии U пленки.
501.	Определить изменение температуры пленки при адиабатиче-
адиабатическом расширении.
502.	Мыльная пленка имеет толщину h = 10~3мм и температуру
Т = 300 К. Вычислить понижение температуры этой пленки, если ее
Рис. 29

72	Задачи
растянуть адиабатически настолько, чтобы площадь пленки удвоилась.
Поверхностное натяжение мыльного раствора убывает на 0,15 дин/см
при повышении температуры на 1 К.
503.	В сосуде с адиабатическими стенками находится мыльный пу-
пузырь радиуса г = 5см. Общее количество воздуха в сосуде и в пузыре
v = 0, 1 моля, его температура Т = 290 К (предполагается, что она
одинакова внутри и вне пузыря). При этой температуре поверхностное
натяжение а = 70 дин/см, da/dT = —0, 15 дин/(см • К). Как изменится
температура воздуха в сосуде, если пузырь лопнет? Теплоемкостью
образовавшихся капелек пренебречь.
504.	Показать, что вблизи абсолютного нуля поверхностное натя-
натяжение жидкости перестает зависеть от температуры, т. е.
,. da A
hm — = 0.
Т^О dT
(Конкретно речь может идти только о гелии — единственном веществе,
остающемся жидким при абсолютном нуле температуры.)
505.	Чему равно капиллярное давление Р в капельке ртути с
диаметром d = 1 мкм при температуре 15 °С, если поверхностное натя-
натяжение ртути при этой температуре а = 487 дин/см?
506.	Чему равно добавочное давление Р внутри мыльного пузыря
с диаметром d = 0,8 см, если поверхностное натяжение мыльной воды
а = 40 дин/см?
507.	В дне сосуда имеется трещина шириной а = 0,02 мм. До какой
высоты h можно налить ртуть в сосуд, чтобы она еще не вытекала
через трещину? Плотность ртути р= 13, 6 г/см3. Поверхностное натя-
натяжение (при 15 °С) а = 487 дин/см.
508.	Оценить максимальное количество воды, которое можно на-
налить в решето с парафинированным дном диаметра D = 20 см, если
последнее сделано из металлического листа с круглыми отверстиями
диаметра d = 1 мм. Поверхностное натяжение воды а = 70 дин/см. Как
зависит максимальное количество наливаемой жидкости от ее плотно-
плотности?
509.	Столбик жидкости, помещенный в коническую трубку, сам
движется к более узкой части, когда он смачивает стенки трубки, и к
более широкой части, когда не смачивает. Объяснить явление.
510.	Если в трубке находится ряд капель (столбиков) какой-либо
жидкости, то требуется значительное давление, чтобы продвинуть их
вдоль трубки, независимо от того, смачивают они стенки трубки или
не смачивают. Сопротивление смачивающих капель еще более увели-
увеличивается, когда канал трубки попеременно суживается и расширяется.
При этом капли собираются в суженных частях канала. Объяснить
явление.
511.	Чтобы стряхнуть ртуть в медицинском термометре, нужно
ускорение а ~ 10g\ Оценить диаметр перетяжки в капилляре термомет-

§ 8. Поверхностное натяжение	73
pa. Поверхностное натяжение ртути а = 490 дин/см, длина столбика
ртути выше перетяжки h ~ 5 см, плотность ртути р = 13, 6 г/см3.
512.	На дне пруда глубиной h = 2 м выделяются пузырьки газа
с диаметром d\ = 0,05 мм. Чему будут равны диаметры с?2 этих пу-
пузырьков, когда они поднимутся к поверхности воды? Поверхностное
натяжение воды а = 73 дин/см.
513.	На какую величину AT температура воздуха внутри мыль-
мыльного пузыря должна превышать температуру окружающего воздуха Т,
чтобы пузырь стал подниматься? Радиус пузыря равен г, поверхност-
поверхностное натяжение мыльной пленки а. Массой пленки можно пренебречь.
Учесть, что давление воздуха внутри пузыря мало отличается от атмо-
атмосферного давления Р.
514.	В цилиндре с подвижным поршнем заключен мыльный пузырь
радиуса г, наполненный воздухом. Вначале давление воздуха вне пузы-
пузыря равно атмосферному давлению Pq. Медленным вдвиганием поршня
мыльный пузырь сжимают, так что радиус его уменьшается вдвое.
Определить давление наружного воздуха в цилиндре в этот момент.
515.	На сколько изменится по сравнению с Ср молярная теплоем-
теплоемкость идеального газа С, если его нагреть внутри мыльного пузыря
радиуса г = 1 см? Поверхностное натяжение мыльного раствора а =
= 50дин/см. Зависимостью а от температуры пренебречь. Давление
вне пузыря Pq = 1 атм.
516.	Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с внут-
внутренним радиусом г = 1 мм и длиной / = 10 см. В тот момент, когда ра-
радиус пузыря достигает значения До = 10 см, перестают дуть, и воздух
из пузыря начинает выходить через трубку. Через какое время, начиная
с этого момента, пузырь исчезнет? Поверхностное натяжение мыльного
раствора а = 50 дин/см, вязкость воздуха г] = 1,8 • 10~4 дин • с/см2.
Изменением плотности воздуха за время процесса пренебречь.
517.	В стенке шарового мыльного пузыря сделано круглое отвер-
отверстие с радиусом а = 1 мм (такое отверстие, например, можно получить,
поместив на стенку пузыря петельку из нити, а затем проткнув мыль-
мыльную пленку внутри этой петельки). Найти время, в течение которого
весь воздух выйдет из пузыря, если его начальный радиус го = 10 см.
Температура воздуха вне и внутри пузыря t = 20 °С. Поверхностное
натяжение мыльного раствора при этой температуре а = 50дин/см.
Атмосферное давление Р = 760 мм рт. ст. Среднюю относительную мо-
молекулярную массу воздуха принять равной /i = 29. При истечении
через отверстие воздух рассматривать как идеальную несжимаемую
жидкость.
518.	Капля воды равномерно падает в воздухе. На сколько отлича-
отличается радиус кривизны R\ ее поверхности в нижней точке от радиуса
кривизны R2 в верхней точке, если расстояние между этими точками
d = 2 мм? Поверхностное натяжение а = 70 дин/см.
519.	Внутри мыльного пузыря радиуса го находится воздух (иде-
(идеальный газ) при температуре То и давлении Ро- Поверхностное натя-

74	Задачи
жение мыльного раствора при этой температуре равно его. Удельная
теплота изотермического образования единицы поверхности мыльной
пленки при той же температуре равна до- Найти производную dr/dT
(радиуса пузыря г по температуре Т) для Т = То. Наружное давление
остается постоянным.
520.	Найти поверхностное натяжение а жидкости, если в капил-
капилляре с диаметром D = 1 мм она поднимается на высоту h = 32,6 мм.
Плотность жидкости р = 1 г/см3. Краевой угол мениска равен нулю.
521.	Какова разность уровней жидкости в двух сообщающихся
капиллярах с диаметрами d\ и с?2? Поверхностное натяжение жидкости
равно а. Краевые углы менисков равны нулю. Плотность жидкости
равна р.
522.	Насколько изменится разность уровней h\ — h^ воды в двух
сообщающихся капиллярах с диаметрами d\ = 0, 1 мм и d^ = 0, 3 мм
при нагревании от 20 до 70 °С, если поверхностное натяжение воды
для этих температур равно соответственно 73 и 64 дин/см?
523.	Вертикально расположенный стеклянный капилляр длины /
и радиуса г запаян с верхнего конца. На какую высоту h поднимется
вода в капилляре, если его нижний конец привести в соприкосновение
с поверхностью воды?
524.	На какую высоту h поднимается вода между двумя верти-
вертикальными стеклянными пластинками, частично погруженными в эту
жидкость, если расстояние между ними d = 0, 5 мм? Для воды а =
= 73 дин/см. Краевой угол в в этом случае можно считать равным 0°.
525.	Две стеклянные вертикальные пластинки, погруженные ча-
частично в жидкость, образуют друг с другом очень малый двугранный
угол а. Найти высоту поднятия жидкости h как функцию расстояния
х от ребра двугранного угла.
526.	Капля воды с массой m = 0, 1 г введена между двумя плоскими
и параллельными между собой стеклянными пластинками, смачивае-
смачиваемыми водой, причем краевой угол в = 0°. Как велика сила притяжения
между пластинками F, если они находятся друг от друга на расстоянии
d = 10~4см? Поверхностное натяжение воды (при 18 °С) а = 73 дин/см.
527.	Грамм ртути помещен между двумя плоскими стеклянными
пластинками. Какую силу F надо приложить к верхней пластинке,
чтобы ртуть приняла форму круглой лепешки однородной толщины
и радиуса R = 5 см. Поверхностное натяжение ртути (при 15 °С) а =
= 487 дин/см, краевой угол между ртутью и стеклом в = 40°.
528.	С какой силой F притягиваются две вертикальные и парал-
параллельные стеклянные пластинки, частично погруженные в воду так,
что расстояние между ними равно d = 0, 1 мм? Ширина пластинок / =
= 15 см, а = 73 дин/см, 0 = 0°. Высота пластинок такова, что подняв-
поднявшаяся вода не доходит до их верхних краев.
529.	Две вертикальные параллельные пластинки частично погру-
погружены в жидкость. Показать, что между ними будет наблюдаться при-
притяжение, когда обе пластинки либо смачиваются, либо не смачиваются

§ 8. Поверхностное натяжение	75
жидкостью, и отталкивание, когда одна пластинка смачивается жидко-
жидкостью, а другая нет.
530.	Бесконечно длинная прямоугольная пластинка кладется на
поверхность смачивающей ее жидкости, а затем слегка приподни-
приподнимается, увлекая за собой некоторое количество жидкости (рис. 30).
Найти уравнение боковой поверхности жидкости, устанавливающейся
под влиянием капиллярных сил и силы тяжести.
531.	Определить в предыдущей задаче максимально возможную
высоту поднятия пластинки над уровнем жидкости h и толщину при-
приподнятого столба жидкости D в наиболее узком месте MN (рис. 30)
Рис. 30
при этой высоте поднятия. Найти также силу F, которую необходимо
приложить к единице длины пластинки, чтобы оторвать последнюю от
жидкости. Вес единицы длины пластинки равен q, ее ширина а.
532.	Бесконечно длинная прямоугольная пластинка ширины а по-
положена на поверхность несмачивающей ее жидкости с поверхностным
натяжением а. Плотность вещества пластинки ро больше плотности
жидкости р. Найти максимальную толщину пластинки h, при которой
она еще не утонет.
533.	Определить силу F, необходимую для отрыва круглой неве-
невесомой пластинки радиуса г = 8 см, положенной на поверхность воды.
Поверхностное натяжение воды а = 73 дин/см. Пластинка смачивается
водой.
534.	Найти высоту поднятия h жидкости у вертикальной беско-
бесконечной пластинки, смачиваемой жидкостью. Краевой угол равен в.
(См. решение задачи 530.)
535.	Определить глубину h ртутной лужицы на плоском горизон-
горизонтальном стекле. Поперечные размеры лужицы велики по сравнению с
ее глубиной. Поверхностное натяжение ртути на границе с воздухом
а = 490 дин/см, краевой угол на стекле в = 140°. Плотность ртути р =
= 13, 6 г/см3.
536.	Стальная иголка (лучше, если ее предварительно покрыть
тонким слоем парафина) может плавать на поверхности воды (рис. 31).

76
Задачи
Найти радиус иголки г, ширину зазора D = MN между боковыми
поверхностями жидкости в наиболее узком месте, а также глубину
погружения Н для различных значений угла 9, образуемого общей
касательной к поверхности иголки и жидкости с горизонтальной плос-
плоскостью. Плотность стали ро — 7,8 г/см3, поверхностное натяжение
Рис. 31
воды а = 73 дин/см. Определить максимальный радиус иголки, при
котором она еще не утонет. Найти максимально возможную глубину
погружения и соответствующий ей радиус иголки. При расчете иголку
заменить бесконечно длинным цилиндром.
537.	Определить форму мыльной пленки, края которой закреплены
на двух одинаковых кольцах радиуса R, удаленных друг от друга на
расстояние 2h. Центры колец лежат на общей прямой, перпендикуляр-
перпендикулярной к их плоскостям. Плоскости колец не затянуты пленками.
538.	Между двумя круглыми кольцами одинакового радиуса об-
образовалась цилиндрическая мыльная пленка, причем основания колец
также затянуты мыльными пленками, имеющими, как легко показать,
сферическую форму. Найти соотношение между радиусами цилиндри-
цилиндрической и сферической частей пленок.
539.	Решить задачу 537 в предположении, что не только боковая
поверхность, но и плоскости колец затянуты мыльными пленками.
540.	В задаче 538 давление воздуха внутри пузыря слегка изме-
изменяется, вследствие чего прямолинейные образующие цилиндрической
поверхности искривляются. Показать, что если искривление мало, то
образующая примет форму синусоиды, причем ее период будет ра-
равен длине окружности 2тгг основания невозмущенной цилиндрической
пленки. Пользуясь этим результатом, доказать, что при увеличении
давления воздуха внутри пузыря, когда его длина меньше тгг, пузырь
будет выпучиваться, а при уменьшении давления сужаться. Если же
длина пузыря будет больше тгг, но меньше 2тгг, то увеличение внутрен-
внутреннего давления заставит боковую поверхность пленки сделаться вогну-
вогнутой, а уменьшение — выпуклой. (Можно воспользоваться результатом
решения предыдущей задачи.)

§9. Фазовые превращения. Растворы
77
§ 9. Фазовые превращения. Растворы
541.	В закрытом сосуде при 0°С находится один моль A8 г) воды.
Какое количество тепла надо затратить, чтобы повысить температуру
системы до 100°С и чтобы при этом вся вода превратилась в насыщен-
насыщенный пар. Удельная теплота испарения воды при 100°С и постоянном
давлении составляет 539 кал/г. Упругостью насыщенного пара при 0°С
и теплоемкостью стенок сосуда пренебречь. Пренебречь также объемом
воды по сравнению с объемом ее насыщенного пара.
542.	Какую работу совершает за один цикл 1234561 машина Карно,
рабочим телом которой является один моль воды, испытывающий во
время работы машины фазовые превращения в пар и обратно (рис. 32)?
>> V
Рис. 32
Изотермам 1234 и 56 соответствуют температуры Т\ = 500 К и Т^ =
= 373 К. Нижняя изотерма 56 {Т^ — 373 К) целиком лежит в двухфаз-
двухфазной области вещества, так что в 6 имеется только жидкость, а в 5 —
только пар. Кривые 16 и 45 — адиабаты. Удельная теплота парообра-
парообразования воды q = 2, 25 кДж/г (при Т = 373 К).
543.	На дне сосуда, откачиваемого до высокого вакуума, намо-
наморожен плоскопараллельный слой льда толщиной / = 7 мм, нижняя
поверхность которого поддерживается при постоянной температуре to.
Определить эту температуру, если известно, что при откачке сосуда на
верхней поверхности слоя льда установилась температура t\ = — 50 °С.
Теплопроводность льда к = 5, 3 • 10~3 кал/(с • см • °С). Удельная теплота
сублимации льда q = 680 кал/г. Упругость насыщенного пара над льдом
при t\ = — 50 °С в отсутствие откачки равна Р = 0,03 мм рт. ст.
544.	Найти коэффициент объемного расширения а, изотермиче-
изотермическую сжимаемость 7т и теплоемкость Ср неоднородной равновесной
системы, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара.
545.	Рассмотрев цикл Карно для системы, состоящей из жидкости
и ее насыщенного пара, и применив к нему теорему Карно, выразить
производную давления насыщенного пара по температуре dP/dT через

78
Задачи
удельные объемы пара и жидкости vn, уж и удельную теплоту парооб-
парообразования q.
546.	Найти изменение температуры AT плавления льда при по-
повышении давления на АР = 1 атм. Удельный объем воды при 0°С
уж = 1 см3/г, удельный объем льда ул = 1,091 см3/г, удельная теплота
плавления льда q = 80 кал/г. По найденному значению AT рассчитать
приближенно температуру тройной точки воды.
547.	Ромбическая сера превращается в моноклинную при t =
= 96, 5°С. При атмосферном давлении удельная теплота превращения
q = 2, 2 кал/г. Скачок удельного объема серы при фазовом превращении
Av = 0,014см3/г. Найти смещение AT точки фазового перехода серы
при изменении давления на АР = 1 атм.
548.	Найти давление насыщенного водяного пара при температуре
101 °С. Считать пар идеальным газом.
549.	В закрытом сосуде с объемом Vo = 5 л находится 1 кг воды при
температуре t = 100 °С. Пространство над водой занято насыщенным
водяным паром (воздух выкачан). Найти увеличение массы насыщен-
насыщенного пара Am при повышении температуры системы на AT = 1 К.
Удельная теплота парообразования q = 539 кал/г.
Указание. При расчетах пар считать идеальным газом. Удельным
объемом воды пренебречь по сравнению с удельным объемом пара.
550.	При 0°С упругость водяного пара над льдом Р\ =
= 4,58 мм рт. ст. Удельная теплота плавления льда при 0°С q\ =
= 80 кал/г. Теплота испарения воды при 0°С q% = 596 кал/г. Найти
упругость водяного пара над льдом при температуре t = — 1 °С.
551.	Найти удельную теплоту испарения бензола дисп вблизи его
тройной точки, если известно, что при этих условиях его удельная
теплота плавления qnjl = 30, 2 кал/г, температура тройной точки Т =
= 279 К, равновесное давление пара в тройной точке Р = 36 мм рт. ст.
и для кривой возгонки в той же точке dP/dT = 2,43 мм рт. ст/К.
Считать пар бензола идеальным газом.
552.	Уксусная кислота при атмосферном давлении плавится при
температуре t = 16, 6°С. Разность удельных объемов жидкой и твердой
фаз уксусной кислоты Av = 0, 16см3/г. Точка плавления уксусной
кислоты смещается на AT = 1 К при изменении давления на АР =
= 41 атм. Найти удельную теплоту плавления q уксусной кислоты.
553.	В следующей таблице приведены давления насыщенных паров
азота при трех температурах:
*,°с
-195
-196
-197
Р, мм рт. ст.
833
741
657
Пользуясь ими, вычислить удельную теплоту испарения q жидкого
азота при температуре t = —196 °С. Считать, что газообразный азот

§9. Фазовые превращения. Растворы	79
вплоть до температуры конденсации подчиняется уравнению Клапей-
Клапейрона. Удельным объемом жидкого азота по сравнению с газообразным
пренебречь.
554.	Кусок льда помещен в адиабатическую оболочку при темпера-
температуре 0°С и атмосферном давлении. Как изменится температура льда,
если его адиабатически сжать до давления Р = 100 атм? Какая доля
льда Ат/т при этом расплавится? Удельные объемы воды vB = 1 см3/г,
льда ул = 1,09см3/г. Теплоемкости воды и льда связаны соотношением
сл ^0,6св.
555.	Показать, что вблизи абсолютного нуля касательная к кривой
плавления Р = Р(Т) на диаграмме Р, Т становится горизонтальной.
с\ Р
Точнее, lim —- = 0. Это утверждение справедливо, когда удельные
1 —^U CL-L
объемы твердой и жидкой фаз различны. Конкретно речь может идти о
гелии II — единственном веществе, которое может оставаться жидким
вплоть до абсолютного нуля температур. (Ср. с задачей 504.)
556.	Киевский физик М.П. Авенариус показал, что при крити-
критической температуре теплота испарения равна нулю. Проверить это
положение, пользуясь уравнением Клапейрона-Клаузиуса.
557.	Как показал Д. И. Менделеев, поверхностное натяжение жид-
жидкости при критической температуре равно нулю. Как можно это дока-
доказать?
558.	Найти зависимость давления насыщенного пара от темпера-
температуры в следующих упрощающих предположениях: удельную теплоту
парообразования q считать не зависящей от температуры; удельный
объем жидкости пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом
пара; к жидкости применимо уравнение состояния Клапейрона. (Эти
упрощения допустимы вдали от критической температуры, если интер-
интервал изменения температур не слишком широк.)
559.	Вывести формулу, выражающую зависимость давления насы-
насыщенного пара от температуры при следующих предположениях: 1) пар
подчиняется уравнению состояния Клапейрона; 2) удельная теплота
испарения q является линейной функцией температуры, т. е. q = qo —
— аТ; 3) удельный объем жидкости пренебрежимо мал по сравнению с
удельным объемом насыщенного пара.
560.	Найти повышение температуры кипения воды при увеличении
давления ее насыщенного пара на одну избыточную атмосферу вблизи
точки кипения воды в нормальных условиях. Удельная теплота испаре-
испарения воды в этих условиях q = 539 кал/г.
561.	Найти удельный объем водяного пара vn при 100°С и нор-
нормальном давлении, если известно, что при давлении 735,5 мм рт. ст.
температура кипения воды равна 99,1 °С. Удельная теплота парообра-
парообразования при 100 °С q = 539 кал/г.
562.	В закрытом сосуде при температуре t = 20 °С находится влаж-
влажный воздух с относительной влажностью / = 80%. На сколько гра-
градусов надо понизить температуру стенок сосуда, чтобы на них начала

80
Задачи
выпадать роса? Удельная теплота парообразования воды при 20 °С q =
= 600 кал/г. Водяной пар рассматривать как идеальный газ.
563. В следующей таблице приведены значения давления насыщен-
насыщенных паров над водой и льдом при трех температурах:
Лед
Вода
?,°С
о о о о
Р, мм рт. ст.
1,950
4,579
4,579
9,209
Используя эти данные, вычислить удельную теплоту замерзания воды
при 0°С.
564.	В тонкостенный металлический шар радиуса г = 10 см, из ко-
которого выкачан воздух, налита вода. Давление воздуха вне шара равно
атмосферному. До какой максимальной температуры можно нагреть во-
воду, чтобы стенки шара не разорвались, если предельное натяжение на
разрыв, которое они могут выдержать, а = 88Н/см. Количество воды
в шаре таково, что при этой температуре еще не вся вода испаряется,
однако объем воды мал по сравнению с объемом пара.
565.	По одной из теорий гейзеры представляют собой большие
подземные резервуары, наполненные грунтовой водой и прогреваемые
подземным теплом. Выход из них на поверхность Земли осуществля-
осуществляется через узкий канал, который в «спокойный» период практически
полностью заполнен водой. Считая, что «активный» период наступает,
когда закипает вода в подземном резервуаре, и что во время извер-
извержения гейзера канал практически заполнен только паром, который
и выбрасывается наружу, оценить, какую часть воды теряет резервуар
гейзера во время одного извержения. Глубина канала, т. е. расстояние
от подземного резервуара до поверхности Земли, h = 90 м.
566.	Определить удельную теплоемкость с насыщенного пара,
расширяющегося (или сжимающегося) таким образом, что во время
процесса он все время остается насыщенным. Пренебречь удельным
объемом жидкости по сравнению с удельным объемом ее насыщенного
пара. Считать, что пар подчиняется уравнению состояния Клапейрона.
Произвести численный расчет для воды при температуре Т = 373 К,
считая, что к водяному пару применима классическая теория теплоем-
костей. Удельная теплота парообразования для воды при 373 К равна
q = 539 кал/г.
567.	Решить предыдущую задачу, зная удельную теплоту испаре-
испарения q и ее производную по температуре dq/dT, но не предполагая, что
пар подчиняется уравнению состояния Клапейрона. Результат сравнить
с приближенной формулой E67.1). Для воды при t = 100°С dq/dT =
= -0,64 кал/(г • К), cf = 1,01 кал/(г • К).
568.	Насыщенный водяной пар при температуре Т = 300 К подвер-
подвергается адиабатическому сжатию и адиабатическому расширению. В ка-

§9. Фазовые превращения. Растворы
81
ком из этих процессов пар превращается в ненасыщенный и в каком
в пересыщенный?
569.	Определить изменение энтропии системы, состоящей из воды
и насыщенного пара, при переходе ее в насыщенный пар. Начальная
температура системы Т\, конеч-
конечная Т2. Начальная масса пара тп\, i\P P12{T)
конечная m2. Зависимостью удель-
удельной теплоты парообразования воды q
от температуры пренебречь. Пар рас-
рассматривать как идеальный газ.
570.	Три фазы /, 2, 3 нахо-
находятся в равновесии друг с дру-
другом в тройной точке (рис. 33). Их
удельные объемы в этой точке рав-
равны соответственно v\, г>2, v$. Пусть
Р12 = Р12(Т), Р23 = Р23(Т), Рз1 =
= Р$\(Т) — уравнения кривых равно-
равновесия между фазами 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1. Показать, что в тройной точке
имеет место соотношение
= 0.
1
Рис
dT
dT
dT
571.	Определить приближенно давление и температуру (по шкале
Цельсия) в тройной точке воды, пользуясь следующими данными.
Давления насыщенного пара над жидкой водой: Р\ = 4,579 мм рт. ст.
при t = t\ = 0°С, Р2 = 4,926 мм рт. ст. при t = ?2 = 1 °С. Удельный
объем льда при 0°С и нормальном атмосферном давлении (Pq =
= 760 мм рт. ст.) v\ = 1,091 см3/г, удельный объем воды при тех же
условиях V2 = 1 см3/г. Удельная теплота плавления льда q = 80 кал/г.
572.	Температура воды в тройной точке ? = 0,0075 °С, удельная
теплота плавления льда при этой температуре q\2 = 80 кал/г. Удельный
объем водяного пара в тройной точке v$ = 206000см3/г. По сравнению
с ним удельными объемами льда v\ и воды V2 можно пренебречь. Что
больше — давление насыщенного пара над водой Р\ или над льдом Р2
при температуре 0°С? Чему равна разность Р\ — Р2?
573.	Стакан наполнен водой до высоты 10 см. На дне его лежат
капиллярные трубки, запаянные с одного конца и заполненные возду-
воздухом. Когда вода кипит, на открытых концах капилляров образуются
пузырьки пара, диаметр которых в момент отрыва равен 0,2 мм. Че-
Чему равна температура воды на дне сосуда во время кипения, если
атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.? Поверхностное натяжение
кипящей воды 57 дин/см, а упругость водяного пара вблизи 100 °С
возрастает на 2,7 см рт. ст. при повышении температуры на 1 °С.
574.	Допустим, что жидкость в широком сосуде с погруженной
в нее капиллярной трубкой накрыта колпаком (рис. 34) и весь прибор
помещен в термостат. В состоянии термодинамического равновесия

82
Задачи
h
h
Рис. 34
давление пара во всех точках всякой горизонтальной плоскости будет
одним и тем же. Иначе под действием разности давлений возникло бы
непрерывное движение пара, которым можно было бы воспользоваться
для производства работы с помощью ка-
какой-либо надлежаще устроенной перио-
периодически действующей машины. Эта ра-
работа непрерывно производилась бы за
счет тепла, заимствованного от термо-
термостата. Но такой круговой процесс невоз-
невозможен, поскольку он противоречит вто-
второму началу термодинамики. Исходя из
этих соображений, В. Томсон показал,
что давление насыщенного пара над вы-
выпуклой поверхностью жидкости должно
быть больше, а над вогнутой — меньше,
чем над плоской поверхностью. Пока-
Показать это и вычислить соответствующее
изменение давления насыщенного пара.
Рассмотреть два случая: 1) когда диа-
диаметр капилляра велик, так что плот-
плотность пара на протяжении высоты h меняется незначительно; 2) когда
диаметр капилляра мал, так что изменения плотности пара на про-
протяжении высоты h сравнимы с самой плотностью. В обоих случаях
изменениями плотности жидкости с высотой пренебречь.
575.	Вычислить давление насыщенного водяного пара над сфери-
сферической поверхностью капли воды с радиусом 1) г\ = 10~5см (капелька
тумана), 2) г^ = 10~7см при 20°С. При такой температуре для воды
а = 72, 7 дин/см, уж = 1,002см3/г, Ро = 17,5 мм рт. ст.
576.	Найти стационарный поток пара от сферической капли жид-
жидкости радиуса а в процессе ее испарения (или конденсации пара
на капле). Коэффициент диффузии паров жидкости в воздухе равен
D, плотность пара на большом расстоянии от капли роо, плотность
насыщенного пара рн. Найти также плотность пара р в зависимости
от расстояния г от центра капли. Зависимость упругости насыщенного
пара от кривизны поверхности жидкости не учитывать.
577.	Пользуясь аналогией между уравнениями стационарной диф-
диффузии и электростатики, найти стационарный поток пара от жидкой
капли произвольной формы. Остальные условия совпадают с условиями
предыдущей задачи.
578.	Найти время испарения тисп водяной капли с начальным ра-
радиусом а в воздухе с относительной влажностью / и температурой
t = 20°С. Рассмотреть два случая: 1) / = 40%, а = 1 мм, 2) / = 99%,
а = 1 мкм. При t = 20 °С давление насыщенных водяных паров Рн =
= 17, 5 мм рт. ст., D = 0,22 см2/с.

