Автор: Юшкевич А.П.
Теги: алгебра математика теория относительности история математики издательство наука ан ссср
Год: 1980
Текст
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
XXV
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
И ТЕХНИКИ
историко-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
XXV
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1980
УДК 512(091)
Сборник содержит работы по различным вопросам
истории математики. В сборник включены статьи по
истории математического анализа, теории относительно-
сти, об И. Г. Ламберте, письма Д. Ф. Егорова к Н. Н.
Лузину.
Издание рассчитано на широкий круг математи-
ков и историков науки.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А. П. Юшкевич (отв. редактор),
С. С. Демидов, |а. И. Маркушевич), А. Д. Соловьев,
Е. И. Славутин (секретарь редакции)
20201-110
055 (02)—80
13-80 1702030000 @ Издательство «Наука», 1980
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции............................................. 7
Из истории математического анализа
С. С. Петрова (Москва), Д. А. Романовска (Варшава).
К истории открытия ряда Тейлора........................ 10
И. А. Головинский (Москва). Ранняя история аналитиче-
ских итераций и функциональных уравнении .............. 25
|а. И. Маркушевич| (Москва). Некоторые вопросы истории
теории аналитических функций в XIX в................... 52
С. С. Демидов (Москва). Развитие исследований по уравнени-
ям с частными производными первого порядка в XVIII—
XIX вв................................................. 71
А. В. Дорофеева (Москва), В. М. Тихомиров (Москва). От
правила множителей Лагранжа до принципа максимума Пон-
трягина ................................................ 104
|н. И. Симонов| (Москва). О развитии идеи корректности
краевых задач математической физики .................... 129
Б. М. Левитан (Москва). Очерк исторпи теории почти-пе-
риодических функции..................................... 156
Ф. А. Медведев (Москва). Аксиома выбора и математический
анализ.................................................. 167
И. Г. Ламберт
(к 250-летию со дня рождения)
А. П. Юшкевич (Москва). И. Г. Ламберт и Л. Эйлер . . . 189
А. Т. Григорьян (Москва), Н. И. Невская (Ленинград).
И. Г. Ламберт и Петербургская академия наук............... 218
3. А. Кузичева (Москва). Символическая логика в сочине-
ниях И. Г. Ламберта....................................... 225
Б. Л. Лаптев (Казань). Ламберт — геометр.................. 248
3
Статьи различного содержания
Вл. П. Визгни (Москва). К истории открытия уравнений гра-
витации (Эйнштейн и Гильберт)........................... 261
К. Р. Бирман (Берлин). Некоторые результаты новых иссле-
дований о Гауссе........................................ 266
Л. К. Арболеда (Париж). Рождение советской топологической
школы. Замечания о письмах П. С. Александрова и П. С. Уры-
сона Морису Фреше....................................... 281
И. Г. Башмакова (Москва). Композиция квадратичных форм
в математике XIII—XVI вв................................ 303
Г. М. Кожухова (Багдад). Арабская версия «Измерения круга»
Архимеда................................................ 315
М. В. Виллуэндас (Барселона). Трактат Ибн Му’аза по сфе-
рической тригонометрии.................................. 317
Б. А. Розенфельд (Москва). О математических работах Кутб
ад-Дина аш-Ширази....................................... 320
С. Вахабов (Андижан). Две математические модели ал-Би-
руни.................................................... 328
Публикации, архивные материалы
Письма Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузину. (Предисловие
П. С. Александрова. Публикация и примечания Ф. А. Мед-
ведева при участии А. П. Юшкевича)...................... 335
А. П. Юшкевич (Москва). Письма А. Данжуа к Н. Н. Лу-
зину ................................................... 362
Именной указатель (сост. А. Ф. Лапко)................... 369
SOMMAIRE
Editorial....................................................... 7
Problemes d’histoire le Г analyse infinitesimale
S. S. Petrova (Moscou) et D. A. Romano vska (Warszawa). Sur
la decouverte de la serie de Taylor............................ 10
I. A. Golovinski (Moscou). Les debuts des recherches sur les ite-
rations analytiques et des equations fonctionnelles............ 25
|A.I.Markouchevitch| (Moscou). Quelques problemes d’histoire
de la theorie des fonctions analytiques au XIXе siecle ... 52
S. S. Demidov (Moscou). Le developpment de la theorie des
equations aux derivees partielles du premier ordre au XVIIIе
et au XIXе siecle.............................................. 71
A. V. Dorofeeva (Moscou) et V. M. Tikhomirov (Moscou). De
la regie de multiplicateurs de Lagrange jusqu’an principe de
maximum de Pontriaguine....................................... 104
|n. I. Simonovj (Moscou). Sur le developpement de la notion de
probleme correctement pose de la physique mathematique . . 129
В. M. Levitan (Moscou). Aperfu d’histoire de la theorie des fon-
ctions presque-periodiques.................................... 156
F.A. Medvedev (Moscou). L’axiome du choixetl’analyse infini-
tesimale ..................................................... 167
J. H. Lambert
(to 250 years from the birthday)
A. P. Yousehkevitch (Moscou). J. H. Lambert et L. Euler. . 189
A. T. Grigorian (Moscou), N. I. Nevskaia (Leningrad).
J. H. Lambert et I’Academie de sciences de St.-Petersbourg 218
Z. A. Kouzitcheva (Moscou). La logique symbolique de
J. H. Lambert................................................ 225
B. L. Laptev (Kazan). Lambert — geometre.....................248
5
Varia
V. P. Vizguine (Moscou). Sur 1’histoire de la decouverle des
equations de la gravitation (Einstein et Hilbert) .... 261
K.R.Biermann (Berlin—DDR). EinigeErgebnisseneurer Gauss-
Forscbungen................................................ 266
L. C. Arboleda (Paris). Les debut de 1’Ecole topologique so-
vietique : notes sur les lettres de Paul S. Alexandroff et Paul
S. Urysobn a Maurice Frechet............................... 281
I. G. Bachmakova (Moscou). Composition des formes quadr'a-
tiques chez les matheinaticiens des XIIIе —XVIе siecles . . 303
G. M. Kojoukhova (Bagdad). La version arabe de la «Mesure
du cercle» d’Archimede..................................... 315
M. V. Villuendas (Barcelona—Madrid). El antique tratado de
trigonometria esferica de Ibn Mu’ad........................ 317
B. A. Rosenfeld (Moscou). L’oeuvre mathematiques de Qutb
al-Din al-Sliirazi......................................... 320
S. Vakhabov (Andijan). Deux modeles matbematiques d’al-
Biruni..................................................... 328
Publications, description des Archives
Lettres de D. F. Egorov a N. N. Lusin. Publication de F. A. Med-
feved en collaboration avec A. P. Youscbkevitch. Preface de
P. S. Alexandrov (Moscou).................................. 335
A. P. Youscbkevitch (Moscou). Sur les lettres de A. Denjoy
a N. N. Lusin............................................ 362
Index des noms............................................. 369
ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящий выпуск «Историко-математических иссле-
дований» содержит четыре раздела.
Первый раздел, состоящий из восьми статей по истории
различных проблем математического анализа от XVII в.
до середины нашего столетия, открывается работами об
открытии Дж. Грегори и И. Ньютоном так называемого
ряда Тейлора и о раннем этапе развития методов решения
функциональных уравнений. Далее следуют две статьи
об анализе XIX в.: о некоторых малоизученных вопросах
развития теории аналитических функций, теории урав-
нений с частными производными первого порядка. Три
статьи имеют своим предметом развитие анализа, глав-
ным образом в XX в.— теорию экстремальных задач,
развитие идеи корректности краевых задач и теорию
почти-периодических функций. Как известно, в разработку
этих проблем существенный вклад внесли советские мате-
матики. Наконец, последняя статья раздела дополняет
проведенное более полувека назад В. Серпинским иссле-
дование роли аксиомы выбора в. курсах классического
анализа.
Четыре статьи второго раздела посвящены выдающемуся
математику XVIII в.— И. Г. Ламберту, 250-летие со дня
рождения которого состоялось в 1978 г. В них рассмотрены
научные и личные контакты Ламберта с Л. Эйлером, его
взаимоотношения с Петербургской академией наук, его
работы но математической логике и различным областям
геометрии. Следует заметить, что символическая логика
Ламберта до сих пор исследована далеко не полностью,
а о попытке Ламберта доказать постулат о параллель-
ных встречаются не вполне точные утверждения даже
в весьма компетентных сочинениях.
Раздел статей различного содержания — в нем восемь
статей — открывается небольшой заметкой об откры-
тии уравнений гравитации общей теории относитель-
ности А. Эйнштейна, столетие со дня рождения которого
7
отмечается в 1979 г. Содержание статей этого раздела,
как было и ранее, весьма разнообразно. За статьей,
содержащей новые данные о жизни Гаусса, помещено
исследование о возникновении советской топологической
школы, основанное на изучении недавно обнаруженных
писем П. С. Александрова и П. С. Урысона к М. Фреше.
Дальнейшие статьи посвящены задачам XIII—XVI вв.,
в которых фактически применялась композиция квадра-
тичных форм; арабской версии «Измерения круга» Архи-
меда, в которой дается иная, более полная формулировка
одной из теорем, чем в известном нам греческом тексте,
первом занадноарабском трактате, в котором сферическая
тригонометрия была изложена независимо от астрономии;
краткому разбору математических трудов но основаниям
геометрии и некоторым инфинитезимальным проблемам
Кутб ад-Дина аш-Ширази и в завершение двум интерес-
ным задачам ал-Бируни.
Нужно заметить, что некоторые из упомянутых статей
представляют собой обработку докладов, сделанных на
Второй летней школе по истории математики «Математи-
ческий анализ и физика XVIII—XX вв.», проведенной
в г. Лиепая в июле 1978 г.
Раздел публикаций в данном выпуске дополнен об-
зорами некоторых архивных материалов, и соответствен-
но изменено его заглавие. Здесь прежде всего печатают-
ся письма Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузину за 1905 —
1914 гг., которые несомненно с интересом будут прочитаны
многими, затем, в дополнение к публикации в XXIII
выпуске писем Н. Н. Лузина к А. Данжуа, помещено
краткое описание найденных позднее писем Данжуа к
Лузину.
Настоящий выпуск является по счету двадцать пятым.
Первый выпуск серийного издания вышел в 1948 I.
В общем в двадцати пяти выпусках «Историко-мате-
матических исследований» были опубликованы 474
статьи и публикации более 185 ученых, в подавляющем
большинстве советских, но также и зарубежных, работаю-
щих в Англии, Венгерской Народной Республике, Гер-
манской Демократической Республике, Ираке, Испании,
Нидерландах, Соединенных Штатах Америки, Социали-
стической Республике Румынии, Федеративной Респуб-
лике Германии, Франции, Чехословацкой Социалисти-
ческой Республике, Швейцарии. Основую массу авто-
8
ров составляют, естественно, историки математики, но
нередко — чем далее, тем чаще — па страницах сборни-
ков выступали также математики, механики и историки
механики и физики. Мы с благодарностью должны вспом-
нить авторов, которых нет уже в живых,— М. Я. Выгод-
ского, В. В. Голубева, И. Я. Денмана, В. П. Зубова,
Г. Л. Лунда, М. И. Медового, И. Г. Мельникова, И. Б. По-
гребысского, Е. Я. Ремеза, Г. Ф. Рыбкина, бывшего
одним из основателей и редакторов (до XVII выпуска)
этого издания, В. В. Степанова, А. К. Сушкевича,
Ф. И. Франкля, Г. Е. Шилова, С. А. Яновскую. Уход
из жизни этих ученых явился большой потерей для науки
вообще, для нашей серии в частности. Но место ушедших
занимает молодежь, и в последние годы число авторов
значительно возросло. Становится шире и богаче диапазон
публикуемых в сборниках работ, в которых историк все
более приближается к современности, глубже становится
историко-математический анализ. Можно сказать, что
наши «Историко-математические исследования» вступили
в пору зрелой молодости, и следует надеяться, что им
предстоит долгое дальнейшее развитие.
* * *
Когда XXV выпуск «Историко-математических ис-
следований» находился в печати, скончались член ре-
дакционной коллегии, действительный член Академии
педагогических наук СССР, доктор физико-математи-
ческих наук профессор Алексей Иванович Маркушевич
(1908—1979), автор одной из статей данного сборника,
и автор другой статьи, видный историк математики,
профессор Московского технологического института,
доктор физико-математических наук Николай Иванович
Симонов (1910—1979).
А. Юшкевич
ИЗ ИСТОРИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
К ИСТОРИИ ОТКРЫТИЯ РЯДА ТЕЙЛОРА
С. С. Петрова, Д. А. Романовска
I
В 1939 г. английский исследователь Г. У. Тёрнболл
издал сборник [1], посвященный 300-летию со дня рож-
дения выдающегося шотландского математика Джеймса
Грегори (1638—1675), содержащий некоторые его пись-
ма (частично публикуемые впервые) и ранее неиздавав-
шиеся рукописные материалы — фрагменты неокончен-
ных трактатов, черновики и т. д. Среди замечательных
результатов, обнаруженных в этих бумагах, наиболее
неожиданными оказались многочисленные примеры ис-
пользования теоремы Тейлора, которые Тёрнболл дати-
рует 1671—1672 гг. До появления этого сборника
история теоремы Тейлора связывалась с именами Лейб-
ница и II. Бернулли, нашедших особую форму ряда
Тейлора1, и самого Б. Тейлора, который сообщил
1 Лейбниц и И. Бернулли пришли к своему разложению [2, с. 229]
<£•2
f(x) = f (0) + xf (X) - -2J- /" (х) + -gj- Г
интегрированием ряда для дифференциального выражения
/ (х) dx. Это разложение легко получить из ряда Тейлора
/'(х) /"(х) (х)
f (X + h) = f (X) + h .
заменой h на —x. Кстати, как стало ясно впоследствии, от разло-
жения Бернулли легко прийти к ряду Тейлора, для этого доста-
точно положить в нем / (z) = (х — t), тогда / (х) — <р (0), /'(х) =
= — <р'(01, /"(х) = <р"(0). Если ряд Тейлора позволяет приблизить
функцию многочленом, то ряд Бернулли существенно менее удо-
бен, так как выражает значения функции в точке х через значения
производных функции в той же точке. Он может быть полезен
в тех редких случаях, когда производные функции имеют простой
вид, например / (х) = In (1 -f- х).
10
об открытии в письме к Дж. Мечпну от 26 июля (6 ав-
густа) 1712 г. и опубликовал его в 1715 г.2
В 1946 г. в статье «Ньютон и современное математиче-
ское мышление» [4] А. Н. Колмогоров, анализируя бино-
миальное разложение (х + о)п в связи с XI предложением
работы «Рассуждение о квадратуре кривых» (опубл, в
1704) писал [4, с. 34]: «Ньютон в момент написания «Поу-
чения» к «Трактату о квадратуре кривых» был очень
близок к открытию ряда Тейлора (если не сказать просто —
открыл этот ряд!)». Это предположение подтвердилось
совсем недавно, после издания Д. Т. Уайтсайдом второй,
не опубликованной ранее редакции указанной работы
Ньютона [5], написанной им около 1691 г.,— в XII пред-
ложении, отсутствовавшем в опубликованном тексте, дан
вывод общего, правила образования коэффициентов ряда
Тейлора.
Таким образом, стало ясно, что уже задолго до Тейло-
ра ряд, носящий его имя, был известен двум выдающим-
ся математикам — Дж. Грегори и II. Ньютону.
В настоящей заметке производится детальный анализ
всех фрагментов из наследия Дж. Грегори, имеющих от-
ношение к разложению Тейлора с учетом превосходного
комментария Тёрнболла. Даются реконструкции способа
нахождения производных функций и метода обращения
рядов. На основании этого анализа, а также опубликован-
ных рукописей И. Ньютона и историко-математических
исследований об открытии им ряда Тейлора (Уайтсайда
[5], А. П. Юшкевича [3, 6]) делается попытка определить
место теоремы Тейлора в исследованиях И. Ньютона и
Дж. Грегори по теории рядов.
II
Дж. Грегори добился выдающегося успеха в разра-
ботке математического анализа, особенно теории рядов [2,
с. 62—63, 75—76, 79—80; 3, т. 2, с. 150—152, 165, 166;
7, с. 267—279], где его великим соперником был И. Нью-
тон. Свои общие методы он держал в тайне, изредка сооб-
щая окончательные результаты своих исследований Джо-
ну Коллинсу, от которого в свою очередь узнавал о дости-
жениях современников, главным образом Ньютона, ни
2 О работе Б. Тейлора 1715 г., а также о выводе К. Маклореном ря-
да, носящего его имя (намеченного, кстати, самим Б. Тейлором
на с. 27 работы 1715 г.), см. [3, с. 295—297].
11
одна из математических работ которого ие увидела свет
при жизни Грегори. Следует заметить, что учение о рядах
Ньютона стало известным английским математикам через
Коллинса, которому Ньютон в 1669 г. передал рукопись
спешно написанной им работы «Анализ с помощью урав-
нений с бесконечным числом членов» из боязни, что все
его результаты в теории рядов будут переоткрыты, как
это случилось с рядом для логарифмической функции,
опубликованным в «Логарифмотехнике» Меркатора.
В этой рукописи Ньютона (изданной лишь в 1711 г. [8, с.
3—24]) были даны его основные методы и приемы разло-
жений функций в бесконечные ряды — правила арифме-
тических действий над рядами, подстановки ряда в ряд,
интегрирования рядов, метод обращения и метод разло-
жения алгебраической функции, названной впоследствии
«параллелограммом» Ньютона. В качестве примеров здесь
впервые были выведены разложения в степенные ряды
обратных тригонометрических функций, полученных ин-
тегрированием разложения бинома, arctg х, arcsin х,
ряды для тригонометрических функций sin х (через обра-
щение ряда для arcin х), cos х (из соотношения cos х =
= (1 — sin2 а;)*/2, а также ряд показательной функции ех,
найденный обращением логарифма In (1 + х). О некото-
рых из этих рядов (для sin х, cos х, arcsin х) Грегори ста-
ло известно из письма Коллинса от 24 декабря 1670 г.
[1, с. 153]. «Узнав о рядах Ньютонгч и представляя его
метод,— писал 15 февраля 1671 г. Грегори Коллинсу
[1, с. 168—171],— в ответ посылаю свои ряды», и он при-
водит 9 разложений, 7 из которых мы рассмотрим под-
робно.
1.
. х3 . х5 х7 , х9
Ятаёх = х---^ + -5-----г + ^----...,
tgtf —Ж-Г з + 15 х +315я -Г 181440Х
secx=l + + + +
I 1 х2 , х* , х6 । 17 j 3233
111 "cos4 = “2“ + "12 + 45" +2520 Х + 1814400
, . / X , Л \ . X3 . X5 . 61 ,
In tg (—+ — )=х+ —+ —+5^ +
, 277 „ ,
2.
3.
4.
5.
72576
12
6. arccos-^= — ж2 4--^-^----5-^ +
1/2 4 1 3 3
тз 61 277
7. arctgshx = a;----_ + —_^^ + —х’-...
Мы несколько модернизируем обозначения Грегори: во-
первых, Грегори вместо тригонометрических функций
sin х, tg х, . . . рассматривает линии синуса, тангенса
и т. д., т. е. г sin х, г tg х, . . Для простоты мы пола-
гаем в его разложениях г = 1. Во-вторых, для обозна-
чения аргументов и сумм Грегори использует различные
буквы, и часто одна и та же буква обозначает различные
величины, — мы везде обозначаем аргумент буквой х.
Наконец, для сумм рядов использованы современные обоз-
начения. В дальнейшем из всех этих далеко не тривиаль-
ных для -того времени разложений известность получил
только ряд для arctg х, найденный, как мы видели, ранее
Ньютоном.
Относительно способов получения этих рядов Грегори
ничего не сообщает. Для ряда (1) можно почти наверняка
утверждать, что он был найден меркаторовским приемом
почленного интегрирования разложения
-т—г—з = 1 — — ж6 + ...
14-х2 1 1
(Таким же образом он был выведен Ньютоном [8, с. 6].)
Можно с уверенностью сказать о том, что четвертый и пя-
тый ряды получены интегрированием соответственно вто-
рого и третьего рядов. Что касается других разложений,
то они могли быть выведены разными способами, напри-
мер ряд для tg х можно было бы (так же как это сделал
Ньютон) получить обращением ряда для arctg х по методу
неопределенных коэффициентов или делением разложе-
ния синуса на разложение косинуса. Более предпочти-
тельно, казалось бы, первое предположение, так как не-
трудно заметить, что второй ряд является обращением
первого, седьмой обратен пятому и шестой ряд тоже,
по существу, является обращением четвертого ряда
(только из функции In sec х нужно вычесть In |/ 2), так что
13
обратная функция у = у (х) определяется уравйением
х = In--------7—^----г— In 1^2,
cos I у + — I
откуда
( ё~х \ Л
у = arccos -----7- .
Опубликованный в 1939 г. фрагмент из рукописных
материалов Грегори по дифференциальному исчислению
[1, с. 350—356], имеющий прямое отношение к упомяну-
тым рядам из письма, позволил почти однозначно уста-
новить методы получения этих рядов. Оказалось, что
шестой и седьмой ряд действительно получены методом
обращения, но не по способу неопределенных коэффициен-
тов, как у Ньютона, а совершенно другим (и неожидан-
ным для исследователей!) путем — из теоремы Тейлора,
которую, как выяснил Тёрнболл, Грегори использовал
также при нахождении рядов (2) и (3). Рассмотрим этот
вопрос более детально. Прежде всего было установлено,
что упомянутый фрагмент (М—43) был написан на две
недели раньше цитированного нами письма Грегори к
Коллинсу. Он состоит из 16 коротких заметок, в которых
без всяких пояснений приведены некоторые вычисления.
Вот, например, как выглядит заметка 13 [1, с. 355]:
«(xiii) lma 2d“ 3'io 4'“
, д2 о I 2*Z3 о I 8<72 । 6<74
m = r + — m = 2g+-rm = 2r + —4--^
5f“ 6fo
,c , 40<?3 , 24?5 .д , 136 , , 240 , , 120 e
m = 16g +-Д- +-m=16r+-rg2 + 7rg4 + 7rg6
nma
m = 272g + 987 4- 1680 + 720
ora
m = 272r + 3233 + 11361 4- 13440 4-
* p 1 po 1 pit 1
4-5040-^1».
Г7
14
Легко видеть, что Здесь найдены семь производных от
функции q = tg х, выраженных через q 3. Специальных
обозначений для производных Грегори не ввел; одной и
той же буквой он обозначает ординату функции и ее по-
следовательные производные, которые он отличает номе-
рами.
Полагая х = 0, tg а: = д = О, г = 1 и деля на соответст-
вующие факториалы, мы получим тейлоровские коэффи-
циенты ряда (2) для тангенса. Таким же образом можно
получить тейлоровские коэффициенты для ряда (3) из
заметки (VI), о которой речь пойдет ниже. Само по себе
это не доказывает того, что Грегори использовал теорему
Тейлора, особенно если учесть, что в других заметках под
каждой производной он пишет еще выражение для
подкасательной, а сами разложения функций в ряды
отсутствуют. Но одно обстоятельство, замеченное Тёрн-
боллом (ошибка, допущенная Грегори в вычислениях!),
все-таки позволяет утверждать, что Грегори вычислял
производные для нахождения тейлоровских коэффициен-
тов. Дело в том, что производные тангенса он находил
так:
y = tgx = ff, г/'=-А—1 + ?2,
у" = 2qq' = 2? (1 + q2) = 2q + 2д3,
у'" = (2 + 6<Л (1 + q2) = 2 + 8q2 + W,
Пятая производная у него имеет вид
у(5) = 16 4- 136да + 240д4 + 120д6,
а при нахождении следующей, шестой, производной он
делает арифметическую ошибку: в выражении
у® = (272д + 960д3 + 720д5)(1 + q2) = 272g -f-
+ 960<?3 + 720д5 + 272д3 + 960<7Б + 720д7
он складывает не 960g3 + 272д3, а 960ф‘ + 27д3 = 987д3
и получает неверное выражение
?/<«) = 272д + 987д3 + . . .
3 Несколько производных от тангенса Грегори нашел в заметках (II)
и (III).
15
Из-за этой описки в выражения следующих производных
также вкрадываются ошибки. Если подставить в полу-
ченные производные х = 0, q = 0, то ошибка, допущенная
в шестой производной, объясняет появление неправильно
вычисленных коэффициентов I yg^^Q- вместо ) при
х® и а;10 соответственно в рядах (2) и (4) (ряд (4) получа-
ется, как мы указывали выше, почленным интегрирова-
нием ряда (2)). Эта арифметическая ошибка несомненно
свидетельствует о том, что производные вычислялись
для нахождения тейлоровских коэффициентов рядов из
письма.
Остановимся на технике дифференцирования Грегори.
Представив производную от у = q = tg а; в виде у' = 1 -j-
+ q2, Грегори нашел простой и экономичный способ вы-
числения последовательных производных тангенса, сведя
этот процесс к дифференцированию многочлена от q =
= tg х. Правило нахождения производной (/ (х))п ему
было известно. В наброске М — 45 из рукописи по диф-
ференциальному исчислению, датируемом концом января
1671 г. [1, с. 368], записано выражение углового коэф-
фициента касательной к графику степени некоторой функ-
ции / (а;) через поднормаль графика функции / (х), равно-
сильное правилу дифференцирования сложной функции
для данного случая 4. Фактически это правило использо-
4 Грегори рассматривает две кривые (рис. 1) с ординатами АВ = а
и FB — аГЧг"1'1 (ЛЕ — касательная к первой кривой, FD — ко
второй; AC, HF — нормали, проведенные в точки касания А и F).
Обозначая поднормаль ВС через Ь, он приводит без вывода два
соотношения: 1) НВ = mba2m~2/rsm~2 и 2) FB : ВН = г : z, где
z = mbam~2/rm~2. Легко видеть, что отношение z/г = BHlFB (под-
нормали к ординате) определяет тангенс угла наклона касатель-
ной FD, и, следовательно, выражение z/r, которое можно предста-
вить, пользуясь современными обозначениями для производных
16
валось со времен Ферма при отыскании подкасательных
к кривым, заданным неявными уравнениями [3, т. 2, с. 202].
(В той же рукописи приведены шесть выражений подка-
сательных, равносильных правилам дифференцирования
суммы, разности, произведения, частного, корня и степе-
ни [1, с. 347—349], которые к этому времени (око-
ло 1671 г.) были сформулированы Ньютоном на языке флюк-
сий [9, с. 100].)
Как мы уже упоминали, в заметке (VI) Грегори нахо-
дит производные функции у = sec х. Использованный
здесь прием также заслуживает внимания. Вот что содер-
жится в этой заметке [1, с. 354]:
m = v t = y/~
1 2 3
/n2 = g2 + r2 + r24-5g2 + ^ + ^-6
4
2 or 2 i 85<74 . 96</6 . 36 R
m2 = 25?2+ ~^ + —г + y 78
5
m2 = 25г2 + 305c;2 + 1304 + 2368 - J + 1920 -J- +
+ 576^r
1 r6
6
ш2 = 3721?2 + 25681 + 69000 -J -J- etc.
7
m2 = 3721г2 + 84485<?2».
Здесь записаны квадраты шести производных от функции
v = sec х, выраженных снова через q tg х. В данном
случае, чтобы, как и раньше в заметках (II) и (III), иметь
в виде
z та™-2 (х)-а-а' (х) та™'1 , / ат \' •
Г rm-l rm-l "ах I rm-l I ‘axt
равносильно правилу дифференцирования (/ (х))”.
17
Дело с целым многочленом от q, ему приходится возводить
выражения для производных в квадрат. В результате
вся процедура вычисления производных оказывается
трудоемкой. Однако нам кажется, что Грегори заметил
здесь некоторую закономерность. Вот наиболее вероят-
ная реконструкция его вычислений:
т = sec х, m2 = 1 4- tg2 х — 1 -|- q2,
2тт' — 2qqr = 2q (1 д2),
(m')2 = <?Ч1+.<72)8 = ?2 (1 + ?2) = ?2 +
2т'т" = (2q -f- 4д3) (1 -f- д2),
W - <*++Л -
= 1 4. 5Q2 + 8g4 4- 4д6,
2т".т"' = (10д 4- 32д3 4- 24дБ) (1 4- q2),
, ,,/чг (5? + 16?3 4-12?5)2 (1 4-92)2
И )2 = — (1+272}2(1 У- =(5?4- 6д3)2(1 + 32)=
= 25g 4- 85g3 4- 96дБ + 36g7.
Каждое выражение для квадрата производной имеет вид
[mW]2 = Pl(q)(l+q2),
где Г\(д) — некоторый многочлен, так, P1(g) = g,
р2 (з) = 1 + 2g2. Тогда
• mW = 2Р* (g) Р* (д) (1 4- д2)2 4- 2Р?(д) д • (14- Q2),
откуда следует, что
Pl (<?) (14- <?2)2 [г; (<?) (1 + 92) 4- Рк (?)-?]2
г£(<7)(14-<?2)
= (14- g2) [Pl- (д) (1 4- д2) 4- qPk (д)]
И
Л+1(д) = Р1(д)(14-з2)4-зРг(д)-
Найденные в заметке (VI) производные с очень большими
числовыми коэффициентами можно вычислить с помощью
полученного рекуррентного соотношения для многочлена
Pk(q)- Полагая в выражениях для производных заметки
18
(VI) q = 0, г = 1, извлекая корень и деля на соответству-
ющие факториалы, найдем коэффициенты ряда (3). Как ука-
зано выше, ряды (6) и (7) также получены Грегори из теоре-
мы Тейлора, но несколько иным путем. На наш взгляд, здесь
использован следующий метод обращения. Пусть дана функ-
ция F (у) = х, F (0) = 0 и F' (0) у= 0. Нужно найти раз-
ложение в ряд обратной функции у = Г-1 (х). Для этого
записываем первую производную следующим образом:
1
У — in \ ~ Ф (у)>
а /'(?/)
а затем последовательным дифференцированием этого вы-
ражения находим следующие представления для произ-
водных у", у"’, . . .:
у" = ф' (у}у = ф'ф, у'" = [ф"ф + ф'2].ф.
Подставляя в эти производные у = 0, получим тейлоров-
ские коэффициенты разложения у (х) в ряд по степеням х.
Поясним теперь, как найти коэффициенты ряда (6), ис-
ходя из вычислений, проделанных Грегори в заметке (XV)
[1, с. 3551):
Г2 Г“ г1
«т = е; — :--------------=- ;
9 9 93
у! уб
132—+ 274 + 15-Ц-;
1 q3 1 95 97
4г1 ЗЛ
q 1 q3 ' q3
.2
.2
Я
г2
Г1 . г5 r8 г10
к 40 4 + 174 + 240 + 105 ~ ».
q 1 q3 1 <?5 1 9 99
Если следовать описанному выше методу, то, представив
1
У 2 cos у
In
функции
сумму ряда (6) у = arccos —-= уравнением х =
г 2
у (0) = л/4, находим производные неявной
что с точностью до знака совпадает с результатами вычис-
лений Грегори. Коэффициенты ряда (6) получаются при
подстановке в выражения для производных q = tg (л/4) =
19
= 1, г = 1. Из заметок (VIII) и (IX) можно аналогично
найти коэффициенты ряда (7). Кроме этих рядов, мы на-
ходим в бумагах Грегори еще следующие разложения
тех же функций tg х и sec х, найденные, возможно, ранее
[1, с. 3611:
(п । “ 1 , bsa ,
6 4------- s 4-----Г .. .,
1 г / 1 г 1
где Ь = tg 6, s = г sec 6.
Легко видеть, что это разложение в ряд Тейлора в
точке х = 6 по степеням air. Укажем еще один замеча-
тельный результат Грегори — ряд для циклоиды [1, с.
363-364]
X2 , X3 X1 ( 23х5
у = х 27 + 37 _ 37 + 60Н — ’
где х = г (1 + 6 + cos 6); у = г sin 6, полученный также
из теоремы Тейлора, таблицу соответствующих производ-
ных мы находим в наброске М—46 [1, с. 362].
Приведенные примеры, как нам кажется, достаточно
убедительно показывают, что, хотя в сохранившихся
бумагах Грегори разложение Тейлора отсутствует, в при-
менениях его сомневаться не приходится, на что впервые
обратил внимание Тёрнболл.
III
Ряд Тейлора появляется у Ньютона в связи с реше-
нием дифференциального уравнения вида
Р (z, У, У, У, • • • ) = 0.
где Р — многочлен, z — независимая переменная, так
что z = 1. В предложении XII второй редакции «О квад-
ратуре» (около 1691 г.) [5, с. 92—99] Ньютон дает под-
робное описание метода решения такого уравнения в
виде «сходящегося бесконечного ряда» по степеням не-
зависимой переменной 5. Вообще говоря, зто будет обоб-
5 Об этом методе для уравнения первого порядка Ньютон сообщил
в 1692 г. в письмах к Валлису [8, с. 260—262], где привел подроб-
ное решение уравнения у2 — z2y — d2 -]- d-z = 0, вычислив пять
20
щенный ряд, в котором показатели степеней неизвестной
являются дробными числами, и необязательно положи-
тельными. Далее в короллариях 1 и 2 Ньютон говорит о
возможности почленного интегрирования и дифференци-
рования ряда. В королларии 3, предполагая, что решение
выражено рядом по целым степеням неизвестной, устанав-
ливается связь между коэффициентами этого ряда и
членов ряда для у:
1 З;2 9z3
?/ = d — 2 z — 8J2 —
Однако можно показать, что этот ряд расходится при всех значе-
ниях z =/= 0 п, более того, все коэффициенты, кроме первого, имеют
один и тот же знак, а такие ряды сам Ньютон называл «фальши-
выми» (в отличие от тех расходящихся рядов, которые можно
некоторым преобразованием перевести в сходящиеся) [10, с. 14].
ОС
Пусть у = У подставляя ряд в уравнение, получим
fc=o
2 4?)г/С- 3 (ZC-l)aA._1zfc-d2 + d.z=O,
fr=0 fr=2
где
42) = 2 atak-i-
i—0
Отсюда az = d2. Ньютон рассматривает только случай ав = d,
второй случаи ад = — d приводит к тому же результату, 2аоа1 +
+ d = 0, откуда «ц = —1!.1. При к > 1 = (к — 1) или
fr-1
Ч“о + S агак-1= (к~ В ак-1,
г=1
ft—1
(Zc-l)^-!- 3 арк_*
ак= -----------
Покажем, что все коэффициенты <ц- при к > 1 отрицательны. Для
удобства обозначим — ак = 6^.. Тогда рекуррентное соотношение
(а) будет иметь вид
(к -1)6^
Ьк =-------' «в
21
производными искомой функции. Мы приведем это след-
ствие в переводе А. П. Юшкевича [6, с. 188]:
«Коро л. 3. Отсюда же, если ряд окажется вида
у = az + bz2 cz® + cZz4 + ez5 + и т. д.
(где некоторые из членов «, Ъ, с, d и т. д. могут отсутство-
вать или быть отрицательными), то флюксии у получатся
при исчезновении z, полагая y/z = а, у/z2 = 2b, ij/zs — 6с,
$/z4 = 24d, y/i5 = 120е и [т. д.]».
Таким образом, почленно дифференцируя ряд, Ньютон
получил частный случай ряда Тейлора самым естествен-
ным с современной точки зрения путем. Такой же вывод
в 1742 г. дал Маклорен [И. с. 610—611]. В королларии
4, положив z равным х -ф- w, Ньютон записывает общее
разложение [6, с. 188], которое спустя 20 лет Б. Тейлор
получил предельным переходом в интерполяционном ря-
де Ньютона — Грегори [9, с. 133—134].
В предложении XII той же рукописи при исследова-
нии кривизны кривой 6 [5, с. 108—111] Ньютон показал,
что если ордината кривой представима рядом по степеням
абсциссы вида
у = a2z2 + «3z3 + «4z4 + - - •
(т. е. кривая проходит через начало координат и каса-
тельная при z = 0 горизонтальна), то коэффициент а2
является кривизной кривой, а3 — скоростью изменения
кривизны и т. д., и, согласно следствию 3 предложения
Предположим, что blt b2, • ., bj.^ положительны; тогда, как вид-
но из (Р), bi; также положителен. Отсюда по индукции следует, что
все b/t положительны, следовательно, все при к > 1 отрица-
тельны. Из соотношения (Р) получаем
(Л—(fc—1)!
ък> 2d > г''./"1 ’
сю
откуда и следует, что ряд У, расходится при любом z =f= 0.
к=о
Причина этого в том, что решение уравнения у = у (z), удовлет-
воряющее условию у (0) = d, имеет в точке z = 0 существенную
особенность и поэтому не раскладывается в этой точке в ряд Тей-
лора, чего Ньютон, конечно, знать не мог.
• Кривизну Ньютон определяет как величину, обратную диаметру
соприкасающейся окружности.
22
XII, можно записать
У . У
fl2 ~ IP: fl3 - 6F ’ • • •
Далее Ныотоп приводит ряд примеров на вычисление
кривизны кривых, заданных неявными уравнениями.
В случае эллипса он находит
у . Ъу^+ЪЧ
2z2 2у3
и, беря точку z = 0, в которой у = 0, получает, что кри-
визна эллипса в этой точке равна
* I = __L
2z312=0 2а '
В дальнейшем, насколько нам известно, Ньютон разло-
жение Тейлора нигде не применяет.
Возникает вопрос, почему Ньютон пришел к формуле
Тейлора довольно поздно. Это можно объяснить, по всей
вероятности, тем, что разложения основных элементар-
ных функций он получил, как мы указывали выше, ис-
ходя из ряда для бинома. А для разложения более слож-
ных функций алгоритмические методы Ньютона сущест-
венно более удобны, чем формула Тейлора. У Ньютона
ряд мыслится как последовательность приближений к
функции, выражение общего члена ряда его не интересу-
ет. Ему достаточно получить несколько членов ряда, а
затем, по мере надобности, его продолжить. Кроме того,
общий метод Ньютона разложения алгебраической функ-
ции, как правило, дает ряды с дробными показателями,
а при этих условиях трудно уяснить дифференциальные
свойства коэффициентов рядов с целыми показателями.
Открытие Ньютоном ряда Тейлора затруднялось, вероят-
но, и неудобной записью высших производных, которые
до этого у пего появляются крайне редко.
Сопоставляя исследования Ньютона и Грегори,
мы видим, что они применяли в основном разные методы
для разложения функций в бесконечные ряды. Грегори
для нахождения сложных рядов пользуется теоремой
Тейлора. Ньютон находит такие ряды путем действий над
более простыми рядами. Методы обращения рядов у них
также существенно различны. Ньютон получает ряд для
обратной функции по способу неопределенных коэффи-
23
циентов, а Грегори обращает ряд, находя последователь-
ные производные от обратной функции.
Сказанное позволяет заключить, что теорема Тейлора
занимает в анализе Грегори центральное место — это его
основной общий метод рядов, который он так тщательно
скрывал 7. Что касается Ньютона, то он избрал в теории
рядов другие пути, и когда спустя 20 лет он также пришел
к теореме Тейлора, то не придал ей большого значения.
Ньютон вообще нередко оставлял без внимания и разви-
тия полученные им первоклассные результаты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gregory J. Tercentenary memorial volume/Ed. H. W. Turnbull.
London: Bell, 1939.
2. Cantor M. Vorlesungen liber die Geschichte der Mathematik.
Leipzig, 1907, Bd. 3.
3. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия / Под ред. А. И. Юшкевича. М.: Наука, 1970—1972,
т. 1—3.
4. Колмогоров А. Н. Ньютон и современное математическое мыш-
ление.— В кн.: Московский университет — памяти Исаака
Ньютона, 1643—1943. М., 1946.
5. The mathematical papers of Isaac Newton 1691—1695 / Ed.
D. T. Whiteside with the assitance in publication of M. A. Hos-
kin and A. Prag. Cambridge Univ. Press, 1976, v. 7, p. 756.
6. Юшкевич А. П. О математических рукописях И. Ньютона.—
Ист.-мат. исследования, 1977, вып. XXII, с. 127—192.
7. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития теории бес-
конечных рядов.— Ист.-мат. исследования, 1975, вып. XX,
с. 257—281.
8. Ньютон И. Математические работы /Пер. Д. Д. Мордухап-
Болтовского. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
9. Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. И. Юшкеви-
ча, т. 2. М.: Просвещение, 1977.
10. Петрова С. С. О суммировании расходящихся рядов у Ньюто-
на.— В кн.: Проблемы истории математики и механики, т. 1.
М., 1972, с. 10—14.
11. Maclaurin С. A treatise of fluxions in two books. Edinburgh,
1742. V. II.
12. Gregory D. Exercitatio geometrica de dimensione figurarum, sive
specimen methodi generalis dimetiendi quasvis figures. Edinburgh,
1684.
7 О некоторых открытиях Джеймса Грегори по теории рядов написал
в 1684 г. его племянник Дэвид Грегори в работе [12], с которой,
к сожалению, мы не имели возможности ознакомиться (см. [6,
с. 178]).
РАННЯЯ ИСТОРИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ИТЕРАЦИЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
II. А. Головпнскпй
1. Настоящая работа посвящена прежде всего ранней
истории попыток построения аналитических решений
нелинейных рекуррентных уравнений вида
ys+i = /(ys)> (1)
которые мы для краткости будем называть итерационны-
ми уравнениями, а также некоторых связанных с ними
функциональных уравнений. Всякое аналитическое ре-
шение уравнения (1) мы будем называть аналитической
итерацией 1 функции / (х). Уравнения вида (1), т. е. не-
линейные рекуррентные уравнения первого порядка, не
зависящие от индекса s, представляют собой простейший
тип нелинейных рекуррентных уравнений. Как последо-
вательные приближения итерации находят чрезвычайно
широкое применение в вычислительной математике, но
в настоящей работе само по себе вычислительное приме-
нение итераций нас интересовать не будет.
Систематическая разработка данного направления,
продолжающаяся активно и сейчас (см. книгу М. Кучмы
[1], где приведена обширная библиография), началась с
работы 3. Шрёдера (1871) [2]. Серьезные попытки неод-
нократно предпринимались и раньше, однако до 70-х
годов прошлого века историческая традиция не раз пре-
рывалась. Идеи и результаты, которые содержались в ра-
ботах, принадлежащих, по существу, одной области,
оставались разрозненными и редко использовались в по-
следующих изысканиях. Именно эти попытки, относящиеся
к последней четверти XVIII и первой четверти XIX вв.,
и рассматриваются в данной статье. Лишь один из рас-
сматриваемых методов — метод Г. Бриггса (1624) — вы-
ходит далеко за хронологические рамки указанного пе-
риода.
1 В кнпге М. Кучмы [1] этот термин употребляется в более узком
смысле [1, с. 209].
25
Важность изучения истории нелинейных рекуррентных
(или разностных) уравнений и тесно связанных с ними
функциональных уравнении определялась не только воз-
растающим интересом к этой теории сейчас, но и тем, что
отсутствие сколько-нибудь систематизированных и просто
достоверных сведений о ее развитии в XVIII—XIX вв.
представляло собой существенный пробел в наших зна-
ниях по истории исчисления конечных разностей (в рам-
ках которого функциональные уравнения рассматривае-
мого ниже типа трактовались рядом авторов как уравне-
ния с «переменной разностью» аргумента).
История итерационных уравнений и функциональных
уравнений до сих пор почти не изучалась. Обзор иссле-
дований по функциональным уравнениям и аналитичес-
ким итерациям, охватывающий в основном период 1870—
1900 гг., был дан С. Пинкерле [3, 4]. Но наиболее важные
относящиеся к этой области работы предшествующего
периода не были известны математикам последней трети
XIX в.; не упоминаются они и у Пинкерле. Совсем не-
давно появилась статья Р. С. Гутера и Ю. Л. Полунова
о математических работах Ч. Бэббиджа [5], большая
часть которых посвящена функциональным уравнениям.
Если задано начальное значение у0 — х решения
уравнения (1), то значения ys при целых положительных
s получаются путем последовательных итераций функции
/ (ж). В связи с этим всякое решение ys = у (s) уравнения
(1) при начальном условии у0 = 0 («итерация дробного
порядка») мы будем обозначать через /" (ж) при любом
(действительном или комплексном) s, при котором это ре-
шение определено.
Теория аналитических итераций и в ее историческом
развитии, и в ее нынешнем состоянии была и остается
тесно связанной с изучением некоторых типов функцио-
нальных уравнений. Функциональным уравнением порядка
п с одной независимой переменной называют уравнение
вида
Ф (ж, F (ж), F [f (ж)], F [/2 (ж)], ..., F [/" (ж)]) = 0, (2)
где F (ж) — неизвестная функция, а функции / (ж) и
Ф (^»т)о7 T)i, • • т]л) даны [1, с. 27; 6, с. 22]. Функциональ-
ное уравнение первого порядка имеет вид
Ф (ж, F (ж), F [/ (ж)]) = 0. (3)
26
При / (х) 55 х + 1 уравнение (2) превращается в рекур-
рентное уравнение порядка п:
Ф [х, F (х), F (х + 1), F (х + 2), . . ,,F (х + и)] = 0.
Пусть дано итерационное уравнение (1). Допустим, что
на некотором множестве функция ys = у (s) обратима,
и положим и = у (s), так что s = у~г (и). Тогда из (1)
получим
s + 1 = У"1 (f 1у («)]),
ИЛИ
У'1 (u) + 1 = у-1 [/ (и)]. . (4)
Последнее уравнение, рассматриваемое относительно
функции г/-1 (и), принято называть уравнением Абеля.
Оно является функциональным уравнением первого по-
рядка. Решение итерационного уравнения (1) эквивалент-
но, таким образом, решению уравнения Абеля (4). Урав-
нением Абеля называют также уравнение
F [/ (х)] = F (х) + а, (5)
где а — постоянная. Функциональное уравнение первого
порядка
F If (х)] = cF (х), (6)
где с 0 и 1, посит название уравнения Шрёдера 2.
Уравнения (5) и (6) являются частными случаями функ-
ционального уравнения
F [/ (ж)] = g [F (х)] (7)
относительно неизвестной функции F (х), которое мы бу-
дем называть уравнением сопряженности (это название
не является общепринятым). Функции / (х) и g (х), для
которых существует соотношение вида (7), где F (х) об-
ратима, называют сопряженными [1, с. 15]. Так как функ-
ция F (х) обратима, то отношение сопряженности симмет-
рично.
2. Начнем с одного известного метода, рассмотрев
его с точки зрения теории функциональных уравнений
2 Это уравнение наряду с уравнением (5) встречается в работе
Э. Шрёдера [2]. Мы не находим особых основании для того, чтобы
присваивать ему имя Шрёдера. Решения уравнения (6) исследовал
Г. Кенпгс в [7].
27
й аналитических итераций. Это метод, применявшийся
Г. Бриггсом для вычисления логарифмов (см., например,
[8, с. 150-151; 9, т. 2, с. 61—63; 10, с. 131-132]). На-
сколько мы знаем, в названном аспекте метод Бриггса ни-
кем не анализировался. Рассматриваемый метод, идея
которого восходит, видимо, к Неперу, изложен в книге
Бриггса «Логарифмическая арифметика» [11] (1624). Рас-
суждения Бриггса интересны тем, что, вводя новую функ-
цию — логарифм,— Бриггс фактически дает первый
пример построения по данной функции / (х) соответствую-
щей ей функции Кёнигса В; (х).
Функция Кёнигса в общем случае вводится следующим
образом. Пусть дана аналитическая функция / (х). Пред-
положим, существует такое число а^=оо, что / (а) = а,
и что
<8)
Это значит, что а является притягивающей неподвижной
точкой функции / (х): для всякого х, принадлежащего не-
которой окрестности точки а, последовательность итера-
ций {/ft (х)} (к = 0, 1, 2, . . .) сходится к а.
Предположив также, что
-4Д = с^0, (9)
ах '
Можно показать, что в окрестности точки а существует
предел
В, (х) = lim Д(х) , (10)
’ к-™ df (а) р ' 7
da: j
Который является в этой окрестности аналитической
Функцией переменной х и обладает свойствами
dBf (а)
^(а) = о, -£- = 1 (И)
[12, с. 51, 52]. Функция Bf (х) в таком виде была введена
в работе Г. Кёнигса [7] при исследовании функционального
Уравнения Шрёдера (6). Мы называем ее функцией Кё-
нигса, следуя Пинкерле [3, 4] 3. Всякое аналитическое в
3 П. Монтель [12, с. 52] называет Bf (я) «функцией Шрёдера», имея
в виду ее связь с «уравнением Шрёдера» (6).
28
окрестности тоПкП х = а решение уравнения Шрёдера
(6) в котором 0 < | с | < 1, отличается от Bt (х) только
постоянным множителем.
У Бриггса в качестве f (х) фигурирует функция х,
а логарифм получается как соответствующая ей функция
Кёнигса. Бриггс строит последовательность итераций
функции х:
х, Ух, / х, 2frx, ... (12)
Последовательность сходится в точке х = 1, которая яв-
ляется притягивающей неподвижной точкой функции
/ (ж) = Ух. Полагая в (12) х = 10, Бриггс обнаруживает,
что последовательность
ПУ
dfW
dx
стремится к некоторому пределу (равному, очевидно,
In 10). Согласно (10) мы имеем
lim /fc(10)~1 = Bv- (10). (13)
Г df (1) v '
Этот предел, как замечает Бриггс, существует и тогда,
когда итерации начинаются с любого положительного
числа х. В этом случае мы можем написать
lim = В .г- (х). (14)
Г df(i) В к '
L dx J
Ясно, что Ву-(х) = In ж.
Правда, Бриггс вычисляет не натуральные логариф-
мы, а десятичные. Их можно получить, пользуясь соот-
ношением
, Inz
1о^ = БГо'
Заменим формулы (13) и (14) приближенными равенствами:
f (10) — 1
[ df (1)
L dx J
» In 10,
/М(х)-1
[ df(l)
I dx
In ж,
M
29
где N и М достаточно велики. Разделив второе равенство
на первое, получим приближенную формулу
2N 1)
log10 а: .4, (15)
которой и пользуется Бриггс.
Задача построения аналитической итерации функции
/ (х) = х решается тривиально:
f(x) = x2~s.
Однако рассуждения Бриггса можно перенести на любую
функцию f (ж), если она имеет неподвижную точку а, в
которой выполняются условия (8) и (9). Используя под-
ход, который Бриггс применяет при выводе формулы (15),
можно для всякой такой функции построить (в окрест-
ности точки а) решение задачи аналитической итерации.
Пусть х = а — начальное значение итераций (у Бриг-
гса оно равно 10). Пусть натуральное N настолько велико,
что можно считать справедливым (с заданной точностью)
приближенное равенство
fN ~~ а ~ R. м i\рл
df (о)
dx
Бриггс берет такое у, что для некоторого натурального М
fN («) = fM (У)-
Найдем из (16) fN (а) и подставим в приближенное выра-
жение для В/ (у):
По существу, Бриггс доходит до этого пункта. Сделаем
еще несколько шагов, которых у него нет.
30
Предполагая разность N — М = s постоянной, полу-
чаем в пределе при N —> оо точное равенство
ад = [-Чг^ад-
Так как ~^Bf(x)\x=a — 1, то в некоторой окрестности
точки а существует обратная функция В]1. Имеем
о-11Г df (a) Is D ,
y-Bt 1Нг|адг
Но согласно (17)
Отсюда
Г(п) = 2?71 ([-^-]Ч (а)).
Если в последней формуле считать s любым действитель-
ным (или комплексным) числом, то, как нетрудно прове-
рить, определяемая ею функция us = и (.s) = /® (а) будет
удовлетворять уравнению us+1 = / (us) с начальным усло-
вием и (0) = а. Действительно,
Мы получили, таким образом, решение задачи анали-
тической итерации функции f(x) в окрестности точки а.
В комплексной области выражение j‘’= cs обозна-
чает бесконечное множество аналитических функций, так
что там имеется бесконечное семейство решений задачи.
3. На протяжении полутора столетий метод Бриггса
оставался относительно изолированным вычислительным
приемом. Специальное внимание на него обратил только
Лагранж, который разобрал метод Бриггса с точки зре-
ния знаний своего времени и обобщил его в работе [13],
опубликованной в «Новых мемуарах Берлинской акаде-
31
мии» за 1783 г. Обозначения Лагранжа малоудобны, и
мы от них будем отступать.
В предисловии к работе [13] Лагранж указывает, что
предлагаемый им метод предназначен для приближенного
определения зависимости между двумя переменными ве-
личинами. В современной формулировке задача Лагран-
жа сводится к решению некоторого функционального
уравнения. Ставится следующая задача. Известно, что у
является функцией от ж: у = F (х). Относительно функ-
ции F (х) известно, что для всякой последовательности
итераций хк = f (хь) (к 0, 1,2,...) последовательность
Ук = F (хк) тоже образована итерациями некоторой
функции: ук = gl: (у0) (к = 0, 1, 2,...). Функции / (х) и
g (у) известны. Известно также, что F (а) = Ь, где ан b —
два данных числа. Требуется для любого х вычислить
у = F (х).
Задача Лагранжа равносильна функциональному урав-
нению сопряженности
F [f (ж)] = g[F (я)] (18)
(у Лагранжа его нет в явном виде). Действительно, до-
пустим, что F (х) — решение задачи Лагранжа. Имеем
У1 = Z7 (Xi) = F[f (rr0)].
В то же время
Vi = g (Уо) = g[F (*о)]-
Отсюда
F [/ Ы] = g[F (а?0)1-
Так как х0 произвольно, то получаем, что F (х) — реше-
ние уравнения (18).
Обратно, предположим, что F (х) — решение уравнения
(18) с начальным условием у0 = F (хп). Имеем
У1 = g (Уо) = g[F (ж0)] = F [/ (хо)] = F (жх).
Далее аналогичным образом последовательно получаем
= g (j/i) = g \F (^ЙЬ₽= F \f (xj)] = F (ж2),
....................ф-.....................
уk = F (Xk),
3?.
Значит, F(x) есть та функция, которую требуется пост-
роить в задаче Лагранжа.
Чтобы решить поставленную задачу, Лагранж предпо-
лагает сначала, что последовательности итераций {хга-} и
{у,,.} сходятся:
lim хк = a, lim ук = 0.
71-»ЭО
Из условия ук = F (хк) при к =>- оо следует, что 0 — F(cz).
Лагранж вычисляет производную функции у = F(x) в
точке х = а. Для этого он строит две последовательности
итераций:
{/"(«)} и {g*(b)} (к = 0, 1, 2, . . . ), (19)
где g^fb) = F [/fc(a)]. При достаточно большом к = N
разность fN (а) — а столь мала, что можно положить
gN(b) = F [/”(«)] ^F(a) + [fN(а) - а] =
откуда
dF (а) ~ gN(b) — р
dx — fN(a) _ а • >
В том случае, когда обе последовательности итераций
(19) расходятся, Лагранж предлагает рассмотреть после-
довательности обратных итераций
{/-*(«)} и {g~*(b}} (к = 0,1,2,...).
Если обе они сходятся, то для вычисления производной
dF(a)/dx в формуле (20) нужно взять обратные итерации
достаточно большого порядка.
Затем Лагранж приступает к вычислению у = F(x)
при произвольном х. Он предполагет, что последователь-
ности итераций {f(x)} и {^^(у)} сходятся к точкам а и
0 соответственно. При достаточно большом к = М можно
положить
gM(y) - 0 [/м _ а], (21)
или
ём(У) ~ 1№) - «] + 0.
2 Заказ М 2436
33
Применяя к левой и правой части равенства обратные
итерации, Лагранж получает
у ~ fSr- Vм & -«! + ₽}• (22)
В пределе мы будем иметь точное равенство
У = Jim — а] + ₽} (23)
(сам Лагранж его не выписывает).
Если последовательности {/* (х)} и {g* (у)} расходят-
ся, но сходятся последовательности обратных итераций
{f~* (ж)} и (у)} (к = 0, 1, 2, . . . ), то в формуле (22)
нужно взять М с обратным знаком.
Кроме этих двух случаев возможны и другие способы
поведения последовательностей итераций (х)} и
{g* (у)} (например, сходимость к предельному циклу), но
их Лагранж не рассматривает.
Изложенный выше метод применим при условии, что
dF (a)/dx =^= 0. Если dF (a)/dx = 0, но d~F (a)/dx2 =F 0, то
вместо формулы (21), как указывает Лагранж, нужно
пользоваться формулой
(у) - ₽ 4- [/м {х) _ а].
Отсюда ясно, как поступать и в том случае, когда порядок
первой ненулевой производной функции F (х) в точке
х = а больше 2.
Итак, Лагранж строит решение уравнения сопряжеп-
ности. определенное для всех значений х, принадлежащих
области притяжения (или отталкивания) неподвижной
точки а функции f (х). Если уравнение сопряженности
решено, то легко решается задача аналитической итера-
ции. Действительно, пусть ищется аналитическая итера-
ция функции f (х). В качестве g (х) возьмем любую функ-
цию, имеющую неподвижную точку, в окрестности кото-
рой ее аналитическая итерация как-либо построена (нап-
ример, возьмем g (х) = сх, где с =/= 0 и с 1, так что
gs (х) = с® х). Если функция F (х) обратима в некоторой
окрестности точки х = а, то из соотношения Ff (х) =
= gF (х) следует / (х) — F~'gF (х). Тогда формула
У s = F-‘g3F (j)
34
дает решение уравнения (1) при начальном условии у0 =
— х. В самом деле,
Уч+а = F^g^F (х) = (F-igF) (F-!gsF) (х) = /(ys);
Уо = F^g^F (х) = F~'F (х) = х.
Свой метод Лагранж применяет к задаче Бриггса, в
которой / (х) = х2, g (у) = 2у, а = 1, 0 = 0. Функцио-
нальное уравнение (18) для задачи Бриггса приобретает
вид
F(x2) = 2F(x). (24)
Всякое его решение, аналитическое в окрестности точки
х = 1, имеет вид z In х, где и — произвольная постоян-
ная.
Работа Лагранжа имеет алгоритмически-вычислитель-
ный характер и по своему содержанию нетипична для
рассматриваемого периода в истории функциональных
уравнений, когда основное внимание уделялось формаль-
ным преобразованиям аналитических выражений. Видимо,
с этим связано то, что она осталась незамеченной: мы не
встречаем каких-либо следов ее влияния на дальнейшее
развитие теории функциональных уравнений.
4. В явном виде итерационные уравнения появляются
впервые (если не считать линейной итерации ys+l - а-\-
+ bys, которую рассматривал еще Гольдбах (опубл, в
1732) [14]) при решении функциональных уравнений в
работе Лапласа [15] (опубл, в 1776). Метод решения функ-
циональных уравнений вида
F [<р (ж)] = h (x)-F [ф (я:)] + р (х) (25)
относительно функции F (х), предложенный здесь Лапла-
сом, излагается в работах [9, т. 3,с. 237;16,т. 4,с. 1051 —
1052], и мы его не будем повторять. Отметим только, что
с помощью ряда подстановок Лаплас сводит решение ли-
нейного функционального уравнения (25) к совокупности
двух рекуррентных уравнений:
i/2+i = Н (г) yz -j- Р (z) (26)
и
w2+i = <рф-1 (uz), (27)
второе из которых — итерационное. Линейные рекуррент-
ные уравнения вида (26) решал еще Б. Тейлор в «Прямом
2*
35
и обратном методе приращений» [17] (1715; см. также [18]).
Метод Тейлора — если выразить его в современной сим-
волике — эквивалентен формуле
э=о
+ <’
(28)
где С — произвольная постоянная, определяемая началь-
ным условием. Поэтому в принципе задача сводилась
к решению уравнения (27).
Лаплас дает несколько примеров применения своего
метода. Первый пример — уравнение
F (хд) = F (тх) -р р. (29)
Итерационное уравнение (27) в этом случае будет таким:
Его решение не вызывает существенных затруднений.
Уравнение (29) эквивалентно уравнению
G(xg) = cp-G(mx), (30)
где G (х) = cF(&. Последнее содержит как частный случай
функциональное уравнение логарифма (24), если поло-
жить в (30) т 1 и q = ср 2. Из формулы для реше-
ния уравнения (29), которую получает Лаплас, можно
вывести решение уравнения логарифма.
Второй пример Лапласа — уравнение косинуса
F (2х) = [Е (а:)]2 - 2. (31)
Оно не является линейным функциональным уравнением,
но метод Лапласа годится и для нелинейных уравнений.
При этом уравнение (31) сводится к двум рекуррентным:
Уг+1 = Уг — 2 И u2+1 = 2liz.
Оба эти уравнения — итерационные. Решение первого из
них Лаплас получает, применяя специальную подстанов-
ку
У1 = а + 1/а.
По словам Лапласа, данный метод решения функцио-
нальных уравнений был найден им в связи с некоторыми
36
задачами, которые предложил ему Монж. Сам Монж так-
же рассматривает сходную процедуру в работе [19]
(опубл, в 1780). Источником исследований Монжа яви-
лись задачи определения произвольных функций, входя-
щих в интегралы уравнений в частных производных. Монж
занимается такими уравнениями в конечных разностях
Ф [х, у (х), Дг/(ж), Д2у(ж), .. ., Апу(х)] = 0, (32)
в которых приращение Дж не постоянно, а задано, как
функция от х:
Ах = q (ж). (33)
Переменную ж можно считать функцией другой, независи-
мой переменной t, разность которой постоянна: At = 1,
так что Дж = Ж;+! — ж(. Соотношение (33) можно записать
как
ж(+1 — ж( = q (ж(). (34)
Разности Ау (ж), Д2у (ж), . . ., Ап у (ж) на самом деле
у Монжа берутся не относительно ж, а относительно под-
разумеваемой неявно переменной t:
Ay (ж) = А1у (ж,) = у (ж(+1) — у (ж(),
Д‘+1У(ж) = Ai+xy(xl)=Aiy(xM) - А'у (ж,) (i = 1, 2, 3,...).
Задача, которую ставит Монж, состоит в том, чтобы найти
у как функцию от ж, удовлетворяющую уравнению (32).
Задача Монжа в современной формулировке означает
решение некоторого функционального уравнения п-го
порядка. Чтобы показать это, обозначим / (ж) = q (ж) j-
+ ж. Из (34) следует
^+1 = /(ж(). (35)
Если мы подставим последнее выражение в уравнение
(32), то получим
Ф1(Ч, У(Ч), Ж/(Ч)Ь У[/2(Ч)]- г/[/п(^)]) = 0,
(36)
или, проще,
Ф1 (*, У (А У [f (*)], У If2 (*)], [Г (ж)]) = 0. (37)
В отличие от Лапласа у Монжа путь решения указан са-
мой постановкой задачи: требуется решить систему двух
37
рекуррентных уравнений:
Фд [ж(, у (ж(), у (ж/+1), у (xt+i), ...,у (ж(+п)] = 0, (38)
Я(+1 = f(xt).
После этого из решения нужно исключить t, выразив у
в виде функции от х.
Описанной общей схемы у самого Монжа нет — это
наша «обработка» для краткости изложения. Монж рас-
сматривает только конкретные примеры. Приведем (в
переводе на современный язык) два основных примера
Монжа — остальные являются их частными случаями.
Рассматривается линейное однородное функциональ-
ное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициент-
тами
п
2 а^-у [/ь(^)]=0, (39)
Л=0
в котором 1-й случай: / (х) ~ А Вх; 2-й случай: / (х)
= Ах™. В первом случае общее решение, как устанавливает
Монж, имеет вид
У{х)= 21 (л + (•*)
Л=1
Во втором случае общее решение имеет вид
п
У(х)= 21 [1п(/1ж”'-1)]м*ф,,. (х).
к—1
Здесь Хх, Xg, . . ., Лд — соответственно рх, р2, . . ., рп —
показатели, которые определяются через параметры урав-
нения (39) и данной функции f (х). Произвольные функ-
ции <рк (ж) и ф/,. (к = 1, 2, . . ., п), входящие в общее ре-
шение,— это уже не периодические функции, а функции
автоморфные относительно / (ж). Они получаются из пе-
риодических функций следующим образом.
Пусть х = и (t) — решение уравнения (35). Тогда
/ (ж) = и (t + 1).
Предполагая, что существует обратная функция и \
получаем отсюда
t = 1Г1 (ж), t ф- 1 = u'1 [f (ж)].
Пусть % (t) — произвольная периодическая с периодом 1
38
аналитическая функция: X (* + 1) - X (О- Положим
Ф (ж) = X [w-1 (*)1 X (0-
Тогда
Ф If (ж)1 = X {и-1 [/ (х)1 = х (t + 1) = х W = ф (ж),
т. е. ф (ж) является функцией автоморфной относительно
/ (ж). Все это Монж делает только в частных примерах;
мы схематизируем его рассуждения для краткости. У Лап-
ласа общее решение функционального уравнения строит-
ся, по сути дела, так же.
Линейные функциональные уравнения первого поряд-
ка исследовали затем Ж. Шарль и П. Паоли (работы
обоих’ опубликованы в 1788 г.; см. [16, т. 4, с. 1052—1058]),
а линейные функциональные уравнения произвольного
порядка — А. М. Лорньа (1782, см. [16, т. 4, с. 1057—
1058]). К этому же направлению исследований принадле-
жала получившая впоследствии большую известность
работа Н. X. Абеля [20], впервые опубликованная пос-
мертно в 1839 г. Статья Абеля, по существу, не содержит
ничего нового в сравнении с тем, что есть уже у Лапласа:
она выглядит как изложение,— впрочем, очень четкое и
ясное — соответствующего отрывка из мемуара Лапласа
[15]. Ни на Лапласа, ни на других математиков Абель
не ссылается, но сходство его работы с работой Лапласа
настолько велико, что не может объясняться случайным
совпадением. Абель специально рассматривает уравнение
F [/ (ж)] F (х) 1, за которым и закрепилось название
«уравнение Абеля». Возможно, это произошло потому, что
работа Абеля дважды издавалась в его Собрании сочи-
нений (в 1839 и 1881 гг.), а работы предшествующих авто-
ров не переиздавались, если не считать статьи Лапласа
[15], помещенной в 8-м томе его Собрания сочинений в
1891 г.— уже после того, как название «уравнение Абеля»
вошло в специальную литературу. Даже в «Истории мате-
матики» Г. Вилейтнера утверждается, что это уравнение
«восходит к Абелю» [21, с. 422].
Вообще, ранняя история функциональных уравнений
до сих пор была совершенно неизвестна. В 4-м томе «Лек-
ций по истории математики» под редакцией М. Кантора
К. Р. Вальпер отдельно рассматривает метод Лапласа и
совсем в другом месте — «уравнения с переменной раз-
ностью» Монжа и некоторых его последователей, не заме-
39
тив, что оба подхода относятся к одному и тому ;ке пред-
мету — функциональным уравнениям. Работа Монжа до-
вольно трудна, и Вальнер приводит из нее только некото-
рые простейшие примеры, не разобрав при этом суть ре-
шения Монжа. В статье [22, с. 181—182] упомянутая ра-
бота Абеля рассматривается без связи с историческим
контекстом, в результате чего роль этой работы в истории
предмета не получает оценки.
5. У Лапласа и Монжа итерационные уравнения пер-
воначально появляются по ходу дела как вспомогатель-
ный прием при решении функциональных уравнений.
Позднее итерационные уравнения становятся предметом
специальных исследований. Метод решения итерацион-
ных уравнений некоторого типа предлагает в работе [23
с. 203—207] (опубл, в 1809) Лаплас. Предположение
о виде уравнения, которое делает Лаплас, можно, не-
сколько переформулируя, записать в виде
F(y^) = F(ys) + a, (40)
где F (х) — известная функция. Тогда решение исход-
ного уравнения будет иметь вид
ys = F~* [F (уе) + sa].
Лаплас дает два примера применения своего метода.
Первый пример — уравнение
У6+1У6 + ₽ (Уб+i — У6) + 1 = 0. (41)
Записав его в виде
1 и — V
где и = ys, v = ys+1, Лаплас дифференцирует его, разде-
ляет переменные и затем интегрирует, получая уравнение
вида (40). Решение имеет вид ys = tg (as + b), где по-
стоянные а и Ъ определяются через начальное условие
и коэффициент |3.
Второй пример Лапласа — уравнение
.Vs+i?/.4 + 2y//s+1?/6 — Р (Уч-i + ?/.=) + 1 = 0- (42)
Лаплас получает, что его решение выражается через эл-
липтические функции. Он указывает, что к виду (42)
40
можно привести более общее уравнение
а + Ъ (j/s+1 + */s) + с (.'/s+1 + J's) + Д/s+lJ/s +
+ ёУмУв (?/s+i + У a) ~\-hys+1ys = О
подстановкой
_ ly' (s) + P
U y'W '-q ’
если соответствующим образом подобрать коэффициенты
I, р и q. Между прочим, к уравнению (41), рассматривае-
мому в первом примере, подстановкой у (s) = ly' (s) + р
можно привести всякое итерационное уравнение вида
у6+1 = (Луя + B)/(ys + С), если подобрать I и р. (Лаплас
этого не отмечает). Итерации дробно-линейной функции
играют важную роль в теории автоморфных функций.
6. В начале 1810-х годов примерно одновременно в
Англии и Германии формулируется задача построения
аналитической итерации произвольной аналитической
функции. Остановимся сначала кратко на исследованиях
английских математиков — Ч. Беббиджа и Дж. Ф. В. Гер-
шеля.
Наряду с работами Лапласа и Монжа источником ис-
следований по функциональным уравнениям в Англии
послужили некоторые геометрические задачи. Эти вопро-
сы обсуждались в течение 1810—1817 гг. в обширной пе-
реписке Беббиджа, Гершеля и других английских мате-
матиков, основавших в 1812 г. «Аналитическое общество»
[24, с. 50]. Развитая ими — в первую очередь Беббиджем —
теория получила название «исчисления функций».
В «Трактате об исчислении конечных разностей» [25], пер-
вое издание которого вышло в 1860 г., Дж. Буль указы-
вал две основные задачи «исчисления функций»: 1)
«прямая задача» — построение аналитической итерации
функции / (ж); 2) «обратная задача» — решение функцио-
нального уравнения, содержащего целократные итерации
неизвестной функции.
В работе [26, с. 458—465] (опубл, в 1814) Гершель ста-
вит задачу построения аналитической итерации произволь-
ной аналитической функции. Никакого общего метода
ее решения он не дает, возлагая надежду на то, что пра-
вило образования итераций произвольного порядка мож-
но будет уловить по индукции, если найти последователь-
41
ные целократные итерации данной функции. В этой
работе Гершеля представляет интерес решение уравне-
ния, которое теперь называют уравнением инволюции'.
Ф2 (х) = х. (43)
Оно дает итерацию порядка '/2 функции / (х) — х.
Гершель обозначает: х = uz, <р (х) = и2+1. Отсюда
ф (w2) = uz+1, (44)
ф («г+1) = «г- (45)
Вычитая из последнего равенства предыдущее, он полу-
чает
Ф («г+1) — ф («г) = — («г+1 — «г),
т. е.
А [<р (uz) + uzl = 0, (46)
откуда, интегрируя,
ф («г) + «z + С = 0- (47)
Далее Гершель перемножает крест-накрест равенства (44)
и (45):
«г • ф («г) = «г+1' ф («г+1) • (48)
Отсюда видно, что функция uz-q> (uz+1) инварианта отно-
сительно замены z на z + 1. Значит, заключает Гершель,
общее решение данного уравнения (43) содержит произ-
вольную функцию от к2-<р (uz), которая ведет себя как
постоянная величина при интегрировании соотношения
(46). Интеграл (47) Гершель записывает в виде
«г = ф («г) + / [«z-/ («z)l = О,
или
х + ф (х) + / [z-ф (ж)] = 0.
Отсюда, говорит оп, можно определить <р (ж), подставляя
вместо / (х) какую угодно функцию.
В этом решении используется та же идея, которая лежит
в основе метода Лапласа, упоминавшегося в п. 4: величины
х и <р (х) принимаются в качестве значений новой функции
иг, которые соответствуют значениям аргумента z, отличаю-
щимся на единицу. Другой вариант решения дает Беб-
бидж [27] (см. также [5, с. НО]). Он не вводит явно функ-
42
цию uz, а, следуя Монжу, рассматривает соотношения,
аналогичные (46) — (48), как уравнения с «переменной
разностью» Дж.
Уравнение инволюции (43) является частным случаем
уравнения ср" (ж) = ж, которое подробно было рассмот-
рено Беббиджем в работе [27] и впоследствии получило
название «уравнения Беббиджа». Его решения представ-
ляют собой итерации порядка 1/н функции / (ж) ж.
Гершелю принадлежит ставшее теперь общепринятым
обозначение лг-кратной итерации /" (ж), а также обозна-
чения итераций функции нескольких переменных по
всем ее аргументам.
7. В Германии задачу аналитической итерации впер-
вые рассмотрел член Берлинской академии профессор
университета в Берлине И. Г. Траллес в работе, доложен-
ной Берлинской академии в 1811 г. [28] (опубл, в 1818).
Если английские математики пришли к аналитическим
итерациям при решении частных задач, конкретных функ-
циональных уравнений, то Траллес исходил скорее из
общего интереса к всевозможным формальным преобра-
зованиям (в частности — к подстановкам одних рядов
в другие), свойственного многим математикам конца
XVIII — начала XIX в., и особенно немецким.
Формальными итерациями степенных рядов занимал-
ся еще Кондорсе ([29], опубл, в 1778), пытаясь определить
таким путем целократные итерации экспоненты, косинуса
и радикала. Траллес рассматривает нелинейное ре-
куррентное уравнение
ос
Уя+1 = s ак (s) у*, (49)
fr=i
т. е. уравнение
//»+1 = Ф (s, у„), (50)
в котором функция Ф (s, у) задана степенным рядом по ее
второму аргументу. Если коэффициенты (49) не зависят
от s, af- (s) = ак, то уравнение (50) превращается в ите-
рационное. Решение уравнения (49) Траллес ищет в виде
ряда
Уя = S Ак (s) х\
fr=i
43
где х = у0. Подставляя этот ряд в (49) и сравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях х в разложениях ys+l
и у&, Траллес получает бесконечную систему рекуррент-
ных уравнений вида
Ак (s + 1) — fli (s) Ak (x) = Tfr [щ (x), a-2 (x),. .., ak (x);
.^(x),^),...,^^)] (* = 1,2,3,...) (51)
с начальными условиями Л1 (0) = 1 и Л&. (0) = О при
*> 1- Отсюда функции Ак (х) (к ~ 1,2,3, . . .) можно
последовательно вычислить с помощью формулы Тейлора
(28). Траллес выполняет это для итерационного случая
(т. е. когда уравнение (50) не зависит от х): при аг= 1 до
к = 6; при 1 до к = 5. Используя уравнения (51),
можно показать, что в итерационном случае функции
Лк (х) (к = 1, 2, 3, . . . ) при «!= 1 являются алгебраичес-
кими многочленами от х, а присц^^!, а±=/=0 алгебраи-
_ S
ческими многочленами от ах.
Отсутствие свободного члена у ряда (49) означает, что
в итерационном случае точка х = 0 является неподвиж-
ной точкой итерируемой функции / (ж). Это ограничение
несущественно: если / (ж) имеет неподвижную точку
х = а, где а — произвольное комплексное число, то соп-
ряженная с / (х) функция g (х) = / (х + а) — а имеет
неподвижную точку в нуле. Итерации функции / (х) выра-
жаются через итерации g (х) по формуле/® (х) = g® {х —
— а) + а (Траллес этого не оговаривает).
Траллес высказывает также идею другого метода оп-
ределения аналитической итерации степенного ряда, ко-
торая заключается в применении к последовательности
{/* (ж)} интерполяционного ряда Ньютона.
Вслед за Траллесом задачей итерации формальных
степенных рядов занялся профессор университета в Гей-
дельберге Ф. Ф. Швайнс. В своей книге [30] (1825) Швайнс
отводит итерациям целую главу [30, с. 551—610], где
рассматривает итерации не только функций, но и линей-
ных операторов. Обозначения Швайнса сильно отличаются
от принятых сейчас. Например, записывая разложение
функции F (х) по степеням вида x1+fr“ (к = 0, 1, 2, . . .),
он обозначает коэффициент при степени х в р-м по поряд-
ку члене разложения через F (х) 1р.
Приведем в современной записи некоторые результа-
ты Швайнса. Рассматриваются формальные итерации
44
степенного ряда
/(х)-= S (52)
А=1
Пусть
се оо
/" (х) = 3 ап, к Л [/” (х)]г = 3 а(пг\ • х*. (53)
К=1 к—г
Швайнс без труда получает рекуррентную формулу, по-
зволяющую определить коэффициенты степенного разло-
жения итерации fn+m (х) через коэффициенты рядов для
/п (х), fm (х), (пит — целые) и их степеней:
к
__ \1 (г)
^п+т, /г — 2_I
i=l
Он пытается найти и прямые формулы для коэффициентов
разложения fn.(x) через коэффициенты ряда (52) и его
степеней, но это ему не удается.
В результате серии сложных преобразований своих
рядов Швайнс приходит к следующей простой формуле,
связывающей коэффициенты рядов для итераций поло-
жительного и отрицательного порядка:
_ 1 (-Л)
а-т, к — ат, -11
В частности, при т = 1 эта формула дает коэффициенты
ряда для функции, обратной к / (х):
1 (-*)
а-1, к---
Если функция z = / (х) задана рядом (52), то ряд для об-
ратной функции будет иметь вид
оо
х= (54)
fr=l
Покажем, что эта формула совпадает с рядом Лагран-
жа для обратной функции:
<и>
к=1
45
(см. [31, с. 424]). Так как
+ оо
[2(z)]-*= ]/(х)Н= fit?-Д
i=—К
Отсюда
“1,-1 —
1 dl'~1 Г ж ~1Н
(к — 1)! dx1'-1 L z (z) J |z=o ’
что доказывает совпадение формул (54) и (55).
8. Наиболее значительной и вместе с тем последней
из работ по аналитическим итерациям «дошрёдеровского»
периода является одна ранняя работа Якоби [32]. К задаче
аналитических итераций Якоби обратился в 1825 г., не
зная о вышедшей в том же году книге Швайнса [30].
Якоби поставил перед собой цель дополнить и завершить
исследование Траллеса, и ему удалось получить в этом
направлении ряд интересных результатов. Работа Якоби,
где излагаются эти результаты, впервые была опублико-
вана только в 1961 г. К. Р. Бирманом, обнаружившим
ее в Архиве Академии наук ГДР в Берлине. Ана-
лиз научного содержания работы Якоби еще не прово-
дился.
С исследованием Траллеса более тесно связана первая
из двух частей, на которые распадается работа Якоби.
Как и Траллес, Якоби предполагает, что итерируемая
функция задавав виде ряда (52), который Якоби последо-
вательно подставляет в этот же ряд. Ему удалось обна-
ружить правило образования коэффициентов итерирован-
ного ряда, которое безуспешно искал Швайнс. Формула
Якоби для n-кратной итерации ряда (52) (и — целое
положительное) имеет вид
оо
4П/„\ { \ 1 „1 „ai„a2 „“п-2 “n-lA Jk
/ С3-) “ / Д } , “aiaa2acz<i-Шс J-X .
к=1 U<ai^a2<a3<...<an_1<K)
46
Здесь dp обозначает коэффициент при хт‘ в q-й степени
ряда (52).
Чтобы выразить аналитически итерации с произволь-
ным индексом, Якоби вслед за Траллесом использует
интерполяционный ряд Ньютона. Явные выражения раз-
ностей последовательности итераций степенного ряда
(52) ему удается найти только для случая, когда а± = 1.
Первая часть работы Якоби в целом написана в духе
комбинаторной школы Гинденбурга, символику которой
Якоби использует при записи и выводе своих довольно
громоздких формул. Подводя итог первой части, Якоби
говорит, что степенные ряды являются не самым подходя-
щим аппаратом для представления аналитических итера-
ций. Более эффективным Якоби считает другой метод —
«чисто аналитический» (т. е. не комбинаторный), который
он развивает во второй части.
Пусть <р (х, х) ~ f (х). При любом целом п имеет мес-
то равенство
ф (х 4- п, х) = ф [и, ф (х, х)]. (56)
Якоби рассматривает отношение частных производных
по х и по s от функции ф (х, х):
dtp (в 4 п, ж) 3<р [/г, <р (в, ж)] 3<р (в, ж) 3<р (в, х)
дх _______ dtp (в, х) dx ds ,r-r-
3<р (в + п, ж) 3<р [n, <р (в, ж)] 3<р (в, ж) ~~ 3<р (в, ж) ' '
ds <?<р (s, ж) ds ds
Отсюда видно, что это отношение не зависит от п, когда
п целое. Якоби считает, что так должно быть и тогда,
когда п принимает любые действительные значения (пред-
полагая тем самым, что /п (х) определена при всех таких
п). Он обозначает
Ц(х) = Э ф(в,ж) _
где U (х) не зависит от х. Из этого равенства Якоби выво-
дит представление аналитической итерации в виде
f (х) = F-1 [F (х) + х], (59)
играющее важную роль в современной теории. Соответ-
ствующее рассуждение изложено у Якоби не очень ясно.
Мы приведем несколько более подробный, чем у Якоби,
47
вывод формулы (59), добавляя некоторые пояснения,
которых у него нет.
Три величины, ф, s и х, связаны между собой функци-
ональной зависимостью: ф = ф (s, х). Дифференцируем
это равенство:
йф = -4^- ds + 4^- dx.
т OS 1 Ох
Отсюда
ds = — dx + <2ф.
dq/ds dqi/ds
Если рассматривать s как функцию х и ф, то будем иметь
dsjdx = — , или dsjdx = — U (х).
Последнее равенство интегрируем по х при фиксирован-
ном ф:
s = — U (х) dx -|- С (<р),
или
s — — F (х) 4- С [ф (s, х)],
откуда
ф (s, х) = С"1 [F (х) -|- а].
Функцию С’1 (х) Якоби определяет из условия, что при
s = 0 должно быть
ф (0, х) = х = С-1 F (х),
откуда С = F. Этим формула (59) доказана 4.
t Результат Якоби остался неизвестным. Через много
лет его вновь получил А. Н. Коркин (1882) [33], следуя
путем, близким к тому, которым шел Якоби.
Вместе с работой Якоби К. Р. Бирман опубликовал
отзывы о ней членов математического класса Берлинской
академии, куда Якоби, в то время никому еще не извест-
ный математик, направил ее осенью 1825 г. Знакомство
с этими отзывами позволяет видеть, почему работа Якоби
осталась неизвестной, не попав и в его Собрание
4 Из сказанного видно, что у Якоби формула (59) служит для пред-
ставления итераций при любых действительных значениях s, а не
только при целых, как полагает М. Кучма [1, с. 198, примеч. 2].
48
сочинений (1881—1891). Мнение о работе Якоби вы-
сказали всего семь человек, но основное значение имели
отзывы троих: Э. X. Дирксепа, II. Ф. Грюзона и
ф. Т. Посельгера. Главное внимание рецензенты уделили
первой части работы, хотя, по мнению Якоби и с совре-
менной точки зрения, более важным и перспективным
был подход, развитый во второй части. Вторая часть
более оригинальна, и ничего существенного рецензенты
сказать о ней не смогли. Относительно первой части мне-
ния разделились: Дирксеп и Посельгер нашли ее значи-
тельно уступающей работе Траллеса, а Грюзон счел ком-
бинаторное решение Якоби более удачным. Вместе с тем
рецензенты отметили способности начинаюшего матема-
тика. Не обнаружив в работе Якоби ни существенных
изъянов, ни значительных достижений, они решили, что
«без вреда для науки» ее можно «обойти молчанием».
Так работа Якоби была погребена в академических архи-
вах. Между тем вопросы, которые затронул в ней Якоби,
были очень существенны для развития теории аналити-
ческих итераций, и впоследствии математики не раз к
ним возвращались.
Мы попытались обрисовать развитие теории итера-
ционных уравнений и функциональных уравнений типа
(2) в течение последней четверти XVIII и первой четвер-
ти XIX в. Проведенное исследование свидетельствует
о том, что задолго до возникновения современной традиции,
берущей свое начало с Э. Шрёдера (1871), зти вопросы
привлекали к себе внимание многих математиков, в том
числе таких, как Лагранж, Лаплас, Монж, Абель, Якоби.
Задача построения аналитических итераций первоначаль-
но возникла попутно — при решении различных задач
анализа и геометрии, а затем была осмыслена, сформу-
лирована и превратилась в самостоятельный предмет
нового направления исследований. Формально-аналити-
ческие трудности, возникающие при решении нелинейных
рекуррентных уравнений, и неразвитость теоретико-
функциональных методов в рассматриваемый период не
позволили продвинуть данную теорию слишком далеко.
Тем не менее в работах на эту тему, большинство из кото-
рых было впоследствии забыто, мы находим немало любо-
пытных результатов и методов. Новый подъем теории,
49
связанный прежде всего с именем Г. Кёнигса, относится к
80-м годах XIX в.
Историю функциональных уравнений мы рассматри-
вали в настоящей работе лишь в той мере, в какой это тре-
бовалось для освещения истории аналитических итера-
ций. Многие вопросы, относящиеся к развитию теории
функциональных уравнений, остались полностью в сто-
роне, и в целом зта теория еще ждет своих историографов.
ЛИТЕРАТУРА
1. KuczmaM. Functional equations in a single variable. Warszawa,
1968.
2. Schroder E. Uber iterirte Funktionen.— Math. Ann., 1871, 3,
S. 296—322.
3. Pincherle S. Funktionaloperationen und Gleichungen.— Enzykl.
math. Wiss. Leipzig, 1904—1916, B. 2, T. 1, Halite 2, S. 763—
817.
4. Pincherle S. Equations et operations fonctipnnelles.— Encycl.
sci. math. Paris; Leipzig, 1912, T. II, 5, fasc. 1, p. 1—81.
5. Гутер P. С., Полунов Ю. Л. Математические работы Чарльза
Беббиджа.— В кн.: Кибернетика и логика. М.: Наука, 1978,
с. 102—136.
6. Ghernianescu М. Ecua(ii functionale. Bucure.sti, 1960.
7. Koenigs G. Recherches sur les integrates de certaines equations
fonctionnelles.— Ann. Ecole Normale, Suppl., 1884, (3)1.
8. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. 2-е
изд. М.; Л.: ОНТИ, 1938.
9. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970—1972.
10. Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ,
1974.
11. Briggs Н. Arithinetica logarithmica. Londini, 1624.
12. Montel P. Lefons sur les recurrences et leurs applications. Paris,
1957.
13. Lagrange J. L. Sur une methode particuliere d’approximation et
d’interpolation.— Nuov. Mem. Acad. Berlin, 1783.— Oeuvres, 5,
p. 517—532.
14. Goldbach Ch. De terminis generalibus serierum.— Comment.
Acad. sci. Petrop., 1728 (1732), 3, p. 164—173.
15. Laplace P. S. Recherches sur I’integration des equations diffe-
rentielles aux differences finies et sur leur usage dans la theorie
des hasards.— Mem. math, et phys., presentes а Г Acad, de Sci.
par divers Savans, annee 1773, Paris, 1776, 7, p. 37—163; en
part. p. 70—76.— Oeuvres. Paris, 1891, 8, p. 69—197, en part,
p. 103—108.
16. Cantor M. Vorlesungen fiber die Geschichte der Mathematik.
3. Aufl. Leipzig, Bd. 4, 1913.
17. Taylor B. Methodus differentialis, sive tractatus de summatione
et interpolatione serieruin infinitarum. Londini, 1764.
50
18. Engstrom G. Differenskalkylens historia. I.— Uppsala Univ’.
Arsscrift, 1879, Math, och Naturvetenskap., 1, s. 1—71. Upsala,
1878.
19. Monge G. Memoire sur les fonctions arbitraires continues ou dis-
continues, qui entrent dans les integrates des equations aux dif-
ferences finies.— Mem. math, et phys., presentes a 1'Acad. de sci.
par divers Savans. Paris, 1780 , 9, p. 345—381.
20. Abel N. H. Determination d’une fonction au moyen/Tune equa-
tion qui ne ebntient qu’une seule variable.— Oeuvres. Christia-
nia, 1881, 2, p. 36—39.
21. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. 2-е изд./ Пер. под ред. А. П. Юшкевича. М.:
Наука, 1966.
22. Симонов Н. И. О некоторых функциональных отображениях у
Эйлера, Лапласа и Абеля.— Ист. и методол. ест. наук, вып. 16.
М.: Изд-во МГУ, 1974, с. 168—182.
23. Laplace Р. S. Memoire sur divers points d’analyse.— J. Ecole
Polyt., 1809, 8, cah. 15; Oeuvres, 1912. t. 14, p. 178—214.
24. Mosely M. Irascible genius: The life of Charles Babbage. Chicago,
1970.
25. Boole G. A treatise on the calculus of finite differences. 2nd ed. Lon-
don, 1872.
26. Herschel J. F. W. Consideration of Various points of analysis.—
Philos. Trans., 1814, 104, pt 2, p. 440—465; esp. p. 458—465.
27. Babbage Ch. An Essay towards the calculus of functions.— Phi-
los. Trans., 1815, 105, pt. 2, p. 389—423.
28. Tralles J. G. Von wiederholten Functionen.— Math. Abb. Akad»
Wiss. Berlin, 1814/15 (1818), S. 216—235.
29. Condorcet J. A. de. Sur quelques series infinics dont la somme peut
etre exprimee par des fonctions analytiques d’une forme particu-
liere.— Acta Acad. Sci. Petrop., 1777, 1, pars 1 (1778), p. 34—37.
30. Schweins F. F. Theorie der Differenzen und Differentiate, der ge-
doppelten Verbindungen, der Producte mil Versetzungen, der Rei-
heir, der wiederholenden Functionen, der allgemeinsten Facul-
taten und der fortlaufenden Briiche. Heidelberg, 1825.
31. Лаврентьев M. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комп-
лексного переменного. 4-е изд. М.: Наука, 1973.
32. Biermann К.- R. Eine unveroffentlichte Jugendarbeit С. G. J. Ja-
cobis uber wiederholte Funktionen.— J. reine und angew. Math.,
1961, 207, H. 1/2, S. 96—112.
33. Korkine A. Sur un probleme d’interpolation.— Bull. sci. math.,
1882, (2)6, p. 228—242.
34. Кушнир E. А. Развитие теории разностных уравнений в XVIII в.
и первой половине XIX в.— В кн.: Вопросы истории физ.- мат.
наук. М.: Высшая школа, 1963, с. 125—128.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИСТОРИИ
ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ В XIX В.1
1л. И. Маркушевич!
1. Ко времени появления докторской диссертации
Б. Римана «Основания общей теории функций одной
комплексной переменной величины» (Grundlagen fur eine
allgemeine Tlieorie der Functionen einer veranderlichen
complexen Grosse, 1851 [1]) аналитические функции ком-
плексного переменного исследовались в математике уже
более века. Первая половина XIX в. была ознаменована
выдающимися успехами в их изучении главным образом
благодаря трудам Коши, его учеников и последователей.
И все же на этом общем фоне диссертация Римана пред-
ставляется нам теперь чем-то вроде взрыва. Настолько
неожиданными кажутся и способ выделения объекта ис-
следования как класса функций, дифференцируемых в
комплексной области, стремление рассматривать их с
самого начала как функции многозначные по своей при-
роде, и вместе с осуществляемыми ими конформным
отображением римановой поверхности стремление харак-
теризовать функции не внутри области регулярности, а
по граничным особенностям их поведения (точки и линии
разрыва), наконец, принцип Дирихле как средство обосно-
вания существования функций с заданными граничными
свойствами, и применение его к обнаружению огромного
богатства и гибкости конформных отображений.
Удивительно, что работа обходится почти без ссылок
на других авторов, разве что на эйлерово понимание не-
прерывности, рассматриваемое как устаревшее, и на гаус-
сово исследование о конформных отображениях поверх-
ностей. Можно подумать, что О. Коши вовсе не сущест-
вовал и, во всяком случае, что Риман жил вне идейной
атмосферы, созданной трудами Коши и его учеников.
В диссертации не делается также попытки применить
новые идеи к «проблеме века» — изучению абелевых ин-
1 Полный текст доклада, представленного автором Международ-
ному конгрессу математиков в Хельсинки (август 1978 г.).
52
тегралов и задаче их обращения и даже нет обещания за-
няться подобным применением. Поистине Риман ведет се-
бя на уже обозначившемся материке аналитических функ-
ций, как Робинзон на необитаемом острове. Впрочем, мы
знаем, что применение этих идей самим Риманом к класси-
ческим проблемам — абелевым интегралам и (без исполь-
зования принципа Дирихле) гипергеометрическим и мо-
дулярным функциям было не за горами.
Однако Риман, при всем его новаторстве, увлекаемый
мощной интуицией своего гения, во многом оставался
математиком старого закала. Он не тратил сил на приве-
дение возводимых им сооружений в стройную логическую
форму. Недаром К. Вейерштрасс избрал мишенью своей
модернистской критики ряд фундаментальных положений
Римана, начиная с принципа Дирихле.
2. Ф. Клейну принадлежит заслуга замечательного
развития идей Римана, в котором существенную роль
играют физические представления, в частности физиче-
ская модель римановой поверхности. Однако это лишь
интерпретация, хорошо продуманная и убедительная,
но все же лишь одна из попыток ответить на вопрос:
как вообще приходят к постановке определенных проблем
и последовательности хода мысли? [2]. Впрочем, сам же
Ф. Клейн в своих знаменитых лекциях о развитии мате-
матики XIX в. делает важное замечание, которое он ха-
рактеризует как неожиданное для своих слушателей
(очевидно, неожиданное с точки зрения реконструируе-
мого им хода римановых идей) [3]. Коротко говоря, это
замечание, не развиваемое Клейном далее, состоит в
том, что Риман далеко не пренебрегал классическими,
так сказать, аппаратными средствами анализа для опре-
деления и исследования аналитических функций, такими,
как степенные ряды, бесконечные произведения и опре-
деленные интегралы. А это обстоятельство, добавим мы
от себя, предполагает гораздо большую зависимость
Римана от современных ему работ по анализу, чем это
обычно принято считать.
Основная задача нашего доклада и состоит в том, что-
бы полнее выявить те идеи и конкретные результаты тео-
рии функций середины прошлого века, выросшие, так
сказать, из внутренних потребностей развития анализа,
которые не могли не влиять прямо или косвенно на дис-
сертацию Римана. При этом необходимо будет осветить
53
некоторые итоги деятельности в области теории функций
не только Коши, но и такого его продолжателя, правда,
в сравнительно узкой области, как В. Пюизе.
3. Почти все, связанное с именем Коши в теории
функций, было уже сделано к середине прошлого века.
Это был набор мощных средств исследования различных
проблем анализа: интегральная теорема, интеграл Коши,
теорема о разложении в степенной ряд, понятие вычета
и теорема о вычетах, мажоранты степенных рядов, выра-
жаемые через максимум модуля суммы ряда на окруж-
ности, и связанное с ними «исчисление пределов» (calcul
des limites), позволяющее обходиться без понятия равно-
мерной сходимости. Однако сам неутомимый исследова-
тель в своих многочисленных публикациях не уставал
повторять, углублять и совершенствовать свои результа-
ты, не останавливаясь иногда перед довольно радикаль-
ным пересмотром прежних взглядов. В отношении теории
функций весьма характерны несколько мемуаров, опуб-
ликованных Коши в его «Упражнениях по анализу в
математической физике», которые издавались в Париже,
составивших четыре тома [4]. Но хотя на титульных лис-
тах «Exercices» стоят соответственно даты 1840, 1841,
1844 и 1847, необходимо знать, что время выхода в свет
отдельного выпуска (по 12 выпусков на том) могло отли-
чаться годами от этих дат. Так, например, последние вы-
пуски четвертого тома редактировались Коши уже после
1850 г. К этому обстоятельству мы еще вернемся. Пока
же заметим, также в интересах дальнейшего, что новые
работы Коши не могли не достигать своевременно Гёт-
тингена и в особенности Берлина, где Риман учился г
1847—1849 гг.. по той причине, что. во-первых, Коши бьы
членом Гёттингенского научного общества и Берлинской
академии наук, и, во-вторых, его издатель Башелье энер-
гично распространял «Упражнения» по подписке, имея
своих представителей во всех больших городах Европы,
в частности в Берлине.
В «Мемуаре о функциях мнимых переменных» (Memoi-
ге sur les fonctiones des variables imaginaires), помещенном
в III томе. вып. 36 (последний был издан по всем призна-
кам в 1846 г.), Коши вновь возвращается к понятию ком-
плексного числа и функций комплексного переменного
Отчасти повторяя трактовку комплексных чисел, пред-
ложенную еще в «Алгебраическом анализе» (Analyse al
54
gebrique. Paris, 1821), и продолжая рассматривать здесь
комплексное число как символ, лишенный смысла сам
по себе («всякое мнимое уравнение является только сим-
волическим представлением двух уравнений между дей-
ствительными переменными» [4, т. Ill, с. 361], Коши
формулирует определение функции комплексного пере-
менного, по виду более узкое, чем в «Алгебраическом ана-
лизе». А именно: он рассматривает эти функции как ре-
зультаты различных операций, произведенных над ком-
плексными переменными: «Эти функции оказываются
вполне определенными, когда сами по себе определены
операции и когда вполне установлен смысл обозначений,
употребляемых в вычислении» [4, т. III, с. 366; 5, с. 366].
Впрочем, после нескольких элементарных примеров Ко-
щи указывает, что его определение распространяется и
на сумму ряда (по-видимому, только степенного), лишь
бы значения одного переменного (или нескольких) огра-
ничивались такими, для которых ряд сходится.
Теперь, давая некоторую волю воображению, предста-
вим эту тетрадь — последнюю и самую свежую тетрадь
третьего тома — в руках Ф. Эйзенштейна и Римана,
которые в 1847 г., по рассказу самого Римана, извест-
ному из его биографии, составленной Р. Дедекиндом,
спорили об основных принципах введения комплексных
величин в теории функций. В передаче Дедекинда это зву-
чало так: «Эйзенштейн останавливался на формальном
вычислении, в то время как сам он [т. е. Риман.— А. Л/.]
признавал суть определения функции одного комплекс-
ного переменного в уравнениях с частными производными»
[5, с. 512]. Дедекинд добавляет, что последняя концепция
была, вероятно, впервые основательно разработана Ри-
маном в осеннем семестре 1847 г. Конечно, позиция Эйзен-
штейна в этой дискуссии хорошо согласуется с исходным
пунктом его построения основ теории эллиптических функ-
ций, где он опирался на определения последних посредст-
вом рядов и бесконечных произведений (включая условно
сходящиеся). Центральный мемуар Эйзенштейна, содер-
жащий эти результаты,— «Точное исследование беско-
нечных двойных произведений, из которых составля-
ются эллиптические функции в виде частных и связанных
с ними двойных рядов» (Genaue Untersucliung derunend-
lichen Doppelprodukte aus welchen die elliptischen Funk-
tionen als Quotienten Zusammengesetzt sind, und der mit
55
ihnen zusaminenhangenden Doppelreihen. J. fur reine und
angew. Math. Berlin, 1847, 35, S. 153—274) — вышел
в этом же году. Но ясно, что спор шел не об эллиптичес-
ких функциях, для изучения которых.уравнения Коши —
Римана сами по себе не дают эффективного средства, а
об общем понятии (аналитической) функции комплексного
переменного. И вот здесь-то мемуар Коши с его форму-
лировкой, которая почти полностью совпадает с форму-
лировкой, приписываемой Дедекиндом Эйзенштейну, мог
служить исходным пунктом всей дискуссии.
4. Гораздо важнее для нас, однако, что Риман вовсе
не отбрасывал понятия функции как результата опера-
ций над величинами. Вообще, интерес Римана к старин-
ной проблеме аналитического представления функций,
к средствам такого представления является удивительно
стойким и глубоким. Последней проблеме в основном была
посвящена вторая его (габилитационная) диссертация:
«О возможности представления функции посредством
тригонометрического ряда» (1854) (Uber die Darsellbar-
keit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, I,
c. 225—261). Но этот интерес был достаточно ясно обоз-
начен и в первой диссертации, о которой здесь идет речь.
