Автор: Гинзбург В.Л. Левин Л.М. Рабинович М.С. Сивухин Д.В.. Четверникова Е.С.
Теги: физика задачи по физике сборник задач
Год: 1964
Текст
СБОРНИК ЗАДАЧ
ОБЩЕМУ КУРСУ
ФИЗИКИ
II
в. л. ГИНЗБУРГ, Л. М. ЛЕВИН, М. С. РАБИНОВИЧ,
Д. В. СИВУХИН, Е. С. ЧЕТВЕРИКОВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ
ФИЗИКИ
ЧАСТЬ П
ОПТИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
Издание третье, исправленное и дополненное,
под редакцией Д. В. СИВУХИНА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для университетов, физико-технических
и инженерно-физических вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
МОСКВА 1964
530.1
С 23
УДК 530 (076)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Виталий Лазаревич Гинзбург, Лев Михайлович Левин, Матвей Самсонович Рабинович, .
Дмитрий Васильевич Сивухин, Елизавета Сергеевна Четверикова
Сборник задач по общему курсу физики.
Часть вторая. Оптика. Молекулярная физика и термодинамика.
Атомная физика и физика ядра.
М., 1964 г., 412 стр. с илл.
Редактор Б. Л. Лившиц
Технический редактор Л. А. Пыжова Корректор Е. В. Кузнецова
Сдано в набор 28/V 1964 г. Подписано к печати 17/VII 1964 г. Бумага 60X90‘/ie. Физ. печ.
л. 25,75+4 вкл. Условн. печ. л. 26,25. Уч.-изд. л. 27,31. Тираж 46 000 экз. Т-09141. Цена
книги 95 коп. Заказ № 1181
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
«Главполиграфпром» Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 1 «Печатный Дйор» им. А. М. Горького,
Гатчинская, 26 с матриц Ленинградской типографии № 2 имени Евгении Соколовой,
Измайловский проспект, 29,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию ............................................ 5
Предисловие ко второму изданию ............................................ 6
ЗАДАЧИ
Глава I. Оптика............................................................. 7
§ 1. Геометрическая оптика....... 7
§ 2. Фотометрия. 32'
§ 3. Интерференция и дифракция света. 36*
§ 4. Поляризация света. Формулы Френеля. 57
§ 5. Кристаллооптика....... 63
§ 6. Скорость света. Оптика движущихся сред и источников.
'Некоторые вопросы теории относительности............................ 75
§ 7. Световое давление....... 82
§ 8. Молекулярная оптика....... 84
Глава II. Молекулярная физика и термодинамика............................. 99
§ 9. Термометрия. Калориметрия. Тепловое расширение тел . . 99
§ 10. Теплопроводность...............................................104
§11. Газовые законы. Уравнение состояния............................109
§ 12. Первое и второе начала термодинамики и их приложения 113
§ 13. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение. Растворы 128
§ 14. Кинетическая теория вещества...................................135
§ 15. Тепловое излучение ........................................... 144
Глава III. Атомная физика и физика ядра...................................149
§ 16. Строение атома и спектры.......................................149
§ 17. Рентгеновские лучи.............................................155
§ 18. Квантовая природа света. Волновые свойства частиц .... 157
§ 19. Экспериментальные методы ядерной физики и физики ядра 162
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I. Оптика.......................................................184
§ 1. Геометрическая оптика.........................................184
§ 2. Фотометрия....................................................210
§ 3. Интерференция и дифракция света...............................214
§ 4. Поляризация света. Формулы Френеля............................237
§ 5. Кристаллооптика...............................................246
§ 6. Скорость света. Оптика движущихся сред и источников.
Некоторые вопросы теории относительности........................263
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Световое давление.................................275
§ 8. Молекулярная оптика...............................278
Глава II. Молекулярная физика и термодинамика................293
§ 9. Термометрия. Калориметрия. Тепловое расширение тел . . . 293
§ 10. Теплопроводность ................................ 294
§11. Газовые законы. Уравнение состояния...............296
§ 12. Первое и второе начала термодинамики и их приложения . 299
§ 13. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение. Растворы . 312
§ 14. Кинетическая теория вещества......................320
§ 15. Тепловое излучение .............................. 330
Глава III. Атомная физика и физика ядра......................334
§ 16. Строение атома и спектры..........................334
§ 17. Рентгеновские лучи................................339
§ 18. Квантовая природа света. Волновые свойства частиц .... 340
§ 19. Экспериментальные методы ядерной физики и физики ядра 347
ДОПОЛНЕНИЕ
Задачи.......................................................364
Ответы и решения.......................................380
Таблицы......................................................410
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание печатается с матриц предыдущего издания. В ста-
рый текст внесено мало изменений, но в конце книги помещено
дополнение, содержащее 116 новых задач на все разделы физики,
которым посвящен настоящий том. Из них 45 задач составлено
В. Л. Гинзбургом, 6 задач—Л. М. Левиным, 11 задач — М. С. Ра-
биновичем, 35 задач — Д. В. Сивухиным. Остальные 19 задач пред-
ложены преподавателями и сотрудниками Горьковского государствен-
ного университета и Московского физико-технического института.
Авторы пользуются случаем выразить им глубокую признательность.
Редактирование новых задач выполнено мною.
Москва, декабрь 1963 г.
Д. В. Сивухин
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание «Сборника задач по общему курсу физики»,
часть II сильно переработано по сравнению с первым. Добавлено
более 350 новых задач. Значительная часть из них предлагалась
студентам Московского физико-технического института. Внесено
много изменений в формулировку старых задач, а также в решения
и ответы к ним. При подборе и формулировке задач основное внимание
обращалось на то, чтобы задачи способствовали развитию у сту-
дентов физического мышления.
Знания по физике, необходимые для решения задач, не выходят
за пределы программ по общему курсу физики для физических
факультетов университетов и тех высших учебных заведений, где
физика является основной дисциплиной. В единичных случаях, когда
требуются дополнительные сведения, последние сообщаются при фор-
мулировке задач.
Трудные задачи снабжены подробными решениями или указаниями.
Без этого они были бы мало доступны студентам. Кроме того,
приводимые решения могут способствовать развитию у студентов не-
обходимой культуры при решении физических задач.
Труд между авторами задачника распределялся следующим обра-
зом. В. Л. Гинзбург, Л. М. Левин и Д. В. Сивухин принимали
участие в составлении всех разделов задачника. М. С. Ра-
биновичем написан § 19 «Экспериментальные методы ядерной физики
и физика ядра», за исключением нескольких задач в конце этого
параграфа. Е. С. Четверикова составила примерно половину задач § 5
«Кристаллооптика». Приблизительно 20 задач по оптике составлено
И. А. Яковлевым. Около 10 задач, преимущественно по интерферен-
ции и дифракции радиоволн, принадлежит покойному профессору
Г. С. Горелику. Редактирование задач и решений, а также их
окончательное расположение выполнены Д. В. Сивухиным. Боль-
шую работу по улучшению книги проделал редактор ^издательства
Б. Л. Лившиц.
Москва, май 1959 г.
Д. 13. Сивухин
ЗАДАЧИ
ГЛАВА I
ОПТИКА
§ 1. Геометрическая оптика
1. При освещении непрозрачного диска радиуса г на экране,
отстоящем от него на расстоянии d, получается тень радиуса и
полутень радиуса г2* Источник света также имеет форму диска, при-
чем прямая, соединяющая центры дисков, перпендикулярна к ним и
к плоскости экрана. Определить размер источника света и его рас-
стояние от освещаемого диска.
2. Диаметр фотосферы Солнца равен 1 390 000 км, расстояние
Солнца от Земли составляет в среднем 150 000 000 км и меняется
незначительно. Расстояние от центра Луны до поверхости Земли
меняется от ж 357 000 км до ~ 399 000 км. Когда солнечное за-
тмение бывает полным и когда кольцеобразным, если диаметр Луны
равен 3480 км?
3. Объяснить, почему свет от некоторого источника, проходя
через отверстие, дает изображение этого источника на экране, поме-
щенном за отверстием, если отверстие мало, и дает изображение
этого отверстия, если оно велико.
4. Лучи от Солнца падают на небольшое квадратное зеркало
и после отражения попадают на экран. Какую форму имеет освещен-
ная часть экрана и как она меняется с изменением расстояния между
зеркалом и экраном?
5. Два зеркала наклонены друг к другу и образуют двугранный
угол а. На них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной
к ребру угла. Показать, что угол 3 отклонения этого луча от перво-
начального направления после отражения от обоих зеркал не зависит
от угла падения. Вычислить 3.
6. Записать в векторной форме законы отражения и преломления
световых лучей на плоской границе раздела двух прозрачных изотроп-
ных сред. Свет падает от среды / с показателем преломления п} на
среду 2 с показателем преломления п2. Направления падающего,
8
ОПТИКА
[гл. I
отраженного и преломленного лучей характеризуются единичными
векторами г0, г2. Единичный вектор N нормали к границе раз-
дела направлен от среды 2 к среде 1.
7. Показать, что луч света, последовательно отражающийся от
трех взаимно перпендикулярных зеркал, меняет свое направление на
обратное.
8. Трехгранная пирамида получена путем срезания угла стеклян-
ного куба с посеребренными гранями. Через основание такой пира-
миды попадает световой луч, последовательно отражающийся от трех
остальных взаимно перпендикулярных граней. Показать, что выходя-
щий из пирамиды луч меняет свое направление на обратное.
9. Найти все изображения предмета, находящегося между двумя
зеркалами, наклоненными друг к другу под углом 60°. Построить
ход лучей, дающих изображение предмета после двух последователь-
ных отражений от обоих зеркал.
10. Определить число изображений предмета, помещенного меж-
ду двумя плоскими зеркалами, образующими друг с другом угол а,
2к
в предположении, что число т = ——целое.
11. Световой луч вступает в преломляющую призму через грань AD
и последовательно отражается от граней ВС и BD, а затем выходит
через грань АС, как указано на рис. 1. Луч лежит в плоскости, пер-
пендикулярной к ребрам призмы. Углы В и А призмы равны соот-
ветственно а и 2а, а углы С и D равны между собой. Показать, что
угол 8 отклонения вышедшего луча от первоначального направления
не зависит от угла падения. Вычислить угол 8. Будет ли призма при
указанном ходе лучей давать спектральное разложение?
12. Объяснить, почему в лунную ночь на поверхности моря видна
лунная дорожка, а не изображение лунного диска.
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
9
13. Найти величину изображения Солнца, получаемого в рефлек-
торе с радиусом кривизны в 16 м. Диаметр Солнца 1,4-106 км,
а расстояние от Земли до Солнца 150 «10® км.
14. Радиус кривизны вогнутого зеркала 40 см. Найти положение
объекта, при котором его изображение — действительное и увели-
ченное в два раза. Найти также положе- м
ние, при котором изображение — мнимое Л
и увеличенное в два раза.
15. Для измерения фокусного расстоя- __ I / \
ния зеркала в десяти см от него поме- fpj I | Р )
стили зажженную свечу. Четкое изображе- . \
ние свечи получилось на экране, отстоя- \
щем от зеркала на расстоянии 30 см. 2
Найти фокусное расстояние f зеркала. у
16. Доказать геометрически и анали- Рис. 2.
тически, что если сферическое зеркало ММ
(рис. 2), посеребренное со стороны 1, отображает предмет Р в Р',
то посеребренное со стороны 2, оно отображает предмет Р' в Р.
17. Найти форму зеркальной поверхности, отражающей параллельные
лучи так, что они кажутся исходящими из одной точки за зеркалом.
18. Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью со==1 сек-1. Поверхность ртути принимает
вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокусное
расстояние этого зеркала.
19. Доказать геометрически, что если луч света, исходящий из
точки А, попадает »в точку В после отражения от плоского зеркала,
то длина пути этого луча меньше, чем длина любого другого пути,
проходящего от Л к зеркалу, а затем к В.
20. Доказать, что изображение точки в сферическом зеркале мож-
но построить следующим способом. Из произвольной точки А
Рис. 3.
проводим прямые АО и АС, соединяющие эту точку с верши-
мой О и центром кривизны С (рис. 3). Из точки Р проводим
, 10 ОПТИКА [гл. I
прямую PD, пересекающую прямые АО и АС в точках D и В.
Прямая АР', соединяющая точку А с точкой пересечения диагона-
лей ВО и CD, пересечет оптическую ось в точке Р', являющейся
изображением точки Р.
21. Показать, что если луч света, исходящий из точки А, попа-
дает в точку В после преломления на плоской границе раздела двух
сред, то оптическая длина этого луча меньше оптической длины лю-
бого другого пути, соединяющего А и В.
22. Вывести формулу сферического зеркала и формулу тонкой лин-
зы из принципа Ферма х).
23. При падении на плоскую границу двух сред луч частично
отражается, частично преломляется. При каком угле падения <р отра-
женный луч перпендикулярен к преломленному лучу?
24. Доказать, что если световой луч проходит несколько сред,
разделенных плоскопараллельными границами, то направление выхо-
дящего луча зависит только от направления входящего луча и от
показателей преломления первой и последней сред.
25. Определить, насколько плоскопараллельная стеклянная пластин-
ка толщиной d=10 см смещает в сторону луч света, падающий на
нее под углом ср = 70°. Показатель преломления стекла я =1,5.
26. Человек, стоящий на берегу пруда, смотрит на камень, нахо-
дящийся на его дне. Глубина пруда /г = 1 м. На каком расстоянии
h’ от поверхности воды получится изображение камня, если луч
зрения составляет с нормалью к поверхности воды угол ср = 60°?
Показатель преломления воды п =1,33.
27. Под стеклянной пластинкой толщины rf=15 см лежит
маленькая крупинка. На каком расстоянии х от верхней поверхно-
сти пластинки образуется ее видимое изображение, если луч зрения
перпендикулярен к поверхности пластинки, а показатель преломления
стекла п =1,5?
28. Плоская стеклянная пластинка толщиной в 3 мм рассматри-
вается в микроскоп. Сначала микроскоп устанавливают для наблюде-
ния верхней поверхности пластинки, а затем смещают тубус микро-
*) В этой книге принято следующее правило знаков. Все расстояния,
отсчитываемые от зеркала или линзы (или других точек, принимаемых за на-
чала отсчета) в направлении распространения света, считаются положитель-
ными, а против направления распространения света, — отрицательными. Если
падающий свет распространяется слева направо, то это правило знаков сов-
падает с правилом знаков, принятым в аналитической геометрии. Радиусы
кривизны сферических поверхностей отсчитываются в направлении от сфери-
ческой поверхности к центру кривизны. Фокусные расстояния, напротив,
отсчитываются в направлении от фокусов к линзе или зеркалу (а в случае
толстых линз или системы линз в направлении от фокусов к соответствую-
щим главным плоскостям).
§ Л
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
11
скопа вниз до тех пор, пока не будет отчетливо видна нижняя по-
верхность пластинки (для удобства наблюдения на поверхностях
пластинки сделаны метки). Это смещение тубуса равно 2 мм. Найти
показатель преломления пластинки п.
29. Предмет помещен на расстоянии Z=15 см от плоскопа-
раллельной стеклянной пластинки. Наблюдатель рассматривает его
через пластинку, причем луч зрения нормален к ней. Найти
расстояние изображения предмета f от ближайшей к наблюдателю
грани. Толщина пластинки d — 4,5 см. Показатель преломления
стекла п = 1,5.
30. Как сместится фокус фотоаппарата, если внутрь аппарата на
пути лучей (перпендикулярно к оптической оси) поместить плоско-
параллельную стеклянную пластинку толщиной d~6 мм с показа-
телем преломления п =1,5? (Объектив сильно задиафрагмирован.)
31. Предмет помещен на оси вогнутого зеркала дальше его
фокуса. Между фокусом и зеркалом помещена плоскопараллельная
стеклянная пластинка толщиной d и с показателем преломления п так,
что ось зеркала перпендикулярна к пластинке. Показать, что введение
пластинки смещает изображение так а
же, как перемещение зеркала на А-\
d(n— 1) /а\
-- по направлению к предмету. / \
32. Показать, что для призмы
с преломляющим углом А угол от- ----->zi <?''
клонения луча 3 связан с углами
падения ср и ф' и с углами прелом- / \
ления ср и ср' (рис. 4) формулой / \
sin у (Д + 6) п cos у (ср — Ф') Z--.....................\
1 л 1 , ,, Рис. 4.
sin у A COS у (ср — ср')
33. Показать, что наименьшее отклонение 8 параллельного пучка
в призме происходит при симметричном ходе лучей в призме. Свя-
зать угол наименьшего отклонения 8 с показателем преломления п
вещества призмы и с преломляющим углом А призмы.
34. Чему равен угол наименьшего отклонения 8 для линии D
натрия в призме с преломляющим углом 60°? Для линии D показа-
тель преломления стекла призмы Пр =1,62.
35. Световой луч после прохождения через призму испытывает
отражение от плоского зеркала. Показать, что при симметричном
ходе луча через призму угол отклонения отраженного луча от
первоначального направления не зависит от показателя прелом-
ления призмы.
12
ОПТИКА
[гл. I
36. Цилиндрический стакан с жидкостью поставлен на монету,
рассматриваемую сквозь боковую стенку стакана. Указать наимень-
шую возможную величину показателя
преломления п жидкости, при котором
монета не видна.
37. С каким углом а нужно взять
трапецеидальный сосуд с водой ABCD
(рис. 5), чтобы сквозь боковую стенку
его не было видно предмета, подло-
женного под дно сосуда? Показатель
преломления воды п = 1,33. Дно сосуда
имеет форму прямоугольника.
38. Луч света преломляется в призме, находясь в плоскости, пер-
пендикулярной к преломляющему ребру призмы. Показать, что если
относительный показатель преломления п призмы больше единицы,
а угол падения остается постоянным, то отклонение луча возрастает
с возрастанием преломляющего угла призмы. Показать также, что
при тех же условиях максимальный преломляющий угол призмы, при
котором луч может выйти из нее, равен
. sin ср . .1
А = arcsm------1 -4- arcsin —.
п 1 п
39. Вычислить угол наименьшего отклонения 3 для призмы с очень
малым преломляющим углом А с учетом членов второго порядка
малости (относительно А).
40. Написать выражение для угловой дисперсии призмы в об-
ласти наименьшего отклонения. Найти угол, на который разойдутся
два луча по выходе из призмы, если при падении на нее они были
параллельны. Показатель преломления призмы для первого луча, испы-
тавшего наименьшее отклонение, равен 1,500, а для другого—1,501.
Преломляющий угол призмы 60°.
41. Воспользовавшись приведенными ниже данными относительно
дисперсии кварца, определить угловую дисперсию в угл. сек]к шести-
десятиградусной кварцевой призмы в различных частях спектра.
Интервал К в А п
7685 1,5391
J 5893 1,5442
2 4861 1,5497
3 4100 1,5565
4 3034 1,5770 .
5 2537 1,5963
6 1988 1,6509
42. Подсчитать, какая получится линейная дисперсия (в мм/к),
если в спектрографе с призмой, описанной в предыдущей задаче,
§ 11
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
13
использовать камеру с объективом, имеющим фокусное расстояние
f =50 см (для интервалов, указанных в предыдущей задаче).
43. В длинный сосуд с плоскопараллельными стенками, наполненный
жидкостью, опущена стеклянная призма так, что ее основание лежит на
дне сосуда, как это изображено на
рис. 6. Кривые зависимости пока-
зателя преломления от длины вол-
ны для жидкости и стекла показаны
на рис. 7. Указать, что произойдет
с лучом белого света, входящим
Рис. 6.
в сосуд и падающим на призму параллельно ее основанию; разло-
жится ли он в спектр, и как пойдут желтый, синий и красный лучи?
44. Оптические длины лучей от одного положения волнового
фронта до другого одинаковы. Исходя из этого и принимая во вни-
мание, что лучи перпендикулярны к волновым фронтам, показать,
что увеличение, даваемое зрительной трубой, равно отношению
ширины пучков света до и после прохождения их через трубу.
45. Если рассматривать удаленные предметы через призму, то,
вообще говоря, они будут казаться искаженными. Одно из искаже-
ний состоит в том, что изображение вытянуто или сплюснуто в
направлении, перпендикулярном к ребру призмы. Как надо держать
призму, чтобы указанного искажения не было?
46. Как с помощью двух стеклянных призм сконструировать
«зрительную трубу» для рассматривания удаленных предметов, дающую
подобные изображения их с произвольным увеличением?
47. Используя результат решения задачи 44, доказать, что увели-
чение зрительной трубы равно отношению фокусного расстояния
объектива к фокусному расстоянию окуляра.
48. Стеклянный тонкостенный шар наполнен водой (« = — )•,
Наблюдатель смотрит вдоль диаметра шара на крупинку, переме-
щающуюся вдоль этого же диаметра. Как изменяется положение
изображения крупинки, если она от удаленного по отношению к
наблюдателю конца диаметра перемещается к ближнему концу? Диа-
метр шара £)=10 см.
14
ОПТИКА
[гл. t
49. Матовое стекло фотографического аппарата установлено так,
что резким выходит изображение предмета, находящегося на рас-
стоянии 5 м. До какого диаметра d нужно задиафрагмировать
объектив с фокусным расстоянием в 20 см, чтобы не было заметной
нередкости в изображении предметов, находящихся на 0,5 м ближе
снимаемого (нерезкость считать незаметной, если размытость деталей
не превышает 0,1 мм)?
50. Найти фокусное расстояние / двояковыпуклой тонкой линзы,
ограниченной сферическими поверхностями с радиусами = 25 мм
и г2 = 40 мм', показатель преломления стекла линзы п — 1,5.
51. Линза с фокусным расстоянием f— 10 см сделана из стекла
с показателем преломления п— 1,5. Найти фокусное расстояние f
линзы, помещенной в воду \п = -^\
52. Линза с показателем преломления 1,53 опущена в сероугле-
род (п=1,63). Как изменится фокусное расстояние линзы по срав-
нению с фокусным расстоянием ее в воздухе?
53. С помощью тонкой собирающей стеклянной линзы с показа-
3
телем преломления п = -^~ получено действительное изображение
предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет
и линзу погрузили в воду, не изменяя расстояния между ними,
изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найти
фокусное расстояние/линзы, если показатель преломления воды п' =4-.
О
54. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы /1 =
= 60 см, а окуляра /2 = 4 см. Показатель преломления стекла объ-
3
ектива и окуляра п = -^-. Труба погружается в воду, которая запол-
няет ее внутреннюю часть. Каким объективом из того же сорта
стекла следует заменить объектив трубы, чтобы в нее можно было
рассматривать удаленные предметы в воде? Чему будет при этом
равно увеличение трубы, если показатель преломления воды п'—
55. Галилеева труба 9-кратного увеличения имеет длину 40 см.
После того как объектив и окуляр трубы заменили собирающими
линзами, труба стала давать то же увеличение. Определить фокус-
ные расстояния f[ и /' этих линз, а также фокусные расстояния Д
и /2 объектива и окуляра галилеевой трубы.
56. Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива /= 50 см
установлена на бесконечность. На какое расстояние AZнадо передвинуть
окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м?
§ И
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
15
57. Как должен быть устроен глаз животного, чтобы оно могло
одинаково хорошо видеть удаленные предметы в воздухе и в воде
без изменения аккомодации?
58. Изображение предмета, находящегося на расстоянии 10 см от
тонкой линзы, — прямое и увеличенное в 2 раза. Определить фокус-
ное расстояние линзы f.
59. На систему линз, изображенных на рис. 8, падает слева Парал-
лельный пучок света. Найти положение точки схождения этого пучка
после прохождения системы.
Рис. 8.
60. Найти изображение точки, которая находится на расстоянии
10 см слева от крайней левой линзы системы, изображенной на рис. 9.
f=tf f=-5 т-5
Рис. 9.
61. Микроскоп имеет объектив с фокусным расстоянием в 1 см
и окуляр с фокусным расстоянием в 3 см, расстояние между ними —-
20 см. На каком расстоянии d должен находиться объект, чтобы
окончательное изображение получилось на расстоянии 20 см от глаза
(что является минимальным расстоянием ясного зрения)? Какое при
этом получится линейное увеличение?
62. Доказать, что если линза находится перед глазом и движется
в сторону, то наблюдателю кажется, что предмет, рассматриваемый
через линзу, движется в ту же сторону, что и линза, если линза —
рассеивающая, и в противоположную, если линза — собирающая.
Примечание. При этом собирающая линза используется как
лупа: предмет помещается между фокусом и линзой, получается
прямое изображение. Если же, отодвинув собирающую линзу доста-
точно далеко от глаза, рассматривать через нее удаленные предметы,
16 ОПТИКА [гл. I
то получаются обратные изображения их. В этом случае при смеще-
нии линзы в сторону изображение смещается в ту же сторону.
63. Показать, что наименьшее расстояние между двумя оптически
сопряженными относительно собирающей линзы точками равно 4/,
где /—фокусное расстояние линзы.
64. Собирающая линза дает изображение некоторого объекта на
экране. Высота изображения равна а. Оставляя неподвижным экран и
объект, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором
четком изображении объекта высота изображения равна Ь. Найти
действительную высоту предмета h.
65. Расстояние от лампочки до экрана L = 50 см. Линза, поме-
щенная между ними, дает четкое изображение лампы на экране при
двух положениях, расстояние между которыми Z=10 см. Найти
фокусное расстояние f линзы.
66. Фокусное расстояние линзы / приравнивается расстоянию от
нее до изображения очень далекой лампы. Каково должно быть рас-
стояние I лампы до линзы, чтобы ошибка в определении фокусного
расстояния не превышала р%?
67. Вогнутое зеркальце гальванометра имеет фокусное расстояние
1 м. Для наблюдения отклонений желательно применить зрительную
трубу (субъективный отсчет), для чего нужно вплотную перед зер-
кальцем поставить линзу, делающую всю систему эквивалентной пло-
скому зеркалу. Найти фокусное расстояние линзы.
68. При наблюдении отклонений зеркального гальванометра при-
меняется система, изображенная на рис. 10 (так называемый объек-
тивный отсчет). Перед плоским зер-
кальцем гальванометра М помещают
линзу L. Свет от осветителя S,
пройдя линзу L, отразившись от зер-
кальца М и пройдя вторично линзу L,
дает действительное изображение на
шкале N. Найти, с каким фокусным
расстоянием f нужно взять линзу L,
чтобы осветитель S и шкала N, расположенные близко друг к другу,
находились на расстоянии 1,5 м от гальванометра. Линзу можно счи-
тать весьма близкой к зеркальцу Л4.
69. В вогнутое зеркало, лежащее горизонтально, налито немного
воды. Зеркало дает действительное изображение предмета на экране
на расстоянии 54 см от зеркала. При приближении экрана к зер-
калу изображение появляется вновь на расстоянии 36 см от зеркала.
Определить радиус кривизны зеркала R и расстояние а предмета от
4
него, если показатель преломления воды п — -^.
§ Я
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
17
70. Фотографическим аппаратом, объектив которого имеет фокус-
ное расстояние 12 см, при растяжении 20 см требуется сфотографи-
ровать предмет, находящийся на расстоянии 15 см от объектива.
Какую линзу нужно добавить к объективу, чтобы изображение вышло
резким при максимально возможном ра-
стяжении аппарата?
71. Если точка Р' является опти-
ческим изображением точки Р, то, как
известно, оптические длины всех лучей,
соединяющих эти точки, одинаковы.
Пусть изображение Р получается путем
отражения от плоского зеркала. Тогда,
как показывает рис. 11, длина ломаной
РВР больше длины ломаной РАР. Как
согласовать эти два утверждения?
72. Найти уравнение апланатической поверхности вращения, раз-
деляющей две однородные среды с показателями преломления п
и п', для пары сопряженных точек Р и Р, лежащих на оси вращения,
из которых точка Р находится в бесконечности. Исследовать случаи:
а) д'2 л2; б) пР п2; в) п'2 == л2.
73. Исходя непосредственно из закона преломления Снеллиуса и
пользуясь геометрическими свойствами эллипса и гиперболы, доказать,
что а) пучок световых лучей, падающих на эллипсоид вращения и
параллельных его оси, собирается в заднем фокусе эллипсоида, если
показатель преломления эллипсоида относительно окружающей среды
л = —, где е— эксцентриситет эллипсоида; б) пучок световых лу-
чей, падающих на одну из полостей двуполостного гиперболоида
вращения и параллельных его оси, после преломления превращается
в расходящийся пучок лучей, продолжения которых точно пересекаются
в переднем фокусе гипербо-
лоида, если показатель пре-
ломления гиперболоида от-
носительно окружающей
среды п где е — экс-
центриситет гиперболоида.
(Ср. с предыдущей задачей.)
р 74. Показать, что лин-
дом" ^аф,ёнЙ^Р5^^4А~Е фо-
кусами Fx и F2 (рис. 12) и сфе} ой_ 4 с $ в Fj, софрает
падающий на нее параллельный г ^чок^.^^/сё^^^^^п^аза-
18
ОПТИКА
[гл. I
АВ
тель преломления ее п~-=г^г. Лучи падают параллельно оси эл-
липсоида.
Указание. См. предыдущую задачу или задачу 72.
75. Показать, что линза, ограниченная плоскостью АВ и гипербо-
лоидом вращения CDE (рис. 13), рассеивает падающие на нее лучи,
параллельные оси гиперболоида, так,
что по выходе из линзы их продол-
жения точно пересекаются в перед-
нем фокусе гиперболоида, если
показатель преломления линзы равен
эксцентриситету гиперболоида.
Указание. См. задачу 72 или73.
76. Поверхность вращения, раз-
деляющая две однородные среды с
показателями преломления пип'
и обладающая тем свойством, что
световые лучи, исходящие из одной
определенной точки Р, лежащей на
оси вращения, точно сходятся в другой точке /у, также лежащей
на оси вращения, называется картезианским овалом. Найти уравнение
сечения этой поверхности плоскостью, проходящей через ось вра-
щения РР\ Исследовать, в каких случаях эта кривая переходит в
кривую второго порядка.
77. Вейерштрасс дал следующий геометрический способ постро-
ения преломленного луча на поверхности сферы. Пусть сфера KL
радиуса R (рис. 14) с показателем пре-
ломления п' находится в однородной
среде с показателем преломления п.
Построим две концентрические сферы
с радиусами OP=R—,n OQ = R~.
Продолжим падающий луч SK до его
пересечения со второй сферой в точке Q.
Соединим Q с центром сфер О пря-
мой линией. Последняя пересечет пер-
вую сферу в точке Р. Тогда прямая
КР будет преломленным лучом. Дока-
зать это построение. Показать также,
что точки Р и Q образуют пару апланатических точек. (Ср. с пре-
дыдущей задачей.)
78. Пользуясь тем, что для сферической поверхности есть пара
апланатических точек, построить анланатическую линзу и указать для
нее аплана1ические точки.
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
19
79. У двояковыпуклой тонкой линзы серебрится одна из поверх-
ностей. Найти фокусное расстояние f полученного таким образом
зеркала. Радиус кривизны чистой поверхности—гь радиус кривизны
посеребренной поверхности — г2.
80. Две одинаковые плосковыпуклые тонкие линзы с показателем
преломления п посеребрены; одна с плоской стороны, другая с вы-
пуклой. Найти отношение фокусных расстояний и /2 полученных
сложных зеркал, если свет в обоих случаях падает с непосеребрен-
ной стороны.
81. Изображение светящегося объекта, получающееся отражением
от собирающей тонкой линзы, может быть приведено в совпадение
с самим объектом при двух положениях последнего: когда рассто-
яние от объекта до линзы равно 20,0 см и когда оно равно 7,91 см
(оба положения с одной и той же стороны линзы). Фокусное рас-
стояние линзы 37,7 см. 1) Определить тип линзы. 2) Найти
радиусы кривизны Г] и г2 ее поверхностей и показатель преломления
стекла п.
82. Сферическая поверхность радиуса R отделяет среду с
показателем преломления п (пространство. предметов) от среды
с показателем преломления ri (пространство изображений). Ограничи-
ваясь параксиальными лучами, найти в приближении параксиальной
оптики связь между координатами точки-объекта х, у, z и коорди-
натами точки-изображения х', у, z'. За ось X принять главную
оптическую ось, за начало координат — точку пересечения ее с гра-
ницей раздела.
Примечание. Относительно правила знаков см. примечание к
задаче 22.
83. Пользуясь результатами предыдущей задачи, показать, что
для центрированной оптической системы в приближении параксиаль-
ной оптики координаты точки-объекта х, у, z связаны с координа-
тами точки-изображения л/, У, / формулами коллинеарного соот-
ветствия:
,__Ах + В
Х ах-}- Ь '
Су ,
У ах + Ь *
, Cz
Z = -----г-г- .
ах -}-Ь ’
где А, В, С, а, b — постоянные для данной оптической системы,
зависящие от выбора начал координат. За начало координат в
пространстве предметов принимается произвольная точка, лежащая
на главной оптической оси системы, а за начало координат в про-
странстве изображений — другая (или та же самая) произвольная
точка той же оси.
» 20
ОПТИКА
|гл. I
84. Выразить координаты фокальных, главных и узловых точек
центрированной оптической системы и ее фокусные расстояния через
постоянные А, В, С, а, Ь. (См. предыдущую задачу.)
85. Какой вид принимают формулы коллинеарного соответст-
вия (задача 83), если за начала координат принять: 1) глав-
ные точки '(координаты относительно этой системы обозначим
греческими буквами В, т;, Q; 2) фокальные точки (координаты
относительно этой системы обозначим большими латинскими бук-
вами X, Y, Z)?
86. Найти положение главных плоскостей и фокусные рассто-
яния для центрированной системы, состоящей из одной сферической
преломляющей поверхности. (См. задачу 82.)
87. Показать, что в любой центрированной системе фокусные
расстояния f и f связаны соотношением
/' п'
f— п >
где п — показатель преломления пространства предметов, a nf —
пространства изображений.
7?
Указание. Воспользоваться формулой = ,
теоремой Лаг-
ранжа-Гельмгольца и определением главных плоскостей.
88. Показать, что продольное увеличение в центрированной
оптической системе равно квадрату поперечного, если показатели
преломления пространства предметов и пространства изображений
одинаковы.
Указание. Воспользоваться формулой Ньютона XX’ = ff.
89. Две центрированные оптические системы соединены вместе в
одну центрированную систему. Фокусные расстояния первой системы
равны /j и а второй системы /2 и Д. Расстояние F'J^ переднего
фокуса второй системы от заднего фокуса Д' первой системы
равно 8 (оно называется оптическим интервалом двух систем и счи-
тается положительным, если F’J^ совпадает по направлению с на-
правлением падающего света и отрицательным в противоположном
случае). Найти положение главных и фокальных точек сложной
системы и ее фокусные расстояния.
90. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями и /2 нахо-
дятся на расстоянии I друг от друга, образуя центрированную систему.
Найти фокусное расстояние f этой системы, а также положения ее
главных плоскостей.
91. Систему двух тонких линз, описанную в предыдущей задаче,
требуется заменить одной «эквивалентной» тонкой линзой, которая
при любом положении объекта давала бы такое же по величине
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
21
§ ч
изображение его, как и описанная система двух линз. Найти фокус-
ное расстояние и положение «эквивалентной» линзы.
92. Найти фокусное расстояние / центрированной системы, состо-
ящей из двух тонких линз с фокусными расстояниями fi и /2, кото-
рые отстоят друг от друга на расстоянии Z, если пространство между
линзами заполнено водой.
93. Используя результаты решения задач 86 и 89, найти поло-
жение главных плоскостей и фокусные расстояния центрированной
системы, состоящей из двух сферических поверхностей с радиусами
кривизны Ri и R%, разделяющими однородные среды с показателями
преломления пь п%, п%.
94. Найти положение главных плоскостей толстой линзы, имеющей
форму шара. Определить фокусные расстояния f и f и положения
фокальных точек такой шаровой линзы, когда она сделана: 1) из
/ 4 \
воды (nB=-g-j и 2) стекла (пст = 1,5). При каком показателе пре-
ломления фокальные точки не выйдут наружу?
95. Стеклянный шар (я =1,5) имеет радиус /? = 4 см. 1) Найти
расстояние У от центра шара до изображения предмета, который
расположен в 6 см от поверхности шара. 2) Найти увеличение
изображения.
96. В каких случаях фокусное расстояние толстой линзы не
зависит от ее толщины и точно совпадает с фокусным расстоянием
тонкой линзы, обладающей равной кривизной поверхностей? Будет
ли в этом случае положение фокуса относительно линзы зависеть от
ее толщины?
97. В каком случае двояковыпуклая линза, изготовленная из
стекла с показателем преломления п =1,5 и находящаяся в воздухе,
будет рассеивающей?
98. В каком случае двояковыпуклая линза, изготовленная из
вещества с показателем преломления, большим, чем показатель пре-
ломления окружающей среды, будет действовать как плоскопарал-
лельная пластинка?
99. Две одинаковые плоско-выпуклые линзы расположены пло-
скими сторонами друг к другу и находятся на небольшом расстоя-
нии. Показать, что фокусное расстояние в этом случае больше, чем
в случае контактного соприкосновения линз.
100. С одной стороны двояковыпуклой тонкой линзы, сделанной
из стекла (п =1,52), находится вода (п = 1,33), с другой — воздух.
Радиусы кривизны обеих поверхностей равны 20 см. Найти
положение главных и фокальных плоскостей и узловых точек
системы.
22
ОПТИКА
[гл. т
101. Радиус кривизны г сферической поверхности стеклянной
(п= 1,52) плоско-выпуклой линзы равен 26 см\ толщина линзы 3,04 см.
Вычислить фокусное расстояние f линзы и найти положение изобра-
жения объекта, находящегося на расстоянии 75 см от ближайшей
поверхности линзы и расположенного со стороны: 1) выпуклой по-
верхности, 2) плоской поверхности.
102. Найти фокусное расстояние f и положения главных пло-
скостей двояковыпуклой толстой лин-
f=15 f=-5 зы, для которой п= 1,5, г, = 10 см,
1 _1_ r2=4 cm, d = <2 см.
| Д ___ 103. Определить положение главных
' ПТ г "" /|Н плоскостей, фокальных точек и фокус-
V /|\ ное расстояние системы двух тонких
ц линз, изображенной на рис. 15.
п 104. Всегда ли предмет и его изо-
Рис. 15.
бражение видны из оптического центра
под одинаковыми углами?
Примечание. Оптическим центром толстой линзы называется
изображение передней (задней) главной точки при преломлении на
передней (задней) поверхности линзы.
105. Собирающей или рассеивающей будет вогнуто-выпуклая лин-
за, обе поверхности которой имеют одинаковые радиусы кривизны?
Определить положение главных плоскостей и фокусное расстояние
линзы, если ее толщина равна d, радиус кривизны каждой из поверх-
ностей— R, а показатель преломления п^>1.
106. Преломляющие поверхности линзы являются концентриче-
скими сферическими поверхностями. Больший радиус кривизны равен R,
толщина линзы — d, а показатель преломления п^>1. Собирающей
или рассеивающей будет эта линза? Определить положение главных
плоскостей и фокусное расстояние линзы.
107. При каком положении бесконечно малого трехмерного
объекта его изображение, даваемое центрированной оптической сис-
темой, подобно самому объекту?
Указание. Для того чтобы изображение малого объемного
объекта было подобно самому объекту, необходимо и достаточно,
чтобы поперечное увеличение по абсолютной величине равнялось
осевому увеличению. Исходя из уравнения центрированной систе-
мы в форме Ньютона: XX' — ff, определить осевое увеличение.
Сравнивая его с поперечным увеличением, нетрудно найти решение
задачи.
108. Б. Б. Голицын предложил следующий способ определения
показателей преломления жидкостей. Исследуемая жидкость нали-
вается в цилиндрическую стеклянную трубку, на внешней поверх-
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
23
§ 1]
ности которой наносятся два штриха, параллельные оси трубки, а с
противоположной стороны трубки измеряется кажущееся расстояние
между ними Пусть у — истинное расстояние между штрихами,
— внешний, /^2 — внутренний радиусы трубки; пь пъ п — пока-
затели преломления воздуха, стекла и исследуемой жидкости соот-
ветственно. Показать, что показатель преломления жидкости можно
' вычислить по формуле
1 __ JZ1 -^2 \ I -Д'2 (1 I У \
П П2\ R1 ) ‘ 2«! \ 'У1)'
109. Для определения увеличения зрительной трубы, окуляром
которой является собирающая линза, Рамсден предложил следующий
метод. Трубу, установленную на бесконечность, закрепляют на опти-
ческой скамье. Вывернув объектив, помещают на его место диа-
фрагму, имеющую, например, форму ромба. Окуляр дает действитель-
ное изображение этой диафрагмы, которое можно получить на экране.
Пусть L — длина диагонали ромба-диафрагмы, a Z—его изображе-
ния. Показать, что увеличение трубы равно —.
ПО. Метод Рамсдена (см. предыдущую задачу) непосредственно
неприменим для определения увеличения галилеевой трубы, так как
окуляром ее является рассеивающая линза. Для определения увели-
чения галилеевой трубы можно поступить следующим образом. Уста-
новив галилееву трубу на бесконечность, закрепляют ее на оптиче-
ской скамье. За- галилеевой трубой помещается другая зрительная
труба известного увеличения, также установленная на бесконечность
и обращенная окуляром в сторону галилеевой трубы. За второй тру-
бой помещается экран. Затем объектив галилеевой трубы вывинчи-
вается и заменяется диафрагмой. Перемещая экран, получают на нем
действительное изображение диафрагмы. Показать, что увеличение
галилеевой трубы равно
где Di — размер диафрагмы, Z)2 — размер ее изображения, a —
увеличение второй трубы.
111. Для определения фокусного расстояния собирательной линзы
Бессель предложил следующий метод. По обе стороны линзы на не-
изменном расстоянии А друг от друга помещаются предмет и экран.
Вообще говоря, существуют два положения предмета, при которых
получаются четкие изображения его на экране (указать, когда это
возможно). Пусть а — расстояние между этими положениями, а е —
расстояние между главными плоскостями линзы. Найти выражение
для фокусного расстояния линзы, пренебрегая квадратами отношения
Каким образом можно определить величину е?
24 оптика [гл. I
112. Найти формулу, связывающую расстояние и от источника до
вогнутого зеркала радиуса г с расстоянием v от зеркала до точки А
пересечения оси зеркала с лучом, исходящим из источника и
отражающимся от зеркала на расстоянии h от оси. Пренебречь чле-
нами, содержащими h в степени выше второй.
113. Точечный источник расположен на расстоянии и от вогну-
того сферического зеркала с радиусом кривизны г. Найти продоль-
ную сферическую аберрацию лучей, исходящих из источника и отра-
жающихся от зеркала на расстоянии h от оси. Пренебречь членами,
содержащими h в степени выше второй.
Указание. См. предыдущую задачу.
114. Радиус вогнутого сферического зеркала равен 50 см.
Точечный источник расположен на оси зеркала на расстоянии 100 см
от него. Вычислить продольную аберрацию лучей, отражающихся
от зеркала на расстояниях 3, 6, 9, 12 см от оси.
115. Найти продольную сферическую аберрацию для параллель-
ного пучка у сферического зеркала диаметром 1 м с фокусным
расстоянием 10 м.
116. Какой диаметр будут иметь изображения звезд, получаемых
в зеркале, описанном в предыдущей задаче?
117. Для параксиальных лучей формула, связывающая расстояние
и от источника до преломляющей сферической поверхности с рас-
стоянием » от изображения до той же поверхности, имеет вид:
п 1 п — I
~v и г
(см. задачу 82). Показать, что для лучей, пересекающих поверхность
на расстоянии h от оси, расстояние изображения от сферической
поверхности vr связано с и формулой (с точностью до /г4):
п 1 __ и—1 , л—1 / 1 IV/1 л-М\/га
v' и г ' и2 \ г и) \г и ) 2 *
118. Найти продольную сферическую аберрацию в тонкой линзе
для лучей, пересекающих линзу на расстоянии h от оси.
Указание. См. предыдущую задачу.
119. Найти продольную сферическую аберрацию для параллель-
ного пучка, падающего на плоско-выпуклую стеклянную линзу (н= 1,5),
в случаях: 1) когда линза обращена выпуклой стороной к пучку и
2) когда линза обращена к пучку плоской стороной. Фокусное рас-
стояние линзы 1 м. Диаметр линзы 10 см. Найти также поперечную
аберрацию в обоих случаях.
120. Найти фокусные расстояния для красных, желтых и синих
лучей, а также продольную хроматическую аберрацию (разность фо-
кусных расстояний для крайних видимых лучей) двояковыпуклой лип-
§ 1] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 25
зы с радиусами кривизны R} =. R.> — R — 981,4 мм, сделанной из
стекла со следующими показателями преломления:
X в А п
Красные лучи ............ 6682 1,4835
Желтые ».............. 5270 1,4907
Синие ».............. 4046 1,4997
121. При визуальных наблюдениях мы обычно фиксируем изобра-
жение, образованное лучами средней части видимого спектра, т. е.
желтыми лучами. Считая, что диаметр отверстия линзы, описанной
в предыдущей задаче, равен 5 см, найти диаметры d кругов рассея-
ния, образованных красными и синими лучами при фокусировке на
желтое изображение.
122. Найти увеличение Л/ лупы или окуляра (рассматривая их как
толстые центрированные системы) в зависимости от положения пред-
мета и глаза наблюдателя. Координаты предмета и его изображения
относительно фокальных точек X и Х'\ координата, определяющая
положение глаза относительно заднего фокуса окуляра, равна а. При
каком положении предмета увеличение не будет зависеть от поло-
жения глаза наблюдателя? При каком положении глаза увеличение не
будет зависеть от положения предмета? Чему равно увеличение, когда
глаз аккомодирован на наименьшее расстояние ясного зрения L=25 см?
Примечание. Увеличением лупы или окуляра называется отно-
шение угла, под которым' предмет виден через лупу, к углу, под
которым он был бы виден невооруженным глазом, если бы был по-
мещен от последнего на наименьшем расстоянии ясного зрения.
123. В чем смысл ахроматизации окуляров в отношении только
фокусных расстояний без одновременной ахроматизации в смысле
совмещения главных плоскостей?
Указание. См. предыдущую задачу.
124. Показать, что две тонкие линзы, сделанные из одного и
того же материала, образуют ахроматизированную в отношении фо-
кусного расстояния систему (для всех длин волн), если расстояние
f [ f
между НИМИ l—JX * ♦
125. Один из типов окуляра Кельнера представляет собой ахро-
матизированную в отношении фокусного расстояния систему двух
тонких собирательных линз, расстояние между которыми I равно
фокусному расстоянию первой линзы. Найти фокусное расстояние
/2 второй линзы, фокусное расстояние f всего окуляра и положение
его главных плоскостей.
126. Окуляр Гюйгенса представляет собой ахроматизирован-
ную в отношении фокусного расстояния систему двух тонких плоско-
выпуклых линз, обращенных выпуклыми поверхностями в сторону
26 ОПТИКА [гл. I
падающего света.Для уменьшения сферической аберрации Гюйгенс подо-
брал расстояние между линзами так, чтобы световые лучи, падающие
на окуляр параллельно главной оптической оси, испытывали одина-
ковые угловые отклонения при преломлении в первой и второй лин-
зах1). Найти соотношение между фокусными расстояниями Д и /2
обеих линз, расстояние I между ними, положение главных плоско-
стей окуляра и его фокусное расстояние /.
127. Почему в окуляре Кельнера, описанном в задаче 125, видны
соринки на поверхности первой линзы, а в окуляре Гюйгенса не
видны?
128. Окуляр Рамсдена состоит из двух плоско-выпуклых линз
с одинаковыми фокусными расстояниями, обращенных выпуклыми сто-
ронами навстречу друг к другу. Расстояние между линзами равно
двум третям их фокусного расстояния. Найти фокусное расстояние
и положение главных плоскостей окуляра Рамсдена. Где следует по-
местить крест окулярных нитей, чтобы его изображение совпало с
плоскостью изображения предмета?
129. Написать условие ахроматизации двух линз, сложенных вплот-
ную. Какое заключение о фокусных расстояниях обеих компонент
ахроматической линзы можно сделать из этого условия?
130. Какая линза в ахроматическом объективе телескопа, бинокля
и т. п., состоящем из двояковыпуклой и плоско-вогнутой линз, делает-
ся из крона и какая из флинта?
131. Рассчитать ахроматический плоско-выпуклый склеенный объек-
тив с фокусным расстоянием /= 1 м, изготовленный из крона (л, =
= 1,5179, коэффициент дисперсии = 60,2) и флинта (л2 = 1,6202,
коэффициент дисперсии v2 = 36,2). Одна из линз двояковыпуклая.
Примечание. Коэффициентом дисперсии называют отношение
nD — 1
v =------------------------------>
«Д—«с
где буквы D, F, С относятся к соответствующим фраунгоферовым
линиям.
132. Написать условие, при котором одна линза будет ахромати-
зирована относительно фокусных расстояний для двух каких-либо
участков спектра.
133. Показать, что толстая одиночная ахроматическая линза, опи-
санная в предыдущей задаче, будет собирающей, если она двояковы-
пуклая, и рассеивающей, если она выпукло-вогнутая.
Примечание. Линза называется собирательной, если ее фокус-
ное расстояние в пространстве предметов/=—/'положительное. В про-
‘) В современных типах окуляра Гюйгенса это условие обычно не выпол-
няется.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
27
§ 1]
тивоположном случае линза называется рассеивающей. См. примеча-
ние к задаче 22.
134. Найти толщину d и фокусное расстояние f толстой ахрома-
тической двояковыпуклой линзы, обе поверхности которой имеют
один и тот же радиус кривизны /^=10 см. Линза изготовлена из
стекла со следующими показателями преломления:
пКпасн = 1,636; псин = 1,682.
135. Источник света проектируется конденсорной линзой на щель
спектрографа; при этом изображение источника увеличено в k раз.
Показать, что при условии полного заполнения объектива коллима-
тора светосила конденсора сч и светосила объектива коллиматора
а.2 связаны соотношением =(1 -j- #)а2.
136. При фотографировании спектров фотографическую пластинку
приходится ставить не перпендикулярно к оптической оси объектива
спектрографа. Вычислить, какой нужно задать угол перекоса {3 пла-
стинке и в какую сторону, чтобы получить весь спектр резким, если
известно, что показатель преломления оптического стекла, из кото-
рого сделан объектив, для линии С равен 1,502, для линии F— 1,510,
угловая дисперсия призмы спектрографа между теми же линиями
равна а = 3°.
Указание. Можно считать, что если обе линии С и F будут
сфокусированы, то и весь спектр будет резким. При решении
следует еще иметь в виду, что одноцветные пучки выходят из приз-
мы параллельными.
137. Световой луч падает на однородный шар с показателем пре-
ломления п. Может ли преломленный луч испытывать полное внут-
реннее отражение внутри шара?
138. По Декарту радуга образуется в результате отражения сол-
нечных лучей внутри водяных капель. Лучи, претерпевшие внутри
капли одно отражение, дают так называемую главную радугу или
радугу первого порядка. Лучи, претерпевшие двукратное отражение,
дают побочную радугу или радугу второго порядка. Угловые раз-
меры радуги можно определить из требования, чтобы угол отклоне-
ния светового луча при отражении и преломлении внутри капли был
минимален, так как в этом случае малому изменению угла отклоне-
ния соответствуют большие изменения угла падения, а следовательно,
получается максимальная интенсивность света, отраженного внутри
капли. Под каким углом <р должен падать световой луч на поверх-
ность капли, чтобы он испытал наименьшее отклонение при одно-
кратном и двукратном отражении внутри капли? Найти угловой
радиус а главной и побочной радуг для красного и фиолетового
света. Показатели преломления воды равны nKpacu = 1,329, ДфИ0Л =
*= 1,343.
28 оптика [гл. i
Примечание. Декартова теория радуги основана на геомет-
рической оптике и объясняет лишь некоторые основные черты явле-
ния радуги. Для объяснения всех особенностей этого явления необ-
ходимо учитывать дифракцию света на водяных каплях.
139. Теория Декарта допускает существование радуг высшего
порядка, когда число отражений света внутри капли равно трем,
четырем и т. д. Предполагая, что солнечный луч претерпевает внутри
капли N отражений, найти угол падения <р (рис. 16), которому соот-
ветствует экстремальное отклонение вышедшего из капли луча
от первоначального направления. Показать, что экстремальное от-
клонение всегда соответствует минимуму угла отклонения. Опреде-
лить угол наименьшего отклонения 8 и угловой радиус а для радуг
третьего, четвертого, пятого и шестого порядков, считая, что пока-
затель преломления воды,п — 1,33. Объяснить, почему эти радуги и
радуги высших порядков никогда не наблюдаются.
140. Гало, т. е. белые слабо окрашенные круги вокруг Солнца
(или Луны), наблюдается тогда, когда небо покрыто тонкой пеленой
перисто-слоистых или высоких слоистых облаков. Гало происходит
вследствие преломления световых лучей в беспорядочно ориентиро-
ванных ледяных кристалликах, имеющих форму правильных шести-
гранных призм (гексагональная система). Найти видимый угловой
радиус гало и описать характер распределения окраски в них. Пока-
затель преломления льда п— 1,31.
141. Исходя из закона преломления света, показать, что радиус
кривизны р светового луча при его распространении в прозрачной
изотропной среде с медленно изменяющимся показателем преломле-
ния определяется выражением
— = VT7 (In п),
Р dN' 7
где производная берется по направлению главной нормали к лучу.
§ и
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
29
142. Считая, что показатель преломления п воздуха зависит
только от расстояния до центра Земли, вывести формулу для вы-
числения астрономической рефракции с учетом кривизны земной
поверхности.
143. Показать, что если пренебречь кривизной земной поверх-
ности (это можно делать, когда звезда находится не слишком близко
к горизонту), то астрономическая рефракция не будет зависеть от
закона изменения показателя преломления воздуха с высотой, а только
от значений п0 и а0. Показать, что для светила, находящегося не
слишком близко к горизонту, рефракцию можно вычислять по при-
ближенной формуле
аоо —a0 = <A)—Wa0.
144. Найти рефракцию arx.—a0, если видимое зенитное расстоя-
ние а0 светила равно 70°, а показатель преломления воздуха у по-
верхности Земли п0— 1,000293.
145. Считая, что разность п—1 пропорциональна плотности воз-
духа, и предполагая, что плотность воздуха меняется с высотой, со-
гласно барометрической формуле (изотермическая атмосфера), вывести
выражение для рефракции — а0 с учетом кривизны земной по-
верхности.
146. Найти рефракцию — а0 для изотермической атмосферы,
предполагая, что видимое зенитное расстояние ао = 9О°; молекулярный
вес воздуха Л4 = 28,8; ускорение силы тяжести ^ = 981 см-сек~2', тем-
пература 7=273° К; газовая постоянная R=8,3143 • 107 эрг-град~гХ
X моль~х\ радиус Земли г0 = 6367 клт, показатель преломления воз-
духа у Земли п0= 1,000293.
147. Градиент показателя преломления воздуха вблизи земной
поверхности составляет около 3 • 1О-10 сл-1. Определить радиус кри-
визны светового луча, когда он распространяется в атмосфере в го-
ризонтальном направлении. Каков должен быть градиент, чтобы луч
света, выйдя в горизонтальном направлении, описал окружность во-
круг земного шара?
148. Абсолютным оптическим инструментом называется такой
инструмент, который с помощью широких пучков дает строго стигма-
тическое изображение каждой точки пространства предмета. Макс-
велл привел пример такого инструмента, названного им «рыбьим гла-
вом». «Рыбий глаз» Максвелла представляет собой неограниченную
среду с непрерывно изменяющимся показателем преломления, обла-
дающую сферической симметрией. В такой среде световой луч имеет
форму окружности независимо от того, из какой точки и по какому
направлению он вышел.
Найти закон изменения показателя преломления «рыбьего глаза»
ь зависимости от расстояния г от центра симметрии. Показать, что
30
ОПТИКА
[гл. т
все световые лучи, выйдя из произвольной точки Р, описав окруж-
ности, снова соберутся в некоторой точке Р'. Показать также, что
увеличение, даваемое «рыбьим глазом», равно отношению показателя
преломления в том месте, где находится предмет, к показателю пре-
ломления в том месте, где получается изображение.
149. Найти минимальный радиус кривизны окружности, которую
может описать световой луч в «рыбьем глазе».
Указание. См. предыдущую задачу.
150. Можно ли осуществить «рыбий глаз» Максвелла в электрон-
ной оптике, предполагая, что электроны должны двигаться в электро-
статическом поле в вакууме?
Указание. Воспользоваться аналогией между геометрической
оптикой и классической механикой движения частицы в консерватив-
ном поле сил.
151. Пользуясь аналогией между классической механикой и гео-
метрической оптикой, получить выражение для кривизны луча в не-
однородной изотропной среде.
152. Исходя из формулы для кривизны луча в неоднородной
среде и используя аналогию между классической механикой и гео-
метрической оптикой, показать, что радиус кривизны р электрона
в электрическом поле определяется формулой
1 _____
р ~ 2V’
где En — слагающая электрического поля вдоль главной нормали
к траектории, а V — электростатический потенциал, нормированный
гак, что при нулевом потенциале скорость электрона обращается
в нуль.
153. Объектив микроскопа, удовлетворяющий условию синусов,
помещен на оптической скамье. Перед передней апланатической точ-
кой Р его находится сетка кривых, начерченная на листе бумаги.
Сетка рассматривается глазом, помещенным во вторую (заднюю)
апланатическую точку Рг. Найти
форму рассматриваемых кривых,
если глаз видит их изображение
в виде прямоугольной сетки
прямых. Расстояние сетки а от
точки Р велико по сравнению
с диаметром входного зрачка
системы.
рис. 17, 154. На рис. 17 приведен в на-
туральную величину рисунок, кото-
рым можно пользоваться при испытании объективов микроскопов по
способу Аббе. Удалив окуляр микроскопа, помещают такой рисунок
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
31
§ 1]
перед передней апланатической точкой объектива на вполне опреде-
ленном расстоянии а от нее. Глаз наблюдателя помещается во вто-
рой апланатической точке его. Если изображение рисунка получается
в виде квадратной сетки, то объектив удовлетворяет условию синусов.
Измерив нужные размеры на рис. 17, определить расстояние а от
передней апланатической точки объектива, на котором следует помещать
этот рисунок при испытании объективов по методу Аббе. (См. пре-
дыдущую задачу.)
155. Доказать теорему: Пусть точка Р' является стигматическим
изображением точки Р, даваемым оптической системой с помощью
сколь угодно широких пучков лучей. Для того чтобы бесконечно малый
элемент плоскости, проходящей через Р, изображался стигматически
широкими пучками лучей, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось условие косинусов для двух бесконечно малых непараллельных
отрезков, лежащих в этой плоскости и проходящих через точку Р.
Примечание. Теорема или условие косинусов состоит в сле-
дующем. Пусть точка Р' является стигматическим изображением точки Р.
Соединим эти точки произвольным лучом, направления которого
в точках Р и Р' определяются единичными векторами $ и s'. Пусть Q
и О' — две точки, бесконечно близкие к Р и Р' соответственно. Для
того чтобы точка Q изображалась стигматически в виде точки О',
необходимо и достаточно, чтобы разность nsl—n's'l', где 1—PQ,
Г = P'Q', не зависела от $, т. е. от направления луча, соединяющего
Р и Р'. Здесь п — показатель преломления в пространстве предметов,
an' — в пространстве изображений. Среда, в которой распространяются
световые лучи, предполагается изотропной, но она может быть неодно-
родной.
156. Доказать теорему: Пусть бесконечно малая площадка стигма-
тически изображается оптической системой. Пусть, далее, 1Х и Z2 — бес-
конечно малые непараллельные отрезки, пересекающиеся в пределах
площадки и лежащие в ее плоскости. Если эти отрезки лежат танген-
циально в поле инструмента, то рассматриваемая площадка изобра-
жается оптической системой с сохранением подобия. При этом опти-
ческая длина любого отрезка, лежащего на площадке, равна оптиче-
ской длине сопряженного с ним отрезка.
Примечание. Говорят, что световой луч лежит в поле инстру-
мента, если он действительно проходит через диафрагмы из простран-
ства предметов в пространство изображений. Говорят также, что
отрезок кривой лежит тангенциально в поле инструмента, если все
лучи, касающиеся этого отрезка, лежат в поле инструмента.
157. Доказать теорему: Пусть оптическая система стигматически
изображает некоторую конечную поверхность и пусть АВ — линия,
лежащая на этой поверхности. Если через каждую точку этой линии
можно провести по крайней мере два луча, касающихся изображаемой
32
ОПТИКА
[гл. I
поверхности и лежащих в поле инструмента, то оптическая длина
линии АВ равна оптической длине ее изображения A'ff.
158. Доказать теорему: Пусть точка Рг является стигматическим
изображением точки Р. Для того чтобы бесконечно малый элемент
объема в окрестности точки Р изображался стигматически, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие косинусов для трех беско-
нечно малых отрезков, проходящих через точку Р и не лежащих
в одной плоскости.
159. Доказать теорему: Стигматическое изображение элементов
объема всегда происходит с сохранением подобия. При этом линейное
п
увеличение равно , так что оптическая длина предмета всегда
равна оптической длине его изображения. В частности, эта теорема
справедлива для изображений, даваемых абсолютным оптическим
инструментом. (См. задачу 148.)
160. Доказать теорему: В абсолютном оптическом инструменте
оптическая длина луча, соединяющего сопряженные точки, одна и
та же для всех пар сопряженных точек.
161. Доказать теорему: Если показатели преломления лил' про-
странств предметов и изображений постоянны, то абсолютный опти-
ческий инструмент является телескопической системой, в которой
всякая прямая изображается в виде прямой. В частном случае, когда
п = п', увеличение, даваемое инструментом, равно единице.
162. Доказать теорему: Пусть пространства предметов и изобра-
жений имеют постоянные показатели преломления л и л' и граничат
друг с другом вдоль некоторой поверхности, па которой световые
лучи испытывают преломления. Тогда такая оптическая система не
может быть абсолютным оптическим инструментом. Невозможен также
абсолютный оптический инструмент с постояннными л и л', в котором
изображение получается путем конечного числа преломлений на пре-
ломляющих поверхностях или путем комбинации конечного числа
преломлений с отражениями.
♦
163. Доказать теорему: Если лил' постоянны, то единственным
абсолютным оптическим инструментом с конечным числом отражающих
или преломляющих поверхностей 'является плоское зеркало или
система плоских зеркал.
§ 2. Фотометрия
164. На столе лежит книга на расстоянии 1 м от основания
перпендикуляра, опущенного из лампы на плоскость стола. Лампа
может перемещаться только вверх и вниз. На какой высоте h над
столом следует ее подвесить, чтобы освещенность книги была наи-
большей?
§ 2] фотометрия 33
165. В фотометрической практике считается, что закон обратных
квадратов можно применять, если расстояние фотометра от измеряе-
мого источника не меньше пятикратных размеров последнего.
Показать для случая круглого равномерно светящегося диска (т. е.
диска, поверхностная яркость которого одинакова во всех направле-
ниях) радиуса /?, что на расстоянии 10/? от его центра освещенность
на перпендикулярно расположенной площадке, вычисленная из закона
обратных квадратов, дает погрешность в 1°/0.
166. Какой кривой светораспределения должна обладать лампа,
чтобы давать равномерную освещенность на плоском столе, над
которым она подвешена?
167. Полый шар из молочного стекла освещен в одном месте
параллельным пучком света, сечение которого мало по сравнению
с диаметром шара. Стенки шара рассеивают свет по закону Ламберта.
Каково будет распределение яркости по поверхности шара?
168. Действительное изображение, образованное вогнутым зеркалом,
рассматривается на белом экране. Как зависит яркость изображения
от отверстия и фокусного расстояния зеркала?
169. Объяснить, почему два одинаковых фонаря, находящихся на
разных, но небольших расстояниях, часто кажутся нам одинаково
яркими. Всегда ли это справедливо и когда наблюдаются отступления?
170. Какая получается освещенность В на горизонтальной пло-
щадке, освещаемой небесной полусферой, если считать яркость неба
повсюду равномерной и равной В?
171. В параллельном пучке расположен двухгранный прямой угол
(рис. 18) так, что яркость граней одинакова. Коэффициенты отражения
граней ki и Л2. Найти углы граней с .
параллельным пучком at и а2. Грани ___________*________t /
рассеивают свет по закону Ламберта. ' W
172. Освещенность, получаемая при ~7
нормальном падении солнечных лучей на ---- .
поверхность Земли, около 10s лк. Счи- --------•------ 1—
тая, что излучение Солнца подчиняется ------—*-------------
закону Ламберта, и пренебрегая по-
глощением света в атмосфере, опреде- Рис>
лить яркость Солнца, если известно,
что радиус земной орбиты /?=1,5’108 км,. а диаметр Солнца
D— 1,4-106 км.
173. Какую освещенность В следует создать на белом листе бумаги
с коэффициентом отражения k = 0,85, чтобы его яркость В была 3 сб?
Можно считать, что бумага рассеивает свет по закону Ламберта.
34
ОПТИКА
[гл. (
174. Освещенность, получаемая при нормальном падении солнечных
лучей на поверхность Земли, составляет приблизительно Ео= 100 000 лк.
Какова освещенность Е изображения Солнца, даваемого свободной
от аберраций линзой с диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием
f— 10 см. Угловой диаметр Солнца а = 30'.
175. Объективом малой светосилы фотографируется предмет
с уменьшением в два раза. Как изменится освещенность на фотогра-
фической пластинке при съемке в тех же условиях, если снимать
с увеличением 1:1?
Указание. Ссылка на малую светосилу объектива означает,
что диаметр объектива мал по сравнению с расстоянием до объекта,
и следовательно, при подсчете телесного угла площадь линзы можно
считать равной площади соответствующего шарового сегмента.
176. Под объективом микроскопа (рис. 19) лежит объект Р.
Диаметр объектива Z) = 3 мм, его расстояние от покровного стекла
объекта весьма мало, показатель преломления покровного стекла
Р
Без иммерсии
Р
С иммерсией
Рис. 19.
п — 1,5, а толщина h — 0,2 мм. Во сколько раз увеличится яркость
изображения, если между объективом и покровным стеклом ввести
иммерсию с тем же показателем преломления, что и показатель пре-
ломления покровного стекла? Предполагается, что в обоих случаях
объект помещен в жидкость, которая имеет такой же показатель
преломления, как и покровное стекло.
Примечание. При отсутствии иммерсии в объектив попадут
от объекта только те лучи, которые падают на поверхность покров-
ного стёкла под углом, меньшим, чем угол полного внутреннего отра-
жения. Поэтому телесный угол, под которым объектив виден из
точки Р, уменьшается, если иммерсия отсутствует. В точном расчете
следовало бы принять во внимание отражение света на границах
раздела воздуха со стеклом и учитывать зависимость коэффициента
отражения от угла падения согласно формулам Френеля. Если это
отражение не учитывать, как предлагается сделать в рассматриваемой
задаче, то вычисленное увеличение яркости изображения окажется не-
сколько меньше истинного.
177. Определить отношение яркости изображения Д', полученного
в апланатической системе, к яркости объекта В, излучение которого
ФОТОМЕТРИЯ
35
§ 2]
подчиняется закону Ламберта. Показатели преломления в простран-
ствах предметов и изображений одинаковы.
178. Действительное изображение, образованное собирающей лин-
зой, рассматривается сначала непосредственно, а затем на белом экране.
Как зависит в обоих случаях яркость изображения от диаметра линзы?
179. Найти яркость изображения Луны, наблюдаемой в телескоп
с объективом диаметром в 75 мм, при увеличениях: 1) 20-кратном,
2) 25-кратном, 3) 50-кратном. Яркость Луны, видимой невооруженным
глазом, принять за единицу. Диаметр зрачка глаза считать равным 3 мм.
180. Какого диаметра должен быть объектив трубы с пятидесяти-
кратным увеличением, чтобы при пользовании ею освещенность изо-
бражения на сетчатке была не меньше освещенности, получаемой при
рассматривании предмета невооруженным глазом? Диаметр зрачка
глаза равен 2 мм. Потерями света в трубе пренебречь.
181. Диаметр объектива астрономического телескопа равен 18 см.
Считая,что коэффициент пропускания всей оптической системы телескопа
равен 0,5 и что невооруженный глаз различает звезды шестой вели-
чины, найти: 1) величину наиболее слабых звезд, которые могут быть
видимы с помощью этого телескопа; 2) наивыгоднейшее увеличение
для наблюдения звезд; 3) величину звезд, которые будут видимы при
увеличении в 10 раз. Диаметр зрачка глаза равен 3 мм.
Примечание. Возрастанию звездной величины на единицу
соответствует уменьшение ее видимой яркости в yf 100 2,5 раза.
182. Какой величины звезду можно увидеть в телескоп с диа-
метром объектива в 2 м? Невооруженный глаз различает звезды
шестой величины. Диаметр зрачка глаза равен 3 мм. Потерями света
пренебречь.
183. Как известно, яркость изображения в оптической системе не
зависит от его увеличения. Почему же при наблюдении в микроскоп
изображение кажется менее ярким, если применить ббльшее увели-
чение? Найти: 1) освещенность изображения в микроскопе с числовой
апертурой 1 (сухая система) и увеличением 625; 2) освещенность
изображения в микроскопе с числовой апертурой 1,5 (иммерсия
с п=1,5) и увеличением 1500. Освещенность объекта принять за
единицу. Расстояние ясного зрения равно 25 см, диаметр зрачка глаза
считать равным 2 мм. Потерями света в микроскопе пренебречь.
184. Определить освещенность Е, создаваемую бесконечно большой
светящейся плоскостью на площадке, расположенной параллельно этой
плоскости, если яркость плоскости по нормальному направлению
равна В, а излучение подчиняется закону Ламберта.
185. Объективы коллиматора и камеры спектрографа имеют одина-
ковые диаметры; фокусные расстояния их могут быть различными.
36
ОПТИКА
[гл. г
При помощи конденсора достигнуто освещение щели, при котором
объектив коллиматора полностью заполнен светом. Показать, что при
таких условиях светосила прибора зависит только от объектива камеры.
186. Поток энергии видимого излучения свечи на расстоянии 1 м
от нее равен 6 эрг на 1 см? в 1 сек. Предполагая, что свеча теряет
массу 8,5 г в час и что теплотворная способность спермацета —
5800 кал на 1 г, найти к. п. д. свечи как источника света.
187. Зная, что механический эквивалент света в узкой спектраль-
ной области, соответствующей максимуму чувствительности глаза
(Х = 5550А), равен 0,00160 вт[лм, оценить к. ,п. д. мощной газо-
наполненной лампы накаливания, потребляющей 0,5 вт на одну свечу.
Ориентировочно можно принять, что средняя чувствительность глаза
в спектральной области, занимаемой излучением лампы, вдвое меньше
максимальной *).
188. Найти среднюю напряженность электрического поля свето-
вого излучения Солнца на Земле, принимая для солнечной постоянной
значение 2 кал • см"* • мин~1 и пренебрегая поглощением в атмосфере.
Примечание. Солнечной постоянной называется средний поток
солнечной радиации, приходящейся на 1 см* земной поверхности,
перпендикулярной к направлению излучения, в одну минуту (при отсут-
ствии поглощения в атмосфере).
189. Пользуясь данными предыдущей задачи, определить напря-
женность Н магнитного поля световой волны, приходящей на Землю
от Солнца.
190. Какова амплитуда напряженности Н магнитного поля световой
волны в месте изображения Солнца, получаемого в фотоаппарате при
светосиле объектива, равной ? Угловой диаметр Солнца 0,01 рад.
Потерями света в атмосфере и объективе пренебречь.
§ 3. Интерференция и дифракция света
191. Составить уравнение плоской волны, нормаль к которой
параллельна единичному вектору я = (а, р, у).
Какой вид принимает это уравнение для монохроматической волны?
192. Составить уравнение волны, излучаемой: 1) точечным источ-
ником (сферическая волна) и 2) бесконечной нитью (цилиндрическая
волна).
193. Показать, что если разность фаз двух складываемых коле-
баний беспорядочно меняется во времени, то средняя по времени
*) Более точно задачу можно решить, зная распределение энергии в спектре
и пользуясь кривой видности человеческого глаза. См. Г. С. Ландсберг,
Оптика, изд. 4-е, § 8, Гостехиздат, Москва, 1957.
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 37
энергия результирующего колебания равна сумме энергий исходных
колебаний.
Указание. Считать, что за время наблюдения все значения
разности фаз равновероятны.
194. В каком случае две электромагнитные волны одинаковой
частоты складываются всегда (т. е. при любых фазовых соотношениях)
так, что интенсивность результирующего колебания I равна сумме
интенсивностей исходных колебаний 7Х и 72?
195. Направления распространения двух плоских волн одной и
той же длины X составляют друг с другом малый угол <р. Волны
падают на экран, плоскость которого приблизительно перпендикулярна
к направлению их распространения. Написав уравнения обеих плоских
волн и сложив поля этих волн, показать, что расстояние Дх между
двумя соседними интерференционными полосами на экране опреде-
ляется выражением
* X
Lx = —.
196. Как изменится выражение для Дх в предыдущей задаче, если
интерферирующие лучи падают на экран наклонно?
197. Найти длину волны X монохроматического излучения, если в
опыте Юнга расстояние первого интерференционного максимума от цен-
тральной полосы р — 0,05 см. Дан-
ные установки (рис. 20): а = 5 м,
d = 0,5 см.
198. На пути одного луча в
интерференционной установке Юн-
га стоит трубка длиной 1=2 см
с плоскопараллельными стеклян- Рис. 20.
ными основаниями, и наблюдается
интерференционная картина, когда эта трубка наполнена воздухом.
Затем трубка наполняется хлором и при этом наблюдается смещение
интерференционной картины на 7V= 20 полос. Вся установка заключе-
на в термостат, поддерживающий постоянную температуру. Наблюдения
л производятся со светом линии D
VtP натрия (Х = 5890А). Принимая
показатель преломления воздуха
х \ п= 1,000276, вычислить показа-
у И* ' тель пРеломления хлора. В какую
сторону смещаются полосы интер-
| ференции при наполнении сосуда
Рис. 21. хлором?
199. Определить угол а между
зеркалами Френеля (рис. 21), если расстояние Д/? между полосами ин-
терференции на экране равно 1 мм, а=1 м, г =10 см, Х = 4861 А.
38
ОПТИКА
[гл. г
Интерферирующие лучи падают на экран приблизительно перпенди-
кулярно.
200. Определить расстояние р между центром картины и пятой
светлой полосой в установке с зеркалами Френеля (рис. 21) (а = 20',
г ==Ю см, а=1 м) для Х = 5890Л. Интерферирующие лучи падают
на экран приблизительно перпендикулярно.
201. Найти распределение интенсивности / на экране в установке
с зеркалами Френеля (рис. 21).
202. Определить вид поверхности равной интенсивности в опыте
с зеркалами Френеля, если источник света: 1) точка; 2) щель, парал-
лельная линии пересечения зеркал.
Примечание. Предполагается, что отдельные участки щели
когерентны между собой и колеблются в одной фазе. Это можно
осуществить, например, освещая щель плоской волной.
Рис. 22.
203. Выразить расстояние р от
центра интерференционной кар-
•Р тины до zzz-й светлой полосы в
опыте с бипризмой (рис. 22).
Показатель преломления призмы —
п, длина волны — X, преломляющий
угол — а. Интерферирующие лучи
падают на экран приблизительно
перпендикулярно.
204. Будут ли наблюдаться интерференционные полосы на экране,
если в установке с билинзой поместить источник света между лин-
зой и главным фокусом (билинза получается разрезанием пополам
целой линзы, обе половины которой раздви-
гаются)?
205. Из линзы с фокусным расстоянием
/=50 см вырезана центральная часть ши-
рины а, как показано на рис. 23. Обе поло-
вины линзы сдвинуты до соприкосновения.
По одну сторону линзы помещен точечный
источник монохроматического света (Х =
= 6000А). С противоположной стороны линзы
помещен экран, на котором наблюдаются по-
лосы интерференции. Расстояние между
соседними светлыми полосами Дх = 0,5 мм
и не изменяется при перемещении экрана вдоль оптической оси.
Найти а.
206. При каком положении экрана в установке, описанной в
предыдущей задаче, интерференционные полосы исчезнут, если диа-
метр линзы £) = 6 см? При каком положении экрана число интер-
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
39
ференционных полос будет максимальным и чему равно это число
полос?
207. Преломляющий угол бипризмы а = 3'26". Между точечным
источником монохроматического света (Х = 5000А) и бипризмой поме-
щена линза таким образом, что ширина интерференционных полос
оказалась не зависящей от расстояния экрана до бипризмы. Найти
расстояние между соседними темными полосами, если показатель
преломления стекла бипризмы п=1,5. Найти максимальное число
полос N, которое может наблюдаться в этой установке, если оно
получается при удалении экрана от бипризмы на D — 5 м.
208. При каком положении экрана в установке, описанной в пре-
дыдущей задаче, будет наблюдаться максимальное число интерфе-
ренционных полос, если расстояние между вершинами преломля-
ющих углов бипризмы составляет 7=4 см, и чему равно это число
полос 7V? При каком положении экрана интерференционные поло-
сы исчезнут?
209. Найти число полос интерференции N, получающихся с
помощью бипризмы, если показатель преломления ее — п, преломля-
ющий угол — а, длина волны источника—X. Расстояние источника света
от бипризмы равно а, а расстояние бипризмы от экрана равно Ь.
210. Наблюдение полос интерференции в белом свете с помощью
зеркал Ллойда может быть использовано для экспериментального
доказательства потери полуволны при отражении света от зеркала.
С этой целью на пути луча S7H
(рис. 24) ставят тонкую пластинку Р,
смещающую полосы интерференции Р
на экране АВ вверх. Пусть точка М __________и------
на экране выбрана так, что оптиче- и
ские длины (S/И и SC/И) равны. Если
бы не было потери полуволны при
отражении и изменения фазы волны
при входе в пластинку Р или при
выходе из нее, то волны, приходя-
щие в М по пути S7H и SCM, IP
имели бы одинаковые фазы. При ис- Рис. 24.
пользовании белого света в М полу-
чилась бы ахроматическая светлая полоса. Опыт же показывает, что
ахроматическая полоса темная. Этот факт объясняют потерей полу-
волны при отражении от зеркала. Как доказать экспериментально,
что потеря полуволны происходит именно при отражении от зеркала,
а не при входе света в пластинку Р или при выходе из нее?
211. Какому условию должны удовлетворять размеры источника
света, чтобы могли наблюдаться интерференционные полосы в уста-
новке с 1) зеркалами Френеля, 2) зеркалом Ллойда?
40 ОПТИКА [гл. г
212. На экран с двумя узкими параллельными щелями падают
лучи непосредственно от Солнца. При каком расстоянии D между
щелями могут наблюдаться интерференционные полосы за экраном?
Угловой диаметр Солнца а 0,01’ рад.
Примечание. Для упрощения расчета диск Солнца заменить
квадратом постоянной поверхностной яркости.
213. Изображение Солнца получено при помощи линзы с фокус-
ным расстоянием /=50 мм на отверстии экрана (размер отверстия
равен величине изображения). За экраном помещены две узкие парал-
лельные щели на расстоянии D = 1 мм друг от друга. При каком
расстоянии I между экраном и щелями могут наблюдаться интерфе-
ренционные полосы?
Примечание. См. предыдущую задачу.
214. На металлическое зеркало нормально падает пучок света с
длиной волны Х = 5-10-5 см, причем образуются стоячие волны.
На каком расстоянии от зеркала находятся 1-я пучность и 1-й узел
электрического вектора светового поля?
215. Линейно поляризованный свет падает под углом 45° на
металлическое зеркало, покрытое очень тонким фотослоем (толщина
фотослоя <^Х). В одном случае вектор Е лежит в плоскости паде-
ния, а в другом перпендикулярен к плоскости падения. В каком
случае фотослой почернеет?
216. Тонкая пленка освещается источником света. Свет, отражен-
ный от пленки, проектируется линзой на экран. Как надо установить
линзу, чтобы на экране наблюдались полосы интерференции?
217. Прозрачная плоскопараллельная стеклянная пластинка осве-
щается параллельным пучком монохроматического света и при этом
угол падения, толщина пластинки, п и X подобраны так, что отра-
женный свет вследствие интерференции между лучами, отраженными
от двух поверхностей пластинки, максимально ослаблен. Следова-
тельно, при изменении толщины пластинки в пределах длины волны
ее коэффициент отражения должен был бы изменяться. Однако при
увеличении первоначальной толщины в целое число раз он должен
остаться неизменным. Поэтому для сколь угодно толстой пластинки
получались бы различные коэффициенты отражения в зависимости
от ее толщины. Между тем для бесконечно толстой пластинки коэф-
фициент отражения не зависит от толщины и определяется форму-
лами Френеля. В чем решение этого кажущегося парадокса?
218. Темной или светлой будет в отраженном свете мыльная
пленка толщиной (Z= y-X? Пленка находится в воздухе.
219. При каких толщинах d пленки исчезают интерференционные
полосы при освещении ее светом с длиной волны к = 6-10~в см?
Показатель преломления пленки п = 1,5.
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 41
220. Зимой на стеклах трамваев и автобусов образуются тонкие
пленки наледи, окрашивающие все видимое сквозь них в зеленова-
тый цвет. Оценить, какова наименьшая толщина этих пленок (пока-
затель преломления наледи принять равным 1,33).
221. Почему центр колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном
свете, обычно темный?
222. Если между линзами из крона и флинта поместить масло,
показатель преломления которого имеет промежуточное значение
между значениями показателей преломления крона и флинта, то
точка соприкосновения линз будет окружена светлым пятном в отра-
женном свете и темным — в проходящем. Объяснить это явление.
223. Найти расстояние AZ между двадцатым и двадцать первым
светлыми кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и третьим
равно 1 мм, а кольца наблюдаются в отраженном свете.
224. Найти фокусное расстояние / плоско-выпуклой линзы, при-
мененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего свет-
лого кольца равен 1,1 мм\ ястеКла— 1>6; X —5890А. Кольца наблю-
даются в отраженном свете.
225. При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем свете
(X — 4500 А) с помощью плоско-выпуклой линзы, положенной на
плоскую пластинку, радиус третьего светлого кольца оказался рав-
ным 1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был из-
мерен радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм.
Найти радиус кривизны R линзы и длину волны Хкр красного света.
226. Плоскопараллельная стеклянная пластинка лежит на одной
из поверхностей двояковыпуклой линзы. При наблюдении колец
Ньютона в отраженном свете натриевой горелки (X = 5890А) найдено,
что радиус темного кольца порядка т =20 (центральному темному
кольцу соответствует m—ty равен xt = 2 мм. Когда пластинка
была положена на другую поверхность линзы, радиус темного кольца,
того же порядка сделался равным х2 —4 мм. Определить фокусное
расстояние линзы, если показатель преломления стекла, из которого
она изготовлена, п =1,5.
227. Найти радиус г первого темного кольца Ньютона, если
между линзой и пластинкой налит бензол (л = 1,5). Радиус кривизны
линзы 1 м. Показатели преломления линзы и пластинки одинаковы.
Наблюдение ведется в отраженном натриевом свете (X = 5890А).
228. Линза из крона (лк = 1,50) лежит на пластинке, одна половина
которой сделана из того же крона, а другая из флинта (лфл = 1,70).
Прослойка между линзой и пластинкой заполнена сероуглеродом
(л = 1,63). Описать характер ньютоновых колец в отраженном и
проходящем свете.
42 ОПТИКА [гл. г
229. Кольца Ньютона получаются между двумя плоско-выпуклыми
линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми поверхностями.
Найти радиус гт т-го темного кольца, если длина световой волны
равна X, а радиусы кривизны выпуклых поверхностей линз равны Rt
и R*. Наблюдение ведется в отраженном свете.
230. Кольца Ньютона получаются с помощью плоско-выпуклой
линзы с радиусом кривизны положенной на вогнутую сфериче-
скую поверхность с радиусом кривизны R^> Ri. Кольца наблю-
даются в отраженном свете. Определить радиус гт т-го темного
кольца, если длина световой волны равна X.
231. В установке для наблюдения колец Ньютона плоско-выпуклая
линза сделана подвижной и может перемещаться в направлении,
перпендикулярном к пластинке. Описать, что будет происходить с
кольцами Ньютона при удалении и приближении линзы к пластинке.
Кольца получаются с помощью монохроматического света.
232. Описать, как будет меняться резкость колец Ньютона при
перемещении линзы в установке, описанной в предыдущей задаче,
если они наблюдаются в отраженном свете ZX-линии Na, учиты-
вая, что ZX-линия Na не монохроматична, а представляет собой две
близкие спектральные линии с Х1==5890А и Х2 = 5896А.
233. Найти разность длин волн ZX-линий Na, если известно, что
резкость интерференционной картины, наблюдаемой в интерферометре
с двумя лучами, минимальна у четыреста девяностой, тысяча четыре-
ста семидесятой и т. д., а максимальна у первой, девятьсот восьмидесятой
и т. д. полос. Средняя длина волны £)-линий 5893 А.
234. В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном свете
при нормальном падении наблюдаются интерференционные полосы.
Расстояние между соседними темными полосами Дх = 5 мм. Зная,
что длина световой волны равна Х — 5800А, а показатель прелом-
ления пластинки я =1,5, найти угол а между гранями пластинки.
235. Наблюдаются полосы равной толщины в воздушном клине
между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками, обра-
зующими между собой очень малый угол. Клин освещается рассеян-
ным светом. Наблюдение ведется невооруженным глазом с расстояния
ясного зрения L = 25 см в направлении, перпендикулярном к поверх-
ности клина, причем глаз может смещаться перпендикулярно к ребру
клина. Оценить максимальное число интерференционных полос N,
которое может видеть глаз в монохроматическом свете при таком
способе наблюдения, если диаметр зрачка глаза d = 5 мм. Оценить
степень монохроматичности света, необходимую для того, чтобы
такое максимальное число полос могло наблюдаться.
236. Полосы равной толщины, получающиеся в тонком стеклян-
ном клине с показателем преломления п =1,5 при освещении рас-
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 43
сеянным монохроматическим светом с длиной волны X = 5000 А,
проектируются на экран, перед которым помещена квадратная диаф-
рагма со стороной d — 1 см и отстоящая от клина на расстоянии
£ = 50 см. Какой максимальный порядок интерференции N может
при этом наблюдаться на экране? Главная оптическая ось проекти-
рующей системы приблизительно перпендикулярна к поверхности
клина.
237. Горизонтальный электрический вибратор помещен над иде-
ально проводящей горизонтальной плоскостью на высоте h. Начер-
тить диаграммы направленности вибратора в вертикальной плоскости,
X X 3
перпендикулярной к его оси для /г = —; Л = —; Л = —X; h = X.
Вычислить направления на максимумы и минимумы излучения для
этих случаев.
238. Эффект Вавилова—Черенкова состоит в том, что электрон,
равномерно движущийся в среде с показателем преломления п, может
при известных условиях излучать свет. Найти условия, при которых
такое излучение возникает, а также направление излучения, рассмат-
ривая интерференцию волн, возбуждаемых электроном в разные
моменты времени. (См. также задачу 1086.)
239. 1) Вычислить радиус т-ft зоны Френеля, если расстояние от
источника до зональной пластинки равно а, а расстояние от пластинки
до места наблюдения равно Ь. Длина волны — X. 2) Найти радиус первой
зоны, если а = #=10 м", Х = 4500А.
240. 1) Рассчитать радиус ллг-й зоны Френеля при условии, что
на зональную пластинку падает плоская волна. 2) Найти rt для этого
случая, полагая, как и в предыдущей задаче, #=10 м, Х = 4500А.
241. Зональная пластинка дает изображение источника, удален-
ного от нее на 3 м, на расстоянии 2 м от своей поверхности. Где
получится изображение источника, если его отодвинуть в беско-
нечность?
242. Определить фокусное расстояние f зональной пластинки для
света с длиной волны 5000 А, если радиус пятого кольца этой
пластинки равен 1,5 мм; определить радиус первого кольца этой
пластинки. Что произойдет, если пространство между зональной
пластинкой и экраном заполнено средой с показателем преломления п
(при л> 1)?
243. Какова интенсивность света I в фокусе зональной пластинки,
если закрыты все зоны, кроме первой? Интенсивность света без
пластинки равна /0.
244. Какова интенсивность света / в фокусе зональной пластинки,
если закрыть всю пластинку, за исключением верхней половины
первой зоны? Интенсивность света без пластинки равна /0.
44 оптика [гл. t
245. Какова интенсивность света I в центре дифракционной кар-
тины от круглого экрана, если он закрывает всю первую зону?
Интенсивность света в отсутствие экрана равна /0.
246. Яркий источник можно сфотографировать, поместив между
ним и фотопластинкой гладкий непрозрачный шар. Объяснить явле-
ние. Диаметр шара D = 40 мм, расстояние от источника до шара
а=12 м, расстояние от шара до изображения Z>=18 м, размер
источника у —7 мм. Определить размер изображения у'. Будет ли
изображение испорчено, если поверхность шара испещрена множе-
ством неправильных царапин, глубина которых h порядка 0,1 мм?
Можно ли шар заменить диском?
247. Диск из стекла с показателем преломления п (для длины
волны X) закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения Р.
При какой толщине h диска освещенность в Р будет наибольшая?
248. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма)
увеличивается таким образом, что его радиус от радиуса одной зоны
возрастает до радиуса двух зон, то освещенность в точке Р
(точка Р—изображение источника света, даваемое диафрагмой) па-
дает почти до нуля. Как согласовать этот факт с увеличением всего
светового потока через диафрагму в два раза?
249. Точечный источник монохроматического света помещен на
расстоянии а от круглой диафрагмы, а экран с противоположной
стороны — на расстоянии b от нее. При каких радиусах диафрагмы г
центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет темным
и при каких светлым, если перпендикуляр, опущенный из источника
на плоскость диафрагмы, проходит через ее центр?
250. На длиннофокусную собирающую линзу с ирисовой диаф-
рагмой падает параллельный пучок монохроматического света. На рас-
стоянии а от линзы помещен экран, на котором наблюдаются диф-
ракционные кольца. При каких радиусах диафрагмы центр колец
будет темным и при каких — светлым, если фокусное расстояние линзы
равно /?
251. Для получения фотографий дифракционных картин в тех
случаях, когда источник света и экран расположены очень далеко,
В. К. Аркадьевым был применен метод подобия, в котором вместо
действительных препятствий, стоящих на пути лучей, используются
их уменьшенные и подобные модели. Требуется получить фотогра-
фию дифракционной картины от диска с диаметром Z) = 50 см,
когда на его оси расположен точечный источник света на расстоя-
нии А = 25 км, а экран удален от него на £ = 50 км (плоскость
экрана перпендикулярна к оси диска). С этой целью диск заменили
уменьшенной моделью с диаметром d — 1 см. Определить, на каких
расстояниях а и b следует поместить источник света и экран, чтобы
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 45
получилась подобная и уменьшенная в я = 50 раз дифракционная
картина.
252. Один из методов измерения угловых диаметров звезд заклю-
чается в следующем. Свет от звезды во время новолуния проходит
мимо края Луны и на нем претерпевает дифракцию. На поверхности
Земли получаются дифракционные полосы, перемещающиеся со ско-
ростью около 500 м-сек~\ Для их наблюдения в фокусе телескопа
помешают фотоэлемент. Возбуждаемый фотоэлектрический ток уси-
ливается и с помощью осциллографа записывается на движущейся
ленте. Резкость максимумов и минимумов на осциллограмме зависит
от углового размера звезды. Сравнивая осциллограмму с теоретиче-
ской, вычисленной в предположении, что звезда излучает как равно-
мерно светящийся диск, можно вычислить ее угловой диаметр <р.
Считая сначала край Луны абсолютно гладким, оценить, какие угло-
вые диаметры звезд доступны измерению указанным методом. Оце-
нить высоту неровностей лунной поверхности h для возможности
получения дифракционных полос. Расстояние до Луны £> = 380 000 км.
253. На рис. 25 изображена схема одной из установок для на-
блюдения интерференционных полос. Линза разрезается по диаметру
на две половинки Ll и £2, ко- 2
торые отодвигаются друг от /А—'
друга на значительное расстоя- s' / \
ние вдоль оптической оси. Ис- г 1 —
точник света S помещен на L''
оптической оси. Световой пу-
чок, проходящий через поло- рис 25.
винку линзы Lb перекрывается
с пучком, проходящим через половинку на участке S"S', на кото-
ром и происходит интерференция этих двух пучков света. Если там
поместить экран или (что лучше) производить наблюдение в микро-
скоп, то будут видны интерференционные кольца. Какой центр будут
иметь эти кольца: светлый или темный?
254. Условие того, чтобы френелева дифракция на отверстии
практически совпадала с фраунгоферовой, заключается, очевидно, в
том, что максимальная разность фаз двух лучей, идущих от разных
точек отверстия к экрану, на котором наблюдается дифракционная
картина, мала по сравнению с тс. Выразить это условие через раз-
меры отверстия d, длину волны X и расстояние от экрана до места
наблюдения г.
255. Найти угловое положение минимумов при дифракции Фраун-
гофера на щели, пользуясь принципом Гюйгенса—Френеля и разбивая
плоскость щели на зоны. Угол скольжения падающего луча относи-
тельно плоскости щели равен а0. Плоскость падения перпендикулярна
к длине щели.
46
ОПТИКА
[гл. т
256. Квадратное.отверстие освещается параллельным пучком сол-
нечных лучей, падающих нормально к плоскости отверстия. Найти
размер L X L изображения отверстия на экране, удаленном на 50 м
от него. Сторона отверстия = 0,2 см. Границей освещенности на
экране считать положение первого дифракционного минимума наи-
более сильно отклоняемых лучей (видимый спектр 7000—4000 А).
Плоскость экрана параллельна плоскости отверстия.
257. Совпадают ли интенсивности света при фраунгоферовой ди-
фракции на экране и дополнительном к нему отверстии в центре
и вне центра дифракционной картины?
258. Плоская световая волна падает нормально на абсолютно
черный экран, размеры которого велики по сравнению с длиной
волны. Часть энергии поглощается черным экраном, а часть рассеи-
вается из-за дифракции. Показать, что количество поглощенной энер-
гии равно количеству рассеянной.
259. Найти угловое распределение интенсивности света при фраун-
гоферовой дифракции на решетке из Af щелей и с периодом d
при условии, что световые лучи падают на решетку нормально,
а ширина щели равна Ь.
260. Найти угловое распределение дифракционных минимумов при
дифракции на решетке, период которой равен d, а ширина щели
равна Ь.
261. Найти условие появления главного дифракционного максимума
при наклонном падении лучей на решетку (угол падения — Яо). Какой вид
принимает это условие, если d^>X?
262. Пучок рентгеновских лучей падает на решетку с периодом 1р.
под углом 89°30'. Угол дифракции для спектра второго порядка
равен 89°. Найти X.
263. При каком условии можно наблюдать зеркальное отражение
от шероховатой поверхности при малых и больших углах падения?
264. Могут ли перекрываться спектры первого и второго поряд-
ков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом
(7000—4000 А)?
265. Найти условие равенства нулю интенсивности m-го макси-
мума для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели Ь.
266. Описать характер спектров дифракционной решетки, если
ее постоянная равна: 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной
ширине щели.
267. Какой максимальный порядок спектра может наблюдаться
при дифракции света длины волны X на решетке с периодом </?
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 47
268. Определить длину волны спектральной линии, изображение
которой, даваемое дифракционной решеткой в спектре третьего
порядка, совпадает с изображением линии X —4861А в спектре чет-
вертого порядка.
269. Чем определяется максимальная длина волны, которая может
получиться в спектре дифракционной решетки? Определить постоян-
ную, которую должна иметь решетка, способная давать инфракрасный
спектр с длинами волн до 100
270. На одномерную фазовую дифракционную решетку (рис. 26)
нормально падает плоская монохроматическая волна. На участках а
b ° b а b _ g b
Рис. 26.
и Ь оптические пути равны соответственно lx—nxzx и /2 = н2г2
(н, и л2 — показатели преломления, zx и г2 — соответствующие тол-
щины). Как меняются интенсивности дифракционных максимумов и
соответствующие им углы дифракции при lx -> Z2?
271. На одномерную дифракционную решетку со щелями (рис. 27)
падает плоская монохроматическая волна. Щели Ь решетки совсем
Рис. 27.
а
прозрачные, а участки а имеют коэффициент пропускания а. Тол-
щина решетки бесконечно мала по сравнению с длиной волны. Как
меняются интенсивности дифракционных максимумов и соответствую-
щие им углы дифракции, когда а -> 1 ?
272. Прозрачная периодическая структура, профиль которой
изображен на рис. 28, освещается сверху плоской монохроматической
48 ОПТИКА [гл. т
волной, падающей нормально на верхнюю границу. При заданном
показателе преломления п подобрать глубину h таким образом,
чтобы главные фраунгоферовы дифракционные максимумы первого
порядка имели наибольшую интенсивность. Какова при этом интен-
сивность нулевого главного максимума?
273. Две решетки из N синфазных вибраторов каждая сдвинуты
друг относительно друга на расстояние а (рис. 29). Как будет ме-
Рис. 29.
няться диаграмма направленности системы из таких решеток в зави-
симости от изменения расстояния а между ними? Рассмотреть случаи:
а = ~; а — X; а = -|- X; а — 2Х.
274. Как изменится диаграмма направленности решетки из 3W
равноотстоящих синфазных вибраторов, если убрать каждый третий
из них?
275. Сложная излучающая система состоит из конечного ряда
густо расставленных параллельных вибраторов с равномерным рас-
пределением фаз колебаний вдоль ряда. Как должен изменяться со
временем сдвиг фаз Дер между двумя соседними вибраторами, чтобы
главный лепесток диаграммы направленности всей системы совершал
круговой обзор местности с постоянной угловой скоростью 2 (при
отсутствии вращения самой системы)?
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 49
276. 1) Подсчитать угловую дисперсию в угл. сек{к в спектре
первого порядка для решетки, имеющей 3937 штрихов на 1 см.
2) Подсчитать линейную дисперсию спектрографа с такой решеткой
при объективе с фокусным расстоянием в 50 см. 3) Подсчитать ве-
личину, обратную линейной дисперсии (число А на 1 мм). При рас-
чете считать, что углы дифракции малы (cos 0^1).
277. Какое расстояние между компонентами желтой линии дуб-
лета натрия (Х1 = 5890А, Х2 = 5896А) получится на фотографическом
негативе в спектрографе, описанном в предыдущей задаче.
278. Найти угловую дисперсию решетки с постоянной d — 5 [i,
если Х = 5000А, порядок спектра п — 3.
279. На плоскую отражательную решетку нормально падает свет
£)-линии натрия (Х = 5890А). Определить число штрихов решетки
на 1 мм, если спектр второго порядка наблюдается под углом 45°
к нормали.
280. Найти угловое расстояние между главным максимумом и
ближайшим к нему минимумом дифракционной решетки.
281. Подсчитать минимальное число штрихов решетки, которая
может разрешить натриевый дублет в спектре первого порядка.
282. Подсчитать разрешающую силу решетки с периодом
2,5’ 10-4 см и шириной 3 см в спектрах первого и четвертого порядков.
283. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении
наклона первичного пучка, падающего на нее?
284. Изменятся ли разрешающая способность и дисперсионная
область дифракционной решетки, если, закрепив неподвижно трубу,
в которую наблюдаются дифракционные спектры, закрыть через одну
щели решетки?
285. Коллиматорная щель S, освещаемая источником света, поме-
щается в главном фокусе линзы L с фокусным расстоянием /=20 см.
Пройдя через линзу, свет падает на дифракционную решетку, пло-
скость которой перпендикулярна к главной оптической оси линзы L.
Число штрихов решетки А7= 1000, ее период (/ = 0,001 см. Какова
должна быть ширина коллиматорной щели х, чтобы была полностью
использована разрешающая способность решетки в окрестности длины
волны Х = 5000А?
286. Найти связь между углом выхода луча (соответствующего
максимуму) из пластинки Луммера— Герке с толщиной h и показа-
телем преломления п.
287. Определить угловую дисперсию и дисперсионную область
пластинки Луммера — Герке с учетом дисперсии показателя прелом-
ления. Считать е малым (см. ответ к предыдущей задаче).
50 ОПТИКА [гл. I
288. Каково число z интерферирующих лучей в пластинке Лум-
мера— Герке длиной Л = 30 см, толщиной Л = 1 см и с показа-
телем преломления я =1,52?
289. Найти минимальный и максимальный порядки спектров, ко-
торые могут наблюдаться с пластинкой, описанной в предыдущей
задаче, для водородной линии (Х = 4861 А).
290. Найти дисперсионную область и разрешающую силу пла-
стинки Луммера — Герке, описанной в задаче 288; ~ для водород-
ах
ной линии равно —9,6-10-6 А-1.
291. Определить угловое расстояние между соседними максиму-
мами для пластинки, описанной в задаче 288, для Н при условии,
ч О Г
что е = 1 .
292. Как изменятся разрешающая способность и дисперсионная
область пластинки Луммера — Герке, если ее толщину увеличить
вдвое, а длину оставить без изменения?
293. Как изменятся разрешающая способность и дисперсионная
область пластинки Луммера — Герке, если ее длину увеличить вдвое,
а толщину оставить без изменения?
294. Две пластинки Луммера — Герке имеют одинаковые геомет-
рические размеры, но сделаны из различных сортов стекла. Какая
пластинка имеет ббльшую разрешающую способность и какая боль-
шую дисперсионную область?
295. Какую минимальную длину должна иметь пластинка Лум-
мера— Герке (п=1,5), чтобы разрешить дублетную структуру линии
На (Х = 6563 А)? Разность длин волн линий дублета равна 1,4• 10~9 см.
Пренебречь величиной
296. Какая интерференционная картина будет наблюдаться при
освещении монохроматическим светом двух скрещенных пластинок
Луммера — Герке, т. е. двух пластинок, расположенных одна за другой
вдоль прямой линии, но повернутых друг относительно друга на 90°?
297. Определить условие максимума, угловое расстояние между
максимумами, угловук) дисперсию и дисперсионную область эталона
Фабри—Перо (ввести угол падения и расстояние между пластин-
ками К).
298. Определить дисперсионную область эталона Фабри—Перо
при й = 1 см, Х = 5000А. Угол падения считать малым.
299. Чему равен порядок спектра при {заботе с эталоном Фабри —
Перо в зеленой части спектра (Х = 5500А), если расстояние между
пластинками равно 1 см? Угол падения очень мал.
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 51
300. 1) Каков порядок т спектра при работе в области
Х = 5000А с эшелоном Майкельсона, высота ступенек которого
Ь=\ см, а показатель преломления стекла п = 1,5? 2) Найти
угловое расстояние & между главными максимумами для той же
области спектра при ширине ступеньки а=0,2 см.
301. Какую разрешающую силу должен иметь спектральный аппарат
для разрешения дублета D-линии натрия (^ = 5890 А, Х2 = 5896 А)?
302. Найти величину наименьшего основания призмы, изготовлен-
ной из стекла, дисперсия которого вблизи D-линии натрия равна
^=956 см~х и которая сможет разрешить желтый дублет натрия
(Х1 = 5890А, Х2 = 589бА).
303. Спектрограф имеет стеклянную призму с основанием а = 10 см
и преломляющим углом А = 60°, устанавливаемую при работе на
угол наименьшего отклонения вблизи длины волны К = 5000 А. По-
казатель преломления стекла призмы п= 1,73, фокусное расстояние
объектива коллиматора /= 25 см. Какова должна быть ширина
коллиматорной щели Ь, чтобы можно было практически полностью
использовать теоретическую разрешающую способность призмы?
304. На щель спектрографа (с дифракционной решеткой) спроек-
тированы ньютоновы кольца, полученные в отраженном белом свете.
Щель проходит по одному из диаметров ньютоновых колец. Описать
вид спектра, если его порядок и период дифракционной решетки
таковы, что углы дифракции & малы, и при расчетах можно поло-
жить sin^ = tg&. Как изменится картина спектра, если щель не
проходит через центр ньютоновых колец, а сдвинута от него в
сторону на расстояние а? Описать качественно, как изменится кар-
тина при замене дифракционной решетки призмой.
305. Диафрагма линзы имеет форму квадрата, длина стороны
которого равна D. Точечный монохроматический источник света по-
мещается на главной оптической оси линзы. Найти распределение
интенсивности света, получающееся в результате дифракции на краях
диафрагмы, в плоскости, перпендикулярной к главной оптической
оси и проходящей через фокус геометрического схождения лучей.
306. Оптическая система — труба или микроскоп — дает в каче-
стве изображения светящейся точки систему дифракционных колец.
Согласно Рэлею, минимальное расстояние между двумя близкими точ-
ками, которые еще изображаются раздельно, определяется тем, что
центральный светлый кружок колец от первой светящейся точки дол-
жен приходиться на первое темное кольцо дифракционной картины,
Даваемой второй светящейся точкой. Ориентировочно можно принять,
что глаз способен различить две близкие точки, если максимумы
освещенности в местах их геометрических изображений превосходят
52 ОПТИКА [гл. г
интенсивность посредине между ними не менее чем на 15%.
Приняв это, проверить, действительно ли при выполнении критерия
Рэлея получатся раздельные изображения двух самосветящихся точек.
Указание. Для простоты расчета принять, что диафрагма
квадратная. В случае круглой диафрагмы результаты мало отли-
чаются от тех, которые получаются для квадратной диафрагмы. (См.
решение предыдущей задачи.)
307. Решить предыдущую задачу в предположении, что изобра-
жаемые точки не самосветящиеся, а освещаются одним и тем же
источником света. Например, можно взять два круглых отверстия
в экране, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между
ними. Рассмотреть качественно три случая: 1) отверстия освещаются
пучком лучей, параллельных главной оптической оси; 2) отверстия
освещаются параллельными лучами, но наклоненными к главной опти-
ческой оси; 3) отверстия освещаются диффузным светом.
308. 1) Считая, что при естественном освещении наибольшее коли-
чество света приходится на длину волны около 5500 А, подсчитать
минимальное разрешаемое угловое расстояние для глаза при адапта-
ции на небольшие яркости (диаметр зрачка 4 мм); 2) найти наимень-
шее разрешаемое глазом расстояние между штрихами, начерченными
на листе бумаги, находящемся на расстоянии ясного зрения (25 см).
309. Каково должно быть увеличение зрительной трубы для
того, чтобы полностью использовать разрешающую способность ее
объектива?
310. 1) Подсчитать разрешающую способность зрительной трубы
с диаметром объектива в 5 см. 2) При каком увеличении будет
использована полная разрешающая способность этой трубы? Диаметр
зрачка глаза d—Ъ см.
311. В чем выгода применения телескопов для рассматривания
звезд, если они не дают выгоды в увеличении по сравнению с не-
вооруженным глазом?
312. Почему в телескоп наиболее яркие звезды, находящиеся
вдали от Солнца, можно наблюдать даже днем?
313. При наблюдении в телескоп с нормальным увеличением
освещенность изображения звезды на сетчатке глаза в а =10 раз
меньше освещенности дневного неба, рассматриваемого в тот же
телескоп. Во сколько раз надо увеличить диаметр объектива для
того, чтобы освещенность изображения звезды на сетчатке стала
в р= 10 раз больше освещенности изображения неба, если вместе
с объективом телескопа заменен и окуляр таким образом, что уве-
личение телескопа осталось нормальным?
314. В фокальной плоскости объектива телескопа помещена фо-
топластинка. Освещенность изображения звезды на фотопластинке
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 5?
в а =10 раз меньше освещенности дневного неба. Во сколько раз
надо увеличить диаметр объектива, чтобы освещенность изображения
звезды на фотопластинке стала в [3 = 10 раз больше освещенности
изображения неба?
315. О зоркости хищных птиц ходят баснословные рассказы.
Оцените, на основе дифракционных соображений, может ли орел,
летающий над землей на высоте 1 км, разглядеть мышонка разме-
ром в 2 см, или он сможет только обнаружить его присутствие?
316. Какова должна" быть минимальная длина отрезка на Луне
и Солнце, чтобы его изображение в рефлекторе с диаметром зеркала
в шесть метров можно было отличить от изображения точки?
317. Каково должно быть минимальное расстояние между двумя
точками на поверхности Марса, чтобы их изображения в телескопе
(рефракторе) с диаметром объектива в 60 см можно было отличить
от изображения одной точки? Считать, что Марс наблюдается в мо-
мент великого противостояния, когда расстояние до него от Земли
минимально и составляет 56«106 км.
318. Точечный источник света находится на некотором расстоянии а
от щели ширины D. За щелью на расстоянии b от нее помещен
экран, плоскость которого параллельна плоскости щели. Прямая,
соединяющая источник света с серединой щели, перпендикулярна
к плоскости экрана. Найти приближенное выражение для расстоя-
ния х между центральным максимумом и первым дифракционным
минимумом на экране, считая, что углы дифракции малы. Найти
условие применимости найденного приближенного выражения.
319. При получении изображения с помощью малого отверстия,
как в камере-обскуре (принцип стеноскопии), следует считаться с
тем, что при слишком малом отверстии изображение начинает иска-
жаться из-за дифракции; однако увеличение размеров отверстия при-
ведет к уширению пучков света, идущих от каждой точки, и раз-
мытию изображения по этим причинам. Считая, что расстояния а и b
от предмета до отверстия и от отверстия до изображения остаются
неизменными, наивыгоднейший размер отверстия можно приближенно
найти из требования, чтобы изображение точки, полученное по пра-
вилам геометрической оптики, совпадало по величине с центральным
кружком в дифракционной картине на отверстии от той же светя-
щейся точки. Определить наивыгоднейшую величину отверстия.
Указание. Для упрощения вычислений заменить круглое от-
верстие щелью или квадратным отверстием. (См. предыдущую задачу.)
320. Камера с малым отверстием' длиной Ъ = 10 см предназна-
чена для фотографирования удаленных предметов. Оценить диаметр
отверстия D камеры, при котором она имеет наибольшую разреша-
ющую способность. Длина волны X = 5000 А.
54 оптика [гл. I
321. В принципе можно построить телескоп сколь угодно высо-
кой разрешающей способности без объектива, заменив объектив
круглым отверстием. Какова должна быть длина L такого телескопа,
чтобы он имел ту же разрешающую способность, что и обычный
телескоп с диаметром объектива D=\ м? Чему будет равна свето-
сила S такого телескопа?
322. Как изменится разрешающая способность объектива теле-
скопа, если его центральную часть закрыть круглым экраном, диа-
метр которого мало отличается от диаметра самого объектива?
Указание. При решении задачи круглые объектив и экран
заменить квадратными.
323. Гальванометр имеет зеркальце с диаметром D = 5 мм.
Оценить (учитывая дифракционные эффекты), дальше какого расстоя-
ния L не следует отодвигать шкалу от гальванометра, если отсчеты
с помощью зрительной трубы можно делать с точностью до 7=0,5 мм.
324. Определить минимальное разрешаемое расстояние 8 микро-
скопа при наилучших условиях освещения для: 1) безиммерсионного
объектива с числовой апертурой а = 0,9 и 2) того же объектива,
но с масляной иммерсией (п = 1,6). Длина волны при визуальных
наблюдениях Х = 5500А.
325. 1) Во сколько раз можно повысить разрешающую способ-
ность микроскопа, перейдя к фотографированию в ультрафиоле-
товых лучах (К = 2700 А) по сравнению с фотографированием в зе-
леных лучах? 2) Подсчитать наименьшее расстояние между штри-
хами, которое разрешит ультрафиолетовый микроскоп с иммерсией
(использовать данные предыдущей задачи). 3) Какое необходимо
увеличение объектива микроскопа, чтобы на фотографической пла-
стинке, помещенной в плоскости изображения, даваемого объек-
тивом. наименьшие разрешаемые детали получили размеры поряд-
ка 0,5 мм?
326. Каково должно быть увеличение микроскопа, чтобы пол-
ностью использовать разрешающую способность его объектива?
327. Проволочная сетка, ячейки которой имеют форму квадра-
тов, проектируется собирающей линзой на экран. В задней фокаль-
ной плоскости линзы помещена узкая щель. Как будет меняться
картина на экране при вращении щели вокруг главной оптической
оси линзы? Как изменится картина при увеличении ширины щели?
328. В кювету, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда,
налит толуол, в котором возбуждаются ультразвуковые волны с по-
мощью колебаний пластинки пьезокварца. Пластинка кварца уста-
новлена параллельно одной из боковых стенок кюветы. Ультразву-
ковые волны, возбуждаемые пластинкой, отражаются от боковой
стенки кюветы. В результате в жидкости образуется стоячая ультра-
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
55
звуковая волна. Чему равен пространственный период изменения
показателя преломления жидкости при наличии в ней стоячей уль-
тразвуковой волны?
