Е.С.Вентцель ЛАОвчаров

Теория
случайных
процессов
и ее инженерные
приложения

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

Рекомендовано

Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений

Москва

«Высшая школа» 2000
УДК 519.21

ББК 22.171
В 29

Рецензент: директор Института проблем передачи информации РАН
академик Н.А. Кузнецов

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.

В 29 Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения. — Учеб, пособие для втузов. — 2-е
изд., стер. — М.: Высш, шк., 2000. — 383 с.: ил.

ISBN 5-06-003831-9

В книге дается систематическое изложение основ теории слу-
чайных процессов по специальностям: кибернетика, прикладная
математика, автоматизированные системы управления и перера-
ботки информации, автоматизация технологических процессов,
транспорт и т. п. Она является логическим продолжением книги
тех же авторов «Теория вероятностей и ее инженерные приложе-
ния».

Первое издание вышло в 1991 г.

Для студентов высших технических учебных заведений.
Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным
работникам разных профилей, которые в своей практической де-
ятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать
задачи, связанные с анализом случайных процессов.

УДК 519.21

ББК 22.171

ISBN 5-06-003831-9	© ГУП издательство «Высшая школа»,

2000

Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства
«Высшая школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без
согласия издательства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга представляет собой продолжение книги ав-
торов «Теория вероятностей и ее инженерные прило-
жения» (М.: Высшая школа, 2000) и является си-
стематическим изложением основ теории случайных
процессов под углом зрения их практических прило-
жений в различных областях инженерной практики.
Отбор материала, а также стиль его изложения про-
водится прежде всего исходя из этих приложений.
Этому способствует разбор многочисленных задач и
примеров, помещенных в книге и относящихся к раз-
личным областям инженерной деятельности: автома-
тизированные системы управления, автоматизация
технологических процессов и производств, прикладная
математика, вычислительная техника, транспорт, связь
и т. п. Все инженерные приложения теории случайных
процессов излагаются с одинаковых методических по-
зиций, основанных иа единой системе подходов. Это
дает возможность показать, как с помощью одной и
той же математической модели можно исследовать и
решать различные задачи, встречающиеся в инженер-
ных приложениях.

Книга написана на базе лекций, читанных авто-
рами в различных втузах на протяжении последних
десятилетий по специальностям «Прикладная мате-
матика», «Автоматизированные системы обработки ин-
формации и управления», «Автоматизация технологи-
ческих процессов» и др. Она прежде всего предназ-
начена для инженеров и научных работников разных
специальностей, которые в своей практической дея-
тельности сталкиваются с задачами, связанными
с воздействием случайных процессов на различные
технические устройства в динамике их функциони-
рования. Общетеоретические разделы книги адресо-
ваны широкому кругу читателей, она также может
быть использована и в учебном процессе студентами
и преподавателями соответствующих специальностей
втузов, и как пособие по самообразованию.

Математический аппарат, используемый в книге,
в основном базируется на обычном втузовском курсе
высшей математики и твердом знании основ теории
вероятностей.

Так как настоящая книга является продолжением
книги авторов «Теория вероятностей и ее инженерные
приложения» [6], то в ней используются ссылки на
эту книгу, а сами ссылки помечаются звездочкой; на-
пример, п. 7.3* означает, что идет ссылка на пункт 7.3
книги [6]; (7.3.3)* означает, что идет ссылка на фор-
мулу (7.3.3) книги [6].

Как и в первой книге, основное внимание уделяет-
ся не тонкостям математического аппарата теории
случайных процессов, а единству методического под-
хода, иллюстрируемого многочисленными приложе-
ниями. Наше глубокое убеждение, основанное на мно-
голетнем опыте преподавания теории случайных про-
цессов во втузах и применении этой теории в научных
исследованиях, состоит в том, что именно такой под-
ход к изучению теории случайных процессов более
всего полезен тем, кто ставит перед собой целью ре-
шение конкретных инженерных задач. (Окончание
решения задачи или примера отмечается в тексте
знаком ►.)

Несмотря на такой подход к изложению содержа-
ния книги, авторы стремились к тому, чтобы это не
влияло на корректность формулировок и должную
строгость применяемого математического аппарата.

В книгу не вошли теория массового обслуживания,
которая является разделом теории случайных процес-
сов, статистическая обработка случайных процессов,
оптимизация систем, находящихся под воздействием
случайных процессов, и их инженерные приложения.
Такой отбор материала в эту книгу объясняется тем,
что авторы предполагают по каждому из этих разде-
лов написать отдельное руководство, где, так же как
и здесь, основное внимание будет уделено различным
инженерным приложениям.

Авторы приносят глубокую благодарность акаде-
микам В.С. Пугачеву и Б.В. Гнеденко, академику РАН
Н.А. Кузнецову, профессору А.Д. Вентцелю за ряд
ценных предложений, а также М.А. Овчаровой, оказа-
вшей большую помощь авторам при подготовке руко-
писи к изданию.

В настоящем втором издании исправлены отдель-
ные ошибки и опечатки, допущенные в первом изда-
нии.

Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров
Так ранней утренней порой
Отрывок тучн громовой,
В лазурной тишине чернея,
Один, нигде пристать не смея,
Летит без цели и следа,
Бог весть откуда н куда!

М. Ю. Лермонтов «Демон»

ВВЕДЕНИЕ

Теорией случайных процессов называется матема-
тическая наука, изучающая закономерности случай-
ных явлений в динамике их развития.

Теория случайных процессов (в другой терминоло-
гии — теория случайных функций) представляет собой
сравнительно новый раздел теории вероятностей, осо-
бенно бурио развивающийся в последние десятилетия
в связи со все расширяющимся кругом его практиче-
ских приложений.

При изучении явлений окружающего мира мы
часто сталкиваемся с процессами, течение которых
заранее предсказать в точности невозможно. Эта не-
определенность (непредсказуемость) вызвана влия-
нием случайных факторов, воздействующих на ход
процесса. Приведем несколько примеров таких про-
цессов.

1.	Напряжение в электросети, номинально постоян-
ное и равное 220 В, фактически меняется во времени,
колеблется вокруг номинала под влиянием таких слу-
чайных факторов, как количество и вид включенных
в сеть приборов, моменты их включений и выклю-
чений и т. д.

2.	Население города (или области) меняется с те-
чением времени случайным (непредсказуемым) обра-
зом под влиянием таких факторов, как рождаемость,
смертность, миграция и т. д.

3.	Уровень воды в реке (или в водохранилище)
меняется во времени случайным образом в зависи-
мости от погоды, количества осадков, таяния снега,
интенсивности оросительных мероприятий и т. д.

4.	Частица, совершающая броуновское движение
в поле зрения микроскопа, меняет свое положение
случайным образом в результате соударений с моле-
кулами жидкости.
5.	Происходит полет космической ракеты, которую
необходимо вывести в заданный момент в заданную
точку пространства с заданными направлением и
абсолютным значением вектора скорости. Фактиче-
ское движение ракеты не совпадает с расчетным нз-
за таких случайных факторов, как турбулентность
атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в отра-
ботке команд и т. д.

6.	ЭВМ в ходе работы может случайным образом
переходить из состояния в состояние, например:

si — работает исправно;

s2	—имеется неисправность, но она не обнаружена;

s3	— неисправность обнаружена, ведется поиск ее
источника;

s< — ремонтируется и т. д.

Переходы из состояния в состояние происходят под
действием случайных факторов, таких как колебания
напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя от-
дельных элементов, момент обнаружения неисправно-
стей, время их устранения и т. д.

Строго говоря, в природе не существует совер-
шенно не случайных, в точности детерминированных
процессов, но есть процессы, на ход которых случай-
ные факторы влияют так слабо, что при изучении яв-
ления ими можно пренебречь (пример: процесс обра-
щения планет вокруг Солнца). Однако существуют и
такие процессы, где случайность играет основную роль
(пример: вышерассмотренный процесс броуновского
движения частицы). Между двумя крайними слу-
чаями лежит целый спектр процессов, в которых слу-
чайность играет большую или меньшую роль. Учиты-
вать (или не учитывать) случайность процесса зави-
сит также и от того, какую практическую задачу мы
решаем. Например, при составлении расписания дви-
жения самолетов между двумя пунктами можно счи-
тать их траектории прямолинейными, а движение —
равномерным; те же допущения не подойдут, если
решается задача конструирования автопилота для
управления полетом самолета.

Случайный процесс, протекающий в любой физи-
ческой системе S, представляет собой случайные
переходы системы из состояния в состояние. Со-
стояние системы может быть охарактеризовано с по-
мощью каких-то численных переменных; в про-
стейшем случае — одной, а в более сложных — не-
скольких.

Вернемся к рассмотренным выше примерам. В при-
мере 1 процесс описывается одной переменной (на-
пряжением U), случайным образом меняющейся во
времени, являющейся функцией времени U(t). Ана-
логично, в примере 2 население W меняется случай-
ным образом во времени: jV(/). Так же и в примере 3
случайный процесс характеризуется одной функцией
H(t), где Н — уровень воды в реке. Все эти три функ-
ции являются случайными функциями времени t. Об-
ратим внимание иа то, что при фиксированном t каж-
дая из них превращается в обычную случайную
величину, хорошо известную по книге авторов [6].
В результате опыта (когда он уже произведен) слу-
чайная функция превращается в обычную неслучай-
ную функцию. Например, если в ходе времени непре-
рывно измерять напряжение в сети, получится неслу-
чайная функция u(t), колеблющаяся вокруг номинала
«о (рис. 0.1).

Несколько сложнее обстоит дело в примере 4: со-
стояние частицы характеризуется уже ие одной,
а двумя случайными функциями Х(1) и Y(t)—коор-
динатами частицы в поле зрения микроскопа. Такой

Рис. 0.2

случайный процесс называется векторным, он описы-
вается переменным случайным вектором, составляю-
щие которого X(t), Y(t) меняются с течением вре-
мени. Для фиксированного значения аргумента t
случайный процесс превращается в систему двух слу-
чайных величин X[t), Y(t), изображаемую случайной
точкой (случайным вектором Q(/)) на плоскости хйу
(рис. 0.2). При изменении аргумента t точка Q(i)
будет перемещаться («блуждать») по плоскости хОу
В этой книге мы почти

так, как показано, например, на рис. 0.3 для момен-
тов времени ft, t2, t3, 

Еще сложнее обстоит дело с примером 5. Состоя-
ние ракеты в момент времени t характеризуется не
только тремя координатами Х(0, ПО, 2(0 центра
массы ракеты, но и тремя составляющими ее скорости
(не будем вводить для них специальных обозначений),
тремя углами ориентации ракеты, угловыми скоро-
стями движения вокруг цен-
тра массы, запасом топли-
ва и т. п. Здесь перед на-
ми — пример многомерного
случайного процесса; блуж-
дание точки, описывающей
состояние системы в момент
времени t, происходит в
многомерном пространстве.
Сложности, связанные с
изучением таких процессов,
с увеличением размерности
растут в огромной степени,
не будем касаться многомер-

ных процессов.

Особое положение среди рассмотренных выше за-
нимает пример 6. В этом примере состояние системы
не характеризуется какой-либо численной величиной
(или вектором), он описывается словами («каче-
ственно»), а случайный процесс сводится к «блужда-
нию по состояниям». Разумеется, можно искусственно
свести этот процесс к процессу случайного изменения
одного параметра X, приписав ему (чисто условно)
численное значение, равное номеру состояния: 1, 2,
3, ...; но искусственность такого приема сразу бро-
сается в глаза: ведь состояния можно пронумеровать
в произвольном порядке, и сведение процесса к такой
численной форме вовсе не обязательно. В дальнейшем
мы часто будем встречаться с такого типа случайными
процессами (процессы с «качественными состоя-
ниями») и выработаем для них специальные приемы
описания и анализа.

При фиксированном значении аргумента t случай-
ное состояние системы превращается в некоторый
аналог случайного события — одно из возможных со-
стояний, в котором система может находиться в мо-
мент времени t. Как правило, множество таких со-
стояний дискретно (конечно или счетно).

Теория случайных процессов имеет широкое поле
инженерных приложений. По мере углубления и уточ-
нения наших знаний об окружающем мире, по мере
усложнения технических устройств все большее число
процессов приходится рассматривать как случайные,
учитывая не только их поведение <в среднем», но и
случайные отклонения от этого среднего. Соответ-
ственно все большее значение приобретает теория
случайных процессов. Для современного периода раз-
вития техники характерно широкое применение
компьютеров (ЭВМ), автоматизированное управление
производственными процессами, а также автома-
тизированные и автоматические системы управления.
Работа любой такой системы связана со случайными
вариациями протекающих в ней процессов, т. е. с воз-
никновением в ней случайного процесса. Разумное
проектирование таких систем и анализ их работы тре-
буют от инженера знания основ теории случайных
процессов.

В настоящее время практически нет таких обла-
стей инженерной деятельности, которые не были бы
связаны со случайными процессами и необходимостью
их изучения. Любое работающее техническое устрой-
ство находится под влиянием случайных факторов,
в большей или меньшей степени влияющих на режим
его работы.

Все без исключения метеорологические характери-
стики (температура, давление, влажность, скорость
ветра, его направление и т. д.) представляют собой
случайные процессы. Развитие и взаимодействие раз-
личных биологических популяций также носят черты
случайных процессов.

Все виды хозяйственной деятельности человека
тоже зависят от случайных факторов (погода, случай-
ные колебания спроса и предложения, количество лю-
дей, которых можно вовлечь в производство и т. п.)
и, значит, описываются с помощью тех либо других
случайных процессов. Работа любой автоматизиро-
ванной системы управления (АСУ) представляет со-
бой случайный процесс, обусловленный случайными
моментами поступления информации и запросов, слу-
чайными моментами возникновения отказов элементов
комплекса технических средств, ошибками опера-
торов и т. п. Рост народонаселения, учет которого
необходим при проектировании новых жилых масси-
вов, также представляет собой случайный процесс.

Из этого не следует, что теория случайных про-
цессов— единственный математический аппарат, при-
годный для изучения таких явлений. Наряду с ним
может применяться и обычный, «детерминистский»
аппарат, в котором случайные факторы не учиты-
ваются. Но, пользуясь им, нельзя забывать, что он
дает только приближенное, схематичное описание
процесса, некоторое его «среднее» протекание, относи-
тельно которого возможны отклонения. При углуб-
ленном изучении процесса такие отклонения, как пра-
вило, приходится учитывать, для чего прибегают к ап-
парату теории случайных процессов.

До сих пор мы говорили только о случайных функ-
циях времени t. В ряде задач практики встречаются
случайные функции, зависящие не от времени, а от
другого аргумента. Например, давление Р газа в газо-
проводе может меняться случайным образом с изме-

Р(1)

Р(0)

Р(1)

4
I

Рис. 0.4

нением расстояния I до
точки, где измеряется
давление, от источника,
питающего газопровод, и
представляет собой слу-
чайную функцию аргу-
мента /. Давление Р(1) с
увеличением / имеет тен-

I денцию уменьшаться (на-
пример, как показано на
рис. 0.4). Под влиянием
случайных факторов (за-

сорение газопровода, неровности его внутренней по-
верхности, различный температурный режим на раз-
ных участках) давление будет меняться в зависи-
мости от I случайным, нерегулярным образом. Дру-
гой пример: прочностные характеристики стержня
представляют собой случайные функции абсциссы х
сечення стержня.

Строго говоря, случайным процессом следовало бы
называть только случайную функцию, зависящую от
времени /; понятие «случайной функции» шире, чем
понятие «случайного процесса». Мы такого разделе-
ния проводить не будем. Для простоты во всех слу-
чаях будем пользоваться термином «случайный про-
цесс» безотносительно к физической природе аргу-
мента, обозначенного буквой t. В большинстве прак-
тических задач аргументом фигурирующих в них слу-
чайных функций является именно время.

В некоторых задачах практики могут встретиться
случайные функции, зависящие не от одного, а от
нескольких аргументов.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Определение случайного процесса.

Классификация случайных процессов

Понятие случайного процесса (с. п.) в общих чер-
тах было уже освещено во Введении. Здесь мы уточ-
ним это понятие и дадим ему математическую фор-
мулировку. Ограничимся пока одномерными с. п., про-
текание которых сводится к одному числовому парамет-
ру X(t), меняющемуся во времени случайным образом.

Понятие случайного процесса представляет собой
обобщение понятия случайной величины (с. в), кото-
рое уже известно из книги [6].

Напомним, как там определялась случайная «ели-
чина (см. п. 3.1*). Под случайной величиной пони-
мается величина, которая в результате опыта со слу-
чайным исходом принимает то или иное значение.

Далее дается формальное, теоретико-множествен-
ное определение с. в. как функции элементарного со-
бытия «о, осуществляющегося в результате опыта и
входящего в пространство элементарных событий
Й(« eQ). При этом возможные значения х с. в. X
принадлежат множеству S(xe S).

Дадим теперь определение случайного процесса.
Случайным процессом X(t) называется процесс, зна-
чение которого при любом фиксированном t = to яв-
ляется случайной величиной X(t0)1).

Случайная величина X(to), в которую обращается
с. п. при t = to, называется сечением случайного про-
цесса, соответствующим данному значению аргу-
мента t. В дальнейшем, говоря о сечении с. п., мы не
всегда будем отмечать нулевым индексом то значение
аргумента i, которому оно соответствует, а будем по

') Для процесса с «качественными состояниями» роль слу-
чайной величины играет «случайное состояние системы», в кото-
рой протекает процесс, т. е. одно из множества возможных в мо-
мент I состояний.
мере надобности говорить об одном и том же выра-
жении то как о случайном процессе (при перемен-
ном /), то как о случайной величине (при фиксиро-
ванном t).

Аналогично тому, как мы записывали с. в. в виде
функции элементарного события а, появляющегося
в результате опыта, можно и с. п. записать в виде
функции двух аргументов — времени t и элементар-
ного события о:

Х(0 — Ф(/, <»), “ЕЙ, t^T, X(/)eS, (1.1.1)

где © — элементарное событие, Q—пространство эле-
ментарных событий, Т — область (множество) значе-
ний аргумента t функции X(t), S — множество воз-
можных значений случайного процесса X(t).

Предположим, что опыт, в ходе которого с. п. про-

текает так или иначе, уже произведен, т. е. про-
изошло элементарное событие ©efi. Это значит, что

с. п. уже не случаен, и зависимость его от г приняла

вполне определенный
вид: это уже обычная,
неслучайная функция
аргумента t. Мы бу-
дем ее называть реа-
лизацией случайного
процесса X(t) в дан-
ном опыте.

Итак, реализацией

случайного процесса

X(t) называется неслучайная функция х(1), в кото-
рую превращается случайный процесс X(t) в резуль-
тате опыта; другими словами, конкретный вид,
принятый с. п. X(t), который наблюдался на каком-то
отрезке времени от 0 до т (рис. 1.1.1)*).

Пользуясь формулой (1.1.1), можно записать реа-
лизацию как функцию ф от аргумента t, изменяюще-
гося в пределах множества Т, при фиксированном
элементарном событии а = ©о:

х(/) = ф(/, ©о)	(/еГ).	(1.1.2)

') Мы здесь сохраняем принятую в книге [6] систему обо-
значений, в которой случайные величины обозначаются, как пра-
вило, большими буквами, а неслучайные — малыми буквами ла-
тинского алфавита.
Реализации с. п. на каждом шагу встречаются на
практике. Любая реализация случайного процесса
x(t) принадлежит множеству S возможных значений
случайного процесса X(t): x(f)^ S.

Например, записывая с помощью какого-то при-
бора напряжение U питания ЭВМ в зависимости от
времени t на участке (0, г), получим реализацию u(t)

Рис. 1.1.2

с. п. U(t) (см. рис. 1.1.2, где ио — номинальное напря-
жение питания). Записывая температуру воздуха 0
в зависимости от времени t в течение суток, получим
реализацию &(/) с. п. 0(/) (рис. 1.1.3). Вообще, лю-
бая запись прибора-самописца представляет собой

реализацию того или другого с. п.

Если произведен не один опыт, а несколько, в ре-

зультате каждого из

которых наблюдена какая-то
реализация с. п. x>(f) (i —
номер опыта), то получим
несколько различных реа-
лизаций случайного про-
цесса: Xt(O, х2(0»
...,	... или семейство

реализаций (рис. 1.1.4).

Семейство реализаций
случайного процесса — ос-
новной экспериментальный

материал, на основе которого можно получить харак-
теристики с. п. — какие, мы увидим в дальнейшем.
Семейство реализаций с. п. аналогично совокупности
наблюденных значений с. в. X, с той разницей, что
здесь наблюдаются не числовые значения, а функции.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих
введенные понятия.
1)	Производится п опытов, в каждом из которых
непрерывно измеряется входное напряжение U(t), по-
даваемое на ЭВМ, в течение времени т; напряжение
U(t) с номинальным значением ио фактически пред-
ставляет собой случайный процесс. Для любого фик-
сированного момента времени t — to напряжение пред-
ставляет собой случайную величину U(to) — сечение
случайного процесса при	,

tLto. Результат п опы- W/W
тов — семейство реализаций
«1(0, «2(0...... «*(0. ••• и°

un(t), показанное на
рис. 1.1.5. Сечение U(t0)
с. п. U (0 при t = t0 пред-
ставляет собой случайную Ji
величину, наблюденные зна-	°

чения которой отмечены точ-	Рис. 1.1.5

ками на вертикальной пря-

мой, проведенной через точку to: «t(O), .... ыД/о), ...
• Un(to).

2)	Производится п опытов, в каждом из которых
регистрируется число X(t) отказов (сбоев) ЭВМ от
начала работы до момента времени t. Наблюдения
проводятся на участке времени от 0 до т. Случайный
процесс X(t) принимает це-
лочисленные значения 0, 1,
2, 3, ..., сохраняя их в про-
межутках между скачками,
происходящими в моменты,
когда происходит очеред-
ной отказ; его сечение X(t)
при любом фиксирован-
ном t — дискретная слу-
чайная величина, множе-
ство возможных значений

которой S = {0, 1, 2, 3, ..

Реализация x,(t) случайного процесса X(t) в i-м
опыте представляет собой неслучайную ступенча-
тую функцию, скачки которой единичной величины
происходят в моменты времени tn, ti2, ti3,... (рис. 1.1.6).

Реализации хД0, x2(t), .... xi(t), .... xn(t) раз-
личны между собой (моменты скачков в общем слу-
чае не совпадают); изобразить на одном графике
семейство реализаций трудно (читателю предлагается
мысленно наложить друг на друга п ступенчатых
кривых типа изображенной на рис. 1.1.6, различаю-
щихся моментами скачков, но не их величиной, всегда
равной единице).

3)	Производится п опытов, в каждом из которых
измеряется температура воздуха в (А) на высоте h
над данной точкой земной поверхности, в фиксирован-
ный момент времени суток <0 (например, в 19 часов).
В данном примере аргументом случайной функции
в (Л) является не время, а высота h\ но никакой прин-
ципиальной разницы с предыдущими примерами нет.
Сечение функции в (А) при фиксированном h0 пред-
ставляет собой непрерывную случайную величину. На

рис. 1.1.7 представлено семейство реализаций случай-
ной функции 6 (ft):	(ft),62(ft), .... 6<(ft).6„(ft).

Вообще, с возрастанием ft температура имеет тенден-
цию понижаться, но бывает, что она и повышается
(так называемые «инверсии»). ►

Теперь вернемся к самому понятию случайного
процесса и дадим некоторые пояснения.

Мы уже знаем, что с. п. Х(/) представляет собой
функцию, которая при любом t является случайной
величиной (сечением случайного процесса). Понятие
случайного процесса является обобщением понятия
случайной величины на случай, когда условия опыта
не постоянны, а меняются (в частности, время t «те-
чет»). Случайная величина X соответствует случай-
ному явлению как бы «в статике» (в неизменных
условиях опыта), а случайный процесс X(f) — «в ди-
намике» (в изменяющихся условиях опыта). Каждое
сечение с. п. X(t) при заданном t есть с. в., а совокуп-
ность всех сечений при всевозможных t и есть с. п.
Х(0. Значит, случайный процесс представляет собой
ие что иное, как систему случайных величин — всех
сечений этого процесса.

Сколько же существует сечений? В общем слу-
чае— бесконечное (несчетное) множество. Рассмат-

ривать в совокупности такую систему с. в. очень труд-
но, если не невозможно. Естественно как-то ограни-
чить себя, чтобы сделать задачу обозримой. Мы
знаем, что любую функцию /(/) аргумента t (из встре-
чающихся в реальной практике, а не в специально
придуманных примерах) можно приближенно пред-
ставить последовательностью ее значений в точках

6, t2, .... tk:	f(t2), ...

.... f(tk) (рис. 1.1.8). Чем
больше количество k точек h,
t2, tk, тем точнее будет
замена функции /(/) последо-
вательностью значений /(Л),
f(t2), . ., f(tk). Аналогично
будет обстоять дело и со с. п.
X(t). Его можно приближен-
но заменить совокупностью

(системой) случайных вели-

чин X(ti), X(t2), ..., X(tk)— его сечений в точках

/ь t2....tk- Чем больше сечений будет рассматри-

ваться, тем более подробное представление о случай-

ном процессе мы получим. В пределе число сечений
(число случайных величин в системе, или число со-

ставляющих случайного вектора) должно быть беско-
нечным. Изучение систем бесконечного (несчетного)
числа случайных величин — задача непомерной труд-

ности; на практике всегда приходится ее упрощать,
заменяя более доступной. Примеры таких упрощений
встретятся нам в дальнейшем. Нужно стараться при
изучении интересующих иас свойств случайного про-
цесса обойтись как можно меньшим числом сечений.

В теории случайных процессов принято классифи-
цировать их по тем или другим признакам, учитывая
плавность или скачкообразность реализации, фикси-
рованность или случайность моментов, в которые мо-
гут происходить скачки и т. д., вид закона распреде-
ления отдельного сечения процесса или совокупности
его сечений и т. д. Познакомимся с самой элементар-
ной классификацией случайных процессов —- «по вре-
мени» и «по состояниям».
Случайный процесс X(t) называется процессом
с дискретным временем, если система, в которой он
протекает, может менять свои состояния только в мо-
менты Л, /а....tj, .... число которых конечно или

счетно. Множество Т является дискретным.

Примеры процессов с дискретным временем: 1) про-
цесс работы ЭВМ, которая может менять свои со-
стояния в моменты h, t2.....tj, ..., определяемые

тактом работы машины; 2) процесс работы техниче-
ского устройства, которое осматривается в моменты
fi, t2, ... и переводится в результате осмотра из од-
ной категории в другую; 3) процесс обстрела цели
в моменты t\, t2, ..., в ходе которого цель может
менять свои состояния (не повреждена, частично вы-
ведена из строя, перестала функционировать, пол-
ностью разрушена и т. п.). Если рассматривается
одномерный случайный процесс X(f) с дискретным
временем (моменты ti, t2, ...), то его сечения в эти
моменты образуют последовательность случайных ве-
личин-. X(fi), X(t2), ... В качестве аргумента после-
довательности может быть выбран номер значения
момента перехода: Х(1), Х(2), ...

Случайный процесс Х(0 называется процессом
с непрерывным временем, если переходы системы из
состояния в состояние могут происходить в любой мо-
мент t наблюдаемого периода т.

Для процесса с непрерывным временем множество
Т моментов, когда система меняет свое состояние, не-
счетно (они непрерывно заполняют рассматриваемый
участок оси абсцисс). Примеры случайных процес-
сов с непрерывным временем: 1) X(t)—число отказов
технического устройства от начала работы до мо-
мента t; 2) броуновское движение частицы в поле
зрения микроскопа; 3) число N(t) заболевших в дан-
ном городе в ходе развития эпидемии к моменту t.

Одномерный случайный процесс X(t) называется
процессом с непрерывными состояниями, если его се-
чение в любой момент t представляет собой не ди-
скретную, а непрерывную (или смешанную) случай-
ную величину и, значит, множество ее значе-
ний 3 несчетно. Аналогично, многомерный
(векторный) случайный процесс называется процессом
с непрерывными состояниями, если при любом t мно-
жество возможных значений случайного вектора, оп-
ределяющего состояние системы S, в которой проте-
кает процесс, несчетно. Примеры с. п. с непрерывными
состояниями: 1) напряжение U(t) питания ЭВМ в мо-
мент t\ 2) давление газа P(t) в заданном резервуаре
в момент t; 3) координаты частицы, совершающей
броуновское движение X(t), Y(t), в момент t (дву-
мерный случайный процесс с непрерывными состоя-
ниями); 4) параметры, характеризующие в момент t
состояние космической ракеты, выводимой на орбиту
(многомерный случайный процесс с непрерывными со-
стояниями).

Случайный процесс, протекающий в системе S, на-
зывается процессом с дискретными состояниями, если
в любой момент времени t множество его состояний S
конечно или счетно; другими словами, если его сече-
ние в любой момент t характеризуется дискретной
случайной величиной X(t) (в многомерном случае —
несколькими дискретными случайными величинами).
Разумеется, все случайные процессы с «качествен-
ными» состояниями относятся к категории процессов
с дискретными состояниями; сечение такого процесса
представляет собой случайное событие — аналог ди-
скретной случайной величины (см. Введение).