§9. Фазовые превращения. Растворы
83
N
А
= D
Указание. Считать процесс испарения капли стационарным. Это
допустимо, если плотность пара ри гораздо меньше плотности жидко-
жидкости рж.
579.	Найти время испарения тисп сферической капли жидкости
радиуса а в атмосфере, насыщенной парами этой жидкости, учитывая
зависимость давления насыщенного пара от кривизны поверхности.
Поверхностное натяжение жидкости (воды) а = 73 дин/см, температу-
температура t = 20 °С. Рассмотреть два случая: 1) а = 100 мкм, 2) а = 1 мкм.
(См. задачу 574.)
580.	Найти закон изменения во времени размеров водяной капли,
если в ней растворено т граммов поваренной соли. Капля находится
в атмосфере, насыщенной водяными
парами. Предполагается, что раствор
разбавленный.
581.	На рис. 35 представлены два
сообщающихся сосуда, заполненные
одной и той же жидкостью. Полупро-
Полупроницаемая перегородка MN свободно
пропускает молекулы пара, но не про-
пропускает молекулы нейтрального газа,
добавленного к пару в правом сосуде.
Поршень Е не позволяет нейтраль-
нейтральному газу перетекать из правого со-
сосуда в левый. Вся система помеще-
помещена в термостат, температура которого
поддерживается постоянной. Приме-
Применив к такой системе второе начало термодинамики, найти влияние
давления нейтрального газа на давление насыщенного пара жидкости.
582.	В цилиндре под поршнем помещена вода, над которой находит-
находится смесь воздуха и насыщенных водяных паров. Начальное давление
на поршень равно атмосферному Aатм). Затем давление на поршень
увеличивают в два раза. На сколько процентов изменится давление
насыщенного водяного пара в цилиндре, если температура (Т = 300 К)
сохраняется неизменной?
583.	В толстостенном закрытом сосуде помещен кусок льда, над
которым находится насыщенный водяной пар. В сосуд можно нагнетать
воздух до высокого давления. На сколько надо повысить давление
воздуха в сосуде, чтобы давление насыщенного пара над льдом повы-
повысилось на один процент, если температура (Т = 250 К) поддерживается
постоянной? Удельный объем льда ул = 1, 1 см3/г.
584.	При прохождении через перегретую жидкость ионизующей
частицы вдоль ее траектории образуются мельчайшие пузырьки пара.
Те из пузырьков, радиус которых больше «критического радиуса» Дкр,
быстро вырастают до видимых размеров, а пузырьки меньших размеров
захлопываются силами поверхностного натяжения. Определить RKp для
жидкого пропана (СзНэ), если в камере он находится под давлением
naj
Р
— —


)
В
м
Е
Пар 4
С
-Газ
Ро

Рис. 35

84	Задачи
Рж = 5 атм при температуре Т = 328 К. Давление насыщенного пара
пропана при этой температуре Рп = 15 атм, поверхностное натяжение
пропана аи = 4,46 дин/см.
585.	Кривая плавления гелия-3 проходит через точку Т\ = 0, 12 К,
Pi = 31 атм. При каком давлении Р% будут находиться в равновесии
твердая и жидкая фазы гелия-3 при температуре Т^ = 0,42 К? Найти
уравнение кривой плавления гелия-3 в переменных Т, Р в интервале
между этими температурами. Молярная энтропия жидкого гелия-3
в рассматриваемой области температур и давлений определяется выра-
выражением 5Ж = RT/G, где R — газовая постоянная, а в = 0,46 К. Мо-
Молярная энтропия твердого гелия-3 не зависит от температуры и равна
STB = Rln2. Разность молярных объемов жидкого и твердого гелия-3
считать постоянной и равной Уж — VTB = 1,25 см3. Найти также вели-
величину и знак молярной теплоты плавления q для температур Т\ и Т^.
586.	При некоторой температуре в происходит фазовый переход,
в результате которого кристаллическая решетка из кубической превра-
превращается в тетрагональную с осями а и с > а. Описать качественно, как
ведет себя отношение осей с/а с изменением температуры Т вблизи в
при фазовых переходах 1-го и 2-го рода.
587.	При фазовых переходах 2-го рода нет ни скачка объема, ни
скачка энтропии, т. е. AV = 0 и AS = 0 (к таким переходам относится,
например, переход в железе и других ферромагнетиках из парамагнит-
парамагнитного состояния в ферромагнитное). Показать, что при переходе 2-го
рода скачки различных величин (обозначаемые знаком А) удовлетво-
удовлетворяют соотношениям Эренфеста, т. е.
дТ)р^ dT \дР)т	Т dT \дТ)р '
(дР\ +WA(dp\ =0 АСу dV (дР\
\дт)у dT \дУ)т	Т dT \дт)у '
где производные dP/dT и dV/dT берутся вдоль линии перехода, на
которой переменные Р, V и Т, помимо уравнения состояния, связаны
между собой еще одним соотношением.
588.	В задачах 133 и 257 найден адиабатический температурный
градиент воздушной атмосферы, находящейся в тепловом и механи-
механическом равновесии, без учета влажности воздуха. Найти значение
адиабатического градиента температуры, учитывая выделение теплоты
парообразования при конденсации водяных паров при адиабатическом
поднятии вверх влажного воздуха. Считать, что температура воздуха
значительно ниже температуры кипения воды.
589.	На рис. 36 приведена кривая растворимости фенола в воде
и воды в феноле. Кривая MAKBN делит плоскость рисунка на две
области: верхней области соответствует однофазное, а нижней — двух-
двухфазное состояния вещества. Показать, что массы насыщенного раство-

§9. Фазовые превращения. Растворы	85
ра фенола в воде Шфв и воды в феноле твф связаны соотношением
шфв _ АС
гавф СВ
(правило рычага).
590.	Показать, что при одной и той же температуре насыщенный
пар имеет один и тот же состав и одинаковое давление над насыщен-
насыщенным раствором жидкости / в жидкости 2 и над
насыщенным раствором жидкости 2 в жидко- юо% lj)CH0JI о
сти /.
591.	Весовой концентрацией свес называет-
называется отношение массы растворенного вещества т
к общей массе раствора то + т (то — масса
растворителя). Весовая концентрация обычно
выражается в процентах. Молярной или мо-
молекулярной концентрацией смол называется от-
отношение числа молей растворенного вещества
к общему числу молей раствора. Найти связь
между весовой и молярной концентрациями.	О Вода^ 100%
592.	Найти осмотическое давление Росм пя-
пятипроцентного раствора тростникового сахара	Рис. 36
(Q2H22O11) в воде при 18 °С.
593.	При какой температуре t осмотическое давление двухпроцент-
двухпроцентного раствора поваренной соли в воде будет равно 15атм? Считать
степень диссоциации а поваренной соли равной 75%.
594.	Осмотическое давление раствора т = 36 г глюкозы в 2,24 л
воды при 27 °С равно 1,1 атм. Найти относительную молекулярную
массу \i глюкозы.
595.	Чему равно осмотическое давление Росм электролита, степень
диссоциации которого а, если молекула электролита расщепляется при
диссоциации на п ионов?
596.	Найти осмотическое давление Росм однопроцентного раствора
натриевой селитры (ЫаЫОз) в воде при 27 °С. Считать при этом, что
селитра полностью диссоциирована.
597.	Почему стенки стакана, в который налит раствор, не разруша-
разрушаются под действием осмотического давления?
598.	Разбавленный раствор нелетучего вещества и чистый раство-
растворитель в сообщающихся сосудах разделены полупроницаемой пленкой,
а сосуды покрыты колпаком. Написать условие равновесия раствора
и растворителя с паром растворителя и вывести из него зависимость
между осмотическим давлением Росм и разностью давлений (Р — Pq)
насыщенного пара над раствором и над растворителем.
599.	Давление насыщенного пара нелетучего вещества над рас-
раствором меньше, чем над чистым растворителем. Выразить разность
этих давлений через отношение общего числа молей z/ растворенного

86	Задачи
вещества к числу молей v растворителя, предполагая, что раствор —
разбавленный.
600.	Каково давление насыщенных паров воды Р над раствором
сахара, если число молей сахара составляет 5% от общего числа мо-
молей растворителя? Температура раствора 20 °С. Давление насыщенного
водяного пара при 20°С равно Pq = 17,535мм рт. ст.
601.	Показать, что температура кипения раствора нелетучего ве-
вещества повышается по сравнению с температурой кипения чистого
растворителя. Пользуясь законом Рауля, рассчитать это повышение для
разбавленного раствора.
602.	Показать, что температура замерзания раствора нелетучего
вещества понижается по сравнению с температурой замерзания чи-
чистого растворителя. Используя результат решения предыдущей задачи,
рассчитать это понижение для разбавленного раствора.
603.	Один грамм тростникового сахара (относительная молекуляр-
молекулярная масса 342) растворен в 100 см3 воды. Определить точку кипения
этого раствора при нормальном атмосферном давлении. Плотность
воды при температуре 100°С равна 0,96 г/см3, удельная теплота паро-
парообразования 539 кал/г.
604.	В предыдущей задаче определить температуру замерзания при
атмосферном давлении. Удельная теплота плавления q = 80 кал/г.
605.	При какой температуре Тк кипит раствор 100 г поваренной
соли в 1 л воды? Считать поваренную соль полностью диссоциирован-
диссоциированной. Удельная теплота парообразования воды q = 539 кал/г. Внешнее
давление равно 760 мм рт. ст.
606.	Водный раствор сахара повышает точку кипения при нормаль-
нормальном атмосферном давлении на At = 0,05 °С. Определить температуру
замерзания t этого раствора при том же давлении. Удельные теплота
плавления льда q\ = 80 кал/г, теплота парообразования воды q% =
= 539 кал/г.
607.	Растворение т = 1 г йода в М = 285 г этилового эфира по-
повышает температуру кипения последнего на AT = 0,032 °С. Из какого
числа атомов п состоит молекула воды в растворе? Относительная
атомная масса йода А = 127, температура кипения этилового эфира
Т = 307, 8 К, удельная теплота парообразования q = 81,5 кал/г.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 1. Температура. Термические свойства тел
1.	t= 1,475?Фл - 18,75.
2.	t = -|tD + ЮО.
о
3.	? = -38?°С.
4.	t^^
Ьн - to
5. tu = — (Ьн — to) + to = 67, 7 град.
I _ a-3C
' h ~ ax -3C'
7. В области от 0 до 7,9°С термометр будет давать одинаковые показания
при двух разных температурах t\ и t^, причем t\-\-t2 = 7,9°C.
о. t\ = 	.
РоСХ. — P\OL0
к
т
10.	т = ЮО7-77—1ЛЛ\. где а — коэффициент объемного расширения газа.
ln(l + ШОа)
11.	t= n~ri8 +18°C = 54,1 °С.
АД
12. Приблизительно с точностью At =	= 0,0025°С.
13'0~1- {a за) + юо[. з(/з? + &)]t(t" 100) ~
{i а) + [2 (/? + &)]
«1,84- 10t(t- 100).
Отклонение максимально при ? = 50°С и составляет в — t ~ —0,046°С.
14.	В обоих случаях приращение температуры Т по рассматриваемой
шкале связано с приращением давления АР соотношением AT = A(V)AP, где
коэффициент A(V) зависит только от объема газа, т. е. остается постоянным.
Отсюда и получается требуемый результат.
15.	После измерения температуры обычным способом надо немедленно
встряхнуть термометр. Тогда он покажет температуру тела человека.
(	)
16.	а =
771о t
771-7711
17.	ai = —7	г
mi(ti — t)
18.	а = 3C+ т~
m{t{ - t)'
19- Р = ,п,У.л = 0,0000183°С-1.

Ответы и решения
п.	h — ho	7 7
21. а = 	, где h и по — высоты столбов жидкости при температуре
ЮОд
100 и 0°С.
22.	Но = Hi[l - ti(a - Р)] = 748,0мм.
23.	щ — п\ « 9, 5 оборота.
24.	Уровень воды не изменится.
25.? = 7гг2[1 + (/?||+/?х)(*2-*1)].
26.	У2 = тгг2/[1 + (?ц + 2/5_l)(t2 - t2)] = 16, 14 см3.
27.	а = рх + /^ + &, р8 = Cxs2x + /3У4 + Pzs\.
28.	Решение. Оставляя z постоянным, пишем (df/дх) dx +
+ (df/ду) dy = 0, откуда находим dy/dx. Найденная величина будет иметь
смысл частной производной (dy/dx)z, поскольку мы предполагали, что
z = const. Итак, (dy/dx)z = —(df/dx)z/(df/dy)z. Аналогично находим
и остальные частные производные (dx/dz)y и (dz/dy)x. Перемножая их,
получим требуемое соотношение.
29.	Решение. Коэффициенты а, Л и 7 определяются выражениями *)
a~ Ц\~§т)р' ~1^\дт)у' 7~ У\дР)т'
Отсюда находим частные производные (dV/dT)p, (dT/dP)v, выраженные
через а, Л, 7- Величины V, Т, Р связаны уравнением состояния f(V,T,P) =
= 0, поэтому в силу B8.1)
/эуч /атх /арч __
\дт)р\др)у\ду)т~	[ >
Подставляя сюда найденные выражения для частных производных, получаем
соотношение B9.1).
30.	А = 46°(Г1.
31.	На 460 атм.
32.	F = SEf3At = 250H.
33.	T = EP(ti -to)S= 1,4- 106Н.
34.	р = роA +7^) = 1,054 г/см3.
35.	Ртах ~ —;	г	~ 19000атм, где ро — плотность воды.
3A — 2сг) ро
37. Решение. Расстояние между точкой подвеса и центром масс маят-
маятника а = 1(\ — ж/2), где I — длина никелевой трубки.
Будем приближенно рассматривать маятник как математический. Компен-
Компенсация теплового расширения сводится тогда к требованию, чтобы величина а
не изменялась с изменением температуры, т. е. da/dl = 0, или
х) Коэффициенты а и Л часто определяются выражениями
1 fdV\	1 (дР\
Для твердых и жидких тел между этими определениями по существу нет разницы.
Первое определение обладает тем преимуществом, что для идеальных газов величины
а и А оказываются постоянными, тогда как при втором определении они меняются
обратно пропорционально абсолютной температуре Т. Величина 7 называется также
изотермической сжимаемостью вещества.

§ 1. Температура. Термические свойства тел
Найдем dx/dl. Длина никелевой трубки / = Iq(\ + Ct), ее внутренний объем
у = Vo(l + 3Ct), объем ртути v = г>оA + at). Часть объема трубки, занятая
ртутью, равна х = v/V = хо[\ + (а — 3C)t], где xq = vq/Vq — значение дроби
х при t = 0°С. Отсюда находим
dx = хо(а- 3C) dt « х(а - 3C) dt, dl = lof3 dt « 1C dt,
т.е.
ax i
Условие компенсации принимает вид
откуда
_ 2 _ 1
Х ~ а/C-3 ~ 8'
Учтем теперь несовпадение центра качания с центром масс маятника. Ис-
Используя известную формулу для приведенной длины L физического маятника,
нетрудно получить
Т _ 2 3 - Зх + х2
L~3 2-х L
Надо потребовать, чтобы эта величина не изменялась с изменением темпера-
температуры, т. е. dL/dx = 0. Рассуждая, как выше, приходим к уравнению
(ж3 - 5х2 + 9х - 6) + (| - з) (ж2 - Ах + 3)х = 0,
или после подстановки числового значения а/C = 18:
Для отыскания нужного корня этого кубического уравнения полагаем х =
= 1/8 + 5, где S — малая поправка. Подставляя это выражение в предыдущее
уравнение и отбрасывая кубы и квадраты поправки S, получаем для нее
линейное уравнение, из которого находим 6 = 0,006. Следовательно,
ж = 0, 125 + 0,006 = 0, 131.
38. Приводим объяснение Мозели в изложении Тиндаля. «Свинец был
подвержен перемене температур дня и ночи. Теплота, сообщаемая ему днем,
заставляла его расширяться. Если бы он лежал на горизонтальной плоскости,
то он расширялся бы во все стороны одинаково; но, лежа на наклонной
поверхности, он расширялся книзу свободнее, чем вверх. Напротив, ночью,
когда свинец сжимается, его верхняя часть легче опускается вниз, чем нижняя
поднимается вверх. Движение свинца, следовательно, совершенно походило на
движение земляного червяка. Днем он подвигал вперед свою нижнюю часть,
а ночью верхнюю, и таким образом в два года он подвинулся на расстояние в 18
дюймов. Каждое временное изменение температуры дня и ночи способствовало
такому движению, и Канон Мозели нашел впоследствии, что сильнейшее
опускание свинца происходило при быстрых изменениях температуры».

90	Ответы и решения
§2. Идеальные газы
39. а= —,А= —,7т = —, Кт = Р. Здесь То — абсолютная температура,
То	То	Р
соответствующая нулевой температуре по шкале Цельсия ).
41 }_ = M±L + MlL + M*J- +
II М ц\ М 112 М /х3
42. р=^ =0,065г/см3.
V(H-h)
44.	77i « 105 г.
45.	n= b(P2/Pl)
46.	H =
+ l + lfJ-4lfH}.
2	'
49.	#^0,004см2.
50.	I ~ 4, 3 mm.
51.	Вместо 0,35 мм рт. ст. манометр будет показывать 0,33 мм рт. ст.
52.	V = 10,9 л.
53.	771= 1,15 Г.
М	о
54.	V =	—	= 1000 м6, где а - коэффициент рас-
роL1 /С1 + cd\) - 1/A + at2)\
ширения газов.
55.	М = 7,2г.
56.	Р = poglf	) = 14 мм вод. ст., где а — коэффициент
V 1 + ato 1 + ot,t\ J
расширения газов.
-_	1 + at L - h\ ,	,
57.	p\ =	— (H — /ii), где а — коэффициент расширения газов.
1 + at\ L — h
58.	hx = --B/ + Я1 -h)+
2
'-Bl + Hx- hJ + — (Ho + h)l - Hx B1 - h).
4	To
59.	rn =	p = 488 г, где р — относительная молекулярная масса азота.
oRTp
60.	Решение. Пусть Р — давление газа в откачиваемом сосуде, a Pi —
на конце капилляра, примыкающем к насосу (давление в насосе). Обозначим
через m массу газа в откачиваемом сосуде, а через V — его объем. Тогда
^ = ^—^.	F0.1)
at	w
) Если бы пользоваться вторым определением коэффициентов а и Л, приведенным
в примечании к решению задачи 29, то мы получили бы а = Л = 1/Т, т.е. при таком
определении коэффициенты а и Л для идеальных газов не были бы постоянными.

§3. Первое начало термодинамики	91
Объем dV, занимаемый массой газа dm при давлении Pi, определяется соот-
соотношением Р\ dV =	RT, откуда
p^K=_ETdm
\i at
тп
Для давления Р в откачиваемом сосуде имеем: PV = — RT, и, следовательно,
vdP = RTdm
dt	1л dt	v }
Исключая из FО.1)-FО.З) Р\ и dm/dt и интегрируя, найдем
(ба4)
61. т= -^ 1гЗ ^370 с.
62.	т = B, 18 • Ю4-^ yj^; + ^)^1п ^ = 64, 5 с, где /х - относительная
молекулярная масса газа.
63.	Р = р1у1г2 + р2^2Г1 = 224мм рт> ст^ где Т{ иТ2 _ абсолютные тем-
пературы сосудов.
64. Решение. Не нарушая общности, можно предположить, что площадь
поперечного сечения цилиндра равна единице. Начало координат поместим на
дне цилиндра, а ось X направим вертикально вверх. Прежде всего, если газ на-
находится в равновесии, то давление Р может зависеть только от х. В противном
случае существовала бы горизонтальная составляющая градиента давления
газа, которая не уравновешивалась бы внешними силами, в результате чего
в газе возникло бы движение. Если давление на дно цилиндра равно Ро, а на
крышку — Р, то по условию задачи требуется
Ро-Р =
о
X
\gpdx,
и это равенство должно соблюдаться, каково бы ни было х. Путем дифферен-
дифференцирования находим:
дР
Подставляя сюда Р = (RT/fi) p и интегрируя, получим барометрическую фор-
формулу F4.1).
§ 3. Работа и количество тепла. Первое начало термодинамики
r	m\ct\ — mq
65. t =	, где с — удельная теплоемкость воды.
m + тп\
66. m = ——	э—^- = 80 г, где св и qB — удельные теплоемкость и теплота
cBto + q
замерзания воды.

92	Ответы и решения
г»^ тс-\-т\с\ t — to ~ „„ъ ,, О/^ч
67.	С2 =	= 0,092кал/(г- С), где с — удельная теплоем-
1712	t2 — t
КОСТЬ ВОДЫ.
68.	с'^
69.	т = О, 125 кг.
70.	т= 1,1г.
_. _, 2тг RmgN
71.	Е =	^——, где с — удельная теплоемкость воды.
(M + w)cAt
72.	v = 340 м/с.
73.	Q= 1,28- 109эрг.
74.	Q142 = Ql32 - А132 + -4142 = 60 ДЖ.
Qn = Qm ~ Am + A'2l = 70 Дж.
Qu = U4-Ui+ Аш = 50 Дж.
Qa2 =Qh2-Qu= 10 Дж.
75.	Решение. Применяя термохимическую символику (фигурные скоб-
скобки — газ, круглые — жидкость, квадратные — твердое вещество), пишем
[С] + {О2} = {СО2} + Qu {СО} + i {О2} = {СО2} + Q2.
Исключая {СО2}, находим
[С] + ^{О2} = {СО} + Qi-Q2.
Отсюда Q = Qi - Q2 = 29 ккал =121 кДж.
76.	Q = Q\ + Q2 = 67, 7 ккал = 283 кДж.
77.	Q = 2Q2 + Q3 - Qx = 94 кДж.
80.	Результат следует из формулы U = CyPV/R-
81.	Q = 0.
82.	A = Q = #Tln— = RT\n—.
Vx	P2
83.	Q; = A; = — RT\nn = 2,44кДж, где /л = 28 — относительная моле-
молекулярная масса азота.
84.	Е = , 7i\ = 4, 18 Дж/кал.
/хG - 1)ср
85.	Т^-1 = const, PVn = const, где n = ^ ~ ^P .
1) У = const, 2) P = const, 3) PV7 = const, 4) PV = const.
Постоянная п называется показателем политропы.
86.	Нагревается при п > 1, охлаждается при п < 1.
87.	1) Газ охлаждается при расширении, причем его температура пропор-
пропорциональна у/Р. 2) С = Су — i?. При расширении от газа должно отводиться
тепло.
88.	1) Газ при расширении нагревается, причем его температура пропор-
пропорциональна \fV. 2) С = Ср + R. При расширении к газу должно подводиться
тепло.
89.	С = vCCv ~ 2Ср) = -0,163кал/°С, где v = 0,163 - число молей.
90.	С = (Cv + СР)/2 = CV + R/2 = СР - R/2.
92.	TV^-le~^-l)aT/R = const, где 7 = CP/CV.
93.	А

§3. Первое начало термодинамики	93
94.	С = Су + R/2.
95.	Решение. Элементарное количество тепла, получаемое первым газом,
SQx = Су dTx + Pi dVx = Су dTx + RTX dVi/Vu а вторым - SQ2 = 0. Поэтому
C2 = 0 и Су dT2 + RT2 dV2/V2 = 0. Из равенства давлений Pi и Р2 следует
Vx/V2 = Tx/T2, откуда dV\/V\ + dV2/V2 = dTx/Tx - dT2/T2. А так как объем
системы V\ + V2 во время процесса не изменяется, то dV\ + dV2 = 0. Исключая
dV2 и dT2, получим
1 1 R
Используя также соотношение Ср — Су = R, находим
5Qx =
-jVx
Следовательно,
Vo	V\ + Vo
d Cv+ т/ т/ Д J
V2 + jVi	V2 + 7У1
При V, = 14
Ci=27CV/G+l)-
99.	AU = ^ \\ - (Л)'] = 1870 Дж, где 7 = CP/CV = 1,4.
100.	AU = 3/2P(V2-Vx) = 7,6- 104Дж.
102.	<2 = 685Дж.
103.	Q= 15,5кДж.
104.	<2 = 277кДж.
105.	AU = (mcp + 7711 cpi)At/7 = 1,25кДж.
106.	Pt = %Po(l + aQ/C), где Pq — начальное давление смеси, а
коэффициент объемного расширения.
108.	Доказательство можно получить, использовав выражение для внут-
внутренней энергии идеального газа U = PV/(j — 1).
109.	с = ^ ^Cv.+
КТ	+
Ц М2
ПО. Су = BСух -CV2)a + CV2 = 5, 15кал/(моль • °С).
111.	Qf = ACP/R = 25Дж.
112.	Q = ACp/i^ = 25 Дж.
113.	Q = 7-4/G- 1) = 30Дж.
114.	Q132 = 19/2^Ть Qi42 = 17/2#Ti, Ql2 = 9RTx, CX2 = 3R.
115.	Q= -^— (Pi-Po) = 2,27- 104Дж.
7- I

