А.Д. Альтшуль,
Л.С. Животовсний,
Л.П.Иванов
ГИДРАВЛИКА
И АЭРОДИНАМИКА
си

А. Д. АЛЬТШУЛЬ, Л. С. ЖИВОТОВСКИЙ, Л. П. ИВАНОВ
ГИДРАВЛИКА
И АЭРОДИНАМИКА
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебника для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности «Теплогазоснабжение и
вентиляция».
МОСКВА СТРОЙИЗДАТ 1987

ББК 30.12
А 58
УДК [532 + 533.61(075.8)
Рецензенты — кафедра гидравлики, водоснабжения и ка-
нализации Киевского инженерно-строительного института (зав.
кафедрой проф. Ю. М. Константинов); кафедра гидравлики
и гидравлических машин Одесского политехнического
института (зав. кафедрой д-р техн. наук проф. А. М. Грабовский),
Альтшуль А. Д. и др.
А 58 Гидравлика и аэродинамика: Учеб. для вузов/
А. Д. Альтшуль, Л. С. Животовский, Л. П.
Иванов. — М.: Стройиздат, 1987.— 414 с: ил.
Изложены основные вопросы технической механики жидкости и
газа. Приведены физические свойства жидкостей и газа. Освещены
законы равновесия, основы кинематики и динамики жидкости и газа,
гидравлические сопротивления. Рассмотрено движение по
трубопроводам и истечение через отверстия и насадки жидкости и газа.
Описано обтекание твердых тел потоком жидкости и газа. Даны основы
моделирования гидроаэродинамических явлений.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Теплогазо-
снабжение и вентиляция».
. 2105000000-471
А 047(00-87 38-87 ББКЗ°Л2
© Стройиздат, 1987

ПРЕДИСЛОВИЕ
В Основных направлениях экономического и
социального развития СССР на 1981—1990 годы и на период
до 2000 года большое внимание уделено улучшению
использования научного потенциала высшей школы,
существенному расширению объема проводимых научных
исследований и разработок. В этой связи особое значение
приобретает создание высококачественных учебников и
учебных пособий для студентов вузов.
Техническая механика жидкости и газа является
одной из основополагающих дисциплин при подготовке
инженеров, работающих в области проектирования,
строительства и эксплуатации систем теплогазоснабжения и
вентиляции. Ее изучение необходимо для правильного
понимания принципов расчета и конструирования
трубопроводов, гидравлических машин, теплообменных и теп-
логенерирующих аппаратов, вентиляционных систем и
т. п. Понимание законов механики жидкости,
естественно, невозможно без глубоких знаний высшей
математики, физики, теоретической механики.
Предлагаемый учебник является результатом
многолетнего опыта чтения авторами учебника лекций на
факультетах Теплогазоснабжения и вентиляции
Московского инженерно-строительного института им. В. В.
Куйбышева и Всесоюзного заочного
инженерно-строительного института. При составлении учебника большое
внимание уделено наиболее современным методам
гидравлического и аэродинамического расчета сооружений и
результатам новых исследований в области механики
жидкости, в том числе личных исследований авторов.
Объем и содержание учебника полностью соответствуют
учебным планам и программам. Теоретический материал
сопровождается лишь иллюстративными примерами
гидравлического расчета и краткими справочными
данными, поскольку имеется учебное пособие «Примеры
расчетов по гидравлике» (М., Стройиздат, 1977),
содержащее разнообразные по тематике и степени сложности
задачи и необходимый справочный материал.
1*
3

При составлении учебника авторы придерживались
той точки зрения, что вузовский курс не может и не
должен пытаться охватить все возможные случаи
применения законов гидравлики и аэродинамики в области теп-
логазоснабжения и вентиляции. Наоборот,
предполагалось подчеркнуть общность понятий и принципов
движения жидкости и газа независимо от области их
приложения. В этом проявилась, в частности,
определенная методическая преемственность настоящего учебника
по отношению к книгам «Гидравлика и аэродинамика»
(авторы А. Д. Альтшуль и П. Г. Киселев), изданным в
1965 и 1975 гг.
Предисловие, введение (кроме п. 7) и главы 4, 6, 7
написаны А. Д. Альтшулем; п. 7 введения и главы 2, 3,
9 — Л. С. Животовским; главы 1, 5, 8, 10 — Л. П.
Ивановым.
Авторы учебника учли ценные замечания
рецензентов и выражают им свою признательность.

ВВЕДЕНИЕ
1. ПРЕДМЕТ ГИДРАВЛИКИ И АЭРОДИНАМИКИ
Гидравлика и аэродинамика (техническая
гидромеханика) — это наука об основных законах движения
жидкостей (как капельных, так и газообразных)', а также
об их силовом взаимодействии с твердыми телами.
Техническая гидромеханика является инженерной
дисциплиной, так как ее выводы направлены на решение
технических задач. Возникла она на основе двух отраслей
науки: эмпирической гидравлики и теоретической
гидродинамики. Указанные дисциплины (так же как
аэродинамика и газовая динамика) в настоящее время могут
рассматриваться как разделы механики жидкости К
Исторически накопление знаний о законах движения жидкостей
шло по двум путям: инженеры создавали гидравлику, основанную
главным образом на экспериментах, а математики — теоретическую
гидромеханику, построенную на математическом анализе
непрерывной деформации сплошной жидкой среды. Эти две науки имели один
и тот же объект изучения, но их методы, так же как и задачи,
были различными.
Гидравлика имела прикладной характер и применялась в
инженерной практике. Если точное решение оказывалось невозможным,
то принималось приближенное решение, если общего закона не
удавалось достичь, устанавливали частные законы. Для гидравлики
был типичен упрощенный подход к рассмотрению явлений движения
жидкости (как правило, действительное распределение скоростей во
всех точках потока не рассматривалось, а определялась лишь
средняя скорость). В гидравлике широко использовались данные опытов,
и в большинство гидравлических зависимостей входят
эмпирические коэффициенты.
В противоположность гидравлике теоретическая гидромеханика
имела строго математический характер и при решении задач
применялись дифференциальные уравнения движения жидкости. Во
главу угла ставилась строгость постановки задачи, точность
полученных решений и стремление обойтись без опытных данных. Однако
не всегда оказывалось возможным получить решения уравнений
гидромеханики, в ряде случаев полученные решения не давали
достаточного совпадения с опытными данными и не могли дать ответ
на насущные задачи инженерной практики.
В настоящее время теоретическая гидромеханика и гидравлика
сливаются в одну науку — техническую гидромеханику, построенную
на синтезе достижений теоретического анализа и экспериментальных
1 Гидравлика — наука о законах движения капельных жидкостей
(так называемая внутренняя задача — движение жидкостей в
трубах, каналах и пр.), аэродинамика — о законах движения газов
(внешняя задача — обтекание потоком твердых тел), газовая
динамика — о законах движения газов с большими скоростями.
5

исследований. В эту дисциплину, по выражению акад. Н. П.
Павловского, «гидромеханика внесла свою теоретическую строгость и
полноту исследования, а гидравлика — свой живой практический
дух».
В технической гидромеханике применяются основные
принципы физики и механики, причем полученные
выводы согласуются с экспериментальными исследованиями,
которые одновременно дополняют и подтверждают эти
выводы.
Знание технической гидромеханики необходимо для
решения многочисленных инженерных задач, в том числе
в области санитарной техники и, в частности, в теплога-
зоснабжении и вентиляции. Расчет трубопроводов
различного назначения (воздухопроводы, водопроводы,
газопроводы, паропроводы и др.), конструирование
гидравлических и воздуходувных машин (насосы, компрессоры,
вентиляторы и пр.), проектирование котельных
агрегатов, печных и сушильных установок, воздухо- и
газоочистных аппаратов, теплообменных аппаратов, расчет
отопительных и вентиляционных устройств требуют
отчетливого понимания законов технической
гидромеханики.
2. ИСТОРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ
Техническая гидромеханика в своем историческом развитии
прошла длинный путь. Некоторые принципы гидростатики (теория
равновесия жидкостей) были установлены еще Архимедом в трактате
«О плавающих телах» (250 лет до н.э.), а затем возрождены и
развиты Стевиным (1548—1620 гг.), Галилеем (1564—1642 гг.) и
Паскалем (1623—1662 гг.).
В середине XV в. Леонардо да Винчи (1452—1519 гг.) положил
начало экспериментальной гидравлике, исследовав в лабораторных
условиях некоторые вопросы движения воды в каналах, через
отверстия и водосливы. Торичелли (1608—1647 гг.) предложил известную
формулу для скорости жидкости, вытекающей из отверстия, а
Ньютон (1642—1724 гг.) высказал основные положения о внутреннем
трении в движущихся жидкостях.
В XVIII в. Даниил Бернулли (1700—1782 гг.) и Леонард
Эйлер (1707—1783 гг.) разработали общие уравнения движения так
называемой идеальной жидкости и тем самым положили начало
теоретической гидромеханике. Однако применение этих уравнений (так
же как и разработанных несколько позже уравнений движения
вязкой жидкости) к практическим задачам, которые выдвигала бурно
развивавшаяся техника, приводило к удовлетворительным
результатам лишь в немногих случаях. В связи с этим с конца XVIII в.
многочисленные ученые и инженеры (Шези, Дарси, Базен, Вейсбах
и др.) начали опытным путем изучать движение воды в различных
частных случаях и получили значительное число эмпирических фор-
6

мул. Создавшаяся таким путем чисто практическая гидравлика все
более отдалялась от теоретической гидродинамики. Сближение
между ними наметилось лишь к концу XIX в., когда сформировались
новые взгляды на движение жидкости, основанные на исследовании
структуры потока. Тонкие экспериментальные исследования законов
внутреннего трения в жидкостях при ламинарном движении (в
работах Н. П. Петрова; 1836—1920 гг.) и перехода от ламинарного
движения к турбулентному (в работах Рейнольдса; 1848—1912 гг.)
позволили глубже проникнуть в физическую природу
гидравлических сопротивлений.
Несколько позже работы Н. Е. Жуковского (1847—1921 гг.) и
Прандтля (1875—1953 гг.) продвинули вперед изучение важнейших
вопросов гидродинамики (и, в частности, турбулентных потоков),
которое завершилось созданием так называемых полуэмпирических
теорий турбулентности, получивших широкое практическое
применение.
XX в. был ознаменован стремительным ростом авиационной
техники, гидротехники, теплоэнергетики, гидромашиностроения, что
привело к бурному развитию технической гидромеханики, основанному
на синтезе теоретических и экспериментальных методов
исследования.
3. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
Определение жидкости. Основные законы,
используемые в технической гидромеханике, — те же, что и в
механике твердых тел. Однако применение этих законов к
задачам гидромеханики отличается некоторыми
особенностями вследствие различия свойств жидкостей и
твердых тел. Поэтому изучение технической гидромеханики
целесообразно начать с определения и оценки основных
свойств жидкостей.
Жидкости (в широком смысле слова) отличаются от
твердых тел легкой подвижностью частиц. В то время
как для изменения формы твердого тела к нему нужно
приложить конечные, иногда очень большие, силы,
изменение формы жидкости может происходить под
действием даже самых малых сил (жидкость течет под
действием собственного веса).
Жидкость, как и всякое физическое тело, имеет молекулярное
строение, т. е. состоит из молекул, расстояние между которыми во
много раз превосходит размеры самих молекул, т. е. жидкость, строго
говоря, имеет прерывистую структуру. В технической гидромеханике
при решении большинства задач принимают жидкость как сплошную
(непрерывную) среду ввиду чрезвычайной малости не только самих
молекул, но и расстояний между ними по сравнению с объемами,
рассматриваемыми при изучении равновесия и движения жидкости.
Тем самым вместо самой жидкости изучается ее модель,
обладающая свойством непрерывности (фиктивная сплошная среда —
континуум). Гипотеза о непрерывности или сплошности жидкой среды уп-
7

рощает исследование, так как позволяет рассматривать все
механические характеристики жидкой среды (скорость, плотность, давление
и т, д.) как функции координат точки в пространстве и времени.
Интересуясь, например, вопросом, как велики в данной точке
давление внутри жидкости или скорость ее движения, практически
важно знать давление и скорость в некотором весьма малом объеме,
а не строго именно в данной геометрической точке. Этот объем
действительно может быть очень малым. Так, известно, что в Ы0_6м3
воздуха находится 2,7-1019 молекул. Даже в таком малом объеме,
как кубик со стороной 0,001 мм, находится 2,7-107 молекул. Этот
пример показывает, что замена реальной жидкости ее моделью в
виде сплошной жидкой среды не приводит к погрешностям до тех
пор, пока не рассматривается движение молекул.
Жидкости по своим механическим свойствам
разделяются на два класса: малосжимаемые (капельные) и
сжимаемые (газообразные). С позиций физики
капельная жидкость значительно отличается от газа, с позиций
механики жидкости различие между ними не так велико,
и законы, справедливые для капельных жидкостей,
могут быть приложены также и к газам, когда
сжимаемостью последних можно пренебречь. В связи с отсутствием
специального термина, который обозначал бы жидкость
в широком смысле слова, в дальнейшем мы будем
пользоваться терминами «капельная жидкость» (малосжи-
маемая), «сжимаемая жидкость» (газ) и «жидкость»,
применяя последний термин в широком смысле,
охватывающем как капельную жидкость, так и газ (т. е. под
жидкостью будем понимать всякую среду, обладающую
свойством текучести).
Капельные жидкости обладают вполне определенным
объемом, который практически не изменяется дод
действием сил. Газы же, занимая все предоставленное им
пространство, могут значительно изменять объем,
сжимаясь и расширяясь под действием сил. Таким образом,
капельные жидкости легко изменяют форму (в отличие
от твердых тел), но с трудом изменяют объем, а газы
легко изменяют как объем, так и форму.
Основные свойства жидкостей, существенные при
рассмотрении задач технической гидромеханики, —
плотность и вязкость. В некоторых случаях (при образовании
капель, течении тонких струй, образовании капиллярных
волн и др.) имеет значение также поверхностное
натяжение жидкостей.
Плотность и удельный вес Жидкостей. Плотностью
жидкости р называется ее масса М, заключенная в
единице объема W:
8

p = AW. (1)
Плотность воды при температуре 4°С рв=1000кг/м\
Если жидкость неоднородна, то формула (1)
определяет лишь среднюю плотность жидкости. Для определе-.
ния плотности в данной точке следует пользоваться
формулой
Вес жидкости G, приходящийся на единицу объема
Wy называется удельным весом:
y = G/W. (3)
Удельный вес воды при температуре 4°С 7в=9810
Н/м3 (1000кгс/м3).
Если жидкость неоднородна, формула (3) определяет
только средний удельный вес жидкости. Для
определения удельного веса жидкости в данной точке
применяется формула
AG iA^
Плотность и удельный вес связаны между собой
известным соотношением
где g — ускорение свободного падения.
Относительным удельным весом жидкости (или
относительным весом) б называется отношение удельного
веса данной жидкости к удельному весу воды при
температуре 4°С:
б = 7ж/7в- (6)
В отличие от удельного веса относительный удельный
вес представляет собой отвлеченную (безразмерную)
величину, численное значение которой не зависит от
выбранной системы единиц измерения. Так, для пресной
воды при температуре 4 °С
вв = 1. (7)
Плотность, а следовательно, удельный и
относительный удельный вес жидкостей и газов меняются с
изменением давления и температуры (табл. 1 и 2).
Сжимаемость и температурное расширение
жидкостей. Сжимаемость капельных жидкостей под действием
9

Таблица 1. Плотность р и удельный вес у капельных жидкостей
при/=20°С
Жидкость
Вода пресная
» морская
Глицерин безводный
Керосин
Масло касторовое
» минеральное
Нефть
Ртуть
Спирт этиловый безводный
Хлористый натрий (раствор)
Эфир этиловый
Бензин авиационный
V, Н/м3
9 790
10 010—10 090
12 260
7770—8450
9 520
8000—8750
8340—9320
132 900
7440
10 690
7010—7050
7250—7370
р, кг/м3
998,2
1002—1029
1250
792—840
970
877—892
850—950
13 547
789,3
1200
715—719
739—751
Таблица 2. Приближенные значения плотности р и удельного
веса у газов при давлении 9,7-104 Па и /=15°С
Газ
Водород
Водяной пар
Окись углерода
Азот
Воздух
Кислород
Углекислота
V, Н/м»
0,81
7,25
11,3
11,3
11,6
12,8
17,6
р, кг/м3
0,08
0,74
1,15
1,15
1,20
1,30
1,80
давления характеризуется коэффициентом объемного
сжатия pvr, который представляет собой относительное
изменение объема жидкости на единицу изменения
давления:
1 AW
\>w
(8)
W Лр '
где W — первоначальный объем жидкости; AW — изменение этого
объема при увеличении давления на величину Ар.
Коэффициент объемного сжатия имеет размерность
Па-1. Знак «минус» в формуле (8) обусловлен тем, что
положительному приращению давления р соответствует
отрицательное приращение (т, е. уменьшение) объема
жидкости W.
10

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия,
называется модулем упругости жидкости Е0, Па:
Коэффициент объемного сжатия капельных
жидкостей мало меняется при изменении температуры и
давления (табл. 3), в среднем для воды (£0 = 2-109 Па)
Р^« 1/(2-10») Па-1. (10)
Таблица 3. Значения коэффициента объемного сжатия воды
Температура, °С
0
5
10
15
20
50
5,4
5,29
5,23
5,18
5,15
Рдег.102, Па"
100
5,37
5,23
5,18
5,1
5,05
"~1. при давлении, Па-104
200 | 390
5,31
5,18
5,08
5,03
4,95
5,23
5,08
4,98
4,88
4,81
780
5,15
4,93
4,81
4,7
4,6
Таким образом, при повышении давления на 9,8-104
Па объем воды уменьшается на V20 ооо часть
первоначальной величины. Коэффициент объемного сжатия для
других капельных жидкостей имеет примерно тот же
порядок величин. Во многих случаях, встречающихся в
практической деятельности инженера-сантехника,
сжимаемостью воды можно пренебрегать, считая удельный
вес и плотность ее не зависящими от давления.
Температурное расширение капельных жидкостей
характеризуется коэффициентом температурного
расширения fit (табл. 4), выражающим относительное увеличение
объема жидкости при увеличении температуры на 1 град,
т\ е.
Таблица 4. Коэффициент температурного расширения воды
Давление, Па.104
10
980
1960
4900
8830
fy, 1/град, при температуре, °С
1-10
1,000014
0,000043
0,000072
0,000149
0,000229
10-20
0,000150
0,000165
0,000183
0,000236
0,000294
40-50
0,000422
0,000422
0,000426
0,000429
0,000437
60-70
0,000556
0,000548
0,000539
0,000523
0,000514
90-100
0,000719
0,000714
—
0,000661
0,000621
11

где Д№— изменение этого объема при повышении температуры на
величину ДЛ
При температуре от 10 до 20 °С и давлении 105 Па
можно приближенно принимать:
pt« 0,0001 °С-1. (12)
Если приближенно считать, что плотность не зависит
от давления, а определяется только температурой, то из
выражений (11) и (1) можно найти приближенное
соотношение для расчета изменения плотности капельных
жидкостей с изменением температуры:
pt = p0 i+fci-'o) ' (13)
где t0 — температура жидкости при нормальных условиях.
Способность жидкостей менять плотность (и
удельный вес) при изменении температуры широко
используется для создания естественной циркуляции в котдах,
отопительных системах, для удаления продуктов
сгорания и т. д.
Связь плотности, кинематической и динамической
вязкости воды с температурой показана в табл. 5.
Таблица 5. Зависимость плотности р, кинематической v и
динамической \i вязкости воды от температуры
Температура, °С
0
4
20
40
60
80
90
99
р, кг/м3
999,9
1000
998
992
983
972
965
959
v-lO1, м2/с
0,0179
0,0152
0,0101
0,0066
0,0048
0,0037
0,0033
0,0028
ц-103, Па-с
1,79
1,57
1,01
0,65
0,48
0,36
0,31
0,27
В отличие от капельных жидкостей газы
характеризуются значительной сжимаемостью и высокими
значениями коэффициента температурного расширения.
Зависимость плотности газов от давления и температуры
устанавливается уравнением состояния.
12

Рис. 1. Зависимость
плотности воздуха от
барометрического
давления и температуры
J>,K2/M*
V*
t2
to
р,кпа
101Л
96J7
93J
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 t,°0
Наиболее простыми свойствами обладает газ,
разреженный настолько, что взаимодействие между его
молекулами может не учитываться, так называемый
совершенный (идеальный) газ. Для совершенных газов
справедливо уравнение Клапейрона, позволяющее определять
плотность газа при известных давлении и температуре,
т.. е.
Р = р/(ЛГ). (14)
где р — абсолютное давление; R — удельная газовая постоянная,
различная для разных газов, но не зависящая от температуры и
давления [для воздуха #=287 Дж/(кг-К)]; Г —абсолютная
температура.
Поведение реальных газов в условиях, далеких от
сжижения, незначительно отличается от поведения
совершенных газов, и для них в широких пределах можно
пользоваться уравнениями состояния совершенных
газов.
В технических расчетах плотность газа обычно
приводят к нормальным физическим условиям (/=0°С;
р=101 325 Па) или к стандартным условиям (/=20 °С:
р= 101 325 Па).
Плотность воздуха при R=287 Дж/(кг-К) в
стандартных условиях по формуле (14) будет:
101 325
Р°~ 287(273+20) = ''2 кг/м?' <15>
При других условиях плотность воздуха определяется
по формуле
Ро Т
Кривые зависимости плотности воздуха от
температуры, при разных давлениях, определенные по этой
формуле, приведены на рис. 1. .
13

Для изотермического процесса (T=const) из
формулы (16J имеем:
р/р = const, (17)
а для адиабатического процесса
p/pk = const,- (18)
где k*=cp/cv — адиабатическая постоянная газа (здесь ср —
теплоемкость газа при постоянном давлении; cv — то же, при постоянном
объеме).
Сжимаемость газов зависит от характера процесса изменения
состояния:
для изотермического процесса
Е0 = р, (19)
а для адиабатического
E0 = kp. (20)
Из выражения (19) следует, что изотермическая сжимаемость
для атмосферного воздуха составляет ~9,8-104Па, что примерно в
20 тыс. раз превышает сжимаемость воды.
Важной характеристикой, определяющей зависимость изменения
плотности газа при изменении давления в движущемся потоке,
является скорость распространения звука с. В однородной среде
скорость распространения звуковых колебаний определяется из
выражения.
cl = dp/dp. (21)
С учетом соотношений (8) и (9) из выражения (21) находим
скорость звука в виде зависимости
с = VeJp- (22)
Для адиабатического процесса из выражений (18) и (14)
следует: dp/dp = kp/p=kRTt откуда для газов
с = V kRT . (23)
Скорость распространения звука (при / = 20 °С) в воздухе
составляет 330 м/с, в углекислом газе —261, в воде— 1480 м/с.
Поскольку объем газа в большой мере зависит от
температуры и давления, выводы, полученные при
изучении капельных жидкостей, можно распространять на
газы лишь в том случае, если в пределах
рассматриваемого явления изменение давления и температуры невелико.
Значительные разности давлений, вызывающие
существенное изменение плотности газов, могут возникнуть
при движении газов с большими скоростями.
Соотношение между скоростью движения жидкости и скоростью
звука в ней позволяет судить о необходимости учета
сжимаемости в каждом конкретном случае. Практичес-
14

, Рис. 2. Распределение скоростей при
течении жидкости вдоль плоской стенки
ки газ можно принимать несжимаемым при скоростях
движения, не превышающих 100 м/с.
Вязкость жидкостей. Вязкостью называется свойство
жидкостей оказывать сопротивление сдвигу. Все
реальные жидкости обладают определенной вязкостью,
которая проявляется в виде внутреннего трения при
относительном перемещении смежных частиц жидкости.
Наряду с легкоподвижными жидкостями (например, водой,
воздухом) существуют очень вязкие жидкости,
сопротивление которых сдвигу весьма значительно (глицерин,
тяжелые масла и др.). Таким образом, вязкость
характеризует степень текучести жидкости или подвижности
ее частиц.
Пусть жидкость течет вдоль плоской стенки
параллельными ей слоями (рис. 2), как это наблюдается при
ламинарном движении. Вследствие тормозящего
влияния стенки слои жидкости будут двигаться с разными
скоростями, значения которых возрастают по мере
отдаления от стенки. Рассмотрим два слоя жидкости,
движущиеся на расстоянии At/ друг от друга. Слой А
движется со скоростью и, а слой В со скоростью и + Аи.
Вследствие разности скоростей слой В сдвигается
относительно слоя А на величину Аи (за единицу времени).
Величина Аи является абсолютным сдвигом слоя А по
слою 5, а Аи/Ау есть градиент скорости (относительный
сдвиг). Появляющееся при этом движении касательное
напряжение (сила трения на единицу площади)
обозначим буквой т. Тогда аналогично явлению сдвига в
твердых телах можно предположить зависимость между
напряжением и деформацией в виде:
x = \iAu/Ayt (24)
или, если слои будут находиться бесконечно близко
друг к другу,
т = jidw/d*/. (25)
Напряжение т всегда положительно, поэтому в
формуле (25) следует ставить знак плюс или минус, в зави-
15

симости от знака du/dy. Величина ц, характеризующая
сопротивляемость жидкости сдвигу, называется динами-
ческой или абсолютной вязкостью. На существование
соотношения (25) первое указание имеется у Ньютона, и
потому оно называется законом трения Ньютона.
Сила внутреннего трения в жидкости
R = xS = \iSdu/dy,
т. е. прямо пропорциональна градиенту скорости,
площади трущихся слоев 5 и динамической вязкости (тем
самым трение в жидкости отличается от трения в
твердых телах, где сила трения зависит от нормального
давления и не зависит от площади трущихся поверхностей)1.
Для Ьпределения размерности динамической вязко-
сти из уравнения (24) получим
M=[w]=^FTL-2]=[ML-1T-1]-
Динамическая вязкость измеряется в Па-с или в
Н-с/м2.
В технической системе единиц динамическая вязкость имеет
размерность кгС'С'М-2. В системе CGS за единицу динамической
вязкости принимается пуаз (П) ( в память французского ученого Пуа-
зейля), равный 1 г*см1 «с-1.
1 Па-с = 0,102 кгсс/м2= 10 П.
Вязкость жидкостей в большой степени зависит от
температуры, при этом вязкость капельных жидкостей
при увеличении температуры уменьшается, а вязкость
газов возрастает. Так, для чистой пресной воды
зависимость динамической вязкости, П, от температуры
определяется по формуле Пуазейля:
0.00179
** 1+0,0368*+ 0,000221/? » 1 '
С увеличением температуры от 0 до 100 °С вязкость
воды уменьшается почти в 7 раз (см. табл. 5). При
температуре 20 °С динамическая вязкость воды равна
0,001 Па-с=0,01 П.
Вода принадлежит к наименее вязким жидкостям.
Лишь немногие из практически используемых жидкостей
(например, эфир и спирт) обладают несколько меньшей
вязкостью, чем вода. Наименьшую вязкость имеет
жидкая углекислота (в 50 раз меньше вязкости воды). Все
жидкие масла обладают значительно более высокой
16

вязкостью, чем вода (касторовое масло при температуре
-20 °С имеет вязкость, в 1000 раз большую, чем вода при
той же температуре). В табл. 6 приведены значения
вязкости некоторых жидкостей.
Таблица 6. Кинематическая и динамическая вязкость
капельных жидкостей
Жидкость
Вода пресная (/=20 °С)
Глицерин безводный (/ =
=20 °С)
Керосин (/=15°С)
Бензин (/=15°С)
Масло (/=20 °С):
касторовое
минеральное
Нефть (/=15°С; 6 = 0,86)
Ртуть (/=20 °С)
Спирт этиловый безводный
(/ = 20 °С)
|Х( Па.с
0,00101
0,512
0,0016—0,0025
0,0006—0,00065
0,972
0,0275—1,29
0,007—0,008
0,0015
0,00119
V-10S м2/с
0,01012
4,1
0,02—0,03
0,0083—0,0093
10,02
0,313—14,5
0,081—0,093
0,00111
0,0151
Для определения динамической вязкости воздуха
применяется формула Милликена:
fi= 1,745-1С-6+ 5,03-Ю-9/,
что дает ji=l,82-10~5 Па-с при £=15°С. Динамическая
вязкость других газов имеет примерно такой же порядок
величин.
Наряду с понятием абсолютной или динамической
вязкости в гидравлике находит применение понятие
кинематической вязкости v, представляющей собой
отношение динамической вязкости жидкости к ее плотности:
v = |i/p. (27)
Эта вязкость названа кинематической, так как в ее
размерности отсутствуют единицы силы или массы.
Подставив размерности р, и р в формулу (27), получим:
[v] = [LVT].
Кинематическая вязкость измеряется в м2/с.
Единицей для измерения кинематической вязкости в системе
CGS служит стоке (в честь английского физика Стокса): 1 Ст =
= 1 см2/с=10-4м2/с.
В табл. 6 приведены численные значения кинематиче-
2—626 17

1см*/с
0,015
0010
0,005
50
100 f50t°C
Рис. З. Зависимость
кинематической вязкости воды от температуры
Рис. 4. Зависимость
кинематической вязкости воздуха от давления
и температуры
1см/с
р,кПа
93,3
-10 -5 0 § 10 15 20 25 JQ tt°C
ской вязкости капельных жидкостей, а на рис. 3 —
зависимость кинематической вязкости воды от температуры.
Для предварительных подсчетов кинематическую
вязкость воды v можно принять равной 0,01 cm2/c=1-10"6
м2/с при температуре 20 °С.
При давлениях, встречающихся в большинстве
случаев на практике (до 2-Ю7 Па=200 ат), кинематическая
вязкость капельных жидкостей весьма мало зависит от
давления, и этим изменением в обычных гидравлических
расчетах пренебрегают. Кинематическая вязкость газов
зависит как от температуры, так и от давления,
возрастая с увеличением температуры и уменьшаясь с
увеличением давления (табл. 7). Кинематическая вязкость
воздуха для нормальных условий (температура 20 °С,
давление ~Ы05 Па = 1 ат)
v= 1,57-10-5 M2/Cj ^28)
т. е. примерно в 15 раз больше, чем для воды при той же
температуре. Это объясняется тем, что в знаменатель
18

Таблица 7. Значения кинематической вязкости v и удельной
газовой постоянной R для некоторых газов
Газ
Воздух
Метан
Этилен
v-104, м2/с, при температуре, °С
0 | 20
0,133
0,145
0,075
0,151
0,165
0,086
50 | 100
0,178
0,197
0,104
0,232
0,256
0,138
R, Дж/(кг.О)
287
520
296
выражения для кинематической вязкости (27) входит
плотность, которая у газов значительно меньше, чем у
капельных жидкостей. Для определения кинематической
вязкости воздуха при разных температурах и давлениях
можно пользоваться графиком (рис. 4).
На практике вязкость жидкостей определяют
вискозиметрами, наиболее широкое распространение из
которых получил вискозиметр Энглера.
Для перехода от условной вязкости в градусах Энглера к
кинематической вязкости, м2/с, имеется несколько эмпирических
формул, например формула Убеллоде:
v = (0,0732°Э — 0,0631/°Э) Ю-*,
а также теоретическая формула А. Д. Альтшуля [3]:
V v2 + 0,0294 —v
(29)
24
2,31g-
1Л* + 0,0166 —v
+ — (|/"v2 + 0,0294 — Kv? + 0,0166 )]v,
(30)
где v измеряется в см2/с.
Поверхностное натяжение жидкостей. Капиллярные
явления. Молекулы жидкости, расположенные у
поверхности контакта с другой жидкостью, газом или твердым
телом, находятся в условиях, отличных от условий
молекул, находящихся внутри некоторого объема жидкости.
Внутри объема молекулы окружены со всех сторон
такими же молекулами, вблизи поверхности — лишь с
одной стороны, поэтому энергия поверхностных молекул
отличается от энергии молекул, находящихся в объеме
жидкости, на некоторую величину, называемую
поверхностной энергией. Эта энергия пропорциональна площади
поверхности раздела 5:
Эп = as. (31)
2*
19

Рис. 5. К определению краевого угла
10 2
Коэффициент пропорциональности rj, или коэффици*
ент поверхностного натяжения, зависит от природы
соприкасающихся сред. Этот коэффициент можно
представить в виде:
а =-/?//, (32)
где R — сила поверхностного натяжения; / — длина линии,
ограничивающей поверхность раздела.
Исходя из определения, а имеет размерность энергии
на единицу площади или силы на единицу длины. Для
границы раздела вода — воздух при /=20 °С
коэффициент поверхностного натяжения а=0,073 Н/м; для
границы раздела ртуть — воздух а = 0,48 Н/м.
Поверхностное натяжение жидкости чувствительно к
ее чистоте и температуре. При повышении температуры
поверхностное натяжение уменьшается, а в критической
точке перехода жидкости в пар обращается в нуль.
Поверхностное натяжение ot при температуре /, °С,
определяется по формуле
at = cre —р, (33)
где б0 — поверхностное натяжение при температуре /=20 °С.
На поверхности раздела трех фаз, например твердой
стенки 1, жидкости 2 и газа 5, между поверхностью
жидкости и твердой стенкой образуется так называемый
краевой угол 0 (рис. 5), который зависит от природы
соприкасающихся сред (от поверхностных натяжений на их
границах) и не зависит ни от формы сосуда, ни от
действия силы тяжести. Если край жидкости приподнят, ее
поверхность имеет вогнутую форму (см. рис. 5, а), и
краевой угол острый. В этом случае жидкость
смачивает твердую поверхность. Чем хуже смачивающая
способность жидкости, тем больше краевой угол (см. рис. 5, б).
При 6>90° жидкость считается несмачивающей. При
полном несмачивании (9=180°) капли жидкости .как
20

бы поджимаются, стараясь уменьшить площадь
контакта с твердой поверхностью.
От явления смачивания зависит поведение жидкости
в тонких (капиллярных) трубках, погруженных в
жидкость. При смачивании жидкость в трубке поднимается
над уровнем свободной поверхности, при несмачивании
опускается. Высота капиллярного поднятия (опускания)
жидкости Лп находится по формуле
2ог Л 4а cose ....
hu = cos G = — , (34)
9gr pgd
где r — радиус трубки; d — ее диаметр.
Угол 0 между водой и стеклом практически равен
нулю, если поверхность очень чиста. Тогда
Лп = 4а/(Р#0- (35>
Влияние сил поверхностного натяжения приходится
учитывать при работе с жидкостными приборами для
измерения давления, при истечении жидкости из малых
отверстий, при фильтрации, образовании капель и в
других случаях, когда прочие силы, действующие на
жидкость (вес, давление), малы.
4. МНОГОФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ
В технической гидромеханике, как уже отмечалось, жидкость
обычно заменяется моделью в виде непрерывной среды. Однако
иногда приходится сталкиваться с нарушением сплошности
(непрерывности) жидкости. В таких случаях можно, как правило, выделить
границы раздела, отделяющие одну непрерывную среду (фазу) от
другой; при переходе через такие границы свойства жидкости
меняются скачкообразно.
Системы, состоящие из нескольких фаз, называются
многофазными (полифазными). Простейшим случаем многофазной
системы являются двухфазные системы. Например: газ — твердые
частицы, (пневмотранспорт, пылеулавливание); газ — капли жидкости
(распылители, сушилки, газовое охлаждение, испарение); жидкость-
пузырьки пара (испарители, эрлифты).
Во всех этих примерах первая из указанных фаз (основная)
условно называется непрерывной, вторая — дискретной. При
некоторых условиях многофазные системы могут переходить в однородные
(гомогенные) и наоборот. Например, в воде при обычных условиях
находится растворенный воздух. При снижении давления и
повышении температуры воздух начинает выделяться, образуя воздушные
пузыри значительных размеров, иными словами, наблюдается
переход однофазной системы (вода) к двухфазной (вода+газ).
Количество дискретной фазы в непрерывной определяется
объемной концентрацией. Обычно за объемную концентрацию р прики-
21

мается отношение объема, занятого дискретной фазой, к общему
объему многофазной системы:
P = W2/(Wl + Wi), (36)
где W2 и tt?i — объемы дискретной и непрерывной фаз в
многофазной системе.
Среднюю плотность многофазной системы можно представить в
следующем виде:
P = PP2+0-P)Pi» (37)
где р2 и pi — плотности соответственно дискретной и непрерывной
фаз.
5. АНОМАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ
Трение в некоторых жидкостях не подчиняется
закону вязкости Ньютона (25). К этим, так называемым
неньютоновским (или аномальным), жидкостям можно
отнести, например, литой бетон, строительный раствор,
глинистый раствор, употребляемый при бурении
скважин, нефтепродукты при температуре, близкой к
температуре застывания, коллоидные растворы и др.
Чтобы привести такие жидкости в движение,
необходимо приложить некоторое (иногда значительное) усилие.
Движение неныотоновских жидкостей начинается только
после того, как касательные напряжения в них
достигнут некоторого предельного значения (так называемое
начальное напряжение сдвига): при меньших
касательных напряжениях эти жидкости не текут, а испытывают
только упругие деформации, как твердые тела.
В аномальных жидкостях касательное напряжение
определяется по формуле Бингема
x = T0 + |A<W<ty, (38)
где т0 — начальное (предельное) напряжение сдвига (для
ньютоновских жидкостей т0=0).
Таким образом, в аномальных жидкостях сила
трения возникает еще в покоящихся, но уже стремящихся
прийти в движение жидкостях. На рис. 6 показана
зависимость между касательным напряжением и
градиентом скорости.
Вязкость аномальных жидкостей (так называемая
структурная вязкость) при заданных температуре и
давлении непостоянна и изменяется в зависимости от
градиента скорости du/dy по мере разрушения структуры
жидкости, а следовательно, не является физической
константой, как вязкость нормальных жидкостей.
22

Рис. 6. Зависимость касательного напряже- dd/dif 2
ния от градиента скорости для нормальных
/ и аномальных 2 жидкостей
6. НЕВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
В механике жидкости для облегчения решения
некоторых задач используется понятие о невязкой
(совершенной) жидкости.
Под невязкой жидкостью понимают воображаемую
жидкость, обладающую абсолютной подвижностью, т. е.
лишенную вязкости, а также абсолютно несжимаемую,
не расширяющуюся с изменением температуры,
абсолютно неспособную сопротивляться разрыву. Таким
образом, невязкая жидкость представляет собой
некоторую модель реальной жидкости. Выводы, полученные
исходя из свойств невязкой жидкости, приходится, как
правило, корректировать, вводя поправочные
коэффициенты.
7. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЖИДКОСТИ
Законы движения и покоя жидкостей и газов
основываются на законах механики сплошной среды.
Сплошной средой называют массу, физические и механические
параметры которой являются непрерывными функциями
координат в выбранной системе отсчета. Молекулярное
строение жидкостей и газов заменяется сплошной средой
той же массы. Это позволяет рассматривать равновесие
и течение жидкости в целом без учета механизма
молекулярного движения.
В массе жидкости, которую мы рассматриваем как
сплошную среду, под влиянием внешних сил возникают
соответствующие внутренние силы. Проведем мысленно
внутри рассматриваемой массы поверхность,
разделяющую объем массы на две части I и II (рис. 7). Отбросим
одну из них, например //; часть / остается в равновесии.
Это значит, что во всех точках разделяющей поверхно-
23

21
Рис. 7. К определению напряжения
в точке
Рис. 8. К оценке сил, действующих
на элементарный объем
f
■S
*/
/
о\
<
и *
dx
/t
/щ
>,ч'
—■—■—^-
сти нужно ввести такие же силы, с которыми масса //
действовала на массу /.
На элементарной площади Дсо разделяющей
поверхности действует сила Д/\ Площадь Дсо может быть
стянута в точку М с координатами х, у, z. В этом случае
как площадь поверхности Дсо, так и сила AF стремятся
к нулю. Отношение силы Д/7 к площади поверхности Дсо
стремится к пределу:
lim —— — ст.
дсо-*о I Дсо J
Значение этого предела называется напряжением в
точке с координатами х, у, zy возникающим на площади
Дсо. Значение напряжения в одной и той же точке зави-
24

сит от ориентации выбранной площадки, на которой оно
возникает и может быть направлено по отношению к ней
под определенным углом.
Оценим порядок значений сил, действующих на;
элементарный изолированный объем (рис. 8), имеющий
форму параллелепипеда со сторонами dxy dyy dz. Вся
система движущейся массы отнесена к координатам х,
у, г. На плоскостях граней изолированного
параллелепипеда возникают напряжения. Их можно разложить на
составляющие: нормальную к грани и расположенную в
плоскости грани, которые, в свою очередь, можно
разложить на составляющие, параллельные соответствующим
осям координат. Составляющие напряжений,
направленные перпендикулярно грани, называются нормальными
напряжениями. Составляющие, находящиеся в
плоскости граней, называются касательными напряжениями.
Касательные составляющие, направленные к одной и той
же оси пересечения плоскостей граней, создают момент.
Например: вокруг оси z (см. рис. 8) момент равен
txdxdydz—%\dxdydz. Этот момент должен вызвать
вращение параллелепипеда с угловым ускорением da/dt
(где а — угловая скорость). Следовательно (ti—tl)X
Xdxdydz=I (da/dt)p (момент инерции вокруг Оси z/).
Момент сил пропорционален третьей степени, а
момент инерции — четвертой степени линейного размера
изолированного объема. При стягивании объема в точку
разность рассматриваемых напряжений будет
стремиться к нулю, т. е. ti=ti.
На поверхности граней элементарного
параллелепипеда возникают три различных по величине
касательных напряжения и три нормальных составляющих напря-.
жения: вдоль осей х и у — напряжение п, вдоль осей
х и z — т2 и вдоль осей у и z — тз. Вдоль оси х
действует нормальная составляющая напряжения оч, вдоль
ОСИ у — Q2 И ВДОЛЬ ОСИ Z — 03.
На массу жидкости, находящуюся в изолированном
объеме, действуют массовые силы (например,
гравитационные), их значение пропорционально третьей
степени размера выделенного объема. При прохождении
жидкости или газа через изолированный элементарный
объем происходит изменение количества движения массы
жидкости или газа. Это изменение вызывает соответст-
25

Рис. 9. К определению условий равновесия элементарного объема
внутри движущейся жидкости
вующий импульс сил, действующих на массу жидкости
в изолированном объеме.
Изменение количества движения жидкости,
протекающей через рассматриваемый неподвижный объем,
пропорционально массе, заключенной в этом объеме, и,
следовательно, третьей степени его линейного размера.
Силы, действующие на поверхности граней и равные
возникающим напряжениям, умноженным на
соответствующие площади, пропорциональны квадрату характерного
линейного размера. При стягивании рассматриваемого
элементарного объема в точку остаются только силы,
связанные с возникающими в этой точке напряжениями.
Рассматривая элементарный объем, можно считать,
что он находится в равновесии только под действием
сил, возникающих за счет напряжений на его
поверхности*
Выберем внутри потока жидкости или газа точку с
координатами х, у, z (рис. 9). Через эту точку проведем
плоскости прямоугольных координат х\ у\ z',
ориентированные произвольно. Выберем плоскость,
пересекающую оси координат под углами а, р и у. Опустим из
центра координат на эту плоскость перпендикуляр И.
Основание перпендикуляра определяется координатами
26

х\ у' и z\ величины которых элементарно малы. Можно
считать, что при изменении координат х', у', z' меняется
ориентация рассматриваемой плоскости, проходящей
через центр координат или через точку с координатами х,
у, z. Элементарный объем, образованный плоскостями
координат и рассматриваемой плоскостью, находится в
равновесии под действием напряжений, возникающих на
его поверхности. В плоскостях координат возникает
шесть составляющих напряжений аь а2 и а3; ть т2 и тз.
На рассматриваемой плоскости возникает напряжение
от, составляющие которого вдоль осей х'у у\ z' будут X,
У, Z. Площади поверхностей образованной
элементарной пирамиды:
сод. = со sin a; Gty = cosin|3; co2 = 0sinv,
где (Ох, (Оу, (ог — площади граней пирамиды, совпадающих с
плоскостями координат; со — площадь, образованная пересечением
рассматриваемой плоскости с плоскостями координат.
Условия равновесия изолированной пирамиды в
проекциях на оси координат будут:
Хсо = аг (ох + %г ау + т2 со.;
Kco = cr2coy + T1cov + T3co2;
Z© = a8cD2 + Ta©y + T2ox.
Из рис. 9 видно, что x'=Hsina, y'=Hs'm$ и z'=
=Hs'my. Тогда условия равновесия элементарного
объема:
X = —(alX' +пуг + т2г');
Z=—(o2z' +х3у' +т2х').
Составляющие напряжения, возникающего на
рассматриваемой поверхности, являются частными
производными функции
ф^"^(а^/8 + а2^?+аз2'Ч2т1-/уЧ2т2// + 2т3//),
Zti
(39)
в чем легко убедиться непосредственным
дифференцированием.
27

Функция Ф представляет собой поверхность второго
порядка. Составляющие напряжений, возникающих в
жидкостях на всех площадках, проходящих через
рассматриваемую точку, являются частными производными
функции Ф, поэтому напряжения на различно
ориентированных площадках, проходящих через точку с
координатами х, у> г, будут направлены по нормалям к этой
поверхности. Значения напряжений, действующих в
плоскостях координат, зависят от ориентации последних.
Плоскости координат можно всегда так ориентировать,
что в уравнении поверхности, составляющие
касательных напряжений, будут равны нулю, т. е. Т1=Т2=тз = 0.
В такой системе в плоскостях координат будут
возникать только нормальные напряжения. Эта система
координат и возникающие напряжения называются
главными. Назовем их аоь а02 и а0з.
Функция Ф приобретает вид:
ф°= "2F((Toi х'2 + °^у,2 + а°зг'2)- (40)
Рассматривая различное положение площадок,
проходящих через точку с координатами х, уу г, по
отношению к главным осям координат, можно выразить
составляющие напряжения, возникающего на каждой
площадке, с помощью главных напряжений. Если данная
площадка наклонена под углами а, р и у к главным осям
координат, то, учитывая, что главные напряжения
нормальны к плоскости координат, получим: X=ooisina;
y=a02sinp; Z = a03siri7.
Среднеарифметическое значение главных
напряжений называют давлением:
Р = (^ох + ^ог + ^/З.
Нормальная составляющая напряжения на
рассматриваемой площадке
a = х sin a + у sin р + z sin у = a0j sin2 a + a02 sin2 p + ao3 sin2 y.
ПОЛОЖИМ: (7oi—Р = ДСГ1, СГ02—P = AV2, <703—р = Д(Тз И
сумма Дсг1+Аог2+А^з = 0. Как известно,
sin2 a + sin- р + sin2 y=\,
где sin2 a = (1 — cos 2a)/2; sin2 p = (1 — cos 2p)/2;
sin2v = (l —cos2 v)/2.
Учитывая эти равенства, получим значение
нормального напряжения на рассматриваемой площадке:
28

Кг — р) п (<*02— р) 0ft (аоЗ — Р) ~
О = р — cos 2а — cos 20 cos 2y.
Следует сразу же отметить, что давление р
существенно больше суммы остальных членов правой части
равенства.
Нормальное напряжение, возникающее на
произвольно ориентированной площадке состоит из двух частей:
давления р, значение которого не зависит от ориентации
площадки, и дополнительной составляющей нормального
напряжения, значение которой зависит от ориентации
площадки, на которой они действуют.
При отсутствии касательных составляющих
напряжения имеем:
' X = a sin а = a0j sin а; Y = а sin (5 = ao2sin |3;
Z = a sin у = аи3 sin у,
ИЛИ
а = aoi = а02 = а03 = р.
В рассматриваемом случае в любой точке массы
жидкости возникает только нормальное, однозначно
определяемое напряжение — давление. Касательные
напряжения отсутствуют, когда жидкость или газ
находятся в покое. Во многих случаях можно пренебречь
значениями касательных напряжений по сравнению с
давлениями. В этих случаях жидкость или газ
называются невязкими и значение давления в любой точке
потока определяется однозначно.
Когда при течении жидкости или газа нельзя
пренебрегать касательными составляющими напряжений
жидкость или газ называются вязкими. В этих случаях
в жидкости будут проявляться как давления, так и
дополнительные напряжения вязкости.
Примеры
Пример 1. Определить плотность воздуха при избыточном
давлении р=4900 Па и температуре / = 200 °С.
Решение. Находим абсолютное давление воздуха:
рабс = 98 100 + 4900 = 103 000 Па.
Определяем абсолютную температуру воздуха:
Т = 273 + 200 = 473 К.
Вычисляем плотность воздуха из уравнения состояния:
р = рабс/(ЛГ) = 103 000/(287-473) = 0,76 кг/м3.
29

Пример 2. Для периодического аккумулирования увеличения
воды, получающегося при изменении температуры, в системах
центрального водяного отопления устраивают расширительные
резервуары, которые присоединяются к системе в верхней ее точке и
сообщаются с атмосферой. Определить наименьший объем
расширительного резервуара, чтобы он полностью опорожнялся. Допустимое
колебание температуры воды во время перерывов в отоплении Д/ =
= 95—70=25°. Объем воды в системе №=0,55 м3.
Решение. Коэффициент температурного расширения воды р* =
= 0,0006 град-1 (при / = 80°С). Наименьший объем
расширительного резервуара должен быть равен изменению объема воды при
увеличении ее температуры на 25°. Изменение объема воды определяем
из формулы (11):
AW = pt WAt = 0,0006-0,55.25 = 0,0083 м3 = 8,3 л.
Емкость расширительного бака должна быть не менее 8,3 л.
Пример 3. В отопительной котел поступает вода в объеме W=
= 50 м3 при температуре / = 70 °С. Сколько кубических метров воды
U?i будет выходить из котла, если нагревать ее до температуры
90 °С (коэффициент температурного расширения воды Р/ =
= 0,00064 град-1)?
Решение. Находим Л W=0,00065 -50- 20=0,64 м3, тогда W^W+
+ Д№ = 50,64 м3.
Пример 4. Определить высоту капиллярного поднятия воды и
ртути в трубке диаметром <2=3 мм при температуре /=20 °С.
Решение. Из табл. 1 имеем рв= 1000 кг/м3, ррт«13 600 кг/м3.
Для воды ств=0,073 Н/м; для ртути о"рт = 0,48 Н/м. По формуле
(35) находим:
4-0,073
^в = ,*„„ „ о ^ ^ =0,01 м= 10 мм;
1000-9,8-0,003
4-0,48
hVT = ^ ^/л ^ о ^ ^ = 0,0048 м = 4,8 мм.
рт 13600-9,8.0,003

Глава 1. РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 1. Гидростатическое давление и его свойства
В п. 7 введения было сказано, что в покоящихся
жидкости и газе касательные напряжения в любой
произвольной точке равны нулю и напряженное состояние
определяется совокупным действием только
нормальных напряжений, равных между собой (ax = oy = Gz =
Очевидно, что напряжения ох, ву> oz и а являются
сжимающими, так как жидкости и газы не
сопротивляются растягивающим усилиям. Величина, равная
модулю напряжения а, в гидромеханике называется
гидростатическим давлением в точке и обозначается
буквой р:
Р = [а]. (1.1)
Гидростатическое давление в точке также может
быть представлено следующим образом. Рассмотрим в
покоящейся жидкости произвольный объем W,
ограниченный поверхностью 5; влияние жидкости,
окружающей выделенный объем, можно заменить действием
распределенных по поверхности S сил //, направленных по
нормали к этой поверхности в каждой ее точке (рис.
1.1). Проведем секущую плоскость а—а, делящую
объем W на две части I и II, и отбросим мысленно одну из
них (например, /). Действие отброшенной части / на
нижнюю часть // следует заменить распределенными по
поверхности со силами ЛР,; одна из них ЛР приходится
на долю поверхности Дсо. Напряжение сжатия ас,
возникающее при этом, определится как частное от деления
силы ЛР на площадь До:
ffc=/?cp = Др/Дю. (1.2)
Значение этого напряжения принято называть
средним гидростатическим давлением; предел отношения
(1.2) при Дсо-^0 называется гидростатическим
давлением в точке:
Др
р= lim —*-. (1.3)
до)->о Дсо
Размерность давления совпадает с размерностью
напряжения, т. е.
[p] = [a] = L-iMT-?.
31

fa Рис. 1.1. К определению гидроста-
( тического давления
Гидростатическое давление обладает двумя
свойствами.
Первое свойство. Сила гидростатического давления
направлена по внутренней нормали к площадке,
которая воспринимает это давление. Это свойство является
по существу следствием физико-механических свойств
жидкости или газа, находящихся в равновесии.
Действительно, если жидкость или газ находятся в
равновесии, то в любой произвольной точке касательные
напряжения равны нулю и перемещение жидкой частицы
вдоль площадки невозможно, так как в противном
случае равновесие нарушится. Совпадение же направления
32

действия силы гидростатического давления с внутренней
нормалью доказывается свойством жидкости или газа
не оказывать сопротивления растягивающим усилиям.
Второе свойство. Величина гидростатического
давления в точке не зависит от ориентации (от угла наклона)
площадки.
Для доказательства этого свойства выделим в
покоящейся жидкости элементарный объем в форме
тетраэдра (рис. 1.2). Действие окружающей тетраэдр
жидкости заменим действием поверхностных распределенных
по его граням сил давления и массовой силы dR,
определяемой массой тетраэдра. Для рассматриваемого
объема запишем условия равновесия в виде трех уравнений
проекций действующих сил и трех уравнений моментов:
2/^ = 0; lFy = 0; ZFz = 0\ (1.4)
2МЯ = 0; 2ЛГУ = 0; ZMz = 0. (1.5)
Последнее условие (равенство нулю главного
момента) удовлетворяется тождественно, так как при
стягивании тетраэдра в точку (Д№->0) равнодействующая всех
внешних (по отношению к выделенному объему) сил
проходит через центр тяжести этого объема.
Составим уравнение проекций внешних сил на ось
Ох. В соответствии с рис. 1.2 можно записать:
dPx — dPn cos (л, Ox) + dR cos (d R, Ox) = 0, (1.6)
где dPx — сила гидростатического давления на грань ABD; dPn —
сила гидростатического давления на грань BCD; dR — элементарная
массовая сила, пропорциональная массе тетраэдра.
Определим каждое слагаемое уравнения (1.6):
1
&Рх = Рх— &уйг, (1.7)
где рх — среднее гидростатическое давление на грань ABD, площадь
которой равна dydz/2;
dPn cos (п, Ox) = рп dco cos [n, Ox) = pn~ dy d*» (I -8)
где dco cos(n, 0*)—проекция площадки dco (треугольник BDC) на
плоскость yOz;
dR = jdm,
где dm = pdxdydz/6 — масса элементарного тетраэдра; / — ускорение
массовой силы.
3-626 33

Проектируя массовую силу на координатные оси,
запишем*
(-+ \ 1 \
dR cos Id R, Ox) = — pdxdydzX;
6 I
d#cos(S?, fy)= —dxd*/dzK; I (1.9)
dR cos (dtf, Oz) = —- pdxd £/dz Z,
6 I
где X=jXt У=1у, Z—jz — соответственно проекции ускорения на оси
координат.
После подстановки (1.7), (1.8) и (1.9) в исходное
уравнение равновесия (1.6) имеем:
— рх dydz — -^Рп dydz + — pdxdydzX = 0, (1.10)
или после сокращения на dydz/2
Px-Pn + ptxX/3 = 0. (1.11)
Пренебрегая величиной pdxX/З как бесконечно
малой по сравнению с рх и рл, получаем: рх=рп.
Обращаясь к условиям равновесия (1.4) в
проекциях на 0у и Oz, по аналогии находим: ру=рп и р2=Рп>
откуда следует:
Рх = Ру = Рг = Рп* С1-12)
Равенство (1.12) показывает, что гидростатическое
давление на различных гранях тетраэдра с точностью
до бесконечно малой величины постоянно. При
стягивании тетраэдра в точку значения среднего
гидростатического давления рх, ру, р*, рп можно заменить
гидростатическим давлением в точке. Следовательно, уравнение
(1.12) показывает, что гидростатическое давление в
точке одинаково по любому направлению, т. е. не зависит
от того, как ориентирована площадка, воспринимающая
это давление.
Положение элементарного тетраэдра было выбрано
произвольно, поэтому можно заключить, что
гидростатическое давление является непрерывной функцией
координат пространства:
Р=/(*| У г *)• (1.13)
34

Г г
dp
</*j\ ,<Л
1 i м>^
U^ dx \
i
7
8
&'
d?:
->~х
dP
Рис. 1.3. К выводу уравнений равновесия жидкости
§ 2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера]
Выделим в покоящейся жидкости элементарный
объем в форме прямоугольного параллелепипеда с
ребрами, параллельными осям координат и равными
соответственно dxy dyy dz (рис. 1.3). Со стороны окружающей
жидкости на выделенный параллелепипед действуют
поверхностные силы, определяемые гидростатическим
давлением, а также массовые силы, пропорциональные
его массе.
Составим уравнение равновесия для этой системы
сил в проекциях на координатную ось Ох. При этом
будем предполагать, что гидростатическое давление есть
непрерывная функция координат пространства и что его
значение в центре тяжести параллелепипеда (точка М)
равно р. Тогда первое уравнение равновесия в
проекциях на ось Ох запишется следующим образом:
6РХ — 6P"x + dR cos (dk, Ох) = О,
(1.14)
где dPx=px dydz — сила гидростатического давления на грань
-то же, на грань 5—6—7—8;
1—2—3—4; dPx=vxdydz
di? cos(d/?, Ox) = pdxdydzX— проекция элементарной массовой си»
лы на ось Ох; рх и рх —среднее гидростатическое давление
соответственно на грани 1—2—3—4 и 5—6—7—8,
3*
35

Так как гидростатическое давление является
функцией координат, значения давлений р'х и р"х будут:
1 др
Рх==р^Т^7йх;
Тогда уравнение (1.1) примет вид:
1 др
[('-т£*Н'+т-2>;
дуг + pdxdydzX = 0, (1.15)
ИЛИ
др
■ —— dxdydz + pdxdydzX = 0.
ох
(1.16)
Разделив уравнение (1.16) на массу параллелепипеда,
получим:
1 др
— -f-+x = o.
р дх
Проделав аналогичные операции с проекциями
внешних сил на оси Оу и 0z, получим систему
дифференциальных уравнений равновесия жидкости:
1 др
р дх
1 др
р дг
0;
= 0.
(1.17)
Эта система уравнений была впервые получена в
1755 г. Эйлером.
Умножим каждое уравнение (1.17) соответственно на
их, йу и dz и сложим их:
xtx+Yty + zdz -LAie—.-k > ■ др
или
-T("i7dAt+17dy+ird2)=°'(,-,8)
4е- d* + ~ Ф + -~- dz = p (Xdx + Vd*/ + Zdz). (1.19)
дх си/ dz
Давление является функцией только трех
независимых переменных координат х, у и г, поэтому левая
36

часть уравнения (1.19) представляет собой полный
дифференциал функции p=f(x, у, г). Следовательно,
dp = р (X dx + Ydy + Zdz). (1.20)
Уравнение (1.20) называется основным
дифференциальным уравнением равновесия жидкости. Отметим, что
при выводе этого уравнения мы не вводили никаких
дополнительных ограничений на массовые силы и на
плотность жидкости р, поэтому оно имеет общий характер и
может быть использовано и для сжимаемой жидкости.
Левая часть уравнения (1.20) представляет собой
полный дифференциал, следовательно, и правая его
часть также должна быть полным дифференциалом.
Если же принять плотность жидкости или газа
постоянной или независимой от х, у и г, то выражение в
скобках также будет полным дифференциалом некоторой
функции U=f(x, у у г), частные производные которой,
взятые по х, у у zt равны проекциям ускорений массовых
сил на соответствующие оси:
дЦ(х, у, z) \
дх
дЦ(х, у, г)
к = 7У ; CI.2D
дЦ(х, у, z)
■ ~ дг
Величины Х9 Y и Z можно рассматривать как
проекции массовых сил, отнесенных к единице массы данной
жидкости [см. переход от уравнения (1.16) к
уравнениям (1.17)], поэтому функцию U=f( х, */, z) называют
потенциальной или силовой функцией, а силы,
удовлетворяющие условию (1.21), — силами, имеющими
потенциал. Таким образом, при рассмотрении уравнения
(1.20) с учетом выражения (1.21) можно сделать
важный вывод: равновесие жидкости возможно только в том
случае, когда массовые силы имеют потенциал.
н Заметим далее, что в основном уравнении равновесия
жидкости неизвестны только две величины р и р
(значения же проекций единичных массовых сил Ху У и Z, а
также координаты точки предполагаются заданными).
Следовательно, для получения однозначного решения
уравнения (1.20) нужно воспользоваться так
называемым характеристическим уравнением, которое определя-
37

ло бы связь между физическими свойствами и
состоянием рассматриваемой жидкости, например связь между
плотностью жидкости, ее температурой и давлением.
Поверхность, в каждой точке которой значение
данной функции постоянно, называется поверхностью
уровня. Физический смысл функции и ее значения могут
быть различными (например, поверхность равной
температуры, равного давления и т. п.). В технической
механике жидкости наибольший интерес представляет
поверхность равного давления, т. е. такая поверхность, в
каждой точке которой давление имеет постоянное
значение.
Уравнение поверхности равного давления просто
получается из основного уравнения равновесия жидкости.
Так как для поверхности уровня p = const в любой ее
точке, dp = 0 и, следовательно, правая часть уравнения
также равна нулю. Плотность жидкости отлична от нуля,
поэтому выражение в скобках должно быть равным
нулю:
Xdx + Ydy + Zdz = 0. (1.22)
Это и есть уравнение поверхности уровня.
Поверхность уровня (в нашем случае—поверхность
равного давления) обладает двумя основными
свойствами:
1. Поверхности уровня не пересекаются между собой.
Действительно, предположив обратное, мы получим в
точках линии пересечения этих поверхностей давление,
равное одновременно р\ и р2, что физически невозможно.
Следовательно, невозможно и пересечение поверхностей
уровня.
2. Внешние массовые силы направлены по
внутренней нормали к поверхности уровня. Для доказательства
этого свойства рассмотрим уравнение элементарной
работы массовой силы dR на пути ds:
dA = dRx dx + dRy dy + dRz dz,
где dA — искомая работа; dRx~dmX, dRy=dmY, dRz = dmZ —
соответственно проекция силы dR на оси координат; dm —
элементарная масса жидкости.
После подстановки имеем:
dA = dmXdx + dmYdy + dmZdz = dm (Xdx + Ydy + Zdz).
Выражение в скобках в соответствии с уравнением
(1.22) должно равняться нулю, поэтому и работа
внешней массовой силы dR должна равняться нулю.
33

Работа массовой силы может быть представлена для
.поверхности уровня в виде:
(L4 = dR cos (d#, ds) ds = 0,
но это равенство возможно только тогда, когда cos (d/?,
ds)=0, т. е. когда внешняя массовая сила нормальна к
поверхности уровня.
§ 3. Равновесие жидкости в поле силы тяжести
Поверхность уровня. В рассматриваемом случае
массовой силой является сила тяжести, ускорением —
ускорение свободного падения g, поэтому в выбранной
системе координат проекции единичной массовой силы на
оси Ох, Оу и 0г будут: Х=0, F=0, Z=—gy а
уравнение поверхности уровня запишется в следующей форме:
— g(fc = 0 (1.23)
или, так как g¥=0
z = const. (1-24)
Таким образом, поверхностью уровня (поверхностью
равного давления) в однородной покоящейся жидкости
будет любая горизонтальная плоскость, в том числе и
свободная поверхность, независимо от формы сосуда или
водоема. Горизонтальной плоскостью будет также
граница раздела двух несмешивающихся жидкостей.
Распределение давления в покоящейся жидкости.
Воспользуемся основным дифференциальным уравнением
равновесия жидкости (1.20) и после подстановки в него
^=0, У=0 и Z=—g получим:
dp=— pgdz. (1.25)
После интегрирования и деления на pg получим:
z + p/ {pg) = const. (1.26)
Уравнение (1.26) называется основным уравнением
гидростатики; оно выражает закон распределения
гидростатического давления в покоящейся жидкости.
Для определения постоянной интегрирования
рассмотрим равновесие жидкости в сосуде произвольной
формы со свободной поверхностью (рис. 1.4). Давление
в каждой точке на свободной поверхности р=Ро,
расстояние от произвольной плоскости сравнения (в нашем
случае—плоскость хОу) до свободной поверхности рав-
39

щ
\0'
.J
№
ь
ы
J,
М
*
о1
L-^x
Рис. 1.4. Равновесие жидкости в поле силы тяжести
но г0. Тогда const=z0+Po/(pg"), и основное уравнение
приобретает следующий вид:
z + p/(pg) = z0 + PJ(pg), (1.27)
или
P = Po + Pg(z0-z). (1.28)
Графически уравнение (1.27) можно представить в
виде отрезка между плоскостью сравнения Ох и
плоскостью 0'—0'. Нетрудно заметить, что разность отметок
20—z=h представляет собой глубину погружения
точки М, поэтому
P = Po + PSh. (1-29)
Это — другая форма основного уравнения
гидростатики, удобная для практических расчетов.
В гидравлике величина р называется полным или
абсолютным гидростатическим давлением. Первое
слагаемое уравнения (1.29) р0 принято называть внешним
давлением или давлением на поверхности. Его величина
остается постоянной для любой точки внутри
покоящейся жидкости. Действительно, вычислим полное давление
в двух произвольных точках р\ и p2i
Pi •= Ро + pghi и Pi = Pa + PSh2-
'О

Нетрудно заметить, что разность этих давлений не
зависит от внешнего давления, а зависит лишь от
разности отметок выбранных точек:
Pi — Р2 = (Ро + Pg^i) — (Ро + Pgh2) = Р£ (^ -. h2). (1.30)
Другими словами, давление на граничной
поверхности (в частном случае — на свободной поверхности)
передается во все точки покоящейся жидкости по всем
направлениям без изменения. В этом определении
заключается закон Паскаля,
Как видно из уравнения (1.29), величина второго
слагаемого зависит при постоянной плотности жидкости
р только от глубины погружения рассматриваемой
точки. Эта величина называется в гидравлике избыточным
давлением1. Таким образом, уравнение (1.129) можно
представить в виде:
Рполн = Ро + Ризб- О 31)
Из уравнения (1.29) следует, что распределение
гидростатического давления по вертикали линейно зависит
от глубины погружения рассматриваемой точки и может
быть графически представлено в виде трапеции для
полного давления (рис. 1.5, а) или прямоугольного
треугольника для избыточного давления (рис. 1.5,6).
Отметим, что котангенс угла наклона линии давления
АВ прямо пропорционален плотности жидкости.
Рассмотрим равновесие жидкости в открытом
сосуде, изображенном на рис. 1.6. Предположим, что вдоль
поверхности уровня 0—0 внешнее давление равно
атмосферному, вдоль 0'—0' — нулю. Тогда изменение
полного давления по вертикали графически будет
изображаться треугольником АВС\ в вершине В этого
треугольника полное давление равно нулю, на глубине Н
оно будет p = pgH или, учитывая, что вдоль линии 0—0
давление атмосферное, p=PaT + pghu (где hK—полная
глубина жидкости в сосуде). Проведем вертикаль через
точку D до пересечения с линиями 0'—0' и АС.
Треугольник ABC делится на две части, одна из которых
(трапеция ADEC) определяет полное давление ниже
линии 0—0, другая (DBE) — выше линии 0—0.
Выберем внутри рассматриваемой жидкости две
точки М и N так, чтобы одна из них (М) находилась ниже,
1 В аэродинамике избыточным давлением принято называть вёличи
ну, определяемую разностью полного давления и атмосферного.
41

а)
6)
"К.
А
7/V
'
В
— —JL
— — /~-
/
/\<ь
*'/? >/??ГТТ7777*
Ро+МЪ__
L— ' —
—
-
с ;
• ■■ /
\D
Е
777
-
•Ъ
+ч*
А
7777//////
*
- • ~^L
^ — - /—
/\ы, i
[Я
0
>}?*}> 1»Л777777777Г777?
. S>9?1 1
>>■■.. }'
Рис. 1.5. Распределение гидростатического давления
и — полного; б — избыточного
Рис. 1.6. Геометрическая иллюстрация основного уравнения
гидростатики
а другая (N) выше поверхности уровня 0—0. Определим
давление в этих точках с помощью графика
распределения давления. Полное давление в точке М определится
отрезком асу причем внешнему давлению будет
соответствовать отрезок be, избыточному — отрезок ab.
Давление в точке N можно представить в виде разности
отрезков о!с' и а'Ь\ Заметим, что в обоих случаях атмосфер-
42

ное давление соответствует отрезкам а'с' = Ьс или рат =
= а'с' = Ьс. В результате имеем:
Рм = Рат + Р£/г;
где h и К' — расстояния соответственно от точек М и JV до
поверхности урОВНЯ р=Рат.
Таким образом, в общем виде можно записать
P = PaiT±Pgh> U-32)
где h — расстояние от рассматриваемой точки до свободной
поверхности.
Из уравнения (1.32) следует, что в графической
интерпретации избыточное давление может быть как
положительным, так и отрицательным, в то время как
полное р и внешнее /?ат величины сугубо
положительные.
В общем случае полное давление может быть больше
или меньше атмосферного; если рПолн<Рат, разность
между атмосферным давлением и полным называется
вакуумом:
Рвак == Рат Рполн» О •33)
а величина ЛВак=Рвак/(р£)—вакуумметрической
высотой. Применительно к рис. 1.6 вакуумметрическая
высота — любой отрезок между линиями 0—0 и 0'—0\
например К для точки N.
В технике часто используется понятие
манометрическое давление; это давление определяется разностью
между полным и атмосферным давлениями:
Равновесие несмешивающихся жидкостей.
Остановимся на двух возможных задачах: определим
положение уровня и выясним закон распределения давления.
Рассмотрим равновесие трех несмешивающихся
жидкостей, заполняющих сосуд произвольной формы (рис.
4.7). Очевидно, что жидкости должны расположиться в
сосуде в соответствии с их плотностями: жидкость с
меньшей плотностью всегда располагается выше
жидкости с большей плотностью. Такое расположение
жидкостей определяется общим законом механики для любых
тел в поле силы тяжести, а именно, потенциальная
энергия системы должна быть минимальной, что возможно
% 43

>о?зУ^^
Pz J
АгУ
Рг
t 1
Ал—
! л
'
[v* РЧ
Va
v>^"
' 4>л
—-—V
>сГ|
<?
'
Рис. 1.7. Равновесие несмешивающихся жидкостей
только тогда, когда центр тяжести всей системы
находится в наиболее низкой точке.
Поверхность уровня при равновесии
несмешивающихся жидкостей в поле силы тяжести представляет
собой семейство горизонтальных плоскостей, в чем легко
можно убедиться, воспользовавшись дифференциальным
уравнением поверхности уровня (1.22).
Распределение давления, как это следует из
основного уравнения гидростатики (1.29), линейно зависит от
глубины погружения точки. Особенность в
распределении давления заключается в том, что на границе
раздела жидкостей угол наклона линии давления меняется в
соответствии с изменением плотности жидкости при
переходе от слоя к слою. Очевидно, для границ раздела
справедливы следующие равенства (см. рис. 1.7):
Pi = Ро + Pi ghi; Р2 = Pi + Рг gh* Рз=Р2 + Рз £hz
и т. д.
Геометрическая и энергетическая интерпретация
основного уравнения равновесия жидкости. Слагаемые
основного уравнения (1.26) имеют линейную
размерность. Поэтому основное уравнение для произвольной
точки, например М, легко представить (рис. 1.8) в виде
суммы двух отрезков, равных соответственно z и pl(pg).
Величина z в технической механике жидкости
называется высотой положения, она отсчитывается от
произвольной плоскости сравнения 0—0 и поэтому в общем случае
z — величина произвольная, например гфг\. Величина
pl(pg) определяется давлением в рассматриваемой точ-
44

Рис. 1.8. Геометрическая и энергетическая интерпретация основного
уравнения гидростатики
ке (М) и может быть измерена высотой ЛПр подъема
жидкости в присоединенной к сосуду трубке, из которой
полностью удален воздух. Если трубка открытым
концом соединена с атмосферой (такая трубка называется
пьезометром), то высота подъема жидкости будет
определяться манометрическим или избыточным давлением.
Высота Лп=Рман/(р£) называется пьезометрической
высотой; высота hnp=p/(pg) —приведенной высотой.
Сумму высот H=z+p/(pg) называют гидростатическим
напором; сумму Яп = г+рман/(р^) — пьезометрическим
напором.
Из уравнения (1.26) следует, что гидростатический
напор для всех точек покоящейся жидкости есть
величина, постоянная:
H = z + p/(pg)= const. (1 .35)
ы Горизонтальная плоскость с ординатой # = const
называется плоскостью гидростатического напора 0'—0'\
горизонтальная плоскость с ординатой #n=const —
плоскостью пьезометрического напора 0"—0". В том
случае, когда давление на свободной поверхности больше
атмосферного (см. рис. 1.8, а), плоскость
пьезометрического напора располагается выше свободной
поверхности на величину h0=p0/{pg), при Ро<Рат (см. рис,
45

1.8,6)—ниже свободной поверхности на величину
Лвак=(Рат—P)l(pg).
Умножим каждое слагаемое уравнения (1.26) на
mg— вес конечного объема жидкости. Заметим при
этом, что произведение zmg представляет собой
потенциальную энергию массы т относительно плоскости
сравнения 0—0, Так как уравнение (1.26) физическое,
его второе слагаемое также энергия — энергия
гидростатического давления. Действительно, если
рассматриваемую величину представить в виде:
р pgftnp ,
mg = mg = hnv mg,
Pg Pg
нетрудно заметить, что произведение hnvmg есть
потенциальная энергия, которая способна произвести работу
на перемещение массы т из точки М в плоскость
гидростатического напора. Разделив оба слагаемых на mg,
получим потенциальную энергию, отнесенную к единице
веса жидкости; эту энергию принято называть удельной
потенциальной энергией.
Таким образом, из основного уравнения
гидростатики (1.26) следует, что сумма удельной потенциальной
энергии положения z и удельной потенциальной энергии
гидростатического давления p/(pg) есть величина
постоянная для всех точек покоящейся жидкости.
§ 4. Относительное равновесие жидкости
в поле силы тяжести
Относительным равновесием жидкости называется
такое состояние, при котором каждая ее частица
сохраняет свое положение относительно твердой стенки
движущегося сосуда. При относительном равновесии
рассматриваются две задачи: определяется форма
поверхности уровня (равного давления) и выясняется характер
распределения давления. Эти задачи решаются с
помощью уже известных уравнений (1.20) и (1.22.
Очевидно, в этом случае следует учитывать силы инерции,
дополняющие систему массовых сил, действующих в
жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя.
В общем случае любое сложное движение сосуда с
жидкостью можно представить в виде суммы трех
простейших движений: поступательного по вертикали и
горизонтали и вращательного.
46

Рис. 1.9. Вертикальное
перемещение резервуара с жидкостью
0((/)
Движение резервуара с жидкостью по вертикали с
постоянным ускорением а (рис. 1.9). Для определения
формы поверхности равного давления воспользуемся
уравнением (1.22).
Проекции единичных массовых сил на координатные
оси будут: Х==0; У=0; Z=—g±a. Знак «—»
соответствует равноускоренному подъему резервуара, знак «+»—
равноускоренному спуску. Составим уравнение
поверхности уровня:
(— g±a)dz = 0. (1.36)
Если a¥=g, то dz=0 и, следовательно, 2=const.
Последнее равенство означает, что при равноускоренном
перемещении резервуара с жидкостью по вертикали
поверхности равного давления представляют собой
горизонтальные плоскости.
Характер распределения давления в
рассматриваемом случае получим из основного уравнения равновесия
жидкости (1.20), которое принимает форму:
dp = p(—g±a)dz. (1.37)
Интегрируя, получим:
p = P(-g±a)z + Ct (1.38)
где С — постоянная интегрирования, определяемая из граничных
условий на свободной поверхности z=20 и р=ро.
После подстановки граничных условий получаем
закон распределения давления вдоль любой вертикали:
Р = Ро + РЯ(1±я/£)(*о-г)- (1.39)
Уравнение (1.39) показывает, что при движении
резервуара с жидкостью по вертикали с постоянным
ускорением а распределение давления подчиняется
линейному закону.
;it
Ра
=~Zi— zz~
м.
N
t ■
X
,—*-
47

Рис. 1.10. Горизонтальное
перемещение резервуара с
жидкостью
Рис. 1.11. Вращение резервуара iv
с жидкостью ''
Горизонтальное перемещение резервуара с
жидкостью с постоянным ускорением а (рис. 1.10). В этом
случае имеем: Х=—а; У=0; Z=—g.
Поверхность равного давления при этом
определяется уравнением
— (adx + gdz)=0. (1.40)
После интегрирования получаем: ax+gz=const или
г = (const — ax)lg — const — ax/g. (1.41)
Нетрудно заметить, что поверхностями равного
давления будут плоскости, углы наклона которых к
горизонтальной плоскости определяются угловым
коэффициентом, равным —a/g.
Закон распределения давления можно получить
после, интегрирования уравнения (1.20) с учетом X——а,
У=0, Z=—g, a также граничных условий x=jt0, z=z0,
р=Ро в следующем виде:
Р = Ро + 9а (Xo — x)+Pg{Zo — *)' (1-42)
Уравнение (1.42) показывает, что при движении
резервуара с жидкостью вдоль горизонтальной плоскости
с постоянным ускорением а распределение давления
подчиняется линейному закону для любой
фиксированной вертикали (х=хи #=л:2,...). Это уравнение также
можно записать в форме основного уравнения
гидростатики:
Р = Ро + Р£(г0 —2)'
где р0'=Ро+ра(*о—х).
48

Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с
постоянной угловой скоростью со (рис. 1.11). Определим
форму свободной поверхности и закон распределения
давления. Выберем вблизи свободной поверхности
частицу жидкости массой dm; на эту частицу действует
массовая сила d/7, направленная по нормали к свободной
поверхности. Разложим эту силу на две составляющие:
горизонтальную (центробежную) силу dFr = dmcoV и
вертикальную, определяемую полем силы тяжести,
dFg=—dmg.
Разделив действующие силы на dm, получим:
X = со2 г cos a = со2 х\
Y = со2г sin а = со2*/;
Z=-g.
Дифференциальное уравнение поверхности уровня в
нашем случае примет следующий вид: ы2х<\х-\-ы2у&у—
—g"d^=0, или
co2/-dr — gdz = 0. (1.43)
Интегрируя уравнение (1.43), получим для
поверхности равного давления:
co2r2/2--gz = const. (1.44)
Таким образом, при вращении сосуда с жидкостью
с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси
поверхностями равного давления будет семейство
параболоидов вращения, осью симметрии которых является
ось Ог.
Закон распределения давления найдем из
дифференциального уравнения (1.20), которое в рассматриваемом
случае примет следующий вид:
dp = р (со2 xdx + со2 ydy — gdz) s
ИЛИ
dp = р (со2 rdr — gdz). (1.45)
' После интегрирования с учетом граничных условий
(/•=0, 2=20, р=Ро) получим закон распределения
давления:
р = р0 + рсо2 гШ + Р£ (*„ ~ *). (1.46)
Так же как и в двух предыдущих случаях, это
уравнение можно представить в форме основного уравнения
4-626
49

гидростатики:
P = p'o + pg(zQ — z), (1.47)
где р'0 = р0 + рсо2 г2/2.
Уравнение (1.47) показывает, что в рассматриваемом
случае распределение давления подчиняется линейному
закону для любой фиксированной круглоцилиндрической
поверхности.
§ 5. Давление жидкости на плоские поверхности
Давление жидкости на плоскую горизонтальную
поверхность. Действие сил гидростатического давления,
распределенного по поверхности, которая это давление
воспринимает, может быть заменено действием одной
сосредоточенной силы — их равнодействующей.
При определении силового воздействия жидкости на
твердую поверхность решают обычно две задачи:
определяют величину равнодействующей сил
гидростатического давления и находят точку ее приложения (центр
давления).
Рассмотрим сначала простейший случай — давление
жидкости на плоское дно цилиндрического сосуда (рис.
1.12, а). Выделим в пределах площади дна
элементарную площадку dco; очевидно, что давление в каждой ее
точке будет постоянным. Сила давления dP на эту
площадку равна: dP=pdco (где p=pQ-\-pgh — полное
гидростатическое давление в любой точке площади дна).
Равнодействующая сила давления, очевидно,
определится интегралом от элементарной силы, взятым по
всей площади дна:
P = JdP = (p0 + p^)©, (1.48)
со
так как входящие под знак интеграла р0 и pg* —
величины постоянные.
Уравнение (1.48) показывает, что независимо от
формы сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна
сила гидростатического давления будет одинаковой при
условии: Poi=Po2=Po и h{ = h2 = h (рис. 1.12, б). В случае
равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда со
точка приложения равнодействующей и центр тяжести
площадки со совпадают.
50

Рис. 1.12. Давление жидкости на горизонтальную плоскую
поверхность
Рис. 1.13. Давление жидкости на произвольно ориентированную
плоскую поверхность
Давление жидкости на произвольно ориентированную
плоскую поверхность. Определим силу гидростатического
давления на площадку со, лежащую в плоскости стенки,
расположенной под углом а к горизонту; угол а
выбирается произвольно (рис. 1.13). Ось координат Oz
расположена вдоль рассматриваемой стенки; ось Ох совпадает
с линией пересечения плоскости свободной поверхности с
плоскостью стенки и располагается перпендикулярно
плоскости чертежа. Для наглядности развернем плоскость
стенки вместе с расположенной на ней площадкой со на
4*
51

90° до совладения ее с плоскостью чертежа. Очевидно, в
этом случае ось Ох будет направлена слева направо под
прямым углом к линии 0г.
В пределах площадки со выберем бесконечно малую
площадку dco, находящуюся на произвольной глубине h
от свободной поверхности и на произвольном расстоянии
х от оси 0z. Введем обозначения: Лс и Лд—глубина
погружения центра тяжести площадки и точки приложения
равнодействующей силы гидростатического давления на
площадку со; хс и лгд — расстояния от точек С и D' до
оси 0z; zc и гд— расстояния от точек С и D вдоль
рассматриваемой плоскости до свободной поверхности.
Определим силу полного гидростатического давления
на элементарную площадку dco:
dP = pdco = (P(i + pgh) dco.
Очевидно, что равнодействующая сила
гидравлического давления будет:
СО
или
Я= $ p0d(d+\pghd<o. (1.49)
СО (О
Так как давление на свободной поверхности величина
постоянная, первый интеграл в уравнении (1.49)
J Pod(o=/?0co.
СО
Рассмотрим второй интеграл уравнения (1.49). Из
рис. 1.13 видно, что /z = zsinoc, поэтому [pg7?dco =
= pgsina j* zdco. Однако f zdco есть не что иное, как
СО W
статический момент площадки со относительно оси Ох,
поэтому:
pg sin a J zdco = pg sin aSQt 0x = pg sin azc со,
со
или
Jpg/i(to> = pg^o.
CO
Подставив значения интегралов в исходное уравнение
(1.49), получим для равнодействующей силы полного
гидростатического давления следующее выражение:
P = p0co + pg/icco,
52

или окончательно
P = (Po + Pghc)<»- (1-50)
Таким образом, сила полного гидростатического
давления на плоскую произвольно ориентированную
поверхность равна произведению полного гидростатического
давления в центре тяжести рассматриваемой площадки
и площади самой площадки.
Определим теперь координаты точки приложения
силы гидростатического давления (эта точка называется
центром давления). Силу гидростатического давления
можно представить в виде суммы двух величин: силы
внешнего давления (или давления на поверхности
жидкости) Р0=р0(о и силы избыточного давления РИзб —
= pghcu>. Очевидно, центром давления будет точка
приложения равнодействующих этих сил, определяемая в
соответствии с общими законами механики как центр
действия параллельных сил.
Так как давление р0 равномерно распределено по всей
площадке со и его величина остается постоянной, точка
приложения силы Р0 совпадает с центром тяжести
рассматриваемой площадки. Определим координаты точки
приложения силы избыточного давления РИЗб. В
инженерной практике часто единственной искомой величиной
является избыточное давление, так как во многих задачах
внешнее давление, например атмосферное (Ро=Рат),
одинаково с противоположных сторон сооружения и
поэтому исключается из расчета.
Для определения расстояния от центра избыточного
давления до оси Ох составим уравнение моментов
относительно этой оси:
ZM0X=0,
или
]*а7>г = Ризбгд,
0)
где dP — сила избыточного давления для произвольной
элементарной площадки dco, находящейся на расстоянии г от оси 0х\ РНзб—
— pghcto — полная сила избыточного давления на всю площадку oj.
Из предыдущего уравнения следует, что
*д= JdPz/Ризв. (1.51)
со
53

Найдем величину интеграла в числителе уравнения
(1.51):
j dPz = [ pg/idcoz = pg sin a j z? dco.
CO CO CO
Величина j* 22dco представляет собой момент инер-
со
ции площадки со относительно оси Ох:
СО
где /*_* — центральный момент инерции площадки со относительно
оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси Ох.
Подставляя полученные значения в уравнение (1.51)
и имея в виду, что hc=zcsina получим:
pgsma[lx_x + z2c(o)
*д = : .
pg sin azc 0
После сокращения на pgsina и перестановки
слагаемых в правой части уравнения запишем:
*д = *, + /,-*/М- (1-52)
Уравнение (1.52) показывает, что центр давления
находится ниже центра тяжести, так как величина
1х-х/(гс(д) всегда положительная. Расстояние между
линиями, проходящими через центры тяжести и давления и
параллельными оси Ох, называют иногда
эксцентриситетом e=Ix-x/(zc<u). Расстояние zA до центра давления
определяется не только глубиной погружения центра
тяжести площадки, но и формой самой площадки.
Вторая координата центра давления хд определяется
из уравнения моментов относительно 0z\
лсд = J" xhd(x)/(hcio). (1.53)
со
Заметим, что для площадок, симметричных относи-
тельно оси, параллельной оси Oz, центр тяжести и центр
давления находятся на одной прямой,
параллельной оси Oz.
§ 6. Давление жидкости на криволинейные поверхности.
Закон Архимеда
Выберем внутри покоящейся жидкости произвольный
объем W, ограниченный поверхностью 5 (рис. 1.14).
Очевидно, поверхностные силы (в данном случае только
силы гидростатического давления) будут направлены по
54