Таким образом, в зависимости от характера мно-
жества Т значений аргумента t, в которые возможны
переходы системы из состояния в состояние, а также
множества S самих состояний все случайные процес-
сы можно разделить на четыре класса:

1а. Процессы с дискретными состояниями и ди-
скретным временем.

16. Процессы с дискретными состояниями и не-
прерывным временем.

2а. Процессы с непрерывными состояниями и ди-
скретным временем.

26. Процессы с непрерывными состояниями и не-
прерывным временем.

Примеры процессов разных типов

1а. Некто купил m билетов выигрышного займа,
которые могут выигрывать и погашаться в заранее
известные моменты тиражей <l( t2, ... Случайный
процесс X(t)—число билетов, выигравших до мо-
мента t.

16. Техническое устройство состоит из п узлов, ко-
торые могут в ходе работы устройства отказывать
(выходить из строя). Случайный процесс X(t)—число
узлов, отказавших до момента t.

Еще пример процесса типа 16: техническое устрой-
ство может под действием случайных факторов нахо-
диться в одном из состояний: Si — работает исправно;
«2 — работает с перебоями; «з— остановлено, ведется
поиск неисправности; s4— ремонтируется; ss — окон-
чательно вышло из строя, списано. Сечение такого
процесса представляет собой, как для каждого про-
цесса с «качественными состояниями», обобщенную
случайную величину дискретного типа, «возможные
значения» которой описываются не численно, а сло-
весно.

2а. В определенные моменты времени ft, t2, ... ре-
гистрируется температура воздуха 0(f) в заданной
точке пространства. Последовательность значений этой
величины — случайный процесс 0(f) с непрерывными
состояниями и дискретным временем.

26. Процесс изменения напряжения U(t) в элек-
тросети питания ЭВМ представляет собой случайный
процесс с непрерывными состояниями и непрерывным
временем.

Для различных типов случайных процессов разра-
ботаны различные методы их изучения и описания,
с которыми мы познакомимся в дальнейшем.

В ряде задач случайные процессы бывает удобно
выражать через простейшие (или «элементарные»)
случайные функции. Элементарной случайной функ-
цией (э. с. ф.) будем называть такую функцию аргу-
мента t, где зависимость от t представлена обычной,
неслучайной функцией, в которую в качестве парамет-
ров входят одна или несколько обычных, не завися-
щих от t случайных величин.

Рассмотрим ряд примеров э. с. ф. Для каждого из
них построим семейство реализаций, приписывая фи-
гурирующей в примере случайной величине (или слу-
чайному вектору) ряд значений. В каждом из при-
меров э: с. ф. обозначена У(0. ее реализации — yt(O,
Уг(О> •••

Пример 1. Э. с. ф. имеет вид

Y (t) = Xe~* (t > 0),
где X— непрерывная случайная величина, распреде-
ленная равномерно в интервале (—1, 1).
Семейство реализаций э. с. ф. Y(t) показано на
рис. 1.1.9; каждая из них представляет собой показа-
тельную кривую с ординатами, пропорциональными
ординатам кривой е~‘ (жирная линия); отдельные
реализации (тонкие линии) различаются между собой

масштабом по оси ординат. Когда с. в. X принимает
отрицательное значение, соответствующая реализация
лежит ниже оси абсцисс.

Пример 2. Э. с. ф. имеет вид

Y(t) = e~tx (/>0),	(1.1.3)

где X— случайная величина, принимающая только по-
ложительные значения. Семейство реализаций э. с. ф.
(1.1.3) показано на рис. 1.1.10. Каждая из этих реа-
лизаций представляет собой показательную кривую,
проходящую через точку с координатами (0, 1); раз-
личаются они между собой скоростью стремления
к нулю при /-> ОО.

Пример 3. Y(t)~ at + X, где X — случайная
величина, а — неслучайная величина. Каждая реали-
зация (рис. 1.1.11) представляет собой прямую с угло-
вым коэффициентом а, параллельную прямой у — at,
различаются реализации начальными ординатами.

Пример 4. Y(t)-X-t + a, где X — случайная
величина, а — неслучайная величина. Каждая из реа-
лизаций — прямая линия, проходящая через точку
(0, а) (рис. 1.1.12). Реализации различаются угловыми
коэффициентами.

Пример 5. Y{t) = X cos at, где X — случайная
величина, а—неслучайная величина. Семейство реа-
лизаций показано на рис. 1.1.13; каждая из них —
косинусоида, ординаты которой умножены на тот или
другой случайный коэффициент. Реализации разли-
чаются между собой амплитудой, т. е. масштабом по
оси ординат.

Пример 6. Y(t)~ cosUt, где U — случайная
величина, принимающая положительные значения. Се-

Рис. 1.1.14

мейство реализаций показано на рис. 1.1.14; каждая
из них проходит через точку (0, 1). Реализации раз-
личаются между собой по частоте.
Пример 7. У(/)= cos(o)/+ X), где X — случай-
ная фаза колебаний, распределенная равномерно
в интервале (—л; л). Семейство реализаций э.с. ф. по-
казано на рис. 1.1.15.

Пример 8. У(0 в U cos at + V sin at, где (U,V) —
система случайных величин, а — неслучайная вели-
чина. Семейство реализаций представлено на
рис. 1.1.16. Каждая реализация представляет собой

Рис. 1.1.16

гармоническое колебание на частоте а со случайной
амплитудой и случайной фазой.

Пример 9. Y(t) — а + Ut + Vt2, где (U, V) —си-
стема двух случайных величии, а — неслучайная вели-
чина. Семейство реализаций показано на рис. 1.1.17.
Каждая реализация проходит через точку (0, а). ►

В крайнем случае э. с. ф. может выродиться в не-
случайную функцию у(О = Я>(О (рис. 1-1-18) (тогда
все ее реализации совпадают между собой и с функ-
цией ф(0) или даже вообще превращаются в неслу-

y(ty y(t)=#(.t)

Рис. 1.1.18

О

t

чайную величину а: у = а; все реализации в этом
случае совпадают с прямой а.

1.2. Законы распределения и основные
характеристики случайных процессов

Мы знаем (см. гл. 3* в [6]), что полной, исчерпы-
вающей характеристикой случайной величины яв-
ляется ее закон распределения. Для дискретной с. в.
он может быть задан рядом распределения, для не-
прерывной с. в. — плотностью распределения (п. р.).
Универсальной исчерпывающей характеристикой лю-
бой с. в. X — дискретной, непрерывной или смешан-
ной — является ее функция распределения (ф. р.)
F (х) = Р {X < х}, т. е. вероятность того, что с. в. X
примет значение, меньшее заданного х.

Пусть имеется с. п. X(t). Мы знаем, что сечение
с. п. X(t) при любом фиксированном значении аргу-
мента t представляет собой случайную величину, ко-
торая имеет закон распределения

F(t, x) = P{X(t)<x}.	(1.2.1)

Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых,
от значения t, для которого берется сечение; во-вто-
рых, от значения х, меньше которого должна быть
с. в. Х(/) (рис.- 1.2.1). Функция (1.2.1) называется
одномерным законом распределения с. п. X(t).
Итак, перед нами функция двух аргументов (1.2.1).
Является ли функция (1.2.1) полной, исчерпывающей
характеристикой случайного процесса Х(/)? Очевидно,
нет. Эта функция характеризует только свойства од-
ного отдельно взятого сечения с. п. X(t), но не дает
понятия о совместном рас-
пределении двух (или бо-
лее) сечений с. п. В самом
деле, можно представить
себе два случайных процес-
са с одинаковым распреде-
лением в каждом сечении,
но совершенно различных
по своей структуре. Пер-
вый представлен совокуп-
ностью своих реализаций

на рис. 1.2.3. Первый процесс имеет плавный харак-
тер, второй — более резкий, «нервный». Для первого
процесса характерна более тесная зависимость между

на оис. 1.2.2.

сечениями с. п.; для второго эта зависимость затухает
довольно быстро с увеличением расстояния между се-
чениями. Очевидно, одномерный закон распределения
(1.2.1) не может служить полной, исчерпывающей
характеристикой с. п. X(t). Очевидно также, что более
полной (но все еще не исчерпывающей) характери-
стикой будет двумерный закон распределения, пред-
ставленный совместной функцией распределения двух
сечений с. п., взятых соответственно для моментов
Л и t2:

P(tlt t2, х„ x2) = P{X(tl)<xi, X(t2)<x2}. (1.2.2)

Это функция уже не двух, а четырех аргументов: двух
моментов времени, для которых берутся сечения, и
двух значений Х] и х2 (рис. 1.2.4). Функция четырех
аргументов — это уже неприятно! Однако и двумерный
закон распределения (1.2.2) еще не является исчерпы-
вающей характеристикой с. п. X(t) ; еще более полной
характеристикой будет трехмерный закон

F U1, tz. G; *1, xz, х3) =

== Р {X (^) < х„ X (tt) < х2, X (<3) < х3)

и т. д.

Очевидно, теоретически можно неограниченно уве-
личивать число сечений и получать при этом все более
полную характеристику с. п. Одиако оперировать со

столь громоздкими характеристиками, зависящими от
многих аргументов, крайне неудобно; к тому же объем
экспериментального материала, необходимого для их
получения, с увеличением числа сечений растет чрез-
вычайно быстро. Поэтому на практике более чем дву-
мерные законы распределения применяются крайне
редко. В инженерных приложениях обычно ограничи-
ваются одномерным, иногда — двумерным законом
распределения с. п. Нередко этого оказывается и до-
статочно.

Во многих случаях инженерной практики проте-
кающие в системах процессы можно (точно или при-
ближенно) представлять как марковские (или «про-
цессы без последействия», см. гл. 4, 5). Для таких
процессов исчерпывающей характеристикой будет дву-
мерный закон (1.2.2). Существует большой класс
процессов — так называемые нормальные, или гаус-
совские случайные процессы — в которых двумерный
закон распределения (1.2.2) будет также исчерпываю-
щей характеристикой. Но чаще всего при исследова-
нии случайных процессов для практических целей
вообще отказываются от законов распределения с. п.,
а пользуются его основными характеристиками, опи-

сывающими с. п. не полностью, а частично.

Мы знаем (см. гл. 8*), что многие задачи теории
вероятностей можно решать, совсем не прибегая к за-
конам распределения случайных величин, а пользуясь

только их числовыми характеристиками,
такими, как математическое ожидание (м.о.), дис-

персия, ковариация, начальные и центральные мо-
менты разных порядков и т. д. Аналогично обстоит
дело и со случайными процессами, только для них

основные характеристики будут уже не числами,

а функциями аргумента t,
X(t), или же двух (обыч-
но не больше) значений
этого аргумента.

Первой и важнейшей
характеристикой с. п. X (/)
является его математическое
ожидание, т. е. «средняя»
функция, вокруг которой
происходит разброс реали-
заций с. п. (см. жирную ли-
нию mx(t) на рис. 1.2.5,

от которого зависит с. п.

где тонкими линиями даны реализации с. п.). Заме-
тим, что эта функция, характеризующая «среднее»
значение случайного процесса, является сама уже не-
случайной. Обозначим ее mx(t). Итак, математиче-
ским ожиданием случайного процесса X (t) называется

неслучайная функция mx(t), которая при любом зна-
чении аргумента t равна математическому ожиданию

соответствующего сечения случайного процесса

т<(П = М[А(0]1).	(12.3)

Зная одномерный закон распределения с. п. X(t),
всегда можно найти mx(t) для любого сечения и уста-
новить его зависимость от t. Как находится математи-
ческое ожидание по закону распределения, мы уже
знаем из книги [6] (см. гл. 4*): если с. в. X дискретна,

') Будем исходить из допущения, что м.о. случайного про-
цесса существует, ие оговаривая это специально каждый раз.
ее м. о. находится как сумма произведений ее воз-
можных значений на их вероятности:

тх = £ xipc,
i

если она непрерывна и имеет плотность f(x)—м. о.
вычисляется как интеграл:

тх= $ xf(x)dx.

Математическое ожидание смешанной с. в. X нахо-
дится как сумма произведений значений с. в., обла-
дающих отличными от нуля вероятностями, на эти
вероятности плюс интеграл, распространенный на
участки непрерывности функции распределения F(x)
(см. (4.1.4)*).

Совершенно аналогично, зафиксировав t и пере-
ходя от случайного процесса к случайной величине
(его сечению), можно вычислить м.о. этого процесса.

Например, если сечение с. п. Х(0 при данном t
представляет собой дискретную с. в. с рядом распре-
деления

*1(0 *2 (01 ••• *<(0 • ••

Х(0: ----------Т~-------------,	(*)

Р>(0 Рг(0 ... Р<(0 •••

то его м.о. может быть вычислено по формуле

/пх(0=м[х(01=Е*а0Р1(0.	(1.2.4)

i

Здесь xt(O. *2(0» • ••> *<(0. ... — первое, вто-
рое, .... i-e, ... значения, которые может принимать
случайная величина X(t) — сечение с. п. прн данном t;
Pi(0> Рг(О- • ••> Р<(0> —соответствующие ве-
роятности: pi (0 = P{X(0 = xl(0), • • .,рг(0 = Р{^(0 =
= */(0}. •••

Очень часто встречается случай, когда значения
с. в. Х(0 не зависят от t, а зависят от t только их
вероятности; в этом случае ряд распределения имеет
вид

Х(0:	*i	*2		*4	. . .
	Р1(0	Рг(0	. • .	Р1(0	. . .

(♦♦)
В тех примерах случайных процессов с дискрет
ными состояниями, которые мы приводили в п. 1.1,
значения хь х2.....xi, ... не зависели от t и просто

были целыми числами 0, 1, 2, ..., i, ...

Если сечение с. п. X(/) при данном t представляет
собой непрерывную с. в. с плотностью его м. о.
может быть вычислено по формуле

ОО

тх (t) = М [X (/)] = J xf (t, х) dx. (1.2.5)
— ОО

Для случая смешанной случайной величины X{t)
м. о., как обычно, вычисляется как сумма плюс ин-
теграл (см. 4.1.4)*); соответствующих формул здесь
не будем выписывать, ввиду их сравнительной гро-
моздкости. Размерность функции mx{t) равна размер-
ности с. п. X(t). На практике чаще всего математиче-
ское ожидание mx(t) с. п. вычисляется не по его
одномерному закону распределения, а заменяется при-
ближенной оценкой, которую можно найти по опытным
данным (см. п. 11.6*).

Введем понятие центрированного случайного про-
цесса; оно аналогично понятию центрированной с. в.
(см. (4.2.6)*).

Центрированным случайным процессом X (/) на-
зывается процесс, который получится, если из с. п.
X (/) вычесть его м. о.

X (О —X (/) — ««(/).	(1-2.6)

Из определения (1.2.4), (1.2.5) математического
ожидания с. п. следует, что м. о. центрированного с. п.
X (0 тождественно равно нулю, т. е.

М [X (/)] = М [X (/)] - тх (/^ 0.	(1.2.7)

О	О

Реализации xt (/) центрированного с. п. X (/) представ-
ляют собой отклонения с. п. X(t) от его математиче-
ского ожидания; эти отклонения имеют как положи-
тельные, так и отрицательные значения, а в среднем
равны нулю (рис. 1.2.6).

Кроме м. о. в теории случайных процессов рас-
сматриваются и другие их характеристики, аналогич-
ные числовым характеристикам с. в. (с той разницей,
что они будут уже не числами, а функциями): началь-
ные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайного
процесса X(t) называется м.о. k-й степени соответ-
ствующего сечения с. п.:

М0 = М[(Х(0)*1,	(1.2.8)

а центральным моментом k-го порядка — м.о. fe-й сте-
пени центрированного с. п.:

Иа (0 = м «Х° (0)*] = М [(X (О - тх (/))*]. (1.2.9)

Из начальных моментов, кроме математического
ожидания (первого начального момента) чаще всего

применяется второй начальный момент: М [(X (О)2]
(в иной записи: М[Х2(/)]); из центральных — второй
центральный момент, иначе — дисперсия случайного
процесса, которая при каждом t равна дисперсии
соответствующего сечения случайного процесса:

Dx (t) = D [X (/)] = М [(X (О)2].	(1.2.10)

Вспомним, как выражается дисперсия с. в. через
ее второй начальный момент (см. (4.2.17)*): D [X] —
= М [X2] — т2, т. е. дисперсия случайной величины
равна математическому ожиданию ее квадрата минус
квадрат математического ожидания. Совершенно та-
кое же соотношение связывает дисперсию с. п. с его
вторым начальным моментом:

Dx (/) = D [X (01 = М [X2 (0] - ш2х (/). (1.2.11)

Следовательно, дисперсией с.п. X(t) называется не-
случайная функция Dx(t), которая при любом значе-
нии аргумента t равна дисперсии соответствующего
сечения случайного процесса X(t).
Зная закон распределения любого сечения с. п.
X(f) (одномерный закон распределения), можно по
известным правилам найти дисперсию с. п. X(t).

Если сечение X(t) представляет собой дискретную
с. в. с рядом распределения (••), то дисперсия с. п.
находится по формуле

Dx (0 = D [X (/)] = Z (xt - тх (ttf р( (0, (1.2.12)

где I — номер возможного значения с. в. Х(1) при дан-
ном t, pt(/)—вероятность этого значения, или же, че-
рез второй начальный момент,

Dx (0 = D [X (/)] = £ х*р, (П - т\ (0. (1.2.13)

Если сечение Х(/) представляет собой непрерыв-
ную с. в. с плотностью /(/,*), то дисперсия с. п. может
быть вычислена по формуле

ОО

пх (0 = \[х-тх (О)2 f (t, х) dx (1.2.14)
— ОО

или же через второй начальный момент')

Dx (0 = J x2f (t, х) dx - nil (/).	(1-2.15)

-oo

Таким образом, как м. о., так и дисперсия с. п. X(t)
определяются его одномерным законом распреде-
ления.

Если м.о. mx(t) с. п. X(t) представляет собой не-
которую неслучайную «среднюю функцию», около
которой варьируются реализации случайного процесса,
то дисперсия с. п. Dx(t) представляет собой неслучай-
ную неотрицательную функцию, характеризующую
степень разброса реализаций с. п. Х(0 около его м.о.
mx(t), т. е. степень разброса реализаций центриро-
ванного случайного процесса X (/).

Средним квадратическим отклонением (с. к. о.)
а*(0 с. п. X(t) называется арифметическое значение

*) Случай смешанной с. в. X(t), как и выше, опускаем ввиду
сравнительной громоздкости соответствующих формул.
корня квадратного из дисперсии Dx(t):

<M0 = <T[X(0J = VOx(0- (1.2.16)

Размерность функции ax(t) равна размерности
с. п. Х(1).

Введенные нами характеристики с. п. X(t): м.о.
тх(0, дисперсия Dx(t) и с. к. о. ox(t) — являются
весьма важными, но отнюдь не исчерпывающими, так
как определяются только одномерным законом рас-
пределения. Например, у с. п. XJ0 и Х2(0, изобра-
женных на рнс. 1.2.7 и 1.2.8, примерно одинаковые

Рис. 1.2.7

Рис. 1.2.8

м.о. и дисперсии: mx,(t) « mx,(t), DXi(t) ~ DX:(t). Од-
нако внутренняя структура этих процессов резко раз-
лична. Случайный процесс Xi(0 имеет плавно ме-
няющиеся реализации, тогда как с. п. Х2(0 имеет
резко выраженную колебательную структуру. Для
процесса Xt(l) характерна большая предсказуемость
реализаций: если реализация процесса XJ0 была
в какой-то момент t больше его м.о. mXt(t), то с боль-
шой вероятностью можно ожидать, что и ее продол-
жение будет лежать выше кривой тх, (0. Другими
словами, для с. п. Xi(t) характерна сильная вероят-
ностная зависимость между двумя его сечениями Х\(0
и XJf) (см. рис. 1.2.7).

Это утверждение не справедливо для с. п. Х2(0,
который характеризуется неправильными, беспорядоч-
ными колебаниями. Между его сечеинями Х2(0 н
X2(t') (см. рис. 1.2.8) практически нет вероятностной
зависимости при достаточном удалении сечений (эта
вероятностная зависимость быстро уменьшается по
мере увеличения разности (f— 1)).

Известно, что степень линейной зависимости (свя-
зи) между двумя случайными величинами X н Y оп-
ределяется их ковариацией:

Кху = М [(X - тх) (У - т.у)] = М [ХГ] — тхту. (1.2.17)

Аналогичная характеристика вводится и для с.п.

Рассмотрим две с. в. — два сечения с. п. для мо-
ментов t и t': X(t) и X(f). Для этих двух с. в. можно
найти ковариацию (обозначим ее Kx(t, i')):

К At, О = М[Х(0Х(Г)1 =

= М [X (О X (/')! - тх (0 тх (/'). (1.2.18)

Функция (1.2.18) называется корреляционной функ-
цией с. п. X(t). Повторим это определение словами:
корреляционной функцией с.п. X(t) называется не-
случайная функция	двух аргументов t и

которая при каждой паре значений аргументов tut'
равна ковариации соответствующих сечений случай-
ного процесса: X(t) и X(t').

Очевидно, что у с.п. и Х2(0> реализации
которых изображены на рис. 1.2.7, 1.2.8, корреляцион-
ные функции различны; а именно: корреляционная
функция KxAt, t') с. п. (О убывает по мере уве-
личения разности (f — /) гораздо медленнее, чем
корреляционная функция Kx,(t, t') с. п. Х2(0-

Рассмотрим основные свойства корреляционной
функции (к.ф.) Kx(t,t') с.п. X(t).

1.	При равенстве аргументов (t = t')~
к. ф. равна дисперсии с. п. Действительно (см.
(1.2.10)),

Кх (/, 0 = М [X (/) X (01 = М [(X (О)2] = Dx (/). (1.2.19)

2.	Корреляционная функция Kx(t, t')
симметрична относительно своих аргу-
ментов:

KAt,t')==KAt',t).	(1.2.20)

Это свойство непосредственно вытекает из определе-
ния (1.2.18) и аналогично свойству симметричности
ковариационной матрицы системы с. в. относительно
главной диагонали (см. (7.8.17)*).

На рис. 1.2.9 показан вид поверхности, изобра-
жающей к. ф. Kx(t, t'). Поверхность Kxft,?) сим-
метрична относительно вертикальной плоскости Н,

2 Теория случайных процессов
проходящей через биссектрису координатного угла
/Of.

Линия пересечения плоскости Н с поверхностью
Лх (/,/') лежит не ниже плоскости /Of, так как эта
ее аппликата равна днсперснн с. п. Х(/): Dx(/) =
—	Прн t^=t' ковариация может быть как

положительной, так и отрица-
тельной, поэтому поверхность
Kx(/,f) может лежать как
выше плоскости /Of, так и
ниже ее.

3.	Корреляцией ная
* функция (/,/') явля-
ется положительно оп-
ределенной, т. е.

J J а (/) а (/') Кх (t, t') dt dt' 0,

где a(/)—произвольная функция аргумента /, В —
произвольное подмножество множества Г, на котором
определен с. п. X(t). Это свойство аналогично свойству
положительной определенности корреляционной мат-
рицы Цк’рИ системы с. в. (Xt, Х„) (см. 8.2.14)*)

£ £ a,a,K,>0,	(1.2.22)

справедливому для любых чисел а15 а2, ап. Послед-
нее неравенство вытекает из условия, что дисперсия
п

линейной функции случайных величин £ а, У, не может
быть отрицательной (см. (8.2.14)*):

D =% $>^0.

При увеличении числа сечений п с. п. У(/) кор-
реляционная матрица в пределе переходит в к. ф.
Kx(l, t’), последовательности чисел а, — в функцию
а(/), а двойная сумма (1.2.22) — в двойной интеграл.

Корреляционная функция Kx(t, tr) может быть как
положительной, так и отрицательной, она характеризу-
ет не только степень тесноты линейной зависимости ме-
жду двумя сечениями X(t) и X(t') с. п., но и разброс
этих сечений относительно м.о. mx(t). Тесноту ли-
нейной зависимости двух с. в. X и Y характеризует
коэффициент корреляции: гху — Кху/(ахау). Анало-
гичная характеристика вводится и для с. п. X(t).

Нормированной корреляционной функцией (н. к. ф.)
rx(t,t') случайного процесса X(t) называется функ-
ция, полученная делением корреляционной функции
Kx(t,f) на произведение с. к. о. cx(t), ox(f):

rx (t, t') = K^’ 'Xr = -г-. (1.2.23)
7 ax (0 ax (t ) ^/dx (0 Dx (t)	’

Свойства нормированой корреляционной функции
rx(t, t') вытекают из ее определения.

1)	При равенстве аргументов (t=t') н. к. ф. равна
единице:

гх(/, 0=1-	(1.2.24)

2)	Нормированная корреляционная функция rx(t, f)
симметрична относительно своих аргументов:

rx(t, n = rx(t', t).	(1.2.25)

3)	Нормированная корреляционная функция по мо-
дулю не превосходит единицу:

\rx(t, OKI.	(1.2.26)

4)	f f в(0аЮГх(/, t')ox(t)ox(t')dtdt'^.
m

Чтобы найти к. ф. Kx(t,tf) с. п. X(t) (и его н. к. ф.
rx(t,t')), недостаточно знать одномерный закон рас-
пределения с. п. X(t) ; в общем случае требуется зна-
ние его двумерного закона распределения для двух
сечений X(t), X(t'). Если этот закон распределения
известен, можно для любой пары значений t, t' найти
корреляционный момент

К At, О = М[Х (/)Х (/')! =

= М [(X (/) - тх (0) (X (t') - тх (f))]. (1.2.27)

Или выражая его через смешанный первый начальный
момент:

Кх (t, t') = М [X (О X (/')] - тх (0 тх (?). (1.2.28)
Например, если известна совместная плотность
распределения двух сечений с.п. X(t):	то

формулы (1.2.27) и (1.2.28) примут вид

Кх (t, t’) = f f (х—тх (/)) (х'—тх)	t’, х, х') dx dx',

(1.2.29)

Kx{t, t') = ^xx'f(t, t', x, x') dx dx'—mx(f)mx(t').

(1.2.30)

Сравнительно просто можно находить характери-
стики элементарных случайных функций (см. п. 1.1).
Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Элементарная случайная функция
(э. с. ф.) имеет вид

Y(f)=Xe~‘ (/>0),

где X— с. в., распределенная по нормальному закону
с параметрами тиа. Найти характеристики э. с. ф.
У(/): м. о. ту(/), дисперсию Dy(t), к. ф. Kx(t, f), а также
н. к. ф. rx(t,t'} ип. p.f(t,y).

Решение: Пользуясь правилами нахожения число-
вых характеристик линейных функций с. в. (см. п. 8.2*),
находим:

ту (/) = М [Хе~‘] — е~‘ М [У]~те‘,
Dy(t)=(e~‘)2D[X]=a2e~2‘.

Извлекая из Dy(t) корень квадратный, находим с. к. о.:

Найдем к. ф. Центрированный с. п.

f (0= Y(t) — my(t)=Xe~‘—me~‘ = jte~‘,
откуда

Ky(t, f) = M[t(0 f(f)] = M[±e’'±e"'] = ff2e-('+'').

Деля к. ф. на ay(t)ay(tr), получим н. к. ф.

ry(t, t')=Ky(t, t')/(ay(f)ay(t') = _t 1,
ae ae

f(t, y)=[y/2n ay (0Г1 exp

1 (У~туЮ\2~

2\ /
Пример 2. Э. с. ф. Y(!) имеет вид

Г (/) =	(/>0),

где X — с. в., распределенная по показательному за-
кону с плотностью f(x) = 'ke~i-x (х > О, А. > 0). Найти
характеристики э.с. ф.: my(t), Dy(t), oy(t), Ky(t,t'),
ry(t, f).

Решение. Пользуясь правилами нахождения
м.о. функции (см. (8.1.10)*), находим:

шр(2) = $ e~xtf(x)dx — $	dx = * (t > 0).

— оо	О

Рассмотрим произведение Y(t)-Y(t'):

Y (t)  Y (t') = e~xte~xt'— е~х(/>0, t' > 0).

Следовательно,

М [У (t)Y (/')]= Jc xWf(x)dx = f+p—х .

— ОО

откуда к. ф. будет равна

Ку (t, t') = М [У (/) У (Г)1 - ту (/) ту (!') =

Mt'

~ (2 + 2; + А) (2 + А) (2'+ А) '

Найдем дисперсию и с. к. о.

= % У V’ Я = (22 + А) (2 + А)*	> °)’

° У ® = Т+Т У/ 22 +А > °)’

Следовательно, н. к. ф.

Ky(t,t')

ay(t)ay(t') —	2'+ 2 +А ‘	O-2-31)

Можно убедиться в том, что ry(t, t)= 1,	| < 1

(t >0, t' >0).