Указанное обстоятельство не ускользнуло, например, от
внимания Вейерштрасса в его работе «К теории функций»
(1880 (Zur Funktionentheorie), в которой он ставит целью
доказать, вопреки Риману, как подчеркивается им, со
ссылкой на § 20 римановой докторской диссертации
1851 г., что понятие аналитической функции не полностью
совпадает с зависимостью, выражаемой посредством ариф-
метических операций над величинами [6].
Как известно, в начале работы (§ 1) Риман высказы-
вает убеждение, что новые исследования доказали пред-
ставимость любой аналитической функции единым ана-
литическим выражением. Вероятно, в ту пору ему еще
казалось, что именно такова изобразительная сила ряда
Фурье. Однако он подчеркивает, что природа функций
комплексного переменного отлична от функций действи-
тельного переменного, и выдвигает для них требование
дифференцируемости в комплексной области. Знаменате-
льно, однако, что он тут же делает оговорку, которая не
исключает возможности совпадения этого определения
с понятием зависимости, выражаемой посредством опера-
ций над величинами 11, с. 50]. Заметим, что в немецком
56
оригинале речь идет не «о наличии математической фор-
мулы», как перевел В. Л. Гончаров, а именно о «зависимо-
сти, выражаемой посредством операций над величинами».
Это терминологическое уточнение важно для нашей цели.
В этом смысле принципиальное значение имеет § 20
диссертации. Правда, в отличие от других параграфов он
почти не содержит конкретных результатов, но зато вы-
деляет общие теоретические вопросы. Позднее, в авторе-
ферате своей работы по гипергеометрическим функциям
(1857) 2, Риман рассматриает последнюю как применение
метода, сформулированного именно в этом параграфе
его диссертации [5, с. 80]. Речь в нем идет в конечном
счете о сведении объема информации об изучаемой функ-
ции, определяемой посредством операций над величинами,
лишь к самому необходимому (в данном случае о харак-
тере поведения функции вблизи особых точек). Риман
утверждает, что причина и ближайшая цель введения
комплексных величин в математику заключается в «тео-
рии простых законов зависимостей между переменными
величинами, выражаемых через операции над величина-
ми» („in der Theorie einfacher dutch Grossenoperationen
ausgedruckter Abhangigkeitgezetze zwischen veranderlichen
Grosser/' [5, c. 37—38]) 3. Мы видим, насколько далек он
в действительности от того, чтобы просто отрицать кон-
цепцию Коши, которую защищал Эйзенштейн в дискуссии
1847 г. Далее Риман считает уместным именно в этом па-
раграфе резюмировать, что же нового дает его исследова-
ние для теории таких функций, в частности для харак-
теристики функций, алгебраических по их поведению, и
еще раз говорит, что рассмотрение аналитических выра-
жений не ставит своей задачей в настоящее время („da
wir die Betrachtung des Ausdruckes einer Funktiongegen-
wartig ausstellen“ [5, c. 39]). Он заключает этот параграф
задачей доказательства того, что «положенное здесь в
основу понятие функции одного комплексного перемен-
ного полностью совпадает с зависимостью, выражаемой
посредством операций над величинами» („mil dem einer
2 В русском издании [1] этот автореферат «Собственное извещение о
вышеприведенной статье» (Sclbstanzeige der vorstehenden Abhand-
lung.— Gottinger Nachrichten, 1857, N 1) отсутствует.
3 Мы снова здесь и ниже отсылаем к оригинальному тексту диссер-
тации Римана.
57
von einer Grdssenoperationen ausdriickbaren Abhiingig-
keit“ [5, c. 39]).
В сноске к этому месту Риман разъясняет, что речь идет
о зависимостях, выражаемых простейшими арифметиче-
скими действиями в конечном или бесконечном числе.
Выражаясь современным языком, можно сказать, что он
предвидел возможность охарактеризовать класс аналити-
ческих функций, скажем, одного комплексного перемен-
ного как класс функций, представимых в виде предела
последовательности рациональных функций от этого пере-
менного. Если учесть, что из самого контекста работы
следует, что функции рассматриваются как определенные
в области, и допустить еще, что Риман мог мыслить пре-
дельный переход для последовательности функций как
равномерный, то в его гипотезе можно видеть сочетание
теорем Вейерштрасса и К. Рунге 4.
Однако сам Вейерштрасс, как уже говорилось, задался
целью опровергнуть положения Римана, которые дейст-
вительно неверны без сделанных выше оговорок. Именно
в упомянутой работе «К теории функций» (1880) он строит
пример ряда рациональных функций (вскоре значитель-
но упрощенного Ж. Таннери [8]), который в раздельно
лежащих областях представляет различные между собой
аналитические функции. Он прямо пишет, что цель его
работы доказать, что понятие моногенной функции од-
ного комплексного переменного не полностью совпадает
с понятием зависимости, выражаемой посредством арифме-
тических операций над величинами, и указывает в ссылке
к этому месту, что противоположное утверждение выска-
зано Риманом в конце § 20 его диссертации 1851 г. (см.
[б]).
5. Если попытаться отвлечься от наших сегодняшних
сведений в области теории функций, то, пожалуй, самое
неожиданное впечатление при чтении диссертации Римана
производит та простота и, можно сказать, та непринужден-
ность, с которой он вводит многолистную поверхность Т,
4 Напомню, что теорема Вейерштрасса утверждает, что предел рав-
номерно сходящейся внутри области последовательности анали-
тических (в частности, рациональных) функции есть функция
аналитическая, а теорема Рунге — что любую аналитическую в
некоторой области функцию можно рассматривать как предел
равномерно сходящейся внутри этой обл (сти последовательности
рациональных функции (см., например, [7]).
58
разостланную на плоскости. Откуда он взял подобные
поверхности? Ведь до него математики совсем не встреча-
лись с ними! Конечно, Риман здесь, как и во многих дру-
гих отношениях, проявил способности гениального кон-
структора. В дальнейшем мы постараемся показать, од-
нако, что материалы для конструкции римановой поверх-
ности в известной степени были заготовлены современни-
ками Римана. Листы поверхности были выкроены, линии
соединения и самый способ перехода от одного листа к
другому были указаны. Оставалось объединить их в одно
целое, склеить между собой!
Пожалуй, начинать нужно все-таки с Коши. Вернем-
ся к цитированному выше мемуару Коши «О функциях
мнимых переменных» из 36-го выпуска «Упражнений».
Мы уже отмечали, что по первому впечатлению он мало
отклоняется от того, что было сказано автором за четверть
века до того на страницах «Алгебраического анализа».
Однако Коши особенно подчеркивает одно новшество
принципиального характера. Речь идет, говоря современ-
ным языком, о способе выделения однозначных ветвей
элементарных многозначных функций и среди них In х
и ж°. Коши замечает, что в «Алгебраическом анализе» и
других его предыдущих работах он употреблял эти обоз-
начения только в случае, когда действительная часть х
положительна (т. е. в правой полуплоскости).
Теперь же, вводя значения р = arg х, заключенные
между ф — л (исключительно) и <р + л (включительно),
где ф — какой-либо угол, 0 ф л, он может рассмат-
ривать их и для отрицательных значений arg х. Иными
словами, в середине сороковых годов (так поздно!) Коши
устанавливает возможность выделять однозначные вет-
ви функций, таких, как In ж и ха, в плоскости, разрезан-
ной вдоль луча, выходящего из начала координат. Он
отмечает при этом, что функция изменяется скачком,
когда х проходит через этот луч, и обещает в следующем
мемуаре обратиться к изучению функций комплексного
переменного в отношении их непрерывности. Итак, в
этом мемуаре Коши (т. е. около 1846 г.) появляются раз-
резы плоскости вдоль линий, позволяющие выделить в раз-
резанной плоскости однозначные ветви многозначных
функций. Сами эти разрезы обнаруживают себя как линии
разрыва функции, положение которых на плоскости в
известной мере произвольно. Таким образом, здесь впер-
59
йые осуществлялся переход от однозначной ветви в по-л
луплоскости к ветви в плоскости с разрезом. При всей II
элементарности этого шага он имел важное принципиаль-И
ное значение и может рассматриваться как одна из пред-
посылок к идеям Римана. Что касается обещанного Коши 1
продолжения этого мемуара, то оно действительно появи- Я
лось в IV томе «Упражнений». Но хотя на титуальном листе
этого тома и значится, как уже упоминалось, 1847 год, со-
ответствующая 46-я тетрадь, содержащая мемуар «О II
непрерывных функциях алгебраических или геометричес-
ких количеств» (Sur les fonctions continues de quantiles alge- II
briques ou geometriques [4, т. IV, c. 314—335]), вышла из I
печати не ранее конца 1850 — начала 1851 г. Коши здесь
продолжает настаивать, как это он делал и раньше, что
точка разветвления функции (сам термин был введен
Риманом в 1854 г.) есть точка разрыва непрерывности
функции (например, z = 0 для z'i*). С нашей точки зре-
ния, у него были основания для такого понимания. Ведь
для функций комплексного переменного введенное Коши
требование непрерывности играло у него роль необхо-
димого и достаточного условия разложимости функций
в степенной ряд. Оно неясно включало в себя не только
однозначность, конечность и непрерывность функции, но '
и те же свойства ее первой производной, существование
которой подразумевалось. Поэтому точка разрыва в этом
контексте означает, в сущности, то же, что и особая точ-
ка в работах В. Пюизе (1850), к которым мы еще обратим-
ся несколько далее. В этом понимании Коши владел пред-
ставлением об особой точке аналитической функции ком-
плексного переменного уже с 1832 г.— со времени литогра- I
фированного туринского мемуара 5.
Продолжая изучение ветвей элементарных многознач- |
ных функций, Коши отмечает вид конкретных областей,
которые пробегает Z = / (z), когда гпробегает плоскость
с надлежащими разрезами. Так, например, получается
горизонтальная полоса в случае Z = In z или вертикаль-
ная в случае Z = arctg z [4, т. IV, с. 326]. Трудность, од-
нако, заключается в том, что мы не знаем точной даты вы-
5 Речь идет о «Мемуаре о небесной механике» (Memoire sur la Мё-
canique celeste), читанном 11 октября 1831 г. на заседании Ту- |
рпнскоп академии и литографированном в Турине в 1832 г. Интере- ]
сующая нас часть мемуара была воспроизведена в печати в 1841 г.
[4, т. II. с. 50—98].
60
хода из печати 46-и тетради: судя по тому, что Коши ё
сноске цитирует мемуар Пюизе об алгебраических функ-
циях 1850 г. (см. ниже), речь может идти не ранее, чем о
конце 1850 г.— начале 1851 г. Таким образом, нет осно-
ваний утверждать, что Риман был знаком с этой работой
во время написания диссертации. Во всяком случае, при-
меры, приводимые здесь Коши, принадлежат к числу наи-
более ранних конкретных конформных отображений об-
ластей плоскости, появившихся в печати. Совсем не три-
виальный пример отображения посредством модулярной
функции встречался, как известно, в ранних рукописях
Гаусса, но он не был своевременно опубликован, как не
был опубликован аналогичный, но гораздо более подробно
разработанный пример Римана из его лекций по гипергео-
метрическим функциям.
Однако проницательный читатель работы К. Г. Якоби
«О четырехкратно периодических функциях двух пере-
менных, к которым приводится теория абелевых транс-
цендентных» (De functionibus duarum variabilium quadrup-
liciter periodicis, quibus theoria transcentium Abelia-
narum innititur.— J. fur die reine und angew. Math. Berlin,
1835, 13), включающей обращение ультраэллиптического
интеграла
а + р.г
Ух
dx,
где X многочлен пятой степени с действительными нуля-
ми, мог усмотреть, что геометрически здесь речь идет об
отображении полуплоскости на пятиугольник с прямыми
углами (не выпуклый). Эту работу Риман, конечно, хо-
рошо знал.
Все эти наши замечания имеют единственную цель:
указать, что ко времени появления диссертации Римана
математикам были уже известны отдельные конкретные
примеры конформных отображений плоских областей
посредством аналитических функций комплексного пере-
менного. Но, конечно, от подобных примеров до умоза-
ключения, что плоскую область (односвязную) можно
конформно отобразить посредством соответствующей
функции на любую другую, было еще очень далеко.
Чтобы сделать следующий гигантский шаг, необходимо
ясное понимание связи между аналитическими и гармони-
ческими функциями. Сводя задачу к отображению данной
61
области на круг, Риман ищет Затем Соответствующую
гармоническую функцию с заданным логарифмическим
полюсом, т. е. функцию Грина; для этой цели ему и слу-
жит принцип Дирихле. При таком подходе к проблеме
степенной ряд действительно является излишним.
Не следует, однако, забывать, что теоремы существо-
вания аналитических функций, удовлетворяющих неко-
торым условиям общего характера, были известны и до
Римана, причем концепция функции, изображаемой сте-
пенным рядом, оказывалась для них вполне достаточной.
Таковы, например, теоремы Коши о неявных функциях
или о решениях дифференциальных уравнений, получав-
шиеся посредством метода мажорант (исчисления пре-
делов).
6. Мы уже говорили о том, что Риман скупо ссылался
в своих работах на чужие труды. По-видимому, он, как,
впрочем, и другие гениальные математики, предпочитал
поискам на полках библиотек собственные размышления.
Как исключение выглядит в его габилитационной диссер-
тации 1854 г. вводная часть, посвященная истории пред-
ставления функций тригонометрическими рядами. Лите-
ратура вопроса представлена здесь достаточно обстоя-
тельно. Не находит ли это исключение объяснение в том
месте из письма Римана к отцу (осень 1852 г.), где, сооб-
щая о двухчасовой беседе с Дирихле, он радуется, что тот
настолько полно снабдил его заметками (Notizen), в кото-
рых Риман нуждался для своего сочинения, что благодаря
этому его работа значительно облегчилась? Без этого,
пишет он, ему пришлось бы предаваться долгим поискам
в библиотеке. Мы здесь по-прежнему опираемся на био-
графический очерк, составленный Дедекиндом [5, с. 514].
Отсутствие ссылок у Римана на ту или иную работу
не означает еще, что он пе был с нею знаком. Мы говорили
уже, что он почти нигде не ссылается на Коши, хотя
можно с большой степенью уверенности утверждать, что
он знал его статьи о функциях комплексного переменного,
например помещенные в «Упражнениях» сороковых го-
дов. Вот пример нежелания назвать имя Коши, относя-
щийся, правда, к более позднему времени. В мемуаре
«Теория абелевых функций» (1857) (Theorie der Abelschen
Funktionen.— J. fur reine und angew. Math. Berlin, 1857,
54) Риман говорит о функции комплексного переменного
ш, для которой следует «по известной теореме, что вели-
62
чина w представляется рядом, расположенным по целым
©о
степеням z— а вида У ап (z — а)п, коль скоро она имеет
о
в окрестности точки а всегда одно определенное, непре-
рывно изменяющееся вместе с z значение, и что это пред-
ставление имеет место до такого расстояния от а или
модуля z — а, на котором встречается разрыв непрерыв-
ности ([5, с. 81], русское издание [1, с. 88]). Очевидно, что
это — теорема Коши, вплоть до терминов (включая пере-
нятый Коши у Аргана термин «модуль» в той форме,
в какой Риман мог ее прочесть либо в первом томе «Упраж-
нений» (1840, с. 29—31), либо во втором (1841, с. 54—55) [4].
У нас нет прямого доказательства знакомства Римана
с основным мемуаром В. Пюизе «Исследования об алге-
браических функциях» (Recherches sur les fonctions alge-
braiques.— J. de math, pures et appl. Paris, 1850, 15).
Однако мы считаем весьма вероятным, что Риман свое-
временно прочел эту работу, опубликованную в одном из
самых распространенных и влиятельных журиалов того
времени, необходимых для каждого, кто работал в области
анализа. Публикация мемуара по времени совпадала
с первой стадией работы Римана над диссертацией —
с октября по декабрь 1950 г. Пройти мимо мемуара
Пюизе, содержавшего последнее слово в теории алгебра-
ических функций и их интегралов и возвещающего об
этом в своем заглавии, Риман, по нашему убеждению,
не мог хотя бы потому, что по его собственной характе-
ристике область исследований, в которых переменным
придавались комплексные значения, почти полностью
сводилась к таким зависимостям, в которых одна из пере-
менных есть алгебраическая функция другой или инте-
грал от алгебраической функции [5, с. 38, или 1, с. 81].
Мы придаем здесь такое значепие высказанной гипотезе
о знакомстве Римана с результатами Пюизе потому, что
видим в этих результатах как бы заготовки, своего рода
выкройки римановой поверхности (замкнутой). Само по-
явление понятия многолистной поверхности в самом на-
чале работы Римана (§ 5) с определением точек разветвле-
ния поверхности и описанием связи листов между собой,
распадающихся на отдельные циклы в окрестности каж-
дой такой точки, должно было выглядеть совершенно
неожиданным и крайне искусственным для тех, кто не
63
изучал еще мемуара Пюизе. Но проницательный читатель
этого мемуара мог обнаружить в новом, непривычном
понятии превосходный геометрический комментарий и
своего рода резюме основного содержания этого мемуара.
Вот почему мы считаем нужным напомнить здесь не-
которые результаты классической работы Пюизе.
7. Известно, что сам Коши не выделял класс алгебра-
ических функций (в современном понимании) как особый
объект изучения в анализе. Заслуга общей постановки
проблемы и первые относящиеся сюда результаты при-
надлежат Пюизе. Однако последний подчеркивал в своих
исследованиях, что опирается на труды Коши и развивает
его идеи. И эти его слова, разумеется, нс были простой
данью вежливости.
Принципиальное значение основной работы Пюизе
заключалось в том, что здесь впервые в истории матема-
тики был подвергнут систематическому исследованию
обширный класс многозначных функций, для аналити-
ческого представления которых математик располагал
со времен Ньютона только локальными средствами:
разложением в степенной ряд (обыкновенный или обоб-
щенный), сходящимся лишь в некоторой окрестности
рассматриваемой точки.
Так как классический аппарат анализа (производная
и интеграл) строится для функций однозначных, то иссле-
дователю нужно было прежде всего выяснить условия,
при которых он мог сводить изучаемую многозначную
функцию к однозначным, т. е. расщепить ее на однознач-
ные ветви. Локальный же характер аналитического пред-
ставления функции требовал установления связи и спо-
собов перехода от одной ветви к другой, т. е. выявления
процесса продолжения, в конечном счете аналитического.
Пюизе рассматривает неприводимое алгебраическое
уравнение / {и, z) — 0. Опираясь на свойство непрерыв-
ности корней, установленное Коши, он утверждает, что
если /(6, с) =0, то в точке с, близкой к с, среди корней
уравнения / (и, с) = 0 будет иметься корень и ~ Ъ',
близкий к Ь. В связи с этим возникает задача: установить
значение и в некоторой точке z = к, если, передвигаясь
от z = с v. z ~ к по соединяющей эти точки кривой, мы
неизменно соблюдаем условие: значения функции должны
быть сколь угодно близкими между собой в достаточно
близких точках кривой. Иными словами, сначала идет
64
речь о продолжении алгебраической функции и = и (z)
вдоль заданной кривой только как однозначной непрерыв-
ной функции. Чтобы такое продолжение было возможным,
нужно лишь избегать на пути конечного числа точек пло-
скости, заранее вычисляемых, в которых корень может
обращаться в бесконечность или же два или несколько
корней уравнения становятся равными между собой. Эти
исключительные точки выделяются в качестве особых
(впрочем, сам Пюизе не употребляет соответствующих
терминов) двух типов: полюсы и критические точки алге-
браической функции или ее точки разветвления. В исто-
рической литературе можно встретить утверждение (по-
вод к этому дал сам Пюизе), что Коши, когда он говорил
о точках разрыва, имел в виду только полюсы, а критиче-
ские точки от него ускользали. Но мы отмечали выше на
примере точки z = О для функции и = ]/z, что трактовка
Коши точек разрыва охватывала и точки разветвления.
В качестве фундаментального приложения своей тео-
рии Пюизе доказывает, что при непрерывной деформации
кривой с закрепленными началом и концом результат
продолжения не может изменяться, если при этом не пере-
ходить через особые точки. Таким образом, становится
возможным выделять однозначные непрерывные ветви
в любой области плоскости (односвязной), не содержащей
особых точек.
Теперь уже имеет смысл интеграл вдоль кривой от
алгебраической функции, точнее, от ее однозначной ветви.
Повторяя известные рассуждения Коши и используя при
этом дифференцируемость (речь идет о дифференцируе-
мости неявной функции, вытекающей из ее непрерыв-
ности и того, что df/du = 0), Пюизе вновь устанавливает
сначала факт независимости интеграла от пути, затем
интегральную формулу Коши и, наконец, выводит из по-
следней разложение рассматриваемой ветви, указывая,
что оно имеет место в круге с центром с и радиусом, рав-
ным расстоянию до ближайшей к с особой точки. Он пояс-
няет в сноске, что все это уже было сделано Коши при
более общих условиях. Но Коши говорил о точках разры-
ва, тогда как в данном случае, где рассматриваются алге-
браические функции, можно уточнить его формулировки
и доказательства, так как здесь речь идет только либо
о полюсах, либо о критических точках вместо точек
разрыва.
3 Заказ 2436
65
Получив степенной ряд для и = и (z), Пюизе подчер-
кивает, что внутри указанного круга он дает для рас-
сматриваемой ветви те же значения, которые получались
путем непрерывного продолжения. Мы сказали бы, что
он устанавливает здесь тождество (в условиях проводи-
мого исследования) непрерывного продолжения и анали-
тического продолжения. Далее он использует этот факт,
показывая, как можно вычислить посредством степенных
рядов значение функции в точке, лежащей за пределами
круга сходимости. Процесс, предлагаемый для этой цели,
в точности совпадает с процессом аналитического продол-
жения вдоль некоторой кривой, связываемым с именем
Вейерштрасса. Таким образом, первое изложение в печа-
ти упомянутого процесса принадлежит Пюизе и относит-
ся к 1850 г. Заметим, что Риман высказывает идею анали-
тического продолжения только в 1857 г. во введении
к мемуару об абелевых функциях [5, с. 82, или 1, с. 89],
где он излагает основное содержание диссертации 1851 г.
(в самой диссертации, однако, эта идея явно не выражена).
При этом Риман не предлагает никакого определенного
процесса для выполнения продолжения.
Любопытно отметить, что Пюизе не ограничивается
степенными рядами как средством аналитического продол-
со
жения, заменяя их рядами более общего вида 2jcs [ф (z)]\
о
где ф (z) — рациональная функция, обращающаяся в нуль в
точке с. степенной ряд соответствует случаю ф (z) = z —
— с. Такого рода разложения выводятся им из формулы,
естественно обобщающей интеграл Коши. Окружность
с центром в с теперь заменяется кривой | ф (z) | = X, вну-
три которой и на которой ф (z) в различных точках при-
нимает различные значения (т. е. является однолистной),
причем все особые точки разлагаемой функции лежат вне
этой кривой. В виде иллюстрации он полагает шаг за
шагом: ф (z) = (z — c)(z — с'), ф, (z) = (z — c')(z — с"),...,
где точки с, с , с", . . . следуют одна за другой по кри-
вой, по которой нужно продолжать функцию. Тогда
продолжение осуществляется по зацепленным друг за
друга лемнискатам.
Теперь Пюизе переходит к продолжению функции
вдоль окружности с центром в какой-либо критической
точке а, внутри которой не содержится других критиче-
66
Ских точек. Так как вся совокупность значений алгебраи-
ческой функции восстанавливается при таком обходе, то
значения эти могут только испытывать некоторую подста-
новку индексов, которую он представляет в виде произве-
дения некоторого числа циклических подстановок. Систе-
му ветвей, принадлежащих одному и тому же циклу, он
называет циркулярной и посредством надлежащей заме-
ны независимой переменной в окрестности критической
точки а доказывает, что каждая ветвь из данного цикла
допускает представление в окрестности а в виде одного и
того же ряда, расположенного по дробным степеням
z — а.
Если внимательно следить за всем ходом развития
идей Пюизе, то, используя позднейшую терминологию,
относящуюся к понятию римановой поверхности, можно
сказать, что он уже полностью выяснил структуру мно-
голистной римановой поверхности, определяемой алге-
браическим уравнением / (и, z) = 0. Он нашел располо-
жение всех ее точек разветвления и определил характер
перехода с одного листа к другому в окрестности любой
из них. Оказалось, что в такой окрестности листы распа-
даются на циклы — циркулярные системы, по его терми-
нологии (некоторые циклы могут состоять из одного толь-
ко листа); однократный обход вокруг точки разветвления
равносилен переходу с одного листа на следующий лист
того же цикла. Лишь после повторных обходов в коли-
честве, равном числу листов цикла, точка поверхности
приводится в исходное положение. В этом исследовании,
правда, была опущена бесконечно удаленная точка. Но
каждый обход вокруг нее равносилен обходу вокруг со-
вокупности всех конечных критических точек плоскости,
и результат может быть легко выведен из знания струк-
туры поверхности в окрестности этих последних. Вот
почему анализ, проведенный Пюизе, можно считать исчер-
пывающим. Действительно, он показывает, как, опираясь
на установленные им факты, можно следить за изменением
значений алгебраической функции вдоль любых путей
с заданными начальной и конечной точками.
Для этого Пюизе приходится вводить некоторые то-
пологические (гомотопические) идеи, играющие такую
важную роль в более развитом виде в диссертации Римана.
Задача, которую ставит и решает теперь Пюизе, заклю-
чается в том, чтобы, не выполняя фактически процесс
3*
67
продолжения по какому-либо пути, не проходящему
через особые точки, и опираясь только па сведения о ха-
рактере поведения функции в окрестности особых точек,
сравнивать конечные результаты продолжения вдоль
разных путей на римановой поверхности с общим началом
и концами, расположенными на разных листах, но проек-
тирующимися в одну и ту же точку z плоскости.
Основную роль играют элементарные контуры, кото-
рые вошли в позднейшую теорию алгебраических функ-
ций под именем петель (франц, le lacet — букв, петля,
силок). Фиксировав общую начальную точку с и построив
соответствующие петли для всех особых точек так, чтобы
две петли не имели других общих точек, кроме начала,
Пюизе доказывает, что любой замкнутый контур, про-
ходящий через с, на котором не лежит особых точек, и
заданный с направлением его обхода, можно деформиро-
вать, не переходя ни через одну из особых точек и не пе-
ремещая точки с, чтобы свести его только к конечной
последовательности петель, пробегаемых, быть может,
по нескольку раз в том или ином направлении. Такую
последовательность он называет характеристикой контура
и записывает символически в виде произведения петель,
взятых каждая со своим знаком (ориентированных).
Пюизе доказывает (если несколько модернизировать его
язык), что характеристика является топологическим (го-
мотопическим) инвариантом для замкнутых кривых на
плоскости. Одинаковость характеристик двух кривых,
проходящих через с, есть условие, необходимое и доста-
точное для того, чтобы, описав обе кривые, отправляясь
от одного и того же исходного значения, мы вернулись
вес одинаковыми значениями алгебраической функции,
т. е. пришли к одной и той же точке римановой поверх-
ности, проектирующейся в с.
Мы ограничимся здесь этими деталями. В топологи-
ческой части мемуара Пюизе ему по сравнению с Риманом
недоставало самого глубокого и существенного — поня-
тия порядка связности и рода поверхности и соотношения
между ними.
Остается добавить, что и после Римана не все матема-
тики, занимавшиеся исследованиями алгебраических
функций и их интегралов, охотно оставляли плоскость
и переходили на риманову поверхность, представляющую,
конечно, более высокую ступень абстракции. Так, Врио
68
и Буке, выпуская в 1875 г., т. е. почти четверть века
спустя, второе, переработанное издание своей «Теории
эллиптических функций» (Theorie des fonctions elliptiques,
2 ed. Paris, 1875) [9], в которой многозначные функции
вводились с первых же страниц, писали в предисловии:
«Риман рассматривал плоскость как образованную мно-
гими, наложенными на нее и соединенными посредством
спаек (les soudures) листками таким способом, что пере-
менная могла переходить с одного листка на другой, пере-
секая линию присоединения. Концепция поверхности
с кратными листками представляет некоторые трудности:
несмотря на прекрасные результаты, к которым Риман
пришел посредством этого метода, он не кажется нам име-
ющим какие-либо преимущества для предмета, который
мы имеем в виду. Идея Коши очень хорошо подходит для
представления многозначных функций, достаточно при-
соединять к значению переменной соответствующее значе-
ние функции, и когда переменная описывает замкнутую
кривую, а значение функции изменяется, указывать это
изменение индексом» [9, с. I—II].
В этом пассаже верных последователей не только духа,
но и буквы Коши слышатся критические нотки, а сильнее
всего — убеждение, что средства, которые предлагал
Коши (и развивал Пюизе), равносильны средствам Ри-
мана. Подчеркнем, что наш экскурс в сторону мемуара
Пюизе имел лишь целью показать, что в нем заключался
строительный материал, который Риман мог использовать
для своей гениальной конструкции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Риман Б. Сочинения / Пер. с нем. под ред. В. Л. Гончарова.
М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
2. Klein F. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Berlin,
1923, Bd. Ill, S. 478.
3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.
Ч. I / Пер. с нем. Б. Лившица, А. Лопшица, Ю. Рабиновича,
Л. Тумермана. М.; Л.: ОНТИ, 1937, с. 295—296.
4. Cauchy A. Exercices d’analyse et de physique mathematiques.
Paris,'1840—1847, t. I—IV.
5. Riemann’s B. Gesammelte mathematische Werke / Hrsg. unter
Mitwirkung von B. Dedekind von H. Weber. Leipzig, 1876.
6. Weierstrass K. Zur Funktionenlehre.— Monatsber. Kon. Akad.
Wiss., vom 12 Aug. 1880. Цит. по изд.: Mathematische Werke
von Karl Weierstrass/Hrsg. unter Mitwirkung einer von der
69
Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften eingesetzen
Commission. Berlin, 1897, Bd. II, S. 210.
7. Маркугиевич А. И. Теория аналитических функций. T. I. На-
чала теории. 2-е изд. М., 1967, с. 265 и сл., с. 390.
8. Weierstrass К. Zur Funktionenlehre.— Nachtrag. Monatsber.
Kon. Akad. Wiss., vom 21. Febr. 1881, 11, S. 231—233. Цпт. no
изд.: Mathematische Werke von Karl Weierstrass/Hrsg. unter
Mitwirkung einer von der Koniglich Preussischen Akademie der
Wissenschaften eingesetzen Commission. Bd. 11.
9. Briot Ch., Bouquet J. Theorie des fonctions elliptiques. 2е ed.
Paris. 1875.
РАЗВИТИЕ ИССЛЕДОВАНИИ
ПО УРАВНЕНИЯМ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА В XVIII-XIX ВВ.
С. С. Демидов
I. Основные этапы исследований по уравнениям
с частными производными первого порядка
В настоящей работе исследования по теории 1 * * * * * * В урав-
нений с частными производными первого порядка рас-
сматриваются как процесс постепенного постижения ком-
плекса идей, составляющих ту скрытую ее сущность,
которая открылась в работах С. Ли 70-х годов XIX в.
Процесс этот протекал в несколько этапов, каждый из
которых характеризовался преимущественным развитием
некоторых из этих идей, рассматриваемых в частных
(с точки зрения последующих этапов) аспектах. Разуме-
ется, преимущественное развитие идей, характеризующих
зтап, не означает, что в то же время на периферии области
исследований не происходит движение других идей, под-
готавливающее почву для одного из последующих этапов.
Мы выделяем четыре периода истории теории уравне-
ний первого порядка в XVIII—XIX вв.
Занимаясь задачей отыскания так называемых моду-
лярных кривых, Л. Эйлер заметил (1734/1735), что неко-
торые возникающие в связи с этим вопросы, которые мы
интерпретировали бы как связанные с уравнениями с част-
ными производными первого порядка, имеют самостоя-
тельный интерес — здесь сказалась глубочайшая его
интуиция. Изучая эти вопросы, Эйлер предложил ряд
1 Слово «теория» в математической литературе употребляется в двух
существенно различных смыслах: в узком смысле — для обозначе-
ния комплекса построений, охватывающих некоторую область ис-
следований и базирующихся на определенных понятиях и методах
(как, например, «теория Галуа» или «теория Лагранжа дифферен-
циальных уравнении с частными производными первого порядка»),и
в широком смысле — для обозначения области исследований
(«теория чисел» или «теория дифференциальных уравнении»),
В настоящей работе термин «теория», употребленный в первом
смысле, выделяется кавычками.
71
приемов, оказавшихся впоследствии пригодными для
интегрирования уравнений с частными производными.
Дальше этого оп не пошел и оставил эту область иссле-
дований.
Занимаясь задачами аэродинамики и теории колеба-
ний, Даламбер в 40-е годы XVIII в. приходит к соответст-
вующим уравнениям с частными производными второго
порядка. Он находит и решает некоторые из них и тем
самым открывает для математиков новую ветвь анализа —
уравнения с частными производными. Прикладным ха-
рактером первых исследований объясняется тот факт, что
поначалу все усилия сосредоточиваются па уравнениях
второго порядка (уравнения первого порядка еще не по-
лучили тогда никаких применений). Накопление резуль-
татов и потребность их систематизации ставили перед
математиками задачу создания общей теории уравнений
с частными производными, построение которой было есте-
ственно начинать с уравнений первого порядка.
Первый период развития исследований в области
таких уравнений, связанный почти исключительно с име-
нами Л. Эйлера и Ж. Даламбера, заканчивается в конце
60-х — в начале 70-х гг. Он характеризуется прежде
всего тем, что для интегрирования использовались прие-
мы, являющиеся спецификациями метода множителей,
при этом уравнения записывались в виде выражений
в полных дифференциалах (такая форма записи была тес-
но связана с употреблением метода множителей). Эти
приемы носили формально-аналитический характер и
были лишены какой-либо геометрической интерпретации —
по этой причине мы назвали весь этот период формально-
аналитическим. Созревшая в рамках этого периода в ис-
следованиях Ж. Лагранжа новая концепция полного ре-
шения положила начало следующему этапу развития
исследований.
Второй период (начало 70-х гг. XVIII в.— 30-е гг.
XIX в.) характеризуется в первую очередь развитием
идей теории Ж. Лагранжа». Основными действующими
лицами были, кроме самого Лагранжа, Г. Монж, развив-
ший геометрический аспект «теории», а также II. Ф. Пфафф,
О. Коши и К. Г. Якоби, в основных чертах завершившие
программу исследований, заложенную в теории Лагранжа.
Исследования К. Г. Якоби по так называемому «вто-
рому методу Якоби», составившие основное содержание
72
следующего, третьего периода, продолжавшегося до
конца 60-х гг. XIX в., были вызваны запросами анали-
тической динамики, тесная связь которой с этой областью
математики была установлена У. Р. Гамильтоном и раз-
вита К. Г. Якоби.
Несколько методов интегрирования, глубинные связи
между которыми угадываются, ряд результатов, получен-
ных на периферии области исследований и не укладываю-
щихся в рамки установленных теорий (в частности, умно-
жившиеся примеры использования преобразований, на-
званных впоследствии контактными для интегрирования
уравнений первого порядка),— все это требовало осмы-
сления с единой точки зрения, наличие которой смутно
ощущалось в конце 60-х гг. Эту единую точку зрения вы-
явила построенная в начале 70-х гг. Софусом Ли «общая
теория», составившая содержание четвертого периода
исследований. Предпосылки «теории Ли» складывались
на протяжении предыдущих периодов развития исследо-
ваний, а основанием ей послужили общие геометрические
воззрения, формирование которых пришлось как раз на
эти годы и в значительной степени связано с именами
Ф. Клейна и самого С. Ли. В «теории С. Ли» получили
свое завершение и полное выражение идеи, составляющие
скрытый нерв области исследований уравнений с частными
производными первого порядка. С точки зрения этой тео-
рии методы и понятия, развиваемые предшествующими
авторами, становятся частями единого целого, а не скоп-
лением плохо связанных между собой, а подчас и изоли-
рованных фрагментов.
Каждый из выделенных нами этанов развития иссле-
дований заканчивается, когда получают достаточно пол-
ное выражение идеи, составляющие основное содержание
этапа. Стимулом для начала интенсивной разработки идей,
развитие которых характеризует следующий этап, могут
служить как внутренние, так и внешние по отношению
к области исследований факторы. К числу внутренних
можно отнести такие, как необходимость осмыслить не-
которые результаты, пе укладывающиеся в рамки преж-
них представлений (концепция «полного» решения, послу-
жившая исходной точкой построения «теории Лагранжа»,
широкое применение для интегрирования уравнений пре-
образований Лежандра и Ампера и им подобных, явив-
шихся исходными для формирования понятия контакт-
73
ного преобразовании — одного йз центральных в «теории
Ли»); интуитивно ощущаемая потребность в синтезе ранее
развитых идей (как это было перед созданием С. Ли его
общей «теории»).
Возможно развитие математической теории, определяе-
мое исключительно внутренними факторами, однако в на-
шем случае внешние факторы, в первую очередь анали-
тическая механика, оказались мощными стимуляторами
роста; в их отсутствие, надо полагать, развитие теории
не было бы столь интенсивным. Аналитическая механика
оказала решающее воздействие на исследования в самый
момент их возникновения (работы Даламбера по аэроди-
намике и теории колебаний) и продолжала его оказывать
на протяжении всего процесса их развития (это относится,
в частности, ко «второму методу» Якоби).
II. Формально-аналитический период
исследований уравнений
с частными производными первого порядка
1. Работа Л. Эйлера 1734—1735 гг. Историю диффе-
ренциальных уравнений с частными производными при-
нято (см., например, [1—3J) начинать с работы Л. Эйлера
«Дополнение к рассуждению о бесконечном количестве
кривых одного и того же рода» [4], опубликованной
в 1740 г., которая, как видно даже из самого ее названия,
относится к геометрии, точнее, к геометрии так называ-
емых изогональных траекторий. Традиция возводить
историю уравнений с частными производными к указан-
ной работе Л. Эйлера восходит к концу XVIII в., в част-
ности к Ж. А. Кузену, который выдвинул соответствую-
щий тезис [5, с. XIV] в противовес господствовавшему
тогда мнению, связывающему начало теории с работами
Ж. Даламбера 40-х гг.,— мнению, которое разделяем и
мы (см. [6]). Работа [4] Л. Эйлера, как мы считаем, со-
ставляет лишь предысторию исследований новой области:
занимаясь геометрическими задачами, Л. Эйлер встре-
тился с дифференциальными уравнениями с частными про-
изводными, не придав, судя по всему, должного значения
открывшимся перед ним объектам. Интуитивно ощущая
нетривиальный их смысл, он уделил им больше внимания,
чем это требовала приведшая к ним задача. Однако соот-
ветствующая часть работы, мало связанная с рассматри-
74
ваемыми геометрическими задачами, не приобрела и само-
стоятельного значения; открывшийся впоследствии смысл
ее не был ясен даже самому автору, тем более его совре-
менникам. Лишь потом, задним числом, об этих результа-
тах вспомнили его последователи, пытаясь (и, как мы ви-
дим, успешно) утвердить его приоритет.
2. Даламбер и дифференциальные уравнения с част-
ными производными. В 40-е гг. Ж. Л. Даламбер вывел
ряд уравнений математической физики: в 1743 г.
в «Трактате по динамике» [7] — уравнение
- & = <-('(П.2Л)
в 1747 г. в «Размышлении о природе ветров» [8] — системы
уравнений
да <Э0 йр да . . /по
- т- = -4-, V= р-ч-+ Ф (w, S) (II.2.2)
ди ds ди ‘ ds ' ' ' '
И
За ар да ар ар да .
- х~ = -Л , -И р Д- = у-Л- + т--рФ М, $),
ди ds 1 ds ‘ ds ‘ди ди 1 \ >
наконец, в статье, опубликованной в 1749 г. [91, — урав-
нение колебания струны
д2у = д2у
д.2 д2
(II.2.3)
Если уравнение (II.2.1) было записано им в форме dpldt =
= q — (I — s)dq/ds, где, в его обозначениях, р = dy/dt,
q = dy/ds, мало отличной от современной, то уравнения
(II.2.2) и (II.2.3) задаются им в иной форме — в виде
выражений в полных дифференциалах. Так, например,
уравнение (II.2.3) записывается им в виде системы таких
выражений:
dp = adt + vds,
dq = vdt -J- ads, (II.2.4)
где p = dy/dt, q = dy/ds (подробнее об этих результатах,
а также о форме, в которой были получены эти уравнения,
см [6, 10]).
Это различие в записи объясняется, скорее всего, мето-
дом интегрирования, избранным Даламбером в случаях
уравнений (II.2.2) и (II.2.3) (уравнение (II.2.1) он проин-
тегрировать в 1743 г. не смог). Этот метод, метод множи-
75
телей, является развитием приемов, предложенных Эй-
лером в работе «Дополнение к рассуждению о бесконечном
количестве кривых одного и того же рода» [4], с которой
Даламбер должен был быть хорошо знаком, ибо он в [8]
ссылается на саму работу «О бесконечном количестве
кривых одного и того же рода», помещенную в том же томе
«Комментариев» Петербургской академии наук, что и [4],
непосредственно перед ней. Скорее всего, изучение ра-
боты [4] навело Даламбера па мысль приспособить эйле-
ровские приемы к решению полученных им уравнений —
так Даламбер создал свои, первые в истории дифферен-
циальных уравнений с частными производными методы
интегрирования, которые можно объединить общим назва-
нием метода множителей. В дальнейшем мы приведем
примеры использования зтого метода для уравнений пер-
вого порядка, здесь же ограничимся краткой его характе-
ристикой: из дифференциальных соотношений, составля-
ющих систему, подобную (II.2.4), образуют линейные
комбинации с числовыми или функциональными коэффи-
циентами с тем расчетом, чтобы подходящими заменами
координат и входящих в выражения неизвестных функций
можно было получить интегрируемые выражения.
Именно в упомянутых работах Даламбера уравнения
с частными производными были осознаны как предмет
новой области исследований; была поставлена задача их
решения так, как мы понимаем ее сегодня; наконец, были
предложены первые методы их интегрирования. Эти
работы сразу обратили на себя внимание крупнейших
математиков того времени, возбудили интерес самого
Эйлера к новой области анализа (и заставили его вспом-
нить собственные исследования, явившиеся первым, прав-
да неосознанным, в нее проникновением): сразу после
появления работы [9], содержащей вывод уравнения коле-
бания струны и построение его решения, Эйлер предла-
гает свою модификацию метода Даламбера и свои сообра-
жения о природе полученного решения. С этого момента
начинаются многолетние его исследования по теории диф-
ференциальных уравнений с частными производными, ве-
дущиеся в соперничестве с Даламбером. Творчество этих
двух выдающихся математиков и составляет основное
содержание начального периода истории изучения диффе-
ренциальных уравнений с частными производными, в ча-
стности уравнений первого порядка. (Мы не касаемся
76
здесь важного для теории аспекта, связанного с идеей
Д. Бернулли (опубл, в 1755) о представимости произволь-
ных функции тригонометрическими рядами. Значение
этой идеи для теории уравнений с частными производны-
ми стало ясным лишь в XIX в. после работ Ж. Б. Фурье.)
3. Основные достижения начального периода теории
уравнений с частными производными первого порядка.
Новая область анализа давала значительный простор
исследователю, ее методы оказывались незаменимыми для
решения ряда задач механики и вызывали широкий инте-
рес. Но под силу эта новая область анализа оказывается
немногим — на протяжении всего XVIII в. она оставалась
самой сложной для исследователей ветвью анализа.
Основное внимание в первое время было сосредоточено
на интегрировании уравнений второго порядка, ибо
именно они были необходимы механике — дисциплине,
определявшей лицо науки XVIII в. Однако и уравнения
первого порядка вскоре стали предметом пристального
внимания творцов нового исчисления, ибо систематиче-
ское развитие общей теории уравнений с частными про-
изводными, стремление к которому ощущается в работах
Даламбера и Эйлера 60-х гг., естественно требовало пре-
жде всего ее построения для уравнений первого порядка.
Главные достижения в теории уравнений первого порядка
содержат работы: Эйлера «Разыскание функции по дан-
ному дифференциальному условию» [11], опубликованная
в 1764 г. (представленные в ней результаты содержатся
в III томе его «Интегрального исчисления», опублико-
ванном в 1770 г. [12]), и «Исследования по интегральному
исчислению» Даламбера, опубликованные в 1768 г. [13].
В этих работах уравнения с частными производными
приводятся к уравнениям в полных дифференциалах, ко-
торые решаются той или иной спецификацией метода мно-
жителей. Проиллюстрируем этот метод на примере 21-й
задачи VI главы III тома «Интегрального исчисления»
[12]. Требуется проинтегрировать уравнение
рх + qy = 0 (р = dzldx, q = dzldy).
Эйлер переходит к соответствующему уравнению в пол-
ных дифференциалах
(iz = pdx + qdy = pdx
= p[d^~ ~^dy)
77
Он замечает, что интегрирующим множителем выражения
dx---—dy будет 1/у, тогда
dz = ^(T-^d//) = p;/d(v)’
следовательно, ру — функция х!у, тогда ру = /' (х/у)
тл z — f {xly) (J (/) — произвольная функция своего аргу-
мента).
Этот пример — иллюстрация начала исследований,
для которых характерно, во-первых, сведение уравнений
с частными производными к уравнениям в полных диффе-
ренциалах, что сохраняло связь с уже «обжитой» областью
обыкновенных дифференциальных уравнений и было про-
диктовано спецификой метода, которым интегрировались
уравнения в рассматриваемый период,— метода множи-
телей. Во-вторых, для этих исследований характерно
отсутствие геометрической интерпретации уравнений и
их решений и формально-аналитический подход к ним —
используются остроумные аналитические приемы при-
ведения некоторой дифференциальной формы к инте-
грируемой форме.
Интересно отметить, что именно формальный характер
аналитических приемов интегрирования уравнений по-
зволил Эйлеру в [12] при интегрировании ряда уравне-
ний (pg = 1, q = / (р) и q = Р (р) х + П (р) и др.)
принять частные производные р (или q) в качестве незави-
симых переменных, что, по существу, представляло собой
(исторически первое!) использование контактных преобра-
зований в области уравнений с частными производными
(подробнее см. в [14] 2).
Указанные особенности — специфическая форма за-
писи уравнений, использование метода множителей, фор-
мально-аналитический характер исследования — отличают
первый, начальный, период развития области уравне-
ний с частными производными первого порядка, который
мы назовем формально-аналитическим. Наиболее полное
2 В работе [14] указывалось на использование Л. Эйлером преобра-
зования, названного впоследствии преобразованием Ампера. Бо-
лее внимательный анализ текста третьего тома «Интегрального
исчисления» Л. Эйлера [12] показывает наличие у него также и
преобразования, известного в литературе под названием преобра-
зования Лежандра: см. 109, 110 и последующие параграфы книги
78
выражение исследования этой поры находят в работах
Эйлера и Даламбера [11—13].
Для уравнений первого порядка в этот период, про-
должавшийся до начала 70-х годов XVIII в., было суще-
ственно продвинуто решение задачи их интегрирования.
Отметим некоторые важные вехи в ее решении: в работе
[И], напечатанной в 1764 г., Эйлер проинтегрировал
уравнение
+ Ь (А У) ® (*, У) = 0;
Даламбер в работе [13] 1768 г.
J- + Ь (*, у)^ + I {х, y)z + v (х, у) = 0;
Лаплас в работе [15], напечатанной в 1777 г.,—
+ М*» у) + f(x, у, z) = 0.
Разумеется, все многообразие результатов, получен-
ных в 50-е —60-е гг., не укладывается в жесткие рамки
той характеристики, которую мы привели выше. В недрах
этого начального периода появились зародыши идей, реа-
лизация которых была делом последующих этапов разви-
тия предмета. Наметилась и мало-помалу укрепилась
тенденция рассматривать уравнения вне связи с соответ-
ствующими уравнениями в полных дифференциалах.
Первую запись уравнения с частными производными не
в форме уравнений в полных дифференциалах из первого
издания 1743 г. «Трактата по динамике» Даламбера мы
уже приводили, однако такая запись становится 'нормой
лишь со статьи Л. Эйлера [16], опубликованной в 1765 г.
Первыми методами интегрирования, приспособленными
к новой записи уравнений, стали метод разделения пере-
менных, истоки которого мы находим в работе Даламбера
[17] (опубл, в 1752) и который был развит во втором изда-
нии его «Трактата по динамике» (1758), и метод введения
характеристических координат, предложенный Эйлером
в работе [18], опубликованной в 1766 г., поначалу для вол-
нового уравнения.
Таковы контуры поля исследований дифференциаль-
ных уравнений с частными производными, наметившиеся
к началу 70-х годов XVIII в., на которые падает возник-
новение «теории Лагранжа», составляющей содержание
следующего этапа их развития.
79
Ш. «Теория Лагранжа»
1. Возникновение теории Лагранжа»3. Зарождение
«теории Лагранжа» связано с формированием в его рабо-
тах концепции «полного решения». «Лагранж отправлялся
от эйлеровского понимания полноты решения уравнения I
с частными производными, зафиксированного в III томе
«Интегрального исчисления» (1770). Согласно Эйлеру
интегрирование дифференциального уравнения с частны-
ми производными н-го порядка полно, если полученное
решение содержит п произвольных функций (здесь оче-
видна руководящая Эйлером аналогия с обыкновенными 1
уравнениями, при этом роль произвольных констант
играют произвольные функции). Полноту таким образом
полученного решения Эйлер понимал в том смысле, что
оно содержало всевозможные частные решения, получа- ,
емые из него соответствующей специализацией входящих
в него произвольных функций. В работе «Об интегриро-
вании дифференциальных уравнений с частными производ-
ными первого порядка» [20], опубликованной в 1774 г.,
Лагранж рассматривает некоторые задачи IIJ тома «Ин-
тегрального исчисления» Эйлера, используя при этом
методы, чрезвычайно сходные с эйлеровскими по духу.
Он замечает, что решения, содержащие две произвольные
константы, также являются в некотором смысле полными,
ибо хотя они и не содержат всех решений уравнения, но
из них методом вариации постоянных можно получить
все решения, в том числе и полные в эйлеровском смысле.
Здесь Лагранж еще придерживается эйлеровской терми-
нологии. Эта идея становится центральной при выработке
новой концепции «полного решения», появление которой
в работе «О частных интегралах дифференциальных урав-
нений», опубликованной в 1776 г. [21], знаменует выход
из зйлеровского круга идей и вместе с этим за границы
формально-аналитического периода. Полным решением
уравнения
/ (х, у, z, р, д') = 0 (р = dzldx, q = dzldy) (III.1.1)
Лагранж называет решение этого уравнения z — (х,
у, а, Ь), зависящее от двух произвольных постоянных а
и Ь. Он показывает (и это оправдывает название введен-
3 В изложении этого раздела мы в значительной степени следуем ра-
боте С. Б. Энгельсмана [19].
80
ного решения), что из него методом вариации постоянных
можно получить все прочие: если в «полном решении»
положить Ъ == ф (а), где ф — произвольная функция сво-
его аргумента, а затем из уравнений
z = ф (л?, г/, а, ф (а)), dzlda U
исключить а, то получится решение, зависящее от произ-
вольной функции.— «общее», в его терминологии (полное
в терминологии Эйлера). Наконец, если исключить а ид
из уравнений
z = <р (х, у, a, b), dzlda = 0, dz/db = О,
то получится решение, названное им «специальным»
(впоследствии в «Теории аналитических функций» (1797)
он назовет его «особым»).
Таким образом, задача интегрирования уравнения
(III. 1.1) сводится к нахождению «полного решения».
Лагранж выяснил геометрический смысл полученных
им решений: «полное» решение задает двухпараметриче-
ское семейство решений, «общее» — множество огибаю-
щих однопараметрических подсемейств этого семейства
(выделяемых заданием зависимости Ъ = ф(а)), наконец,
«специальное» (или «особое») задает огибающую двухпа-
раметрического семейства, представляющего «полное»
решение.
Хотя геометрический смысл понятий полного, общего
и особого интегралов и был выяснен Лагранжей, однако
это не привело его к последовательно построенной геомет-
рической теории уравнений первого порядка. Создание
теории явилось заслугой Г. Монжа и было выполнено
последним в цикле исследований, из которых назовем
лишь «Мемуар об исчислении интегралов уравнений
с частными производными», опубликованный в 1787 г.
[22], и «Приложение анализа к геометрии», вышедшее
в 1807 г. [23]. В частности, Монж ввел понятие характе-
ристики, по существу рассматривавшейся уже Эйлером и
Лагранжем, и показал, как из характеристик конструи-
руются решения.
Построенная Лагранжем теория, получившая отчет-
ливое геометрическое звучание в трудах Г. Монжа, и
составляет содержание второго этапа разработки области
теории дифференциальных уравнений с частными произ-
водными первого порядка.
81
2. Разработка теории Лагранжа в XVIII в. Разви-
ваемые Лагранжем методы привели его в работах [24,
25], опубликованных в 1781 и 1787 гг., к решению про-
блемы интегрирования уравнения
п
^2 (A. z2, . .. , хп, z)-^- = b{xL,x2, ... ,xn,z) (III.2.1)
для произвольного n путем сведения ее к интегрированию
системы обыкновенных уравнений
dz
“i (xi, x2, . . . , xn, z) ~ b . . . ,xn,z)
(III.2.3)
Долголетние исследования Лагранжем проблемы инте-
грирования уравнения
/ (х, у, z, р, д) =0 (III.2.4)
были завершены в работе, представленной Парижской
академии наук в 1784 г. рано умершим (в 1785 г.) мате-
матиком П. Шарпи. Эта работа так и не увидела света,
сведения о ней содержатся в [26]. Суть метода Лагранжа —
Шарпи состояла в следующем. Пусть нам как-либо уда-
лось определить такую функцию <р (х, у, z, р, д), что два
уравнения:
I (х, у, z, р, д) =0, <р (х, у, z, р, д) = а, (III.2.5)
где а — произвольная константа, могут быть разрешены
относительно р и д таким образом (р = (а;, у, z, а),
д = U, У, Z, а)), что dz = j± (х, у, z, a) dx + /а (х, у,
t, a) dy удовлетворяется тождественно для любого значе-
ния постоянной а. Тогда интегрирование полученного
уравнения в полных дифференциалах дает решение,
содержащее наряду с произвольной константой а произ-
вольную константу интегрирования,— мы получили, сле-
довательно, «полное решение» уравнения (III.2.4).
Итак, задача свелась к нахождению дополнительного
уравнения <р (х, у, z, р, д) = а. Нетрудно показать, что
условие тождественного выполнения соотношения dz =
= pdx + gdy для р и д, извлеченных из системы (III.2.5),
дает уравнение, достаточное для определения функции
82
<р (х,
Р
У, г, р, q):
-f- + Q-^- + (Pp + Qg)^— (X + pZ)
ох оу 1 ' г 1 oz ' 1 r ' op
-(>' + ?Z)4S--u,
где
P = 2L, C =
op x oq
z = lL.
dz
Of
dx ’
JL
ду ’
Это уравнение типа (III.2.1), которое, как мы уже замети-
ли, было проинтегрировано Лагранжем в работе [24].
Оно сводится к системе обыкновенных уравнений
йт су dz dp dq .... О о.
~ ~ ~Q~ ~ Pp+Qq ~ х +pZ ~ Y + qZ • k >
При этом вовсе не нужно искать общего решения этой
системы. Достаточно найти один ее интеграл
<р (х, у, z, р, д) = а.
Таким образом, методом Лагранжа — Шарпи решается
задача интегрирования уравнения (III.2.4).
Естественно было бы теперь заняться поиском метода
интегрирования произвольных уравнений, содержащих
более двух независимых переменных:
/ (xi, Х2-, . . Z, Pi, р2, . . ., рп) = 0; (III.2.7)
при этом первый путь, сам собой напрашивающийся,—
попробовать обобщить на такие уравнения метод Лаг-
ранжа — Шарпи. Однако на пути такого обобщения воз-
никали серьезные трудности. Рассмотрим случай, когда
уравнение (III.2.7) не содержит явным образом z (к тако-
му виду уравнение (III.2.7) приводится без труда):
/(хь х2,.. ., хп, pi, р2, .. .,рп) = 0.
По аналогии с методом Лагранжа — Шарпи следовало бы
найти еще (п — 1) соотношение между р±, р2, . . ., рп,
включающее (п — 1) произвольных постоянных h2, . -
. . ., таких, чтобыpj, р2, . . ., рп, выраженные в функ-
циях от хг, х2, . . ., х„, hi, h2, . . ., hnобращали выра-
жение
Pidx! + p2dx2 + . . . + pndxn
83
в полный дифференциал. В этом случае искомый полный
интеграл получался бы интегрированием последнего вы-
ражения. Для того чтобы оно было полным дифферен-
циалом, необходимо и достаточно, чтобы дрфдх^ = dpjdxi
для любых г, к = 1, 2, . . ., п. Таким образом, искомые
(п — 1) функции должны удовлетворять (п — 1) п/2 ус-
ловиям. В случае п = 2 п — 1 = (п — 1) п/2, т. е. число
искомых функций равно числу условий, во всех других
оно больше числа искомых функций, т. е. переопределено.
Хотя, вероятно, этой задачей занимались в то время
многие (мы имеем свидетельство Лакруа [26, с. 567],
что ею безуспешно занимался сам Шарпи), в XVIII в.
решить ее не удалось, и она осталась в числе наиболее
важных проблем, подлежащих исследованию. На ее зна-
чимость для математики начала XIX в. указывают имена
математиков, приложивших в XIX в. усилия к ее реше-
нию,— И. Ф. Пфафф, О. Коши, К. Г. Якоби.
3. Метод Пфаффа. Первое решение задачи интегри-
рования уравнения (Ш.2.6) было дано И. Ф. Пфаффом
в работе [27], доложенной 11 мая 1815 г. на заседании
Берлинской академии наук.
Надо сказать, что геометрический дух французской
школы чужд Пфаффу, тяготевшему скорее к формально-
аналитическому эйлеровскому стилю, в котором выдер-
жаны его построения. Именно формально-аналитический
подход позволил Пфаффу, по существу, перевести задачу
в пространство 2п измерений, более того (вслед за Эйле-
ром), рассмотреть частные производные от искомой функ-
ции в качестве независимых переменных. Мы говорим
«по существу», так как такое геометрическое понимание
в рамках математики начала XIX в. было невозможно.
Пфафф свел задачу интегрирования (III.2.7), или
рп = ф (*i> хъ • » хп, z; Pi, р2, - • Pn-i) (Ш.3.1)
(в такой форме оно обыкновенно встречается у Пфаффа),
к эквивалентной задаче интегрирования уравнения
dz — pida^i — p2da;2 — • — pn-idxn-i —
— <p (ад, xz, . . ., хп, z; ръ р2, - . ., Pn-J dxn
-ф O-dp, 4-. . . 4-O-dpn_u (III.3.2)
а последнюю к более общей — интегрированию уравнения
84
в полных дифференциалах
At (уь Ук) dyY + А2 (уъ . . . ,y^dy2+ ...
. . . Лк (?/i, . . - , ук)(///к- = О. (III.3.3)
Пфафф показывает, как при помощи специальной замены
переменных уравнение (IIL3.3) в этом случае приводится
к аналогичному уравнению, содержащему (2п — 1) пере-
менную. Он отмечает, но не доказывает, что такая замена
возможна лишь для случая четного к. Сведение интегри-
рования уравнения (Ш.З.З) при к =2п — 1 к интегри-
рованию аналогичного уравнения при к = 2п — 2 про-
изводится специальным приемом. Пфафф показывает4,
что в итоге уравнение (Ш.З.З) можно проинтегрировать
через п соотношений, содержащих рх, . . ., у* и одну про-
извольную функцию. Применительно к уравнению (III.3.2)
зто означает, что оно интегрируется через п соотношений,
содержащих хрх2, . . ., хп, z,p1, р2, . . pn_i и произволь-
ную функцию. Исключая из этих соотношений р1, р2,...
. . ., Рп-1, получим общее решение.
Таким образом, был получен метод, дающий принци-
пиальную возможность интегрировать уравнение (III.2.7).
Однако на практике этот метод чрезвычайно громоздкий:
редукция уравнения (Ш.З.З) при четном к = 2п к урав-
нению того же вида, содержащему одной переменной
меньше, требует интегрирования системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, а полная реализация ме-
тода, включающая целую цепочку подобных редукций,
требует интегрирования п систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, первая из которых имеет вид
dxY ___ dr2 _ _ dxn
SflSpi ~ <>Н'>Рг — • • — дрдрп ~
dz dpt
= ~дГ Л ~дГ~ ' дГ 1Г~ =
Р1 dpY др2 ‘ ' Рп дрп dxY dz Р1
dp2 dPn
~ df ‘ “ g/ д/
За:2 dz Р2 dxn dz (III.3.4)
4 Болес подробное изложение работы Пфаффа, а также резуль-
татов О. Кошп, о которых речь пойдет ниже, см. в [28].
85
и интегрирование которой, как показали дальнейшие ис-
следования, достаточно для полного решения уравнения
(III.2.7). Поэтому метод, предложенный Пфаффом, был
впоследствии вытеснен более удобными методами О. Коши
и К. Г. Якоби. Значение же работы И. Ф. Пфаффа состоит
прежде всего в том, что в ней начинается глубокое изучение
природы уравнений в полных дифференциалах, названных
впоследствии его именем.
4. Метод Коши. Сложная политическая обстановка
в Европе в то время мало способствовала развитию науч-
ных связей. Результаты И. Ф. Пфаффа не стали вовремя
известными О. Коши, занятому поиском метода интегри-
рования уравнения (ПТ.2.6) в случае произвольного п.
Работа И. ф. Пфаффа дошла до него лишь в тот момент,
когда он готовил публикацию своих результатов. Но
«так как речь идет об одном из самых важных вопросов
интегрального исчисления и так как метод господина
Пфаффа отличен от моего»,— писал О. Коши в начале
своей статьи, напечатанной в 1819 г. [29], то он, Коши,
полагает, что изложение представляет интерес для гео-
метров.
Свое изложение Коши проводит для случаев двух и
трех независимых переменных, указывая, что распростра-
нение метода на случай большего их числа не представ-
ляет трудности. Так, для двух независимых переменных
предложенная конструкция выглядит следующим образом:
ищется решение уравнения
f (х, У, z, р, q) =0, (Ш.4.1)
удовлетворяющее условию z (х0, у) = <р (у). Если х, у, z
рассматривать как функции двух независимых перемен-
ных, то задача интегрирования уравнения (III.4.1) пред-
ставляется как задача нахождения пяти функций х, у,
z, р, <7 этих двух переменных, удовлетворяющих этому урав-
нению и соотношению
dz — pdx — qdy = 0. (III.4.2)
Коши использует замену переменных, предложенную
Ампером в 1815 г.:
х = х, у = у (и, х).
(Ш.4.3)
86
В силу (III.4.2) и (III.4.3) имеем
dz , ду
О — р Q “Ч— t
дх 1 1 дх
%-=q%~. (IIL4.4)
ди * ди х '
Дифференцируя (IIL4.1) последовательно по а; и по и
и обозначая
X = dj/dx, Y = df/dy, Z = df /dz, P = df/dp,
Q = df/dq,
получаем
1 dx 1 dx 1 dx 1 v dx
y^ + z^ + p^-+q^ = v.
OU OU 1 OU 1 OU
= 0,
(III.4.5)
Задача сводится теперь к нахождению функций х, у, z,
р, q переменных х и и, удовлетворяющих уравнениям
(III.4.4) и (III.4.5). В дальнейшем Коши пытается подо-
брать функцию и так, чтобы из уравнений (III.4.4) и
(III.4.5) получить систему из четырех уравнений, содер-
жащих только производную по х (но не по и). Он приходит
к системе
P%=Q, P^-Pp+Qq, P^ = -Y-qZ,
P^P-X-pZ,
которая совпадает с системой (III.2.6), достигаемой мето-
дом Лагранжа — Шарпи. Интегрирование этой системы
при начальных условиях (х0, и, <р (н), р (х0, и), <р' (н))
дает искомое решение.
Метод Коши сводит, таким образом, интегрирование
уравнения (III.4.1) к интегрированию одной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, а не п
систем, как в методе Пфаффа. При этом Коши предлагает
конструкцию интегральной поверхности из характери-
стик (самого этого термина он не употребляет), проходя-
щих через кривую х = x0,z = <р (у), давая тем самым даль-
нейшее развитие теории характеристик, начало которой
было положено Монжем. Однако работа Коши не полу-
87
чила в свое время достаточной известности, ибо напеча-
тана была в журнале, не имевшем широкого распростра-
нения. Не знал об этой работе и К. Г. Якоби, пришедший
к тому же результату, в несколько отличной, правда, фор-
ме, получившей в литературе название первого метода
Якоби. Впоследствии, в 1841 г., Коши [30] воспроизвел
основное содержание своей работы (подробнее об этом см.
[28]).
5. Первый метод Якоби. Якоби в работе 1837 г. [31],
отправляясь от метода Пфаффа, над которым он начал раз-
мышлять уже давно (одна из его работ, посвященных это-
му методу [32], датируется 1827 г.), пришел к мысли —
использовать при выборе первой из замен координат, про-
водимых согласно методу Пфаффа, идею «начальных зна-
чений», находившуюся в тесной связи с работами У. Га-
мильтона 1834—1835 гг., которые были в эти годы объек-
том тщательнейшего его изучения и отправной точкой соб-
ственных исследований по аналитической механике. Он
рассматривает уравнение (III.2.7) и, следуя методу Пфаф-
фа, записывает для него систему уравнений
dx^ dxi dxn dz
= ‘ ’ = "ЛГ = P\Pi + ^Р2 Ь • •
— dpl _ _ ~dPn
4'1 - ZPi ^Рп'
где
Pi = df/dpi, Xi = dfldXi, Z = dfjdz,
p p
(V.5.1)
интегрирование которой дает систему из 2п независимых
интегралов
щ (хх, х2, . . ., хп, z, pi, р2,..., рп) = щ,
«2 (Tlf х2, .. . , хп, z, ръ р2, - • • , Р„) = «2,
^2П~1 (-Г1» -Tgj - 1 -Гп1 Р1» Р2т • - • i Рп) ®2п-1»
f(xi, Х2, . . . , Хп, Z, рь р2, . . . , рп) = 0.
Далее ut, н2, . . ., u2n-i, z принимаются за новые перемен-
ные. С этого момента начинаются различия в методе
Пфаффа и методе, получившем в литературе название
«первого метода» Якоби. Якоби использует идею началь-
ных значений, стоящую, как мы уже говорили, в связи
88
с его изучением работ У, Р. Гамильтона:
пусть
%г |я=И Pi |г=0 ftj.
Введенные таким образом и лг являются функциями
ult и2, Щп-i, а следовательно, z, х±, х2, . . ., хп, ръ
р2,..., Рп- Затем Якоби устанавливает, что — dz 4- pYdxi 4-...
71 27»—1
. . . 4" Рп ^ХП ~ ЕЕ Pj—^-duj и далее (следствие заме-
i=l .г= 1 3
ательной идеи введения «начальных значений»!).
— dz 4- Pidxi 4- Pzdx2 4- • • 4- Рп^хп 4- 0 • dpx 4- • -
• • • 4- 0 dpn-i = Лаб^! 4- n2d^2 4- ... 4- Лп^Вп-
Таким образом, одной замены оказалось достаточным для
редукции уравнения в полных дифференциалах, содер-
жащего 2п переменных, к уравнению, содержащему всего
лишь п переменных. Тотчас получалось решение исход-
ного уравнения (III.2.7) в виде полного решения, получа-
емого исключением plt р2, . . ., рп из системы
li (z, Xl...хп, plt.. ., рп) = Ci (i = 1, .. ., и),
/(J-J, .. . ,xn, z, Pi,. . . ,p„) = 0.
В лекциях, прочитанных в 1842/43 г. в Кёнигсбергском
университете (опубликованных уже после его смерти
в 1886 г. Клебшем [33]), Якоби дал другое изложение
своего метода, стоящее ближе к идеям Гамильтона.
6. О предпосылках дальнейшего развития исследований.
В работах Пфаффа, Коши и Якоби основная задача теории
дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка, стоявшая в начале века, была решена,
и «теория Лагранжа» в центральной своей части приоб-
рела законченную форму, что знаменовало собой оконча-
ние второго этапа исследований области уравнений пер-
вого порядка. Разумеется, в рамках «теории Лагранжа»
имелось еще множество задач более частного характера,
развитые методы требовали уточнения и допускали зна-
чительное расширение, реализация которого выходила
за рамки задач, диктуемых «теорией Лагранжа». Метод
Пфаффа, по существу, выводя рассмотрения в простран-
ство 2п измерений, где к числу независимых переменных
89
относились и частные производные от искомой функции,
не укладывался, как мы уже отмечали, в рамки принятой
геометрической интерпретации теории. Метод Коши на-
мечал дальнейшее развитие теории характеристик урав-
нений первого порядка. Наконец, Якоби ставил теорию
уравнений первого порядка в неразрывную связь с таки-
ми интенсивно развивающимися областями исследований,
как аналитическая механика и вариационное исчисление.
Множились случаи использования для интегрирования
уравнений отдельных преобразований (Лагранж [21],
Лежандр [34], Ампер [35] — подробнее см. [14]), назван-
ных впоследствии контактными и позволивших в 70-е гг.
С. Ли (см. разд. V) построить общую теорию уравнений
первого порядка. Отсутствие понимания геометрического
смысла таких преобразований, ненужное при формально-
аналитической трактовке вопроса, вытесняло их приме-
нение на периферию исследований.
Мы видим, что наличные исследования обладали внут-
ренними потенциями для дальнейшего развития, но, веро-
ятно, оно не было бы столь бурным, как это произошло
в дальнейшем, если бы не мощный импульс — из области
аналитической механики.
Дело в том, что в рамках теории Гамильтона — Якоби,
как показал сам Якоби, удавалось свести задачу интегри-
рования уравнений динамики к нахождению полного реше-
ния одного уравнения с частными производными первого
порядка (что устанавливало тесную связь аналитической
динамики с уравнениями с частными производными пер-
вого порядка!). Правда, такой результат сам по себе не
дает практической выгоды, ибо интегрирование этого
уравнения согласно известным методам опять сводилось
к полному интегрированию системы обыкновенных урав-
нений, которая оказывалась эквивалентной исходной
системе уравнений динамики. Получился замкнутый круг,
выход из которого дал принципиально новый метод инте-
грирования уравнений первого порядка, именно так на-
зываемый второй метод Якоби. Соответствующие резуль-
таты Якоби составили следующий, третий этап ее разви-
тия.
90
IV. «Теория Якоби»
1. «Второй метой» Якоби. Перед Якоби стояла зада-
ча — найти метод интегрирования уравнения (IIL2.7),
принципиально отличный от предложенного им ранее,
не сводящий задачу к проблеме полного интегрирования
системы (III.5.1). Для случая двух независимых перемен-
ных такой метод — метод Лагранжа — Шарпи — уже
существовал. Обобщение же этого метода на случай боль-
шего числа переменных наталкивалось, как мы уже гово-
рили, на серьезное затруднение. «Это затруднение удер-
живало до сих пор аналитиков от распространения мето-
да Лагранжа на большее число переменных. Нас оно не
устрашит, напротив, зная априори, что задача, несмотря
на слишком большое число условий, все же может быть
решена, мы будем исследовать — как это может произой-
ти, что (п — 1) функция удовлетворяет п (п — 1)/2 услов-
ным уравнениям»,— такими словами К. Г. Якоби [33,
с. 214] в своих лекциях по динамике предварял изложение
метода, поиски которого он вел давно. Еще в работе, дати-
рованной 12 августа 1827 г. и опубликованной в том же
году, он писал, что «имеют смысл условия, направленные
на распространение до возможных границ метода Лагран-
жа» [36, с. 10]. Такое обобщение метода на уравнения
с произвольным числом независимых переменных содер-
жится в статье, законченной Якоби в 1838 г. и найденной
Клебшем в его бумагах уже после его смерти, последовав-
шей в 1851 г. Эта статья была опубликована в 1862 г.
[37]. Содержащийся в ней «второй метод» Якоби был при-
веден также в его лекциях по динамике [33].
Суть второго метода К. Г. Якоби сводится к следую-
щему. Пусть
h (хъ л2,. . . , л-„, Рп р2, • •, Fn) = hi
(где hi — произвольные постоянные) — искомые (п — 1)
соотношения, из которых, взятых вместе с исходным урав-
нением
/oUi, л-2,. . . , хп, р2, . . ., р„) = 0 (IV.1.1)
(к такому виду без труда приводится уравнение (III.2.7)),
можно извлечь рг, р2, . . ., рп как функции х2, . . .
. . ., хп, при любых значениях констант /г1; h2, . . ., hn_i
91
обращающие
Pidzi 4- p2d.r2 + . .. + pndxn
в полный дифференциал.
Тогда интегрирование выражения
dz = рх dxt + p2dx2 + + Рп dxn
даст искомый полный интеграл, зависящий от произволь-
ных постоянных hi, h2, . . hn-i и постоянной интегри-
рования hn.
Якоби показывает, что необходимым и достаточным
условием того, чтобы рх, р2, . . ., рп, извлеченные из си-
стемы
/о = 0, fi = hi (i = 1, 2, —1),
обращали prdxt p2dx2 + . . . pndxn в полный дифферен-
циал, будет тождественное удовлетворение равенств
= = ° <IV1I
(i, к = 0,1, ... , п — 1)
((/,/&) — скобки Пуассона, введенные им в 1809 г.). Таким
образом задача сводится к нахождению функций /17 /2, ...
. , /n-i, удовлетворяющих условиям
(/оА) = О, (IV.1.2—1)
W to II II II О Р р (IV.1.2—2)
© о II II (IV.1.2-3)
(/о/п-1) = 0,
(/>/,.-!) = 0,
(/»-Л-1) = о.,
(IV-1.2-(n- 1))
92
Так как /0 известно, то уравнение (IV.1.2—1) — линей-
ное и первого порядка относительно функции /1. Найдя
частное решение этого уравнения, включающее pt, можно
приступить к решению системы (IV.1.2—2) двух линейных
уравнений первого порядка относительно /2 и т- Д-
Задача свелась к решению системы совокупных ли-
нейных дифференциальных уравнений первого порядка
вида
лч/) = Х-^- + л^- + ... + ^^- = о,
х П
А* (/) = А'; -%- + А*., 4- ... + Акп^-~ = о
и' 1 дх, 1 - дхо 1 1 ” дх
д п
(/с<^лг), удовлетворяющих условию (Якоби доказывает
это)
A*(Al(f))- Д1(Л*(/)) = 0.
При этом достаточно найти одно решение такой системы,
включающее рг. Якоби дает простой метод нахождения
таких решений и тем самым получает новый метод инте-
грирования' уравнения (IV.1.1), а следовательно, и
(III.2.7). Этот метод открывал целое направление иссле-
дований — изучение совокупных систем уравнений тако-
го типа.
2. О работах Якоби по теории уравнений первого по-
рядка. Глубокое проникновение в идеи своих предшест-
венников (Лагранжа, Пфаффа), неразрывность в исследо-
вании структур математического анализа и аналитической
механики, не только способствовавшая достижению важ-
ных результатов в последней, но и обогащавшая сам
анализ (вспомним хотя бы использование идеи «началь-
ных значений» в создании «первого метода»), наконец,
исключительная широта взгляда, включавшего в рассмот-
рение самые разнообразные аспекты теории, позволили
Якоби настолько продвинуться в исследовании областп
уравнений первого порядка, что он вплотную подошел
к идеям, составившим впоследствии содержание «теории
С. Ли». Судя по его лекциям по динамике, а также по
опубликованным посмертно в 1862 и 1890 гг. работам [37]
и [38], Якоби вплотную приблизился к идее контактного
преобразования как ключевого момента в построении
93
теории дифференциальных уравнений первого порйдка.
Он характеризовал подобные преобразования как самые
общие преобразования дифференциальных уравнений
первого порядка и дал им общее аналитическое представ-
ление (наиболее полное изложение соответствующих
результатов Якоби мы находим в § 42 работы [38]; подроб-
нее об этом см. [14]). От законченного понятия контактного
преобразования Якоби отделял всего один шаг — выяв-
ление общегеометрического смысла таких преобразований,
который он сам рассматривал иск гючителъно в связи
с уравнениями. Фактическое же употребление им контакт-
ных преобразований подводило его к необходимости рас-
сматривать уравнения, например (IV.1.1), не в связи
с Rn+1, а с R2,!+1.
Таким образом, в работах Якоби содержатся все пред-
посылки для создания «общей теории уравнений первого
порядка», созданной впоследствии С. Ли, не хватает
одного — синтезирующего геометрического взгляда на
теорию, подготавливавшегося всем ходом развития мате-
матики XIX в. и оформившегося лишь к 70-м годам.
К сожалению, работы Якоби, рассмотренные в насто-
ящем разделе, как мы уже отмечали, не были своевремен-
но опубликованы. Некоторые содержащиеся в них ре-
зультаты стали известны европейским математикам че-
рез сообщения лиц, слушавших его курс в Кёнигсберге
(К. В. Борхардта и др.), из писем самого Якоби (одно
из них было опубликовано в 1840 г. в V томе журнала
Лиувилля). Однако в целом полученные им результаты
по теории уравнений первого порядка и тесно связанные
с ними достижения по динамике долгое время оставались
неизвестными и частично были переоткрыты другими
авторами (М. В. Остроградским, Ж. Бертраном, Ж. Лиу-
виллем, Э. Буром, В. Ф. Донкиным и др.)
3. Ситуация к моменту появления работ С. Ли.
В 50—60-е гг. описанные выше результаты Якоби в зна-
чительной своей части были опубликованы и сразу при-
влекли внимание ряда математиков. Их изучение рождало
ощущение необходимости выработки новой точки зрения,
позволяющей дать ясное в идейном отношении их пред-
ставление как частей единого целого, глубже понять их
взаимосвязи со старыми теориями (Лагранжа, Пфаффа,
Коши). Этим чувством окрашены высказывания Ж. Бер-
трана в его курсах, читанных в Париже в начале 60-х
94
годов, которые побудили молодого математика из России
В. Г- Имшенецкого написать магистерскую диссертацию
«Об интегрировании уравнений с частными производными
первого порядка», опубликованную в Казани в 1865 г.
и уже в 1869 г. появившуюся во французском переводе
[39]. Эта монография, содержащая некоторые собственные
достижения автора, явилась образцовым изложением ос-
новных результатов (в первую очередь Якоби), достигну-
тых к тому времени. Однако она не содержала в себе
подхода к решению основной задачи — построению «общей
теории», осуществленному через несколько лет С. Ли.
Более того, в книге Имшенецкого отсутствовали те мате-
матические достижения, которые послужили предпосыл-
ками формирования новой теории: 1) выбор нового про-
странственного элемента, рассмотрение многообразия
таких элементов и основанное на этом обобщение понятия
уравнения и решения уравнения; 2) идея контактных
преобразований.
А эти достижения к тому времени были уже значитель-
ными. Идея выбора нового пространственного элемента
восходит к Ю. Плюккеру и красной нитью проходит через
все его творчество, начиная с его «Аналитическо-геомет-
рических исследований» [40], кончая последней его рабо-
той «Новая геометрия пространства, основанная на рас-
смотрении прямой линии в качестве пространственного
элемента», изданной в 1868—1869 гг. А. Клебшем и
Ф. Клейном [41]. Обобщение пространственного элемента,
данное С. Ли, было, как неоднократно указывал он сам,
конкретизацией плюккеровских идей применительно
к рассматриваемой им ситуации (о предпосылках созда-
ния «теории Ли» подробнее см. [14]).
Что касается понятия контактного преобразования, то,
как уже говорилось, к нему вплотную подошел Якоби.
Независимо от результатов Якоби к идее контактного
преобразования подводили две линии развития математики
XIX в.: 1) практика интегрирования дифференциальных
уравнений — об отдельных результатах Эйлера, Лагран-
жа, Лиувилля и Ампера мы уже упоминали, назовем
также работы А. де Моргана (1849), книгу П. Дюбуа
Реймона о геометрической теории дифференциальных
уравнений с частными производными (1864) — и 2) гео-
метрические исследования Монжа (1809), М. Шаля (1837)
и в особенности работы Ю. Пчюккера (1831), к которым,
95
по выражению С. Ли и Энгеля, «нужно добавить очень
немного, чтобы получить исходную точку для геометри-
ческой теории контактных преобразований на плоскости»
[42, с. 17—18]. К контактным преобразованиям на рубеже
60—70-х годов пришел также Г. Дарбу, как он позже
сам указывал в письмах к С. Ли; впрочем, Дарбу не опуб-
ликовал своевременно своих результатов. Так что идея
контактных преобразований к концу 60-х годов потен-
циально присутствовала в математике, хотя ее действи-
тельная реализация произошла в начале 70-х годов в ра-
ботах С. Ли.
К концу 60-х годов созрели все предпосылки для со-
здания «общей теории». Дело оставалось за «малым» — за
выработкой геометрических воззрений чрезвычайной
общности. Такие воззрения, явившиеся результатом ре-
волюционных сдвигов в геометрии XIX в., были достиг-
нуты к началу 70-х гг. двумя молодыми математиками
Ф. Клейном и С. Ли, второй из которых является главным
действующим лицом следующего этапа развития иссле-
дований в области дифференциальных уравнений первого
порядка.
V. «Теория Софуса Ли»
Необычайная творческая сила сочеталась у С. Ли
с пристальным вниманием к работам предшественников.
Читая многочисленные исторические замечания, разбро-
санные в основном тексте и сносках его работ, в его
письмах, многие из которых приводятся в примечаниях
к собранию его сочинений, не перестаешь удивляться глу-
бине проникновения С. Ли в идеи его предшественников.
Он превосходно знал работы Эйлера, Лагранжа, Монжа,
Пфаффа, Гамильтона, Плюккера и Якоби по теории урав-
нений первого порядка и аналитической динамике. При
этом его изучение этих работ происходило одновременно
и в глубокой связи с развитием общих геометрических
воззрений. Таким образом, в данном случае можно го-
ворить о действительном синтезе идей, выраженных в той
или иной форме, иногда только намеченных, в ходе более
чем векового развития исследований в области уравнений
с частными производными, на базе новых геометрических
воззрений.
В 1871—1872 гг. появляются первые работы Ли, раз-
вивающие идею контактного преобразования,— короткая
96
заметка на норвежском языке [43], подписанная 24 октяб-
ря 1870 г. и опубликованная в 1871 г., затем более полное
изложение [44], опубликованное в 1872 г., опять на нор-
вежском языке, и в том же году немецкая статья [45].
В 1873 г. (подписано 30 апреля 1872 г.) появляется «Ко-
роткое резюме нескольких новых теорий» [46], где в очень
сжатой и довольно неясной форме дается набросок разви-
ваемой им теории уравнений первого порядка. Несколько
ранее, в 1872 г. появляется работа [47] (подписанная
11 октября 1872 г.), содержащая формулировку (без дока-
зательства) решения проблемы локальной эквивалентно-
сти для уравнений первого порядка — одного из важней-
ших предложений новой «теории», о котором речь пойдет
ниже. В дальнейшие годы следует цикл исследований
С. Ли, развивающих новую «теорию», которые подытожи-
ваются во втором томе (1890) замечательной книги С. Ли
«Теория групп преобразований» [42], подготовленной им
совместно с Ф. Энгелем.
До С. Ли уравнение (III.1.1)
/(х, у, z, р, д) =0
и его решения геометрически интерпретировались в трех"
мерном координатном пространстве В3. Ли, следуя идее
«обобщенного элемента пространства» Плюккера, счел
более удобным рассматривать его в связи с пространством
R6, рассматривая набор (ж, у, z, р, д) как точку этого
пространства. (Более подробное изложение истории воз-
никновения теории Ли, в частности о специфической фор-
ме интерпретации теории в R6, связанной с языком «об-
общенных элементов пространства», см. [14].) В этом слу-
чае уравнение (III.1.1) задает многообразие М4 (размер-
ности (4) в пространстве R5. Проинтегрировать такое
уравнение по С. Ли означает найти все многообразия
Л/jc (к 2)
х = х(Н, .. . , Д), у = y(tu . .., tk), z = z(Zb . .. ,ZS),
p = p (Zb . . ., Zft), g = g (Z,.Zfc),
координаты точек которых удовлетворяют уравнению
(III.1.1) и условию
dz — pdx — gdy = 0. (V.1.1)
Можно показать, что проблема интегрирования сводится
4 Заказ Ki 2436
97
к нахождению всех интегральных многообразий М2
двух измерений.
В таким образом интерпретированной теории получает
обобщение и понятие решения уравнения. Так, например,
в случае уравнения dzldx = 0 соотношения х = tlt у = О,
z = О, р = 0, q = t2 задают интегральное многообразие
М2, которому в R3 соответствует прямая, совпадающая
с осью х, и множество проходящих через нее плоскостей.
Более общий смысл приобретает даже понятие самого
уравнения — объекта теории. Если раньше уравнение
(III.1.1) рассматривалось в теории только тогда, когда
оно содержало хотя бы одну из производных р или q,
то теперь / (х, у, z) = 0, в частности z = 0,— также вхо-
дят в рассмотрение и можно ставить вопрос об их инте-
грировании, не представляющий, кстати, никаких труд-
ностей; описание всех интегральных многообразий урав-
нения z = 0 см. в [14, с. 92].
Контактным преобразованием С. Ли называл преобра-
зование в R5:
х = х (х, у, z, р, q), у' = у' (х, у, z, р, q),
z = z' (х, у, z, р, q),
Р = Р У, Z, р, q), q = q (х, у, z, р, q),
при котором тождественно удовлетворялось соотношение
dz'— p'dx'— q'dy' — р (dz — pdx — qdy), где p — функция
z, x, у, p, q, зависящая от преобразования. Инвариантным
свойством такого преобразования является касание. Клас-
сические преобразования Лежандра и Ампера представляли
собой примеры таких преобразований.
Одним из первых вопросов, возникающих в связи с вве-
денными таким образом контактными преобразованиями,
является проблема эквивалентности, т. е. проблема воз-
можности сведения одного уравнения к другому посред-
ством таких преобразований. Этот вопрос был поставлен
Ли в одной из его первых работ [46], подписанной 30 мая
1872 г., и в принципе решен в работе [47], подписанной
11 октября того же года: существует контактное преобра-
зование, которое преобразует данное уравнение в любое
наперед заданное, в частности в уравнение z = 0. Таким
образом, из этого простейшего уравнения можно вычитать
всю теорию уравнений первого порядка! Описание инте-
гральных многообразий уравнения z =0 (см. ]14, с. 115])
98
дает изящное выражение «лагранжевой теории» решений
уравнений первого порядка.
Данное Ли решение проблемы эквивалентности с со-
временных позиций выглядит неудовлетворительным. Во-
первых, не отмечен локальный характер полученного
результата — следовало бы говорить о возможности уста-
новления изоморфизма посредством контактного преобра-
зования некоторой окрестности точки многообразия
f (х, у, z, р, q) 0 и некоторой окрестности произвольной
точки другого многообразия Д (х', у', z', р', д') 0. Во-
вторых, не указано то обстоятельство, что такое преобра-
зование невозможно в окрестности нерегулярных точек
(необходимое условие нерегулярности р2 + 92 = 0)- Что
касается первого замечания, то не может быть никакого
сомнения в том, что Ли был ясен локальный характер его
результата, чего он ни здесь, ни в других подобных слу-
чаях не считал нужным оговоривать. Второе замечание
следует отнести скорее к общей для математиков XIX в.
манере формулировать результаты, верные «в общем слу-
чае», игнорируя их невыполнение в некоторых отдель-
ных особых случаях. Так и здесь, как нетрудно показать,
нерегулярные точки составляют па многообразии / (х, у,
z, р, д) =0 замкнутое подмножество меньшего числа из-
мерений, и результат С. Ли оказывается верным «почти
всегда», т. е. в «общем случае».
Значительное развитие в новой теории получает тео-
рия характеристик и характеристических многообразий,
общая теория которых позволила Ли разработать метод,
частными случаями которого являются методы Коши и
второй метод Якоби. В новой теории оказалось возможным
сделать еще более прозрачной связь между проблемами
динамики и уравнениями первого порядка, существенную
роль при этом сыграло введенное С. Ли понятие беско-
нечно малых преобразований.
Построенная Ли общая теория уравнений первого по-
рядка представляет собой вершину исследований в облас-
ти классической теории уравнений первого порядка XIX в.
Она до конца реализовала темы, развитые или хотя бы
только затронутые исследователями на протяжении более
чем ста лет интенсивной разработки этой области анализа.
Изложенная во втором томе «Теории групп преобразова-
ний», написанном С. Ли в сотрудничестве с Ф. Энгелем,
в ряде монографий (из которых отметим изложение Э. Гур-
4*
99
са [48]) и обзоров (например, Э. Вебера в немецкой мате-
матической энциклопедии [49]), зта теория стала одним
из самых замечательных достижений математики XIX в.
Вслед за работами по уравнениям первого порядка
С. Ли начал аналогичные разработки для уравнений вто-
рого порядка. Совокупность его результатов по уравне-
ниям с частными производными открывала целое направ-
ление (Э. Картап, Г. Гольдшм^т)^ С. Стернберг и др. Б),
составившее впоследствии часть теории дифференцируе-
мых многообразий. Современные инвариантные (не завися-
щие от выбора координат) определения дифференциаль-
ных уравнений с частными производными и их решений
связываются с введенными Ш. Эресманом пространства-
ми джетов (или струй) (см. [51]). Уравнение с частными
производными первого порядка трактуется тогда как замк-
нутое подмногообразие коразмерности 1 Е многообразия
J1 (М) 1-джетов гладких функций на многообразии М
(см. [52]). Под решением такого уравнения понимается
гладкое подмногообразие, лежащее на уравнении Е и
обращающее в нуль некоторую универсальную
ЕЛ1 (7м) 1-форму. Поставленная А. М. Виноградовым
[52] задача классификации нелинейных дифференциальных
уравнений с частными производными решена для уравне-
ний первого порядка В. В. Лычагиным [53, 54] — в этом
случае она сводится к классификации ростков гиперпо-
верхностей в J1 (М) относительно группы контактных
диффеоморфизмов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cantor М. Vorlesungen uber die Geschichte der Mathematik.
Leipzig; Berlin, 1924, Bd. 4.
2. Вилейпгнер Г. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. М.: Наука, 1966.
3. История математики с древнейших времен до начала XIX столе-
тия / Под ред. А. П. Юшкевича, т. 3. М.: Наука, 1972.
4. Euler L. Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis
ejusdem generis.— Comment. Acad. Sci. Petrop., VII (1734/34),
1740, p. 184—200 (перепеч. в Euler L. Opera omnia, Ser. I, 22.
Lipsiae, 1936, p. 57—75).
5. Cousin J. A. J. Introduction a I’etude de 1'astronomie physique.
Paris, 1787.
6. Демидов С. С. Возникновение теории дифференциальных урав-
5 В этом русле написана и докторская диссертация Д. Ф. Егорова
[50], содержащая наряду с важными математическими результа-
тами интересный исторический очерк теории уравнений с частны-
ми производными.
100
нении с частными производными.— Ист.-мат. исследования.,
1975, выл. XX, с. 204—220.
7. D'Alembert J. Traite de dynaruique. Paris, 1743.
8. D'Alembert J. Reflexions sur la cause generale des vents. Paris,
1747.
9. D'Alembert J. Recherches sur la courbe que forme une corde
tendue, mise en vibration.— Hist. Acad. Sci. Berlin, 1747, 3,
Berlin, 1749, p. 214—219, 220—229.
10. Демидов С. С. Дифференциальные уравнения с частными произ-
водными в работах Ж. Даламбера.— Ист.-мат. исследования,
1974, выи. XIX, с. 94—124.
11. Euler L. Investigatio functioiiuiii ex data differentialium condi-
tioue.— Novi comment. Acad. Sci. Petropol., t. 9, 1762—1763.
Petropoli, 1764, 170—212 (перепеч. в: Euler L. Opera omnia,
Ser. 1, 23. Lipsiae, 1938, p. 1—41).
12. Euler L. Institutionum calculi integralis. Petropoli, 1770, V. 3. I
Рус. пер. Эйлер Л. Интегральное исчисление, т. 3. Пер. и ком-
мент. Ф. И. Франкля. М.: Физматгиз, 1958.
13. D'Alembert J. Recherches de calcul integral.— Opusc. matb.
v. 4. Paris, 1768, p. 225—253, 254—282.
14. Демидов С. С. К истории теории С. Ли дифференциальных урав-
нений с частными производными.— Ист.-мат. исследования,
1978, вып. XXIII, с. 87—117.
15. Laplace Р. S. Recherches sur le calcul integrate aux differences
partielles.— Mem. Acad. sci. Paris (1773), Paris, 1777 (перепеч.
в: Laplace P. S. Oeuvres, t. 9. Paris, p. 5—68).
16. Euler L. Remarques sur les memories presedents de M. Bernoulli.—
Hist. Acad. Sci. Berlin (1753), 1765 (перепеч. в: Euler L. Opera
omnia, Ser. II, 1947, v. 10).
17. D’Alembert J. Addition au memoire sur la courbe que forme une
corde tendue, mise en vibration.— Hist. Acad. Sci. Berlin (1750),
1752.
18. Euler L. Recherches sur 1’integration de I’equalion
ddz I ddz \ b I dz \ c ,
dl2 \ dx2 / x \dx ) * xx %'
Mise. Taurin, t. 3, (1762—1765), 1766, 60—91 (перепеч. в: Eu-
ler L. Opera omnia, Ser. I, 1938, v. 23, Lipsiae, p. 42—73).
19. Engelsman S. B. Lagrange’s early contributions to the theory of
first order partial differential equations. Preprint N 75. Univ.
Utrecht, Dept Math., Febr., 1978.
20. Lagrange J. L. Sur I’integration des equations a differences partiel-
les du premier ordre.— Nouv. Mem. Acad. Berlin (1772), Berlin,
1774, p. 353—372 (перепеч. в: Lagrange J. L. Oeuvres, t. 3. Pa-
ris, 1869, p. 549—575).
21. Lagrange J. L. Sur les integrates particulieres des equations dif-
ferentielles.— Nouv. Mem. Acad. Berlin (1774). Berlin, 1776
(перепеч. в: Lagrange J. L. Oeuvres, t. 4. Paris, 1869)
22. Monge G. Memoire sur le calcul integral les equations aux diffe-
rences partielles.— Hist. Acad. Sci. (1784). Paris, 1787, p. 85.
23. Monge G. Application de Panalyse a la geometric. Paris, 1807 /
Рус. пер., выполненный с четвертого издания: Монж Г. Прило
жение анализа к геометрии. М; Л.: ОНТИ, 1936.
101
24. Lagrange J. L. Sur differentes questions d’analyse relatives a 1a
theorie des integrates particuliores.— Nouv. Mem. Acad. Berlin
(1779), Berlin, 1781, p. 121 —160 (перепеч. в: Lagrange J. L.
Oeuvres, t. 4. Paris, 1869, p. 585—634).
25. Lagrange J. L. Methode generate pour integrer les equations aux
differences partielles du premier ordre, lorsque ces differences ne
sont que lineaires.— Nouv. Mem. Acad. Berlin (1785). Berlin,
1787 (перепеч. в: Lagrange J. L. Oeuvres, t. 5. Paris, 1870).
26. Lacroix S. F. Traite du calcul differential et du calcul integral.
2е ed. Paris, 1814. T. 2.
27. Pfaff I. F. Melhodus generalis, aequationes differenliariim partia-
limn, uec non aequal iones differentiates vulgares, ulrasque pri-
\ mi oridinis, inter quotcumque variabiles, complete integrand!.—
Abb. Akad. Wiss. Berlin, 1814—1815, S. 76—136 / Нем. nep.:
Pfaff I. F. Allgemeine Methode partielle Differentialgleichungen
zu integriren. (Ostwald’s Klassiker N 129). Leipzig, 1902.
28. Демидов С. С. К истории теории уравнений с частными произ-
водными первого порядка — работы И. Ф. Пфаффа и О. Коши,—
Ист.-мат. исследования, 1979, вып. XXIV, с. 191—217.
29. Cauchy A. Note sur I’integration des equations aux differences
partielles du premier ordre a un nombre quelconque de variables.—
Bull. Soc. Philomat., 1819, p. 10—21 (перепеч. в: Cauchy A.
Oeuvres, He Ser., t. II. Paris, 1958, p. 238—252).
30. Cauchy A. Memoire sur I’integration des equations aux derivees
partielles du premier ordre.— Exerc. anal, et phys. math. (nouv.
exerc.), t. II. Paris, 1841 (перепеч. в: Cauchy A. Oeuvres, Ser.
II, t. XII. Paris, 1916, p. 272—309).
31. Jacobi C. G. Uber die Reduktion der Integration der partiellen
Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen irgend einer
Zahl variabeln auf die Integration eines einzigen Systems gewohn-
licher Differentialgleichungen.— J. reine und angew. Math., 1837,
17, S. 97—162. (перепеч. в: Jacobi C. G. Gesammelte Werke.
Berlin, 1886, Bd. IV, S. 57—127).
32. Jacobi C. G. Ueber die Pfaffsche Methode, eine gewohnliche line-
are Differentialgleichung zwischen 2n Variabeln durch ein System
von n Gleichungen zu integriren.— J. reine and angew. Math.,
1827, 2, H. 2, S. 347—357 (перепеч. в: Jacobi C. G. Gesammelte
Werke. Berlin, 1886, Bd. IV, S. 17—29).
33. Jacobi C. G. Vorlesungen liber Dynamik. Berlin, 1866 / Pyc. nep.:
Якоби К. Г. Я. Лекции по динамике. М.; Л.: ОНТИ, 1936.
34. Legendre А. М. Memoire sur I’integration de quelques equations
aux differences partielles.— Hist. Acad. Sci. Paris, 1789.
35. Ampere A. M. Memoire contenant 1’application de la theorie
exposee dans le 17е cahier du Journal de I’Ecole Polytechnique
a I’integration des equations differeutielles de lcr et 2е ordre.—
J. Ecole Polytechn., 1820, 11, cab. 18.
36. Jacobi C. G. Uber die Integration der partiellen Differentialglei-
chungen erster Ordnung.— J. reine und angew. Math., 2, p. 317—
329 (перепеч. в: Jacobi C. G. Gesammelte Werke, Bd. IV. Berlin,
1886, S.l —15.)
37. Jacobi C. G. Nova methodus, aequationes differentiates partiales
primi ordinis inter numerum variablium quemcunque propositas
102
integrandi.— J. reine und angew. Math., 1862, 60, S. 1—181
(перепеч. в: Jacobi C. G. Gesammelte Werke. Berlin, 1890, Bd. V,
S. 1—189; нем. nep.: Jacobi C. G. Neue Methode zu Integration
partieller Differentialgleichungen erster Ordming zwischen irgend
einer Anzahl von Veranderlichen. ((Ostwald’s Klassiker, N 156).
Leipzig, 1906.)
38. Jacobi C. G. Uber die eine Probleme der Mechanik in welchen eine
Kraftefunction existut und uber die Tbeorie der Storungen.
(перепеч. в: Jacobi C. G. Gesammelte Werke, 1890, Bd. V).
39. Имшенецкий В. Г. Об интегрировании уравнении с частными
производными первого порядка. Казань, 1865 / Фр. пер.:
hnschenetsky V. G. Sur I’integration des equations aux derivees
partielles du premier ordre. Paris, Greifswald, 1869.
40. Plilcker J. Analytisch-geometrischc Entwicklungen. Essen, 1828—
1831, Bd. I—II.
41. Plilcker J. Neue Geometrie des Raumes, gegriindet auf die Betrach-
tung der geraden Linie als Raumelement. Leipzig, 1868.
42. Lie S. Tbeorie der Traiisformationsgruppen / Unter Mitwirkung
von F. Engel. Leipzig, 1890, Bd. 2.