94	Ответы и решения
116.	Т2 = Ti(P2/^i)G)/7, t2 = 287 °С.
117.	Т2 = Tilvi/V2y-1, t2 = 479 °С.
118.	КаА = ^Р = ^Кт.
119.7= 1,68.
120. Р2 = Pi(Vi/V2y = 0,312 атм.
122. 7 = / °/ V- При выполнении опыта всегда соблюдается условие
1п(Р2/п)
Ро — Pi <?о- В таком случае j = (Ро ~ P\)/{P2 — Р\)- Последняя формула
справедлива и в том случае, когда j зависит от температуры.
124.	Т - То = 	« 28 000 К, где v — число молей;
2ucv
— — I — I	~ 1UUU, — — I — I ~ 1U .
Ро \-i-o/	-м) ^ Ро /
125.	Решение. Для упрощения расчета предположим, что через змеевик
прошел 1 моль газа. Работа, совершенная газом, равна А = P2V2 — P\V\ =
= R(T2 — Т\). Приращение его внутренней энергии U2 — U\ = Су(Т2 — Т\).
Тепло, полученное газом, Q = U2 — U\ + А. Подставляя сюда выражение для
U2-U{ и А, найдем, что тепло Q = (Су + R)(T2 -Т{), или Q = СР(Т2 -
— Т\), так как Су + R = Ср. Отсюда ясно, что в данном опыте измеряют
теплоемкость Ср.
126.	Т = 2тгА/—М1° п . В предельном случае, когда Ро = 0, Т = 2тгА/- ,
у Mg + P0S	у g
т. е. период колебаний совпадает с периодом математического маятника дли-
длины /о-
127.	Т = 2ttW	 . Формула верна и том случае, когда 7 зависит
у 7 Mg + Po»S
от температуры, так как для ее получения используется уравнение адиабаты
в дифференциальной форме. В предельном случае, когда Ро = 0, Т = 2тгА/—- .
V 7 ?"
S
129. Решение. При переходе из начального состояния (объем V\, темпе-
температура Т\) в конечное (объем V2, температура Т2) внешнее давление совершает
над газом работу А = P2(V\ — V2), которая идет на приращение внутренней
энергии U2 — U\ = Су(Т2 — Т\). Применяя уравнение Клапейрона PV = RT,
а также соотношение Роберта Майера Ср — Су = R, после несложных преоб-
преобразований получим
, 7 - 1 Р2 - РГ
При квазистатическом адиабатическом процессе
В первом случае с изменением Р2 температура Т2 меняется линейно, а во
втором экспоненциально, причем в бесконечно малой окрестности точки Р\
оба изменения идут одинаково быстро. Отсюда следует, что Т2КВСТ > Т2, если

§3. Первое начало термодинамики	95
P<i — Р\ > О, и Х^807 < jg, если Р2 — Р\ < О. Значит, повышение температуры
при внезапном адиабатическом сжатии и понижение при внезапном адиабати-
адиабатическом расширении меньше соответствующих величин при квазистатическом
адиабатическом процессе.
130.	Р/G — 1) = Y1 Рг/(ъ — О' гДе Р — Y1 Рг — давление смеси газов.
131.	Решение. Рассмотрим четыре состояния газа:
1) Ро, Vo, То, 2)РЬУ, Г,
3) Pi, УьГо, 4) Р2, У2, Г2.
Из первого состояния во второе, а также из третьего в четвертое газ
переходит адиабатическим сжатием, а потому
В первом и третьем состояниях температуры газа одинаковы. Следовательно,
PoVo = P\V\. Работа двухступенчатого компрессора
А =
7-1
Она имеет минимум при Р = д/Р0Р2. Минимальная работа
1 , . „ ,	- ll.
7- 1
Работа одноступенчатого компрессора при тех же начальном и конечном дав-
давлениях:
7-1
Следовательно,
Г/р1чG-1)/27 + 1
Для гелия 7 = 5/3, АМИН = 0,515Ai; для воздуха 7 = 7/5, Амин = 0,
132. Vi = V%T^,
Для аргона АМИН = 0,42Ai; для азота АМИН = 0,62А\.
133. Решение. При механическом равновесии температура Т, плотность
р и давление воздуха Р зависят только от высоты z над земной поверхностью,
причем Р = СрТ, где С от z не зависит. Поэтому при изменении z
dP_ _ dp dT
I5" ~ ~p ~T~'
откуда для равновесной плотности на высоте z + dz находим
p(z + dz) = p(z) + dp = p+^dP-pd^.	A33.1)
Допустим теперь, что в силу каких-либо случайных возмущений некоторая
малая масса воздуха переместилась с высоты z на высоту z + dz. Давление

96	Ответы и решения
внутри переместившейся массы будет равно давлению окружающего воздуха,
а следовательно, ее плотность изменится. Так как теплопроводность воздуха
мала, то процесс может считаться адиабатическим, и следовательно, Р =
= const • р1. Отсюда для изменения плотности dp* переместившейся массы
находим:
dP _ dp*
а для самой плотности
p*(z + dz) = p(z) + dp* = p-\— — dP.	A33.2)
Допустим, что dz > 0 и p*{z-\-dz) > p{z-\-dz). Тогда сместившаяся масса
воздуха, поскольку она тяжелее окружающего воздуха, вернется в исходное
положение, т. е. равновесие будет устойчивым. При dz > 0 и р*(z -\- dz) < p(z +
+ dz) оно будет неустойчивым. Таким образом, из A33.1) и A33.2) находим
условие устойчивости
	dP ^ — dP — р— при dz > 0.	A33.3)
При механическом равновесии
dP _
Исключая dP, находим
^ > -т!1—^? = -— «-0,01 К/м,	A33.5)
dz	P 7	ср
где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Знаку равен-
равенства соответствует безразличное равновесие. Соответствующее ему расслоение
атмосферы называется адиабатическим. Считая воздух двухатомным газом,
имеем по классической теории теплоемкостей ср =	, где /х — средняя
относительная молекулярная масса воздуха (/л « 28,8). Подстановка числовых
значений дает
Если температура воздуха повышается с высотой, то атмосфера в механиче-
механическом отношении устойчива. Но устойчивое равновесие возможно и тогда, когда
с высотой температура воздуха понижается. Однако это понижение не может
превосходить примерно одного градуса на каждые сто метров высоты. Влия-
Влияние влажности воздуха на адиабатическое расслоение атмосферы исследуется
в задаче 588.
134.
P = Po(l-az/To)n, P/Tn = const,	A34.1)
где То — абсолютная температура у земной поверхности, п = Mg/(Ra), R —
газовая постоянная, М — относительная молекулярная масса воздуха. В пре-
предельном случае, когда а —»> 0, получается барометрическая формула

§3. Первое начало термодинамики	97
Указание. По условию задачи dT/dz = —а. Условие равновесия:
dP/dz = —pg. Наконец, на основании уравнения Клапейрона Р = — рТ. Из
этих трех уравнений можно получить формулы, приведенные в ответе.
135.	z = То/а. Для адиабатического расслоения (см. решение задачи 133)
z = gTo/cp « 28 км.
Из ответа следует, что температурный градиент не может быть одинаковым на
всей толще атмосферы.
136.	Решение.
Полагая сначала V = const, а затем Р = const, получим
(8U\	/dU\ ,\(dU\ ,p](dV\
Cv={df)v' Cp{)+[{) + P{
откуда
137. Решение. Как следует из решения предыдущей задачи,
d(^=CdT+dv
Для адиабатического процесса dQ = 0. Поэтому
Подставляя сюда
dT»=(I?) dv«+(S)dp
\dVJp	\dPJv
получим
VdPJajx	7 \dPJv\dTjp'
Сравнивая это с
\дР)т \dPJv\dTjpJ
находим искомый результат.
138. Решение. Очевидно, скорость звука, при прочих равных условиях,
тем больше, чем больше сила, стремящаяся вернуть отклоненную частицу
воздуха в положение равновесия. Значит, скорость звука увеличится, если,
при прочих равных условиях, увеличится разность давлений в местах сжатия
и разрежения. Повышение температуры в месте сжатия увеличивает давление
воздуха, понижение температуры в месте разрежения уменьшает давление. Как
то, так и другое ведет к увеличению разности между давлениями в местах
сжатия и разрежения, а следовательно, к увеличению скорости звука в газе.
140. ^ = —
dT ТТ'
4 Под ред. Д. В. Сивухина

98	Ответы и решения
141.	Av^ — AT «0,61 м/с.
142.	v= 1260 м/с.
143.	v = 970 м/с.
144.	7= 1,41.
145.	v/vi =4,86.
146.	Решение. Рассматривая внутреннюю энергию U как функцию Р
и V, напишем
\dVJp	\dPJv
Считая же ее функцией Т и Р, получим
(dU\ (dU\ (дТ\	(дТ\
\dPJv \dTJv\dPJv	\dPJv'
Введем энтальпию / = U + PV. Тогда
(dU\ =(д{1-РУ)\ =(д1_\
\dVjp V dV )p \dVjp
Далее,
(—} -(—} (—^\ -С (—^\
VdVJp ~ VdTJpKdVJp ~ P\dVJp'
Следовательно,
Так как dU — полный дифференциал, то
д Г /дТ\ 1 д Г /аг\ 1
эр [Cp\dv)p -p\ = av [Cv\dp)v\ ¦
Выполнив дифференцирование, получим требуемое соотношение.
1А7. СР-Су =
)
)р
148. Т2 = Ti(P2/Pi)G)/7 = 177 К,
v = л/2сРТх[\ - {P2/P\)^-Vh] = 460м/с.
149.	T2 = Ti- iiv2/BCp) = 194 К; Рх = Р2(Т1/Т2у/^-1) = 3,3 атм, где
\i — относительная молекулярная масса, Ср — молярная теплоемкость, Р2 —
атмосферное давление.
150.	v = д/2СрТ//х. Указанная максимальная скорость достигается при
адиабатическом истечении газа в вакуум (или практически, когда Р/Ро >> 1,
где Р — давление газа в баллоне, a Pq — наружное давление).
4 «860м/с.
152.	Мо/М = ev/v° « 22, где v0 = л/2СРТ/ц « 2, 58 км/с.
153.	Решение. В системе отсчета, в которой тело покоится, течение газа
можно считать стационарным. Уравнение Бернулли в этой системе запишем
в виде срТ + v2/2 = const. Температура максимальна в точке, где v = 0. Она
равна
2ТсР )'

§4. Второе начало термодинамики	99
где М = v/c3B — число Маха (сзв — скорость звука).
154.	Решение. Тепло, полученное газом при адиабатическом расшире-
расширении или сжатии, равно нулю. Работа, совершенная газом, А = P2AV, поэтому
AU + Р2AV = 0. Так как U = СуТ, то отсюда находим
Су{Т2 - Г) + P2(V2 - Vi) = 0,
или
Cv(T2-Ti) + RT2 = P2Vi.
Следовательно,
СуТх + P2VX	RT2
Т2~	с~Р	' V2-^'
155.	Решение. Используя решение предыдущей задачи, находим
CVT2+P{V2	RT3
Тз =	с~Р	' Уз = ^'
С помощью уравнения Клапейрона PV = RT и соотношения Роберта Майера
Ср — Су = R выражение для Тз нетрудно преобразовать к виду
Cv V^Pj-PiJ
° ' ' С%	Р2
Отсюда видно, что в результате обоих адиабатических процессов температура,
а с ней и объем газа всегда возрастают. Если давление меняется бесконечно
мало, то из полученных формул следует, что температура и объем меняются на
бесконечно малые величины второго порядка. В первом порядке они остаются
неизменными.
§ 4. Второе начало термодинамики
157. Если процесс круговой, то заимствованная из теплового резервуара
теплота не может быть целиком превращена в работу, так как это противо-
противоречит второму принципу термодинамики. Если же процесс не круговой, то
полное превращение теплоты в работу возможно. Например, если идеальный
газ находится в тепловом контакте с тепловым резервуаром и подвергается
изотермическому расширению, совершая работу против внешних сил, то при
этом его внутренняя энергия остается неизменной, так как она зависит не от
объема, а только от температуры. Поэтому вся теплота, заимствованная газом
из теплового резервуара, должна превращаться в работу.
159.	Выгоднее понижать температуру холодильника.
160.	Q2 = ——^ А = 15 кДж.
161. О\ = 	1~ 1П 	%—.г :
A = Qi -Q-2 = 780Дж.

100	Ответы и решения
162. А = Q2{TX - Т2)/Т2 = 418 Дж.
G 1)№ T2)\n(Vx/V2)	„ ,„
164- * = G1)А(ш)+Ута)'где 7=Cp/Cv-
165. Ai2
77=1-
166.	Al2 = R{T2 - Tx), Qx2 = Cp(T2 - Tx),
Asx = Q31 = RTx HVX/V2) = RTx ln(Ti/T2) < 0,
_ R(T2 -Tx) + RTx ln(Ti/T2)
71 ~	CP(T2-Tx)	'
167.	Q12 = CV(T2 - Tx), Q23 = 0,
Qsi = CvTx ln(T2/T0, 77 = 1 - (Tx/T2) ln(T2/Ti).
168.	Q3l = RTx ln(Ti/T2), Q23 = Cv(Tx - T2),
n л /ф ф\	1	Cp(Tx — T2)
Qx2 = Ср{12 — lx), 77 = 1 —
169.	Qx2 = Cp(T2 - Tx), Q2s = 1
Q31 =CpT1ln(T1/T2), 77 =
170.	Q12 = Cp + Cv (T2 - TO,
Ц/23 = Oy(V^1^2 — ^2j,	V3i = Cv(J-\ —
-T2) + CP(Tx-
171.	77= 1 -	x 3 	.
172.	77 = 1 -T2/T1.
173.	A12 = Q12 = ^Ti 1п(У2/И),
A23 = (Cv ~ C0)(Tx - T2), Q23 = C0(T2 - Tx),
441 = (Cv ~ C0)(T2 - Tx), Qax = C0(Tx - T2),
_ R{Tx -T2)\n(V2/Vx)
I	T)'
174 rj=- RW-TiLV2/V\)
175. Решение. Возьмем на диаграмме Р, V (рис. 37) две бесконечно
близкие изотермы 12 и 34 и две бесконечно близкие адиабаты 23 и 41
и применим к циклу 1234 теорему Карно. Тепло Qx, полученное системой на
изотерме 12, равно Qx = А\ + AU, где А\ = PAV — работа, совершенная
системой на изотерме 12, a AU = ( —— ) АУ — изменение внутренней энергии
\oV /т
на той же изотерме. Работа цикла изобразится площадью 1234. С точностью до

§4. Второе начало термодинамики
101
величин высшего порядка малости при вычислении этой площади фигуру 1234
можно заменить параллелограммом. Его площадь, очевидно, равна площади
параллелограмма 1256, т. е. А = АР • AV =
^ ATAV, где AT = Ti - Т2. По тео-
= (^)
\дТ Jv
реме Карно A/Q\ = AT/T\. Подставляя сюда
выражения для А и Q\, получим первую из
формул, которые надо доказать. Вторая фор-
формула получается из первой дифференцирова-
дифференцированием по Т при постоянном V. (См. также
решение задачи 228.)
176. Решение. Перепишем первое на-
начало термодинамики SQ = dU + Р dV в виде
SQ = dl — V dP. Затем возьмем на диаграм-
диаграмме Р, V (рис. 37) две бесконечно близкие
изотермы 12 и 34 и две бесконечно близкие
адиабаты 23 и 41 и применим к циклу 1234
теорему Карно. Тепло Q\, полученное системой на изотерме 12, равно
Qi=l2-Ii-V(P2-Pi).
Так как изменение энтальпии 12 — 1\ происходит по изотерме, то
Рис. 37
Работа цикла А изобразится площадью 1234. С точностью до бесконечно
малых высшего порядка фигура 1234 может считаться параллелограммом.
Площадь этого параллелограмма равна площади параллелограмма 1256. По-
Последняя в свою очередь равна длине основания 61, умноженной на высоту
(у2 — V\). Поскольку точкам 1 и 6 соответствуют одинаковые объемы, но
разные температуры, длина основания 61 равна дР/дТу (Т\ —Т2). Поэтому
для работы цикла получаем
\дТ)у
или, воспользовавшись тождеством
{TX-T2){V2-VX),
\dTJv
КдТ
dV )т
По теореме Карно A/Q\ = (Ti —T2)/T\. Подставляя сюда значения для
А и Q\, получим первую из доказываемых формул. Вторая получается из
первой дифференцированием по Р, так как Ср = ( —— ) . (См. также решение
\дТ Jр
задачи 228.)
179.	Р = A(V)T + B(V), где A(V) и B(V) - произвольные функции
объема.
180.	V = А(Р)Т + В(Р), где А(Р) и В(Р) - произвольные функции
давления.

102	Ответы и решения
181. UbP' + gCP3] =332Дж,
Р
-f3TP2 = 120Дж.
2
	. 		~дт)р\ду)т=~^ \дТ)у\дР)т'
183.
cp-cv = KTa2/p.	A83.1)
184.	Для воды ср — cv = 2Дж/(кг-К) = 5- 10~4 ккал/(кг-К). Столь
ничтожная разница удельных теплоемкостей ср и cv для воды объясняется ма-
малостью температурного коэффициента расширения а, обусловленной тем, что
коэффициент а при 4°С обращается в минимум, а = 0. Для ртути ср — cv =
= 17Дж/(кг-К), cv = 123Дж/(кг-К) « 0,0292 ккал/(кг • К), ср/с^ = 1,13.
185.	Решение. Из формулы A36.1) получаем для разности удельных
теплоемкостей
( — ) + Р = — (ср — cv).
\dV/T	ol
После подстановки числовых данных получаем для воды
(^?) +Р ~-0,33 • 108 Па ^0,33-103 атм,
\dV /т
а для ртути
(^г~) +^~ 1,28-109 Па^ 1,3-104 атм.
\8VJt
Следовательно, при обычных условиях величина (dU/дУ)т в тысячи и десятки
тысяч раз превосходит атмосферное давление. Отсюда следует, что для жидких
и твердых тел разность ср — cv обусловлена главным образом работой, которая
идет на изменение внутренней энергии тела при его расширении или сжатии
при постоянном давлении. Работа против внешнего давления практически не
играет никакой роли. Для газов положение обратное: здесь разность ср —
— cv обусловлена почти исключительно работой против постоянного внешнего
давления Р.
186.	См. ответ к задаче 182.
187.	1) Охладится. 2) Нагреется. Ответ следует из тождества ( — ) =
(9Т\ (9V\
= — — —
d )д )
( )
, если учесть условия стабильности физически однородного
\dV )р\дР )т
и изотропного вещества (см. предыдущую задачу).
188. Решение. Запишем неравенство Клаузиуса в виде
5Q2 ^ п
где 5Q\ — элементарное тепло, получаемое машиной в круговом процессе
от нагревателей, a SQ2 — элементарное тепло, отдаваемое холодильникам.
(Величины 5Q\ и SQ2 существенно положительны.) Если вместо Т\ поставить
максимальную, а вместо Т^ — минимальную температуру, то неравенство
только усилится. Значит,

§4. Второе начало термодинамики	103
Q. 02
гр	гр	^ '
-L макс	-L мин
где Qx — полное количество тепла, полученное машиной от нагревателей,
a Q2 — полное количество тепла, отданное холодильникам. Из полученного
неравенства следует
что и требовалось доказать.
189. Решение. Максимальная работа получится тогда, когда машина ра-
работает последовательно повторяющимися бесконечно малыми циклами Карно.
Пусть в результате одного из таких циклов первое тело отдало тепло SQx =
= —Сх dT\, а второе SQ2 = — С2 dT2 (T\ и Т% означают переменные температуры
тел). Произведенная работа равна 5А = 5Q\ + SQ2, причем
SQi SQ2 = 0
Тх Т2
ИЛИ	йт	йт
Интегрируя это соотношение с учетом начальных условий, получим
rjiC\ rjiC^2 	 rjiC \ rjiC^2
Окончательная температура Т найдется из условия Т\ = Т2 = Т. Оно дает
тс,+с2 =тс1тс2^	A89.1)
Максимальная работа, которую может совершить система,
т	т
А = J(L4 = -Сх J б/Т - С2 J dT = (CxTxo + С2Т20) - (Сх + С2)Г. A89.2)
Она равна убыли внутренней энергии системы.
190. Решение. Записав A89.1) в виде
в пределе С2 -^ оо получим Т = Т20. Этот результат непосредственно очевиден,
поскольку С2 = оо. Элементарная работа
SA = 5Qx + 5Q2 = (l - ^)<*Qi = -Ci (l - Щ) dTx.
Отсюда интегрированием находим
Работа А меньше убыли внутренней энергии нагретого тела Ci(T\o — Т20).
Часть внутренней энергии тело передает окружающей среде в виде тепла.

104
Ответы и решения
191.	Т = Гю, А = С2[Т20 - Гю + Т1О1п(Т1О/Т2о)]. Нетрудно проверить, что
А>0.
192.	Решение. Тепло, отдаваемое двигателем при его работе воде ото-
отопительной системы (холодильнику), равно
Работа двигателя
A = q-
-Т2
расходуется на приведение в действие холодильной машины. Последняя берет
от холодильника (грунтовая вода) тепло (Эз и передает нагревателю (вода
отопительной системы) тепло Q". При этом
Q" = фА <?3.
Q" = A-
-Q3 = Q"^rA = A,
f ш j	f ш j	Ti	f i i	/¦ i j	/¦ i j
Полное количество тепла, получаемое отапливаемым помещением, равно
*Ti(T2-T3)
20 000 ккал/кг.
График зависимости величины
от температуры в отопительной системе
приведен на рис. 38.
Другой (более общий) метод решения
задачи основан на неравенстве Клаузиуса
(см. следующую задачу).
193. Решение. Обе машины —
двигатель и холодильная машина — со-
совершили круговой процесс, в результате
которого нагреватель отдал тепло Q\, хо-
холодильник отдал тепло (Эз, природный ре-
резервуар воды при работе двигателя полу-
получил тепло Q2, природный резервуар воды
при работе холодильной машины получил
тепло Q2. На основании неравенства Кла-
Клаузиуса
Q\ <Эз Qi + Q2
Ti Т3	Т ^
Работа двигателя Q\ — Q2 должна быть не меньше работы, потребной для
приведения в действие холодильной машины Q' — (Эз, т. е. Q\ — Q2 ^ Q2 — (Эз,
откуда
Если в неравенстве Клаузиуса Q2 + Q2 заменить на большую величину Q\ +
+ (Эз, то от этого неравенство только усилится. Таким образом, должно быть
Рис. 38
ft Оз_
Г, Т3
<0

§4. Второе начало термодинамики
105
откуда
или
1/Г2 -
^ 1/Тз - 1/Т2 ^z'
"T2^Q1=364Bt.
^ ^ Т2-Т3
Равенство относится к идеальным машинам, работающим по циклу Карно. Для
реальных машин надо брать знак неравенства.
194. Решение. Допустив противоположное, предположим, что Аи В —
две соседние точки, в которых политропа пересекается с изотермой (рис. 39).
Применим к циклу ACBDA равенство Клаузи-
Клаузиуса. На политропе ADB теплоемкость С посто- А
янна, а потому
DB	ТА
(Интеграл обращается в нуль, так как Та = Тв,
поскольку точки А и В лежат на изотерме.) На
изотерме АСВ
т
Рис. 39
Таким образом, равенство Клаузиуса сводится к Q = 0, где Q — тепло,
полученное системой. Но для кругового процесса Q = А. Значит, площадь
цикла ACBDA равна нулю, что может быть тогда и только тогда, когда
между точками А и В политропа и изотерма пересекаются между собой.
Это противоречит предположению, что А и В — соседние точки пересечения
политропы с изотермой.
J	196. Решение. Применив к рассматри-
2	ваемому циклу равенство Клаузиуса, получим
как Ср — Су
Рис. 40
откуда и следует требуемое соотношение, так
0.
198. А = С[ТХ ln(Ti/T3) - № - Г3)].
199.A=?^Qi.
200. Решение. Пусть 1342 схематиче-
схематически изображает первый переход, а 152 — вто-
второй (рис. 40). Применяя к ним равенство Кла-
Клаузиуса и учитывая, что на адиабатах 13 и 42 система тепла не получает,
напишем
5Q
152	1342
где Qo — тепло, полученное на изотерме 34. По условию Т > То и 5Q > О,
а потому
" 5Q_ Г 5Q_ _ Q_
152	152

106
Ответы и решения
где Q — тепло, полученное на пути 152. Комбинируя последнее неравенство с
предыдущим равенством, получаем Q > Qq.
203.	Решение. Пусть во всех точках изотермы (dV/dT)p = 0. Тогда из
B9.2) следует, что (дР/дТ)у = 0. На изотерме ввиду соотношения A75.1)
dU = \т(^) -р] dV = -PdV,
[ \dTJy J
а потому 5Q = dU + P dV = 0. Значит, изотерма во всех точках должна
совпадать с адиабатой.
204.	1) Если бы коэффициент теплового расширения обращался в нуль на
всем протяжении изотермы, то она совпадала бы с адиабатой, и цикл Карно
между температурой 4°С и какой-ли-
какой-либо другой температурой осуществить бы-
было бы нельзя. 2) На самом деле для воды
коэффициент теплового расширения об-
обращается в нуль только в одной точке
изотермы, так что условия задачи осуще-
осуществить нельзя.
205. См. рис. 41. Работа и количество
тепла численно равны площади цикла.
Т\ -Т2	Т\- Т2
кТ
206. г] =
Г1=-,
Рис.41
ТТ\ ' ' Т\ + Т2 '
207. AS = me ln(T2/Ti), где m — мас-
масса вещества.
-Т2J
208. AS = СРЫ
где СР —
АТХТ
теплоемкость одного тела.
209.	S = ^[CylnT + R\n(V/u) + const], где аддитивная постоянная
в скобках не зависит от числа частиц газа.
210.	S2-Si= Су ln(T2/Ti) = Су ]п(Р2/Р2) при V = const,
S2-Si= R]n(V2/Vi) = R\n(Px/P2) при Т = const,
S2-Si= CP ln(T2/Ti) = CP In(y2/Vi) при Р = const.
M V2
211.	AS = R— In —, где /л — относительная молекулярная масса газа.
212. AU = U2-Ui=
PVn
7-1 \V2n~l Vxn-{
= S2-SX = {nCy - Cp) ln(Vi/y2),
где 7 = Cp/Cy. Для изотермического процесса:
AU = 0,AS = R\n(V2/Vi
для адиабатического процесса:
( 1	1
AU =
7-1
213. AU = -%PiVi(l - Vi2/V22) = -625 кал/моль,
AS = -2R]n(V2/Vi) « -4 кал/(моль • °С),
Q = -PiVi(l- V2/V22) « -417 кал/моль.
Система не поглощает, а отдает тепло.

§4. Второе начало термодинамики	107
214.	AU = \P\Vi(^r- 0 = -117 кал.
2	V V2 /
Q = |p,Vi(^-l) =-70 кал.
Дй1 = _| ^1 In ^ = -0,20 кал/К.
215.	Д5' = 4,56кал/оС.
217. Si-Si = ^
2
2
+ R{v\ + 1/2) 1п2 = 0, 1бкал/°С, где v\ = 0,0402 — число молей водорода, щ =
= 0,0948 — число молей гелия.
218. AU = U-UO = —CVTOB^-1-I),
AS = S-S0= —Cv(rf-
где 7 =
219.	Д# = 63кал/°С.
220.	А5' = 3,2кал/оС.
221.	s = cp In Т -\—— ^ + const, где ср — удельная теплоемкость жид-
жидкости, q(T) — удельная теплота парообразования при температуре Т, ? —
отношение массы пара ко всей массе системы.
222.	Решение. Тела А и В могут обмениваться внутренней энергией
путем теплообмена и производить работу друг над другом. Так как они по-
помещены в жесткую адиабатическую оболочку, то изменения их внутренних
энергий в элементарном процессе связаны соотношением dUa = —(Шв- В силу
равенства действия и противодействия 5Аа = —5Ав, где 5Аа — работа тела А
над телом В, а 6Ав — работа тела В над телом А. Следовательно,
или
SQa = SQb.
Количество тепла, полученное телом А, равно количеству тепла, отданного
телом В. Согласно постулату Клаузиуса в системе самопроизвольно могут
проходить лишь такие процессы, в которых тепло переходит от тела, более
нагретого, к телу, менее нагретому. Отсюда следует
SQA < О, SQB > О,
так как Та > Тв. Применяя к каждому из тел А и В неравенство Клаузиуса,
получим
Та —~»') ТВ
Складывая эти неравенства и принимая во внимание, что Sa + $в = S, найдем
223. S2-Si = ^- vCvT^^- = 13 Дж/К.