329. На рис. 30
дифракции света на
изображена схема установки для наблюдения
ультразвуке. Стоячие ультразвуковые волны
образуются в кювете К. Пластинка кварца Р установлена парал-
лельно стенке АС, так что волны, излучаемые ею, распространяются
в направлении, параллельном АВ. Дифракционные максимумы и ми-
нимумы наблюдаются в трубу Т, установленную на бесконечность.
Показать, что угол дифракции 9 для максимума m-го порядка опре-
деляется из условия
A sin ft = znX.
Указание. Принять во внимание, что частота ультразвуковых
колебаний весьма мала по сравнению с частотой световых колебаний.
330. Дифракция света на ультразвуковой волне в толуоле на-
блюдается на установке, описанной в предыдущей задаче. В качестве
источника света использована зеленая линия ртути (К = 5461 А).
Вместо трубы Т за кюветой поставлена собирающая линза с фокус-
ным расстоянием f== 30 см. Дифракционные полосы получаются
в фокальной плоскости линзы и рассматриваются в микроскоп, снаб-
женный шкалой. Определить скорость звука v в толуоле, если рас-
стояние между двумя соседними максимумами Ах = 0,546 мм,
а частота ультразвука v = 4000 кгц.
331. Можно ли по характеру дифракционной картины Фраунго-
фера на плоской ультразвуковой волне решить, происходит ли ди-
фракция на бегущей или стоячей ультразвуковой волне? Поглоще-
нием ультразвука пренебречь.
332. Если жидкость, в которой установилась стоячая ультразву-
ковая волна, рассматривать в микроскоп, то благодаря неоднород-
ности жидкости будут видны светлые и темные полосы. Чему равно
расстояние между двумя соседними светлыми или темными полосами?
333. Как изменится результат решения задачи 329, если не пре-
небрегать частотой ультразвуковых колебаний по сравнению с часто-*
той световых колебаний?
56
ОПТИКА
[гл. г
334. Дифракционные полосы от двух одинаковых параллельных
щелей наблюдаются в фокальной плоскости линзы L (рис. 31). Si и
— бесконечно удаленные линейные источники монохроматического
света, параллельные щелям. При каком угло-
вом расстоянии между Si и S2 дифракционные
полосы исчезнут, если расстояние между цен-
трами щелей равно D и велико по сравнению
с шириной щели и длиной световой волны К?
335. В установке, описанной в предыдущей
задаче, источники St и S2 помещены в фокаль-
ной плоскости коллиматорной линзы с фокус-
ным расстоянием /. При каком расстоянии х
между Si и S2 дифракционные полосы исчезнут?
336. В установке, описанной в задаче 334,
вместо линейных источников Si и S2 применяется
один бесконечно удаленный источник, имеющий
форму прямоугольника, длинные стороны ко-
торого параллельны щелям. Считая, что по-
верхностная яркость этого источника постоянна,
найти угловую ширину источника ft, при кото-
рой дифракционные полосы исчезают.
Указание. Разбить прямоугольный источник на узкие полосы.
Считать каждую из этих полос за линейный источник и восполь-
зоваться решением задачи 334.
337. На рис. 32 изображена схема установки Майкельсона, пред-
назначенной для измерения угловых диаметров звезд. Зеркала ЛД,
М.г, Л43, Л14, снабженные круглыми диа-
фрагмами, направляют в объектив теле-
скопа два пучка света, интерферирующие
друг с другом в фокальной плоскости
объектива. Какой вид будет иметь ди-
фракционная картина, наблюдаемая в фо-
кальной плоскости?
зеркалами Л43 и УИ4
338. При каком условии в установке,
описанной в предыдущей задаче, исчезнут
интерференционные полосы, если источ-
ником света служит: 1) двойная звезда;
2) одиночная звезда конечного углового
размера? (Для упрощения расчетов можно
принять, что звезда имеет форму квадрата
с постоянной поверхностной яркостью.)
Как будет меняться интерференционная
картина при изменении расстояния между
(рис. 32)?
§ 4] ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ 57
339. При измерении углового диаметра гигантской красной звезды.
Бетельгейзе на установке, схематически описанной в задаче 337, Май-
кельсон нашел, что интерференционные полосы исчезли, когда рассто-
яние между внешними зеркалами Л41 и М2 (рис. 32) равнялось 306,5 см.
Считая, что эффективная длина волны света от Бетельгейзе равна
5750 А, вычислить угловой диаметр этой звезды.
340. В задаче 246 описан способ фотографирования предметов
с помощью непрозрачного гладкого шара. Оценить’ минимальное
угловое разрешаемое расстояние Вер при фотографировании удален-
ных предметов этим способом.
Указание. Размер светлого кружка в центре геометрической
тени от точечного источника можно оценить из условия, что первый
дифракционный минимум получается, когда разность хода лучей от
противоположных точек шара порядка длины волны.
341. Существующие радиотелескопы и радиоустановки, предназ-
наченные для изучения радиоизлучения Солнца и Галактики, обла-
дают малой разрешающей способностью из-за больших длин волн
радиоизлучения. 1) Найти минимальное разрешаемое угловое рассто-
яние радиотелескопа с диаметром зеркала d = 50 м для длин
волн Х=1 м и К = 10 см.
Для увеличения разрешающей способности предлагалось исполь-
зовать дифракцию радиоволн от края Луны (см. задачу 252). 2) Оце-
нить разрешающую способность этого метода для тех же волн в
в предположении, что край Луны действует как тонкий непрозрач-
ный экран, ограниченный прямолинейным краем. 3) Оценить, каковы
должны быть высоты h неровностей лунной поверхности, чтобы мож-
но было пользоваться этим методом. Диаметр Луны Z) = 3470 км.
342. Один из принципиально возможных (но практически не осу-
ществимых) способов повышения разрешающей способности радио-
установок для изучения радиоизлучения космических масс состоит
в том, чтобы использовать дифракционный максимум интенсивности
радиоизлучения, получающийся в центре геометрической тени Луны
от точечного источника (ср. с задачей 340). Оценить разрешающую
способность этого метода, найти минимальное угловое разрешаемое
расстояние для тех же длин волн, что и в предыдущей задаче. Обсу-
дить возможности использования рассматриваемого метода.
§ 4. Поляризация света. Формулы Френеля
343. Зонная пластинка сделана из поляроида. Во всех четных
зонах поляроид ориентирован вертикально, во всех нечетных — гори-
зонтально. Как действует такая пластинка?
344. Бесконечный экран состоит из двух поляроидных полуплоско-
стей, граничащих друг с другом вдоль прямой. Главное направление-
ОПТИКА
[ГЛ. I
одной из полуплоскостей параллельно, а другой перпендику-
лярно к этой прямой. На экран перпендикулярно к его поверхно-
сти падает пучок параллельных лучей естественного света с длиной
волны X. Описать качественно дифракционную картину, получаю-
щуюся за экраном.
345. Как изменится разрешающая сила дифракционной решетки,
если одну ее половину прикрыть поляроидом, ориентированным парал-
лельно штрихам решетки, а другую половину — поляроидом, ори-
ентированным перпендикулярно к штрихам. Будет ли зависеть раз-
решающая сила решетки от поляризации падающего света?
346. В предыдущей задаче перед и за решеткой дополнительно
ставятся два поляроида, главные направления которых параллельны
друг другу и образуют угол 45° с направлением штрихов решетки.
Как изменится разрешающая способность такой решетки по сравне-
нию с ничем не прикрытой решеткой?
347. Исходя непосредственно из граничных условий для электри-
ческого и магнитного полей на границе вакуума и диэлектрика, найти
коэффициент отражения света при нормальном падении на границу
раздела. Выразить коэффициент отражения через показатель преломле-
ния диэлектрика.
348. Сколько процентов светового потока теряется на отражение
в призматическом бинокле? Показатель преломления стекла призм и
линз равен 1,5. Схема бинокля дана на рис. 33.
349. Проверить с помощью формул Френеля, что энергия пада-
ющей волны равна сумме энергии преломленной и отраженной волн
(свет монохроматический).
350. Пользуясь формулами Френеля, показать, что линейно поля-
ризованный свет остается линейно поляризованным после отражения
на границе раздела двух прозрачных изотропных сред во всех слу-
чаях, за исключением случаев полного внутреннего отражения.
351. Угол между плоскостью колебания поляризованного света
и плоскостью падения называется азимутом колебания. Найти азимут
§ 4] ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ 59
преломленной волны 8 и азимут отраженной волны р, если азимут
падающей волны а, а угол падения ср.
352. 1) Найти угол полной поляризации для света, отраженного
от стекла с показателем преломления п =1,5. 2) Найти степень поля-
ризации преломленного света А — г—при падении света под
г
этим углом. Падающий свет — естественный.
353. Под каким углом нужно отрезать луч от кристалла камен-
ной соли (п =1,544), чтобы получить максимальную поляризацию
отраженного луча? Падающий свет — естественный.
354. Плоско-выпуклая стеклянная линза с малой кривизной сфе-
рической поверхности лежит на плоской металлической поверхности.
Будут ли наблюдаться кольца Ньютона, если на линзу под углом
Брюстера падает свет, поляризованный: 1) в плоскости падения,
2) перпендикулярно к плоскости падения?
355. В системе для получения колец Ньютона плоско-выпуклая
линза сделана из стекла с показателем преломления пг и положена
на плоскую стеклянную поверхность, показатель преломления кото-
рой «2 сильно отличается от пг. Система освещается параллельным
пучком света, прошедшим через поляризационную призму, а кольца
наблюдаются в отраженном свете. Описать качественно, как будет
меняться видимость колец при изменении угла падения, если пада-
ющий свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения. Что
изменится, если падающий свет будет поляризован в плоскости па-
дения?
356. Свет падает из среды I на среду II под углом ср и прелом-
ляется под углом ф. Доказать, что коэффициент отражения не изме-
нится, если свет будет падать из среды II на среду I под углом ф.
357. Имеются две параллельные полупрозрачные плоскости. Коэф-
фициенты отражения и пропускания первой из них равны pt и at,
а второй — р2 и а2 соответственно. Степень монохроматичности падаю-
щего света невелика, так что правильной интерференции не проис-
ходит, а имеет место сложение интенсивностей света. Найти коэф-
фициенты отражения р и пропускания а для совокупности обеих
плоскостей.
358. Имеется т параллельных полупрозрачных плоскостей. Коэф-
фициенты отражения и пропускания каждой из них равны р и а.
Найти коэффициент отражения рт и коэффициент пропускания
всей системы т плоскостей. (Относительно падающего света см. пре-
дыдущую задачу.)
359. Стопа Столетова состоит из плоскопараллельных стеклянных
пластинок с показателем преломления п = 1,5. На нее под углом Брю-
стера падает свет, поляризованный в плоскости падения. Начертить
60 ОПТИКА [гл. I
график для коэффициентов отражения и пропускания стопы в функ-
ции числа N пластинок.
360. Естественный свет падает под углом <р на стопу Столетова,
состоящую из N стеклянных пластинок с показателем преломления п.
Найти степени поляризации Д и Д' прошедшего и отраженного света,
» 4
а также отношение интенсивностей ~ главных компонент прошедше-
1р
го света.
361. Найти степень поляризации света, отраженного от поверх-
ности стекла под углами 0°, 45°, 56°5Г и 90° (показатель прелом-
ления стекла и—1,53). Падающий свет—естественный.
362. Найти степень поляризации преломленного луча по выходе
его из стеклянной пластинки с показателем преломления и =1,5,
при углах падения 20°, 45°, 60° и 80°. Падающий свет—естественный.
363. Стопа Столетова состоит из десяти тонких плоскопараллель-
ных стеклянных пластинок, на которые луч падает под углом полной
поляризации. Вычислить степень поляризации преломленного луча
в зависимости от числа N проходимых им пластинок (л = 1,5). Па-
дающий свет — естественный.
364. На опыте наблюдаются отступления от формул Френеля для
отражения света от прозрачных изотропных сред. Они в основном
сводятся к двум: 1) не существует угла полной поляризации, при
котором свет с электрическим вектором, лежащим в плоскости паде-
ния, не отражается совсем; 2) при отражении линейно поляризован-
ного света, плоскость колебаний которого не совпадает с плоскостью
падения и не перпендикулярна к ней, получается эллиптическая поля-
ризация, особенно отчетливо заметная в окрестности угла Брюстера
(т. е. угла падения ®=arctg п). Показать, что каждое из этих отступле-
ний является следствием другого.
365. При выводе формул Френеля предполагается, что магнитная
проницаемость р. среды равна единице. Как изменятся формулы Фре-
неля, если не вводить этого предположения?
366. Будет ли существовать угол полной поляризации, если маг-
нитные проницаемости рц и р2 граничащих сред отличны от
единицы?
367. Показать, что отражательная способность среды, для ко-
торой е = р,(е — диэлектрическая, р. — магнитная проницаемости),
равна нулю.
368. В оптических приборах потери света при прохождении через
прибор происходят главным образом вследствие отражения света от
поверхностей оптических деталей. Для увеличения поверхностной
прозрачности стекла его поверхность покрывают тонкой пленкой,
показатель преломления которой меньше показателя преломления
§ 4] ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ 61
стекла. Каковы должны быть толщина пленки и ее показатель пре-
ломления, чтобы отражательная способность стекла обратилась в нуль?
369. Две монохроматические волны, линейно поляризованные во
взаимно перпендикулярных плоскостях, распространяются в одном
направлении. В результате их наложения в общем случае получает-
ся свет, поляризованный по эллипсу. Как определить, зная разность
фаз между складывающимися волнами, будет ли поляризация правой
или левой?
370. Рассчитать преломляющий угол параллелепипеда Френеля,
сделанного из стекла с показателем преломления я =1,7.
371. Азимут колебаний падающей линейно поляризованной волны
равен 45°. Какая получится эллиптическая поляризация отражен-
ного света на границе стекло — воздух, правая или левая?1)
372. При каком угле падения ср разность фаз В между компо-
нентой отраженной волны, поляризованной в плоскости падения, и
компонентой, поляризованной перпендикулярно к ней, достигает мак-
симума при полном внутреннем отражении, если падающая волна
линейно поляризована? Чему равен этот максимум?
373. Каким показателем преломления п должно обладать веще-
ство, чтобы при помощи однократного полного внутреннего отра-
жения на границе его с воздухом можно было превращать линейно
поляризованный свет в круго-поляризованный? Азимут колебания
падающего света равен 45°.
374. Падающий свет поляризован линейно с азимутом колебаний,
равным 45°. Можно ли путем однократного отражения превратить
его в свет, поляризованный по правому кругу?
375. Какой должен быть минимальный показатель преломления
параллелепипеда Френеля, чтобы при азимуте колебаний падающего
света в 45° выходящий свет был поляризован по правому кругу?
376. Линейно поляризованная электромагнитная волна с азимутом
колебаний, равным —135°, отражается на границе вода — воздух. Ди-
электрическая проницаемость воды е=81. Под каким углом должна
падать эта волна, чтобы отраженная волна получилась поляризован-
ной по кругу? Какая при этом будет поляризация, правая или левая?
377. Линейно поляризованный луч с азимутом колебаний -|-135о
падает перпендикулярно на грань АВ стеклянной призмы ABCD
(рис. 34) и, испытав три раза полное внутреннее отражение, выходит
х) Азимут колебаний падающей волны может изменяться от — до -ф ту-»
0 ©
Он считается положительным, если и отрицательным, если |— < 0.
62
ОПТИКА
[гл. t
из нее. Каков должен быть преломляющий угол А призмы, чтобы
вышедший свет был поляризован по кругу, если показатель прелом-
ления стекла призмы равен 1,52? Какая
получится поляризация вышедшего света:
правая или левая?
378. Какой должен быть минимальный
показатель преломления призмы, описан-
ной в предыдущей задаче, чтобы при ази-
муте колебаний падающего света,
свет был поляризован по правому
А
Рис. 34.
в
рав-
кру-
-J- 45°, выходящий
Какой при этом должен быть угол Л?
379. С помощью векторной диаграммы показать, что скачок
при полном внутреннем отражении превосходит вдвое скачок
испытываемый преломленной (поверхностной) волной.
380. Какой должен быть показатель преломления среды, чтобы
коэффициент отражения естественного света имел минимум при угле
падения между 0° и 90°?
381. Линейно поляризованная электромагнитная волна с амплиту-
дой электрического вектора g падает нормально из среды с показа-
телем преломления пг на среду с показателем п2. Среды разделены
переходным слоем толщины Z, в котором показатель преломления п
непрерывно изменяется от значения пх на верхней границе до значе-
С
ния п2 на нижней границе по закону: /2=-^—, где С и а — посто-
янные. (Ось Z направлена нормально к слою). Выразить показатель
преломления слоя п через п1} п%, z, I. Найти: 1) электромагнитное
поле внутри слоя; 2) амплитуды R и D отраженной и прошедшей
волн; 3) коэффициент отражения р. Исследовать предельные случаи
тонкого и толстого переходных слоев.
382. Показать, что в плоскослоистой непоглощающей среде, т. е.
в среде, показатель преломления которой п(о), z) меняется только
в одном направлении, монохроматическая электромагнитная волна
E = E0(z)elult, распространяющаяся в том же направлении, поперечна
и что вектор Е удовлетворяет уравнению
а2Е । <о2 2. „
+ " (“ г) £ = 0-
ном
гу?
фазы
фазы,
(1)
Показать, что если функция /г (г) меняется медленно, то приближен-
ным решением (1) является
± i у ^п(г> dz
Е=^е (2)
У~п
(приближение геометрической оптики). Сформулировать условия, при
выполнении которых (2) является приближенным решением уравне-
ния (1).
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
63
383. Показать, что в приближении геометрической оптики [т. е.
когда справедливо решение (2), см. предыдущую задачу] волны, бе-
гущие в разные стороны [знаки в решении (2)], распространяются
без отражения.
384. Показать, что выражения
Z
(О Р
±,i — I f(z) dz
const ;
- ; е Zf>
являются точными решениями уравнения (1), если
(г) =/2 (г) + ~
d*f
dz*
. f
3 \dz)
2 f*
(см. задачу 382). Показать, что в этом случае волны бегут в обоих
направлениях без всякого отражения.
385. Две слоистые прозрачные среды с медленно изменяющимися
показателями преломления n(z) граничат друг с другом вдоль плос-
кости z = const, на которой показатель преломления n(z) непреры-
dn и
вен, а его производная ~ претерпевает разрыв. На границу раздела
нормально к ней из первой среды падает плоская монохроматическая
волна. Считая, что условия применимости геометрической оптики в
каждой из сред выполнены (см. задачу 382), найти выражение для
амплитуды отраженной волны и коэффициент отражения.
§ 5. Кристаллооптика
386. Построить по Гюйгенсу направление преломленных волн в од-
ноосном кристалле (положительном и отрицательном) для следующих
случаев: 1) оптическая ось перпендикулярна к плоскости падения и
параллельна поверхности кристалла; 2) оптическая ось лежит в пло-
скости падения параллельно поверхности кристалла; 3) оптическая ось
лежит в плоскости падения под углом в 45° к поверхности кристалла.
387. Почему, если через плоскопараллельную двупреломляющую кри-
сталлическую пластинку смотреть на удаленный предмет, то видно одно
изображение, а не два, как в случае близко расположенных предметов?
388. Наблюдатель смотрит на близкий предмет через плоскопарал-
лельную двупреломляющую пластинку из исландского шпата и видит
два прямых увеличенных изображения предмета, когда между пластин-
кой и предметом помещена собирающая линза на расстоянии 4 см
от предмета. После того как к линзе вплотную приложили собираю-
щее очковое стекло с оптической силой в 5 диоптрий, стало видно
64
ОПТИКА
[гл. (
только одно изображение предмета. Определить фокусное расстоя-
ние f линзы.
389. Из двупреломляющего кристалла сделана трехгранная призма
для измерения показателей преломления по углам отклонения выходя-
щих лучей от первоначального направления. Будут ли измеренные
показатели преломления давать отношения скорости света в вакууме
к нормальным или же лучевым скоростям света в кристалле?
390. Как надо на кристалл-рефрактометре ориентировать пла-
стинку, вырезанную произвольным образом из одноосного кристалла,
чтобы получить оба главных показателя преломления кристалла?
391. Как надо вырезать призму из одноосного кристалла, чтобы
методом наименьшего отклонения получить оба главных показателя
преломления?
392. Почему видимая толщина пластинки исландского шпата, из-
меренная оптическим путем с помощью поляризационного микроскопа,
имеет два разных значения dx и с/2. Как надо вырезать пластинку,
чтобы tZj и с/2 получили экстремальные значения? Найти эти экстре-
мальные значения, если толщина пластинки 1 мм. Для исландского
шпата обыкновенный и необыкновенный показатели преломления равны:
п0 = 1,658, пе = 1,486. (См. задачу 28.)
393. Узкий пучок неполяризованного света падает нормально на
пластинку исландского шпата и затем нормально на вторую такую же
пластинку, главная плоскость которой образует с главной плоскостью
первой пластинки угол в 30°. Свет попадает на экран. Описать полу-
ченную картину и найти относительную интенсивность наблюдаемых
на экране пятен.
Примечание. Пластинки вырезаны так, что оптическая ось
составляет угол у с плоскостью пластинки. При этом 0 у 90°.
394. Главные плоскости двух призм Николя образуют между собой
угол в 30°. Как изменится интенсивность прошед-
Ншего света, если главные плоскости поставить под
углом в 45°?
395. Ветровое стекло и фары автомашин снаб-
жаются пластинками из поляроида. Как должны
быть расположены эти пластинки, чтобы шофер
мог видеть дорогу, освещенную светом его фар,
и не страдал бы от света фар встречных машин?
396. Призма Волластона сделана из исланд-
ского шпата (рис. 35) (п0= 1,658, пе— 1,486).
Угол а= 15°. Рассчитать, на какой угол ср будут
Рис. 35. разведены обыкновенный и необыкновенный лучи.
397. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку
исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси. Опре-
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
65
делить разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей, про-
шедших через пластинку. Толщина пластинки равна 0,03 мм;
по— 1,-658; пе = 1,486.
398. Почему тонкая двоякопреломляющая пластинка, помещенная
между двумя николями, имеет цветную окраску?
399. При каком положении анализатора относительно кристалли-
ческой пластинки цветное окрашивание в условиях предыдущей за-
дачи не наблюдается?
400. Имеются два фотометра, устройство которых показано на
рис. 36. Найти закон, связывающий отношение яркостей сравниваемых
источников в обоих фотометрах с углами поворота окулярного ни-
келя. Во втором фотометре николи I и II скрещены, т. е. окулярный
I I источник
f обета
Николъ\^^\
I / источник
f обета
Николь\^^\
Николь\^\
П источник
света
Кубик
Луммера
Николь
Писточник-
' обета
Рис. 36.
николь пропускает свет только от николя /, если он установлен па-
раллельно ему, и не пропускает света от николя II.
401. Найти связь между векторами D, Е, Н и единичным векто-
ром N нормали к фронту волны, распространяющейся в прозрачной
однородной кристаллической среде.
402. Выразить нормальную скорость v плоской монохроматической
волны в однородной кристаллической среде через векторы D и Е.
403. Показать, что направлением вектора D (или Е) в кристалле
однозначно определяется скорость v плоской монохроматической
волны, а также направление вектора Е (или D). Показать также, что
заданием направления вектора Е (или D), вообще говоря, с точностью
до знака определяются направления векторов Н и N.
404. В системе диэлектрических осей связь между векторами D
и Е определяется соотношениями
Оа = ьаЕа (а = х, у, г),
где еа — главные диэлектрические проницаемости кристалла, Опреде-
3 В. Л, Гинзбург, Л. М, Левин и др.
66
ОПТИКА
[гл. Г
лить нормальные скорости распространения волн в кристалле, когда
вектор D (а следовательно, и вектор Е) направлен вдоль одной из
диэлектрических осей кристалла.
Указание. См. задачу 402.
405. Выразить нормальную скорость плоской монохроматической
волны в однородном кристалле в зависимости от направления вол-
новой нормали N.
406. Показать, что в каждом направлении N в кристалле могут
распространяться две волны, вообще говоря, с различными нормаль-
ными скоростями. Если эти скорости различны, то каждая из волн
поляризована линейно, причем векторы D обеих волн взаимно перпен-
дикулярны.
407. Прямая, вдоль которой нормальные скорости обеих линейно
поляризованных волн, могущих распространяться в кристалле, одина-
ковы, называется оптической осью первого рода или бинормалью.
Показать, что в кристалле существуют, вообще говоря, две оптиче-
ские оси первого рода и найти их направления.
408. Исследовать случаи, когда оптически двуосный кристалл вы-
рождается в оптически одноосный. Найти выражения для нормальных
скоростей в этих случаях.
409. Показать, что векторы D и Е обыкновенной волны
(т. е. волны, скорость которой не зависит от направления волновой
нормали) перпендикулярны к оптической оси одноосного кристалла.
410. Лучом в кристалле называется линия, направленная вдоль
вектора потока энергии S = ~ [Е77]. Вдоль лучей распространяет-
ся энергия волны (см. задачу 483). Скорость волнового фронта
вдоль направления луча называется лучевой скоростью. Показать,
что лучевая скорость и связана с нормальной скоростью волны v
соотношением
и = v (Ns),
где 5 — единичный вектор вдоль луча.
411. Показать, что любая формула, связывающая величины D, Е,
Н, N, v в плоской волне, распространяющейся в однородном кри-
сталле, остается справедливой, если величины, стоящие в верхней
строке ряда:
D, Е, Н, N, v, s, с, ев, аа,
заменить стоящими под ними величинами в нижней строке того же
ряда. То же самое относится к формулам, связывающим D, Е, Н, s,
и. (Теорема обращения или взаимности.)
КРИСТАЛЛООПТИКА
67
§ 5]
412. Показать, что в каждом направлении кристалла могут рас-
пространяться два луча. Если лучевые скорости этих лучей различны,
то оба луча линейно поляризованы, причем векторы Е в них взаимно
перпендикулярны.
413. Прямая, в направлении которой лучевые скорости обоих
линейно поляризованных лучей, могущих распространяться в кристалле,
одинаковы, называется оптической осью второго рода или бира-
диалью. Показать, что в кристалле существуют, вообще говоря, две
оптические оси второго рода и найти их направления.
414. Определить оптический знак двуосного кристалла по трем
главным показателям преломления.
Примечание. Двуосный кристалл считается положительным,
если угол между оптической осью второго рода и диэлектрической
осью наибольшей диэлектрической проницаемости ег меньше 45°; если
этот угол больше 45°, то кристалл называется отрицательным.
415. Определить оптический знак двуосного кристалла, если
П2— «ж =0,036 и пг— =
416. Показать, что если кристалл имеет две оптические оси пер-
вого рода, то он имеет также две оптические оси второго рода, и
наоборот.
417. Найти выражение для лучевой скорости в зависимости от
направления луча в оптически одноосном кристалле.
418. Волновая или лучевая поверхность строится следующим обра-
зом. Из какой-либо точки О проводятся прямые во всевозможных
направлениях и на них откладываются отрезки, длины которых про-
порциональны лучевым скоростям в этих направлениях. Показать, что
лучевая поверхность одноосного кристалла распадается на совокуп-
ность двух поверхностей: сферу (обыкновенная волна) и эллипсоид
вращения (необыкновенная волна).
419. Показать, что все кристаллы три-, тетра- и гексагональной
систем одноосны.
Указание. Рассмотреть элементы симметрии этих кристаллов.
Использовать симметричность тензора диэлектрической проницаемости.
420. Показать, что кристаллы кубической системы оптически изо-
тропны.
Указание. См. предыдущую задачу.
421. Определить максимальный угол 3 между направлением луча
и направлением волновой нормали в исландском шпате, для которого
п0— 1,658 и пе= 1,486.
422. При измерении показателей преломления кристаллической
пластинки на кристалл-рефрактометре оказалось, что один показатель
преломления постоянен при всех поворотах полушария и равен 1,646,
68 ОПТИКА [гл. I
а другой меняется от 1,642 до 1,646. Определить оптический знак
кристалла и ориентировку пластинки относительно оптической оси.
423. Как будут изменяться величины показателей преломления
пластинки из того же вещества, что и в предыдущей задаче, если
пластинка вырезана перпендикулярно оптической оси?
424. Две толстые пластинки одноосного кристалла, одинаково
ориентированные и весьма мало разнящиеся по толщине, дают по-
рознь в скрещенных николях белый свет. Почему пластинки, повер-
нутые одна относительно другой на 90°, будучи помещены между
скрещенными николями, могут дать окрашивание?
425. Вторые темные полосы (т. е. две полосы, из которых одной
соответствует вносимая компенсатором разность хода -|- 2k, а дру-
гой — 2k) для натрового света в компенсаторе Бабине (николи скре-
щены) располагаются на 7,34 и 27,20 делениях компенсатора. На
каких делениях расположатся вторые темные полосы для света лития?
(kLi —6708 A, kNa = 5893 А).
426. Найти положение первых темных полос (т. е. двух ближай-
ших темных полос, лежащих по обе стороны от центральной светлой
полосы) для зеленой линии ртути в компенсаторе Бабине (николи
Параллельны), если первые темные полосы для натрового света рас-
полагаются на делениях 14,73 и 19,68 (kNa = 5893 A, kHg =
= 5461 А).
427. Какова должна быть наименьшая толщина d пластинки слюды,
чтобы она могла служить в качестве пластинки в */4 волны для света
натрия, если для этого света показатели преломления волн, идущих
перпендикулярно к пластинке, соответственно равны = 1,5941 и
л2= 1,5887?
428. Найти наименьшую толщину d пластинки кварца, вырезанной
параллельно оптической оси, чтобы падающий плоскополяризованный
свет выходил поляризованным по кругу (пе= 1,5533, nQ= 1,5442,
к = 5 - 10 й см).
429. Главные диэлектрические проницаемости кристаллической
пластинки равны ех, е5„ ег. На грань пластинки, параллельную коор-
динатной плоскости YZ, в направлении оси X падает линейно поля-
ризованная световая волна. При какой толщине I пластинки выходя-
щая из нее волна будет иметь левую круговую поляризацию? Коор-
динатные оси X, Y, Z образуют правую систему.
430. В интерференционном опыте Юнга между щелью 5 и ще-
лями и <S2 (рис. 37) введен поляроид Р, главные оси которого
параллельны или перпендикулярны щелям Sj и 52. Как изменится ин-
терференционная картина на экране, если щели Sj и 52 прикрыть
пластинками в полволны, ориентированными взаимно перпендикулярно
КРИСТАЛЛООПТИКА
69
§ 5]
друг к другу (параллельно и перпендикулярно щелям)? Что произой-
дет, если поляроид Р повернуть на 90°? Какая картина будет наблю-
даться, если убрать поляроид? Рассмотреть ту же задачу, когда
вместо пластинки в полволны используется пластинка в четверть
волны. Щели S) и предполагаются узкими (порядка длины волны),
а расстояние между ними велико по сравнению с их шириной.
431. Имеются два вибратора, один из которых ориентирован
вертикально, а другой горизонтально. Середина вертикального вибра-
тора находится на продолжении горизонтального на расстоянии d
от середины последнего. На вибраторы перпендикулярно к их на-
правлениям падает плоская волна, распространяющаяся в горизонталь-
ной плоскости и поляризованная по кругу. В каких направлениях
в горизонтальной плоскости рассеянные волны обладают линейной
поляризацией?
432. Найти интенсивность света, прошедшего через кристалличе-
скую пластинку, помещенную между двумя николями, главные пло-
скости которых образуют с одним из главных направлений пластинки
углы а и р. Исследовать случаи скрещенных и параллельных николей.
433. Почему никогда не может получиться интерференция обык-
новенного и необыкновенного лучей, вышедших из пластинки двояко-
преломляющего кристалла, настолько тонкой, что она не дает замет-
ного разделения лучей? (Ср. задачу 194.)
434. Как будет окрашена в скрещенных николях кристаллическая
пластинка, дающая разность хода в 6500 А, если она освещается
белым светом?
435. В каких случаях тонкая кристаллическая пластинка, поме-
щенная между скрещенными николями, кажется темной в монохрома-
тическом свете?
436. Между скрещенными николями помещена пластинка кварца,
вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пластинки
составляет угол 45° с главными направлениями николей. Рассчитать
минимальную толщину пластинки, при которой одна линия водорода
Xi ==6563 А будет сильно ослаблена, а другая Ха = 4102 А будет
70
ОПТИКА
[гл. т
обладать максимальной интенсивностью. Величина двупреломления
кварца Дп = 0,009.
437. Между скрещенными николями помещена кристаллическая
пластинка толщиной ^ = 0,02 мм с величиной двупреломления
Anj = 0,05. На нее в параллельном положении положена другая пла-
стинка толщиной = 0,02 мм с Дп2 = 0,025. В какой цвет окра-
шено поле зрения? В какой цвет будет оно окрашено, если верхнюю
пластинку и верхний николь повернуть на 90° от первоначального
положения?
Примечание. Параллельным положением называется такая ориен-
тировка пластинок, при которой направление колебаний волны, рас-
пространяющейся с большей (меньшей) скоростью в одной пластинке,
совпадает с направлением колебаний волны, распространяющейся
с большей (меньшей) скоростью во второй пластинке.
438. Пластинка П и клин К (рис. 38) вырезаны из различных
положительных одноосных кристаллов и ориентированы так, что опти-
ческие оси их взаимно перпендикулярны. На каком расстоянии от
вершины клина будет наблюдаться в белом свете темная полоса при
рассматривании этой системы между скрещенными николями Р и А.
Толщина пластинки d, показатели преломления п0 и пе, угол (малый)
при вершине клина а, показатели преломления клина п'о и пе. Пла-
стинка с клином находятся в диагональном положении по отно-
шению к Р и А.
439. В некоторых установках, предназначенных для анализа поля-
ризованного света, пучок света пропускается через равномерно вра-
щающийся николь, а затем падает на фотоэлемент. На какую частоту
должен быть рассчитан усилитель фототока, если николь вращается
с угловой скоростью (Я)?
440. На кварцевую пластинку толщиной в 3 мм, вырезанную
параллельно оптической оси, нормально падает пучок белого линейно
поляризованного света, плоскость поляризации которого составляет
угол в 45° с осью пластинки. Выходящий из пластинки свет сначала
вновь проходит через николь, скрещенный с первичным поляризато-
ром светового пучка, а затем падает на щель спектроскопа. Сколько
темных полос будет наблюдаться в спектре между длинами волн
КРИСТАЛЛООПТИКА
71
§ 5]
Хр = 5890А и Хг==4860 А, если обыкновенный (л0) и необыкновен-
ный (пе) показатели преломления кварца для этих длин волн имеют
следующие значения:
Длина п п
волны о е
1,5442 1,5533
1,5497 1,5589
441. Почему демонстрационные опыты по интерференции поляри-
зованных лучей удобнее делать с тонкими, а не с толстыми пластин-
ками? Почему даже с тонкими пластинками из исландского шпата
трудно получить интерференционную картину в белом свете?
442. При интерференции сходящихся поляризованных лучей в кри-
сталлической пластинке, вырезанной перпендикулярно к оптической
оси и ориентированной так, что оптическая ось совпадает с осью
конуса сходящихся лучей, на поверхности пластинки можно наблюдать
характерный белый или черный крест. Что нужно сделать с элемен-
тами установки, чтобы повернуть весь крест в его плоскости на не-
который угол?
443. Слюдяная пластинка в */4 волны вращается между скрещен-
ными николями. Под углом в 45° к главным сечениям николей в си-
стему введен гипсовый компенсатор, дающий чувствительный оттенок.
Описать получающиеся при этом характерные окраски. Первый чувст-
вительный оттенок получается при разности хода в 5600 А. Разность
хода, вносимая слюдяной пластинкой, составляет около 1500 А.
У к а з а ние. Чувствительным оттенком называется фиолетовая
окраска поля зрения, наблюдаемая в поляриметрах, когда в белом
свете погашены наиболее яркие зеленовато-желтые лучи, к которым
глаз наиболее чувствителен. Использование чувствительного оттенка
позволяет добиться весьма точной установки поляризационного при-
бора, так как малейшее вращение анализатора или введение на пути
луча оптически активного вещества резко меняет окраску.
444. Пластинка черной слюды помещена после николя. Почему
при повороте пластинки относительно николя окраска ее изменяется
даже при отсутствии второго николя?
445. Как отличить свет левополяризованный по кругу от право-
поляризованного?
446. Как отличить естественный свет от света кругополяризован-
ного и от смеси естественного света с кругополяризованным?
447. Как отличить друг от друга: 1) эллиптически поляризован-
ный свет; 2) смесь естественного света с линейно поляризованным светом
(отчасти линейно поляризованный свет); 3) смесь естественного света
с эллиптически поляризованным светом (отчасти эллиптически поля-
ризованный свет)?
72
ОПТИКА
[гл. I
448. Частично линейно поляризованный свет рассматривается через
николь. При повороте николя на 60° от положения, соответствующего
максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в два раза. Найти
степень поляризации пучка А = ^ -г- и отношение интенсивностей
*s Т 'р
естественного и линейно поляризованного света (Is и 1р — максималь-
ная и минимальная интенсивности
света, проходящего через николь).
449. Линейно поляризованный луч проходит через кристалличе-
скую пластинку, одно из главных направлений которой составляет с
главной плоскостью поляризатора угол /. Разность фаз, сообщаемая
пластинкой, равна 8. Найти: 1) отношение полуосей эллипса колеба-
ний полученного эллиптически поляризованного света; 2) угол между
главными направлениями пластинки и полуосями эллипса.
450. Как определить разность хода, вносимую кристаллической
пластинкой, при помощи другой кристаллической пластинки, для ко-
торой разность хода неизвестна?
451. Под каким углом а к длинному ребру призмы Николя надо
спилить ее основание, чтобы только необыкновенный луч прошел че-
рез призму и притом так, чтобы соответствующая ему волновая нор-
маль была параллельна длинному ребру призмы? В этом случае угол
падения обыкновенного луча на слой канадского бальзама превышает
предельный угол полного внутреннего отражения на §=1°45'’. Пока-
затель преломления необыкновенной волны для рассматриваемого на-
правления пе= 1,516, а обыкновенной п0~ 1,658. Показатель пре-
ломления канадского бальзама п =1,54. Вычислить отношение длины
призмы а к ее ширине b при данных ус-
ловиях.
452. Поляризационная призма пред-
ставляет собой прямоугольную призму,
выпиленную из исландского шпата так,
что его оптическая ось параллельна плос-
кости распила (рис. 39, оптическая ось пер-
пендикулярна к плоскости чертежа). Склеи-
вающим веществом является, либо канад-
ский бальзам (л =1,54) либо льняное
масло (п = 1,494). Найти наивыгоднейшую апертуру призмы и соот-
ветствующее ей отношение длины а к ширине b для обоих склеи-
вающих материалов.
453. Решить предыдущую задачу в предположении, что слой
склеивающего вещества заменен воздухом.
454. Для пластинки топаза графическое изображение изменений
значений показателей преломления, полученных на кристалл-рефракто-
метре, имеет вид окружности радиуса пг— 1,6193 и находящегося в
ней эллипса с полуосями п* = 1,6100 и п? — 1,6127. Определить
КРИСТАЛЛООПТИКА
73
§ 5]
оптический знак топаза и ориентировку пластинки относительно диэлек-
трических осей кристалла.
455. Как надо ориентировать пластинку из двуосного кристалла,
чтобы получить на кристалл-рефрактометре три главных показателя
преломления?
456. На кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оп-
тической оси, падает нормально свет, поляризованный по кругу. Про-
шедший свет рассматривается через анализатор. 1) Определить ин-
тенсивность света, если главная плоскость анализатора составляет
угол а с одним из главных направлений пластинки. 2) Под каким
углом надо поставить анализатор, чтобы получить максимальную и
минимальную интенсивности?
457. Клин из двоякопреломляющего вещества помещен на пути
монохроматического света, поляризованного по кругу. Оптическая
ось параллельна ребру клина. Описать наблюдаемую через николь
картину, когда клин неподвижен и когда он поворачивается вокруг
направления распространения света.
458. Пластинка кварца толщиной в 1 мм вырезана перпендику-
лярно к оптической оси и помещена между скрещенными николями.
Почему при любой длине волны падающего света она будет оставаться
освещенной?
459. Как отличить пластинку кварца, вырезанную перендикулярно
к оси, от пластинки кварца, вырезанной параллельно оси, имея в
своем распоряжении два николя и источник белого света?
460. Почему при вращении анализатора пластинка кварца, выре-
занная перпендикулярно к оптической оси и помещенная между ни-
колями, меняет свою окраску?
461. Почему в условиях предыдущей задачи при вращении ана-
лизатора в одном и том же направлении одни пластинки кварца
дают смену цветов в определенной последовательности, а другие — в
обратной?
462. Кварцевая пластинка толщиной в 1 мм вырезана перпенди-
кулярно к оптической оси. Как определить, из право- или левовра-
щающего кварца сделана пластинка, имея в своем распоряжении два
николя и источник: 1) монохроматического света, 2) белого света?
463. Пластинка кварца толщиной в 1 мм, вырезанная перпенди-
кулярно к оптической оси, помещена между параллельными николями.
Для некоторой длины волны вращение плоскости поляризации равно
20°. При какой толщине кварца d свет данной длины волны будет
полностью погашен?
464. Какой толщины надо взять кварц, чтобы получить чувстви-
тельный оттенок; 1) в скрещенных и 2) в параллельных никелях, если
74 оптика [гл. I
вращательная способность кварца для желто-зеленых лучей состав-
ляет 24 град • млГ1?
Примечание. См. примечание к задаче 443.
465. Дисперсия вращения кварца, вырезанного перпендикулярно
к оптической оси, для желтой области спектра характеризуется следую-
щими значениями вращательной способности а:
X а
5269Д 27,543 град • ымт1
5895А 21,684 град • лглг-1
Зависимость вращательной способности от длины волны в узкой
спектральной области может быть выражена формулой
а = А -[—р-,
где А и В — постоянные. Определить наименьшую толщину кварце-
вой пластинки d, помещенной между двумя° скрещенными николями,
чтобы из двух линий натрия Х1 = 5889,953А и Х2 = 5895,923А одна
полностью гасилась, а другая пропускалась
р-| наполовину.
Свел? / / 466. Установка для выделения одной из
/ __ / линий узкого дублета и задержания другой
изображена на рис. 40. Между параллельными
Рис. 40. николями В и С помещают пластинку исланд-
ского шпата А с осью, параллельной плоскос-
тям пластинки и наклоненной под углом в 45° к плоскости поля-
ризации света, проходящего через николь. При какой примерно
толщине d пластинки отфильтруется одна из линий дублета
натрия, если дисперсия показателя преломления исландского шпата
вблизи дублета натрия представлена таблицей:
X п0 пе
5876А 1,65846 1,48647
5893А 1,65836 1,48641
467. Какую минимальную разность показателей преломления Дп
право- и лево-кругополяризованных лучей (Х = 5893А) можно об-
наружить при слое вещества /=30 см, если измерять угол поворота
плоскости поляризации с точностью до 1°?
468. Чему равна разность показателей преломления Дп для право-
и лево-кругополяризованного света длины волны X = 5893А в кварце,
если известно, что вращение плоскости поляризации в кварце для
этой длины волны равно 21°,7 на 1 мм?
469. Поляризационный прибор состоит из двух пар кварцевых
клиньев, вырезанных перпендикулярно к оптической оси. кОдна пара
§ 6] ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников 75
клиньев изготовлена из правого, другая из левого кварца. Одноимен-
ные клинья сложены так, что образуют прямоугольный параллелепипед.
Обе пары разноименных клиньев склеены своими треугольными гра-
нями. Одна часть прибора может перемещаться относительно другой
при помощи винта (подобно компенсатору Бабине); таким образом,
прибор представляет собой бикварц переменной толщины. Как при
помощи этого прибора можно точно определить главные направления
исследуемой пластинки и их дисперсию?
470. Найти условия излучения Вавилова—Черенкова и качественно
описать это явление при движении частицы в кристаллах. (См. за-
дачу 238.)
471. Показать, что при движении частицы вдоль оптической оси
одноосного кристалла излучение Вавилова—Черенкова может состоять
только из конуса необыкновенных волн.
§ 6. Скорость света. Оптика движущихся сред
и источников. Некоторые вопросы теории
относительности
472. В чем ошибочность следующего рассуждения: «Аберрация
света зависит от движения звезды относительно Земли. Угол абер-
рации ft определяется соотношением tg ft = , где v — поперечная
скорость звезды относительно Земли. Поскольку скорости различных
звезд весьма сильно отличаются друг от друга, наблюдаемые углы
аберрации (в противоречии с опытом) должны были бы также сильно
отличаться друг от друга даже для близко расположенных звезд на
небесной сфере».
473. 1) Какова величина аберрации, вызываемой вращением Земли
вокруг своей оси (на экваторе)? 2) Во сколько раз она меньше абер-
рации, связанной с годичным движением Земли?
474. Найти выражение для скорости света с в опыте Физо в
случае, если имеет место п-е затемнение. Расстояние между колесом
и зеркалом равно D, число оборотов в 1 сек N, число зубцов Z.
Определить с, если £)=10 км, Z — 12Q. Угловые скорости при
четырех последовательных исчезновениях света составляли 326, 457,
588 и 719 рад • сек~1.
475. Рассматривая импульс, представляющий собой суперпозицию
двух гармонических волн: cos (wf— kx) и cos (оЛ— fix'), найти груп-
повую скорость и.
. d<a ,
476. Выразить групповую скорость и = через фазовую ско-
„ dv dn
рость света v и а также через v и
dK ’ аЛ
76
ОПТИКА
[гл. I
477. Изобразим кривой зависимость фазовой скорости волны v
от длины волны X (рис. 41). Показать, что отрезок О А на оси v,
ма его, непрерывно изменяясь,
dX
по истечении времени т = — =
отсекаемый касательной к этой кри-
вой в точке Хо, равен групповой
скорости для длины волны Х = Х0.
(Построение П. С. Эренфеста.)
478. Плоское волновое возму-
щение распространяется в среде с
линейным законом дисперсии:
v = а -ф- />Х,
где v — фазовая скорость, а а и
b — постоянные. Показать, что ка-
ково бы ни было возмущение, фор-
будет периодически восстанавливаться
1 гг
Показать, что отношение пути 5,
пройденного возмущением за промежуток времени т, к продолжи-
тельности этого промежутка равно групповой скорости.
Указание. Любое плоское возмущение в любой момент вре-
мени может быть получено суперпозицией синусоид. Каждая из си-
нусоид перемещается со своей фазовой скоростью в одном и том же
направлении. Вследствие этого непрерывно деформируется форма
возмущения. Утверждение, сформулированное в задаче, будет дока-
зано, если показать существование времени т, по истечении которого
точно восстанавливается первоначальное взаимное расположение си-
нусоид. Достаточно провести рассуждение для трех синусоид; обоб-
щение на большее число синусоид тривиально.
479. Вычислить групповую скорость для различных законов дис-
персии (и — фазовая скорость):
1) v = а (а = const) — недиспергирующая среда, например звуко-
вые волны в воздухе.
2) v = X —волны на поверхности воды, вызываемые силой
тяжести.
3) v—-^== — капиллярные волны.
4) v — -%- — поперечные колебания стержня.
Л
5) v — У— электромагнитные волны в ионосфере (с — ско-
рость света в вакууме, X — длина волны в среде, см. задачу 548).
с<й «
6) v = —__ —-----электромагнитные волны в прямолинейном
)/ o>2efx — с2а2
волноводе, заполненном диспергирующей средой с диэлектрической
проницаемостью е = е((о) и магнитной проницаемостью |л = и((о)
(с — скорость света в вакууме, а — постоянная, зависящая от разме-
ров и формы поперечного сечения волновода).
§ 6]
ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников
77
480. При каком законе дисперсии немагнитной среды е = е((о),
заполняющей прямолинейный волновод или бесконечное пространство,
связь между фазовой и групповой скоростями электромагнитных волн
принимает вид vu — с2?
Указание. См. предыдущую задачу.
481. Показать, что в условиях предыдущей задачи, а также в
том случае, когда внутри волновода вакуум, фазовая скорость
электромагнитных волн в волноводе пре-
восходит скорость света в вакууме. —।
482. Для определения плотности элек- J
тромагнитной энергии в непоглощающей <>
диспергирующей среде можно поступить 11 R <
следующим образом. Пусть вещество с диэ- Ъ
лектрической проницаемостью е((в) и магнит- V
ной проницаемостью р. (со) заполняет плос- __________________|
кий конденсатор с емкостью С==е.(о))С0и
тонкий соленоид с индуктивностью L = Рис- 42-
(о>)А0, соединенные в колебательный контур
(рис. 42). Со и Z-o — значения емкости и индуктивности для то-
го случая, когда в пространстве между обкладками конденсато-
ра и внутри соленоида вакуум. При отсутствии сопротивле-
ния в контуре будут совершаться свободные гармонические
колебания с циклической частотой о) = —-——.......—. Если в не-
VL («) С (<*)
который момент времени ввести в контур малое сопротивление R,
то, начиная с этого момента, колебания сделаются затухающими,
и первоначально запасенная электромагнитная энергия будет пере-
ходить в джоулево тепло, выделяющееся в сопротивлении R. Пол-
ное количество тепла, выделившееся в сопротивлении R за время,
когда колебания прекратятся, будет равно электромагнитной энергии,
запасенной в контуре до введения сопротивления. Найти выражение
для плотности электромагнитной энергии в непоглощающей диспер-
гирующей среде.
Примечание. О физическом смысле полученного выражения
см. задачу 550.
483. Среднюю скорость движения энергии и в плоской моно-
хроматической бегущей волне можно определить как отношение сред*
ней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии.
В электромагнитной волне плотность потока энергии дается вектором
$ = 4^-[£77]. Пользуясь этим и результатом решения предыдущей
задачи, показать, что средняя скорость движения электромагнитной
энергии в плоской монохроматической бегущей волне совпадает с
групповой скоростью.
78 оптика [гл. I
484. Какая скорость света измеряется методом Рёмера и Физо,
фазовая или групповая?
485. Показать, что если е((о) и р. (со) положительны, то фазо-
вая и групповая скорости в электромагнитной волне направлены в
одну сторону.
486. В анизотропной среде фазовая скорость волны зависит не
только от частоты <о, но и от направления распространения волны.
Если записать закон дисперсии в форме со = со (fe), то легко пока-
зать, что групповая скорость в такой среде будет вектором с ком-
ди> V. Tt
понентами — (i = x, у, Z). Показать, что в прозрачном однородном
кристалле групповая скорость по величине и направлению совпадает
с лучевой скоростью и. Для простоты пренебречь зависимостью тен-
зора диэлектрической проницаемости еа(5 от частоты ох
487. Ограничиваясь только непосредственными наблюдениями
колец планеты Сатурн в телескоп, не удается решить, являются ли эти
кольца сплошными образованиями или только скоплениями большого
числа мелких спутников в определенных плоскостях. Как, поль-
зуясь законами механики и оптическим эффектом Доплера, можно
однозначно решить вопрос в пользу того или иного предположения?
488. Вывести формулу для эффекта Доплера в акустике при про-
извольном движении источника и наблюдателя относительно воздуха.
489. Получить выражение для эффекта Доплера в акустике, когда
источник и наблюдатель движутся вдоль прямой, их соединяющей.
490. Оптический эффект Доплера отличается от акустического в
двух отношениях. 1) В акустике есть среда (воздух), относительно
которой могут двигаться источник и наблюдатель. В оптике, когда
речь идет о распространении света в вакууме, подобной среды не
существует — имеет смысл говорить только об относительном дви-
жении источника и наблюдателя. 2) При больших скоростях источ-
ников света в оптике надо считаться с эффектом теории относитель-
ности «замедления хода движущихся часов». Учитывая эти два отли-
чия, получить формулу для оптического эффекта Доплера. За систему
отсчета принять ту, относительно которой наблюдатель неподвижен.
Рассмотреть частные случаи: 1) источник движется вдоль луча зре-
ния, в направлении которого его видит наблюдатель; 2) источник
движется перпендикулярно к этому лучу.
491. Найти приближенную формулу для Доплер-эффекта (прене-
брегая поперечным Доплер-эффектом), если скорость источника v
образует угол 0 с линией наблюдения.
492. Получить формулу для релятивистского эффекта Доплера,
принимая за систему отсчета систему, в которой покоится источник.
§ 6] ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников 79
493. Пользуясь результатами решения задач 490 и 492, получить
релятивистскую формулу для аберрации света.
494. Получить релятивистскую формулу для эффекта Доплера,
когда источник движется в среде со скоростью v, а наблюдатель
в этой среде покоится.
495. Монохроматическая волна частоты v падает нормально на
зеркало, равномерно движущееся в направлении нормали. Как связана
в нерелятивистском приближении частота У отраженной волны со
скоростью движения зеркала v?
496. Для экспериментальной проверки принципа Доплера в зем-
ных условиях А. А. Белопольский использовал отражение света от
зеркал, приводимых в быстрое вращение. Световой луч, прежде чем
он попадал в глаз наблюдателя, успевал несколько раз отразиться
от движущихся зеркал. Считая, что свет падает на движущиеся
зеркала нормально, найти измененную частоту V, если скорость дви-
жения зеркала v, а число отражений N (считать, что v<^c, и пре-
небречь членами порядка
497. Какая скорость света измеряется в методе вращающегося
зеркала Фуко, фазовая или групповая?
Указание. В силу принципа Доплера при отражении света от
движущегося зеркала изменяется длина световой волны. Так как ско-
рости различных точек вращающегося зеркала неодинаковы, то это
изменение будет разным для лучей, отразившихся от различных
точек зеркала. Поэтому если среда, в которой распространяется
отраженный свет, диспергирующая, то фазовые скорости для этих
лучей будут также разными. Это ведет к повороту волнового
фронта отраженной волны. В методе Фуко этот поворот надо учи-
тывать.
498. Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде по
методу вращающегося зеркала. Показатель преломления сероуглерода
для средней длины волны видимого спектра равен п = 1,64, а вели-
чина 1 ~ равна 0,93. Определить, какое следует ожидать зна-
чение для отношения скорости света в вакууме к измеренной этим
методом скорости света в сероуглероде?
499. В противоположность теории относительности в классиче-
ской теории эффекта Доплера вводится движение источника света и
наблюдателя относительно эфира. Допустим, что источник света
движется относительно эфира, а наблюдатель покоится. Тогда длина
волны излучаемого света изменяется, и неподвижный наблюдатель
может обнаружить это с помощью дифракционной решетки. Но если
источник света неподвижен относительно эфира, то движение решет-
ки, очевидно, никак не может сказаться на длине волны излучаемого
80
ОПТИКА
[гл, г
света. Тем не менее и в этом случае дифракционная решетка обна-
руживает смещение спектральных линий согласно эффекту Допле-
ра. Разобрать механизм и рассчитать величину этого смещения.
500. Каково доплеровское смещение ДХ линии водорода
(Х = 4861 А) при наблюдении вдоль пучка водородных каналовых
лучей, имеющих среднюю скорость о=1,3« 108 см-сект1.
501. Каково доплеровское смещение 8Х в условиях предыдущей
задачи, если наблюдать в направлении, перпендикулярном к направ-
лению пучка?
502. Каково максимальное доплеровское смещение ДХ для линии
водорода Н$, излучаемой движущимися атомами водорода с кинети-
ческой энергией в 4«106 эв?
503. Каково поперечное доплеровское смещение 8Х в условиях
предыдущей задачи?
504. Главная трудность наблюдения поперечного эффекта Доп-
лера в каналовых лучах заключается в следующем. Поперечный эф-
фект, как эффект второго порядка относительно —, очень мал по
сравнению с эффектом первого порядка (см. задачи 500 и 501).
Чтобы исключить эффект первого порядка, надо создать в высокой
степени параллельный пучок каналовых частиц, движущихся перпен-
дикулярно к линии наблюдения. Малейшее отклонение в направлении
движения этих частиц от строгой перпендикулярности к линии наблюде-
ния поведет к появлению продольной компоненты скорости и к про-
дольному эффекту Доплера, который может перекрыть эффект второго
порядка. В условиях задачи 500 подсчитать максимальный угол откло-
нения пучка от строгой перпендикулярности к линии наблюдения,
при котором поперечный эффект еще не будет маскироваться про-
дольным эффектом.
505. Как движется относительно Земли некоторая туманность,
если известно, что линия водорода (Х = 4340 А) в спектре туман-
ности смещена на 20А в красную сторону?
506. Длина волны некоторой фраунгоферовой линии в солнечном
спектре равна 5900 А при наблюдении по направлению к по-
люсу Солнца. При наблюдении той же линии по направлению на
край солнечного диска на экваторе обнаруживается смещение на
0,04 А. Найти линейную скорость v солнечного экватора.
507. Каково максимальное полугодичное изменение . ДХ зеленых
линий (Х = 5500 А) спектра звезд, лежащих в плоскости земной
орбиты ?
508. Найти приближенное значение катодного падения потенциала
V в разрядной трубке, если доплеровское смещение линии X =5016 А,
§ 6] ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников 81
принадлежащей гелию и ° наблюдаемой под углом в 145° к канало-
вому лучу, составляет 5 А.
509. Найти спектральное распределение света, излучаемого раз-
реженным газом, находящимся в термодинамическом равновесии при
температуре 7° К. Предположить, что атомы газа излучают лишь одну
спектральную линию, частота которой равна \0 в системе координат,
связанной с атомом.
510. Найти полуширину линии На, излучаемой водородом, нахо-
дящимся при температуре 50° С. Считать, что уширение линий
вызвано лишь эффектом Доплера. Длина волны линии На Х =
= 6563 А.
Примечание. Полушириной линии называется величина АХ =
= Х0— Xi/a, где Хо— длина волны, соответствующая центру линии,
и Xi/g—длина волны, при которой /=у/0-
„ ж, . дх
511. Найти -Y-, если источник движется со скоростью v в среде
А
с показателем преломления п.
512. Приемник радиолокатора определяет скорость приближения
самолета по частоте биений между непосредственно принимаемым от
передатчика сигналом и сигналом, полученным вследствие отражения
от движущегося самолета. На какой длине волны X должен работать
радиолокатор, чтобы приближающийся со скоростью ^ = 360 км-час~х
самолет давал частоту биений А\ = 400 гц?
513. Межзвездный корабль движется к ближайшей звезде, нахо-
дящейся на расстоянии £ = 4,3 световых года, со скоростью v =
= 1000кМ'Час^1. Достигнув звезды, корабль возвращается обратно.
На какое время А/ часы на корабле отстанут от земных часов по
возвращении корабля на Землю?
Примечание. Ввиду большой скорости корабля движение зве-
зды относительно Солнца можно не учитывать.
514. Какая кинетическая энергия Е должна быть сообщена меж-
звездному кораблю массы т=104 кг, чтобы его часы по возвраще-
нии на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле?
Сколько тонн урана М должно прореагировать, чтобы выделилось
такое количество энергии? При делении одного атома урана выде-
ляется энергия 170 Мэв. Какую скорость v будет иметь корабль
при такой кинетической энергии?
515. Межзвездный корабль, о котором шла речь в предыдущей
задаче, представляет собой ракету, работающую на урановом топливе.
Допустим, что все продукты реакции выбрасываются из ракеты в
виде газов с постоянной скоростью истечения ц0= Ю км-час~1 (отно-
сительно ракеты). Оценить, какое количество топлива потребуется для
82 оптика [гл. I
сообщения кораблю скорости, которая требовалась в предыдущей
задаче.
Примечание. Поскольку речь идет об оценке, для простоты
расчета можно пользоваться нерелятивистской механикой.
516. Определить время жизни т [i-мезона с энергией f=109 эв
(в лабораторной системе отсчета). Время жизни медленного (поко-
ящегося) [i-мезона т0 = 2,2 -10~6 сек. Масса [i-мезона т = 206,7 те
(те — масса электрона).
517. Согласно принципу эквивалентности Эйнштейна все процессы
в однородном поле тяготения протекают так же, как в системе отсчета,
движущейся с постоянным ускорением относительно инерциальной си-
стемы отсчета. Пользуясь этим принципом, показать, что частота света
при его распространении в поле тяготения должна изменяться (грави-
тационное смещение спектральных линий). Связать изменение частоты
с изменением гравитационного потенциала вдоль светового луча.
518. Свет, испускаемый с поверхности фотосферы звезды, наблю-
дается на Земле. В какую сторону будет происходить гравитационное
смещение спектральных линий? (См. также задачу 1098.)
519. На Земле принимаются радиосигналы с искусственного спут-
ника Земли, находящегося на высоте h = 800 км над земной поверх-
ностью. Найти относительное изменение частоты радиоволны со спут-
ника, обусловленное гравитационным полем Земли. В какую сторону
спектра будет происходить гравитационное смещение, в красную или
фиолетовую?
520. Найти относительное изменение частоты, обусловленное
земным полем тяготения, когда передатчик расположен на горе на
h = 5 км выше приемника.
521. Показать, что гравитационное смещение частоты радиосиг-
нала с искусственного спутника Земли есть эффект второго порядка
относительно и/с (г» — скорость спутника, с — скорость света).
522. В задаче 519 учесть эффект Доплера (линейный и квадра-
тичный). Найти полное относительное изменение частоты, обусловлен-
ное эффектом Доплера и гравитационным полем Земли, если:
а) спутник вращается точно по окружности; б) спутник движется
под углом 0 = 89° к вертикали, приближаясь к Земле со скоростью
^ = 7,5 км-сек~г.
§ 7. Световое давление
523. Исходя из представления, что свет состоит из фотонов,
каждый из которых обладает импульсом /г\/с, определить давление Р
световой волны на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент
отражения зеркала равен г, а угол падения равен у. Определить
СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ
83
§ Л
также тангенциальную силу Г, действующую на единицу поверх-
ности зеркала со стороны падающего излучения.
524. Решить предыдущую задачу в предположении, что поверхность,
на которую падает световая волна, идеально матовая (удовлетво-
ряет закону Ламберта).
525. Показать, что давление излучения при нормальном падении
света на идеальное зеркало равно 2w, а на полностью поглощающую по-
верхность равно и, где и — плотность энергии падающего излучения.
526. Каково давление света на идеальное зеркало, если излуче-
ние изотропно?
527. Найти световое давление солнечного излучения на квадрат-
ный метр земной поверхности, перпендикулярной к направлению
излучения. Солнечная постоянная (см. примечание к задаче 188) равна
2 кал-см~*'М11Н~\
Абсорбцией в земной атмосфере пренебречь. Рассмотреть три
случая: 1) земная поверхность — абсолютно черная; 2) земная поверх-
ность — абсолютно зеркальная; 3) земная поверх-
ность — абсолютно отражающая, но матовая (удов- Y
летворяет закону Ламберта). ij
528. П. Н. Лебедев впервые экспериментально 1
доказал существование светового давления на g
твердые тела и газы и измерил его. Прибор §
Лебедева для исследования светового давления на н|
твердые тела состоял из легкого подвеса на - Jm
тонкой нити, по краям которого были прикреп-
лены очень тонкие и легкие крылышки (рис. 43).
Крылышко имело форму кружка диаметром в сВ
5 мм. Одно из крылышек было зачернено, _z-x
а другое оставалось блестящим. Подвес помещался
в откачанном сосуде, образуя весьма чувстви- тир
тельные крутильные весы. С помощью специальных
приспособлений на крылышки посылался поток
лучистой энергии мощностью 1,2—1,8 малых
калорий в минуту. Определить силу светового дав-
ления на зачерненный кружок прибора П. Н. Лебе-
дева, когда мощность падающего на него потока М
лучистой энергии составляет Q=l,5 малой Рис.43,
калории в минуту ’).
529. Плоская световая волна падает на поверхность шара, раз-
меры которого велики по сравнению с длиной световой волны.
J) Описание опытов Лебедева можно найти в следующих книгах:
1. П. Н. Лебедев, Избранные сочинения, Гостехиздат, М. — Л., 1949.
2. Г. С. Ландсберг, Оптика, Гостехиздат, М., 1957.
3. О. Д. X в о л ь с о н, Курс физики, том 2, Берлин, 1923,
84
ОПТИКА
[ГЛ. г
Предполагая, что поверхность шара: 1) либо абсолютно черная,
2) либо абсолютно зеркальная, 3) либо абсолютно матовая (удовле-
творяет закону Ламберта), выразить силу светового давления на шар
через плотность падающего излучения.
530. В каком случае световое давление на шар плоской неполя-
ризованной волны будет больше: когда поверхность шара идеально
отражающая или когда она отражает свет частично, а остальной
свет поглощается внутри шара? Размеры шара велики по сравнению
с длиной световой волны.
531. Определить силу светового давления Fx солнечного излуче-
ния на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной.
Найти отношение этой силы к силе ’ гравитационного притяжения
Солнца F2. Средняя плотность Земли 2—'5,5 г • см~\
532. По теории Бредихина форма кометных хвостов объясняется
действием на частицы кометы отталкивательных сил, исходящих от
Солнца и изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстоя-
ния от него. Сила светового давления солнечного излучения убывает
с расстоянием по тому же закону, что является аргументом в пользу
предположения о тождественности обеих сил х). Считая для простоты
частицу шариком, оценить по порядку величины его радиус а, при
котором давление солнечного излучения на шарик превосходит силу
гравитационного притяжения Солнца. Считать, что поверхность
шарика — абсолютно черная, а его плотность 8=1.
Указание. Так как отношение силы светового отталкивания
к силе гравитационного притяжения не зависит от расстояния до
Солнца, то можно считать, что шарик находится на таком же рас-
стоянии от Солнца, что и Земля, и значение плотности энергии сол-
нечного излучения взять такое же, как вблизи Земли.
533. Принимая во внимание, что давление света на идеально от-
ражающее зеркало при нормальном падении равно удвоенной плотности
энергии падающей волны, найти закон изменения плотности световой
энергии при отражении от медленно движущегося идеального зеркала.
§ 8. Молекулярная оптика
534. Определить поляризуемость а молекулы СО2, если показа-
тель преломления углекислоты при нормальных условиях равен
п — 1,000449, а число молекул в одном кубическом сантиметре
(число Лошмидта) равно 77 = 2,687 • 1019.
535. Показать, что модель атома Дж. Дж. Томсона приводит
к соотношению а = а3, где а — радиус атома Томсона.
]) По-видимому, в большинстве случаев отталкивание кометных хвостов
обусловлено не столько световым давлением, сколько другими причинами,
например корпускулярным излучением Солнца.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
85
I 8]
Примечание. По Томсону, атом представляет собой шар,
суммарный положительный заряд которого равен -\-е и распределен
равномерно по объему шара. Внутри шара находится точечный отри-
цательный электрон с зарядом — е.
536. Найти максимальную скорость свободного электрона при
вынужденных колебаниях его в поле солнечного излучения вблизи
вемной поверхности (см. задачу 188). Определить также отношение
максимальной силы Fm, действующей на такой электрон со стороны
магнитного поля, к максимальной силе Fe, действующей со стороны
электрического поля. Поле солнечного излучения заменить моно-
хроматическим E=E0cos<ot с длиной волны Х=5500 А.
Указание. В первом приближении действие магнитного поля
волны можно не учитывать. Найдя движение электрона, можно
вычислить силу, действующую на него со стороны магнитного поля.
537. Определить среднюю силу светового давления на колеблю-
щийся электрон в поле плоской монохроматической световой волны
частоты (о. Помимо поля световой волны, на электрон действуют
еще две силы: 1) квазиупругая сила —тш2х, под действием которой
он совершал бы свободные гармонические колебания с собственной
частотой (D0; 2) «сила трения» — т^х, благодаря которой электрон
поглощает свет. Рассчитать также среднюю энергию е, поглощаемую
электроном в одну секунду, и выразить через нее среднюю силу
светового давления. Показать, что если бы поглощения света не
было, то средняя сила светового давления равнялась бы нулю.
538. Величина постоянного дипольного момента полярной моле-
кулы р0 порядка 10-18 (в системе CGSE), поляризуемость молекулы
а порядка 1024 сж31). Сравнить постоянный дипольный момент моле-
кулы: 1) с моментом, индуцированным в поле световой волны солнеч-
ного излучения, если напряженность электрического поля солнечного
*) Значения а и р0 для некоторых веществ приводятся в нижеследующей
таблице. В случае анизотропных молекул под а понимается среднее из значе-
ний трех главных поляризуемостей молекулы.
Вещество а • 1025 см° Ро- 1018 (CGSE)
Водород Н2 Азот N2 Окись углерода СО . . . Углекислота СО2 Водяной пар Н2О .... Хлороформ СНС13 .... Хлористый метил СН3С1 Ацетон СН3СОСН3.... Бензол СвНв Нитробензол CeH6NO2 . " 7,9 17,6 19,5 26,5 82,3 42,3 63,3 103,2 129,2 0,0 0,0 0,11 0,0 ± 0,02 1,79 1,05 1,86 2,73 0,0 3,8
86
ОПТИКА
[гл. I
излучения у земной поверхности около 7 в-сж"’; 2) с моментом,
индуцированным в поле напряженности в 10 000 в-слС1.
539. Чем объясняется, что соотношение п — ]А, где п — показа-
тель преломления, а е — диэлектрическая постоянная, так резко нару-
шается для воды в оптической области электромагнитного спектра?
540. Водород при 0°С и давлении 760 мм рт. ст. имеет плот-
ность 0,0000896 г-см~3, а его показатель преломления равен 1,000138.
Плотность жидкого водорода равна 0,068 г-см'3. Считая, что формула
Лорентц— Лоренца применима к этому случаю, найти показатель
преломления жидкого водорода. (Эксперимент дает значение п = 1,12.)
541. Получить формулу для диэлектрической проницаемости s(u>)
ионизированного газа в монохроматическом электрическом поле
cos <ot. Столкновениями электронов и ионов пренебречь.
542. Может ли показатель преломления быть меньше единицы?
543. В области аномальной дисперсии ^<\0 (v — фазовая ско-
рость, X — длина волны в среде). В этой области возможен случай,
когда групповая скорость u = v— X будет больше скорости света с
в вакууме. Как согласовать это с выводом теории относительности
о невозможности сигналов, распространяющихся со скоростью больше с?
544. Диэлектрическая проницаемость плазмы е (<п) (см. задачу 541)
отрицательна, если <о<^(о0. В этом случае показатель преломления
и = ]/е— чисто мнимая величина. Выяснить физический смысл чисто
мнимого показателя преломления.
545. Радиоволна распространяется вверх. Волны каких частот
могут проходить через ионосферу? Какие волны будут полностью
отражаться?
546. Радиосигнал определенной частоты = посылается вверх
и отражается на определенной высоте. Определить концентрацию
электронов в точке отражения.
547. Концентрация электронов на Солнце на расстоянии г = 0,06 R
от границы фотосферы (/^ = 6,95 • 1О10 см — радиус Солнца) примерно
равна N — 2 • 108 см~3. Могут ли радиоволны из этой области Солнца
достигать Земли, если длина волны (в вакууме) равна: 1) X = 1 м;
2) Х= 10 м\ 3) Х = 50 м?
548. Получить выражение для фазовой скорости радиоволны в ионо-
сфере в зависимости от длины волны X в ионосфере. (См. задачу 479.)
549. При каких условиях в плазме могут существовать продоль-
ные колебания электрического поля? Чему равны фазовая и группо-
вая скорости соответствующих волн?
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
87
§ 8]
550. Плотность электромагнитной энергии в диспергирующей среде
легко определить в случае газа. В этом случае она слагается из:
1) плотности энергии самого электромагнитного поля (т. е. поля
в вакууме) и 2) плотности энергии частиц, находящихся в поле. По-
следняя энергия в свою очередь состоит из: а) кинетической энергии
колеблющихся частиц и б) потенциальной энергии деформированных
квазиупругих диполей. Из этих соображений найти выражение для плот-
ности электромагнитной энергии в непоглощающей диспергирующей
среде (ср. с зад. 482). Рассмотреть также частный случай плазмы.
551. Какая картина будет наблюдаться в спектроскопе, если на его
щель сфокусирована система горизонтальных интерференционных по-
лос, получаемых от белого источника света? Как изменится эта кар-
тина, если в одно из плеч интерферометра ввести стеклянную пластинку?
Дисперсию показателя преломления стеклянной пластинки не учи-
тывать 2).
552. Как изменится картина, наблюдаемая в спектроскоп, скрещен-
ный с интерферометром Жамена (см. предыдущую задачу), если изме-
нять толщину и дисперсию вносимой в одно из плеч стеклянной пла-
стинки? Как изменится картина при переносе пластинки из одного
плеча в другое?
553. Какой вид будет иметь интерференционная картина (см. за-
дачу 551), если в одном из плеч интерферометра находится слой
паров натрия, а в другом стеклянная пластинка? 1) Рассмотреть вид
полос вблизи линии поглощения натрия. 2) Найти выражение для
(dn\ z, .
I— в вершине крюка (л — длина волны в вакууме), если толщина
\eA/Na
стеклянной пластинки равна ZCT, толщина слоя паров натрия — а
их показатели преломления — пст и соответственно.
Примечание. Вершиной крюка называется точка, в которой
касательная к интерференционной полосе горизонтальна.
554. Расстояние между вершинами крюков с двух сторон резо-
нансной линии в длинах волн равно 2ДХ, толщины стеклянной пла-
стинки и слоя исследуемого газа — ZCT и I соответственно, показатель
преломления стекла пластинки дст. Определить силу осциллятора /0,
соответствующую данной линии.
Примечание. Для достижения совпадения классической теории
дисперсии с опытом нужно в формулах классической теории заменить
число рассеивающих электронов Хо числом/0Д/0, где /0 называется силой
осциллятора. При решении принять во внимание, что показатель прелом-
ления газа близок к единице.
х) Д. С. Рождественский разработал точный и изящный метод исследо-
вания аномальной дисперсии, получивший название метода крюков Рожде-
ственского. Задачи 551—554 имеют целью пояснить идею этого метода.
88 оптика [гл. i
555. Будет ли осциллятор, на который падала световая волна
частоты (п, излучать свет этой частоты после прекращения действия
падающей волны, если не равна собственной частоте колебания
осциллятора («0?
556. Как известно, линейный осциллятор не излучает в направле-
нии своей оси. Используя этот факт, дать молекулярное объяснение
наличия угла полной поляризации (угла Брюстера) при отражении
света от тела с п^>1. Молекулы тела считать изотропными.
Указание. См. задачу 23.
557. Отступления от формул Френеля (см. задачу 364) обычно
связаны с наличием на поверхности отражающего тела переходного
слоя, показатель преломления которого отличен от показателя прелом-
ления отражающей среды, а толщина мала по сравнению с длиной
световой волны. Объяснить на основе молекулярных представлений,
почему при наличии переходного слоя закон Брюстера не соблюдается?
558. Опыт показывает, что закон Брюстера применим не только
к изотропным средам, молекулы которых сами изотропны, но также
и к изотропным средам, состоящим из анизотропных молекул. Как
согласовать этот факт с молекулярными представлениями, если для
анизотропной молекулы направление индуцированного дипольного
момента молекулы, вообще говоря, не совпадает с направлением воз-
буждающего электрического поля? Ведь в таком случае для света,
поляризованного перпендикулярно к плоскости падения, возбужденные
дипольные моменты молекул среды не будут параллельны направлению
отраженного луча. Следовательно, молекулы среды будут излучать
в этом направлении, и мы должны были бы ожидать появления отра-
женного света вопреки закону Брюстера.
559. С молекулярной точки зрения распространение света в среде
заключается в следующем. Под влиянием падающей световой волны,
а также под влиянием излучений соседних молекул и атомов каждая
молекула (или атом) приобретает дипольный момент, меняющийся во
времени, и поэтому сама становится источником вторичных световых
волн. Эти вторичные волны распространяются в пространстве между
молекулами и атомами со скоростью света с в вакууме. Поскольку
вторичные волны в конце концов возбуждаются одной и той же па-
дающей волной, они когерентны и интерферируют друг с другом.
Результат этой интерференции вне среды есть отраженная волна, а
внутри среды — преломленная волна. При исследовании отражения
света нас интересует поле на таких расстояниях от границы среды,
которые велики не только по сравнению с межатомными и межмоле-
кулярными расстояниями, но и по сравнению с длиной волны. Вы-
числяя поля излучения на таких расстояниях, дискретные излучающие
центры — молекулы или атомы—-’можно заменить источниками с не-
прерывно распределенным вектором поляризации: каждый элемент
§ 8] МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА 89
объема среды dV (размер которого мал по сравнению с X3) излучает
как диполь с дипольным моментом PdV (Р— вектор поляризации
среды). Пусть среда граничит с вакуумом вдоль плоскости, и на нее
падает плоская монохроматическая волна. В установившемся состоя-
нии P = Poei^t~ kr\ Среду можно разбить на слои, параллельные
границе раздела. Каждый из слоев будет излучать в вакуум плоскую
волну в направлении отраженного света. Подберем толщину слоев I
так, чтобы два соседних слоя излучали плоские волны в противопо-
ложных фазах. Показать, что напряженность поля волны, излучаемой
в вакуум всей средой, равна половине напряженности поля волны,
излучаемой первым слоем. Найти также толщину слоя I.
560. В неограниченной изотропной среде может распространяться
однородная электромагнитная волна и соответствующая ей однород-
ная волна поляризации среды. Пользуясь этим, можно следующим
образом вывести формулы Френеля для отражения света от среды,
граничащей с вакуумом. Пусть в неограниченной среде распростра-
няется однородная волна поляризации Р = Рое‘ ~ кг^ с kz 0 (ось Z
направлена вертикально вниз). Разделим всю среду на две половины
плоскостью 2 = 0. Влияние верхней половины на нижнюю сводится
к тому, что она излучает вниз плоскую волну (распространяющуюся
со скоростью света в вакууме) с волновым вектором /, определяемым
компонентами:
Если часть среды выше плоскости г = 0 убрать, но сохранить ее
поле излучения, то состояние среды ниже плоскости г = 0 останется
неизменным. Но то же состояние в нижнем полупространстве мы по-
лучаем, посылая из вакуума плоскую монохроматическую волну на
среду, заполняющую нижнее полупространство. Следовательно, падаю-
щая волна эквивалентна волне, излучаемой в нижнее полупростран-
ство воображаемой средой, заполняющей верхнее полупространство.
Пользуясь этим и результатом решения предыдущей задачи, получить
формулы Френеля для отражения света.
561. Расположенный в среде с показателем преломления п — ]/~ е
колеблющийся точечный диполь (осциллятор) с дипольным моментом р
дает поле излучения Е. Как будет излучать тот же диполь (т. е.
диполь с тем же дипольным моментом р), если его поместить в узкую
щель а) параллельно щели, б) перпендикулярно к щели. Ширина щели-
мала по сравнению с длиной волны. Щель заполнена однородным
веществом с диэлектрической проницаемостью s'.
Указание. Применить электродинамическую теорему взаимности *).
Ее можно сформулировать следующим образом. Пусть имеются два
’) Доказательство теоремы взаимности см., например, в книге: Л. И. М а н-
делыптам, Полное собрание трудов, т. III, стр. 328, Изд. АН СССР, 1950.
90 ОПТИКА [гл. I
точечных диполя (осциллятора) с дипольными моментами рг и р*
Пусть поле диполя 1 в точке нахождения диполя 2 равно £1(2),
а поле диполя 2 в точке нахождения диполя 1 равно £2 (7). Тогда
по теореме взаимности ptE^ (1)=р%Е1 (2). Теорема взаимности при-
менима к любым средам (как однородным, так и неоднородным), за
исключением сред, в которых имеет место магнитное вращение пло-
скости поляризации (эффект Фарадея). (См. задачи 575 и 576.)
562. Решить предыдущую задачу для цилиндрической полости,
когда диполь р ориентирован а) параллельно оси полости, б) перпен-
дикулярно оси. Радиус цилиндрической полости мал по сравнению
с длиной волны.
563. То же для сферической полости.
564. Рассмотреть движение упруго связанного электрона во внеш-
нем магнитном поле и показать, что движение при наличии поля от-
личается от движения при его отсутствии наложением равномерного
вращения вокруг направления поля с частотой • Предпо-
лагается, что частота w мала по сравнению с собственной частотой
упруго связанного электрона.
565. Постоянная магнитного вращения плоскости поляризации А?
для CS2 равна 0,04347 дуг. мин • эрстед'1 • см'1 (при 0° С и Х=5890 А).
Найти угол, на который поворачивается плоскость поляризации света
при его прохождении через слой CS2 толщиной в 1 см, находящийся
в поле 10 000 эрстед.
Примечание. Угол поворота плоскости поляризации в магнит-
ном поле И при прохождении слоя вещества толщины I определяется
выражением а = RIH, где R — постоянная.
566. Определить постоянную R для железа, если известно, что
слой железа в 10"3 см поворачивает плоскость поляризации на 130°
в поле 10 000 эрстед при X —5890 А.
567. Выразить постоянную R через показатели преломления и
п+ для право- и лево-кругополяризованного света, проходящего вдоль
линий магнитного поля.
568. Показать, что п_ — ~ «д, где ioL = ——угловая
скорость прецессии электронных орбит в магнитном поле, п_ и п+ —
показатели преломления для световых лучей соответственно с правой
и левой круговой поляризацией. Получить отсюда формулу для по-
стоянной R.
569. Определить знак вращения плоскости поляризации в магнит-
ном поле при распространении света в прозрачной среде (т. е. в среде
с малым поглощением).
Указание. См. две предыдущие задачи,
§ 8] МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА 91
570. Определить отношение заряда электрона е к его массе т,
если известно, что угол магнитного вращения а для водорода при
давлении в 85 атм равен О',063; Хо^- = 0,0625 • 10~4(Х = 5890 А),
см\ /7= 10 000 эрстед.
571. Нормальный эффект Зеемана наблюдается так, что направ-
ление наблюдения противоположно направлению силовых линий. Какая
из компонент имеет правую круговую поляризацию и какая левую?
572. Рассмотреть качественно влияние внешнего магнитного поля
на поляризацию излучения затухающего осциллятора в случае, если
до включения поля: 1) направление колебаний параллельно направ-
лению поля, а направление наблюдения перпендикулярно к полю;
2) направление колебаний перпендикулярно к полю, а направление
наблюдения или параллельно полю, или перпендикулярно к полю.
Примечание. Рассмотрение влияния поля на излучение зату-
хающего осциллятора дает классическую теорию влияния магнитного
поля на резонансную флуоресценцию.
573. Ширина резонансной линии ртути X = 2537 А соответствует
времени жизни атома ртути в возбужденном состоянии, равном
Т = 10“7 сек. Определить по порядку величины магнитное поле, вы-
зывающее почти полную деполяризацию резонансного излучения ртути
при наблюдении его по полю. Направление колебаний при отсутствии
поля перпендикулярно к направлению наблюдения.
574. Может ли постоянное электрическое поле вызвать изменение
частоты колебаний гармонического осциллятора? В качестве модели
гармонического осциллятора принять электрон, на который действует
квазиупругая сила.
575. Имеются два николя Nx и АА2 (рис. 44), главные плоскости
которых повернуты друг относительно друга на угол 45°. Между
николями в продольном магнитном поле помещен слой вещества, вра-
щающий плоскость поляризации (эффект Фарадея). На какой угол
слой вещества должен вращать плоскость поляризации, чтобы свет
92 оптика [гл. I
проходил через систему только в одном направлении (например, от
тела А к телу В), а в обратном направлении не проходил? (Оптиче-
ский вентиль.)
576. Как будет вести себя оптический вентиль, описанный в пре-
дыдущей задаче, если направление магнитного поля изменить на про-
тивоположное, оставляя без изменения взаимное расположение нике-
лей и величину напряженности магнитного поля?
577. Может ли установка, описанная в задаче 575, быть оптиче-
ским вентилем, если между николями поместить слой естественно
активного вещества без магнитного поля?
578. Разъяснить следующий парадокс (парадокс Вина). В адиаба-
тической оболочке помещены два одинаково нагретых тела А и В
(рис. 44), а между ними световой вентиль. Свет, излученный телом А,
падает на николь Половина падающей энергии /, т. е. прохо-
дит через николь, а другая половина, испытав полное внутреннее от-
ражение в николе, возвращается зеркалом Si к телу А (применяя
зеркало, можно не учитывать нагревания николя). Другая половина
энергии-^-, пройдя через николь полностью пройдет через ни-
коль и поглотится телом В. Свет же от тела В не пройдет через
вентиль. Половина излученной этим телом энергии I, равная -у, испы-
тает полное внутреннее отражение в николе Л/2 и после отражения
от зеркала S2 вернется к телу В. Другая половина энергии, пройдя
через николь Л/2 и вращающую среду, испытает поворот плоскости
поляризации на 45° и поэтому не сможет пройти через николь
а претерпит в нем полное внутреннее отражение. Добавочным зерка-
лом S3 эта часть энергии будет отражена обратно, и после полного
внутреннего отражения в николе вернется к телу В. Таким обра-
I 3
зом, тело А получит энергию -%, а тело В — энергию -^-1 и будет
нагреваться в противоречии со вторым началом термодинамики.
579. Наблюдается эффект Коттона—Мутона в ацетоне. Вычислить
разность фаз В, возникающую между компонентами света, поляризован-
ными по магнитному полю и перпендикулярно к полю (свет распро-
страняется перпендикулярно к полю). Постоянная Коттона—Мутона для
ацетона при £ = 20°С и для Хо = 578О А равна С = 37,6 • 10~13/?ад
эрстед'^ • см'1. Напряженность поля /7=20 000 эрстед, толщина
слоя — 2 см.
580. Определить разность п0 — пе (п0 и пе — показатели пре-
ломления «обыкновенного» и «необыкновенного» лучей) при наб-
людении эффекта Керра в нитробензоле в поле, напряженностью
§ 81
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
93
в 3000 в • см~\ Постоянная Керра В = 220 • 1 СНг'1 • сек2 (при t — 20° С
и ко==589О А).
581. Определить в условиях предыдущей задачи сдвиг фаз В,
возникающий между компонентами света, поляризованного по полю
и перпендикулярно к полю. Длина пластин конденсатора равна 4 см.
582. Какова должна быть напряженность поля в условиях преды-
дущей задачи, чтобы В = у?
583. На ячейку Керра падает свет, поляризованный под углом 45°
к полю. Сдвиг фаз, вносимый ячейкой, равен у . Какова интенсив-
ность света /, проходящего через николь, поставленный за конден-
сатором Керра и пропускающий свет, плоскость поляризации которого
перпендикулярна к плоскости поляризации падающего света?
584. Указать качественно, при каких ориентациях эллипсоида
оптической поляризуемости полярной молекулы относительно ее
постоянного дипольного момента вещество при внесении его в электри-
ческое поле ведет себя как: 1) положительный кристалл, 2) отрица-
тельный кристалл. Какая из возможных ориентаций наиболее благо-
приятна для появления эффекта Керра?
585. Рассмотреть газ, состоящий из полностью анизотропных
молекул ’) (в таких молекулах электрон может колебаться лишь
в одном фиксированном направлении относительно осей молекулы).
Вычислить показатели преломления nz и пу для волн, электрические
поля которых направлены по осям Z и У, в зависимости от распре-
деления осей молекул по углам; считать, что пг — пу^щ и л0
близко к единице (п0 — показатель преломления при изотропном
распределении молекул). Принять также, что распределение осей
молекул зависит лишь от их угла с осью Z.
586. Вычислить постоянную Керра В = ^\ для газа, состоя-
^•о^о
щего из полностью анизотропных молекул без постоянного диполь-
ного момента. Постоянное электрическое поле, равное Ео, направлено
аЕ2
по оси Z. Величину P = считать малой п0 сравнению с единицей.
х) В действительности полностью анизотропных молекул не существует.
Поляризуемость а анизотропной молекулы является тензором. Если аь а2,
а3 — главные значения этого тензора, то полная анизотропия означала бы,
что два из этих значений обращаются в нуль. Результаты решения задач 585
и 586 можно приблизительно применять к таким молекулам, у которых одно
из значений аь а2, а8 велико по сравнению с двумя другими. В основном
эти задачи следует рассматривать как качественные. Их цель — пояснить на
простой модели основы теории эффекта Керра.
94
ОПТИКА
[гл. I
587. Вычислить постоянную Керра В для газа, состоящего из
полностью анизотропных молекул с постоянным дипольным моментом р0>
направление которого совпадает с направлением поляризуемости моле-
кулы. Считать момент, индуцированный постоянным внешним полем,
малым по сравнению с р0 (т. е. пренебречь индуцированным моментом),
а величину — малой по сравнению с единицей.
588. Средняя по времени энергия света, излучаемого линейным
вибратором в телесном угле dQ в единицу времени, равна
= dQ,
v / 4лсз >
где 0 — угол между электрическим моментом вибратора р и напра-
влением наблюдения. Используя эту формулу, рассмотреть рассеяние
света свободным электроном и определить эффективное сечение а
для этого процесса.
Примечание. Эффективным сечением а называется отношение
энергии, рассеиваемой электроном в единицу времени, к плотности
потока энергии падающей световой волны.
589. Каково соотношение между эффективными сечениями относи-
тельно светового рассеяния а для протона и электрона?
590. На электрон падает неполяризованный свет; наблюдение рас-
сеянного излучения ведется под углом 0 к направлению первичного
пучка. Найти интенсивность света (&), рассеянного в телесном угле dQ
по направлению к наблюдателю.
591. Упруго связанный электрон, собственная угловая частота
которого равна «>0, освещается поляризованным светом с частотой со,
сильно отличающейся от <о0. Найти эффективное сечение рассеяния а,
а также /(&).
Указание. См. задачу 588.
592. Решить предыдущую задачу с учетом затухания осциллятора
Считать, что «сила трения» равна R = —т\х. Найти приближенное
значение для а вблизи резонанса.
593. Найти отношение £ потока энергии рассеянного газом из-
лучения к потоку энергии падающей плоской волны при нормаль-
ном давлении р и температуре Т =273° К. Молекулы газа можно
считать линейными осцилляторами, т. е. предполагать, что у моле-
кулы имеется лишь одна собственная частота. Длина рассеивающего
объема вдоль луча I — 10 см. Частота падающего света со = 3 • 1013 сек~\
собственная частота осцилляторов (о0 = 6 • 1013 сек~\
594. Решить предыдущую задачу в предположении, ° что длина
волны падающего света в одном случае равна Х1==7000А, а в дру- >
§ 8] МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА 95
гом Х2 = 4000 А. Каково отношение А = ^ ? Сравнить А с отно-
о / М4
шением В = (I •
595. Объяснить качественно голубой цвет неба и красную окраску
заходящего Солнца.
596. Линейно поляризованный свет рассеивается газом, молекулы
которого изотропны. Принимая, что молекулы рассеивают свет неза-
висимо друг от друга, а их излучение не интерферирует, вычислить
отношение d£ потока энергии рассеянного излучения, приходящегося
на телесный угол dQ = sin 9 dti dy (0 — угол между направлением наблю-
дения и вектором £0 падающего света), к потоку энергии падающего
излучения. Объем рассеивающей области V (V<^г3, где г — рас-
стояние ог рассеивающего объема до наблюдателя); число молекул
в единице объема N; показатель преломления газа л; длина вол-
ны света X.
597. Наблюдение рассеянного света ведется в плоскости, перпен-
дикулярной к Ео (см. предыдущую задачу). 1) Определить поток рас-
сеянного излучения г/Ф, приходящийся на телесный угол dQ; 2) найти
тот же поток, если падающий свет — естественный.
598. Рассмотреть рассеяние света в газе, молекулы которого пол-
ностью анизотропны (см. задачу 585). Принимая, что различные моле-
кулы распределены хаотически и рассеивают свет независимо друг
от друга, вычислить поток / рассеянного излучения для света с коле-
баниями электрического поля по осям ОХ и OZ, если наблюдение
ведется по оси OY, а падающий свет распространяется по оси ОХ и
линейно поляризован, причем вектор £0 направлен по оси OZ. Опреде-
А 1х
лить также степень деполяризации рассеянного света
‘Z
599. Решить предыдущую задачу, предполагая, что падающий свет —
естественный, т. е. Ez = Ey.
600. Найти отношение У, потока энергии рассеянного воздухом
излучения к потоку энергии падающей плоской волны при темпе-
ратуре Т =273° К и нормальном давлении. Показатель преломления
равен 1,00029. Длина волны Х = 5000А, длина рассеивающего объе-
ма вдоль луча /= 1 м.
601. Ту же задачу решить для сероуглерода (CS2). Длина рас-
сеивающей области 1= 10 см', п = 1,628. Плотность CS2 равна
1,264 г • см~\
602. На 1 слг2 поверхности атмосферы падает в среднем около
2 кал солнечной энергии в 1 мин. Принимая, что плотность атмо-
сферы постоянна и равна плотности воздуха на поверхности Земли,
а высота ее h = 10 км («эквивалентная атмосфера»), вычислить
96 ОПТИКА [гл. г
поток энергии S, достигающий земной поверхности, для двух слу-
чаев: 1) Х = 6000А и 2) X == 4000 А.
Указание. См. задачу 600.
603. Параллельный пучок линейно поляризованных лучей пропу-
скается через высокую трубку, наполненную слегка замутненным
раствором сахара. В случае белого света сбоку наблюдается ряд
винтовых линий различной окраски. 1) Объяснить их происхождение;
2) выяснить зависимость шага винта от концентрации раствора и от
цвета.
Примечание. Сахар — оптически активное вещество, т. е. при
распространении в растворе сахара линейно поляризованного света
происходит вращение плоскости поляризации.
604. Свет, поляризованный по кругу, рассеивается в газе, моле-
кулы которого оптически изотропны. Описать, как будет поляризован
рассеянный свет в зависимости от угла 0 между направлениями распро-
странения падающего и рассеянного света. В случае эллиптической
поляризации рассеянного света определить ориентацию эллипса коле-
баний и коэффициент эллиптичности р, т. е. отношение малой к боль-
шой оси эллипса колебаний.
605. Естественный свет распространяется в газе, молекулы кото-
рого оптически изотропны. Показать, что рассеянный свет можно
разложить на свет, поляризованный линейно и на свет естественный.
Указать, как будет расположена плоскость поляризации линейно поля-
ризованной компоненты рассеянного света; Найти отношение интен-
сивности линейно поляризованной компоненты к интенсивности непо-
ляризованной компоненты рассеянного света в зависимости от угла &
между направлениями распространения падающего и рассеянного света.
606. Л. И. Мандельштам и Г. С. Ландсберг, открывшие явление
комбинационного рассеяния, производили свои первые опыты по рас-
сеянию на кристаллах кварца. Источником света служила ртутная
кварцевая лампа. Исследование велось в ультрафиолетовом свете.
Спектр лампы состоял из трех разных волн с длинами 2536 А, 3126 А
и 3650 А. Рассеянный свет фотографировался кварцевым спектро-
графом. Мандельштам и Ландсберг нашли, что в рассеянном свете
все линии ртути сопровождаются спутниками. Для того чтобы дока-
зать, что спутники не являются «ложными», т. е. не получаются
в результате случайных отражений всей спектральной картины, надо
было убедиться, что длины волн их иные, чем основных линий. Одно
из доказательств состояло в том, что между рассеивающим кристал-
лом и щелью спектрографа помещался кварцевый сосуд, наполненный
парами ртути. Опишите,- какую картину следовало бы ожидать при
подогревании сосуда со ртутью, если бы длины волн спутников
были бы такие же, как и основных линий, и какую картину следует
ожидать, если предположить, что эти длины волн иные.
§ 8]
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
97
607. Найти частоту собственных колебаний v молекулы брома,
дающей при комбинационном^ рассеянии линии А = 3131,6 А спутник
с длиной волны kj = 3164,0 А.
608. Найти длины волн комбинационных линий молекулы С12,
полученных от возбуждающей линии с к = 4358,3 А, если частота
колебания молекулы соответствует волновому числу 556 см~1.
Примечание. Волновое число А’=
609. Расстояние между фиолетовой (К = 4046,8 А) и синей
(X = 4358,3 А) линиями ртутного спектра на фотопластинке ах —
= 8,680 мм, между синей и голубой (X = 4916,0 А) аа = 9,124 мм.
Рядом с синей расположены четыре комбинационных линии СС14 на
расстояниях 0,903; 1,300; 1,865; 3,083 мм от нее. Найти нормальные
частоты СС14 в см~\
Указание. Для определения положения спектральных линий
можно пользоваться следующей формулой, связывающей частоты двух
„ fl
спектральных линий с расстоянием между ними v— v0 =-------.
X — Xq
610. Какую разрешающую способность должна иметь призма,
чтобы разрешить комбинационный дублет 1500 см~* и 1530 см~\
полученный от возбуждающей линии с к = 4358,3 А?
611. Найти отношение интенсивностей фиолетовых и красных
спутников в комбинационном спектре рассеяния СС14 при температуре
27° С, если частоты нормальных колебаний СС14 равны 217 см~1,
315 см'1, 457 см 1 и 774 см"1.
612. На основе классической теории оценить по порядку величины
частоту вращения о>0 молекулы Н2 при температуре 7' = 300° К- Мо-
мент инерции молекулы Н2 порядка 5-10 40 г-сж'2.
613. Найти расстояния Av между линиями ротационной структуры
комбинационной линии Na, если известно, что момент инерции Na
равен 7=13,8 • 1О~40 г«сжа.
614. Показать на основании классической теории, что полносим-
метричное нормальное колебание молекулы СО2, изображенное на
рис. 45, не дает полосы в инфракрасном спектре абсорбции.
Рис. 45.
615. Показать на основании классической теории, что частота
антисимметричного относительно центра нормального колебания моле-
J С 0_______
Рис. 46.
кулы СО2, изображенного на рис. 46, отсутствует в комбинационном
спектре рассеяния.
98 оптика [гл. г
616. Показать па основании классической теории, что расстояние
в А между линиями ротационной структуры комбинационного рас-
сеяния молекулы вдвое больше расстояния между линиями ротацион-
ной структуры инфракрасного спектра абсорбции.
617. Имеется изотропная среда со слабой оптической неоднород-
ностью, т. е. с диэлектрической проницаемостью вида е = е0 8s,
где е0 — среднее значение в, a 8s — отклонение от среднего значения.
Показать, что в линейном по 8s приближении задача о рассеянии
света может быть сведена к задаче о распространении света в одно-
родной среде с диэлектрической проницаемостью г0, в которой имеются
дополнительные источники света в виде колеблющихся диполей, рас-
пределенных в среде. Показать, что если представить 8е в виде
8s = V, 8ze, то в том же приближении рассеянное излучение может
быть получено простой суперпозицией полей, рассеянных на неодно-
родностях 8fs.
618. В среде с малой оптической неоднородностью вида 8s =
= ае~iKr (а и К — постоянные) распространяется плоская световая
волна: Ео = Ае* (<ot~ Лг\ /f0 = ffei(<ot~ kr]. При каких длинах волн
QTC
X = и в каких направлениях будет наблюдаться рассеянное излучение?
619. Считая, что диэлектрическая проницаемость среды а является
функцией только ее плотности р, найти длины волн рассеянного
излучения на тепловых флуктуациях плотности в зависимости от угла В
между направлениями падающей и рассеянной волн. Падающая волна —
монохроматическая.
620. Описать качественно тонкую структуру линий рэлеевского
рассеяния света в аморфных твердых телах.
621. Какую тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния непо-
ляризованного света следует ожидать в кристаллах?
622. Какую тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния сле-
дует ожидать в жидком гелии-П?
623. При рассеянии света резонансной линии ртутной лампы
(Х = 2536,5 А) в кристалле алмаза под углом 0 = 90° к направлению
падающего пучка были найдены две пары смещенных компонент
с 8Х = 0,52 А и 8Х = 0,32 А. (Речь идет о смещении относительно
центральной — несмещенной — компоненты.) Определить скорости про-
дольной и поперечной акустических волн в алмазе. Показатель пре-
ломления алмаза п = 2,42.
ГЛАВА»
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 9. Термометрия. Калориметрия.
Тепловое расширение тел
624. В 1829 г. во Флоренции был случайно найден ящик, напол-
ненный термометрами флорентийских академиков (1660) со Шкалами
в 50°. Оказалось, что 50° флорент (Фл) соответствуют 44° R и
0°Фл = — 15° R. Найти выражение для перевода шкалы флорентийских
градусов в градусы Цельсия.
625. Член С.-Петербургской Академии наук И. Н. Делиль в 1733 г.
описал свою термометрическую шкалу. В качестве термометрического
тела он применял ртуть и принимал за нуль температуры темпера-
туру кипящей воды. Объем ртути при этой точке он делил на
100 000 частей (большой термометр) и на 10 000 (малый) и наносил
соответственные деления на шкалу; оказалось, что ртуть маленького
термометра в тающем льде опустилась до 150-го деления. Найти
выражения для перевода градусов Делиля (малый термометр) в гра-
дусы Цельсия.
626. Академику С.-Петербургской Академии наук И. Браун,
25 декабря 1759 г. впервые удалось заморозить ртуть при мо-
розе на улице в 199°D (т. е. по шкале Делиля, см. предыдущую
задачу). Об этом Б. Н. Меншуткин в своей книге «М. В. Ломоносов>
пишет:
«Погруженный в холодильную смесь ртутный термометр был раз-
бит, и Браун впервые получил шарик твердой ртути. Она оказалась
мягкой, как свинец, и похожей на полированное серебро. 26 декабря
опыты продолжались уже вместе с Ломоносовым; мороз все крепчал
и к 10 часам утра 26 декабря достиг 212°D... В холодную смесь
из снега, крепкой водки (азотной кислоты) и купоросного масла
(серной кислоты) был помещен ртутный термометр. Дальнейший ход
опытов Ломоносов описывает так: „Не сомневаясь, что она уже
замерзла, вскоре ударил я по шарику медным, при том бывшим
циркулом, от чего тотчас стеклянная скорлупа расшиблась, и от
ртутной пули отскочила, которая осталась с хвостиком бывшия
100 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. П
в трубке термометра достальные ртути, наподобие чистой серебряной
проволоки, которая как мягкой металл свободно нагибалась, будучи
толщиною в четверть линии. Ударив по ртутной пуле после того
обухом, почувствовал я, что она имеет твердость, как свинец или
олово. От первого удара, даже до четвертого, стискивалась она без
седин, а от пятого, шестого и седьмого удара появились щели...
И гак перестав больше ртуть ковать, резать стал ножом, и по вре-
мени около 20 минут стала она походить на амальгаму или на тесто,
и вскоре получила потерянную свою жидкость, то есть растопилась
при таком великом морозе в 208 градусов”».
Найдите из опытов М. В. Ломоносова температуру замерзания
ртути й градусах Цельсия.
627. Термометр в тающем льде показывает температуру £0, в парах
воды, кипящей при давлении И мм рт. ст., — tn- Найти выражение
истинной температуры t при любом промежуточном показании термо-
метра tn в предположении, что трубка термометра делится линиями
шкалы на равные объемы. Температура кипения воды при давлении
Н мм рт. ст. равна Тн.
628. Термометр в тающем льде показывает —3,0° х), в парах
кипящей при давлении 760 мм рт. ст. воды tH= 101,4°. Какую
температуру покажет термометр в парах кипящего метилового спирта
(66,9°)?
629. Двй совершенно одинаковых термометра наполнены при 0°
равными по объему количествами ртути и толуола. Найти отношение
длины Z деления, соответствующего 1° на шкале ртутного термометра,
к длине Zt деления на шкале толуолового термометра. Коэффициент
объемного расширения ртути а, толуола а1( коэффициент линейного
расширения стекла р.
630. Разобрать, как будет вести себя при разных температурах
от 0° до 10° термометр, наполненный водой. Для каких температур
показания этого термометра будут одинаковыми? Для объема воды
в зависимости от температуры можно принять формулу
V= 1 — 0,00006105 t -р 0,000007733 t*,
где V — объем при температуре t. Объем при 0° принят за единицу.
631. Водородный термометр с постоянным объемом Уо при на-
гревании от t — 0° до изменяет давление от р0 мм рт. ст.
до pi мм рт. ст. Определить температуру газа tit если коэффициент
объемного расширения сосуда а, коэффициент объемного расшире-
ния водорода а.р.
’) Всюду, где не указывается температурная шкала, подразумевается
шкала Цельсия.
§ 9] ТЕРМОМЕТРИЯ. КАЛОРИМЕТРИЯ 101
632. Термометр, погруженный в воду массы /я = 6,7 г, повысил
свою температуру на Af=14,6° и показывает температуру t = 32,4°.
Какова температура воды х° перед измерением. Водяной эквивалент
термометра £ = 0,46 кал>град~х.
633. Температурная шкала газового термометра обычно строится
таким образом, что равным приращениям объема или давления термо-
метрического тела соответствуют равные приращения температуры.
Дальтон (1802 г.) предложил иную шкалу, в которой равным прираще-
ниям температуры соответствуют равные относительные приращения
объема идеального газа при постоянном давлении. В дальтоновой
шкале, как и в шкале Цельсия, за нуль температуры принимается
температура тающего льда, а температура паров кипящей при нор-
мальном давлении воды принята за 100°. Выразить температуру г
по дальтоновой шкале через температуру t по шкале Цельсия.
634. Коэффициент объемного расширения ртути а при 0° и
атмосферном давлении равен 0,00018 град~\ Коэффициент сжатия
у = 0,0000039 атм~\ Вычислить термический коэффициент давления
для ртути.
635. Насколько надо увеличить внешнее давление, чтобы сохра-
нить постоянным объем ртути при нагревании ее от 0° до 10°?
(См. предыдущую задачу.)
636. Для измерения температуры термостата применили железную
проволочку, имеющую при температуре 18° сопротивление 15 ом.
В термостате ее сопротивление оказалось равным 18,25 ом. Опреде-
лить температуру термостата t, если температурный коэффициент
сопротивления железа х = 0,006 град~\
637. Сопротивление линейного болометра из зачерненной плати-
новой полоски /^=108 ом. С какой точностью можно производить
измерения температур при помощи такого болометра, если все сопро-
тивления определяются с точностью AR = 0,001 ом, а температурный
коэффициент сопротивления платины х = 0,0039 град'1?
638. В калориметре смешано т г льда при 0° и пг г воды при /*.
Определить температуру смеси t°, если скрытая теплота плавления
равна X, а весь лед расплавился.
639. Какое количество воды т при температуре fo = 2O° можно
заморозить испарением 44=100 г серного эфира, имеющего темпе-
ратуру С = 20°, теплоемкость q = 0,5 кал-г~1-град~1, теплоту испа-
рения г = 90 кал-г~' (при условии, что теплота испарения берется
исключительно за счет воды)? Считать теплоту испарения эфира не
зависящей от температуры.
640. Для определения удельной теплоемкости цинка кусок его
с массой w2 = 235,6 г нагрет до температуры f2 = 99,3° и опу-
щен в лагунный калориметр. Удельная теплоемкость латуни
102 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. IF
qx = 0,093 кал-г~х-град *, масса калориметра и мешалки = 100 г,
масса воды т = 209,3 г; начальная температура калориметра и воды
/о = 2О,5°. Температура воды в калориметре повысилась до t = 27,6°.
Определить теплоемкость цинка.
641. Две жидкости нагреваются в одинаковых сосудах одним и
тем же электрическим током, для чего в каждый сосуд вставлены
одинаковые проволочные сопротивления. В первом сосуде жидкость
нагрелась от до tx. Масса жидкости в этом сосуде т, теплоем-
кость q, а водяной эквивалент сосуда mxqx. Определить теплоемкость
жидкости q', налитой во второй сосуд, если за то же время она
нагрелась от to до Z'; водяной эквивалент второго сосуда пг'/ц,
а масса жидкости в нем т'.
642. Вода при соблюдении необходимых предосторожностей может
быть переохлаждена до температуры t = —10°. Какая масса льда т
образуется из М = 1 кг такой воды, если бросить в нее кусо-
чек льда и тем вызвать замерзание? Теплоемкость переохлажденной
воды считать не зависящей от температуры и равной теплоемкости
обычной воды.
643. 1 г водорода, сгорая и превращаясь в воду, выделяет
34 000 кал тепла. Сколько граммов угля надо сжечь для диссоциа-
ции 1 г воды, если из выделяемой углем теплоты используется 50%?
Теплотворная способность угля равна 7000 кал • г-1.
644. Для определения коэффициента объемного расширения а.
стекла взвешивают небольшой стеклянный баллон с оттянутым кон-
чиком— сначала пустой, а затем с количествами ртути, необходимыми
для совершенного наполнения баллона при двух температурах, на-
пример 0° и t. Пусть р{} и рх — веса ртути при указанных темпера-
турах. Определить коэффициент объемного расширения стекла а, если
коэффициент объемного расширения ртути оц.
645. Имеется несколько часов с маятниками из одинакового мате-
риала, но разной длины. Показать, что если все эти часы выверены
при некоторой температуре tu то при температуре относительное
изменение хода одинаково для всех часов и не зависит от длины
маятника.
646. Стеклянный шарик с коэффициентом объемного расшире-
ния а взвешивается в жидкости при температурах t и tx. Веса вы-
тесненной жидкости соответственно р и рх. Определить коэф-
фициент объемного расширения жидкости cq в интервале температур
от t до fj.
647. Пикнометр при некоторой температуре t заполнен спиртом»
вес которого равен р. Затем пикнометр вместе со спиртом нагреет-
ся до температуры и излишек спирта против прежнего уровня
удаляется фильтровальной бумагой. После этого вес спирта оказался
§ 9] ТЕРМОМЕТРИЯ. КАЛОРИМЕТРИЯ ЮЗ
равным pv Определить средний коэффициент объемного расширения
спирта а, если коэффициент линейного расширения стекла р.
648. Барометр имеет латунную шкалу. При температуре = 27°
высота ртутного столба, отсчитанная по шкале, равна /71 = 751,3 мм.
Определить высоту столба /Уо при fo = O°. Коэффициент линейного
расширения латуни р = 0,000019 град~1, объемного расширения ртути
а = 0,000182 град~\
649. Коэффициент линейного расширения нейзильбера J3 опреде-
лялся при помощи рычажного прибора (рис. 47).- Длина стержня А
при температуре f0 = 0° равна /0 = 23,02 см. При нагревании до
W7/7/M7,.
Рис. 47.
/j = 99°,3 стрелка второго рычага отклонилась на угол = 9°30'.
Короткое плечо второго рычага £)Б = а = 2,5 см. Отношение плеч
первого рычага ВС'. /?£)=!: 10. Определить величину [3.
650. Из кварца параллельно его оси вырезана круглая пластинка,
радиус которой при температуре равен г. Определить площадь
пластинки S при температуре /2. Коэффициент расширения парал-
лельно оси р у, а перпендикулярно к ней
651. Из кварца вырезан цилиндр, ось которого параллельна оси
кварца. При температуре ^=18° радиус цилиндра г = 10 мм,
а высота I = 50 мм. Определить объем этого цилиндра У2 при
температуре /2 = 300°. Для кварца коэффициент линейного расши-
рения р и =0,000072 град а = 0,0000132 град~\
652. Для определения истинного коэффициента объемного расши-
рения жидкостей применяется следующий метод. Два сообщающихся
сосуда наполнены жидкостью, расширение которой исследуется; при
одинаковой температуре обоих сосудов жидкость в них находится
на одной высоте. Если один из сосудов охлаждать тающим льдом,
а другой нагревать в парах кипящей под нормальным атмосферным
давлением воды, то при равновесии уровни жидкостей будут раз-
личны. Эта разность уровней дает возможность вычислить коэффи-
циент объемного расширения а. Вывести выражение для а.
104 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
653. Для определения коэффициентов объемного расширения раз-
ных металлов может быть применен следующий метод. Металлический
стержень веса р и с плотностью р0 при 0° помещается в стеклянный
баллон с оттянутым кончиком. Баллон заполняется ртутью. Коэффи-
циенты объемного расширения ртути а и стекла считаются изве-
стными. Веса ртути, заполняющей пространство в баллоне, не занятое
металлом, при 0° и равны соответственно Ро и Pt- Плотность ртути
при 0° равна 80. На основании этих данных найти коэффициент объем-
ного расширения х металла.
654. Колесо паровоза имеет радиус r0— 1 при /0 = 0°. Опре-
делить разницу в числах оборотов колеса летом при температуре
^ = 25° и зимой при температуре /2 =—25° на пути пробега паро-
воза /=100 км. Коэффициент линейного расширения металла колеса
р = 0,000012 град ’.