43. Lie S. Om en Classe geometriske Transformationer.— Christ.
Forb. (Aar, 1870), s. 506—509. Christiana, 1871/ Нем. nep.:
Lie S. Ges. Abhandl. Leipzig; Oslo, 1934, Bd. I, S. 93—96.
44. Lie S. Over en Classe geometriske Transformationer. Christ. Forh.
(Aar, 1871), s. 67—109, 182—245. Christiania, 1872 (нем. nep.:
Lie S. Ober eine Klasse geometrischer Transforniationeii.— Ges.
Abhandl., Bd. I. 1934, Leipzig; Oslo, S. 105—214).
45. Lie S. Uber Komplexe.— Math. Ann., 1872, Bd. V, H. 1, S.
145—208; H. 2, S. 209—256 (перепеч. в: Lie S. Ges. Abhandl.,
Bd. II. Leipzig; Oslo, 1935, S. 1—121).
46. Lie S. Kurzes Resumes mehrerer neuer Theorien.— Christ. Fobr.
(Aar, 1872), S. 24—27. Christiania, 1873 (перепеч. в: Lie S. Ges.
Abhandlungen, Bd. III. Leipzig; Oslo, 1922, S. 1—4).
47. Lie S. Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erstern Ord-
nung.— Gott. Nachr., 1872, N 25, S. 473—489 (перепеч. в:
Lie S. Ges. Abhandl., Bd. III. Leipzig; Oslo, 1922, S. 16—26).
48. Goursat E. Lecons sur I’integration des equations aux derivees
partielles du premier ordre. Iе ed. Paris, 1890; 2е ed. Paris, 1921-
49. Weber E. Partielle Differentialgleichungen.— Encykl. math.
Wiss. Leipzig, 1900, Bd. Hj, H. 2—3.
50. Егоров Д. Ф. Уравнения с частными производными второго по-
рядка по двум независимым переменным. Общая теория интегра-
лов.— Уч. зап. Моск, ун-та. Отд. физ.-мат., 1899, вып. 15.
51. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия:
Сводка результатов. М.: Мир, 1975.
52. Виноградов А. М. Многозначные решения и принцип классифи-
кации нелинейных дифференциальных уравнении.— ДАН СССР
1973, 210, № 1, с. 11—14.
53. Лычагин В. В. Локальная классификация нелинейных дифферен-
циальных уравнений властных производных первого порядка.—
ДАН СССР, 1973, 210, № 3.
54. Лычагин В. В. Локальная классификация нелинейных дифферен-
циальных уравнений в частных производных первого порядка,
Автореф. дис. М., MII3M, 1973.
ОТ ПРАВИЛА МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
ДО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
(об истории необходимых условий экстремума
в задачах с ограничениями)
А. В. Дорофеева, В. М. Тпхэмпров
1. Правило множителей Лагранжа для конечномер-
ной задачи. Пусть V — открытое множество н-мерного
пространства Rn, fa: V -> R (i = 0, 1, . . tn) — функ-
ции, определенные на V. Рассмотрим следующую задачу:
найти экстремум функции /0 при условии, что fa = О (I —
= 1, . . ., т). Такую задачу и аналогичные ей мы будем
обозначать так:
/о(^)—>exLr, /г(ж) = 0 (i = 1, - - , /«) (1)
Для нахождения экстремумов задачи (1) применяется
так называемое правило множителей Лагранжа. Оно из-
лагается в большинстве курсов математического анализа
и состоит в следующем. Вводится вспомогательная функ-
ция, называемая функцией Лагранжа:
w
L = fa(x)+ ЯШх). (2)
i—1
Числа Хц . . Ут, входящие в определение функции
Лагранжа и называемые множителями Лагранжа, под-
лежат определению вместе с точками х, подозреваемыми
на экстремум. Далее для задачи без ограничений
L -> extr (2')
находят стационарные точки, т. е. точки, подозреваемые
на экстремум в (2').
Как хорошо известно, нахождение таких точек (в пред-
положении гладкости функций fa) сводится к решению
системы уравнений
dLldxk = 0 (k = 1,.. ., п). (3)
Уравнения (3) совместно с уравнениями, задающими
связи
/i(^j = /2U)= • • • = /„.(*) = О, (i)
104
определяют систему из п т уравнений с п т не-
известными Xi, . . хп, Xj, . . Х,п. Решив эту систему,
получаем все точки, подозреваемые на условный экстре-
мум в задаче (1).
Это правило было совершенно отчетливо сформулиро-
вано самим Лагранжем в его «Теории аналитических функ-
ций» в 1797 г. К тому времени Лагранж уже неоднократно
применял аналогичный прием ко многим задачам вариа-
ционного исчисления. Приведем подлинные слова Лаг-
ранжа: «Их можно свести к такому общему принципу.
Если некоторая функция многих переменных должна
иметь максимум или минимум и эти переменные связаны
одним или несколькими уравнениями, то к данной функ-
ции следует прибавить функции, задающие уравнения
связи, умноженные каждая на определенный множитель,
и искать затем максимум или минимум полученной суммы,
как если бы переменные были независимыми. Полученные
уравнения, присоединенные к уравнениям связи, будут
служить для определения всех неизвестных» [1, с. 292].
Строго говоря, сформулированный результат неточен.
Вот простейший пример: п — 2, т = 1,
xi -> inf, Xi -]- х% = U.
Точка (О, U) доставляет минимум в задаче (ибо других
допустимых точек вообще нет). Попробуем найти ее по
рецепту Лагранжа. Здесь А = + Z (Xi + хг)' Уравнения
(3) имеют вид
дЫдхх = 0 => 1 + 2Zx1 0. дЫдх^ 0 => 2Zx2 = 0.
Полученные уравнения в точке (0, 0) не удовлетворя-
ются ни при каком X. Рассмотренная задача относится
к особому случаю. Значит, необходимы оговорки и уточ-
нения. Они и делаются сейчас во всех учебниках анализа,
где речь идет о правиле множителей. Для того чтобы мысль
Лагранжа оказалась совершенно точной, достаточно пред-
положить, что ранг матрицы (dft/dxj) (i == 1, . . ., т; j =
1, . . ., п) равен т. Тогда особый случай не возникает.
(См., например, [2, с. 468; 3, с. 270].)
Отметим, что, введя дополнительный множитель Хо
при минимизируемой функции /0, можно избавиться от
необходимости делать специальные допущения о невы-
рожденности связей. А именно, если функции (i =
105
— О, 1, . . т) являются непрерывно дифференцируемы-
ми в V и х доставляет локальный минимум в задаче (1),
то найдутся множители Лагранжа Z.,,, Х1} . . ., Хгп, такие,
что выполняются равенства
dL (х, Z.J, Х2,..., X , Хо)
------------------= 0 (fc = !’ ’ ‘
где
m
L (х, К,..., Zm, Zo) = Wo И + 3 (*)•
i=l
Такая удобная форма принципа Лагранжа (для задач
вариационного исчисления) появилась лишь в конце
XIX в. Ныне она является общепринятой.
Цель настоящей работы — дать исторический обзор
результатов, относящихся к необходимым условиям экст-
ремума для задач с ограничениями. История нашей темы
начинается с работ основателей анализа; она не завер-
шена и поныне. При этом интересно, что большинство не-
обходимых условий экстремума, полученных к настояще-
му времени, находится в русле общего принципа Лагран-
жа, описанного выше, если ему придать расширенную
трактовку.
2. Необходимые условия экстремума в задачах без
ограничений. Первые задачи с ограничениями. Кратко
коснемся истории задач без ограничений. Первые намеки
на методы нахождения экстремумов имеются у многих
математиков еще до создания математического анализа.
Например, И. Кеплер в своей «Стереометрии винных бо-
чек» (1615) писал, что «вблизи всякого максимума измене-
ния бывают нечувствительны» [4, с. 246]. Здесь уже со-
держится замысел теоремы Ферма, состоящей в том, что
в задаче без ограничений / (х) -> extr в точке х, подозре-
ваемой на экстремум, должно выполняться уравнение
/' (i) = 0.
В применении к многочлену свой метод, состоящий
в сформулированной теореме, П. Ферма около 1629 г.
изложил в письме Р. Декарту и Ж. П. Робервалю [5,
с. 196—202]. Бельгийский математик Р. Ф. де Слюз, иссле-
дуя кривую 5 атпхтуп = 0, находил точки экстремума,
исходя из того, что в них касательная параллельна оси
абсцисс. Отправляясь от метода Ферма, X. Гюйгенс, со-
стоящий в переписке с де Слюзом, вывел общие правила
106
для отыскания экстремума целого многочлена и рацио-
нальной функции Д/Д:
А (я) А (ж) — fi (*) = 0.
Правила де Слюза, найденные им около 1655 г., при-
менял Г. В. Лейбниц с 1673 г. В его публикации по диф-
ференциальному исчислению 1684 г. [6] теорема Ферма
получила более полное и современное выражение. Уже
из самого заглавия этой работы видно, какое значение
придавал Лейбниц методам нахождения максимумов и
минимумов.
До Лейбница к тем же результатам пришел И. Нью-
тон, но его публикации появились позже. В 1670/71 г.
в своем «Методе флюксий и бесконечных рядов», опубли-
кованном впервые в 1736 г., Ньютон разыскивает точки
максимума и минимума, исходя из того, что в них скорость
движения, т. е. флюксия, равна нулю [7, с. 73J.
Правило нахождения экстремумов функции
многих переменных д]/дх, = 0 (i = 1, . . ., п) встречает-
ся в «Дифференциальном исчислении» Л. Эйлера (для
п =2), которое было в основном закончено в 1748 г., но
появилось в 1755 г. Фактически им пользовались ранее,
в частности Лейбниц, при решении задачи о брахисто-
хроне (1696).
Интересно отметить, что разработка методов решения
конечномерных задач с ограничениями произошла столе-
тием позже (правило множителей Лагранжа для этих задач
было сформулировано в 1797 г.), а весь конец XVII и
XVIII век были эрой классического вариационного ис-
числения, т. е. эрой бесконечномерных экстремальных
задач.
Широко известно начало вариационного исчисления,
восходящего к решению задачи о брахистохроне. Эту за-
дачу следует отнести к классу задач без ограничений, хо-
тя и в бесконечномерном пространстве. Действительно,
простейшая задача вариационного исчисления, какой
является и задача о брахистохроне, допускает следующую
формализацию:
к
/(л(-))=^ L{t, x(f), x(tfl)=x0, x(t1)=x1.
107
Если х (•) — допустимая функция, мы можем рас-
смотреть задачу без ограничений в линейном пространстве
Со НО непрерывно дифференцируемых функций, об-
ращающихся в нуль на концах:
f(y(. + у(-))-+ inf, Д-)еСШ1)-
(6)
Задача (6) — задача без ограничений, бесконечно-
мерным аргументом является элемент пространства
(Uo, fj).
Эйлер в монографии [8], иэдапной в 1744 г., исследует
задачу (5), сводя ее к конечномерной методом аппрокси-
мации ломаными, т. е., по сути дела, двигаясь по пути,
намеченному Лейбницем в его решении задачи о брахисто-
хроне. Для задачи (5) Эйлер своим методом ломаных вы-
водит уравнение
— -^Lx (С я (0- Ж (0) + Lx (Б X (t), х (/)) = О,
получившее название уравнения Эйлера, которому долж-
на удовлетворять функция х (•), подозреваемая на экст-
ремум в (5).
Почти сразу же за брахистохроной братьями Бернул-
ли и Лейбницем были выдвинуты и первые задачи с ин-
тегральными и иными, например фазовыми, ограничения-
ми. Так, И. Бернулли поставил задачу о геодезических
линиях на поверхности. Задачи с интегральными ограниче-
ниями получили название изопериметрических. В статье,
опубликованной в майском журнале «Acta Eruditorum»
за 1697 г., Я. Бернулли так ставит задачу: из всех изо-
периметрических фигур с одним и тем же основанием BN
определить кривую BFN, которая хотя и не охватывает
сама наибольшей площади, но способствует тому, чтобы
это свойство имела другая кривая, ординаты которой PZ
как-нибудь пропорциональны степеням или корням от-
резка PF или дуги BF.
Эта общая постановка включает в себя древнейшую
из экстремальных задач — так называемую задачу Ди-
доны
Xi Х1 ______
\ydx—>sup, \ V 1 y' dx = Z, у (.Го) = У Сп) = О,
108
о кривой заданной длины, лежащей в верхней полуплос-
кости (с краевыми условиями на границе полуплоскости),
охватывающей наибольшую площадь.
В конце XVII и начале XVIII в. было решено несколь-
ко задач, подобных (7), специальными методами. Общие
методы решения задач типа (5) и (7) были найдены Л. Эй-
лером (о начальном этапе развития вариационного исчис-
ления см. [9]).
3. Задачи с ограничениями в работах Л. Эйлера.
В заглавии упомянутой работы Эйлера [8] говорится об
«изопериметрической задаче, взятой в самом общем смыс-
ле». Эйлер дал ей следующую постановку:
ж»
J (у ()) = J / (ж> У» у')dx -*extr-
Хо
Х1
К (?/()) = § g(x,y,y')dx = c, У(Х1)=>У1 (£=0,1).
Хо
(8)
Он выдвинул применительно к задаче (8) так называе-
мый принцип взаимности, согласно которому для решения
задачи (8) нужно рассмотреть линейную комбинацию
aJ 4- p/v, где anf постоянные, и исследовать задачу
aJ (y(-)) + P^(y(’))-*extr, у(ж4) = у£ (* = 0,1).
(9)
Вот как сам Эйлер пишет о своем методе: «способ ре-
шения сводится к тому, чтобы развернуть все общие свой-
ства вместе с выражением максимума или минимума, каж-
дое в отдельности, затем умножить каждое на произволь-
ную постоянную и произведение собрать в одну сумму.
После этого нужно будет среди всех вообще кривых ра-
зыскать ту, для которой эта сумма была бы максимумом
или минимумом» [8, с. 427]. В этих словах Эйлера можно
усмотреть зародыш метода множителей Лагранжа.
Доказательство принципа взаимности для изоперимет-
рической задачи Эйлер также проводит методом ломаных.
Помимо изопериметрических задач Эйлер начал иссле-
довать экстремальные задачи с более сложными ограни-
чениями. Он, например, ставит задачу так: «разыскивает-
ся кривая, сообщающая наибольшее или наименьшее зна-
чение формуле \Zdx в том случае, когда Z задается
109
через дифференциальное уравнение, интегрирование кото-
рого не может быть выполнено» [8, с. 168).
В качестве примера Эйлер рассмотрел задачу о~бра-
хистохроне в сопротивляющейся среде, в которой разыс-
кивается экстремум интеграла
«1 . г--_________________________________
С И 1 + у р' = g — hvn V 1 + у'\ (10)
J у V
“о
У (®i) = Уг.
где g const, Уv — скорость тела, h = const.
Задача (10) — частный случай более общей задачи,
поставленной Ж. Л. Лагранжем, в честь которого она
стала называться задачей Лагранжа.
4. Постановка задачи Лагранжа. Правило множите-
лей Лагранжа для этой задачи. Лагранж поставил в «Ана-
литической механике» 1788 г. [10, с. 60) следующую за-
дачу на условный экстремум:
к
J (х(-)) = J f(t,x,x)dt—>extv, x(ii) = xi (i = 0,1),
fo
(И)
Ф (Z, х, А) — 0 44 (Z, х, х) = 0 (0=1,2,..., т),
(12)
здесь
х- [Zo, ZJ -> Rn, f: Rx Rn X 7?n —> 7?,
Ф: R X Rn X Rn->Rm, m <n.
Частным случаем ограничения Ф (Z, х, х) =0 являет-
ся ограничение Ф (Z, х) = 0, называемое сейчас фазовым.
В механике фазовые ограничения называются голономны-
ми связями.
Задача (11) с условиями (12) называется ныне задачей
Лагранжа с закрепленными концами. Метод ее решения,
предложенный Лагранжем, состоит в применении того
принципа, о котором говорилось в п. 1 настоящей рабо-
ты. Нужно рассмотреть так называемый лагранжиан
L (t, х, х) = f (Z, х, х) -|- (X (Z), Ф (Z, х, х)) =
= f(t,x, т)+
110
с неопределенными множителями Z, (•) (здесь они уже не
являются числовыми) и простейшую задачу
j(t, х, х) dt —> extr, x(ti) = xi (i = 0, 1). (13)
io
Выписывая необходимое условие — уравнение Эйле-
ра — для задачи (13)
-4£х + ^ = ° (14)
и решая его совместно с уравнением
Ф (t, х, х) = 0 (15)
и с учетом краевых условий, можно, по мысли Лагранжа,
всегда получить решение искомой задачи.
В такой самой общей форме результат, конечно, обос-
новать нельзя (его, как мы видели выше, нельзя обосно-
вать даже в конечномерном случае). Однако опыт решения
конкретных задач не подводил, и сформулированный
прием стал общим достоянием математиков.
Коснемся вкратце других работ Лагранжа по механи-
ке и вариационному исчислению, в которых речь идет об
интересующих нас вопросах.
Лагранж получал необходимые условия экстремума
методом вариаций. Впервые этот метод он изложил в пись-
ме к Эйлеру в 1755 г. и опубликовал в 1761 г. в [11]. Лаг-
ранж не дал строгого в нынешнем понимании этого слова
обоснования своего метода даже в применении к выводу
уравнения Эйлера. Но сам по себе метод был столь проз-
рачен и прост, что, когда в XIX в. вопросы строгости стали
на очередь, метод Лагранжа вывода уравнений Эйлера
был полностью формализован. Ныне нет такого учебника
по вариационному исчислению, где бы не излагался метод
Лагранжа.
Совсем не так просто обстояло дело с правилом мно-
жителей, особенно для задачи Лагранжа. Результаты
в зтом направлении публиковались буквально до на-
ших дней.
Остановимся на том, как излагает Лагранж правило
множителей в «Теории аналитических функций» 1797 г.
[1] и «Лекциях об исчислении функций» 1806 г. [12]. В [1]
он пишет об этом очень мало, просто ссылаясь на то, как
111
решаются задачи на условный экстремум в дифференци-
альном исчислении. Он отыскивает экстремум интеграла
h
§ f(t,x,x,..., х<п>, у, у„ ..., у№) dt при условии ф (£, х, х,. . .
to
..., у, у, . . .) = 0 и формулирует правило: «нужно
функцию ф умножить на неопределенный коэффициент
Д и сложить с /. Тогда можно отыскивать максимум со-
ставленной таким образом функции» [1, с. 312]. Лагранж
выписывает два уравнения:
дх dt дх ' ' дх dt \ дх ]
+... + Д(О _|ф._ (д +.. ,=0
ду dt ду ' ' ду dt \ ду j 1
и добавляет: «Если исключить из этих уравнений величи-
ну Д, то получится уравнение, которое вместе с данным
уравнением ф = 0 служит для определения функций у
и Х»[1, с. 3121.
Приведем то доказательство правила множителей,
которое Лагранж дает на с. 411—419 учебника [12].
Из (11) и (12) Лагранж получает 6./ = 0, 6ф₽ = 0 (|3 =
= 1, 2, . . ., т). Затем, применяя интегрирование по час-
тям, он имеет
= dt =
toi=l 4 г г '
J < 1 \дх* dt дх. I 4
to i=l '
Чтобы пояснить это преобразование, напомним, что
интегрирование по частям выполняется на основе соотно-
шения 6t/ = (by)':
j\'S'6*£/Z = 4r6d ~ $ VzT <16)
to to to
Так как рассматривается задача с закрепленными кон-
цами, то
Ьх |/=/о = Ьх |(=/1 = 0.
112
Все эти преобразования Лагранж проводил уже в своей
первой статье по вариационному исчислению [11].
В рассматриваемой задаче имеется п функций 8хг, 6ж2, . • •
. . обращающихся в нуль при х = t0 и х = t±.
Уравнения 6<рр =0 (0 = 1, 2, . . ., т) Лагранж ум-
ножает на функции
У, ыЛ.
i=l 1 г /
Применяя те же преобразования, что и для 6J = 0,
он получает
дх.
г
d
dt
Эфр
'₽ д±.
6zj dt = 0
(0 = 1,2,..., т)
(17)
При этом также предполагается, что 6z2, . . ., 6жп
обращаются в нуль при t = t0 и t = ts.
Сложив (16) и (17), он получает
( ------dt = °> (18)
Л Z- I \ дх. at дх. I
to 1=1 ' г г
где
L = / -Т -|- . .. -|-
По Лагранжу, из т уравнений
dL д dL
дха dt дха
(а = 1,2,.. ,,т)
можно найти т функций Х2, . . ., Х,п. Тогда (18) сво-
дится к уравнению
d dL )
dt dx.
•j 6.Т; dt = 0.
Так как n — m функций 6z„1+1, . . ., произвольны
(необходимо только, чтобы они равнялись нулю при t =
= t0 и t = Zx), то он заключает, что
dL
дха
d dL
dt дха
= 0 (а = н? + 1,..., п).
ИЗ
В последней четверти XIX в. было Замечено, что это
доказательство имеет следующий пробел. Последние п —
— т функций 6хт+1, . . 6а:п могут быть взяты произ-
вольно (равными нулю при t = t0 и t = tj). При зтом мож-
но считать, что первые т функций &j, . . §хт равны
нулю в точке t = t0. Но тогда функции 6^, . . &хт будут
полностью определены этими начальными условиями и
дифференциальными уравнениями
х х я- п /а Л о
&Р₽ = ~дГ + ~дл Ьх'1 = 0 (Р = 1.2,. . . ,m)
i i
и поэтому, вообще говоря, не будут обращаться в нуль
в точке t = tr.
Точные формулировки правила множителей для зада-
чи Лагранжа (такие же, как точные формулировки прави-
ла множителей в конечномерных задачах, о чем говори-
лось выше) появились лишь к концу XIX в.
5. Вариационные задачи с ограничениями в работах
Вейерштрасса и Дюбуа-Реймона. К. Вейерштрасс рас-
смотрел изопериметрическую задачу и дал строгое дока-
зательство правила Эйлера, впервые отметив особый слу-
чай, о котором мы говорили, обсуждая конечномерную
задачу. Свои лекции по вариационному исчислению Вей-
ерштрасс регулярно читал в Берлинском университете
в 1865—1889 г. Они становились известными благодаря
публикациям учеников Вейерштрасса. Сами лекции опуб-
ликованы только в 1927 г. в собрании сочинений [13].
О том, когда Вейерштрасс изложил свое доказательство
правила множителей для изопериметрической проблемы,
мы можем судить по указанию О. Больца: «Первое стро-
гое доказательство правила Эйлера для изопериметриче-
ской проблемы дал Вейерштрасс в лекциях 1877 г. или
ранее» (14, с. 462).
Вейерштрасс разыскивает экстремум интеграла
I.
/ = F0(-r> У, <?/')<«
и
при условии, что интеграл
I.
К = Fi (х, у, х, у') dt
to
принимает данное значение.
114
Основываясь на понятии поля экстремалей, он от
искомой экстремали переходит к таким соседним экстре-
малям, на которых интеграл К должен принимать пред-
писанное значение.
Лагранж в подобных случаях не задумываясь приме-
нял свой алгоритм дифференцирования и из равенств
67 = О, 6/Г = О
делал вывод о справедливости правила множителей.
Вейерштрасс впервые в вариационном исчислении
ставит вопрос о возможности такого перехода. В связи
с этим он указывает ограничение: экстремаль интеграла
J не должна давать экстремум интегралу К, иначе «не-
возможно кривую варьировать так, чтобы интеграл К
сохранял свое значение» [13, с. 245). Вейерштрасс показы-
вает, что его доказательство легко распространяется на
более общую проблему, когда т интегралов должны при-
нимать заранее заданное значение, и для этой задачи так-
же выделяет особый случай.
Впервые доказательство правила Эйлера для изопе-
риметрической проблемы опубликовал П. Дюбуа-Реймон
в 1879 г. [15]. Интересно его введение к статье, в котором
он указывает, что, начиная с Лагранжа, правило обос-
новывается так: из равенств
67 = О, ЬК = О
получают
j (67 + СЬК) = О,
где постоянная С подбирается так, чтобы интеграл рав-
нялся данному значению. Дюбуа-Реймон пишет: «Если
это и кажется верным, то остается все же чувство, что бо-
лее точное обоснование правила не является излишним»
[15, с. 310]. Особый случай Дюбуа-Реймон не отмечает.
Строгость, введенная в вариационное исчисление Вей-
ерштрассом, стала образцом для всех последующих ра-
бот в этой области. В них стали различать слабый и силь-
ный экстремумы, выделять особые случаи, перечислять
условия, накладываемые на изучаемые функции, четко
указывать в формулировках, идет ли речь о необходимо-
сти или о достаточности найденных условий.
6. Правило множителей для задачи Лагранжа в конце
XIX и в XX в. В последней четверти XIX в. усилия ма-
115
тематиков в области вариационного исчисления были
направлены главным образом на построение теории для
задачи Лагранжа. Метод множителей постоянно исполь-
зовался, хотя при этом и высказывалось мнение, что он
не обоснован. В 1885 г. Л. Шеффер писал: «Лагранж вы-
двинул общее правило, так называемый метод множителей.
Но данный Лагранжем вывод этого правила, исключая
частные случаи, совершенно недостаточен, и до сих пор
не удалось провести лучшего обоснования в полной общ-
ности» 116, с. 557].
Шеффер, следуя по пути, указанному Вейерштрассом
для изопериметрической проблемы, получает в [16] до-
казательства правила множителей для задачи, в которой
имеются ограничения двух типов: 1) т интегралов прини-
мают заданные значения, 2) условные уравнения не со-
держат производных, т. е. связи голономны. Об особых
случаях Шеффер в своей статье ничего не говорит, и, зна-
чит, его доказательство неполно.
Впервые правило множителей для задачи Лагранжа
с условиями (12) доказал в 1886 г. А. Майер в [17]. В на-
чале своего мемуара он указал, что метод множителей хотя
и не обоснован, но ни в одной задаче не привел к лож-
ному результату. «Поэтому метод Лагранжа частью мате-
матиков рассматривается как аксиома, в то время как
другая часть предпочитает все те задачи вариационного
исчисления, в которых неизвестен другой метод, просто
вообще игнорировать. Примыкая к Клебшу, я сам всегда
принадлежал к первой части и правило множителей поло-
жил в основу всех работ по вариационному исчислению»
[17, с. 74].
Затем Майер указывает на связь своего метода с дока-
зательством, проведенным Шеффером в [16]: «хотя я,
конечно, догадывался о недостаточности всех попыток до-
казать правило множителей Лагранжа, вопрос стал для
меня совершенно ясным при устном обсуждении его с Шеф-
фером» [17, с. 74].
Однако уже сам Майер отметил, что его доказательство
не является полным. «Мой вывод молчаливо предполага-
ет,— писал он,— что нет системы решений v15 v2, . . .,
дифференциа явных уравнений
т
V I дч>* d ( ((рк Л п л. 1 о ч
к=1 L 4
116
которая одновременно удовлетворяла бы также п — т
дифференциальным уравнениям
V Г d I в<₽ь- Yl n / .4
(S = m + l,...,n)»
[17, c. 79].
Так впервые был выделен особый случай в задаче Лаг-
ранжа. В 1896 г. Б. Турксма опубликовал еще одно до-
казательство правила множителей [18]. Он заявлял, что
не знал доказательства Майера и «пришел к цели другим
путем, поэтому небесполезно опубликовать новый метод»
[18, с. 33). В доказательстве Турксма также есть особый
случай, в котором оно теряет силу.
По мере развития вариационного исчисления все
чаще в доказательствах выступает тот особый случай, о ко-
тором говорил Майер. На зто первым обращает внимание
Г. фон Эшерих в ряде мемуаров, подготовленных в са-
мом конце XIX в. В 1899 г. он назвал главным [19,
с. 1290) тот случай, когда уравнения
имеют единственное решение
Fi (0 = r2(t) = ... =rm(t) = 0.
Позже, в 1901 г., Эшерих пишет: «Главным случаем всег-
да ограничиваются исследования по вариационному
исчислению, иногда молчаливо, иногда подчеркнуто»
[20, с. 1417]. Там же, в [20], он показывает, что отыскание
экстремума интеграла
h
§ / (t, х,х,х, ..., x<n>) dt (19)
io
всегда приводит к главному случаю. Иначе обстоит дело
уже при исследовании изопериметрической задачи.
Эшерих отмечает, что на зто обратил внимание Вейер-
штрасс, и упрекает Шеффера, не отметившего в своей
работе [16] особые случаи. Эшерих ссылается при этом
также на учебник А. Кнезера, опубликованный в
1900 г. [21].
117
Следующий этап в развитии метода множителей Лаг-
ранжа состоит в переходе к «исправленному правилу Лаг-
ранжам, когда в качестве лагранжиана L вместо (2), как
было у Лагранжа, рассматривают
L = W Ч~ ^1<Р1 “Ь ^-2<Р2 Ч- • • • Ч- ^тфт» (20)
где функция / входит в выражение для L со множителем
Zo. Этот результат получен Кнезером в его руководстве
[21]’на основе работ Майера [22] и [23], а затем существен-
но развит Г. Ханом в [24] и [25].
В 1878 г. в мемуаре [22] Майер сформулировал вариа-
ционную проблему, которая носит его имя: требуется
выбрать п-|- 1 функцию х0, х}, . . ., хп так, чтобы выпол-
нялись дифференциальные уравнения
Фр (t, х0, х1г..., хп, х0, ., ., хп) = 0
и Хд в точке t = t1 имела максимум или минимум, причем
в точке t = t0 все функции принимают заданные значения
и в точке t = tT все функции, кроме х0, принимают задан-
ные значения. Майер называет свою проблему самой общей
вариационной проблемой, указывая, что задача Лагранжа
является ее частным случаем. В 1878 г. он «просто при-
менял правило Лагранжа как само собой разумеющееся»
[23, с. 130].
Статья [23] 1895 г. посвящена правилу множителей.
Майер отмечает, что в доказательствах, приведенных в
[17] и [18], правила множителей для задачи Лагранжа
имеются исключительные случаи. Затем он указывает,
что для задачи Майера уже без всяких пробелов можно
доказать теорему: существуют такие функции Хо, . . .
. . ., Лт, что
У[Ьр5^--------₽^-)1 = 0 (i = 0,1,...,п).
/ I р дх. dt \ р дх. /
р=оL 1 ' 'J
(21)
Конечно, Майер считал, что не все Хр тождественные
нули, но этого не оговаривал.
Майер отмечает, что уравнения (21) симметричны отно-
сительно функций х0, xlt . . хп. Поэтому по аналогии
с правилом Эйлера для изопериметрической проблемы он
называет свою теорему принципом взаимности.
118
Интересно отметить, что Задача Майера ставилась уже
Лагранжем в [12, с. 419].
Свою теорему (21) Майер к задаче Лагранжа не при-
менил. Это сделал Кнезер в своем учебнике [21]. Кнезер
подошел к правилу множителей следующим образом.
Рассмотрим частный случай задачи Майера, когда ус-
ловное уравнение <р0 = 0 имеет форму
i0 — f(t,xv,. .. ,xn,ai, ... ,хп) = О (22)
и х0 не входит в другие уравнения.
Из (22) получаем
х - k fit х хх х )dt
Xq j / {I, Xj, • • • •> Ж1, . > • , 3.nj Cll»
ta
Функция x$ должна иметь экстремум в точке t = t±, т. е.
разыскивается экстремум интеграла
t,
$ / (t, Xi, х2,..., хп, х\,... ,хп) dt, —
to
это задача Лагранжа.
Применив принцип взаимности Майера, Кнезер полу-
чает из первого уравнения
-^-(Хо) = 0, т. е. Хо = const.
Пусть Хо #= 0. Тогда можно записать
С1 __ , Ад ___ , Сп __ I
ч — ч — ^2> • - • j ч —
До ЛО л0
и получить лагранжиан L в виде (2)
L — / + lltyl + • • • + Imtym-
Далее Кнезер пишет: «Случай Zo = 0 следует рассмат-
ривать как исключение» [21, с. 243].
Так в вопрос о правиле множителей Лагранжа была
внесена ясность. В 1902 г. Г. Хан писал об этом так: «Ме-
тод множителей, носящий имя Лагранжа, как известно,
был долгое время лишен доказательства... Первым дока-
зательством мы обязаны Майеру... Наконец, в учебнике
Кнезера доказательство Майера нашло изложение, кото-
рое способно устоять перед всякой критикой» [24, с. 325].
119
Кнезер не дал никаких указаний, как же решать ва-
риационные задачи в случае, когда Ло = 0. Дальнейший
продвижением теория обязана Хану. В [25] он записыва-
ет лагранжиан в виде
L = Ао/ -j- Appi -]- • • • Д
где Хо — постоянная, и указывает, что при Ап У= 0 имеем
обычное правило Лагранжа. После работ Кнезера и Хана
множитель Ар в лагранжиане утверждается в матема-
тической литературе.
В [25] Хан ввел понятие нормальной экстремали-.
если в интервале (а, Ъ) экстремаль удовлетворяет условию
уд i (i.i.a.....
Ди dt \ р дх. ’ п
Э=1 L 7 J
(23)
то Хан называет ее анормальной в (а, Ъ). Он указывает,
что (23) получается из принципа взаимности (21) при Ао =
= 0 и что это то же условие, которое выделил Эшерих
в (19) как особый случай.
Хан впервые устанавливает связь между особым слу-
чаем в задаче Лагранжа и особым случаем, отмеченным
Вейерштрассом в изопериметрической проблеме. Речь идет
о том, всегда ли в задаче на условный экстремум можно
перейти от рассматриваемой экстремали к соседней экст-
ремали, на которой выполняются условные уравнения (как
писал Вейерштрасс; всегда ли можно перейти к такой экст-
ремали, на которой интеграл К имеет постоянное значе-
ние?).
Хан рассматривает задачу, в которой интеграл
К = К.т'2 4- у'2 dt
to
должен принимать заданное значение. Оп пишет: «Если
заданное значение К равно расстоянию между двумя точ-
ками, то наша экстремаль должна совпадать с экстре-
малью интеграла К, т. е. она на (t0, fj) анормальна. Так
как эта кривая не может вообще допустимым образом
варьироваться, то наша изопериметрическая проблема
бессмысленна» [25, с. 67]. Далее Хан приводит пример,
когда экстремаль «частично анормальна».
120
Ссылаясь иа эту работу Хана, опубликованную в
1904 г., Г. А. Блисс пишет: «С тех пор различные доказа-
тельства основных теорем для задачи Лагранжа проводи-
лись при том предположении, что рассматриваемая кри-
вая Е является нормальной во всяком частичном интер-
вале, или при несколько более сильном предположении,
что кривая Е имеет продолжение, нормальное на каждом
частичном интервале» [26, с. 260].
В начале XX в. многие авторы работают над доказа-
тельством правила множителей для задачи Лагранжа.
Следует отметить работы Гильберта [27]. Теория задачи
Лагранжа попадает в учебники по вариационному исчис-
лению (Больца, 1909 г. [14], Адамара, 1910 г. [28]).
Затем начинается этап, связанный прежде всего с дея-
тельностью «чикагской школы». Полную теорию необхо-
димых условий экстремума для задач Лагранжа и Майе-
ра с подвижными концами дают Больца в 1913 г. [29] и
Блисс в 1918 г. [30]. В большой работе 1930 г. [31] Блисс
подводит итоги почти полуторавековой истории задачи
Лагранжа и получает наиболее завершенные результаты
по необходимым условиям в задаче Лагранжа.
Метод Блисса 1930 г. был новым, по он был подготов-
лен работами Хана и его собственными исследованиями
1918 г. Условие Лежандра для задачи Лагранжа получил
А. Клебш (1858 г.) [32]. Дальнейшее развитие теории Вей-
ерштрасса требовало длительного времени. Частичные
результаты были получены М. Морсом и Миерсом в 1931 г.
[33], Грейвсом в 1932 г. [34], и окончательный результат
был получен в замечательной работе Е. Макшейпа в 1939 г.
[35]. В этой работе впервые встречаются игольчатые вариа-
ции и явным образом проявляется выпуклая структура
в задаче Лагранжа. Эти два факта являются основопола-
гающими в доказательстве принципа максимума Л. С. Пон-
трягина. Итоги всего этого цикла работ изложены в мо-
нографии Блисса [26], опубликованной в 1945 г.
Одновременно в ряде работ, по преимуществу все той
же чикагской школы, были получены достаточные усло-
вия в задаче Лагранжа, однако эти вопросы находятся
уже за пределами нашей темы.
7. Правило множителей в рамках функционального
анализа. В 1934 г. появилась статья Л. А. Люстерника
«Об условных экстремумах функционалов» [36], где пра-
вило множителей Лагранжа доказывалось для равенств,
121
получающихся при отображении одного банахова прост-
ранства на другое. При этом описывалась абстрактная
ситуация, охватывающая как конечномерный случай,
так и задачу Лагранжа. Точнее говоря, имеет место сле-
дующая теорема.
Пусть X и Y — два банаховых пространства, V — ок-
рестность точки х, /0: V -> R, F: V -> Y. Предположим,
что /0 и F непрерывно дифференцируемы в V и при этом
производная F' (х) отображает X в замкнутое подпрост-
ранство Y. Тогда если х доставляет локальный мини-
мум в задаче
г/о (ж) infi Р = 0, (24)
то для этой задачи верен принцип Лагранжа. Точнее:
найдутся число Хо и функционал у* GE Y*, не равные од-
новременно нулю и такие, что для функции Лагранжа
задачи L (х, у, 70) = Хо/о (х) + <у*, F (ж)> выполняется
уравнение
Lx(x,y,lo) = O. (25)
Здесь У* — сопряженное пространство, а (у*, уУ обо-
значает значение линейного функционала у* на элементе
у (см. [37]).
При этом, если F' (х) является регулярным отобра-
жением, т. е. отображает X на все У, то Хо 0, и значит,
осуществляется усиленный принцип Лагранжа, когда
функция Лагранжа имеет вид /0 (х) + (у*, F (#)>.
> Сформулированная теорема позволяет единым обра-
зом обозреть всю историю необходимых условий экстре-
мума, о которых говорилось выше.
ЧГСначала применим ее к конечномерному случаю (см.
п. 1). Здесь
X = Rn, Y = Rm, F=(/i,/.2,...,fm).
Сопряженное пространство к У = R™ есть пространство
/?”’*, изоморфное Rm, т. е. у* задается в этом случае
числами (Xt, . . ., Х,п). При этом соотношение (25) запишет-
ся в виде системы
(тД До) = О, X = (Xi,... Дт) (i=l, ...,н),
которая и выражает аналитическое содержание принци-
па Лагранжа.
12g
r. a *
Если же ранг матрицы Якоби —— равен т, то это и
означает, что отображение F регулярно, т. е. имеет место
усиленный принцип Лагранжа, о котором говорится во
всех учебниках анализа.
Перейдем теперь к задаче Лагранжа
п
J (х (•)) = У / (I, х, х) dt —> extr, Ф (t, х, х) =0,
to
x{t^ = Xi (i = 0,l).
Мы можем рассмотреть ее в банаховом пространстве X =
== С1 (Ио, ZJ, Rn) непрерывно дифференцируемых отоб-
ражений отрезка [t0, Zj в Rn. Тогда ограничения будут
представлять два типа равенств G (х (•)) = 0 и Н (х (•)) =
= 0, где
С(.т(.))(0 = Ф(^М(0),
Н (х (•)) = (х (t0) — То, X (G) — Х1).
Отображение G можно интерпретировать как отобра-
жение X в банахово пространство = С ([/0, £х], Rm)
непрерывных отображений отрезка [Zo, Zj в R™. Отобра-
жение Н — это линейное конечномерное отображение из
X в /?2п- Общее отображение
F (х) = (G (х), Н (х)), F: X Y,
где Y = Y1 X R2n будет при естественных допущениях
на Ф непрерывно дифференцируемым. Вопрос заключает-
ся в том, будет ли оно обладать свойством замкнутости,
участвующим в теореме Люстерника.
Нетрудно доказывается, что F будет обладать свойст-
вом замкнутости, если отображение G' (х (•)) переводит
X на все Ух, т. е. является эпиморфным.
Если проследить теперь опять историю необходимых
условий в задаче Лагранжа, то мы увидим, что все «анор-
мальные случаи» — это случаи, когда нарушается регу-
лярность отображения G. Обычно в задаче Лагранжа
/ (t,x(t),x(t) \
требуют, чтобы матрица I —-—------------1 имела макси-
мальный ранг. Тогда часть переменных х можно считать
независимыми, а остальные окажутся связанными с эти-
ми независимыми переменными дифференциальной связью.
123
В итоге задача Лагранжа приобретает такой вид:
t,
J (х(-), и (•)) = § f(t,x, и) dt —» inf,
to
= ф (#, х, и),
х (t0) = ,т0, X (<1) = J-1,
где
x^Rn, u^Rr, f-. Rn %Rn xRr—>R, q:R'lxRnX Rr->Rn.
Задачу (26) называют задачей Лагранжа в понтрягин-
ской форме. Отображение G здесь имеет вид
G (х (), и (•)) (t) = х (t) — q (t, x (i), и (t)).
При этом
G'(f (•), й (•)) fa- (), и ( ] = i (t) — <px (t, x (t), u (t)) a- (t) —
— <pu (t, x (t), u(t)) u(t). (27)
В силу теоремы существования решения неоднород-
ной линейной системы отображение G всегда регулярно.
В этом состоит причина того, что для задачи Лагранжа
в понтрягинской форме всегда выполнен принцип Лагран-
жа. Для задачи же со старшими производными (см. (19))
совокупное отображение (G, Н) является, как легко ви-
деть, регулярным. Отсюда следует отмеченный выше ре-
зультат Эшериха, согласно которому в задаче со старши-
ми производными имеет место лишь главный случай. На-
конец, в изопериметрических задачах принцип Лагранжа
с множителем Хо всегда верен из-за конечномерности отоб-
ражения G.
Таким образом, во всех рассмотренных выше случаях
необходимые условия получаются в соответствии с мыслью
Лагранжа. Во всех случаях нужно составить функцию
Лагранжа с множителем при функционале, числовых мно-
жителях при конечномерных отображениях и функцио-
нальных множителях при бесконечномерных, далее сле-
дует написать необходимое условие экстремума для задачи
L -> extr
при фиксированных множителях Лагранжа, как если бы
переменные были независимы.
8. Задачи оптимального управления. Принцип макси-
мума Понтрягина. В 1956 г. Л. С. Понтрягин со своими
124
сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и
Е. Ф- Мищенко рассмотрел новый класс задач, важный для
приложений [38]. К зтим задачам, названным впоследст-
вии задачами оптимального управления, старые методы не
могли быть применены.
Задачи оптимального управления имеют следующий
вид:
*1
J (х (•), и (•))' = /(£, х, и) dt-+ inf, х = ф(i, х, и),
и
X (^о) = % (И) и Е- F
Мы видим, что по сравнению с задачей Лагранжа в
понтрягинской форме (см. (26) п. 7) появилось новое огра-
ничение — ограничение z на «управление» u: u E F.
Для задачи (28) Л. С. Понтрягин выдвинул новую фор-
му необходимого условия экстремума, получившую наз-
вание принципа максимума Понтрягина. Он состоит в
следующем. Если пара (£(•), й (•)) доставляет сильный
локальный минимум в задаче (28), то найдутся число Хо
и вектор-функция р (•) = (р1 (•), . . ., рп (•)), не равные
одновременно нулю и такие, что выполнено уравнение
— Р (0 = <рж (t, х (0> & (0) Р (0 — Wx (П i (0- и (0) (29)
(здесь <рх — матрица (бфг/dxj), рф означает скалярное про-
изведение 2ргф,) и принцип максимума
max р (t) ф (t, £ (t), и)= р (f) ф (i, х (t), й (/)) (30)
ueV
для почти всех t £= [Zo, Zj (см. 138, 39]).
И здесь основная мысль Лагранжа находит свое еще
одно подтверждение. Действительно, функция Лагранжа
задачи (28) имеет вид
t,
L (х (•), и (•), р (•), Хо) = L (t, х, х, и) dt,
to
где
L (t, х, х, и) = Хо/ (t, х,и) -|- р (£) (х — ф (i, х, и)).
Ограничения х (tt) = xt (i = 0, 1) и и ЕЕ V в функцию
Лагранжа мы не включили.
125
Задача L —-> extr распадается
с двумя группами неизвестных;
1. L (л (•), й(•), р (•), Хо)-> inf,
2. L(f(•),M(-),p(-),X0)-»inf,
на две в соответствии
х (i0) = Zo,
z(ii) = Xi-
u^V.
Задача 1. Это не что иное, как простейшая зада-
ча классического вариационного исчисления. Необходи-
мое условие для нее — уравнение Эйлера (см. п. 2):
- = °, — p(i) = <px(i, £ (i), u(t)) p (i) —
— W*(^(i), w(i)).
Задача 2. Имеет следующий простой вид:
ti
-ф (i, и (t)) dt —> inf,
to
(31)
для почти всех t ЕЕ [i0, ill, где
ф (i, и) = Lof (i, х (i), и) -f- p (t) (i (i) — (p (t, x (i), u)).
Необходимое (и достаточное) условие минимума в задаче
(31) очевидно: й (•) доставляет минимум тогда и только
тогда, когда
min ф (i, и) = ф (i, й (i)) (32)
для почти всех t ЕЕ [i0, ij.
Если расписать (32) в нашем случае, мы сразу перехо-
дим к (30).
Причины, по которым мысль Лагранжа применима
и к задачам оптимального управления, объяснить непрос-
то, и мы здесь об этом говорить не будем.
Отметим еще, что принцип Лагранжа, понимаемый,
как и здесь, несколько расширенно, оказывается верным
и для задач с подвижными концами и с неравенствами и
во многих других случаях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lagrange J. L. Theorie des fonctions analytiques. Oeuvres, t. 9.
Paris, 1881.
2. Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. 1. 7-е изд. М.: Наука, 1969.
126
3. Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. 2-е изд.
М.: Наука, 1975.
4 Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М.; Л.: ОНТИ,
’ 1935.
5. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия, т. 2 / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970.
6. Лейбниц Г. В. Новый метод максимумов и минимумов, а также
касательных, для которого не служат препятствием ли дроб-
ные, ни иррациональные величины, и особый для этого род ис-
числения.— УМН, 1948, 3: 1(23), с. 166—173.
7. Ньютон И. Математические работы. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
8. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойст-
вами максимума либо минимума, или решение изопериметриче-
ской задачи, взятой в самом широком смысле. М.; Л: Гостехиздат,
1934.
9. Рыбников К. А. Первые этапы развитая вариационного исчисле-
ния.— Ист.-мат. исследования, 1949, вын. II.
10. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. 1. М.; Л.: ГОНТИ,
1938.
11. Lagrange J. L. Essai d’uiie nouvelle methode pour determiner
les maxima et les minima des formules integrates indefinies.—
Oeuvres de Lagrange, t. 1. Paris, 1867, p. 335—362.
12. Lagrange J. D. Lemons sur le calcul des fonctions.— Oeuvres de
Langrage, t. 10. Paris, 1884.
13. Weierstrass K. Vorlesuugen uber V ariationsrechming.— Werke.
Leipzig, 1927. Bd. 7.
14. Bolza O. Vorlesungen uber Variationsrechnung. Leipzig; Berlin,
1909.
15. Du Bois Reymond P. Erlauterungen zu den Anfangsgriinden der
Varuationsrecbnung.— Math. Ann., 1879, 15, S. 283—314.
16. Scheffer L. Die Maxima mid Minima der einfacben Integrate
zwiscben festen Grenzen.— Math. Ann., 1885, 25, S. 522—593.
17. Mayer A. Begriindung der Lagrangescben Multiplikatorenmethode
der Variationsrechnung.— Math. Ann., 1886, 26, S. 74—82.
18. Turksma B. Begrundung der Lagrange’schen Multiplikatoren-
methode in der Variationsrechnung. Math. Ann., 1896, 47.
19. Escherich G., v. Die zweite Variation der einfachen Integrate
(IV Mitteilung).— Sitzungsber. Kaiser. Akad. Wiss. Wien, 1899,
108.
20. Escherich G. v. Die zweite Variation der einfachen Integrate
(V Mitteilung).— Sitzungsber. Kaiser. Akad. Wiss. Wien, 1901,
110.
21. Kneser A. Lehrhuch der Variationsrechnung. Braunschweig, 1900.
22. Mayer A. Uber das allgemeinste Problem der Variations rech-
nung.— Leipzig. Ber., 1878.
23. Mayer A. Die Lagrange’sche Multiplikatorenmethode und das
allgemeinste Problem der Variationsrechnung bei einer unabhan-
gigen Variablen.— Leipzig. Ber., 1895, 47.
24. Hahn H. Zur Tbeorie der zweiten Variation einfacher Integrate.—
Monatsh. Math, und Phys., 1902, 14.
25. Hahn H. Bemerkungen zur Variationsrechnung.— Math. Ann.,
1904, 58.
26. Блисс Г. A. Лскцип no варпаппопиому исчислению. M.: Пзд-во
цностр. лит., 1950.
127
27. Hilbert D Zur Variationsrechnung.— Gottinger Nachrichten, I
1905, S. 159—180; Math. Ann., 1906'; 62, S. 351—368s
28. Hadamard J. Lemons sur le calcul des variations. Paris, 1910. I
29. Bolza O. Uber den anormalen Fall beinr Lagrangeschen und TV May- ।
erschen Problem mit gemischten Bedingungen und Variabeln
Endpunkten.— Math. Ann., 1913, 74, S. 430—446.
30. Bliss G. The problem of Mayer with variable end-points.— Trans. I
Amer. Math. Soc., 1918, 19, p. 305—314.
31. Bliss G. The problem of Lagrange in the calculus of variations— I
Amer. J. Math-, 1930, 52, p. 673—744.
32. Clebsch A. Uber die Reduction der zweiten Variation auf ihre I
einfachste Form.— J. Math., 1858, 55.
33. Morse M., Myers H. The Problems of Lagrange and Mayer with I
variable end-points.— Proc. Amer. Acad. Arts and Sci., 1931,
66, p. 235—253.
34. Graves L. M. On the Weierstrass condition for the problem of
Bolza in the calculus of variations.— Ann. Math., 1932, 33,
p. 747—752; Contributions to the calculus of variations. Dept
Math. Univ. Chicago, 1931—1932, p. 339—359.
35. McSchane E. J. On multipliers for Lagrange problems.— Amer.
J. Math., 1939, 61, p. 809—819.
36. Люстерник Л. А. Об условных экстремумах функционалов. —
Мат. сб., 1934, 41.
37. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:
Изд-во МГУ, 1976.
38. Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Понтрягин Л. С. К тео-
рии оптимальных процессов.— ДАН СССР, 1958, 110, № 1,
с. 7—10.
39. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Ми-
щенко Р. В. Математическая теория оптимальных процессов.
3-е изд. М.: Наука, 1976.
О РАЗВИТИИ ИДЕИ КОРРЕКТНОСТИ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
I Н. И. Симонов
Понятие корректной постановки любой краевой зада-
чи математической физики является одним из фундамен-
тальных в современной вычислительной математике. Лю-
бой физический или технический эксперимент неизбежно
связан с приближенными экспериментальными данными.
И если малым изменениям исходных начальных или крае-
вых данных может отвечать произвольно большое измене-
ние решения, то возникает вопрос о применимости рас-
сматриваемого уравнения к данной физической или тех-
нической задаче. Возникает вопрос и о самой постановке
задачи приближенного решения, не говоря уже о алго-
ритме такого решения.
В статье рассматриваются некоторые аспекты развития
классического понятия корректности краевых задач на-
чиная с работ Ж. Адамара.
1. Формирование классического определения
корректности в работах Адамара
Вопросам о постановке задач решения уравнений с
частными производными Адамар уделяет внимание уже
в своих ранних исследованиях, начиная с работы 1902 г.
«О проблемах с частными производными и их физических
приложениях» [1].
Анализируя основные результаты в области уравне-
ний математической физики конца XIX в., он отмечает,
что изучавшиеся принципиальные проблемы относятся
к двум общим типам: проблеме Дирихле и проблеме Коши.
Для первой из них искомая функция в точках границы
должна удовлетворять одному условию, в то время как
в задаче Коши в точках границы заданы два условия (зна-
чение самой неизвестной функции и ее нормальной произ-
водной). При этом имеются в виду уравнения с частными
производными второго порядка. Адамар отмечает, что
эти проблемы «вполне хорошо поставлены» (parfaitement
5 Заказ № 2436
129
bien pose), и говорит о них как о проблемах «возможных
и определенных» (je veux dire comme possible et determi-
ne) [2, c. 214].
Таким образом, в этой ранней работе уже указываются,
хотя и не очень отчетливо, первые два требования сфор-
мировавшегося позже определения корректности: требо-
вания существования и единственности решения.
Сам термин «корректная постановка задачи» у Адама-
ра появляется позднее. Существенно отметить, что уже
в рассматриваемой ранее работе Адамар подчеркивает
«возможность» или «невозможность» проблемы в зависимос-
ти от того, соответствует она или нет физическим данным
[2, с. 215].
Характерно, что эпиграфом к работе Адамар выбрал
следующую мысль Пуанкаре: «Физика не только дает нам
повод для решения проблем... она представляет нам ре-
шение».
В этой работе в качестве примера задачи, «лишенной
физического смысла» (depourvu de signification physique)
[2, с. 215], Адамар приводит задачу Коши для трехмерно-
го уравнения Лапласа
д2ч . &и д2и _ „ ...
дх2 “Г ду2 “Г dz2 ' '
Для этого уравнения требуется определить для ж > 0 та-
кое решение и (х, у, z), которое удовлетворяет условиям
I Зи I -
и |х=о — Щ>, дх |х=о — Щ,
где и0, и0 — две заданные функции аргументов у, z.
Адамар доказывает, что при неаналитических началь-
ных функциях и0 и и0 решение этой задачи Коши не су-
ществует. Доказательство состоит в установлении следую-
щего результата: если w— потенциал двойного слоя,
распределенного на плоскости yz с плотностью и0, то проб-
лема Коши возможна только тогда, когда имеют
где Ф — аналитическая функция у и z. Более того, отме-
тив, что распространение звука приводит к задаче Коши
для уравнения
<Э2и д2и г)2и д2и р
130
И начальных условий
»i«-и-
решение которой дается известной формулой Пуассона,
Адамар говорит, что следует остерегаться формулировки:
«проблема Коши относительно уравнения (2) возможна и
определенна» [2, с. 216]. Свою мысль он поясняет на при-
мере постановки задачи Коши по переменному х\ найти
для х 0 решение уравнения (2), такое, что для х = О
и == и0, ди/дх = и0, где и0, uQ — функции у, z, t. Дей-
ствительно, допустив что и0 и и0 не зависят от t, заклю-
чают, что решение (если оно единственное) необходимо
не зависит от t, но тогда уравнение (2) сводится к уравне-
нию (1) и по предыдущему решение задачи Коши, вообще
говоря, невозможно.
Мнение Адамара, что задача Кошп для уравнения Лап-
ласа лишена физического смысла и что для физики имеют
значение только корректные задачи, оказалось весьма
устойчивым. Оно разделялось многими авторитетными ма-
тематиками почти до середины нашего столетия, на этом
мы остановимся подробнее ниже.
К вопросу о невозможности решения задачи Коши для
уравнения Лапласа при неаналитических данных Ада-
мар возвращается неоднократно в своих позднейших ра-
ботах.
В сравнительно мало известной в нашей литературе
работе 1926 г. «Некоторые случаи невозможности проб-
лемы Коши» [3] он рассматривает эту задачу на плоскос-
ти: для уравнения
32z 32z _ q
дх2 "т- ду2
и начальных данных
и (0, у) = /(у), дг(^У} = g (У)
решение требуется найти при достаточно малых значениях
х и для у в заданном интервале у± < у < у2. Здесь под-
черкивается необходимость различать два случая: 1) ре-
шение ищется с двух сторон прямой х == 0 и 2) оно ищет-
ся с одной стороны начальной кривой, т. е. в области 0
5
131
< х < а (или —a < x < 0)
J/i + e < у < y2 — e,
где e — произвольное положительное число. В первом
из них для обоснования невозможности решения при не-
аналитических данных fug Адамар привлекает известные
результаты в теории аналитических функций, установ-
ленные П. Пенлеве в 1887 г. в работе «О линиях особен-
ностей аналитических функций» [4]. Во втором случае
возникают две задачи Коши, и функции fug могут и не
быть аналитическими.
Переходим к освещению принципиального результата
Адамара, оказавшего наиболее существенное влияние
на дальнейшее формирование идей корректности. Мы имеем
в виду знаменитый пример Адамара некорректной поста-
новки задачи Коши для уравнения Лапласа на плоскости,
когда отсутствует непрерывная зависимость решения от
начальных данных.
Этот результат кратко изложен в книгах Адамара «Про-
блема Коши» [5] и «Лекции по проблеме Коши» [6]. Бо-
лее обстоятельно этот результат изложен в докладе Ада-
мара на международной конференции по уравнениям с
частными производными, состоявшейся в Женеве 17—20
июня 1935 г. [7].
Предварительно сделаем замечание об уточнении са-
мой даты появления «примера Адамара»: он был построен
ранее только что указанных изданий его двух книг. В при-
мечаниях, имеющихся в той и другой книге, Адамар ука-
зывает, что впервые этот пример им был предложен на за-
седании Швейцарского математического общества в Цю-
рихе в 1917 г.
Пример Адамара заключается в следующем: для урав-
нения
32и . д2и _q
Их2' = и
ставятся начальные условия
и (0, у) = 0, = ui (У) = Апsin (пу),
где множитель Ап выбирается таким, чтобы он был доста-
точно мал по абсолютной величине при достаточно боль-
шом п. Указывается, что, в частности, в качестве Ап мож-
132
но взять 1/n, l/np, е-1/" (р > 0). В этих случаях функция
м (у) ПРИ Достаточно большом п будет иметь как угодно
малые значения. Решение этой задачи Коши, как легко
видеть, дается функцией
епх — е~пх
и (х, у) = — sin (пу)-2----•
Это решение, говорит Адамар, будет очень велико даже
при малых х (х =/= 0) в соответствии с ростом епх. Сущест-
венно, что увеличение п неограниченно уменьшает значе-
ние Н] = duldx. Если же задать нулевые данные и (0, у) =
= 0, ди (0, у)1дх = 0, то также очевидно, что решение
дается функцией и = 0 (по теореме Коши — Ковалев-
ской оно единственно). Таким образом, в примере Адама-
ра произвольно малым изменением начальных данных
(лишь производной Ux (0, у)1) отвечает произвольно боль-
шое изменение решения, и притом в произвольной бли-
зости к начальной прямой — оси у. В этом примере реше-
ние и (х, у) зависит разрывным образом от значений и'х (0,
у). Введение второго параметра р позволяет обеспечить
малость частных производных до р — 1-го порядка.
Принципиальное значение этого результата заключа-
ется в том, что при «правильной» постановке краевой за-
дачи помимо требования «возможности» (т. е. его сущест-
вования) и требования «определенности» (т. е. его един-
ственности) теперь естественным образом возникает тре-
бование определенной «устойчивости» решения от допол-
нительных данных задачи.
Значение своего результата Адамар считает нужным
подчеркнуть в докладе об общих условиях определения
решений на указанной выше Женевской Международной
конференции по уравнениям с частными производными
(1935). Этот доклад позволяет проследить источник, сти-
мулировавший возникновение данного результата Ада-
мара. Доклад начат с замечания, что в настоящее время
дело заключается в нахождении одного определенного
решения уравнения с частными производными, а не в на-
хождении бесконечно многих решений.
Для этого должны быть заданы определенные условия,
удовлетворяющиеся вдоль некоторой линии или поверх-
ности. Далее указывается, что результаты Коши — Кова-
левской дают решение лишь при аналитических данных,
133
И притом лишь локальное, т. е. вблизи кривой (или по-
верхности), несущей начальные данные.
Адамар говорит, что геометры конца XIX в. не заме-
чали, что различие результатов Коши — Ковалевской,
с одной стороны, и результатов Пикара и других матема-
тиков — с другой, использовавших методы последователь-
ных приближений, заключалось в существе вопроса, а не
в простом различии методов: фактически были получены
две различные теории — одна в области функций комплекс-
ного переменного и другая в области функций действи-
тельного переменного.
Напомнив далее свой вывод [2, с. 215] о невозможности
решения задач Коши для уравнения Лапласа при неанали-
тических данных, Адамар говорит, что подобное обстоя-
тельство не имеет места в проблеме Дирихле и аналогич-
ных проблемах, которые, как он здесь называет, «коррект-
но поставлены», т. е. «возможны и определенны» (qui est
се que nous appelerons «correctemenl pose», c’est-a-dire
possible et determine) [8].
В работах Адамара термин «корректно поставленная
задача» встречается в несколько ранее, в частности, в ра-
боте, выполненной до 1933 г. [9].
Вслед за этим он говорит, что некоторые математики
выдвинули по поводу невозможности решения задачи
Коши при неаналитических данных такое возражение:
по теореме Вейерштрасса данные всегда можно заменить
полиномами с как угодно малой ошибкой. Ответ на зто
возражение, говорит Адамар, делает очевидным замеча-
тельный аспект проблемы.
В качестве контрвозражения и приводится рассмотрен-
ный выше пример задачи Коши для уравнения Лапласа
на плоскости.
Таким образом, становится ясным, что построение это-
го примера Адамару было совершенно необходимо для
полного обоснования невозможности решения задачи Ко-
ши для уравнения Лапласа при неаналитических началь-
ных данных. Не имея примера решения задачи, разрыв-
ным образом зависящего от краевых данных, действи-
тельно нельзя опровергнуть возражений, основанных
на возможности аппроксимации этих данных аналитиче-
скими функциями. Более того, важность этого действи-
тельно замечательного аспекта проблемы становится осо-
бенно отчетливой, если учитывать, что при практическом
134
решении задач математической физики всегда приходится
иметь дело с приближенными значениями «входных дан-
ных», т. е. краевых или начальных значений.
Таким образом, к середине 30-х годов на основе исследо-
ваний Адамара сформировалось следующее ставшее вско-
ре классическим определение корректной постановки крае-
вой задачи математической физики.
1. Решение задачи должно существовать для всех
краевых данных, принадлежащих некоторому замкнуто-
му линейному многообразию в некотором линейном нор-
мированном функциональном пространстве Lp, Н или
Других.
2. Решение задачи должно быть единственным в соот-
ветствующем функциональном пространстве.
3. Решение задачи должно непрерывно зависеть от
краевых данных, непрерывность при этом понимается в
смысле соответствующей метрики. К этому времени уста-
новилась современная терминология: краевая задача,
удовлетворяющая указанным трем требованиям, назы-
вается поставленной корректно в классическом смысле.
В статье А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лав-
рентьева «Некорректно поставленные задачи» [10] при
формулировке этого определения в качестве источника
указывается второе издание второго тома известной книги
Р. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической фи-
зики» [11].
Отметим, что это определение дано уже в первом изда-
нии этой книги, т. е. на четверть века ранее [12].
2. Предпосылки к развитию классической трактовки.
Изменение взглядов Р. Куранта
Классическая трактовка Адамара корректности по-
становки краевых задач (и задач с начальными условиями)
оказалась весьма устойчивой.
Вполне естественно возникли вопросы о корректности
в смысле Адамара краевых задач и задач Коши для си-
стем уравнений с частными производными. Напомним,
что в 1937 г. была опубликована известная работа
И. Г. Петровского об условиях корректности задачи
Коши для широкого класса линейных систем уравнений с
частными производными высших порядков в области не-
аналитических функций 1131,
135
И вместе с этим трактовка корректности краевых задач
под влиянием ряда причин постепенно изменяется. Уже
с начала второй четверти нашего столетия создаются от-
четливые предпосылки дальнейшего развития концепции
корректности.
С одной стороны, выяснилось, что некоторые «некор-
ректные по Адамару» задачи представляют непосредствен-
ный интерес в теоретическом плане как для «чистой», так
и для вычислительной математики. С другой стороны,
многие «обратные задачи» математической физики пока-
зали, что некоторые некорректные задачи, казавшиеся
ранее «лишенными физического смысла», имеют непосред-
ственное значение, например, в геофизике.
Прежде чем рассмотреть эти вопросы по существу, мы
проследим, как изменялась классическая трактовка кор-
ректности в наиболее авторитетных учебных руководствах
по математической физике в нашей и зарубежной литера-
туре. Особый интерес, на наш взгляд, представляет эво-
люция взглядов Р. Куранта.
Предварительно отметим статью И. Г. Петровского и
С. Л. Соболева, написанную к 70-летию Адамара [14].
Здесь, в частности, говорится: «Отсюда следует, что ни
в каких физических приложениях решение задачи Коши
в действительной области для уравнения Лапласа не
представляет ценности, если даже оно существует при
выбранных начальных данных» [14, с. 82]. Мотивировка,
разумеется, основана на неустойчивости решения. «Дей-
ствительно, как и все физические величины, начальные
значения и (х, t), ut (х, t) при t = 0 не могут быть изме-
рены абсолютно точно. Малейшие же ошибки в измере-
нии этих функций и даже их производных сколь угодно
высоких порядков, как мы видели, могут повлечь за собою
чрезвычайно большие искажения решения в какой угод-
но близости от начального момента» [14, с. 84]. Попутно
отметим, что в самом примере Адамара переменное, кото-
рое бы играло явно роль времени, отсутствует, неизвест-
ная функция зависит от двух пространственных коорди-
нат х и у.
Во втором издании книги «Лекции об уравнениях с
частными производными» И. Г. Петровского эта класси-
ческая трактовка полностью сохранена даже в более
резкой формулировке: здесь говорится дополнительно:
«Не случайно никакие физические задачи не сводятся к
136
задаче’ Коши для уравнения Лапласа» [15, с. 85]. Однако
в следующем (третьем) издании этой книги хотя основная
трактовка и сохраняется, только что указанное положение
опущено, а, кроме того, здесь дается примечание о новом
результате относительно той же задачи Коши: «Интересно
отметить, что если рассматривать решение задачи Коши для
уравнения Лапласа в классе функций, ограниченных по
абсолютной величине наперед заданной постоянной, то
малым изменениям начальных условий будут соответст-
вовать малые изменения решения; см., напр., М. М. Лав-
рентьев, Докл. АН, 106 (1956), № 3, с. 389—390» [16,
с. 87].
Результат М. М. Лаврентьева мы рассмотрим деталь-
нее ниже, после освещения работы Т. Карлемана, а те-
перь проследим изменение взглядов Р. Куранта. Для это-
го достаточно сопоставить трактовку вопроса в 1-м и 2-м
изданиях второго тома книги «Методы математической
физики» (см. [11, 12]).
В 1-м издании сначала дается само определение.
1. Решение должно существовать.
2. Решение должно быть однозначно определенным.
3. Решение должно непрерывно зависеть от данных
задачи [11, с. 199].
Ниже здесь же говорится:
«Математическая задача лишь в том случае может счи-
таться адекватной для описания реальных явлений, если
изменению предложенных данных в достаточно тесных
пределах соответствует также малое, т. е. ограниченное
заранее заданными пределами изменение решения» [11,
с. 200].
Задачу с дифференциальным уравнением, удовлетво-
ряющую указанным требованиям, Курант и называет на
с. 200 «корректно поставленной» (ein sachgemasses Prob-
lem).
Второе издание появилось, как указано выше, спустя
четверть века. Изменение взглядов Р. Куранта весьма ха-
рактерно, оно отражено в заново написанном дополнении
к 3-й главе: «Замечания о „некорректно поставленных за-
дачах"». В основном же тексте предыдущая трактовка
сохранена полностью.
В своем дополнении Р. Курант говорит, что указан-
ные требования естественны в классической физике и что
«этот идеал причинно-математической определенности по-
137
степенно разрушался при сопоставлении с физической ре-
альностью».
Он выдвигает здесь, правда без подробной аргумента-
ции, даже противоположный тезис, считая, что нелиней-
ные явления, квантовая теория и возникновение мощных
численных методов показали, что «корректно поставлен-
ные задачи — это далеко не единственные задачи, пра-
вильно отражающие физические явления» [12, с. 232].
Одновременно Р. Курант отмечает, что с математиче-
ской точки зрения еще мало сделано даже в вопросе выде-
ления тех задач, которые «некорректно поставлены», но
все же имеют важное значение и описывают реальные яв-
ления. Р. Курант указывает, что имеются примеры, когда
задача Коши для уравнения Лапласа имеет физический
смысл. Он говорит, что Тейлор показал, что один важный
вопрос об устойчивости сводится к этой задаче \ Рассмот-
ренная Тейлором физическая задача состоит в изучении
процесса перемещения поверхности раздела между легкой
и тяжелой жидкостями в сторону легкой жидкости. Это
явление описывается с помощью потенциала скоростей.
Оказывается, что этот потенциал является решением не-
корректно поставленной задачи Коши для уравнения
Лапласа.
В своем заключительном замечании Р. Курант наме-
чает необходимость развития нового большого направле-
ния в современной математике: «Некорректно поставлен-
ные задачи, которые могут иметь большое значение в
приближенных вычислениях, еще не попали в активный
поток математических исследований». При этом отмеча-
ется желательность подобных исследований, в частности,
в области конечно-разностных методов.
Вполне естественно возникает вопрос: что же обус-
ловило такое радикальное изменение взглядов Р. Куранта
к началу 60-х годов на задачи, некорректные в класси-
ческом смысле? Одновременно возникает и вопрос — в ка-
кой мере актуальность развития классической трактов-
ки корректности была отражена в нашей математической
литературе в 40—50-е гг.?
На наш взгляд, было бы совершенно неправомерно ог-
раничиться рассмотренной выше классической трактов-
1 Ссылка на публикацию работы Тейлора отсутствует.
138
кой Адамара в наших известных учебных руководствах
по математической физике.
Более того, рассмотрение всей проблемы в историче-
ской перспективе показывает, что к началу 60-х годов в
нашей научной литературе были не только поставлены
определенные задачи дальнейшего развития классической
концепции Адамара, но и получены существенные конк-
ретные результаты на зтом пути. В первую очередь здесь
должен быть назван цикл специальных работ по матема-
тической физике и вычислительным методам А. Н. Ти-
хонова и его последователей, начиная уже с работ 40-х
годов. Некоторые' из этих результатов кратко освещают-
ся ниже.
3. Результат Т. Карлемана
Одним из источников возникновения новых подходов
к задачам, некорректным в классическом смысле, явилась
теория квазианалитических функций, развитая Т. Карле-
маном. Истоки этого направления восходят к вопросу
Адамара, возникшему в теории дифференциальных урав-
нений об однозначном определении функции по ее значе-
ниям на сколь угодно малом интервале.
Остановимся на результате Т. Карлемана, непосред-
ственно связанном с некорректностью задачи Коши для
уравнения Лапласа на плоскости. В его книге «Квазиана-
литические функции», опубликованной в 1926 г. [17],
рассматривается следующая задача: определить в огра-
ниченной области D аналитическую функцию f (z), регу-
лярную в D, по ее значениям на куске границы D. Связь
с задачей Коши для уравнения Лапласа Карлеман отчет-
ливо указывает на с. 7: «Вопрос об определении аналити-
ческой функции по ее значениям на дуге данной кривой
тесно связан с проблемой Коши для дифференциального
уравнения
52и д2и р
Для пояснения воспользуемся статьей М. М. Лаврентьева
«О задаче Коши для уравнения Лапласа» [18], где обсуж-
дается этот результат. В соответствии с чертежом Т. Кар-
лемана (рис. 1) задача ставится так: определить в области
D, ограниченной контуром О А ВС, аналитическую функ-
139
цию f (z) по ее значениям на кривой АВ. Сразу утверж-
дается, что к этой задаче легко сводится плоская задача
Коши для уравнения Лапласа: действительно, пусть
/ (z) — аналитическая функция комплексного перемен-
ного х + 1у, равная и (х, у) + iv (х, у), где v (х, у) —
функция, сопряженная с и (х, у). Зная на куске границы
D нормальную производную функции и (х, у), мы можем
из известного соотношения определить на этом куске гра-
ницы функцию v (х, у) и, следовательно, f (г).
Таким образом, исследование Т. Карлемана отчетли-
во показывает тесную связь задачи об аналитическом
продолжении с задачей, не являющейся корректной в
классическом смысле. Более того, один из основных ре-
зультатов Т. Карлемана — его известная лемма об оцен-
ках аналитических функций — показывает, что в классе
ограниченных функций задача Коши для уравнения Лап-
ласа является уже корректной в прежнем классическом
определении. Применительно к рис. 1 зта лемма формули-
руется так: если g0 — комплексное число, соответствую-
щее точке О, | £ — Со | = г, | / (z) | М на ОА и ОВ,
I / (z) I < т на Дуге АВ, то |/(z)|
где — а — некоторое положительное число (угол) и 7? —
наибольшее расстояние дуги АВ от точки О. Из этих оце-
нок, в частности, сразу следует, что если / (z) =0 на
АВ, то т = 0, и поэтому / (z) =0 всюду в D (т. е. един-
ственность аналитического продолжения). Из этой лем-
мы вытекают и оценки, характеризующие устойчивость
задачи в классе ограниченных функций, а следовательно,
и ее корректность.
140
4. Обратные задачи математической физики
Вполне естественно, что исследования Т. Карлемана
весьма способствовали повышению интереса к некоррект-
ным задачам. Их продолжением явились исследования
М- М. Лаврентьева и Е. М. Ландиса. Результаты Лав-
рентьева относились к изучению задачи Коши для
трехмерного уравнения Лапласа. Более подробно об
этом результате говорится ниже. Е. М. Ландис исследовал
задачу Коши для общего линейного эллиптического уравне-
ния второго порядка. Эти результаты М. М. Лаврентьева
[19] и Е. М. Ландиса [20] были доложены на III Всесоюз-
ном математическом съезде (1956).
Отметим, что в этих исследованиях уже использова-
лось обобщение Карлемана, данное в работе Г. М. Го-
лузина и В. И. Крылова в 1933 г. [21].
Интерес к некорректным задачам стимулировался и
рядом теоретических вопросов, возникших в развитии
вычислительных методов в связи с интенсивным примене-
нием ЭВМ. В качестве примера укажем на задачу о сум-
мировании ряда Фурье по ортонормированной системе
{фп (•*)}:
оо
г (ж) = 21 “лф/г (ж)-
*=i
Входными данными здесь являются элементы и = {uft}
из 12. Выяснилось, что малым ошибкам в определении
коэффициентов Фурье может соответствовать как угодно
большая ошибка при разложении в этот ряд заданной
функции (конкретный пример указан ниже, в § 5).
В качестве второго примера отметим интегральное
ь
уравнение Фредгольма первого рода f(x) = yK (х, s) и (s) ds.
а
Если на класс решений V = {н} никакие ограниче-
ния не накладываются, то сразу же очевидно, что произ-
вольно большим вариациям и на достаточно малом внут-
реннем интервале [а, р], (а < а < р < Ь) может соот-
ветствовать малое изменение интеграла в правой части
уравнения. Это означает, что малым изменениям f (а)
может соответствовать произвольно большое изменение
решения. Это свойство уравнений Фредгольма первого
рода было, разумеется, известно уже в начальный период
141
теории интегральных уравнений. Однако позднее, в 40 -
50-е годы, уравнения Фредгольма первого рода привлекли
к себе внимание в связи с исследованием так называемых
«обратных задач» математической физики. Это новое на-
правление в математической физике интересно и в теорети-
ческом и прикладном отношениях.
В качестве примера укажем лишь на обратную задачу
гравиметрии, которая заключается в определении формы
возмущающего тела, имеющего плотность, отличную от
плотности окружающей среды. Форма неизвестного залега-
ния определяется по аномалии силы тяжести, создавае-
мой им на поверхности Земли. Для характеристики по-
становки задачи воспользуемся цитированной выше стать-
ей [10], сохраняя обозначения и схематический чертеж
(рис. 2). Линия z = —Н -]- z (х), отличная от —Н на
интервале (а, Ь), есть граница, разделяющая среду под
поверхностью Земли z = 0 с плотностями рх и р2. Указан-
ная форма разделительной границы z (х) =$= 0 на (а, Ь)
создает на поверхности Земли аномалию напряжения силы
тяжести
и (х) = Ag = —dV /dz,
где V — потенциал масс с плотностью р2 — рп заполняю-
щих область 5.
Для случая линейного приближения в предположении,
что z (а?) <<;//, относительно z (а:) возникает уравнение
ъ
Л Г» ГТ
“ЙТ J (z —5)2- Я2 Z d^=U (Х)>
(3)
где
2Ag
Р2-- Pl
142
Таким образом, по значениям и (х), полученным из-
мерительной техникой па поверхности Земли, нужно най-
ти z (х) из интегрального уравнения (3), т. е. решение
интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
Решение обратных задач математической физики поста-
вило новые теоретические вопросы. Оно потребовало вы-
яснения не только проблемы единственности их решения,
но и вопроса об их устойчивости.
Исследование этих вопросов явилось серьезным успе-
хом наших математиков. Наряду с факторами, указанны-
ми выше, исследования единственности решения обрат-
ных задач и устойчивости этих решений существенно
способствовали формированию современной трактовки
корректности задач математической физики. Рассмотрим
некоторые этапы в развитии этого направления.
В 1932 г. Н. Р. Малкин решил одну из обратных гра-
виметрических задач, когда требуется определить тол-
щину возмущающего слоя по заданной величине анома-
лии вызываемой им силы тяжести. Отметим, что эта зада-
ча в первом приближении рассматривалась еще Лапласом.
Малкин дал решение задачи, исследовав приближение
второго порядка, применив метод разложения неизвест-
ной функции по сферическим функциям [22].
В более общей постановке обратную задачу теории по-
тенциала рассмотрел в 1938 г. П. С. Новиков в работе
«Об единственности обратной задачи потенциала» [23].
Основной результат Новикова оказался весьма полезным
и для решения в дальнейшем вопроса об устойчивости
решений обратных задач. На этом результате остановимся
детальнее. Сначала вопрос ставится в самой общей форме.
Пусть в трехмерном пространстве дана гармоническая
функция W (х, у, z), являющаяся внешним потенциалом
некоторой массы. Что можно сказать о расположении этой
массы? Слишком широкая общность постановки обуслов-
ливает пеопределенность задачи. Действительно, для каж-
дой области G, содержащей особые точки функции W,
существует распределение плотности р. (х, у, z), такое,
что
G
и, кроме того,
н (Ж, У, Z) = и (х, у, z) + h (х, у, z),
143
где и (х, у, г) есть гармоническая функция, определенная
по потенциалу однозначно, ah — произвольная функ-
ция, ортогональная ко всем гармоническим функциям
на области G.
Отсюда следует невозможность однозначного решения
поставленной задачи. Последнее возможно лишь при не-
которых условиях, налагаемых на область и плотность
р,. Например, легко показать, что если G — односвязная
область с непрерывно изменяющейся касательной плос-
костью, а потенциал W = 1/г, то область совпадает со
сферой.
Основной результат П. С. Новикова состоит в доказа-
тельстве теоремы: пусть ц (х, у, z) — функция, определен-
ная во всем пространстве, такая, что min р. 0 и ее пол-
ная вариация по любой прямой не превосходит min р.
Пусть Gj и G2 — две области, звездные относительно не-
которой общей внутренней точки, заполненные массами
и М2 с плотностью р (х, у, z). Тогда если эти массы
имеют одинаковый внешний потенциал, то области Gx
и G2 совпадают.
Принципиально новый шаг был сделан в работе
А. Н. Тихонова «Об устойчивости обратных задач» в 1943 г.
[24]. Прежде всего здесь характеризуется обычно приме-
няющийся метод подбора решения таких задач. Для того
чтобы по известному физическому полю определить струк-
туру среды, которая его обусловливает, поступают так:
задаваясь достаточно широким классом возможных струк-
тур, вычисляют физические поля, а затем выбирают ту
структуру, для которой физическое поле близко к наблю-
даемому.
Для обоснования этого метода, справедливо замечает
Тихонов, необходимо:
1) установить теорему единственности прямого соот-
ветствия, т. е. доказать, что различным типам сред соот-
ветствуют различные поля;
2) необходимо убедиться в том, что при малом отклоне-
нии вспомогательного поля от наблюденного строение
среды не может сильно отличаться от действитель-
ного.
Последнее требование и есть требование устойчивости
обратной задачи, требование непрерывной зависимости
решения от входных данных. Основываясь на теоретико-
множественной концепции в теории непрерывных отобра-
144
жений 2, Тихонов получает в своей статье весьма инте-
ресный результат: он доказывает, что при соблюдении
соответствующих условий устойчивость обратной задачи
есть непосредственное следствие’теоремы единственности.
Для более ясной формулировки этого результата напом-
ним нужные^определения^ пусть совокупность элементов
{я} отображается|функцией / (х) на другую’совокупность
элементов {.г*}: я* — f (я). Это отображение называется
взаимно однозначным в точке я0, если я* / (я0) не равно
f (я) для любого элемента я, отличного от я0. Сначала от-
мечается, что (на основании общей теоремы о непрерыв-
ности отображения) справедлива такая теорема: пусть
метрическое пространство R непрерывно отображается
на другое метрическое пространство R*
? = /(x)[iE/!, а*ЕЯ*].
Если это отображение взаимно однозначно в точке х
и пространство R компактно, то обратное отображение
я = f"1 (аг*) также непрерывно в точке я*. Непрерывность
обратного отображения понимается так: для любого
е 0 существует 6 6 (в), такое, что если р (аг*, я*) <
<6 (е), то р (я, я0)<^е, где я— любой прообраз точки аг*.
Эту теорему Тихонов здесь применяет для доказатель-
ства устойчивости обратной задачи теории потенциала.
Схема рассуждения такова. В качестве одного метрическо-
го пространства рассматривается совокупность допусти-
мых физических тел {У}. Каждому телу Т соответствует
ею потенциал V. Второе метрическое пространство есть
множество потенциалов зтих тел {К}. Соответствие между
телами Т и значениями их потенциалов определяет отоб-
ражение V = / (Т) пространства R на пространство R*.
Это отображение непрерывно и взаимно однозначно, так
как в силу (рассмотренной выше) теоремы П. С. Новикова
различным телам Тг и Т2, звездным относительно их цент-
ра тяжести, не могут соответствовать одинаковые потен-
циалы. Отсюда вследствие компактности класса R на
основании общей теоремы о непрерывности отображения
Тихонов и получает доказательство устойчивости решения
обратной задачи теории потенциала: при любом е^>0
можно указать 6(e), такое, что если значения потенциалов
2 См. теорему о непрерывном отображении метрических пространств,
доказанную, например, в книге: Хаусдорф. Теория множеств. М.:
Гостехиздат, 1937, с. 148.
145
двух тел 7\ и Т2 из класса R отличаются (при z'= 0) мень-
ше чем на 6 (е), т. е. если | (х, у) — V2 (х, у) | <6 (е),
то сами тела отличаются друг от друга меньше чем на е.
Относительно пространства {71} при этом делаются три
предположения:
1) каждое тело принадлежит заданной ограниченной
поверхности, лежащей в области z <0;
2) каждое тело звездно относительно своего центра
тяжести Р, и, следовательно, уравнение поверхности,
ограничивающей тело Т, можно представить в сфериче-
ской системе координат в виде z = / (<р, 6). Третье усло-
вие требует достаточной гладкости этих функций / (<р, 6).
Метрика для пространства {71} вводится так:
Р (Л> Т2) = max {р (Z5!, Р2); шах | Д (<р, 6) —
h (<Р, е) 1}>
где /х и /2 — функции, определяющие поверхности
тел и Т2 относительно центров тяжести Р1 и Р2. Су-
щественно отметить, что при нарушении какого-либо из
этих условий поставленная задача не будет устойчивой
(при несоблюдении, например, первого условия простран-
ство {71} не будет компактным).
В широко распространенном в настоящее время опре-
делении «корректности по Тихонову» влияние обратных
задач математической физики отразилось особенно отчет-
ливо. Сформулируем это определение. Задача называется
поставленной корректно по Тихонову, если выполняются
три условия:
1) априори известно, что решение задачи существует
для некоторого класса данных L и принадлежит некоторо-
му заданному множеству М функционального простран-
ства;
2) решение единственно в некотором классе данных и в
классе решений, принадлежащих М\
3) бесконечно малым вариациям данных задачи, не
выводящим решение за пределы множества М, соответ-
ствуют бесконечно малые вариации решения. Соответ-
ствующее множество М называется множеством коррект-
ности.
Это определение введено М. М. Лаврентьевым в 1962 г.
125, с. 4].
Рассмотрим отличие этого определения от классичес-
кого. В классическом определении выполнение первого
требования корректности устанавливается теоремой суще-
146
ствования, доказательство которой возможно при обяза-
тельном указании того конкретного класса С(°), С^>,. . .,
к которому принадлежат краевые данные.
Во втором определении нет указаний на эти конкрет-
ные классы данных и существование решения постули-
руется заранее. Для ряда обратных задач классические
теоремы существования вообще не имеют места. Напри-
мер, в задаче Коши для уравнения Лапласа для суще-
ствования решения необходимо и достаточно, чтобы не-
которая линейная комбинация данных была бы аналити-
ческой функцией, аналитически продолжаемой в ту об-
ласть пространства, где определяется решение задачи.
Выполнение этого условия отнюдь не гарантируется
принадлежностью данных к какому-либо классу C(fl\
СП) и т. д.
И в то же время предположение о существовании реше-
ний обратных задач и об их принадлежности определен-
ным множествам оказывается естественным из физичес-
ких соображений. Действительно: зная физическое поле,
требуется определить структуру среды. Физическое поле,
отражает объективно существующую, хотя и неизвест-
ную, структуру среды. Поэтому вполне естественно пред-
полагать априори существование решения. Принадлеж-
ность решения к определенному множеству может быть
определена также физическими соображениями.
Эти соображения объясняют и отличие третьего тре-
бования от классического требования устойчивости. Дей-
ствительно, непрерывная зависимость в классическом
смысле от краевых данных в рассматриваемых задачах
отсутствует (см. пример Адамара). Для того чтобы непре-
рывная зависимость от входных данных в соответствую-
щей метрике сохранилась, необходимо определенным
образом сузить класс функций, т. е. класс допустимых ре-
шений. Специфика обратных задач состоит в том, что в но-
вой постановке нет конкретных признаков принадлежно-
сти к классу L, но зато есть признаки принадлежности
решения к классу корректности М.
Второе требование единственности изменяется лишь
в том смысле, что теперь требуется доказывать единствен-
ность решения, принадлежащего классу корректности.
Однако дело не ограничивается установлением коррект-
ности в новом смысле т<й или иной задачи. Возникает
вопрос об алгоритмизации решения таких задач. Дейст-
147
вительно, после установления корректности постановки
задачи (в частности, в предположении для нормы || и ||
М (0, 1) — в некоторой метрике) возникает вопрос
о создании эффективного метода решения, т. е. такого ал-
горитма, который дает возможность вычисления значений
решения с некоторой гарантированной степенью точности
по неизбежно приближенным входным данным задачи.
В качестве примера рассмотрим постановку этого воп-
роса в работе М. М. Лаврентьева «О задаче Коши для
уравнения Лапласа» [18]. Пусть 5 — кусок границы кон-
тура (или кусок поверхности), который ограничивает
конечную область D, в которой требуется найти гармони-
ческую функцию, если заданы условия
. ди I
<p = u|s и Ф = -^|8.
Трудность состоит в том, что функции <р и ф не могут быть
заданы точно. Вместо ср и ф задают систему приближенных
значений <рп и ф„ с заданной точностью:
II Фп — и Ils < On,
n’
где ап—>0, рп—>0 при н—>оо. Таким образом, на £
задаются системы окрестностей функций ср и ф.
Требуется, исходя только из функций <рп и фп, пост-
роить последовательность функций ип, определенных в об-
ласти D и сходящихся к функции и с некоторой гаранти-
рованной скоростью. М. М. Лаврентьеву удалось для
данной задачи построить нужный алгоритм в предположе-
нии, что в ограниченной области D (плоской или простран-
ственной) существует гармоническая функция и, удовлет-
воряющая в D неравенству ||u|| М. Метрика в указан-
ных трех неравенствах может быть различной. К такой
постановке и приводят обратные задачи математической
физики, в частности обратные задачи теории потенциала.
5. Общий алгоритмической подход А. Н. Тихонова
для существенно некорректных задач
К началу 60-х годов вся рассмотренная выше теорети-
ческая и прикладная проблематика привела к разработ-
ке общего алгоритмического подхода к задачам, некор-
ректным в классическом смысле. Основные результаты
148
здесь принадлежат А. Н. Тихонову, создавшему в серии
своих работ так называемый метод регуляризации [24,
26, 27]. Многие результаты, полученные этим методом,
были освещены в обзорном докладе А. Н. Тихонова
«О методах решения некорректно поставленных задач»
в 1966 г. на Международном математическом конгрессе
в Москве [28]. Метод Тихонова очень удобен для приме-
нения современных ЭВМ и получил весьма широкие при-
ложения во многих областях математической физики и
техники.
В заключительном параграфе нашей статьи имеется
в виду лишь указать современное определение сущест-
венно некорректных задач и регуляризирующего функцио-
нала, лежащие в основе метода регуляризации. В заклю-
чение даются два конкретных примера применения этого
метода.
Пусть физический процесс характеризуется функцией
(вектор-функцией) z, входящей в множество F, которое
принадлежит метрическому пространству F. Часто z
не только неизвестна, но и недоступна прямому измере-
нию, а измеряется некоторое ее проявление
и = Az, (1)
где А — соответствующий оператор, преобразующий
z £ 7 в пространство U = AF (отображение F оператором
А). Однако в силу неизбежной приближенности измерений
вместо значений и известны лишь ее приближенные значе-
ния и, функция и не обязана принадлежать множеству
AF. Кроме того, обратный оператор А-1 далеко не всегда
является непрерывным. При этих условиях возникает
вопрос о самом подходе к решению задачи (1).
Следуя классической концепции, т. е. обычному под-
ходу при приближенном решении задач математического
анализа (в широком смысле слова), естественно попытаться
в качестве приближенного решения уравнения (1) взять
точное решение уравнения:
z = А-1 й. (2)
Однако такой подход сразу же приходится отвергнуть.
Действительно, во-первых, решение (2) на F может не
существовать, так как й может не входить в класс AF;
во-вторых, такое решение, даже если оно существует,
не будет устойчивым, ибо А-1 не является непрерывным.
Однако свойство устойчивости обычно является след-
ствием физической детерминированности задачи, вслед-
ствие этого естественно требовать, чтобы приближенное
решение обладало этим свойством.
Вследствие этого возникают два методологически важ-
ных вопроса.
1. Что надо понимать под приближенным решением
таких задач? При этом приближенное решение должно быть
определено так, чтобы малым изменениям исходной ин-
формации отвечало малое изменение решения.
► 2. Каковы алгоритмы построения таких приближен-
ных решений? Ответы на оба этих принципиально важ-
ных вопроса дает теория решения некорректных задач, ос-
новы которой были разработаны А. Н. Тихоновым в ука-
занных выше работах.
Основу этой теории составляет разработанный
А. Н. Тихоновым метод регуляризации. Он имеет весьма
широкие применения для решения так называемых суще-
ственно некорректных задач, позволяя строить с помощью
ЭВМ приближенные решения уравнения (1), устойчивые
к малым изменениям исходных данных. Укажем опре-
деление. Задача является существенно некорректной, ес-
ли множество F возможных решений не является компак-
том, оператор А-1 не является непрерывным на AF и
изменения правой части уравнения Az — и, связанные
с ее приближенным характером, могут выводить ее за пре-
делы множества AF. Основа подхода Тихонова состоит
в предположении, что при задании приближенного зна-
чения и должен быть задан некоторый параметр б, харак-
теризующий степень этого приближения.
Переходим к рассмотрению метода регуляризации. Сна-
чала сделаем основные определения.
Определение 1. Будем говорить, что и есть б-
приближение точных входных данных й, если в метрике
ptt имеют ри (й, й) б. Если й является б-приближе-
нием й, то его обозначают йб. При этом предполагается, что
пространства Z = {z} и U = {н} — метрические про-
странства, где понятия близости характеризуются рас-
стоянием ри (их, п2) и pz (zlt z2).
В силу определения 1 естественно понимать под зада-
нием приближенных входных дапных не только задание
самого приближения пб, но и параметра б-меры точности
й6 по отношению к й, для которого й6 есть б-прпближение.
150
Определение 2. Параметрический функционал
= 6 = R (и, а) называется регуляризирующим функцио-
налом для задачи z = R (и), если выполнены два условия.
1. Функционал z6 = R (и, а) определен для всех
и Е= U и всех а 0.
2. Если z = R (й) (точное решение по точным входным
данным), то существует такая возрастающая функция.
а (6) (а (6) 0 при б —> 0), что при 2а<8> = R (и11, а (6))
выполняется неравенство
р2 (2“W4 z) < Е,
если только для наперед заданного числа е > 0 ри (йб, й)
меньше достаточно малого числа б0.
Другими словами: из близости й6 к й (р„ (й6, й) <С
< б0 (е)) следует близость 2аб = R (й6,а (б)) к точному
решению z:
pz (za(-6\ z) e.
Пример 1. Пусть / (x) удовлетворяет условиям для
равномерной сходимости ее ряда Фурье:
оо
ah cos кх -f- Ъх sin кх
Е=1
на сегменте [— л, л]. Пусть вместо точных коэффициентов
б/,- известны лишь их приближенные значения щ,- и
5ft, как это часто встречается во многих прикладных за-
дачах. Пусть известна степень этого приближения, а имен-
но известно выполнение неравенства
оо
(а°^°о)2 + У, 1(а* - 5ft)2 + (5ft - 5ft)2] < б2, (3)
где б — некоторое малое число, которое называют по-
грешностью в задании коэффициентов Фурье.
Можно ли по приближенным коэффициентам «ft, 6ft
найти в фиксированной точке х значение / (ж) с ошибкой
е (б), стремящейся к нулю при б ->• 0? Оказывается, что
суммированием бесконечного ряда Фурье с приближенны-
ми коэффициентами
ОО
—к У| (й/r cos кх 4- 5ft sin кх) (3')
151
этого добиться нельзя ни с какой степенью точности, как
бы мало ни было б!
Фиксируем произвольно малую погрешность б 0.
Пусть
и пусть погрешности в задании коэффициентов имеют сле-
дующий частный вид:
а0—ао=О, = b}: -Б11 = - , fc>l.
кС У 2
Неравенство (3) будет выполнено со знаком точного равен-
ства:
б2
/с2С2-2
ОО сх>
V б2 ... 1 V 1 , fi2
“f £_J /i2C2-2 C2 / I Л2
fc=l k=i
Подсчитаем ошибку при замене точного ряда Фурье при-
ближенным рядом Фурье, т. е.
ОО
[(б/, — сц) cos kx -f- (Ец- —Д-) sin kx\.
Л=1
В точке х = 0 эта ошибка равна сумме ряда
ОО ОО
Ь=1 Л=1
при как угодно малой погрешности б 0. Таким образом,
доказано, что, как бы мало ни было число б, характери-
зующее уклонение друг от друга двух совокупностей коэф-
фициентов Фурье {сц, {«а-, б/,-}, отвечающие этим
двум совокупностям прямые суммы тригонометрических
рядов Фурье могут как угодно сильно отличаться друг
°т друга.
Что же дает метод регуляризации?
В данной задаче вопрос полностью решается приме-
нением следующего регуляризирующего оператора:
R (и, а) = + 2_j (sfc coskx + sinfa)' Т+КГ
Jt=i
152
где параметр а есть величина того же порядка малости, как
6 в соотношении (3).
Теорема А. Н. Тихонова. Пусть / (х) при-
надлежит классу L2 [— л, л] и непрерывна в данной фик-
сированной точке х сегмента [— л, л]. Тогда для каждого
б О сумма ряда (3') с коэффициентами а* и Ь^, удов-
летворяющими соотношению (3), совпадает в данной фик-
сированной точке х с / (х) с ошибкой е (6), стремящейся
к нулю при б —> 0.
Пример 2. Приближенное вычисление производной
z = duldx по возмущенным в метрике С значениям и.
Пусть z = duldx точное решение по точным входным дан-
ным, т. е. производная некоторой дифференцируемой
функции й, и U = {н} — класс непрерывных функций.
Регуляризующим функционалом будет классический
параметрический функционал
п „ ч_ й(х + а) —й (х)
если только а (б) = б /т] (б) при б —> О, где т] (б) —> 0 при
б ->• 0. Докажем это. Потребуем, чтобы выполнялось не-
равенство |й® — й| 6/2 (т. е. чтобы выполнялась бли-
зость к® к и в метрике С). Оценим в этом предположении
близость Ди® /а и Дй/а:
й® (ж + а) — (х) й (х + а) — й (х)
а а
, й® (х - а) - й (х -|- а) . й® (х) —
а ‘ а
<^-6 + JLd = A = J”!------->0
2а 1 2а а о
при б —> О. По условию а (б) —> О, б/ц (б) -► 0 при б
—> 0, следовательно, при а —► 0
ДЙ® ДЙ I Z, - ЙЙ
------------>0, или z® = R (и®, а(ё))~>z = -у—
а а I ’ ' ' " dx
при б —0. В качестве ц можно взять ц = \ б, тогда
а = 6/|/б = ]/б—>-0 при б -> 0.
Приближенное решение интегральных уравнений
Фредгольма первого рода, дифференцирование функций,
известных приближенно, численное суммирование рядов
153
Фурье с приближенно заданными коэффициентами, мини-
мизация функционалов при условии, что минимизирующие
последовательности не сходятся в рассматриваемых функ-
циональных пространствах,— таковы лишь некоторые при-
меры некорректных задач, которые с успехом решаются
методом регуляризации. Вместе с этим успешно решаются
обратные задачи теории потенциала и теплопроводности,
задачи и интерпретации экспериментальных данных гео-
физической разведки, некоторые задачи линейного про-
граммирования и оптимального управления.
Существенные вопросы становления нового направле-
ния в современной математике — теории решения некор-
ректных задач — освещены, в частности, в статьях
В. А. Ильина [29], В. А. Морозова [30], В. Я. Арсенина
[31], а также в книге А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенина
[32].
ЛИТЕРАТУРА
1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur sig-
nification physique.— Bull. Univ. Princeton, 1902, p. 49—52.
2. Selecta. Jubile scientifique de M. Jacques Hadamard. Paris, 1935,
p. 214 et sv.
3. Hadamard J. Quelques cas d'impossibilite du probleme de Cauchy
Centenaire de Lobatchewsky. Ed. Soc. Math. Kazan, 1926, t. II.
4. Painleve P. Sur les lignes singullieres des fonctions analytiques.—
Toulouse Ann., 1888, These 1887.
5. Hadamard J. Le probleme de Cauchy. Paris, 1932.
6. Hadamard J. Lectures on Cauchy problem. New Haven: Yale
Univ. Press, 1923.
7. Conferences Intern, sur les equations aux derivees partielles. Ge-
neve, 1935.
1—71
8. Oeuvres de J. Hadamard, т. HI.— ГБЛ, Ф -g^g- , микрофильм,
c. 1600.
9. Hadamard J. Sur les equations aux derivees partielles d’ordre
superieur.— Там же, с. 1567.
10. Тихонов А. Н., Иванов В. К., Лаврентьев М. М. Некорректно
поставленные задачи.— Труды симпозиума, посвященного 60-ле-
тию академика С. Л. Соболева. Дифференциальные уравнения
с частными производными. М.: Наука, 1970, с. 224.
11. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 2.
М.; Л.: Гостехиздат, 1945.
12. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1 /
Пер. с англ., М.; Л.: Гостехиздат, 1945.
13. Петровский И. Г. Ueber das Caucbysche Problem von partiellen
Differenlialgleicbungen.— Мат. co., 1937, 2(44), c 815—870.
14. Петровский И. Г., Соболев С. Л. О работах академика Жака
Адамара по уравнениям с частными производными.— УМН,
1936, вып. II, с. 82—91.
154
15. Петровский Й. Г. Лекцпп об уравнениях с частными производ-
ными. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1953.
16. Петровский II. Г. Лекции об уравнениях с частными производ-
ными. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1961.