108	Ответы и решения
224. S2-Si = iy[CvHT2/Ti) + R]n(V2/Vi)], где
После подстановки Су = 5/2R, V2/V\ = ^:
S2-Si= iyRE/2 ln(T2/Ti) + Inn) = 1, 8 кал/°С.
228. Решение. Рассмотрим бесконечно малый квазистатический изотер-
изотермический процесс. Поделив соотношение Т dS = dU + P dV на dV, найдем
\8vJt \dVjT
или на основании третьего соотношения B27.1)
Аналогично находим для энтальпии
(**-) =У-Т(д-Ц .	B28.2)
\дР)т	\8TJp	У }
230.	Условие полного дифференциала для SA приводит к соотношению
(дР/дТ)у = 0. Независимость работы А от пути интегрирования при наличии
этого соотношения следует уже из того, что Р не зависит от Т, а является
функцией только объема: Р = P(V).
231.	Решение.
да =да +да да
\8TJp \8TJv \8t)p\8V)t'
Используя третье соотношение B27.1), находим
r8V\ [дР\
232.	Решение.
dU = TdS-PdV, (^-) =т(^) -Р.
\oV/т	\oV/т
Величины S, V, Т связаны функциональным соотношением f(S,V,T) = 0. Из
него следует
_^ — —(—\ (—} — _^ (—Л
\dV)т	\dT)v\dV/T T \dV)т
После соответствующей подстановки получается первое соотношение. Анало-
Аналогично доказывается второе соотношение.
233.	Решение.
/8U\ _ d(U,T) _ d(U,T) д(Р,Т) _ (dU\ /дР\
\dv)T ~ 8(V,T) ~ 8(P,T) 8(V,T) ~ \дР)т\дУ)т'
Аналогично доказывается и второе соотношение.

§4. Второе начало термодинамики	109
235. Решение.
/дР\ _ d(P,S) _ d(P,S) д(Р,Т) d(V,T) _
\dVJs ~ d(V,S) ~ д(Р,Т) d(V,T) d(V,S) ~
= (dS\ (д^\ (дТ\ = (SQ/dT)P (дР\ =Ср/аРл
\dTjp\dVJT\dSJv EQ/dT)v \дУ)т Cv \ду)т'
237. См. предыдущую задачу. Принять во внимание, что для устойчивости
физически однородного вещества должны выполняться условия: Ср > 0, Cv >
> 0, (dP/dV)T < 0.
239 (—\ = d{T'S) = д{Т'S) d{T'V) =
' KdVJs d(V,S) d(T,V) d(V,S)
= -(-) (-) =-^(д-^)
\dVJT\dSJv	Cv \дТ)у'
Так же доказывается и другое соотношение.
240. Решение. Пусть I, r, T, S — длина, натяжение, температура
и энтропия жгута. Из этих четырех величин независимы только две, остальные
являются их функциями. Поэтому тождественно
(дТ\ ( д\\ (dS\	1	.... п
Из первого начала, записанного в виде d(U — TS) = —SdT + rdl, следует:
fdS\	(дт\	(dl\	(дТ\
Далее, так как Т, т, / связаны функциональным соотношением, то тождествен-
тождественно
\dSJT \дт)т\д1)т
Подставляя это в B40.1), получим
Т V dl )s\drJT\ dl Jr
где Ci = T(dS/dT)i — теплоемкость при постоянной длине. Она положительна
для всех тел: С\ > 0. Величина (д1/дт)т также положительна для всех тел.
Следовательно,
№ (-) <0
\dlJs\dlJr
По условию задачи для резинового жгута (д1/дТ)г < 0, а поэтому (dT/dl)s >
> 0. Отсюда следует, что жгут нагреется, если его адиабатически удлинить.
241. Решение. Рассуждая, как и при выводе формулы A75.1), находим
(™) =т-т(*) =0
\dl)T	\dTJi
При вычислении энтропии используем соотношение Максвелла (дБ/д1)т =
= —{dr/dT)i и получаем dS = —Adi + CidT/T. При изотермическом растя-
растяжении шнура dS = —Adi < 0.

110
Ответы и решения
243. Решение. При обратимом адиабатическом расширении остается
постоянной энтропия газа 5. Рассматривая ее как функцию температуры и дав-
давления, можно написать для элементарного обратимого процесса расширения:
Очевидно,
/as\ _ j_ /ms\ _ j_ /5Q_\ _ Cp_
\дт)р ~ T V дТ )p~ Т \дт)р ~ Т '
Кроме того, согласно B27.1),
\дР)т \дТ)р
Поэтому
Отсюда для бесконечно малого процесса
дт = /атх = т(ду/дт)Р
АР \dPJs	СР
V	;
Для конечного процесса
сР
dp.
244.	AT = — АР = 0,038°С.
рсР
245.	AT = — АР = -0, 26 °С.
рсР
249. AT =
= -0,95 К.
ср(пг2J
250. Решение. Для элементарного процесса Т dS ^ 5Q = dU + 5А. При
изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа U не меняется.
Следовательно, 5А < Т dS. Отсюда
А < T(S2 - Si) =
In
^7/
V1V2
= 1,8кДж.
251. Решение. Начальное и конечное состояния равновесны, тепло не
подводится. Поэтому А = U\ — U2, где й и ft - начальное и конечное значе-
значения внутренней энергии системы. Объем системы V\ + V2 фиксирован. Поэтому
в конечном состоянии внутренняя энергия есть функция только энтропии: ft =
= U{S2). Так как (dU/dS)v = Т > 0, то энергия ft будет минимальна, когда
энтропия 5г также минимальна. Но в адиабатическом процессе энтропия не

§ 4. Второе начало термодинамики	111
убывает. Следовательно, S2 мин ^ Si. Максимальная работа получится в том
случае, когда энтропия остается постоянной. Из условия равенства энтропии
i/i (Су In Ti + RhiVi) + i/2(CvlnTi +R\nV2) =
V lnT2 + R]n(Vi + V2)]
найдем температуру T2 в конце процесса. Подставляя в это условие Су = 5/2R,
щ =1/2, ПОЛуЧИМ
1/5
Максимальная работа
Ti -Г2) = 1,55кДж.
252. Решение. Будем рассматривать энтальпию газа / как функцию
температуры Т и давления Р. Если разность начального и конечного давлений
Pi — Р2 мала (дифференциальный эффект Джоуля-Томсона), то условие / =
= const запишем в виде
_	_	/дУ^
то
AT _ Т{дУ/дТ)Р - У
АР ~	~Ср	'
С помощью тождества B9.2) эту формулу нетрудно преобразовать к виду
AT _ T(dP/dT)v + У(дР/дУ)т
АР	СР(дР/дУ)т
B52.2)
Если разность давлений Р\ — Р2 не мала (интегральный эффект Джоуля-
Томсона), то при вычислении изменения температуры Т2 — Т\ реальный нерав-
неравновесный процесс можно заменить квазистатическии процессом, происходя-
происходящим при постоянной энтальпии. Это можно делать потому, что начальное
и конечное состояния полностью определяются заданием давления и энталь-
энтальпии, которые фиксированы, а потому при вычислении Т2 — Т\ безразлично,
как переходит система из начального состояния в конечное. Заменив реальный
процесс последовательностью бесконечно малых процессов Джоуля-Томсона,
можно написать для изменения температуры
B52.3)
254.	Результат получается сравнением формул B52.1) и B43.1).
255.	Решение. Для вычисления изменения энтропии газа заменим ре-
реальный процесс Джоуля-Томсона квазистатическим изэнтальпическим процес-

112	Ответы и решения
сом, переводящим систему в то же конечное состояние. Для такого процесса
dl = TdS + VdP = О, а потому
fdS\	V .
Так как давление в процессе Джоуля-Томсона понижается, то из полученного
неравенства следует, что энтропия возрастает.
256. Решение. Так как над газом не производится работа и тепло не под-
подводится, то после удаления перегородки и установления равновесия внутренняя
энергия газа не изменится. Реальный процесс, совершаемый газом, является
неравновесным и очень сложным. Однако начальное и конечное состояния
равновесны, а температура газа в равновесном состоянии определяется двумя
параметрами, за которые удобно взять внутреннюю энергию и объем газа.
При вычислении изменения температуры реальный процесс можно заменить
квазистатическим процессом при постоянной внутренней энергия. Для такого
процесса
\dVJu
Для вычисления частной производной, входящей в этот интеграл, надо диффе-
дифференциал
\dTJv	\dV /т
положить равным нулю. Если еще воспользоваться первой формулой A75.1),
то получится
гдТ_\ _ Р-Т(дР/дТ)у
\dVJu ~	С^	'
Окончательно
Для идеального газа эта формула дает Т^ — Т\ = 0.
257. Решение. В состоянии механического равновесия температура Т,
удельный объем v и давление Р жидкости являются функциями только высоты
z над земной поверхностью. Пусть dv, dT, dP означают бесконечно малые
приращения v, Т, Р в покоящейся жидкости при изменении высоты на dz.
В силу уравнения состояния эти величины связаны соотношением
Допустим теперь, что под действием какого-то бесконечно малого возмущения
элемент жидкости переместился вверх на dz. Такое перемещение происходит
в отсутствие теплообмена, т. е. адиабатически, а потому для него можно
написать
А*=(^) ЛГ«+(Й) dP.	B57.2)
\dTJp	\дР/т
Здесь dTajx и dP означают приращения температуры и давления внутри рас-
рассматриваемого элемента жидкости при адиабатическом поднятии его на высо-

§5. Теплопроводность	113
ту dz. (Значок «ад» у dP мы опустили, так как приращение давления в эле-
элементе жидкости — такое же, что и приращение давления в окружающей жид-
жидкости.) Если dz > О, т. е. элемент жидкости сместился действительно вверх,
и dvajx > dv, то сместившийся элемент окажется относительно более легким,
чем окружающая жидкость. Он будет подниматься еще выше, и равновесие
жидкости окажется неустойчивым. В противоположном случае, когда dvaA <
< dv, давление окружающей жидкости вернет элемент в исходное положение,
т.е. равновесие будет устойчивым. Воспользовавшись выражениями B57.1)
и B57.2) и поделив неравенство на положительную величину dz, условие
устойчивости равновесия можно записать в виде
Требование dz > О, использованное при выводе, теперь можно снять, так как
в неравенство B57.3) входят только производные {dT/dz)aA и dT/dz, значения
которых от знака dz не зависят. Для большинства тел температурный коэф-
коэффициент расширения положителен, и вместо условия B57.3) можно написать
более простое условие
?>(?)•	B57-4)
dz \ dz /ад
Для тел с отрицательным температурным коэффициентом расширения знак
неравенства надо заменить на противоположный. Ниже предполагается, что
имеет место первый случай.
Таким образом, чем больше температурный градиент dT/dz, тем более
затруднена конвекция, тем устойчивее механическое равновесие жидкости.
Нижней границей dT/dz, при которой конвекция еще может отсутствовать,
является «адиабатический температурный градиент» (dT/dz)aA. Для его вы-
вычисления замечаем, что при адиабатическом процессе удельная энтропия s не
меняется. Рассматривая ее как функцию Т и Р, можем написать
—	+ I —— I —- = 0
ydz)aA \dT)p\dz)aA \дР)т dz
Воспользовавшись термодинамическими соотношениями (ds/dT)p = cp/T,
(ds/dP)r = —{dv/dT)p и уравнением гидростатики dP/dz = — pg = —g/v,
получим
(^т-) = -— (^г-) •	B57.5)
V dz ) аА	vcp \oTJp
Для воздуха, если его рассматривать как идеальный газ, объем v пропорцио-
пропорционален температуре Т (при Р = const), а потому (dv/dT)p = v/T. Это дает
--^.	B57.6)
СР
Этот результат уже был получен в решении задачи 133. (См. также зада-
задачу 588.)
§5. Теплопроводность
rSx:
258. m = —— (ti — t2) = 54 г, где q — удельная теплота плавления льда,
равная 80 кал/г.

114	Ответы и решения
259. t2 —1\ = 	= 0,013°С, где q — удельная теплота парообразования
rSx:
воды, равная приблизительно 539 кал/г.
( +
rS \>с ус\
1	2
2^i + ^	'	2^i + ус
262. >2Г|| = П\Ъ\К\ -\-П2Ъ2К2, 	 =	1	, ^11 > >^±-
263-	/ _/
*я = *' " мЙТйо ^д/д>)-	B63.1)
265.	Решение. Уравнение теплопроводности при наличии источников
тепла с плотностью мощности q для сферически симметричных задач имеет
вид
ЯТ 1 Я / о ЯТ \
pCv^ = \^(Hr^)+q.	B65.1)
ot rz or V or /
В стационарном случае дТ /dt = 0, и после однократного интегрирования
написанного уравнения (q = const) получим
dT	q	С
-l- = -T-r+-2-
аг	дж г1
Постоянная интегрирования С должна равняться нулю, так как в противном
случае в центре шара мы получили бы бесконечное значение для производной
dT/dr. Интегрируя вторично с учетом граничного условия Т = То при г = R,
найдем
Температура в центре шара
Тц = То + — = 790 К.
j2
266.	Т = То Н	2 4 (В2 — г2), где / — сила тока, р — удельное сопротив-
сопротивление провода, R — радиус провода, г — расстояние до его оси. Все величины
выражаются в единицах системы СГС.
267.	^^Т7/2^3,6-1012кВт.
268.	P = aELQ/B>cS).
269.	Решение. Для справедливости теоремы единственности существен-
существенно, что температуропроводность % = >c/(pcv) всегда положительна. Допустим,
что уравнение B69.1) имеет два решения: T\(x,t) и T2(x,t), удовлетворяющие
начальному условию B69.2) и краевым условиям B69.3). Тогда
ад _ д2Т q дТ2 _ д2Т q
Вычитая почленно и вводя обозначение в = Т\ — Т2, получим

§5. Теплопроводность	115
т.е. функция S(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности без источни-
источников. Кроме того, ясно, что эта функция удовлетворяет «нулевым» начальным
и граничным условиям:
Bt=o = 0 при любых х,	B69.5)
вх=0 = О, вх=1 = О при любых t.	B69.6)
i
Рассмотрим интеграл I(t) = J в2 dx. Ясно, что он не может быть отрицатель-
о
ным. Кроме того, ввиду B69.5), /@) = 0. Найдем производную интеграла I{t)
по времени:
л _/
0	О
Интегрируя по частям, получим
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль ввиду граничных условий
B69.6). Второе слагаемое отрицательно или нуль, так как % > 0. Таким
образом, dl /dt < 0. С течением времени интеграл / может только убывать или
оставаться постоянным. Первое невозможно, так как должно быть /@) = О,
/(?) ^ 0. Остается единственная возможность dl/dt = 0, т. е. /(?) = const =
= /@) = 0. Это возможно тогда и только тогда, когда В(ж, t) = 0, т. е. Т\(х, t) =
= T2(x,t). Единственность решения доказана.
270. Г, - Г2 = (Г10 - Т20)е-'/г,
С,Т,0 + С2Т20	С2
г'=	+
г' Cl+c2 +
Т2 = Cl^ + gT2° - -f- (T,o -
где- = —
271. Решение. Обозначим буквой ж толщину образовавшегося слоя
льда к моменту времени t. Если замерзание идет не очень быстро, как это
в действительности имеет место в естественных условиях, то в слое льда
установится линейное падение температуры от ТПЛ до Т. В этом случае тепло,
уходящее наружу от единицы поверхности льда за время dt, представится
выражением
т т
¦J-ПЛ ~ J- /,
>zr	at.
х
Но ту же величину можно представить в виде qpdx, где dx — толщина слоя
льда, образовавшегося за время dt, p — плотность льда, q — удельная теплота
плавления льда. Это приводит к уравнению
-L ПЛ	J- ;,	7
ж	at = qpdx.
Умножая на ж и интегрируя, получим
=l- qpx2 + A.

116	Ответы и решения
Примем за начало отсчета времени момент, когда образование льда на по-
поверхности воды только что началось. Тогда х = 0 при t = 0, а потому А = 0.
В результате получим
ЯР
11,3 см.
272. Решение. Если таяние льда идет не очень быстро, то мгновенное
распределение температуры в окружающей воде будет таким же, что и в
стационарном случае при тех же граничных значениях температуры. Согласно
B64.1) оно в рассматриваемом случае имеет вид
Г = Too + ^ (Го -Too),
где R — мгновенное значение радиуса куска льда, То и Т^ — постоянные
температуры воды на поверхности шара и в бесконечности (по условию задачи
Too — То = 10°С). Количество тепла, поступающее к шару от окружающей
воды за время dt, равно
4тгг2^^ dt = АтгнЩТоо - То) dt.
dr
Это тепло идет на расплавление льда и потому может быть также представлено
выражением
—qdm = —AttR pnqdR.
Приравнивая оба выражения, получим
х(Тоо - То) dt = -pnqRdR.
Отсюда интегрированием находим искомое время таяния льда:
РлЯ^г)	о л а п.	л п.
т = —-——°-— « 2480 с « 40 мин.
2^(Тоо - То)
273. *о=Л*!~*1 =16°С-
274. q=^^*4)t=1550
x(t\ +U) +alti	о
t2 = 	l + 2	=U C'
al
276.	t2 = ^1+Lat3.
277.	1) t2 —^ ti, если L -»> 0; 2) t2 -> t3, если ^ -»> 0.
=^ln^i^.
aS t2 - t3

§5. Теплопроводность	117
279.	1) R = к/а =1,2 см; 2) значение i? найдется решением трансцен-
трансцендентного уравнения
^ + -1п- = -' т-е- 1
R ж г г	6
Решение его методом последовательных приближений дает R « 10 см.
280.	Решение. Рассмотрим тепловой баланс в объеме стержня между
сечениями х и х + dx. Слева в этот объем за время <ir входит количество
тепла —>c(dt/dx)S dr. Справа выходит —x:(dt/dx)x+dxS dr. Кроме того, бла-
благодаря теплообмену из объема через его боковую поверхность уходит тепло
apdx(t — ?3) dr. С другой стороны, тепло, поступившее в рассматриваемый
объем стержня, равно Sdxcpdt. Итак,
—>2г( —— jSdr — \—ж( — ) Sdr\ — apdx{t — ts) dr = Sdxcpdt.
V UX /	I	\UX /x-\-dx	I
Отсюда
dt >zr dt ар .
282.	t = (ti- t2)sh[ff(|~xI +12. Если /3/ > 1, CA - x) > 1, то t = t2 +
?1 — h)e~Px. Если, сверх того, /fo > 1, то t ~ fe.
283.	t = t3 + 2(t, - t3)*5r = 72°C-
284.	>zT2 = \2/i
d^x~t2\ = 0,00033 кал/(с • см • °C).
t0.
289. v = a\f%j, 7 = - ч/^
290.	v = 1/у/Ш = 0,052м/сут.
291.	7i/72 = ^[ЩТ[ = ^ДJШ = 1/19.
292.	Решение. За период звуковой волны т тепло распространяется
на расстояние / ~ vr. Адиабатическим приближением можно пользоваться,
если это расстояние мало по сравнению с длиной звуковой волны Л = сг,
т. е. при условии v <С с (с — скорость звука, v — скорость распространения
температурных волн). Пользуясь ответом к задаче 289, это условие можно
записать в виде ш <С с2/Bа2).
293.	В решении предыдущей задачи величину Л следует заменить на
диаметр стержня 2г. Это дает и > 2тг2а2/г2.
294.	Решение. Рассматриваемая задача является типичной краевой зада-
задачей, к которой применима теорема единственности (см. задачу 269). Направим
ось X внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Для нахождения решения
уравнения теплопроводности
дТ _ 2 д2Т
~dt ~п ~д?'

118	Ответы и решения
удовлетворяющего требуемым краевым и начальным условиям, применим сна-
сначала метод размерности. Из шести величин Т, х, t, То, Т\, а можно составить
только три независимые безразмерные комбинации, например, Т/То, Т\/То,
х/(алД) = ?. Вторая из них есть постоянное число и может не приниматься
во внимание. Поэтому должно быть Т = /(С)- Подставляя это выражение
в уравнение теплопроводности, придадим ему вид
Обозначая дифференцирование по ? штрихом и разделяя переменные, получим
Отсюда двукратным интегрированием находим
2алД
Т = А [ е"е2 df + В.
о
Постоянная В дает температуру поверхности среды во все моменты времени
t Ф 0. По условию она постоянна и равна Т\. Постоянная А определится из
начального условия: Т = То при t = 0. Это дает
Окончательно
r
Л/7Г	J
О
Отсюда получаем температурный градиент
дТ То - Тх
дх ал/тгЬ	X Aa2t)
В частности, на границе среды, т. е. при х = О
дТ _Tq-T\ _ То - Ti _ 7(^0 - Ti)
где v = 2ау/7г/т — фазовая скорость температурных волн, т — их период,
7 = - л/- — коэффициент затухания (см. задачу 289).
а(ъ-тЛ2 4-40002	^8
	— — 	— сут ~ 10 лет. Приведенная оценка дает
{/y = A/25J
сильно заниженное значение для возраста Земли (по геологическим оценкам
возраст Земли ^4 — 4,5 миллиардов лет). Она не учитывает интенсивное
выделение тепла в результате радиоактивных процессов. Кроме того, модель
«огненножидкой» Земли не согласуется со многими фактами и в настоящее
время не считается правильной.

§6. Кинетическая теория вещества	119
§ 6. Кинетическая теория вещества
296.	n = 3,24- 1013.
297.	n = 3,34- 1022.
298.	7i = 2,7- 1019.
299.	п = 104.
300.	Р = NkT/V = 1,74 • Ю-4 мм рт. ст.
301.	1) vKB = л/ЗЯТ/ц = 1838 м/с; 2) 493 м/с; 3) 461 м/с, где /х — относи-
относительная молекулярная масса газа.
302.	К = ЗкТ = 1,26 • 10~13 эрг (от массы молекулы не зависит); vKB =
= 3,5 м/с.
303.	рКВ = л/ЗтпкТ = б, 9 • Ю-19 г • см/с.
304.	Решение. Когда снаряд движется в стволе орудия со скоростью,
превышающей скорость теплового движения молекул пороховых газов, по-
последние почти перестают оказывать давление на дно снаряда и ускорять его.
Отсюда следует, что максимально достижимая скорость снаряда при вылете из
ствола орудия будет порядка средней скорости теплового движения молекул
пороховых газов. Она тем больше, чем выше температура пороховых газов
и чем меньше их относительная молекулярная масса.
305.	vKB = сзвЛ/Щ, где 7 = CP/CV.
306.	PV = l/sNcp = Уз-Е, где Е — средняя полная энергия фотонов в со-
сосуде.
307.	Решение. Пусть поршень в цилиндре движется со споростью и,
малой по сравнению со средней скоростью газовых молекул v. Примем ось
цилиндра за ось X прямоугольной системы координат. Рассмотрим отражение
от поршня молекулы, ж-компонента скорости которой относительно стенок
цилиндра равна vx.
Введем движущуюся систему координат, связанную с поршнем. В этой
системе ж-компонента скорости рассматриваемой молекулы будет vx — и. При
отражении от поршня ж-компонента скорости сохранит в движущейся системе
координат свою величину, но изменит знак. Таким образом, после отражения
молекула относительно движущейся системы координат будет иметь скорость
—	(vx — и), а относительно стенок сосуда — скорость — (vx — и) + и = — vx +
+ 2и. Две остальные компоненты скорости при отражении не изменяются.
Поэтому изменение кинетической энергии молекулы равно
— (vx -2и) - — vx = -mvxu,
если пренебречь членом с и .
Обозначим через Ni число молекул, ж-компонента скорости которых равна
Vix- Число молекул такого типа, ударяющихся о поршень в одну секунду, равно
—	ViXS, где S — площадь поршня. Изменение кинетической энергии этих
Sum ,T о
молекул в одну секунду равно	^гЩХу а изменение кинетической энергии
всего газа:
dE	Sum v^ at 2	SuNm -тт	1 SuNm -^ 2 Su _.
YN	i	*	E

120	Ответы и решения
Подставляя сюда Su = dV/dt и интегрируя, получим EV2^3 = const. Наконец,
принимая во внимание, что PV = 2/зЕ, находим
PV5/3 = const.
308.	Решение. Рассуждения, приведенные в решении предыдущей зада-
задачи, сохраняют силу и для двухатомного газа. Разница состоит только в том,
что полная энергия Е одноатомного газа есть кинетическая энергия поступа-
поступательного движения его молекул, а в двухатомном газе к ней прибавляется еще
кинетическая энергия вращательного движения молекул. Однако при отраже-
отражении от движущегося поршня вращательная энергия молекулы не изменяется.
По-прежнему претерпевает изменение лишь ж-компонента поступательной ско-
скорости движения молекулы. Поэтому, как и в решении предыдущей задачи,
можно написать
dE _ 1 uSNm ~2
~dt ~ ~3 V V '
По классической теории кинетическая энергия при тепловом равновесии
равномерно распределяется по степеням свободы. Принимая, что молекула
двухатомного газа имеет пять степеней свободы (три поступательные и две
вращательные), найдем для полной энергии
Е = - Nmv2 + - Nmv2 = - Nmv2.
2	б	b
Поэтому —- = — - — Е, откуда ЕУ21Ъ = const. Наконец, принимая во внима-
ОьЬ	О V
ние, что PV = l/sNmv2 = 2/$E, находим
PV7/5 = const.
309.	1) Tg « 0,05 К, 2) Tg « б, 5 • 104 К. Отсюда видно, что ко всем
молекулярным и атомным газам классический способ рассмотрения применим,
а к электронам металлов — неприменим.
310.	1) 0,03 атм, 2) - 7,6 • 104 атм.
311.	— = -4 ехр —^^ 1 = 0,98, где и — относительная молекулярная
масса газа.
313.	г
у = \/^^- = 1, 13г>т = 386 м/с,
TTfl
vKB = J^- = l,23vm = 420 м/с.
314.	t= 153°C.
316.	v ~ P1/5.
317.	dN = 2irNGrkT)-3/2y^ exp {-^} de.	C17.1)
318.	?m = kT/2.
319.	T = mv2/Ck).

§6. Кинетическая теория вещества	121
320. Решение. Искомая скорость определяется из уравнения
М - 1
где Ф(ж) — интеграл вероятности ошибок:
о
а х2 = mv\i2/BkT). Уравнение нетрудно решить, пользуясь таблицами функ-
функции Ф(ж) и ее производной Ф'(ж) 0. Таким путем находим х = 1,088, i>i/2 =
= 1,088 y^/cT/m.
/ 1 \	/ 2т	4
321.	( — ) = \ 	 = -^.
322.	Решение. Искомое число молекул dN равно среднему числу ско-
скоростных точек в элементе объема пространства скоростей, заключенном между
двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами v± и v± + dv± и высотой dv\\.
Объем этого элемента равен duo = 27rv_\_dv_\_dv\\, а среднее число скоростных
точек в нем
dN = fdu = 2тг [^^) ехр {~^\ v± dv± dv\\.
323.	а = ехр < — —— к где е — заряд электрона (по абсолютной величине).
1) а= 13,5%; 2) а= 1,8%.
324.	v = 2тгR2n/5 = 660 м/с.
325.	Решение. Если установка неподвижна, то молекулы конденсиру-
конденсируются в точке D. При вращении всей установки молекулы со скоростями v
попадают в D'. Смещение по дуге DD' равно х = C/v, где С — постоянная
прибора. Число молекул dN со скоростями между v и v + dv, ежесекундно
испускаемых источником А, пропорционально vF(v) dv. Выражая dv через dx,
представим его в виде dN = v3F(v) dx. Отсюда видно, что линейная плотность
распределения молекул, сконденсировавшихся на поверхности цилиндра, про-
пропорциональна v3F(v), т.е. г>2ехр{—v2/v2n}. Эта плотность максимальна при
v = v V2 vmi где Vm — наиболее вероятная скорость.
326.	Решение. Рассмотрим сначала частный случай, когда абсолютные
значения скоростей всех молекул одинаковы, но их распределение по скоро-
скоростям изотропно. В этом случае число молекул в 1 см3, направления скоростей
которых лежат внутри телесного угла d?l, будет dn = nd?l/Dтг), где п —
число молекул в 1 см3. Рассмотрим молекулы, ударяющиеся об 1 см2 стенки
и подлетающие к ней с углами падения между в и в + dO. Для них
d?l = 2тг sin в dO, dn = -п sin в dO.
Число ударов молекул рассматриваемого типа об 1 см2 стенки в 1 с будет
dz = -nv sin 0 cos в dO.
х) См., например, Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции.— М.:
Наука, 1964.