Рис. 1.14. Давление жидкости на криволинейную поверхность
внутренним нормалям к граничной поверхности.
Выделим в пределах поверхности 5 криволинейную площадку
о. Так как площадка со находится в равновесии, система
распределенных по ее поверхности сил dP может быть
заменена одной равнодействующей Р с составляющими
РХу Ру, Р2у параллельными соответствующим
координатным осям 0ху Оу, Ог.
Сила dP, действующая на площадку dco (см. рис. 1.14),
определится по формуле
dP = (A, + p*A)d®, (1.54)
где h — глубина погружения центра тяжести площадки dco
относительно свободной поверхности.
Так же как и равнодействующая Р, элементарная
сила давления может быть представлена в виде:
dP
= ]/ dPl + dP2y + dPl ,
где dPx и dPy — горизонтальные составляющие силы dP,
действующие вдоль осей, параллельных осям Ох и 0у\ dPz — вертикальная
составляющая силы dP.
Определим каждую составляющую отдельно.
Рассмотрим сначала одну из горизонтальных
составляющих, например dP*. Очевидно,
dP3C = dPcos(dP, 0x)t
55

где cos(dF, Ox)—косинус угла между направлением вектора силы
дР и осью Ох.
После подстановки в последнее уравнение значения
силы АР получим:
6РХ = (р0 + pgh) dco cos (dP, Cx ). (1.55)
Произведение dcocos(dP, Ox) представляет собой
проекцию выделенной площадки dco на плоскость,
перпендикулярную направлению Ох (см. рис. 1.14). В нашем
случае, это площадка do/. Таким образом
йРх = (р0 + pgh) dco'.
Горизонтальная составляющая силы Рх равна сумме
всех элементарных сил dPx, т. е.
Рх= $(Po + pgh)d®'. (1.56)
О)'
Рассмотрим J (po+pg^Odo/ как сумму двух инте-
м'
гралов:
J p0 dco' и pg j* /idco'.
о' to'
Первый интеграл при постоянном давлении на
свободной поверхности
Г p0dco' =/?0со'>
где со' — проекция площадки со на плоскость уОг.
Второй интеграл, как это видно из рис. 1.14,
представляет собой статический момент площадки <о'
относительно оси Оу, который как известно, равен произведению
площади о/ и расстояния от ее центра тяжести до оси Оу.
Тогда
pg J /idco = pghc со .
о'
Для равновесия жидкости в поле силы тяжести
поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости,
поэтому h'c—hc. Окончательно для горизонтальной
составляющей можно записать:
Px = (Po + PghJv>'. (1.57)
Уравнение для горизонтальной составляющей,
действующей вдоль оси Оу, легко записать по аналогии с выра-

Жением (1.57):
Py = (Po + Pghc)^\ 0.58)
где о)" — проекция площадки со на координатную плоскость xOz.
Таким образом, горизонтальная составляющая силы
полного гидростатического давления на криволинейную
поверхность равна силе давления на проекцию этой
поверхности на плоскость, нормальную направлению
действия рассматриваемой составляющей.
Определим вертикальную составляющую силы
полного давления Pz. Очевидно, Pz равна сумме всех
элементарных вертикальных составляющих силы давления, т. е.
(О
где dPz= (po + pgh) d(ocos(dP, Oz) — вертикальная составляющая
силы полного давления на элементарную площадку do; cos(dPf
Oz) — косинус угла между направлением вектора дР и осью Oz.
Так как dec cos (dP, Oz) = do/" — проекция выделенной
элементарной площадки do на горизонтальную плоскость,
Рг по аналогии с предыдущим может быть представлена
в виде:
Pz- j* PoW + Pg J hda». (1.59)
Рассмотрим второй интеграл уравнения (1.59). Из
рис. 1.14 следует, что f /ido/" представляет собой объем,
образованный рассматриваемой площадкой о, ее
проекцией на горизонтальную плоскость, совпадающую со
свободной поверхностью или с ее продолжением, и
вертикальными образующими, проходящими через крайние
точки рассматриваемой поверхности. Этот объем иногда
называют телом давления (WT.A).
Окончательно для вертикальной составляющей можно
записать:
Р2=р0(о''' + Р£^т.д. (1.60)
Следовательно, вертикальная составляющая силы
полного гидростатического давления на криволинейную
поверхность равна сумме силы внешнего давления р0 на
.проекцию рассматриваемой площадки на свободную
поверхность или на ее продолжение и силы, определяемой
весом тела давления.
- • Рассмотрим тело произвольной формы, погруженное в
57

Рис. 1.15. Закон Архимеда
2\9%
покоящуюся жидкость (рис. 1.15). На это тело будут
действовать поверхностные силы гидростатического
давления, направленные по нормали к поверхности,
ограничивающей тело. Распределенные по поверхности силы для
тела, находящегося в равновесии, могут быть заменены
одной равнодействующей Р с составляющими Рх, Ру и Pz.
(см. рис. 1.15) РХ = РХ—РХ
-Ру-Ру
При этом
Р —Р'—Р"
В соответствии с определением горизонтальной
составляющей силы гидростатического давления легко показать,
что составляющие Рх и Ру равны нулю.
В качестве примера рассмотрим горизонтальную
составляющую, действующую вдоль оси Ох. Силы Р' и Р"х,
определяющие ее величину, равны, поскольку
поверхности, на которые они действуют, имеют одну и ту же
проекцию BFDE на вертикальную плоскость. Поэтому их
разность равна нулю. По той же причине и Ру = 0. Таким
образом, на погруженное твердое тело действуют только две
силы: Р'г — сила давления на поверхность AECFB и Р" —
сила давления на поверхность AECFD. Эти силы
соответственно будут:
?г =
AacCD
Разность этих сил и является равнодействующей сил
гидростатического давления на погруженное тело:
Рг = 98 {^AacCB- WAacCD) =~ M*ABCD' 0-61)
58

Уравнение (1.61) выражает закон Архимеда: на
твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость,
действует сила гидростатического давления, равная весу
жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и
проходящая через центр тяжести тела. Силу Pz часто
называют выталкивающей, или архимедовой силой.
§ 7. Равновесие газа в поле силы тяжести
Дифференциальные уравнения равновесия (1.20) и
(1.22), как указывалось в § 2, имеют общий характер и
могут быть использованы при расчете сжимаемой
жидкости или газа. В отличие от несжимаемой (капельной)
жидкости плотность газа есть величина переменная,
зависящая от состояния газа.
Рассмотрим сначала уравнение поверхности уровня
для газа в поле силы тяжести. Это уравнение, так как
Х = 0У У=0 и Z=—g, примет вид:
— gdz = 0; z = const. (1.62)
Следовательно, для газа, находящегося в равновесии,
любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри
занимаемого газом объема, будет поверхностью равного
давления (рис. 1.16). Изменение давления в газе будет,
как это следует из уравнения (1.20), зависеть не только
от координаты z точки М внутри сжимаемой жидкости,
но и от того, как связаны между собой давление,
плотность и температура газа. Эта связь устанавливается на
основании уравнения газового состояния
Р = /(Р. Л. (1-63)
где Т — абсолютная температура газа в рассматриваемой точке.
Уравнения (1.20) и (1.63) показывают, что в поле
силы тяжести изменение давления будет, так же как и в
капельной жидкости, определяться только изменением
расстояния от плоскости сравнения до рассматриваемой
точки. Характер же этого изменения будет корректироваться
в зависимости от закона изменения внутреннего состояния
газа. В соответствии с этим рассмотрим равновесие газа
для однородной атмосферы и при изотермическом
изменении газового состояния.
Однородная атмосфера. В этом случае p = const,
распределение давления не отличается от распределения
59

м
р* const
-L 2
"V*
p--const
p -- const
/ °
Д-
0'
Рис. 1.16. Равновесие
газа в поле силы
тяжести
давления в покоящейся капельной жидкости.
Действительно при ^=0, У=0 и Z=—g.
dp =— pgdz;
P=—pgz + C.
Определив постоянную интегрирования из граничных
условий, например (см. рис. 1.16) на поверхности земли
z=z0u р=р0, получим уравнение (1.28):
р = А) + Р£(го — 2),
где z — расстояние от плоскости сравнения 0'—0' до
рассматриваемой точки (высота точки М); z0 — расстояние от плоскости
сравнения 0'—0Г до поверхности с заданным давлением р=ро-
Полученное уравнение показывает, что с увеличением
высоты до рассматриваемой точки давление
уменьшается, так как в выбранной системе координат г>го-
Изотермическое изменение состояния газа. В случае
изотермического состояния газа его плотность меняется
в соответствии с уравнением Клапейрона:
p/p = RT; р = р/(/гг), (1.64)
где R— универсальная газовая постоянная.
После подстановки уравнения газового состояния в
дифференциальное уравнение равновесия последнее
приобретает следующий вид:
dp:
•8
RT
dz,
или после разделения переменных
р
gdz^—RT-
dP
(1.65)
60

Интегрируя выражение (1.65), получим:
gz=—RT\np + C.
С учетом граничных условий на поверхности земли
запишем:
g(z-zQ)=-RT\n(p/Po). (1.66)
Заменяя в формуле (1.66) z—z0 на А и решая ее
относительно р, находим:
р==рье~еь«*т) . (1<67)
Уравнение (1.67) показывает, что при изотермическом
состоянии давление в покоящемся газе меняется по
экспоненциальному закону, уменьшаясь с увеличением высоты
рассматриваемой точки.
Примеры
Пример 1.1. В закрытом резервуаре с водой (рис. 1.17) давление
на свободной поверхности р0= 14,7-104 Па. На какую высоту
поднимается вода в открытой пьезометрической трубке, присоединенной
к резервуару на глубине /i = 5 м от свободной поверхности?
Решение. Воспользуемся понятием поверхности уровня
(поверхности равного давления), в качестве которой примем
горизонтальную плоскость 0'—0\ проходящую через точку А. Так как давление
в любой точке поверхности уровня — величина постоянная,
давление в резервуаре (слева от точки А) равно давлению в
пьезометрической трубке (справа от точки Л), т. е.
Po + Pgh = рцт + pgH,
Ро~ Рат + Pgh 14,7-10* —9,8-10* + 9,8-103-5 _
~ pg ~ 9,8-103 ~
= 10 м.
К аналогичному результату приходим рассматривая давление
вдоль любой поверхности уровня (например, 0'—0'):
Ро = Рат + pgh',
откуда
W = р«~~рат =5 м; //=Л'+Л= 10 м.
Pg
Пример 1.2. Определить разность давления в точках А и В двух
цилиндрических резервуаров, заполненных водой, если разность
уровней ртути в U-образном дифференциальном манометре h==
= 2 см.
Решение. Из рис. 1.18 следует, что pi = pA—pghi и p2=pB—pgh2,
или pA=Pi + pghi и рв=/?2 +р#Лг.
61

0'
0
,uftl
~-
st
*""—• J
^L
V"
I
и. ,i
1
7
a:
,i
!L
0'
0
Рис. 1.17. К примеру 1.1
Рис. 1.18. К примеру 1.2
Ф
•а
5 h
. ^arrt ,
1
в
м
Рис. 1.19. К примеру 1.3 Рис. 1.20. К примеру 1.4
Разность давлений
Ра - Рв = Pi - Р2 + № (hi - h) •
Так как pj— р2=рРт gh и /и—/i2=—/*, запишем:
Рл-Рв^ЯЧРрт —Р)-
Полученное уравнение есть расчетное уравнение U-образного
62

дифференциального манометра. Подставляя в это уравнение
числовые значения, получим:
Ра— рв= 9,8-0,12 (13,6— 1) 103= 1,48.104 Па.
Пример 1.3. Определить вакуум внутри баллона А (рис. 1.19),
если известно, что высота, на которую при этом поднимется вода в
трубке, опущенной в сосуд с водой В> /i = 6 м.
Решение. Вакуум определяется разностью между атмосферным
и полным давлением, если последнее меньше атмосферного. Поэтому
Рвш = Рат — Рполн =PaT — pgh = 9i8' 104 —
— 9,8.103-6 = 3,92-104 Па.
Пример 1.4. Определить показание пружинного манометра,
установленного на глубине /i = 3 м от поверхности в закрытом
резервуаре с бензином (рис. 1.20), плотность которого р = 720 кг/м3;
давление на поверхности р0 = 24,5-104 Па.
Решение. Показания пружинного манометра соответствуют
манометрическому давлению, следовательно,
Рман = Рполн - Рат = 24,5-104 + 720-9,8-3 - 9,8-104 =
= 16,8-104 Па.
Пример 1.5. Определить суммарное усилие, воспринимаемое
болтами смотрового люка диаметром d=l м, расположенного на
глубине /ic=5 м от свободной поверхности закрытого резервуара с
водой (рис. 1.21). Определить глубину точки приложения
равнодействующей сил гидростатического давления на люк.
Решение. Так как р0 = р0 = /?ат, сила гидростатического
давления определится по формуле
Р = pghca = pghc Jid2/4 =* 9,8-103-5-0,785.1 = 38,5 кН.
Расстояние от свободной поверхности до точки приложения
равнодействующей силы гидростатического давления (центра давления)
определяется формулой (1.52), которая для вертикальной плоской
поверхности примет следующий вид:
Лд = hc + — =hc + — —— .
hc со 64 nd2 hc
Подстановка в это равенство численных значений дает:
йд = 5+ 1/80 = 5,0125 м«5м.
Пример 1.6. Металлическая цистерна (рис. 1.22), имеющая
диаметр D = 2 м и длину /=10 м, полностью заполнена минеральным
маслом, плотность которого р=0,9-103 кг/м3; давление на
поверхности масла равно атмосферному. Определить силу давления масла
на внутреннюю (например, левую) криволинейную поверхность.
Решение. Равнодействующая силы давления определяется из
соотношения
/
pz _l p2
Величина горизонтальной составляющей может быть получена
из формулы (1.57), которая в нашем случае имеет вид:
P* = pg/icco'==pgD/£>/2.
63

P.-Parr
1 Ш.
.
1 ч
•с:
л
Пэ ram
—^^ ~
Ъ
ll
p5"
Рис. 1.22. К примеру 1.6
Рис. 1.21. К примеру 1.5
ШРо
2 Paw
—* Г-*-!
Рис. 1.23. К примеру 1.7
Рис. 1.24. К примеру 1.8
Л\ЯГ
Hf
к0н1
Вертикальная составляющая рассчитывается по формуле (1.60),
которая при Ро = Ро==Рат принимает следующий вид:
^ = Р^т.д = Р£/яЯ*/8.
После подстановки численных значений имеем:
для горизонтальной составляющей
Рх = 0,9- 10з.9,8(22/2) 10= 176,4.10» Н;
для вертикальной составляющей
Pz = 0,9-103.9,8-10.3,14-4/8= 138,5-103 Н;
для равнодействующей
Р =1/"(176,4.103)2+ (138,5.103)2= 224.103 Н.
Направление действия равнодействующей Р определяется
положением точки пересечения направлений действия составляющих и
косинусом угла ее наклона к горизонту:
cos (Рх, Р) = cos a = Рх/Р = 176,4/224 = 0,79; a « 38°.
64

Пример 1.7. Определить максимальную толщину стальной
стенки цилиндрического бака нефтехранилища (рис. 1.23), если известно:
диаметр бака 0 = 4 м; максимальная глубина п = Ь м; максимальное
давление на свободной поверхности p0 = 24,5-104 Па; допустимое
напряжение на растяжение для стали о~=140 МПа.
Решение. Наибольшие напряжения возникают в стенке бака у
его дна! Толщину стенки рассчитываем по формуле
б = Рман£/(2а),
где б — максимальная толщина стенки у дна бака; рМАН —
манометрическое давление у дна бака (в качестве расчетного давления
принимается манометрическое, так как за пределами бака давление
атмосферное).
Манометрическое давление определяем по формуле
Рман = Ро + Р^-^ат = 24,5.104 + 0,9.103.9,8-5-9,8-104 =
= 19,ЫО4 Па,
тогда
19,Ы04.4 л „ 1Л о
б = ■ = 2,7- Ю-3 м.
2.140.10е
В практике толщина стенки бака принимается несколько
большей из условия бпр^&б (где &=1,5-**2 — коэффициент запаса).
Пример 1.8. Определить разность давления в топке котла и
перед топочной заслонкой (тягу дымовой трубы), если высота
дымовой трубы #=30 м, температура дымовых газов *Г=250°С, а
температура наружного воздуха /0 = 15°С.
Решение. Полное давление внутри котла на уровне /—/ (рис.
1.24):
Рвш = Рат-f-Prgtf»
где рат — атмосферное давление на уровне 2—2; рг *— плотность
дымовых газов.
Полное давление снаружи котла на уровне 1—1;
Рт = Рат + Ро£#»
где ро — плотность воздуха.
Разность давления в топке котла и перед топочной заслонкой:
АР = Phi — Pbhi = (Ро — Рг) gH'•
Принимая рг = 0,58 кг/м3 и р0 = 1,23 кг/м3, получим:
Др = (1,23 — 0,58) 9,81-30 = 191,3 Па.
Пример 1.9. Определить закон распределения манометрического
давления по высоте газового стояка (рис. 1.25) и разность
манометрического давления в сечениях /—/ и 2—2, находящихся друг от
друга на расстоянии Я=20 м. Плотность газа рг = 0,78 кг/м3,
плотность воздуха ро= 1,2 кг/м3.
Решение. Согласно уравнению (1.34) запишем:
Рат! = Рат2 + Ро£#;
Pbhi =Рвн2 + Рг£#>
где рат — атмосферное давление, соответствующее уровням /—/ и
5—626 65

Я'
ff
JQ Jr
Ш
m
Рис. 1.25* К примеру 1.9
(PQ-PrW
2—2\ pBH — полное давление внутри стояка, соответствующее сече*
нням /—-/ и 2—2.
Вычитая из второго уравнения первое с учетом формулы (1.34),
получаем:
Pbhi — Рат1 = Рвв2 ~ Рат2 + (Рг — Ре) gH>
Рмат = Рманг + (Рг — Ро) gH-
Следовательно, манометрическое давление в газовом стояке
меняется по линейному закону. Если плотность газа меньше плотности
воздуха, манометрическое давление по высоте стояка возрастает, в
противном случае — уменьшается.
Определим разность манометрических давлений в
рассматриваемых сечениях:
Рман1~Рман2 = (Ь2-0,78) 9,81.20 = 82,3 Па.
Глава 2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 8. Кинематика жидкости и газа
Для изучения течения жидкости необходимо выбрать
соответствующую кинематическую модель. Ознакомимся
с методом изучения течения жидкостей и газов Эйлера.
Выберем неподвижную систему координат, к которой
будут относиться скорости течения жидкости. В точке,
находящейся внутри потока, мгновенное значение
составляющих скорости вдоль осей координат будет зависеть
от положения точки, т. е. от величины координат х, уг z
66

Рис. 2.1. Составляющие скорости
течения потока в точке
Is' У
м'
и времени t. Для составляющих скоростей течения
жидкости в рассматриваемой точке их, иу и uz (рис. 2.1),
можно написать функциональные зависимости:
uy = h(x9y,z,t)\ | (2.1)
uz = fz(xyytz>t). J
Зная для конкретного случая течения значения этих
функций, можно для любого момента времени получить
распределение скоростей течения жидкости. Метод Ла-
гранжа изучения кинематики жидкости состоит в
рассмотрении изменения координат х, у, z фиксированных точек,
движущихся вместе с жидкостью. Точки внутри потока
фиксируются по отношению к неподвижной системе
координат начальными координатами х0, у0, z0 в момент
времени /о=0. Различные точки внутри жидкости
отличаются друг от друга только значением начальных координат.
Для определения координат каждой рассматриваемой
точки существует функциональная зависимость:
у = Ф2(*о.Уо.2о.О;
* = Фз(*о» Уо* го> О-
Скорости движения этих точек соответствуют местной
скорости течения потока:
dx_ _ dtp! (*о.Уо, г0, О
к~ dt ~
*У
Uy :
их =
«» = '
d*
*У
dt
dz
dt
dt
d<P2(*o>#o. го» 0
dt
<*Фз(*о> ft. zo. 0
dt
5*
67

Кинематика одного и того же потока может
изучаться как методом Эйлера, так и методом Лагранжа.
Координаты Эйлера и Лагранжа связаны друг с другом.
В большинстве случаев используют метод Эйлера.
В дальнейшем изложении мы и будем его
придерживаться.
Все случаи течения жидкости или газа можно
разделить на две группы: неустановившееся и установившееся
движение.
Неустановившиеся течения описываются системой
уравнений (2.1). Они характерны тем, что в любой точке
параметры, характеризующие поток, являются функцией
не только координат, но и времени. Примером такого
движения может служить, например, опорожнение
резервуара через отверстие.
Движение жидкости или газа будет установившимся,
если характеризующие его параметры не зависят от
времени. Уравнения, характеризующие распределение
скорости течения жидкости, в этом случае имеют вид:
и* = М*. У, z); иу=*к(Х%у%г)\ u2=h(x,y,z). (2.2)
Установившееся течение может быть равномерным и
неравномерным.
При равномерном движении жидкости или газа
скорости течения в сходственных точках постоянны независимо
от координат этих точек. Примером такого движения
может служить течение несжимаемой жидкости с
постоянным расходом в трубе постоянного сечения.
При неравномерном течении жидкости скорости ее
движения остаются независящими от времени, но
являются функцией координат. Примером может служить
движение жидкости в трубе переменного сечения. В
зависимости от площади сечения скорость течения жидкости
вдоль трубы будет изменяться, но она будет сохранять
свое значение вне зависимости от времени.
Линией тока называют кривую, проведенную внутри
потока во всех своих точках касательную к скорости
течения жидкости (рис. 2.2). Если движение
неустановившееся, то в заданной точке в потоке направление
скорости изменяется во времени (рис. 2.3). Следовательно, с
течением времени изменяются и проходящие через
данную точку линии тока. В момент времени t\ через
заданную точку проходила линия тока У, а в момент времени
68

.7Т7ГГ,
7ys»;;s;ss;r
Рис. 2.2. Линия тока
Рис. 2.4. Пример семейства
линий тока \|?i, if>2, "фз
Рис. 2.3. Изменение
направления линий тока при
неустановившемся движении
Лео
Рис. 2.5, Трубка тока
Рис. 2.6. Живое сечение
потока
t2 — линия тока 2. При установившемся течении в
каждой данной точке потока устанавливается скорость,
величина и направление которой не зависят от времени,
поэтому линия тока и траектория элементарно малой
жидкой частицы совпадают.
69

В точке внутри потока с координатами ху у, z
составляющие скорости вдоль осей координат будут их>' иу, uz.
При перемещении вдоль линии тока на расстояние ds в
точку с координатами x-\-dx, y+dy и z-\-dzy получим:
ux/dx = Uy/dy = u2/dz. (2.3)
Это равенство представляет собой уравнение линии
тока. При известных составляющих скорости можно
получить уравнение линий тока для конкретного течения.
В качестве примера рассмотрим течение, когда
составляющие скорости потока будут их=—ах и иу = ау.
Уравнение линий тока в этом случае
ux(dx~—Uy/dy, или dx/x =—dy/yt
следовательно, xt/ = const, т. е. линии тока — гиперболы
(рис. 2.4).
Полученное семейство линий тока принадлежит
потоку, обтекающему вертикальную стенку.
В потоке жидкости проведем замкнутый контур,
ограничивающий поверхность элементарно малой площади.
Через каждую точку контура может быть проведена
линия тока (рис. 2.5). Поверхность, образованная этими
линиями тока, называется трубкой тока. Скорости
жидкости касательны к поверхности трубки тока, поэтому
между жидкостью, движущейся в трубке тока, и
остальным потоком нет обмена массами жидкости. Масса
жидкости, текущей внутри трубки тока, называется
элементарной струйкой. Совокупность элементарных струек
образует поток жидкости или газа.
Проведем в трубке тока сечение, площадь которого
равна Ао), нормально к направлению скорости и. Такая
поверхность называется живым сечением струйки.
Произведение площади живого сечения и скорости
называется элементарным расходом жидкости или газа:
Д<Э = ыЛш. (2.4)
Это произведение представляет собой объем жидкости,
проходящей в единицу времени через сечение Дсо.
Элементарный расход измеряется в м3/с. Масса жидкости,
проходящая через сечение струйки в единицу времени,
Л/п = рДсои,
где р — плотность жидкости или газа, текущих в трубке тока.
Если провести сечение в потоке таким образом, чтобы
его поверхность в любой точке была нормальна к направ-
70

лению соответствующего вектора скорости (рис. 2.6), то
площадь этой поверхности со будет равна сумме живых
сечений струек:
0) = 2Д© = jdo).
(О
Такая поверхность называется живым сечением
потока.
Смоченный периметр %— та часть периметра, вдоль
которой жидкость соприкасается с твердыми стенками
канала (трубы). Гидравлическим радиусом называют
отношение площади живого сечения к смоченному пери*
метру.
Расход жидкости Q равен сумме расходов каждой
струйки:
Q = 2AQ = 2аДсо = j udco. (2.5)
(О
Массовый расход жидкости m равен сумме массовых
расходов каждой струйки:
m = 2Лт = ЕриДо = Jp« do. (2.6)
Средняя скорость потока жидкости — отношение
расхода к площади живого сечения потока, т. е.
v = Q/(D= Judco/o). (2.7)
О)
§ 9. Уравнение неразрывности
Основным условием, которое должно соблюдаться при
течении жидкости или газа, является непрерывность
изменения параметров потока в зависимости от координат
и времени. Это значит, что при течении жидкости должны
быть соблюдены условия сплошности. Жидкость или газ
должны двигаться в соответствующих каналах как
сплошная среда без разрывов. Сформулируем это уело-
вие. Отнесем поток жидкости к системе координат ху у, г
(рис. 2.7). В потоке выберем точку 0 с координатами х,
уу z. Изолируем неподвижный объем в форме
параллелепипеда со сторонами cU, dy и dz. Составляющие скорости
течения жидкости в точке 0' равны: их—вдоль оси хщ
иу — вдоль оси у и иг — вдоль оси z. Через площадку
параллелепипеда dydz, определяемую точкой 0\ в тече-
71

fa*
Ж 4-
T>u*+ з^{РиМ*
dx
Я
Рис. 2.7. Схема течения потока через стенки элементарного
параллелепипеда
ние времени dt внутрь параллелепипеда втекает масса
жидкости, равная puxdydzdt.
Из объема параллелепипеда в течение времени dt
через площадку dydz, положение которой определяется
точкой 0" с координатами x+dx, у, z вытекает масса
жидкости, равная
д
рих ду dz dt + ~T~" (pUx) dx dy dz dt.
Следовательно, при течении жидкости с
составляющей скорости их в точке 0 масса жидкости в объеме
dxdydz изменяется на величину
д
рих dy dz dt — рих dy dz dt — —— (pux) dx dy dz dt =
д
—— (pux) dx dy dz dt.
dx
При прохождении жидкости через другие грани
параллелепипеда масса жидкости в объеме dxdydz изменяется
аналогично:
— —- (риу) dx dy dz di\
dy
д
— —- (puz) dx dy dz dt.
72

Суммарное изменение массы жидкости (газа) в
фиксированном объеме dxdydz равно:
- [— (рИ*) + "J- (pUy) + — (P"z) J ^dydzdt .
Объем dxdydz вполне определенный, и его величина
не зависит от времени, координаты точки 0
фиксированы.
Изменение массы жидкости в объеме dxdydz может
произойти только за счет изменения плотности р за
период времени dt. В общем случае плотность жидкости
или газа является функцией координат х, у, z и
времени /, или р=/(х, у, г, t). В рассматриваемом случае х,
у, z фиксированы и плотность может изменяться только
в зависимости от времени.
Плотность жидкости в объеме, ограниченном dxdydz,
может изменяться на (dp/dt)dt> а масса жидкости в этом
объеме за период времени dt на {dp/dt)dt dxdydz.
Для сохранения сплошности жидкости должно быть
удовлетворено условие:
-^- dtdxdydz =— — фих) + — (puy) + — (puz) dxdydzdt.
Величина dxdydzdt входит в левую и правую части
равенства, поэтому условие соблюдения сплошности
потока в точке будет:
dp д (рцх) д (puy) r d(puz) =
dt ' дх "*" ду ^ dz ' [ ' '
Уравнение (2.8) в гидромеханике называют
уравнением неразрывности.
Если течение установившееся, то др/д/ = 0, и
условие сохранения сплошности течения можно представить
следующим образом:
д (рих) д (риу) д (рц2) _
дх ^ ду дг '
Когда жидкость, кроме того, еще и несжимаемая, то
р = const и тогда
dux duy dux
дх ду dz
= 0. (2.10)
Рассмотрим теперь уравнение неразрывности для
случая течения струйки при установившемся движении. Мас-
73

Рис. 2.8. Течение жидкости в
грубке тока
са жидкости струйки течет в трубке тока (рис. 2.8). Пусть
сечение 1—/ трубки тока имеет площадь <оь и в этом
сечении скорость жидкости щ, а ее плотность pi.
Площадь сечения 2—2 трубки тока равна о2, скорость
течения жидкости и2 и ее плотность рг- Скорости струйки
касательны к стенкам трубки тока, поэтому через
стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует.
Через сечение 1—1 в трубку тока в единицу времени
поступает масса жидкости, равная pi^Oi. Через
сечение 2—2 вытекает в единицу времени масса жидкости,
равная р2^20)2. В трубке тока масса жидкости,
находящаяся между сечениями 1—1 и 2—2, остается
постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке
тока будет: pi«icoi = p2W2(02=const, т.е. вдоль трубки:
тока произведение pwco остается постоянным.
§10. Ускорение движения жидкости и газа
Составляющие ускорений движения жидкости при ее
течении, так же как и скорости, являются функциями
координат и времени. Назовем составляющие ускорений
ускорениями в потоке жидкости ах, ау и az вдоль осей
кооординат и запишем их функциональные зависимости
от координат и времени:
a* = q>i(*.y.*.0;
ау = ф2(х,у,г,0;
а* = Фз(*|У»2»0-
Если известны значения указанных функций, то в
любой точке потока в любой момент времени можно
определить значения составляющих ускорения движения
массы жидкости для газа. Составляющие ускорений
представляют собой первые производные составляющих
74

скорости по времени:
dux дих дих
х dt dt + dx
duy duy duy
av = m = -f-
y dt dt dx
duz duz duz
dz dt dt + dx
dx
1Г +
dx
1Г +
dx
i
dt '
T-T dx dy
По определению = uXi ——
dt dt
dux , dux
dt dx
duy duy
ay = —- + ux —-
dt dx
du, duz
" +Uy-
- + uy
- + "y-
dux
duy
dy
duz
17
• = u
dux
dy
duy
dy
duz
~ty
dy , cux
dt dz
_dg_ duy
dt + dz
_dy_ jhiz_
dt "*" dz
dz
y, -£—*>
. dux
dz
duz
+ "z —T~ •
dz
dz
dt ;
dz
dt ;
dz
dt *
поэтому
1
(2.11)
Для установившегося течения жидкости или газа,
когда ускорения перестают зависеть от времени,
dux ^ duy ^ du2
dt ~~ dt ~~ dt ~~
В этом случае проекции ускорений вдоль осей
координат в точке потока, определяемой координатами х,
у, z будут:
дих дих дих
Я* = Ux — + "J/ Т~ + "2 "
ау=их-
dx
диу
dx
du2
+
иуду
диу
ду
+ uz
+ иУ "^7" + "z
az
диу
dz
du2
(2.12)
' Л a^ * * dy k * &
Первые слагаемые правой части (2.11) называются
локальными составляющими, а остальные —
конвективными составляющими ускорения.
§ 11. Движение и деформация элементарной частицы
жидкости
Рассмотрим в потоке движение элементарно малой
жидкой частицы. В момент времени t центр частицы
находится в точке, определяемой координатами х, уу z
75

/
А
/
/
7^"
.J/
/
Рис. 2.9. Схема движения жидкости внутри элементарной частицы
при ее перемещении вместе с потоком
(рис. 2.9). В той же точке составляющие скорости:
иуо
= М*.У» г);
Uzo = h(x,y, z)-
Установим составляющие скорости движения
жидкости в объеме, ограниченном размерами жидкой
частицы в этот же момент времени L Отнесем движение
жидкости в объеме частицы к системе координат х\ у\ z\
центр, которой совпадает с центром частицы (см. рис.
2.9). Мгновенные составляющие скорости жидкости в
точке с координатами х', у\ z'\
их = fi(x+x',y + y',z + z')\
и у = /г (х + х' >У + У'» 2 + г');
uz = h (х + х' > У + У'. z + г') •
Разложив эти функции в ряд Тейлора и сохранив
линейные члены ряда, учитывая малые размеры частицы,
получим:
их — uX{t +
дих
дх
дих
ду
У
дих
дг
г'\
76

w
ч
ду
dUn .
У дх
х-
dx
Рис. 2.10. Распределение
скоростей в проекции на
плоскость хОу при движении
частицы
Рис. 2.11. Смещение
диагонали элементарной частицы
в течение времени d/
ди-
луо'
"г = "го +
У
дх
ди2
~~дх~
х' +
диу_
ду
диг
диу
dz
duz
1 ду v ' dz
Элементарно малая частица жидкости имеет такие
размеры, что частные производные составляющих
скорости могут рассматриваться для всех точек внутри
частицы как постоянные коэффициенты. В данный момент
времени, когда центр частицы определяется
координатами х, у, z местные скорости в различных точках
частицы определяются координатами х\ у\ z'.
Введем шесть величин:
1 / диг диу \
= 2 \dy~'~~lto~)
ду
дих
dz
dz
ди
)и1_\
IX }
2 [ дх ~ ду )
в,
_ 1 I диг диу \
2 [ ду + дг )'
-м-
ду
дих
dz
ди*
dz
duy
dx
dux
•>
dx
ду
Рассмотрим несколько подробнее, что представляют
собой эти величины. В проекции на плоскость
координат х'у' проведем диагональ элементарной частицы под
углом 45° к осям координат. В точке 0' составляющие
скорости будут их и иУу и частица движется касательно
к скорости и (рис. 2.10 и 2.11). Составляющая
скорости, параллельная оси у\ относительно точки 0 вдоль
оси Ох' на расстоянии Ах от центра частицы будет
П

{dtiy/dx)dx. Составляющая скорости, параллельная оси
О'х', относительно точки 0' вдоль оси 0'у' на расстоянии
Ау от центра частицы будет (dux/dy)dy. В течение
времени d/ оси координат повернутся вокруг точки О' на
углы:
(диу/дх) dxdt диу
dAT dx
{дих/ду) dy dt dux
Тогда угол между осями координат будет равным:
90°—Aai—Да2. Диагональ частицы, которая в момент t
находилась под углом 45° к осям координат, стала
теперь делить пополам угол а3=90°—Aai—Да2 и, значит,
сместилась на угол
(90° — Д«! — Дсс2)/2 + Acct — 45° = (Да{ — Да2)/2.
Любая' жестко связанная с рассмотренной
диагональю другая диагональ элементарной частицы
повернется в течение времени dt на тот же угол.
Следовательно, отношение
Да, — Да2 1 / диу дих \
2dt =®г=~\дх ду )
представляет собой составляющую угловой скорости
частицы вокруг оси 0'z' в момент времени t. Отношение
суммы углов Да1+Д«2 к отрезку времени dt называется
скоростью скошения осей координат, т.е.
Aat + Да2 диу дих
———————— == ——— -4- ——— =: ^\j.
dt дх ^ ду 1
Остальные введенные величины будут представлять
собой угловые скорости вокруг осей координат х' и у' и
соответствующие значения скорости скошения осей
координат.
Если бы рассматриваемая частица отвердела, то ее
движение вдоль траектории совершалось бы со
скоростью перемещения ее центра (составляющие их0, uyQ и
«zo) и вращением с угловой скоростью о. Компоненты
угловой скорости вокруг осей х', у', z' равны со*, щу о2.
Эти величины называются компонентами вихря.
Исключим из равенств, определяющих скорости в точке с
координатами х\ у', z', частные производные дих/ду; дих/дг\
dtiy/дх; duy/dz; duzJdx\ duz/dy, пользуясь шестью вве-
78

денными величинами:
дих дих
— =<ог + е3; -£-=6,-»,,:
дну ~ диУ . ^
dx dz
ди2 ди2
==соу + е2; ——=0х —сох.
0* " ' " ду
Составляющие скорости движения жидкости внутри
выделенного элементарного объема в точке с
координатами х\ у\ г' могут быть представлены равенствами:
дих
— х' + od2 у' — (ду г' +Q3y' +д2г ;
«*-«*о-г дх
"у = иуо+ —~- У' + <*>**' — azx' + %х' +9!*';.
ду
"z = "zo + —f- г' + соу х' — соЛ i/' + 62 x' + 0! f/'.
Оценим составляющие скоростей, характеризующих
деформацию частицы в течение времени dt при ее
движении вдоль соответствующей линии тока. Гельмгольц
предложил рассматривать движение жидкой частицы,
складывая скорости как бы отвердевшей частицы со
скоростями ее деформации в каждой точке ее объема,
определяемой координатами х\ у\ z'. В этом случае
скорости деформации частицы будут:
дих
ихД = их — uXQ — (w2y' —(Dyz') =—1- х' + Q3y' +02z';
иуп = иу — иуо — (®хг' — <*z*') = ~~"Г^"#' + ез *' + ei z'>
duz
"*Д = «2 — «20 ~ (Щ *' — ®Х У') = ""Г— *' + Э2 X' + 0! у9 .
OZ
Составляющие скорости деформации частицы в
процессе ее движения являются частными производными
функции
1 / дих о duv о ди9 о
+ 2MV). (2.13)
79-

_ dF _ dF _ dF
т. e. Uxtl— \ Мул.— » Uzr— ~ •
д дх ' УА ду dz
При заданной системе координат л/, у', z' величины
дих/дх; duy/ду; duz/dz; Q{; 62; 0з являются
фиксированными, а при изменении системы координат они меняют
свое значение. Функция F представляет собой
поверхность второго порядка. ;
В точке с координатами х\ у\ z' внутри частицы
скорость деформации
V'u-
ие к
мой поверхности
«Д= V <4д + 4д + "гд'
Направляющие косинусы нормали к рассматривае-
dF/dx иХД
cos a
cos (5 =
dF/ду
Ym+m+m
dF/dz
YWNMWf
Ид
«Д
"гД
"Д
cosy :
т.е. в любой точке, связанной с частицей, скорость ее
деформации нормальна к поверхности F.
Всегда можно выбрать систему координат,
ориентированную таким образом, чтобы коэффициенты при
слагаемых, содержащих произведения переменных х'у\ x'z\
yz' стали равными нулю:
б] =02 = 63 = 0«
Тогда коэффициенты при слагаемых, содержащих
квадраты переменных, приобретают определенное
значение:
дих дии диг
= е^ —— = е2\ —— = е3.
дх ду dz
Уравнение поверхности, нормальной к направлению
скорости деформации частицы, приобретает вид:
F0 = elx'* + e2y'* + e3z'$. (2.14)
80

Это так называемый эллипсоид скоростей
деформации. Вдоль осей выбранной таким образом системы
координат деформация частицы в течение элементарно
малого отрезка времени dt может происходить только в
виде сжатия или растяжения частицы. Такие оси
координат называются главными осями деформации. При
перемещении частицы вдоль линии тока изменяются
значения ей е2 и eZl а также ориентация главных осей
деформации частицы, но в любой точке траектории частицы
всегда будут существовать три взаимно ортогональных
направления, вдоль которых частица будет либо
расширяться, либо сжиматься. Выбранные таким образом
оси координат называются главными осями скорости
деформации.
Все виды движения жидкости и газа можно
разделить на два класса:
вихревые движения, когда элементарно малые
частицы имеют компоненты вихря, т. е. при течении
жидкости они вращаются;
безвихревые движения жидкости и газов, когда
компоненты вихря отсутствуют и частицы не вращаются.
Рассмотрим более подробно безвихревое течение
жидкости. В этом случае распределение скоростей
потока должно удовлетворять условиям:
®у
2 [ ду дг ) '
2 \ дг дх )~~ '
2 \ дх ду )
Составляющие скорости течения являются
непрерывными функциями координат. Написанные равенства —
условие существования функции, у которой частные
производные по координатам равны соответствующим
составляющим скорости течения:
dq> дф дф
дх у ду дг
Такая функция называется потенциалом скорости, а
соответствующее течение жидкости — потенциальным.
Рассматриваемая функция описывает поток несжимаемой
6—626
81

жидкости в том случае, если распределение скоростей
течения удовлетворяет условиям сплошности (2.10), а
потенциал скорости — уравнению Лапласа:
^L+^L+ii!=0. (2.,6)
Ьх\ ^ ду* дг*
§ 12. Дифференциальные уравнения движения
невязкой жидкости (уравнения Эйлера)
Изолируем в потоке элементарно малую частицу,
имеющую форму прямоугольного параллелепипеда со
сторонами dx, dy, dz. На выделенную частицу действуют
силы гидродинамического давления, массовые силы и
силы инерции.
Силы гидродинамического давления, так же как для
частицы, находящейся в равновесии, действуют на
изолированной поверхности; массовые силы, как на это уже
указывалось в § 2, пропорциональны массе частицы;
силы инерции определяются произведением массы
частицы на мгновенное значение ускорения ее движения.
В проекциях на выбранные оси координат сумма этих
сил, действующих на рассматриваемую частицу,
составляет:
/ dp \
рах dx dy dz = I — —-— + рХ I d* dy dz;
paydxdydz = l— —- + рГ j dxdr/dz; } (2.17)
раг dxdydz = i— ——+ pZl dxdydz,
где ax, Qy, az — соответственно проекции мгновенного значения
ускорения частицы на соответствующие оси координат.
Объем элементарной частицы dxdydz является
множителем в левой и правой частях равенств.
Следовательно, полученные равенства не зависят от выбранной формы
элементарной частицы. В § 10 показано, что
проекции ускорений являются функциями координат и
времени. Разделив обе части равенств на плотность жидкости
или газа р получим систему уравнений, называемых
уравнениями Эйлера:
82

дих
дих
dt
диу
dt
duz
dt
+ ux
л dx
диу
dx
duz
~Jx~
Uy
dux
dy
диу
+ "u
dy
duz
dy
+ 4
+ uz
+ "г'
дих
диу
dz
диг
dx
\ (2.18)
dz
+ z.
Полученные равенства действительны для течения
невязких жидкостей и газа. При этом течение может быть
как установившимся, так и не установившимся,
потенциальным или вихревым; плотность среды может быть как
постоянной, так и зависящей от давления. При течении
жидкости должно удовлетворяться условие сплошности:
dt
+
д (рих) d (puy) , d (puz)
= 0.
dx dy dz
Если, кроме того, известна зависимость плотности от
давления р=/(р), то система уравнений Эйлера
становится замкнутой.
Интегрирование уравнений Эйлера возможно для
ряда частных случаев течения жидкости и газа. Для
удобства интегрирования представим уравнения Эйлера в
иной форме. Прибавим и вычтем из левой части первого
равенства сумму uyduy/dx-\-uzduz/dx; второго и треть-,
его — суммы ихдих/ду-\-игдиг/ду и uxdux/dz-\-uyduy/dz*.
Квадрат скорости течения жидкости или газа в данной
точке и в данный момент времени и2 = и\+и2-\-и\.
Компоненты вихря определяются, как показано в
§ 11, равенствами
/ диг duy \ 1 /
U~-— > •'-it
1_ / duy ^ dux\
С°2~ 2 [ dx ~ dy )'
дих
dz
duz
dx
dx dy
Тогда система уравнений Эйлера может быть
представлена равенствами:
дих
dt
диу
dx
d
dt
duz
dt
dy 2
• 2uz (dy -
■ 2ux co2 -
■ 2uu u).
2uz G)x = —
p
_1_
p
_dp_
dx
dy
1 dp
+ X;
+ Y;
+ — Г" + 2uy o)jc — 2ux a>y =— — + Z,
(2,19)
dz 2 * y * y p dz
которые называются уравнениями Громеки — Ламба.
6* 83'

х=—-
Ускорения массовых сил, как уже говорилось в § 2,
являются частными производными потенциала U:
дх dy dz
Плотность движущейся среды в общем случае
является функцией давления. Введем такую непрерывную
функцию координат Р(х, у, <г), чтобы
дР \_Jp_. JL _.__Ll£-. J^L 1 дР
дх р дх ' ду р ду ' dz p дг
Теперь уравнения Громеки — Ламба могут быть
записаны в таком виде:
2
dt
дх
д
dt
диг
~~дГ
JY + P + u)+2(uxa)z-u2(x>x)=0;
д / и2 \
+ — [~+ Р + V) + 2(»y<*x-ux«>v) =0.
ду
(2.20)
§ 13. Интегрирование уравнений Эйлера.
Интегралы Лагранжа и Бернулли
Рассмотрим случаи, когда полученная система
уравнений интегрируется.
При безвихревом течении компоненты вихря равны
нулю; составляющие скорости (см. § 11) являются
частными производными потенциала скорости ф(х, у, z, t)
[см. формулы (2.15)]; локальные производные
составляющих скорости:
дих д dy д ду ^ диу д ду д ду t
dt = dt дх = дх dt * dt ~~ dt dy ~~ ду dt *
duz д ду д ду
dt = dt dz = dz dt
Уравнения Громеки — Ламба в этом случае
принимают вид:
а
dx
d
dy
d
dz
dy
dt
+ — + P + U)=0;
(2.21)
84

или" dq>fdt + иУ2 + Р + U = const + f(t). (2.22)
Равенство (2.22) называется интегралом Лагранжа.
В потенциальном потоке во всех его точках
сохраняется постоянное значение суммы четырех членов
равенства. При установившемся потенциальном течении (Эф/
/dt=0 и уравнение Лагранжа будет следующим:
и212 + Р + U = const. (2.23)
Постоянная в этом равенстве также сохраняет свое
значение для любой линии тока потенциального потока.
Таким образом, уравнения (2.22) и (2.23)
справедливы для всего потенциального потока.
В гидравлике часто рассматривается установившееся
течение жидкости или газа вдоль линий тока. Из
уравнения (2.3) следует: uzdx—uxdz—Q; uxdy—uydx=0\
Uydz—uzdy=0. Умножим первое, второе и третье
равенства системы уравнений Громеки — Л амба
соответственно на dxy dy и dz. Перемещение координат смещает
рассматриваемую точку внутри потока вдоль конкретной
линии тока. Складывая полученные равенства и учитывая
зависимость изменения составляющих скорости от
координат при перемещении вдоль линии тока, получим:
2 (игЫу — иу coz) dx + 2 (их (uz — и2 сод) dy + 2 (иу (ох — их ыу) dz —
= 2 (uz dx — их dz) coy + 2 (их dy — иу dx) co2 + 2 (иу dz — иг dy) ых =0.
(2.24)
Следовательно, при установившемся течении вдоль
конкретной линии тока соблюдается условие:
д / "2 г> , \ д [ и2 п \
— (—+Р + и)4Х + —(—+Р + и)бу +
д ( и2 \ 1 и2 \
+ -£-(—+P + U)dz==d [— +P + U)=0. (2.25)
Таким образом, вдоль линии тока при
установившемся течении жидкости или газа имеем:
а2/2 + Р + U = const. (2.26)
Это равенство называется интегралом Бернулли.
Если уравнение (2.23) описывает установившееся движение
для всего потенциального потока, то уравнение (2.26) —
только движение жидкости вдоль определенной линии
тока. Значит, интеграл Бернулли является частным
случаем интеграла Лагранжа лишь при рассмотрении
безвихревого движения вдоль фиксированной линии тока.
85

§ 14. Интеграл Бернулли в поле силы тяжести.
Уравнение Бернулли
Значение постоянной для различных линий тока
данного потока жидкости или газа может быть различным.
Если жидкость несжимаема и массовыми силами
являются только силы тяжести, то
Р = {— = —; U = gz,
J Р Р
где z — длина вертикали, опущенной из точек линии тока на
горизонтальную плоскость сравнения.
Тогда вдоль линии тока сохраняется постоянной
сумма:
и2/2 + P/p + gz = const. (2.27)
Это равенство называется уравнением Бернулли.
При установившемся течении газа вдоль линии тока
функция Р=\——, тогда уравнение Бернулли будет
• ■•■ J P
иметь вид:
иЧ2+ Г— +gz = const. (2.28)
Следовательно, при движении невязкого газа вдоль
линии тока для однозначного определения параметров
течения необходимо дополнительно знать связь между
плотностью и давлением.
Ознакомимся с энергетическим смыслом уравнения
Бернулли.
р Изменение кинетической энергии единицы массы
Жидкости при течении вдоль линии тока из одной точки
в другую равно и\/2—и\/2 (где щ и и2 — скорости
течения в соответствующих точках линии тока). Если
относить кинетическую энергию жидкости к единице веса
или объема, то изменение энергии запишется в первом
случае Щ/(2g) — u2/(2g), а во втором pwJ/2—pul/2.
Изменение потенциальной энергии положения при
перемещении единицы массы вдоль линии тока из одной
точки в другую равно gzx—gz2. Если отнести
потенциальную энергию к единице веса или объема, то
изменение энергии будет в первом случае Z\—г2, а во втором
. Рассмотрим перемещение вдоль линии тока
элементарной частицы несжимаемой невязкой жидкости. Пло-
т

Рис. 2.12. Перемещение
элементарной частицы несжимаемой
невязкой жидкости вдоль линии тока
щадьсечения частицы а (рис.2.12) нормальна к вектору
скорости и течения жидкости. Стенки частицы
параллельны этому вектору. Силы давлений на стенках,
параллельных направлению перемещения частицы, работы
не производят (сила давления нормальна к
направлению перемещения частицы). Сила, возникающая в
сечениях, нормальных к скорости течения,
I до \ др
AF = ра — I р + As а =— a\st
У ds J ds
где As— размер частицы вдоль линии тока; р — давление,
меняющееся вдоль линии тока; 5 — длина отрезка линии тока; aAs=AW -*->
объем жидкости, заключенной в изолированной частице.
Элементарная работа, произведенная силами
давления при перемещении частицы жидкости вдоль линии
тока на расстояние ds,
d£ = Д№ — ds = AW dp, (2.29)
ds
где dp — элементарное изменение давлений вдоль линии тока.
Работа, произведенная силами давления при
перемещении изолированной жидкой частицы из одной точ-л
ки вдоль линии тока в другую точку,
E=§AWdp = AW(p2-Pi)f
где pi и р2 — давления в соответствующих точках линии тока.
Относя произведенную работу к единице массы
жидкости, перемещаемой силами давления вдоль линии
тока, получим: E/(pAW) = (р2—Pi)/p. Относя работу сил
давления к единице веса или объема жидкости,
соответственно находим: (P2—Pi)/(pg) и р2—Р\.
Силами, производящими работу при перемещении
единицы массы, веса или объема несжимаемой
жидкости, являются силы давления. Закон сохранения
энергии при течении жидкости вдоль линии тока от одной
точки до другой можно сформулировать следующим об-
87

разом: изменение кинетической и потенциальной
энергии положения равно соответствующей работе сил
давления на этом перемещении. Таким образом, если,
например, отнести запас энергии к единице массы, тс
получим:
и\\2 - и\12 + gzx - gz2 = (р2 - Pl)/p,
или вдоль линии тока будет действительно равенство
РХ!Р + и\12 + gzY = р2/р + и\12 + gz2 = pip + и212 + gz = const,
(2.30)
где p, и и z — соответственно давление, скорость течения и
расстояние до плоскости сравнения любой точки данной линии тока.
Если отнести запас энергии к единице веса или
объема, то уравнение Бернулли будет иметь вид:
—+— +2 = const; (2.31)
р + р«2/2 + pgz = const. (2.32)
Все три члена уравнения Бернулли представляют
собой механическую энергию, поэтому можно
сформулировать следующее положение: вдоль линии тока
несжимаемой и невязкой жидкости запас механической
энергии, отнесенный к единице массы, веса или объема,
остается постоянным.
Механическую энергию жидкости, отнесенную к
единице веса, называют полным напором; кинетическую
энергию — скоростным напором; сумму энергии сил
давления и потенциальной энергии положения, отнесенную
к единице веса — статическим напором. Вдоль данной
линии тока сумма скоростного и статического напоров
остается постоянной.
Рассмотрим движение вдоль линии тока
элементарной частицы невязкого газа. В этом случае силы
давления будут производить работу, связанную как с
перемещением частицы вдоль линии тока, так и со сжатием
или расширением объема частицы ДW. Допускается, что
к рассматриваемой массе тепло не подводится и не
отводится от нее. Следовательно, вся работа сжатия или
растяжения объема частицы соответственно переходит
во внутреннюю энергию газа. При элементарном
перемещении частицы изменение ее объема равно d(AlF), a
ее температура изменилась на dT. В рассматриваемой
88

точке линии тока, где находилась частица, давление
равно р.
Работа сил давления, затраченная при изменении
объема частицы,
pd (AW) =—cvdT AWp, (2.33}
где cv — теплоемкость газа при постоянном объеме.
Равенство (2.33) показывает, что вся работа по
сжатию или расширению объема частицы соответствует
изменению внутренней энергии этой частицы. При этом
работу производят все силы давления как на торцах а,
так и на боковых стенках частицы. Суммарная работа
сил давления при перемещении частицы на длину ds
вдоль линии тока определяется по формуле (2.29).
Объем массы газа частицы теперь величина
переменная. Постоянной при перемещении остается масса, т.е.
произведение pAW. В точке линии тока объем частицы
ДИ?1 и ее плотность pf, вдоль линии тока объем частицы
ДИ7 = ДВ71Р1/р.
Работа сил давления при элементарном
перемещении частицы
d£ = Pl AWX dp/p;
при перемещении элементарной частицы газа вдоль
линии тока от одной точки до другой
J^PiAWiJfdp/p).
Уравнение состояния для массы газа,
содержащегося в объеме элементарно малой частицы, запишется:
AWp^p^AW^RT.
При перемещении частицы вдоль линии тока на
элементарное расстояние ds объем tAW и температура Т
изменяются по закону
d (AW) p + AW dp = р, AWi R dT = pAW RdT
(вдоль линии тока AWipi=AU?p=const). С учетом
формулы (2.33) можно записать:
AW dp = pAWRdT + cv dT pAW.
Работа сил давления, отнесенная к единице массы
при элементарном перемещении вдоль линии тока,
dp/p = RdT + cv6T.
Суммарная работа сил давления, произведенная при
89

перемещении единицы массы газа вдоль линии тока от
одной точки до другой,
2
|-^- = /?(Г2-Г1)+С7(Г2-Г1).
1
Учитывая, что RT2—P2/P2 и RT{=pi/p\, получим:
2
fj^ = _£2_J>i_ r (234)
J P P2 Pi
Из-за малой плотности газа значение отношения р/р
всегда намного больше расстояния точек линии тока от
плоскости сравнения, поэтому, рассматривая течение
газа, можно пренебречь величиной г, так как изменение
потенциальной энергии положения мало по сравнению с
энергией сил давления. Изменение запаса
кинетической энергии, отнесенное к единице массы газа, равно
работе, произведенной силами давления:
и\П - и\12 = р2/р2 - Pl/Pl + cv Т2 - cv Tv (2.35)
или
«?/2 + Pi/Px + cv Тг = и\!2 + р2/р2 + <v Т2 =
= ы2/2 + р/р + cv Г = const, (2.36)
где и, р, р и Г — скорость течения, давление, плотность и
температура газа в любой точке данной линии тока; ы2/2+р/р —
механическая энергия единицы массы газа; СуТ — внутренняя энергия.
Уравнение Бернулли для течения газа показывает,
что вдоль линии тока сохраняется значение суммы
механической и внутренней энергии газа, отнесенной к
единице веса, массы или объема. Уравнение сохранения
энергии массы невязкого газа, текущего вдоль линии
тока, можно представить в несколько ином виде.
Воспользуемся уравнением состояния газа: p/p = RT. Как
известно, ср—cv=R (где ср — теплоемкость при постоянном
давлении). Следовательно, сумма
р!р + СуТ = срТ. (2.37)
Теперь закон сохранения энергии при течении газа
вдоль линии тока можно записать:
«2/2 + cpr = const. (2.38)
Как видно из этого равенства, скоростной напор при
течении газа непосредственно связан с его температу-
9й

Рис. 2.13. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для
потока невязкой жидкости
рой. В канале при сужении сечения, когда скорость
течения возрастает, температура газа будет снижаться. '
Рассмотрим истечение газа со скоростью и из
ресивера; скорость в ресивере равна нулю. Тогда получим:
и*/2 + срТ = срТ0.
где Т0 — температура газа в ресивере (температура Г0 полного
торможения течения газа называется температурой адиабатического
торможения).
Уравнение (2.37) можно представить в другом виде.
Так как Т=р/(pR), ср—Cy = R и cp/cv=k, получим:
г Р Р Cr.pl
PR
Lp 9(cp~cv) cv p (cplcv-\)
k р
1 Р
Тогда уравнение сохранения энергии при течении
невязкого газа примет следующую форму:
k+\ р
= COriSt.
(2.39)
91

Это уравнение называется уравнением Бернуллй для
газа.
Удельная механическая энергия, отнесенная к
единице веса, как это следует из уравнения (2.31), имеет
размерность длины. Поэтому уравнение Бернуллй может
быть представлено графически.
Рассмотрим течение жидкости в канале переменного
сечения. Сумма трех слагаемых уравнения, так же как
и каждое слагаемое, имеет линейную размерность,
постоянна и называется полным напором или полной
высотой. На рис. 2.13 показаны отрезки прямых,
соответствующих каждому слагаемому уравнения Бернуллй для
четырех произвольно выбранных сечений. При этом z —
расстояние от центра тяжести сечения до плоскости
сравнения (высота положения); p/(pg*)—пьезометрическая
высота (пьезометрический напор); u2/(2g)—скоростная
высота (скоростной напор).
Линия, соединяющая точки, соответствующие
полному напору, называется линией полного напора; линия,
соединяющая точки пьезометрического напора,
называется пьезометрической линией. При течении невязкой
жидкости линия полного напора (см. рис. 2.13 линия 0'—0f)
представляет собой горизонтальную линию.
Сужение потока приводит к увеличению скорости
течения, а следовательно, скоростного напора и к
уменьшению пьезометрической высоты. На участке сужения
пьезометрическая линия (см. рис. 2.13 линия О"—О")
снижается. Расширение потока приводит к обратному
эффекту — пьезометрическая высота увеличивается, а
пьезометрическая линия поднимается.
§15. Дифференциальные уравнения движения вязкой
жидкости (уравнения Навье—Стокса)
При течении реальных жидкостей и газов в потоке
возникают напряжения, которые раскладываются на
нормальные и касательные составляющие к площадкам, на
которых они действуют. Как показано ранее, в таком
потоке можно рассматривать две системы напряжений:
нормальные напряжения — давление, однозначно
определяемое в любой точке потока;
дополнительные напряжения, состоящие из трех
нормальных и трех касательных составляющих; эта система
32

напряжений зависит в каждой точке потока от
ориентации площадки, на которой возникают напряжения.
Выберем в точке, находящейся внутри потока и
определяемой координатами х, у, г, систему
прямоугольных координат х\ у', z'. В плоскостях координат
возникнут кроме давления еще три нормальные аь а2, аз и три
касательные ть т2, т3 составляющие дополнительного
напряжения (рис. 2.14). Значения дополнительного
напряжения зависят от физических свойств и характера
течения жидкости или газа.
Изолированная элементарно малая масса жидкости
или газа находится в момент времени t в точке О,
определяемой координатами л;, у, z (рис. 2.15).
Элементарная масса имеет форму параллелепипеда с гранями,
параллельными плоскостям координат. Стороны
параллелепипеда имеют размеры dx, dy, dz. Рассмотрим
проекцию сил, возникающих на гранях изолированного
параллелепипеда под действием дополнительных
напряжений, на ось Ох. В момент, когда он вместе с потоком
движется мимо точки 0, на гранях, нормальных к оси
0ху действуют силы: 0\dydz и [о\ + (dojdx)dx]dydx.
Суммарная проекция силы, определяемая нормальными
составляющими напряжения,
/ до{ \ да{
о, + dx \dydz — di dy dz = —— dx dy dz.
\ dx J dx
На гранях, параллельных плоскости координат xUz,
действуют напряжения, а следовательно, и силы вдоль
оси Ox: izdxdz и [xz+(dxs/dy)dy]dxdz. Эти напряжения
приводят к составляющей вдоль оси Ох, равной (дхг/ду)Х
Xdydxdz.
На гранях, параллельных плоскости координат xUyy
на ось Ох проектируются силы: x2dxdy и [т2 + (dx2/dz) dz] X
Xdxdy. Вдоль оси Ох эти напряжения дадут
составляющую (dx2/dz)dzdxdy.
Суммарная составляющая сил, возникающих на
гранях изолированного элемента жидкости за счет
дополнительного напряжения в проекции на ось Ох, равна
(до\/дх-{-дхг/ду+дх2/дг) dxdydz.
Аналогично составляющие дополнительного
напряжения, действующие на остальных гранях, в проекциях
на оси Оу и Oz дадут составляющие сил: (до2/ду +
+ dxzldx + dxi/dz) dxdydz и [дог/dz + дх\/ду + дх2/дх) X
X dxdydz.
93

*<
Тд1
\ъ*
€
кЛб*
Рис. 2.!4. Схема составляющих дополнительных напряжений на
гранях элементарного параллелепипеда
*г
у&^
v#i
-^х
О
Рис. 2.15. К выводу системы уравнений движения вязкой жидкости
Прибавляя эти силы, отнесенные к единице массы
жидкости или газа, к правой части уравнений Эйлера
(2Л8), получим условия динамического равновесия в
точке потока при течении реальной жидкости или газа:
94

дих
dt
•Wflc"
дих
дх
дих
■ иУ "~ТГ" + "г
+ Х+ —
р
ду
дог
ИГ
дих
дг
1 др
Р дх
дт3 ^т2
a*/ dz
а*
^+«,-^-
dWw
■ U
ди
у
У
dt ' "* дх ' ~" ду ' "с дг
р ду р \ ду дх ^ дг Г
(2.40)
а^7
dt
■их
ди?
ди.
a* dr/
+ «z
^Ц2
az
1 ар
р а*
+
+ z + -
ас
атг
дг
Эта система уравнений описывает условия
динамического равновесия в точке потока при условии замены
реальной жидкости или газа сплошной средой, в
которой напряжения не являются нормальными к
площадкам, на которых они возникают. Значения производных,
характеризующих наличие дополнительных кроме
давления напряжений, зависят от характера течения потока
и физических свойств среды.
Как было рассмотрено ранее, при течении сплошной
среды в непосредственной близости от любой точки
потока может быть проведена поверхность второго
порядка, к которой все напряжения, возникающие на различно
ориентированных площадках, направлены нормально
[см. формулу (39)]. Если оси координат х', у', г'
ориентированы в данной точке потока так, что
коэффициенты ti=T2=t3 = 0, то рассматриваемая функция
определяется по уравнению (40) (см. введение) и в плоскостях
координат отсутствуют касательные составляющие
напряжения. Вдоль осей координат действуют только
(кроме давления) дополнительные напряжения сжатия
или растяжения.
Скорости деформации элементарной жидкой частицы
в момент ее прохождения через точку 0 с координатами
х9 г/, г, нормальны к поверхности второго порядка [см.
формулу (2.13)].
Если система координат х\ у\ z' в точке 0
ориентирована так, что 8i = 02 = 03 = 0, т. е. в плоскостях
координат нет деформации осей, уравнение рассматриваемой
95

поверхности приобретает вид:
1
т^+Ш/Ч^и-
В этой системе координат скорости деформации
частицы направлены вдоль ее осей. Обозначив (дих/дх)о =
=£»!, (диу/ду)0 = е2 и (ди2/дг)0=ег, получим формулу
(2.14).
Ньютоновские жидкости и газы обладают, как
известно, следующими физическими свойствами:
напряжения, определяемые вязкостью, зависят линейно от
частных производных составляющих скорости по
координатам; обладают свойством изотропности.
Плоскости координат, в которых отсутствуют
касательные напряжения, и плоскости координат, в которых
нет смещения осей, должны совпадать, поэтому в
системе главных осей координат скорости деформации
частицы и возникающие нормальные составляющие
напряжений совпадают по направлению. Постулируем, что связь
между напряжениями а0ь ао2, (Тоз и частными
производными еи e2f еъ — линейная. Частные производные одного
направления с напряжением влияют на его значение
пропорционально А,, а две другие производные
одинаково влияют на то же напряжение пропорционально Э.
Принимая, что ньютоновские жидкости обладают
указанными физическими свойствами, получим:
а01 = ^e1 + Q(e2 + e3); 1
сг02 = А*2 + в(е1 + е3); | (2.41)
^оз = ^з + G (^i + ег) • J
Условие несжимаемости потока требует, чтобы
Пользуясь этим условием, находим:
<Toi = (b —6К; °ч>2 = (Ь - 0) е2\ o03^(k-Q)e3. (2.42)
Сложив три дополнительных главных напряжения,
получим:
<% + <*о2 + аоз = (X — 6) fa + е2 + е3) = 0.
Полученный результат согласуется с общими
положениями о напряженном состоянии движущейся
жидкости.
96

Обозначим (л== (Л,—Э)/2. Коэффициенты, входящие в
функции F0 и Фо, пропорциональны 2 ц. Следовательно,
можно написать, что
Fo = 2|i<D0. (2.43)
Так как форма поверхностей, ортогональных
скоростям деформации и напряжениям в данной точке, не
зависит от выбранной системы координат, то можем
утверждать, что в любой системе координат
F = 2\i<3>. (2.44)
Следовательно, коэффициенты в этих уравнениях
должны быть соответственно пропорциональны 2 \х.
Таким образом, зависимость напряжений от частных
производных соответствующих составляющих скорости
потока записывается в виде:
dux Л диу Л duz
ах = 2fx —— ; а2 == 2(х —— ; а3 = 2|Л -
dx
2^
т2 = 2fie2 ■■
[I
dy
диу
dz
I диу duz \
[ dz + dy У
.>[
dz
du
dy
ди7
т3 = 2це3 = \i
dz
diiy
dx
dtu
/ диу дих \
[ дх + dy )
(2.45)
где {i — динамическая вязкость движущейся жидкости.
Определим теперь силы, возникающие в точке
потока за счет вязкости для течения ньютоновской
жидкости. Проекция на ось Ох сил вязкости, отнесенных к
единице объема и действующих в точке, определяемой в
потоке координатами х, у, z:
дх
+ ■
дт3
ду
+
дт2
dz
+
■■)»•[*
д*их
dx2.
ду
/ duy i dux \
Л дх + ду )
+
д
dz
дих
duT
■)]■
dz dy
Дифференцируя уравнение неразрывности по л;, по-
dux
лучим:
dx [
dx
диу
ду
duz
dz
.)...
или
d I dux \ _^ д / duy duz \
dx [ dx / ~~ dx { dy + dz j
7-^626
97

Тогда проекция сил, возникающих за счет вязкости
жидкости, равна
д2их , д2их . d2ux
V
+
Ьх\ ' dy2 ' dz2 )
Аналогично в проекции на оси Оу и Oz
дополнительная проекция сил, которые следует учитывать при
течении вязких жидкостей, составит:
&ыу_ , д*иу
"Т '
dUly
dx2
dyl
dz2
д2и7
Ь2щ
dz2 У
г \ dx2 dy2
Уравнения Эйлера с учетом этих дополнительных сил
примут вид:
дих 1 dp
dz р дх
d2ux . д2их
дих
dt
+ "»■
дх
+ Х +
day
dt
+ "а
duv
dux
fd2ux
{ дх2
диу
+ "z
+
"х_\
дх
duz
dt
+ У + Ч
P \
du.
a dy
д2-Уу
дх*
dyi дг2
duy 1
d2uy d2uv
dp_
dy2-
+ "*■
■+"y
duz
+
du.
d%-uy\
dzl )'
1 dp
+ Z +
dx ' " dy
d*uz
дг
p дг
+
4
p V
d2UT
dx2
dy2
d2uz\
dz2 )'
(2.46)
Полученная система уравнений называется
уравнениями Навье — Стокса.
В качестве примера определим напряжения,
возникающие в круглой трубе при преобладающем действии
сил вязкости. Линии тока в цилиндрической трубе
прямые, параллельные стенкам, поэтому составляющие
скорости uy—uz=Q. Движение равномерное и dux/dt=Q.
Остается только одна составляющая напряжений —
касательное напряжение, параллельное стенкам трубы:
T=\xduxfdy.
Уравнение Навье—Стокса, как и уравнения Эйлера,
интегрируются только для некоторых частных случаев.
98

Однако они с успехом используются, например, при
изучении движения вязкой жидкости в пограничном слое
(см. далее гл. 5) и при изучении закономерностей
подобия и физического моделирования гидро- и
аэродинамических явлений (см. далее гл. 10).
§ 16. Уравнение Бернулли для вязкой жидкости
при равенстве скоростей в каждой точке сечения
При течении реальной жидкости силы, определяемые
вязкими напряжениями, производят работу, целиком и
необратимо превращающуюся в тепловую энергию.
Рассмотрим баланс энергии массы жидкости в
произвольном канале между двумя сечениями. Ограничим
характер течения следующими условиями:
движение жидкости установившееся;
распределение давления в сечениях /—/ и 2—2
подчиняется гидростатическому закону, скорости в любой
точке каждого сечения одинаковы;
обмен теплом и механической энергией с внешней
средой отсутствует.
Энергия единицы массы, веса или объема
движущейся жидкости равна сумме механической и внутренней
энергии. По закону сохранения энергии в
рассматриваемом случае суммарное количество энергии остается
постоянным. При течении жидкости от одного сечения
канала к другому происходит процесс необратимого
превращения части механической энергии во
внутреннюю (тепловую). Следовательно, вдоль потока при
отсутствии подвода тепла или механической энергии
извне механическая энергия потока снижается и
соответственно увеличивается внутренняя энергия.
Работа сил вязкости, произведенная между двумя
сечениями потока и отнесенная к единице массы, веса
или объема движущейся жидкости, называется
потерями механической энергии, или гидравлическими
потерями. Если эта работа отнесена к единице веса, то
гидравлические потери называются потерями напора hw.
Обозначим давление в выбранных сечениях потока
р{ и /?2, расстояние от центров тяжести этих сечений до
произвольной плоскости сравнения Z\ и Z2, скорости в
них щ и ич.
Механическая энергия потока в начальном сечении,
отнесенная к единице веса равна zi+pj(pg) +и\/(2g)f
7*
99

о'
о'
Рис. 2.16. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для
струйки вязкой жидкости
а в конечном сечении составляет Z2+P2/(pg)+ti\((2 g).
Поэтому уравнение баланса механической энергии
между двумя сечениями (уравнение Бернулли) запишется в
следующем виде:
2 2
"i Pi и2
Р£ 2£ Pg Ч
Р\
(2.47)
Относя механическую энергию и ее потери к
единице массы и объема, соответственно получим:
8*г + Рг/9 + Ф = eh + рЦр + иЦ2 + bpjp\ (2.48)
р&*г + Pi + р4?2 = т2 + р2 + р«1/2 + bpw> (2-49)
где Apw/p и Д/?и> — работа сил вязкости, отнесенная к единице
массы и объема.
Так же как в случае течения невязкой жидкости,
уравнение Бернулли (2.47) может быть представлено
графически (рис. 2.16). Потери напора hw в этом
уравнении величина линейная, она представляет собой
разность ординат H=z+p)(pg)4'U2/l2g)9 вычисленных
100

для любых двух выбранных сечений. Линия полного
напора в данном случае уже не горизонтальна, каждая
последующая ее ордината меньше предыдущей на
величину, равную потерям напора hw. Потери напора,
отнесенные к единице длины между рассматриваемыми
сечениями, называют гидравлическим уклоном:
/ = Д (г + pl(9g) + uV(2g)/Al, (2.50)
где А/ — расстояние между рассматриваемыми сечениями.
Пьезометрическим уклоном называют отношение
*п = Д[г + р/(Р£)]/Д/. (2.51)
Гидравлический уклон всегда меньше нуля;
пьезометрический уклон может быть как отрицательным, так
и положительным.
§17. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
Применение уравнения Бернулли к потоку вязкой
жидкости становится возможным при соблюдении
следующего условия: течение жидкости в рассматриваемых
сечениях должно быть плавно изменяющимся.
Напомним, что при плавно изменяющемся движении
нормальные (по отношению к вектору скорости) составляющие
ускорения любой жидкости частицы должны быть
пренебрежимо малыми по сравнению с их продольными
составляющими. При этом живые сечения потока должны
быть либо плоскими, либо круглоцилиндрическими
поверхностями, а распределение гидродинамического
давления по вертикали должно подчиняться
гидростатическому закону.
Полная механическая энергия потока в выбранном
сечении определяется суммой механической энергии всех
элементарных струек. Для любой элементарной струйки
можно записать:
dE = (gz + p/p + u2/2)pud(o, (2.52)
где dco — площадь живого сечения элементарной струйки.
Интегрируя выражение (2.52) по всей площади
живого сечения со, получим полную энергию потока в этом
сечении:
Е=1{бЕ= f(gz+/?/p + «2/2)pHdco. (2.53)
О) 0)
101'

Рассмотрим отдельно потенциальную и кинетическую
энергию потока. Потенциальная энергия
EB = $(gz + pIp)pud®, (2.54)
а поскольку при плавно изменяющемся движении
сумма gz-\-p/p постоянна для всех точек сечения,
£п = igz + pip) J padco = (gz + pip) pQ, (2.55)
(0
где Q — расход жидкости.
Потенциальная энергия £п, отнесенная к единице
массы, будет равна gz-\-p/p.
Кинетическая энергия потока в рассматриваемом
сечении
EK=j-^pwdco = j-£~-da), (2.56)
О) (О
а отнесенная к единице массы
Г73
J^-Л
pwdco. (2.57)
Средняя скорость потока в данном сечении v =
= [JwdcoVco. Кинетическая энергия потока,
подсчитанная по средней скорости течения и отнесенная к
единице массы жидкости, равна v2/2. Отношение
действительной удельной кинетической энергии потока к
подсчитанной по средней скорости
а = J*w3dco/(u3cu) (2,58)
(О
называется коэффициентом кинетической энергии или
коэффициентом Кориолиса. Подсчитывая удельную
кинетическую энергию потока по средней скорости течения,
необходимо вводить коэффициент Кориолиса,
учитывающий распределение скорости течения в сечениях
потока. Относя кинетическую энергию к единице массы, веса
или объема жидкости, получим в сечении потока cct^/2,
av2/(2g), pav2/2. Коэффициент Кориолиса меняется в
достаточно широких пределах: при равенстве скоростей
во всех точках сечения потока а=1, при
параболическом распределении скоростей а=2.
102

Теперь можно написать уравнение Бернулли для
потока вязкой жидкости:
g*L + Pi/P + ai VV2 = &г + Ф + а2 VV. 2 + 4>. (2-59>
если энергия потока отнесена к единице массы;
Pi , aipi , ... ^ , а2^2 (2.60)
9g 2g pg 2g
если энергия потока отнесена к единице веса;
Р^х + Pl + pax of/2 = pgz2 + p2 + ра2 о|/2 + Apw, (2.61)
если энергия потока отнесена к единице объема.
Рассмотрим некоторые частные случаи применения
уравнения Бернулли.
1. В трубе постоянного сечения течет несжимаемая жидкость
(рис. 2.17). В сечении /—/ давление ри расстояние от центра
тяжести сечения до произвольной плоскости сравнения гь средняя
скорость течения v{\ в сечении 2—2 давление р2, расстояние от центра
тяжести сечения до плоскости сравнения z2 и средняя скорость
течения v2. Если бы в трубе текла невязкая жидкость, то в сечениях /—/
2—2 на основании уравнения Бернулли полные напоры были бы
одинаковыми, т. е.
,4- Pl 4-A , -1-Й- + А
*1 + ^+ 2g=Z>+ Pg + 2g '
В рассматриваемом случае сечение трубы постоянное,
следовательно Vi = v2i поэтому при течении невязкой жидкости в трубе
статический напор будет постоянным Zi+pi/(pg) =22+^2/(pg).
При течении реальной жидкости между сечениями /—/ и 2—2
на соответствующем отрезке трубы в потоке произойдут
гидравлические потери hw, так как в этом случае Vi = v2 и ai = a2, уравнение
(2.60) принимает вид:
гг + = z2 + 1- hw.
9g 9g
Статический напор потока уменьшился на величину потерь:
+ z2 = T^i~ rlw.
9g 9g
2. Несжимаемая жидкость течет из трубы меньшего диаметра
в трубу большего диаметра. Трубы соединены диффузором (рис.218).
Если бы в системе текла невязкая жидкость, то в сечениях трубы
до и после диффузора полный напор потока сохранялся одинаковым

Рис. 2.17. Течение
несжимаемой жидкости в трубе
постоянного сечения
Рис. 2.19. Течение
несжимаемой жидкости при сужении по-
0'
Рис. 2.18. Течение
несжимаемой жидкости
в пределах диффузора
0".
■"ч
n"
0_»
1
.
V
^
v.
\^
0"
5
CL
\г
•а
N
^
*ИГ
СП
V
т5
0
Так как скорость течения потока и2 после его расширения
меньше скорости до расширения vu то статический напор Z2+p2l(pg) за
счет роста давления увеличивается:
Р2
Р\
' + *2 = + г, + —
Р£ />£ 2£
2£
При течении реальной жидкости в диффузоре между сечениями
потока 1—1 и 2—2 возникают гидравлические потери hw.
Статический напор после расширения потока при ai = a2=J в
сечении 2—2 будет:.
Pi
+ 22 =
Pg Pg
*i +
*g 2g
104

Ро
Рис. 2.20. Обтекание
цилиндрического тела потоком жидкости
Рис. 2.21. Трубка Пито—Прандтля
"ел
см
ем
хг
ь
\ -у00 '*
1
1
>
Ш
|
i
*
а'чг \ '
£
Давление в расширенном сечении будет возрастать за счет
уменьшения скоростного напора v22/(2g)<v\/(2g). Наличие
гидравлических потерь будет уменьшать интенсивность возрастания
давления в расширенном сечении диффузора по сравнению с течением
невязкой жидкости.
3. Из трубопровода большого диаметра несжимаемая жидкость
через конфузор поступает в трубопровод меньшего диаметра (рис.
2.19).
Скоростной напор в узком сечении конфузора больше, чем на
входе в него v\l(2g)>v\/{2g)t Следовательно, статический напор
на выходе из конфузора будет за счет снижения давления меньше,
чем на входе. При течении реальной жидкости в конфузоре
возникают гидравлические потери, поэтому статический напор после
диффузора (в сечении 2—2) уменьшится по сравнению с тем, который
был бы при течении невязкой жидкости.
4. При обтекании цилиндрического тела потоком принимаем
скорость v0 и давление в потоке р0. Ось обтекаемого цилиндра
параллельна скорости потока; передняя часть цилиндра имеет обтекаемую
форму (рис. 2.20).
Вдоль осевой линии тока скорость течения уменьшается и
вблизи цилиндра (точка а) равна нулю. Вблизи поверхности цилиндра
(точка Ь) скорость вновь становится равной скорости потока v0.
Выберем на рассматриваемой линии тока на достаточном
удалении от обтекаемого цилиндра точку сг в которой давление р0 и
скорость Vq.
105

Напишем уравнение Бернулли для линии тока в точках с и а:
P0 + pv20/2 = pa + pv2j2.
Так как va=0, давление в точке а будет: pa = pQ + pvf)/2y т. е.
равно сумме динамического и статического давлений.
Применим уравнение Бернулли для линии тока в точках cub:
где vb = v0.
Следовательно, в точке b давление равно давлению в потоке
рь=Ро-
Если из точек а и b с помощью выполненных внутри
обтекаемого цилиндра каналов и соединительных трубок, заполненных той
же жидкостью, передать давление дифференциальному манометру
(см. гл. 1), то последний зарегистрирует динамическое давление
pa—p& = pi>o/2.
По известному динамическому давлению легко определить
скорость течения потока. Прибор для определения скорости течения,
работающий по описанной схеме, называется трубкой Пито —
Прандтля (рис. 2.21).
§18. Уравнение изменения количества движения
Механика располагает двумя независимыми
законами: сохранения энергии (в гидравлике — уравнение
Бернулли) и сохранения импульса внешних сил и
количества движения.
Применение закона сохранения импульса сил и
количества движения к задачам гидравлики требует
соблюдения ряда условий. Будем считать движение жидкости
установившимся. Рассматриваемый поток (рис. 2.22)
ограничен стенками канала и двумя плоскими
сечениями, распределение давлений в которых
гидростатическое. Рассматриваемые сечения нормальны к оси потока
(эти сечения часто называют контрольными).
Изолируем массу жидкости, находящуюся между этими
сечениями. В сечении 1—/ действует сила давления,
направленная внутрь изолированной массы жидкости, Picoi, в
сечении 2—2— сила /?2о>2 (где pi и р2— давления в>.
центре тяжести сечений; o>i и сог — площади сечений).
На элементарной площадке стенок канала действует
сила давления pds и сила вязкого трения жидкости ids
(где р и т — местные давление и напряжение трения на
стенках канала). Проекция этих сил на ось движения
равна pdscosa-fxdssina (где a — угол наклона
элемента стенки канала к его оси).
106

Суммарная проекция внешних сил, действующих на
изолированную массу жидкости, равна
[ р cos ads -f-1 т sin ads -f px а>х — р2 co2.
s s
Примем, что ось канала наклонена под углом 8 к
горизонту. Проекция веса жидкости, заключенной между
выбранными сечениями, равна gpWs'mQ (где W —
объем выделенной массы жидкости). Проекция всех сил,
действующих на изолированную массу, равна
Г р cos ads + J т sin ads + рг щ — р2 со2 — pgW sin G.
s s
Распределение скорости в контрольных сечениях
может оказаться неравномерным. Через
элементарную площадку dco контрольной поверхности з единицу
времени переносится количество движения, равное
pw2dw (где и — местная скорость течения). Суммарное
количество движения равно J p«2dco; средняя скорость
со
в контрольном сечении v= J wdo/co. Количество движе-
ния, подсчитанное по средней скорости, равно ри'2со.
Отношение количества движения, действительно
переносимого потоком, к количеству движения,
определенного по средней скорости течения, ао называется
коэффициентом Буссинеска:
a0=§u*a>/(v*<o). (2.62)
со
Рис. 2.22. К выводу уравнения ко- Рис. 2.23. К определению пере-
личества движения пада давления на участке
внезапного расширения
107

В единицу времени при установившемся движении
изменение количества движения составит:
Р (ао2 4 Щ - «о! о? ©i) = pQ (oc02 v2 - a01 vx),
где Vi и у2 — средние скорости течения в сечениях 1—/ и 2—2\ Q —
расход жидкости; a0i и а02 — коэффициенты Буссинеска.
Импульс действующих сил должен равняться
изменению количества движения массы, на которую данный
импульс действует. Следовательно, при течении
жидкости в канале с учетом принятых условий соблюдается
равенство:
[ р cos ads — f т sin ads -f- р±щ — p2 co2 —
s s
— pgW sin 9 = a02 pQv2 — a01 pQvt. (2.63)
Следует учесть, что гидравлические потери
определяются действием напряжений вязкости как на твердой
границе, так и в толще потока. Порядок их величин в
большинстве случаев такой же, что и порядки
скоростного и статического напоров. В то же время в
уравнение изменения количества движения входят силы
трения, определяемые только напряжениями вязкости на
стенках. Поэтому при одновременном применении
уравнений Бернулли и изменения количества движения в
первом из них следует всегда учитывать гидравлические
потери, а во втором часто удается пренебречь действием
сил трения.
Приведем частные случаи использования уравнения
изменения количества движения.
1. Определим перепад давлений в жидкости, перетекающей
из трубы малого диаметра в трубу большого диаметра (рис. 2.23).
Трубы расположены горизонтально. При поступлении в
расширенное сечение происходит изменение структуры потока. На
некотором расстоянии от входа поток жидкости выравнивается и
продолжает течь с меньшей постоянной скоростью.
Выберем в широкой части трубы два контрольных сечения:
одно— непосредственно у расширения (сечение 1—/), другое там, где
скорости потока выравнялись (сечение 2—2). Применим уравнение
изменения количества движения к массе жидкости, движущейся
между контрольными сечениями потока /—/ и 2—2 в единицу
времени. Принимаем, что давления в любых точках сечения потока 1—/
и 2—2 р[ и /?2, расход жидкости Q и ее плотность р; средняя ско*
рость течения жидкости в сечении /—/ vu а в сечении 2—2 v2. На-
108