Пример 3. Э. с. ф. имеет вид

У(/) = аХ + (,

где X — с. в., распределенная по нормальному закону
с параметрами т, а; а — неслучайная величина. Найти
характеристики э. с. ф. У(0-
Решение. ту (0 = аМ [X] +t = ат + t, Y (/) ==
= аХ+ t-am — t = a(X-т) = аХ,	Ky(t,t') =

— М [У (0 Y (Г)] = М [аХ • аХ] = aV, D„ (0 == Ки (t, 0 =
= а2а2, Oy(t) — \a\a, ry(t, f)» 1.

Пример 4. Э. с. ф. Y(t) имеет вид

Y(t) = Xt + a,

где X — с. в., распределенная по закону равномерной
плотности на участке (а, £), а — неслучайная вели-
чина. Найти характеристики э. с. ф. Y(t).

Решение. ту (0 = М + а] — mxt + а, где тх —
= (а + ₽)/2. Y (t) —Xt + a—mxt — a = Xt, Ky(t, /') =
= М [У (0 У (f)] = М [XtXt'] = Dxtt', гл&рх — (а — ₽)2/12,
Dy (0 = Ку (t, t) = Dxt\ ay (0 = t ^Dx, ry (t, f) =
= —»i (/, t' > o).

Пример 5. Э. с. ф. У(0 имеет внд

У (0 = U cos at + V sin at,

где U, V— некоррелированные с. в. с характеристи-
ками ти = то = 0, аи — оо = а, ш— неслучайная ве-
личина. Найти характеристики э. с. ф. У(0.

О

Решение. m;,(0 = mBcos<a/-|-mosin«rf = O, У(0 =
— Y (0, Ку (t, f) — М [(U cos at + V sin at) (U cos at' -j-
+ V sin (uf)] = M [£/2 cos at cos at' + UV (sin <o/ cos at' +
-i-cosarf sin oaf) 4- V2 sinarf sintof].

По условию примера M (£/ • V] = Kut> = 0, откуда

К в (t> f) = М [£/2] cos at cos at' + M [ V2] sin at sin at' =

= a2 cos a(t — t'),

Dy (0 — К у (t, t) = a2 cos a (t — t) — a2, ay (/) = <r,
re {t, f) = К у (t, t)K<jy (0 ay (/')) = cos a (t - f).	(1.2.32)

Пример 6. Э. с. ф. Y(0 имеет вид

Y(t)=We~u‘ K>0),

где с. в. W имеет характеристики mw и о»; с. в. U рас-
пределена равномерно в интервале (0, a) (а > 0); с. в.
Ц7 и I) независимы. Найти характеристики э. с. ф.
У(0-

Решение. Обозначим e~ut — Z(t). Принимая во
внимание, что с. в. U распределена в интервале (0, а)
с постоянной плотностью 1/а, получим

а

mg(t) = М [Z (01 = М [е'ш] = у J e~utdu =
о

= (1-е-»9/(а/) (/>0),
my(t) = М \We~ut} = М [Л • М [е ut\ =

= /пш(1-еа')/И (/> 0).

Найдем к. ф.

Ки (t, П = М [(WZ (0 - mwmz (0) (WZ (t') - mwmz (f))] =
= М {W2Z (t) Z (t') - W'Z (t') mwmz (0 -

-WZ(t) mwmz (t') + тг (t')] =

= « + 4) M lZ W Z (01 -	(0 ™z (f).

По условию:

M[Z(0Z(f)l = M[e-y' e <"'] =

=	=	(1.2.33)

Следовательно,

Kv(t, 0=^+4)-4^—

- <	• (1 -2.34)

откуда

i — й 2at

D„(t) = Kv(t, +	-----

Пример 7. Найти характеристики э. с. ф.

Y (0 = V cos (ф/- в),

где V и 0 независимые с. в.; с. в. V имеет характе
ристикн то и <у„; с. в. 0 распределена равномерно
в интервале (0,2л); ф —неслучайный параметр.
|2л

sin 0 = 0,

>о

1 12я

cos О = 0,

2л |0

Решение. Представим э. с. ф. в виде

У (0 — V cos (ф/ — 0) = V cos 0 cos ф/ 4- V sin 0 sin фЛ
Найдем числовые характеристики следующих функ-
ций случайной величины 0, распределенной равно-
мерно в интервале (0, 2л):

2л

M{cos0] = ~x—( cos

0
2Л

M[sin0] = -~$ sin6dO =—

0

2Л

D [cos 0] = M [cos2 0] =	$ cos2 0 dO =

0

— y = D[sin0[; M [sin0cos0] = 0.

Принимая во внимание независимость с. в. V и 0,
получим:

ти (0 — М [V cos 0 cos ф/ + V sin 0 sin ф/] — 0, (1.2.35)
К у (t, t’) — M [(K cos 0 cos ф/ 4- V sin 0 sin ф/) X

X (И cos 0 Cos ф/' 4- V sin 0 sin ф/')[ =
= M [V21 {M [cos2 0] cos ф/ cos ф/' 4-

4- M [sin 0 cos 01 sin ф/ cos ф/' 4- M [cos 0 sin 0] X

X совф/ sin ф/ 4- M [sin2О] sin ф/ sin ф/'} =

= (ff2+»ij)cos^(i —1')/2> (1.2.36)

Du (t) = Kv (t, t) = (o2 4- m2)/2, ry (t, t') = cos ф (t - /').

(1.2.37)

Если с. в. V подчинена закону Рэлея с параметром а
(см. (7.9.26)’), то (ст2 4-т2)/2 = ст (см. (7.9.27)* и
(7.9.29)*) и — Ку (/, Г)= а2 cos ф(/ — /'),

Ьу (0 = О2, Гу (/, ?) = cos ф (/ — /') 

Таким образом, э. с. ф. У(/) = Усо8(ф? — 0) имеет
постоянные м.о. и дисперсию ^равные mg(t)~0t

Dy(/) = ———-л, а к.ф. зависит только от разности
аргументов t и f, т. е. от расстояния по времени
между сечениями с. п. Обратим особое внимание на
то, что последнее утверждение не зависит от за-
кона распределения с. в. V — амплитуды
колебаний.

Случайный процесс %(/)> У которого м.о. постоян-
но (mx(t) = const), а к.ф. зависит только от разности
аргументов t') — Kx(t — t') = где t =
— t' — t), будем называть стационарным, точнее, ста-
ционарным в широком смысле (подробнее см. гл. 7).

Пример 8. Найти одномерный закон распределе-
ния э. с. ф.

У(/) = У/ + а,

где V — случайная величина, распределенная нор-
мально с параметрами mv, ov-

Решение. Так как с. в. V распределена нор-
мально, то для любого фиксированного момента вре-
мени t с. в. Y(t) будет тоже распределена нормально
(как линейная функция нормально распределенной
с. в. V) с характеристиками my(t) = mvt -f- a, oy(t) —
= ao|t|. Одномерный закон распределения э.с.ф.
Y(t) нормален и имеет вид

,,,	.	1	(	1 ( х — mvt — a V)

(-) }•

Пример 9. Найти одномерный закон распределе-
ния э. с. ф.

У (/) — V cos (ф/ — 0),

где с. в. V и в независимы; с. в. V распределена нор-
мально с характеристиками mv и <то, ф— неслучайный
параметр, с. в. в распределена равномерно в интер-
вале (0, 2л).

Решение. Для нахождения закона распределе-
ния сечения э. с. ф. У(t) воспользуемся интегральной
формулой полной вероятности (см. (8.1.26)*). Рас-
смотрим гипотезу, состоящую в том, что с. в. 0 попа-
дает на элементарный участок (О, О -|- d$). Так как
с. в. 0 распределена равномерно в интервале (0,2л),то
вероятность этой гипотезы равна отношению длины
элементарного участка dft к длине всего участка 2л:

Р (6 s (О, Н d#}} « -g- (0 < ft < 2л).
Для фиксированного момента времени t, в предполо-
жении, что указанная гипотеза имела место, с. в.
Yj(t)= Усов(ф/— О) будет иметь нормальное рас-
пределение, так как является линейной функцией нор-
мально распределенной с. в. с условными характери-
стиками

М [Г (/) I© = cos(ф, - «),

a [Y (/) 10 = О] = а„ | cos (ф/ - О) |,
откуда

( (х — те cos (ф/ — О))2 )

(	cos2 (ф/ — О) }

f у (I, X | 0 = О) =--;==------------— -----•

в	<т0 |cos (ф/— О) |

Следовательно, безусловная одномерная плотность
распределения э.с. ф. У(<) будет

2л

х|в = 0)<«>.

о

Отметим, что полученный закон распределения не яв-
ляется нормальным.

Пример 10. Найти одномерный и двумерный за-
коны распределения э. с. ф.

У (I) = X cos (ф/ — 0).

Случайная величина X распределена по закону Рэлея
с параметром о (см. (7.9.26)*), ее п. р. будет

Случайная величина в распределена равномерно
в интервале (0,2л). Случайные величины X и 0 не-
зависимы. Величина ф неслучайна.

Решение. Запишем э.с.ф. У(0 в виде

У (0 = X cos 0 cos ф/ X sin 0 sin ф/.

Обозначим Xcos0=V, Xsin0 = {A Найдем закон
распределения с. в. U, для чего рассмотрим гипотезу,
состоящую в том, что с. в. X попала на элементарный
участок dx, примыкающий к х: X е (х, х dx). Ве-
роятность этой гипотезы Р {X е (х, х + dx)} g (х) dx.
В предположении, что эта гипотеза имела место,
найдем условную плотность распределения с. в. U-.
fu(u|x). Нетрудно убедиться в том, что fu(u\x) =
= 1/(л V*2 — и2) (|и|<х);это совпадает с плотностью
распределения с. в. xsin0. Тогда безусловная п. р. бу-
дет определяться по интегральной формуле полной ве-
роятности (см. (8.1.26)*)

г	г 1 хе *2/f2a!,

fu(u)= J f„(u|x)g(x)dx = J —-------------------3---dx =

-ОО	О	V

_ ( х2 — и2 = у2 | _ Г ехр (— (у2 -ь ц2)/(2с2)} у dy _

| х dx =» у dy | J	луа2

о

, u’/(2o’) ? » »7(2о’)	_-u’/(2a!)

1 С	л	с

= 7=  \ —т== dy = —т== ,
V 2 л <т J V 2 л <т	-у 2 л <г

так как последний интеграл равен 1/2 (как интеграл
от нормальной п. р. с параметрами т — 0 и а, взятый
по области положительного значения аргумента).

Следовательно, с. в. U распределена по нормаль-
ному закону с параметрами mu=0, <тц = <у. С по-
мощью такого же приема можно показать, что с. в. V
тоже распределена нормально с параметрами т0 =0,
<то = а. (Можно доказать, что совместное распреде-
ление величин U, V тоже нормально.)

Случайные величины V и U не коррелированы.
Действительно, так как случайные величины X, 0
независимы, то

Као = М [Z7V] = М [X cos QX sin 0] =

= М [X2] М [cos 0 sin 0).

Но в примере 7 было показано, что М [cos 0 sin 0J =
= 0. Следовательно, Кио = 0. Так как совместное
распределение случайных величин U и V нормально
и они не коррелированы, то они и независимы (см.
п. 7.9*). При фиксированном значении t случайная
величина Y(t)= Ucostyt-]- Vsin$/ представляет со-
бой линейную функцию нормально распределенных
независимых с. в., которая так же будет распределена
нормально с параметрами ту (t) = М [U cos ФО 4-
+ M[V sin ф/] = 0,

Du (/) = D[L'’ cos ф/] -J- D [V sin ф/] = (cos ф/)2 D [€7J -f-

-|- (sin Ф02 D [И[ — cos2 ф/ст2 4- sin2 ф/а2 = a8.
Таким образом, получаем выражение для одномер-
ной плотности распределения э. с.ф. У(/):

fit, у) — е

Для нахождения двумерного закона распределения
э. с. ф. Y(t) достаточно найти к. ф. Ky(t,t'), которая
в соответствии с формулой (1.2.36) будет равна

К у It, t') = о2 cos ф (t — t');

так как с. в. X, распределенная по закону Рэлея с па-
раметром а, имеет характеристики (см. (7.9.27),
(7.9.30))

ЩХ] = о-^/2, D [X] = (4 — л) ст2/2,
то

{D [X](М [Х])2}/2 = ст2.

Нормированная корреляционная функция ry(t, /') =
= соэф(/— t'). Двумерный закон распределения
э. с. ф. У(0 будет тоже нормальным:

(t, t , у, у') = 2ла21 sin ф (Z — Г)| X

х ехР {---Й {у* - 2 cos ф (/ - Г) уу’ +

+ (/)2]}- ►

До сих пор в данном пункте мы рассматривали
только характеристики одного (скалярного) с. п. Х(0.
Рассмотрим теперь векторный с. п., у которого имеется
k составляющих:

Х2(0......ХИО). (1.2.38)

Пусть с. п. Х,(/) имеет характеристики m,i(t) и
K,i{t,t') (t==l,2, ..., k). Эти характеристики в ка-
кой-то степени описывают поведение только отдель-
ного с. п. Xi(t) (I — 1, 2, ..., k) и не определяют
«взаимных характеристик», зависимости между со-
ставляющими векторного с. п. Х(0. В качестве такой
характеристики рассматривается взаимная корреля-
ционная функция Ry (t, t') двух случайных (скаляр-
ных) процессов: Х,(0 и X/(f):

Иц (t, t') = М [Х° (0 X, (/')].	(1.2.39)
Таким образом, взаимной корреляционной функ-
цией	двух случайных процессов Xi(t) и Xj(t')

называется неслучайная функция двух аргументов t

и t', которая при каж-
дой паре значений t, f
равна ковариации двух
сечений случайных про-
цессов Xi(t) и Xj(f).
Эти сечения на рис.
1.2.10 изображены ус-
ловно точкой (1) и точ-
кой (2).

Из определения сле-
дуют свойства вза-
имной корреляционной
функции (в. к. ф.):

1.	Взаимная корреляционная функция Rtl(t, t')=>
О о

= М [Xj	0 общем случае не равна в. к. ф.

RaV', 0 = М[Х,(/'Н/(01. так как ковариация между
сечениями Xt(t) и X/(f) (точки (1) и (2) на
рис. 1.2.10) в общем случае не равна ковариации
между сечениями Х,(Г) и Xj(t) (точки (4) и (3) на
рис. 1.2.10):

Rn(t,	t).	(1.2.40)

2.	При одновременной перемене мест индексов и
аргументов в. к. ф. ие меняется:

n = Rti(t', i).

Действительно,

Rit (t, t') = M [X* (0 Xt (OI = M [Xt (Г) X°< (01 = Rti (f, 0-

(1.2.41)

3.	При равенстве индексов j~i в. к.ф. равна кор-
реляционной функции с. п. Xt(i):

Rh (0 О = М [X, (t) Xt (f)) = Kt (t, Г) (1.2.42)

(см. точки (1) и (4) на рис. 1.2.10).

Нормированная взаимная корреляционная функ
ция определяется по формуле



гц a, t')=

(1.2.43)
где Of Q) = VDf (t) = VO Q, t) — с. к. о. случайного
процесса X(0); <i/0) = V^/0) = УК/О, с- к. o.
случайного процесса X/(t). Из свойств (1.2.41) —
(1.2.43) вытекают свойства нормированной взаимной
корреляционной функции

1.	r{l(t, t') = rlt(f, t).

2.	ra(t, =	?).

(1.2.44)

Итак, в качестве характеристик векторного с. п. Х(/) =

= {Х1(0, X2{t), ..., Л*(0) рассматриваются:

1.	Математическое ожидание векторного с. п. — не-
случайный вектор, зависящий от t:

тх (0 = {ги, (О, т2 (0, .. •, пц 0).тк (/)}, (1.2.45)

составляющие которого равны м.о. соответствующих
с. п.

тД0вМ[ЛД0] 0=1,2,...,*). (1.2.46)

2.	Квадратная матрица (размерности *Х&) вза-
имных корреляционных функций векторного с. п. X(t)

В ,0,011 =

ЯП<М')	/?12(М')	...	R^.t')	...	₽uO,OI

Л210,П	R^d.t')	...	R2l(t,t')	...	R2k(t, Г) I

e Ra(t,t')	Rl2(t,t')	...	Rtl(t,t')	...	Rlk (t.t') Г О-2-47)

I <<• *'>	*ьг «•'*'>	’ • •	О	• • •	Кь I

Элемент этой матрицы — Rii(t,t') определяется фор-
мулой (1.2.39). В общем случае матрица (1.2.47) не
симметрична, т.е. Rn(t, f) Rfi(t, t'). По главной диа-
гонали матрицы (1.2.47) стоят k корреляционных
функций соответствующих случайных процессов:

Ru (t, t') = К, о, О = М [Xi 0) Xi о')]. (1.2.48)

Случайные процессы Х,(0 и X/(t) называются не-
коррелированными, если их в. к. ф. Rij(t,t') равна
нулю при любых значениях аргументов t, f для i j.

Векторный случайный процесс X (t) называется
процессом с некоррелированными составляющими,
если матрица в. к. ф. является диагональной, т. е.
Rij(t, О = 0 при i =?«= j.
ПОТОКИ СОБЫТИЙ, ИХ СВОЙСТВА
И КЛАССИФИКАЦИЯ

2.1.	Потоки событий

Одним из важных понятий теории случайных про-
цессов является понятие потока событий.

Потоком событий называется последовательность
однородных событий, появляющихся одно за другим
в случайные моменты времени. Примеры: поток вы-
зовов на телефонной станции, поток автомашин, подъ-
езжающих на заправочную станцию, поток заболева-
ний гриппом в зимний сезон, поток забитых шайб при
игре в хоккей, поток заявок на ремонт, поступающих
в ремонтную организацию, поток отказов (сбоев)
ЭВМ в ходе ее работы, поток электронов, вылетаю-
щих с катода радиолампы, поток электрических им-
пульсов, поступающих от мозга в мышцу для ее воз-
буждения, и т. п.

События; образующие поток, в общем случае мо-
гут быть и неоднородными, например если в потоке
автомашин, прибывающих на заправку, различать лег-
ковые и грузовые.

Заметим, что термин «событие:» в понятии поток
событий совершенно отличен по смыслу от широко
применяемого в теории вероятностей понятия случай-
ное событие (см. гл. 1*), под которым разумеется
«всякий факт, который в опыте со случайным исхо-
дом может произойти или не произойти:». О событиях,
образующих поток, так говорить нельзя. В частности,
не имеет смысла говорить о вероятностях событий,
образующих поток (например, о вероятности вызова
на телефонной станции; ясно, что рано или поздно вы-
зов придет, и не один).

С потоком событий можно связывать различные
случайные события, например: А ={в течение вре-
мени от t0 до to + т придет хотя бы один вызов на
телефонную станцию} или В = {в течение того же
времени придет ровно два вызова на телефонную
станцию) и т. д. Вероятности таких событий можно
вычислять.

«Поток событийэ представляет собой в общем слу-
чае просто последовательность случайных точек 6ь

ДА

° Ъ 03





Рис. 2.1.1

02....вп* • • • на оси времени Qt (рис. 2.1.1) с раз-

деляющими их случайными интервалами Т\, Т2, ...
..., Гп-ь Тп, так что

Г1==02_01( г2==вз_02......... Гп —0n+t—0П.

Потоки событий различаются между собой по их
внутренней структуре: по законам распределения ин-
тервалов Ti, Т2, ... между событиями, их взаимной
зависимости или независимости и т. д.

С потоком однородных событий можно связать
случайный процесс их накопления. Обозначим X(t)
число событий потока, появившихся до момента вре-
мени t. Каждая реализация xt(t) с.п. X(t) представ-
ляет собой ступенчатую
ломаную линию, под-
скакивающую на еди-
ницу в момент появле-
ния очередного собы-
тия и сохраняющую
свое значение до появ-
ления следующего со-
бытия в потоке (рис.
2.1.2); здесь моменты
случайны и обозна-

чены 01,	••• Для определенности будем считать,

что в точках разрыва процесс X(t) и его реализация
Xt(t) сохраняют значение, которое было у них слева
от точки разрыва (про такую функцию говорят, что
она непрерывна слева). На рис. 2.1.2 значения, прини-
маемые функцией xt(t) в точках разрыва, отмечены
точками.

С первого взгляда наиболее простым представ-
ляется поток событий, в котором интервалы между

5
k
3
2

1

4 - t - - 4

$2	#3



t

О

Рис. 2.1.2

появления событий
событиями строго одинаковы и равны определеиной
неслучайной величине т (рис. 2.1.3). Такой поток со-
бытий называется регулярным. Примеры регулярных
(вернее, практически регулярных) потоков представ-
ляют собой поток изменений минутной цифры на вок-
зальных электронных часах, поток изменений состоя-
ний ЭВМ, определяемый тактом ее работы, и т. п.

Рис. 2.1.3

Регулярный поток событий довольно редко встре-
чается на практике; он представляет определенный
интерес как предельный случай для других потоков
(см. далее п. 2.3). Однако несмотря на свою видимую
простоту, регулярный поток не имеет преимуществ
при математическом анализе, так как намного усту-
пает по простоте проведения расчетов другим типам
потоков (в чем мы убедимся в дальнейшем).

В п. 5.2* в связи с законом Пуассона уже дава-
лось понятие потока событий и формулировались не-
которые их свойства. Напомним их.

1.	Ординарность. Поток событий называется
ординарным, если события в нем появляются пооди-
ночке, а не «пачками» по 2, 3 и т. д. Дадим этому

О	tt+At	t

Рис. 2.1.4

свойству математическую формулировку. Рассмотрим
элементарный участок М, примыкающий к точке t
(рис. 2.1.4). Ординарность потока означает, что ве-
роятность попадания на участок Д/
двух или более событий пренебрежимо
мала по сравнению с вероятностью по-
падания на него ровно одного события,
т. е. при Д/—> О эта вероятность представляет собой
бесконечно малую высшего порядка. Обозначим
P\(t, Ы) вероятность попадания на участок (/, / 4-Д<)
ровно одного события, —вероятность непопа-
дания на него ни одного события, p>t(/, Д0— вероят-
ность попадания на него двух или более событий. Оче-
видно, для любого А/ (большого или малого)

р0 (/, А0 + рА (t, Ы) + р>( (/, А/) == 1,	(2.1.1)

как сумма вероятностей полной группы несовместных
событий. Из этих вероятностей, очевидно, при малом
А/ вероятность p0(f, Д0 самая большая. Для орди-
нарного потока событий вероятность p^Jf, Д0 пре-
небрежимо мала по сравнению с другими слагаемыми:

Р>| (/, А/) == о (р, (/, А/)).	(2.1.2)

В математике символом о(х) обозначается бесконечно
малая высшего порядка по сравнению с той, которая
стоит в скобках, т. е. формула (2.1.2) означает, что

..	л

пт -< - - = 0.
д/-»о Pi

Для ординарного потока можно пренебречь возмож-
ностью совмещения на элементарном участке А/ двух
или более событий, в частности, возможностью одно-
временного появления двух или более событий. При-
мерами ординарных потоков событий могут служить
поток деталей, поступающих на конвейер для сборки,
поток отказов технического устройства, поток автома-
шин, прибывающих на станцию техобслуживания.
Примером неординарного потока может служить по-
ток пассажиров, прибывающих в лифте на данный
этаж. Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь
ординарные потоки событий.

Введем новое важное понятие — интенсив-
ность потока. Рассмотрим ординарный поток со-
бытий. Обозначим Х(/,Д0 случайное число событий,
попадающих на элементарный участок (t, t -f- А/)
(рис. 2.1.4). Ряд распределения этой случайной вели-
чины имеет вид

О 1

X(t, А/):

p0(t, А/) Р1(/, А/)

где в столбце с проставленными многоточиями стоят
сверху значения 2, 3, .... а внизу — соответствующие
им вероятности (напомним, что они пренебрежимо
малы по сравнению с pi(f,A0). Найдем математиче-
ское ожидание с. в. X(t,&i) (будем считать, что м.о.
существует). Можно написать:

М [X (/, Д/)] = 0 • pQ (t, Д/) + I • р, (/, А/) + аР>1 (t, А/),
где а — сколь угодно большая, но не стремящаяся
к бесконечности при Д£->-0 величина. Найдем предел
отношения М [X (/, А/)] к длине участка Д/:

МИМО]	, ар Д01

11ГП ---------= *,m 1 Нп-----------------1

At-»O Д/	At->ol	' Д< )

Так как при Д/->0 вероятность р>1 (/, А/) стремится
к нулю быстрее, чем Pi(t,А/), вторым слагаемым под
знаком предела можно пренебречь, откуда

lim мщ;,до1= lim МЛЛО
д«->о д/ д«->о д/

Если этот предел существует (а в инженерных при-
ложениях естественно предположить, что это именно
так), то он называется интенсивностью (плотностью)
ординарного потока событий в момент t,

к (0 = lim	.	(2.1.4)

Физический смысл интенсивности k(t) потока со-
бытий— это среднее число событий, при-
ходящееся на единицу времени, для эле-
ментарного участка Д<, примыкающего к t.

Рис. 2.1.5

Интенсивность потока событий k(t) может быть
любой неотрицательной функцией времени:	и

имеет размерность

Очевидно, среднее число событий ординарного по-
тока, приходящееся на интервал времени т, примы-
кающий к точке t (рис. 2.1.5), равно

t+x

М[Х(/, т)1= J k(t)dt.	(2.1.5)
В частности, прн постоянной интенсивности потока
t+x

М[Х(/, т)]= J ХЛ = А.т. (2.1.6)
t

2.	Отсутствие последействия. Поток со-
бытий называется потоком без последействия, если
для любых неперекрывающихся участков времени
ть Т2, .... тл (рис. 2.1.6) числа событий Xi = Х(/1,ц),

Рис. 2.1.6

Х2 = X (/2, тг), .... Хп = X{tn,Tn), попадающих на эти

участки, представляют собой независимые случайные
величины, т. е. вероятность попадания любого числа

событий на один из участ-
ков не зависит от того,
сколько их попало на дру-
гие (см. п. 7.5*).

Отсутствие последей-
ствия в потоке означает,
что для любого момеита
времени to будущие мо-
менты наступления собы-
тий потока (при t > to)

не зависят от того, в какие моменты наступали собы-
тия в прошлом (при t < t0, см. рис. 2.1.7). В п. 5.2*
было доказано, что если поток без последействия,

ординарен и имеет постоянную интенсивность X, то
число событий X(t, т), попадающих на участок вре-
мени длины т (рис. 2.1.8), имеет распределение
Пуассона с параметром а — Хт:

P{X(t,T) = k} = ake'a/kl (* = 0,1,2,...). (2.1.7)

Можно доказать (см. [8J), что и при непостоянной
интенсивности потока Х(0 число событий X(t,x), по-
падающих на участок времени т, примыкающий к мо-
менту t, также распределено по закону Пуассона
(2.1.7), но в нем параметр а зависит не только от
длины участка т, но и от того, где этот участок рас-
положен:

a — a(t, т)=	Х(/)Л,

(2.1.8)

так что распределение случайной величины X(t, т) —
числа событий на участке ((, / + т)—имеет вид

P{X(f, т) = А) = а(/, x)ke a^>/kl (k = 0, 1, 2, ...).

(2.1.9)

Ординарный поток событий, в котором отсутствует
последействие, называется пуассоновским потоком.
Его связь с распределением Пуассона ясна из формул

t X(t,t)

Рис. 2.1.8

(2.1.7), (2.1.9). В дальнейшем, имея дело с пуассонов-
скими потоками, мы часто будем встречаться с пуас-
соновскими распределениями тех или других с. в.

3.	Стационарность. Поток событий называет-
ся стационарным, если все его вероятностные харак-
теристики не меняются со временем. В частности, для
стационарного потока событий вероятность попада-
ния того или иного числа событий на участок длины т

О tf Х^,*) t2 X3(tvt) t
Рис. 2.1.9

зависит только от длины этого участка и не зависит
от того, где именно на оси времени 0/ этот участок
расположен. Это значит, что числа событий Х1(6,т) и
Хг(^2,т), попадающих на два участка одинаковой дли-
ны т (рис. 2.1.9), будут иметь одинаковое распреде-
ление. Отсюда следует, в частности, что для с т а -
ц.ионарного потока событий его интен-
сивность Х(() постоянна:

К (/) — X — const.
Поток событий, обладающий всеми тремя свой-
ствами, т. е. ординарный, стационарный и
без последействия, называется простейшим
(или стационарным пуассоновским) потоком. Для
простейшего потока событий вероятность того, что на
участке времени длины т наступит ровно k событий,
определяется по формуле (2.1.7), где а = Zx, X — ин-
тенсивность потока.

Простейшим этот поток назван потому, что
исследование систем, находящихся под воздействием
простейших потоков, проводится самым простым об-
разом, в чем мы убедимся в дальнейшем (см. гл. 4 и 5).