655. В сосуде, наполненном водой, плавает кусок льда. Изме-
нится ли уровень воды после того, как лед растает, если оконча-
тельная температура воды останется равной 0°?
656. Какую силу Р надо приложить к стальному стержню сече-
нием в 1 ел/'2, чтобы растянуть его настолько же, насколько он удли-
няется при нагревании па 1°. Коэффициент линейного расширения
Р= 12 • 10‘6 гра(Гг. Модуль Юнга £ = 2,1 • 106 к Г • см~*.
657. Стальной бандаж нагоняется на вагонное колесо при тем-
пературе tx = 300°. Определить силу натяжения Р в бандаже при
температуре £0—20°, если сечение бандажа S — 20 сас2. Модуль
Юнга 2,1 • 106 кГ - саГ2 и коэффициент линейного расширения
Р = 12 • Ю 6 град~л.
§ 10. Теплопроводность
658. Стальной стержень длины I— 20 см с площадью попе-
речного сечения 3=3 см2 нагревается с одного конца до темпе-
ратуры tx — 300°, а другим концом упирается в лед. Предпола-
гая, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня
(без потерь через стенки), подсчитать массу т льда, растаяв-
шего за время т = 10 мин. Коэффициент теплопроводности стали
k = 0,16 кал-град~х • сек~1 • см1.
659. Медный кофейник нагревается на примусе. Вода доведена
до кипения и выделяет каждую минуту т = 2 г пара. Толщина дна
кофейника /=2 мм, а площадь 3=300 см2. Определить разность
температур t2 — tv между внутренней и наружной поверхностями дна
кофейника, предполагая, что все дно нагревается равномерно. Коэф-
фициент теплопроводности меди k = 0,92 кал • град~х - сек~х • см~х.
660. Решить предыдущую задачу, если дно кофейника с вну-
тренней стороны покрыто слоем накипи толщины =ж 1 мм. Коэф-
фициент теплопроводности накипи kv — 0,003 кал -град1 • сек 1 - саг1.
§ 10] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 105
661. Три пластинки одинакового размера сложены вместе, образуя
столбик. В середине — свинцовая пластинка, по краям — серебряные.
Внешняя сторона одной серебряной пластинки поддерживается при
постоянной температуре f=100°. Внешняя сторона другой серебря-
ной пластинки имеет температуру £3 = 0°. Найти температуры tx и t2
в местах соприкосновения свинцовой пластинки с серебряными. Коэф-
фициенты теплопроводности свинца kx = 30 ккал • град"1 • час"1 • м"1,
серебра k — 360 ккал град"1 • час"1 • м"1.
662. Определить количество тепла Q, теряемое 1 м2 стены в
течение времени т, равного одним суткам, при температуре воз-
духа в помещении tx = 20° и , температуре наружного воздуха
ta =—10°. Толщина стены /= 20 см. Коэффициент теплопро-
водности материала стены k = 0,003 кал • град"1 • сек"1 • см"1. Коэф-
фициент внешней теплопроводности на границе стена — воздух
а = 0,0002 кал - град"1-сек"1 • см"\ Определить также температуры
внутренней f2 и внешней t3 поверхностей стены.
663. Сколько каменного угля нужно сжигать в сутки на водяное
отопление дома, площадь поверхности стен и крыши которого
равна 5= 10 000 ж2, чтобы поддерживать в квартирах темпера-
туру ^=18°, если температура снаружи здания t.2 = ~22°? Тол-
щина стен L = 60 см, коэффициент внутренней теплопроводности
материала стен k = 0,002 кал • град"1 - сек"1 • см"1, а утечка тепла
с единицы поверхности крыши такая же, как с единицы поверхности
стены. Коэффициент внешней теплопроводности на границе воздух —
стена а = 0,00025 кал • град"1 - сек"1 • см"2, теплотворная способ-
ность угля г = 7500 кал - г"1.
664. Два сосуда, наполненных жидкостями при температурах tt
и t2, соединены металлическим стержнем длины L с поперечным
сечением 3 и теплопроводностью k. Массы жидкостей и их удельные
теплоемкости соответственно равны тх, т2 и с2. Сосуды и стер-
жень теплоизолированы от внешней среды. Через какое время т
разность температур уменьшится вдвое?
665. В тонкостенный замкнутый металлический сосуд налита
жидкость, имеющая температуру tx. Температура воздуха вне со-
суда t3. Найти температуру f2 внешней стенки, если известно, что
коэффициент внутренней теплопроводности металла k, коэффициент
внешней теплопроводности на границе металл — воздух а, а на гра-
нице металл — жидкость оо. Толщина стенки равна L.
Примечание. Сосуд считается тонкостенным, когда толщина
стенок мала по сравнению с его линейными размерами.
666. Определить температуру в предыдущей задаче в двух
предельных случаях: 1) очень тонкого металлического сосуда и
2) сосуда из материала с очень малой теплопроводностью.
106
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. II
667. В тонкостенный замкнутый металлический сосуд с общей
поверхностью S налита жидкость при температуре t\. Через сколько
времени т жидкость охладится до температуры если масса ее т,
удельная теплоемкость с, температура воздуха вне сосуда f3, а коэф-
фициент внешней теплопроводности на границе металл — воздух
равен а?
668. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с ра-
диусами 7?! и заполнено проводящим тепло однородным веще-
ством. Найти распределение температуры в этом пространстве, если
температура внутреннего цилиндра tb а внешнего f2.
669. Найти распределение температуры в пространстве между
двумя концентрическими сферами с радиусами Rt и R%, заполненном
проводящим тепло однородным веществом, если температуры обеих
сфер постоянны и равны tx и t2.
670. По проводу без изоляции течет постоянный ток силой I ампер.
Определить температуру провода t в функции расстояния г от его
оси в стационарном режиме, если радиус провода R см, коэффици-
ент теплопроводности k кал-град'1-сек'1-см'1, удельное сопротив-
ление р ом-см, а температура поверхности провода /0.
671. Вода в пруду имеет температуру £1=0°. Температура окру-
жающего воздуха t<i~—10°. Какой слой льда х образуется за время
т— 1 сутки, считая с момента замерзания воды. Коэффициент тепло-
проводности льда k = 0,0053 кал-град'1 -сек'1-см'1, скрытая теплота
замерзания воды X = 80 кал-г'1, плотность льда р = 0,9 г-см~\
672. На концах длинного однородного стержня, поперечные раз-
меры которого малы по сравнению с его длиной, задаются темпера-
туры и которые могут меняться во времени. Температура одно-
родной среды, окружающей стержень, равна t3. Показать, что благодаря
внешней теплопроводности температура в стержне подчиняется урав-
нению
— — t 3),
от дх2
«> k «о OtP
где а = —, b =-^, р—периметр поперечного сечения стержня,
S—площадь этого сечения, с — теплоемкость вещества стержня,
р — его плотность, а — коэффициент внешней теплопроводности,
k — теплопроводность, т — время.
673. Найти установившееся распределение температуры вдоль
длинного и очень тонкого стержня длины I, если температуры его
концов и f2, а также температура окружающей среды t3 подтер-
§ 10] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 107
живаются постоянными. Остальные величины такие же, как в преды-
дущей задаче.
674. Решить предыдущую задачу в предположении, что /3=f2.
Рассмотреть случай очень длинного стержня.
675. Сурьмяный и медный стержни покрыты очень тонким слоем
парафина и своими концами упираются в стенку металлического со-
суда, наполненного кипящей водой. Через некоторое время, по до-
стижении стационарного состояния, плавление парафина прекращается
на расстоянии xt от стенки сосуда на сурьмяном стержне и на
расстоянии х2 на медном. Коэффициент теплопроводности сурьмы kv
Определить коэффициент теплопроводности меди k^.
676. Для определения коэффициентов теплопроводности жидко-
стей используются три медные пластинки, расположенные горизон-
тально одна над другой. Нижняя пластинка омывается потоком хо-
лодной воды (температура /Д, верхняя — теплой (температура /3).
Пространство между нижней и средней пластинками заполнено жид-
костью с коэффициентом теплопроводности kb а пространство между
средней и верхней — жидкостью с коэффициентом теплопроводности k%.
Расстояние средней пластинки от нижней равно db а от верх-
ней — (1%. Выразить коэффициент теплопроводности k% через kb если
в установившемся состоянии температура средней пластинки равна f2.
В случае, когда в качестве известной жидкости взята вода (Aj =
= 0,00143 кал'град~1-сект1-саг1), а в качестве испытуемой — бензол,
для расстояний dx = \ мм, rf2=l,2 мм, получились температуры
/1 = 80°, f2 = 68,6°, t3 — 10°. Найти k* для бензола.
677. Температура одного конца однородного стержня равна tb
а другого причем температура окружающей среды равна нулю.
Показать, что в стационарном состоянии между температурами
92 и 93 трех равноотстоящих друг от друга сечений стержня, на-
ходящихся на расстояниях х, x-\-d и x-+-2d от его начала, суще-
ствует следующее соотношение:
причем а — коэффициент внешней, k — внутренней теплопроводности,
р— периметр и S — площадь поперечного сечения стержня.
678. Для определения коэффициента теплопроводности стержней
иногда применяют следующий метод. Если температуру окружающей
среды принять за нуль, то между температурами 9Ь 02 и 98 трех
равноотстоящих друг от друга сечений стержня, нагреваемого с од-
ного конца, в стационарном состоянии существует зависимость:
вд±_в« = е?" 1 е м = 2л, где 8 = g
f kS
108 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
(см. предыдущую задачу). Величину 2п можно определить непосред-
ственными измерениями. Если имеются два стержня из разных мате-
риалов, то, определив из нескольких измерений величину 2п для
одного из них и 2rii для другого, можно определить отношение ко-
,, . Г1п(«+
эффициентов теплопроводности по формуле -г- = —-—1—г... ,
« Lln^-f- ynf — 1) J
если только стержни имеют одинаковые поперечные размеры (S) и рав-
ные коэффициенты внешней теплопроводности (а). Вывести эту формулу.
679. Полупространство х^>0 заполнено веществом с коэффициен-
том температуропроводности а2 = ~-. В плоскости х = 0 проис-
ходят гармонические колебания температуры с периодом Т:
t — to -j- tx cos 0)T,
2л
где to и tx — постоянные, a w = —. Найти температуру среды в
зависимости от координаты х и времени т.
Указание. Искать решение уравнения теплопроводности =
s=a^'dx^ в комплексной форме: t — f0 = X (x)ez“T, а затем перейти
к вещественной форме.
680. Опыт показывает, что тепловые волны с периодом в одни
сутки распространяются внутрь Земли со скоростью 1 м в сутки.
Найти скорость распространения волн с периодом в 1 год.
681. Во сколько раз коэффициент затухания годовых тепловых
волн 7, меньше коэффициента затухания суточных волн ^2?
682. Однородная твердая среда заполняет бесконечное полупро-
странство х^>0. В момент времени т = 0 температура среды была
всюду одинакова и равна t~to- В дальнейшем на поверхности
среды х — 0 поддерживалась постоянная температура f = 0. Пока-
зать, что в любой момент времени т^>0 температура среды будет
определяться формулой
2а /т
t=^r Г (1)
/л J 7
о
683. В. Томсон вычислил возраст Земли, исходя из следующих
предположений: Земля является однородным телом, температура ко-
торого в момент затвердевания по всей массе была равна темпера-
туре затвердевания горных пород to 4000° С, а температура по-
верхности Земли с момента ее затвердевания оставалась постоянной
и равной 0°С. При вычислении температурного градиента вблизи
поверхности Земли В. Томсон заменил ее однородной средой, огра-
§ 11]
ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
109
ниченной плоской поверхностью и занимающей бесконечное полу-
пространство х^>0 (см. предыдущую задачу). Вычислить в этих
предположениях возраст Земли (с момента затвердевания), если вблизи
земной поверхности температура Земли повышается на 1° при углуб-
лении в нее на каждые 25 м, а скорость распространения суточных
тепловых волн составляет v = 1 м в сутки.
684. Стержень сечения S упирается концами в твердые пластины,
расстояние L между которыми поддерживается постоянным. Затем
температуру одной из пластин повышают, и в стержне устанавли-
вается постоянный поток тепла Q. Какое давление р действует на
единицу поперечного сечения стержня, если начальное напряжение
в стержне было равно нулю? Коэффициент теплопроводности стержня
k, коэффициент линейного расширения а, модуль Юнга Е.
§ 11. Газовые законы. Уравнение состояния
685. Для определения плотности газа поступили следующим об-
разом. Большой стеклянный баллон емкостью V был наполнен испы-
туемым газом до давления Н мм рт. ст. и взвешен. Его вес ока-
зался равным Р. Затем часть газа была удалена, и давление его упало
до h мм рт. ст. Новый вес баллона—р. Какова плотность газа
при атмосферном давлении?
686. Электрическая газонаполненная лампа накаливания наполнена
азотом при давлении в 600 мм рт. ст. Емкость лампы 500 см*.
Какое количество воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик
под водой при нормальном атмосферном давлении?
687. Найти число ходов п поршня, чтобы поршневым воздушным
насосом откачать сосуд емкостью V о г давления рх до давления р%,
если емкость хода поршня равна г». Вредным пространством пре-
небречь.
688. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, со-
держит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути.
Когда трубка обращена закрытым концом кверху, воздух внутри нее
занимает длину Z; когда же трубка обращена кверху открытым кон-
цом, то воздух внутри нее занимает длину I' <^1. Длина ртутного
столбика h. Определить атмосферное давление.
689. Барометрическая трубка погружена в глубокий сосуд со
ртутью так, что уровни ртути в трубке и в сосуде совпадают. При
этом воздух в трубке занимает столб длиною I см. Трубку подни-
мают на I' см. На сколько сантиметров поднимется ртуть в трубке?
Атмосферное давление равно И см рт. ст.
690. Цилиндрическая пипетка длиной I наполовину погружена в
ртуть. Ее закрывают пальцем и вынимают. Часть ртути вытекает.
ПО МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. П
Какой длины столбик ртути останется в пипетке? Атмосферное дав-
ление равно Н.
691. Манометром Мак-Леода нужно измерять давления до
0,1 мм рт. ст. Емкость шара манометра не должна превышать
150 см3, а длина капилляра не должна превышать 20 см. Каково
должно быть минимальное сечение капилляра?
692. На каком расстоянии от конца капилляра манометра преды-
дущей задачи будет находиться черточка, соответствующая давле-
нию 0,00005 мм рт. ст.?
693. В плохо просушенном баллоне при температуре t = 20° со-
держится смесь воздуха и водяного пара, парциальные давления ко-
торых соответственно равны 0,25 и 0,1 мм рт. ст. Определить
ошибку в показании манометра Мак-Леода, подсоединенного к бал-
лону для измерения давления, если объем баллона манометра
У =50 ел/3, радиус капилляра г—1 мм. Упругость водяного пара
при 20° равна 17,5 мм рт. ст.
694. Какой объем занимает грамм-молекула идеального газа при
давлении 3 атм и температуре Т= 400° К?
695. Плотность воздуха при температуре 0° и давлении
760 мм рт. ст. равна 0,001293 г-см~3. Сколько весит литр воз-
духа при температуре 27,3° и давлении 750 мм рт. ст.?
696. Аэростат объемом V м3 наполнен водородом при темпера-
туре ^=15°. При неизменном давлении атмосферы под влиянием
солнечной радиации его температура поднялась до £2 = 37°, а изли-
шек газа вышел через аппендикс, благодаря чему вес аэростата с
газом уменьшился на Q = 6,05 кГ. Удельный вес водорода 80 =
= 0,000089 Г* см3. Определить объем аэростата У.
697. Действием кислоты на некоторое количество мрамора (СаСО3)
получено У = 1320 см3 углекислоты при температуре ^ = 22° и дав-
лении р — 1000 мм рт. ст. Определить массу Q вошедшего в реакцию
мрамора. Плотность СО2 при 0° и давлении 760 мм рт. ст. равна
р0= 0,001977 2‘СМ~3.
698. Фабричная труба высотой Z = 50 м выносит дым при тем-
пературе tx = 60°. Определить статическое давление р, производящее
тягу в трубе. Температура воздуха £2 =— Ю°. Удельный вес воз-
духа do— 1,29« 10~3 Г-см~3.
699. В ртутном барометре с правильной цилиндрической баро-
метрической трубкой расстояние от уровня ртути в чашке до за-
паянного конца трубки равно L мм. В трубку при нормальном
барометрическом давлении Н и температуре tx попал пузырек воз-
духа, благодаря чему длина ртутного столба уменьшилась и стала
равной мм. Найти выражение для поправки рь прибавляя которую
§ 11] ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ 111
к показанию h барометра можно было бы пользоваться последним
при любых температурах t и любых высотах h ртутного столба.
700. Давление воздуха, заключенного в закрытом колене мано-
метра длины Z, уравновешивает h мм ртутного столба при бароме-
трическом давлении /У(| и абсолютной температуре Тй. Какой столб
ртути будет уравновешивать давление этого воздуха при баро-
метрическом давлении и температуре 7\?
701. В тонкостенный сферический баллон веса Р=1 кГ нагне-
тается азот при температуре Т = 300° К. Найти максимальное коли-
чество азота, которое можно поместить в сосуд, если допустимое на-
пряжение в стенках баллона а —50 кГ>мм~*. Удельный вес стали
£/ = 7,8 кГ-см~'А.
702. Написать уравнение Ван-дер-Ваальса для газа, содержащего
у молей.
703. Установить связь между давлением, температурой и объемом
грамм-молекулы в критической точке для газа, подчиняющегося урав-
нению Ван-дер-Ваальса.
704. Найти критическое давление и критическую температуру
для кислорода. Постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса для него
равны а =1,30, b = 0,031 (объем в литрах, давление в атмосферах).
705. Критическая температура углекислоты (СО2) равна 31° С,
критическое давление 73 шм. Определить критический объем VKp
грамм-молекулы СО2.
706. Найти постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса,- для азота,
если /кр азота равна —146°, а /?кр=33 атм.
707. Принимая постоянную а Ван-дер-Ваальса для воды равной
5,47 • 106 атм • см* • моль~\ найти внутреннее давление воды р.
708. Как впервые указал (1892 г.) А. Г. Столетов, для того чтобы
жидкость, заключенную в данный объем, можно было привести в
критическое состояние, должно быть взято вполне определенное ее
количество. Рассмотрим следующий пример. Сосуд, объем которого
Vj — 15 см'А, должен быть наполнен водой при температуре /1=18°,
с таким расчетом, чтобы при нагревании ее в данном сосуде (пред-
варительно откачанном и запаянном) до критической температуры в
нем установилось критическое давление. В предположении, что вода
подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, найти, какой
объем воды должен быть налит в сосуд, если известно, что крити-
ческая температура воды /кр = 374°, критическое давление рк? —
= 205,5 атм, молекулярный вес р.= 18, а плотность при 18° рав-
на р = 1 г • см~‘А.
709. Уравнение Ван-дер-Ваальса не вполне точно описывает пове-
дение реальных газов. Для лучшего согласия с опытом Клаузиус
112
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. И
предложил другое эмпирическое уравнение:
Т (и + с)а] — ~
где а, Ь, с — постоянные для рассматриваемого газа. Выразить кри-
тические величины через эти постоянные.
710. Выразить критические величины через константы уравнения
состояния, предложенного Бертло для описания поведения реальных
газов:
(p + ^-s)(®-O = R7'.
711. Найти зависимость между давлением, температурой и объе-
мом грамм-молекулы в критической точке в предположении, что ве-
щество подчиняется уравнению состояния Бертло (см. предыдущую
задачу).
712. Рассматривая скрытую теплоту испарения X как работу, за-
трачиваемую на преодоление внутреннего давления тс, найти зависи-
мость между тс, X и плотностью жидкости р. Считать, что жидкость
подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
713. Мощностью насоса или скоростью откачки К называется
величина объема газа, откачиваемого насосом в 1 сек и измеренная
при том давлении, которое имеется в рассматриваемый момент вре-
мени в насосе. Вообще говоря, она зависит от давления. Считая К
постоянной, найти изменение давления р внутри откачиваемого со-
суда, если насос и сосуд сообщаются капилляром длины I’ и диа-
метра Z), а газ в сосуде настолько разрежен, что длина свободного
пробега молекул в откачиваемом сосуде очень велика по сравнению
с D. По Кнудсену, при таких условиях масса газа, протекающая
ежесекундно по капилляру, на концах которого давления равны
и ръ определяется выражением где w = 2,18 • 104 — j/~~*
Т — абсолютная температура газа, р. — его молекулярный вес. Все
величины измеряются в системе CGS.
714. Скорость откачки вращающегося масляного насоса 150 смл- сек~\
Сколько потребуется времени, чтобы колбу в 5 л откачать от нор-
мального атмосферного давления до давления в 1 • 10~'2 мм рт. ст.?
715. Через какое время т насос Ленгмюра откачает двух-
литровый баллон с воздухом от давления /?о = 1О~3 мм от. ст. до
р=10~в мм рт. ст., если баллон соединен с насосом трубкой дли-
ны Z=25 см и диаметра D = 1 мм? Скорость откачки насоса К —
s= 1000 см?-сек~\ Температура воздуха /=18°.
716. Найти массу газа /И, вытекающего ежесекундно из капил-
ляра длиной I и диаметром (Z, если давление газа в начале и в кон-
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 113
це капилляра рг и ръ а коэффициент внутреннего трения газа ра-
вен ij. Процесс считать изотермическим.
Примечание. Коэффициент внутреннего трения идеального
газа не зависит от его плотности, а зависит только от температуры.
717. Сосуд, объем которого V, наполнен газом при давлении рь
Внешнее атмосферное давление равно ръ В некоторый момент вре-
мени открывается кран, позволяющий газу из сосуда вытекать наружу
через капилляр длины I и диаметра d. Через какое время т раз-
ность давлений в сосуде и снаружи уменьшится вдвое? Процесс
считать изотермическим.
718. Два сосуда А и В с воздухом соединены между собой ка-
пилляром с краном. Сосуд А погружен в водяную ванну с темпера-
турой ^=100°, а сосуд В — в охлаждающую смесь с температу-
рой f2 =— 20°. Вначале сосуды были разобщены друг от друга кра-
ном, и давления воздуха в сосудах А и В были равны соответственно
Pi = 400 мм рт. ст. и /?.? = 150 мм рт. ст. Найти давление, установив-
шееся после открытия крана, если объем А равен Vt — 250 слг3, а
объем В равен У2 = 400 см3.
719. Показать, что результирующая всех сил давления идеаль-
ного газа на стенки вертикального закрытого цилиндрического со-
суда, в котором заключен газ, тогда и только тогда равна весу газа,
какова бы ни была длина цилиндра, когда плотность газа подчи-
няется барометрической формуле
где pi — молекулярный вес газа, В— газовая постоянная, Т — тем-
пература (° К) и g— ускорение силы тяжести. Температура газа
предполагается одинаковой во всем цилиндре, а газ находится
в равновесии.
§ 12. Первое и второе начала термодинамики
и их приложения
720. Какую скорость v должна иметь свинцовая пуля, чтобы при
ударе о стальную плиту она расплавилась? Температура пули f0 =
= 27°, температура плавления = 327°, теплота плавления q =
= 5 кал-г~1, удельная теплоемкость с = 0,03 кал>г~1 -град'1.
721. Выразить в системе CGS теплоту Q, затраченную на нагре-
вание свинцового шарика массы т— 100 г на (f,—f0)=10°. Удель-
ная теплоемкость свинца с — 0,0307 кал-г~1-град~1.
722. Две грамм-молекулы азота, находившиеся под давлением р
атм при температуре f0> сжаты изотермически до давления рг атм.
Определить количество тепла Q, отданного газом термостату.
114 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. U
723. Определить количество тепла Q, выделяющееся при изо-
термическом сжатии 7 г азота от нормального давления
Pi = 1,033 кГ'См~* до давления р* — 51,65 кГ-см'2-, температура
азота равна 25°.
724. В приборе, предназначенном для определения механического
эквивалента теплоты, мешалка, снабженная лопатками, вращается
внутри наполненного водой калориметра. Трение воды о стенки ка-
лориметра вызывает силу, стремящуюся вращать калориметр в на-
правлении вращения мешалки. Но вращению его препятствует груз
весом Р, висящий на нити, перекинутой через блок и прикрепленной
к крышке калориметра на шкиве радиуса R. При таком устройстве
момент веса груза постоянен и противоположен по знаку моменту
сил трения, действующих на стенки калориметра со стороны жид-
кости. Груз при вращающейся мешалке не падает и не поднимается.
Определить механический эквивалент Е, если температура повыси-
лась на At после того, как мешалка сделала N оборотов. Масса воды
в калориметре /И, w— его водяной эквивалент.
725. Найти механический эквивалент тепла, зная, что для воздуха
ср= 0,237 кал-г~1-град^1 и у = = 1,41. Молекулярный вес воз-
духа |л= 28,84.
726. Политропическим процессом называется процесс, происходя-
щий с постоянной теплоемкостью с. Кривая, изображающая политро-
пический процесс, называется политропой. Найти уравнение поли-
тропы для идеального газа, теплоемкость cv которого не зависит от
температуры. Рассмотреть частные случаи: 1) c = cv; 2) с — ср',
3) с — 0; 4) с —со.
727. 1) Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он рас-
ширяется по закону const. 2) Какова его молярная теплоем-
кость при этом процессе?
728. Решить предыдущую задачу для идеального газа, расши-
ряющегося по закону p*V — const.
729. При некотором политропическом процессе гелий был сжат
от начального объема в 4 л до конечного объема в 1 л. Дав-
ление при этом возросло от 1 атм до 8 атм. Найти теп-
лоемкость С всей массы гелия, если его начальная температура
была 300° К.
730. Вычислить молярную теплоемкость идеального газа для про-
цесса, в котором давление р пропорционально объему V. Теплоем-
кость cv газа не зависит от температуры.
731. На диаграмме р, V (рис. 48) через произвольную точку А
проведена изотерма ТТ и адиабата SS для идеального газа, теплоем-
§ 12]
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
115
кость cv которого не зависит от температуры. Показать, что политропе,
проходящей через А и лежащей в заштрихованной области, соответст-
вует отрицательная теплоемкость, а
политропе в незаштрихованной обла-
Т S
И
сти — положительная теплоемкость. 11
732. При сгорании 12 г твер- хЖ
дого углерода в углекислый газ
СО2 выделяется 97 000 кал, а при
сгорании 28 г окиси углерода СО vs.
выделяется 68 000 кал. Какое ко-
личество тепла выделилось бы при
сгорании 12 г твердого углерода, если
бы в результате сгорания получа-
лась только чистая окись углерода? ---------------------------
733. При сгорании водорода рис. 4g,
при 100° с образованием одного
моля водяного пара выделяется 58 000 кал. При конденсации одного
моля водяного пара при 100° выделяется 9700 кал. Найти теплоту
образования одного моля жидкой воды из водорода и кислорода при
той же температуре.
734. Два теплоизолированных сосуда с объемами Vt = 1 л и
У2 = 3 л соединены трубкой с краном. До открытия крана в пер-
вом сосуде содержался азот под давлением рх — 0,5 ашм и при
температуре ^ = 0°, а во втором — аргон под давлением р± — 1,5 атм
и при температуре f2=100°. Определить, какие давление и темпе-
ратура установятся в смеси газов, если открыть кран.
735. В комнате в течение некоторого времени был включен на-
греватель. При этом температура воздуха поднялась от Тх до Г2,
давление же его не изменилось и осталось равным давлению вне
здания. Считая воздух идеальным газом, найти количество тепла,
которое пошло на увеличение внутренней энергии воздуха, находя-
щегося в комнате.
736. Найти уравнение процесса для идеального газа, при кото-
ром теплоемкость газа меняется с температурой по закону с~а.Т,
где а — постоянная.
737. Какое количество тепла Q потребуется на нагревание 1 ж’
воздуха от 0° до 1° при постоянном объеме и начальном давлении
/> = 760 мм рт. ст.? Плотность воздуха при нормальных условиях
р0 = 0,00129 г-см 3; ср — 0,237 кал>г х-град у=Ср- = 1,41.
738. Решить предыдущую задачу в предположении, что воздух
нагревается не от 0° до 1°, а от 91° до 92°.
116 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
739. Показать, что закон Дальтона для смеси газов, имеющих
с„
одинаковое значение т = — и химически не реагирующих друг с
cv
другом, есть следствие закона сохранения энергии.
740. Какое количество тепла Q нужно сообщить 75 г водяных
паров, чтобы нагреть их от 100° до 250° при постоянном объеме?
741. 1 л/3 водорода при 0° находится в цилиндрическом сосуде,
закрытом сверху легкоскользящим невесомым поршнем. Атмосферное
давление равно 730 мм рт. ст. Какое количество тепла Q потре-
буется на нагревание водорода до 300°?
742. Найти увеличение внутренней энергии Д£/ гелия, изобари-
чески расширившегося от объема в 5 л до объема в 10 л. Процесс
происходил при давлении в 2 кГ-см~\
743. Смешано т = 4,032 г водорода с тг — 32 г кислорода. Их
удельные теплоемкости соответственно ср = 3,50 кал-г~1-град 1 и
clz; = 0,218 кал • г-1 • град~1. Определить уменьшение внутренней энер-
гии Д U этой смеси при охлаждении ее на t = 20° при постоянном
объеме. Для обоих газов у — 1,40.
744. В объеме Уо при температуре t— 0° содержится т грамм-
молекул водорода и тп/2 грамм-молекул кислорода. Каково макси-
мальное давление водяного пара pt, полученного при взрыве смеси,
если молярная теплоемкость водяного пара с, а грамм-молекулярная
теплота образования воды из кислорода и водорода С?
745. В закрытом сосуде при 0° находится один моль (18 г) воды.
Какое количество тепла надо затратить, чтобы повысить температуру
системы до 100° и чтобы при этом вся вода превратилась в насы-
щенный пар. Скрытая теплота испарения воды при 100° и постоян-
ном давлении составляет 539 лгал-г-1. Упругостью насыщенного
пара при 0° и теплоемкостью стенок сосуда пренебречь. Пренебречь
также объемом воды по сравнению с объемом ее насыщенного пара.
746. Исходя из первого начала термодинамики, найти ср — cv для
любого физически однородного и изотропного вещества.
747. Доказать, что адиабатическая и изотермическая сжимаемости
физически однородного изотропного вещества связаны соотношением
И \ др/ад 7 У\др/г’
где y = Показать, что это соотношение является следствием
cv
только первого начала термодинамики и функциональной зависимости
между р, V и Т (уравнения состояния).
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 117
748. Принимая, что процесс распространения звука в воздухе
изотермический, Ньютон получил следующую формулу для скорости
звука:
Г Р
где р — давление, а р — плотность воздуха. Эта формула давала
слишком малые значения для v. Лаплас принял, что процесс распро-
странения звука в воздухе адиабатический и получил согласующуюся
с опытом формулу
1 Г р
v = |/ т —,
г * р
где у = -^. Объяснить качественно, почему скорость звука по Лап-
cv
ласу больше, чем по Ньютону. В местах сжатия воздух нагревается,
вследствие чего его упругость по сравнению с упругостью при та-
ком же изотермическом сжатии увеличивается. В местах же разреже-
ния воздух охлаждается, а его упругость соответственно уменьшается.
Казалось бы, что влияние нагревания в местах сжатия должно ком-
пенсироваться влиянием охлаждения в местах разрежения, и скорости
звука при изотермическом и адиабатическом процессах должны быть
одинаковыми.
749. Показать, что скорость звука в идеальном газе есть функ-
ция одной только температуры.
750. Скорость звука в воздухе при 0° составляет 332 м-сек Ч
Определить скорость звука в водороде при той же температуре.
Молекулярный вес воздуха принять равным 7И = 28,8.
751. Зная скорость звука в водороде (см. предыдущую задачу),
вычислить скорость звука в гелии при 0°.
Указание. Принять во внимание, что водород — двухатомный
газ, а гелий — одноатомный.
752. Определить у — если скорость звука в воздухе при тем-
пературе 0° и нормальном давлении Н~1§ см рт. ст. равна V —
= 332 м ' сек~х и плотность воздуха р = 0,001292 г • см~3.
753. Найти отношение скоростей распространения звука в водо-
роде v и в углекислоте vt при равных температурах. Для первого
~ 1,4, для второй 11—— — 1,3. Плотность водорода р =
= 0,0000899 г • см~3, углекислоты рх = 0,001977 г • см~3 (при нор-
мальных условиях).
754. Чему равно отношение 7 = ^- для аргона, если нагре-
вание т = 1 кг его на (^ — /0) = 2° при постоянном давлении
Н= 760 мм рт. ст. требует тепла Q = 254 ккал, а при охлаждении
118 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. П
аргона от f2 = 100° до t — 0° при постоянном объеме V — 5 л выделяется
Q = 486 ккал? Начальное давление охлаждающегося аргона /71 —
-= 10 атм.
755. Для аргона отношение у = — 1,7. Определить давление,
получившееся после адиабатического расширения этого газа от объема
Vt=l л до объема V2 — 2 л, если начальное давление рх — 1 атм.
756. Для определения у —Ср- иногда применяется следующий ме-
cv
тод. Определенное количество газа, начальная температура, объем и
давление которого соответственно равны f0, Уо и /?0, нагревается пла-
тиновой проволокой, через которую проходит электрический ток в
течение определенного времени: один раз при постоянном объеме,
причем газ достигает температуры С и давления рх (объем Уо), дру-
гой раз при постоянном давлении, причем температура становится
равной f2, а объем (давление р0). Показать, что
.. _ (Pi — Ро) Уо
‘ (Vi~Va)p0'
757. Для определения методом Клемана—Дезорма (рис. 49) в
cv
сосуд А через трубку В нагнетают газ, чтобы давление в нем рх было
несколько выше атмосферного. Затем быстро открывают кран С. При
Рис. 49.
этом газ расширяется адиабатически до атмосферного давления pQ.
Через некоторое время, когда газ в сосуде примет снова .температуру
комнаты, давление его станет р^. На основании этих данных найти
__ Ср
выражение для у — - -,
Су
758. Для определения отношения удельных теплоемкостей ср и cv
газа измерили период 7\ малых колебаний ртути в U-образной стек-
лянной трубке с незапаянными концами. После этого на обе ветви
трубки были насажены большие одинаковые полые стеклянные шары
с исследуемым газом, вследствие чего период колебаний изменился и
стал равным Г2. Считая процесс сжатия и разрежения газа в шарах
адиабатическим, вывести формулу для у — . Объем каждого шара
Си
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 119
равен V см3, давление газа в них в состоянии покоя I см рт. ст.,
а площадь поперечного сечения трубки 5 см\ Объемом незаполнен-
ной части трубки можно пренебречь по сравнению с объемом шара V.
759. Для получения газов при сверхвысоких температурах и дав-
лениях иногда применяется установка, состоящая из закрытого с од-
ного конца цилиндра-ствола и поршня-пули, влетающей в цилиндр
с открытой стороны. При хорошей обработке ствола и пули удается
добиться малой утечки газа через зазор. Благодаря очень высоким
температурам сильно сжатые газы в этих условиях еще можно счи-
тать идеальными. Оценить верхний предел температуры Т, давления р
и плотности р аргона, подвергнутого сжатию в такой установке, если
пуля массы ш— 100 г влетает в ствол, имеющий объем V=200 см3,
с начальной скоростью т>=250 м • сек1. Начальные температура и
давление соответственно равны То = 300° К и /?0=1 агпм.
760. Каково должно быть максимальное значение температурного
градиента атмосферного воздуха, чтобы он мог находиться в устой-
чивом механическом равновесии? Влияние влажности воздуха не учи-
тывать. Абсолютную температуру воздуха у земной поверхности
принять равной Т = 273° К.
761. Найти закон изменения давления воздуха с высотой в пред-
положении, что температура воздуха равномерно понижается с высотой,
так что температурный градиент постоянен и равен — а. Найти также
давление воздуха как функцию температуры. Получить отсюда фор-
мулы для предельного случая изотермической атмосферы (а = 0).
762. Какова была бы высота земной атмосферы, если бы темпера-
турный градиент ее был постоянен и равен —а? Вычислить эту вы-
соту для частного случая адиабатического расслоения атмосферы,
предполагая, что температура воздуха у земной поверхности Т9 —
= 273° К.
763. Удельные теплоемкости кобальта = 0,104 кал • г^1 • град1,
золота с2= 0,0312 кал • г1 град1. Определить их атомные тепло-
емкости.
764. Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изотерм и двух
изобар, предполагая, что рабочим веществом является идеальный газ.
765. Найти к. п. д. цикла, проводимого с идеальным газом и со-
стоящего из двух изотерм с температурами 1\ и Г2 и двух изохор
с объемами Vt и У2 (7'1^>Г2; Vj^>V2).
766. Показать непосредственным расчетом, что коэффициент по*
лезного действия цикла Карно, проведенного с газом, термически иде-
альным, но калорически не идеальным, определяется выражением
120
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. И
Примечание. Газ называется термически идеальным, если он
подчиняется уравнению Клапейрона. Термически идеальный газ назы-
вается калорически не идеальным, если его теплоемкость не зависит
ют объема, но зависит от температуры.
767. Привести пример процесса, при котором вся теплота, заимст-
вованная из теплового резервуара, превращается в работу.
768. Идея динамического отопления, высказанная В. Томсоном (1852 г.),
заключается в следующем. Топливо сжигается в топке теплового дви-
гателя, который приводит в действие холодильную машину. Холодильная
машина отнимает теплоту от природного резервуара воды (например, от
грунтовой воды) и отдает ее воде в отопительной системе. Одновременно
вода в отопительной системе служит холодильником теплового двига-
теля. Определить теоретическое (без учета потерь) количество теплоты,
которое получает отапливаемое помещение от сжигания 1 кг каменного
угля, приняв следующие условия: теплотворная способность угля q —
= 8000 ккал - кгл, температура в котле паровой машины fj = 210°;
температура воды в отопительной системе f2=60°; температура
грунтовой воды = 15°.
769. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовав-
шись теоремой Карно, доказать, что внутренняя энергия и теплоем-
кость физически однородного и изотропного тела удовлетворяют соот-
ношениям:
дЦ\ __т(др\ ____ (дЬ>\ __т ( \
дУ]т~ 1 \дт)у~Р' \dV )т~~~ \dT2/v *
С помощью этих соотношений и уравнения состояния для идеальных
газов доказать, что внутренняя энергия и теплоемкость идеального
газа зависят только от температуры, но не от объема, занимаемого
данной массой газа.
770. Доказать, что теплоемкость cv газа, подчиняющегося уравне-
нию Ван-дер-Ваальса, не зависит от объема, а является функцией
только температуры. Найти выражение для внутренней энергии газа
Ван-дер-Ваальса, теплоемкость которого не зависит от температуры.
Указание. См. предыдущую задачу.
771. Вычислить внутреннюю энергию газа Ван-дер-Ваальса как
теплоту, сообщенную газу при нагревании при постоянном объеме,
за вычетом работы, произведенной газом при изотермическом расши-
рении. При этом надо учесть, что при изотермическом расширении
газ, кроме внешней работы, производит работу против внутреннего
давления. В чем недостаток этого способа по сравнению с термоди-
намическим способом предыдущей задачи?
772. Грамм-молекула азота расширяется в пустоту от начального
объема 1 4 до конечного 10 л. Найти понижение температуры ДГ
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 121
при таком процессе, если постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса
для азота равна 1,35 • 106 атм • см6 • молб~\
773. Два сосуда с объемами Vj и V2 соединены трубкой с кра-
ном. В каждом из них при закрытом кране находится по одному
молю одного и того же газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-
Ваальса. До открытия крана температура газа в обоих сосудах была
одинакова и равна Т. Нагреется или охладится газ, если открыть
кран? Насколько при этом изменится температура газа? Определить
давление газа после открытия крана. Стенки сосудов и соединяющей
их трубки считать адиабатическими, а теплоемкость cv — не завися-
щей от температуры.
774. Два баллона с объемами Vl= Уг = V=1 л соединены труб-
кой с краном. В объеме V\ находится воздух под атмосферным дав-
лением, а объем V2 откачан до предельного вакуума. Считая, что*
воздух подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, а стенки баллонов
и трубки адиабатические, определить, насколько изменится темпера-
тура газа после открытия крана. Начальная температура Т — 290° К>
для воздуха а= 1,35 • 106 атм • см* * моль~\
775. Азот при критической температуре — 147° имеет критиче-
ский объем 0,12 л • моль~х. Считая, что азот подчиняется уравнению
Ван-дер-Ваальса, найти понижение температуры 7 г азота при расши-
рении в пустоту от объема 5 л до объема 50 л.
776. Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа
Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в пустоту от объема Kj до
объема V2 его температура не изменилась?
777. Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа
Ван-дер-Ваальса, чтобы при расширении в пустоту от объема V\ до
объема V2 его давление осталось постоянным и равным р?
778. Найти выражение для теплоты испарения одного моля жид-
кости при постоянной температуре Т под давлением ее насыщенного
пара в предположении, что уравнением состояния жидкости и ее пара
является уравнение Ван-дер-Ваальса. Считать известными температу-
ру Т и молярные объемы жидкости Уж и ее насыщенного пара Ёп
при этой температуре.
779. Известно уравнение состояния физически однородного и
изотропного вещества. Найти разность теплоемкостей ср — cv для
этого вещества.
780. Найти ср — cv для газа Ван-дер-Ваальса.
781. Удельная теплоемкость ртути при нормальном атмосферном
давлении рй и температуре Г = 273°К ср = 0,0333 кал • г"1 • град х.
Найти ее удельную теплоемкость при постоянном объеме cv и отно-
122 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ И
шение ч = если коэффициент теплового расширения а и изотер-
мический коэффициент сжатия р ртути равны:
а=— =1,81 • 10~4 град"1,
v\dT)p г
8 =-----= 3,9 • 10~6 атм1.
г v \др )т
Плотность ртути р = 13,6 г • см"3. Какая часть разности теплоемко-
стей ср — съ идет на производство внешней работы А и какая
на увеличение внутренней энергии ртути?
782. Как показывается в термодинамике, необходимыми условиями
стабильности физически однородного и изотропного вещества являются:
1) 2) Используя их, показать, что для любого
вещества ср^>0, причем Cp">cv.
783. Внешнее давление, действующее на воду, увеличивают, од-
новременно подводя или отводя тепло таким образом, что объем воды
остается неизменным. Нагреется или охладится вода, если начальная
температура была: 1) ниже 4°; 2) выше 4°?
784. Из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при ох-
лаждении (если его натяжение остается постоянным). Пользуясь этим,
доказать, что жгут нагреется, если его адиабатически натянуть.
785. Энтальпией или тепловой функцией физически однородного
и изотропного вещества называется функция состояния, определяемая
выражением J=U-\~pV. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно
и применив к нему теорему Карно, показать, что энтальпия J и теп-
лоемкость Ср удовлетворяют соотношениям:
• (д-р\ — т(дау\
\др)т \д7/р’ \dpjr \дТ*]р‘
786. Используя результат решения предыдущей задачи, получить
выражение для дифференциального эффекта Джоуля—Томсона, т. е.
для того случая, когда давления газа по разные стороны «пробки»
в опыте Джоуля—Томсона бесконечно мало отличаются друг от друга.
787. Получить формулу дифференциального эффекта Джоуля—Том-
сона для газа Ван-дер-Ваальса, пренебрегая квадратами и высшими
степенями ван-дер-ваальсовых постоянных а и Ь. Показать, что при
достаточно низких температурах газ будет охлаждаться.
788. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса,
с а = 0 в опыте Джоуля—Томсона всегда нагревается. Определить
повышение температуры при расширении.
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 123
789. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса»
с Ь = 0 в опыте Джоуля—Томсона всегда охлаждается. Определить
понижение температуры при расширении.
790. Найти связь между критической температурой Tk и темпе-
ратурой инверсии эффекта Джоуля—Томсона для вещества, подчи-
няющегося уравнению состояния Ван-дер-Ваальса.
791. При какой температуре Т гелий в опыте Джоуля—Томсона
начнет охлаждаться, если известно, что критическая температура ге-
лия 7\ = 5,3ОК? Считать, что состояние гелия описывается уравне-
нием Ван-дер-Ваальса.
792. Ниже приведены значения постоянных Ван-дер-Ваальса для
азота, водорода и гелия.
а, атм • см3 • мэль~% Ь, см3 • М)ль 1
Азот 1,35 • 10е 39,6
Водород .... 0,191 21’8
Гелий 0,033 23,4
Пользуясь этими данными, определить точки инверсии 7\- дифферен-
циального эффекта Джоуля—Томсона для этих газов. Определить также
изменение температуры Д Т в опыте Джоуля—Томсона, если Т ~ -300° К,
а давление понижается на Д/? = 0,1 атм.
793. Газы в предыдущей задаче в начальном состоянии были
сильно сжаты до молярных объемов Г—100 смл, а затем в процес-
се Джоуля—Томсона расширились до атмосферного давления. Пред-
полагая, что газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса, найти
изменение температуры &Т—Т—Т в таком процессе.
Примечание. При столь сильном сжатии нельзя пользоваться
формулой для дифференциальное эффекта Джоуля — Томсона. При
атмосферном давлении газы могут считаться идеальными.
794. Расширение газа в процессе Джоуля—.Томсона производится
от начального состояния Т, V до сильно разреженного состояния, в
котором газ может считаться идеальным. Если начальное состояние
газа изображать на диаграмме Т, V, то на ней можно начертить кри-
вую, которая делит плоскость Т, V на две области: точкам одной
области соответствует ДГ<^0 (газ охлаждается), а другой ДГ^>О
(газ нагревается). Найти уравнение этой кривой и начертить такие
кривые для азота, водорода и гелия в предположении, что указанные
газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса.
795. Рассмотрев цикл Карно для системы, состоящей из жидкости
и ее насыщенного пара, и применив к нему теорему Карно, выразить
124
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. И
dp
производную давления насыщенного пара по температуре через
удельные объемы пара и жидкости -ип, и теплоту парообра-
зования q.
796. Найти давление насыщенного водяного пара при температу-
ре 101°. Считать пар идеальным газом.
797. В закрытом сосуде с объемом И0=5 л находится 1 кг во-
ды при температуре /=100°. Пространство над водой занято насы-
щенным паром воды (воздух выкачан). Найти увеличение массы насы-
щенного пара А/л при повышении температуры системы на ДТ=1°.
Теплота парообразования <7 = 539 кал-г~\
Указание. При расчетах пар считать идеальным газом. Удель-
ным объемом воды пренебречь по сравнению с удельным объе-
мом пара.
798. При 0° упругость водяного пара надо льдом рг — 4,58 мм рт. ст.
Теплота плавления льда при 0° ^ = 80 лгал-г-1. Теплота испарения
воды при 0° <72 = 596 кал-г~х. Найти упругость водяного пара надо
льдом при температуре t = —1°.
799. Определить молярную теплоемкость с насыщенного пара,
расширяющегося (или сжимающегося) таким образом, что во время
процесса он все время остается насыщенным. Пренебречь удельным
объемом жидкости по сравнению с удельным объемом ее насыщен-
ного пара. Считать, что пар ведет
себя как идеальный газ.
Рис. 50.
удельные объемы в этой точке
800. Насыщенный водяной пар
при температуре Т =300° К под-
вергается адиабатическому сжатию
и адиабатическому расширению.
В каком из этих процессов пар
превращается в ненасыщенный и в
каком в пересыщенный?
801. Три фазы 7, 2, 3 нахо-
дятся в равновесии друг с другом
в тройной точке (рис. 50). Их
равны соответственно "Ui, v.2) v3.
Пусть .Ри=Р1ъ(Т),
Агз — Ра v )>
7^31 = ^31 (7) —уравнения
кривых
равновесия между фазами 7 и 2, 2 и 3, 3 и 7. Показать, что в трой-
ной точке имеет место соотношение
(v,- ^ + (*,-v3)d^ + (v3-v^ = 0.
802. Определить приближенно давление и температуру (по шкале
Цельсия) в тройной точке воды, пользуясь следующими данными: дав-
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
125
ление насыщенного пара над жидкой водой:
при /==/1==0° Pi = 4,579 мм рт. ст.,
при t — t2 — Г Р2 = 4,926 мм рт. ст.
Удельный объем льда при 0° и нормальном атмосферном давле-
нии (ро=76О мм рт. ст.) vl= 1,091 удельный объем
воды при тех же условиях v2=\ см3 • г-1. Теплота плавления льда
<?= 80 кал • г-1.
803. При некоторой температуре 0 происходит фазовый переход,
в результате которого кристаллическая решетка из кубической пре-
вращается в тетрагональную с осями а и с > а. Описать качественно,
как ведет себя отношение осей с изменением температуры Т
вблизи 0 при фазовых переходах первого и второго рода.
804. Кусок льда помещен в адиабатическую оболочку при темпе-
ратуре 0° С и атмосферном давлений. Какая часть льда расплавится,
если лед подвергнуть всестороннему сжатию до давления
р = 100 атм, и как при этом изменится температура системы? Изме-
нением объема льда при сжатии можно пренебречь. Удельные объемы
воды и льда: -ив — 1 см3 • г-1, ъл = 1,11 см3 • г-1; теплота плавления
льда <7 = 80 кал • г-1; теплоемкости льда и воды связаны соотноше-
нием сл = 0,6св.
’ 805. Русский физик М. П. Авенариус показал, что при крити-
ческой температуре теплота испарения равна нулю. Проверить это по-
ложение, пользуясь уравнением Клапейрона — Клаузиуса.
806. Найти удельный объем водяного пара при 100° и нор-
мальном давлении, если известно, что при давлении 735,5 мм рт. ст.
температура кипения воды равна 99,1°. Скрытая теплота парообразо-
вания при 100° <7 = 539 кал -г-1.
807. Два тела А и В, нагретые до разных температур, помещены
в жесткую адиабатическую оболочку и приведены в тепловой контакт
друг с другом. Тепло переходит от более нагретого тела А к менее
нагретому телу В, пока температуры обоих тел не сравняются. Пока-
зать, что при этом процессе энтропия системы А -ф- В увеличивается.
808. В качестве основных переменных, характеризующих состоя-
ние тела, можно принять его температуру и ^НТРОПИЮ* Изобразить
графически цикл Карно на диаграмме, откладывая по оси абсцисс
энтропию, а по оси ординат температуру. Вычислить с помощью
этого графика к. п. д. цикла.
809. Найти изменение энтропии AS вещества при нагревании, если
его теплоемкость с постоянна, а коэффициент объемного расширения
равен нулю.
126 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. И
810. Найти изменение энтропии AS 30 г льда при превращении
его в пар, если начальная температура льда —40°, а температура
пара 100°. Теплоемкости воды и льда считать постоянными, а все про-
цессы — происходящими при атмосферном давлении. Удельная тепло-
емкость льда с = 0,5 кал-г^-град^.
811. Найти суммарное изменение энтропии AS (воды и железа)
при погружении 100 г железа, нагретого до 300°, в воду при темпе-
ратуре 15°. Удельная теплоемкость железа равна 0,11 кал-г~г-град~1.
812. Найти увеличение энтропии AS идеального газа массы М,
занимающего объем Vit при расширении его в пустоту до объема 1/2
(процесс Гей-Люссака).
813. Вычислить изменения внутренней энергии и энтропии одного
моля идеального газа при расширении по политропе />Vfe=const от объема
1/1 до объема И2. Рассмотреть частные случаи изотермического и адиаба-
тического процессов.
814. Вычислить изменения внутренней энергии и энтропии одного
моля идеального одноатомного газа и количество поглощенного тепла
при расширении газа по политропе pVz = const от объема V\ = 1 л
и давления /?t = 20 атм до объема У2 = 3 л. Температура во время
процесса такова, что для молярной теплоемкости можно принять
3 о
— 2
815. При некотором политропическом процессе давление и объем
определенной массы кислорода меняются от /^ = 4 атм и У1=1 л
до /?2= 1 атм и Р2 = 2 л. Температура в начале процесса 7\ — 500°К.
Какое количество тепла получил кислород от окружающей среды?
Насколько изменились энтропия и внутренняя энергия газа?
816. Найти изменение энтропии AS 5 г водорода, изотермически
расширившегося от объема 10 л до объема 25 л.
817. В двух сосудах одного и того же объема находятся различ-
ные идеальные газы. Масса газа в первом сосуде Мь во втором
/И2, давления газов и температуры их одинаковы. Сосуды соединили
друг с другом, и начался процесс диффузии. Определить суммарное
изменение AS энтропии рассматриваемой системы, если молекулярный
вес первого газа jjuj, а второго [i2.
818. Два баллона с объемами V = 1 л каждый соединены трубкой
с краном. В одном из них находится водород при давлении 1 атм
и температуре С — 20°, в другом — гелий при давлении 3 атм и
температуре t2=100°. Найти изменение энтропии системы AS после
открытия крана и достижения равновесного состояния. Стенки бал-
лона и трубки обеспечивают полную теплоизоляцию газов от окру-
жающей среды.
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 127
819. Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен порш-
нем пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сто-
рону поршня находится идеальный газ с массой Л4, молекулярным
весом [л и молярными теплоемкостями cv и ср, не зависящими от тем-
пературы, а по другую сторону поршня создан высокий вакуум.
Начальные температура и давление газа Го и р{}. Поршень отпускают,
и он, свободно двигаясь, дает возможность газу заполнить весь
объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая давление на пор-
шень, медленно доводят объем газа до первоначальной величины. Найти
изменения внутренней энергии и энтропии газа при таком процессе.
820. Найти выражение для энтропии моля газа Ван-дер-Ваальса,
теплоемкость съ которого не зависит от температуры. Получить урав-
нение адиабаты для такого газа.
821. Найти уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса, тепло-
емкость съ которого не зависит от температуры, а теплоемкость
политропического процесса равна с.
822. Найти удельную энтропию s неоднородной системы, состоя-
щей из жидкости и ее насыщенного пара. Теплоемкость жидкости
считать не зависящей от температуры.
823. Газ адиабатически вытекает из сосуда через маленькое от-
верстие. Температура газа в сосуде Ть давление рь наружное давле-
ние р%. Найти выражение для скорости вытекающей струи газа. Вы-
числить эту скорость для СО2, предполагая, что 7\ = 300° К> /4 =
= 10 атм; у для СО2 равно 1,30, удельная теплоемкость ср =
= 0,202 кал • г-1 • град'1.
824. Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре Тй —
= 273° К, вытекает в атмосферу по трубке, в конце которой он
приобретает скорость v = 400 м • сек1. Найти температуру вытекаю-
щего воздуха Т в конце трубки, а также давление р9 воздуха в бал-
лоне. Процесс истечения газа считать адиабатическим.
825. Определить максимальную скорость, которой может достиг-
нуть газ при адиабатическом истечении из баллона, если абсолютная
температура газа в баллоне равна Т.
826. Допустим, что температура горения химического горючего
для ракетных двигателей Т = 3000° К, средний молекулярный вес
продуктов горения р = 30 и что истечение продуктов горения про-
исходит в вакуум адиабатически. Найти, во сколько раз старто-
вая масса одноступенчатой ракеты Л40 должна превышать ее ко-
нечную массу М, чтобы ракета могла достичь первой космической
скорости -0 = 8 км • сек'1. Молярную теплоемкость ср продуктов
горения ориентировочно принять равной 8 кал • моль'1 • град'1.
При вычислении скорости ракеты силу тяжести и трение о воздух
не учитывать.
128 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
827. В статистической физике выводятся следующие выражения для
флуктуаций удельного объема и удельной энтропии жидкостей и
газов:
Др2 = — k Т ( ; Дх2 = kc&p&s = О,
V/s
где cp — удельная теплоемкость, a k — постоянная Больцмана. Поль-
зуясь этими выражениями, найти отношение интенсивности несме-
щенной компоненты к сумме интенсивностей двух смещенных
компонент /ш_гш4-8(0 при рассеянии света в жидкостях.
(См. задачу 619.)
§ 13. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение.
Растворы.
828. Найти плотность 8 морской воды на глубине 5 км, если на
поверхности океана плотность о0= 1,03 г • см 3, а сжимаемость воды
в пределах давлений от 1 до 500 атм равна р = 47,5- 10~fi атм'1.
829. Для определения вязкости воды измеряли количество воды,
вытекающей из капилляра длиной 1= 10 см с диаметром d=i мм
под действием разности давлений, созданной столбом воды высотой
в 50 см. За время t = 3 мин. вытекло 1/ = 217 см3 воды. Найти
ВЯЗКОСТЬ ВОДЫ 7].
830. Найти коэффициент поверхностного натяжения о жидкости,
если в капилляре с диаметром D = 1 мм она поднимается на высоту
h = 32,6 мм. Плотность жидкости 8=1 г • см3. Краевой угол мени-
ска равен нулю.
831. Для определения поверхностного натяжения жидкости взве-
шивают капли, отрывающиеся от капилляра, и измеряют диаметр d
шейки капли в момент отрыва. Оказалось, что 318 капель жидкости
весят 5 Г, а <7 = 0,7 мм. Найти поверхностное натяжение этой жид-
кости.
832. Вертикальная капиллярная стеклянная трубка подвешена
к коромыслу весов и уравновешена гирями. Что произойдет с весами,
если под капиллярную трубку осторожно поднести сосуд с водой
так, чтобы кончик капилляра коснулся ее поверхности?
833. Какова разность уровней жидкости в двух сообщающихся
капиллярах с диаметрами dt и </2? Поверхностное натяжение жидко-
сти равно а. Краевые углы менисков равны нулю. Плотность жидко-
сти равна р.
834. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости в предположе-
нии, что температуры нагревателя и холодильника бесконечно мало
отличаются друг от друга и применив к этому циклу теорему Карно,
§ 13]
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
129
найти производную поверхностного натяжения а жидкости по темпера-
туре Т.
835. Насколько изменится разность уровней hr — воды в двух
сообщающихся капиллярах с диаметрами dY = 0,1 мм и с/2 = 0,3 мм
при нагревании от 20° до 70°, если поверхностное натяжение воды
для этих температур равно соответственно 73 и 64 дн • см~\
836. Чему равно капиллярное давление р в капельке ртути с диа-
метром (7=1 микрону при температуре 15°, если поверхностное на-
тяжение ртути при этой температуре о = 487 дн • сж1?
837. Чему равно добавочное давление р внутри мыльного пузыря
с диаметром d = 0,8 см, если поверхностное натяжение мыльной воды
о = 40 дн • см~1?
838. В дне сосуда имеется трещина шириной а = 0,02 мм. До
какой высоты h можно налить ртуть в сосуд, чтобы она еще не вы-
текала через трещину? Плотность ртути р = 13,6 г • см~\ Поверхно-
стное натяжение (при 15°) о = 487 дн • см~\
839. На дне пруда глубиной h =2 м выделяются пузырьки газа
с диаметром dr = 0,05 мм. Чему будут равны диаметры (Z2 этих пу-
зырьков, когда они поднимутся к поверхности воды? а = 73 дн>см~\
840. Вертикально расположенный стеклянный капилляр длины I и
радиуса г запаян с верхнего конца. На какую высоту h поднимется
вода в капилляре, если его нижний конец привести в соприкоснове-
ние с поверхностью воды?
841. На какую величину ДГ температура воздуха внутри мыль-
ного пузыря должна превышать температуру окружающего воздуха Г,
чтобы пузырь стал подниматься? Радиус пузыря равен г, поверхно-
стное натяжение мыльной пленки о. Массой пленки можно пренебречь.
Учесть, что давление воздуха внутри пузыря мало отличается от атмо-
сферного давления р.
842. В цилиндре с подвижным поршнем заключен мыльный пузырь
радиуса г, наполненный воздухом. Вначале давление воздуха вне
пузыря равно атмосферному давлению р§. Медленным вдвиганием
поршня мыльный пузырь сжимают, так что радиус его уменьшается
вдвое. Определить давление наружного воздуха в цилиндре в этот
момент.
843. На какую высоту h поднимается вода между двумя верти-
кальными стеклянными пластинками, частично погруженными в вод'.',
если расстояние между ними (/ = 0,5 мм! Для водыо = 73 дн>см *-.
Краевой угол 6 в этом случае можно считать равным 0°.
844. Две стеклянные вертикальные пластинки, погруженные час-
тично в жидкость, образуют друг с другом очень малый двугранный
130
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. И
угол а. Найти высоту поднятия жидкости h как функцию расстояния х
от ребра двугранного угла.
845. Капля воды с массой яг = 0,1 г введена между двумя пло-
скими и параллельными между собой стеклянными пластинками,
смачиваемыми водой, причем краевой угол 9 = 0. Как велика сила
притяжения между пластинками F, если они находятся друг от друга
на расстоянии d— 10-4 см? Поверхностное натяжение воды (при 18°)
<j= 73 дн • см~\
846. Грамм ртути помещен между двумя плоскими стеклянными
пластинками. Какую силу F надо приложить к верхней пластинке,
чтобы ртуть приняла форму круглой лепешки однородной толщины
и радиуса /? = 5 см. Поверхностное натяжение ртути (при 15°)
•о = 487 дн-см'1, краевой угол между ртутью и стеклом 9 = 40°.
847. С какой силой F притягиваются две вертикальные и парал-
лельные стеклянные пластинки, частично погруженные в воду так, что
расстояние между ними равно (/ = 0,1 мм? Ширина пластинок 1~
— 15 см\ о = 73 дн • см1; 9 = 0. Высота пластинок такова, что под-
нявшаяся вода не доходит до их верхних краев.
848. Бесконечно длинная прямоугольная пластинка кладется на
поверхность смачивающей ее жидкости, а затем слегка приподнимается,
увлекая за собой некоторое количество жидкости (рис. 51). Найти
।
Рис. 51.
уравнение боковой поверхности жидкости, устанавливающейся под
влиянием капиллярных сил и силы тяжести.
Указание. За ось X взять прямую, перпендикулярную к длин-
ной стороне пластинки и лежащую на горизонтальной поверхности
жидкости, а за ось У — вертикальную прямую, касающуюся боковой
цилиндрической поверхности жидкости. Координаты х и у точек
§ 13] СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ 131
искомой поверхности жидкости выразить через угол <р, образуемый
касательной плоскостью к этой поверхности с горизонтальной пло*
скостью.
849. Определить в предыдущей задаче максимально возможную’
высоту поднятия пластинки над уровнем жидкости h и толщину при-
поднятого столба жидкости D в наиболее узком месте MN (рис. 51):
при этой высоте поднятия. Найти также силу F, которую необ-
ходимо приложить к единице длины пластинки, чтобы оторвать по-
следнюю от жидкости. Вес единицы длины пластинки равен q,.
ее ширина а.
850. Бесконечно длинная прямоугольная пластинка ширины а по-
ложена на поверхность несмачивающей ее жидкости с поверхностным
натяжением а. Плотность вещества пластинки р0 больше плотности
жидкости р. Найти максимальную толщину пластинки h, при которой,
она еще не утонет.
851. Определить силу F, необходимую для отрыва круглой неве-
сомой пластинки радиуса г = 8 см, положенной на поверхность воды.
Поверхностное натяжение воды а = 73 дн • см1. Пластинка смачи-
вается водой.
852. Найти высоту поднятия h жидкости у вертикальной беско-
нечной пластинки, смачиваемой жидкостью. Краевой угол равен 9.
Указание. См. решение задачи 848.
853. Стальная иголка (лучше, если ее предварительно покрыть
тонким слоем парафина) может плавать на поверхности воды (рис. 52).
Найти радиус иголки г, ширину зазора D=MN между боковыми.
Рис. 52.
поверхностями жидкости в наиболее узком месте, а также глубину
погружения Н для различных значений угла 9, образуемого общей
касательной к поверхности иголки и жидкости с горизонтальной пло-
скостью. Плотность стали р0 = 7,8 г • см~\ поверхностное натяжение
воды а = 73 дн • см~\ Определить максимальный радиус иголки, при
котором она еще не утонет. Найти максимально возможную глубину
132 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [гл. И
погружения и соответствующий ей радиус иголки. При расчете иголку
заменить бесконечно длинным цилиндром.
854. Определить направление сил, действующих на две вертикаль-
ные параллельные пластинки, частично погруженные в жидкость, в сле-
дующих случаях: 1) обе пластинки смачиваются жидкостью, 2) обе
пластинки не смачиваются жидкостью, 3) одна пластинка смачивается
жидкостью, а вторая нет.
855. Как велико поверхностное натяжение <з жидкости, если петля
из резинового шнура длиной Z и с поперечным сечением S, положен-
ная на пленку этой жидкости, растянулась в окружность радиуса R
после того, как пленка была проколота внутри петли? Считать, что
при малых растяжениях для резины справедлив закон Гука и модуль
Юнга резины равен Е.
856. Мыльная пленка толщиной 7=0,001 мм находится при тем-
пературе таяния льда. Вычислить падение температуры этой пленки,
если ее растянуть адиабатически настолько, что площадь ее удвоится.
Плотность мыльного раствора р = 1 г • см'3, а удельная теплоемкость
с=1 кал - г'1 • град'1. Поверхностное натяжение мыльного раствора
убывает на 0,15 дн - см'1 при повышении температуры на 1°.
857. Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с вну-
тренним радиусом г = 1 мм и длиной Z=10 см. В тот момент,
когда радиус пузыря достигает значения Ro = 10 см, перестают дуть,
и воздух из пузыря начинает выходить через трубку. Через какое
время, начиная с этого момента, пузырь исчезнет? Поверхностное на-
тяжение мыльного раствора а = 50 дн • см'1, коэффициент вязкости
воздуха т}= 1,8 • 10~4 г • сек'1 • см'1. Изменением плотности воздуха
за время процесса пренебречь.
858. В стенке шарового мыльного пузыря сделано круглое отвер-
стие с радиусом а = 1 мм (такое отверстие, например, можно полу-
чить, поместив на стенку пузыря петельку из нити, а затем проткнув
мыльную пленку внутри этой петельки). Найти время, в течение ко-
торого весь воздух выйдет из пузыря, если его начальный радиус
г0= 10 см. Температура воздуха вне и внутри пузыря 7 = 20°. По
верхностное натяжение мыльного раствора при этой температуре а =
= 50 дн • см'1. Атмосферное давление р = 160 мм рт. ст. Средний
молекулярный вес воздуха принять равным р. = 29. При истечении
через отверстие воздух рассматривать как идеальную несжимаемую
жидкость.
859. Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные коле-
бания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюсну-
той, сферической, снова вытянутой и т. д. Как зависит период этих
пульсаций Т от плотности р, поверхностного натяжения а и радиуса
капли г?
§ 131
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
133
860. Струя жидкости вытекает через горизонтальную трубку
в боковой стенке сосуда (рис. 53). Поперечное сечение трубки имеет
форму эллипса, вытянутого в горизонтальном направлении. Струя при-
нимает форму цепи, звенья которой попеременно то вытянуты, то
сплюснуты в горизонтальном нап-
равлении. Объяснить явление. Как
зависит длина звена I в началь-
ной части струи от плотности
жидкости р, поверхностного на-
тяжения о, расстояния h от осно-
вания трубки до уровня жидкости
и ускорения силы тяжести g, если
поперечное сечение трубки ос-
тается неизменным?
861. Стакан наполнен водой
до высоты 10 см. На дне его ле-
жат капиллярные трубки, запаян-
ные с одного конца и заполненные воздухом. Когда вода кипит, на
открытых концах капилляров образуются пузырьки пара, диаметр
которых в момент отрыва равен 0,2 мм. Чему равна температура
воды на дне сосуда во время кипения, если атмосферное давление
равно 760 мм рт. ст.? Поверхностное натяжение кипящей во-
ды 57 дн • см~1, а упругость водяного пара вблизи 100° возрастает
на 2,7 см рт. ст. при повышении температуры на 1°.
862. Определить форму мыльной пленки, края которой закреп-
лены на двух одинаковых кольцах радиуса 7?, удаленных друг
от друга на расстояние 2/г. Центры колец лежат на общей прямой,
перпендикулярной к их плоскостям. Плоскости колец не затянуты
пленками.
863. Между двумя круглыми кольцами одинакового радиуса обра-
зовалась цилиндрическая мыльная пленка, причем основания колец
также затянуты мыльными пленками, имеющими, как легко показать,
сферическую форму. Найти соотношение между радиусами цилиндри-
ческой и сферической частей пленок.
864. Решить задачу 862 в предположении, что не только боковая
поверхность, но и плоскости колец затянуты мыльными пленками.
865. В задаче 863 давление воздуха внутри пузыря слегка изме-
няется, вследствие чего прямолинейные образующие цилиндрической
поверхности искривляются. Показать, что если искривление мало, то
образующая примет форму синусоиды, причем ее период будет равен
длине окружности 2тгг основания невозмущенной цилиндрической пленки.
Пользуясь этим результатом, доказать, что при увеличении дав-
ления воздуха внутри пузыря, когда его длина меньше w, пузырь
будет выпучиваться, а при уменьшении давления сужаться. Если же
134 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
длина пузыря будет больше тег, но меньше 2тсг, то увеличение внут-
реннего давления заставит боковую поверхность пленки сделаться
вогнутой, а уменьшение — выпуклой.
Указание. Можно воспользоваться результатом решения пре-
дыдущей задачи.
866. Как показал Д. И. Менделеев, поверхностное натяжение
жидкости при критической температуре равно нулю. Как можно это
доказать?
867. Показать, что в двух сосудах с жидкостью, имеющих общую
атмосферу насыщенного пара (например, накрытых одним колпаком),
при тепловом равновесии уровни жидкости одинаковы, если не учи-
тывать капиллярные силы.
868. Найти давление р насыщенного пара над мениском в капил-
лярной трубке, если радиус мениска г, а давление насыщенного пара
над плоской поверхностью р^.
Указание. Рассмотреть условия равновесия между жидкостью
и паром над мениском и плоской поверхностью.
869. Найти осмотическое давление /?осм пятипроцентного раствора
тростникового сахара (С1аНааОп) в воде при 18°.
870. При какой температуре t осмотическое давление двухпро-
центного раствора поваренной соли в воде будет равно 18 атм?
Считать степень диссоциации поваренной соли равной 75%.
871. Осмотическое давление раствора 36 г глюкозы в 2,24 л
воды при 27° равно 1,1 атм. Найти молекулярный вес глюкозы.
872. Чему равно осмотическое давление /?осм электролита, степень
диссоциацииw которого а, если молекула электролита расщепляется
при диссоциации на п ионов?
873. Найти осмотическое давление /?осм однопроцентного раствора
натриевой селитры (NaNO3) в воде при 27°. Считать при этом, что
селитра полностью диссоциирована.
874. Раствор и чистый растворитель в сообщающихся сосудах
разделены полупроницаемой пленкой, а сосуды покрыты колпаком.
Написать условие равновесия раствора и растворителя с паром рас-
творителя и вывести из него зависимость между осмотическим давле-
нием /?осм и разностью давлений (pt — р0) насыщенного пара над
раствором и над растворителем.
875. Давление насыщенного пара над раствором меньше, чем над
чистым растворителем. Выразить разность этих давлений через отно-
шение k общего числа молей растворенных веществ к числу молей
растворителя.
876. Каково давление паров воды pt над раствором сахара, если
число молей сахара составляет 5% от общего числа молей раство-
§ |4] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА 135
рителя. Температура раствора 20°. Давление насыщенного водяного
пара при 20° равно 17,535 мм рт. ст.
877. При какой температуре Тк кипит раствор 100 г поваренной
соли в 1 л воды? Считать поваренную соль полностью диссоцииро-
ванной. Скрытая теплота парообразования воды # = 539 кал • г1.
Внешнее давление равно 760 мм рт. ст.
878. Один грамм тростникового сахара (молекулярный вес 342)
растворен в 100 см? воды. Определить точку кипения этого раствора
при нормальном атмосферном давлении. Плотность воды при темпе-
ратуре 100° равна 0,96 г • см~\ скрытая теплота парообразования
539 кал • г-1.
879. В предыдущей задаче определить температуру замерзания
раствора при атмосферном давлении. Скрытая теплота плавления
q = 80 кал • г-1.
880. Водный раствор сахара повышает точку кипения при нормаль-
ном атмосферном давлении на Д^ = 0°,05. Определить температуру за-
мерзания t этого раствора при том же давлении. Теплота плавления
льда #! = 80 кал • г-1, теплота парообразования воды #2 = 539 кал • г-1.
881. Растворение т = \ г иода в Л4 = 285 г этилового эфира
повышает температуру кипения последнего на Д7'=0°,032. Из какого
числа атомов п состоит молекула иода в растворе? Атомный вес
иода А =127, температура кипения этилового эфира Т — 307°,8 К,
теплота парообразования # = 81,5 кал • г1.
§ 14. Кинетическая теория вещества
882. Сколько молекул азота находится в сосуде емкостью в 1 л,
если температура азота 27°, а давление равно 10-в мм рт. ст.?
883. Каково давление смеси газов в колбе емкостью 2,5 л, если
в ней находится 1018 молекул кислорода, 4 • 1018 молекул азота и
3,3 • 1(Г7 г аргона? Температура смеси 150°.
884. Показать на основании кинетической теории, что при ква-
зистатическом передвижении поршня в цилиндре, наполненном идеаль-
ным одноатомным газом, давление и объем газа связаны соотношением
5
pV3 = const.
Стенки цилиндра и поршень теплонепроницаемы.
Указание. Рассмотреть удар молекулы о движущийся поршень
и учесть, что скорость поршня гораздо меньше скоростей уда-
ряющихся молекул.
136 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. П
885. Решить предыдущую задачу для двухатомного газа. Пока-
зать, что в этом случае давление р и объем V связаны соотношением
т_
pV5 = const.
Указание. При решении воспользоваться теоремой о равно-
мерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.
886. Исходя из распределения Максвелла, найти средний квадрат
х-компоненты скорости молекул газа. Найти отсюда среднюю кинети-
ческую энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступа-
тельного движения молекулы газа.
887. Как зависит от давления средняя скорость молекул идеаль-
ного одноатомного газа при адиабатическом сжатии или расширении?
888. Найти отношение числа молекул водорода пь скорости ко-
торых лежат в пределах от 3000 м • сек'1 до ЗОЮ м • сек'1, к числу
молекул имеющих скорости в пределах от 1500 м • сек'1 до
1510 м • сек'1, если температура водорода 300°.
889. Найти наивероятнейшую (т^), среднюю (*5) и среднюю ква-
дратичную (К®*) скорости молекул хлора при температуре 227°.
890. При какой температуре средняя квадратичная скорость мо-
лекул кислорода равна таковой же скорости молекул азота при тем-
пературе 100°?
891. Показать, что если за единицу скорости молекул газа принять
наиболее вероятную скорость, то число молекул, абсолютные значения
скоростей которых лежат между v и v-j-dv, не будет зависеть от
температуры газа.
892. Выразить число молекул г, ударяющихся о квадратный сан-
тиметр стенки сосуда в одну секунду, через среднюю скорость дви-
жения газовых молекул, если функция распределения молекул по ско-
ростям изотропна (т. е. зависит только от абсолютного значения ско-
рости молекулы, но не от ее направления). Рассмотреть частный
случай максвелловского распределения.
893. Найти полную кинетическую энергию Е молекул одноатом-
ного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу
времени. Задачу решить сначала в общем виде для изотропной функции
распределения, а затем применить результат к частному случаю макс-
велловского распределения.
894. В сосуде емкостью V, из которого полностью выкачан воз-
дух, открывается кран с очень малым сечением 5. Через какое время т
давление воздуха внутри сосуда станет равным половине атмосфер-
ного давления? Считать, что наполнение сосуда протекает настолько
медленно, что, несмотря на неравновесность процесса, можно говорить
§ И]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
137
о давлении и температуре воздуха в сосуде. Температуру воздуха
внутри сосуда считать равной внешней температуре.
895. Через какое время давление воздуха в тонкостенном отка-
чанном сосуде, в стенке которого имеется отверстие площадью
5—10-6.сл«2, возрастает от рх — 10~4 до р2 — 10-2 мм рт. ст., если
давление наружного воздуха /?о = 76О мм рт. ст., а температура 20°?
Объем сосуда V — 1 л. Через какое время давление в сосуде станет
равным половине атмосферного давления?
896. Сосуд разделен перегородкой на две равные части объемом V
каждая. В одной части находится азот, а в другой кислород при
одинаковых давлениях р и температурах Т. Газы в сосуде сильно
разрежены (средняя длина свободного пробега велика по сравнению
с размерами сосуда). В момент t — 0 в перегородке открывается не-
большое отверстие площади S. Найти давление в обеих частях сосуда
в зависимости от времени (температуру газа во все время процесса
считать неизменной). Результат выразить через средние скорости мо-
лекул азота и кислорода и vK.
897. Сосуд откачивается до высокого вакуума, после чего в одной
из его стенок делается малое отверстие. На это отверстие напра-
вляется параллельный пучок молекул, имеющих одну и ту же ско-
рость v. Молекулы пучка, попадая в сосуд, сталкиваются с его стен-
ками, отражаются от них, а также сталкиваются друг с другом,
в результате чего в сосуде устанавливается максвелловское распре-
деление скоростей. Определить равновесное отношение плотностей
газа в пучке и в сосуде после того, как установится тепловое равно-
весие между стенками сосуда и заполняющего его газа.
898. В атмосферу насыщенного водяного пара (воздуха нет) при тем-
пературе t — 20° мгновенно вводится водяная капля радиуса г = 2 мм,
имеющая ту же температуру. Определить мгновенную скорость испаре-
ния с единицы поверхности капли в начальный момент времени (т. е.
число молекул, которые теряет капля в одну секунду с каждого квад-
ратного сантиметра вследствие испарения). Упругость насыщенного
водяного пара при 20° равна р= 17,54 мм рт. ст. Поверхностное
натяжение воды при той же температуре а = 72,7 дн-см~1. (См. также
задачу 1284.)
899. Отношение молекулярных весов различных газов можно изме-
рять по скорости эффузии их, т. е. по скорости истечения из сосуда
с очень малым отверстием. Доказать, что время, в течение которого
из сосуда вытекает определенный объем газа, пропорционально ква-
дратному корню из молекулярного веса газа.
900. Для водорода при атмосферном давлении длина свободного
пробега Л = 1,28-10~5 см. Найти газокинетический диаметр молекулы
водорода d.
138 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. И
901. Для азота при температуре 0° коэффициент внутреннего
трения = 16,8 • 10-8 г • см'1 • сел;-1. Найти значение средней длины
свободного пробега А молекул азота при этих условиях.
902. Сколько столкновений z за 1 сек испытывает молекула неона
при температуре 600° К и давлении 1 мм рт. ст., если газокинети-
ческий диаметр молекулы неона </ = 2,04 • 10-8 см!
903. Найти давление р водорода в литровой колбе, при котором
длина свободного пробега молекулы больше размеров сосуда. Газо-
кинетический диаметр водорода 2,2 • 10“8 см, а температура его 300° К.
904. Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как из-
меняются длина свободного пробега А и число z столкновений его
молекул в 1 сек с изменением температуры?
905. Идеальный газ сжимают изотермически. Найти зависимость А
и г от давления.
906. Идеальный газ сжимают адиабатически. Найти зависимость А
и г от давления.
907. Для определения коэффициента внутреннего трения т] угле-
кислого газа им наполнили колбу с объемом V=1 л при давлении
^=1600 мм рт. ст. Затем открыли кран, позволяющий СО.2 выте-
кать из сосуда через капилляр длиною 7=10 см и диаметром
</ = 0,1 мм. Через время т = 22 мин. давление в колбе понизилось
до рА= 1350 мм рт. ст. Вычислить из этих данных вязкость и газо-
кинетический диаметр d молекулы СО2. Наружное атмосферное давле-
ние р.2 = 735 мм рт. ст. Процесс можно считать изотермическим, происхо-
дящим при 15°.
908. Для измерения теплопроводности азота им наполнили про-
странство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы
которых г2 = 0,5 см, г% = 2 см. Внутренний цилиндр равномерно
нагревался спиралью, по которой проходил ток < = 0,1 а. Сопроти-
вление спирали, приходящейся на единицу длины цилиндра, равно
/? = 0,1 ом. Внешний цилиндр поддерживался при температуре
t2 — 0°. При установившемся процессе оказалось, что температура
внутреннего цилиндра равна ^ = 93°. Найти газокинетический диа-
метр d молекулы азота. Давление газа в таких опытах берется малым
(порядка десятков миллиметров), и поэтому конвекцией можно пре-
небречь.
909. Определить, на какой угол ср повернется диск, подвешенный
на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см вращает-
ся второй такой же диск с угловой скоростью w = 50 рад • сек'1.
Радиус дисков /? = 10 см, модуль кручения нити f =
= 100 дн • см • рад'1, коэффициент внутреннего трения воздуха т; =
= 1,8 • 10-4 г • сек'1 - -см'1. Краевыми эффектами пренебречь. Движение
воздуха между дисками считать ламинарным.
§ 14] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА 139
910. Решить предыдущую задачу в предположении, что диски
помещены в сильно разреженный воздух с давлением р = 10~4 мм рт. ст.,
когда длина свободного пробега молекул воздуха велика по сравнению
с расстоянием между дисками. Для упрощения расчета считать, что все
молекулы движутся с одинаковыми по абсолютному значению скоро-
стями, равными средней скорости молекул воздуха v = 450 м • сек~х.
911. Коэффициент теплопроводности газа, как известно, не зави-
сит от давления. Объяснить, зачем из пространства между двойными
стенками сосуда Дюара выкачивают воздух, создавая в этом простран-
стве возможно более высокий вакуум?
912. Оценить массу М жидкого воздуха, испарившегося за час из
плохо откачанного сосуда Дюара, если давление воздуха (при ком-
натной температуре 7'0 = 293°К), оставшегося между стенками, равно
/?=1СГ3 мм рт. ст. Поверхность сосуда S==600 см\ теплота испа-
рения жидкого воздуха q = 48,4 кал • г”1, а его температура
Т = 93° К. Зазор между стенками сосуда мал по сравнению с длиной
свободного пробега.
Указание. Для упрощения считать, что молекулы воздуха, по-
переменно ударяясь о холодную и теплую стенки, каждый раз отра-
жаются от них со средними кинетическими энергиями поступательного
движения, соответствующими температурам стенок. Различием между
средней и средней квадратичной скоростями молекул пренебречь,
рассчитывая скорость молекул по формуле для средней квадратичной
скорости.
913. Оценить по порядку величины скорость, с которой будет
двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск, одна из сто-
рон которого нагрета до температуры 7\ = 310° К, а другая до тем-
пературы 7'2 = 300°К. Температура воздуха 7'=300°К.
914. Два сосуда одинакового объема соединены трубками. Диа-
метр одной из трубок очень велик, а другой очень мал по сравнению
с длиной свободного пробега молекул газа, находящегося в сосуде.
Первый сосуд поддерживается при постоянной температуре 7\ —800°К,
а второй — при постоянной температуре 7\ = 200° К. В каком напра-
влении будет перетекать газ по узкой трубке, если перекрыть краном
широкую трубку? Какая масса тп газа перейдет при этом из одного
сосуда в другой, если общая масса газа в обоих сосудах равна М?
915. Найти кинетическую энергию Е молекул 5 л водорода, на-
ходящегося под давлением в 3 кГ • см~\
916. Смесь равных (по весу) количеств водорода и гелия при 0°
помещена в цилиндрический сосуд объемом 1 л/3, закрытый сверху
движущимся без трения невесомым поршнем. Атмосферное давление
140 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [гЛ. II
равно 740 мм рт. ст. Какое количество тепла потребуется для нагре-
вания смеси до 200°?
917. Подсчитать удельную теплоемкость при постоянном давлении
газа следующего молярного состава:
Не — 20%; Н2 — 30%; СН4 — 50%.
(Молярный состав указывает отношение количества молей данного
газа к общему количеству молей всей смеси газов.)
918. Как изменится отношение ч = Ср для азота, если под дей-
ствием некоторого агента определенная доля молекул диссоциирует
на атомы? Отношение числа диссоциированных молекул к общему
числу их равно а.
919. Показать, что при достаточно высокой температуре атом-
ная теплоемкость твердого тела должна быть равна cv = 3R «з
6 кал • моль'1 • град'1.
920. Определить молекулярную теплоемкость при постоянном
объеме твердых соединений типа XY и XY^ считая справедливой
классическую статистику.
921. Определить удельную теплоемкость при постоянном объеме
кислорода, нагретого до очень высокой температуры порядка несколь-
ких килоэлектрон-вольт.
922. При взрыве атомной (урановой) бомбы в ее центре дости-
гаются температуры порядка 7'^10 кэв. Принимая ориентировочно
плотность урана в центре бомбы равной р —20 г • см3, найти давле-
ние внутри бомбы при этой температуре. Сравнить это давление
с давлением в центре Земли, вычисленным в предположении, что
плотность Земли постоянна и равна р3ем = 5,5 г • см~3. Давление
светового излучения не учитывать. (См. в связи с этим задачу 977.)
923. По одной из старых теорий (Гельмгольц, 1854 г.; лорд Кель-
вин, 1861 г.) солнечное излучение поддерживается за счет тепла, образую-
щегося при сжатии Солнца. Предполагая, что Солнце представляет со-
бой однородный шар, плотность вещества которого на любых расстоя-
ниях от центра одна и та же, подсчитать, какое количество тепла Q об-
разуется, если радиус Солнца уменьшится от до На сколько
лет хватит выделившегося тепла, если предположить, что интенсивность
солнечного излучения постоянна во времени и если радиус Солнца
уменьшится на %0 своей первоначальной величины (/?2= 0,9/^)?
Масса Солнца М — 2 • 1033 г, средний радиус — 6,95 • 1010 см,
гравитационная постоянная у = 6,67 • 10~8 см3 • г1 • сек~\ солнеч-
ная постоянная А = 1,39 • 10е эрг • см~* * секл, среднее расстояние
Земли от Солнца 1,5 • 1013 см. Оценить также, насколько повысилась
бы температура Солнца, если бы сжатие произошло внезапно. Теп-
§14] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА 141
лоемкость .солнечного вещества можно грубо оценить, предполагая,
что Солнце целиком состоит из водорода (это дает завышенное зна-
чение для теплоемкости. По современным данным масса Солнца со-
стоит приблизительно на 70—из водорода).
924. По классической теории молярная теплоемкость водорода
cv = ^/<iR. Какого рода отклонений от этого значения нужно ожидать
при достаточно низких температурах?
925. Вычислить среднюю энергию Е моля одноатомного газа,
состоящего из молекул, имеющих два дискретных уровня энергии:
Si и s2^>si. Показать, что при очень низких температурах тепло-
емкость такого газа равна 3/2 R. Вращением молекул пренебречь.
926. Зеркальце висит на кварцевой нити, модуль кручения которой
равен D, и освещается таким образом, что его повороты, вызванные уда-
рами окружающих молекул газа, можно регистрировать на шкале. Поло-
жению покоя соответствует ср — 0 (ср — угол поворота). Как изменяется
средний квадрат угловой скорости ср2 и средний квадрат углового
отклонения <р2, если момент инерции зеркальца, длину нити и ее диа-
метр увеличить соответственно в а, р, у раз? Какое значение полу-
чится для числа Авогадро N из измерений при температуре Т —
= 287° К, если D — 9,43 • 10-9 дн • см, ср2 = 4,18 • 10-6? (Данные
взяты из опытов Герлаха и Капплера.)
927. Рассматривая зеркальце, подвешенное на кварцевой нити
(см. предыдущую задачу) как гармонический осциллятор с незатухаю-
щими колебаниями, найти <р2 и <р2 в квантовом случае. Написать усло-
вие применимости классических выражений. Найти квантовые поправки,
используя данные предыдущей задачи. Для момента инерции зеркальца
взять /я«0,01 г • см*.
928. Для определения числа Авогадро Перрен определял распре-
деление по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде.
Он нашел, что отношение а числа частиц в слоях, отстоящих друг
от друга на расстоянии 1= 30 микрон, равно 2,08. Плотность частиц
р = 1,194 г • см~3. Плотность воды р0=1 г • см~3. Радиусы частиц
г = 0,212 микрона. На основании этих данных вычислить число Аво-
гадро N. Температура воды ^=18°.
929. Для определения молекулярных весов коллоидальных частиц
исследуют распределение их концентрации в поле центробежной силы,
возникающей при вращении центрифуги. Найти молекулярный вес р.
коллоидальных частиц, если известно, что отношение их концентраций
в местах, расположенных от оси центрифуги на расстояниях г2 и rlt
равно а. Плотность частичек р, плотность растворителя р0. Угловая
скорость вращения центрифуги ш.
930. При термодинамическом равновесии температура газа, нахо-
дящегося в поле тяжести, постоянна по высоте. С молекулярно-кине-
142 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА |ГЛ. И
тической точки зрения кажется на первый взгляд, что температура
газа должна убывать с высотой, так как летящая вверх молекула
замедляется полем тяжести, а летящая вниз — ускоряется. Дать каче-
ственное молекулярно-кинетическое объяснение постоянства темпера-
туры газа по высоте.
931. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в поле силы
тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти связь
между его средними по времени значениями кинетической и потен-
циальной энергий. Результат использовать для установления связи
между средними значениями кинетической и потенциальной энергий
молекулы воздуха в поле земного тяготения. Пользуясь этим резуль-
татом, найти также формулу для разности молярных теплоемко-
стей ср — cv.
932. В вертикальном цилиндрическом сосуде высоты Н находится
моль идеального газа. Найти теплоемкость с этого газа, учитывая
наличие поля тяжести и предполагая, что pgHRT, где р. — моле-
кулярный вес газа. Расширением сосуда при нагревании пренебречь.
933. Цилиндрический теплоизолированный сосуд с идеальным
газом подвешен на нити. Благодаря действию силы тяжести плотность
газа внизу сосуда больше, чем вверху. Нить обрывается, и сосуд
падает. Изменится ли температура газа после установления во время
падения термодинамического равновесия?
934. Найти распределение плотности молекул газа в цилиндре
радиуса R и длины /, вращающемся в поле тяжести вокруг своей оси
с угловой скоростью о). Ось цилиндра направлена вертикально.
935. В жидкости находятся одинаковые броуновские частицы, кон-
центрация которых зависит только от одной координаты z. Выравни-
вание концентрации частиц происходит вследствие диффузии. Выразить
коэффициент диффузии броуновских частиц D через средний квадрат
смещения частицы в направлении оси Z за время т.
936. Подвижностью В броуновской (или какой-либо другой) ча-
стицы называется коэффициент пропорциональности между скоростью к
установившегося движения ее под действием постоянной силы f и
величиной самой силы: u — Bf. Взвесь одинаковых броуновских частиц
в жидкости находится в поле тяжести. Написать выражение для сум-
марного потока частиц вследствие диффузии и действия силы тяжести.
В стационарном состоянии суммарный поток должен равняться нулю.
В то же время стационарное распределение броуновских частиц по
высоте дается формулой Больцмана (барометрической формулой). Ис-
ходя из этих соображений, установить связь между подвижностью
частицы и коэффициентом диффузии.
937. Используя результаты решения двух предыдущих задач, найти
связь между средним квадратом смещения броуновской частицы за
§ 14] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА 143
время -с в каком-либо определенном направлении Аг2 с подвижностью
этой частицы. Какой вид принимает эта связь для шарообразной
частицы радиуса а? По Стоксу B = где т] — вязкость жид-
кости.)
938. Определить среднее квадратичное горизонтальное переме-
щение зерен гуммигута в воде при температуре 20° за 1 мин.,
если известно, что радиус их 0,5 микрона, а вязкость воды
0,01 г • см'1 • сек'1.
939. По Эйнштейну и Смолуховскому, число Авогадро N можно
определить, наблюдая броуновское движение зерен гуммигута и изме-
ряя среднее квадратичное перемещение их в некотором фиксирован-
ном направлении. Чему равно это число, если среднее квадратичное
перемещение за 5 мин. зерен гуммигута радиуса а = 0,385 микрона
в глицерине при температуре 20° равно 1,5 микрона? Вязкость глице-
рина т] = 1,49 г • см'1 • сек'1.
940. При измерении заряда электрона по методу Милликена
наблюдается броуновское движение масляных капель. Наблюдая это
движение, можно найти не только заряд электрона, но и число Аво-
гадро. Пусть — скорость установившегося падения капли в поле
тяжести при отсутствии электрического поля. Пусть в электрическом
поле напряженности Е капля поднимается вверх с установившейся
скоростью Из этих наблюдений, как известно, можно вычислить
заряд капли е. Пусть (Ах)2 — средний квадрат смещения частицы за
время т в направлении (горизонтальной) оси X.
Считая, что установившаяся скорость частицы пропорциональна
приложенной силе, найти выражение для Ne, где N—число Авогадро.
941. При наблюдении броуновского движения масляной капли
в конденсаторе Милликена (см. предыдущую задачу) было найдено
(Дх)2 = 1,05 • 10~8 см*, т= 10 сек, г»2= 0,0268 см • сек1,
Т = 300° К. Напряжение на обкладках конденсатора V=940 в, рас-
стояние между пластинами конденсатора d — 0,7 см. Вычислить по
этим данным число Авогадро. Измеренный на опыте заряд капли ока-
зался равным заряду электрона е = 4,8« 10-10 CGSE.
942. Космические лучи блуждают в Галактике, отклоняясь в меж-
звездных магнитных полях. Этот процесс подобен диффузии. Найти
время т, за которое частицы пройдут путь порядка размеров Галак-
тики /?а*5 • 1022 см, если эффективная длина свободного пробега
Z As* 100 парсек а* 3- 102° см.
943. Звук какой длины волны начинает сильно затухать при рас-
пространении в одноатомном газе?
944. Каково по порядку величины эффективное сечение для со-
ударений электронов с ионами плазмы, нагретой до температуры 7?
144 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
Имеются в виду соударения с передачей импульса, сопровождающиеся
сильными отклонениями электронов.
945. Используя результат решения предыдущей задачи, получить
приближенное выражение для электропроводности X и удельного со-
противления р водородной или дейтериевой плазмы, нагретой до аб-
солютной температуры Т. Как зависит электропроводность плазмы от
ее плотности и температуры?
946. При какой температуре теоретическая электропроводность
водородной или дейтериевой плазмы будет равна электропроводности
меди при комнатной температуре? Электропроводность меди
5,14 • 1017 сел;-1 = 5,72 • 108 олг1 • см~\
947. Получить приближенное выражение для теплопроводности
водородной или дейтериевой плазмы х, нагретой до абсолютной тем-
пературы Т. Как зависит теплопроводность плазмы от ее плотности
и температуры?
§ 15. Тепловое излучение
948. Бесконечно длинный плоскопараллельный слой изотропного
вещества толщины I имеет всюду одну и ту же температуру Т. Найти
интенсивность теплового излучения этого слоя в различных напра-
влениях, пренебрегая отражением излучения на его границах, а также
рассеянием излучения внутри слоя. (Отражение на границах слоя
практически не будет происходить, если показатель преломления
вблизи границ меняется плавно.) Коэффициент поглощения вещества
(на единицу длины луча) равен а.
949. Решить предыдущую задачу, учитывая отражение излучения
на границах слоя, но пренебрегая его рассеянием.
950. Найти излучение бесконечно толстого слоя вещества, пре-
небрегая рассеянием внутри слоя. Убедиться, что бесконечно
толстый слой любого вещества излучает во всех направлениях как
абсолютно черное тело, если только можно пренебречь отражением
на его границах и рассеянием излучения внутри слоя.
951. В световой вентиль1) (см. задачу 575), пропускающий излуче-
ние слева направо и не пропускающий в обратном направлении, вве-
дена плоскопараллельная пластинка Р (рис. 54) из дихроического кри-
сталла, нагретая до температуры Т. Пластинка Р пропускает целиком
лучи одной поляризации и полностью поглощает лучи, поляризованные
в перпендикулярной плоскости (отражением света на поверхности
пластинки пренебрегаем). Пластинка ориентирована так, что она цели-
*) Практически такой вентиль представляет интерес для радиодиапазона
излучения.
§ 15]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
145
ком поглощает свет, пропускаемый николем ЛГ2. Определить интен-
сивность теплового излучения пластинки, выходящего из системы
слева направо и справа налево.
Вращающее
вещество
Рис. 54.
952. Показать, что если бы не существовало давления лучи-
стой энергии, то можно было бы построить perpetuum mobile вто-
рого рода.
953.____Показать, что цикл Карно, осуществленный с излучением
абсолютно черного тела, имеет коэффициент полезного действия
р ______р
= -1-=—-, где 7\ и Т% — температуры излучения на изотермиче-
1 1
ских частях цикла (Л>Г2).
954. Найти энтропию черного излучения.
955. Тело А находится в равновесии со своим излучением, заклю-
ченным в цилиндре с идеально отражающими стенками и закрытым
идеально отражающим поршнем В (рис. 55), который
может перемещаться в цилиндре без трения. Рас-
смотрев цикл Карно для такой системы, найти
зависимость объемной плотности равновесного излу-
чения U от температуры.
956. Найти уравнение адиабатического процесса,
производимого с равновесным излучением.
957. На 1 см1 земной поверхности падает в
среднем около 2 кал лучистой энергии в 1 мин.
Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км, диа-
метр Солнца 1,39 млн. км, температура Солнца
6000° К. Считая Солнце абсолютно черным телом,
найти постоянную а в законе Стефана—Больцмана, связывающем
энергию, излучаемую 1 см* черного тела (в одну сторону) в 1 сек
с абсолютной температурой.
958. В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий фор-
му куба, налит 1 кг воды, нагретой до 50°. Определить время t
остывания сосуда до 10°, если он помещен в черную полость, тем-
пература стенок которой поддерживается около 0° К, а вода запол-
няет весь объем сосуда.
146 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. II
959. Определить установившуюся температуру Т находящейся в
вакууме черной пластины, помещенной перпендикулярно к солнечным
лучам (поток световой энергии 2 кал-см^-ми/Г1).
960. Установить связь между плотностью энергии U изотропного
излучения, его интенсивностью / и светимостью S.
961. Найти число собственных колебаний струны длины z в ин-
тервале частот (v-НФ Считать, что струна может колебаться лишь
в одной плоскости.
962. Найти число собственных колебаний квадратной мембраны
со стороной z в интервале частот (v,v4~^v)-
963. Найти число собственных поперечных колебаний параллеле-
пипеда с объемом V в интервале частот (v-f-^)-
964. По формуле Планка плотность излучения черного тела с час-
тотами в интервале (v,v-}-dy) равна = ---rfv. Найти
eW-l
приближенные выражения для £7V, когда kT и h't^kT.
965. Пользуясь формулой Планка (см. предыдущую задачу), опре-
делить постоянные в законах Стефана — Больцмана и Вина: S = a7'4
и Хтах Т= а, т. е. выразить их через постоянные: h, k и с,
966. Определить температуру Т Солнца, принимая его за абсо-
лютно черное тело, если известно, что максимум интенсивности спект-
ра Солнца лежит в зеленой области (Х = 5«10“8 см).
967. Определить длину волны, соответствующую максимуму ин-
тенсивности в спектре абсолютно черного тела, температура которого
равна 106 градусов.
968. Отношение суммарной испускательной способности некото-
рого тела к испускательной способности черного тела той же темпе-
ратуры равно Эт. Найти связь между истинной и радиационной темпе-
ратурами.
Примечание. Радиационная температура Тг— температура черного
тела, полная испускательная способность которого равна испускатель-
ной способности данного тела, имеющего температуру Т.
969. Может ли радиационная температура быть больше истинной?
970. Пренебрегая потерями тепла на теплопроводность, подсчитать
мощность W электрического тока, необходимую для накаливания нити
диаметром, равным 1 мм, и длиной, равной 20 см, до температуры 3500° К.
Считать, что нить излучает, подчиняясь закону Стефана — Больцмана
(а = 5,7 • 10-8 эрг-см '-сек '-граО 4).
§ 15]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
147
971. Для вольфрама при 7'= 3500°К, <Эг?=«0,35 (см. задачу 968).
Найти Тг и W для вольфрамовой нити в условиях предыдущей
задачи.
972. Под яркостной температурой тела понимают температуру чер-
ного тела, при которой последнее имеет яркость, равную яркости
данного тела при данной длине волны. Найти, как зависит яркостная
температура серого тела от длины волны (серым телом называется такое
тело, у которого испускательная способность в рассматриваемом
участке спектра не зависит от длины волны).
973. Вином была дана эмпирическая формула для распределения
энергии в спектре черного тела; она имеет вид
_ £1
£(Х,Т) = СЛЛ? хг
где Ci и С2 — постоянные. Получить из этой формулы закон смещения
Вина и, взяв для С2 принятое сейчас значение 1,43880 см-град, оп-
ределить постоянную для закона смещения Вина.
974. Сравнивая формулу Вина с формулой Планка, показать, до
какой температуры в пределах видимого спектра (7500 А к
4000 А) можно пользоваться формулой Вина, чтобы ошибка не
превышала 1 %.
975. Какая формула для плотности излучения 77v черного тела
получилась бы, если бы не было индуцированного испускания света?
Указание. См. вывод формулы Планка по Эйнштейну (Ландс-
берг, Оптика, стр. 748. Гостехиздат, Москва, 1957).
976. Газ состоит из молекул или атомов, имеющих два невырож-
денных уровня энергии Ег и Е^(Ег<^Е<^. Газ находится в состоянии
термодинамического равновесия. Учитывая индуцированное испуска-
ние, выразить коэффициент поглощения газа х(Т) при температуре
Т через его значение х0 при 7=0. Рассмотреть два предельных
случая: 1) А7^>/г> = £,2— Ех\ 2) kT<^Ji')=E.2 — Ev
977. Определить световое давление в центре атомной (урановой)
бомбы в момент ее взрыва, предполагая, что излучение — равновесное
(черное). Данные взять из задачи 922.
978. Определить в области применимости закона Рэлея—Джинса
эффективную температуру излучения бесконечно длинного плоскопа-
раллельного слоя изотропного вещества толщины I и температуры Т,
пренебрегая отражением излучения на границах слоя, а также рассе-
янием излучения внутри слоя. Ограничиться рассмотрением излучения
в нормальном к слою направлении. Коэффициент поглощения веще-
ства (на единицу длины луча) равен а.
148 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. И
979. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне
является корона. Определить поток радиоизлучения S от Солнца на
Земле в полосе шириной 1 Мгц, предполагая, что это излучение является
тепловым. Эффективная температура излучения короны Т106 град.
980. Имеется среда, состоящая из частиц, могущих находиться
на двух энергетических уровнях с энергиями Е\ и Ev (Приме-
ром могут быть частицы со спином у в магнитном поле.) Кон-
центрации частиц на уровнях 1 и 2 равны соответственно и N*.
Е __р
На систему падает радиоволна с частотой ч = -=-^—По какому
закону будет изменяться ее интенсивность I? Возможно ли усилие
волны и при каких условиях?
ГЛАВА III
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
§ 16. Строение атома и спектры
981. Найти частоту колебаний электрона в модели атома Дж. Дж. Том-
сона с одним электроном. (См. задачу 535.)
982. Сколько спектральных линий может излучать модель атома
Томсона с одним электроном? Каков должен быть радиус атома,
чтобы он излучал волну Х = 5000А?
983. Какой молярной теплоемкостью, согласно классической теории,
должен обладать газ, состоящий из атомов Томсона с одним
электроном, если не учитывать вращения атомов?
984. Показать, что при соударении а-частицы с ядром, заряд
которого равен Ze, прицельное расстояние р связано с углом
отклонения у (рис. 56) формулой
2 2Zea ’
где т — масса а-частицы, a v — ее скорость.
985. Используя результат решения предыдущей задачи, опреде-
лить эффективное сечение для рассеяния а-частиц в интервале углов
между <р и ср -ф- (Zcp.
Примечание. Эффективным сечением называется отношение
рассеянного потока к плотности падающего потока а-частиц.
150 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [гл. III
986. Сколько а-частиц Дп рассеется в интервале углов между 44° и
46°, если на медную пластинку толщиной в 0,005 мм было выпу-
щено и=104 а-частиц с энергией в 1 /Изе?
987. Найти отношение собственных электростатической и грави-
тационной энергий равномерно заряженной и гравитирующей сферы.
Каково это отношение для электрона и протона?
988. Электрон совершает затухающие колебания, близкие к гар-
моническим, с частотой v = 1018 сек~\ Через какой промежуток вре-
мени Д/ он потеряет 0,9 своей начальной энергии?
Указание. В электродинамике доказывается, что потеря энер-
гии колеблющегося электрона вследствие излучения определяется
формулой
dUZ 2 -2
___—__________v*
dt 3 с8 ’
где W — энергия, a V — скорость электрона.
989. Через какой промежуток времени М электрон, вращающий-
ся вокруг протона по окружности радиуса а0 = 0,53 А, упал бы
на ядро вследствие потерь на излучение, если бы была справед-
лива классическая теория? Считать, что, несмотря на падение
электрона на ядро, ускорение его все же приближенно равно уско-
рению при равномерном движении по окружности соответствую-
щего радиуса.
990. Какую частоту, по классической теории, должен излучать
электрон, движущийся по окружности с числом оборотов v в 1 сек?
На какой из боровских орбит электрон излучал бы интенсивнее: на
первой или второй?
991. Пользуясь теорией Бора, определить радиус а0 первой орби-
ты электрона и его скорость v на ней.
992. Какова напряженность электрического поля ядра на первой
и четвертой боровских орбитах атома водорода?
993. Вычислить силу притяжения F между электроном, находя-
щимся на первой орбите атома водорода, и ядром. Во сколько раз
эта сила больше силы всемирного тяготения между электроном и
протоном на таком же расстоянии?
994. Показать, что частота, излучаемая при переходе с
на п-ю боровскую орбиту, стремится при п->оо к частоте обраще-
ния электрона на n-й орбите.
995. Определить длину волны первых трех линий серии Бальмера.
Постоянная Ридберга для Н равна R= 109677,58 см~\
§ 16], СТРОЕНИЕ АТОМА И СПЕКТРЫ 151
996. Определить длину волны головных линий серий Лаймана,
Пашена, Брэккета и ГТфунда х).
997. Определить длину волны, соответствующую границе серии
Бальмера.
998. Определить энергию Е атома водорода в основном состоя-
нии, а также вычислить потенциал ионизации V„ атома.
999. Выразить ионизационный потенциал водорода в ккал-моль'1.
1000. Первые потенциалы возбуждения Li и Na равны соот-
ветственно 1,84 и 2,1 в. При какой температуре средняя кинетиче-
ская энергия частиц равна энергии возбуждения?
1001. Как относятся друг к другу числа атомов водорода в ос-
новном, первом, втором и третьем состояниях при температуре в
2000°К?
1002. Вычислить первый потенциал возбуждения водорода.
1003. Найти выражение для частот линейчатого спектра поглоще-
ния атомарного водорода.
1004. Будет ли атом водорода поглощать излучение частоты
v — 2Rc? (R — постоянная Ридберга, с — скорость света).
1005. Какие спектральные линии появятся при возбуждении ато-
марного водорода электронами с энергией в 12,5 эв?
1006. Какие линии появятся, если энергия электрона в предыду-
щей задаче равна 14 эв?
1007. Процесс рекомбинации заключается в переходе электрона
из свободного состояния на одну из орбит ионизованного атома.
Рекомбинация может сопровождаться свечением. Какие особенности
спектра рекомбинации позволяют отличить его от спектра, возни-
кающего при термическом возбуждении и возбуждении ударом?
1008. Найти потенциал ионизации ионов Не+ и Li++.
1009. Найти длину волны резонансной линии Не+.
1010. Как выражается постоянная Ридберга для бесконечно
тяжелого ядра через фундаментальные постоянные?
*) Все эти серии охватываются формулой Бальмера — Ритца
D П 1 \ •
v ^\т‘2 п2)'
т = 1, п = 2, 3, 4, ... серия Лаймана
т = 2, п = 3, 4, 5, ... « Бальмера
т = 3, п = 4, 5, 6, ... « Пашена
т = 4, п = 5, 6, 7, ... « Брэккета
т = 5, п = 6, 7, 8, ... « Пфунда
152 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. Ш
1011. Найти выражение для энергии термов водородоподобного
атома (заряд ядра Ze) с учетом конечности массы ядра.
1012. Постоянные Ридберга для водорода и гелия равны соответ-
ственно Ян = 109677,6 слг1; Яне = 109 722,3 см-1. Найти отноше-
ны ,лНе
ния— и -------, где х«н и ^Не — массы протона и а-частицы; т —
масса электрона.
1013. Определить разность длин волн линий Ня и Da (первой
линии бальмеровской серии дейтерия — тяжелого водорода). Опреде-
лить также разность Нт — Dr
1014. На сколько вольт ионизационный потенциал дейтерия (D)
больше ионизационного потенциала водорода (Н)? Выразить разность
между энергиями ионизации Н и D в калориях на моль.
1015. Переход между какими орбитами иона гелия Не+ сопро-
вождается излучением с длиной волны, близкой к Ня?
1016. Какова разница между длинами волн линии Ня и соответству-
ющей ей линии спектра Не+? (См. предыдущую задачу.)
1017. По современным данным для водорода-и дейтерия постоян-
ные Ридберга равны соответственно
Ян = (109677,576 ± 0,012) слг1; Яо = (Ю9707,419 ± 0,012) см1,
а атомные массы:
Н= 1,008142 ± 0,000003 (физическая шкала),
D = 2,014735 ±0,000006 (физическая шкала).
Постоянная Фарадея:
F = Ne = (2,89366 ± 0,00 0 03)-104 ед. CGSE-.^w,-’ =
= (9652,19 ± 0,11) ед. CGSM-жолб-1 (физическая шкала).
„ е
Пользуясь этими данными, определить — для электрона.
1018. Близкие искусственные спутники Земли движутся со ско-
ростями порядка У =8 км-сек-1. Может ли атом Н, N или О,
упруго отразившись от спутника, ионизовать при своем дальнейшем
движении в атмосфере атом такого же типа? Ионизационные потен-
циалы атомов водорода, азота и кислорода равны соответственно
13,60; 14,47; 15,56 эв.
1019. Чему равен по теории Бора орбитальный магнитный момент
атома водорода в нормальном состоянии?
/S
Указание. Магнитный момент тока tt = — , где/ — сила тока,
‘ с
S — площадь поверхности, обтекаемой током, ас — скорость света.
§ 16] СТРОЕНИЕ АТОМА И СПЕКТРЫ 153
1020. Каково отношение орбитального момента р. электрона на
n-й круговой боровской орбите к его моменту количества движения Z?
1021. Показать, что ответ к предыдущей задаче правилен и для
эллиптических орбит.
1022. Найти энергию магнитного взаимодействия двух атомов
водорода, находящихся на расстоянии 3-10~6 см. Считать, что элек-
троны в атомах движутся по первым боровским орбитам. Плоскости
орбит обоих атомов параллельны. Спин электрона не учитывать.
1023. С какой угловой скоростью о> должен начать вращаться
цилиндр, подвешенный в магнитном поле с напряженностью И эрстед»
направленном параллельно его оси, если изменить направление поля
на обратное? Считать, что цилиндр намагничивается до насыщения.
(Момент количества движения электрона в атоме равен Z.)
1024. Определить отношение магнитного момента электрона в
атоме к его моменту количества движения, если известно о> (см.
предыдущую задачу) и магнитный момент цилиндра в поле.
1025. Какое значение для о> следует ожидать ’в упрощенном
опыте Эйнштейна—де-Гааза (задача 1023), если длина цилиндра 1 см,
его масса 1 г, цилиндр сделан из железа и если предположить, что
момент количества движения каждого атома равен таковому для
электрона на первой боровской орбите?
1026. Каковы собственный механический момент количества дви-
жения Z и магнитный момент р, электрона? Каково отношение этих
величин?
1027. Определить возможную мультиплетность атомов Н, Не, L1,
Mg, Fe, Hg, U, Cl.
1028. Какова возможная мультиплетность Sr+, Li+, Са+, С++,
0++++р
1029. Какова высшая мультиплетность атома третьей группы?
1030. На сколько уровней расщепится в магнитном поле терм
с Z=3 при нормальном эффекте Зеемана? Какова разность энергий
соседних уровней?
1031. На сколько компонент расщепится в магнитном поле
спектральная линия, связанная с переходом Z=3—>Z=2 при нор-
мальном эффекте Зеемана?
1032. Вычислить расщепление уровня и = 2, Z=1 водорода
из-за магнитного взаимодействия спина с орбитой.
1033. Найти дублетное расщепление первой линии серии Лаймана,
принимая, что состояние л=1 не расщепляется, а состояние п = 2
расщеплено на величину, вычисленную в задаче 1032.
154 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. III
Примечание. Вычисленное расщепление не равно наблюдае-
мому, так как в расчете не учтена релятивистская поправка и, кроме
того, сам расчет слишком груб.