17. Carleman Т. Les fonctions quasi-analytiques. Paris, 1926.
18. Лаврентьев M. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.—
Изв. АН СССР. Серия мат., 1956, 20, с. 819.
19. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.—
Труды III Всес. мат. съезда, т. II. М., 1956, с. 118.
20. Ландис Е. М. О некоторых свойствах решений эллиптических
уравнений.— Труды III Всес. мат. съезда, т. I. М., 1956, с. 57—
58.
21. Голузин Г. М., Крылов В. И. Обобщение формулы Carleman'a
и приложение ее к аналитическому продолжению функций.—
Мат. сб., 1933, 40, вып. 1, с. 144—149.
22. Малкин Н. Р. Труды Ин-та нм. В. А. Стеклова, 1932, 2,
вып. 4.
23. Новиков П. С. Об единственности обратной задачи потенциала.—
ДАН СССР, 1938, 18, № 3, с. 165—168.
24. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач.— ДАН СССР,
1943, 39, № 5, с. 195—198.
25. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах матема-
тической физики. Новосибирск, 1962.
26. Тихонов А. Н. О некорректно поставленных задачах.— Мат.
сб., 1963, 61 : 2.
27. Тихонов А. Н. О решении пекорректно поставленных задач.—
ДАН СССР, 1963, 151 : 3.
28. Тихонов А. Н. О методах решения некорректно поставленных
задач.— Труды Междунар. мат. конгресса (Москва, 1966). М.:
Мир, 1968, с. 720—722.
29. Ильин В. А. О работах А. Н. Тихонова по методам решения
некорректно поставленных задач.— УМН, 1967, 22, вып. 2.
30. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.
Итоги пауки и техники, математический анализ, II. М.:
ВИНИТИ, 1973.
31. Арсенин В. Я. О некорректно поставленных задачах.— УМН,
1976, 31, вып. 6 (192), с. 89—101.
32. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных
задач. М.: Наука, 1974.
ОЧЕРК ИСТОРИИ ТЕОРИИ
ПОЧТП-ПЕРИОДИЧЕСКПХ ФУНКЦИЙ
Б. М. Левитан
Общепризнано, что создателем теории почти-периоди-
ческих функций (в дальнейшем сокращенно п.п.ф.) яв-
ляется датский математик Гаральд Бор. В 1924—1926 гг.
им были опубликованы в Acta Mathematica три фунда-
ментальных мемуара [1—3]. В первых двух мемуарах была
изложена полная теория непрерывных п.п.ф. от одной
действительной переменной. Третий посвящен теории ана-
литических п.п.ф.
Интересно отметить, что в то время как доказательства
основных теорем теории п.п.ф. от действительной пере-
менной (равенство Парсеваля, теорема единственности,
теорема аппроксимации) претерпели при дальнейшем раз-
витии теории п.п.ф. существенные изменения и упроще-
ния, доказательства основных теорем из третьего мемуара
Г. Бора почти не изменились. Бор пришел к почти-
периодическим функциям, занимаясь теорией рядов Ди-
рихле, в частности дзета-функцией Римана. Первые ра-
боты в этом направлении были выполнены Бором еще до
первой мировой войны. Постепенно эти исследования при-
вели Бора к созданию общей теории п.п.ф. По-видимо-
му, в начале своей работы над теорией п.п.ф. Бор не пред-
полагал, что у него были предшественники в этой области
анализа. Однако уже во втором мемуаре Бор упоминает
о работах рижского математика П. Боля [4] и француз-
ского математика и астронома Э. Эсклангона [5]. В отли-
чие от Бора и Боль и Эсклангон пришли к почти-перподи-
ческим функциям (в частном случае, который ниже будет
описан), отправляясь от задач механики п астрономии.
В связи с этим отметим, что уже давно (в XVIII в. и даже
ранее) почти-периодичность как’ явление возникала
в различных вопросах математики, механики, физики и
астрономии (наложение периодических режимов с несо-
измеримыми периодами, в частности фигуры Лисажу, за-
156
дача Лагранжа о среднем движении перигелия земли,
стандартное движение на торе 1 и др.).
Однако до работ Боля и Эсклангона не было сколь-
ко-нибудь общего подхода к почти-периодичности.
Напомним определение п.п.ф. по Бору.
Комплекснозначная непрерывная функция / (х): В*->-
-> С называется п.п.ф., если Уе О 3Z = I (е) 0 та-
кое, что в каждом интервале (а, а + Z) числовой оси дли-
ны I содержится число т ЕЕ (а, а + Z), удовлетворяющее
неравенству
sup |/(л + т) —/(х)|<е. (1)
Условимся каждое число т, удовлетворяющее неравен-
ству (1), называть е-почти-периодом функции / (х). Вве-
дем еще одно определение.
Множество Е действительных чисел будем называть
относительно плотным, если существует такое число
Z 3> О, что в каждом интервале действительной оси длины
Z содержится хотя бы одно число множества Е.
Почти-периодичность по Бору можно теперь опреде-
лить следующим образом.
Непрерывная функция / (х): В1 -+ С называется п.п.ф.,
если для Уе О существует относительно плотное мно-
жество е-почти-периодов функции / (х).
Боль и Эсклангон рассмотрели частный класс п.п.ф.
Эти функции принято теперь называть условно-периоди-
ческими (иногда квазипериодическими). Вот их определе-
ние.
Пусть Х2,. . ., Кп — произвольные действительные
числа. Непрерывная функция / (х): В1 -+ С называется
условно-периодической с периодами 2n/Xj, 2л/Х2, . . .
. . ., 2л/Хп, если для Уе ^>0 36 = 6 (е) 0 такое, что
каждое действительное число т, удовлетворяющее системе
неравенств
|^т| < 6 (mod 2л) (k = 1, 2,. . ., и), (2)
является е-почти-периодом для функции / (х).
Боль и Эсклангон независимо друг от друга построи-
ли теорию условно-периодических функций, доказали для
них основную теорему. Она состоит в следующем: каждая
1 Определение стандартного движения на торе дано в сноске
в конце работы.
157
условно-перподическая функция является равномерным
на всей прямой пределом последовательности конечных
тригонометрических многочленов с теми же периодами,
что и функция.
Так как Боль и Эсклангоп заранее предполагали, что
почти-периоды условно-периодической функции удовлет-
воряют системе неравенств вида (2), то доказательство тео-
ремы аппроксимации сравнительно несложно (см., напри-
мер, [6, с. 65]).
Как мы видели, в определении Бора система неравенств
вида (2) для почти-периодов заранее не предполагается.
В чисто математическом плайе, пожалуй, в этом состояло
главное достижение Бора., Заметим, что для произвольной
п.п.ф. система неравенств типа неравенства (2) для почти-
периодов все же имеет место (в общем случае число п
не фиксировано, а растет до бесконечности вместе с убы-
ванием числа е к нулю), однако в отличие от условно-
периодических функций эти неравенства пе постулируют-
ся заранее, а выводятся из основной теоремы теории
п.п.ф. — теоремы аппроксимации. Если же неравенства
типа (2) заранее постулировать, то даже в предположении,
что число п не фиксировано, а растет вместе с убы-
ванием числа е, теорема аппроксимации п.п.ф. тригоно-
метрическими многочленами следует пз элементарных
рассмотрений (см., например, [6, с. 65]). В связи с этим
отметим, чтов 1939 г. Н. II. Боголюбов [7] доказал следую-
щую замечательную теорему.
Теорема И. И. Боголюбова. Пусть Е —
произвольное относительно плотное множество действи-
тельных чисел, 6 — произвольное положительное число,
V = {ж ЕЕ В.1, |ж| 6} — окрестность нуля. Тогда най-
дется число T] 0 и конечный набор действительных чисел
(Oj, и>2,. . ., и>я, таких, что каждое действительное число
т, удовлетворяющее системе неравенств
| со^т| < г, (mod 2л) (k = 1, 2,. . ., п),
принадлежит множеству Е — Е + Е — Е + Б.
Пз теоремы Н. Н. Боголюбова непосредственно сле-
дует, что почти-периоды п.п.ф. Бора обязаны удовлет-
ворять системе неравенств вида (2). Это позволяет, как
мы уже выше отмечали, просто доказать теорему аппрок-
симации, а из нее элементарно следуют все другие основ-
ные теоремы теории непрерывных п.п.ф. Тем самым
158
н. Н. Боголюбов дал новое построение теории непрерыв-
ных п.п.ф.
Первоначальные доказательства Бора основных тео-
рем теории п.п.ф. опирались (впрочем, как и в работах
Боля и Эсклангона) иа теорему Кронекера о совместных
решениях системы неравенств и были весьма громоздкими.
Например, первый мемуар Бора, в котором 98 страниц
большого формата, в основном посвящен доказательству
равенства Парсеваля. Во втором мемуаре путем длинной
цепочки остроумных рассуждений Бор доказывает, что
каждая непрерывная п.п.ф. является диагональной функ-
цией периодической или предельно периодической функ-
ции, в общем случае от счетного числа переменных. От-
сюда уже сравнительно просто выводится теорема аппрок-
симации.
Вскоре после опубликования работ Бора Валле-Пуас-
сен [8], Г. Вейль [9], С. Бохнер [10] и другие математики
дали значительно более простые доказательства основных
теорем теории п.п.ф. Особо следует отметить доказатель-
ство равенства Парсеваля, предложенное Г. Вейлем [9].
Это доказательство основывается на теории компактных
операторов и излагается в настоящее время во многих
руководствах по функциональному анализу.
В своих исследованиях Г. Бор ограничился изучением
только непрерывных п.п.ф. Естественно, что вскоре после
выхода работ Бора были предложены обобщения теории
на измеримые по Лебегу функции. Первое удачное обоб-
щение дал В. В. Степанов [11]. Затем Г. Вейль [9] и
А. С. Безиковпч [12] рассмотрели другие, более широкие
обобщения. Отметим, что в классе Безиковича В2 спра-
ведлив аналог теоремы Рисса — Фишера для рядов Фурье.
Все указанные выше обобщения были изложены с еди-
ной точки зрения теории метрических пространств в об-
ширном мемуаре Бора и Безиковича [13].
Обобщение совсем другого типа предложил в 1938 г.
автор настоящей статьи [14]. В основе этого обобщения
лежит следующее обобщение понятия почти-периода.
Число т называется е, N-почти-периодом функции
/ (z), если для |х| <1 А выполняется неравенство
|/ (х + т) — / (ж) | < е.
Определение. Непрерывная функция / (х),
В1 -> С, называется N-nrnmu-периодической (в смысле
159
Б. М. Левитана), если: 1) для V е^>0 и V 0 суще-
ствует относительно плотное множество е, Лг-почти-пс-
риодов функции / (z); 2) сумма и разность двух почти-
периодов т2 (Ej, N) + т2 (е2, N) = т (6, N) есть 6, А-поч-
ти-период для / {х), причем 6 = 6 (еп е2) -> 0 при ех +
+ Ej —0.
Рассмотрим числовую ось R1 как группу по сложению
и введем на Л1 нестандартную топологию, определив
окрестность нуля как множество чисел т, удовлетворяю-
щих системе неравенств (2) (таким образом, при заданных
Х2,. . ., Хп,. . . каждая окрестность нуля определяет-
ся положительным числом 6 и натуральным числом п).
В. А. Марченко принадлежит следующий результат [15].
В указанной выше топологии А-п.п.ф.— зто непре-
рывные функции, а п.п.ф. Бора — зто равномерно не-
прерывные функции.
Для А-п.п.ф. в общем случае ряд Фурье определяется
неоднозначно. Замечательно, однако, что тем не менее
каждый ряд Фурье определяет функцию, по которой он
построен, однозначно.
Глубокое изучение А-п.п.ф. провел Б. Я. Левин [16].
В частности, он описал совокупность всех рядов Фурье
данной А-п.п.ф. и выяснил условие единственности ряда
Фурье.
В 1934 г. Дж. фон Нейман опубликовал важную рабо-
ту [17], в которой теория п.п.ф. переносится на тот слу-
чай, когда аргументом функции является элемент произ-
вольной абстрактной группы. При определении п.п.ф.
на группе Нейман использовал один ранний результат
С. Бохнера, который, отправляясь от некоторых резуль-
татов Бора из второго мемуара, дал отличное от опреде-
ления Бора, но эквивалентное определение п.п.ф. А имен-
но, имеет место следующая теорема С. Бохнера: для того
чтобы непрерывная функция / (х), была п.п.ф.,
необходимо и достаточно, чтобы бесконечное семейство
функций {/л (л;)} = {/ (х + Л)}, h ЕЕ R1, было компакт-
ным в смысле равномерной сходимости на R1.
Это определение очевидным образом обобщается на
комплекснозначные функции, определенные на абстракт-
ной группе G. А именно, функция / (х), G —С, называется
право (лево) п.п.ф., если семейство функций / {ха) I/ (дл;)|
{а ЕЕ G) компактно в смысле равномерной сходимости
на G.
160
Легко доказывается, что классы право и лево п.п.ф.
совпадают. При построении теории п.п.ф. на группах глав-
ную трудность представляет доказательство существова-
ния среднего значенияп.п.ф., инвариантного относительно
группового сдвига. В случае компактной группы по-
строение инвариантного среднего эквивалентно построе-
нию инвариантной меры Хаара. В случае произвольной
группы существование инвариантного среднего для п.п.ф.
впервые было доказано Нейманом в цитированной уже
выше работе. Другую конструкцию среднего п.п.ф. на
группе дал В. Маак [18].
По-видимому, строя теорию п.п.ф. на группе, Нейман
имел в виду с их помощью построить полную систему
конечномерных линейных представлений группы, что
позволило бы полностью решить знаменитую пятую про-
блему Гильберта (всякая локально-компактная конечно-
мерная группа есть группа Ли). Однако вскоре выясни-
лось, что существует обширный класс групп, на которых
вообще нет п.п.ф. (кроме функции, тождественно равной
постоянной). Г. Фрейденталь [19] описал класс всех
тех локалыю-компактных групп, для которых сущест-
вует достаточно много п.п.ф. (т.е. для V х, у ЕЕ G, су-
ществует п.п.ф. / (ж), для которой f (х) / (у)). Этот
класс групп оказался довольно узким. Так что надежды
на п.п.ф. в решении пятой проблемы Гильберта не оправ-
дались. Эта проблема была окончательно решена совсем
на другом пути [20]. Несмотря на это, работа фон Неймана
по теории п.п.ф. па группах сыграла свою положитель-
ную роль, стимулировав развитие абстрактного гармони-
ческого анализа (ряды и интегралы Фурье на группах,
проблемы гармонического анализа и синтеза на группах и
(ругие вопросы).
Рассмотрим теперь вопросы, связанные с перенесе-
нием теорпп п.п.ф. на векторнозиачные функции. Первой
работой в этом направлении была работа Мукенхаупта
121]. В этой работе изучался характер движения конечной
неоднородной закрепленной струны. Было показано, что
движение происходит почти-периодически в обобщенном
смысле. Обобщение состоит в том, что в функциональное
пространство вводится некоторая специальная метрика
гильбертова пространства (при помощи интеграла энергии)
и доказывается почти-периодпчность движения струны
относительно этой метрики.
6 Заказ Ki 2436
161
Работа Мукенхаупта послужила отправной точкой
для важной работы Бохнера [22], 1933 г., в которой стро-
ится теория п.п.ф. со значениями в произвольном бана-
ховом пространстве. В этой работе Бохнера, в частности,
было выяснено, что равенство Парсеваля имеет смысл
только в случае функций со значениями в гильбертовом
пространстве. Само определение п.п.ф. со значениями
в банаховом пространстве (и даже в линейном топологи-
ческом пространстве) очевидно. Приведем зто определе-
ние в случае банахова пространства.
Обозначим через X банахово пространство, через X* —
его сопряженное, через J —числовую ось (— оо < t <оо)-
Функция f (t) : J —X называется п.п.ф., если (ля
Ve 0 существует относительно плотное множество чи-
сел т (е-почтп-перподов функции / (I)), удовлетворяющих
неравенству
sup || / (« + т) — /(«) || < е.
/c-J
При построении теории векторпозначных п.п.ф. не-
которую трудность представляло понятие измеримой и
суммируемой векторнозначиой функции (со значениями
в банаховом пространстве). Интересно отметить, что ши-
роко распространеппое в настоящее время понятие изме-
римой и суммируемой по Бохнеру функции возникло под
влиянием исследований по теории абстрактных п.п.ф.
[23].
Бохнер применил построенную им теорию абстракт-
ных п.п.ф. к исследованию движения свободных колеба-
ний «-мерной неоднородной мембраны [24]. Однако он
сумел получить в этом направлении только условный ре-
зультат. А именно, им была доказана почти-периодичность
движения (в метрике интеграла энергии) в предположении
компактности траекторпп.
Окончательные результаты для свободных колебаний
мембраны получил в 1945—1946 гг. С. Л. Соболев, кото-
рый, открыв новые интегралы энергии, доказал компакт-
ность, а следовательно, в силу указанной выше теоремы
Бохнера и почти-периодичность траектории [25].
Вынужденные колебания «-мерной мембраны (т. е.
неоднородное волновое уравнение) значительно позже,
именно в 1960—1962 гг., были изучены птельянским мате-
матиком Л. Америо (см. литературу в [26]).
162
На его работах остановимся несколько более подроб-
но, ибо они сыграли важную роль в современном разви-
тии теории п.п.ф., а также дифференциальных п дпффе-
ренциалыю-операторных уравнений с п.п. коэффициентами.
Первые работы Америо в этой области относились к
вопросу о природе неопределенного интеграла от абст-
рактной п.п.ф., а именно, при каких условиях такой
интеграл является также п.п.ф. Так как каждая п.п.ф.
ограничена, то ограниченность интеграла является необхо-
димым условием его п.п. Классическая теорема Боля — Бо-
ра утверждает, что для числовых п.п.ф. ограниченность
интеграла является также и достаточным условием п.п.
Однако совсем простые примеры показывают, что для аб-
страктных п.п.ф. это не так. Важным достижением Аме-
рпо явилось установление того факта, что для широкого
класса банаховых пространств (например, для гильбер-
товых) теорема Боля — Бора справедлива [26]. Таким
образом было установлено, что теорема Боля — Бора
связана с геометрией банахова пространства. Оконча-
тельное решение проблемы об интеграле получил М. И. Ка-
дец [27]. Оп доказал, что теорема Боля — Бора спра-
ведлива для тех и только тех банаховых пространств,
которые пе содержат пространства с0.
В дальнейших работах Америо и его школы были изу-
чены широкие классы п.п. операторно-дифференциаль-
ных уравнений [26]. Выяснилось, что и здесь геометрия
банахова пространства играет существенную роль. В этих
исследованиях большую роль играют введенные Америо
слабо п.п.ф.: функция / (Z), J -+ X, называется слабо
п.п.ф., если для Vz* Е X* числовая функция ж* [/ (/)]
есть п.п.ф. Америо установил необходимое и достаточное
условие для того, чтобы слабо п.п.ф. была п.п.ф.. Это
условие заключается в том, чтобы множество 9^ =
~ {х ёЕ X: х = / (t)} было компактным в X.
Следует отметить, что исследования Америо и его уче-
ников явились продолжением классических работ Фава-
ра [28] о почти-периодичности решений систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений и упоминавшихся
уже выше работ С. Л. Соболева.
В настоящее время теория п.п.ф. развивается в связи
с задачами дифференциальных уравнений, обыкновен-
ных и в частных производных, теории устойчивости, тео-
рии динамических систем и др. (см. [б| и [26]).
6
163
В заключение остановимся кратко на роли условно-
периодических функций в задачах механики и математи-
ческой физики.
Еще Лиувилль доказал, что компактное движение,
описываемое вполне интегрируемой динамической си-
стемой, подобно стандартному движению на торе2 [29].
В последнее время Гарднер [30], В. Е. Захаров и
Л. Д. Фаддеев [31] показали, что уравнение Кортевега —
де Фриза и некоторые другие нелинейные уравнения мате-
матической физики (нелинейное уравнение Шрёдингера
и др.), имеющие важное прикладное значение, порождают
вполне интегрируемые гамильтоновы системы (в общем
случае бесконечномерные). В случае их конечной размер-
ности (что соответствует так называемым копечнозонным
потенциалам) С. П. Новикову [32], П. Д. Лаксу [33],
Г. П. Мак Кину и П. Мербеку [34] на зтом пути удалось
доказать условную периодичность по времени решения
уравнения Кортевега — де Фриза, а также вычислить
соответствующие периоды.
Л И Т Е Р А Т У РА
1. Bohr Н. Zur Tbeorie der fastperiodischen Funktionen. I Teil:
Eine Verallgenieinerung der Tbeorie der Fourierreihen.— Acta
math., 1925, 45, S. 29—129.
2. Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. II Teil:
Zusammenhang der fastperiodischen Funktionen mit Funktio-
nen von unendlichvielen Variablen: gleichmassige Approximation
durch trigonometrische Summen.— Acta math., 1925, 46, S.
101—214.
3. Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. Ill Teil:
Dirichletenwicklung analytischer Funktionen.— Acta math., 1926,
47, S. 237—281.
2 Пусть Tn — n-мерный действительный тор с периодами 1, 1,...
. . ., 1. Пусть х° = (zj, х®, . . ., х®) — произвольная точка Тп
и ₽1. Р2, . Рп — произвольные действительные числа. Стан-
дартное движение на торе определяется уравнениями
Xfc = $ + pkt (mod 1) (к = 1, 2,..., n), — co + co.
(3)
Это движение условно периодично. Если числа pv Р2 . . ., рп
линейно независимы (относительно целых чисел), то траектория,
определяемая уравнениями (3), заполняет тор Тп всюду плотно.
Другой крайний случай — это когда отношение любой пары чи-
сел ръ . . ., Рп есть рациональное число. В этом случае движение
(3) периодическое.
164
4. Bohl P. Ueber dia Darstellung von Funktionen einer Variablen
durch trigonometrische Reihen mit mehrerer einer Variablen
proport ionalen Argunienten (Mai исто река я диссертация). Dor-
pat, 1893.
5. Esclangon E. Les fonctions quasi-periodiques. These. Paris, 1904.
6. Левитан В. M., Жиков В. В. Почтп-перподическпе функции и
дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.
7. Боголюбов Н. Н. О некоторых арифметических свойствах почтп-
перподов.— Зап. кафедрп математпчног ф1зпкп шституту будС
впльно1мехашкп АН УССР, 1939, 4.
8. Vallee Poussin С. J. de la. Snr Jes fonctions presque-periodiques
de H. Bohr.— Ann. Soc. sci. Bruxelles, 1927, 47, p. 141 —158.
9. Wei// H. Integralgleichungon und fastperiodische Funktionen.—
Math. Ann., 1926, 97, S. 338—356.
10. Boehner S. Beitrage zur Theorie der fast periodischen Funktionen.
I Teil: Funktionen einer Variablen.— Math. Ann., 1926, 96, S.
119—147; II Teil: Funktionen melirerer Variablen.— Ibid., S.
383—409.
11. Степанов В. В. Pber eine Verallgemeineriing der Fast periodischen
Funktionen.— Math. Ann., 1926, 96, S. 437—498.
12. Besicovich A. 5. On generalized almost periodic functions.— Proc.
London Math. Soc. Ser. 2, 1926, 25, p. 495—512.
13. Besicovieh A. S., Bohr H. Almost periodicity and generalized
trigonometric series.— Acta math., 1931, 57, p. 203—291.
14. Левитан Б. M. Новое обобщение почтп-нериодпческих функции
Н. Bohr’a.— Зап. Харьк. ин-та мат. и мат. об-ва, сер. 2, 1938,
15.
15. Марченко В. А. Методы суммирования обобщенных рядов
Фурье.— Зап. научно-исслед. ин-та мат. и мех. Харьк. ун-та,
1950, 20, с. 3—32.
16. Левин Б. Я. О почти-периодпческих функциях Левитана.—
УМЖ, 1949, № 1, с. 49—100.
17. von Neuman J. Almost periodic functions in a group 1.— Trans.
Amer. Math. Soc., 1934, p. 445—492.
18. Maak W. Fastperiodische Funktionen. Berlin: Springer Verl., 1950.
19. Freudenthal H. Topologische Gruppen mit geniigend vielen fast-
periodischen Funktionen.— Ann. Math., 1936, 37, N 2, p. 57—77.
20. Montgomery D., Zippin L. Small subgroups of finite-dimensional
groups.— Ann. Math., 1952, 56, N 2, p. 213—241.
21. Muekenhoupt C. F. Almost periodic functions and vibrating sy-
stems.— J. Phys., 1929, 8.
22. Bochner S. Ahstrakte fastperiodische Funktionen.— Acta math.,
1933, 61, p. 149—184.
23. Bochner S. Integration von Funtionen, deren Verte die Elcmente
eines Vektorraumes sind.— Fund. Math., 1933, 20, S. 262—276.
24. Bochner S. Fastperiodische Losungen der Wellengleichung.—
Acta math., 1933, 62, S. 227—237.
25. Соболев С. Л. О почти-периодпчности решении волнового урав-
нения.— ДАН СССР, 1945, 48 : 8, с. 570; 1945, 48; 9, с. 646;
1945, 49 : 1, с. 12.
26. Amerio L., Prouse G. Alniosl-periodic functions and functional
equations. N. Y.: Van Norstand, 1971.
165
27. Кадец М. И. Об интегрировании почти-периодической функции
со значениями в пространстве Бапаха.— Функц. анализ., 1969,
3, вып. 3, с. 71—74.
28. Faiard J. Sur les equations differentieles a coefficients presque-
periodiques.— Acta math., 1927, 51, p. 31—81.
29. Арнольд В. II. Математические методы классической механики.
М.: Наука, 1974.
30. Gardner C.S. Korteweg— de Vries equation and generalization
IV, The Korteweg — de Vries equation as Hamiltonian system.—
J. Math. Phys., 1971, 12, p. 1548—1551.
31. Захаров В. E., Фаддеев JI. Д. Уравнение Кортевега — де Фри-
за — вполне интегрируемая гамильтонова система.— Функц.
анализ, 1971, 5, вып. 4, с. 18—27.
32. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега — де Фриза,
1.— Функц. анализ, 1974, 8, вып. 3, с. 54—66.
33. Lax Р. В. Periodic solutions of the KdV equations.— Coinm. Pu-
re and Appl. Math., 1975, 28. p. 141—188.
34. McKean II. P., Moerbek P. The spectrum of Hill’s equation.—
Invent. Math., 1975, 30, p. 217—274.
АКСИОМА ВЫБОРА
II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Ф. А. Медведев
Аксиома выбора прошла длинный и сложный путь от
неосознанных и скрытых применений ее и эквивалент-
ных ей утверждений в математических рассуждениях
XIX в., через бурную полемику в начале текущего столе-
тия после явной ее формулировки Э. Цермело и сложив-
шееся почти всеобщее недоверие к ней и связанным с нею
умозаключениям до признания этой аксиомы вполне рес-
пектабельным, очень важным и даже неизбежным элемен-
том теоретических построений в чрезвычайно большом
числе современных исследований. В частности, как ока-
залось. велика роль названной аксиомы в классическом
анализе.
Выяснение указанной роли осуществлено в большом
числе работ. Основной из них является статья В. Сер-
пинского «Аксиома ZermeJo и ее роль в теории множеств
и в анализе»[1], в которой охарактеризовано «несколько
важнейших и более интересных случаев применения ак-
сиомы Zermelo в анализе» [1, с. 106] Ряд содержатель-
ных, хотя не всегда достаточно полно и четко раскрытых
утверждений о подобных применениях содержится в
статье У. Кассины [2]; Д. Пеано [3, с. 175] указал на
обращение к аксиоме выбора в доказательствах, основан-
ных на применении метода последовательных разбиений
n-мерной области. Д. Гильберт и П. Бернайс вскрыли не-
обходимость зтой аксиомы в некоторых применениях по-
нятия грани множества [4, с. 40—41].
По поводу названных работ можно заметить следую-
щее. В них, как правило, решается задача — обнаружить
в общем виде те аналитические утверждения, которые свя-
заны с аксиомой выбора, и авторов почти не интересовал
вопрос о том, как рассуждали математики, еще не подозре-
1 Мы не располагали его книгой «Analiza. Т. 1. Wydawnictwa РоГ
skiego Kola Naukowego w Moscwie, 1916—1917». в которой, по сло-
вам автора fl, с. 106], систематически прослежена роль аксиомы
выбора в анализе.
167
вавшие о самом существовании этой аксиомы, в тех усло-
виях, когда ее использование было необходимым. Нас бу-
дет интересовать преимущественно последний аспект.
Поскольку все подобные рассуждения рассмотреть не-
возможно (да в этом и вряд ли есть необходимость), нам
придется ограничиться отдельными примерами. А чтобы
создать относительно полное впечатление о роли аксиомы
в анализе, мы во второй части статьи сочли полезным рас-
смотреть ее применения в одном из стандартных курсов
анализа.
Для последующего удобно пачать с одной общей тео-
ремы, доказанной в 1884 г. Г. Кантором [5, с. 211—212].
Канторовская формулировка зтой теоремы такова: «Ес-
ли Н — любая полностью расположенная в конечном
часть пространства Gn, а Р — точечное множество, содержа-
щееся в Н и обладающее свойством у, то в Н существует
по крайней мере одна такая точка g, что если Кп — любой
и-мерпый шар с центром в g, то составная часть множест-
ва Р, которая понадает в область Кп, всегда обладает
свойством -у, сколь бы малым ни брался радиус шара Кп»
[5, с. 211].
Пояснения: Gn — евклидово п-мерпое пространство;
свойство у — это такое свойство замкнутого точечного мно-
жества Р, что если Р содержится в ограниченной области
II пространства Gn и эта Н разложена каким-либо об-
разом на т частичных областей Н2,. . ., Нт той же
размерности, то этим свойством у обладает по крайней ме-
ре одно из подмножеств Plt Р2,. . ., Рт, па которые ра-
зобьется множество Р при указанном разложении облас-
ти Н.
Для доказательства теоремы Кантор разлагает II на
конечное число n-мерных областей, диаметр которых мень-
ше 1 (он говорит об областях, «в каждой из которых все
расстояния между любыми двумя точками меньше 1»).
Поскольку Р содержится в Н и обладает свойством у,
то по крайней мере одна из этих частичных областей Нх
содержит подмножество Ръ обладающее свойством у.
Затем Н\ разлагается на частичные области диаметра
меньше 1/2, и берется та из последних, скажем Н2, в ко-
торой содержится подмножество Р2, обладающее свой-
ством у и т. д. Тем самым получается последовательность
точечных множеств
Pit Pit • • • i Рn-li Рni • • >
165
Каждое из которых содержится в предыдущем и обладает
свойством у. По теореме о вложенных областях существует
единственная точка, принадлежащая всем Яг; обозначим
ее через g. Очевидно, что эта точка g удовлетворяет усло-
виям теоремы.
В столь общей ситуации Кантор не мог обойтись без
аксиомы выбора. Действительно, на каждом шаге разбие-
ния областей II, Н\, Н2,. . . на конечное число частей
условие теоремы обеспечивало ему существование одной
из частичных областей, содержащей подмножество Р,
со свойством у. Но таких частичных областей будет не
обязательно одна, а вообще несколько или даже все,
и в общем случае нет никаких оснований предпочесть одну
из них. Для продолжения рассуждения приходится выби-
рать одну из этих частичных областей. А это и есть та
версия аксиомы выбора, когда имеется бесконечное се-
мейство конечных множеств и производится выбор одного
элемента из каждого множества [6, с. 475].
Как было указано в самом начале статьи, на тот факт,
что в рассмотренном рассуждении применяется аксиома
выбора (без детализации ее версии), обратил внимание
Д. Пеано в 1908 г. [3, с. 175]. Само же это рассуждение
применялось как в частных, так даже и в более общих
ситуациях многими математиками (и применяется в на-
стоящее время). Г. Кантор после доказательства теоремы
писал: «Замечу, что примененный здесь метод доказатель-
ства, который трудно заменить на существенно иной,
в своей основе является очень давним; в новое время мы
находим его. между прочим, в некоторых теоретико-чис-
ловых исследованиях у Лагранжа, Лежандра и Дирихле,
в «Курсе анализа» Коши (третье примечание) и в некото-
рых работах Вейерштрасса и Больцано; поэтому нам ка-
жется неправильным относить его главным образом или
даже исключительно к Больцано, как это стало обычным
в последнее время» [5, с. 212].
Упоминая О. Коши, Каптор имел в виду его доказа-
тельство 1821 г. теоремы об обращении в нуль непрерыв-
ной функции, имеющей значения разных знаков на концах
промежутка [7, с. 437—439]. Действительно, Коши при-
менил здесь аналогичное рассуждение. Он делил проме-
жуток задания функции на целое число т > 1 частичных
промежутков, выбирал из них один или несколько; за-
тем аналогично поступал .с выбранными промежутками
169
и т. д. Однако ситуация здесь была несколько иной.
В рассуждениях Кантора, как мы сказали, условие
теоремы обеспечивало существование одной из частичных
областей, и аксиома выбора врывалась сюда лишь потому,
что у него не было оснований для взятия одной из них,
если таковых окажется несколько. Условия теоремы Коши
дают больше: из полученных частичных промежутков вы-
бираются те, на концах которых значения функции име-
ют разные знаки. Другими словами, у Кантора частичные
области были в общем случае равноправными на каждом
шаге деления; у Коши же они в некотором роде выделе-
ны. II хотя вообще неизвестно, в каких из рассматривае-
мых промежутков сложится нужная ситуация (функция
будет иметь значения разных знаков на концах), а потому
остается неизвестным, какие из них нужно продолжить
делить далее, все же закон исключенного третьего вся-
кий раз позволяет утверждать, что в некоторых из них
эта ситуация будет иметь место, и ход рассуждения можно
продолжать далее, не прибегая к произвольному выбору.
Тем не менее мы склонны считать, что аксиома выбора
использована и в рассуждении Коши, хотя бы потому,
что закон исключенного третьего здесь приходится при-
менять бесконечно много раз.
Имеется у Коши здесь и другое обращение к аксиоме
выбора. В ходе доказательства он прибегал к двум спо-
собам определения непрерывности функции в точке.
Исходил он из окрестного определения непрерывности
[7, с. 32—33], а определения непрерывности на языке по-
следовательностей не давал. Но, доказывая рассматрива-
емую теорему, он использовал последовательностное
определение непрерывности [7, с. 439]: заключение о непре-
рывности функции в точке, общей системе стягивающихся
промежутков он сделал из рассмотрения последова-
тельностей значений функции на концах этих проме-
жутков. Вследствие отсутствия у него формального опре-
деления непрерывности функций на языке последователь-
ностей, а тем более доказательства его эквивалентности
с исходным окрестностным определением (эта эквивалент-
ность доказывается с применением аксиомы выбора
[1, с. 107; 114—121]) Коши вообще не имел права рас-
суждать подобным образом. Он, однако, не увидел в
этом проблемы и счел рассуждение законченным. Вслед
за ним так поступали многие математики.
170
Э. Гейне специально не формулировал то определение
непрерывности функции в точке на языке последователь-
ностей, которое известно под наименованием «определение
непрерывности по Гейне». Он исходил из определения не-
прерывности на языке е — 6 [8, с. 182], а другое опреде-
ление и утверждение о его эквивалентности исходному
содержались в теореме:
«Если функция / (х) непрерывна при х = X, то для
всякой числовой последовательности, обладающей зна-
ком X, последовательность / (хг), / (х2),... образует число-
вую последовательность с числовым знаком f (X); обрат-
но, если для всякой числовой последовательности хи
х2,- обладающей знаком X, числовую последователь-
ность с числовым знаком f (X) образует и f (х^, / (х2),. .
то / (х) непрерывна при х = X» [8, с. 182].
Если учесть, что слова Гейпе «числовая последователь-
ность, обладающая знаком» имеют смысл «последователь-
ность действительных чисел, сходящихся к действитель-
ному числу», то перед нами и определение «непрерывности
по Гейне» и утверждение о его эквивалентности с опре-
делением «непрерывности по Коши».
Как известно, доказательство того, что из определения
непрерывности по Коши вытекает определение непрерыв-
ности по Гейне, не требует обращения к аксиоме выбора.
Обратное же заключение доказуемо только с помощью на-
званной аксиомы. И Э. Гейне, получая из последователь-
ностного определения окрестностное [8, с. 183], факти-
чески прибегал к ней- В предположении, что {f(xn)} -+
->- f (X) для любой {хп} -+ X. он делал допущение, что
f (х) не является непрерывной в X по Коши, затем на
основании этого допущения строил последовательность
{хй}, сходящуюся к X, для которой не выполняется усло-
вие {/ (х'п)} / (X); полученное противоречие и доказы-
вало нужное утверждение.
Построение последовательности {х„} осуществлялось
в соответствии с аксиомой выбора. Разумеется, Э. Гейне
не говорил о семействе множеств и выборе элемента из
каждого множества этого семейства, как это делается
в упомянутом выше рассуждении В. Серпинского. Он
рассматривает все значения ц, для которых при фикси-
рованном е > 0 имеет место |/ (х + ц) — f (х) | }> е, и
берет какое-либо одно из этих значений для получения
нужной ему точки последовательности Уменьшая
17J
затем i], он получает всю эту последовательность. На тео-
ретико-множественном языке он, конечно, не мог выра-
жаться, поскольку в 1872 г. такого языка не существовало.
Описанный выше метод доказательства Кантора чаще
применялся в его частном случае последовательного деле-
ния пополам промежутка. При этом па каждом шаге рас-
суждения приходилось выбирать одну из половин отрез-
ка, что соответствует расселовской версии аксиомы
выбора [9. с. 48], когда производится выбор элемента из
каждой пары бесконечного семейства неупорядоченных
пар элементов. Мы ограничимся указанием лишь двух
примеров.
Такой способ рассуждений применял К. Вейерштрасс
в лекциях по теории функций в Берлинском универси-
тете. Так, С. Пинкерле, излагая его лекции 1877/78 учеб-
ного года, пользуется методом последовательного деле-
ния промежутка, например, при доказательстве существо-
вания точки сгущения у всякого ограниченного множества
[10, с. 237—238]. Этот же метод применен в книге А. Дже-
нокки [11, с. 13] при доказательстве рассмотренной выше
теоремы Коши. Данному факту мы придаем особое значе-
ние, так как только что названная книга фактически на-
писана учеником Дженокки Д. Пеано [12, с. 9—10],
который был одним из наиболее последовательных про-
тивников аксиомы выбора.
В применениях метода последовательных делений Пеа-
но пошел дальше отдельных приложений, вроде указан-
ного. В 1887 г. он опубликовал кпигу «Геометрические
приложения исчисления бесконечно малых» [13]. Здесь
он, в частности, передоказал (с. 165—166) рассмотренную
выше теорему Кантора, не сославшись на него, а в каче-
стве следствий из нее привел несколько теорем анализа,
в том числе о существовании точки сгущения у бесконеч-
ного ограниченного множества и о достижении экстре-
мумов непрерывной функцией на замкнутом промежутке.
Этой общей теоремой или приведенными им ее следствиями
он пользовался в названной книге неоднократно (напри-
мер, с. 170, 172, 189). Применял он эту теорему и в своих
лекциях по анализу бесконечно малых, папример [14,с. 18].
В [13] Пеано ввел понятие конечно-аддитивной функ-
ции множества 2. Такие функции он назвал дистрибутив-
2 Подробнее об этом см. [15, с. 140—144].
172
ными [13, с. 167]. При переводе его книги [11] на немец-
кий язык в 1899 г. переводчики назвали свойство у,
фигурировавшее в теореме Кантора (у Пеано оно было
названо «свойством q»), дистрибутивным свойством, ссы-
лаясь на работу Пеано [13]. Под таким наименованием оно
изучалось многими, в 1927 г. Э. Цермело [16] предпринял
изучение лебеговской меры. Мы не будем останавливаться
здесь на этом и отметим лишь следующее. Одним из ос-
новных инструментов указанного его исследования яв-
ляется теорема Кантора, которую Цермело, видимо не
зная тогда канторовской работы [5], назвал «теоремой
Пеано» [16, с. 155]. Лишь в 1932 г. при издании Собрания
сочинений Кантора Цермело исправил эту свою ошибку
[17, с. 244—245].
Рассмотренная теорема Кантора, помимо самого факта
обращения к аксиоме выбора в ее доказательстве, а тем
самым и в приложениях этой теоремы в анализе, связана
также с одним интересным моментом истории названной
аксиомы.
В 1890 г. Д. Пеано [18] доказал существование реше-
ния системы
= <Р1 (К Xi, ..., хп),
•.................... (1)
dx
= фг? • • • »
в которой <рг — непрерывные функции в окрестности
t = Ь, х± = аъ. . ., хп = ап. Систему (1) он свел к виду
df/dt = <р (t, f (t)), (2)
где f (t) — функция на 0 t 1, значениями которой
являются векторы и-мерного пространства, и доказывае-
мую теорему сформулировал так: «На интервале от 0 до 1
[включая концы.— Ф. М.\ можно определить составную
[векторнозначную.— Ф. М.\ функцию ft действительного
переменного t, которая обращается в нуль при t = 0 и
на всем этом интервале удовлетворяет заданному диффе-
ренциальному уравнению» [18, с. 144]. Его доказательст-
во указанной теоремы состояло в «эффективном», как он
выражался, построении функции / (£).
Мы не собираемся входить в детали сложного построе-
ния Пеано и связанные с этим очень интересные его сооб-
173
ражения, в частности по поводу понятия функции. Огра-
ничимся лишь некоторыми моментами, связанными с ак-
сиомой выбора.
Решение / (t) Пеано строил, выбирая для каждого t £
£ [0, 1] в качестве значения / (I) некоторый вектор из
введенного им семейства множеств векторов. Тем самым
он столкнулся с обычной теперь ситуацией, когда требует-
ся применение аксиомы выбора, и это он вполне осознал,
хотя формулировки последней еще не существовало. На-
бросав сначала схему построения функции f (t) путем та-
кого выбора [18, с. 149—150], он продо 1жал: «Однако,
поскольку нельзя применить бесконечное число раз про-
извольный закон, по которому классу а [т. е. множеству
а.— Ф. М-] ставится в соответствие индивид этого
класса, то мы введем здесь определенный закон, по кото-
рому каждому классу а при надлежащих предположениях
сопоставляется ипдивид этого класса» [18, с. 150].
Откладывая несколько далее рассмотрение пеановского
способа задания «определенного закона», в соответствии
с которым каждому множеству рассмотренного им беско-
нечного семейства множеств единообразно сопоставляет-
ся элемент этого множества, подчеркнем, как это делалось
неоднократно, что приведенные слова относятся к 1890 г.,
т. е. к времени, отстоящему почти на полтора десятиле-
тия от введения рассматриваемой аксиомы Э. Цермело
в 1904 г. Так что до ее так сказать официальной формули-
ровки Пеано отказал ей в праве на существование.
Однако аксиома выбора коварна. Мы уже отметили,
что Пеано пользовался ею неоднократно ранее. Не уда-
лось ему избегнуть ее и здесь. Правда, он применял ее не
прямо: в ряде мест этой своей работы он существенно опи-
рался [18, с. 137, 141, 147] на рассмотренную теорему
Кантора, прямо ссылаясь на статью [5] последнего; в дру-
гих местах он прибегал к иным теоремам анализа, доказы-
ваемым с помощью аксиомы выбора, например к теореме
о непрерывной функции со значениями разных знаков на
концах промежутка [18, с. 163].
Как было замечено выше, в 1908 г. Пеано признал, что
доказательство теоремы Кантора опирается на аксиому
выбора. А поскольку незадолго до этого он решительно
выступил против применений этой аксиомы [19, с. 145—
148], то в новом издании своего «Математического форму-
ляра» [3] он перестроил доказательство теоремы сущест-
174
вования решения системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. На этом мы останавливаться не будем,
а рассмотрим тот «закон», при помощи которого Пеано
единообразно выбирал по одному элементу в каждом мно-
жестве рассмотренного им бесконечного семейства мно-
жеств векторов. Передадим его сначала словами автора.
Непосредственно после приведенных его слов о недопу-
стимости применения бесконечного числа раз произволь-
ного выбора элемента в множестве он продолжал:
«Р1. „Если а есть некий Kqn, то через сод мы обозна-
чим комплекс (хг, х2, х3,. . .), первый элемент которого яв-
ляется верхним пределом первых элементов комплексов
класса а; второй элемент является верхним пределом вто-
рых элементов комплексов, принадлежащих классу а
и имеющих первым элементом число хг\ третий элемент х3
есть верхний предел третьих элементов комплексов, кото-
рые принадлежат а и имеют первым элементом хг, а вто-
рым х2, и т. д.“
Р2. „Если а есть не пустой, конечный и замкнутый Kqn,
то сод есть индивид класса а“» [18, с. 150—151].
Поясним пеановские символику и терминологию. «Р1»,
«Р2» означают «предложение 1», «предложение 2»; «клас-
сом» Пеано называл то, что тогда, да и теперь называют
«множеством» (в современных исследованиях термин
«класс» относят к иному понятию); q означал у него век-
тор и-мериого евклидова пространства, a Kqn — класс
(т. е. множество) таких векторов; термин «комплекс» оз-
начает «вектор», а «первый, второй и т. д. элементы ком-
плекса» — первую, вторую и т. д. координаты вектора;
слова «верхний предел» означали у него то, что теперь на-
зывают верхней гранью (или точной верхней границей);
наконец, слово «конечный» в Р2 употреблялось в смысле
«ограниченный».
Таким образом, рассматривая произвольное множество
а векторов, Пеано в Р1 строил некий выделенный элемент-
вектор
(a?i, х2ь. . ., яп),
первая координата которого равна верхней грани первых
координат всех векторов, входящих в а; вторая — верх-
ней грани вторых координат всех тех векторов из а, кото-
рые имеют первой координатой х^, третья — верхней гра-
ни третьих координат всех тех векторов из а, которые
175
имеют первой кординатой xlt а второй х2, и т. д. В Р2 оц
утверждал без доказательства (впрочем, очевидного), что!
так построенный вектор х2,. . хп) будет принадле-
жать множеству а, если а не пусто, ограничено и зам-
кнуто.
Тем самым какое бы множество векторов, удовлетво-
ряющих условиям Р2, ни рассматривалось, в нем в соот-
ветствии с процедурой Пеано можно выделить определен-
ный элемент. II если приходится иметь дело с бесконечным
семейством множеств векторов указанного типа и прихо-
дится выбирать в них по элементу, то каждый такой выбор
можно осуществить в соответствии с указанной процеду-
рой, так что Пеано действительно указал в некотором смы-
сле определенный закон, позволяющий единообразно, од-
нозначно выбирать элементы в рассматриваемом им семей-
стве множеств, а тем самым отказаться от того применения
аксиомы произвольного выбора, которое он сделал в пер-
воначальном наброске доказательства своей основной тео-
ремы о существовании решения системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений [18, с. 149—150].
Тем не менее, как мы уже сказали, ему не удалось
в [18] избежать косвенных обращений к этой аксиоме.
Они понадобились ему при доказательстве ряда вспомога-
тельных утверждений, в частности чтобы установить, что
рассматриваемые им множества векторов удовлетворяют
условиям теоремы Р2; более того, в окончательном доказа-
тельстве основной теоремы [18, § 7, с. 165—169] содержит-
ся по меньшей мере семь обращений к предложениям,
в доказательство которых входила аксиома выбора, хотя
и не в той одиозной форме, против которой возражал
Пеано.
Это обстоятельство, хотя оно и любопытно в историко-
математическом плане, не кажется нам существенным.
Допустимо, что при более аккуратных рассуждениях в до-
казательстве основной теоремы можно, опираясь на пеанов-
скую процедуру — или какую-то иную, ей подобную,—
все же избежать даже косвенных обращений к аксиоме
выбора. Однако сама эта процедура вызывает примерно
такие же возражения, какие впоследствии выдвигались
против названной аксиомы.
Прежде всего обращает на себя внимание ее сложность.
Действительно, для получения выделенного вектора нужно
п раз применить операцию взятия верхней грани. Кроме того,
176
па каждом из п — 1 шагов после первого перед приме пе-
нием этой операции в рассматриваемом множестве век-
торов нужно отобрать те из них, у которых первые, вто-
рые и т. д. координаты имеют заданные значения. Далее
нужно установить, что построенный таким образом вектор
принадлежит множеству. Д. Пеано, систематически поль-
зуясь понятием грани множества, неоднократно утвер-
ждал, что он при этом получает «эффективные» результа-
ты [18, с. 147, 149, 169]. Но, по словам Н. Н. Лузина,
нахождение верхней грани «является операцией, сущест-
венно трансцендентной, для которой мы не имеем ника-
кого счетного процесса» [20, с. 526]. А в процедуре Пеано
эту «трансцендентную операцию» приходится применять
бесконечное число раз.
Но не основное и это. Главное возражение против при-
менений аксиомы выбора охарактеризовано Н. Н. Лузи-
ным так: «Рассуждение Цермело — только греза, так как
каждый из идеалистов, говоря о выборах, выбирает и гре-
зит по-своему, и нет не только возможности сообщить свое-
му собеседнику о проделанных в бесконечном количестве
выборах, но и быть согласным даже с самим собой» [20,
с. 511]. Но почти такое же возражение можно выдвинуть
и против пеановской процедуры, даже если отвлечься
от отмеченной выше ее сложности.
Действительно, в основу ее Д. Пеано положил опера-
цию взятия верхней грани множества, и это позволило ему
сформулировать единообразное правило, или, по его сло-
вам, «определенный закон» выделения некоторого отмечен-
ного элемента в множестве. Но другому математику может
не понравиться понятие верхней грани, и он для установ-
ления «закона выборов» предпочтет, например, понятие
нижней грани, среднее арифметическое из верхней и ниж-
ней граней или еще какой-либо единообразный способ вы-
деления элементов. При этом, разумеется, понадобятся
иные, чем у Пеано, предложения, позволяющие судить о
принадлежности получаемого элемента рассматриваемо-
му множеству.
Ко всему сказанному добавляется то, что пеановский
способ действий приспособлен для получения все же от-
носительно частного результата и не годится, к примеру,
в случае, когда рассматриваемые множества не являются
замкнутыми, поскольку тогда верхняя грань может ока-
заться не принадлежащей множеству, и построенный по
177
его рецепту элемент окажется непригодным для проведе-
ния рассуждения.
Словом, на наш взгляд, первая атака Д. Пеано на
аксиому выбора, фактически еще не введенную официаль-
но, оказалась безуспешной.
Мы привели очень небольшое число примеров приме-
нения аксиомы выбора в аналитических рассуждениях ма-
тематиков XIX в. Фактически их неизмеримо больше,
и даже простое перечисление подобных применений
с краткими пояснениями и соответствующей литературой
ire вместилось бы в рамки статьи. Поэтому, чтобы создать
у читателя относительно цельное впечатление о роли ак-
сиомы выбора в анализе, в заключение статьи мы сочли
полезным рассмотреть ее применения в одном из хороших
стандартных курсов анализа, избрав для этой цели пер-
вый том книги Г. М. Фихтенгольца «Основы математи-
ческого анализа» [21].
Сразу же следует сказать, что слова «аксиома выбора»
или какие-либо равнозначные им в названной книге отсут-
ствуют. Тем не менее подавляющее большинство содержа-
щихся здесь умозаключений в той или иной мере связано
с этой аксиомой, правда, большей частью опосредство-
ванно.
Известно, что без аксиомы выбора нельзя доказать, что
если а является точкой сгущения (или накопления) мно-
жества X, то существует последовательность различных
точек множества X, сходящаяся к а [1, с. 103].
Г. М. Фихтенгольц [21, с. 68] формулирует определение
точки сгущения для одномерного случая и тут же доказы-
вает с прямым обращением к аксиоме выбора указанное
выше утверждение. В многомерном случае он отдельно
определил понятия точки сгущения (с. 226) и предельной
точки (с. 228) и аналогичное утверждение высказал
(с. 229) уже без доказательства.
Понятие предела функции одного переменного
Г. М. Фихтенгольц определил двумя способами. Во-пер-
вых, число А он назвал пределом функции f (х) при стре-
млении х к а, если для любой последовательности {хп},
сходящейся к а, имеет место
lim f(xn) = А (с. 68).
хп~а
Во-вторых, то же число А он назвал пределом / (х) при
178
х->- а, если для всякого е О найдется такое 6 О,
что
|/ (х) — А\ <е,
как только \х — а\ <6 (с. 70).
Эквивалентность этих двух определений доказуема
только с помощью аксиомы выбора [2, с. 254—255].
Г. М. Фихтенгольц при доказательстве их эквивалентно-
сти тоже применил эту аксиому (с. 70).
На следующей странице он высказал аналогичные со-
ображения для случаев, когда одно из чисел а, А или оба
равны + эо> и завершил § 33 словами: «Итак, для важного
в анализе понятия предела функции мы имеем два равно-
сильных определения; в зависимости от удобства мы будем
пользоваться то тем, то другим из них» [21, с. 71].
При рассмотрении понятия функции нескольких пере-
менных (с. 229—230) отмеченная двойственность сохра-
няется и делается лишь замечание, что равносильность
двух определений предела устанавливается, как и в слу-
чае функций одного переменного.
Двойственность остается и при определении пределов
интегральных сумм. С одной стороны, число I названо
пределом интегральных сумм
о = (Bi) Ди.
i=0
если последовательность значений о, отвечающая любой
основной последовательности разбиений промежутка ин-
тегрирования, всегда стремится к I при произвольном
выборе точек С другой, эти суммы имеют тот же предел
I, если для всякого е 0 найдется такое 6> 0, что, как
только X <; 6 (т. е. промежуток интегрирования на час-
ти с длинами Дх, 6), неравенство
|<т — 7| <е
выполняется при любом выборе точек (с. 322).
Про доказательство равносильности данных определе-
ний сказано лишь (с. 322), что оно может быть проведено
в том же порядке идей, что и для пределов функции.
Все та же двойственность сохраняется и при определе-
нии дуги плоской кривой (с. 370—371). После этого сле-
дует фраза: «Равносильность этих определений устанавли-
вается как обычно» (с. 371).
179
Анализируя затем сам предельный переход в опреде-
лении дуги плоской кривой (с. 372), автор еще расщепляет
его на два: совершаемый при стремлении к нулю наи-
большего из звеньев ломаной и при стремлении к нулю
наибольшей из разностей А/г- = 7i+1 — tt значений пара-
метра t в параметрическом задании кривой. Здесь он не
ограничивается ссылкой на предшествующие рассужде-
ния для оправдания равносильности этих предельных пе-
реходов, а специально доказывает для этой цели две леммы,
в одной из которых непосредственно применяется аксиома
выбора и используется лемма Больцано — Вейерштрасса
о сходящейся к конечному пределу подпоследовательно-
сти у ограниченной последовательности (о последней лем-
ме речь будет далее).
При рассмотрении длины дуги пространственной кри-
вой дана лишь формула для длины да высказано утверж-
дение, что «на этот случай переносится, почти без изме-
нений, все сказанное относительно случая плоской кри-
вой» (с. 378).
Подчеркнем важность аксиомы выбора во всех этих
случаях. Без нее определения предельной точки и точки
сгущения, предела функции через пределы последователь-
ностей и на языке е — 6, интеграла и длины дуги яв-
ляются существенно различными. При их изучении,
в случае отсутствия этой аксиомы, уже нельзя было бы
«в зависимости от удобства» пользоваться то тем, то другим
из них. Более того, перед нами появились бы два разных
определения предела функции, два разных определения
интеграла и т. д., и при доказательстве многих теорем
пришлось бы изобретать особые способы рассуждений.
Проиллюстрируем это примером теорем о пределах
функции. Г. М. Фихтенгольц в § 40 (с. 84—85) доказал ос-
новные теоремы о пределах последовательностей. Затем,
сформулировав (с. 88) аналогичные теоремы для пределов
функций, он замечает: «Все эти теоремы можно было бы
доказать аналогичным образом... но — и это важно под-
черкнуть — на деле вовсе нет необходимости их передо-
казыватъ. Если, говоря о пределе функции, стоять на
„точке зрения последовательностей", то, поскольку для
переменных, зависящих от указателя п [т. е. для после-
довательностей.— Ф. 717.], теоремы доказаны, они верны
и для функций в общем случае» (с. 88). И он их не передо-
казывает.
180
Однако без принятия аксиомы выбора так поступать
было бы нельзя. II это остается верным не только для пре-
делов функций в общем виде, но и для конкретных приме-
ров. Так, при рассмотрении предела
е = lim (1 -f- z)1/x
Г. М. Фихтенгольц пользуется (с. 102—103) «языком по-
следовательностей». Изучение того же предела на чистом
«языке е — 6», видимо, было бы более трудным.
Перейдем теперь к ситуации с упомянутой леммой
Больцано — Вейерштрасса.
Г. М. Фихтенгольц доказывает ее так (с. 105—106).
Пусть числа хп бесконечной последовательности {.гп}
заключены между а и Ь. Промежуток [a, fe] делится попо-
лам. Тогда в одной из половин содержится бесконечное
множество элементов последовательности {хп}. Пусть
[щ. Ьг] будет той из половин, в которой содержится беско-
нечное число чисел хп. Пз [an tj] аналогично выделяется
его половина [a.,, fe2J и т- Д- Получается система вложен-
ных промежутков, и применение соответствующей леммы
позволяет заключить, что lim = lim — с. Теперь
А'—*ОО к—»ОС
сходящуюся последовательность он строит так.
«В качестве 24, возьмем любой (например, первый) из
элементов хп нашей последовательности, содержащихся
в (й1, Ьг]. В качестве а?Пг возьмем любой (например, пер-
вый) из элементов хп, следующих за хП1 и содержащихся
в 1я2> и т- Д- Вообще, в качестве хП)_ возьмем любой
(например, первый) из элементов хт следующих за ранее
выделенными xriv хп„,.. хПк и содержащихся в [щ,
Возможность такого выбора, производимого последо-
вательно, обусловливается именно тем, что каждый из
промежутков [я/,-, fr;,] содержит бесконечное множество
чисел хп, т. е. содержит элементы хп со сколь угодно боль-
шими номерами.
Далее, так как
и lira= limbs = с,
то по теореме 3), п° 38, и lim ггПд = с, что и требовалось
доказать» [21, с. 106].
Здесь аксиома выбора применяется дважды. Во-пер-
вых, при последовательном продолжении делений проме-
181
жутка используется, как мы уже говорили, расселовская
версия аксиомы выбора. Во-вторых, при построении под-
последовательности производится выбор элементов
в соответствии с другой — счетной версией этой аксиомы.
Г. М. Фихтенгольц, кажется, хотел мимоходом указать
на возможность избежать последней, отмечая в скобках,
что можно брать первый из тех хп, которые следуют за
выделенными ранее и содержащимися в [щ-, Ьц\. Но взя-
тие первого элемента в рассматриваемом множестве пред-
полагает его вполне упорядоченность. Поскольку же {.тп}
произвольна, то тем самым требуется вполне упорядочен-
ность всякого счетного множества, а это — один из экви-
валентов счетной версии аксиомы выбора [22, с. 108].
При обобщении рассматриваемой леммы па ограничен-
ные последовательности точек евклидова пространства
любого конечного числа измерений Г. М. Фихтенгольц
существенно пользуется (с. 239) ее одномерным случаем.
Метод доказательства теоремы об обращении в нуль
непрерывной функции со значениями разных знаков на
концах промежутка (с. 128—130) аналогичен, и нам нет
здесь нужды говорить об этом, так как о нем уже шла речь
при рассмотрении доказательства Коши. Г. М. Фихтен-
гольц доказал указанную теорему лишь для одного опре-
деления непрерывности, хотя ввел два.
Что касается этих двух определений, то мы уже гово-
рили о них в связи с доказательством Э. Гейне. В них на-
лицо та же самая двойственность, которую мы охаракте-
ризовали выше для некоторых других основных понятий
анализа. Но если тогда Г. М. Фихтенгольц или непосред-
ственно применял аксиому выбора, или явно ссылался
на предшествующие рассуждения, содержавшие ее, вы-
деляя двойственность соответствующих определений п
указывая на их равносильность, то в § 60. в котором сфор-
мулированы различные определения непрерывности функ-
ции в точке, это почти не делается (есть лишь отсылка
к § 33—34 на с. 118, причем в скобках). Фактически же он
поступает далее так же, как и с понятием предела функции:
рассматривает эти два различных определения непрерыв-
ности как равносильные и применяет в зависимости от
обстоятельств то одно из них, то другое, а то и оба вместе
при доказательстве одного и того же предложения. На-
пример, непрерывность суммы, разности, произведения
и частного непрерывных функций, а также непрерывности
182
целой и дробной рациональной функции устанавливается
(с. 120—121) на основании последовательностного опре-
деления непрерывности (путем ссылки на теоремы о пре-
делах функций, так доказанных ранее); теорема же о су-
перпозиции непрерывных функций доказывается (с. 123)
на «языке е — б».
При доказательстве теоремы о равномерной непрерыв-
ности (с. 138—139) Г. М. Фихтенгольц обращается к ак-
сиоме выбора трижды; непосредственно применяет ее при
построении нужной ему последовательности, опирается
па лемму Больцано — Вейерштрасса о сходящейся под-
последовательности у построенной ограниченной последо-
вательности (доказанной, как уже говорилось, при помощи
аксиомы выбора), использует оба определения непрерыв-
ности функций как равноправные. Многомерный случай
трактуется аналогично (с. 241—242).
Чтобы сократить последующее изложение, введем нуме-
рацию предложений. Начнем с части уже рассмотренных.
1. Определения точки сгущения и предельной точки.
2. Определения предела функции.
3. Лемма Больцано — Вейерштрасса, о сходящейся
подпоследовательности.
4. Определения непрерывности функции.
5. Теорема о непрерывной функции со значениями раз-
ных знаков на концах промежутка.
6. Теорема о равномерной непрерывности.
Далее мы будем указывать главным образом косвен-
ные применения аксиомы выбора все в той же книге
Г. М. Фихтенгольца, т. е. применения через использование
предложений, доказанных с ее помощью.
7. Принцип сходимости Больцано — Коши (с. 107—
108); доказывается с использованием леммы п. 3.
8. Теорема о необходимых и достаточных условиях су-
ществования предела функции (с. 108—110); используют-
ся оба определения п. 2, применяется теорема п. 7.
9. Теорема о промежуточном значении непрерывной
функции (с. 131); основывается на теореме п. 5.
10. Следствие о заполнении значениями непрерывной
функции некоторого промежутка (с. 131—132); доказы-
вается па основании теоремы п. 9.
11. Теорема о существовании обратной функции у не-
прерывной монотонной функции (с. 132—133); доказы-
вается с обращением к следствию п. 10.
183
12. Теорема Вейерштрасса об ограниченности множе-|
Ства значений непрерывной функции одного переменного
на замкнутом промежутке (с. 134); доказывается с помощью
леммы п. 3. Многомерный случай трактуется аналогично
(с. 240).
13. Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной
функцией одного переменного граней множества ее зна-
чений (с. 135); доказывается па основании теоремы п. 12.
Про теорему в многомерном случае сказано лишь, что опа
доказывается совершенно так же (с. 240).
14. Теорема о производной обратной функции (с. 149—
150); в само условие включена теорема п. 11.
15. Теорема Ролля о существовании промежуточной
точки, в которой обращается в нуль производная непре-|
рывной функции (с. 178—179); доказывается на основа-
нии теоремы п. 13.
16. Теорема Лагранжа о существовании промежуточ-
ной точки, в которой справедлива формула
—bZfaa}
доказывается на основании теоремы п. 15.
17. Теорема Коши о конечных приращениях:
(с- 182-183);
g(b) — g(a) g (с)
в доказательстве используется теорема п. 15.
18. Формула Тейлора с дополнительным членом в фор-
ме Лагранжа (с. 185—187); при получении используется
теорема п. 17. Вывод многомерной формулы (с. 2G6—2G8)
опирается на формулу для одномерного случая.
19. Достаточность условия f (х) 0 для того, чтобы
функция f (х) была постоянной на промежутке (с. 195);
доказывается с использованием теоремы п. 16.
20. Следствие предыдущего: если /' (z) = gr (х), то
/ (х) = g (х) + С (с. 195—196); доказывается на основа-
нии теоремы п. 16.
21. Достаточность условия /' (,т) _> 0 для монотонно-
сти (с. 196—197); устанавливается при помощи теоремы
п. 16.
22. Три теоремы о раскрытии неопределенностей
(с. 210—214); все доказываются с использованием теоремы
п. 17.
184
23. Теорема о равенстве непрерывных смешанных про-
изводных (с. 261—262); используется теорема п. 16.
24. Теорема о представлении всякой первообразной
функции / (х) в виде F (х) + С, где F (х) — некоторая ее
первообразная (с. 280); доказывается с использованием
следствия п. 20. Отсюда вытекает, что аксиома выбора
косвенно входит в само определение понятия неопреде-
ленного интеграла как функции F (х) + С.
25. Теорема Ньютона — Лейбница (с. 283); в ее гео-
метрической трактовке автор пользуется теоремой п. 13,
а в аналитической — теоремой п. 24.
26. Интегрирование рациональных дробей (с. 299 —
304); в основе изложения вопроса лежит теорема о суще-
ствовании корня у многочлена, вообще доказываемая
с применением аксиомы выбора или одного из ее эквива-
лентов; к тому же речь идет о неопределенных интегралах,
вводимых в соответствии с замечанием к п. 24.
27. Теорема об интегрируемости непрерывной функции
(с. 327); доказывается на основании следствия из теоремы
п. 6.
28. Теорема об интегрируемости функции с конечным
числом точек разрыва (с. 327—328); доказательство опи-
рается на теорему п. 27.
ь
29. Формула / (л) dr = (b — a)f (с) для непрерывной / (х)
а
(с. 334); при выводе используются теоремы п. 13, 9.
30. Выражение длины дуги интегралом (с. 372—374);
используется теорема п. 27.
Сказанным, разумеется, не исчерпываются все косвен-
ные применения аксиомы выбора в рассмотренной книге.
Поскольку, например, большая часть упражнений пред-
назначена для иллюстрации содержащихся в ней теорети-
ческих утверждений, то и они связаны с этой аксиомой,
хотя и более отдаленно.
Аналогичное перечисление можно было бы продолжить
и для второго тома книги Г. М. Фихтенгольца [211; для
краткости мы опускаем это.
Подведем некоторые итоги.
В рассмотренной книге Г. М. Фихтенгольца мы нахо-
дим ряд двойственных понятий: предельной точки и точки
сгущения; предела функции, вводимого через сходящиеся
последовательности и через окрестности; предела инте-
185
гральных сумм, определяемого через последовательно-
сти разбиений промежутка интегрирования и при помощи
языка е — 6; непрерывности функции по Коши и по Гейне
и т. д. Этот перечень можно было бы продолжить, если
выйти за пределы указанной книги. Например, понятие
замкнутого множества можно определить и через предель-
ную точку, и через точку сгущения; получается два разных
определения замкнутого множества, эквивалентность ко-
торых опять-таки можно установить лишь с помощью
аксиомы выбора. Аналогично обстоит дело с понятиями
совершенного множества, замыкания и т. п., т. е. отмечен-
ная двойственность присуща не только классическому
анализу, но и топологии, теории функций, функциональ-
ному анализу и т. д. Она возникает вследствие использо-
вания двух различных математических языков — языка
последовательностей и языка е — 6. Во всех подобных
случаях применений аксиомы выбора можно, видимо, из-
бежать только при условии, что все вводимые определения
и осуществляемые рассуждения будут описываться строго
на одном из этих языков. Но тогда без аксиомы выбора
получаются по крайней мере две различные теории анали-
за, хотя их и вряд ли будет возможным построить в чистом
виде.
Но этим применения аксиомы выбора в математиче-
ском анализе не исчерпываются. Рассмотренный метод
последовательного деления, а также использование основ-
ной теоремы алгебры находятся, кажется, вне рамок
только что очерченной схемы. Наверно, имеются и другие
применения.
Картина еще более усложняется при переходе от ана-
лиза к теории множеств, топологии, функциональному
анализу, алгебре и т. д. Это, однако, выходит за пределы
настоящей статьи.
В заключение несколько слов об отношении к аксиоме
выбора. Говоря о книге Г. М. Фихтенгольца, мы отметили,
что слова «аксиома выбора» в ней не упоминаются. Так
обстоит дело не только здесь. Со времени нападок Э. Боре-
ля, Э. Гобсона, Д. Пеано и других на аксиому Цермело со-
хранилось предубеждение, будто обращение к ней является
каким-то нечистоплотным приемом, и этого старательно
(но, как мы полагаем, безуспешно) избегают или делают
втихомолку. При этом возникает и ситуация, аналогич-
ная той, которая появилась бы при изложении школьной
186
геометрии без упоминания аксиомы параллельности.
Более того, если в геометрии еще можно выделить кусок
теории, известный под наименованием «абсолютной гео-
метрии», где аксиома параллельности не нужна, то подоб-
ного относительно цельного раздела классического мате-
матического анализа, в котором не применялась бы аксио-
ма выбора, по-видимому, не существует, если не иметь
в виду совсем узкие его разделы.
„I 11 Т Е Р А Т У Р А
1. Sierpiiiski ГР’. L’axiome de М. Zermelo et son role dans la the-
orie des ensembleset 1’analyse.— Bull. Acad. sci. Cracovie. Ser.
A, 1918, p. 97- 152; Oeuvres choisies, v. II. Warszawa; PWN —
ed. sci. pol., 1975, p. 208—255/Pyc. вар.; В. В'. Серпинский. Ак-
сиома Zermelo и ее роль в теории множеств и в анализе.— Мат.
сб., 1924, 31, с. 94—128.
2. Cassina U. Sul principio della scelta ed alcuni problem! dell’in-
finito.— Rend. Seminario mat. fis. Milano, 1936, 10, p. 53—81;
Reproduzione: U. Cassina. Critica dei principii della mathematica
e questioui di logica. Roma: ed. Cremonese, 1961, p. 225—260.
3. Peano G. Formulario mathematico, t. V. Torino, Rocca. 1908/
/Мы ссылаемся на извлечение оттуда: «I teoremi di Peano sui sis-
temi di equazioni differenziali ordinarie nel «Formulario mathe-
matico».— Opere scelte di G. Peano. Roma: ed. Cremonese, 1957,
v. 1, p. 171—194.
4. Hilbert L>., Bernays P. Grundlagen der Mathematik. Berlin:
Springer, Bd. 1. 1934.
5. Cantor G. Uber unendliche lineare Punktmannifgaltigkeiten.
N 6.— Math. Ann., 1884, 23, S. 453—488; Ges. Abhandl. Berlin:
Springer, 1932, S. 210—244.
6. Levi A. Axiome of multiple choice.— Fund. Math., 1962, 50,
p. 475—483.
7. Cauchy A. L. Cours d’analyse de 1’Ecole Royale Polytechnique.
lre partie. Analyse algebrique. Paris, 1821 Рус. пер.: Ноши О. Л.
Алгебраический анализ. Leipzig, 1864.
8. Heine Е. Die Elemente der Functionenlehre.— J. reine und an-
gew. Math., 1872, 74, S. 172—188.
9. Bussell B. On some difficulties in the theory of transfinite num-
bers and ordered types.— Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 1907,
4, p. 29—53.
'0. Pincherle S. Saggio di una introduzione alia teoria delle funzione
analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass.— Giorn.
mat.. 1880. 18. p. 178—254, 317—357.
11. Genoccbi A. Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale,
publicato con aggiunte del Dr. Giuseppe Peano. Torino, Восса,
1884/Pyc. пер. H. С. Спнеокова: Genocchi А. Дифференциальное
исчисление и основы интегрального исчисления. Киев — Пе-
тербург — Харьков; Южно-Русское книгоиздательство, 1903.
Кроме того, имеется русский перевод этой книги, выполненный
187
К. А. Поссе: Дженокки А. Дифференциальное исчисление и на-
чала интегрального псчпсленпя/Изд. с доп. и прим. Пеано
Пг.: Изд-во АН, 1922.
12. Kennedy Н. С. Giuseppe Peano. Basel: Birkhauser, 1974.
13. Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. To-
rino, Восса, 1887.
14. Peano G. Lezioni di analisi infinitesimale. Torino: Candetti, 1893,
v. II.
15. Медведев Ф.А. Развитие теории мноясеств в XIX веке. M.J
Наука, 1965.
16. Zermelo Е. Uber das Mass und die Diskrepanz von Punktmen-
gen.— J. reine und angew. Math.. 1927, 158, S. 154—167.
17. Cantor G. Ges. Abhandl. Berlin: Springer, 1932.
18. Peano G. Demonstration de I’integrabilite des equations difle-
rentilles ordinaires.— Math. Ann., 1890, 37, S. 182—228; Opere
scelte. Roma: ed. Cremonese, 1957, v. I, p. 119—170.
19. Peano G. Super theorema de Cantor — Bernstein.— Rev. Math.,
1902—1906, 8, p. 136—143.
20. Лузин II. Н. Современное состояние теории функции действи-
тельного переменного.— Собр. соч., т. II. М.: Изд-во АН
СССР, 1958, с. 494—536.
21. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. I.
М.: Гостехиздат, 1956.
22. Sierpinski W. Cardinal and ordinal numbers. Werszavva: PWN—
ed. sci. pol., 1965.
И. Г. ЛАМБЕРТ
(к 250-летию со дня рождения)
И. Г. ЛАМБЕРТ И Л. ЭЙЛЕР1
А. П. Юшкевич
Выдающегося математика, астронома и философа
XVIЛ в. Ламберта называют во Франции Жан-Анри
Ламбер (Jean-Henri Lambert), а в странах немецкой речи
Иоганн-Генрих Ламберт (Johann-Heinrich Lambert). Мы
будем следовать принятому у нас немецкому произноше-
нию. Сам Ламберт свободно владел обоими языками и
писал свои труды как на них, так и на латыни, материн-
ским же языком его был эльзасский диалект, разновид-
ность старонемецкого, на котором и теперь говорят в его
родном городе Мюлузе, находящемся в Эльзасе. Предки
Ламберта, бывшие кальвинистами, переселились из
Пфальца в Мюлуз еще около 1624 г. Если учесть сложные
политические судьбы Мюлуза, бывшего тесно связанно-
го и с Францией, и с Германией, и со Швейцарией,
а в XVIII в. представлявшего собой нечто вроде вольного
города с собственным самоуправлением, то было бы не-
справедливо — как это делают различные авторы — на-
звать Ламберта французом, немцем или швейцарцем,
хотя в некотором смысле он был и тем, и другим, и треть-
им. Определение национальной принадлежности в неко-
торых случаях оказывается задачей, не имеющей одно-
значного решения. Единственное, что можно сказать
с полной определенностью,— это что Ламберт был уро-
женцем Эльзаса, и притом города Мюлуза. Мы присоеди-
няемся в этом вопросе к лучшему современному знатоку
жизни и творчества Ламберта, проживающему в Мюлу-
зе,— профессору Р. Жакелю (см. [1, с. 123—139]).
В истории науки имена Ламберта и Эйлера тесно
связаны. Ученые почти с универсальными интереса-
ми, они нередко занимались в течение более 20 лет
1 Данная статья представляет собой несколько расширенный текст
доклада автора на Международном симпозиуме памяти Ламберта,
состоявшемся в Мюлузе 26—30 сентября 1977 г.
189
близкими вопросами. В 1758—1763 гг. они переписыва-
лись, а в 1764—1766 гг. работали бок о бок в Берлине.
Судьба Эйлера (1707—1783) сложилась более благо-
приятно, чем Ламберта. Сын пастора в Базеле (который,
между прочим, расположен всего в 30 км от Мюлуза),
Эйлер здесь окончил университет, и его первыми шагами
в области высшей математики руководил Иоганн I Бер-
нулли. В 20 лет Эйлер стал адъюнктом и в 23 года профес-
сором Петербургской академии наук. Отныне его положе-
ние в Петербурге, затем в 1741 —1766 гг. в Берлинской
академии наук, а после того опять в Петербурге было
до самой смерти неизменно в высшей степени почетным и
хорошо вознаграждаемым. Ламберт родился 26 августа
1728 г. в семье простого портного, обремененного большой
семьей: в 1747 г., когда глава семьи скончался, в ней было
семеро детей. Посещать школу И. Г. Ламберт смог всего
до 12 лет, успев приобрести только самые элементарные
познания. Родители отозвали его, чтобы он помогал
по дому и в работе. В «Похвальном слове г. Ламберту»
(Eloge de М. Lambert) Ж. Формея, непременного секре-
таря Берлинской академии наук в 1748—1797 гг., хорошо
лично знавшего Ламберта, говорится, что последний в те-
чение нескольких лет «попеременно выполнял обязанно-
сти ученика и служанки» 12, т. I, с. 3]. Но науки привле-
кали мальчика, затем юношу с непреодолимой силой.
В свободные вечерние и ночные часы он самоучкой овладе-
вал знаниями, в том числе языками. Превосходный по-
черк и счастливый случай позволили ему занять в 15 лет
секретарскую должность на одном промышленном пред-
приятии, затем в 17 лет — в редакции базельской газеты
и в 18 лет — место воспитателя трех детей 7—11 лет
в семье вельможи, графа Пьера де Салис, проживавшего
в швейцарском городке Куре. В этой должности Ламберт
проработал десять лет, непрестанно пополняя свое обра-
зование чтением. В 1756—1758 гг. он предпринял с двумя
старшихми учениками общеобразовательную поездку по
нескольким странам, посетив Гёттинген, Утрехт, Гаагу,
Лейден, Париж, Марсель, Ниццу, Турин и Милан. Всюду
он завязывал знакомства с местными учеными, такими, как
математик А. Г. Кестнер, астроном Т. Майер, физик П. ван
Мушенбрек, Ж. Даламбер и др. Вскоре после возвраще-
ния в Кур, в мае 1759 г., Ламберт расстался с семьей де
Салис, чтобы всецело отдаться научной деятельности.
190
В 1755 г. Ламберт опубликовал в швейцарском журна-
ле «Acta Helvetica» свою первую статью — об измерении
нагретых тел. Его знания и дарования обращали на себя
внимание повсеместно. Он был выбран членом Научного об-
щества в Базеле, поручившего ему вести метеорологические
наблюдения. Вслед за тем избрало его членом-корреспон-
дентом Гёттингенское научное общество. Далее он принял
деятельное участие в организации Баварской академии
наук в Мюнхене и в 1761 г. стал ее иногородним членом;
однако сотрудничество с этой академией было недолгим,
и из-за некоторых разногласий он в 1762 г. с нею расстал-
ся. Несколько лет Ламберт прожил в Куре, нередко вы-
езжая в другие города. В 1760 г. в Аугсбурге вышла его
«Фотометрия, или Об измерении и степенях света, цвета
и тени» (Photometria, sive de mensura et gradibus luminis,
coloris et umbrae), доставившая ему широкую известность.
Он положил начало этой новой тогда отрасли физики вслед
за французским ученым П. Буге, и один из главных зако-
нов взаимодействия света со средой, через которую он
проходит, носит имена обоих ученых. В «Фотометрии»
Ламберт установил ряд законов, выражающих силу света
различных освещенных поверхностей, и привел свои
данные о яркости небесных светил при разных условиях;
эти вопросы занимали и Эйлера. Год спустя в том же
Аугсбурге вышел другой важный труд Ламберта — «Кос-
мологические письма об устройстве мироздания» (Kosiho-
logische Briefe uber die Einrichtung des Weltbaues, 1761),
в котором развивается мысль, что Млечный Путь является
звездной сверхсистемой, состоящей из многих звездных
систем,— мысль, которую подтвердили затем наблюдения
У. Гершеля и позднейшие исследования.
В январе 1764 г. Ламберт переселился в Берлин, на-
деясь быть принятым в состав здешней академии наук.
Своим иностранным (т. е. проживающим вне Пруссии)
членом Берлинская академия избрала Ламберта по
инициативе Эйлера еще 9 апреля 1761 г., когда он жил в
Аугсбурге, но король Фридрих II не утвердил тогда это из-
брание [3, с. 266—267]. И в этот раз не все протекало глад-
ко. Одной из причин явились манеры и характер Ламбер-
та. За десять лет, прожитых в семье знатного дворянина,
Ламберт не приобрел светского лоска, а вместе с тем от-
личался немалой самоуверенностью. Когда Фридрих II
пожелал, чтобы ему представили вновь приехавшего
191
ученого, между ними состоялся примерно такой диалог:
Король: Добрый вечер, сударь. Будьте любезны ска-
зать мне, какие науки Вы изучили более всего.
Ламберт. Все.
Король. Таким образом, Вы и искусный математик?
Ламберт. Да.
Король. А какой профессор обучал Вас математике?
Ламберт. Я сам.
Король. Так выходит, что Вы — второй Паскаль.
Ламберт. Да, Ваше величество.
На этом, по рассказам современников, разговор обор-
вался, так как король отвернулся от ученого [4, с. 26—28].
Все же 10 января 1765 г. Ламберт по указанию Фрид-
риха II был избран действительным членом академии
по классу физики [3, с. 306], и лишь теперь, на 38-м году
жизни, его социальное положение было обеспечено.
Впоследствии король сумел оценить дарования и неуто-
мимую энергию Ламберта и в 1770 г. назначил его членом
Главного строительного управления с титулом главного
советника по строительству — Oberbaurat. В течение
12 лет Ламберт активно работал в разных областях зна-
ния — математики, физики, математической логики и
философии. Ламберт был не только выдающимся ученым,
но и хорошим организатором. Он доказал это уже при
образовании Баварской академии наук. В Берлине он
стал инициатором издания «Berliner astronomisches Jalir-
buch oder Ephemeriden» п содействовал созданию и работе
местной обсерватории. Для нужд астрономии он составил
ценные логарифмически-тригонометрические таблицы.
В общей сложности он подготовил за это время около
150 работ. Он умер в Берлине 25 сентября 1777 г., став,
по-видимому, жертвой самолечения, ибо, заболев, не по-
желал обратиться к врачам. Незадолго перед смертью
Ламберту исполнилось всего 49 лет. Эйлер умер шесть
лет спустя в возрасте 76 с половиной лет.
В дальнейшем речь идет о прямых или косвенных кон-
тактах Ламберта с Эйлером почти исключительно в обла-
сти математики. Многие сочинения Эйлера мы обозначаем
только их номерами по указателю Энестрема, кото-
рый с несущественными сокращениями воспроизведен
в книге [5, с. 352 — 387]. Рядом с каждым номе-
ром там указаны серия и том Полного собрания
сочинений Эйлера (Leonhardi Euleri Opera omnia).
192
в котором напечатан соответствующий труд; при этом ука-
заны и русские переводы. В некоторых случаях мы ссы-
лаемся в тексте на это издание сочинений Эйлера, выхо-
дящее с 1911 г., но не вполне завершенное, обозначая его
двумя буквами ЕО.
С января 1752 г. и до конца жизни Ламберт вел днев-
ник, в котором очень коротко отмечал темы своих занятий,
интересовавшие его задачи, прочитанные сочинения и т. д.
Этот дневник, изданный К. Боппом с ценными поясне-
ниями, под названием «Monatsbiich», т. е. «Ежемесячник»
[6] —оригинальный текст не имеет заглавия,— позволяет,
по крайней мере частично, проследить за тем, какие труды
Эйлера в то или иное время читал Ламберт. По выраже-
нию, приписываемому Лапласу, Эйлер был общим учи-
телем всех математиков своего времени, это относится и
к Ламберту.
Мы используем дневпик только за первые десять лет,
этого для наших целей достаточно. Заметим, что в неко-
торых случаях имя Эйлера не называется, но ясно, что
речь идет о его трудах. К тому же не следует упускать
из вида, что Ламберт упоминает здесь только сочинения,
специально интересовавшие его в момент записи. Сведе-
ния, почерпнутые из дневника, пополняются нами други-
ми данными.
Имя Эйлера впервые появляется в дневнике за май
1754 г. в записи: «Продолжал заниматься приемом инте-
грирования с помощью логарифмов, поясняя, как инте-
грируются в духе Эйлера дифференциалы рациональных
дробей» [6, с. 13]. Здесь имеются в виду статьи Эйлера
Е162 и Е163 (ЕО, серия 1, т. 17), опубликованные в 1751 г.
В ноябре 1755 г. Ламберт упоминает о чтении сочинения
Эйлера по теории комет [6, с. 16], вероятно, речь идет
о книге Е66 (ЕО, серия 2, т. 28), изданной в 1744 г. и по-
священной проблеме определения орбит комет и планет
по нескольким наблюдениям. Определение орбит комет
долгое время интересовало Ламберта. Эта проблема, ин-
терес к которой в середине пятидесятых годов обострился
в связи с ожидавшимся в конце 1757 г. возвратом кометы
Галлея (на самом деле это произошло, в близком согласии
с расчетами А. К. Клеро, в конце зимы 1759 г.), упоми-
нается в дневнике в марте 1756 г., июне 1757 г., фев-
рале 1758 г., в июле, августе, сентябре и декабре 1760 г.
и в январе и феврале 1761 г. [6. с. 17, 19, 20, 22—23].
7 Заказ Ai 2436
193
Она обсуждалась и в переписке Ламберта с Эйлером, из-
данной тем же К. Боппом [7], именно в письмах Ламберта
от 6 февраля, 24 марта и 26 июня и ответах Эйлера от
25—28 апреля и 18 августа 1761 г. [7, с. 18—19, 21—27].
Исследования Ламберта в этой области, примыкая к со-
чинению Е66, вместе с тем содержали новые результаты.
Получив книгу Ламберта «Замечательные свойства орби-
ты комет» (Insigniores orbitae cometarum proprietates),
напечатанную в 1761 г. в Аугсбурге, Эйлер писал ему
28 апреля того же года: «Могу Вас заверить, сударь, что
был совершенно поражен красотой открытий, находя-
щихся в этом сочинении» и далее: «Я вижу, что этот во-
прос потребует от меня многих исследований, прежде чем
я сумею углубить (approfondir) все эти замечательные
свойства» [7, с. 21—22]. О чрезвычайно высокой оценке
Эйлером дарований Ламберта свидетельствуют такие иро-
нические слова из письма Фридриха II Даламберу, на-
писанному в начале 1765 г. (ответ Даламбера датирован
1 марта): «...Ламберт — это караиб или какой-нибудь
дикарь из кафрских краев. Между тем вся Академия,
включая Эйлера, перед ним преклоняется...» [8, с. 392].
Хотя, как сказано, мы ограничиваемся здесь сопоставле-
нием математических работ Ламберта и Эйлера, в данном
случае стоит сделать небольшое отступление в область
астрономии. Среди других вопросов Эйлер решил в Е66
задачу об отыскании промежуточного положения кометы
(или планеты) в данный момент времени по двум данным,
близким ее положениям и промежутку времени-. Именно
это решение стало отправным пунктом исследований по
теории орбит Ламберта, а затем Ж. Л. Лагранжа, В. Оль-
берса и других ученых. Впоследствии в случае параболи-
ческой орбиты основное значение получила теорема, вы-
ражающая интервал времени t2 — tx через сумму соответ-
ствующих радиус-векторов г2, и соединяющую их концы
хорду $:
6к (t2 — ^) = (гх + r2 + s)‘k — (rj + r2 — s)3"
(к — постоянная тяготения). Приведенная теорема содер-
жалась уже в сочинении Эйлера Е58, изданном в 1743 г.
(ЕО, серия 2, т. 28) и, по-видимому, неизвестном Ламбер-
ту, когда он писал свой труд о кометах. Во всяком случае,
Ламберт выводит здесь эту же теорему по-повому, а глав-
ное использует ее для определения геоцентрических рас-
194
стояний кометы в моменты наблюдений, чего Эйлер не
лелал; в этом за Ламбертом последовали затем В. Ольберс
(1797) и К. Ф. Гаусс (1813), улучшившие приемы вычис-
лений. Данную формулу называют то по имени Эйлера,
то по имени Ламберта. В том же сочинении Ламберт пошел
далее, распространив теорему на эллиптические орбиты,—
в этом случае интервал времени t2 — tA зависит, кроме
указанных радиус-векторов и хорды, еще от большой
полуоси. Теоремы Ламберта продолжают привлекать
интерес ученых вплоть до наших дней. Н. Е. Жуковский
в 1884 г. дал повое доказательство теоремы Ламберта;
М. Ф. Субботин в 1919 г. сообщил ей новую форму и ис-
пользовал в работах по определению орбит комет и пла-
нет, опубликованных в 1922—1924 гг. А. Д. Дубяго в сво-
ем руководстве «Определение орбит» (М., 1949) особо под-
черкивал роль Ламберта как предшественника Ольберса
[1, с. 55—78; 9, с. 287-290].
В декабре 1756 г. Ламберт записывает: «Читал малые
труды Эйлера, преимущественно по теории света» [6,
с. 18]. Речь, очевидно, идет о сборнике «Opuscula varii
argument!» Е80, изданном в 1746 г., и о сочинении Е88
(ЕО, серия 3, т. 5), в котором Эйлер изложил свою новую
теорию света и цветов. Оптические проблемы обсуждались
и в переписке Ламберта с Эйлером. О них говорится
в письмах Ламберта от 1 июля 1758 г., 15 января и 4 апре-
ля 1760 г. и в письмах Эйлера от 2 февраля и особенно от
20 мая 1760 г.— в последнем Эйлер расточает похвалы
«Фотометрии» Ламберта, вместе с тем указывая на много-
численные и грубые опечатки, допущенные нерадивым
корректором [7, с. 7—17; в частности, с 15].
В заметке, относящейся к февралю 1757 г., сказано:
«Читал „Анализ бесконечно малых1* Эйлера» [6, с. 18].
Через несколько месяцев, в мае того же года, Ламберт
записывает: «Сделал выписки из таблицы рефракции
ньютоновой „Оптики**, из различных формул суммирова-
ния рядов в „Дифференциальном исчислении** Эйлера и
задачи Ловица о проекциях карт в „Трудах космографи-
ческого общества**» [6, с. 18]. Вот поистине замечательное
разнообразие одновременных занятий! Мы пока что от-
метим, что в это время Ламберт читал и «Введение в анализ
бесконечных» Эйлера 1749 г. (Е101—102), и его же «Диф-
ференциальное исчисление» 1765 г. (Е212) (оба эти труда
имеются в русском переводе).
195
7*
В сентябре 1757 г. Ламберт прочитал опубликованную
в 1752 г. работу Эйлера о степенях света Солнца и других
небесных тел (Е178) [6, с. 19]. Этот вопрос обсуждался и
в переписке между обоими учеными — в письме Ламберта
от 1 июля 1758 г. и ответе Эйлера от 2 февраля 1760 г.
[7, с. 7—8, 10—11]. В том же месяце, размышляя над про-
блемами рефракции, Ламберт познакомился с сочинением
Эйлера (Е221) о различной преломляемости лучей света
в различных средах. Вместе с письмом от 1 июля 1758 г.
Ламберт переслал Эйлеру свое небольшое сочинение
«Свойства пути света в воздухе» (Propriet.es de la route de
la lumiere dans les airs), вышедшее только что в Гааге;
Эйлер в упомянутом ответе, на полтора года более позд-
нем, отозвался об этом труде с большой похвалой. В де-
кабре 1757 г. Ламберт вычисляет таблицу гиперболиче-
ских (натуральных) логарифмов различных чисел, исходя
из данных значений логарифмов нескольких чисел [6,
с. 19]. К этому его побудили скорее всего аналогичные
примеры во «Введении в анализ бесконечных» (Е101, т. 1,
§ 123) и в «Дифференциальном исчислении» (212, ч. II,
§ 80). Наконец, в ноябре 1761 г. Ламберт делает замеча-
ние, на этот раз по-немецки (все предыдущие написаны
на латыни): «Выдержка из „Теории движения Луны“
г. Эйлера» (Е187), вышедшее в 1753 г. [6, с. 24].
Нет нужды продолжать перечисление разнообразных
сочинений Эйлера, которые читал или просматривал Лам-
берт и либо цитировал, либо подразумевал в своем днев-
нике, сочинениях или письмах. Что касается переписки
Ламберта с Эйлером [7], начатой по инициативе первого,
то она посвящена главным- образом вопросам физики,
астрономии и механики. Мы особо выделим один обсуж-
давшийся в пей вопрос. Эйлер всегда стремился привле-
кать своих корреспондентов к интересовавшим его пробле-
мам. В данном случае речь идет о математической физике.
20 мая 1760 и 25 апреля 1761 г. Эйлер обращает внимание
Ламберта на замечательные мемуары Лагранжа о рас-
пространении звука, опубликованные в эти годы в двух
первых томах «Miscillanea Taurineesia» [7, с. 15—17,
20—21]. Ламберт смог познакомиться с этими мемуарами
лишь осенью 1761 г., когда побывал в Цюрихе. В его дневни-
ке за ноябрь 1761 г. сказано: «Выдержка из „Теории звука11
г. де ла Гранжа и применение этой теории к распростра-
нению тепла» [6, с. 24]. Несколько месяцев спустя, 12 июля
196
1762 г., Ламберт написал Эйлеру, что работа Лагранжа
о звуке «заслуживает всяческого внимания» и что Ла-
гранж дал «новый прием исчисления». При этом Ламберт
заявлял, что сам «принялся сокращать выражения»
с целью «придать этому исчислению его подлинный вид»:
«Чтобы придать ему всю краткость и все изящество, какие
только для него возможны и каких он заслуживает, по-
надобятся новые знаки и новые теоремы». Это, продолжал
Ламберт, «единственное средство познать наиболее общие
законы всякой сложной системы, каждая часть которой
зависит от всех других». Сам он, Ламберт, уже более
восьми лет назад рассматривал подобный случай, о кото-
ром как-либо расскажет в своем труде, по пирометрии.
«Речь идет об определении последовательного нагревания
или охлаждения системы различных тел, каким-либо об-
разом соприкасающихся между собой. Я пришел к цели
путем индукции и открыл законы, совершенно подобные
тем, какие г. де ла Гранж нашел для звука...» [7, с. 29—30].
В своем ответе от 4 декабря 1762 г. Эйлер, приведя ла-
гранжево линейное уравнение с частными производными
второго порядка для распространения звука и еще
уравнение колебания струны, подчеркнул их существенное
отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений,
рассматривавшихся ранее, и сделал несколько характер-
ных для него замечаний о природе произвольных функций,
входящих в решения такого рода уравнений. «Если,—
продолжал Эйлер,— Вы хотите глубже проникнуть в эти
тайны, Вы легко сведете Ваши исследования о тепле
к подобного рода уравнениям с тремя или большим чис-
лом переменных, особенно познакомившись с тем, как
я свел к подобного рода простым формулам всю Гидро-
динамику» [7, с. 32]. Эйлер имел в виду свои сочинения
Е225—227, изданные в 1757 г., и Е258, увидевшее свет
в 1761 г. (ЕО, серия 2, с. 12). Наконец, 7 марта 1763 г.
Ламберт выразил надежду, что открытия Лагранжа в об-
ласти уравнений с частными производными когда-нибудь
окажутся для него весьма полезными. К этому он при-
бавил: «Я уже несколько лет назад начал исследовать этот
метод, чтобы воспользоваться им для определения зако-
нов передачи и последовательного распределения тепла,
где необходимы по крайней мере три независимые друг от
друга переменные. Правда, я уже познал эти законы
с помощью других методов, но тот, который основан на
197
вторых разностях [т. е. дифференциалах.— А. Ю.], мне
представляется настоящим и наиболее аналитическим»
[7, с. 33].
Таким образом, в начале 60-х годов XVIII в. Эйлер и
Ламберт полагали, что уже возможно построить матема-
тическую теорию распространения тепла средствами тео-
рии уравнений с частными производными. На самом деле
физическая база для этого была недостаточной, и начала
такой теории были заложены лишь сорок лет спустя
Ж. Б. Фурье, который впервые вывел и дифференциальное
уравнение распространения тепла в твердом теле. Слова
Ламберта об исследованиях, проведенных им несколькими
годами ранее, вряд ли следует понимать в том случае,
что он тогда разрабатывал методы решения уравнений
с частными производными, во всяком случае это не под-
тверждается какими-либо печатными или рукописными
материалами. Кроме того, его, по-видимому, занимал во-
прос о передаче тепла в системе соприкасающихся тел,
а не о распространении тепла внутри сплошного твердого
тела, которым занялся Фурье, впоследствии распростра-
нивший задачу и на жидкости. Вместе с тем несомненно,
что задачи теории тепла живо интересовали Ламберта,
как и некоторых других ученых той эпохи. Одному такому
вопросу посвящена, как уже говорилось, его первая
публикация 1755 г., а последним его трудом, вышедшим
в Берлине вскоре после его смерти, явилась задуманная
двадцатью или более годами ранее «Пирометрия, или
О мере огня и тепла» (Pyrometrie oder von Maasse des
Feuers und der Warme, 1779), в которой содержатся не-
которые предварительные результаты об излучении и от-
ражении тепла, а также о его влиянии на органы чувств;
математическая часть этого сочинения не представляет
интереса.
В 60-е годы отношения между Ламбертом и Эйлером
принимают более тесный и личный характер. 27 ноября
1760 г. Эйлер прочитал в собрании Берлинской академии
наук [3, с. 262] письмо Ламберта от 15 января того же года
о его опытах над колебаниями в воздухе и в пустоте подве-
шенного на тонкой нити свинцового груза [7, с. 8—10,
41—43]. Ламберт полагал, что быстрое затухание колеба-
ний в пустоте говорит в пользу не только существования,
но и чувствительного эффекта эфира. В ответном письме
от 2 февраля [7, с. 11—12] Эйлер высказал мнение, что
198
такой вывод слишком поспешный и что прежде всего
надлежит тщательно проверить связь колебаний с упру-
гими свойствами нити, природа которых далеко не ясна,
а для этого нужно продолжить опыты, меняя материал
и длину нити, вес груза, способ подвешивания и т. д.
Вскоре после прочтения письма Ламберта на заседании
Берлинской академии, состоявшемся 2 апреля 1761 г.,
Эйлер предложил избрать Ламберта иностранным членом
академии, и неделю спустя эта кандидатура была едино-
душно одобрена. Эйлер сообщил об этом Ламберту 25 апре-
ля, добавив, что для высылки диплома требуется только
одобрение выбора королем. Это, разъяснял Эйлер, нов-
шество, введенное королем в связи с тем, что в академии
сейчас нет президента [7. с. 20]. Дело было в том, что по-
сле смерти П. Л. де Мопертюи в 1759 г. Фридрих II взял
на себя верховное управление академией. Как уже гово-
рилось, король не утвердил тогда избрание Ламберта,
о чем Эйлеру пришлось сообщить последнему 18 августа
1761 г., намекнув, что причиной задержки утверждения
служат «нынешние обстоятельства» [7, с. 25]. Эйлер имел
в виду трудное тогда положение Пруссии в ходе Семилет-
ней войны: Фридриху II действительно было в это время
не до академических выборов.
Как видно, в ходе переписки между обоими учеными
устанавливались добрые отношения, и Ламберт со своей
стороны не преминул оказаться полезным Эйлеру. При
выборе по поручению Баварской академии наук конкурс-
ной темы по физико-математическим наукам на 1762 г.
Ламберт обратился за советом к Эйлеру, несомненно
имея в виду, что в конкурсе примет участие либо сам
Эйлер, либо его старший сын Иоганн-Альбрехт (см. пись-
мо Ламберта от 6 февраля 1761 г., [7, с. 18]). 26 июня
1761 г. Ламберт подробно изложил свои соображения по
поводу двух вопросов небесной механики, которые пред-
ставлялись ему достойными внимания ученых, достаточно
трудными и вместе с тем разрешимыми [7, с. 23—25].
Ответ Эйлера от 18 августа того же года [7, с. 26] помог
Ламберту сформулировать тему, одобренную Баварской
академией; она гласила: «В каком отношении с силами,
действующими на Луну, находится ее среднее движение,
а также ее среднее расстояние от Земли» [6, с. 48]. На кон-
курс поступила только одна работа — Иогапна-Альбрехта
Эйлера. Этот мемуар (ЕА19), несомненно подготовленный
199
под руководством Эйлера-отца, был удостоен премии ц
напечатан в 1767 г. в трудах Баварской академии наук,
он переиздан в Полном собрании сочинений Эйлера (ЕО,
серия 2. т. 24).