Следующей ступенью сложности по сравнению
с простейшим является поток с ограниченным после-
действием. Будем так называть поток, у которого
случайные интервалы Т\, Т2, . .. Тп, ... (рис. 2.1.1)
между соседними по времени событиями представляют
собой независимые случайные величины. Иногда поток
с ограниченным последействием называют рекуррент-
ным; это связано с тем, что при его моделировании
применяется рекуррентная (последовательная) про-
цедура: сначала разыгрывается величина 1\, затем
Т2 и т. д.

Стационарный поток с ограниченным последей-
ствием называется потоком Пальма. Для такого по-
тока интервалы Т\, Т2, ... между событиями представ-
ляют собой последовательность, независимых одина-
ково распределенных с. в.

Докажем, что простейший (стационарный пуассо-
новский) поток является потоком Пальма. Найдем

закон распределения интервала времени Т между лю-
быми двумя соседними событиями (рис. 2.1.10). Най-
дем сначала функцию распределения F(t) с. в. Т. По
определению (см. п. 3.2*)

F(/) = Р {Г <7}-	(2.1.10)
Для выполнения условия (2.1.10) надо, чтобы интер-
вал Т принял значение меньшее, чем t (как показано
на рис. 2.1.10); а для этого нужно, чтобы на участке
времени длиной t появилось хотя бы одно событие
потока. Введем в рассмотрение событие А ={хотя бы
одно событие наступило на участке /}. Найдем ве-
роятность противоположного события: А = {ни одного
события не наступило на участке f). Но мы знаем, что
число событий X(t), попадающих на интервал t (где
бы он ни находился), распределен по закону Пуас-
сона (2.1.7), т. е. Р {Х(/)== k} = ake~alk\, гце а = М,
т. е.

Р {X(t) = k} = (kf?er“/kl (* = 0,1,2,...). (2.1.11)

Полагая в формуле (2.1.11) *=0 и учитывая, что
01 = 1, получим Р (Д) = Р {X (0 = 0} = е~м, откуда
F(t) = P(A)=\— Р(А)=\—е~м. Итак, ф. р. интер-
вала Т между соседними событиями в простейшем
потоке равна

F(t)=\-e~M	(/>0).	(2.1.12)

Дифференцируя (2.1.12), найдем плотность распреде-
ления с. в. ;

f(t) = dF(t)ldt = ke м (/>0).	(2.1.13)

Это распределение нам уже известно из книги {6],
оно называется показательным распределением (см.
п. 6.2*). График плотности (2.1.13) дан на рис. 2.1.11.
Мы убедились, что интервалы времени Т\, Т2, ... ме-
жду соседними событиями простейшего потока рас-
пределены одинаково с плотностью (2.1.13). Незави-
симость величин Ть Тг, ... следует из отсутствия по-
следействия в простейшем потоке.

Таким образом, интервалы времени между сосед-
ними событиями простейшего потока распреде-
лены одинаково по показательному за-
кону (2.1.13) и независимы между собой; значит,
простейший поток представляет собой
поток Пальма. Поток Пальма, отличный от про-
стейшего, получится, если интервал между соседними
событиями представляет собой неотрицательную
случайную величину с отличным от показательного
распределением (например, представленном на
рис. 2.1.12). Последействие в таком потоке имеется,
потому что условный закон распределения оставшейся
части времени до появления ближайшего следующего

события зависит от того, какое время т уже прошло;
в этом мы убедимся в дальнейшем.

2.2.	Некоторые свойства потоков Пальма

Рассмотрим на оси 0/ поток Пальма, у которого
интервалы между соседними событиями представляют
собой независимые, непрерывные с. в. Т\, Т2, ...
..., Tk, .... распределенные одинаково с ф. р. F(t)
(и, значит, с п.р. f(t)= F'(t)).

Предположим, что на ось Ot случайным образом
(никак не связанным с потоком событий) падает
точка I (рис. 2.2.1). Например, пассажир выходит на

7*

Рис. 2.2.1

автобусную остановку в момент времени ?, никак не
связанный с расписанием, а моменты прихода автобу-
сов на остановку образуют поток Пальма, где интер-
вал Т между соседними событиями — непрерывная
случайная величина с ф. р. F(t) и плотностью f(t) =
— F'(t). Другой пример: работает какой-то элемент
технического устройства (скажем, большая интеграль-
ная схема), при отказе элемент мгновенно заменяется
другим путем переключения. Поток отказов представ-
ляет собой поток Пальма; осмотр элемента и снятие
его параметров производится в случайный момент ?,
никак не связанный с потоком отказов. Еще пример:
промежутки времени исправной работы ЭВМ, если
наложить их на ось времени непосредственно друг за
другом (исключая времена ликвидации неисправности
или считая, что неисправность ликвидируется мгновен-
но с помощью программных средств),образуют поток
Пальма; решение задачи на ЭВМ начинается в момент
1, никак не связанный с потоком (в литературе слу-
чайную точку, падающую на ось времени в неожи-
данный момент, иногда называют «инспектором»).

Решим следующую задачу: поток событий пред-
ставляет собой поток Пальма; точка ? случайно па-
дает на какой-то интервал Т* между событиями по-
тока (рис. 2.2.1). Требуется найти закон распределе-
ния интервала Т*.

С первого взгляда может показаться, что закон
распределения интервала Т*—такой же, как и закон
распределения любого другого интервала Т в потоке
Пальма. Но это не так: тот факт, что случайная точка
I попала на интервал Т*, меняет его закон распреде-
ления.

Действительно, рассмотрим простейший пример.
Пусть с. в. Т дискретна и имеет только два возможных
значения 1 и 9, которые она принимает с вероятностью
1/2; ряд распределения с. в. Т имеет вид

1	9

Г:

(2.2.1)

Найдем м.о. случайной величины Т: М[Г] = 1 • (1/2)4-
4-9-(1/2) = 5.

Теперь представим себе: известно, что случайная
точка попала на какой-то интервал Т*. Так как уча-
стки длиной в единицу и в 9 единиц времени на оси
О/ встречаются с одинаковой вероятностью, то при до-
статочно большом общем времени наблюдения (на от-
резке оси 0/) участки длиной 9 и 1 будут встречаться
примерно одинаково часто. В общей протяженности
оси участки длиной 9 будут занимать долю 0,9, а уча-
стки длиной 1—долю 0,1. Точка I падает на ось 0/
совершенно случайно, «не разбирая», где какой
участок. Значит, с вероятностью 0,9 интервал Г* на
который попала точка 7, будет иметь длину 9, а с ве-
роятностью 0,1—длину 1. Ряд распределения с. в. Т*
будет иметь вид

Мы видим, что ряд распределения (2.2.2) существенно
отличается от (2.2.1). В частности, м.о. случайной
величины Т* будет: Af[Г*] = 1-0,1 + 9-0,9 == 8,2; оно
существенно отличается от м. о. величины Т, равного 5.

Этот элементарный пример убеждает нас в том,
что факт попадания случайной точки 7 на один из ин-
тервалов между событиями потока Пальма в общем
случае меняет его закон распределения.

Решим поставленную задачу в общем виде. Пусть
непрерывная с. в. Т — интервал между соседними со-
бытиями потока Пальма имеет п. р. f(t). Найдем п. р.
ft* (7) того интервала Г* на который попала случай-
ная точка 7. Найдем для этого интервала элемент
вероятности: f t. (7) dt « Р {Т* е (7, t + dt)}. Эта вероят-
ность приближенно равна отношению суммы длин
всех интервалов между событиями, длина которых
заключена в элементарном промежутке (7, t-j-dt),
к общей длине т достаточно большого участка оси 07.

Допустим, что на этом большом участке времени
уложилось всего п интервалов между событиями. Ма-
тематическое ожидание числа интервалов, длина ко-
торых лежит в пределах (7,7 4-d7), равна nf(t)dt,
а средняя суммарная длина всех таких интервалов
приближенно равна t-n}{t)dt. Средняя же общая
длина всех п интервалов на большом участке т оси

ОО

абсцисс равна n-tnt, где mt — М [Г] = $ tf(t) dt. Раз-
fl

делив одно на другое, получим:

/„(ОЛ.-НйЛ.Дтл.
' * '' nmt mt

Это равенство становится точным при т—>оо, п->оо.
Отсюда находим

ff.(0 = 4£L (/>0).	(2.2.3)
Найдем числовые характеристики с. в. Т*:
со	ОО

м[Г]=^.(ол=(-^л=
о	о	*

_2ЦЦ1 = „,,+£. р.2.4)
гп/	'

где Dt — дисперсия с. в. Т. Так как м.о. неотрица-
тельной с. в. Т всегда больше нуля, а ее дисперсия
неотрицательна, то

М [Г] > М [Т] = mt,	(2.2.5)

т. е. факт попадания случайной точки 7 на интервал
Т* увеличивает его среднюю длину по сравнению
с априорной (до получения сведений о том, что точка
7 попала на интервал). Неравенство (2.2.5) превра-
щается в равенство только тогда, когда Dt — Q, т. е.
интервал Т — неслучайная величина, а поток — регу-
лярный.

Найдем дисперсию случайной величины Т*:

D [Г] = М [(Г)2] - (М Щ)2 =
'	о

Интеграл в формуле (2.2.6) есть не что иное, как тре-
оо

тий начальный момент аз)/"] с. в. Т: аз[Г]= $ 73/(7) dt
•

см. п. 4.2*).

Итак, дисперсия интервала 7*. на который попала
случайная точка 7, равна:

D [Г) = аз [Г1 - (mt +	Y = аз[Г1 _ (М IraDa

mt у mt) mt	ntf

(2.2.7)

Рассмотрим более подробно интервал Т*, на кото-
рый попала случайная точка 7 (рис. 2.2.2). Эта точка
делит интервал Т* на два участка: Q — от ближай-
шего предыдущего события до точки 7 и R — от точки
7 до ближайшего последующего события. Найдем за-
кон распределения и числовые характеристики систе-
мы случайных величин (Q,/?). Рассмотрим гипотезу,
состоящую в том, что с. в. Т* попала на элементар-
ный участок (/, t + dt). Вероятность этой гипотезы
есть элемент вероятности: Р {7” е (t, t + dt)} » ft,(t)dt.
Обозначим условную плотность распределения
случайной величины Q при этой гипотезе Так
как точка I «бросается» на ось 0/ совершенно слу-
чайно, безотносительно к событиям потока, то при

Рис. 2.2.2

этой гипотезе она будет иметь равномерное распреде-
ление на участке (0, t):

при 0<q<t, t>0. (2.2.8)

По интегральной формуле полной вероятности (см.
(8.1.26)*) находим

ОО

о

Но так как f4(</| t) отлична от нуля только при q < t,
то

ОО

f, (<?)=$ МО (<7>0).

Но по формуле (2.2.3) f (t) = tf следовательно,

fq (?) = \tf (0 dt/(tmt)	dt. (2.2.9)

я	я

Интеграл в (2.2.9) представляет собой не что иное,
как вероятность события {Т > q): Р {Г > q) — 1 —
— F(q), так как с. в. Т имеет ф.р. F(t), откуда плот-
ность распределения с. в. Q равна

f<(<l) = (l~F(q))/mt.

Поскольку вид п. р. не зависит от обозначения аргу-
мента,

/в(0==_ЦА(О.	(2.2.10)
Рассуждая аналогично для случайной величины R,
получим ту же плотность распределения

'	' mt

(2.2.11)

Найдем м.о. и дисперсии с. в. Q и R и их ковариа-
цию. Из равенства

r = Q + R

(2.2.12)

(рис. 2.2.2) находим, что М [Г] = М [Q] + М [Я], но
с. в. Q и R распределены одинаково, следовательно,
М[(?] = М[Я], откуда (см. (2.2.4))

М [Q] = М [Я] = М [Г]/2 = М [T2]/(2mt). (2.2.13)

Для нахождения дисперсий D[Q] = D[/?] пользуемся
формулой D [Q] = М [Q4 — (М [Q])2. Имеем:

ОО	со

М [Q2] =Д t2fq (/) dt = (t2 dt.
oJ	o’	‘

Представим fidt в виде
тегрироваиием по частям:

и воспользуемся ин-

ое

M[Q2]=3^-J(l-F(0)d(03 =
* о

ОО

М"** J
' о

так как lim ^(1 — F(/)) = 0, если существует третий
/ -> ОО

начальный момент с. в. Т. Значит,

D!Q] = D[/?] = -^- 1	(2.2.14)

3m/	4 mJ
Что касается ковариации Kqf, то ее находим, исполь-
зуя формулу D [Q + /?] = D [Q] + D [/?] + 2Kqr, и учи-
тывая, что Q 4- R = Т*, получим (см. (2.2.7) и (2.2.14))
Кqr = {D [Q + - D [Q] - D [RD/2=D [Г ]/2 — D [Q] =

= («ИЛ _ (М (Г2})2 >_ а31П + (М (Г2))2 =
( mt	m2 ) 3mt 4m2

(22Л5)

6mt	4mTt

Найдем условный закон распределения с. в. R при
условии, что с. в. Q приняла значение q. Условная
функция распределения с. в. R при условии, что с. в.
Q попала на элементарный интервал (q, q + dq),
будет:

р (г I п\ _ Р {<? + R < У + n ? < Q < ? +	_

Fr(r\q)— P{q<Q<q + d4}	—

q+r	q+r

\ uf (u) du dq mt/u \ f (u) du

_ q__________________ q_________ F (q + r) — F (q)

mt(\—F(q))dq 1 — F (q)	1 — F (q)

Следовательно, условную плотность распределения
friflq) найдем из выражения

L(гI q) = Fr(r\q) =	.	(2.2.16)

Для получения выражения для условной плотности
fq(q\r) достаточно поменять местами буквы г и q
в выражении (2.2.16): fq(q\r) = f(r + q)/{l — F(r)).

Теперь осталось показать, что условные плотности
в последних выражениях обладают необходимыми
двумя свойствами:

О	(эт0 следует из того, что f(q + r)^

0, (1 — F(r)) 5*0).

ОО	со

2) \fq(q\ г)dq =	( . ^f(q + r)dq =

о	’ о

Г

Аналогичные выражения можно получить и для
условной плотности fr(r|q).
Таким образом, условные законы распределения
случайных величин Q и /? определяются формулами
(2.2.16).

С помощью аналогичного приема найдем условную
плотность распределения ft»(H?) с. в. ПРИ усло-
вии, что с. в. Q приняла определенное значение q\

ft-, я (Л q) = ft- (0 • fq (q I П = fq (?) • ft- (t I ?),
откуда

ft,U\q) =	• fq(q[t)/fq(q).

Воспользуемся формулами (2.2.3), (2.2.8) и (2.2.10):

mt ' t ' \-F(q)	1 - F (<?)	Лри0<?</.

(2.2.17)
Аналогично, имеем

jiy(r) при 0 < г </. (2.2.18)

Напомним, что в формулах (2.2.16) —(2.2.18)
функции f(t) и F(t) соответственно — плотность и
функция распределения случайной величины Т—ин-
тервала между событиями в потоке Пальма.

Применим выведенные формулы для распределе-
ний отрезков Г*, Q, R и их характеристик к случаю,
когда поток событий — простейший с интенсив-
ностью X.

По формуле (2.2.3), учитывая, что mt = 1/Х, на-
ходим плотность распределения с. в. Т*:

(/>0), (2.2.19)

а это есть не что иное, как закон Эрланга 2-го по-
рядка (см. (6.4.8)*), т. е. закон распределения сум-
мы двух независимых с.в., распределенных по по-
казательным законам с параметром X. Отсюда

М [Г] = 2М [Т] = 2Д, D [Г] = 2D [Г] = 2/А2.

Это дает тот же результат, что формулы (2.2.4) и
(2.2.7). Находим плотность fq(t) с. в. Q (такой же бу-
дет и плотность fr(t) с. в. R) по формуле (2.2.10):

fq(t) = fr(t) = {l-(l~e *')]-А = Хе-« (Г > 0);

(2.2.20)
следовательно, случайные величины Q и R распреде-
лены каждая по показательному закону с парамет-
ром X. Их характеристики равны соответственно:

М [Q] = М [Я] = 1А, D [Q] = D [/?] = I/A2,
что согласуется с результатами расчетов по форму-
лам (2.2.13), (2.2.14).

В силу отсутствия последействия случайные вели-
чины Q и R независимы (первая из иих относится
к прошлому, до момента времени ?, вторая — к буду-
щему). Покажем, что fq(q\r)= fq(q) == ке~к'’ {q >
>0). По формуле (2.2.16) имеем

(?>0).

Независимость с. в. Q и К подтвержается и тем, что по
D ГТ*1	2	1

формуле (2.2.15) L-J[G]=—_--=0.

Ав Лв Ав

Решим более общую задачу: интервал Т между
последовательными событиями потока Пальма имеет
распределение Эрланга к-го порядка с параметром
Л (см. п. 6.4*):

= Щл)к-1е-х‘/(к-1)! (Г >0).

(2.2.21)

Найдем п. р. и характеристики с. в. Т*, Q, R. По
формуле (2.2.1) находим (М [Т\=к/Х=кХ~1):

tf(k\t)_ t(U)k 'е \X(Xi)kе и
mt (к— l)!fcZ-1 kl

(2.2.22)

Таким образом, с. в. Т* тоже распределена по закону
Эрланга, но уже (А: 4-1)-г о порядка. Следовательно,

М[Т*] = (£+ ОЯ D[T*] = (fc+1)/22. (2.2.23)

Функция распределения F(t) с. в. Т имеет вид (см.

(6.4.10)*):

F(0=^)(0=l-Z^e-;/ (Г>0)
л-о я’
m

или, пользуясь функцией R(m, а)= £ ае~“[п\-.

п«*0

F(k) (0 = 1 - R (к -1, 20-	(2.2.24)
По формуле (2.2.10) находим п. р. каждой из с. в.

Q и R:

№ (0 = f *> (0 = (1 -	(0)/m< = KR (k - 1, M)/k.

(2.2.25)

При k. > 1 это уже не закон Эрланга, а вероятностная
смесь k законов Эрланга порядков (1,2,..., т, ..., k)
с вероятностями l/k (см. п. 9.8*):

т» 1

Математическое ожидание

M[Q] = M[/?]==M[r]/2 = (fe+ 1)/(2Х). (2.2.26)

Чтобы найти D[/?) = D[Q] и Kqr по формулам
(2.2.14), (2.2.15), нужно найти третий начальный мо-
мент а3[Г]:

а,гЛ = ( /з MXt)^_ и = _(*.+ 2)_1_ =3

“3 u J Г (k - i)i е 1» (k - i) t
о

= k(k+ l)(jfe + 2)Vs.

Отсюда

n mi — n г pi — *(*+!)(*+ 2) a."3 _ [fe (fe+ i)X~2)2 _

D[Qj —— 3kx ,	4(^-‘)2	“

=	y2,	(2.2.27)

„ _ fe (fe + 1) (fe + 2) X~3 _ (fe(fe+ 1)X-2)2

A’r	6U 1	4(M-‘)2

= --^-!-V2,	(2.2.28)

откуда коэффициент корреляции
К	k — 1

r = — Ar.... = - —-5-.	(2.2.29)

qr VD[Q]D[/?J	k + 5

Из формулы (2.2.28) видно, что при k > 1 кова-
риация Kqr (и коэффициент корреляции rqr) отрица-
тельны. При й->оо г?г—----1.
Пример 1. Интервал Т между последователь-
ными сбоями ЭВМ, устраняемыми практически мгно-
венно с помощью программных средств, имеет распре-
деление Эрланга 3-го порядка с параметром Х =
= 0,5 (1/час). Для решения задачи требуется работа
ЭВМ без сбоев в течение двух часов. Задачу начи-
нают решать в произвольный момент ?, никак ие свя-
занный с потоком сбоев. Найти вероятность события

А = {задача будет решена с первого раза).

Решение. Событие А состоит в том, что с. в. /? —
время, оставшееся до очередного сбоя, примет значе-
ние, большее двух часов:

со

Р(Д)-Р{#>2}-$А0Л.

2

(2.2.30)

По формуле (2.2.25) при k = 3 получим

/<*»(/) = /<з)(0 =
2

= Д/?(й — 1,	=	1®££в-ам	(2.2.31)

К	о ЛшвЛ Л1

п «О

Подставляя это выражение в формулу (2.2.30), полу-
чаем

ОО 2

Р(Д) = J £ 12^11 е-о.мЛ>	(2.2.32)

2	п-0

В п. 6.4* было показано (см. (6.4.11)*), что

J e~xdx = R (п, а).	(2.2.33)

а

Сделаем в интеграле (2.2.32) замену переменных
0,5/ = х и воспользуемся формулой (2.2.33):

2 оо

РМ) = у£ J-^-e^dx=|[/?(O,!) + /?(!,1) + /?(2,1)].
л-о 1

Но

/?(0, 1) = е-‘,	/?(1, l) = e-' + e-I = 2e->,

Я(2, 1) = е~1 + е~1 + е~‘/2 = 5е-1/2,
откуда

Р (Д) = 1 [е-1 + 2е~1 + 5в" ’/2] = е~1 « 0,675.

Пример 2. Для условий предыдущего примера
иайти вероятность решения задачи с первого раза,
если с момента предыдущего сбоя в ЭВМ до момента
начала решения задачи прошел 1 час.

Решение. В данном примере событие А — {за-
дача будет решена с первого раза} состоит в том, что
с. в. Ц — время, оставшееся до очередного сбоя, при-
мет значение, большее 2 часов, при условии, что с. в.
ф —время от предыдущего сбоя до начала решения
задачи, приняло значение q=\ час. По формулам
(2.2.16), (2.2.21) и (2.2.24) имеем

НГ| М- f(4+r) _ Х[Х (г + <?)]*-* е-х<г+<?>
irv\ч)— 1	- piц(к-1, М) '

В рассматриваемом случае Jfe = 3, q— 1 (час), Х =
= 0,5 (1/час)

г / ।	0.53 (г + I)2 е~ve~°-5

г Г )	2 (1 + 0,5 + 0,52/2) в"0>6 ~

« 0,0385 (г + 1 )2 е-v	(г > 0).

Искомая условная вероятность события А будет опре-
деляться по формуле

p^|Q=l) = pr(r|9=l)dr =
2

= 0,0385 J (г + I)2e~°-Srdr « 0,821.
2

Замечание. Отметим, что условная вероятность
₽(A|Q = <7) может быть как больше вероятности
Р (Л), так и меньше ее:

Р(А)<Р(Д|(2 = 7), P(A|Q = $)<P(A).

Это зависит от того, какое значение q взять. Оче-
видно, что если 7 = 0 (задачу начали решать на ЭВМ
сразу после очередного сбоя), то P(A|Q = 0) будет
достигать своего максимального значения:

СО	ОО

p(A|Q = O)=JT^b-rfr = $f(r)rfr =
2	2

2

= 1 - Jf(r)dr=l - F(2).

о

В рассматриваемом случае имеем (см. (2.2.24))

Р(А| Q = 0) = 1 — F(2)= 1 — (1 •—/?(3 —- 1; 0,5-2)) =
= /? (2,1) «0,920.

Если взять q — 20 ч, то

fr (г | q = 20) « 0,00103 (г + 20)2 е~и (г > 0).

В этом случае

ОО

Р (А| Q = 20) = $ 0,00103 (г + 20)2 е~v dr « 0,440.
2

Чем больше величина q, тем меньше будет условная
вероятность Р (А [ Q = q). ►

Потоки Пальма широко применяются в теории
восстановления — разделе теории надежности техни-
ческих устройств. В теории восстановления (131 рас-
сматривается следующая вероятностная задача. Имеет-
ся неограниченное количество одинаковых по своим

характеристикам элементов. Первый элемент вклю-
чается в работу в момент 1 = 0 и работает случайное
время Ti, после чего выходит из строя (отказывает).
В момент отказа первого элемента он мгновенно за-
меняется (восстанавливается) вторым, который рабо-
тает случайное время Т%, после чего заменяется (вос-
станавливается) третьим, работающим случайное вре-
мя Т3, и т. д. (рис. 2.2.3). Такой процесс восстанов-
ления элементов продолжается неограниченно, причем
каждый отказавший элемент немедленно заменяется
новым.

Если случайные величины Ть Т2, ... независимы
и одинаково распределены, то поток отказов (он же
поток восстановлений) представляет собой поток
Пальма (начало координат t = 0 ие считается вос-
становлением). Образующийся при этом случайный
процесс называется простым процессом восстановле-
ния. В теории восстановления [13] обычно рассмат-
риваются следующие характеристики процесса:

1.	Продолжительность времени от начала /=0
(момент включения первого элемента) до fe-ro от-
каза (восстаиовлеиия)

k
tw=Zt{.
i" i

2.	Число восстановлений X(t), имевших место на
участке времени (0,/)•

3.	Функция восстаиовлеиия А(/)—математическое
ожидание случайного процесса X(t):

Л(О = М[Х(О].

4.	Плотность восстановления Z,(f), определяемая
как

Л(0 = lim	+	д(0.

дг-»о	аг

5.	«Возраст» элемента Q, достигнутый им в произ-
вольный момент времени I, никак ие связанный с по-
током восстановлений (если процесс длился доста-
точно долгое время). Случайная величина Q, как мы
показали, имеет плотность распределения (2.2.10).

6.	«Остаточное время жизни» элемента R, остаю-
щееся ему в момент ? до отказа (при том же предпо-
ложении о достаточной длительности процесса вос-
становления); с. в. R имеет то же распределение,
что и Q.

Как видно, все решенные выше задачи находят
прямое инженерное приложение в теории восстанов-
ления.

Наиболее простой разновидностью потока Пальма
является простейший (стационарный пуассоновский)
поток. Мы уже знаем (см. (2.1.13)), что у такого
потока плотность распределения интервала Т между
соседними событиями представляет собой показатель-
ный закон f(t) = ке~и (/ > 0).

Легко показать, пользуясь формулой (2.2.10), что
точно таково же распределение каждой из случайных
величин Q и R:

fq(t)==ke~M (/>0), fr(t) — ke~u (f>0).

Это и естественно: отсутствие последействия в про-
стейшем потоке говорит о том, что распределение
времени, оставшегося до ближайшего события по-
тока, такое же, как и распределение времени между
событиями потока; наличие очередного события в на-
чале отсчета промежутка никак ие влияет на остав-
шуюся его длину. По этой же причине (отсутствие
последействия) случайные величины Q и Я для про-
стейшего потока независимы. Действительно, в про-
стейшем потоке любая сколь угодно подробная ин-
формация о том, как вел себя поток в прошлом (до
произвольного момента I), не дает никаких сведений
о том, как этот процесс должен протекать в будущем
(после момента ?). Это — основная причина того, что
различные инженерные задачи, связанные со случай-
ными процессами, проще всего решаются, когда изме-
нения состояния физической системы S, в которой
протекает случайный процесс, происходят под дей-
ствием простейших потоков событий. Несколько слож-
нее, но все же сравнительно просто решаются задачи
исследования случайных процессов в том случае, когда
фигурирующие в них потоки событий являются не-
стационарными пуассоновскими (с переменной интен-
сивностью Х(/)); самое важное свойство — отсутствие
последействия — при этом сохраняется. Исследуя про-
цесс на участке времени, следующем за моментом to
(будущее), мы можем учитывать только состояние
системы в момент t = to (настоящее) и не заботиться
о том, как ои протекал при t < to (в прошлом).

2.3. Потоки Эрланга

Потоком Эрланга k-го порядка с параметром X
называется поток Пальма, у которого интервалы ме-
жду событиями распределены по закону Эрланга &-го
порядка (6=2, 3, ...). Поток Эрланга й-го порядка
может быть получен из простейшего с помощью его
«просеивания» (или «разрежения»); при этом в про-
стейшем потоке сохраняется каждое Л-е событие, а все
промежуточные отбрасываются. Например, если в про-
стейшем потоке с интенсивностью X, сохранять каж-
дое второе событие, а промежуточное — выбрасывать,
то получится поток Эрланга 2-го порядка; на рис. 2.3.1

О

Рис. 2.3.1

t

показана процедура формирования этого потока из
простейшего; кружками отмечены сохраняемые в по-
токе события, обычными точками — отбрасываемые.
Очевидно, что интервал 7"(2> между двумя событиями
в просеянном таким образом потоке есть сумма двух
независимых с. в., имеющих показательное распреде-
ление с параметром 1, равным интенсивности исход-
ного простейшего потока: Т<2) = Ti 4- TV На рис. 2.3.2

показана схема преобразования простейшего потока
в поток Эрланга 3-го порядка. Случайная величина
Г<3) — интервал между соседними событиями в потоке
Эрланга 3-го порядка есть сумма трех независимых
с. в., имеющих показательное распределение с пара-
метром 1:

ТР) = Т1 + Г24-Гз-

Очевидно, для потока Эрланга &-го порядка, в кото-
ром из простейшего потока сохранено только каждое
k-e событие, а промежуточные отброшены, интервал
времени Т(*> между соседними событиями можно
представить в виде суммы k независимых с. в., распре-
деленных по показательному закону с параметром X:

k

(2.3.1)

i e 1

где Ti — с. в., имеющая показательное распределение
с параметром X.