1034. Показать, учитывая магнитное взаимодействие спина с ор-
битой, что интервалы между компонентами одного мультиплета (в
шкале частот) относятся как целые числа. Чему равны эти числа?
Указание. Энергия взаимодействия спина с орбитой пропор-
циональна cos (Is), где I—орбитальный и 5 — спиновой момент.
1035. На сколько компонент расщепится в слабом магнитном
поле терм с внутренним квантовым числом /?
1036. На сколько компонент расщепится при проведении опыта
Штерна — Герлаха пучок атомов водорода?
1037. Найти расщепление термов атома группы щелочных метал-
лов, помещенного в слабое магнитное поле. Считать спин и орби-
тальный момент имеющими одинаковое направление.
1038. На сколько компонент расщепится в слабом магнитном
поле линия Na-, отвечающая переходу
/=3->/=2, ।
' /==Зу->/==2-1 J
1039. Найти число компонент аномального эффекта Зеемана
линии Na, указанной в предыдущей задаче, которые поляризованы
по магнитному полю.
1040. Каково максимально возможное число электронов, обла-
дающих заданным главным квантовым числом п!
1041. Показать, что полный момент количества движения замкну-
тых оболочек равен нулю.
1042. Каково максимально возможное число электронов, обладаю-
щих заданными значениями главного и азимутального квантовых чисел?
1043. Сосуд, наполненный парами Hg низкого давления, абсор-
бирует в 1 сек 1016 квантов резонансного излучения Hg от ртутной
лампы. Время жизни атома Hg в возбужденном состоянии 23Р рав-
но СТ7 сек. Сколько возбужденных атомов Hg находится в сосуде
одновременно?
1044. Какая часть атомоц Na в пламени бунзеновской горелки
(2000° К) возбуждена к испусканию линии /)(Х = 5890А)?
1045. Для паров Na в пламени бунзеновской горелки (7 =2000°К)
находят на опыте, что на каждый атом Na испускается п = 2000 кван-
тов (Х = 5890 А) в 1 сек. Найти среднюю продолжительность t жизни
возбужденного атома натрия.
§ П]
РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
155
§ 17. Рентгеновские лучи
1046. Поперечность волн рентгеновского излучения была впервые
доказана Баркла следующим опытом. Пучок рентгеновских лучей
(рис. 57) рассеивался на теле А. Рассеянное излучение попадало на
тело В и вновь рассеивалось. До-
казательством поперечности волн
рентгеновского излучения служило
то обстоятельство, что интенсив-
ность вторично рассеянного излуче-
ния в направлении ВС была равна
нулю. Объяснить, в чем здесь де-
ло. Почему тела А и В должны
быть сделаны из материала с малым
атомным весом? (В опытах Баркла
эти тела были сделаны из угля.)
Рис. 57.
1047. Вычислить приближенно
частоту и длину волны Л^-линии Мо, а также энергию кванта, соот-
ветствующую этой линии.
1048. Найти приближенно минимальное напряжение V на рентге-
новской трубке, при котором начинают появляться линии серии Ка
Mo, Си, Fe.
1049. Найти границу /f-полосы поглощения Мо, Си и Fe.
1050. Может ли /Са-излучение Fe вызвать вторичное 7-излучение
Сг и Со?
1051. Какие линии Ni возбуждаются /f-излучением Со?
1052. Известно, что длина Zfa линии одного элемента равна
0,788 А, а другого 0,713 А. Выяснить, стоят ли эти элементы рядом
в таблице Менделеева. Какие это элементы?
1053. Начиная с какого элемента появляется /.-серия?
1054. Найти напряжение на рентгеновской трубке, если известно,
что в излучаемом ею сплошном спектре нет длин волн, меньших
0,206 А.
1055. Шарик электроскопа облучается монохроматическим рент-
геновским излучением. Листочки электроскопа перестают расходиться,
когда потенциал шарика равен 8 кв. Определить длину волны к
падающего излучения.
* 1056. Какова максимальная скорость v электронов, вырываемых
из свинца характеристическим излучением железа?
1057. На пути параллельного пучка света перпендикулярно к на-
правлению лучей поставлена линейная решетка (цепочка, состоящая
156
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. ИГ
из рассеивающихся центров) с периодом а. Найти направления на
дифракционные максимумы и дифракционную картину в фокаль-
Рис. 58.
мешенном перпендикулярно к
картина может наблюдаться без
ной плоскости линзы, помещен-
ной перпендикулярно к падаю-
щим лучам (рис. 58).
1058. 1) Как изменится ус-
ловие дифракции на цепочке, если
свет падает на нее под углом
а0 (ао — угол между лучом света и
направлением цепочки)? 2) Если
цепочка имеет длину L, то при
каком условии на экране, по-
падающему пучку, дифракционная
тс _
линзы в случае, когда а0 = % ?
1059. Какая картина будет наблюдаться на экране при дифракции
от линейной решетки, если экран поставлен перпендикулярно к нап:
равлению цепочки, а свет падает на решетку нормально?
1060. Найти дифракционную картину на удаленном экрайе
от плоской прямоугольной точечной дифракционной решетки с пе-
риодами а и Ь, если плоскость экрана параллельна плоскости
решетки. Каковы условия максимумов при нормальном падении
света?
1061. На трехмерную прямоугольную точечную решетку падает
пучок рентгеновских лучей в направлении одного из ребер паралле-
лепипеда, образующего ячейку решетки. Найти направления на диф-
ракционные максимумы и условия, при которых эти максимумы могут
наблюдаться.
1062. Найти направления на дифракционные максимумы при диф-
ракции на трехмерной кубической решетке с постоянной а при про-
извольном падении рентгеновских лучей.
Какому условию должна удовлетворять длина волны X, чтобы
максимумы наблюдались?
1063. Пользуясь условиями, приведенными в решении предыду-
щей задачи, найти угол 29 между падающим и дифракционными
лучами для кубической решетки.
1064. Показать, что у кристалла кубической структуры расстоя-
ние между плоскостями с индексами hkl равно
КЛ3 + k- ф- Za ’
§ 18] КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ 157
Указание. Следствием результатов, получаемых в задачах 1062
и 1063, является условие Вульфа — Брегга, так как а =
У
= -^-, где п — делитель пь и д3.
1065. Возможна ли дифракция рентгеновских лучей на оптиче-
ской дифракционной решетке с постоянной в 1 микрон и, если воз-
можна, то при каких условиях?
1066. Образец, состоящий из мелких кристалликов, поставлен на
пути монохроматических рентгеновских лучей (метод Дебая — Ше-
рера). Какая дифракционная кар-
тина будет наблюдаться на экране, -----
перпендикулярном к падающему
пучку? Как связано расстояние z \
места максимальной интенсивности \ "к/
на экране от центрального пятна ""'Хх/
с расстоянием R от образца до
экрана (рис. 59)?
1067. Сколько атомов прихо- Рис- ^9.
дится на элементарную ячейку в
кристаллах с простой кубической, кубической пространственно-цент-
рированной и кубической гранецентрированной ячейками?
1068. Определить постоянную решетки железа (пространственно-
центрированный куб) и NaCl (для упрощения рассматривать как
простую кубическую решетку, т. е. различия между атомами Na
и С1 не учитывать), если плотность pNaCi ~ 2,164 г • см3 и
PFea = 7,86 г-слГл.
1069. Найти длину волны линии La для W, если при падении ее на
кристалл NaCl под углом 31°32' к отражающей плоскости (001)
наблюдается спектр четвертого порядка.
1070. Определить постоянную решетки сильвина (KCI), если Кл-линия
железа отражается от грани (001) под углом 18°3' во втором порядке.
1071. Найти материал антикатода, если наименьший угол сколь-
жения излучения, падающего на плоскость (001) кристалла NaCl,
при котором наблюдается максимум, равен 17°. Напряжение на
трубке достаточно велико, чтобы возбудилась /С-серия элемента.
Учитывать лишь /<а-линии.
§ 18. Квантовая природа света. Волновые свойства частиц
1072. Найти массу фотона видимого света (К = 5000 А).
1073. Какую длину волны должен иметь фотон, чтобы его масса
была равна массе покоя электрона?
158 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. III
1074. Найти импульс фотона видимого света (к = 5000 А). Срав-
нить его с импульсом молекулы водорода при комнатной темпера-
туре. Масса молекулы водорода М = 2,35 • 10-24 г.
1075. При какой длине волны импульс фотона равен импульсу моле-
кулы водорода при комнатной температуре? (См. предыдущую задачу.)
1076. Сравнить энергию фотона (Х = 5000А) с кинетической
энергией поступательного движения молекулы водорода при комнат-
ной температуре.
1077. Средняя длина волны излучения лампочки накаливания с
металлической спиралью равна 12 000 А. Найти число фотонов, испу-
скаемых 200-ваттной лампочкой в единицу времени.
1078. Выразить энергию Е светового кванта через его импульс
и массу.
1079. Показать, что свободный электрон не может излучать све-
товые кванты, так как если предположить, что электрон излучает
световой квант, то не будут выполняться одновременно закон сохра-
нения импульса и закон сохранения энергии.
1080. Исходя из представления о квантах, вывести формулу для
эффекта Доплера в предположении, что источник света движется с
нерелятивистской скоростью.
1081. То же, но для источника, движущегося с релятивистской
скоростью.
1082. В предыдущей задаче выяснить характер зависимости
частоты v от угла 0 при [3 —► 1. Оценить угол 0, начиная с кото-
рого излучаемая частота мала по сравнению с частотой, излучаемой
под углом 0 = 0.
1083. Влияние среды на распространение света может быть уч-
тено введением показателя преломления п. Для описания квантовых
свойств света в среде также .можно, не вдаваясь в механизм явле-
ний, ввести понятие о квантах света в среде. Для того чтобы
обеспечить согласие с опытом, нужно положить, что импульс кванта
Avn „ , , Av „ .
/?= —, а энергия кванта Е = п^ (вместо Р—~ и E==h'> в ва-
кууме). Используя эти соотношения, вывести выражение для эффекта
Доплера при движении источника в среде с нерелятивистскими ско-
ростями.
1084. То же, но для источников, движущихся с релятивистскими
скоростями. Исследовать особо случай, когда скорость источника
превосходит фазовую скорость испускаемого света в среде.
1085. В предыдущей задаче исследовать характер зависимости
частоты излучаемого света от угла 0 при 0 -> 1 для двух случаем
а) п^> 1, б) п 1.
§18] КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ 159
1086. Используя результат решения задачи 1084, найти условие
возникновения излучения Вавилова — Черенкова (см. задачу 238),
а также связь между направлением этого излучения и его ча-
стотой V.
1087. Электрон движется в диспергирующей среде с непрерывно
возрастающей скоростью. На какой частоте начнется излучение
Вавилова — Черенкова? Поглощение не учитывать.
1088. Электрон движется в среде без дисперсии с непрерывно
возрастающей скоростью. На какой частоте начнется излучение
Вавилова — Черенкова?
1089. Частица движется в среде параллельно оси узкого цилин-
дрического канала. При каких поперечных размерах канала интен-
сивность излучения в эффектах Вавилова — Черенкова и Доплера
будут того же порядка, что и при движении в сплошной среде?
1090. Атом движется по оси узкого канала в недиспергирующей
среде со сверхсветовой скоростью. Вначале он находится на основ-
ном энергетическом уровне. На каком энергетическом уровне будет
находиться атом при прохождении очень большого пути?
1091. Определить изменение длины волны при эффекте Комптона,
если наблюдение ведется перпендикулярно к направлению первичного
пучка излучения.
1092. Определить угол между направлением движения электрона
отдачи и направлением первичного кванта, если квант рассеялся под
прямым углом ^<р = у^.
1093. Какую энергию приобретет электрон отдачи в условиях
предыдущей задачи?
1094. Определить максимальное изменение длины волны при рас-
сеянии света на протонах.
1095. Каково изменение длины волны света, излучаемого атомом
водорода вследствие отдачи, испытываемой ядром (протоном) со сто-
роны вылетающего кванта света?
1096. По классической электромагнитной теории света поток
световой энергии от источника непрерывно распространяется во все
стороны. Через какой промежуток времени, согласно этой теории,
отдельный атом танталового катода может накопить столько энергии,
чтобы стал возможен вылет фотоэлектрона, если катод находится на
расстоянии 10 м от 25-ваттной лампочки? Работа выхода электрона
Для тантала составляет около 4 эв. Считать, что фотоэлектрону пере-
дается вся энергия, накапливающаяся в атоме тантала, диаметр кото-
рого можно считать равным около 3 А.
160 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. [II
1097. Предполагая, что электромагнитная энергия распростра-
няется не в виде квантов, а так, как принималось в классической
теории, найти время, потребное для того, чтобы атом меди накопил
энергию, нужную для вылета фотоэлектрона /С-оболочки под влия-
нием жестких рентгеновских лучей. Считать, что атом поглощает
всю падающую на него энергию. Сечение атома а==10~18 см1. Поток
рентгеновских лучей S = 2 • 103 эрг>см~*-сек~х (значение S соответ-
ствует рентгеновскому излучению, получаемому от современных рент-
геновских трубок). /С-серия Си возбуждается электронами с энергией
не меньше 8,86 кэв.
1098. Световые кванты обладают не только инертной, но и «тя-
желой» массой. Отсюда следует, что при наблюдении на Земле
спектральные линии, излучаемые тяжелыми телами (звездами), должны
быть смещены в красную сторону. Найти величину красного смещения.
1099. Вычислить красное смещение D-линий Na, испускаемых на
Солнце. Масса Солнца М— 1,99 1033 г, его радиус R = 696000 км.
1100. Найти отклонение светового луча при его прохождении
вблизи Солнца, пользуясь классической нерелятивистской теорией.
Указание. См. две предыдущие задачи.
1101. В теории жидкости и твердого тела вводится понятие о
квантах звука (фононах), являющихся аналогами фотонов. Пользуясь
такой аналогией, выразить энергию Е и импульс р фонона через
частоту v3B и скорость распространения *u3B звуковых волн.
1102. Получить формулу для тонкой структуры линий рэлеев-
ского рассеяния, исходя из представлений о фотонах и фононах.
(См. задачу 619.)
1103. Найти длину волны де-Б.ройля, соответствующую электро-
нам с энергией в 1,104 и 108 эв. Поправок, связанных с теорией
относительности, не учитывать.
1104. Найти длину волны де-Бройля для электронов с энергиями
10s, 1010 и 1016 эв, учитывая зависимость массы электрона от скорости.
1105. Найти длины волн де-Бройля и Х2 атомов водорода
и ртути с энергиями в 1 и 106 эв, а также длины волн Х3 для этих
атомов, движущихся со средней тепловой скоростью при 0°.
1106. Найти выражение для показателя преломления электрон-
ных волн через работу выхода t/0 = eV0 (1/0 — внутренний потен-
циал кристалла).
1107. Показать, что при преломлении электронной волны соблю-
sin ч>
дается закон преломления ~sin = р-.
Указание. При проникновении в кристалл меняется лишь нор*
мальная компонента скорости электрона.
§ 18] КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ
161
1108. Как нужно изменить формулу Вульфа—Брегга, если учесть
преломление волн на поверхности кристалла? Считать, что отражающая
плоскость параллельна поверхности кристалла.
1109. Определить внутренний потенциал серебра, если для элек-
тронных волн (V=100 в) при отражении от грани (001) в четвер-
том порядке ft = 28°. Постоянная решетки для серебра а = 4,0776 А.
1110. Как изменятся условия Лауэ для дифракции электронных
волн на пространственной решетке при учете преломления? Огра-
ничиться рассмотрением кристалла кубической структуры и считать,
что плоскость (001) параллельна поверхности кристалла.
1111. Исходя из требования, чтобы групповая скорость волн
де-Бройля равнялась скорости движения частицы, и пользуясь фор-
мулой Рэлея, связывающей фазовую и групповую скорости, опреде-
лить фазовую скорость w этих волн, а также найти связь между
энергией частицы Е и частотой м.
1112. Найти изменение импульса электрона, вносимое измерением
его координаты с помощью микроскопа (апертура равна а) (рис. 60).
1113. Найти связь между Д/?х (см. предыдущую задачу) и ошиб-
кой в определении координаты электрона с помощью микроскопа.
1114. Учитывая волновые свойства электрона, найти связь между
ошибками. Д/?х и Дх
Рис. 60.
при измерении его импульса и координаты,
если Дх определяется шириной щели
d, через которую пропускается электрон-
ный пучок (рис. 61).
1115. Положение центра шарика с мас-
сой в 1 г и положение электрона известно
с точностью до 0,01 см. Найти наименьшую ошибку, с кото-
рой при этом можно определить скорость шарика и скорость
электрона.
1116. Оценить ошибку в измерении скорости электрона атома
водорода.
162 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. III
1117. Представлениями о плазме (см. задачу 549) можно в из-
вестных пределах пользоваться в применении к твердому телу.
Какова плазменная частота v в металлах с одним свободным элек-
троном на атом? Чего нужно ожидать с квантовой точки зрения
в отношении возможных значений энергии плазменных волн? Каковы
по величине частота v и потери энергии Е на возбуждение плаз-
менной волны в меди (атомный вес 4 = 63,57, плотность р = 8,9 г-слГ3).
§ 19. Экспериментальные методы ядерной физики
и физика ядра
1118. Какое количество воды достаточно для насыщения парами
10-литрового объема камеры Вильсона при температуре 23°? (См.
табл. I в конце книги.)
1119. Определить температуру в камере Вильсона непосред-
ственно после ее быстрого расширения. Камера наполнена смесью
воздух—водяной пар, для которой у = ^£-= 1,4. Температура стенок
к
камеры — 20 , коэффициент расширения k = — =1,25 (V,— на-
чальный, V2 — конечный объем камеры).
1120. Пересыщением S в камере Вильсона называют отношение
плотности пара pi непосредственно после расширения (но до кон-
денсации) к плотности насыщенного пара р2 при температуре Т2
также непосредственно после расширения. Найти выражение для пе-
ресыщения в функции от парциальных давлений и р% пара до
и после расширения, коэффициента расширения k — ~- и отношения
с„
удельных теплоемкостей у = смеси.
cv
1121. Если уг и уп— отношения удельных теплоемкостей
газа и пара в камере Вильсона, то коэффициент у смеси может
быть определен по формуле Рихарца
J = 1 Рг । 1 Рп
7—1 7г — 1 Р 7п — 1 Р ’
где рг и ри — парциальные давления газа и пара, а /? =/?г/?п.
Камера Вильсона работает на смеси воздуха с водяным паром. Найти
ее пересыщение для 1) p = 2Q см рт. ст., 2) р ~ 1140 см рт. ст.
Начальная температура камеры 25°; коэффициент расширения Л =
= 1,2; Твозд—1’4; Тн2о=1>3. Найти пересыщение при тех же дав-
лениях, когда вместо водяного пара используется спирт.
1122. Когда коэффициент расширения (в системе пар — воздух)
превосходит 1,37, то даже при отсутствии ионизирующего источ-
ника во всей камере Вильсона появляется густой туман, который
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 163
затем оседает. Определить, какое пересыщение соответствует такому
расширению, если начальная температура ^ = 20°, а -[=1,374.
1123. Для случая жидко-водородной пузырьковой камеры опре-
делить радиус пузырька, находящегося в состоянии неустойчивого
равновесия (так называемый критический радиус 7?кр), если поверх-
ностное натяжение жидкого водорода о = 0,97 дн.'СМ~\ давление
жидкости рж == 1 кГ-см~\ давление насыщенных паров жидкого во-
дорода при температуре камеры (27° К) />п = 6 кГ-см~'\
1124. По современным представлениям причиной образования
пузырьков вдоль следа заряженной частицы в пузырьковой камере
являются 5-электроны с энергией, достаточной для образования пузырька
критического размера, но не настолько большой, чтобы их пробег пре-
восходил размер этого пузырька. Определить минимальную энергию
8-электрона, способного образовать пузырек критического размера
в пропановой пузырьковой камере при температуре Т = 328° К и
давлении /?ж = 5 кГ-см^. Поверхностное натяжение пропана о =
= 4,46 дн-см~\ соответствующее давление насыщенных паров рл =
= 15 кГ'СМ~\молярная теплота испарения пропана ^=3,9 ккал>моль~1.
Работой расширения пузырька пренебречь.
1125. Из-за соударения а-частиц с ядрами атомов в конце пря-
молинейных трэков иногда заметны резкие изломы. Обычно на
100 следов а-частиц один след имеет излом. Вдоль трэка а-частицы
образуется 3-10в капелек тумана, из которых около одной трети
возникает при первичной передаче энергии электрону атома. Опре-
делить вероятность соударения а-частицы с ядром.
1126. По сравнению с а-частицей (см. задачу 1125) ^-частицы
образуют в камере Вильсона значительно более тонкие следы (около
50 ионов на 1 см длины). Следы ^-частиц имеют прерывистый ха-
рактер. Следы медленных ^-частиц чрезвычайно извилисты. На фото-
графии I1) определить следы а-частиц, а также быстрых и медлен-
ных ^-частиц.
1127. На вклейке II приведена фотография, полученная в камере
Вильсона, находящейся в магнитном поле. Свинцовая фольга под-
вергалась просвечиванию -[-лучами с энергией 17 Мэв. Определить
частицы, наблюдаемые в камере, и направление полета -[-квантов.
1128. На вклейках III — IV приведены две фотографии камеры
Вильсона, наполненной гелием и работающей в пучке •[-излучения
синхротрона с энергией не более 150 Мэв. Определить, следы каких
частиц зарегистрированы на этих фотографиях.
1129. На вклейке V изображена фотография, полученная в ка-
мере Вильсона в магнитном поле в 18 000 эрстед. Трэки, указанные
*) Фотографии 1 — XI даны в конце книги на вклейках.
164 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. Ш
стрелкой, вызваны электронами. Какой частице принадлежит цен-
тральный след.
ИЗО. С помощью камеры Вильсона производится попытка обна-
ружения двойного ^-распада в Са48. С этой целью достаточно тонкий
образец кальция весом 5 Г, обогащенный до 85% изотопом Са48,
помещается в камеру таким образом, что случаи, происходящие во
время фотографирования, длящегося 0,15 сел:, могут быть зарегистри-
з
рованы. Геометрическая эффективность установки составляет
Определить, какое количество фотографий необходимо получить, чтобы
убедиться, что период полураспада этого процесса превышает 101э лет.
1131. С помощью пропановой пузырьковой камеры, помещенной
в* пучок тормозного излучения бетатрона, исследовался процесс фото-
расщепления углерода на три а-частицы. Определить сечение этого
процесса а, если пучок у-лучей проходит вдоль диаметра камеры
/) = 20сж, поперечное сечение пучка в камере S=3 мм\ плотность
пропана (С3Н8) р = 0,33 г-см~\ число эффективных квантов в импульсе
ускорения3-104, количество рассмотренных фотографий /Г =9300,
число зарегистрированных случаев фоторасщепления п= 1000.
1132. Определить энергию электрона Е, если радиус кривизны
р его следа в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле Н==
= 10 000 эрстед, составляет 2 м.
1133. Определить кинетическую и полную энергии протона по
кривизне его следа в камере Вильсона, помещенной в магнитное
поле //= 10 000 эрстед, если измеренная длина стрелы сегмента
А = 2,5 мм при хорде а = 20 см.
1134. Если масса исследуемой однозарядной частицы значительно
превышает массу электрона, а ее энергия не очень велика (меньше
1012 эв для протона и меньше 1О10 эв для мезона), то потери на
( dE\
ионизацию------г— не зависят от массы и являются лишь функ-
\ dx у ион
( dE\ х / В \ „ .
цией скорости частицы: ---— ~t\ ----!—гг . Значения функ-
r \ dx /иои J ( (1 _ ^2)1/2)
ции f приведены в конце книги (табл. II).
При измерении следа мезона в камере Вильсона в магнитном
поле оказалось, что Иг = 0,6-10е эрстед-см, где Н—магнитное
поле, а г — радиус кривизны трэка мезона. В 1 см воздуха мезон
создает 780 пар ионов. Определить массу мезона, если на создание
пары ионов необходима энергия 32 эв.
Определить массу мезонов также для следующих данных:
в IO8 эв на j см возд> q 12>5. 2) 7,5; з) 15,0; 4) 25
Н-r эрстед-см..................1) 1,1; 2) 1,47; 3) 0,96; 4) 0,55.
Указание. Задачу решать графически с помощью табл. II.
§ 191
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
165
1135. Пробег частицы
/ З8 \
\(1 — 32)1/8/
dE
М / 3
т — З’)1/’,
где М — масса исследуемой частицы, а т — масса электрона (см.
задачу 1134). Табл. IIIфункции ^-приведена в конце книги. Измеряя
пробег 7? и кривизну трэка г в камере Вильсона, определить массу
исследуемой частицы для следующих данных:
Яг-104 эрстед-см..............1) 5,5; 2) 5,5; 3) 3,87; 4) 1,74
R см воздуха.................1) 18; 2) 4; 3) 6,5; 4) 770.
Указание. Задачу решить графически с помощью табл. III.
1136. Для измерения массы частицы камера Вильсона перегора-
живалась свинцовой пластиной. Измерялась кривизна трэка в магнит-
ном поле до и после прохождения свинцовой пластины. Вычислялась
величина -——— =—-—где индексы 1 и 2 относятся к
Ил
произведениям (НГ), полученным до и после прохождения пластины.
Результаты сведены в следующую таблицу:
(Яг) средн.-10s эрстед-см .... 1) 2,20; 2) 3,27; 3) 6,15
• 10s эрстед...............1)2,67; 2) 0,67; 3) 0,522.
„ А \Т Й(Яг) 3/ z
С помощью табл. V для функции —=е (см> задачУ Н34)
найти значение массы исследуемой частицы.
1137. Ионизующие частицы, проходя через фотоэмульсию, воз-
действуют на кристаллы бромистого серебра таким образом, что
после проявления они образуют ряд черных зерен галлоидного се-
ребра, расположенных вдоль следа частицы. Плотность зерен зависит
от типа эмульсии, способа проявления и возрастает с увеличением
удельных потерь энергии ионизующей частицы. При скоростях v с
приближенно
dE ~
dx tnv3 ’
где Ze — заряд частицы, v — ее скорость, Я — число атомов в 1 см\
т — масса электрона.
а) Как определить направление движения частицы по ее следу
в эмульсии?
б) Как относятся удельные потери энергии для протонов, дейто-
нов и а-частиц при равных скоростях и соответственно при равных
энергиях частиц?
в) Протоны, дейтоны и а-частицы имеют в эмульсии одинаковый
пробег 100 микрон. Как относятся их удельные потери энергии в на-
чале пробега? (Использовать табл. IV.)
166 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. III
1138. Зависимость пробега заряженной частицы в веществе от ее
скорости имеет следующий вид:
где М — масса частицы, Z — ее заряд, выраженный в элементарных
зарядах, v— скорость частицы, т — масса электрона, g(v)— функ-
ция, не зависящая ни от заряда, ни от массы (см. задачу 1135 и
табл. IV).
а) Следы протонов, дейтонов и тритонов в эмульсии имеют на
равных участках следа одинаковое число зерен. Как относятся между
собой остаточные пробеги и энергии этих частиц?
б) Известно соотношение пробег — энергия для протонов
(табл. IV). Найти соотношение пробег — энергия для тритонов в
том же веществе.
в) Для протонов известна зависимость числа зерен /V (на уча-
стке т) от пробега R и Е = f(R). Как определить энергию дейтонов
и тритонов, следы которых не оканчиваются в эмульсии?
1139. Заряженная частица, проходя через вещество, испытывает
многократное рассеяние. Среднее значение проекции (на плоскость
фотопластинки) угла многократного рассеяния на участке т: ф ==*
KZ /Г
= —~—, где К—константа рассеяния, определяемая обычно экс-
периментально, Z — заряд частицы (выраженный в элементарных за-
рядах), р и v — импульс и скорость частицы. Измеряя Ф для извест-
ной частицы, можно определить ее энергию. Если известна энергия
частицы, то, зная Ф, можно определить ее массу.
В фотографических эмульсиях зарегистрировано несколько следов
неизвестных частиц. Как определить отношение масс этих частиц,
если их следы оканчиваются в эмульсии? (Использовать метод рас-
сеяния и метод счета зерен.)
1140. По каким признакам можно различить следы медленных
it~ и мезонов, оканчивающихся в эмульсии?
1141. В состав ядерных эмульсий входят легкие элементы Н, С,
N, О и тяжелые Ag, Вг (^О,6°/0 составляют S и I). При исследо-
вании взаимодействия частиц с указанными ядрами фотоэмульсии
могут быть использованы в качестве мишеней, являясь одновременно
детекторами заряженных продуктов реакции.
На фотографии VII показаны случаи расщепления легкого ядра
•(-квантом на три одинаковые частицы. Определить, на каком ядре
и какая произошла реакция.
В аналогичной звезде два следа 1 и 2 останавливаются в эмуль-
сии, их пробеги Rx = Rt= 15,3 микрона, угол между ними а = 75°.
След 3 выходит из эмульсии.
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 167
а) Определить энергию третьей частицы и энергию 7-кванта, вызвав-
шего расщепление. Импульсом у-кванта пренебречь, считая, что все
три следа компланарны.
б) Предполагаем, что реакция идет в две стадии: сначала испу-
скается частица 3 и образуется промежуточное ядро, затем проме-
жуточное ядро распадается на частицы 1 и 2. Какое промежуточное
ядро образуется и какова должна быть его энергия возбуждения?
1142. На микрофотографии VIII показана трехлучевая звезда,
образованная в результате взаимодействия у-кванта с дейтерием,
которым были наполнены фотографические эмульсии. Энергия у-кван-
тов не может быть больше 250 Мэв. Как видно из фотографии,
частица 1 в конце пробега (в точке К) образовала звезду, частица 2
испытала в точке S упругое рассеяние.
а) Определить, какой реакции соответствует указанная звезда.
б) На каком ядре произошло рассеяние частицы 2, если из изме-
рений известно, что угол между следами после рассеяния состав-
ляет 90°? (Какой угол должен был бы наблюдаться между следами
в случае, если бы рассеяние частицы 2 произошло на дейтерии и
при этом пробег дейтерия после рассеяния оказался вдвое больше
пробега частицы 2?)
1143. В звезде (фотография IX), зарегистрированной в электронно-
чувствительных пластинках, наблюдается плотный след, принадлежа-
щий Li8 и оканчивающийся двумя а-частицами, разлетающимися в про-
тивоположные стороны («молоточковый след»). В конце пробега Li8
наблюдается также след электрона.
а) Какой процесс произошел в конце пробега ядра Li8? Какое дру-
гое ядро могло бы дать в Эмульсии аналогичный след?
б) Определить максимальную энергию электрона, если Eai — Ел* —
= 1,5 Мэв.
1144. В фотографических эмульсиях, не чувствительных к элек-
тронам, исследовалось поглощение медленных тс'-мезонов на ядрах Be9,
введенных в эмульсию. На фотографии X приведен один из случаев
поглощения тс~-мезона бериллием, сопровождающегося ядерным рас-
щеплением. В конце следа мезона наблюдается только «молоточковый
след» (см. задачу 1143). Какая произошла реакция? Определить энер-
гию продуктов расщепления.
1145. Фотоэмульсии нередко используются в качестве детектора
нейтронов. Последние могут быть зарегистрированы по протонам от-
дачи или по характерным реакциям, происходящим при взаимодей-
ствии нейтронов с элементами, специально введенными в эмульсию.
а) В случае медленных нейтронов можно использовать реакцию на яд-
рах В10 и Lie, введенных в эмульсию. Ожидаются следующие реакции:
Li^-f-n^He^ + HJ; В‘° 4- nl Li£ + Не*.
168 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. П1
Определить суммарную длину следов а-частицы и тритона в первой
реакции и энергии а-,частицы и ядра Li7 — во второй. (Рассмотреть
случай, когда ядро Li7 образуется в первом возбужденном состоянии
с энергией возбуждения 0,5 Мэв.)
б) Быстрые нейтроны детектируются обычно по протонам отдачи.
Какие характеристики рассеяния надо измерять, чтобы определить
энергию нейтрона? (Направление потока нейтронов в эксперименте
обычно известно.)
1146. На фотографии XI показана микропроекция звезды, зареги-
стрированной в стопке электронночувствительных эмульсий. Звезда
вызвана космической частицей Р. В ядерном расщеплении возникает
Л”-мезон, который в конце пробега распадается на три "-мезона. Два
u-мезона и тс3 дают в конце пробега р.-е-распад. Один мезон
пройдя в эмульсии 14 130 микрон, поглощается ядром и дает звезду.
По пробегам (/?«s = 6050 ± 250 микрон и РКз = 10 700 zt 200 микрон)
были определены энергии мезонов и кз; = 17,06 ± 0,85 Мэв,
Еця = 23,61 zb 0,84 Мэв. Энергия получена методом рассеяния:
EWt = 30,8 zt 6 Мэв. Определить заряд и массу АГ-мезона.
1147. На уровне моря плотность потока мезонов космических
лучей составляет 1 мезон • см~1 • мин~\ причем каждый мезон на
1 см пути в воздухе при нормальном атмосферном давлении создает"
85 пар ионов. Вычислить ток, создаваемый мезонами в цилиндриче-
ской ионизационной камере с радиусом 20 см и высотой 30 см, на-
полненной воздухом при давлении 5 атм. Камера расположена вер-
тикально. Считать, что ионизация создается только мезонами, падаю-
щими на камеру вертикально.
1148. Определить число космических частиц, прошедших через
ионизационную камеру диаметром 8 см, если изменение потенциала со-
бирающего электрода составило 0,2 в. Камера наполнена воздухом при
давлении 1 атм. Емкость системы собирающего электрода равна 10 пф.
В среднем на 1 см пути в воздухе одна космическая частица создает 60
пар ионов. Частицы падают перпендикулярно к оси камеры.
1149. Определить средний путь электронов в рабочем объеме
камеры (так называемую сэффективную» глубину камеры), если угло-
вое распределение электронов, попадающих в камеру, изотропно.
Геометрическая глубина камеры равна d.
1150. Небольшая газовая полость в толще вещества не искажает
углового и энергетического распределения вторичных электронов,
образуемых в веществе ^-излучением. Ионизация /г, создаваемая этими
вторичными электронами в 1 см9 газовой полости, связана с иониза-
цией /н. создаваемой в 1 см9 вещества, соотношением /г = ~, где р —
отношение тормозных способностей вещества и газа. Определить число
пар ионов, создаваемых в одну секунду в рабочем объеме иониза-
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 169
ционной камеры глубиной I см и площадью 25 см*, если в камеру
падает излучение радиоактивного источника Со60 интенсивностью
1,5 кюри, расположенного на расстоянии 1 м от камеры. Стенки
камеры изготовлены из алюминия, причем толщина их больше про-
бега наиболее энергичных вторичных электронов. Коэффициент погло-
щения у-излучения в алюминии равен 0,195 см'1. Средняя энергия
•у-излучения равна 1,7 Мэв; энергия образования одной пары ионов
в газе камеры — 33,5 эв.
Указание. Если пробеги вторичных электронов меньше тол-
щины передней стенки камеры, то энергии, теряемые в единице объема
^-излучением и вторичными электронами, равны между собой. Отно-
шение 0,88 > где п — число электронов в 1 смл. Камера
наполнена воздухом.
1151. При работе с ионизационными камерами на электронных
ускорителях следует учитывать, что рекомбинация ионов в камере
в этом случае будет определяться не средней интенсивностью, а ин-
тенсивностью в импульсе, длительность которого обычно бывает по-
рядка 10'8 сек. Степень достижения режима насыщения в плоскопа-
раллельной ионизационной камере в этом случае определяется урав-
/ 1 . । ч 2,09 • 10W2r
нением — = — In(1 -}-«), где и = -j--. ^IZ- , а — коэффициент ре-
'нас и («1 ~Г «а) V
комбинации ионов, kx и Л2 — подвижности положительных и отрица-
тельных ионов, г — интенсивность в рентгенах ^-излучения в импульсе,
d и V — расстояние и разность потенциалов между электродами ка-
меры. Используя эту формулу, определить, какая максимальная интен-
сивность может быть измерена с помощью ионизационной камеры,
расстояние между электродами которой равно 1 см, а напряженность
поля 3000 в • см'1 при условии, что ионизационный ток должен со-
ставлять не менее 98% от тока насыщения. За секунду через камеры
проходит 25 импульсов ^-излучения. а= 1,6 • 10~б; &!== 1,3 см • сек1;
Л2= 1,8 см • сек'1.
1152. Калориметрические измерения часто используются для опре-
деления интенсивности у-излучения мощных радиоактивных источни-
ков и электронных ускорителей. Предназначенный для этих целей
калориметр представляет собой свинцовый цилиндр, установленный
в эвакуированном сосуде на подставках, обладающих ничтожно малой
теплопроводностью (например, из люсита). Размеры цилиндра должны
быть таковы, чтобы измеряемое излучение поглощалось полностью.
Определить, за какое время температура такого калориметра изме-
нится на 5°, если теплоемкость его равна 22 кал • град'1, а внутрь
цилиндра помещен источник Со60 интенсивностью 2 кюри. При одном
распаде Со60 выделяется энергия 2,6 Мэв.
1153. Препарат полония интенсивностью 0,1 кюри помещен в кало-
риметр теплоемкостью 1 кал • град'1. Найти повышение температуры,
170 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. Щ
происходящее за один час, если известно, что полоний испускает
а-частицы с энергией 5,3 Мэе.
1154. Определить число «эффективных» -(-квантов в одном им-
пульсе синхротрона, если температура свинцового цилиндра калоримет-
ра за 1 час изменилась на 0,016°. Диаметр цилиндра был равен И см,
его длина 20 см, а частота импульсов синхротрона равна 50 сек~г.
Максимальная энёргия спектра "[-квантов 200 Мэе. Плотность свинца
11,4 г- см~\ а его удельная теплоемкость 0,031 кал • г-1 • град~\
Примечание. Числом «эффективных» "[-квантов обычно назы-
вается отношение —, где U — поток энергии в пучке "[-квантов, W —
максимальная энергия их спектра.
1155. Число фотонов, образуемых в сцинтилляционном счетчике
при прохождении через него заряженной частицы, можно определить
ЕС
по формуле р = -рт-, где р — число фотонов, Е — энергия, теряемая
частицей в кристалле, Ер— средняя энергия спектра испускаемых
фотонов, а С — эффективность счетчика. Для антрацена С =0,04, а
средняя длина волны спектра излучения 4450 А. Определить энергию,
идущую на образование одного фотона.
1156. Определить число фотонов в световом импульсе, создаваемом
в кристалле фосфора Nal(Tl) релятивистским протоном, если энер-
гия, теряемая протоном в кристалле, равна 2 Мэе, а эффективность
и средняя длина волны спектра излучения равны соответственно 0,084
и 4100 А.
1157. Сцинтилляционные счетчики используются как для регистра-
ции заряженных частиц, так и для регистрации рентгеновских и
'р-лучей. Определить эффективность регистрации сцинтилляционным
счетчиком "[-квантов, если эффективность регистрации заряженных ча-
стиц равна 100% (d— толщина счетчика, р— коэффициент поглоще-
ния •[-квантов.)
1158. Вследствие относительно большой плотности р = 3,67 г-см'А,
а также вследствие относительно большого атомного номера иода
(Z = 53) кристаллы Nal(Tl) особенно удобны для регистрации рентге-
новских и •[-лучей. Какова интенсивность потока •[-квантов Nv если
в кристалле Nal(Tl) толщиной d = 2 см за 1 мин. возникло 240 свето-
вых импульсов? Коэффициент поглощения фотонов в кристалле равен
0,126 см~х.
1159. Импульс света в сцинтилляционном счетчике регистрируется
с помощью фотоумножителя. Определить величину импульса напря-
жения V на выходе фотоумножителя, если при очередном световом
импульсе в кристалле из фотокатода умножителя было выбито п = 500
электронов. Коэффициент умножения фотоумножителя М = <2 • 106, а
емкость анода по отношению к Земле составляет С =10 пф.
§19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 171
1160. Определить амплитуду импульса напряжения на выходе фото-
умножителя при прохождении через антраценовый кристалл быстрых
электронов, если известно, что каждый электрон теряет при этом
2,5 Мэв, а на фотокатод умножителя попадает около 70% от обра-
зовавшихся в кристалле фотонов. Эффективность фотоумножителя
Сф=0,05. Остальные характеристики фотоумножителя и кристалла
даны в задачах 1155 и 1159.
1161. На выходе фотоумножителя регистрируются импульсы с ам-
плитудой 10 в. Определить минимальную энергию протонов, реги-
стрируемых схемой, если эффективность фотоумножителя равна 0,07;
коэффициент умножения М~ 107, емкость анода по отношению
к Земле 8 пф, а в качестве фосфора употребляется стильбен (сред-
няя длина волны спектра излучения X = 4100 А, эффективность С ==
= 0,024). На фотокатод падает около 65% от полного числа фото-
нов, образованных при отдельном световом импульсе.
1162. Через счетчик Гейгера — Мюллера проходит 108 электронов
за один разряд. Вычислить средний ток, проходящий через счетчик,
если происходит 600 разрядов в минуту.
1163. Определить порог V пропорциональной области счетчика,
наполненного аргоном при давлении р =60 мм рт. ст. При дости-
жении порога напряженность электрического поля вблизи нити ста-
новится такой, что электрон на длине свободного пробега приобре-
тает энергию, достаточную для ионизации ударом. Радиус счетчика
rk — 1 см, радиус нити ra — 0,005 см. Средняя длина пробега элек-
трона в аргоне при давлении 1 мм рт. ст. Хо = 6,8- 102 см; потен-
циал ионизации аргона Va= 15,8 в.
1164. Найти амплитуды импульсов напряжения от пропорциональ-
ного счетчика при прохождении через него а) а-частицы с энергией
3,5 Мэв; б) быстрого электрона. Счетчик имеет диаметр d = 2,2 см
и наполнен аргоном при давлении 100 мм рт. ст. Удельная иониза-
ция быстрыми электронами в аргоне — 70 пар ионов на 1 см при
давлении 1 атм. Пробег а-частицы в аргоне—1,9 см. Средняя энер-
гия образования одной пары ионов — 25,4 эв. Коэффициент газового
усиления счетчика А — 104. Емкость нити—15 пф.
Указание. Средний путь, проходимый а-частицами в счетчике,
равен 1,7 см; средний путь, проходимый электроном, определяется по
, , ~d
формуле Z = ^.
1165. Разрешающим временем счетчика называется время, необходи-
мое счетчику для возвращения в рабочее состояние после срабатывания.
Для сцинтилляционного счетчика разрешающее время определяется вре-
менем высвечивания. Пусть — истинное число частиц, проходящих че-
рез счетчик в одну секунду, ап — полученное экспериментально число
срабатываний счетчика в секунду. Найти разрешающее время счетчика
172 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. Ш
1166. При снятии характеристики счетчика Гейгера—Мюллера исполь-
зовались два радиоактивных источника неизвестной интенсивности.
Каждый из источников можно было закрывать экраном. При перемен-
ном закрывании первого и второго источников было зарегистрировано
пх и п2 срабатываний счетчика в секунду. Когда оба экрана были
убраны, счетчик срабатывал п12 раз в секунду. Определить разрешаю-
щее время счетчика, если п1 = 100, п.г= 155, л12 = 248.
1167. Счетчик срабатывает 1000 раз в секунду. Разрешающее
время счетчика равно 2 • 10~4 сек. Найти истинную частоту исследуе-
мого события.
1168. Время высвечивания стильбена равно приблизительно т==
= 7*10-9 сек. Разрешающее время фотоумножителя 1,5 • 10~9 сек.
Определить число импульсов п на выходе фотоумножителя, если плот-
ность электронов, падающих на стильбен, Лг=5 • 107 электрон - сек~1.
1169. Разрешающее время счетчика х4= 3 • 10~в сек, разрешающее
время регистрирующего устройства т2 = 2,5-10~4 сек (т2^>ij!).
Найти число зарегистрированных частиц, если число частиц, падаю-
щих на счетчик, равно Х=5- 103 сек1.
1170. Два одинаковых счетчика соединены по схеме совпадений,
т. е. регистрируются только те случаи, когда одновременно через
оба счетчика проходит ионизующая частица. Пусть разрешающее время
счетчиков равно х, среднее число частиц, прошедшее через первый счет-
чик, равно пь а через второй л2. Определить число случайных совпадений.
1171. В пучок статистически распределенных частиц (например,
в пучок фотонов от мишени электронного ускорителя) помещено два
сцинтилляционных счетчика, включенных в схему совпадений. Опреде-
лить среднюю интенсивность пучка частиц, если число отсчетов схемы
совпадений оказалось равным 2 • 104 импульс • сек~1, а разрешаю-
щее время схемы равно 10~8 сек. Эффективность регистрации частиц
сцинтилляционным счетчиком равна 100%.
1172. В счетчике средних размеров фон от космических лучей
составляет 40 импульсов в 1 мин. Очень слабый радиоактивный
источник дает 5 импульсов в 1 мин. Сколько отсчетов необходимо
произвести на счетчике, чтобы знать интенсивность радиоактивного
источника с точностью до 10%?
1173. Фон счетчика Гейгера — Мюллера — 92 срабатывания в 1 мин.
В присутствии радиоактивного источника счетчик срабатывает 260 раз
в минуту. Как долго необходимо производить измерения, чтобы отно-
сительная ошибка была не более 4%?
1174. Схемы совпадений в последнее время часто используются
для уменьшения влияния фона при счете относительно редких событий.
Пусть число регистрируемых в 1 сек частиц равно 50, а число импуль-
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 1/3
сов фона—10s. Для уменьшения влияния фона на результаты изме-
рений два сцинтилляционных счетчика с разрешающим временем
10~8 сек включены в схему совпадений, причем расположение счет-
чиков таково, что частицы, которые требуется зарегистрировать, про-
ходят через оба счетчика. Частицы, создающие фоновые импульсы,
регистрируются как случайные совпадения. Определить, насколько сокра-
тится время измерений, если ошибка опыта не должна превышать 10%?
1175. Какова наименьшая частота излучения v, способного вызвать
рождение пары позитрон — электрон? Какова энергия е кванта этого
излучения?
1176. а) Какова максимальная кинетическая энергия £тах позитрона
пары, образованной у-квантом с энергией f=150 Мэв? б) Какова
максимальная энергия fmax спектра тормозного излучения электрона
с энергией £ — 80 Мэв?
1177. Какие скорости имеют позитрон, протон и а-частица с энер-
гией 1 Мэв?
1178. Какую скорость V приобретает ядро RaB, получающееся
в результате распада RaA, если энергия а-частиц, излучаемых при
распаде, равна 4,7 Мэв?
1179. Определить энергию, уносимую в час а-частицами, полу-
чающимися при распаде 1 г радия, если скорость а-частиц Ra равна
1,51 -109 ся-сек~1, а время полураспада радия равно 1550 лет. Про-
дукты распада радия не принимать во внимание. (См. указания к
решению задач на стр. 359.)
1180. Препарат радия весом 1 г заключен в оболочку, не прони-
цаемую для а-частиц. Какое количество тепла Q выделится в препа-
рате и оболочке за 1 час?
Указание. Учесть отдачу, получаемую ядром.
1181. Бетатроном называют установку для получения заряженных
частиц большой энергии. Между полюсами электромагнита, ток воз-
буждения которого может изменяться во времени по заданному за-
кону, помещают вакуумную камеру, в которой частица может сво-
бодно двигаться по окружности. Ускорение осуществляется за счет
вихревого электрического поля, возникающего из-за изменения маг-
нитного поля. Показать, что если магнитный поток Ф (R), проходящий
через орбиту частицы в каждый момент времени, в два раза больше,
чем tzR2H (R), где R — радиус орбиты, а Н (R) — магнитное поле на ор-
бите, то радиус орбиты частицы не будет изменяться. Доказать, что
если Ф(7?) % ZkR^H (R), то радиус орбиты частицы будет увеличиваться,
а если Ф (R) % (R), то радиус орбиты частицы будет уменьшаться.
При доказательстве предположить, что магнитное поле зависит лишь
от радиуса R, и что орбиты являются окружностями, центр которых
лежит на оси симметрии.
174
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. III
1182. Доказать, что орбиты заряженных частиц в предыдущей
задаче будут устойчивы в радиальном направлении, если магнитное
поле уменьшается к периферии по закону 1/Rn при п<^1. Доказать
более общее утверждение, что движение в радиальном направлении
R дН , z_r / г>\
будет устойчивым, если — — 1, где п (R)—произвольное маг-
нитное поле с осевой симметрией.
1183. Доказать, что в магнитном поле с осевой симметрией (как
у бетатрона, см. задачу 1181) движение по окружностям с центром,
лежащим на оси симметрии поля, будет устойчивым в вертикальном
направлении (т. е. в направлении оси симметрии поля), если магнит-
ное поле уменьшается к периферии, и будет неустойчивым, если
магнитное поле будет возрастать к периферии.
1184. В бетатроне положение равновесной орбиты /?0, удовле-
творяющей условию Ф (Ro)= (2"R"tiH (R) (см. задачу 1181), соответ-
ствует минимуму вихревого электрического поля Доказать это
свойство и показать, как оно может быть использовано для нахо-
ждения равновесной орбиты в бетатроне.
1185. При движении по кругу электрон излучает электромагнит-
47; е2 / Е \4
ные волны и теряет за один полный оборот энергию -х- -g- —-
о \тос-1
где R — радиус орбиты, а Е— энергия электрона, — собственная
масса электрона. Рассчитать, какую энергию теряет электрон за один
оборот в бетатроне на 100 Мэв в конце процесса ускорения, если
радиус орбиты составляет 80 см. Определить, при какой энергии
потери на излучение за один оборот будут равны энергии, приобре-
таемой за один оборот от вихревого электрического поля, если
dH(t)
—-г— = 2 • 106 эрстед • сек'1 — поле на орбите электрона).
закручиваются магнитным полем и по-
1186. В циклотроне ионы
лучают ускорение в щели между двумя ускоряющими электродами,
называемыми дуантами (рис. 62).
Для резонансного ускорения ча-
стота обращения иона и частота
электрического поля должны со-
впадать. Однако частота обраще-
ния иона не остается постоянной,
так как масса иона растет со-
гласно соотношению Эйнштейна
-т° .Поэтому в цикло-
с2
троне происходит расстройка, и
ионы не могут достигнуть очень большой энергии. Очевидно, наи-
, большей энергии можно достичь, если расстройка, т. е. разность ча-
т
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 175
стоты обращения и частоты ускоряющего поля, будет наименьшая. До-
пустим, что магнит циклотрона создает постоянное поле 15 000 гс и
радиус магнита равен 65 см. В циклотроне предполагают ускорять
протоны. Спрашивается, какую следует выбрать частоту ускоряющего
поля, чтобы расстройка циклотрона в среднем была наименьшая?
1187. Для того чтобы в циклотроне не возникала расстройка (см.
задачу 1186), В. И. Векслер предложил медленно изменять частоту
ускоряющего поля. Такой ускоритель называют фазотроном. По ка-
кому закону и на сколько процентов следует изменять частоту
ускоряющего поля при ускорении дейтонов до энергии 200 Мэв?
Магнитное поле равно 15 000 эрстед. В среднем за оборот дейтон при-
обретает энергию, равную 15 000 эв.
1188. Для того чтобы в ускорителе типа циклотрона не возникала
расстройка (см. задачу 1186), можно изменять магнитное поле во
времени. Тогда частота обращения частицы будет оставаться постоян-
ной. Такой ускоритель получил название синхротрона. Изобретателем
синхротрона является также В. И. Векслер. Найти изменение радиуса
в синхротроне в магнитном поле, однородном в пространстве и из-
меняющемся по закону: Н(t) = //0 sin Частота электрического
ускоряющего поля равна <о0, а собственная энергия ускоряемой ча-
стицы Eq.
1189. В синхротроне на 72 Мэв магнитное поле изменяется по
синусоидальному закону с частотой 50 гц. Амплитуда магнитного
поля равна 8000 эрстед. До 2 Мэв электроны ускоряются в бетатронном
режиме на орбите радиуса 29,4 см. Затем включается ускоряющее элек-
трическое поле с частотой w0=108 сект1. Центральный сердечник,
обеспечивающий вначале ускорение в бетатронном режиме, насыщается,
и ускорение происходит за счет электрического поля ускоряющих
промежутков, т. е. в синхротронном режиме. Найти: 1) изменение ра-
диуса орбиты во время синхротронного режима; 2) момент времени,
соответствующий переходу от бетатронного режима к синхротрон-
ному; 3) длину траектории электрона в бетатронном и синхротрон-
ном режимах, если в бетатронном режиме частицы начинают уско-
ряться, имея начальную энергию 13 600 эв.
1190. В физических исследованиях на ускорителях иногда при-
меняется метод совпадений (см. задачу 1170). В отличие от задачи 1170
в бетатроне или фазотроне выход пучка происходит короткими им-
пульсами, причем частота этих импульсов в случае бетатрона и син-
хротрона равна частоте магнитного поля ускорителя, а в фазотроне —
числу циклов модуляции высокой частоты.
Определить число случайных совпадений в секунду для двух
счетчиков, помещенных вблизи бетатрона, работающего при частоте
питания магнитного поля f гц. Разрешающее время схемы совпаде-
ний равно т сек, число импульсов в секунду в каждом счетчике
176 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. UI
и %, длительность импульса пучка -[-лучей — t сек. Разрешающее
время Т самого счетчика значительно больше т и длительности им-
пульса -[-лучей. Рассмотреть следующие случаи: 1) t = 2) t^>2x;
3) i<2c.
1191. Если в ускорителе типа циклотрона одновременно изменяется
и частота ускоряющего электрического поля и магнитное поле, то
такой ускоритель называют синхрофазотроном. Найти такую связь
между магнитным полем Hit) и циклической частотой электрического
поля о)0(0, чтобы ускорение происходило на орбите постоянного ра-
диуса /?=/?<)•
1192. Определить, сколько энергии приобретает протон в сред-
нем за один оборот в синхрофазотроне. Радиус орбиты равен 4,5 м.
Магнитное поле возрастает пропорционально времени до 15 000 эрстед
за 1 сек. При расчете можно не учитывать влияния вихревого элек-
трического поля. Определить максимальную энергию, которая будет
достигнута в этом ускорителе, и длину пути, пройденного протоном,
если начальная энергия равна 4 Мэв.
1193. Определить закон изменения частоты в синхрофазотроне
(см. задачу 1191) Объединенного института ядерных исследований
на 10 000 Мэв. Траектория протона состоит из четырех дуг с ра-
диусом 28 ж и длиной 44 м каждая, соединенных 8-метровыми пря-
молинейными промежутками. Начальная энергия протонов 9 Мэв.
Магнитное поле возрастает во времени по линейному закону от 0
до 13 000 эрстед за 3,3 сек и спадает с ростом радиуса орбиты
_ 2
по закону^/? 3 . Найти также: а) значение магнитного поля в на-
чале процесса ускорения, б) изменение траектории, если частота
ускоряющего поля отклоняется на 0,2% от установленного закона
(в начале процесса ускорения).
1194. Релятивистская час1ица с массой т, движущаяся в одно-
родном магнитном поле, излучает электромагнитные волны, в резуль-
тате чего теряет в единицу времени энергию (при Е тс1):
dF 9с / V2 / F \2 .. / F \2
— Н~. А- = о,98.10-3И* -%- эв!сек,
dt 3 \тс2 j 1\тс2/ 1.\тса/ 1 ’
где Н^— напряженность магнитного поля, перпендикулярного к тра-
ектории частицы, а Е — полная энергия частицы. Найти потери энер-
гии на излучение в конце процесса ускорения в синхрофазотроне,
описанном в предыдущей задаче.
1195. Линейный ускоритель частиц устроен следующим образом.
Пучок ионов проходит внутри трубок разной длины, расположенных
на одной линии. Ускорение происходит в промежутке между труб-
ками (рис. 63). Трубки присоединены к противоположным клеммам
генератора попеременно, так как в каждый данный момент времени
§ 19]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
177
разность потенциалов в четных промежутках равна l/0 cos Qt, а в не-
четных — % cos Qt Предполагая, что ионы впускаются в ускоритель
с начальной энергией Жнач и что промежутки между трубками со-
ставляют 25% от длины трубок, вычислить необходимую длину
трубок в линейном ускорителе. Рассмотреть линейный ускоритель
для протонов на 40 Мэв: И7нач = 4 Мэв, 2= 12,56-108 сек~1. Про-
тон за одно прохождение ускоряющего промежутка получает 1 Мэв.
1196. В современных линейных ускорителях (см. задачу 1195)
трубки не присоединяются к клеммам генератора. Вместо этого их
помещают в резонатор, в котором возбуждается синфазное электри-
ческое поле, направленное вдоль трубки. Как в этом случае должна
быть изменена длина трубок по сравнению с трубками в паром типе
линейного ускорителя, рассмотренного в задаче 1195.
1197. Среди новых типов современных линейных ускорителей
наибольшее распространение получил линейный ускоритель с бегущей
волной. Представим себе электромагнитную волну, распространяю-
щуюся вдоль оси Z и имеющую
аксиальную составляющую элек-
трического поля Ег. Пусть вдоль
этой же оси движется заряженная
частица. Если скорость частицы
сильно отличается от скорости
волны, то частица при движении
будет попадать в различные фазы
электрического поля Ег, в том
числе и соответствующие замед-
Рис. 64.
лению, так что никакого выигрыша
энергии в среднем не получится. Однако в том случае, когда волна
распространяется с фазовой скоростью, равной или близкой к ско-
рости частицы, то частица может находиться долгое время прибли-
зительно в одинаковой фазе по отношению к полю и ускоряться.
1'78 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. III
Волну необходимого типа можно получить в волноводе (полой труб-
ке), если ввести в него диафрагмы с отверстиями на оси (рис. 64).
В зависимости от расстояний между диафрагмами будет меняться
фазовая скорость волны.
Найти зависимость фазовой скорости волны от расстояния от
входного отверстия ускорителя. Во сколько раз должна измениться
фазовая скорость волны для резонансного ускорения протонов и
электронов от 4 Мэв до 1000 Мэв?
1198. На основании общей теоремы электростатики о невозмож-
ности устойчивого равновесия электростатических систем доказать
отсутствие устойчивости в линейных ускорителях с бегущей волной
по крайней мере в каком-либо одном направлении: в направлении
оси трубы или в перпендикулярном направлении.
1199. В линейном ускорителе с бегущей волной для электронов
иногда скорость распространения волны выбирают постоянной и рав-
ной скорости света. Предположим, что электроны входят с энергией
4 Мэв и начинают двигаться в горбе волны с амплитудой напря-
женности 20 кв/см. Длина волны равна 1 м. На сколько электроны
отстанут от волны при ускорении до 100 Мэв? Для простоты рас-
чета положить, что со временем напряженность поля в волне изме-
няется не по синусоидальному, а по «прямоугольному» закону,
т. е. напряженность поля имеет всего два значения S —— &о-
1200. Для увеличения фокусирующих сил, обеспечивающих дви-
жение заряженных частиц по заданной траектории в магнитном поле
л__________________ ускорителей, используют так на-
I / зываемый метод «сильной фокуси-
у v | пТч/ / ровки». Для этой цели магнит
vX’x \ t (J ' /X./\ составляют из 2N одинаковых
\ ПО РазмеРУ секторов, отличаю-
/у щихся, однако, тем, что в одной
И уу (первой) половине секторов магнит-
/ ное поле возрастает по закону Rn,
/ а в другой (второй) половине —
I Ro убывает по закону R~n (л^>0),
• где R— расстояние от центра
Рис. 65. магнита до рассматриваемой точки.
Магнитные секторы с разными
характеристиками располагаются попеременно. При этом на некоторой
окружности радиуса /?0 значение магнитного поля не зависит от ази-
мута (см. рис. 65, на котором указано расположение секторов маг-
нита. Стрелки показывают направление возрастания магнитного поля,
перпендикулярного к плоскости радиуса). Рассмотреть движение ча-
стицы при небольших отклонениях от круговой орбиты с радиусом
Ro и найти условие устойчивости движения, считая п'^\.
§19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 179
1201. Для абсолютного определения сечения реакции
Р2 4- ,D2 — iH3 4- jH1 4- 4,0 Мэв
в интервале энергии 15—100 кэв использована «толстая» мишень
из тяжелого льда (в которой дейтоны полностью затормаживаются
и останавливаются). Заряд, приносимый дейтонами на мишень, изме-
ряется интегратором тока (конденсатор, который заряжается до опре-
деленного напряжения и затем автоматически разряжается). Число
протонов определяется счетчиком с известным эффективным телесным
углом й = Принято, что угловое распределение протонов
описывается формулой
п (0) = п (90°) [ 1 4~ Д cos2 ^]-
Величина А зависит от энергии дейтонов (Д порядка 0,2—0,4).
а) Определить, под каким углом 0о следует поместить счетчик,
чтобы по числу отсчетов иметь возможность вычислить полный выход
протонов, не зная А.
б) Пусть АДВ) — полный выход протонов на 1 мкк (1 микро-
кулон) дейтонного пучка, где Е— кинетическая энергия.
X(£)== 2,53 • 102 при £'=15,4 кэв,
2V(£) = 4,78- 15в при £=105,6 кэв.
Грубо приблизительно
46
N (Е) = 4,2 • 107е (мкк)-1 (Е в кэв).
Известна кривая ионизационных потерь дейтонов в тяжелой воде,
которая грубо может быть апроксимирована формулой
(— ~ \ =2,5 • 1019МЕ
\ / ион
(М — число молекул D2O в 1 см*).
Найти эффективное сечение реакции как функцию энергии.
1202. Водородный пороговый детектор нейтронов представляет
собой ионизационную камеру, наполненную водородом при таком
давлении, что пробег протонов отдачи значительно меньше размеров
камеры. Импульсы усиливаются и считаются в том случае, если они
превосходят некоторую заданную величину. Найти кривую чувстви-
тельности детектора при энергии нейтрона Е^>Ей (Е()— порог) для
следующих условий:
а) в системе центра тяжести протона и нейтрона рассеяние ней-
тронов в водороде изотропное;
б) сечение рассеяния а (Е) пропорционально Е 2.
180 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. ИГ
1203. Осколочной камерой называют ионизационную камеру, в
которой для регистрации нейтронов имеется тонкий слой урана.
Ионизация создается осколками деления.. Если хотят регистрировать
только быстрые нейтроны и исключить эффекты деления U235, камеру
окружают слоем кадмия. Основной фон в камере создается а-части-
цами, получающимися при а-распаде урана. Определить, что больше —
суммарная ионизация от а-частиц или от осколков, исходя из сле-
дующих данных:
1) Камера находится на расстоянии /?=10 см от источника ней-
тронов интенсивностью 1 мкюри (1 милликюри соответствует п =
= 3,7 • 107 распадам в секунду). Сечение деления быстрыми нейтро-
нами примем с = 0,5 барн, а энергию, передаваемую осколком,
Е = 80 Мэв.
Урановый слой берется толщиной много меньшей пробега оскол-
ков в уране (несколько микрон), чтобы знать абсолютную чувстви-
тельность камеры.
2) Период полураспада урана т = 4,5- 109 лет, энергия а-частицы
£а = 4,2 Мэв.
1204. Реакция Li7 (р, n) Be7 является удобным источником нейтро-
нов известной энергии в интервале 0,2—1,5 Мэв и выше. Для из-
менения энергии нейтронов можно менять энергию первичных про-:
тонов и угол наблюдения, а) Зная массу атомов Li7, Be7, Н1 и ней-
трона в атомных единицах (см. табл. VI в конце книги), найти вы-
деление энергии в реакции Li7 (р, п)Ве7. б) При какой минимальной
энергии протонов возможна эта реакция?
1205. Пользуясь табл. VI в конце книги, определить энергию
связи Li6.
1206. Определить энергию связи ядра гелия (а-частицы).
1207. При создании управляемой термоядерной реакции предпо-
лагается, что дейтерий будет использован как ядерное горючее. Особо
большое значение имеют следующие первичные ядерные реакции,
идущие примерно с равной вероятностью:
a) D2-]-D2->H3 + p+Qa;
б) D2 4- D2 -> Не3 + п 4- Q6.
Вычислить энергии Q& и Q6 этих реакций.
1208. В термоядерном реакторе с дейтериевым горючим могут
происходить вторичные термоядерные реакции:
a) He3H-D2->He44-p4-Qa;
б) Н3 4- D2 -> Не4 4- п 4- Q6.
Вычислить энергии Qa и Q6 этих реакций.
1209. Известно, что тяжелая вода (D.2O) содержится в воде в каче-
стве небольшой примеси. Примерно на каждые 6000 молекул обычной
воды содержится 1 молекула тяжелой воды. Какая энергия выделится
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 181
при сжигании всего дейтерия, содержащегося в одном литре воды
в термоядерном реакторе. Какому количеству бензина эквивалентен
по энергии 1 л воды, если при сжигании 1 кг бензина выделяется
13 квт-ч энергии?
1210. Какое количество термоядерных реакций будет происходить
в 1 см3 в одну секунду, если сечение реакции равно a(v), где
v — относительная скорость реагирующих дейтонов, a N—число-
дейтонов в 1 см3?
1211. Какая мощность создается термоядерными реакциями в 1 см3,
если А7= 101й см~3, av = 10~17 см3 • сек-1 (такое значение av прини-
мает при температуре дейтерия примерно 7=40 кэв 4,6 • 108 гра-
дусов Кельвина).
Примечание. Здесь использованы обозначения задачи 1210.
При вычислениях учитывать лишь энергию первичных реакций (см.
задачу 1207).
1212. Для термоизоляции горячего ионизованного газа дейтерия
(плазмы) от стенок термоядерного реактора предполагают использо-
вать давление магнитного поля. Вычислить давление магнитного поля
/7=20 000 эрстед на плазму в предположении, что магнитное поле
внутри плазмы отсутствует.
1213. Сколько калорий выделяется при образовании 1 г Не из
протонов и нейтронов?
1214. Определить атомный вес дейтерия, если известно, что энер-
гия связи дейтона равна 2,19 Мэв. Определить также атомный вес
дейтона и атомный вес электрона (атомный вес ядра О16 принимается
за 16).
1215. Относительно медленные протоны с энергией в несколько
сотен или даже десятков кэв могут вызывать расщепление лития:
Li7 4- Н1 -► 2Не4.
Какую энергию имеют обе а-частицы?
1216. На опыте можно наблюдать дезинтеграцию (разрушение)
дейтона на протон и нейтрон под действием -[-лучей ThC', имеющих
энергию 2,62 Мэв. Определить энергию и направление вылета ней-
трона и кротона при пренебрежении импульсом -[-кванта. (См. за-
дачу 1214.)
1217. При интенсивной реакции выделилось 10 000 кал тепла.
Каково изменение массы реагентов?
1218. На сколько граммов увеличится масса 1 кг воды при нагре-
вании ее на 100°?
1219. Какова разница между массой атома водорода и суммой
масс протона и электрона?
182 атомная физика и физика ядра [гл. (И
1220. Насколько уменьшается ежесекундно масса Солнца благодаря
потерям энергии на излучение?
Указание. Необходимые данные можно найти в задаче 188.
1221*1). Определить постоянную распада некоторого вещества,
если известно, что за час интенсивность испускаемого им ^-излучения
уменьшилась на 10%. Продукт распада не радиоактивен.
1222*. Найти постоянную распада радия, если время полураспада
радия Т =1550 лет.
1223*. Сколько атомов радия распадается в 1 сек в 1 г препа-
рата радия? Считать известной постоянную распада X (задача 1222).
1224*. Определить полупериод распада радиоактивных элементов
из следующих измерений:
Время в часах Число срабатываний счетчика в 1 мин. . . 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 2345 1195 654 390 263 197
Время в часах Число срабатываний счетчика в 1 мин. . . 3,0 3,5 4 6 8 10 12 165 144 130 98 78 61 48
Указание; Построить график, отложив по оси абсцисс время,
а по оси ординат — натуральный логарифм числа срабатываний счет-
чика за 1 мин., и проанализировать вид этого графика.
1225*. Препарат RaD в равновесии с продуктами своего распада
испускает 10® а-частиц в 1 сек. Сколько атомов RaD, RaE и Ро
содержится в препарате? Сколько [3-частиц RaD и RaE испускает
препарат в 1 сек?
1226*. Определить, какой объем радона (при нормальных темпе-
ратурах и давлении) находится в равновесии с 1 г радия (радон или
эманация радия это — газообразный продукт распада радия).
1227*. Сколько кубических миллиметров гелия выделяется в резуль-
тате распада 1 г радия в течение года? Считать, что Не находится
при 0° и атмосферном давлении.
1228*. Подсчет сцинтилляций показывает, что в результате распада
1 г UI выделяется примерно 1,15 • 104 а-частиц в секунду. Найти
отсюда постоянную распада UI (урана I).
1229*. U234 (или UII) является продуктом распада основного изо-
топа урана U238 (или UI). Определить период полураспада U234, если
*) Общие указания к задачам 1221—1234, отмеченным звездочкой, см.
в решениях (стр. 361).
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 185
его содержание в естественном уране 0,006%. Период полураспада
U238 взять из решения задачи 1228.
1230*. Период полураспада радиофосфора Р32 15 дней. Найти
активность препарата Р32 через 10, 30, 90 дней после его изгото-
вления, если начальная активность 100 мкюри.
1231*. Определить время полураспада UI, если известно, что
число атомов Ra, находящихся в равновесии с п атомами урана,
равно п • 3,45 • 10-7. Считать также известной постоянную распада Ra
(задача 1222).
1232*. Определить порядковый номер и атомный вес иония, полу-
чающегося из урана в результате двух a-превращений и двух [3-пре-
вращений. Изотопом какого элемента является ионий?
1233*. В некоторых урановых рудах содержится примесь чистого
уранового свинца (А = 206). Предполагая, что весь свинец получился
в результате распада урана и его продуктов, можно определить возраст
урановой руды. Принять, что в 1 г руды содержится 0,2 г свинца.
1234*. Образец иода I127 облучается нейтронным потоком такой
интенсивности, что в 1 сек образуется 107 атомов радиоактивного
иода I128, период полураспада которого 25 мин. Найти число ато-
мов I128 и активность препарата через 1, 10, 25, 50 мин. после начала
облучения. Каковы максимальные числа атомов I128 и активность пре-
парата при долгом облучении (т. е. при облучении до насыщения).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
ОПТИКА
§ 1. Геометрическая оптика
, ™ 2r rf г (г 2 — г Л
1. Расстояние х —---:-----гг- ; радиус источника у = —V----
П + г3 — 2г г Г1 + г3 — 2г
2. Полное затмение бывает в том случае, когда расстояние от центра
Луны до поверхности Земли меньше 376 000 км\ кольцеобразное, когда оно
больше этой величины,
4. Если экран помещен близко от зеркала, то освещенная часть имеет -
форму четырехугольника. Если же экран находится далеко от зеркала, то
получается изображение Солнца в виде эллипса.
5. о = 2а.
Эта формула охватывает все возможные случаи при том дополнительном
условии, что углы а и о отсчитываются вполне определенным и одинаковым
способом. Предполагается, что луч света отражается сначала от первого
зеркала, а затем от второго зеркала, а есть угол, на который следует повер-
нуть первое зеркало, чтобы совместить его со вторым зеркалом. Аналогично,
« определяется как угол, на который надо повернуть исходное направление
луча, чтобы совместить его с направлением луча, отраженного от второго
зеркала. Направления вращений произвольны, но в обоих случаях должны
быть одинаковы (например, по или против часовой стрелки). Это замечание
надо иметь в виду при решении всех задач, аналогичных разбираемой.
6. Гх = г0 — 2 (r0N) N;
n2ra = ПхГо —N {«j (г0А) + Кл2 — + ni (Л>А)2}.
7. Пусть Nx, Ns, — единичные векторы нормалей к плоскостям зеркал,
Го — единичный вектор падающего на первое зеркало луча, гь г3, г3 — еди-
ничные векторы луча после отражения от первого, второго и третьего зеркал.
Тогда
И — Го — 2 (г0А1) М,
г3 = Г1 — 2 (Г1А2) А3,
Га = Г3 — 2 (Г3АВ) Na.
Отсюда легко показать, что г8 = — г0.
10. Если т—четное число, то число изображений равно т—1. Если
т — нечетное число, то число изображений равно т; при симметричном рас-
положении предмета относительно зеркал два из этих изображений сливаются
в одно, и общее число изображений уменьшается до т — 1.
§ 11
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
185
11. Если лучи по выходе из призмы собираются ахроматической лин-
зой, то спектрального разложения не будет. Если же выходящие лучи не-
посредственно падают на экран, то получится белое пятно с окрашенными
краями; о = 2а.
13. Диаметр изображения приблизительно равен 7,5 см.
14. Изображение действительное и увеличенное в два раза, когда объект
находится на расстоянии 30 см от зеркала. Изображение мнимое и увеличен-
ное в два раза, когда объект находится на расстоянии 10 см.
15. f = 7,5 см.
17. Выпуклая поверхность параболоида вращения, ось которого парал-
лельна лучам.
18. /= Д = 490 см.
19. Решение. Из законов отражения света следует, что продолжение
отраженного луча СВ (рис. 66) пересечет перпендикуляр АА' к плоскости
зеркала в точке А', отстоящей от этой плоскости
что и точка А. Значит, А'С — АС, а длина све-
тового пути АСВ равна длине прямой А'В. Если
бы свет распространялся по пути АСВ, то длина
этого пути равнялась бы длине ломаной А'СВ.
Сравнение длины ломаной А'СВ с длиной пря-
мой А'СВ дает решение задачи.
20. Из равенства углов падения и отражения
на основании свойства биссектрисы угла тре-
угольника заключаем, что в приближении пара-
ксиальной оптики положение точки — объекта Р—
и ее изображения Р' в сферическом зеркале свя-
заны соотношением
ОР СР
на таком же расстоянии,
ОР' Р'С ’
т. е. точки Р, Р', С, О являются четырьмя гармоническими точками. Тем
самым построение, указанное в тексте задачи, сводится к известной теореме
проективной геометрии о полном четырехугольнике.
21. Решение. Не нарушая общности, можно считать, что показатель
единице. Для оптической длины L ломаной,
соединяющей точки А и В (рис. 67),
имеем:
преломления первой среды равен
Рис. 67.
COS ср ' COS ф'
При этом должно выполняться дополни-
тельное соотношение
a tg ср & tg ф = const,
которое выражает постоянство длины
проекции ломаной АСВ на плоскость
раздела сред. Для минимума необходимо:
Из дополнительного условия следует:
dL______a sin ср nb sin ф с?ф
rfcp cos2 ср COS2 Ф б?<р
cos2 ср cos2 ф dy
186
ОПТИКА
[гл. I
Сопоставляя это соотношение с предыдущим, находим:
sin и — п sin ф = О,
т. е. закон преломления света. В том, что этот закон действительно выражает
условие минимума оптической длины пути светового луча, а не просто условие
ее экстремума, можно убедиться, либо исследуя знак второй производной
, либо непосредственно из геометрических соображений.
Р—точечный источник света,
22. Решение. Для примера выведем формулу тонкой линзы. Пусть
расположенный на главной оптической
оси линзы, а Р' — его изображение
(рис. 68). Из принципа Ферма следует,
что оптические длины всех лучей,
вышедших из Р и собравшихся в Р',
одинаковы. Опишем из Р и Р',
как из центров, окружности с радиуса-
ми РА и Р'В соответственно. Тогда на
основании равенства оптических длин
лучей можем написать:
(CED) = (АВ).
Если лучи РЕпЕР' параксиальные, то
можно принять, что длина ломаной
CED приближенно равна длине ее
проекции MN на главную оптиче-
предыдущее соотношение можно записать вг
скую ось. В этом приближении
виде
MN = пАВ
или
AM + BN = (п — 1) (AL + LB),
(О
где L — проекция точки Е на главную оптическую ось. Для тонкой линзы
приближенно:
(EL)3 (ELY
AL~ ’ LB~ 2tfs ’
где У?! и — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы. Анало-
гично, при выполнении условия параксиальности справедливы выражения
ZXi ’ 2х2 ’
где через xt и х2 обозначены соответственно длины РА и ВР'. Подставляя
написанные выражения в формулу (1), получим:
1 iJJ______И
х3 xt 1)\Рг R2)'
23. cp = arctgra.
ос с . d sin (<р — ф) _ _
25. Боковое смещение 1 =-------—— = 6,6 см.
cos ф
26. =0,215 м.
п COS3 ф ’
27. х = — = 10 см. 28. л = 1,5. 29. f — I4- — = 18 см.
п ’ 1 п
§
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
187
30. Фокус отодвинется на & — —12-= 2 мм.
sin -(А+о) _
33. п =-----—।--------. 34. S = 48°12'. 38. п = /2 = 1,41.
sin -у А
37. sin 4 — = 0,752; а 97°30’.
2 — п —
39. 6 = А(п — 1)|1 + А1±-Ил21.
I J
• А
дп Г) — — = 2 Sin^ А — 9 Sin 2 dn .
d\ cos <р dX /----------T dX ’
1/ 1 — ns sin2 ~
. A
sin -y-
До = 2 — ----Дп = 5' 12".
1/ 1 — n2 sin2 -A
41. Интервалы 1 2 3 4 5 6
Угловая дисперсия в сек/к 0,9 1,7 2,9 8 13 36.
42. Линейная дисперсия: 0,0022; 0,0042; 0,0071; 0,0195; 0,032; 0,088.
43. Желтый луч пройдет без отклонения, синий отклонится к вершине
призмы, красный — к основанию призмы.
44. Решение. Пусть АВ — участок волнового фронта падающей пло-
ской волны (рис. 69). После прохождения через оптическую систему он займет
положение А'В'. При этом на основании определения волнового фронта опти-
ческие длины лучей АА' и ВВ' должны быть равны между собой: (ЛЛ') =
= (ВВ'). Повернем волновой фронт АВ вокруг точки Л на малый угол а
так, чтобы он занял положение АС. Тогда волновой фронт повернется
на некоторый угол р и займет положение А"С". Увеличение, даваемое тру-
бой, будет равно —,
а
Очевидно, (ЛЛ") — (СС"). Выберем точку А" так, чтобы она ле-
жала в плоскости волнового фронта А'В'. Так как лучи перпендикулярны к
волновым фронтам, то с точностью до членов порядка а3 оптические длины (ЛЛ')
188
ОПТИКА
[гл. г
и (ЛЛ") будут равны между собой. С той же степенью точности (ВВ') = (СС").
Проведем через точку С" плоскость, параллельную плоскости А'В'. Она
пересечет продолжение луча ВВ' в точке С. Из перпендикулярности лучей
к волновым фронтам снова заключаем, что (СС') = (СС") с точностью до а8.
Сравнивая это с равенством (ВВ1) = (СС"), находим (ВВ') = (СС). Следова-
тельно, (ВС) = (В'С) или п • АВ • а = п'А'В' • £, где п — показатель прелом-
ления в пространстве предметов, ап' — в пространстве изображений.
Итак,
Э __ АВ п
* -"А'В' п''
п Р АВ
Для трубы п = п', а следовательно, — = -тг^,.
а АВ
45. Надо держать призму так, чтобы лучи при прохождении через нее
испытывали наименьшее отклонение.
Решение. Увеличение, даваемое призмой, вообще говоря, различно в
разных направлениях. В направлении, параллельном преломляющему ребру
призмы, оно равно единице, так как поперечные размеры параллельного све-
тового пучка после прохождения через призму в этом направлении не изме-
няются (см. решение предыдущей задачи).
Напротив, в направлении, перпендикулярном к преломляющему ребру,
поперечные размеры, вообще говоря, претерпевают изменения. В этом направ-
лении увеличение может быть как больше, так и меньше единицы. Этим и
объясняется сплюснутая или вытянутая форма изображения. Только при сим-
метричном ходе пучка через призму его поперечные размеры остаются неиз-
мененными во всех направлениях. В этом случае увеличение равно единице и
не зависит от направления.
46. Надо расположить призмы взаимно перпендикулярно, поворачивая
их вокруг направления ребер таким образом, чтобы увеличения в двух вза-
имно перпендикулярных направлениях были одинаковы.
48. Изображение вначале находится на расстоянии х = п~ = СМ
от ближнего конца диаметра с той же стороны, что и крупинка. При переме-
щении крупинки вдоль диаметра ее изображение перемещается в том же
направлении и сливается с крупинкой, когда последняя достигает ближнего
конца диаметра.
49. см. 50. /=30,8 мм.
51. /' = 40 см.
52. Фокусное расстояние увеличится в 8,64 раза, причем собирающая
линза станет рассеивающей и наоборот.
53. / = 9 см.
54. Фокусное расстояние объектива в воде должно быть 48 см, а в воз-
духе 12 см. Увеличение трехкратное.
55. /J = 36 см; f’a = 4 см; ft = 45 см; fs = 5 см.
56. AZ = 0,5 см.
57. Роговица глаза должна быть плоской.
58. / = -|- 20 см (линза собирательная).
59. Система телескопическая.
60. Изображение получается на 5 см правее крайней правой линзы
системы.
61. d = 1,06 см от объектива; линейное увеличение равно 126.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
189
64. h— Уab. 65. f — ——12 см.
100 + /?
66. />------
Р
67. / = — 2 м. 68. /= 1,5 м.
69. R = 72 см, а = 108 см.
70. Собирающую линзу с фокусным расстоянием 30 см.
71. Оптическую длину луча следует считать положительной в направле-
нии распространения света и отрицательной в обратном направлении. Поэтому
оптические длины всех лучей, сое-
диняющих источник Р с его изоб-
ражением Р' в
равны нулю.
72. Примем
ось X, а точку
искомой поверхностью за начало
координат. Тогда уравнение апла-
натической поверхности будет
(п'\— и3) № -f- и'3 (у»3 -|- z3) —
— 2п' (га' — п) qx — 0,
где q — абсцисса точки Р'. При
и'3 > п2 получается эллипсоид вра-
щения (рис. 70), вытянутый вдоль
X, с полуосями
п' , -| Г xV -—.п
а =-------- а: Ъ = <7 I/ --------
п'+п ч’ 4 у п'+п
плоском зеркале,
ось вращения за
пересечения ее с
и эксцентриситетом
/а3 — Ь* п
=
а
п'
При и'3 <Z п2 получается двуполо-
стный гиперболоид вращения (рис.
71) с полуосями
х? п- к 1 /~п — rV
------о о— а I/ --------
п' п 4 V п1 + га
а =
и эксцентриситетом
е = -----1---= —г > 1.
а п'
В этом случае изображение Р' мни-
мое.
Случай п'2— га3 = 0 может осуществляться либо при п'=п, что не инте-
ресно, либо при га'4-га = 0. Вторая возможность соответствует отражению
света. В этом случае апланатическая поверхность
z2 — iqx
190
ОПТИКА
[гл. г
есть параболоид вращения с параметром p = 2q (параболоидальное зеркало).
При изображение Р' мнимое (рис. 72), при q <0— действительное
(рис. 73).
73. Решение. Для примера рассмотрим случай а). Случай б) может
быть рассмотрен аналогично.
Проведем произвольную прямую CD, параллельную большой оси эллипса
АВ (рис. 74). Точку пересечения ее D с эллипсом соединим с фокусами Fj,
и F». Если DN—нормаль к эллипсу, то Z.FlDN= LF%DN, Далее, ZZWF»—ф.
Поэтому из треугольников FiDN и F%DN по теореме синусов находим:
FiD sin <р. F^D sin у
FtN sin ф ’ F2jV sin ’
Отсюда
sin cp_ FtD FjD ____ AB
“ FtN+NFs ~ FtF8 ’
Теперь очевидно, что если показатель преломления эллипсоида относительно
ДВ 1 Л
окружающей среды п — = — и если падающий луч направить по CD,
г if % е
то преломленный луч пойдет по DFt.
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
191
76. Решение. Направим ось X вдоль прямой РР', а ось Y перпенди-
кулярно к ней. Поместим начало координат в точку пересечения картезиан-
ского овала с осью X. Обозначим через q и д' абсциссы точек Р и Р'. Кар-
тезианский овал является апланатической поверхностью относительно пары
точек РР', а следовательно, уравнение его сечения плоскостью XY будет
п У(х— д)24~.У3 + «' V(x—q'Y-^y^ — n'q' — nq,
или (после освобождения от радикалов)
(п2 — п'2) (х2 +.У2) + 4 (п2 — и12) (n'2g' — n2g) (х2 4-3’2) х 4~
+ 4nn' (ng — n'g') (ng1 — n'g) (x2 -J-J'2) 4~ 4 (n'2g' — n2g) Xs
4- 8nn' (n' — n) (ng — n'g') qq'x = 0. (1)
Если n2 — n'2 = 0, то это уравнение переходит в уравнение второго
порядка. Это может быть либо при п — п' = 0, что не интересно, либо при
n-j-n1 = 0. Во втором случае (1) переходит в
4gg'x2 + (g + д') J'2 — 4дд' (д + д') х = 0. (2)
Если ввести новые прямоугольные координаты £ и ц, поместив начало
координат в середине отрезка РР', то
- I Я 4- я'
х =; + , У = г1,
и уравнение кривой (2) примет вид
£2 ।
7--Г-7Тз + -Ч = 1. • (3)
я + я \* яя '
\ 2 )
При gg' > 0 (3) есть уравнение эллипса, фокусами которого являются сопря-
женные точки Р и Р' (эллипсоидальное зеркало). При gg' < 0 (3) есть урав-
нение гиперболы с фокусами в Р и Р' (гиперболоидальное зеркало).
Уравнение (1) переходит в уравнение второго порядка также в том
случае, когда одна из точек Р или Р' удалена в бесконечность. Если, напри-
мер, д = со, то, сохраняя в (1) только старшие члены по д и сокращая на
4д2п2, получим:
(п12 — п2) х2 4~ п'2у>2 — 2п' (п — п') д'х = 0. (4)
Этот случай рассматривался в задаче 71.
При qn = q'n' (1) приводится к
[(и -f- п') (х2 4-у*) — 2qnx]i = 0
и представляет собой уравнение двух совпадающих окружностей. Уравнение
одной окружности:
(и 4- п') (х2 4- у2) — 2gnx = 0. (5)
Апланатическая поверхность в этом случае есть сфера радиуса
(см. следующую задачу).
Есть еще один— тривиальный—случай, когда (1) должно сводиться
к уравнению второго порядка. Если g = д', то обе сопряженные точки Р и Р'
192
ОПТИКА
[гл. I
совпадают, т. е. на апланатической поверхности световые лучи не должны прелом-
ляться. Значит, в этом случае при n^zn' картезианский овал должен вырождать-
ся в сферу или в совокупность двух концентрических сфер. Это требование мо-
жет служить критерием правильности вычислений. Полагая в (1) q = q',
находим:
(.г2 + У2 — [(га + и')2 (х2 4~ У2 — 2qx) +
м + 4nn'q-\ = О,
что является уравнением совокупности двух
\ концентрических сфер с центрами в точке Р.
\ 78. Если Р и Q — апланатические точ-
ки сферической поверхности KL, то они же
' ИЦ О pj будут апланатическими точками линзы, ог-
/ vUl / * раниченной поверхностью KL и сферой MN,
/ имеющей центром точку Р (рис. 75).
79 f— __________Г1Гд______
V J 2(п —1)г2 + 2пг! ’
Рис. 75. 80 — = П
f% п — 1 *
81. Выпуклый мениск: гх = 20 см, г2 = 10 см, и = 1,53. Объект поме-
щается со стороны вогнутой поверхности мениска.
82.
, __ n'Rx
х (и1 — п) х -ф- nR ’
« =_____1ВУ_________
у (п' — п)х + «7? ’
s, _
(и1 — п) х + nR ’
84. Р е ш е н и е. Разрешив уравнения
, Ах 4- В
Х ах + /> ’
у ах -\-Ь ’
. Cz
z =---------
ах + b
относительно х п у, получим:
_ А'х' + В'. I
Х а'х' Ь' ’
_ с'у'
У ~~ а'х' ’
« _ с'2'
Z ~ а'х' 4- Ь' ’ .
где
(1)
(2)
Д' = — Ъ\ В' = В; а' = а\ Ь' = — А;
аВ — АЬ
С
(3)
Если ах 4-6 = 0, то х', у', z' становятся, вообще говоря, бесконечными.
Это значит, что лучи, вышедшие из какой-либо точки плоскости ах-{-Ь = 0,
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
193
после прохождения через оптическую систему становятся параллельными.
Плоскость ах-\-Ь — 0 называется фокальной плоскостью пространства пред-
метов. Плоскость а'х' -{-&' = 0 называется фокальной плоскостью простран-
ства изображений: параллельный пучок лучей, падающий на систему, сходится
в одной из точек этой плоскости. Точки пересечения F и F' фокальных пло-
скостей с главной оптической осью называются фокальными точками или глав-
ными фокусами системы. Для координат этих точек имеем:
b , _ Ь' А
F а ’ F а' а ' ’
Сопряженные плоскости, координаты сопряженных точек которых связаны
соотношениями у' —у, z' = z, называются главными плоскостями оптической
системы. Они отображаются друг в друга с поперечным увеличением 4- I.
Точки пересечения главных плоскостей с главной оптической осью Н и Н'
называются главными точками системы. Их координаты:
С — b , С' — Ь' аВ-\-А(С — Ь)
н а ’ н а' Са v 7
Расстояния главных точек от соответствующих главных фокусов назы-
ваются фокусными расстояниями системы. Для фокусных расстояний имеем:
С С аВ — АЬ
f — xH~xF— ~г; /' = х'н’ “x'f' — — са ’
Узловые точки X и Д'* определяются как сопряженные точки, обладающие
следующим свойством: световой луч, проходящий через К1 под некоторым
углом к оптической оси, проходит через К' под тем же углом и в том же
направлении. Это значит, что уравнение луча
у = а (х — x^j
переходит в
у' = а (х' — Х^,),
т. е.
у’ _ х' — х’к,
у X — Хк '
Пользуясь формулами (1) и имея в виду, что последнее уравнение должно
соблюдаться при любом х, нетрудно получить
XK~XF f'\ х^, = Хр'—f. (7)
85. В случае I) надо положить хя = х#, = 0, а в случае 2) xF =
=.х'р, = 0. Отсюда после преобразования координат получим:
f + 7 = -'-
f + А' .
*1 /-Н f' Ft '
XX'—ff', ।
Y' f X' I
Y ~ X ~ f' ’ )
(1>
(2)
194
ОПТИКА
[гл. г
86. Главные плоскости совпадают между собой и касаются преломляющей
поверхности в точке
/'= n'R
и' —гГ
координат каждой из складываемых
А — координаты точки-объекта, а Х[,
89. Решение,
систем в фокальные
У] — ее изображения
пересечения ее с главной оптической осью;
7 ~ «' — п ’
Поместим начала
точки. Пусть Xit
в первой системе. Тогда
ад=лЛ; -^ = 4/
Примем изображение, даваемое первой системой, за объект для второй
системы. Координаты такого «объекта» будут
Ха = Х[ — 8; Ya = Y{.
Координаты его изображения, даваемого второй системой (относительно Fs),
•обозначим через Х'2, У"2. Тогда
*з*2
Исключая координаты промежуточного
*2
А" Л •
изображения, получим:
ЛЛ - »*,
у___ J1J2 у
2 л/;-8*1 ь
Отсюда известным способом (см. задачу 83) находим координаты фокальных
и главных точек сложной системы:
xF~ — y
г -ЛЛ -/Лз.
6 ’
-лл
8
8
Н'
причем за начало координат в пространстве предметов принят передний
фокус первой системы, а в пространстве изображений—задний фокус вто-
рой системы. Для фокусных расстояний сложной системы находим:
f = _AA. ,, _ЛЛ
7 8 ’ 7 8 ‘
90.
1 = 1 ±l_jL. /= ЛА
f h fJV 7 л+л-г
Расстояния главных плоскостей Н и Н' системы от первой и второй линз
равны:
91. «Эквивалентную» линзу следует поместить в передней главной пло-
скости системы двух линз;
ЛЛ
Л+А-/'
1 f
92. f—--——- , где n—показатель преломления воды.
93. / = —«1«2 —f = n2ns-^-,
где
D = d (па — nL) (л8 — па) -|- па [/?! (ns — пъ) (лх — П8)],
§ 11
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
195
d — 00' (рис. 76)—толщина линзы. Приняв О и О' за начала координат*
для координат главных точек Н и И' будем иметь:
h = ОН = — tii (л8 — п2) ;
Л' = 07Г = п3 (Лз-Л1)^.
94. Обе главные
плоскости
фокальные точки лежат снару-
жи шара на расстоянии А* от
его поверхности; 2) /= 1,5 А*;
фокальные точки лежат сна-
ружи шара на расстоянииот
его поверхности.
Фокальные точки не выхо-
дят наружу при п 2.
95. 1) х' = 15 см. 2) Уве-
У
личение — = 1,5.
У
96. Для плоско-выпуклой й плоско-вогнутой линз, т. е. когда А\ или
А?а = ± оо. Если свет падает со стороны сферической поверхности, то поло-
жение фокуса в пространстве изображений относительно линзы зависит от
толщины последней; если со стороны плоской, то не зависит.
97. Когда толщина линзы d > - = 3 (/?, -|- /?2), где А\ и /?3 —
арифметические значения радиусов кривизны поверхностей линзы.
/2
98. Когда толщина линзы d = (А\ + AJ2), где Ал и /?2 — арифмети-
ческие значения радиусов кривизны поверхностей линзы.
100. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокальные плоскости
расположены на расстоянии 28,2 см от линзы в воздухе и 37,5 см в воде.
Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии 9,3 см от
линзы.
101. /=50 см. 1) 148 см от плоской поверхности; 2) 143 см от выпук-
лой поверхности. В обоих случаях изображение находится с противополож-
ной стороны линзы по отношению к объекту.
102. f— 6 см. Главные плоскости лежат внутри линзы на расстояниях
1 см и 1,6 см от поверхности линзы с большим радиусом кривизны.
103. /= 2,5 см. Положение фокальных точек и главных плоскостей изо-
бражено на рис. 77.
104. Нет. Это имеет место только в том случае, когда узловые точки
совпадают с оптическим центром.
196
ОПТИКА
[гл. г
105. Собирающая. Главные плоскости лежат со стороны выпуклой поверх-
ности на расстоянии d друг от друга. Первая главная плоскость удалена от
„ R ,,
выпуклой поверхности на расстояние -------, На таком же расстоянии на-
ходится вторая главная плоскость от вогнутой поверхности, f
nR*
(п — l)2d*
106. Рассеивающая. Главные плоскости совпадают и проходят через общий
центр кривизны поверхностей линзы.
nR(R-d)
107. Объект должен находиться в одной из узловых или обратных узло- -
вых точек системы J).
108. Решение. Пусть малый объект, перпендикулярный к образующей
поверхности последнего в точке Р (рис. 78).
После преломления лучей на внут-
ренней цилиндрической поверхно-
сти в окрестности точки А полу-
чится промежуточное изображение
объекта в некоторой точке Р'.
Пользуясь формулами, приведен-
ными в ответе к задаче 82, легко
получить абсциссу х' точки Р'
(относительно начала координат /4),
У'
а также поперечное увеличение ~ ;
,__ nR% (Rs — Ri) ,
цилиндра, помещен на внешней
(n2 — «) Ri + nRs ’
У __________n2R2
у (n2 — n) -f- nRs'
Оставшиеся две
поверхности с
преломляющие
вершинами в О и О'
1) Если световой луч выходит из некоторой точки оптической оси под
углом и к ней, а по выходе из системы проходит через сопряженную точку
под углом и' — — и, то эти две взаимно сопряженные точки называются обрат-
ными узловыми точками системы. Пользуясь формулами параксиальной оптики,
легко показать, что центрированная система имеет одну пару обратных узло-
вых точек.
§ п
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
197
действуют как линза, для которой
f_______________ пп . I ч R* (/?Х-
/ — — ппа ———, п = п (fli — па)--------1
где
D = riiRi (па — п) 4- nRa (rii — па).
Точка Р' по отношению к этой линзе играет роль объекта. Ее абсцисса отно-
сительно фокуса F этой линзы:
X = FP' = FH + НО 4- О А + АР' =f— h — 2Ra 4- х’.
Далее
Ь = /
у' X ’
и следовательно,
У _ (п8 — п) 4- nRa X
Уг ~ naRa f *
откуда после несложных преобразований легко получить требуемый результат.
111. Решение. Очевидно, Д = 5'4~£—6. где 5 и — координаты пред-
мета и его изображения относительно соответствующих главных плоскостей.
Исключая отсюда и из уравнения линзы получим:
е2 4-(/1_г)е4_(Л-г)/=0.
Если А — е >> 4/, то уравнение имеет два вещественных корня и 53, и су-
ществуют два положения предмета, о которых идет речь в условии задачи.
Расстояние между этими положениями:
а = | - ?2| = К(Д-г)2-4/(Д-г),
откуда
(Д — еу— а2_Д2 — а* Д24-а2
4 (Д — е) 4Д 4Д2 *
Для определения е можно повторить опыт при другом расстоянии At между
предметом и экраном.
1 I 2 / 1 1 \3 Л2
112. — 4* — “ у 4" (4-у • Расстояние h можно измерять либо
по дуге, либо по перпендикуляру к оси зеркала, так как различие между
этими двумя расстояниями может сказаться только на членах высшего по-
рядка (именно, на членах, содержащих Л4).
И_____И2
\ г и 1 h*
113. Продольная аберрация равна
\Т ~й)
114. 0,2 мм; 0,8 мм; 1,8 мм; 3,2 мм. 115. 3,1 мм. 116. ₽»0,3 мм.
118. Продольная сферическая аберрация равна
, п — IV/l «4-Ц /1 IV М п4-1\)о2Л2
п2 (\ri и) \Г1 и / \rs v / \rt v/l 2 *
где v и v' — координаты точек на оптической оси, в которых ее пересекают
параксиальный луч и луч, встречающий линзу на высоте Л.
198
ОПТИКА
[гл. I
119. I) —0,292 см; —0,0147 см. 2) —1,125 см; —0,056 см.
120. /кр= 1015 мм, f^ — 1000 мм, Лин = Э82л<м, Д/=33 мм.
121. tZKp = 0,75 мм, с?син = 0,90 мм.
122. N=~ —-
f X'-
L
Увеличение не зависит от положения глаза
и равно 7V =-у, если X = 0, т. е. предмет помещен в главном фокусе лупы;
в этом случае глаз должен быть аккомодирован на бесконечность. Увеличе-
ние не зависит от положения предмета и также равно 2V= если а = 0,
т. е. глаз помещен в заднем фокусе лупы. Когда глаз аккомодирован на на-
именьшее расстояние ясного зрения, Х' — а — L, N = —. Обычно объ-
ект помещается очень близко от главного фокуса, так что практически всег-
.. L
да 7V = —-.
124. Р’ е ш е н и е. Фокусное расстояние f системы двух тонких линз, на-
ходящихся на расстоянии I друг от друга, определяется формулой
1 __ 1 . 1 I
f ~fi ЛА ’
(1)
При этом
4- = (« — ОЛ; 4- = (« — 1) ла,
(2)
где Ai и As — постоянные, зависящие только от кривизны поверхностей линз.
Условие ахроматизации:
Подставляя сюда
= = Л3ол,
\ Т1 / \ Тз /
после несложных преобразований получим решение задачи.
125. /=/1=/з- Положение главных плоскостей и фокальных точек пока-
зано на рис. 79.
126. Л = 3/2; I = = 2/3 = -|- Л; / = А = fi- Поло-
жение главных плоскостей и фокальных точек показано на рис. 80. 1ам
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
199
же приведен ход одного из лучей, падающих на окуляр Гюйгенса парал-
лельно главной оптической оси.
128. f — Положение главных плоскостей и фокальных точек пока-
зано на рис. 81. Крест нитей должен быть помещен перед первой линзой на
1 .
расстоянии ft от нее.
129.
1 . 1 &п2
7 nj —“1 7s ъ. — \
Фокусные расстояния обеих компонент имеют всегда противоположные
знаки. Если вся система собирающая, то линза с большей дисперсией рас-
сеивающая, а линза с меньшей дисперсией собирающая. Наоборот, если си-
стема рассеивающая, то линза с большей дисперсией должна быть собираю-
щей, а линза с меньшей дисперсией — рассеивающей.
130. Решение. Объектив телескопа, бинокля и т. п. является собираю-
щей системой. Поэтому двояковыпуклая линза этой системы должна делаться
из материала с меньшей дисперсией (т. е. крона), а плоско-вогнутая — из
материала с большей дисперсией (т. е. флинта) (см. решение предыдущей
задачи).
131. Первая линза; г1 = 41,6 см;г^ =—41,3 см; вторая линза; гх=—41,3 см;
G ==оо.
200
ОПТИКА
[гл. г
132. Это возможно для толстой линзы благодаря тому, что в формулу,
определяющую ее фокусное расстояние, входит и2. Следовательно, могут суще-
ствовать два значения и п3, которым соответствует одно значение /. Тол-
па ,---
щина линзы должна быть равна d — __ (7?!— 7?3), где п = уп^ — сред-
нее геометрическое из и п3. Так как толщина существенно положительна,
то для возможности ахроматизации необходимо, чтобы 7?!—Т?2>»0. Этому
условию удовлетворяют только двояковыпуклые и выпукло-вогнутые линзы.
Все прочие толстые линзы не могут быть ахроматизированы.
133. Результат следует из формулы /=—, р^1^* , дающей
я — 1 7<3 — 7<j
фокусные расстояния линзы для показателя преломления п = у п^.
134. d — 31,42 см; f =—f' = 4- 20,2 см.
1 Tip — Пс а
136. Пластинку надо повернуть на угол ₽== —-^—-j—[__ = 1,8° Так,
чтобы фиолетовый конец спектра был ближе к объективу, чем красный.
137. Решение. Если световой луч АВ падает на поверхность шара под
углом у и преломляется под углом ф (рис. 82), то угол падения ВСО
преломленного луча ВС на эту поверхность будет равен ф. Отсюда следует,
что луч выйдет из шара под углом у к нормали ОС.
138. При однократном отражении
1 Гпа — 1 .
cos у = I/ —; а = 4ф — 2у,
Г О
где ф — угол преломления в капле, акр = 42°42'; «фиол = 40°44'. При дву-
кратном отражении
cos = у/ П g -; а = 180° 2у — 6ф;
«кр = 49°46'; афиол = 53°29'.
139.
cos у = ~|/~^”^2) »• 8 = А/п + 2у-2(7У4-1)ф.
§ И
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
201
Радуги 3—6 порядков характеризуются следующими данными:
Номер радуги <р Ф S а
3 76’55' 47’04' 317’20' 42°40'
4 79’4 Г 47’42' 42’20' 42’40'
5 81°29' 48’02' 126’30' 53°30'
6 82’40' 48°14' 210’00' 30°00'
Третья и четвертая радуги находятся сзади наблюдателя, если он обра-
щен лицом к первой радуге. Когда туча проходит между наблюдателем и
Солнцем, то наблюдатель видит капли сильно освещенными от тех лучей,
которые преломляются в капле без внутреннего отражения. Интенсивность
этих лучей значительно превосходит интенсивность лучей третьей и четвер-
той радуг. Пятая радуга почти точно совпадает со второй, а шестая нахо-
дится внутри первой. Эти радуги никогда не бывают видимы, так как при
каждом внутреннем отражении интенсивность света ослабляется вследствие
преломления. Читателю рекомендуется сделать точные чертежи для хода лу-
чей в капле в случае радуг первых шести порядков.
140. 21’52'; 45°44'. В обоих кругах внешний край синеватый, а внут-
ренний красноватый.
141. Решение. Вообразим ряд плоскопараллельных слоев с постоян-
ными показателями преломления пь n2, ns,... (рис. 83). При распространении
света в такой слоистой среде в силу закона преломления света справедливы
соотношения:
tii sin a1=n2 sin а2=П| sina3 =...
Пусть теперь число слоев неограниченно растет, а толщина каждого из них
неограниченно убывает. В пределе мы получаем неоднородную среду с
непрерывно изменяющимся показателем преломления. Если показатель пре-
ломления меняется мало на протяжении длины световой волны, то можно
пренебречь эффектами отражения на границах слоев. Свет распростра-
няется в такой среде вдоль лучей, имеющих форму кривых линий. Примем
ва ось Z прямую, перпендикулярную к слоям, и обозначим через а угол между
202
ОПТИКА
[гл. I
осью Z и касательной к лучу, а через N — нормаль к тому же лучу (рис. 84).
Тогда
п sin а = const.
рис 84 Формула выведена для слои-
стой среды. Однако она спра-
ведлива в общем случае, так
как небольшой объем любой среды можно рассматривать как часть слои-
стой среды. (См. также задачу 151.)
142. Решение. Если п зависит только от г, то путь светового луча AM
(рис. 85) будет плоской кривой, лежащей в плоскости, которая проходит через
звезду и вертикаль MZ места наблюдения. Обозначим через а переменный
угол, составляемый вертикалью MZ и касательной к лучу (этот угол
называется зенитным расстоянием). Через s обозначим длину луча, отсчиты-
ваемую от точки М. Тогда
£
Р
__da____ d
ds ~’ dN
(In и);
da da dr da . da
— — Sin Y = —
ds dr ds dr ' dr
cos (a — P);
JL (In n) = — A (in n) cos у = — (In n) sin(a — p).
Отсюда
da 1 d
dr tg(a —p) = “drW
Далее из рис. 85
ds ds . .
dp = — cos у = — sin (a — p),
откуда
dp dp dr dp . Q I . . 0.
«= -y- y- = ~ COS (a — P) =--sin (a — P).
ds dr ds dr r 4 r/
Итак,
!___= _L, (2)
dr tg (a — P) Г ’ ' '
Вычитая (2) из (1), находим:
Г ~ If = — ^ In №).
tg(a—р)
§ п
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
203
Интегрирование этого уравнения дает:
sin (« — Р) __ п0 Гр
sin я0 пг ’
(3)
где Гр — радиус земного шара, п0 — показатель преломления воздуха у по-
верхности Земли, я0 — видимое зенитное расстояние звезды при наблюдении
из точки М. Вычислив из (3) tg (я — р)
и подставив полученное значение в (1),
найдем после интеграции
«со — Яр = — Погй sin «о X
оо
х ------. .(4)
J dr yfnsrl 2 — n^r5 sin3 * * * * В я0
r о
Здесь я^ обозначает угол, образуемый
асимптотой к лучу с вертикалью места.
Разность яоо—я0 дает угол отклонения
направления луча при прохождении
через земную атмосферу и носит назва-
ние рефракции. Зная закон изменения
показателя преломления п с высотой и
измерив видимое зенитное расстояние
звезды я0, можно по формуле (4) вы- Рис. 85.
числить рефракцию яоо — я0 J).
144. Для видимых зенитных расстояний, не превосходящих примерно 75°,
можно пользоваться приближенной формулой:
Ясс — Яр == (п0 — 1) tg Яр.
При Яр = 70° получаем ясо — я0 — 2'46". В Пулковских таблицах для я0 = 70°
находим: яоо — я0 = 2'45", 673.
145. Решение. Так как (п — 1)< 1, то In п = In [1 -f- (n — 1)] п — 1.
Тогда
Mg . г >
CO nr v —“о)
Mg С е
Яоо-Яр= -^ПрГо Sin Яр (Цр-1) y=====rfr,
*\* f It I liftf q bill UQ
Го
где M—молекулярный вес воздуха, R — газовая постоянная, Т—абсолютная
температура. Подкоренное выражение можно заменить приближенным выра-
жением:
п2г2 — n^rl sin3 я0 =
= (nr 4- ПрГр sin Яр) (nr — noro sin я0) n2r0 (1 -f- sin я0) (г — r0 sin я0).
l) С помощью формулы (4) были составлены все точные таблицы рефрак-
ции. Для этого необходимо знать зависимость показателя преломления воз-
духа от высоты. Она определяется из закона изменения плотности воздуха 8
с высотой. В старых теориях принималась формула п2 — 1 = До, где А — по-
стоянная. В новых теориях применяется формула п — 1 = Д6, так как опыт
показывает, что она точнее передает зависимость п от р. Первые таблицы
рефракции были составлены Бесселем, который принял закон: п1 — 1 = Д5.
В настоящее время во всех странах почти исключительно применяются Пул-
ковские таблицы, составленные Гильденом.
204
ОПТИКА
[гл. I
Тогда
оо
Г — (№— х|)
аоо — а0 = 2(п0—l)Xotgao I е “Х,
*о
где
*о ~ “ sin а^’
Для функции
2 С°
Ф (х0) = —— 1 е dx,
называемой интегралом вероятности ошибок, имеются специальные таблицы *),
которыми и можно пользоваться при малых л0.
146. otoo — а0
1) = 35'29".
147. 33 000 км\ 1,6 • 10-» см-1.
148. Решение. Пусть круг АГ радиуса р (рис. 86) представляет путь
светового луча в среде, показатель преломления п которой зависит толь-
ко от расстояния г до точки О. Тогда
1 ' б/
7 = d2v(lnn)== — dr{Xnn} cos&-
Обозначим через b расстояние О А между точкой О и центром А кру-
га К- Тогда
ния ее с окружностью К
&2 = г2 р2 — 2rp cos &.
Определив отсюда cos & и подставив получен-
ное выражение в предыдущее уравнение,
найдем:
.. 2г dr
d (In и) =-„л—а-as >
г2 -f- р2 — b- ’
откуда
(1)
С
П г3 р2 — &2 ’
где С — произвольная постоянная.
Возьмем на окружности АГ произвольную
точку Р и продолжим прямую РО до пересече-
в точке Р' (рис. 87). В середине Ао прямой РР*
восстановим к ней перпендикуляр CD. Из произвольной точки Д этого
перпендикуляра, как из центра, опишем окружность ATi радиуса ръ проходящую
через точку Р (а следовательно, и через точку Р'). Для того чтобы световой
луч описывал окружность АГ1, необходимо, чтобы показатель преломления сре-
ды менялся по закону:
П~ +
(2)
J) См., например, А. А. Марков, Исчисление вероятностей, Государ-
ственное издательство, Москва, 1924. Наиболее полными таблицами являются
«Таблицы вероятностных функций», том 1, Вычислительный центр АН СССР,
Москва, 1958.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
205
§ 1]
где bi означает расстояние AjO, a Ci— произвольная постоянная. Дока-
жем, что формулы (1) и (2) тождественны. Прежде всего установим, что
р2 — Ь3 = р? — Ц.
Из прямоугольных треугольников АОА0 и АРА0 находим:
р2 = РА*0 + &2 = Д0С>2 + ДД2,
откуда
Р2 — = РА*0 — А0О*.
Аналогично, из прямоугольных треугольников AiPA0 и АхОА0 получим:
р? — bl = PAI - АоО2.
Сравнивая это с предыдущим выражением, получаем доказываемое. Таким
образом, мы можем положить:
р2 — &2 = р2 — bl = а2.
Выясним теперь физический
смысл постоянных С и Ср
Полагая в (1) и (2) г = 0 и
обозначая через п0 показатель
преломления среды в точке О,
находим С = С1 = поа*. Зна-
чит, выражения (1) и (2) тож-
дественны, и их можно пере-
писать в виде
Если показатель преломле-
ния среды изменяется по за-
кону (3), то луч света, выйдя
из точки Р, опишет окружность,
центр которой лежит на пря-
мой CD. Положение центра на этой прямой зависит от направления луча
в точке Р. Но каково бы ни было направление луча в точке Р, он всегда
пройдет через точку Р'. Следовательно, все лучи, вышедшие из точки Р, со-
берутся в точке Р'. Иными словами, Р' является стигматическим изображе-
нием точки Р. Подобными свойствами обладает произвольная точка среды.
Действительно, в качестве окружности можно взять любую окружность
из семейства окружностей с центрами на прямой CD и проходящих через
точку Р, а сама точка Р на окружности Д' может быть выбрана где угодно.
Из построения легко найти и увеличение, даваемое «рыбьим глазом» при
изображении какого-либо предмета.
149. р — а.
150. Нельзя.
Решение. Формально движение частицы в консервативном поле сил
происходит так же, как распространение светового луча в неоднородной изо-
тропной среде. Роль показателя преломления играет скорость частицы и.
Поэтому, если .бы можно было осуществить «рыбий глаз» в электрон-
206
ОПТИКА
[гл т
ной оптике, то скорость электронов v в поле должна была бы определяться
выражением
Vo
v =-------
а3
С другой стороны, на основании закона сохранения энергии
mV2 । т/
Д-гУ= const,
где V — потенциал поля. С помощью этого и предыдущего соотношения
можно выразить V как функцию от г. Окажется, что эта функция не удов-
летворяет уравнению Лапласа:
д1,_ &V , d2V , d2V л
дх2 1 dy2 1 dz2
что с помощью электростатического поля в вакууме по-
Отсюда следует, что с помощью электростатического поля в вакууме по-
лучить <рыбий глаз» невозможно. Для этого необходимо наличие простран-
ственного заряда.