В переписке Ламберта с Эйлером несколько раз затра-
гивался вопрос о возможном переходе Ламберта на работу
в Петербургскую академию наук. Мы его не касаемся,
так как он был рассмотрен в другом докладе на симпо-
зиуме в Мюлузе, также печатающемся в настоящем вы-
пуске «Историко-математических исследований».
В январе 1764 г. Ламберт, как уже говорилось, прибыл
в Берлин, и здесь его отношения с Эйлером приняли, по
крайней мере на время, вполне дружественный характер.
В октябре того же года они вместе посетили русского посла
князя В. С. Долгорукого, у которого находился тогда и
русский канцлер, граф М. И. Воронцов. Разговор шел
о намечавшейся реорганизации Петербургской академии
наук, причем, как писал Эйлер 10 ноября конференц-
секретарю этой академии Г. Ф. Миллеру, Ламберт изло-
жил свое мнение по этому вопросу (ср. дневник Ламберта
за октябрь этого года [7, с. 26]). В упомянутом письме мы
читаем:
«Я уже слышал кое-что о предстоящем новом устройст-
ве Академии, ибо князь Долгорукий получил распоряже-
ние собрать сведения об устройстве здешней Академии,
о чем я его полностью информировал. Так как г. Ламберт
составил план для Баварской академии, я привел его
к князю Долгорукому, которого он в этом отношении впол-
не удовлетворил, изложив пространный проект всех вы-
год, которых может ожидать государство от хорошо орга-
низованной академии, и того, каким образом ее члены
могут объединить свои силы для общей пользы. Такого
рода общности недостает почти во всех академиях, так
как обыкновенно достигается не более того, что каждый
стал бы делать для себя самого» [10, с. 2511. Два месяца
спустя, 9 января 1765 г., Эйлер вместе с Ламбертом были
на обеде у Долгорукого. Перед тем, 7 января, Эйлер из-
вестил Ламберта об этом приглашении запиской, добав-
ляя, что канцлер Воронцов просит Ламберта «соблагово-
лить ясно и четко изложить различие между старым и
новым стилем и доводы в пользу употребления того или
другого» (см. [7, с. 35—36] и дневник за январь 1765 г.
[6, с. 27, 54]). Добавим, что Эйлер разделял взгляды Лам-
200
берта на организацию работы академий и высказал сход-
ные соображения императрице Екатерине II, принявшей
его в августе 1766 г., вскоре после его возвращения в Пе-
тербург (ср. письмо Эйлера Миллеру от 20(9) августа
1766 г. 110, с. 263]).
Как раз на следующий день после обеда у Долгорукого
Ламберт был избран, наконец, действительным членом
Берлинской академии наук, о чем Эйлер специально
ходатайствовал перед Фридрихом II. Однако вскоре от-
ношения между обоими учеными ухудшились из-за раз-
ногласий в Комиссии, которой 7 марта 1765 было поручено
проверить финансовое положение Берлинской академии
и в которую вошли они оба. Эйлер считал желательным
сохранить руководство изданием календарей, которое
было важнейшим источником доходов академии, за преж-
ним комиссаром Д. Кёлером, а Ламберт настаивал на том.
чтобы Комиссия функционировала и впредь как постоян-
ный контролирующий орган [3, с. 75—76]. Во всяком слу-
чае, после отъезда летом 1766 г. Эйлера из Берлина
в Петербург его переписка с Ламбертом не возобновля-
лась, если исключить одно письмо Ламберта от 18 октя-
бря 1771 г., на которое по просьбе Эйлера ответил (2 фе-
враля) 22 января 1772 г. А. II. Лексель. К этим двум
письмам мы еще возвратимся.
Все же чувство взаимного уважения у обоих ученых
сохранилось, и Эйлер был готов сотрудничать с Ламбер-
том далее. В написанном по-фрапцузски «Плане восста-
новления императорской Академии наук», который
Эйлер представил вскоре после прибытия в Петербург,
он советовал пригласить «для механики хорошего геоме-
тра и физика, который руководил бы всеми механиками
и мастерами Академии. На эту дол/кпость я хотел бы реко-
мендовать г. Ламберта, в настоящее время состоящего
при Берлинской академии...» [11, с. 308]. Ламберт, как
известно, остался в Берлине, с тех пор он и Эйлер следили
каждый за исследованиями другого издалека, как ранее.
Одним из свидетельств продолжающегося внимания Лам-
берта к трудам Эйлера являются написанные им для не-
мецких журналов рецензии. Согласно К. Боппу, Ламберт
напечатал в 11 — 13-м томах «Allgemeine Deutsche Biblio-
thek» рецензии на первые два тома «Интегрального исчи-
сления» (Е342 и Е366, 1768—1769 гг.) п на немецкий
текст обеих частей «Полного введения в алгебру»
201
(Е387—388, 1770), а в 17-м томе на «Диоптрику» (Е367.
Е386, Е404, 1769—1771). По-видимому, Ламберту же при-
надлежит более ранний отзыв о «Дифференциальном ис-
числении» Эйлера (Е212, 1755), напечатанный в «Gottin-
ger Anzeigen» за 1757 г. [6, с. 63, 80].
Мы обратимся теперь к некоторым примерам связей
между математическими исследованиями Ламберта и
Эйлера. В одних случаях Ламберт использовал или раз-
вивал открытия Эйлера, в других они приходили к одина-
ковым или близким результатам, следуя каждый собствен-
ным путем; были также случаи, когда открытия Ламберта
становились отправным пунктом исследований Эйлера,
Лагранжа и других ученых.
Одним из наиболее известных открытий Ламберта яв-
ляется первое доказательство иррациональности чисел е
и л. В 1766 г. Ламберт написал статью «Предварительные
сведения для ищущих квадратуру круга и спрямление
круга» (Vorlanfige Kenntnisse fur die, so die Quadratur
und die Bectification des Circuls suclien, опубл, в 1770 г.;
см. [2, т. 1, с. 194—212]) 2 и вскоре затем представил Бер-
линской академии «Мемуар о некоторых замечательных
свойствах круговых и логарифмических трансцендентных
количеств» (Memoire sur quelques proprietes remarquables
des quantiles traiiscendantes circulaires et logarillimiques;
опубл, в 1768 г.; см. [2, т. 2, с. 112—159]). Эйлеру задолго
до того также доводилось заниматься проблемой квадрату-
ры круга, когда Петербургская академия наук получала
чьи-либо работы по этому вопросу. В частности, сказанное
относится к напечатанным в 1737—1738 гг. в Вене бро-
шюрам австрийского офицера II. II. К. Лейстнера, кото-
рый претендовал на то, что доказал равенство отношения
окружности к диаметру отношению двух квадратов
3844 : 1225 (об этом утверждении Лейстнера писал и Лам-
берт в первой из упомянутых работ). Эйлеру поручили
рассмотреть эти брошюры, и (20) 9 ноября 1739 г. он пред-
ставил конференции академии свои «Соображения о квад-
ратуре круга господина ротмистра Лейстнера» (Bedenken
fiber des Herrn Bittmeister Leistner Quadraturam Circuli),
рукопись на 15 листах, примерно 30 машинописных стра-
ниц. В этом документе, хранящемся в Ленинградском от-
делении Архива Академии наук СССР, имеется весьма
2 Эта работа имеется в русском переводе И2, с. 167—196].
202
любопытное утверждение: «Было бы даже легко доказать,
что [отношение] окружности к диаметру круга не может
быть выражено не только квадратными числами, но и
вообще рациональными числами» [13, с. 182]. Сомнитель-
но, чтобы Эйлер в это время уже располагал готовым до-
казательством, которое он в таком случае, вероятно, не
замедлил бы опубликовать, но можно полагать, что у него
имелась идея доказательства, связанная с некоторыми
найденными им разложениями в непрерывные дроби,
которыми он в то время занимался, и с одной высказанной
ранее Т. Фанте де Ланьи гипотезой, о которой мы упомя-
нем далее. Позднее, в I т. «Введения в анализ бесконеч-
ных» (1748), Эйлер высказался более сдержанно: «Поло-
жим, что радиус круга или полный синус = 1, при этом
достаточно ясно, что периферию этого круга рациональны-
ми числами выразить точно нельзя» [см. § 126]. Вообще
говоря, мысль об иррациональности л не была новой;
она встречается у многих авторов до Эйлера, начиная
с арабских ученых XI в. В том же томе «Введения в ана-
лиз бесконечных» Эйлер выдвинул знаменитое предполо-
жение, что логарифмы рациональных чисел при рацио-
нальном основании либо рациональны, либо трансцен-
дентны [см. § 105], не определив, впрочем, точно понятия
трансцендентного числа; трансцендентным количеством
здесь называется количество не рациональное и не ирра-
циональное, без уточнения смысла последнего термина.
Нам неизвестны какие-либо попытки Эйлера доказать
иррациональность л, что, по его словам, было бы легко
сделать. Во всяком случае, честь публикации первого
такого доказательства принадлежит Ламберту, а один
пробел в его рассуждениях был восполнен в 1800 г.
А. М. Лежандром. При этом Ламберт существенно опи-
рался на результаты Эйлера. Прежде всего Ламберт до-
казывает, что значение функции ех при рациональном
х 0 иррационально, а это предложение основано на
разложении в бесконечные непрерывные дроби числа е и
функции (е* — 1)/(еж -[- 1) 3. Затем с помощью разложе-
ния в непрерывную дробь tgrc он аналогично устанавли-
вает, что и эта функция при рациональном х 0 имеет
иррациональное значение, откуда в силу равенства
3 Заметим, что результат Ламберта получается пз степенного ряда
для еж почти теми же рассуждениями, как п в частном случае
х = 1.
203
tg (л/4) = 1 следует иррациональность л (именно это
свойство функции tg х высказал в одной статье, напеча-
танной в 1721 г., упомянутый Т. Фанте де Ланьи). Разло-
жения в непрерывные дроби, о которых идет речь, Ламберт
вывел в другой работе «Преобразование дробей» (Ver-
wandlung der Briiche), напечатанной в том же 1770 г.
что и «Предварительные сведения...» [2, т. 1, с. 133_138].
«Мысль же искать эти формулы,— писал Ламберт,— по-
дал мне «Analysts infinitorum» господина Эйлера, где
в виде примера вычисляется выражение
е — 1 1
~2 ~ 14-1
6 4-1_____
10+1
14+2______
18 и т. д.»
[12, с. 189]. По-видимому, Ламберт пе знал, что еще в пер-
вом труде Эйлера по теории непрерывных дробей (Е71),
представленном Петербургской академии в марте 1737 г.'
и опубликованном в 1744 г., содержались разложения в не-
прерывные дроби функций е1/» и (е1/-4 — n (ei/s /^0
серия 1, т. 14, с. 210—211).
В XVIII в. не было средств для более глубокого изу-
чения арифметической природы числа л. В резюме статьи
Е275 о приближенном построении квадратуры круга,
предложенном Декартом (эта статья, представленная
Берлинской академии 20 июля 1758 г., увидела свет
в 1763 г.), Эйлер писал* «Впрочем, окружность круга,
по-видимому, должна быть отнесена к гораздо более вы-
сокому роду иррациональностей, которого можно достичь
только посредством бесконечного повторения извлечения
корней, и потому геометрически нельзя добиться боль-
шего, чем непрестанно все более близкого выражения
отношения окружности к диаметру» (ЕО, серия 1, т. 15,
с. 1—2). Говоря о бесконечном повторении извлечения
(квадратных) корней, Эйлер имел в виду то обстоятель-
ство, что предложенное Декартом построение диаметра
по данной площади круга равносильно разложению
tg—+ —tg-7r+ —tg4F + —t.g__+...=^..
204
Впрочем, еще Виет в конце XVI в. выразил 2/л бесконеч-
ным произведением квадратичных иррациональностей.
Конечно, Эйлер подозревал, что л — число трансцен-
дентное, но его высказывания по этому вопросу чаще всего
были осторожными (как и его суждения о невозможности
perpetuum mobile). Так, в § 10 статьи Е591, представлен-
ной Петербургской академии наук летом 1775 г., по опу-
бликованной уже посмертно в 1785 г. (ЕО, серия 1, т. 4),
Эйлер писал, что остается неясным, могут ли трансцен-
дентные количества, включающие окружность круга или
логарифмы, быть выражены через какие-нибудь радикаль-
ные количества, ибо невозможность этого никем не обна-
ружена. Бесспорно только, что л не выражается через
простые квадратичные иррациональности, поскольку в
разложении л в непрерывную дробь не замечается какой-
либо периодичности.
Суждения Ламберта отличались большей определен-
ностью. В письме от 10 января 1768 г. к математику и
логику Г. фон Голланду он заявлял (мы цитируем по
предисловию А. Шпайзера к его изданию математических
трудов Ламберта): «Теорема о том, что никакой рацио-
нальный тангенс не соответствует некоторой рациональной
дуге, замечательна по своей общности. Способ, с помощью
которого я ее доказываю... допускает дальнейшее распро-
странение, так что круговые и логарифмические величины
не могут быть корнями рациональных уравнений» [2, т. 1,
с. XXI]. Лежандр, уточнивший, как сказано, доказатель-
ство Ламберта (он это сделал в IV приложении к изданию
своих «Начал геометрии», Elements de geometric, 1800 г.),
сформулировал и более четкое определение трансцендент-
ного числа как числа, которое не может быть корнем
никакого алгебраического уравнения с рациональными
коэффициентами [12, с. 209]. Таким образом, Ламберт и
за ним Лежандр явились непосредственными предшествен-
никами теории трансцендентных чисел, первые основания
которой заложил в 1840 г. Ж. Лиувилль и которая после
доказательства в 1873 г. трансцендентности е Ш. Эрмитом,
а затем в 1882 г. числа л Ф. Линдеманом и, наконец,
после решения в 1934 г. седьмой проблемы Гильберта,
обобщающей предположение Эйлера относительно лога-
рифмов рациональных чисел, оформилась в отдельную
ветвь теориичисел, особенно благодаря работам А. О. Гель-
фонда, К. Л. Зигеля и Т. Шнайдера.
205
Специалистам по теории чисел известеп так называе-
мый ряд Ламберта
X
1 —X
(1)
в разложении которого в степенной ряд
У1---------jj- = х 4- 2а12 2а;3 4- Зх44- 2а;5 4" + • • • =
1----X
?1=1
оо
= У т (м) (2)
п==1
коэффициенты т (и) равны числу делителей показателя
(этот результат почти очевиден). Этот ряд был опублико-
ван Ламбертом в одном философском труде, изданном
в 1771 г. [14, т. 2, с. 507]. В настоящее время рядами
Ламберта называют более общие ряды вида
а х
1 ----X
(3)
что при ап = 1 сводится к разложению (1), а при ап = п
дает разложение
пх п = х -]- За;2 4- 4ж3 4- 7 а:4 4~ 6а;5 4~ 12ж® + • • •
1 — X
хп.
где коэффициенты о (н) суть суммы делителей показателя.
Мы упоминаем ряды Ламберта потому, что ряд (4),
точнее говоря, разложение
£о(п)
(5)
было получено Эйлером задолго до публикации Ламбертом
разложения (1). В письме к Хр. Гольдбаху от 1 апреля
206
1747 г., в котором Эйлер впервые привел свою рекуррент-
ную формулу для функции о (п), он указал также, что
значения о (п) равны коэффициентам разложения (5)
(см. [15, с. 266—268]). В начале письма Эйлер писал:
«Недавно я открыл весьма удивительный порядок в чис-
лах, представляющих суммы делителей натуральных
чисел, который мне кажется тем более примечательным,
что здесь имеется, по-видимому, тесная связь с порядком
простых чисел» [15, с. 266], а в конце добавил, что «тут
должны таиться еще другие прекрасные вещи» [15, с. 268].
Как указывает там же в своем примечании к цитирован-
ному письму А. А. Киселев, содержание его вошло в три
работы Эйлера: Е175 (опубл, в 1751 г.), Е243, представ-
ленную в 1752 г., и Е244 (обе опубл, в 1760 г.; см. ЕО,
серия 1, т. 2). Согласно Л. 10. Диксону [16, с. 28 ], раз-
ложение (4) было известно и Ламберту; вместе с тем
Эйлер знал разложение (2). Здесь мы имеем пример до-
полняющих друг друга и независимых исследований Лам-
берта и Эйлера.
Ряды Ламберта — их справедливее называть рядами
Эйлера — Ламберта — имеют пе только исторический ин-
терес. Многие математики XIX и XX вв. занимались ря-
дом (1), и среди них II. Лежен-Дирихле и позднее Т. Леви-
Чивита, М. Курце и др. К. Кнопп был уверен, что этот
ряд «соблазнительно тесно связан с проблемами простых
чисел» [17, с. 451]. В 20-е годы нашего века общие ряды
Ламберта стали важным средством арифметических иссле-
дований. Н. Винер, например, посвятил этим рядам глу-
бокое исследование (см. [18, особенно гл. 4]) и с помощью
одной тауберовой теоремы для этих рядов оригинально
доказал асимптотический закон распределения простых
чисел. Основные указания и литературу по этому вопросу
можно найти в известной книге А. Е. Ипгама [19, с. 52 —
53].
Мы рассмотрим теперь пример открытия Ламберта,
оказавшего влияние на Эйлера и затем па Лагранжа.
В § 35—40 «Различных заметок по чистой математике»
(Observationes variae in mathesin piiram), напечатанных
в «Acta Helvetica» (1758), Ламберт привел без доказатель-
ства разложение наибольшего действительного корня трех-
членного уравнения
хт 4- p.r = q (6)
207
В ряд
<7
Р
m 2»1-1 ... .. зт-2
<7 , тд т (Зт — 1) д
m+1 I 2m+i Z зт+1
Р Р ~Р
(Ъ
Целью Ламберта было приближенное вычисление корней,
и он указывает, что приведенный ряд сходится только при
условии (т — I)"1-1/?"1 > Весьма простая под-
становка, добавлял Ламберт, позволяет аналогично выра-
зить корень более общего трехчленного уравнения
а«* 4- bxK = d. (8)
Отправным пунктом Ламберта в данном случае явилось
установление с помощью весьма элементарных выкладок
все более и более точных границ положительного корня
квадратного уравнения х1 рх = q, для которого он
получает разложение вида (7) при т = 2; толчок его раз-
мышлениям, вероятно, сообщило чтение «Начал алгебры»
(Elements d’algebre. Paris, 1746) А. К. Клеро, который
в § 9—11 пятой части этого труда приводит некоторые
весьма громоздкие разложения в бесконечные ряды всех
трех корней кубического уравнения для неприводимого
случая. (Ламберт подчеркивает особенную пригодность
своего ряда для этого случая, ссылаясь на § 8 пятой части
этого сочинения.)
Приводимый результат Ламберта, который А. Шпай-
зер назвал «одним из самых замечательных его открытий»
[2, т. 1, с. XI], вначале не привлек внимания: швейцарский
журнал, в котором он был опубликован, был мало извес-
тен. Прибыв в январе 1764 г. в Берлин, Ламберт позна-
комил со своим открытием и заинтересовал им Эйлера.
17 марта того же года Эйлер писал Гольдбаху: «У нас
сейчас здесь искусный г. Ламберт, организовавший для
Баварского курфюрста академию в Мюнхене. Он не только
отличается во всех науках, но далеко продвинулся и в об-
ласти анализа: он сообщил мне один ряд, меня поразив-
ший, ибо он совсем другого рода, чем все те, какие до сих
пор рассматривали». Изложив затем результат Ламберта,
Эйлер добавлял, что таким же способом можно выразить
любую степень корня трехчленного уравнения z" = azm 1,
и, приведя соответствующее разложение, заключал: «Та-
ким образом, по моему мнению, это открытие величайшей
важности» [16, с. 404—405]. В дальнейшем Эйлер изло-
жил только что упомянутое обобщение и примыкающие к
208
нему разложения в ряды корней и степеней уравнений с
большим числом членов в четырех статьях: Е406, пред-
ставленной и напечатанной в 1771 г.; Е532, представлен-
ной в 1776 г. и напечатанной в 1783 г.; и еще в Е631 и
Е632, представленных в том же 1776 г., но увидевших
свет уже посмертно, в 1789 г. (все они переизданы в
ЕО, серия 1, т. 6).
Эти изыскания Ламберта получили существенное раз-
витие у Ж. Л. Лагранжа, заменившего Эйлера в Берлин-
ской академии наук вскоре после его возвращения в Петер-
бург. Вот что рассказывал об этом сам Ламберт в «Анали-
тических заметках» (Observations analytiques), напеча-
танных в 1772 г. [2, т. 2, с. 270—290]. Упомянув свою
формулу (7) и беседу с Эйлером, который, как писал Лам-
берт, нашел ее доказательство, Ламберт продолжает:
«Несколько лет назад я разговаривал о ней также с г. де
Ла Гранжем... Я добавил, что г. Эйлер нашел также
сходный, хотя и более сложный ряд для четырехчленов;
что мне известен путь, каким он к этому пришел, и что.
вероятно, он опубликует в Петербургских Записках
подготовленный им по этому вопросу мемуар». Из послед-
них слов следует, что, когда Ламберт их писал, он еще
не видел статью Эйлера Е406, о которой говорилось не-
сколько ранее. Далее Ламберт продолжает: «Г. де Ла
Гранж, найдя эти исследования достойными его внимания,
решил рассмотреть вопрос весьма общим образом... В ре-
зультате для трехчлена вида
а — х + <рх =0
получился весьма простой и весьма общий ряд
, , . , d • (фя)2'Ф'я I d2-((px)3 ф'.т .
d3-((px)4 ф' х
+ -2-3~4dx3 + П Т- Р-
где (риф обозначают какне-либо функции, р — один из
корней трехчлена, ф'х = дгрх : dx и где после дифференци-
рований следует заменить х на ос» [2, т. 2, с. 273—274].
Для ясности заметим, что у автора точка после d заменяет
тут скобки, а аргумент в скобки не заключается, так что
дифференцируются произведения вида (рт (х)$'(х).
В приведенной цитате фигурирует так называемый ряд
Лагранжа (иногда его называют теоремой или же форму-
209
лоп обращения Лагранжа), опубликованный в статье
«Новый метод решения буквенных уравнений с помощью
рядов» (Nouvelle methode pour resoudre les equations
litterales par le moyen des series), доложена Берлинской
академии наук 18 января и 5 апреля 1770 г. и в том же
году опубликована в ее «Мемуарах» [20, с. 5—73].
Этот ряд, который, по словам Э. Нетто, «по существу
относится к исчислению бесконечно малых, по примене-
нию и происхождению к алгебре, по форме к теории рядов,
а по способу вывода... также к комбинаторике» [21, с. 258],
стал предметом занятий многих современников Лагранжа
и позднейших математиков; условия его сходимости пер-
вым рассмотрел Коши. Эйлер, познакомившись со статьей
Лагранжа, в письме от (31)20 мая 1771 г. выразил свое
восхищение красотой и общностью его результатов [22,
с. 224—227]. Заодно Эйлер сообщал, что занялся поисками
доказательства теоремы Лагранжа, но встретился вначале
со слишком большими препятствиями, но что такое до-
казательство удалось найти петербургскому академику
А. И. Лекселю. В ответном письме от 15 февраля 1772 г.
Лагранж выразил желание познакомиться с доказатель-
ством Лекселя (это письмо Лагранжа впервые публику-
ется в ЕО, серия 4, т. 5А), которое последний изложил
в письме к Лагранжу от (16)5 марта того же года вместе
с двумя доказательствами, данными тем временем Эйлером
[22, с. 228—234]. Доказательство Лекселя было опубли-
ковано в его статье, напечатанной в 1772 г. в XVI томе
«Novi Commentarii Academiae Petropolitanae» за 1771 г.
Для Ламберта ряд Лагранжа стал в свою очередь отправ-
ным в некоторых его последующих занятиях задачей раз-
ложения в ряды функций переменной величины, заданной
какими-либо неявными уравнениями. Об этих исследо-
ваниях, изложенных в упомянутых выше «Аналитических
заметках» 1772 г., говорится в последнем письме Ламберта
Эйлеру от 18 октября 1771 г. [7, с. 36—37]. Эйлер, который
из-за почти полной слепоты уже несколько лет не мог
писать сам и потому резко сократил свою переписку,
поручил ответить на это письмо Лекселю. В этом ответе
от (2 февраля) 22 января 1772 г., завершающем переписку
Ламберта с Эйлером, Лексель выразил сомнение в воз-
можности получить более общие результаты, чем Лагранж,
в случае неявного уравнения с двумя переменными и
в целесообразности рассмотрения случая большего числа
210
переменных ввиду чрезмерной сложности соответствую-
щих формул [7, с. 38—39]. «Аналитические заметки»
Ламберта явились предметом подробного анализа
А. Шпайзера [7, с. XX—XXVI], который не нуждается
в дополнении. Что касается теоремы или формулы Лагран-
жа, то она приводится во многих больших курсах анализа
и теорий функций XX в., напрмер у Э. Гурса [23,
с. 433—435] или Е. Т. Уиттекера и Г. Н. Ватсона [24,
с. 178-179].
Вот еще один важный пример взаимосвязей между ис-
следованиями Ламберта, Эйлера и Лагранжа. Уже назы-
вавшаяся статья Ламберта «Преобразование дробей»
1770 г. [2, т. 1, с. 133—188] в значительной части посвя-
щена разложениям в непрерывные дроби и их приложени-
ям, начала теории которых были разработаны Эйлером
в Е71 (см. с. 204), Е123, представленной Петербургской
академии наук в январе (феврале н. ст.) 1739 г. и опублико-
ванной в 1750 г. (ЕО, серия 1, т. 14), в I т. «Введения
в анализ бесконечных»; Е101 (1748) и некоторых других
трудах. Представление функций непрерывной дробью
иногда в некотором смысле выгоднее, чем рядом Тейлора,
так как соответствующая дробь сходится в более широкой
области или быстрее, чем степенной ряд. Эйлер, показав-
ший многочисленные приложения непрерывных дробей,
не исследовал проблему их сходимости. Ламберт в § 23
«Преобразования дробей» специально подчеркивает эту
сторону дела, сравнивая оба вида разложения функции
arctg z, т. е. в непрерывную дробь и в степенной ряд,
при z = 1. В § 54 он выражает непрерывной дробью функ-
цию (1 + х)п и коротко останавливается на ее замечатель-
ных свойствах. Эти замечания Ламберта побудили Ла-
гранжа к изысканиям, изложенным в мемуаре «О приме-
нении непрерывных дробей в интегральном исчислении»
(Sur 1’usage des fractions continues dans le calcul integral),
опубликованном в мемуарах Берлинской академии в
1779 г. [25, с. 301—332]. Лагранж приводит здесь непре-
рывные дроби, соответствующие биномиальной, показа-
тельной и логарифмической функциям и тангенсу. Эйлер
вскоре дополнил анализ Ламберта, причем в случае функ-
ций arctg х и tg х рассмотрел и комплексные значения ар-
гумента; однако его статья, представленная в марте
1780 г., была напечатана лишь в 1818 г. (ЕО, серия 1,
т. 16—2). Мы оставляем в стороне приложения непрерыв-
211
ных дробей к решению дифференциальных уравнений,
чем и объясняется название только что упомянутой статьи
Лагранжа; такого рода приложения встречаются уже
в Е71 (уравнение Риккати) и затем в некоторых работах
Эйлера, относящихся к тому же времени, что и статья
Лагранжа.
Последний наш пример относится к картографии, раз-
рабатывавшейся многими учеными XVIII в.
Картографические задачи постоянно упоминаются в
Дневнике Ламберта почти с самого начала — с июня 1752 г.
[6, с. 12] и до июня и августа 1774 г. [6, с. 32]. Наиболее
важная работа его по этому вопросу — «Замечания и
дополнения к составлению земных и небесных карт»
(Anmerkungen mid Zusatze zur Entwerfung der Land —
und Himmelscharten) была напечатана в 1772 г. [26,
с. 105—192]. В этом труде, появление которого связано
было с тем, что Ламберт участвовал в составлении атла-
са, порученном Берлинской академии наук, были впервые
систематически изучены многочисленные виды географи-
ческих проекций, удовлетворяющих тем или иным услови-
ям, в частности с сохранением углов или площадей. Среди
этих проекций есть несколько новых, из которых кониче-
ская равноугольная, азимутальная равновеликая и так
называемая поперечная меркаторская (на самом деле она
пе тождественна цилиндрической проекции, предложенной
в 1569 г. г. Меркатором) широко применяются и в наше
время. Математическая разработка вопроса у Ламберта
не была особенно глубокой, но он уже применял в карто-
графии дифференциально-геометрические методы и вы-
вел, например, формулы, выражающие дифференциалы
обеих координат стереографической проекции шара на
плоскость в функции географической широты и долготы
(ср. [1, с. 79—85]). Преследуя главным образом практиче-
ские цели, Ламберт, однако, оставил в стороне общую
задачу конформного отображения шара на плоскость (тер-
мин «конформный» введен был Ф. II. Шубертом в статье,
напечатанной в 1789 г.).
Эйлер занялся картографией задолго до Ламберта,
еще в 30-е годы, но ее теоретической разработке посвятил
несколько статей, близких по времени к «Замечаниям и
дополнениям» Ламберта. В мае 1772 г. он представил
Петербургской академии мемуар Е492 о географической
проекции Делиля, применявшейся тогда на генеральной
212
карте России. Три года спустя он продолжил анализ
проблем картографии в статьях Е490 и Е491, представ-
ленных в сентябре—ноябре 1775 г. Все три статьи были
опубликованы в 1777 г. (ЕО, серия 1, т. 28). В работе
Е490 Эйлер устанавливает невозможность конгруэнтного
представления какой-либо части шара на плоскости, выво-
дит необходимые и достаточные условия конформного ото-
бражения в виде некоторых дифференциальных уравнений
и, интегрируя последние, получает общее решение задачи
об отображении областей шара на плоскость с сохранением
подобия бесконечно малых фигур. При этом он предлагает
два способа решения: один, который называет «частным
методом», не представляет большого интереса, и другой,
«общий метод», в котором впервые применяет в данной
задаче функции комплексного переменного. Это был важ-
нейший шаг вперед в построении теории конформных
отображений как части общей теории аналитических
функций в нашем современном смысле слова. В той же
статье Е490 решается в одном частном случае задача
отображения шара с сохранением площадей, а в статье
Е491 показано, что стереографическая проекция получает-
ся из общих формул конформного отображения как част-
ный случай. Мы не имеем данных для суждения о прямой
связи этих двух работ Эйлера со статьей Ламберта по
картографии, напечатанной в 1772 г. С другой стороны,
несомненно, что дифференциальные формулы Ламберта,
упомянутые выше, побудили заняться тем же вопросом
Лагранжа, который сам засвидетельствовал это в статье
«О построении географических карт» (Sur la construction
des cartes geographiques), напечатанной в 1781 г. в ме-
муарах Берлинской академии за 1779 г. [25, с. 637—692].
Выводя формулы конформного отображения, Лагранж,
подобно Эйлеру, использовал функции комплексного пе-
ременного; при этом он поставил и решил несколько но-
вых вопросов (подробнее в статьях Е490—Е491, имеющихся
и в русском переводе, указанном в [5], см. [21, с. 572—
575]; ср. также [27, с. 32—33]).
Все приведенные выше примеры, число которых можно
было бы значительно увеличить, свидетельствуют о взаи-
мозависимости многих исследований Ламберта, Эйлера,
а также Лагранжа. Вместе с тем Ламберт и сам ставил
новые задачи и прокладывал новые пути исследований.
Сказанное относится, например, к теории перспективы,
213
тетрагонометрии, т. е. тригонометрическому решению за-
дачи измерения четырехугольника (в этом за Ламбертом
доследовали несколько ученых, а уже упоминавшийся
Д. И. Лексель заложил общие основы полигонометрии),
теории параллельных и математической логике. Несколь-
ко слов о двух последних областях занятий Ламберта.
Попытка доказательства евклидова постулата о парал-
лельных содержится в «Теории параллельных линий»
(Theorie des Parallellien) Ламберта, написанной в 1766 г.,
до при жизни Ламберта не опубликованной, быть может,
дотому, что он не был удовлетворен своими результатами.
Эта работа была издана в 1786 г. Иоганном III Бернулли [28]
д содержит самый тонкий анализ вопроса, предшествовав-
ший открытию неевклидовой геометрии. По-видимому,
ди один из творцов последней — ни Н. И. Лобачевский,
ди Я. Бояи, ни даже живший в Германии К. Ф. Гаусс —
де был знаком с этим оригинальным произведением, на
которое обратили внимание лишь в конце прошлого века
дсторики неевклидовой геометрии (см., например, [29,
с. 95—97]). У Эйлера нет каких-либо заслуг в разработке
теории параллельных, хотя, вопреки мнению его био-
графа О. Шписса [30, с. 210—211], и он мимоходом отдал
дань проблеме доказательства V постулата, о чем свиде-
тельствуют записи его ученика Н. И. Фусса [31]; зани-
мался этой проблемой и Лагранж [21, с. 401—402].
В истории логики имя Эйлера упоминается в связи
с предложенными им кругами для изображения объемов
понятий — идеей, которая не была чужда ранее Лейб-
ницу. Ламберт, развивая другие идеи Лейбница, продви-
нулся значительно дальше. Построенное им «Логическое
исчисление», которое он иногда называл «алгебраической
логикой» (Logica algebraica, [6, с. 13]), предвосхищало
работы английской школы — А. де Моргана, Дж. Буля
д Дж. Венна, и как раз Венн впервые отвел Ламберту
то место, которого он заслуживает в развитии математи-
ческой логики (см. [1, с. 9—19] и [32, с. 115—126]). Рабо-
там Ламберта по геометрии и математической логике отво-
дятся в настоящем выпуске «Историко-математических
исследований» отдельные статьи.
Мы не ставим здесь целью дать полный обзор матема-
тического творчества Ламберта, у которого есть еще ряд
других цепных работ по различным вопросам математики,
частично пересекающихся с работами Эйлера (например,
214
в теории эллиптических интегралов и Др.), подробности
о них читатель может найти в сводных трудах, вроде [21,
33].
Подводя общий итог, следует сказать, что, несмотря
на ряд сделанных им цепных открытий, разнообразие
интересов и оригинальность многих идей и методов, Лам-
берт сыграл в развитии математики несомненно значи-
тельно меньшую роль, чем Эйлер. Вместе с тем, принадле-
жа к более молодому поколению, Ламберт в некоторых от-
ношениях был ближе Эйлера к стилю математического
мышления XIX в. Это отметил еще в 1909 г. А. ф. Браун-
мюль, быть может даже Слишком резко противопоставив-
ший стремление Ламберта к современной точности доказа-
тельств преобладавшему в XV11I в. формализму [21,
с. 448]. Напомним, в этой связи замечательные исследо-
вания Ламберта об иррациональности чисел сил, его
внимание к сходимости бесконечных рядов и непрерывных
дробей, его занятия математической логикой и теорией
параллельных.
Д. Тьебо, лингвист, выбранный в Берлинскую акаде-
мию наук почти одновременно с Ламберто.м и проживший
в прусской столице двадцать лет,— мы привели выше
с его слов рассказ о первой встрече ученого с Фридри-
хом 11,— попросил как-то Ламберта дать оценку наиболее
знаменитых здравствовавших тогда математиков. Мы при-
ведем ответ Ламберта с небольшими сокращениями:
«Первый среди здравствующих геометров,— ответил он
мне,— писал Тьебо,— это г. Эйлер и г. Даламбер, или
г. Даламбер и г. Эйлер... оба они в равной мере плодовиты
и глубоки: невозможно предпочесть одного другому...
Г. де Ла Грапж сегодня является вторым: я добавлю слово
„сегодня11, так как есть все основания быть уверенным
в том, что оп не замедлит их достичь. Третий — это я;
я не продолжаю эту классификацию далее, так как не вижу
никого другого, достойного быть названным далее» [4,
с. 31-32].
Время внесло некоторые поправки в эту классифика-
цию. Что касается лично Ламберта, мы уже упоминали,
что ему не была присуща чрезмерная скромность. Но в ос-
новном оп был прав. В пору его деятельности в Берлин-
ской академии наук он, быть может, наряду с еще одним
или двумя математиками (вроде Баринга или Вандермон-
да), а может быть и впереди них, следовал непосредственно
215
За Эйлером, Дала.мбером и Лагранжем. Такие ученые
как Монж и Лаплас, тогда лишь начинали свою карьеру
и их работы были мало известны. Этим почетным местом
среди математиков середины XVIII в. Ламберт был обя-
зан как своему дарованию, так и глубоким научным свя-
зям с самыми выдающимися современниками, и среди них
с Леонардом Эйлером, первым математиком того времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jaquel R. Le savant et philosophe mulhousien Jean—Ilenri Lam-
bert (1728—1777). Etudes critiques et docnmentaires. Paris, 1977.
2. Lambert J. U. Mathematische Werke/Hrsg. A. Speiser. Zurich,
1946—1948, Bd. 1/2.
3. Die Registres der Berliner Akademie 1746—1766/Hrsg. in Ver-
bindung mit Maria Winter und eingeleitet von E. Winter. Berlin,
1957.
4. Thiebaut D. Mes souvenirs de vingt ans de sejour a Berlin, Pa-
ris, 1804, t. 5.
5. Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии наук
СССР. Т. I Научное описание М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1962.
6. Johann Heinrich Lamberts Monatsbuch mit den zugehorigen Kom-
mentaren, sowie mit einem Vorwort uber den Stand der Lambert-
forschung/Hrsg. K. Bopp. Munqhen, 1915 (Abh. Kon. Bayer. Akad.
Wiss. Math.-phys. KI., Bd. XXVII, 6 Abh.).
7. Leonhard Euler und Johann Heinrich Lamberts Briefwechsel aus
den Manuskripten herausgegeben von K. Bopp. Berlin, 1924
(Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-math. KI., 1924, N 2).
8. Oeuvres de Frederie le Grand. Berlin, 1854, t. 24.
9. Субботин M. Ф. Астрономические работы Леонарда Эйлера.—
В кн.: Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летпя со дня
рождения, представленных Академии наук СССР/Под ред.
М. А. Лаврентьева, А. П. Юшкевича, А. Т. Григорьяна. М.:
Изд-во АН СССР, 1958, с. 268—374.
10. Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften
im Briefwechsel Leonhard Eulers/Hrsg. und eingeleitet von
A. P. Juskevic, E. Winter, Berlin, 1959. Teil I.
11. Пекарский П. История императорской Академии наук в Петер-
бурге, т. I. СПб., 1870.
12. О квадратуре круга. С приложением истории вопроса, состав-
ленной Ф. Рудпо/Пер. с нем. подред. п с прпм. акад. С. Н. Берн-
штейна. М.; Л.: Гостехпздат, 1934.
13. Юшкевич А. П. Леонард Эйлер о квадратуре кнуга.— Ист.-
мат. исследования, 1957, вып. X.
14. Lambert J. Н. Anlage sur Architektonik oder Theorie des Ein-
fachen und des Ersten in der philosophischen und mathematischen
Erkenntnis. Riga, 1771, Bdl 1/2.
15. Euler L., Goldbach Ch. Briefwechsel 1729/1764/Hrsg. und ein-
geleitet von A. P. Juskevic, E. Winter. Berlin, 1965.
16. Dickson E. History of the theory of numbers. N. Y., 1966, V. 1.
216
17. Knopp К. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 2
Aufl. Berlin, 1924.
18 Wiener N. Tauberian Theorems.— Ann. Math., Ser. 2, 1933, 33,
’ 1—100.
19. Ингам A. E. Распределение простых чисел/Пер. Д. А. Райко-
ва. М.; Л.: ОНТИ, 1936.
20. Oeuvres de J. L. Lagrange. Paris, 1892, V. III.
21. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik/Hrsg. von M. Can-
tor. Leipzig, 1908, Bd. 4.
22. Oeuvres de J. L. Lagrange. Paris, 1892, V. XIV.
23. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. I/Пер. А. II. Нек-
расова под ред. Б. К Млодзеевского. М., 1911.
24. Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анал за.
Ч. I/Пер. под ред. Г. М. Голузина. Л.; М.: Гостехиздат, 1933.
25. Oeuvres de J. L. Lagrange. Paris, 1869, V. IV.
26. Lambert J. H. Beitrage zum Gebrauche der Mathematik und de-
ren Anwendung. Berlin, 1772, Bd. 3. S. 105—192 (= Ostwald’s
Klassiker, N 54. Leipzig, 1894).
27. Маркушевич А. И. Очерки по истории теорпп аналитических
функций. М.; Л.: Гостехиздат, 1951.
28. Magazin fiir die reine und angewandte Mathematik. Leipzig,
1786, 2 St., S. 137—164; 3 St., S. 325—358.
29. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. M.: На-
ука, 1976.
30. Spiess О. Leonhard Euler. Frauenfeld; Leipzig, 1929.
31. Белый Ю. А. Эйлеровы эквиваленты пятого постулата.— Ист.-
мат. исследования, 1973, вып. XVIII.
32. Стяжкин Н. И. Становление идей математической логики. М.,
1964.
33. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия/ Под ред. А. П. Юшкевича, т. 3. Математика XVIII сто-
летия. М.: Наука, 1972.
и. Г. ЛАМБЕРТ
П ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ ПАУК
А. Т. Григорьян, В. И. Невская
Связи II. Г. Ламберта с Петербургской академией
наук весьма интересны для исследователей его творчества.
Непосредственные контакты с Петербургской академией
наук Ламберту помог установить Л. Эйлер. В 1760 г.,
подбирая по просьбе Г. Ф. Миллера (1705—1783), конфе-
ренц-секретаря этой академии в 1754—1765 гг., кандидата
на место профессора астрономии, он вспомнил о И. Г. Лам-
берте. Обсудив кандидатуры астрономов И. Т. Майера
(1723—1762) и Ж. Б. Ж. Лаланда (1732—1807), Л. Эйлер
писал Г. Ф- Миллеру 15 июля 1760 г.: «Есть еще один
искусный человек в Аугсбурге, по имени Ламберт, швей-
царец, который уже известен своими в высшей степени
великолепными трудами» [1, с. 153]. Итак, Л. Эйлер смело
рекомендовал Ламберта па место профессора астрономии
наряду с видными астрономами того времени, так как
высоко ценил его таланты и разносторонность.
Однако из-за политических перемен и реорганизации
академии вопрос о замещении вакантной должности астро-
нома в течение ряда лет оставался открытым, а обязанно-
сти директора астрономической обсерватории были возло-
жены по совместительству на профессора физики
Ф. У. Т. Эпинуса (1724—1802). К тому же и сам И. Г. Лам-
берт после избрания его членом Баварской академии наук
не захотел уезжать из Мюнхена.
Узнав в 1761 г. от Л. Эйлера о его рекомендации в Пе-
тербургскую академию наук, Ламберт тепло поблагода-
рил за установление его связей с этой академией и сооб-
щил об условиях, на которых он хотел бы с ней сотрудни-
чать. Так, 26 июня 1761 г. Ламберт писал Эйлеру: «Если
случится так, что знаменитая Академия России соблаго-
волит проявить какой-нибудь интерес к услугам, которые
я мог бы ей оказать, то я считаю, что здесь была бы пре-
дельной такая возможность, если бы меня удостоили
чести помещать в ее Комментариях некоторые диссертации
со званием ассосье или иностранного члена» 12, с. 22],
218
В 1762 г. И. Г. Ламберт из-за неладов с иезуитами по-
терял свою довольно значительную пенсию в Баварской
академии наук, для создания которой он так много сделал,
а в январе 1764 г. он переехал в Берлин. 21 апреля 1764 г.
Л. Эйлер сообщил Г. Ф. Миллеру об этих изменениях
в жизни И. Г. Ламберта и о своих хлопотах по его ус-
тройству в Берлинской академии. Восхищаясь выдаю-
щейся ученостью Ламберта, Эйлер считал, что он «...во
всех отношениях человек, обладающий талантами, кото-
рые он принесет в дар любой академии» И, с. 2451.
30 апреля (11 мая) 1764 г. Г. Ф. Миллер сообщил
Л. Эйлеру о возможности пригласить Ламберта на освобо-
дившуюся должность профессора механики с жалованием
860 руб. в год и уплатой 200 руб. на переезд в Петербург
[1, с. 246]. Л. Эйлер ответил 9 июня 1764 г., что
И. Г. Ламберт с радостью отдаст свои таланты Петер-
бургской академии наук, но что он «еще до некоторой сте-
пени прикован к Баварии» и, «следовательно, понадобится
некоторое время, прежде чем он сможет дальше об этом
высказываться» [1, с. 248].
Когда 4(15) июня 1764 г. на академической конферен-
ции обсуждался вопрос о том, каких двух-трех иностран-
ных ученых можно было бы предложить на вакантное
место профессора механики, наряду с именем Г. М. Ло-
вица (1722—1774) было вновь названо имя И. Г. Лам-
берта. После обсуждения академики приняли следующее
решение: «...из всех иностранных ученых, о коих чаять
можно, что здешнее предложение примут, способнее
к оной механической профессии нет, как г-дн проф. Ловиц
в Гёттингене... а если паче чаяния он откажется, то есть
ныне в Берлине г-дн Ламберт, который хотя точно не ме-
ханик, но по прочим его знаниям в физике и математике
профессором механики быть может» [3, ф. 3, on. 1, № 282].
Итак, эрудиция И. Г. Ламберта в области физико-мате-
матических наук вновь получила в Петербургской акаде-
мии высокую оценку. Однако и на этот раз его переезд
в Петербург не состоялся.
Ламберт, который с января 1764 г. находился в Бер-
лине, решил остаться в Германии, о чем Эйлер и сообщил
Миллеру в письме от 12 июня 1764 г. И, с. 249], приложив
к этому письму письмо Ламберта с его объяснениями и
предложениями. По существу, здесь повторялось то, что
сообщалось в цитированном выше письме к Эйлеру от
219
26 июня 1761 г. Так как опубликованный Боппом текст
письма Ламберта к Эйлеру от 13 июня 1764 г., основанный
на черновом берлинском варианте, содержит ряд разно-
чтений и ошибочно датирован 13 января 1764 г. [2, с. 34—
35], нам удобнее процитировать его по ленинградскому
оригиналу.
Ламберт писал: «Я без сомнения могу согласиться на
то, чтобы давать ежегодно для Комментариев академии
некоторые математические и относящиеся к эксперимен-
тальной физике статьи, и основой для их выбора мне будет
служить соображение, что эти Комментарии и теперь
должны сохранять и приумножать свои первоначальные
заслуги и славу.
Что можно было бы добавить к этому условию,— это
быть членом, присутствующим через переписку, по воз-
можности полезным и нужным для того, чтобы составлять
планы академических и систематических работ или вно-
сить свою долю в предложения, уже принятые. Само собой
понятно, что для меня в этом было бы тем меньше нового,
что похожие условия были в ходу несколько лет назад
в совершенно новой, основанной тогда Баварской ака-
демии наук.
Предложение, над которым я при этом могу работать,
касалось моей Пирометрии, для завершения которой мне
остается еще только провести специальный эксперимент,
чтобы сделать его пригодным также и в обычной жизни
и при всякой работе с огнем. Этот труд, который потре-
бует у меня, вероятно, еще несколько лет времени, кажет-
ся, годится для более общего случая, для того, чтобы его
приняла какая-нибудь академия и сообщила публике.
Ведь нет никакой мелочи, которая бы не оказалась полез-
ной спустя короткое время в отношении силы огня, едва ли
не так же, как со времен Архимеда это было в математике
и экспериментальной физике относительно воды. Пиро-
статика, пиродинамика, пиравлика, термометрия и т. д.
образованы по сходству этих названий с гидростатикой,
гидравликой и т. д. Это сравнение одновременно делает
понятным и объем работы.
При этих предложениях, которые я прошу сообщить
его высокоблагородию проф. Миллеру, все подойдет на
особых условиях, которые, как говорится, нетрудно бу-
деть уточнить, предполагая, что то, что здесь приводится,
приближается к тому, что высокочтимой королевской
220
академии полезно будет признать за ясное» [3, ф. 21,
оп. 3, № 321, лл. 119—119 об.].
Письма Л. Эйлера и II. Г. Ламберта были зачитаны
Г. Ф. Миллером на академическом заседании 14(25) июня
1764 г. [4, с. 519]. После этого вопрос о приглашении
II. Г. Ламберта в Петербург профессором механики или
астрономии в 1764 г. больше не поднимался, хотя эти места
оставались вакантными вплоть до 1768 г.
3 (14) июля 1764 г. был поставлен вопрос об избрании
И. Г. Ламберта иностранным членом Петербургской
академии наук. В протоколе этого заседания указывалось,
что речь шла как об избрании Ламберта в число ино-
странных членов, так и о жаловании, которое следовало
ему назначить «по примеру Эйлера и Гейнзиуса» х. На этот
раз не было принято никакого решения «из-за отсутствия
мнений коллег». Вот что мы читаем в протоколе заседания,
на котором присутствовали профессора Г. Ф. Миллер,
И. А. Браун (1712-1768), И. Г. Цейгер (1720-1784),
С. К. Котельников (1723—1806), И. Г. Леман (1700—
1767), С. Я. Румовский (1734—1812) и А. П. Протасов
(1725-1796):
«1) Должен был подписываться указ о славнейшем
муже Ламберте, избрать ли его в число иностранных чле-
нов, и о жаловании по примеру Эйлера, Гейнзиуса.
Очевидно, что никакого решения ждать не приходится,
из-за отсутствия мнений коллег» 14, с. 521]. 5 (16) июля
Канцелярия Петербургской академии предложила ака-
демикам подать письменные мнения о Ламберте, «...быть
ли ему иностранным членом здешней академии и с опре-
делением пенсии...» [3, ф. 3, on. 1, № 283, л. 234].
Результаты этого письменного опроса сохранились
[3, ф. 3, on. 1, № 283, л. 235—236], они весьма интересны.
Письменные мнения представили девять ученых: матема-
тик С. К. Котельников, астрономы Н. И. Попов (1720—
1782) и С. Я. Румовский, физики II. А. Браун и
Ф. У. Т. Эпинус, химик И. Г. Леман, анатом А. П. Про-
тасов, а также историки Г. Ф. Миллер и И. Э. Фишер
(1697—1771). Все они единодушно высказались за избра-
ние II. Г. Ламберта иностранным членом Петербургской
академии наук, учитывая его выдающиеся заслуги. Одна-
1 Г. Гейнзиус (1709—1769) был профессором астрономпп в Петер-
бургской академии наук в 1736—1744 гг.
221
ко вопрос о выплате ему жалования (или пенсии, как тогда
говорили) вызвал большие затруднения.
По-видимому, перед обсуждением этого вопроса на за-
седании 3 (14) июля 1764 г. академиков поставили в извест-
ность, что невозможно увеличить число «пенсионеров»,
т. е. иностранных членов, по физико-математическим нау-
кам. Лишь два представителя этих наук могли получать
пенсию, а так как Эйлер и Гейнзиус уже ее получали,
встал вопрос, кого из них лишить пенсии, чтобы передать
ее Ламберту.
Академики предлагали разпые выходы из создавшегося
положения. Так. например, Котельников, Попов и Румов-
ский предложили избрать Ламберта иностранным членом
без жалования, как он и просил в письме к Эйлеру. Браун
полагал, что на первое время можно было принять Лам-
берта без жалования. Он писал: «Жалование же следует
отложить на год-другой, пока не выяснится, кого Акаде-
мия предпочтет» [3, ф. 3, on. 1, № 283, л. 235 об.]. К мнению
Брауна присоединились Протасов и Эпииус. Фишер счи-
тал, что Ламберта можно принять без жалования, а затем
выдать ему вознаграждение из премиальных сумм, так как
его труды вполне заслуживают того, чтобы наградить его
премией. И. Г. Леман выражал удивление по поводу
того, что все деньги, предназначавшиеся для выплаты
наиболее достойным и полезным стране и народу ученым,
уже истрачены, и подчеркивал достоинства И. Г. Лам-
берта. Подводя итоги обсуждению, Ф. Г. Миллер ппсал:
«Что же касается моего избирательного голоса за Лам-
берта по обоим вопросам, то я от него не отказываюсь.
Однако считаю, что с этим следует подождать, лишь бы
только не присуждать по два жалованья многим, и лишь
бы они не жили одновременно в одном и том же месте»
[3, ф. 3, on. 1, № 283, л. 236].
11 (22) августа 1764 г. в журнале канцелярии Акаде-
мии наук была сделана запись о том, что мнения Миллера
и его коллег были переданы президенту академии [3, ф. 3,
on. 1, № 283, л. 237]. Нам не удалось найти каких-либо
официальных документов относительно принятого им ре-
шения, однако, как видно из письма Миллера к Эйлеру
от 12 (23) октября 1764 г., окончательное решение вопро-
са было отложено «...так как с некоторого времени уже
занимаются новым устройством Академии» [1, с. 250].
Эйлер и Ламберт также приняли участие в этой реорга-
222
пизации. Как сообщал Эйлер в письме к Миллеру от
10 ноября 1764 г.: «Я уже немного слышал о предстоящем
новом устройстве академии, так как князь Долгорукий 2
получил приказ навести справку об организации здешней
академии, которую я ему тоже полностью передал. Так как
г. Ламберт составил план для Баварской академии, то
я привел его к князю Долгорукому, которого он также
полностью удовлетворил, изложив подробный обзор всех
выгод, которые государство может ожидать от хорошо
организованной академии, в рамках которой ее члены
смогут объединить свои усилия для общей пользы...
Об этом также с ним подробно говорил его высокографское
сиятельство великий канцлер 3 и подтвердил ему свое
большое желание видеть его приглашенным на русскую
королевскую службу» [1, с. 251].
Вскоре после возвращения Л. Эйлера в Петербург он
предпринял еще одну попытку пригласить И. Г. Ламберта
в Петербургскую академию паук на место профессора
механики, которое все еще оставалось вакантным. Как
отмечалось в протоколе заседания академической конфе-
ренции, 9 (20) октября 1766 г. вновь обсуждался вопрос
об избрании И. Г. Ламберта профессором механики,
и снова он был избран единогласно [4, с. 576]. Об этом из-
брании Ламберту сообщили через непременного секретаря
Берлинской академии наук Ж. А. С. Формея (1711 —1797).
22 декабря 1766 г. (2 января 1767 г.) на очередном засе-
дании Петербургской академии наук было зачитано письмо
Формея от 20 декабря 1766 г., адресованное повому конфе-
ренц-секретарю Академии Я. Штелину (1709—1785).
«Я внушал здесь г. Ламберту,— писал Формей,— что ему
следует послать быстрый и решительный ответ, без чего
его дело может провалиться. По это человек, речь которого
трудно понять, еще более — разгадать его намерения» [3,
ф. 1, оп. 3, № 48, л. 51—51 об.]. Как говорилось в прото-
коле указанного заседания: «По зачитанному сообщению
господина проф. Формея из Берлина о том, что г. проф.
Ламберт не дал епщ никакого ответа на посланное ему
предложение относительно должности профессора меха-
ники, и кажется, совершенно не хочет его давать,— было
2 Князь В. С. Долгорукий (1717—1803) был тогда русским послан-
ником в Берлине.
3 Речь идет о русском канцлере графе М. ТТ. Воронцове (1714-—
1767).
223
решено: не ждать больше его столь долго затянувшегося
решения, но ответить г. проф. Формою с ближайшей поч-
той, что дальше при здешней Академии наук не будут боль-
ше ни думать о г. Ламберте, ни рассчитывать на него и на
вакантную должность профессора механики изберут гос-
подина проф. Цейгера из Виттенберга, который уже преж-
де здесь на этой должности был» [4, с. 587—588].
Несмотря на то что И. Г. Ламберт так и не приехал
в Петербург, он до конца своей жизни переписывался как
с Петербургской академией наук [5, с. 42], так и с Л. Эй-
лером и его учениками [2, с. 36—40]. После смерти Лам-
берта Петербургская академия наук приобрела изданное
берлинским астрономом II. Бернулли (1744—1807) Полное
собрание сочинений и переписки И. Г. Ламберта, которые
всегда занимали почетное место в библиотеке акаде-
мии [5, с. 608, 679, 782, 829].
Данная статья была доложена одним из ее авторов
(А. Т. Грпгорьяном) на Международном симпозиуме па-
мяти Ламберта, состоявшемся в Мюлузе 26—30 сентября
1977 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Die Berliner und die Petersburger Akademie des Wissenschaften in
Briefwechsel Leonhard Eulers/Hrsg. und eingeleitet von A. P. Jus-
kevic, E. Winter. Berlin, Teil I, 1959.
2. Bopp K. Leonhard Eulers und Johann Heinrich Lamberts Brief-
wechsel aus den Manuskripten herausgegeben.— Abh. Preuss.
Akad. Wiss. Phys.-math. Kl. Berlin, Jahrg. 1924, N 2.
3. Ленинградское отделение Архива АН СССР.
4. Протоколы заседаний конференции 'ими. Академии наук с
1725 по 1803 год, т. 2 (1744—1770). СПб., 1899.
5. Протоколы заседаний конференции ими. Академии наук с 1725 по
1803 год, т. 3 (1771—1785). СПб., 1900.
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
В СОЧИНЕНИЯХ И. Г. ЛАМБЕРТА
3. А. Кузичсва
Логика как самостоятельная научная дисциплина воз-
никла не только под влиянием философии и риторики, но
и в тесной связи с математикой. По мере того как мате-
матика формировалась в качестве отдельной дисциплины,
накапливался опыт проведения доказательств, создава-
лись представления о математической строгости, формули-
ровались требования, предъявляемые к логическому аппа-
рату математики. Так называемая традиционная логика
сложилась в результате обособления силлогистики — срав-
нительно узкого раздела обширной системы, дошедшей до
нас в трактатах Аристотеля (384—322 гг. до н. э.). Посте-
пенно было забыто, что в своей логике Аристотель сумми-
ровал опыт не только предшествующего развития фило-
софии, популярных в то время научных диспутов, но и
современные ему представления о математической стро-
гости. Логика стала восприниматься как наука, далекая
от математики.
Успехи математики нового времени, развитие ее сим-
волического аппарата, расширение областей приложения
математических, в особенности алгебраических, методов
к объектам не обязательно числовой природы способство-
вали тому, что логика стала все более привлекать внимание
исследователей как возможная сфера приложения мате-
матики. Эта тенденция сделалась еще отчетливее после то-
го, как достижения итальянской школы XVI в. были зак-
реплены новым значительным усовершенствованием алге-
браического символизма в трудах Ф. Виета (1540 —
1603), а вслед за тем и Р. Декарта (1596—1650).
Виет видел в алгебраических методах «самый верный
путь для математических изысканий» [1, с. 70]. Усилия
Виета в направлении создания единой методики исследо-
ваний нашли дальнейшее развитие в идее всеобщей мате-
матики Декарта, наложившей глубокий отпечаток на ло-
гику XVII и XVIII столетий. Самые значительные попытки
8 Зака» М 2436
225
воплощения этой идеи принадлежат Г. Лейбницу (1646—
1716), на основных чертах логики которого мы остановим-
ся несколько подробнее.
1. Представления Лейбница о логике
как инструменте открытия новых истин
Лейбниц полагал, что построению новой логики дол-
жна предшествовать важная подготовительная работа —
анализ и систематизация накопленных человечеством зна-
ний. При этом он считал, что существуют не сводимые к
другим исходные понятия, их-то и необходимо выделить
прежде всего в процессе анализа. Перечень этих основных
понятий составит «алфавит человеческих мыслей». Но
одновременно станет возможным доказательство всех из-
вестных истин, создание «энциклопедии доказательств».
Для всех понятий — исходных и составных, а также для
суждений нужно изобрести подходящие символические
обозначения, или, как говорил Лейбниц, «универсальную
характеристику», всеобщую символику х. «Секрет успеха
при осуществлении анализа заключается, в частности,
в символике, т. е. искусстве правильно употреблять зна-
ки, которыми мы пользуемся»,— писал он Г. Лопиталю
[2, т. II, с. 240].
Символы, которые можно было бы использовать в уни-
версальной характеристике, должны были отвечать таким
требованиям: 1) быть краткими, удобными, допускать со-
ставление легко обозримых и распознаваемых комбинаций,
2) своими очертаниями намекать на свойства изображае-
мых ими объектов, 3) быть вместе с тем наиболее естествен-
ными, наподобие иероглифов или геометрических фигур
(см. [3, т. IV, с. 73]).
Универсальная характеристика мыслилась Лейбницем
как действительно всеохватывающая символика. Позво-
ляя выразить все существующее и даже возможное знание,
она могла бы служить единым международным научным
языком и, кроме того, орудием изобретения и доказатель-
ства новых истин. Для осуществления последней цели все-
1 Любые знаки: написанные, нарисованные или начерченные на бу-
F маге, высеченные, вырезанные на каком-либо материале,— сло-
Р вом, изображенные каким угодно способом, Лейбниц называл
characteres, отсюда — «характеристика».
226
общая символика нуждалась в специально разработанном
логическом исчислении. Лейбниц не построил единой
«формальной» теории, но он всю жизнь размышлял над но-
вой логикой и оставил ряд набросков и вариантов симво-
лизмов и исчислений. Например, в одном из набросков
он предлагает такие символы для некоторых общеупотре-
бительных понятий (рис.).
ф дм г образованность)
Д удовольствие
добро
О почет
| | богатство
ф невезюество
лишения
зло
© презрение
бедность
«Отрицательные понятия» обозначены здесь теми же
фигурами, но заштрихованными [4, с. 29].
Основываясь на аналогии между разложением чисел
на простые множители и разложением понятий на ис-
ходные, Лейбниц составил несколько вариантов «арифме-
тизации» логики (см., например, [5, с. 15]). Приведем для
примера символическое представление геометрических
понятий, использующее идею «нумерации».
Первый класс составляют понятия, выделяете в каче-
стве исходных. Им приписываются такие порядковые номе-
ра: 1 —точка, 2 — пространство, 3 — расположен между,
4 — расположен рядом, 5 — расположен на расстоянии,
6 — имеющий протяженность, 7 — расположен внутри,
8 — включен, 9 — часть, 10 — целое, 11 — тот же самый,
12 — отличный, 13 — один, 14 — число, 15 — многие
(символ множественного числа, пишется в круглых скоб-
ках после термина, к которому относится), 16 — расстоя-
ние, 17 — возможный, 18 — каждый, 19 — данный, 20 —
становящийся, 21 — направление, 22 — измерение, 23 —
длина, 24 — ширина, 25 — глубина, 26 — общий, 27 —
движение, или непрерывность (progressio sen continuum).
Производных классов 24. Понятия в этих классах ну-
меруются дробями, знаменатель которых равен номеру
класса, а числитель — порядковому номеру понятия
в классе. Для обозначения глаголов-связок, предлогов,
падежей и т. п. используются латинские и греческие
8*
227
термины. Вот для примера несколько понятий из про-
изводных классов.
Второй класс.
1/2. Количество есть 14.9 (15-ей) (количество есть число
частей).
Третий класс.
1/3. Интервал есть 2.3.1U (15-ми) (интервал есть про-
странство между целыми).
2/3. Равное А есть 11.1/2 (равное А есть то же количе-
ство).
Четвертый класс.
1/4. А больше В, если А имеет 9.2/3 (А больше В, если
А имеет часть, равную В).
2/4. В меньше А, если В. 2/3. 9-ти (В меньше А, если В
равно части А).
Понятие «бесконечное» определяется вторым в седьмом
классе: 2/7. Бесконечное 1/4, чем 18.19.17 (бесконечное
есть то, что больше, чем каждое данное возможное) [4,
с. 554-559].
Оставляя в стороне геометрическое содержание фраг-
мента, следует признать, что, несмотря на очевидные недо-
статки — неполный анализ понятий, неоднородность тер-
минов в классах, недостаточная «формализованность»,
т. е. использование терминов «живого» латинского и гре-
ческого языка,— этот фрагмент хорошо иллюстрирует ос-
новной замысел Лейбница.
Известно, что большая часть рукописей Лейбница, от-
носящихся к логике, увидела свет лишь в начале нашего
столетия. Однако центральная идея универсальной ха-
рактеристики, руководствуясь которой он разрабатывал
новую логику, была известна его современникам и оказала
влияние на его последователей, в числе которых был
И. Г. Ламберт (1728—1777).
Главными сочинениями Ламберта по логике являются
«Новый органон, или Размышления об исследовании и
обозначении истин и их различении от заблуждений и ил-
люзий» [6], 1764, «Введение в архитектонику, или Теория
простых и первичных элементов в философском и математи-
ческом познании» [7], 1771, и «Логические и философские
сочинения» [8, т. 1—2], 1782—1787. В первом томе послед-
него собрания сочинений Ламберта, опубликованного после
его смерти, помещены «Шесть опытов знакового искусства
в учении о разуме». Именно эти сравнительно короткие за-
228
метки содержат в наиболее сжатой форме основные замыслы
символической логики Ламберта. Мы начнем с общей харак-
теристики этой логики, ее связи с естественными языками, с
наукой, и в частности с учением о разуме (Veinunftlehre).
2. Общая характеристика
знакового искусства Ламберта
Основная задача этого раздела учения о разуме состоит
в разработке символики и правил ее применения. Наибо-
лее привычные знаки понятий — слова. Но они не являют-
ся самым удобным и экономным способом обозначения.
Не случайно в математике, музыке, геральдике, теории
стихосложения и многих других областях науки и искус-
ства издавна используются условные символы, более
краткие и выразительные, чем слова. Изучению знаков как
таковых посвящен один из четырех разделов «Нового ор-
ганона», носящий название «Семиотика, или Учение об
обозначении понятий и вещей», которое «служит для того,
чтобы указать, какое влияние оказывает язык и прочие
знаки на познание истины и как они могут быть приспо-
соблены для этой цели» [6, с. 2].
Целесообразность введения символов не вызывает сом-
нения; ясно также, что в процессе создания символики
с необходимостью будет построен своеобразный искусствен-
ный язык, сочетающий в себе черты и особенности естест-
венных языков, а также черты, присущие арифметике и
алгебре. Однако такой язык нельзя построить, не изучив
предварительно структуру и особенности реальных язы-
ков, не выделив пригодные нам свойства этих языков, без
отчетливого осознания и устранения присущих им свойств.
Эта мысль настоятельно проводилась в логике XIX в., в
особенности в сочинениях А. де Моргана (18и6—1871), в
частности в его «Формальной логике, или Исчислении не-
обходимых и вероятных заключений» [9], 1847.
Тщательно анализируя язык, его основные элементы,
прежде всего понятия, необходимо добиться их четкости,
выделить основные, коренные понятия (Wurzelbegriffs),
исследовать взаимосвязь понятий, структуру и связи
предложений и, наконец, выводы. Здесь мы узнаем идеи
Лейбница о всеобщей символике и планы их воплощения.
После такой подготовительной работы язык становится
пригодным для преобразования его в «знаковое искус-
ство». Однако и та наука, в которой предполагается при-
229
менять знаковое искусство, должна быть подготовлена
соответствующим образом. Необходимо строго и после-
довательно изложить ее исходное содержание, сформули-
ровав главные принципы и важнейшие результаты; в про-
цессе такой систематизации тщательно выделяются наибо-
лее специфичные для этой научной дисциплины понятия,
особенности их взаимосвязей, приемы и правила преобра-
зования одних понятий в другие. Логическое знаковое
искусство строится по аналогии с алгебраическими исчис-
лениями, поэтому, сравнивая понятия, следует выделить
отношения типа тождества. Ламберт, как показано далее,
устанавливает отношение тождества (неотличимости) на
множестве понятий и на множестве предложений.
После этого научная дисциплина готова к тому, чтобы
перевести ее содержание на язык символов. Начиная с этого
момента наблюдается удивительное сходство рассуждений
Ламберта и Дж. Буля (1815—1864). Сходство начинается
с того, что перечисляется «алфавит» нового языка.
В «Первом опыте знакового искусства» [8, т. 1, § 9] Лам-
берт помещает список символов с их истолкованием 2:
(Gegenleils),
(Allgemeinheit),
(Besondern),
(Bindwortgens),
= — неотличимость (Gleichgultigkeit),
-|--составление (сложение) (Zusetzung),
-----устранение (вычитание) (Absonderung),
X — противоположение
— всеобщность
— особенное (частное)
cz> — связка
а, Ъ, с,...—данные понятия,
пг, п, I,... — неопределенные понятия,
х,у, z,... — неизвестные понятия,
у — символ рода,
6 — символ видового отличия,
• — символ отрицания.
Смысл символов X и • недостаточно ясен. В текстах
Ламберта Ха обозначает противоположное а понятие;
символ • (отрицания) используется для обозначения от-
2 Этот список в последующих «Опытах» пополняется новыми симво-
лами, например в «Третьем опыте» Ламберт добавляет: — деление
(Trennung) и :: — метафизическое отношение [8, т. 1].
230
рпцания данного отношения, когда нет термина для этого
отношения (см. раздел, посвященный отношениям).
Дж. Буль в «Исследовании законов мышления, на кото-
рых основаны математические теории логики и вероятно-
сти» ([10]), начинает построение исчисления введением ис-
ходных символов:
(1) х, у, z, ... — символы классов, (2) X, +,-сим-
волы операций, вместо знака умножения X часто ис-
пользуется точка, или знак операции просто опускается,
(3)= —символ тождества. Разумеется, аналогия здесь не
количественная, а в существе подхода к построению но-
вого аппарата для логических исследований. Имеются и
принципиальные отличия, которые мы указываем в соот-
ветствующих разделах.
Итак, наука готова к употреблению «знакового искус-
ства». Использование этого искусства состоит в преобра-
зовании исходных данных конкретной задачи по правилам,
аналогичным алгебраическим, с тем чтобы неизвестные по-
нятия выразить через известные или заданные. Когда за-
дача решена в символах, наступает следующий этап — пе-
ревод результатов с символического языка на язык «слов»;
это проблема истолкования (Erklarung). Идея интерпре-
тации также во многом созвучна идеям Буля. Однако в
установках Буля существенное отличие. Он работает над
построением абстрактной системы, смысл и значение ко-
торой весьма глубокие: эта система определяется закона-
ми, которым подчинены операции и отношения, и может
иметь различные интерпретации в зависимости от того,
какие объекты понимаются под символами классов и какие
операции при этом принимаются [5, с. 22, 25].
У Ламберта отсутствует такое представление об аб-
страктном характере исчисления, тем не менее его система
явилась шагом вперед по пути создания понятия «исчис-
ление» и создания математической логики.
3. Операции в логике Ламберта
Ламберт вводит в исчисление все алгебраические опе-
рации, в том числе возведение в степень и извлечение кор-
ня, последняя операция возникает в случае решения урав-
нения, если неизвестное является степенью. Двух послед-
них операций мы коснемся ниже.
231
Операция композиции (Zusammensetzung, Zusetzung),
обозначаемая символом «+», выражающим союз «и» или
предлог «с», служит для выражения понятия х, составлен-
ного из понятий aub: х = а b означает, что х есть а и
Ъ [8, т. 1, с. 32].
Вычитанием (отделением) (Absonderung, Auflosung)
называется преобразование понятий, состоящее в удале-
нии составляющего из некоторого целого. Оно обозна-
чается символом «—», понимаемым как «без» или «от».
Определением (Bestimmung) или связыванием (Verbin-
dung) Ламберт называет преобразование понятия, состоя-
щее в присоединении к данному понятию новых признаков.
Однако встречается и такое понимание умножения: «Пусть
а, Ъ — два понятия, тогда через аЪ выражаются их общие
признаки» [8, т. 1, с. 25]. Эту операцию Ламберт обозна-
чает точкой, символом умножения или, чаще, отсутствием
знака операции.
Четвертое преобразование называется отвлечением
(Abstraction) или отделением (Auflosung, Trennung), сим-
волом этой операции служит «:» или «—».
Если а — данное понятие, то ау — его род, аб — вид,
поскольку понятие полностью определяется указанием
рода и вида, то а = ау + аб.
Постулируются такие свойства умножения и сложе-
ния:
пВ = Вп, а 4- Ъ = b + а, (т + п) а = та + па.
Ламберт применяет операции к понятиям по их содержа-
нию, т. е. как к совокупностям признаков, в отличие от
объемного подхода представителей математической логики
XIX в. Не следует думать, однако, что Ламберту чужда
объемная точка зрения. Графическому изложению силло-
гистики Ламберт предпосылает следующее замечание:
«Всякое общее отвлеченное понятие распространяется на
все индивиды, которым оно присуще. Оно имеет поэтому оп-
ределенную протяженность. Если представить все эти инди-
виды в ряд или на линии, то длина этой линии графически
изобразит протяженность данного общего понятия» [6, с.
110].
Пз подхода Ламберта проистекают особенности его опе-
раций и затруднения, которые он так и не преодолел.
Прежде всего с принятой им точки зрения «сложение»
(композиция) соответствует пересечению объемов классов
232
и, вообще говоря, не отличается от «умножения». Чув-
ствуя такую нечеткость, Ламберт вводит разницу в обла-
стях применения операций. Например, относительно
композиции он замечает: «Предполагаемые к составлению
вещи должны быть субстанциями, и такими, которые допу-
скают составление вместе. Аналогичное замечание верно
и относительно сложения отделения. Подобное правило
есть и в арифметике, так как слагаемые и вычитаемые друг
из друга должны быть однородными» [8, т. 1, с. 156].
Можно ли применять композицию к атрибутам? Ответ
зависит от ситуации. Если атрибуты относятся к одной
и той же субстанции, то их связывают не знаком «+»,
а знаком умножения. Это подчеркивается Ламбертом
в следующем замечании: «(ж 4- п) А есть mA 4- nA,
что составляет две разных субстанции, в то время как
тпА есть одна субстанция, обладающая двумя призна-
ками» [Там же].
Из обзора операций Ламберта явствует, во-первых, что
исчисления, аналогичного тем, что создавались в XIX в.,
у него еще нет. Введенные им операции пока еще не вполне
отчетливы, однозначно понимаемы и дифференцированы.
Однако его попытки продвигали вперед проблему введе-
ния алгебраических операций в логику. Прояснялась по-
становка проблемы, отчетливо выступали трудности, свя-
занные с определением операций на множествах «логиче-
ской природы»; уже на этом этапе встают вопросы о том,
сколько нужно вводить операций, каково их сходство
с собственно алгебраическими и в чем отличие от них.
По существу, Ламберт поставил все вопросы, ставшие пред-
метом дискуссий в XIX в. Его попытки решить эти задачи
содействовали выделению идеи исчисления в логическом
смысле. Тесно примыкает к проблематике XIX в. и задача
исследования отношений, к которой мы перейдем.
4. Отношения в логике Ламберта
Два понятия неотличимы, если все их признаки оди-
наковы; подобны, если у них совпадают некоторые, но не
все признаки; родственны, если одно из этих понятий яв-
ляется признаком другого; различны, если не имеют об-
щих признаков; противоположны, если обладают противо-
положными признаками [8, т. 1, с. 16]. Сравнивая поня-
тия, выясняем отношения между ними.
233
Простое отношение (Ratio) есть признак, благодаря
которому одно понятие выражается через другое.
Составное отношение (Relatio) есть выражение данного
понятия через несколько других понятий.
Кроме того, Ламберт различает логические и метафи-
зические отношения. Логические отношения характери-
зуют признаки понятий количественно, метафизиче-
ские отношения говорят о свойствах признаков. Так,
упомянутые выше отношения неотличимости, подобия
и т. д. являются логическими, поскольку говорят о коли-
честве общих признаков у данных понятий. Примером ме-
тафизического отношения может служить причинно-след-
ственная связь между понятиями.
Отношения понятий отражают взаимосвязи объектов.
«Строго говоря,— пишет Ламберт,— ни один из предметов
не может быть совершенно неотличимым от другого. Тем не
менее наше исчисление (Recimung) должно основываться на
отношении неотличимости ...Точно так же обстоит дело в
геометрии и арифметике. В первой, например, имеют дело
с равносторонними треугольниками, предполагая, что
стороны совпадают по длине вплоть до неделимой точки.
И все вытекающие отсюда свойства и опирающиеся на этот
факт доказательства являются точнейшими, т. е. геомет-
рически точными, хотя в действительности ... нельзя встре-
тить треугольника с геометрически равными сторонами.
Требуется значительное усилие для того, чтобы считать их
равносторонними.... На практике довольствуются тем, что
считают результаты операций и измерений верными, если
ошибки не превосходят отличимых нашими чувствами ...
...Столь же условно и наше логическое исчисление
...в нем отвлекаются от некоторых индивидуальных осо-
бенностей, составляют себе абстрактную картину, которая,
однако, всегда должна согласовываться с раз принятыми
соглашениями» [8, т. 1, с. 159].
Таким образом, Ламберт понимает неотличимость
в смысле тождества: неотличимые считаются совпадаю-
щими. Этот же принцип тождества неотличимых, как из-
вестно, принимал Лейбниц: Пусть Р — произвольный пре-
дикат, тогда
х = у VP (Р (х) -> Р (у)),
это выражение, грубо говоря, означает следующее: все, что
можно сказать о х, можно сказать и о у. Из такого пони-
234
мания неотличимости следуют все свойства этого отноше-
ния, в частности:
(1) х = х, (2) если х = у, то у = х, (3) если х = у,
у = z, то х = z. Ламберт не выводит свойства неотличи-
мости из принципа Лейбница, а постулирует некоторые
из них, прежде всего рефлексивность, полагая, что для лю-
бого понятия а
а — а.
Он явно формулирует и принцип взаимозаменяемости не-
отличимых, который Ст. Джевонс (1835—1882) принимает
в качестве одного из законов, называя его принципом за-
мещения равных [11, с. III].
Ламберт подчеркивает, что отношение неотличимости
играет ту же роль, что и равенство в алгебре. К этому от-
ношению он стремится свести все остальные логические,
а также метафизические отношения.
Для произвольного метафизического отношения Лам-
берт принимает символ «: :», подразумевая, что метафизи-
ческое отношение полностью определяет одно понятие че-
рез другое. Пусть А, В — понятия, N — метафизический
признак, тогда формула
A = N : : В (1)
означает, что между А и В имеется метафизическое отно-
шение. При переводе на язык «слов» символ «: :» выра-
жается винительным падежом, формула (1), таким обра-
зом, переводится как «Das A ist N des В», т. е. «А есть
N для В».
Преобразуя формально выражение (1), Ламберт полу-
чает
A N : : В „
N ~ N ~ В'
Это выражение надо теперь истолковать. «Но при истол-
ковании обнаруживается затруднение. Мы замечаем
два обстоятельства. С одной стороны, указывает на опе-
рацию, противоположную N :: В, символ же : : говорит
у!
нам о наличии связи между А и N, поэтому можно вос-
принять как выражение, символизирующее необходимость
устранить связь (auflosen)» [8, т. 1, с. 41].
235
Истолкование просто и естественно, если -известно от-
ношение, противоположное N; обозначая его через X А/,
получаем
Б = х W : : А.
Но этим формальным приемом нельзя получить формулы
вида
N = X Б : : А,
поскольку Б не является символом отношения. Для опре-
деления N надо действительно устранить связь, суще-
ствующую между А и Б, т. е. «развязать» их. Однако это
уже не простая задача. Трудности, связанные с ее решени-
ем, аналогичны тем, что возникают в алгебре при решении
обратных задач. «Наибольшие трудности представляет
операция устранения связи, точно так же, как в аналитике
каждое уравнение легко может быть возведено в степень
или продифференцировано, но не столь легко его проинтег-
рировать или извлечь из него корень; легче связать два
понятия, чем освободить их друг от друга» [8, т. 1, с. 45].
В этом пункте отношения с неизбежностью приводят к
проблеме введения и истолкования обратных операций,
одной из существенных проблем и алгебры логики XIX в.
К этим же проблемам приводит и проблема «решения ло-
гических равенств».
5. Уравнения в логике Ламберта.
Способы их составления и решения
Применение знакового искусства, или всеобщей логи-
стики, как иногда говорит Ламберт, к решению частной
задачи состоит из четырех этапов:
(1) наименование (Benennung), т. е. сопоставление сим-
волов субстанциям и атрибутам; (2) отождествление
(Identification), т. е. составление «уравнения», приведение
к отношению неотличимости; (3) решение полученных
равенств (тождеств); (4) истолкование полученных ре-
шений.
Всеобщая логистика предназначается для определения
неизвестных понятий исходя из известных данных или
считающихся известными посредством решения соответ-
ствующих равенств.
236
Отождествление понятий состоит в выявлении отно-
шений между искомыми и данными понятиями и сведении
его к тождеству. Эти отношения либо задаются при по-
становке задачи, либо их требуется определить, сообра-
зуясь с природой исследуемых понятий. Отождествить
можно любые два понятия. В самом деле, пусть х и у —
произвольные понятия, ху — признаки, общие а? и у,
Ламберт через х | у и у | х обозначает собственные при-
знаки а? и у соответственно, т. е. по определению полагает,
что х \ у = х — ху и у | х = у — ху. Тогда
а? + ?/ = а?|г/4-?/[а?4- 2ху.
Однако в общем случае это соотношение не допускает
дальнейшего содержательного развития, поэтому для оп-
ределенности задачи надо, чтобы из трех понятий х | у,
у | х, ху были известны по крайней мере два. К смыслу ко-
эффициента 2 в слагаемом 2ху мы еще вернемся.
Пример. Найти такие два понятия, что, разделив
второе на первое, получим ряд (Reihe), но если разделить
первое понятие на тождество (Identitat), то останется
признак (Merkmal).
Решение. Пусть х — первое понятие, у — второе,
/ — ряд, i — тождество, п — признак, тогда условие вы-
глядит так:
у : х = /; х : i — п\
отсюда х = i :: п, у = i :: п :: /; но поскольку i :: п мож-
но истолковать как «тождество признаков», то х есть подо-
бие (Alinlichkeit). Но в таком случае у = х :: /, следова-
тельно, у — подобие рядов (Alinlichkeit der Reihe), т. е.
порядок (Ordnung) [8, т. 1, с. 86].
Логические отношения неотличимости, подобия, род-
ственности и др., как было сказано, выражаются предло-
жениями. Поэтому проблема их отождествления и реше-
ния сводится к соответствующим преобразованиям пред-
ложений. Рассмотрим пример метафизического отношения:
«Огонь есть причина тепла», огонь и тепло связаны как
причина и действие — следствие.
Пусть i — огонь, с — тепло, а — причина, тогда i =
= а :: с.
Оперируя с этим равенством, как с алгебраическим,
Ламберт получает еще три выражения, здесь - он, по-видимо-
му, использует как символ отрицания данного отношения в
237_
отличие от символах, указывающего на наличие термина
для противоположного отношения. Запишем полученные
формальные выражения слева, их истолкования —
справа:
i ~ а: : с — огонь есть причина тецла,
i а
=------огонь относится к теплу, как причина
к действию,
i с
— =--------огонь для причины — то же, что тепло
для действия,
с
— = —------тепло относится к огню, как действие
к причине.
Ламберт понимал необходимость наличия в общей тео-
рии способов решения, не зависящих от наличия или от-
сутствия соответствующих общепринятых терминов или
понятий, он отчетливо представлял проблему исследова-
ния отношений самого общего вида.
Поскольку каждое отношение записывается в виде не-
которого предложения, выразив предложения в символах
и отождествив их, получим одновременно соответствую-
щие методы преобразования отношений. Ламберт прежде
всего выражает символически и сводит к тождествам че-
тыре традиционных предложения силлогистики: общее
утвердительное а, частное утвердительное г, общее отри-
цательное е, частное отрицательное о.
Задание. Отождествить, т. е. записать в виде ра-
венства, общее утвердительное предложение. Возможны
два случая:
(1) Обратное предложение — общее утвердительное:
«все А суть В» и «все В суть Л», субъект и предикат неот-
личимы, поэтому
А = В.
(2) Обратное не является общим, субъект обширнее,
или больше предиката, поэтому
А > В.
Для представления этого предложения в виде равенства
необходимо доопределить предикат, указать дополнитель-
238
ный признак, «уравнивающий» А и В:
А = тВ
[8, т. 1, с. 93, 96].
Задание. Выразить символически и свести к тож-
деству частное утвердительно предложение: «Некоторые А
суть В». Здесь также возможны два случая:
(1) Обратное предложение общее: «Все В суть Л», пре-
дикат больше, чем субъект, поэтому
Л<В.
Это неравенство превращается в равенство доопределе-
нием субъекта:
mA = В.
(2) Обратное предложение частное, предикат есть под-
вид субъекта, субъект — подвид предиката
mA В, Л < пВ.
Соответствующие доопределения дают
mA пВ.
Задание. Выразить символически и свести к тож-
деству общее отрицательное предложение: «Ни один Л
не есть В». Субъект обладает признаками, которые не мо-
гут быть присущи предикату, и наоборот. Если отделить
(trennen) собственные признаки предиката, оставшиеся
признаки будут содержаться в субъекте, поэтому
Но можно отделить собственные признаки субъекта, тогда
оставшиеся составят часть признаков предиката
Обычным способом доопределения из двух этих нера-
венств получается одно равенство
Л _ В
п т
Случаи частного отрицательного предложения совер
шенно аналогичны случаям частного утвердительного
£39
и в зависимости от ситуации записываются в виде
или в виде
mA В, А <С пВ.
Не отличаются от упомянутых случаев и получающиеся
в этом примере равенства
mA = В
или
mA — пВ.
Ламберт рассматривает приемы символического выра-
жения и сведения к тождествам и для других видов пред-
ложений, например условных. Но мы не имеем возможно-
сти останавливаться на этом подробнее, к тому же приве-
денные примеры достаточно ясно демонстрируют его ме-
тоды составления равенств. Мы не станем подробно зани-
маться формальными преобразованиями выводов, заметим
лишь, что вывод образуется взаимосвязью предложений,
поэтому общий способ выражения выводов в символах и
оперирования с ними сводится к соответствующим опера-
циям над предложениями. Ограничимся одним приме-
ром.
Задание. Найти самую общую формулу вывода.
Решение. Пусть даны посылки
mA _ пВ р-С _____ vB
р q » Л ~ р ’
тогда
откуда почленным умножением получаем
4 _ ИР ЦП ту
пр «V ’ лд др
Общая формула вывода, следовательно, имеет вид
240
p.C vB
mA __ пВ л р
~Р Ч ’ И" с_ ™V-A
л? рр
18, т. 1, с. 102-103].
Конкретные выводы получаются из этой формулы уточ-
нением параметров т, п, р, р, v, л, р; Ламберт дает пра-
вила, регулирующие взапмосвязп этих параметров, с тем
чтобы получить правила, по которым посылки дают за-
ключения. С этой точки зрения исследуются все модусы
силлогистических фигур [8, т. 1, с. 103—111].
Проблема сведения способов получения следствий из
посылок к преобразованию п решению так называемых
логических уравнений сделалась главной в математической
логике XIX в. Представление предложений в форме ра-
венства и тождества достигается уточнением объемов субъ-
екта и предиката, использованием в качестве дополнитель-
ных «сомножителей» неопределенных классов [5, с. 18,
24—25]. Это, как мы только что видели, сделано в симво-
лической логике Ламберта, т. е. им решена проблема кван-
тификации предиката, уточнения взаимного субъекта п пре-
диката, и проблема выражения предложений в форме
уравнений.
Буль называл «логическим уравнением» и «логической
функцией» любое равенство и функцию, содержащие сим-
волы классов. Как и Ламберт, он считал, что решить такое
уравнение — значит выразить искомый класс через дан-
ные или считающиеся известными классы понятия, т. е.
вывести следствия из условий задачи, посылок. Процедура
решения Ламберта формально ие отличается от решения
Буля: произвести все алгебраические преобразования над
символами классов понятий, а затем вернуть им содержа-
тельное истолкование. Однако в последнем пункте име-
ются существенные различия.
Буль предполагал, что на множестве классов заданы
два специфичные класса: «универсум», играющий роль
единицы, и «пустой» класс, аналог нуля, обозначаемые
соответственно через 1 и 0. Решение уравнения Буль на-
чинал с разложения функции, полученной после пере-
несения искомого класса влево или заданной в условии,
на конституенты — подклассы универсума, образованные
комбинациями данных классов и их дополнений.
241
Операции над классами оп подчинил законам, отлич-
ным от законов операций над числами:
х-х = х, х + х = х.
Выполняется закон х (1 — х) = 0, где (1 — х) — до-
полнение х до универсума 1.
Для интерпретации результата решения уравнения
Буль сформулировал следующие правила:
(1) В заключительном выражении искомого класса со-
храняются все слагаемые конституенты, имеющие числовой
коэффициент 1.
(2) Все слагаемые с числовым коэффициентом 0 отбра-
сываются.
(3) Коэффициент — заменяется символом неопределен-
ного класса v.
(4) Все слагаемые, коэффициенты которых имеют вид,
отличный от перечисленных в пунктах (1) — (3), напри-
мер с коэффициентами 2, 3/5, 4/0 и т. п., не появляются
в заключительном выражении, приравниваются нулю.
У Ламберта в исчислении встречается «единица», но опа
у него возникает не как универсальный класс, подклас-
сами которого являются данные классы, а появляется в за-
дачах с «обратными» операциями, как результат деления.
Пусть понятие А является признаком понятия В. Если
положить = N, тогда N — особенный, или метафизи-
ческий, признак В, п А не имеет никаких собственных
.1 л гл
признаков, поэтому — Отсюда
A:B = 1:N.
А А
«Таким образом, признак А относится к своему поня-
тию В, как некая вещь (ein Ding) к определенному
признаку N» [8, т. 1, с. 54]. В другом месте [8, с. 148—149] он
поясняет, что единица есть образ простой субстанции,
не имеющей никакой спецификации. Представление о едини-
це у него не связано отчетливо с подклассами как подлин-
ными объектами, над которыми осуществляются вводимые
операции, это вызвано его подходом «по содержанию»
и существенно отличает исчисление Ламберта от алгебраи-
ческих систем логики XIX в.
242
Исходя из алгебраических соображений, Ламберт вво-
дит неопределенные коэффициенты и сомножители со-
вершенно аналогично тому, как это делает Буль. Мы не
станем, однако, задерживаться на этом и обратимся к роли
отличных от нуля числовых коэффициентов, степеней и
выражений, содержащих корни, в исчислении Ламберта.
Пусть а — понятие, ау — его род, «6 — вид. Ламберт
полагает по определению
а = (ау 4- аб)п = а (у + б)п.
Ясно, что здесь аа = а, хотя он и не оговаривает этого.
Но ау и аб — понятия, поэтому для них верно
ау = ауу + ауб, аб = абу + абб.
Отсюда
а = а (у + б)2 = ау2 + ау8 + абу + аб2,
а = а (у + б)3 = ау3 + ау2б + ауб2 + ау8у + абуб +
Ч-абу2 + а62у + аб3.
Пояснения, которые дает затем Ламберт, весьма много-
значительны, и мы приведем их полностью:
«Однако вместо у2б + убу буу нельзя писать Зу2б,
или Збу2, или Зубу, так как все это — совершенно разные
признаки. Но вместо а (у + б)3 можно все же писать
а (у3 Зу2б + Зуб2 + б3), имея в виду, что 3 показывает
здесь, сколько раз могут переставляться у и б в у2б и
уб2. Таким образом, ради краткости можно писать
а = а (уп уи-1б уп-2б2
или
а = а (уп + иу71-1б ~ у’1-26 + .. ,
пли, по формуле Ньютона,
а = а (Рп + nAQ + BQ + CQ + .. .) ,
и, если выделить признаки, то степени указывают, сколько
раз должны быть взяты у и б, а коэффициенты — сколько
раз они меняются местами» [8, т. 1, с. б—7]. Вряд ли
здесь требуются какие-то пояснения.
Ламберт вводит числовые коэффициенты не только
с вышеуказанными целями. Придерживаясь логистиче-
243
ской концепции Лейбница, он стремится показать, что
арифметика — и даже алгебра и вся аналитика — лишь
частный случай всеобъемлющей символической логики.
Вот каким образом подкрепляет он свою точку зрения.
Пусть А, В, С, D, ... — части некоторого целого; они
могут отличаться друг от друга, но можно предположить,
что все они совпадают между собой: А = В = С = D= ...
Отсюда
А + В = 2А,
А + В + С = ЗА,
«Если теперь рассматривать А как некое целое пли вообще
как 1, то 2А = 2, ЗА = 3, и мы приходим к величинам.
§ 20. Отсюда ясно, что арифметическое сложение и вы-
читание суть частные случаи логического составления
(Zusammensetzung) и вычитания (Absonderung) ... в ариф-
метике вместо А + В + С + ..., которые суть неопре-
деленные и различные субстанции, полагают 1А 4- 1А +
-|- 1А + ... или просто 1 + 1 + ... и искусным приемом
характеристики здание чисел превращается в удобную
арифметику» [8, т. 1, с. 152]. И далее, поскольку «... Вся
арифметика является частным случаем всеобщего анализа,
или логики, то отсюда легко следует важное замечание:
ясно, что алгебра, применяемая в геометрии, в действи-
тельности является приложением всеобщего анализа»,
или логики [Там же, с. 154].
Приложение логического исчисления наиболее удобно
там, где (1) субстанции можно подразделить или разло-
жить на более простые субстанции одинакового вида; (2)
различные простые субстанции единообразным приемом
могут быть приведены к субстанциям одинакового вида.
Можно заметить кстати, что в следующем параграфе он
сопоставляет терминологию алгебры и символической ло-
гики, называя последнюю логической алгеброй. Напри-
мер:
Addition (сложение)
ление),
Addendi (слагаемые)
Summa (сумма)
лое),
Subtraction (вычитание)
— Zusammensetzung (состав-
— Teile (части),
— Summe, das Ganz (сумма, це-
— Absonderung (отделение).
244
Затем Ламберт задается вопросом о том, что соответ-
ствует в логической алгебре степеням и корням? Одно из
истолкований степеней мы уже отмечали. Ламберт дает
и другое. Пусть имеется субстанция mnpqA. Если поло-
жить m=n=p=qn допустить АпА = mnpqA, то ка-
ков смысл таких выражений в логике? Формально поня-
тия А, Ат, Ат2, Ат3, ... следуют друг за другом в ариф-
метической погрессии. таким образом, вопрос сводится
к истолкованию прогрессии. Пусть Лиг = В, Ат2 = Вт =
= С, Вт2 = Ст — D, . . .; положим т = —, тогда
Р
— А = В, — В = С, — C = D,...,
Р Р Р
следовательно,
п : р = В : А = С : В = D : С = ..., р : п = А :В =
= В : С = С : D — .... И задача сводится к тому,
чтобы найти последовательность понятий, каждое из ко-
торых относится к следующему, как р к п. Например, опа
будет решена, если указать последовательность поня-
тий, связанных причинно-следственными отношениями.
Но коль скоро введено возведение в степень, то надо
вводить и извлечение корней. Пусть, к примеру, D = Ат3,
тогда т3 = D : А и т = у' D : А. Как фактически извлекать
корень? Обычно предлагаются искусственные приемы.
Пусть, например, надо решить равенство
а : х — х : Ъ,
из этого равенства а :: b = хх, х = Если положить
а = А :: В, В = А :: Ъ, тогда аЪ = А :: А :: b :: Ь, сле-
довательно, х = ab = А :: Ь, т. е. вопрос фактически
сводится к отысканию подходящего содержательного от-
ношения [8, т. 1, с. 157; 11].
6. Заключение
Труды Ламберта, посвященные созданию символиче-
ского исчисления в духе универсальной характеристики
Лейбница, явились значительным шагом вперед на пути
создания логической алгебры, или алгебры логики, как
стали говорить в XIX в.
245
Хотя Ламберт и не создал исчисления, в смысле исчис-
лений средины XIX в., хотя введенные им операции еще
не отличаются четкостью определения и однозначностью
истолкования, однако его сочинения отражают процесс
поиска нужных операций, подходящих символов для них;
проясняется постановка проблем, выявляются специфиче-
ские трудности, связанные с распространением алгеб-
раических операций на объекты логики, в частности
отчетливо встает вопрос о том, все ли алгебраические опе-
рации, нужны в логике? Из примеров Ламберта ясно, что и
возведение в степень, и извлечение корня в логике яв-
ляются чрезвычайно искусственными и носят лишь фор-
мальный характер, при этом следует иметь в виду, что
Ламберт понимал, что «умножение» признаков ничего на
самом деле не множит: «К понятию нельзя добавить признак,
который оно уже имеет... поскольку иначе надо было бы
говорить железное железо» [8, т. 2, стр. 133].
По существу, все вопросы, связанные с логическими
операциями и обсуждавшиеся в XIX в., поставлены в ра-
ботах Ламберта. Его попытки решить эти вопросы и пре-
одолеть связанные с ними трудности способствовали и вы-
яснению того, что такое исчисление.
Подход к операциям над понятиями с точки зрения
содержания не был наиболее удачным с точки зрения вы-
явления характерных особенностей этих операций. Удоб-
нее и легче это осуществить, если понятия брать по объему.
Но в результате Ламберт содержательно трактовал и
отношения. Его подход близок к тому, что развивал
А. де Морган. Пирс и Шрёдер рассматривали отношения
как совокупности пар. Содержательная же точка зрения
была позднее последовательно проведена Б. Расселом
(1872—1970). Относительно преимуществ подхода к от-
ношениям «по содержанию» можно прочесть в «Фило-
софских принципах математики» Л. Кутюра |12, с. 27—33].
Ламберт, как и Лейбниц, не создал полностью исчис-
ления, однако их усилия в этом направлении значительно
проясняли представление о содержательном аксиоматиче-
ском построении науки и об особенностях исчислений в ло-
гике, подобных алгебраическим.
Труды Ламберта, да и Лейбница, невзирая на то, что не
все сочинения последнего были известны к началу XIX в.,
оказали влияние на формирование математической логики.
Сочинения Ламберта знал У. Гамильтон (1788—1856);
246
на все известные к тому времени сочинения Лейбница ссы-
лается Джевопс. В очерке истории логики Дж. Венна
(1834—1923), содержащемся в его «Символической логике»
[13], подробно излагается точка зрения Лейбница и Лам-
берта, дается оценка вклада, сделанного каждым из них.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра.
Теория чисел. Геометрия/Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Про-
свещение, 1976.
2. Leibniz G. Mathematische Schriften/Hrsg. С. I. Gerhardt. Berlin:
Halle, 1849—1863. Bd. I—VII.
3. Leibniz G. Philosophische Schriften/Hrsg. С. I. Gerhardt. Ber-
lin, 1875—1890. Bd. I—VII.
4. Opuscules et fragments inedits de Leibniz/Ed. L. Couturat. Pa-
ris, 1903.
5. Математика в XIX веке. Математическая логика. Алгебра. Тео-
рия чисел. Теория вероятностей/Под ред. А. Н. Колмогорова
и А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.
6. Lambert J. Н. Neues Organon, oder Gedanken iiber die Erfor-
schung und Bezeichnung des Wahren und dessen Unterscheidung
von Irrtum und Schein. Leipzig, 1764, Bd. 1/2.
7. Lambert J. H. Anlage zur Architecktonik, oder Theorie des Ein-
fachen und des Ersten in der philosophischen und mathematischen
Erkenntnis. Riga, 1771, Bd. 1/2.
8. Lambert J. H. Logisclie und philosophische Abhandlungen.
Berlin, 1782 1787. Bd. 1/2.
9. de Morgan A. formale logic, or the calculus of inference, neces-
sary and probable. London, 1847.
10. Boole G. An investigation of the laws of thought, on which are fo-
unded the mathematical theories of logic and probable. London,
1854.
11. Джееонс Cm. Основы науки. СПб., 1881.
12. Кутюра Л. Философские принципы математики. СПб., 1913.
13. Venn J. Symbolic. London, 1881; 2nd ed., 1894.
ЛАМБЕРТ — ГЕОМЕТР
Б. Л. Лаптев
Иоганв Генрих Ламберт (1728—1777) в своих геомет-
рических исследованиях не был склонен пользоваться ана-
литическим методом — методом координат. Он предпочитал
классический евклидов подход, опирающийся иа непо-
средственное рассмотрение фигур и облегчающий инту-
итивное постижение результата.