пряжениями вязкости пренебрегаем по сравнению с давлением. Си*
ла веса на ось трубы не проектируется (a0i = a02=l).
Количество движения массы жидкости, протекающей в единицу
времени, будет:
через сечение 1—/
J pVl dq = pvt j 6q = pv± Q;
через сечение 2—2
§pv2dq = pv2Q.
CO*
Импульс сил, действующих в сечениях 1—/ и 2—2,
j P2dc02 — J* Pldwl = P2J dC02-- Pl J dCDi-
В нашем случае площадь сечений потока 1—/ и 2—2 одинакова
и равна со, поэтому импульс сил
J р2 dco — J px dco = (p2 — px) со.
O) (0
Следовательно, в рассматриваемом случае
pQf i — pQf 2 = (Р2 — Pi)«-
Поскольку расход жидкости Q=u2co, уравнение количества
движения принимает вид:
pf2(yi — »г) = Р2 — Pi-
По закону сплошности потока
v2 = vx щ1(а2.
Перепад давлений между сечениями 1—/ и 2—2
При постоянном скоростном напоре потока до его расширения
перепад давлений зависит от отношения площадей coi/co2, которое
может изменяться от единицы при со == const, до нуля при со2->оо
(истечение из трубы в атмосферу). В этих случаях р2—pi = 0, т.е.
Pl = P2-
Повышение давления в расширенном сечении потока имеет
максимальное значение, когда coi/co2=0,5.
2. Определим распределение давления в трубе постоянного
сечения соо, если на длине /0 происходит равномерный отбор жидкости.
Труба расположена горизонтально.
Проведем контрольное сечение 1—/ там, где начинается отбор
жидкости, а сечение 2—2 на расстоянии x<k от первого сечения.
Суммарный отбор жидкости меньше расхода в трубе до первого
сечения Qo<Q. Расход жидкости в сечении трубы 2—2 (рис. 2.24)
Qx=*Q—Qox/Iq. Количество движения массы жидкости, протекающей
через сечение 1—/, равно pv\Q (где i>i = Q/coo— скорость потока в
этом сечении), принимаем aoi = ao2=l.
109

1
"
Q a
.
2 j
1
|
' to
'■ 1— '
•7
fl-fo
Рис. 2.24. К выводу закона
распределения давления при равномерном
отборе жидкости по длине трубы
1
Количество движения массы жидкости в сечении 2—2
J pv2dq2 = pv21 d<72 = P^2 (Q ~ Qo x/l0),
где y2 — скорость течения жидкости в сечении 2—2:
v2= {Q — QoX/l0)/(d0.
Изменение количества движения массы жидкости, протекающей
через первое и второе сечения, равно
Q2 (Q-Qox/l0)*
Р — р .
Импульс внешних сил определяется давлениями pi и р2 в
первом и втором сечениях трубы и силой трения на стенках трубы
между рассматриваемыми сечениями. Напряжения трения на стенках
обозначим буквой т и диаметр трубы D.
Сила трения на стенках трубы составляет xnDx. Импульс сил
равен: (р2—pi)co0+ra£>x.
В проекции на ось трубы уравнение количества движения будет:
Q2 (Q-QoX/l0)*
Р — Р = (Рг — Pi) «о + тлОх.
Перепад давлений между рассматриваемыми сечениями
P2 — Pi
Q2
(Q-Qoxflo)2
4т
ю;
'о
D
х.
В первом приближении будем пренебрегать силой трения о
стенки трубы по сравнению с силой, связанной с перепадом давлений,
Тогда
Q2 (Q-QqX/Iq)2 0 QQq x
t\\i «\i a\i U
% / х \а
con V 'о I
Обозначим отношение количества отбираемой жидкости к
количеству подаваемой a=Q0/Q. Уравнение количества двлження
можно записать в виде: .-!■-....■
ПО

Рис. 2.25. Схема всасывания
воздуха из атмосферы
v--o
9Q2
KHiH-*-*-
где Q/(o0=£>i — скорость потока в трубе до начала отбора
жидкости.
Отношение перепада давления к динамическому давлению в
трубе
(p2-p1)/(K/2)=2[2ia-(i)2a2]-
Величины х/lo и а могут изменяться в пределах от нуля до
единицы. Их произведение ах/10 изменяется в этих же пределах. Если
эта величина равна нулю, то pi=/?2, если единице, то отношение
перепада давлений к динамическому давлению в трубе максимальное
и равно 2. Это значит, что весь расход отбирается на длине х.
Рассмотрим пример совместного использования
уравнений сохранения энергии (Бернулли) и изменения
количества движения.
Через торец трубы всасывается воздух из атмосферы. Поток
отрывается от стенок трубы и струя воздуха, поступающего в трубу,
сжимается (рис. 2.25). Требуется определить площадь сжатого
сечения потока.
Проведем контрольное сечение 1—/ внутри трубы в зоне
максимального сжатия струи. Вторую контрольную поверхность 2 в виде
шара проведем, как это показано на рис. 2.25. При удалении от
входа в трубу скорость течения жидкости через эту поверхность будет
стремиться к нулю, а давление вдоль нее — к атмосферному рат.
Количество движения массы воздуха на поверхности 2 равно
нулю. В суженном сечении скорость течения струи воздуха
обозначаем Vc,- расход воздуха Q. Тогда количество движения в этом
сечении равно pQfc. Изменение количества движения массы воздуха
между сечениями 2—2 и 1—1 в проекции на ось трубы pvcQ—0 =
= pvcQ.
Вдоль контрольной поверхности 2 действует атмосферное
Давление. Это давление вдоль рассматриваемой поверхности статически
уравновесится везде, кроме площади ю (площади сечения трубы).
111

Так как в трубе в контрольном сечении /—/ давление равно рс, то
импульс сил, действующих на рассматриваемые поверхности, равен
(Рлт— Рс)со. Уравнение количества движения будет следующим:
PQ^c = (Рат — Рс) <*>•
Поскольку расход Q = uccoc, уравнение примет вид:
Рг,с»с = (РаТ-Рс)и-
Назовем отношение сечения струи к площади сечения трубы
е=сос/о). Тогда
е = (Рат-Рс)/Ю-
Применяя уравнение Бернулли, например, к линии тока ab
(см. рис. 2.25), получим:
Рс/р + ^/Р = /?ат/2 + 0-
Следовательно, рат—Рс = р^с/2, или площадь сечения струи в
2 раза меньше площади сечения трубы (е = 0,5).
§ 19. Распространение возмущений в жидкой и газовой
среде, вызванных местным изменением давления
Рассмотрим длинную трубу постоянного сечения.
Резким перемещением поршня создадим в жидкости,
наполняющей трубу, местное повышение давления. В
течение короткого промежутка времени, соответствующего
импульсу, переданному поршнем жидкости, давление
вдоль трубы распределится, как это показано на рис.
2.26. Непосредственно за поршнем в точке а давление
будет максимальным ри затем будет уменьшаться и в
точке Ь будет равным давлению в еще невозмущенной
массе ро. Чем больше давление ри тем быстрее будет
перемещаться вдоль трубы возмущение, вызванное
перемещением поршня. Поэтому в течение короткого
промежутка времени кривая распределения давлений
становится все круче и в конце концов можно будет считать,
что фронт волны давления — вертикальная плоскость.
Это значит, что если в еще невозмущенной массе
жидкости давление равно р0, то при подходе фронта волньгоно
возрастает скачком до давления р{ (рис. 2.27). Приняв
схему скачкообразного изменения давления при
продвижении фронта волны давления вдоль трубы, определим
скорость ее распространения. Допустим, что в момент
времени / фронт волны находился в сечении 1—/ и в
течение времени /+А/ переместился в сечение 2—2.
Давление в невозмущенной жидкости было ро и ее плотность
112

a •&
Рис. 2.26. К определению
скорости распространения
возмущения, вызванного местным
повышением давления
JLLLA
Pi
fii
1Г
|2
'/S/////S/////// ///.*
I!?-
Рис. 2.27. К определению
скорости
распространения фронта волны при
изменении давления
р0. После прохождения фронта волны давление стало р\
и плотность массы жидкости рь В объеме между
сечениями 1—1 и 2—2 в течение времени At масса
жидкости увеличилась на a>(pi—po)As (где As — расстояние
между сечениями 1—1 и 2—2, т. е. путь фронта волны
давления в течение времени At). Следовательно,
As/At==a (где а — скорость перемещения фронта волны
или скорость распространения в массе жидкости
возникшего возмущения). Для изменения в данном объеме
массы необходимо, чтобы вслед за движением фронта
волны через сечение 1—1 в объем, ограниченный
сечениями /—/ и 2—2, поступила дополнительная масса
жидкости ay0G)piA£ (где ш0 — скорость течения
жидкости, движущейся вслед за фронтом продвижения волны).
Условие сплошности требует, чтобы w0(up\At= (р4—ро) X
XwAs. Или же скорость ay0=a(pi—po)/pi-
При прохождении фронта волны от сечения /—/ до
сечения 2—2 масса жидкости, равная p0coAs, будучи
неподвижной, когда фронт волны находится в сечении
/_д приобретает скорость w0y когда фронт волны
оказывается в сечении 2—2, т. е. изменение количества
движения этой массы в период времени At равно p0o)AsX
Х(ш0—0). Импульс сил, действовавших на эту массу,
составляет (р\—Ро)соД/. Следовательно,
(Pi — Ро) At = р0 Asw0 = Ро Asa (рх — р0) /рх. (2.64)
Поскольку As/A/= a, получим, что скорость
распространения возмущения в жидкости
»■/£?
— Ро) Pi
Ро) Ро
8-626
(2.65)
ИЗ

Звуковые колебания вызываются давлением малой
амплитуды, т. е. очень малыми изменениями давлений и
плотности. Поэтому при оценке скорости
распространения звука можно принимать, что (р\—ро)/(р\—Ро) =
= dp/dp и pi/po~l, и подсчитывать ее пользуясь
формулой
а = Kdp/dp . (2.66)
Рассматривая скорость распространения
возмущений, возникающих в газовой среде, следует различать
два случая.
Первый случай, когда в среде распространяются
колебания давлений малой амплитуды. Это — звуковые
колебания. Здесь можно допустить отсутствие подвода
тепла извне и считать рассматриваемый процесс
адиабатическим. Тогда зависимость плотности газа от
давления будет: p/pk = const. Малые колебания давления
приведут к малым изменениям плотности
—Г — k k .. dp = 0 или—-=fc—,
р* р'г+1 dp p
откуда скорость распространения звука в газовой среде
а^Ук^/р. (2.67)
Второй случай — распространение колебаний
давления конечной амплитуды. Эти волны называются
ударными. Скорость распространения фронта ударных волн,
как это видно из формулы (2.67), больше скорости
распространения звуковых колебаний, так как отношение
плотности за фронтом волны больше плотности
невозмущенной среды.
Определим теперь скорость распространения звука в
жидкой среде, являющейся упругим телом. Зависимость
приращения давления Ар от упругого изменения объема
W на AW подчиняется закону Гука: Ар=—K&W/W. (где
К — модуль упругости жидкости).
Масса жидкости в объеме W равна m = pW. При
изменении объема этой же массы на Д W ее плотность
изменится на Ар, т. е. AWp+^Ap = 0, или же AW/W=
= —Др/р. Следовательно, Др=/СДр/р, и скорость рас*
пространения звука в жидкости будет:
с=,Ук/^. (2.68)
114

В жидкости часто возникают возмущения конечной
амплитуды. Модуль упругости жидкостей, как правило,
достаточно велик, поэтому отношение плотностей
жидкости перед и за фронтом волны давления мало
меняется. В результате отношение pi/po близко к единице, и
фронт волны давления даже при достаточно больших
амплитудах давления распространяется в жидкости со
скоростью звука. Так, например, модуль упругости воды
/С=2-105 МПа. Допустим, что в трубе, наполненной
водой, распространяется возмущение, представляющее
собой прирост давления Др = 2 МПа. В этом случае
относительное изменение плотности
Ар/р = Ир/К = 2/(2-105) =0,00001,
т. е. отношение pi/po можно считать равным единице.
§ 20. Элементы газовой динамики
Течение газов (сжимаемых жидкостей)
рассматривается с учетом ряда условий. Принимается, что газ
лишен вязкости или влияние вязкости настолько мало, что
им можно пренебречь. К массе газа не подводится
тепло из окружающей среды и отсутствует обмен
механической энергией. Поэтому процессы, сопутствующие
течению газа, являются адиабатическими. Кроме того, в
живых сечения потока распределение давления и скоростей
течения принимается равномерным. Такая постановка
задачи о течении газа называется одномерной.
1. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В СУЖАЮЩЕМСЯ КАНАЛЕ
Допустим, что газ поступает в сужающийся канал
из ресивера, в котором скорость равна нулю, а
температура и давление Т0 и р0 (рис. 2.28). В любом сечении
канала будет соблюдаться равенство
v42 + cpT = cpT0,
где v — средняя скорость сечения газа в данном сечении; Т — его
температура.
Скорость течения.газа в данном сечении
и = V2cp (7\ - Т).
8* 115

Рис. 2.28. Течение газа в
сужающемся канале
Рис. 2.29. Изменение
произведения py=Af/co в зависимости
от отношения р/р0
к
jw«n
Температура Г0 = (ро/ро) (1/Я) и
СрРо
Ро#
Ср
Cp~CV
k
Ро
Ро
Ро
Ср/Су
Ср1сУ~ 1
Ро
Ро
Ср Т0 =■
6--1 р0
При течении газа отношение значений температуры в
данном сечении канала и в ресивере будет:
Т _ р Ро ^
Т0 Ро Р
Поскольку течение газа адиабатическое, то
Ро/Ро = Р/Р" и Т/Т0 = (plp^l)ik.
Скорость течения потока газа в сечении, где
давление стало равным р, будет:
/'-^-tH-tri
(2.69)
Это выражение называют уравнением Сен-Венана.
Скорость течения газа зависит от начальных условий,
отношения po/po=RT0 и отношения давления в данном
сечении канала р к начальному давлению ро. Когда
давление р в сечении канала становится равным нулю,
скорость течения приобретает максимальное (конечное)
значение; когда давление в сечении становится равным
начальному, течение газа в канале прекращается. При
изменении отношения р/р0 от 1 до 0 скорость течения в
данном сечении канала изменяется от нуля до
максимума.
116

Плотность газа вдоль канала будет изменяться в
зависимости от давлений в последовательных сечениях.
Плотность газа при адиабатическом течении будет
изменяться по закону
plpk = Ро/Ро или Р = Р0 (р'Ро)1/к-
При р = 0 плотность газа стремится к нулю, при р =
=ро — к начальной плотности. Вдоль рассматриваемого
канала на основании закона сплошности сохраняется
постоянство массового расхода газа: m = upcD = const
Рассмотрим, как изменяется произведение скорости
течения и плотности в зависимости от отношения
давления в данном сечении к начальному:
Когда р/р0=0 произведение ру = 0; когда р/Ро=1,
произведение pv также равно нулю. При изменении
отношений давлений р/р0 от нуля до единицы значение
произведения pv проходит через максимум.
Давление, при котором произведение pv имеет
максимальное значение, называется критическим и
обозначается рк. Отношение давлений рк/Ро, соответствующее
максимуму функции pv, составляет:
P*tPo = Wlk+mknk-l)- (2-7D
При показателе адиабаты k = 1,41 критическое
отношение давлений рк/р0=0,528.
Вдоль сужающегося канала, как это уже
указывалось, сохраняется постоянство массового расхода газа.
При постепенном сужении канала, что соответствует
уменьшению площади его сечения со, должно
увеличиваться значение произведения pv:
pv — m/co = const/со.
Следовательно, вдоль канала уменьшается
отношение р/ро, т. е. давление снижается. Отношение р/р0
вдоль канала по мере его сужения будет все больше
приближаться к критическому отношению рк/Ро (рис.
2.29, ветвь ab). Когда отношение р/ро достигнет
критического значения, при дальнейшем сужении канала
давление снижаться не будет. Произведение скорости
течения и плотности представляет собой массовый расход
газа на единицу площади сечения канала. Скорость те-
117

чения газа в соответствии с уравнением (2.69) имеет
предел, в то время как его плотность может стремиться
к нулю. Значит, объемы единицы массы газа могут
достигать очень больших значений. Канал уже не может
пропускать удельный расход, больший критического, и
на выходе из него устанавливается давление, равное
критическому рк.
До тех пор пока давление среды рь в которую
происходит истечение газа, больше критического рк, т. е,
соблюдается условие Pi>pK, в конечном сечении канала
устанавливается давление окружающей среды р\. Когда
давление в среде, в которую происходит истечение,
становится меньшим критического, т. е. р\<рк> в выходном
сечении канала устанавливается критическое давление
рю не зависящее от давления р\. Если в выходном
сечении канала устанавливается критическое давление рк,
то скорость течения газа
V k- 1 р0 \ k+\ ) V k+l ро l
Плотность газа при критическом давлении
Pk = Po(PkW//j = Po[2/(^+1)J1/(^1).
Критическое давление
Рк = Ро[2/№+1)]*/(А~1}.
Отношение
Ро _ Ри k+l
Ро Рк 2
Следовательно, скорость течения газа в сечении
сужающегося канала, где устанавливается критическое
давление,.
Ъ = KWftt-*. (2-73)
где а — скорость звука.
Таким образом, если истечение газа из сужающегося
канала происходит в среду с давлением, меньшим
критического, то скорость в выходном сечении канала не
будет зависеть от давления окружающей среды и будет
равна скорости звука. Если давление больше критиче-
118

ского, то скорость истечения газа будет меньше
скорости звука, а ее значение будет зависеть от
противодавления. Получить в сужающемся канале скорость,
большую звуковой, невозможно.
2. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В РАСШИРЯЮЩЕМСЯ КАНАЛЕ. СОПЛО ЛАВАЛЯ
Зависимость удельного (отнесенного к единице
площади сечения канала) массового расхода газа от
относительного давления р/р0 в данном сечении потока
выражается формулой (2.70). Если отношение рк/Ро
становится меньше критического, то вместе с его снижением
уменьшается и значение удельного массового расхода
потока газа pv (см. рис. 2.29).
Вдоль канала, стенки которого ограничивают поток
газа, должно удовлетворяться условие сплошности. Если
истечение газа осуществляется в среду с давлением р2>
меньшим критического, то для того, чтобы на выходе из
канала установилось это давление, должно
удовлетворяться уСЛОВИе р2^2(02=РкУкО)к.
В рассматриваемом сечении давление среды рг,
плотность газа р2 и скорость потока v2 известны, так как они
зависят только от начальных параметров газа и
давления р2 в этом сечении канала. Как уже указывалось, в
таком сечении удельный массовый расход газа p2i>2
меньше, чем в критическом, поэтому площадь
рассматриваемого сечения должна быть больше площади мини-
мального сечения канала сок:
Для того чтобы в выходном сечении канала
устанавливалось давление окружающей среды, меньшее
критического, канал должен постепенно расширяться.
Скорость истечения газа в окружающую среду будет
больше звуковой, так как давление, устанавливающееся в
выходном сечении канала р2, меньше критического. Для
получения скорости истечения газа, большей скорости
звука, необходимо сначала в сужающемся канале
снизить давление до критического, а затем в
расширяющемся канале дополнительно снизить давление от
критического до давления окружающей среды. Подобный канал,
называющийся соплом Лаваля, показан на рис. 2.30.
Расширение газа сначала в сужающемся, а затем в
119

9
v >a
Рис. 2.30. Сопло Лаваля
Рис. 2.31. Фронт ударной
волны перед телом, движущимся
со сверхзвуковой скоростью.
Прямой скачок уплотнения
расширяющемся канале для увеличения скорости
потока от меньшей скорости звука до сверхзвуковой
осуществляется со сравнительно малыми гидравлическими
потерями. Принципиально, можно представить обратный
процесс, когда поток движущийся со сверхзвуковой
скоростью, сначала тормозится до критической скорости
при сужении канала, а затем продолжает тормозиться
до скорости, меньшей звуковой, при последующем
расширении канала (обратное сопло Лаваля). В
действительности этот процесс не удается осуществить
постепенным увеличением давления.
3. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
При обтекании тела потоком жидкости или газа
перед ним образуется зона торможения. В этой области
происходит снижение скорости потока и повышение
давления. При обтекании тела потоком газа местное
повышение давления, связанное с торможением, имеет'
конечное значение, существенно превышающее звуковое?
давление. Возмущения, вызванные в газовой среде
повышением давления в любой части обтекаемого тела,
распространяются со скоростью, большей скорости
звука. Если тело движется со скоростью, большей скорости .
звука, то перед ним возникает устойчивая ударная
волна (рис. 2.31).
120 '

Фронт распространения ударной волны движется с
той же скорстью, как и тело. Удобнее рассматривать
обращенное движение, т. е. считать, что обтекаемое тело
неподвижно и неподвижен фронт ударной волны. Поток,
обтекающий тело, движется со скоростью, большей
скорости звука, до фронта ударной волны, за фронтом
ударной волны наблюдается резкое изменение
параметров потока. Скорость становится меньше звуковой,
давление, плотность газа и его температура возрастают.
Параметры адиабатически заторможенного потока,
обтекающего рассматриваемое тело, а именно
температура Г0, давление /?0 и плотность газа р0, когда скорость
потока v0 становится равной нулю, известны.
Полный запас удельной энергии рассматриваемого
потока равен cp7V При течении потока, обладающего
таким запасом удельной энергии, со скоростью звука
давление в нем будет:
pK = Po[2/(/2+l)](^1)/fe.
Соответствующая критическому давлению
температура потока TK = T0-2/(k-\-l). Скорость звука, с которой
может двигаться рассматриваемый поток,
а = VVp" = VkRT = V kRT0-2/(k+\) .
Запас полной удельной энергии потока может быть
выражен через скорость звука а:
Перед фронтом ударной волны принимаем: давление
Рь плотность рь температура Т\ и скорость потока газа
V\\ за фронтом волны — р2, рг, Т2, v2. Поток газа до и
после скачка уплотнения является установившимся.
Условие сплошности потока перед скачком и после него
для массового расхода газа, отнесенного к единице
площади поверхности фронта ударной волны, i>ipi = i>2P2« .
Так как перед и за фронтом волны действуют силы
давления, импульс сил, действующих на массу,
протекающую через единичную поверхность фронта волны в
единицу времени, равен р2-—Р\. Соответствующее
изменение количества движения рассматриваемой массы
равно piUx—p2U2. Следовательно,
Pi + P>i = p2 + p2^. (2.74)
121 (

I
Запас удельной энергии потока газа перед и после
фронта ударной волны Одинаков. Это происходит
потому, что к потоку по пути не подводится тепло извне.
Следовательно,
<* 4
+ ср Ti = —^~ + СрТ2 = ср Т0 ■■
a2(k+l)
2 . -p-i 2 . -v-i. -р-« 2(ft-l)
Из уравнения газового состояния следует:
г !__а. „ г L_£s-
1 1 = - +— И У о = .
Я Р» Я Р2
Кроме того, R = cp—cv. Таким образом,
(2.75)
Л k Pl 4
2 k — 1 pf 2
откуда:
Pi я2
Pi 2
P2 a~
P2 = 2
■ -1 ■
k
+ k-i
a
f + i
k
±z
P2 «2 k+l
p2 2 fe — 1
2
k-l Vl
k 2 '
k—\ 4
k 2 '
(2.76)
— ; (2.77)
(2.78)
Разделив уравнение (2.77) на v\ и уравнение (2.78)
на v2> получим:
r+l k—\
Pl
Ч
Pi^i 2^ j £
P2 A? 4+1
P2 y2 2У2
Из уравнений сплои
получаем:
k
ности и
Р2 ^2 (>1 *1
Следовательно, '
a2 k+\ i\ — v2 k—\
2 k vtv2 2k
Поскольку и\фи2у имеем:
n
tv2 = a*.
k 2 '
& — 1 t/2
Л 2
количества движения
-c/2.
"" (yi — v2) = yi ~ у2.(2.79)
(2.80)
Из уравнения (2.80) следует, что произведение
скоростей потока до и послр скачка уплотнения равно
квадрату скорости звука. Если известна сверхзвуковая ско-
122

рость потока перед скачком уплотнения, то скорость
потока после скачка имеет вполне определенное
значение. Наличие скачка уплотнения связано с
гидравлическими потерями. Запас удельной механической энергии
потока перед скачком уплотнения равен p\/(p\g) +
+ ^i/(2g), а после него составляет P2/(p2g)+vl/(2g),
Потери в скачке уплотнения
ДЛ„, = —^ —^- +
«*
ч
k —
А
ч
1
Р2 v2i-4
Pig 92 g 2g
v1 — 4 vl — 4 i
(2-81)
k 2g 2g k
Разность механической энергии до и после скачка в
виде тепла подводится к массе газа. Таким образом,
хотя и нет подвода тепла к потоку газа из внешней среды,
происходит перераспределение запаса удельной энергии
и после скачка уплотнения запас механической энергии
необратимо снижается. Зависимость между плотностью
и давлением газа до и после скачка уплотнения уже не
адиабатическая.
Определим зависимость между плотностью газа и
давлением после и до скачка уплотнения. Решая
совместно уравнения (2.77) и (2.78), получим, что отношение
плотности после и до скачка уплотнения
р2 __ P2\{(k+\)-(k-\)vVa2} №+1)-(б-i)^
Рх ~~ Pl [(*'■+1) -(£ — 1) i|/a2] ~~(Л+1) —(*—l)02/fli"
(2.82)
С учетом уравнения сплошности для потока газа
окончательно получаем искомую зависимость:
Р2 = (fe-l) + (*+l)p2/Pi (2 83)
ft (k+l) + (k-\)P2/Pl
Эта зависимость называется ударной адиабатой, или
адиабатой Гюгонио.
Как было показано, скачок уплотнения связан с
гидравлическими потерями, происходящими в очень узкой
области ширины фронта ударной волны. Вдоль
плоскости фронта волны допускается равномерное
распределение скорости потока, поэтому частные производные
ди/ду вдоль фронта равны нулю. Это приводит к выводу
о том, что касательные составляющие вязкого
напряжения также равны нулю. Частная производная скорости
i23

в направлении, нормальном к фронту волны, велика, так
как на узком участке ширины фронта происходит резкое
снижение скорости. Это указывает на существенные
возникающие нормальные напряжения вязкости,
которые и являются причиной появления гидравлических
потерь в данном случае.
Примером образования скачка уплотнения может
Служить истечение газа из сужающегося канала
(сопла) в среду, находящуюся под давлением, меньшим
критического. Струя газа вытекает из сопла под
критическим давлением. В среде, окружающей сопло, масса
газа расширяется, скорость его течения увеличивается
и становится больше скорости звука; затем после
расширения струя тормозится. Торможение может
осуществляться, как это указывалось, только с образованием
скачка уплотнения. В рассматриваемой массе струи
газа, плотность и давление становится большими, чем в
окружающей среде. Это ведет снова к расширению
массы газа и образованию нового скачка уплотнения. Струя,
вытекающая из сопла в среду с давлением, меньшим
критического, будет состоять из ряда скачков
уплотнения. В каждом скачке уплотнения происходят
гидравлические потери. Запас энергии струи от одного скачка к
другому уменьшается до тех пор, пока поток полностью
не смешивается с массой окружающей среды.
4. КОСОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
При обтекании тупого угла, образованного двумя
плоскостями, отклонение потока газа от
первоначального направления сопровождается повышением давления
вдоль стенки.
Если скорость течения сверхзвуковая, то торможение
потока произойдет скачком вдоль плоскости АС под
углом р к первоначальному направлению течения (рис.
2.32). Вдоль плоскости АС как со стороны набегающего,
так и со стороны заторможенного потока распределение
давления равномерное. Следовательно, изменение
количества движения массы газа происходит только в
нормальном направлении к плоскости АС. Касательные со-
ставяющие скорости течения газа вдоль плоскости АС
до и после торможения равны друг другу vit = v2t — vt.
В направлении, нормальном к плоскости АС,
давление изменяется от рх перед плоскостью до давления р2
124

Рис. 2.32. К расчету косого
скачка уплотнения
за ней. Тогда уравнение количества движения,
отнесенное к единице времени и единице поверхности
плоскости АС, напишется:
Pl + Pl^H = P2 + P2yL> (2-84)
где г1н и 1>2н — нормальные составляющие скорости течения до и
после скачка уплотнения.
Условие сплошности потока до и после его
торможения, как и прежде, имеет вид: р1^1н=Р2У2н. Температура
адиабатического торможения потока Г0, давление ро и
плотность ро для рассматриваемого потока принимаем
известными.
Уравнение сохранения энергии для
рассматриваемого случая будет:
^я + ^т , k Pl ^ vln + vh
2 + k— 1 Pi 2 +
72
p2 a* k+\
1 p2 2 k— 1
ИЛИ
v<2lu , k Pl vIh
2 /e — 1 px 2 k + 1 p2
fl2 fe+1 _ °?
~~ 2 k—\ 2
j. Из уравнения (2.77) следует, что
,'" _pi a2 'fe+1 _ °?т k—\ _ vlu k—\
Pi ~T 2 k 2 k 2 k
. J2 a2 Ь-\ __ Vh *—*___ ^ k — \
p2 ~~ 2 A: 2 & 26
(2.85)
(2.86)
(2.87)
126

Разделив уравнения (2.86) и (2.87) соответственно
на piUni и Р2^2н и вычитая из зависимости (2.86)
уравнение (2.87)гтюлучим:
Рг Pi
Р2 у2н Pi 1\к
ИЛИ
= v1H—v2Ht
a* k+l vr k-l
v1n-v2n=[- _--_—_ jX
X PlH"P2H+-^ll-faH-^), (2.88)
у1ну2н 2&
где произведение нормальных составляющих скорости
потока до и после скачка уплотнения
»1н*2н = а?--М*--1)/(* + 1). (2-89)
Касательная составляющая скорости газа перед
скачком в плоскости АС будет: t;T = ^iCOsP; нормальная
составляющая скорости UiH = £>isinp (где v\ — скорость
набегающего потока).
Для определения вектора скорости потока,
движущегося под углом р, необходимо знать угол наклона
плоскости АС к горизонту. Из рис. 2.33 следует, что
tg(P—Э) =v2JvT, или с учетом уравнения (2.89)
tg(p-e)=a2~-^y-r;12cospZKsinp). (2.90)
В скачке уплотнения при переходе через плоскость
АС происходит увеличение запаса потенциальной
энергии потока:
Pi рг k— 1 ^2н~" у1н
Pi Рг Ь 2
так как vlH>v2a и Pi/pi<p2/p2-
В косом скачке уплотнения, так же как и в прямом,
возникают гидравлические потери.
5. СВЯЗЬ МЕЖДУ СКОРОСТЯМИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
И СКОРОСТЬЮ ЗВУКА. ЧИСЛО МАХА
Существенное значение при изучении течения газа
имеет отношение скорости течения v к местной скорости
распространения звука а. Это отношение обычно
обозначают буквой М и называют числом Маха: и/а=М.
126

Примем, что начальные давление ро и плотность р0
потока газа известны. Скоростной напор в любом
сечении потока при адиабатическом течении
-^- = -* Ч^р^-ll. (2.91)
Известно также, что местная скорость
распространения звука а= V kp/p. Разделив уравнение (2.91) на
квадрат скорости звука, получим:
v \2 2 Г/ р0 \(b-\)/k и
_)=M?=___^j _1j. (2.92)
Отношение начального давления потока газа к
давлению в данном сечении
-£L-=(l + -^ M*J . (2.93)
Если число М равно единице, отношение
/> V+ 2 j 1 2 )
Следовательно, давление в данном сечении равно
критическому и скорость течения газа равна скорости
звука. Если в потоке газа устанавливается критическое
давление, то все скорости течения в нем одинаковы и
движение равномерное.
При М<1 давление, устанавливающееся в потоке
газа, больше критического, поэтому при сужении канала
давление снижается и скорость течения газа возрастает.
При расширении сечения канала давление
увеличивается и скорость течения снижается (см. рис. 2.29). Поток
газа, текущего со скоростью, меньшей звуковой, ведет
себя аналогично потоку несжимаемой жидкости.
При М>1 давление в потоке газа меньше
критического. Это значит, что поток газа не будет аналогичным
потоку несжимаемой жидкости. При увеличении сечения
канала давление будет снижаться, а скорость течения
возрастать. При этом скорости течения газа будут
больше скорости звука. Торможение потока газа при
переходе от сверхзвуковой к дозвуковой скорости течения
сопровождается скачками уплотнения и связано с суще*
ственными потерями энергии.

Глава 3. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ
§ 21. Основные свойства потенциальных течений
При течении жидкости или газа основное влияние
вязкости на распределение скоростей в потоке
сказывается непосредственно вблизи стенок каналов или
непосредственно у поверхности обтекаемого тела. В
остальной массе потока скорости течения жидкости
распределяются во многих случаях так, как если бы жидкость
была невязкой. Это значит, что твердые границы
каналов и поверхностей обтекаемых тел могут
рассматриваться в первом приближении как поверхности тока,
ограничивающие рассматриваемое течение.
Распределение скоростей в таких потоках с учетом условия
сплошности определяется формой стенок каналов или
поверхности обтекаемого тела.
Распределение скоростей течения жидкости или газа
в зависимости от геометрии границ часто удается
получить применяя законы безвихревого потенциального
течения — наиболее разработанные из разделов
гидромеханики. В настоящей главе изложены только
элементы теории потенциальных потоков, необходимые для
некоторых практических инженерных приложений.
Изложение ограничивается рассмотрением течения
несжимаемой жидкости.
Ранее было дано определение потенциального
течения жидкости. Отсутствие вращения частиц жидкости
при безвихревом течении обусловливает наличие
потенциала скорости. Динамика потенциального течения
жидкости характеризуется уравнением Лагранжа.
Рассмотрим картину потенциального течения
жидкости. Ограничимся только плоским движением. Это
значит, что в пространстве параметры потока во всех
плоскостях, параллельных выбранной плоскости координат
[хОу)} будут одинаковы. В этом случае составляющие
скорости их и иу и потенциал скорости являются
функцией только координат хну. Условием наличия
потенциала скорости для такого движения, как это было
показано в § 13, является равенство
128

Тогда потенциал скорости будет ф(лг, у), а
составляющие скорости потока
дф дф
их = —— и иу = —- .
дх ду
Из определения потенциала скорости следует:
дф ду dtp ду
их = -—; иу = -—■; с1ф = —-dx: + —- dy,
дх ду дх ду
или
dф = uxdx + Uydy, (3.2)
где d* и dy — проекции перемещения вдоль линии <р(х, у)—с.
Следовательно, в любой точке этой линии
иу1их =—dx/dy. (3.3)
Другими словами, вектор скорости течения жидкости
направлен по нормали к рассматриваемой линии. Это
означает, что семейство кривых ф(лг, у)=с в условиях
плоской задачи представляет собой живые сечения.
Представим уравнение линии тока в виде
Uxdy — uydx = 0. (3.4)
Решение уравнения (3.4) возможно при условии:
ux = dty/dy и иу =—dtyldx.
Функция -ф(л:, у) называется функцией тока, для нее
справедливо
д-ф д"ф
di|? = — <ty + — dx>
ду дх
или d\|? = ux dy — Uydx. (3.5)
Ранее говорилось (§ 13), что потенциал скорости
удовлетворяет уравнению Лапласа (уравнение
неразрывности). Функция тока также удовлетворяет
уравнению Лапласа. Действительно, из условия (3.1) следует:
dux _ duy __ д2Ц д2г|)
ду дх ~~ ду2. дх2 ~~
Сравнивая выражения для соответствующих
составляющих скорости, получим:
дф = JH>_ # _дф_ =__ Jty_
дх ду ' ду дх
Система (3.6) является аналитическим условием
взаимной ортогональности потенциала скорости и функции
9—626
129

тока. Графически связь между потенциалом скорости и
функцией тока представляет собой семейство , кривых,
пересекающихся под прямыми углами (рис. 3.1):
Ф (х*у) = cv с2, ..., сп и тр (х, у)=с[,с'29 ..., ст.
Если при построении кривых cp=const и i|? = const
принять cii=bi, что эквивалентно Дф£- = Дг|р4-, то
полученные кривые образуют гидродинамическую сетку течения
жидкости.
Приращение значения функции тока характеризует
изменение удельного расхода между соседними линиями
тока. Действительно, так как расход, проходящий
между точками /—2 (рис. 3.2), равен сумме расходов,
проходящих между точками 2—3 и /—3, можно записать:
dQ = dQx + dQy = uxdy — uydx = d^. (3.7)
При выборе функции тока и потенциала скорости
должны быть соблюдены граничные условия течения
(т. е. функции тока должны соответствовать линиям
тока, совпадающим с твердыми границами), кроме того,
должны быть соблюдены условия сплошности.
Зададимся потенциалом скорости ц = ах2—ау2 и
функцией тока ф = 2аху. Проверим ортогональность
этих функций, т. е. действительно ли их геометрическое
изображение представляет собой гидродинамическую
сетку движения жидкости:
дер dab дер Л дг|?
—— = 2ах = -— и —— =— 2ау =— —- .
дх ду ду ох
Как видим, соблюдается условие ортогональности
семейств линий тока и потенциала скорости.
Значению функции тока г[>=0 соответствуют прямые
#=0 или у=0 (рис. 3.3), представляющие собой оси
координат. Линия тока, соответствующая значению \J> =
=0 сначала следует вдоль оси х, а затем идет вдоль оси
(/.Задаваясь значениями ф=1, 2, 3, ..., получим ряд
гипербол, симметричных осям:
ху— \/а, 2/а,..., п/а.
Потенциал скорости ф=0 представляет собой
прямую под углом 45° (д;=у). Задаваясь различными
значениями ф, получим ряд парабол, представляющих собой
живые сечения рассматриваемого потока. Описанный
заданными функциями тока и потенциалом скорости поток
130

myK
myj-cj
!»К
*-*
Рис. 3.1. Гидродинамическая сетка течения жидкости
Рис. 3.2. К определению физического смысла функции тока
9*

Рис. 3.3. Обтекание прямого угла
плоским потенциальным потоком
Рис. 3.4. Обтекание цилиндра
плоскопараллельным потоком
соответствует случаю обтекания плоским потоком
прямого угла.
Рассмотрим пример обтекания твердого тела
потоком жидкости. Выберем потенциал скорости ф=—щх-\-
,+ и0а2х/(х2+у2) и функцию тока г}з=—и0у+и0а2у/(х2+
4-у2). Эти две функции представляют в плоскости
координат гидродинамическую сетку. В этом можно
убедиться взяв их частные производные. Линия тока,
определяемая значением г|з = 0, представляет собой прямую,
совпадающую с осью Ох при у = 0 и обращающуюся в
окружность радиуса а, при а2/(х2+у2) —1=0.
На рис. 3.4 показана линия тока гр=0, идущая из
оо до точки 1, в которой она раздваивается и движение
жидкости продолжается вдоль окружности до точки 2,
где линия тока опять превращается в прямую линию.
Рассматриваемое течение представляет собой безотрыв-
132

Рис. 3.5. Обтекание цилиндра
вращающимся потоком
ное обтекание цилиндра. Составляющие скорости
потока, обтекающего цилиндр:
их =
дх
=— "о +
и0а*
иу = -
2и0 а2 х2 щ
х2 + у2 ~~ (х2 + у2)%'
2и0 а2 ху
ду (х2 + у2)2
Вдоль линии тока \|э = 0 при у=0, их=—щ—uqcP/x2,
и иу=0\ при л:->оо их=—и0 и в точках / и2, когда х =
= ±а, их=0. При течении вдоль поверхности цилиндра
х=а cos G и у=а sin 0; составляющая скорости иу=
=—2ио sin 8 cos 0. Скорость вдоль линии тока у
поверхности цилиндра u = u/cos 0=—2«0 sin 0.
В точках 1 и 2 скорости равны нулю. Максимальная
скорость обтекания цилиндра будет равна 2uq при 0^==
=90° (см. рис. 3.4). Скорости вдоль поверхности
цилиндра симметричны, поэтому и давление, действующее
в симметричных точках его поверхности, одинаково.
Составляющие сил давления на поверхности цилиндра
при его обтекании потенциальным потоком
уравновешиваются. Потенциал скорости вдоль контура сечения
цилиндра изменяется в соответствии с уравнением ф=
=—2u0a sin 0, т. е. в каждой точке контура цилиндра
потенциал скорости однозначен.
Теперь рассмотрим пример потенциального потока,
отвечающий функции тока ^=klnr и потенциалу
скорости ф=&0. Линии тока потенциального течения
жидкости (рис. 3.5) представляют собой концентрические огс-
ружности. Постоянное значение потенциала скорости ф
представляется постоянством угла 0, т. е. живые сечения
.133

потока — радиусы, проведенные из центра координат
под различными углами. Линии тока рассматриваемого
течения есть окружности, и скорости течения касательны
к ним. Скорость течения
дф dqp # d0
и = -— = -— =k——,
ds ds ds
где ds — элемент длины окружности; d9/ds=l/r (здесь г — радиус
окружности данной линии тока).
Следовательно, u=k/r, или закон распределения
скоростей течения в рассматриваемом случае ur=k.
Примем, что в точке 1 (см. рис. 3.4) угол 6 = 0. Тогда
в этой точке потенциал скорости cpi=0. Обойдем
окружность, представляющую собой линию тока, и вернемся в
ту же точку /. Теперь угол 9=2я и значение потенциала
скорости ф2=2яй. Разность потенциалов скорости <рг—
—Ф1=2я&. Эта разность останется постоянной, сколько
бы раз мы не проходили окружность полностью, и не
зависит от радиуса линии тока, поскольку k = ur=const.
Можно представить себе цилиндр радиуса го, вокруг
которого происходит вращение жидкости. Скорости, а
следовательно, и давление на стенке цилиндра
постоянны, поэтому жидкость не оказывает какого-либо силового
воздействия на цилиндр.
§ 22. Циркуляция скорости. Подъемная сила.
Теорема Н. Е. Жуковского
Циркуляцией скорости называется величина,
определяемая интегралом
Г =Jacosads, (3.8)
S
где и cosa — проекция местной скорости потока на элемент длины
ds (рис. 3.6).
Проекция скорости на элемент us равна проекции
составляющих скорости их и иу, т. е. ucosads = uxdx+
,+ Uydy.
В потенциальном потоке составляющие скорости
являются частными производными потенциала скорости ср,
поэтому
dq> дф
и cos a ds = —~ dx + -— dy = dф.
дх ду
134

Рис. 3.6. К определению цир- Рис. 3.7. К определению
циркуляции скорости куляции скорости вдоль
контура, охватывающего обтекаемое
тело
Следовательно, циркуляция скорости вдоль
произвольной линии, проведенной в потоке,
Г = j* acosads= J<3ф = ф2 — Ti» (3-9)
S S
где (pi и ф2 — потенциалы скорости в конечной и начальной точках
проведенной кривой (см. рис. 3.6).
Вдоль замкнутой линии, проведенной в потоке, если
она не включает в себя какое-либо обтекаемое
жидкостью тело, циркуляция скорости равна нулю.
При обтекании контура тела потоком жидкости вдоль
этого контура может возникнуть циркуляция скорости.
В рассмотренном случае обтекания цилиндра
вращающимся потенциальным потоком циркуляция скорости
вокруг него равна произведению длины окружности
радиуса г на скорость и:
T = 2nru = 2nk. (3.10)
Случай, когда при обтекании тела потоком
циркуляция скорости не возникает, рассматривался при анализе
обтекания цилиндра. Если при обтекании тела
потенциальным потоком жидкости возникает циркуляция, то
вдоль любой замкнутой линии, охватывающей
обтекаемое тело, возникает циркуляция такой же интенсивности
(рис. 3.7).
Вдоль замкнутой линии l—a—b—2—3—l
циркуляция скорости равна, как это было показано, нулю.
Циркуляция скорости вдоль линии 1—3—2 равна сумме
циркуляции скорости вдоль линии 1—а—с—Ь—2\ вдоль
линий 2—4—1 — сумме циркуляции вдоль линий 1—а—
135

d—b—2. Циркуляции скорости вдоль замкнутой кривой
суммируются в одном направлении, поэтому циркуляции
скорости вдоль кривой 1—3—2—4 и вдоль контура
обтекаемого тела acbd одинаковы.
Накладывая плоскопараллельный поток, имеющий
на достаточном расстоянии от обтекаемого цилиндра
скорость v0i на поток, вращающийся вокруг цилиндра,
получим потенциальный поток с циркуляцией скорости
вокруг цилиндра. Первый поток образует симметричную
гидродинамическую сетку и скорость течения жидкости
вдоль поверхности цилиндра будет распределяться
симметрично. Второй поток обтекает поверхность цилиндра
с постоянной скоростью, касательной к поверхности
цилиндра. Распределение скрости вдоль поверхности
цилиндра будет в верхней и нижней части соответственно:
щ = 2vQ sin 6 — ит\ и2 = 2у0 sin 0 + иг.
Вдоль поверхности цилиндра распределение давления
несимметрично, поэтому потенциальный поток,
обтекающий цилиндр, будет оказывать на него силовое
воздействие. Наложение потока на поток может быть реально
осуществлено, если в потоке вращать цилиндр и тем
самым создавать вокруг него циркуляцию скорости. Тогда
на обтекаемый цилиндр будет действовать сила
гидродинамического давления.
Рассмотрим общий случай возникновения подъемной
силы при обтекании потенциальным
плоскопараллельным потоком твердого тела единичной ширины. Это —
известная теорема Н. Е. Жуковского. На достаточном
расстоянии от зоны обтекания скорости потока равны и
параллельны друг другу, следовательно, и давление
также выравнивается. Характер течения потока такой, что
вдоль поверхности обтекаемого тела интеграл § uds
имеет определенное значение (и — скорость потока
вдоль поверхности обтекаемого тела), т. е. §uds = T.
Поскольку течение потенциальное, вдоль любого
замкнутого контура, охватывающего обтекаемое тело,
циркуляция скорости сохранит постоянное значение.
Отнесем течение к системе координат с центром в точке О
(рис. 3.8). Проведем из точки 0 окружность радиусом /?.
Изолируем массу жидкости между окружностью
радиуса R и линией поверхности обтекаемого тела. Течение
жидкости установившееся, поэтому можно написать, что
136

Рис. 3.8. Возникновение подъемной
силы при обтекании твердого тела
потенциальным потоком
проекции суммы изменения количества движения массы
жидкости, втекающей в ограниченный окружностью
радиуса R объем и вытекающей из него, и импульса сил
давления на оси координат равны проекциям реакции
сил давления (X и У) на поверхность обтекаемого тела.
Скорости обтекания тела жидкостью касательны к его
поверхности, поэтому никакого обмена количеством
движения через эту контрольную поверхность не
происходит. Обозначим составляющие скорости потока их и иу.
Расход жидкости, пересекающей в единицу времени
элемент поверхности ds, равен (их cos<x + uy since) Ids.
Тогда в проекции на ось Ох
2л
2Л
Г их р (ux cos а + иу sin a) Ids + \ р cos а« Ids = Х\
в проекции на ось Оу:
2я 2я
\ иу9 (их cos a + uy sin а) Ids + J p sin а* Ids = К.
о о
Полное давление
Находим значения интегралов:
2я 2л
[ (ptfjj/2 + р0) cos a- Ids = [pvl/2 + pQ) f cos a- \Rda = 0;
о
2л
I
2л
(pyj)/2 + p0) sin a • Ids = (puq/2 + p0) J sin a- IRda = 0.
137

Тогда
2я
2Я / «2 2 \
X = р I I cos a + uxuy sin a — —— cos а 17? da;
о
2я
г/ «»
о
2я
cos а + —— sin а — i?x sin a + —— sin a J tfda =
ГГ 4 4 1
— P I \ux ("у cos a — ux sin a) + —- sin a -f —- sin a LR
da.
Составляющая скорости течения жидкости,
касательная к окружности радиуса /?,
иу cos a — их sin a = wt.
Следовательно,
2я 2я
j" a* ds = J (uy cos a — их sin a) ds
о о
представляет собой циркуляцию скорости по контуру
окружности радиуса /?. Значение циркуляции скорости
равно Г (циркуляции скорости по контуру обтекаемого
тела) и не зависит от радиуса R. При увеличении
радиуса окружности R составляющие скорости стремятся:
их — к скорости i>o, а составляющая скорости vy — к
нулю.
Горизонтальная составляющая сил
гидродинамического давления при обтекании данного профиля
2я 2я
С vl . vl Г
Х = р cosa#da= — R I cosada=0, (3.11)
о о
а вертикальная составляющая
2я
у = р j* v0(uy cos a — ux sin a) i?da = p«e Г. (3.12)
Обтекание контура тела плоскопараллельным
потенциальным потоком оказывает на его поверхность силовое
воздействие за счет неравномерности распределения
гидродинамического давления. Для возникновения силового
воздействия необходимо, чтобы образовалась циркуляция
138

скорости. Возникающая суммарная сила
гидродинамического давления на поверхности контура обтекаемого
тела направлена нормально к скорости с/о
плоскопараллельного течения и называется подъемной силой.
Рассмотренная схема обтекания контура тела
потенциальным потоком предполагает отсутствие в потоке
гидравлических потерь, поскольку подъемная сила
нормальна к скорости потока Vo и процесс обтекания
осуществляется без затраты энергии.
§ 23. Источники и стоки
Многие задачи обтекания тел, находящихся в
потоке жидкости, могут быть решены с использованием
понятия источники и стоки.
Плоскими, как это уже указывалось, называются
потоки, имеющие в параллельно расположенных
плоскостях одинаковое распределение скоростей. Живые
сечения таких потоков — цилиндрические поверхности.
Следы этих поверхностей образуют на рассматриваемых
плоскостях одинаковые линии равного потенциала.
Расход жидкости q на единицу расстояния между
плоскостями называется удельным расходом. Считая, что
скорости вдоль концентрических окружностей одинаковы,
получим для расхода жидкости q=2nr-lw, где w —
радиальная скорость. Если скорость направлена от
центра концентрических окружностей, течение называется
источником; если скорость направлена к центру —
стоком.
Потенциалы скорости источника и стока
v»=—k]nr' <Pc=irlnr:
частная производная потенциала скорости по г равна
радиальной скорости течения жидкости:
_ дф _ д
дг 2лг
Складывая потенциалы скорости различно
расположенных источников и стоков, можно получить линии
тока разнообразных потоков. Рассмотрим, например, два
потока, образованных стоками одинакового расхода q.
В качестве оси х выберем ось, соединяющую два центра
стоков 0\ и 02. Расстояние между центрами примем ра.в-
139

Рис. 3.9. Расположение двух Рис. 3.10. Линии тока потенци-
стоков одинакового расхода ального течения, образованного
двумя стоками одинакового
расхода
Рис. 3.11. Линии тока потенциального течения, образованного
источником и стоком одинакового расхода
ным 2а. Из середины этого расстояния проведем ось г/.
Расстояние до произвольной точки М, фиксированной
координатами х и у, от центров 0{ и 02 будет (рис. 3.9):
140

Потенциал скорости первого стока
второго стока
^=irlnf"
ф2=^_ 1п^
Потенциал скорости потока, образованного этими
стоками,
Ф = ф1 + ф2 = -^Г1пл + -^Г1пл2.
Составляющие скорости течения:
q (х-\-а х —
"*■ 2л
иу
2« i А 4
Линии тока этого течения
'1 '2
У , У
q I x + a t , х — а\
ур == —- arctg + arctg .
2л \ у у J
Действительно, частные производные этой функции
дер д\р ^ дф дг|э
ду дх дх ду
На рис. 3.10 показаны линии тока двух плоских
стоков или источников. Рассматривая половину рисунка,
видим, что описанное течение представляет собой поле
линий тока, образующееся вблизи плоской стенки.
Поток, образованный источником и стоком,
находящимися на расстоянии 2а друг от друга, характеризуется
потенциалом скорости:
q q
2я 2я
Распределение скоростей течения в этом потоке
определяется их составляющими:
q /х + а
2я ^ г\ г\
141

Складывая полученное течение с потоком,
движущимся вдоль оси с постоянной скоростью Vo, получим
потенциал скорости:
Поле скоростей такого потока определяется их
составляющими:
q (х + а
w* = -^r —; г" -*о; иу =
2я \ г\ г\ ) - -" 2л
ft
Вблизи расположения источника и стока скорости
течения велики и линии тока замыкаются на пути от
стока к источнику (рис. 3.11). По мере удаления от
точек 0\ и 02 влияние течения как источника, так и стока
существенно снижается. В то же время скорость потока,
движущегося параллельно оси Ох, остается постоянной.
На некотором расстоянии от источника и стока линии
тока перестают замыкаться и приближаются к линиям,
параллельным оси Ох. Между замыкающимися и неза-
мыкающимися линиями тока образуется линия раздела
с двумя точками М\ и Af2, где скорость течения равна
нулю. Эта линия раздела определяет контуры тела,
обтекаемого потоком, движущимся со скоростью вдоль оси
Ох. Различные сочетания источников и стоков с
жидкостью, движущейся с постоянной скоростью, позволяют
решать ряд задач, которые могут встретиться на
практике.
§ 24. Комплексный потенциал
Можно получить потенциал скорости <р и
соответствующую ему функцию тока -ф, задаваясь только одной
функцией комплексного переменного zt состоящего из
суммы вещественной части х и мнимой iy:
z = x + iy.
Комплексный потенциал F(z) также состоит из
вещественной части ф(х, у) и мнимой гф(лг, у):
F(z)=q>(x,y) + iq>{xty).
Пользуясь правилами дифференцирования функций,
получаем:
dz дер &ф
их дх дх
142

dz дф , dib
dy ду ду
Умножая второе равенство на i, имеем:
r(2)==I-iHL_-fL.
ду ду
Учитывая, что вещественные и мнимые части обеих
функций должны быть равны между собой, находим:
Jl = i!LH *L=_^. (3.13)
ду дх дх ду
Эти соотношения показывают, что если
вещественная часть функции комплексного переменного
представляет собой потенциал скорости какого-либо течения, то
вещественная функция мнимой части представляет
собой функцию тока того же течения.
Рассмотрим пример использования комплексного
потенциала. Функция комплексного переменного F(z) —
= mlnz. Комплексное переменное может быть
представлено в виде:
z — x-\-iy — r (cos 0 -f- i sin 0) = reet,
где г — радиус, соединяющий точку, изображающую комплексное
переменное, с началом координат; $— угол, образованный
радиусом г и осью Ох,
Следовательно,
F(z) = m In геы = т In г + mQL
Нетрудно заметить, что течение, описываемое
выбранным комплексным потенциалом, является
источником, где т In г=ф(г) — потенциал скорости, а т0=
=\])(r) — функция тока.
§ 25. Вихревое течение. Основные теоремы
Вихревым называется течение жидкости, при
котором ее частицы кроме переносного движения и
деформации участвуют во вращении. Такое движение частиц
жидкости было рассмотрено в § 11. Приведем
определения, используемые при изучении вихревого течения.
Вихревая линия (рис. 3.12) — кривая, проведенная в
потоке, касательная во всех точках к векторам угловой
скорости частиц. Вихревая линия аналогична линии
тока.
143

CPi.
&Z
/*S
Рис. 3.12. Вихревая линия
Рис. 3.13. Вихревая трубка
Вихревой трубкой (рис. 3.13) называют поверхность,
образованную вихревыми линиями, проведенными через
точки контура, ограничивающего поверхность
элементарной площадки а, нормальной к вектору скорости.
Вихревая трубка аналогична трубке тока. Произведение
площади а и вектора угловой скорости вращения частиц
со называется напряжением вихревой трубки.
Определим значение циркуляции скорости,
возникающей вдоль элементарного контура в плоскости
координат хОу, нормальной к вектору мгновенной угловой
скорости частицы (рис. 3.14). Угловая скорость,
ограниченная контуром со сторонами dx и dy,
1_ / диу _ дих \
~ 2 [ дх ду J
*/ч*
дих
dy
Рис. 3.14 К
определению
циркуляции скорости вдоль
элементарного
контура
1144

Рис. 3.15. Циркуляция скорости
вдоль замкнутого контура
конечной длины
При обходе элементарного контура dx и dy по
часовой стрелке получим значение циркуляции скорости:
диу дих
"х-
ду
-dy
Ad* —
uydy =
( диу дих \
дх ду ,_-._. (3.14)
Циркуляция скорости, образующаяся вдоль
элементарного контура, равна удвоенному значению угловой
скорости частицы, умноженной на площадь,
ограниченную контуром. Циркуляция скорости, образующаяся
вдоль замкнутого контура конечной длины, будет
суммой1 значений циркуляции вдоль элементарных контуров
(рис. 3.15):
Г = J2codA:d(/ = 2(oQ, (3.15)
где Й — площадь, ограниченная контуром.
Это выражение называется интегралом Стокса.
Установим зависимость циркуляции скорости вдоль
замкнутого контура от времени, если он при движении в
потоке все время проходит через одни и те же частицы
жидкости. Проекции элемента контура ds на оси
координат равны dx, dy и dz. Проекции составляющих
скорости — их, иу и uz. Циркуляция скорости вдоль
рассматриваемого контура s:
Г = J "x dx + uy dy + иг dz.
1 Циркуляция скорости вдоль линий общих смежных элементарных
площадок имеет разные знаки. При суммировании остается только
циркуляция вдоль рассматриваемого контура.
10—626
145

Изменение циркуляции скорости во времени, т. е. при
перемещении контура вместе с потоком:
dr f d d d
-J- = J "J" («. «U) + - («„ d,) + - (Ц, da).
s
В этой формуле
d / л ч d"* , . , dux . , л( UX
— (ux dx) = —— d* + w* dw* = —— d* + d
dt dt d^
d dw>
— (ы2 dz) = —^ dz + d
«*
d/ v * d/
Уравнения Эйлера могут быть записаны:
dux 1 dp \ dp dU ш
d/ p d* ^ p dx dx
a __ d^ _j dP r r„_ 1 dp dU
V dt 9 dy p dy dy '
_ da2 ___ J_ _dp_ J_ _dp_ dU
z dt p dz p dz dz
Допускается, что ускорения массовых сил
определяются потенциалом U. Умножая левые и правые части
равенств соответственно на dx, dy и dz и складывая их,
получим:
J^d* + J^d, + ^d2=-^+<«/. (3.Ш)
at dt dt p
По определению: ^1+^+^1 =и2 — квадрату
скорости вдоль отрезка контура us.
Изменение циркуляции скорости вдоль
рассматриваемого контура при его перемещении вместе с потоком:
s s
Массовые силы, действующие в жидкости, имеют
потенциал. Движущаяся жидкость невязкая.
Определенный интеграл, взятый вдоль замкнутого контура,
равняется нулю. Следовательно, вдоль замкнутого контура,
проходящего через одни и те же частицы жидкости, цир-
146

Рис. 3.16. Виды вихревых трубок
куляция скорости остается постоянной. Это значит, что,
образовавшись, вихрь не исчезает, и если течение в
начальный момент времени было потенциальным, то оно
и остается им в любой момент времени.
Теоремы (3.16) и (3.17) называются теоремами Том-
сона.
Во многих случаях течения жидкостей образуются
ограниченные вихри. В природе — это, например,
смерчи, возникающие при порывах ветра. Моделью подобных
вихрей является вихревая трубка. Теория вихрей
основывается на теоремах Гельмгольца.
В теореме (3.16) рассматривается движение
элементарной частицы жидкости. Движение частицы можно
представить в виде суммы линейного перемещения,
вращения и деформации.
В теореме (3.17) показано, что вдоль вихревой
трубки ее напряжение остается постоянным, т. е. вдоль нее
сохраняется постоянство произведения вектора
скорости вращения частицы и площади сечения трубки.
Вихревая трубка не может заканчиваться острием, так как
в этой точке угловая скорость частицы жидкости будет
стремиться к бесконечности, поэтому трубка тока либо
замыкается сама на себя и образует кольцо (рис. 3.16,
а), либо опирается о твердые стенки (рис. 3.16, б).
Третья теорема утверждает, что на поверхности
вихревой трубки циркуляция скорости вдоль любого
замкнутого контура равна нулю. Это следует из того, что
вектор угловой скорости не пересекает эту поверхность.
Равенство нулю рассматриваемой циркуляции скорости
сохраняется, а следовательно, сохраняется и сама
вихревая трубка.
Четвертая теорема Гельмгольца показывает
постоянство напряжения вихревой трубки во времени. Вдоль
10*
147

вихревой трубки напряжение, как это установлено
второй теоремой, постоянно. На основании теоремы Томсо-
на можно утверждать, что циркуляция скорости вдоль
контура сечения вихревой трубки не зависит от
времени. Таким образом, напряжение вихревой трубки также
не зависит от времени.
Глава 4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
§ 26. Общие сведения о гидравлических сопротивлениях
1. ВИДЫ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Для определения давления и средних скоростей в
различных сечениях потока выше были выведены два
уравнения: сохранения энергии или полного напора
(уравнение Бернулли) и сохранения массы (уравнение
постоянства расхода), которые для несжимаемой жидкости
записываются в виде
р v2
г + + а —- + hw = Н = consti,
V(o = Q = const2.
Обычно при решении практических задач полный
напор Н и расход Q бывают заданы или могут быть
определены из известных величин в одном из сечений
рассматриваемого потока. Высотное положение центра
тяжести сечения z, а также площадь его ш, как правило,
известны. Таким образом, в этих уравнениях остаются
три неизвестных: v, p, hw. Для их определения
необходимо составить третье уравнение, связывающее между
собой неизвестные величины. Это уравнение может быть
получено как теоретически, например с помощью
закона количества движения
Qpv + cop = const3,
так и опытным путем. С помощью двух уравнений
гидравлики удается решать лишь некоторые практические
задачи, пренебрегая потерями напора (т. е. принимая
/гш = 0). Именно так обстояло дело с рассмотренной
выше задачей о трубе Вентури.
148

~Г jE#
%^h
0'
m
Рис. 4.1. К понятию о
потерях напора на трение
Рис. 4.2. К понятию о местных ^ ^'
потерях напора
Рассмотрим горизонтальный участок трубы,
заполненный жидкостью (рис. 4.1). Если жидкость в трубе не
движется, то ее взаимодействие со стенками приводится
к одной равнодействующей, направленной вниз (вес
жидкости). При движении жидкости между нею и
стенками трубы возникают дополнительные силы
сопротивления, в результате чего частицы жидкости,
прилегающие к поверхности трубы, тормозятся. Это торможение
вследствие вязкости жидкости передается следующим
слоям, причем скорость движения частиц по мере
удаления от оси трубы постепенно уменьшается.
Равнодействующая сил сопротивления
противоположную движению,
нию движения (см. рис. 4.1).
Т направлена в сторону,
[и параллельна направле-
то и есть силы
гидравлического трения (сопротивления гидравлического
трения).
Для преодоления сопротивления трения и
поддержания равномерного поступательного движения жидкости
необходимо, чтобы на жидкоать действовала сила,
направленная в сторону ее движения и равная силе
сопротивления, т. е. нужно затрачивать энергию. Необходимые
для преодоления сил сопротивления энергию или напор
называют потерянной энергией или потерями напора.
Потери напора, затрачиваемые на преодоление
сопротивления трения, носят название потерь напора на
трение по длине или потерь напора по длине потока
(линейные потери напора) и обозначают hTp. Однако потери
напора, возникающие при движении жидкости, зависят
не только от трения о стенки) Рассмотрим следующий
опыт (рис. 4.2).
149

Бак объемом W наполнен водой при постоянном
уровне Я и питает горизонтальную трубу АВ длиной /
одинакового по всей длине диаметра d. Пусть расход воды
равен Q. Если трубу АВ заменить трубой CD той же
длины /, но образованной из последовательно
расположенных участков диаметрами d и 2d, то расход
изменится. Новый расход Q'<Q (иногда Q' = 0,5Q и даже еще
меньше).
Таким образом, трение по длине не является
единственной возможной причиной, вызывающей потери
напора; резкие изменения сечения также оказывают
сопротивление движению жидкости и вызывают потери
энергии. Существуют и другие причины, вызывающие
потери напора, например внезапное изменение направления
движения жидкости. Потери напора, вызываемые
резким изменением конфигурации границ потока
(затрачиваемые на преодоление сопротивления формы),
называют местными потерями напора или потерями напора на
местные сопротивления и обозначают hM.
Следовательно, потери напора при движении
жидкости складываются из потерь напора на трение и потерь
напора на местные сопротивления, т. е.
hw = hTV + hM. (4.1)
Определение потерь напора при движении жидкости
является одной из важнейших задач гидравлики.
2. ОБЩИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕРЬ НАПОРА
ПРИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
Опыты показывают, что потери напора на трение
/zTp при движении жидкости в трубах могут зависеть от
следующих факторов:
диаметра трубы d и ее длины /;
физических свойств жидкости (плотности р и
вязкости (я);
средней скорости движения жидкости в трубе v\
средней высоты выступов шероховатости k на стенках
трубы.
Формула для определения потерь на трение была
получена в XIX в. эмпирическим путем и называется
формулой Дарси — Вейсбаха:
/ и2
>*тр = * — — . (4.2)
150

Из формулы (4.2) следует, что потеря напора на
трение по длине при движении жидкости в трубе
возрастает с увеличением средней скорости потока и длины
рассматриваемого участка трубы и обратно
пропорциональна ее диаметру. Кроме того, в эту формулу входит
неизвестный безразмерный коэффициент X (так
называемый коэффициент гидравлического трения).
Формула для определения потерь напора на местное
сопротивление имеет вид:
где £ —безразмерный коэффициент, или коэффициент местных
потерь; v2 — скорость потока после прохода через местное
сопротивление.
Формулу (4.3), полученную в XIX в. эмпирическим
путем, называют формулой Вейсбаха.
Формулы (4.2) и (4.3) можно получить с помощью
так называемого метода анализа размерностей (см.
далее гл. 10).
3. ЛАМИНАРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Наблюдения показывают, что в природе существуют
два различных вида движения жидкости: во-первых,
слоистое упорядоченное, или ламинарное1, движение, при
котором отдельные слои жидкости скользят относительно
друг друга, не смешиваясь между собой, и, во-вторых,
неупорядоченное, или турбулентное2, движение, когда
частицы жидкости движутся по сложным, все время
изменяющимся траекториям и в жидкости происходит
интенсивное перемешивание. Уже давно известно, что
вязкие жидкости (масла) движутся большей частью
упорядочение, а маловязкие жидкости (вода, воздух) — почти
всегда неупорядоченно. Ясность в вопросе о том, как
именно будет происходить движение жидкости в тех или
иных условиях, была внесена в 1883 г. в результате
опытов английского физика Рейнольдса.
В опытной установке Рейнольдса (рис. 4.3) к баку с
водой присоединена стеклянная труба. Открывая
частично вентиль, можно заставить течь воду по трубе с
различными скоростями. Из сосуда по трубке в устье тру-
1 От латинского слова lamina — слой, пластинка,
2 От латинского слова turbulentus — вихревой,
151

Рис. 4.3. Установка Рей- fyc. 4.4. Ламинарное
нольдса и турбулентное дви-
/ _ сосуд; 2 - бак; 3 - трубка; жение ЖИДКОСТИ
4 — труба; 5 — вентиль
бы поступает краска. При малых скоростях движения
воды в трубе окрашенная струйка не размывается
окружающей ее водой и имеет вид натянутой нити (рис. 4.4,
а) — поток в этом случае называют ламинарным. При
увеличении скорости движения воды окрашенные
струйки получают вначале волнистое очертание (рис. 4.4, б),
а затем почти внезапно исчезают, размываясь по всему
сечению трубы и окрашивая всю жидкость. Движение
жидкости становится неупорядоченным, отдельные
частицы окрашенной жидкости разлетаются в разные
стороны, сталкиваются друг с другом, ударяются о стенки
и т.д. (рис. 4.4, в); такое движение жидкости называют
турбулентным. Основная особенность турбулентного
движения заключается в наличии поперечных к
направлению движения составляющих скорости,
накладывающихся на основную скорость в продольном направлении,
v/Опыты Рейнольдса показали, что переход от
ламинарного течения к турбулентному происходит при
определенной скорости (так называемая критическая
скорость), которая, однако, для труб разных диаметров
оказывается различной, возрастающей с увеличением
в я кости и снижающейся с уменьшением диаметра трубы.
4. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
Основываясь на некоторых теоретических
соображениях, а также на результатах опытов, Рейнольде
установил общие условия, при которых возможны
существование ламинарного и турбулентного режимов движения
жидкости и переход от одного режима к другому.
Оказалось, что состояние {режим) потока жидкости в трубе
152

зависит от безразмерного числа, которое учитывает ос-
иовные факторы, определяющие это движение: среднюю
скорость v, диаметр, трубы d, плотность жидкости р и ее
абсолютную вязкость ц. Это число (позже оно стало
называться числом Реинольдса) имеет вид:
Re = vdp/\L = vd/v. (4.4
Диаметр d в числе Реинольдса может быть заменен
любым линейным диаметром, связанным с условиями
течения или обтекания (диаметр трубы, диаметр
падающего в жидкости шара, длина обтекаемой жидкостью
пластинки и др.).
Число Реинольдса, при котором происходит переход
от ламинарного движения к турбулентному, называют
критическим и обозначают ReKP. При Re>ReKP режим
движения является турбулентным, при Re<ReKp —
ламинарным/Критическое число Реинольдса зависит от
условий входа в трубу, шероховатости ее стенок,
отсутствия или наличия первоначальных возмущений в
жидкости, конвективных токов и др.
Вопрос о неустойчивости ламинарного движения и о.
его переходе в турбулентное, а также о величине
критического числа Реинольдса подвергался тщательному
теоретическому и экспериментальному изучению, но до
•сих пор не получил еще достаточно полного решения. На-
иоолее часто в расчетах принимают для критического
числа Реинольдса при движении жидкости в трубах
значение
Re«p«2000, (4.5) |
отвечающее переходу движения жидкости из
турбулентного в ламинарное: при переходе движения из
ламинарного в турбулентное критическое число Реинольдса
имеет большую величину (для хорошо закругленного
плавного входа оно может быть доведено до 20 000).
Проведенные исследования показывают также, что
критическое число Реинольдса увеличивается в
сужающихся трубах и уменьшается в расширяющихся. Это
можно объяснить тем, что при ускорении движения
частиц жидкости в сужающихся трубах их тенденция к
поперечному перемешиванию уменьшается, а при
замедленном течении в расширяющихся трубах усиливается1.
1 А. Д. Альтшуль, В. Ю. Ляпин. Критическое число Реинольдса //
Изве АН СССР, Сер, Энергетика и транспорт,— 1983. — № 4.
153

По критическому числу Рейнольдса легко можно
найти также критическую скорость, т. е. скорость,
ниже которой всегда будет происходить ламинарное
движение жидкости:
икр = ReKP \ld = 2000v/d. (4.С)
В трубопроводах систем отопления, водоснабжения,
вентиляции, газоснабжения и др. движение, как
правило, является турбулентным, так как движущаяся среда
(вода, воздух, газ, пар) имеет малую вязкость. Лами-
нарный режим возможен лишь в трубах очень малого
диаметра. Более вязкие жидкости, например масла,
могут двигаться ламинарно даже в трубах большого
диаметра.
5. ОСОБЕННОСТИ ЛАМИНАРНОГО И ТУРБУЛЕНТНОГО
ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
Опыты показывают, что одновременно с переходом
ламинарного движения в турбулентное изменяется
характер распределения скоростей по сечению трубы, а
также характер гидравлических сопротивлений. При
ламинарном движении распределение скоростей по
сечению имеет параболический характер: непосредственно у.
стенок скорости равны нулю, а при удалении от них
непрерывно и плавно возрастают, достигая максимума на
оси трубы (рис. 4.5).
При турбулентном движении закон распределения
скоростей сложнее: в большей части поперечного сечения
скорости лишь незначительно меньше максимального
значения (на оси), но зато вблизи стенок величина
скорости резко падает (рис. 4.6) в пределах очень тонкого
слоя, так называемого вязкого или пристенного подслоя.
Более равномерное распределение скоростей по
сечению при турбулентном движении объясняется
наличием турбулентного перемешивания, осуществляемого
поперечными составляющими скоростей. Благодаря этому
перемешиванию частицы с большими скоростями в
центре потока и с меньшими скоростями на его периферии,
.непрерывно сталкиваясь, выравнивают свои скорости. У
самой стенки турбулентное перемешивание
парализуется наличием твердых границ, и поэтому там наблюдается
значительно более быстрое падение скорости.
Измеряя разность уровней в двух пьезометрах, при-
154

г г ггsX^s*" ""у; ул»
ш—
Т7ТТ&ТГТУТ7ТТ7~ГТГТТТ
Рис. 4.5. Распределение
скоростей при
ламинарном движении жидкости
в трубах
Рис. 4.7. Потери напора
на трение в наклонной
трубе
/ЛЧ/ г/iff **"*££*
Рис. 4.6. Распределение
скоростей при
турбулентном движении жидкости
в трубах
/ — вязкий подслой; 2 —
ядро потока
Рис. 4.8. Зависимость
потерь напора на трение
от скорости движения
жидкости
соединенных к сечениям 1—/ и 2—2 трубы постоянного
диаметра (рис. 4.7), можно определить потерю напора
между этими сечениями из уравнения Бернулли,
составленного для сечений 1—1 и 2—2 (см. § 14):
„ , Р\ , Рг . и
Ч -г = Ч + -Ь ЛТр»
9g Pg
откуда
Мг<+^)-(Г2+-5-)- (47)
Таким образом, при равномерном движении
уменьшение напора по длине трубы определяется разностью
пьезометрических высот, отсчитываемых от одной и той же
горизонтальной плоскости, и, следовательно, не зависит
от расположения трубы в вертикальной плоскости.
Если пропускать воду по трубе с различной скоро-
155

стью и, замерив при этом потери напора, построить
кривую hTp=f(v), то она будет иметь вид,
представленный на рис. 4.8. До какрго-то значения скорости потери
напора изменяются прямо пропорционально скорости —
зона /, а затем вид кривой внезапно меняется и потери
напора становятся пропорциональными более высокой
степени скорости {примерно ее квадрату) — зона //.
Переход от одного закона к другому происходит при
скорости, равной критической, т. е. в момент перехода от
ламинарного движения к турбулентному; при
ламинарном движении (зона /) потери напора пропорциональны
скорости в первой степени, а при турбулентном (зона
//) — скорости в степени большей единицы.
Следовательно, ламинарный и турбулентный режимы
отличаются не только характером движения частиц
(наличием поперечных скоростей при турбулентном
движении), но также особенностями распределения скоростей
по сечению и характером зависимости между потерями
напора и скоростью.
6. ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПОТЕРЬ НАПОРА НА ТРЕНИЕ
ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
Найдем общее выражение для потерь напора на
трение при равномерном движении жидкости в трубах,
справедливое как для ламинарного, так и для
турбулентного режимов. При равномерном движении средняя
скорость и распределение скоростей по сечению должны
оставаться неизменными по длине трубопровода, поэтому
равномерное движение возможно лишь в трубах
постоянного сечения, так как в противном случае при
заданном расходе будет изменяться средняя скорость в
соответствии с уравнением
1>= Q/co.
Равномерное движение наблюдается в прямых
трубах или в трубах с очень большим радиусом
кривизны R (прямолинейное движение), так как в противном
случае средняя скорость может изменяться по
направлению. Это условие может быть записано в виде
Я-мх). (4.8)
Условие неизменяемости по длине трубы характера
распределения скоростей по живому сечению можно за-
156

"^a4J
_ж
Рис. 4.9. Потери напора на
трение в горизонтальной трубе
Рис. 4.10. К выводу основного
уравнения равномерного
движения жидкости в трубах
(4.9)
ЛТр —
(4.10)
писать в виде
а = const,
где а — коэффициент Кориолиса (см. гл. 3).
Последнее условие справедливо лишь для участка,
находящегося на большом расстоянии от места входа в
трубу.
Составляя уравнение Бернулли для двух сечений
трубопровода постоянного сечения (см. рис. 4.7J и
учитывая, что в соответствии с формулами (2.7) и (4.9)
члены, зависящие от кинетической энергии, сократятся, мы
получим формулу (4.7).
При горизонтальном расположении трубы z{=z2
вместо формулы (4.7) имеем (рис. 4.9):
Pi __ Pi __ Р\~~Рг
Уравнение (4.10) является основным уравнением
равномерного движения жидкости в трубопроводах. При
известных отметках положения трубопровода (zx и z2
заданы) и давления в одном из сечений это уравнение
позволяет найти давление в другом сечении. Для этого
нужно только определить потерянную энергию /iTp.
Основному уравнению равномерного движения
жидкости в трубопроводах можно придать также другой
вид. Для этого выделим в трубопроводе сечениями /—1
и 2—2 соосный цилиндр радиусом а и длиной I (рис.
4.10). Так как распределение скоростей в обоих
сечениях по предположению одинаково, то частицы жидкости,
переходя от первого сечения ко второму, не испытывают
ускорения. Поэтому можно считать, что силы,
приложенные к цилиндру, находятся в равновесии. Уравнение
157

динамического равновесия рассматриваемого цилиндра
можно записать в виде
(Pi ~ P2) яа2 = 2яа/т,
где т — сила сопротивления на единице площади поверхности
жидкости цилиндра (касательное напряжение).
Разделив обе части этого уравнения на pgna2,
получим:
Pi — Рг _ * 2l
pg Pg a
С учетом формулы (4.10), имеем:
лтр = 2-
или
I Pga
т
pg
1
а
2т
(4.11)
где i — гидравлический уклон.
Уравнение (4.11) представляют также в виде
pgai/2 = pg(r--y)i/2i (4.12)
где у — расстояние от стенки трубы до рассматриваемого слоя.
Касательное напряжение распределяется по
линейному закону (см. рис. 4.10) — оно равно нулю на оси
трубы и принимает максимальное значение то на стенке
'(#=0), где To = pgn/2. Отсюда следует:
. 2т0
pgr
(4.13)
Уравнение (4.11) представляет собой общее
выражение для потерь напора при равномерном движении
жидкости в трубопроводах круглого сечения. Это уравнение
в одинаковой мере применимо как к ламинарному, так
и к турбулентному режиму. Кроме того, уравнение (4.11)
можно представить в виде
Тр __ gri ^ gr hTP
р 2 2 /
Подставляя сюда значение Лтр из формулы {4.2),
получим:
т0/р = Ь?/8. (4.14)
158

Отношение to/p имеет размерность квадрата
скорости. Если ввести обозначение
т0/р = *Л (4.15)
где «* — скорость касательного напряжения на стенке, или
динамическая скорость (она остается постоянной для каждого
рассматриваемого случая равномерного движения),
то уравнение (4.14) будет иметь вид:
X = 8u2Jv2; (4.16)
v/u^=Vm. (4.17)
Таким образом, квадрат отношения динамической
скорости к средней скорости прямо пропорционален
коэффициенту гидравлического трения Я.
§ 27. Ламинарное равномерное движение жидкости
в трубах
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО СЕЧЕНИЮ КРУГЛОЙ ТРУБЫ
Рассмотрим установившееся ламинарное движение
жидкости в круглой трубе в условиях вполне
сформировавшегося потока, т. е. полагая, что начальное сечение
потока находится на расстоянии от входа в трубу,
достаточном для обеспечения стабильного распределения
скоростей в поперечном сечении. Найдем закон, по
которому распределяются скорости по поперечному сечению
трубы.
Как известно, ламинарное движение имеет слоистый
характер и происходит без перемешивания частиц. Один
слой движется по другому, причем между ними
возникает сила трения, напряжение которой определяется
законом внутреннего трения Ньютона:
du
где « — местная скорость движения (скорость в рассматриваемой
точке).
С другой стороны, для слоя жидкости на расстоянии
у от стенки трубы касательное напряжение
определяется формулой
x = PgHr — y)l2.
•159

Рис. 4.11. Распределение
скоростей при ламинарном течении
жидкости в трубах
Рис. 4.12. К определению
расхода при ламинарном течении
жидкости в трубах
Сопоставляя эти выражения, найдем:
Pgi(r—y)
du =
-<& = ■
dy
■хг ^—V ) + c-
(4.18)
и после интегрирования получим:
pgi ( у*
Естественно допустить, что частицы жидкости,
соприкасающиеся со стенками (при у = 0), прилипают к
ним, т. е. что здесь и=0, в соответствии с чем и С=0.
Тогда зависимость (4.18) принимает вид:
■f(2ry-y^
(4.19)
Обозначив буквой а расстояние от оси трубы до
рассматриваемого слоя жидкости (а = г—у), приведем
уравнение (4.19) к виду:
№
■t^-^-
(4.20)
Формула (4.20) известна под названием закона Сток-
са. Она выражает закон изменения скорости в
поперечном сечении трубы в зависимости от расстояния точки от
оси трубы. Этот закон описывается параболой второй
степени (рис. 4.11).
У стенок трубы (у=0) скорость равняется нулю; на
оси трубы (у = г) скорость имеет максимальное
значение:
Р&
Umax = *Т~ Г~-
4fi
169

Отношение скорости в рассматриваемой точке
(местной скорости) к максимальной:
Umax rl г \ Т У
(4.21)
ой da (рис. 4.12), т. е. из
Это отношение зависит от положения
рассматриваемой точки и не зависит от расхода, рода жидкости и
материала стенок трубы.
Расход жидкости в трубе мЬжно найти
суммированием элементарных расходов, проходящих через кольцевые
площадки радиусом а и ширило
выражения
г
Q = j и • 2яа da.
о
После подстановки вместо
мулы (4.20) получим:
_р^х_Г a ^= _pg££x
2|i J 2|x
о f
откуда после интегрирования
и его значения из фор-
г г
j ( г2 ada — I a3 da L
Средняя скорость
Q npgit* pgi
CO
Г
(4.22)
8fijxr| 8fx
Сопоставляя выражения (4|21) и (4.22), приходим к
выводу, что
v = umaxJ2.
Таким образом, средняя скорость при ламинзрнохГ
движении жидкости в трубе р^вна половине максималь~
ной.
Коэффициент Кориолиса вычисляется по
выражению
1»э
1>30)
Подставляя в числитель dM=2nada и значение и из
1 i-626
161

уравнения J4.20)\ а в знаменатель значение v из
уравнения к(4.22), после простых преобразований получим:
л 16 f 8 Г
a =-f — I (л2 — а2)г^ = — (г! — a?)8d(r2 —а?),
о о
что дает
а = 2. (4.23)
Таким образом, кинетическая энергия ламинарного
потока вдвое больше кинетической энергии, подсчитанной
по средней скорости.
2. ПОТЕРИ НАПОРА НА ТРЕНИЕ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
Найдем потери напора на трение при ламинарном
движении жидкости в круглой трубе. Из уравнения
(4.21) можно получить выражение для гидравлического
уклона в виде
pgri " 9gdl V%
или
„Tp = I7 = B^L. (4.24)
Заменяя абсолютную вязкость \х на кинематическую
v, получаем зависимость, называемую формулой Пуазей-
ля—Гагена, для потерь напора при ламинарном
движении: ШШШШШШШШШШШШШ
32vlv
(4.25)
Из этой формулы следует, что потери напора на
трение при ламинарном режиме пропорциональны средней
скорости движения и не зависят от состояния внутренней
поверхности стенок трубы, так как характеристика
состояния стенок в формулу (4.2b) не входит. с*то можно
объяснить тем, что жидкость прилипает к "стенкам, в
результате чего происходит трение жидкости о жидкость.
а не жидкости о стенку. Исследования Н. 3. Френкеля,
А 11. Барфоломеевой и др. свидетельствуют о том, что
при очень значительных шероховатостях потери при
ламинарном движении могут возрастать по сравнению с
формулой (4.25),
162

Сопоставляя формулу (4.25) с общей зависимостью
для потерь напора на трение (4.2), находим:
64v 64
Ь=-°™ -— (4.26)
vd Re
Отсюда следует, что при ламинарном режиме
коэффициент гидравлического трения обратно
пропорционален числу Рейнольдса.
Полученные зависимости с большой точностью
подтверждаются многочисленными опытами, проведенными
по движению различных жидкостей в условиях
ламинарного режима. Тем самым находят подтверждение и
сделанные в процессе выводов этих зависимостей
допущения о применимости закона Ньютона для
ламинарного движения и о том, что скорость у стенки равна нулю.
В инженерной практике с ламинарным режимом часто
приходится сталкиваться при движении в трубах
жидкостей с повышенной вязкостью (нефть, керосин,
смазочные масла и пр.).
Из формулы (4.25) видно, что потери напора при
ламинарном режиме прямо пропорциональны вязкости
жидкости, поэтому иногда для повышения пропускной
способности нефтепроводов нефть в холодную погоду
подогревают, благодаря чему уменьшается ее вязкость,
а следовательно, и потери напора.
Теоретические зависимости, полученные выше для
ламинарного движения в трубах, используются для
нахождения опытным путем численных значений вязкости
жидкостей в приборах, называемых вискозиметрами.
Существует несколько типов вискозиметров,
позволяющих определить как абсолютную, так и кинематическую
вязкость жидкостей (например, вискозиметр Энглера).
3. НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК ТРУБОПРОВОДА
Полученные зависимости неточны на начальном
участке трубопровода, где сопротивления больше, чем на.
участках сформировавшегося течения. Определим в
связи с этим понятие начального участка.
Пусть поток из какого-либо резервуара входит в
трубу, имеющую хорошо закругленный вход (рис. 4.13)\
Тогда частицы жидкости на входе (за исключением очень
тонкой пленки вблизи стенки) будут двигаться с
одинаковой скоростью. Частицы, примыкающие к стенке, име-
П*
163