151. Решение. Радиус кривизны р траектории движения частицы опре-
деляется из выражения для центростремительного ускорения:
mu3
Т = Л№
где FN — слагающая действующей силы вдоль главной нормали к траектории
частицы. Если U — потенциальная энергия частицы, то FN = — С другой
стороны, по закону сохранения энергии,
mv- I п
~2—h и = const,
откуда
Следовательно,
dv dU
mV лм = — зп.
dN dN
Заменив
получим
152.
лучим:
1 _ 1 dv
р v dN ‘
здесь скорость частицы v через показатель преломления п среды,
искомую формулу для кривизны луча:
1 I dn d
P '~TdN'~dN^nn}'
Решение. Заменяя в формуле для кривизны луча
п на v, но-
1 д а \
На основании закона сохранения энергии
-f- eV = const, e<z0, И>0,
причем, в силу нормировки потенциала const = 0, так как при
Таким образом,
о, , ,, . 1 1 д ,, 1 dV
2 In v — In V 4- const, p 2VdN~~ 2V ’
V = 0 v = 0.
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
207
153. Решение. Входным зрачком системы будет уменьшенное изобра-
жение зрачка глаза, помещенного в апланатическую точку Р'. Передняя
апланатическая точка Рбудет центром входного зрачка. Пусть плоскость АВ,
перпендикулярная к оптической оси, помещена перед апланатической точкой Р
на расстоянии а от последней, которое велико по сравнению с диаметром
входного зрачка. Рассмотрим изображение плоскости АВ, даваемое объекти-
вом. Из каждой точки плоскости АВ через оптическую систему может пройти
конус лучей только очень малого раствора, определяемого размерами вход-
ного зрачка. Так как эти лучи не параксиальные, а, вообще говоря, накло-
нены под большими углами к оптической оси, то пучки будут астигматиче-
скими. В дальнейшем мы пренебрегаем астигматизмом, а также искривлением
плоскости изображения. В этом приближении плоскость АВ изобразится в виде
сопряженной плоскости А'В', перпендикулярной к оптической оси, и можно
следующим способом построить изображение точки.
Из рассматриваемой точки А плоскости АВ проводим луч АР через
центр входного зрачка, образующий с оптической осью некоторый угол и.
Тогда сопряженный с ним луч А'Р' пройдет через вторую апланатическую
точку Р' под углом и1, значение которого определяется условием синусов:
nl sin и = п'Г sin и'. Точка пересечения этого луча с плоскостью А'В' и будет
изображением точки А. Пусть у и z—координаты точки А в плоскости АВ*
а у1 и z1 — координаты точки А'. В таком случае
/ у2 I Z2 /
sin и = I/ —з-, sin и' = I/ —hr-;—,
Г a2-{-y2z2 ' t a'2-\-y'2-\-z'2,
где a' — расстояние точки P' от плоскости А'В1. Подставляя эти выражения
в условие синусов и вводя
обозначение а = — t получим:
а2 (у2 22) (д.8 ^,2) (д2 у у2 у
%* Z
В силу осевой симметрии системы — = —, Исключая с помощью этого со-
отношения z', найдем:
|а2 (д-2 у у-2) 2] у3 _ у8 Ц _ а2) 22 = а2у<^
Рассмотрим в плоскости А'В' прямую у' = ±р, параллельную оси
В плоскости АВ ей соответствует кривая
[<z2a'2 —р2(1 —a2)]j72—р2(1 — а2)г2 = а2р2,
изображением которой является рассматриваемая прямая. Так как для объ-
ективов микроскопов а—малая величина, то пренебрегая ее квадратом по
, Р Р 1'П’
сравнению с единицей и вводя обозначение со = —} получим:
у2 z2
aV а2 ’ <1)
1 — со2
Если <о2с1, то (1) есть уравнение семейства гипербол. Аналогично, семей-
ству прямых г' = ±р, параллельных оси У, соответствует семейство гипер-
бол:
Г ,_____
а2 а2а>2
(2>
1 — <о:
208 оптика [гл. т
получающееся из (1) путем поворота на 90’ вокруг оптической оси системы.
Если на листе бумаги начертить оба семейства (1) и (2) и поместить полу-
ченный рисунок на расстоянии а перед передней апланатической точкой
объектива Р, то объектив даст изображение этого рисунка в виде прямо-
угольной сетки прямых. При ю =—(1) переходит в у2— z2 = aa, а (2) —
У
в z2—у* = а3. Эти гиперболы имеют асимптотами биссектрисы координатных
углов. Следовательно, а есть расстояние от начала координат до вершины
той из гипербол, асимптоты которой совпадают с биссектрисами координат-
ных углов.
154. аг=»7 мм.
155. Решение. Необходимость теоремы очевидна. Докажем ее доста-
точность. Соединим Р и Р' произвольным лучом. Пусть Zt и Z2 — два беско-
нечно малых неколлинеарных вектора, проходящих через точку Р, для кото-
рых удовлетворяется условие косинусов. Тогда разности
n’s'l[ — nsl = Hi, n's4'2 — nsl3 — Н2 (1)
не зависят от направления луча, соединяющего Р с Р’. Но они, конечно,
могут зависеть от направлений векторов Ц и Z2. Произвольный вектор Z,
проходящий через точку Р и лежащий в плоскости предмета, можно разло-
жить по векторам Ц и Z2: 1 = alx bls, где а и Ь, разумеется, не зависят
от S. Введем вектор V = al[ умножим (1) на а и b и сложим. Полу-
чим
n's'l' — nsl = Н, (2)
где И = aHi Д- ЬН>. Отсюда видно, что разность (2) не зависит от s, т. е.
условие косинусов выполнено для произвольного вектора I, проходящего
через точку Р и лежащего в плоскости предмета. Следовательно, этот (пло-
ский) предмет изображается оптической системой стигматически.
156. Решение. Направления отрезков Ц и Z2 примем за координатные
оси X и Y в пространстве предметов, а точку их пересечения — за начало
координат. Аналогичную роль будут играть сопряженные отрезки 1\ и
в пространстве изображений. Тогда координаты х, у любой точки площадки-
объекта будут связаны с координатами х', у' сопряженной точки площадки-
изображения формулами вида
х'— Ах, у'= By, (1)
где А и В — постоянные. Действительно, поскольку площадки бесконечно
малы, координаты х', у' должны выражаться линейно через х и у. Эта связь
должна быть вида (1), так как ось X' является изображением оси X, а ось
Y' — изображением оси Y.
По условию тееремы лучи, выходящие из Р (рис. 88) в направлениях 1{
и Z2, лежат в поле инструмента. В пространстве изображений они пройдут
в направлениях сопряженных отрезков 1{ и Z2. Рассмотрим сначала изображе-
ние отрезков Ц. Возьмем два луча, исходящие из Р в направлениях Z2 и lt.
На основании теоремы косинусов можно написать
nZi cos а — пЧ[ cos а' = nli — n'l[, (2)
где а — угол между отрезками Zt и Z2, а а' — угол между сопряженными отрез-
ками и Z2. Аналогично, рассматривая изображение отрезка Z2, получим:
п1я cos а — п'1я cos а' = п1я — ril'v
(3)
§ 1]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
209
Допустим, что Л = Z2. Докажем, что тогда 1[ «= Г2. В самом деле, вычитание
из (2) (3) дает:
n'l\ (1 — COS а') = n'Z2 (1 — COS а'). (4)
Так как, по предположению, угол а отличен от нуля, то угол а' также отли-
чен от нуля. Поэтому на основании (4) 1[ = Г3, что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что отрезки h и Z2 изображаются оптической си-
стемой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рассматриваемом слу-
чае в формулах (1) А = В, а поэтому увеличение любого отрезка в плоско-
сти предмета не зависит от его направления. Отсюда следует, что изображе-
ние происходит с сохранением подобия.
Но изображение с сохранением подобия характеризуется также сохране-
нием углов. Таким образом, а = а', и формула (2) дает nli = пЧ[. Вообще для
всякого отрезка Z, лежащего в плоскости предмета,
Г п
nl = n4', L. = -, (5)
и вторая часть теоремы доказана.
Следовательно, стигматические изображения площадок, лежащих танген-
циально в поле инструмента, могут происходить только с вполне определен-
Н г.
ным увеличением —. В частности, когда показатели преломления пространств
предметов и изображений одинаковы, это увеличение равно единице. Однако»
если площадки не лежат тангенциально в поле инструмента, то стигматиче-
ское изображение возможно и с другим увеличением. Примером может слу-
жить изображение площадки при преломлении на поверхности шара, когда
изображаемая площадка перпендикулярна к оптической оси и проходит
через одну из апланатических точек шара (см. задачу 77).
157. Сформулированная теорема является непосредственным следствием
теоремы, доказанной в предыдущей задаче.
158. Теорема доказывается так же, как аналогичная теорема, сформули-
рованная в задаче 155.
159. Решение. В случае стигматического изображения элементов объема
всегда существуют три отрезка Zb /2, Zs, не находящиеся в одной плоскости
и лежащие тангенциально в поле инструмента. Повторяя рассуждения, про-
веденные применительно к изображениям элементов поверхности (задача 156),
приходим к заключению, что эти три отрезка изображаются с одним и тем же
увеличением. Отсюда уже нетрудно получить сформулированную теорему
совершенно так же, как было сделано в решении задачи 156.
160. Решение. Пусть Р, Р' — пара сопряженных точек. Докажем тео-
рему сначала для частного случая, когда другая пара сопряженных точек Q,
Q' лежит на одном из лучей, соединяющих Р и Р\ например на луче PQP'
210
ОПТИКА
[ГЛ. [
(рис. 89). Соединим Р с Р' произвольным лучом РАР'. Так как Р, Р' — сопря-
женные точки, то (PAP1) = (PQP1). А так как P'Q', очевидно, является опти-
ческим изображением PQ, то в силу теоремы, доказанной в предыдущей
______________г ___________ pt задаче, (PQ) — (P’Q1). Комбинируя
эти два равенства, получим (РАР')—
У =(4?^'^')» что и требовалось до-
У казать.
Р Общий случай может быть
/ сведен к рассмотренному частному
р gg случаю, если заметить, что произ-
вольные точки Р и Q могут быть-
всегда соединены кусочно гладкой
кривой, отдельные звенья которой являются лучами. Последнее утверждение
непосредственно следует из леммы Гейне—Бореля, если принять во внимание,
что каждой точке пространства в абсолютном оптическом инструменте со-
ответствует конус лучей конечного раствора, сходящихся в-сопряженной точке.
161. Решение. Проведем через произвольную точку О пространства
предметов три луча, лежащих в поле инструмента и не находящихся в одной
плоскости. В пространстве изображений эти три луча пересекутся в сопря-
женной точке О'. Примем эти лучи за координатные оси в пространствах
предметов и изображений. Тогда координатные оси одной координатной си-
стемы будут изображаться координатными осями другой координатной си-
стемы. Без ущерба для общности можно принять, что одноименные оси яв-
ляются сопряженными. В таком случае при надлежащем выборе положитель-
ных направлений координатных
связаны соотношениями:
. п
X' = -г X,
п'
осей координаты сопряженных точек будут
, п . п
У — — У, z' = -у 2
п' п'
(см. решения задач 156 и 159). При постоянных пип' эти соотношения
должны быть справедливы не только для бесконечно малых областей, но для
всего пространства предметов и всего пространства изображений. Отсюда
заключаем, что инструмент является телескопической системой, в которой
всякая прямая изображается в виде прямой.
162. Решение. Рассмотрим случай одной преломляющей поверхности.
Если точка-объект помещена на этой поверхности, то ее изображение полу-
чится в той же точке. Отсюда и на основании теоремы, доказанной в задаче
160, заключаем, что оптическая длина луча, соединяющего любые сопряжен-
ные точки Р и Р', должна быть равна нулю (следовательно, если Р—дей-
ствительная светящаяся точка, то ее изображение будет мнимым). Единствен-
ный случай, когда это условие удовлетворяется при любом положении точ-
ки Р, реализуется при отражении от плоского зеркала.
Случай нескольких преломляющих поверхностей, а также их комбинаций
с отражающими поверхностями сводится к разобранному случаю одной пре-
ломляющей поверхности.
163. См. доказательство предыдущей теоремы.
§ 2. Фотометрия
V 2
164. Л = ~- м.
165. Точная величина освещенности 5 = «
/?8 4- а8
диска, a d —- расстояние от диска. При d =10/? Е =
где I — сила света
1
1,0 Id8 ’
§ 2]
ФОТОМЕТРИЯ
211
166. /о = - g°8 q > где 9 — угол между лучом и вертикалью.
167. Яркость поверхности шара всюду одинакова, за исключением того
места, на которое падает параллельный пучок лучей.
168. Яркость изображения приблизительно пропорциональна отношению
площади отверстия зеркала к фокусному расстоянию.
169. Решение. Пусть 8 — видимая площадь фонаря, В — его поверх-
ностная яркость, аг — расстояние фонаря от глаза наблюдателя. Световой
поток, посылаемый фонарем в глаз наблюдателя, определяется выражением
. DSz
ф — —
Г2 т
где а — площадь зрачка глаза. Если 8' — площадь изображения на сетчатке,
то освещенность сетчатки Е будет равна
Е=*=вД®.
S’ г2 S’
S'
Отношение -х- представляет собой квадрат увеличения, даваемого глазом,
/ d V
и равно ( — } , гле — глубина глаза, а п — показатель преломления стекло-
видного тела глаза. Таким образом,
О а (ПГ па«3
С -- D ‘ Q I « ) - ,q' -
г2 \ d / da ’
т. е. освещенность сетчатки не зависит от расстояния до фонаря (см. реше-
ние задачи 183). О поверхностной яркости фонаря мы судим по освещенно-
сти сетчатки. Поскольку последняя не зависит от расстояния до фонаря,
одинаковые фонари, находящиеся на разных расстояниях от глаза, должны
казаться одинаково яркими. Это заключение справедливо, если можно пре-
небречь поглощением света в воздухе, что и было сделано при выводе. При
наличии поглощения фонарь кажется тем ярче, чем ближе он находится.
При достаточно большом удалении фонаря величина изображения фо-
наря на сетчатке благодаря явлениям дифракции не зависит от расстояния
до него, и освещенность сетчатки (если пренебречь поглощением) изменяется
обратно пропорционально квадрату расстояния до фонаря.
170. Е = пВ.
kS kl
171. = arctg J-, a3 = arctg j-.
Л { D\3 ~D
172. 5 ==--£- E= 1,5- 10е сб. 173. E = -g = ll • 10* лк.
it \ D j к
174. E = Eo = 2,58 • 108 лк.
4/2a2
7
175. Освещенность уменьшится в 1 -у раза.
(2А \ и
1----ту)------— — 3,4 раза.
и / п — у П2 — 1
177. В = В' (см. решение задачи 183).
212
ОПТИКА
[гл. Г
178. Яркость изображения в первом случае не зависит от диаметра
линзы, а во втором пропорциональна квадрату диаметра (для параксиальных
лучей).
179. 1) 1; 2) 1; 3) 0,25. вообще яркость В=\ при и
/ 1 Z)\а п
В = — \ при — , где Л7увеличение трубы, D — диаметр объек-
тива, a d— диаметр зрачка глаза.
180. D = 100 мм.
181. 1) Четырнадцатая; 2) шестидесятикратное; 3) девятая-десятая.
182. Двадцатой.
183. Решение. Рассмотрим произвольную оптическую систему, край-
ним элементом которой является глаз. Пусть эта система удовлетворяет
условию синусов
пу sin и == п’у' sin и',
где у и у' — линейные размеры объекта и его изображения на сетчатке
глаза, п и ri— показатели преломления пространства предметов и стекло-
видного тела глаза (на рис. 90 глаз и изображение на сетчатке не показаны).
Условие (1) должно выполняться для любого угла наклона и, но в дальней-
шем под и мы будем понимать угол, образуемый с оптической осью край-
ними лучами, которые еще могут пройти через оптическую систему и по-
пасть на сетчатку глаза.
Если яркость объекта В постоянна, то световой поток, попадающий в
систему, будет
и
Ф == BS У cos ft 2л sin 8 dft = nBS sin2 и,
о
где S — площадь объекта. Световой поток, попадающий в глаз:
и'
Ф '= B'S' i cos ft • 2л sin ft d& = ~B’S' sin2 u't
где В’ — яркость изображения, a S’ — его площадь. Если пренебречь поте-
рями света при прохождении через систему, то Ф=Ф'. Так как S^y2,
S'~J’'2, то отсюда и из (1) получаем:
§ 2]
ФОТОМЕТРИЯ
' 213
Субъективная или зрительная оценка яркости определяется освещенностью
сетчатки:
Ф n'2
E = = nB' sin2 u' = ~B —s sin2H'.
S n2
(3>
Определим ширину пучка d', вышедшего из О под углом и, непосред-
ственно за окуляром. (Обычно изображение у2 получается в переднем фокусе
окуляра, так что за окуляром пучок световых лучей параллелен.) Так как
угол н2 всегда мал, то
n . 2an sin a
d = 2au2 = 2a sin u2 =---------y.
У2
где a — расстояние от точки O2 до передней главной плоскости окуляра,
причем мы воспользовались условием синусов для точек О и О2. Введем
увеличение микроскопа N, равное по определению отношению угла а', под
которым предмет виден в микроскоп, к углу а, под которым он был бы ви-
ден невооруженным глазом, если бы был помещен на наименьшем расстоя-
нии ясного зрения L. (Для среднего глаза L«=s25 см.) Считая эти углы ма-
лыми, можем написать
Ct “ j . Ct —
L ’ a ’
откуда
2. ——_L_L
у2 a' a N а *
Следовательно,
„ 2Ln sin и
“=—N-
(4)
Следует различать три случая.
1 случай. Максимальное ограничение светового пучка производит
зрачок глаза: d' равно диаметру зрачка d, однако угол и меньше предель-
ного угла нтах, допускаемого апертурой микроскопа. В этом случае угол и'
определяется только диаметром зрачка и не зависит от увеличения. Согласно
(3) не зависит от увеличения освещенность сетчатки Е, а с ней и зритель-
ная оценка яркости. Рассматриваемый случай соответствует относительно
малому увеличению. Такое увеличение не выгодно, поскольку при нем ис-
пользуется не вся апертура объектива микроскопа. Примером разобранного
случая является невооруженный глаз. Здесь зрительная оценка яркости не
зависит от расстояния: предметы с одинаковой поверхностной яркостью, по-
мещенные на различных расстояниях, воспринимаются глазом также как
одинаково яркие.
2 с л у ч а й.. Зрачок глаза и оправа объектива одинаково ограничивают
световые пучки: d' = d, и = нтах. Согласно (4) увеличение в этом случае
равно
2Ln sin
^=^норм= -------
и называется нормальным увеличением. Применение больших увеличений не
может повести к увеличению разрешающей способности оптической системы:
микроскоп—глаз1). Полагая d = 2 мм, L = 25 см, получаем:
^норм = 250/г sin umax.
(5)
(б)
*) См. Г. С. Ландсберг, Оптика, издание четвертое, §§ 86, 87, Гос-
техиздат, Москва, 1957.
214
ОПТИКА
[гл. т
3 случай. Максимальное ограничение световых пучков производит
справа объектива: d' < d. Угол и' (пропорциональный d'} уменьшается в
отношении • В этом же отношении, согласно (4), увеличивается N.
Для освещенности сетчатки (3) дает:
/ W \2
pw , ,7)
— ^норм \ ДГ / ’ '
где Енорм — освещенность при нормальном или меньшем увеличении.
Таким образом, если 7Уг^/Унорм, то освещенность сетчатки не зависит
от увеличения; если же N >> /Унорм, то она обратно пропорциональна квад-
рату увеличения.
Освещенность равна: 1) 0,16; 2) 0,0625.
184. Е = пВ. 186. О,13°/о. 187. Около 2«/0.
188. Ё* = 5,8 - lO^CGSE; Ё 0,024 CGSE == 7,2в • слг1.
189. ТР = 5,8 • 10-4 CGSM; 7/ «= 0,024 эрстед.
190. /7^0,85 эрстед.
§ 3. Интерференция и дифракция света
191. " U 4/ - \,
т \ V ) т \ V /
Для монохроматической волны
W = 4% cos (®7 — kr 4- 8),
еде k = — п — волновой вектор.
V
<?(t---—----------------------
192. 1) ф = 2) Ф =-А• *
/? ’ у г
194. Когда плоскости колебаний обеих волн взаимно перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим сложение колебаний, соответствующих обеим
волнам, в некоторой точке пространства. Пусть первое колебание происхо-
дит по закону:
= Ai cos <о7,
а второе — по закону:
Е2 =z А2 cos —[- 8).
Результирующее колебание будет определяться выражением
Е = Ei + Е2 = Ai cos at + А2 cos (at 4- 8),
откуда
Е2 = Af COS2 at 4- Al COS2 (at 4- 8) 4- 2AiA3 COS at cos (at 4- 3).
Чтобы получить интенсивность /, надо усреднить это выражение по времени.
Это дает:
/ = Ai 4* 2 Al 4- 2 (Д1Д2) cos at cos (at -j~ 8),
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
215
где черта означает усреднение по времени. По условию задачи последний
член должен обращаться в нуль, каков бы ни был угол о. Это возможно
только тогда, когда ЛгЛ2 = 0, т. е. колебания должны быть взаимно перпен-
дикулярны.
195. Р е ш е н и е. Интерферирующие волны можно записать в виде:
cos (®t — kj + 8i),
W2 = 4"o cos (W — k^f o2).
Отсюда
Ч- = Ч\ + 4-a = 2T0 cos r + cos (<o* — kr),
где
ДА = ki — ki, k = .
Максимумы интенсивности получаются там, где выражение
/ДА . 81 —М
cos Ф = cos I г + 2 I
обращается в максимум. Так как Ai = A2 и угол % между векторами At и
А2 мал, то приближенно можно написать:
| ДА | ₽« А? = у- ср,
откуда для Дх следует приведенное в условии задачи выражение.
196. Примем за ось X линию пересечения плоскости падения с пло-
скостью экрана. Тогда
лсрх — 8а
Ф = -р COS ft + ,
где & — угол падения. При смещении вдоль оси X на ширину полосы Дх
величина Ф должна меняться на л, что дает
ср COS ft*
197. k = ^ = 5 • 10~8 (Mi=5000 А.
а
198. ncl=r? + A'r у = 1,000865. Полосы интерференции смещаются в
сторону трубки.
199. а^^ + ^Э'Ю11.
2гДр
200. р = = 2,8 мм.
* (а + г)
202. Поверхности равной интенсивности: 1) гиперболоиды вращения;
2) гиперболические цилиндры.
216
ОПТИКА
[гл. г
203. р = /пХ • ? + \
2а (п — 1) а
204. Нет. Световые пучки, идущие от обеих половин билинзы, не пере-
крываются.
205. а = 0,6 мм.
206. Интерференционные полосы исчезнут, если удалить экран от билинзы
на расстояние не менее L = ~~ = 50 м. Максимальное число полос N— =
= 60 получается при удалении экрана от билинзы на yL = 25 м.
207. Дх = — ..
2 (И — 1) а
А_ 4D(n — 1)2а2
0,5 мм; N= ------------—т— ------= 10.
Л
208. Максимальное число полос — - —= 40 получится при удалении
экрана на D = = 20 м от
бипризмы. Полосы исчезнут, если удалить
экран от бипризмы не менее чем на 2D = 40 м.
209. N =
4ab
а4-Ь
(п — I)2 а2
X
210. На пути луча SCA4 надо поместить более тонкую пластинку из
того же материала, что и Р. Опыт показывает, что ахроматическая полоса
в этом случае по-прежнему остается темной.
X
211. !)/< — , где I—размер источника в направлении, параллельном
линии, соединяющей его изображения в зеркалах Френеля, ср — угол, под
которым видны эти изображения из точек экрана, где должны получаться
полосы интерференции. 2) Размер источника в направлении, перпендикуляр-
ном к плоскости зеркала, должен быть мал по сравнению с расстоянием
источника до зеркала.
212. DC —^0,05 мм. 213. />^-^100 см.
а К
214. Пучность:
4 = 1,25 • 10 5 см; узел: А = 2,5 • 10~5 см.
4 ’ J 2
215. В первом.
216. Так, чтобы линза давала на экране изображение пленки.
217. Решение. Если бы пластинка была абсолютно прозрачна, а свет
строго монохроматичен, то интенсивность отраженного света весьма резко
менялась бы при изменении толщины пластинки на величину порядка длины
световой волны. Она определялась бы разностью хода между волнами, отра-
зившимися от верхней и нижней поверхностей пластинки. Значит, в случае
строгой монохроматичности света и абсолютной прозрачности пластинки при
беспредельном увеличении толщины последней интенсивность отраженного
света действительно периодически изменялась бы с толщиной. Однако в
природе не существует ни абсолютно прозрачных сред, ни строго монохро-
матических волн.
Если среда обладает поглощением, хотя бы и очень малым, то волна,
вступившая в пластинку, при достаточно большой толщине последней не
§ 3] '
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
217
достигнет нижней поверхности пластинки, а поглотится в ней. В этом слу-
чае интенсивность отраженной от пластинки волны будет определяться фор-
мулами Френеля.
Для прозрачной пластинки парадокс устраняется, если принять во вни-
мание, что свет, падающий на пластинку, не строго монохроматичен. Дей-
ствительно, чтобы наблюдалась интерференция между волнами, отразивши-
мися от передней и задней поверхностей пластинки, необходимо, чтобы
спектральная область АХ, занимаемая падающим светом, не превосходила
величины 8Х = , где N — порядок интерференции. При увеличении тол-
щины пластинки порядок интерференции N растет, а ВХ уменьшается. Зна-
чит, поскольку. ДХ конечно, при достаточно большой толщине пластинки
интерференция волн, отразившихся от верхней и нижней поверхностей плас-
тинки, не будет наблюдаться. Поэтому при дальнейшем увеличении толщины
пластинки интенсивность волны, отраженной от пластинки, не будет изме-
няться, хотя она и не будет определяться формулами Френеля, поскольку
световые волны внутри пластинки претерпевают многократные отражения
от ее поверхностей.
В нашем рассуждении молчаливо предполагалось, что падающая волна
является плоской в строгом смысле этого слова. Нетрудно показать, что
парадокс исчезнет, если отказаться даже только бт одного этого предполо-
жения и принять строгую монохроматичность света и абсолютную прозрач-
ность материала пластинки.
218. Темной.
Решение. Разность хода между лучом, отразившимся от нижней по-
верхности пленки, и лучом, отразившимся от ее верхней поверхности,
равна 2dn cos ф ± • Слагаемое — учитывает «потерю полуволны», т. е.
поворот фазы на л при отражении от границы пленка—воздух. Первый член
достигает максимума 2dn при нормальном падении (ф = 0). Полагая
d = -^X; п= 1,3,
получим для разности
хода
при нормальном падении
^0,26 ±'2J X. Это соответствует разности фаз приблизительно (90° ±180°).
Если дальше уменьшать толщину пленки, то разность фаз будет стремиться
к ± 180°, и рассматриваемые лучи, интерферируя между собой, почти цели-
ком погасят друг друга.
219. Приблизительно при —= 10 5 см.
220. Чтобы пленка приобрела зеленоватый цвет, необходимо, очевидно,
ослабить синие и красные лучи с длинами волн примерно 0,4 и 0,6 микрона
(в воздухе). Этому соответствует толщина пленки около 0,00050 мм.
221. При отражении света на границе стекло — воздух электрический век-
тор не испытывает изменения фазы, а при отражении на границе воздух —
стекло меняет фазу на 180°.
222. Решение. Каково бы ни было расположение линз, свет либо те-
ряет полволны при отражении на обеих границах раздела масла с поверхно-
стями линз, либо совсем не теряет. Поэтому разность хода между лучами,
отразившимися от поверхностей линз в месте их соприкосновения, равна ну-
лю. Эти лучи при интерференции усиливают друг друга. Поэтому центр ко-
лец в отраженном свете светлый, а в проходящем — темный,
223. Д/= 0,32 мм. 224. / = 137 см.
225. /? = 1 м; Хкр = 0,7 микрона.
218
ОПТИКА
[гл. I
vSv-5 1
226. f = • 7-----= 54 см. 227. г = 0,63 мм.
Х{-\-х1 (п—1)/лХ
228. В обоих случаях будут наблюдаться две системы полуколец, примы-
кающих друг к другу. В одной системе центр темный, в другой — светлый.
Картина в проходящем свете будет дополнительной по отношению к картине
в отраженном свете. (Ср. решение задачи 221.)
231. Решение. Каждое кольцо Ньютона можно определить как линию,
вдоль которой разность хода между интерферирующими лучами постоянна.
Легко видеть, что при удалении линзы от пластинки «кольца постоянной
разности хода» будут сжиматься к центру картины, а при приближении —
расширяться от центра. Центр картины попеременно будет темным и светлым.
232. Решение. Двум длинам волн соответствуют две системы колец
Ньютона с незначительно отличающимися размерами. Если линза соприка-
сается с поверхностью пластинки, то в центре картины светлые (темные)
кольца одной системы практически совпадают со светлыми (темными) коль-
цами другой системы. Поэтому вблизи центра кольца видны почти так же рез-
ко, как при монохроматическом свете. Но при некотором удалении от центра
светлое кольцо одной системы может совпасть по положению с темным коль-
цом другой системы. В соответствующем месте кольца Ньютона не будут
видны, а в окрестности этого места они будут видны не резко.
Определим номер N светлого кольца для длины волны Х2, которое совпа-
дает по положению с (jV-(-I)-m темным кольцом для длины волны Хь Пер-
вому темному кольцу (точнее центральному темному пятну) для длины волны
Xt соответствует разность хода-^-, второму темному кольцу — разность хода
+2^ и т- наконец, (N 1)-му темному кольцу — разность хода +у.
Та же разность хода A7Xt-)--^-, очевидно, должна равняться так как мы
требуем наложения ЛАго светлого кольца для длины волны Х2 на (AZ-f’O"6
темное кольцо для длины волны Xj. Итак,
Nh + у- = Mh,
откуда
=_________
2(Х2-Х1)
5890
12
^490.
Отсюда следует, что кольца пропадут в окрестности четыреста девяностого
кольца. Легко видеть, что они опять будут резкими в окрестности 2-490 =
= 980-го кольца. При удалении линзы от пластинки кольца стягиваются к
центру (см. решение предыдущей задачи). Если линзу переместить на 490Хь
то через поле зрения пройдет 490 колец, и в центре картины кольца исчез-
нут. При перемещении линзы на 2-490Xj = 980Х. кольца в центре снова бу-
дут резкими, при перемещении на 3-490Xi = 1470Ai — опять пропадут и т. д.
T = ®'U = 6’02A- =
/ j \2 ЛХ 1 InLY1
235. 4 =2500; ^^47 = 4-10“‘. 236. Л as -т-1 = 5625,
\d ' X N \d/
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
219
238. Решение. Обозначим через V скорость электрона относительно
среды, а через v — фазовую скорость света в среде. Движущийся электрон своим
полем возмущает молекулы или ато-
мы среды, благодаря чему они ста-
новятся источниками световых волн.
Пусть А и В — произвольные
точки среды на пути движения
электрона, а Р — достаточно уда-
ленная точка наблюдения (рис. 91).
Пусть в момент времени t = 0 све-
товая волна, возбужденная элек-
троном, вышла из А. В точку на-
блюдения Р она придет в момент
АР
времени . Такая же вол-
на выйдет из В позднее на —- сек.
В точку наблюдения Р она придет
мен, таким образом, равна
. 4 АВ АР—ВР
Г® — 11 — —-----------.
V v
Для достаточно удаленной точки Р можно положить АР—BP — АВ cos ft.
Итак,
в момент ^. = -г/ + —- . Разность вре-
Если —cos ft 0, то каждой точке А можно привести в соответствие
такую точку В, что волны, вышедшие из А и В, придут в Р в противополож-
ных фазах и погасят друг друга. Если же
cos » = y« (О
то при любом положении точек А и В волны, вышедшие из них, придут в Р
одновременно и будут усиливать друг друга. Следовательно, в направлении,
определяемом условием (1), электрон будет излучать. Излучение возможно
лишь при V>v, т. е. когда скорость электрона превосходит фазовую ско-
рость света в среде.
239. 1) rm j/"2) п =0,15 см.
240. 1) гт^ Уbtnk; 2) Г1= 0,212 см.
241. На расстоянии 1,2 м.
242. /=90 см; rj = 0,672 мм. Изображения, т. е. максимумы, располо-
женные на оси пластинки, отодвинутся от последней.
243. Z«=4/o. 244. 1^10. 245. 1^10.
246. у' = ^=10,5 мм. Опыт был поставлен Полем с параметрами,
указанными в задаче. Чтобы опыт
ностей h удовлетворяла условию
но заменить диском при условии у
удался, необходимо, чтобы глубина неров-
h < = 180Х «=; 0,1 мм. Шар мож-
D а 4- b * г
2а
< D
ab'k
г
1 м.
220
ОПТИКА
[гл. I
2m + 4
247. h — 2(п— i) « = 0, 1, 2,...
248. Энергия перераспределяется, причем в одних точках плоскости изоб-
ражения плотность светового потока возрастает, а в других убывает. Весь по-
ток через плоскость изображения возрастает в 2 раза.
249. г =
. Центр колец темный, если т — четное число, и
светлый, если т — нечетное число.
Решение. Освещенность в центре дифракционной картины можно
найти, разбивая волновую поверхность АСВ (рис. 92) на зоны Френеля. Если
в ней уложится четное число зон Френеля, то в Р получится минимум осве-
щенности; если нечетное — максимум. Построим сферу радиуса РА с цент-
ром в Р. Число зон Френеля на вол-
новой поверхности АСВ, очевидно,
равно длине CD, деленной на —.
Отсюда легко получить результат,
приведенный в ответе.
250. г =
тк
----j-> если a>f\
а
------у- , если a<Zf. Центр •
~а~Т
колец темный, если т — четное число,
и светлый, если т — нечетное число.
Решение. Метод решения задачи такой же, как и предыдущей задачи.
Разница только в том, что теперь сферическая волна не расходится, как было
раньше, а сходится к точке S (рис. 93). Зоны Френеля для точки Р строят-
ся поэтому с вогнутой стороны сфе- I
рической волновой поверхности. Чис- I
ло зон, укладывающихся в отвер-
стии диафрагмы, будет равно дли- \ '
не CD, деленной на с ^\Р
(-1 у S
251. а=~ = 10 лг; \
п 'ч /
Ь= ^ = 20 м.
252. ? 1/"у = 3,6-10-» рад = Рис. 93.
= 0,0075”, h < у= 14 м.
Угол ср получен в предположении, что можно измерить угловое расстояние
между двумя точечными звездами, когда дифракционные картины от них
сдвинуты друг относительно друга на величину порядка ширины полосы. Ука-
занный предел может быть уменьшен приблизительно раз в десять.
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
221
253. Центр колец будет темный.
Решение. Построение зон Френеля для расходящейся сферической
волновой поверхности (рис. 94) показывает, что при свободном распростране-
нии волны действие всей волны в точке Р равно половине действия централь-
ной зоны и что вторичные источ-
ники Гюйгенса должны опережать
по фазе световые колебания на вол-
7С
новой поверхности АСВ на .
Если бы это было не так, то мы
получили бы неправильное значе-
ние фазы колебаний в точке Р. До-
пустим, например, что вторичные
источники Гюйгенса на волновой
поверхности совпадают по фазе со
световыми колебаниями на ней.
Пусть CiCC'i — центральная зона
Френеля. Поскольку волны, иду-
щие в Р из центра этой зоны,
проходят меньшее расстояние, чем
волны, идущие из ее краев, расчет
по методу зон Френеля дал бы
Рис. 94.
неправильное значение фазы колебаний в
7С
точке Р, а именно на у меньше истинного. Чтобы такую ошибку устранить,
. л
достаточно увеличить фазы вторичных источников на — по сравнению с
фазой световых колебаний на волновой поверхности АСВ.
Построение зон Френеля, разумеется, сохраняет смысл и для сходящейся
сферической волны (рис. 95). Понятно, что в этом случае фазы вторичных
источников Гюйгенса также должны опережать фазы световых колебаний на
ГС
сферической волновой поверхности на
Пока точка наблюдения лежит
фазе колебания, приходящие из ее середины, на
между серединой централь-
ной френелевой зоны и цен-
тром 3 сферической волно-
вой поверхности, мы не
получаем ничего существен-
но нового: колебания при-
ходят в эту точку раньше
от середины центральной
зоны, чем от ее краев. Дело
меняется, когда точка на-
блюдения Р(рис. 95) отстоит
от середины центральной
зоны дальше центра 3. Те-
перь колебания, приходящие
в S от краев центральной
зоны, будут опережать по
гс, а результирующее ко-
лебание всей центральной зоны придет с опережением на -%. Если учесть
еще опережение по фазе вторичных источников Гюйгенса, то мы придем к
заключению, что при прохождении сферической волны через ее центр фаза
колебаний как бы меняется скачком на гс. Только учет этого скачкообраз-
ного изменения фазы позволяет избежать физически неприемлемых выводов
относительно распространения сферических волн,. Сходящаяся сферическая
222
ОПТИКА
[гл. I
волна сначала стягивается в точку S, а затем становится расходящейся.
Получается наложение двух сферических волн, из которых одна распро-
страняется к центру, а другая от центра. Эти волны в центре 5 имеют
противоположные фазы, благодаря чему там не получается бесконечно
больших амплитуд колебаний, как это было бы при всяком ином соотно-
шении фаз.
Все эти выводы, строго говоря, относятся к случаю свободного рас-
пространения сферических волн. Когда волна ограничена диафрагмой, они
остаются также справедливыми, если только точка наблюдения Р на-
ходится не слишком близко от фокуса геометрического схождения лучей.
В окрестности фокуса наблюдается сложное распределение амплитуд
и фаз светового поля. Но если исключить из рассмотрения эту окрест-
ность, то окажется, что окончательный результат получится такой же,
как если бы фаза волны при переходе через фокус увеличивалась скач-
ком на л.
Теперь решение задачи очевидно. Сферическая волна, идущая снизу
(рис. 25), проходит через фокус S" прежде, чем она попадает на экран. Вол-
на же, идущая сверху, попадает на экран, не проходя через свой фокус S'.
255. о (cos а— cos а0) = т\, где а — ширина щели, а—угол скольжения,
соответствующий минимуму, а т— целое число (положительное или отри-
цательное).
256. L — 3,5 см.
257. В центре интенсивности, вообще говоря, не равны; вне центра ин-
тенсивности равны (теорема Бабине).
258. Решение. Рассмотрим щель той же ширины, что и черный экран.
Если на щель и экран падает одна и та же плоская волна, то количество
энергии, поглощенной экраном, будет равно количеству энергии, падающей
на щель. По принципу Бабине интенсивности света во всех направлениях,
за исключением направления падающей волны, в обоих случаях одина-
ковы. Следовательно, одинаковы и энергии, рассеянные экраном и щелью.
Но в случае щели вся энергия рассеивается. Значит, энергия, поглощенная
экраном, равна энергии, рассеянной им.
259. / = С
. (Nnd . „
sin —т— sm v
\ к
(nb а
sm -у- sin о
-т- sm о
Л
где С — постоянная, а &—угол между нормалью к решетке и заданным
направлением, к которому относится интенсивность /.
Решение. Так как требуется рассчитать распределение интенсивности
в дифракционной картине Фраунгофера на решетке, то можно считать, что
экран, на котором наблюдается эта картина, отодвинут достаточно далеко.
Лучи, приходящие из различных щелей решетки в любую точку экрана,
можно считать параллельными. Выберем такую точку на экране, чтобы при-
ходящие в нее лучи образовывали угол & с нормалью к решетке. Разность
, . „ 2nd sin &
фаз между соседними интерферирующими лучами будет равна о=----------.
На векторной диаграмме колебание, приходящее в рассматриваемую точку
от какой-либо щели решетки, можно изобразить вектором. Эти векторы
образуют ломаную линию с равными звеньями и равными углами (рис. 96).
Результирующее колебание изобразится геометрической суммой всех этих
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
223
векторов. Сложение векторов на плоскости формально тождественно со
сложением комплексных чисел. Если первый вектор изобразить комплекс-
ным числом а, то последующие изобразятся комп-
лексными числами aefi, ae-J'6 и т. д. Их сумма
равна:
А = а Ц +е'Ч- ей$ +... + ei(N~ ° 8] =
1-е'™
~а 1 — 6?/» ‘
Квадрат модуля комплексного числа А дает отно-
сительную интенсивность света в рассматривае-
мой точке экрана:
2-(е'™+е~^8) _ . |2 1- cosQVo)
2 — (е/8— l«l i—cos5 •
Так как | а ]а определяет интенсивность дифрагированного света на одной
щели, то по известной формуле
И2 = С
-г- sm &
Л
Подставляя это значение в предыдущее выражение, легко получить ответ.
260. Nd sin & = пХ, но d sin АХ, b sin & =/пХ, где n,m,k — целые числа.
Условие минимума—выполнение хотя бы одного из этих равенств.
261. d ( sin & — sin &0) = лХ.
Если d^>n\, то условие максимума принимает вид:
d cos &о • (& — &о) пК •
т. е. постоянная решетки как бы уменьшилась по сравнению со случаем
нормального падения и стала равной d cos&0 вместо d. При этом углы &—&0,
определяющие направления на максимумы, отсчитываются от направления па-
дающего света (или отраженного в отражательной решетке).
262. Х = 0,573 А.
263. Если угол падения близок к л/2, зеркальное отражение наблюдается
всегда. При малых углах падения зеркальное отражение может наблюдаться,
если шероховатость поверхности <!Х.
Решение. Пусть падающие лучи образуют угол & с нормалью к пло-
скости, изображенной на рис. 97 пунктирной линией. Рассмотрим интерферен-
цию вторичных волн, исходящих от поверхности тела под углом к нор-
мали. Разность хода каких-либо двух лучей, идущих в рассматриваемом
направлении, определяется выражением
А = AD — ВС — а ( sin &' — sin &) 4- h (cos 4- cos &).
Здесь а может принимать какие угодно значения. Поэтому если
то разность хода А может принимать также какие угодно значения, и при-
том для неправильной поверхности тела эти значения будут встречаться
224
ОПТИКА
[гл. т
одинаково часто. Это показывает, что правильное отражение, если таковое
возможно, может происходить лишь под углом 9' = Я. В таком случае
Д = 2й cos S.
Отсюда видно, что, каково бы ни было й, можно подобрать достаточно боль-
шой угол &, для которого Д<;Х. При этом условии отражение будет пра-
вильное. При нормальном падении Д = 2й, и правильное отражение возмож-
но лишь при соблюдении условия й << X.
264. Не могут. 265. т = ^; п — \, 2,...
266. Исчезнут: 1) спектры порядков 2, 4, 6 и т. д.; 2) спектры поряд-
ков 3, 6, 9, .. . ; 3) спектры порядков 4, 8, 12,...
267. Максимальный порядок равен наибольшему из целых чисел, не пре-
d
восходящих -г-.
Л
2£8. Х== 6481 А.
269. При нормальном падении Xmax = d. Период решетки должен быть
не менее 0,01 см, т. е. решетка должна иметь не более 10 штрихов на 1 мм.
При скользящем падении на пропускающую решетку Xmax = 2d.
270. Углы дифракции не меняются, интенсивности стремятся к нулю.
271. Углы дифракции не меняются, интенсивности стремятся к нулю.
272. й = О2.ОТ X; т = 1, 2, 3, ...
2 (п — 1)
Интенсивность нулевого главного максимума равна нулю.
273. Главные максимумы системы из двух решеток будут на тех же
местах, что и у одной решетки, но интенсивность каждого главного макси-
мума изменится в 4 cos2 cos & раз, где & — угол между нормалью к
решетке и направлением на главный максимум.
275. Если угол между нормалью к ряду вибраторов и направлением на
главный лепесток & = £>Z-|-&, то
Д<р = — sin -J- 6) ~Г 2пт; т = 0, 1; +. 2, ...
Л
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ Й ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
225
276. 1) 8,1 угл.сек/N, 2) 0,0197 jwjw, А; 3) 50,7 к/мм.
277. Около 0,12 мм.
278. D — —о- = --,П — = 0,63 • 104 рад/см=13 угл. сек/А а
“ cos if / /пХ\'1
d у
279. 600 штрих!мм. 280. AS = —--—-,
r Nd cos »
281. Около 1000. 282. 12 000 и 48 000. 283. Нет.
284. Разрешающая способность не изменится. Дисперсионная область
уменьшится вдвое.
285. = 0,001 с*-
' Nd ’
286. тлХ = 2Л /и2 — cos2 е,
верхностью пластинки.
. ., х dn
где е — угол между выходящим лучом и по-
287. D =
Хе
АХ = ——-
2Л Г(л2
288. г=£]/п2 — = 17.
2Л
289. Минимальный порядок
рядок т2 = = 62 400.
290. АХ = 0,098 А;
т1==
47 200, максимальный по-
852 000.
X И/ 9
6Х “ х
291. Де
2Ле
292. Разрешающая
уменьшится вдвое.
293. Разрешающая
область не изменится.
5',4.
способность не изменится, дисперсионная область
способность увеличится в два раза, дисперсионная
294. Пластинка с большим показателем преломления имеет большую
разрешающую способность, но меньшую дисперсионную область.
X2
295. L = ,-7-77-Г7- = 2,5 см.
(л2 — 1) 8Х
296. Будет наблюдаться система пятен, расположенных в узлах прямо-
угольной сетки.
. х . X rfcp т ,, X X2
297. 2Л cos ср =/пХ; Дер = — ; v]= — ftt—.-----; ДХ = — = —---------,
т т 27г sin ср rfX 2Л sm <р т 2h cos ср
298. ДХ = 0,125А. 299. т^ 36 300.
300. () щ = --А = 10 000; 2)6=А=5гд
X а
8 В. Л. Гинзбург, Л. М. Левин и др.
226
ОПТИКА
[гл. I
301. Около 1000. 302. Около 1 см.
303. Решение. Пусть ВХ — минимальная разность длин волн двух спек-
тральных линий, разрешаемая призмой при бесконечно узкой коллиматорной
щели. Согласно формуле для теоретической разрешающей способности
X I dn I
вх =яа |dX |’
разность показателей преломления для этих спектральных линий равна
Благодаря различию в показателях
Рис. 98.
Далее, из sin ср2 = п sin ф2 находим
пучка:
sin ф2 , псозф2
Вср2 = ---!— on Ч-------с
COS <р2 1 COS
преломления первоначально параллельный
пучок лучей по выходе из призмы сде-
лается расходящимся. Рассчитаем угло-
вое расхождение вышедшего пучка в
предположении, что на призму падал
параллельный пучок. Имеем (рис. 98):
sin cf! = ii sin фь
Отсюда при постоянном ср!
on • sin 'L4 Д- п cos = 0.
Так как <4 +'Ь =-<4 = const, и следова-
тельно, В'4 4~ йфз = 0, то
Вп • sin cpi = п cos <!<! • оф2.
искомое угловое расхождение вышедшего
. ! sin ф2 п cos ф2 sin \ .
tb I - I - — —— j 0/2
T \COS<p2 COS<p2 ncos^i/ ’
а при установке на угол наименьшего отклонения (срх = ср2 = ср; = фа — ф):
. _ sin ф . sin ф X
Вер., = 2----- on — 2---1----.
1 cos <р cos <р а
использования теоретической разрешающей способности призмы
b х
Для полного
необходимо, чтобы угловая ширина коллиматорной щели « = ^ была мала по
сравнению с
B<p2. Это дает:
cos ср а
А
Для — = ф = 30°, п=1,73 получаем:
b < 2 f~- = = 2,5 • 10-8 ло/.
4 — п1 а а
304. Спектр будет пересечен темными линиями, имеющими форму отрез-
ков семейства парабол у2 — Стх (т = 0, 1, 2, ...), где С — постоянная, зави-
сящая от параметров установки. (Начало координат помещено в центре нью-
тоновых колец, ось X направлена перпендикулярно, а ось Y—параллельно
щели спектрографа.) Все параболы имеют общую вершину х = 0, _у = 0,
которой соответствует X = 0. Отрезки парабол от вершины до фиолетового
конца спектра не воспроизводятся на опыте. Если щель сдвинуть от центра
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
227
колец на а, то семейство парабол перейдет в уа = Стх — аа, где С—та же
постоянная. В этом случае параболы с различными т имеют разные вершины,
и могут быть получены те части парабол, на которых находятся вершины.
При замене дифракционного спектрографа призматическим темные линии
остаются, но их форма перестает быть параболической. (Ср. с задачей 551.)
305. Решение. Пусть О — фокус геометрического схождения лучей
(рис. 99); г0 —ближайшее расстояние от линзы до О. Опишем из О, как из
центра, сферическую поверхность S радиуса г0. При вычислении светового
поля на поверхности S можно ограничиться приближением геометрической
оптики. Тогда световое поле на S в комплексной форме можно записать
в виде
£ = _L е1’ № +
5 г0
Пусть Р—точка наблюдения, dS— элемент поверхности на S, г— расстояние
между dS и Р. Световое поле в Р найдется по принципу Гюйгенса по фор-
муле
£р= j ^^-*('-'0)1 , (1)
где интегрирование производится по той части сферической поверхности S,
на которой поле отлично от нуля. Очевидно,
г = Го + р,
где г и Го — радиусы-векторы, проведенные из dS в точки Р и О соответ-
ственно, а р = ОР. Отсюда
r-r 1/1 [ 2r«P +F
г — го 1/ 1 i
г го
228
ОПТИКА
[гл. t
Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим с точностью до величин,
содержащих квадраты р:
г г _ ГоР , Р3 1 (ГоР)3 _
г_г,-57+а7_ 2
рг
p/"i sin2(p, П),
а в линейном приближении
г — г0 = prb
где и — единичный вектор в направлении г0, т. е. rj = — . Ошибка, допус-
г о
тимая при вычислении г — г0, должна быть много меньше длины волны. Поэтому
линейным приближением можно пользоваться при условии
(2)
г О
Вычислим световое поле в окрестности О в предположении, что усло-
вие (2) выполняется. Направление единичного вектора п можно характери-
зовать углами ср и ф, которые он образует с плоскостями, проходящими „через
оптическую ось и параллельными сторонам диафрагмы. Очевидно, dS —
— rldydb. Введем в плоскости наблюдения (экрана) прямоугольную систему
координат с началом и с осями, параллельными сторонам квадратной диа-
фрагмы. Координаты точки Р обозначим через х и у. Тогда
г — r0 = rip = х sin ср у sin ср.
Если угол а, под которым из О видна половина стороны квадратной диа-
фрагмы, мал, то sin ср и sin ср можно заменить через ср и ср. Кроме того, в зна-
менателе (1) г можно приближенно заменить через Го. Окончательно
+ а +«
Ep=e+i<Dt § J е-,7г<*ПЛ></<р dtp.
— а — а
Если амплитуду в точке О принять равной единице, то амплитуда в точке Р:
. 2пх
sin —г— а
Л
А 2пх
К а
. 2~у
ип
Л
(3)
а интенсивность
/ . 2пх \2 / . 2пу
/ Sin а \ / sin
I л \ л
1 2пх / \ 2лу
\ ~т- а / \ а
(4)
Дифракционная картина получается такая же, как при дифракции Фраунго-
фера от квадратного отверстия. Расстояния между двумя соседними мини-
мумами, а также от центра центрального максимума до первого минимума
равны
Дх = у ~ • (5)
Остается проверить, выполняется ли условие (2). Так как заметная интен-
сивность по формуле (3) получается при р порядка Дх, то, подставляя в (2)
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
^229
придадим (2) вид
’ а
(6)
Последнее условие выполняется во всех оптических приборах с линзами или
зеркалами.
Случай круглой диафрагмы существенно не отличается от случая квад-
ратной диафрагмы. Интеграл (1) для круглой диафрагмы в линейном прибли-
жении может быть выражен через бесселеву функцию первого порядка. Ди-
фракционная картина в фокальной плоскости имеет вид светлых и темных
концентрических кругов со светлым центром. Радиусы темных колец имеют
следующие значения:
/? = 0,61Х; 1,12 — ; 1,62 — ;
а а а
(7)
где а—угол, под которым виден радиус диафрагмы из точки О.
306. Решение. В случае самосветящихся точек волны, ими излучае-
мые, некогерентны. На экране складываются интенсивности волн, исходящих
из этих точек. Пусть обе точки расположены симметрично относительно
главной оптической оси. Рассмотрим распределение интенсивности вдоль
оси х (рис. 100). Положение точки наблюдения на этой оси можно характе-
ризовать координатой £ = -г- а. Минимальное расстояние между центрами
К
дифракционных кружков в этих единицах, ио Рэлею, должно быть равно л
(см. решение задачи 305). На рис. 100 пунктирные кривые изображают рас-
пределение интенсивностей от каждой из рассматриваемых двух самосветя-
щихся точек, а сплошная кривая дает результирующую интенсивность. Мы
видим, что интенсивность в центре картины почти на 20% меньше макси-
мальной интенсивности, равной наибольшей интенсивности от одной светя-
щейся точки. Поэтому при выполнении критерия Рэлея получается раздельное
изображение самосветящихся точек.
230'
ОПТИКА
[гл. г
307. Решение. Если изображаемые точки не самосветящиеся, а осве-
щаются одним и тем же источником света, то волны, исходящие из них, ко-
герентны. Складывать надо не интенсивности, а амплитуды, учитывая фазы
складываемых колебаний. Из решения задачи 305 следует, что в случае изо-
бражения одной точки фаза колебаний одна и та же в пределах каждого
светлого кольца (в случае квадратной диафрагмы — светлого квадрата) и
меняется на 180° при переходе через минимум освещенности в соседнее
светлое кольцо.
1 случай. Отверстия освещаются лучами, параллельными главной опти-
оси. В этом случае волны исходят из них в одинаковых фазах. Так
точки О волны проходят одинаковые расстояния, то в точку О они при-
также в
ческой
как до
ходят
одинаковых фазах. Амплитуда результирующего колебания
в точке О будет больше в
2 раза, а интенсивность в 4 раза,
чем в случае изображения од-
ного из отверстий. Распределе-
ние результирующей интенсив-
ности дает кривая рис. 101.
Она имеет лишь один максимум,
и изображение в глазу будет
такое же, как и от одной точки.
Поэтому при рассматриваемом
способе освещения раздельного
изображения освещаемых точек
не получится, если расстояние
между ними равно минималь-
ному расстоянию, требуемому
критерием Рэлея. Чтобы полу-
чилось раздельное изображе-
ние, надо это расстояние уве-
личить примерно в 1,4 раза.
В соответствии с этим в такое
же число раз уменьшается и
разрешающая способность по
сравнению со случаем самосве-
тящихся объектов.
2 случай. Отверстия
освещаются параллельными лу-
чами, наклоненными под уг-
лом $ к главной оптической оси. В этом случае волны из отверстий
d sin &
выходят не с одинаковыми фазами, а с разностью фаз о = 2л——-,гдеа—
расстояние между центрами отверстий. С такой же разностью фаз они придут
и в О. Если rfsin& = -^-, то В = ~ , интенсивность в О будет в два раза
больше соответствующей интенсивности при наличии только одного из отвер-
стий. Разрешающая способность при таком освещении будет такая же, как и
в случае самосветящегося объекта. Если d sin & = , то В = л. Тогда волны
приходят в О в противоположных фазах, и интенсивность там будет равна
нулю. Разделение изображений будет выражено весьма резко. При таком ос-
вещении расстояние между отверстиями может быть меньше предела Рэлея,
и все же будут получаться раздельные изображения их.
3 случай. Отверстия освещаются лучами всевозможных направлений.
В этом случае получается практически такая же разрешающая способность,
как и для самосветящихся объектов.
§ 3] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 231
308. 1) 34"; 2) 0,042 мм.
309. Решение. Пусть рассматриваемый объект виден невооруженным
глазом под углом а = 1,22^, где D — диаметр объектива, т. е. под мини-
мальным углом, который способен разрешить объектив. В трубу тот же объект
будет виден под углом p —Mt. Угол р должен быть не меньше угла у==
= 1,22^, который способен разрешить глаз (d— диаметр зрачка глаза). Из
условия ^^=7 получаем:
d
D „
Увеличение /VHOpM = называется нормальным. При меньших увеличениях
используется только часть объектива, и разрешающая способность системы
труба—глаз понижается. Увеличения, большие нормального, не целесообразны,
так как при этом разрешающая способность системы не увеличивается, а
яркость изображения уменьшается (см. задачу 183).
310. 1) Разрешаемое угловое расстояние зрительной трубф! 0 = 1,22Х/£),
где D — диаметр объектива. При визуальных наблюдениях можно принять
= 5 500А; тогда 0 — 2",76. 2) При увеличении/V^ = 10.
311. Угловые размеры почти всех звезд много меньше разрешаемых угло-
вых расстояний даже самых больших телескопов. При таких условиях вели-
чина изображения звезды на сетчатке глаза определяется исключительно ди-
фракционными эффектами в оптической системе (телескоп глаз) и не зави-
сит от увеличения. Но яркость этого изображения пропорциональна световому
потоку, поступающему в оптическую систему. Этот световой поток при поль-
зовании телескопом во столько раз больше светового потока, проходящего
через зрачок невооруженного глаза, во сколько раз площадь отверстия объек-
тива больше площади зрачка глаза (если увеличение телескопа нормальное).
Поэтому в телескоп можно видеть более слабые звезды, чем невооруженным
глазом. При нормальном увеличении диаметр выходного зрачка равен диа-
метру зрачка глаза. Применение ббльших увеличений при рассматривании
звезд бесполезно. При меньших увеличениях не весь свет, поступивший в те-
лескоп, проходит через зрачок глаза.
312. См. ответ предыдущей задачи.
313. В У о$= 10 раз. 314. В оф = 10 раз.
315. Не может. Диаметр зрачка глаза орла не превышает нескольких мил-
лиметров. Если предположить, что он равен даже 10 мм, то минимальный
угол, под которым орел может видеть раздельно две точки предмета, окажется
примерно в 3 раза больше угловых размеров мышонка.
316. На Луне около 40 м, на Солнце около 20 км. 317. Около 28 км.
318. Решение. При малых углах дифракции искомое расстояние х най-
дется из требования, чтобы разность хода га — г, крайних интерферирующих
лучей (рис. 102) была равна длине волны X. Применяя теорему Пифагора и
извлекая квадратные корни с помощью формулы бинома Ньютона, для этой
разности нетрудно получить:
xD xD( . £>8\ ,
G - О — ь- — 2£з ^а' 4' у 4- •••
232
ОПТИКА
[гл. I
Ограничиваясь первым членом, найдем:
Ошибка при вычислении ra — rt должна быть мала по сравнению с X.
Отсюда получаем условие применимости предыдущей формулы:
1 /&2Х2 , О2\
2&2\ Z)2 ' 4
*(2)
319. Если пользоваться для радиуса первого темного дифракционного
кольца формулой (1) (см. решение предыдущей задачи), то получится
а + Ъ
(О
т. е. площадь отверстия должна равняться половине площади центральной
френелевой зоны, построенной для точек S и Р (рис. 102). Условие (2) пре-
дыдущей задачи сводится к
хорошо выполняется во всякой камере с малым отверстием.
более точном решении надо пользоваться для радиуса х первого
и всегда
При
темного кольца формулой
что дает
2,44а£Х
(2)
§ 3]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
233
Рэлей, более подробно исследовавший этот вопрос теоретически и экспе-
риментально, нашел для наивыгоднейшего диаметра отверстия;
D — 1,8 l/"—(3)
у а о * ' '
что практически совпадает с (1) или (2).
320. D — V 2Д4Ек 0,35 мм.
D3 / X \а
321. 1000 км\ 5^ 2,44-- =^1,5-10-13.
2,44Х \ D /
322. Разрешающая способность увеличится приблизительно в два раза.
323. L С = 3,7 м. Легко видеть, что то же условие соблюдается
1 t22k
и при применении так называемого объективного отсчета на шкале, т. е.
при проектировании светового зайчика, отраженного от зеркальца гальвано-
метра на шкалу.
324. 1) Около 0,3 микрона; 2) около 0,19 микрона.
325. 1) В 2 раза; 2) 0,095 микрона; 3) около 5300.
326. Решение. Пусть в микроскоп рассматривается объект, величина
которого I равна наименьшему разрешаемому расстоянию его объектива.
Для самосветящихся объектов или объектов, освещаемых диффузно,
/=061 —. где п sin и — числовая апертура объектива. Невооружен-
’ п sin и
ным глазом с расстояния ясного зрения L этот объект виден под углом
а = 2-. В микроскоп он виден под углом Р = Nat где N—увеличение мик-
роскопа. Угол р должен быть не меньше минимального углового расстояния
7 = 1,22-^-, разрешаемого глазом (d — диаметр зрачка глаза). Условие
Р 7 дает:
2Ln sin и
2Ln sin и
Увеличение /VHOpM =----------- называется нормальным. Применять увеличе-
ния больше нормального не целесообразно, так как при этом разрешающая
способность микроскопа не повышается, а яркость изображения уменьшается.
(См. задачу 183.)
327. Когда узкая щель вертикальна, на экране получается система гори-
зонтальных полос. При горизонтальной щели полосы становятся вертикаль-
ными. Когда щель наклонена под углом 45° к горизонтали, полосы также
наклонены под тем же углом, но перпендикулярны к направлению щели.
При широкой щели, независимо от ее направления, на экране получается
подобное изображение проволочной сетки.
328. Период изменения показателя преломления жидкости равен длине
ультразвуковой волны А.
Решение. Показатель преломления жидкости зависит только от ее
плотности. Поэтому задача сводится к определению пространственного пе-
риода изменения плотности жидкости. На рис. 103 черными кружками изоб-
ражены узлы скоростей в стоячей звуковой волне, а стрелками показаны
234 оптикл [гл. г
направления движения частиц жидкости в некоторый момент времени. В стоя-
чей волне все частицы жидкости между двумя соседними узлами скорости
движутся в одном направлении. При переходе через узел скорости направле-
ние движения частиц меняется на противоположное. Пусть смещения частиц
жидкости в некоторый момент времени достигли своих максимальных значе-
ний. Тогда при направлениях скоростей, указанных на рис. 103, в узлах А,
В,... будут сгущения, а в узлах С, D,...— разрежения. Через половину
периода в узлах А, В,... будут разрежения, а в узлах С, D,...— сгущения.
Расстояние между двумя соседними сгущениями или разрежениями равно
пространственному периоду изменения плотности, а следовательно, и пока-
Рис. 103.
зателя преломления жидкости. Оно, как видно из рис. 103, равно длине
ультразвуковой волны Л.
329. Решение. Так как частота звуковых колебаний очень мала по
сравнению с частотой световых колебаний, то можно считать, что свет рас-
пространяется в неподвижной жидкости. Эта жидкость представляет собой
неоднородную среду, показатель преломления которой меняется периодически
в направлении, параллельном АВ. Расчет светового поля в такой неоднород-
ной среде представляет очень трудную задачу. Однако, как бы ни распростра-
нялся свет внутри жидкости, можно утверждать, что световое поле в пло-
скости CD при выходе из кюветы будет периодически меняться в направлении
CD с периодом А. Для определения светового поля за кюветой можно, по
принципу Гюйгенса, заменить реальные источники света виртуальными, рас-
пределенными по поверхности CD. При этом расстояние между двумя сосед-
ними одинаковыми виртуальными источниками будет равно длине ультразву-
ковой волны Л (см. решение задачи 328). Этим задача сведена к дифракции
света на двухмерной плоской решетке.
330. v — 1200 м-сект1.
Лл'
331. Нельзя.
Решение. Пространственный период изменения показателя преломления
жидкости в обоих случаях равен длине ультразвуковой волны Л.
Поэтому в обоих случаях будут одинаковы углы дифракции. Более того,
будет одно и то же распределение интенсивности света в дифракционных
спектрах, ибо в обоих случаях показатель преломления как функция коорди-
нат (при фиксированном времени) меняется по одному и тому же закону
синуса. При заметном затухании ультразвука законы изменения показателя
преломления в пространстве в случае стоячей и бегущей волн уже не будут
одинаковыми. В этом случае по характеру дифракционной картины бегущую
волну в принципе можно отличить от стоячей.
332. Решение. Если бы глаз мгновенно реагировал на световое раз-
дражение и не обладал способностью сохранять зрительные впечатления, то,
взглянув на жидкость, мы увидели бы светлые и темные полосы, расстояние
между которыми равнялось бы расстоянию между двумя соседними сгуще-
ниями, т. е. Л. Через половину периода звуковых колебаний на месте каждой
светлой полосы образовалась бы темная, и наоборот. В действительности
глаз сохраняет зрительные впечатления в течение примерно 0,1 сек, т. е. в
течение времени, которое чрезвычайно велико по сравнению с периодом
ультразвуковых колебаний. Поэтому глаз не в состоянии видеть смену полос.
§ 3] . ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 235
Он фиксирует некоторую среднюю освещенность сетчатки, получающуюся
путем усреднения мгновенной освещенности по времени, которое очень велико
по сравнению с периодом ультразвуковых колебаний. При таком усреднении
интенсивность света во всех узлах скоростей сделается одинаковой. Во всех
пучностях скоростей интенсивность будет также одинаковой, но отличающейся
от интенсивности в узлах. Поэтому период видимой картины должен равняться
А
расстоянию между соседними узлами, т. е. — .
Примечание. Для полного исследования вопроса необходимо было бы
показать, почему при усреднении получается система полос, а не равномер-
ное освещение жидкости. Такое исследование требует подробного рассмотре-
ния сложного вопроса о распространении световой волны в сильно неод-
нородной среде, какой является жидкость при наличии в ней ультразву-
кового поля. Это исследование, в согласии с опытом, показывает, что по-
лосы должны наблюдаться. Цель рассмотренной нами задачи состояла в том,
чтобы, принимая наличие полос как опытный факт, определить расстояние
между ними.
333. В дифракционных спектрах, наряду с основной частотой м, появятся
частоты w ± mQ, где £2 — частота ультразвуковых колебаний, т—целое
число.
Решение. Стенку кюветы, на которую падает световая волна, примем
за координатную плоскость ХУ, за направление оси Z выберем направление
распространения света, а ось X направим перпендикулярно к волновым
фронтам ультразвуковой волны. Поле падающей волны имеет вид Е =
= Е0 cos (w^— kz). На передней стенке кюветы, где z — 0, оно равно
Е1=Ей cos <t>t. Поле Е» на задней стенке кюветы можно представить в виде
Е« = АЕЬ где А — пропускаемость кюветы, которая, очевидно, является
периодической функцией координаты х и времени t. Разложив ее в ряд
Фурье и отбросив высшие гармоники, можно написать:
А = а + cos Q.t + bs sin Qt,
где a, bit b2 не зависят от времени. В результате амплитуда поля Е? оказывается
модулированной с частотой модуляции £2. Такое поле эквивалентно трем
гармоническим полям с частотами и>, w— £2, w -|~ £2. Действительно,
Е» = AEi = (a-\-bi cos £2i bs sin 2£) cos <x>t =
— a cos ~ {/>! cos (w — £2) t — b2 sin (w — £2) Ц -f-
cos (to -]— £2) t -J- sin (ш -|- £2) ZJ.
Отсюда следует, что и вторичные волны Гюйгенса, распространяющиеся от
задней стенки кюветы, будут иметь частоты w, м — £2, w£2. Такие же ча-
стоты появятся и в дифракционных спектрах. Если в разложении А учесть
высшие гармоники, то в дифракционном спектре добавятся частоты w ± 22,
<о ± 32 и т. д.
334. & = —-, где /и —целое число.
п / , 1 \ Л
335. х=Л = (/и + '2 /7Г’ ГДе т~~ целое числ0-
336. = 2 (т + у) » где т ~~ Целое число.
236
ОПТИКА
[гл. г
337. Решение. Для одного пучка света (зеркало Л41 или М2 закрыто)
в фокальной плоскости будет наблюдаться система дифракционных колец,
появляющихся в результате дифракции на круглой диафрагме зеркала.
Диаметры колец определяются размером диафрагмы. Для двух пучков света
(зеркала Mi и М2 открыты) одновременно будут наблюдаться две системы
колец, которые, вообще говоря, не совпадают друг с другом. Но путем
поворота зеркал Л4а и Mt можно вторую систему колец совместить с первой.
Тогда они будут интерферировать друг с другом, и кольца будут пересечены
темными и светлыми полосами, перпендикулярными к линии Л41Л4».
338. Решение. По принципу Гюйгенса действительные источники
света можно заменить виртуальными источниками, распределенными в пло-
скостях диафрагм, стоящих перед зеркалами Mt и Л42. Ради простоты (это
не является ограничением) будем считать диафрагмы настолько малыми, что
их можно принять за точки. Тогда задача
сводится к нахождению интерференцион-
ной картины от двух точечных источни-
ков Si и S2 (рис. 104), когерентных между
собой. Световые пучки от этих источ-
ников, прежде чем они достигнут объ-
ектива L, претерпевают отражения от
зеркал Mi, Ms, М3, Mt. Мы можем в
наших рассуждениях исключить из рас-
смотрения эти отражения, если заменим
источники Si и S» воображаемыми ис-
точниками S" и S", которые являются
их изображениями в плоских зеркалах.
При такой замене фазы S{ и Sf будут
одинаковы, равно как и фазы S» и S$.
Тем самым задача свелась к задаче 334.
При сближении зеркал Л43 и Mt умень-
шается расстояние между Sf и S2, что
ведет к увеличению ширины интерфе-
ренционных полос.
Допустим, что одна из звезд посылает свет перпендикулярно к прямой
SiSs- Тогда фазы источников S] и Sa (а следовательно, Sf и S'£) будут оди-
наковы. Для того чтобы вторая звезда дала систему полос, смещенную отно-
сительно первой на половину ширины полосы, необходимо, чтобы фазы
вторичных источников Si и S2, возбуждаемых второй звездой, отличались
на л. Это дает
D sin 8 ZX8 = ,
где 8 — угловое расстояние между звездами, a D — расстояние между цент-
рами зеркал М\ и Л42. Таким образом,
X
2D ’
8
Если обе звезды одинаковы, то при выполнении этого условия полосы
интерференции исчезают. Вообще, интерференционные полосы будут исче-
зать, если
|ИХ
8 — \т + 2 ) D .
Если одиночную звезду заменить квадратом постоянной поверхностной
яркости, то этот квадрат можно разбить на линейные источники, параллель-
ные одной из сторон квадрата, а именно той, которая перпендикулярна к
§ 4] • ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ 237
SjSa. Если угловые размеры сторон квадрата равны
то каждый линейный источник одной половины квадрата уничтожит интер-
ференционные полосы, даваемые соответственным источником второй поло-
вины квадрата. Вообще, полосы интерференции пропадают при выполнении
условия
9=2(т+4)1-
Расчет для звезд с круглым диском постоянной поверхностной яркости
несколько сложнее. Он показывает, что первое исчезновение интерферен-
ционных полос наступает тогда, когда
•=•.22^,
где & — угловой диаметр звезды.
339. 0,047".
340. 8?^-^-.
341. 1) ~ . При X = 1 м я» Iе; при X = 10 см aa7’.
2) Вер я» j/". При X = 1 м Вр % 2'; при X = 10 см 8<р =« 40".
3) h <С При X = 1 м У/»Х = 19,5 км; при X = 10 см VЬ\ = 6,2 км.
342. Bep . При X = 1 м Вер 0",06. При X = 10 см оср^«0",00б.
Метод требует, чтобы источник радиоизлучения находился на прямой, сое-
диняющей точку наблюдения с центром Луны. Кроме того, он предъявляет
весьма жесткие требования к гладкости лунной поверхности и к отступле-
ниям формы Луны от сферической. Высота неровностей поверхности по всей
границе лунного диска должна быть мала по сравнению с п = . Раз-
ность наибольшего и наименьшего диаметров лунного диска также не дол-
жна превышать этой величины. При X = 1 м йг=«100 М’, при Х = 10 см
м. Эти жесткие требования исключают возможность использования
рассматриваемого метода, по крайней мере, для радиоволн с длиной волны
А < 100 м.
§ 4. Поляризация света. Формулы Френеля
343. Интенсивность света в фокусах пластинки удвоится по сравнению
с обычной зонной пластинкой.
345. Уменьшится вдвое независимо от поляризации падающего света.
346. Разрешающая способность не изменится.
348. 28%.
238
ОПТИКА
[гл. t
350. Решение. Если отражение не является полным, то, как следует
из закона преломления света, каждому углу падения соответствует веще-
ственный угол преломления ф. Поэтому оба отношения:
= _ sin (? — #р — ~ Ф) 0
sin (? + ф) ’ %р tg (т 4- ф)
— вещественны. Физически это означает, что при отражении либо совсем
нет изменения фазы, либо это изменение составляет 180°. Если падающая
волна линейно поляризована, то разность фаз между ее компонентой с
электрическим вектором, перпендикулярным к плоскости падения, и компо-
нентой с электрическим вектором, лежащим в этой плоскости, равна либо
0°, либо 180°. На основании изложенного такая же разность фаз будет и у
компонент отраженной волны. При сложении такие компоненты дают ли-
нейно поляризованную волну.
351. tg В = COS (7 — ф) tg а; . tg р = — cos (Т 0 tg
& \т ь cos(<p + 49 &
352.
1) 5649’;
2) Д =
4па — (1 4-п8)8 _
4п2 + (1 Н-п2)2 ~
0,08.
353. 57°05’. 354. 1) Будут. 2) Не будут.
355. Если свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то
интерференционные полосы исчезнут при углах падения = arctg и
= arctg n2. Если свет поляризован в плоскости падения, то исчезновения
интерференционных полос не будет.
356. Результат непосредственно получается из формул Френеля.
357. р = Pi 4- Psai 4~ Рза1Р1Р2 + ••• = Pi 4~ ~ ;
1 — PiPa
а = 4- а1а2р1р2 (pip2)3 + ... = -j———.
1 — Pips
358. Решение. Присоединим к системе т плоскостей одну такую же
(т 4~ 1)-ю плоскость. Первые т плоскостей можно заменить одной плоско-
стью с коэффициентами отражения и пропускания рт и ат. Тогда задача
будет сведена к предыдущей, и мы получим для коэффициентов отражения
и пропускания (т 4- 1) плоскостей:
2
Отсюда методом доказательства от
1 PPzzi
т к т 4-1 нетрудно получить:
ГЛр
1 4- (/7Г — 1) р ’
а =_______1=1_______
т 1 4- (/и — 1)р'
4 и — комплексные амплитуды главных компонент падающей
волны, электрические векторы которых соответственно перпендикулярны и
параллельны плоскости падения. 7?^ и 7?р имеют такой же смысл для отра-
женной волны.
§ 4]
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ
239
360.
Д' =
д ____________M(Ps Рр)__________,
(2N—l)psPp—(N—l)(ps-pPp) —1 •
_______kZZ-Рл_____. А — 1 ~р* . (2N ~ 0 Pj> +1
2(N 1) рлРр + (Pj + Р/?) ’ Ip 1 — Рр {2.N—Ops+1
где ps и рр — коэффициенты отражения волн, поляризованных в плоскости
падения и перпендикулярно к ней, для одной отражающей поверхности:
/ cos <р — и cos 41 V2. _/ncostp—cos’lA3
\ COS tp 4" п COS ф/ ’ \ncos <Р 4" cos Ф/
361. Д==^21А_______£2__S2L211+J2 = 0,0; 0,82; 1,0; 0,0.
cos 2(<р — ф) 4“ cos 2(? 4- Ф)
362. —0,015; —0,091; —0,176; —0,402.
363.
N 1 2 3 4 5
/V 4-5,76 0,148 0,258 0,342 0,409 0,466
N 6 7 8 9 10
/V 4-5,76 0,512 0,548 0,582 0,611 0,635
240
ОПТИКА
[гл. I
364. Решение. Из формулы Френеля
(У — ф)
gp 1g (<Р + Ф)
следует, что /?р меняет знак при переходе через угол Брюстера. Физически
это означает, что при таком переходе 7?р претерпевает скачкообразное изме-
нение фазы на к. При строгой справедливости формулы Френеля это не вело
бы к нарушению какой бы то ни было непрерывности, так как при угле Брю-
стера 7?р = 0. В действительности /?р не обращается в нуль ни при каком
угле падения. Поэтому должна существовать окрестность угла Брюстера
(обычно довольно узкая), при переходе через которую фаза 7?р меняется непре-
рывно от 0 до л. Для света, электрический вектор которого перпендикулярен
к плоскости падения, подобной окрестности не существует. Поэтому из нестрого-
го соблюдения закона Брюстера вытекает эллиптическая поляризация отражен-
ного света, о которой шла речь в условии задачи. Обратное заключение мож-
но получить, если разложить падающую волну на компоненты с колебаниями
в плоскости падения и перпендикулярно к ней и принять во внимание, что
эти компоненты отражаются независимо друг от друга.
365.
366. Решение. Если закон Брюстера имеет место, то угол Брюстера,
при котором не отражается р-компонента электрического поля, определяется
выражением
tg
е2Р-1 --- е1Р-2
е2р.а — е
(1)
Возможен случай, когда не будет отражаться s-компонента. Угол, при кото-
ром это имеет место, определяется уравнением
-| ! р-о
г Р-1 е1Р1 е2ра
(2)
Оба случая взаимно исключают друг друга, так как знаки подкоренных выра-
жений в (1) и (2) противоположны. Предполагается, что е и р. существенно
положительны. Таким образом, всегда существует угол, при котором не отра-
жается либо р-, либо s-компонента падающей волны.
368. Оптическая толщина пленки должна быть равна четверти длины
световой волны в вакууме. Показатель преломления пленки п' = У п, где п—по-
казатель преломления стекла. Отражения не будет также в том случае, когда
оптическая толщина пленки 1п’?=1 /V, где N—целое число. Од-
нако при пользовании белым светом применять толстые пленки невыгодно.
Задача просто решается, если рассмотреть интерференцию волн, отразивших-
ся от верхней и нижней поверхностей пленки и не учитывать многократные
отражения (точный расчет показывает, что учет их не меняет результата).
§ 4]
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ
241
369. Не нарушая общности, можно так выбрать положительные направ-
ления отклонений в обеих волнах, чтобы разность фаз между ними лежала
в пределах от 0 до к. Тогда конец результирующего вектора двух склады-
ваемых векторов будет описывать эллипс в направлении от вектора, опере-
жающего по фазе, к вектору, отстающему по фазе.
370. Искомый угол ? определяется из уравнения
. . и2 4-1 8к-« , 1 » я л
sm4?----cos2 -g sin2 ? + cos2 у = 0,
которое дает = 60°32'; ?2 = 38°42'.
371. Левая.
372. ?= arcsin Л/ ; b = 2 arctg-----------------где
Г 1-{-па 2п
п — показатель пре-
ломления второй (оптически менее плотной) среды относительно пер-
вой (п < 1).
373. и - - -----5=в2,41. 374. Нельзя.
/2—1
1 + sin у
375. п—-----ЗУ = 5,028. Так как веществ с показателем преломления
coS¥
5 не существует, то в оптике осуществить этот случай нельзя. Его можно
было бы осуществить с более длинными электромагнитными волнами;
376. 6°29’ или 44°38'. Правая. 377. 69°2Г или 42°46'. Правая.
378.
---------= 2,4143; А = 35°34’.
/2—1
379. Решение. Допустим, что электрический вектор колеблется пер-
пендикулярно к плоскости падения. Рассмотрим электрическое поле в первой
среде в какой-либо точке на границе раздела. Электрическое поле падающей
волны в этой точке меняется во времени по
гармоническому закону. Его можно представить
вектором ОА, равномерно вращающимся вокруг
точки О с угловой скоростью w (рис. 106). Проек-
ция конца этого вектора на плоскость границы
раздела даст значение электрического поля па-
дающей волны в рассматриваемой точке в данный
момент времени. Электрическое поле отраженной
волны можно представить вектором АВ той же
самой длины и вращающимся с той же скоростью
вокруг точки А. Угол S между векторами О А и
АВ и есть скачок фазы при отражении. Результирующее поле в рассматри-
ваемой точке первой среды изобразится вектором ОВ = ОА -$-АВ, вращаю-
щимся вокруг точки О. В силу непрерывности тангенциальных компонент
электрического поля тот же вектор ОВ будет изображать электрическое
поле и по другую сторону границы раздела, т. е. поле преломленной волны.
Значит, угол А (рис. 106) есть скачок фазы, испытываемый волной при про-
никновении во вторую среду. Так как треугольник ОАВ — равнобедренный,
то 6 = 2 А. Доказательство нетрудно распространить и на тот случай, когда
электрический вектор колеблется в плоскости падения.
242
ОПТИКА
[гл. I
380. п > 3,732.
381, Решение. Поместим начало координат на верхней границе слоя
и введем обозначение С — z + о. Тогда можно написать:
М = р (1)
где р — постоянная, a k0 — волновое число в вакууме. На верхней границе слоя
2 = 0, а следовательно, С = а. Обозначим через b значение С на нижней
вице слоя. Очевидно,
гра-
откуда
1 — Ь — a, konx = —,
а
па
а =-------—
nt — п%
П1 — ns
I,
I,
А>0/ = 2 тс
Hi — п2
П1И2
Hi — П2
П1П2
(2)
(3)
Если падающая волна линейно поляризована, то отраженная и прошедшая
волны, а также поле внутри слоя будут тоже поляризованы линейно ипритом в
той же плоскости. Пусть электрическое поле Е параллельно оси У, а магнит-
ное Н параллельно оси X. Внутри слоя
дЕ ч, и
дН Ч.
= — ikorfE.
(4)
Исключая Н, получим:
д^2 -Г £8 С О.
(5)
Общее решение этого уравнения
Е — /С (А^+ВП
(6)
где А и В — произвольные постоянные, a q определяется уравнением
Из (4) и (6) получаем:
На верхней границе слоя E = g4"^. Н — п^В — &). На нижней гра-
нице Е — De~ikonal, Н —— n^De~ikonil. Приравнивая эти величины знача-
§ 4]
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ
243
ниям Е и И на границах слоя, вычисленным из (6) и (8), найдем:
У а (АаЯ + Ва~Я) = g + /?,
[(fl + у) АаЯ - = /? - g ,
УЬ (АЬЯ + ВЬ~Я) = De~ifton2l,
f V~b [7<7 + 4-'l АЬЯ — (a — -1Л ВЬ~я I = — De~ikonJ.
p L\ J \ J J
Решая эти уравнения, после несложных преобразований получим:
jR _____________________________ 1 sh а
g 2 q ch a -|- ip sh a ’
q л/~ Ik
IL =_________L___n* eikon«i
g q ch a -|- ip sh a “ ’
где
. ««
a = q In —
(9)
(10)
Представлять решение в этой форме удобно, если р2 < у,
величина q вещественна. Если же то q2 СО. В этом случае
чисто мнимые. Положим:
a = ia1;
где а' и q’ вещественны. Тогда
R 1
g
sin a'
______________________________ 1
2 q' cos a' -|- ip sin a' ’
D F aik n i
- - —• - ^*'*q"2*
g q' COS a' -|- ip sin a'
т.
e.
когда
(H)
(12)
Промежуточный случай ps = ± соответствует q = q'=:O. В этом случае
обе формулы (9) и (12) приводят к неопределенности вида
жет быть раскрыта обычными методами. Получим:
О
у, которая мо-
о 1П~
R =
$ 2+rln-"^
И!
2 + <1п^
Hi
(13)
fl = W,
q и a
D
g
244
ОПТИКА
[гл. t
Если I = 0, то р = 0, q = у , и формулы (9) дают:
4 = ~ tha = -th(lnl/
______ и2 — Л1
Л2 + Л1 ’
___ 2п{
П2 /Zj
Те же результаты, как первое приближение, получаются при I X. Та-
ким образом, если толщина переходного слоя очень мала, по сравнению
с длиной волны, то, как и следовало ожидать, отражение и преломление
происходят практически так же, как и в случае резкой границы.
Рассмотрим другой крайний случай, когда Zi>X. В этом случае р2>>1,
и в формуле (7) членом можно пренебречь, т. е. положить q' —р. Тогда
из (12) получаем для коэффициента отражения
sin2(p In — |
\ П1/.
4р2
(14)
Отсюда видно, что коэффициент отражения р является осциллирующей зату-
хающей функцией толщины слоя /. Амплитуды этих осцилляций
__ 1 ___lnY—ла\2/Х\2
Ртах — 4^з — 4ял1/г8 у \Jj
(15)
убывают обратно пропорционально квадрату толщины переходного слоя.
Таким образом, для слоев, толщина которых велика по сравнению с дли-
ной волны, отражение практически отсутствует. Этот вывод не связан со
специальным законом Изменения показателя преломления (3), а относится
к любым толстым переходным слоям с плавно меняющимся показателем
преломления.
382. Решение. Поперечность электромагнитной волны, а также урав-
нение (1) непосредственно следуют из уравнений Максвелла.
Для получения приближенных решений уравнения (1) будем искать
частное решение в виде
где A(z) и Ф(г) — вещественные функции. После подстановки в (1) и отделе-
ния вещественных частей от мнимых получим два уравнения:
d2A
dz2 4-—л In2 — — [=o, 1 c2 l \dz} J * (1)
ndA d$ , n
2~ 4- & = 0. dz dz 1 dz- (2)
Если
\d*A I «2, .,
< -y A , dz2 c2 (3)
то в (1) первый член может быть отброшен, и мы получим:
§ 4] ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ 245
откуда
Z
Ф = ± J гг (z) dz. (5)
*0
После этого уравнение (2) дает:
d . . а - const
e(j,!")=o- а=Уг (в>
Общее решение:
г г
, ПО Г 1<О f
+—I п (z) dz ---\п (z) dz
с V Х-» С V
Е=~^е + , (7)
У it У п ' ’
где Ci, С2 — произвольные постоянные, вообще говоря комплексные. Заме-
тим, что произвольных постоянных в этом решении только две, так как вы-
бором Ci и С2 всегда можно придать постоянным г01 и z02 любые, наперед
заданные значения.
Используя (6), нетрудно показать, что (3) выполняется при выполнении
двух условий:
X | dn I XI d*n I I dn I
2к I dz J 2тс | dz* I I dz | ’
где X =------длина волны в среде. Так как Хл = const, то первое из
юл
этих условий может быть также записано в виде
383. Решение. Вычисление средней по времени плотности потока энергии:
S = ^_ [ЕН]
для каждой из волн, о которых говорится в условии задачи, показывает,
что 5= const, т. е. 5 не зависит от г. Отсюда следует, что волна распро-
страняется без отражения.
384. Утверждение проверяется прямой подстановкой. Доказательство от-
сутствия отражения производится так же, как в предыдущей задаче.
385. Решение. Поместив начало координат на границе раздела сред
и обозначив через g, 7?, D амплитуды падающей, отраженной и прошедшей
волн, для электрического поля в первой и второй средах можем написать:
(О
246 ОПТИКА [гл. г
В силу непрерывности тангенциальных компонент электрического вектора
% + R = D. (2)
Непрерывность тангенциальных компонент магнитного вектора, как легко
убедиться с помощью уравнений Максвелла, может быть выражена равен-
ством
_ dE,
dz dz ’
которое должно выполняться на границе раздела сред. Подставляя сюда
выражения (1), из получающегося соотношения и из (2) легко найти:
(dn\ (dn\
R . \dzjs \dzji До [7dn \ (dn \ I
T “lC ^n* (0) — 8я/га (0) — \dz Д | ’
_ _ (dn\ f dn\
При этом в знаменателе мы пренебрегли малой величиной -у— — по
\uz]2 \dz]।
(О
сравнению с 2/г—. Коэффициент отражения получается возведением модуля
выражения (4) в квадрат.
§ 5. Кристаллооптика
386. См. рис. 107 (о — обыкновенный луч, е — необыкновенный луч).
387. Лучи, исходящие из какой-либо точки А удаленного предмета и
попадающие в глаз наблюдателя, практически параллельны. Каждый луч при
вступлении в плоскопараллельную; кристаллическую пластинку разбивается
на два луча. Оба луча по выходе из пластинки остаются параллельными,
хотя они и испытали различные боковые смещения. Глаз соберет оба луча
в одной и той же точке сетчатки, поскольку он аккомодирован на рассмат-
ривание удаленных предметов (на бесконечность). Эта точка схождения лучей
и будет (единственным) изображением точки Л.
388. / = 5 см.
389. Показатели преломления дают отношения нормальных скоростей.
390. Для определения показателя преломления обыкновенного луча пла-
стинка может быть ориентирована как угодно. Чтобы получить главный по-
казатель преломления необыкновенного луча, ее надо ориентировать так,
чтобы плоскость, проходящая через оптическую ось кристалла и нормаль
к границе раздела пластинки со стеклом кристалл-рефрактометра, была пер-
пендикулярна к плоскости падения.
Решение. В основу устройства кристалл-рефрактометра положено
явление полного внутреннего отражения. Пластинка исследуемого кристалла
кладется на поверхность стекла с очень высоким (до 2) показателем прелом-
ления N. Свет падает со стороны стекла и отражается от пластинки. Пока-
затель преломления п исследуемого вещества вычисляется по предельному
углу полного внутреннего отражения по формуле: n — N sin <р. В случае от-
ражения от кристалла существуют два предельных угла, соответствующих
обыкновенному и необыкновенному лучам. Предельный угол для обыкновен-
ного луча не зависит от ориентации"пластинки и, следовательно, может быть
измерен при любой ориентации. Предельный угол необыкновенного луча изме-
няется с изменением ориентации пластинки.
Для простоты рассуждений предположим, что падающий свет всегда
поляризован так, что в кристалле возникает лишь необыкновенная волна.
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
247
Вообще говоря, при полном внутреннем отражении световое поле про-
никает во «вторую» среду в виде неоднородной (поверхностной) волны. Но
если свет падает строго под предельным углом полного внутреннего отра-
жения, то волна во второй среде будет однородна. Она распространяется
Рис. 107.
параллельно границе раздела. Точнее, волновая нормаль волны во второй
среде параллельна линии пересечения плоскости падения с плоскостью раз-
дела сред. Повернем кристалл так, чтобы его оптическая ось была перпен-
дикулярна к этой линии пересечения. Тогда волна в кристалле будет рас-
пространяться перпендикулярно к оптической оси. Известно, что в этом слу-
чае всякая однородная волна распадается на обыкновенную с электрическим
вектором, перпендикулярным к оптической оси, и необыкновенную, электри-
ческий вектор которой параллелен оптической оси. Итак, при такой ориен-
тировке кристалла электрический вектор необыкновенной волны параллелен
оптической оси. Значит, на кристалл-рефрактометре в этом случае будет
измерен главный показатель преломления необыкновенной волны.
248
ОПТИКА
[гл. Г
391. Оптическая ось должна быть параллельна преломляющему ребру
призмы.
392. Пластинка должна быть вырезана параллельно оптической оси. dx =
= 0,603 мм, d2 = 0,673 мм.
393. На экране образуются 4 пятна. Интенсивности относятся как 1 : 3 :1 : 3.
394. Уменьшится в отношении 3:2.
395. В стекле и фарах автомашины главные плоскости поляроидов должны
быть параллельны между собой и составлять угол 45° с горизонтом. При
этом у всех машин они должны быть повернуты в одну и ту же сторону
(считая по ходу машины).
396. <р = 5°17'. 397. 7? = 5160 т^.
398. Решение. После прохождения через поляризатор свет становится
линейно поляризованным. В кристаллической пластинке он распадается на
две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях и рас-
пространяющиеся с различными скоростями. Поэтому если свет монохрома-
тичен, то между этими волнами после прохождения через пластинку возник-
нет разность фаз, и при сложении они дадут, вообще говоря, эллиптически
поляризованную волну. Ориентировка и форма эллипса будут зависеть от
разности фаз. При одной и той же толщине пластинки они будут меняться
с изменением длины волны. В частности, эллипс может вырождаться в пря-
мую. Доля света, проходящего через анализатор, зависит от формы эллипса
и его ориентации относительно главной плоскости анализатора. Поэтому если
падающий свет белый, то различные монохроматические компоненты его,
вообще говоря, в различной степени будут пропущены системой, с чем и
связана наблюдаемая окраска.
399. Когда главная плоскость анализатора параллельна главным направ-
лениям в пластинке.
400. Отношение яркости: 1) пропорционально квадрату косинуса угла
поворота, 2) пропорционально квадрату котангенса угла поворота.
401. Решение. Плоская волна в кристалле имеет вид:
E=Eoei(iat-kr\
D — Do el ~ kr\ (1)
H = Hoei(mt~kr},
где Ей, Do, Ho — постоянные векторы, a k — волновой вектор, связанный
с нормальной скоростью волны v соотношением
k = —N.
V
Подставим выражения (1) в уравнения Максвелла
rot Н = — rotE = —— (2)
с dt с dt { '
Дифференцирование векторов (1) по времени сводится к умножению на /<о,
а дифференцирование по координатам х, у, z — к умножению на — ikx, — ikv,
— ikz. Поэтому ех ву ег ех ev ez д д д
rot /7 = дх Ъу dz kx kv kz Hx Hv Нг Hx Hv Hz
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
249
и аналогично для rot Е. Подстановка в (2) дает:
Я = £[ЛЖ]. (3)
402. Решение. Исключая Н из формул (3) (см. решение предыдущей
задачи), получим:
v*D — с*Е= — ca(NE)N, (1)
откуда
403. Решение. Первые два утверждения непосредственно вытекают из
формулы (2) решения предыдущей задачи, а также из связи между векто-
рами D и Е:
£>а = 2 °= х> у' z^
Векторы Е и D определят плоскость, к которой перпендикулярен вектор И.
После этого определится вектор N как перпендикулярный к плоскости (D, Н)
или к плоскости (Е, Н).
где аа — нормальная скорость волны, когда электрический вектор направлен
вдоль диэлектрической оси а. Три величины аа называются главными скоро-
стями света в кристалле.
405. Решение. Выражая в левой части (1) (решение задачи 402) век-
тор Е через вектор D, получим:
= — у<Г~а2 (NE> (а = З'. Z). (1)
Умножая обе части этого равенства на Na, суммируя по а и замечая, что
(ND) = 0, найдем:
а
или более подробно
JV2
Vs — »2 — а2 + о2 —а| ~ °'
Эта формула называется законом Френеля для нормальных скоростей света
в кристалле.
406. Решение. Запишем закон Френеля (3) (см. решение предыдущей
задачи) в виде
F(Vs) = (иа — a2) (Vs — a?) №х + (va — ар(»’ — а2) ^2 +
+ (wa —а2)(и2-а2)Л^=0. (1)
Это квадратное относительно о2 уравнение имеет два вещественных поло-
жительных корня. Для доказательства выберем координатные оси так, чтобы
a^a^Oj. (2>
250
ОПТИКА
[гл. t
Тогда будем иметь:
Отсюда видно, что (1) имеет два вещественных положительных корня, один
из которых V'3 лежит между а3х и aj„ а другой v"3 между а3 и а3,. Этим
корням соответствуют две волны, распространяющиеся с нормальными ско-
ростями V' и v":
ау^~- v" аг-
(3)
Линейная поляризация каждой из волн
следует из соотношений:
Кх
и'2 — а'_
Dx-.Dy-.D; = —^-.
Ку . Кг \
O’2 ay V'2 az ' I
Ny . I
V,,2~ ay ‘ V"2 — az ’ )
(4)
D х: Dy:D г
которые получаются из (1) (см. решение задачи 405). Штрихами обозначены
величины, относящиеся к одной волне, а двумя штрихами — к другой волне.
Формулы (4) показывают, что для обеих волн отношения Dx-.Dy'.Dz веще-
ственны. Физически это означает отсутствие сдвига фаз между колеба-
ниями Dx, Dy} Dz, откуда и следует линейная поляризация обеих волн.
Умножая теперь первое из уравнений
V’3D' — с3Е = — с2 (NE) N,
V"2D" - с3Е" = — с3 (NEn) N
на D", а второе на D', вычитая из одного уравнения другое и замечая, что
(ED") = (Е"2У), (D'N) = (D"N) = 0, получим:
{v>a-VOID'D") = о. (5)
Отсюда при v'^v" получаем (D!D") — 0, что и требовалось доказать.
407. Решение. Из формулы (3) (решение предыдущей задачи) заклю-
чаем, что равенство v' = v" возможно только при условии v' = v" — ay.
Подставляя в (1) той же задачи u~av, находим:
(а'у — az) (<iy — ах) Ny = 0.
Если все три главные скорости различны, то отсюда следует 2Vv = 0, т. е.
оптические оси, если они существуют, лежат в координатной плоскости ZX.
Угол Р между оптической осью и осью Z найдется из формулы (3) (решение
задачи 405), если в ней положить v = ay, Ny = Q. Это дает:
где пх, Пу, пг — главные показатели преломления кристалла. Таким образом,
оптические оси первого рода лежат в координатной плоскости ZX и сим-
метрично расположены относительно оси Z.
408. 1 случай. Оптическая ось совпадает с осью Z (положительный
кристалл).
v' = ах; v<>3 == а3х cos3 a -f- a3 sin2 а,
где а — угол между оптической осью (осью Z) и нормалью к фронту волны.
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
251
2 случай. Оптическая ось совпадает с осью X (отрицательный кри-
сталл):
v" = az, v'2==ax S’H2 a~h az COsS a>
где a — угол между оптической осью (осью X) и нормалью к фронту волны.
411. Решение. Все формулы кристаллооптики, в которых речь идет
о распространении волн вдоль волновых нормалей, получаются из формул:
р = _±[ЛГЯ], Я = Da = eaEa.
Путем векторного умножения первых двух уравнений на s этой системе легко
придать вид
откуда и следует доказываемая теорема.
412. Результат легко получить с помощью теоремы обращения.
413. Оптические оси второго рода лежат в плоскости ZX симметрично
относительно оси Z, образуя с ней угол 7, определяемый формулой
tg? = ±
az
“х
tg?.
Отсюда следует, что оптические оси второго рода расположены ближе к оси Z,
чем оптические оси первого рода.
414. Кристалл положителен, если пг — пу пу — пх, и отрицателен, если
fi-Z Пу Пу Пх.
415. Кристалл положителен.
417. 1 случай. Оптическая ось направлена вдоль оси Z (положитель-
ный кристалл):
и'=ах', -U = -4- cos2<a-|—?- sin2 а,
U их z
где а — угол между оптической осью (осью Z) и направлением луча.
2 случай. Оптическая ось направлена вдоль оси X (отрицательный
кристалл):
и" = аг\ -L = -Ь sin2 а + Д- cos2 а.
и ах а~г
419. Решение. Компоненты вектора индукции D в кристалле связаны
с компонентами вектора напряженности электрического поля Е соотноше-
ниями:
Ох ’=~ ^ХХ^Х Ч- £ХуО V Ч- zxz^z>
Dy = ^ух^х 4“ е vy^ V Ч- £ yz^zi
= zzxDx Ч- zzyEy -|- еггЕг.
(1)
Кристаллы три-, тетра- и гексагональной систем имеют ось симметрии
соответственно третьего, четвертого и шестого порядков. Примем эту ось
за ось Z прямоугольной системы координат, а оси X и Y выберем произвольно.
Ради определенности рассмотрим кристалл тетрагональной системы. Коорди-
натную систему неподвижно свяжем с кристаллом. Сохраняя неизменным
252
ОПТИКА
[гл t
направление электрического поля в пространстве, повернем кристалл вокруг
оси Z на 90° (рис. 108, положения / и //). Компоненты векторов D и Е отно-
сительно повернутой системы координат будем обозначать штрихами. Так как
Положение I
Рис. 108.
свойства кристалла в произвольном направлении не изменяются при повороте
этого направления в кристалле на 90° вокруг оси Z, то в повернутой системе
координат справедливы соотношения:
------ ZXX Ех Ч- ZXyEy Ч- ZXzEz>
Dy = zvxEx Ч- zyyEy Ч- zyzEzi
D'z = zzxEx Ч- zzyEy 4- zzzEz- .
(2)
Но компоненты векторов E и D в первоначальной и повернутой системах
координат связаны соотношениями (см. рис. 108, положения / и //):
Ех = Еу, Еу — — Ех; Ez=Ez,
Dx = Dy, Dy = — Dx, Dz = Dz.
На основании этого уравнения (2) переходят в следующие:
Dy'= zxxEy zxyEx -f- ZXZEZ,
Dx = zyXEy £yyEx -j- &yZEz,
Dz = zzxEy zzyEx Ч- zzzEz-
Эти уравнения, равно каки уравнение (1), справедливы, каков бы ни* был
вектор Е, что возможно лишь при выполнении соотношений:
zxx ~ zyy> zxy ~ zvx>
ZXZ = ZVZ> zxz ~ zyz-
Из этих соотношений и из симметрии тензора s следует, что недиагональные
элементы этого тензора обращаются в нуль. Далее, так как £xx = zVy, то
для любого вектора Е, перпендикулярного к оси Z, имеем: D — zxxE- При
таком направлении Е кристалл ведет себя как изотропная среда. Все напра-
вления, перпендикулярные к оси Z, в оптическом отношении характеризуются
одинаковыми свойствами. Отсюда следует, что кристалл одноосный, причем
его оптическая ось направлена параллельно оси Z.
Таким же методом могут быть разобраны кристаллы три- и гексагональ-
ной систем.
421. о = 6°15'.
Решение. Исландский шпат — отрицательный кристалл, оптической
осью является ось X. Любая прямая, перпендикулярная к оптической оси,
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
253
может быть принята за ось Y или-ось Z. Векторы Е и D необыкновенной
волны лежат в плоскости, проходящей через оптическую ось. Примем эту плос-
кость за плоскость XY. Тогда в необыкновенной волне Ег — Dz = 0. Угол 8
между векторами s и N равен углу между векторами Е и D, поскольку
стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Пусть <р и ф — углы, образуе-
мые векторами Е и D с осью X. Тогда
Dx — D cos ф = гхЕх = гхЕ cos ср,
Dy = D sin ф = гуЕу = е VE sin ср,
откуда
£ П “
tg ф = -Л tg ср = 4 tg ср,
Ех Пе
♦ - f /I х (по — Пе) tgf
tg о = tg (ф - ср) = -2- .. .
По + Пе tg8 ф
Отсюда легко получить следующее выражение для максимального значения
угла о:
п0 — пе
tg о = -7,---.
ь 2попе
422. Кристалл отрицателен, пластинка вырезана параллельно оптиче-
ской оси.
423. Оба показателя будут иметь постоянные значения, соответствующие
минимальному и максимальному значениям, приведенным в предыдущей
задаче.
424. Решение. Когда пластинки одинаково ориентированы, то вно-
симая ими разность хода велика, т. е. соответствует высокому порядку
интерференции. В белом свете интерференция высоких порядков, как
известно, наблюдаться не может. Если одну из пластинок повернуть относи-
тельно другой на 90°, то вносимая ими разность хода будет такая же,
какая вносится тонкой пластинкой, толщина которой равна разности толщин
рассматриваемых пластинок. Если эта разность толщин мала, то может по-
лучиться настолько малая разность хода, ^что будет возможна интерферен-
ция в белом свете.
425. 5,97 и 28,57. 426. 14,91 и 19,50.
427. d = ——------ = 0,027 мм. 428. d = —— ----; =0,014 мм.
4 (nj — ns) 4 (пе — По)
429. -у- (y%v — j/e”) = 2/п-тр, где т — целое число.
К J 2
430. При введении пластинки в полволны интерференционные полосы
смещаются на половину ширины полосы; при повороте поляроида на 90° они
смещаются в противоположную сторону на половину ширины полосы относи-
тельно начального положения; если убрать поляроид, то положение интер-
ференционных полос не изменится, но интенсивность их возрастет вдвое.
При введении пластинки в четверть волны происходит смещение полос на
четверть ширины полосы; если в этом случае убрать поляроид, то интер-
ференционные полосы пропадут.
254
ОПТИКА
[гл. Г
431. <7 sin & = -^ 4- ; т = 0, ± 1, ± 2, ... , $ — угол между нор-
малью к отрезку d, лежащей в горизонтальной плоскости, и направлением
излучения.
432. Л2 = a2 j cos2 (а — j3) — sin 2 а sin 2р sin2 -|-
Когда
1) николи скрещены: А2 — a2 sin2 2а sin2 ;
2) николи параллельны: А2 — а2 1 — sin2 2а sin2
Здесь о — разность фаз между двумя главными компонентами прошедшей
волны, которая вводится пластинкой.
434. В синий цвет (дополнительный к оранжевому).
435. 1) Когда главные направления пластинки совпадают с главными
плоскостями николей; 2) когда пластинка вырезана перпендикулярно к опти-
ческой оси; 3) когда разность хода, сообщаемая пластинкой, равна четному
числу полуволн.
436. d — 0,07 мм.
437. 1) Николи скрещены и пластинки параллельны: разность хода А/? =
= d^ny 4- d<An% яа ЗХЪ где X1s«6000A. Поле зрения окрашено . в красный
цвет (3-го порядка).
2) Николи параллельны, а пластинки скрещены: Д/? = — dsbns^
s=« Х2 % 5000 А. Поле зрения окрашено в зеленый цвет (1-го порядка).
пе — По
439. На частоту 2со.
440. 12 полос.
Решение. Разность хода между необыкновенным и обыкновенным лу-
чами, вносимая кварцевой пластинкой, равна Д = </(ие — п0). Подставляя
сюда численные значения rf, пе, п0, нетрудно убедиться, что эта разность
для длин волн Хр и практически одинакова. Число длин волн Хй>
укладывающихся на интервале Д, будет
и _д Д
kjl \ г\ • Соответственно — —с—,
Ле-
Число темных полос равно ka — — 12, так как темные полосы получаются
в местах спектра соответствующих тем длинам волн, для которых состояние
поляризации не изменяется в результате прохождения через кварцевую пла-
стинку, т. е. для которых разность хода Д составляет целое число длин волн.
441. У исландского шпата очень большая разность показателей прелом-
ления обыкновенного и необыкновенного лучей, так что даже в тонких пла-
стинках получаются большие разности хода, при которых интерференция
в белом свете невозможна.
442. Надо повернуть на одинаковый угол и анализатор и поляризатор,
между которыми вставлена пластинка.
443. При повороте на 360° получаются цвета: 2 раза сине-зеленый вто-
рого порядка, 2 раза желтый первого порядка, 2 раза чувствительный оттенок
первого порядка.
444. Вследствие плеохроизма.
445. Решение. Поставив на пути света пластинку в четверть волны
и николь. После прохождения пластинки свет становится линейно
поляризованным, причем направление колебания электрического вектора
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
255
составляет угол ± 45° с осью кристалла. На рис. 109, а указано это напра-
вление для правополяризованного и ‘левополяризованного света в случаях,
Ось кристалла
/направление
света
. Правопаляпиза-
банный сбет
Лебо поляризо-
ванный обет
Ось кристалла
Прабополяризо-
ванный свет
6)
ГНаправление
света
Лебополяризо-
ванный свет
Рис. 109.
когда пластинка сделана из положительного одноосного кристалла. Напра-
вление это определяется с помощью анализатора. Рис. 109, б относится к слу-
чаю, когда пластинка сделана из отрицательного кристалла.
446. Решение. Поставив на пути света пластинку в четверть волны
и николь. Если при вращении николя и при любом положении пла-
стинки интенсивность не меняется — естественный свет, если интенсивность
меняется и падает до нуля — кругополяризованный свет, если же интенсив-
ность меняется, но не падает до нуля — частично кругополяризованный свет.
Вместо пластинки можно применять компенсатор Бабине и установить
£ *
его так, чтобы он вносил разность хода в —.
447. Надо поместить на пути распространения света пластинку в четверть
волны, а за ней николь. Если вращением пластинки вокруг направле-
ния луча можно найти такое положение, при котором свет, прошедший через
нее, можно погасить последующим вращением николя, то падающий свет был
эллиптически поляризован. Если это сделать не удастся, то мы имеем дело
либо со смесью естественного света с линейно поляризованным, либо со смесью
естественного света с эллиптически поляризованным. Для того чтобы отли-
чить друг от друга эти два последних случая, на пути света ставят сначала
только один николь и устанавливают его на минимум интенсивности прохо-
дящего света. Затем перед николем помещают пластинку в четверть
волны. Вращением пластинки и николя снова добиваются минимума интен-
сивности. Если этот минимум интенсивности получается при прежнем поло-
жении николя (или при повороте его на 180°), то мы имеем смесь естествен-
ного света с линейно поляризованным. Если же для получения минимума
требуется повернуть николь на некоторый угол, — то смесь естественного
света с эллиптически поляризованным.
Вместо пластинки в четверть волны можно применять компенса-
тор Бабине. Не обязательно устанавливать компенсатор так, чтобы он
вносил разность хода точно в —, а лишь приближенно. Большой точности
в такой установке не требуется.
448. Решение. Пусть /п — интенсивность поляризованного света,
а /е—интенсивность естественного света. При первом положении николя
интенсивность прошедшего света равна
In. +’2’
а при втором
/„СО5=60Ч-|/е = |/„ + 1/..
256
ОПТИКА
[гл. г
По условию <•
4 + = 2 /п 4" у Ге} ,
з
откуда /п =/е. Максимальная интенсивность ls=. — [nt минимальная
1 —JL / д — JL Zl_________ч
1р ~ 2 /п’ d “ 2 ’ Гр ~ ’
449. 1) sin 27 = sin 2i sin й; 2) tg 26 = tg 2/ cos й, где 6 — угол между одним
из главных направлений пластинки и одной из полуосей эллипса, а искомое
отношение полуосей равно tg /.
Решение. Линейно поляризованный луч по выходе из пластинки превра-
щается в эллиптически поляризованный, характеризуемый эллипсом колебаний:
х = a cos cut; у — Ь cos (W -f- 8).
Для определения полуосей полученного эллиптического колебания найдем
компоненты светового вектора х' и у' на оси координат, повернутые на
угол 0 относительно первоначальной системы осей, совпадающих с главными
направлениями пластинки:
х' = a cos 6 cos a>t Ь sin 6 cos («7 -f- й) = A cos («7 4~ a),
y' = — a sin 0 cos (at + b cos (<o£ 4~ й) = В cos (<o£ 4~ ₽),
где А и В определяются из следующих уравнений:
A cos а = a cos 0 -f- b sin 6 cos й, |
A sin a = b sin 0 sin й, I
В cos 3 = — a sin 0 4~ b cos 0 cos й,
В sin = b cos 0 sin й.
Отсюда
Л2 = a2 cos2 0 4-ft2 sin2 0 4- ab sin 20 cos й,
> (2)
В2 = a2 sin2 0 -|- Z>2cos20— ab sin 20 cos й. j '
Складывая и вычитая, получаем:
А2 — В2 = а2 + Ь2 = R2, (3)
Л2 — В2 — (а2 — Ь2) cos 20 -f- 2ab sin 20 cos й, (4)
где R — амплитуда волны, прошедшей через поляризатор.
Для того чтобы амплитуды А и В соответствовали колебаниям вдоль
осей эллипса, необходимо выбрать угол 0 так, чтобы разность А2 — В2 была
максимальной или минимальной.
Приравнивая первую производную нулю, получаем:
{§2е= д321>-СО55, (5)
Из (1) находим:
АВ sin (a — и) = — ab sin й,
д9 _ М (6)
АВ cos (a — 3) = ab cos 20 cos й-----------sin 20 ' '
или
AB cos (a — 3) _ । a2~b2 20.
ab cos 20 cos й 2ab cos й *
§ 5]
КРИСТАЛЛООПТИКА
257
Подставляя вместо tg 20 его значение из (5), получаем:
А В cos (а—,3)Q
ab cos 20 cos й ’
откуда cos (а — р) == 0, ния (6) имеем: (а—= Следовательно, из первого уравне- АВ ~ ±_ ab sin В.
т b . • Так как — = tg i, то а ’ . п. 2аЬ sm 2t = --s- , , aa 4- 62 ’ as - Ь* сов2'—«• + *»• tg 2i = . & a2 — b*
Таким образом, уравнение (5) будет иметь следующий вид:
tg 20 = tg 2/ cos 5.
Полагая tg / = -т-, найдем:
/Ч
sin 2/ =
2АВ
А*+В*
2ab sin В
й24-й2
= sin 2i sin В.
450. Решение. Когда угол между главной плоскостью поляризатора
и одним из главных направлений исследуемой пластинки равен I и 90° — I,
свет, прошедший через пластинку, имеет одинаковое отношение полуосей
В_
А
(см. решение задачи 449).