Он проявил себя как глубокий геометр, увлеченный
проникновением в многообразие геометрических связей,
но при этом он никогда не забывал о возможностях их
практического использования.
Его геометрические достижения относятся главным об-
разом к трем областям (разделам):
I. Тригонометрии.
II. Перспективе и картографии.
III. Основаниям геометрии.
I. Тригонометрия
Ламберт проанализировал число возможных основ-
ных соотношений между элементами треугольника, пе-
ребрал различные случаи их решения, вывел некоторые
новые формулы, удобные для логарифмических расчетов,
составил сводку важнейших гониометрических формул
[1, с. 369—424] и положил начало исследованию возмож-
ных случаев решения четырехугольников («План тетраго-
нометрип») [2, с. 175—183].
Особенно интересные результаты он получил в сфери-
ческой тригонометрии. В своей книге «Дополнения к при-
менению математики и их приложения» (I ч. Берлин,
1765), в разделе, посвященном тригонометрии [1, с. 369—
424], он поставил и решил проблему: найти математиче-
скую сущность правила Непера для сферических прямо-
угольных треугольников.
Как известно, двумя элементами такой треугольник
определяется. Непер, классифицируя возможные случаи
248
решения треугольников, когда один элемент выражается
через два других (а таких соотношений будет Cl = =
= 10), пришел к очень простому мнемоническому правилу
(которым и сейчас пользуются все, имеющие дело со сфе-
рической тригонометрией), позволяющему легко выпи-
сывать все эти 10 соотношений. Надо разделить окруж-
ность на пять равных секторов и вписать в них названия
пяти элементов в естественной последовательности, по-
лучаемой при обходе периметра, например, против часо-
вой стрелки (рис. 1, где места для катетов затемнены).
Далее, надо заменить катеты а и Ъ их дополнениями а' и
Ь' до л/2:
/ JT । г ЗТ »
а = -------a, b = --j---------------------о.
Zu Zu
Тогда для каждого элемента схемы его косинус равен про-
изведению котангенсов двух прилежащих элементов,
а также произведению синусов остальных двух элементов
(их называют противолежащими):
{ctg * ctg * (для прилежащих),
sin* sin* (для противолежащих).
Например, для гипотенузы с имеем
cos с = ctgot ctg|3,
cos с — sin «'sin b' = cosa cos b.
Эти соотношения для гипотенузы легко выводятся. Но
почему оказываются справедливыми и остальные восемь,
выписываемые по правилу Непера? В чем заключают-
ся математические основания этого факта?
Ответ па эту проблему Ламберт получил, осуществив,
исходя из данного треугольника, построение звездчатого
сферического пятиугольника с пятью прямыми углами при
249
вершинах х. Тогда выделяется цикл из пяти треугольников
(включая исходный), причем переход от одного из них
к следующему (в выбранном направлении обхода) соответ-
ствует повороту схемы Непера на определенную часть
полного оборота. Мы изложим его рассуждения, подверг-
нув их для простоты незначительному видоизменению.
Пусть АВС — исходный сферический прямоугольный
треугольник (рис. 2) с катетами а и Ь, острыми углами а
и р и гипотенузой с. Рассмотрим полюс Г гипотенузы с.
Через Г проходят поляры 2 точек А и В (так как эти точки
лежат на с). Пусть U и Z — точки пересечения продол-
жения стороны а с полярой точки В и соответственно
продолжения стороны Ъ с полярой точки А. Пересечения
этих поляр с продолжениями гипотенузы с назовем соот-
ветственно W и V. Таким образом, возникает звездчатый
пятиугольник CUVWZC с прямыми углами при вершинах.
Пересечения его сторон выделяют (см. рис. 2) простой
пятиугольник, опоясанный пятью прямоугольными тре-
угольниками, прилегающими к этому пятиугольнику ги-
потенузалги. Каждая сторона этого пятиугольника по по-
строению служит полярой противоположной вершины,
а величина стороны равна внешнему углу при этой вер-
шине (на рис. 2 все размеры элементов указаны). Тре-
1 Впоследствии к этому же пятиугольнику, по-видимому не зная
о работе Ламберта, пришел и Гаусс, назвавший его «удивительным»
(Pentagramma mirifica). Работа Гаусса была опубликована по-
смертно в его научном наследии [3, с. 481].
2 Поляра, соответствующая данной точке сферы (полюсу),— это
большой круг, удаленный от полюса на л/2.
250
угольники пронумеруем в порядке, соответствующем
вершинам звездчатого пятиугольника CUVWZC, пронуме-
рованным начиная с исходной вершины С при обходе звез-
ды в указанном порядке: 1, 2, 3, 4, 5,1. Тогда переход от
одного треугольника к следующему выразится следующим
образом.
Катеты Угол Гипотенуза Угол
1 а b а с (5
2 ₽' а Ь' а С
3 с р' а' V а
4 а' с' (5 а' V
5 Ь а' С (5 а'
1 а Ъ а С (5
Мы видим, что в каждом из этих пяти треугольников
величины элементов равны величинам элементов (или их
дополнениям) предыдущего треугольника, причем цикли-
ческая последовательность элементов сохраняется, но ха-
рактер каждого элемента сдвинут на одно место.
Если построить соответствующую схему Непера для
этих треугольников, то обнаруживается, что для каждого
следующего треугольника секторы с величинами элемен-
тов просто поворачиваются на Vs полного оборота против
часовой стрелки (рис. 3).
В наличии этого цикла треугольников и заключается
разгадка схемы Непера. Последовательно на место гипо-
тенузы с встают по очереди a, b', а', Р и с, т. е. из справед-
ливости двух упомянутых ранее соотношений вытекает
справедливость остальных восьми.
Отметим, что в изложении Ламберта треугольники ну-
меруются в порядке, соответствующем обходу простого
пятиугольника ABQVPA, т. е. в следующем порядке:
1, 4, 2, 5, 3, 1. Тогда переходу от одного треугольника
к последующему соответствует поворот схемы Непера на
2/s оборота по часовой стрелке. Цикл замыкается в этом
случае после двух полных оборотов: 2/5, 4/s, 6/s, 8/s, 10/s.
Таким образом, в звездчатом пятиугольнике и цикли-
ческой группе треугольпиков, с ним связанной, и заклю-
чается открытая Ламбертом математическая сущность пра-
вила Непера.
251
Интересно отметить, что Н. И. Лобачевский при вы
воде тригонометрических соотношений между элементами
прямолинейного прямоугольного треугольника в своем
пространстве тоже нашел циклическую последователь-
ность пяти прямолинейных прямоугольных треугольни-
ков, порожденную данным, а затем ее использовал для
отыскания этих соотношений.
Впоследствии, в 1922 г., индийский математик Муко-
падиайа (S. D. Mukhopadhyaya) показал, как получается
Рис. 3
зта последовательность с помощью простого пятиуголь-
ника с пятью прямыми углами при вершинах. А затем
А. П. Норден в своих примечаниях к^«Новым началам»
Лобачевского, рассмотрев сферические треугольники, ко-
торые Лобачевский сопоставлял с прямолинейным, уста-
новил связь между пятиугольником Мукопадиайа и звезд-
чатым пятиугольником Ламберта, называя, однако, по-
следний пентаграммой Гаусса [4, с. 531—544].
II. Перспектива и картография
Основные исследования Ламберта, относящиеся к тео-
рии перспективы, включены в его книгу «Свободная пер-
спектива, или Руководство к выполнению перспективных
чертежей без изготовления плана» (1759) [5]. Одновремен-
но появился и французский перевод этой книги под наз-
ванием «Перспектива, освобожденная от затруднений, свя-
занных с геометрическим планом» [6].
Книга была предназначена для художников и архи-
текторов, но, несмотря на практическую направленность,
содержала множество геометрических открытий. По су-
ществу, здесь перспектива развивалась задолго до класси-
ческих трудов Монжа как метод начертательной геомет-
рии. Однако изобилие рассмотренных разнообразных ори-
252
гинальных геометрических задач затрудняло ее понимание
практиками. Параллельные проекции рассматривались
здесь как частный случай центрального проектирования
из бесконечно удаленной точки зрения. Изучалась пер-
спектива на наклонную плоскость. В частности, метод
Лакайля (Nicolas Louis de La Caille) [7, т. 3, с. 196]
использования на линии горизонта отметок углов, обра-
зованных с плоскостью картины прямыми параллельными
горизонтальной плоскости, был распространен Ламбер-
том и на случай перспективы на наклонную плоскость.
Значительное внимание было уделено восстановлению
натуральных размеров фигуры по ее перспективному чер-
тежу, и, таким образом, Ламберт явился здесь провозве-
стником методов фотограммометрии [8].
Продолжением и дополнением к его книге является
опубликованная посмертно его работа «Важнейшие и
употребительнейшие основные законы перспективы, выве-
денные из геометрически начерченного ландшафта» [9].
В появившемся через 15 лет новом издании «Свободной
перспективы» (1774) [15] Ламбертом произведены неко-
торые незначительные улучшения текста, кроме того,
имеется обширное приложение: «Замечания и дополнения»
(Anmerkungen und Zusatze), в котором после беглого об-
зора важнейших сочинений по перспективе и ряда допол-
нений к рассмотренным ранее задачам введен важный цикл
задач проективного характера, а именно задач на построе-
ние с помощью одной линейки: построения конического
сечения по пяти точкам, построения с недоступной точкой,
построения при наличии начерченного круга или парал-
лелограмма и др.
Таким образом, задолго до Понселе и Штейнера Лам-
берт владел ростками идей проективной геометрии.
Он оставил яркий след и в картографии (см. его «За-
мечания и дополнения к изготовлению географических
и небесных карт» (1772) [И, с. 105—199]). Еще до Гаусса
он рассматривал картографические проекции, сохраняю-
щие углы (не получив, правда, замечательной связи с тео-
рией функций комплексного переменного). Однако равно-
угольная коническая проекция вошла в учебники под его
именем [12, с. 130—133], а проекция, сохраняющая пло-
щади, оказалась притом практически очень важной,
нередко применяется, а в учебниках по картографии ши-
роко известна как «азимутальная (или зенитальная) рав-
253
невеликая проекция Ламберта» [12, с. 90, 130, 181—191,
230; 13, с. 44, 100, 171, 2511.
Нельзя не отметить его чисто геометрический резуль-
тат, касающийся параболы и зллипса, который оп получил
евклидовым методом в сочинении 1761 г., посвященном
изучению свойств кометных орбит [10]. Речь идет о вы-
числении величины векториальной площади, описанной
фокальным радиус-вектором параболы или эллипса по
заданным длинам начального и конечного радиус-векто-
ров и хорды, соединяющей их концы. Лагранж отметил,
что его попытка получить этот результат методом коор-
динат потребовала очень сложных расчетов.
III. Основания геометрии
Очень интересные, глубокие мысли, опережающие на-
уку XVIII в., были высказаны Ламбертом по вопросам,
касающимся оснований геометрии. Этими вопросами Лам-
берт усиленно занимался в середине 1760-х годов, как
показывают его письма к Г. Голланду (1742—1784). Так,
в своем письме от 11 апреля 1765 г. он, высказываясь
о методе Евклида [14, с. 21—39], касается данных Ев-
клидом определений основных геометрических объектов —
точек, прямых линий и плоскостей. Он отмечает, что они
не являются определениями в собственном смысле слова,
а по существу это просто названия тех инструментов,
с которыми геометр в дальнейшем будет иметь дело.
Ламберт пишет [14, с. 29]: «То, что Евклид скапливает
и помещает свои определения в начале определения, яв-
ляется как бы просто номенклатурой. Он делает это так,
как, например, часовой мастер или иной художник, начи-
нающий знакомить своих учеников с названиями инстру-
ментов».
Таким образом, здесь намечается современный под-
ход к основный! геометрическим элементам, четко сфор-
мулированный Гильбертом на рубеже XIX и XX вв.
в «Основаниях геометрии»: «Мы мыслим три системы ве-
щей: вещи первой системы называем точками и обозначаем
А, В, С, ... вещи второй системы называем прямыми...»
и т. д.
Далее Ламберт отмечает, что в своих доказательствах
Евклид пользуется выражением per definitionem (по опре-
делению) лишь в смысле per hypothesin (по предположению).
254
Так как пока существование понятия не доказано, всякое
определение — это лишь гипотеза, пока не дан хотя бы
один пример или на основании аксиом и постулатов не най-
дены условия возможности определяемой фигуры.
Так, определение параллелей — это просто гипотеза,
пока не доказана возможность их существования, что в
своем месте Евклид и делает.
Ламберту принадлежит содержащее ряд оригинальных
и ценных мыслей исследование «Теория параллельных ли-
ний». Рукопись относится к 176(5 г., но при жизни Лам-
берт ее не опубликовал. Опа появилась в печати в 1786 г.
при публикации Иоганном Бернулли (1744—1807) его на-
учного наследия [15]. Текст был опубликован еще раз
с соответствующей вводной статьей в 1895 г. в известной
хрестоматии Энгеля и Штеккеля по истории параллелей
[16, с. 137—208].
В этой работе Ламберт поставил своей целью строго
доказать 11-ю аксиому (по другим спискам это 5-й посту-
лат) Евклида, опираясь на остальные аксиомы и постула-
ты. Эта аксиома формулируется так: если на плоскости
две прямые образуют при пересечении с третьей внутрен-
ние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых
углов, то эти прямые при продолжении обязательно
пересекаются, и притом с той стороны от третьей прямой,
где лежат упомянутые углы.
Ламберт знает о многочисленных попытках так или
иначе освободиться от этой аксиомы. Он упоминает, в част-
ности, известную диссертацию Клюгеля (1763) [17], в ко-
торой, по его словам, «с большим остроумием и сдержан-
ностью выявлены содержащиеся в 30 таких попытках не-
достатки и чаще всего вкравшиеся: логический круг, про-
белы, скачки, паралогизмы, неправильно употребляемые
и безосновательно принятые определения, а также допол-
нительные аксиомы». В частности, Клюгель рассматривает
и попытку Саккери (1733), основанную па рассмотрении
четырехугольника с прямыми углами при основании и
равными боковыми сторонами. Этот четырехугольник Сак-
кери ранее встречался у Омара Хайяма [7, т. 3, с. 215—217].
Остальные два угла а будут равны. Предварительно воз-
можны три гипотезы: 1°. а = л/2, 2°. а л/2, 3°. а <л/2.
Саккери приводит к противоречию гипотезы 2° и 3° (допу-
ская ошибку в случае гипотезы 3“), а тогда остается 1°,
из которой легко вытекает евклидова аксиома параллелей.
255
Несмотря на заключение Клюгеля, что все рассмотренные
им в [17] попытки доказательства постулата параллельно-
сти имеют ошибки, Ламберт тоже предпринимает аналогич-
ную попытку. Он исходит из рассмотрения четырехуголь-
ника с тремя прямыми углами и четвертым углом а (это
половина четырехугольника Омара Хайяма. Такой че-
тырехугольник встречался ранее в работах Ибн ал-Хайсама
(965—1039) [7, т. 1, с. 232—233]). Хотя в конце своей ра-
боты Ламберт и совершает ошибку, однако значительный
материал обоснован им совершенно строго. В связи с прове-
денным исследованием Ламбертом высказана одна гени-
альная догадка, оправдавшаяся уже много позднее при
построении интерпретаций геометрии Лобачевского.
Труд Ламберта состоит из трех частей.
В первой части «Предварительные рассмотрения» он
останавливается на понятии доказательства. Что значит
доказать 11-ю аксиому? Речь идет не об истинности или
мыслимости евклидовой геометрии, а о логическом вы-
воде 11-й аксиомы из остальных аксиом и постулатов, что
следовало бы в принципе сделать чисто формально, не
вдаваясь в геометрическую суть.
Во второй части «Изложение некоторых теорем, ко-
торые рассмотрены самостоятельно» изложены различные
подходы к доказательству аксиомы параллелей, при про-
ведении которых все-таки всегда остается некоторый не-
доказанный остаток.
Третья часть «Теория параллельных линий» и содер-
жит упомянутую попытку Ламберта доказать 11-ю акси-
ому совершенно строго, sine ашоге ас invidia (т. е. не при-
бегая к аргументам любви или недоброжелательства).
Отправной пункт его исследования — это рассмотрение
двух перпендикуляров AM и BN (рис. 4), восставленных
в концах отрезка АВ к этому отрезку по одну сторону от
него. Из произвольной точки Аг луча AM опускается пер-
пендикуляр A^By на BN, и в образовавшемся четырех-
угольнике с тремя прямыми углами при вершинах А, В, Вг
рассмотрен четвертый угол а при вершине Аг. Если не
опираться на аксиому параллельности, то возможны всего
три гипотезы:
1°. а = л/2, гипотеза прямого угла,
2°. а л/2, гипотеза тупого угла,
3°. a <z М2, гипотеза острого угла.
Если удастся доказать, что гипотезы 2° и 3° приводят
256
к противоречию, то остается гипотеза 1°, а из нее выте-
кает евклидова аксиома параллельности. Таким образом,
11-я аксиома будет строго доказана.
Во всех трех случаях Ламберт изучает, как меняется
длина А1В1 при удалении А1 от А по лучу AM.
При гипотезе 1° оказывается, что все эти отрезки со-
храняют постоянную длину (получается прямоугольник),
т. е. AM и BN являются равноотстоящими прямыми, при-
чем ААг = ВВ1- Далее доказывается, что прямая, про-
ходящая через А и отклонившаяся от AM на произвольно
малый угол (в сторону АВ), обязательно пересечет BN, т. е.
11-я аксиома справедлива.
При гипотезе 2° доказывается, что отрезки AtBt умень-
шаются, и притом ускоренно. Поэтому AM пересекается
с BN. По симметрии то же произойдет с АК и BL, а тогда
через две точки будут проходить две различные прямые,
что противоречит основной аксиоме прямой линии (рис. 5).
При гипотезе 3° доказывается, что отрезки A^By (рис. 6)
при удалении At от А растут неограниченно, и при этом
угол а при Лх становится сколь угодно малым.
Интересно отметить, что Ламберт еще не видел в этих
необычных свойствах прямой линии противоречия.
Он просто указывает, что вместо 11-й аксиомы можно
было бы принять в качестве аксиомы невозможность асимп-
тотического сближения двух прямых. (При гипотезе 3°
здесь происходит асимптотическое сближение прямой
А М и прямой QP — предельного положения В1А1 при не-
ограниченном удалении Лт от Л.)
9 Заказ К 2436
257
Далее Ламберт, продолжая исследование и допустив
серьезную ошибку, приходит к формальному противо-
речию. Отложив ряд равных отрезков а по прямой LN
и восстановив в их концах по одну сторону этой прямой
перпендикуляры равной длины, он получает правиль-
ную выпуклую ломаную (рис. 7). Далее, ошибочно допу-
стив, что через вершины правильной ломаной можно
провести дугу окружности (в геометрии Лобачевского это
будет дуга эквидистанты), он получает противоречие:
с одной стороны, биссектральпые прямые, проведенные
в вершины ломаной, должны сойтись как радиусы в цент-
ре окружности, с другой стороны, они при продолжении
по другую сторону прямой не могут пересечься, так как
по доказанному расходятся после пересечения с ней 3.
В ходе рассуждений, связанных с выводом следствий
из гипотезы 3° (еще до получения своего окончательного
результата), он делает ряд чрезвычайно важных и прони-
цательных замечаний, причем нередко высказывается
очень эмоционально, проявляя увлеченность полученны-
ми результатами.
Так, установив, что при этой гипотезе существует внут-
ренне определенная (абсолютная) единица длины, он вос-
3 Следует заметить, что итог рассуждений Ламберта в его «Теории
параллелей» изложен в известной книге В. Ф. Кагана «Основания
геометрии» [18, с. 105] неправильно. Там сказано: «Ламберт при-
ходит к твердому выводу, что все попытки доказать пятый посту-
лат Евклида ни к чему не привели». Аналогичную неточность со-
держит изложение этого вопроса в трехтомной «Истории матема-
тики», где указывается, что «Ламберт не нашел противоречия в
гипотезе острого угла...» [7, т. 3, с. 218], и в книге Б. А. Розеп-
федьда «Исторпя неевклидовой геометрпп» [19. с. 97].
258
клицает: «Это следствие настолько привлекательно, что
вызывает желание, чтобы третья гипотеза была истинной» 4.
Выяснив, что в случае гипотезы 2° площадь S треуголь-
ника пропорциональна избытку суммы его углов над л,
а в случае гипотезы 3° — недостатку, он отмечает, что
гипотеза 2° выполняется для сферических треугольников,
так как для них
S = RS(A + В + С-п),
т. е. он впервые в истории геометрии дает пример реали-
зации абстрактной системы. Далее, как бы предугадывая
будущую интерпретацию геометрии Лобачевского, он
пишет: «Отсюда я должен бы был почти сделать вывод, что
третья гипотеза проявляется на поверхности мнимой сфе-
ры. По крайней мере должно быть нечто, почему на плоско-
сти ее не удается опровергнуть так просто, как вторую
гипотезу».
Весьма вероятно, что оп не стал публиковать свою ра-
боту, потому что сам вскоре усмотрел ее слабую сторону —
введение допущения, что через правильную ломаную мож-
но всегда провести дугу окружности (эту аксиому как эк-
вивалентную пятому постулату впоследствии упоминал
в переписке и Гаусс).
Таковы некоторые замечательные геометрические ре-
зультаты и предположения Ламберта. Даже бегло очер-
ченный вклад, внесенный им в геометрию, позволяет
оценить Ламберта как оригинального и глубокого иссле-
дователя, оставившего свой многообразный след в исто-
рии этой науки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lambert J. Н. Beitrag zum Gebrauche der Mathematik und deren
Anwendung. Berlin, 1765. I Theil.
2. Lambert J. H. Beitrag zum Gebrauche der Mathematik und de-
ren Anwendung. Berlin, 1770. II Theil, erster Abschn.
3. Gauss K. F. Werke. Gottingen, 1876, Bd. 3.
4. Лобачевский H. И. Поли. собр. соч., т. 2. М.; Л.: Гостехиздат,
1949.
5. Lambert J. Н. Die freie Perspective, Oder Anweisung jeden per-
spectivischen Aufriss von freien Sthcken und ohne Grundriss zu
verfertigen. Zurich, 1759. Имеется 2-е изд. с приложением заме-
чаний и дополнений.— Там же, 1774.
4 Подобное желание высказывал впоследствии и Гаусс в письме
к Тауринусу от 8 ноября 1824 г. |20, с. 106].
259
6. Lambert J. H. La perspective affranchie de I’embarras du plan
geometrical. Zurich, 1759.
7. История математики с древнейших времен до начала XIX сто-
летия, т. 1—З/Под ред. А. П. Юшкевича. Том 1. С древнейших
времен до начала Нового времени. М.: Наука, 1970. Том. 3.
Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.
8. Schur F. Johann Heinrich Lambert als Geometer.— Jahresber.
Dtsch. Math.-Verein., 1905, 14, S. 186—198.
9. Lambert J. H. Die vornehmsten und brauchbarsten Grundgesatze
der Perspecktive, aus Betrachtung einer geometrisch gezeichneten
Landschaft abgeleitet/Hrsg. C. F. Hindenburg.— Arch, reine
und angew. Math., 1799.
10. Lambert J. H. Insigniores orbitae cometarum proprietates, 1761.
11. Lambert J. H. Beitrag zum Gebrauche der Mathematik und deren
Anwendung. Berlin, 1772. III. Theil.
12. Граур А. В. Математическая картография. Л., 1938.
13. Каврайский В. В. Математическая картография. Л.; М., 1934.
14. Lambert J.H. J. Н. Lamberts-Deutscher Gelehrter/Hrsg. Joh. Ber-
noulli. Berlin, 1781, Bd. 1.
15. Lambert J. H. Theorie der Parallellinien.— Mag. reine und an-
gew. Math. Leipzig, 1786,2 Stuck, S.137—164; 3 Stuck, S.325—358.
16. Engel F., Stackel P. Die Theorie der Parallellinien von EukliJ
bis auf Gauss. Leipzig, 1895.
17. Kliigel G. S. Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum de-
monstrandi recensio. Gottingen, 1763.
18. Каган В. Ф. Основания геометрии. Часть первая. М.; Л.: Гос-
техиздат, 1949.
19. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. М.: Наука.
1976.
20. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по гео-
метрии Лобачевского и развитию ее идей/Ред. А. П. Нордеп. М.,
1956.
СТАТЬИ
РАЗ Л ИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
К ИСТОРИИ ОТКРЫТИЯ
УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ
(Эйнштейн п Гильберт)
Вл. 11. Визгни
В статье автора, опубликованной в предыдущем вы-
пуске «Историко-математических исследований» [1], был
сделан вывод о «независимом ... открытии общекова-
риантных уравнений гравитации» Эйнштейном и Гиль-
бертом. При этом имелась в виду финальная стадия откры-
тия этих уравнений в ноябре 1915 г. Отсутствие упоми-
наний о Гильберте и ссылок на пего в ноябрьских работах
Эйнштейна (особенно в докладе 25 ноября), отсутствие ка-
ких-либо свидетельств в воспоминаниях и переписке
о контактах между ними в ноябрьский период, диамет-
ральная противоположность их путей к уравнениям поля,
единодушное признание независимости открытия со сторо-
ны Ф. Клейна, Г. Вейля, В. Паули — все это, несмотря
на то что было известно о существовании небольшой пере-
писки между героями описанной истории [1J, делало веро-
ятным отнесение этих писем к другому периоду и вполне
правдоподобным вывод об этой независимости.
Появление статьи Дж. Ирмэна и К. Глимора в ноябрь-
ском выпуске трусделловского «Архива» [2] существенно
меняет описанную картину. Авторы этой статьи разыс-
кали в принстонскохМ архиве Эйнштейна переписку
Эйнштейна и Гильберта [3]. Оказалось, что именно в но-
ябре 1915 г. состоялся интенсивный обмен письмами меж-
ду теоретиками и что письма эти были связаны как раз
с последним этапом создания общей теории относительно-
сти (ОТО) — открытием общековариантных уравнений
гравитации.
Напомним, что Эйнштейн делал свои «академические»
доклады 4, 11, 18 и 25 ноября, а Гильберт — 20 ноября
[1]. 4 ноября Эйнштейн отказался от своей теории 1914 г.,
261
в которой уравнения поля не были общековариантиы.мп,
и вернулся к общековариантным по замыслу уравнениям
R№ = - v.Tils, (1)
ограниченным, впрочем, условием унимодулярности
У— g — 1. 7 ноября он посылает Гильберту корректуру
этого доклада и открытку, в которой сообщает свои ре-
зультаты. В открытке имеется замечание, что он уже «при-
мерно за четыре недели» до этого понял «иллюзорность»
своих нековариантных уравнений 1914 г. Это, кстати
говоря, подтверждается письмом Эйнштейна к Лоренцу
от 12 октября, в котором Эйнштейн выражает сомнение
в обоснованности полевых уравнений 1914 г. (переписка
Эйнштейна и Лоренца также хранится в принстонском
архиве Эйнштейна и еще не опубликована [4]). Иэ письма
можно заключить, что Гильберт мог сыграть существен-
ную роль в возникновении этих сомнений.
Ответное письмо Гильберта не сохранилось, но ясно,
что оно было написано до 12 ноября, так как 12 ноября,
сразу после своего доклада 11 ноября, Эйнштейн пишет
новое письмо, в котором благодарит своего гёттингенского
коллегу за «доброе письмо». В нем он сообщает об уста-
новлении им полностью общековариантиых уравнений
поля. Самих этих уравнений нет в тексте письма, по, не-
сомненно, имеются в виду полевые уравнения
(2)
ограниченные условием обращения в нуль следа тензора
энергии — импульса материи Т&, что означало приня-
тие гипотезы об электромагнитной природе материи.
Через день, т. е. 14 ноября, Гильберт отвечает срав-
нительно длинным письмом, написанным на двух отдель-
ных открытках. Он рассказывает о своей единой теории
поля, изложенной в последовавшем менее чем через не-
делю его докладе «Основания физики» [1]. Хотя уравнения
гравитации, обнародованные Гильбертом 20 ноября,
(3)
где совпадает с соответствующим тензором теории Ми
(и поэтому имеет нулевой след), в этом письме отсутству-
ют, текст письма говорит о том, что к этому времени тео-
рия Гильберта была закончена. Об этом же говорит и то,
что Гильберт приглашает Эйнштейна на свой доклада Гёт-
262
тингенском математическом обществе, который был назна-
чен на 23 ноября (но состоялся, как мы знаем, 20 ноября).
Гильберт подчеркивает также радикальное отличие своей
теории от теории Эйнштейна. Не вполне ясно, имел ли он
в виду эйнштейновскую теорию 4 ноября, 11 ноября или
обе эти теории. Вероятно, он имел в виду то, что его тео-
рия была не столько теорией тяготения, сколько единой
теорией гравитации и электромагнетизма, и существенно
опиралась при этом на нелинейную электродинамику Ми.
15 ноября Эйнштейн уже пишет ответное письмо. По-
ражает, кстати говоря, четкость и быстрота почтового об-
служивания. Эйнштейн проявляет большой интерес
к теории Гильберта, называя ее «мостом между гравита-
цией и электромагнетизмом», и просит прислать текст
подготовленного Гильбертом доклада: «Идя навстречу
моему нетерпению, пришлите мне, пожалуйста, если
можно, корректуру Вашего исследования» (Schicken Sie
mir bitte, wenn moglich, ein Korrektur—exemplar Ihrer
Untersuchung, um meiner Ungeduld entgegenzukommen)
[2, c. 301]. Но от приглашения приехать в Гёттинген Эйн-
штейн отказывается, ссылаясь на усталость и нездоровье.
Тем не менее в эти дни, предшествующие докладу 18 но-
ября, Эйнштейн работал исключительно интенсивно, за-
нимаясь расчетом движения перигелия Меркурия на ос-
нове уравнений
Gifc = 0,
(4)
в которые при отсутствии Тц: переходили уравнения и (1),
и (2), и (3).
Текст гильбертовского доклада он получает до 18 но-
ября, так как в этот день он пишет новое письмо в Гёттин-
ген, в котором благодарит своего адресата и замечает, что
уравнения Гильберта согласуются с его собственными
(очевидно, уравнениями 11 ноября): «Насколько я могу
судить, полученная Вами система в точности совпадает
с тем, что я нашел в течение последних недель и предста-
вил в Академию» (Das von Ihnen gegebene System stimmt,
soweit ich sehe, genau mit dem uberein, was ich in den
letzten Wochen gefunden und der Akademie uberreicht habe)
[2, c. 302]. Почему Эйнштейн считал одинаковыми свои
уравнения (2) и гильбертовские уравнения (3)? Ведь урав-
нения (3), скорее, эквивалентны окончательным уравне-
263
ниям гравитации, обнародованным Эйнштейном 25 ноября:
Gik=-n(Tik-----(5)
Дело в том, что в теории Гильберта предполагается, как
и в эйнштейновской теории 11 ноября, «бесследовость» тен-
зора Тц-, а в этом случае уравнения (5) и эквивалентные
им в общем случае уравнения (3) сводятся к уравнениям
(2). Но исключает ли это возможность влияния гильбер-
товских уравнений (3) на установление Эйнштейном урав-
нений (5)? Конечно, нет, хотя логика рассуждений и спо-
соб получения этих последних в работе Эйнштейна не имеют
ничего общего с формальной вариационной процедурой
гильбертовского вывода. В этом же письме Эйнштейн
сообщает о полученном им объяснении на основе уравне-
ний (4) аномальной прецессии перигелия Меркурия.
Последним известным письмом этого цикла переписки
была открытка Гильберта от 19 ноября, в которой он по-
здравил Эйнштейна с блестящим результатом относительно
Меркурия и заметил, что, если бы он умел считать так
же быстро, как Эйнштейн, он объяснил бы, почему элек-
трон в атоме водорода не излучает. В этом замечании еще
раз проявилась устремленность Гильберта к полевому
синтезу физики, в частности к решению на этой основе
проблемы квантов и строения атома. На этом переписка
обрывается. 20 ноября Гильберт докладывает свою теорию,
и в частности уравнения тяготения (3) с «бесследовым»
тензором 7'^-, характерным для теории Ми. 25 ноября до-
кладывает Эйнштейн об уравнениях (5), эквивалентных по
форме гильбертовским уравнениям, но с произвольным
тензором Т^. Опубликованный текст доклада Гильберта
содержит ссылки на все четыре ноябрьские статьи Эйн-
штейна. Это означает, что он подготавливался к печати
уже после эйнштейновского доклада 25 ноября, в опубли-
кованной версии которого нет упоминаний о Гильберте
и его уравнениях.
Авторы нашли еще одно письмо Эйнштейна к Гиль-
берту, написанное через месяц после описываемых собы-
тий (20 декабря). Оно в какой-то мере объясняет резкий
обрыв переписки и отсутствие ссылки на Гильберта в
эйнштейновском докладе 25 ноября. «Случай побуждает
меня,— писал Эйнштейн,— сказать Вам то, что для меня
важнее. В наших отношениях возникли некоторые недо-
264
разумения («eine gewisse Verstimiming»), причины которых
мне не хочется анализировать. Я старался, и не без успеха,
противостоять связанному с этим чувству горечи. Я снова
думаю о Вас с неомраченным дружелюбием («in ungetru-
bter Freundlichkeit») и прошу Вас попытаться думать обо
мне так же. Действительно, досадно, когда два таких
молодца («zwei wirkliche Kerle»), которые с трудом выр-
вались из этого подлого мира, не доставляют друг
другу радости» («niclit gegenseitig zur Freude gereichen»)
[2, c. 3061. «Недоразумение» в отношениях теоретиков воз-
никло, вероятно, после доклада Гильберта (19 ноября
датировано последнее письмо этого цикла). Возможно,
кем-то из них были сказаны обидные или резкие слова,
связанные с приоритетом в установлении уравнений гра-
витации (3) или (5). Возможно, первоначальная версия
гильбертовского доклада, которой мы не располагаем, не-
достаточно, с точки зрения Эйнштейна, учитывала осно-
вополагающий вклад Эйнштейна в развитие проблемы.
Последнего, впрочем, никак нельзя сказать об опублико-
ванном варианте доклада Гильберта, с корректурой ко-
торого Эйнштейн, как предполагают авторы, познакомил-
ся лишь во второй декаде декабря. Гильберт цитировал все
ноябрьские работы Эйнштейна, говорил о «грандиозной
теории общей относительности, выдвинутой Эйнштейном
в его последних работах», называл свои уравнения (3)
«созвучными» теории Эйнштейна, не претендуя тем самым
на открытие полевых уравнений и завершение ОТО. По-
видимому, Эйнштейн расценил это как шаг Гильберта
к примирению, чем и объясняется тон и содержание де-
кабрьского письма Эйнштейна. Так увлекательная исто-
рия открытия уравнений гравитации, благодаря обнару-
жению! ноябрьской переписки Эйнштейна и Гильберта,
становится более понятной и еще более драматичной. Мож-
но лишь пожалеть о том, что авторы статьи не опублико-
вали этот замечательный документ истории человеческой
мысли и человеческих отношений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Визгин Вл. П. Гильберт и проблема общековариантных уравне-
ний гравитации.— Ист.-мат. исследования, 1979, вып. XXIV,
с. 226—246.
2. Earman J., Glymour С. Einstein and Hilbert: two months in the
history of general relativity.— Arch. Hist. Exact Sci., 1978,
19, p. 291—308.
3. Einstein Papers. Princeton Univ., microfilm real I. B. 1, N 13.
4. Einstein Papers. Princeton Univ., microfilm real I. B. 1, N 16.
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
НОВЫХ ИССЛЕДОВАНИИ О ГАУССЕ1
К. Р. Бирман
Здесь следует представить некоторые результаты ис-
следований, связанных с 200-летием со дня рождения Кар-
ла Фридриха Гаусса (ЗОЛУ 1777), которые были получены
прежде всего из анализа неопубликованных записей мо-
лодого Гаусса [1], приложенных им к его математическому
дневнику [2], и путем изучения неопубликованных писем
Б. фон Линденау к Гауссу [3], Ф. В. Бесселю [3],
И. Ф. Энке [3] и Г. X. Шумахеру [4], а также из просмот-
ра переписки других друзей и современников Гаусса, на-
пример писем К. Л. Хардинга к Бесселю [3], А. фон Гум-
больдта к Фр. Араго [5], Энке к Бесселю [3]. Новые све-
дения дает, далее, просмотр писем Гаусса к Гумбольдту
[6], X. Г. Гейне к Гауссу [1] и Гаусса к Ф. Р. Хасслеру
[7], а также их сопоставление с другими опубликованными
источниками — о связях Гаусса с Петербургской акаде-
мией [8] и о последних беседах Гаусса [9]. Результаты ис-
следования взаимоотношений между Гауссом и В. фон Гё-
те читателям «Историко-математических исследований»
уже известны [10].
В упомянутых только что заметках молодого Гаусса
содержится зашифрованная таблица, которая была ис-
толкована как запись выкладок в предпринятом Гаус-
сом перечислении простых чисел [11]. Первая (зашиф-
рованная) дата составления — 15 декабря 1791 г. Итак,
законом распределения простых чисел Гаусс начал зани-
маться уже в четырнадцать лет! Очевидно, с этого времени
датируется характерный для его исследований в теории
чисел метод: после формулировки задачи он переходит к
«практике» (вычисление, табулирование, «эксперимент»,
так сказать), отсюда — к теории (к формулировке индук-
тивно найденного закона, подлежащего доказательству
и доказываемого), оттуда — снова к практике (к приме-
* Перевод с немецкой рукописи И. А. Головинского.
266
нению закона при дальнейшем эмпирическом исследова-
нии) и затем — вновь к теории (к обнаружению более
глубоких связей с целью формулировки более общих за-
кономерностей на более высокой ступени) — и так далее
к познанию меры и гармонии в исключительно про-
дуктивном циклическом процессе, в котором очень боль-
шая доля участия наряду с гениальной интуицией при-
надлежала настойчивости и упорству. Впервые благодаря
этой таблице мы получаем точные датировки, относящиеся
к более раннему, чем так называемый «юношеский» период
жизни Гаусса, начинающийся в 1796 г.; мы видим, что
в четырнадцать лет, сразу после того, как при его первом
представлении к брауншвейгскому двору ему было пода-
рено несколько книг, и среди них таблица логарифмов,
он заинтересовался простыми числами. Закон распреде-
ления их, как известно, занимал его вновь и вновь вплоть
до преклонного возраста; их исследование по многим на-
правлениям позволило ему глубоко проникнуть в мульти-
пликативную теорию чисел.
Далее становится ясным, что до мая 1796 г., когда
Гаусс сформулировал свой асимптотический закон, он вы-
числил простые числа из первых 15 тысяч чисел. Но это
перечисление он продолжил дальше. Именно: в 1797 г.,
когда он напряженно работал над окончательной редак-
цией «Арифметических исследований» и только лишь сде-
лался обладателем новых открытий, он часто уделял время
вычислениям с простыми числами,— очевидно, не толь-
ко для подтверждения и усовершенствования приближен-
ных формул, но также ища и находя в этой работе раз-
рядку.
Эта напоминающая дневник таблица еще раз свиде-
тельствует о пристрастии Гаусса к статистическим спис-
кам, в чем, как и во многом другом, присутствовал элемент
игры, и демонстрирует примечательную особенность
Гаусса — его склонность к зашифровке: не только в публи-
кациях, но также и в бумагах, не предназначавшихся для
посторонних глаз, он стремился стереть все следы.
Проявления этой его склонности давали повод разным
объяснениям [12, 131. Выбор между различными интер-
претациями станет возможным только тогда, когда будут
найдены новые источники соответствующего рода. Назван-
ная таблица оставляет открытыми еще некоторые вопросы,
по основное ее назначение — регистрация простых чисел
267
до некоторого определенного номера — определено, по-
видимому, правильно.
Среди сопровождающих математический дневник за-
меток, о которых идет речь, имеется одна, примерно
1796 г., в которой индуктивный метод открытия выска-
зывается expressis verbis 2, и таким образом дается прямое
свидетельство об уже давно предполагавшемся эмпири-
ческом методе.
Хотя эмпирический метод здесь ясно высказывается,
остается все же тайной, как этому юноше удавалось по-
знавать «сокровенные связи, не опираясь на определенные
теоретические представления» (Пауль Бахман, 1922 г.);
эта загадочная способность является одним из типичных
признаков гения.
Другая часть записей на этпх листах представляет со-
бой пеструю смесь самого разнообразного характера. Здесь
имеются дедуктивные рассуждения и теоретико-числовые
опыты, различные вспомогательные вычисления, заметки
о новых измерениях вращения Сатурна, замечания о маг-
нитной полярности, формулы, относящиеся к лемнпскати-
ческим функциям, рассуждения о получении биномиаль-
ных коэффициентов из «степеней» некоторого бесконечного
ряда, замечания к истории изопериметрической проблемы
и метода полной индукции. Здесь же содержатся свидетель-
ства изучения Гауссом «Универсальной арифметики» (1707)
Ньютона и «Интегрального исчисления» (т. 1, 1768) Эйлера
с указанием на возможность более элегантных решений
отдельных задач.
О том, что Гаусс занимался не только целыми числами и
учебой, говорят проявления почитания Ньютона, а еще
более выразительно — копия 24-строчного любовного сти-
хотворения на французском языке п в немецком переводе
Ф. В. Готтера с такой копцовкой:
«Offnest du die Lippen, klopft mein panzes Herz;
deiner Hand Beruhren reisst mich himmelwarts.» 5
Далее мы встречаем имена и адреса, письменные игры,
упражнения, рисунки голов в профиль, наброски карт,
счета расходов за отдельные дни п многократные сопостав-
ления расстояний между отдельными пунктами, особенно
на пути из Брауншвейга в Хельмштедт. Расстояния даются
2 Явно, отчетливо.
3 «Откроешь ты уста — мое сердце забьется; прикосновение твоей
руки возносит мепя к небесам».
преимущественно в шагах (от Брауншвейга до Хельмштед-
та 45 053 шага), иногда приводятся также моменты времени
прохождения мест, расположенных по дороге. Два следую-
щих списка могут быть истолкованы как обзоры совершен-
ных путешествий.
Первый пз этих таблицеобразных перечней дает сведе-
ния о путешествиях до осени 1799 г., предпринятых Гаус-
сом из Брауншвейга п из Гёттингена, и указывает число
миль, покрытых пешком, верхом или в экипаже. Большая
часть их приходится, естественно, па обращение между
родным городом Гаусса Брауншвейгом и местом его учебы
Гёттингеном.
Второй список упорядочен хронологически и дает в
милях расстояния, пройденные Гауссом в его поездках
между 1784 и 1808 г., но без названий пунктов и местно-
стей.
По-видимому, более значительный биографический ин-
терес, чем эти реестры путешествий, представляют собой
списки отправки отдельных оттисков и указатели коррес-
пондентов. Их нам и предстоит теперь обсудить.
Письма, относящиеся к молодым годам выдающихся
личностей, как правило, сохраняются сравнительно редко:
предметом собирания становятся только рукописи тех, кто
уже прославился. Это справедливо и для Гаусса. Мы до-
вольно мало знаем о его связях с коллегами в первые годы
его научной деятельности. С наступлением так называемо-
го «астрономического» периода, когда двадцатипятилетний
Гаусс при помощи своих эфемерид сделал возможным
повторное обнаружение Цереры и благодаря этому (а не
благодаря «Арифметическим исследованиям», понятым
лишь немногими коллегами) вдруг стал широко известен,
происходит некоторая перемена; 1802 год представляет
собой отчетливый рубеж. Но и за период еще приблизи-
тельно до 1810 г. сравнительно немногие письма были
известны или опубликованы. Некоторые указатели, нахо-
дящиеся среди рассматриваемых заметок, дают теперь
желанную возможность дополнить наши знания о том, с
кем Гаусс завязал отношения в начале своей карьеры;
они позволяют также предпринять целенаправленный
поиск писем молодого Гаусса к лицам, которых до сих пор
мы либо вообще не связывали с его именем, либо о которых
не было известно, что они являлись в то время его коррес-
пондентами, даже если о связях как таковых мы знали.
269
Я вынужден отказаться от подробного комментирова-
ния этих списков п ограничиться суммарным обзором.
Речь идет прежде всего о списке получателей гауссов-
ской диссертации 1799 г. Он дает сведения о том, кого
Гаусс считал компетентным для профессиональной оценки
его доказательства основной теоремы алгебры, а также о
том, по отношению к кому он чувствовал себя обязанным
по личным пли научным основаниям. Приводятся 37 фами-
лий лиц и названий учреждений, которым Гаусс отправил
свою диссертацию; среди них есть не менее 15 получателей,
о связях которых с Гауссом мы до сих пор ничего или почти
ничего не знали. Из них здесь следует назвать: Иоганна
Альбрехта Эйлера, петербургского физика, сына знамени-
того Леонарда Эйлера; Фишера (вероятно, это Эрнст
Готтфрпд Фишер, профессор физики и математики в гимна-
зии Грауэс Клостер 4 в Берлине, частный учитель Алексан-
дра фон Гумбольдта, ставший объектом насмешек Гёте за
критику его учения о цвете); Людвига Иделера, берлин-
ского астронома и математика, специалиста в области исто-
рии хронологии; Христиана Ляйсте, директора школы в
Вольфенбюттеле (у Гаусса имелась книга Ляйсте «Арифме-
тика и алгебра, предназначенная для использования в
преподавании», Вольфенбюттель — Лейпциг, 1790 г.; чи-
стые листы ее Гаусс использовал для важных научных
записей); Иоганна Филиппа фон Роде, офицера из Потсда-
ма, автора работ по математике, астрономии и физике
(статью Роде о массах планет, 1805 г., Гаусс подверг
уничтожающей критике в «Ежемесячной корреспонденции
к поощрению географии и астрономии» [14]); Георга Фрид-
риха фон Темпельгофа, офицера, берлинского военного
историка и математика. Сохранился его положительный
отзыв о диссертации Гаусса [15].
Список имен упорядочен по алфавиту и дополнен вто-
рым, также алфавитным списком мест проживания полу-
чателей.
Следующий указатель был заведен Гауссом, очевидно,
по состоянию па 1802 г. и затем непрерывно дополнялся до
начала 1808 г.; он содержит имена его корреспондентов,
исключая семью. Так как астроном Генрих Христиан Шу-
махер (1780—1850). с которым Гаусс позднее поддерживал
чрезвычайно пространную переписку, не назван, то в ка-
4 Graues Kloster — буквально «серый монастырь».
270
чествС даты окончания записей получается 1808 г. Список
следует географическому принципу и, кроме немецких,
указывает корреспондентов в Англии, России, Франции,
Венгрии, Дании и Италии. Он сопровождается наброском
карты Европы, на которой крестиками отмечены те места,
где проживают корреспонденты.
Этот указатель содержит 49 имен, 14 из которых —
лица, до сих пор не ставившиеся в связь с Гауссом. Из
последних отметим здесь: Вильгельма Людвига Кристма-
на, вюртембергского теолога и математика; Христиана
Готтфрида Шютца, исследователя древности и литературо-
веда (первоначально — учителя математики и издателя
«Всеобщей литературной газеты» в Йене, затем в Халле,
в которой было опубликовано первое великое открытие
Гаусса — возможность построения правильного семнадца-
тиугольника циркулем и линейкой); Пауля Якоба Брунса,
преподавателя истории и литературы и библиотекаря в
Хельмштедте, где Гаусс, видимо, с ним и познакомился
(с 1810 г.— в Халле); Буссе (вероятно, Фридрих Готтлоб
Буссе, профессор математики и физики в горной академии
во Фрейберге — Саксония).
Должен быть упомянут, наконец, список получателей
«Теории движения...» (Theoria motus...). Он был составлен,
по-видимому, тогда, когда печатание гауссовской теории
движения небесных тел близилось к концу, так как загла-
вие этого списка — «диспозиция». Тем самым датировка
падает на конец 1808 или начало 1809 г. Поскольку здесь
впервые появляется Шумахер, то ясно, что данный пере-
чень был составлен после только что описанного указателя.
Он содержит имена 13 получателей, переписка двух из
которых с Гауссом прежде не была известна. Одно из этих
двух имен особенно интересно: барон Карл Теодор фон
Дальберг, первенствующий епископ Рейнского союза, до
того — имперский архиканцлер и последний курфюрст
майнцский. ВД808 г. он анонимно послал Гауссу 1000 гуль-
денов, чтобы дать ему возможность расплатиться по нало-
женной в пользу вновь образованного королевства Вестфа-
лии в форме принудительного займа контрибуции. Гаусс,
на долю которого выпало 2000 франков, был бы вынужден
в противном случае взять в долг под высокие проценты.
Вильгельм Ольберс, врач и выдающийся астроном из
Бремена, впоследствии по-отечески заботившийся о Гауссе
и покровительствовавший ему, а также Пьер Симон Лап-
лас, великий французский математик в Париже, хотели
предоставить деньги в распоряжение Гаусса, что тот, одна-
ко, отклонил. Гёте очень ценил Дальберга как давнего
«соседа и приятеля».
Теперь я перехожу к обзору новых данных о начале
занятий Гаусса астрономией [16].
23 декабря 1854 г., за два месяца до своей смерти, Гаусс
рассказал своему другу, гёттингенскому физиологу и
зоологу Рудольфу Вагнеру, как он стал астрономом:
«Я должен был ехать в Петербург. Там я стал бы чистым
математиком. Но Циммерман, профессор Каролпнума, в
момент своего отъезда в Веймар, куда его должны были
перевести и где он хотел осмотреться лично, дал мне номер
«Ежемесячной корреспонденции» Цаха, в котором (1801)
сообщалось об открытии Пиацци Цереры». Эта запись
беседы, опубликованная лишь теперь, позволяет, по-
видимому, однозначно определить как причину, так и
момент начала астрономических занятий Гаусса. Эберхард
Август Вильгельм фон Циммерман, физик и математик,
писатель-географ и преподаватель Коллегиума Каролииу-
ма в Брауншвейге, предшественника позднейшей Высшей
технической школы, устроивший для Гаусса герцогскую
стипендию и тем самым сделавший возможным для него
посещение Коллегиума Каролинума в 1792—1795 гг. и
обучение в Гёттингенском университете в 1795—1798 гг.,
оказывается, таким образом, тем человеком, который,
сознательно пли невольно, побудил Гаусса применить его
математические способности к задачам астрономии. Мес-
том, где это произошло, был Брауншвейг, где Гаусс после
окончания учебы жил как частный ученый при поддержке
герцога. Время, по-видимому, середина октября 1801 г.
Точный день отъезда Циммермана установить невозможно,
но факт его пребывания в Веймаре с 21 октября доказуем.
Что касается упоминания о номере издававшейся Францем
фон Цахом «Ежемесячной корреспонденции к поощрению
географии и астропомпи», то речь может идти только о
сентябрьской тетради 4-го тома, в которой на с. 280 были
опубликованы «Наблюдения небесного светила, открытого
в Палермо 1 янв. 1801 г. проф. Пиацци» (т. е. планетоида
Цереры) за период с 1 января по 11 февраля 1801 г. Однако
дело не обстоит так ясно и просто, как кажется на первый
взгляд. Исследуем эту запись беседы системати-
чески.
272
«Я должен был ехать в Петербург. Там я стал бы чистым
математиком». Уже эти оба утверждения проблематичны.
В каком состоянии находились тогда переговоры о пригла-
шении; можно ли было о нем вообще говорить в тот момент?
Циммерман, почетный член Петербургской академии с
1794 г., в письме от 16 февраля 1799 г. сообщил коллегам в
академии о своем юном протеже, которому тогда было
неполных 22 года, и указал на его выдающуюся работу
«Арифметические исследования». Последующие письма
Циммермана и самого Гаусса в Петербург до октября
1801 г. и протокольные записи об зтом мы можем здесь не
рассматривать. Достаточно констатировать, что до этого
момента в Петербурге вообще еще не было речи о пригла-
шении. Лишь когда Гауссом было выполнено определение
орбиты Цереры, он был 31 января 1802 г. избран членом-
корреспондентом Петербургской академии, a 3.V(21.IV)
1802 г. было решено иметь в виду его кандидатуру для
замещения свободного места астронома-наблюдателя. Ин-
тересно, что выбор должен был быть сделан между ним и
Иоганном Георгом Зольдпером, который, как известно,
позднее оказался конгениальным Гауссу в теоретической
геодезии. Кандидатуру Гаусса поддерживал кроме Цим-
мермана его хельмштедский наставник (Doktorvaler) Ио-
ганн Фридрих Пфафф, кандидатуру Зольднера — дирек-
тор берлинской обсерватории Иоганн Элерт Боде. Выбор
пал па Гаусса, по он не поехал в Петербург, так как его
стипендия увеличилась, и ему была обещана собственная
обсерватория в Брауншвейге. В 1807 г. он принял пригла-
шение в Гёттинген. 7 ноября 1808 г. он прочитал там свою
вступительную лекцию по астрономии. Датировка стала
теперь возможной на основании одного письма Хардипга к
Бесселю. Первый перевел эту лекцию с латыни на немец-
кий («Новый метод определения времени и высоты полюса
по высоте двух звезд») и опубликовал ее в 1809 г. в «Бер-
линском астрономическом ежегоднике» за 1812 г.
Итак, мы твердо зпаем: в октябре 1801 г. приглашение
Гаусса в Петербург вовсе еще не стояло на обсуждении, и,
следовательно, никоим образом не могло быть решено, что
там он будет работать в качестве «чистого математика».
Замечания 77-летнего старика, сделанные незадолго до
смерти,— даже если допустить, что Вагнер правильно их
передал,— требуют корректировки также и в другом отно-
шении. Циммерман состоял на службе у герцога Браун-
273
швейгского; если он хотел ее оставить п перейти на службу
к герцогу Веймарскому (Циммерман остался в Брауншвей-
ге; какие цели преследовал он во время своего пребывания
в Веймаре — неизвестно), то это событие никак нельзя
назвать «переводом».
Но посмотрим далее. Можно ли заключить, что лишь
вручение названной тетради «Ежемесячной корреспонден-
ции» привело Гаусса к занятиям астрономическими пробле-
мами? Факты показывают, что такой вывод сделать нельзя.
После того как 29 марта 1796 г., во время каникул
после первого своего семестра, Гаусс открыл возможность
построения правильного семнадцатиугольника при помо-
щи циркуля и линейки, а также принцип получения
правильных многоугольников, допускающих такое пост-
роение,и решил посвятить себя не классической филологии,
а математике, он, не имевший какого-либо состояния сту-
дент, должен был думать о том, как он сможет в будущем
зарабатывать свой хлеб. Для этого имелось только две
возможности: преподавание в высшей школе или универ-
ситете и служба в качестве астронома. Поскольку к препо-
давательской деятельности он не был расположен, то есте-
ственно, что уже с ранних пор свое внимание он обратил к
астрономии. Тому имеются с 1796 г. многочисленные свиде-
тельства, которые я не хочу приводить здесь по отдельно-
сти.
Можно резюмировать примерно так: в сделанном в бесе
де с Вагнером высказывании престарелого Гаусса верно то,
что получение сентябрьской тетради «Ежемесячной коррес-
понденции» за 1801 г. сыграло важную роль во временном
пренебрежении Гаусса исследованиями в чистой математи-
ке. Его определение орбиты, позволившее предсказать
положение лишь недолго наблюдавшейся Цереры, принес-
ло ему гораздо большую известность, чем могли дать его
открытия в теории чисел, и привело в конце концов к
приглашению на пост астронома. С другой стороны, у
Гаусса имелись необходимые предпосылки для этого, и
вовсе не внезапно из математика, которому применение
математики к задачам астрономии было совершенно чуждо,
он превратился в астронома.
Последовавшие за открытием Цереры открытия других
малых планет — Паллады (28.3.1802 г.), Юноны
(1.9.1804 г.), Весты (29.3.1807 г.) — привели Гаусса к
дальнейшим интенсивным и в высшей степени плодотвор-
274
ным занятиям определением орбит и к весьма обширным
вычислениям возмущений. Результатом явилось уже упо-
минавшееся основное его астрономическое сочинение
«Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг
солнца по коническим сечениям» (Theoria motus corporum
coelestium in sectionibus conicis golem ambientium), о
которой Гаусс, полный самомнения, говорил 17 марта
1808 г. издателю Фридриху Пертесу, что эта книга, если
он не ошибается, будет «еще изучаться и через столетия».
Правда, увлечение задачей определения орбиты Цереры и
энтузиазм, с которым он занимался усовершенствованием
метода, не были продолжительными. Примерно в 1818 г.
начался период занятий Гаусса преимущественно геоде-
зией, который в свою очередь сменился в 1831 г. длившимся
примерно до 1840 г. периодом ориентации на физику, хотя,
конечно, астрономические наблюдения и вычисления не
прекращались полностью никогда.
Относительно упомянутого приглашения в Гёттинген,
которому Гаусс последовал в 1807 г., тоже получается но-
вая картина. Именно: оказалось (до сих пор это было совер-
шенно неизвестно), что гёттингенский специалист по
классической филологии Христиан Готтлоб Гейне был тем
человеком, которому удалось настойчивостью и искусными
переговорами добиться переезда Гаусса в Гёттинген
[17]. Интересно, что Гаусс, сообщая 10 октября 1807 г.
Фуссу о своем решении ехать в Гёттпнген, привел в обосно-
вание то, что на свое заверение в готовности переселиться
в Петербург он «не получил никакого ответа». Однако зто
не соответствует действительности. 11 декабря 1806 г.
Фусс потребовал от Гаусса обязательство, чтобы не быть
еще раз скомпрометированным из-за последующего его
отказа. И на этом письме Фусса рукой Гаусса проставлена
дата получения: 1 мая [1807 г.]. У нас нет оснований сом-
неваться в искренности заявления Гаусса, сделанного
20 января 1803 г. петербургскому академику Фридриху
Теодору Шуберту, что он «издавна питал особое почтение к
месту, освященному тенью Эйлера». Но решение, столь
важное для его будущего, он мог принять лишь с трудом. Об
этом как раз мог бы порассказать Гейне, воззвавший
к нему однажды: «Проявите же решительность п мужество!»
Поскольку путь почты из Гёттингена был короток, Гейне
к тому же упорен и непоколебим, а путь почты из Петер-
бурга был долог, то Гейне удалось заполучить Гаусса в
275
Гёттинген. Нерешительностью Гаусса объясняется также,
почему все позднейшие попытки отозвать его из Гёттингена
он после некоторых колебаний отклонял, даже если и
думал неоднократно о том, как улучшить свое положение.
При просмотре писем Бернхарда фон Линденау к его
знаменитому коллеге астроному Фридриху Вильгельму
Бесселю [3] обнаруживается, что конкурсная задача,
опубликованная в ноябрьской тетради «Ежемесячной
корреспонденции к поощрению географии и астрономии»
за 1811 г. (ее издавал в то время Линденау), принадлежала
Гауссу. Действительно, 15 декабря 1811 г. Линденау
писал: «Итак, дорогой друг,— одна опубликованная в
„Ежем. корр.“ задача, которая кажется мне достойной
Вашего пера: „Прямоугольный параллелепипед разбива-
ется на три других параллелепипеда двумя плоскостями,
параллельными одной из его граней; средний параллелепи-
пед убирается: с какой силой каждый из оставшихся будет
притягиваться к другому, если притяжение обратно про-
порционально квадрату расстояния?" — Эта задача при-
надлежит Гауссу, который, однако, не хочет быть назван.
Задача кажется мне интересной, так как благодаря ей
будет решен вопрос, достаточен ли для объяснения явлений
когезии 5 известный закон притяжения или нет. Если Вы
пожелаете распространить эту задачу на случай цилиндра,
то тем лучше». Перед этим, 4 декабря 1811 г., Линденау
поблагодарил Гаусса за «прекрасную задачу». Точная дата
ее появления не может быть определена, потому что Линде-
нау, как известно, перед смертью распорядился уничто-
жить адресованные ему письма. 6 октября 1812 г. Бессель
сообщил Гауссу, что задачу он решил. К этому времени
закончилось 18-дневное пребывание Гаусса у Линденау в
Зееберге, близ Готы. Во время визита Гаусс нашел «также
решение для цилиндра» и под влиянием разговора с Линде-
нау о «разнице уровней Красного и Средиземного морей»
начал заниматься проблемой сфероидов. Когда решения
названной задачи, полученные Бесселем и Карлом
Б. Мольвейде из Лейпцига, прибыли. Линденау напечатал
их в «Ежемесячной корреспонденции», спросив перед этим
(12 декабря 1812 г.) Гаусса. Гаусс, насколько я знаю,
своего решения не опубликовал.
6 Сцепленпя.
276
В двух опубликованных к юбилею письмах Фердинанду
Рудольфу Хасслеру [18], первому суперинтенданту берего-
вой съемки США, где Гаусс подробно рассматривал исполь-
зование и регулировку гелиотропов и где он касается
организационных мероприятий, которые позволил1г бы
провести наблюдения изменения склонения и горизонталь-
ной напряженности магнитного поля Земли в большом
масштабе и по его методам, с тем чтобы осуществить
внедрение своих инструментов и методов, он предстает
перед нами как ученый, плодотворно занимавшийся техни-
кой и организацией измерений и наблюдений и тем самым
счастливо соединявший теорию с практикой.
Гаусс с удовлетворением и гордостью вспоминал свое
изобретение гелиотропа — инструмента, с помощью кото-
рого при геодезических съемках «отраженный свет солнца
можно непрерывно направлять в любую как угодно дале-
кую точку». В начале октября 1818 г. в Люнебурге вместе
со своим другом Шумахером из Альтоны он провел измере-
ния, требовавшиеся для соединения его триангуляций. При
этом, как он замечает, «Гамбург был плохо виден; распо-
ложенное с западной стороны и освещенное солнцем окно
затрудняло точное визирование». Позднее он добавил:
«Этот опыт был первым толчком к изобретению осенью
1820 г. гелиотропа». Вместе с тем в разговорах он много раз
подчеркивал, что его «любимое изобретение» не было
вызвано случайным отблеском оконного стекла в Гамбурге:
«уже задолго до этого» «все изобретение в уме было готово».
В некотором отношении это напоминает нам Леонарда
Эйлера, в конкурсной работе которого 1726 (1728) г.
«Рассуждения о корабельной задаче расположения мачт»
(Meditationes super problemate nautico, de implantatione
malorum) речь шла о том, что он не считал необходимым
подтверждать свою теорию экспериментом, так как она
целиком была выведена из надежнейших и бесспорнейших
принципов механики и поэтому ни в коем случае не могло
бы возникнуть сомнение в ее правильности и согласии с
практикой. Однако наряду с этим он, следуя своим замыс-
лам, провел со специально построенной моделью корабля
опыты по проверке своей теории наиболее целесообразного
расположения мачт.
Особое удовлетворение доставляло Гауссу преодоление
больших расстояний: знание того, «что благодаря примене-
нию света гелиотропа для величины образуемых треу-
277
голышков не будет больше границ, кроме тех, которые
устанавливает кривизна Земли». Он упоминает самую
длинную из измеренных им сторон треугольников Брок-
кен — Пнзельсберг (замечу, что различно повторяемую в
литературе гипотезу, что Гаусс измерял треугольник
Броккен — Инзельсберг — Верхний Хаген в целях экспе-
риментального подтверждения неевклидовой геометрии,
подкрепить доказательствами не удается). Он выразил
«готовность» «навести наверняка свет с Монблана в Вене-
цию», т. е. на расстояние 450 км. Когда в 1828 г. в Берлине
Гаусс присутствовал на собрании естествоиспытателей как
гость’Александра фон Гумбольдта, он спросил поэта и уче-
ного Адельберта фон Шамиссо, принимавшего участие в
кругосветном плавании на русском бриге «Рюрик» под
командованием Отто фон Коцебу в 1815—1818 гг.: «можно
ли геодезические работы и триангуляции продолжить с
азиатского берега на американский через Берингов про-
лив?». Да, па основании проделанных расчетов его убедили
в том, что «при помощи гелиотропа телеграфная связь»
между Землей и Луной может быть реализована «с полной
надежностью и без чрезмерной стоимости».
В публикациях Гаусс описал инструмент и его регули-
ровку; он охотно сообщал друзьям и корреспондентам о
своих собственных опытах по его применению и поручал
изготовить гелиотропы для них. Интенсивным размышле-
ниям об улучшении прибора и способов его применения, об
использовании зеркального секстанта как «заменителя
гелиотропа» («Vizeheliotrop») он неоднократно предавался
еще до 1843 г. Важнейшие письменные свидетельства заня-
тий Гаусса гелиотропом были помещены в девятом томе
собрания его трудов после публикаций, писем и неопубли-
кованных набросков. Найденные недавно письма к Хассле-
ру, уроженцу Швейцарии, дополняют эти свидетельства,
а также проливают свет на его отношение к этому коррес-
понденту, которого он пытался привлечь и к участию в
исследовании земного магнетизма, находившегося в сере-
дине 30-х годов прошлого столетия в центре его интересов.
Эти исследования приближают нас, кроме того, к луч-
шему пониманию личности Гаусса [19]. Я уже упоминал о
его примечательной неспособности принимать решения в
вопросах, относившихся к его будущей карьере. Недавние
исследования усилили наметившуюся уже раньше тенден-
цию изменить наше представление о Гауссе. Все больше
278
обнаруживается, что тот образ «железного» Гаусса, кото-
рый нарисовали Сарториус и другие члены дружеского
кружка, образовавшегося вокруг Гаусса в последние два
десятилетия его жизни (физики Вильгельм Вебер и Лис-
тинг, биолог Рудольф Вагнер, медик Вильгельм Баум, его
бывший зять, ориенталист Генрих Эвальд и младшая дочь
Гаусса Тереза), и в создании которого участвовал сам
Гаусс — свои письма он писал, как и Гёте, не только для
получателя или современного ему читателя, но и всегда с
оглядкой на потомство,— не соответствует действитель-
ности. Гаусс был отнюдь не невозмутимым героем, а весьма
впечатлительным и ранимым, подверженным настроению
человеком, чьи выставляемые напоказ спокойствие и твер-
дость были чисто внешними. Это особенно заметно в его
разрыве с коллегой — и поначалу другом — Хардингом,
открывшим Юнону, который на два года раньше Гаусса
был приглашен в Гёттинген как экстраординарный профес-
сор и инспектор обсерватории и с которым Гаусс вместе
работал там 27 лет. Сарториус фон Вальтерсгаузен не
упомянул об зтой ссоре ни единым словом, хотя в кругу
друзей о ней было хорошо известно и раздор дошел до того,
что Гаусс подумывал об уходе из Гёттингена. Эта ссора не
укрывалась даже от случайных посетителей обсерватории;
Гумбольдт, посетив в 1826 г. Гёттинген, смеялся, обра-
щаясь к Араго, над этим принимающим гротескные формы
конфликтом. Я не буду говорить здесь о слишком челове-
ческих причинах этого. Достаточно отметить, что Гаусс
не был каким-то «rocher de bronze» («бронзовым монолитом»),
а «человеком со своими противоречиями». Он не предстает
перед нами сверхчеловеком, и только благодаря этому
оказываются логичными мотивы и поступки, которые
прежде были непонятны. Потерял ли он из-за этого в
величии и притягательности? Напротив. Восхищение перед
достижениями человека, в высшей степени зависевшего от
окружающей его жизненной атмосферы, еще больше увели-
чится, раз теперь мы понимаем, что свои бессмертные
работы он создавал в условиях, никоим образом не способ-
ствовавших творчеству его масштабов, что тяжелый труд
при неблагоприятных обстоятельствах составлял по отно-
шению к интуиции и гениальности гораздо большую часть,
чем считалось до сих пор; если мы признаем, что впечатли-
тельному и обидчивому человеку приходилось бороться не
только с неудовлетворительными условиями работы, но и с
279
самим собой. Я хотел бы надеяться, что повое понимание
Гаусса будет более глубоким, объективным и соразмерным,
чем традиционное, сегодня еще не преодоленное шаблонное
почитание, игнорирующее адресованное немецким биогра-
фам предостережение Теодора Фонтане против «beauti-
fying for ever» («украшение на вечные времена»),
ЛИТЕРАТУРА
1. Niedersachsische Staats- und Uuiversitatsbibliothek Gottingen,
Handschriftenabteilung. Nachlass Gauss. (SL'B).
2. Gauss C. F. Mathematisches Tagebuch 1796—1814.— In: Deut-
sche iibertragen von Elisabeth Schumann/Durchgesehen und mit
Anmerkungen versehen von Hans Wussing. Leipzig 1976. (Ost-
walds Klassiker der exakten Wissenschaften. Bd. 256).
3. Zentrales Archiv der Akademie der Wissenschaften der DDR.
4. Deutsche Staatsbibliothek Berlin, DDR. Handschriftenabteilung.
5. Correspondance d’Alexandre de Humboldt avec Francois Arago
1809—1853. Paris: E.-T. Hamy, 1907.
6. Briefwechsel zwischen Alexander von Humboldt und Karl Fried-
rich Gauss/Hrsg. Kurt-R. Biermann. Berlin, 1977. (Beitrage zur
Alexander-von-Humboldt — Forschung. Bd. 4).
7. The New York Public Library. Manuscript und Archives Division.
Astor, Lenox and Tilden Foundations: F. R. Hassler Papers.
8. Ожигова E. Л. О научных связях Гаусса с Петербургской акаде-
мией наук.- Ист.-мат. исследования, 1976, вып. XXI.
9. Wagner It. Geschprache mit Karl Friedrich Gauss in den letzten
Mona ten seines Lebens/Hrsg. Heinrich Rubner.— Nachr. Akad.
Wiss. Gottingen, I. Philol.-hist. Kl., 1975, N 6.
10. Бирман K.-P. Гаусс в Гёте.— Ист.-мат. исследования, 1976,
вып. XXI, с. 261—272.
11. Biermann K.-R. Aus unveroffentlichten Aufzeichnungen des jun-
gen Gauss.— Wiss. Z. Techn. Hochschule. Ilmenau, 23 (1977).
12. Biermann K.-R. Schlusselworte bei C. F. Gauss.— Arch, intern,
hist, sci., 1976, 26, S. 264—267.
13. Schumann E. Vicimus GEGAN. Interpretationsvarianten zu einer
Tagebuchnotiz von C. F. Gauss.— NTM-Schriftenr. Gesch. Natur-
wiss. Techn. und Med., 1976, 13, H. 2, S. 17—20.
14. Monatliche Korrcspondenz zur Beford. der Erd- und Himmels-
Kunde, 1805, 12, S. 413—419.
15. Briefwechsel zwischen C. F. Gauss und Wolfgang Bolyai/Hrsg.
F. Schmidt, Stackel. Leipzig, 1899, S. 35.
16. Biermann K.-R. Wie Gauss zum Astronomen wurde.— Sterne,
1977, 53, S. 146—150.
17. Biermann K.-R., Hartke W. Gauss und Heyne.— Altertum, 1977,
23, S. 179—184.
18. Biermann K.-R. Zwei Briefe von Gauss uber die Berichtigung des
Heliotrope und die Organisation erdmagnetischer Messungen.—
Gerlands Beitr. Geophys., 1977, 86, S. 1—10.
19. Biermann K.-R. Gauss als Personlichkeit — Ansatze fiir ein ne-
. ues Verstandnis.— Abh. Akad. Wiss. DDR.
РОЖДЕНИЕ СОВЕТСКОЙ
ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ.
ЗАМЕЧАНИЯ О ПИСЬМАХ И. С. АЛЕКСАНДРОВА
И П. С. УРЫСОНА МОРИСУ ФРЕШЕ *
Л. К. Арболеда
Введение
В ходе нашего изучения рукописных материалов
французского математика Мориса Фреше (1878—1973),
хранящихся в архивах Академии наук, нам представился
повод рассмотреть различные проблемы истории современ-
ной математики. Из совокупности этих документов наше
особое внимание привлекла его переписка. Действительно,
Фреше переписывался почти со всеми математиками наше-
го века. Особенно интересны письма периода между 1920 и
1930 гг., относящиеся к области общего анализа и тополо-
гии.
Познакомить читателей с некоторыми результатами,
полученными нами на первом этапе исследования,— зада-
ча, важность которой очевидна. Речь идет о вкладе в
исторический анализ условий, оказавших влияние на
генезис и эволюцию понятий и методов дисциплин и тео-
рий, которые, как, например, топология, стали центром
всех исследований по математике в наше время. Это, впро-
чем, тем более необходимо, что многие документы из фонда
Фреше не изданы, а их использование проливает свет на
некоторые события этого периода, которые не были доста-
точно изучены до сих пор.
Мы начинаем некоторой информацией, относящейся к
письмам Александрова и Урысона к Фреше. Но вместе
с тем мы имеем в виду отдать должное, хотя бы косвенно,
памяти французского математика, создателя теории абст-
рактных множеств, в связи со столетием со дня его рожде-
ния.
• Перевод с французского выполнен Ф. А. Медведевым.
281
Характеристика переписки этого периода
Наша работа охватывает 48 писем, посланных Фреше
П. С. Александровым (р. 1896) и П. С. Урысоном (1898—
1924) в период 1923—1933 гг. Семь из этих писем написаны
двумя русскими математиками совместно, а остальные —
Александровым после смерти своего друга летом 1924 г.
Первое датировано 23.X 1923, а последнее (по крайней
мере из тех, которыми мы располагаем к настоящему
времени), написанное рукой Александрова,— 7.VI 1933.
При редактировании настоящей статьи мы не имели
возможности ознакомиться с ответами Фреше па эти
письма *. Удалось найти лишь некоторые замечания на
полях или порой черновики, в которых излагаются идеи,
навеянные перепиской; копий же этих ответов не имеется.
Но, поскольку в их совокупности заботливо изложена
довольно широкая научная дискуссия, почти всегда
можно получить информацию для понимания затрагива-
емых вопросов.
Насколько нам известно, в странах Западной Европы и
Америки не имеется систематического исследования мате-
матического творчества Александрова и Урысона**. В за-
метке А. Паплаускаса [1] указана одна, возможно пер-
вая, научная публикация Урысопа об излучении в трубке
Кулиджа,— естественный факт, поскольку поначалу он
собирался быть физиком. Во всяком случае, его первые
публикации по топологии были помещены в «Comptes
Bendus» («Докладах») за 1922 г. Весьма вероятно, что
первым на этот путь вступил именно Александров своим
мемуаром 12], представленным Ж. Адамаром (1865—1963)
Академии наук в 1916 г. Письмо от 28.11 1924 г. информи-
рует нас, что его целью было решение проблемы, постав-
ленной перед ним Н. Н. Лузиным (1883—1950): опреде-
лить мощность любого измеримого В несчетного множест-
ва х. Что касается публикаций Урысона в 1922 г., то он
прислал две заметки [3, 4] в Академию наук, которые были
опубликованы в ее «Comptes Rendu®» по рекомендации
А. Лебега (1875—1941). В этих заметках Урысон уже поль-
* Эти письма, как сообщил нам академик П. С. Александров, у не-
го нс сохранились. (Прим, ред.)
** О жизни и творчестве П. С. Урысона см. работу П. С. Алек-
сандрова [49, т. I, с. 5—42], о П. С. Александрове — статьи в
УМП, 1906, 21 :4 и УМН, 197(5, 31 : 5. (При и. ред.)
282
зуется понятием метрического пространства [класс ( ?)
Фреше] для определения и классификации канторовских
точек, линий, поверхностей и многообразий. Канторовское
многообразие п измерений — это континуум С, остающий-
ся связным после удаления произвольного замкпутого
множества, имеющего размерность, не превосходящую
п — 2. Хотя некоторые из этих понятий тогда уже были в
какой-то мере подсказаны работами Зоретти, Янишевско-
го, Йонеямы и других, Урысон считает их подлежащими
уточнению. К ним мы возвратимся далее. Сейчас же доста-
точно напомнить, что первая из этих двух заметок [3], а
также большой посмертный мемуар [5] 1925 г. в «Fundamen-
ta mathematicae» содержат основные идеи урысоновской
теории общей размерности множеств, сыгравших наряду с
идеями Л. Э. Я. Брауэра (1881—1966) и К. Менгера
(р. 1902) очень важную роль в расцвете «комбинаторной»
топологии.
Переписка начинается тогда, когда топологические
исследования молодых русских ученых продемонстрирова-
ли два математических ума, доказавших свой талант и
творческую активность. Но как раз в первых письмах мы
находим свидетельство признательности Александрова и
Урысона тому, кто, создавая теорию абстрактных множеств,
«уже давно вдохновлял» их в исследованиях (23.Х1923) 2.
Публикации последующих лет, появившиеся в «Funda-
menta mathematicae», «Mat. Annalen», «Comptes Rendus»
и т. д., содержат неоднократные ссылки на работы Фреше.
Это стало менее явным, когда Александров после смерти
Урысона обратился к алгебраической топологии. В письме
от 5. VI1925, подводя итоги результатов, которые он объеди-
нил под названием «топология континуумов» [т. е. «систе-
матическое изучение связных и компактных в себе классов
(Q)»], Александров пишет Фреше:
«И именно Вы, дорогой учитель 3, сделали возможным
этот взрыв новых открытий, предложив Ваши определения
компактного метрического пространства, заполнившие
логический пробел, который, если бы он оставался, сделал
бы невозможной какую-либо по-настоящему общую и
глубокую теорию. Как раз свойство компактности в себе
привело к замене во многих вопросах (например, во всей
теории аналитических функций одного комплексного пере-
менного) обычной плоскости „плоскостью комплексных
переменных*1, т. е. сферой».
283
Тем не менее мало-помалу исследования трех матема-
тиков пошли по разным направлениям и даже привели к
двум автономным областям математики: общей топологии,
опирающейся на методы теории множеств, и «комбинатор-
ной» топологии — в настоящее время алгебраической и
дифференциальной топологии. Рассматриваемая переписка
позволяет проследить этот процесс. Даже в первых пись-
мах, относящихся ко времени, когда Александров и Уры-
сон занимались тем, что общим образом можно было бы
назвать «классификацией топологических пространств»,
они придерживались методологической точки зрения,
отличной от точки зрения Фреше. Их интересовало изуче-
ние топологических свойств множеств, тогда как Фреше,
тесно связанный с областью абстрактных пространств,
предпочитал, по-видимому, исследование некоторых из
этих свойств как свойств самих множеств. В письме от
22.XI 1923 г. два друга так отвечают на замечание Фреше
но поводу определения сепарабельности, предложенного
Урысоном в заметке [6] 4:
«...Нам кажется, что роль этого ограничения может
быть уменьшена, если принять во внимание следующие
факты: фундаментальная роль замкнутых (ограниченных)
множеств в анализе обусловлена не тем, что они замкнуты,
а тем, что они компактны в себе (экстремальны). В самом
деле, последнее понятие, принадлежащее Вам, чрезвычай-
но важно во всех частях математики; оно, в частности,
топологически инвариантно, тогда как свойство замкнуто-
сти не является таковым (как Вы только что заметили).
Поэтому нам кажется, что если мы рассматриваем множе-
ство как топологический объект, то свойство „быть замкну-
тьтм“ не будет свойством самого множества; оно, скорее,
характеризует его положение в пространстве!».
В последующих письмах Александров очень часто ука-
зывал Фреше на то, что важность этих понятий обусловле-
на тем, что они выражают топологически инвариантные
свойства, принадлежащие некоторой теории, соответству-
ющей его трудам. В последующем ему пришлось прибег-
нуть чуть ли не к общему построению теории абстрактных
пространств. В письмах 1925 г. содержится изложение
плана построения такой теории, начиная с введения трех
групп аксиом, относящихся к идеям сходимости, окрестно-
сти и расстояния в их «вполне естественном порядке».
Оказать определяющее воздействие на развитие тополо-
284
гип между 1925 и 1940 гг. Александрову позволила не
только эта концепция, но пего собственные исследования, а
также исследования, проистекавшие из того, что ему пред-
стояло объединить в единую дисциплину результаты, при-
надлежащие до того двум областям — общей и комбина-
торной топологии. В неизданном отчете Академии наук от
29.1 1945 г. 6 А. Данжуа (1884—1974), докладывая о тру-
дах Александрова, пишет [71:
«Основная тенденция его исследований полностью вы-
ясняется в работах, посвященных автором теории размер-
ности. Некоторые из них появились в „Comptes Rendus"
или во французских периодических изданиях. Определе-
ния Александрова опираются на понятия алгебраических
симплексов и комплексов. „Они позволяют,— пишет он,—
осуществить глубокое изучение компактных пространств
(й) с точки зрения классической топологии. В частности,
они позволяют построить общую теорию размерности,
в которой выявляется самая тесная связь ее с методами
комбинаторной топологии, и притом так, что эта теория
оказывается простым применением названных методов к
общей области абстрактных пространств*1».
Различные вопросы, затронутые в письмах
1. В письме от 28.1 1924 г. содержится краткое изложе-
ние большей части результатов исследований Александро-
ва и Урысона начиная с 1922 г., опубликованных в «Math.
Annalen» и «Fundamenta Math.». Один из них — понятие
бикомпактного пространства — вследствие большого его
значения в топологии станет затем предметом других писем
1926 г.
В соответствии с формулировкой, которую они сообщи-
ли Фреше в начале 1924 г., «совершенное компактное мно-
жество А пространства (!£>) называется бикомпактным
[в себе], если каждое из его бесконечных подмножеств
содержит по крайней мере один элемент полного накопле-
ния множества А». Элемент £ является элементом полного
накопления множества А, «если мощность множества А • 1Д
равна мощности множества А для всякой окрестности Fg
этого £» е. Понятие бикомпактности они ввели за несколько
лет до того, чтобы заменить им совершенную компактность
и сделать его более соответствующим определению обычной
компактности.
285
Александров описывает процесс, приведший их к откры-
тию этого свойства, в статье 1959 г., в которой он дал обзор
современной топологии [8]. Основная идея состояла в том,
чтобы воспользоваться двумя замечаниями Хаусдорфа:
во-первых, что концепция компактности по Фреше эквива-
лентна для метрических пространств условию «леммы
Бореля — Лебега»; во-вторых, что последнее условие
эквивалентно также условию Кантора [всякая убывающая
и вполне упорядоченная система FL ~D F2 ZD ... ZD Fa ~р
ZD ••• непустых замкнутых множеств Fa CZ X имеет непу-
стое пересечение]. Эти результаты Хаусдорфа привели
Александрова и Урысона в 1922 г. к открытию, что решение
проблемы этой эквивалентности выражает свойство биком-
пактности пространства. Их новая теория впервые появи-
лась в «Math. Annalen» [9]. Однако письмо, посланное из
Берлина 14.IV 1926 г., информирует нас, что Александров
и Урысон подготовили другую редакцию указанной рабо-
ты, где они изложили «все детали». Это был мемуар [10],
представленный Королевской Академии наук Амстердама.
Указанное письмо и письма от 22 и 29 апреля 1926 г.
содержат один из наиболее интересных^обменов мнений
между Александровым и Фреше по поводу эквивалентно-
сти условий Бореля — Лебега и Кантора в пространствах
(<р) и их неэквивалентности в более общих пространствах
(S3) ’. Помимо изучения сути бикомпактных пространств,
в этой части переписки рассматриваются также свойства
локально бикомпактных пространств, и в частности такое:
«Всякое локально бикомпактное пространство можно
сделать бикомпактным путем присоединения одной точки»
(письмо от 29.IV 1926).
В заметке о математических трудах Александрова
Э. Картав (1869—1951) [11], характеризуя работы Алек-
сандрова и Урысона по бикомпактности как принадлежа-
щие к «наиболее важным в современной топологии», под-
черкивает один из результатов, ставший отправным
пунктом других исследований, в частности исследований
самого Александрова:
«В недавнем этюде [12],— пишет Картав,— он занялся
проблемой бикомпактных расширений топологического
пространства и показал, что присоединением элементов,
называемых «вполне регулярными концами», всякое впол-
не регулярное пространство можно сделать бикомпакт-
ным».
286
2. Вначале мы указали на работы Урысона по теории
размерности, относящиеся приблизительно к 1921 г.,
и опубликованные в «Comptes Rendus» заметки [3] и [4].
Письмо от 28.1 1924 г. уведомляет нас, что около этого
времени его исследования сосредоточивались на основной
теореме Брауэра, опубликованной в журнале Крелле в
1913 г. [13]. В этом мемуаре развивалась идея, уже содер-
жавшаяся в классических работах Брауэра о теореме
относительно инвариантности размерности 8, опубликован-
ных начиная с 1911 г. в «Math. Annalen» [т. 70—72]:
«многообразие общей степени размерности п во всех его
точках имеет ту же самую степень размерности».
Александров и Урысон обнаружили, что доказательство
этой теоремы было неточным:
«...Этим летом мы лично встречались с г. Брауэром.
Теория, преследующая почти те же самые цели, но идущая
далее в других направлениях, была указана П. Урысоном»
[3, 4].
Действительно, новое исправленное издание мемуара
[13], опубликованное в «Актах Амстердамской академии»
в 1923 г. [14], содержит сноску, в которой Брауэр после
указания ошибки пишет:
«Auf die Berichtigung, welche hier anzubringen war, bin
ich von Herrn P. Uryson in Moskau aufmerksam gemacht
worden» *.
После трагической смерти Урысона его друг предпри-
нял публикацию его работ по теории размерности. Помимо
тех, которые подготовил для 7-го тома «Fundamenta Math.»
сам Урысон, Александров опубликовал в 8-м томе и дру-
гие. В письме от 28.11 1924 г. Александров и Урысон, отсы-
лая седьмой том Фреше, пишут: «Здесь, в частности, содер-
жится новое доказательство Вашей теоремы [15]: между
двумя счетными плотными в <S множествами можно
установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное
соответствие, продолжаемое на все пространство... Впро-
чем, Ваше рассуждение можно было бы пополнить, если
оси координат расположить так, что координаты всех точек
будут попарно различны (что всегда возможно)».
Фреше со своей стороны, когда он узнал об этих работах
Урысона, неоднократно подчеркивал их важность в том
* На сделанное здесь исправление мое внимание обратплг.П. Уры-
сон из Москвы.
287
отношении, что опи дают ответ на проблему, первоначаль-
ное решение которой дал он сам [16, 15]: сформулировать
определение размерности пространства без обращения к
понятию числа координат. В популярной статье [17],
написанной 31.X 1924 г., он так представил состояние
исследований:
«Мы дали ее решение в 1909 г. [16]; в этом же самом жур-
нале * в 1912 г. А. Пуанкаре (1854—1912) [18] вновь под-
нял этот вопрос и указал на общие линии его решения,
совершенно отличные от наших. Данные им указания были
использовапы для получения точного решения различными
авторами — г-дами Брауэром, Менгером [19] и Урысопом.
Решение, отличное от указанных и основанное на понятии
меры, было дано также г. Хаусдорфом» [20].
Что касается этого «иного решения», то письмо от
28.11 1924 г., упомяпутое выше, информирует, что Урысоп
в 1921 г. подготовил работу о «метрической размерности»,
которая была почти идентична мемуару Ф. Хаусдорфа [20].
Эта работа не была опубликована, несмотря на интерес к
ней Фреше; быть может, он ее и не читал, поскольку она
была написана на русском языке.
Летом 1925 г. Фреше и Александров встретились во
Франции. Одним из предметов обсуждения были различные
типы определений размерности, и в частности одна интере-
совавшая Фреше проблема: условия, при которых их мож-
но сравнивать. 8.IX 1925 г. Александров пишет Фреше из
Ба-сюр-Мер (деп. Луар-Атлантик), показывая ему, что
определение Урысона «абсолютно эквивалентно» определе-
нию К. Менгера:
«[Вопрос заключается в том,]что г. Менгер предпочитает
давать свое определение, беря за основу топологическое
пространство г. Хаусдорфа, тогда как Урысон всегда
рассматривал метрические пространства, а это несущест-
венно по следующим причинам:
а) определение Урысона непосредственно применимо к
любому пространству (Q); в нем лишь нужно заменить
включение А + В с= U (х) [5, с. 65] на А ф- В CZ U (х),
где U (х) — произвольная окрестность точки х. Легко ви-
деть, что тем самым получится то же самое определение,
что и у г. Менгера;
* Имеется в виду журнал, в котором опубликована статья Фреше
[17]. (Прим, пер.)
288
б) Урысон знает все это очень хорошо, но он считает [5,
с. 41] (и я полностью разделяю его мнение), что любое
обобщение теории размерности за пределы метрических
пространств было бы неинтересным (как это, впрочем,
достаточно ясно показывают работы г. Менгера, который,
давая определения для топологических пространств, вы-
нужден обращаться к метрическим пространствам, как
только он желает получить какое-либо следствие своих
определений» 9.
Спустя три года, в письме от 11.11 1928 г., мы находим
ссылку, подтверждающую это суждение. Александров
сообщает Фреше о теореме, доказанной В. Гуревичем в
заметке, представленной Амстердамской академии [21]:
всякое сепарабельное пространство (й) размерности п
(в смысле Урысона — Менгера) гомеоморфно некоторому
подмножеству компактного пространства (£2), имеющего
ту же размерность п. Александров пишет:
«Этот результат мне кажется имеющим фундаменталь-
ное значение, поскольку он позволяет рассматривать
(с точки зрения урысоновской размерности) лишь компакт-
ные пространства. Что касается последних, то я предложил
методы сведения их к полиэдрам [22]. Это сведение теперь
может быть осуществлено по теореме, дающей необходимые
и достаточные условия того, чтобы две бесконечные после-
довательности комплексов ( = n-мерных полиэдров) могли
рассматриваться как определяющие (в смысле моих «топо-
логических аппроксимаций») одно и то же компактное
пространство. Таким образом, мы можем сформулировать
в строго классических терминах Analysis Situs, как его
понимал Пуанкаре, всякий топологический вопрос, относя-
щийся к компактным пространствам (£>), а в силу резуль-
тата г. Гуревича и всякое свойство, относящееся к размер-
ности произвольного сепарабельного пространства (ft)»-
Александров резюмировал эти идеи в статье, подготов-
ленной к печати во время пребывания его в Принстоне в
начале 1928 г. [23]. Э. Картан [11] говорит об этой статье
следующее:
«...Это — отправной пункт наиболее важных трудов
Александрова в той мере, в какой аппроксимация прост-
ранства последовательностью полиэдров образует связь
между общей топологией и комбинаторной топологией
комплексов и позволяет применять алгебраические методы
Ю Заказ М 2436
289
комбинаторной топологии к очень обширному классу
топологических пространств».
3. Следующей темой, к которой в изученной переписке
проявлен особый интерес, является понятие нормального
пространства. Письмо от 28.1 1924 г., в котором Александ-
ров и Урысон сообщают Фреше наиболее важные тополо-
гические результаты своих исследований, представляет
собой набросок генезиса этой идеи. В § 3 «Классы и
отделимость» они утверждают, что, обнаружив тот факт,
что во многих вопросах топологии, относящихся к метри-
зации, классы (ф) являются слишком общими, они ввели
новый класс — нормальные пространства 10. Сначала они
ввели регулярные топологические пространства или классы
«Класс является регулярным, если, каков бы ни был
элемент а и окрестность Va, существует такая окрестность
Wa, что для всякого элемента х, не принадлежащего
окрестности Va, существует окрестность Кх, не пересекаю-
щаяся с И’п».
Затем они формулируют свойство отделимости:
«[Два множества] А и В являются отделимыми, если
существуют два непересекающихся открытых множества
Ga и Gb, такие, что GA A, GB ~~) В».
Следовательно, оказывается, что можно построить более
узкие классы, в которых любая пара непересекающихся
замкнутых множеств представляет собой пару отделимых
множеств:
«Мы называем их классами (.$)эт) или топологически
нормальными пространствами. Бикомпактное хаусдорфово
пространство всегда нормально, а тем самым и регулярно...
Всякий класс (й) является классом (£))».
Как заметил Бурбаки [241, важность понятия нормаль-
ного пространства была подчеркнута работами Урысона о
продолжении непрерывных действительных функций [25,
т. I, с. 208—209] *. В частности, следует упомянуть
«лемму Урысона», в которой доказывается существование
для любых двух замкнутых непересекающихся множеств
нормального пространства непрерывной функции / (х),
определенной на этом пространстве, равной соответственно
В русском переводе предшествующего издания этой книги Бур-
баки соответствующее замечание находится на с. 166. {Прим,
пер.)
290
О и 1 в точках замкнутых множеств и удовлетворяющей
условию 0 < / (z) < 1 во всех остальных точках простран-
ства. Но в последующих исследованиях были выявлены
некоторые неудобства этого понятия, и Ж. Дьёдонне (р. в
1906 г.) ввел в 1944 г. новое, более ограниченное понятие
паракомпактного пространства [26]. Пространство являет-
ся паракомпактным, если для каждого из его покрытий
можно найти локально конечное утончение. Согласно
Александрову [8, с. 33], эта идея возродила концепцию
локально конечного покрытия, которое он ввел еще в
1924 г. [27]. В терминах его определения:
«Система множеств ® является локально конечной в
заданном пространстве X, если всякая точка х из X
обладает в X окрестностью Ох, имеющей с ® лишь конеч-
ное число общих элементов».
4. Письмо от 22.XI 1923 г. содержит заметку, озаглав-
ленную «Различные дополнения и исправления», в которой
Александров и Урысон многократно ссылаются на мемуар
Фреше [28], содержавший систематическое изложение эле-
ментов общей теории множеств. Здесь содержатся много-
численные критические замечания по поводу связей работ
Фреше с книгой Хаусдорфа [29], опубликованной в 1914 г.
В этом отношении названная заметка представляет значи-
тельный интерес как источник для изучения периода
основания топологии.
В частности, именно она явилась отправным пунктом
большой дискуссии между двумя русскими учеными и
Фреше относительно условий метризации топологических
пространств. В заметке [30] Александрова и Урысона,
посланной в «Comptes Rendus», они поставили и решили
следующую проблему: каковы условия того, чтобы прост-
ранство (Ж) Фреше (топологическое пространство Хаус-
дорфа) было пространством (.,£) [метрическим пространст-
вом Хаусдорфа]? Эта проблема составляла часть весьма
обширной области исследований, проведенных различными
авторами, наиболее известными из которых были
Э. В. Читтенден, Э. Р. Хедрик 11 и Э. Г. Мур (1862—1932);
но именно Фреше сформулировал ее впервые, хотя и в
частном случае, в своей диссертации 1906 г.
Заметка [30] (упоминаемая в переписке как «заметка I»)
привела Фреше к постановке вопроса относительно моди-
фикации сходимости в классах (Ж) и сходимости, получен-
ной из нее и названной Урысоном «топологической сходи-
10*
291
мостью». В дискуссии, содержавшейся в пяти первых
письмах, до 28.1 1924 г., два друга приходят к вы-
воду.
«Для того чтобы в классе (,'/.) сходимость совпадала с
топологической сходимостью, достаточно и необходимо
выполнение условия 3» [письмо от 19.XII 1923 г.]. Форму-
лировка же «условия 3 сходимости в классах (Ж)» была
такой: «Последовательность сходится к а, если всякая
частичная последовательность этой последовательности
содержит подпоследовательность, сходящуюся к а».
Фреше со своей стороны полагал, что условие 3 нужно
заменить более простыми условиями, которые он уже ввел
в статье [28]. Как раз ответом на нее и была посылка ему
Александровым и Урысоном указанных выше «Различных
дополнений...».
Важность мемуара [30], опубликованного в «Comptes
Rendus», подтвердилась дальпейшими исследованиями.
Письмо от 11.11 1928 г. информирует нас, что два москов-
ских ученика Александрова — А. Н. Тихонов и В. В. Не-
мыцкий — получили один результат, доказательство ко-
торого основывалось на прямом применении этой заметки
1923 г.
«...Если, каково бы ни было расстояние, пространство
удовлетворяет условию Коши (совместимому с определени-
ем предела), то это пространство компактно».
На предыдущих страницах мы уже привели другие
результаты, более важные и тесно связанные с этим крите-
рием метризации Александрова и Урысона.
5. Летом 1924 г. Александров и Урысон впервые приеха-
ли во Францию по приглашению Association Fran^aise
pour I’Avancement des Sciences (Французской ассоциации
содействия прогрессу наук) и при содействии Фреше.
3.VIII 1924 г. Урысон послал письмо Фреше, которое,
весьма вероятно, оказалось его последней научной работой.
В нем речь идет о построении «нового сепарабельного
метрического пространства» — универсального метриче-
ского пространства, содержащего изометрический образ
всякого другого сепарабельного метрического пространст-
ва. Этот результат Урысона был применен для решения
одной задачи, которую перед ним поставил Фреше ранее и
которая была опубликована в 1925 г. [31]: для случая
«расстояния» на прямой заменить иесепарабельное прост-
ранство Dn сепарабельным пространством.
292
Заметка Урысона [32] была представлена Э. Пикаром
Академии наук лишь па заседании Hi.III 1925 г. Столь
длительная задержка объясняется тем, что после трагиче-
ской смерти Урысона 12 Александрову и Фреше пришлось
проделать трудную работу по реконструкции того, что
оказалось довольно сложной идеей. Вопрос был резюмиро-
ван Александровым в письме от 5.V 1925 г. следующим
образом:
«...Я полностью разделяю Вашу точку зрения 13, т. е.
что было бы весьма интересным дать прямое определение
пространства U, не пользуясь предложенной Урысоном
конструкцией. Мне этот вопрос кажется довольно трудным».
Действительно, как из длительной редакционной рабо-
ты, проведенной Александровым после смерти Урысона
над этой заметкой в «Comptes Rendus», так и из исследова-
ний Фреше по этому вопросу [33] мы видим, что основной
трудностью было осознание сущности этого пространства,
которое вследствие абстрактности его определения усколь-
зало от понимания двух ученых.
Процесс этой реконструкции занял довольно много
страниц переписки 1925—1926 гг. Иногда приходили даже
к умалению реальной значимости пространства U, особен-
но ученики Фреше, которые, вроде Р. Франка, интересова-
лись этим вопросом. Последний писал Фреше 21.VIII
1925 г.:
«Пространство Урысона мне кажется слишком абстракт-
ным, чтобы получать другие следствия, кроме следствия о су-
ществовании универсального метрического пространства».
Из этой переписки нам стало известно, что и другие
математики, в частности Брауэр, тоже приняли участие в
обмене идей по построению пространства U.
Некоторые другие аспекты
1. Александров написал два дидактических труда,
оказавших определенное влияние на распространение идей
новой топологии в 1930—1940 гг.: «Einfacliste Grundbeg-
riffe der Topologic» (Элементарные основные понятия
топологии), появившиеся в 1932 г. [34], и «Topologie»
(Топологию), написанную в соавторстве с Г. Хопфом
(1894—1971) и вышедшую в 1935 г. [35]. Два последних
письма его переписки с Фреше дают нам точную информа-
цию о некоторых неизвестных аспектах этих трудов. А
293
именно: из письма от 7.VI 1933 г. мы узнаем, что «введение
в топологию» [34] вначале предназначалось для того, чтобы
дать общий обзор только комбинаторной топологии, и что
лишь в последний момент Александров добавил страницы,
посвященные точечным множествам. Из-за поспешного
редактирования этой книги он забыл указать историческое
значение вкладов Фреше и Урысона и допустил кое-какие
неточности в изложении некоторых теоретических след-
ствий:
«...Определение полиэдров, данное мною на с. б,
некорректно применено на с. 41, поскольку на с. 6 я
определил однородные полиэдры (все симплексы которых
имеют одно и то же число измерений), тогда как на с. 41 я
пользовался не обязательно однородными полиэдрами» 14.
Александров выразил надежду исправить «эти досадные
недоразумения» в «Топологии», которую он заканчивал в
это время с Хопфом.
Что касается второго труда, то о его содержании речь
идет в письме от 2.VII 1930 г. Около 1928 г. Р. Курант
(1888—1972) предложил Александрову и Хопфу написать
для его «Серии» два отдельных тома по топологии, которые
должны были выйти во всяком случае до 1933 г. Этот план
был изменен, и Александров описывает содержание томов
большого трактата, подготовку которого они задумали
начать с Хопфом зимой 1930 г. и который они еще не окон-
чили три года спустя: «первый том будет озаглавлен
„Введение в топологию" и будет состоять из четырех час-
тей: I. Замкнутые множества в пространстве п измерений;
II. Замкнутые поверхности; III. Теорема Жордана и ее
обобщения; IV. Элементарная теория непрерывного пред-
ставления многообразий.