122	Ответы и решения
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до тг/2, найдем z = xUnv.
Если абсолютные скорости молекул различны, то молекулы следует разбить
на группы с практически одинаковыми значениями скоростей. Таким путем
легко получить
z=X-nv,	C26.1)
где v — средняя скорость молекул. Для максвелловского распределения
п 8кТ	I гъ-l	/поп г>\
z = - \ 	 = п\ 	.	C26.2)
4 ]/ ттт	V 2тгш	v	'
327.	Для изотропного распределения
Е = -mnv3;
о
для максвелловского распределения
J2k3T3 ттпт_3
Е = п\ 	 = ——V ,
V ттг	\Ь
где m — масса молекулы, п — число молекул в 1 см3.
328.	е = 2кТ.
329.	Решение. Если отверстие S очень мало, то распределение скоро-
скоростей исказится очень мало, т.е. останется изотропным и максвелловским. По
формуле C26.1)
d(Vn) = -l-Snvdt.
Интегрируя это уравнение, получаем
где т = AV/Sv. Отсюда
п = ще 1'т,
ti/2 = т1п2.
330. п = no(l — e~t//r). Обозначения такие же, как и в предыдущей задаче.
t5o 1.	~t = 	 In 	 r^i 	 	 r^i 1,1/ С,
Oyr	p 	 p	*v?7	P
U/2 = -^ In2^6,2- 104 c= 17 ч.
1 Sv
332. Решение. Уравнения баланса для молекул азота:
dt	4 V
dt	4 V у d	d n
где /Vavw и JVa — числа молекул азота в первой и во второй половинах сосуда.
Так как N^ + N^ = Na = const, то первое уравнение приводится к виду
dJdT = -w(N^-f

§6. Кинетическая теория вещества	123
Интегрируя его с использованием начального условия Na ' = Na при t = О,
а затем определяя Na из соотношения Na = Na — Na , получим
Аналогично, для молекул кислорода:
Так как начальные значения давления в обоих сосудах одинаковы, то Na =
= NK = N. Давление в первой половине сосуда:
Давление во второй половине сосуда:
При ? = 0и? = ооиз последних двух уравнений следует Р\ = Р2 = Р, как это
и должно быть.
333. Решение. Поступая, как и в задаче 330, для отношения концентра-
концентраций легкой и тяжелой компонент внутри сосуда, найдем выражение
1 _ e-t/n
где индекс 1 относится к легкой, а индекс 2 — к тяжелой компонентам.
Времена т\ и т^ связаны соотношением т^/п = 2. Учитывая это, найдем, что
производная d/3/dt обращается в нуль, когда
и следовательно, когда C = ау/2. Однако этому случаю соответствует не
максимум и не минимум на кривой C = C(t), а точка перегиба. Максимальное
и минимальное значения величина C принимает на концах временного интер-
интервала @, оо). При t = О получается максимум: (Змакс = ат^/п = 2а, при t = оо —
минимум: (Змин = а.
334.	15/16Р.
335.	Решение. Уравнение баланса энергии:
—- = — - nmSv3 + Q.
at	о
Уравнение баланса числа частиц:
У—= --п?г7.
dt 4

124	Ответы и решения
По условию средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, постоянна:
E/iVn) = const. Отсюда dE = Edn/n. Исключая dE и dn, получаем
Е _ mv2 _ mrf AQ
Vn 2	v nSv'
откуда
nSv.
V
Для максвелловского распределения
Q = -g- Svn = — Svnoe~t/T,
где т = W/(Sv).
336. Решение. Из-за столкновений молекул со стенками сосуда и между
собой внутри сосуда устанавливается максвелловское распределение скоро-
скоростей. Условия сохранения числа частиц и кинетической энергии газа в сосуде
имеют вид
Отсюда находим
Щ'
V =
Vo =
V 7Г
1
-nv,
4
1
2П°'
П = П[
mvQ =
—пттгу .
16
Т:
TUVq
~ Ак
338. Скорость испарения определяется выражением
1
q = -nmv,
где п — концентрация атомов насыщенного пара вольфрама. Его давление
будет	_
р 1 — 4 v2
Р = - nmv1 = - q — .
3	3 г>
При максвелловском распределении
где А — относительная атомная масса, равная для вольфрама 184. Оконча-
Окончательно получаем
/'2тг RT
Подставив сюда числовые значения, найдем для давления насыщенных паров
вольфрама при Т = 2000 К: Р = 8, б • 10~9 дин/см2 = б, 4 • 10~12 мм рт. ст.
339. 	 = Ра 	 ~ 0,38 г/(с-см2), где /х — относительная молеку-
dt	V ztzRT
лярная масса.
341.JV=4/ fln\ =6,5. 1023.
Ъттг6(р- po)gl

§6. Кинетическая теория вещества	125
342. fjL= —2
344.	Решение. Температура газа не изменится. При свободном падении
газ находится в состоянии невесомости. Начальное состояние его неравновес-
неравновесное — плотность вверху меньше, чем внизу. Однако средняя кинетическая
энергия молекул всюду одинакова. При переходе в равновесное состояние плот-
плотности выравняются. Но полная кинетическая энергия молекул газа, опреде-
определяющая его температуру, останется неизменной. Опыт аналогичен известному
опыту Гей-Люссака с расширением газа в пустоту.
345.	гпот = кТ, С = СР.
z _ 1 - [1 + mgH/(kT)} e*p{-mgH/(kT)} . _
i(if)
348. Число молекул dN с координатами между г и г + dr, z и z + dz равно
где N — общее число молекул в сосуде. Ось Z направлена вертикально вверх.
349.	Решение. Направив ось Z вертикально вверх, можем написать
mz + mg = 0. Умножая это соотношение на z и принимая во внимание, что
zz = — (zz) — z2, получим
at
— (mzz) + mgz — mz = 0.
Проинтегрируем это соотношение по периоду движения. Тогда интеграл от
первого слагаемого даст нуль, и мы найдем искомую связь:
В случае молекулы одноатомного газа, учитывая столкновения, получим
гпот = Уз^кин- Для двухатомного газа, согласно теореме о равномерном рас-
распределении кинетической энергии по степеням свободы, гпот = 2/б?кин- Полная
энергия моля газа в поле тяжести:
Е = Легкий + гпот) = ^ёкин = \ВТ.
Ее производная по Т есть Ср, тогда как Су есть производная только от
кинетической энергии NsKVlu = ^hRT. Это дает Ср — Су = R. Вывод нетрудно
распространить на одноатомные и многоатомные газы.
350.	Решение. Потенциальная энергия молекулы в гравитационном поле
планеты равна —GMm/r, где М — масса планеты, G — гравитационная
постоянная. Если бы атмосфера находилась в тепловом и механическом рав-
равновесии, то концентрация молекул п должна была бы определяться формулой
Больцмана
GMm
п = Поо ехр кт ,
т. е. оставалась бы конечной при г = оо, что невозможно, так как число
молекул в атмосфере ограничено. Противоречия не получится только при Поо =

126	Ответы и решения
= 0, а следовательно, при п = О, т. е. при полном отсутствии атмосферы.
Планеты имеют атмосферы только потому, что последние рассеиваются очень
медленно. (См. решение следующей задачи.)
351. Решение. Так как процесс рассеяния атмосферы очень медленный,
то можно считать, что к изотермической атмосфере применимо распределение
Максвелла-Больцмана. Тогда число молекул, покидающих планетную атмо-
атмосферу в единицу времени, представится выражением
оо
1vn Г
4" J
dN^ Svn f / m \3/2A
"dt
где S — площадь поверхности планеты, п — концентрация молекул у ее
поверхности, vye — скорость убегания, v — средняя скорость убегающих
молекул:
оо	оо
оо
-2kf\dv/ J Ve^\-2kf
V=
Полное число молекул N в атмосфере можно определить, пренебрегая кривиз-
кривизной поверхности планеты. По формуле Больцмана
оо
N _ „ Г	Г mgh} „ кТ
О
где g — ускорение свободного падения на поверхности планеты. Используя
написанные соотношения и выполнив простое интегрирование, получим
dN _ N
dt ~ т '
где
Время т и есть время рассеяния атмосферы планеты. Для Земли g = 980см/с2,
г?уб = И, 2 км/с. Используя эти данные, получаем для атомарного водорода
т ~ 27 лет, а для молекулярного водорода т ~ 2 • 1012 лет (при Т = 300 К).
352.	Ё = 1/2кТ = 2, 1 • Ю-14 эрг, л/Р = 7, 2 • 1011 Гц.
353.	К = %PV = 2, 75 • 103 Дж.
354.	е = kT(Vi/V2y-{ = 1,65 • Ю3 эрг.
19 AT
355.	Q = ^ =f- PV « 55 ккал.
b i
356.	cp = -^ Д « 0,75 кал/(г • °C).
188
357.	Q= -™-(T2-Ti) = 6,97- 105Дж =1,66- 105 кал.
2 T\
358.	Q = I — (T2 - Ti) = 19,5 • 105 Дж = 3,65 • 105 кал.
359.	<2 = 72,4 = 70Дж.
360.	Q= 7-PV\n— « 7-PVT2~Tl « 1,45- 105Дж = 34,7ккал.
2	ii 2	ii

§6. Кинетическая теория вещества	127
361.	Сх =б,Н кал/(моль-°С),
С2 = б, 15 кал/(моль • °С).
362.	Су = 6R для XV, CV = 9R для XV2.
Решение. Каждый атом молекулы имеет три степени свободы. Если
молекулы образуют твердое тело, то атомы совершают малые колебания около
положений равновесия. Согласно классической статистике на одну степень
свободы приходится средняя кинетическая энергия х/2кТ. Так как средние
кинетическая и потенциальная энергии при гармоническом колебании равны
между собой, то полная энергия, приходящаяся на один атом, в среднем со-
составляет ЗкТ. Если в молекуле п атомов, то средняя энергия на одну молекулу
составляет ЗпкТ, а молекулярная теплоемкость 3nR.
363.	cv =27/32Я= 1,68кал/(г-°С).
364.	Рбом = NpZkT/A « 7,5 • 10ю атм, где N -число Авогадро, Z = 92 -
атомный номер урана, А = 238 — его относительная атомная масса; Рз =
= p3gR/2 « 1, 7 • 106 атм, где R — радиус Земли.
365.	В системе СГС:
о = Igm2(±- - -I) = Igm2Ri ~R2
5	\R2 RxJ 5	RXR2
Если R2 = 0,9#i, то
Энергия, излучаемая Солнцем в течение одного года, составляет около 1,2 х
х 1041 эрг. Выделившегося при сжатии Солнца тепла хватит примерно на 1, 9 х
х 106 лет. Температура Солнца при внезапном сжатии его на одну десятую
первоначального радиуса повысилась бы приблизительно на 4,6 • 10 С.
Решение. Рассчитаем сначала теплоту образования Солнца W из бес-
бесконечно разреженной материи. Возьмем бесконечно тонкий шаровой слой с
массой dm, центр которого совпадает с центром Солнца. Результирующая
гравитационных сил, с которыми на элемент массы рассматриваемого слоя
действуют все массы, находящиеся дальше него от центра Солнца, равна нулю.
Массы же, расположенные ближе к центру Солнца, действуют на слой так,
как если бы они были сосредоточены в центре Солнца. Если их общая масса
равна ?71, то при перемещении слоя из бесконечности на расстояние г от центра
Солнца гравитационные силы совершат работу
_, m dm 4тг _, 9 7
G	= — Gpr dm,
т	о
где р — плотность Солнца. Допустим теперь, что процесс образования Солнца
из бесконечно разреженной материи закончился. Тогда dm = Airr2pdr, и для
теплоты образования мы получаем
R
W(R) = [ ^ GprHirr'pdr = l4 тг2Ср2Д5 = I G—,
0
где R — радиус Солнца. Аналогично для тепла Q, получившегося при умень-
уменьшении радиуса Солнца, получаем
Q = W(R2) - W(Ri).

128	Ответы и решения
Если бы Солнце состояло только из водорода, то, разумеется, водород был
бы не только диссоциирован, но и полностью ионизован. Таким образом, на
каждый грамм массы Солнца приходилось бы 2N частиц: N электронов и N
протонов. Средняя кинетическая энергия их теплового движения 2N • %кТ =
= 3RT. Значит, удельная теплоемкость солнечного вещества в этом случае
была бы равна cv = 3R « бкал/(г • °С).
Из приведенных вычислений следует, что теория Гельмгольца-Кельвина
несостоятельна. Излучение звезд происходит за счет энергии ядерных реак-
реакций внутри звезд. Гравитационное сжатие становится основным источником
энергии лишь на поздних этапах эволюции звезд (белые карлики, нейтронные
звезды, или пульсары, коллапсары, или «черные дыры»).
366.	7=1 + -г,	—г]— = Ь462.
72 ^1 +72^2
367.	с3в = л/^RT/fi, где ц — средняя относительная молекулярная масса:
а 7 — показатель адиабаты смеси:
Z^l C_pi + ЩСр2 + ^3CP3 Н~ •••
7 = 	.
У\Су\ + ^2С\/2 Н~ ^3cy3 Н~ • • •
: 3 • 107см/с « 300 км/с.
369.	? = 	—	, Ei = 1, б • 10~14 эрг,
= б • Ю-20 эрг, ЁКл = кТ = 4, 1 • Ю-14 эрг.
370.	В = hu/k, вщ = 6100 К, Во2 = 2250 К, BHci = 4200 К.
« 0,03R = 0, Об кал/(моль • °С).
372. В =4^7» Вн2 = 170К, Во2=4,2К.
374. Величина теплоемкости должна быть меньше классического значения.
Решение. Молекула водорода Н2 имеет шесть степеней свободы: три
степени свободы поступательного движения, две вращательного и одну ко-
колебательного. Если можно пренебречь силами взаимодействия молекул газа,
то поступательное движение молекулы можно рассматривать как свободное
движение по инерции. Такое движение не квантуется — его энергия может
принимать любые значения. Напротив, колебательное и вращательное дви-
движения квантуются — их энергии не произвольны, а могут принимать лишь
ряд дискретных значений. При обычных температурах квантованные значения
энергии колебательного движения велики по сравнению со средней кинетиче-
кинетической энергией поступательного движения молекулы %кТ. Тепловое движение
молекул слишком слабо, чтобы перевести молекулы с низшего (нулевого)
уровня энергии колебательного движения на более высокие энергетические
уровни. Почти все молекулы занимают низший уровень энергии колебатель-
колебательного движения. При этом условии энергия колебательного движения почти не
зависит от температуры, и это движение не влияет на теплоемкость газа. Кван-
Квантованные значения энергии вращательного движения обычно много меньше
соответствующих значений для колебательного движения. Поэтому уже при

§6. Кинетическая теория вещества	129
обычных температурах возбуждаются всевозможные квантованные вращения
молекул — на каждую степень свободы вращательного движения приходится
почти такая же средняя энергия, что и на степень свободы поступательного
движения. Однако если температура газа настолько низка, что средняя энергия
теплового движения молекулы мала по сравнению с разностями энергети-
энергетических уровней вращательного движения, то вращения на высоких уровнях
перестанут возбуждаться, и вращательные степени свободы не будут оказывать
никакого влияния на теплоемкость газа. Водород начинает вести себя, как
одноатомный газ.
375.	Ё = г/(е?/кТ + 1) + %RT. Если г > кТ, то Ё « %RT.
376.	Решение. Молекула СО2 имеет 3-3 = 9 степеней свободы: три по-
поступательных, две вращательных и четыре колебательных. На поступательные
степени свободы приходится молярная теплоемкость при постоянном объеме
СГТ = ЗД/2.
Характеристическая температура для вращательного движения ввр =
= h2 /(8тт21к) = 0, 56 К, т. е. ввр <С Т. При таких условиях вращения молекул
можно учесть классически и написать
С$ = 2 • | = R.
Характеристические температуры для внутримолекулярных колебаний будут
екол = екол = ^L = ^1 = 960 К,
к	к
ег = — = 1990 к,
ег = ^р = 3380 к.
Следовательно, в\0Л/Т = вК20Л/Т = 3,51, Щол/Т = 7,28, Qf»/T = 12,8. Теп-
Теплоемкость, соответствующая г-й колебательной степени свободы, определяется
выражением
(е/Jег/т
По этой формуле находим
С^°з = 0,036Д, С^°4Л = 3,4- \0~5R.
Отсюда видно, что при 0°С последнее колебание практически не возбуждено
и не влияет на теплоемкость. Для суммарной колебательной теплоемкости
получаем
Су°л = B • 0,391 + 0,036)Я = 0,818Д.
Следовательно,
Су = A,5+ 1+0,818)Я = 3,32Я,
СР = 4, 32Д, 7= тг- = 1»3.
Полученные результаты (а также результаты, относящиеся к другим тем-
температурам) хорошо согласуются с опытными данными.
5 Под ред. Д. В. Сивухина

130	Ответы и решения
378. Решение.
_/5Фл =_dUo,TAdA
KdVJT	dV	dVJ
J_ (dV_\	1 (dP/dT)v _ 1	AT3dA/dV
VQ\dT)p~ VQ (dP/dV)T ~ Vq d2U0/dV-T4d2A/dV2'
Отсюда и_с_ледует требуемый результат.
379.	ф2 уменьшится в а раз, ср2 увеличивается в /З/74 раз. Существенно
отметить, что ср2 не зависит от момента инерции зеркальца; N = RT/(Dcp2) ~
^6,04- 1023 моль.
380.	D& = Ы* = Y + ^^-x « *T(l + да,), где и =
Y ^x	( да)	^
Классические формулы применимы при hu/(kT) <С 1. Для зеркальца hu/kT =
= 2,5-Ю-18.
381. Решение. fg = /g7 + g'A/ + fAg + AfAg. Усредняя и принимая
во внимание, что А/ = Ag = 0, находим
fg = fg + AfAg.	C81.1)
382.		 _
А/2 = /2-/.	C82.1)
384. Решение. На основании определения величины F
(Здесь опущен индекс г, так как предполагается, что все молекулы газа
тождественны.) Далее,
(? л
J =
В силу независимости молекул идеального газа fifj = fi fj = / . Следователь-
Следовательно,
2
Подставляя эти значения в формулу C82.1), получим
72 = F2 _ F* = щр = fy	C84.1)
Относительная флуктуация величины F равна
/A/2 = 1 ^A/2
F ~ Nj ~ л/TV /
С увеличением N относительная флуктуация величины F убывает обратно
пропорционально л/N . При больших N относительные флуктуации ничтож-
ничтожны. С этим связана достоверность термодинамических выводов для больших
систем.

§6. Кинетическая теория вещества	131
385. Решение. Если объем V разбить на z = V/v равных объемов Vi =
= v, то N = ^2rii, где Пг — число молекул в г-м объеме, а суммирование
ведется по всем таким объемам. Так как величины всех объемов Vi одинаковы,
то средние числа молекул в них гц также одинаковы. Поэтому N = zn, т. е.
п = Np, где р = v/V — вероятность нахождения молекулы в объеме v.
Определим далее величины fi следующим образом: fi = 1, если г-я моле-
молекула находится внутри объема v, и fi = 0, если г-я молекула находится в остав-
оставшемся объеме V — v. Тогда число молекул п в объеме v можно представить
в виде п = ^2 fi, предполагая, что суммирование ведется по всем N молекулам
объема V. Ясно, что функции fi удовлетворяют условию fi = /| = ff = ...
Далее, очевидно, что fi = /| = /3 = ... = р. Поэтому по формуле C82.1)
имеем
Nt = U-fi=v-v =p(i-p).
А так как в случае идеального газа величины /i, /2, /з, ... статистически
независимы, то по формуле C84.1)
An2 = Np(l -p) = A -р)п.	C85.1)
Если v <С V, то р <С 1. Пренебрегая вероятностью р по сравнению с единицей,
получим поэтому
А^2 = гг.	C85.2)
386. ^^ = -L- - Ю-6, АТ= 1^Ш= 1,2- 101
N	^/n	4
387.	Р = A/2)N, TV = lg2(Т/т) - 70, где т - 10 с - время разлета, т. е.
среднее время, которое требуется молекуле газа, чтобы пролететь расстояние
порядка размеров сосуда.
388.	V = \/(No?) = 3,7 • 1(Т8см3, п = \/а2 = 1012, где N - число
молекул в единице объема (N = 2, 7 • 1019 см~3).
389.	Решение. Возьмем какое-либо распределение, в котором объем V\
содержит N\, а объем V2 — N2 молекул. Зафиксировав положения всех мо-
молекул, произведем затем всевозможные перестановки их. Так как при таких
перестановках числа молекул N\ и N2 в объемах V\ и У2 не меняются,
то в результате получатся всевозможные комбинации молекул с требуемыми
числами N\ и N2. Число таких комбинаций равно N1. Среди них будут и такие
комбинации, которые получаются одна из другой в результате перестановки
молекул либо в пределах только объема Vi, либо в пределах только объе-
объема V2. Такие перестановки не приводят к новым распределениям молекул по
объемам V\ и V2. Число перестановок в пределах первого объема равно N\\,
а в пределах второго N2\. Разделив полное число перестановок N1 на N\\N2\,
мы получим число z всех распределений молекул N по объемам V\ и V2 с тре-
требуемыми числами заполнения N\ и N2: z = N\/(N\\N2\). В случае идеального
газа все эти z распределений равновероятны. Найдем вероятность одного рас-
распределения. Вероятность того, что определенная молекула попадает в объем V\,
равна р = Vi/(Vi + V2), а в объем V2 — q = V^/(Vi + V2). Вероятность того, что
N\ фиксированных молекул попадут в объем Vi, а остальные N2 молекул —

132	Ответы и решения
в объем V2, будет р [q 2. Умножив ее на число распределений z, найдем
Это и есть математическая вероятность того, что числа молекул (безразлично
каких) в объемах V\ и V<i будут равны соответственно N\ и N2.
390.	Требуемый результат получится, если соотношение р-\- q = 1 возвести
в N-ю степень, воспользовавшись формулой бинома Ньютона.
391.	Решение. Воспользовавшись формулой C89.1), получим
(N-n)\ (N + n)\ _
где N — число Авогадро. После сокращения:
')
= а.
Логарифмируя и принимая во внимание, что n/N <C 1, находим
1	2	71- 1\	П
или п2/N = In а, откуда
п = VNlna = VN =7,8- 1011.
392. Решение. В термодинамике энтропия N молекул идеального газа
выражается формулой
V
Ып- +
где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, приходящаяся на
одну молекулу, a so — постоянная, не зависящая от числа частиц. В начальном
состоянии энтропия системы
/с In— +
V	TV
в конечном состоянии
S = (N-n) (cv In Г + /с In —— + s0) + (N + n) (cv In Г + /с In —— + s0).
V	N — n J	\	N -\-n	'
Отсюда
S0-S = k(N- n) \n{N - n) + k{N + n) \n{N + n) - 2kN\nN,
или с учетом соотношения n/N <C 1:
2кп2
So-S=—.
По формуле Больцмана
So — S = к In — = кЫа.
Это дает 2п2/N = In а, откуда n = V27V In a .

§6. Кинетическая теория вещества	133
Расхождение с предыдущим решением объясняется следующим образом.
В предыдущем решении принимаются во внимание всевозможные распреде-
распределения молекул по объемам первого и второго сосудов с заданными числами
заполнения. Во втором решении используется термодинамическое выражение
для энтропии газа. Тем самым предполагается, что молекулы газа распреде-
распределены по объему каждого сосуда равномерно или приблизительно равномерно.
Сильно неравновесные состояния с неравномерным распределением молекул по
объемам сосудов во внимание не принимаются. С этим и связано обсуждаемое
расхождение.
393. Решение. Согласно формуле C89.1) вероятность того, что в объеме
v находится п молекул идеального газа, будет
Поэтому
п=\
Аналогично,
(n;;;;n)!
= N(N - I)p2(p + q)N~2 = N(N - l)p2.
Следовательно,
An2 = n2 -n2 = Np(\ -p) = n(\ - p).
394. Решение. Замечая, что р = v/V = n/N, q = 1 — p, перепишем
формулу C93.1) в виде
Перейдем в этом выражении к пределу N —>> оо при фиксированных п и п. Так
как
_	_ N_ N-n _
то таким путем получим
Pn = -^e~™	C94.1)
(формула Пуассона).
395.
n-n).	C95.2)
л/2тт
396. Решение. В выражении для производной
d п и \ 1 - 1	п+1/2
	 (In Рп ) = In 71 — In 71	h
dn	п

134	Ответы и решения
можно пренебречь 1/2 по сравнению с п. Тогда производная обратится в нуль
при п = п. В этом случае 1пРп максимален. Вычислив вторую производную,
найдем в требуемом приближении
Рп= * ехр{-<^}	C96.1)
(распределение Гаусса).
397. Решение. До флуктуации, когда состояние всего газа было равно-
равновесным, его энтропия определялась выражением
где cv — теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу газа. После флуктуа-
флуктуации, когда в объеме v стало п частиц, энтропия газа будет
S = Ncv In Г + k(N - п) In ^-^ + кпЫ -.
N -п	п
Вычтем отсюда предыдущее выражение, пренебрегая при этом членами второй
степени по v/V и n/N. Получим приращение энтропии газа в результате
флуктуации:
По формуле Больцмана
AS = k\n—,
"о
и для искомой вероятности находим
Переход к распределению Гаусса производится так же, как переход от формулы
C95.2) к формуле C96.1). Выполнив этот переход, затем можно определить
постоянную Ро из условия нормировки ^Рп = 1.
398. Решение. Поршень можно рассматривать как гармонический ос-
осциллятор. Среднее значение его поте_нциальной энергии при смещении из
положения равновесия на х равно У^ж2 = 1/2кТ, где ж — модуль упругости,
соответствующий такому смещению. Очевидно, AV = Sx, где AV — измене-
изменение объема системы, a S — площадь поршня. Таким образом, AV2 = S2kT/n.
дР
Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, F = S-— х, а потому
_ дР _ 2дР
В результате получим
-	кТ
Значок Т поставлен потому, что в выводе предполагалось постоянство темпе-
температуры окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема V

§6. Кинетическая теория вещества	135
было адиабатически изолировано, то, как следует из вывода, значок Т следо-
следовало бы заменить на S (постоянство энтропии) и написать
(AV2)S = -kT(dV/dP)s.	C98.2)
399.	V AV2 /V = л/kT-fT/V « 3, б • 10~9.
400.	у Ар21р = л/кТ^т/V .
401.	Решение. Согласно формуле C17.1)
оо
О
где введено обозначение а = \/{кТ). Обозначая знаменатель через Z и диф-
дифференцируя его по параметру а, получим
__ \ dZ ~2_ I d2Z
~ Z da'	~ Z da2'
Вычислив интеграл Z, по этим формулам найдем г = %кТ, г2 = 1%к2Т2
и далее
402. Решение. Рассматривая температуру подсистемы Т как функцию
U и V, пишем
откуда
Аналогично поступаем и в остальных случаях, в результате получаем
1
= Y2 (AP)P = kCP,
403.
z = nav, Л=—,	D03.1)
пег
где п — среднее число молекул в единице объема, а = ird2 — газокинетическое
поперечное сечение молекулы.
404. Решение. Точное выражение для z имеет вид z = псгуОтн, где
^отн — среднее значение скорости рассматриваемой молекулы относительно
всех остальных молекул газа. Возьмем одну из таких молекул и назовем
ее условно первой. Если рассматриваемая молекула движется под углом в
к направлению движения первой молекулы, то ее относительная скорость будет

136	Ответы и решения
г?отн = 2i>sin(#/2) (рис. 42). Число молекул, скорости которых образуют с
направлением движения молекулы / углы между в и 6-\-d6, равно — sinOdO,
а искомая средняя относительная скорость
_ _ г q	4 _
vо™ = v sin -	sin в dO = - v.
] 1	6
о
Значит,
4 _	v 3 1
z = -ncrv,	А = - = - —.
о	z 4 па
405. Решение. Рассмотрим совокупность скоро-
скоростей какой-либо фиксированной молекулы газа относи-
относительно неподвижной системы отсчета, которые она по-
получает в результате последовательных столкновений с
другими молекулами газа. Эти скорости будут распреде-
Рис 42	лены по закону Максвелла. Рассмотрим теперь каждую
из тех скоростей относительно молекулы, с которой про-
произошло последнее столкновение. При рассмотрении относительного движения
массу молекулы т надо заменить на приведенную массу ттитгДтти + тг), т. е.
при равенстве ттц и Ш2 — на т/2. Так как при таком рассмотрении последо-
последовательность столкновений, а также действующие силы остаются неизменны-
неизменными, то распределение относительных скоростей после столкновений будет по-
прежнему максвелловским. Однако средние скорости из-за уменьшения массы
увеличатся в л/2 раз. Поэтому в первой формуле D03.1) величину v следует
заменить на л/2 v. Это дает
D05.1)
z л/2 \
Эти формулы были получены Максвеллом.
406.	d = J Х = 2,5 • Ю-8 см.
407.	z = \/2 7rd2vn « 2,2 • 106 с.
408.	z = 4Л/-^ Pd2 - 4 • 10ю с.
1028 с
д _ Р-1/7? Где 7
(процесс политропический).
R/2 (процесс политропический).
= 0, 89 • 10~5 см.
v = лДвЩЩ =3,8- 10ю см/с,
А = 3rj/(nmv) = 0,92 • 10 см,
I/ = шУ/BА) = 5, б • 1028 с • см,
а = 1/(\/2 пА) = 0, 283 • 10~14 см2,
г = л/о/тг = 3 • 10"8 см.