Обозначим через 2а угол между одноименными полуосями подобных
эллипсов, соответствующих этим случаям. Тогда 2а = 90°— 2(1— 0) или
20 = 2 (а 4-0 — 90°, где 0—угол между одним из главных направлений пла-
стинки и осью эллипса. Из соотношения tg 20 = tg 21 cos В получаем:
, ctg 2 (i 4- а)
cos В = —
tg 21
Измерение величин I и а можно провести двояко:
1) Поместив исследуемую пластинку между скрещенными николями,
определяют ее главные направления. Повернув затем пластинку на некоторый
угол i, помещают за ней вторую пластинку, при помощи которой эллиптиче-
ское колебание превращают в прямолинейное. Полученное колебание ту-
шится анализатором. Поворачивают исследуемую пластинку на угол 90° — /,
скрепляют анализатор с компенсирующей пластинкой и, поворачивая его, на-
ходят новое положение полного затемнения. Угол поворота анализатора — 2а.
2) Компенсирующую пластинку скрепляют с анализатором U, поворачи-
вая его и исследуемую пластинку, находят оба положения полного затем-
нения. Тогда угол поворота исследуемой пластинки равен 90° — 21 или
90° 21, а угол поворота анализатора — 2а.
258
ОПТИКА
[гл. I
451. Решение. Как следует из закона преломления (рис. 110),
sin = п0
sin ф0 пе ‘
В призме николя сечение ВС перпендикулярно к ее основаниям АВ и CD,
а по условию задачи волновая нормаль необыкновенной волны должна быть
параллельна длинному ребру призмы. Поэтому
“=•5—фе.
Далее, по условию задачи
= ------(? + Ч
где Р — предельный угол полного внутреннего отражения на границе ВС для
обыкновенного луча. Он определяется уравнением sin 3 = -—. Подставляя
по
численные значения п, п0 и пе, находим:
£ = 68° 15'; фо = 20°; фе = 22°; а = 68°.
Наконец,
-°-=-Ду-= 2,88.
b sin 2а
452. Для канадского бальзама = 4,93, апертура 2<р = 34’20'. Для льня-
ного масла -|- = 4,14, апертура 2? = 40°50'.
Решение. Поскольку в рассматриваемом случае электрический вектор
направлен либо перпендикулярно к оптической оси (обыкновенная волна), либо
параллельно ей (необыкновенная волна), направления волновых нормалей и
световых лучей совпадают. Необыкновенный луч, падающий на плоскость раз-
реза ВС (рис. 111), всегда проходит через нее и притом без отклонения.
КРИСТАЛЛООПТИКА
259
§ 5]
В частности, через призму могут проходить необыкновенные лучи, направлен-
ные по ее диагонали. Таким лучам соответствует максимально возможный
угол падения ср, при котором имеется необыкновенный луч, проходящий через
призму. Если угол падения превышает ср, то нет ни одного необыкновенного
луча, который мог бы пройти через призму: в этом случае необыкновенный
луч попадает на боковую поверхность призмы и поглощается на ней. Углу ср
соответствует угол преломления необыкновенного луча Фе, определяемый со-
отношением
ч^=4.
Подберем отношение -у таким образом, чтобы при углах падения, не пре-
вышающих предельного угла ср, ни один обыкновенный луч не мог
пройти через разрез ВС, а испытывал бы на нем полное внутреннее отра-
жение. Для этого достаточно, чтобы обыкновенный луч SO, падающий на
АВ внизу под углом ср, встречал плоскость разреза ВС под предельным
углом полного внутреннего отражения ,8: sin|3 = —. Как видно из рис. 111,
по
? = -у — ('?е + Фо),
и следовательно, должно быть
cos (<!>е + <ЬО) = .
flQ
Добавив сюда закон преломления:
sin ср = п0 sin = пе sin <1>е,
получим полную систему уравнений для нахождения искомых величин: отно-
шения —- и апертуры 2ср. Из нее находим удобные расчетные формулы:
/ а3 V2 а3
(П2 _+[п3 — п3 —2rt(n + пе)] -р-—(« + пе)3 = О,
453. Решение. Для того чтобы обыкновенный луч, падающий на
грань АВ снизу под углом ср (рис. 112), испытал полное внутреннее отражение
от плоскости разреза ВС, необходимо, чтобы угол падения на эту плоскость
превосходил предельный угол полного внутреннего отражения:
« —sin?0=J-. (1)
"о
Обыкновенный луч, падающий на АВ сверху, тем более испытывает полное
внутреннее отражение.
Для того чтобы необыкновенный луч, падающий на грань АВ сверху под
углом ср', прошел через плоскость разреза ВС, необходимо, чтобы он падал
на ВС под углом, не превосходящим предельного угла полного внутреннего
отражения;
а + (2)
260
ОПТИКА
|гл. I
Тогда необыкновенный луч, падающий на АВ снизу, пройдет через ВС. Наи-
большей апертуре призмы соответствуют в (1) и (2) знаки равенства. 3 этом
случае угол «р ср’ равен апертуре призмы. Потребовав дополнительно <р = ср',
будем иметь:
“—'Ро — Но, а + 'Ь==?(;, (8)
причем
sin ср = п0 sin = пе sin (4)
tg “ = • (5)
Отсюда могут быть найдены все интересующие нас величины. Из (3)
получаем:
Фо + Фе = ^-^ = 5012'. (6)
Таким образом, углы <L0, t>e, ср малы, и их
синусы можно заменить самими углами. Это
дает для апертуры
2т=-гт?тгЛ-М = 8°1()' W
по “г ие
и для отношения сторон
4 = tg (30 + ф0) = tg Uo + *= °,826 (8)
С/ \ •i'O/
Таким образом, из всех поляризационных
призм рассматриваемая призма является наи-
более короткой. Практически эту призму рас-
пиливают не по диагонали, а как указано на
рис. 113, чтобы легче монтировать ее и предохранить поверхность распила
от запыления. Но все же и на практике отношение длины к ширине остается
меньше единицы.
КРИСТАЛЛООПТИКА
261
§ 5] '
454. Кристалл положителен, ось наибольшей диэлектрической проницае-
мости перпендикулярна к пластинке.
455. Перпендикулярно к любой из диэлектрических осей кристалла.
456. Решение. 1) Если свет поляризован по кругу, то слагающие ко-
лебания по координатным осям могут быть представлены в виде
х = a cos ut; у = а sin at.
После прохождения через кристаллическую пластинку, сообщающую неко-
торую разность хода, уравнения колебаний могут быть написаны так:
х — a cos at; у = а sin (at + о).
При угле а между главной плоскостью анализатора и одним из главных на-
правлений пластинки результирующее колебание при выходе из анализатора
будет:
a cos a cos at-{-a sin a sin (<о£ -|- б) =
— а (cos а 4~ sin a sin В) cos at a sin a cos В sin at;
отсюда получаем для интенсивности:
1 = а2 {(cos а + sin a sin В)2 -f- ( sin а cos В)2} = а2 (1 + sin 2а sin В).
2) При постоянном значении В интенсивность достигает максимума или
минимума, когда cos 2а — 0, т. е. когда а = . Если sin В >» 0, то пер-
вому значению а соответствует максимум,а второму — минимум;при sin В <. О —•
наоборот.
457. Р е ш е н и е. Согласно предыдущей задаче интенсивность света,
прошедшего через анализатор,
/ = а2 (1 sin 2а sin о).
При постоянном угле а интенсивность будет минимальной, когда
3 7
sin 8 = — 1, т. е. при В = — тс, — те и т. д.,
и максимальной, когда
sin 8=1, т. е. при 8 = — , те, уте ит. д.,
если sin 2а > 0. Если же sin 2а < 0, то в первом случае будет минимум, а
во втором — максимум интенсивности. Следовательно, в поле зрения будут
видны чередующиеся светлые и темные полосы. При вращении клина будет
меняться угол а и, следовательно, в каждой точке клина будет изменяться
интенсивность.
При углах а = 90°, 180° и 270° весь клин будет освещен равномерно,
а при углах а = 45°, 135°, 225°, 315° будет наблюдаться наиболее резкая раз-
ница в интенсивности темных и светлых полос, причем при переходе через
углы а = 90°, 180°, 270° темные полосы будут переходить в светлые, а свет-
лые — в темные.
458. Вследствие того, что в кварце происходит вращение плоскости по-
ляризации. Угол поворота плоскости поляризации для пластинки кварца
толщиной в 1 мм меньше 180° для видимого света любой окраски.
459. Если пластинку, вырезанную перпендикулярно к оптической оси
из кварца, т. е. вещества, вращающего плоскость поляризации, поместить
между двумя скрещенными николями, то такая система будет пропускать
•свет (см. решение предыдущей задачи), и картина не будет меняться при
вращении пластинки вокруг направления распространения света. Если
262
ОПТИКА
[гл. г
пластинка вырезана параллельно оси, то явление значительно усложняется.
Линейно поляризованная волна, вступая в пластинку, распадается на две ли-
нейно поляризованные волны, распространяющиеся с разными скоростями.
Разность фаз между ними будет поэтому изменяться, и свет из линейно
поляризованного превратится в эллиптически поляризованный. Система также
будет пропускать свет, но интенсивность его будет меняться при вращении
пластинки вокруг направления распространения света.
460. Вследствие дисперсии вращательной способности кварца.
461. Из-за отличия направления вращения плоскости поляризации (лево-
и правовращающий кварц).
462. Если поместить пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно к
оптической оси, между скрещенными николями и осветить систему моно-
хроматическим светом, то она будет пропускать свет; повернув анализатор
на угол, меньший 90°, мы можем снова погасить свет. Если при этом приходится
вращать анализатор по направлению часовой стрелки (если смотреть со сто-
роны наблюдателя), то кварц будет правовращающий, если же против часо-
вой стрелки, то левовращающий.
Если осветить систему белым светом, то пластинка будет казаться глазу
окрашенной. Если вращать анализатор по часовой стрелке, то для правовра-
щающего кварца окраска меняется в сторону коротких длин волн видимого
спектра. Для левовращающего кварца порядок изменения окраски обратный.
463. d = 4,5 мм. 464. 1) 7,5 мм; 2) 3,75 мм.
тск3
= о 1900 мм (в формуле предполагается, что угол враще-
О£>0Л
465.
ния плоскости поляризации измеряется в радианах).
1 1 =
2ВА fdn0 dne\ ’ ММ'
Дп = ?Д-=®1,1 . 10~«. 463. Дп = 7,1 I0-1.
466.
467.
469. Решение. Прибор помещается между параллельными николями
так, что линия соприкосновения правого и левого кварца совпадает с глав-
ным сечением поляризатора. Однородное освещение поля зрения будет на-
блюдаться только в том случае, когда одно из главных направлений в пла-
стинке совпадает с главным сечением поляризатора. При применении моно-
хроматического света можно добиться наиболее выгодного условия для
работы прибора, изменяя толщину клиньев так, чтобы угол вращения пло-
скости поляризации для данного света был близок к 90°. В этих условиях
прибор наиболее чувствителен к отклонению одного из главных направлений
в пластинке от главного сечения поляризатора.
470. Угол 0 между направлением движения частицы и волновым векто-
ром k (или, что то же, волновой нормалью N) излучения Вавилова—Черен-
кова определяется уравнением
V(w, N)
СО3 0=-----—, (1)
где v— нормальная скорость волны (т. е. скорость распространения фазы в
направлении ,7V), зависящая от частоты w и направления нормали N, а V —
скорость частицы в среде. Скорость v в данном направлении N может иметь
два значения Vi и v2. В соответствии с этим уравнение (1) разбивается на
два;
„ Vi (w, TV) ,, v2 (<о, TV)
cos 0Х = , cos 02 = »
§ 6] ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников 263
Излучение Вавилова—Черенкова в кристалле образует, вообще говоря,
две сложные конические поверхности, образующие которых (волновые нор-
мали) определяются уравнениями (2). Излучение возможно лишь при выпол-
нении одного из условий: Vj < V или v2 < V. При некоторых значениях V
может получиться одна коническая поверхность или ни одной. Наконец,
возможен случай, когда получается лишь часть какой-либо из конических
поверхностей (2) (поскольку vt и и2 зависят от направления N). Конусам
нормалей (2) соответствуют конусы лучей, которые могут быть найдены по
общим формулам кристаллооптики.
§ 6. Скорость ,света. Оптика движущихся сред
и источников. Некоторые вопросы теории
относительности
472. Аберрация света есть изменение направления распространения све-
товой волны при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся
относительно первой. Если одну систему отсчета связать со звездой, а дру-
V
гую с Землей, то угол аберрации будет определяться формулой tg 0 = - .
Он действительно различен для различных звезд. Однако не этот угол имеют
в виду, когда говорят об аберрации света. Если бы скорость Земли v отно-
сительно звезды оставалась неизменной, то движение Земли сказалось бы
только на кажущемся положении звезды на небесном своде, и аберрация
не могла бы наблюдаться. Аберрация света возникает вследствие изменения у,
обусловленного вращением Земли вокруг Солнца. Угол аберрации ДО опре-
деляется разностью относительных скоростей Земли Av в диаметрально про-
тивоположных точках земной орбиты: tg ДО = — —. Эта разность относи-
тельных скоростей, а с ней и угол ДО одинаковы для всех звезд и не за-
висят от собственного движения последних.
473. 1) 0,32"; 2) в 64 раза.
474. с = IDZN
2п — 1 — 2,99 • 105 км • сек \
ю' — ш rf<0
k' — k dk ‘
476. и —V — А ~ dk , где X — длина волны в среде (формула Рэлея); /, , X dn\ , и = у 1 Ч— . \ п dX)
479. 1) и = а — у; а /X у За 3 2) и 2 2 , 3) и 2 2 °’
4)u=^-=2v; 5) А с'2 с3 _ 1 с2 и — —— = —: 6) и — — /c34-^Xs v т. h -4- м а Г 2ер. |
480. е = I Ч—-а, где А — постоянная,
аг
482. Решение. Пусть при t <0 в контуре совершаклся свободные
колебания:
I = iaeiu>tt V —
264
ОПТИКА
[гл. г
где 1 — сила тока в контуре, а V — напряжение на обкладках конденсатора,
связанные между собой соотношением
£ ~ ~|- V = О или i^Ll + V — 0.
Если в момент f = 0 в контур ввести сопротивление 7?, то, начиная с этого
момента, колебания будут описываться уравнением
, , ndl ( /
dt* dt^~ С (Si)
0,
откуда
I=/oeiZt, t>0,
где S — комплексная частота, определяемая уравнением
w£ (S) —~ = IR-
wC (w)
Если 7? исчезающе мало, то S должна отличаться от о также на исчезающе
малую величину. Но « удовлетворяет уравнению
OiL (со)---Д— = 0.
соС (<о)
Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности их диф-
ференциалами, получим:
Г((0£) + -£(соС)1 (о - со) = iR,
Ldco CO“G“ d<0 J
откуда со = со -|- /В, причем
R __ d (uL) . 1 d(coC) _ d(co£) L d(^C)
В dco ' co2C2 do do C da>
При определении джоулева тепла надо проинтегрировать выражение RR
по времени. Поскольку возведение в квадрат — нелинейная операция, необ-
ходимо перейти к вещественной форме, т. е. сделать замену
/->Re(/)=l(7 4-/*).
Энергия, первоначально запасенная в колебательном контуре, будет равна
( / 4- J* \2
C’TJ dt==
W =
7?|/оИ ( Ь ц
4 | Ш2 4- g2 -г У/
или в пределе при В—<-0
4 В •
Подставляя сюда значение для и пользуясь соотношением a>L |/0| = (Vo|,
получим:
£о |/о|2 d(cop.) Со| V0|2 d(cos)
4 dco 4 do ’
§ 6]
ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников
265
Co I Vo |8
4
8« Е‘
Если бы между обкладками конденсатора и внутри соленоида был вакуум,
то для средних по времени значений магнитной и электрической энергий
можно было бы написать
Ao | /о I3 _ 1
---4---“ 8?Я Хт’
где и те — объемы соленоида и конденсатора, а Е и Н — напряженности
электрического и магнитного полей, когда амплитуды напряжения на кон-
денсаторе и тока в соленоиде равны Vo и /0. Но при заданных Ио и /0 поля
Е и Н не зависят от среды, заполняющей конденсатор и соленоид. Поэтому
предыдущие соотношения остаются справедливыми и в том случае, когда
конденсатор и
следующие выражения
трической и магнитной
веществом. Используя их, получаем
по времени значений плотностей элек-
_ Wm _ 1 d (wp) -a
Wfn ~ 8k dw " •
483. Для средних
— с
w = —
8к
соленоид заполнены
для средних
энергий:
1 d foe) -gg-
8к dw *
плотностей энергии и ее потока нетрудно получить
(ЕЕ*), $=~nV 7 (ЕЕ*),
откуда и следует требуемый результат.
484. Групповая.
485. Решение. Плотность электромагнитной энергии
S = ' ^(ЕЕ*)+ ’
8к dw 8к dw
существенно положительная величина. В плоской
Поэтому
(НН*)
волне е (ЕЕ*)=р.(НН*).
d (we) p.d (wp.)
dw e dw
сред, у которых знаки s
Это неравенство должно соблюдаться для любых
и р. совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде
может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой
w8
й3 = —2 ер. > 0. В том же предположении имеет смысл говорить о группо-
вой скорости. Преобразовав предыдущее неравенство к виду
w dw ~
=|1ОИ>0>
легко получить требуемый результат.
486. Решение. Записав
закон Френеля
АГ8
= 0 для нормаль-
V2 — а8
ной скорости волн
в виде
8 — k*a*
= 0 и
дифференцируя по
нетрудно получить:
dw V
V dki
a
(va - а2)8
= 1 3 1 g
‘ 0s - G;
ДГ2а2
а а
(V8 —
266
ОПТИКА
[гл (
Из формулы (1) решения задачи 405 находим:
У _ I О3 1 Di
(v*— а2)* с* (NE)2 ’ v~ — ai ~ са (NE) Nt ’
а
у __ 1 Е(аа£>а)2 _ 1
(Vs—а^)2 с* (NE)2 с2 (NE)- ‘
Подстановка этих значений в предыдущее соотношение дает:
__ дш д<л дм с2 (ci.,^1.
dk = dkx ех + dkv ev + dkz вг ~ vD2 ,£*ЛЛ>11-
Из формулы (3) решения задачи 401:
[ДО| = _£|ЛЦЛ7/|| = .£ и.
Поэтому
с3
~= -^т\ЕН].
dk v-D- 1 1
Согласно (2) (решение задачи 402) v2D! = с2 (ED) — с2Н2, так что
сЕ
~ hs-
Наконец, применяя
к (2) (решение задачи
402) теорему обращения, получим
и2 = с2
E2
(DE)
= c2
Е2
№
Окончательно
дм
~5ir — us>
dk
доказать.
кольцо было
сплошным
твердым образованием, то его
что и требовалось
487. Если бы
периферия должна была бы иметь большую линейную скорость, чем внут-
ренние края. Напротив, если бы кольцо состояло из отдельных мелких спут-
ников планеты, то для далеких и близких к планете спутников соотношение
линейных скоростей было бы обратным. Наблюдая эффект Доплера от краев
колец, можно определить, скорость какого края больше, и сделать тем
самым однозначный выбор из обоих предположений.
А. А. Белопольский в 1896 г. нашел, что скорость внутреннего края
кольца Сатурна равна 21 км/сек, а внешнего 16 км/сек. Отсюда следует,
что кольцо Сатурна не может быть твердым образованием, а должно со-
стоять из большого числа мелких спутников.
488. Решение. Возьмем сначала за систему отсчета среду. Пусть
в ней распространяется плоская акустическая волна:
Ф = a cos (Mt — kr), k = — N,
c
где N — нормаль к фронту волны. Найдем частоту волны в системе, относи-
тельно которой источник неподвижен. Подставляя в предыдущее выражение
§ 6] ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников 267
радиус-вектор источника г = ®ист£-|-const, находим для фазы: (а —й®»ИСтХ +
const. Отсюда
ШИСТ == Ш ^®ИСТ"
Аналогично, для частоты, воспринимаемой наблюдателем,
шнабл — w ^®набл-
Исключая w и переходя от циклических к обычным частотам, получим:
„ 1—i-(A4,a<M 1--^созеиа6л 1+ _Еывя_ со»»яавл
1-1(№яс1) i + Cos»„„
где <Энабл и 0ИСТ — углы между направлением распространения волны и на-
правлениями скоростей наблюдателя и источника; ^набл=п — ©набл, ^ист^
= л — 0ИСТ— дополнительные к ним углы, т. е. углы между теми же ско-
ростями и линией наблюдатель — источник. При больших скоростях источ-
ника или наблюдателя отношение -VHa6— может получиться отрицательным;
VHCT
тогда в предыдущей формуле следует переменить знак.
489 ^набл с 4~ ^набл
^ист “Ь ^ист
где скорости т>набл и г>ист считаются положительными, если они направлены
от наблюдателя к источнику.
490. Решение. Систему отсчета, относительно которой наблюдатель
покоится, условимся считать неподвижной, а систему, в которой покоится
источник, — движущейся. Полагая (см. решение задачи 488) v = чнабл,
«'набл = 0, 1>ист = ®ист = получим:
V______ с
V1 С ~|- V cos & ’
где чц — частота световой волны в месте нахождения источника, измерен-
ная с помощью неподвижных часов. Если ее измерить с помощью движу-
щихся часов (т. е. часов, неподвижных в системе источника), то благодаря
замедлению хода последних мы получим вместо чц частоту
v0 ~ чист = V, /1 — р2, р = у ,
и следовательно,
v _ /Г—р3 _ — р2
V0 1 + Р cos ft 1 — р cos 0 *
При ft = 0
JL — if1 ~ ft
V0 V 1 + P
При ft = y (поперечный эффект Доплера)
v = v0 ]/ I — Р2.
268
ОПТИКА
[гл. f
492. Полагая »ист = 0, fHa6fl = ^» ^набл=&о, получим:
v 1 Р cos So
493. Искомая формула получится из требования, что отношение частот
— не должно зависеть от способа вычисления. Пусть одна и та же плоская
световая волна наблюдается в двух системах отсчета Ко и К, из которых
вторая движется относительно первой со скоростью о. Источник покоится
в системе Ко- Пусть Оо и Э— углы между направлением вектора v и обрат-
ными направлениями луча в этих системах. Тогда
cos 0 — cos Эо = 0 (cos 8 cos 0о — 1).
494.
It/ I______32
-j—r. .-.....-Д—если рл (v) cos 0 < 1;
1 — $n (v) cos 0 ’
1/ 1 —
-o—/7----7V-7- , если 3/1 (v) cos 0 > 1,
(v) cos 0 — 1 ’ r ' ’ ’
где 0 — угол между вектором о и направлением луча, а л(м)— показатель
преломления среды.
495. Решение. Пусть плоскость зеркала перпендикулярна к оси X.,
а само зеркало движется вдоль этой оси со скоростью v. Тогда при надле-
жащем выборе начала отсчета времени абсцисса зеркала будет х3 — vt.
Представим падающую и отраженную волны в виде
\ io>' (t 4- —
ае ' с ' и а'е ' с'
В силу граничных условий, поля падающей, отраженной и прошедшей воли
на поверхности зеркала связаны между собой однородной линейной зависи-
мостью с коэффициентами, не зависящими от времени. Это может быть тогда
и только тогда, когда фазы этих волн на поверхности зеркала в любой
момент времени равны между собой: wt-----— х3 = w't ~|- — х3, откуда
1——
__ у1 с j 2 v
<0 V 11^ с
1 + 7
496. v' = vll+—-—'.Знак минус соответствует отражению от удаляю-
щегося зеркала, знак плюс — от приближающегося зеркала.
497. Решение. Лучи от источника 8 (рис. 114), пройдя через стек-
лянную пластинку М и линзу L, отражаются от плоского зеркала R, кото-
рое может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа.
Линза L дает изображение источника 8 на поверхности вогнутого зеркала С,
центр кривизны которого совпадает с осью вращения зеркала R. Сосуд Р
наполняют исследуемым веществом, в котором измеряется скорость света.
Если зеркало R неподвижно, то лучи, отраженные от С и R, снова сойдутся
в точке 8. Зеркало М отклонит часть лучей в сторону и даст действитель-
§ 6] оптикл движущихся СРЕД и источников
269
ное изображение источника в При вращении зеркала Z? изображение Si
смещается в По величине смещения SjSJ можно вычислить скорость
света в исследуемом веществе. Так как цель задачи—ответить на принци-
пиальный вопрос, какую скорость света дает метод Фуко, то воздушные
зазоры между R и Р, а также между Р и С можно считать бесконечно тон-
кими, и во всех расчетах пренебречь толщиной этих зазоров. Обычный расчет
проводится следующим способом. На прохождение расстояния от R до С
и обратно волновой фронт, распространяющийся с фазовой скоростью, за-
трачивает время Т=-----, где D — расстояние между зеркалами R и С.
За это время зеркало R повернется на угол ср — TQ, если й—угловая ско-
рость вращения зеркала. Луч, отраженный от зеркала R, вращается с вдвое
большей скоростью. За то же время он повернется на угол а = 2<р = 2Гй =
4D
==----Й. Угол а легко рассчитать по величине смещения S1S1'. Таким
образом,
4£Й
v =-----.
а
0)
В этом рассуждении не принято во внимание изменение частоты, которое,
согласно принципу Доплера, должно происходить при отражении света от
вращающегося зеркала R. Поэтому оно не дает ответа, что за скорость
вычисляется по формуле (1).
Поместим начало координат на оси вращающегося зеркала R и напра-
вим ось У по линии пересечения плоскости этого зеркала с плоскостью
чертежа. Так как линейные скорости различных точек вращающегося зеркала
различны, то и изменение частоты волны при ее отражении от зеркала
будет разным в зависимости от того, в каком месте зеркала произошло
отражение. Благодаря этому различные точки волнового фронта будут рас-
пространяться в среде с различными фазовыми скоростями. Это поведет
к вращению волнового фронта в среде. Если за направление положительного
270
ОПТИКА
[гл с
вращения принять направление вращения зеркала А, то для
рости вращения волнового фронта в среде можно написать
1 dv
dy cos ср du
Q'
cos ср
1 dv du
где «р — угол падения светового
луча на зеркало
А*. Так как
dv 1
угловой ско-
V = -r- , то
к
w dk v
du k k“ du и
v*
uU ’
dy ’
где и — групповая скорость. Остается определить . Если w — частота
волны, отраженной от зеркала в точке с координатой у, a w Д- du — с коор-
„ , , „ du 2 ,
динатой у dy, то по принципу Доплера --=----- Q cos у dy, откуда
—!_ ±С.=_2Й — =-2S —
cos ср dy с nv ’
где п — показатель преломления. Таким образом,
\ coU U j nV П \и )’
Отраженный от зеркала С волновой фронт будет также поворачиваться при
распространении в веществе с угловой скоростью Q' и притом, как легко
сообразить, в том же направлении, что и падающий волновой фронт. С дру-
гой стороны, на прохождение слоя вещества толщиной 2D волновой фронт
2D
затрачивает время Т=—^—. За это время он повернется в среде на угол 2Т =
47)2 / v ,\ „ „ „ .
= —— - I — —11. Но выходе из сосуда Р в вакуум волновой фронт прелом-
ляется, вследствие чего угол поворота увеличивается в п раз и становится
равным
47)2 (V Д 47)2 47)2
п9.'Т=------------1 =---------------.
v \ и / и v
ъ х 47)2 „
Этот поворот надо прибавить к повороту —-—, найденному ранее без учета
эффекта Доплера. Таким образом, измеряемый угол поворота а в действи-
тельности равен
47)2 , /47)2 47)2 \ 47)2
а =----------------------:=-------
V \ и V и
так что вместо
Следовательно,
498. Метод
формулы (1) мы получаем:
47)2
и =------
а
(2)
метод вращающегося зеркала Фуко дает групповую скорость,
вращающегося зеркала дает групповую скорость:
и = V ( 1 Д
dn
п d'K
§ 6]
ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников
271
Так как
то
— =-------т- = 1,76.
и л dn
с
Майкельсон на опыте нашел — = 1,75.
499. Решение. Пусть в эфире распространяется световая волна под
углом а к оси Z. Плоскость, проходящую через волновую нормаль и ось Z,
примем за координатную плоскость XZ. Если координатная система покоится
относительно эфира, то волновое движение можно записать в виде
Е — Ео cos — k (х sin а z cos а) ],
со
причем скорость света с — — не зависит от направления его распростра-
нения. Запишем ту же волну в координатной системе, движущейся относи-
тельно эфира в направлении оси Z со скоростью v. Если в начальный мо-
мент времени обе системы совпадали, то координаты в новой системе
выразятся через координаты в старой системе формулами:
х'=х, у' —у, z' = z — vt.
Значит, волновое движение относительно новой системы представится
в виде
Е — Ео COS [со'£ — k (х' sin а-\- z' COS а) ],
где
со' = со — kv COS а.
Таким образом, частота волны при наблюдении в новой системе изме-
2тс
няется. Напротив, длина волны Х = -^- останется без изменения. Фазовая
скорость света с' в движущейся системе также изменяется. Она, очевидно,
равна
। “
С = С — V COS а.
k
(О
От фазовой скорости надо отличать скорость светового сигнала. Она, оче-
видно, найдется по классической теореме сложения скоростей. Компоненты
скорости светового сигнала в неподвижной системе равны с sin а и с cos а.
В движущейся системе х-компонента остается без изменения, а z-компо-
нента уменьшится на V. Итак, компоненты скорости и светового сигнала
относительно движущейся системы координат будут равны:
их — сх — с sin а,
иг = С2 — V — С COS а — V.
Отсюда видно, что световой сигнал распространяется в движущейся системе
под другим углом к оси Z, чем в неподвижной системе (аберрация света!).
Для самой скорости светового сигнала и получаем:
U' — Ux -|- иг = С- — 2cv COS а -j- о2.
272
ОПТИКА
[ГЛ. I
В дальнейших расчетах будем пренебрегать величиной и® по сравнению с с®.
В этом приближении
и — с — v cos а, (2)
т. е. скорость светового сигнала равна фазовой скорости света. Скорость
света относительно движущейся системы координат зависит от направления
его распространения. Относительно этой системы эфир ведет себя как
покоящаяся, но анизотропная среда.
Установив это, допустим, что относительно эфира со скоростью v в
направлении оси Z движется наблюдатель с дифракционной решеткой, пло-
скость которой параллельна плоскости XZ, а штрихи параллельны оси У.
Вторичные волны Гюйгенса, выходящие из двух соседних точек решетки А и
В, удаленных друг
от друга на период решетк
ходят в точку С и там
вая волна на прохождение
С затрачивает время
АС АС
tl u(bt) c—vcosSj
а вторая
ВС
ВС
I а ^рис. но/, при-
интерферируют. Пер-
от решетки
до точки
ВС
с
и (82) С — V cos &2
Так как AC cos 8, = ВС cos82, то разность вре-
мен равна
ВС —АС
'2
Для наблюдения фраунгоферовой дифракции
точку С надо удалить в бесконечность. Тогда в
пределе 8Х = 82 = 8, ВС — АС = d sin 8, и мы получаем:
— ty
с
d sin 9
t2 — = —-—
Для простоты предположим, что падающая волна распространяется в направ-
лении оси Z (т. е. перпендикулярно к плоскости решетки). Тогда а = 0,
<о'= <о — kv. Вторичные волны Гюйгенса выходят из точек решетки А и В
с одинаковыми фазами. В точку С они приходят с разностью фаз
* , 4 х / и \ d sin 9 2к /, v \ _
Д == <о' (t2 — it) = (со — kv) —-— = у- ( 1-------— 1 d sin 8.
Для того чтобы в направлении 8 образовался главный дифракционный мак-
симум, необходимо, чтобы разность фаз Д составляла 2кщ, где т — целое
число. Это дает
d sin 8 = mK't (3)
где
X
1--
с
(4)
Таким образом, явление происходит так, как если бы эфир покоился,
а длина волны смещалась в красную сторону согласно формуле (4).
Разобранным методом нетрудно рассмотреть и случай наклонного паде-
ния света на решетку. Это мы предлагаем сделать читателю.
500. ДХ = 21 А. 501. 8Х = 0,046 А. 502. ДХ а» 450 А. 503. 6Х = 21 А.
§ 6]
ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД и источников
273
504. Если а — угол между направлением пучка каналовых лучей и пер-
пендикуляром к линии наблюдения, то должно быть
а < — = 0,22 . 10-s рад = Т.
Указанная в задаче трудность была преодолена Айвсом следующим
способом. В спектрограф направлялось излучение не только непосредственно
от каналовых частиц, но и их свет после отражения от зеркала. Плоскость
зеркала была установлена перпендикулярно к оси спектрографа. Тогда,
если пучок каналовых лучей образует с перпендикуляром к линии на-
блюдения угол а, то его изображение в зеркале составляет с этим перпен-
дикуляром угол —а. Таким образом, одновременно наблюдался продольный
эффект Доплера, соответствующий продольным скоростям и sin а и —и sin а.
Смещенные линии в продольном эффекте должны быть симметрично распо-
ложены относительно несмещенной линии. Поперечный же эффект Доплера
должен дать для обоих случаев смещение в одну и ту же (красную) сторону.
Опыт показал, что смещенные линии в этом случае расположены асимметрично
относительно несмещенной линии. Именно, на продольное доплеровское
смещение накладывается дополнительное смещение в красную сторону. По
положению смещенных линий относительно несмещенной можно рассчи-
тать это дополнительное смещение. Айвс нашел, что в пределах ошибок
измерений оно согласуется с релятивистской формулой для поперечного эф-
фекта Доплера.
505. Удаляется со скоростью V — 1380 км • сек~1.
506. v = 2 км • сек~1. 507. ДХ=1,1 А. 508. И=3600 в.
(м — vq \ 2
8 ] ~ _____
&цу. i\y) = ioe 2 , где — = — 1/ ------- (7? — газовая постоянная,
2 с у р
р — молекулярный вес газа).
Решение. Вероятность того, что скорость молекулы газа в направле-
нии наблюдателя лежит в интервале (v, v dv), равна
dw (и) =
1/ -^—e
У 2nRT
|Л1»2
2RT
dv.
Молекула co скоростью v излучает, с точки зрения неподвижного наблюда-
/ w \
теля, свет частоты \ = v0(l~]—— I. Отсюда вероятность того, что молекула
излучает свет с частотой от v до
.-----|х г3 . ..
, / . Т| Г р 2ЦТ VS 0 с J
dw(y) = I/ * 0 —
4 ’ У 2nRT
Так как излучения различных молекул газа некогерентны, то Ify'jd't—
интенсивность света с частотой в интервале v, v ah — пропорциональна
dw (у), откуда нетрудно получить приведенное в ответе выражение.
510. ДХ=— l/W" /1п 2 0,042 А,
с У А
где А — атомный вес водорода.
274
ОПТИКА
[гл. г
5Н. -у-=cos где О— угол между направлением наблюдения и
направлением движения.
1 • Источник
512. к = 2-^- = 50 см.
513. М — —- (1 — Y1 — Р2) ss — = 0,0143 года = 5,24 суток,
v с \ с }
514. Е = тс2 = 9 • 1027 эрг - 9 • 1020 дж, 44=13000 т, v = ^-c =
= 2,6 • Ю5 км • сек~\
V
515. М х те Vq к, 2 • е26 000 а; 101130 т. Эта цифра чудовищно велика
(масса Земли 6-1021 т, масса Солнца 2 - 1027 т, масса Галактики 2-1038 т).
Проблема межзвездных ракет будет оставаться
бесперспективной, пока не будет найдено «топ-
ливо», у которого скорость истечения vQ при-
ближается по порядку величины к скорости
света с. (См. также задачи 1337,1338, 1339,
1340, 1341).
516. т = Л = —т0^9,5т0^2,1 Ю-s сек.
/1—₽2 тс2
517. Решение. Рассмотрим систему от-
счета, движущуюся с постоянным ускорением а
относительно инерциальной системы. Пусть в не-
который момент tx в точке /. (рис. 116) испу-
щена световая волна по направлению к наблю-
дателю 2, находящемуся на расстоянии L. Введем
инерциальную систему отсчета, относительно ко-
торой скорость наблюдателя в момент tx равна
нулю. Пусть частота волны в этой системе
отсчета равна 'Vj. Волна достигнет наблюда-
теля в момент t2 ~ t\ -[- у. (Мы пренебрегли малой поправкой, связанной
с движением наблюдателя.) К этому моменту наблюдатель 2 приобретет ско-
рость a(t2— и = ~ и> следовательно, измерит частоту
I CffemoffoH
Т волна
а
2 • Наблюдатель
Рис. 116.
— V
в соответствии с принципом Доплера. С точки зрения принципа эквивалент-
ности Эйнштейна рассматриваемый случай физически неотличим от того слу-
чая, когда наблюдатель покоится относительно инерциальной системы, но
находится в поле тяготения с напряженностью g = — а. В последнем случае
величина aL = gL есть разность гравитационных потенциалов —<р2 между
точками 1 и 2. (По определению гравитационного потенциала g = —grad 7.)
Следовательно, предыдущая формула принимает вид
§7]
СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ
275
где с принятой точностью расчета под v можно понимать либо либо ча.
(Точная формула может быть получена только в общей теории относитель-
ности.)
Формула (1) остается справедливой и при распространении света в не-
однородном гравитационном поле, поскольку пространство на пути светового
луча можно разбить на достаточно малые области, в каждой из которых гра-
витационное поле может считаться однородным. Достаточно применить к этим
областям формулу (1) и исключить путем сложения промежуточные частоты,
чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения. Из (1) следует,
что при распространении света в поле тяготения частота повышается, если
свет распространяется в сторону более низкого гравитационного потенциала,
и наоборот, понижается, когда он распространяется в сторону более высокого
потенциала.
518. В красную.
519. — = „ = 7,8 • 10-и; в фиолетовую,
м с2 * * S * (/? 4- Л)
520. — = = 5,45 • 10~13.
9 С2
521. При круговом движении
Д-9 fi v*
спутника — = - —
У £\ С
При эллиптическом
движении в правой части появится коэффициент порядка единицы.
522. — = — cos 0 — (1 — 2 cos2 0) -|- ——~~ . В случае а) 0 = ,
9 с 2с2 с2 2 ’
v- j gRh
2с2 с2 (R 4- Л)
2,3 • 10~10. В случае б) 0 = 89°, — = 4-4,38-Ю"7 В *.
§ 7. Световое давление
523. Р = и (1 4~ r) cos2 ?, где и— плотность энергии падающей волны;
Т— у и (1 — г) sin 2ср.
Решение. Если N— число фотонов падающей волны в единице объема,
то импульс фотонов, упавших в 1 сек на зеркало, равен -у • с S cos ср, где
S — площадь зеркала. Так как Nht = и, то этот импульс равен = и S coscp • Z,
где i—единичный вектор, проведенный в направлении падающего луча.
Импульс отраженных в 1 сек фотонов pa = ruS coscp - где i' — единичный
вектор в направлении отраженного луча. Таким образом, изменение импульса
световой волны в 1 сек вследствие отражения от зеркала равно
р2 — pi = — uS(i — ri') cos <р.
В силу закона сохранения импульса изменение импульса зеркала будет та-
ким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила F,
действующая на зеркало со стороны излучения, равна
F= pt — р« = aS (I — ri') cos ср,
а сила /, действующая на единицу площади зеркала,
f = и (I —гi') cos ср.
276
ОПТИКА
[гл. I
Проектируя это выражение на нормаль к зеркалу и на плоскость зеркала,
получим результаты, приведенные в ответе.
524. Р = и( cos3 <р + cos <р V Т — ~ и sin 2ср.
Решение. Если отражающая поверхность идеально матовая, то она
отражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отра-
жения получатся лучи всевозможных направлений, и все эти направления
равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отразив-
шегося фотона составляет с нормалью к зеркалу угол между 9 и 9 d§,
равна dQ = sin & <7$, так как соответствующий элемент телесного угла
dQ = 2л sin 9 Результирующий импульс всех отразившихся фотонов бу-
дет перпендикулярен к плоскости зеркала. Среднее значение проекции им-
пульса одного отраженного фотона на нормаль к зеркалу равно
2
С /п _ . „ 1 h»
\ — COS & Sin & dv = т;-----.
J с 2 с
о
Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фотонов
мы получим:
с 1 h't 1 о
р3 = Nc S cos ср • — — п — cos Т п>
где п — единичный вектор нормали к поверхности зеркала. Сила же /, дей-
ствующая на единицу площади зеркала, будет равна
Л Pl Р? ! 3 1 \
f= S —и\1~~2п] COS'F-
Проектируя это выражение на нормаль п и плоскость зеркала, получим ре-
зультаты, приведенные в ответе.
526. Р— где и — плотность излучения.
527. 1) Р = 0,46 дн м~2 или приблизительно полмиллиграмма на квад-
ратный метр; 2) Ра = 2Р1==0,92 дн • м~*’, 3) Р3 = Pj = 0,69 дн • лг~2.
528. р= —«=35 • 10'5 дн.
с
529. 1) F—Su, где 5— площадь диаметрального сечения шара; 2) F == Str,
4
3) F = -g-Su, где и — плотность энергии падающей волны.
Решение. Так как размеры шара велики по сравнению с длиной свето-
вой волны, то при решении задачи можно ограничиться приближением гео-
метрической оптики и не учитывать дифракцию. Чтобы объединить оба пер-
вых случая, допустим, что коэффициент отражения поверхности шара равен г
и не зависит от угла падения ср. Сила f действующая на единицу поверх-
ности шара, равна f=u cos ср (i — ri') (см. решение задачи 523). Направим
ось X параллельно падающим лучам (рис. 117). В силу симметрии результи-
§ 7]
СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ
277
рующая сила светового давления на шар должна быть направлена вдоль оси X
и равна F = JfxdS, где dS— элемент поверхности шара, а интегрирование
ведется по освещенной половине этой по-
530. На идеально отражающий шар световое давление будет больше.
Решение. Если бы коэффициент отражения г не зависел от угла паде-
ния, то сила светового давления в обоих случаях была бы одинакова (см.
решение предыдущей задачи). Однако в действительности г зависит от угла
падения и поэтому сила давления будет в обоих случаях различна. Пусть
луч АВ (рис. 118) падает на шар под углом падения <р = 45°. Тогда отражен-
ные фотоны будут распространяться перпен-
дикулярно к падающему лучу, и каждый из
h'i „
них передаст шару импульс — . Если же фо-
тон попадает на шар в пределах поверхности,
ограниченной окружностью BD, то, отразив-
шись, он будет иметь слагающую импульса,
направленную противоположно распростране-
нию падающего света; в этом случае он пере-
даст шару импульс, больший чем — , Напро-
тив, если фотон попадет на шар в пределах
кольца BEFD, то переданный им импульс бу-
/г>
дет меньше—. Если г не зависит от угла
падения, то избытки переданных импульсов по сравнению с — на круге
BD будут полностью компенсированы недостатками на кольце BEFD.
В действительности г зависит от угла падения. Для неполяризованного света
г возрастает с возрастанием угла падения. Поэтому недостатки передан-
ных импульсов на кольце BEFD будут превосходить по величине избытки их
на круге BD. Отсюда следует, что сила светового давления на шар, частично
отражающий свет, будет меньше, чем в случае идеально отражающего шара.
531. Л = 5,9 • 1018 дн = 60 000 Т. § = 4 = 1,6- IO”14. Здесь а —
F з 16 iFaRo
радиус земного шара, 7?— расстояние Земли до Солнца, Т—время обраще-
ния Земли вокруг Солнца. По сравнению с силой тяготения сила светового
давления ничтожно мала, и ее влияние на движение планет лежит далеко за
пределами точности астрономических измерений.
278
ОПТИКА
[гл. [
3 иТ2 *
16я2/?8
532. a<z
5,8-10-5 см. Результат получен в предположении, что в
рассматриваемом случае применима геометрическая оптика. На самом деле,
так как вычисленное значение а того же порядка, что и длина световой
волны, здесь существенно влияние дифракции. При учете последней а полу-
чится, очевидно, меньше, так как свет давит не только на переднюю, но и
на заднюю сторону шарика. Поэтому геометрическая оптика может дать
лишь верхнюю границу для а.
533. и' = u 1 ± — j , где а — плотность энергии падающей волны, и' —
отраженной, a v—скорость движения зеркала. Знак плюс соответствует дви-
жению зеркала навстречу распространению света, а знак минус — противо-
положному случаю.
Решение. Вообразим бесконечно длинный цилиндр, в котором без
трения медленно движется зеркальный поршень со скоростью v(v с).
В цилиндре в направлении движения поршня распространяется цуг волн,
длина которого 1 = с. Пусть в момент времени 0 голова цуга достигла
поршня. Тогда, как нетрудно рассчитать, конец цуга достигает поршня в
Q
момент времени t — -----За это время поршень пройдет путь
х = vt
VC
с — v'
а головной фронт отраженной волны — путь ct. Поэтому длина отраженного
цуга будет
/’ = ct 4- х = с С .
1 с — v
Если площадь поршня равна единице, то изменение энергии световой волны
в этом процессе равно и'Г — ul. При этом световое давление р произвело
работу рх. Следовательно,
ul = и'Г рх.
При медленном движении поршня световое давление можно принять равным
— 1. Подставляя
в предыдущее выражение значения р, х, I Г, получим результат, приведен-
ный в ответе для удаляющегося поршня. Этот результат верен, если прене-
, (v \*
бречь величинами порядка 1 — 1 .
§ 8. Молекулярная оптика
534. а = 2,66- 1O~S1 см2.
2nN ’
— лл CEq w л . E4ffl г. . л
536. Omax=----= 7;----S=s5,3 CM-CC.K 1 = “n—==»0,9-10 10.
mw 2k/hc re 2c
Несмотря на свою малость, сила Fm играет важную роль, так как именно
она обусловливает световое давление. (См. решение задачи 537.)
2 (ю2 —с ’ £ 2 (<о2 — <о2)24-(7<й)2’
где Eq — амплитуда электрического поля световой волны.
§ 81
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
279
Решение. Если волна распространяется в направлении оси Z, вектор
Е направлен вдоль оси X, а вектор Н — вдоль оси У, то
Е = Ех — Ео cos <at, Н = Hv = Но cos (At.
Если пренебречь действием магнитного поля, т» уравнение движения элек-
трона можно записать в виде
С
X + fX + cogX — — Ео cos (At.
Интегрируя его, находим скорость электрона х в установившемся вынужден-
ном колебании:
е „
— Ео<А
X — 7-5--- -------5 {yw COS (At -]- («2 — Wg) sin (At }.
(ш2—co,-;)-(7<n)2
£
На колеблющийся электрон будет действовать сила F = —[©//] со сто-
роны магнитного поля световой волны. Эта сила, как легко видеть, будет
направлена по оси Z. Она равна
е
F=-Hvx =
ё*
тс
= 7~о---5vr-i"7—{ 7“ cos + (“2 — <°о) Sin (At } COS (At.
(w2 —w2)- + (yw)3
Усредняя это выражение по времени, получим результат, приведенный в
ответе.
Энергия, поглощаемая электроном в 1 сек, равна работе силы трения
тух в течение этого времени, т. е.
1
У тух3 dt.
о
Интеграция и усреднение по времени дает е.
538. 1) — порядка 10~8, где р — индуцированный момент,
ро
2) — порядка 10“5.
с •
539. Невыполнение закона v = —— объясняется наличием большого
/е
постоянного дипольного момента у молекулы воды (1,8-10-18 CGSE), не
играющего роли в оптических явлениях для частот видимого спектра. Для
низких частот (радиоволны) дипольные молекулы воды за период колебания
электромагнитного поля успевают преимущественно ориентироваться в нап-
равлении электрического поля. Поэтому поляризуемость среды и ее пока-
затель преломления для таких частот будут зависеть от наличия у молекул
постоянных дипольных моментов. Показатель преломления радиоволн равен
квадратному корню из статической диэлектрической проницаемости (для
воды п— У г = }^81 =9). Но уже в области сантиметровых волн постоян-
ные дипольные моменты молекул воды не успевают ориентироваться в нап-
равлении электрического поля. В этой области показатель преломления
резко убывает с возрастанием частоты. В оптической области частот ди-
польные молекулы практически перестают поворачиваться под действием
280 оптика [гл. I
электрического поля световой волны, и их постоянные моменты не влияют на
показатель преломления.
540. п— 1,107.
541. е = 1-----Ц_э_у_А_1
тэ<л- ти<л-
где и — концентрации (т. е. числа частиц в 1 с№) электронов и ионов;
е3, еи, тэ> ти — их заряды и масса. Суммирование ведетёя по всем ионам.
В силу квазинейтральности ионосферы, концентрация положительных ионов с
большой точностью равна сумме концентраций электронов и отрицательных
ионов. Поэтому последним слагаемым в выражении для е можно пренебречь,
поскольку масса иона велика по сравнению с массой электрона. Сделав это
и опуская значок «э», получим:
где
542. Может: п С 1 для радиоволн в ионосфере; п < 1 для рентгеновских
лучей.
543. В области аномальной дисперсии имеется сильное поглощение, и
, dv
величина u = v — Л — , как скорость распространения сигнала или ско-
иК
рость распространения энергии, теряет смысл. (Формула для групповой ско-
рости выводится в предположении, что поглощение отсутствует или мало.)
544. Полагая }^е=±.гх, преобразуем выражение Е = Eoeiwt~kz> к
виду
E=Eoe*zeiu>t,
или
Е = Eoe~*zeiu>t.
В вещественной форме
Е=Ейе*г coswf,
или
Е = Ейе~*г cos u>t.
Это — стоячие волны. Амплитуда первой волны экспоненциально возрастает,
а второй — экспоненциально затухает в направлении оси Z. Выбор знака пе-
ред х должен определяться физическими условиями. В обоих случаях есть
затухание, но нет поглощения.
545. Если w > w0, то волна пройдет через ионосферу; если «<«0, то
волна полностью отразится. Здесь <оо = — = 5,64-101 yOVmaxce/c'1,
где Ашах—концентрация электронов на такой высоте, где она максимальна.
546. A = 1,24.10~8<
547. Чтобы радиоволна могла достигнуть Земли, ее длина волны должна
быть X <-^Й- • 10е см = 2,3-108 см — 2,3 м.
VN
§ 8]
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
281
Г Ne~
548. v=l/ с2 4--------X2.
у ' пт
549. При е (<о) = 0, что в случае плазмы дает <о = у ———. Длина вол-
нового вектора А, а с ней и фазовая скорость могут быть какими угодно *).
Групповая скорость и = — = Q. Поэтому лучше говорить не о «волне», а
просто о колебаниях электрического поля, а также о колебаниях электронов
плазмы относительно ионов.
550. Решение. Уравнение колебаний гармонического осциллятора в
электрическом иоле E=EoeiMt: г 4- wgr = — Е для установившихся колеба-
т
е Е
ний дает г =--------s.
т — <о2
Плотность собственно энергии электрического поля:
= ) =32«+ 32Г + КОМ""'
Плотность потенциальной энергии:
Мл»! [г 4- r*\2 Nmtf} „
W2 = —5— 5 = А— (Г“ 4- ГГ*) 4“ КОМПЛ. сопр.
Z \ Z / о
Плотность кинетической энергии:
Nm/r-]-r*\s Nm^2 ,
W3 = -= -----4 =--------. (г - — ГГ*) 4" компл. сопр,
Z \ Z / о
Подставляя сюда выражение для г и замечая, что из дисперсионной
е2
JLnN—
. , т б? (£ш) 1 1 (е — О (“о +
формулы £ = 14- _ ^а- следует .. = 1 4- - ~, получим дл»
плотности электрической энергии:
еЕ2 . 1 б? (г<о)
We = 55- 4- on---— ЕЕ* 4-компл. сопр.
32гс 1 32л а<о
Для плотности магнитной энергии имеем обычное выражение, как в
недиспергирующей среде.
551. Спектр пересечен темными полосами, сужающимися от красного
конца его к фиолетовому. Нулевая полоса (т. е. полоса, которой соответст-
вует нулевая разность хода) горизонтальна. При введении стеклянной плас-
тинки полосы становятся наклонными.
552. Наклон полос тем больше, чем больше толщина пластинки, и
практически не зависит от дисперсии показателя преломления последней.
При переносе пластинки из одного плеча интерферометра в другое наклон
меняет знак.
*) Это утверждение справедливо, если можно пренебречь тепловым дви-
жением электронов (средняя скорость теплового движения электрона мала
по сравнению со скоростью света с). При учете теплового движения элект-
ронов получается зависимость w от k.
282
ОПТИКА
[гл. т
553. Обозначим через yk расстояние интерференционной полосы k-ro порядка
от положения нулевой полосы, какое она занимала до введения в плечи ин-
терферометра стеклянной пластики и слоя паров натрия. До введения плас-
тинки и паров натрия yk — aklt где а — постоянная прибора. После введения
пластинки и паров натрия рассматриваемая полоса сместится, и мы получим
= а — (пет — 1) /ст + (nNa — 1)/Na). В вершине крюка = 0, что дает
п , , /ст(Пст — 1)
Порядок интерференции к=---------- велик (несколько тысяч), а потому по-
следним слагаемым в формуле (1) можно пренебречь.
554 -дат т
555. Нет, будет излучаться свет частоты <%.
556. Решение. При угле Брюстера преломленный луч перпендикулярен
к отраженному, колебания электронов в молекулах среды перпендикулярны
к направлению преломленного луча и, значит, совпадают с направлением, в
котором должен лежать отраженный луч (предполагается, что молекулы
изотропны). Поэтому в направлении отраженного луча свет, поляризованный
в плоскости падения, излучаться не может.
557. Если свет, поляризованный перпендикулярно к плоскости падения,
падает под углом Брюстера, то индуцированные дипольные моменты молекул
среды хотя и параллельны направлению отраженного луча, но дипольные
моменты молекул слоя не параллельны этому направлению. Поэтому моле-
кулы слоя излучают в рассматриваемом направлении, что и ведет к появле-
нию отраженного света.
558. Для возможности отражения недостаточно, чтобы молекулы среды
излучали в направлении отражения. Для этого необходимо еще, чтобы их
излучения были когерентны или, по меньшей мере, частично когерентны.
Это не соблюдается для изотропных сред, построенных из анизотропных
молекул, ибо условием изотропии таких сред является полная хаотичность в
ориентации анизотропных молекул. Пока выполняется это условие, среда
ведет себя так, как если бы ее молекулы были изотропны. Флуктуации ани-
зотропии, которые всегда имеют место, приводят к дополнительному рас-
сеянию света во всех направлениях, но правильного отражения не полу-
чается. Оно получилось бы, если бы нарушить в какой-либо мере хаотич-
ность в ориентации молекул. По всей вероятности, это имеет место для моно-
молекулярного слоя приграничных анизотропных молекул среды. Такого рода
ориентация, возможно, является одной из причин отступлений от формул Френеля
при отражении света от совершенно чистых поверхностей жидкостей.
559. Решение. Поле, излучаемое всей средой
Е~ Ei — Е»Ел—..., (1)
где слагаемые представляют поля излучения отдельных слоев. При строгой
однородности волны поляризации Р = р^е^—ьг' члены ряда (1) равны по
абсолютой величине, и его сумма не имеет определенного значения. В дей-
ствительности волна поляризации имеет передовой фронт, перед которым
волновое возмущение отсутствует. Таким образом, в действительности ряд
(I) содержит конечное число членов, и неопределенность исчезает. Чтобы
§ 8]
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
283
вычислить его сумму, вообразим, что первый слой вместе с излучаемым им
полем удален, а оставшаяся среда сдвинута вверх на толщину слоя I. Вооб-
разим, далее, что фазы всех дипольных моментов среды изменены на одну
и ту же величину таким образом, что диполи, оказавшиеся после смещения
на границе раздела, получили те же фазы, какие имели бы в тот же момент
времени удаленные с этой границы диполи первого слоя. Ввиду медленности
изменения членов ряда (1) и тождественности слоев, ясно, что в резуль-
тате этих воображаемых операций поле излучения вне среды практически
остается без изменения. Но теперь оно может быть представлено в виде
E~ES — Ел + ••• Вместе с (1) это дает £=-^-£1. Для толщины слоя не-
трудно получить I = —- . (Мы направили ось Z
^2 ~tj z
дикулярно к границе раздела.) Волновой вектор в
компонентами:
в сторону среды перпен-
вакууме f определяется
fх — kx> f v — fz 4“ сз ky •
560. Решение. Разобьем воображаемую среду, заполняющую верхнее
полупространство, на слои толщины L — -—. Тогда плоские волны,
излучаемые в нижнее полупространство соседними слоями, будут иметь про-
тивоположные фазы. Рассуждая, как в предыдущей задаче, найдем, что поле
излучения всей воображаемой среды эквивалентно половине поля излучения
ее первого слоя. Если электрический вектор (а следовательно, и вектор Р)
перпендикулярен к плоскости падения, то для отношения комплексных ампли-
туд отраженной и падающей волн получим;
7?л__ I _____fz — kz__ cos tf — n cos ф
L fz-^kz COS <p -|- n COS ф *
Вторая формула Френеля получается аналогично. Необходимо лишь учесть
зависимость излучения от его направления. Играет роль только ком-
понента вектора Р, перпендикулярная к направлению излучаемой волны,
параллельная компонента излучения не дает.
561. Р ешение. Рассмотрим сначала случай а). Пусть диполь
р помещен в точке О внутри щели (рис. 119). Обозначим поле
такого диполя через £'. Возьмем второй
диполь рь помещенный в точке 1 вне
щели на таком расстоянии от нее, которое
велико по сравнению с X. Поле этого диполя
обозначим через Ек. Тогда по теореме вза-
имности
рЕ1(0)=р1Е (1). (1)
Если бы щели не было, то вместо этого
соотношения мы имели бы
PEU0) = PlE(l), (2)
где Е1 — поле диполя 7 при отсутствии
щели. Поле £? в окрестности точки О
может считаться однородным. Поэтому в силу непрерывности тангенциаль-
ных компонент электрического поля левые части выражений (1) и (2) равны.
Следовательно, PlE (7) = piE(T), откуда в силу произвольности вектора рк
и положения точки 7 получаем вне щели Е — Е.
284
ОПТИКА
[гл. [
Таким образом, щель не влияет на излучение диполя, т. е. на поле в
его волновой зоне.
В случае б) соотношения (1) и (2) остаются в силе. Однако теперь, в силу
непрерывности нормальных компонент вектора индукции, &'Et (0) р — гЕ^ (0) р,
где е' — диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего щель. По-
этому z'PlE' (Г) = eptE (1), откуда Е' = ~ Е. В частности, если
е. напряженность поля диполя р в его волновой зоне
s' = 1, ТО
Е' = &Е, т.
В е раз.
562. а)
возрастает
Е=Е. б) Е
Е. В обоих случаях поле Е' не
зависит от
диполя относительно оси полости. Решение сводится
к электро-
положения
статической задаче о диэлектрическом цилиндре во внешнем однородном
поле.
Зе
563. Е' = „ Е. Поле Е' не зависит от положения диполя относи-
s' 2г
дельно центра полости.
564. Решение. Уравнения движения упруго связанного электрона
в магнитном поле (поле Н по оси OZ'y.
е
тс
е
И+*&=--ХН,
Z —J- — 0.
Вводя величину t[=.x-\-jy, легко показать, что
т\ = е^ L* {Ае^ Ве~‘
есть общий интеграл двух первых уравнений (здесь учтено, что ®0 «,
и поэтому положено У w3 = <d0). Наличие множителя где
г//
<>/ — -—-. показывает, что в магнитном поле на колебания накладывается
2тс ’
вращение с частотой
565. 7°14',7. 566. R — 1S0 дуг.мин • эрстед'1 • см'1.
а к 1
567. R = — = г— (п_ — п+) тг . где а — угол поворота плоскости поля-
/11 Aq Г1
ризации, Хо — длина волны света в вакууме и И — напряженность магнитного
поля.
Решение. Пусть внешнее магнитное поле Н перпендикулярно к пло-
скости чертежа и направлено к читателю. В том же направлении распро-
страняется линейно поляризованная волна. Разложим эту волну на две ком-
поненты, поляризованные по правому и по левому кругу. В начальный момент
электрические векторы этих компонент параллельны и направлены вдоль ОА
(рис. 120). По прохождении слоя вещества толщины I электрический вектор
Е_ первой компоненты повернется по часовой стрелке на угол ср_ = 2л =
2л/ _ „ „
= у- п_. Электрический вектор £+ второй компоненты повернется против
Aq
§ 8]
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
285
часовой стрелки на угол ср+ — -у- п+. Результирующий вектор Е обеих ком-
лонент делит угол между Е+ и EL пополам и определяет новое направление
плоскости колебаний. Эта плоскость оказывается повернутой относительно
исходного положения на угол а. Вращение плоскости колебаний (и перпен-
дикулярной к ней плоскости поляризации) считается
положительным, когда оно происходит по часовой стрел-
ке, если смотреть против направления распространения
света. Таким образом, угол поворота плоскости колеба-
ний равен
ф — tp+ TtZ . .
Z л0
Сопоставляя это выражение с соотношением а = RIH,
получаем результат, приведенный в ответе,
ссо е 1 дп
эоб. R — Ло > где е — заряд электрона
(величина отрицательная!), а — длина волны в ва7
кууме. Эта формула относится к веществам, молекулы
которых не имеют постоянного магнитного момента.
Решение. Пусть среда при отсутствии магнитного
поля имеет лишь
одну линию поглощения, которой соответствует собственная угловая часто-
та «>о. Показатель преломления среды определяется дисперсионной формулой
и является функцией аргумента — wg, т. е. п — п(и>2 — Разложим гар-
моническое колебание электрона в атоме на три колебания: одно вдоль
магнитного поля и два круговых, происходящих в плоскости, перпендикуляр-
ной к полю, в противоположных направлениях. Если наложить магнитное
поле, то частота кругового колебания, совершающегося против часовой
стрелки (если смотреть против направления магнитного поля), будет равна
<о0 Собственная частота, таким образом, изменилась. Поэтому показа-
тель преломления соответствующей поляризованной по кругу волны будет
равен
П+ — П {а>3 — (а>0 -J- — п (ы3 — — 2соосс>л — а>£).
Так как частота u>L прецессии орбиты мала по сравнению с и w, то чле-
ном можно пренебречь и написать:
/2 «хи дп
гц. = п (а>а — 0>5) — 2<o0“V -<-8
дп
(л д<л *
Аналогично,
.2
wo°V дп
а '
Недалеко от линии поглощения можно считать w0 =Это дает:
о дп
n_-n+ = 2«L-^.
Используя результат решения предыдущей задачи, отсюда легко получить
формулу, приведенную в ответе.
™ дп
569. В прозрачной области -г- отрицательно; следовательно, вращение по-
uk
ложительное, т. е. происходит по часовой стрелке, если смотреть против
направления распространения света. (Свет распространяется но направлению
магнитного поля.)
286
ОПТИКА
[гл. I
570. -= —5,28 • 10” CGSE.
т
571. Компонента с большой частотой имеет левую круговую поляриза-
цию, а компонента с меньшей частотой — правую.
573. Для того чтобы излучение было почти полностью деполяризовано,
нужно, чтобы вращение направления колебаний за «время жизни» бы.то
л еН ~ п л
«з -х-, отсюда 5— Т = vr и Нь ~ 2 эрстед.
2 ’ 2тс 2 R 1
51А. Нет. Постоянное электрическое поле только смещает положение
равновесия, но частота гармонических колебаний остается неизменной.
575. На угол 45°+ 180° т (т — целое число).
576. Направление, в котором пропускается свет, изменится на противопо-
ложное.
577. Нет.
578. Свет, излученный телом В (рис. 44) и возвращающийся к нему
обратно после отражения от николя Nu испытает при прохождении через
вращающее вещество дополнительный поворот плоскости поляризации на 45°
и поэтому не пройдет через николь ЛГ2. Испытав в николе Na полное внут-
реннее отражение, этот свет вернется (если поставить еще одно зеркало
напротив <S2) к телу А. Приведенное решение парадокса Вина было дано
Рэлеем.
579. Ъ = 2тгС1Н-^ 1,88 • 10~2 рад ^65'.
580. п0 — пе = В~КйЕ- «= 0,13 • IO”6.
581. 6 = 2г.£?/£-«=3°,53. 582. 16 000 в • слг"1.
583. 1 — где /0 — интенсивность света, падающего на ячейку.
584. Оптический знак двоякоиреломляющей среды, каковой является
жидкость или газ, помещенные в электрическое поле, определяется скоро-
стями распространения обыкновенной и необыкновенной волн. Последние
зависят от показателей преломления, которые в свою очередь определяются
зависимостью оптической поляризуемости среды от направления. Ориентация
молекул в поле определяется их результирующим дипольным моментом,
равным геометрической сумме постоянного и индуцированного моментов
молекулы. Для полярных молекул индуцированные моменты малы по сравне-
нию с постоянными — в этом случае ориентация молекул определяется почти
исключительно постоянным моментом (см. задачу 538). Легко видеть, что сов-
падение направлений постоянного дипольного момента и большой оси эллип-
соида поляризуемости приводит к образованию оптически положительного
кристалла. Если постоянный дипольный момент направлен по наименьшей из
этих осей, то получается оптически отрицательный кристалл. Наименее бла-
гоприятным для появления эффекта Керра является тот случай, когда по-
стоянный дипольный момент молекулы направлен приблизительно вдоль сред-
ней оси ее эллипсоида поляризуемости. В этом случае может получиться как
оптически положительный, так и оптически отрицательный кристалл, в зави-
симости от соотношений между осями эллипсоида поляризуемости анизо-
тропной молекулы. Чаще всего вещество в этом случае остается почти опти-
чески изотропным.
п __19 /______ 1 \ ____
585. п2 — пу = -^---cos2&—gj, где cos2» — среднее по всем мо-
лекулам значение квадрата косинуса угла & между направлением ноля
§ 81
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
287
и направлением, в котором молекула поляризуется (направлением поля-
ризации).
Решение. Компонента вектора поляризации в направлении вызываю-
щего поляризацию поля Е равна
P=NaEtts4
где N—число молекул в единице объема, а — поляризуемость полностью
анизотропной молекулы (т. е. дипольный момент, вызываемый полем, равным
единице и направленным по «направлению поляризации» молекулы). Если оси
молекул распределены хаотически, то
cos2» —
о
и
е0 = 1 -{- 4лАа COS2» = 1 -{- ;
О
так как
и0=]/е0?«1, то и0 —1 = —у-.
Если распределение молекул зависит от угла & между «направлением
поляризации» и осью Z, то для световой волны с электрическим вектором Е,
направленным по оси Z, имеем:
гг = 1 -|- 4 л Na COS2 ».
Для случая, когда Е направлено по оси У,
Sy = 1 4 л Na sin2» cos2cp — 1 2nNa sin2».
Отсюда
3 /_____ i \
гг — £v — n~z — nl = 4 л Na — COS2» — -5-) ,
и, так как nz — nv<Cno, получаем ответ, приведенный выше.
Решение. Вероятность того, что ось некоторой молекулы образует
с направлением поля угол, заключенный между » и »-|-d», равна IV (»)</» =
= Се kT sin & d», где С — постоянная и U — потенциальная энергия моле-
кулы. В разбираемом случае U=~------рЕ0 cos», где р — индуцированный
дипольный момент (р = aE0 cos »). Первый член в U — энергия, затрачи-
ваемая на создание диполя, второй член — энергия диполя во внешнем поле.
Имеем:
р (* ! aF2 cos2 »\
I cos2»lV(»)d» 1 cos2» f 1 4-—j sin » d»
COS2 » = —--------------------«=» —--------------------------------------
ft ft
C tv/ /qa x/q. C* ( 1 1 a£^g OA • a
I W (») d» I I 1 ------—] sin» d»
288
ОПТИКА
[гл Т
так как предполагается, что мало. Интегрируя и подставляя cos2& в фор-
мулу, полученную в предыдущей задаче, находим пг — пу, а затем и В.
5n0A0 \kTj
тх =еЕ; р =ех', I = I I (&) dQ. — -—=-—5 -5-.
r J 4лс8/л2 3
Q ___
Средний по времени поток падающей энергии /0 = — Е2. Отсюда
/ 8тс / Р^ \2
а = -L = ~ Д- = 0,6652 • 10~24 см\
[0 3 \тса/
589. = I У = 29,5 • 10“8.
стэл Т^прот/
590. </Ф (») = !, ^1+cosnya
~___8л [ еа \2 «4 * ь ____ / <?2 \3 ®4 sin2 &
5У1. а _ — _ ^)8 ; ' ( ) — 'о (ш2 _ W2j8- •
592.
а.
! еа \2
Z(&) = zo ±-
0 \тса/
8л / еа \2
СТ 3 \тса]
______ 2л / е'2 \2
=^0 “ S’ \тс2)
w4 sin2 &
(“2-^)2+<o-Y;
(О4
(^-®2)2 + «Y’
ш2
(“о - (0)2 +
ело vt SiiNpl / еа \2 <о4 п ,Л . А
593‘ ^-Зрт[^) 10-8’ N~ЧИСЛ0 Авогадро.
594. А = 0,0246; В = 0,106.
596. —— sin2& dQ (формула Рэлея).
597. = 1£</а;
где & — угол между направлениями падающего и рассеянного света.
сад г -г ^а2(2л)4 _ 9 Ил2^2-!)2,
ОУ». lz -10 - 5 /о
_ VNaS (2к)4 _ 9 А>Vn2 (п2 — I)2 .
1x~Iq 15Х4 “15 да4 ’
А гх 1
4 з •
Примечание. Для полностью анизотропных молекул, оси которых
Дтс 2V&
распределены хаотически, и2 — 1= —-—. (См. задачу 585.)
О
§ 81
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
289
599 / - 6 / ‘>!
9 1/л3(и3 — I)2
1х ~ 15 /о Ж4
2 *
600. — I)2 ^0,165 • 10- см3.
601. 2 = 0,0356 см3.
Примечание. Использование формулы Рэлея в случае рассеяния
в жидкости не приводит к точным результатам.
602. 1) 8 = 80е"оЛ = 1,84 кал, где а = 7,94- 10— см~1.
2) S — 30с~а/г — 1,34 кал, где а==4 • 10~7 см~1.
Таким образом, до Земли доходит в первом случае примерно 92°/о, а во
втором случае 67% падающей на поверхность атмосферы энергии (сопоста-
вить с задачей 595).
603. 1) При прохождении через раствор световой вектор поворачивается,
причем с различным шагом для различных X. Рассеяние в направлении Е от-
сутствует, поэтому видны цветные винтовые линии. 2) шаг винта обратно
пропорционален концентрации. Зависимость шага от длины волны дается
выражением, приведенным в решении задачи 568.
604. Рассеянный свет поляризован эллиптически; большая ось эллипса
колебаний перпендикулярна к направлениям распространения падающего и
рассеянного света; р = cos &.
605. Электрический вектор линейно поляризованной компоненты рассеян-
ного света будет перпендикулярен к направлениям распространения падаю-
щего и рассеянного света.
— J_ tg2 &.
^неполяр
606. Ртутная линия А = 2536 А является резонансной.
Увеличивая плотность паров ртути, можно добиться, чтобы в рассеянном
свете она была погашена (закон Кирхгофа). Если бы длины волн спутников
этой линии были такие же, то следовало бы ожидать, что они погасятся
также. Если же эти длины волн иные, то спутники гаситься не будут. Ман-
дельштаму и Ландсбергу действительно удалось погасить резонансную линию,
в то время как ее спутники сохранялись.
607. 1 • 1013 сек-1. 608. 4255,1 А и 4466,7 А.
609. 217 см-; 315 см~1-, 457 см~1 и 774 см~1. 610. А ^715.
ДА
/ф- —
611. — —е kT для различных нормальных колебаний получаем: 0,35;
1К
0,22; 0,11; 0,024.
/"kf
612. <й0= I/ —с=и1013 сек-1-, здесь /0 — момент инерции молекулы.
• г ‘0
613. Дм= ^-^- = 2,2 см-1.
8п31с
290
ОПТИКА
[гл. f
614. Это колебание не вызывает изменения дипольного момента моле-
кул СО2
615. Через полпериода перемещения меняют знак, а тензор поляризуе-
мости принимает первоначальное значение, так как оба направления главной
оси тензора поляризуемости физически равноправны.
616. Через нол-оборо'та тензор поляризуемости принимает первоначальное
значение. Это означает, что период колебания тензора поляризуемости в два
раза меньше периода вращения молекулы.
617. Решение. Электромагнитное поле Е, И в среде описывается урав-
нениями Максвелла:
t„ г dE t „ 1 dH
c dt * c dt *
div (eE) = div H = 0. (1)
Представим это поле в виде суммы падающей Ео, HQ и рассеянной Е, If
волн:
(2)
(3)
Е=Е0 + Е, Н = Нй + 1Т.
Падающая волна удовлетворяет системе уравнений Максвелла:
. г г _____________________ е0 <5Е0 _ 1 dHo
rot Но —----vr , rot Ео =------s-2,
0 с dt ’ 0 с dt ’
div (е0Е0) = div Но = 0.
При слабой неоднородности напряженность рассеянного поля мала по срав-
нению с напряженностью поля падающей волны. Подставляя (2) в (1) и пре-
небрегая произведениями малых величин Е, Н\ ба, получим:
с dt с dt
, „ ео дн1 п
с dt
div (е0Е) = — 4те div SP, div H' = 0,
(4)
где
(5)
5s>
4л
Эти уравнения показывают, что среда может рассматриваться как однород-
ная с диэлектрической проницаемостью е0. Влияние фактически имеющихся
неоднородностей эквивалентно наличию в среде дополнительных источников
волн: каждый элемент объема среды dV дает дополнительное излучение как
диполь с дипольным моментом ЪР dV. Это дополнительное излучение и есть
рассеянный свет. Второе утверждение, о котором говорится в условии задачи,
является непосредственным следствием линейности и однородности системы (4)
как относительно полей Е, Н\ так и относительно ое.
618. Решение. Разобьем среду равноотстоящими плоскостями, перпен-
дикулярными к вектору К (рис. 121). Выберем расстояние между плоскостями
равным А = V7. Тогда согласно (5) (см. решение предыдущей задачи) фазы
К
вторичных источников на этих равноотстоящих плоскостях будут одинаковы.
Если бы неоднородность была только в слое /, а дальше среда была одно-
родна, то падающая волна претерпела бы отражение от этого слоя и частично
прошла бы дальше. При наличии неоднородности только в слое II мы полу-
чили бы другую отраженную волну с той же амплитудой, но иной фазой.
§ 8]
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
291
При наличии неоднородности в слое III получилась бы третья отраженная
волна и т. д. В линейном приближении (см. предыдущую задачу) поле рас-
сеяния всей среды равно простой суперпозиции этих отраженных волн. Чтобы
они не гасили, а усиливали
друг друга, необходимо вы-
полнение условия Брегга —
Вульфа: 2А sin у = ml, где
& — угол между направле-
ниями падающего и рассеян-
ного излучений, а т— целое
число. Покажем, что т = 1.
Все плоские волны, отра-
женные различными слоями,
складываясь, дают волну
„ fl .|/эг (ш/— А'г’) С
вида Е = Ае
другой стороны, дополни-
тельная поляризация среды
6/> = 8г =
_аД г]
4тс
Подставляя эти выражения в
дыдущей задачи) и сравнивая
предпоследнее уравнение (4) (см. решение пре-
показатели, легко получить k' — k — K., откуда
. &
2А sm -у = А.
(1)
Таким образом, при дифракции волны на синусоидальных неоднородностях
диэлектрической проницаемости в линейном приближении получается ди-
фракционный спектр только первого порядка.
619. Решение. В линейном приближении Дг =
-г- Др. Всякая неодно-
ар г
родность плотности, возникшая в среде, является источником звуковых волн.
Разложим Др в интеграл или ряд Фурье. Тогда для рассеяния в рассматри-
ваемом направлении будут существенны только те акустические волны, вол-
новой вектор К. которых направлен по биссектрисе угла, дополнительного к &
(см. рис. 121). Соответствующие им значения 8г представятся в виде суммы
волн типа 8ej = atel *г) и 8s3 = + ^г\ Им соответствуют векторы
дополнительной поляризации среды:
8Р = — 8г = 014 c>'l(<»W-(H*)rl = а*А ci К<» - 2) f - I* + /Q г]
1 4тс 1 4тс ’ 8 4тс
Таким образом, источники рассеянного излучения, а значит и самое рассеян-
ное излучение, будут иметь частоты w <2 и w — Q (модуляция све-
товой волны акустической волной). В спектре рассеянного излучения будет
наблюдаться дублет с теми же частотами. Это явление называется тонкой
структурой линий рэлеевского рассеяния. Смещение частоты равно *2 = /fy =
2ти
А
где v—'Скорость звука, а А — длина звуковой волны. На основа-
нии (1) решения предыдущей задачи
4ти? . & V .
2 = <- sin -х- — ten sm
A 2 с
1
2 ’
(1)
292
ОПТИКА
[гл. I
где с — скорость света в вакууме, а п — показатель преломления среды. Тон-
кая структура линий рэлеевского рассеяния была предсказана независимо
друг от друга Л. И. Мандельштамом и Л. Бриллюэном. Экспериментально
явление в жидкостях было обнаружено Е. Гроссом в Ленинграде. Оказалось,
что в жидкостях, наряду с двумя смещенными компонентами, наблюдается
также и несмещенная компонента. Происхождение несмещенной компоненты
было объяснено Ландау и Плачеком. Рассматривая удельный объем жид-
кости V как функцию давления и энтропии, можно написать
<2)
Отсюда видно, что существует два вида флуктуаций удельного объема: одни
вызваны флуктуациями давления при постоянной энтропии, другие — флук-
туациями энтропии при постоянном давлении. Флуктуации первого типа
распространяются в виде акустических волн и ведут к появлению
смещенных компонент. Флуктуации второго типа рассасываются посред-
ством теплопроводности, а следовательно, распространяются значи-
тельно более медленно — они и ведут к появлению в рассеянном свете несме-
щенной компоненты. (См. задачу 827.)
620. Пять компонент: одна несмещенная компонента и две пары смещен-
ных компонент, из которых одна пара получается от рассеяния на продоль-
ных акустических волнах, а другая — на поперечных.
621. 25 компонент: одна несмещенная и 24 смещенные. Дело в том, что
в кристалле в каждом направлении могут распространяться одна продольная
акустическая волна и две поперечные. В том же направлении могут распро-
страняться две световые волны, поляризованные во взаимно перпендикуляр-
ных плоскостях. Каждая из этих световых волн в свою очередь разбивается
на две волны при отражении от акустических волн соответствующих напра-
влений распространения. Это и приводит к появлению в рассеянном свете
24 несмещенных компонент. Однако благодаря слабой анизотропии всех иссле-
дованных кристаллов эти 24 компоненты обычно группируются в шесть групп
по четыре линии в каждой и не разрешаются спектральными приборами. На
опыте наблюдаются шесть смещенных компонент.
622. Две пары смещенных компонент. Дело в том, что флуктуации вто-
рого типа, о которых говорилось в задаче 619, рассасываются в жидком
гелии-П посредством распространения второго звука. Одна пара смещенных
компонент получается при рассеянии на волнах обычного, а другая пара —
второго звука. Несмещенная компонента не должна получаться. Эксперимен-
тально явление не исследовалось.
623. v = -—5—^; я'поод = 1,8 ’ 10е см * сек-1 = 18 000 м • сек~1;
п . v л н
2п sin
г'ПОпереч== М • Ю® см ’ = 11 000 м • сек~1. Благодаря большой скорости
звука в алмазе тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния удается иссле-
довать с помощью призменных спектрографов.
ГЛАВА II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 9. Термометрия. Калориметрия. Тепловое расширение тел
2
624. е С = 1,475 f Фл — 18°,75. 625. Г С = — Г D + 100°.
О
о / /
626. t = — 38 4 °C. 627. t° = ± Тв.
о tB — to
628. 1 «, - <.) + Г. = 67»,7 ). 62». 1
630. В области от 0° до 7°,9 термометр будет давать одинаковые показа-
ния при двух разных температурах tt и t2, причем tl-\-ta = 7°,9.
631. . 632. х° = t4- — М = 33°,4.
роар —m ’
zjoo шло In (1 -f- at)
633. т=100 in ЮОя) * где “— коэффициент объемного расширения
газа.
( dv\
634. р = — = — -^4- = = 46 град~1.
Po\dT/v (dv\ pQpoi
р‘
635. На 460 атм. 636. t = -> ~ Г|* -4- 18° = 54», 1.
Г18х
ДР
637. Приблизительно с точностью М = = 0°,0025.
638. t = - tl~ ~. 639. т = - = 80 г-
т 4- т' t + 80
640. = 0,092 кал • г'1 • град~1.
Wig tg — t
641. <7’ = Г(<?т 4- qimi) — m'^l.
"» L н J
L) Всюду, где не указывается шкала, подразумевается шкала Цельсия.
294
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. II
642. т = 0,125 кг. 643. 1,1 г. 644. а = ±2.
Pot
646. Я1 = . P~-Pl а. 647, а = Зр + .
Pi(tt-t) р(6 —Z)
648. /70 = /Л [1 — — ₽)] = 748,0 мм.
б49- ? = in, ttg У . л = 0,0000183 град'.
10Z0(^ —t0) r
650. S = № [1 + (Р и + ?±) (h - tg)].
651. V2 = №Z[1 + (t2 — 6)$! 4-20±)]= 16,14 cm*.
652. а = , где h и Ao — высоты столбов жидкости при температу-
рах 100° и 0°.
653. х =
t 1 р L\Po §0 / °0 J '
654. п2 — оборота. 655. Уровень воды не изменится.
656. Р = E₽S = 25,2 кГ. 657. Р = (tt —t0) S = 1,41 • 105 кГ.
§ 10. Теплопроводность
^Sk . , . Г- . л
т—-х—-(tg— Z2) = 54 г, А—скрытая теплота плавления льда, рав-
л/
658.
ная 80 кал -г-1.
659. Z2 — = —=0°,013,
TOR
где X — скрытая теплота
парообразования
воды, равная приблизительно 539 кал -г х.
660. z2-z1 = ^(4 + r^2°-
то у R ^1/
fiRI f (^ + tg) 4~ kt АПО о t (t + Z3) + kt{
в6Ь -----------25Г+?-------’=92^ ‘‘-------------2t,+ ~
662. Q — T = 1550 ккал-,
al -J- 2r
k (Zi -f- atti _ ..o. _ A H- ti) alti________ 1O
“ aZ+2A — ">Гз— a/_|_2fe “
663. M = ~.ta) = 1,21 m.
(2k + aL) r
664. T _ ]n j. 6«5. /, = .
feS (niiCi 4- msca) k-}-aL
666. 1) ts —> ti, если L —► 0.
2) ts —> ts, если k —► 0.
f'ftn _ _ I ti tg CCQ л Л tl tg . P
№1- z=Ts'ntT=T,-668' ^=‘‘-—«7ln7v
toR;
§ 10]
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
295
669.
670.
671.
, is ----Л --ta#2
| Q24/ap(/?a~ra)
t — t0H-U,Z4 4jc2ft/?4 .
2fe (ti —13) ,, _
—4-----~x =11,2 cm.
AP
672. Решение. Рассмотрим тепловой баланс в объеме стержня между
сечениями х и х Ц- dx. Слева в этот объем за время dx входит количество
тепла —k{4-\Sdx. Справа выходит —Sdx. Кроме того, бла-
\dxj r \dxjx+dx F
годаря внешней теплопроводности из объема через его боковую поверх-
ность уходит тепло apdx(t — ts)dx. С другой стороны, тепло, поступившее
в рассматриваемый объем стержня, равно Sdxcpdt. Итак, —k Sd^—
— Г—k S dx 1 — <ipdx(t — tz) dx = 8 dxcp dt. Отсюда
L \OX j x -\-dx J
dt_ — fe _ аР и f i
dx ““ cP dx3 c?S
fi74 + i _i_ <*а~ tz)shpx + (ti— tt)shp(l— x)
673. < = c3-|-------------г-дТ-----------, где
sh p/
674. t = (ti— ts) Sh X) +t2. Если ?/>l, ?(/ —X)> 1, to £ =ZS
4~(G—t2)e~$x. Если, сверх того, ^х>1, то t^t2.
675. k2=kj%
xt
676. ks = *i = 0,00033 кал• град~1 -см-'.сек~\
(*2--*8/
679. t = tie 2 а COS (<O-C — j/"~
680. v = —= 0,052 м в сутки.
/365 J
682. Как нетрудно проверить подстановкой, выражение (1) удовлетворяет
уравнению теплопроводности
dt__ j
dx~a dx**
(2)
начальному условию
t — t9 при х = 0, х^0,
(3)
и краевым условиям
t = 0 при х = 0, т > 0,
t — tt при х = оо, т > 0.
(4)
296
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. II
Остается доказать, что решение уравнения теплопроводности, удовле-
творяющее этим условиям, единственное. Для доказательства предположим,
что существует второе решение уравнения (1): tt = tt (т, х), удовлетворяю-
щее тем же начальным и краевым условиям. Тогда их разность ta = — t
будет удовлетворять уравнению теплопроводности:
dt*___ s d*ta
dt дх* ’
(5)
начальному условию: ta = 0 при т = 0, х>0 и краевым условиям: ta=-Q
при х = 0, х = + оо, т>0. Из (5) получаем:
а*
д_( t dtA
дх \ 2 дх) \дх) *
откуда интегрированием находим:
дх I о
со
a2 J
о
или в силу граничных условий
00 00
f ^rtldx — —а* f rfx^O.
dt J 2 2 У \дх)
о о
00
Отсюда заключаем, что интеграл f if dx не может возрастать с возрас-
0
танием времени. Это возможно лишь при ts (т, х) = 0, и единственность ре-
шения доказана.
1 , О/ >2
683. т = у/—= 4-1010 суток
(Т—продолжительность суток).
о
«И- Р = «^-
§ 11. Газовые законы. Уравнение состояния
685. р= . 686. ^105 г. Ж7.п =-----.
V (Н — п) . у
V±v
688. И = мм Рт- ст-
689. (И + I + V — /(/Z + Z + Z')2 —4Z'//) см.
690. ^+^-Д5+?.
691. 0,004 см3. 692. «а 4,3 мм.
§ И] ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ. УРАВНЕНИЕ состояния 297
693. Вместо 0,Зэ мм рт. ст. манометр будет показывать 0,33 мм рт. ст.
694. 10,9 л. 695. 1,15 г.
696. V = —--------------------г = 1000 м* (а — коэффициент расширения
\1 4“ 1 + а^2 /
газов).
697. 0 = 7,2 г.
698. p = dnl[ м---------- • / ,= 14 мм вод. ст. (а — коэффициент рас-
\1 -j-CtC2 1
ширения газов).
699.
_1 -j- 7. —hi
Р1=Т+^л —л
(И— hi), где а — коэффициент расширения газов.
700. й1 = — -^-(2/4-/71—Л)4-
4- ]/'1 (214- Hi - Л)2 + (/70 4- A) l~Hi (2l—h).
701. tn
2Ра
3RTd
М = 488 г (М — молекулярный вес азота).
702. р 4~ —"*А)—“iRT. 703. РкрЦср— g ^?7Кр.
704. рхр = 50 Т'кр^ 151° К. 705. Укр = ^2Т_ = 128 см\
706. 6 = 39,4 см* -моль~1; а = 1,39-10е атм-см* -моль~\
707. р = X = 5,4Jje• «=« 17 000 атм.
г ух Jgli
708. V = = 2,8 см*.
>WKp?
709. 7'кр = 27(й4-с)^; рйр= 216 (й 4-с)» ’ wkp = 3* + 2c-
О л
710. 7 *р = 27йТ> ; /’к? = 216Й8 ’ VKP = 3k
711» Ркр®кр = “g" ЯЛср-
V
С а I 1 1 \ о X .
712. X = I —9 dv = а--------s« — = »жтс; п = — = Хр.
J V2 \»ж vj vx ж
713. Решение. Пусть р — давление газа в откачиваемом сосуде, а
— на конце капилляра, примыкающем к насосу (давление в насосе). Обо-
значим через т массу газа в откачиваемом сосуде, а его объем — через V.
Toi да
dm___Pi ~р
dt w
(1)
298
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. И
Объем dv, занимаемый массой газа dm при давлении р1у определяется соот-
, dm
ношением ptdp —--------7?Г, откуда
Iх
КГ dm
**—__
(2)
„ т
Для давления р в откачиваемом сосуде имеем:pV= — КГ, и следовательно,
ydp _ dm
dt = |л dt *
Исключая из (1), (2), (3) pi и и интегрируя, найдем:
(3)
р — рйе
v №L+1)
RT К '
(4)
714. т=К 1п^^370 сек.
К Р
715. т = (2,18-1/1пу = 64,5 сек, где р —молеку-
лярный вес газа.
716.
м_ Pl—Pl
“ КГ 256т;/
d\ где р — молекулярный вес газа.
717. , =
тср2а4 Px+pj
газа.
где т] — коэффициент внутреннего трения
р = T7 r~l = 224 мм рт. ст. (Ti и Та — абсолютные темпе-
Vil 2 -f- vai 1
718.
ратуры сосудов).
719. Решение. Не нарушая общности, можно предположить, что пло-
щадь поперечного сечения цилиндра равна единице. Начало координат по-
местим на дне цилиндра, а ось X направим вертикально вверх. Прежде все-
го, если газ находится в равновесии, то давление р может зависеть только
от х. В противном случае существовала бы горизонтальная слагающая гра-
диента давления газа, которая не уравновешивалась бы внешними силами,
в результате чего в газе возникло бы движение. Если давление на дно ци-
линдра равно р0, а на крышку р, то по условию задачи требуется
Ро —р =
g? dx,
и это равенство должно соблюдаться, каково бы ни было х. Путем диффе-
ренцирования находим:
рр
Подставляя сюда р = —р и интегрируя, получим барометрическую формулу»
Iх
§ 12]
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
299
§ 12. Первое и второе начала термодинамики и их приложения
720. у = 340 м-сек-1. 721. Q = 1,28-10* эрг. 722. Q = 2 AT In.
723. Q = 580 кал.
с 2r.RPN , _.
724. Е=т^г-;—г—j—, где с=1 кал -г 1-грао 1 — удельная теплоем-
(М 4- w) сМ 1
кость воды.
725. Е = =427 к Гм • ккал-1.
11С? (7—1)
726. pVk = const, где k = -----• 1) V= const; 2) р — const; 3) рИ = const;
cu с
4) pV = const.
727. 1) Газ охлаждается при расширении, причем его температура про-
порциональна Ур', 2) c — cv — р. При расширении от газа должно отво-
диться тепло.
728. Газ при расширении нагревается, причем его температура пропор-
циональна с = ср При расширении к газу должно подводиться
тепло.
729. С = v (Зс^, — 2ср) = — 0,163 кал • град-1, где v = 0,163 — число молей.
730. с = у (cv + Ср). 732. 29 000 кал. 733. 67 700 кал.
734. Т = ^3- = 352° К = 79э С;
5piVi . Зра1/а
л *" Та
Т
Р +
1,23 атм.
735. Нуль. 736. к = const. 737. Q = 217 кал.
738. Q = 163 кал.
739. Доказательство вытекает из того, что внутренняя энергия данной
массы газа U — , где V — объем газа.
7—1
740. Q — 3,72 ккал. 741. Q = 90 ккал. 742. Ш = = 150 кГм.
’ 7 — 1
743, Q = у (niCp -f- т^р) = 300 кал.
2 С \
744. pt = у Ро(1+О£~)» где р0— начальное давление смеси, а — коэф-
фициент теплового расширения.
745. Решение. Так как при нагревании объем системы не меняется,
то работа не совершается. Поэтому искомое количество тепла будет равно
приращению внутренней энергии системы и, следовательно, не будет зависеть
от способа перехода системы из начального состояния в конечное. Осущест-
вим этот переход в два этана.
300
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. (I
1. Нагреем воду от (Г до 100° так, чтобы испарения не было. Для этого
потребуется подвести тепло Qi = 18-100= 1800 кал.
2. Испарим воду при постоянной температуре t = 100°. Для этого потре-
буется подвести тепло Q3 = t/n — иж, где 1ГП и (Тж— внутренние энергии
моля водяного пара и воды при температуре 100° и атмосферном давлении.
Для определения (Jn — (Jx воспользуемся первым началом термодинамики
q = Un— + A где q — теплота испарения, отнесенная к одному молю
(q — 539-18 = 9710 кал), а А—работа против постоянного внешнего давле-
ния (A =pVn = ЦТ = 1,98-373 — 739 кал). Таким образом, Q2 = Un — иж —
= q — А = 8970 кал.
Q = Qt 4- Q3 = 1800 4- 8970 = 10 770 кал.
746. Решение. dQ = dU 4-р dV = dT 4- 17^ + p\dV. По-
г \дТ }v | \аИ/т
лагая сначала V = const, а затем р — const, получим:
_ fdU_\ . -и
Cv~ \дт)у' Ср\дт)уЧг\\ду)т± Р \\dTJp'
откуда
[fdU\ , |/dI/\
с» КдТУР*
747. Решение. Как следует из решения предыдущей задачи,
dQ = cvdT+C-^=^dV.
\дт)р
Для адиабатического процесса dQ = 0. Поэтому
\дт)р
Подставляя сюда
dTa]l=(^\ dVajl 4- dpaa,
д \дУ/р ад \dp jv д
получим:
= _ ± (?L\ !д1Д
\др /ад 1 \dp)v \дт JP •
Сравнивая это с
(dV\ = _
\др)т~~ {др/у^д^р’
находим искомый результат.
748. Решение. Очевидно, скорость звука, при прочих равных усло-
виях, тем больше, чем больше сила, стремящаяся вернуть отклоненную
частицу воздуха в положение равновесия. Значит, скорость звука увеличится,
если, при прочих равных условиях, увеличится разность давлений в местах
сжатия и разрежения. Повышение температуры в месте сжатия увеличивает
давление воздуха, понижение температуры в месте разрежения уменьшает
давление. Как то, так и другое ведет к увеличению разности между давле-
ниями в местах сжатия и разрежения, а следовательно, к увеличению ско-
рости звука в газе.
§ 12]
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
301
750. 1260 м-сек-1. 751. 970 м-сек’1. 752. т = 1,41. 753. — = 4,86.
fi
754. т = ^ = 1,7. 755. ; ра = Ш' = 0,308 атм.
tv Pi W \ 2/
757 758 7 =
75 7 , ра 7 IS П •
Pi
759. Т — То — 28 000° К, v — число молей;
__1_
± f LY йи 1000; -2- = (-L ю».
ро \ ' о / Ро \ро /
760. Решение. При механическом равновесии температура Т, плот-
ность р и давление воздуха р зависят только от высоты z над земной поверх-
ностью, причем р = СрГ, где С от z не зависит. Поэтому при изменении z
dp __ dp dT
P ~~ T + ’
откуда для равновесной плотности на высоте z dz находим:
p(z4-dz) = p (z) 4~ dp = р 4~ ~ dp — p~. (1)
Г ‘
Допустим теперь, что в силу каких-либо случайных возмущений некоторая
малая масса воздуха переместилась с высоты z на высоту z 4- dz. Давление
внутри переместившейся массы будет равно давлению окружающего воздуха,
а следовательно, ее плотность изменится. Так как теплопроводность воздуха
мала, то процесс может считаться адиабатическим, и следовательно, р =
= const pL Отсюда для изменения плотности dp* переместившейся массы
находим:
dP _ rfP*
Р 7 Р ’
а для самой плотности
p*(z4-dz) = p(z)4-dp* = p4--y ~ dp. (2)
Допустим, что dz > 0 и р* (z 4- dz) > р (z 4- dz). Тогда сместившаяся масса
воздуха, поскольку она тяжелее окружающего воздуха, вернется в исходное
положение, т. е. равновесие будет устойчивым. При dz>0 и p*(z-\-dz)<.
< р (z 4-dz) оно будет неустойчивым. Таким образом, из (1) и (2) находим
условие устойчивости:
у у dP у dP — Р у~ ПРИ dz > °- (3)
При механическом равновесии
dp
(4)
Исключая dp, находим:
dT Т т — 1 s
Р£ = -у-^-0,01 град-м’1, (5)
W6 & I Vjp
302
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. II
где Ср—удельная теплоемкость при постоянном давлении. Знаку равенства
соответствует безразличное равновесие. Соответствующее ему расслоение
атмосферы называется адиабатическим.
(UZ \п р
1---=- ; = const, где То — абсолютная температура
1 О / 1
Ms
на земной поверхности; п = R— газовая постоянная, М — молекулярный
вес воздуха. В предельном случае, когда а—>0, получается барометрическая
формула
M.gz
Р =рое RT°
Указание. По условию задачи
dT
dz
а.
Условие равновесия:
dp
dz
Наконец, на основании уравнения Клапейрона
Из этих трех уравнений можно получить формулы, приведенные в ответе.
т
762. z — ~. Для адиабатического расслоения (см. решение задачи 760)
z = —°ь=28 км.
ср
Из ответа следует, что температурный градиент не может быть одина-
ковым на всей толще атмосферы. ,
763. 1) 6,14; 2) 6,15.
764. -q =-T1 ~ -~т- , где 1\ >Т2,Р>р.
'г С г) * 1* 2
р
In--
р
(7-1)(7'1-7'3)1п^-
765. 7]=----------у---------?---, где 7=
(7-1)7'11птА + (Г1-Г3)
767. Если процесс круговой, то заимствованная из теплового резервуара
теплота не может быть целиком превращена в работу, так как это противо-
речит второму принципу термодинамики. Если же процесс не круговой, то
полное превращение теплоты в работу возможно. Например, если идеальный
газ находится в тепловом контакте с тепловым резервуаром и подвергается
изотермическому расширению, совершая работу против внешних сил, то при
этом его внутренняя энергия останется неизменной, так как она зависит не
от объема, а только от температуры. Поэтому вся теплота, заимствованная
«азом из теплового резервуара, должна превращаться в работу.
§ 12]
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
303
768. Решение. Гепло, отдаваемое двигателем при его работе воде
отопительной системы (холодильнику), равно
Q< = qb-,
v ч
Работа двигателя
изотерме 12, равно Qi = At 4- MJ,
I1
расходуется на приведение в действие холодильной машины. Последняя берет
от холодильника (грунтовая вода) тепло Qt и передает нагревателю (вода
отопительной системы) тепло Q". При этом
Q" = J7Qi’
Q"-Qs=zQ<> В
о„ = л _ п Л-Г3 7\
м t2—ts q л r2-r8*
Полное количество тепла, получаемое отапливаемым помещением, равно
Q = Q' -J- Q" = q Й =» 20 000 ккал • кг~х.
' 1 (' 2 — i а)
769. Решение. Возьмем на диаграмме р, V (рис. 122) две бесконечно
близкие изотермы 12 и 34 и две бесконечно близкие адиабаты 2 3 и 4 1 и
применим к циклу 12 34 теорему Карно. Тепло Qu полученное системой на
7. ‘ где Д=рД1/—работа, совершенная
системой на изотерме 12, a MJ = —изменение внутренней энергии
на той же изотерме. Работа цикла изобразится площадью 1234. С точностью
до величин высшего порядка малости при вычислении этой площади фигу-
ру 1 2 34 можно заменить параллелограммом. Его площадь, очевидно, равна
площади параллелограмма 12 56, т. е. Д = Д/>- Д|/= f Д7’Д И,
304
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. И
где — Та. По теореме
.. ГТ
Карно уг- = —Подставляя сюда выраже-
V1 ‘ 1
ния для А и Qi, получим первую из формул, которые надо доказать. Вторая
формула получается из первой дифференцированием по Т при постоянном 14
770. L/= \[cvT—у}> где v — число молей, а постоянные cv и а отне-
сены к одному молю.
(ZZV \
cVx>T— у- ]> где Ст»со — молярная теплоемкость газа при
постоянном объеме в состоянии бесконечного разрежения, когда газ ведет
себя как идеальный. Недостаток решения в том, что оно не дает доказа-
тельства независимости cv от объема газа.
772. ДГ= —(4-----гЦ = 0°,24.
\ V1 VaJ
773. Газ охладится. Его температура и давление будут:
Г,..° (У3-У1)3 . __ 2/?Г_4а
2cv УММ+У,) ’ Р Vt+Va-2b (V,+ W
774. Г — Т — — тггт— — —0°,0055, где v = 0,041 — число молей.
2^
775. —о°,О13, где Г1==20 л и Ра = 200 л —
(-1) \ '2 ' 1 /
соответствующие молярные объемы.
776. Q = — —у
777. {(р + (Va - Ъ)-(/> + + А).
778. Р е ш е н и е. Согласно первому началу термодинамики теплота испа-
рения одного моля жидкости равна q=.Un — £/ж4- Л где t/n и £/ж — внутрен-
ние энергии пара и жидкости, a А—р(Уп— Иж)— работа против постоян-
ного внешнего давления. £/п — £/ж найдется из уравнения
= Т№\ -р~ °
дУ)т \dTJv 1 У3’
которое дает £/п — £/ж = а р----р-1. Таким образом,
\ *ж /
9 (Р уз ] Кк (Р у2 ] Уп ( у b уз I ( у _ b уз \ -
\ П> ' г ж ' \ п " г П ' \ Ж ж!
780. ср cv- 2о(1/ - Ь)- •
1 Rfy*
§ 12]
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
305
781. сп — cv— TV-i- =0,0041 кал-г~1 град~1; у=1,14; ----= =
р v ₽ ср — cv Та
= 7,9>10~ь. Таким образом, практически вся разность сд — cv идет на увели-
чение внутренней энергии ртути.
782. См. ответ к задаче 779.
783. 1) Охладится. 2) Нагреется. Ответ следует из тождества =
\ op jv
(дТ\ fdV\ , .
= —Ьш/ еСЛИ УчеСть Условия стабильности физически однородного
и изотропного вещества (см. предыдущую задачу).
784. Решение. Пусть I, х, Т, S — длина, натяжение и энтропия жгута.
Из этих четырех величин независимыми являются только две, остальные
являются их функциями. Поэтому тождественно
\dl)s\dS)T\dT)i ь
Из первого начала, записанного в виде d(U—TS)= —SdT-j-xdl, следует
ZdS\ __{дх\
\dljT \dT/i
«ли
!dl_ \ =(дТ\
\dS)T \dxjt*
Далее, так как Г, т, I связаны функциональным соотношением, то тожде-
ственно
/d/Д /дП filX
\dS )т \дх)т\д1 )t*
Подставляя это в (1), получим:
с±(дт\ (^L\ (^L\_______
Т \dl )s\dxjT\dl /т ’
где ct
— теплоемкость при постоянной длине. Она положительна
для всех тел: с, >• 0. Величина также положительна для всех тел.
\dxjj
Следовательно,
г, /д/\ /дТ\
По условию задачи для резинового жгута <0, а поэтому
Отсюда следует, что жгут нагреется, если его адиабатически удлинить.
785. Решение. Перепишем первое начало термодинамики bQ = dU-[-
-|- р dV в виде ZQ = dJ—Vdp. Затем возьмем на диаграмме р, V (рис. 122)
две бесконечно близкие изотермы 12 и 34 и две бесконечно близкие адиа-
баты 23 и 41 и применим к циклу 1234 теорему Карно. Тепло полу-
ченное системой на изотерме 12, равно = —V(p2 — pj). Так как
7 dJ \ "I
\др)т— j *
X {Pi—pi). Работа цикла А изобразится площадью 1234. С точностью до
306
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. ГГ
бесконечно малых высшего порядка фигура 12 34 может считаться парал-
лелограммом. Площадь этого параллелограмма равна площади параллело-
грамма 1256. Последняя в свою очередь равна длине основания 61t умно-
женной на высоту (V3—Vi). Поскольку точкам 1и6 соответствуют одинако-
вые объемы, но разные температуры, длина основания 61 равна I (7\ — Т2).
\О 1 J V
Поэтому для работы цикла получаем 4 = (Л — Г2) (V2—Vt), или,
воспользовавшись тождеством
.4 =
X (Л—Т\)(ръ — рх). По теореме Карно ~-=—1—=—Подставляя сюда
11
значения для А и Qit получим первую из доказываемых формул. Вторая
получается из первой дифференцированием по р, так как ср = 1-5—1 .
786. Процесс Джоуля — Томсона характеризуется постоянством энтальпии.
Поэтому
откуда
787.
788.
789.
dJ=cpdT + IV — Т
/р
ср
2а __,
(дТ\ ^RT
\др ср
ДГ = —> 0 (Др<0; предполагается, что Др и ДТ малы).
+ мало>-
790. Ti
Я г —
4 k Rb’
791. Г<Л=35°,8К.
792.
Азот........
Водород . . .
Гелий ......
800 — 0,0014
206 + 0,0001
33,4 4- о.оооз
793.
RT
V—b
АТ'азота — 35°»
д т — -4- । Г
и 1 водорода — 1 1
АТ‘гелив= -j^34.
§ 12]
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
807
794. Гипербола: Т = — у^ (см. рис. 123 и 124). (Температура в гра-
дусах Кельвина, объем — в см3.) Асимптоты, изображенные пунктирными
прямыми, пересекают ось ординат в точках инверсии дифференциального
эффекта Джоуля—Томсона.
795. Решение. Пусть точка А на диаграмме р, V (рпс. 125) изобра-
жает состояние одного грамма жидкости при температуре Т и давлении р,
308
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. II
равном давлению ее насыщенного пара при этой температуре. Будем
сообщать системе тепло таким образом, чтобы давление и температура
оставались постоянными. Тогда жидкость
1 * будет испаряться и притом так^ что в
любой момент времени над ней
будет находиться насыщенный пар.
т Пусть В изображает состояние, в кото-
4 ------'-------а р0М вся жидкость перешла в пар. Тогда
\ \ теплота, полученная системой на изо-
X терме АВ, будет равна теплоте испа-
" T-dT 6 рения q. Адиабатически понизим
температуру пара на бесконечно малую
величину dT (точка С), а затем по изо-
терме CD и адиабате DA вернем систе-
---------------------------*-/ му в начальное состояние. Работа,
рис |25--------------------совершенная системой, равна площади
параллелограмма ABCD. Выразив ее
через vn, и dT и применив теорему Карно, нетрудно получить:
dp _ д
dT Т(vn - ож)
(формула Клапейрона — Клаузиуса).
796. р я» 1 4- Ро= атм, где q — теплота парообразования,
v = — число молей в 1 г воды, р0 — атмосферное давление.
18
797. Д/л я» — 1 ) ДТ'^а 0,075 г, где V=«4 л — объем пара, р — его
\ RT )
давление, R—универсальная газовая постоянная.
798. Р е ш е н и е. Теплота возгонки 4-== 676 кал-г~1. Под-
... „ и- dp q q
ставляя ее в уравнение Клапейрона—Клаузиуса = у-^ — v )
и определив удельный объем водяного пара из уравнения pvn = — RT, легко
Н
найти, что при ДГ =—Г Др = — 0,38 мм рт. ст., а давление насыщенного
пара надо льдом при t = —Г равно p_i = 4,20 мм рт. ст.
799. Решение. По первому началу lQ — dJ—V dp. Так как для иде-
— ] =0 (см. задачу 786), то для искомой теплоемкости от-
opjT
сюда получаем c = — V В рассматриваемом процессе dp и dT
dp q Of* / „ . г,
связаны уравнением = у =» (р. — молекулярный вес). По-
“ i ' Wn "ж/ * v
q
этому с = ср — р. -у ,
800. При адиабатическом сжатии водяной пар становится ненасыщенным,
при адиабатическом расширении — пересыщенным. (Получение пересыщен-
ного водяного пара путем адиабатического расширения используется в ка-
мере Вильсона.)
§ 12] ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ 30£
802.
t =----------------------= 0°,0075; р =.ff— f1 14- рх = 4,582 мм рт. ст.
Рч--Р\ I______7_____ ‘2 *1
t2 — л "Г т (^1 — ^2)
803. При фазовых переходах первого рода отношение с]а в точке 0 из-
меняется скачком. При фазовых переходах второго рода это отношение
изменяется непрерывно и при температуре 0 обращается в единицу.
804. Д Г = Т (Vb ~ ил) р = — 0°,88; — = — = 0,0066. Последний
q m q
результат легче всего получить из условия постоянства энтропии во время
процесса.
806. цп = + 4- ~ 1700 см3 • г~’.
Т dp
807. Решение. Тела А и В могут обмениваться внутренней энергией
путем теплообмена и производить работу друг над другом. Так как они
помещены в жесткую адиабатическую оболочку, то изменения их внутрен-
них энергий в элементарном процессе связаны соотношением
dUA-~dUB-
В силу равенства действия и противодействия
где — работа тела А над телом В, а ЪАВ — работа тела В над телом А,
Следовательно,
(^4-вл)л = -да+оЛ)в,
или
Ц)л = -оСв.
Количество тепла, полученное телом А, равно количеству тепла, отданному
телом В. Согласно постулату Клаузиуса в системе само собой могут про-
ходить лишь такие процессы, в которых тепло переходит от тела, более
нагретого, к телу, менее нагретому. Отсюда следует
*QA < 0, SQB > 0,
так как Т. > ТD.
л в
зиуса, получим
Применяя к каждому из тел А и В неравенство Клау-
Складывая эти неравенства и принимая во внимание, что S4-]-SB=S,
найдем
310
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. П
Т
809. AS = me 1п-уД, где m — масса вещества.
810. AS = 63 кал • град~\
811. AS = 3,2 кал-град~У.
812. AS = R , где р.— молекулярный вес газа.
Iх V 1
pVk / 1 1 \ св
813. MJ — U2 — Ux = —---,------------г"г ) ’ где 7 ;
AS = S2 — S, = (kcv — cp) In -p-.
y„
Для изотермического процесса: Д77 == 0; AS = R
I' i
pV1 /1 1 \
Для адиабатического процесса: MJ— —-------I ——j----тт i> AS = 0.
7-1 V\- j
3 / у 2 \
814. MJ =----1----------= —625 кал • моль-1.
2 \ V*J
AS = —2/?ln-^-«—4 кал • град~х • моль~1.
v 1
/ vf\
0 = — PiV, 1------T I « —417 кал • моль-1.
\ vl/
Система не поглощает, а отдает тепло.
5 / У, \
815. At7 = 4 pxVx V- — 1 == — 117 кал.
2 \ и 2 '
Q = 4aV,(^--1) = -7O кал.
AS = —В- -1 In = — 0,20 кал град~1.
2 J } И 1
816. AS = 4,56 кал • град~'.
817. AS = /? (j^ + ^b-\ln2.
\ Iх! !х2 /
818. S2 - S, = 4 (5„ + 3„)1П 5^+*гГа -
—(5vj In Тх + 3v2 In Т2) + R (V] v2) In 2 = 0,16 кал • zpad~lt
где V] = 0,0402 — число молей водорода, v2 = 0,0948 — число молей гелия.
819. At7=tZ-770 = ~cr7'0(2Y~1-1); AS = S - So = cv (7 - 1) In 2,
(x И
cp
где 7 = —.
‘•p
§12] ‘ ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ
311
820. S = cv In Т + R In (У— b) + const. Уравнение адиабаты получается
приравниваем этого выражения постоянной.
Я+Су~С
821. (p+^)(V-4) с*~‘ = const.
822. s = Cplri7-p- 5-(-const, где cp — удельная теплоемкость жид-
кости, q (Г)—удельная теплота парообразования при температуре Т, 6 —
отношение массы пара ко всей массе системы.
тг1
823. v2 = 2Ср1\ f 1 — ^ == 2ср 7\ Г1 — V 1. Для СО2 »«460 м • сек~\
\ 11] F L \Р1/ J
__7
824. Т = Т0 — ^- = 194°К; р0=р[^У = 3,1 атм, где р— молеку-
“ср \ •* /
лярный вес, ср — молярная теплоемкость, р — атмосферное давление.
/С
2-РТ . Указанная максимальная скорость достигается при
адиабатическом истечении газа в вакуум (или практически, когда—1, где
Р—давление газа в баллоне, а р — наружное давление).
V -----
826. = ev° 22, где Vo = 1/ 2 С£ 7'^ 2,58 км • сек~1.