Заметим, что простейший поток представляет со-
бой поток Эрланга l-го порядка (6=1). В книге
(6] (п. 6.4*) было показано, что п. р. fw(t) с. в. TW
имеет вид

f<*>(/) == х (Х/)*-' e~Kt/(k - 1)1 (Г > 0),	(2.3.2)

а это есть не что иное, как закон Эрланга k-го по-
рядка с параметром X. Пользуясь функцией Р(т, а) —
— ате~^/т\, можно записать плотность (2.3.2) в виде
f*’(/) = XP(fe-1, Х0 (Г > 0, £=1,2, ...), (2.3.3)

т

а ф. р. выразить через функцию R(m, а) — У, ake~a!k\:
л=о

Fw(0=I _/?(*_ 1, Х0 (Z>0, k=\, 2, ...).

(2.3.4)

Таблицы значений функций Р(т,а) н R(m, а) приве-
дены в приложении [5].

Рис. 2.3.3

Числовые характеристики с. в. Т<*> (см. (2.3.1))
равны:

= М [== ЛМ [Г,] = 4,

_	(2.3.5)

D [Т4**] = Ю[П] =	=

А	А

Рассмотрим случайный момент t (никак не связанный
с потоком) и найдем законы распределения случай-
ных величин	(см. рис. 2.3.3), как мы
это делали в п. 2.2 для потока Пальма. По формулам
(2.2.3) н (2.3.3) имеем

;<V(0=1^s=J^xp(&-i, Kt) = xp(k, М),
m't ’ k/K

(2.3.6)

а это есть не что иное, как закон Эрланга (k + 1)-го
порядка (на единицу большего, чем порядок исход-
ного эрланговского потока) с параметром X. Следо-
вательно (см. (2.3.5)),

М [Г*<А)] = (£ + 1)/Х, D [Т*<А)] = {k 4- 1)/Х2.	(2.3.7)

По формулам (2.2.10) и (2.2.11) находим п. р. случай-
ных величин Q<*> и (они, естественно, одина-
ковы) :

C(0=(i-f“’(0)Mw.

где Л*)(0 — ф.р. закона Эрланга k-ro порядка (см.
(2.3.4)); отсюда

Д*>(0 = [1-(1 — R(k—l, М))] А = 4ж*-1, Х0.

Такова же и плотность распределения с. в. R:

ft' (/) = /<*>(/) = A/? (k - 1, M)/k (t > 0).	(2.3.8)

Заметим, что п .р. Д*' (0 представляет собой вероят-
ностную смесь k законов Эрланга порядков 1, 2, ...
..., т, .... k (см. п. 9.8*), взятых с равными вероят-
ностями \/k. Действительно,

ft'(t) = ^R(k-\,	=

fe	.m—1

_ 1 V1 Л(Л<)	— 1 V

k L (т — 1)1	k 2-i '	"

m = l	m-1

где f<"*> (0 = X (Х0 т-хе~м/ (т— 1)1 —закон Эрланга
/л-го порядка с параметром X (т = 1, 2, ..., k). По
формуле (2.2.13) находим м.о. каждой из величин
Q<*> и /?<*>:

М [Qw] = М = М [Г’ (ft)]/2 = (k + 1 )/(2А).	(2.3.9)
Пользуясь формулами (2.2.13) и (2.2.14), можно убе-
диться, что

D[Qw] = D[/?(ft,] =

_ М [(Г<*>)3] _ М [(Г**»)2] _ (fe+ 1) (fe + 5)	,

“	3m<*>	4(т<‘>)2 “	12Л2	’	'

По формуле (2.2.15) найдем ковариацию слу-
чайных величин Q(*> и /?<*>:

*£> = М [(T<*')3]/(6m$*>) - (м [т’ЧУ/М1)2 =

_Н1ГН2 fe + 1-j	1-F	,

Заметим, что порядок потока Эрланга k представ-
ляет собой целочисленную величину (6=1, 2, ...);
поэтому ковариация Для k > 1 всегда отрица-
тельна, а прн k — 1, когда поток Эрланга становится
простейшим, она, естественно, обращается в нуль.
Деля на ег’^’а’/' = D [О***] = D [/?w], найдем коэф-
фициент корреляции с. в. Q<*> н /?<*>:

w	(fe+l)(l-fe) 12Х2	fe -1

fqr D [Q(A)j	12Л2 (k + 1) (k + 5)	k 4- 5 

(2.3.12)

Отметим, что прн увеличении порядка k потока Эр-
ланга (£->«>) коэффициент корреляции /// стре-
мится к —1; это означает, что прн неограниченном
увеличении k связь между и /?<*> приближается
к линейной функциональной с отрицательным коэф-
фициентом.

Некоторое неудобство пользования потоками Эр-
ланга 6-го порядка связано с тем, что с увеличением
k интенсивность потока уменьшается (за счет его
«прореживания»). Действительно, интенсивность по-
тока Эрланга k-ro порядка, возникшего из простей-
шего потока с интенсивностью X, равна

= 1/М [T<ft>] = K/k. (2.3.13)

Чтобы интенсивность потока Эрланга не уменьша-
лась с увеличением k, а оставалась неизменной н рав-
ной интенсивности исходного простейшего потока, бу-
дем сопровождать «прореживание» потока одновре-
менным уменьшением масштаба по оси Of, уменьшая
его в k раз при формировании потока Эрланга k-ro
порядка. Для этого достаточно интервал времени
между соседними событиями потока Эрланга
k-го порядка разделить на k. Полученный таким об-
разом поток будем называть нормированным пото-
ком Эрланга k-ro порядка. В этом потоке интервал
времени между двумя соседними событиями равен
(см. (2.3.1))

k

flk} =	£ Л, (2.3.14)

откуда (см. (2.3.5))

М == М = 1/Л, D = 1/(U2). (2.3.15)

Плотность распределения /<*)(/) с. в. Г<*> получим как
плотность линейной функции от с. в. Г<*> (см. (9.1.10)*
н (9.5.22)*):

f,А) (0 = kf(/•£) = KkP (k - 1, Kkt) =

= XWP(A!-1, W). (2.3.16)

где P{m,a}—распределение Пуассона с парамет-
ром а,

Kw = kK.	(2.3.17)

Отсюда видно, что с. в. f<*> будет также распределена
по закону Эрланга k-ro порядка, но с параметром

= kK. Интенсивность нормированного потока
Эрланга k-ro порядка не зависит от k и при любом k
равна интенсивности исходного простейшего потока
(для чего мы и проделывали нормирование):

К(А> = l/M = К.	(2.3.18)

Посмотрим, как изменяется распределение интер-
вала времени между соседними событиями нор-
мированного потока Эрланга й-го порядка при уве-
личении k.

Во-первых, это распределение с увеличением k
приближается к нормальному: величина получена
в результате суммирования k независимых случай-
ных величин, распределенных по показательному за-
кону с параметром X и последующего деления на k
(см. (2.3.14)):

Из центральной предельной теоремы для одинаково
распределенных слагаемых (см. п. 10.2*) известно,
k

что прн достаточно большом k сумма У, будет

<=i

распределена по закону, сколь угодно близкому
к нормальному, а его линейная функция (2.3.14) —
также приблизительно по нормальному закону; пара-
метры этого закона равны: м.о. интервала л*>

т = М [?'*’] = 1/Х	(2.3.19)

и с. к. о.

о = Vd = Vl/(fe^2) = 1/(л/k X). (2.3.20)

Математическое ожидание, как мы уже отмечали, при
увеличении k не меняется; что касается среднего квад-
ратического отклонения, то оно с увеличением k
уменьшается обратно пропорционально д/k.

Опыт расчетов показывает, что даже при умеренно
больших значениях k (порядка 10-4-20) с достаточ-
ной для практики точностью можно считать закон рас-
пределения интервала между соседними событиями
в нормированном потоке Эрланга нормальным с пара-
метрами т = 1/Х, а = 1/(Vk X).

Во-вторых, одновременно с «нормализациейэ зако-
на распределения интервала при возрастании k его
с. к. о. о стремится к нулю, т. е. интервал становится
все менее и менее случайным, приближаясь (сходясь
по вероятности) к своему м. о. 1/Х, а сам поток при-
ближается к регулярному потоку с ин-
тервалом между событиями, равным 1/Х.

Таким образом, с помощью нормированного по-
тока Эрланга можно смоделировать потоки Пальма
с различным последействием. При k — 1 получаем
простейший поток (в котором нет последействия),
при увеличении k (k — 10 4- 20) получаем поток
Пальма, у которого интервалы между событиями
распределены практически по нормальному закону.
При очень больших значениях k (в пределе при
к-+-<ю) получаем регулярный поток, в котором имеет-
ся полная функциональная зависимость между собы-
тиями в потоке. Найдем законы распределения и чис-
ловые характеристики случайных величин f'w, Q(k\

(см. рис. 2.3.4) в нормированном потоке Эрланга
fe-ro порядка: применяя формулы (2.3.15), (2.3.16),







t

а

Рис. 2.3.4



(2.2.3), (2.2.4), (2.2.6), (2.2.10), (2.2.13), (2.2.14),
(2.2.15), справедливые для любого потока Пальма,
получим:

= kkl) = KwP(k, К{к}1),
М [г = (к 4- 1 )/(ЛЛ),	D [Г*<ft>] = {k + 1 )/(ЛЛ)2,

r«(O=frft)(O=^/?(fe-i, W),

М й«>]_м [/?*’]-A±J.,

'"’--m-	е-з.21)

В справедливости формул (2.3.21) читатель может
убедиться самостоятельно.

Обратим внимание на то, что при й->оо закон
распределения случайных величии Q<ft) и Rw будет
приближаться (сходиться по вероятности) к закону
равномерной плотности на интервале (0, А.-1) с м.о.

lim M[Q,k,]= Пт М [/?<*’] = Пт =
*->о»	4->оо
и дисперсией
lim D[Q'ft)]= lim =
Ь->ОО

(fe+l)(* + 5)	1

ШФ	12V •

При ЭТОМ

lim = lim — (k — 1)/(A + 5) — — 1.
&->oo	&-»oo

Получающиеся при таком предельном переходе с. в.

Q » lim R = lim R{k} будут одинаково распре-
k~+<x>	fe->oo

делены и связаны функциональной зависимостью
$+/?== 1Д. При таком предельном переходе с. в.
Г = lim Г*(** = Г = lim Т4*’становится с вероятностью

А->со	&->оо

единица равными неслучайной величине 1/Х..

Определенный инженерный интерес представляет
поток Пальма, у которого интервалы между собы-
тиями имеют гамма-распределение с параметрами
к > 0 и k > 0 (см. п. 6.4*):

где

ОО
r(k)=^e~ttk-idi
о

— гамма-функция.

Такой поток будем называть гамма-потоком с па-
раметрами X, н k. Параметры X. н k могут быть лю-
быми неотрицательными числами.

В п. 6.4* было показано, что при целом положи-
тельном k гамма-распределение превращается в рас-
пределение Эрланга k-vo порядка.

2.4. Предельные теоремы теории потоков

В книге (6] мы знакомили читателя с централь-
ной предельной теоремой, которая утверждает, что
если складывать достаточно большое число незави-
симых с. в., то при определенных условиях их сумма
будет распределена приблизительно нормально. По-
этому нормальный закон распределения довольно ши-
роко распространен в природе и часто встречается
в инженерной практике.

Прн решении различных инженерных задач, а
также в других областях человеческой деятельности
часто пользуются допущением о том, что потоки со-
бытий, определяющие различные с. п., являются пуас-
соновскими. Делается такое допущение не только по-
тому, что прн этом упрощаются исследования, но и
главным образом потому, что во многих случаях оно
близко к истине. Дело в том, что пуассоновские по-
токи в определенном смысле являются предельными
для различных потоков событий. Например, если по-
ток получается в результате «сложения» (или взаим-
ного наложения) достаточно большого числа потоков
различной структуры, то суммарный поток в весьма
широком диапазоне условий будет близок к пуассо-
новскому. Часто бывает, что техническое устройство
состоит из многих элементов, работа каждого из ко-
торых безусловно необходима для работы всего
устройства. В этом случае поток отказов технического
устройства будет складываться из потоков отказов
его отдельных элементов. Поэтому часто поток отка-
зов технического устройства будет близок к пуассо-
новскому.

С другой стороны, если взять произвольный поток
Пальма н разрежать его случайным образом («вы-
брасывать» из этого потока с определенной вероят-
ностью каждое событие), то такой преобразованный
поток будет также приближаться к пуассоновскому.
Например, поток космических частиц, проходя через
атмосферу Земли, разрежается, поэтому поток частиц
у поверхности Земли будет близок к пуассоновскому.

В инженерных приложениях довольно часто имеет
место как сложение потоков, так и нх случайное раз-
режение. По этой причине при решении различных
прикладных задач широко используется допущение
о том, что потоки событий являются пуассоновскими.

Предельная теорема для суммарного
потока

Предельная теорема для суммарного потока опре-
деляет условия, при которых сумма независи-
мых, ординарных, стационарных пото-
ков событий сходится к пу а с с о и о в с ко-
му стационарному (простейшему) по-
току')• Прн этом условия, налагаемые на сумми-
руемые потоки, приблизительно аналогичны условиям,
накладываемым на слагаемые в центральной пре-
дельной теореме: складываемые потоки должны ока-
зывать приблизительно одинаковое влияние на сум-
марный поток. Другими словами, среди суммируемых
потоков событий не должно быть потоков как с очень
большой интенсивностью, так и с исчезающе малой
интенсивностью. Надо отметить, что сходимость сум-
марного потока к пуассоновскому с увеличением чис-
ла складываемых потоков осуществляется довольно
быстро. В инженерной практике можно рекомендо-
вать считать сумму 5 4- 7 потоков за пуассоновский
поток, если интенсивности этих потоков имеют одина-
ковый порядок и потоки независимы.

Уточним понятие сложения потоков событий. Сум-
мой двух потоков П\ и Пг будем называть поток /7(2>,

в котором моменты появления событий состоят из мо-
ментов появления событий в потоках П\ н /72 (см.
рис. 2.4.1).

Очевидно, что если складывают два стационарных
потока событий П\ и П2, то суммарный поток событий
П<2> тоже будет стационарным; его интенсивность бу-
дет равна сумме интенсивностей складываемых по-
токов:

(2.4.1)

Сумма любого числа стационарных потоков дает
стационарный поток с интенсивностью, равной сумме
интенсивностей слагаемых потоков.

') Мы не приводим сравнительно сложное доказательство
этой теоремы, имеющейся в [8J.
Покажем, что при сложении ординарных потоков
событий суммарный поток тоже будет ординарным.
Например, при многорядном движении машин по
шоссе суммарный поток автомашин, подходящих
к данному пункту, будет ординарным. Другой при-
мер: поток отказов сложного технического устройства,
состоящего из нескольких элементов. Поток отказов
каждого элемента ординарен, поэтому поток отказов
всего технического устройства тоже будет орди-
нарным.

На первый взгляд это может показаться не совсем
верным, так как возможен одновременный отказ не-
скольких элементов (или одновременное пересечение
какой-то условной линии несколькими автомашинами
при многорядном их движении на шоссе). Однако ве-
роятность такого события при сложении независимых
ординарных стационарных потоков Пальма равна
нулю, если интервалы времени между событиями
представляют непрерывные случайные величины. Мы
знаем (см. п. 3.2*), что вероятность каждого отдель-
ного значения непрерывной с. в. равна нулю; равна
нулю и вероятность точного совпадения значений,
принятых двумя независимыми непрерывными случай-
ными величинами, из чего следует ординарность сум-
марного потока событий.

Очевидно, что при сложении любого числа п не-
зависимых стационарных ординарных потоков будет
получаться снова стационарный ординарный поток,
интенсивность которого равна сумме интенсивностей
складываемых потоков:

Х<п) = £ Xf,	(2.4.2)

(-1

где X; — интенсивность t-ro потока /7/.

Остановимся несколько подробнее на понятии «не-
зависимости потоков». Рассмотрим два участка вре-
мени Ti и Т2, примыкающих к моментам и t2
(рис. 2.4.2). Обозначим Xi(/i,ti) случайное число со-
бытий, попадающих на участок ti; X2(t2,-t2)—случай-
ное число событий, попадающих на участок т2. По-
токи /71 и П2 называются независимыми, если слу-
чайные величины Xi (fi,Tj) и X2(t2, т2) независимы
при любых t\, t2, ti, т2. Другими словами, два потока
независимы, если закон распределения числа собы-
тий, попадающих на любой участок времени в одном
из потоков, не зависит от того, сколько событий по-
пало на любой участок в другом потоке.

Рис. 2.4.2

Пример I. Рассматривается сумма двух неза-
висимых потоков Эрланга 2-го порядка с одинаковыми
параметрами X.

Найти закон распределения и числовые характе-
ристики интервала Т<2> между соседними событиями
суммарного потока.

Решение. На рис. 2.4.3 показана схема сложе-
ния потоков П\ и /72. Событие в суммарном потоке

Рис. 2.4.3

/7<*> = 771 + П2 может быть получено переносом его
либо из потока П\, либо из потока 772; вероятность
каждой из этих гипотез равна 1/2, ибо Пх и 772 оди-
наковы по своим вероятностным характеристикам.

Предположим, что какое-то событие суммарного
потока, отмеченное кружком на рис. 2.4.3, совпадает
с событием потока П2 и появляется в момент 1, никак
не связанный с потоком П\. Каков будет интервал
времени Т<2> между этим моментом и моментом при-
хода следующего события суммарного потока? Это
зависит от того, какое событие придет раньше (см.
рис. 2.4.3): очередное событие из того же потока П2
(до его прихода остается время Т2) или же событие
из потока /71 (до его прихода остается время Ri).
Очевидно, интервал Т**> равен минимальной из этих
двух случайных величин:

/?,}.	(2.4.3)

Если предположить, что начальная точка 7 интервала
Т<2> есть момент прихода события из первого потока,
получим равносильную (2.4.3) формулу

7’(2) = min{7’1, /?2),	(2.4.4)

ничем не отличающуюся от (2.4.3), так как величины
Ti(T2), Ri(Rz) распределены одинаково и независимы.
Возьмем первую из этих формул (2.4.3) и найдем
плотность распределения f<2>(0 случайной величины
7Х2>. В книге (6] (см. (9.6.4)*) мы нашли ф. р. мини-
мальной из двух независимых с. в.:

G (У) = Fx (у) + F2 (у) - Л (у) F2 (у).	(2.4.5)

Отсюда

F<2) (0 = F2 (0 + Fri (t) - F2 (0 Fri (0,	(2.4.6)

где F<2>(0—ф. p. интервала между событиями в сум-
марном потоке; F2{t) — ф.р. интервала между собы-
тиями в потоке П2; Fr,(0 —ф.р. «остаточной части»
Ri, интервала в потоке Hi, на который попала точка 1.
В рассматриваемом примере функция распределения
с. в. Т2 имеет вид (см. (2.3.4))

F2(t)=\—R(\, М),	(2.4.7)

Я

где R(n, M)=S (Kt)ke~Mlk\ — функция, связанная
Л-о

с распределением Пуассона. Плотность распределения
с. в. #1 будет (см. (2.3.8))

M0-|*(l, W),	(2.4.8)
откуда

Fr,(t)=\frAt}dt - Я(°. К0+1-Ж1, М)1.
о

(2.4.9)
Следовательно,

= i -/?(!, л/) + 4-П-Я(о, М)+ !—/?(!, Ml -

— [! — /?(!, A/)]-l[l ~*<0’ М+1-Ж1. А/)] =

_-2W

= 1 - -4- [2 + ЗА/ 4- (А/)2],	(2.4.10)

откуда

/<2> (/) =	= 12Ае-2Х< + у <2Л)2 te~ ™ +

+ .L<2WJLe-™,	(2.4.11)

Таким образом, закон распределения интервала вре-
мени Г<*> в потоке /7<2> будет представлять собой ве-
роятностную смесь трех законов распределения:

f& (0 = дм (0 + Р2Ф2 (0 + РзФз (0.

где ф1 (/) = 2Ae~2w — показательный закон (закон
Эрланга 1-го порядка) с параметром 2А; <р2(/)==
= (2А)2^-Ш — закон Эрланга 2-го порядка с пара-
метром 2А; фз (/) =	/2е~2Х/ — закон Эрланга 3-го

порядка с параметром 2А;

Pi—у. Рг = у. Рз— f (Pi + Рг + Рз = !)

Следовательно,

М [т<2>] «-jb- р,М [Г<„] + р2М [Г<2>1 + РзМ [Г<э>]=

— ± _Lj_JL A_i__L А— 1

Этот результат можно было получить и проще. Из ра-
венства (2.4.2) имеем

А<2) = А! 4- Аг = -у + 4 — А.
Найдем второй начальный момент

М [(Т'<2>)2] = piM [7'u)] + р2М [Гр»] + рзМ [Гз] =

откуда

DI Тю] = М | (т-и)!) - (М	= -^Г.

На рис. 2.4.4 показан график плотности /<2>(0 при

Второй метод решения этой задачи может быть
следующий (он нам пригодится в дальнейшем).

Рассмотрим произвольную точку I на оси времени,
не совпадающую нн с одним событием в потоке /7(2>
(см. рнс. 2.4.5). Из этого рисунка следует, что

= /?2).

Следовательно, Fr(2)(0 =	(0 + Frt(0 — Ffi (0 Fr (0,

но Fri(0 = Frj(0 = ±[l -/?(0, X0 + 1 —/?(!, W)J,
откуда

Frv>(t) = 2Frt(0 - (Fr, (О)2 = I - е~ш (t + М + (W)2/4),
/И2) (П = F'rW (0 = 2Ае"ш [| + Т • 2JW + 4 •	=

= «ifi (0 + л2/2 (0 4- л3/3 (/),
где /(п(П=2Ле-2« М) = (2А)2/е~*«,	f3(t) =

= -^Га1, Я1==1/2> „2 = 3/8, л3=1/8 (/>0).
Следовательно, закон распределения случайной вели-
чины Я(2> представляет собой вероятностную смесь за-
конов распределения Эрланга 1-го, 2-го и 3-го поряд-
ков с параметром 2А и с вероятностями л>, л2, яз-
В соответствии с формулой (2.2.11) имеем

/г(2)(0 = (1-^<2,(П)/М[Г<2)].

откуда

F<2>(0=l-M[7’(2)].fr(2)(0.

= АМ [Г<2)] 2Ае~ш [1 ++ у •	.

Величина М[Г(2>], очевидно, равна 1/А, так как
интенсивность потока событий П®> равна

А] + А2 = у + у — к.

Следовательно,

/<2>(/) = 2Ае-[± ++

Можно убедиться в том, что эта формула совпадает
с формулой (2.4.11).

Пример 2. Рассматривается сумма п независи-
мых потоков Пальма /71, /72, .... Пп, у которых ин-
тервалы между событиями имеют функции распреде-
ления Fi(O. , ..., Fn(t) соответственно. Тре-
буется найти закон распределения интервала времени
Г<л> между событиями в суммарном потоке П'я} =
-int.
i-l
Решение. Рассмотрим произвольную точку I, не
совпадающую ни с одним из событий в суммарном
потоке /7(п) (см. рис. 2.4.6). Очевидно, что остаток

времени в суммарном потоке /7<"> будет равен ми-
нимальному из остатков времени до наступления оче-
редного события в суммируемых потоках:

= min {/?,, /?2.../?„}.

В предыдущем примере мы складывали два потока и
получили формулу /?(2) — min(/?i,R2}. Так как потоки
независимы, то и с. в. /?2.........Rn тоже незави-

симы. В соответствии с формулой (2.2.11) имеем

/Г/(/) = [1-Л(П^,
где т{ = М — математическое ожидание интер-
вала между событиями в потоке /7,:

г dF. (п г
о	о

Следовательно,
t	t

(/) = $ fr{ (0 dt = J (1 - Ft (OJ dt.
0	1 0

В книге [6] было показано, что ф. р. минимальной из
п независимых с. в. определяется по формуле (см.
(9.6.6)*)
Чтобы доказать предельную теорему для суммарного
потока, когда суммируются потоки Пальма, доста-
точно доказать (мы этого делать не будем) сходи-
мость закона распределения случайной величины /?<">
к показательному закону. Если суммируемые потоки
имеют одинаковые вероятностные характеристики
Fr{(t) = Fr(i) (/=1,2...л), то

Fr<n)(O=l-(l-Fr(0)".

Зная функцию распределения Fr(n)(0, можно
найти функцию распределения интервала времени Т<п>
между событиями в потоке /7<я> по формуле

F<n)(0 = l-m<n)fr(n)(n,
где
dF (О	Л

frW (0 = —d-~.....>	= J tf(n) (0 dt,

о

Величина m(n) находится из следующего условия:



откуда

dt = \fn\t)dt = 1,
о

Величину /п(д> можно найти из другого условия:

откуда

Л<п)

(п)___L =	1

m дЮ п

£

В инженерной практике иногда имеют место усло-
вия, когда суммируемые стационарные ординарные
потоки событий являются слабозависимыми. Модели-
рование суммы большого числа таких потоков, про-
веденное методом статистических испытаний, пока-
зало, что и в этом случае суммарный поток будет
практически простейшим (стационарным пуассонов-
ским).

Многократные исследования, проведенные методом
статистических испытаний, показали, что все, что
было сказано о стационарных ординарных потоках,
справедливо и для нестационарных потоков. Если
суммировать достаточно большое число ординарных
независимых (или слабозависимых) потоков с при-
мерно соизмеримыми интенсивностями, то суммар-
ный поток событий будет близок к пуассоновскому
с интенсивностью

Л(п) (0 = L (0,	(2.4.12)

где К;(/)— интенсивность потока ГЦ.

Предельная теорема для суммарного потока дает
теоретическое обоснование для широкого использова-
ния в инженерной практике предположения о том, что
фигурирующие в задаче потоки событий являются
пуассоновскими (стационарными или нестационар-
ными) :

— Поток автомашин, движущихся по шоссе, так

как он состоит из отдельных машин, выезжающих на

это шоссе в случайные мо-
менты времени; этот поток
будет нестационарен; его
интенсивность зависит от
времени суток, дня недели,
месяца, года.

— Поток отказов техни-
ческого устройства (ЭВМ,
компрессора для перекачки

газа, самолета, ракеты, ко-

рабля, атомного реактора и т. д.), так как любое
техническое устройство состоит из многих элементов,
порождающих суммарный поток отказов. В общем
случае поток отказов технического устройства не ста-
ционарен; его интенсивность А, (0 имеет вид, сходный
с показанным на рис. 2.4.7. На участке от оси (О, Ц)
интенсивность отказов технического устройства А(/)

уменьшается: новое техническое устройство «при-

рабатывается», в нем выявляются и устраняются
различные дефекты, проходит период «обкатки». За-
тем на участке (fi, /2) наступает период «стабильной»
работы технического устройства, когда можно считать,
что Х(/) = const. Затем, по мере «старения» техниче-
ского устройства (участок времени t > h), интенсив-
ность отказов снова возрастает.

(Аналогичная картина имеет место и для различ-
ных биологических объектов: в «детстве» они болеют

(«выходят из строя») чаще, по мере взросления ин-
тенсивность заболеваний падает, а к «старости» ин-
тенсивность заболеваний снова возрастает).

— Поток самолетов, приземляющихся на аэродром
с интенсивным движением самолетов, так как этот по-
ток состоит из многих самолетов, прибывающих с раз-
личных пунктов назначения. Несмотря на то, что по-
ток приземлений самолетов на аэродром стремятся
сделать регулярным («самолеты должны приземлять-
ся строго по расписанию»), эта регулярность нару-
шается по различным независимым причинам. По
этой же причине поток судов, заходящих в данный
порт, тоже можно считать пуассоновским.

— Поток доз информации, поступающей для обра-
ботки в вычислительный центр, часто близок к пуас-
соновскому, так как порождается различными неза-
висимыми источниками, откуда эта информация по-
ступает.
— Поток деталей, изготовляемых в цехе со мно-
гими станками, также является приближенно пуас-
соновским.

Отметим особо, что складывая независимые пуас-
соновские потоки событий (стационарные или неста-
ционарные), мы снова получим пуассоновский поток.
Докажем это.

Рассмотрим п пуассоновских потоков и для каж-
дого нз них интервал времени т, примыкающий к мо-
менту времени t (рис. 2.4.8).

Так как все потоки пуассоновские, то число собы-
тий Х<(/, т) в t-м потоке распределено по закону Пуас-
сона с параметром

<+т

а, (Л т)= J Л, (0 di.
t

Очевидно, что при суммировании п потоков в сум-
марном потоке (рис. 2.4.8) число событий, попав-
ших на участок т, примыкающий к точке t, будет
складываться из чисел событий, попадающих на тот
же участок в складываемых потоках: Х(я,(/, т) =
п

= £	(t, *)• т- е- будет представлять собой сумму

независимых случайных величин, распределенных по
закону Пуассона. В пункте 9.4* было доказано, что
сумма п независимых случайных величин, распреде-
ленных по закону Пуассона, тоже распределена по за-
кону Пуассона с параметром

п	п t+x	t+x п

а,п,(Л т) = £аД/, т)=£ МИ-j
i-i	i-i t	t i-i

Обозначим, как и прежде, интенсивность потока, по-
лучающегося в результате суммирования п потоком,

^"’(О-ЕМО-	(2.4.13)

Отсюда

t+x
т)== J kw(t)dt.
t

Таким образом, мы показали, что при суммирова-
нии п независимых пуассоновских потоков получаем
снова пуассоновский поток, интенсивность которого
равна сумме интенсивностей складываемых потоков.
Если складывать простейшие (стационарные пуассо-
новские) потоки, получим простейший поток.