§6. Кинетическая теория вещества	137
417.	\^3D/v = 3D^7r/(8kT) «1,3- 1(Г5см.
418.	Решение. При течении на бесконечно малом участке трубы dx
жидкость можно считать несжимаемой и применить к такому течению формулу
Пуазейля
_ тгрг4 dP
Исключая плотность р с помощью уравнения Клапейрона, получим
7Г/ХГ4	rfP
Так как при стационарном течении величина Q постоянна вдоль всей трубы,
а величина rj зависит только от температуры и при изотермическом течении
остается постоянной, то после интегрирования получим
d=(-™-Y/2 = 3,8-Ю-8 см.
грЗ/2
-L о
42°-rf = ( 0 72^д wr2"/r,)) =2-3-10"8см-
421. >zr ~ Т1//2. Для плоскопараллельного слоя
Т = Tj ¦
для сферического слоя
ггло I Z гтло I Z j-
грЪ/2 _ i2 ~ il ^	- , х
я	Й1 - R2 R	Ri-R2
для цилиндрического слоя
ryiO IZ rriO j Z
422. Р< 1,1 • 10ммрт. ст.
424. Решение. Так как расстояние между стенками мало по сравнению
с их размерами, то при расчете стенки можно считать плоскими. Температуру
одной из стенок можно принять равной температуре окружающего воздуха То,
а другой — температуре жидкого воздуха Т. Молекулы, отражающиеся от
наружной стенки, назовем «горячими», а молекулы, отражающиеся от внут-
внутренней стенки, — «холодными». Обозначим числа таких молекул в 1 см3 через
по и п, а их скорости — через vo и v соответственно. Число молекул, отра-
отражающихся от 1 см2 горячей стенки в одну секунду, равно xUtiqVq = xUnv. Эти
молекулы передают холодной стенке тепло У^о^о • %кТ0; обратно уносится
тепло V4710wo • %&Т. Следовательно,
М = — noVokS(To — Т)т.

138	Ответы и решения
Давление оставшегося газа, если бы он имел температуру То, равно Р =
= (п + щ)кТо. Окончательно нетрудно получить
по г.
425.	Направим ось X вдоль трубы. Тогда N = —SD dn/dx, где S —
площадь поперечного сечения трубы. Так как поток N один и тот же на
протяжении всей трубы, то \dn/dx\ = n/l. Заменив в формуле D = Уз^А
величину Л на 2г, получим D = 2/%vr и далее
,т 2 и q
7V = - -тгуг .
о L
426.	Так как столкновений между молекулами нет, то потоки частиц N\
и N2 в прямом и обратном направлениях совершенно независимы, и полный
поток 7V представится их разностью:
N = Ni-N2 = -тйУг3^^	D26.1)
о	I
(формула Кнудсена).
427.	Газ будет перетекать в сосуд с более высокой температурой:
428.	п = noe-t/T, т = -^= = 5 • 103 с = 83,4 мин.
I ОТ/"/
429.	п = щA- e~t/T), т = -^= = 3 • 104 с = 5 • 102 мин = 8, 33 ч.
л on	П\оТ\ + П20Г2	Т2 ,	ч _ЦТ
430. щ = 	¦	1	¦—(niO-ri2o)e t/T,
Т\ + Т2	Т\ + Т2
—¦— (п2о - пю)е t/T
Tl -\~ T2	7~i —|— T2
111 W{1	W2l
где - =	1	, ti = -—3=,	T2 =
T	Ti	T2	Z7Za6V
432. Решение. При оценке эффекта можно предположить, что одна ше-
шестая молекул воздуха движется направо, а одна шестая — налево. Молекулы,
движущиеся параллельно плоскости диска, можно не принимать во внимание.
Скорости молекул v будем считать одинаковыми. Пусть диск движется рав-
равномерно со скоростью и менее нагретой поверхностью вперед. Число ударов,
испытываемое квадратным сантиметром этой поверхности в одну секунду:
— (v-\-u). Для оценки эффекта можно предположить, что в системе отсчета,
движущейся вместе с диском, молекула отражается со скоростью v2, соот-
соответствующей температуре Т2 поверхности. В неподвижной системе скорость
отразившейся молекулы будет v2 + и, а изменение скорости v2 + и + v. Следо-
Следовательно, давление газа на менее нагретую поверхность

§6. Кинетическая теория вещества
139
Аналогично, давление на более нагретую поверхность
пт , \/ ,	\
Р\ = —г- [V — и)(v\ +v — и).
о
При установившемся движении Р2 = Р\. Из этого условия нетрудно получить
- v2 v v\ - vx I /3RT Тх - Т2
Av + v\ + ^2
:1,4М/С.
434. Решение. Рассмотрим кольцо на вращающемся диске с внутренним
радиусом г и наружным радиусом г + <ir. С площади этого кольца ежесекундно
отражаются xl\nv • 2ттг dr молекул. Каждая из них уносит момент количества
движения mr2uj, который передается неподвижному диску. Полный момент ко-
количества движения, передаваемый в одну секунду неподвижному диску, легко
найти интегрированием. Приравнивая его моменту силы fcp', действующему со
стороны закрученной нити, получим для угла закручивания
Зтгр
8vf
3	Ph
4	rjv
Iе
где ср — значение угла закручивания, соответствующее тому случаю, когда
расстояние между дисками мало по сравнению с длиной свободного пробега
молекулы. (См. предыдущую задачу.)
435. Решение. Пусть в однородной жидкости в отсутствие внешних си-
силовых полей распределены тождественные броуновские частицы с концентра-
концентрацией п(х), меняющейся только в направлении оси X. Вычислим диффузионный
поток Г таких частиц через произвольное сечение, перпендикулярное к оси X.
Возьмем в этом сечении бесконечно малую площадку dS (рис. 43). Выделим
группу броуновских частиц, которые за время т смещаются на один и тот же
вектор Агг. Пусть будет велика не только полная концентрация броуновских
частиц п, но и концентрация их щ(х) в каждой группе.
Число частиц г-й группы dNi, проходящих через пло-
площадку dS за время т, будет равно числу их в косом
цилиндре ABB'А' с основанием АВ и образующей An,
т.е.	А
dNi = m(x)dV.
Линейные размеры площадки dS можно выбрать малы-
малыми по сравнению с Ап. Тогда элемент объема dV можно
представить в виде dV = dS dx и написать
О В
о
(x) dx = dS f щ (х0
где жо — координата центра О площадки dS. Выбрав т, а следовательно, и Axi
достаточно малыми, разложим функцию щ(хо + С) по степеням ? и оборвем
это разложение на линейном члене. Тогда
dS
х=х0

140	Ответы и решения
или после интегрирования
Аргумент хо мы опустили, предполагая, что концентрация щ и ее производная
drii/dx берутся в центре площадки dS.
Избыток dN броуновских частиц, проходящих через площадку dS в по-
положительном направлении оси X, над числом частиц, проходящих в противо-
противоположном направлении, найдется суммированием предыдущего выражения по
всем группам частиц:
tat inv^ л	dS v—\ drii , Л Ч2
dN = dS^mAxi ~ y Z^~cb ^ ^ '
г	г
Среднее значение первой суммы равно нулю. Действительно, концентрации
Пг относятся к центру площадки dS, а смещения броуновских частиц в по-
положительном и отрицательном направлениях равновероятны. Для вычисления
второй суммы заметим, что по определению среднего
ПАХ2 = ^Пг(ДЖгJ.
Величины Axi, как независимые параметры, не зависят от х. Средний квадрат
смещения Ах2 также не может зависеть от х ввиду однородности жидкости
и отсутствия силовых полей. Поэтому дифференцирование предыдущего соот-
соотношения по х дает
——odn v-^ drii , A Ч9
Ax2-- = V-т^ (Axif.
dx ^-^ dx
В результате для среднего значения dN получаем
.-^	iryAx1 dn
dN = -dS—— —.
2 dx
Чтобы найти средний диффузионный поток броуновских частиц Г, надо
эту величину разделить на dS и т. Таким путем получаем
_ Ах2 dn
~ 2т dx'
Отсюда видно, что выравнивание концентраций броуновских частиц можно
рассматривать как процесс диффузии с коэффициентом диффузии
D =~-	D35.1)
По смыслу вывода под (Аж2) следует понимать «среднее по совокупности
частиц». Однако в силу одинаковости последних и отсутствия взаимодействия
между ними это среднее может быть заменено «средним по времени» для одной
частицы.
436. Плотность суммарного потока частиц в положительном направлении
оси X: nBf — Ddn/dx, где / — результирующая силы тяжести и вытал-
выталкивающей силы гидростатического давления, действующая на броуновскую

§6. Кинетическая теория вещества	141
частицу (ось X направлена вертикально вниз). Приравнивая это выражение
нулю и принимая во внимание, что п = щехр{/х/кТ}, получим окончательно
D = ЫВ
(формула Эйнштейна).
К I.
437. А^2 = 2кТВт =
438.	V А2 =\/Ах2 + Ау2 = х/ ?-— « 10 мкм.
439.	N =
440. \Ах = \j-Ax2 =2
441.	vr2 = у х2 + у2 = 2л 	 = 1,3-10 см. Радиус капельки а =
= [Зш/Dтгр)]1//3 « 1, 36 • 10~3 см, т. е. велик по сравнению с длиной свободного
пробега молекулы воздуха (~ 10~5см). Число Рейнольдса Re = rngp/^mrf) «
« 0, 15, т.е. мало по сравнению с единицей. Условия применимости формулы
Стокса выполняются.
442.	Ne =^^1 г.
Е(АхJ
443.	7V = 5,88- 1023.
i?2 R2 R2
444.	т^ — « — « — ^1,4- 1014 с « 4,4 • 106 лет, где v — скорость
космической частицы, близкая к скорости света в вакууме с. (См. решение
задачи 435.)
445.	Звук, длина волны которого порядка средней длины свободного про-
пробега.
446.	Решение. Отклонения на большие углы электрона при его столк-
столкновении с ионом могут происходить, когда кинетическая энергия налетающего
электрона mv2 /2 сравнима с потенциальной энергией взаимодействия этих ча-
частиц Ze2/r при их максимальном сближении (Ze — заряд иона). Приравнивая
эти энергии, находим г, а затем и приближенное выражение для сечения:
Z^ (Z^	D46.1)
При этом мы не учитывали взаимодействий на далеких расстояниях, сопровож-
сопровождающихся отклонениями на малые углы. В результате накопления малых от-
отклонений при таких взаимодействиях импульс электрона может измениться на
конечную величину. В типичных случаях далекие пролеты более существенны,
чем близкие. Однако они не сказываются на виде формулы D46.1), а только на
числовом коэффициенте — в формуле D46.1) появляется числовой множитель
порядка 10-20. Поэтому при грубых оценках, а также при качественном
рассмотрении явлений можно пользоваться выражением D46.1).
447. Для плазмы применимы рассуждения, встречающиеся в элементар-
элементарной теории электропроводности металлов. По формуле Друде Л = —-, где
2mv

142	Ответы и решения
I = I/(па) — средняя длина свободного пробега электрона, v ~ ^/ЗкТ/т —
средняя скорость его теплового движения, п — число электронов в 1 см3.
Подставляя вместо а выражение, полученное в предыдущей задаче, получим
Л^ (kjT_ 2 =6,73- 107Т3/2 с =7,47- 1(Г5Т3/2 Ом-см.
Более точная (но все же приближенная) теория, учитывающая многократ-
многократные рассеяния, дает
Л = 1;55'1QS Т3/2 с = 1>72'10 4 Т3/2 Ом • см,
Lj	Lj
где L — так называемый кулоновский логарифм:
{9- -Ып+-ЫТ при Т< 16- 104К,
2	2
15- ^lnn + lnT при Г^ 16- 104К.
Здесь п — концентрация плазмы, т.е. число электронов в 1см3. В широком
диапазоне температур и концентраций кулоновский логарифм может считаться
величиной постоянной. В этом диапазоне удельная электрическая проводи-
проводимость не зависит от концентрации плазмы и пропорциональна Т3//2.
448.	Г« 1,7- 107 К= 1,5 кэВ.
449.	К плазме применим закон Видемана-Франца, который дает
ez
Теплопроводность плазмы не зависит от ее концентрации и пропорциональна
j-5/2
§7. Реальные газы
450.
451.
Р - а т - 8а V - % ДГкр -
Последнее отношение называется критическим коэффициентом. В действи-
действительности критические коэффициенты для различных газов имеют несколько
разные значения и все они немного больше 8/3.
453.	Тв=27/8Ткр =	р
При решении задачи произведение PV удобнее рассматривать как функцию
плотности газа р и искать условие, при котором производная d(PV)/dp обра-
обращается в нуль при р = 0.
454.	Укр = 3#Гкр/(8Ркр) = 128 см3.

§ 7. Реальные газы
143
455.
Газ
Гелий
Водород
Азот
Кислород
со2
КР,см3
71,1
79,8
117,0
95,4
128
Ркр, атм
2,24
12,6
33,5
49,8
73,3
^кр, К
5,17
12,6
128
155
304
Тв, К
17,5
32,7
433
524
1000
456.	6 = 39,4см3/моль, а = 1,39- 106 атм • см6/моль2.
457.	ркр = тг = ^т^г- ~ 0, 18 г/см3. Опыт дает ркр = 0, 209 г/см3.
458.	Р= ^д « 17 000 атм.
459.	Для уравнения Бертло:
Р2 - U~
Т2 _
кр~
кр 21663' кр 27Я6'
ДТкр _ 8 т	Га
Rb 2л/2
Гкр.
Для уравнения Клаузиуса:
2	Ra
кр
РКрУКр 36 +2с' ^D V Rb 2л/2
Для первого уравнения Дитеричи:
-^кр =
4е262'
= 26,
Л^кр	е-
^Кр" = У	' '
где е — основание натуральных логарифмов.
Для второго уравнения Дитеричи:
_ а	т _ 15а6
кр~ 4D6M/3' кр~ 4i?(r6M/3'
температуры Бойля не существует.
460. 7Т= У2(У~ЬJ
а
~Rb
= 46,
=$=*.*
У-6
461.	а = —j-
1 Ц)[1 — za{v — i
462.	Решение. Для простоты примем, что масса вещества равна еди-
единице. Тогда удельные объемы жидкости и газа изобразятся длинами отрезков
NL и NG, а удельный объем вещества в двухфазном состоянии — длиной
отрезка NM. Если массы жидкости и газа равны соответственно шж и шг,
то Ум = NM = шж • NL + шг • 7VG. Искомое соотношение получится отсюда,
если принять во внимание, что тж + тг = 1.

144	Ответы и решения
463.	При переходе с ветви LAC на прямолинейный участок CL в точ-
точке С происходит необратимый процесс превращения физически однофазного
состояния вещества в двухфазное. К такому процессу равенство Клаузиуса
неприменимо. Надо пользоваться неравенством.
464.	Ср = оо. Достаточно заметить, что в указанной области изобары
совпадают с изотермами.
465.	Решение. В критической точке (dP/dV)T = (d2P/dV2)T = 0. По-
Поэтому первый член разложения Тейлора в окрестности этой точки имеет вид
{У — УкрK+(—-) (Т — Ткр).
Вычислив производные из уравнения Ван-дер-Ваальса и воспользовавшись
известными выражениями критических параметров через а и Ь, получим
Г)	Г)	КР (\Г	\Г \^> \	/ГТ1 П^
2%
KpJ
Вместо объема V введем плотность р = /i/У, где /х — относительная моле-
молекулярная масса. Использовав еще уравнение гидростатики Р — Ркр = —pKpgh,
получим в рассматриваемом приближении
2
Ркр з у	яткр
Высота h отсчитывается от того уровня, где плотность вещества равна кри-
критической, причем положительным считается направление вверх. В частности,
при Т = ТКр
Р - Ркр _ _
Ркр ~ з у яткр
Вдали от критической точки газ можно считать идеальным. В этом случае для
относительного изменения плотности с высотой мы имели бы
5р _
р ~ КГ'
При одинаковых температурах и относительных молекулярных массах эта
2л/б / RT f/з
величина меньше предыдущей в а = —— ( —-) раз. Для воздуха (/х =
/g
= 28, 8, Ткр = 132, 5 К) при высоте h = 1 см а « 8700, (р - ркр)/ркР ~ -1/100.
466.	V = 8РкрУ1М = 2, 8 см3, где Ткр = 374 + 273 = 647 К.
3itTKpp
467.	Все дело в большой сжимаемости вещества в окрестности критиче-
критической точки (см. задачу 465). На расстояниях порядка сантиметра плотность
вещества заметно меняется под действием силы тяжести (гравитационный
эффект). Благодаря этому при достижении критической температуры на опре-
определенной высоте внутри ампулы может установиться критическая плотность
вещества.
468
а / 1 1 \ а	Рг
. q= —dv = а[	« — = УжРг = —.
) V1	\УЖ	VnJ	Уж	р

§7. Реальные газы	145
469.	U = v (СуТ	J, где v — число молей, а постоянные Су и а
отнесены к одному молю.
470.	U = v (СуооТ	J, где CVoo — молярная теплоемкость газа при
постоянном объеме в состоянии бесконечного разрежения, когда газ ведет себя
как идеальный. Недостаток решения в том, что оно не дает доказательства
независимости Су от объема газа.
472. Газ охладится. Его температура и давление будут:
т, = т а (V2-V1J	р, = 2RTАа
р, =
2CV Vi V2(Vi + V2)'	V{ + V2 - 26 (Vi + У2J '
473. T' -T = —^r = -0,0056°C, где i/ = 0,041 - число молей.
Г 1 \ 9RTKVVKV ( 1 1
= 20 л и V2 = 200 л — соответствующие молярные объемы.
4 #
477. Решение. Согласно первому началу термодинамики теплота ис-
испарения одного моля жидкости равна q = Uu — Um + А, где С/п и С/ж —
внутренние энергии пара и жидкости, а А = P(VU — Уж) — работа против
постоянного внешнего давления. Величина Uu — Um найдется из уравнения
^7 L = 1 U^ , - r = 772' которое дает
Таким образом,
478. Ср-Су =	R
- 2a{V - bJl
479.	S = v \R In	h ^ dT + const , где аддитивная постоянная
в квадратных скобках от числа частиц не зависит. Если теплоемкость Су не
зависит от температуры, то
S = v \R In	h Су In T + const .
L	v	J
480.	T(V - b)n~l = const, где n = 1 + ^ Д ^.
Gy — G
483.
AT 6ДТ/(У-6J-2а/У2
АР" 	CP(dP/dV)T	'	D83Л)

146
Ответы и решения
484.
AT _ 2a/{RT) - b
АР ~ ~Cp '
D84.1)
Rb
ЪАР
485.	AT =	> 0, где АР мало, причем АР < 0.
Ср
486.	AT =	, где АР мало и отрицательно.
Rl Gp
487.	Т < Тинв = 34,4 К. При дросселировании гелия под давлением ЗОатм,
когда формула D84.1) неприменима, инверсия наблюдается при 14 К.
488.
Газ
Водород
Воздух
со2
ТИНВ, К
вычислено
220
870
2060
измерено
200
794
2050
AT, К
+0,008
-0,026
-0,75
489.
bRT
2a
{V - 6J
490-T = l
491. AT= -^
CP
V
RT
Ъ-
*)¦
Водород: AT = 16 К, воздух: AT = -41 K, CO2: AT = 160 K.
2a V — b
492.	Гипербола: T = —- ——— (рис. 44 и 45). Асимптоты, изображенные
Rb V
штриховыми прямыми, пересекают ось ординат в точках инверсии дифферен-
дифференциального эффекта Джоуля-Томсона.
493.	Решение. При медленном вытекании состояние вещества в сосуде
может считаться равновесным. А так как сосуд теплоизолирован, то удельная
(а, следовательно, и молярная) энтропия газа в сосуде должна оставаться неиз-
неизменной. При обратимом адиабатическом расширении с совершением внешней
работы газ охлаждается. По достижении некоторой температуры дальнейшее
понижение давления газа сопровождается не только понижением температуры,
но и конденсацией его в жидкость. Этот процесс также является равновесным
и идет без изменения энтропии. Для изменения энтропии моля вещества
при переходе из начального (газообразного) состояния в конечное (жидкое)
состояние можно написать
dT
~Т
AS= Су—+Р—)-^
dV
~т
Подставив сюда
PdV = RdT -VdP = RdT - RT
dP
и учтя соотношение Ср = Су + R, получим
7 — 1 То
То 1П Ро КГх )'

3. Поверхностное натяжение
147
Т
600
400
200
л
—1-
f
Г>0
/
/
——¦—
—	—
Водо]
А Т
род
^ А
< и
^-——
—	-*
0	40	80	120	160	200
Рис. 44
т
30
20
10

—
/
/
-
АГ>0
У
лт
— "'1-
_——	—
———	'
Rb
0	40	80	120	160	200
Рис. 45
Приравнивая AS нулю, находим
§ 8. Поверхностное натяжение
70 дин/см, где m — масса капли.
495. Коромысло весов, на котором подвешен капилляр, опустится.
494. а = —— ~ 70 дин/см, где ?п — масса капли.

148	Ответы и решения
497.	Т ~ д/' ргъi'а . Применить метод размерностей.
498.	/ ~ y/pgh/a.
499.	Решение. Рассмотрим пленку жидкости и проведем с ней беско-
бесконечно малый цикл Карно. Будем откладывать по горизонтальной оси площадь
пленки F, а по вертикальной оси — поверхностное натяжение а (рис. 46).
При постоянной температуре поверхностное на-
тяжение также постоянно. Поэтому на нашей
диаграмме изотермы изобразятся горизонтальны-
горизонтальными прямыми. Начальное состояние пленки харак-
4	 	3	теризуется точкой /. Приведем пленку в тепло-
/'	~J	вой контакт с нагревателем, температура кото-
^	/	рого равна температуре пленки в состоянии /.
1	2	Затем квазистатически растянем пленку до со-
состояния 2. На это надо затратить работу. Ра-
р бота самой пленки отрицательна и равна А\ =
	> = —cr(T\)AF, где AF — приращение площади
пленки при растяжении по изотерме 12. При
Рис- 46	изотермическом растяжении к пленке надо под-
подводить тепло. Величина подведенного тепла Q\ =
= qAF. В состоянии 2 изолируем пленку от нагревателя и адиабатически
бесконечно мало растянем ее до состояния 3, в котором пленка примет темпе-
температуру холодильника Т%. Предполагается, что температуры Т\ и Т^ отличаются
друг от друга бесконечно мало. В состоянии 3 приведем пленку в тепловой
контакт с холодильником и изотермически переведем ее в состояние 4. По-
Поверхность пленки уменьшится на AF, и она совершит положительную работу
A<i = a(T2)AF. Из состояния 4 вернем пленку в исходное состояние /. Работой
пленки на адиабатах 23 и 41 можно пренебречь, как величиной более высокого
порядка малости. Полная работа, совершенная пленкой во время кругового
процесса, равна
А = А, + А2 = [<т(Т2) - а(Ъ)} AF =%{T2- TX)AF
По теореме Карно
^4_ = Ti-T2
Qi	Ti '
Подставляя сюда найденные выше выражения для А и Q\, после сокращения
получим
500.	Решение. По первому началу термодинамики 6Q = dU — adF,
где F — площадь поверхности пленки. Если процесс — изотермический, то
согласно D99.1) SQ = qdF = —T(da/dT) dF. Таким образом, при изотермиче-
изотермическом увеличении поверхности пленки dU = (а — Tda/dT)dF. За параметры,
определяющие состояние пленки, можно принять площадь F и температуру Т.
Энергия, приходящаяся на единицу поверхности пленки, от величины F не
зависит. Поэтому
U = (a-Tda/dT)F.
501.	dT = ——^dF, где cf — теплоемкость единицы поверхности пленки
при постоянном значении F, a q определяется формулой D99.1). При адиаба-
адиабатическом расширении пленка охлаждается.