Рис. 4.13. Начальный участок Рис. 4.14. Отношение макси-
при ламинарном движении жид- мальной скорости к средней на
кости в трубах начальном участке
трубопровода
ют нулевую скорость, и поэтому в пленке наблюдается
большой градиент скорости, а следовательно, и
значительное трение. Вследствие этого скорости слоев
жидкости, прилегающих к стенке, тормозятся, а в центральной
части потока возрастают (так как заданный расход
доложен пройти через неизменную площадь сечения, а
средняя скорость должна оставаться постоянной). ТолщйТГа
слоев заторможенной жидкости постепенно возрастает,
пока не делается равной радиусу трубы, после чего
устанавливается характерный для ламинарного режима
параболический профиль скорости. Участок трубы, на
котором происходит стабилизация параболического
профиля скоростей, называют начальным участком
ламинарного течения. Длина этого участка /н зависит от
числа Рейнольдса и определяется по формуле Буссинеска
/H/d = 0,065Re, (4.27)
которая хорошо согласуется с наблюдениями.
Наибольшая возможная длина начального участка
получается при подстановке в формулу (4.27) ReKP =
=2000, в результате чего можно получить 1™ах &130d.
' Это означает, что в коротких трубах с закругленным
входом распределение скоростей по сечению не
описывается формулой (4.19).
На рис. 4.14 представлено изменение отношения
осевой скорости UmaX к средней скорости v по длине
начального участка круглой трубы. Характерное для
стабилизированного ламинарного движения отношение
Umax/v=2 наблюдается на расстоянии (x/d) (1/Re)>
^0,065. Средний по длине начального участка коэффи-
164

циент гидравлического трения оказывается примерно в
1,2 раза большим, чем определенный по зависимости
(4.26).
Все полученные выше зависимости требуют внесения
в них поправок при движении жидкости со
значительным теплообменом, т. е. в случаях, если движение
жидкости сопровождается ее нагреванием или охлаждением.
Так, при движении жидкости по горизонтальной трубе
при нагревании или охлаждении жидкости
коэффициенты гидравлического трения возрастают по сравнению с
их значениями при изотермических условиях. Такое
увеличение сопротивления объясняется действием
свободной конвекции вследствие разности плотностей
жидкости в ядре потока и у стенки.
Теоретические зависимости, полученные выше для
ламинарного движения в трубах, используются для
нахождения опытным путем численных значений вязкости
жидкостей в вискозиметрах. Простейшим, так
называемым капиллярным, вискозиметром определяют расход
жидкости, проходящей через калиброванную
капиллярную трубку. Измеряя прошедшее через такую трубку
за время t количество жидкости W и падение давления
(Р\—р2) на участке трубки длиной /, нетрудно найти
вязкость жидкости [I по формуле (4.24):
где г —радиус трубки.
4. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ СЕЧЕНИЯ ТРУБЫ
Для транспорта капельных жидкостей и газов в
ряде случаев используются трубопроводы некругового
сечения. Обычно в гидравлических расчетах в этом случае
вместо диаметра вводится гидравлический радиус /?.
Чем больше гидравлический радиус, тем меньше для
заданной площади живого сечения сопротивление
движению, т. е. это сопротивление пропорционально площади
смоченной поверхности стенок. Таким образом,
гидравлические сопротивления в трубе квадратного и
прямоугольного сечения одной и той же площади неодинаковы
(при одинаковой скорости течения, шероховатости
стенок и т. д.), ибо гидравлический радиус их различен.
Гидравлически наивыгоднейшей формой поперечного се-
165

чения трубы является круговая форма, поскольку
круглому сечению соответствует наименьший периметр при
заданной площади живого сечения.
Часто вместо гидравлического радиуса используют
так называемый эквивалентный (или гидравлический)
диаметр
db = 4# = 4со/х.
Напомним, что для круглых труб эквивалентный
диаметр равен их геометрическому диаметру: d3=d.
Заменяя в формуле Дарси для потери напора
диаметр гидравлическим радиусом или эквивалентным
диаметром, получаем выражение
I I v2 l v2
которое принципиально пригодно для расчета труб
любого поперечного сечения. Однако в формуле (4.29)
коэффициент А, зависит уже не только от числа Рейнольд-
са, но и от формы сечения трубы.
При ламинарном движении коэффициент % в трубах
некругового сечения значительно возрастает по
сравнению с движением в круглой трубе (при одном и том же
числе Рейнольдса) и может быть выражен формулой
X = A/Re*> (4.30)
где Re* — число Рейнольдса, вычисленное по эквивалентному
диаметру: Re*=*4vR/v—vd9/v; A — коэффициент формы, численные
значения которого, зависящие от формы сечения, изменяются от 53
(равносторонний треугольник) до 96 (прямоугольник с
отношением а/Ь-^оо).
5. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПОРИСТЫЕ СРЕДЫ
(ЛАМИНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ)
Под действием перепада давлений жидкость может
двигаться не только в трубах и каналах, но и сквозь
пористые материалы, т. е. передвигаться по
каналам-капиллярам между отдельными частицами материала
(через его поры). Такое движение жидкости в пористых
средах называют фильтрацией.
Фильтрующий расход зависит как от свойств
жидкости, так и от структуры материала (размеров пор, их
формы и пр.). Вследствие изменений сечения
капилляров, неоднородности пор и неравномерности их
распределения в материале скорости движения отдельных стру-
166

ек жидкости могут значительно различаться. Для
описания фильтрации принято пользоваться понятием
«идеального материала», т. е. такого материала, сечения
капиллярных каналов которого принимаются
цилиндрическими, а сами каналы параллельными между собой.
Учитывая, что фильтрация большей частью происходит
при ламинарном режиме, из формулы (4.21), имея в
виду, что i=/iTp//, и обозначая pTp=pg/iTp, получим
выражение для скорости течения в капилляре:
г* Рту
и 8 /ji '
где г — радиус поровой трубки; рТр — потери давления по длине /
поровой трубки.
Обозначая r2/8 = ko, получим:
__ ^о Ртр
ц I
Скорость ламинарной фильтрации v в идеальном
материале можно связать со скоростью течения в поровом
канале v0 выражением
mko Ртр k /7тр
v = mv 0 = — = — t (4.31)
где m — пористость материала, т. е. отношение суммы объемов пор
ко всему объему материала; k = mk0 — коэффициент, имеющий
размерность площади и называемый проницаемостью.
Выражение (4.31) можно представить также в
форме закона фильтрации Дарси:
v=sKhTp/l = Kit
где K=pgkln — коэффициент фильтрации, имеющий размерность
скорости; i=hiVll — потери напора на единицу длины
(гидравлический уклон).
~Коэффициент фильтрации характеризует
фильтрационную способность материала и свойства
протекающей в нем "Жидкости. ** ^
Расход жидкости Q, протекающей через площадь
фильтрации со, определяется формулами: ~*
Q = v(d = K(ai, (4.32)
или "*■*
k ртр
со.
167

При движении жидкости со значительными
скоростями в крупнозернистых материалах с большими порами
ламинарное течение в порах переходит в турбулентное.
Одним из примеров фильтрации является так
называемая инфильтрация воздуха через ограждающие
строительные конструкции. Разность давлений по обе
стороны ограждающей конструкции определяется
гравитационным давлением, являющимся следствием как
разности температур, так и ветрового давления на
сооружение. Способность ограждений фильтровать воздух
называют воздухопроницаемостью.
Расход воздуха, проникающего через ограждающие
конструкции, обычно определяют по формуле
Q==£Kjt?TpG), (4.33)
где сн — коэффициент воздухопроницаемости конструкции.
Из сравнения выражений (4.31) и (4.33J следует, что
к К
к~~ Ц/ ~~ pgl
где / — толщина ограждения.
Таким образом, коэффициент воздухопроницаемости
ограждений зависит не только от фильтрационной
способности материала и свойств воздуха, но также и от
толщины ограждения.
§ 28. Турбулентное равномерное движение жидкости
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ
Турбулентное движение жидкости в трубах и
каналах уже давно стало предметом многочисленных
исследований, так как в большинстве случаев жидкости
движутся в условиях турбулентного режима. Несмотря на
это, до сих пор еще не создано достаточно
удовлетворительной теории турбулентного движения, которая
непосредственно вытекала бы из основных уравнений гидро-
динамики и полностью подтверждалась опытом (как для
случая ламинарного движения). Зто объясняется
сложностью структуры турбулентного потока, внутренний
механизм которого до сих пор еще полностью не иссле-
дован.
При достижении числом Рейнольдса критического
значения на контактной поверхности потока с руслом
168

непрерывно зарождаются турбулентные возмущения в
виде вихрей различного размера и различной частоты.
Эти вихри отрываются от стенок русла и пронизывают
толщу поступательного потока, нарушая
существовавшее до того упорядоченное (послойное) движение,
характерное для ламинарного режима, и вызывая в нем
интенсивное турбулентное перемешивание.
Диффузия образовавшихся у стенки вихрей
сопровождается гашением содержащейся в них кинетической
энергии турбулентности, при этом механическая энергия
потока частично переходит в тепловую. Этот переход
весьма сложен. В общих чертах его можно представить
следующим образом: вначале механическая энергия
основного (продольного) движения переходит в
механическую энергию перемешивания наиболее крупных масс
(молей); эта последняя, в свою очередь, переходит в
механическую энергию перемешивания молей более
мелкого порядка и т. д. Лишь энергия собственного
движения последних в этом ряду наиболее мелких масс
непосредственно переходит в тепло. Таким образом, в потоке
находятся турбулентные вихри различных размеров,
которые постепенно теряют свою индивидуальность,
распадаясь на более мелкие вихри и диффундируя в толщу
потока.
В результате интенсивного вихреобразования
частицы жидкости при турбулентном движении описывают
весьма сложные траектории, а местные скорости не
сохраняются постоянными даже э том случае, когда
расход потока постоянен во времени. Таким образом,
установившегося движения в турбулентном потоке, строго
говоря, не существует. Измерения показывают, наобо-
рот, что в каждой точке скорость непрерывно меняется
как по величине, так и по направлению, поэтому скорость
в точке турбулентного потока называют мгновенной
местной скоростью.
Разлагая мгновенную скорость на три взаимно
перпендикулярных направления, получим продольную
составляющую иХ9 направленную по нормали к живому
сечению, и две поперечные составляющие иу и иг,
лежащие в плоскости живого сечения потока (рис. 4.15). Как
продольные, так и поперечные составляющие
мгновенной скорости все время меняются. Изменение во
времени проекции мгновенной местной скорости на
какое-либо направление называется пульсацией скорости, С по-
169

ГЫ | j ! 'i И]
Рис. 4.15. Составляющие пуль- Рис. 4.16. Пульсация мгновен-
сационных скоростей в турбу- ной скорости в турбулентном
лентном потоке потоке
мощью чувствительных приборов можно наблюдать
пульсации скоростей и записывать их хронограмму.
На рис. 4.16 показана типичная кривая изменения во
времени продольной составляющей скорости их (график
пульсации). Изменение скорости кажутся
беспорядочными, однако можно отметить, что осредненное за
достаточно длинный промежуток времени Т значение скорости
сохраняется все же посгоянным. Это значит, что
скорость непрерывно пульсирует около некоторого среднего
(осредненного во времени) значения их (пульсировать—
значит испытывать знакопеременные изменения
относительно какой-то средней величины). Графически осред-
ненная скорость их выражается высотой
прямоугольника, равновеликого площади, заключенной между пульса-
ционной кривой, осьнр абсцисс и двумя ординатами,
соответствующими начальному и конечному моментам
наблюдения. Так как закономерной периодичности пуль-
сационных кривых не обнаружено, для определения ос-
редненной скорости необходим достаточный период
наблюдений. " ^
Разность между истинным и осредненным значением
местной скорости называется пульсационной
составляющей скорости. Например, в продольном направлении
пульсационная составляющая записывается в виде
В турбулентном потоке вместо поля мгновенных
скоростей можно рассматривать поле осредненных
скоростей. Только имея в виду осредненные скорости, можно
говорить об установившемся турбулентном движении.
Благодаря этому можно уловить некоторую общую
закономерность, несмотрй на видимую беспорядочность
движения отдельных частиц. Связь между осредненной
170

скоростью и мгновенными скоростями может быть
выражена зависимостью, непосредственно следующей из
самого определения осредненной скорости,
т
ux = —\uxdtt (4.34)
о
где Т — период осреднения.
Таким же путем можно осреднить и другие
компоненты скорости (иу и uz), а также любой другой быстро
меняющийся во времени параметр, например произведение
скоростей их и иу, давление р и т. д. Обычно в задачах
инженерной практики рассматривается не истинная, а
только осредненная скорость, а также поле осредненных
скоростей.
2. ОПЫТНЫЕ ДАННЫЕ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ
И ПОТЕРЯХ НАПОРА
Два основных вопроса, которые интересуют инженера
при рассмотрении турбулентного движения жидкости в
трубах, — это определение потерь напора и
распределения скоростей по поперечному сечению трубы. Опыты по-
казывают, что как распределение скоростей, так и потери
напора могут сильно меняться в зависимости от диаметра
трубы, скорости движения и вязкости жидкости, а также
от шероховатости стенок труб.
Шероховатость стенок, в свою очередь, определяется
рядом факторов: материалом стенок; характером
механической обработки внутренней поверхности трубы, от
чего зависят высота выступов шероховатости, их форма,
густота и характер их размещения на поверхности;
наличием или отсутствием в трубе ржавчины, коррозии,
защитных покрытий, отложения осадков и т. д. Для грубой
количественной оценки шероховатости вводится понятие
о средней высоте выступов (бугорков) шероховатости.
Эту высоту, измеряемую в линейных единицах (рис. 4.17),
.называют абсолютной шероховатостью и обозначают
буквой k. Как показали опыты, при одной и той же
абсолютной шероховатости влияние ее на гидравлические
' сопротивления и распределение скоростей различно в
зависимости от диаметра трубы, поэтому вводится понятие
об относительной шероховатости, измеряемой
отношением абсолютной шероховатости к диаметру трубы k/d.
171

l* Рис. 4.17. К понятию об абсолютной шерохо-
J ватости
1 Рис. 4.18. Зависимость lg (100X) от lg Re (no
* Никурадзе)
/ — линия ламинарного движения; // — линия
турбулентного движения в гидравлически гладких трубах;
/// — то же, во вполне шероховатых трубах (/ —
/7*= 15; 2 — /76 = 30,6; 3 — г/6=60; 4 — r/fe=126; 5—
г Ik = 252; 5 — г/Л = 507).
J?* ^ # J,tf *,2 4,£ #7 5,4 sptgRe
Коэффициент гидравлического трения К в формуле
Дарси—Вейсбаха (4.2) может зависеть от двух
безразмерных параметров: vdp/\i и k/d. Первый из этих
параметров представляет собой число Рейнольдса, а второй —
относительную шероховатость, а следовательно,
A, = /(Re; kid). (4.35)
Первые систематические опыты для выявления
характера зависимости X от числа Re и k/d были проведены в
1933 г. И. Никурадзе в гладких латунных трубах и в
трубах с искусственной равнозернистой шероховатостью из
кварцевого песка. Песок с различной высотой бугорков
шероховатости k наносился сплошным слоем на
внутреннюю поверхность труб разного диаметра; при этом были
получены различные значения относительной
шероховатости (от &/d=0,00197 до &/d=0,066). В изготовленных
таким образом трубах при разных расходах измеряли
потерю напора и вычисляли коэффициент К по формуле
172

Дарси—Вейсбаха. Результаты опытов Никурадзе
представлены в виде графика (рис. 4.18), из рассмотрения
которого можно сделать следующие выводы.
При ламинарном движении (Re<2000 или lg Re<
<3,3) все опытные точки, независимо от шероховатости
стенок, ложатся на прямую / —эта линия изображает
зависимость (4.26) для ламинарного режима.
При турбулентном режиме (Re>2000; lg Re>3,6)
опытные точки до некоторых чисел Рейнольдса
совпадают с линией //, полученной при испытании гладких труб
без искусственной шероховатости, а затем отклоняются от
нее в сторону больших значений X: чем меньше
шероховатость, тем при больших числах Рейнольдса начинается
это отклонение; таким образом, при некоторых условиях
(малые числа Re, малые значения k/d или большие r/k)
шероховатость не оказывает влияния на сопротивление
также и при турбулентном движении.
При больших числах Рейнольдса коэффициент
гидравлического трения для заданного значения k/d сохраняет
постоянную величину. Трубы, в которых коэффициент
гидравлического трения вовсе не зависит от вязкости
жидкости, но зависит от относительной шероховатости,
называют вполне шероховатыми1. Трубы же, в которых
коэффициент К вовсе не зависит от шероховатости стенок,
но зависит от числа Рейнольдса, называют
гидравлически гладкими. Из графика Никурадзе видно, что одна и
та же труба в одних условиях может быть
гидравлически гладкой, а в других вполне шероховатой. Область
движения, в которой % зависит от Re и от k/d, называют
переходной (область смешанного трения).
Полученным результатам можно дать следующее
физическое истолкование. При малых числах Рейнольдса
жидкость обтекает выступы шероховатости без
образования и отрыва вихрей вследствие значительного влияния
вязкости жидкости; свойства поверхности стенок труб не
оказывают при этом влияния на сопротивление и кривые
^=дКе) совпадают с прямой 11 (для гладких труб).
Когда же с увеличением скорости (т. е. числа Рейнольдса)
от бугорков шероховатости начинают отрываться вихри,
то свойства поверхности уже оказывают влияние на со-
1 Часто эту область называют областью квадратичного
сопротивления, так как во вполне шероховатых трубах потери напора
пропорциональны квадрату средней скорости движения*
173

противление и кривые A,=/(Re) отклоняются от линии
гладкого трения.
В {Шу^ьтате опытов Никурадзе и других
исследований по сопротивлению трубопроводов были предложены
различные эмпирические формулы для определения
коэффициента гидравлического трения Л. Для
гидравлически гладких труб широкое распространение получила
формула Блазиуса
A, = 0,3164/Re0'25, (4.36)
а для вполне шероховатых труб — формула Шифринсона
К = 0,Н (k/d)0'25. (4.37)
При использовании кривых, полученных Никурадзе,
для практических расчетов встретились, однако,
значительные трудности. Применяемые в технике материалы
(металлы, дерево, камень) отличаются друг от друга не
только средней высотой выступов шероховатости. Опыты
показывают, что даже при одной и той же абсолютной
шероховатости (средняя высота выступов
шероховатости k) трубы из разного материала могут иметь
совершенно различный коэффициент гидравлического трения X в
зависимости от формы выступов, густоты и характера их
расположения и т. д. Учесть влияние этих факторов
непосредственными измерениями практически невозможно.
В связи с этим в практику гидравлических расчетов было
введено представление об эквивалентной равнозернистой
шероховатости k3. Под эквивалентной шероховатостью
понимают такую высоту выступов шероховатости,
сложенной из песчинок одинакового размера (шероховатость
Никурадзе), которая дает при подсчетах одинаковый с
заданной шероховатостью коэффициент гидравлического
трения. Таким образом, эквивалентная шероховатость
трубопроводов из различных материалов не определяем
ся непосредственными измерениями высоты выступовг"**
находится при гидравлических испытаниях
трубопроводов. -•
Опыты, поставленные в 1939 г. Колбруком над
трубопроводами с различной неоднородной шероховатостью лз
зерен песка, показали, что кривые Я—/(Re) для этих
трубопроводов существенно отличаются от кривых,~получе»-
ных Никурадзе.
За последние годы рядом авторов (И. А. Исаев,
Г. А, Мурин, Ф, А. Шевелев и др.) были проведены си-
174

стематические экспериментальные исследования
гидравлического сопротивления технических трубопроводов
(стальных, чугунных и др.). Из рис. 4.19, где
представлены результаты опытов Ф. А. Шевелева над
сопротивлением новых стальных труб разного диаметра (т. е. разной
относительной шероховатости), видно, что форма кривых
A,=/(Re) для стальных труб отличается от той, которая
была получена Никурадзе. В частности, для стальных
труб коэффициент К в переходной области оказывается
всегда больше, чем в квадратичной (а не меньше, как у
Никурадзе для искусственной шероховатости), и при
увеличении числа Рейнольдса непрерывно уменьшается.
Полученные кривые не имеют впадины, характерной для
кривых Никурадзе.
Разная форма кривых X=f (Re) в переходной области
для труб с равнозернистои шероховатостью и технических
труб объясняется различиями этих шероховатостей.
При равномерно-зернистой шероховатости (рис.
4.20, а) с увеличением скорости движения жидкости ко-
эффициейт гидравлического трения начинает возрастать
(по сравнению с кривой для гладких труО) за счет
увеличения площади поверхности трения (по сравнению с
площадью поверхности гладкой труоы;. аатем, по
достижении определенных чисел ке, одновременно на всех
выступах шероховатости (по всей поверхности) появляются
срывы вихрей, в результате чего X быстро увеличивается.
Технические трубопроводы характеризуются значи-
тельным разбросом величины выступов шероховатости
относительно их среднего значения (рис. 4.20, б), поэтому
срывы вихрей, образующиеся вначале на самых больших
выступах, с увеличением числа Re возникают и на
остальных элементах, в результате чего кривые X=f(Re)
плавно отходят от прямой гладкого трения. По данным
М. Д. Миллионщикова, шероховатость в опытах
Никурадзе характеризовалась дисперсией
(среднеквадратичным отклонением от среднего значения) а« (0,23 -г- 0,3) /гэ,
тогда как для технических трубопроводов она достигает
1,5 &э. С уменьшением дисперсии отклонение от линии
гладких труб становится более резким.
Многочисленные опыты, проводившиеся для
установления закона распределения осредненной местной
скорости по поперечному сечению турбулентного потока,
показали, что при турбулентном движении осредненная
скорость мало изменяется по сечению трубы, если исключить
175

Рис. 4.19. Зависимость коэффициента гидравлического трения от числа Рейнольдса для новых стальных труб
/ — линия ламинарного движения; // — линия турбулентного движения в гидравлически гладких трубах; / — d= 15,55 мм; 2
«26,2 мм; 3 — d~52,4 мм; 4 — d-78,5 мм; 5 — d-155,1 мм; 6 — с/ = 302 мм; 7 — cf«600 мм; 8 — rf=1200 мм

Рис. 4.20. Типы шероховатостей а)
а — равнозернистая; б —
шероховатость технических трубопроводов г
(профилограмма стального
воздуховода; увеличение вертикальное
500-кратное, горизонтальное 25- .
кратное) т
к
V/,
w
1
L
/
^
г
^
^3
1,0
од
o,s
0,4
С 0/2 0,4 0,6 0,8 у/г
v/u max
1,0
0,8
0,6
Ofi
0
I 2v
J4,
W
г
/
I
0}2 0,4 0,6 0,8 у/г
Рис. 4.21. Профиль скоростей
в гидравлически гладких
трубах
/ — при Re = 3,2-108; 2 — при Re=»
= 1 • 10s; 3 — при Re=4-103
Рис. 4.22. Распределение
скоростей во вполне шероховатых
тр>убах (опыты Никурадэе) при
R^=l-106
/ 4-гидравлически гладкие трубыа
2-U г/Аг=126; 3-r/fe = 30,6
из рассмотрения небольшую область у стенок, где особо
существенную роль играет трение.
Область, где скорости почти не меняются по сечению,
называют ядром течения, а слой у стенок,
характеризующийся быстрым уменьшением значения скорости, —
пристенным, или вязким, подслоем; толщина вязкого подслоя
обычно очень незначительна (дрли миллиметра).
Равномерное распределение скоростей в ядре объясняется
интенсивным перемешиванием, которое представляет
основную особенность турбулентного движения.
В результате исследований распределения скоростей
(рис. 4.21 и 4.22) были предложены различные
эмпирические формулы. Широкое распространение получила
степенная зависимость
"Гитах = (У!г)п,
(4.38)
где и — скорость на расстоянии у от стенки; итах — максимальная
скорость на оси трубы: п — показатель степени, зависящий от числа
Рейнольдса для гидравлических гладких труб и от относительной
шероховатости для труб вполне шероховатых.
12—626
177

Рис. 4.23. К расчету
касательных напряжений в
турбулентном потоке
и
3. КАСАТЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ
ДВИЖЕНИИ
При исследовании закономерностей турбулентного
движения в трубах целесообразно исходить, как это было
сделано в случае ламинарного движения, из выражения
для касательного напряжения. Природа касательных
напряжений, возникающих в турбулентном потоке, более
сложна, чем в ламинарном. В процессе турбулентного
перемешивания массы жидкости из центральной части
трубы попадают в область потока у стенок, и, наоборот,
частицы, движущиеся у стенок, — в центральную область
потока. Массы, перемещающиеся из центральной части
потока к периферии, обладают большими продольными
скоростями, чем перемещающиеся в противоположном
направлении, так как осредненная местная скорость
больше в центральной области потока. Массы, движущиеся с
меньшими скоростями, попадая в область больших ос-
редненных скоростей, тормозят движение жидкости в
этой области. Таким образом, обмен массами жидкости в
потоке в поперечном направлении приводит к
соответственному обмену количеством движения.
Пусть два слоя движутся один относительно другого
(рис. 4.23) со скоростью их, причем их>и2. Обозначим
через и у скорость поперечного движения, в результате
которого происходит обмен массами между слоями. Через
некоторую площадку До в единицу времени от слоя 1 к
слою 2 перемешается масса жидкости рм^Дсо. Эта масса
передаст слою 2 количество движения, равное ри'Дсом^,
в результате чего движение слоя 2 ускорится. Это
равносильно действию на слой 1 со стороны слоя 2 силы,
направленной против течения:
— ч'ух Асо = ри'у Д т'х.
Ди»их
178

Отсюда для касательного напряжения имеем:
Выражение (4.39) определяет мгновенное значение
касательного напряжения в данной точке, вызванное
турбулентным перемешиванием. Осредненное значение
напряжения турбулентного трения обозначим (Рейнольде,
1883 г.):
\=Vuxuy (4.40)
(черта над буквами здесь означает осреднение).
Касательное напряжение, обусловленное
турбулентным перемешиванием, добавляется к вязкостному и
полное напряжение записывается в виде
*e*B + *» = ^-Kv (4'41>
где т — суммарное касательное напряжение; тв — напряжение,
вызываемое действием сил вязкости.
При ламинарном движении перемешивания жидкости
не происходит, и выражение (4.41) приводится к закону
Ньютона. Таким образом, выражение (4.41) является
обобщенным для касательного напряжения в движущейся
жидкости.
Величина тт в выражении (4.41) обусловлена пульса-
ционными добавками скорости, поэтому для ее
определения нужно найти зависимость пульсационных добавок от
осредненных характеристик потока. Эта зависимость
весьма сложна и не до конца изучена. Вследствие
случайного характера турбулентного движения естественнее
всего при его изучении применять статистические методе*
именно на этом и основаны так называемые
статистические теории турбулентности. Однако, несмотря на значи^
тельные успехи в разработке этих теории, до сего времени
с их помощью не удалось получить результатов, которые
можно Рыло Оы использовать в инженерной практике
при решении задач о распределении скоростей по сечению
или о потерях энергии при турбулентном движении в
трубах.
4. ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕМ МЕХАНИЗМЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
^ •* Важнейшими характеристиками турбулентного движения явля-
"ЧотсЯ пТльсационйЫе составляющие скорости, определяемые- средне*
*ЪМдра*тачным отклонением мгновенных скоростей в рассматриваемой
точке потока от осредненной скорости: -*
12*
179

Рис. 4.24. Распределение
турбулентных пульсации
скорости и касательных
напряжений в потоке
(измерения Рейхарда в
гидравлически гладкой
прямоугольной трубе)
Рис. 4.25. Сложение двух
синусоидальных колебаний
u'=„_u="^/-^[(Ul-«)2 + («2-«)2+...+ («n-«)2].
где Mi, м2, -» Un — мгновенные значения скоростей в
рассматриваемой точке; п — число измерений мгновенных значений скоростей.
На рис. 4.24 показано изменение продольной их и поперечной
иу пульсационных составляющих скорости в зависимости от
расстояния от стенки, причем обе составляющие отнесены к динамической
скорости и*. Из графика видно, что непосредственно на стенке обе
составляющие пульсаций равны нулю. Поперечная составляющая
пульсаций на некотором расстоянии от стенки достигает
максимального значения,, рдвного примерно «*, а затем слегка уменьшается.
Продольная составляющая пульсаций при удалении от стенки
увеличивается быстрее, достигая на расстоянии, равном толщине вязксГ-
го подслоя, значения их^2,5 и*, а затем монотонно падает до
Цх~и* на оси трубы. Таким образом, вблизи оси обе составляющие
пульсационных скоростей близки между собой и примерно равны и*.
Такая турбулентность, при которой все составляющие пульсаций
равны между собой, называется изотропной. Любые реальные тече^
нйтт, имеющие градиенты осредненных скоростей, являются- в общем
случае анизотропными (пульсационные составляющие различны пр
величине). *
На тем же рис. 4.24 показано изменение турбулентных
касательных и суммарных касательных напряжений, отнесенных к
касательному напряжению на стенке. Турбулентное касательное напряже.-
ние, определяемое процессами турбулентного перемешивания, равно^
нулю на стенке трубы, достигает максимума вблизи стенки j л^алее
с_удалением от стенки уменьшается по линейному закону, ^£ттшЛт
н,улю в центре трубы.
Как уже отмечалось выше, турбулентность можно представить
180

Рис. 4.26.
Распределение энергии турбу-
i j. лентности по
масштабам
2
/ — поступление энергии
J за счет кинетической
энергии основного пото-
. ка; 2 — переход энергии
1JL от больших к малым
*"~ вихрям; 3— диссипация
энергии в тепло
вследствие вязкости
состоящей из большого числа наложенных друг на друга пульсаций
(вихрей) разных размеров (масштабов), каждый из которых имеет
свою амплитуду. Масштаб наибольших вихрей называют
макромасштабом L (внешний масштаб), наименьших вихрей —
микромасштабом /о (внутренний масштаб).
Предположим для упрощения, что турбулентный поток состоит
из системы всего двух вихрей 1 и 2 (рис. 4.25). Сложение двух
колебаний, вызванных наличием этих вихрей, приводит к более
сложному результирующему колебанию 3. Анализ реальной
осциллограммы пульсаций скорости позволяет рассматривать их, аналогично
предыдущему, как наложение нескольких вихрей, имеющих разные
амплитуду и размер. Амплитуда определяет пульсацию скорости и'.
Квадрат пульсационной составляющей прямо пропорционален
турбулентной энергии Е = ри'2/2. Поэтому, разделяя турбулентное течение
на простые пульсационные колебания (гармоники), можно найти
турбулентную энергию,' соответствующую каждому из этих
колебаний, и, следовательно, энергию турбулентности Е, соответствующую
каждому размеру вихря (так называемый энергетический спектр),
т. е. пульсациям определенного размера присуща вполне
определенная турбулентная энергия.
На типичном энергетическом спектре пульсаций турбулентного
потока (рис. 4.26) можно выделить три характерные области.
Область а характеризуется наибольшими вихрями, получающими энер-'
гию от осредненного течения и передающими ее более мелким
вихрям. В этой области спектра с уменьшением размера вихрей (т. е. с
увеличением 1//) их энергия возрастает, достигая максимального
значения при размере вихрей lL (так называемые энергонесущие вихри).
По размеру эти вихри близки макромасштабу турбулентности.
Энергонесущие вихри передают энергию более мелким вихрям.
Процесс передачи энергии сопровождается распадом крупных вихрей па
более мелкие до тех пор, пока в конечном счете вихри не станут
настолько малыми (область с), что будут уже не турбулентными, а
вязкими. Именно в этих наименьших вихрях, имеющих размер,
близкий к микромасштабу турбулентности, происходит переход
турбулентной энергии в тепло (так называемая диссипация энергии).
Между областью крупных вихрей с максимальной энергией и
областью наименьших вихрей имеется промежуточная область вихрей
средних размеров (область 6), называемая инерционной областью
спектра.
5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Для количественного описания турбулентных потоков
наиболее плодотворными оказались так называемые по-
181

луэмпирические теории, основанные на
схематизированных моделях турбулентного потока.
Отправным пунктом для развития полуэмпирических
теорий явилось предложение Буссинеска о том, чтобы
записывать касательное напряжение тт, вызванное
турбулентным перемешиванием в виде, аналогичном закону
вязкости Ньютона, полагая
%T = Adux/dy, (4.42)
где A ~-^n£^£^£^SmmSmmSmJb (коэффициент турбулентного переме-
шиванкя7Гиме!оТ^?Тг7^^ТазмеРН0СТЬ» что и динамическая
вязкость жидкости ц; однако в отличие от физической вязкости \х
турбулентная вязкость А не является свойством жидкости, а
зависит от интенсивности турбулентного перемешивания, которая
неодинакова при различных скоростях течения и на разных расстояниях
от стенки трубы.
Помимо дополнительных касательных напряжений,
которые возникают в результате переноса количества
движения, турбулентное перемешивание вызывает также
перенос тепла и при движении двухфазных потоков твердых
частиц.
Поскольку в разных точках потока температура
неодинакова, то частицы жидкости, движущиеся из мест с
более высокой температурой, забирают оттуда больше
тепла, чем в эти места приносят частицы, приходящие из
мест с более низкой температурой. В результате
происходит перенос тепла из мест с высокой температурой в зоны
с низкой температурой (так называемая турбулентная
теплопроводность). По аналогии с формулой (4.42)
можно записать
Q = cpAQdt/dy,
где Q — перенос тепла при турбулентном перемешивании,
приходящийся на единицу времени и площади; с0 — теплоемкость жидкости
при постоянном давлении; dtjdy — градиент температуры; AQ —
коэффициент турбулентной теплопроводности.
Если поток переносит твердые частицы с
концентрацией С, то при турбулентном перемешивании в единицу
времени и через единицу площади переносится масса этих
частиц
т = AmdC/dyt
где Лщ коэффициент турбулентной диффузии.
Механизм переноса тепла или твердых частиц не
вполне аналогичен механизму переноса количества движения,
поэтому в количественном отношении коэффициенты Л,
182

Рис. 4.27. Распределение турбулентной
вязкости
/ — по опытным данным Лауфера; 2 — то же,
Нуннера
0,2 0,4 0,6 0J5 2Х
AQ и Ат неодинаковы. Приближенно можно принимать
AQ/A « 1,4-7-2; Ат/А~ 1,2-М,4.
Уравнение (4.41) с учетом уравнения (4.42) можно
представить в виде
x = TB + rT = ii^ + A^- = (ii + A)^. (4.43)
dy dy dy
Имеется несколько полуэмпирических теорий
турбулентности, основанных на разных выражениях для
турбулентной вязкости А. Ниже излагается полуэмпирическая
теория, разработанная А. Д. Альтшулем в 1950 г. [2].
Уравнение для касательного напряжения при
турбулентном течении (4.43) после деления на плотность
жидкости принимает вид:
т/р = (v + -ф) dw/dr/, (4.44)
где ф=Л/р — кинематическая турбулентная вязкость; v —
кинематическая молекулярная вязкость.
Из опытов известно, что при турбулентном движении
(основной перепад скорости происходит в узкой ооласти,
расположенной вблизи стенки, для которой можно
приближенно принимать:
т = т0. (4.45)
Тогда уравнение (4.44) приводится к виду:
ul = (v + ^)dl/dy. (4.46)
Для дальнейших выводов необходимо установить
характер изменения турбулентной вязкости хр с удалением
от стенки. В первом приближении на основании опытных
данных для области, близкой к стенке, можно принять:
я|з = хад. (4.47)
где х — постоянная (1-я константа турбулентности),
Из рис. 4.27 видно, что вблизи стенки зависимость
(4.47) подтверждается.
Формула (4.47) для турбулентной вязкости может
183

быть получена методом размерностей и обоснована
работами Прандтля.
Подставляя выражение (4.47) в зависимость (4.46),
находим1:
-*-- £ , (4.48)
6у v (1+ x«*t//v)
а после интегрирования
_JL=_Lln/1+^ML)+c, (4-49)
т. е. получим логарифмический закон распределения
скоростей.
Проанализируем обобщенную формулу (4.48). В
случае, когда xtt*#/v»l или (nu^r/v) (*//г)>1, что
наблюдается при больших числах Рейнольдса и вдали от
стенки трубы, имеем:
du ul и*
d*/ ки*у у.у
В случае, когда xw*t//v<l, т. е. при малых числах
Рейнольдса и вблизи от стенки трубы, формула (4.48)
упрощается к виду:
_do *£_
*У " v '
т. е. к формуле для градиента скорости при ламинарном
течении.
Скорость Ист на уровне средней высоты выступов
шероховатости k определяется из выражения
«ст 1 . Л , *"*&
1 / шЛ \
_ln(1+_^j+c>
м*
Из уравнений (4.50) и (4.49) получаем:
(4.50)
и 1 / 1 + y.u*ylv \
= — In — — +р. (4.51)
ы* и \ 1 + KU*k/v J
где принято (следуя Прандтлю), что скорость uCT зависит только
от касательного напряжения на стенке т0, и введено обозначение
wCT/«* = P (где р — постоянная — 2-я константа турбулентности).
1 В дальнейшем осредненную во времени продольную местную
скорость и мы будем обозначать ы, так как о пульсациях уже не будет
речи,
184

После подстановки найденных из опытов значений
констант х=0,4 и а=7,8 формула (4.51) принимает вид:
=7,8+ 5,75 lg ^ *У . (4.52)
При больших числах Рейнольдса 0,4«*t//v^> 1, и
уравнение (4.52) упрощается:
JLe7>8_B.751g(-^+-4 (4-53)
Формула (4.53) учитывает влияние на профиль
скоростей одновременно вязкости и шероховатости. Как
показывают опыты, она пригодна для всей области
турбулентного движения в трубах, т. е. как для гидравлически
гладких труб, так и для вполне шероховатых, а также и для
переходной области. Из формулы (4.53) можно получить
выражение для средней скорости:
^_ = 7,8_5>75lg/A*L+JL), (4.54)
"* \ "*</ср Уср I
где #ср — ордината точки средней скорости, т. е. рассстояние от
стенки трубы до слоя, движущегося со средней скоростью.
Теоретически установлено [2], что
уср/г = 0,223. (4.55)
Это соотношение было подтверждено путем обработки
опытных данных о распределении скоростей в гладких и
шероховатых трубах.
Таким образом, при турбулентном движении жидкости
в трубах местная скорость на расстоянии 0,223г от стенки
труоы равна средней скорости. Это обстоятельство ис-
пользуется для измерения расхода жидкостей и газов в1
трубопроводах: измерительный прибор (трубка Пито,
вертушка) устанавливают в точке средней скорости, а
замеренную величину последней умножают на площадь
живого сечения трубопровода [2]. В широкой области
изменения чисел Рейнольдса этот метод обеспечивает
возможность измерения расхода с точностью ±2 %. При
этом ошибка от установки измерительного прибора не в
точке средней скорости, а на некотором расстоянии от нее
при определении расхода не превышает ±0,5 %.
Определение расхода в трубопроводе путем измерения скорости
в одной точке можно рекомендовать для потоков,
движущихся с большими скоростями, так как этот метод
измерения не вызывает больших потерь напора.
185

Вычитая уравнение (4.54) из формулы (4.53), а также
учитывая зависимость (4.14), получаем:
—=V-
+ 5,75 lg-^,
Уср
а с учетом зависимости (4.55)
— = 2W-Jr-2ig-^— ) (4.56)
Для максимальной скорости {У=г) будем иметь:
-ifa^ = 2,83f-^-21g-W (4.57)
Из формул (4.56) и (4.57) получаем:
" =1_ 1ЖЖ—. (458)
«max 0,975/Кя+1э35
Из уравнения (4.58) следует, что распределение
скоростей при турбулентном течении в трубах полностью
определяется относительным положением рассматриваемого
слоя и значением коэффициента гидравлического трения
трубопровода, которое может быть найдено
непосредственно из опытов или определено расчетом.
Подставляя зависимость (4.55) в уравнение (4.54),
получим:
v ^ 0 с ocr , /ll,2v , 4,48£
=7,8 — 5,35 lg(
и*
/ll,2v , 4,48fc \
\ "*г r J
Учитывая известную связь u* = v Y Л/8, из этого
уравнения можно получить формулу для коэффициента
гидравлического трения:
1 / 2,5
7= =- 2 lg f
V\ \ Re V'k
или, вводя обозначение &=0,76&*
— \
1 / 2,5 _ .
— 21g —— + —*- . (4.59)
v% Wv% d-3>7
Данная формула учитывает торможение потока как под
* Эквивалентная шероховатость &э учитывает не только среднюю
высоту выступов, но также их форму, расположение в плане и пр.
186

воздействием сил вязкости, так и под воздействием
шероховатости стенок и поэтому пригодна для всей области
турбулентного течения в трубах. Еще в 1939 г. она была7
предложена английским инженером Колбруком в
качестве эмпирической интерполяционной зависимости и лишь
позже получила теоретическое обоснование [2].
Если первый член в скобках в формулах (4.53) и (4.59)
значительно больше второго (при малых значениях Re и
k3/d)y то эти формулы соответственно принимают вид:
— = 5,75 lg-^- + 5,5; (4.60)
и* v
l/VT==21gReVT-- 0,8, (4.61)
справедливый для гидравлически гладких труб. Если
второй член значительно больше первого (при больших
значениях Re и кэ/d), то эти формулы соответственно
принимают вид (при k=0,76k3):
— = 5,75 lg-k- + 7,8;
"• У
Г*
VI
1 л% ъж
zr =2 lg—-—
(4.62)
справедливый для вполне шероховатых труб.
Формулы для гидравлически гладких и вполне шероховатых
труб1 впервые были получены Прандтлем. Для переходной области
Прандтль аналитических зависимостей для профиля скоростей и
коэффициента гидравлического трения не дал. Согласно Прандтлю,
весь поток в трубе можно разбить по сечению на две зоны — вязкий
подслой и турбулентное ядро, между которыми предполагается
существование переходной зоны.
В качестве безразмерного параметра, характеризующего толщину
этих зон, используется комплекс «*t//vf Наиболее распространено
следующее деление потока на зоны:
вязкий подслой 0<«*#/v<4
переходная зона ......... 4<h+z//v<70
турбулентное ядро ,.,,,,,,, и*у1\>>70
1 Более поздние исследования показали [2], что формула (4.62)
действительна лишь для равнозернистой шероховатости. Для других
видов шероховатости ее правильнее записывать в общем виде:
1 d
VI
где значение коэффициента Л является переменным и зависит от
вида шероховатости.
187

Рис. 4.28. Профиль ос-
редненных скоростей по
сечению гидравлически
гладкой трубы
/ — по формуле (4.60); //—
по опытам Рейхардта; / —
Re-4-lO3; 2— Re=4,M05;
3-Re=2-10e
Профиль скоростей по сечению гладкой трубы, согласно схеме
Прандтля, приведен на рис. 4.28.
Новейшие исследования не подтверждают наличия у стенки
подслоя со строго ламинарным течением в ней; в действительности
турбулентные пульсации существуют и в самой непосредственной
близости к стенке. Измерения показывают, что вблизи стенки
периодически за счет прилипания частиц жидкости образуется вязкий подслой,
который увеличивается под действием сил вязкости, а затем под
воздействием турбулентности, господствующей во внешней зоне,
быстро разрушается. При разрушении вязкого подслоя происходит
интенсивный выброс жидкости во внешнюю зонуг^причем после
разрушения подслоя скорость у стенки оказывается близкой к средней
скорости потока. Вследствие прилипания жидкости на стенке снова
образуется вязкий подслой, и цикл повторяется. Та^ким образом,
жидкость в подслое периодически обменивается и смешивается с
жидкостью других областей турбулентного потока.
е>. ПРАКТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТЕРЬ
НАПОРА И ПРОФИЛЯ СКОРОСТЕЙ В ТРУБАХ
Полученные с помощью полуэмпирической теории
формулы для определения коэффициента гидравлического
трения и профиля скоростей при турбулентном течении в
трубах весьма удачно подтверждаются опытными
данными. Эти формулы оказалось, однако, целесообразным
привести к более простому виду.
Формула (4.59) неудобна для практических расчетов;
при пользовании этой формулой приходится прибегать
или к методу последовательных приближений, или к
построению расчетных графиков. Значительно удобнее для
расчетов формула А. Д. Альтшуля, дающая зависимость
^=/(Re; кэ/d) в явном виде:
* = 0,ll(Vd + 68/Re)0'25. (4-63)
Эта формула удобна для расчетов, так как
вычисления по ней сводятся к элементарным алгебраическим дей-
и/и*
30
25
20\
15
10
5
О
71
\г
и*.
о-Г
•-2
Д-J
д^
10
100 WOO 10000 инф
188

Рис. 4.29. Границы
областей применения
формул для
определения
/-Re*3/d=.10; 2-Re*9/
/d=500; / —- зона
ламинарного движения, А,—
e64/Re; // — зона
гладкого трения, А,=0,316/
/Re ' ; /// —
переходная зона, Я—0,\\(kQ/d+
1/4
+68/Re) ' ; IV-
квадратичная зона, Х=»
= 0,\\(kjd)l/4
Фш
2000
1800
1600
1400
1200
10001
800\
600
400
200\
1
[__/
Е
./
Ш
■2
ш
щ
111
III
Re
ствиям. На пределах эта формула переходит в известные
и хорошо отвечающие опытам зависимости для
коэффициента гидравлического трения. Действительно, при условии
Re(V<0<10 (4-64)
она практически совпадает с формулой Блазиуса для
гидравлических гладких труб (4.36), а при условии
Re(V<0>500 (4.65)
— с формулой Шифринсона для вполне шероховатых
труб (4.37).
Границы областей применения формул для
определения X представлены на рис. 4.29, а значения кэ — в
табл. 4.1.
Уравнение (4.58), характеризующее профиль
скоростей в трубах, можно приближенно представить в виде
простой степенной формулы
ulUmax = (ylr?*Vi:, (4.66)
справедливой для всей области турбулентного движения
[2].
Сравнивая уравнения (4.38) и (4.66), видим, что
значение показателя степени в последней формуле связано с
коэффициентом гидравлического трения простым
соотношением
л = 0,9 "КГ. (4.67)
Из зависимостей (4.66) и (4.67) легко получить
расчетные формулы для определения отношения средней ско-
189

Таблица 4.1. Значения абсолютной шероховатости кэ для труб
из различных материалов
Трубы
Тянутые из стекла и
цветных металлов
Бесшовные стальные
Стальные сварные
Оцинкованные железные
Чугунные
1 Состояние труб
Новые, технически гладкие
Новые и чистые, тщательно
уложенные
После нескольких лет
эксплуатации
Новые и чистые
С незначительной коррозией
после очистки
Умеренно заржавевшие
Старые заржавевшие
Сильно заржавевшие или с
большими отложениями
Новые и чистые
После нескольких лет
эксплуатации
Новые асфальтированные
Новые без покрытия 1
Бывшие в употреблении
Очень старые
&э, мм
0—0,002
0,001
0,01—0,02
0,014
0,15—0,3
0,2
0,03—0,1
0,06
0,1—0,2
0,15
0,3—0,7
0,5
0,8—1,5
1
2—4
3
0,1—0,2
0,15
0,4—0,7
0,5
0—0,16
0,12
0,2—0,5
0,3
0,5—1,5
Г
До 3
190

Продолжение табл. 4.1
Трубы
Деревянные |
Резиновый шланг
Льняной или пеньковый
прорезиненный шланг
Асбестоцементные
Батонные
Состояние труб
Из деревянных клепок,
тщательно остроганные
Из деревянных клепок,
обычные
Из неостроганных досок
—
—
1 Новые
Новые из предварительно
напряженного бетона
Новые центробежные
Бывшие в употреблении
Из необработанного бетона
k , мм
0,1—0,3
0,15
0,3—1
0,5
1—2,5
2
0,01—0,03
0,02
0,50—0,80
' 0,75
0,5—0,1
0,085
0—0,05
0,03
0,15—0,3
0,2
0,3—0,8
0,5
1—3
Примечание. Под чертой приведены средние значения /гэГ*
рости к максимальной и коэффициента Кориолиса при*
турбулентном движении в трубах [2]:
umax/v= 1 + 1,3/Г; (4.68)
ее =1+2,65*,. (4.69)
Таким образом, как umax/v, так и а зависят только от
коэффициента гидравлического трения.
191

Полуэмпирические формулы для определения
коэффициента гидравлического трения (4.57) и (4.63),
имеющие теоретическое обоснование и охватывающие
движение в трубах разного диаметра, при различных скоростях
и для различных жидкостей, появились сравнительно
недавно. В различных областях техники до сих пор
продолжают пользоваться многочисленными эмпирическими
формулами, полученными непосредственно путем
обработки опытных данных и действительными лишь в
ограниченных условиях (для определенных жидкостей,
диаметров труб, скоростей течения, температур и т. д.).
В этих формулах шероховатость стенок принимается
постоянной или учитывается с помощью коэффициентов
шероховатости), причем для каждой формулы даются
особые шкалы коэффициентов шероховатости в зависимости
от материала трубы.
Зависимость X=f(Re), описываемая формулами
(4.59). и (4.63), характерна лишь для трубопроводов с
неравномерно-зернистой (технической) шероховатостью
(стальные, чугунные, бетонные и т. п.). Для других видов
шероховатости кривые ^=f(Re) могут иметь иной
характер, как это видно, например, из рис. 4.30, где наряду с
опытными кривыми Никурадзе в трубах с равномерно-
зернистой шероховатостью нанесены кривые X=/(Re) для
необлицованных туннелей, пробитых в скале.
Своеобразный характер имеют кривые A,=/(Re) для
деревянных труб, прорезиненных шлангов (армированных
внутри проволокой), трубопроводов с винтовой нарезкой
и т. д. Для расчета подобных трубопроводов до сих пор
пользуются опытными кривыми и эмпирическими
формулами, каждая из которых справедлива в определенной
узкой области изменения факторов, определяющих
движение жидкости в трубах (скорость движения, диаметр
трубы, вязкость жидкости, шероховатость стенки и т. д.).
Поэтому нельзя экстраполировать эмпирические формулы
на области, для которых их применимость не проверена,
с*то может привести к груОым ошиОкам и просчетам.
7. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ НЕКРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
Для транспорта капельных жидкостей и газов в ряде
случаев используются трубопроводы некруглого сечения
(рис. 4.31) (например, в вентиляции, охлаждающих
устройствах и пр.). В таких трубах возникают так называе-
192

Рис. 4.30. Кривые IpfwDX)
W(Re) для не- У( ■ -
облицованных
туннелей в скале 1,0
(сплошные линии)
и кривые Никурад- дд\
зе (пунктирные
линии) 0}8
0,7
o,&V~
0,5kzrd[
04
'4,0
У
4
I У
к
*» "//]
\у*
„ „^
»-* """"
х" "-*
1И
-Д?*
-ЭД0
-ДО
S<7
6#
£tf
19 Re
мые вторичные течения, которые легко можно
наблюдать, например, при подкрашивании потока.
Вторичные течения происходят в плоскости
поперечного сечения трубы: частицы жидкости движутся при этом
из центральных районов трубы по направлению к углам
(рис. 4.32). Накладываясь на продольное движение,
вторичные течения непрерывно переносят количество
движения по направлению к углам, в результате чего в угловых
участках наблюдаются сравнительно высокие продольные
скорости.
Потери на трение в трубе с поперечным сечением
некруговой формы можно найти по формуле Дарси—Вейс-
Рис. 4.31. Линии постоянных
скоростей (изотахи) в
треугольной трубе (по Никурадзе)
Рис. 4.32. Вторичные течения в
треугольной трубе
13—626
193

Рис. 4.33.
Зависимость коэффициента
гидравлического
трения от числа Рей-
нольдса для труб
различного
поперечного сечения
1 — равносторонний
треугольник; 2
—равнобедренный треугольник; 3—
квадрат; 4 —
прямоугольник (3,5: 1); 5 —
кольцевая щель
(rfi/d2=0,6/0,8)
баха [2], в которую вместо диаметра трубы входит
эквивалентный диаметр rf3:
/!- = ^^ = яЖ"^- (4-70)
При турбулентном движении жидкости коэффициент
гидравлического трения в трубах некругового
поперечного сечения можно определять по формулам для круглых
труб. При этом в ряде случаев коэффициенты
гидравлического трения оказываются близкими к
соответствующим коэффициентам в круглых трубах (при равенстве
эквивалентных диаметров), как это видно из рис. 4.33.
Число Рейнольдса в этом случае имеет вид Re = ud3/v.
Однако для некоторых форм поперечных сечений
коэффициенты гидравлического трения заметно отличаются от
соответствующих коэффициентов для круглых труб с
одинаковым эквивалентным диаметром. Так, для
прямоугольных гладких труб шириной В и высотой h коэффициент
гидравлического трения зависит от отношения B/h,
убывая с его ростом, и может отличаться от
соответствующего коэффициента для круглых труб при одинаковых d3
на 20 .%.
Коэффициент А=ХТ(ё^ для гидравлически гладкой
трубы с поперечным сечением в форме равнобедренного
треугольника изменяется в зависимости от угла 2а (рис.
4.34), При 2а —40° значение А для треугольного сечения
отличается от значения А для круглого сечения
(при одинаковых d3) всего на 5 %, но при а=15° — уже
примерно на 15 %•
При турбулентном движении в отличие от
ламинарного основное изменение скорости происходит в пристенном
щ
0,03
0,02
am
I в
! *
АС
L
X
ь1
*2> '
о5
fe£ *
3,5
4>5
tgRe
194

Рис. 4.34. Коэффициенты
гидравлического трения при
равномерном^ турбулентном движении в
трубах треугольного сечения
(кружками обозначены
экспериментальные данные для чисел
Рейнольдса 5 000 и 10 000)
' О 16 J2 48 2оС
слое и влияние противолежащих стенок оказывается
сравнительно слабым. Этим и объясняется слабое влияние
формы сечения на сопротивление при турбулентном
движении. При уменьшении растояния между стенками их
взаимное влияние возрастает.
8. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ОТКРЫТЫХ
РУСЕЛ
вать"Гх\™оГнВносЧтеи-К°М ^^ °ТКРЫТЫХ РУС6Л необх°Д™° У»™-
трубы; °ткрытые русла имеют более сложную форму сечения, чем
2) наличие свободной поверхности создает возможность тля
lilZfT СИЛ ТЯЖеС™ И поверхностного натяжения которые не
оказывают влияния при напорном течении в трубах-
™™?°?й0ВНаЯ задача' интересующая инженера при расчете открытых
русел (безнапорных труб и каналов), состоит в определении средней
скорости течения и проходящего расхода. делении средней
ЛппмЛ'?*! ™ ДЛЯ средней скорости течения можно получить из
формулы (4.70), переписав ее в виде
v = cVrF,
(4.71)
(4.72)
п^1!,"~СреДНЯЯ-Скорость течения; Я-гидравлический радиус- /-
мРпНпгпТРИЧеСКИИ УКЛ0Н' равный в Рассматриваемом случае
равномерного движения гидравлическому уклону.
Формула (4.72) называется формулой Шези, а входящий в чее
из1оЭомЦуИлеНГ4 7.7К°^^ЦИеНТОМ "*»", определяемым?^ следуй
из формул (4.71) и (4.72), выражением
С=]^7Г. (4.73)
Коэффициент Шези имеет размерность корня квадратного .«
ускорения, что непосредственно следует из уравнения (4.73), и
обычно выражается в м /«/с. Этот коэффициент зависит от тех же фак-
п1п!^К°ЭффЩНе"Т V0T числа Рейнольдса, относительной ше-
mvh° B„J? ] " М°ЖеТ' В°°бще ГОВОря' быть найден пересчетом
формул для к в соответствии с формулой (4.73). На практике, однако,
при расчете течении в открытых руслах пользуются специальными
формулами для определения коэффициента Шези, отражающими от-
13*
195

меченные выше особенности движения воды в открытых руслах (не»
круговая форма сечения, наличие свободной поверхности, специфика
шероховатости).
Наиболее простой и распространенной формулой для
определения коэффициента Шези является формула Маннинга:
с = — д1/6,
П
где R— гидравлический радиус, м; п — коэффициент шероховатости
поверхности русла, значения которого приводятся в справочниках
[12, 16].
Формула Маннинга является чисто эмпирической и
действительна только для квадратичной области сопротивления, так как она не
учитывает влияния числа Рейнольдса на коэффициент Шези. Если
такое влияние существует, то более точные результаты дает
формула [2]
С = 2бГ —
L (80/г)6 -f- 0,025 IV RI
где R — в мм.
9. НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ
Все изложенные выше соображения относятся к
сформировавшемуся турбулентному потоку. Формирование
турбулентного потока (так же, как и ламинарного)
происходит постепенно. Длина начального участка, на
котором заканчивается формирование поля осредненных
скоростей (при заданной форме входа), как показывают
исследования А. Д. Альтшуля, зависит от коэффициента
гидравлического трения ic для стабилизированного
течения, т. е. LE/d=f(Kc). Основываясь на этих
исследованиях, Б. В. Серебро получил формулу LH/<i= 1,45/ 1/*Яс+'
,+3,78, действительная для всех трех зон турбулентного
течения в трубах.
Коэффициент гидравлического трения начального
участка трубы больше, чем той части трубы, где движение
уже стабилизировалось. Значения LH для шероховатых
труб с большими коэффициентами гидравлического
трения невелики. Однако для гладких труб и больших чисел
Рейнольдса, когда коэффициент Хс принимает малые
значения, длина начального участка заметно возрастает.
10. ПОТЕРИ НАПОРА НА ТРЕНИЕ
ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
Приведенные выше зависимости справедливы лишь для
изотермического движения, когда температура жидкости (а следовательно,
ее вязкость и плотность) во всех точках потока сохраняет одну и ту
196
I/O

же величину. При наличии же теплообмена температура жидкости
меняется как по сечению трубы, так и по ее длине. Изменение
температуры по сечению приводит к изменению плотности и вязкости
жидкости и как следствие этого к изменению профиля скоростей и
гидравлических сопротивлений.
Наиболее распространенный метод расчета гидравлических
сопротивлений при неизотермическом движении состоит во введении
поправочных множителей к коэффициенту гидравлического трения,
найденному для условий изотермического движения. Для капельных
жидкостей можно использовать зависимость
ЯНА0 = (М'ст/М'ж) * ,
где Ян и Я0— коэффициенты гидравлического трения соответственно
при неизотермическом и изотермическом движении (при вычислении
Я0 плотность жидкости и вязкость принимаются для средней
температуры жидкости); Цст и |1ж — вязкости жидкости соответственно при
температуре стенки и средней температуре жидкости. При
охлаждении жидкости цСт/Цж>1 и Ян возрастает по сравнению с Я0 при
изотермическом движении. Наоборот, при нагревании жидкости
!Лст/|Лж<1 И ЯН<Я0.
Для определения коэффициента гидравлического трения при
турбулентном движении капельных жидкостей в гидравлически
гладких трубах Г. А. Маяцкий рекомендует формулу Альтшуля,
обобщенную на случай неизотермического движения:
1
^ . #
[l ,82 lg (ИеКнст/иж) - 1 >64 ]2
Результаты расчетов по этой формуле при изменении Re от
2,8-104 до 4,5-105 и м-ст/м-ж от 2,5 до 0,83 отличаются от
экспериментальных данных в среднем на 2—3 %. С. С. Кутателадзе
рекомендует приближенную зависимость
Ян/Я0 = (Тж/Тст) ' ,
где 7\к и Гст—-средние температуры жидкости и стенки трубы
соответственно.
11. СНИЖЕНИЕ ПОТЕРЬ НАПОРА НА ТРЕНИЕ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ
Исследования последних лет указывают на возможность
значительного уменьшения потерь напора на трение в трубах при
использовании эффекта, открытого Томсом в 1948 г. Эффект Томса
заключается в том, что при добавлении к воде (а также к другим
капельным жидкостям) миллионных долей некоторых полимеров
(например, полиакриламида) потери напора на трение существенно
уменьшаются.
Механизм этого явления еще не вполне ясен. Установлено, что
добавки полимеров с высоким молекулярным весом изменяют
структуру турбулентного потока вблизи стенок. Длинные молекулы
полимеров, вытягиваясь в нити и располагаясь в виде подвижной сетки
вдоль плоскости течения в пристеночной области, снижают
поперечные составляющие турбулентных пульсаций скорости, что приводит
к снижению потерь напора на трение.
197

7/VT/7 Рис. 4.35. Снижение потерь
напора на трение в трубах
полимерными добавками
/ — линия движения жидкости в
гидравлически гладких трубах,
1/ V A,=21g(Re Yr\)-0,B; Л -
линии, нанесенные по формуле (4.74)
при различных концентрациях с
полиакриламида (ПАА): (/ — с =
= 0,012%; 2-с=0,010%; 3 - с =
=0,008; 4— с=0,0053 %); /// — то
же, для водопроводной воды
YtO3 Ю* 210* '510* Reft
На рис. 4.35 в координатах \lV^ и Ig(ReyT) приведены
результаты опытов, проведенных в стальной трубе диаметром 87,2 мм
при различной концентрации растворенного в воде полиакриламида.
Отклонение опытных точек для воды с добавками полиакриламида
от кривой сопротивления для чистой воды наступает внезапно, при
достижении так называемого «порогового» числа Рейнольдса.
Коэффициент гидравлического трения при движении воды с
добавками полимеров в трубах можно найти по формуле Ю. А. Вой-
тинской1:
-L_=-21g|7 2.8»*пор\П^/_2151_ ,_*э_\] „ щ
где ы*пор — пороговая динамическая скорость, отвечающая началу
снижения сопротивления и зависящая от вида полимера.
Коэффициент 11 зависит от вида и концентрации полимера. При
нулевой концентрации полимера rj = 0 и уравнение (4.74) переходит
в формулу Колбрука. Для полиакриламида «*ПоР = 0,05 м/с; rj«*
^1000 с (где с —объемная концентрация полимера, %),
§ 14. Местные гидравлические сопротивления
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Местные сопротивления вызываются фасонными
частями, арматурой и другим оборудованием трубопровод-
1 Войтинская Ю. А. Снижение гидравлических сопротивлений
трубопроводов, транспортирующих воду. — Водоснабжение и
сантехника. — 1973. —№ 5.
i"
у У
w
/^
А
7
Р<
Ж
У
198

ных сетей, которые изменяют величину или направление
скорости движения жидкости на отдельных участках
трубопровода (при расширении hjJh сужении потока, в
результате его поворота, при протекании потока через
диафрагмы, задвижки и т. д.), что всегда связано с
появлением дополнительных потерь набора.
Потери напора, возникшие дри преодолении какого-
либо местного сопротивления, принято оценивать в долях
скоростного напора, соответствующего скорости
непосредственно за рассматриваемым местным сопротивлением,
т. е. определять их по формуле Вейсбаха (4.3).
Коэффициенты разных местных сопротивлений
находят, как правило, опытным путем; таблицы значений этих
коэффициентов (или эмпирические камеры и формулы
для них) содержатся в инженерных справочниках и
руководствах по гидравлике. Дл|т некоторых практически
важных случаев значения коэффициентов местных
сопротивлений удалось получить также и теоретическим путем.
Иногда местные потери напора выражают в виде
эквивалентной длины /э прямого участка трубопровода,
сопротивление трения которого по величине равно
рассматриваемым местным потерям напора, т. е. из условия
/„ v2 v2
или
Таким образом, эквивалентная длина учитывает
влияние коэффициента гидравлического трения трубопровода,
где имеется местное сопротивление, на величину местных
потерь напора. В соответствии с этой формулой g
возрастает прямо пропорционально А, а следовательно,
уменьшается с повышением числа Рейнольдса и снижением
относительной шероховатости. При заданной геометрии
местного сопротивления g является функцией
коэффициента гидравлического трения К.
Основные виды местных потерь напора можно условно
разделить на следующие группы:
потери, связанные с изменением живого сечения потока
(или, что то же, его средней скорости); сюда относятся
случаи расширения и сужения потока (внезапного или
постепенного) ;
потери, вызванные изменением направления потока
199

его поворотом (движение жидкости в коленах, угольни-
ках, отводах на трубопроводах);
потери, связанные с протеканием жидкости через
арматуру различного типа (вентили, краны, обратные
клапаны, сетки, отборы, дроссель-клапаны и т. д.);
потери, возникшие вследствие отделения одной части
потока от другой или слияния двух потоков в один общий
(движение жидкости в тройниках, крестовинах и
отверстиях в боковых стенках трубопроводов при наличии
транзитного расхода).
2. ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ СЕЧЕНИЯ ПОТОКА
Внезапное расширение трубопровода. Рассмотрим
случай, который часто встречается на практике, когда
трубопровод внезапно расширяется от диаметра d\ до
диаметра d2 (рис. 4.36). Как показывают наблюдения, поток,
выходящий из узкой трубы, не сразу заполняет все
поперечное сечение широкой трубы; жидкость в месте
расширения отрывается от стенок и дальше движется в
виде струи, отделенной от остальной жидкости
поверхностью раздела. Поверхность раздела неустойчива, на ней
возникают вихри, в результате чего транзитная струя
перемешивается с окружающей жидкостью. Струя
постепенно расширяется пока, наконец, на некотором
расстоянии от начала расширения не заполняет все сечение
широкой трубы.
В кольцевом пространстве между струей и стенками
трубы жидкость находится в вихревом движении:
жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю; с
другой стороны, жидкость из центральной струи попадает
в вихревую зону. Вследствие отрыва потока и связанного
с ним вихреобразования на участке трубы между
сечениями 1—1 и 2—2 наблюдаются значительные потери напора.
Найдем величину этих потерь. Обозначим средние
скорости потока в сечениях /—1 и 2—2 через vx и v2l а
давления — через pi и р2. Давление на торцовой стенке АВ,
как показывает опыт, практически равно давлению на
выходе из узкой части трубы, т. е. р\.
По уравнению Бернулли потери напора между
сечениями 1—1 и 2—2 равны (если положить ai = a2^ 1):
ввр V № ^ 2g / \pg ^ 2g J
200

Рис. 4.36. К выводу теоремы
Борда
Г,
Ofi
0,6
0,4
0,1
О 0,2 0,4 0,6 Ofi n
Рис. 4.37. Зависимость £i от п
при внезапном расширении
потока
^\
]
-
—
—
Pi — Pi
„2
9g 2g
Из теоремы импульсов для тех же двух сечений можно
получить:
(Pi — Pi) «2 = QP (У2 — Vl) (4-76)
[учитывая, что участок растекания потока 1—2 имеет
малую длину, силами трения при составлении уравнений
(4.75) и (4.76) можно пренебречь].
Разделим обе части уравнения (4.76) на pg:
V2(02
со2-
Pi — pi
9g
Pi — Pi
g
(V2 — VJ;
щ
Vi V<
iui
(4.77)
9g g g
Подставляя выражение (4.77) в уравнение (4.75),
найдем:
2 2
V2 Щ V2 . Vl 1'2
'вн.р ■
v2_ ViVi , _Ч_ l•
8 8 28 2g
ИЛИ
"вн.р —
8
28
(4.78)
т. е. потери напора при внезапном расширении равны ско-
ростнбму напору от потёрДННОН ЯЩТТОТО. с^тот рёзуль^а'г
называется теоремой или формулой ьорда.
Формулу (4.78) можно привести к виду:
А...Р-11-?- -£г = Ь-£.
ч
2£
201

Vc»Ct dew ^ис* ^.38. К определению по-
Х-рХ^и^^^' теРь напора при внезапном из-
•' '4J ^Щу/* менении сечения
Таким образом, в рассматриваемом случае
Ь = (1 -v2lvx)* = (1 — coi/cos)^ (4.79)
На рис. 4.37 показана кривая зависимости gi от
отношения cDi/G)2=rt. Если отнести коэффициент местного
сопротивления к скорости в широкой трубе, то
о
v2
hBn. p = £г ~£~" »
где
Сг = (<*>2/°>i — О?-
Формулы (4.78) и (4.79) хорошо подтверждаются
опытами в случае турбулентного движения, если
сечение 2—2 принимается достаточно далеко за местом
расширения, т.е. там, где устанавливается нормальное
распределение скоростей по сечению.
Внезапное сужение трубопровода. Пусть в сечении
перехода трубы диаметром d\ в трубу диаметром d2
установлена диафрагма с отверстием в ней (рис. 4.38).
Обозначим: о)! и v\ — площадь сечения и средняя
скорость потока в первой трубе; со2 и v2 — то же, во второй
трубе; соз и и3 — то же, в отверстии диафрагмы.
Проходя через отверстие диафрагмы, струя
жидкости, как показывают многочисленные опыты, сжимается
и на некотором расстоянии от диафрагмы приобретает
наименьшую площадь сечения (оСж. Сжатие струи
объясняется тем, что частицы жидкости, двигаясь вдоль
диафрагмы и достигнув края отверстия, продолжают»^
дальше двигаться в прежнем направлении, лишь
постепенно отклоняясь от него. Достигнув минимального
сечения сосш, струя начинает постепенно расширяться, до тех
пор пока площадь ее сечения не станет равна площади
202

сечения трубы со2. Происходящие при этом потери
напора связаны главным образом с увеличением сечения
струи на участке расширения (потери на участке
сжатия при турбулентном движении, как показывает опыт,
незначительны) и могут быть найдены по формуле Бор-
да, т.е.
Из уравнения неразрывности имеем:
УСЖ ^сж = v2 ®2 — v3 ^З»
откуда
©еж
Отношение площади сжатого сечения оСж к площади
сечения отверстия оз называют коэффициентом сжатия
струи
е = ^-. (4.82)
Учитывая (4.82), уравнение (4.81) можно
представить в виде: исж = у3/е = у2со2/юз. Подставляя
найденное выражение для соСж в уравнение (4.80), находим:
где
h = — 1 —— = In —— ,
^(^-.М^!)' (4-83)
\ co3 e / \em /
есть коэффициент рассматриваемого местного
сопротивления (здесь т = соз/(02 — степень расширения потока).
Таким образом, коэффициент местного сопротивления
в этом случае зависит от коэффициента сжатия струи
е и отношения площадей сечения со2 и юз-
Коэффициент сжатия струи, в свою очередь, зависит
от соотношения площадей сечений coi и со3, т. е.
e = /(a>3/G>i) =/(л).
где л=д)з/о>1 — степень сжатия потока.
4 С увеличением п коэффициент е возрастает, т.е.
само сжатие уменьшается; при п=1 е=1, т.е. сжатие
отсутствует.
203

Для потока жидкости малой вязкости (т. е. при
больших числах Рейнольдса) коэффициент сжатия струи е
при истечении из отверстий можно найти но
теоретической формуле Н. Е. Жуковского:
я
6== Ji + 2-26/tg20 '
Параметр 9 определяется из выражения
/ 2 29 \
tge(1+~-^rH-
Формула Жуковского выведена для случая
истечения жидкости из плоской щели, но найденные по ней
значения коэффициента сжатия (при я<0,6) хорошо
согласуются с опытными данными, полученными для
круглых отверстий.
Таким образом, форма отверстия оказывает слабое
влияние на коэффициент сжатия струи. Вместо формул
(4.84) и (4.85) можно пользоваться также
приближенной зависимостью [2] А. Д. Альтшуля
е = 0,57 + 0,043/(1,1 - п). (4.86)
По формуле (4.86) на рис. 4.39 построена кривая
e=f(n). Подставив найденные значения 8 в уравнение
(4.83), можно определить теоретические значения
коэффициента сопротивления £ для разных значений озз/о)2-
Рассмотрим несколько частных случаев.
При наличии диафрагмы в трубе постоянного
сечения (рис. 4.40) o)i = o)2 и формула (4.83) приводится к
виду:
V со38 / \ пе J
При входе в трубу через диафрагму из резервуара
значительных размеров (рис. 4.41) o)3/o)i=0 и в
соответствии с формулой (4.84) Н. Е. Жуковского е = 0,611.
Тогда уравнение (4.83) можно записать в виде
~ \ 0,611со3
При резком уменьшении диаметра трубы (рис. 4.42)
формула (4.83) приобретает вид:
С = (1/в-1)* = [(1-е)/е]?. (4.88)
(4.84)
(4.85)
204

е
to
0,9
0$
0,7
0,6
5ОТГДДи
~с£.
&я —
025
0,5 0,75 п
Рис. 4.39. Зависимость е от п
(опытные точки — данные
разных авторов)
Рис. 4.41. Вход в трубу через
диафрагму
ys/ss/ssfX
Рис. 4.40. Диафрагма в трубе
постоянного сечения
^СЖ
Ц
со,
^4^
~ч
<&\
Рис. 4.42. Внезапное сужение
трубы
y^>;y^j
•/7>sss;a
Рис. 4.43. Вход в трубу из
резервуара
Рис. 4.45. К расчету потерь
напора в диффузоре
'ZZZZZZZZZZ2
Рис. 4.44. Плавный вход в
трубу
Для входа в трубу из резервуара (рис. 4.43) имеем:
(o2/(Oi = 0; (Оз==о)2 и, следовательно, £= (1/0,611—1)2«
~0 41.
Полученные формулы дают значения коэффициента
сопротивления, удовлетворительно согласующиеся с
опытными данными, и могут быть рекомендованы для
расчетов (при я<0,6), Следует, однако, иметь в виду, что
205

если переход сглажен закруглениями, то значения
коэффициента £ будут значительно меньше; так, для
случая, показанного на рис. 4.44, из опытов следует
значение £«0,2.
Постепенное расширение трубы. Если расширение
трубы происходит постепенно, то потери напора
значительно уменьшаются. При течении жидкости в
диффузоре (рис. 4.45) скорость потока постепенно уменьшается,
а давление увеличивается. Кинетическая энергия
частиц движущейся жидкости уменьшается как вдоль
диффузора (с соответствующим повышением давления), так
и в направлении от оси к стенкам. Слои жидкости у
стенок обладают столь малой кинетической энергией, что
не могут преодолевать нарастающего давления,
останавливаются и начинают двигаться обратно. При
столкновении основного потока с обратными течениями
возникают отрыв потока от стены и вихреобразования —
явления, которые, как известно, связаны с потерями
напора.
Интенсивность этих явлений возрастает с
увеличением угла конусности диффузора.
Диффузор характеризуется двумя параметрами:
углом конусности а и степенью расширения /г,
определяемой отношением n=(02/coi. Потерю напора в
диффузоре можно условно рассматривать как сумму потерь на
трение и на расширение: ЛДПф=йтр+Лрасш.
Потеря напора на расширение (постепенное) может
быть найдена по формуле Борда, но с введением в нее
поправочного коэффициента /Сп.р, так называемого
коэффициента смягчения, зависящего от угла конусности а,
т.е.
или
Сп.р = Кп.р £вн.Р = Яп.Р ( 1 - «1/U2)2 = Кп.р (1 - 1 /Я)*.
При турбулентном течении в диффузоре (при а<20°)
/Сп.р«sin а.
Потери на трение на бесконечно малом участке
длины диффузора кругового сечения
d/ v2
^=iTV (4-89)
где v — средняя скорость в сечении, радиус которого равен г.
206

С учетом того, что d/=dr/sin'(a/2), и на основании
уравнения расхода можно записать: v = V\ (Г\/г)2.
Подставляя эти выражения в формулу (4.89), получим:
d/iTD = ■ I dr.
тр 2r- sin (a/2) 2g \ г ]
Пренебрегая изменением коэффициента К по длине
дуффузора и интегрируя в пределах от Г\ до г2, т.е. вдоль
всего диффузора, после простых преобразований
получим:
Лтр" 8 sin (а/2) { n*J 2g '
Суммарный коэффициент сопротивления диффузора
£диф = esJU) (l - 7Г) + Кп* {1~~^}-
Таким образом, £ДПф=/(Я, а, л), так как /(п.р =
=Ыа).
Наивыгоднейший угол конусности составляет 5—8 .
Постепенное сужение трубы. При движении
жидкости в конфузоре (рис. 4.46) скорость потока вдоль
трубы возрастает, а давление уменьшается. Так как
жидкость движется от большего давления к меньшему, то
причин для срыва потока (как в диффузоре) в
конфузоре меньше. Отрыв потока от стенки с небольшим
сжатием возможен на выходе из конфузора в месте соеди-
динения конической трубы с цилиндрической, поэтому
сопротивление конфузора всегда меньше, чем
сопротивление диффузора с теми же геометрическими
характеристиками. Потери в конфузоре также складываются из
потерь на постепенное сужение и потерь на трение, т. е.
"конф = "п.с 4" "тр-
Потери напора на трение и в конфузоре
определяются аналогично тому, как это сделано для диффузора:
h х л ч ^
Лтр~ 8 sin (а/2) У /г? / 2g 1
где /i = coi/co2 — степень сужения конфузора.
Потери напора на сужение становятся ощутимыми
при а>50°. Их можно найти по формуле
А
207

40 80 120 160с£
Рис. 4.46. К расчету потерь
напора в конфузоре
Рис, 4.48. Движение жидкости
на повороте трубопровода
Рис. 4.47. Зависимость
коэффициента /Сп.с от угла
конусности
Рис. 4.49. Внезапный поворот
трубы
Рис. 4.50. Закругленное колено
причем
Еп.с — ^п.с £вн.с< (4.90)
где £вн.с — коэффициент местного сопротивления при внезапном
сужении трубопровода; /Сп.с — коэффициент смягчения, учитывающий
уменьшение коэффициента £п.с по сравнению с коэффициентом £вн.с«
Коэффициент смягчения /Сп.с, как показывают
исследования, проведенные А. Д. Альтшулем и В. И. Калицу-
ном, зависит главным образом от угла конусности (рис.
4.47).
С учетом уравнения (4.88) формуле (4.90) можно
придать вид:
£п.с = *п.с(1/е-1)2. (4.91)
При а<20° (при всех значениях п) можно
принимать £п.с~0,1.
208

При выводе формулы (4.91) предполагалось, что
потери напора при внезапном сужении трубы происходят
вследствие того, что струя при входе в трубу меньшего
диаметра сжимается, а затем расширяется. Если
уменьшить сжатие струи, например путем плавного
сопряжения конической части с цилиндрической или замены
конической части на криволинейную, то потери можно
значительно уменьшить. Коэффициент сопротивления такого
плавного сужения (его иногда называют соплом)
принимается равным 0,01—0,1 в зависимости от степени
сужения, его плавности и числа Рейнольдса.
3. ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ НАПРАВЛЕНИЯ ПОТОКА
В результате искривления потока на вогнутой
стороне внутренней поверхности трубы давление больше, чем
на выпуклой (рис. 4.48). В связи с этим жидкость
движется с различной скоростью, что способствует отрыву
потока от стенок и приводит сначала к сужению струи, а
затем (далее по течению) —к ее расширению; при этом
возникают значительные потери напора.
При резком повороте трубы (рис. 4.49), который
называется также простым или острым коленом
(незакругленное колено), потери напора особенно велики. Их
можно оценить, применив формулу Борда:
h = (^сж - у)2 = (у/г-у)2 _ у2 / 1 _ {\2
Таким образом, коэффициент местного сопротивления
колена £кол=(1/е—I)2. Коэффициент сжатия струи е
зависит от угла поворота а. Так, е=1 при а=0° и е~
«0,5 при а = 90° (прямоугольное колено), т.е. ширина
вихря составляет около половины ширины трубы. Для
последнего случая £9о°= (1/0,5—1)2 = 1, что хорошо
согласуется с опытными данными.
Опыты показывают, что значение сопротивления
резкого поворота растет с увеличением коэффициента
гидравлического трения К потока, подходящего к повороту,
как это видно из формулы £=1,1+2000 (ЮА,)8. Для
других значений угла поворота коэффициент сопротивления
определяется из зависимости [3] £оо=£9о° .(1—cos а).
При плавном повороте трубы (закругленное колено,
отвод) вихреобразования уменьшаются (рис. 4.50) и
потери напора будут значительно меньше. Коэффициент
14-626
200

, Jl
k,m
y^"=).-
Рис. 4.51.
проводе
Задвижка на трубо-
сопротивления отвода зависит от угла поворота, а также
от отношения R/d радиуса закругления к диаметру
трубы и коэффициента гидравлического трения К, т.е. £пл =
=f(a,R/d, Я).
Для отводов кругового сечения с углом ос —90°
значение £ определяется формулой
t^o= [0,2 + 0,001 (ЮОЯ)8]]/577Г.
При повороте на любой угол а можно приближенно
принимать ^=^90° а (где а — коэффициент, зависящий от
угла поворота) (табл. 4.2). Можно использовать также
зависимость £™ •-= £^0Л k (где k — коэффициент
смягчения: в первом приближении fe = 0,05+0,2 d/R). При
d/R = l £ = 0,25, и тогда £пл = 0,25, т. е. в 4 раза
меньше, чем при резком повороте.
Таблица 4.2. Значения коэффициента а в функции угла
поворота а
а
20
30
40
50
60
70
80
а
0,4
0,55
0,65
0,75
0,83
0,88
0,95
ее
90
; юо
120
! 140
1 160
180
а
1
1,05
1,13
1,2
1,27
1,33
4. ДРУГИЕ ВИДЫ МЕСТНЫХ ПОТЕРЬ НАПОРА
Потери напора в арматуре трубопроводов, В
трубопроводах в ряде случаев приходится устанавливать
различные приспособления для искусственного создания
сопротивления: задвижки, клапаны, затворы и пр. В этих
устройствах происходит сужение потока с его
последующим расширением, а также иногда и поворот.
Подобные устройства (рис. 4.51) действуют анало-
210

1*
О «
X
о ю
s 5
= 5
QJ СО
X
CQ О
С* С
с <
ft- к
* о о
и: х
и х
g а> <и
■° s о.
X Н Н
JQ й> о -*-v
<u о с со
и н ^
о» ^С
я «
О. сз
tf И
•s^/ X СЭ "О" *
В"
1 1
1°
н
штс
it ill
@ч§
i I
1J i
n Г ПТТТ
гРТ
ГП I
]_Ll_ liil]
11 f ]—in и I
Ы1й
ж
ШЖ\
ц\ II !
И" ' П
1 .и.!
III!
м1!
1 Ф
LU.-.I Hull
Щ\
t | |
ТТЛ
1
""'»■*§
^ ***
^
14*
21!