Второй том будет иметь название „Систематическое
изложение принципов топологии". Он будет содержать две
большие части: первая посвящается абстрактной тополо-
гии (включая теорию размерности), а вторая — комбина-
торной топологии.
Третий том будет посвящен новым топологическим мето-
дам. Он тоже будет состоять из двух частей: первая будет
содержать алгебраические (комбинаторные) методы в
применении к компактным метрическим пространствам (а
значит, в частности, мои последние исследования по теории
размерности); ... во второй части пойдет речь о современ-
ных исследованиях по многообразиям, припадлежащих
294
главным образом г-дам Лефшецу и Хопфу; третий том
будет иметь характер некоего синтеза двух основных
методов — теоретико-множественного и алгебраического,—
и целью будет показать, какой может быть достигнут про-
гресс при сочетании этих двух методов».
«Топология» Александрова — Хопфа быстро была при-
нята на вооружение в университетском преподавании
высокого уровня, например в лекциях, читавшихся на
топологическом семинаре Парижского университета,—
уже в 1935/36 учебном году. Экземпляр п° 4515 докладов,
сделанных на этом семинаре А. Вейлем, К. Шевалле,
III. Эресманом, Р. де Посселем, Ж. Лере и Марти, с кото-
рым мы могли ознакомиться, свидетельствует, что почти во
всех случаях в этих докладах содержатся ссылки на
«Топологию»; в частности А. Вейль ссылается на нее в
лекции 3 февраля, посвященной числам пересечений и
топологической степени, и в лекции 17 февраля, посвящен-
ной применению гомологичных инвариантов для характе-
ристики классов представлений.
А. Вейль работал с Александровым в Гёттингене летом
1927 г. Имеются два письма, в которых русский ученый
выражает лестное мнение об этом французском ученом.
26.V 1927 г. Александров пишет Фреше:
«Здесь, в Гёттингене, я вновь 16 прочел курс лекций (в
этот год по топологии евклидовых пространств любого
числа измерений) и вел топологический семинар. Па по-
следнем особое удовлетворение мне доставляло видеть
среди моих сотрудников молодого французского геометра,
кажется очень способного, г. Андре Вейля, ученика
г. Адамара».
Труды Александрова оказали заметное влияние на ис-
следования Вейля. Согласно докладу Э. Картана [11],
идея Александрова о проективном спектре пространства
позволила Вейлю ввести вместе с Г. Фрейденталем понятие
проективного предела групп.
2. Выше мы попытались охарактеризовать второй пери-
од переписки Александрова с Фреше, в ходе которой,
несмотря на то что исследования в комбинаторной тополо-
гии были более продуктивными, обмен результатами был
явно менее интенсивным, чем в начальный период между
1923 и 1928 г. Объяснение, которое мы даем этому, связано
со своеобразной эволюцией математических исследований
того и другого.
295
Во всяком случае, нам кажется, что мы привели доста-
точно доводов, чтобы показать непреходящий интерес этой
переписки ввиду той информации, которую она содержит,
о развитии столь фундаментальной математической науки
нашего века. Остается подчеркнуть, что особенно в послед-
них письмах она является интересным источником сведений
о математиках, окружавших Александрова и Фреше.
Наконец, речь идет фактически не только об обмене
математическими результатами между ними, но и между
двумя школами. В отношении Александрова, которым мы
ограничиваемся пока из-за незнания ответов Фреше, это
тем более важно, что он был создателем советской топологи-
ческой школы и поддерживал связи со многими академиями
и научными обществами.
В его письмах М. Фреше содержатся математические
результаты его московских учеников, среди которых были
В. В. Немыцкий (1900—1967), Л. А. Тумаркин (1904—
1974), Н. Б. Веденисов (1905—1941), А. Н. Тихонов (р. в
1906), Л. С. Понтрягин (р. в 1908); его коллег, например
А. Н. Колмогорова (р. в 1903), Г. Хопфа и др., а также
сведения из первых рук о польской, немецкой и американ-
ской школах, с которыми Александров был тесно связан
вследствие важности его исследований.
С. N. R. S.— центр исследований А. Койре. Париж.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Как видно из того же письма, спустя шесть месяцев Ф. Ха-
усдорф (1868—1942) независимо сформулировал эту проблему и
опубликовал ее в «Math. Annalen» [36].
2. В это время Фреше было 45 лет, и его самая замечательная
математическая работа — докторская диссертация 1906 г. [37] —
снискала ему уважение за синтез движения идей, начавшегося
в 80-е годы работами Асколи, а позднее — Арцела и завершивше-
гося обобщением теории точечных множеств. Александрову тогда
было 27 лет, а Урысону — 25.
3. Лишь начиная с 28.11 1926 г., после 27 первых писем, Алек-
сандров по настоятельной просьбе Фреше принял обращение
к нему «мой дорогой друг». Тем временем его фамилия стала широко
известной среди топологов, по крайней мере после мемуара 1924 г.
[9] в «Maths Annalen», где Урысоп и он ввели понятие бикомпакт-
ного пространства. Он подробно объясняет причины, приведшие его
к обращению «дорогой учитель» по отношению к Фреше, хотя и не
296
имел формального права на такое обращение, поскольку «... не имел
чести быть Вашим учеником...» В связи с этим он добавляет:
«...Флобер до кончины писал Жорж Занд, называя ее дорогим
учителем, как и Эдмонду Гонкуру... Но в это время он умел летать
на собственных крыльях гораздо лучше, чем это могу я!!!».
Таков один из примеров эмоционального и человеческого,
характеризующий эту переписку, в общем-то вполне научную.
4. Цель этой заметки Урысона состояла в доказательстве, что
всякое метрическое сепарабельное пространство гомеоморфпо не-
которому подмножеству пространства (5р). Это свойство находится
на направлении идей мемуара Фреше в «Rendic. Circ. Palermo» за
1910 г. [38].
5. Речь идет о докладах о работах Александрова, представлен-
ных А. Данжуа [7] и Э. Картаном [11] Академии в понедельник
29 января 1945 г.
6. Это свойство бикомпактности пространства, сформулирован-
ное в терминах условия Бореля — Лебега, имеет следующий
вид.
Для всякого бесконечного множества М CZ X существует точка
полного накопления е X, такая, что мощность множества М П
где — произвольная окрестность точки 5, равна мощности мно-
жества М", X — произвольное топологическое пространство.
7. В статье, написанной для «Bull. Sci. Math.» и опубликован-
ной в 1926 г. [39], Тихонов и Веденпсов очень систематично резю-
мировали свои исследования, докладывавшиеся на топологическом
семинаре, которым в 1924/25 учебном году руководили Александров
и Урысон. Однако Тихонов и Веденисов были не правы, предпола-
гая указанную эквивалентность справедливой в любом пространст-
ве. Обнаружив эту ошибку при предварительной проверке, Алек-
сандров написал примечание, которое должно было быть добавлено
к статье его учеников.
8. В бумагах Фреше мы нашли письма Р. Бэра (1874—1932) и
Брауэра, которые могли бы внести новые данные в весьма подробное
объяснение генезиса теоремы инвариантности, данное П. Дюгаком
[40]. Письма Бэра как раз относятся к его работам по этой теореме,
сведенным к двум заметкам под одним и тем же названием («Sur la
non-applicabilite de deux continus a n et a n + p dimensions») и
опубликованным в «Cornptes Rendus» и в «Bulletin de la Societe
Mathematique de France» в 1907 г. Бэр, занявшись проблемой,
сформулированной Дедекиндом, анонсировал схему доказательства,
которую он намеревался развить позднее [41, теорема III, с. 98].
Однако новый приступ неврастении помешал ему сдержать свое
обещание. В письмах, которые он посылал Фреше между 1907 и
1911 гг., он безуспешно пытался ответить на различные вопросы,
ставившиеся Фреше по поводу указанного доказательства.
Пришлось ожидать 1911 г., чтобы найти самое общее и самое
полное доказательство отсутствия гомеоморфизма между простран-
ствами различной размерности, предложенное Брауэром [42].
В превосходном труде о Лебеге мадемуазель Л. Феликс [43] цити-
руются слова А. Картана, который в реферате на работу Брауэра
утверждал, что его идея основывается «на понятии симплициаль-
ноп аппроксимации в тесной связи с понятием гомологии» [43,
с. 87].
Летом 1910 г., как только Лебег узнал о методе, примененном
Брауэром, он решил дать свое доказательство, «более простое и бо-
лее соответствующее природе задачи». Это доказательство [44],
опубликованное в том же томе «Math. Annalen», в котором появи-
лась работа Брауэра, опиралось на геометрические соображения,
обобщаемые со случая плоскости и пространства, и было, разумеет-
ся, противоположно логическим методам Брауэра. Последний ука-
зал Лебегу на одну ошибку, вкравшуюся в [44]. В неизданном пись-
ме от 17.V.1912 г. Брауэр так объясняет Фреше состояние вопроса:
«Ошибка г. Лебега состоит в том, что последовательность мно-
жеств I, IL, 12, . . ., 1п, определенная на с. 167, не всегда существу-
ет. Можно построить примеры, когда она обрывается уже на 13.
Тем не менее теорема о существовании общей точки у п + 1 мно-
жеств справедлива. Я доказал ее, надлежаще модифицируя опреде-
ление множества Zp, и притом способом, совершенно отличным от
лебеговского. Верно, что оба наши доказательства очень сложны
в сравнении с проблемой инвариантности числа измерений».
Принимая во внимание замечание Брауэра, Лебег нашел повод
возвратиться к существу своего метода лишь в 1921 г. [45]. Однако
новая трудность в § 12 этого мемуара, на этот раз замеченная Фреше,
отсрочила публикацию окончательного доказательства Лебега до
1924 г. [46].
9. По поводу этой знаменитоп дискуссии относительно взаимо-
отношений между указанными тремя определениями, быть может,
интересно упомянуть об одном из примечаний Г. Фрейденталя в из-
дании трудов Брауэра [47].
Поясняя, что мемуар [13] первоначально должен был быть опуб-
ликованным в «Math. Annalen» вследствие большей распространен-
ности этого журнала по сравнению с журналом Крелле, Фрейден-
таль пишет [47, т. 2, с. 548]:
«Вероятно, вследствие необычного места публикации ни П. Уры-
сон, ни К. Менгер пе знали этой статьи, когда они начинали свои
независимые исследования по размерности. Мне кажется, что если
298
бы онп знали о ней с самого начала, а значит, испытали бы се влия-
ние, то это их знание предотвратило бы ссору 1928 г. между Брауэ-
ром и Менгером, а также приписывание теорип размерности Урысо-
ну и Менгеру или, что то же самое, Менгеру и Урысону, а не Брау-
эру».
В заметке в «Comptes Rendus» за 1926 г. [22] Александров ука-
зывает, что «впрочем, определение П. Урысона и К. Менгера экви-
валентно определению, предложенному г. Брауэром в 1913 г. Оно
является математической реализацией общих идей Пуанкаре о чис-
ле измерений».
10. Определение этого понятия было раньше опубликовано
Г. Ф. Ф. Титце (1880—1964) [48], но, как видно из письма от 22.III
1924 г., оказалось, что Александров и Урысон пришли к своим
результатам независимо и «почти в то же самое время», что
и он.
11. В бумагах Фреше имеются три письма Хедрика, написан-
ные в 1911 г. из Миссурийского университета. Они нас информиру-
ют, что эти два математика серьезно обсуждали свойства классов
(S?) и (Л), понятие «близости», теорию функций в пространствах (£2),
некоторые проблемы обозначений и т. д.
12. II. Урысон утонул в море вблизи селения Ба, в южной части
Бретани, спустя 14 дней после его последнего письма Фреше, в ко-
тором содержался указанный результат о пространстве U. Он был
похоронен на кладбище в Ба. Письмо Александрова от 22.IX 1924 г.
содержит драматический; рассказ об обстоятельствах этого фаталь-
ного случая, прервавшего столь блестящую математическую карье-
ру и одну из самых продуктивных дружб между математиками, ког-
да-либо известную. Фреше со своей стороны помещал Урысона среди
самых знаменитых аналпстов второго десятилетия этого века [17].
13. Это мнение Фреше высказапо в мемуаре [33] о пространст-
вах U:
«Мне кажется вероятным, что можно прямо и просто определить
полное и замкнутое сепарабельное пространство точек из Dw, выб-
ранных так, что оно играет роль „универсального метрического про-
странства", причем для доказательства этого не потребуется обра-
щаться к абстрактному пространству Урысона».
Это и является предметом указанного мемуара [33] Фреше.
14. Определенпе, о котором идет речь, в английском переводе
таково: «...we mean by an г-dimensional polyhedron, a point — set
of 7?n which can be decomposed into r-dimensional simplexes in such
a way that t-wo simplexes of this decomposition either have no points
in common or have a common face (of arbitrary dimension) as their
intersection. The system of all of the simplexes (and their faces)
299
which belong to a simplicail decomposition of a polyhedron is called
a geometrical complex» * •*.
В английском переводе, опубликованном в 1961 г., мы не нахо-
дим никакого следа исправления «некорректного изложения».
15. Машинописный экземпляр находится в бумагах Фреше,
хранящихся в Архиве Академии наук.
16. Александров прочел также курс лекций в Гёттингене в
июне-августе 1926 г. По этому поводу он писал Фреше, представляя
ему Г. Хопфа, тогда профессора в Берлине, с которым он поддер-
живал очень тесную дружбу со времени первой встречи в Гёттинге-
не в 1925 г.:
«г. Хопф является математиком первого ранга. В своих топо-
логических исследованиях он сумел решить некоторые очень труд-
ные проблемы, поставленные Пуанкаре и г. Адамаром, и эти реше-
ния открыли новый путь в приложениях топологии к дифференци-
альной геометрии».
Александров и Хопф, получив стипендию из фонда Рокфеллера,
в 1927/28 учебном году находились в Принстонском университете.
Во время их пребывания в США они установили важные контакты
с О. Вебленом (1880—1960), с С. Лефшецом (1884—1972) и
Д. В. Александером (1888—1971).
ЛИТЕРАТУРА
1. Paplauscas A. Pavel Samuilovich Uryson.— Dictionary of Sci-
entific Biography. Ch. C. Gillispie, editor in chief, v. XIII, N. Y.,
1976, p. 548—549.
2. Alexandrojj P. Sur la puissance des ensembles mesurables B.—
C. r. Acad. sci. Paris, 1916, 162, p. 323—325.
3. Urysohn P. Les multiplicites cantoriennes.— Compt. rend, de
1’Acad. Sci. Paris, 1922, 175, p. 440—442 *♦.
4. Urysohn P. Sur les ramifications de lignes cantoriennes.— Compt.
rend. Acad. sci. Paris, 1922, 175, p. 481—483.
5. Urysohn P. Memoire sur les multiplicites cantoriennes.— Fund,
math., 1925, 7, p. 30—139; 1926, 8, p. 225—359.
6. Urysohn P. Les. classes (£2) separables et 1’espace hilbertien.—
Compt. rend. Acad. Sci. Paris, 1924, 178, p. 65.
* Под r-мерным полиэдром мы понимаем точечное множеств из Я",
которое можно разложить на r-мерные симплексы так, что два
симплекса этого разложения или не имеют общих точек, пли же
имеют в качестве пересечения общую грань (произвольной раз-
мерности). Система всех симплексов (и их граней), принадлежа-
щих симплициальному разложению полпэдра, называется геомет-
рическим комплексом.
•* Большая часть приводимых в настоящем списке литературы работ
П. С. Урысона имеется в русском переводе (см. [49]).
300
7. Denjoy A. Rapport sur 1’oeuvre de M. Paul Alexandroff.— In:
Dossier Alexandroff. Arch. Acad. sci. Paris.
8. Александров П. С. О некоторых результатах в теории топологи-
ческих пространств, полученных за последние двадцать пять
лет.— УМН, 1960, 15 : 2, с. 25—95.
9. Alexandroff Р., Uryso'tn Р. Zur Theoire der topologischen
Raume.— Math. Ann., 1924, 92, S. 258—266.
10. Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques
compacts.— Verhandl. Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam, 1929,
14, p. 1—96.
11. Cartan E. Notice sur les travaux de M. Paul Alexandroff.— In:
Dossier Alexandroff. Arch. Acad. sci. Paris.
12. Александров П. С. Бикомпактное расширение топологических
пространств.— Мат. сб., 1939, 5(47), с. 403—424.
13. Brouwer L.E.J. Uber den natiirlichen Dimensionsbegriff.—
J. Math., 1913, 142, S. 146—152.
14. Brouwer L.E. J. Over het natuurlijke dimensiebegrip.— Amster-
dam Akad. Verhandl., 1923, 32, p. 881—886.
15. Frechet M. Les dimensions d’un ensemble abstrait.— Math.
Ann., 1909, 68, p. 162—168.
16. Frechet M. Une definition du nombre des dimensions d’un ensem-
ble abstrait.— Compt. rend. Acad. sci. Paris, 1909, 147, p. 1152—
1154.
17. Frechet M. 1’analyse generate et les ensembles abstraifs.— Rev.
metaph. et morale, 1925, 32, p. 1—30.
18. Poincare H. Pourquoi 1’espace a trois dimensions.— Rev.
metaph. et morale, 1912, 20, p. 483—504.
19. Menger K. Uber die Dimensionalitat von Punktmengen.— Mo-
natsh. Math, und Phys., 1923, 33, S. 148—160; 1926, 34, S. 137—
161.
20. Hausdorjf F. Dimension und ausseres Mass.— Math. Ann., 1918,
79, S. 157—179.
21. Hurewicz W. Ueber das Verhaltnis separahler Raume zu kompak-
ten Raumen.— Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 1927, 30, S. 425—
430.
22. Alexandroff P. Sur la dimension des ensembles fermes.— Compt.
rend. Acad. sci. Paris, 1926, 183, p. 640—643; Math. Ann., 1926,
96, p. 555-571.
23. Alexandroff P. Untersuchungen fiber Gestalt und Lage abge-
schlossener Mengen beliebiger Dimension.— Ann. Math., Ser.
2, 1929, 30, S. 101—187.
24. Bourbaki N. Elements d’histoire des mathematiques. Paris:
Hermann, 1969.
25. Urysohn P. Ueber die Machtigkeit der zusammenhangenden Men-
gen.— Math. Ann., 1925, 94, S. 262—295.
26. Dieudonne J. Une generalisation des espaces compacts.— J.
Math. Ser. 9. 1944. 23, p. 65—76.
27. Alexandroff P. Sur les ensembles de la premiere clause et les es-
paces abstraits.— Compt. rend. Acad. sci. Paris, 1924, 178, p.
185—187.
28. Frechet M. Esquisse d’une theorie des ensembles abstraits.— Sir.
Asutosh’s Mookerjie silver jubile. Calcutta, 1922, v. II, p. 333—
394.
29. Hausdorff F. Grundziige der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914.
301
30. Alexandro]] PI rysohn P. Une condition necessaire et suffisante
pour qu'uue class (SC) soit une classe (П).— Compt. rend. Acad,
sci. Paris, 1923, 177, p. 1274.
31. Frechet M. L’experession la plus generale de la «distance» sur une
droite.— Amer. J. Math., 1925, 67, p. 1 —10.
32. L rysohn P. Sur un espace metrique universel.— Compt rend.
Acad. sci. Paris, 1925, 180, p. 803.
33. Frechet Л/. Sur 1 espace metrique universel de Paul Urysohn.—
Bull. Sci. Math., 1925, 49, p. 297—301.
34. Alexandra]] P. Einfachste Grundbegriffe der Topologie. Mit ei-
nem Geleitwort von David Hilbert. Berlin: Springer, 1932/Англ.
nep.: Elementary concepts of topologie. N. Y.: Dover Publ., 1964.
35. Alexandra]] P., Нор] II. Topologie. 1. Berlin: Springer, 1935.
36. Hausdor]] F. Die Machtigkeit der Borelschen Mengen.— Math.
Ann., 1916, 77, S. 430—437.
37. Frechet M. Sur. quelques points du calcul fonctionnel.— Rend,
circ. mat. Palermo, 1906, 22, p. 1—74.
38. Frechet M. Les ensembles abstraits et le calcul fonctionnel.—
Rend. circ. mat. Palermo, 1910, 30, p. 1—26.
39. Tychonojj A., Vedenissojj Л'. Sur le developpement moderne de
la theorie des ensembles abstraits.— Bull. sci. math., Ser. 2,
1926, 50, p. 15—27.
40. Dugac P. Noteset documents sur la vie et 1’oeuvre de Rene Ba-
ire.— Arch. hist, exact sci., 1976, 15, N 4, p. 297—383.
41. Baire B. Sur la non-applicabilite de deux continue a n et a n + p
dimensions.— Bull. sci. math. Ser. 2, 1907, 31, ler partie, p. 94—
99.
42. Brouwer L. E. J. Beweis der Invarianz der Dimensionzahl.—
Math. Ann., 1911, 70, S. 161—165.
43. Felix L. Message d'un mathematicien: H. Lebesgue. Paris: Blan-
chard, 1974.
44. Lebesgue H. Sur la non-applicabilite de deux domaines apparte-
nant respectivement a des espaces a n et a n + p dimensions.—
Math. Ann., 1911, 70, p. 166—168.
45. Lebesgue H. Sur les correspondences entre les points de deux
espaces.— Fund, math., 1921, 2, p. 256—285.
46. Lebesgue H. Sur le theoreme de Schoenflies.— Fund math., 1924,
5, p. 96—99.
47. Brouwer L. E. J. Collected works. North-Holland: Amer. Else-
vier, 1976.
48. Tietze H. Beitrage zur allgemeine Topologie.— Math. Ann., 1923,
88, p. 290—312.
49. Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям матема-
тпки/Ред., прим, и вступит, статья П. С. Александрова. Т. I —
II. М.; Л.: Гостехпздат, 1951.
50. Колмогоров А. II., Люстерник Л. А., Смирнов IO. М., Тихонов
А. II.. Фомин С. В. Павел Сергеевич Александров (к семидеся-
тилетию со дня рождения и пятидесятилетию научной деятель-
ности).— УМН, 1966, 21 :4, с. 4—7.
51. Архангельский А. В., Колмогоров А. Н., Мальцев А. А., Олей-
ник О. А. Павел Сергеевич Александров (к восьмидесятилетию
со дня рождения).— УМН. 1976, 31 : 5, с. 1—15,
КОМПОЗИЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
В МАТЕМАТИКЕ ХШ—XVI ВВ.
И. Г. Башмакова
1. Вводные замечания
В XIII—XVI вв. в Европе особые успехи выпали на
долю алгебры. Именно в это время было создано буквенное
исчисление, которое позволило, по словам Лейбница,
заменить часть умственных операций механическими. С
этого времени началось исследование общих свойств алгеб-
раических уравнений: была установлена зависимость
между коэффициентами и корнями уравнения, применены
различные подстановки, короче, положено начало теории
уравнений. В конце этого периода был сделан наиболее
важный и наиболее богатый последствиями шаг — введены
комплексные числа.
Все эти успехи по традиции связывают с проблемой
решения уравнений в радикалах и только с ней. И действи-
тельно, тогда как квадратные уравнения научились решать
еще в Древнем Вавилоне, уравнения 3-й и 4-й степеней
были решены в первой половине XVI в., что и явилось
первым крупным достижением европейской науки. С
решением этих уравнений связано и введение мнимых
чисел, и первые исследования свойств уравнений.
Однако эта традиционная картина далеко не полна. В
ней отражена только одна сторона вопроса. Совершенно
остается в тени обстоятельство, что математики Европы
XIII—XVI вв. наряду с проблемой решения уравнений в
радикалах и даже раньше занимались задачами, относящи-
мися к диофантову анализу. Многие методы алгебры
возникали и оттачивались именно при решении неопреде-
ленных уравнений, исследование которых занимает видное
место в сочинениях по алгебре всех ученых того времени,
начиная от Леонардо Пизанского и вплоть до Франсуа
Виета и Симона Стевина.
Своеобразие рассматриваемого периода в истории дио-
фантова анализа заключается в том, что европейские
математики вплоть до последней четверти XVI в. хотя и
303
были знакомы с постановкой некоторых задач Диофанта
и даже с некоторыми его методами, однако самой «Арифме-
тики» они не читали. Пытаясь решить эти задачи, они не
сумели открыть вновь те методы алгебраической геомет-
рии, которыми пользовался Диофант. Вместо этого они
изобрели новые приемы решения некоторых групп диофан-
товых уравнений и пошли своей, весьма своеобразной
дорогой, которая и привела их, как мы постараемся пока-
зать, к построению исчисления, эквивалентного арифмети-
ке комплексных чисел. Этот путь был открыт Леонардо
Пизанским и нашел определенное завершение в трудах
Франсуа Виета.
Таким образом, нашей целью будет установить, что
введение комплексных чисел — важнейшее из достижений
рассматриваемого периода — произошло двумя различны-
ми путями, причем один из них был связан с теорией
определенных, а другой — с теорией неопределенных
уравнений.
В основу второго метода введения комплексных чисел
легла формула композиции форм
(х2 + р2) (н2 + v2) = (хи — уи)2 + (хи + уи)2 =
= (хи + уи)2 + (хи — уи)2, (1)
известная еще Диофанту, который применил ее в задаче
Ш19 своей «Арифметики» [1J для представления числа
65 =5-13 = (I2 4- 22) (22 + З2) в виде суммы двух квад-
ратов двумя различными способами:
65 = 42 + 72 = 82 + I2.
Формула (1), как нетрудно видеть, может быть истолко-
вана как формула умножения комплексных чисел а =
— х + yi и р = и Ц- ui, она эквивалентна предложению о
том, что
Na-Nfi = Аар.
Однако в дошедших до нас текстах Диофанта вывод этой
формулы отсутствует. Первую общую формулировку и
вывод формулы (1) мы находим в «Книге квадратов» [2]
Леонардо Пизанского — самого замечательного математи-
ка европейского средневековья. Эта книга была написана
в 1225 г. , и, хотя ее первое типографское издание относится
к 1862 г., она была хорошо известна в рукописи ученым
304
Италии, а затем по изложению в книге «Сумма знаний по
арифметике, геометрии, пропорциям и отношениям» [31
Луки Пачоли — и математикам Франции, Нидерландов
и Англии. Чтобы убедиться в этом, мы проследим историю
трех задач, восходящих к Диофанту, от Леонардо Пизан-
ского до Виета.
2. Методы Леонардо Пизанского
В книге II «Арифметики» Диофант решает задачи П8 и
П9, эквивалентные соответственно уравнениям
х2 + у2 = а2, (2)
х® + у2 = а2 + b2 = N =# Q. (3)
При этом он применяет в обоих случаях алгебраические
подстановки: х — t, у = kt — а в первом случае и х =
= t а, у = kt — Ъ во втором, что эквивалентно проведе-
нию прямых соответственно через точки (0, — а) и (а,— Ъ).
В «Арифметике» неоднократно встречается также урав-
нение
х2 + у2 = z2, (4)
причем Диофант пользуется формулами его общего реше-
ния
х = £2 — ц2, у = 2£ц, z = £2 + т]2,
известными еще Евклиду.
Все эти задачи мы находим и у Леонардо. Однако мето-
ды решения у него совершенно иные, чем у Диофанта.
Для решения первой задачи Леонардо берет прямо-
угольный треугольник с рациональными сторонами: р, q,
г, т. е. р2 4- q2 = г2, не указывая здесь, как такой тре-
угольник может быть найден. Пусть это будет треугольник
АВС (рис. 1). Затем он берет отрезок AD = а и откладыва-
ет его на гипотенузе АВ (или ее продолжении) и опускает
из D перпендикуляр DF на основание АС. Пользуясь
подобием, он получает
АВ г г ’
y = DF=BC*».=q.3_,
причем х2 у2 = AF2 4- DF2 = а2.
305
Чтобы решить задачи, эквивалентные уравнениям (3) и
(4), Леонардо выводит формулу (1) композиции форм.
Сначала он делает вывод в предположении, что х/у u/v,
а затем рассматривает случай х/у — u/v. При выводе
Леонардо не пользуется методами алгебры, поэтому его
рассуждения весьма громоздки, однако вполне общие.
При х/у = u/v он получает
(я2 + у2) (и2 + г?2) = (хи — yv)2 + (xv + уи)2 =
= (хи -ф yv)2 4- (xv — иа)2. (!')
Положив х = и, у = v, он получает общее решение урав-
нения (4)
(и2 — v2)2 4- (2ии)2 — (и2 4- V2)2.
Наконец, он обращается к задаче (3). Он снова выбирает
прямоугольные треугольники р, д, г с рациональными
сторонами и применяет формулу (1) к формам р2 4- <?2 и
а2 4- Ъ2:
Nr2 = (а2 4- Ь2) (р2 4- д2) — (ар — bq)2 4- (ад 4- Ьр)2 =
= (ар 4- Ьд)2 4- (aq — bp)2.
Затем он строит прямоугольный треугольник АВС с гипо-
тенузой АВ = г УN (рис. 2) и катетами АС = т =
= | ар — bq | и ВС = п = ад 4- Ьр. Он откладывает на гипо-
тенузе АВ отрезок AD = У N и опускает из D перпенди-
куляр DF на основание АС. Тогда
х = AF - т/r, у — DF = п/г,
х2 4- у2 = AF2 4- DF2 = N.
Этому решению можно придать и несколько иную
интерпретацию. От равенства р2 + <72 = г2 можно перейти
306
к равенству
Применяя формулу композиции к 1 и N, получим
где т1 = ар + Ьд и пх — aq — bp.
Леонардо поясняет свое решение следующим числовым
примером: пусть а2 = 16, fe2 = 25, тогда N — 41; в каче-
стве р, q, г он выбирает 3, 4, 5. Тогда
Заметим, что в ходе этого замечательно остроумного
решения Леонардо получает из двух прямоугольных
треугольников (р, q, г) и (а, Ъ, N) третий — (т, п,
г N), где ши п получаются из формулы композиции (1).
Как раз эту идею и положил впоследствии Франсуа Виет
в основу своей композиции (которую он называл порожде-
нием) треугольников.
3. Лука Пачоли и его «Сумма»
Спустя более 250 лет задачи Леонардо с теми же прие-
мами решения мы встречаем в знаменитой книге Луки
Пачоли «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отно-
шениям и пропорциям» [3] (в дальнейшем просто «Сумма»),
которая была написана в 1478 г. и напечатана в Венеции в
1494 г. Это была очень хорошо составленная энциклопедия
математических знаний своего времени, которая, однако,
не могла сравняться с произведениями Леонардо. Хотя в
алгебраической части трактата вводились символы для
неизвестного и его степеней, а также формулировались
правила действий с отрицательными числами, но в арифме-
тической части Лука слепо следовал за Леонардо и не
пользовался никакими «новшествами». Арифметике и тео-
рии чисел посвящена первая часть трактата (Distinctio
primo), в которой, как пишет сам Лука, он следует Евкли-
ду, Боэцию и Леонардо. Мы рассмотрим решение задач,
307
отвечающих уравнениям (2) и (3). Они решаются методами
Леонардо со следующими отличиями:
1) задачи формулируются не в общем виде, а сразу для
конкретных числовых значений параметров (например, в
первой задаче сразу требуется разделить 25 на два
квадрата);
2) решение приводится в виде правил без всякого обос-
нования, зато каждое правило записывается в виде табли-
цы, что п[ идает ему более наглядный и удобный для запо-
минания вид;
3) Лука не пользуется представлениями формы ж2 у2
в виде прямоугольного треугольника со сторонами х,
у, /х2 + у2-
Первая из рассматриваемых задач формулируется так:
«3 на 3 дает 9 и 4 на 4 дает 16; сложенные вместе они
дают квадрат 25. Найти два другие числа, сумма квадратов
которых дает 25» [3, л. 17].
Решение: выбираем два квадрата, сумма которых дает
квадрат, пусть это будут 52 и 122, 52 4- 122 = 132. Затем
составляются произведения пятерки, «взятой из первой
суммы», на 5 и на 12 из второй суммы. Получаем 25 и 60.
Тогда первый искомый квадрат будет (25/13)2, а второй
(60/13)2 и их сумма равна 25.
Чтобы подчеркнуть общность правила, Лука выбирает
затем другие числа: 15, 8 и 17, такие, что 152 Ц- 82 = 172 и
с их помощью по той же схеме получает второе решение.
Только недостаток буквенной символики не разрешает ему
а а
записать решение в общем виде: х = р — ,у = q —, где р, q,
г — такие три числа, что р2 q2 = г2, а а2 — заданное
квадратное число, которое нужно представить суммою
двух квадратов.
Вторая задача формулируется так:
«4 на 4 дает 16, 5 на 5 дает 25, и сложенные вместе эти
два квадрата дают 41. Найти два других числа, квадраты
которых, сложенные вместе, дадут 41» [3, л. 17—18].
Мы видели, что эта задача с теми же числовыми данны-
ми встречается и у Леонардо в «Книге квадратов», тогда
как у Диофанта в соответствующей задаче берется число 13.
Лука Пачоли пользуется при решении, как и Леонар-
до, формулой композиции форм (1), но придает решению
вид четкой арифметической схемы. Он берет два квадрат-
ных числа З2 и 42, сумма которых есть 52, и располагает
308
Рис. 3
ZZ
20
Таблица T
io
Таблица Z
аР
9 —еР< * р
Та блица 3
Таблица 9
числа 3 и 4 в левом столбце (рис. 3, табл. 1), а в правом
столбце, напротив них, числа 4 и 5 (сумма квадратов кото-
рых равна 41), затем производятся следующие вычисле-
ния:
3 х 4 = 12, 4 х 5 = 20, 3 х 5 = 15, 4 х 4 = 16.
После чего составляются
20 - 12 =8, 15 + 16 = 31.
Тогда
'M4)2+(4f
Для получения второго разбиения числа 41 на сумму
двух квадратов Лука составляет вторую схему (см. рис. 3,
табл. 2) и, проделав нужные вычисления, получает
Эти схемы, как нетрудно видеть, являются таблич-
ным представлением композиции форм а2 ф 62 и р2 ф Q2
(см. рис. 3, табл. 3 и 4).
Заметим, что при коыпонировании Лука полагает
а <С Ъ, р q, так что разность в первой схеме (см. табл. 3)
bq — ар будет всегда положительной. Что касается табл. 4,
то разность aq — bp может быть и отрицательной, поэтому
надо было бы брать | ад — Ьр |.
Влияние «Суммы» Луки Пачоли можно проследить на
творчестве всех математиков XVI в. вплоть до Виета.
Напомним, что алгебраическая часть «Суммы» заканчива-
ется словами о том, что для решенпя кубических уравнений
309
вида х3 ах = Ъ v. хъ b ~ ах «искусство алгебры еще
не дало способа, как не дан способ квадратуры круга»
[3, л. 150]. Именно с решения этой задачи и начали матема-
тики следующего столетия.
Что касается неопределенных уравнений, то до знаком-
ства с «Арифметикой» Диофанта математики следующих
поколений просто переписывали задачи и их решения из
«Суммы». Для примера рассмотрим трактовку диофантовых
уравнений у Дж. Кардано (1501—1576).
Вопросам арифметики Кардано посвятил сочинение
«Общая практическая арифметика...» [4]. Здесь в главе
XLVI приводятся среди прочего и задачи на неопределен-
ные уравнения. Так, в вопросах 43 и 44 решаются уравне-
ния
х2 + г/2 = 25,
х2 + г/2 = 22 + З2 = 13
Кардано следует схеме, изложенной у Луки Пачоли,
однако добавляет, что обоснование метода решения с
полной ясностью изложено у Леонардо Пизанского. Это
замечание показывает, что Кардано был хорошо знаком с
«Книгой квадратов».
4. Франсуа Виет
и его «Порождение треугольников»
В специальных статьях, посвященных исчислению
треугольников Виета [5, 6], Е. И. Славутин вместе с авто-
ром настоящей заметки показали, что Виет определил опе-
рацию композиции прямоугольных треугольников, равно-
сильную умножению комплексных чисел, и применил ее
для решения диофантовых уравнений. Теперь, когда мы
проследили историю применения композиции форм (1) для
задач диофантова анализа начиная от Леонардо Пизанско-
го, мы можем яснее представить себе, в чем состоял вклад
Виета.
Для этого сначала напомним вкратце основные его ре-
зультаты.
1. Композиции треугольников Виет посвятил специаль-
ную главу в своем трактате «Предварительные замечания к
видовой логистике» 17]. Там на основе формулы (1) он
ввел две операции над прямоугольными треугольниками,
310
которые мы можем символически записать так:
(х, у, z) (х)х (и, v, w) = (\хи — yv\, xv + уи, zw),
(х, у, z) ®2 (и, V, W) = (хи + уи, I XV — уи |, zw).
Первая из этих операций равносильна умножению ком-
плексных чисел а = х + iy и р = и + iv, а вторая —
а и Р = и — iv. Виет записывал обе операции с помощью
треугольников (рис. 4). Аналогичную операцию, как мы
видели, применил и Леонардо. Основное отличие состоит
в том, что, во-первых, Леонардо применил эту операцию
в качестве приема для решения некоторой задачи, тогда
как Виет вводит и изучает ее вне зависимости от какой бы
то ни было задачи. У Виета операции над треугольниками
становятся самостоятельным объектом исследования. Во-
вторых, ни Леонардо, ни его последователи не обращали
внимания на то, как изменяются при этих операциях
острые углы при основаниях треугольников. Виет сразу
же отмечает, что при первой операции острые углы при
основаниях компонируемых треугольников складываются,
а при второй — вычитаются. Обозначив острый угол при
основании первого из компонируемых треугольников че-
рез Фц а при основании второго ф2, мы можем дать второй
способ символической записи операций над треугольни-
ками, характеризуя каждый треугольник гипотенузой и
острым углом при основании:
(Z, Ф1) (W, ф2) = (ZW, ф! + ф2),
(z, Ф1) ®2 (w, Фг) = (zw, Ф1 — Фг)-
311
Таким образом, оперируя с треугольниками, Виет сра-
зу получил эквиваленты и обычной записи комплексного
числа х Н - iy, и записи его в тригонометрической форме
z (cos <р + i sin <р).
2. Пользуясь первой из введенных им операций, Виет
вывел формулы, эквивалентные возведению комплексного
числа а, как в обычной форме а. = х + iy, так и в тригоно-
метрическом виде а = z (cos Т- i sin <р) в любую целую
положительную степень п. Для этого он рассмотрел в пред-
ложениях XLVIII — LI рассматриваемого трактата [7]
последовательные композиции
а а = а2, а а2 = а3, . . а (х^ а4 = а5,
а затем сформулировал общее првило:
а" = Уп, zn) = (zn, и<р),
причем для получения хп и уп надо возвести бином (а -ф- Ь)
в zi-ю степень, тогда хп будет равно сумме членов этого раз-
ложения, стоящих на нечетных местах и взятых с чере-
дующимися знаками, а уп — сумме членов, стоящих на
четных местах и также взятых с чередующимися знаками.
Символическая запись (zn, nip) означает не что иное, как
«формулу Муавра», ее можно записать и так:
[z (cos <f i sin <p)]n = zn (cos zicp + i sin nep).
Напомним, что Бомбелли ввел мнимые числа чисто
формально и не имел никакого представления об аргу-
менте комплексного числа. Виет опередил в этом отноше-
нии других математиков более чем на 100 лет.
3. Наконец, исследуя в IV и V книгах своей «Зетети-
ки» [8] неопределенные уравнения, Виет, который был од-
ним из первых внимательных читателей «Арифметики»
Диофанта в Европе, дает два способа решения уравнений
(2) и (3) — зто он делает соответственно в задачах IVX и
IV2,— причем первый из них совпадает со способом
Леонардо, а второй — с методом Диофанта. После этого
Виет доказывает эквивалентность полученных резуль-
татов.
В дальнейшем он применяет композицию треугольни-
ков и для решения других диофантовых уравнений (на-
пример, IV5). По-видимому, он считал, что для определен-
ной группы задач этот прием ничуть не хуже методов
Диофанта.
312
Итак, на основе идеи Леонардо Пизанского о примене-
нии композиции квадратичных форм (1) для решения не-
определенных уравнений Виет ввел операцию компони-
рования прямоугольных треугольников, которая была
эквивалентна умножению комплексных чисел. Изучение
этой операции и ее свойств сделалось у Виета самостоя-
тельным объектом исследования. При этом были, по су-
ществу, введены модуль N (а) и аргумент arg а комплекс-
ного числа а. Виет показал, что
АГ(а₽) = N а-А ₽,
arg (а Р) = arg а + arg 0.
Виет применил свое «исчисление» (или «порождение»)
треугольников для вывода первых важных формул ариф-
метики комплексных чисел.
Наконец, заметим, что свою теорию Виет построил
безупречно строго в духе «Начал» Евклида, тогда как
мнимым числам Р. Бомбелли пришлось более 200 лет
ждать своего обоснования.
5. Заключение
Широко известно, какую большую роль играли бинар-
ные квадратичные формы в теории чисел XVII—XVIII вв.
Такие математики, как Ферма, Эйлер, Лагранж и Ле-
жандр, посвящали им большие и серьезные исследования.
Наконец, Карл Фридрих Гаусс построил полную теорию
квадратичных форм ах2 + 2Ъху + су2 с целыми коэф-
фициентами, которая вошла существенной составной ча-
стью в его «Арифметические исследования» (1801). Особую
роль при этом играла операция композиции форм, опре-
деленная Гауссом для форм одного и того же дискриминанта
D = Ъ2 — ас. На самом деле теория Гаусса представляла
построение арифметики квадратичных полей Q (j/~D) на
языке квадратичных форм, причем эта теория предшество-
вала введению алгебраических чисел. По этому поводу
Н. Бурбаки писал: «Не хватало для этого общего случая
„словаря14, который позволил бы трактовать квадратичные
поля путем простого перевода теории Гаусса» [9].
Напомним, что арифметика квадратичных полей
Q ()/£)) была построена только в 70-х годах прошлого века
С помощью введения идеалов (Дедекинд), идеальных мно-
313
жителей (Золотарёв) или дивизоров (Кронекер), после
чего оказалось, что арифметика квадратичных полей
эквивалентна теории квадратичных форм Гаусса. Квадра-
тичные формы дискриминанта D представляют при этом
нормы чисел и идеалов кольца всех целых чисел этого по-
ля, точно так же как формы х2 4 у2 представляют нормы
комплексных чисел х Ц- iy.
Таким образом, в истории математики дважды рассмот-
рение квадратичных форм и их композиции предшество-
вало введению новых чисел, а именно: в первый раз —
комплексных, а во второй — алгебраических. В обоих
случаях новая по существу своему теория строилась сна-
чала в рамках старых терминов и понятий, а затем строи-
лась заново, но уже на совершенно новом языке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Диофант. Арифметика/Пер. И. Н. Веселовского, ред. и комм.
И. Г. Башмаковой. М.: Наука, 1974.
2. Scritti di Leonardo Pisano, ..., 1—2. Roma, publ. B. Boncompag-
ni, 1857—1862, t. II, p. 253—283.
3. Pacioli L. Summa de arithmetica, geometria, proportion! e pro-
portionalita. Venezia, 1494.
4. Cardano G. Practice arithmeticae egeneralis. Mediolan., 1539 (cm.
также — Opera mathematica, Lugdunum Batavorum, 1663, v. IV).
5. Башмакова И. Г., Славутин Е. И. Исчисление треугольников
Ф. Виета и исследование диофантовых уравнений.— Ист мат.
исследования, 1976, вып. XXI, с. 78—101.
6. Bachmacova I. G., Slavoutin Е. I. Genesis triangulorum de
F. Viete et ses recherches dans 1’analyse indeterminee.— Arch.
Hist, exacte sci., 1977, 16, X 4, p. 289—306.
7. Vietae F. Ad logisticam speciosam notae priores.—Opera mathe-
matica. Lugdunum Batavorum, 1646, p. 16—41.
8. Vietae F. Zeteticorum lihri quinque (см. [7], p. 42—81].
9. Bourbaki N. Elements d’histoire des mathematiques. Paris, 1966
АРАБСКАЯ ВЕРСИЯ
«ИЗМЕРЕНИЯ КРУГА» АРХИМЕДА
Г. М. Кожухова
Комментируя трактат Архимеда «Измерение круга»,
И. Н. Веселовский писал, что «в дошедшем до нас виде это
сочинение состоит из трех теорем, первая из которых
определяет площадь круга как произведение полуперимет-
ра на радиус, третья дает отношение между длиной ок-
ружности и диаметром, наконец, вторая, которую следо-
вало бы поместить после третьей, дает величину площади
круга в виде ее отношения к квадрату диаметра. Именно в
таком виде оно существовало в VI веке н. э., как показы-
вает сохранившийся комментарий Евтокия, но не может
быть сомнений в том, что первоначально это сочинение име-
ло значительно большие размеры» [1. с. 528].
На первоначальный текст «Измерения круга» проливает
некоторый свет арабская версия этого сочинения, сохра-
нившаяся в редакции Насир ад-Дина ат-Туси (1201 —
1274). Эта версия, озаглавленная «Книга Архимеда об
измерении круга» (Макала Аршимидис фи таксир ад-даи-
ра) и опубликованная в 1940 г. [2, с. 127—133], также
состоит из трех предложений. Сравним формулировки
этих предложений с формулировками греческой версии,
переведенной И. Н. Веселовским:
I предложение арабской версии гласит: «Всякий круг
равен прямоугольному треугольнику, одна из сторон ко-
торого, ограничивающих прямой угол, равна полудиамет-
ру этого круга, а вторая равна его окружности, произведе-
ние же их равно плоской фигуре из полудиаметра на ли-
нию, равную полуокружности» [2, с. 127]. Первая часть
этой формулировки до слов «произведение же их...» сов-
падает с формулировкой греческой версии [1, с. 266], вто-
рая же часть, по-видимому, является пояснением к пер-
вой. При этом выражение «плоская фигура из ... на ...»
(сатх ...фи...), где предлог «на» (фи) — тот же предлог,
который применяется для обозначения умножения, есть
обычный в арабской математической литературе перевод
греческого выражения тбозначающего «прямоугольник
315
йа... и...». Поэтому йозможно, Что S первоначальном тек-
сте Архимеда после сохранившейся формулировки I пред-
ложения стояли слова «а это равно прямоугольнику, по-
строенному на полудиаметре и линии, равной полуок-
ружности».
II предложение арабской версии гласит: «Окружность
круга длиннее его утроенного диаметра на меньшее одной
седьмой диаметра и большее десяти семьдесят первых диа-
метра» [2, с. 129]. Эта формулировка совпадает с формули-
ровкой III предложения версии, переведенной И. Н. Ве-
селовским [1, с. 267]. И, наконец. III предложение араб-
ской версии гласит:. «Если окружность круга — утроенный
диаметр и его одна седьмая, то принимаемое измерите-
лями (исталаха алайхи ал-масахуна) приближенное от-
ношение (нисба такриба) плоской фигуры круга к квад-
рату его диаметра — отношение одиннадцати к четыр-
надцати» [2, с. 133]. Эта формулировка намного богаче
формулировки II предложения в переводе И. Н. Весе-
ловского: «Круг к квадрату на диаметре относится как 11
к 14» [1, с. 267].
Можно предполагать, что арабская версия восходит
к первоначальной греческой версии, что в последней поря-
док предложений был именно таким, как считал И. Н. Ве-
селовский, кроме того, первоначальная формулировка III
предложения была, по-видимому, более точной, а именно
в ней говорилось о том, что отношение 11,14 является
приближенным выражением, принятым у людей, занимав-
шихся практическими измерениями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архимед. Сочинения/Пср. И. И. Веселовского. М.: Физматгиз,
1962.
2. Китаб ал-кура ва-л-устувана ли Аршимидис. Тахрир ал-’улама
ал-файласуф ал-хваджа Насир ад-Дин Мухаммад ибн Мухаммад
ибн ал-Хасан ат-Туси. Хайдарабад, 1359 х. [1940].
ТРАКТАТ ИБН МУ АЗА
ПО СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
М. В. Виллуэндас
Издание, перевод и исследование «Книги о неизвестных
дугах сферы» (Китаб маджхулат кисй ал-кура) [1],
трактата, написанного судьей (кади) Абу ‘Абдаллахом
Мухаммадом ибн Му'азом (989—1079), один из экземпля-
ров которого хранится в библиотеке Эскуриала [2, т. 1,
с. 382, № 955; 3, т. 2, вып. 3, с. 94, № 960] (еще один эк-
земпляр, неполный,— рукопись № Ог. 152 библиотеки
Лоренцо Медичи во Флоренции), представляет значитель-
ный интерес. Мы не только встречаемся здесь с первым из-
вестным в настоящее время западноарабским трактатом
по сферической тригонометрии, но и с типом тригономет-
рии, совершенно неизвестным в астрономической традиции
западноарабских предшественников и современников Мас-
ламы ал-Маджрити (см. [4]) и аз-Заркали (см. [5, с. 43—
35, 129—130 и т. д.]). Вместе с тем внимательное изуче-
ние позволяет установить связи этого трактата с тем типом
сферической тригонометрии, который развивался на араб-
ском Востоке Абу-л-Вафой (940—998), Абу Насром ибн
Ираком (ум. 1036) и ал-Бируни (973—1048), а на Западе
значительно позднее — Джабиром ибн Афлахом (XII в.).
Ниже мы дадим краткий анализ содержания этого
трактата, указывая основные его вопросы.
1. Введение с изложением теоремы Менелая, которую
раньте уже рассматривал Маслама.
2. Далее следует ряд общих предложений теории про-
порций с целью выразить все варианты указанной тео-
ремы.
3. Изложение еще одного ряда теорем (некоторые без
доказательства), относящихся к хордам окружности, яв-
ляющихся упражнениями по алгебраической тригономет-
рии. Одна из них напоминает теорему, доказанную ал-Би-
руни [6, с. 159 —161; 7]. Далее он переходит к геометри-
ческому решению задач, в которых формулируемые пред-
положения можно наглядно усмотреть.
317
4. Последняя часть трактата посвящена решейию сфе-
рических треугольников. В ней можно различить следую-
щие разделы:
а. Свойства треугольников.
б. Теорема синусов, формулируемая вначале для пря-
моугольных треугольников, но позже он переходит к об-
щей формулировке. Доказательство Ибн Му'аза с первого
взгляда кажется независимым от известных прежних до-
казательств. Эта теорема особенно важна для нас потому,
что она появится через столетие у Ибн Афлаха, который
в настоящее время считается ее инициатором в ал-Андалусе.
в. Другие теоремы, полезные для решения прямо-
угольных треугольников. В треугольнике с прямым уг-
лом В
sin а sin b cos C cos c (1)
R cos a II R cos c (2)
sin C cos A sin A cos C ’
cos b cos c (3)
cos a R
sin a sin C cose = 60 • sine • cosC, (4)
что равносильно соотношению
sin а tg С = 60 • tg с,
представляющему собой теорему тангенсов, открытую
Абу-л-Вафой. Далее из приведенных равенств легко
можно вывести другие. Так, из (2) получаем
. R cos С
sin А =------------
cos с
(5)
и, деля (1) на (5), находим
sin А =
R sin а
sin Ь
Аналогично в силу теоремы, сформулированной в (1),
получаем
cos А =
cos a sin с
sil) Ь
(6)
318
и, применяя (3), находим
. R cos b sin с „ . , .
C0S А = sin bcos с = R CtS Ъ С- <7)
Поэтому ясно, что Ибн Му’аз знал.или мог знать основные
формулы, применявшиеся восточными математиками X —
XI вв. для решения прямоугольных сферических треуголь-
ников (см. [6, с. 238—249; 7, с. 129—141]).
г. Далее он переходит к решению шестнадцати задач,
в которых применяются приведенные выше формулы, и,
кроме того, формулы
tg а = tg b cos С (8)
и
sin а = R tg a ctg С. (9)
д. Наконец, он изучает некоторые случаи, когда из-
вестны только три элемента прямоугольного треугольника,
а остальные не определены.
Чтобы оценить огромное значение этого трактата, сле-
дует иметь в виду, что до настоящего времени мы знали
только такие тригонометрии, которые были совершенно не-
посредственно связаны с астрономическими задачами. Та-
ким образом, ясно, что «Книга неизвестных» Ибн Му’аза
означает введение в ал-Андалусе значительно более раз-
витого и до некоторой степени независимого от астроно-
мии типа тригонометрии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Villuendas М. К. La trigonometria europea en el s. XL— Real
Acad. Barcelona, 1979.
2. Casiri M. Bibliotheca arabico-hispana escurialensis. Madrid, 1970,
V. 1.
3. Derenbourg H., Renaud H. P. J. Les manuscrits arabes de 1’Es-
curial. Paris, 1941. V. 2, fasc. 3.
4. Vernet J., Catala A. Las obras matematicas de Maslama de Mad-
rid.— Al-Andalus, 1965, 30, p. 15—45.
5. Millas-VallicrosaJ. Estudios sobre Azarquiel. Madrid, 1943—1950.
6. Ал-Бйрунй. Истпхрадж ал-автар фп-д-даира... Капр: Изд. ад-
Дамардаш, 1965.
7. Ал-Бируни. Трактат об определении хорд в круге...,Пер.
С. А. Красновой.— Из истории науки и техники в странах Во-
стока, вып. 3. М., 1963, с. 93—147,
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАБОТАХ
КУТБ АД-ДИН АШ-ШИРАЗИ
Б. А. Розенфельд
Кутб ад-Дйн Махмуд ибн Мас'уд аш-Шйразй (1236—
1311) был одним из наиболее выдающихся ученых конца
XIII и начала XIV в. Уроженец Шираза (Иран), вначале
он учился медицине, философии и юриспруденции у свое-
го отца Мас'уда ал-Казаруни. Дальнейшее образование
аш-Ширази получает в столице монгольских завоевателей
«ильханов», Мараге, где в 1258 г. была основана астрономи-
ческая обсерватория Насйр ад-Дйна ат-Тусй, вокруг ко-
торой возникает мощный центр физико-математических
наук. Вскоре аш-Ширази становится наиболее сильным из
учеников ат-Туси. Возросший авторитет и влияние аш-
Ширази оказались не по вкусу его учителю, отношения
между ними испортились, в результате чего аш-Ширази
пришлось покинуть Марагу. Аш-Ширази сначала рабо-
тает врачом и судьей в различных городах Ирана и Малой
Азии, однако не теряет связи с ильханами. После удачно-
го выполнения одного дипломатического поручения иль-
хана в Египте аш-Ширази в 1297 г. поселился в Тебризе,
ставшем новой столицей ильханов, и возглавил тебризскую
обсерваторию, явившуюся преемницей Марагинской об-
серватории ат-Туси.
Важнейшим трудом аш-Ширази была энциклопеди-
ческая «Жемчужина короны для украшения Дибаджа»
(Дурра ат-тадж ли гурра ад-Дибадж), посвященная эмиру
Дибаджу ибн Филшаху, сыну одного из правителей За-
падного Гиляна, и написанная незадолго до возвращения
в государство ильханов. Этот труд, составленный по об-
разцу знаменитой «Книги исцеления» Ибн Сины, состоит
из пяти частей, в первой из) которых рассматриваются во-
просы логики, во второй — философские вопросы, в
третьей — естественные науки, в четвертой — математи-
ческие науки (геометрия, арифметика, астрономия и музы-
ка), в пятой — вопросы религии, этики и политики.
Для истории астрономии весьма важны трактаты аш-
Ширази «Предел постижения в познании небесных сфер»
320
(Нихайа ал-идрак фй дирайа ал-афлак) и «Шахский пода-
рок по астрономии» (ат-Тухфа аш-шахийпа фй-л-.хай’а),
где в развитие идей Насир ад-Дина ат-Туси предложены
новые кинематические схемы движения планет. В исто-
рии философии стран ислама существенную роль сыграли
много раз издававшиеся комментарии аш-Ширази к
«Мудрости озарения» ас-Сухраварди.
Аш Ширази был автором трактата комментариев к
«Трактату „О движении качения и об отношении между
плоским и кривым11» (Фйхарака ад-дахраджа ва нисба бай-
на муставп ва мунханй). Сам трактат, комментируемый
аш-Ширази, не сохранился, и имени его автора аш-Ши-
рази не указывает, но эпитет «царь ученых и султан иссле-
дователей», которым он именует автора трактата, обычно
применявшийся к Насир ад-Дину ат-Туси. не оставляет
сомнений в том, что автором этого трактата был именно он.
Отсутствие имени ат-Туси в трактате аш-Ширази, по-
видимому, связано с ненормальными отношениями между
аш-Ширази и ат-Туси. Трактат был написан незадолго до
смерти ат-Туси: в одном из мест трактата ат-Туси говорит-
ся о решении, найденном им в 671 г. хиджры, т. е. в 1272—
1273 гг., и если комментарии аш-Ширази были написаны
при жизни ат-Туси, то это произошло в 1273—1274 гг.
Геометрическая и арифметическая части «Жемчужины
короны» [1] недавно изучались X. Р. Музафаровой [2—5].
Эти части в основном представляют собой изложение «На-
чал» Евклида и «Пифагорейского введения в арифметику»
Никомаха. Однако система постулатов Евклида подверг-
нута у аш-Ширази коренному пересмотру. Аш-Ширази
заменяет постулаты Евклида четырнадцатью «предпо-
сылками». Первые шесть из этих предпосылок почти до-
словно совпадают с первыми шестью из десяти постулатов
обработки «Начал» Евклида в 13 книгах, сохранившейся
в единственной рукописи во Флоренции и опубликованной
в Риме в 1594 г. под именем Насир ад-Дина ат-Туси [6].
Эта обработка значительно отличается от распространен-
ной в виде огромного числа рукописей обработки ат-Туси
«Начал» Евклида в 15 книгах, вследствие чего естественно
возникло сомнение в принадлежности обработки [6]
ат-Туси [7]; это сомнение было подтверждено А. И. Саб-
рой [8], установившим, что оригинал флорентийской ру-
кописи был написан в 1296 г. Совпадение шести «предпо-
сылок» аш-Ширази с постулатами сочинения (6J указывает
11 Заказ № 2436
321
на то, что аш-Ширази был близок к автору или авторам
этого сочинения, если не был сам его автором; возможно,
что ссора между аш-Ширази и ат-Туси была связана с тем,
что какой-то вариант изложения «Начал» Евклида, содер-
жащий идеи сочинения [6] и геометрической части «Жемчу-
жины короны», был написан аш-Ширази еще до его отъезда
из Мараги и не понравился ат-Туси.
Приведем прежде всего шесть совпадающих постула-
тов. Первым из них — впервые в истории математики —
формулируется «постулат существования»: «Каждая точка,
прямая и круглая линия и плоская и круглая поверхность
существуют в силу необходимости существования движу-
щейся сферы, ограничивающей «существующий мир». Да-
лее постулируется, что «пересечение всяких двух линий —
точка, являющаяся концом каждой из них», и «пересече-
ние всяких двух поверхностей — линия, являющаяся
краем каждой из них». Затем формулируется — также
впервые в истории математики — «постулат выбора»: «Мы
можем предполо/кить на каждой линии и поверхности точ-
ку, являющуюся пределом чувственного указания». За
этими постулатами следует постулат, несколько обобщаю-
щий первый постулат Евклида: «Мы можем соединить
всякие две точки прямой или другой линией». Особо ут-
верждается, что «между каждыми двумя точками мы мо-
жем предположить точки в их направлении и предполо-
жить, что точка, совпадающая с одной из этих двух точек,
движется к другой точке и проходит через [любую] пред-
положенную точку в направлении данных точек в течение
всего времени ее движения, заканчивающегося во второй
точке; поэтому при движении всякой точки получается ли-
ния, являющаяся длиной без ширины, если точки, пред-
положенные на ней, расположены друг против друга»
[6, с. 7]. К постулату выбора точки примыкают, как ска-
зали бы мы теперь, «двойственный ему» постулат о воз-
можности проведения прямой через точку. Дальнейшие
постулаты сочинения [6] — постулат о возможности про-
должения прямой в ее направлении (т. е. II постулат
Евклида), так называемая теперь аксиома Евдокса —
Архимеда, постулат о том, что конечную величину нельзя
разделить на бесконечно много равных частей, и, наконец,
V постулат Евклида. Стиль этих постулатов существенно
отличается от стиля Евклида, который никогда не упоми-
нал в своих «Началах» ни о «существующем мире», ни о
322
«чувственных указаниях» и по возможности старался как
можно меньше пользоваться в геометрии движением.
Для 6-го и 7-го из этих «постулатов» приводятся доказа-
тельства, а в ходе изложения I книги «Начал» доказывает-
ся и 10-й постулат, т. е. V постулат Евклида.
Первые шесть «предпосылок» аш-Ширази отличаются
от приведенных выше «постулатов» сочинения [6] только
тем, что прилагательное «круглая» перед словами «линия»
и «поверхность» заменены на «кривая» и отсутствуют упо-
минания о «существующем мире» и «чувственных указа-
ниях». Далее следуют: 7) постулат о том, что угол, рав-
ный прямому,— прямой; 8) постулат о том, что прямая
может соединяться в ее направлении только с одной пря-
мой; 8—12) I—IV постулаты Евклида; 13) постулат о том,
что две прямые не могут ограничивать плоской фигуры, и
14) V постулат Евклида.
Аш-Ширази приводит доказательства всех своих пред-
посылок, в том числе и V постулат. Доказательство аш-
Ширази состоите том, что если даны две прямые АВ и CD,
на которые падает прямая EG (рисунок), образующая
внутренние односторонние углы BEG и DGE, в сумме
меньшие двух прямых, то он проводит через точку G пря-
мой CD прямую FH, для которой угол EGF равен углу
GEA. Прежде всего аш-Ширази рассматривает случай,
когда прямая FH не пересекается с прямой АВ, и утвер-
ждает, что, поскольку расстояние между пересекающими-
ся прямыми GD и GF может быть сделано больше заданной
величины, оно превзойдет расстояние между прямыми АВ
и FH и прямые АВ и CD пересекутся. Это доказательство,
по существу, совпадает с известным доказательством Про-
кла, в XI в. применявшимся Омаром Хайямом в его ком-
ментариях к Евклиду [9, с. 1271, с той разницей, что в отли-
чие от Хайяма аш-Ширази не пользуется постулатом, экви-
валентным V постулату, но, так же как Прокл, неявно
предполагает, что расстояние между непересекающимися
прямыми ограничено. Из предшествующих предложений
И*
323
аш-Ширази видно даже, что он считает это расстояние по-
стоянным.
Далее аш-Ширази останавливается на возможности
пересечения прямых АВ и FH, которая, как известно,
имеет место в эллиптической геометрии, осуществляющей-
ся в случае «гипотезы тупого угла», т. е., например, на
сфере, если считать прямыми линиями ее большие круги.
Эту возможность аш-Ширази легко сводит к противоречию
со своей 13-й предпосылкой, не имеющей места в эллипти-
ческой геометрии.
Остановимся более подробно на комментариях аш-Ши-
рази к трактату «О движении качения и об отношении меж-
ду плоским и кривым». В настоящее время известна един-
ственная полная рукопись комментариев аш-Ширази —
рукопись Т 221/2 стамбульской библиотеки Ени Джами.
Предисловие к трактату имеется также в Государственной
библиотеке г. Гота (ГДР), его изучал Э. Видеман [10].
Русский перевод стамбульской рукописи подготовлен к из-
данию Дж. ад-Даббахом с совместными комментариями
переводчика и автора этой статьи. Краткий доклад об
этих комментариях был сделан в совместном докладе [11);
рукопись изучали также Л. И. Довлатова и Э. С. Гри-
горьян [12]. Ниже это сочинение цитируется в переводе
Дж. ад-Даббаха.
Аш-Ширази приводит 22 выдержки из трактата «О дви-
жении качения» и комментирует их. Для краткости будем
обозначать эти отрывки цифрами в скобках от (1) до (22).
В (1) указано, что трактат «О движении качения» написан
по поводу одного вопроса, поднятого аш-Ширази в конце
I книги его «Предела постижения в познании небесных
сфер», где говорится, что «большинство людей» (к которым
относится и автор трактата «О движении качения») счи-
тают утверждение, согласно которому прямая линия ко-
роче круговой (с теми же концами), ложным, так как эти
линии «не одного и того же рода», поскольку это утвер-
ждение основано на (действительном или воображаемом)
наложении, возможном только для однородных предме-
тов. Это мнение подтверждается ссылкой на Аристотеля,
считавшего, что круговая линия отличается от прямой по
своему роду. Однако «некоторые ученые», к которым отно-
сится сам аш-Ширази, отвергают мнение, что равенства
или неравенства основаны на наложении. Приводится
пример с равенством прямолинейного и криволинейного
324
углов, основанным на равенстве угла касания нулю. Ра-
венство и неравенство, по мнению этих ученых, может быть
основано и на «свободном наложении при качении круга
до прямой». Далее комментатор формулирует рассуждение
«большинства людей», которое он хочет опровергнуть,
в терминах теории силлогизмов Аристотеля и затем опро-
вергает это рассуждение с помощью формальной логики.
(2) Критикуется мнение автора трактата, что прямая и
круговая линии — не одного и того же рода. (3) Крити-
куется мнение автора, что «равенство по величине не осно-
вано на равенстве по качеству, т. е. по наложению». (4)
Автор трактата согласен с тем, что суждение о равенстве
фигур не всегда основано на наложении. (5) Автор тракта-
та согласен с тем, что при наложении прямой и круговой
линии друг на друга прямой присваивается свойство кри-
волинейности или кривой — свойство прямолинейности.
(6) Автор трактата согласен с тем, что криволинейность и
прямолинейность — акцидентальные (отделимые) свой-
ства линий и таковы же свойства форм плоских фигур.
(7) Автор трактата допускает установление равенства с по-
мощью неодновременного наложения, хотя и не распрост-
раняет это на наложение кривого на прямое. (8) Крити-
куется мнение автора, что плоская фигура имеет отноше-
ние к своей части только при условии подобия. В качестве
противоположного мнения приводится краткое изложение
рассуждения Ибн ал-Хайсама из его известной «Книги о
квадратуре круга», а также цитируется его «Разрешение
сомнений во введениях книги Евклида». (9) Отмечается,
что автор допускает равенство фигур, не основанное на
наложении, это мнение используется для опровержения
рассуждения «большинства людей», сформулированного
в (1). (10) Критикуется мнение автора, что «равенство пря-
мой и круговой линий и различных неоднородных величин
неочевидно». (11) Критикуется мнение автора о неправо-
мерности рассуждений аш-Ширази о равенстве прямоли-
нейного и криволинейного углов, приведенных в (1); фор-
мулируется общая схема этого рассуждения. (13) Крити-
куется мнение автора, что угол касания не является вели-
чиной. (14) Критикуется мнение автора, что прямолиней-
ный угол не может быть равеп криволинейному; в связи
с этим показано, что для углов касания не выполняется
1-е предложение X книги «Начала» Евклида и 4-е опреде-
ление V книги «Начал» (аксиома Евдокса — Архимеда).
325
(15) Дальнейшая критика мнения автора о том, Что угол
касания не является величиной, и аналогичного мнения
Иби Сины, изложенного в его трактате «Об исследовании
угла». Трактат Ибн Сины до сих пор не исследовался, и
информация аш-Ширази о нем чрезвычайно важна для
истории математики. Мнение Ибн Сины и автора трактата,
что углы касания не являются величинами, основано на
том их представлении, что выполнение аксиомы Евдокса—
Архимеда есть неотъемлемое свойство величины. Мнение
аш-Ширази, что углы касания можно считать величинами,
основано на его понимании величины в более широком
смысле и допущении существовании величин, которые мы
называем неархимедовыми. (16) Критикуется мнение ав-
тора о неправомерности рассуждений Евклида, связанных
с углами касания. (17) Формулировка мнения автора о не-
правомерности применения движения качения; указано,
что автор пришел к зтому рассуждению в 671 г. х.
(1272/73 г.н.э.), что проблема равенства между кривым
и прямым и даже между линией, поверхностью и телом от-
сутствует у сторонников математического атомизма, у
которых «равенство и неравенство [устанавливается] толь-
ко по числу точек», а также о двух группах математиков,
«расходящихся по вопросу об отношении между кривой
и прямой линиями», но «согласных в том, что между любы-
ми двумя точками существует линия, и что как линия,
так и время и движение бесконечно делимы». Эта часть
комментариев аш-Ширази показывает, что в XIII в. на
арабском Востоке существовали приверженцы математиче-
ского атомизма и что сторонники «непрерывной матема-
тики» в это время расходились по некоторым принципи-
альным вопросам. (18) Критика доказательства автора
неправомерности применения движения качения, основан-
ного на смешении качения круга по прямой со скольже-
нием. (19) Критика аналогичного доказательства автора,
основанного па смешении качения круга по кругу со сколь-
жением. (20) Критика аналогичного доказательства автора,
основанного на смешении качения конуса по плоскости со
скольжением: автор считает, что конус, как и цилиндр, при
качении по плоскости описывает прямоугольник, аш-Ши-
рази указывает, что при качении конуса по плоскости без
скольжения он описывает сектор круга. (21) Критика
объяснений автора рассмотренных им парадоксов, а также
аналогичного парадокса, относящегося к движению эпи-
326
цикла планеты по деференту. (22) Заключения автора и
аш-Ширази.
Математический трактат аш-Ширази и математические
части его энциклопедического трактата показывают, что
аш-Ширази принадлежит целый ряд новых математических
идей, получивших развитие в Западной Европе только че-
рез несколько столетий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аш-Шйразй. Кутб ад-Дйн. Дурра ат-тадж ли гурра ад-Дйбадж.
Изд. С. И. Мишката, т. 1—4. Тегеран, 1317—1320 с. х. [1939—
1941].
2. Музафарова X. P.O математических главах энциклопедического
произведения «Дурра ат-Тадж ли Гурра ат-Дубадж» (Жемчу-
жина короны для украшения Дубаджа) Кутбэддина Ширази.—
Уч. зап. Тадж. ун-та. Труды мех.-мат. ф-та. 1970, 1, № 1.
с. 85—93.
3. Музафарова X. Р. О планиметрическом разделе «Жемчужины
короны».— Там же, 2, с. 207—222.
4. Музафарова X. Р. Арифметика Никомаха в изложении Кут-
баддпна Ширази.— Математика и методика ее преподавания,
вып. 1. Душанбе, 1974, с. 124—131.
5. Музафарова X. Р. Арифметические и теоретико-числовые ас-
пекты книги VII «Начал» Евклида в изложении Кутбаддина
Ширази.— Исследования по математике. Душанбе, 1977,
с. 79—84.
6. Euclidis Elementorum lihri tredecim ex traditione doctissimi
Nasiridini Tusini. Romae, 1594.
7. Розенфельд Б. А., Кубесов А. К., Собиров Г. С. Кто был автором
римского издания «Изложения Евклпда Насир ад-Дина ат-
Туси»? — Вопр. ист. естествозн. и техн., 1966, вып. 20, с. 51 —
53.
8. Sabra A. I. Simplicius’s proof of Euclid’s parallel postulate.—
J. Wartburg aud Courtauld Inst., 1969, 32, p. 1—24.
9. Хаййам'Омар. Трактаты/Пер. Б. А. Розенфельда, комм.
Б. А. Розенфельда и А. И. Юшкевича. М.: ИВЛ, 1961.
10. Wiedemann Е. Uber eine Schrift uber die Bewegung des Rollens
und die Beziehung zwischen dem Geraden und Gekriimmten von
Qutb al Din Mahmud b. Mas'ud al-Schirazi: Aufsatze zur ara-
bischen Wissenschaftsgeschichte. Hildesheim; New York, 1970,
Bd. 2, S. 644—649.
11. Глускина Г. M., ад-Даббах Дж., Розенфельд Б. А. Трактаты
аш-Ширази и Альфонсо о квадратуре круга.— Тезисы докл.
III Всес. науч. конф, по истории фпз.-мат. наук. Тбилиси, 1978,
с. 18.
12. Григорьян Э. С., Довлатова Л. И. Трактат Кутбэддина Шарази
«О движении качения и об отношении между плоским и кри-
вым».— Труды XIII Междунар. конгр. по истории науки.
Секции Ш, IV. М„ 1974, с. 106—108.
ДВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
АЛ-БПРУНП
С. А. Вахабов
Математическое моделирование часто считается одной
из характерных особенностей современной математики,
но отдельные формы математического моделирования, на-
пример средневековые астролябии, применялись уже давно.
В настоящей заметке мы рассмотрим два случая примене-
ния такого рода моделирования Абу-р-Райханом ал-Биру-
ни (973—1048) в трактате «Исчерпание возможных мето-
дов конструирования астролябий» (Исти’аб фп-л-вуджух
ал-мумкинафп сан’а ал-астурлаб), который мы изучали по
фотокопии рукописи Ог. 591/4 Лейденской университет-
ской библиотеки. Общий обзор этого трактата, русский
перевод которого подготовлен нами для очередного тома
«Избранных произведений» ал-Бируни, издающихся Ин-
ститутом востоковедения им. Бируни Академии паук
УзССР, дан в статье [1].
В обоих приведенных здесь случаях ал-Бируни рас-
сматривает две пары астрономических задач, характери-
зуемых одной и той же математической схемой. Одна из
задач относится к стереометрии, а другая — к сфериче-
ской тригонометрии. Ал-Бируни пользуется решением
одной из задач каждой пары для решения другой задачи.
В четвертом разделе трактата, озаглавленном «Постро-
ение кругов тимпанов», ал-Бируни рассматривает построе-
ние изображений небесного зкватора и тропиков Козерога
и Рака в стереографической проекции небесной сферы на
плоскость небесного экватора при проектировании из
южного полюса сферы.
Если небесная сфера с центром Е и радиусом 7? = ЕК
проектируется из точки К, являющейся южным полюсом,
на плоскость небесного экватора (рис. 1), то изображение
небесного экватора совпадает с ним самим, т. е. изобра-
жается кругом, радиус ЕН которого равен радиусу R
сферы, а тропики Козерога и Рака изображаются кругами
радиусов ED и EL. При этом прямые KD и KL пересека-
ют окружность КНМ в таких точках J л G, что дуги///
328
n HG равны углу е наклона эклиптики к небесному эк-
ватору. Найдем радиусы EL и ED кругов, изображаю-
щие тропики. Так как углы HEJ и HEG равны, внешний
угол JEM треугольника EJK равен зт/2-}- е и, следовательно,
каждый из равных углов К и J этого треугольника равен
л/4 + е/2. вследствие чего
е
/л s \ 1 + tg"2~
EO = 7?tgK=7?t.g(^ + 4-) = 7?-----|-
V 7 1-tg—
е е / е е \2
cos + sin -у ( cos -9— + sin -у
= Л .---1-----£_ - R \---1------LL
ее ее
cos-g- — sin ~2~ cos2 — sin2-g-
l + 2cos-|-sin-|- 1+sinE
— --------------- s= /7 ------ ,
£ £ COS £
cos2 ~2~ — sin2 -g-
(1)
С другой стороны, угол E треугольника EGK также
равен л/2 -f- е, и, следовательно, каждый из равных углов К
и G этого треугольника равен л/4 — е/2, вследствие чего
EL = 7?tgK = Ktg(^--J-) =
8
,4 2 „ cos е
~ f -----;-
8 14- SIU 8
i+tg-r
(2)
Ал-Бируни предлагает следующий способ построения
проекций небесного экватора и тропиков:
«...Начертим круг по величине тимпана, который мы
назовем кругом Козерога, и построим в нем другие круги.
329
Пусть этим кругом данного тимпана является круг ABCD
с центром Е, диаметр ЛЕС в нем — линия восток-запад,
полудиаметр DE — линия^середины неба, [известная] по
положению, а полудиаметр ЕВ — [линия] колышка Зем-
ли (рис. 2). Мы хотим провести в нем круги Овна и Рака.
Возьмем дугу DG, равную полному склонению, т. е. пре-
делу наклона эклиптики к небесному экватору; у нас нет
других требуемых [величин] для этого способа построения.
Мы указали раньше, как производится деление всякого
круга па произвольное число частей и всякой дуги с за-
Рис. 2 Рис. 3
данным отношением ее ко всему кругу. Соединим AG
прямой линией. Пусть она пересечет DE в Н. Примем
точку Е за центр и опишем круг HEJK на расстоянии
ЕН, [который] является кругом Овна и Весов. Затем сое-
диним EG, она пересечет круг Овна в точке F. Мы упоми-
нали, что дуга FH по величине полного склонения на
круге Овна. Соединим KF, она пересечет ED в L. Примем
точку Е за центр и опишем круг XML на расстоянии EL,
это круг Рака» (с. 57—58 рукописи).
На рис. 2 круг ABCD является изображением тропика
Козерога, круг КНМ изображает небесный экватор, а
круг LX — тропик Рака, причем дуга DG равна углу е
наклона эклиптики к небесному экватору.
Сравнивая рис. 2 с рис. 1, мы замечаем, что треуголь-
ник KEF на рис. 2 конгруэнтен с треугольником KEG
на рис. 1, причем точка L одного из этих треугольников
изображается точкой L другого треугольника. С другой
стороны, так как ED/EH HE/EL, если считать круг
330
ABCD изображением небесного экватора, то круг КНМ
будет изображать тропик Рака, и в этом предположении
треугольник KEG на рис. 1 конгруэнтен с треугольником
AEG на рис. 2, причем точка L на рис. 1 изображается
точкой Н на рис. 2.
Таким образом, один и тот же треугольник KEG, нахо-
дящийся внутри небесной сферы, при построении изобра-
жений тропиков Козерога и Рака ал-Бируни изображает
разными треугольниками своего чертежа, т. е. пользуется
двумя моделями одного и того же объекта.
В десятом разделе, «Определение расстояний светил от
небесного экватора», ал-Бируни применяет аналогичный
прием при определении расстояния светила от небесного
экватора. Ал-Бируни располагает таблицей прямых вос-
хождений, которая выражает зависимость между прямым
восхождением а = yL и «градусами соответствия» %с =
= уН. В прямоугольном сферическом треугольнике
yLH по сферической теореме синусов (рис. 3) имеем
sinHL sinXc
sine sin90° ’ ' '
а по сферической теореме Пифагора имеем
cos Хс = cos a cos HL. (4)
Исключая HL из формулы (3) и (4), получим
sinХс cose /Г.
Sin«= (5)
И1 — sin2 Хс sin2 е
или
• г sin а
Sin Лс = -7====г . (5 )
VI — cos2 а sin2 е
Ал-Бируни пишет:
«Утверждаю, что если мы хотим определить расстоя-
ние от экватора данного светила, предполагаемого извест-
ным по положению по долготе и широте, то будем считать
восхождением на прямой сфере расстояние градуса светила
от начала Овна до него и войдем с ним в его таблицу. Возь-
мем то, что соответствует ему из градусов соответствия.
Назовем это долготой. Мы получим их склонение, это вто-
рое склонение градуса светила. [Далее] смотрим: если ши-
рота звезды и это склонение будут на одной стороне от эк-
ватора, то сложим их. Если они будут на различных сто-
ронах [от экватора], то вычитаем меньшее от большего.
331
Получится первое расстояние на стороне большего. За-
тем умножим синус первого расстояния на синус дополне-
ния наибольшего склонения и делим произведение на
синус дополнения широты градуса светила и то, что получи-
лось, превращаем в дугу. Получится действительное рас-
стояние светила от экватора, на стороне, в которой первое
расстояние» (с. 23 рукописи).
Здесь ал-Бируни пользуется таблицей функциональной
зависимости (5) не для прямоугольного сферического тре-
угольника yLH с прямым углом L, а для прямоугольного
сферического треугольника yFJ с прямым углом F, по-
скольку круг широты RKFJ перпендикулярен к эклипти-
ке EFHyE'. При этом он меняет местами эклиптику и не-
бесный экватор, так что дуга % = yF треугольника yFJ
ставится на место дуги а = yL треугольника yLH.
В этом случае формулу (5') можно записать в виде
По сферической теореме Пифагора для прямоугольного
сферического треугольника yFJ имеем
cos yj = cos yF cos FJ
или
cos F J = cos 62 = c°s =
____________ । Г sin2 A
V1 — sin2 у J r 1 — cos2 A sin2 e
cos A cos A
1—cos2A sin2 e — sin2 A
cos A 1^1 — cos2 A sin2 e
поэтому
cos e
/1 — cos2 A sin2 e
cos F J =
или
cos e
/1 — cos2 A sin2 e
cos 62 =
cos e
/1 — cos2 A sin2 e
(7)
Эклиптическая широта 0 = KF задана, поэтому дуга
= KJ, которую ал-Бируни называет первым расстояни-
ем. известна, т. е. = | 0 + |, где бг определяется по
формуле (7).
332
(8)
Правило ал-Бируни для определения расстояния
й = KL светила от небесного экватора по первому рас-
стоянию и «широте градуса», т. е. второго склонения
6г, можно записать формулой
. s si а cos е
Sill О = ----~—
cos Oo
Формулу (8) можно получить, применяя сферическую
теорему синусов к прямоугольным сферическим треуголь-
никам KLJ и Q RJ.
В прямоугольном сферическом треугольнике KLJ по
сферической теореме синусов находим
sin XT sin KJ sin 6 sin б,
sin J sin 90° ПЛП sin J 1
или
sin 6 = sin sin J.
В прямоугольном сферическом треугольнике RJQ’ по
сферической теореме синусов находим
sin Q'R sin RJ
sin J sin Q' ’
где
Q'R = A- - RQ = ” - e, R J = RF + FJ =
* z z
= 4-4-62, =
Поэтому
sin J it
sin —
откуда
r cos e
Sill J = ---r-
COS 02
или
Подставляя сюда значения cos 62 и получим
sin 6 = sin 6i 1 — cos2 X siir е
333
Последняя формула (9) совпадает с формулой, которая вы-
ражает второе правило ал-Бируни для определения рас-
стояния светила от небесного экватора, приведенной в
«Каноне Мас’уда» [2, с. 561], где через 6t обозначена «ши-
рота градуса светила», которая обозначена у нас через б2,
так как ал-Бируни называет ее вторым склонением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Таги-Заде А. К., Вахабов С. А. Астролябии средневекового Во-
стока.— Ист.-астрон. исследов., 1975, вып. XII, с. 169—204.
2. Абу Райхан Веруни. Канон Мас’уда, кн. 1.— Избранные произ-
ведения, т. 5, кн. 1. Ташкент, 1973.
ПУБЛИКАЦИЙ,
АРХИВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ПИСЬМА Д.Ф. ЕГОРОВА К И. И. ЛУЗИНУ
Предисловие П. С. Александрова
Публикация и примечания Ф. А. Медведева
при участии А. П. Юшкевича
Предисловие
Как известно, Д. Ф. Егоров и его наиболее выдающий-
ся ученик Н. Н. Лузин являются основателями москов-
ской математической школы, вошедшей как одна из самых
значительных частей в состав всей советской математиче-
ской школы.
Публикуемые 22 письма Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузи-
ну относятся к середине и концу первого десятилетия те-
кущего века, т. е. к периоду возникновения интереса
Д. Ф. Егорова к теории функций действительного пере-
менного и первых возникших под его прямым влиянием
работ Н. Н. Лузина в этой области. Кроме математиче-
ского интереса, который представляют некоторые содер-
жащиеся в этих письмах высказывания, они с новой сто-
роны характеризуют Д. Ф. Егорова как руководителя
молодых математиков, его учеников. Обычно Д. Ф. Его-
рова представляют себе как в высшей степени сдержанного,
холодного и даже несколько сухого человека. Публикуе-
мые письма, напротив, рисуют Д. Ф. Егорова как учителя,
горячо, с большим внутренним участием и сочувствием
относящегося к своему ученику Н. Н. Лузину, пережи-
вавшему в период этих писем кризис в своей научной ра-
боте. Д. Ф. Егоров хочет помочь Н. Н. Лузину выйти из
психологических трудностей, которые возникли в его жиз-
ни, и дает ему в связи с этим некоторые советы учителя и
участливого старшего друга.
Можно лишь сожалеть, что у нас нет ответных писем
Н. Н. Лузина. Но и публикуемые сегодня письма
Д. Ф. Егорова проливают новый свет на взаимные отно-
335
шения двух выдающихся математиков, на личность стар-
шего из них — Егорова и на начальный период станов-
ления младшего — Лузина — как ученого.
Несомненно, публикуемые письма будут с интересом
прочитаны многими советскими математиками и всеми ин-
тересующимися историей развития советской математики.
Письма Д. Ф. Егорова
I
с. Архангельское, 4.VIII 05
ст. Павшипо Московско-Виндавской ж. д.
с. Архангельское, имение Ни. Юсупова, дача №5.
Уважаемый Николай Николаевич,
Сейчас я получил письмо от В. А. Костицына *, кото-
рое меня страшно испугало за Вас. Что с Вами? Отчего
Вы мне ничего, ничего не писали все время? Поверьте, что
я от души полюбил Вас, и меня очень беспокоит то, что
пишет о Вас Костицын. К чему такое отчаяние Поверьте,
что человеческая мысль не пустая игрушка! Много вели-
кого она совершила, много еще и совершит; пе надо только
ожидать от нее невозможного и требовать всего в данный
момент. А мировые проблемы решаются не одним росчер-
ком лера, и много надо и передумать и пережить прежде,
чем выработается миросозерцание. Да и то оно меняется
со временем; и не удивительно: жизнь не стоит, а двигает-
ся. Пе расстраивайте себя безотрадными выводами мрач-
ной философии. Помните, что часто в основе непрелож-
ных, по-видимому, выводов лежат шаткие и произвольные
основы. Вспомните, что Вы математик и что обязанность
математика ко всему отнестись критически! Некоторые
вопросы, может быть, сейчас нам и не разрешить при та-
ком строго критическом отношении, зато не впадем и в
пагубные ошибки. А что касается до руководства в жизни,
то ведь человеку дан не один разум; и чуткая совесть всегда
подскажет, что задача жизни в том, чтобы по мере сил де-
лать добро. В конце концов мир любовью держится!
Простите, что без призыва вторгаюсь в Вашу внутрен-
нюю жизнь; надеюсь, тотчас же ответите мне.
Ваш Д. Егоров
336
II
с. Архангельское, И.VIII 05
Уважаемый Николай Николаевич,
Сейчас получил Ваше письмо от 9-го из Москвы. Оно
меня несколько успокоило; по с другой стороны, меня
беспокоит то, что Вы пишете о своем здоровье; что с Вами?
Надеюсь, ничего серьезного! Напишите, пожалуйста,
подробнее.— Относительно смысла жизни и миросозерца-
ния. Вы совершенно верно пишете, что главное сама
жизнь. Надо прежде всего жить, и жизнь сама многому,
если не всему, научит. Ну, да об этом надеюсь подробнее
с Вами поговорить лично; числа 16-го или 17-го переезжаю
в Москву; и тогда увидимся.
А то, может быть, если здоровье Ваше позволит, успе-
ете собраться ко мне на дачу? Архангельское очень краси-
вое и тихое место; провести здесь день или два очень при-
ятно. Если надумаете, то надо ехать по Виндавской до-
роге (вокзал у Крестовской заставы) до ст. Павшино
(20 верст) и затем верст 5 по шоссе на извозчике, которые
берут обыкновенно около 75—80 копеек за конец. Ехать
можно с поездом («скорым»), который отходит в 9 ч. 45 м.
утра.
Итак, во всяком случае до скорого свидания, а прежде
всего жду от Вас известий о Вашем здоровье.
Ваш Д. Егоров
III
Москва, 2 (15) февр. 1906
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Давно собирался ответить Вам, но за последнее время,
должно быть вследствие постоянного в течение этого года
нервничания, совсем распустил себя, так что никак не могу
принудить себя ни к какой работе, и даже к писанию пи-
сем. Надеюсь, что Вы не будете со мной считаться и будете,
несмотря на мою неаккуратность, давать о себе вести, ко-
торым я всегда буду очень рад.— Очень приятно было мне
узнать, что Вы в общем довольны Парижем. Хотя Вы и
встречаете затруднения от незнакомства с разговорной
речью, хотя, с другой стороны, и не так много сейчас чи-
тается для Вас интересного; по важно уже одно то, что
Вы попали в другую атмосферу, где можете работать, а все
337
Затруднения со временем исчезнут! — Лекции Hadamard’a
[Адамара]2 рекомендую Вашему вниманию; он читает
великолепно и очень содержательно. Что касается до Ва-
ших намерений штудировать зараз слишком много обла-
стей, то будьте все-таки осторожны: не переутомляйтесь-
необходимо наряду с научной работой и еще чем-нибудь
интересоваться. Посмотрите Париж, его музеи, церкви,
окрестности; все это очень интересно.— Относительно
проф. iBaffy] Раффи 3 думаю, что Вам вместе с коллегой
Голубевым 4 все-таки надо рискнуть и обратиться к нему;
он Вас может ввести и в Societe math, [ematique de Fran-
ce — Математическое общество Франции] и вообще уст-
роит Вам пользования библиотекой.
Сведения о Моск, [овских] событиях во франц, [узских]
газет.[ах] преувеличены, но тем не менее события были пе-
чальные. Да и теперь хорошего мало! — Пишите о себе
почаще. Всего Вам хорошего!
Ваш Д. Егоров
IV
Москва, 27 февраля (12 марта) 1906
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Очень рад, что Вы устроились с Сорбоннской и Нац.
[иональной] библ.[иотеками]. Все-таки побывайте у Baffy
[Раффи]; может быть, оп Вас введет в МатДематическое]
общДество]. Это будет во всяком случае интересно. Что-то
Вы уже очень много зараз собираетесь штудировать, судя
по Вашему письму, помните, что est modus in rebus *; не
переутомитесь и не разбросайтесь. Например, небесную
механику можно бы и не изучать специально, а довольст-
воваться тем, что необходимо для понимания лекций
Poincare [Пуанкаре] 6. Точно так же по дифф, [еренциаль-
ной] геомДетрии]. Конечно, нечего и думать о чтении все-
го Darboux [Дарбу] 6. В нем интересны для аналиста 2-й
том (1-я половина) — об ур-ях [уравнениях] с частными
производными. Вы говорите о перемещении центров в
миросозерцании. Мне думается, что научная работа, ее
направление и даже вкусы в этой области не должны бы
зависеть от миросозерцания. Миросозерцание само по
себе, а наука сама по себе! — Жизнь заграничная много
имеет в себе привлекательного, пожалуй, более всего —
* То есть мера в вещах.— (Прим, пер.)
338
это деловитость, которой у нас так мало. В этом смысле,
пожалуй, и поработать за границей крайне полезно для
всякого русского.
Чуть было не забыл Вам написать, что можно в России
теперь держать государств.[енные] экзамены. Уже открыты
действия Комиссии, и, кажется, со стороны 4-го курса
имеется решение — держать экзамены. Допускаются все
4-курсники, независимо от сочинений.
Подумайте, как быть. Во всяком случае раньше, чем
окончДательно] решите, напишите.
Ваш Д. Егоров
V
Москва, 25.IV 06
Многоуважаемый Николай Николаевич!
Поздно отвечаю Вам, т. к. Святую и часть Страстной
провел в Ялте, где немного отдохнул и телом и душою.
Возвратившись в Москву, нашел Ваше письмо, но вместе
с тем погрузился в такую массу дел, что некогда опом-
ниться.
Вполне одобряю Ваше намерение остаться в Париже:
судя по Вашим письмам, там так много теперь читается
интересного, что жалко было бы бросать в средине; экза-
мены же успеете сдать осенью. Вы не совсем так меня по-
няли, когда я советовал не очень разбрасываться в работе.
Это относится только к каждому данному моменту, а ме-
нять направление своих исследований время от времени
или по крайней мере пополнять свои сведения в смежных
областях — всегда полезно. В частности, механика и фи-
зика часто дают толчок и повод к возникновению матем.-
[атических] вопросов. Вы недовольны Кантом; я с Вами
согласен, что его категории очень непрочно построены, и
сочувствую более его теории познания (началам [?]). Все
же думаю, что философия Канта заключает много истин-
ного, а бездоказательность всегда есть и будет в философ-
ских построениях. Надо, кроме того, принимать во вни-
мание время, когда писал Кант; этим объясняется извест-
ная доза схоластичности его построений. С формальной
матем. [этической] логикой я совсем не знаком и был бы
Вам очень благодарен, если бы Вы написали, из какой
книги или статьи скорее всего в общих чертах с ней позна-
комиться. Думаю, однако, что, будучи хорошим инстру-
ЗЗЭ
ментом, она все же ничего существенно] нового дать не
может и что Вы возлагаете на нее преувелич.[енные]
надежды. Все же остается нечто неприводимое основное и
даже «синтетичДеское] суждение a priori»! — Ваши пись-
ма очень интересны для меня, и я буду очень рад, если Вы
будете чаще писать, невзирая на мою неаккуратность в от-
ветах. Всего Вам лучшего! У нас пока положение дел
неясное.
Ваш Д. Егоров
У меня к Вам просьба: пришлите мне несколько cartes
postales [открыток] с видами Парижа: мне хотелось бы
иметь воспоминания о местах, где я жил, напрЛимер]
place de le Concorde, Champs Elysees, place Vendome
[площадь Согласия, Елисейские поля, Вандомская пло-
щадь], затем вида 2 из Версаля.
VI
Москва, 19.V 06 (1.VI 06)
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Большое спасибо за открытки с видами Парижа и Вер-
саля! Только зачем Вы мне прислали их так много: выхо-
дит, что я напросился на подарок.
То, что Вы пишете о Ваших работах по диффЛеренци-
альным] урЛавнениям], меня очень интересует. Знаете
ли Вы статью, кажется, какого-то немца, кот.[орый] как
будто тоже строит алгоритм для вычисления интеграла
диффЛеренциального] урЛавнения]. Эта статья упомянута
в энциклопедии.— Благодарю Вас за указания работ по
матем.[этической] логике; когда будет время (а пока его
у меня совсем нет), познакомлюсь с ними. Что символ ло-
гики может сослужить хорошую службу, я готов признать
a priori, но мне все кажется, что ее роль есть и будет чисто
служебная: все, что можно получить ее методами, можно
усмотреть и другим путем. Впрочем, надо сначала поближе
с ней познакомиться.
Что касается до способов научной работы, то мне ду-
мается, здесь надо больше свободы и непосредственности:
работайте, как работается, и не задавайтесь предвзятыми
идеями. В конце концов научная работа имеет много об-
щего с поэтическим творчеством, и всякое принуждение
(со стороны или от себя лично во имя какого-нибудь
34Q
принципа) здесь ни к чему не приводит. Единственно, что
следует иметь в виду, это — заложить солидный фунда-
мент для будущего, и это приходится делать именно в на-
чале работы; но у Вас это более или менее сделано. Затем
еще не следует пересаливать, т. е. трудиться без отдыха:
это и вредно для продуктивности работы, и опасно для
организма, а прежде всего для мыслительных способностей.
Я слышал от Голубева, что Вас не вытащишь никуда.
Вот это не годится совсем! Необходима смена впечатле-
ний, а то даже восприимчивость нервной системы ослабе-
вает.— Желаю Вам побольше гулять по Парижу и окрест-
ностям. Когда вернетесь, милости прошу ко мне на дачу.
Пока я почти каждый день в Москве, за исключением
праздников.
Ваш Д. Егоров
VII
Москва, 21.1 07
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Должно быть, Вы не получили моего письма, которое
я Вам адресовал на Вашу москДовскую] квартиру на дру-
гой день после заседания Матем. [этического] общДества].
Затем я сам заходил к Вам, но уже не застал Вас в Москве
и узнал, что Вы уехали к Флоренскому ’. Я очень о Вас
беспокоюсь и страшно жалею, что не удалось повидать
Вас и поговорить с Вами. В письме всего не скажешь, да
к тому же я слишком мало знаю о причинах Вашего угне-
тенного состояния духа. Так бы хотелось по мере своих
сил помочь Вам и внушить хоть немного бодрости и более
спокойного отношения ко всему окружающему. Помните,
что у Вас вся жизнь впереди, что Вам ни в каком случае
не приходится отчаиваться: еще все можете и вернуть, и
изменить, и наверстать. Если Вам временно показалось,
что наука ничего Вам не дает, то это, во-первых, ошибка,
а, во-вторых, перед Вами открыта вся жизнь, которая сла-
гается и из научного труда и из многого другого.
Надеюсь, что Вы успокоитесь и что в скором времени
я Вас увижу; тогда подробнее поговорим.
Ваш Д. Егоров
341
VIII
Москва, 7.XII 10
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Простите, что так долго не отвечал Вам: кроме массы
дел болезнь жены, а затем университДетские] беспорядки
этому виной. И теперь пишу Вам наспех, не касаясь ма-
тематДического] вопроса, о котором Вы пишете (о нем на-
деюсь написать попозже), а главным образом, чтобы попе-
нять Вам на Ваш образ действий. По-видимому, Вы до сих
пор стесняетесь вступить в более близкие отношения с Гёт-
тингДенскими] математиками. Разве это можно!? Ведь
тогда и не стоило ехать в Гёттинген: книги читать можно
было и в Москве, а собственно лекции много нового дать
Вам не могут. Все дело в более близком общении, при
котором Вы много ценного узнаете. Вы, может быть, и в ма-
тем.[этическом] общДестве] не бываете? Тогда это уже сов-
сем непростительно! Итак, скорее наверстывайте потерян-
ное время и идите хоть к Landau [Ландау] 8, который
настолько любезен, что при затруднениях в немецкДом]
языке прибегнет и к франц.[узскому]. А затем на всех па-
рах совершенствуйтесь в немецком разговоре: практикуй-
тесь, говорите со всяким встречным, с знакомыми, со слу-
чайными встречными, при всех обстоятельствах! И затем
в ближайшем будущем представьтесь Клейну 9 и Hilbert-y!
[Гильберту] 10.
Бросаю писать, чтобы не побранить Вас; надеюсь, что
не рассердитесь на меня. Пишите чаще, не считайтесь
со мной.
Ваш Д. Егоров
IX
28.XII 10
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Конечно, было бы очень хорошо, если бы теорема ока-
залась верна.
По поводу ее только посмотрите работу Weyl-я [Вей-
ля] 11 в Math.[ematische] Ann.falen], в 67-м томе, где дает-
ся необхДодимое] и достДаточное] услДовие] для wesent-
lich gleichmassige Convergenz ряда по ортог.[опальным]
функциям. Там, оказывается, нужна сходимость ряда
п 12. Но если отказаться от равномерности (wesent-
clich значит за исклДючением] множества меры = 0),
то м.б. [может быть] и Ваша теорема верна,
342
Хотя у меня Поному-то есть сомнение. Именно, мне
кажется очень вероятным, что сходящийся ряд Fourier
[Фурье] (все равно по ортог. [овальным] ф-ям [функциям])
будет за выключением множества меры = 0 и равномерно
сходящимся, и тогда как будто вступает в силу результат
Weyl-я [Вейля].
Что касается до механизма, изображающего ф-ю
[функцию] F (х), данную рядом 2с„<рп (х) по ортог.[оваль-
ным] ф-иям [функциям] I при сходимости ^.Сп, то Riesz
[Рисе] 13 и за ним и Weyl [Вейль] дают его (Malli. Ann., 69,
Riesz [Рисе] дает литературу), и у Weyl-я [Вейля] дано до-
каз-во [доказательство] довольно простое. Оказывается, ряд
сумм Sn ряда Scn<jp„ (х) будет im Mittel convergent [сходиться
в среднем], и можно из него выбрать последовательность,
с с
МП1» • • •’
стремящуюся к F (х)!
Все это, если сходится Sc„. Пишу Вам очень спешно;
не знаю, все ли разберете.
Меня самого как раз теперь занимает вопрос об опред-
ии [определении] ф-й [функций] по коэфф.[ициентам]
Фурье, но я шел как раз в противоп.[сложном] направле-
нии: мне хотелось найти удобный процесс «суммирования»,
годный для всякого ряда по ортог. [опальным] ф-иям
[функциям]. Интересно будет, если Вы достигнете Вашей
цели, хотя я немного сомневаюсь, чтобы это удалось.
Пишите, что у Вас выйдет, и во сяком случае то, что
есть, сообщите Landau [Ландау].