Другими словами, пуассоновский поток обладает
свойством устойчивости к операции суммирова-
ния: сумма независимых пуассоновских потоков яв-
ляется также пуассоновским потоком. Это свойство
широко используется при решении различных при-
кладных инженерных задач, оно нам потребуется
в дальнейшем.

Предельная теорема для редеющих
потоков

Потоки событий, встречающиеся в различных об-
ластях человеческой деятельности и в природе, иногда
подвергаются операции «случайного разрежения»,

Рис. 2.4.9

когда некоторые события из потока отсеиваются. На-
пример, поток готовых изделий получается в резуль-
тате многократного контроля и выбраковки на раз-
личных операциях; поток космических частиц, дости-
гающих Земли, редеет за счет столкновения этих
частиц с частицами атмосферы; поток самолетов, пре-
одолевших систему противовоздушной обороиы, ре-
деет за счет того, что некоторые из них оказываются
сбитыми.

Обратим внимание на то, что в приведенных выше
примерах разрежение потока проходит случайным об-
разом, а не строго закономерно, как это делалось
в п. 2.3 при получении потока Эрланга А-го порядка,
когда в потоке оставалось лишь каждое А>-е событие.

Рассмотрим такое случайное разрежение более
подробно. Возьмем поток Пальма с произвольной
плотностью распределения f(t) интервала времени Т
между событиями (рис. 2.4.9) и применим к нему
следующее преобразование. Каждое событие исход-
ного потока П (независимо от других событий) оста-
ется в этом потоке с вероятностью q и исключается
из него с вероятностью р. При этом рассматривается
другой поток Пр, составленный из событий, исключен-
ных из потока П.

Такую операцию случайного разрежения потока
событий обозначим ПР{П}:

ПР = ЯР{П}.	(2.4.14)

Очевидно, что интервал времени Тр в разреженном
потоке Пр будет представлять собой сумму случай-
ного числа случайных слагаемых:

ТР=£ТЬ	(2.4.15)

i-i

где Tj, Тг, ... — система независимых одинаково рас-
пределенных с. в., имеющих плотность распределения
f(t), а случайная величина Y имеет «геометриче-
ское + 1» распределение (см. п. 5.3*):

p{yaas*}eW»-' (fe=l, 2,

р + <7= О-

(2.4.16)

В п. 8.9* было показано, что в этом случае харак-
теристическая функция с. в. Тр имеет вид

(2Л17>

где

о

(2.4.18)

— характеристическая функция с. в. Т — интервала
времени в исходном потоке П.

В п. 8.5* было показано, что М [TJ = М [7] X
X М (Г]. Но М [Г] = 1Д, М [У] = 1/р, где К - интен-
сивность исходного потока событий 77. Следовательно,
интенсивность потока Пр будет

где

Ч=1/М[ГР] = кр,	(2.4.19)

М[Г„]=1/(М-	(2-4.20)
Если подвергать исходный поток событий П мно-
гократному /^-преобразованию, то интенсивность ре-
зультирующего потока будет стремиться к нулю. По-
этому введем новое преобразование Rp потока П, со-
стоящее в том, что поток П сначала подвергается
преобразованию Rp, а затем «сжимается» так, чтобы
интенсивность потока Пр была равна интенсивности
исходного потока П. Для этого достаточно случайную
величину Тр умножить на величину р:

Тр^Трр.	(2.4.21)

Легко убедиться в том, что

М[Гр] = М[Г]=1/Л.	(2.4.22)

В соответствии со свойствами характеристической
функции, приведенными в п. 8.9*, характеристическая
функция интервала времени Тр в потоке fip = /tp{n}
будет иметь вид

О?р(х) = рО (рх)/[ 1 - qt (рх)].	(2.4.23)

После этих предварительных замечаний можно пе-
рейти к предельной теореме для редеющих потоков,
которую можно сформулировать следующим обра-
зом. Если стационарный поток Пальма с интенсив-
ностью К подвергать последовательно независимым
преобразованиям RPi, RP1, ..., RPn, ..., то при
п-^оо результирующий поток будет простейшим с ин-
тенсивностью Ъ. ‘).

Для доказательства этой теоремы сначала пока-
жем, что два последовательных преобразования RPl и
Rp, потока 77 эквивалентны одному преобразова-
нию RPlPt:

ЯР1Р1{77} = Яр,{ЯР1{/7}}.	(2-4.24)

В соответствии с (2.4.23) преобразование RPl дает
характеристическую функцию с. в. Гр„ имеющую вид
ЛР1(а(х)) = аГр(х) = р1О(р1х)/[1 -^О(Р1Х)|. (2.4.25)

•) Точнее, он будет сходиться по вероятности к простейшему
потоку.
Следовательно, в результате двойного последова-
тельного преобразования Rp, и Rp, получим характе-
ристическую функцию интервала между собы-
тиями в виде

= РА₽1 М/[1 ~ ?2% (р2^)] ==

= pip2« (piP2x)i[ 1 — (1 — р,р2) а (Р1 р2х)]. (2.4.26)

В результате п последовательных преобразований
RPi, RPi, •••. Rpn получим выражение характеристи-
ческой функции для интервала Гр<п) времени между
событиями:

6(п) (х) =---(n)'i •	(2.4.27)

' 7	1 — (1 — р'О О (р*)

где

Р(л, = Пй.	(2.4.28)

<-i

В книге [6] было показано, что при 0 < р, < 1
(» = 1, 2, ...)

6 (х) - lim 0<п) (х) =	-.	(2.4.29)

Л->оо	л iX

Выражение (2.4.29) представляет собой характе-
ристическую функцию случайной величины, распре-
деленной по показательному закону с параметром X.
Так как исходный поток был потоком Пальма и вся-
кое /«^-преобразование оставляет его потоком Паль-
ма (интервалы между событиями остаются независи-
мыми одинаково распределенными величинами), то
предельный поток будет также потоком Пальма с по-
казательно распределенными интервалами. А это н
есть простейший поток.

Обратим внимание на то, что если Rp преобразо-
ванию подвергать простейший поток с параметром к,
то получится тоже простейший поток с параметром
кр. Действительно, подвергнем характеристическую
функцию исходного интервала времени Т между со-
бытиями (2.4.29) Rp преобразованию (см. (2.4.17)):

(2Л-30>
Мы получили характеристическую функцию показа-
тельно распределенной случайной величины с пара-
метром Хр; следовательно, полученный в результате
/?р-преобразования поток будет простейшим с интен-
сивностью Хр.

Пример 3. В бригаде k станочников, производя-
щих однородные детали. Производительность в смену
t-го станочника Х(, вероятность того, что деталь, про-
изведенная i-м станочником, не будет забракована,
равна pi. Найти вероятность того, что бригада за
смену выполнит план — произведет не менее W неза-
бракованных деталей. Найти м. о. и дисперсию числа
X — незабракованных деталей и числа У забракован-
ных деталей, произведенных бригадой в смену.

Решение. Интенсивность производства незабра-
кованных деталей i-м станочником в смену будет
Х/р,. Следовательно, интенсивность Х« производства
незабракованных деталей бригадой в смену равна

k
Хи = S
i=.i

В соответствии с предельными теоремами теории
потоков можно с достаточной для практики точ-
ностью считать, что число X незабракованных дета-
лей, произведенных бригадой в смену, будет распре-
делено по закону Пуассона с параметром Хн. Отсюда
найдем вероятность выполнения бригадой плана за
смену:

Р{Х>А/} = 1 -Р{Х<А/} =

N-1

= 1 - £	= 1 - R(N - 1, Хн),

т

где 7?(т, а) = ате~а1т\ — функция, связанная

с распределением Пуассона.

Далее, М [X] — D (X] = Хн. По той же причине
случайная величина Y распределена по закону Пуас-
сона с параметром Х3, поэтому М [У] = D = Х3, где
Хз — интенсивность производства забракованных дета-
лей бригадой в смену:

ft

Х3 =	X/</f = X Х„ = 1	р{),

i-i
X — общая интенсивность производства деталей (за-
бракованных и незабракованных) бригадой в смену:

к
Л — S
£-1

Например, если в бригаде 5 станочников с произ-
водительностью Xi = 4, 12 = 4, Хз = 6, 14 = 5, 1б = 4
(деталей в смену), вероятность выпуска брака равна
qi =0,1; ^2 = 0,2; £73 = 0,3; ^4 = 0,2; £/5 = 0,25, а план
бригады равен Af=14 деталей, то получим следую-
щий результат (см. приложение 2 в [5]):
5

^-3 = ^	= 4.0,1 + 4 0,2 +6 0,3+ 5-0,2+

+ 4 • 0,25 = 5 (деталей в смену);

5

% = У. Л, = 23 (детали в смену);
/i

1Н = 1 —13 = 18 (деталей в смену);

Р {Х> 14} == 1 - /?(13, 18) « 0,8574;

M[XJ = D[X]=18 (деталей в смену);

о [X] = 4,243; М }У] = D (У) = 5 (деталей в смену);
а [У] « 2,236.

Обратим виимаНйе иа то, что хотя в смену в сред-
нем производится 18 незабракованных деталей, что
намного больше плана (14 деталей), тем не менее
вероятность того, что план будет выполнен, равна
только 0,8574. Это объясняется тем, что имеется боль-
шой разброс числа произведенных незабракованных
деталей (о[Х] —4, 243).

Заметим, что если случайные величины X и У рас-
пределены по закону Пуассона, то общее число де-
талей Z = X + У, произведенных в смену, будет тоже
распределено по закону Пуассона; при этом случай-
ные величины X и У будут независимы. Это было до-
казано в п. 9.8 ♦. ►

4 Теория случайных процессов
и ее инженерные приложения
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
С ДИСКРЕТНЫМИ состояниями.

МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ

3.1.	Граф состояний. Классификация состояний.
Вероятности состояний

Рассмотрим физическую систему S, в которой про-
текает случайный процесс с дискретными состоя-
ниями:

$1» ®2» • • • t • • •»	(3-1.1)

число которых конечно (или счетно). Состояния
$2, ... могут быть качественными (т. е. описываться
словами) или же каждое из иих характеризуется слу-
чайной величиной (либо случайным вектором).

Прежде всего рассмотрим множество состояний
(3.1.1) с точки зрения его структуры—возможности
системы S переходить из состояния s, в данное со-
стояние Sf непосредственно или через другие состоя-
ния. Для этого удобно пользоваться наглядной схе-
мой, так называемым графом состояний. Здесь
и далее мы будем отчасти пользоваться терминоло-
гией теории графов [17]. Имеется две основные раз-
новидности графов: неориентированные н ориентиро-
ванные. Неориентированный граф — совокупность то-
чек (вершин графа) с соединяющими некоторые из
них отрезками (ребрами графа). Ориентированный
граф — это совокупность точек (вершин) с соединяю-
щими некоторые из них ориентированными отрезками
(стрелками). При изложении теории с.п. с дискрет-
ными состояниями мы будем пользоваться только
ориентированными графами. Вершины графа будут
соответствовать состояниям системы. Вершину будем
изображать прямоугольником, в который впи-
сано обозначение состояния; стрелка, ведущая из
вершины St в вершину з/, будет обозначать возмож-
ность перехода системы S нз состояния з, в состоя-
ние Sj непосредственно, минуя другие состоя-
ния. Стрелки графа могут изображаться не только
прямолинейными, но и криволинейными отрезками
(рис. 3.1.1). Сам граф системы S будем обозначать
буквой G.

Нередко при изложении теории случайных процес-
сов кроме стрелок, связывающих различные состоя-
ния si, s/ (i j), проставляют также обратные стрел-
ки, возвращающие систему из состояния в то же
состояние St (рис. 3.1.2). Переход по стрелке, веду-
щей из состояния St в него же, означает задержку

системы в состоянии $«. Мы «обратных стрелок» про-
ставлять на графе не будем, так как все расчеты
можно вести и без них.

Пример 1. Система S представляет собой тех-
ническое устройство (ТУ), а его возможные состоя-
ния: Si— ТУ работает исправно; s2 — ТУ неисправно,
но это не обнаружено; s3—неисправность обнару-
жена, ведется поиск ее источника; s4— источник не-
исправности найден, ведется ремонт ТУ; Ss — прово-
дится послеремоитиый осмотр (после этого осмотра,
если ТУ восстановлено в прежнем виде, оно возвра-
щается в состояние si, если нет — признается негод-
ным и списывается); зв — ТУ списано за негодностью;
Sj — ведется профилактический осмотр ТУ (если об-
наружена неисправность, ТУ направляется в ремонт).
Граф состояний ТУ показан на рис. 3.1.3. В дальней-
шем мы всегда будем считать (не оговаривая это
каждый раз отдельно), что переход («перескок») си-
стемы S из состояния Si в другое состояние в/ осу-
ществляется мгновенно и что в любой момент вре-
мени система может находиться только в одном из
своих состояний. ►

Проведем некоторую необходимую для дальней-
шего классификацию состояний. Состояние s, назы-
вается источником, если система S может выйти
из этого состояния, но попасть в него
обратно уже не может, т. е. на графе G со-
стояний в состояние Si не ведет ни одна стрелка. На
рнс. 3.1.4 состояния Si и з2 являются источниками.

Рис. 3.1.5

Состояние з< называется концевым (илн погло-
щающим), если система S может попасть в это со-
стояние, ио выйти из него уже не может. Для графа
состояний это означает, что из состояния 8,- не ведет
нн одна стрелка (для графа, изображенного на
рис. 3.1.5, состояния s4 и з7—поглощающие; для
графа состояний ТУ, изображенного на рис. 3.1.3,
состояние «в (ТУ списано) поглощающее; у графа,
построенного на рис. 3.1.4, поглощающих состояний
нет).

Если система S может непосредственно перейти
нз состояния Si в состояние S/, то состояние з/ назы-
вается соседним по отношению к состоянию Si. Если
система S может непосредственно перейти из состоя-
ния Si В СОСТОЯНИе 8/ И НЗ СОСТОЯНИЯ Sj В СОСТОЯНИе Si,
то состояния Si, 8/ называются соседними. Для графа
состояний ТУ (рис. 3.1.3) состояние з3 является со-
седним по отношению к состоянию sa, а состояния Sj,
8«—нет, так как на графе нет стрелок, непосред-
ственно связывающих эти состояния с состоянием з2.
На этом же графе состояния st и з7 являются сосед-
ними.
Состояние s{ называется транзитивным, если си-
стема S может войти в это состояние и выйти из

него, т. е. на графе состояний есть хотя бы одна
стрелка, ведущая в s,-, и хотя бы одна стрелка, веду-
щая из s^ На рис. 3.1.3 все состояния, кроме погло-
щающего $6, являются транзитивными; на рис. 3.1.5

все состояния, кроме источников S|, s5 и поглощающих

$4, $7, транзитивны.

Для полноты картины можно рассматривать также
и «изолированные» состояния. Состояние st называет-

ся изолированным, если из
в одно из других состояний
и в него нельзя попасть ни
из какого другого состоя-
ния. На графе состояний
изолированное состояние s,
не связано стрелкой ни с

него нельзя попасть ни

Рис. 3.1.7

Рис. 3.1.6

каким другим (рис. 3.1.6). Прикладного значения изо-
лированные состояния не имеют; с некоторой на-
тяжкой их можно примысливать к другим. Например,
если система S представляет собой ТУ, рассмотрен-
ное в примере 1, то можно к состояниям si, ..., S7,
изображенным иа графе, прибавить еще изолирован-
ное состояние: s8— ТУ находится на стенде постоян-
ной выставки, предположив, что ТУ попадает в это
состояние еще до начала эксплуатации (рис. 3.1.7).

В дальнейшем изолированные состояния будем
рассматривать довольно редко.

Наряду с отдельными состояниями системы S
в ряде задач практически бывает нужно рассматри-
вать подмножества ее состояний (см. п. 2.1*).

Обозначим W множество всех состояний системы
S (конечное или бесконечное, но счетное) и рас-
смотрим его подмножество V cr IF. Подмножество V
называется замкнутым (концевым), если система S,
попав в одно (или находясь в одном) из состояний
e V, не может выйти из этого подмножества со-
стояний. Например, на рис. 3.1.5 подмножества со-
стояний V|={s3, S4} И Va = {$2, «5, «6, являются

Рис. 3.1.8

концевыми. Концевое подмножество состояний может
включать в себя поглощающее состояние, а может и
не включать. На рис. 3.1.8 подмножества К, -=={з2, «з. sj
и Кг = {«в, М являются концевыми, но ни одно из

Рис. 3.1.9

них не включает поглощающего
состояния.

Подмножество состояний V а:
с: W называется связным или эр-
годическим, если из любого со-
стояния, входящего в него, мож-
но попасть в любое другое со-
стояние, принадлежащее этому
подмножеству. На рис. 3.1.8 оба
концевых подмножества К| и Vj
являются эргодическими. Эрго-
дическим может быть н все мно-
жество W состояний системы S

(см., например, рис. 3.1.1 н 3.1.9). В эргодическом
множестве состояний нет ни источников, нн погло-
щающих состояний.

Подмножество состояний V называется транзи-
тивным, если система S может войти в это подмно-
жество и выйти из него, т. е. из любого состояния
е V можно (за то или другое число перескоков)
выйти из этого подмножества.
Случайный процесс, протекающий в системе S,
можно трактовать как процесс блуждания системы по
множеству состояний W. Если подмножество V с: W
является концевым, то, попав в него, система будет
продолжать блуждание уже по этому подмножеству
состояний V. Если все множество W эргодично, то
блуждание будет происходить по всем его состояниям.

На практике очень часто встречаются системы, со-
стояния которых образуют цепь (рис. 3.1.10), в кото-
рой каждое состояние S/ (кроме двух крайних So и $л)
связано прямой и обратной связью с двумя соседними

Рис. 3.1.10

s(-_1, S/+i, а каждое из двух крайних связано прямой
и обратной связью только с одним соседним.

Такая схема случайного процесса называется схе-
мой гибели и размножения, а сам процесс — процес-
сом гибели и размножения.

Пример 2. Техническое устройство (ТУ) состоит
из п одинаковых узлов. Каждый из узлов может
в момент t быть исправным или неисправным; если
узел неисправен, его ремонтируют. Состояния st си-
стемы S (ТУ) могут быть перенумерованы по числу
неисправных узлов:

So — в ТУ нет неисправных узлов;

Si — в ТУ один неисправный узел (какой — не-
важно) ;

Si — в ТУ i неисправных узлов (0 < i < п);

sn — в ТУ все п узлов неисправны.

Состояния so, •   > sn организованы по схеме гибели и
размножения (рис. 3.1.10); стрелки, идущие слева
направо, отвечают увеличению числа неисправных
узлов; перемещения системы S по этим стрелкам про-
исходят под влиянием отказов узлов, т. е. перехода
какого-то узла из исправного состояния в неисправ-
ное; стрелки, идущие справа налево — под влиянием
ремонтов (восстановлений) узлов. Считаем, что «пе-
рескок» системы S из состояния s, не в соседнее
с ним состояние St—i или sl+i, а в какое-то другое из
связанных с s, состояний, практически невозможен
(ниже, в гл. 4, мы увидим, что это связано с орди-
нарностью потоков отказов и восстановлений). Очень
многие случайные процессы (в частности, процессы,
протекающие в системах массового обслуживания
[15], [8], [1]) организованы по схеме гибели и раз-
множения. Специально процессы гибели и размноже-
ния будут рассмотрены в этой и в других главах дан-
ной книги. ►

Термин «процесс гибели и размножения» ведет на-
чало от биологических задач, где такими процессами
описывается изменение численности биологических
популяций; стрелки, ведущие слева направо, соответ-
ствуют увеличению численности (размножению) по-
пуляции, а справа налево—гибели входящих в нее
особей. Однако применение схемы гибели и размно-
жения далеко выходит за пределы биологических
задач.

Если на графе состояний системы S стрелки, ве-
дущие справа налево, отсутствуют, то говорят о про-
цессе «чистого размножения» (рис. 3.1.11,а), в проти-
воположном случае — о процессе «чистой гибели»

а

(рис. 3.1.11,6). Меняя нумерацию состояний на об-
ратную, можно каждую из этих схем свести к дру-
гой. «Процесс чистого размножения» получится в ус-
ловиях примера 2, если предположить, что узлы, со-
ставляющие ТУ, не восстанавливаются после выхода
из строя.

Процесс гибели и размножения может в некоторых
случаях иметь не конечное число состояний: $о, «1.
Si,	sn, а бесконечное (счетное): s0, Si, ...

..., Si,	с примерами таких процессов мы встре-

тимся в дальнейшем.

При анализе случайных процессов, протекающих
в системах с дискретными состояниями, важную роль
играют вероятности состояний.

Обозначим S(Z) состояние системы S в момент t.
Вероятностью i-ro состояния в момент t называется
вероятность события, состоящего в том, что в момент
t система S будет в состоянии sr. обозначим ее pi(t):

Pi(t)^P{S(t) = Si},	(3.1.2)

где S (0 — случайное состояние системы S в мо-
мент t.

Очевидно, что для системы с дискретными состоя-
ниями si, s2, .... Si, ... в любой момент t сумма ве-
роятностей состояний равна единице:

Ел(0==1.	(3.1.3)

I

как сумма вероятностей полной группы несовместных
событий.

В ряде задач практики нас интересует так назы-
ваемый установившийся или стационарный режим ра-
боты системы, который в ней устанавливается, когда



о	t t

Рис. 3.1.12

рис. 3.1.12). Аналогично

от начала процесса прошло
достаточно большое время
т. Например, процесс изме-
нения напряжения в сети
питания технического уст-
ройства, пройдя сразу после
включения через ряд коле-
баний, по прошествии вре-
мени устанавливается (см.

этому и в некоторых случайных процессах по
прошествии достаточно большого времени т устанав-
ливается стационарный режим, во время которого со-
стояния системы хотя и меняются случайным обра-
зом, ио их вероятности pi(t) (1 — 1, 2, ...) остаются
постоянными. Обозначим эти постоянные вероят-

ности рг.

pt = lim Pi (/)
t ->oo

(3,1.4)

Вероятности pt (I— 1, 2, ...), если они существуют,
называются финальными (предельными) вероятно-
стями состояний. Финальную вероятность pt можно
истолковать как среднюю долю времени, которую
в стационарном режиме проводит система S в со-
стоянии Si. В дальнейшем будет показано, при каких
условиях финальные вероятности существуют и ка-
кими они могут быть для разных состояний и подмно-
жеств состояний.

Введем очень важное для дальнейшего понятие
марковского случайного процесса.

Случайный процесс, протекающий в системе S
с дискретными состояниями sb s2, ..., si, .... назы-
вается марковским, если для любого момента
времени to вероятность каждого из со-
стояний системы в будущем (при t > to)
зависит только от ее состояния в на-
стоящем (при t — t0) и не зависит от того,
когда и как она пришла в это состоя-
ние; т. е. не зависит от ее поведения
в прошлом (при/</0)-

В главе 2 мы уже упоминали об аналогичном свой-
стве некоторых потоков событий (отсутствии после-
действия). Не надо понимать марковское свойство
случайного процесса как полную независимость «бу-
дущего» от «прошлого»; нет, в общем случае «буду-
щее» зависит от «настоящего», т. е. вероятности pi(t)
при t > to зависят от того, в каком состоянии 3/ на-
ходится система в настоящем (при t — to)‘, само же
это «настоящее» зависит от «прошлого», от того, как
вела себя система S при t С. t0. Это можно сформу-
лировать следующим образом: для марковского
случайного процесса «будущее» зави-
сит от «прошлого» только через «на-
стоящее (рис. 3.1.13). При фиксированном «на-
стоящем» условные вероятности всех состояний си-
стемы в «будущем» не зависят от предыстории про-
цесса, т. е. от того, когда и как система S к моменту
4 пришла в состояние

«Настоящее» может быть задано не одним каким-
то состоянием sit а целым подмножеством состояний
VczW, где W—множество всех возможных состоя-
ний системы.

Подчеркнем также, что «настоящее» может быть
додано не только одним состоянием системы S в мо-
мент to; в него при желании можно включить и те
элементы из «прошлого», от которых, при заданном
«настоящем», зависит будущее. Например, вероятно-
сти состояний в «будущем» могут зависеть не только
от состояния Si системы в настоящем, но и от того,
из какого состояния в/ система перешла к моменту t0
в состояние s<; в этом случае настоящее характери-
зуется не только состоянием s(, в которое система
перешла к моменту to,

но и состоянием s,-, из
которого она перешла
в st. Вводя в состав па-
раметров, характери-
зующих настоящее со-
стояние системы, те па-

t

Настоящее

раметры из прошлого,
от которых зависит бу-	Рис'

дущее, можно, как го-
ворится, «марковизировать» многие немарковские
случайные процессы, но, как правило, это приводит
к сильному усложнению математического аппарата.
Простейшие примеры «марковизации» встретятся
нам в дальнейшем (см. гл. 5).

3.2.	Марковские случайные процессы
с дискретными состояниями и дискретным
временем (цепи Маркова)

Пусть имеется система S с дискретными состоя-
ниями si, s2, ..., Si, .... s„. Предположим, что слу-
чайные переходы («перескоки») системы из состоя-
ния в состояние могут происходить только в опреде-
ленные моменты времени t0, Л, t2, ... Эти моменты
мы будем называть шагами процесса; <о=О — его
началом. Сам процесс представляет собой случайное
блуждание системы S по состояниям. После первого
шага система может оказаться в одном (и только
в одном) из своих возможных состояний: s4!1’, s£u, ...
...,	...,s,nl); на втором шаге —s'2*,	...

..., s(»..$(п2);	на k-м шаге — s’**,	.....4*’* • • •

..., (число состояний в общем случае может быть
бесконечным, но счетным; с такими примерами мы
встретимся в дальнейшем. Здесь же для простоты
ограничимся конечным числом п состояний).
Предположим, что граф состояний системы S
имеет вид, представленный на рис. 3.2.1. Процесс
блуждания системы S по состояниям можно пред-
ставить как последовательность или «цепь» событий,
состоящих в том, что в начальный момент /о = 0 си-
стема находится в одном из состояний (например,
в состоянии -s’®»); в момент первого шага перешла из
него скачком в состояние из которого на втором

шаге перешла в $<32), на третьем шаге перешла в s^3)
и т. д. «Траектория» системы, блуждающей по со-

стояниям Si, S&, 83, S2,
показана на рис. 3.2.1
жирными линиями. На
каких-то шагах систе-
ма может задерживать-
ся в том или другом
из своих состояний,
s<*> = s<*+l> (это показа-
но «возвратной стрел-
кой» на рис. 3.2.1)

рис 32.1	или же вернуться в

него после ряда шагов.
«Траектория» блуждания системы по графу состоя-
ний, изображенная на рис. 3.2.1 жирными линиями,
представляет собой не что иное, как реализацию слу-
чайного процесса, полученную в результате одного
опыта. При повторении опыта, естественно, реализа-
ции в общем случае не совпадают.

Пример 1. Рассматривается следующий процесс:
система представляет собой техническое устройство
(ТУ), которое осматривается в определенные моменты
времени (скажем, через сутки), и ее состояние реги-
стрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр
с регистрацией представляет собой «шаг» процесса.
Возможные состояния ТУ следующие:

S| — полностью исправно;

s2—	частично неисправно, требует наладки;

Ss — обнаружена серьезная неисправность, требует
ремонта;

s4—признано непригодным, списано.

Допустим, что как наладка, так и ремонт продол-
жаются менее суток и после их выполнения ТУ воз-
вращается в состояние Si (полностью исправно) или
Рис. 3.2.2

списывается. Граф состояний ТУ имеет вид, изобра-
женный на рис. 3.2.2. Очевидно, состояние $4 на
рис. 3.2.2 поглощающее. Если известно, что в началь-
ный моментТУ полностью исправно, то Р {S(0) = s1} =
= 1; в дальнейшем процесс протекает случайным
образом: после каждого шага (осмотра, контроля) ТУ
с какой-то вероятностью может
оказаться в одном из своих
состояний.

Реализация случайного про-
цесса блуждания системы по
состояниям может иметь, на-
пример, такой вид:
s<°), s’1’, s'2’, s'3’, s'34’, s'5’, s'5’,
что означает, что ТУ в на-
чальный момент исправно; при
первом осмотре — также ис-
правно; при втором — частично
исправно, требует наладки;

при третьем исправно; при четвертом — обнаружена
серьезная неисправность, требует ремонта; гёри пя-
том — снова исправно; при шестом — признано неис-
правным, списано (дальнейшее развитие процесса
невозможно, так как он дошел до поглощающего со-
стояния s4). ►

Рассмотренный в примере процесс несколько идеа-
лизирован (предполагается, что в результате наладки
или ремонта ТУ полностью восстанавливает свое со-
стояние), но как иллюстративный он уместен.