гично диафрагме, поэтому в первом приближении
коэффициент местного сопротивления может быть найден по
формуле (4.87). Значения £, подсчитанные по этой
формуле при разных п, вполне удовлетворительно
согласуются с опытными данными для задвижек и дроссельных
клапанов (рис. 4.52)*. Таким образом, можно прийти к
выводу, что местное сопротивление подобных запорных
устройств зависит главным образом от степени их
открытия и меньше от конструкции.
Потери напора в дросселе (рис. 4.53) и кране (рис,
4.54) зависят от угла поворота б. При 6 = 0° сопротив*
ление как дросселя, так и крана будет наименьшим.
С увеличением б потери возрастают, и при 6 = 90°
коэффициент сопротивления, отнесенный к скорости
течения в трубе, становится бесконечно большим.
Как правило, коэффициенты местных сопротивлений
можно найти из таблиц, составленных на основании
опытных данных.
Потери напора в стыках. Важным вопросом
гидравлического расчета трубопроводов является учет потерь
напора, вызываемых стыками. Исследования
сопротивления сварных стыков (электродуговые, контактной
сварки и с подкладными кольцами) показали, что
гидравлическое сопротивление трубопроводов при наличии
стыков возрастает, но кривые A,=/\(Re) сохраняют тот же
вид, что и для труб без стыков (рис. 4.55). Последние
можно рассматривать как местные сопротивления;
естественно, что с уменьшением диаметра трубы влияние
стыков на сопротивление увеличивается.
Возрастание сопротивления, вызываемое стыками,
можно определить по формуле
К=1 + КстА).0/О.
где A"=XctA — относительное увеличение сопротивления
трубопровода (отношение сопротивления трубопровода со стыками к
сопротивлению трубопровода без стыков); / — расстояние между
стыками (длина труб); d — диаметр труб.
Значения коэффициента £Ст в этой формуле в
зависимости от технологии сварки можно определять по
формуле [2]
* А. Д. Альтшуль, В. В. Казенное, В. Ю. Ляпин. О местных
потерях давления в напорных трубопроводах // Изв. вузов. Сер,
Энергетика.— 1985, —№ 4.
212

Рис. 4.53. Дроссель
lg(WOX)
Рис. 4.54. Кран
Рис. 4.55. Влияние сварных
стыков на коэффициент
гидравлического трения
трубопроводов
/ — сварные трубы с расстоянием
между стыками 2 м; 2—то же, 3 м;
3 — трубы без стыков; 4 —
гидравлически гладкие трубы
Ж
та
ы
_ш_
STJ
W
Рис. 4.56. Сетка с квадратными
ячейками
£ст=13,8(о7Л)3/2,
где d —диаметр трубопровода, мм; б —эквивалентная высота
сварного стыка, мм.
Потери напора в сетках. Сетчатые фильтры
являются местным сопротивлением, поэтому потери напора в
них можно найти по формуле Вейсбаха
v2 О2
где £ — коэффициент сопротивления сетки.
Для сеток с квадратными ячейками (рис. 4.56)
можно использовать формулу Н. С. Краснова [2]:
I = (92 — 78m)/Rea + 0,7(1,05 — т),
где т — коэффициент скважности сетки: m = a2/t2 (здесь а — размер
стороны ячейки сетки; / — шаг сетки); Rea = va/v (здесь v = Vi/ni —
средняя скорость в ячейках сетки, а vx — средняя скорость на
подходе к сетке).
Потери напора в тройниках. Тройником называется
деталь трубопровода, в которой происходит слияние
213

а)
ч,|-|£-_«
11—VT^-r^
t:,^f
Рис. 4.57. Тройник
а — нагнетательная труба; 2 — всасывающая труба
Рис. 4.58. Схема течения при делении потока
(соединение) или разделение (деление) потока.
Движение жидкости в тройниках является примером движения
жидкости с переменным по пути расходом, другим
примером служит движение в дырчатых трубах (см. гл. 6).
Тройник, служащий для деления потока, называется
нагнетательным (рис. 4.57, а), а для соединения
потоков— всасывающим (рис. 4.57,6). При гидравлическом
расчете тройников следует различать потери напора на
проход (и соответствующий им коэффициент
сопротивления), когда течение рассматривается в направлении
потока, и потери напора на ответвлении (и
соответствующий им коэффициент сопротивления), когда
рассматривается течение, отделяемое от потока или
соединяемое с ним. Каждый из коэффициентов сопротивления
можно относить как к скорости суммарного потока (т.е.
потока перед его делением или после соединения), так
и к скорости потока в ответвлении и, наконец, к
скорости проходящего потока (т. е. после ответвления или до
соединения). При использовании таблиц и справочников
всегда нужно обращать внимание на то, к какой
скорости отнесен рассматриваемый коэффициент
сопротивления.
Условимся значения всех коэффициентов относить к
скоростному напору, соответствующему суммарному рас-
214

ходу Q до ответвления (при делении потока) или
суммарному расходу Q' после ответвления (при соединении
потоков). Введем следующие обозначения: Q0 и Q0—
расходы в ответвлении соответственно при делении и
соединении потоков: Qnp и Qnp —расход проходящего
потока (т.е. после ответвления или До соединения).
Коэффициенты сопротивления, относящиеся к ответвлению,
обозначим через go и £0, а относящиеся к прямому
направлению—£пр и £пР.
При делении потока (рис. 4,58) рассмотрим три
случая:
1) если Q0>Qnp> т.е. расход через ответвление
значительно превышает расход на цроход, то в ответвлении
возникает вихрь (аналогично в|ихреобразованию в
колене); другой вихрь образуется на проходном участке
непосредственно после ответвления (за счет диффузорного
эффекта); оба вихря вызывают местное сжатие потока
с последующим его расширением (рис. 4.58,а);
2) если Q0<^Qnp, т.е. расход через ответвление
значительно меньше расхода на Проход, то вихрь на
проходном участке ослабевает (ррс. 4.58,6);
3) если Qo=0, т.е. поток через ответвление не
поступает, то в ответвлении возникает вихрь, являющийся
причиной местных потерь напора на проход;
следовательно, и в этом случае, несмотря на отсутствие расхода в
ответвлении, нет полной идентичности с движением
жидкости по прямому участку трубопровода (рис. 4.58, в).
Таким образом, потери напора в тройнике в случае
разделения потока складываются в основном из потерь
на внезапное расширение после сжатия потока (как на
прямом участке, так и в ответвлении).
Потери напора на проход сложно приближенно
оценить по формуле Борда
йпр = КпР(^--%р)2/(2£) =/Спр(1 — i»np/0)?0»/(2g)
или
Спр = Кпр(1-*-0ПрЛОа»
где /Спр — опытный коэффициент, зависящий от v0/v и геометрии
тройника.
Потери напора в ответвлении можно приближенно
оценить по формуле
Ao = KoO-cose)0?/(2rf
215

Рис. 4.59. Схема течения при соедине-
~jp~~Q НИИ ПОТОКОВ
или
£о = Я0(1—cosG),
где 0 — угол ответвления относительно оси основного потока; Ко—
опытный коэффициент, зависящий от отношения v0/v и геометрии
тройника.
При соединении потоков основные потери возникают
в результате перемешивания сливающихся потоков, а
также поджатия потока с его последующим
расширением (рис. 4.59).
Коэффициенты сопротивления на проход и на
ответвление, отнесенные к скорости потока после его
соединения, можно приближенно оценить по формулам:
to = K
2 vo Q'o „ л % Qn
1 + 1тг1-»-5"5г«.-.-а^-
где К' — опытный коэффициент, зависящий в основном от
отношения (0о/(0.
Таким образом, значения коэффициентов местных
сопротивлений, как отнесенных к направлению
ответвления, так и к направлению главной магистрали, могут
зависеть от геометрической формы тройника (от угла
соединения, от соотношения диаметров трубопроводов,
образующих тройник, от направления потока) и от
соотношения расходов жидкости, проходящих через
магистраль и через ответвления, т.е.
£ = /(9; со0/со; Q0/Q);
E'=/'(6; ©>'; qUQ')-
Значения коэффициентов местных сопротивлений при
турбулентном движении в тройниках в функции от Q0/Q
приведены на рис. 4.60 (для наиболее простых, часто
встречающихся на практике тройников при со0 = о) = (оПр)«
Из кривых, приведенных на этом рисунке, видно, что
значения коэффициентов местных сопротивлений в
тройниках весьма различны для случая, когда тройник
работает на разделение или на соединение потоков.
216

5. ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕСТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
ОТ ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА
Приведенные данные о коэффициентах местных
сопротивлений относятся к турбулентному движению с
большими числами Рейнольдса, когда влияние вязкости
проявляет себя незначительно. При движении жидкости с
малыми числами Рейнольдса коэффициенты местных
сопротивлений зависят не только от геометрических
характеристик каждого местного сопротивления, но и от
числа Рейнольдса подходящего потока.
На рис. 4.61 приведены зависимости коэффициента
£ некоторых местных сопротивлений от числа
Рейнольдса. В большинстве случаев с увеличением Re
коэффициент сопротивления £ уменьшается. Автомодельность
(независимость) коэффициентов £ от Re при резких
переходах наступает при Re^3000, а при плавных
переходах—при Re^lOOOO.
При очень малых числах Рейнольдса жидкость течет
через местные сопротивления без отрыва; потери
напора обусловливаются непосредственным действием сил
вязкого трения и пропорциональны скорости потока в
первой степени. Коэффициенты местного сопротивления
в этом случае связаны с числом Рейнольдса
зависимостью
C = 4/Ref (4.92)
где Л — коэффициент, зависящий от вида местного сопротивления
и степени стеснения потока.
С увеличением числа Рейнольдса наряду с потерями
на трение возникают потери напора, обусловленные от-
Рис. 4.60.
Коэффициент
сопротивления тройников
217

100
50
10
0,5
I ^
2
Ъ
с
чг
Ч"1
\
\
о-*
о
^.
и—игр-
о L
—^ P n
3
—v
о^^йэ
Рис. 4.61. Зависимость
£=f(Re) для местных
сопротивлений
1 — шарового клапана;
2 — вентиля;
3—задвижки; 4 — тройника
10 50100 500 WOO 500010000 50000 Re
Рис. 4.62. Зависимость
£ = /(Re) для
диафрагмы при различной
степени открывания
/ — п=0,05; 2 — п = 0,16;
3 — л = 0,4; 4 — «=0,64
1000
100
10
1
- I I-P
\ I II
\ I
ч Н
-44+
V 1
1 Г
г
/
1
ttfejAJZE
[ЖМТ
ffift-S
Рч
i |Ч
■
|| || 1
щ|
тШ
Nil!l
nv
]4J|m
w
-4-4-Ц-н
II
mil
НЗ
t_41
j- t 4
Щ
Щ
4 nil
r -4 4- 4,ll
1 1 '
i ■ i
A i
1 \,
+—VN
III!
и, и
sj
I [Hi
jJjJJj
Ь=Нг-|
Г Li
rvi !
Ы
III
ilSS
1
jjjjll
44-Ш
I- ["[-
/(it
:i-4-
fg
J Jj j
kill
mnm
f
mm
ffl
5B8
;z7
/$7 /Ш /Щ ,/te
рывом потока и образованием вихрей (переходная
область сопротивления). При достаточно больших числах
Рейнольдса вихреобразование приобретает основное
значение, потери напора становятся пропорциональны
квадрату скорости, так как коэффициент £ перестает
зависеть от числа Рейнольдса и определяется только
геометрией потока (так называемая квадратичная или
автомодельная область сопротивления). Это хорошо
иллюстрируется рис. 4.62, на котором приводятся зависи-
218

мости коэффициента С от числа Рейнольдса на основании
опытных данных Н. В. Левкоевой, исследовавшей
сопротивления диафрагм с разной степенью их открывания.
Опыты проводились в широком диапазоне чисел
Рейнольдса.
Наклонные прямолинейные участки соответствуют
линейному закону сопротивления (зона /),
криволинейные участки — переходной области (зона //), а
горизонтальные прямые — квадратичному закону (зона ///).
Характер кривых £=/(Re) определяется моментом
возникновения отрыва потока, образования вихрей и их
дальнейшим развитием. Чем сильнее деформируется
поток в местном сопротивлении, тем раньше (т. е. при
меньших числах Рейнольдса) возникают в нем вихри и
сопротивления подчиняются квадратичному закону.
Наличие в местном сопротивлении острых кромок (внезапное
расширение, сужение и т.д.) способствует более
раннему отрыву потока и наступлению автомодельности, и,
наоборот, если местное сопротивление имеет обтекаемую
форму (постепенное сужение), отрыв потока возникает
при значительно больших числах Рейнольдса.
Для ориентировочной оценки коэффициентов местных
сопротивлений может служить формула А. Д. Альтшуля
t = A/Re + tllB (4.93)
(здесь £ и Re отнесены к сечению трубопровода).
Значения А для различных видов местных сопротивлений и
различных степеней сжатия и значения £кв
(коэффициент сопротивления в автомодельной области) приведены
в табл. 4.3.
6. ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ МЕСТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Приводимые в справочниках экспериментальные
данные о коэффициентах местных сопротивлений относятся
к движению жидкости с нормальным (выравненным)
полем скоростей. В практике местные сопротивления
размещены иногда настолько близко одно к другому, что
поток между ними не успевает выравниваться,
поскольку вихреобразования, возникающие при проходе через
местное сопротивление, сказываются на значительном
протяжении вниз по течению. То расстояние после
местного сопротивления, в пределах которого
устанавливается нормальная (выравненная) эпюра скоростей и прек-
219

Таблица 4.3. Значения коэффициентов А и £Кв для некоторых
местных сопротивлений
Местное сопротивление
Пробочный кран . , ,
Вентиль обыкновенный
» «Косва» , , ,
» угловой . , ,
Шаровой клапан , , ,
Угольник 90° , , , ,
» 135° , . , ,
Колено 90°
Тройник . , » , . .
Задвижка, полное открытие
» п = 0,75 , .
» n = 0,5 f ,
» п = 0,25 , ,
Диафрагма, п = 0,64 ,
» гс = 0,40 ,
» м=0,16 ,
» п = 0,05 ,
150
3000
900
400
5000
400
600
130
150
75
350
1300
3000
70
120
500
3200
0,40
6,0
2,5
0,8
45
1,4
0,4
0,2
0,3
0,15
0,2
2,0
20
1
7
70
800
Примечание. Для арматуры при полном открытии и
отсутствии необходимых данных о величине А можно принимать
приближенно А = 500 £кв,
ращается влияние местного сопротивления на поток,
называется длиной влияния местного сопротивления.
При больших числах Рейнольдса в первом
приближении для оценки длины влияния пользуются
соотношением /Вл^ (30-f-40) d. Длина влияния зависит как от
геометрии местного сопротивления, так и от коэффициента
гидравлического трения на стабилизированном участке
потока, т.е. l^/d=fCk; £кв) (где к — коэффициент
гидравлического трения трубы, на которой расположены
местные сопротивления).
Суммарный коэффициент местного сопротивления
нескольких близко расположенных сопротивлений
может быть как больше, так и меньше суммы
соответствующих коэффициентов единичных сопротивлений в
зависимости от длины прямого участка между ними.
В случаях когда расстояние между отдельными
местными сопротивлениями меньше длины влияния,
возмущающее влияние одного местного сопротивления
сказывается на других. Так (рис. 4.63), поворот трубы под
220

ж
-30°
Qfi
0
p
—
!
2 4 W
Рис. 4.63. К расчету
взаимного влияния местных
сопротивлений
Рис. 4.64.
Зависимость
коэффициента суммарного
сопротивления двух
поворотов от
расстояния между
ними
углом 30° вызывает сопротивление с коэффициентом
£ = 0,11, а поворот под углом 60° дает £=0,47; если же
соединить оба поворота последовательно, то вместо
увеличения коэффициента сопротивления достигается его
уменьшение до £=0,4.
Уменьшение суммарного коэффициента
сопротивления при малых отношениях l/d можно объяснить тем, что
поток после первого сопротивления не успевает вырав-
няться и потеря напора, которая израсходовалась бы на
это выравнивание (при больших l/d), экономится.
На рис. 4.64 показано изменение суммарного
коэффициента сопротивления двух незакругленных поворотов
под углом а=45°, в зависимости от длины вставки
между ними. При l/d = 0 суммарное значение £ для обоих
поворотов равно £ для одного поворота на 90° (£эо° =
= 1,1). При увеличении длины вставки суммарная
величина £ уменьшается, достигая минимума при //d = 2, a
затем постепенно возрастает, доходя до £=0,472, соот-
К
Рис. 4.65.
Зависимость
взаимного влияния двух
последовательно
расположенных
отводов от длины
прямого участка
между ними
Q 10 20 30 40 50 '60
d
22!

ветствующего удвоенному значению £ для одного
поворота под углом 45°.
На рис. 4.65 приведены результаты исследований
взаимного влияния двух последовательно расположенных
отводов (а=90°) при изменении длины прямого
участка между ними от 0 до 50 диаметров трубопровода (по
опытам И. А. Жданова). Величина взаимного влияния
оценивалась коэффициентом К, под которым
понимается отношение приращения суммарного коэффициента
сопротивления двух отводов £i+2 к их арифметической
сумме
К= k+2-(Ei + e2) 10Q0/o,
li + li
Минимальное значение К наблюдается при
расстоянии между отводами / = 0, а максимальное — при
относительном расстоянии между отводами l/d=5. При
l/d = 50 взаимное влияние отводов практически
прекращается.
7. КАВИТАЦИЯ В МЕСТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ
На участках многих местных сопротивлений
скорости потока резко возрастают, в результате чего давление
в нем уменьшается. Если давление становится ниже
давления насыщенных паров жидкости, протекающей через
местное сопротивление (или непосредственно за ним),
возникает кавитация, неблагоприятно отражающаяся на
работе оборудования и приводящая к вибрации, шумам
и эрозионному разрушению материала. При наличии
кавитации местные потери напора заметно возрастают.
Кавитационные свойства местных сопротивлений
оцениваются по критическому значению безразмерного
числа— числа кавитации х, при котором в данном
местном сопротивлении начинается кавитация:
2 (Pi — Рку)
где pi — давление перед местным сопротивлением; ркр —
минимальное давление, при котором возникает кавитация; v{ — средняя
скорость перед местным сопротивлением.
ч/Обычно кавитация возникает при минимальном
давлении, равном давлению насыщенных паров, т. е,
2 (Pl — Рн.п)
222

Рис. 4.66. Зависимость
коэффициента сопротивления
регулирующего клапана от и (Э. С.
Арзуманов)
/ — при / = 20 СС; 2 — пги / = 90 СС;
3 — при /=115 ~С; 4 — при /=125СС
Рис. 4.67. Зависимость
критического числа кавитации от
коэффициента местного
сопротивления для регулирующих
клапанов
1—5 — двухседельные клапаны; 6 —
угловые клапаны (направление
потока на плунжер); 7 — угловые
клапаны (направление под
плунжер)
Г
700
600
500
400
300
200
юо\
Ifi
тГ
! 141
9\
1 145
\\
ftf^l
п
lit
г 1
п
Г г
к|
%
irbaa
ТТо
ш
11
1 1 ii
^
A
O.
СТХ^ R*-4
"Jf*P
irff.L
• 7
o£
lA
+-v
A~l
Jj
. LI
##? 7ДО ЭД7 1100 1300 &
at
*p
10000
1000
100
in
к
0/
НИ/Ч
УК/
illy
/к
$
?
/
'
=Fw
/1 I
i
0^9
TTI—X3~w~
o/
lo9&
Ж °?
\\\оУ°
-ИУ
о
о/
.и
<
i
И/
-44*
°И
Й
5 1 1
-у|
№т^
ъ/
1 <•*
/] I I —
—1 г-, f
Ц Ъ-2
~\ a-J
10-4
|д-5
•-7
*
о
и
'
о
/
Ti
"П
/<7
/0«
W
223

Если известно значение критического числа
кавитации хкр, то предельно допустимую скорость в
трубопроводе перед местным сопротивлением определяют по
формуле
/:
"пр- |/ 2(^"^д) . (4.94)
Для скоростей, не превышающих апр, коэффициенты
местного сопротивления определяют без учета влияния
кавитации.
На рис. 4.66 показана зависимость коэффициента
сопротивления регулирующего клапана £ от числа
кавитации. До некоторого критического значения числа х,
как видно из этого рисунка, наблюдается бескавитаци-
онное течение, характеризующееся постоянным
значением £, при х<хКр коэффициент сопротивления резко
возрастает.
Критическое число кавитации в значительной
степени определяется коэффициентом местного сопротивления
в бескавитационном режиме. Зависимость критического
числа кавитации от коэффициента местного
сопротивления для регулирующих клапанов представлена на рис.
4.67. Опытные точки для двухседельных клапанов при
прямом и обратном направлениях потока, а также для
угловых клапанов при направлении потока на плунжер
располагаются возле прямой /, а для угловых
клапанов при направлении потока под плунжер — возле
прямой //.
Для проверочного гидравлического расчета
трубопровода на бескавитационную работу необходимо знать
коэффициенты местных сопротивлений и критические
числа кавитации всех имеющихся в системе местных
сопротивлений. Предельно допустимая скорость течения
перед каждым местным сопротивлением должна
определяться по формуле (4.94).
Примеры
Пример 4.1. Определить критическую скорость при движении
воды и воздуха по трубе диаметром d = 0,01 м при температуре /=
= 20 °С.
Решение. Критическая скорость, отвечающая переходу из
ламинарного в турбулентное движение, определяется из формулы (4.6),
в соответствии с которой получим следующие значения:
224

для воды (v=l-10~6 м2/с)
t»KP = 2000-Ы0-6/0,0| =0,2 м/с;
для воздуха (v=15,7-10-6)
гкр = 2000-15,7.10-в/0,01 = 3,14 м/с.
Пример 4.2. Конденсатор паровой турбины, установленной на
тепловой электростанции, оборудован 8J186 охлаждающими трубками
диаметром d = 0,025 м. В нормальных условиях работы через
конденсатор пропускается циркуляционная! вода с расходом 3,78 м3/с и
температурой / = 12,5-г-13 °С. Будет ли при этом обеспечено
турбулентное движение воды по трубкам? |
Решение. Расход через каждую трубку #=3,78/8186—
= 0,000462 м3/с. Площадь сечения каждой трубки со = 0,00049 м2,
Скорость движения воды у = д/со = С,945 м/с.
Число Рейнольдса, характеризующие поток в трубках,
Re = 0,945-0,025/(Ы(Ь6) = 23 600,
т. е. движение воды по трубкам, действительно будет турбулентным.
Пример 4.3. Нагревательная печь расходует 400 кг мазута в
I ч (А1 = 400 кг/ч). Плотность мазута р = 900 кг/м3, его
кинематическая вязкость v = 0,27-10~4 м2/с. Определить, на какой высоте
нужно расположить напорный бак относительно оси форсунки, если
давление перед ней должно быть не менее 50 кПа при длине
подводной трубы / = 25 м и диаметре d = 0I)2 м.
Решение. Массовый секундный расход мазута М = 400/3600 =
= 0,11 кг/с. Средняя скорость течения мазута в трубопроводе
м 0,11 л лл ,
v = = 1—= 0,39 м/с.
рсо 900.0,785.0,02?
Число Рейнольдса определяем по формуле (4.4):
Re = 0,39-0,02/(0,27. Ю-4) = 290 < 2000,
т. е. режим ламинарный.
Из уравнения Бернулли, записанного дя двух сечений:
одного — по уровню мазута в баке, а другого — перед форсункой,
имеем:
ave
где ve — скорость в сечении бака.

ТРОСУ2
Пренебрегая по малости членом ab6 l(2g), принимая а=1
определяя потери напора по формуле
р 32 w/ v'
9g gd2 Ц
32-0,27.10-4.0,39.25
9,8.0,022
(4.25), имеей:
50.103
900-9,8
0,392
2-9,81
+
7,8 "м.
Пример 4.4. Найти потерю напора на трение при движении воды
с температурой /=20 °С в цельносварной стальной трубе, бывшей в
употреблении, с внутренним диаметром <i=0,5 м. Расход воды Q =
=0,6 м3/с. Длина трубы /=500 м. |
15-626
225

Решение. По табл. 4.1 значение абсолютной эквивалентной
шероховатости трубы ^э = 0,15 мм = 0,15«Ю-3 м, тогда
kjd = 0,15-10-3/0,5 = 0,0003.
Для воды заданной температуры кинематический коэффициент
вязкости v=bl0~6 м2/с.
Средняя скорость течения воды в трубе
v = AQI(juP) = 4-0,6/(я-0,52) = 3,06 м/с.
Число Рейнольдса для потока воды в трубе находим по
формуле (4.4):
Re = 3,06-0,5/(1 • Ю-6) = 1,53-106.
Значение коэффициента гидравлического трения по обобщенной
формуле (4.63) будет:
А, = 0,И [0,0003+68/(1,53-106]1/4 = 0,015.
Потери напора находим по формуле (4.29):
500 3,062
/jTD = 0,015 = 7,15 м.
тр 0,5 2-9,81
Пример 4.5. Вода при температуре /=10°С протекает с
расходом Q=400 л/мин в горизонтальной трубе кольцевого сечения,
состоящей из двух концентрических оцинкованных стальных труб (£а =
=_Q,15 мм). Наружный диаметр внутренней трубы d=7b mm, a
внутренний диаметр наружной трубы £)=100 мм. Найти потерн
напора на трение на участке трубы длиной /=300 м.
. Решение. Определяем: площадь живого сечения со = (я/4) (1002—•
—752) = 1б94 я мм2 = 34,5 см2; смоченный периметр х=л(100-\-75) =
=..175 я мм; эквивалентный диаметр с1э = 4R = 4со/х = 4-1094 X
Хя/(175я)=25,2 мм; относительную шероховатость kjd^ — 0,15/25,2 =
-0,0059.
Средняя скорость движения:
v = Q/co= 400 000/(60-34,5) = 192 см/с.
Число Рейнольдса (v = 0,013 см2/с при /=10°С)
Re = 192-25,2/0,013 = 37 000 (Re > 2000).
Коэффициент гидравлического трения находим по формуле (4.63):
Я = 0,11 (0,0059 +68/37 000)1/4= 0,0284,
а потерн напора — по формуле (4.29):
30 000 192
„тр = о,0284 -j^-. —= 63,5 м.
Пример 4.6. В качестве нагревательных приборов системы
отопления использованы стальные трубы диаметром di = 0,l м. Стояк,
подводящий нагретую воду, и соединительные линии выполнены из
труб диаметром d2= 0,025 м и приварены к торцу труб диаметром
100 мм. Определить потери давления при внезапном расширении
трубопроводов, если скорость движения горячей воды в подводящих
линиях v = 0,3 м/с, а температура воды /=80 °С.
Решение. Кинематическая вязкость и плотность воды в
подводящей сети (при / = 80°С) равны соответственно: v=0,36-10-6 м2/с;
р = 972 кг/м3,
226

Находим число Рейнольдса в трубопроводах подводящей сети
по формуле (4.4):
Re = 0,3-0,025/(0,36.10-6) = 20 820, т. е> Re> 2000.
Потери давления находим по формуле Борда:
Др = (0,32/2)(1 — 0,025?/0,1?)?972« 0,0405-972 «41,8 Па.
Пример 4.7. Для повышения избыточного давления в
трубопроводе диаметром d=0,l м установлена дроссельная шайба
(диафрагма) cf0=0,05 м. Определить величину потери давления в шайбе, если
скорость воздуха в трубе и=20 м/с, а температура / = 20 °С.
Решение. Определяем степень сжатия потока, вызванного
установкой шайбы на трубопроводе:
п = (о0'/а> = dl/d2 = (0,05/0,02 = 0,25.
Находим коэффициент сжатия струн при проходе потока
воздуха через шайбу по формуле (4.86):
8 = 0,57 + 0,043/(1,1 —0,25) =0,621.
Определяем коэффициент местного сопротивления шайбы по
формуле (4.87):
С = [1/(0,25-0,621) — 1]? = 29,4,
откуда и находим потерю давления в шайбе
A/? = p£t>?/2 = 1,2-29,4-20?/2 = 7080 Па.
Глава 5. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
И ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 30. Общие понятия
При обтекании твердого тела потоком жидкости или
при движении твердого тела в покоящейся жидкости
возникают гидравлические сопротивления. Эти
сопротивления проявляются в непосредственной близости от самого
тела и определяются действием сил вязкости и сил,
определяемых разностью давления перед обтекаемым
телом и за ним. Соотношение между силами трения и
давления может быть различным, в зависимости от формы
твердого тела, направления движения потока,
обтекающего тело, и ряда других факторов.
Так, например, при обтекании потоком жидкости
плоской тонкой пластинки, установленной вдоль
направления векторов скорости набегающего потока,
сопротивление определяется главным образом силами трения, воз-
15*
227

Рис. 5.1. Примеры взаимодействия потока вязкой жидкости с
твердым телом
Рис. 5.2. Образование ламинарного пограничного слоя на плоской
пластине
никающими на боковых поверхностях пластинки (рис.
5.1, а). Если же поток набегает на пластинку по
нормали к ее поверхности (рис. 5.1,6), то эффект проявления
сил трения (сил вязкости) становится пренебрежимо
малым и сопротивление зависит в основном от разности
давления перед и за обтекаемым телом. При обтекании
потоком тела произвольной формы силы вязкости и си-
228

лы давления могут оказаться соизмеримыми по
величине (рис. 5.1, в).
При движении вязкой жидкости вдоль твердой
поверхности в непосредственной близости от нее
образуется слой, в пределах которого интенсивность действия сил
вязкости велика и соизмерима с интенсивностью
действия сил инерции и гидродинамического давления.
Влияние вязкости приводит к тому, что внутри
рассматриваемого слоя скорость резко меняется от нуля (условие
«прилипания») до значения скорости набегающего на
тело невозмущенного потока. Эта область течения
называется пограничным слоем. За пределами
пограничного слоя влияние вязкости пренебрежимо мало, поэтому
невозмущенный поток можно считать безвихревым.
Толщина пограничного слоя не остается постоянной
в направлении движения — она постоянно увеличивается.
Однако, как показывают многочисленные
экспериментальные и теоретические исследования, толщина
пограничного слоя всегда несоизмеримо меньше расстояния
от начальной кромки обтекаемого тела до
рассматриваемого сечения.
Введение понятия «пограничный слой» позволяет
разделить весь поток на две области течения:
пограничный слой и внешний поток; каждую из этих областей
можно рассчитывать отдельно. Однако деление потока на
две области не означает, что они являются
изолированными и не связанными друг с другом. Граница между
ними может быть проведена лишь условно, при этом в
расчетах ее обычно назначают из условия, когда скорость
на внешней границе пограничного слоя отличается от
скорости внешнего невозмущенного потока на заданную
малую величину (например, на 1 % или на 0,5%).
Пограничный слой может быть как ламинарным, так
и турбулентным. Переход от одного режима течения к
другому определяется размерами тела, интенсивностью
увеличения толщины слоя, степенью турбулентности
набегающего потока и т. п.
Рассмотрим образование пограничного слоя в
наиболее типичных случаях.
На рис. 5.2 дана схема образования пограничного
слоя на плоской полуограниченной тонкой пластине,
обтекаемой невозмущенным потоком со скоростью ««>. В
этом случае влияние вязкости начинает проявляться у
передней кромки пластины (#=0). С увеличением х
229

с
—' "^
1 3*""
1 Э»-
ЧУ
и**и<
UL
гл^
-/-
где
-э-Х
3
Рис. 5.3. Обтекание потоком жидкости твердого тела конечных
размеров
Рис. 5.4. Движение жидкости в пределах начального участка трубы
толщина пограничного слоя увеличивается (6i<62),
однако при всех значениях б сохраняется условие ее
малости (6/#<С1). Внешняя граница слоя совпадает с
линией, соединяющей те точки эпюры продольной скорости
их, в которых их и Ыоо практически совпадают.
При обтекании твердого тела конечных размеров
(рис. 5.3) пограничный слой, образующийся по обе
стороны тела, рассеивается на некотором удалении за
обтекаемым телом. Область, в пределах которой
происходит выравнивание эпюры скорости до эпюры скорости
230

Рис. 5.5. К определению толщины вытеснения
невозмущенного потока, называется гидродинамическим
следом. Размеры этого следа и структура потока в нем
имеют большое значение в аэродинамических расчетах
промышленных и гражданских зданий и сооружений.
Закономерности движения в пограничном слое
позволяют определить величину и потери энергии в пределах
начального участка трубопроводов, воздуховодов и т. п.
(рис. 5.4). Начальный участок течения (от сечения /—/
до сечения ///—///) может быть представлен в виде двух
различных по структуре областей течения: пограничного
слоя, толщина которого постоянно увеличивается, и
ядра течения, в пределах которого (в каждом поперечном
сечении, например 77—ТУ) скорость остается постоянной
и равной максимальной. На начальном участке эпюра
скоростей непрерывно деформируется, в конце его она
стабилизируется и приобретает вид, соответствующий
равномерному движению жидкости в длинном
трубопроводе.
Определение толщины пограничного слоя является
до некоторой степени произвольным, так как изменение
скорости от нуля до значения, соответствующего
скорости невозмущенного потока, происходит
асимптотически. Поэтому для характеристики пограничного слоя
используются также и другие показатели: толщина
вытеснения б* и толщина потери импульса б**.
Толщина вытеснения. Для рассмотрения картины
обтекания полуограниченной плоской пластины потоком
вязкой жидкости (рис. 5.5) при линиях тока невозмущен-
231

ного потока, параллельных пластине, выберем
произвольное поперечное сечение //—// потока на расстоянии
х от входной кромки пластины. Толщину пограничного
слоя в этом сечении примем равной б.
Проследим за движением частиц жидкости вдоль
линии тока а—а, находящейся на расстоянии у = Ь от
поверхности пластины. Левее точки 0 (сечение /—/) при
отрицательных значениях х расход жидкости,
проходящей в слое б, равен для плоской задачи r/ооб. Этот
расход при установившемся движении будет всегда больше
расхода в сечении //—// в слое у=Ь правее оси Оу, так
как в пограничном слое скорость меняется от их=0 до
до ux = Uoo. Для того чтобы через сечение //—// прошел
тот же расход, что и через сечение /—/, необходимо
увеличить сечение потока. Поэтому линия тока а—а
должна отклониться от своего начального положения на
некоторую величину б*.
Для определения б* запишем уравнение равенства
расходов в сечениях /—/ и //—//:
б
иоо6 = "оо6* + ft/ajdy, (5.1)
о
б
где их6* — расход в сечении II—II в слое толщиной б*; Г uxdy —
о
то же, в слое толщиной б.
Из уравнения (5.1) можно получить б*, которая
называется в гидромеханике толщиной вытеснения:
"оо 6 — J ux dy Г
6*^ °- = 6- I -0*-йу. (5.2)
б
Так как б= [ dy, уравнение (5.2) можно записать
о
в виде
б
6* =f(l-"*/<> Ф/. (5.3)
6
Таким образом, толщина вытеснения представляет
собой величину смещения линий тока вязкой жидкости
от линий тока невязкой жидкости, обусловленного
влиянием сил вязкости в пограничном слое.
Величина б* по существу не зависит от точности
определения толщины пограничного слоя, так как уже при
232

некоторых значениях у скорость на внешней границе
слоя практически равна */«>, и поэтому уравнение {5.3)
будет иметь вид:
оо
О
Возвращаясь к уравнению (5.1), заметим, что
толщина вытеснения характеризует ту часть расхода,
которая теряется в пограничном слое толщиной б из-за
тормозящего действия сил трения на твердой
поверхности.
Толщина потери импульса. Величина, определяемая
интегралом
оо
о
называется толщиной потери импульса. Перепишем
равенство (5.4) следующим образом:
б
Р«4 6~ = J PUX ("оо ~ Ux) d#' (5 •5)
о
Тогда по аналогии с определением толщины
вытеснения можно сказать, что толщина потери импульса
характеризует ту часть количества движения вязкой
жидкости, которая теряется в пограничном слое толщиной
6 из-за тормозящего действия сил трения в пределах
слоя.
§ 31. Уравнения движения жидкости для плоского
пограничного слоя
Движение вязкой жидкости описывается, как это
было показано в гл. 2, системой уравнений Навье — Сток-
са и неразрывности. В случае плоской задачи эта
система упрощается; запишем ее для установившегося
движения в виде, удобном для дальнейшего использования:
1 д/7 / д2их д2их \ дих .дих
( д2их д*их \ _ дих
" р дх ' Ч длА + ду* )-Ux дх +Ыу' ду
р ду \ дх* ^ dyl ] х дх ^ у ду
дих диу ^Q
дх ^ ду
(5.6)
233

При движении напорных потоков массовыми силами
обычно пренебрегают, поэтому можно принять Х=0 и
} —0. Тогда первые два уравнения системы (5.6) можно
записать следующим образом:
1 dp I д2их , д2 их \ дих ди.
р дх \ дх2 ду2 J дх ду
1 др { а? иу д2 иу \ диу диу
p ду \ дх2 dyl J дх ду
(5.7)
Упрощая систему уравнений отбросим малые члены
после соответствующей оценки порядка их малости. При
этом предполагаем, что движение происходит при
относительно больших числах Рейнольдса. В этом случае
порядок малости конвективных и вязкостных членов
должен быть одним и тем же.
Действительно, пренебрежение силами вязкости, т.е.
вторыми слагаемыми левых частей уравнений движения,
будет означать замену движения вязкой жидкости
движением идеальной (невязкой) жидкости. Тогда решение
не будет удовлетворять граничным условиям на твердой
поверхности (их=0). Пренебрежение силами инерции,
что допустимо только при очень малых числах
Рейнольдса, возможно для «ползучих», редких в практических
приложениях, течений. Таким образом, в системе
уравнений (5.7) необходимо сохранить и вязкостные, и
инерционные члены. Оценим порядок малости их величин,
например, при обтекании плоским невозмущенным
потоком жидкости твердого тела конечных размеров (рис.
5.6). Применительно к этой схеме введем необходимые
обозначения: их и иу — проекции скорости жидкости в
произвольной точке в пределах пограничного слоя; I —
конечный линейный размер обтекаемого твердого тела;
х — расстояние от начала координат до произвольного
поперечного сечения; б — толщина пограничного слоя.
Так как для пограничного слоя во всем диапазоне
изменения х справедливо соотношение 6/#<Cl,
необходимо, чтобы их^>иу.
В соответствии с рассматриваемой схемой (см. рис.
5.6) порядок основных величин и их производных
очевиден:
dujdx ~ ujl\ dujdy ~ ujb\
234

Рис. 5.6. К
выводу уравнений
движения
жидкости в плоском
ламинарном
пограничном слое
a? ujdxi ~ ujih а? иj ду* ~ ujb\
Для оценки порядка величины иу и ее производных
воспользуемся третьим уравнением системы (5.6) —
уравнением неразрывности. Интегрируя его по у от 0 до
б, получим:
С диу С дих С дих
) -Wdy==~) ~^6у или иу\у=* =-)^6у-
0 0 О
Тогда
иу ~ "оо$//;
диу/дх — и^ б//2; диу/ду ~ ujl\
a? uyldxl ~ ^ 6//3; dSi^/dy» - ^/(/б).
Оценим теперь порядок величин каждого слагаемого
уравнений движения системы (5.6). Рассмотрим
сначала первое из них. Порядок величины конвективных
членов:
дих
дих
л дх I ' ы ду I
Замечаем, что порядок один и тот же, поэтому
рассматриваемые члены не могут быть исключены из
первого уравнения.
Порядок величины вязкостных членов первого из
уравнений движения будет следующим:
д2их "со т д2их "оо
дх2. ~ II ' ду* ~ б? '
233

Легко заметить, что в данном случае порядок
величины различный. Действительно, так как 6/х<^19 6<£х
при всех значениях х, поэтому
д2их/дх°-
oiuxldy*
Следовательно, первый вязкостный член
существенно меньше второго, и поэтому его можно исключить из
рассматриваемого уравнения движения.
Таким образом, для первой строки системы (5.7)
окончательно можно записать:
1 др . д2их дих дих
— + v ———- = их + ии . (5.8)
р йк ду* х дх ^ у ду v
Заметим, что порядок величины первого слагаемого
левой части уравнения движения (1/р) (др/дх)
определяется только давлением и его изменением в
невозмущенном потоке.
Одним из условий, упрощающих уравнения Навье —
Стокса для ламинарного пограничного слоя, является
равенство по порядку величины его конвективных
ихдих1дх и Uydux/dy и вязкостного \д2их/ду2 слагаемых.
Это обстоятельство дает возможность определить
порядок величины и характер изменения толщины
пограничного слоя б. Порядок величины этих слагаемых будет:
дих дих иоо
дх ду I
Приравняем правые части этих соотношений:
u2Jj~vuJb2. (5.9)
Решая выражение (5.9) относительно б, получим:
б - Y^lhlZ , или б ~ 1/уШГ' (5. Ю)
Из уравнения (5.10) следует, что толщина
ламинарного пограничного слоя возрастает с увеличением
расстояния от передней кромки обтекаемой пластины.
Перейдем далее к рассмотрению с тех же позиций
второй строки системы (5.6). Порядок величины обоих
236

конвективных членов один и тот же:
dun duv u™ °
иц ииу
их——~иу
дх у ду II
Кроме того, порядок величины первого вязкостного
члена существенно меньше второго, а второе вязкостное
слагаемое совпадает по порядку величины с
конвективными членами этого же уравнения.
Следовательно, первое слагаемое уравнения (5.7)
1 др
— должно совпадать по порядку величины с конвек-
Р ду
тивными членами этого уравнения, т. е,
1 др и1>Ь
Р ду 1Ъ
Сравнивая порядок величин, оставшихся в
уравнениях движения, можно показать, что любое слагаемое
первой строки системы (5.7) существенно больше по
порядку величины аналогичного слагаемого второй строки,
поэтому система уравнений для плоского ламинарного
пограничного слоя приобретает вид:
1 др д2их дих дих
р дх ду2. дх ду
дих ди
дх ду
:0.
(5.11)
Эти уравнения впервые были предложены Прандт-
лем.
Первое слагаемое уравнения движения (1/р) (др/дх)
иногда записывается в виде (1/р) (dp/dx). Этим
подчеркивается, что давление р зависит только от одной
переменной х.
Решение системы (5.11) должно удовлетворять
граничным условиям, которые для внешней задачи об
обтекании твердого тела потоком жидкости записываются
следующим образом:
их = иу = 0 при!/ = 0;
их^и00 при */—оо. ( • 2)
Система (5.11) является незамкнутой, так как
содержит три неизвестные величины их, иу и р. Граничные
условия усугубляют сложность отыскания определенно-
237

го решения, поскольку они (их вторая строка)
соответствуют асимптотическому стремлению скорости на
внешней границе пограничного слоя к скорости
невозмущенного потока. Эта скорость должна быть определена
заранее из решения задачи о безвихревом движении
невязкой жидкости.
§ 32. Интегральные соотношения пограничного слоя
Решение практических задач ламинарного
пограничного слоя путем непосредственного интегрирования
уравнений Прандтля при произвольном распределении
скорости в невозмущенном потоке представляет
значительные трудности. На помощь приходят приближенные
методы, основанные на интегральных соотношениях
между параметрами течения в пограничном слое. В
качестве примера рассмотрим соотношения, полученные
Карманом на основе теоремы об изменении количества
движения.
Воспользуемся теоремой об изменении количества
движения (теоремой импульсов) применительно к мае
се жидкости в объеме ABCD, заключенном между двумя
поперечными сечениями АВ и CD, расположенными на
бесконечно малом расстоянии Ах друг от друга (рис.
5.7).
Определим изменение количества движения
для»массы жидкости между сечениями АВ и CD. Масса
жидкости, входящая в отсек ABCD в единицу времени
(например, за 1 с) через сечение АВ, равна §puxdy. Масса
Рис. 5.7. К выводу уравнения изменения количества движения для
пограничного слоя
238

жидкости, выходящая из отсека через сечение CD,
равна
Р"х dy + ~^Г | J puxdy ) dx-
о \о /
Их разность
в соответствии с законом сохранения массы при
установившемся движении должна определять массу
жидкости, входящую в отсек ABCD через сечение ВС.
По аналогии количество движения массы жидкости,
б
проходящей через сечение АВ, равно \puldy, а через
о
сечение CD
6 / б N
)dx.
О / О
о \о
Их разность (изменение количества движения) равна
б
d* (J
ри\ dy Id*.
Кроме того, изменение количества движения
определяется также массой жидкости, проходящей через
сечение ВС. Заметим, что скорость движения жидкости в
пределах отсека ВСЕ с любой степенью точности равна
скорости невозмущенного потока Woo. Тогда количество
движения массы жидкости, проходящей через сечение
ВС, равно
-"-■£(pJ"*4'Jd*-
Таким образом, полное изменение количества
движения массы жидкости, проходящей через контур ABCD,
равно
d* (J
ри2х dy J dx - Uqo — I 1 pux dy ) d*.
239

Рассмотрим теперь силы, внешние по отношению к
выделенному отсеку ABCD.
Давление в сечении АВ равно /?, значит, сила
давления будет р8. Давление в сечении CD составляет р-\{
.+ (dp/dx)dx, тогда сила давления —
или после исключения бесконечно малых более
высокого порядка
рЬ -f- р —-— dx + б —— d*.
dx ах
Давление в сечении ВС можно определить как
среднее на отрезке:
1 dp
pRr — Р + :— d#.
нвс н 1 2 dx
Тогда горизонтальная проекция силы давления на
сечение ВС после отбрасывания малых членов будет:
р + — —■ dx —— dx = р -— dx.
н 2 dx J dx H dx
Следовательно, величина равнодействующей сил
давления, действующих на выделенный отсек жидкости,
равна —б dx.
^ dx
Сила трения, действующая вдоль твердой
поверхности, определяется, как обычно, произведением
касательных напряжений на площадь поверхности Todx.
Уравнение количества движения теперь можно
записать в виде1
в \ / в \
pu.dy )dx = — б —;— dx — тЛdx,
х J dx u
или после деления на dx
6 б
0 0
=— 6dp — т0.
(5.13)
(5.14)
1 Массовыми силами мы по-прежнему пренебрегаем.
240

Уравнение (5.14) называют в гидромеханике
интегральным соотношением Кармана, или уравнением
количества движения для плоского пограничного слоя.
Давление р в соответствии с уравнением Бернулли
для невозмущенного потока можно заменить величиной
—Р^/2, тогда соотношение (5.14) можно записать
следующим образом:
б б
d Р о d Р <Ц>
Р 9 df dWoo
J puzx dy - и^ — J рия dy - pfi^ -^ =— т0. (5.15)
и о
Произведя простые преобразования, получим:
б б б
d Р 9 dp duoo p
о
л
d^
О О
б
d P d"oo p
= 17 Jр"* К ~ их)dy + "5Г Jp ("°° ~ и~>dy* (5,1б)
о и
Разделив и умножив правую часть уравнения (5.16)
на Uoo, находим:
б
d«,
То =
^н-ну^ы-*)*-
dx
о ' о
и о
(5.17)
Вводя в последнее уравнение вместо интегралов
соответственно толщину потери импульса б** и толщину
вытеснения б* согласно выражениям (5.4) и (5.3),
можно записать:
d / о «**\ . dtto,
Т°~ 6х v"00" J ' dx
или для несжимаемой жидкости
Поскольку в отношении физической природы
рассматриваемого потока не делалось никаких
ограничений, то полученные уравнения справедливы как для ла-
16-626 241

минарного, так и для турбулентного потоков. Заметим,
что для турбулентного потока в этих уравнениях
следует использовать значения осредненных скоростей.
§ 33. Сопротивление трекия при обтекании плоской
пластины
При обтекании плоской пластины сопротивление
трения определяется касательными напряжениями,
действующими вдоль обтекаемой потоком жидкости или газа
твердой поверхности. Эти напряжения могут быть
определены для полубесконечной плоской пластины
непосредственно из системы уравнений Прандтля (5.11).
Наиболее точным решением системы (5.11) является
решение Блазиуса, полученное в результате замены
исходной системы дифференциальных уравнений в
частных производных обыкновенным дифференциальным
уравнением третьего порядка. Эта замена оказывается
возможной при введении в уравнения движения
функции тока, определяемой, как известно, соотношениями
дг|) д\|)
ду дх
Толщина ламинарного пограничного слоя в
соответствии с решением Блазиуса
6= -=—=> (5.20)
что подтверждает ранее полученное соотношение (5.9),
Касательные напряжения по Блазиусу при обтекании
пластины у
т0 = 0,332р01Л|&/*. (5.21)
Теоретическое решение Блазиуса хорошо
подтверждается многочисленными опытными данными различных
авторов. - **-"*-". -*>--*
Несколько худшее совпадение с опытом дают
результаты решения интегрального соотношения Кармана
(5.14): - • - -
5,63л;
в = —=р: (5.22)
t0=0,343p0jA*&/*. (5.23)
242

Введем понятие местного коэффициента
сопротивления трения
То
ч = ;— >
удобного при определении силы трения в случае
обтекания плоской пластины вязким потоком. Эта сила,
отнесенная к единице ширины обтекаемой пластины
длиной /,
Г Г
F = I т0 dx-1 = I Cf р0 — dx-1,
о о
или
F = cFSpQu2J2, (5.24)
1 г
где cf=~ ) Cfdx — средний по длине I коэффициент сопротивления
* о
трения; 5 — площадь обтекаемой поверхности пластины.
Коэффициент cf определяется для ламинарного
пограничного слоя непосредственно из ранее приведенных
уравнений (5.21) и (5.23):
по Блазиусу
c/ = 0,664/]/Re7, (5.25)
по интегральному соотношению Кармана
c/ = 0,685/KRe^. (5.26)
При двустороннем обтекании плоской пластины
конечной длины / сила трения и средний по длине
коэффициент сопротивления трения удваиваются, поэтому
уравнения, например, для коэффициента cF имеют вид:
ср=\,т/уЩ; (5.27)
СР=1,37/УЩ, (5.28)
где Rei^u^l/v.
Картина обтекания пластины достаточно большой
длины усложняется, так как участок существования
ламинарного пограничного слоя относительно мал по
сравнению с длиной пластины. На рис. 5.8 изображена
схема развития пограничного слоя на поверхности плоской
16*
243

Рис. 5.8. Пограничный слой на плоской пластине
полубесконечной пластины при одностороннем
обтекании ее вязким потоком.
На участке до некоторого сечения В—В структура
потока в пограничном слое соответствует ламинарному
течению; характерная эпюра скоростей на этом участке
показана на рис. 5.8 (в сечении А—Л). Правее сечения
В—В устойчивость ламинарного течения нарушается, и
оно постепенно переходит в турбулентное. Расстояние
jcKp зависит главным образом от степени турбулентности
невозмущенного потока и шероховатости твердой
поверхности. Критерием перехода ламинарного режима в
турбулентный принято считать число Рейнольдса ReKP =
= UooXKV/v. Порядок величины критического числа
Рейнольдса находится в пределах 105—106.
После перехода основная часть потока в пределах
пограничного слоя становится турбулентной. Однако в
непосредственной близости от твердой границы
интенсивность турбулентного перемешивания уменьшается,
влияние вязкости возрастает. В этом смысле поток,
обтекающий пластину, можно условно разделить на три
области (сечение С—С): вязкий подслой (ламинарный
244

пристенный слой), турбулентный пограничный слой,
невозмущенный поток.
Толщина вязкого подслоя невелика, поэтому
касательные напряжения, определяемые только вязкостью,
можно считать постоянными и равными напряжению на
твердой границе то. В турбулентном слое касательные
напряжения определяются в основном турбулентным
перемешиванием, влияние вязкости в слое пренебрежимо
мало. Невозмущенный поток принято считать
безвихревым, так как касательные напряжения на внешней
границе пограничного слоя малы. Границы между
отдельными областями течения, так же как и внешняя
граница пограничного слоя, имеют условный характер,
определяемый наперед заданной точностью расчета.
Гидравлические сопротивления в турбулентном
пограничном слое в значительной степени зависят от
шероховатости поверхности пластины. При определении
этих сопротивлений выделяют режимы гидравлически
гладких поверхностей, гидравлически шероховатых
поверхностей и переходный между ними.
В первом случае гидравлические сопротивления
обусловлены только вязкими напряжениями, влияние
шероховатости пренебрежимо мало. Коэффициент
сопротивления трения cF для гидравлически гладких
поверхностей определяется по формуле Кармана [19]:
cF = 0,072Re7~0'2 (5.29)
или по формуле Шлихтинга [19]:
ср = 0,455 (lgReJ-2'58. (5.30)
Уравнения (5.29) л (5.30) являются равнозначными.
Первое из них получено при условии, что распределение
скоростей вблизи твердой поверхности подчиняется
степенному закону tixfuoo— (y/6)l/7, второе — на основе
аппроксимации результатов расчета в соответствии с
логарифмическим законом распределения скоростей. Обе
формулы применимы в области 5- 105<Re/<107.
Для режима гидравлически шероховатых
поверхностей влиянием вязкости пренебрегают. В этом случае
коэффициент гидравлического сопротивления трения
обычно рассчитывают по формуле Шлихтинга:
^ = (l,89+l,62lg-^-V~2'5, (5.31)
245

где / — длина пластины; &э — абсолютная эквивалентная
шероховатость поверхностей пластины.
Уравнение (5.31) справедливо при 102<//£э<106.
А. Д. Альтшулем [3] на основе обобщенной формулы
(4.63) для коэффициента гидравлического
сопротивления по длине было получено уравнение
^ = 0,03(y/ + 83/ReJ0'2, (5.32)
которое может быть использовано для расчета во всей
области турбулентного течения вдоль пластины.
§ 34. Отрыв пограничного слоя
Сопротивления при обтекании твердого тела (кроме
пластины, ориентированной вдоль векторов скорости
набегающего потока) жидкостью или газом определяются
не только касательными напряжениями, возникающими
на твердой границе, но и влиянием образующейся за
телом области вихревого течения. Образование этой
области связано с явлением отрыва пограничного слоя.
При обтекании тела с резко меняющимся профилем
поверхности отрыв пограничного слоя является
следствием проявления инерции жидких частиц в пределах
пограничного слоя. Картина отрыва пограничного слоя
в этом случае понятна из рис. 5.9. При обтекании
плавной криволинейной поверхности отрыв пограничного
слоя связан с характером изменения давления вблизи
твердой поверхности. Рассмотрим подробнее механизм
этого явления (рис. 5.10).
На участке АВ скорость частиц жидкости,
находящихся в пограничном слое, увеличивается (ди/дх>0), а
на участке ВС уменьшается (ди/дх<0). Тогда в
соответствии с уравнением Бернулли давление на участке
АВ уменьшается (др/дх<0), а на участке ВС
увеличивается (др/дх>0).
При движении невязкой жидкости искривление
линий тока у твердой границы АС привело бы лишь к
перераспределению кинетической и потенциальной энергии
любой жидкой частицы. В случае же движения вязкой
жидкости часть кинетической энергии теряется за счет
трения внутри пограничного слоя. Оставшейся части
кинетической энергии может не хватить на преодоление
действия положительного градиента давления,
стремящегося изменить направление движения жидких частиц.
246

Рис. 5.9. Отрыв пограничного слоя на ломаной поверхности
Рис. 5.10. Отрыв
пограничного слоя на
криволинейной
поверхности
S/d
т
щ
Г^7
К
(&S
ф
^
trt
. ,«....1.^ и
10 20 30 40 ReL
$!d
Щ
щ
0,8
Ofi
V
~Ci I \f J
5Q 100 290 500Щ
Рис. 5.11. Развитие области
отрывного течения за цилиндром
Рис. 5.12. Развитие
области отрывного
течения за сферой
В результате частицы жидкости могут начать движение
в обратном направлении и привести тем самым к
отрыву потока от твердой границы. В точке отрыва (точка
М, см. рис. 5.10) касательные напряжения на твердой
поверхности обтекаемого тела равны нулю, так как в
этой точке градиент скорости обращается в нуль
(ди(дх=0).
За точкой отрыва пограничный слой
трансформируется в отрывное течение, характеризуемое сильной
неустойчивостью образующихся крупномасштабных вихрей.
Отдельные вихри, отрываясь от твердой поверхности,
сносятся потоком, на их месте образуются новые вихри
217

и т. д. Образование, взаимодействие и перемещение
вихрей за обтекаемым телом создают совершенно иную по
структуре область течения, которую часто называют
гидродинамическим (или аэродинамическим) следом.
Основной поток, разделенный гидродинамическим
следом на две (в условиях плоской задачи) части,
восстанавливает свою структуру лишь на некотором
расстоянии от обтекаемого тела. При этом протяженность
следа зависит главным образом от формы тела и от числа
Рейнольдса Re/.
В качестве примера данные [7] измерения величины
следа S за бесконечно длинным цилиндром приведены
на рис. 5.11, а за сферой — на рис. 5.12. Заметим, что
при одинаковых условиях обтекания (Re/ = const)
протяженность отрывной области или гидродинамического
следа за цилиндром существенно больше, чем за сферой.
Кроме того, при обтекании цилиндра в диапазоне Re* =
= 40-f-5000 гидродинамический след представляет
собой систему несимметричных вихрей, вращающихся в
противоположные стороны. Такую систему вихрей
принято называть «дорожкой Кармана» (рис. 5.13).
Дорожка Кармана перемещается обычно со скоростью uBi
несколько меньшей скорости невозмущенного потока #«>,
и является в общем случае неустойчивой.
Так как система вихрей за обтекаемым цилиндром
несимметрична, то вокруг цилиндра возникает
переменная во времени циркуляция скорости. Цилиндр при этом
будет испытывать переменную по направлению
нагрузку, стремящуюся сместить его в сторону.
Область отрывного течения, несмотря на совершенно
иную структуру, не изолирована от основного
(невозмущенного) потока. Турбулентное перемешивание,
знакопеременный градиент давления, изменение направления
течения внутри этой области создают условия для
непрерывного взаимодействия между отрывным течением
и основным потоком. Однако вследствие замкнутости
осредненных во времени линий тока в пределах
рассматриваемой области массобмен между ней и
невозмущенным потоком невелик, что необходимо учитывать при
расчете и проектировании аэрации жилых кварталов,
зданий и промышленных сооружений.
Рассмотрим простой случай образования отрывного
течения за отдельно стоящим зданием с двускатной
крышей [7]. Испытания модели такого здания (рис. 5.14)
248

показали, что в зависимости от изменения скорости
невозмущенного потока картина обтекания существенно
меняется. При относительно малых скоростях
траектории частиц обтекающего модель воздушного потока по
существу повторяют конфигурацию здания (рис.
5.14, а). С увеличением скорости сразу же за точкой
отрыва (точка А) образуется небольшой вихрь (рис.
5.14,6), который быстро увеличивается при дальнейшем
повышении скорости (рис. 5.14, в) до тех пор, пока не
распадется на отдельные нерегулярные вихри. С тече-
249

Рис. 5.15. Течение воздушного потока при обтекании одиночного
здания
нием времени картина обтекания модели становится
статистически установившейся; при этом форма и
размеры области отрывного течения оказываются
практически постоянными (рис. 5.14, г).
Таким образом, при достаточно большой скорости
поток, обтекающий твердое тело с резко меняющимся
профилем, можно условно разделить на две
статистически устойчивые области течения (рис. 5.15). Границей
между ними можно назначить линию тока а—а,
проходящую через точку отрыва А. Ниже линии а—а
располагается область отрывного течения — область ABCD.
Внутри этой области осредненные во времени линии
тока представляют собой замкнутые кривые; движение в
целом носит циркуляционный характер. В верхней части
области отрывного течения направление векторов
скорости совпадает с направлением движения
невозмущенного потока, в нижней ее части жидкость или газ
перемещается в обратном направлении. Выше линии тока а—а
располагается невозмущенный поток, который можно
считать безвихревым, или потенциальным. Так как в
потенциальном потоке перенос количества движения
поперек линий отсутствует (см. гл. 2), то любую линию
тока можно условно заменить твердой границей.
Напомним, что и в том и другом случае частная производная
скорости по нормали к линии тока равна нулю, т. е.
ди/дп=0. Предполагая, что твердая граница совпадает
с линией тока а—а, получим картину обтекания
потенциальным потоком твердого тела ABCD.
В теоретической гидромеханике доказывается, что
при сложении плоскопараллельного потенциального
потока, источника и двух стоков линии тока результирую-
250

щего движения качественно совпадают с линиями тока
рассмотренного выше реального случая обтекания
твердого тела. Однако такое решение дает практические
результаты лишь первого приближения в условиях
плоской задачи. В действительности же вследствие
большого многообразия форм обтекаемого тела, а также
постоянно меняющихся направления и значения
скорости набегающего потока решение задачи приходится
искать на базе результатов опытов на моделях. В
литературе [15] приводятся некоторые данные, необходимые
при расчете обтекания одиночного здания с плоской
крышей воздушным потоком. Так, максимальная высота
области отрывного течения составляет #«2/i,
максимальная длина этой области (отрезок DC)
приблизительно 8 ft, расстояние от точки А до точки В примерно
2,5 ft.
При обтекании потоком здания сложного планового
очертания или группы зданий задача может быть
решена путем экспериментальных исследований в каждом
конкретном случае.
§ 35. Распределение давления по поверхности
обтекаемого тела. Сопротивление давления
Распределение давления вокруг обтекаемого
твердого тела неразрывно связано с законом изменения
скорости набегающего потока вблизи тела. Рассмотрим
простой случай обтекания бесконечно длинного кругового
цилиндра потенциальным потоком1.
При обтекании кругового цилиндра бесконечно
большой длины потенциальным потоком картина течения у
цилиндра симметрична (рис. 5.16)2.
Известно (см. § 34), что на участках АВ и AD
движение ускоренное, на участках ВС и DC замедленное,
в критических точках на поверхности цилиндра А и С
скорость равна нулю, в точках В и D — удвоенной
скорости невозмущенного потока. Поэтому в
критических точках давление принимает максимальное значение,
а в точках В и D—минимальное. Вследствие симметрии
1 В гл. 2 этот случай рассматривался с позиций теории
потенциальных течений.
2 Аналогичная картина течения получается при обтекании цилиндра
потоком невязкой жидкости.
251

Рис. 5.16. Обтекание цилиндра
невязкой жидкостью
Рис. 5.17. Распределение
давления при обтекании цилиндра
невязкой жидкостью
рассматриваемой задачи давление в сходственных
точках (например, в точках / и 1\ 2 и 2' и т. п.)
одинаковое. Следовательно, силы давления на лобовую и
кормовую поверхности цилиндра будут равными, но
противоположно направленными. Их равнодействующая
равна нулю, а значит, и сопротивление цилиндра должно
равняться нулю. Этот вывод, который противоречит
данным опыта, в гидромеханике известен под названием
парадокса Эйлера — Даламбера. На рис. 5.17 приведена
схема распределения давления по поверхности кругового
цилиндра, обтекаемого потенциальным потоком или
потоком невязкой жидкости. На схеме область давления,
большего давления невозмущенного потока, отмечена
252

О) б) 3)
Рис. 5.18. Распределение давления при обтекании цилиндра вязкой
жидкостью
знаком плюс и стрелками, направленными к поверхности
цилиндра; область меньшего, чем в набегающем потоке,
давления — знаком минус и стрелками, направленными
от поверхности цилиндра.
При обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости
вследствие отрыва пограничного слоя и образования
отрывного течения давление в лобовой части цилиндра
всегда оказывается больше давления в его кормовой
части (рис. 5.18). Равнодействующая этих сил давления,
отличная от нуля, и определяет собой сопротивление
давления. В пределах гидродинамического следа
давление остается практически постоянным и равным
давлению у твердой поверхности в точке отрыва пограничного
слоя, давление же у лобовой поверхности практически
не отличается от давления при взаимодействии
цилиндра с невязкой жидкостью.
При увеличении числа Re, вычисленного по скорости
набегающего потока, равнодействующая сил давления в
лобовой и кормовой частях цилиндра увеличивается,
что связано со смещением точки отрыва пограничного
слоя ближе к кормовой области. Смещение точки
отрыва объясняется переходом ламинарного пограничного
слоя в турбулентный при возрастании числа Рейнольдса.
В результате частицы жидкости, находящиеся вблизи
твердой границы, приобретают дополнительную
кинетическую энергию от невозмущенного потока, которая
помогает им дольше противостоять положительному
градиенту давления (рис. 5.18).
На практике при сравнении распределения давления
на поверхности обтекаемых тел разных размеров часто
253

Рис. 5.19. Распределение
аэродинамических
коэффициентов при обтекании
одиночного здания
Рис. 5.20. Обтекание диска
потоком вязкой жидкости
используется относительное давление или коэффициент
давления
Рязб
К:
Р«»/2
(5.33)
где /?изб — избыточное давление в произвольной точке на
поверхности обтекаемого тела; ри^, 1'2 — динамическое давление
невозмущенного потока.
Если в качестве избыточного принимается
манометрическое давление рМЛн=р—рат, коэффициент давления
называют аэродинамическим коэффициентом
Рман
кв = -
Р&/2
(5.34)
Аэродинамический коэффициент используется для
расчета распределения давления ветра по поверхности
зданий и сооружений.
Рассмотрим схему распределения аэродинамических
коэффициентов по контуру одиночного здания с
двускатной крышей (рис. 5.19), Построение эпюры
распределения аэродинамических коэффициентов производится по
известным правилам построения эпюры нагрузки на
254

любой элемент сооружения: положительные значения
/Св откладываются внутри контура здания,
отрицательные— вне его. Отметим, что аэродинамический
коэффициент приобретает положительное значение при полном
давлении, большем атмосферного, отрицательное — при
разрежении.
Так как форма современных зданий и сооружений
весьма далека от удобообтекаемой, можно принимать,
что независимо от числа Рейнольдса аэродинамический
коэффициент является функцией только формы здания
и его расположения по отношению к направлению
набегающего невозмущенного потока.
Обычно значение аэродинамического коэффициента
и его распределение определяются по результатам
экспериментальных испытаний, проводимых либо в
гидравлических лотках, либо в аэродинамических трубах. При
фронтальном обтекании одиночного здания (рис. 5.19)
аэродинамический коэффициент принимает значения:
на наветренной (лобовой) грани /Св=0,5-г-0,8, на
заветренной (кормовой) грани /Св=—(0,2-т-0,3). Необходимо
сказать, что при фронтальном обтекании здания
наветренная сторона испытывает повышенное давление
(/Св>0), а стороны, находящиеся в области отрывных
течений, — разрежение (/Св<0). Разрежение может
вызвать равнодействующие силы давления, значительно
большие, чем положительные, — это особенно опасно,
так как конструктивные элементы рассчитаны на точно
такие же усилия, но противоположные по знаку.
При расчете высоких зданий и сооружений следует
учитывать распределение скоростей набегающего потока
по вертикали. В первом приближении это
распределение оценивается с помощью, например, уравнения
Г. Шлихтинга:
"/"со = (Moo)17'
где и — скорость на произвольном расстоянии h от поверхности
земли; и^ —скорость на достаточно большом расстоянии А^, где
она становится практически постоянной.
Неравномерность распределения давлений по
поверхности обтекаемого тела, разность давлений в его
лобовой и кормовой частях в ряде случаев являются
основными факторами, определяющими сопротивление,
называемое сопротивлением давления. Обычно это случаи
обтекания потоком жидкости или газа тонких профилей,
расположенных поперек набегающего потока.
255

Рассмотрим (рис. 5.20) обтекание плоского круглого
диска потоком вязкой жидкости; толщина диска б
существенно меньше его диаметра d. Очевидно, в
рассматриваемом случае силами трения следует пренебречь, так
как длина участка возможного формирования
пограничного слоя б ничтожна по условию. Поэтому сила
сопротивления будет определяться только разностью давления
перед диском и в области отрывного течения за ним.
Расчетная формула для силы сопротивления давления
имеет вид:
Ffl = ^G)Pot4/2, (5.35)
где сд — коэффициент сопротивления давления; о — площадь
сечения обтекаемого тела по миделю (площадь проекции тела на
плоскость, перпендикулярную векторам скорости набегающего потока);
ро — плотность жидкости или газа; ««> — скорость невозмущенного
потока.
Коэффициент Сд зависит от числа Рейнольдса и от
формы обтекаемого тела. При больших числах
Рейнольдса, т. е. в случае отсутствия влияния вязкости,
коэффициент сопротивления давления зависит только от
формы тела (табл. 5.1) [3].
Таблица 5.1. Значения коэффициента сопротивления давления
для некоторых тел с острой кромкой
Форма обтекаемого тела
Диск
Прямоугольная пластина с отношением а/Ь:
1
2
4
10
оо
Круговой цилиндр при обтекании в направлении его оси
при l/d:
1
2
4
7
сд
1,11
1,10
1,15
1,19
1,29
2,01
0,91
0,85
0,87
0,99
При определении силы давления ветра на одиночное
здание или на его отдельные элементы достаточно знать
закон распределения аэродинамических коэффициентов
и соответствующие площади граней, воспринимающих
повышенное давление или разрежение. В этом случае
256

можно составить очевидное расчетное соотношение. Из
выражения (5.34) следует, что манометрическое
давление в произвольной точке на поверхности здания
РМа„ = *вРо"2оо/2- (5-36>
Сила давления
^д= f Рман<Ю» (5«37)
s
где dS — площадь элементарной поверхности здания или его
отдельного элемента, в пределах которой аэродинамический
коэффициент можно считать постоянным.
После подстановки уравнения (5.36) в формулу
(5.37) получим:
Ъ = Ро—J *BdS. (5.38)
Уравнение (5.38) решается для каждого конкретного
случая.
§ 36. Суммарное сопротивление при обтекании
твердого тела
В общем случае сопротивление при обтекании
твердого тела потоком жидкости или при движении
твердого тела в жидкости представляет собой сумму
сопротивления трения и сопротивления давления (сопротивления
формы). Неравномерность распределения давления по
поверхности тела, неустановившийся характер движения
в области отрывного течения сильно ограничивают круг
задач, поддающихся аналитическому решению.
Суммарное, или полное, сопротивление (часто его
называют лобовым сопротивлением) обычно
определяется по формуле1, структура которой была предложена
еще Ньютоном:
F = ^cop0^/2, (5.39)
где сх — коэффициент лобового сопротивления.
Коэффициент лобового сопротивления зависит от
формы обтекаемого тела, числа Рейнольдса и в несколь-
1 Формула (5.39) может быть получена на основе теории
размерностей (см. гл. 10).
17-626
257

ко меньшей мере от степени турбулентности
невозмущенного потока.
Рассмотрим случай обтекания твердого шара
потоком вязкой жидкости, когда основным фактором,
определяющим сопротивление, являются силы трения. В
результате решения уравнений Навье — Стокса без учета
инерционных членов можно получить аналитическое
решение для силы сопротивления, так называемое решение
Стокса:
F^Sniidu^ (5.40)
где d — диаметр шара; \i — динамическая вязкость жидкости.
Разделив и умножив правую часть выражения (5.40)
на 8dUooy получим:
= 24VPQ я* £
F Uood 4 2 *
Так как nd2/4—площадь сечения шара по миделю,
a 24v/(Uood) =24/Re, можно записать:
24 *&
f= —сор0—^—; (5.41)
cx = 24/Re. (5.42)
Формула (5.42), так же как и формула (5.40),
хорошо подтверждается опытом только для малых чисел
Рейнольдса (Re^l).
С увеличением числа Рейнольдса роль сил трения
начинает быстро уменьшаться, что связано с развитием
ламинарного пограничного слоя. Если при Re<Cl
влиянием сил инерции можно было пренебрегать во всей
области течения как перед обтекаемым шаром, так и за
ним, то при числах Re, уже немногим больших единицы,
силы инерции в кормовой области не столь малы, чтобы
ими можно было пренебречь. Некоторое уточнение
решения Стокса в этом смысле было выполнено Озееном
[19]:
*=iH, +-£-*)• (5-43)
Формула (5.43) пригодна, по данным [19], до чисел
Re^5.
Опытные данные, полученные различными авторами
в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса для
различных условий движения шаров в жидкости, позво-
258

лили получить универсальную экспериментальную
зависимость CjC=/:(Re), представленную в логарифмических
координатах на рис. 5.21. Характер этой зависимости
определяется следующими соображениями.
Ранее указывалось, что суммарное, или лобовое,
сопротивление определяется суммой сопротивления трения
и сопротивления давления. Первое из них обусловлено
трением на твердой границе и в пределах пограничного
слоя, второе — наличием отрывных течений и разностью
давления в лобовой и кормовой частях твердого тела.
Изменение числа Рейнольдса, естественно, влечет за
собой изменение соотношения между действующими на
тело силами трения, инерции и давления; причем
увеличение Re приводит к уменьшению влияния сил трения и
повышению влияния сил инерции и давления.
Кроме того, при изменении числа Re меняется
положение точки отрыва пограничного слоя и его структура.
До тех пор пока пограничный слой остается
ламинарным (10<Re<103), точка отрыва находится в лобовой
части сферы (рис. 5.22, а). В диапазоне изменения
числа Рейнольдса приблизительно 103<Re<105
ламинарный пограничный слой постепенно переходит в
турбулентный и точка отрыва смещается в кормовую область
сферы (рис. 5.22,6). В этом диапазоне чисел Re
сопротивление (по сравнению с законом Стокса)
увеличивается за счет возрастающего действия разности давления
перед шаром и за ним. Интенсивность увеличения
сопротивления давления возрастает, кривая зависимости сх =
=/(Re) приближается к горизонтали. Полный переход
ламинарного пограничного слоя в турбулентный
происходит резко при числах Re = ReKP~105. В этом случае
угол между симметричными точками отрыва принимает
минимальное значение 110—120° и величина области
отрывного течения также становится наименьшей (рис.
5.22, в). Сопротивление при этом резко уменьшается;
такое явление называют кризисом сопротивления.
Зависимости, аналогичные рассмотренной, получены
экспериментально для кругового цилиндра, круглого
диска и ряда других твердых тел.
Для твердых тел с резко меняющимся профилем
(к ним можно отнести диски и пластины,
расположенные поперек потока, кубы, некоторые профили зданий и
т. п.) коэффициент лобового сопротивления практически
не зависит от числа Рейнольдса.
17*
259

0
10
10°
W
2
J
/
•
Рис. 5.21. Зависимость
коэффициента
лобового сопротивления от
числа Рейнольдса
/ — шар; 2 -
3 — диск
цилиндр;
W'1 ю° /о /0е w* W* /о0 Re
Рис. 5.22. Изменение
положения точки
отрыва пограничного слоя
на сфере при
различных числах
Рейнольдса
260

§ 37. Осаждение (всплывание) твердых частиц
в жидкости
Рассмотрим осаждение твердой тяжелой частицы в
неограниченном объеме вязкой жидкости; в начальный
момент скорость движения частицы и=0.
Воспользуемся уравнением движения в виде
du
m—-=G-F, (5.44)
сн
где т — масса частицы с учетом присоединенной массы жидкости;
dujdt — ускорение движения твердой частицы; G — вес частицы с
учетом влияния архимедовой силы; F — сила лобового
сопротивления.
Участок стабилизации скорости при свободном
осаждении относительно мал, поэтому основной участок
частица проходит равномерно с постоянной скоростью —
скоростью равномерного свободного осаждения (всплы-
вания) твердого тела в жидкости, называемой
гидравлической крупностью. Аналогом гидравлической крупности
применительно к обтеканию свободной частицы
воздушным потоком является скорость витания. Под этим
понятием понимается постоянная скорость восходящего
потока воздуха, при которой твердые частицы остаются
статистически на одном уровне, т. е. находятся во
взвешенном состоянии.
Скорость равномерного осаждения или всплывания
твердого тела в жидкости легко определяется из
уравнения (5.44), которое для участка равномерного
движения упрощается в связи с равенством нулю ускорения
(du/dt=0).
Рассмотрим случай осаждения сферической твердой
частицы в вязкой жидкости (рис. 5.23). Вес частицы с
учетом силы взвешивания
7idz
G = (p-Po)g—jT- , (5-45)
где р и ро — соответственно плотности твердой частицы и жидкости;
d — диаметр частицы.
Очевидно, что при всплывании твердой частицы в
уравнении (5.45) следует записать первый сомножитель
в виде ро—р. Сила лобового сопротивления в
соответствии с формулой (5.39) определится в виде
nd2 uo
F = cx—p0 — > (5.46)
где Wo — скорость равномерного движения твердой частицы.
261

Рис. 5.23. Осаждение твердой
сферы в вязкой жидкости
Приравнивая правые части выражений (5.45) и
(5.46) и решая полученное уравнение относительно
скорости u0i получим:
«0=-/-
4 grf(p — po)
РоСх
(5.47)
Уравнение (5.47) при известном сх позволяет
определить гидравлическую крупность или скорость витания в
зависимости от конкретных условий решаемой задачи.
Недостатком этого уравнения является
неопределенность коэффициента лобового сопротивления сх,
зависящего, как известно, от числа Рейнольдса, которое
вычисляется по скорости осаждения или всплывания w0.
При движении весьма малых частиц (Re<l)
уравнение (5.47) в соответствии с равенством c*=24/Re
приобретает вид уравнения Стокса:
* = 1Г * ■ (5'48)
При расчете скорости равномерного движения частиц,
имеющих форму, отличную от сферической, вводится
понятие диаметра, эквивалентного по объему, или
диаметра, эквивалентного по площади поверхности шара.
262

Re
Рис. 5.24. Зависимость Re=
= /(Аг) для равномерного
осаждения (всплывания) Ш0\
твердой сферы в вязкой 300
жидкости
В этом случае расчет усложняется [5], однако и здесь
для первого приближения можно использовать
уравнения (5.47) и (5.48), подставляя в них значения
эквивалентного диаметра, например по объему, и
соответствующий форме частицы коэффициент лобового
сопротивления. За пределами закона Стокса уравнение (5.47)
обычно решается подбором или графически.
Запишем уравнение динамического равновесия
(5.44) для случая равномерного осаждения твердой
сферической частицы в безразмерном виде
8 (Р — Ро)
nd?
или
^Р-РоУРо-'х^О
Разделим уравнение (5.50) на v2:
gd* р —р0
Л 2
Ро
V2
(5.49)
(5.50)
(5.51)
В левой части уравнения (5.51) записан
безразмерный комплекс Аг= ——р Ро, называемый критерием
v2 Ро
Архимеда, в правой части — произведение значения
коэффициента лобового сопротивления сх на квадрат
значения критерия Рейнольдса. Так как коэффициент
лобового сопротивления для частиц определенной
формы зависит только от числа Рейнольдса cx=f(Re)9
уравнение равномерного осаждения (всплывания)
твердых частиц в жидкости можно представить в виде:
Re = /(Ar). (5.52)
263

Рис. 5.25. Деформация жидкой капли при
ее падении в воздухе или в несмешиваю-
щейся с ней жидкости
С црмощью графика этой
зависимости (рис. 5.24) гидравлическая
крупность сферических частиц
определяется без затруднений, так как
критерий Архимеда для заданного
диаметра сферы однозначно
определяет значение критерия Рейнольд-
са, из которого и находится
гидравлическая крупность.
Экспериментальные графики, аналогичные
графику зависимости (5.52), могут быть
легко построены для частиц любой
формы.
Графическая зависимость Re =
=/(Аг) аппроксимируется
приближенными формулами [6], которые
имеют хорошее подтверждение в
опытах не только для равномерного
осаждения (всплывания)
одиночных частиц, но и для стесненного
(массового) их осаждения:
Re =— k + Vk2 + I Ar e4*75
или
Are4'75
Re
(5.53)
18 + 0,6lKAr84'75
(5.54)
где k и / — безразмерные экспериментальные постоянные,
зависящие от формы частиц (для сферических частиц £=27,27, /=3,03);
е=1—С (здесь С — объемная концентрация твердых частиц).
Обобщенное уравнение (5.53) справедливо для
любого гидравлического режима осаждения, уравнение
(5.54)—только для переходного режима при l<Re<
<103.
§ 38. Особенности осаждения (всплывания) капель
жидкости и газовых пузырей
В системах вентиляции и кондиционирования
воздуха, в контактных теплообменных аппаратах приходится
исследовать и рассчитывать процессы взаимодействия
264

капель жидкости и газовых пузырей с окружающими их
жидкостью или газом.
Особенность движения капель и пузырьков в жидкой
или газовой среде обусловливается главным образом
тремя факторами: способностью непрерывно изменять
свою форму в процессе движения, наличием
циркуляции жидкости или газа внутри капли или пузырька,
возможностью изменения условий на границе раздела в
связи с фазовыми переходами или химическими
реакциями.
Способность капли1 деформироваться при движении
определяется в первую очередь разностью давления
внутри капли и в окружающей ее среде жидкости.
Известно, что в капле под действием сил поверхностного
натяжения возникает положительное приращение давления
в соответствии с уравнением Лапласа:
Лр = а(1//?1 + 1//?2), (5.55)
где Ар=р—ро — разность давления внутри капли и в окружающей
среде (величина практически постоянная при постоянном объеме);
Ri и R2 — главные радиусы кривизны поверхности раздела фаз; о —
коэффициент поверхностного натяжения.
Разность давления Др при движении сферической
капли не влияет на характер ее движения. Капля движется,
как твердый шар. Однако форма капли остается
сферической при очень малых ее размерах (d^l мм). Капля
больших размеров, отрываясь от насадка (рис. 5.25, а),
начинает деформироваться, принимая форму шара (рис.
5.25,6), потом симметричного (рис. 5.25, в) и затем
деформированного (рис. 5.25, г) сфероида. Деформация
капли происходит вследствие неравномерного
распределения давления по ее внешней поверхности. Капли
сравнительно небольшого размера, осаждающиеся
(всплывающие) с малой скоростью (Re^l),
испытывают давление со стороны окружающей жидкости,
равномерно распределенное по поверхности капли. При этом
приращение давления Ар не влияет на форму капли.
Увеличение размеров капли, а следовательно, и
скорости ее осаждения (всплывания), приводит к нарушению
равномерности в распределении внешнего давления на
ее поверхности. В этом случае — в области разрежения
1 Будем далее рассматривать движение жидкой капли в жидкости;
поведение пузырька газа в жидкости или капли в воздушной среде
будет аналогичным.
265

возникает равнодействующая сила давления,
направленная в сторону окружающей каплю среды. Минимальное
внешнее давление наблюдается в точках максимальных
скоростей обтекания, т. е. в критических точках 2 и 4,
расположенных на границе экваториальной плоскости
сферы. Поэтому и максимальная деформация
происходит в плоскости, нормальной к направлению движения
капли (см. рис. 5.25, в, г). Степень деформации капли
вдоль оси движения зависит от разности между
внешним (со стороны окружающей жидкости) давлением и
давлением в капле. Так как Др практически не
меняется при изменении формы капли постоянного объема, при
увеличении разрежения в кормовой области (точка 3)
кривизна этой части поверхности становится больше,
чем в лобовой (точка 1). С увеличением скорости
движения капли разность между динамическим давлением
р^о/2 и приращением давления внутри обтекаемой
капли возрастает. В этом случае в лобовой части капли
кривизна ее поверхности может стать отрицательной
(рис. 5.25, г); увеличение кривизны может привести к
разрушению капли. Изменение формы капли,
естественно, увеличивает сопротивление ее движению.
Подвижность поверхности капли обусловлена
наличием силы трения на ее поверхности. Так как
касательные напряжения по обе стороны от поверхности раздела
фаз равны между собой, внутри капли развивается
циркуляционное течение, скорость циркуляции при этом
увеличивается с возрастанием размера капли. В
качестве критерия, определяющего начало и степень
циркуляции внутри капли, обычно принимается критерий Бонда:
B = gd2(p-Po)/<J. (5.56)
Начало деформации капли соответствует значениям
числа В^0,4, заметная циркуляция — приблизительно
В = 1-г-1Д
Наличие циркуляции жидкости внутри капли
уменьшает сопротивление ее движению.
На изменение величины лобового сопротивления
капли (или пузырька газа) в значительной степени влияет
присутствие в окружающей среде
поверхностно-активных веществ (например, солей кальция, магния и т. п.).
В присутствии поверхностно-активных веществ
движение капли жидкости или пузырька газа сферической
формы практически не отличается от движения твердо-
266

го шара. При взаимодействии химически чистых фаз
скорость капель небольшого диаметра (Re^l) может
быть вычислена по аналитической формуле Рыбчинско-
го — Адамара1 [6]:
"°- 6 (i 2 + W^9 ( '
где |л и \10 — соответственно динамическая вязкость капли (пузырька)
и среды.
В присутствии поверхностно-активных веществ,
существенно уменьшающих подвижность границы раздела
фаз (в этом случае можно положить jx->0), формула
(5.57) переходит в уравнение Стокса (5.48).
При больших значениях числа Рейнольдса расчет
равномерного осаждения (всплывания) капель и
пузырей можно производить по формулам (5.48), (5.53) и
(5.54). Однако следует помнить, что при Re>103
кривая cx=f{Re) для капель жидкости начинает отходить
от аналогичной кривой для твердого шара, приближаясь
к кривой для круглого диска, установленного поперек
набегающего потока.
Примеры
Пример 5.1. Определить силу давления воздушного потока на
цилиндрическую дымовую трубу диаметром d=0,5 м и высотой
Л=20 м при скорости ветра «00 = 10 м/с. Температура воздуха
/=20 °С.
Решение. Предполагая, что скорость ветра остается постоянной
по всей высоте трубы, силу давления ветра вычисляем по формуле
(5.39). Для определения сх вычислим значение числа Re=Uood/v. При
температуре воздуха /=20 °С v=15,7«10"~6m2/c; тогда Re= 10-0,5/
/(15,7* Ю-6) =3,18-105 и в соответствии с рис. 5.21 находим: сх=1,2.
Подставляя в формулу (5.39) со=Ы, определям силу давления
воздушного потока: F=cxhdp0u2J2=\,2'20-0,5-\1\85-100/2 = 711 Н.
Пример 5.2. Определить скорость свободного равномерного
всплывания сферической капли жидкого парафина диаметром d = S мм в
морской воде. Плотность жидкого парафина р = 780 кг/м3; плотность
морской воды р0= 1040 кг/м3; температура воды /=20 °С.
Решение. Вычислим искомую скорость двумя способами.
I способ. При наличии в морской воде поверхностно-активных
веществ (растворенные соли) скорость равномерного движения
сферической капли практически не отличается от скорости движения
твердой сферы, поэтому ее можно определить по формуле (5.47) с
заменой в нашем случае р—р0 на р0—р. В исходное уравнение вхо-
1 Формула (5.57) записана для капли жидкости, плотность которой
больше плотности среды.
267

дит неизвестная величина сх> зависящая от числа Рейнольдса;
поэтому решать уравнение будем методом последовательного
приближения. Считаем величину сх постоянной, независимой от числа Re.
Для сферической частицы в соответствии с рис. 5.21 коэффициент
лобового сопротивления сх=0,4. Подставляя в формулу (5.47)
исходные данные, получим:
<-Ут-
9,8.5-10-3(1040 — 780) л л 1Л
— —* L = 20,3-10-? м/с.
1040-0,4
Вычислим число Рейнольдса, соответствующее найденному
значению скорости, а затем с помощью графика зависимости cx=f (Re)
и значение коэффициента лобового сопротивления: Re/=1015; cx ~
«0,45.
Скорость во втором приближении определим из формулы (5.47),
подставляя в нее значение сх первого приближения: и0 = 19-10~2 м/с.
Снова определяем значения Re" и сх второго приближения:
Re" = 950; <£»0,45.
Замечаем, что коэффициенты лобового сопротивления первого и
второго приближений равны. Следовательно, принимаем
окончательно Мо=19.10-2 м/с.
II способ. Воспользуемся формулой (5.53), которая для
сферической капли имеет следующий вид:
Re =—27,27 +1/27,27?+ 3,03Аг.
Вычислим критерий Архимеда в соответствии с условиями
задачи:
А g<*3 Po-P_ 9,81(5-10-3)3 1Q4Q — 780 __
V2. Ро (1,02-10—•)? 1040 ' '
Тогда
Re =— 27,27 +1^27,27? + 3,03-295.103 « 920.
Искомая скорость равномерного всплывания капли
Wo = Rev/d = 18,7-Ю-? м/с.
Сравнивая результаты, полученные двумя способами,
убеждаемся, что они отличаются друг от друга не более чем на 2 %.
Глава 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
§ 39. Общие сведения. Простой трубопровод
При гидравлическом расчете трубопроводы
подразделяют на простые и сложные. Простым называется
трубопровод, состоящий из одной линии труб с постоянным
268

Рис. 6.1. К расчету простого
трубопровода
расходом пути и передающий жидкость из резервуара в
атмосферу (рис. 6.1, а) или в другой резервуар (рис.
6.1,6). Сложные трубопроводы состоят из системы
(сети) труб, подающей жидкость сразу в несколько точек.
Сеть может быть разветвленной (разомкнутой или
тупиковой) или кольцевой (замкнутой) и включать как
транзитные (без раздачи жидкости по пути), так и
распределительные трубопроводы.
Рассмотрим вначале простой трубопровод, состоящий
из труб одного и того же диаметра. При истечении в
атмосферу (см. рис. 6.1,а) уравнение.Бернулли,
записанное для сечений на поверхности воды в резервуаре и на
выходе из трубы, имеет вид
Pg 2g Pg 2g d 2g 2g
Пренебрегая величиной vl/(2g) (очень малой по
сравнению с другими членами уравнения) и обозначая z0—
—z=H, приводим уравнение Бернулли к виду:
"-5г(!+хт+4 (б,)
При истечении под уровень получим аналогично
* pg '
pg 2g Pg Ч d 2g
В этом уравнении в отличие от предыдущего местные
сопротивления оценены двумя слагаемыми 2£u2/(2g) и
(и—vB)2/{2g). Первое слагаемое так же, как и в
предыдущем случае, учитывает потери напора на
протяжении трубопровода, начиная от выхода из резервуара А
(см. рис. 6.1, б) в трубу (точка а) и до конца трубы
(точка б), за исключением потерь напора на выход в
резервуаре В, которые оценены вторым слагаемым.
269