/И г [X
827. Решение. На основании того, что говорилось в решении задачи 619,
для искомого отношения можно написать:
(dV\a___ч
________/<о______ \ds jp^S _____IдУ \2 /ds \ I др\
/<0-8.0 + Ло+осо “ /д-2 ~ \ ds )р \дт)р \dyj5 ’
\др )s __________ __
где мы воспользовались выражениями для Др2 и As2, а также формулой =
/ ds \
к=Т[-^=\ . Так как дифференциал удельной энтальпии di = Г ds -f- У dp —
\0l /п
. Поэтому
р
________/дГ\ fdp\ fdV\ /ds \ (дТ\ (dV\
/<о—8<оН_/<о+8о> \dp ) s\dV J s\ds / р\дТ / р x^dV/gx^dT/p*
fdT\ fdV\ [ds\
’ \dV )s\ds/T\dT/v ’
/дУ\ (ds_\
Ц ^(dv\ (ds\ (dT\ _\dTjp\dV)T
/«>-гш+/ш+г«> — \дТ)р \dVjT\ds)v~ (ds_\
\dT) v
Рассматривая энтропию s как функцию Т и У, получим:
/ds\ __________________________/ds\ . /ds\ (dV\
\df )p~\dT jv+ \SvjT\dTjp'
полный дифференциал, то
312
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. II
Окончательно:
4
До—Ь<о I До+бсо
(формула Ландау и Плачека).
ds \ _/ds \
дТ)р \дт)у cp — cv
(ds\ “ cv
\dT]v
§ 13. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение. Растворы
828. 5 = Ьо (1 + ₽Р) = 1,054 г • см~8.
829. т] = «а0,01 г - см~1 • сек~1 (р— разность давлений).
830. о = <2^3«80 дн • см~1.
4
831. а = 70 дн-см-1, где m — масса капли.
nd
832. Коромысло весов, на котором подвешен капилляр, опустится.
834. =— у, где q — количество тепла, затрачиваемое при изотер-
мическом увеличении поверхности жидкости на единицу (скрытая теплота
образования поверхности). Задача решается аналогично задаче 795.
835. Д (Л£ - Л,) =
pg rfirfa
8а
837. р = — 0,29 мм рт. ст.
24,2 мм. 836. р = -j- ~ 19,8
’ а
838. h «= — = 35 см.
?ga
кГ • см *.
839. d2 находится из уравнения
(4а \ / 4а\
Ро + Р^Л + т dt= Po+|)dl,
«1/ \ «2/
4д 4з
где ро — атмосферное давление. Так как -^-<<р и тем более ~т--<Ро, то эти
члены можно отбросить (т. е. пренебречь поверхностным натяжением). Это
дает: ds — 5,3 • 10~3 см.
I , I 2° 1/"/ I ; I 8аро/
р + р^ + у—у (р + ?ё1 + у у ;-—
_ __
2а/
где р — атмосферное давление.
841. ДГ> — Т. 842.р = 8р0 + —. 843. Л = 2аС° - =3 см.
рг г го । r
844. h =
845. F
а cos 0 1 2 а cos 0 1
. а х pga X *
pg sin y
^4? cos 0 = 1,46 • 109 дн = 1490 кГ.
pds
§13] СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ 313
О
846. F — — л3/?* = 64 кГ, где т — масса ртути.
т . J
2Дсоз2 = кг
№а
848. Решение. Давление внутри жидкости на уровне точки А (рис. 51)
равно р = Ро — Pgy, где р0 — атмосферное давление. То же давление можно
выразить по формуле Лапласа р=р0 — где АГ—абсолютное значение
кривизны поверхности жидкости в точке А. Следовательно,
?gy =
d<o
По определению кривизны /< =—где ds — элемент длины дуги, считае-
мый положительным, когда он проходится в направлении снизу вверх. Он
связан с dx и dy соотношениями: dx = ds cos ср; dy = ds sin ср. Таким образом,
dcp dy .
K= — -J-icos®= — sin Ф.
dx T dy T
Поставляя эти выражения в (1), получим два уравнения:
?ёУ ^у + a sin ср dcp = О,
pgy dx + а cos ср dcp = 0.
Интегрируя (2) при начальном условии ср = п при у = 0, получим:
у == 2 1/~— cos
V ?g 2
Подстановка этого выражения в (3) приводит к уравнению
dx = — 1/"— cos -у dcp -|- -у1/~ --—,
V eg 2 Т2|/ P£cosi
интегрирование которого при начальном условии х = 0 при ? = Дает:
(2)
(3)
(4)
tg -г-~
s___4
Зл
^8
(5)
849. Решение. Минимальная толщина столба жидкости D — MN при
максимально возможной высоте поднятия h (рис. 51) определится из требо-
вания ср = 0 при у = h. Подставляя в формулу (5) предыдущей задачи х==
а — D „
= —2—» ? — о, получим:
D = a — 2 — lntgyj = a — 1,066 0)
Если a <Z 1,066 —, то минимальное значение D равно нулю. В этом слу-
чае предельное значение угла <р = 0 не достигается.
Пусть а 1,066 1/ —. Тогда максимально возможная высота поднятия
V ?g
определится из формулы (4) предыдущей задачи, если положить ср = 0:
Л = 2 1/ —. (2)
г ?g
314 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [ГЛ. И
Разность атмосферного и гидростатического давлений на пластинку направ-
лена вниз и равна pgh. Поэтому
F — q + pgha = q + 2а (3)
Рассмотрим теперь второй случай: ас 1,066 Т/ —. В этом случае
______________________________ ' Pg
л = 2 ]/rp7C0S <4)
где <р определяется из трансцендентного уравнения
ф -4- it
.—Г , Л >-----tP-—С—
о n1/ 3 1 .ср |Ч/з. ° 4
— = 2 1/ — —— — sm 4-1/ — In------------. (5)
2 Г Pgl/2 2J Г pg f Зя
g 8'
При нахождении F необходимо учесть, что в рассматриваемом случае пла-
стинку тянет вниз дополнительная сила поверхностного натяжения 2а sin у.
«С учетом этой силы
F = q + 2а J^pga cos ~ 4* 2a sin ср.
(6)
Если а <С |/ —, т0 вторым членом в этой формуле можно пренебречь.
Пренебрегая также в (5) членом находим ср = -^-. Таким образом, при
41
F=<?4-2a,
850. Решение. Примем за ось Y вертикальную прямую, касающуюся
боковой поверхности жидкости, а за ось X—горизонтальную прямую,
перпендикулярную к длине пластинки и касающуюся поверхности жидкости
е бесконечности (рис. 126). Тогда уравнение боковой поверхности, жидкости
§ 13]
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ.
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
315
будет;
-4—
Pg I /2
— In
tg 8-
(1)
cos-S-
• Т
sm 2 .
Минимальное расстояние D^MN при максимально возможной глубине
погружения пластинки |_у|тах определится из требования ср = тс, которое
дает
(2)
У =
D = a~ 2
(3)
Если а <.
то D — 0, и предельное значение угла
ср = л
не достигается.
Рассмотрим сначала случай а > 1,066 |/ —. В этом случае
мальная глубина погружения верхнего основания пластинки определится из (2),
макси-
если положить ср — л. Она равна |_у |тах = 2 1/ —. При этом на основания
Г Pg
пластинки будет действовать направленная вверх разность давлений
Pg 0 + 1.У |тах), которая должна быть уравновешена весом пластинки. Мак-
симальная толщина пластинки, при которой она еще не утонет, определится
из условия pg (Л 4-1 у? |max) = Pog, которое дает:
Ро —р Г g
Теперь рассмотрим случай а < 1,066 "j/* ~. В этом случае
• Т
sm 2 ’
(4)
1-У Imax
где ср ойределяется из уравнения
(5)
* к
tgf
а
Pg 1/2
1 ср
C0S 2.
(6)
h — ?- 1/ -2.
ро —Р Г g
Для максимальной толщины пластинки получаем:
. ср . 2а sin ср
sin 4----------i-r.
2 go(po —р)
(7)
то первым членом
справа можно пренебречь. При этом,
как видно из (6), ср = -?г> и мы находим:
2а
h — —или 2а = gah (р0 — р),
£О(р0—р) * s v ™
т. е. вес пластинки уравновешивается поверхностным натяжением и архиме-
довой подъемной силой.
(8)
316
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. Il
851. Пренебрегая кривизной окружности, ограничивающей пластинку,
получим:
F₽«2№ НОГ.
852. Л = 1/* — (1 - sin 0) .
У ?g
853. Решение. В точке А (рис. 127) поверхности жидкости и иголки
тангенциально расходятся. На единицу длины иголки вверх действует сила
поверхностного натяжения Ft — 2а sin 0. Кроме того, на нее действует сила
гидростатического давления, также направленная вверх. Если бы часть АСВ
Рис. 127.
иголки была заменена жидкостью, то сила гидростатического давления была
бы равна F3 = pg7z-?lB = 2p£7zrsin 0, где г — радиус иголки, а р — плотность
жидкости. Благодаря тому, что часть АСВ погружена в жидкость, на иголку
дополнительно действует сила гидростатического давления Fs, равная весу
воды, вытесненной частью АСВ, т. е. Fs = pgra(9— sin 9 cos 0). Сумма трех сил
Ft, F3 и Fs должна равняться весу единицы длины иголки. Это дает:
2а sin 0 + 2pg7zr sin 0 + pgrs (8 — sin 0 cos 9) = р0£яга.
Между углом 0 и высотой h существует соотношение h = 2 — sin
(см. решение задачи 850), и предыдущее уравнение принимает вид
[Л 1 s л 1 Г Р° • а • ® 2а sin 0 „ ...
лр0—р ^0----2 sin J г — 4г |/ g Sln 0 sin у------------g---— °- (О
Для D и Н получаем:
£> = 2rsin0 + 2 j/*-^-{2 cos I +lntg |}-2 j/*~ {/2 -f- la tg
_ (2)
H — 2r sin3 -y + 2 1/ — sin . (3)
r PS
После подстановки численных значений:
|^24,5 — (о — у sin 20^ № — 1,091 sin 0 sin у • г — 0,1488 sin 0 = 0, (4)
D = 2r sin 0-f-1,091 cos у + 1,256 lglotg у— 0,291. (5)
§ 13]
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
317
(Предполагается, что здесь все длины выражаются в сантиметрах.) Придавая
6 различные значения, получим следующую таблицу.
0° Г мм Н мм D мм 0° г мм Н мм D мм
0 0 0 — 80 0,955 4,29 —
10 0,328 0,481 — i 90 0,990 4,85 1,98
20 0,471 0,975 — 1 100 1,005 5,35 1,91
30 0,583 1,49 — 1 НО 1,001 5,82 1,68
40 0,680 2,03 — ! 120 0,977 6,20 1,24
50 0,763 2,58 — ! 1зо 0,922 6,45 0,65
60 0,840 3,15 — 1 139 0,846 6,59 0,04
70 0,903 3,72 — ; 139°30’ 0,842 6,60 0,00
Наибольший радиус г получается при 0₽»1ОО° и равен приблизительно
1 мм. Если г > 0,842 мм, то существуют два положения равновесия иголки:
одно при 0$ 100°, другое при 0 > 100°. Если же г < 0,842 мм, то суще-
ствует только одно положение равновесия с 0 <60°, так как в этом случае
при 9^60° формула (5) дает для D отрицательное значение. Наибольшая
глубина” погружения И получается при г 0,842 мм и равна приблизи-
тельно 6,60 мм.
854. В случаях 1) и 2) пластинки притягиваются. В случае 3) пластинки
отталкиваются.
855. а
855. Количество тепла, полученное пленкой при растяжении SQ == q dS -f-
_]_ С dT, где q — теплота образования единицы поверхности пленки, С — ее
теплоемкость. Так как (см. задачу 834) q — — Т , то oQ = —7' dS -f-
4-С dT. Пользуясь этим соотношением, нетрудно получить
1 pZc dT
= - 0°,0195.
2т1/
857. Время t связано с радиусом пузыря соотношением t = —у(7?«— 7?4).
2т]/
Пузырь исчезнет через Z = 7,2* 10s сек = 2 часа.
858.« = 7Д1/
1а2 Г а/?Г
газовая постоянная. (Ср.
«630 сек — 10,5 мин., где R — универсальная
с ответом предыдущей задачи.)
859. 860. 861. 100°,59.
силу симметрии пленка является поверхностью вра-
862. Решение. В ------------~--------- 7
щения вокруг прямой, на которой лежат центры колец. Пересечем поверх-
ность пленки произвольной плоскостью, проходящей через эту ось и примем
ее за координатную плоскость XY (рис. 128). Так как давления по обе сто-
роны пленки одинаковы, то ее полная кривизна -ту--]--^- должна равняться
Hi Н2
нулю. Радиус кривизны нормального сечения пленки, лежащего в пло-
1 у"
скости Х¥, определяется формулой - =-------— - (величина отрица-
318
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. П
цельная). Радиус кривизны перпендикулярного к нему нормального сечения
легко определить с помощью известной
теоремы Менье, которая дает у = /?2 cos а,
из дифференциальной геометрии
откуда R2—y]/ 1 + У'2 (величи-
на положительная). Таким обра-
зом, дифференциальное уравнение,
определяющее форму осевого
сечения пленки, приним-ает вид
- = 0.
У
1+У2
(О
делятся из граничных условий: у = R при
в силу симметрии у должна быть четной
Введем подстановку у' = sh 0.
Тогда 1 + y2 = ch2 0, =
d0
dx
Дифференцируя последнее соот-
ношение и принимая во внимание,
, , „ d0 _
что V'= sh 0, находим0, от-
dx ’
куда 0 = ах-\-Ь, где а и b — пос-
тоянные. Постоянные а и b опре-
х = ±А. Очевидно, Z> = 0, так как
функцией от х. Окончательно
у — ~ ch ах = (еах 4- е “*), (2)
где постоянная а определяется уравнением
aR = ch ah.
(3)
Поверхность пленки получается вращением кривой (2) вокруг оси X. Она
называется катеноидом. Уравнение (3) легче всего исследовать и решать
графически. Применяя этот метод, нетрудно доказать, что оно имеет реше-
ние только при условии > 1,51. Значит, чтобы между кольцами могла
образоваться пленка, необходимо, чтобы расстояние между ними 2й не пре-
2
вышало R = 1,33/?.
1,51
863. Радиус цилиндрической пленки г вдвое меньше радиуса сфериче-
ских частей пленки R.
864. Решение. Форма боковой поверхности
требования, чтобы полная
кривизна ее -о-4~'о_
Ri Ri
пленки определится из
оставалась постоянной.
В отличие от задачи 862 эта постоянная, вообще говоря, отлична от нуля.)
Это приводит к дифференциальному уравнению
1
vV 1 + у2
V"
———5-3— = const = 2R.
(1+У2) /2
(1)
(Обозначения те же, что и в задаче 862.) Вводя снова подстановку у = sh 0,
§ 13]
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
319
получим:
^(апг4 = 2/<Л (2>
откуда
1 А
<3>
где А — постоянная интегрирования. Определив отсюда sh 9 с помощью форму-
лы sh8 0 = ch8 0 — 1 и вспомнив обозначение у = sh 9, найдем:
/fV2 I д
-X . dy 4- В,
- (ЛУ + И)8
(4)
где В — вторая постоянная интегрирования. Постоянные интегрирования А и
В определяются из граничных условий: у =7? при x=±h. Формула (4)
совместно с этими граничными условиями и решает задачу.
Если Л = 0, то интегрирование в (4) выполняется элементарно и дает:
(х - с)8 +У = ,
где а — постоянная интегрирования. При в = 0 получается окружность ра-
диуса R = -Jr с центром в начале координат. Это решение соответствует
тому случаю, когда радиус колец обращается
. 1
чается окружность с центром х = , а
1 ы
х=------тг • Обе окружности имеют один и тот
К
П I 1
в нуль. При а = -|-— полу-
1
при а =----— — с центром
п 1
же радиус R = — и касаются
К
дру: друга в начале координат. Эти решения соответствуют тому же случаю,
когда расстояние между кольцами равно удвоенному радиусу кольца.
86S. Решение. При определении поверхностного натяжения надо иметь
в виду, что жидкость находится в равновесии с ее насыщенным паром.
Строго говоря, следовало бы говорить не о споверхностном натяжении
жидкости», а о поверхностном натяжении на границе раздела двух находя-
щихся в равновесии фаз: жидкой и газообразной. При критической же тем-
пературе вещество не может находиться в двух фазах, а только в одной.
Формально можно сказать, что обе фазы делаются одинаковыми. Поэтому
не может быть границы раздела между ними, и поверхностное натяжение
должно обращаться в нуль.
868. р = ра ±. — • . Здесь а — поверхностное натяжение жидкости,
Г аж
da — плотность пара, — плотность жидкости. Знак плюс относится к
жидкостям, несмачивающим капилляр, знак минус — к смачивающим.
Q
869. /?осм = — RT = 3,3 атм, где С — концентрация, р. — молекуляр-
Н
ный вес.
870. t 35°. 871. р. «а 360.
872.^=11+«('‘-01-^.
в объеме и.
где т — масса растворенного вещества
320
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. II
873. атм-
874.
Ро-Р/=-^Росм,
где рп — плотность пара, рр — плотность раствора.
875. = k. 876. pt = pQ (1 — k) = 16,7 мм рт. ст.
Ро
/z7? Г3
877. Тк = Та ------ °- = 10Г,75, где То — температура кипения чистого
растворителя, п — сумма числа молей растворенных веществ ат — масса
растворителя.
878. t= 100°, 016.
nRT3
879. t —----- = — 0°,054, где T — абсолютная температура замерза-
ния чистого растворителя, п — число молей растворенного вещества, т —
масса растворителя.
880. t = — I -р-V М = — 0°,180.
41\Г2/
881. п =
RT3m
qMA-ЬТ
2, где R — универсальная газовая постоянная.
§ 14. Кинетическая теория вещества
882. п = 3,24-1013. 883. р = 1,74-10"4 мм рт. ст.
884. Решение. Пусть поршень в цилиндре движется со скоростью а,
малой по сравнению со средней скоростью газовых молекул. Примем ось
цилиндра за ось X прямоугольной системы координат. Рассмотрим отраже-
ние от поршня молекулы, х-компонента скорости которой относительно сте-
нок цилиндра равна vx.
Введем движущуюся систему координат, связанную с поршнем. В этой
системе х-компонента скорости рассматриваемой молекулы будет vx — и.
При отражении от поршня х-компонента скорости сохранит в движущейся
системе координат свою величину, но изменит знак. Таким образом, после
отражения молекула относительно движущейся системы координат будет
иметь скорость —(vx—а), а относительно стенок сосуда—скорость
— (vx — «) + ^ = — vx+2u.
Две остальные компоненты скорости при отражении не изменяклся.
Поэтому изменение кинетической энергии молекулы равно
— (vx — 2и)3 = — mvxu,
если пренебречь членом с и8.
Обозначим через Nj число молекул, хг-комнонента скорости которых
равна vix. Число молекул такого типа, ударяющихся о поршень в одну
секунду, равно ~ где 8 — площадь поршня. Изменение кинетической
Su/n в
энергии этих молекул в одну секунду равно-----р—^iviX, а изменение
кинетической энергии всего газа:
dE Sum V л; » SuNm -ц 1 SuNm — 2 Su
* =------=-----------------= - Vе-
§ 14]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
321
Подставляя сюда Stz = -^- и интегрируя, получим £Va/« = const. Наконец,
2
принимая во внимание, что рУ = — Е, находим:
О
p]f/3 = const.
885. Решение. Рассуждения, приведенные в решении предыдущей
задачи, сохраняют силу и для двухатомного газа. Разница состоит только
в том, что полная энергия Е одноатомного газа есть кинетическая энергия
поступательного движения его молекул, а в двухатомном газе к ней при-
бавляется еще кинетическая энергия вращательного движения молекул.
Однако при отражении от движущегося поршня вращательная энергия моле-
кулы не изменится. По-прежнему претерпевает изменение лишь х-компонента
поступательной скорости движения молекулы. Поэтому, как и в решении
предыдущей задачи, можно написать:
dE 1 uSNin
-77- =----—77------V
По классической теории кинетическая энергия при тепловом равновесии
равномерно распределяется по степени’ свободы. Принимая, что молекула
двухатомного газа имеет пять степенс"; свободы, три поступательные и две
вращательные, найдем для полной эн.’ ггии
I _ _ 5 __
Е = Nmv2 4- 4- Nmvs = — Nmv-.
2 з о
Поэтому — — ~~Е, откуда ЕИ2/5= const. Наконец, принимая во
1 — 2
внимание, что рУ=-^- Nmv* = — Е, находим:
о О
,,7/5
рУ — const.
kT .
т ’
mv'x kT
887. v ~ pl/*.
M (-05 — vf)
888. ’—-=—^-•6 2^T =0,98, где M — молекулярный вес.
890. t ='153°.
1,13 vm = 386 м • сек'1',
1,23 vm = 420 м • сек'1.
892. Рассмотрим сначала частный случай, когда абсолютные значения
скоростей всех молекул одинаковы, но их распределение по скоростям изо-
тропно. В этом случае число молекул в 1 с№, направления скоростей кото-
, п dQ
рых лежат внутри телесного угла dQ, будет dn = , где а — число
322
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. (Г
молекул в I с№. Рассмотрим молекулы, ударяющиеся об 1 см3 стенки и под-
летающие к ней с углами падения между & и В этом случае dQ =
г, . « « sin$>
= 2л sm v а», dn =-----------. Число ударов молекул рассматриваемого
, , s i . пу sin & cos» d$
типа об 1 см3 стенки в 1 сек будет dz =------. Интегрируя это
выражение в пределах от 0 до , найдем z = -^nv.
Если абсолютные скорости молекул различны, то молекулы следует раз-
бить на группы с практически одинаковыми значениями скоростей. Таким
путем легко получить:
1 -
z = -г-ну ,
4
где v—средняя скорость молекул. Для максвелловского распределения
и 1 /~WT _
4 V пМ
1/"
V 2пМ *
893. Для изотропного распределения Е = -°тпи3, для максвелловского
О
, где т — масса молекулы, а п — число мо-
лекул в 1 см3.
4У
894. -с = 2.
Sv
4К
895. I) t = 7Fln
Po-Pi Рз-Pt _ , 17 сек
Ро —Pi Sv Ро
2) t = —In 2 «а 6,2 • 104 сек = 17 час.
Sv
896. Решение. Уравнения баланса для молекул азота:
dN'a dt _ 1 — 4 Sba V (N'a -N1!’)
dN'a _ 1 Sva (N'l' — -WT),
dt 4 V
где N'a и N'a — числа молекул азота в первой и во второй половинах со-
суда. Так как N'a + Va’ = A/a = const, то первое уравнение приводится к
виду
«;а/ «, лга\
dt ~ 2V\Nsi 2 Г
Интегрируя его при начальном условии N'a = Wa ПРИ £ = 0, получим:
N"a
(2)
§ 14]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
323
Аналогично, для молекул кислорода:
Так как начальные значения давления в обоих сосудах одинаковы, то
Na — NK = .N. Давление в первой половине сосуда:
Давление во второй половине сосуда:
_^к_Л
е ™ _е (4)
+ 2 J *
р2=р
_ Sj>K _ Sv
е 2V — е W
2
При / = 0 и £ = со(4) и (5) дают pv-~- р$=р, как и должно быть.
897. п = п0У , где п— плотность частиц в сосуде, а п0 — в пучке.
898. Решение. Количество молекул, ежесекундно теряемых квадраг-
1 /
ным сантиметром капли: х = —(п — noAv, где п и пх— числа молекул на-
сыщенного пара над каплей и плоской поверхностью жидкости г 1 см5. Их
разность найдется из соотношений:
2а р
p — nkT\ poo — riookT; р—рх>=---------------——,
г Рж Рп
которые дают
х = 1 — рп v = ~ Рп 1/~
ЖТ г рж —рп г рж — рп Г ’
где (х — молекулярный вес, a N—число Авогадро. В знаменателе можно
пренебречь величиной рп. Для рп легко найти рп = 1,73 • 10 6 г • см~5. После
подстановки численных значений получим х = 4,55-101Ь молекул • см~* • сек~1.
900. 4? = 1/ ---= 2,5- 10"ь см.
У У 2 ппЛ
901. Л = — = 0,89 • Ю 5 елк
ри
902. z = У 2 vd2vn 2,2 • 10е.
1
903. р С 1,1 • 10-8 мм рт. ст. 904. z— Т 2-,А~Т.
_L т + 1
905. A'-'-'p'i; z—р. 906. р 7; z^p 27 , где у = ~£.
907. , = ^Гщ (/-/’)(Р»+Р.)Г‘та14. Ю-. г.„, 1.сек~1,
' 128/И| (A— P*}(Pi+Pz) J *
d2 = = 14,5 • 10-18 см2, (/ = 3,8 • 10‘8 см.
ЗУ2пц
324
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. II
908. d* = d = 2,3 • 10 8 см.
0,72г»/?1п —
Г1
909. т = ^^=81’.
т 2fh
910. Решение. Рассмотрим кольцо на вращающемся диске с внутрен-
ним радиусом г и наружным радиусом г -{- dr. С площади этою кольца еже-
]
секундно отражаются —пи • 2nr dr молекул. Каждая из них уносит момент
количества движения тг*а, который передается неподвижному диску. Полный
момент количества движения, передаваемый в одну секунду неподвижному
диску, легко найти интегрированием. Приравнивая его моменту силы Д>',
действующему со стороны закрученной нити, получим для угла закручивания
Зтгр _. 3 ph
<р' = —£ = — С- ср -;
т 8ц/ 4 i]D т
1°,
где <р — значение угла закручивания, соответствующее тому случаю, когда
расстояние между дисками мало по сравнению с длиной свободного пробега
молекулы (см. предыдущую задачу).
912. Решение. Так как расстояние между стенками мало по сравне-
нию с их размерами, то при расчете стенки можно считать плоскими. Тем-
пературу одной из стенок можно принять равной температуре окружающего
воздуха То, а другой — температуре жидкого воздуха Т. Молекулы, отра-
жающиеся от наружной стенки, назовем «горячими», а молекулы, отражаю-
щиеся от внутренней стенки, — «холодными». Обозначим числа таких моле-
кул в 1 см* через п0 и п, а их скорости—через v0 и v соответственно.
Число молекул, отражающихся от 1 еле2 горячей стенки в одну секунду,
равно—по»о =-д-ии. Эти молекулы передают холодной стенке тепло
15 15
-уkTo, обратно уносится тепло -^-п0и0Следовательно, М =
5
= »- novokS(To — T)t. Давление оставшегося газа, если бы он имел темпера-
туру 7*о, равно р = (п 4- «о) kT0. Окончательно нетрудно получить:
М = /г)^1Ю г.
о(] Г 0
913. Решение. При оценке эффекта можно предположить, что одна
шестая молекул воздуха движется направо, а одна шестая — налево. Моле-
кулы, движущиеся параллельно плоскости диска, можно не принимать во
внимание. Скорости молекул и будем считать одинаковыми. Пусть диск
движется равномерно со скоростью и менее нагретой поверхностью вперед.
Число ударов, испытываемое квадратным сантиметром этой поверхности в
одну секунду: -^-(u-f-iz). Для оценки эффекта можно предположить, что а
системе отсчета, движущейся вместе с диском, молекула отражается со ско-
ростью vs, соответствующей температуре Г2 поверхности. В неподвижной
системе скорость отразившейся молекулы будет u24-w, а изменение ско-
рости u2-j-w-j-^- Следовательно, давление газа на менее нагретую поверх-
ность р2 — ™ (и + и) (v2 + d + ц). Аналогично, давление на более нагретую
поверхность р{ — — (v —. и) -f- v — и). При установившемся движении
§ 141
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
325
6
Vs
р,—р1. Из этого условия нетрудно получить:
V!—v2 — v2 _ v vf — vf 1 -j/'3RTTl — T2
4v + vi + vs 6 ~12 и2 ^12 V p. T
914. Газ будет перетекать в сосуд с более высокой температурой:
Л - лл 2 ЛЛ
=----/И = 77 М
Л + ут2 ь
915. Е = pV = 375 кГм. 916. Около 55 ккал.
1,4 м/сек.
т —
917. Около 0,75 кал • г-1 • град 4. 918.
920. cv = 6/? для ХУ и cv==9R для ХУ2.
Решение. Каждый из атомов молекулы имеет три степени свободы.
Если молекулы образуют твердое тело, то атомы совершают малые колеба-
ния около положений равновесия. Согласно классической статистике на одну
степень свободы приходится средняя кинетическая энергия Так как
средние кинетическая и потенциальная энергии при гармоническом колеба-
нии равны между собой, то полная энергия, приходящаяся на один атом,
в среднем составляет 3kT. Если в молекуле п атомов, то средняя энергия
на одну ""
921.
922.
молекулу составляет 3nkT, а молекулярная теплоемкость 3nR.
27
cv — --R = 1,68 кал • г-1 • град"1.
о/
Рвом — ==« 7,5 • 1010 атм, где N—число Авогадро, Z = 92 —
атомный номер урана, А — 238 — его атомный вес; рзем = -е“^ « 1,7- 10е атм,
где Л? —радиус Земли.
923. В системе COS : Q = -j-fM2 f-A — = . Если R2 =
5 \Аа f\i/ 5
3 jMs
= 0,9/?ь то Q = трг = 2,3 • Ю47 эрг. Энергия, излучаемая Солнцем в тече-
uU /\ 1
ние одного года, составляет около 1,2 X Ю41 эрг. Выделившегося при сжа-
тии Солнца тепла хватит примерно на 1,9 - 10е лет. Температура Солнца при
внезапном сжатии его на одну десятую первоначального радиуса повысилась
бы приблизительно на 4,6 • 105 град.
Решение. Рассчитаем сначала теплоту образования Солнца W из бес-
конечно разреженной материи. Возьмем бесконечно тонкий шаровой слой
с массой dm, центр которого совпадает с центром Солнца. Результирующая
гравитационных сил, с которыми на элемент массы рассматриваемого слоя
действуют все массы, находящиеся дальше его от центра Солнца, равна
нулю. Массы же, расположенные ближе к центру Солнца, действуют на слой
так, как если бы они были сосредоточены в центре Солнца. Если их общая
масса равна т, то при перемещении слоя из бесконечности на расстояние г
от центра Солнца гравитационные силы совершат работу
т dm 4л „ » .
7 ~ = ^гЧт,
где Ь — плотность Солнца. Допустим теперь, что процесс образования Солн-
ца из бесконечно разреженной материи закончился. Тогда dm = 4№6 dr, и
326
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. II
для теплоты образования мы получаем:
)
4тг » ал 2к л 16 2 sans 3 М*
— уог24лг2о dr = -г=л2уЬ8^8 =—^~—
О 10 О ’ 1\
о
И?(Я) = \
где R — радиус Солнца. Аналогично тепло Q, получившееся при уменьше-
нии радиуса Солнца, очевидно, равно
Q = W(Ra) - Wi)-
Если бы Солнце состояло только из водорода, то, разумеется, водород
был бы не только диссоциирован, но и полностью ионизован. Таким обра-
зом, на каждый грамм массы Солнца приходилось бы 2W частиц: W элек-
тронов и А протонов. Средняя кинетическая энергия их теплового движения
3
27V • kT = 3RT. Значит, теплоемкость солнечного вещества в этом слу-
чае была бы равна cZ) = 3/?«=;6 кал град~1.
924. Величина теплоемкости должна быть меньше классического зна-
чения.
Решение. Молекула водорода Н2 .имеет шесть степеней свободы: три
степени свободы поступательного движения, две вращательного и одну коле-
бательного. Если можно пренебречь силами взаимодействия молекул газа,
то поступательное движение молекулы можно рассматривать как свободное
движение по инерции. Такое движение не квантуется — его энергия может
принимать любые значения. Напротив, колебательное и вращательное дви-
жения квантуются — их энергии не произвольны, а могут принимать лишь
ряд дискретных значений. При обычных температурах квантованные значе-
ния энергии колебательного движения велики по сравнению со средней ки-
3
нетической энергией поступательного движения молекулы -^kT. Тепловое
движение молекул слишком слабо, чтобы перевести молекулы с низшего
(нулевого) уровня энергии колебательного движения на более высокие энер-
гетические уровни. Почти все молекулы занимают низший уровень энергии
колебательного движения. При этом условии энергия колебательного движе-
ния почти не зависит от температуры, и это движение не влияет на тепло-
емкость газа. Квантованные значения энергии вращательного движения
обычно много меньше соответствующих значений для колебательного
движения. Поэтому уже при обычных температурах возбуждаются всевоз-
можные квантованные вращения молекул — на каждую степень свободы вра-
щательного движения приходится почти такая же средняя энергия, что и
на степень свободы поступательного движения. Однако, если температура
газа настолько низка, что средняя энергия теплового движения молекулы
мала по сравнению с разностями энергетических уровней вращательного
движения, то вращения на высоких уровнях перестанут возбуждаться, и вра-
щательные степени свободы не будут оказывать никакого влияния на тепло-
емкость газа. Водород начинает вести себя как одноатомный газ.
ч ез
е Д kT । . о kT о
92S. Е=_^+ +
е tT+<! tT
3
'Если —£!>/гТ, то
§ 14]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
327
Р
у Раз.
926. <р2 уменьшится в а
раз; ср2 увеличивается в
Существенно
отметить, что ср2 не зависит от момента инерции зеркальца;
W = ^£₽«6,04-102».
_ D<p2
927. D?KB = /?кв = ~ Ьт( 1 -1 V где v =х ± ’Клас-
ekT-\ У
сические формулы применимы при 1. Для зеркальца — ₽» 2,5 • 10~t8.
928. N=у—^2-----------= 6,5 101*. 929. ц = 2КТ\'"“г---к-.
4«г*й>-₽.)£/ »’(₽-р.)И-п)
О
931. Решение. Направив ось Z вертикально вверх, можем написать
mz-\-mg = 0. Умножая это соотношение на г и принимая во внимание, что
d . .. .9
zz = ^(zz) —z2, получим:
(mzz) + mgz — = 0.
Проинтегрируем это соотношение по периоду движения. Тогда интеграл от
первого слагаемого даст нуль, и мы найдем искомую связь:
еПОТ = 2® КИН-
В случае молекулы одноатомного газа, учитывая столкновения, получим
2
ёпот = -х- е кин. Для двухатомного газа, согласно теореме о равномерном рас-
О
2
пределении кинетической энергии по степеням свободы, епот = ёкнн. Полная
О
7 7
энергия моля газа в поле тяжести: £ = N(sKHH4-епот) = —ЛГбкин= —
О 2
Ее производная по Т есть ср, тогда как cv есть производная только от ки-
нетической энергии Л/екин = RT. Это дает ср — cv = R. Вывод нетрудно
распространить на одноатомные и многоатомные газы.
932. с = ^+4-(^У.
1Z \ Г\1 )
933. Не изменится. Свободное падение сосуда эквивалентно выключению
силы тяжести. В момент выключения мы будем иметь неравновесное распре-
деление плотности газа. Через некоторое время молекулы газа равномерно
распределятся по всему объему сосуда. Но, разумеется, их полная кинети-
ческая энергия, определяющая температуру идеального газа, не изменится.
Опыт аналогичен известному опыту Гей-Люссака с расширением газа в пустоту.
934. Число молекул dn, координаты которых лежат между г и г -{-dr,
z и z -j- dz, равно
mgz m<asra
g kT , g 2kT fdfdz,
dn =
________________________
mgl\ /
где n — общее число молекул в сосуде. Ось Z направлена вертикально вверх.
328
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[гл. II
S35. Решение. Рассмотрим группу броуновских частиц, каждая из
которых за время т претерпевает смещение Arf. Концентрацию таких частиц,
т. е. их число в 1 см6, обозначим через n^z). Пусть а — малая площадка,
перпендикулярная к оси Z (рис. 129). Обозна-
чим через г радиус-вектор центра этой площад-
ки. Число броуновских частиц рас-
сматриваемой группы, проходящих вследствие
диффузии через площадку а за время т, равно
числу таких частиц в параллелепипеде, изоб-
раженном на рис. 129. Если параллелепипед
достаточно мал, то последнее число можно
принять равным концентрации в центре парал-
лелепипеда п,- 1г----------------------------------умноженной на его
объем <jAzf. Таким образом,
anN- = a^Zirii (г — ,
Разлагая по степеням Агг, ограничиваясь
линейными членами и принимая во внимание,
что п, зависит от z, но не зависит от х и у,
получим:
М = — ^zini (И —<Г~ (Аг^)2.
* т 1 1' ' 2т dz и
Полный диффузионный поток /V броуновских частиц через 1 см2 в 1 сек
найдется суммированием этого выражения по всем /, т. е. по всем группам
частиц. Это дает:
т 2 Az,n‘<г) - 2(4г,)2
Первое слагаемое в среднем обращается в нуль, поскольку вероятности сме-
щения частицы из заданного положения вверх и вниз одинаковы. Обозначим
через п полное число броуновских частиц в 1 см6. Тогда
« = л(д2)2 = ^(Д2,-)2я/.
Величины Azf, как независимые переменные, не зависят от z. Величина (Аг)2
также не зависит от z, поскольку предполагается, что концентрация броу-
новских частиц мала, так что взаимодействие между ними не играет роли.
Поэтому дифференцирование последней формулы по z дает (Az)2 =
V /Л КГ (Д*)2 дп Г
= (Azj)2 -^-, и следовательно, М =Сравнивая это выраже-
дп
ние с формулой М =— определяющей коэффициент диффузии D,
получим окончательно
°=4<Дг)’
По смыслу вывода под (Аг)2 следует понимать «среднее по совокупности
частиц». Однако в силу одинаковости последних и отсутствия взаимодействия
между ними это среднее может быть заменено «средним по времени» для
одной частицы.
§ 14] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА 329
936. Плотность суммарного потока частиц в положительном направлении
оси Z: nBf—D-fa , где f — результирующая силы тяжести и выталкивающей
силы гидростатического давления, действующая на броуновскую частицу
(ось Z направлена вертикально вниз). Приравнивая это выражение нулю и
fz
принимая во внимание, что n—noekT, получим окончательно D~kl - В
(формула Эйнштейна).
__ ьт
937. (Az)2 = 2kTBz = т.
Зпга
938. A2 = (Дх)2 + (Ду)2 = ~~ Ю-® см3; V А2 10 микрон.
939. W =--^Tz ^6,02. IO23. 940. Ne = т ,
Злат] • (Дх)2 Е (Дх)2
941. W=5,88-1023.
7?2 7?2 /?2
942. т ~ «=з —- г=» 1,4 • 1014 сек s=a 4,4 • 10’ лет, где v—скорость
6D 2lv 21с f
космической частицы, близкая к скорости света в вакууме с. (См. решение
задачи 935.)
943. Когда длина волны порядка средней длины свободного пробега.
944. Отклонения на большие углы электрона при его столкновении с
ионом могут происходить, когда кинетическая энергия налетающего электрона
mt/3 „ „ „ Ze3
—— сравнима с потенциальной энергией взаимодействия этих частиц ——
при их максимальном сближении (Ze—заряд иона). Приравнивая эти энер-
гии, находим г, а затем и приближенное выражение для сечения:
! Ze3 \2
а = 7ГГ8 «=: 4к --5- «as
\mv3 /
/Z^\«
\kTJ ’
(1)
При этом мы не учитывали взаимодействий на далеких расстояниях, сопро-
вождающихся отклонениями на малые углы. В результате накопления малых
отклонений при таких взаимодействиях импульс электрона может измениться
на конечную величину. В типичных случаях далекие пролеты более суще-
ственны, чем близкие. Однако они не сказываются на виде формулы (1),
а только на численном коэффициенте — в формуле (1) появляется численный
множитель порядка 10—20. Поэтому при грубых оценках, а также при каче-
ственном рассмотрении явлений можно пользоваться выражением (1).
945. Для плазмы применимы рассуждения, встречающиеся в элементарной
Г, . ГТ 1
теории электропроводности металлов. Но формуле Друде А. = — - > где
, 1 < - 1 /~ЫТ
1=-------средняя длина свободного пробега электрона, v = I/ —-----сред-
няя скорость его теплового движения, п — число электронов в 1 смя. Под-
ставляя вместо ст выражение, полученное в предыдущей задаче, получим:
4 3 3
— = 6,73 10' • Г2 сек-1 =7,47 10-«Г2 оя 1 ся~\
2 у 3m е3
330
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. II
Более точная (но все же приближенная) теория, учитывающая много-
кратные рассеяния, дает:
. 1,55-108
А == ————-
1,72 -10"4
L
T3/i сек~
T3h ом~
— 1
• см ,
где L — так называемый кулонов логарифм
I 9 — 1пп-(- ^-ln Т при
1
| 15—у In « + In Т при
I *
Т 16 • 104 град,
Т 16 • 104 град.
Здесь п — концентрация плазмы, т. е. число электронов в 1 см3, Т — темпе-
ратура в градусах Кельвина. В широком диапазоне температур и концентра-
ций кулонов логарифм может считаться величиной постоянной. В этом диа-
пазоне электропроводность не зависит от концентрации плазмы и пропор-
циональна Т3,г.
946. Т » 1°,7’. 107 « 15 кэв.
947. К плазме применим закон Видемана — Франца, который дает:
5
т 2.
е2
Теплопроводность плазмы не зависит от ее концентрации и пропорцио-
5_
'г’2
нальна 1 .
§ 15. Тепловое излучение
948. Решение. Поместим слой внутрь полости, стенки которой под-
держиваются при температуре Т. Тогда в состоянии теплового равновесия
в полости установится равновесное (черное) излучение. Рассмотрим пучок
этого излучения интенсивности /0, па-
дающий на слой под углом ср (рис. 130).
После прохождения через слой интен-
сивность этого пучка уменьшится до
al
cos^, где ср — угол преломления.
Полная интенсивность пучка, выходя-
щего из слоя под углом ср, будет, с од-
al
пой стороны, равна cos^, где
/ — интенсивность теплового излучения
слоя под углом ср. С другой стороны,
интенсивность того же излучения долж-
на равняться /0, т. е. интенсивности
излучения черного тела температуры Т.
Это дает:
/ al
949. /=/0(1 — р) , где S — —- , , ар—коэффициент отра-
жения на границе слоя. Обе эти величины являются функциями длины
волны.
§ 15]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
331
950. /= /о (I — р).
951. Интенсивность теплового излучения пластинки, выходящего слева
направо, равна интенсивности соответствующей линейно поляризованной
компоненты излучения абсолютно черного тела температуры Г; интенсивность
излучения, выходящего в обратном направлении, равна нулю.
4
954. S = ~^aTsV, где а — постоянная в законе Стефана — Больцмана.
О
955. U=aT\ где а — постоянная в законе Стефана — Больцмана.
956. VTZ — const.
957. 10~5 эрг-сек х см~~ •zpad~i' По современным данным
а = (5,6687 ±0,0010) • 10~6 эрг-сек"1-см^-град"'1-
958. 1,64 часа. 959. Т400°К. 960. U = — Г, S = 4-U, S =
с 4
2^1
961. dN(y) = — d't, где с — скорость распространения волн вдоль струны.
962. d7V(v) = •—z2, где с — скорость распространения волны по мем-
бране.
%iw*d')V
963. dN('i)=——, где с — скорость распространения волн в парал-
лелепипеде.
_ —
964. Если h't^kT, то —е kT (формула Вина).
Если h'i^kT, то -kT (формула Рэлея — Джинса).
965. Решение. Плотность энергии черного излучения:
__8кй Г ^d't _____Г х3
и~~^~ I cW I ех — 1 '
J ekTJ
о о
Входящий сюда интеграл равен
UO ОО 00
г* %*® Г* 1*® л”л» Г*
1 _±—dx = \ i dx = i Xs г-* (1+<?-* + <?-’* + ...) dx =
J ex — 1 JI — e J
0 0 0
= 6(l + ^ + i + -) = T5 ’
так как сумма ряда в скобках равна Таким образом,
Уи
и
8«‘*‘
15с8й8 *
Пользуясь соотношениями, приведенными в ответе к задаче 960, находим
332
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[ГЛ. II
S = 4 U = где
4
° = 15с2Л8 = 5,6687 • 10 6 эрг-см~*-град~*-сект1.
Для определения постоянной а в законе Вина ХтахГ = а запишем фор-
мулу Планка в виде
.. 8ithc d'K
и^ = и^к=-^--------------------------------.
-1
Задача сводится к отысканию значения Хтах, при котором функция
he
Къ (e>'kr — 1) обращается в минимум. Вводя новую неизвестную р = -г-----•
^тах
и поступая стандартным способом, приходим к трансцендентному уравнению
е~? _|_ 2 _ 1 = О,
корень которого 3 = 4,96511423. Поэтому
he
Xmax Т = а= bp = 0,289782 см • град.
966. Т ^6000° К. 967. X «=s29 А. 968. Т = ^—Тг.
max уэ^
969. Нет, так как испускательная способность всякого тела меньше
испускательной способности черного тела.
970. 5370 вт. 971. W ъ 1900 вт; 7> = 2700°К.
с
972. Тг =--------—----г, где Тг—яркостная температура для длины
Х,П(1 +ЕС (Г) X5/
волны X; Т — истинная температура; и С2 — постоянные; Ес (Г) — испуска-
тельная способность серого тела.
Л*
973. Xmax Т = — 0,28776 см • град. (Ср. с ответом к задаче 965.)
□
974. Т < , 4150° К (для X = 7500 А), где X — в анг-
\k In 100 X 4
стремах.
975. е kT (формула Вина).
976. Решение. Вероятности поглощения и индуцированного испуска-
ния равны между собой. Поэтому х пропорционально — N2, где М и Ns —
числа молекул на нижнем и верхнем уровнях. По формуле Больцмана
N^Nie кТ = N1e~k^t
/
откуда Nx — N« = \1 — е kTJ. Следовательно,
ht
х (Т) = х0 (1 - е' kT).
§ 15]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
333
fl'l , _
Если < 1, то х(Г) = х0^у,) и следовательно, х(Г)<х0. Случай этот
осуществляется в области радиодиапазона. Например, даже при X — I мм,
h't 1
Т = 300° К имеем
Если^уг>1, то х(Г) = х0. Случай этот имеет место в оптической обла-
! h't
сти спектра. Например, при X — 5000 А, Т = 1500° К имеем , 20.
977. р = = ?'4 = 4,6 • 1017 дн-см~'2 = 4,6 • 10й атм.
3 Зс
9^8. ГЭф = Г(1 —e~al). (См. задачу 948.)
979. По формуле Рэлея—Джинса
с 2nkT ( г \г 8,67 • 10-” • Т
Ха
г V
д вт-м~3 Мгц~'
/
X2
• 10-15
р----- вт-м 3 Мгц~1,
где X — в метрах, 7? = 1,5 • 108 км — радиус земной орбиты, г — «эффектив-
ный радиус» короны, который при оценке мы положили равным радиусу
фотосферы Гф = 6,95* 105 км.
980. /=/ог-хг, где х = А(А1— Д?2), Д — постоянная. Усиление волны
возможно, если концентрация частиц на более высоком энергетическом
уровне больше концентрации на более низком энергетическом уровне А\.
ГЛАВА III
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
§ 16. Строение атома и спектры
1 Г е*
981. ? = 2~ I/ гДе а — радиус положительно заряженной сферы,
т. е. радиус атома Томсона, е— заряд и т— масса электрона.
982, Гармонически колеблющийся электрон излучает одну частоту.
/ \ 1/3
а = . 3 ) = 2,6-10~8 см.
о
983. cv=^R.
984. Уравнения сохранения энергии и момента количества движения в по-
, «г2 , wr2&2 , 2Zez mvs .
лярных координатах (рис. 181) имеют вид —у -]--1—~— — -у* , — Pv>
тем введем подстановку г = ~. После элементарных вычислений получим:
/с?р\2 . / 2Ze3 V 4Z2*?1 _ 1
\с?&/ ‘ V "г tnp-v* J in^pW р‘
(1)
1а ’
§ 16]
СТРОЕНИЕ АТОМА И СПЕКТРЫ
335
Дифференцируя это уравнение no О и сокращая на ~ , найдем;
dap 2Zi2
t/82 * Р » mp2Vs
Отсюда:
р = A cos^-|- В sin $
2Ze2
mp2v2 ’
(2)
где А и В — постоянные интегрирования. Они, однако, не независимы друг от
друга, а в силу (1) связаны соотношением
1 4Z2£4
+ = (3)
1 р2 ' rnpW '
1 2Ze2
Начальное условие: р = —= 0 при 8 — л дает А=------------., Поэтому из
J г г r m~pW
(3) получаем В2 < Теперь (2) переходит в
1 / ф & \ ф
р = А (1 -{-cos &) + В sin S или — = 2 (A cos у + В sin -у j cos . (4)
£
г обращается в бесконечность при cos-^- = 0 или 0==л (эго мы уже ис-
пользовали) и при $ = <р, где ср определяется уравнением
ср В mpvJ
Ctg 2 “ А “ 2Ze2 * (5>
пек л о Z2<?4 sin ? я
985. а а=2 л----------------1— dy.
mW sin4 ~
лоа Л 2л75г4 sin ср on -ч
986. Дп = п—-----------------— dcpe»13 частиц, где р = 8,9 2-см 8 — плот-
tnW sin4 ~
ность меди, Л =63,57 — ее атомный вес, Z = 29—атомный номер, А — число
Авогадро, V — рассеивающий объем.
кгпяи / т \2 (2,4-10-48 для электрона,
987. ДРа1=7 — =J ’
и&л.ст \е/ (8,1 «10 87 для протона.
988. Решение. Если смещение электрона х = a cos со/, то и =
=— <оа sin <о/, v =— <o3<jcos<o£. Полная энергия электрона: W = ~ тш-а2.
2 е2 Ч 1 е2 4 . 2 е2<о3 w п
Средняя потеря энергии в секунду: -у -^v = со’о51 w. Поэтому
для изменения энергии электрона можно написать в среднем
dW 2 г2со2
dt 3 тс2
Обозначая через 1Г0 начальное значение энергии, отсюда получаем:
3/пс8 , . .. .
t = гу-т-- In -°1,9 • 10 8 сек.
2е~^2 W
336 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [гл. 11Г
989. Д^=^^-=1,5-10-“ сек.
4е4 . ’
990. Будет излучаться одна частота \ если не учитывать изменения
состояния движения электрона. Интенсивность излучения должна быть больше
на первой орбите.
991. ай = 0,53-10~8 см (п = 1, Z = 1); v = ; ц0 =
4TTsmz^2 ’ ’ v ’ Лп ’
= 2,183-108 см-сек-1.
е
992. £=^-300 в-см'1, где а — радиус орбиты.
£, = 5,13-10° в-см-1,
Ei = 2‘ 107 в-см 4.
993. р — 8-Ю-8 дн’. сила тяготения меньше в «=:2,1089 раз.
995. y=^22 —
На = 6563А; /7р = 4861 А; Щ = 4340А.
996. Xjj — 121бЛ; ХПаш= 18751Л; Авр — 4,05-10~4 ел/=4,05 микрон,',
ХПф = 7,40-10-4 сх = 7,40 микрон.
4
997. Х=-^3647А.
998. E — hcR = 2.153- 10~п эрг,
Е
V„ = — = 13,5 в.
и е ’
999. 312 ккал-моль-1.
1000. 14 300° К и 16 300° К.
37?сЛ 8 Rch
1001. п, : п2: п3 =1 : е 4kT :е 9 *7 = 1 : 10~82.в: Ю'28-7.
1002. И= 10,15 в.
1003. v = Rc , где R— постоянная Ридберга, с — скорость
света.
1004. Поглощение частоты 2Rc имеет место и сопровождается ионизацией
атома (фотоэффект на атоме).
1005. Х=121бЛ; Х=102бЛ и Х = 6562,8А.
1006. Все линии линейчатого спектра водорода.
1007. В спектре рекомбинации присутствуют все члены спектральных
серий, а за границей серий имеется непрерывный эмиссионный спектр.
1008. РНе = 54 в; VLi = 122 в. 1009. А = 303.75А;
1010. /^00 = ^-^=109 737.31 см 4.
hAc *
§ 16]
СТРОЕНИЕ АТОМА И СПЕКТРЫ
337
1011.
где М — масса ядра, а т — масса электрона.
«н «Не
1012. — = 1838,2; — = 3,97.
т тн
1013. На — Da = 1,8А; H^ — D^ 1,ЗА.
1014. AV = 0,00366 в.
ДЕ = 84,5 кал • моль-1.
1015. Переход с уровня п = 6 на уровень п = 4.
1016. ДХ = 2,62А.
1017. Решение. Постоянные Ридберга для водорода и дейтерия:
|+ т ' ° 1+^_’
'+,MD
где Л4Н и MD — массы ядер водорода и дейтерия. Отсюда получаем:
1 _ 1 /_ ^р\
« T?D—7?н MD/
Умножая обе части этого отношения на е и принимая во внимание, что
(Л4Н т) N = Н, CMD+ т) N= D, Ne = F, найдем:
е _ F ( \
т ^?р 7?н \/у — мт [у — щт)
Так как атомная масса электрона Nm мала по сравнению с Н и D, то при
вычислении Н — Nm и D — Nrn нет необходимости знать ее с высокой
точностью. Имеем: Nm = 6,025 • 1028 • 9,108 • 10~28 = 5,49-10~*; И — Nm =
= 1,007593;/) — Nm = 2,014186. Подставляя эти значения в предыдущую фор-
мулу, получим:
— = 5,2732-1017 ед. CGSE-г-1 = 1,7590-107 ед. COSM-a"1.
т ’
1018. Решение. Пренебрежем тепловой скоростью движения атомов.
Максимальная скорость атома, упруго отразившегося от спутника, полу-
чается при лобовом ударе и равна 21/, а его кинетическая энергия равна
2/nV2. Эта энергия передается другому атому, с которым сталкивается рас-
сматриваемый атом, не целиком. Максимальная передача энергии получается
также при лобовом ударе. В этом случае, в силу законов сохранения энергии
и количества движения,
2тпУ2=~4-^+Е,
2mV = mv + triv',
где v и v' — скорости атомов после удара, т и т1 — их массы, а Е — энер-
гия ионизации второго атома. Исключая v', получим квадратное уравнение
относительно »2. Чтобы ионизация была возможна, необходимо и достаточно,
чтобы корни этого квадратного уравнения были вещественны. При т = tri
это условие имеет вид mV2>E. Энергии mV2 в электрон-вольтах для ато-
мов Н, N и О равны соответственно 0,668; 9,35; 10,7. Поэтому во всех
338
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. III
случаях ионизация невозможна. Этот вывод изменится, если учесть тепловое
движение атомов. Ионизацию могут производить единичные атомы, движу-
щиеся навстречу спутнику с большими тепловыми скоростями и упруго
сталкивающиеся с ним.
eh
1019. р. = ----= 0,92 • 10~30эрг-эрстед'1.
4птс ’
1020. 4 = Ю22. Е = ^^3-1024 эрг.
I 2тс г8
. , т
1023 у сек'1, где п — число атомов в цилиндре и J—момент инер-
ции цилиндра.
,„п. р 2Л4 ,, „
1024. а = -у- = -j t где М = пр. — магнитный момент цилиндра.
2Nh
1025. w — Lp = 1,12-IO-3 сек'1. Здесь т— масса цилиндра, Л —его
длина, М—атомный вес железа, S — его плотность, N—число Авогадро.
1026. I = -Д = 0,52-10“27 эрг-сек'1-,
4л
Р = = 0,92• 10- эрг-эрстед'1;
а = — — — = 1 76 • 108 эрстед'1 • сек.
I тс ’
1027. Н : 2; Li: 2; Fe : 1, 3, 5, 7, 9; Cl: 2, 4, 6, 8; Не : 1, 3; Mg : 1, 3;
Hg : 1, 3; U : 1, 3, 5, 7.
1028. Sr+: 2; Li+ : 1, 3; Ca+ : 2; C++ : 1, 3; O++++ : I, 3.
1029. 4.
eh
1030. ДЕ = 4л/пс число УРовней равно семи.
1031. На 3 компоненты (в силу правила отбора, Д/и = 0, ±1).
Ze h е h
1032. ДЕ = £ I — £ S cos (is).
2тса3п 2л тс 2л ’
Z=l, п = 2, /=1, S = -l, cos<^)=^1. al = 4sa%, NE = 2-10“17 эрг.
1033. ДЛ = 0,003А.
1034. Если Av — интервал между компонентами с внутренними кванто-
выми числами j и /’ = /-[-1, то Д'* пропорционально j'.
1035. 2у+ 1. 1036. На 2.
1037. Е — Ей mg ehH , где Е — энергия в поле, Eq — энергия без
. , . . . 2/ +1
поля, т = — J, — /+ 1,/ и g = .
1038. На 18. 1039. 6. 1040. 2ns. 1042. 2(2/+1). 1043 Ю9.
ht
1044. —Айб-ЮЛ 1045. / = —е kl «г 2,5- 1(П сек.
§ 17]
РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
339
§ 17. Рентгеновские лучи
1046. Все дело в поляризации рассеянного излучения. Если падающий
луч не поляризован, а колебания в нем поперечны, то луч, рассеянный телом
Д и идущий в направлении к В, будет поляризован и притом так, что пло-
скость колебаний его будет совпадать с плоскостью чертежа. Значит, выну-
жденные колебания электронов тела В будут совершаться в направле-
нии, параллельном ВС. В этом направлении электроны не излучают, чем и
объясняется отсутствие рассеянного излучения в рассматриваемом напра-
влении.
Вещества с большими атомными весами непригодны потому, что они
дают жесткое собственное характеристическое излучение и притом значи-
тельной интенсивности. Уголь, парафин и т. п. дают слабое и мягкое соб-
ственное излучение, поглощающееся в воздухе на пути уже в несколько
сантиметров — такое излучение не мешает при постановке опыта.
1047. v = /?c(Z—I)3 (-р —^ = 4,16-1018 сек-1;
= 0,72А (в действительности X, = 0,71 А).
Е = h'j = 2,72-10-8 эрг = 17 100 эв.
1048. V= —у— в; VMo«s23 кв, VCu«=slO кв, VFe«=a8,5 кв. Истинные
значения V соответственно равны
VMo ~ 20 кв, ^Cu — ^Ре = 7»1 кв-
1049. XMo^0,62A, XFe^ 1,7А, ХСи ==» 1,4А.
1050. Излучение Сг возбуждается; излучение Со не возбуждается.
1051. Возбуждаются все линии всех серий, кроме К-серии.
1052. Zr и Мо; между ними находится элемент Nb.
1053. Na. 1054. 60 000 в. 1055. X 1,54А. 1056. »«»5-109 см/сек.
1057. a cosa = nX, где п — целое число. В фокальной плоскости наблю-
дается система гипербол.
1058. 1) a (cos а— cos а0) — пХ. 2) Расстояние до экрана D должно удо-
влетворять условию
D (£ cos а)2 =
К
где W— число рассеивающих центров.
1059. Система концентрических колец.
1060. a cos а = пД. b cos 0 = паХ, где и яа — целые числа, а а и 0 — углы
между направлением дифрагированного луча и взаимно перпендикулярными
линейными цепочками точек, из которых состоит плоская решетка. Ди-
фракционная картина состоит из пятен, расположенных в точках пересечения
двух семейств гипербол: одно семейство соответствует дифракционной кар-
тине от одной линейной цепочки точек, а другое — от линейной цепочки, к ней
перпендикулярной.
1061. а соза = П1Х; b cos3 = naX; с(1 — созу) = /гаХ, где 7 — угол между
направлением падающих лучей и дифрагированным лучом. Максимумы на
экране находятся в тех местах, где концентрические окружности, соответ-
ствующие дифракции на линейной цепочке, параллельной направлению
340
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. ИГ
падающих лучей, проходят через точки пересечения гипербол, соответствую-
щих дифракции от плоской решетки. Вообще говоря, при произвольной k
максимумы наблюдаться не будут. X должно удовлетворять условию:
(пД3 I / ( п^\
\а) ‘ \ЬJ ‘ \с]
4 sin2 у
X2
1062. а ( COS а — COS а0) = GtX,
a(cos3— cos30)=n2X, условия Лауэ
о (cos 7 — cos ye) =
X = —2a
tlj COS otp -|- n2 COS ftp 4- tl& COS 7o
«14-"! + nl
1063. sin & = X,
]/n24-n2 + «2
1065. В принципе дифракция возможна всегда, но угол дифракции ни-
чтожно мал, особенно при нормальном падении лучей на решетку.
Кроме того, падающий пучок должен быть в высокой степени параллель-
ным. Практически дифракция рентгеновских лучей на решетке не наблю-
дается, когда углы падения значительно отличаются от 90°. Только при при-
ближении угла падения к 90° удается преодолеть указанные трудности. Обычно
углы падения выбирают больше предельного угла полного внутреннего отра-
жения. Тогда удается получать отчетливую дифракцию рентгеновских лучей
от обычных отражательных решеток.
1066. Будет наблюдаться система концентрических колец (центр — след
первичного пучка), tg 20 = , 2d sin& = nX.
1067. 1; 2; 4.
1068. aNaCI= ]/’^- = 2,814А;
<''’е=/В=2’87А-
(Z — число Лошмидта, р, — молекулярный вес).
1069. X = 1,47 А. 1070. d = 6,28 А. 1071. Ni.
§ 18. Квантовая природа света. Волновые свойства
частиц
1072. т = = 4 «« 0.44 • 10~ss г.
с3 сХ
h »
1073. X = — = 0,02426 А (комптоновское смещение для 90°).
1074. Импульс фотона р = — у 1,3 • 10-23 г • см • сек1. Импульс
молекулы водорода
У^кТМ 5,4 • 10'18 г • см сек Л
§18] КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ
341
1075. Х = А^1(2А.
he
1076. Энергия фотона видимого света = • 10~12 эрг, энергия
молекулы водорода ~ у ^7'^6- 10-14 эрг.
1077. Число фотонов « 1,2 . 1021. 1078. Е=^- / т=~\,
т \ с2)
1080. Решение. Пусть М—масса источника, a v—его скорость. Энер-
гия источника слагается из кинетической энергии Mv2 и внутренней энер-
гии Е возбужденных атомов. При испускании одного фотона внутренняя
энергия Е изменяется на вполне определенную величину (энергия квантуется!);
Е'— Е~ — hi0, где v0 — частота фотона, испускаемого неподвижным источ-
ником. При испускании фотона тело испытывает отдачу, и его скорость ме-
няется. По закону сохранения энергии
у Mv2 4- Е = у Mv'2 4- Е' + hi,
где м — частота фотона, излучаемого движущимся источником. Написав закон
сохранения импульса и спроектировав его на направление скорости я и на
перпендикулярное направление, получим:
hi
Mv = Mv' cos а 4--cos 0,
с
hi
0 = Mv' sin а------ sin 0,
c
где 0 и а — углы между направлением скорости V и направлениями импуль-
сов испущенного фотона и источника после испускания. Исключая v' и а,
найдем:
hi h2i2
2hM (i — n0) — 2Mv- cos 0 4- = 0.
c c2
Если масса источника M
членом, и мы получим:
достаточно велика, то можно пренебречь последним
v —
, /А
1-----— COS 0
с
1081. Решение. В релятивистском случае не имеет смысла выделять
особо внутреннюю энергию источника, так как ее изменения автоматически
учитываются изменением массы покоя источника. Пусть массы покоя источ-
ника до и после излучения равны М и М'. Тогда законы сохранения импульса
и энергии можно записать в форме
Mv M'v' . hi п
I—32 /1— 3'3 1 С
л M'v' . hi
/l—3'з с
Me2 М'с2 , л
.—..— — .—....~~ 4“
V1—За /1—р
342
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[ГЛ. П1
К ним следует добавить соотношение
(Л4— М') с2 = йм0.
Исключая из этих уравнений a, v', М', найдем:
Мс2") ,1 а а-, » Av?
— (I — [3 cos 0) = Mc2v0--
1/ 1 — З2 &
или после пренебрежения последним членом
V г=Т2
м — м _ г____L—
° 1 — р cos 0 *
1082. При 0 = 0 m(O) = vo • ПРИ 0=у (l) = Vn
Если [3—-1, то м (0) > v (-yj. Отсюда ясно, что в узкой окрестности угла
0 = 0 частоты излучаемого света особенно велики. Найдем угол 0, для кото-
рого v (0) = ам (0), где а < 1. Для этого угла нетрудно получить:
i-L=i2
О 1 02 а 1 1 - а /1 О\
откуда 0Е = 2—-^-~(1 —?)• Гак как УI —= где Е—полная энергия
1 /ШС2\2 /" 1 _ а/пс2 1
частицы, то I—8яи— —=-) . Это дает 0=1/---------------=г . При а = -гт по-
’ 2 \ Е / у а Е 2
„ тс2
лучаем 0 = —
hn2 (м) v ’
ё2
1083. v =----------—----------
. vra(v) „ .
1--------— cos 0 4-t-j-r
с 2М
или, пренебрегая последним членом в знаменателе,
м = -
1
Vtl (^)
—— cos 0
с
1084. Рассуждая так же, как при решении задачи 1081, напишем:
Мо M'v' , Лм
—- = —— cos а -4- га — cos 0.
/1—З2 /1—З'2 с
л M'v' • hv.
0 = —— - sm а — га — sm 0,
/1—р'2 с
Мс2 М'сг , ,
—7------= —— + Йм.
/1—з2 /1—р'2
Отсюда
V =--------------------------------------.
1 —рга W cos 0 4- V 1 — Р [га2 (v) — lj
(1)
§18] КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ 343
Возможны два случая.
1 случай. Знаменатель
возможно лишь при условии
в (1) положителен. Тогда излучение кванта /?v
hy
М — ЛГ =—-2°-О, т. е. атом в результате излу-
чения переходит с более высокого на более низкий энергетический уровень.
В этом случае
i-fwM cose + W-ij ’
или, пренебрегая квантовыми поправками,
1 — (v) cos 0 ’
(3)
2 случай. Знаменатель в (1) отрицателен. Излучение кванта Av возможно
лишь при условии М'—2H = ^-Avo>.O, т. е. в результате излучения атом
переходит на более высокий энергетический уровень. Энергия излучаемого
кванта заимствуется из кинетической энергии излучающего атома. В этом
случае
v=--------------s—7=------------- (4>
/1 -И!I"*(’)-Я
или, пренебрегая квантовыми поправками,
$п (у) cos 0 — 1
(5)
Ограничимся, ради краткости, более простыми выражениями (3) и (5).
Если 1—fta(v)>0, т. е. v < (скорость источника меньше фазовой ско-
рости света в среде), то может осуществиться лишь первый случай, и следо-
вательно, при излучении фотона атом переходит на более низкий энергетиче-
ский уровень. В частности, невозбужденный атом в этом случае излучать не
может.
Если же 1 — $п (v) <0, т. е. v > (скорость источника больше фазо-
вой скорости света в среде, и можно говорить о сверхсветовом эффекте
Доплера), то возможны оба случая. Атом переходит на более низкий энерге-
тический уровень, если угол 0, под которым излучается фотон, удовлетво-
ряет условию cos 0 С —иными словами, излучение направлено вне
черепковского конуса: cos 0 = . Атом переходит на более высокий энер-
гетический уровень, если направление излучения лежит внутри этого конуса.
В частности, в этом направлении может излучать невозбужденный атом.
Наконец, под углом cos 0 = возможно излучение без квантовых перехо-
дов атома с одного энергетического уровня на другой.
344
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. III
1085. В случае а) существует.узкая окрестность угла 0О, определяемого
уравнением cos 0О = — , в которой частоты излучаемого света очень ве-
лики. В случае б) такого угла и такой окрестности не существует.
1086. COs&(v) = -£- [14-^ 1/\—_])]
n(v)vL 2Л4с2 г с2 v v 'J
Излучение возможно, если правая часть этой формулы не превосходит еди-
ницы (это условие практически совпадает с условием, получаемым из интер-
ференционных соображений, см. задачу 238).
1087. На частоте, для которой показатель преломления п (м) максимален.
1088. На частоте м = 0. (См. ответ к задаче 1086.)
1089. Когда радиус канала а X. При а^Х интенсивность излучения
резко падает.
1090. Атом ионизуется. Дело в том, что при п — const существует конеч-
ная вероятность излучения внутрь черенковского конуса с переходом атома
на более высокий энергетический уровень (см. задачи 1084 и 1089). Возможны
и обратные переходы. Однако при бесконечной длине канала атом в конце
концов перейдет в верхнее энергетическое состояние, т. е. ионизуется.
1091.
1092.
1093.
2й о h •
ДХ = — sin2 = — = 0,02426 А.
тс 2 тс
. n mcS . Ч>
'г’ = ^+Кс,8Т-
h'i sin2 .
2 hv
Е = 2Лм-------------------------= h') —
, . ? mc
me- -f- 2Лм sin2 y
Ш я
ДХтах = 2ХКОМ — = 2,64 Ю-5 А, где ХКОм — комптоновская длина
1095.
1094.
волны для электрона, Мит — массы протона и электрона.
ДХ = тттг — 0,66 • IO"5 А (М — масса ядра).
2Мс
Около 450 сек. 1097. г? «2 часа.
* ТЛ1
Дм =—м ^-д, где у — гравитационная постоянная, М— масса зве-
1096.
1098.
зды и /? — ее радиус.
ДХ = X1Д = 0,012 А.
/?с2
Дер = 2^^3, где — расстояние светового луча от центра Солнца,
общей теории относительности эффект должен быть вдвое больше.
1099.
1100.
Согласно . ,
Если луч проходит вблизи края Солнца (/? — радиус Солнца), то 2Д<р =
__4 7^1 — 1 н 75
- ’ Ac2 ’ °'
1101. = ₽ =
v3b
§18] КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ- 345
1102. Решение. Рассеяние света есть процесс поглощения или излуче-
ния фонона фотоном. На основании законов сохранения энергии и импульса
можно написать для такого процесса:
Ам' = Лм ± Амзв,
гаАм' n nh'i Av3B
—- cos 8 — —- ± —— cos а,
с с ц3в
пАм' . „ . Луз» .
----- sin 8 = ± —— sin а,
с----изв
где & — угол между направлениями движения падающего и рассеянного фо-
тонов; а. — угол между направлениями движения падающего фотона и соот-
ветствующего фонона. Знак плюс относится к поглощению, а знак минус —
к излучению фонона. Постоянная Планка выпадает из уравнений, что указы-
вает на возможность классической интерпретации явления. Исключение а и
v' приводит к квадратному уравнению относительно мзв:
/ 1
Х6' ЗВ
2!ks - 4”2^зв
с2 / Зв с2
sin2
&
2"
4га 2ч2
&
sin2 у =0.
Пренебрегая вторым слагаемым по сравнению с последним, а также прене-
брегая по сравнению с , получим:
с v зв
л 2гач . &
V3b = ~ «зв sm у »
что совпадает с ответом к задаче 619.
поз. х == — = 1/ ю-8 см, где V—энергия в вольтах, Xt = 12,2 А,
tnv у V
Х8 = 0,122А, Х8 = 0,039 А.
1104. Х=1/ — 1 , где V—в вольтах, А — в ангстре-
V у /1 4- 9,78 • 10- 7 V
мах; Хх = 0,037 А, Х2 = 12,35 • Ю“7 А, Х8 = 12,35 • Ю"18 А.
1105. Для Н получим: Х1 = 0,284 А, Х2 = 2,84 • Ю-4 А, Х8 == 1,51 А; для Hg
получим: Х1=0,02А; Х2 = 2-10-бА, Х3 = 0,107 А.
1106. р = — = । У? (Е и V — соответственно энер-
гия электрона в вакууме и разность потенциалов, пройденная им).
1108. 2d р^р2 — cos2 & = «Х0, где Хо—длина волны в вакууме, р — пока-
затель преломления, &—угол скольжения.
150
1109. V9 = -^ma—V sin2 & =15 в, где V—в вольтах, а —в ангстремах,
т — порядок отражения.
1110. в( COS а — COS а0) = h
1/1-
fl(COS Р — COS Ро) = k
V c°s2 7<>+^}=z
346
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. III
где И— в вольтах, а — в ангстремах, и 7 — углы между нормалями к па-
дающей и дифрагированной волн (в вакууме) и нормалью к поверхности
кристалла.
,v । const , 1 , .
1111. да = — -------• hi — mvs 4- const.
2 ' v ’ 2
Решение. По формуле Рэлея групповая скорость u = w— ^°”
, h h
лагая здесь Л = — = — , u — v и рассматривая движение с нерелятивистскими
скоростями (т/l — const), получим:
, dw d . .
V — w -4- V -J- = -7- (wv\
' dv dvK '
откуда
v8 4 v , const
wv — 4- const; w = — J---------.
2 ' 2 ' v
Далее
V . const 772V2 .
7;—-------—5- -J- const
___w___2 ' v _______ 2 1
V X h h
mv
Во всех явлениях произвольные постоянные, входящие в выражения для
v и w, не играют роли. Их можно положить равными нулю.
Разумеется, решение можно распространить и на движения с релятиви-
стскими* скоростями (когда т зависит от v). Тогда, если отбросить не играю-
щие роли интеграционные постоянные, формулы примут вид:
1112. Совместим ось Y с оптической осью микроскопа, а ось X направим
перпендикулярно к ней. Импульс электрона меняется из-за эффекта Комп-
тона:
* hi . . hi
Лрх = — sm а, &ру = — cos а,
где а — апертура; приведенные значения представляют собой верхние гра-
ницы для Ард. и кру.
1113. Дх > -Д—, крЛх > й.
sin а ’
h X
1114. Дх порядка d, крх порядка -у- sin а, где sin а ==» -г. Отсюда Д/^Дх
А а
порядка й.
1115. Ди1!1ар 6,62 • 10“8в см • сех-1, Дг/эл = 7,3 • 102 см • сек~1.
1116. Дх^« 10~s см, Дг/>7/ 108 см • сек~1.
1117. i =а-1/ —2,6 • 10“ сек~', E = hi^ 1,7 • 10-“ эрг 10,8 эв.
2л У т г ,
Здесь е и т — заряд и масса электрона, п ?=» 8,4- 1022 — число атомов
в 1 см* меди.
§ 19]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
347
§19. Экспериментальные методы ядерной физики
и физика ядра
1118. /и = р. g^R=sO,2 г. 1119. Т2 = ЛАГ1-7 268° К, /2 = —5°С.
л\1
1120. Решение. По определению 3 = — , где р! = —1 ра = —1,
р2 VI vs
Здесь /и, — масса пара, насыщающего сжатый объем камеры при темпе-
ратуре Tt, а та — масса пара, насыщающего расширенный объем камеры
при температуре Ts. Таким образом, 3 = —По уравнению Клапейрона
tna V1
для пара до и после расширения камеры
р1У1 = ^-/?Г1, р2^ = —№.
р. р,
Второе из этих уравнений относится к случаю, когда избыток паров скон-
денсировался, причем мы пренебрегли незначительным повышением темпе-
ратуры за счет конденсации. Из этих уравнений, используя уравнение ади-
абаты TiVil-1 = 7^ IV-1, найдем:
р2 \И2/ ра
1121. Для воды 1) 2,9, 2) 3,0; для спирта 1) 1,7, 2) 2,7.
1122. 3 = 6,8.
1123. 7?кр=—22-----^4- 10-7 см. Мы пренебрегали зависимостью
Рп Рж
давления насыщенного пара от кривизны поверхности. Легко убедиться, что
это допустимо.
1124. Решение. Энергия 8-электрона Е должна быть не меньше энер-
гии образования пузырька с радиусом Л?кр (см. предыдущую задачу). По-
следняя энергия складывается из поверхностной энергии пузырька и теплоты
испарения жидкости в пузырек. Поэтому
4л
Е 4ла /?|р -j- у /?|р nq « 196 ЭВ,
поскольку число молей в единице объема пара при давлении рп и критиче-
ский радиус равны соответственно п — 4Х=5,4- 10-4, Ркп =-------------— =
RT кр рп—рж
= 9 • 10-7 см.
1125. 10~7.
1127. у-кванты двигались снизу вверх. На снимке отчетливо видны две
пары (электрон и позитрон), созданные у-квантами.
1128. Одиночный «жирный» след на одной из фотографий принадлежит
ядру аНе8, образованному в результате реакции
2Не4-*2Не3 + 0п1.
На другой фотографии зарегистрирована реакция
Т + зНе4 -* ip1 ХТ8,
где более «жирный» след соответствует тритону, а тонкий след — протону.
348
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. Ш
1129. Центральный след принадлежит мезону. Действительно, этот след
не может быть следом электрона, так как энергия частицы, создающей след,
больше, чем энергия электронов, а толщина трэка шире. Но центральный
след не может быть и следом протона, так как на фотографии видно, что
трэк слегка изгибается в магнитном поле камеры, и следовательно, его энер-
гия не может быть очень большой. При небольших энергиях трэк протона
был бы значительно толще.
ИЗО. Около 76 000 фотографий.
1131. Число расщеплений л = ляЛф7, где ля —число ядер углерода в про-
пане, облучаемых потоком фотонов из «ф эффективных квантов. Это дает:
а = —-— = 4,4 • 10~28 еле2.
«я«ф
1132. Е «а 600 Мэв.
-1 / /еНо\2
1133. Еполн = Мс2 у =1120 Мэе. Ект = Еполн - Мс2 =
= 178 Мэв, где М — масса протона, е—его заряд, с — скорость света, р =
а2
~ — радиус кривизны следа.
оЛ
1134. Масса мезона в единицах массы электрона (/ие) равна 200. В осталь-
ных случаях: 1) 230 те, 2) 210 те, 3) 230 те, 4) 184 те.
1135. 1) 204 те, 2) 350 те, 3) 184/ле, 4) 220me.
1136. 1) 161 те, 2) 250 те, 3) 226 те.
1137. а) С уменьшением скорости частицы возрастают ее ионизационные
потери. Следовательно, число зерен на единицу длины следа увеличивается
в направлении движения частицы.
б) При равных скоростях удельные потери для протонов, дейтонов и а-
частиц относятся, как 1:1:4, а при равных энергиях, как 1:2:16.
в) j=ss 1 : 1,5 : 4. Плотности зерен различаются существенно меньше, что
весьма затрудняет разделение одинаково заряженных частиц на равных про-
бегах.
1138. Решение, а) Равенство плотности зерен указывает на равенство
скоростей частиц (см. задачу 1137). Из приведенной формулы следует, что
остаточные пробеги однозарядных частиц при равных скоростях относятся,
как массы этих частиц, т. е. RD : Rd : Rt = 1 : 2: 3. Очевидно, =
= 1:2:3.
б) Если частицы, обозначаемые индексами «а» и «£»», имеют одинаковые
скорости, то из формулы, приведенной в тексте задачи, следует
Rb(E)
'ZA* Р
7ь) \Mara \Mb
Е
Это соотношение точное для частиц с равными зарядами. (В случае частиц
с разными зарядами оно останется точным, если вместо Za и Zb подставить
некоторые эффективные заряды.) Пользуясь им и зная Ra=f(E) для ча-
стицы с массой Ма, легко построить зависимость Rb=f(E) для частицы
с массой Мь- Результаты для тритонов приведены в табл. IV.
в) Следует определить число зерен N на таком же участке т отрезка
следа, укладывающегося в эмульсии; из зависимости N = f(R) определить
пробег, а из зависимости E = f(R)— энергию протона, которому соответст-
вует такая же плотность зерен. Энергии дейтона и тритона при одинаковой
плотности зерен (равной скорости) будут соответственно в 2 и 3 раза больше
энергии протона.
§ 19]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
349
1139. Измерив число зерен /V на последовательных участках (т) следа,
построить зависимость А^ = /(7?) для каждой частицы. Равному числу зерен
равной скорости будут соответствовать различные остаточные пробеги ча-
стиц 7?г-.
Определить средний угол многократного рассеяния для i-ro следа на
расстоянии fy от конца следа. Так как в этих точках скорости частиц равны,
то отношение углов рассеяния равно обратному отношению масс.
1140. Медленные к_-мезоны в поле ядра захватываются на воровскую
орбиту и, взаимодействуя с ядром, поглощаются им. При этом происходит
расщепление ядра. В фотографических эмульсиях след мезона оканчивается
в большинстве случаев звездой (см. фотографии VIII, X, XI). Следует, од-
нако, иметь в виду, что в эмульсиях приблизительно в 30% случаев погло-
щение л'-мезонов приводит к испусканию только нейтральных частиц.
Медленный к+-мезон распадается на р.+-мезон с энергией 4,1 Мэв и нейт-
рино. р.+-мезон в свою очередь распадается на электрон и два нейтрино.
Таким образом, в фотографических электронно-чувствительных эмульсиях
в конце пробега л+-мезона наблюдается след р.+-мезона определенной длины
(«и 600 и), а в конце следа р.+-мезона — след электрона (см. фотографию VI)
1141. На фотографии VII показаны две звезды, соответствующие
реакции:
С12 + 7_НеЦ-НеЦ-Не1
Никакое другое из легких ядер эмульсии не может дать расщепление на
три одинаковых частицы.
а) Энергию частицы 3 можно определить из закона сохранения импульса:
Р8 = Pj + Ра. Если Е1 = Еа, то отсюда Еа = 2 Er (1 + cos а). Из табл. IV
находим, что пробегу р=15,3 микрона соответствует энергия а-частицы,
равная 4 Мэв. Это дает Ег «=« 10 Мэв. Энергия у-кванта: E-f = Ei + Еа + Еа-\-
4-Е^в. Энергия связи Е? равна разности масс начального и конечного со-
стояний и в нашем случае составляет as 7,3 Мэв. Следовательно, Е7₽«25,3 Мэв.
б) Если реакция идет в две стадии, то испускание а-частицы приводит к
образованию ядра бериллия. Это ядро нестабильно в основном состоянии и
распадается на две а-частицы. Хорошо известно также возбужденное состо-
яние Be8 с энергией возбуждения а» 2,9 Мэв. Если в результате расчета мы
получим эту энергию возбуждения, то тем самым будет доказано наше пред-
ставление о процессе распада: С12 (у, За). Общее выражение для энергии возбуж-
дения ядра, распадающегося на две частицы 1 и 2:
= Е, + Е, - Е, —+ Е",
<7*1 “г" "*2
где mt, т2, т2 — массы частиц, а Е" — энергия связи рассматриваемого про-
межуточного ядра, равная разности масс этого ядра и частиц распада. [Оно по-
лучается из следующих соотношений:
Е*+2) = Л1+2) 4" Есв, Г(1+21 = Е? Е^,
Еу 4* £св = Е8 Г(1+2) Е“1+21, Ет — Есв = Ei -|- Е2 -|- Е3,
где Ei и Е2 — энергии частиц 1 и 2 в системе центра масс промежуточного
ядра, Е(к1+а1 — кинетическая энергия промежуточного ядра. Учитывая Р3 = />(1+2),
/и3
т. е. Е(1+2, =Eg ——т—. легко получить указанное соотношение.] Для Be8
—i"" Z/lg J
Есв = — 0,1 Мэв, и следовательно, Еве8^2,9 Мэв. Таким образом, процесс
расщепления: С,2(у, За) действительно идет с образованием промежуточного
ядра Be8 в возбужденном состоянии с энергией а» 2,9 Мэв,
350 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. III
1142. а) След 1 принадлежит я_-мезону (см. задачу 1140). Так как происхо-
дит фоторасщепление дейтерия, то суммарный заряд двух других частиц дол-
жен быть равен -f- 2е, а их суммарная масса — двум атомным единицам масед.
При указанных в задаче энергиях у-квантов можно ожидать лишь реакцйю
типа:
Н2 -И — Н1 + Н1 + it~.
б) Пусть ядро массы mt, на котором произошло рассеяние, вначале по-
коилось. Пусть Et— энергия этого ядра, a Es— энергия частицы с массой т*
после рассеяния. Из закона сохранения импульса следует:
2 У msmsEtEz
где & — угол между направлениями движения рассеянных частиц. & = 90° при
т2 — mz. Этому условию удовлетворяет рассеяние протонов на. водороде и
рассеяние дейтонов на дейтерии, которым были наполнены эмульсии. Пос-
леднее, однако, исключается, поскольку дейтоны в рассматриваемой реакции
не испускаются. В случае рассеяния протонов на дейтерии при Еь = 2Е2 & — 120°.
1143. a) Lif — е~ + м + Bef* ; Bef* — Неj + Hef.
Произошел распад ядра Lig на электрон и нейтрино. При этом образовалось
ядро Be8 * * в возбужденном состоянии, которое распалось на две а-частицы.
«Молоточковый след> мог быть вызван также процессом:
В| — е+ \ Ве| *; Bej * —* Hef + Hef.
б) Так как распад Lig произошел в конце пробега, то максимальную
кинетическую энергию электрона можно вычислить из разности масс началь-
ного и конечного состояний, учтя потерю энергии на возбуждение Be8;
Д/и = (/wLi -|- Зте) — [(/пВе + 4 те) + те] + те «з 16 Мэв,
где /«Li11 тВе — массы ядер. В таблицах приводятся обычно массы атомов.
Последний член уравнивает число орбитальных электронов в начальном и
конечном состояниях. Так как две а-частицы разлетаются в противоположные
стороны, то кинетическую энергию Be8 можно считать равной нулю, и энер-
гия возбуждения Be8 равна Е|е = £а1 + Еа% + Е'с* «а 2,9 Мэв. Тогда (Ее-)шах «а
«= 13,1 Мэв. Распад Li8 в 90% случаев идет на уровень Be8 2,9 Мэв.
1144. Звезда на фотографии X вызвана реакцией
Bef + it~ — Lig -j- nJ.
Энергия покоя л~-мезона 139,6 Мэв. Энергия связи, определенная по разности
масс, 18,2 Мэв. Энергия Ео, распределяющаяся между продуктами реакции, со-
ставляет 121,4 Мэв. Законы сохранения импульса и энергии:
= Е0 = Еи + Епг.
Еп1 mLi Li । п
В нерелятивистском приближении: энергия нейтрона 108 Мэв, энергия лития
13,4 Мэв.
1145. а) В нейтронной физике медленными нейтронами считаются нейт-
роны тепловых скоростей. Поэтому энергией и импульсом нейтрона в рас-
сматриваемых реакциях можно пренебречь. Указанные в задаче звезды бу-
дут состоять из двух противоположно направленных следов частиц. Энергии
частиц можно определить из законов сохранения. Энергия, распределяющаяся
между частицами, будет равна разности масс начального и конечного со-
§ 19]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
351
стояний. В случае второй реакции часть этой энергии идет на возбужде-
ние Li7.
Первая реакция: Eq = Дт = 4,65 Мэв, Ел = 1,98 Мэв, Енз =2,66 Мэв,
Яа + ^нз^42 микрона.
Вторая реакция: Е0 = Д/л = 2,87 Мэв, Ел = 1,51 Мэв, ELi =
= 0,86 Л4эв.
б) Быстрые нейтроны рассеиваются в эмульсии на водороде. Из закона
сохранения импульса (см. уравнения в ответе к задаче 1142) легко получить
„ Е„
Еп ~ cos2 3 ’ ГДе ° — уГ0Л междУ направлениями движения протона и нейт-
рона. Чтобы определить энергию нейтрона, надо измерить
протона.
пробег
угол 3 и
1146. К-мезон распадается на два п+-мезона и один п~-мезон. Заряд
К-мезона положительный. Выражая массы в энергетических единицах, можно
написать
/лк = Зтп + + ЕЯз + ЕЯз = 490,3 ± 3,2 Мэв.
Ошибка в определении масс п-мезонов не учитывалась. В атомных единицах
массы тк = (960 ± 6,3) те. (По последним данным масса К+-мезона 493,98 ±
± 0,14 Мэв.)
1147. 4,2-10~14 а.
1148. Решение. Изменение потенциала собирающего электрода: ДИ=
= yt; заряд, собранный на нем: Q = ДИ-С = 2 • 10~12 к. Число пар ионов,
созданных в камере космическими частицами: Д7= = 1,25 • 1Q7. Средний
2 те
путь космических частиц в камере равен , где d—диаметр камеры. Та-
ким образом, одна частица в среднем создает 306 пар ионов. Следовательно,
1 25
через камеру прошло —••10’ = 4,Ы0* частиц.
uUv
It
2
J cos & sin & rfft
1149. <1,ф=^£=-; = -------------
COS ft J
C sin ft afft
o
1; =
1150. 6,1-IO7 пар ионов в секунду.
1151.
Решение. Из уравнения для - получаем 0,35г=1п(1 -|-0,36г).
7нас
Решая это уравнение графически, находим г = 0,18 рентген. Максимальная
интенсивность, измеряемая камерой при указанных условиях, около 3,1 рентген.
1152. За 4,2 часа. 1153. 2°,7. 1154. 0,8- 107.
р Р
1155. — = = 70 эв. 1156. 5,6 • 104 фотонов.
С
352
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[гл. ГП
1157. Решение. Так как эффективность регистрации заряженных ча-
стиц равна 100%, то сцинтилляционный счетчик должен регистрировать
каждый 7-квант, поглощенный или рассеянный (неупруго) в счетчике. На этом
основании для искомой эффективности счетчика нетрудно получить /=1 —
— e^d, где [л — коэффициент поглощения 7-квантов в кристалле, a d — его
толщина.
N
1158. = —«я 187-квантов в секунду. Здесь N— число световых им-
пульсов в секунду. Выражение для f дается в ответе к предыдущей задаче.
1159. V = ^^«=16 в. 1160. 40 в. 1161. Около 140 кэв.
G
/
1162. 0,16 • 10-9 а. 1163. 1/=Ра1п — / In —-£- = 410 в.
га / га
1164. Р ешение. а) Амплитуда импульса напряжения в пропорцио-
.. QA Q
нальном счетчике V= г~, Зная энергию а-частицы и среднюю энергию
образования пары ионов, можно найти среднее число пар ионов, образуемых
а-частицей на полном пробеге, а затем на 1 см пути а-частицы. Последнее
число равно 7,3 • 104. Зная средний путь, проходимый а-частицей в счетчике,
легко найти, что среднее число пар ионов, созданных а-частицей при про-
хождении через счетчик, равно 1,1 • 10s. Ему соответствует амплитуда им-
пульса напряжения 1,63 в.
б) 1,7 - 10 3 в.
1165. Решение. Если число частиц, зарегистрированных счетчиком,
равно п, а разрешающее время счетчика т, то в течение времени nt счетчик
не сможет зарегистрировать ни одной из попавших в него частиц. Число
частиц, прошедших в течение этого времени через счетчик, равно Nnt.
Следовательно, полное число частиц, прошедших через счетчик в единицу
времени, равно N=n-\-Nnt, т. е. сумме зарегистрированных и не зареги-
стрированных частиц. Отсюда для разрешающего времени счетчика полу-
N— п
чаем т =—ту—.
Nn
1166. т== —[1 — 1/" 1 _.^(Л1 + п3-М I = 2 з . ю-4 сек
nls L V J
1167. N = 1250 импульс • сек1.
1168. Решение. Так как разрешающее время фотоумножителя меньше
разрешающего времени кристалла, то фотоумножитель зарегистрирует все
частицы, зарегистрированные кристаллом. Следовательно, число зарегистри-
рованных частиц будет определяться только временем высвечивания стиль-
N
бена: п = . , = 3,7 • 107 импульс >сек~1.
1 + Nt
1169. Р
N
1 + Ntt *
ешение. Число частиц, зарегистрированных счетчиком: nt =
Число импульсов счетчика, зарегистрированных регистрирую-
щим устройством:
п = , :—г = 2,1 • 10г импульс-сек
1Н-П1Т8 1 + N Сч 4- т8)
1170. Число случайных совпадений равно <>> — 2™^. Множитель 2 появ-
ляется потому, что разряд во втором счетчике может либо предшествовать,
либо следовать за разрядом в первом счетчике с интервалом т сек.
§ 19]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
353
1171. Число совпадений <о = 2т:л2, откуда п = 106 частиц.
1172. Прохождения через счетчик космических частиц, составляющих
«фон», можно рассматривать как случайные события. Известно, что если
вероятность события пропорциональна времени, в течение которого это со-
бытие наблюдается, то среднее отклонение D — V (п — л)2 = У~п, где л —
наблюдаемое число событий, ал — истинное среднее значение числа собы-
тий. Если наблюдаются два независимых события, то £)12 == УЬ>+Ь>.
VdI+d22
Относительная ошибка равна ----------. В нашем случае Dx = n,
а Ь1 = 8л. Следовательно, относительная ошибка равна -7=. Отсюда на-
V п
ходим, что л должно быть не меньше 900.
1173. 5 4- мин.
4
1174. Время измерения в первом случае (без употребления схемы совпа«
дений) равно 67 мин., а во втором случае —10 сек.
1175. v = = 2,47 • 1020 сек~\ г = 1,02 Мэв.
h
1176. a) •fi'max'C-S — 2лгс2 ss 149 Мэв.
б) £тах -С £ — тс2 ~ 79,5 Мэв.
Для позитрона v = 2,82 • 1010 см • сек~х.
В случае а-частиц и протонов Е<^тс2, и можно пользоваться приближенной
формулой V— у Для протона 1,4• 109 см-сек~х. Для а-частицы
v « 7 • 108 см • сек~ ’.
1178. V у = 2,7-107 сМ'Свк~х. Здесь т— масса а-частицы, v —
ее скорость, а М — масса ядра RaB.
1179. 109 эрг-час~х. (См. указания на стр. 361).
1180. Q = N Г~~ ^1 -f- = 24,5 кал час1. Здесь N— число распадов
в час, т и М — массы а-частицы и ядра отдачи.
„ ,v, dW гФ(Я)со ecH(R)
1181. Если W — энергия электрона, то = —-—» где “ ~ —£--------
циклотронная частота для электрона, а Е — полная энергия. Радиус орбиты
tncv Е$ п п
электрона в магнитном поле равен R = — --jy^у. Дифференцируем R:
dR R dE ( И дН - \
dt ~~ Е$2 dt Н + dR
„ R дН dE dW
Вводя обозначение п =--гт -Гп и помня, что —тг = —тг > после несложных
п OR at at
354
АТОМНАЯ ФИЗЦКА И ФИЗИКА ЯДРА
[ГЛ. III
преобразований найдем:
(1 —п) dR_ / ф(/?) _ Л
R dt Н\ 2kR2H ) *
Здесь точкой обозначена частная производная по времени.
1182. Рассмотрение устойчивости движения можно свести к статической
задаче, переходя к вращающейся системе координат. Во вращающейся си-
стеме на частицу действуют центробежная сила и сила Лоренца
R
еН (R) v
----------. Результирующая сила
f (/?) = mv2 _ еН v
R с
Движение по окружности постоянного радиуса Ro в
ствует положению равновесия
нашей системе соответ-
1 л , df
чем Указанное выше требование к f может быть перенесено на
так как /(/?0) = 0, и следовательно, в
с---=°-
Для того чтобы это положение равновесия было устойчивым, сила f (R) должна
быть восстанавливающей. Это значит, что при R > Ro, сила f должна быть
меньше нуля, т. е. направлена в сторону меньших радиусов.. Наоборот, при
R < Rq сила f должна быть больше нуля, т. е. направлена в сторону больших
радиусов. Легко видеть, что это осуществляется, если Н (R) убывает не быстрее,
df
dR ’
окрестности Ro функция f (R) =
— (%— ^)- Отсюда легко най-
дем, что для устойчивости необ-
ходимо, чтобы
R дН
Н dR<
Рис. 132.
1183. Магнитное поле, умень-
шающееся к периферии магни-
та, имеет «бочкообразный» вид
(рис. 132). Стрелкой показано на-
правление действия силы Лоренца
на ионы, находящиеся вне цент-
ральной плоскости.
Рассматривая действие на заря-
женную частицу компоненты поля,
направленной вдоль радиуса, легко
доказать устойчивость движения.
Наоборот, если поле растет к
периферии, то магнитные силовые
линии втягиваются внутрь магнита,
и движение будет неустойчивым.
Аналитическое доказательство следующее. Сила, действующая в напра-
влении оси Z (ось Z совпадает с осью симметрии поля),
е „ ч е дНг
ft = 7Hr(z,
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 355
так как в силу симметрии 7/г(0, г) —0. Из условия rot/7 = 0 получим
. Отсюда
дг дг
f е дН2
Jz с дг
Z.
Для того чтобы сила fz была восстанавливающей (см. задачу 1182), про-
д7/2 ~
изводная должна быть меньше нуля.
Ф 4
1184. | S<p | — • Легко доказать, что при выполнении бетатронного
д2^ R дН
условия (см. задачу 1181) ^^ = 0 и -^2 > 0, если —77
Расположим витки на разных орбитах в бетатроне и измерим э. д. с.
индукции. Построим график, на котором по оси ординат отложим э. д. с. ин-
дукции, деленную на 2izR, а по оси абсцисс отложим радиус R, на кото-
ром находился виток. Полученные точки соединим плавной кривой. Ее мини-
мум будет соответствовать положению равновесной орбиты.
1185. За один оборот электрон теряет 12 эв на излучение. При указан-
ных условиях потери на излучение за один оборот электрона и приобретае-
мая энергия сравняются при 292 Мэв. Собственная энергия электрона равна
0,51 Мэв.
1186. Для того чтобы расстройка была наименьшая, очевидно, частота
обращения и частота электрического поля должны совпадать, когда протон
достигнет половины конечной энергии. В этом случае в центре магнита
частота обращения будет больше частоты электрического поля. Когда про-
тон достигнет половины максимальной энергии, частоты сравняются. При
достижении конечной энергии частота обращения будет меньше частоты
электрического поля как раз на ту величину, на которую она была больше
в центре магнита. В нашем случае максимальная энергия равна 44,5 Мэв.
Е2 v2 Е2 — El
Действительно, R2 — = —777,— , где Е — Ео -f- W — полная
с1 елН2
энергия протона, а £0 = 939,1 Мэв — собственная энергия протона. Отсюда
W = /fj+e2/?2//2 — £0.
Циклическая частота Лармора <о —------— 1,404 • 108 рад/сек.
F I
^0+ 2
1187. Пусть дейтон приобретает энергию за один оборот, равную а.
„ dE аы
Тогда скорость роста энергии , где <о — циклическая частота
есН
обращения дейтона. Известное выражение для частоты <о = перепишем
следующим образом: / < \
/ , (*аш I
<о I Eq —|— / dt I = есН,
\ 6 /
где Ео = 18,76 • 108 эв — энергия покоя дейтона. Дифференцируя это соотно-
шение по t и считая Н = const, получим дифференциальное уравнение для
нахождения <о (/)
- -I--------= 0.
3 1 2т.есН
СО'
356
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
(ГЛ. III
В результате получим:
где
мнач
V At +1 *
ш(0
. ^“нач
2-7сЯ *
В нашем примере <онач = 0,719 • 108 сек~х\ Л =92 сек~х. Полное изменение
частоты = 10,65%.
юнач
1188. /? = —]/ l--22rj2° 2r, .
<o0 » е2(?Нц sin2 2/
1189. 1) Изменение радиуса равно 0,6 см.
2) Через 83 мксек после того, как магнитное поле перешло через нуль.
3) При вычислении длины траектории в бетатронном режиме можно
считать, что магнитное поле изменяется линейно со временем, так как бета-
тронный режим длится 83 мксек. За это время фаза магнитного поля изме-
нится несколько больше чем на 1°,5. Энергия, приобретаемая частицей за
один оборот, равна 136 эв. Следовательно, в течение бетатронного режима
электрон совершил 1,46 • 10’ оборотов и прошел путь, равный 27 км. В син-
хротронном режиме можно считать с очень большой степенью точности,
что v ~ с. Отсюда находим, что путь, пройденный электроном в синхротрон-
ном режиме, равен около 5000 км.
1190. Так как T^>t, то в каждом цикле счетчик не может зарегистри-
ровать больше одного импульса.
Пусть t = 2т; тогда число случайных совпадений
При t > 2т число случайных совпадений уменьшится в
2т
отношении -у-
при t < 2т Wc не меняется, пока т
Таким образом,
сильно
совпадении
грузки счетчиков.
2
Г
загрузке
при импульсной
возрастает по сравнению
счетчиков
с режимом
число случайных
непрерывной за-
2?^^
“ ft
1
1191. со0(0 = ==-,
_ с
“к — —-----частота обраще-
но
где L = ——
eR0H
ния в предельном случае, когда скорость частицы v ~ с (с — скорость света,
Ео — энергия покоя частицы; для протона Ео = 938 Мэв, для электрона Ео =
= 0,511 Мэв).
1192. Поскольку ускорение происходит на орбите постоянного радиуса,
скорость нарастания энергии должна быть такая же, как и в бетатроне. Исполь-
зуя это замечание, найдем, что на одном обороте протон приобретает 191 эв.
Максимальная энергия « 1,3 • 109 эв. Длина пути протона равна ж 1900 км.
1193. Частота <ок при наличии прямолинейных промежутков рав-
2тсс
на -Ц-. где П — периметр орбиты (см. задачу 1191). В нашем случае
§ 19]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
357
О 28
«к = 2п • 1,44 X 106 сек-1, a L = —^—, где t — время в секундах, отсчиты-
ваемое от момента обращения магнитного поля в нуль, а) Магнитное поле
в начале процесса ускорения Н= 155 эрстед, б) Ошибка в частоте Д<о
при fi2<X^l смещает орбиту на величину
. D D Ди П — 2nR
ДЯ = — R------рг, где Г = 1------------.
nu>0F лП
Это выражение получается дифференцированием закона связи ш0 и Н (з*а-
дача 1191) в предположении, что Л^>1; л — показатель магнитного поля,
равный 2/3. В нашем случае |ДЯ| = Н см.
1194. Около 20 Мэв сек-1.
1195. Для того чтобы частица попала в ускоряющее поле при одном
и том же значении разности потенциалов необходимо, чтобы расстояние
между срединами соседних щелей 1п росло пропорционально скорости ча-
стицы:
_ vnT __ ^п ___ / -I_( Ео \2
~ 2 “ 2 ~ 2 V \ Е ) ’
электрического поля. Действительно, в этом случае
7
пролет между двумя щелями, будет равно . Пусть
eVQ; тогда
In
где X — длина волны
время, затраченное на
за каждое прохождение частица приобретает энергию eVD
„ , к
длина л-и трубки
L — — X
Ln ~ 8
1. Поэтому
F "12
_______
^наЧ+^РЛ
В нашем примере можно считать —------—
3 , /'W , / eV~ r____________________
l+j^" =5,2/1+0,25n.
Таким образом, длина трубок меняется от 5,2 см до 16,4 см.
1196. Длина трубок при той же частоте ускоряющего поля должна быть
в два раза больше.
1197. Обозначим расстояние от входного отверстия ускорителя через г,
а напряженность электрического поля волны через $г. Из уравнения дви-
жения
d
dt
moz
— e$>z
находим:
тйг
e&z* А
г с2
где Д,—постоянная интегрирования. Разрешая это уравнение относительно
zt получим: Л|) с
)С“"Ь А)2
z =
358
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[ГЛ. III
у El + c\e%zt+Atf
Интегрируя еще раз, найдем г =-------«----------h^2> где Е0 — тйс2.
£©Z
Отсюда легко найти зависимость фазовой скорости волны v и энергии
частицы W от z\
V(^ + e0+r„aq)2-gg
e&zz ~Ь £0 ~Ь нач
1Г=Гнач + <^-
В ускорителе для протонов v меняется в 9,5 раза, а для электронов — всего
на 0,6%.
1198. Согласно указанной теореме электростатики в системах, в которых
действуют только электростатические силы, не может быть устойчивого по-
ложения равновесия. Поскольку в линейных ускорителях фазовая скорость
волны v < с, мы можем рассмотреть движение в системе координат, движу-
щейся в данный момент со скоростью v, и свести таким образом задачу
к электростатике. Как доказывается в упомянутой теореме, положения равно-
весия могут иметь вид «седловых точек», т. е. если в каком-либо направле-
нии имеется устойчивость, то в перпендикулярных направлениях устойчивость
отсутствует. Для линейного ускорителя это означает, что если имеется
устойчивость в направлении распространения волны («фазировка»), т. е. ча-
стица может ускоряться, не отставая и не опережая волну, то обязательно
отсутствует устойчивость в перпендикулярном направлении, и пучок откло-
нится к стенке трубы волновода. И наоборот, если мы обеспечим «фокуси-
ровку», то будет отсутствовать «фазировка». Преодолеть эту трудность
можно хотя бы с помощью дополнительного постоянного магнитного поля
либо с помощью сеток в отверстиях диафрагм, на которых появляются
электрические заряды. В этом случае теорема электростатики неприменима,
так как в движущейся системе координат появляется либо фокусирующее
магнитное поле, либо движущиеся заряды.
1199. Решая теми же методами, что и в задаче 1197, получим, что ча-
стица отстанет от волны на
. У 1^ + 2£0Жг _(И7Н„(W k
Аг =------------ё-------------,
где рНач = ~^’ В нашем случае ( ^нач \ ^>1, поэтому
Лг~ = см‘
1200. Как видно из ответа к задаче 1183, уравнение колебаний частицы
в вертикальном направлении (т. е. в направлении, перпендикулярном поверх- ,
ностям магнитных полюсов) может быть записано в виде •*
•* & of~i/1 \
mz---^z~0. (1)
с dz
Так как в первой половине секторов Нг изменяется как Rn, то (1) перехо-
дит в
z — = 0. (2)
Для второй половины секторов:
z -ф- a2nz = 0, (3)
где <о — частота обращения по орбите радиуса Ro. Колебания частиц в ра-
диальном направлении (т. е. в средней плоскости между полюсами магнита)
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 359
описываются такими же уравнениями (2) и (3) (и^>1), если только поменять
местами соседние секторы. Уравнения (2), (3) решаются методом сшивания.
Удобно ввести азимут частиц 0 = a>t вместо времени t. Азимут отсчитывают
в каждом секторе от нуля. Сначала сшиваются решения для двух соседних
секторов. Каждая пара секторов составляет полный период изменения усло-
вий движения. Пользуясь этим, сошьем решения для соседних пар секторов.
В результате получим:
г, — A sin У «0-1- В cos У п 6, ]
- 1 (4)
>2 = (АС — BS) sh У п 0 -j- (АЗ -(- ВС) ch У п 0, J
где
С = cos S = sin (5)
Вводя для каждой пары секторов номер т, пробегающий все целые значения,
получим разностные уравнения для постоянных Ат и Вт в т-м. и (/«-]“ Ь-м
секторах:
Ат ["ЗСг С32] Вт [СС2 SS2] = BOT+1, 1
AWi [3S2 СС2] Вт [CS2 ЗС2] — Ат+Х, J
где
С2 = ch У п -44 , S2 = sh Уп .
r N 2 N
Решение уравнений (6) имеем в виде
Am = De^m, Bm = fDe^m. (7)
Подставляя (7) в (6), легко получить:
cos р = СС2
или, разлагая cos р в ряд по степеням У
1 п2 ( гс \4
COS|x=l-.F^) .
Чтобы решение было устойчивым, необходимо | cos р | < 1. В центре области
устойчивости cos р. = 0, f. е.
п2 = 6 (— 'j .
\ ГС /
Помимо главной области устойчивости, центр которой найден, имеется
бесконечный ряд областей устойчивости в районе значений л, для которых
._____%
cos У njy обращается в нуль. Однако практическое значение имеет лишь
главная область устойчивости.
1201. а) Найдем направление среднего излучения, т. е. потребуем, чтобы
§ п dQ — 4гс [и (90°)] р = 4гсл (%); таким образом, следует взять
cos290 = y.
б) Полный выход на один первичный дейтон:
х(Е) Е
N'= 2М f* a(x)dx = 2M f д(£)
360 АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА [ГЛ. П1
Дифференцируя по Е, получаем:
dN' _ 2Мз
dE ~ I dE I ’
I dx I
учитывая, что N' ~ 1,6 • 10-13N, имеем:
46
т _ 1 6 10-13 1 dE <W 1.9- 10~й - УЁ _
2М dx dE Е
1202. Энергия протона отдачи равна 5 cos2 & = 5! (ft — угол между на-
правлением полета нейтрона и протона отдачи).
Дифференциальное сечение возникновения протона отдачи в системе
центра инерции пропорционально телесному углу d cos ft0, где ft0 — угол
в системе центра инерции. Но ft0 = 2ft, поэтому d cos ft0 = 2d cos2 ft.
Следовательно, сечение пропорционально dEx. Таким образом, сечение, соот-
Е__________________________________________________________________£
ветствующее возникновению протона с энергией Е\ > Ео, равно я (Е) ———2,
т. е. пропорционально Е '«(1----£ I. Этой же величине пропорциональна
\ Ь )
чувствительность детектора,
иду _
1203. Вероятность деления каждого ядра урана соу=^^2= 1,47• 10’ 20 сек Ч
а вероятность а-распада <оа = = 5 • 10~18 сек~\ Отношение числа им-
пульсов —- = 340, а отношение выделяемых энергии------=-- = 18.
J <оу ^fEf
Ввиду большого числа импульсов от а-частиц необходимо обеспечить
такую чувствительность, чтобы они не считались.
1204. а) Пренебрегая энергией связи электронов, находим Q ~ — 931 X
X (7,01824 -J- 1,00816 — 7,01916 — 1,00899) = 1,62 Мэв.
б) Суммарная энергия протона и ядра лития в системе центра инерции
Л41 о2 М v2
должна составлять Ео = Q = 1,62 Мэв, Ео = —---И " 2' * Очевидно, vp—7vi
(так как компенсируются импульсы). Отсюда находим vt и vp. Скорость про-
тона в лабораторной системе отсчета равна vx vp, а энергия Ер ~~Е0 —
= 1,85 Мэв.
1205. 31,8 Мэв. 1206. 28,1 Мэв. 1207. Qa = 4,0 Мэв; Q6 = 3,25 Мэв.
1208. Qa = 18,3 Мэв; Q6 = 17,6 Мэв.
1209. Как следует из ответов к задачам 1207 и 1208, на один «сгоревший»
дейтон выделяется энергия (43,25—J— 17,6—J— 18,3) = 7,2 Мэв. Пользуясь
этим, легко найти, что при полном сгорании дейтерия, содержащегося
в литре воды, выделится энергия 3,6 • 103 квт-ч, что равно энергии, полу-
чающейся при сгорании 277 кг бензина.
1210. Число реакций, происходящих в 1 сек в 1 см3, равно Д- N2<s (v) v,
где черта означает усреднение по всем значениям относительных скоростей
атомов дейтерия.
§ 191
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
361
1211. 2,9 вт см~3.
1212. р = х 16 (ипм> 1213» 1 * 10® kkcijIi
O1Z
1214. -^дейтерия — 2,01471; -^электрона — 0,0000548; -^дейтона —- 2,01416.
1215. 17,2 Мэв.
1216. Энергии протона и нейтрона равны между собой и составляют
0,215 Мэв. Протон и нейтрон разлетаются в противоположные стороны.
1217. Ат = 0,46 - 10 ’9 г. 1218. 4,6 • 10"9 г. 1219. Хт = 2,4 • 10~82 г.
1220. Приблизительно на 4 млн. т.
Основные соотношения теории радиоактивного распада
(Общие указания к решению задач 1221—1234)
Если N—число радиоактивных атомов в момент t, то число распадов
за время dt будет X7V dt, где X — константа, называемая постоянной распада
в единицу времени {сек). Изменение числа радиоактивных атомов за время dt
равно
dN = — kN dt. (1)
Интегрируя (1) с начальным условием N = No при £ = 0, получаем закон
радиоактивного распада
N=Noe~u. (2)
In 2
Подставляя в (1) t= Т = —т— , видим, что за время Т число радиоактивных
о г, т In 2 0,693
атомов уменьшается в 2 раза. Отрезок времени Т — —— называется
поэтому периодом полураспада радиоактивного вещества.
Активностью радиоактивного препарата называется число происходящих
dN и ...
в нем в единицу времени распадов п — — ~[]Г' На основании (1)
п = ХМ (3)
активность (или интенсивность) препарата убывает по тому же экспонен-
циальному закону, что и число радиоактивных атомов. В качестве единицы
активности часто употребляют 1 кюри — 3,7 • 1010 распад • сек~], т. е. число,
распадов в 1 сек 1 г Ra.
Пусть (под влиянием облучения нейтронами или другими частицами или
в результате распада материнского вещества) в единицу времени образуется
v радиоактивных атомов, обладающих константой распада X. За время dt
число этих атомов изменяется на величину dN:
dN —\dt — kN dt,
откуда следует (считая TV —0 при f = 0)
N — -1(1-e"*'). (4)
A
Вначале (при t<^T) число радиоактивных атомов нарастает практически
линейно; однако рост числа атомов постепенно замедляется и через проме-
жуток времени, равный нескольким периодам полураспада, достигается на-
сыщение числа атомов, при котором число образующихся в 1 сек новых
362
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ФИЗИКА ЯДРА
[ГЛ. III
радиоактивных атомов как раз равно числу распадающихся за то же
время, т. е.