Рассмотрим общий случай. Пусть происходит слу-
чайный процесс в системе S с дискретными состоя-
ниями si, «г,  • •, Si, .... sn, которые она может при-
нимать в последовательности шагов с номерами 0, 1,
2, ..., k, ...

Случайный процесс представляет собой последо-
вательность событий вида (S (*) = «<} (*= 1, 2, ...
.... п; Л=0, 1, 2, ...). Эта последовательность
(«цепь») событий подлежит нашему изучению. Наи-
более важной ее характеристикой являются вероят
ностн состояний системы

P{S(fe) = s4 (/=1, 2, .... п; *-0,1,2,...).

(3.2,1)
где Р {S (Л) = sj — вероятность того, что на k-м шаге
система S будет находиться в состоянии S;.

Распределение вероятностей (3.2.1) представляет
собой не что иное, как одномерный закон распреде-
ления случайного процесса S (0, протекающего в си-
стеме S с «качественными» дискретными состояниями
и дискретным временем to, 6, /», .tk, ...

Процесс, протекающий в такой системе S, назы-
вается марковским процессом с дискретными состоя-
ниями и дискретным временем (или, короче, марков-
ской цепью), если выполняется условие, сформулиро-
ванное в п. 3.1: для любого фиксированного момента
времени (любого шага ko) условные вероятности со-
стояний системы, в будущем (при k > ko) зависят
только от состояния системы в настоя-
щем (при k — ko) ине зависят оттого, когда
(на каком шаге, при k < ko) и откуда система
пришла в это состояние. Марковская цепь
представляет собой разновидность марковского про-
цесса, в котором будущее зависит от прошлого только
через настоящее *).

Понятие «настоящего» может быть сформулиро-
вано по-разному; например, «на feo-м шаге система на-
ходится в состоянии St», если вероятности состояний
системы на последующих шагах зависят только от St,
а не от предыдущих состояний системы. Если же эта
вероятность зависит еще и от того, откуда (из какого
состояния в/) система пришла в состояние st, можно
включить это состояние S/ в описание «настоящего».

Цепь, в которой условные вероятности состояний
в будущем зависят только от состояния на данном,
последнем, шаге и не зависят от предыдущих, иногда
называют простой цепью Маркова, в отличие от та-
кой, где будущее зависит от состояний системы не
только в настоящем на данном шаге, но и от ее со-
стояний на нескольких предыдущих шагах; такую
цепь называют сложной цепью Маркова. Сам
А. А. Марков рассматривал сложные цепи, построен-
ные на материале буквенных последовательностей,
взятых из текста пушкинского «Евгения Онегина».

') Названия «марковская цепь», «марковский процесс» свя-
заны с именем А. А. Маркова, который еще в начале 20-го века
лервым стал исследовать такие процессы.
Если в качестве системы, в которой происходит слу-
чайный процесс, рассмотреть букву, входящую в текст,
которой могут быть: а, б, в, .... щ, ъ, ы, ь, э, ю, я,
«пробел», то сразу ясно, что вероятность последую-
щей буквы быть той или другой зависит от того, ка-
кова была предыдущая (например, последователь-
ности букв «яы» или' «эь» в русском языке исклю-
чены); не так очевидно, но все же ясно, что эта
вероятность зависит не только от предыдущей буквы,
но и от других, ей предшествовавших (например, по-
следовательность букв «ттт» в русском языке если не
исключена, то практически невозможна, тогда как
последовательность «тт» встречается довольно ча-
сто). Мы в данном элементарном изложении будем
рассматривать только простые цепи Маркова и вы-
числять для них вероятности состояний.

Из определения марковской цепи следует, что для
нее вероятность перехода системы S
в состояние sj на (й+1)-м шаге зависит
только от того, в каком состоянии St на-
ходилась система на предыдущем k-w
шаге ине зависит от того, как она вела
себя до этого й-го шага.

Основной задачей исследования марковской цепи
является нахождение безусловных вероятностей на-
хождения системы S на любом (й-м) шаге в состоя-
нии я,; обозначим эту вероятность р/(й):

А(й)=Р{8(й) = з/) (/=», 2, ...,я; й = 0, 1, ...).

(3.2.2)

Для нахождения этих вероятностей необходимо знать
условные вероятности перехода систе-
мы S иа й-м шаге в состояние S/, если
известно, что иа предыдущем (й —- 1)-м
шаге она была в состоянии st. Обозначим
эту вероятность

Р{8(й) = |Э(й - l) = sa (/. /==1,2....я).

(3.2.3)

Вероятности р</(й) называются переходными вероят-
ностями марковской цепи на й-м шаге. Вероятность
Pu(k) есть вероятность того, что на й-м шаге система
задержится (останется) в состоянии st.
Переходные вероятности pi/(k) можно записать
в виде квадратной таблицы (матрицы) размерности
«X п:

IIP// W 11 =

Ри (*)  Р21 (*)	Pts (*) .  />22 (k) .	•• /»!/(*) • • Р2/ (*) •	• Pin (6) 1  • Р2п (I1)
ри (*)	Р/2 (*) •	• РЦ (*) •	 Pin (*)
Pnl (*)	Рп2 (6) •	• Рп/ (*) •	• Рпп (6)

(6 = 0, 1, 2, ...),

(3.2.4)

По главной диагонали матрицы (3.2.4) стоят ве-
роятности задержки системы в данном состоя-
нии S/ (/ = 1, .... п) на 6-м шаге.

pu(k), p^k)......pu(k).......Pnn(k). (3.2.5)

Так как на каждом шаге система S может нахо-
диться только в одном из взаимно исключающих со-
стояний, то для любой i-й строки матрицы (3.2.4)
сумма всех стоящих в ней вероятностей Pu(k) равна
единице:

£р//(*)=1.	(3.2.6)

Матрица, обладающая таким свойством, называется
стохастической. Естественно, что все элементы стоха-
стической матрицы отвечают условию 0^р//(й)^ 1.
В силу условия (3.2.6) можно в матрице (3.2.4) не
задавать вероятности задержки, а получать их как
дополнения до единицы всех остальных членов строки:

pit(k)=l - Е P//W	(3.2.7)

(этим свойством мы будем широко пользоваться в
дальнейшем). Чтобы найти безусловные вероятности
Pi(k), недостаточно знать матрицу переходных ве-
роятностей (3.2.4); нужно еще знать начальное рас-
пределение вероятностей, т. е. вероятности состоя-
ний р/(0), соответствующие началу процесса — мо-
менту io = 0:

Pi(0), р2(0)...р<(0),	(0),	(3.2.8)
в сумме образующие единицу:

Емо)=1.
i-i

(3.2.9)

Если известно, что в начальный момент система S на-
ходится во вполне определенном состоянии si, то ве-
роятность Pi(0) этого состояния в формуле (3.2.9)
равна единице, а все остальные—нулю:

Р/(0)=1,	р1(0) = р2(0)=...=р/_1(0) =

= р/+1(0)=...=р„(0). (3.2.10)

Цепь Маркова называется однородной, если пере-
ходные вероятности Pi/(k) не зависят от номера шага
k\ pij(k)—pi}. Матрица переходных вероятностей для
однородной цепи Маркова имеет вид

ИРо11 =

Pll Pl2  • • Pl/ Pin
ри Ри . . . plj . . . Pin

Pit P12 PH  Pin

Pnl Pn2 •   Pn/ • •  РПП

(3.2.11)

При выводе формул для вероятностей состояний мы
в целях прос!оты записи будем рассматривать только
однородные цепи Маркова (в случае, когда цепь не-
однородна, можно все переходные вероятности в фор-
мулах просто положить зависящими от номера
шага k).

При нахождении вероятностей состояний марков-
ской цепи на k-м шаге р,(й) (k = 1, 2, ...) удобно
бывает пользоваться так называемым размеченным
графом состояний системы S, где возле каждой
стрелки, ведущей из состояния s< в состояние «/, про-
ставлена переходная вероятность р,/; вероятности за-
держки на размеченном графе не проставляются,
а просто получаются дополнением до единицы суммы
вероятностей, стоящих у всех стрелок, ведущих из
данного состояния s,. Образец такого размеченного
графа состояний показан на рис. 3.2.3. Для этого
графа состояний вероятности задержек равны:

Рп — 1 — Pt2> Р22 = 1 — (Р21 4" Рм)> Рзз — 1 Рзь

Рм =1 — (Рчз 4“ Р«а)> Ра — I Psi
(на размеченном графе эти вероятности для простоты
не проставляются).

Если состояние si является поглощающим (на

графе из него не идет ни одной стрелки), то вероят-
ность задержки в этом состоянии рп = 1. Теперь по-

Рис. 3.2.3

кажем, как найти для од-
нородной цепи Маркова
безусловную вероятность на-
хождения системы S на
й-м шаге в состоянии st (j =
= 1,2, .... n):

Р/(Й) = Р{8(Й) = S;}, (3.2.12)
если задана матрица пере-
ходных вероятностей ||р</Ц

(или, что равнозначно, раз-
меченный граф состояний) и начальное распределение
вероятностей

Pi (0) (1=1,2............п),	£ pt (0) = 1. (3.2.13)

i-i

Сделаем гипотезу, состоящую в том, что в началь-
ный момент (£ = 0) система находилась в состоянии
Si. Вероятность этой гипотезы известна из (3.2.13) и
равна рi (0) = Р {S (0) = а,}. В предположении, что эта
гипотеза имеет место, условная вероятность того, что
система S на первом шаге будет в состоянии s/, рав-
на переходной вероятности pit = Р (S (1) = 3/1S (0) =
= sj.

По формуле полной вероятности (см. (2.5.2)*) по-
лучим

F/(l)=f P{S(l) = s/|S(0) = s/) P{S(0) = sJ =

=	0=Ь2.........н),	(3.2.14)

Таким образом, мы иашли распределение вероятно-
стей системы S на первом шаге. Теперь у нас есть
все необходимое для того, чтобы найти распределение
вероятностей на втором шаге, которое для цепи Мар-
кова зависит только от распределения вероятностей
на первом шаге и матрицы переходных вероятностей.

Опять сделаем гипотезу, состоящую в том, что иа
первом шаге система находится в состоянии sr, ве-
роятность этой гипотезы нам уже известна и равна
P<(l) = P{S(l) = sa (< = 1,2....re) (см.(3.2.14)).

При этой гипотезе условная вероятность того, что на
втором шаге система S будет в состоянии sit равна

pi/ = P{S(2) = s/|S(l) = s;).

По формуле полной вероятности находим
Р/(2)-Дм1)р0 (j=l, 2, ...,«). (3.2.15)

Таким образом, мы выразили распределение вероят-
ностей (3.2.15) на втором шаге через распределение
вероятностей на первом шаге и матрицу ||pjj. Пере-
ходя таким же способом от k =2 к k =3 и т. д., по-
лучим рекуррентную формулу *):
М*)=£рг(*-1)Ро (* = 1,2,...; /=1,2......п).

(3.2.16)

Пример 2. В условиях примера 1 задана мат-
рица переходных вероятностей

0,7 0,1 0,1 0,11
0,2 0,6 0	0,21

0,2 0	0,5 0,31

0	0	0	1 I

(3.2.17)

Этой матрице соответствует размеченный граф со
стояний ТУ, изображенный на рис. 3.2.4. В началь

ный момент (fo = 0) ТУ на-
ходится в состоянии si (ис-
правно). Найти распреде-
ление вероятностей состоя-
ний ТУ для первых четырех
шагов (*— 1, 2, 3, 4); убе-
диться, что вероятность
поглощающего состояния
р<(*) с увеличением k рас-
тет.

Решение. Так как в	Рис. 3.2.4

начальный момент (/о = О)

ТУ заведомо находится в состоянии то pt(0)=l,

Ра(0) = Рз(0) = р4(0) = 0. По формуле (3.2.16), пола-

*) Рекуррентной называется всякая формула, выражающая
каждый член последовательности через предыдущие члены этой
последовательности.	- -
гая в ней k—1, получим pt(l) = 0,7; р2(1) = 0,1;
р3(1) = 0,1; р4(1)=0,1. Снова применяя формулу
(3.2.16), находим вероятности состояний на втором
шаге: pi (2) = 0,7 • 0,7 + 0,1 • 0,2 + 0,1 • 0,2 +0,1 • 0 = 0,53;
р2(2) = 0,7 0,1 4-0,1-0,6 4-0,1 04-0,1-0=0,13; р3(2) =
= 0,7 0,1 4-0,1 0 4-0,1-0,5 4-0,1 0 = 0,12; р4 (2) =
= 1 — Pi(2)—р2(2)—р3(2) = 0,22. Далее получим:
р 1 (3) = 0,53 • 0,7 4- 0,13 • 0,2 4- 0,12 • 0,2 = 0,421; р2 (3) =
= 0,53-0,1 4~ 0,13-0,6 = 0,131; р3(3) = 0,53-0,1 4-0,12-
-0,5 = 0,113; р4(3) = 1-(р,(3) +р2(3) + р3(3)) =
= 0,335; pi(4) =0,421-0,7 4- 0,131-0,2 4- 0,113-0,2 =
= 0,3435; р2(4) = 0,421-0,1 4- 0,131-0,6 = 0,1207;
р3(4) = 0,421-0,1 4- 0,113-0,5 = 0,0986; р4(4) =
“ 1—(Pi(4)4-Р2(4)4-Рз(4)) = 0,4372. Мы убедились
в том, что с возрастанием k вероятность поглощаю-
щего состояния р4(&) растет, тогда как вероятность
Pi (fe) состояния Si убывает. ►

Если рассматривается неоднородная цепь Мар-
кова, то переходные вероятности будут зависеть от
номера шага k (см. (3.2.3))

p//00 = P{S(*) = s/|S(*- l) = sj

(/, j = 1, 2, ..., п; k = 1, 2, ...).

Для нахождения распределения вероятностей состоя-
ний системы иа £-м шаге нужно знать начальное рас-
пределение вероятностей р,(0) (i — 1, 2, .... п) и k
матриц переходных вероятностей ||ро(1)||, ||р//(2)||, ...
• ••> Про(*)II- Однако рассуждения при выводе фор-
мул для вероятностей состояний Р/(1), Р/(2), ...
..., р/(Л), ... (/= 1, .... п) остаются прежними. По-
этому

Р/(1)= Е P(S(l) = s/|S(0) = s/)P{S(0) = si} =

= ЕР//(1)Р/(0) (/ = 1.2......п), (3.2.18)

а рекуррентные формулы (3.2.16), определяющие рас-
пределение вероятностей на й-м шаге для неоднород-
ной цепи Маркова, принимают вид

₽/(*)=£рД*- 1)Р*/ (Л)

(*=1, 2.....п; /=1, 2.	(3.2.19)
В инженерной практике сравнительно редко встре-
чаются марковские случайные процессы с дискрет-
ными состояниями и дискретным временем (марков-
ские цепи); гораздо чаще переходы системы из
состояния в состояние происходят не в строго опреде-
ленные, а в случайные моменты времени (процессы
с дискретными состояниями и непрерывным временем,
о которых будет идти речь в гл. 4). Однако прн мо-
делировании таких процессов на ЭВМ иногда бы-
вает удобно приближенно представлять их как мар-
ковские цепи. Как это делается, будет рассказано
в п. 4.1.

3.3.	Стационарный режим для цепи Маркова

Прн некоторых условиях в цепи Маркова с возрас-
танием k (номера шага) устанавливается стационар-
ный режим, в котором система S продолжает блуж-
дать по состояниям, но вероятности этих состояний

уже от номера шага не зависят.
Такие вероятности называются пре-
дельными (или финальными) ве-
роятностями цепи Маркова.

Например, если рассматривать

ЭВМ в двух состояниях: $1— нс- рис 331
правна, —не исправна (размечен-

ный граф ЭВМ показан на рис. 3.3.1), то имеет место
следующая динамика изменения вероятностей (при

начальных условиях ^(0)=!, р^(0) — 0: pi(l) = 0,7;
Pi (2) = 0,61; pi (3) = 0,583; pi (4) = 0,5749. Ниже мы
покажем, что в этом случае р{ = lim pt (k) = 0,4/(0,4 4-
Л~>оо

-j- 0,3) = 0,5714. Таким образом, в рассматриваемой
системе стационарный режим наступит практически

через четыре шага.

Можно убедиться в том, что в этом примере фи-
нальные вероятности не зависят от начальных
условий.

Сформулируем условия существования стационар-
ного режима для системы S с конечным числом со-
стояний п, в которой протекает марковский случай-
ный процесс с дискретными состояниями и дискрет-
ным временем (цепь Маркова):

1.	Множество всех состояний W системы S должно
быть эргодическим (см. п. 3.1).
2.	Цепь Маркова должна быть однородной (см.
(3.2.11)):

Ри W = Pil.	(3.3.1)

3.	Цепь Маркова должна быть «достаточно хо-
рошо перемешиваемой» (не должна быть «цикличе-
ской»).

Цепи Маркова, отвечающие этим условиям, будем
называть эргодическими цепями Маркова.

Поясним эти условия. Первое условие означает,
что из любого состояния st е W можно перейти в лю-
бое другое состояние s/ е W и вернуться из состоя-
ния S/ в состояние s,- (i,j = l,2, ..., п). Прн этом
состояния Si и Sj не обязательно должны быть со-
седними. Другими словами, при блуждании системы
по своим состояниям она рано или поздно попадет
в любое состояние s/G W, выйдет из него и вновь
в него вернется.

Если все условия существования стационарного ре-
жима выполняются, то финальные вероятности не за-
висят от того, каково было состояние системы S в мо-
мент fo = O нли каковым было распределение вероят-
ностей в момент to = 0.

Условия наличия стационарного режима можно
представить наглядно в виде размеченного графа
G(S) системы S. Первое условие состоит в том, что
размеченный граф G (S) системы должен иметь все
состояния и все группы состояний транзитивными.
Второе условие: все переходные вероятности должны
быть постоянными: Pii(k)= рц. Третье условие со-
стоит в том, что моменты попадания в отдельные со-
стояния или в группы состояний не были бы равны
определенным (не случайным) промежуткам времени,
кратным величине шага. Другими словами, необхо-
димо, чтобы моменты попадания в отдельные состоя-
ния или в группы состояний не образовывали циклов
(периодов). Например, граф, изображенный на
рис. 3.3.2, соответствует первым двум условиям, но
третье условие не выполняется.

Если Р1(О)= 1, то при k нечетном pi(A) = 0,
р2(&)=1, а при k четном p\(k)—\, p2(k) — 0. Мат-
рица переходных вероятностей для графа, изображен-
ного на рис. 3.3.2, имеет вид |jp</i| = q|« Таким
образом, в общем случае стационарного режима не
будет.

В общем случае не будет стационарного режима
и у системы, размеченный граф которой показан на

рис. 3.3.3, несмотря на то, что первые два условия вы-
полняются. Действительно, если, например, pi(0)4-
4-02(0) = 1, то при k нечетном система S будет на-
ходиться в подмножестве состояний {s3, sj, а при k
четном — в подмножестве состояния {si.saj:

Pi (Л) 4- 02 (£) = 0; 0з (k) 4- 04 (k) = 1 при k нечетном,
0i (£) 4-0г(£)= 1; 0з (£) 4-04 (£) = 0 при k четном.

Матрица переходных вероятностей, соответствую-
щая графу, изображенному на рис. 3.3.2, имеет вид

0 Pis Pul
0 pss 0241

Psa 0	0 | ‘

042 0	0 I

0
0
0S1
041

При этом выполняется условие: все переходные ве-
роятности, указанные на размеченном графе
(рис. 3.3.3), отличны от нуля и единицы. В дальней-
шем при рассмотрении стационарных режимов пред-
полагается, что третье условие выполняется.

Будем считать, что условия существования фи-
нальных вероятностей выполнены, и пределы

Pi — lim pt(k) (i — 1, 2, ..., n) (3.3.2)
Л->оо

существуют и не зависят от начальных условий. По-
кажем, как найти эти вероятности.

Если цепь Маркова однородна, т. е. ру (fe) = рц, то
для стационарного режима (достигаемого при оо)
вероятность pt состояния sf на (Л 4- 1)-м шаге должна
быть такой же, как на k-м:

Pl(k+ l)=Y,pl(k)pil = ph

где pi уже не зависит от k; отсюда

Pi=i PiPa-	(3.3.3)

I" 1

Сумма в правой части (3.3.3) распространяется на
все значения номера состояния I, включая t = /, при
этом рц — вероятность задержки системы в состоянии
Sf. Разделим эту сумму на две части: в первой сумми-
рование производится по всем значениям i кроме
i — р, во второй стоит всего один член, отвечающий
условию i = /. Тогда

Pl = S PlPij 4" P/Plh

(1*1)

откуда при любом / получаем для р/ линейное ал-
гебраическое уравнение вида

PiPij 4" Р/ (рц—l) = 0.	(3.3.4)

a*i)

Придавая в формуле (3.3.4) индексу j значения 1,
2.....п, получим для п финальных вероятностей

Pi, р2, •••. Рп систему п линейных однородных алгеб-
раических уравнений

Z PiPit +Pi(p/f- 1) = 0	(/= 1, 2, ..., п). (3.3.5)

(/=#/)

Как известно из алгебры, такая система уравнений
имеет бесчисленное множество решений. В рассмат-
риваемом случае решение становится единственным,
если добавить к системе (3.3.5) нормировочное
условие

ЕР/=1.	(3.3.6)

/-1
взамен которого можно из системы (3.3.5) устранить
любое, например первое; получим систему п уже не-
однородных линейных уравнений с п неизвестными

Z PiPa +Pi(Pn-0 = 0	(/ = 2, 3, ...,n),

I

n

ZPi=i-	(3.3.7)

В курсе линейной алгебры (см., например, [22]) до-
казывается, что такая система имеет единственное ре-
шение, т. е. однозначно определяет финальные ве-
роятности pi, р2, .... рп, дающие в сумме единицу.

При составлении системы линейных уравнений
(3.3.7) для финальных вероятностей рь р2, ..., рп
удобно пользоваться понятием «потока вероятности:».
Назовем произведение pipt/ потоком вероятности, пе-
реводящим систему S из состояния s, в состояние Sj.
Полная вероятность перехода системы S в состояние
«/откуда бы то ни было равна сумме всех по-
токов вероятности, переводящих системы в это со-
стояние, т. е. вероятность прийти в состояние в/ от-
куда бы то ни было равна

Е PiPu (i ¥> !)

Аналогично, сумма всех потоков вероятности, вы-
водящих систему из состояния Sj куда бы то ни было,
равна

22 PiPu — Pt 22 Рц-	(3.3.8)

U+D	a^i)

Очевидно, что в стационарном режиме вероятность
войти в любое состояние должна быть равна вероят-
ности из него выйти /иначе режим не был бы стацио-
нарным). Уравнения для финальных вероятностей
можно записать, исходя из мнемонического правила:
для стационарного режима суммарный поток вероят-
ности, переводящий систему S в состояние Sj из дру-
гих состояний, равен суммарному потоку вероятности.
выводящему систему из состояния sp.

Е PiPu = Pi £ Plt (j=l, 2,	(3.3.9)

Условие (3.3.9) назовем балансовым условием для со-
стояния st. К этим п уравнениям (условиям) надо
прибавить нормировочное условие

Еа=1.	(3.3.10)

/-1
отбросив зато любое (одно) из уравнений (3.3.9);
полученная система п уравнений с п неизвестными
имеет единственное решение. Эту систему из (п— 1)
уравнений вида (3.3.9) и одного уравнения (3.3.10)
можно затем решать любым из известных методов.
Опыт показывает, что при сколько-нибудь значитель-
ном числе п решать эту систему удобнее не в буквен-
ном, а в численном виде, задаваясь численными зна-
чениями переходных вероятностей рц. Программы ре-
шения уравнений (3.3.9), (3.3.10) имеются в пакетах
прикладных программ различных ЭВМ.

В инженерной практике для того, чтобы убедиться
в существовании финальных вероятностей и даже

предсказать, каковы они будут, нередко достаточно
взглянуть на граф состояний. Например система, граф
состояний которой изображен на рис. 3.3.4, имеет одно
поглощающее состояние s4; без специального доказа-
тельства ясно, что где бы ни находилась система S
в начальный момент to—0, рано или поздно она
<скатится> в состояние s4 и останется в нем; финаль-
ные вероятности будут:

Р1 = ₽2 = Рз ==/>5 == Рб = Р7 == О, Р4=1.

Равным образом, для цепи Маркова, граф состоя-
ний которой изображен на рис. 3.3.5 и содержит два
источника s1 и «г; без специального доказательства
ясно, что каково бы ни было начальное распределе-
ние вероятностей, система S рано или поздно выйдет
из состояния в] (или s2), если она в нем находилась,
и начнет блуждать по подмножеству состояний V =
= {s3,s4, «5, s6}. В возможности сразу судить о суще-
ствовании финальных вероятностей — одно из преиму-
ществ графа состояний перед матрицей переходных
вероятностей.

Пример 1. Рассматривается система S— станок
с числовым программным управлением (ЧПУ), кото-
рый может быть в следующих состояниях:

«1 — исправен и работает;

S2 — неисправен; неисправность не обнаружена;

S3 — неисправен, проводится средний ремонт;

St—не работает, находится на профилактике;

$5 — неисправен, проводится капитальный ремонт.

Размеченный граф состояний станка с ЧПУ пока-
зан на рис. 3.3.6. Составить уравнения и найти пре-

дельные вероятности состоя-
ний станка с ЧПУ.

Решение. Рассмотрим
состояние s5 на графе. В это
состояние направлено две
стрелки, следовательно, в
левой части уравнения
(3.3.9)' для / = 5 (состоя-
ние S5) будет два слагае-
мых. Из этого состояния
выходит одна стрелка, сле-
довательно, в правой части

уравнения (3.3.9) для / = 5 (состояние ss) будет одно
слагаемое. Таким образом, используя балансовое
условие (3.3.9), получаем первое уравнение:

Р2Р25 + Р4Р45 = PsPsi-
Аналогично запишем еще три уравнения:

Р1Р12 — Р2 (Ргз + Р25)» Р2Р23 + Р4Р43 — РзРзь
PlPli = Pi (Pil + Pi3 + PibY

В качестве пятого уравнения возьмем нормировоч-
ное условие

Pi + Р2 + Рз + Pt + Рз — 1 

Перепишем полученную систему уравнений в таком
виде:

1)	Рз — (Р2Р25 + PiPisj/Pbli

2)	Р2 ~ Р1Р12ДР23 4" Р25)»

3)	Рз — (Р2Р23 + PiPa)/p3i<

4)	Pi = PiPuKPu + Ра + PaY

3) Pl + P2 + Рз + Pi + Рз — 1 •

Решим эту систему уравнений. Из 2) находим

Р2 — О2Р1 > где 02 = Р12КР23 4" Ргз)-

Из 4) имеем

Pi = aiPi> где at = рц/(рц + р^ + pt5).

Из 3) найдем

РЗ = (^2023 4" aiPa) Pi/Р31 — °3Pl>
где а3 = (а2р2з4- в4ра)/рз1- Из 1) находим
Рз — (^23 4" О4Р45) Pl/P3l = азР1>
где О5=(О2Р25 4" О4Р4б)Р51-
Подставляя соответствующие значения вероятно-
стей. приведенные нВ графе G (S) (рис. 3.3.7), получим:
аг = 0,1 (0,6 + 0,1) =1/7,
а4 = 0,1/(0,7 + 0,1 + 0,1) = 1/9,
Оз = (0,6/7 + 0,1 /9)/0,8 = 61/504,
= (0,1/9 + 0,1/7)/0,1 = 16/63.

В соответствии с равенством 5) имеем

Pi 4- 7-Pi 4-go* Pi 4--9-Pi 4-бз Pi = 1.
откуда

п __	$04	__ 504 п г. I on

P1 504 + 72 + 61 + 56 + 128 ~ 821, Oa’

Рг= °2Pi — "gji" ~ 0,0877, р3 — a3pt — -ggj- ~ 0,0743,

Pi — OiPi =	~ 0,0682, ps = a5pt ±	~ 0,1559.

представляет собой вы-
fl котором имеется три

Заметим, что для решения этого примера нам потребо-
вались только те вероятности, которые приведены на
размеченном графе G(S) (рис. 3.3.7) (нам не потребо-
вались «вероятности задержкиэ рн, р2г, Рзз, Рн, рю)-
Пример 2. Система S
числительный центр (ВЦ),
ЭВМ. В определенные мо-
менты времени, разделен-
ные промежутком т, все
ЭВМ осматриваются, в ре-
зультате чего каждая при-
знается либо исправной и
, либо

признается неисправной и
направляется в ремонт. Ве-
роятность того, что исправ-
ная ЭВМ за время % выйдет
из строя, не зависит от того,
какое время она уже рабо-
тала (от <предыстории> про-
цесса), и равна г. Вероять

руемая ЭВМ за время т будет приведена в исправ-
ность, не зависит от того, сколько времени уже про-
должался ремонт и сколько ЭВМ ремонтируется, и
равна q. Процессы выхода ЭВМ из строя и их восста-
новлений протекают независимо друг от друга. По-
строить размеченный граф состояний ВЦ, нумеруя их
по числу неисправных ЭВМ:

Рис. 3.3.7

продолжает работать

того, что ремонтн-

«о — все три ЭВМ исправны;

«1 — одна ЭВМ неисправна, остальные две рабо-
тают;

«2 — две ЭВМ неисправны, одна работает;

S3 — все три ЭВМ неисправны.