§ 8. Поверхностное натяжение	149
502. Считая cf = cvh (cv — удельная теплоемкость воды), получим
Коэффициент «2» учитывает то обстоятельство, что пленка — двухсторонняя.
504. Решение. Подставим в формулу D99.1) q = TAS, где AS —
приращение энтропии пленки при увеличении ее поверхности на единицу.
Получим
%
Согласно теореме Нернста при абсолютном нуле температуры все процессы
идут без изменения энтропии, т. е. AS = 0. Отсюда следует, что при абсолют-
абсолютном нуле температур производная da/dT обращается в нуль.
505.	P = 4a/d^ 196 Н/см2.
506.	Р = 8а/d « 400 дин/см2 « 0, 29 мм рт. ст.
507.	h « 2a/(pga) = 35 см.
508.	М « ttctD2/(gd) « 900 г. Масса наливаемой жидкости от ее плотно-
плотности не зависит.
511.	г= — « -^— «1,5- Ю-3 см.
арт\ bpgh
512.	Решение. Величина d^ находится из уравнения
где Ро — атмосферное давление. Так как Aa/d\ «Ри тем более Aa/d^ <C
<С Ро, то в нулевом приближении эти члены можно отбросить (т. е. пренебречь
поверхностным натяжением). Это дает <i2 = 5,3 • 10~3см. Найденное значение
можно уточнить по методу последовательных приближений. В первом прибли-
приближении с?2 = 5, 23 • 10~3 см.
513.	АТ>4аТ/(Рг).
514.	Р = 8Р0 + 24сг/г.
515.	С - СР = — = - R • Ю-4 = 1, 33 • Ю-4 кал/(моль • К).
ЗРг 3
о 3
516. Время t связано с радиусом пузыря соотношением
Пузырь исчезнет через
t= ^4^ = 7,2- 103 с = 2 ч.
630 с = 10,5 мин, где R — универсальная
газовая постоянная. (Ср. с ответом предыдущей задачи.)
518. R2-R\= pgd3/(Aa) « 0, 28 мм.

150	Ответы и решения
519. Решение. Давление внутри пузыря Р = Рнар + Aa/r. Дифференци-
Дифференцируя при постоянном наружном давлении Рнар и полагая г = го, сг = сто, получим
По известной формуле tier =	dT. Исключая da, получим
Рг Р0г0
Так как масса газа внутри пузыря постоянна, то 	= —-; отсюда
Т	То
dP_ Mr dT _
Pq r0 То
Исключая отсюда и из предыдущего соотношения величину dP, получим
окончательно
/ dr \	_ го 4<?о + гоРо
\~с(т)т=т0 ~ То Зг0Р0 - 4(т0 '
520. a = ^^ « 80 дин/см.
hlh2	\
pgd\d2
522. А(Ы - h2) = 4А*№-<*') « 24,2 мм.
523. /i —
где Р — атмосферное давление.
Гг»/1 L	2G COS #
524.	/г = —	= Зсм.
dpg
_Л_ 7	GCOS0	1	2G COS # 1
525.	/г = 	-;—— - «	.
pg"sin(ay2) х	pg"CK x
526.	Решение. Капля примет форму диска с вогнутой периферийной
поверхностью. Кривизной сечения этой поверхности плоскостью, параллельной
пластинкам, можно пренебречь. Радиус кривизны нормального к нему сечения
г = d/2. Средняя кривизна боковой поверхности диска
Я[ + ~R2 = d'
Давление жидкости между дисками меньше атмосферного на АР = 2а/d.
Площадь диска S = m/(pd), где р — плотность жидкости. Пластинки будут
прижиматься друг к другу с силой
F = SAP= ^ = 1,46- 109 дин= 1,46- 104 Н.
pd2
527. F = 2Gpcos0 тг2^4 = 630 Н, где m - масса ртути.

3. Поверхностное натяжение
151
528. F =
2a2lcos26
pgd2
10 Н.
529. Решение. В случае смачивания жидкость между пластинками под-
поднимается (рис. 47, а). Давление в поднявшейся части жидкости становится
меньше давления окружающей атмосферы. Атмосферное давление стремится
прижать пластинки друг к другу. В случае несмачивания (рис. 47, б) давление
жидкости снаружи пластинок больше давления воздуха между ними. Появля-
Появляется разность давлений, стремящаяся сблизить пластинки.
Рис. 47
Рассмотрим теперь случай, когда левая пластинка смачивается жидкостью,
а правая не смачивается (рис. 47, в). Если пластинки расположены достаточно
близко друг к другу, то поверхность жидкости между ними ни в одной точке
не становится горизонтальной. Она имеет точку перегиба где-то между пла-
пластинками. Вследствие этого жидкость между пластинками поднимется ниже у
левой пластинки и опустится меньше у правой пластинки, чем наружная жид-
жидкость. С этим обстоятельством и связано в рассматриваемом случае появление
отталкивания между пластинками. Давление жидкости между пластинками
в точке А равно давлению наружной жидкости Рз на той же высоте. Давление
воздуха Ръ больше Pi, так как поверхность жидкости у левой пластинки
обращена к воздуху вогнутой стороной. Давление Рз убывает с высотой, тогда
как Р2 остается практически постоянным. Поэтому разность давлений Р^ —
— Рз стремится переместить левую пластинку влево. В точке В давление
жидкости Р\ больше Р%, так как поверхность жидкости в этой точке обращена
к воздуху выпуклой стороной. Тем более это справедливо для давления ниже
этой точки. В результате разность давлений Р\ — Р^ будет перемещать правую
пластинку вправо. Действием рассмотренных сил объясняется концентрация
в кучи пузырьков воздуха, листьев, мелких щепок и прочих смачиваемых тел,
плавающих на поверхности воды в стоячих водоемах.
530. Решение. Примем за ось X прямую, перпендикулярную к длинной
стороне пластинки и лежащую на горизонтальной поверхности жидкости, а за
ось Y — вертикальную прямую, касающуюся правой цилиндрической поверх-
поверхности жидкости. Пусть х и у означают текущие координаты точки, лежащей
на искомой поверхности. Давление внутри жидкости на уровне точки А (см.
рис. 30) равно Р = Ро — pgy, где Pq — атмосферное давление. То же давление
можно выразить по формуле Лапласа Р = Ро — сгК, где К — абсолютное
значение кривизны поверхности жидкости в точке А. Следовательно,
pgy =
E30.1)

152	Ответы и решения
По определению кривизна К = —dcp/ds, где ds — элемент длины дуги. Элемент
дуги ds считается положительным, когда он проходит в направлении снизу
вверх. Он связан с dx и dy соотношениями: dx = ds cos ср, dy = ds sin ср. Таким
образом,
Tr	dip	dip .
К =	coscp =	sine?.
dx	dy
Подставляя эти выражения в E30.1), получим два уравнения:
PgU dy + о sin cp dcp = 0,	E30.2)
pgydx + a cos cp dcp = 0.	E30.3)
Интегрируя E30.2) с использованием начального условия ср = тг при у = О,
получим
^ |	E30.4)
Подстановка этого выражения в E30.3) приводит к уравнению
/ сг	ср	\ I a dcp
\j pg	2	2 у pg- cos((^/2)
интегрирование которого с использованием начального условия х = 0 при (/? =
= тг/2 дает
о / а ( 1 • ^ , / а 1	l+sin((^/2)	/СолС\
х = 2л — —=¦ — sin — ) + > / — In	 /.	.	E30.5)
\/ pg \V2	2J \/ pg [\-sm(<p/2)](y/2 + 1)	V	У
Формулы E30.4) и E30.5) выражают уравнение искомой поверхности в пара-
параметрической форме.
531. Решение. Минимальная толщина столба жидкости D = MN при
максимально возможной высоте поднятия h (рис. 30) определится из требова-
требования ср = 0 при у = h. Подставляя в формулу E30.5) х = (а — D)/2, ip = 0,
получим
/^2 -ln(\/2 + 1)] = а- 1,0ббА/^.	E31.1)
У Рё
Если а < 1,066д/сг/(pg), то минимальное значение D равно нулю. В этом
случае предельное значение угла ср = 0 не достигается.
Пусть a > 1,066д/сг/(/)?¦). Тогда максимально возможная высота поднятия
определится из формулы E30.2), если положить ср = 0:
h = 2.1—.	E31.2)
У pg
Разность атмосферного и гидростатического давлений на пластинку направле-
направлена вниз и равна pgh. Поэтому
F = q + pgha= I + 2a^/pga.	E31.3)
Рассмотрим теперь второй случай: а < 1,066д/a /(pg). В этом случае
h = 2*P^ cos|,	E31.4)

3. Поверхностное натяжение
153
где ср определяется из трансцендентного уравнения
a	I a ( 1	. ср\	I a	1
- = 2J — —= — sin — + , / — In
2 У Pg \у/2	2) У pg [I —si
+ sin(>/2)
E31.5)
При нахождении F необходимо учесть, что в рассматриваемом случае пла-
пластинку тянет вниз дополнительная сила поверхностного натяжения 2crsin(/?.
С учетом этой силы
F = q + 2ay/pga cos — + 2а sin ср.
E31.6)
Если а <С y/c/(pg), то вторым членом в этой формуле можно пренебречь.
Пренебрегая также в E31.5) членом а/2, находим ср = тг/2. Таким образом,
при а < \/cr/(pg)
Y
h= —
У '
532. Решение. Примем за ось Y
вертикальную прямую, касающуюся бо-
боковой поверхности жидкости, а за ось
X — горизонтальную прямую, перпен-
перпендикулярную к длине пластинки и каса-
касающуюся поверхности жидкости в беско-	Рис 48
нечности (рис. 48). Уравнения боковой поверхности жидкости будут:
X
-cos-
'— In
pg-
2 +1)'
sin-.
2
E32.1)
E32.2)
Минимальное расстояние D = MN при максимально возможной глубине по-
погружения пластинки |^/|макс определится из требования ср = тг, которое дает
D = a- 2A[^ [V2 - 1п(\/2 + 1)] = а - 1,066. Г?-.	E32.2)
V р^	V pg
Если а < 1,066д/^сг/(pg"), то D = 0, и предельное значение угла <р = тг не
достигается.
Рассмотрим сначала случай а > 1,066y/cr/(pgr). В этом случае максималь-
максимальная глубина погружения верхнего основания пластинки определится из E32.2),
если положить ср = тг. Она равна |г/|макс = 2y^a/(pg). При этом на основание
пластинки будет действовать направленная вверх разность давлений pg(h +
+ Ымакс), которая должна быть уравновешена весом пластинки. Максимальная
толщина пластинки, при которой она еще не утонет, определится из условия
Pg(h + 12/1 макс) = Pog\ которое дает
h =
Ро - Р
E32.4)

154
Ответы и решения
Теперь рассмотрим случай а < 1,066д/a/(pg). В этом случае
акс = 2,
sin-,
где (/? определяется из уравнения
( ^	^ 4-
In
+ 1)
Для максимальной толщины пластинки получаем
Ро- Р
- р)'
E32.5)
E32.6)
E32.7)
Если а <С \/&/{pg), то первым членом справа можно пренебречь. При этом,
как видно из E32.6), ip = тг/2, и мы находим
2G
или 2сг = gah(po — р),
E32.8)
т. е. вес пластинки уравновешивается поверхностным натяжением и архимедо-
архимедовой подъемной силой.
533. Пренебрегая кривизной окружности, ограничивающей пластинку, по-
получим
2
F ^ 2ттг2
1,1 Н.
534. h= л/—A -si
535. h = 2,
sin - = 3, 6 мм.
536. Решение. В точке А (рис. 49) поверхности жидкости и иголки
тангенциально расходятся. На единицу длины иголки вверх действует сила
Рис. 49
поверхностного натяжения F\ = 2crsin#. Кроме того, на нее действует сила
гидростатического давления, также направленная вверх. Если бы часть АСВ
иголки была заменена жидкостью, то сила гидростатического давления была
бы равна F<i = pgh • АВ = 2pghrsinO, где г — радиус иголки, ар — плотность
жидкости. Благодаря тому, что часть АСВ погружена в жидкость, на иголку
дополнительно действует сила гидростатического давления F$, равная весу

3. Поверхностное натяжение
155
воды, вытесненной частью АС В, т.е. F^ = pgr2 @ — sin 0 cos 0). Сумма трех
сил F\, F2 и F$ должна равняться весу единицы длины иголки. Это дает
2сг sin 0 + 2pghr sin 0 + pgr @ — sin # cos в) = pogirr .
Между углом в и высотой h существует соотношение h = 2^/a/(pg) sin(#/2)
(см. решение задачи 535), и предыдущее уравнение принимает вид
— Р\0 — - sin 20 j r2 — ArJ— sin в sin '
V	Z	/ J	\/ P"
2cr sin 6>
= 0.
E36.1)
Для D и Н получаем
-^[\/2- ln(\/2 + 1)], E36.2)
E36.3)
V ps z
После подстановки числовых значений:
[24,5- (в- -sin2^1r2- l,O91rsin(9sin- - 0,1488 sin 0 = 0, E36.4)
= 2rsm6+ 1,091 cos ^ + 1,256 lg10tg^ -0,291.
E36.5)
(Предполагается, что здесь длины выражаются в сантиметрах.) Придавая в
различные значения, получим следующую таблицу:
в, град
0
10
20
30
40
50
60
70
г, мм
0
0,328
0,471
0,583
0,680
0,763
0,840
0,903
Н, мм
0
0,481
0,975
1,49
2,03
2,58
3,15
3,72
D, мм

—
—
—
—
—
_
-
в, град
80
90
100
ПО
120
130
139
139,5
г, мм
0,955
0,990
1,005
1,001
0,977
0,922
0,846
0,842
Н, мм
4,29
4,85
5,35
5,82
6,20
6,45
6,59
6,60
D, мм

1,98
1,91
1,68
1,24
0,65
0,04
0,00
Наибольший радиус г получается при в ~ 100° и равен приблизительно
1мм. Если г > 0,842 мм, то существуют два положения равновесия иголки:
одно при в < 100°, другое при в > 100°. Если же г < 0, 842 мм, то существует
только одно положение равновесия с в < 60°, так как в этом случае при в > 60°
формула E36.5) дает для D отрицательное значение. Наибольшая глубина
погружения Н получается при г ~ 0,842 мм и равна приблизительно 6,60 мм.
537. Решение. Ввиду симметрии пленка является поверхностью враще-
вращения вокруг прямой, на которой лежат центры колец. Пересечем поверхность
пленки произвольной плоскостью, проходящей через эту ось, и примем ее
за координатную плоскость XY (рис. 50). Так как давления по обе стороны
пленки одинаковы, то ее полная кривизна	1	должна равняться нулю.
R\ R2
Радиус кривизны R\ нормального сечения пленки, лежащего в плоскости XY,

156
Ответы и решения
определяется формулой
1
У"
(величина отрицательная). Радиус
()
кривизны R% перпендикулярного к нему нормального сечения легко определить
с помощью известной из дифференциальной геометрии теоремы Менье, соглас-
согласно которой у = R2 cos а, где а — угол между плоскостью нормального сечения
и координатной плоскостью YZ. Под-
Подстав ляя_зна_чение cos а, получим R% =
= ул/l + у'2 (величина положительная).
Таким образом, дифференциальное урав-
уравнение, определяющее форму осевого се-
сечения пленки, принимает вид
У"
- - = 0.
E37.1)
Введем подстановку у' = sh#. Тогда
1 + у12 = ch2 0, у =
Дифферен-
dO/dx'
цируя последнее соотношение и прини-
рис 50	мая во внимание, что у' = sh#, находим
d2e/dx2 = 0, откуда в = ах + 6, где а
и 6 — постоянные. Они определятся из граничных условий: у = R при х = ±h.
Очевидно, 6 = 0, так как ввиду симметрии у должна быть четной функцией
от х. Окончательно:
1	1
а	2а
где постоянная а определяется уравнением
aR = ch(ah).
E37.2)
E37.3)
Поверхность пленки получается вращением кривой E37.2) вокруг оси X.
Она называется катеноидом. Уравнение E37.3) легче всего исследовать и
решать графически. Применяя этот метод, нетрудно доказать, что оно имеет
решение только при условии R/h > 1,51. Значит, чтобы между кольцами
могла образоваться пленка, необходимо, чтобы расстояние между ними 2/г не
превышало B/1,51)#= 1,33#.
538.	Радиус цилиндрической пленки г вдвое меньше радиуса сферических
частей пленки R.
539.	Решение. Форма боковой поверхности пленки определится из тре-
требования, чтобы полная кривизна ее	1	оставалась постоянной. (В от-
R\ R2
личие от задачи 537 эта постоянная, вообще говоря, отлична от нуля.) Это
приводит к дифференциальному уравнению
1
У"
= const = 2К.
E39.1)
(Обозначения те же, что и в задаче 537.) Вводя снова подстановку у = shO,
получим
-г- (-г-^у) =2КУ>	E39.2)
dy Vent/ /

§ 8. Поверхностное натяжение	157
откуда
-^-=Ку+-,	E39.3)
где А — постоянная интегрирования. Определив отсюда sh0 с помощью фор-
формулы sh2 0 = ch2 0 — 1 и вспомнив обозначение у = sh 0, найдем
Kti2 + А
У ==dy + B,	E39.4)
где В — вторая постоянная интегрирования. Постоянные интегрирования А и
В определяются из граничных условий: у = R при х = ±h. Формула E39.4)
совместно с этими граничными условиями и решает задачу.
Если А = 0, то интегрирование в E39.4) выполняется элементарно и дает
где а — постоянная интегрирования. При а = 0 получается окружность радиуса
R = \/К с центром в начале координат. Это решение соответствует случаю,
когда радиус колец обращается в нуль. При а = \/К получается окружность
с центром в х = 1/К, а при а = —\/К — с центром в х = —\/К. Обе окруж-
окружности имеют один и тот же радиус R = 1/Х и касаются друг друга в начале
координат. Эти решения соответствуют также случаю, когда расстояние между
кольцами равно удвоенному радиусу кольца.
540. Решение. В уравнении E39.1) пренебрежем квадратом первой
производной у'. Тогда для кривизны боковой поверхности пленки 2К получим
Положим у = r + rj, где rj <С г. Пренебрегая квадратом rj, можем написать - =
1 ту	У
=	«; тогда
Г	Г	1	77
2К= --г]" -4-	E40.1)
г	Г2
Поскольку кривизна 2К постоянна, интегрирование этого уравнения дает
7? = A cos - + В sin - + С,
г	г
где А и В — постоянные интегрирования, а постоянная С равна г = 2Кг2.
Постоянная В равна нулю, так как функция г](х) должна быть четной. При
х = ±/г должно быть 77 = 0, т. е. A cos —Ь С = 0. Следовательно,
г
л ( х	h
77 = А[ COS	COS —
V г	г
Таким образом, образующая цилиндра принимает форму синусоиды. Для кри-
кривизны боковой поверхности из E40.1) получаем
П7^ 1 A h
2К = - + — cos-.
г г1	г
При увеличении давления внутри пузыря кривизна 2К должна увеличиваться.
Если h/r < тг/2, т. е. длина пузыря 2h меньше тгг, то cos(h/r) > 0. Поэтому

158	Ответы и решения
постоянная А должна быть положительной. Значит, при увеличении давления
внутри пузыря его боковая поверхность будет выпучиваться. Если же h/r >
> тг/2, т. е. длина пузыря 2h больше тгг, то cos(/i/r) < 0. В этом случае
постоянная отрицательна, и при увеличении давления боковая поверхность
пузыря будет вдавливаться.
§ 9. Фазовые превращения. Растворы
541.	Решение. Так как при нагревании объем системы не меняется,
то работа не совершается. Поэтому искомое количество тепла будет равно
приращению внутренней энергии системы и, следовательно, не будет зависеть
от способа перехода системы из начального состояния в конечное. Осуществим
этот переход в два этапа.
1.	Нагреем воду от 0 до 100 °С так, чтобы испарения не было. Для этого
потребуется подвести тепло Q\ = 18 • 100 = 1800 кал/моль.
2.	Испарим воду при постоянной температуре t = 100 °С. Для этого по-
потребуется подвести тепло Q^ = Uu — 11Ж, где Un и 11Ж — внутренние энергии
моля водяного пара и воды при температуре 100°С и атмосферном давлении.
Для определения Un — 11Ж воспользуемся первым началом термодинамики q =
= Un — 11Ж + А, где q — теплота испарения, отнесенная к одному молю (q =
= 539 • 18 = 9710кал/моль), а А — работа против постоянного внешнего
давления (А = PVU = ВТ = 1,98 • 373 = 739кал/моль). Таким образом,
Q2 = Un — Um = q — А = 8970 кал/моль,
Q = Q\ + Q2 = 1800 + 8970 = 10 770 кал/моль.
542.	А = iiq(T\ — T2VT2 = 13, 8 кДж, где /л — относительная молекулярная
масса воды.
543.	to = U -\	х ^——— = —5, 5 °С, где /х — относительная молекуляр-
>с у zttKI 1
ная масса воды.
544.	а = 7т = оо, Ср = ±оо.
545.	Решение. Пусть точка А на диаграмме Р, v (рис. 51) изображает
состояние одного грамма жидкости при температуре Т и давлении Р, равном
давлению ее насыщенного пара при этой тем-
температуре. Будем сообщать системе тепло таким
образом, чтобы давление и температура оста-
оставались постоянными. Тогда жидкость будет ис-
паряться и притом так, что в любой момент
времени над ней будет находиться насыщенный
пар. Пусть В изображает состояние, в котором
вся жидкость перешла в пар. Тогда теплота, по-
полученная системой на изотерме АВ, будет рав-
рис 51	на теплоте испарения q. Адиабатически пони-
понизим температуру пара на бесконечно малую ве-
величину dT (точка С), а затем по изотерме CD и адиабате DA вернем систему
в начальное состояние. Работа, совершенная системой, равна площади парал-
параллелограмма ABCD. Выразив ее через vn, уж и dT и применив теорему Карно,
кР
А
У
Т
T-dT
В
\
V

§9. Фазовые превращения. Растворы	159
нетрудно получить:
? = п^	E45Л)
(формула Клапейрона-Клаузиуса).
546.	AT/АР = Т(уж - vn)/q = -0,0075 К/атм. Дьюар опытным путем
определил эту величину, равной —0,0072 К/атм. Температуру тройной точки
можно приближенно определить, приняв давление равновесного пара в тройной
точке равным нулю. Таким путем получаем, что тройная точка воды лежит
выше точки плавления на 0,0075 К.
547.	AT = - AvAP = 0,056 К.
548.	Р^ (Ц——-ИРо = 1,035 атм, где q — удельная теплота парообра-
парообразования, v = 1/18 — число молей в 1 г воды, Ро — атмосферное давление.
549.	Am « ^г (^- - \) AT « 0,075 г, где V « 4 л - объем пара, Р -
HI z V HI /
его давление, it — универсальная газовая постоянная.
550.	Решение. Удельная теплота возгонки q = q\ + q^ = 676кал/г. Под-
Подставляя ее в уравнение Клапейрона-Клаузиуса
dP	q	q
dT ~ T(vn - vT) ~ Tvn
и определив удельный объем водяного пара из уравнения Pvn = - RT, легко
найти, что при AT = — 1 К АР = —0,38 мм рт. ст., а давление насыщенного
пара над льдом при t = — 1 °С равно P_i°c — 4,20мм рт. ст.
-С1	RT2 (dP\	1П0 /TZ
551.	qmn = —- ( —- ) - qnjl « 103 кал/К.
llP \dT /возг
АР
552.	q « ^-г— АУ = 44 кал/г (опыт дает q = 46,4 кал/г).
rro	i?T2 / I dP\ ггл ,
553.	9 = — (-—] =50кал/г.
554.	AT « — (vB - ^л) = -0, 72 °С, Am/m = сл AT/q = 0,0054.
555.	Из теоремы Нернста следует, что q = 0. Дальнейшее вытекает из
уравнения E45.1).
557. Решение. При определении поверхностного натяжения надо иметь
в виду, что жидкость находится в равновесии с ее насыщенным паром. Строго
говоря, следовало бы говорить не о «поверхностном натяжении жидкости», а о
поверхностном натяжении на границе раздела двух находящихся в равновесии
фаз: жидкой и газообразной. При критической же температуре вещество не
может находиться в двух фазах, а только в одной. Формально можно сказать,
что обе фазы делаются одинаковыми. Поэтому не может быть границы раздела
между ними, и поверхностное натяжение должно обращаться в нуль.
558.	р = роехр|^^_^|,	E58.1)
где \i — относительная молекулярная масса жидкости, а Ро — давление
насыщенного пара при температуре То.
559.	Р = AT~^a/Rexp \ —-^= \, где R — газовая постоянная, /х — относи-
l HI )
тельная молекулярная масса.

160	Ответы и решения
Значение постоянной А можно найти, зная температуру кипения жидкости
при каком-либо давлении.
560.	Т-То^То/( 1 - — In2) -То ^26 °С.
/V	fiq	)
561.	vu = уж + I ^ « 1700см3/г.
562.	Решение. Для приближенной оценки в уравнении
заменим производную dP/dT отношением конечных приращений. Получим
T2-Ti _ КГ?
Р2-Р1 ~ vqPiJ
где Р\ и Р2 — давления насыщенного пара при температурах Т\ wT^. Давление
пара в воздухе при температуре Т\ и относительной влажности / будет fP\,
а потому Р2 = — fP\. Подставляя эти значения в предыдущее соотношение,
найдем
T2-Ti= f_~flRT{ RT? = -3,3 К.	E61.1)
Для нахождения более точного решения из формулы E58.1) получаем
/Т2	fig (	.
11
Подставляя числовые значения и переходя к десятичным логарифмам, преоб-
преобразуем это уравнение к виду
Т2-Тх = 0, 124T2lg^.	E61.2)
Для решения уравнения E61.2) применяем метод последовательных при-
приближений. В нулевом приближении полагаем Т2 = Т\. Пользуясь этим, находим
первое приближение:
T2-Ti= 0, 124Ti lg / = -3, 52 К.
Вычислив отсюда Т2 и подставив в правую часть уравнения E61.2), найдем
второе приближение:
T2-Ti = -3,66705 К.
Поступая так дальше, получим третье приближение:
Т2-Тх = -3,67313 К,
четвертое приближение:
Т2-Тх = -3, 67360 К.
С точностью до трех значащих цифр
Т2-Тх = -3,67 К.