По аналогии с первым случаем, пренебрегая
величинами vA и vBi можно привести и это уравнение к виду:
-'в = "=^(*Т + *+1)'
(6.2)
Формулы (6.1) и (6.2) тождественны между собой,
и гидравлические расчеты для обеих схем трубопровода
будут одинаковыми. Различие состоит только в том, что
при истечении под уровень единица, стоящая в скобках
в правой части, представляет собой коэффициент
сопротивления «на выход» потока под уровень, в то время как
при истечении в атмосферу она учитывает кинетическую
энергию, оставшуюся в потоке после выхода из
трубопровода, которая может быть так или иначе
использована.
Таким образом, напор Н при истечении под уровень
равен сумме всех сопротивлений: Н—Хкю, при
истечении же в атмосферу он делится на две части:
кинетическую энергию, уносимую потоком из трубы, и сумму
потерь напора
V2
Н = — + lhw.
2£
Гидравлический расчет простого трубопровода
сводится к решению трех основных задач (для заданных
конфигурации трубопровода, его материала и длины).
Первая задача. Требуется определить напор Я,
необходимый для пропуска заданного расхода жидкости Q
по заданному трубопроводу диаметром d и длиной /.
Задача решается путем непосредственного
использования формулы (6.1) с предварительным вычислением
средней скорости u = 4Q/(nd2). Тогда искомый напор
я=^Нт+4 (6-3)
Определение значений коэффициентов X и g в данной
задаче не вызывает затруднений, так как число Рейноль-
дса заранее известно.
Вторая задача. Требуется определить пропускную
способность (расход) трубопровода Q при условии, что
известны напор Я, длина трубы / и ее диаметр d.
Задача решается с помощью формулы (6.3), согласно
которой
Q = — V i + 4 + zg- (6'4)
270

Рис. 6.2. К
расчету диаметра
трубопровода при
заданном расходе
Рис. 6.3.
Последовательное
соединение
трубопроводов
'^ ПЙ~Т&
Так как коэффициенты К и £ являются функциями
числа Рейнольдса, которое связано с неизвестным и
искомым здесь расходом Q, то решение находим методом
попыток, полагая в первом приближении существование
квадратичного закона сопротивления, при котором
коэффициенты К и £ не зависят от числа Рейнольдса.
Третья задача. Требуется определить диаметр
трубопровода d при заданных расходах Q, длине
трубопровода I и напоре Н. Здесь также используем формулу
(6.4), но встречаемся с затруднениями в вычислениях,
так как не только неизвестно число Рейнольдса, но по
отношению к искомому диаметру d мы получаем
уравнение высших степеней или даже (при определении К
по формуле Колбрука) трансцендентное уравнение.
В связи с этим решаем задачу методом попыток,
полагая в первом приближении наличие квадратичного
закона сопротивления, при котором коэффициент X является
функцией только диаметра (при заданной
шероховатости стенок трубы).
Тогда уравнение (6.4) приводится к виду:
Q
лЛ2 -, Г
~ 4 VI
2gH
: = F(d).
\+fi{d)lld+n
Задаваясь рядом значений диаметра du d2l
вычисляя по последней формуле соответственно ряд
значений расхода Q,-, Q2, ..., Qn, строим график Q=f(d)
dn и
271

(рис. 6.2), из которого определяем диаметр, отвечающий
заданному расходу.
Теперь рассмотрим простой трубопровод,
составленный из труб разного диаметра (рис. 6.3), уложенных в
одну линию одна вслед за другой (последовательное
соединение труб). Уравнение Бернулли для этого случая
можно написать в виде:
*A-*B = Hs=bu,l + hua+~'+hw.n,
где hw\, hw2y..., hWtn — потери напора на первом, втором и т.д.
участках трубопровода.
Потери напора на первом участке с диаметром трубы
dx
hwl = Ai — —- + 2£ -— = Xi —- + 2£ ——
di 2g 2g 2gn2d\ 2gn2d*
8Q? / /, , 2£ \ 8Q2 1 /Mi
*Л
d\ d\ J grt d\ \ dy
Аналогично для последующих участков:
8Q2 1 I %zh
X
hW2 = "
№ d2
H^+4
gtf. 4 \ dn I
В последнем равенстве в скобках добавлено третье
слагаемое — единица, учитывающая потери напора на
выход (как об этом было сказано выше).
Таким образом, расчетное уравнение имеет вид:
8Q
И-
gut
МЪ+*)+т'*к
1 / %2 h
4 \ <*2
+*)+-"+iftr+*+i)} (6-5)
Из уравнения (6.5) видно, что решение первой и
второй задач будет таким же, как для трубопровода
постоянного диаметра.
Третья же задача, если в ней есть потребность
определения всех диаметров для всех участков, установится
неопределенной, так как в этом случае уравнение (6.5)
содержало бы п неизвестных. Очевидно, что для опреде^
272

ленности решения надо задавать диаметры труб для всех
участков, кроме одного.
§ 40. Расчет длинных трубопроводов
в квадратичной области сопротивления
В зависимости от соотношения между местными
потерями напора и потерями на трение трубопроводы
делятся на короткие и длинные. В длинных трубопроводах
потери напора на трение во много раз превосходят
потери на местные сопротивления (M/d»2£) и скоростной
напор на выходе (M/d»l). Примерами длинных
трубопроводов являются магистральные водопроводы, в
которых местные потери напора часто составляют менее 2—
3 % потерь на трение и ими можно пренебречь. В
коротких трубопроводах (всасывающие трубы насосных
установок, трубы под насыпями, дюкеры и пр.) местные
потери напора соизмеримы с потерями на трение.
Для длинных трубопроводов уравнения (6.1) и (6.2)
принимают вид:
/ и2
//=XT"27==/lTP' (6'6)
Из уравнения (6.6) следует, что в длинных
трубопроводах весь напор практически затрачивается на
преодоление сопротивлений на трение по длине.
Уравнение (6.3) приводится к виду
8А,
И = Q2 /;
^d \ (6.7)
H = AQ*l = SQ\
а уравнение (6.4) к виду:
или
o-YJ-Yi^ <•••
где А — удельное сопротивление трубопровода:
Л==~~^: (6-9)
18—626
273

5 — сопротивление трубопровода:
S = Al=-^T. (6.10)
gn2db
Если обозначить
то уравнение (6.7) примет вид:
Я = Q2 ЦК2-. (6.12)
Показатель Ку имеющий размерность расхода,
называется модулем расхода или расходной
характеристикой трубопровода.
Показатели Л, S и К представляют собой
обобщенные гидравлические параметры трубопровода,
использование которых значительно упрощает гидравлические
расчеты.
Рассмотрим случай, когда движение жидкости в
трубопроводе происходит в условиях квадратичного закона
сопротивлений. Здесь коэффициент гидравлического
трения не зависит от числа Рейнольдса и является
функцией только относительной шероховатости трубопровода,
что значительно упрощает расчеты.
Действительно, для квадратичной области
сопротивления параметры Лкв и Ккв зависят только от диаметра
трубопровода (при заданной его шероховатости), а
параметр SKB — от диаметра и длины трубопровода.
Следовательно, значения обобщенных гидравлических
параметров могут быть заранее вычислены для каждого
диаметра d, входящего в установленный стандарт, и сведены
в таблицы. Так, например, в табл. 6.1 приведены
значения Лкв, подсчитанные по формуле (6.9) при
значении &э = 0,1 мм.
Таблицы параметров /С, Л, S значительно сокращают
и ускоряют вычислительную работу по гидравлическому
расчету трубопроводов.
Три основные задачи по расчету трубопроводов (см.
§ 39) с использованием обобщенных гидравлических
параметров решаются следующим образом:
1) определение напора Я, необходимого для
пропуска расхода Q по заданному трубопроводу диаметром d,
производится непосредственно по формуле (6.7) или
(6.12);
274

Таблица 6.1. Значения удельного сопротивления Д;в при Я,=0,11
(*э/</)0'25
d, м
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
(О, М*
0,00785
0,0177
0,0314
0,0491
0,0707
0,1257
0,196
0,283
0,385
0,503
0,636
0,785
О)2, М»
0,0000615
0,000314
0,00099
0,00241
0,005
0,0158
0,0384
0,08
0,148
0,244
0,405
0,615
Я.
0,0192
0,0177
0,0164
0,0155
0,0148
0,0138
0,013
0,0124
0,012
0,0116
0,0113
0,011
Al KB
158,6
19,15
4,21
1,32
0,504
0,111
0,0346
0,0131
0,00591
0,00303
0,00158
0,00091
2) для определения пропускной способности трубы
Q при заданных dt /, H предварительно находится из
таблиц значение Лкв или /Скв, после чего используется
формула (6.8) или (6.12);
3) для определения необходимого диаметра d при
заданных Q, I и Н предварительно из формул (6.7) или
(6.12) находится значение Акв (или Ккв), по которому
из таблиц находим значение d.
При последовательном соединении трубопроводов
различных диаметров и длины полная потеря напора в
трубопроводе
Я = Л! + Л2+... + Лл = 2>|-
1
Подставляя для каждой потери напора ее выражения
по формуле (6.7), будем иметь:
^=5KB.1Q2 + 5KB.2Q*+...+ SKB.llQ!=Q!25KBii = Q?5„B.o,
1
(6.13)
где
п
S0 = 25кв,г = SKB1 + 5кв2+*"+Зкв,п« (6.14)
1
Таким образом, при последовательном соединении
трубопроводов сопротивления отдельных участков
складываются.
18*
275

Из уравнения (6.13) находим выражение для
пропускаемого расхода:
Q=i/-^-=t/ - . (6.15)
У ^КВ.О У *^КВ1 + *^КВ2 +• • •+ ^КВ,П
По найденному расходу можно вычислить потери
напора на отдельных участках (например, hi=S\Q2 и т.д.)
и построить кривую давления (пьезометрическая
кривая), которая будет иметь вид ломаной линии (см. рис.
6.3).
§ 41. Расчет длинных трубопроводов
в неквадратичной области сопротивления
При движении жидкостей в напорных трубопроводах
санитарно-технических систем квадратичный закон
сопротивления соблюдается не всегда. Так, например,
более 80 % всех городских газопроводов низкого и
среднего давления работает в неквадратичной области
сопротивления. В этом случае параметры А (или К) зависят
не только от диаметра трубы, но также и от скорости
движения в ней, в связи с чем решение задач по гидрав*
лическому расчету трубопроводов несколько осложняется,
Формулу (6.7) можно представить в виде:
8XQ4 X 8ЯКВ ^о , К
gn*d*~~ Якв gn*(p.
Введем обозначение
* = ЯДКВ, (6.17)
где г|) — поправка на неквадратичность.
Тогда формула (6.16) примет вид:
tf = *i4KBQ?/ = l>SKBQ». (6.18)
Определяя К по формуле Альтшуля (4.63), имеем
Хкв = 0,11 (йэ/rf)0,25. В результате для поправки на
неквадратичность получаем выражение
X I 68V \0,25
♦-т7-(,+-зг) • »■">
Значения поправки на неквадратичность ф,
вычисленные по формуле (6.19) для движения воды в трубах при
/гэ=0,1 мм и k3=l мм, приведены в табл. 6.2 (v=lX
Х10-6 м2/с), а для движения воздуха в трубах при kd=
= 0,1 мм —в табл. 6.3 (v = 14,7-10-6 м2/с)\
H = -Z77* = - ZT3rQ?'=-T— AWQU. (6.16)
276

Таблица 6.2. Значения поправок на неквадратичность ф при
движения воды в трубах
Скорость воды v, м/с
0,01
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
1,5
2
3
4
5
Значение ф при kQ,
0,1 1
2,88
1,67
1,45
1,35
1,28
1,24
1,14
1,1
1,08
1,05
1,04
1,03
мм
1
1,67
1,14
1,08
1,05
1,04
1,03
1,015
1,01
1
1
1
1
Таблица 6.3. Значения поправок на неквадратичность t|) при
движении воздуха в трубах
V, М/С
0,01
0,1
0,5
1
2
3
4
5
6
Ф
5,6
3,16
2,14
1,82
1,56
1,44
1,37
1,31
1,28
V, М/С
7
8
9
10
15
20
50
100
п-
1,25
1,22
1,21
1,19
1,14
1,1
1,05
1,02
Рассмотрим методику решения типовых задач при расчете
трубопроводов в неквадратичной области сопротивления.
Требуется определить пропускную способность трубопровода Q,
если заданы напор //, длина трубы / и диаметр трубопровода d
(вторая типовая задача).
По табл. 6.1 находим значение удельного сопротивления Лкв при
заданных d и kd. Находим пропускную способность трубопровода
при квадратичном законе сопротивления:
q- - Vib ■
По табл. 6.2 при скорости движения воды
4Qkb
v =
nd*
277

или по формуле (6.19) определяем значение поправки на неквадра-
тичность \|) и вычисляем значение искомого расхода: Q = QK* Vty-
Если требуется определить диаметр трубопровода d при
заданных Q, Н и / (третья типовая задача), то решение находим
следующим образом.
Вычисляем значения удельного сопротивления (принимая гр = 1)
по формуле АКВ=Н/ (Q4). По табл. 6.1 находим для вычисленного
значения Лкв соответствующий диаметр d\y пользуясь при этом
линейной интерполяцией. Затем определяем скорость, соответствующую
квадратичному сопротивлению (при диаметре di),
4Q
^кв= — •
По табл. 6.2 или формуле (6.19), пользуясь найденной скорое*
тью vu определяем поправку if», после чего вычисляем значение А
по формуле (2-е приближение)
_ J Н_
~ ур Q2/
По табл. 6.1 находим диаметр, отвечающий полученному
значению А. Учитывая, что местные потери напора в неквадратичной
области не меняются, можно перенести предлагаемую методику и на
короткие трубопроводы.
§ 42. Расчет сложных трубопроводоз
Гидравлический расчет трубопроводных сетей с
учетом меняющегося во времени расхода в соответствии с
производственными требованиями эксплуатации той или
иной системы представляет собой очень сложную
задачу. Такие расчеты рассматриваются в специальных
курсах (водоснабжение, отопление и др.).
Рассмотрим основные схемы сложных трубопроводов:
параллельное соединение, трубопроводы с непрерывной
раздачей расхода по пути, кольцевой трубопровод
непростую разветвленную сеть (именуемую иногда
тупиковой); эти схемы можно рассматривать в качестве
элементов более сложных сетей. Во всех случаях
предполагается, что у трубопроводов большая длина и работают
они в области квадратичного закона сопротивления.
Параллельное соединение трубопроводов.
Трубопровод в точке А разветвляется на несколько труб, которые
затем вновь объединяются в точке В\ расход Q
основного трубопровода до деления и после объединения труб
один и тот же (рис. 6.4). Задача расчета состоит в том,
чтобы определить расходы в отдельных ветвях системы
Qb Q2, ..., Qn, а также потери напора hw между точка-
278

Рис. 6.4. Параллельное
соединение трубопроводов
1; 2; ...; п — ветви трубопровода
ми Л и В. Общий расход Q, диаметры и длина
параллельных труб (du йъ ..., dn\ l\, 1ь ..., U) предполагаются
известными.
Потери напора в любой трубе ответвления
одинаковы, так как в обеих общих (крайних) точках
разветвления имеется один и тот же напор Н{ и общий конечный
напор #2, т. е.
hw = Ht — Н2 = hwi = hW2 = hw$. (6.20)
Для первой ветви можно записать hw=S\Qu
Аналогично для других ветвей имеем:
^=52<& ^ = 53Q32;...; hw=SnQl (6.21)
или
Ql=VhJS1; Q2 = KW5*2;...; Qn = VhJSn. (6.22)
Имея в виду условие
Q = Qi + Q2+.-.+ Qn> (6.23)
находим:
[Vs, VJ2 VsJ
n
= VZY*-J± = Vb,2pt. (6-24)
i
где pi—l/V^i — проводимость трубопровода.
Уравнение {6.24) можно записать также в виде:
Q = pQVhw> (6.25)
где po=2pt-.
Таким образом, при параллельном соединении
трубопроводов проводимости отдельных ветвей складываются.
Из уравнения (6.25) находим требуемый напор:
hw = (Q/pQ)b (6.26)
279

Рис. 6.5.
Непрерывная раздача
расхода по
пути
Расходы отдельных ответвлений находим по
формулам (6.22). Так, например, для первой ветви имеем:
Ql
Yt-pXh"
Ро
Q.
(6.27)
Приведенное решение получено в предположении квадратичного
закона сопротивления. Для расчета параллельных трубопроводов в
неквадратичной области сопротивления можно использовать
поправки на неквадратичность.
Для каждой из п параллельных ветвей
5i = -
£Я?
где i — порядковый номер ветви; ip/ — поправка на неквадратичность
для /-й ветви, AKB,i— удельное сопротивление для i-й ветви в
квадратичной области (см. табл. 6.1) Поправки *ф/ высчисляем по фор*
муле (6.19) или берем из табл. (6.2). Зная поправки яр,-, уточняем
расходы в отдельных ветвях трубопровода. Так, например, для
первой ветви
Q
1 +
у,
1=2
Si %
1/2
а потери напора определяются по формуле
Непрерывная раздача расхода по пути (расчет
дырчатых трубопроводов). Найдем потерю напора на
трение в трубопроводе постоянного диаметра, на некоторой
длине которого происходит раздача жидкости по пути
{рис. 6.5). Точки разбора жидкости расположены очень
280

часто, так что раздача практически является
непрерывной. При этом расход жидкости вдоль пути непрерывно
уменьшается, т.е. движение жидкости происходит с
переменным расходом и Q = yco=^= const.
Допустим, что расход жидкости вдоль участка трубы
АВ уменьшается равномерно и постепенно, т. е. на
каждой единице длины трубопровода расходуется Qn.p//
(где QH.p — расход, раздаваемый на участке длиной /).
Расход в начале участка раздачи
Q = Qtp + 0h.P, (6.28)
где QTP — расход, оставшийся в трубопроводе ниже конца участка
раздачи (транзитный расход).
Определим потерянный напор на участке АВ.
Потери напора d/iTp на элементарном участке трубопровода
длиной chr, расположенном на расстоянии х от конца
участка раздачи (сечение /—У),
dh^^AQJdx, (6.29)
где Q\ — расход, проходящий в сечении /—/:
Qi = Qtp + Qh.p*//. (6.30)
Подставляя выражение (6.30) в формулу J6.29),
получим:
с1/гтр = Л (QTP + QH.p xliy dx. (6.31)
Интегрируя в пределах от 0 до /, находим:
о
Принимая А=АКВ постоянным для трубопровода
заданного диаметра (что справедливо для квадратичной
области сопротивления), имеем:
2 2<Этр<?н.Р/2 <&р *3
/гтр ~~ ^тр ^кв 1 + 2/ ^КВ "^ 3/2 ^КВ'
Лтр = \ъ ' К + «тр QH.p + Qh.p/3). (6.32)
При QTp = 0 (т.е. при отсутствии транзитного
расхода)
Таким образом, потери напора при непрерывной
раздаче вдоль пути в 3 раза меньше потерь, которые могли
281

Рис. 6.6. К расчету
кольцевого трубопровода
а —схема кольцевого
трубопровода; б —то, же, с двумя узловыми
точками
Рис. 6.7. К определению
направления течения на
замыкающем участке трубопровода
быть, если бы весь расход сосредоточенно раздавался в
конце трубопровода.
Если трубопровод работает в неквадратичной области
сопротивления, то ?i=/(Re) или Я=/(у) для заданной жидкости и заданного
диаметра трубы. Скорость по длине участка уменьшается, снижается
Re, а следовательно, X возрастает, т. е. изменяется по длине
трубопровода. Повышается и параметр А=}(х). В этом случае вместо
выражения (6.32) получаем:
А.- = А;В *Д (<??р + <?тр <?н . + Q2H.p/3) /, (6.34)
тр
где В — поправка к коэффициенту К в связи с изменением
средней скорости течения жидкости; параметр В меняется от 1 (для
вполне шероховатых труб) до 1,1 (для гидравлически гладких труб)
[2].
Кольцевой трубопровод. Основной расчетной задачей является
определение напора Н в условиях, когда заданы значения расхода
в точках отбора (так называемые узловые расходы) Qu Q2, ..., Q„,
расположение трубопровода, длины отдельных участков и диаметры
всех труб.
Рассмотрим сначала простейший случай (рис. 6.6), когда
трубопровод имеет два узловых расхода: Qi (в точке 1) и Q2 (в точке 2).
Определение напора Н в начальном сечении магистрали затруднено
тем, что неизвестны ни расход, ни направление потока на
замыкающем участке между узлами 1 и 2, в связи с чем неизвестны расходы
и на других участках трубопровода. Если, например, течение
происходит от узла / к узлу 2У то расход трубопровода на участке А—/
будет Qi — q\-\-qx, а если течение направлено от узла 2 к узлу /, то
расход на участке А—1 будет <22=?2—<7*. Поэтому надо
предварительно решить вопрос о направлении течения на замыкающем
участке трубопровода.
Назовем точкой схода узел, к которому вода притекает с двух
282

Рис. 6.8. Простая
разветвленная сеть трубопроводос
сторон. Так, на рис. 6.7, а точкой схода является узел 2, а на рис.
6.7, б—узел 1. Положение точки схода определяет направление
течения во всем кольце. Потери напора от магистральной узловой
точки А до точки схода одинаковы по обоим направлениям «кольца».
Так, если точкой схода является узел 2,
2j ^ — 2j "w "t" ]>j 'kv
А ~2 Л—1 1—2
(6.35)
Для этого случая, если пренебречь местными сопротивлениями,
можно написать неравенство
, к (Ч2-Ях)* , к foi + <7*)?
2gco:
и (опуская qx)
Ло "~~
я\
2g<*l
> V
ж
di 2gco;
«?
di
2g<4
или
A2%l2>Ai<?ili.
В случае, когда A2q\l2<A{q\lu точкой схода является узел /.
Таким образом, положение точки схода определяется потерями
напора от магистрального узла А до узла / и узла 2.
После того как решен вопрос о точке схода, искомый
начальный напор определяется путем вычисления в каком-нибудь одном
направлении потерь напора до точки схода от начального сечения
трубопровода. Например, если для схемы, показанной на рис. 6.6,
точкой схода является точка 2, то
Н-
о—л-
К
Простая разветвленная сеть (рис. 6.8). Основными задачами
можно считать: определение концевых расходов Qi и Q2 при
заданном напоре в начальном сечении и определение напора при заданных
концевых расходах Q\ и Q2. В качестве примера рассмотрим первую
задачу. Составим уравнение Бернулли для потока по линии от
начального сечения магистральной трубы до выходного сечения первой
283

ветви (вдоль линии 0—Л—/), а затем до выходного сечения второй
ветви (вдоль линии 0—А—2). В первом случае
Н0 = h + hw(0-A) + К{А-\Ъ (6' 36)
а во втором
Н0 = h + К(0~А) + К(А-2), (6 '37)
где hw(o-A), hw(A-i) и hw{A-2) — потери напора на участке 0—Л (на
магистрали) на первой и второй ветвях.
Обозначим расход в первой ветви Qi, а во второй С?2.
Очевидно, в магистрали расход будет равен их сумме (Q1 + Q2). Имея это
в виду, напишем равенства (6.36) и (6.37) иначе (пренебрегая
скоростными напорами на выходе). Потери напора на магистральной
линии
L и2 v2 v2 [ L
(Qi + Q2)2
2g(jiD2/4)2
или, обозначив
Аналогично:
"T^h'-VF-H**-
*«0-Л)-в(«1+<У.
8Ql , 1 \
Коэффициенты В, В{ и В2, очевидно, связаны с удельным
сопротивлением трубопровода. Действительно:
8 / L \ 81 8
В = Я—+ 21 =■ L+ 2£,
gjt2 D^ £> 7 ^?D^ ^ gn2 D* Ь'
но 8k/(gn2Db) =Л, поэтому
16
Б = Л/. + 2£
и соответственно:
16
2gn2 d\
16
#2 = л2/2 + ГТ1^
284

При отсутствии же местных сопротивлений или пренебрежении
ими по сравнению с потерями по длине, т. е. для длинных
трубопроводов:
B = AL = S\ B1 = A1ll = S1\ B2 = A2l2 = S2.
В условиях квадратичного закона сопротивлений коэффициенты
Я и £, а следовательно, В> Вх и В2 вычисляются однозначно, и их
можно считать известными. Тогда исходные уравнения (6.36) и
(6.37) перепишутся следующим образом:
Но = h + В (Qi + %? + Б1 $; (6 *38)
Решая эти два уравнения, находим Qi и Q2-
В неквадратичной области сопротивления расчеты можно
производить методом последовательных приближений с использованием
поправки на неквадратичность \|? (см. табл. 6.2).
§ 43. Особенности расчета коротких труб
В коротких трубах (рис. 6.9) сумма местных потерь
соизмерима с потерями на трение, и расчеты таких труб
ведутся с обязательным учетом потерь напора на
местные сопротивления. Основная задача расчета состоит в
определении пропускной способности (расхода)
трубопровода. Формула для определения расхода может быть
получена путем преобразования уравнения (6.5):
Q = Hc(x>V2gH , (6.40)
где со — площадь сечения на выходе из трубы в атмосферу; |яс —
коэффициент расхода системы, определенный из выражения
J*c = ' - . (6-41)
Г U (О2 О)2
в котором X,-; /,•; dt; со/ — коэффициенты гидравлического трения,
длины, диаметры, площади сечения отдельных участков короткого
трубопровода, а & — коэффициенты местных сопротивлений, отнесенные
к скоростям в соответствующих участках.
Скорость движения на выходе из трубы в атмосферу
определяется по формуле
v = Q/co = цс V~2gH . (6.42)
Для трубопровода постоянного сечения с
имеющимися на нем местными сопротивлениями формула (6.41)
приводится к виду:
285

-X-r
W V-UL
v ;ca)
Рис. 6.9. К расчету
короткого трубопровода
CPf4
А —
*-0
а
Рис. 6.10. К расчету сифона
Ис = "
V\+Uld+lZi
При большой длине трубы формула (6.42)
принимает вид:
^с =■
Подставляя полученное значение \хс в формулу
(6.40), после преобразований будем иметь
8A/Q2
Н
gn2 db
AIQ2
т.е. известную формулу расчета данных труб.
Если в формуле (6.42) A,//d<C2£i, получим:
^с:
l/Ki + sCi,
т. е. известную формулу коэффициента расхода jj, при
истечении из насадков (см. далее § 48).
При расчете коротких труб по формулам (6.40) и
(6.41) не учитывается взаимное влияние местных
сопротивлений. Значения коэффициентов местного
сопротивления (а часто и коэффициентов гидравлического
трения) берутся по данным, относящимся к квадратичной
области сопротивления.
Гидравлический расчет некоторых коротких трубопроводов
отличается специфическими особенностями.
Рассмотрим расчет трубопровода, работающего под вакуумом
(сифон). Сифоном (рис. 6.10) называется соединяющий два
резервуара трубопровод, часть которого расположена выше уровня
жидкости в верхнем (напорном) резервуаре. Движение жидкости в
сифоне происходит за счет разности уровня в обоих резервуарах Н.
Для приведения сифона в действие предварительно удаляется
воздух из верхней части сифона путем откачивания воздушным
насосом. Тогда, благодаря возникающему в верхней части сифона раз-
286

режению, жидкость из сосуда А поднимается по всасывающей ветви
сифона и затем, опускаясь по сбросной ветви, попадает в сосуд В.
Таким образом, сифон представляет собой трубопровод, работающий
под вакуумом. Сифонные трубопроводы широко используются на
практике в качестве водосбросов в гидротехнических сооружениях,
для опорожнения водоемов, при прокладке труб через
возвышенность, для слива жидкостей из цистерн и других емкостей и т. д.
Гидравлический расчет сифона производится по формуле (6.40).
Совершенно обязательным при этом является определение
предельной высоты подъема жидкости сифоном h\. Для определения этой
высоты запишем уравнение Бернулли для сечения 0—0 и 1—1 (см.
рис. 6.10; линию 0—0 одновременно примем за плоскость
сравнения):
откуда
-*--*-1-А
Р£ -"1+ 2g'
и Po — Pi _
п1= —
4--&-
PS
±_
9гг
1 и
"Г nw(0—l) »
- h
nw(0-l)'
(6.43)
При заданном максимальном вакууме (в практических
условиях не более 0,07 МПа) для увеличения предельной высоты подъема
жидкости hi необходимо, по-возможности, уменьшить второй член
правой части уравнения (6.43), т. е. скорость v{, и потери на
всасывающей ветви сифона. С учетом формулы (6.42) имеем:
«?/(ЭД = |*сЯ-
При заданном напоре Н снизить V\ можно лишь за счет
уменьшения [iCf иными словами — за счет увеличения суммарных потерь
напора 1гщ0_2у Учитывая, однако, необходимость сокращения
потерь напора на всасывающей ветви hw,0_^ приходим к заключению,
что увеличить h\ можно лишь путем повышения потерь на сбросной
ветви сифона hw^0__2y (например, за счет установки на ней
задвижки). Но при этом одновременно понизится пропускная способность
сифона. Таким образом, увеличить предельную высоту можно лишь
за счет снижения проходящего по сифону расхода Q. Для заданного
сифона можно установить связь /zi=/(Q), которая называется
характеристикой сифона.
Особенности расчета других коротких трубопроводов (дорожные
трубы, дюкеры, всасывающие трубы насосных установок и пр.)
рассматриваются в литературе [12].
§ 44. Гидравлический (аэродинамический)
расчет трубопроводов для газов
Перекачивание по трубам газов (воздух, пар,
природный и искусственный газы) широко используется для
различных целей (бытовых и технических).
Воздуховоды служат для подачи воздуха к технологическому
оборудованию (технические воздуховоды или воздухопрово-
287

ды) и для вентиляции помещения (вентиляционные
воздуховоды). Газопроводы служат для подачи газа к
газораспределительным пунктам (ГРП) и отдельным
объектам промышленного и коммунально-бытового
назначения (газопроводы среднего и высокого давления), а
также для транспортирования газа от ГРП к потребителям
и раздачи его внутри зданий.
По сравнению с движением жидкостей движение
газов характеризуется некоторыми особенностями,
обусловленными, главным образом, различием физических
свойств капельных и газообразных жидкостей. При
гидравлическом (аэродинамическом) расчете трубопроводов
для газов следует различать два случая: движение при
малых относительных перепадах давления и движение
при больших перепадах [под относительным перепадом
давления Др/рСр понимают отношение абсолютного
перепада давления между начальным и конечным
сечением Др к среднему давлению на участке рСр = (pi+P2)/2].
В первом случае (Др/рСр<5%) можно, пренебрегая
сжимаемостью, считать плотность транспортируемого
газа неизменной по длине трубопровода; тогда
гидравлический (аэродинамический) расчет трубопроводов для
газов принципиально не отличается от расчета
трубопроводов для несжимаемых жидкостей.
При больших относительных перепадах давления
(Др/рср>5%) пренебрегать сжимаемостью газа
нельзя и нужно учитывать уменьшение давления
транспортируемого газа по длине трубопровода,
сопровождающееся снижением плотности газа с возрастанием его
скорости в направлении движения.
Течение газа по трубам при малых перепадах
давления. В этом случае уравнение Бернулли для
несжимаемой жидкости принимает вид:
Р£ (zi ~ h) + (Pi - Рг) + Р К - tyl2 = Чют-
где Арпот — потерянное давление.
В трубопроводах для газов в большинстве
практических случаев слагаемым pg(z{—z2) в этом уравнении
можно пренебречь, так как вследствие очень малой
плотности газа его влияние слишком мало по сравнению с
другими членами уравнения.
Пусть, например, для трубопровода Az=20 м, а давление,
развиваемое вентилятором, Ар=25 000 Па. Тогда р#Аг=1,2 кг/м3Х
288

Х9,8Ь20 м = 240 Па, что составляет всего 0,01 Лр, и,
следовательно, членом pg&z можно пренебречь.
Перепишем уравнение Бернулли с учетом
сказанного выше:
Pi + PVV2 = P2 + ?Vll2 + A*W
а при постоянном сечении трубопровода
Pi — Pi = дРпот = дРтр + дРм» (6.44)
т.е. весь перепад давления в трубопроводе обусловлен
потерями давления на преодоление гидравлических
сопротивлений.
Формулу для определения потерь давления на
трение представляют следующим образом (Н/м2):
дРтр = Р^Тр = А,— р — , (6.45)
а для определения потерь давления в местных
сопротивлениях
Дрм = Р^м = £р^2/2, (6.46)
где р=рСр/(/?7')—средняя плотность газа, кг/м3 [здесь pcp=(Pi +
+Рг)/2; р\ и р2 — давления в концевых сечениях трубопровода].
Входящий в формулы (6.45) и (6.46) член ру2/2
называют динамическим давлением.
Формулу (6.45) представляют также в виде
, дРтр g * iiL_
*тр - / ■ ~% d P 2 •
Удельное сопротивление /?Тр (сопротивление трения
1 м длины трубопровода) связано с гидравлическим
уклоном гтр зависимостью ЯТр=рё"*тр.
Гидравлический расчет вентиляционных воздуховодов.
Вентиляционные трубы (каналы) часто имеют
прямоугольное или квадратное сечение, поэтому вместо
диаметра в уравнение (6.45) вводят эквивалентный
диаметр б?э, в результате чего получаем:
А, о»
*тр~ а, р 2 '
Коэффициент гидравлического трения при расчете
вентиляционных воздуховодов определяют по формуле
А. Д. Альтшуля:
0,П / h 68v \о,25 v%
-fcr+id рт- " (647)
#тр —
19-626
289

При расчетах вентиляции потери давления на
местные сопротивления (повороты потока, слияние и
деление потока и др.) имеют, как правило, большее
значение, чем потери на трение, и их учитывают особо; при
этом полезно также учитывать зависимость
коэффициентов местных сопротивлений от Re.
Особенности гидравлического расчета газопроводов
низкого давления. В длинных газопроводах потери
давления на местные сопротивления невелики по сравнению
с потерями давления на трение, и здесь можно
полагать
/ v2
Арпот « Дртр = к — р — . (6.48)
Подставляя в уравнение (6.48) значение К из
формулы (4.63), получаем рекомендуемую СНиП П-37-76
формулу А. Д. Альтшуля 1 [2]:
Дртр = 7 (kd/d + \922dvlQ) ylQ*/d\ (6.49)
где Артр — потеря давления, мм. вод. ст.; / — расчетная длина
газопровода, м; &э — эквивалентная шероховатость, см; d — диаметр
трубопровода, см; v — кинематический коэффициент вязкости газа,
м2/с; Q — расход газа, м3/ч; у — удельный вес газа, кгс/м3 (при
температуре 0°С и давлении 760 мм рт. ст.).
Для расчета газопроводов низкого давления
составлены номограммы [3].
Представляют интерес два частных случая.
Если k3/d<g.\922dv/Q (при движении газа с малыми
скоростями в гладких трубах), формула (6.49) упрощается:
Артр = 46,5V0'25 y/Q1'75/^4'75. (6.50)
При обычных условиях расчета газопроводов этой формулой
можно пользоваться при скоростях течения газа v<3 м/с.
Если k3/d^>\922dv/Q (при движении газа с большими
скоростями в трубопроводах со значительной шероховатостью), то
В частности, для новых стальных труб при ^э==0,1 мм
A/7Tp = 2,22YQ2/d5'25.
Гидравлический расчет газопроводов при больших
перепадах давления. При расчете длинных газопроводов
{имеющих часто длину, равную десяткам и сотням
километров), а также трубопроводов сжатого воздуха не-
1 В формуле даны обозначения и единицы физических величин в
соответствии со СНиП 11-37-76.
290

обходимо учитывать значительные перепады давления
между началом и концом трубопровода.
В этом случае нельзя без больших погрешностей
полагать плотность газа постоянной по длине
трубопровода, как это делается при расчете газопроводов низкого
давления; кроме того, даже при сохранении постоянства
диаметра по длине газопровода движение газа в таких
трубопроводах является неравномерным. Действительно,
в соответствии с уравнением неразрывности рои = const
или pu=const при o) = const. Но давление газа по
длине газопровода уменьшается (т. е. уменьшается его
плотность), следовательно, возрастает скорость движения
газа, которая в конце газопровода всегда выше, чем в его
начале.
Далее, при расчетах таких газопроводов можно
пренебрегать не только изменениями удельной энергии
положения, т.е. членом Z\—z2 в уравнении Бернулли (об
этом уже говорилось выше), но также изменениями
удельной кинетической энергии газа.
Пусть, например, Ap=pi—/?2=196 000 Па (pi = 294 000 Па);
Az = z{—z2=20 м; ^ = 20 м/с; и2 = 25 м/с; * = 27°С = 300 К; /? =
=287 Дж/(кг-К). Тогда
Pl 294 000
р = -^- = = 3,4 кг/м3;
r RT 287-300
pg\z = 3,4-9,81 -20 = 680 Па;
р [у\ — v\)/2 = 3,4 (625 — 400)/2 = 390 Па.
Таким образом, перепад давления в 500 раз больше изменения
удельной кинетической энергии и в 300 раз больше изменения
удельной энергии положения.
При расчетах движения газов с большими
перепадами давления уравнение Бернулли сводится к
зависимости (для бесконечно малого участка трубопровода, на
котором плотность газа и скорость его движения
можно считать постоянными)
— dp = dpTp. (6.51)
С учетом формулы Дарси — Вейсбаха формула (6.51)
поручает вид:
dl v*
~dp = X —— р. (6.52)
Для интегрирования этого уравнения нужно знать
характер изменения скорости, плотности и коэффициента
19*
291

гидравлического трения вдоль газопровода, т.е.
зависимости р=/(/); ^==/i (/); X=f2(l). Эти зависимости
определяются термодинамическими процессами,
протекающими при движении газа по трубопроводу. Если
теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует,
газ будет расширяться адиабатически и его температура
будет непрерывно понижаться. При наличии
теплообмена между газом и окружающей средой температура
газа Т может сохраняться постоянной по всей длине
газопровода (изотермическое течение), равной температуре
окружающей среды. -Это обычно наблюдается в длинных
трубопроводах без тепловой изоляции, и поэтому
большинство промышленных газопроводов работает в
условиях изотермического режима.
Как известно, коэффициент гидравлического трения
k==f(Re\ k3/d). Относительная шероховатость по длине
газопровода не меняется (для данных къ и d). Число
Рейнольдса можно представить в виде
pvd 4pQ AM
Re = —— = = ,
\i яф nd\i
где М — массовый расход.
При изотермическом режиме динамическая вязкость
сохраняется неизменной по длине трубопровода (так как
температура газа не меняется), а следовательно,
остается постоянным и число Рейнольдса. Таким образом,
несмотря на изменение средней скорости движения газа и
его плотности коэффициент гидравлического трения
вдоль газопровода не меняется.
Введем в уравнение (6.52) скорость V\ в начале
газопровода. Скорость v и плотность р в любом сечении
газопровода связаны со скоростью и плотностью в
начальном сечении V\ и pi уравнением неразрывности и =
= i>ipi/p. Подставляя это выражение в уравнение (6.52),
получим:
d/ Pi v1
-dp = b— . (6,53)
С другой стороны, из уравнения состояния газа
имеем:
292

в соответствии с чем формулу (6.53) можно привести
к виду:
— рар — ——-—— ш.
(6.55)
D 2 RT
Интегрируя это уравнение от р{ до р2 \Рг —
давление в конце рассматриваемого участка газопровода),
получим:
2 2
Pi" Pi
Л D 2
А
RT
откуда
р\-
2
Р?-
р\
р\
pi Pi;
Pi
(6.56)
2 D 2co2 pj
Уравнение (6.56) можно представить в виде
рЬ
■р\
2pi
(6.57)
Левая часть последнего уравнения может быть
преобразована:
2 1
Р\—Р%
2pi
и поэтому
Так как
(Pi — Р2НР1 + Р2)
2Pl
|(Р1-Р2)(.+-^).
Pi — P2
I «*
Pi-
I+P2/P1 ^ 2
1 — Др/pt,
A>2 _ Pl — bp
Pi Pi
то, подставляя последнее выражение в уравнение (6.56),
получим окончательно:
2
Pi — Рг'
■ A/>/Pi
■i4-'!
D 2
Pi
(6.58)
Уравнение (6.58) отличается от формулы Дарси —
Вейсбаха для определения потерь давления при
движении несжимаемой жидкости лишь множителем, завися-
293

щим от отношения Ар/р\. До тех пор, пока сохраняется
условие
Лр/Р!<5%, (6.59)
пренебрежение этим множителем дает ошибку около
2,5 %, что допустимо в большинстве инженерных
расчетов. Таким образом, можно прийти к выводу, что не
абсолютная величина начального давления газа р\
определяет, можно ли при расчете газопровода
пользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, а относительная
величина изменения этого давления по длине газопровода в
целом.
Формула для определения весового расхода газа
имеет вид:
1/ ^1 — ^2 gPv! ng л/ pI — pI flsPl
г Л/ рх 4 f М рг
(6.60)
При турбулентном режиме, подставив в уравнение
(6.56) значение 'к из формулы (4.63) и приведя к
нормальным условиям (температура 0°С и давление
0,1 МПа), получаем рекомендуемую СНиП Н-37-76
формулу А. Д. Альтшуля 1 [3]:
[р\ - Pl)/L = 1.45 (kjd + 1922dv/Q)0'25 YQ2A*5, (6.61)
где р\ и Р2 — абсолютное давление газа в начале и конце
газопровода, ат; L — длина газопровода, км; d — диаметр газопровода,
см; k& — эквивалентная шероховатость, см; у— удельный вес газа,
кгс/см3; Q — расход газа, м3/ч; v — кинематическая вязкость газа,
м2/с.
Значения у, Q и v приводятся к нормальным
условиям. Уравнение (6.61) представляет собой обобщенную
формулу, действительную во всей области
турбулентного режима.
Для случаев, когда £a/d< 1922 rfv/Q и £3/d» 1922 dv/Q,
уравнение (6.61) получает соответственно вид:
W-^Z^-e.evP^TQb^.Te. (6.62)
(P?~P22)Z^ = 1,45Q2Y^27^25. (6.63)
Формула (6.63), действительная для квадратичной
области сопротивления, применяется при больших
скоростях газа (и>50 м/с).
1 См. сноску на стр. 290.
294

1 Для расчета потерь давления в газопроводах
высокого и среднего давления по соотношению (6.61)
построены удобные номограммы [3].
Расчет паропроводов. При проектировании обычных
паропроводов, как правило, назначают возможно меньший диаметр трубы
для уменьшения тепловых потерь. При этом получаются
сравнительно высокие скорости движения пара (от 10 до 60 м/с), вследствие
чего даже в коротких паропроводах возникают значительные потери
напора.
При перекачивании перегретых паров трубопроводы самым
тщательным образом изолируют, и их тепловые потери незначительны,
но все же характер изменения состояния перегретого пара в
результате устранения теплообмена между потоком и наружной средой уже
не является изотермическим. Не будет он и строго адиабатическим—
даже в хорошо изолированной трубе условия будут отличаться от
условий при обратимом адиабатическом изменении объема, так как
турбулентность, возникающая при движении, переходит частично в
тепло, которое изменяет уравнение энергии (энергия, переходящая в
потери, возвращается в виде механической энергии). Таким образом,
с одной стороны, температура пара имеет тенденцию к снижению по
длине трубопровода в результате расширения пара, с другой
стороны, — к возрастанию вследствие поступления тепла от потерь
напора. В результате режим движения находится между изотермическим
и адиабатическим. Поскольку температура пара меняется по длине
паропровода, меняются также динамическая вязкость ц, число Рей-
нольдса и в общем случае коэффициент гидравлического трения А,.
Однако вследствие значительных скоростей движения пара в
паропроводах (десятки метров в 1 с) сопротивление относится чаще
всего к квадратичной области, где Я, от Re не зависит.
В паропроводах низкого давления (например, в отопительных
системах) плотность пара и его температура в процессе движения
изменяются так мало, что расчеты можно производить по формулам
для несжимаемых жидкостей.
§ 45. Влияние срока службы трубопроводов
на их гидравлическое сопротивление
При проектировании трубопроводов разного
назначения их диаметр назначается с таким расчетом, чтобы
полностью обеспечить потребителей транспортируемой
жидкостью или газом; при этом обычно предполагается,
что гидравлическое сопротивление труб в течение всего
срока эксплуатации остается постоянным. В
действительности же во многих случаях пропускная способность
трубопроводов постепенно уменьшается в процессе их
эксплуатации, снижаясь в некоторых случаях (например,
для водопроводов) до 50 % расчетной и даже более. Это
связано с увеличением шероховатости труб по мере их
использования вследствие коррозии и инкрустации. Эти
295

процессы происходят с интенсивностью, которая зависит
от материала стенок трубы, свойств перекачиваемой
жидкости и пр.
Увеличение шероховатости трубопроводов в
процессе их эксплуатации в первом приближении можно
оценить по формуле
kt = k0 + at, (6.64)
где k0 — абсолютная эквивалентная шероховатость, мм, для новых
труб (в начале эксплуатации); kt — то же, через / лет эксплуатации;
(t — коэффициент, характеризующий быстроту возрастания
шероховатости, мм/год: значение коэффициента зависит от материала труб
и физико-химических свойств жидкости (табл. 6.4).
В формуле (6.64) коэффициент а возрастает с
уменьшением диаметра трубопровода.
В процессе эксплуатации воздуховодов удаляемые аэрозоли
осаждаются на их стенках в виде конденсата или пылевых частиц,
существенно изменяя шероховатость труб. Изменение внутренней
поверхности воздуховодов происходит также за счет
корродирующего действия агрессивных паров и газов. В зависимости от вида
Таблица 6.4. Значения коэффициента а в формуле (6.64) для
природных вод, протекающих по стальным трубам (по
А. Д. Альтшулю и А. Г. Камерштейну)
Природные воды
а, мм/год
Слабо минерализованные некоррозионные с
незначительным содержанием органических веществ и
растворенного железа t ....»,,.. .
Слабо минерализованные коррозионные,
содержащие органические вещества и растворенное
железо в количестве менее 3 мг/л , , в
Весьма коррозионные, но с малым содержанием
хлоридов, сульфатов и с содержанием железа
более 3 мг/л ».,..*.,,,
Коррозионные с большим содержанием хлоридов
и сульфатов ("больше 500 мг/л), необработанные
с большим содержанием органических веществ ,
Со значительной карбонатной и малой постоянной
жесткостью, с плотным остатком (более 2000 мг/л),
сильно минерализованные и коррозионные , , ,
0,005—0,055
(0,025)
0,055—0,18
(0,07)
0,18—0,4
(0,2)
0,4—0,6
(0,51)
От 0,6 до 1
и более
Примечание» Цифры в скобках — среднее значение а.
296

Таблица 6.5. Значение коэффициента а в формуле (6.64) для
различных воздуховодов (по Г. Я. Крупкину)
Производство или условия эксплуатации воздуховодов
а, мм/год
Вытяжные шахты, подверженные атмосферным
воздействиям (из неоцинкованной стали);
гальванические участки (никелирование, воронение и
оксидирование, травление)
Гальванические участки хромирования,
полирования; заточные, наждачные, полировальные
участки и участки сухой шлифовки ..,»«»..
Пропиточные машины для приготовления пластика,
участки бакелизации; кольцевые воздуховоды над
плитами в кухнях; кондитерские печи; масляные
ванны термических участков
Пульверизационная окраска; мокрая шлифовка .
Пайка радиодеталей на конвейере (флюсканифоль
стеариновая) .....*♦..,*..,
0,36—0,96
1,8—4,8
3,6-14,4
8,4—26
24-60
производства, на котором эксплуатируются вентиляционные системы,
коэффициент а может изменяться в существенных пределах (табл.
6.5). Для газопроводов можно принимать а=0,04н-0,05.
§ 46. Понятие о движении двухфазных потоков
в трубопроводах1
Расчет трубопроводов при движении в них двухфазных
жидкостей (взвесенесущие потоки — пневмотранспорт и гидротранспорт,
газожидкостные потоки) обладают специфическими особенностями.
К взвесенесущим потокам относятся^ гидросмеси (смесь
размельченных материалов с водой) и аэросмеси (смесь размельченных
материалов с воздухом). Если твердый компонент подвергнут очень
тонкому измельчению (d<0,001 мм), то смеси являются
структурированными, т. е. относятся к числу неньютоновских (аномальных)
жидкостей. Основным вопросом, интересующим инженера, является
определение необходимой скорости транспортирования и потерь
давления.
К одним из важнейших характеристик двухфазных потоков
относятся объемная концентрация Р (см. Введение) и расходная
концентрация х, т. е. отношение весового расхода дискретного
компонента к весовому расходу смеси:
^ = G2/(G1 + G2) = G2/G,
(6.65)
где G2, G\ и G — весовые расходы дискретной фазы, непрерывной
фазы и смеси.
1 Данный параграф, а также п. 4 § 28 составлены при участии
Ф. Г. Майрановского,
v 297

Формула, связывающая объемную и расходную концентрации
двухфазного потока, имеет вид:
р = г-^1--1-* (6.66)
(1_,,Л-£«^\ Р2 *
\ Р2 v2 1
где v2 и v[f p2 и pi — соответственно истинные скорости и истинные
плотности движения дискретной (индекс 2) и непрерывной (индекс
1) фазы.
Особенности взвесенесущих потоков в значителвяой степени
определяются характером обтекания твердых частиц потоком жидкости
или газа. Сила давления жидкости F на движущуюся частицу
находится из формулы Ньютона (5.39); скорость витания частицы —
из формулы (5.47).
При падении частицы в воздухе без заметной погрешности
можно полагать ртв—рж«ртв, так как плотность воздуха по сравнению
с плотностью твердого тела очень мала. В этом случае формула
для скорости витания частицы упрощается:
t>B = 3,62l/ -£l^-, (6.67)
где vB — в м/с, a d — в м.
Коэффициент сопротивления определяется с помощью рис. 5.21
или по рекомендуемым А. Д. Альтшулем [2] формулам:
сх = 0,H2(l+ V l+214/Re )2;
сх = 24/Re + 0,67 V7X. (6.68)
В реальных взвесенесущих потоках необходимо вводить
поправку в эти формулы для учета влияния стенок труб и соседних
частиц на скорость витания и коэффициент сопротивления частиц.
Эту поправку (так называемый коэффициент стеснения £ст) вводим
в формулу для скорости витания и получаем:
^в.ст = ^ст иъ' сх,ст — ^ст сх>
где Ув.ст и Сх.ст — скорость витания и коэффициент сопротивления
давления в стесненных условиях.
Коэффициент стеснения можно найти по эмпирической формуле
ЕСТ = [1 — (d/D)2P/2 (1 — Р)3. (6.69)
Расчетная скорость потока жидкости (газа) при движении
твердых частиц в вертикальных трубах для надежного перемещения
материала должна быть больше скорости витания частиц. В системах
пневматического транспорта в зависимости от весовой концентрации
расчетная скорость воздуха обычно превышает скорость витания
частиц в 1,5—2 раза.
Более сложный характер имеет движение твердых частиц в
горизонтальной трубе. Для эффективного транспортирования
взвешенных веществ необходимо, чтобы скорость потока превышала так на*
зываемую критическую скорость иКр, т.е. минимальную скорость
.298

потока, при которой твердые частицы движутся в жидкости (газе)
без осаждения. При скоростях, меньших критической, начинается
осаждение твердого материала.
Критическая скорость зависит от скорости витания, количества
транспортируемого материала, его плотности и концентрации. Для
пневмотранспорта она может быть найдена по эмпирическим
формулам, например по формуле
t,Kp = 5>6D0-34d°'36(p2/p1)0'5^25
(здесь Dud— в м; vKV — в м/с).
Потери давления во взвесенесущем потоке можно найти по
формуле Дарси — Вейсбаха:
/ 4
Др = ^взв — Pi — . (6- 70)
а 2
Коэффициент гидравлического трения Лвзв при движении взве-
сенесущего потока, как правило, превосходит коэффициент
гидравлического трения для чистой (однофазной) жидкости, так как
перемещение материала и подъем его на вертикальных участках
вызывают дополнительные потери. При небольших концентрациях \
малых размерах твердых частиц взвесенесущий поток можно
рассматривать как однородную (континуальную) среду, плотность и
вязкость которой зависят от концентрации твердых частиц. Движение
такой условной жидкости (так называемый «дисперсоид»)
приближенно описывается закономерностями, полученными для чистой воды.
Так, для определения коэффициента гидравлического трения можно
использовать формулу (4.63), подставив в нее число Рейнольдса для
дисперсоида Red—pvd/\i. При этом плотность дисперсоида р можно
найти по формуле p = p2p-f-pi(l—Р),
а динамическую вязкость дисперсоида — по формуле
1* = М1-РГ2'8. (6'71>
Если скорость твердой и жидкой фаз различны, то истинную
объемную концентрацию р определить невозможно и использование
формул типа (6.71) затруднительно.
Для практических расчетов в пневмо- и гидротранспорте
широкое применение получила эмпирическая формула
Др==ДР1(1+ал:), (6.72)
где Ар и Api — потери давления взвесенесущего потока и чистой
жидкости (газа) соответственно; а — эмпирический коэффициент,
зависящий от вида транспортируемого материала, относительной
крупности d/D (где d — средний диаметр транспортируемых частиц;
D — диаметр трубопровода) и относительной скорости v/vB.
- I v
Примеры
'•■ Пример 6.1. В стальной трубопровод диаметром с/=0,1 м и
длиной /=100 м поступает сжатый воздух при давлении pi =
= 9,81-105 Па и температуре /=20 °С. Скорость в начале
трубопровода Vi—ЗО м/с. Определить расход воздуха и давление в конца
трубы. Кинематическая вязкость воздуха v=15,7-10~e м2/с.
Абсолютная шероховатость стенок трубопровода &э=0,3 мм,
299

Решение. Плотность воздуха в начале трубы
981 000
Pi = *„-, мг. =11,6 кг/м3.
К1 287-293
Массовый расход сжатого воздуха
я.0,12
M = p1(x)V1 = 11,6 30 = 2,65 кг/с.
4
Число Рейнольдса
30-О.Ь10е
Re = vdlv = — = 1,92-10*.
15,7
Относительная шероховатость
kjd = 0,3/100 = 0,003.
Коэффициент гидравлического трения по формуле (4.63)
X = 0,11 (0,003 + 0,00035)1/4 =0,0267.
Перепад давления по формуле (6.56)
р1~~^ л ™^ 100-2,652.42.981000 1п о |л1п „ 9
= 0,0267 л t л о ^ ^ it ^ = 12,8-1010 Па2,
2 0,Ь2я2.0,14.Ц,6
откуда абсолютное давление в конце трубы р2«8,4-105 Па.
Пример 6.2. Найти потери давления на трение при движении
воздуха в бетонной трубе диаметром d=\ м при давлении, близком
к атмосферному, и температуре /=20 °С. Расход воздуха при
заданных условиях Q= 15,6 м3/с. Кинематическая вязкость v=15,7>£
Xl0~e м2/с и плотность р=1,16 кг/м3.
Решение. Определяем скорость движения воздуха в трубе:
Q 15,6-4
v = — = -— = 20 м/с.
со я-12
Находим число Рейнольдса, характеризующее поток воздуха в
трубе:
20-1
Re= 15,7-10-е -'.Я"».
Определяем относительную шероховатость трубопровода (при
абсолютной эквивалентной шероховатости £э=0,5 мм);
К 0,5
d 1000
= 0,0005.
Коэффициент гидравлического трения вычисляем по обобщенной
формуле (4.63):
А, = 0,0164.
Определяем потерю давления на трение на 1 м длины трубыз
/ v2 1.202.1,16
Ар = Яу—р = 0,0164 1 2 =3,8 Па.
300

Глава 7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ИСТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
§ 47. Истечение жидкости из отверстий в тонкой стенке
Законы истечения жидкости из отверстий и насадков
имеют большое практическое значение, поскольку они
применяются при решении многих технических задач
(при измерении расхода проходящей жидкости, при
расчете и создании сильной, дальнобойной струи, при
расчете распространения струи в массе жидкости,
обеспечении быстрого опорожнения резервуаров, при
конструировании сопл и форсунок и в ряде других случаев).
Для практики наибольший интерес представляет
задача о связи между давлением (напором) в каком-либо
резервуаре и расходом (или скоростью) струи,
вытекающей из отверстия в стенке или в дне резервуара.
Рассмотрим вначале истечение жидкости из
круглого отверстия диаметром d0 в вертикальной тонкой
стенке сосуда (рис. 7.1). Стенку можно считать тонкой,
если ее толщина 6<0,2 d0. Давление в сосуде полагаем
постоянным (движение установившееся) и равным р\.
Истечение происходит в атмосферу, т.е. наружное
давление р0; площадь отверстия соо, площадь сечения
сосуда СОь
Сжатие струи при истечении. Как показывают опыты,
струя жидкости по выходе из отверстия сжимается и на
некотором расстоянии от последнего (примерно равном
0,5 диаметра струи) приобретает наименьшую площадь
сечения соСж (при диаметре dcm). На рис. 7.1 показаны
линии токов, сходящиеся к отверстию в тонкой стенке.
Причиной, вызывающей сжатие струи, является
инерционность частиц, приближающихся к отверстию
резервуара по радиальным направлениям (особенно вдоль
стенок резервуара). Эти частицы, стремясь по инерции
сохранить направление своего движения, огибают край
отверстия и образуют поверхность струи на участке сжа-
.ти$т. За сжатым сечением струя практически не
расширяется, а при больших скоростях истечения может
распадаться на капли.
Коэффициент сжатия струи
е = юсж/со0 (7.1)
зависит от отношения
л = со0/(о1э (7.2)
301

til'pl
Рис. 7.1. Истечение жидкости из
отверстия в тонкой стенке
называемого степенью сжатия. Вид функции
е = /(л)
(7.3)
определяется формулами, приведенными в гл. 4.
Если площадь сечения отверстия соо мала по
сравнению с площадью сечения сосуда coi (малое отверстие),
то происходит так называемое совершенное сжатие. При
этом формула Н. Е. Жуковского (см. гл. 4)
упрощается к виду
e = n/(n + 2)«0,611. (7.4)
Это так называемая формула Кирхгофа.
Совершенное сжатие наблюдается практически при
я<0,1.
В обычных условиях при истечении воды из малых
отверстий в больших резервуарах опыт дает значение
коэффициента сжатия струи, находящееся в пределах
е = 0,61 4-0,63, (7.5)
т.е. близкое к значению, определяемому формулой (7.4).
Скорость истечения. Для определения скорости
истечения напишем уравнение Бернулли для сечений 1—/ и
2—2, причем сечение 2—2 проведем через наиболее
сжатый участок струи (осж (см. рис. 7.1):
рх а\ vi r?o at/2
Pg 2g Р£ Ч
Давление в сжатом сечении струи р можно принять
равным атмосферному, т.е. р0, так как истечение
происходит в атмосферу. Потери напора между сечениями
302

1—1 и 2—2 определяются формулой Вейсбаха
A* = Co-J- . (7.7)
где £0 — коэффициент сопротивления отверстия.
Принимая ai = a^l (на основании опытных
данных), получим:
V2 р, — р0 v\
2g Pg 2g
Решая это уравнение относительно и, находим:
Уравнению (7.8) можно придать также вид:
1
Имея в виду, что
9 9
= е2^, (7.10)
еж ~и 2 2
л2 ,Л2 „2
«>1 ю0 ©1
и возведя обе части уравнения (7.9) в квадрат, получим:
откуда имеем
j = 1 Г 2 / Pi —РО
(7.11)
Введем обозначение
Ф= , . (7Л2)
где ф — коэффициент скорости истечения.
В результате формула для скорости истечения
принимает вид:
у = ф/2(р,-р0)/р. (7.13
При истечении из малых отверстий (п-*-0)
1_
303
л/ 2 "1~Ро . (7.14)

При малом влиянии вязкости (т.е. при истечении
невязкой жидкости) £о=0; ф=1 и вместо формулы (7.14)
получаем:
^ = K2(Pl~-p0)/p, (7.15)
т.е. формулу, полученную в 1643 г. Торичелли, на
основе непосредственных наблюдений над скоростью
истечения через отверстие при разных напорах.
При истечении холодной воды обычно имеем:
Ф« 0,97 -0,98; £0«0,06, (7.16)
т.е. всего около 2—3 % располагаемой разности
давлений затрачивается на преодоление сопротивлений.
Расход жидкости. Расход жидкости, выходящей из
отверстия, находим по формуле Q=<uCmV. Подставляя
вместо (оСж и v их значения, имеем:
п 1 .„ 1 / 2(Pi-Pq)
Q = есо0 I / .
К1+£0~е2л2 У Р
Введем обозначение
Ио = г =фв> (7Л7)
где Цо — коэффициент расхода отверстия.
Тогда получим выражение для расхода в виде:
п 1 /2 (Pi — Р2) п , «ч
0 = ^0^0 у • (7.18)
В соответствии с формулой (7.17) коэффициент
расхода отверстия \х0 представляет собой произведение
коэффициента сжатия струи е на коэффициент скорости
ф. Учитывая зависимость е от я, можно найти также
зависимость [Xo=/(az; £0). Значения \х0 Для разных п при
истечении жидкости с большими числами Рейнольдса
(когда можно пренебречь влиянием вязкости, т.е.
принимать £о=0) приведены в табл. 7.1.
При истечении из малых отверстий (п-^О) из
формулы (7.17) находим:
^o = eZ]/rl+S0 . (7.19)
При истечении воды [с учетом формул (7.5) и (7.16) ]
для рассматриваемого случая коэффициент расхода
|л0~0,6.
304

Рис. 7.2. Истечение Рис. 7.3. Истечение жидкости под уровень
жидкости из сосуда (затопленное истечение)
со свободной поверх-
ностью
Рис. 7.4. Истечение газов при малых
разностях давления
Таблица 7.1. Значения коэффициента расхода отверстия ц0 при
различной степени сжатия (при Re-^oo)
п
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Но
0,611
0,614
0,622
0,634
0,65
п
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
н«
0,678
0,724
0,787
0,888
1,09
В случае истечения из сосудов со свободной
поверхностью (рис. 7.2) уравнение расхода (7.18)
записывается в виде
Q = li0(o0V"^H, (7.20)
где H—(pi—p2)/(pg)—высота уровня жидкости в сосуде над
центром отверстия (при диаметре отверстия d<g.H).
Истечение под уровень. Если пространство, куда
вытекает жидкость, также заполнено жидкостью (рис. 7.3),
20-626
395

то истечение происходит под уровень (истечение через
затопленное отверстие). В этом случае в выходящей из
отверстия струе давление отлично от атмосферного и
формула расхода принимает вид:
Q = Из Ио У2 (Pi — Pi)l9 = Из со0 V2g (Н1 — Н2) = fi3 <*о У 2gtf,
(7.21)
где Я1 = р1/(р^); Я2 = р2/(р^); Н= (р{—p2)/(pg); Pi — давление в
сосуде, из которого вытекает жидкость (на глубине Нх)\ р2 —
давление в сосуде, куда вытекает жидкость (на глубине Я2); Н —
разность уровней в обоих сосудах; ji3 — коэффициент расхода при
истечении под уровень, который может быть найден из формулы
А. Д. Лльтшуля [2]:
Из= . 8 = (7-22)
V 2е?т? —е2п2 + £о + 1 — 2ет
(здесь т = (о0/о)2, т.е. отношение площади отверстия к площади
сосуда, в который вытекает жидкость).
Коэффициент сжатия струи при затопленном
истечении, как показывает опыт, практически не отличается от
коэффициента сжатия при истечении через незатоплен-
ное отверстие.
При истечении через отверстия малых размеров по
сравнению с размерами сосуда (п-+0 и т->0) из
формулы (7.22) получаем формулу (7.19), т.е. коэффициент
расхода совпадает со значением коэффициента расхода
при незатопленном истечении.
При перетекании газа (воздуха) из емкости с
давлением р\ в ту же среду с меньшим давлением рч (рис.
7.4) имеем аналогичную картину. Запишем уравнение
Бернулли для сечения 1—1, удаленного от отверстия (так,
что aipyJ/2^0), и для сжатого сечения 2—2:
Pi = Pc + <4*>V2 + tf»y2-
Давление в струе принимаем равным давлению в
окружающей среде, т.е. рс=р2. Тогда (при а«1) имеем:
P1 = P2 + pvl(l+l)/2.
Скорость истечения и расход будут:
и = <р 1/*2 (д. — р2)/р = Ф^2Др/р ; Q = ficoK2Ap/p.
Последние формулы действительны лишь при малых
перепадах давлений, когда газ (воздух) можно
рассматривать как несжимаемую жидкость (см. далее § 50).
Измерительные диафрагмы. Зависимость между про-
306

*>>»>>>>>>>////%
Рис. 7.5. Измери- Рис. 7.6. Истечение жид-
тельная диафраг- кости из прямоугольного
ма отверстия больших
размеров
ходящими через отверстие расходом и перепадом
давления [см. формулу (7.21)] может быть использована для
измерения расхода жидкости с помощью измерительной
диафрагмы (рис. 7.5). Измерительная диафрагма
обычно выполняется в виде плоской перегородки с круглым
отверстием в центре и устанавливается между
фланцами трубопровода. Края отверстия имеют острые
входные кромки под углом 45° или же закругляются
примерно по форме втекающей в отверстие струи жидкости.
Для измерения перепада давления до и после
диафрагмы служат два пьезометра а и б или
дифференциальный манометр. Коэффициент расхода можно определить
по формуле (7.22), положив в ней т=п (так как
площади сечения трубы до и после диафрагмы одинаковы),
в результате чего формула получит вид:
е е
Из = -7========~ = -7====" •
Кб2 л2+£о+ 1 — 2вл У (1 _е/г)? + £0
При больших числах Рейнольдса So «О, и
коэффициент расхода диафрагмы определяется формулой
ц8«в/(1—ел). (7.23
Таким образом, в этом случае коэффициент расхода
зависит только от степени стеснения сечения
трубопровода. Формулу (7.23) можно найти также
непосредственно из ранее полученного выражения для потерь напора
в диафрагме:
"=—(—-0*=?-?-.
2g \гп J 2g
20*
307

Из этой формулы следует:
1 — en
Скорость в отверстии диафрагмы v0 связана со
скоростью в трубе v соотношением v = Vo(do/(u = Vo/n. В
результате получаем:
1 — en
Тогда расход будет:
q = v0(dq = --^— ©в V~2gH. (7.24)
1 — en
Приравнивая эту формулу к стандартной формуле
расхода (7.20), получим выражение для коэффициента
расхода диафрагмы (7.23).
Практически коэффициент расхода определяют для
каждого типа диафрагмы опытным путем, так как
замер давлений производится не в сечениях,
совпадающих с расчетными по уравнению Бернулли, а
непосредственно перед диафрагмой и за ней. Формула (7.24)
справедлива для газов только в том случае, если
перепад давления в диафрагме невелик — менее 3000 Па.
Истечение из больших отверстий. При определении
расхода жидкости, вытекающей через отверстия
больших размеров, когда высота отверстия соизмерима с
напором, формула (7.20) уже не может быть
использована, так как в этом случае нельзя принимать значение
давления одним и тем же для разных точек сечения
отверстия.
Рассмотрим прямоугольное отверстие больших
размеров (рис. 7.6). Выделим в отверстии элементарную
полоску шириной Ь и высотой dz. Расход через такую
полоску составляет:
dQ = [ibdz V2gH,
где z — расстояние от элементарной полоски до поверхности
жидкости в сосуде.
Полный расход отверстия определяем
интегрированием по высоте отверстия, полагая \л постоянным (т.е.
не зависящим от напора z):
Q= f dQ = цЬ V^ \ zx'4z = -J- »b V*T K2 - "f) •
3C3

ч
12 3 if 5
Рис. 7.7. Типы насадков
/ — наружный
цилиндрический; 2 — внутренний
цилиндрический; 3 —
конический сходящийся; 4—
конический расходящийся; 5 —
коноидальный
Рис. 7.8. Истечение
жидкости из наружного
цилиндрического насадка
Аналогично (интегрированием) можно найти расход
через круглое отверстие больших размеров, а также
через отверстия другой формы сечения.
Формулой (7.20) можно пользоваться при
соблюдении условия d0<0,2 H. При этом будет также
происходить совершенное сжатие струи (так как o)o<Ccoi).
§ 48. Истечение жидкости через насадки
Если стенка, через отверстие в которой происходит
истечение, имеет значительную толщину по сравнению с
размерами отверстия, то характер истечения
существенным образом меняется, поскольку стенка влияет на
направление струи. Такое же явление наблюдается, если
к отверстию в тонкой стенке присоединить (насадить)
короткую трубку того же диаметра, что и отверстие.
Такие трубки, называемые насадками (рис. 7.7) или
соплами, имеют обычно длину не меньше 2,5—3 диаметров
отверстия. Присоединение насадка к отверстию изменяет
вытекающий из сосуда расход, а следовательно, оказы-
рает влияние на время опорожнения сосуда, дальность
полета струи и т.д.
Наружный цилиндрический насадок. Начнем
рассмотрение с наружного цилиндрического насадка (рис. 7.8).
Струя жидкости при входе в насадок сжимается, затем
расширяется и заполняет все его сечения. В
промежутке между сжатым сечением и стенками насадка обра-
309

зуется вихревая зона. Так как струя выходит из
насадка полным сечением, то коэффициент сжатия струи е==
= 1, а коэффициент расхода |д, = еф = ф, т. е. для
насадка коэффициент расхода и коэффициент скорости имеют
одинаковую величину. Составим уравнение Бернулли
для сечений 1—1 и 2—2, показанных на рис. 7.8:
О 9
Pi ui Рг v'2
Так же как и при истечении из отверстия, можно
получить (принимая в соответствии с опытными данными
ai = a2=l):
H=— + hw{1_2y (7.25)
Потери напора в насадке складываются из потерь на
вход в насадок и на внезапное расширение сжатой струи
внутри насадка, т.е.
2
U Г Vq7K . foe* — V2>2 n ОАЧ
Ки-2) =- k -£f + Yg ' ( }
Из уравнения неразрывности имеем:
^сж = ^г^г/^сж = »2/е. (7.27)
Подставляя выражение (7.27) в формулу (7.26),
получим:
__ 4 у£ ( 1 \а
Ла,(/^) = £о 2g&2 + 2g( e -1) =
2g \ е2 е2 е / 2g
28)
Уравнение (7.25) с учетом зависимости (7.28)
запишется в виде:
а скорость истечения из насадка
<'2 = ФнК2£Я, (7.29)
где введено обозначение
Фн=1/КГ+£. (7.30)
310

Для расхода получим формулу Q = U2C02=g)2(PhX
X ]/r2gH. Сравнивая ее со стандартной формулой Q =
= \1н®2 V2ghy приходим к заключению, что
(1н = фн. (7.31)
Таким образом, формулы скорости и расхода для
насадка имеют тот же вид, что и для отверстия в тонкой
стенке, но значения коэффициентов будут другими.
При истечении с большими числами Re(£0~0),
принимая коэффициент сжатия струи приближенно по
формуле (7.4), получим:
1ЛН = фн = я/Кя2 + 4 « 0,845. (7.32)
При истечении воды и воздуха в обычных условиях
опыт дает
Ин = Фн«0,82, (7.33)
что отвечает значению £0 = 0,06.
Сравнивая коэффициенты расхода и скорости для
насадка и отверстия в тонкой стенке, видим, что насадок
увеличивает расход и уменьшает скорость истечения.
Действительно, для больших значений Re отношения
^/^0=0,845/0,611 = 1,38 и ф„/ф0=0,845/1 =0,845, т.е.
расход через насадок увеличивается более чем на 35 %
по сравнению с расходом через отверстие, а скорость на
выходе из насадка уменьшается примерно на 15 % (по
сравнению со скоростью истечения из отверстия).
Вакуум в насадке. Давление в сжатом сечении струи
внутри насадка меньше атмосферного. Действительно,
^сж/^о = ЮоЛ°сж = 1/е = (я + 2)/я « 1,64,
т. е. скорость в сжатом сечении насадка на 64 %
больше скорости истечения из него. Это означает, что
давление внутри насадка должно быть меньше давления на
выходе из него. А так как давление на выходе из
насадка атмосферное, то внутри насадка должен быть
вакуум. Для определения величины вакуума в сжатом
сечении насадка напишем уравнение Бернулли,
связывающее это сечение с выходным сечением:
li"+"iT=^"+17+ ч • <7-34)
где (vcm—tf2)2/(2g) —потери напора на внезапное расширение струи.
ЗИ

2vl
Далее получаем:
Рат _ Рсж __ Рвак _ 2^сж ^2 _ 2и2
pg Pg ~ Pg 2£ 2£
2 2
Рвак ~ °2 / *>сж Л Л и2
2g \ v2 ) 2g \ e )
Pg
Подставляя e=n/,(jt+2), получим:
"2 / Я + 2 Л
2g l я ;
Рвак _
Рё ~~ ' 2£ I л * z' " я 2£
Но i/|/(2g)=(p;j// и, подставляя в это выражение
значение фн из формулы (7.32), имеем:
2g л* + 4 -
Обознач ИМ Рвак
/(pg)=ftBaK. Тогда
Лвак = 4лЯ/(л? + 4) « 0,9#. (7.35)
При истечении воды обычно принимают ЛВак»0,75//.
В соответствии с уравнением (7.35) вакуум зависит
от напора, м, возрастая с его увеличением. Однако
существует максимальное возможное значение для
вакуума
.(Лван)то*= Ю.ЗЗ. <7-36)
Этот предельный вакуум будет достигнут при
некотором предельном напоре ЯПР, значение которого может
быть найдено для больших Re из уравнения (7.35) при
подстановке туда вместо ЛВак его максимального
значения:
л2+ 4
4л
Увеличение напора сверх Япр приведет к отрыву
струи от стенок насадка, причем вакуум исчезнет и
насадок будет работать как отверстие в тонкой стенке.
Относительная длина насадка. Все сказанное в
отношении наружного цилиндрического насадка справедливо
лишь для случая, когда
//d>2~3, (7.37)
где / — длина насадка.
При меньших значениях l/d вихревая зона соединяется с
наружной атмосферой, вакуум пропадает, струя отрывается от стенок
Япр = ±— 10,33» 11,6 м.
312

Рис. 7.9. Истечение жидко- Рис. 7.10. Истечение жидкостей из
сти из внутреннего цилин- конических насадков
дрического насадка
и истечение происходит так же, как из отверстия в тонкой стенке
(т. е. насадок не дает увеличения расхода по сравнению с
отверстием). Поэтому соотношение (7.37) является критерием, позволяющим
установить, какой характер имеет истечение — как из насадка или
как из отверстия, чем и определяется выбор коэффициентов
скорости и расхода.
С другой стороны, при увеличении длины насадка начинают
играть роль потери напора на трение, в результате чего коэффициент
расхода насадка уменьшается с увеличением l/d. При l/d>60 расход
через насадок может оказаться меньше, чем расход через отверстие
в тонкой стенке. В табл. 7.2 приведены значения коэффициента
расхода ц для наружного цилиндрического насадка при разных l/d
(при больших Re).
Таблица 7.2. Зависимость коэффициента расхода наружного
цилиндрического насадка от отношения l/d
l/d
1,66
3,33
5
6,66
8,13
и
0,809
0,814
0,799
0,796
0,787
l/d
10
13,33
16,66
20
ц
0,778
0,761
0,743
0,725
Другие типы насадков. Если насадок присоединяется
к отверстию с внутренней стороны (рис. 7.9,а), то струя
на входе испытывает большее сжатие, чем в наружном
цилиндрическом насадке (насадок Борда), и поэтому
Коэффициенты скорости и расхода здесь меньше, чем в
наружном цилиндрическом насадке, а именно:
ф = |л = 0,71. (7.38)
При малой длине внутреннего цилиндрического
насадка (/<l,5d) струя вытекает из него, не касаясь его
стенок (рис. 7.9,6). В этом случае ф«0,98; е«0,5; \хж
«0,49/
313

J^LL
Рис. 7.11. Зависимость коэффициентов
истечения для сходящегося насадка от
угла конусности
10 . 20 30 ЬОв
Таким образом, коэффициент расхода внутреннего
цилиндрического насадка меньше, чем наружного.
Поэтому для уменьшения потерь при входе в трубу нужно
следить за тем, чтобы труба не выступала за
внутреннюю поверхность резервуара. Более рационально
прикреплять трубы к стенкам резервуаров с помощью
наружных колец.
При коническом сходящемся насадке (рис. 7.10, а)
сжатие струи на входе меньше, чем в наружном
цилиндрическом, но зато появляется внешнее сжатие на
выходе из насадка, после чего жидкость течет
параллельными струйками. Вследствие меньшего внутреннего
сжатия потери напора в этом насадке меньше, чем в
наружном цилиндрическом, скорость больше, коэффициент
сжатия струи на входе меньше.
Коэффициенты £ь ф, ц, е насадка зависят от угла
конусности 0. На рис. 7.11 представлены кривые, из
которых видно, что с увеличением 0 коэффициент расхода \х
вначале возрастает, достигает максимума (ji=0,945)
при 0«13°, а затем начинает убывать. Приведенные
значения коэффициентов истечения относятся к
выходному сечению насадка; если же эти коэффициенты
отнести к сечению отверстия в стенке, то получим более
низкие значения, как это следует из зависимости
Ио = ^вых^выхЧ'
(7.39)
Конические сходящиеся насадки применяют в тех
случаях, когда при данном напоре нужно получить
большую скорость истечения, большие дальность полета струи
и силу ее удара (например, в пожарных брандспойтах, в
гидромониторах при гидромеханизации и т.п.).
Для конически расходящегося насадка (см. рис.
7.10,6) внутреннее сжатие значительно больше, чем в
конически сходящемся и цилиндрическом насадках,
поэтому здесь сильно возрастают потери и уменьшается
коэффициент скорости ср; внешнего сжатия при выходе
из насадка здесь нет, т.е. е=1.
314

Коэффициент истечения зависит от угла конусности
0. При 9<8° в среднем можно принимать фВых = |Явых =
=0,45, при 8=12° (предельный угол) фвых=|^вых=0,26.
При 6>12° насадок перестает работать полным
сечением; происходит отрыв струи, струя вытекает, не
касаясь стенок, и истечение происходит как из отверстия в
тонкой стенке. Если отнести коэффициент расхода не к
выходному сечению, а к входному, то получим
значительно более высокие значения коэффициента расхода.
Конически расходящиеся насадки целесообразно
применять в тех случаях, когда при заданном напоре
нужно увеличить расход и в то же время уменьшить скорость
истечения жидкости (например, желая избежать размыва
грунта). Форму расходящихся насадков имеют трубы
под насыпями дорог, расходящиеся насадки применяют
для замедления подачи смазочных веществ и пр.
В конически расходящихся насадках в месте сжатия
струи создается больший вакуум, чем в наружных
цилиндрических насадках, и поэтому их используют там,
где необходимо достичь значительного всасывающего
эффекта (в инжекторах, эжекторах и других
аналогичных устройствах).
В коноидальном насадке (см. рис. 7.7), очерченном
по форме струи, вытекающей из отверстия в тонкой
стенке, коэффициенты скорости и расхода больше, чем во
всех случаях, рассмотренных ранее, а именно ф = |л =
Таблица 7.3. Коэффициенты истечения воды из отверстий и
насадков
Тип отверстия или насадка
Круглое отверстие в тонкой
стенке
Наружный цилиндрический
насадок
Внутренний цилиндрический
насадок (насадок Борда)
Внутренний короткий насадок
Конический сходящийся
насадок (9= 13° 24')
фонический расходящийся
насадок (9 = 8°)
Коноидальный насадок
ф
0,97
0,82
0,71
0,98
0,963
0,45
0,98
е
0,62—0,64
1
1
0,5
0,982
1
1
и
0,61
0,82
0,71
0,49
0,946
0,45
0,98
Примечание. Для конических насадков коэффициенты ог-
носятся к сечению на выходе из насадка.
313

=0,97-^0,995 (для воды). На практике коноидальные
насадки применяются сравнительно редко из-за большой
трудоемкости их изготовления; вместо них обычно
используют конически сходящиеся насадки. В табл. 7.3
приведены средние значения коэффициентов истечения
воды из насадков различных типов.
§ 49. Особые случаи истечения
Истечение жидкости при переменном уровне.
Значительный интерес представляет истечение жидкости при
переменном уровне. Подобные задачи встречаются при
вытекании жидкости из баков, бассейнов, резервуаров.
Обычно требуется определить время, необходимое для
наполнения или опорожнения той или иной емкости.
Рассмотрим простейший случай истечения жидкости
в атмосферу через отверстие площадью о в дне сосуда
призматической формы (рис. 7.12) площадью й.
Движение жидкости при этом является неустановившимся, так
как напор изменяется с течением времени, а
следовательно, меняется со временем и расход вытекающей
жидкости.
Допустим, что уровень в данный момент времени
находится на высоте h. За бесконечно малый промежуток
времени d/, в течение которого уровень в сосуде
опустится на величину d/i, течение можно считать
установившимся. За это время из отверстия вытекает объем
жидкости dW=Qdt, или
dW = \iaV2gh~ dt. (7.40)
С другой стороны, этот объем можно представить в
виде:
&W =- Qdh
(7.41)
(знак минус здесь нужно брать потому, что AW есть
величина положительная, a Ah — отрицательная).
Рис. 7.12. Истечение жидкости при
переменном уровне
316

Приравнивая формулы (7.41) и (7.40), имеем:
л г Qdh
— Qd/i = [хсо у 2gh d/, откуда d/ =— ,
)w>V*gh
Для определения времени опорожнения сосуда от
уровня Нх до уровня Н2 интегрируем это уравнение от
h = Hx до h = H2:
Иг Hi
_ г Qd/i r Qdh
J piuVtgh J |xa)]/~2g/i
Hi H%
Hi
. .'/ = j= [h-^6h=-^F=z{VHl-VH2). (7.42)
jlico V2g J |ш У 2g
H%
При полном опорожнении сосуда #2=0, а
следовательно,
/= =^-= -1 = ——^ = 2/j. (7.43)
где |io)}^2g#i = Q— расход, вытекающий при постоянном напоре
Н\\ t\ = QH\IQ — время, требуемое для того, чтобы тот же объем
жидкости вышел из сосуда при сохранении постоянного уровня.
Для резервуара с переменной площадью поперечного
сечения Q=\{h) уравнение (7.43) принимает вид:
Hi
fW A* 11 ЛЛ\
d/. (7.44)
J fxw Vtgh
Ht
Зависимость коэффициентов истечения от числа Рей-
нольдса. Приведенные выше значения коэффициентов
истечения для отверстий и насадков различной формы
справедливы для условий, когда влияние вязкости
жидкости на истечение не проявляет себя в сколько-нибудь
заметной степени. При Re0>100 000, где
Re0=y 2 — d/v = V2^Hd/v, (7.45)
влияние вязкости можно не учитывать.
При истечении из отверстий и насадков жидкостей
повышенной вязкости (например, при подаче смазочных
317

1
0,8 \
0,7
0,6
0,5
0,k
0,3
/>'?
/j.
s<?
^^ч^6
Рис. 7.13. Зависимость
коэффициентов
истечения из отверстия в
тонкой стенке от
числа Рейнольдса
(график Альтшуля)
Рис. 7.14. Влияние
поверхностного натя-
10
1-Ю
1/0
иоп
/70 110 R6,
сент расхода отверстия
ЯЛ*
1
0,9
0,8
0,1
5 10
и
/ (II
IIIII /Ч III
Е^^Й
Mm J
10
10"
we
масел, при подаче топлива в форсунки и др.) число
Рейнольдса Re0<100000 и все коэффициенты истечения (\х,
Ф, е, £) могут меняться в зависимости от этого числа.
Зависимость коэффициентов истечения от Re0
наблюдается также при истечении воды из отверстий и насадков
малого диаметра, когда числа Рейнольдса,
характеризующие истечение, также малы.
Из рис. 7.13, где приведены зависимости
коэффициентов |i, <р и е от числа Re0, видно, что коэффициент
скорости ф возрастает с увеличением Re0, приближаясь к 1
при больших Re0, а коэффициент е уменьшается от 1 до
318