Пусть период полураспада Л материнского радиоактивного вещества
очень велик по сравнению с наибольшим из периодов полураспада 7\ его
последовательных продуктов распада. По истечении времени число
атомов продуктов распада перестанет нарастать и согласно (4) будет равно
где v — число распадов материнского вещества в единицу времени, рав-
ное Х^Р
Следовательно, Х^ = X2V2 = ...== X/Vj, т. е. активность (числа распа-
дов) всех членов радиоактивного семейства одинакова. Такое состояние на-
зывается состоянием радиоактивного равновесия.
1221. Х = 2,9-10“ 5 сек-1.
12 22.. X = = 1,42 • 10“11 сек~ \ 1223. AV = 3,80 • Ю10.
1224. Из вида графика можно убедиться, что присутствуют по крайней
мере два радиоактивных элемента. Сразу можно определить длинный период
полураспада, который оказывается равным 8 час. Более короткий период
полураспада можно найти следующим образом. Нужно вычесть из показаний
счетчика значения, соответствующие длинному периоду полураспада, и по-
строить график для новых значений. Короткий период оказывается равным
40 мин.
1225. В силу радиоактивного равновесия RaD, RaE и Ро испытывают
одинаковое число распадов в 1 сек, т. е. число [1-частиц, испускаемых в 1 сек
RaD или RaE, равно числу ot-частиц, испускаемых Ро. Число атомов каждого
рода находится из условия равенства активностей:
^RaD^RaD = ^RaE^RaE = ^Ро^Ро ~ сек~1-
VII) находим период
По схеме распадов ряда урана — радия (табл,
полураспада RaD : Т — 22 года = 6,9 • 108 сек, откуда
7 0,693 0,693 1Л_9
RaD rRaD 6-9 ’108 ~~ 10 СвК
и
105
MbD = = 10'4 атомов.
1226. Период полураспада радия — 1550 лет; в 1 г радия содержится
.. 6,02-1028
AV =------— — 2,66- 1021 атомов,
на 226
Аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, находим число
распадов, происходящих в 1 г Ra в 1 сек, и число атомов радона в равно-
весии с 1 г Ra (период полураспада радона TRn = 3,82 суток)
Х1Ла = 3,7 10'»; Л'р„ = -^5!- = 1,76 10”.
ARn
§ 19] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ 363
Так как 1 грамм-молекула газа занимает при нормальных условиях объем
в 22 400 см3, объем радона, находящийся в равновесии с 1 г Ra, равен
WRn
VRn = 22 400 -6 02 Кп023 - 6,5 • 10~4 см3 = 0,65 мм3.
1227. « 43 мм3. В расчете не учтено выделение Не продуктами распада
радия.
1228. X = 4,5 • 10"18 сек'1.
1229. В силу радиоактивного равновесия между U233 и (7234, А234 • ^2з4 =
= Х238 • N23s, откуда
Z234 = ю-5; 7234 = 2,7 • 105 лет.
7 238 7-234 /V238
Период полураспада U234 много меньше возраста Земли (~ 109 лет); таким
образом, наше предположение о наличии радиоактивного равновесия между
f/238 и ^/234 оправдано.
1230. Активность препарата, как и число активных атомов, убывает по
_Л
закону: е" = 2 т . Активность препарата Р32 через 10 дней после изго-
товления:
_2_ _ ю
I — 70 • 2 т — 100 -2 15 — 63 мкюри.
1231. Zyj = 4,5 • 109 лет.
1232. Z = 90; А = 230; ионий — изотоп тория. 1233. Г 1,5 • 109 лет.
1234. При облучении до насыщения число распадающихся в 1 сек ато-
мов иода (т. е. активность препарата) равно числу атомов, образующихся
ежесекундно, т. е.
Пнасыш = Ю7 распад сек~1.
Число атомов иода при активации до насыщения равно
Miacwm - у - Ю ; 25-24-3600 ~ 3,1 ’ 10 атомов‘
Число атомов иода через время t после облучения:
А7 = Анасыш (1 е )’
или при малых t
N — А^насыщ М —
При t— \ мин.
7V = л/ = Ю7 • 60 = 6 • 108 атомов.
При t — 25 мин.
N = АнасыщО — е = 1,55 • 1013 атомов.
ДОПОЛНЕНИЕ
ЗАДАЧИ
1. Перед вертикальной квадратной проволочной сеткой помещена длин-
ная узкая горизонтальная щель, освещаемая ярким протяженным источником
света. Пройдя через щель и сетку, свет падает на удаленный экран. Описать
картину, получаемую на экране. Что произойдет, если повернуть щель во-
круг перпендикуляра к плоскости сетки на 90 или 45°?
Рис. 1.
Рассмотреть сетку, изображенную на рис. 1, а, и сетку, изображенную на
рис. 1, б.
2. Как изменится картина на экране, если в предыдущей задаче поме-
нять местами щель и сетку?
3. Если надеть очки, стекла которых имеют форму менисков с вогну-
тыми задними поверхностями, то часто наряду с обычными можно видеть
сильно уменьшенные изображения ярких удаленных предметов. Объяснить
это явление.
4. Может ли двояковыпуклая линза с показателем преломления п > 1
действовать как зрительная труба, предназначенная для рассматривания
удаленных предметов? Какие она будет давать изображения — прямые или
обратные? Какова должна быть толщина линзы d, если радиусы кривизны
передней и задней сферических поверхностей ее равны соответственно /?!
и R2? Чему равно угловое увеличение N?
5. Какой должна быть толстая стеклянная линза с показателем прелом-
ления п > 1, чтобы она действовала как зрительная труба, дающая прямые
увеличенные изображения удаленных предметов с угловым увеличением М?
ЗАДАЧИ
365
Чему должна равняться толщина d такой линзы, если радиусы кривизны
передней и задней сферических поверхностей ее равны соответственно R{
и Как связано угловое увеличение 2V с радиусами кривизны R{ и R21
6. Какой должна быть длина b основания стеклянной призмы, чтобы она
имела такую же разрешающую способность, как и пластинка Луммера —
Герке длиной Z, = 20 см> Показатель преломления пластинки п — 1,5, ди-
rf/?np _ 1
сперсия показателя преломления призмы = 956 см , длина волны А =
= боооА.
7. Эшелон Майкельсона состоит из 7V = 30 стеклянных пластинок с по-
казателем преломления zz = l,5; толщина каждой из них /г = 1 см. Какова
должна быть длина b основания стеклянной призмы, чтобы она имела та-
кую же разрешающую способность, что и рассматриваемый эшелон? Диспер-
сия показателя преломления призмы
= боооА..
р- = 956 см-\
dk
длина волны А ==
8. В качестве одного из двух зеркал (антенн) радиоинтерферометра можно
использовать пассивный отражатель, например, морскую поверхность. Опре-
делить угловое разрешение интерферометра для волны с длиной А — 1 м,
антенна которого расположена над морем на скале высотой h — 500 м.
У к а з а н и е. Диаграммы направленности антенны для приема и для
испускания излучения одинаковы. (Это следует из теоремы взаимности,
см. задачу 561 основного текста книги.)
9. Каково минимальное угловое разрешение радиоинтерферометра,
установленного на Земле, при работе на волне с длиной А = 10 ж?
10. Каково угловое разрешение радиоинтерферометра, одна из антенн
которого помещена на искусственном спутнике Луны? Предполагается, что
используется отражение от лунной поверхности; ее следует считать плоской,
так так рассматривается спутник, летящий на небольшой высоте. Время
обращения спутника по круговой орбите вокруг Луны равно 104 сек, длина
волны А = 100 м. Почему в данном случае желательно использовать спутник
Луны, а не Земли?
11. Какова форма главного лепестка диаграммы направленности прием-
ной антенны в виде полосы шириной d, «вырезанной» из параболического
рефлектора диаметром D?
12. Приемная антенная система типа «креста» состоит из двух перпен-
дикулярных полос (например, участков параболоида, рядов антенн и т. п.)
длиной D и эффективной шириной d. Высокочастотный сигнал от каждой
полосы принимается на отдельный приемник, причем фаза сигнала от одной
из полос все время коммутируется (меняется) при помощи специального
устройства (периодически вводится кабель длиной А/2). Низкочастотные
сигналы от обоих приемников складываются, причем выделяется и изме-
ряется амплитуда переменной составляющей результирующего сигнала.
Какое угловое разрешение дает такая система и какова ее эффективная
площадь приема? (Для параболического зеркала эффективная площадь равна
площади зеркала.)
13. Из общих соображений вытекают так называемые дисперсионные
соотношения, т. е. соотношения, устанавливающие связь между веществен-
ной и мнимой частями диэлектрической проницаемости *). Следствием этих
*) Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных
сред, Гостехиздат, М., 1957.
366
ДОПОЛНЕНИЕ
соотношений для прозрачной изотропной среды являются неравенства
де . „ де . 2 (1 — е)
^-^>0, где £ (®) — диэлектрическая проницаемость на ча-
стоте ы. Пользуясь этими неравенствами, доказать, что групповая ско-
рость t»rp с.
14. Луч прожектора, вращающийся с угловой скоростью скользит по
цилиндрическому экрану. Можно ли применять для вычисления скорости
«зайчика» формулу t»=cor (г — расстояние от прожектора до экрана), если
о > с — 3-1010 см/сек! Нет ли здесь противоречия с теорией относитель-
ности?
15. На твердое тело, находящееся в вакууме, падает интенсивный пучок
света. При каких условиях импульс, сообщаемый телу, может превосходить
значение импульса, которое оно получает в результате светового давления
при зеркальном отражении света. При нормальном падении света этот им-
пульс равен 2uSt, где и — плотность энергии в пучке, S — площадь его по-
перечного сечения и t — длительность освещения.
16. Два когерентных пучка квазимонохроматического неполяризованного
света равной интенсивности дают на экране интерференционные полосы.
Какой толщины кристаллическую пластинку надо ввести на пути одного из
этих пучков, чтобы интерференционные полосы исчезли и притом так, чтобы
их нельзя было восстановить никакой стеклянной пластинкой, вводимой
в другой пучок? Как изменится картина, если за кристаллической пластин-
кой поставить поляроид? При каком положении поляроида интерференцион-
ных полос не будет?
17. Плоская световая волна поляризована эллиптически Длины полу-
осей эллипса колебаний равны соответственно а и Ь. Какую кристалли-
ческую пластинку надо поставить на пути распространения волны и как
надо ориентировать эту пластинку, чтобы получить свет, поляризованный
по кругу 1) с тем же направлением вращения, 2) с противоположным
направлением вращения?
18. Пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости назы-
вают зависимость е от волнового вектора k рассматриваемого электромаг-
, 2п .
нитного поля (в отсутствие поглощения где А— длина волны
в среде); частотной дисперсией е называют зависимость е от частоты со.
В произвольном электромагнитном поле, созданном какими-либо источни-
ками, переменные со и k можно считать независимыми. Естественная опти-
ческая активность есть эффект пространственной дисперсии порядка а/Х,
где а — характерный размер, по порядку величины равный постоянной ре-
шетки или размеру молекул. В средах с центром симметрии естественная
оптическая активность отсутствует.
Каков по порядку величины эффект пространственной дисперсии в та-
ких средах (в оптической части спектра)? Могут ли кристаллы кубической
системы быть оптически анизотропными, если не пренебрегать простран-
ственной дисперсией?
19. При учете пространственной дисперсии частота плазменных волн
. 2тс
зависит от волнового числа k— -т—. При этом, как следует из решения
К
кинетического уравнения, «2 = ’ где х — постоянная Больцмана.
Предполагается, что затухание волн мало, и этой формулой можно пользоваться
ЗАДАЧИ
367
о £.2 2
ТОЛЬКО При условии 3--------k <5^ C0q
^r.Ne2
nt
Найти фазовую и групповую
скорости плазменных волн и отвечающий им показатель преломления.
20. Затухание плазменных волн в изотропной плазме (при отсутствии
соударений) есть обратный эффект Вавилова — Черенкова, т. е. черенковское
поглощение. Написать условие поглощения и качественно пояснить, когда
поглощение является слабым и когда сильным; (если не учитывать возму-
щения, создаваемого самой волной, то распределение скоростей в плазме
совпадает с максвелловским).
21. Внешняя поверхность заряженного сферического конденсатора или
любого заряженного тела сферической формы колеблется (без нарушения
формы поверхности) с некоторой частотой со0. Будут ли при таких колеба-
ниях возбуждаться электромагнитные волны, если конденсатор находится
в вакууме? Какого типа волны могут возбуждаться, если конденсатор нахо-
дится в среде?
22. Рой электронов разлетается в вакууме под влиянием кулоновских
сил. Будет ли такой разлет сопровождаться дипольным излучением?
23. Частица с зарядом е, движущаяся с нерелятивистской скоростью V,
пересекает перпендикулярную к ней границу раздела вакуум — металл. При
этом возникает так называемое переходное излучение. Указать его природу
и характерные черты.
24. При помещении в магнитное поле энергия электрона, вращающе-
гося по орбите (с заданным радиусом г) с частотой ы0, изменяется в силу
появления ларморовой прецессии. Каково изменение энергии электрона
и каков механизм этого изменения?
25. Электромагнитная волна распространяется в плазме (ионизованном
газе), находящейся в магнитном поле напряженностью /7. Направление рас-
пространения волны совпадает с направлением вектора Н. Пренебрегая
столкновениями частиц (т. е. поглощением)-, определить характер поляри-
зации волны и соответствующий ей показатель преломления.
26. Линейно поляризованное радиоизлучение от одной из радиогалактик
проходит через область ионизованного межзвездного газа в направлении
магнитного поля с напряженностью Н « 10~4 э. Средняя концентрация элек-
тронов ^=l сж~3, размер области L —1018сж. Найти угол поворота а
плоскости поляризации для излучения с длиной волны /. == 10 см.
27. В магнитном поле свободный электрон движется по винтовой линии,
вследствие чего появляется орбитальный магнитный момент. Поэтому, ка-
залось бы, электронный газ, помещенный в сосуд с идеально отражающими
стенками (грубая модель металла), должен обладать диамагнетизмом. Фак-
тически же в равновесном состоянии диамагнитный момент сосуда с газом
равен нулю (в рамках классической теории). Дать качественное объяснение
этого результата.
Указание. Учесть отражение электронов от стенок сосуда.
28. В последние годы было проведено экспериментальное изучение об-
ратного рассеяния коротких радиоволн в ионосфере. Предполагая, что этот
эффект определяется рассеянием на свободных электронах, рассчитать ча-
стотный спектр рассеянного излучения. 29
29. Какое максимальное давление может произвести вода при замерза-
нии? Плотность льда р — 0,917 г • см~\ модуль Юнга для льда Е —
— 2,8-10й дн-см~2, коэффициент Пуассона а = 0,3.
368
ДОПОЛНЕНИЕ
30. Кубик сделан из чередующихся пластинок разной толщины и разной
теплопроводности. Толщина пластинок одного типа равна Ьх, теплопровод-
ность материала, из которого они сделаны, равна х1( число всех пластинок
этого типа пх. Соответствующие величины для пластинок второго типа
равны Ь2, х2 и п2. Найти коэффициенты теплопроводности материала кубика
вдоль пластинок %ц и перпендикулярно к ним х j. Какой из этих коэффи-
циентов больше?
31. Для получения самоподдерживающейся термоядерной реакции в дей-
терии (или в смеси дейтерия с тритием) необходимо нагреть вещество до
температуры порядка 108 град. При таких температурах вещество нахо-
дится в состоянии плазмы, т. е. полностью ионизованного газа. При этом
сильно возрастают потери энергии за счет теплопроводности. Как показы-
вает теория (см. задачу 947 основного текста), теплопроводность плазмы
пропорциональна абсолютной температуре в степени 5/2, т. е. х = а7'') “, где
для дейтериевой или тритиевой плазмы в системе СГС а 10-6. Внутри
малого объема, выделенного в плазме и имеющего форму шара радиуса
г о — 1 см, поддерживается температура Т = 108 град. Вне шара темпера-
тура убывает в соответствии с законами теплопроводности. Какую мощность
надо подводить к этому объему, чтобы компенсировать потери энергии за
счет теплопроводности? К остальным частям плазмы энергия не подво-
дится.
32. В чем ошибочность следующего рассуждения? Элементарное коли-
чество тепла dQ, полученное физически однородным телом при квазистати-
ческом пропессе, равно
dQ = dUр dV — di—V dp,
или
отсюда
/ dQ \ / di \ dQ ( д! \
\ дТ / ~ \ дТ )р’ др~~\др)т ’
d2Q _ д21 . d2Q _ д21 / дУ \
дТ др дТ др ’ дрдТ дрдТ \ дТ )р‘
Приравнивая оба выражения, получим
отсюда заключаем, что тепловое расширение тел невозможно.
33. Для измерения теплоемкости газа исследуемый нагретый газ заста-
вляют протекать через спиральную металлическую трубку (змеевик), опу-
щенную в воду калориметра. На одном конце змеевика поддерживают по-
стоянные давление рх и температуру 1\. На выходе змеевика поддерживают
давление р2 и измеряют температуру газа Т2. По повышению температуры
воды в калориметре можно определить количество тепла, отданное газом.
Разделив полученную величину на понижение температуры и на число молей
прошедшего газа, найдем его молярную теплоемкость. Какая теплоемкость
измеряется таким методом?
34. В сосуде, содержащем идеальный газ при температуре Т, имеется
очень маленькое отверстие, через которое молекулы вылетают в вакуум.
Определить среднее значение е кинетической энергии вылетевшей моле-
кулы в предположении, что за время опыта изменения числа молекул и тем-
пературы газа в сосуде пренебрежимо малы.
ЗАДАЧИ
369
35. Какова была бы мгновенная скорость испарения воды с каждого
квадратного сантиметра ее поверхности, если бы над этой поверхностью
был вакуум, а температура воды в этот момент равнялась Т — 300° К? Таб-
личное значение упругости насыщенного водяного пара при этой темпера-
туре р — <21 мм рт. ст. Сравнить полученную величину с величиной ско-
рости испарения воды при обычных условиях (т. е. когда над ее поверх-
ностью находится воздух при нормальном давлении) и объяснить получив-
шееся расхождение.
36» Определить постоянную адиабаты для газовой смеси, содержащей v,
молей водорода и v2 молей гелия. Рассмотреть частный случай, когда смесь
содержит одинаковые (по весу) количества этих газов.
37. Найти выражение для скорости звука в смеси v,, v2, v3, ••• молей
различных идеальных газов при температуре Т.
38. Вычислить скорость звука в кислороде при температуре Т — 1 кэв.
39. Моль идеального газа нагревают в цилиндре под поршнем, удержи-
ваемым в положении равновесия пружиной, подчиняющейся закону Гука
(рис. 2). Стенки цилиндра и поршень адиабатические, а дно проводит тепло.
Определить теплоемкость с газа в этом процессе.
40. Боковые стенки цилиндра, его крышка CD и поршень MN сделаны
из материала, не проводящего тепло (рис. 3). Дно АВ проводит тепло. Пор-
шень MN может двигаться в цилиндре без трения. Сверху и снизу поршня
находится по одному молю одного и того же идеального газа с молярной
теплоемкостью при постоянном объеме су и показателем адиабаты Пер-
вый газ в нижней части цилиндра квазистатически нагревают (или охла-
ждают), вследствие чего поршень AIM перемещается. Выразить теплоемкость
первого газа при таком процессе через объемы газов и У2. Чему
равна при этом теплоемкость второго газа с2?
41. Как изменится ответ предыдущей задачи, если верхнюю крышку CD
сделать теплопроводящей, а температуру газа в верхней части цилиндра
поддерживать постоянной?
42. Два баллона с объемами V] и У2, наполненные разными газами,
соединены цилиндрической трубой с площадью поперечного сечения, рав-
ной S. В трубе находится поршень с массой АГ В положении равновесия
370
ДОПОЛНЕНИЕ
давление газов по обеим сторонам поршня одинаково и равно р0. Найти
период т малых колебаний, которые возникнут при отклонении поршня
из положения равновесия в предположении, что процесс сжатия и расширения
газов адиабатический. Показатели адиабат для газов равны соответственно 71
и у2. Объемом трубы по сравнению с объемами V[ и V2 пренебречь, тре-
ние между поршнем и стенками трубы не учитывать.
43. Температура воды в тройной точке t — -ф- 0,0075° С, теплота плавле-
ния льда при этой температуре <?12 = 80 кал-г~1. Удельный объем водяного
пара в тройной точке t»3 = 206 000 сж3-г-1. По сравнению с ним удельными
объемами льда vx и воды t»2 можно пренебречь. Что больше — давление
насыщенного пара над водой рх или надо льдом р2 при температуре 0° С?
Чему равна разность рх — р2?
44. Вывести формулу, выражающую зависимость давления насыщенного
пара от температуры при следующих предположениях: 1) пар подчиняется
уравнению состояния Клапейрона; 2) удельная теплота испарения q является
линейной функцией температуры, т. е. q — q0— аТ\ 3) удельный объем
жидкости пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом насыщен-
ного пара.
45. Решить задачу 799 основного текста книги, зная удельную теплоту
dq
испарения q и , а также молярную теплоемкость ср жидкости, но не пред-
полагая, что пар подчиняется уравнению Клапейрона. Результат сравнить
с приближенной формулой, приведенной в решении задачи 799. Для воды
при t = 100° С 7 = 539 кал-г~\ — — 0,64 кал г-1 • град~х, ср =
= 18,18 кал-моль~{.
46. При фазовых переходах 2-го рода нет ни скачка объема, ни скачка
энтропии, т. е. АУ = 0 и AS = 0 (к таким переходам относится, например,
переход в железе и других ферромагнетиках из парамагнитного состояния
в ферромагнитное). Показать, что при переходе 2-го рода скачки различных
величин (обозначаемые знаком А) удовлетворяют соотношениям Эрен-
феста, т. е.
dV\ dp [dV\
--- 4. _4_ д -- — л
дТ ]р ' dT \ др ]т '
&со dp /dV\
—z------д — л
Т dT \дТ]р '
Ac dV /др \
_Ц-_= о,
Т 1 dT \дТ lv
где производные и уу- берутся вдоль линии перехода, на которой пе-
ременные р, V и Т помимо уравнения состояния связаны между собой еще
одним соотношением.
47. Две параллельные пластинки, находящиеся на расстоянии d = 1 мм
друг от друга, погружены в воду с поверхностным натяжением а — 70 дн • см~'.
Ширина каждой пластинки а =10 см. Высота их такова, что поднявшаяся
вода не доходит до верхних краев пластинок. Принимая краевой угол рав-
ным нулю, определить силу притяжения F между пластинками.
48. Капля воды равномерно падает в воздухе. На сколько отличается
радиус кривизны Rx ее поверхности в нижней точке от радиуса кривизны /?2
в верхней точке, если расстояние между этими точками d = 2 мм7 Поверх-
ностное натяжение а = 70 дн-см~{.
ЗАДАЧИ
371
49. Внутри мыльного пузыря радиуса г0 находится воздух (идеальный
газ) при температуре То и давлении р0. Коэффициент поверхностного натя-
жения мыльного раствора при этой температуре равен а0. Теплота изотер-
мического образования единицы поверхности мыльной пленки при той же
температуре равна qQ. Найти производную (радиуса пузыря г по тем-
пературе Т) для Т = 70. Наружное давление остается постоянным.
50. Показать методом циклов, что внутренняя поверхностная энергия U
пленки определяется выражением
\ al ] х
где а — поверхностное натяжение, Т — абсолютная температура, S—полная
площадь поверхности пленки.
51. В сосуде с адиабатическими стенками находится мыльный пузырь
радиуса1 г — 5 см. Общее количество воздуха в сосуде и в пузыре v = 0,1 моля,
его температура Т — 290° К (предполагается, что она одинакова внутри и вне
пузыря). При этой температуре а = 70 дн-см~х, — —0,15 дн-см~х -град~' -
Как изменится температура воздуха в сосуде, если пузырь лопнет? Теплоем-
костью образовавшихся капелек пренебречь.
52. Определить глубину h ртутной лужицы на плоском горизонтальном
стекле. Поперечные размеры лужицы велики по сравнению с ее глубиной.
Коэффициент поверхностного натяжения ртути на границе с воздухом
а = 490 дн-см~1, краевой угол на стекле 0 = 140°, плотность ртути
р = 13,6 г см~\
53. Найти стационарный поток пара от сферической капли жидкости
радиуса а в процессе ее испарения (или конденсации пара на капле). Коэф-
фициент диффузии паров жидкости в воздухе равен D, плотность пара
на большом расстоянии от капли р^, плотность насыщенного пара рн. Найти
также плотность пара р в зависимости от расстояния г от центра капли.
Зависимость упругости насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости
не учитывать.
54. Пользуясь аналогией между уравнениями стационарной диффузии
и электростатики, найти стационарный поток пара от жидкой капли произ-
вольной формы. Остальные условия совпадают с условиями предыдущей
задачи.
55. Найти время испарения тисп водяной капли с начальным радиусом а
в воздухе с относительной влажностью f и температурой t = 20° С. Рас-
смотреть два случая: 1) / — 40%, а=1 мм, 2) / = 99%, а=1 мк. При
t = 20° С давление насыщенных водяных паров рн = 17,5 мм рт. ст.,
D — 0,22 см2/сек.
Указание. Считать процесс испарения капли стационарным. Это до-
пустимо, если плотность пара гораздо меньше плотности жидкости рж.
56. Найти время испарения тисп сферической капли жидкости радиуса а
в атмосфере, насыщенной парами этой жидкости, учитывая зависимость
давления насыщенного пара от кривизны поверхности (см. задачу 868).
Поверхностное натяжение жидкости (воды) а = 73 дн/см, температура t = 20° С.
Рассмотреть два случая: 1) а — 100 мк; 2) а = 1 мк.
57. Найти закон изменения во времени размеров водяной капли, если
в ней растворено m граммов поваренной соли. Капля находится в атмосфере,
насыщенной водяными парами. Предполагается, что раствор разбавленный.
372
ДОПОЛНЕНИЕ
58. Найти теплоемкость черного излучения в единице объема замкну-
той полости.
59. Определить наименьшие номера уровней атома водорода, между
которыми возможны переходы, сопровождающиеся излучением радиоволн
с длиной волны 1, 10, 1000 и 10 000 см.
60. На сколько термов расщепляется основной уровень атома водорода
при учете взаимодействия магнитных моментов электрона и протона (сверх-
тонкое расщепление)? Какова по порядку величины разность энергий Д£
подтермов сверхтонкой структуры?
61. Какова по порядку величины длина волны излучения, отвечающего
переходу между подтермами сверхтонкой структуры основного уровня водо-
рода (см. предыдущую задачу для г = 2-10~9 еж)?
62. С какого расстояния г можно увидеть невооруженным глазом свет
лазера, генерирующего в непрерывном режиме Р=10 кет на частоте
<о = 4- 1015 сек~\ если для формирования луча используется параболическое
зеркало с диаметром D = 5 м?
Глаз видит источник, если в зрачок диаметром д — 5 мм попадает
в 1 сек 60 квантов излучения, лежащего в зеленой части спектра.
63. Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью т = 0,5 мсек
энергию g = 10 дж в виде почти параллельного светового пучка сечением
S = 1 см2. Рабочая длина волны лазера X = 6943 А, ширина линии ДХ = 0,01 А.
Определить по спектральной плотности излучаемой энергии эффектив-
ную температуру Тэф в лазерном пучке 1) до фокусировки, 2) при макси-
мально возможном сужении пучка (в фокусе).
64. По литературным данным максимальная мощность излучения лазера
в импульсе, достигнутая в настоящее время, составляет приблизительно
S = 500 Мет в луче с поперечным сечением около 1 см2. Допустим, что
луч сфокусирован идеальной линзой с фокусным расстоянием / = 5 см.
Оценить напряженность электрического поля и давление света в фокусе
такой линзы. Длина волны X — 6943 А.
65. Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью т = 0,5 мсек
энергию g = 1 дж в виде почти параллельного пучка с сечением S = 1 см2.
Рабочая длина волны лазера Х = 6943А. Определить следующие величины:
1. Давление несфокусированного пучка света р на площадку, перпенди-
кулярную пучку.
2. Давление света р на площадку, перпендикулярную пучку, при макси-
мально возможной концентрации светового пучка (при фокусировке в область
с площадью поперечного сечения порядка X2).
3. Напряженность электрического поля Е в области максимально воз-
можной концентрации светового пучка.
Примечание. Считать излучение лазера во время импульса равно-
мерным (усреднение).
66. С помощью квантовых генераторов (лазеров) можно получать на-
столько интенсивные пучки света, что при распространении их в веществе
начинают проявляться нелинейные эффекты. Группа американских физиков
Мичиганского университета в 1962 г. выполнила следующий опыт. При по-
мощи рубинового лазера получали тонкий световой пучок с длиной волны
X = 6943 А, в котором напряженность электрического поля достигала
100 000 в/см. Направив этот пучок на кристалл кварца, экспериментаторы
смогли наблюдать в выходящем из кристалла свете наряду с красной сла-
бую спектральную линию с длиной волны X = 3472 А. Объяснить это явление,
ЗАДАЧИ
373
67. Два квантовых генератора посылают на кристалл кварца два мощ-
ных пучка света с частотами vj и м2. Каковы частоты света в пучках после
их выхода из кристалла?
68. Частица с зарядом е и массой т движется по окружности радиуса г
со скоростью v0. Пусть движение по той же окружности (под действием
соответствующих сил, которые обеспечивают достаточно малое изменение
радиуса орбиты) имеет место и при изменении скорости частицы (примером
может служить движение по «желобу».). Показать, что при включении маг-
нитного поля с напряженностью Н угловая скорость частицы изменяется на
еН
величину ml ~ — 2тс ’ это УтвеРждеН|,е в применении к рассматриваемому
случаю составляет содержание теоремы Лармора.
69. Рассмотреть частицу, движущуюся по кругу при наличии магнит-
« I1
ного поля, и убедиться, что в этом случае правило квантования mvr ~ п
неприменимо
Указание. Рассмотреть процесс включения магнитного поля (см.
задачу 68) и установить, что при условии mvr = n~~ магнитный поток
Ф = ~г2Н оказывается квантованным, что в общем случае не может иметь
места, как в этом можно убедиться из простых физических соображений.
70. Учитывая правило квантования Бора (см. предыдущую задачу), по-
казать, что поток магнитного поля через отверстие в массивном полом
сверхпроводящем цилиндре равен
, nhc nhc
Ф =-----=------.
| е* | 2е
Здесь | е* | — абсолютная величина заряда носителей сверхпроводящего
тока; этими носителями являются как бы слипшиеся пары электронов, в силу
чего | е* | ~ 2е, где е — заряд электрона по абсолютной величине.
Указание. Если поток магнитного поля через окружность радиуса г
I е* I ф
равен Ф, то обобщенный импульс частицы с зарядом е* равен р= "
(предполагается, что ё* < 0).
71. В жидком гелии при температуре ниже ?.-точки (т. е. в гелии II)
могут существовать вихревые нити. Вокруг вихревой нити жидкость дви-
жется по окружностям, причем момент количества движения атомов гелия
относительно оси вихревой нити подчиняется правилу квантования Бора.
Найти поле скоростей вокруг вихревой нити.
72. При движении быстрой заряженной частицы в области пространства,
заполненной изотропным электромагнитным излучением (например, светом
Солнца и звезд), частица теряет энергию в результате взаимодействия с этим
излучением (предполагается, что энергия частицы больше энергии фотонов,
из которых состоит излучение). Считая частицу ультрарелятивистской (энер-
гия Ео тс2), а ее соударения с фотоном — лобовыми, найти изменение
энергии частицы Ео — Е= \Е и энергию фотона отдачи hu>. Энергию фото-
нов (до соударения) считать малой по сравнению с hu>. Проанализиро-
вать результат. Чему равна энергия если движущейся частицей является
электрон с энергией Еа = 2,5 • 109 эв и fio>Q = 1 эв.
73. Электрон с энергией £0 тс2 рассеивается на фотоне с энергией
Йсо0 тс2. При каком условии энергия этого фотона в системе отсчета,
в которой электрон покоится, удовлетворяет условию fico тс2?
374
ДОПОЛНЕНИЕ
/ тс2 \
\4Й«0)'
74. Каковы потери энергии, испытываемые ультрарелятивистским элек-
троном в результате его «трения» в поле излучения (эти потери обычно
называются «комптоновскими», см. задачу 73). Считать, что Е<^тс2
Для учета нелобовых соударений уменьшить потери в 4 раза.
75. Электрон с энергией Ео = 1010 эв в момент t = 0 начинает двигаться
в поле черного излучения с плотностью энергии w = l эв • см~^ и темпера-
турой, равной температуре Солнца. Какой будет энергия электрона через 106
и 108 лет?
76. Электрон с начальной энергией £0 — Ю10 эв движется из галакти-
ка легкого пространства в направлении на центр Солнца. Какую энергию поте-
ряет электрон на пути до фотосферы при учете «комптоновских» потерь?
77. Частица равномерно движется в среде, которой она может, излучая
фотон, передать энергию и импульс lhk0, где I = 0, ±1, ±2 и т. д.
(Такая ситуация возникает, например, при движении частиц в среде, диэлек-
трическая проницаемость которой изменяется по закону
£ — £0 £1 COS (<»(/ — -V), Во I £1 !•)
Найти частоту излучения, испускаемого в таких условиях под углом 9
к направлению скорости частицы V.
78. При каких условиях можно ожидать, что при распространении в среде
электромагнитных волн возникает черепковское излучение.
79. В среде распространяется рентгеновский квант (частота «0, волно-
вой вектор Л’о). который рассеивается с образованием рентгеновского кванта
и мягкого (оптического) фотона с частотой Q и волновым вектором К
(такое комбинационное рассеяние возможно только при наличии взаимодей-
ствия между излучением разной частоты, т. е. является нелинейным эффек-
том). Найти угол, под которым будет испущен мягкий фотон.
80. Для необыкновенной волны в одноосном кристалле (показатель пре-
/"* е । £,,
ломления п — ——sin2 6~-|- е "со?2 6~ ’ £ 1 > sll < найти условия, при
которых“могут возникать следующие эффекты:
1. Черепковское излучение заряда, движущегося с постоянной ско-
ростью v вдоль оптической оси кристалла.
2. а) Нормальное доплеровское излучение с частотой <»;
б) аномальное доплеровское излучение с частотой <» (в обоих случаях
речь идет о частице ^осцилляторе), колеблющейся во внешнем поле с ча-
стотой Q и движущейся с постоянной скоростью v вдоль оптической оси
кристалла).
3. Аномальное доплеровское излучение осциллятора в отсутствие череп-
ковского излучения заряда, движущегося с той же скоростью, что и осцил-
лятор.
81. При некоторых условиях звезда может перейти в нейтронное состоя-
ние — превратиться в нейтронную звезду, состоящую из одних нейтронов.
Сч ттая массу нейтронной звезды равной массе Солнца (М = 2 • 1033 г), а сред-
нее расстояние между нейтронами равным 3- 10“13 см, найти приближенно
гравитационное смещение длины волны излучения, испускаемого с поверх-
ности звезды. Плотность звезды считать постоянной по всему ее объему.
82. Найти по порядку величин радиус и энергию атома водорода
в основном состоянии, пользуясь соотношением неопределенности. Оценить
таким же способом размер двухатомной молекулы и энергию ее основного
ЗАДАЧИ
375
состояния, приближенно рассматривая молекулу как линейный осциллятор
с собственной частотой <в0 и приведенной массой у..
83. Релятивистская заряженная частица, ускоренно движущаяся в ва-
кууме, излучает электромагнитные волны преимущественно в направлении
тс? Г
ее скорости в конусе с раствором 0 ~—— = 1/ 1------— . Здесь т— масса
су с*
г, тс2
покоя частицы и £ —------ - — — ее полная энергия.
1. Каков характер магнитотормозного (синхротронного) излучения ультра-
релятивистского электрона (1] ПРИ ег0 движении в магнитном
поле Я?
2. Каков частотный спектр излучения и где находится его максимум
в случае движения по окружности (т. е. при v J_ Я)?
84. Каковы длины волн, излучаемых электронами с энерг шми 109 и
3- Ю14 эв, входящими в состав космических лучей, при движений этих элек-
тронов в межзвездных магнитных полях (напряженность поля И ~3- 10 6 э)?
85. Как поляризовано магнитотормозное излучение?
86. Ультрарелятивистский протон движется в магнитном поле. Может ли
Ч- О «ч
он излучать тс-- и тс -мезоны, электроны и позитроны?
87. Найги интенсивность 7-лучей (т. е. число фотонов-см~2 - сек~'У^
у^стерад О, образующихся в Галактике в результате распада тс°-мезонов
и приходящих в пределы солнечной системы от центра, антицентра и полюса
Галактики. Сечение образования тс-мезонов космическими лучами на прото-
нах межзвездного газа а = 2 • 10-26 см2. Интенсивность космических лучей
в Галактике считать изотропной и равной /кл = 0,2 частиц-см~2-сек~^ X
'//стерад~}-. Число протонов в межзвездной среде N (L) на луче зрения
в направлении от солнечной системы на центр, полюс и антицентр Галактики
примерно равно 6-1022, 1021 и 1022 см~2 соответственно.
88. Интенсивность космических лучей /кл в метагалактическом простран-
стве неизвестна. Ее можно надеяться определить, измеряя интенсивность
для 7-лучей, испускаемых при распаде тс-мезонов в Метагалактике (см. за-
дачу 87). Выразить 1КЛ через считая концентрацию межзвездного газа рав-
ной 10~15 с.и 3 и учитывая расширение Метагалактики.
Указание. Скорость удаления галактик и газа на расстоянии £ от
Земли равна и= hR, постоянная Хеббла h сейчас принимается равной
h — 100 км/сек • Мпс (закон и — hR годен до тех пор, пока и с —
3- 1010 см/сек, но им можно пользоваться и при и < 0,5с).
89. Свободное покоящееся атомное ядро массы Л4 переходит из возбу-
жденного состояния в основное, испуская 7-квант. Найти энергию 7-кванта
и энергию отдачи R, если энергия возбуждения равнялась £12. Вычислить
энергию отдачи ядра 1г191, если £12 = 129 кэв.
90. Свободное покоящееся атомное ядро массы М переходит в возбу-
жденное состояние с энергией возбуждения £12, поглощая 7-квант. Опреде-
лить энергию 7-кванта и энергию отдачи ядра R.
91. Найти разность энергий испускаемого и поглощаемого 7-кваптов
в случае свободных ядер. Сравнить эту разность с естественной (Г) и допле-
376
ДОПОЛНЕНИЕ
/2kT
-д^^2 ’ СМ-
задачу 509 основного текста). Найти температуру 7\, при которой доплеров-
ская ширина равняется разности энергий для испускания и поглощения.
Объяснить, почему затруднено наблюдение резонансного поглощения 7-кван-
тов для свободных ядер, приведенных в следующей таблице:
Ядро f12, кэв Me2, Бэе г ^7 Ядро Zr12, кэв Me2, Бэе г
Ти169 8,4 157,3 10~” Zn67 93 60,3 5- 10~16
Fe57 14,4 53 3- 10'13 yy182 100 169,4 4 10“12
Dy161 26 149,9 6 - 10‘13 Hfm 113 164,8 10-11
If193 73 179,7 IO-'2 Ir191 129 177,8 4- 10-JI
Au197 77 183,4 3 -10“12 Re187 187 174,1 3 • 10“10
Er166 80,6 154,5 3 • 10-12
92. Эффект Мёссбауэра состоит в том, что в кристаллах могут осуще-
ствляться процессы испускания и поглощения у-квантов «без отдачи ядер».
В этом случае закон сохранения импульса выполняется за счет передачи
импульса всему кристаллу. Поэтому процессы испускания и поглощения
7-квантов вследствие очень большой массы кристалла происходят с прене-
брежимо малой потерей энергии. Линии испускания и поглощения имеют
естественную ширину («линия Мёссбауэра»).
Кристалл 1г191 испускает 7-кванты с энергией 129 кэв. Линия Мёссбауэра
испускания и поглощения у-квантов имеет ширину Г — 4,6 • 10~6 эв. Пред-
положим, что кристалл, испускающий у-кванты, движется со скоростью v,
а поглощающий кристалл покоится. Вычислить наименьшую скорость v
источника, которую можно зарегистрировать по изменению величины погло-
щения у-квантов. Предположить, что можно уверенно зарегистрировать до-
плеровское смещение частоты у-квантов движущегося источника, равное
1/6 ширины линии. 93 94 95 * *
93. Для того чтобы интенсивность линии Мёссбауэра была достаточна
для практического использования, потеря энергии на отдачу свободного
ядра (см. задачи 89 и 90 дополнения) не должна превышать 2kT, где
TD — дебаевская температура кристалла. Определить, при каких энергиях
у-квантов и при каких массовых числах А практически можно наблюдать
эффект Мёссбауэра, если принять, что ТD для разных кристаллов изменяется
от 160 до 480° К.
94. Используя эффект Мёссбауэра, можно измерить гравитационное сме-
щение частоты (см. также задачи 517 и 1098 основного текста книги). Для
этой цели были использованы у-лучи, испускаемые возбужденным ядром Fe5?
(энергия у-лучей £12 = 14,4 кэв, ширина линии Г — 3 • 10-13 £12 — 4 • 10-9 эв).
При какой разности высот между приемником (поглотителем) и источником
у-линия сместиться на 1 % от ширины линии (при этом еще можно заметить
изменение поглощения у-лучей).
95. В условиях предыдущей задачи поглощение у-лучей зависит не только
от разности высот, но и от разности температур ЪТ приемника и источника.
Чем объясняется этот эффект и какому изменению разности высот с точки
ЗАДАЧИ
377
зрения ее влияния на изменение поглощения f-лучей) соответствует в опы-
тах с Fe57 разность температур ДГ = Г С?
96. При рассмотрении движения быстрых заряженных частиц в магнит-
ных полях вводится параметр = называемый жесткостью. Здесь
с — скорость света, р — импульс и Ze— заряд частицы. Если энергию ча-
стицы измерять в электронвольтах, то единицей жесткости будет служить
вольт. Наличие у Земли магнитного поля приводит к тому, что на каждой
широте в определенном направлении на Землю могут приходить частицы,
жесткость которых не меньше пороговой /?пор. Какова минимальная кине-
тическая энергия £кин: 1) электронов, 2) протонов, 3) а-частиц, регистри-
руемых на широте с 7?пор = 1Д • Ю9 в?
97. Какова минимальная энергия £мин, регистрируемая газовым череп-
ковским счетчиком, наполненным аргоном под давлением р атм (при
/>=1 атм показатель преломления аргона п — 1,000281)?
98. В последние годы открыты новые частицы с очень малым временем
жизни, меньшим 10 20 сек. В этом случае невозможно зафиксировать след
заряженных частиц или расстояние от места образования нейтральных ча-
стиц до места их распада. Фактически регистрируются только продукты
распада. Как в этом случае экспериментально отличить процесс
p-j- р->тс+~|~тс_-|-<»->2тс+-|-2тс_--|--тс0
от процесса
р -j- р -> 2тс+ -J- 2тс~ 4“ тс°,
где р, р — протон и антипротон, — новая короткоживущая частица.
99. При рождении и распаде частиц выполняются (помимо законов со-
хранения энергии, импульса и момента количества движения) три точных
закона сохранения:
1. Закон сохранения заряда.
2. Закон сохранения барионного заряда (барионный заряд равен 1 для
нуклонов (п и р) и гиперонов (A, S, Е); 1 для антинуклонов (п и р) и анти-
гиперонов (A, S, Е); 0 для всех остальных частиц).
3. Закон сохранения лептонного заряда (лептонный заряд равен 1 для
электрона, отрицательного р-мезона и нейтрино v); 1 для позитрона,
положительного р-мезона, антинейтрино (е+, р+, м); 0 для всех остальных
частиц).
Указать, какие из приведенных ниже реакций запрещены:
1. п -> р-|~ е v,
2. 2р->2п + 2е+,
3. р“ -> е~ + v -ф- v,
4. IC -Ь2е+, 100
5. тс ~ -|- р -> А0 К°>
6. К~ -J- п -> A0 -f- п~,
7. гс+ + п->А° +/<+,
8. тс+ -1- п -> К+ -Ь
100. Реакции типа р~ -> е~ -j-f; р~ -> 2е~ е+ на опыте не осущест-
вляются, хотя законы сохранения (см. задачу 99 дополнения) не нарушаются.
Поэтому было высказано предположение, что существуют два нейтрино —
электронное че и мюонное Мр, и два лептонных заряда ее и е^. ее—\ для
ее~ — 1 для е+> = ® Для всех остальных частиц; ^^=1 для
р.~, е^ — — 1 для р+, Vjj = 0 для всех остальных частиц, в том числе
для e+t е~, ve, v Такое предположение недавно (1962 г.) подтвердилось.
378
ДОПОЛНЕНИЕ
Рассмотреть с этой точки зрения приведенные ниже реакции и указать.
какие из них запрещены:
1. ТС" ->^-4-^, 6- ''р. + р -* - п 4~ е+,
2. -> р_ 4“ ме, уе + Р~^ п4-р+,
3. р_ -> е~ че ''е» 8. эе р п-{- е+,
4. V 9. р-н- е~.
5- р->п + р+,
101. Взаимодействие и- распад частиц происходит в результате сильного,
электромагнитного или слабого взаимодействий. Вероятность процессов
в результате слабого взаимодействия примерно в 1010—1012 раз меньше, чем
вследствие сильного. Сильное взаимодействие может происходить только
между барионами и мезонами и при сохранении нового квантового числа 5
(странности).
5 = 0 для нуклонов, антинуклонов, %-мезонов;
5 = — 1 для A, S+, S~, К', S°, К0 (К-мезонов, S-гиперонов, А-частицы);
5 = — 2 для 3~, Е° (каскадных гиперонов);
5 = + 1 для A, S+, S", S0, /<+, №;
S = + 2 для Е~, Е°
(тильда сверху —знак античастицы). При изменении странности на 1 вероят-
ность процесса уменьшается в 1010—1012 раз, а при изменении 5 на 2 реак-
ция практически не наблюдается (по-видимому, она оказывается в 1020—1024
раз менее вероятной, чем реакция в результате сильного взаимодействия).
Выяснить, какие реакции из перечисленных разрешены по S; какие за-
прещены по S и, следовательно, идут с малой вероятностью или практи-
чески не наблюдаются.
1. п 4- р -> А 4-№, 8. 71+ 4-П- >а°+к+,
2. 9. к~+р- ->S~ 4-тг + ,
3. А “ > р 4~ я _, 10. р4“ ->/<+-p7Z + ,
4. Л —А 4- ТС , 11. р4“^ ->7Z+ -J-7Z + ,
5. Е_ -> 2~- 4- р, 12. тс~4~р -> E E 4- n,
6. 7z+-pp->S-p/<-, 13. 7Z 4- р ->s+ + №,
7. т-4 -|-p->s4-^ , 14. ~~ А-р ->E“ + ^+№.
102. Определить пороговую энергию рождения к-мезон а при взаимодей-
ствии нуклона, 7-кванта и электрона с энергией W с покоящимся нуклоном
(тп-С2 « 140 Мэв).
103. Показать невозможность реакции аннигиляции электрона и пози-
трона с испусканием одного 7-кванта
е+ ->7
и распада 7-кванта на лету
7 -> е+ е~.
104. Энтропия монохроматического излучения равна нулю. Пользуясь
этим, показать, что для линейчатого спектра справедлив первый закон Вави-
лова спектрального преобразования света при люминесценции. Согласно
ЗАДАЧИ
379
этому закону величина энергетического выхода р, равная отношению интен-
сивности излучения люминесценции 1е к интенсивности поглощенного света 1а,
1е
не превосходит единицы: р == 1.
'а
105. Найти характер зависимости величины энергетического выхода лю-
минесценции р (см. задачу 104 дополнения) от длины волны возбуждающего
света 'К' в области частот, где вероятность w (v, '/) испускания телом
кванта с частотой м в результате поглощения кванта с частотой / не
зависит от частоты последнего, т. е. в области, где w (v, /) == w (м).
106. Найти различия в характере спектров черепковского и тормозного
излучений, аппроксимируя наиболее простым образом импульсы электриче-
ского поля и поля поляризации, возникающие при пролете быстрой заря-
женной частицы мимо фиксированной точки среды.
107. С учетом дисперсии найти в первом приближении скорость света и
в жидкости, движущейся от источника со скоростью v, если в неподвижной
с
жидкости скорость света равна
движной жидкости.
где X — длина волны света в непо-
108. Радиолокатор работает на частоте « («несущая» частота сигнала)
и облучает предмет, движущийся со скоростью v в произвольном направле-
нии относительно радиолокатора. Учитывая эффект Доплера, найти «несу-
щую» частоту отраженного от предмета излучения «в*, принимаемого тем же
радиолокатором.
109. В циклическом сильноточном электронном ускорителе — микро-
троне— электрон, проходя ускоряющий промежуток, приобретает энергию,
кратную его энергии покоя — птс2, где п — целое число. Затем его пово-
рачивает постоянное однородное магнитное поле /70 и он снова попадает
в ускоряющий промежуток (обычно в тот же). Пренебрегая размерами уско-
ряющего промежутка по сравнению с размерами орбит электрона, найти
максимальное расстояние между орбитами и энергию электрона на выходе
микротрона, если число ускорений N = 12 при п = 2, 7/0 = 1000 э.
ПО. Найти скорость и минимальное отношение массы в начале пути
к массе в конце пути фотонной ракеты (двигатель которой превращает
«горючее вещество», находящееся на ракете, в направленный пучок света),
необходимые для достижения ракетой туманности Андромеды (удаленной на
7? = 0,75 • 106 световых лет) за 25 лет по собственному времени ракеты. Вре-
менем ускорения и замедления ракеты пренебречь.
111. Какое собственное время пройдет на космическом корабле при
полете от Земли до Галактического центра, удаленного на расстояние
R = 27 000 световых лет, если первую половину пути космический корабль
движется по прямой с ускорением а = 10 м/сек2, постоянным в системе
координат, связанной в каждый момент с космическим кораблем (так назы-
ваемое «гиперболическое» движение), а вторую половину пути корабль за-
медляется с тем же ускорением? ^Собственное время здесь определяется
t
как т = J* У1 — (/) dt, где dt — время в системе Земли, а р = -^-.
о
112. Какую минимальную мощность в начале пути должен иметь двига-
тель фотонной ракеты для полета к центру Галактики (R = 27 • 103 световых
лет), если первую половину пути ракета движется с постоянным ускорением
380
ДОПОЛНЕНИЕ
а = 10 м/сек2 (в собственной системе), а вторую половину пути она за-
медляется с тем же ускорением при условии, что все топливо находится на
ракете, а масса ракеты Л4К в конце пути равна 103 тп>
ИЗ. Чему равна интенсивность корпускулярного космического излучения
на космическом корабле, обусловленного наличием в межзвездной среде ато-
мов водорода с плотностью п — 1 сл/-3? Условия движения корабля те же,
что и в предыдущей задаче.
114. Найти соотношение между собственной массой релятивистской ра-
кеты М и скоростью ее относительно Земли и, если при t = 0 «=0 и
М — Мо, а скорость истечения «топлива» в системе координат, связанной
с ракетой, равна v (см. также задачи 514, 515).
115. Как изменится расположение звезд на небесной сфере для наблю-
дателя на космическом корабле, движущемся с релятивистской скоростью
относительно Земли?
116. Как преобразуются плотность и температура при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой?
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. На экране получится система горизонтальных светлых и темных
полос. При повороте щели на 90° полосы становятся вертикальными. При ее
повороте на 45° в случае решетки, изображенной на рис. 1, а, полосы пропадут;
в случае решетки, показанной на рис. 1, б, появятся полосы, образующие
с горизонтом угол 45°. В последнем случае расстояние между полосами
станет в Раз меньше расстояния между горизонтальными (или верти-
кальными) полосами. Во всех случаях полосы параллельны щели.
2. Характер картины не изменится, но полосы сделаются немного уже.
3. Сначала получается мнимое прямое уменьшенное изображение при
отражении от роговицы глаза, которая действует как выпуклое зеркало.
Оно дает другое изображение при отражении от вогнутых поверхностей
очковых стекол, которое мы и видим.
4. Может. Изображение обратное.
d = +
fl — 1 /?2
5. Передняя поверхность линзы должна быть выпуклой, а задняя вогну-
той, причем У?! > /?2- Толщина линзы
d =
п — 1 R2
в. ь =
L(n2— 1) ..
----- = 4,4 м.
апПр
К
d'K
„ д Nh{n— 1)
7. b =--------- = 2,6 М.
dnnp
"~~dK~
8. в
3'. 9. 0
X
27?
0,2" (R — радиус Земли).
К
2 h
10. 0 ж 20". Высота спутника над поверхностью Луны h & 500 км
Спутник Земли при работе на волне с длиной 100 м использовать трудно,
а обычно даже невозможно из-за влияния земной ионосферы.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
381
частицы уносят импульс, в результате чего тело испы-
Разложим мысленно световую волну на две составляю-
векторы которых взаимно перпендикулярны и парал-
11. Диаграмма имеет «ножевую» форму с угловыми размерами 1/D
В одном направлении и X/d — в другом.
12. Угловое разрешение порядка Х/£>, площадь порядка d2.
14. Можно. Противоречия нет, ибо «зайчик», движущийся со скоростью v
вдоль экрана, не является сигналом. Разных частей экрана достигают фотоны,
испущенные в разные моменты, и поэтому сигнал здесь распространяется
не вдоль экрана.
15. Если интенсивность пучка так велика, что он вызывает на поверх-
ности тела энергичное испарение, то сообщаемый телу импульс может
значительно превосходить величину 2uSt. Объясняется это тем, что испа-
ряющиеся в вакуум
тывает отдачу.
16. Решение,
щие, электрические
лельны главным осям пластинки. При введении пластинки интерференцион-
ные полосы от каждой составляю-
щей сместятся. Если введенная пла-
стинка является пластинкой пол-
волны, то разность смещений соста-
вит половину ширины полосы. В этом
случае при введении пластинки интер-
ференционные полосы пропадут. При
введении поляроида они появятся
вновь. Исключение составляет слу-
чай, когда оси поляроида наклонены
под углом 45° к осям пластинки. В
этом случае интерференционные по-
лосы наблюдаться не будут.
17. Решение. В системе глав-
ных осей X, У эллиптическое ко-
лебание описывается уравнениями
Е% — a cos, at, Ey~b sin at (рис. 4). Перейдем к новой системе С, ч), оси
которой являются биссектрисами прежних координатных углов. В этой си-
стеме то же колебание представится в виде
Е. = (a COS at -|- b sin at) —
Ь2 , ±
----COS (cor — ср),
E.ti = (— a cos at b sin at) =
Ь2
— cos [wi — (г. — ср)],
где <р— острый угол, определяемый уравнением
, b
tg С = — .
ь т а
Колебания вдоль осей ? и ч] совершаются с одинаковыми амплитудами
_ / а2 + Ь2 л с А
1/ —л----- t причем колебание вдоль оси с опережает по фазе колебание
вдоль оси ч] на угол
6 — ТС--- 2ср.
Внесем кристаллическую пластинку так, чтобы ее оси были ориентиро-
ваны вдоль $ и 4j и чтобы она изменила разность фаз до ± Для этого
382
ДОПОЛНЕНИЕ
должно быть выполнено соотношение
(<»/ — <р — ktl) — (tot — к <р — k.,1) = ± ,
откуда
k — kt п — /г.
Тогда волна перейдет в волну, поляризованную по кругу. Знаку плюс соот-
ветствует то же направление вращения, что и в исходной эллиптически
поляризованной волне, а знаку минус — противоположное. Такой же резуль-
т/
тат получится, если толщину пластинки изменить на —----—, где т____целое
число. 1
18. При наличии центра симметрии эффекты пространственной диспер-
/ £ \2 _«
сии имеют порядок 1 — 1 10 —10 .
Учет пространственной дисперсии приводит к выводу о возможности
оптической анизотропии кубических кристаллов. Например, если волновой
вектор k направлен по оси куба z, то тензор егу имеет вид
ezz — £ + а1^2> егг=еуу = £> £ху ~ егг = еуг = 0*
При k = 0 тензор £г-у для кубических кристаллов с центром симметрии вы-
рождается в скаляр e8zy.
19.
1 — toy to2 }гЫГ/т
П2 ~ , v* « .---- . —,
3% T / me2 1 — <o2/ co2
3x7" / co2 \
20. Решение. Если электрон движется равномерно и слагающая vn
его скорости в направлении нормали к волне совпадает с фазовой ско-
ростью to/k самой волны, то его движение происходит «в фазе с волной»,
подобно движению электронов, вступивших в режим ускорения в линейном
ускорителе. В этом случае электрон подвергается действию силы (со сто-
роны электрического поля волны), направленной все время либо вперед
(в сторону распространения волны), либо назад. В результате должно на-
блюдаться сильное взаимодействие электрона с волной, сопровождающееся
либо поглощением, либо излучением плазменных волн. Так как vn = (vk),
то условие сильного взаимодействия электрона с волной может быть запи-
сано в виде
(Vk) = to. (1)
Это — условие черепковского поглощения или излучения цлазменных волн.
Частота <>> плазменных волн слабо зависит от волнового числа k (см.
предыдущую задачу), и поэтому в условии (1) со можно заменить плазмен-
ной частотой
Г 4М2 е
V т
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
383
Г 7.Т
Пусть vT ж V -------средняя тепловая скорость электронов в плазме.
Если kvT ш0, то найдется очень мало быстрых электронов, удовлетво-
ряющих условию (1), и поглощение будет слабым. Оно будет сильным при
условии kVT^<»0.
21. В вакууме излучение отсутствует, так как в этом случае электро-
магнитные волны могли бы быть только поперечными. Ввиду сферической
симметрии могут изучаться только чисто продольные волны, распростра-
няющиеся вдоль радиусов. При колебаниях обкладки конденсатора в среде
могут возбуждаться, например, продольные акустические и плазменные
волны (в плазменных волнах диэлектрическая проницаемость г (со0) — 0).
22. Нет. Дипольный момент совокупности частиц с зарядом е и мас-
сой т равен р — е V Г[ и его производная по времени постоянна, так как
в рассматриваемом случае импульс системы т сохраняется. Диполь-
ное же излучение определяется производной р.
23. Если металл можно считать идеально проводящим (практически это
предположение часто справедливо), то электрическое поле в вакууме пред-
ставляет собой поле заряда е и его электрического изображения — за-
ряда — е, расположенного в металле на таком же расстоянии от границы,
на каком находится (в вакууме) заряд е. При пересечении зарядом границы
как сам заряд, так и его изображение как бы исчезают. Поэтому излуче-
ние окажется таким же, как и при остановке (или слиянии) движущихся
навстречу друг другу зарядов е и —е. Для металлов с конечной, но очень
высокой проводимостью наблюдаемая картина качественно весьма близка
к картине для идеального проводника.
24. Приращение кинетической энергии равно
т (со ± со,)2г2 moj2r2
« = /2--------« ~ + т»0»,Л
еН 2 ,,
где <о^ == ^тс—ларморова частота, соо- Изменение К происходит
за счет работы вихревого электрического поля, возникающего при включе-
нии магнитного поля.
25. Поляризация волны будет круговой — правой или левой. При пра-
вой поляризации (показатель преломления п+) электрический вектор волны
вращается по часовой, а при левой (показатель преломления /г_) — против
часовой стрелки, если смотреть против направления распространения волны.
е2
A~~-N
2, w
— 1--------—-—-;
± “ (ы + “//)
здесь N — концентрация электронов, а со^ — циклотронная частота:
I I
— —г •
п I тс |
26. а = 4- — («- — п О L = 0,93 • 106 « 1 рад. (См. задачи 567 и 571
2 с w
основного текста книги.)
384
ДОПОЛНЕНИЕ
28. Решение. Изменение частоты при рассеянии на свободных элек-
тронах определяется эффектом Доплера. Так как тепловая скорость v элек-
тронов мала по сравнению со скоростью света, то частота рассеянной
волны и связана с частотой падающей волны соотношением
со — kv = со0 — kov,
или
со — со0 = v (k — k0) — vq,
где k и kQ — волновые векторы рассеянной и падающей волн, | k | = | kQ | = у,
—k0 [ = 2 sin (0 — угол рассеяния).
Разделим электроны на группы с одинаковыми компонентами скорости vq
в направлении вектора q. Каждая из этих групп будет вызывать опреде-
ленный доплеровский сдвиг частот. Если ,f (vq)— нормированная функция
распределения, то число электронов в группе dN равно
dN = Nf(yq)dvq.
Сечение рассеяния для этой группы электронов равно
d<" = ceNf (vq) dvq~ <seNf ( M 0)0 j -y-
где ae— сечение рассеяния одного электрона и N—число всех электронов.
Для максвелловского распределения по скоростям
од р Е Pq —Р
з(1_ 2о) ро
19 000 атм (?0— плотность воды).
_ fir 1 । ^2^2
30. = nbyx + п2& х2; — = —--------И —; *ц > *±.
± 1 2
31. q = ж 3,6 • 1012 кет.
33. Решение. Для упрощения расчета предположим, что через змее-
вик прошел 1 моль газа. Работа, совершенная газом, равна А — p2V 2 —
— R(T2—Ti). Приращение его внутренней энергии U2 — Ul — cv(T2—Д).
Тепло, полученное газом Q = U2~Ul-\-A. Подставляя сюда выражение
для U2 — Ul и А, найдем, что Q = (су -(- R) (?2 — TJ, или Q = Cp(T2—T1),
так как су-}- R = ср. Отсюда ясно, что в данном опыте измеряют тепло-
емкость ср.
34. 7=2АГ.
35. Решение. Допустим, что пространство над поверхностью воды
заполнено насыщенным водяным паром. Тогда число вылетающих из воды
молекул не изменится, но такое же их число будет влетать из пара
в жидкость. Отсюда ясно, что масса жидкости, ежесекундно испаряющейся
с 1 см2 ее поверхности, равна
dM т —
nv.
dt
4
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
385
где т — масса молекулы, а п — число молекул в 1 с.и3 насыщенного водя-
ного пара. Преобразуя эту формулу, получим
!ТГ = р ]/ Wl/T s0'38
(р — молекулярный вес воды).
36. Т= 1+ 7= 1,462.
J-'l +^‘2
37. с~
"ЛР1 4~ ^2р2 4~ V3Рз •
а у- адиабатическая достоянная смеси
Vlcpl 4“ ^2Ср2 V3Cp3 •••
RT
7 -—— , где jji — средний молекулярный вес
38. с = 1/ -тд- ЯГ « 3 • 107 см - сек~х к, 300 км • сек~х. 39. с = с,. 4- .
у 16 V 2
43. Решение. Для наклона кривых равновесия в тройной точке
(рис. 5) имеем
^Р23 _ Q23 ~ Q23
dT Т (v3 — v2) ~ Tv3’
dp\3 _ ___£1з__ ~ _£11
dT ~~ Т (v3 — V\) ~ Tv3
Так как ql3~ <712 + <7гз, то ql3 > q23. Следовательно, кривая возгонки идет
круче кривой испарения. В окрестности тройной точки кривые равновесия
можно заменить касательными к ним. В этом приближении
Л О J dpl3 dp23
Pi P2 — AB — AC ВС — t dj- dT
Pi — P2 = t — 0,00033 мм рт. ст.
' Tv3 r
44. p= AT Re RT, где R — газовая постоянная, p — молекулярный вес,
A — постоянная. Значение постоянной А можно найти, зная температуру
кипения жидкости при каком-либо давлении.
45. Решение. Согласно первому началу термодинамики, количество
тепла, полученного 1 моль пара, равно SQ = dln—Vndp, а удельная
386
ДОПОЛНЕНИЕ
теплота испарения q —— (/п — Лк), где Л1 и Лк— молярные энтальпии
насыщенного пара и жидкости, причем /п зависит только от Т. Дифферен-
_ dq 1 / dln dIM \ „
цируя последнее соотношение по Т, найдем ----dTj ^ля
Рис. 5
жидкости dfM = Ср dTVMdp, причем последним слагаемым можно пре-
небречь. Таким образом
6f/n = fx-^r6f7’ + eprf7’.
В рассматриваемом процессе dp и dT связаны уравнением
dp p-q p-q
~dT ~ Г(УП-Уж) ~ ТК’
В результате для искомой теплоемкости насыщенного пара находим
BQ Я ( dq ...
С~ dT ~Ср +‘'Л dT •
Противоречия с приближенной формулой (см. ответ к задаче 799) нет. Там ср
означало молярную теплоемкость пара, здесь — жидкости. По формуле (1)
для Т — 373° К с — — 19,2 кал град~х • моль~1. Если для теплоемкости водя-
ного пара принять классическое значение ср — Ь кал град~х • моль~х,
то старая формула даст с = — 17,9 кал • град~х • моль~х. Ошибка составляет
около 7%.
46. Решение. Докажем, например, второе соотношение. Для дифферен-
циала энтропии каждой из фаз можно написать
dS — dT—— I dp =-=r dT dp,
\дТ /р ' \dp/r Т \дТ }р
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
387
Если обе точки (Т, р) и (T-\-dT, p-\-dp) лежат на кривой равновесия, то
d(S2 — S^ — d AS = 0,
где — энтропия одной, a S2— энтропия другой фазы. Это значит, что
Дс„ fdV\
откуда и следует доказываемое соотношение. Аналогично доказываются и
остальные три соотношения.
47. р = = Ю* дн « 10 Г.
pg-d2
48. R2 — /?! = « 0,28 мм.
49. Решение. Давление внутри пузыря р=А<ар+ — • Дифференци-
руя при постоянном наружном давлении рнар и полагая г = г0, а = а0, по-
лучим
, 4da 4ап dr
dp~----------
Г г
о 'о
По известной формуле da ——~dT. Исключая da, получим
* о
, 4^0 , ™ 4а Q
dp —----— dT--------~ dr.
r,T, rl
_ Р^ рА
Так как масса газа внутри пузыря постоянна, то—; отсюда
* 'о
dp 3 dr dT
~р7^~0
Исключая отсюда и из предыдущего соотношения величину dp, получим
окончательно
/ d^\ г0 4^4-г0ро
\ dT Tq Зг0р0— 4с0
IQ^la — T
51. АГ =------= 3.4 * 10"3 гРад-
м и ч/~ 2с (1 — cos 0) 0 /" а
52. h = I/ ------------- = 2sin-7< 1/ ----=3,6 мм.
У ?g 2 И pg
53. Решение. Стационарный поток пара через любую сферическую
поверхность радиуса г, концентрическую относительно поверхности капли,
равен
_ . „ dp
q — — D • 4т:г2 -у1- — const,
v dr
откуда
p — 4vDr Po°'
Величину q можно найти из условия, что на поверхности капли (г = а)
388
ДОПОЛНЕНИЕ
пар должен быть насыщенным. Это дает
Ч 4т. Da (рн — р^) = 4т. Da (рн — Роо),
где р- — молекулярный вес пара, рн — давление насыщенного пара при темпера-
туре капли жидкости, р^-— парциальное давление паров жидкости вдали от
капли. Подставляя значение q в предыдующую формулу, получим
Р = — (Рн — Роо) + Роо'
S
54. Решение. Уравнение стационарной диффузии пара и соответст-
вующие ему граничные условия имеют вид
Др = О,
о Г при r = CCl’
( рн на поверхности капли.
Поток пара через любую замкнутую поверхность, окружающую каплю,
не зависит от положения и формы поверхности. Взяв в качестве этой по-
верхности поверхность S самой капли, можем написать для стационарного
потока
S
до „ _ о
где — производная р в направлении внешней нормали п к поверхности S.
Указанную задачу сопоставим с электростатической задачей о поле
заряженного проводника с поверхностью S. Оно определяется потенциалом
удовлетворяющим условиям
Дер = О,
f ?со ПРИ г — °°»
{р У
' । на поверхности S.
При этом заряд проводника Q равен
Q = ~ 47 f ~дп dS = С — J ’
s
где С — электроемкость капли.
Обе задачи математически тождественны и имеют единственные реше-
ния. Поэтому q = 4nCD(pw — р ).
В частном случае сферы С== а, и мы получаем решение предыдущей
задачи.
__ а2 Рж а2 R? 1\ 97
55. гпсп - (1_у) рн - 2р- (1 _Z) арн Рж! 1) Ъсп ~ 37 мин;
2) хисп ~ 0,13 сек.
56. Решение. Давление насыщенных паров у поверхности капли piia
определяется уравнением
Рна Рноо == 7 (Рн« Рноо)
Г
(см. задачу 868 основного текста). Но согласно решению задачи 53
' I а , х Г, > 2а1л 1
Р — Роо “Г (Рна Рноо/ Роо "Г r^RTj ’
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
389
Таким образом, плотность пара р в рассматриваемом случае не зависит от
радиуса капли а. Поток пара
q = — 4тш2£> (
\ dr )г=а
постоянен и также не зависит от радиуса а. Поэтому
4,1 з iRT , 1Ы^Т\ а
~ 6»иОРга а - \ |х !~&Dpx-
1) хисп ~ 225 час, 2) тисп ж 0,8 сек.
57. Решение. По закону Рауля плотность ра пара вблизи поверх-
ности капли связана с соответствующей плотностью рп вдали от капли
соотношением
Ра Роо __
Роо
Отношение k числа молей поваренной соли к числу молей растворителя
может быть представлено в виде k — •» гДе Л— постоянная. Тогда
, Ат
Ра = Р оо т •
Используя решение задачи 53, получим
а5 = a^-^-bDAmt,
где aQ — значение радиуса капли при t — 0.
58. ск=4йТ3.
59. Наименьшие номера уровней получаются при переходах между
соседними уровнями, когда
1= n[_i____________L1
К \_(п — I)2 и2 I ~ /г3 ’
так как в радиодиапазоне п 1. Отсюда п = J/2/?X. « 60 , где X изме-
ряется в сантиметрах. Воспользовавшись этой формулой, получаем
А v=-y- ’ гц п
1 СМ 3 -1010 60
10 см з. Ю9 130
1 м 3 -108 280
10 м 3 -107 600
60. Сверхтонкое расщепление в водороде приводит к образованию двух
подтермов из одного.
По порядку величин
4£я^к,0->8 эрг.
390
ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь ре и Цр — магнитные моменты электрона и протона — равны соот-
ветственно
= =9-10“21, ss 1,4-Ю“23,
е 2тс р 2Мс
и г и 5-10“9 см — радиус первой боровской орбиты.
Приведенная оценка Д£ сильно занижена, так как фактически электрон
в среднем оказывается ближе к ядру, чем это следует из теории Бора. При
г й 2'10"9 см согласие оценки с точным расчетом получается уже хорошим.
А Р С
6L = ±5 ~ юз гц х = ±_ ~ 30 см.
h м
Фактически X = 21 см. Прием излучения нейтрального водорода на
линии Х = 21 см является в современной астрофизике одним из важнейших
методов изучения межзвездной среды.
Dd , Г~~р"~
62. г к —-— 1/ -ут— « 0,1 светового года.
2 V hckn
63- » г’Ф = -ЖдГ = 4’4'108 г”ад-
2> » 8Хх * 10'7
64. Решение. Оценим сначала напряженность электрического поля Ео
в несфокусированном луче. Плотность потока энергии
S = EQHQ = -%— £» = 5 • 1015 эрг. - сек~2 см~2.
4~ и 4л и
Отсюда
£2 —2,1 • 106СГСЭ; Ей ж 1,4- 103СГСЭ 4,3- 105 в- см'1.
Радиус первого темного дифракционного кольца в фокальной плоскости
R = 0,61Х/,3.
о о V2 1 п
В нашем случае р х; —g— При оценке можно считать, что весь свет
сконцентрирован в пределах центрального дифракционного пятна площадью
t.R2 х 5,6 • 10“7 см2. Теперь легко получить для напряженности электриче-
ского поля в фокусе величину Е х, 5,8 • 108 в - см~\ а для светового давле-
ния — величину Р ss — Е2 к 3 • 105 атм.
65. 1) р = (1 -}-/?) = у (1 -ф- R) дн • см~2, где R — коэффициент от-
ражения поверхности.
2) р к « 150(1 + R) атм.
3) Е к 1 1/ « 6 • 104 СГСЭ ~ 1,8 • 10? в • см~\
X у сх
67. Помимо частот и должны наблюдаться частоты -ф-и
V) — Суммарную частоту -ф- удалось наблюдать на опыте.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
391
68. Решение. Уравнение движения частицы имеет вид т-^- = еЕ,
at
где Е — напряженность электрического поля. Действие лоренцовой силы не
нужно учитывать, так как она нормальна к траектории и компенсируется
силами, обеспечивающими движение частицы по окружности с заданным
п ос 7сг2 dH V *
радиусом г. По закону индукции 2г.гЕ =----—. Комбинируя эти урав-
нения, после интегрирования получаем
рг
m(v-v0) = -~(H-H0).
Если начальное значение напряженности поля Но = 0, то изменение угло-
v — v0 еН
во скорости --------= <о =— -------.
r г L 2тс
69. Решение. Как показано при решении предыдущей задачи, в ре-
g вг
зультате включения поля m(v— v0) =—^nrc — *®°) ~—~2с
где Ф — ~ггН— магнитный поток. Если величина mvr, а с ней и ее измене-
ние т \v — t'o) квантуется т. е. mv—mv0 — n^—\, то изменение потока
\ у
, ... nhc
Ф — Фо — —-— тоже квантуется и при этом зависит от заряда частицы е.
Но один или несколько электронов не могут оказать существенного влияния
на значение потока внешнего магнитного поля. Отсюда ясно, что при на-
личии магнитного поля величина mvr не квантуется. Полученный вывод
связан с тем, что при наличии магнитного поля обобщенный импульс
частицы р не равен mv. Напротив, при определенных условиях, обеспечи-
вающих применимость правил квантования Бора, правило квантования
h
рг — п 2^- остается справедливым.
70. Решение. Ток в сверхпроводнике течет только в тонком поверх-
ностном слое толщиной, обычно не превосходящей 10~5 см. За пределами
этого слоя в толще сверхпроводника ток равен нулю и, следовательно,
скорость упорядоченного движения электронов v = 0. Поэтому на окруж-
ности с радиусом г, немного большим, но практически равным радиусу
отверстия в цилиндре, справедливо соотношение
рг^
| е* | Ф _ h .
2~с П 2тс ’
отсюда
ж he
Ф = П —-j-r-
1**1
71. Р е ш е н и е. По правилу квантования момент количества движения
h
Al - п = ntr, /7 = 0, 1, 2, ...; для круговых орбит М — рг. Импульс атома
гелия р — m^v и, следовательно,
392
ДОПОЛНЕНИЕ
л „ j. / 2Е \2 й<о0 / тс2 \
72. ДЕ = Й<о = —5- ---гг~г— • Если Ео тс г— I» то
' тс2 j . , 4Еой<о0 и \ 4й<о0 /
‘ /и2с4
/ 2Е \2
Й<о а; I -1 Й<о0 Ео. В противоположном предельном случае hu> х Ео.
В приведенном примере Й<о = 108 эв.
73. Решение. По формуле для эффекта Доплера
(фотон и электрон считаются движущимися навстречу друг другу, причем
скорость электрона равна и). В ульт’рарелятивистском случае отсюда еле-
тс?
дует, что <о0 — <о , и условие йад тс2 принимает вид
2Ео
(тс2)2
74. Р е ш е н и е. В рассматриваемом случае сечение рассеяния фотонов
на электронах является томсоновским:
/ е2 \2 _ ос 9
а = -5- ---х- I = 6,65 • 10 25 см.
3 \ тс2 )
После каждого соударения фотон отдачи в среднем имеет энергию
/ Е \2
I---2" Поэтому
I dE \ / Е \2 1П-14 ( Е \2
— -~гг = ° -------г ЙсооПфС йй 2 • 10 тел, --$- ,
\ dt /к I тс2 / ф ч> у тс2 у
где Пф — концентрация фотонов с энергией й<о0 и Доф = Пфй<о0 — плотность
энергии излучения. Если а’ф измеряется в эв[см3, то в приведенной фор-
/ dE \
муле потеря энергии, равная — —7— , измеряется в эв/сек.
\ dt /к
Eq ^Тй^ф _р- . .
75. Е = -т—;—г ’ а- — —5-5- ~ 10 эв сек . (См. решение за-
1 aEot т2с3 г
дачи 72.) Через 106 лет энергия электрона уменьшится на 3%, а через
108 лет она будет равна = 2,5 • 109 эв. Знать температуру излучения
нужно лишь для того, чтобы удостовериться в справедливости неравенства
Eq тс2\^— ] для подавляющего числа фотонов (см. задачу 73).
\ Й<о0 у
76. При приближении к Солнцу энергия электрона меняется по закону
1 1 4аа'ф<го)го ,
-------— =-------—— (соударения в этом случае являются всегда ло-
Е (г) Ео т2с3 • cr J г
бовыми). Отсюда
____________Ер __________
4а
1 4~ т2с3 W$ (Го) с ^0
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
393
EQ — Е (rQ) » 10 2Е0 — 108 эв, так как г® = 7 • 1010 см и тегф (rQ~) — 0 =
= 2,1 эрг/см3 = 1,3- 107 эв/см3, где S (rQ) = 6,35 • 1010 эрг • см ~2 • сек~1 — по-
ток солнечного излучения при г—г® (г®— радиус фотосферы).
77. Решение. Используя законы сохранения, находим
ДЕ — йад -ф- /й«0,
= -у" Т + irik°’
где ДЕ — уменьшение энергии, а Др — уменьшение импульса частицы. Они
связаны соотношением ДЕ = v Ар. Используя его, получаем
£
а) при I = 0 cos 0 = (условие черенковского излучения).
у ZV
б) при I =£ 0 w =---* , где 0 — угол между k н v.
1---jA0 cos 0
Так как частота ю всегда положительна, то значения I < 0 соответ-
ствуют уменьшению (а не увеличению, как при I > 0) энергии среды.
78. Если учитывать нелинейность среды, то мы придем к выводу о воз-
можности возникновения этого излучения; при этом должно выполняться
с
черенковское условие —1, где роль скорости v играет групповая
скорость распространения электромагнитного поля, возбуждающего черен-
ковское излучение с частотой «. Картина оказывается особенно простой,
если возбуждающим полем является поле некоторого волнового пакета, дви-
жущегося с групповой скоростью v. Распространение такого пакета при
наличии нелинейности среды приводит к черенковскому излучению волн
£
с частотами, удовлетворяющими условию cos 0 = (~j~v ^Ри ОТСУТ’
ствии нелинейности среды справедлив принцип суперпозиции, и черенковское
излучение становится невозможным (см. задачу 79).
79. Из законов сохранения
Wq
ka = k-\-K
следует
2 2
wono —
COS 0 =
•2п2 + 227V2
2<o02n02V
Здесь 0 — угол между векторами kQ и К, <о и k — частота и волновой век-
тор рассеянного рентгеновского кванта, п0, п и ./V—показатели преломле-
ния соответственно исходного и рассеянного рентгеновских квантов и опти-
ческого фотона. Если среда анизотропна, то TV = TV (Q, может прини-
мать два значения, соответствующие двум возможным типам поляризации
фотона. Вероятность такого комбинационного рассеяния, которое еще не
наблюдалось, весьма мала даже в анизотропной среде, а в оптически изо-
тропной среде она вообще практически равна нулю. Если пренебречь квад-
ратом частоты 2, то
„ 1 d (wn)
cos 0 =--------— =-------------
N d<* ^(2)vrD(«0)’
с
394
ДОПОЛНЕНИЕ
id (пы)
где urp («) = сj—уу-— групповая скорость излучения с частотой б>0. Из
последнего выражения ясно, что мы можем в данном случае говорить о че-
ренковском излучении (см. также задачу 78).
80. Решение. Во всех случаях для возникновения излучения необхо-
димо, чтобы величина л2 была существенно положительной, так как в про-
тивном случае однородные волны в среде распространяться не могут.
1. Условие возникновения черепковского излучения записывается в виде
С п
---— COS о, или
nv
«2cos26= -1,
V
где р == у. Изобразим графически зависимость величины
£ , I £, I COS2 0
л2 cos2 0 =----————-----------
| £ । | cos2 0 — £2 sin2 0
II
tg2 о > J_JL!---отрицательны. Следовательно, для возникновения излучения
необходимо (но не достаточно) выполнение условия
£
кривая
В точках, где tg2 0 = ,
£1
вертикальные асимптоты. В
гает минимума, который равен £jj
точках
претерпевает разрыв и имеет в них
0 = 0 и 6 = - функция л2 cos2 0 дости-
в этих точках участки кривой имеют
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
395
общую горизонтальную касательную. В точке 0 = у, где величина п2 cos2 9
обращается в нуль, касательная также горизонтальна — в этой точке функ-
ция п2 cos2 0 имеет относительный максимум.
Проведем на том же рисунке горизонтальную прямую с ординатой 1/J32.
Если эта прямая пересекает кривую, то черепковское излучение возможно;
если она не пересекает ее, то излучение невозможно. Абсциссы точек пере-
сечения определят угол 0, под которым при заданной скорости v будет
наблюдаться черепковское из.лучение. Так как минимальная ордината
равна г,, то условие черенковского излучения запишется в виде
1
З2 > £±’
2а) Если возможно нормальное доплеровское излучение с заданной
частотой <о, то его направление определится формулой
о
<0 — -3-г------7“
1 — -in cos О
или
1 / Q \2
п2 cos2 0 = -й 1------1 •
?2 \ <0 /
1 / Q \2
Проведем на рис. 6 горизонтальную прямую с ординатой 1------------------—) .
Если она пересечет кривую п2 cos2 0, то излучение возможно; в противном
случае оно невозможно. Абсциссы точек пересечения по-прежнему опре-
делят направление этого излучения. Пересечение, а значит и нормальное
доплеровское излучение возможны при условии
26) Условие аномального доплеровского излучения записывается в виде
3. Аномальное доплеровское излучение осциллятора, равномерно дви-
жущегося со скоростью v будет иметь место, а черепковское излучение
заряда, равномерно движущегося с той же скоростью, будет отсутствовать
при условии
-L < г , < — (1 -L—V.
З2 ,32 \ ' со /
81. а; х 0,075, где у— гравитационная постоянная, г0 х 2-106 см —
радиус звезды.
82. Решение. В стационарном состоянии квантовомеханические сред-
ние значения кинетической и потенциальной энергий системы связаны
соотношением
T-j-U^E,
где Е — полная энергия системы.
В случае двухатомной молекулы (если не учитывать ее вращения)
= 2^ р2’ = Т
396
ДОПОЛНЕНИЕ
причем в силу соотношения неопределенности
-2-2
P2x2>-J-’
Таким образом
1 2 2 I Ь2 п
+—— <£•
8;лх2
Левая часть достигает минимума при х2 -——. Следовательно,
/[-Код
Е >
Если допустить, что минимум достигается в основном состоянии (это можно
доказать, решая уравнение Шредингера), то для такого состояния
E = ~hv0, x*=JL-.
2 2[л<о0
Размер молекулы порядка 1/ -=--- .
Для атома водорода подобное рассуждение нельзя провести с такой же
степенью строгости. В этом случае
U =-—е2
Если атом находится в s-состоянии, то
- 1 __________Й2
7’ = —Р2, Р2г2>-^~.
2;л р р 4
По порядку величин
1 п
—. Поэтому
Й2 е2
Величина справа достигает минимума при
й2
Г ~ 4;-ie2 ’
чем и определяется порядок величины размера атома водорода в основном
состоянии. Соответствующая энергия
й2
83. Решение. 1. Наблюдатель видит отдельные вспышки излучения,
т*
следующие друг за другом через равные промежутки времени ,
* еН me2 , D
где о>я = —— —р— (предполагается, что 0 ^>> а, где а — угол между v и /7).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
397
( V \ ( ТИС*
2. Длительность вспышки М ж Д/' 1---~ Af —— | , где А/'
\ с / \ Е }
I „ 1 тс2 тс
-----------------=---------промежуток времени, в течение которого элек-
“я £ еН
трон движется в направлении наблюдателя (в пределах конуса с углом рас-
(1/ \
1---— I в выражении для А/ обусловлен эффектом
Доплера (импульс сжимается на величину v М', а поэтому его длительность
V \
уменьшается на — AZ' I. Спектр состоит из обертонов частоты обращения
Ft
электрона но при —g2 1 практически непрерывен. В частотном
спектре импульса длительностью А/ больше всего представлена циклическая
1 еН ( Е \2
частота <оп1ах ~ - I I . Чтобы в этом убедиться, нужно рассмо-
треть разложение в ряд Фурье пространственного импульса, имеющего
«карандашную» форму. Рассмотрение именно пространственного импульса, а не
одномерного существенно потому, что число собственных колебаний в трех-
мерном случае пропорционально <о2 rfw (см. задачу 963 основного текста).
Поэтому в спектральной плотности излучаемой энергии низкие частоты бу-
дут представлены с меньшим весом, чем более высокие. В результате
в спектре и образуется максимум на указанной частоте.
Точный расчет показывает, что максимум спектра приходится на частоту
^max = = 0,216 — (-ДУ = 1,8 • 1018 НЕ2.
2 г. тс \ тс2 /
(Здесь Е выражено в эргах, Н—в эрстедах.)
84. Используем формулу предыдущей задачи \П1ах = 4,6 • 10“ 67/£2, где Е
измеряется в эв. При Е — 109 эв 1,5 • 107 гц, — — «20 см. При Е =
= 3 • 1014 эв v « 1018, X « ЗА.
85. Излучение поляризовано с преобладанием в волне электрического
поля Е, направленного перпендикулярно к внешнему магнитному полю
(вектор Е направлен вдоль ускорения излучающего заряда).
86. Если энергия протона достаточно велика, то он может излучать г °
и г.+-мезоны, а также позитроны (реакции р-+р-\-т$, р->пр ->
-> п 4- е+ -J- v). г^-мезоны и электроны излучаться не могут.
87. 7у = 2з7клЛ7 (£.),
/р центр ~ 5 • Ю-4 фотонов • см~2 • сек~{ • стерад~х,
/у, антицентр ~ Ю-4 фотонов • см"2 сек"' • стерад"'>
/... полюс ~ Ю~5 фотонов • см"2 • сек"' • стерад"'*
88- /-к д « 400/<
ческий радиус Метагалактики
с
делить из условия и « .
частиц • см 2 • сек 1 • стерад Фотометри-
(7?ф « 5 • 1025 см) можно приближенно опре-
398
ДОПОЛНЕНИЕ
89. Решение. При испускании 7-кванта должны выполняться законы
сохранения энергии и импульса
е12 = Й®
с p^^r (2Мс2 + Ъ’
где — импульс ядра после испускания -/-кванта.
Решая эти уравнения, получим
£12 £12
R = -о7 лт- п Л ~ = °>046 эв>
2 (Mc2-j-El2) 2Мс2
С 19
й® = Ei2 —
2Мс2
Е?2
9Q-R-~2^’ Й® = Е12+/?.
91. Из решения задач 89 и 90 получаем, что разность энергий испускав-
д-
z_, 12
мых и поглощаемых квантов для свободных ядер равняется 2R » -^с2 •
г „ Г / 2йГ“ 2R
Сравнивать удобнее относительные ширины линии: , 1/ и ——.
F2
4- 12
Искомая температура Tfl— <2Mc2k ' ^,ля ядеР’ пРивеДенных в условии за-
дачи, получаем следующую таблицу:
Ядро Ти169 Fe57 Dy161 If19» Au107 Erlee Zn67 w182 Hf177 If18’ Re187
-|^-107 с12 0,53 2,7 1,7 4,1 4,2 5,2 15,4 5,9 6,9 7,2 10,7
3 22 26 172 186 241 825 449 340 535 1152
Из полученной таблицы видно, что естественная ширина линий на много
порядков меньше разности энергий испускаемых и поглощаемых -/-квантов,
а для большинства ядер довольно велико. Эти обстоятельства затрудняют
наблюдение резонансного поглощения -/-квантов на свободных ядрах.
92. Изменение энергии -/-кванта из-за эффекта Доплера
с v
SE — Е —.
с
Полагая ЬЕ=~, получаем
— = 6 • 10“12. v = 0,18 см/сек.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
399
93. Р
КЭв.
При А = 225 и ТD = 480° находим £12 < 75 У~3 кэв.
При А = 64 и ТD = 160° получим £12 < 40 уСЗ кэв.
Отсюда можно прийти к выводу, что для наблюдения эффекта Мёссбауэра
приходится ограничиваться энергиями у-квантов, не превышающими 100 кэв,
и массовыми числами, большими 50.
Гс2
94. h = Попо- ~ 28 м-
100£12£
95. Решение. Несмещенная линия у-лучей (ее существование и было
обнаружено Мёссбауэром) получается в результате того, что импульс отдачи
передается кристаллу в целом. Но масса ядра при излучении им у-кванта
с энергией £12 = hv уменьшается на ДЛ4 — -Д, в силу чего его средняя
кинетическая энергия, связанная с тепловым движением, меняется на
. с ЬМи2 El2u2 3kT
А р —______ — 14 —________ р
2 2с2 2Мс2 '
.. “2 3kT п
где М—масса ядра и среднее значение «2 = —Поэтому частота испу-
скаемого у-кванта уменьшается на
. Д£ 3kT
4,, = —=2M?-V-
Если разность температур излучателя и приемника равна ST, то частоты
3&6Т „
излучения и поглощения смещены на ом = • Смещение частоты из-за
pVz
разности высот Дм = —^-м и, таким образом, значение оТ=1°С отвечает
разности высот
й, 3*67, оо
2 Mg-
С классической точки зрения изменение поглощения у-лучей, зависящее
от температуры, обусловлено квадратичным эффектом Доплера.
96. £KI,H=K(Z^nop)2 + (mc2)2—тс2, где т — масса покоя частицы.
1) £кин = 1,1. IO’ эв.
2) £кин = 0,51 • Ю9 эв;
3) £кин = 0,92 • 109 эв.
с
97. Минимальная скорость гМ1Ш = —, а минимальная энергия
Мс2
р
^мпн
подставляя п = 1 р • 2,81 • 10 4, получим
100Л4с2 .
^МИН — , л ~ >
}/Л5,62р
здесь Л1 — масса покоя частицы.
400
ДОПОЛНЕНИЕ
98. Если промежуточный процесс существует, то в системе координат,
в которой частица <о покоится, ее энергия покоя E°w равняется сумме энер-
гий частиц, на которые « распадается, т. е.
Аналогично, для импульса
Р = Рк+ 4~ р'- 4~ р'о = 0.
Так как величина Е2— р2с2 не изменяется при переходе в другую систему,
то в лабораторной системе
f2-A2 = (^)2,
где Е и р суммарные энергия и импульс трех частиц (г.-, ~° и г. + ).
Если частица w существует, то, рассматривая много реакций распада и
... о2 2 2
каждый раз вычисляя с0 — р с , мы должны получать одну и ту же вели-
чину для (£°)2.
99. Невозможны реакции 2 и 4 из-за несохранения лептонного заряда
и реакция 8 —из-за несохранения барионного заряда.
100. Реакции 2, 3, 6, 8, 9 запрещены. При изучении взаимодействия
нейтрино, полученных по реакции 1, с протонами было показано, что идет
реакция 5, а не 6, хотя последняя энергетически более выгодна. Тем самым
было доказано существование двух нейтрино.
101. В реакциях 1, 6, 8, 10, 12, 14 I AS | = 0, и они идут по сильному
взаимодействию. В реакциях 2, 3, 4, 7, 9, 11 | AS | = 1. Поэтому распады 3 и 4
происходят с малым временем, а реакции 2, 7, 9, 11 практически не наблю-
даемы. В процессах 5 и 13 | AS | = 2, и поэтому такие процессы не наблю-
даются. Каскадный гиперон распадается по реакции 4, а затем А распа-
дается по реакции 3.
102. Кинетическая энергия полностью затрачивается на рождение ча-
стицы только в системе центра масс соударяющихся частиц, так как лишь
в этой системе все частицы после реакции могут находиться в покое (при
пороговом значении энергии). Таким образом, задача нахождения пороговой
энергии сводится к задаче определения связи между величинами кинетичес-
кой энергии в лабораторной системе IF и в системе центра масс lFr. Обозна-
чим через Si энергию покоя налетающей частицы, через ( = 938 Мэв)—
энергию покоя нуклона. Тогда из условия постоянства разности (g -j- IF)2—с2р2
во всех системах отсчета находим
($! + В2 4" ^)2 — с2р2 — ($14* &2 4* ^)2>
(g14-u/)2-c2p?=g?.
Отсюда
IF = IfJ 1 + V
\ 2^2 /
Пороговое значение W для рождения --мезона получим, подставляя сюда
Wc — т~с2 — 140 Мэв. Таким же путем найдем, что пороговое значение
энергии рождения г.-мезона при взаимодействии у-кванта и электрона с ну-
клоном равно 150 Мэв, а при взаимодействии нуклонов — 290 Мэв.
103. Рассмотрим реакции в системе центра масс электрона и позитрона.
Тогда из закона сохранения получаем, что импульс у-кванта равен в этой
системе нулю, что, очевидно, невозможно.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
401
104. Решение. Так как энтропия монохроматического излучения равна
нулю, то при преобразовании монохроматического света одной частоты
в монохроматический свет другой частоты (это как раз имеет место в дан-
ном случае, так как спектры излучения и поглощения линейчаты) изменение
энтропии всей системы «вещество -|- излучение» сводится к изменению энтро-
пии только «вещества» (люминофора). Это изменение при установившемся
режиме равно
л с а е
И у, о
Согласно принципу возрастания энтропии dS^>Q,
а потому
‘ а
105. По определению
vw (v) d-i
Р“
const , ,,
----— = const А ,
т. е. в данной области энергетический выход люминесценции является ли-
нейной функцией длины волны возбуждающего света.
106. Решение. В случае тормозного излучения быстрая заряженная
частица, пролетая вблизи силового центра, фиксированного в некоторой
точке среды, испытывает радиальное ускорение, знак которого не меняется
за все время пролета. Соответствующий этому ускорению импульс тормоз-
ного излучения имеет вид короткого «всплеска» (рис. 7), который для до-
статочно быстрых частиц можно апроксимировать о-функцией Дирака, осно-
вное свойство которой выражается формулой
ь
Г ч , ч , f / (*о) при а < х0 < Ъ,
I / (л) о (х — л0) dx = (
J (в остальных случаях.
а
Поэтому импульс тормозного излучения
£ (0 = £оо (t —10)
при разложении в интеграл Фурье
+ оо
£(/) = J E^'di»
— со
дает спектральную плотность Еш, модуль которой
= \е l(°ai | = const.
Этот модуль называют просто спектром. Таким образом, спектр тормозного
излучения приблизительно постоянен, т. е. не зависит от частоты.
402
ДОПОЛНЕНИЕ
В случае черенковского излучения вектор поляризации в данной точке
меняется не только по величине, но и по направлению (рис. 8, а). Аксиаль-
ная компонента вектора поляризации Pz (параллельная линии движения ча-
стицы) меняет при пролете знак на противоположный. Радиальная компо-
нента Рг хотя и не меняет знака, но и не дает вклада в излучение (рис. 8, б),
так как ей всегда сопутствует симметричная относительно траектории дви-
жения частицы противоположно направленная компонента, так что на беско-
нечности их поля излучения взаимно уничтожаются. Таким образом, в череп-
ковское излучение вносит вклад только аксиальная компонента вектора поля-
ризации Pz, импульс которой (см. рис. 8, в) можно аппроксимировать произ-
водной от S-функции
основное свойство которой выражается формулой
Ь I
f — Ло) dx=^
а I
-т— f (л0) при а < л'о < 6,
a
0 в остальных случаях.
Разлагая импульс Pz (t) в интеграл Фурье
Рг<!) =
+ оо
J Рше'ш
для спектра получим выражение
Р I — —
СО
— со
iPoe!a,t'
2л
«> — const «,
т. е. спектр черенковского излучения приближенно представляется линейно
функцией «>.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
403
107. Из-за эффекта Доплера длина волны в системе координат, движу-
щейся вместе с жидкостью, равна X' = X ДХ, причем в первом приближении
ДХ____v
К с/п’
Здесь п = п(Х). Поэтому
.... /1 । , dn , , dn v
п (X') = п (X -f- ДХ) » п -Н -тт- ДХ = п 4- Хи —г-
v ' 1 jx dK с
с с/п ~ с у dn
п (X') . dn v ~ п dK п *
1 + К —Г---
1 dK с
Из релятивистской формулы сложения скоростей получим
и — —-—------
1 п (X') с
с . dn v
п dK п
1
П2
X dn X
п dK ,
с 1 л
~----L v 1
П \
108. Решение. Обозначим через К систему координат, в которой не-
подвижен радиолокатор, а через К' — систему, в которой неподвижен пред-
мет. Оси X и X' выберем так, чтобы они были параллельны друг другу и
направлению скорости предмета
в системе К (рис. 9). На предмет
падает и от него отражается из-
лучение от радиолокатора, кото-
рое в системе К' благодаря эффек-
ту Доплера имеет частоту
(п
где р , <р — угол между осью
X и направлением на предмет в
системе К (см. задачу 492).
Таким образом, в системе К'
предмет играет роль радиопере-
датчика, излучающего частоту
о/ в направлении радиолокатора,
которое в этой системе составляет некоторый угол ф' с осью X' (этот угол,
вообще говоря, отличается от угла ф = я-{-<?, который составляет это напра-
вление с осью X' в системе /<!). Закон преобразования углов легче всего
получить из формулы сложения скоростей
или
и COS ф
и' COS Ф' + V
. j Vll' COS Ф' *
и ci
(2)
404
ДОПОЛНЕНИЕ
применяя ее к распространению света. Учитывая, что скорость света по
стоянна во всех инерциальных системах ц= и' = с, получим
COS ф
откуда
COS ф' 4- 3
1 4- Р COS ф' ’
COS ф'
COS Ф — Р
1 — р COS ф
(3)
(4)
Учитывая, что в системе К' радиолокатор движется относительно предмета
со скоростью — V, перейдем снова к системе К- В этой системе частота
принимаемого радиолокатором отраженного сигнала выражается формулой
, 1 4- Р cos ф' _ 1 — р cos 7 14-рсозф'
“ }/Т^р2 ~ “ КГ^р2 КГ^р2 *
Используя формулу (4) и равенство ф = ~ 4- получим
= <л
1 — Р cos 7
1 + Р cos 7
(6)
Отметим, что при 7 — -%, т. е. при движении предмета перпендикулярно
радиусу-вектору, соединяющему его с радиолокатором, никакого смещения
частоты отраженного сигнала (принимаемого тем же радиолокатором) не
наблюдается.
109. Решение. После s-ro ускорения электрон находится на s-й кру-
говой орбите и имеет энергию
= same2.
Относительная его скорость равна
а
тс2
1
n2s2
а радиус окружности, по которой он движется после s-ro ускорения,
Р — Vs = Vs^s __
5 есНй еН0
Все орбиты образуют семейство окружностей с общей касательной в точке
ускорения. Поэтому максимальное расстояние между s-й и (s — 1)-й
окружностью
тс2 [ /~ 1 /~ 11
= |/ 1-^-(S-1) |/
Это расстояние монотонно растет с увеличением s и будет максимальным
для последней орбиты s = N:
__ тс2
1
n2N2
1 1 тс2 . „
ZZ2(7V_1)2J ~ » 1>/ СМ>
Энергия на выходе микротрона
%>N = Nnmc2 к 12 Мэв.
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
405
110. Решение. Время т, которое пройдет на ракете (если предполо-
жить что она движется с постоянной скоростью v относительно Земли),
связано с земным временем соотношением
о
V /?
где —. Время t, необходимое для прохождения расстояния R, равно — .
Отсюда для заданных т и R получаем необходимую скорость
С (l 1 С2г2 \ (1 1 1П-э\
~R2~
v —
Для нахождения отношения масс рассмотрим движение ракеты в системе
координат, в которой Земля покоится. Так как в этой системе в начале
и в конце пути покоится и ракета, то в силу закона сохранения импульса
суммарный импульс света р^, излученный при ускорении ракеты, равен по
абсолютной величине и противоположен по направлению суммарному им-
пульсу света pf2, излученному при замедлении:
Pfi^PfV
(1)
После ускорения
импульс ракеты рт —
Afj v
равен
РГ = Р/Р (2)
а энергия ракеты равна
&г= Мос2 8/ь (3)
где Мо — полная масса ракеты с топливом в начале пути, —энергия
света, излученного при ускорении. Эта энергия связана с импульсом соот-
ношением
И)
Из уравнений (2), (3), (4) получим для массы ракеты после ускорения Л4,
и для энергии излученного света следующие выражения:
М, = —^0; 8/1 = М0с2. (5)
В силу закона
сохранения энергии
8/1 + 8/2 — -Мое2,
где 8/2 — энергия света, излученного при замедлении, Л4К — масса ракеты
в конце пути. Используя (5) и (1), получим
8/1 1 — 3 о
Мк = Мо - 2 = у-- Л40 « 1О-9Л4о.
С 1 I Р
111. Решение. Пусть в системе координат К, связанной с Землей,
в момент времени t система координат К', связанная с космическим кораблем,
имеет скорость v, равную скорости корабля в данный момент. В следую-
щий бесконечно близкий момент t dt скорость космического корабля
406
ДОПОЛНЕНИЕ
в системе К будет равна и-}-du, а в системе некоторой величине du'.
Так как в рассматриваемый момент t системы К и К' движутся друг отно-
сительно друга с постоянной скоростью v, то, применяя формулу сложения
скоростей, получим
Пренебрегая бесконечно
где Промежутки
отношением
малыми второго порядка, будем иметь
, , 1 ,
du — 5-----
1--[V
времени dt' и dt в системах К' и К связаны со-
dt' = dt,
а следовательно, ускорения — соотношением
du' __ 1 du
dt ~ (1— ^2)’2 dt *
По условию
du’
—ггг — а = const,
dt
поэтому
du ...s/
— = Д (1 - ?2) \
и =
Интегрируя с начальным .условием t — 0, и —- 0, получим:
at
~a2t2
с2
,, ds
Учитывая, что и — -гг
dt
получим выражение для
и интегрируя еще раз при условии f = 0, $ = 0,
проходимого пути $:
s =
a2t2
с2
1 L
ялч
t =-
с
as
уравнения представляют гиперболы (отсюда
На плоскости 5, t последние 2.
и название «гиперболическое» движение). Таким образом, в системе К, свя-
R
занной с Землей, для прохождения расстояния кораблю понадобится
время
t =
с2
aR
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
407
В системе же К' собственное время т будет равно
о
,, с 1
dt — — In
а
Л2/2 1
с2 /’
или
с . , at с . ,
т = — Arsh — = — Arsh
а с а
с2 \
aR / ‘
На все путешествие понадобится вдвое большее время т0 = 2т:
2с / Ra Г < . с2 \
Т° ~ a AfShbc2 V -+ aR]
2с2
Для больших расстояний R, для которых R ~ Ra (в данном случае
для а = 10 м/сек2, Ro = 2 свет, года), последняя формула принимает вид
2с . aR \ ,
т0 » — In —5- « 21 год.
а \ с2 ;
dpT
112. Решение. В системе координат, связанной с ракетой, М'а,
где ЛГ — масса ракеты с топливом. Изменение импульса рт равно по абсо-
лютной величине изменению импульса излученного света и противоположно
по направлению:
dp'T = — у d$)f = — с dM',
где d^j — с2 dM'— изменение энергии излученного света. Отсюда
..r dM’
М а = —с ..
dt
Расходуемая мощность
w — - - М'ас.
dt
Конечная масса ракеты Л1К связана с начальной, массой Мо соотношением
(см. задачу ПО дополнения)
Мк — Мо 1 > Мо — J _ р Л4к,
где 3 = v — максимальная скорость ракеты (скорость в середине пути).
Для равноускоренного движения (см. решение задачи 111 дополнения)
откуда
Подставляя это значение, найдем, что необходимая мощность в начале
408
ДОПОЛНЕНИЕ
пути равна z
14-3 /?2а2
w0 = Моас = i _ г./ ас^к ~ Л1К<7С я 2,4 • 103' эрг'сек.
Если сравнить это с мощностью взрыва первой атомной бомбы, при котором
примерно за 10 6 сек выделилось 5 • Ю20 эрг, то мы получим, что для дан-
ной ракеты необходимо в секунду расходовать энергию 5• 104 таких бомб.
113. Решение. Пренебрегая движением атомов водорода относительно
Земли, находим, что интенсивность Р (t) космического излучения, состоящего
из атомов водорода, налетающих на корабль, растет в первую половину
пути по закону
Р = (0-^(0-
где п = — П° ——пЛотность водорода в системе координат, связан-
/1-RO
тнс
—.......— энергия одного атома водорода
К1-РЧ0
в той же системе, р (t) ~ —-скорость корабля относительно Земли (и
относительно водородного газа). Для равноускоренного движения (см. задачу
110 дополнения)
at
Таким образом,
ft (t\ / a2t2
Р (0 - r?0mHc3 t = n^at |/ 1 Д- .
Максимальное значение эта величина имеет для середины пути, где
. R , Г, , с2 „
4 =27 У 1 + • °н0раВН0
aR / . с2 / Ra \
^макс^ «O^2-^- J/ l + 2?)^П°тН
~ 6,3- 1015 эрг[смг сек.
Для сравнения отметим, что интенсивность космических лучей, приходящих
на Землю
Р3ем = 3 • 10-3 эрг!см2 сек.
114. Решение. В системе координат Земли из закона сохранения
импульса имеем
где Р=у. Интегрируя при £ = 0, u = 0, М ~ А10> получим
м /1 —
Мо А1 + Ем ’
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
409
Для фотонной ракеты v = с и
м
ма~у 1 + Г
В случае v с и и с формула (1) переходит в
М ——
-^=(1-2?)’?-
т. е. в формулу Циолковского.
115. Решение. Вследствие аберрации происходит смещение видимого
положения звезд на небесной сфере. По сравнению с земным наблюдателем
для космонавта звезды как бы сбегаются к точке небесной сферы, к кото-
рой направлена скорость движения корабля, и разбегаются от диаметрально
противоположной точки. Это смещение видимого положения описывается
соотношением
n, cos 6 —
cos о — .------н- , или sin о = sin и -----!—г-,
1 — cos 0 1 — cos О
V
где $ — — , v—скорость корабля относительно Земли, 0 —угол между на-
правлением полета и звездой в системе корабля, а 0 — тот же угол в системе
Земли. Например, для галактической скорости Р = 1 — -% • 10~8 звезды, рас-
положенные в полусфере в земной системе координат, на космическом
корабле будут видны в пределах конуса с углом раствора 20' « 0,6 угло-
вых минут.
116. Решение. В системе J\ плотность о = —. В системе К'
г d V
, = dM> =__________dM___________ 1
Р ~ dV' ~ / 1 — fj2 . dV .fTZry- ~ i — р2р’
V
где , v — скорость системы К' относительно системы К- Термодина-
мическая температура определяется из уравнения
где dS — изменение энтропии вследствие изменения энергии rfg. Но энтро-
пия является инвариантом при преобразованиях, так как зависит от вероят-
ности данного статистического состояния системы по сравнению с вероят-
ностями других статистических состояний той же системы. Энергия пре-
образуется как масса
/1 — р2
Поэтому
Т
Т =
/1-Р2
ТАБЛИЦЫ
Таблица I. Давление паров воды и этилового спирта
при различных температурах
Температура в градусах Цельсия Давление в мм рт. ст. Температура в градусах Цельсия Давление в мм рт. ст.
Вода Этиловый спирт Вода Этиловый спирт
35 42,188 — 5 6,54 17,70
30 31,834 78,41 4 6,01 16,62
28 28,35 70,09 3 5,68 15,69
25 23,76 59,03 2 5,29 14,60
24 22,38 55,70 1 4,92 13,65
23 21,07 52,54 0 4,58 12,73
22 19,83 49,54 —1 4,25 —
21 18,65 46,69 —2 3,95 —
20 17,54 44,00 —2,8 — 9,49
19 16,48 41,45 —3,0 3,67 —
18 15,48 39,05 —4,0 3,40 —
17 14,53 36,77 —5,0 3,16 —
16 13,64 34,62 —6,0 2,93 —
15 12,79 32,60 —7,0 2,71 —
14 11,99 30,69 -8,0 2,51 —
13 11,23 28,89 —9,0 2,32 —
12 10,52 27,19 —10,0 2,14 6,47
11 9,84 25,59 —10,6 — 5,20
10 9,21 24,08 —11,0 1,98 —
9 8,61 22,66 —12,0 1,83 —
8 8,05 21,31 —13,0 1,68 —
7 7,51 20,04 -16,5 — 3,23
6 7,01 18,84 —24,5 — 1,72
Таблица II.
3 (1 — р2)’/2 / в 103 эв на 1 см воздуха 3 (1-32)7г f в 103 эв на 1 см воздуха
0,126 45,2 0,894 3,28
0,18 25,9 1,15 2,83
0,255 14,8 1,39 2,69
0,315 10,8 1,61 2,52
0,366 8,7 2,68 2,41
0,411 7,4 4,74 2,49
0,60 4,68 •
ТАБЛИЦЫ
411
Таблица III. Значения = g как функция от /----------------——
М J \(1 —^)‘/2
(R— пробег частиц)
3 (1 - [p)4z gf !L_Yio2, k (1 - ₽2) ) выраженное в см воздуха при нормальных условиях Р (1-^)‘/2 g ( У 102, V (1 —₽г)‘/2 J выраженное в см воздуха при нормальных условиях
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,05 6,10 0,275 0,70 1,60 3,0 5,25 8,40 0,18 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 12,35 21,00 41 61 102 183 265
Таблица IV. Соотношение пробег — энергия для частиц в эмульсии
Пробег Энерги я (Мэв) Пробег Энергия (Мэв)
(микроны) р t а (микроны) р а
5 0,47 0,58 0,63 1,50 60 2,60 3,37 3,80 10,30
10 0,78 0,98 1,10 2,84 70 2,88 3,79 4,20 11,35
20 1,26 1,60 1,82 4,86 80 3,10 4,05 4,60 12,35
30 1,66 2,10 2,40 6,47 90 3,35 4,35 5,00 13,25
40 2,00 2,55 2,89 7,85 100 3,60 4,65 5,30 14,23
50 2,32 2,97 3,37 9,10 150 4,60 6,00 7,00 18,15
Таблица V. Значения в свинце как функция от--------------------------------
dx (1 - P2)*/S
{* ах в Эрстед-см на 1 см свинца ^1.10-3 ах в эрстед*см на 1 см свинца
(1-₽2)‘/2 (1 - ₽2)’/2
0,3 0,288 8,33 1,0 0,706 0,80
0,4 0,372 4,33 1,1 0,739 0,72
0,5 0,449 2,71 1,2 0,768 0,67
0,6 0,515 1,91 1,3 0,793 0,62
0,7 0,574 1,45 1,4 0,814 0,56
0,8 0,625 1,15 1,5 0,832 0,545
0,9 0,667 0,94 1,6 0,848 0,543
1,8 0,874 0,542
412
ДОПОЛНЕНИЕ
Таблица VI. Массы нейтральных атомов в ае.ч
п0 1,0089860± 10 Li7 7,0182389 ±42
Н1 1,008’451 ± 2 Li8 8,0250425 ±44
Н2 2,0147425± 6 Be7 7,0191625 ±33
Н3 3,0170013 ±29 Be8 8,0078563 ±38
Не3 3,0169807 ±18 Be9 9,0150566 ±36
Не4 4,0038761 ±13 В10 10,0161236 ± 39
Li8 6,0170404 ±44 С12 12,0038156 ± 4
Таблица VII. Радиоактивное семейство урана — радия
Название z A Вид распада Период полураспада Энергия частиц в Мэв
Уран UI 92 238 a 4,5 • 109 года 4,21
их^ 90 234 24 дня 0,13
^их2 91 234 1,14 .мин. 2,32
Уран U II 92 234 a 2,7 • 105 года 4,75
Ионий \о 90 230 a 8,3 • 104 года 4,66
Радий Ra 88 226 a 1550 лет 4,79
Радон Rn 86 222 a 3,82 дня 5,49
RaA 84 218 a 3 мин. 6,00
V „ RaB 82 214 ? 26,8 мин. 0,65
RaC 83 214 8(99,96%) 19,7 мин. 3,2
/\ a (0,04%) 5,5
у7 RaC' 84 214 a 1,5-10~4 сек. 7,68
RaC" / 81 210 ? 1,3 мин. 1,80
^RaD1^ 82 210 0 22 года 0,025
RaE 83 210 0 5 дней 1,17
V Полоний Po 84 210 a 140 дней 5,30
Свинец Pb 82 206 устойчивый
Фото I.
фото III,
Фото IV.
Фото V.
Фото VI.
Фото VII
Фото VIII.
Фото IX.
Фото X.
Фото XI