Ваш Д. Егоров
Поздравляю с Новым годом!
Продолжаю:
Вот в двух словах результаты Riesz-a [Висса] и We-
yl-я [Вейля].
со п
Если сходящийся, то, обозначив Sn = спсрп (х)
1 1
(<р — ортог.[опальные] ф-ии [функции]), имеем
Ь m
J(5?n-5K)2dx = 2cL
а 71
343
а слЛедовательно],
lim J (Sm — Sn)~ dx = 0,
W=oo
П=ос
т. e. выполнено условие «сходимости в среднем».
Необходимо из сход-сти [сходимости] ряда 2с„ сле-
дует
S с?<ек,
i=l
en — верхи.[яя] граница для любого т и lim еи — 0. Вы-
71—ос
бнраем еП1, еП2, еИч, ... из этого ряда так, чтобы
£П1 + еп2 + ЕПЗ + • •
было сходящимся рядом, что всегда возможно, и тогда
с с с
^П21 ЮПзЧ • "
стремятся к S, кроме, м.б. [может быть], множества
меры = 0.
Как видите — вполне определенный вычислит, [ель-
ный] механизм.
Тот вопрос, котЛорый] меня интересует (о способах
суммирования), почти разрешен в Math. Ann. (69), у На-
аг-а [Хаара] 14, но мне не нравится, как. Думается, что
тут еще многое можно бы сделать.
То, что интересует Вас, конечно, очень заманчиво, но
не знаю, выйдет ли у Вас то, что Вы хотите, А что был под-
бор классов ортогЛональных] ф-ий [функций], это так,
явствует из мемуара Нааг-а [Хаара] в Math. Annalen, о ко-
тором я упомянул выше.
О. П. Недешева 1Б говорила мне, что Вы посылали ка-
кую-то работу в МатемЛатическое] общество; никакой не
получено! И отчего Вы меня не известили? Я бы своевре-
менно навел справки и написал бы Вам.
X
Москва. 9.1 11
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Я-таки доказал положение, о котором говорил, хотя
не совсем в той формулировке. А именно:
344
«Если последов-сть [последовательность] ф-ий [функ-
ций] сходится в каждой точке промежутка, то из нее мож-
но выбрать последовательность, которая во всем проме-
жутке будет существенно равномерно сходиться» 16.
Доказательство:
Пусть
lim fn (х) = f (х)
fn (я) — / (я) = Нп (х),
так что
lim Rn (х) - 0.
Обозначим через Лп(х) (по Weyl-ю [Вейлю]) наибольшую
из |7?я(х)|, )7?п+1 (ж) |, |Яп+2(х) |, ... Тогда, очевидно, и
lim Rn (х) = 0, и по теореме Arzela — Borel-я [Арцела —
Бореля] можно сказать, что мера множества точек, для
которой Rn(x)^>e, стремится к нулю с возрастанием п
(это высказано собственно для Rn(x), но верно и для
1{п (х)). Пусть эта мера есть ср (е, и), сл.[едовательно],
lim ср (е, п) = 0.
п=оо
Дадим е ряд значений
е е е
е’ ~2~ ’ ’ ~2Р ’ ’ ’ '
и определим п так, чтобы
<р(е,пх), ,. ..
были не больше
что возможно, т.к.
lim q (е, п) = 0.
?i=cc
Тогда мера множества точек, для которых
I Ди (х) | > е,
345
будет выражаться сходящимся рядом
У, <Р (^п • "ш) -
7П=1
и, след.[овательно], взяв т, начиная с достДаточно] боль-
шого числа, может сделать ее сколь угодно малой, и выб-
ран, [пая] последовательность
/п1» /па> Ala’ • • •
будет иметь сущ. [ественно] равном, [ерную] сходимость.
Изложив доказательство, я вижу, что даже незачем
было вводить Лп (х) и можно прямо брать | Нп (х) |.
Из этой теоремы можно заключить, напр Димер], что
для ряда непрер-х [непрерывных] ф-ий [функций] сумма
или непрер-а [непрерывна], или же непрер-а [непрерыв-
на] по выключении множ-а [множества] точек произвольно
малой меры (слДедовательно], точечно прерывна?).
И многое другое. Но мое возражение против Ваших
надежд все же падает. Хотя результаты Weyl-я [Вейля],
Riesz-a [Рисса] — все же достаточны для суммир-ия
[суммирования] ряда по ортог.[опальным] ф-иям [функ-
циям].
У меня набираются результаты по вопросу о сходимо-
сти послед-стей [последовательностей]; думаю их напеча-
тать.
Теперь о другом. Я получил письмо от Брайцева 17 из
Варшавы, который опять предлагает Ванг место в Поли-
техникуме и, не зная Вашего адреса, просит меня Вам
написать. Он просит Вас ответить ему прямо в Варшаву.
Подумайте, не спешите с ним. Подробностей он мне не
пишет. Может быть, Вы во всяком случае напишете ему
и попросите более подробных сведений и сами поставите
некоторые условия (напрДимер], чтобы Вас ждали еще
год и т. п.). Трудно, конечно, Вам советовать, особенно
не имея возможности лично переговорить.— Пишите и
мне поскорее.
Ваш Д. Егоров
XI
[Открытка без даты]
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Мне думается, я доказал общую теорему, из кот-ой [ко-
торой] будет следовать и то, что Вас занимало. Пусть по-
346
следовательность /15 fn, f сходится «по мерей, Т. б.
к нулю стремится мера множества Еп, для кот-го [которо-
го] | / — fn I > е- Беру множ-во [множество] Е точек,
входящих в бесч.[иссленное] множество из множеств
Elt Е2, . . ., Еп, ... По Borel-ю [Борелю] его мера = 0.
Затем беру числа ехе2 > е3> ... еп ... (lim еп = 0)
и строится Е(г~> для каждого ег. Точки расхождения будут
точки какого-либо из £’<’>, и их множество им.[еет] ме-
ру = 0. Сход.[ящаяся] послед.[овательность] Д, f2, ... схо-
дится за искл.[ючением] множества меры = 0 18.
Ваш Д. Егоров
Только что отправил Вам письмо и заметил, что дока-
зал больше, чем Вам написал: ясно, что если утилизировать
Лп (ж), то докажем существенно] равномерную сходи-
мость - самой последов-сти [последовательности] Д (ж),
Д (х), ..., ибо при Лп (х) < Et все | Rm (х) | < ег для
т nt.
Итак, всякий ряд сходящийся есть сущ.[ественно]
равномерно сходящийся! 19
Ваш Д. Егоров
XII
Москва, 17.1 11
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Давно приготовил Вам открытку и забыл ее опустить;
только сегодня нашел ее у себя и опустил.— Пишу Вам
доказательство подробнее.
Теорема. Всякая последовательность, сходящаяся
«в мере», сходится, за искл.[ючением], м.б. [может быть],
[множества] меры нуль 20.
Пусть Д, /2, • . Д, - • - — послед.[овательность], схо-
дящаяся в мере к / (х), т. е. если т( п, е) есть мера мно-
жества точек, для кот-ых [которых] | / — fn | е, то
lim т (п. е) == 0. Множ-во [множество] это обозначим Gm
и рассмотрим ensemble limite complet21 для множеств
Gj, G2, . . ., Gn,..., т. e. множ-во [множество] точек, таких,
что в них для бесконечного множества значений п = пх,
п2, ... | / — fn | > е. Это все точки расходимости. Пусть
теперь ех, е2, . . ., еп, ... — последовательность убываю-
щих положит, [ельных] чисел, притом таких, что
lim е„ = 0. Для каждого е, находим соответствующее G,
71=СО
которое обозначаем G(i). Если х — т.[очка] расхождения,
347
то в ряду gp е2, . . ., еи, . . . всегда найдется такое е;, что
для этой точки для бескЛонечного] множЛества] значений
п | / — /„ | > ег; в противном случае х была бы точкой
сходимости. Итак, всякая точка расходимости принадле-
жит к одному из множеств G(i), а тогда и ко всем следую-
щим, ибо в ряду G(1), G(2), G(3\ . . . каждое множ-во
[множество] содержится в следующем. Мера каждого G,
как ensemble limite complet серии множеств, мера кот-ых
[которых] стремится к нулю, равна нулю.
Множество точек расходимости, очевидно, будет мно-
жество — сумма множеств
GW, GW — G<«, GW — GW, ...
и, слЛедовательно], очевидно, мера его = 0.
Итак, теорЛема] доказана. Т.к. сходимость, в среднем
характеризуемая треб-ием [требованием] lim j (/ — fn) ~dx =
= 0, есть частЛный] случай сходДимости] в мере, то, при-
меняя к рядам Фурье, получЛаем] между прочим доказ-во
[доказательство] интересовавшего Вас вопроса.
Ваш Д. Егоров
XIII
Москва, 22.1 1911
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Я, конечно, напутал относительно точек перерыва.
Точки перерыва суть предельные точки точек множест-
ва меры т], выделенного из интервала, а не эти точки. По-
этому и мое заключение, и Ваши относительно функций
классов Baire-a [Бэра] неверны. Думаю, что из доказан-
ного мною все же можно прийти хотя бы к результатам
Baire-a [Бэра] 22; об этом размышляю.
Что касается формулировки Lebesgue’а [Лебега] в
С. R. (t. 137), то она не вполне ясна, но, судя по всему
предшествующему, не совпадает с моей. Множеств Ленное]
число «certains ensembles» [«некоторыми множествами»]
как будто указывает, что Lebesgue [Лебег] для каждого
Bj, входящего в требование | Нп | < е(, выделяет новые
множества.
Я показываю, что можно выделить одно раз навсегда,
и в остающемся ряд будет равномерно сходящимся для
любого е1, т. е. можно выбрать п так, чтобы всегда в нем
было | Rn | < для любого вр
348
Конечно, эту теорему легко получить из формулировки
Lebesgue-a [Лебега], но все же это другое 23.
Во всяком случае в этой теореме я разочаровался.
Но вот другая теорема, о котЛорой] я Вам недавно
писал, по-моему, важна.
Она утверждает тождество сходимости и сходимости по
мере, вопреки мнению Riesz-a [Рисса], Fischer-a [Фише-
ра], Weyl-я [Вейля] 24.
А следствия из нее интересны.
Ведь сходимость «еп шоуеппе» [в среднем] (т. е.
lira \ (/ — fn)2 dx = 0) — частный случай сходимости «еп
mesure» [по мере], слЛедовательно], и для нее то же имеет
место.
Между тем ряд по ортог.[опальным] ф-иям [функциям]
сходящийся «в среднем», если сходится (см.,
напрЛимер], мемуар Weyl-я [Вейля] в Malli. Ann.).
СлЛедовательно], он по моей теореме сходящийся, кро-
ме, м.б. [может быть], множества меры нуль.
Вообще тут, по-видимому, можно получить хорошие
результаты.
На всякий случай повторяю Вам доказательство тео-
ремы.
Пусть Et — множество, для кот-го [которого] | / —
— ft | > е, и Е — ens.[emble] limit complet для Еи
Е2, . . ., Еп, . . ., т. е. множество точек, для которых
I / — fn I > в для бескЛонечного] множества значений п.
Мера Е = 0, т.к. меры Е1, Ег, . . ., Еп стремятся к нулю
по условию.
Теперь берем ряд е15 ег, . . ., е?1, . . . положит.[ельных[
убывающих чисел, стремящихся к нулю, и для каждого
ej строим множество Е, кот-ое [которое] обозначим Е(^.
Меры всех их = 0 по предыдущему. Точки расходимости
непременно принадлежат к одному из Е&> и обратно: их
точки суть точки расходимости. СледЛовательно], множест-
во D точек расходимости есть сумма множеств Е<'\
Е<?> , . . ., , . . ., меры которых = 0 и каждое следую-
щее из которых, очевидно, содержит предыдущее. Отсюда
следует, что мера D = 0.
Как будто все верно!
Точный адрес Брайцева я не знаю; но Вы можете ему
написать в ПолитехничЛеский] институт.
Не знаю, что Вам советовать. Конечно, во всяком слу-
349
Чае, Вы должны себе выгойорить право остаться за гра-
ницей до конца командировки. Но как вообще быть —
соглашаться или нет — не знаю. По-видимому, Вам очень
трудно зарабатывать уроками, а тогда, м.б. [может быть],
и придется согласиться на предложение Брайцева. Только,
конечно, в Варшаве много неприятного.
Вага Д. Егоров
Передайте мои поклоны Prof. Landau [проф. Ландау],
а также, если будете у Hilbert’a [Гильберта] и Klein’a
[Клейна], то и им.
XIV
22.1 1911
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Только что отправил Вам письмо, как получил Вашу
открытку.
Напрасно Вы стесняетесь сообщить о том, что я Вам
пишу; я отправил две заметки в Comptes rendus; не знаю,
будут ли напечатаны 26. Более подробную статью, может
быть, напечатаю, когда выберу время для получения след-
ствий. Тогда, м.б. [может быть], пошлю в Math. Ann.
[Mathematische Annalen] 2e.
Ваш Д. Егоров
Только беда в том, что множ.[ество] меры = U еще
весьма неприятная вещь. Ваши результаты, вероятно,
дают больше.
XV
Москва. 28.1 1911
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Запоздал ответом Вам: у нас опять история универси-
тетская и, по-видимому, готовится общая забастовка всех
уч.[ебных] заведений, а Министерство чуть ли не собирает-
ся применять крутые меры.
Конечно, я сделал непростительную ошибку, и теорема
неверна 27: я допустил, что ensemble limite complet мно-
жеств, мера кот-х [которых] стремится к нулю, имеет ме-
ру = 0; а это верно только, если каждое следующее мно-
жество заключено в предшествующем, как это было при
доказательстве 1-й теоремы г8.
Все остальное, о чем Вы пишете по поводу моего дока-
зательства, уже дано Riesz-ом [Риссом].
350
Мне досадно, что я поторопился послать заметку в
Comptes rendus, и теперь пришлось послать поправку.
Относительно рядов по ортог.[опальным] ф-иям [функ-
циям] дело обстоит по Riesz-y [Риссу] так.
Если Sfln сходится, то можно выбрать из сумм Sn по-
следовательность Sni, . . ., которая будет везде схо-
диться, кроме точек множества меры = 0 29.
Таким образом, механизм вычисления / (х) есть. Во-
прос же о сходимости ряда остается открытым.
Интересно, как Вы его разрешите, хотя бы для некот-
ых [некоторых] классов ортог.[опальных] ф-ий [функций].
А все-таки сходимость «еп mesure» хорошая вещь!
Интересно, что же делается при ней с остальными Sn.
Доказано, что всякая последовательность из Sn, сходя-
щаяся везде, кроме т.[очек] мн.[ожества] меры = 0, будет
сходиться к тому же; ну, а что же остальные 5П?
По-моему, можно и дальше пойти. Пусть другая после-
доват.[ельность] /Эт4, f-rlj, ... сходится для точек множества
Е к акой - либ о меры (только не нуль). Тогда она
необходимо имеет тот же предел, ибо в противном случае
разности fnk — были бы^> е для точек множества меры,
не стремящейся к нулю. Итак, всякая посл-сть [последо-
вательность] там, где она сходится (кроме множ-ва [мно-
жества] меры = 0), сходится к /!
Но далее, если последовательность расходится, то она
может расчленяться на несколько сходящихся, и тогда
опять повторяется то же рассуждение и т. д.!
Выходит, что вся послед-сть [последовательность]
/17 /2, . . . все же как будто должна распадаться на сходя-
щиеся к /, но множество этих послед-стей [последователь-
ностей] есть continuum [континуум]!
Некогда дальше писать!
Ваш Д. Егоров
XVI
Москва, 30.1 1911
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Сейчас получил Ваше письмо от 25-го. Я и не сомне-
вался в справедливости тех теорем, о которых Вы пишете,
по крЛайней] мере первой.
Конечно, нпр.[например], ф-я [функция] l-ro класса
непрерывна на множестве меры 1 — ц. Но ведь не в этом
351
дело, а в том, что меру множества точек перерыва отсюда
еще найти нельзя.
Так, функция, равная нулю для рациональных точек
интервала 0—1 и равная единице для пррац. [повальных |
точек, конечно непрерывна на множестве иррацЛиональ-
ных] точек, мера которого = 1, ибо выключаем здесь
счетное множ-во [множество] рацЛиональных ] точек. Но
что же из этого? В конце концов она на интервале
прерывна во всякой точке. II я писал последний
раз о том, что точками перерыва могут быть предельные
точки устраненного множества, хотя бы сами они не были
устранены первоначально.
Я думаю все же, что что-нибудь еще удастся получить
о множестве точек перерыва, но пока некогда об этом ду-
мать.
Замечания о том, что достаточно удалить внутрЛенние]
точки интервалов, у меня есть во 2-й заметке, которая,
к сожалению, содержит ошибочный результат относитель-
но «convergence en inesure» 30.
Меня очень занимает, что будет на семинарах Hilbert’a
[Гильберта]. Пожалуйста, напишите со временем. Стран-
но, что Hilbert [Гильберт] принял Вас так официально.
Неужели он уже успел измениться?
Ваш Д. Егоров
XVII
Москва, 2(15). III 11
Многоуважаемый Николай Николаевич,
От знакомых я услыхал, что Вы нехорошо себя ведете —
опять переутомились работой и чувствуете себя плохо.
Надо было Вам следовать предписаниям врачей и хо-
рошенько отдохнуть. А теперь мой совет Вам ехать на
Ривьеру, нпрЛнапример], в Сан-Ремо. Это самое подходя-
щее место сейчас (в Швейцарию сейчас и думать нечего
ехать), и там Вы хорошо отдохнете на солнце, пользуясь
чудным морским воздухом. Не теряйте времени и поез-
жайте, а то в Гёттингене поправляться трудно.
Про Москву не пишу; Вы, вероятно, уже знаете, какое
невыносимое положение у нас здесь сейчас 31.
Математику тоже не затрагиваю; Вам лучше от нее
отдохнуть.
Напишите про себя.
Ваш Д. Егоров
352
XVIII
Новгород, 30.VI 13
Многоуважаемый Николай Николаевич,
С большим интересом читал Ваше письмо от 1.VI.13.
Очень рад, что Вы познакомились с французскими мате-
матиками, и в том числе с Борелем. Теперь Ваше пребыва-
ние в Париже будет плодотворно гораздо более, чем
прежде.
Не совсем мне нравится, что дело с печатанием Вашего
мемуара в «Journal de math, [ematiques]» затягивается по
кр.[крайней] мере на год. Может быть, можно бы скорее
напечатать в «Annales de 1’Ecole Normale?» 32
В крайнем случае придется напечатать из него вы-
держки в С. R.— хотя бы краткое доказательство Вашего
основного результата о существовании первообразной
функции 33.
Досадно, что В. А. Костицын потерял свой результат!
Доказат-ва [доказательства] Hobson-a [Гобсона] я еще не
видал и теперь не увижу до возвращения в Москву 34;
интересно бы знать доказательство В. А. [Костицина].
Желаю Вам всего лучшего и жду от Вас дальнейших из-
вестий.
Ваш Д. Егоров
XIX
Новгород, 31.VII 13
Многоуважаемый Николай Николаевич,
Ваши результаты, конечно, не дефинитны в том смысле,
как Вы сами пишете, но весьма вероятно, что они ценны, и
это лучше всего проверить по тем последствиям, к которым
приведет Ваше определение, хотя бы, напр.[имер], для
тригонометрия.[еских] рядов, как Вы сами и наметили.
Для того чтобы определение Ваше и читателю казалось
«естественным», Вам только необходимо в изложении дер-
жаться того пути: указать на проблему выбора «интегра-
ла» из семейства «первообразных» и аксиоматически, но
вместе с тем вполне резонно потребовать, чтобы для
частного случая F' (х) = 0 это была постоянная. Это и
поставить во главу угла, а тогда все прочее пойдет само
собой, если еще придерживаться тоже вполне резонно
принципа аддитивности, т. е.
П/1+/2) +J/2-
12 Заказ J'S 2436
653
Что касается до самого TV-свойства, то оно интересно и,
может быть, даст кое-что и непосредственно для классифи-
кации непрЛерывных] ф-ий [функций] 35.
Отчего Вы мне ничего не пишете о печатании Вашего
мемуара и об ответе Jordan-a [Жордана]? 36
Очень рад, что Вы хорошо себя чувствуете. Отдыхайте,
набирайтесь сил, а тогда и работа пойдет еще успешнее.
Всего Вам хорошего! Передайте, пожалуйста, мой
поклон Вашей супруге.
Ваш Д. Егоров
XX
7.IV 1914
Многоуважаемый и дорогой Николай Николаевич,
Вы все молчите. Очевидно, с Вами неладно. Но как бы
там дело ни стояло, Вы должны помнить, что Вам дарован
математический талант, и Вы должны его сохранить, а
равным образом и постараться, чтобы пришедшие Вам счаст-
ливые идеи не остались бесплодными. А потому возьмите
себя в руки и займитесь прежде всего своим моральным
лечением. Без нравственной уравновешенности научная
работа не может успешно идти.
Думаю, что Вам лучше бы вернуться в Москву, раз
в Париже Вы оказались банкротом 37. Здесь подтянетесь,
да и поддержку со стороны, может быть, найдете; а там
далее и за работу приметесь.
А пока, вероятно, Вы себя только нудите к работе, и
ничего не выходит.
Жаль, что Вы мне ничего все время не писали.
Хотя теперь напишите, а еще лучше послушайтесь
доброго совета и приезжайте.
Вероятно, Вам полезно будет некоторое время соблю-
дать известную умственную диету, да и вообще нужно во
всяких таких случаях беречь духовные силы, дабы не
ослабить их переутомлением, и совет врача часто бывает
необходим.
Иной раз кажется, что стоим над пропастью, а на деле
все оказывается поправимым. Да и вообще всякие жизнен-
ные неудачи через некоторое время кажутся сравнительно
маловажными; а в данный момент, заслоняя от нашего
взора все остальное, они могут действовать угнетающе.
Не надо отчаиваться, но в то же время всегда надо
себя и в руках держать.
354
Скажите же себе, что Вы прежде всего ученый, и побе-
регите в себе ученого.
Может быть, скоро увидимся? Я был бы очень рад,
если бы Вы так решили.
Ваш Д. Егоров
XXI
27.VI1914
Многоуважаемый и дорогой Николай Николаевич,
Очень рад, что д-р [доктор] Ражневский не нашел ниче-
го угрожающего и что Ваша работа, по-видимому, спорит-
ся. Пишите чаще; мне очень интересно знать про Вас по-
больше. А когда вздумаете, приезжайте. Я уже писал
Вам, что Анна Ивановна 38 и я будем очень Вам рады. Ко-
нечно, безопаснее заранее письменно уведомить, т. е. ина-
че может статься, что приедете как раз в тот день, когда
я в Москве. Но, впрочем, вероятность этого совпадения
довольно ничтожна.
Я сейчас понемногу читаю диссертацию Гернет и никак
не могу там найти пункта, о котором Вы говорили,— кри-
тики Сонина 39. По-моему, его имя вовсе не упоминается
в диссертации.
Может быть, Вы напишете более подробное указание?
Достал я себе диссертацию П. А. Флоренского и нашел
в ней много интересного. В частности, мысль о неизбежно-
сти антиномичности догматов, хотя, м.б. [может быть],
не нова, но хорошо выставлена и проведена. Интересны
замечания об Ангеле-Хранителе как об «intelligibiler
Charakter» Канта.
Меньше всего мне нравятся «поэтические» вступления
к письмам: не всякому дано быть поэтом.
Ваш Д. Егоров
XXII
2.VII 1914
Многоуважаемый и дорогой Николай Николаевич,
Пишу Вам, чтобы Вы как-нибудь не приехали во время
нашего отсутствия. Завтра Анна Ивановна и я едем в Моск-
ву, где переночуем и останемся 4-го встретить мою тетю,
которая приезжает из Новгорода и будет у нас гостить на
даче.
Как Ваши дела? Пишите почаще. А когда вздумаете,
приезжайте. На Ярославской дороге поездов много, и no-
li
655
i му наверное можно попасть к утреннему поезду на на-
еи желДезной] дороге с тем, чтобы пробыть у нас день
и возвратиться с вечерним поездом, после которого, Ha-
дороге] НанДется поезД и на Ярославской ж. д. [железной
Хотелось бы еще повидать Вас и поговорить с Вамп.
Ваш Д. Егоров
ПРИМЕЧАНИЯ]
19Ч1^£ИЗыИ " ™орчсстаУ Дмитрия Федоровича Егорова (1869—
1) и Николая Николаевича Лузина (1883—1950) посвящено не-
яало историко-научных работ, из которых ограничимся указанием
статен [ 4]. Все письма Егорова датированы по старому стилю.
остицыц Владимир Александрович — московский матема-
тик, учившийся вместе с Н. Н. Лузиным в университете. В 20-е
годы уехал во Францию и еще в 30-е годы жил в Париже.
дамар Ж. (Hadamard, Jacques; 1865—1963), член Академии
наук нститута Франции и иностранный член АН СССР, во втором
полугодии 1905/06 уч. года читал в Сорбонне два раза в неделю
курс высшего анализа. Об этом нам любезно сообщил Д-р П. Дюгак
(Париж).
3. 1 аффц Л. (Raffy, Louis; 1855—1910) — французский геометр,
член Математического общества Франции, его президент
в -.902 г. (сведения д-ра П. Дюгака).
олубев Владимир Васильевич (1884—1954), впоследствии
член корреспондент АН СССР; в 1906 г. продолжал свое образова-
ние в Париже.
5- Пуанкаре A. (Poincare, Henri; 1854—1912) — член Академии
наук Института Франции, иностранный член-корреспондент Ака-
демии наук в Петербурге, читал лекции по небесной механике.
6. Дарбу Г. (Darboux, Gaston; 1842—1917), член Академии
наук нститута Франции, иностранный член-корреспондент Ака-
Д£мпи паук в Петербурге, опубликовал четырехтомиый трактат по
дифференциальной геометрии [5].
7. Флоренский Павел Александрович (1882—1943) —русский
ученый, философ.
8. Ландау Э. (Landau, Edmund; 1877—1938) — специалист по
аналитической теории чисел, член ряда немецких академий и по-
четный член АН СССР.
9. Клейн Ф. (Klein, Felix; 1849—1925) — один из основателей
еггпшенской математической школы, член многих академий, ино-
странный член-корреспондент Петербургской Академии наук.
356
10. Гильберт Д. (Hilbert, David, 1862—1943) — глава Гёттин-
генской математической школы, член многих академий, почетный
член АН СССР.
11. Вейль Г. (VVeyl, Heimann; 1885—1955) — выдающийся гёт-
тингенский математик, в 1933 г., при гитлеровском режиме, поки-
нул Германию и переехал в Принстон (США).
12. Речь идет о работе Вейля [6]. В ней он, в частности, ввел по-
нятие существенно равномерной сходимости (wesentlich gleich-
massige Konvergenz) последовательности функций, совпадающей
для множеств конечной меры с почти равномерной сходимостью, и
доказал, что необходимым и достаточным условием почти равномер-
ной сходимости ряда сп<рп по ортогональным функциям (рп яв-
П=1
СО
ляется сходимость ряда
П=1
13. Рисе Ф. (Biesz, Frederic (Frigyes); 1880—1956) — профес-
сор в Колонваре, Сегеде и Будапеште. Основатель Математического
Института имени Я. Бояи. Речь идет о его работе [7].
14. Хаар A. (Haar, Alfred; 1885—1933) — венгерский матема-
тик, коллега Ф. Рисса. Имеется в виду его статья [8].
15. Найти какие-либо биографические данные об О. П. Неде-
шевой не удалось.
16. Это первоначальная форма известной теоремы Егорова о
последовательностях функций.
17. Брапцев Иван Романович (1870—1947), воспитанник Мос-
ковского университета, в 1900—1916 гг. он работал в Варшавском
политехническом институте, а затем профессором в Горьковском
педагогическом институте и университете.
18. Здесь Д. Ф. Егоров попытался дать набросок доказательст-
ва ошибочного утверждения, что сходящаяся по мере последова-
тельность функций сходится и почти всюду. Впоследствии Д. Ф. Его-
ров сам заметил допущенную им ошибку (см. письмо п° XIV).
19. Открытка XI была написана до письма XII от 17.1 1911 г.,
помещаемого далее, а добавление к ней вслед за первой подписью
Д. Ф. Егоров сделал после того, как он отправил указанное письмо.
Вследствие ошибочности предыдущего утверждения неверно и это.
20. См. примечание 18.
21. Егоров употребляет французский термин — полное пре-
дельное множество. В современной терминологии — верхний предел
последовательности множеств.
22. Бэр Р. (Baire, Rene; 1874—1932) — член-корреспондент
Академии наук Института Франции.
357
23. Лебег A. (Lebesgue, Henri; 1875—1941) — Член Академии
наук Института Франции, иностранный член-корреспондент АН
СССР. Д. Ф. Егоров пишет о заметке Лебега [9]. Н. Н. Лузин, по-ви-
димому, обратил внимание Д. Ф. Егорова на то, что формулировка
теоремы из письма от 9.1.1911 (см. иримеч. 16) имеется в указанной
заметке Лебега. Подробного ее доказательства Лебег не дал, огра-
ничившись замечанием, что она следует из теоремы о том, что вся-
кая сходящаяся почти всюду последовательность сходится и по мере.
На последнюю опирался и Д. Ф. Егоров при доказательстве перво-
начального варианта своей теоремы в письме от 9.1.1911 г. Лебегов-
ские слова «certains ensembles» («некоторые многкества») мо?кно
толковать и иначе — как относящиеся к разным последовательно-
стям функций,— и тогда замечание Д. Ф. Егорова отпадает. Заме-
тим, что математики того времени не всегда различали, по крайней
мере в формулировках, сходимости всюду и почти всюду. Лебег го-
ворил просто о «сходящемся ряде измеримых функций», имея в виду
сходимость почти всюду. Об этом см. [10, с. 102—108].
24. Об этом утверждении см. примечание 18.
25. Известны^две заметки Д. Ф. Егорова [И, 12] по соответ-
ствующей тематике, опубликованные в Докладах Парижской Ака-
демии наук. В первой из них содержится доказательство теоремы
Егорова.
26. Неизвестно, написал ли Д. Ф. Егоров эту более подробную
статью.
27. О «неверной теореме» см. примечания 18, 19, 24.
28. Т. е. теоремы Егорова из письма X (см. примеч. 16), дока-
зательство которой было опубликовано в заметке [11].
29. Имеется в виду теорема Рисса о том, что из всякой сходя-
щейся по мере последовательности измеримых функций можно
извлечь последовательность, сходящуюся почти всюду к той же
предельной функции. Она была доказана Риссом в [13]. Слово
«сходится» в формулировке Д. Ф. Егорова означает «сходится
по мере».
30. Это предложение непонятно. Ни в [11], ни в [12] такого заме-
чания нет. Оно или было исключено при печатании, или же указан-
ная в примечании 25 заметка [12] не является одной из тех двух
заметок, о которых шла речь в открытке XI, и Д. Ф. Егоров посылал
для печатания еще одну, третью.
31. В 1911 г. в Московском университете имели место бурные
выступления студентов. Они были грубо подавлены полицией.
Ректор университета и его ближайшие помощники были уволены.
В знак протеста университет покинуло более ста преподавателей
[14, с. 516]. Как сообщил А. П. Юшкевичу академик П. С. Александ-
358
ров (со слов В. В. Степанова), Д. Ф. Егоров чрезвычайно неодоб-
рительно отнесся к реакционным мероприятиям министра просвеще-
ния Л. А. Кассо и переживал мучительные сомнения, затрудняясь
решить, как ему быть. Все же в конце концов он решил остаться,
чтобы не развалить полностью преподавание математики на физико-
математическом факультете.
32. Неизвестно, о каком мемуаре Н. Н. Лузина идет речь.
В названных журналах значительно позднее были опубликованы
лишь две его работы [15], [16], но по вопросам, которыми Н. Н. Лу-
зин в 1912—1913 гг., видимо, не занимался. Возможно, что он подго-
товил тогда перевод или новую редакцию статьи [17], но эта работа
так и не была опубликована.
33. Соответствующая заметка Н. Н. Лузина [18] появилась.
В ней сформулированы основные результаты статьи [17].
34. Возможно, имеется в виду работа Гобсона [19], в которой,
ОС
в частности, была доказана теорема: если ряд (0 сходится,
П=1
то ряд У, a™ log2 п по ортогональным функциям ср (t) сходится почти
П=1
всюду. В. А. Костицын как раз в это время занимался изучением
систем ортогональных функции.
Гобсоп Э. У. (Hobson, Ernst William; 1856—1933), профессор
Кембриджского университета, был в Англии одним из первых пред-
ставителей того направления теории функций действительного пере-
менного, которое возникло во Франции.
35. В работе [17] Н. Н. Лузин доказал существование прими
тивной F (х) у всякой измеримой почти везде конечной функции
f (х). Поскольку одним из основных способов определения интегра
ла являлось определение его как разности значений примитивной
то естественным было намерение Н. Н. Лузина использовать ука-
занный факт существования F (х) для введения более общего поня-
тия интеграла, чем имевшиеся в то время. Однако доказательство
существования у Лузина, состоявшее в построении F (х), пе имело
однозначного характера: вспомогательные множества и функции,
использовавшиеся при этом, не определяли ее с точностью до адди-
тивной константы, и при различном их подборе получились различ-
ные примитивные. В этом смысле и сама эта теорема Лузина, и полу-
ченные с ее помощью результаты были, если воспользоваться терми-
нологией письма Д. Ф. Егорова, «не дефинитны». Желая устранить
эту «недефинптность», Н. Н. Лузин накладывал на F (х) дополни-
тельные ограничения, одним из которых является упоминаемое
В письме A-свойство. Это свойство Лузин ввел в диссертации, опу-
359
блпкованноп в 1915 г., так: «Пусть F (х) есть какая-нибудь непре-
рывная функция на области [0, 1]. Мы говорим, что F (г) обладает
на [0, 1] Аг-свойством («нуль-свопством»), если, каково бы ни было
множество ЭЛ меры нуль, лежащее на [0,1], значения функции F (х)
на JDI образуют множество непременно меры нуль» [20, с. 123]. Из
письма видно, что Лузпн сообщил об Аг-свойстве Егорову ужо в
1913 г.
36. См. примечание 32.— Жордан К. (Jordan, Camille; 1838—
1922) — член Академии наук Института Франции, иностранный
члоц-коррсспондепт Петербургской академии наук.
37. Н. Н. Лузпн возвратился в Москву весной 1914 г. Его под-
робный отчет о командировке для научных занятий в Париж, начав-
шейся в марте 1913 г., опубликован в «Историко-математических ис-
следованиях», вып. VIII, 1955, с. 57—70. При чтении последних
писем Д. Ф. Егорова полезно иметь в виду этот отчет, датирован-
ный 22 мая (т. е. 4 июня) 1914 г.
38. Анна Ивановна Егорова — жена Д. Ф. Егорова.
39. Гернет Надежда Николаевна (1877—1943) — профессор
Петербургских высших женских курсов, затем Ленинградского уни-
верситета и Политехнического института. Быть может, речь идет
о ее диссертации по вариационному исчислению, защищенной
в 1902 г. в Гёттингене у Д. Гильберта.— Сонин Николай Яковле-
вич (1849—1915) — выдающийся русский математик, ординарный
академик.
Л ИТЕРАТУРА
1. Кузнецов П. И. Дмитрий Федорович Егоров (к столетию со дня
рождения).— УМН, 1971, XXVI: 5(161), с. 169—206.
2. Голубев В. В., Бари Н. К. Биография Н. Н. Лузина.— В кн.:
Лузин Н. Н. Интеграл п тригонометрический ряд. М.; Л.:
Гостехпздат, 1951, с. 11—31.
3. Лаврентьев М.А. Николай Николаевич Лузин.—УМН,
1974, XXIX: 5(179), с. 177-182.
4. Кузнецов П. И. Николай Николаевич Лузин (к девяностолетию
со дня рождения).— Там же, с. 197—210.
5. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les ap-
plications geomeriques du calcul infinitesimal. Paris, 1887 —
1896, v. 1—4; 3е ed. 1915.
6. Weyl H. Ober die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonal-
funktionen fortschreiten.— Math. Ann., 1909. 67, S. 225—245.
7. Biesz FA Untersuchungen йЬег Systeme integricrbarer Funktio-
nen — Math. Ann , 1910, 69, S. 449—497.
8. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme.—
Math. Ann., 1910, 69, S. 331—371.
9. Lebesgue H. Sur. une propriety des fonctions.— Compt. rend.
Acad sci. Paris, 1903, 137, p. 1228—1230/Pyc пер.: Левее A,
360
Об одном свойстве функций,— В кн.: История и методология
естественных наук, вып. XVI. Математика, механика. М.: Изд-во
МГУ, 1974, с. 137—140.
10. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действитель-
ного переменного. М.: Наука, 1975.
11. Egorojj D. Th. Sur les suites de fonctions mesurables.— Compt.
rend. Acad. sci. Paris, 1911, 152, p. 244—246/Pyc. пер.: Его-
ров Д. Ф. О последовательностях измеримых функций.— УМН,
1971, XXVI: 5(161), с. 207—208.
t2. EgorojjD. Th. Sur I’integration de fonctions mesurables.— Compt.
rend. Acad. Sci. Paris, 1912, 155, p. 1473—1475/Pyc. пер.: Его-
ров Д. Ф. Об интегрировании измеримых функций.- VMII,
1971, XXVI: 5(161), с. 209—210.
13. Riesz F. Sur les suites de fonctions mesurables.— Compt. rend.
Acad. sci. Paris, 1909, 148, p. 1303—1305.
14. Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 г. М.:
Наука, 1968.
15. Lusin N., Sierpinski W. Sur un ensemble non-mesurable B.—
J. Math, pures et appl. Ser. 9, 1923, 2, p. 53—72/Pyc. пер.: Об
одном множестве, неизмеримом В.— В кн.: Лузин Н. Н. Собр.
соч., т. II. М.: Изд-во АН СССР, 1958, с. 285—300.
16. Lusin Лг., Privalojj I. Sur 1’unicite et la multiplicity des fonc-
tions analytiques.—• Ann. Ecole Norm. Sup. Ser. 3, 1925, 42, N 6/
/Рус. пер.: О единственности и множественности аналитических
функций.— В кн.: Лузин Н. II. Собр. соч., т. 1. М.; Изд-во
АН СССР, 1953, с. 250—318.
17. Лузин И. II. К основной теореме интегрального исчисления.—
Мат. сб., 1912, 28, вып. 2, с. 266—294; Собр. соч., т. 1. М.:
Изд-во АН СССР, 1953, с. 5—24.
18. Lusin IV. Sur les proprietes des fonctions mesurables.— Compt.
rend. Acad. sci. Paris, 1912, 154, p. 1688—1690/Pyc. пер.: О свой-
ствах измеримых функций,— В кн.: Лузин Н. Н. Собр. соч.,
т. 1. М.: Изд-во АН СССР. 1953, с. 41—42.
19. Hobson Е. W. On the convergence of series of orthogonal functi-
ons.— Proc. London Math. Soc. Ser. 2, 1913, 12, p. 297—308.
20. Лузин H. И. Интеграл и тригонометрический ряд.— Собр.
соч., т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1953, с. 48—212.
ПИСЬМА А. ДАНЖУА
Н. Н. ЛУЗИНУ
А. П. Юшкевич
В XXIII выпуске «Историко-математических исследо-
ваний» д-р П. Дюгак (Париж) опубликовал в русском пе-
реводе, выполненном Ф. А. Медведевым, восемь писем
академика Н. II. Лузина к его французскому коллеге и
другу А. Данжуа [1, с. 314—348], сохранившихся в бума-
гах последнего. Когда выпуск уже находился в наборе,
среди бумаг Н. Н. Лузина, хранящихся в Архиве Акаде-
мии наук СССР, были найдены 12 писем ему и в некоторых
случаях его жене, Надежде Михайловне Лузиной, от
А. Данжуа, а также от его жены Терезы Данжуа. Об этой
находке говорилось в предисловии редакции к XXIII вы-
пуску. Таким образом, сегодня известны 20 писем из пере-
писки Лузина с Данжуа, продолжавшейся с перерывами
с 20.11 1926 г. до 23.VI. 1945 г. Вот их перечень:
1. Письмо Н. Н. Лузина А. Данжуа 20.11 1926 г.
2. » » » 30.IX 1926 г.
3. » » » (около 10 января 1927 г.)
4. » А. Данжуа Н. М. Лузиной 4.IV 1927 г.
5. » Н. Н. Лузина А. Данжуа 30.XII 1927 г.
6. » » 4.III 1928 г.
7. » А. Данжуа Н. Н. Лузину 20.IX 1930 г.
8. » Т. Данжуа Н. Н. и Н. М. Лузиным 26.IX
1930 г.
9. Открытка А. Данжуа Н. Н. Лузину с припиской
Т. Данжуа 27.X 1930 г.
10. » » 5.1 1931 г.
11. Письмо А. Данжуа Н. М. Лузиной 21.1 1933 г.
12. » Т. Данжуа Н. М. Лузиной 31.1 1933 г.
13. Письмо А. Данжуа Н. Н. Лузину с припиской Т. Дан-
жуа И.IV 1934 г.
14. » » » 9.IX 1934 г.
15. » Н. Н. Лузина А. Данжуа 17.VI 1935 г.
16. » А. Данжуа Н. Н. Лузину 24.VI 1935 г.
17. » Н. Н. Лузина А. Данжуа 31.XII 1935 г.
362
18. Ппсьмо А. Данжуа Н. II. Лузину 25.1 1936 г.
19. » » » с припиской Т. Данжуа 11.VI
1945 г.
20. » Н. Н. Лузина А. Данжуа 23.V1 1945 г.
Эти 20 писем не исчерпывают, однако, переписку Лузи-
на с Данжуа. Так, остаются неизвестными ответы Данжуа
на письма Лузина 1926—1928 гг., особенно интересные по
математическому содержанию. Неизвестно также письмо
Лузина, упоминаемое Данжуа в открытке от 5.1 1931 г.,
и письмо Н. М. Лузиной, о котором говорится в письме
Данжуа от 21.1 1931 г.
Письма Данжуа и его жены имеют двоякую ценность:
в них отражен ряд биографических моментов, относящихся
главным образом (но не исключительно) к Н. Н. Лузину,
кроме того, речь идет вообще о научных контактах между
советскими и французскими математиками. Ниже дается
обзор этих писем с некоторыми выдержками из них. Обзор
этот непосредственно примыкает к публикации П. Дюга-
ка [1], где содержится необходимый комментарий к пись-
мам Лузина Данжуа. Чтобы избежать повторений, мы
в ряде случаев отсылаем читателя за справками к этому
комментарию.
Близкое знакомство Н. Н. Лузина с А. Данжуа нача-
лось в феврале 1926 г., когда советский математик вместе
с женой находился в Париже [1, с. 317—318]. В середине
июля 1926 г. Лузины вернулись в Москву, после чего
Н. Н. Лузин отправил Данжуа два письма — № 2 и 3
по приведенному выше списку. Первое из известных писем
Данжуа, № 4, от 4.IV 1927 г. адресовано Н. М. Лузи-
ной — Н. Н. Лузин был в это время болен. В начале пись-
ма говорится: «Мы много думали о Вас эти последние не-
доли, когда здоровье г. Лузина причиняло Вам беспокой-
ство», п далее: «гг. Меньшов и Лаврентьев, которых я
вижу время от времени, также рассказывают мне об их
учителе, к которому питают такие привязанность и ува-
жение». Д. Е. Меньшов и М. А. Лаврентьев находились
в Париже с января 1927 г. [1, с. 323, 327]. После этогоречь
идет о предстоящей поездке Лузина в Париж с замечанием,
что в летние месяцы французские профессора обычно
уезжают на каникулы, и предложением провести часть
лета вместе с семьей Данжуа на побережье Атлантического
океана. «Такое решение было бы для нас,— писал Дан-
жуа,— наиболее приятным».
363
Намечавшаяся поездка II. II. Лузина состоялась вско-
ре после Всероссийского съезда математиков в Москве,
закончившегося 4 марта 1927 г., причем он с женой при-
няли предложение Данжуа отдохнуть вместе с его семей-
ством на о-ве Олерои близ атлантического берега юго-за-
падной Франции. Как рассказывал автору этих строк
Д. Е. Меньшов, там побывали также он и Н. К. Бари.
Вернувшись в Москву, Лузин несколько месяцев не писал
Данжуа, как это видно из его письма от 30.XII того же
года, где упоминается недавняя поездка [1, с. 328—329].
В конце февраля 1928 г. Данжуа отправил Лузину открыт-
ку научного содержания, по-видимому не сохранившуюся.
Ответом па нее явилось подробное письмо Лузина от
4.III 1928 г. Затем, уже после Международного конгресса
математиков в Болонье, состоявшегося в августе 1928 г.,
Н. Н. Лузин с женой вновь прпехал в Париж п до лета
1930 г. работал во Франции над книгой «Лекции об анали-
тических множествах и их приложениях», изданной пер-
воначально в Париже на французском языке в 1930 г.
[1, с. 327]. В течение этих двух лет дружба его с Данжуа
окрепла, но они естественно не переписывались.
Переписку возобновил 20.IX 1930 г. Данжуа, приняв-
ший активное участие в 1 Всесоюзном съезде математиков,
состоявшемся в Харькове 24—29 июня того же года; Лузин
попасть на съезд не успел. 27 июня Данжуа выступил па
съезде с пленарным докладом «Предмет и смысл обобщений
понятия интеграла после Лебега» [2, с. 132—155], в кото-
ром сделал несколько ссылок па исследования Лузина.
В частности, здесь говорилось: «Обобщение интеграла, как
операции, обратной дифференцированию, рассматривалось
с различных точек зрения и было предметом многочислен-
ных и замечательных работ. Чтобы не допустить несправед-
ливых пропусков, я ограничусь указанием имен Лузина,
Хинчпна и Перрона, которые явились инициаторами во
многих вопросах» [2, с. 152]. Как известно, самому Дан-
жуа принадлежат в этой области первоклассные резуль-
таты.
Данжуа высоко ценил Лузина не только как ученого,
он восхищался его умом вообще. В упомянутом письме
№ 7 он писал: «Мы храним сердечную и верную память о
Вашем пребывании здесь. Я часто вспоминаю столь глубо-
кие и содержательные афоризмы, которые наш дорогой
Николай Николаевич расточал в своих беседах». Не-
364
сколько далее Данжуа сообщал, что был очень рад позна-
комиться по возвращении в Парпж с упомянутой книгой
Лузина, «которая станет трудом с долгой жизнью (de lon-
gue duree)».
О своем посещении Советского Союза Данжуа выска-
зался так: «Вы доставите мне большое удовольствие, пере-
дав мои приветы всей этой прелестной математической мо-
лодежи, которая столь обязательно стремилась сделать
совершенно приятным наше пребывание в Москве вслед
за Харьковом. Передайте, пожалуйста, мой привет г. Его-
рову и дамам из его семьи». В отправленном несколькими
днями позднее, 26.IX, письме №8 г-жа Данжуа, расска-
зывала о домашних делах и писала, что семья Данжуа с
нетерпением ожидает новостей из Москвы.
На зтп два п последующие шесть писем пли открыток
Данжуа № 9—14 ответы Лузина неизвестны. Мы знаем
только, что переписка становится почти односторонней и
ответы Лузина все более редкими. В открытке № 9 от
27.Х 1930 г. Дапжуа выражает беспокойство по поводу от-
сутствия новостей. По-видимому, Лузин ответил не сразу,
а именно новогодпей поздравительной открыткой, которая
упоминается в открытке же Дапжуа № 10 от 5.1 1931 г.
Через два года Дапжуа получпл неизвестное нам письмо
Н. М. Лузиной с извещением о болезни мужа: письмо
Данжуа № 11 от 21.1 1933 г. начинается словами: «Доро-
гая госпожа Лузина, мы были столь же рады получить
письмо, написанное Вами, как огорчены его содержанием»,
т. е. сообщением о заболевании Н. Н. Лузина. Через ко-
роткое время, в письме Н. М. Лузиной № 12 от 31.1,
г-жа Данжуа выражала надежду, что «прп тщательном
уходе в Кремлевской больнице и его крепкой конститу-
ции» выздоровление Лузина наступит быстро. Волее чем
год спустя в письме Н. М. Лузиной № 13 от 11.IV 1934 г.
Данжуа выражал радость, что получил от нее известия о
добром здоровье ее мужа, по вместе с тем опасение, что,
по слухам, Н. Н. Лузин еще не вполне поправплся. В при-
писке, сделанной г-жой Данжуа, передавался привет «всем
нашим московским друзьям, о которых мы храпим верную
память: Меньшову, Лаврентьеву, Нине Бари и коллегам,
которых Арно встречал в Москве. Он хранит то же попол-
ненное энтузиазма воспоминание обо всех университет-
ских коллегах, с которыми познакомился во время своей
поездки в Россию».
3K5
Еще через несколько месяцев, в письме № 14 от 9.IX
1934 г., адресованном уже самому Лузину, Данжуа упоми-
нал, что недавно имел известие о нем от Н. Бари, написав-
шей ему из Крыма. Расспрашивая Лузина о его занятиях,
Данжуа рассказывал о своих собственных университет-
ских делах — о том, что ему присвоено штатное звание
профессора, что обеспечивает его положение и материаль-
ное будущее (до того он был maitre de conference, т. е.
доцентом); о том, что он будет вести курс дифференциаль-
ного и интегрального исчисления для функций действи-
тельных переменных п курс теории дифференциальных
уравнений; о курсах других университетских коллег.
Опять-таки через много месяцев письмом № 15 от
17. VI 1935 г. Лузин, наконец, ответил сам, объясняя, что
не писал в течение четырех лет из-за тяжелой болезни и
«некоей духовной прострации, препятствовавшей как писать
сердечные письма, так и научной работе», а не из-за ду-
шевного отчуждения [1, с. 333]. Благодаря за присылку
научных работ Данжуа, которые он высоко оценил, Лу-
зин высказал мнение, что избрание Данжуа в Институт
Франции, т. е. в Академию наук, явилось бы только
скромным признанием его заслуг.
Данжуа откликнулся без промедления письмом № 16
от 24.VI. «Дражайший друг,— писал он,— я с величайшей
радостью увидел после стольких лет Ваш почерк и кон-
статировал, что Ваши чувства остались неизменными».
Затем, упомянув предложение, сделанное Лузину в письме
от 8.IV. 1935 г. деканом факультета наук Сорбонны, при-
ехать для чтения лекций о его исследованиях, Данжуа за-
верял: «Мои коллеги будут весьма довольны Вас слушать,
а для моей семьи и для меня будет большой радостью Вас
вновь увидеть». Значительная часть письма отведена об-
суждению шансов Данжуа быть избранным в Парижскую
академию наук. По мнению Данжуа, его работы послед-
них лет, печатавшиеся в «Comptes rendus» и им самим на-
зываемые «ребусами», не дают оснований для надежды на
близкое избрание; их вовсе не ценят так высоко, как это
делает Лузин. «До всех этих заметок я занимал лучшее
место во мнении членов Секции Геометрии, чем после
всей этой недавней продукции». Описывая некоторые
подробности взаимоотношений между парижскими мате-
матиками, Данжуа более высоко ставил шансы П. Монте-
ля, а свое собственное избрание считал отложенным надол-
366
го, если не навсегда. В самом деле, Данжуа был выбран
членом Института в 1942 г. на вакансию, освободившуюся
со смертью А. Лебега, Монтель же на пять лет раньше,
в 1937 г.
В коротком письме № 17 от 31.XII 1935 г. Лузин про-
сил Данжуа поздравить от имени Академии наук СССР
Ж. Адамара и передать ему свои личные пожелания в связи
с 70-летием 11, с. 334]. В своем ответе № 18 от 25.1 1936 г.
Данжуа извещал, что выполнил поручение, п писал, что
был рад встретиться недавно в Париже с С. Н. Бернштей-
ном (академиком) и познакомиться с Б. И. Сегалом (в то вре-
мя сотрудником Математического института им. В. А. Стек-
лова), приехавшими в Париж в составе советской научной
делегации. Он выражал лишь сожаление, что среди членов
делегации не было Лузина. «Ваши коллеги,— писал Дан-
жуа,— были окружены величайшей симпатией и приняты
весьма тепло». Упомянув о возможности возобновить при-
глашение Лузина в Париж, Данжуа сообщал, что предпо-
лагает в конце апреля отправиться в Варшаву для прочте-
ния двух докладов. «На полупути в Москву я буду о Вас
много думать»,— добавлял он.
После этого письма переписка между Н. Н. Лузиным
и А. Данжуа прервалась почти на десять лет, и им пред-
стояло лишь еще один раз обменяться письмами. Произо-
шло это вскоре после окончания второй мировой войны,
в дни празднования 220-летия основания Академии
наук СССР. Данжуа поручил одному из членов француз-
ской делегации на этот юбилей (по-видимому, Э. Картану)
передать Н. Н. Лузину следующее письмо № 19:
«Париж, 11 июня 1945
Дорогой друг,
пользуюсь случаем, доставляемым французской мис-
сией, выезжающей в СССР, чтобы спросить, какие у Вас
новости, и сообщить Вам наши.
Семейные дела у всех нас в порядке. Мой старший сын
Фабрис изучает медицину. Сейчас он в Бадене в качестве
помощника врача, направленного в армию в конце 1944.
Два его брата, Бернар и Рене, заканчивают среднее обра-
зование в Лицее. Все очень выросли... Ни один не желает,
видимо, заняться математикой. Планы их еще неопреде-
ленные [1, с. 341, примем. 17].
367
Вы знаете, что французская паука имела несчастье
три года назад потерять Лебега. Год спустя я заменил его
в Академии наук.
Что у Вас? Уже ряд лет мы ничего не знаем ни о Вас,
ни о госпоже Лузиной.
Вы, наверное, продолжаете создавать замечательные
труды. Я за годы войны, оккупации, материальных лише-
ний и морального угнетения очень постарел. Я начал пуб-
ликацию «Лекций о вычислении коэффициентов тригоно-
метрических рядов» (Lemons sue le calcul des coefficients des
series trigoBometriques). Три выпуска из 4 уже вышли из
печати. 4-й выпуск, содержащий общее исследование
тоталпзацпи и том о «Трасфппптном счете» (Enumeration
transfinie), находятся вот уже три с половиной года в руко-
писи, наполовину набранной у Готье—Виллара *. Пе-
чатание приостановлено за недостатком бумаги (1, с. 345,
примем. 29|.
Расскажите о подробностях вашей научной жпзпп...
Паша семья шлет госпоже Лузиной и Вам свои самые
сердечные и преданные приветы.
Арно Дапжуа».
К этим словам А. Данжуа его жена сделала приписку,
в которой выражала надежду, что счастливый исход вой-
ны позволит им как-либо встретиться с четой Лузиных.
Н. Н. Лузин откликнулся па цитированное письмо
письмом № 20 от 23 июня 1945 г. [1, с. 334—335]. Оп про-
сил писать ему и впредь, а в ответ на только что упомяну-
тые слова г-жи Дапжуа выражал надежду на встречу
когда-либо в Москве, так как сам настолько постарел, что
не смог бы совершить поездку в Париж. На этом перепис-
ка Н. Н. Лузина с А. Данжуа, судя по известным архивным
материалам, закончилась. В то время Лузин уже страдал
от сердечных приступов, один из которых закончился
в 1950 г. его безвременной смертью. А. Данжуа, ровесник
II. Н. Лузина, пережил его почтп на четверть века; он
умер в 1974 г. в возрасте 90 лет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ппсьма И. Н. Лузина к А. Данжуа.— Ист.-мат. исследования,
1978, вып. XXIII, с. 314—348.
2. Труды Первого Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930).
М.; Л.: ОНТИ, 1936.
* Имеется в виду издательство Gauthier — Villars.— А. Ю.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель II. X. (N. П. Abel) 27,
39, 40, 49, 51
Абу-л-Вафа 317, 318
Абу Наср пбн Ирак 317
Адамар Ж. (J. Hadamard) 121,
128-136, 139, 147, 154, 282,
295, 300, 338, 356, 367
Александер Д. В. (J. W. Alexan-
der) 300
Александров П. С. 8, 281—297,
299—302, 335, 358
Альфонсо (Alfonso) 327
Амерпо Л. (L. Amerio) 162,
163, 165
Ами Э. Т. (Е. Т. Нашу) 280
Ампер А. М. (А. М. Ampere) 73,
78, 86, 90, 95, 98, 102
Араго Ф. (F. Arago) 266, 279,
280
Арболеда Л. K.(L. С. Arboleda)
281
Арган Ж. Р. (J. R. Argand) 63
Аристотель 225, 324, 325
Арнольд В. И. 166
Арсенин В. Я. 154, 155
Архангельский А. В. 302
Архимед 8, 220, 315, 316, 322,
325, 326
Арцела Ч. (С. Arzela) 296, 345
Асколи Г. (G. Ascoli) 296
Ванах С. (S. Banach) 166
Бари Н. К. 360, 364—366
Баум В. (W. Baum) 279
Бахман П. Г. Г. (Р. С. Н. Ba-
chmann) 268
Башелье (Bachelier) 54
Башмакова И. Р. 303, 314
Беббпдж Ч. (Ch. Babbage) 26,
41—43, 50, 51
Безпкович А. С. 159, 165
Белый 10. А. 217
Бернайс П. (Р. Bernays) 167,
187
Бернулли Даниил (Daniel Ber-
noulli) 77, 101
Бернулли Иоганн I (Johann 1
Bernoulli) 10, 108, 190
Бернулли Иоганн III (Johann
III Bernoulli) 214, 224, 255,
260
Бернулли Яков I (Jacob 1 Ber-
noulli) 108
Бернштейн С. Н. 216, 367
Бернштейн Ф. (F. Bernstein)
188
Бертран Ж. (J. Bertrand) 94
Бессель Ф. В. (F. W. Bessel)
266, 273, 276
Бирман К. Р. (К. R. Biermann)
46, 48, 51, 266, 280
ал-Бируни Абу-р-Райхан Му-
хаммед пбн Ахмед 8, 317, 319,
328, 329, 331—334
Блпсс Г. A. (G. A. Bliss) 121,
127, 128
Боголюбов И. Н. 158, 159, 165
Боде И. Э. (J. Е. Bode) 273
Болтянский В. Г. 125, 128
Боль И. (Р. Bohl) 156—159,
163, 165
Больца О. (О. Bolza) 114, 121,
127, 128
Больцано Б. (В. Bolzano) 169,
180, 181, 183
Бомбеллп Р. (R. Bombelli) 312,
313
Бонкомпаньп Б. (В. Boncompa-
gui) 314
Бопп К. (К. Ворр) 193, 194,
201, 216, 220, 224
Бор Г. (Н. Bohr) 156 — 160,
163 — 165
369
Борель Э. (Е. Borel) 186, 286,
297, 345, 353, 357
Борхардт К. В. (К. W. Bor-
chardt) 94
Бохнер С. (S. Bochner) 159, 160,
162, 165
Боэций А. М. С. (А. М. S. Boe-
thius) 307
Бонн В. (W. Bolyai) 280
Бояи Я. (J. Bolyai) 214, 357
Брайцев И. Р. 346, 349, 350,
357
Браун И. A, (J. А. Braun) 221,
222
фон Браунмюль A. (A. von Вга-
unmuhl) 215
Брауэр Л. Э. Я. (L. Е. J. Вга-
uwcr) 283, 287, 288, 293,
297—299, 301, 302
Бриггс Г. (Н. Briggs) 25, 28—
31, 35, 50
Врио III. (Ch. Briot) 68, 70
Брунс П. Я. (Р. J. Bruns) 271
Буге П. (Р. Bouguer) 191
Буге Ж. К. (J. С. Bouquet) 69,
70
Буль Дж. (G. Boole) 41, 51, 214,
230, 231, 241—243, 247
Бур 3. (Е. Bour) 94
Бурбаки Н. (N. Bourbaki) 103,
290, 301, 313, 314
Буссе Ф. Г. (F. G. Busse) 271
Бэр Р. (R. Baire) 297, 302, 348,
357
Вагнер Р. (В. Wagner) 272—
274, 279, 280
де ла Валле-Пуссен Ш. Ж. (Ch.
J. de la Valle-Poissin) 159,
165
Валлис Дж. (J. Wallis) 20
Вальнер К. Р. (С. В. Wallner)
39, 40
Вандермонд А. Т. (A. Th. Van-
dermonde) 215
Варинг Э. (Е. Waring) 215
Ватсон Г. Н. (G. N. Watson)
211, 217
Вахабов С. А. 328, 334
Вебер В. (W. Weber) 279
Вебер Г. (Н. W’eber) 69
Вебер 3. (Е. Weber) 100, 103
Веблен О. (О. Veblen) 300
Веденисов Н. Б. 296, 297, 302
69, 70, 114—117, 120,
, 127, 134, 169, 172, 180,
, 183, 184, 187
, A. (A. Weil) 159, 295
, Г. (Н. Weyl) 159, 165,
, 342, 343, 345, 346, 349,
, 360
Дж. (J. Venn) 214, 246,247
' ’ ---
Вейерштрасс К. Т. В. (К. Th.
W. Weierstrass) 53, 56, 58,
66, "
121,
181,
Вейль
Вейль
261,
357,
Венн .
Верне Ж. (J. Vernet) 319
Веселовский И. Н. 314—316
Видеман 3. (Е. Wiedemann)
324, 327
Виет Ф. (F. Viete) 205, 225,
303-305, 307, 309-314
Визгин Вл. П. 261, 265
Вилейтнер Г. (II. Wieleitner)
39, 51, 100
Виллар (Villars) 368
Виллуэндас М. В. (М. V. Vil-
luendas) 317, 319
Випер Н. (N. Wiener) 207, 217
Виноградов А. М. 100, 103
Винтер Е. (Е. Winter) 216, 224
Винтер М. (М. Winter) 216
Воронцов М. И. 200, 223
Вуссипг Г. (Н. Wussing) 280
Выгодский М. Я. 9
Галлей 3. (Е. Halley) 193
Галуа 3. (Е. Galois) 71
Гамильтон У. Р. (W. R. Hamil-
ton) 73, 88—90, 96, 246
Гамкрелидзе Р. В. 125, 128
Гарднер К. И. (С. J. Gardner)
164, 166
Гаусс К. Ф. (С. F. Gauss) 8,
195, 214, 250, 252, 253, 259,
260, 266—280, 313, 314
Гаусс Т. (Т. Gauss) 279
Гейне X. Г. (Ch. G. Неупе) 266,
275, 280
Гейне Э. (Н. Е. Heine) 171, 182,
186, 187
Геинзиус Г. (G. Heinsius) 221,
222
Гельфонд А. О. 205
Германеску МДМ. Ghermanescu)
50
Гернет Н. Н. 355, 360
Герхард К. (С. I. Gerhardt) 247
Гершель Дж. Ф. В. (J. F. W.
Herschel) 41—43, 51
370
Гершель У. (W. Herschel) 191
фон Гёте И. В. (J. W. Goethe)
266, 270, 272, 279, 280
Гиллиспи Ш. К. (Ch. С. Gilli-
spie) 300
Гильберт Д. (D. Hilbert) 121,
128, 135, 154, 161, 167, 187,
205, 254, 261—265, 302, 342,
350, 352, 357, 360
Гинденбург К. Ф. (С. Г. Hin-
denburg) 47, 260
Глимор К. (С. Glymour) 261,
265
Глускина Г. М. 327
Гобсон Э. У. (Е. W. Hobson)
186, 353, 359, 361
фон Голланд Г. (G. J. von Hol-
land) 205, 254
Головинский И. А. 25, 266
Голубев В. В. 9, 338, 341, 356,
360
Голузин Г. М. 141, 155, 217
Гольдбах X. (Ch. Goldbach) 35,
50, 206, 208, 216 |
Гольдшмидт Г. (Н. Goldschmidt)
100
Гонкур Э. (Е. Goncourt) 297
Гончаров В. Л. 57, 69
Готтер Ф. В. (Г. W. Gotter) 268
Готье Л. (L. Gauthier) 368
Граур А. В. 260
Грегори Д. (D. F. Gregory) 24
Грегори Дж. (J. Gregory) 7,
10—20, 22—24
Грейвс Л. М. (L. М. Graves)
121, 128
Григорьян А. Т. 216, 218, 224
Григорьян Э. С. 324, 327
Грин Дж. (G. Green) 62
Грюзон И. Ф. (J. Ph. Griison)
49
фон Гумбольдт A. (A. von Hum-
boldt) 266, 270, 278—280
Гуревич В. (W. Hurewicz) 289,
301
Гурса Э. (Е. Goursat) 99, 103.
211, 217
Гутер Р. С. 26, 50
Гюйгенс X. (Ch. Huygens) 106
ад-Даббах Дж. 324, 327
Даламбер Ж. (J. d'Alembert)
72, 72—77, 79, 101, 190,
194, 215, 216
фон Дальберг К. Т. (К. Th.
von Dalberg) 271, 272
Данжуа A. (A. Denjoy) 8, 285,
297, 301, 362—368
Данжуа Б. (В. Denjoy) 367
Данжуа Р. (В. Denjoy) 367
Данжуа Т. (Т. Denjoy) 362, 363,
365
Данжуа Ф. (F. Denjoy) 367
Дарбуа Г. (G. Darboux) 96,
338, 356, 360
Дедекинд Ю. В. Р. (J. W. R.
Dedekind) 55, 56, 62, 69,
297, 313
Декарт Р. (R. Descartes) 51,
100, 106, 204, 225
Делиль Ж. Н. (J. N. Delisle)
212
Демидов С. С. 71, 101, 102
Депман И. Я. 9
Деренбург Г. (Н. Derenburg)
319
Джевонс В. Ст. (W. S. Jevons)
235, 246, 247
Дженокки A. (A. Genocchi) 172,
187, 188
Дибадж ибн Филшак 320
Диксон Л. Ю. (L. Е. Dickson)
207, 216
Диофант 303—305, 308, 310,
312, 314
Дирихле — см. Лежен-Дирихле
Дирксен Э. X. (Е. Н. Dyrksen)
49
Довлатова Л. И. 324, 327
Долгорукий В. С. 200, 201, 223
Донкин В.Ф. 94
Дорофеева А. В. 104
Дубяго А. Д. 195
Дьёдонне Ж. (J. Dieudonne) 291,
301
Дюбуа-Реймон Н. (Р. Du Bois
Reymond) 95, 114, 115, 127
Дюгак П. (Р. Dugac) 297, 302,
356, 362, 363
Евдокс 322, 325, 326
Евклид 254, 255, 258, 260,
305, 307, 313, 321—323, 325—
327
Евтокий 315
Егоров Д. Ф. 8, 100, 103, 335—
343, 346—348, 350—361,- 365
Егорова А. И. 355, 360
371
Екатерина 11 201
Енп Джами 324
Жакель Р. (R. Jaqucl) 189, 216
Жпков В. В. 165
Жордан К. (С. Jordan) 294, 354,
360
Жуковский И. Е. 195
Занд Жорж (Аврора Дюдеван,
G. Sand) 297
аз-Заркали 317
Захаров В. Е. 164, 166
Зигель К. Л. 205
Золотарёв Е. И. 314
Зольднер И. Г. (J. Н. von Sol-
dner) 273
Зоретти Л. (L. Zoretti) 283
Зубов В. В. 9
Ибн Афлах Джабар 317, 318
Ибн Му'аз Абу Адаллах Мухам-
мад 317—319
Ибн Сина Абу Али ал-Хусейн
ибн Абдалла 320, 326
Ибн ал-Хайсал Абу Али ал-
Хасан ибн ал-Хасан 256, 325
Иванов В. К. 135, 154
Иделер Л. (L. Ideler) 270
Ильин В. А. 154, 155
Имшенецкий В. Г. 95, 103
Ингам А. Е. 207, 217
Ирмэн Дж. (J. Earman) 261,
265
Йонсяма К. (К. Yoneyama) 283
Каврайский В. В. 260
Каган В. Ф. 258, 260
Кадец М. И. 163, 166
Кант И. (I. Kant.) 339, 355
Кантор Г. (G. Cantor) 168—170,
172—174, 187, 188, 286
Кантор М. (М. Cantor) 24, 39,
50, 100, 217
Кардано Дж. (G. Cardano) 310,
314
Карлеман Т. (Т. Carleman) 137,
dQq____d/и d
Картан А.’(Н. Cartan) 297
Картан Э. (Е. Cartan) 100, 286,
289, 295, 301, 367
Каспрп М. (М. Casiri) 319
Кассина У. (U. Cassina) 167
187
Кассо Л. А. 359
Катала A. (A. Catala) 319
Кауфман Н. (N. Kaufmann, Mer-
cator) 12, 212
Кеннеди X. К. (Н. С. Kennedy)
188
Кеплер И. (J. Kepler) 106, 127
Кестнер А. Г. (A. G. Kastner)
190
Кёлер Д. (D. Kohler) 201
Кёниге Г. (G. Koenigs) 27—29,
50
Киселёв А. А. 207
КлебшР.Ф. А. (В. F. A.Clebsch)
89, 91, 95, 116, 121, 128
Клейн Ф. (F. Klein) 53, 69, 73,
95, 96, 261, 342, 350, 356
Клеро А. К. (А. С. Clairaut) 193,
208
Клюгель Г. С. (G. S. Klugel)
255, 256, 260
Кнезер A. (A. Kneser) 117—120,
127
Кнопп К. (К. Кпорр) 207, 216
Ковалевская С. В. 133, 134
Кожухова Г. М. 315
Коллинс Д. (J. Collins) 12, 14
Колмогоров А. И. 11, 24, 247,
302
де Кондорсе М. Ж. А. Н. Кари-
те (М. J. A. N. Caritat de Con-
dorcet) 43, 51
Коркин А. Н. 48, 51
Кортевег Д. (D. Korteweg) 164,
166
Костпцын В. А. 336, 353, 356,
359
Котельников С. К. 221, 222
фон Коцебу О. (A. von Kot-
zebue) 278
Копгп О. Л. (A. L. Cauchy)
52, 54—57, 59—66, 69, 72,
84—90, 94, 99, 102, 129—141,
147, 148, 154, 155, 169—172,
182, 184, 186, 187, 210, 292
Краснова С. А. 319
Крелле А. Л. (A. L. Crelle)
287, 298
Кристман В. Л. (W. L. Chri-
stmann) 271
Кронекер Л. (L. Kronecker)
159, 314
372
Крылов В. II. 141, 155
Кубесов Л. К. 327
Кузен Ж. A. (J. A. J. Cousin)
74, 100
Кузичева 3. А. 225
Кузнецов П. И. 360
Кулпдж Д. Л. (J. L. Coolidge)
282
Курант Р. (В. Courant) 135—
138, 154, 294
Курце М. (М. Courtze) 207
Кутюра Л. (L. Couturat) 246,
247
Кучма М. (М. Kuszma) 25, 48,
'50
Кушнпр Е. А. 51
Лаврентьев М. А. 51, 216, 360,
363, 365
Лаврентьев М. М. 134, 137, 139,
141, 146, 148, 154, 155
Лагранж Ж. Л. (J. L. Lagran-
ge) 31—35, 45, 49, 50, 71—73,
79—83, 87, 89—91, 93—96,
101, 102, 104—107, 109—128,
157, 169, 184, 194, 196, 197,
202, 207, 209—217, 254, 313
ле Лакайль Н. Л. (N. L. de la
Caille) 253
Лакруа С. Ф. (S. F. Lacroix)
84, 102
Лакс П. Д. (Р. В. Lax) 164, 166
де Лаланд Ж. Б. Ж. (J. В. J.
de Lalande) 218
Ламберт И. Г. (J. Н. Lambert)
7, 189—225, 228—238, 240 —
260
Ландау Э. (Е. Landau) 342,
343, 350, 356
Ландис Е. М. 141, 155
Лаплас П. С. (Р. S. Laplace)
35—37, 39—42, 49—51, 79,
101, 130—132, 134, 136—141,
143, 147, 148, 155, 193, 216,
272
Лаптев Б. Л. 248
Лебег А. (Н. Lebesgue) 159, 282,
286, 297, 298, 302, 348, 349,
358, 360, 364, 367
Леви A. (A. Levi) 187
Левп-Чивпта Т. (Т. Levi-Civi-
ta) 207
Левин Б. Я. 160, 165
Левитан Б. М. 156, 160, 165
Лежандр А. М. (А. М. Legen-
dre) 73, 78, 90, 98, 102, 121.
169, 203, 205, 313
Лежен-Дирпхле П. Г. (Р. С.
Lejeune Dirichlet) 52, 53, 62,
129, 134, 169, 207
Лейбниц Г. В. (G. W. Leibniz)
10, 107, 108, 127, 185, 214,
226—229, 234, 235, 244—247,
303
фон Лейстнер II. II. К. (J. I. С.
von Leistner) 202
Лексель А. II. (A. J. Lexell)
201, 210, 214
Леман И. Г. (J. G. Lehman)
221, 222
Леонардо Пизанский (Leonardo
Pisano) 303-308, 310-314
Лере Ж. (J. Leray) 295
Лефшец С. (S. Lefschetz) 295,
300
Ли С. (S. Lie) 71, 73, 74, 90,
93—100, 103, 161
Лившиц Б. 69
Линдеман Ф. (F. Lindemann)
205
фон Лпнденау Б. А. (В. A. von
Lindenau) 266, 276
Лисажу (Lysaguo) 156
Листинг И. Б. (J. В. Listing)
279
Лиувилль Ж. (J. Liouville) 94,
95, 164, 205
Лобачевский Н. И. 154, 214,
252, 256, 258, 259
Ловиц Г. М. (G. М. Lowitz)
195, 219
де Лопиталь Г. Ф. A. (G. F. А.
de L’Hospital) 226
Лопшиц А. М. 69
Лоренц Г. А. (II. A. Lorentz)
262
Лорньа А. М. (А. М. Loigna) 39
Лузин Н. Н. 8, 177, 188, 282,
335-342, 344, 346-348, 350 —
356, 358—368
Лузина Н. М. 362, 363, 365,
368
Лунц Г. Л. 9
Лычагин В. В. 100, 103,
Люстерник Л. А. 121, 123, 128,
302
Ляйсте X. (Ch. Leiste) 270
373
Маак В. (W. Maatc) 161, 165
Майер A. (A. Maier) 116—119,
121, 127, 128
Майер И. Т. (J. Т. Mayer) 190,
218
Мак Кпн Г. П. (Н. Р. McKe-
an) 164, 166
Маклорен К. (С. Maclaurin) И,
22, 24
Макшейн Е. (Е. J. McSchane)
121, 128
Малкин Н. Р. 143, 155
Мальцев А. А. 302
Маркушевич А. И. 9, 52, 70, 217
Марти (Martie) 295
Марченко В. А. 160, 165
Маслам ал-Маджрити 317, 319
Мас'уд ал-Казаруни 320
Медведев Ф. А. 167, 188, 281,
335, 361, 362
Медичи Л. (L. Medici) 317
Медовой М. И. 9
Мельников И. Г. 9
Менгер К. (К. Menger) 283, 288,
289, 298, 299, 301
Менелай 317
Меньшов Д. Е. 363—365
Мербек П. (Р. Moerbek) 164,
166
Меркатор — см. Кауфман Н.
Мечин Дж. (J. Machin) И
Мп Г. (G. Mie) 262—264
Миере С. Б. (S. В. Myers) 121,
128
Миллас-Велликроза (J. Millas-
Vallierosa) 319
Миллер Г. Ф. (G. F. Muller) 200,
201, 218—223
Мишкат С. И. 327
Мищенко Е. Ф. 125, 128
Млодзиевский Б. К. 217
Мольвейде К. Б. (К. В. Mollw-
eide) 276
Монж Г. (G. Monge) 37—41,
43, 49, 51, 72, 81, 87, 95,
96, 101, 216, 252
Монтгомери Д. (D. Montgomery)
165
Монтель П. (Р. Montel) 28, 50,
366, 367
де Моиертюи П. Л. М. (Р. L.
Moreau de Maupertuis) 199
де Морган A. (A. de Morgan)
95, 214, 229, 246, 247
Мордухай-Болтовской Д. Д. 24
Морозов В. А. 154, 155
Морс М. (М. Morse) 121, 128
Мосели М. (М. Mosely) 51
де Муавр A. (A. de Moivre) 312
Музафарова X. Р. 321, 327
Мукенхаупт Ф. (С. F. Mucken-
houpt) 161, 162, 165
Мукопадпайа С. Д. (S. D. Muk-
hopadhyaya) 252
Мур Э. Г. (Е. Н. Мооге) 291
ван Мушенбрек П. (Р. van
Musschenbroek) 190
Невская Н. И. 218
Недешева О. П. 344, 357
фон Нейман Дж. (J. vonNeurnau)
160, 161, 165
Некрасов А. И. 217
Немыцкпи В. В. 292, 296
Непер Дж. (J. Neper, Napier)
28, 248—251
Нетто Э. (Е. Netto) 210
Никольский С.М. 127
Никомах 321, 327
Новиков П. С. 143, 144, 145,
155
Новиков С. II. 164, 166
Норден А. П. 252, 260
Ньютон И. (I. Newton) 7, 10—
14, 17, 20—24, 44, 47, 64,
107, 127, 185, 243, 268
Ожигова Е. П. 280
Олейник О. А. 302
Ольберг В. (W. Olbers) 194,
195, 271
Остроградскип М. В. 94
Паоли П. (Р. Paoli) 39
Паплаускас А. Б. 24, 282, 300
Парсеваль М. А. (М. A. Parse-
val) 156, 159, 162
Паскаль Б. (В. Pascal) 192
Паули В. (W. Pauli) 261
Пачоли Л. (Б. Pacioli) 305,
307—310, 314
Пеано Дж. (G. Peano) 167, 169,
172—178, 186—188
Пекарский П. П. 216
Пенлеви П. (Р. Painleve) 132,
154
Перрон О. (О. Perron) 364
374
Пертес Ф. (F. Perthes) 275
Петрова С. С. 10, 24
Петровский И. Г. 135, 136, 154,
155
Пиацци Дж. (G. Piazzi) 272
Пикар Э. (Ё. Picard) 134, 293
Пинкерле С. (S. Pincherle) 26,
28, 50, 172, 187
Пирс Б. (В. Peirce) 246
Пифагор 331, 332
Плюккер Ю. (J. Plucker) 95—
97, 103
Погребысскпй П. Б. 9
Полунов 10. Л. 26, 50
Понселе Ж. В. (J. V. Poncelel)
253
Понтрягин Л. С. 104, 121, 124,
125, 128, 296
Попов Н. И. 221, 222
Посельгер Ф. Т. (F. Т. Posel-
ger) 49
Поссе К. А. 188
де Поссель Р. (В. de Possel)
295
Праг A. (A. Prag) 24
Привалов И. И. 361
Прокл 323
Протасов А. П. 221, 222
Проуссе Г. (G. Prousse) 165
Пуанкаре А. (Н. Poincare) 130,
288, 289, 299—301, 338, 356
Пуассон С. Д. (S. D. Poisson)
94, 131
Пфафф И. Ф. (I. F. Pfaff) 72,
84—89, 93, 94, 96, 102, 273
Пюизё В. (V. Puiseux) 54, 60—
61, 63—69
Рабинович Ю. Л. 69
Райков Д. А. 217
Рассел Б. (В. Bussell) 187, 246
Раффи Л. (L. Baffy) 338, 356
Ремез Е. Я. 9
Рено А. П. Ж. (Н. Р. J. Ве-
naud) 319
Риккати Дж. (J. Biccati) 212
Риман Б. (В. Biemann) 52, 53,
55—63, 66—69, 156
Рисе Ф. (F. Biesz) 159, 343,
346, 349—351, 357, 358, 360,
361
це Роберваль Ж. П. (G. Р. de
Boberval) 106
фон Роде И. Ф. (J. Ph. von Bo-
lide) 270
Розенфельд Б. А. 217, 258, 260,
320, 327
Рокфеллер (Bockfeller) 300
Ролль М. (М. Bolle) 184
Романовска Д. A.(D. Bomanow-
ska) 10
Рубнер Г. (Н. Buhner) 280
Рудио Ф. (F. Budio) 216
Румовский С. Я. 221, 222
Рунге К. (С. Bunge) 58
Рыбкин Г. Ф. 9
Рыбников К. А. 50, 127
Сабра А. II. (A. I. Sabra) 321, 327
Саккери Дж. (G. Saccheri) 255
де Салис П. (Р. de Salies) 190
Сарториус фон Вальтерсгаузен
В. (W. Sartorius von Wal-
tershausen) 279
Сегал Б. И. 367
Серпинскпй В. К. (W. Sierpin-
ski) 7, 167, 171, 187, 188, 361
Симонов Н. И. 9, 51, 129
Славутин Е. И. 310, 314
де Слюз Р. Ф. (В. F. de Sluse)
106, 107
Смирнов IO. М. 302
Собпров Г. С. 327
Соболев С. Л. 136, 154, 162,
163, 165
Сонин Н. Я. 355, 360
Стевпн С. (S. Stevin) 303
Стеклов В. А. 155, 367
Степанов В. В. 9, 159, 165, 359
Стернберг С. (S. Sternberg) 100
Стяжкин Н. И. 217
Субботин М. Ф. 195, 216
Сушкевич А. К. 9
Таги-заде А. К. 334
Таннери Ж. (J. Tannery) 58
Тауринус Ф. A. (F. A. Taurinus)
259
Тейлор Б. (В. Taylor) 7, 10,
И, 14, 15, 19. 20, 22—24,
35, 36, 44, 50, 138, 184, 211
фон Темпельгор Г. Ф. (G. F.
von Tempelhof) 270
Тёрнболл Г. У. (Н. W. Turnbull)
10, 12, 14, 15, 20, 24
Титце Г. Ф. Ф. (Н. F. F. Tiet-
ze) 299, 302
375
Тихомиров В. М. 104, 128
Тихонов А. Н. 135, 139, 144 —
146, 148—150, 153—155, 292,
296, 297, 302
Траллес И. Г. (J. G. Tralles)
43, 44, 46, 47, 49, 51
Тумаркин Л. А. 296
Тумерман Л. 69
Турксма Б. (В. Turksma) 117,
127
ат-Туси Насир ад-Дин Мухам-
мад ибн Мухаммад ибн ал-Ха-
сан 315, 316, 320—322, 327
Тьебо Д. (D. Thiebaut) 215, 216
Уаптсаид Д. Т. (D. Т. While-
sid) 11, 24
Уиттекер Е. Т. (Е. Т. Whitta-
ker) 211, 217
Урысон II. С. 5, 281—294, 296—
302
Фавар Ж. (J. Favard) 163, 166
Фаддеев Л. Д. 164, 166
Фанте де Ланьи Т. (Th. Fantet
de Lagny) 203, 204
Феликс Л. (L. Felix) 298, 302
Ферма П. (Г. Fermat) 17, 106,
107, 313
Фихтенгольц Г. М. 126, 178—
183, 185, 186, 188
Фишер И. Э. (J. Е. Fischer) 221,
222
Фишер Э. Г. (Е. G. Fischer) 159,
270, 349
Флобер Г. (G. Flaubert) 297
Флоренским П. А. 341, 355,
356
Фомин С. В. 302
Фонтане Т. (Т. Fontane) 280
Формей Ж. А. С. (J. A. S. For-
tney) 190, 223, 224
Франк Р. (В. Franck) 293
Франкль Ф. И. 9, 101
Фредгольм И. (I. Fredholm)
141—143, 153
Фрейденталь Г. (Н. Freudental)
161, 165, 295, 298
Фреше М. (М. Frechet) 8, 281 —
302
Фридрих II 191, 192, 194, 199,
201, 215
де Фриз Ж. (J. de \ries) 164,
166
Фурье Ж. Б. (J. В. Fuorier)
56, 77, 141, 151, 152, 154,
159—161, 165, 198, 343, 348
Фусс Н. И. (N. Fuss) 214, 275
Хаар А. (А. Haar) 161, 344,
357, 360
Хайям Абу-л-Фатх Омар ибн
Ибрахим 255, 256, 323, 327
Хан Г. (II. НаЬл) 118—121, 127
Хардинг К. Л. (С. L. Harding)
266, 273, 279
Хартке В. (W. Harlke) 280
Хасслер Ф. Р. (F. В. Hassler)
266, 277, 278, 280
Хаусдорф Ф. (F. Hausdorff)
145, 286, 288, 291, 301, 302
Хедрик Э. Р. (Е. В. Hedryck)
291 299
Хинчин А. Я. 364
Хопф Г. (Н. Hopf) 293—296,
300, 302
Хоскин М. А. (М. A. Hoskin) 24
фон Цах Ф. К. (F. X. von Zach)
272
Цепгер И. Г. (J. G. Zeiher) 221,
224
Цейтен Г. Г. (Н. G. Zeuthen)
50
Цермело Э. (Е. Zermelo) 167,
173, 174, 177, 186—188
фон Циммерман Э. А. В. (Е. А.
W. von Zimmermann) 272 —
274
Циппин Л. (L. Zippin) 165
Читтенден Э. В. (Е. W’. Chit-
tenden) 291
Шабат Б. В. 51
Шаль М. (М. Chasles) 95
фон Шамиссо A. (A. von Cha-
misso) 278
Шарль Ж. (J. А. С. Charles) 39
Шарпи П. (Р. Charpit) 82—84,
87, 91
Швайнс Ф. Ф. (F. F. Schweins)
44—46, 51
Шевалле К. (С. Chevallier) 295
Шеффер Л. (L. Scheffer) 116,
117, 127
Шилов Г. Е. 9
376
аш-Ширази Кутб ад-Дин Мах-
муд ибн Мас'уд 8, 320—327
Шмидт Ф. (F. Schmidt) 280
Шнайдер Т. (Т. Schneider) 205
Шпапзер A. (A. Speiser) 205,
208, 211, 216
Шнисс О. (О. Spiess) 214, 217
Шрёдер Э. (Е. Schroder) 25, 27—
29, 49, 50, 246
Шрёдингер Э. (Е. Schrodinger)
164
Штейнер Я. (J. Steiner) 253
Штеккель П. (Р. Stackel) 255,
260, 280
Штелин Я. Я. (J. Stahlin) 223
Шуберт Ф. И. (F. Th. von Schu-
bert) 212, 275
Шуман Э. (Е. Schumann) 280
Шумахер Г. X. (Н. Ch. Schu-
macher) 266, 270, 271, 277
Шур Ф. (F. Schur) 260
Шютц X. Г. (Ch. G. Schiitz) 271
Эвальд Г. (Н. Ewald) 279
Эйзенштейн Ф. Г. М. (F. G. М.
Eisenstein) 55—57
Эйлер И. A. (J. A. Euler) 199,
270
Эйлер Л. (L. Euler) 7, 51, 71,
72, 74, 76—81, 84, 95, 96,
100, 101, 107—111, 114, 118,
126, 127, 189—224, 268, 270,
275, 277, 313
Эйнштейн A. (A. Einstein) 7,
261, 262—265
Энгель Ф. (F. Engel) 96, 97, 99,
103, 255, 260
Энгельсман С. Б. (S. В. Engel-
smann) 80, 201
Энестрём Г. (С. Enestroni) 51,
192
Энке И. Ф. (J. F. Encke) 266
Эппнус Ф. У. Т. (F. U. Т. Epi-
nus) 218, 221, 222
Эресман Ш. (Ch. Ehresmann)
100, 295
Эрмит III. (Ch. Hermite) 205
Эсклангон Э. (Е. Esclangon)
156—159, 165
фон Эшерих Г. (G. von Esche-
rich) 117, 120, 124, 127
Юшкевич А. П. 9, И, 22, 24,
50, 51, 100, 127, 189, 216,
217, 224, 247, 260, 327 335,
358, 361, 362
Якоби К. Г. Я.(С. G. J. Jacobi)
46—49, 51, 72—74, 84, 86,
89—96, 99, 102, 103, 123
Янпгпевский 3. (Z. Janiszews-
ki) 283
Яновская С. А. 9
УДК 512(091)
It истории открытия ряда Тейлора. Петрова С. С., Романов-
ен а Д. А. Сб. «Историко-математические исследования», вып. XXV.
jl.: Наука, 1980.
На основании изучения наследия Дж. Грегори и И. Ньютона вос-
создается история открытия ряда Тейлора Ил. 1, библ. 13 назв.
УДК 512(091)
ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений,
головинский И. А. Сб. «Историко-математические исследо-
вания», вып. XXV. М.: Наука 1980.
Статья посвящена ранней истории (конец XVIII — 20-е годы
Д1Х в.) попыток построения аналитических решений итерационных и
функциональных уравнений. Библ. 34 назв.
УДК 512(091)
Некоторые вопросы истории теории аналитических функций в XIX в.
Маркушевич А. И. Сб. «Историко-математические исследования»,
рьш. XXV. М.: Наука, 1980.
Расширенный текст доклада на Международном конгрессе матема"
^пков в Хельсинки (август 1978). Рассматривается творческая атмо"
сфера, в которой возникла диссертация Римана 1861 г. Библ. 9 назв-
УДК 512(091)
развитие исследований по уравнениям с частными производными пер-
вого порядка в XVIII—XIX вв. Демидове. С. Сб. «Историко-ма-
тематические исследования», вып. XXV. М.: Наука, 1980.
Очерки истории уравнений с частными производными первого по-
рядка, начиная с работ Л. Эйлера и Ж. Даламбера, кончая исследова-
ниями С. Ли 70-х годов XIX в. Библ. 54 назв.
УДК 512(091)
От правила множителей Лагранжа до принципа максимума Понтрягина.
Дорофеева А. В.. Тихомиров В. М. Сб. «Историко-мате-
^атические исследования», вып. XXV. М.: Наука, 1980.
Рассматривается развитие некоторых идей вариационного ис-
числения в XVIII—XX вв. Библ. 38 назв.
УДК 512(091)
О развитии идеи корректности краевых задач математической физики.
[Бимонов Н. И.| Сб. «Историко-математические исследования»,
"рЫП. XXV. М.: Наука, 1980.
В статье рассматривается формирование классического опреде-
ления корректности задач математической физики в исследованиях
ДС Адамара. Освещаются предпосылки дальнейшего развития класси-
ческой трактовки. Ил. 2, библ. 33 назв. Ш
УДК 512(091)
рчерк истории теории почти-периодических функций. Л е в и-
т а н Б. М. Сб. «Историко-математические исследования», вып. XXV,
р(.; Наука, 1980.
Рассматривается история теории почти-периодических функций,
^ачиная с работ П. Боля, Э. Эсклагоха и Г. Бора до наших дней.
Дибл. 34 назв.
37Ь
УДК 512(091)
Аксиона выбора и математический анализ. Медведев 4>. А. Сб.
«Историко-математические исследования», вып. XXV. М.: Наука,
1980.
Рассмотрены применения аксиомы выбора в доказательствах ряда
предложений анализа у Коши, Гейне, Кантора, Пеано и др., а также
в «Основах математического анализа» Г. М. Фихтенгольца. Библ. 22
назв.
УДК 512(091)
И. Г. Ламберт и Л. Эйлер. Юшкевич А. П. Сб. «Историко-матема-
тические исследования», вып. XXV. М.: Наука, 1980.
В статье на основании дневника И. Г. Ламберта, переписки его
с Л. Эйлером и печатных трудов обоих ученых проведены анализ их
научных и личных связей. Вибл. 33 назв.
УДК 512(091)
И. Г. Ламберт и Петербургская академия наук. ГригорьянА. Т.,
Невская Н. И. Сб. «Историко-математические исследования»,
вып. XXV. М.: Наука, 1980.
На основании материалов из Архива АН СССР рассматривается
в опрос о контактах Ламберта с Петербургской академией наук. Библ.
5 назв.
УДК 512(091)
Символическая логика в сочинениях И. Г. Ламберта. К у з и ч е-
в а 3. А. Сб. «Историко-математические исследования», вып. XXV.
М.: Наука, 1980.
О малоизученном творчестве И. Г. Ламберта в области символи-
ческой логики. Библ. 13 назв.
УДК 512(091)
Ламберт - геометр. Лаптев Б. Л. Сб. «Историко-математические
исследования», вып. XXV. М.: Наука, 1980.
Анализируются работы И. Г. Ламберта в области геометрии: его
открытие математической сущности правила Непера в сферической три-
гонометрии, разработка проективных методов в книге о свободной
перспективе и замечательные мысли по вопросам основания геомет-
рии. Ил. 7, библ. 20 назв.
УДК 512(091)
К истории открытия уравнений гравитации (Эйнштейн и Гильберт).
В и з г и н Вл. П. Сб, «Историко-математические исследования»,
вып. XXV. М.: Наука, 1980.
Обсуждается переписка между Эйнштейном и Гильбертом в но-
ябре 1915 г., обнаруженная американскими историками физики
Дж. Ирмэном и К. Глимором и проливающая новый свет на историю
установления общековариантных уравнений гравитации.
УДК 512(091)
Некоторые результаты новых исследований о Гауссе. Бирман К. Р.
Сб. «Историко-математические исследования», вып. XXV. М.: Наука,
1980.
Излагаются результаты изучения неопубликованных записей
молодого Гаусса, а также не публиковавшейся его переписки с рядом
ученых. Библ. 19 назв.
379
УДК 512(091)
Рождение советской топологической школы. Замечания о письмах
П. С. Александрова и И. С. Урысона Морису Фреше. А р б о л е-
д а Л. Н. Сб «Историко-математические исследования», вып. XXV.
М.: Наука, 19S0.
Анализ писем П. С. Александрова и П. С. Урысона 1923—1933 гг.
к М. Фреше, хранящихся в архиве Парижской академии наук.
Библ. 49 назв.
УДК 512(091)
Композиция квадратичных форм в математике XIII—XVI вв. Б а га-
ма к о в а И. Г. Сб. «Историко-математические исследования», вып.
XXV. М-: Наука, 1980.
Рассматривается предыстория введения комплексных чисел в свя-
зи с изучением теории неопределенных уравнений в работах Леонар-
до Пизанского, Луки Пачоли и Франсуа Виета. Ил. 4, библ. 9 назв.
УДК 512(091)
Арабская версия «Измерения круга» Архимеда. Кожухова Г. М.
СО. «Историко-математические исследования», вып. XXV. М.: Наука,
1980.
Сравнение арабской версии «Измерения круга» Архимеда (но об-
работке Насир ад-Дина ат-Туси) с греческой версией, перевод кото-
рой приводится в европейских изданиях Архимеда. Автор приходит
к выводу, что арабская версия ближе к первоначальной греческой.
Библ. 2 назв.
УДК 512(091)
Трактат Ибн Му'аза по сферической тригонометрии. В и л л у в н-
д а с М. В. Сб. «Историко-математические исследования», вып. XXV.
М.: Наука, 1980.
, Рассматривается трактат испано-арабского математика Ибн-
Му аза (989—1079) «Книга о неизвестных дугах сферы», представляв-
ший собой первый в истории математики трактат, специально посвя-
щенный сферической тригонометрии, и в частности решению сфериче-
ских треугольников по трем элементам. Библ. 8 назв.
УДК 912(091)
О математических работах Кутб ад-Дина аш-Ширази. Розен-
ф е л ь д Б. А. Сб. «Историко-математические исследования» вып.
XXV. М.: Наука, 19=0.
Обзор математических трудов иранского ученого аш-Ширази
(1236—1311) — математической части его энциклопедического труда
«Жемчужина короны для украшения Дибаджа» и комментарии к трак-
тату «О движении качения и об отношении между плоским и кривым».
В частности, рассматриваются оригинальные постулаты и теория па-
раллельных линий в первом трактате и инфинитезимальные рассужде-
ния, вопрос о неархимедовых величинах и о математическом ато-
мизме — во втором. Нл. 1, библ. 12 назв.
УДК 912 (091)
Две математические модели ал-Бируни. ВахабовС. Сб. «Историко-
математические исследования», вып. XXV. М.: Наука, 1980.
Рассматриваются две астрономические задачи, решаемые в
трактате ал-Бируни (973—1048) «Исчерпание возможных методов кон-
струирования астролябий», при решении которых применяется матема-
тическое моделирование. Ил, 3, библ. 2 назв.
380
УДН 512(091)
Письма Д. Ф. Егорова кН. Н. Лузину. Предисловие П. С. Александ-
рова Публикация Медведева Ф А. при участии Ю ш к е-
в и ч а А. П. Сб. «Историко-математические исследования», вып.
XXV. М. Наука, 1980.
Публикация писем Д Ф. Егорова к Н. Н. Лузину периода 1905—
1914 гг. и комментариев к ним. Библ. 20 назв.
УДН 512(091)
Письма А. Данжуа Н. Н. Лузину. Юшкевич А. П. Сб. «Историко-
математические исследования», вып. XXV. М.: Наука, 19R0.
Обзор писем А. Данжуа Н. Н. Лузину, хранящихся в Архиве
АН СССР. Письма охватывают период 1926—1945 гг. Библ. 2 назв
Историко-математиЧОСкИе исследования
Выпуск XXV
Утверждено к печати
Институтом истории естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор А. Ф. Лапко
Редактор издательства Э. С. Павлинова
Художественный редактор Т. П. Поленова
Технический редактор Е. Н. Евтянова
Корректоры И. А. Талалай, Л. И. Харитонова
ИБ № 17022
Сдано в набор 09.10.79.
Подписано к печати 10.03.80.
Т-02495. Формат 84Х1081/»-
Бумага типографская № 2
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 20,16. Уч.-изд. л. 20,8
Тираж 1500 зкз. Тип. зак. 2436
Цена 3 р.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
8
В МАГАЗИНАХ «АКАДЕМКНИГА»
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Азаров В. Л.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
СЛОЖНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1975. 400 с. 2 р. 05 к.
ИВАН МАТВЕЕВИЧ ВИНОГРАДОВ
МАТЕРИАЛЫ К БИОБИБЛИОГРАФИИ УЧЕНЫХ
СССР
(Серия математики. Вып. 14)
1978. 54 с. 20 к.
Володарский А. II.
ОЧЕРКИ ИСТОРИИ СРЕДНЕВЕКОВОЙ
ИНДИЙСКОЙ МАТЕМАТИКИ
1977. 180 с. 67 к.
Вольперт А. И., Худяев С. И.
АНАЛИЗ В КЛАССАХ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
И УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1975. 394 с. 2 р. 19 к.
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Вып. 20 1975. 382 с. 1 р. 55 к.
Карац>ба А. А.
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
1975. 184 с. 78 к.
Медведев Ф. А.
ФРАНЦУЗСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
И МНОЖЕСТВ НА РУБЕЖЕ XIX—XX ВВ.
1976. 230 с. 1 р. 14 к.
Миронов Б. Н. и Степанов 3. В.
ИСТОРИЯ И МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ИСТОРИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ
(Серия «Современные тенденции развптпя науки»)
1975. 182 с. 59 к.
ЗАКАЗЫ ПРОСИМ НАПРАВЛЯТЬ ПО ОДНОМУ
ИЗ ПЕРЕЧИСЛЕННЫХ АДРЕСОВ МАГАЗИНОВ
«КНИГА — ПОЧТОЙ» «АКАДЕМКНИГА»:
480091 Алма-Ата, 91, ул. Фурмано-
ва, 91/97; 370005 Баку, 5, ул. Джа-
паридзе, 13; 320005 Днепропетровск,
проспект Ю. Гагарина, 24; 734001
Душанбе, проспект Ленина, 95;
252030 Киев, ул. Пирогова, 4; 277001
Кишинев, ул. Пирогова, 28; 443002
Куйбышев, проспект Ленина, 2;
197110 Ленинград, П-110, Петроза-
водская ул., 7; 220012 Минск,
Ленинский проспект, 72; 117192
Москва, В-192, Мичуринский про-
спект, 12; 630090 Новосибирск, Ака-
демгородок, Морской проспект, 22;
620151 Свердловск, ул. Мамина-Си-
биряка, 137; 700187 Ташкент, ул.
Дружбы народов, 6; 450059 Уфа, 59,
ул. Р. Зорге, 10; 720001 Фрунзе,
бульвар Дзержинского, 42; 310078
Харьков, ул. Чернышевского, 87.
I | ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