0,6. Изменение коэффициента \i имеет более сложный
характер (сначала он увеличивается, а затем уменьшается
после достижения максимума). Для сравнительно
больших чисел Рейнольдса (Re0>10 000) изменение
коэффициента расхода для отверстий можно выразить
эмпирической формулой [3]
H = 0,592 + 5,5/j/~Re7. (7.46)
При рассмотрении истечения жидкости при
переменном уровне (см. рис. 7.12) коэффициент расхода jli
предполагается постоянным. Это предположение справедливо
при больших числах Рейнольдса, но не отвечает
действительности при его малых числах, когда (j,=/(Reo) и,
следовательно, \x=f\(H). Поэтому для малых значений
Re0(Re0<10) время опорожнения следует определять по
формуле [3]
29Qv Нх
gmd H2
которая хорошо подтверждается опытными данными.
Зависимость коэффициентов истечения от числа Вебера. Опыты
показывают, что при истечении жидкости из отверстий в газовую
среду, когда имеется граница раздела двух фаз, с увеличением
влияния поверхностного натяжения уменьшается как скорость истечения,
так и сжатие струи, падает коэффициент скорости и возрастает
коэффициент сжатия струи. Уменьшение скорости истечения с
увеличением влияния поверхностного натяжения объясняется снижением
эффективного (действующего) напора на величину hn (см.
Введение). Из формулы (34) видно, что при малых диаметрах отверстия
напор может заметно уменьшиться.
Относительное влияние сил поверхностного натяжения
определяется числом Вебера:
We = pi;2 d/a = 2q>2pgHd/o, (7 48)
где v — скорость в сжатом сечении струи; d — диаметр отверстия;
Н — действующий напор.
На рис. 7.14 приведены зависимости коэффициентов ц, (р иГ
от числа Вебера We для истечения из малого отверстия в тонкой
стенке. При этом м,=р,п/Цо; ф=Фп/фо; ё"—еп/ео, где индекс «п»
указывает на наличие влияния поверхностного натяжения, а индекс
«0» — на отсутствие этого влияния. Из рисунка видно, что значения
коэффициента ф монотонно возрастают с увеличением We,
приближаясь к 1 при больших We (кривая 3). Значения коэффициента е
монотонно возрастают с уменьшением We, достигая при We= 10
значения 1,30 (кривая /), т.е. диаметр выходящей струи становится
больше диаметра отверстия. Коэффициент расхода ц с увеличением
We вначале возрастает (при малых We), достигает максимума р,=
«=1,09 при We «70, после чего уменьшается до 1 (кривая 2).
Влияние поверхностного натяжения перестает сказываться на истечении
при соблюдении условия We<3000.
319

Рис. 7.15. Воронкооб-
разование при истечении
жидкости из отверстия в
тонкой стенке
При истечении из хорошо закругленных отверстий сжатия струи
не наблюдается; не влияет на площадь сечения струи и
поверхностное натяжение. Как видно из рис. 7.14 (кривая 4), в данном
случае ргсход уменьшается с повышением влияния поверхностного
натяжения.
При истечении жидкости из очень малых отверстий и при малых
скоростях истечения условие We> 3000 не соблюдается, и в расчетах
нужно учитывать влияние We на коэффициенты истечения.
Чем меньше число Вебера, тем больше относительное влияние
сил поверхностного натяжения. При больших значениях числа
Рейнольдса и числа Фруда коэффициент расхода отверстия
зависит только от числа Вебера.
Влияние воронкообразования на истечение жидкости. При
асимметричном подходе потока к отверстию жидкость приобретает
вращательное движение, возникает вихревая воронка с воздушным
ядром, проникающая в сливное отверстие. При этом коэффициент
расхода может в несколько раз уменьшаться по сравнению с
течением без воронки. В технике используются сооружения и
устройства (например, гидроциклоны-классификаторы, циклоны для очистки
воздуха от пыли и др.), работа которых основана на
гидродинамических закономерностях вращающейся жидкости.
Вращение жидкости не влияет на коэффициент расхода до тех
пор, пока воздушное ядро воронки не проникает в сливное отвер-
320

Рис. 7.16. Истечение газа
из отверстия в тонкой
\irr-0
1 .
Тг2г
РЛ
^Л,\'ЛУ,'гУгТГГ77Ч
стие (рис. 7.15), после чего коэффициент расхода начинает
уменьшаться. Это явление наступает при определенном значении так
называемой интенсивности воронки
VgH \ R d>
где v — окружная составляющая вектора скорости на расстоянии R
от оси вращения; d — диаметр сливного отверстия.
При £>0,6^0,7 начинается снижение коэффициента расхода
отверстия.
Коэффициент расхода горизонтального донного отверстия с
острыми кромками при воронкообразовании можно найти по
формуле М. С. Марголина [2]:
ц = 0,795 — 0,256£, (7.50)
действительной при £=0,8-н2,2.
§ 50. Истечение газов из отверстий
Скорость истечения газа из отверстия (рис. 7.16) может быть
определена по формуле Сен-Венана (2.69). После преобразования
этой формулы имеем:
(t)
Р2 = Pi
{k-\)/k
1
k— 1
2
Pi
P\
Pi .
Э
Pi
kl(k-\)
(7.51)
(индекс 1 относится к сечению /—/, индекс 2 — к сечению 2—2).
Разложив выражение в скобках по формуле бинома Ньютона
и оставив только три первых члена ряда, получим:
1 —
£-1
Pi
Pi
k/(k-D
ft 2k
(4-)'-
(7.52)
21—626
321

Тогда: $ , / % \а р2
P2=Pi-P.— + -2k K 2 j pi
Р,-Р2 = Рг— [l—£- —
Имея в виду, что kp\lpx = c\ (где ci — скорость
распространения звука в покоящемся газе), находим:
л-л-й-тЧ 1--ТГ 1= *- |/ ffi" —- • (7'53)
2 Г ■ 4с? У "2= I/ 1 - [v2l(2Cl)\*
Во всех случаях, когда отношение u2/(2ci) значительно меньше
1 (при v2<.Ci), этим отношением можно пренебречь и скорость
определять по формуле
у2 = уЛ2(р1 —p2)/Pi»
т. е. по полученной ранее формуле теоретической скорости истечения
капельной жидкости.
Исходя из уравнения (2.69), находим массовый расход
вытекающего газа (пренебрегая сжатием струи):
М
=™/^№Г1-
а с учетом того, что P2=Pi(P2/pi),/ft» получим:
5
--Y'e-Mltr-ftr"]-™
Влияние сжатия струи, скорости на подходе к отверстию я
других факторов учитывается так же, как и при истечении
несжимаемой жидкости, введением коэффициента расхода р,:
Исследуем формулу (7.54). При заданных 0, р\ и pi массовый
расход зависит от давления среды, куда происходит истечение, т. е.
от отношения Р=р2//?1. (М = 0 при (3=0 и М=0 при Р=1). Это
означает, что при некотором критическом значении ркр^ (Рг/рОкр расход
М достигает максимального значения Мтах. Зависимость М=/(Р)
показана на рис. 7.17. Для определения ркр найдем производную
сШ/dP и приравняем ее нулю:
Y2ih»^[
2 n(2-k)/k __ fe+1 ollk
. №— V/* _ ^-1— ft
6M со V &—1 riril * k
dp 2 |/«2//г_п(А;-Ь1)//г
322
= 0,

Рис. 7.17. Зависимость расхода
газа М от коэффициента Р
М.кг/с
АР'-°№
откуда
_Г_ o{2-k)lk .
ъ Ркр
■ . Ркр»
PlSP"(ft )Rp"(*+l)
Л/(Л-1)
(7.56)
То, что функция в квадратных скобках действительно имеет
максимум при рг=Ркр, устанавливаем, взяв ее вторую производную
и определив, что она меньше нуля.
Для воздуха £=1,405, и формула (7.56) принимает вид:
2 \1,41/0,41
Ркр =
= 0,528 «0,53;
(7.57)
2,41
(р2)кр = 0,53р1, (7.58)
т. е., грубо говоря, критическое давление равно примерно половине
давления в резервуаре. Подставляя полученное значение рКр в
формулу для массового расхода, имеем:
Г k г/ 2 \2/(*-П
Мп
: = С0 \/ 2-
PlPl
М„
:=Ю Л/ к
lU+i
2 \<*H-i)/(*-i)
PPi = Утах ю / Pi Pi. (7• 59)
2 \(fe+l)'(fr-i)
где для воздуха и двухатомных газов \|)ma*=0,685.
Скорость истечения, соответствующую максимальному расходу,
называют критической скоростью:
^кр ■
Мта1
сор2
Y>
k+ l
(Л+1)'<*-1)
Pi Pi
Р2
г
-V
« = с*,.
Р2
(7.60)
так какк kp2/p2=C2 (где Сг — скорость звука, соответствующая
условиям на выходе из отверстия, т. е. при заданной плотности и
температуре газа).
Таким образом, максимальный расход соответствует
критической скорости, которая вполне определяется состоянием газа в
сосуде (pi, Tu Pi) и совершенно не зависит от противодавления р2 той
21"
323

среды, куда происходит истечение. В этом кроется существенное
различие между истечением газов и капельных жидкостей.
При истечении капельных жидкостей давление в выходном
сечении всегда равно давлению внешней среды рвн, а скорость
истечения и расход непрерывно возрастают с увеличением разности
давлений Ap=pi—рвн. При истечении газов давление в выходном сечении
может быть различным в зависимости от отношения pBH/pi.
Если давление внешней среды больше критического давления
(т.е. Рвн>А<р или рВн/р1>Ркр), то внешнее давление передается
внутрь выходящей струи и в выходном сечении устанавливается
внешнее давление рВн. Истечение происходит под действием
разности давлений Др. Скорость истечения и расход можно найти по
формулам (7.51) и (7.55), подставляя в эти формулы вместо р2
давление рВн той среды, куда происходит истечение газа.
С возрастанием разности Ар (а при заданном значении рВн с
возрастанием pi) будут увеличиваться скорость истечения и расход
газа.
Когда давление газа в резервуаре рь повышаясь, достигнет
такого значения, при котором соответствующее ему критическое
давление рКр станет равным внешнему давлению, то скорость истеге-
ния достигнет критического значения, равного скорости звука, а
расход — максимальной величины. Начиная с этого момента скорость и
расход Следует определять по тем же формулам (7.51) и (7.55),
подставляя в них вместо отношения p2/pi критическое их значение
по формуле (7.56).
Массовый расход газа при этом зависит от давления в
резервуаре pi и возрастает с его увеличением, но не зависит от давления
внешней среды рвн, а следовательно, и от отношения Рвн/рь
Коэффициент расхода ц в формуле (7.55) можно представить,
как обычно, в виде jn = (pe (где ф — коэффициент скорости, который,
как и в случае истечения несжимаемых жидкостей, зависит от числа
Рейнольдса). При значительных числах Рейнольдса можно
принимать (для отверстий в тонкой стенке) ф=0,98.
Коэффициент сжатия струи е при истечении из отверстий,
сечение которых о) соизмеримо с сечением резервуара Q, зависит от
/z = gj/Q и от перепада давлений р2/рi• При истечении из малого
отверстия (п-+0) можно принимать следующие значения е:
p2/pi 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,55
8 0,61 0,62 0,64 0,67 0,71 0,74
При критическом перепаде давления е«0,74.
Примеры
Пример 7.1. Определить расход и скорость вытекания воды из
круглого отверстия диаметром d=0,01 м в боковой стенке
резервуара больших размеров. Напор воды над центром отверстия Н=\ м
температура воды г=20°С (v=bl0~e м2/с).
Решение. Определяем число Рейнольдса, характеризующее
истечение, по формуле (7.45):
V 2-9,8Ы.0,01 ,,_
Re°=—п^— ==44т
324

По рис. 7.13 находим значения коэффициентов истечения при
найденном числе Рейнольдса: (1=0,62; ф=0,95. Определяем скорость
истечения воды из отверстия:
v = ф VtgH = 0,95 1/2.9,81-1 = 4,2 м/с.
Находим расход вытекающей воды по формуле (7.20):
3,14-0,012 ,/-
Q = 0,62 ■ К 2-9,81-1 «0,0002 м3/с.
4
Пример 7.2. Воздух в резервуаре находится под давлением
Pi = 108-103 Па при температуре / = 27 °С. Истечение происходит
через отверстие с закругленными кромками в атмосферу (рат=Ю1,5х
ХЮ3 Па). Определить величину вытекающего расхода и скорость
истечения, если диаметр отверстия d=0}\ м.
Решение. Находим критическое давление ркр=0,525 р\ =
«=57 000 Па. Так как рБн>/?кр, то на выходе устанавливается
давление р2=Рлт. Находим скорость истечения газа по формуле Сен-
Венана (2.69) (учитывая, что Pi/Pi = RT)
-. / Til Г / 101500 \o.29-i
откуда о=110 м/с.
При столь малой разности давлений
bp = Pl — р2 = 108-103— 101,5-103 = 6500 Па;
Др/рат = 6500/101 500 « 0,06
скорость истечения можно было бы найти и по формуле (7.15) для
несжимаемой жидкости, определив сначала
101 500
р = p/(RT) = = 1,17 кг/м*;
w ^ к ' (287-300)
v = 1^2-6500/1.17= 106 м/с.
Расхождение со значением v, определенным по точной
формуле, составляет всего 3,6 %.
Находим объемный расход вытекающего газа (сжатие струи
отсутствует):
Q = t'co = Юбя-0,12/4 = 0,863 м3/с
Массовый расход газа при р=1,17 кг/м3
М = 0,863-1,17» 1 кг/с.
Более точно p = pi(p/pi)1/*. При р! = 108 000 Па и /=27°С
(т.е. при Г=300 К)
108 000
Л = "Й7^5сГ-1-25кг/11в-
поэтому
р = 1,25 (101 500/108 000)1/м1 = 1,22 кг/м3;
М = 1,22-0,863= 1,05 кг/с.
325

Пример 7.3. Определить расход и скорость истечения нефти и
воды из бака через отверстие диаметром ^=0,01 м, если напор в
баке поддерживается постоянным и равным #=4 м.
Кинематическая вязкость нефти v = 2-10-5 м2/с.
Решение. Находим число Рейнольдса Re0, характеризующее
истечение нефти, по формуле (7.45):
W9,81-4-0,01
Re» = i^—~4430-
По рис. 7.13 при Re0=4430 находим jiH~0,66; фн«0,9.
Определяем скорость истечения нефти из отверстия:
i»H= фн1/"2^Я = 0,9-4,431/Т=8 м/с.
Находим объемный расход нефти по формуле (7.20):
3,14-0,012 -,/-
qh = 0,66—-—Н 4,43 У 4^0,00046 м3/с
4
Для воды при тех же условиях
J/^2-9 81-4
Reo = 1.1QL6 Q»01 =88 600 и |iB = 0,6,
откуда объемный расход воды
q =0,6——У2gH = 0,00042 м3/с,
4
т. е. примерно на 10 % меньше, чем расход нефти.
Глава 8. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СТРУИ
§ 51. Общие положения
Струей принято называть поток жидкости или газа,
движущийся в жидкой или газовой среде. В зависимости
от степени влияния среды на движение струи
различают затопленные и незатопленные струи.
Струя называется затопленной, если она движется в
среде, обладающей теми же физико-механическими
свойствами, что и сама струя. К затопленным струям
относятся, например, воздушные струи в воздухе, водяные
струи в воде и т. п.; при этом свойства струи и среды
могут незначительно отлицаться друг от друга. Так, в
воздушных завесах струя теплого воздуха взаимодействует
с потоком холодного воздуха, плотность которого не-
326

сколько больше плотности струи. При движении
затопленной струи между струей и средой происходит
непрерывный массообмен, причем в процессе этого обмена
масса струи постоянно увеличивается. Затопленная струя
называется свободной, если твердые границы не
оказывают влияния на ее движение; в противном случае струя
называется несвободной или ограниченной. Воздушные
затопленные струи встречаются в системах вентиляции
и кондиционирования воздуха, в системах воздушного
отопления и т. д.
К незатопленным струям относятся жидкие струи в
газовой среде (в частности, в воздухе), жидкие струи в
жидкостях, не смешивающихся с ними, струи газа в
жидкости. Такие струи встречаются в водопроводной
технике, в контактных теплообменниках, при сжигании
распыленного жидкого топлива в воздухе и т. п. При
движении незатопленных струй массообмен между струей и
средой, по существу, отсутствует.
§ 52. Свободные затопленные турбулентные струи
Режим течения в струях может быть как
ламинарным, так и турбулентным, однако наибольшее
практическое значение имеют турбулентные струи.
Рассмотрим элементы теории свободных
турбулентных струй. Будем считать жидкость (газ) в струе и в
среде вязкой и несжимаемой, а распределение осреднен-
ных скоростей на выходе струи из отверстия или
насадка равномерным. Первое условие полностью
удовлетворяется в расчетах систем вентиляции промышленных и
гражданских зданий; второе — при устройстве плавно
сходящихся насадков.
Многочисленные исследования (как теоретические, так
и экспериментальные) показывают, что струя,
вытекающая в среду той же жидкости, постепенно расширяется
и на некотором расстоянии от выходного сечения
рассеивается в ней. Расширение струи и последующее ее
рассеивание определяются совместным действием сил
трения на границе струи с неподвижной средой и
турбулентным перемешиванием внутри струи.
Притормаживающее действие сил трения на
граничной поверхности приводит к уменьшению скорости на
периферии струи, вследствие чего при постоянном
расходе истечения поперечное сечение струи в направлении
327

движения непрерывно увеличивается. Кроме того, в
результате действия сил трения и поперечного
перемешивания в зоне контакта струи с неподвижной средой
возникает вихревое движение, что приводит к интенсивному
переносу количества движения в поперечном
направлении и вовлечению в струю масс жидкости среды.
Опыты показывают, что движение свободной
затопленной струи (рис. 8.1) происходит при постоянном
давлении в любой ее точке, равном давлению окружающей
среды. В непосредственной близости от начального
сечения 1—1 располагается область течения,
представляющая собой сочетание зоны постоянных скоростей,
равных скорости истечения и0, и зоны, в пределах которой
скорость асимптотически уменьшается от и0 до нуля !.
Зону постоянных скоростей часто называют ядром
течения (ядром струи), зону переменных скоростей —
струйным турбулентным пограничным слоем.
При движении струи толщина ядра течения
уменьшается, в то время как толщина пограничного слоя
возрастает; на некотором расстоянии от начального сечения
ядро течения полностью исчезает. Область течения,
равная длине ядра, называется начальным участком струи.
Правее сечения х=хн (сечение «3—3) лежит
относительно небольшой переходный участок, длиной которого на
практике часто пренебрегают. Сечение 3—3 в этом
случае называется переходным. Основной участок струи
начинается от сечения 3—3. В этой области отсутствует
зона постоянных скоростей, а пограничный слой
занимает все поперечное сечение струи. На основном участке
толщина струи по-прежнему увеличивается, а скорость
вдоль струи непрерывно убывает от «0 в переходном
сечении до нуля на бесконечности.
Границы струи с невозмущенной средой для плоской
струи (толщиной 2 bo) представляют собой плоскости,
пересекающиеся до начального сечения. На рис. 8.1
точка 0 является проекцией этой линии пересечения ил
плоскость чертежа и называется полюсом струи. Для
осесимметричной (круглой) струи диаметром d0 (или
радиусом г0) ее внешней границей является коническая
поверхность с вершиной в полюсе струи.
1 При асимптотическом уменьшении скорости до нуля границей
между струей и средой является поверхность, на которой скорость
отличается от нуля на некоторую наперед заданную малую величину.
328

ф
Lo°
0s
1 *0
1
2
2
3
S*£°~
—I ^ ,
—Vv ma
u-0
T"^l
u*0
Рис. 8.1. Схема
движения свободной
затопленной
турбулентной струи
Рис. 8.2.
Распределение скоростей в
различных сечениях
основного участка
осесимметричнои струи
Рис. 8.3.
Безразмерный профиль
скоростей на основном
участке осесимметричнои
струи
J — при * = 0,6 м; 2 — при
jf=0,8 м; 3— при аг= 1 м;
4— при л = 1,2 м; 5—при
*=1,6 м
80\
10
60\
50\
Щ
и, м/с
Щ
20
toy
*x*Ot6
' t,o
/ %2
д W
н
О 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 у,М
и/иг
1,0
015
0,5
0,25
~*Щ^
'*%)
н^Л-
%<,
=ч
<*а-
о- 1
Д- 2
а- 3
х- Ц
ф- 5
°4ixe
<£ьЛ
i**b
О 0,25 0,5 0,15 1,0 1,25 1,5 уД
&*„
329

Угол расширения струи а (для осесимметричной
струи — половина угла конусности) обычно равен 12—
14° и зависит от степени турбулентности струи на
выходе из насадка. Расширение струи и увеличение ее
массового расхода по движению приводит к непрерывной
деформации эпюры осредненных скоростей. В пределах
начального участка, длина которого составляет
приблизительно пять характерных поперечных размеров струи
в начальном сечении, эпюра скоростей имеет сложный
вид (см. рис. 8.1, сечения 1—/, 2—2, 3—5). Характерной
особенностью распределения скоростей на этом участке
является наличие зоны постоянных скоростей, равных
Результаты измерения продольных осредненных
скоростей в различных сечениях основного участка
осесимметричной воздушной струи [1], приведенные на рис.
8.2, свидетельствуют о непрерывной деформации
скоростного поля струи — чем дальше от начального участка
выбрано расчетное сечение, тем меньше скорости в
точках, одинаково удаленных от оси струи. Профили
осредненных скоростей можно объединить одной кривой (рис.
8.3), если опытные данные представить в виде
безразмерного графика зависимости
и/итах = [(у/Уоуьитах), (8.1)
где и — скорость в точке на расстоянии у от оси струи в
рассматриваемом сечении; итах — скорость на оси струи (максимальная
скорость); Уо,штах — ордината точки, в которой скорость равна
половине максимальной.
Аналогичная экспериментальная зависимость была
получена [1] и для плоской затопленной турбулентной
струи (рис. 8.4).
Кривые, представленные на рис. 8.3 и 8.4,
показывают, что эпюры относительных скоростей на основном
участке затопленной струи при определенной ее форме
в начальном сечении имеют универсальный характер.
Таким образом, в сходственных точках1 произвольных
поперечных сечений струи в пределах ее основного
участка относительные скорости одинаковы, т. е. профили
относительных скоростей подобны. Подобие относительных
1 Сходственные точки в данном случае располагаются на
одинаковом относительном расстоянии от оси струи, т. е. на одном и том
же луче, выходящем из полюса струи.
330

"/"mev
v<
_.
3
Д
**
/
" 6/,/w/
лот
"" U,Z3
4
•
▼zf
о
•
о - 1
• -2
T-3
0 - k
A-5
2?,
%J
►2,(7 -/,$" -/,0 -0,5 0 35 J0 1,6 y/y
0,5 d
Рис. 8.4. Безразмерный профиль скоростей на основном участке
плоской струи
1 — при *=0,2 м; 2 — при *«0,35 м; 3—при х~0,5 м; 4 — при жв0,6 м; 5 —
при дг=0,75 м
Рис. 8.5. Подобие в распределении скоростей на основном участке
струи
скоростей означает, что эпюры распределения абсолют-
ных скоростей очерчиваются в соответствии с одним и
тем же законом.
Проиллюстрируем это положение простым примером.
Предположим, что распределение скоростей на основном
331

Рис. 8.6. Линии
равных относительных
скоростей (и/и0) для
затопленной струи
Рис. 8.7. Линии
равных относительных
СКОрОСТеЙ (U/Umax) ДЛЯ
затопленной струи
участке подчиняется линейному закону. Тогда для точек
Ь{ и b2, Ci ис2и т.д. (рис. 8.5) можно записать:
Легко заметить, что выбранные точки являются
сходственными, так как из подобия треугольников,
образованных лучами, выходящими из полюса, и сечениями
1—1 и 2—2, следует:
yJri = У^г2 = • • •= idem- (8-3)
Сравнивая выражения (8.2) и (8.3), получим:
ub/uc = u"bluc = .. .= idem. (8.4)
Следовательно, существование подтвержденного
опытными данными равенства (8.4) говорит о том, что
распределение скоростей на основном участке струи
подчиняется одному и тому же закону.
К аналогичному выводу приводит анализ графиков,
построенных в изотахах1. На рис. 8.6 приведен так
называемый факел изотах — совокупность линий, объеди-
Изотахи— линии равных относительных скоростей.
332

няющих точки равных относительных скоростей и/и0 —
=const (где Uq постоянно для всех точек начального
сечения струи). Если относительные скорости вычислять
по отношению местной скорости к максимальной в том
же поперечном сечении и/итах, то изотахи будут
представлять собой семейство прямых линий (в условиях
плоской задачи), выходящих из полюса струи (рис, 8.7).
Сплошными линиями на рисунке отмечены линии равных
относительных скоростей на основном участке,
пунктирными— их направление в пределах начального участка.
Из подобия эпюр распределения скоростей следует,
что условие (8.1) для осесимметрнчной и плоской струй
можно представить в следующем виде:
"/"max = ф iylR)\ U/Umax = ф' (у 1Ь), (8.5)
где R — радиус осесимметрнчной струи; Ь — половина ширины
плоской струи.
Теоретически и экспериментально доказано, что
расширение как осесимметрнчной, так и плоской струй
линейно зависит от расстояния х, т.е. R=axx и Ь=а2х,
поэтому безразмерные профили скоростей, описанные
формулами (8.5), можно записать следующим образом:
u/umax^f(y/x)t (8.6)
где х — расстояние от полюса струи до рассматриваемого сечения.
Подобие в распределении скоростей позволяет
найти все поле осредненных продольных скоростей в струе,
если известны хотя бы одна из входящих в зависимость
(8.4) величина и эпюра скоростей в любом
произвольном сечении струи.
Определим характер изменения продольной
скорости Umax на оси свободной затопленной турбулентной
струи. Так как статическое давление в любой точке
струи есть величина постоянная, количество движения
массы жидкости в единицу времени будет неизменным
во всех сечениях струи со, в том числе и в начальном.
Следовательно, можно записать
м Jp«2do)=p^co0> (8.7)
0)
где соо — площадь начального сечения.
Для осесимметрнчной струи уравнение (8.7) после
подстановки в него соо=лго, со=яг2 и dco=2nrdr при-
333

мет вид:
R
2я j pa2 rdr = при* /§. (8 •8)
о
По аналогии для плоской струи имеем:
J>2dy = PKo4 <8<9)
где Ь0 и 6 —половина ширины начального и произвольного сечения
струи.
Рассмотрим сначала условие постоянства количества
движения для осесимметричной струи. Запишем
уравнение (8.8) в безразмерной форме; для этого разделим его
на ИгГг\''
о
Безразмерные величины, входящие в
подынтегральное выражение, представим в виде произведения двух
сомножителей так, чтобы вводимая величина не
являлась функцией радиуса струи, а была либо постоянной,
либо зависящей только от независимой переменной х:
Л и итах j_ г R
* — о " *
Щ Umax Щ) го ** го
Тогда формула (8.10) примет вид:
2f(^.iw)^Ad/^A) = 1. (8Л1)
J \ "max »ь J R r9 \R r0J
0
Так как итах и R зависят только от xt а радиус
начального сечения г0 является постоянным, получим:
Поскольку распределение относительных скоростей
зависит от величины y/R (здесь у=г), интеграл в
выражении (8.12) может быть вычислен теоретически при
подстановке в него аналитической зависимости —— =
итах
334

= ср (*//#). Его значение для осесимметричной струи
будет:
о
Тогда, используя зависимости (8.12) и (8.13), можно
записать:
Umax = const//? (8.14)
или в силу того, что R = ax,
^тах ~ const/*, (8.15)
где Umax — значение осевой скорости струи на расстоянии х от ее
полюса.
По аналогии для плоской струи запишем:
I(iNiH
О
или после подстановки в формулу (8.16) и/и0=(и/итах)Х
X (Umax/Uo) И у/Ь=(у/Ь0) (Ь0/Ь)
(jw)«if(^)yx\ _,,<,. (8Л7)
\ Щ I К J \ Umax I \ b J
О
Теоретическое значение интеграла в выражении (8.17)
О
Следовательно, {umax/tio)2b/b0=const и
итах ~const/VT (8.19)
Так как Ь = а\Х, окончательно для осевой скорости
плоской свободной затопленной струи можно записать
Umax ~const/K*. (8.20)
В уравнениях (8.15) и (8.20) а и а{ являются
практически постоянными величинами, зависящими
незначительно от структуры турбулентного потока в начальном
сечении струи. Таким образом, осевая скорость в любом
поперечном сечении основного участка для
осесимметричной струи обратно пропорциональна расстоянию от
выбранного сечения до полюса струи; для плоской
335

струи — квадратному корню из того же расстояния.
Значит, скорость на оси круглой струи уменьшается
быстрее, чем на оси плоской струи. Соответственно и путь
рассеивания осесимметричной струи будет при прочих
равных условиях меньше, чем путь, плоской.
Значения осредненных скоростей в произвольных
точках струи в пределах основного участка можно
определить по уравнению Г. Шлихтинга [8]:
-О- = (1 — -л1-6)"- (8.21)
итах
где 1] — относительное расстояние от рассматриваемой точки до оси
струи.
Уравнение (8.21) справедливо как для плоских, так
и для осесимметричных затопленных струй.
Анализ приведенных выше уравнений позволяет
получить основные расчетные характеристики затопленных
турбулентных струй.
Рассмотрим сначала осесимметричные струи как
наиболее часто встречающиеся в технических
приложениях. Обратимся вновь к уравнению (8.12). Подставив в
него значение интеграла (8.13), получим равенство
2 (umax/u0)*(R!r0)*0,0464=1,
из которого следует, что относительная величина
граничного радиуса произвольного поперечного сечения
прямо пропорциональна отношению скорости истечения
и максимальной скорости в этом сечении:
R/r0 = 3t3u0/umax. (8.22)
Выражение (8.22) позволяет, кроме того, определить
радиус переходного сечения. В этом сечении кончается
ядро струи, поэтому в переходном сечении отношение
Ыэ/ита*=1, а его безразмерный радиус оказывается
постоянным: #/г0=3,3.
При расчете вентиляционных систем часто
приходится определять расход воздушной струи на различных
расстояниях от начального сечения. Для этого можно
воспользоваться известным соотношением Q = [wdco,
(О
которое в нашем случае запишется следующим
образом:
R
Ч Q = 2л Г иг dr.
О
33G

Вводя в последнее выражение безразмерные
(относительные) величины скорости и радиуса, получим:
Q = 2jtroUo^w (A)2 f _«__ .L d (-L). (8.23)
Ч \Г* I J "max R \R)
О
Вычисленное значение интеграла, входящего в
формулу (8.23),
1
Г — — d (-{Л = 0,0985. (8.24)
J "max R \RJ
0
После подстановки (8.22) и (8.24) в равенство {8.23)
получим:
Q = 2,l3jirg«o—2а—.
итах
Но 7irlu0—QQ — расход истечения. Тогда для
относительного расхода в любом поперечном сечении осесим-
метричной струи можно записать:
Q/Q0 = 2t\ZuQ/umaX. (8.25)
Полученное уравнение показывает, что расход в
направлении движения струи возрастает обратно
пропорционально изменению осевой скорости. Подстановка в
уравнение (8.25) соотношения (8.15) позволяет
определить зависимость для изменения относительного расхода
вдоль струи:
Q/Q0 = const uQx. (8.26)
Из этого выражения следует, что относительный
расход затопленной круглой струи возрастает
пропорционально увеличению расстояния от ее полюса.
Экспериментальные и теоретические исследования
показывают, что угол наклона внешней границы
струйного пограничного слоя (внешней границы струи) зависит
только от характера распределения скоростей в
начальном сечении. При заданном распределении скоростей,
следовательно, радиус круглой струи или толщина
плоской струи меняются линейно с изменением расстояния
х. В этом случае для осесимметричной струи можно
записать
R = axx^a(\,xt (8.27)
где а — коэффициент турбулентной структуры струи, зависящий от
распределения скоростей в начальном сечении; ф — коэффициент, за-
22-626
337

висящий от формы выходного сечения струеобразующего отверстия
или насадка.
При малой степени начальной турбулентности для
круглой струи а = 0,066, а для плоской струи а = 0,09.
Коэффициент а возрастает с увеличением степени
турбулентности на выходе струи из насадка или отверстия.
Для круглой струи ф=3,4, поэтому относительная
величина радиуса струи на расстоянии х от полюса
Я//-0 = 3,4а*/г0, (8.28)
а относительная максимальная скорость
J£2S23L==0|96-b-. (8.29)
и0 ах
Для определения полюсного расстояния Хо положим
в формуле (8.28) /?=г0, тогда
х0 = 0,29г0/а. (8.30)
Длина начального участка, которая, как известно,
отсчитывается от начального сечения до переходного,
будет:
xH = 0,67r0/a. (8.31)
Подставляя в выражение (8.25) абсциссу,
отсчитываемую от начального сечения, получим для
относительного расхода в произвольном сечении:
Q/Q0 = 2,2 (ax'/'e + 0,29), (8.32)
где х' — расстояние между начальным и рассматриваемым
сечением.
Основные расчетные соотношения для круглой и
плоской струй, полученные в соответствии с теорией
Г. Н. Абрамовича, приведены в табл. 8.1.
Выше были рассмотрены основные аспекты движения
свободных затопленных струй, т.е. таких струй,
движение и рассеивание которых происходит в
неограниченном объеме. Движение струй в ограниченном объеме
существенно отличается от движения свободных струй.
При движении несвободных или ограниченных струй
область их течения может быть условно разделена на
две зоны: собственно струя (часто эту зону называют
транзитной струей) и циркуляционная область,
находящаяся между струей и твердыми границами.
Взаимодействие между этими областями определяется не
только параметрами струи, но и линейными размерами объ-
338

Таблица 8.1. Расчетные соотношения для свободной затопленной
турбулентной струи
Параметр
Коэффициент
турбулентной структуры а
Половина угла
расширения струи а
Расстояние от полюса до
начального сечения х0
Длина начального
участка хи
Радиус R или
полутолщина b струи
Скорость на оси
основного участка струи итах
Расход на основном
участке Q
Значения параметров или расчетная
формула для
круглой струи
0,08
3,4 а
0,29г0/а
0,67г0/а
\ (3,4ax'/r0+l)r0
0,96и0
ах'/г 0+0,29
2,2Q0(a*7/vf-0,29)
плоской струи
0,09—0,12
2,4а
0,41Vfl
I,03Va
{2&х'/Ь0+\)Ь0
.L?2«p
Vax'lbo+OAX
l,2Q0V ax'b0+0,4\
ема, в пределах которого происходит ее растекание. Если
поперечное сечение струи составляет величину, меньшую
20 % площади поперечного сечения объема, движение
струи, по существу, не отличается от движения
свободной струи. При увеличении этой величины до 40 %
Движение транзитной струи значительно замедляется и
циркуляция вокруг нее возрастает. Дальнейшее увеличение
отношения площадей приводит к вырождению струи.
Эффективность вентиляции помещений несвободными
(ограниченными) струями существенно меньше
эффективности вентиляции свободными струями.
Рекомендации по расчету несвободных струй
приводятся в курсах вентиляции, где они рассматриваются
подробно.
§ 53. Движение турбулентных струй в сносящем потоке
В ряде случаев при устройстве воздушных завес,
отводе вредных выбросов, при организации естественной
вентиляции отдельных кварталов городов приходится
сталкиваться с вопросами взаимодействия воздушной
22*
339

струи с поперечным потоком воздуха, отклоняющим ее
от первоначального положения. Аналогичные задачи
приходится решать при изучении взаимодействия речных
потоков в местах их слияния и т. п.
Под действием набегающего на струю потока не
только искривляется ее ось, но и деформируется ее
поперечное сечение. Деформация сечения струи обусловлена
разностью давления в различных точках сечения. Со
стороны набегающего потока давление всегда оказывается
больше, чем с противоположной стороны. Возникающая
при этом равнодействующая сил давления увеличивает
кривизну струи. Одновременно с этим на поверхности
струи происходит перераспределение давления, так как
скорость обтекающего струю потока в различных точках
поперечного сечения струи различна. В лобовой и
кормовой частях струи скорость практически равна нулю,
в то время как в точках сечения, расположенных по
нормали к набегающему потоку, скорость максимальная.
Разность скоростей, а следовательно, и давления в этих
точках «растягивает» сечение струи поперек
набегающего потока. Совместное действие разности давления в
указанных точках и динамического давления на
лобовую поверхность струи придает поперечному сечению
круглой струи сначала форму, близкую к чечевичной, а
далее по длине струи — подковообразную. Деформация
как оси струи, так и ее поперечного сечения значительно
усложняет картину течения и приводит к известным
трудностям в выборе аналитического решения. Часто
эту задачу пытаются разрешить методами сложения
потенциальных течений, однако эти методы оказываются
малоэффективными для вязкой жидкости при
переменной форме поперечного сечения струи.
Приведем некоторые расчетные рекомендации [1],
основанные на результатах экспериментальных
исследований. В основу этих рекомендаций положен принцип
сложения динамических напоров струи и сносящего
потока.
Форма оси воздушной струи, вытекающей из
круглого сопла (рис. 8.8), может быть определена по
эмпирической формуле, предложенной Г. С. Шандоровым
[1]*:
* Здесь сохранены принятые в литературе [1] обозначения величин,
входящих в уравнение.
340

т//жм№
■ps-
i6 I
v/.w/w/P x
Рис. 8.8. Осесимметричная струя в Рис. 8.9. Схема воздушной за-
сносящем потоке весы
* -^<у/<02'й + -т fl+— )ctga, (8.33)
d q02 a \ qQ2 I
где * и */ — координаты произвольной точки на оси струи; d —
диаметр струеобразующего сопла; q0i — piW2/2 и <7о2=РгУо/ 2 —
Динамические напоры сносящего потока и струи на выходе из сопла; a —
угол между осью струи в начальном оечении и направлением
сносящего потока.
Более удобным для расчетов представляется
уравнение, тоже эмпирическое, полученное Ю. В. Ивановым
[1]. Это уравнение можно использовать не только для
расчета круглых струй, но и в первом приближении для
струй, вытекающих из прямоугольных коробов:
-H-t)"U),+**- *•"
где Dd — эквивалентный (гидравлический) диаметр начального
сечения струи.
Для круглого отверстия, как известно, D3=d, для
бесконечно широкой плоской щели D3=2b0.
Формулы (8.33) и (8.34) показывают, что отклонение
оси от первоначального положения для плоской струи
больше, чем для круглой. Структура приведенных
расчетных соотношений может быть получена из общих
соображений теории механического подобия и теории
размерностей.
§ 54. Воздушные завесы
В некоторых случаях на практике для защиты
промышленных сооружений (ангары, депо, крупные цехи
341

и т. п.) от проникания в них внешнего холодного
воздуха при периодическом открывании больших проемов
устраиваются воздушные завесы. Принцип работы
воздушной завесы понятен из рис. 8.9, на котором изображена
схема взаимодействия холодного воздушного потока,
движущегося со скоростью оу*, и плоской струи,
вытекающей из щелевидного отверстия под углом а0 к
горизонту с постоянной начальной скоростью vq.
Изгиб плоской струи теплого воздуха, как известно,
определяется главным образом динамическими
напорами потоков теплого и холодного воздуха, углом между
направлениями движения взаимодействующих потоков
и характером распределения местных скоростей в
начальном сечении струи. Предположим, что скорости в
любой точке набегающего потока одинаковы (w{ = w2=
= w). В задачу расчета воздушной завесы входит,
главным образом, определение связи между подаваемым
расходом теплого воздуха и максимальной высотой
подъема теплой струи. Очевидно, задача может считаться
решенной, если найдена такая высота Я, при которой
проникание холодного воздуха в помещение исключается.
Уравнение изогнутой оси плоской струи [1] имеет
вид:
(ky/2 + ctgtxe)« = kx + ctg2 aQt (8.35)
где а0 — угол наклона завесы к горизонту; хну — текущие
координаты точки на оси струи; k = cpww2l(bQpv t% sin a0) (здесь с —
коэффициент сопротивления, изменяющийся от 1 до 3; pw и pv —
плотности набегающего потока и струи; w и v0 — средние скорости
набегающего потока и струи).
Г. Н. Абрамович рекомендует для расчета плоской
воздушной завесы уравнение, полученное в
предположении, что изменение вертикальной составляющей средней
по сечению скорости струи завесы не зависит от
воздействия набегающего потока, а горизонтальная
составляющая равна алгебраической сумме скорости сносящего
потока и горизонтальной составляющей скорости струи:
х у 0,39 { у у.5 в,
— = — ctga0 + ——
h Ь0 по £,
°>39 / у У.5 w
(sin«0yAbJ „.- (8-36)
Высота подъема завесы при заданном а0 определяется
по формуле
Н/Ь0 = 6,5л2и (vo/w)2 cos2 ao sin a0. (8.37)
* Обозначения приняты в соответствии с [1].
342

Максимальная высота подъема завесы при заданных
условиях соответствует ао = ат~ 146° и вычисляется по
зависимости
Hmaxlh = 2,5rt2w (vjw)2. (8.38)
В приведенных формулах приняты следующие обозначения: Ь0 —
половина толщины плоской струи завесы; Н и Нтах — высота и
максимальная высота подъема воздушной завесы; п2и —
коэффициент неравномерности поля скоростей в начальном сечении струи.
Коэффициент неравномерности п2и в первом
приближении при равномерном распределении скоростей на
выходе струи принимается п^и = 1 и при обычной
форме эпюры скоростей напорного турбулентного потока
п2и~ 0,74-0,8.
§ 55. Неизотермические затопленные струи
Для вентиляции и отопления часто применяются
затопленные неизотермические струи, т. е. такие струи,
температура в каждой точке которых отличается от
температуры среды. Неизотермические струи могут быть
горячими, если их температура больше температуры среды, и
холодными, если их температура меньше температуры
среды. Так как в первом случае струя распространяется
в более плотной среде, а во втором случае плотность
струи больше плотности среды, скорость распространения
горячей струи уменьшается быстрее, чем скорость
холодной, и расстояние, на котором струя рассеивается, в
первом случае меньше, чем во втором.
При рассмотрении движения неизотермической струи
принимается постоянным в струе не только количество
движения, но и избыточное теплосодержание. Последнее
условие для осесимметричной цилиндрической струи
можно по аналогии с формулой (8.8) представить в виде:
R
2л [ ри AT rdr = лр0 uQ ATQ rjj, (8.39)
о
где АТ—Т—Гн— разность между температурой в произвольной
точке струи Т и температурой среды Тн; АТ0=Т0—Тн — то же, для
начального сечения струи.
Заменив отношение плотностей струи и среды на
отношение их температуры в соответствии с уравнением
состояния р/р0==Г0/Г, запишем (8.8) и (8.39) в
безразмерном виде:
343

о
f JlJL^LJLdfJL^ = 1.
(8.40)
Обозначим, как и прежде, r/ro = (r/R) (R/r0) и и/и0=
= (u/umax) (Umax/Uo) и представим отношение
температуры струи и среды в виде:
Тр _ Т0 _ Т0 1
Т ТН + АТ Тн 1+АТ/Тн
1
= 0 1 + (0 - 1) (ATmax/АТ0) (АТ/АТтаХ) •
где
0 = -l!L. ДГ _ Д^ АТтах АТ0
'н Ттах АТтаХ АТ0 /н
и I Т°-Т« АТ»
" — 1 == ~ == ~~^ •
Тогда систему (8.40) можно записать следующим
образом:
\ "0 /Wo/ J , , ,п . ДГпгд» ДГ
ш о а' тазе
х и_ _АТ
/7™ AT / R \2 С и А
26-
г0 \г0)
итпах &Ттах /л \2 Г цтазс ^ max го \ го / . ,д д~\
"о Д7-0 \rj J „АГто* ДГ
ai о ni таас
Ha практике часто температура неизотермических
струй, используемых в системах вентиляции и отопления,
не сильно отличается от температуры среды. Поэтому без
заметной ошибки можно принять, что Т0^Т, 6^1 и G—
—1=0, Тогда уравнения (8.41) и (8.42) можно
переписать:
2e(w.W^f^)2_l.d(M = 1: (8.43)
\ "е / \ 'о / J \ "max I гь \г0;
0
344

2еЛто^
и
и
Уравнения (8.43) и (8.44) могут быть решены [11],
если распределение относительной температуры по сечению
струи связано с профилем относительной скорости
соотношением &Т/АТтах= У и/'итах, и уравнение (8.28)
оказывается справедливым и для неизотермической струи. Для
практических расчетов неизотермических осесимметрич-
ных струй можно использовать зависимости [11]:
1/ 1 + 0,526(9— 1)-^^ ; (8.45)
ах__*.т Щ у !+ 0,526 (9-1)-^'-
го УQ итах f ui
Л,
ах г
аХ 0,71 AT ^/ 729_1)Щ^9 (8.46)
У§ЬТтах У АГ0
Уравнения (8.45) и (8.46) дают хорошие результаты
при относительно малой разности между температурой
струи и температурой среды.
Для сильно нагретых или охлажденных струй следует
учитывать влияние переменной по длине струи
гравитационной силы (определяемой разностью плотностей среды
и струи), направленной вертикально вверх для нагретой
и вниз для охлажденной струи. Эту силу часто называют
«архимедовой». Наличие «архимедовой» силы искривляет
траекторию движения струи.
В качестве примера запишем уравнения оси
неизотермической плоской и осесимметричной струй, приведенные
в литературе [4]:
для плоской струи
Ssina() + 0,02Ar0 ~\/ -^ S3; (8.47)
для осесимметричной струи
^ = 5sina0+0,091Ar0 Л/ — 55/3. (8.48)
В этих уравнениях у=у/10 — относительная ордината оси струи
на относительном расстоянии S=S//0 от начального сечения [здесь
/0 — половина толщины струи в начальном сечении (/ов/"о Для
осесимметричной струи и /0=& для плоской струи)]; а0 — угол наклона
оси струи к горизонту в начальном сечении; Т0 и Тв —
соответственно начальная температура струи и среды,
345

Безразмерный комплекс Аг0 определяет меру
отношения сил тяжести с учетом разности плотности среды и
струи и сил инерции, действующих на струю, он равен
glo T0-TH
Очевидно, что чем больше разность плотности струи и
среды, тем больше струя будет искривляться. Сильно
искривленную неизотермическую струю называют
воздушным фонтаном. Подробно неизотермические струи
изучаются в курсах отопления и вентиляции,
§ 56. Свободные незатопленные струи
Струя жидкости, вытекающая через отверстие или
насадок в газовую среду или в жидкость, с ней не
смешивающуюся, испытывает действие массовых сил
(например, инерции и тяжести), трения, поверхностного
натяжения, а также сил давления, обусловленных турбулентным
перемешиванием как в самой струе, так и в среде.
Влияние каждой из действующих сил на характер движения
струи и на ее последующее разрушение не одинаково для
различных начальных условий истечения.
Различают три основных режима разрушения неза-
топленной струи1: осесимметричный распад;
волнообразный распад; турбулентный распыл.
При осесимметричном распаде (рис. 8.10, а) жидкой
струи в ее разрушении главную роль играют силы
инерции, трения и поверхностного натяжения. Под их
действием на поверхности струи образуются симметричные
волны, развитие которых приводит к разрушению струи.
Осесимметричный распад наблюдается при относительно
малых скоростях истечения. В этом случае режим
движения жидкости — ламинарный.
При переходе к волнообразному распаду с
увеличением скорости истечения устойчивость ламинарного
течения нарушается, поток постепенно переходит в
турбулентный. Под действием стационарных сил инерции,
трения, поверхностного натяжения и соизмеримых с ними
переменных по величине и направлению пульсационных
1 Между названными режимами разрушения струи могут
существовать и переходные режимы, на это указывается, в частности, в
литературе [6].
346

Рис. 8.10. Режимы распада
свободной жидкой струи
а — осесимметричного; б — вол*
нообразного; в — турбулентного
распыла
а)
6)
сил давления на поверхности струи образуются
нерегулярные волны (рис. 8.10, б). Нерегулярность
поверхностных волн в этом случае определяется влиянием
поперечных составляющих сил давления, имеющих в условиях
зарождающейся турбулентности случайный характер.
Развитие волн на поверхности струи вызывает колебание
струи в целом, что и приводит к ее последующему
разрушению.
Дальнейшее увеличение скорости истечения при
прочих равных условиях приводит к возрастанию
интенсивности турбулентного перемешивания. В этом случае пуль-
сационные силы давления, зависящие от пульсации
скорости, становятся существенно большими сил трения и
поверхностного натяжения. Действие турбулентных
пульсаций приводит к тому, что в любой момент времени
кинетическая энергия любого конечного объема жидкости
(моля) может оказаться большей запаса энергии сил
поверхностного натяжения и вязкости, удерживающих моль
в струе. Очевидно, что при таком соотношении сил моль
будет выброшен из струи.
Описанная картина в полной мере относится к
любому моменту времени и к любому произвольному
конечному объему жидкости внутри турбулентной струи. Струя
начинает распадаться непосредственно у отверстия или
выходного сечения насадка. Этот режим распада
называют турбулентным распылом (рис. 8.10, в).
Границы между отдельными режимами разрушения
струи определяются экспериментально. При этом в
качестве определяющих безразмерных критериев часто при-
34/

иимают критерий Вебера We = pWod0/a и критерий
распада М = —— (где р, \i и о — соответственно плотность,
pd0o
динамическая вязкость жидкости и коэффициент
поверхностного натяжения на границе раздела «жидкость —
среда»; и0 — средняя скорость истечения жидкости
через отверстие или насадок диаметром d0).
В качестве примера рассмотрим предложения
А. С. Лышевского для определения границ между
режимами распада струи жидкости, вытекающей через
отверстия и цилиндрические насадки в воздух. В соответствии
с этим способом границы между отдельными режимами
определяются следующими соотношениями:
осесимметричный распад — волнообразный распад
We= 16,6M0'3p-M5, (8.49)
где р=-ро/рж; ро и рж —плотности среды и струи;
волнообразный распад — турбулентный распыл
We = 266M0'133 Р-0*8. (8.50)
Высказанные соображения имеют общий характер, они
справедливы при разрушении струй жидкости как в
газовой, так и в жидкой среде.
Различие в степени проявления действия отдельных
сил, разрушающих струю, приводит к различным
закономерностям в распределении капель по крупности,
плотности орошения и т. п. В качестве примера на рис. 8.11
приведены кривые зависимости суммарной вероятности
появления капель различного относительного диаметра.
На графике по оси абсцисс отложены относительные
диаметры образующихся при разрушении струи капель drfd
(где di и d — текущий и средневзвешенный диаметры
капель), по оси ординат — накопленные частоты их
появления.
Средний (средневзвешенный) диаметр всей
совокупности капель может быть определен непосредственно из
закона распределения капель по крупности или на
основании обработки опытных данных, полученных на моделях,
в виде зависимости относительного диаметра d/d0 капель
от критерия Вебера We. Частные рекомендации по
расчету d приводятся в специальной литературе [6].
Длина струи #с и ее сплошной части Як обычно
определяется в долях кинетической энергии струи на выходе
348

*А, %
100
so
60
to
20
IJ
J/
sw
/ I
I
A
/
/
l
t6
^a
0,5
US
2,6 a. 16.
Рис. 8.11. Распределение капель по
крупности при распаде струй жидкости в жидкости
а — осесимметричном; б — волнообразном;
в — турбулентном распыле
Рис. 8.12. Схема движения вертикальной
струи в воздухе
1
4
1
ы
г"—Т
1 ^
i ^| 1
Г
1 *
а:
\\
he
а
рь.
из отверстия или насадка. Рассмотрим вертикальную
струю, вытекающую из насадка в воздух (рис. 8.12).
Если пренебречь влиянием гидравлических
сопротивлений и весом струи, то ее длина, очевидно, должна быть
равной напору в начальном сечении. Гидравлические
сопротивления и вес струи1, естественно, уменьшают ее
длину; при этом очевидно следующее соотношение:
Я = ЯС + ДЯ,
(8.51)
где Я —удельная энергия струи (напор) на выходе из насадка;
АН — часть удельной энергии (напора), затрачиваемой на
преодоление сопротивления движению струи.
Из общих соображений следует, что Д# прямо
пропорциональна скоростному напору и длине струи и
обратно пропорциональна ее диаметру, т. е.
ДЯ = ^
#с
4
ч
(8.52)
1 Как показывают экспериментальные исследования, влияние силы
тяжести на характер движения и разрушения струи проявляется лишь
при малых скоростях истечения, соответствующих одиночному кап-
леобразованию, предшествующему осесимметричному распаду.
349

Рис. 8.13. Зависимость
коэффициента k{ от диаметра
насадка
10 20 30 W £ми
где к\ — коэффициент пропорциональности (по существу аналог
коэффициента гидравлического сопротивления по длине
трубопровода Я).
Удельная кинетическая энергия струи в начальном
сечении
2£
= Ф2#,
(8.53)
где ф — коэффициент скорости при истечении через насадок.
Коэффициент ku как показывают многочисленные
опыты, зависит от типа насадка и его геометрических
размеров, от физико-механических свойств вытекающей
жидкости и среды, от гидродинамического состояния потока в
начальном сечении, т. е. от числа Реинольдса, от условий
на границе раздела «струя—среда».
В соответствии с основными положениями теории
размерностей (см. далее гл. 10) можно в общем случае
записать:
£1 = /(Re; We; vm/v0; рж/р0; Л), (8.54)
где а _ коэффициент, учитывающий форму и конструктивные
особенности струеобразующего насадка; vm и v0 — соответственно
кинематическая вязкость струи и среды.
Для заданной формы насадка при истечении одной и
той же жидкости с относительно большими скоростями
(Re^ReKB) коэффициент kx зависит только от диаметра
насадка. Для конического насадка, например, эта
зависимость приведена на рис. 8.13.
Решая совместно формулы (8.51) —(8.53), получим:
Н
Hq== l + h^HId» '
350

или
Яс = Я/(1 +kH), (8.55)
где k — опытный коэффициент.
Длина сплошной части струи зависит от режима
распада струи: с увеличениехМ скорости истечения при осе-
симметричном и волнообразном режимах распада длина
сплошной части струи увеличивается практически прямо
пропорционально корню квадратному из числа We =
= PmVodo/ot затем при переходе к турбулентному
распылу уменьшается.
При изменении угла наклона струи к горизонту длина
ее сплошной части остается постоянной, что
подтверждает отсутствие влияния силы тяжести на характер
движения струи.
§ 57. Давление струи жидкости на твердые поверхности
Струя жидкости, вытекающая через отверстие или
насадок и встречающая на своем пути твердую преграду,
воздействует на нее с силой, называемой силой давления
струи.
Рассмотрим динамическое воздействие жидкой струи
на произвольную твердую поверхность, находящуюся на
расстоянии, меньшем длины сплошной части струи от
насадка (рис. 8.14). Ограничим нашу задачу: будем
предполагать, что струя плоская и достаточно большой
ширины; жидкость принимаем невязкой и несжимаемой;
считаем, что на участке растекания струи между сечениями
1—/ и 2—2 давление в любой точке есть величина
постоянная и на участке между начальным сечением 0—0 и
сечениями /—/ и 2—2 отсутствуют гидравлические
сопротивления.
Силу давления струи на твердую поверхность
определим с помощью уравнения изменения количества
движения применительно к отсеку жидкости, ограниченному
сечениями 0—0, 1—1 и 2—2, в проекции на ось N—N:
т1 vt cos at + т2 v2 cos a2 — m0 v0 = R cos рД/, (8 56)
где m0, niu rri2 — масса жидкости, прошедшая через
соответствующие сечения (си рис. 8.14) за время A/; v0, t/,, v2 — средние
скорости струи в соответствующих сечениях; R — сила реакции стенки,
равная по величине силе Р, но имеющая противоположное
направление.
351

\ Мч
N-
Рис. 8.14. Давление плоской струи на твердую поверхность
произвольного очертания
10
N-
OoW
Рис. 8.15. Давление плоской струи на твердую поверхность,
симметричную относительно оси движения струи
А/ 00Уо
Рис. 8.16. Давление
горизонтальной струи на вертикальную
стенку

Уравнение (8.56) можно переписать следующим
образом:
Р (Qi vicos ai + Q2 v2cos a2 — Qo vo) = # cos P» (8 • 57)
где Qo, Qi, Q2 — соответственно расходы жидкости в сечениях О—О,
1—1 и 2—2.
Отметим, что в уравнении (8.57) присутствуют три
неизвестных величины: Q{ или Q2 (так как Qo=Qi+Q2),
Я и р.
Уравнение изменения количества движения
упрощается при воздействии струи, набегающей на твердую
преграду, симметричную относительно оси N—N (рис. 8.15).
В этом случае
Qi = #2 = ~7Г Qo; cx1 = a2 = a; cos p =— 1.
Тогда уравнение (8.57) существенно упрощается:
/? = pQ0 v0 (1 — cos a). (8.58)
Из соотношения (8.58) следует, что с изменением угла
а меняется сила давления струи. Напомним, что эта
сила равна по величине реакции преграды, но
противоположно направлена (Р=—R). Далее в расчетных
уравнениях будем определять силу давления, предполагая ее
направление известным. При увеличении угла а от 0 до 90°
сила давления струи возрастает (так как cosa
уменьшается), достигая своего наибольшего значения при а=90°
(рис. 8.16). В этом случае
p = PQ0vo = P<»ox$' (8-59)
где со0 — площадь сечения 0—0.
Формула (8.59) может быть использована при
расчете силы давления цилиндрической струи на твердую
вертикальную стенку. Однако сила Р оказывается несколько
меньше вычисленной по (8.59):
P = mpQ0v0 = mp(o0vl (8.60)
где т=0,92ч-0,96— коэффициент, определяемый влиянием
неучтенных факторов.
Действительно, как показывают опыты, динамическое
давление в зоне удара резко меняется от своего
максимального значения рт=р^о/2 в точке пересечения оси
N—N с твердой поверхностью до нуля на расстоянии,
равном 2—3 диаметрам струи. Растекание потока практи-
23—626
353

чески всегда оказывается несимметричным и в области
растекания струи следует учитывать влияние вязкости и
сил поверхностного натяжения. :
Уравнейие (8.59) можно представить в следующем
виде:
P = 9%vl = 2pg% — = 2Pg%Hmn, (8.61)
I
Соотношение (8.61) показывает, что сила давления
струи жидкости на вертикальную плоскую стенку равна
произведению удвоенного скоростного напора на площадь
сечения струи и ее удельный вес.
Предполагая, что распределение динамического
давления в круге с площадью со0 равномерно, находим:
р = Р/со0 = 9vl (8.62)
откуда следует, что среднее динамическое давление
оказывается теоретически вдвое больше, чем статическое,
соответствующее напору истечения. На практике разница
между динамическим давлением струи на твердую
преграду и статическим оказывается несколько меньшей.
Поясним этот вывод на простом примере. Рассмотрим
истечение жидкости через внешний цилиндрический насадок
(рис. 8.17, а); расстояние от насадка до твердой
вертикальной стенки принимаем меньше длины сплошной
части струи. В соответствии с уравнением (8.62) после
подстановки в него известного соотношения для скорости
истечения через насадок динамическое давление
определяется следующим выражением:
р = Рф2 2£Я = 2р£Ф?#, (8.63)
в то время как статическое давление (насадок
располагается вплотную к стенке; рис. 8.17, б) pCT=pgH.
Сравнивая это равенство с выражением (8.63), получаем, что
при истечении жидкости через внешний цилиндрический
насадок отношение динамического давления к
статическому 2ф2=2-0,822 = 1,34, При истечении жидкости через
коноидальный насадок (ф=0,98) это же отношение равно
1,92. С учетом неравномерности распределения
динамического давления в зоне растекания струи
рассматриваемое отношение следует несколько уменьшить.
Сила давления струи увеличивается, если твердой
преграде придать форму, изображенную на рис. 8.18. При
а>90° сила давления с увеличением а возрастает; наи-
354

а)
S>
JP
Рис. 8.17. К определению динамического давления струи на
кальную стенку
верти-
Q2W2
Рис. 8.18. Давление струи на
криволинейную поверхность,
симметричную относительно оси
движения струи
Рис. 8.19. Давление струи на —-—. УЬ_
плоскую подвижную пластину ^^
23*
355

большее его значение достигается при cosa=—1 или
а= 180°. В этом случае
Р = 2ро)0^ = 4рЯсо0Якпн. (8.64)
Кинетическую энергию жидкой струи при ее
взаимодействии с подвижной преградой используют для
вращения рабочих колес гидравлических турбин.
Рассмотрим удар струи о твердую плоскую лопатку
(или дискретную систему плоских лопаток) рабочего
колеса турбины (рис. 8.19). Сила давления струи на
одиночную лопатку, перемещающуюся поступательно со
скоростью и0,
р = рсо0 V{) (v0 — uQ), (8.65)
а мощность, развиваемая при этом,
N = ро)0 v0 (v0 — ue) щ. (8.66)
Из уравнения (8.66) следует, что мощность N
становится равной нулю при u0==vQ и и0=0. Максимальная же
мощность соответствует определенной скорости и0,
которая может быть получена из соотношения
6N
—— = рсо0 v0 (vQ — 2и0) = 0,
du0
откуда tf0=2w0 и w0=0,5a0.
Таким образом, максимальная мощность Nmax
соответствует линейной скорости щ, равной половине скорости
струи, набегающей на лопатку, и может быть определена
по формуле
Кинетическая энергия струи, отнесенная к массовому
расходу, перед лопаткой
Екин = Р^о/2 = Р«0^/2- (8.68)
Сравнивая формулы (8.67) и (8.68), замечаем, что при
ударе струи о плоскую лопатку рабочего колеса
максимальная мощность оказывается равной в соответствии со
сделанными ранее предположениями половине
кинетической энергии струи перед лопаткой.
В турбинах обычно устанавливаются криволинейные
лопатки, близкие по профилю, изображенному на рис.
8.18. Максимальная мощность, развиваемая в этом
случае,
Nmax = f*>0vll2t (8.69)
356

что полностью совпадает с величиной кинетической
энергии струи перед препятствием. В действительности КПД
турбин с плоскими лопатками составляет 0,4—0,5, с
криволинейными — 0,85—0,95.
Подробно вопрос динамического взаимодействия
свободной струи с рабочими лопатками турбин
рассматривается в специальных курсах.
Примеры
Пример 8.1. Определить расход, максимальную и среднюю
скорость воздушной струи, выходящей из круглоцилиндрической трубы
диаметром с?0=0,25 м в воздух с начальной скоростью ы0=Ю м/с на
расстоянии *' = 5 м от выходного сечения.
Решение. Сначала определим расход воздуха в начальном
сечении:
Qo = woco0 = г/0я^/4 = 0,12 м3/с
Для определения искомых величин воспользуемся расчетными
формулами, приведенными в табл. 8.1. Расход воздуха на
расстоянии х' = Ъ м от начального сечения
/0,08-5 \
Q= 2,2-0,12 -J—- + 0,29 =0,92 м3/с
\и,1^о /
Скорость на оси струи
0,96-10 п тс ,
Umax = Т. = 2,75 М/С
тах 0,08-5/0,125 + 0,29
Для определения средней скорости вычислим предварительно
площадь поперечного сечения струи на расстоянии х' от начального
сечения:
радиус этого сечения
/? = (3,4-0,08-5/0,125 + 1)0,125 = 1,48 м;
плошадь сечения со = л/?2=6,88 м2.
Средняя скорость в заданном сечении
v = Q/co = 0,92/6,88 = 0,13 м/с.
Пример 8.2. Определить высоту подъема воздушной завесы,
образованной плоской струей, выходящей из горизонтальной щели
шириной Ь0=0,\5 м со средней скоростью v0=\2 м/с, если известно,
что скорость потока наружного воздуха, набегающего на открытый
проем здания, w=3 м/с и угол наклона завесы к горизонту (рис. 8.9)
а0=135°. Коэффициент неравномерности поля скоростей в начальном
сечении принят п2и=0,9.
Решение. Воспользуемся уравнением (8.37)
H/bQ = 6,5-0,9 (12/3)? cos2135°-sin 135° = 33,23.
Высота подъема воздушной завесы Н =«33,23 -0,15«5 м.
357

VI
Рис. 8.20. К примеру
8.5
Максимальная высота завесы по уравнению (8.38) при а0=
= 146° при заданных условиях
#тах = 2,5.0,9(12/3)20,15 = 5,4 м.
Пример 8.3. Рассчитать минимальную соответствующую началу
турбулентного распыла скорость истечения струи воды через
отверстие в тонкой стенке диаметром do—0,5 мм в воздух. Коэффициент
поверхностного натяжения на границе «вода — воздух» а=
= 0,073 Н/м, температура воздуха и воды /=20 °С.
Решение. Переход волнообразного распада к турбулентному
распылу происходит в соответствии с уравнением (8.50), или
Ado
= 266
(4
0 133
И-0-8.
\ РЖ /
^Рж4)<
Плотность воздуха при /=20 °С ро= 1,185 кг/м3, воды рж =
= 1000 кг/м3. Критерий распада М = 0,27-10~4 и М°>т=0,247.
Относительная плотность р=р0/рт= 1,185-10"3 и р-°'8=219. Тогда и0=
= 45,8 м/с, что соответствует давлению перед отверстием
Р = Р'
2ср2
1,12.10е Па.
Пример 8.4. Определить силу давления струи воды, вытекающей
через коноидальный насадок (ср=0,98), диаметром ^0=0,05 м под
напором Я=25 м, на вертикальную неподвижную плоскую
пластинку, находящуюся от насадка на расстоянии, меньшем длины
сплошной части струи; температура воды /=20 °С.
Решение. Сплошную часть струи, вытекающей через
горизонтальный насадок, в силу пренебрежимо малого действия
силы тяжести можно считать горизонтальной. Тогда при тср =
= 0,94; рж=1000 кг/м3; со0=^/4= 19,6-10-4 м2 и y0=qV2g//=
358

= 0,98 1^19,6-25 = 21,7 м/с сила давления по формуле (8.60) будет:
Р = 0,94-1000.0,00196.21,7? = 870 Я.
Пример 8.5. Определить силу давления водяной струи,
вытекающей в воздух из сходящегося коноидального насадка
диаметром uf0=0,07 м со скоростью v0=2S м/с, на неподвижную
криволинейную пластину (рис. 8.20), профиль которой очерчен по дуге
окружности. Угол между осью N—N и направлением оси
сходящей с пластины струи а=120°.
Решение. Воспользуемся уравнением изменения количества
движения для массы жидкости в отсеке, ограниченном сечениями
0—0 и /—/, в проекциях на ось N—N
Рж (Qi ^ 1 cos a — Q0 v0) = R cos P
и в проекциях на ось, ей перпендикулярную,
Рж Qi vi sin a = R sin p.
Решая совместно эти формулы при подстановке в них
очевидного соотношения pmQiVi — pmQoV0, получаем:
Я = Рж Qo v0 V(cos a — l)2 + sin? a = рж Q0 v0 V2 (1 — cos a) =
= 2ржОос,о sin (a/2).
Окончательно для силы давления запишем:
Р = 2рж ©0 t£ sin -f" = 2-1000 3'14'в'072 25?.0,87 « 4200 Я.
Глава 9. НЕУСТАНОВИСШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
ЖИДКОСТИ
§ 58. Основное дифференциальное уравнение
движения жидкости
Рассмотрим неустановившийся поток жидкости в
канале, ограниченном неподвижными стенками. Выберем
два сечения: в первом из них отметка центра тяжести
сечения Z\, давление р\ и скорость течения v\ в каждый
момент времени известны (рис. 9.1); второе сечение
выбрано произвольно и в нем отметка центра тяжести г,
давление р и скорость течения v.
По отношению к первому сечению канала остальные
сечения определяются криволинейной координатой s,
совпадающей с осью канала. В любой момент времени
распределение давления в канале является функцией
координаты 5. Ускорение движения жидкости в каждом сечении
359

р Рис. 9.1. Течение жидкос-
s ти в трубке тока в
момент времени /
канала является функцией координаты s и времени /, т. е.
dv
~d7
Так как по определению ds/dt=v, ускорение течения
жидкости
dv dv ds
dv
dv
dv dv д v2
ds = dt "ds 2~
dt dt ' ds dt ' ds 2 ' (91)
Сила инерции в проекции на ось движения запишется
следующим образом:
dv dv d v2
codsp —7— = codsp —— -f- codsp -— —-
r dt ^ dt l w ds 2
(в этом равенстве со — местное сечение канала).
Проекция силы давления на ось движения
I dp \ dp
рсо — со р + -j1- ds 1 =— —- cods. (9.2)
Силы давления на боковые поверхности канала на ось
движения не проектируются.
Вес отсека жидкости, заключенный между
выбранными сечениями в проекции на 5
dz
gpcods cos a =— gpcods —- # (9.3)
ds
Будем считать жидкость невязкой. Тогда баланс сил,
действующих на выделенный отсек жидкости, будет:
Л 0V I А д
pcods —- + pcods —-
dt ds
v2 dp dz
=— cods —-— — gpcods —■—
2 ds *^ ds
или, если жидкость несжимаема,
dv
dt
d
ds
(lT+f+,*)e0- (9-4)
360

Для фиксированного момента времени полученное
равенство интегрируется вдоль потока между двумя
выбранными сечениями:
2 у»
vi V\ I dv vl v
—+ —+ g'i= \-Z-<к + -Т- + -T + g*- <95)
2 p Jt ot 2 p
s
Сумма, представляющая механическую энергию в
первом сечении vi/2+pJp+gzu изменяется во времени.
Поэтому и сумма
s
вдоль канала тоже будет функцией времени.
Изменение механической энергии потока между
первым и вторым произвольным сечением в данный момент .
времени будет:
(4+-7- + ^)-(^-+7+g2)=i-Fds- (96)
Значение интеграла представляет собой затрату
механической энергии на преодоление инерции единицы
массы жидкости, находящейся между выбранными
сечениями потока в данный интервал времени. При течении
вязкой жидкости разность значений механической энергии
в рассматриваемых сечениях потока должна еще
увеличиться и за счет гидравлических потерь Др^/р.
§ 59. Уравнение неустановившегося движения
для потока жидкости в круглоцилиндрической трубе
В наиболее важном частном случае течения
жидкости, когда канал представляет собой трубу постоянного
сечения, в любой момент времени скорость во всех
сечениях одинакова. Это значит, dv/dt=dv/dt. В
рассматриваемом случае
С dv dv
J dt ~~ dt
s
(интеграл | (dv/dt)ds называется инерционным напо-
S
ром),
361

Таким образом, при неустановившемся течении в
трубе между двумя выбранными сечениями потока будет
действенным равенство
2
vi V\ v2. р Apw dv
2'p'si 2 ^ p ' * ' p ^ dt
Это — уравнение сохранения механической энергии,
отнесенной к единице массы жидкости для
неустановившегося течения.
Если механическую энергию отнести к единице веса
жидкости, то оно приобретет следующий вид:
2
v\ pi v2. p s dv t Л
— +—+*! = — + —+ * + Аш+ 7Г- (9-8)
Уравнение (9.8) называют уравнением Бернулли для
неустановившегося движения.
Рассмотрим пример применения этого уравнения. Бак,
в котором напор равен Я0, снабжен горизонтальным
трубопроводом длиной / и диаметром d. На конце
трубопровода установлен кран. Оценим продолжительность
переходного режима течения с момента открытия крана до
начала установившегося режима течения жидкости в
трубопроводе. Допускается, что уровень жидкости в баке
остается постоянным.
Напор в баке Я0 должен в каждый момент времени
обеспечить: скоростной напор в трубе v2/(2g),
преодоление гидравлических сопротивлений hw=K{lld) [v2l(2g)]
и инерционный напор (l/g) (dv/dt).
Уравнение Бернулли для переходного процесса будет:
у2 I у2 I dv
Яо= 2g +Л d 2g + g dt '
откуда, разделив переменные, получаем:
Л1 dv
d/ = г ; , х .,» -i - • <9'9)
[»-h^mf
Назовем gH0/l=a и (l+Xl/d)/(2l)=b. Приращение
времени связано с изменением скорости течения жидкости
в трубе:
dt = dv/(a — bv2). (9.10)
Время, в течение которого скорость в трубе стабили-
362

зируется, обозначим tQ. Скорость установившегося
течения жидкости
*о =— V 2grt0.
У l+MId
Интегрируя уравнение (9.10), получим зависимость
изменения скорости течения в трубе от времени:
1 Va—Vbv
t+c-.
2Val Va+Vbv
или же
(9.11)
Va +Vb v
Когда ^=0 (момент открытия крана на конце
трубопровода), скорость истечения v равна нулю, а
следовательно,
Va-Vbv ^Л| (912)
Va + Vb v
Когда t стремится к бесконечности (£->оо), то скорость
течения жидкости в трубе приближается к значению:
■-•^/т
gflo
Q + Kjl/d
21
1
/
1 + к~Г
а
V2gH0 =v0. (9.13)
В действительности переходный режим течения
длится ограниченный отрезок времени. Для использования
этого решения примем, что длительность переходного
режима течения жидкости в трубе оценивается временем, в
течение которого скорость меняется от 0 до 0,99 v0.
В этом случае длительность неустановившегося
режима течения
In 199 5,28/
(9.14)
%Vab V2gH0(l + kl/d)
363

§ 60. Прямой гидравлический удар
Резкое изменение скорости течения напорного потока
жидкости вызывает в нем практически мгновенное
значительное повышение (снижение) давления. Это явление
называют гидравлическим ударом.
Рассмотрим схему торможения потока жидкости,
движущегося в трубе постоянного сечения. Поток жидкости
вытекает из резервуара и движется по трубе,
снабженной на выходе запорным устройством мгновенного
действия (рис. 9.2). Когда запорное устройство мгновенно
перекрывает трубу, часть жидкости, находящаяся в этот
момент непосредственно у выхода, теряет екорость и
оказывается сжатой текущей по трубе остальной массой
жидкости. Сжатие жидкости вызывает ее упругую
деформацию и местное повышение давления. Масса жидкости,
движущаяся по трубе, постоянно тормозится и
повышение давления распространяется вдоль трубы, образуя
волну повышенного давления, движущуюся по направлению
к резервуару.
В момент времени t фронт волны повышенного
давления оказался на расстоянии х от запорного устройства
(рис. 9.2). До торможения давление было /?0, а скорость
течения v0. В массе жидкости, заторможенной между
сечением 1—1 и запорным устройством, давление стало
р+Др. В течение времени kt оказывается заторможенной
масса жидкости рсоД*. При этом фронт волны
повышенного давления продвигается на расстояние Д#. Скорость
распространения фронта повышенного давления Ар
является скоростью распространения звука в жидкости:
с = Дл:/Д/.
SIT
2
Ур>Рог
2
1л
Ах \
1
х L
v*0,p+Ap Г
f
1 L
Рис. 9.2. К расчету приращения давления при гидравлическом ударе
364

На массу жидкости рсоЛл: в te4eHHe времени А/
действовала сила, возникающая за счет разности давлении в
сечениях 1—1 и 2—2:
(Ро + Др) со — р0 ф = Д/хо.
За время Д/ произошло изменение количества
движения этой массы:
рсоДх (vj — 0) =? рсоДлх>0.
Так как эта масса в момент времени t двигалась со
скоростью v0, а в момент /+Д/ оказалась полностью
заторможенной, импульс действующих сил равен
соответствующему изменению количества движения. Поэтому
при резком торможении рассматриваемой массы
жидкости в трубе удовлетворяется условие
рсоДл:и0 = Дро)Д/.
Следовательно, приращение давления за счет
торможения потока жидкости в трубе
Ах
Др = Р -т- v0 = pcv0. (9.15)
При гидравлическом ударе Приращение давления,
вызванное торможением потока, пропорционально его
плотности, скорости распространения в нем звука и скорости
течения до торможения. Эта формула была получена
Н. Е. Жуковским и носит его имя. Рассмотрим теперь
схему распространения фронта волны давления. Примем,
что жидкость невязкая и распространение волны
давления осуществляется без рассеивания механической
энергии.
После закрытия запорного устройства фронт волны
давления распространяется вдоль трубы навстречу
течению жидкости. Если длина трубы равна /, то к концу
периода времени to = l/c вся жидкость в трубе
оказывается заторможенной. Одновременно из резервуара при
упругом сжатии объема жидкости W в трубу поступило
дополнительное некоторое количество жидкости Д№7=
= WAp/K (где К—модуль упругости жидкости).
Работа упругого сжатия, р(авная в соответствии с
законом Гука ApAW/2 (рис. 9.3) и накопленная в массе
жидкости pW, равна запасу кинетической энергии
заторможенной массы:
pWv$l2 = ApAW/2. , (9.16)
365

Рис. 9.3. Схема работы
упругого сжатия в соответствии с
законом Гука
*-Aw
Теперь давление жидкости в трубе Ро+Др выше
давления в резервуаре и жидкость начинает двигаться
обратно в резервуар. Происходит упругое расширение массы
жидкости в трубе. В течение времени /0 расширение
сопровождается восстановлением в трубе начального
давления ро- При этом фронт волны давления отступает в
направлении запорного устройства, а скорость течения
всей массы в трубе становится опять равной v0i но теперь
уже она направлена в сторону резервуара. Накопленная
при торможении потока жидкости энергия упругого
сжатия преобразуется опять в такой же запас кинетической
энергии. Давление в жидкости становится равным
начальному. Это значит, что масса жидкости в трубе
обладает запасом внутренней энергии упругого сжатия
(работа упругого сжатия от нуля до р0). Упругое расширение
жидкости приводит к торможению потока, движущегося
со скоростью Vq (равной начальной скорости течения в
трубе) в сторону резервуара. Кинетическая энергия
этого потока равна pWvl/2. Из трубы обратно в резервуар
может поступить только то же количество жидкости AW,
которое ранее поступило из резервуара в трубу. Работа
упругих сил при торможении массы жидкости та же, что
и при ее сжатии. Следовательно, в течение времени t0==
= 1/с вся жидкость в трубе остановится и давление в ней
станет р0—Ар. Давление в резервуаре теперь выше
давления в трубе. Начнется поступление жидкости обратно в
трубу со скоростью vQ с одновременным восстановлением
давления р0. Когда фронт волны восстановления
давления ро достигнет закрытого конца трубы, произойдет опять
гидравлический удар. При измерении давления в
жидкости непосредственно у закрытого конца трубы давление
будет изменяться от Ро+Др до Ро—Ар. Период времени,
366

+ 'Ар
0
-ДРо
2t0
+ *Ро
. ?ь .
Рис. 9.4. Изменение давления у запорного устройства в зависимости
от времени при гидравлическом ударе
соответствующий постоянному значению этих давлений,
равен 2t0=2l/c (рис. 9.4).
Описанный колебательный процесс течения массы
жидкости, возникающий при гидравлическом ударе,
возможен только при отсутствии вязкости. В
действительности любая жидкость обладает вязкостью, поэтому
процессы торможения массы жидкости за счет накопления
энергии упругого сжатия и восстановления кинетической
энергии массы жидкости за счет работы внутренних сил,
не являются обратимыми. .Например, при торможении
потока в течение времени to жидкость продолжаетлвдг.ахь=-
ся со скоростью у0 относительно стеноклдубы,
следовательно, неизбежны гидравлические потери и превращение^
частй~"кинетической энергии потока в тепло. Б процессе
торможения не вся кинетическая энергия перейдет в
запас энергии упругого сжатия, часть ее за счет работы вяз-
ких^сИзЦ1р£вдатитс^в тепло. (
Суммарное значение вязких сил будет нарастать с
каждым циклом сжатия. Такое же явление будет
происходить и при расширении массы жидкости, вытекающей
из трубы в резервуар. Это означает, что амплитуды
колебания давления после гидравлического удара будут
постепенно уменьшаться до нуля.
§ 61. Скорость распространения ударной волны
при гидравлическом ударе
Повышение давления при гидравлическом ударе
приводит к растяжению стенок трубы. Деформация стенок
трубы, в свою очередь, меняет скорость распространения
фронта волны давления в рассматриваемой жидкой сре-
367

дх
Ро+АР
} ) } > } >ТТТ
А
Рис. 9.5. Деформация
стенок трубы при
гидравлическом ударе
де (скорость звука) и величину гидравлического удара.
Труба рассматривается как тонкостенный цилиндр
диаметром D и толщиной стенки е. Допускается, что
нормальные напряжения а равномерно распределяются в
стенке трубы. Приращение давления в жидкости,
заполняющей трубу, вызовет изменение напряжения в ее
стенках:
а = ■
2е
AD:
Стенка трубы работает на растяжение и ее
относительное удлинение равно относительному изменению диаметра
трубы:
Ае AD a
е = D = Е '
где Е — модуль упругости материала стенок трубы.
Изменение диаметра трубы за счет повышения
давления
<г D_ APD2
Е 2еЕ '
В течение времени Д^ фронт волны давления
продвинулся вдоль трубы на отрезок ее длины Ах. На этом
отрезке диаметр трубы увеличился на AD (рис. 9.5).
Плотность жидкости до увеличения давления на Ар была р,
а после его увеличения стала р+Др (рис. 9.5).
Увеличение массы жидкости в отрезке трубы длиной
Д* за время At (без учета малых величин высшего
порядка)
ДМ = — (р + Ар) (D + АО)2 А* — — DtpAx =
4 4
= — (ApD? + 2DADp) A*.
363

С другой стороны изменение массы жидкости
определяется ее притоком в отсек Дл; за время lAt со
скоростью vQ:
АМ = vQp —-—At.
4
Из условия сплошности среды запишем равенство
jtD2 к
vu р At = — (ApD? 4- 2DADp) Ax.
Учитывая, что Др/р=Др//( и Дл:/Д/=с, разделив
левую и правую части равенства на pD2, получаем
"«Нт+^К
Так как Ap=pv0c, то равенство принимает вид:
Dp
-(f
еЕ
Уравнение для скорости распространения звука в
жидкости, находящейся в круглой тонкостенной трубе, с
учетом деформации ее стенок при гидравлическом ударе,
приобретает следующий вид:
=/?
(9.17)
Vl + DK/(eE)
Поскольку скорость распространения звука в
жидкости
Co^Vk/p, (9.18)
можно окончательно записать:
с = с0 — . (9.19)
V 1 + DKI(eE)
Практический интерес представляет сравнение
величин гидравлического удара при течении жидкостей и
газов. Скорости распространения звука, например, в воде и
воздухе равны соответственно 1300 и 470 м/с; скорости
течения по трубопроводам и воздухопроводам—1,5 и
50 м/с. Плотность воды в 900 раз больше плотности
воздуха. Порядок величин отношения прироста давления в
потоках газа и жидкости при внезапном торможении
составит:
(Р^о)возд _ 1 470*50
(Р^о)воды 900 1300-1,5
24-626 369

Повышение давления, связанное с торможением
потока газа, составляет примерно 1 % от приращения
давления, возникающего при торможении потока жидкости, по*
этому конструкции запорно-регулирующих устройств,
устанавливаемых в системах транспорта жидкостей
(задвижки, краны), всегда предусматривают осуществление
постепенного торможения потока и исключают
возможность его внезапной остановки.
Торможение потока газа в газопроводе не вызывает
существенного повышения давления, следовательно, за-
порно-регулирующие устройства в этом случае не
должны предусматривать только постепенное торможение
потока. Это позволяет использовать пробковые краны,
заслонки, дроссели.
§ 62. Непрямой гидравлический удар
В основу рассмотренной в § 60 схемы гидравлического
удара заложено условие мгновенной остановки потока
жидкости. Более близкой к действительности является
схема постепенного действия запорного устройства. Из
резервуара жидкость поступает в трубу, на конце
которой установлена задвижка или кран (см. рис. 9.2). При
постепенном уменьшении проходного сечения запорного
устройства скорость течения жидкости в трубе будет
уменьшаться. Когда кран или задвижка открыты
полностью, скорость потока в трубе устанавливается равной v0.
В течение отрезка времени ts пропускное селение
запорного устройства перекрывается и скорость течения в
трубе становится равной нулю.
Рассмотрим процесс торможения потока в непосред-'
ственной близости от запорного устройства, т. е. в сечении
у конца трубы. В момент времени t, соответствующий
определенному открытию проходного сечения запорного
устройства, скорость в трубе была v. В течение
промежутка времени dt скорость в этом же сечении
уменьшилась на величину dv. За это же время заторможенной
оказалась масса жидкости pood*; ее скорость стала v—dv.
Изменение количества движения рассматриваемой массы
в течение времени cU равно [v—[v—du)](opdx.
В сечении 1—/ действовала сила рсо (где р —
давление в сечении трубы в момент времени t); в сечении 2—2—
сила p+dp. Импульс действующих сил при торможении
рассматриваемой массы равен [(p-\-dp)—p]adt.
370

Процесс торможения массы жидкости в конце трубы
описывается уравнением изменения количества
движения:
[v — (v — dv)] pcocU = [(р + dp) — р] cod*
или
pck>ck = dpdt.
В течение отрезка времени dt рассматриваемая масса
изменила скорость своего течения на dv. Следовательно,
фронт изменения давления dp переместился в сторону,
обратную течению жидкости на расстояние dx.
Скорость распространения фронта давления в
жидкости, как известно, равна с (скорости звука).
Следовательно, dx=cdt. Приращение давления за счет уменьшения
проходного сечения запорного устройства dp = pcdt>, оно
распространяется со скоростью звука против течения
жидкости в трубе. По мере уменьшения площади
проходного сечения запорного устройства и соответствующего
снижения скорости течения жидкости в трубе давление в
конце трубы возрастает.
В момент времени t, когда скорость в конце трубы
станет равной v, повышение давления Др определяется
значением интеграла:
Ар = (* pcdv = pc (v0 — v). (9.20)
V
При этом в направлении резервуара будут двигаться
волны повышающегося давления с одинаковой скоростью,
равной скорости звука.
Каждая волна изменения давления, достигнув
резервуара, отразится, и в сторону запорного устройства
начнет распространяться волна соответствующего
отрицательного давления —Др, так же как и при прямом ударе.
Если длина трубопровода такова, что первые
образующиеся при закрывании запорного устройства
отраженные волны давления не успевают достигнуть конечного
сечения трубы к моменту полного закрытия проходного
сечения, то величина отраженной волны на давление
перед запорным устройством отсутствует.
При отсутствии влияния отраженных волн на
приращение давления в конце трубы в момент полного
закрытия запорного устройства будет: 2l/c>ts. Это значит, что
время, затраченное на прохождение волны от конца тру-
24*
371