§9. Фазовые превращения. Растворы	161
Таким образом, замена производной dP/dT отношением конечных приращений
приводит к ошибке ~ 10%.
563. Решение. Обозначим через ^з теплоту плавления, через q\2 —
теплоту испарения, через q\$ — теплоту возгонки. Пренебрегая разностью
значений q23, Я\з и Q\2 в тройной точке и в точке (? = 0°С, Р = 1 атм), можем
написать g23 = qn — q\2 и далее
где То = 273 К, Т\ = 263 К, Т2 = 283 К, Ро, Р\з, Р\2 ~ давления насыщенных
паров при этих температурах, AT = То — Т\ = Т2 — Т\.
564.	Т = [	In (Н	—)] = 404 К, где То — температура кипе-
LT0 fiq V PorJ]
ния при нормальном атмосферном давлении Ро.
565. 	~ 10	 « 14%, где с — удельная теплоемкость воды, Т\ и
m	q
Тю — температуры кипения воды при давлениях 1 и 10 атм соответственно.
566.	Решение. Первое начало термодинамики для единицы массы пара
можно записать в виде 5Q = diu — vu dP, где iu — удельная энтальпия, аип-
удельный объем пара. Мы применяем это уравнение к процессу, в котором Р
не остается постоянным. Однако если пар считать идеальным газом, то его
энтальпия будет зависеть только от температуры. Тогда для любого квазиста-
квазистатического процесса diu/dT = dp. Поэтому для искомой удельной теплоемкости
насыщенного пара получаем с = сР — vu dP/dT. Поскольку нагревание про-
производится так, что пар все время остается насыщенным, производная dP/dT
определяется уравнением Клапейрона-Клаузиуса, которое дает
с = сР--.	E66.1)
Согласно классической теории молярная теплоемкость водяного пара при
постоянном давлении равна СР = 8кал/(моль • К), а удельная теплоемкость
сР = 8/18 = 0,444 кал/(г • К). Используя это значение, а также значение для q,
получаем с = — 1 кал/(г • К).
567.	Решение. Рассуждая как при решении предыдущей задачи, нахо-
находим
_ din q
dT T
Для вычисления производной din/dT пользуемся формулой
q = и - иж + P(vn - vm) = in - гж.
Поскольку это соотношение написано для процесса, в котором пар все время
остается насыщенным, величины, входящие в него, могут зависеть только от
температуры. Дифференцируя его по температуре, находим
din _ dq dim
dT dT dT
Для жидкости dim = cP dT + vm dP, причем последним слагаемым можно
пренебречь. В этом приближении dim/dT = cP, а потому
din _ ж , dq
б Под ред. Д. В. Сивухина

162	Ответы и решения
Подставляя эту величину в выражение для с, получим
с = *-± + §.	E67.1)
Для воды при Т = 373 К эта формула дает с = —1,07 кал/(г • К), что отличается
от ранее полученного значения на 7%.
568.	При адиабатическом сжатии водяной пар становится насыщенным,
при адиабатическом расширении — пересыщенным. (Получение пересыщенно-
пересыщенного водяного пара путем адиабатического расширения используется в камере
Вильсона.)
569.	Решение. Квазистатически и изотермически испарим жидкость при
температуре Т\. Изменение энтропии в этом процессе
Ai?= Jr (m2 -mi).
Затем будем квазистатически менять температуру пара и притом так, чтобы
он все время оставался насыщенным. Элементарное количество тепла, которое
требуется подводить к пару в этом процессе,
5Q = m2cdT = m2 (сР - |Л dT.
Так как dS = SQ/T, то интегрируя и пренебрегая при этом зависимостью q от
Т, найдем для соответствующего изменения энтропии
571. t=-p	рР° ~ Pl	=0,0075°С,
П2 г\д
t2 - U T{vx - v2)
Р = P2~Pl t + Pi = 4,582 мм рт. ст.
h - U
572. Решение. Для наклона кривых равновесия в тройной точке
(рис. 52) имеем
<?23	_ ^23	dPu _	<?13	_ 0\3
dT Т(^3 - v2) Tvo,J dT
Так как q\$ = qX2 + q2s, то q\s > q2%. Следовательно, кривая возгонки идет круче
кривой испарения. В окрестности тройной точки кривые равновесия можно
заменить касательными к ним. В этом приближении
откуда
Рх - Р2 = — t = 0,00033 мм рт. ст.
Т vo,
573. t= 100,59°С.

§ 9. Фазовые превращения. Растворы
163
574.
Рис. 52
-аК,
E74.1)
где Ро — давление насыщенного пара над плоской, а Р — над искривленными
поверхностями жидкости, уж и vn — удельные объемы жидкости и пара, К —
средняя кривизна поверхности жидкости, а — поверхностное натяжение. Кри-
Кривизна считается положительной для выпуклой и отрицательной для вогнутой
поверхности.
2) In ^ = ^ (Ро - Р - стК),	E74.2)
где ц — относительная молекулярная масса жидкости. Если \Р — Ро| <С Ро,
то формула E74.2) переходит в более простую формулу E74.1). В другом
предельном случае, когда соблюдаются условия \сгК\ > \Р — Ро|, /луж\Р —
— Ро| <С RT, формула E74.2) упрощается и принимает вид
Р =
E74.3)
575.
= 252 дин/см2 = 0,19 мм рт. ст.
Р0^^
г vn r RT
2) По формуле E74.3) P/Pq = 2, 9. При столь малых размерах капли на
формулу E74.3) следует смотреть как на оценочную.
576. Решение. Стационарный поток пара через любую сферическую
поверхность радиуса г, концентрическую относительно поверхности капли,
равен
2 dp
q = —D • 4тгг — = const,
dr
откуда
Р =
AnDr ' гс~'
Величину q можно найти из условия, что на поверхности капли (г = а) пар
должен быть насыщенным. Это дает
q = 4тг?>а(рн - Рос) = ^Da-g- (Рн -
1

164	Ответы и решения
где \i — относительная молекулярная масса пара, Рн — давление насыщенного
пара при температуре капли жидкости, Р^ — парциальное давление паров
жидкости вдали от капли. Подставляя значение q в предыдущую формулу,
получим
Р = - (Рн - Роо) + Poo-	E76.1)
577. Решение. Уравнение стационарной диффузии пара и соответствую-
соответствующие ему граничные условия имеют вид
(	_
I рн на поверхности капли.
Поток пара через любую замкнутую поверхность, окружающую каплю, не
зависит от положения и формы поверхности. Взяв в качестве этой поверхности
поверхность S самой капли, можем написать для стационарного потока
где др/дп — производная р в направлении внешней нормали п к поверхно-
поверхности S.
Указанную задачу сопоставим с электростатической задачей о поле за-
заряженного проводника с поверхностью S. Оно определяется потенциалом ср,
удовлетворяющим условиям
д	n	j ^оо При Г = ОО,
I (ps на поверхности Ь
При этом заряд проводника Q равен
где С — электроемкость капли.
Обе задачи математически тождественны и имеют единственные решения.
Поэтому q = A7TCD(pu — poo)-
В частном случае сферы С = а, и мы получаем решение предыдущей
задачи.
578 — — рж — — RT
' Тисп ~ 2D A - /)Рн ~ 2D A - /)МР Рж'
1) Тисп ~ 37 МИН, 2) Тисп ~ 0, 13 С.
579. Решение. Давление насыщенных паров у поверхности капли Рна
определяется уравнением
-*на mjoo ==	(Рна Рноо)
А4
(см. задачу 575). Но согласно формуле E76.1)
i а (	\	Л
Р = Роо + - (Рна - Рноо) = Роо 1
Г	V
ГржШ J

§9. Фазовые превращения. Растворы	165
Таким образом, плотность пара р в рассматриваемом случае не зависит от
радиуса капли а. Поток пара
r=a	pmR
постоянен и также не зависит от радиуса а. Поэтому
_ ^ з _ PJRT з _ /РжДГч а
'ИСП 	 о РЖ"- 	 Л	^	"- 	 I	//-7-Л
1) тисп^225ч, 2) тисп^0,8с.
580.	Решение. По закону Рауля плотность ра пара вблизи поверхности
капли связана с соответствующей плотностью роо вдали от капли соотношени-
соотношением
Ра - Роо _ ,
Роо
Отношение к числа молей поваренной соли к числу молей растворителя может
быть представлено в виде к = Ат/(рооТ3), где А — постоянная. Тогда
Am
ра = роо + -^-
Используя решение задачи 576, получим
а5 = al + 5DAmt,
где ао — значение радиуса капли при t = 0.
581.	Решение. В состоянии термодинамического равновесия давление
насыщенного пара в правом и левом сосудах на одной и той же высоте должно
быть одинаковым (см. задачу 574). Отсюда с использованием уравнений гид-
гидростатики получаем
Р = Ро + —^^П,	E81.1)
vn - vm
где Ро — давление пара над поверхностью жидкости АВ (т. е. в отсутствие
нейтрального газа), Р — над поверхностью CD (т. е. при наличии нейтрального
газа), П — давление нейтрального газа, vn и уж — удельные объемы пара
и жидкости. При решении предполагалось, что изменения плотности пара с
высотой в пределах системы пренебрежимо малы по сравнению с плотностью
самого пара. Повышение давления насыщенного пара с увеличением внешнего
давления П можно объяснить следующим образом. При возрастании П возрас-
возрастает противодавление жидкости, а с ним и число молекул жидкости, ударяю-
ударяющихся о ее поверхность. Это ведет к увеличению числа молекул, переходящих
из жидкости в пар.
582.	^ = Ш- АР = 0,08%.
583.	Решение. Изотермическое увеличение внешнего давления на АР
увеличивает удельный термодинамический потенциал льда на Асрл = улАР,
причем сжимаемостью льда можно пренебречь. Чтобы равновесие не наруши-
нарушилось, на столько же должен возрасти удельный термодинамический потенциал
пара. Но для пара
RT АРП

166	Ответы и решения
Приравнивая оба выражения, получим
ДР= —^
1^ул Рп
584. RKp = ——^— = 9 • 10~7см. Легко показать, что в рассматриваемой
—^
задаче влияние кривизны поверхности пузырька на давление насыщенного пара
несущественно.
585. Решение. Вдоль кривой плавления
dP Зж - 5ТВ
dT Уж - Утв'
Подставляя сюда значения 5Ж, STB и интегрируя, получим уравнение кривой
плавления:
R (Г2-Г12)-21п2-е(Г-Г1)
1 + 26	Уж - У™
(парабола). Из этого уравнения находим Р2 = 29 атм. Молярная теплота
плавления найдется по формуле
Для температур Т\ и Т2 эта формула дает q\ = —0,43 Дж/моль, ^ =
= 0, 18 Дж/моль.
586.	При фазовых переходах 1-го рода отношение с/а в точке В изме-
изменяется скачком. При фазовых переходах 2-го рода это отношение изменяется
непрерывно и при температуре В обращается в единицу.
587.	Решение. Докажем, например, второе соотношение. Для диффе-
дифференциала энтропии каждой из фаз можно написать
ло fds\ ^ , fdS\ iU CP	fdV\
dS= (df)PdT+ {dp)TdP=^FdT-{df)PdR
Если обе точки (Т, Р) и (Т + dT, Р + dP) лежат на кривой равновесия, то
d(S2-Si)=dAS = O,
где S\ — энтропия одной, a S2 — энтропия другой фазы. Это значит, что
откуда и следует доказываемое соотношение. Аналогично доказываются и
остальные три соотношения.
588. Решение. Рассмотрим какую-либо порцию воздуха, насыщенного
водяными парами. Массу воздуха в ней обозначим через тв, массу водяного
пара через тп, массу жидкой воды через тж. При адиабатическом поднятии
энтропия рассматриваемой системы меняться не будет:
mBsB + rrinSn + mmsm = const,	E88.1)
где sB, sn, sm — удельные энтропии воздуха, водяного пара и жидкой воды
соответственно. При этом полное количество воды остается постоянным: тп +

§9. Фазовые превращения. Растворы	167
-|- тж = const, так что dmm = —dmn. Массу жидкой воды мы должны поло-
положить равной нулю, если в рассматриваемом состоянии вся вода существует в
виде насыщенного водяного пара. Но, конечно, величина dmm должна считать-
считаться отличной от нуля, так как при поднятии вверх водяные пары конденсируются
в жидкие капли. Имея это в виду, из условия E88.1) получим
mB dsB + mn dsn + (sn — 5Ж) drrin = 0.
Разность удельных энтропии выразим через удельную теплоту испарения q =
= T(sn — sm). Масса пара шп в рассматриваемой системе зависит только от
температуры Т, так что dmu = —- dT. Для дифференциала удельной энтро-
dT
пии воздуха dsB, если учесть, что воздух может считаться идеальным газом,
получим такое же выражение, как и в случае сухого воздуха:
То же можно написать и для водяного пара. Однако давление насыщенного
пара зависит только от температуры, а потому
Применим к воздуху уравнение гидростатики:
dPB = -pBgdz = -—dz.
vB
С учетом всего этого получим
dPn q dmn \ 1 dT
\)
гпи ( п	dPn q dmn \ 1 dT
	( сР - vn — -\	—- ) — = -g.
mB V	dT mn dT ) \ dz
В этом соотношении mB и шп, очевидно, можно заменить на плотности воздуха
и водяного пара рв и рП. Из уравнения Клапейрона р = fiP/(RT), а потому
mn _ i^nPn
mB /лвРв'
1 dmn _ 1 dpn _ Т d f Рп\ _ 1 dPn 1
mn dT ~ pn dT ~ Pn dT \T ) ~ Pn dT T'
Выполнив соответствующую подстановку, получим
А	dPn q . q dPdT
V	+
Наконец, воспользуемся уравнением Клапейрона-Клаузиуса в упрощенном ви-
виде:
dP^ = J_
dT Tvn'
В результате найдем
п _	М
Гр Т + R

168
Ответы и решения
В окончательной формуле E88.2) мы ввели у температурного градиента индекс
«ад», опущенный в промежуточных расчетах.
Удельные теплоемкости воздуха и водяного пара при постоянном давлении
вычислим по классической теории, считая воздух двухатомным, а водяной
пар — трехатомным газами. Тогда
7R и 4Д
сР = —, сР = —.
2/iB	Мп
Учтем далее, что множитель —g/cpB дает адиабатический градиент темпера-
температуры для сухого воздуха, который мы обозначим через (dT/dz)ajXjCyx. Тогда
формула E88.2) представится в виде
V dz /ад	V dz /ад, сух'
где коэффициент / определяется выражением
7 Рв
2RT
2RT
E88.3)
E88.4)
Теми же формулами можно пользоваться и в тех случаях, когда при охлажде-
охлаждении водяные пары не конденсируются, а превращаются в лед. Только в этих
случаях под q следует понимать удельную теплоту возгонки, равную сумме
удельных теплот парообразования и плавления.
Вычисленные значения коэффициента / при различных температурах для
двух значений полного давления приведены в следующей таблице:
Рв -f Рп = 760 мм рт. ст.
t, °С
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
/
0,94
0,91
0,86
0,81
0,74
0,65
0,62
0,54
t, °С
10
15
20
25
30
40
50
/
0,47
0,40
0,33
0,28
0,23
0,16
0,10
Рв + Ри = 380 мм рт. ст.
t, °С
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
/
0,88
0,83
0,76
0,68
0,57
0,47
0,44
Из таблицы видно, насколько существенно влияние влажности, если адиа-
адиабатические процессы в атмосфере сопровождаются конденсацией или замерза-
замерзанием водяных паров.
589. Решение. Пусть ШфВ и шВф означают относительные массы соот-
соответствующих растворов в точке С. Тогда ШфВ + шВф = 1. Относительное со-
содержание фенола в насыщенном растворе фенола в воде соответствует точке В
и численно равно длине отрезка НВ. Содержание же фенола в насыщенном
растворе воды в феноле представляется длиной отрезка НА. Таким образом,
относительное количество фенола в точке С будет
шфв • НВ + A - шфв) • НА.

§9. Фазовые превращения. Растворы	169
С другой стороны, та же величина представляется длиной отрезка НС. При-
Приравнивая оба выражения, получим
_ НА-НС _ АС
Шфв" НА-НВ~ ~АВ'
Отсюда
АВ - АС ВС
шВф = 1-тфв= Ав =—.
Почленным делением получаем требуемый результат. (Ср. с решением зада-
задачи 462.)
590.	Насыщенные растворы жидкости / в жидкости 2 и жидкости 2
в жидкости /, если их налить в один и тот же сосуд, образуют равновесную
двухфазную систему. Первый раствор является одной, а второй — другой фазой
этой системы. Если принять это во внимание, то требуемый результат легко
получить, рассмотрев сообщающиеся сосуды, один из которых наполнен пер-
первым из указанных растворов, а другой — вторым. При этом следует пренебречь
разницей давлений насыщенных паров над уровнями жидкостей в сосудах,
обусловленной силой тяжести.
591.	(	lj/io = (	l)/i, где /л — относительная молекулярная
V Смол	'	\ Свес	'
масса растворенного вещества, а /хо — молекулярная масса растворителя.
592.	Роем = vRT ~ 3, 5 атм, где v — число молей сахара в единице объема
раствора (у « 50/342 моль/л).
593.	Т = -г^Щ— = 303 К, где v « 20/58 моль/л.
A + a)vR
594.	/х = mRT/(P0CMV) « 360.
595.	Роем = [1 + (п — 1)а]тВ,Т/AлУ), где m — масса растворенного веще-
вещества в объеме V.
596.	Роем = 2uRT « 5,8 атм, где v « 10/85 моль/л.
597.	Дело в том, что осмотическое давление действует и на свободную
поверхность жидкости. Это приводит к растяжению жидкости. Возникающие
силы натяжения компенсируют осмотическое давление. На стенки сосуда дей-
действует только гидростатическое давление.
598.	Ро — Р = — Роем, где рП — плотность пара, рж — плотность раствора.
рж
(Ср. с задачами 574, 581.)
599.
Относительное понижение давления насыщенного пара растворителя над по-
поверхностью слабого раствора нелетучего вещества равно отношению числа
молей растворенного вещества к числу молей растворителя (закон Рауля).
600.	Р = РоA - v'/v) = 16, 76 мм рт. ст.
601.	Решение. Пусть АВ — малый участок кривой испарения для чисто-
чистого растворителя (рис. 53). Его, а также отрезки других кривых можно в первом
приближении считать прямолинейными. Кривая испарения А1 В' для раствора
должна проходить ниже, так как упругость насыщенного пара над раствором
меньше, чем над чистым растворителем. Поддерживая внешнее давление Р
постоянным (изобара АС), видим, что точка кипения А' при этом давлении
для раствора лежит правее точки кипения А для чистого растворителя. Это

170
Ответы и решения
значит, что температура кипения раствора выше температуры кипения чистого
растворителя. Повышение температуры кипения Т' — Т изображается длиной
горизонтального отрезка А А''.
D	Для вычисления Т' — Т через точку А' про-
проведем изотерму А'В, которая пересечет кривую
/ В' испарения чистого растворителя в точке В с
/х	координатами Т', Р'. Ордината Р' изображает
/jtf	давление насыщенного пара чистого растворите-
С ля при температуре Т', а потому по уравнению
/(пар)	Клапейрона-Клаузиуса, если пренебречь удель-
Т ным объемом жидкости,
Р1
^(жидкость)
в
Г
Рис. 53
Р' -Р
Т' -Т
412
RT2'
где qi2 — удельная теплота испарения, а /л —
относительная молекулярная масса растворителя
в парообразном состоянии. С другой стороны, по закону Рауля (Р' — Р)/Р' =
= v'Iv. Деля почленно это соотношение на предыдущее и пренебрегая в зна-
знаменателе различием Р и Р', находим
или
Т' -Т =
Т' -Т =
u'RT2
-Госм-t
F01.1)
F01.2)
Рис. 54
602. Решение. Проведем через тройную
точку А чистого растворителя бесконечно ма-
малые участки кривой испарения АС, плавления
АВ и возгонки AD (рис. 54). Кривая AD од-
одновременно является кривой возгонки раство-
раствора, так как предполагается, что при замерзании
раствора замерзает только чистый растворитель,
а растворенное вещество в твердой фазе не
появляется. Кривая возгонки DA поднимается
круче кривой испарения АС (см. задачу 550).
Кривая плавления из-за малости разности уж —
— vT поднимается настолько круто, что ее мож-
можно считать отрезком вертикальной прямой. Кривая испарения раствора А'С',
как выяснено в предыдущей задаче, идет ниже кривой испарения АС чистого
растворителя. Ее пересечение с кривой возгонки AD определит положение
тройной точки раствора А', а вертикальная прямая А'В' будет кривой плав-
плавления раствора. Смещение прямой А'В' относительно прямой АВ, т. е. длина
отрезка AN, дает понижение температуры плавления раствора, а длина отрез-
отрезка AM — повышение температуры кипения раствора. Как видно из рисунка,
NA _ ЕА
AM ~ А'Е'
Из уравнения Клапейрона-Клаузиуса для возгонки и испарения следует
A'N _ qi3
EN qn'

§9. Фазовые превращения. Растворы	171
Отсюда
A'N - EN А^ gl3 - gi2 923
?7V	?7V	ql2	q{2
Замечая еще, что AM = v'RT2/'{v'fiqu), NA = T — T', получаем
T' -T = --—,	F02.1)
^ M923
ИЛИ	о Т
Г'-Т = -^.	F02.2)
^M^23
603.	T' -T = 0,0156 K.
604.	T' -T = -0,0543 K.
рлр2
605.	TK = To H	 = 101,75 °C, где То — температура кипения чистого
mq
растворителя, п — сумма числа молей растворенных веществ и т — масса
растворителя.
606.	t = -- (—f At = -0, 180 °С.
q\ \T2J
^л^	RT2m
607.	п = 	——— = 2, где R — универсальная газовая постоянная.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Основные единицы Международной системы (СИ)
Величина
Наименование
Длина
Масса
Время
Сила электри-
электрического тока
Термодинами-
Термодинамическая тем-
температура 1)
Единица
Наименова-
Наименование
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвин 2)
Обозначе-
Обозначение
м
кг
с
А
К
Определение
Метр равен длине 1650763,73
волн в вакууме излучения,
соответствующего переходу
между уровнями 2рю и 5d$
атома криптона-86
Килограмм равен массе меж-
международного прототипа кило-
килограмма
Секунда равна 9 192 631 770 пе-
периодам излучения, соответ-
соответствующего переходу между
двумя сверхтонкими уровня-
уровнями основного состояния атома
цезия-133
Ампер равен силе неизменя-
неизменяющегося тока, который при
прохождении по двум парал-
параллельным прямолинейным про-
проводникам бесконечной дли-
длины и ничтожно малой площа-
площади сечения, расположенным
в вакууме на расстоянии 1 м
один от другого, вызвал бы
на участке проводника дли-
длиной 1 м силу взаимодействия,
равную 2 • 10~7 Н
Кельвин равен 1/273,16 части
термодинамической темпера-
температуры тройной точки воды
1) Измерения температуры производят по термодинамической и по практическим
температурным шкалам.
2) Наименование кельвин и его обозначения применяются также для выражения
интервала или разности температур.

Приложения
173
Продолжение
Величина
Наименование
Количество
вещества
Сила света
Единица
Наименова-
Наименование
моль
кандела
Обозначе-
Обозначение
моль
кд
Определение
Моль равен количеству ве-
вещества системы, содержащей
столько же структурных эле-
элементов, сколько содержится
атомов в углероде-12 массой
0,012 кг.
При применении моля структур-
структурные элементы должны быть
специфицированы и могут
быть атомами, молекулами,
ионами, электронами и други-
другими частицами или специфи-
специфицированными группами час-
частиц
Кандела равна силе света,
испускаемого с поверхности
площадью 1/600000 м2 пол-
полного излучателя в перпен-
перпендикулярном направлении, при
температуре излучателя, рав-
равной температуре затвердева-
затвердевания платины при давлении
101325 Па
Дополнительные единицы
Плоский угол
Телесный
угол
радиан
стерадиан
рад
ср
Радиан равен углу между двумя
радиусами окружности, длина
дуги между которыми равна
радиусу
Стерадиан равен телесному уг-
углу с вершиной в центре сфе-
сферы, вырезающему на поверх-
поверхности сферы площадь, рав-
равную площади квадрата со сто-
стороной, равной радиусу сферы

174
Приложения
II. Соотношения между некоторыми единицами
систем СИ и СГС
Величина
Длина
Масса
Время
Сила электрического тока
Сила
Работа, энергия, количество
тепла
Мощность, тепловой поток
Давление, напряжение
(механическое)
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
Коэффициент теплообмена
(теплопередача)
Теплопроводность
Температуропроводность
Количество электричества
Электрический потенциал, на-
напряжение (электрическое)
Электрическое сопротивление
СИ
метр (м)
килограмм (кг)
секунда (с)
ампер (А)
ньютон (Н)
джоуль (Дж)
ватт (Вт)
паскаль (Па)
паскаль-секунда (Па • с)
квадратный метр на
секунду (м2/с)
ватт на квадратный
метр (Вт/м2)
ватт на метр-кельвин
(Вт/(м • К))
квадратный метр на
секунду (м2/с)
кулон (Кл)
вольт (В)
ом (Ом)
СГС
102 см
103 г
1 с
« 3 • 109
105 дин
107 эрг
106 эрг/с
10 дин/см2
10 дин • с/см2
104 см2/с
103 эрг/(с-см2)
105 эрг/(с-см-К)
104 см2/с
« 3 • 109
- \ ю-2
3
« i • 101 с/см
III. Некоторые внесистемные единицы
Килограмм-сила (кгс)
Килограмм-сила на квадратный сантиметр
(кгс/см2)
Миллиметр водяного столба (мм вод. ст.)
Миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.)
Бар (бар)
Атмосфера физическая (атм)
Атмосфера техническая (ат)
Лошадиная сила (л. с.)
Калория международная (кал)
Астрономическая единица длины (а. е.)
Световой год (св. год)
Парсек (пк)
Электронвольт (эВ)
Пуаз (П) — единица динамической вязкости
= 9,80665 Н (точно)
= 98066,5 Па (точно)
= 9,80665 Па
= 133,322 Па
= 105 Па
= 101324,72 Па
= 98066,5 Па (точно)
= 735,499 Вт
= 4,1868 Дж (точно)
= 1,49600- 1011 м
= 9,4605- 1015 м
= 3,0857- 1016 м
= 1,60219- Ю-19 Дж
= 0, 1 Па • с

Приложения
175
Стоке (Ст) — единица кинематической вязкости = 10 4 м2/с
Температура Цельсия t	= Т — То,
где Т — температура Кельвина, То = 273, 15 К. (По размеру градус Цельсия
равен кельвину.)
IV. Множители и приставки СИ для образования десятичных
кратных и дольных единиц и их наименований
1 000000000000= 1012
1000000000=109
1000000=106
1000=103
100= 102
10= 101
0,1 = Ю-1
0,01 = 10-2
0,001 = Ю-3
0,000 001 = Ю-6
0,000000001 = Ю-9
0,000000000001 = Ю-12
0,000000000000001 = Ю-15
0,000000000000000001 = 108
Приставка
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
Примечание. Приставки рекомендуется выбирать
Обозначение
Т
Г
м
к
г
да
д
с
м
мк
н
п
ф
а
таким образом,
чтобы числовые значения величин находились в пределах 0, 1, ... 1000
V. Некоторые физические постоянные
Скорость света
Заряд электрона
Постоянная Планка
Число Авогадро
Постоянная Больцмана
Газовая постоянная
Гравитационная постоянная
Число Фарадея
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
2,99792458- 108м/с =
= 2,99792458- 10ю см/с
1,602 • Ю-19 Кл = 4, 80 • Ю-10 СГСЭ
6,626 • 104 Дж • с = 6,626 • 107 эрг • с
6,022- 1026 юдоль =6,022- 1023 моль
1, 38 • Ю-23 Дж/К = 1,38 • Ю-16 эрг/К
8, 31 • 103 Дж/(кмоль • К) =
= 8,31 • 107эрг/(моль-К)
6,67- 10-пН-м2/кг2 =
= 6,67- 10"8дин-см2/г2
9,648- 107Кл/кмоль =
= 9,648- 103СГСМ/моль
-28
9, 11 • 10~31 кг = 9,11 • 10
1,6727- Ю-27 кг= 1,6727- 10"
1,6750- 107 кг = 1,6750- 10"

176	Приложения
Средний радиус Земли	6371 км
Масса Земли	5,98 • 1024 кг
Средняя плотность Земли	5,52 г/см3
Момент количества движения Земли, связанный 5,91 • 1033 кг-м2/с
с осевым вращением
Средняя скорость движения Земли по орбите	29,77 км/с
Радиус Солнца	б, 96 • 108 км
Масса Солнца	1,99 • 1030 кг
Средняя плотность Солнца	1,41 г/см3
Среднее расстояние Земли от Солнца	1,496 • 108 км
Среднее расстояние Луны от Земли	3,84 • 105 км
Средний радиус Луны	1738 км
Масса Луны	7, 34 • 1022 кг