бы до резервуара и отраженной волны отрицательного
давления обратно к концу трубы, больше времени
закрывания запорного устройства. В этом случае приращение
давления Др = рси0.
Приращение давления, возникающее в конце трубы в
связи с гидравлическим ударом, такое же, как и при
прямом гидравлическом ударе. Принимая скорость
распространения звука в воде примерно 1300 м/с и время
закрытия водопроводного крана ts=3 с, получаем, что прямой
гидравлический удар может осуществиться в
трубопроводе длиной не менее l=cts/2= 1300*3/2= 1950 м.
Если длина трубопровода позволяет отраженной
волне отрицательного давления достигнуть конца трубы
раньше, чем запорное устройство успеет закрыться,
приращения давления складываются. В этом случае суммарное
приращение давления будет меньше, чем при прямом
гидравлическом ударе. Такой удар называют непрямым.
Рассмотрим непрямой гидравлический удар, когда
запорное устройство обеспечивает линейную зависимость
скорости течения в конце трубы от времени закрытия. При
этом удовлетворяется условие
/ 2/ \ 2/ 2/
Лр2 = РСУо — P^i. ( 1 — "^— I = Р^о -^— = РЩ — •
Как видно из полученного уравнения, чем медленнее
будет действовать запорное устройство, тем меньшим
будет приращение давления в конце трубы, вызванное
закрытием запорного устройства, и чем короче трубопровод,
тем быстрее может действовать запорное устройство.
В качестве примера снижения гидравлического удара
рассмотрим случай, когда при линейном изменении
скорости в трубе в период закрытия запорного устройства
длина трубы /=1000 м, скорость распространения звука
с=1300 м/с и время закрытия задвижки /s = 5 с.
Относительное снижение давления при непрямом
гидравлическом ударе по сравнению с прямым будет:
ру0 2/ 2/ 2.1000
pvQc ts ~~ cts ~~ 1300-5 ~~ ' '
т. е. максимальное давление в этом случае составляет
лишь 30 % давления при прямом гидравлическом ударе.
372

Глава 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ
ГИДРОАЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
§ 63. Основные положения
Точные аналитические методы исследования
гидроаэродинамических явлений охватывают ограниченный
круг задач. В ряде случаев аналитическое решение
сопряжено со значительными математическими трудностями,
а часто строгая математическая постановка задачи
оказывается невозможной из-за сложности исследуемого
явления; не всегда можно получить удовлетворительный
результат и с помощью численных методов. В таких
случаях на помощь приходят экспериментальные
исследования на моделях реальных объектов.
Для правильной постановки экспериментальных
исследований и последующей обработки полученной в них
информации необходимо ясно понимать физическую
картину изучаемого явления, найти пути его общего
качественного анализа. При выполнении опытных исследований
на моделях важно правильно определять безразмерные
параметры, которые полностью характеризовали бы
изучаемое явление. Число таких параметров должно быть
минимальным.
Предварительный качественный анализ и выбор
системы безразмерных параметров может быть успешно
произведен на основе теории размерностей и
механического подобия. Использование этой теории дает
возможность получить необходимый предварительный материал
особенно для явлений, зависящих от большого числа
параметров. При этом можно определить значимость
каждого параметра и на . этом основании исключить
некоторые из них как несущественные из
дальнейшего рассмотрения. Наиболее плодотворным является
сочетание методов, основанных на теории размерностей
и механического подобия, с аналитическими
методами.
Часто на практике не удается получить модели,
полностью имитирующие изучаемое явление в натурных
условиях. В этом случае прибегают к методам аналогии,
когда интересующее исследователя явление заменяется
его моделью иной физической природы при условии,
что оба явления описываются одними и теми же
уравнениями.
.373

§ 64. Теория размерностей
Напомним некоторые понятия, известные из курса
физики. Принято различать размерные и безразмерные
величины.
Эти величины связаны между собой определенными
соотношениями; при этом для некоторых из них могут
быть произвольно назначены единицы измерения. Такие
независимые физические величины называются
основными, все остальные — производными.
Выражение производной физической величины через
основные физические величины называется
размерностью. В механике в качестве основных физических
величин принимают длину L, массу М и время Т; они
независимы друг от друга1. Для обозначения размерности
обычно пользуются символической записью [а] (где а~
произвольная физическая величина).
Отметим, что любое физическое уравнение по
размерности однородно, т. е. обе его части имеют всегда
одинаковую размерность независимо от выбора системы
физических величин. Это правило относится в полной мере и
к еще неизвестным уравнениям.
Свойство однородности является основой теории
размерностей. Пользуясь им, можно установить наличие, а
иногда и вид зависимости между величинами,
определяющими то или иное физическое явление.
Формула размерности в разных системах физических
величин для одной и той же величины может содержать
различное число аргументов и может иметь различную
форму. Поэтому о размерности можно говорить только
применительно к определенной системе физических
величин. Доказывается [14], что формулы размерности всех
физических величин должны иметь вид степенных
одночленов:
[D] = AxByCz , (10.1)
где D — производная величина; Л, В, С — основные величины; х, у,
z — показатели степени.
Если можно на основании анализа того или иного
явления выделить физические величины, полностью
определяющие это явление, то установить характер зависимо-
1 В механике жидкости и газа не всегда удается в явном виде
воспользоваться основными физическими величинами; тогда в качестве
основных величин принимаются любые независимые друг от друга,
например плотность, скорость, время,
374

сти между выделенными величинами удается исходя из
принципа однородности размерности с помощью так
называемой я-теоремы.
Предположим, что какое-то явление полностью
определяется конечным числом размерных физических
величин. Функциональная зависимость между ними может
быть представлена в виде:
f(Alt Л2, ... , Лп) = 0, (10.2)
где Ли Л2,..., Ап — физические величины, определяющие
рассматриваемое явление; п — их число.
Тогда в соответствии с я-теоремой уравнение (10.2)
будет выглядеть следующим образом:
<P(nlf л2, ... , лп~т)=0, (10.3)
где ль я2,..., Пп-т — безразмерные независимые комбинации
величин А; т — число основных физических величин.
Максимальное число независимых комбинаций я при
этом получается, если их структура представляется в
виде:
rtl = Л?» /$ A2f Л4;
я2=Л*М^Л32М5;
Л = А*п—т лчп—гп AZ.n~m>4
^n—m л1 л2 nJ n '
Или для любого числа я
л = Л?Л§Л§Л,, (10.5)
где Л^ — каждая последующая после Л3 физическая величина от Л4
до Ап\ i=4, 5,....
Таким образом, переходя от уравнения (10.2) к
уравнению (Ю.З), мы сокращаем число неизвестных от п до
п—т. В механике, как уже говорилось, т = 3.
Обращаясь к системе (10.4), заметим, что, как и для
любого физического уравнения, размерность левой и
правой частей ее уравнений должна быть одинаковой.
Поэтому, подставив число я в виде произведения
основных физических величин в нулевых степенях, а правую
часть уравнения (10.5) в соответствии с (ЮЛ) в виде
степенного одночлена, получим:
Я = /Х<0= ( '0""0Р' #)*( <0'4' Ф)У№«$ «f X
(10.4)
375

откуда
X^V+V+V+v,)^ (107)
или
ttiX + a>2y + a3z + <Zi = 0;
Pi^+P2^ + P32 + Pi = 0; } (Ю.8)
Ti^ + Y2l/ + T32 + Vi = 0l
где а, (3, у — числа, определяемые на основании однородности
размерности.
Система (10.8) решается однозначно относительно
неизвестных показателей степени х, у и г.
Проводя последовательно аналогичные вычисления
для каждой строки системы уравнений (10.4),
определяем все безразмерные числа щ, я2, ..., пп-т-
Конечный вид уравнения (10.3) не может быть
получен (за исключением простейших случаев)
непосредственно из л-теоремы, он устанавливается на основании
экспериментальных исследований или натурных
наблюдений.
В качестве примера использования основных
положений теории размерностей и л-теоремы рассмотрим
задачу о сопротивлении при изотермическом равномерном
движении твердого шара в покоящейся вязкой жидкости.
Движение шара в нашем случае определяется
физическими свойствами жидкости, размерами шара,
скоростью его движения, а также силой лобового
сопротивления. Следовательно, уравнение (10.2) можно записать
в виде:
/(р, jx, ы0, d, F) = 0,
где р и |Л — плотность и вязкость жидкости; и0 — скорость
равномерного движения шара; d — диаметр шара; F— сила лобового
сопротивления.
Выделим независимые физические величины и
перепишем исходное уравнение следующим образом:
f(d, щ, р, \i, F) = 0f
откуда следует, что число безразмерных комплексов л
равно двум. Каждая величина под знаком функции
может быть представлена в виде произведения основных
376

физических величин в произвольных степенях, а именно:
и ~ /ЬО /-1,9.
1,0 ,—3,0.
P~~mo 'о >
J7~ т1'0 /1.0 /—2,0
Теперь, в соответствии с формулами (10.4),
запишем:
п{ = dXl и$ рг» \i\
л2 = d** ufr Рг« F.
Далее, по зависимости (10.6), имеем*
«1 Ч 4'Т* ('Г <5-1>0)Л К0 с3,0)^0 чг1,0 ^,0=
— *о 'о "*о »
или
*i + W —3^—1,0 = 01
— £/!—1,0 = 0;
^+1,0 = 0.
Решая полученную систему, находим:
^=—1,0; ft=—1,0; z1=— 1,0,
следовательно,
Аналоги1
4НО
*2
лх
Ц V
da0 p du0
для я2 получим:
п2
= ixz+y2-3z2+l t-y2-
Ч + У 2 — Зг2 + 1
— у2 —2 = 0;
г2+1=0;
-2,0; 1/2=— 2,0;
Я2= й 2
1
" Re *
"2/i#+l
= 0;
*2 = -
»
l.o;
377

Подставляя значения безразмерных комплексов в
уравнение /10.3), находим:
1 F
Re d2u29
или
*(±)
pd2u2. (10.9)
Соотношение (10.9) указывает на возможную
структуру окончательного уравнения: лобовое сопротивление
возрастает с увеличением размерного комплекса
pd2ul и с уменьшением числа Re.
Определим вид зависимости <р' (1/Re) для случая
обтекания твердого шара потоком вязкой жидкости при
малых числах Рейнольдса.
Известно (см. гл. 5), что в соответствии с решением
Стокса
F = 3nnduQ. (10.10)
Приравнивая правые части (10.9) и (10.10), получим:
Зщ1йи0 = q/ I —- j pd2 Wq, откуда
Зя{л Зя
du0 Re
Перепишем (10.9), подставив в него полученное
выражение для q/(l/Re),
Зя о 9 24 nd2 ul
F—йг^^-йг-т- рт • (10Л1)
или F=cxtopul/2, что полностью совпадает с ранее
приведенной в § 36 формулой (5.39).
Сравнивая уравнения (10.9) и (10.11), замечаем, что
коэффициент лобового сопротивления сх уменьшается с
увеличением числа Рейнольдса. Экспериментальные
исследования, как известно, подтверждают это положение
(см. рис. 5.21).
С помощью я-теоремы и теории размерностей можно
получить уравнение Дарси—Вейсбаха для расчета
гидравлических сопротивлений по длине [2, 3].
Рассмотрим равномерное изотермическое движение
несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. В со-
378

ответствии с формулой (10.2) можно записать f (d; v,
р; jn; Др; /; &э)=0 (где d — диаметр трубы; v — средняя
скорость течения жидкости; р и \х — соответственно
плотность и динамическая вязкость жидкости; Др —
падение давления в трубе на расстоянии /; kd —
абсолютная эквивалентная шероховатость внутренней
поверхности трубы). Отнесем падение давления Др к единице
длины трубы, тогда / {d\ v\ p; ji; Др//; йэ)=0.
Из уравнения (10.3) следует: ф (щ\ л2) я3)=0.
Безразмерные числа я, в чем легко убедиться, проводя
вычисления, аналогичные приведенным выше, будут:
__[* L
П1" pdv " Re *
dbp/l
ЗТ2:
я3 = kd/d.
Следовательно,
,(■
1 dbp/l k,
= 0.
Re pv2 d
Решая последнее соотношение относительно второго
безразмерного комплекса, получим:
Л-к-- -5-)-
pv*
Так как падение давления Ap=pghTp, можно
записать:
Обозначив Я=2ф/ (1/Re; k3/d), получим
окончательно:
Лхр — А
d 2g
т. е. формулу Дарси — Вейсбаха.
§ 65. Механическое подобие
Механически подобными называют явления одной и
той же физической природы, для которых отношения
одноименных физических величин постоянны. Это значит,
что для любой пары сходственных точек двух подобных
379

потоков все векторные величины геометрически
подобны, а скалярные пропорциональны.
Гидравлические явления механически подобны, если
они подобны геометрически, кинематически и
динамически.
Геометрическое подобие означает
пропорциональность характерных линейных размеров рассматриваемых
потоков. В дальнейшем будем использовать термины
натурный поток и поток на модели не вводя никаких
ограничений на коэффициенты пропорциональности;
параметры первого потока будем записывать с индексом
«н», второго — с индексом «м».
Рассматривая отношение характерных размеров
натурного потока и потока на модели, получим:
А. = 0^ = const, (10.12)
где а/ — масштабный коэффициент, или масштаб длин.
Очевидно, что для геометрически подобных потоков
необходима пропорциональность соответствующих
площадей и объемов, т. е.
wJWu = aw = a?'°- (l0-14>
Кинематическое подобие обязательно включает в
себя геометрическое подобие. Кроме того, для
кинематически подобных потоков или явлений отрезки траекторий
соответствующих частиц натурного и модельного
потоков, а также отрезки времени, в течение которых
протекают соответствующие процессы в натуре и на модели,
должны быть пропорциональны. Другими словами, в
кинематически подобных потоках сходственные частицы
описывают геометрически подобные траектории в
течение отрезков времени, отношение которых, называемое
масштабом времени, величина постоянная:
/н//м = а* = const. (10.15)
Очевидно, что для любой пары сходственных точек
кинематически подобных потоков справедливы
соотношения:
"н/"м = аи = const; (10.16)
aH/aM = aa = const, (10.17)
где ини(/м — скорости в сходственных точках натурного потока и
потока на модели; ан и ам — ускорения в сходственных точках на-
380

турного потока и потока на модели; аи и аа — соответственно
масштабы скоростей и ускорений.
Гидравлические системы или явления динамически
подобны, если физическая природа действующих на
жидкость сил одинакова и векторы этих сил образуют
геометрически подобные силовые многоугольники. Это
означает, что в динамически подобных системах
отношения одноименных сил в сходственных точках в натуре и
на модели постоянны, т. е.
-^ =aF = const, (10.18)
где F — любая сила, в том числе и равнодействующая; aF —
масштабный коэффициент или масштаб сил.
Для динамически подобных потоков отношение
плотностей жидкости в натуре и на модели также должно
быть постоянным:
Pj(>M = ap=consi> <10Л9)
где ар — масштаб плотности.
Динамическое подобие обязательно включает в себя
кинематическое и геометрическое подобие.
В подобных потоках отношение равнодействующей к
любой из составляющих сил есть величина постоянная,
как для натурного, так и для модельного потока:
Rn/(Fi)n = Ru/{Ft)u = const, (10.20)
где R — равнодействующая всех действующих на жидкость
внешних сил; Fi — одна из составляющих внешних сил.
Рассмотрим в двух динамически подобных потоках
отношение равнодействующей всех внешних сил к
соответствующим силам инерции:
Rn/(Fu)n = RJ(Fa)^ (Ю.21)
Перепишем это отношение следующим образом:
RB/Ru={Fu)*f(Fu)*. (Ю.22)
В соответствии с законом Ньютона отношение сил
инерции можно представить в виде:
(Fu)J(Fu)m = (Р^У(Р^)м « % a?'° a/ аГ2'° <">• 23)
или для равнодействующих всех внешних сил в
натурном потоке и на модели:
381

Заменяя правую часть выражения L(10.24)
отношением одноименных физических величин, получим*
/?н//?м = (р/2"2)н/(р/2"2)м, (Ю.25)
или §
/?н/(Р/2^)н = /?м/(р/2и2)м. (10.26)
Так как геометрический масштаб модели для
каждого частного случая может оказаться различным,
можно записать:
Rj #2 R
(pl2U\ (pl2.U2)2 p/2tt2
Отношение
R
idem. (10.27)
= Ne (10.28)
рги-
принятр называть критерием Ньютона. Для динамичес-
ки подобных явлений в сходственных точках критерии
Ньютона должны быть равны между собой. Критерий
Ньютона определяет динамическое подобие
механических систем. Однако он не всегда может быть
использован в общем виде в гидроаэродинамических
исследованиях, так как во многих случаях оказывается
невозможным найти количественные оценки действующих внешних
сил, а следовательно, и их равнодействующей. Поэтому
при исследовании гидравлических явлений часто
выделяют только одну силу, по сравнению с которой
действием остальных сил можно пренебречь. Тогда в качестве
критерия динамического подобия могут быть выбраны
частичные критерии подобия, например критерий Рей-
нольдса, критерий Фруда и др.
Критерии динамического подобия могут быть
найдены методами теории размерностей, базирующейся на
свойстве однородности физических уравнений, или на
основании анализа дифференциальных уравнений,
описывающих исследуемый процесс.
Сформулируем теперь условия динамического
подобия гидроаэромеханических явлений.
Подобные явления должны быть одной и той же
физической природы. В противном случае может быть
аналогия. Закономерности аналогий часто используются в
технике; к их числу относятся
электрогидродинамическая аналогия, газогидравлическая аналогия и др.
Подобные явления описываются одинаковыми безраз-
382

мерными дифференциальными уравнениями.
Безразмерная форма уравнений всегда может быть получена, так
как размерность каждого слагаемого физического
уравнения одинакова. При движении жидкости или газа
такими уравнениями являются уравнения Навье—Стокса,
которые для турбулентного движения приобретают
форму уравнений Рейнольдса, и уравнения неразрывности.
Эта система уравнений справедлива для самых
разнообразных групп гидроаэродинамических явлений,
например для движения жидкости в трубопроводах, для
обтекания твердых тел жидкостью или газом и т. п.
Подобные явления должны удовлетворять условиям
однозначности, записанным в безразмерном виде. Этими
условиями определяется однозначность решения
дифференциальных уравнений. В условия однозначности
обычно входят:
геометрические свойства системы (форма границ
потока и шероховатость твердой границы);
граничные и начальные условия в начальном и
конечном сечениях рассматриваемых потоков
(распределения скоростей и давления в них);
начальные условия, которые задаются, как правило,
полем скоростей и распределением давления в
начальный момент;
физические константы исследуемых явлений
(плотность и вязкость среды) и наличие возможных
аномалий (кавитация, фазовые переходы и т. п.).
Для подобных явлений безразмерные критерии,
составленные из величин, входящих в условия
однозначности, должны быть равны. При этом, составляя
безразмерные критерии (тем или иным способом), можно в
качестве характерных физических величин принимать
средние их значения. Покажем правомерность такого
положения, для чего сравним масштабные коэффициенты
(масштабы), например, скоростей местных аи и средних
av.
Известно, что средняя скорость определяется
соотношением
f udco
(О
v = .
со
Для подобного потока в это соотношение следует
ввести соответствующие масштабы скоростей и площа-
383

дей. Так как динамические потоки подобны
геометрически и кинематически, масштаб площадей и местных
скоростей по сечению рассматриваемого потока должен
быть постоянным (au=const, aw=const). Тогда можно
записать:
f auwacoda)
a„v.
или после сокращения
avv = a„
аЛЛсо
J udco
(О
откуда следует, что av = aw.
Таким образом, последнее условие подобия можно
сформулировать следующим образом: для подобных
потоков (явлений) безразмерные критерии, составленные
из средних значений величин, входящих в условия одно-
значности, должны быть равны.
Перечисленные условия динамического подобия
являются необходимыми и достаточными для существования
гидромеханического подобия.
§ 66. Гидродинамические критерии подобия
Для нахождения гидродинамических критериев
подобия воспользуемся дифференциальными уравнениями
движения вязкой жидкости (2.46) и уравнением
неразрывности (2.10), которые запишем в виде, удобном для
дальнейшего анализа:
1 до ( д*их д*их д*их \
X — — 4- v -Ь -4- =
р дх ^ \ дх* ^ ду* ^ дг* )
дих дих дих дих
+ «ж -Г— + Uy — V Uz
dt l Л дх ' а ду " dz
р ду "*" [ дх2 ~*" ду1 ~*~ dz2 ,
диу диу диу диу
p & T 1 toi т ду- т dz* ,
. 384

duz
Л-Ux
дих
duz
дх
+ •
ди„
duz
ду
+ uz
= 0.
duz
дх ' ду дг
Представим эти уравнения в безразмерном виде. Для
этого введем в рассмотрение некоторые постоянные
физические величины, своего рода эталоны, связанные с
величинами, входящими в исходные уравнения
следующими соотношениями:
иу = uy/uQ\ uz = uz/uQ;
p/po', t=t/t0;
X.
= x/l0',
= ux/uQ\
~p =
X/X0;
Y/X0
Z/X».
(10.29)
1
В этих соотношениях чертой отмечены безразмерные
величины проекций линейного перемещения жидкой
частицы, ее скорость, величины гидродинамического
давления и проекций единичных массовых сил; индексом
«ноль» — введенные в рассмотрение эталоны длин,
скорости и т. д. Плотность и вязкость — величины,
постоянные для несжимаемой жидкости постоянной
температуры, сами по себе являются характерными физическими
величинами. Тогда уравнения движения и
неразрывности1 примут следующий вид:
др , уЦр / д2их . д?нг . д*Ъх \ '
Х*Х-
Ро
Р'о
дих
dt
дх
и
+1
"о
'о
й
дих
д?
д*их
д?
дих
дх
ди
*у
у
дих
ду
duz
дх
ду
дг
+ tiz
= 0
а?
дих
дг
(10.30)
Масштабы скоростей и длин всегда отличны от нуля
и бесконечности, поэтому уравнение неразрывности,
входящее в систему (10.30), для потоков несжимаемой
жидкости удовлетворяется тождественно. Следовательно, из
рассматриваемой системы его можно исключить.
Далее будем записывать только одно из уравнений движения в
роекциях на ось 0Х; другие уравнения можно легко составить но
налогии.
5—626
385*

Предположим теперь, что преобладающую роль
играют силы трения (вязкости): FTP = \xSdu/dn. Тогда
после подстановки выражения для этой силы в формулу
критерия Ньютона получим:
tS \iSdu/dn
NC(tl)== p/?«2 = pl2u2 '
Так как S~ /2, a du/dn~l/t, запишем:
V
Ne/..ч = const = idem,
"*' lu
или
Ne<n)
= Re = —=idem. (10.36)
Следовательно, при преобладающем действии сил
вязкости критерием частичного подобия будет критерий
Рейнольдса. " ^ ^^ • v
Если основными силами являются силы
гидродинамического давления, то критерием частичного подобия
становится критерий Эйлера:
f(p) = Ps'>
F(p) pl% p
Ne<» =-^F = ~^f = ~^Г = idem'
или
Ne(p) = Eu--V. (10.37)
При преобладающем действии сил поверхностного
натяжения критерием частичного подобия является
критерий Вебера:
We = pw2//a, (10.38)
где a — коэффициент поверхностного натяжения.
Безразмерные критерии динамического подобия
могут быть определяющими и неопределяющими.
Определяющими являются критерии, составленные из
физических величин (или из их средних значений), входящих в
условия однозначности; другими словами, все величины,
входящие в определяющий критерий, задаются тем или
иным способом в условиях задачи, например, на
границе рассматриваемой области течения или в характерных
ее точках. Критерии, не отвечающие этому требованию,
'588

называются неопределяющими; они также могут быть
получены из дифференциальных уравнений.
В каждом конкретном случае на основании анализа
физики явления и уравнений, описывающих его, можно
установить, какие критерии являются признаком
динамического подобия (это и есть определяющие критерии),
а какие являются следствием уже установленного
подобия.
Так, при установившемся движении вязкой жидкости
в напорном трубопроводе определяющим критерием
является критерий Рейнольдса, так как он составлен из
заданных в условии задачи величин (размеры входного
поперечного сечения, распределение скоростей в нем).
Критерий Эйлера не может быть определяющим, так
как входящее в него давление (или перепад давления)
является величиной не заданной, а подлежащей
определению. Критерий Фруда выпадает из числа
определяющих — в напорных потоках силами тяжести можно
пренебречь. Также очевидно, что критерий Струхаля для
установившегося движения не имеет физического
смысла.
Таким образом, критериальное уравнение (10.34) в
рассмотренном случае принимает вид:
Eu = /(Re). (10.39)
В различных задачах в зависимости от их постановки
определяющие критерии подобия могут стать
неопределяющими, и наоборот. Иногда критериев подобия,
полученных из дифференциальных уравнений, оказывается
недостаточно, так как не всегда могут быть однозначно
сформулированы граничные или начальные условия. В
этих случаях недостающие безразмерные величины
могут быть определены на основании теории размерностей
и результатов экспериментальных исследований на
моделях. Так, для шероховатых труб такой величиной
является относительная шероховатость, при обтекании
твердого тела потоком жидкости или газа — его форма,
соотношение размеров и т. п.
Степень влияния каждого из критериев, входящих в
уравнение (10.3), неодинакова и зависит от соотношения
сил, определяющих рассматриваемое явление. Для
изотермического движения вязкой жидкости уравнение
(10.3) приобретает форму уравнения (10.34).
Для установившегося напорного движения жидкости
387

это уравнение в силу вышеизложенных соображений и с
учетом шероховатости внутренней поверхности
трубопровода может быть записано следующим образом:
Eu = /(Re; kid). (10.40)
Критерий Эйлера запишем в виде:
ри2 ри2 и*
где /гдл — потери энергии по длине трубопровода.
Подставляя в формулу (10.41) потери энергии из
уравнения Дарси—Вейсбаха, получим:
ИЛИ
Я, = Ей. 2d//. '" (10.42)
Так как величина 2d/l принимает произвольные
значения, уравнение (10.42) можно записать следующим
образом:
*, = /(Re; kid). (10.43)
В явном виде критериальное уравнение (10.43)
наиболее удачно представлено двучленной формулой (4.63),
предложенной А. Д. Альтшулем.
С позиций теории подобия важными являются две
области гидравлических сопротивлений по длине: зона
ламинарного течения и зона квадратичного
сопротивления. Первая зона, как это следует из экспериментального
графика зависимости X=/(Re), объединяет все
опытные данные независимо от шероховатости
трубопроводов; во второй зоне коэффициент А, для фиксированной
относительной шероховатости сохраняет постоянное
значение.
Известно [17], что независимость условий движения
от какого-либо определенного критерия называется ав-
томодельностью относительно этого критерия. Очевидно,
эта независимость во всем диапазоне изменения,
критерия (в пределах рассматриваемой зоны автомодельно-
сти) предполагает, что изменение функции, например X,
не превышает наперед заданного малого значения.
Таким образом, при изотермическом движении
жидкости в напорном трубопроводе существуют две зоны ав*
томодельности. Первая из них (область ламинарного те-
390

чения) автомодельна по отношению к относительной
шероховатости; вторая (квадратичная область) —
автомодельна по числу Рейнольдса.
Для ламинарного движения критерии Эйлера и
Рейнольдса связаны соотношением
Ей = idem /Re, (10.44)
а коэффициент X, как известно, определяется по формуле
A,=64/Re. В квадратичной области сопротивления
силами вязкости можно пренебрегать, поэтому для
установившегося движения единственным критерием
динамического подобия является критерий Эйлера. В этом
случае и коэффициент Я также остается постоянным при
всех значениях Re^ReKB. Особенностью второй
автомодельной области служит равенство коэффициентов
сопротивления по длине для натурного потока и для
потока на модели (ХН=А,М). Заметим, что высказанные
соображения оказываются справедливыми и для
коэффициентов местных гидравлических сопротивлений.
Полное гидромеханическое подобие возможно только
при равенстве в рассматриваемых подобных потоках
всех критериев, определяемых условием (10.33). Для
установившегося движения определяющими являются
критерии Рейнольдса и Фруда, неопределяющим —
критерий Эйлера. Однако, строго говоря, условие полного
динамического подобия не может быть выполнено, так
как даже определяющие критерии Re и Fr на практике
оказываются несовместимыми. Очевидно, для
совместимости критериев необходимо, чтобы масштабы
физических величин, входящих в критерии подобия, были
одинаковыми.
Предположим, что потоки полностью механически
подобн'ы; тогда ReH = ReM и FrH = FrM. Определим в
качестве примера масштабы скоростей для этих потоков
исходя либо из критерия Re, либо из критерия Fr.
Из равенства ReH=ReM следует, что при заданном
масштабе длин а/ масштаб скоростей определяется для
потоков одной и той же жидкости vH=vM==v из
соотношения
«н 'h/v = им /M/v (10.45)
-0,5
или att=a/ , т. е. при уменьшении линейного размера
модели по сравнению с натурным потоком в щ раз
скорость на модели должна во столько же раз увеличиться.
391

С другой стороны из равенства FrH = FrM получим
<Хи = а/5, откуда следует, что с уменьшением масштаба
длин, т. е. с уменьшением размеров модели, скорость
модельного потока также должна уменьшиться.
Противоречие, возникающее при попытке
удовлетворить одновременно требованиям подобия по Re и Fr,
может быть устранено при использовании на модели
жидкости иной, чем в натуре, вязкости, что, строго говоря,
нарушает условия полного динамического подобия.
Сравнение других масштабных коэффициентов
усугубляет несовместимость рассмотренных критериев.
На практике часто удается в каждом отдельном
гидродинамическом явлении выделить только одну силу,
действие которой является преобладающим по
сравнению с другими силами. В этом случае моделирование, по
одному из критериев называется частичным или
приближенным моделированием.
§ 67. Моделирование гидроаэродинамических явлений
Моделирование включает в себя создание модели,
имеющей ту же физическую природу, что и явление в
натуре, и исследование этого явления на модели с
последующим пересчетом результатов на реальное
изучаемое явление.
Физическое или предметное моделирование
базируется на законах теории механического подобия и теории
размерностей. Полное физическое моделирование
встречается столь же редко, что и полное динамическое
подобие. На практике обычно используется частичное или
приближенное моделирование, когда исследуется
модель лишь по основным признакам, соответствующим
реальному явлению. В этом смысле при частичном
моделировании используются свойства приближенного
подобия по одному из определяющих безразмерных
критериев; при этом основной задачей является нахождение
связи между неопределяющими и определяющими
критериями, а также выявление масштабов для основных
физических величин.
Частичное моделирование по критерию Рейнольдса.
Моделирование по критерию Re проводится в том
случае, когда преобладающими силами, определяющими
движение жидкости или газа, являются силы трения
(вязкости) и инерции. Как было показано выше [см.
392

формулу (10.45)], основным в этом случае является,
равенство критериев Рейнольдса для натурного потока и
потока на модели.
Так как для динамического подобия физическая
природа рассматриваемых явлений должна быть
одинаковой, вязкость жидкости на модели и в натуре одна и та
же, поэтому Vh=vm=v и соотношение (10.45)
принимает следующий вид: ип1н = им1м, откуда просто
определяется масштаб скоростей: аи = а71,0.
Масштабы других физических величин находятся из
простых связей между ними. Например, для
определения масштаба расхода воспользуемся хорошо известным
соотношением Q= J «dco, которое может быть записано
О)
для динамически подобных потоков в виде следующей
комбинации масштабных коэффициентов:
„ ~ ~ „~1,0Л2,0 „1,0
aQ = aiia©=a/ ai = ai t
где aQ — масштаб расхода.
По аналогии можно получить масштабы и других
физических величин (табл. 10.1).
Таблица 10.1. Масштабы физических величин при моделировании
по критериям Рейнольдса и Фруда
Физическая величина
Скорость и
Расход Q
Время /
Сила F
Давление р
Работа Л
Мощность N
Масштаб при моделировании
по Re
«71-0
«J-°
а}°
a°=l,0
«г2-0
«i*°
«г1-0
noFr
a»-5
a»-»
a»-5
«*.°
«}••
«r°
-Г
Используя принципы частичного моделирования по
критерию Рейнольдса, можно показать, что одним из
основных признаков динамического подобия потоков с
преобладающим действием сил трения является
равенство коэффициентов гидравлического сопротивления по
длине для натурного потока и потока на модели (Лн =
= ХМ).
393

Действительно, из равенства
следует
рЦ врЦ (10<46)
или с учетом ^=т0/р:
(uJv)B = (uJv)Mt (10.47)
где с и ы* — соответственно средняя и динамическая скорости.
Для равномерного движения, как известно,
динамическая скорость зависит не только от средней скорости
потока, но и от коэффициента гидравлического
сопротивления К:
поэтому условие (10.47) может быть представлено в
виде: Хн=Хм. Таким образом, основным признаком
частичного динамического подобия напорных потоков
вязкой жидкости является равенство коэффициентов
сопротивления по длине натурного и модельного потоков.
Это свойство широко используется при моделировании
по критерию Рейнольдса.
Частичное моделирование по критерию Фруда.
Моделирование по критерию Фруда применяется при
изучении потоков, где преобладающими силами являются
силы инерции и тяжести, например потоков со свободной
поверхностью, гидравлических струй и др. Исходным
соотношением в этом случае становится равенство
критериев Фруда для натурного потока и потока на модели
или, так как gH=gM=g,
(W2//)h = ("2//)m. (10.48)
Из соотношения (10.48) получаем масштаб скорос-
0,5
теи: aw = a/ .
Масштабы других физических величин, которые
читатель легко может получить самостоятельно, приведены
в табл. 10.1. Следует подчеркнуть, что по
существу все приведенные в табл. 10.1 масштабы
физических величин подтверждают несовместимость двух
основных критериев подобия Re и Fr, что еще раз
подчеркивает невозможность полного динамического
подобия потоков одной и той же жидкости.
394

Моделирование по критериям Рейнольдса и Фруда.
Рассмотрим возможность приближенного моделирования
гидроаэродинамических явлений при одновременном
действии сил инерции, трения и тяжести, т.е. при ReH =
= ReM и FrH = FrM. Из равенства приведенных
критериев следует, что в этом случае масштабы длин и вязкос-
сти связаны между собой соотношением av =а)^. Это
соотношение легко получить, сравнивая равенства
(10.45) и (10.48).
Другими словами, при моделировании по критериям
Re и Fr необходимо в модельном потоке использовать
жидкость, вязкость которой отличалась бы от вязкости
натурного потока в а]*5 раз. Это условие в обычных
лабораториях практически невыполнимо.
В некоторых случаях для приближенного
моделирования используют методы напорно-воздушного
моделирования, моделирования с частичным искажением
геометрического подобия и др. Основные положения этих
методов изложены в специальной литературе [10 и др.].
§ 68. Методы аналогий
Если несколько явлений, различных по своей
физической природе, могут быть выражены одними и теми
же дифференциальными уравнениями при одних и тех
же условиях однозначности, то такие явления
называются аналогичными, а метод их исследования —
аналогией. В технической механике жидкости часто
используются электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА),
газогидравлическая аналогия (ГАГА), гидромагнитная
аналогия (МАГА) и другие аналогии. Приведенные
аналогии относятся к безвихревому (потенциальному)
движению невязкой несжимаемой жидкости, которое, как
известно, описывается уравнениями Лапласа для
потенциала скорости и функции тока:
д2ф д2ф
дх2 + ду*
д2г|) д2ф
дх* + ду2
с учетом граничных условий:
на твердой непроницаемой поверхности
„n = -fL = |L = 0; (10,50)
дп ds
= 0;
:0
(10.49)
395

на бесконечности для плоскопараллельного потока
вдоль оси Ох
дф
дх
дф
ду
=
=
ду =
(10.51)
Электрогидродинамическая аналогия основывается
на том, что тем же уравнениям Лапласа (10.49) и
граничным условиям. (10.50) и (10.51) удовлетворяют
электрический потенциал фэ и функция тока if>3.
Решение задачи о движении потенциального потока
сводится к экспериментальному определению
параметров электрического поля, в которое помещается модель,
например, обтекаемого тела. Если эта модель
диэлектрик, то линии тока электрического и
гидромеханического полей, а также линии равного потенциала (как
электрического, так и гидродинамического) совпадают.
Таким образом, в ЭГДА аналогом напора является
электрический потенциал, аналогом линий равного напора
#=const — линии равного электрического потенциала
(/=const, аналогом векторов скорости потока —
векторы плотности тока.
Газогидравлическаяаналогия — это аналогия между
движением идеального газа при больших скоростях
течения и движением жидкости (воды) в открытых
каналах при относительно малых глубинах. В основе
газогидравлической аналогии лежат две эквивалентные
системы уравнений двухмерного движения идеального газа
и идеальной жидкости.
Уравнение неразрывности установившегося движения
газа имеет вид:
-£-(Р^) + -^(Р^)=0. (10.52)
Аналогичное уравнение для плоского открытого
потока записывается следующим образом:
— (hux) +— (huv) = 0, (10.53)
дх ду
где их и иу — составляющие средней по глубине (высоте) скорости;
h — глубина потока.
Из сравнения уравнений (10.52) и (10.53) видно, что
уравнения аналогичны при формальном равенстве плот-
396

ности газа и глубины открытого потока (р~Л) или как
следствие при соответствии между числом Маха и
числом Фруда для потока воды, т. е. М~Fr, или и2/а2~
~v2/(gh) (где а — скорость звука).
Методы газогидравлической аналогии в настоящее
время интенсивно разрабатываются как для
дозвукового, так и для сверхзвукового обтекания твердых тел.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Условная и кинематическая вязкость
Условная
вязкость,
°Е
1
Ы
1,2
ьз
1.4
1.5
1,6
1.7
1,8
2.9
2
2.1
2.2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2.9
3
3,1
3.2
. 3,3
3,4
3.5
3,6
3.7
3,8
3.9
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
; 4,6
4,7
4,8
4,9
5
6.1
6,2 .
5,3
5,4
5,5 1

Кинематическая вязкость,
! и-10*. м*/с
CiOl
0,023
0*0351
0,0465
0,0573
0,0676
Ci0776
0.0872
0,г965
0,1057
0,1147
0,1235
0,1321
Сi1407
0,1491
0,1575
0,1658
0,174
0.1821
0,1902
0*1983
0.2С63
0.2142
0,2221
0,23 1
0,2378
0,2456
0,2534
0,2612
0,2689
0.2766
0,2843
0.292
0,2996
0,3373
0,3149
0,3225
0,3301
0,3377
0,3452
0,3529
0,3604
0,368
0,3755
0,383
0,3906 1
Условная
вязкость,
1 °Е
5,6
5,7
5,8
5,9
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7
7,1
7,2
7,3 1
7,4 1
7,5 1
7,6
1 7,7
7,8
7,9
8
8,1 1
8,2
8,3
8,4
8.5
8,6
8,7
8,8
8,9
9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9.7
9,8
9,9
10
10,5 |

Кинематическая вязкость,
и-10*. м*/с
0,3981
0,4056
0,4132
0,4206
0,4281
0,4356
0,443
0,4505
0,458
0,4654
0,4729
0,4804
0,4878
0,4953
0,5027
0.5101
0,5176
0,525
0,5324
0.5398
0,5473
0,5547
0,5621
0,5695
0,5769
0,5843
0,5916
0,5991
0,6065
0,6139 j
0,6213
0,6287
0,6361
0,6435 |
0,6508
0,6583
0,6657
0,6731
0,6804
0,6878
0,6952
0,7026
0,71
0,7173
0,7247
0,7616 1
Условная
вязкость.
| °Е
И
11.5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
15
15,5
16
16,5
17
17,5
18
18,5
19
19,5
20
21
22
23
24
25
26
| 27
! 28
j 29
| 30
32
34
1 36
i 38
! 40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100

Кинематическая вязкость
у. 10', м»/с
0,7984
0,8352
0,872
0,9087
0,9454
0,9822
1,0189
1,0556
1,0923
1.128
1,1657
1,2023
1,239
1,2756
1,3123
1,3489
1,3856
1,4222
1,4588
1,5321
1,6053
1,6786
1.7518
1,825
1,8982
1,9714
2,0446
2,1178
2,1909
2,3372
2,4835
2,6298
2,7761
2,9224
3,2881
3,6537
4,0193
4,385
4,7505
5,1161
5,4817
5,8472
6,2128
6,5783
6,9438
7.3С94
397

о
о
4
u
>>
a.
X
tt
©
f4.
О
CO
О
Rf
О
CQ
R
t?
eC
о
s
a
о
ь
<a
03
О
X
о
a
<U
а
a>
s
s!
4+
•&
398
CO CM CM Ю rf
CD CD 00 CM 00 CD CD
м (N CO
00m^00c^N-^OO
^ ^h CM
—• CM CO CD 00
~^ Ю 00 Ю
CMCDIOCDCOCM^CO
•н* ^ ос м со * io о» oj о со
—' — —'CMCMCO^COCM^fO
— см со ю
(N 0O -и N S Ю
t^. rf CM Ю CD CM CD
см со ю oo ~
CD Tf CD CD rf CD
^ -и « (N Ol ГО t}* 05
O) O) 00
00 CO CM
— CM "«* CD
CO
t^
CM
CM
Ю
Tf
Tf
00
CD
t
00
CD
r^
^
CO
00
00
r^
CM
CO
CM
_
CM
CD
CM
CO
CM
CO
CO
CO
CM
Tf
Tf
Ю
CM
CO
Ю
1Л
со
Ю
CO
о
CM
CO
CM
CO
CM
r^.
Ю
en
CO
00
CO
см см ю ю ел см см
CM00C000C0OCMC0
О Tt< O) rt< « 00
—« —« -* CM CO CO
N N CO i< т}< О Ю
Th ID CM CM CO Ю 00
—« см со ю i^
N QO ГО О ^ Ю
NNQ005CO--h(DCO
l^. -н CD OcOCO-hO — CMOCDt^-00
—• ^ CMCMCOrt^LOCDCO'^OOOOCO
—« CM CO ID OO
CD
CO Ю 00 CM CD
~< —« 00 CD CO Tf
Ю О Ю CM ^-< CM
rf CM CO 00
cmcdcololococmoooocdoo
CMCMCO'^IOCD'^id^-'CMCD
^ (N ^ CO 00
CO
CO
tH —« CO CM CD Ю
CO CD CD
CO 00 Tf^CDCDCDoO-ifCDr-HCD
—« -« CMCOCO^iDCDlDl^iDr^.
~* CM •* CO
*-. 00
CO CD
Ю CD -4*
•* CD CM CD Ю Ю CO
p о со со oo ю со ^ со л со
О* со ^ СО со* ю" со со" CO* Q CO t^
CM CMCO^IOCD^COOCDCO^
~* со ^ t^ о
со со oo
CD Ю Ю
= s я
О CD xt* CO CM CD
CO CM — * CN CO Ю Ю N и
CD 00 00 CD CM
CM CO "* Ю t^
s
rf M CO rf (N
00 CO CO Q ^
~« CO Ю «О —*
ID CD t^ 00 CD
О* о" ©~ О* О*
-и CM CO Tf* Ю Ю Ю
*S ^ ^ ^-Г ^л см см" со со*

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Удельные сопротивления Л, с2/м6, для неновых стальных водогазопроводных труб
мм
15
20
25
32
40
50
65
80
90
КО
125
150
dp-
мм
14,7
20,2
26,1
34,9
40
52
66,5
79,5
92,3
104
130
155
1 Площадь
сечения
(0, М*
0,00017
0,00032
0,000491
0,000304
0,00126
0,0021
0,0038
0,0050
0,0064
0,0079
0,0123
0,0177
0,2
12 600 000
, 2 340 000
604 000
129 400
62 650
15 640
4 245
1 645
746
396
121,7
47,8
0,3
11500 000
2 120 000
548 500
117 500
56 900
14 200
3 852
1493
677
360
110,4
43,4
Значения Л при средней в
0,4
10 800 000
1 990 000
514 000
110 200
53 350
13 310
3 612
1402
636
337
103,4
40,7
0,5
10 300 000
1 910 000
452 500
105 500
51 150
12 750
3 460
1342
609
323
99.3
39
0,6
10 000 000
1 850 000
477 500
102 350
49 600
12 370
3 360
1302
590
314
96.3
37,8
сечении скорости v, м/с
0,7
9 730 000
1 800 000
465 000
99 000
48 300
12 030
3 270
1268
575
305
93,3
36,8
0.8
9 500 000
1 760 000
454 000
97 300
47 150
11750
3 190
1237
661
298
91.5
36
0,9
9 320 000
1 730 000
445 500
95 450
46 250
11530
3 135
1214
551
292
89,7
35,3
1
9 230 000
1 710 000
441000
94 500
45 800
11420
3 100
1202
546
289
88,9
34,9
1,2
8 970 000
1 660 000
427 800
91720
44 480
11080
3 009
1 167
529
281
86.2
33,9
<р„ Примечание. Здесь и далее удельное сопротивление Л = 8X/(gji2d5), где А,= (Re, k3/d).

00>
§SggJeg§3g8gggSigSSges§8gag5tag8s
lliaillllSSiSllllSlllIlli
D , мм
•—>mi>> tO CO 4> 05 tO CO
^ •—» i—' Ю 4ь CJl Oi О «fc» tD £ъ 4^ 05 4ь О •—'
oooooob-tocoCTto^tococotooo^coc^^w&H-cn*-
й^!£5!1#Й'Ч!&Р^$7!9£Яьэ со to to 4*05 4*
oo^djooto-^cncntocoosto^
CO kO •-» Он-
COtOtO OK2
• ел coooo
*».to too
-•>-• toco*.
•—'•—'tOCOOT05tOCO*«JtOi—»tO00tOtO*^JC0tbbtO
ООООООмК5Ю0100ЫМ05ЩЫМ^ОООь-И|-ЮЮОСЛСЛООО
ОиКЗ СО 4b V» О 4b 00 О tO 05 СЛ 05 CO 00 н- 00 tO
-s)tOC0£.^) 00I-» Ю <—CO
05-^0005^1
t-*t—»tOCOmOltDtOOSOtDlD4^~«JbjQ5Cn"^tO
ООООООнЮЮ^ООЮС5^0)ОООмь5ЮООЮШ0100)ЫО^СД
Oh-»tOC04b050t005^JCOtQ
**J ь- tO tO 4s. СП K5 Oi CO СЛФ
i-» tO CO 4^ ~J 05
4b tO 00 4^ tO О
ooooooo
.... .. ^ _*-?>-'fcO CO 4* СЛ 00 >-. Ci tO-4-O tO CO-О Ю CO tO 4*
t0t0 4*00t00lC0Cn00ai^4-^Ot0t000C000OJiCJ>t0O
g£
toco4b.q>toi-» спел oto-<i tococooooi
•— >— tO CO 4*
Т^ОСЛСЛЮм
t—|-^ЮС04>СЛ00ь^СЛС0^0)О'^С04^4^^0»--'
oooooootoM^Mi-OTwK5i^6iwoiwi-Nso)sc»toooai
CH-tOC04bOJCO«-«4bC0-vl00tOt0t000*-t04b
O) t~. -vi»-» О
мм(ОШ Д
ммЮМ^ООСЛ^мО
OltDtD»—О004ьн-
►-»•-» tO CO 4* Сл 00 >— СЛ 00О5СЛ tOtD»—
;ооооооюмЛк*4м^юйспмк!Ои55*чммо
2нЬЬ*^01ЮОМь:и1Слй0!С0 0)Ьюм
rjootpotpt04^oocncna;c3
i. CD tO CO СП CO
к-» tOCO CO
ooooooo
CO СЛ *J05Cn
»-4-«i-'tOC04i.CjtD4i4i.Ot(
'—>-' tOC04*Cn00O4*00Cn4*C00000O5C0O5>-
i-«tOJ*.^*-'4i.tOtO>UH-0-l->lCOOOtOt-'H-C3tOOtOC
СЛСП4ь«3 tO
OOOOOOO'
•—t-40C04^CT^J0 4i.OOCn4i.^Ja505i&00»-'4^
't0*^b-^Mi-UO45CnCnOWMW00Sb-0lHO
Ot-'i-«tOCOCnOOtOtOOtOOt005tO,<l4^4^00
050tOC00005Q005a0004»OOtO
to со со и- oo to
Наружный
Dp, мм
Площадь
сечения (D« m2
э£й&§
•—* t—» ЮС04>СЛ-«1О4>^СЛ
OOOOOOO'-Jt04^-*4O4*H-»t-kC0i-»004akC000OtD00i— 00 00 4b bj С
OH-T-it0C0Cn00t0t0O»-'t0O4^0iC0CnC100
C50tO^)0005^>l4*05C005«^00
•- tO ь-О0 4*С0
•~>i-«H-tOC04i.O5tOC0tO00C5
k4b-^OW^4>tOOi&WOOtOtOCfc
i00O5i-itOC0C0t04iktOtO05t0CnO>
2
a
о
я
£
X
Ш
и
<ъ
ч
о
о
00
р
тз
SC
е
£1
о
а

10*
с?88содддсокэкэ^кэкЗс>
оооооооооооооо
оооооююю-oj
-^00 Ci tOOD tOK3 <
псод д
3 050М
СООрСОмЫн
ООООКЭСЛСОСЛДСОСЛ
Oi->COtDtOtD4*,4K3
-4СЛСЛ КЭО0С$
-goo О) оо
ооо ооо
4 Д кэ Д •— •—
= Ж сокэ
•-» *» КЭ Ю N5 кЗ
|-С0О^»Д toJ^O
СОООООИСОСОЙ05*1^8
•"-' СО
4^ •—• Ol ID КЭ
ССООООмМЮМм(»«Зй
coooioVo'tD goVjoo
gSto^g^-*
WtDOS
ССОСООиСЮ!
с о о о КЗ до оо о"д
О^КЗ^СО^СЛКЭкЭ
- 00 00 Д 00
оооо оо
ООООКЭД
О •— КЗ -J СО СЛ
СЪКЗ ^Л-1 00
ot'*.*
О
СООООО
ocqowf
с 1— кЗ о. кз Д
От-. Ci to 4* 00
ОС СС ОООО
ст.
•-• со
н- СООКЭ
до со со со
-•КЗОООСЛООСЛОО
O-^-vJC0
j0 4> tO
h-. СО
мСООм
СООСОн-С)
мЮООЮЮОм*»
оосл^о
-> 00--J
со
COO КЗ СО О
ссссоооюооооолкз*
5 Ь
Площадь
сечения
О), М3
со too
со to кз оо ^4
ОООООООКЗОООоССи-КЗД
оооокздТосэсокэсл
О ►-> КЗ Сз •-; СО 00 Д
СЛ !-« О? -^ 00 СЛ
сп с: оо
ОСОООООКЭОО-vlC
СЛ^-СЛСЛКЭКЭ
СЛКЭКЗ 00
£
о
1Г
1
о
ООООООООООО
ClCn4*COK3i-'Ot©00-JOi
КЭКЭКЭКЭКЭКЭКЭКЭКЭКЭСО
ООООООООООО
СпДСОКЭ>-'ОеООО**)С5СУ>
totototototototototo»-'
КЭКЭКЭКЭКЭКЭКЗКЗСЛСЭО
-оооооо
»— CD OJ СО СП 00
ООООООООООО
ООДООмЮ^ООСПЙ
КЭКЭКЭОСОСпСЛСЛО^ь-
OtO Д КЭСлСОСЛ КЗ
toco -»ato
ООООООООООО
ООООООООООО
ООООООООС
OOOOOi—КЭД-
1--КЗС0СЛО0СОСОСГ"
0 -4^4 tO КЭ 000
ООООООООООО
ДСТ)
ООООООООООО
ООООООООООО
ОООООООООи-КЗ
OOOOOmWWPiW^
•--кэсосл-^кэоазел—*
-^СОД'—00СЛ00СОД
СО СП КЗ КЭ
ООООООООООО
500
о о оо о о о о с
ООООООООС --
OOOOOi—KSCOCJCOCi
к-КЗСОД-^КЭОСЛСОКЗКЭ
СЭСОСООСЛе-КЗОД
СЛКЭСЛ ООО
ООООООООООО
ООООООООООО
§00000000и(0
ООООммСОО)»ОСЛ
t--K3CO4^-sl^tD4i»H-O0Ca
—^"--00000050)^
ОКЭ КЗ ОО С
ооо сое
ООООООООООО
ООООООООООО
ОООООООООн-КЗ
ООООО*-ч-.С0С5КЗД
i-«K3COJi.^t-tOg005tO
слкз>-'~^кэа1кэоосо
000 00 КЗ »-'
ООООООООООО
ООООООООООО
ооо оооо оо»-кэ
ОООООн-н-СОСЛКЗД
и-кэсод~«1>—оосоеосод
СЛн-'н-'СПОСОООКЭКЭ
докэсо^»
ООООООООООО
ООООООООООО
ооооооооо«-»кэ
ОООООь-н-'СОСЛКЗД
^КЭСОД-Л-ООКЗООКЗКЗ
сл5-»осл кзстэчро
КЭ Д Ю 00
О О О О О О О О О О О
ООООООООООО
ggg8§00g°^c3
ОС 00 СЛ

so>
8:8.
О) СЛ A CO CO
о: о," о о
to оо, s) О) О) ел
со со . со - со о о
00 СО СО СО О О
*4* tO . 00 4*. t0 ОО
со со to to
200
200
00
150
150
СП
to
ел
125
CD
100
о
о
Л»
00
о
00
to
ел
65
ю
о
^4
ffl
О
635
о
ел
й
о
со
*£
о
to
8S
о
,_,
со
о
,_,
to
о
о
со
о
о
*-J
*J
о
о
495
о
о
со
-ч
о
о
-vl
00
о
о
to
4*
О
О
О
СО
о
005
to
о
о
о
со
со
►-. 4к
4* 4ь -»J
^| -vj н-
о о о о о
о о о •- -•
(О А
М СО
г I 8
СО CD СО -4 tO
О ■— СО tO
со а>
о о о, о
« $
»— 4Ь
со to
CO -vj
СП СП
1.1 g
со о о> со
о
о
о
to
о
о
о
•я
ел
о
о
о
ел
00
о
о
со
со
о
о
со
»о
о
о
оо
со
о
to
со-
о
ел
to
«с*
•-*
|_1
оо
со о
СП 00
!-4
4*
to
4*
_i
4* tO
О СЛ
-J СО
400
00
ОООООООО»--С0*0СЛ
£ 8 § $
оо о о •—
1'8
ел о со
to to
о о о о
О и и ю
000000104*.'-*
•—' СО
н- со I- =3
и М ф Ю
СЛ СО ^ ^
Н
Е
Р
88
о о о о о о
»-« со
I-» СО н- О»
*■ н Ol W W
MWIOMWCOW*
оооооокэ4*.одососою
ooob-to^co-^i-gcnoo
f-COCDtOOOCOOO*»
(О 53 н Si to сл
i— ел
о
о
о
£
о
о
о
8
о
о
о
оо
о
о
о
о
о
со
в
о
о
о
со
-4
о
о
о
со
4*
о
о
о
о
о
CD
о
о
о
о
СЛ
со
о
о
о
СЛ
00
4*
о
о
о
о
•й
о
о
to
о
о
со
о
о
о
о
to
^
Ol
о
о
to
-«4
о
о
to
ел
■^4
о
о
о
о
-J
00
о
о
-J
о
4*.
о
о
cd
со
оо
о
о
о
8
to
о
S
оо
о
225
о
to
о
4ь.
%
о
£»
ел
4-
о
4*
Ol
о
*
*-*
о
Ol
h-
о
со
•—'
о
to
о
со
to
00
to
■vl
4*
to
-J
to
to
o>
со
y*
»sl
00
&
00
CO
00
cd
4*
CO
4ь
»-l
4b.
о
•>)
CO
со
ел
о
со
CD
о
CD
о
CD
СЛ
о
со
4ь
&
со
со
Ol
to
£
СО
339
о
~vl
о
£
107
Ol
1044
354
1—»
со
4*
2
344
•—'
3340
_ _ _ - tO CD —
is
oo
oco
oo
co^co
00
oo
*JCD
CO*. -
to
oo
oo
oo
tO 4».
4*н-
►-00
OO
OO
OO
toco
•-. oo
CO
oo
oo
oo
toco
OOi
СЛ CD
oo
oo
oo
•—CO
CO 4*
CD~
oo
oo
oo
coco
Оь-
oo
oo
oo
_co
88
oo
oo
oo
t-»CO
00M
•— 4*
oo
oo
oo
H-CO
^o
00 00
oo
88
_co
•^o
CD СП
OO
oo
oo
t-Ю
-ЧСО
•—-si
2 Ь
Площадь
сечения |
CD. M2
_
о
CO
о
о
СЛ
о
CD
о
-si
о
00
о
со
~
,_,
to
со
ЕС
со
ения
м
3
К
<">
•о
*
Л> I
в* 1
Ю 1
5
43
п>
я
К
и скор
о 1
° 1
X ]
1
2 I
о 1
3
о
о
R

ео*
888*
ОСЛО
о
■^1СЛКЭ|—О00*4 01
0000)0100000000000001000001010000
Ю Ю Ю Ю t-i •—• )—' i-« <-• ОСПСПДДСОСОЮМЮЮ'-'мммм
сюсл*ооа>с^4*»о*-<©^о$сослосло^н-оосл$росюс^4ьк31-'СО^сл
оослоооо^оослсоооооослслоослоооослоослоо
3 4* *> СО »4 О 4* ЬО О СО ►- н* *- О» *- СЛ tO ^1 о 00 О *4 *> О» ->» <5 СЛ >-* СО «О 00
Ю Ь>ЬЭОоЬ>кО СЛ^СЛ^00Л!к!иь0СлСЛ*кО>О5СЛ 0>ЬЭ4*.а». tO
ОООООООООООООООООООО ОО ООООООООО
ООООООООООООWMhhhOOOOOOOOOOOOOO
»— 10ф^^СООС»СЛ^кОЙ400"^СЛ*44^СЛ»ОЬЭСЗсЛ|-'*^СООСЮСЛООЮ
000>©О.БС0*04*.*0 <00 00 00 OJ *-<—СЛ •-» 4*-J СЛ
СЛОНО •—054*.
^wattB^SS
ооо^ю^оослокэсл^ »-*
to4>gococnootoo>»-i'-ito
i^itkOOO'^ 00
«юет^-si
0*0 O^J «sJfcO
tO О 4ь 00 ~*1 СО «5
•-» со to ел со
kOOOlOXOMOOCiffiOvjOOOOOOOi"
tOCOCTSt—t-ОСЛ 40 00 СО
О «>1-vj-J СЛ 4* СЛ
to со ел
►— со со со со
ОООмЮСО-дСОМмСЛкО^
t->cocri0 0^joi-«»gi-no
00 СЛ СО СО СО СО 00
too to
н-> 4btOtO
H-'tOJi.00»JtO~4i-»
tO4*-slCO4*CO00C0CnCO00
OOOmmOJO)mm^U3i-WSO)
и-СОСЛ ОО 4* Д* CD Oi СЛ tO
to co-*i
tO COp K5h- jOOOCO»
1- 00 0**0*0 COW
н- 4b О ~J
н-to j^-g 4* to сосл
- — --4 - ■"" *Ъ со 4* to
88£4
'OOOOOOOHMWOlOIOtl
oooc
м(ОСЛ0
<g$gb-WOOCn
O*.01OOOOOOOmhW01O«)OOO
OOOOh
h- tO J^OOC .
4^ ^J CO СЛ 00 СЛ tO
«gtoco
H
a
_tocn •-•to
►—tOOOi-'rfb н-»4*.'-»СО
•—' tO 4* 00 СЛ CO 4*-«4 О •—« tO J^ 00 СЛ СЛ СЛ CO
to .u •jwwMwwmonooooooooooMtowoibOMi^oaiMQoi
•-■Ю^СООО Mrfk005
н-tO CO -vl CO О} СЛ 4* tO _ ^ MMOJvijiOjiM
Г<иОЧ*0)й*кМиОООООООииССО)0(0(ОимК10М
t-« 4* tO
i_i »_j CO »J CO СЛ tO СЛ tO ммСООМООЮм
мС0О)м(ОО1м ОС0М|йСПОООООООмнС0СЛО(0000001СП00О
■3S 1
^ a
схя
r b
* •
км
N ^
* -
e л о
*2Я
2 g м 1
м»>
1 о
1 со
1 *""
—
1 °
1 *"
1 °
1 ■**
1 Ol
1
1
1 ~
1 ^
1
1 *°
1—
1 ьо
1 ^
—
I со
со
a
03
J3 1
а>
х
»
^
s
0
•о
п>
13
К
rt>
»
СО
л
я>
*а
*
«
К
СКО
■°
О
1 о
н
К
а
"* 1
*£
о

H)fr
оооооел оооослслоооо оооооел оооослслооо
4^.^COCOtOtOtOtOi—»►-*,—»i—»i-j 4^4bCOCOtOtOtOtOi—>*-■ими'
оослсл opoioooowoocnw оослсл оослоооослоосл
soiwSpucoooQf юм соооосл woo^ooj^Mco^yiwwogo^
J^'-CnJ005WOlOfcO)WtOMSS t04*MtOCDOC7>tOtOC04».OOxO>t-»
оою to to 4*. oo oo o> a>
toto o> to
oo en*. ао)&
оооооооооооооооо ооооооооооооооо
Z-»Z-»0 О ОООООООООООО н-и-ООООООООООООО
WOOOOiOlifcCOtOWMH'MOOOO >(kM(DNjOl^W(OWMMMOOO
ocoH-^oowoioaw -»jcneoto -4 О) н- ю -si ел о? со со оо 4». ь- оо ел 4*
СЛ ->1 00 4ь СТ5 ООЬЭОЗСЛ ©S СЛ СЛ Ю СО 00 5Ъ
•-» КЗ СТ> 00 К
MMCOO>W*t0005
0000>-»СОСЛ0004ьСОСЛ4Ь4ьСЛСО
ООООм(0^ч)СОСПОи
СО СО СО-4
to
О О О О *-• СО СЛ «O^J *-СО СЛ О» ►-* СЛ 4>
н- to ^u со ->i о со оо I— оо -si w
4*СГ>СО —' «siuiCO
to 4*>---«4
•—' 4*tO
оооом*осо-4ьэсос^3222эм
S58?2JSS2l3v,loVco
4U.COCOH-
•-» СО н-
►—кэслел^ ^4^»-'
MtOOlOOOOMO) ь-> tO £ь -si СЛ ЬО СЛ
ОООО"-Ц04ьС0СЛС0а0СЛ а>4ЫОн- OOOOmWCOOJmmWOJOWU
о^сослн-оелсл^юслсо
СО -si Ю н- СО СО CD tO
4ьО)0)Ю
1—СЛ 4i.cn MUO
ООООм*0 4ьао£^^аСОООСОСЛ О О О О н-»-CO C75 О CO tOfcO О О^ С?
^Ю4^.^4*.СЛСЛ^О>10СЛО> Ом W СЛ О tO CO m^J 00 00
юййоослю-ч1й qo ст> о «si o> to ►£ оо
to ел a* со ел -si со
~&(*^
й£>??8
b0i&o,b8kbbfwbVco
мспсосл
он-ьэслсо»«»ор5*^н-со^
да ел bo to-si to 4* w-3
000 0>-'tOC0^1tOCOC7)4bChOO-g4b
м м со 05 to to со to "ел "to ctj со
OCOCn~-J4b.4*H-CO
4^ CO СО
•—• CO Oi tO CO К
О О О О О мм СП W М *» и 0«0«
Он t04*.COP?Oo"to">— н-О»
-4 £ ел to I— So ел So о
8£~*
О*-*КЭ4ь00СЛ^4О^1-*4ЬСТ>
gwDigCTJCOMtOM
н
«<
ОХ
Е
из
~4>Е-3
•~*Ю4к-4еЛ10н-»4к.
OOOOhjOWO)mmWO)OSOiS
Q Z-; СО СП м О СЛ OJ 4*. "tO СЛ "tO
со -4 to ►- со ел оз
м со оо
м со ел •—о *i
ооооомм^ооелмаюфм
|§§§аЬ"<йййъ,;-10
1 н
•о
н
*
S CD
S^
2D
SB
2 е3
'
оЗ
S£§
* SB
ss»
м»£
о
Й
о
ел
о
■^
ел
1,5
to
—~""
г ^э
ел
w
со
«
03
Л
^
»
М
при
о
43
р
*
X
Л
ас
W
л
Л>
Л
ении
S
°
о
з|
о
2
-~s
О

ПРИЛОЖЕНИЕ 7
Единицы механических величин
Величина
наименование
Длина
Масса
Время
Площадь
Объем, вместимость
Скорость
Ускорение
Частота вращения
Угловая скорость
Угловое ускорение
Сила (вес)
Плотность
Удельный объем
Давление v

размерность
1 L
М
Т
L2
L3
LT-1
LT-2
т-1
т-1
"р —2
LMT-?
L-зм
L3M-1
L-WT-H
си
наименование
метр (основная
единица)
килограмм (основная
единица)
секунда (основная
единица)
квадратный метр
кубический метр
метр в секунду
метр на секунду в
квадрате
секунда в минус первой
степени
радиан в секунду
радиан на секунду в
квадрате
ньютон
килограмм на
кубический метр
кубический метр на
килограмм
паскаль

обозначение
М
кг
С
М2
м3
м/с
| м/с2
с-1
рад/с
рад/с2
Н
кг/м3 -
м3/кг
Па
Единица
СГС
наименование
сантиметр
грамм
секунда
квадратный сантиметр
кубический сантиметр
сантиметр в секунду
сантиметр на секунду в
квадрате
секунда в минус первой
степени
радиан в секунду
радиан на секунду в
квадрате
дина
грамм на кубический
сантиметр
кубический сантиметр на
грамм
дина на квадратный санти-
1 метр
обозначение
см
г
с
см2
см3
см/с
см/с2
с-1
рад/с
рад/с2
дин
г/см3
см3/г
дин/см2

Продолжение прил. 7
Величина
наименование
Импульс (количество
движения)
Импульс силы
Работа, энергия
Мощность
Момент импульса
(момент количества
движения)
Механическое
напряжение
Модуль продольной
упругости (модуль
Юнга), модуль сдвига
Градиент скорости
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
Объемный расход
Массовый расход

размерность
LMT-1
LMT-1
1 L2MT-2
\ L2MT~3
L?MT-X
wmt-2
L-WT-2
т-1
L-ЩТ-1
L2!-1
L3T-1
МТ-1
си
наименование
килограмм-метр в секун-
ду
ньютон-секунда
джоуль
ватт
килограмм-метр в
квадрате в секунду
паскаль
паскаль
секунда в минус первой
степени
паскаль-секунда
квадратный метр на
секунду
кубический метр в
секунду
килограмм в секунду

обозначение
кг-м/с
Н-с
Дж
Вт
1 кг-м2/с
Па
Па
с-1
Па с
м2/с
м3/с
кг/с
Единица
сгс
наименование
грамм-сантиметр в секунду
дина-секунда
эрг
эрг в секунду
грамм-сантиметр в
квадрате в секунду
дина на квадратный
сантиметр
дина на квадратный
сантиметр
секунда в минус первой
степени
пуаз
стоке
кубический сантиметр в
секунду
грамм в секунду
обозначение
г-см/с
дин-с
эрг
эрг/с
г-см2/с
дин/см2
дин/см2
с-1
п
Ст
см3/с
г/с

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй.—М.: Физмат*
гиз, I960.—715 с.
2. Альтшуль А. Д. Гидравлические сопротивления.—2-е изд.—
М.: Недра, 1982. —223 с.
3. Альтшуль А. Д., Киселев П. Г. Гидравлика и аэродинамика/
(Основы механики жидкости): Учеб. пособие для вузов.—2-е изд.—
М.: Стройиздат, 1975.—326 с.
4. Богословский В. Н., Новожилов В. И., Симаков Б. Д., Титов
В. П. Вентиляция: Учеб. для вузов.—М.: Стройиздат, 1976.—439 с.—
(Отопление и вентиляция/Под ред. В. Н. Богословского; Ч. 2).
5. Боровков В. С, Майрановский Ф. Г. Аэродинамика систем
вентиляции и кондиционирования воздуха.—М.: Стройиздат, 1978.—
116 с.
6. Броунштейн Б. И., Железняк А. С. Физико-химические основы
жидкостной экстракции. — М. — Л.: Химия, 1966. — 318 с.
7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости: Пер. с англ.—
М.: Мир, 1973.—758 с.
8. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика: Учебник для вуеов—
М.: Машиностроение, 1978.—463 с.
9. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука,
1978. —847 с.
10. Лятхер В. М., Прудовский А. М. Гидравлическое
моделирование. — М.: Энергоатомиздат, 1984.—392 с.
11. Повх И. Л. Техническая гидромеханика: Учеб. пособие для
вузов.—Л.: Машиностроение, 1976.—502 с.
12. Примеры расчетов по гидравлике: Учеб. пособие для вузов/
/А. Д. Альтшуль, В." И. Калицун, Ф. Г. Майрановский, П. П. Паль-
гунов; Под ред. А. Д. Альтшуля.—М.: Стройиздат. 1976.—254 с.
13. Рекомендации по расчету потерь напора по длине водоводов
электростанций.—Л.: ВНИИГ, 1981.—24 с.
14. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.—
М.: Наука, 1974,—428 с,
15. Смыслов В. В. Гидравлика и аэродинамика: Учеб. для
вузов.—Киев: Вища школа, 1979.—335 с.
16. Справочник по гидравлическим расчетам /Под ред, П« Г.
Киселева.—4-е изд.—М.: Энергия, 1977.—312 с.
17. Чугаев Р. Р. Гидравлические термины.—М.: Высш. школа,
1974.-103 с.
18. Чугаев Р. Р. Гидравлика: Учеб. для вузов.—Л.: Энергоиз-
дат, 1982.—670 с.
19. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя,—М.: Физматгиз,
1972.—711 с,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автомодельность 390
Адиабата ударная 123
Анализ размерностей 376, 378
Аналогия газогидравлическая 395,
396
— электрогидродинамическая 395,
396
Арматура трубопровода 210
Аэродинамика 5
Б
Баланс энергии 181
Быстрота возрастания
шероховатости 296
В
Вакуум 43
Вес удельный 8
— относительный 9
Вискозиметры 19
Влияние сопротивлений взаимное
219
Волна ударная 119
Воронка вихревая 320
с воздушным ядром 320
Время опорожнения 319
Высота вакууметрическая 43
— положения 44
— приведенная 45
— пьезометрическая 45
— скоростная 92
Вязкость жидкостей 15
— динамическая 16
— кинематическая 17
— турбулентная 181, 183
— условная 19
Г
Газ 8
— совершенный 13
Гашение турбулентных пульсаций
197
Гидравлика 5
Гидромеханика 5
Гидротранспорт 297
Градиент скорости 16
График Альтшуля 318
— Никурадзе 172
Д
Давление абсолютное (полное) 40
— атмосферное 41
— внешнее 40
— гидростатическое 31
— динамическое 106
— избыточное 41
—- критическое 117, 119, 323
— на плоские поверхности 50
— насыщенных паров 222
— статическое 106
Движение безвихревое 81, 128
— безнапорное 195
— вихревое 128. 143
Движение вращательное 320
— газов в трубах 288
— изотермическое 292
— неизотермическое 196
— неравномерное 68
— неустановившееся 68, 359
— относительное 227
— плоское 128
— потенциальное 81, 128
— равномерное 68
— с переменным расходом 230
— сверхзвуковое 118
— твердых тел в жидкости 361
— турбулентное 168
— установившееся 68
Диаметр эквивалентный 194
Диафрагма измерительная 205, 218
Диффузия турбулентная 169
Диффузор 206
Длина влияния 220
— начального участка 196
— эквивалентная 199
Добавки полимерные 197
Е
Единицы физических величин 374
Ж
Жидкость 7
— аномальная (неньютоновская) 22
— невязкая 23
— капельная 7
3
Завеса воздушная 341
Задача внешняя 5
— внутренняя 5
Закон Архимеда 54, 59
— Паскаля 41
— Стокса 160
— трения Ньютона 16
И
Инкрустация труб 295
Интеграл Бернулли 85, 86
— Лагранжа 85
— Стокса 145
Интенсивность воронки 320
Инфильтрация 168
Истечение газов 320
Истечение жидкости из насадков
309
из отверстия 301
при переменном напоре 316
Источники 139
К
Кавитация 222
Каналы 195
Капиллярность 19
Касательное напряжение 15, 25,
178, 240
турбулентное 179
Кинематика жидкости и газа 66
Конфузор 208
Концентрация твердой фазы 297
Коррозия труб 295
Коэффициент аэродинамический
254
— Буссинеска 107
— быстроты увеличения
шероховатости 296
— внезапного расширения 202
— гидравлического трения 172
— сопротивления давления 256
408

— Кориолиса 102
— лобового сопротивления 257
— масштабный 380
— местного сопротивления 199
— объемного сжатия 10
— расхода отверстия 304
— сжатия струи 301
— скорости 303
— смягчения 206
— температурного расширения 11
— фильтрации 167
— формы 166
— Шези 195
— шероховатости 196
Критерий Архимеда 263
— Бонда 266
— Вебера 319, 388
— Маха 126, 397
— Ньютона 382
— подобия гидродинамический 384,
386
— Рейнольдса 386. 388
— Струхаля 386
Крупность гидравлическая 261
— Фруда 387
— Эйлера 387, 388
Л
Линия вихревая 143
— полного напора 101
— пьезометрическая 92
— тока 68
— энергии 92
М
Масштабы физических величин 393
Метод аналогии 395
— Лагранжа 67
— Эйлера 66
Механика жидкости 5
Моделирование трубопроводов 390
— физическое 392
— частичное 392, 393, 394
— упругости 11
Н
Напор гидростатический 45
— инерционный 361
— полный 92
— приведенный 45
— пьезометрический 45, 92
— скоростной 92
Насадок 313
— Борда 313
— конический 314
— коноидальный 315
Натяжение поверхностное 319
Непрерывная раздача по пути 109,
280
— (сплошная) среда 7, 23
Неравномерность распределения
скоростей 102, 107
Область переходная 173
Обтекание пластинки 227, 242
— цилиндра 247, 252, 253
— шара 258
Опыты Колбрука 175
— Лауфера 181
— ЛевкоевоЙ 219
— Никурадзе 172
— Нуннера 181
— Рейнольдса 151
— Рейхардта 188
— Шевелева 176
Отверстие большое 308
— затопленное 306
— малое 302
Отвод 209
Отрыв струи 200
— пограничного слоя 246
П
Паропроводы 295
Периметр смоченный 71
Пи-теорема 375
Пластина гладкая 245
— шероховатая 255
Плотность воды 10
— воздуха 10
— жидкости 8, 10
Площадь живого сечения 70, 71
— миделевого сечения 356
Пневмотранспорт 298
Поверхность уровня 38
Поворот трубы 209
— плавный 209
— резкий 209
Подобие геометрическое 380
— гидромеханическое 379
— динамическое 381
— кинематическое 380
— частичное динамическое 387
Подслой вязкий 187
— ламинарный 188
Полюс струи 328
Поправка на неквадратичность 276
Пористость 167
Потенциал скорости 81, 128
Потери напора 99
— в сетке 213
— местные 198
— по длине 162, 166
— энергии 99
Потоки двухфазные 297
Проводимость трубопровода 279
Пуаз 16
Пульсация 169
Радиус гидравлический 71
Разделение потоков 214
Размерность 374
Распределение скоростей 159, 171,
177
Распад струи осесимметричный 346
волнообразный 346
Распыл струи турбулентный 347
Расход потока массовый 71
объемный 71
транзитный 281
Расширение внезапное 200
— постепенное 206
— температурное жидкости 11
Режимы движения 151
Связь кинематической и условной
вязкости 19
Свойства физические 7
Сетка гидродинамическая 130
Сечение живое 70, 71
— миделево 356
— сжатое 301
409

Сжатие струи 301
Сжимаемость газов 12
— жидкостей 9
Сила массовая 33
— подъемная 136, 139
— трения 243
— упругости 114
Скачок уплотнения прямой 120
косой 124
Скорость витания 261
— возмущений 114
— динамическая 159
— звука 114
— истечения 303, 310, 320
— критическая 154
— мгновенная 169
— осредненная 170
— пороговая динамическая 198
— средняя 71
— ударной волны 114
След гидродинамический 231, 248
Слой пограничный 229
— ламинарный 229
— турбулентный 229
— пристенный 177
Снижение потерь напора на трение
197
Соединение потоков 213
Соотношение интегральное
Кармана 241
Сопротивление гидравлическое 148
— давления 256
— лобовое 257, 259
—■ местное 198
— стыков 211
— трения 242
— удельное трубопровода 273
Степень сжатия 301
Сток 139
Струйка элементарная 70
Струя затопленная 326
— незатопленная 327
— неизотермическая 343
— свободная 327
Текучесть жидкости 15
Теорема Жуковского 136
— Томсона 147
Теория полуэмпнрическая Альтшу*
ля 183
— Буссинеска 182
— Прандтля 187
— турбулентности 182
Теплопроводность турбулентная
182
Течения вторичные 193
Толщина вытеснения 231
— потери импульса 233
Точка средней скорости 185
Трение внутреннее 16
— на стенке 158, 242
Тройники 213
Трубка тока 70
Трубопроводы 268
— кольцевые 282
— простые 268
— разветвленные 283
*— с параллельным соединением
труб 279
— с последовательным
соединением труб 271
— сложные 278
Трубы гидравлически гладкие 173
— некругового сечения 192
— шероховатые 173
Увеличение шероховатости 296
Удар гидравлический 364, 370
Уклон гидравлический 101
— пьезометрический 101
Уменьшение турбулентного
переноса 197
Уравнение Бернулли 86, 92, 101.
103
— Гагена—Пуазейля 162
— гидростатики основное 39. 40
— Кармана (интегральное) 241
— Клапейрона 13, 60
— количества движения 106
— Лапласа 82, 129, 265
— неразрывности 71, 73
— поверхности уровня 33
— равновесия жидкости 37
— равномерного движения 158
— Сен-Венана 116
— Стокса 258, 262
Фильтрация 166
— турбулентная 168
Формула Альтшуля 19, 188, 197,
246, 290
— Блазиуса 174
— Борда 202
— Буссинеска 182
—- Вейсбаха 151
— Войтинской 198
— Дарси—Вейсбаха 379
— Жуковского 302, 365
— Кармана 245
~ Кирхгофа 302
— Колбрука 186
— Краснова 213
— Кутателадзе 197
— Маннинга 196
— Марголина 320
— Маяцкого 197
—■ Милликена 17
— обобщенная для С 196
— Пуазейля 162
Формула Рыбчинского—Адам ара
267
— Серебро 196
— степенная для профиля
скорости 177
— Стокса 160
— Торичелли 304
— Убеллоде 19
— Шези 195
— Шифринсона 174
— Шлихтинга 245
Формулы эмпирические для К 188
Функция тока 129
Ц
Центр давления 53
Циркуляция скорости 134
Число кавитации 222
— Маха 126
— Рейнольдса критическое 153
— пороговое 198
410

ш
Шероховатость абсолютная 171
— искусственная 172
— относительная 171, 172
— эквивалентная 174
Э
Энергия турбулентная 181
— удельная 88
— полная 88, 101
Эпюра гидростатического давления
41
— скоростей в трубах 177
Эффект Томса 197
Я
Явления переноса 182
Ядро течения 177 •

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие , , , 3
Введение . 5
1. Предмет гидравлики и аэродинамики 5
2. Исторические данные б
3. Основные физические свойства жидкостей .... 7
4. Многофазные системы 21
5. Аномальные жидкости • 22
6. Невязкая жидкость 23
7. Напряженное состояние жидкости 23
Примеры ♦ 29
Глава 1. Равновесие жидкости и газа .»•••• 31
§ 1. Гидростатическое давление и его свойства . . 31
§ 2. Дифференциальные уравнения равновесия
жидкости (уравнения Эйлера) 35
§ 3. Равновесие жидкости в поле силы тяжести . . 39
§ 4. Относительное равновесие жидкости в поле силы
тяжести 46
§ 5. Давление жидкости на плоские поверхности . . 50
§ 6. Давление жидкости на криволинейные поверхности.
Закон Архимеда 54
§ 7. Равновесие газа в поле силы тяжести , 59
Примеры 61
Глава 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа 66
§ 8. Кинематика жидкости и газа ..,,». 66
§ 9. Уравнение неразрывности ....♦,. 71
§ 10. Ускорение движения жидкости и газа ... 74
§ 11. Движение и деформация элементарной частицы
жидкости 75
§ 12. Дифференциальные уравнения движения
невязкой жидкости (уравнения Эйлера) .... 82
§ 13. Интегрирование уравнений Эйлера. Интегралы
Лагранжа и Бернулли 84
§ 14. Интеграл Бернулли в поле силы тяжести.
Уравнение Бернулли 86
§ 15. Дифференциальные уравнения движения вязкой
жидкости (уравнения Навье — Стокса) ... 92
§ 16. Уравнение Бернулли для вязкой жидкости при
равенстве скоростей в каждой точке сечения . 99
§ 17. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости Ю*
§ 18. Уравнение изменения количества движения . . 106
§ 19. Распространение возмущений в жидкой и газовой
среде, вызванных местным изменением давления И2
§ 20. Элементы газовой динамики И5
Глава 3. Потенциальное и вихревое течение жидкости , 128
§ 21. Основные свойства потенциальных течений , • 128
412

Огр.
§ 22. Циркуляция скорости. Подъемная сила. Теорема
Н. Е. Жуковского 134
§ 23. Источники и стоки 139
§ 24. Комплексный потенциал 142
§ 25. Вихревое течение. Основные теоремы , . , 143
Глава 4. Гидравлические сопротивления ..... 148
§ 26. Общие сведения о гидравлических сопротивлениях 148
§ 27. Ламинарное равномерное движение жидкости в
трубах 159
§ 28. Турбулентное равномерное движение жидкости . 168
§ 29. Местные гидравлические сопротивления . . 198
Примеры 224
Глава 5. Относительное движение жидкости и твердого тела 227
§ 30. Общие понятия 227
§ 31. Уравнения движения жидкости для плоского
пограничного слоя 233
§ 32. Интегральные соотношения пограничного слоя . 238
§ 33. Сопротивление трения при обтекании плоской
пластины 242
§ 34. Отрыв пограничного слоя 246
§ 35. Распределение давления по поверхности
обтекаемого тела. Сопротивление давления .... 251
§ 36. Суммарное сопротивление при обтекании
твердого тела 257
§ 37. Осаждение (всплывание) твердых частиц в
жидкости 261
§ 38. Особенности осаждения (всплывания) капель
жидкости и газовых пузырей ..... 264
Примеры 267
Глава 6. Гидравлический расчет трубопроводов , , . 268
§ 39. Общие сведения. Простой трубопровод . . % 268
§ 40. Расчет длинных трубопроводов в квадратичной
области сопротивления 273
§ 41. Расчет длинных трубопроводов в неквадратичной
области сопротивления 276
§ 42. Расчет сложных трубопроводов 278
| 43. Особенности расчета коротких труб .... 285
§ 44. Гидравлический (аэродинамический) расчет
трубопроводов для газов 287
§ 45. Влияние срока службы трубопроводов на их
гидравлическое сопротивление 295
§ 46. Понятие о движении двухфазных потоков в
трубопроводах 297
Примеры 299
Глава 7* Гидравлический расчет истечения жидкостей * , 301
§ 47. Истечение жидкости из отверстий в тонкой стенке 301
§ 48. Истечение жидкости через насадки .... 309
§ 49. Особые случаи истечения 316
§ 50. Истечение газов из отверстий . . . ... , 321
Примеры 324
413

Стр.
Глава 8. Гидравлические струи , 323
§ 51. Общие положения 326
§ 52. Свободные затопленные турбулентные струи . 327
§ 53. Движение турбулентных струй в сносящем потоке 339
§ 54. Воздушные завесы 341
§ 55. Неизотермические затопленные струи .... 343
§ 56. Свободные незатопленные струи 346
§ 57. Давление струи жидкости на твердые поверхности 351
Примеры 357
Глава 9. Неустановившееся движение жидкости , , , 359
§ 58. Основное дифференциальное уравнение движения
жидкости 359
§ 59. Уравнение неустановившегося движения для
потока жидкости в круглоцилиндрической трубе . . 361
§ 60. Прямой гидравлический удар , 364
§ 61. Скорость распространения ударной волны при гид.
равлическом ударе 367
§ 62. Непрямой гидравлический удар , 370
Глава 10. Моделирование гидроаэродинамических явлений 373
§ 63. Основные положения 373
§ 64. Теория размерностей 374
§ 65. Механическое подобие 379
§ 66. Гидродинамические критерии подобия . . . 384
§ 67. Моделирование гидроаэродинамических явлений 392
§ 68. Методы аналогий 395
Приложения 397
Список литературы 407
Предметный указатель •••••■ 408

Учебник
Адольф Давидович Альтшуль
Леонид Семенович Животовский
Леонид Петрович Иванов
ГИДРАВЛИКА И АЭРОДИНАМИКА
Редакция литературы по инженерному оборудованию
Зав. редакцией И. В. Соболева
Редактор Г. А. Лебедева
Художественный редактор Я, А. Шиляев
Технические редакторы Л. И% Шерстнева, Ю% Л. Циханкова
Корректор И. В, Медведь
И Б № 3446
Сдано в набор 28.08.86. Подписано в печать 22.12.86. Т-24318. Формат 84Х108'/з*,
Бумага тип. № 1. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. печ. л*
21,84. Усл. кр.-отт. 21,84. Уч.-изд. л. 21,37. Тираж 19 000 экз. Изд. № AI—573.
Заказ № 626. Цена 1 руб.
Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, д. 23а
Владимирская типография Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7

Стройиздат выпускает научную, научно-популярную,
производственно-техническую литературу для инженеров,
техников и рабочих, учебную литературу для студентов
вузов, учащихся техникумов,
профессионально-технических училищ, справочники, инструктивно-нормативную
литературу и плакатную продукцию.
Издательство просит своевременно оформлять заказы на
книги, пользуясь планами выпуска литературы, которые
ежегодно поступают в книжные магазины.