Полагая г ==0,2; 9 = 0,3, построить размеченный
граф состояний ВЦ и найти финальные вероятности.
Решение. Размеченный граф состояний имеет
вид, показанный на рис. 3.3.8. Вычислим переходные
вероятности рц.

Чтобы система перешла из состояния s0 в состоя-
ние si, нужно, чтобы одна из трех ЭВМ за время т

Роз

Рзо

Рис. 3.3.8

вышла из строя. Эта вероятность, согласно биноми-
альному распределению (см. п. 5.1*), равна: Р01 =
= С’л(1—г)2. Аналогично находим

Ро2 = С!г2(1 “г). Роз = г3- Poo = (1-f)3-

Можно убедиться в том, что
3	3

/-0	/-0

Чтобы система из состояния Sj перешла в состоя-
ние $о, нужно, чтобы неисправная ЭВМ за время т
была отремонтирована, а другие две исправные ЭВМ
не вышли из строя: р10 = (?(1 — г)2; аналогично на-
ходим:

Рп = <?2г (1 - г) 4- (1 - q) (1 - г)2,

Р12 = <Г2 + (1 — ?)2г(1 - г),

Р1з = (1 -q)r2 (S pu = l
\ i-o

Рассуждая подобным образом, определяем:

Р2з = (1 — <7)4 р22 = (1 — <7)2(1 — r) + r2q(l - q),

Р21 = Ч2г 4- (1 - г) 2q(1 — q), рж = ff2(l - г),

Рзз = (1 — Рз2 = Csq (1 — q) >
Psi — C\q 2( 1 — q), Рзо = Я3'
При г — 0,2 и q — 0,3 имеем:

Poi ~0,384; роо = 0,096; Ро&== 0,008; Pooz= 0,512;

Рю = 0,192; р12 = 0,236; р13 = 0,028; рп = 0,544;

Ри = 0,098; р21 = 0,354; р20 = 0,072; р22 = 0,476;

Рз2 = 0,441; р31 = 0,189; Рзо = 0,027, р^ = 0,343.

Для рассматриваемого примера система уравнение
(3.3.9) с учетом нормировочного условия (3.3.10) мо-
жет быть записана в таком виде:

О,488ро — 0,192pi — 0,072р2 — 0,027р3 = 0;

—О,384ро 4- 0,456р! — 0,354р2 — 0,189р3 = 0;

— О,О96ро — 0,236р1 4- 0,524р3 — 0,441 р3 = 0;

Ро 4-

Р\ 4-

Рг 4-

Рз= 1-

Решая полученную систему линейных неоднород-
ных уравнений одним из известных методов (22], по-
лучаем: ро а; 0,216; pi » 0,432; р2 а 0,288, рэ а 0,064.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
С ДИСКРЕТНЫМИ состояниями
И НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

4.1. Описание марковского процесса
с дискретными состояниями и непрерывным
временем. Уравнения Колмогорова

Рассмотренные в гл. 3 марковские процессы с ди-
скретными состояниями и дискретным временем
(марковские цепи) имеют сравнительно мало инже-
нерных приложений, так как довольно редко на прак-
тике моменты возможных переходов системы S из
состояния в состояние заранее известны и фиксиро-
ваны. Гораздо типичнее случай, когда переходы си-
стемы из состояния в состояние (например, отказ ка-
кого-либо элемента, окончание его ремонта и т. п.)
могут происходить не в фиксированные моменты to,
t\, t2, ..., а в случайные моменты. В этой главе мы
будем рассматривать именно такие задачи.

Случайный процесс с дискретными состояниями и
непрерывным временем называется марковским, если
для любого момента времени t условные вероятности
всех состояний системы S в будущем (при t > to)
зависят только от того, в каком состоя-
нии 8/ находится система S в настоя-
щем (при t — t0), но не зависит от того,
когда и каким образом она пришла
в это состояние (т. е. каковы были состояния
системы в прошлом (при t <Z to))- Другими словами,
в марковском процессе будущее зависит от прошлого
только через настоящее (см. аналогичное определение
марковского случайного процесса в п. 3.1). На прак-
тике довольно редко встречаются марковские про-
цессы в чистом виде, но довольно часто — процессы,
которые с тем или иным приближением можно счи-
тать марковскими. Это допущение позволяет пользо-
ваться сравнительно простым математическим аппа-
ратом, к описанию которого мы и приступаем.
Нам будет удобно считать, что переходы («пере-
скоки:») системы S из состояния в состояние проис-
ходят под воздействием каких-то потоков собы-
тий (например, «поток отказов:», «поток восстанов-
лений:» и т. д.); как только произошло первое после
момента /0 событие, переход из состояния в состоя-
ние осуществляется (последующие события потока не
учитываются никак).

Теорию марковских случайных процессов с дискрет-
ными состояниями и непрерывным временем мы бу-
дем излагать, предполагая, что переходы из состоя-
ния в состояние происходят под воздействием пуас-
соновских потоков событий (не обязательно стацио-
нарных).

Отсутствие последействия в пуассоновском потоке
позволит иам при фиксированном настоящем (состоя-
ние в,- системы в момент t) не заботиться о том, когда
н как система оказалась в этом состоянии.

Пусть на графе состояний системы S • существует
стрелка, ведущая из состояния s, в одно из соседних
состояний S/ (рис. 4.1.1).

Будем считать, что переход системы из состояния
si в состояние Sj осуществляется под воздействием

Рис. 4.1.1

_j___।	।	_

О t t+At t

Рис. 4.1.2

пуассоновского потока событий с интенсивностью
Х//(/). Переход из st в S/ происходит в момент, когда
наступает первое событие потока.

Рассмотрим на оси 0/ элементарный участок вре-
мени Д/, примыкающий к t (рис. 4.1.2), и найдем ве-
роятность того, что за время Д/ система S перейдет
из состояния Si в состояние S/ (в предположении, что
в момент времени t система S находилась в состоя-
нии Si). Эта вероятность, с точностью до бесконечно
малых величин высших порядков, равна Х,/(/)Д/ (см.
п. 2.1); действительно, случайная величина X(t,ht),
равная числу событий потока, попадающих на эле-
ментарный участок Д/, имеет математическое ожида-
ние Х<7(/)Д/ и с точностью до бесконечно малых выс-
ших порядков равна вероятности pi попадания на
элементарный участок одного (а значит, н хотя бы од-
ного) события (вероятностью попадания на участок
(<, <4-А/) более чем одного события пренебрегаем).

Итак, вероятность перехода системы S
из состояния Si, в котором она находи-
лась в момент I, в состояние в/ за эле-
ментарный промежуток времени Ы,
непосредственно примыкающий к t, при-
ближенно равна Хо(0А/, где Х,7(0—интен-
сивность пуассоновского потока собы-
тий, переводящего систему из st в Sj.

Можно доказать, что если все потоки событий,
переводящие систему из состояния в состояние,—
пуассоновские и независимые, то процесс, протекаю-
щий в системе S, будет марковским.

Если известны все интенсивности пуассоновских
потоков событий, переводящих систему из состояния
в состояние, то можно составить дифференциальные
уравнения для вероятностей состояний.

Рассмотрим систему S, имеющую п возможных со-
стояний: «1, «2, •••, st, ..., S/.sn- Пусть для лю-

бой пары состояний si, S/ известна интенсивность
Й.у(0 пуассоновского потока событий, переводящего
систему S из любого состояния в любое другое
состояние s/(i })• будем полагать эту интенсивность
равной нулю, если непосредственный переход из со-
стояния s,- в состояние Sj невозможен. Обозначим
pi(t)—вероятность того, что в момент t система нахо-
дится в состоянии s,(i=l,2, ..., п). Теперь прида-
дим t приращение А/ и найдем вероятность pi (t + А0
того, что в момент t 4- А< система будет находиться
в состоянии s^ Обозначим это событие A: 4 = {S(f +
4- А0 = 8г}-

Спросим себя, как это событие может произойти?
Двумя способами: либо произойдет событие В, со-
стоящее в том, что в момент / система уже
была в состоянии s,- и за время А/ не
вышла из этого состояния; либо произойдет
событие С, состоящее в том, что в момент t система
была в одном из соседних состояний Sj, из которых
возможен переход в Sf(K/i(0^O), и за вре-
мя А/ перешла из состояния s/bs,.

Очевидно, А = В + С. Найдем вероятности собы-
тий В и С. Согласно правилу умножения вероятностей
(см. п. 2.3*) вероятность события В равна вероятности
Pi(t) того, что система в момент t была в состоянии
Si, умноженной на условную вероятность того, что за
время Д/ она не выйдет из этого состояния, т. е.
в суммарном потоке событий, выводящих систему из
состояния Si, не появится ни одного собы-
тия. Так как суммарный поток событий, выводящий
систему из состояния si, как и все его слагаемые —
пуассоновский с интенсивностью, равной сумме ин-
тенсивностей слагаемых потоков:

22 (О 0 =/= /)»

то условная вероятность того, что на участке времени

Д/ появится женно)	хотя бы одно событие, равна (прибли-  Е (0 д^ (* /) *)> /-1

а условная вероятность противоположного события
п

равна 1 — У. ЛП(/)Д/. Таким образом,
i-i

Р(В) = Мо[1 - Емод/]-	(4.1.1)

Найдем теперь вероятность события С. Представим
его в виде суммы несовместных вариантов

с-ЕС,,

(4.1.2)

где суммирование распространяется на все состояния
S/, из которых возможен непосредственный переход
в Si (т. е. для которых Ху,(/)^=О). События С/, в силу
ординарности потоков, можно считать несовместными.
По правилу сложения вероятностей

Р(С)=£Р(С/).	(4.1.3)

*) Здесь и далее для простоты мы будем приближенные ра-
венства, становящиеся точными при &/-► 0, писать просто как
равенства, не оговаривая их приближенность.
По правилу умножения вероятностей

P(C/) = p/(Z)X/i(Z)AZ,
откуда

P(C)=Ep/(Z)MZ)AZ (<^Д	(4.1.4)

следовательно,

Р(А) = Р(В) + Р(С) =

— Pi (0 £ I	S Mi (0 м j + Е Pi (0 Mt

Таким образом,

Pi (i + AJ) = Pl (/) [ 1 - £ kit (О А/J + £ Pl (t) ktl {t) M.

(4.1.5)

Вычитая из (4.1.5) p,(Z), получим приращение функ-
ции на участке (t, 14- AZ):

р, (t + AZ) - Pi (Z) = £ p, (Z) кц (t) Ы - t Mi (0 AZpi (Z);

деля приращение функции на приращение аргумента
AZ и устремляя AZ к нулю, получим в пределе произ-
водную функции p,(Z):

-^г1 = t Pi (0 Mi (0 - Pi ® t Mi (0

(Z=l, 2, .... n).	(4.1.6)

Первая сумма в правой части формулы (4.1.6) рас-
пространяется на те значения /, для которых возмо-
жен непосредственный переход из состояния S/ в s,
(т. е. для которых Mi(t) ф 0), а вторая — иа те зна-
чения /, для которых возможен иепосредствеииый пе-
реход нз Si в S, (т. е. kij(Z)=#O).

Таким образом, мы получили для вероятностей
pi(Z) систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений (4.1.6) с переменными (в общем случае) коэф-
фициентами. Эти уравнения называются уравнениями
Колмогорова (по имени академика А. Н. Колмого-
рова, предложившего такой метод анализа марков-
ских процессов с дискретными состояниями н непре-
рывным временем).
ЛИ)

Рис. 4.1.3

Систему дифференциальных уравнений (4.1.6) ре-
шают при начальных условиях, задающих вероят-
ности состояний в начальный момент при t — 0

Pi(0), р2(0)...Р„(0),	(4.1.7)

причем для	любого момента	времени	t	выполняется

нормировочное условие

Z Pi (0=1	(*><>).	(4.1.8)

i-i

Это следует из того, что в любой момент t события
{S(0 = sJ. {S(/) = s2}...........{S(0 = sJ

образуют полную группу несовместных событий. Нор-
мировочное условие (4.1.8) можно использовать вме-
сто одного (любого) из дифферен-
циальных уравнений (4.1.6).

При составлении системы диф-
ференциальных уравнений (4.1.6)
удобно пользоваться размечен-
ным графом состояний си-
стемы, где возле каждой стрелки,
ведущей из состояния si в состоя-

ние Sj, стоит интенсивность Xi/(/) пуассоновского по-
тока событий, переводящего систему из состояния si
в Sj. Если hij(i)==O, ни стрелка, ни соответствующая
интенсивность на размеченном графе не ставятся.

Пример 1. Система S представляет собой тех-
ническое устройство (ТУ), которое может находиться
в одном из двух состояний:

«1 — ТУ исправно (работает);

«2 — ТУ неисправно (находится в ремонте).

На ТУ, находящееся в состоянии «1, действует поток
отказов с интенсивностью 1(0, переводящий ТУ в со-
стояние «2- На ТУ, находящееся в состоянии «2, дей-
ствует поток восстановлений с интенсивностью ц(0
(рис. 4.1.3); оба потока — пуассоновские, независи-
мые. Написать уравнение Колмогорова для вероят-
ностей состояний и решить их, считая, что в началь-
ный момент при / = 0 ТУ исправно.
Решение. Уравнения Колмогорова (4.1.6) для
условий примера имеют вид

dPl (t)/dt = р2 (/) р (0 - Pl (О Л (0,

dP2 (t)/dt = Pi (0 к (0 - р2 (О И (0.	1	’

Нормировочное условие: pt(/)-|-р2(/)= 1, откуда

p2(0=l-pt(0.	(4.1.Ю)

Подставим выражение (4.1.10) вместо р2(0 в первое
из уравнений (4.1.9) (второе отбросим). Получится
одно дифференциальное уравнение с одной неизве-
стной функцией pi (0:

dpt {t)tdt = [ i — р} (/)) и (0 - Pl (/) л (0
или

dPl	+ (Л (0 + р (0] Pl (0 = р (0.	(4.1.11)

Решая это линейное дифференциальное уравнение
с переменными коэффициентами известным в матема-
тике методом при начальном условии pi(0)=l, по-
лучим:

t	х

- $ р. (Т) +1* (T)J dx t J (X (x) + u (x)l dx

Pi(t)~e °	H(t)e°	dx -f- 1 .

- о	-*

(4.1.12)

Заметим, что решение дифференциального уравне-
ния в квадратурах, подобное (4.1.12), на практике
обычно не имеет преимуществ перед непосредствен-
ным численным решением самого дифференциального
уравнения на ЭВМ (ведь квадратуры тоже надо вы-
числять, что при произвольных зависимостях Л(0,
ц(0 не всегда просто).

Рассмотрим частный случай, когда интенсивности
Х(0, н(0 не зависят от времени:

X (0 = X = const, ц (0 = ц = const. (4.1.13)

Не будем обращаться к общей формуле (4.1.12);
проще будет решить линейное дифференциальное
уравнение, в которое превратится уравнение (4.1.11)
при Х(0=Л, р(0=р. при начальном условии
Р.(0)=1;

-И* + и) Р1 (0 = и.
получим:

'’'«“ТЪ’ + ТТГ"-'”"'.	(4114)

откуда

р2 (0=1- Pi (0 = yq— (1 -	(4-1.15)

Графики зависимостей pt (t) и р2 (0 (р >2) показаны
на рис. 4.1.4. Отметим, что при оо в системе устанав-

ливается стационарный режим, для которого

вероятности рь р2 уже не
зависят от времени и рав-
ны (рис. 4.1.4):

Р1 = Нт =
f->oo	A-rP

р2 = limp2(/) = -r^-
1->оо

(4.1.16)

В стационарном режиме	Рис. 4.1.4

ТУ будет менять свое со-

стояние, переходя из в s2 и обратно, но вероятности
этих состояний уже не зависят от времени. Их можно
истолковать, как среднее относительное вре-
м я пребывания ТУ в соответствующих состояниях
«1 и s2. ►

При составлении уравнений Колмогорова по графу
состояний удобно (аналогично тому, как мы делали
в п. 3.3 для марковских цепей) ввести понятие «по-
ток вероятности». Будем называть потоком вероят-
ности, переводящим систему из состояния s, в состоя-
ние Sj, произведение вероятности pt(t) состояния Si,
из которого исходит стрелка, на интенсивность Ли(О
потока событий, переводящего систему по этой
стрелке.

Уравнения Колмогорова (4.1.6) составляются по
следующему мнемоническому правилу: производная
вероятности любого состояния равна сумме потоков
вероятности, переводящих систему в это состояние,
минус сумма всех потоков вероятности, выводящих
систему из этого состояния.
Все интенсивности ^n(t) в уравнении (4.1.6)		
можно записать в виде квадратной матрицы:		
	о А|2(0 ••• ^i/(0 •••	(0	
	Л»21 (/)	0	... Лд/ (/) ... Лдп (о	
II МО 11 =	(/) кц (/) ... kij (/) ... kin (t)	. (4.1.17)
	Лп2(0 ... knl(t) ... 0	

где	(i = 1, 2,	п). По главной диаго-

нали этой матрицы размерности п X п стоят нули,
а на пересечении i-й строки и j-ro столбца стоит функ-
ция Ху(0—интенсивность пуассоновского потока со-
бытий, переводящего систему S из состояния si в со-

стояние S/.

Матрицу интенсивностей (4.1.17) удобно иллюстри-
ровать с помощью размеченного графа состояний си-
стемы S, на котором указываются только те реб-
ра.между состояниями s, н s/, для которых

соответствующие интенсивности не равны нулю,

Рис. 4.1.5

а около каждого ребра
проставляется соответ-
ствующая интенсив-
ность потока событий
(рис. 4.1.5). Между
матрицей интенсивно-
стей (4.1.17) н разме-
ченным графом состоя-
ний системы G(S) су-
ществует однозначное
соответствие.

Зная размеченный
граф состояний систе-

мы G(S) (или мат-
рицу интенсивностей ||Хз(/)||), можно, воспользовав-

шись мнемоническим правилом, записать систему диф-

ференциальных уравнений для вероятностей состоя-
ний системы (4.1.6).

Если все интенсивности потоков X,/(Z) не зависят
от аргумента f (Х,/(/)= Х;/), то марковский процесс
называется однородным. Если хотя бы одна из интен-
сивностей в матрице (4.1.17) зависит от времени, то
такой марковский процесс называется неоднородным.
У однородного марковского случайного процесса коэф-
фициенты в системе дифференциальных уравнений
(4.1.6) являются постоянными.

Таким образом, для исследования марковского слу-
чайного процесса нужно знать: 1) матрицу интенсив-
ностей №в(/)|| (4.1.17) (или раз-
меченный граф состояний систе-	r——i

мы G (S)) и 2) начальные уело-	Sf К——I $2 I

Р1(0), р2(0), ..., р„(0), (4.1.18)

Epz(o)=i, pz(0)>0

<-1

(i= I, 2.....п). (4.1.19)

Пример 2. Размеченный
граф состояний системы имеет

Рис. 4.1.6

вид, показанный на рис. 4.1.6.

Написать уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний н указать, при каких начальных условиях
их нужно решать, если в начальный момент система
S с вероятностью 1/2 находится в состоянии и
с вероятностью 1/2 — в состоянии $2.

Решение. Уравнения Колмогорова имеют вид

Р1 (0 ~ Pi (0 ^21 — Р1 (0 ('^12 4" ^1з)>

Pi (0 =® Pl (0 ^12 4" Pi (0 ^42 — Pi (0 ^21>

Рз (0 = Р1 (0 Мз 4" Pi (0 ^*43 — Рз (0 (^34 4" ^Зб)>	(♦)

Pi (0 — Рз (0 ^34 + Рз (0 ^54 — Pi (0 (^*43 4" ^мг),

Рз (0 = Рз (0 ^35 — Рз (0 ^54»

где Pi (0 = dpt (t)/dt.

Любое из этих уравнений может быть отброшено,
а соответствующая ему вероятность pz(0 (< = 1, 2, 3,
4, 5) выражена через остальные с помощью нормиро-
вочного условия:

Pi (0 4- Pi(0 4- Рз (0 4- Pi (0 4- Рз (0 — 1 •	(♦♦)

Начальные условия, при которых надо будет решать
систему дифференциальных уравнений, будут:

Pi (°) — Pi (0) = 0,5, Рз(0) = Р4'(0) = Рз(0) = 0. (♦♦•)
Уравнения (*) как прн постоянных, так и переменных
интенсивностях (совместно с нормировочным усло-
вием (**)), можно решать на ЭВМ при начальных
условиях (*»») любым из численных методов.

Пример 3. Техническая система S — вычисли-
тельный центр (ВЦ), состоящий из трех ЭВМ: I, II
и III. Каждая из ЭВМ выходит из строя (отказывает)
независимо от других. Потоки отказов ЭВМ — пуассо-
новские с переменными интеиснвностями, равными

Рис. 4.1.7

Х1(<). Лг(О. МО- После отказа каждая ЭВМ восста-
навливается; потоки восстановлений — пуассоновские
с интенсивностями цЦ/), ра(О» рз(О; потоки восста-
новлений тоже независимы. Рассматриваются следую-
щие состояния системы:

«1 — все ЭВМ исправны;

s2— ЭВМ I отказала, ЭВМ II и ЭВМ III исправны;
Жз — ЭВМ II отказала, ЭВМ I и ЭВМ III исправны;
$4— ЭВМ III отказала, ЭВМ I и ЭВМ II исправны;
ss — ЭВМ I и ЭВМ II отказали, ЭВМ III исправна;
Se — ЭВМ I и ЭВМ III отказали, ЭВМ II исправна;

s7 — ЭВМ II и ЭВМ III отказали, ЭВМ I исправна;
s8—все ЭВМ отказали.

Построить размеченный граф состояний ВЦ. Соста-
вить уравнения Колмогорова для вероятностей состоя-
ний .... р8(/). Записать нормировочное усло-
вие, позволяющее указать, при каких начальных уело-
виях надо решать эту систему дифференциальных
уравнений, если известно, что в начальный момент
t = 0 все ЭВМ исправны.

Решение. Размеченный граф состояний системы
S показан на рис. 4.1.7. По мнемоническому правилу
составляем систему уравнений Колмогорова (4.1.6).
Для сокращения записи обозначим: pi(i) = pi, =
— X,-, m(t) — in.

0 Pi = H1P2 4- РгРз + НзР4 ~ (M + X2 + X3) pit

2)	P2 — ^iPi 4" P2P5 4" РзРб — (Pi 4- X2 4* X3) P2,

3)	Рз — X2Pi + PiPs + Нзру — (Рг + + Х3) Рз»

4)	Pi — Х3р! + PiPe + И2Р7 — (Из +	+	Х2)	р^

5)	Рэ — Х2Р2 4- Х^ + РзРв — (Рг + Pi + Х3) р5,

6)	Рв = ^зРг + ^1Р4 4- Р-гРв — (Из 4- Pi 4" М Рв»

7)	Pi = Х3Р3 4- Х2р4 4- PiPs — (Иг 4- Рз 4- X,) Ру,

8)	Рв — Х3Р5 4- Х2рв 4- Xtp7 — (р3 4- Рг 4- Pi) Рв-

К этим уравнениям можно прибавить нормировочное
условие: для любого t

ipitD-i.
i-i

Это условие дает возможность уменьшить число урав-
нений (») на единицу. Начальные условия, при кото-
рых надо решать систему уравнений (») при / = 0:
Р1(0)==1, р2(0) = рз(0)== ... =р8(0) = 0. ►

Заметим, что марковский случайный процесс с ди-
скретными состояниями и непрерывным временем
можно при достаточно малом промежутке времени
Ы между шагами приближенно рассматривать как
марковскую цепь, т. е. процесс с дискретными со-
стояниями и. дискретным временем, изменения состоя-
ний которого происходят в моменты t = 0; t — Д/,
t — 2Д/, ... (например, определяемые тактом работы
ЭВМ). Граф состояний системы остается тем же; не-
обходимо найти переходные вероятности рц(1,Ы)
того, что за элементарный промежуток времени Д£,
примыкающий к моменту t, система S, находящаяся
в состоянии sit перейдет в состояние «/.

Обозначим X//(f) интенсивность пуассоновского
потока событий, переводящего систему из состояния
St в S/. Найдем вероятность	того, что си-

стема S, находясь в момент t в состоянии si, перей-
дет на участке {I, f-J-Д/) в состояние s/. Эта вероят-
ность равна вероятности того, что на участке (t, t +
+ ДО появится хотя бы одно событие в потоке с ин-
тенсивностью kij(t). Эту вероятность дополняет до
единицы вероятность противоположного события:

А — {в потоке не появится ни одного события}.

Мы знаем, что с. в. X(t, Д£)— число событий пуассо-
новского потока, попадающих на участок (t, /4-Д/),
распределена по закону Пуассона с параметром

f + Af
а(/, Д/) = J Ktl(x)dr.
t

Следовательно,

< + А«

- $

Р (Л) = е'а (t л() == е	*

Это выражение при малом Д? приближенно равно

Р(Л)«1-Хо(0Д/,
откуда

это и будет переходной вероятностью для марковской
цепи с шагом по времени Д/.

Таким образом, можно сформулировать следующее
правило перехода от марковского процесса с дискрет-
ными состояниями и непрерывным временем к мар-
ковской цепи:

1.	Задаться достаточно малым шагом Ы марков-
ской цепи — настолько малым, чтобы за время Д/ был
практически невозможен переход системы не в сосед-
нее состояние, а в одно из других, и чтобы ии в одном
из пуассоновских потоков, действующих на систему,
практически не могло за время Д/ появиться более
одного события.

2.	Подсчитать для каждой пары состояний (s,, S/),
между которыми возможен переход	переход-

ную вероятность рцЦ, М)= Ptj(k); составить матрицу
этих переходных вероятностей (или, что равносильно,
проставить их у стрелок размеченного графа состоя-
ннй), а далее поступать так, как рекомендовано
в п. 3.2, для марковских цепей, т. е. занумеровать
шаги и найти все вероятности р/(Л), где k — номер
шага, k— 1, 2, ... по рекуррентным формулам (3.2.19).
Такой прием часто применяется при моделировании
случайных процессов с дискретными состояниями и
непрерывным временем на ЭВМ.

Заметим, что если марковский случайный процесс
не является однородным (интенсивности Х1;-— Х1;(0),
то на каждом шаге нужно составлять матрицу
Нро(Л)||.

Очевидно, чем меньше будет величина шага А/,
тем точнее будет решение, но тем больше будет за-
трачено машинного времени на решение задачи. Ве-
личину А/ можно брать зависимой от номера шага
так, чтобы максимальное приращение вероятности
pi(k) (1—1,2, ..., п) не превышало по модулю за-
данной величины е, которой определяется точность
вычислений, выбираемая из практических соображе-
ний, как точность каждого приближенного вычисле-
ния. Вычисления можно начинать при произвольном
значении А/; если максимальное по модулю прираще-
ние вероятностей p,(/-f-A0—р,(0 оказывается боль-
ше е, размер шага А/ следует уменьшить, подбирая
его пробами до тех пор, пока не будет выполнено
условие

max | pt (t 4- А/) — Pi (01 < e.
i

4.2. Однородные марковские случайные процессы
с дискретными состояниями и непрерывным
временем. Стационарный режим, уравнения
для предельных вероятностей состояний

Остановимся подробнее на исследовании однород-
ных марковских случайных процессов с дискретными
состояниями и непрерывным временем, у которых эле-
менты матрицы интенсивностей (4.1.17) не зависят
от времени:

Л;/ = const (», j=l, 2, ...,n).	(4.2.1)

Другими словами, все потоки, переводящие систему
S из одного состояния в другое, являются простей-
шими (стационарными пуассоновскими). Системы,
в которых происходит такой процесс, будем называть
простейшими системами.

Для простейшей системы вероятности состояний
определяются уравнениями Колмогорова с по-
стоянными коэффициентами (см. (4.1.6)). Для ре-
шения этих уравнений в инженерной практике широко
применяется преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа от функции f(t) (t 0;
при t < 0 f (t) = 0) имеет вид [9]

СО

F(x) = Je-*7(/)d/.	(4.2.2)

о

Обратное преобразование Лапласа определяется по
формуле

w $ ^04-

V-foo

f (t) прн t О,

О при t < О,

(4.2.3)

где / = V—1.

Функция f(t) называется оригиналом, а функция
F(x)—изображением. Переход от оригинала к изо-
бражению и обратно будем обозначать следующим
образом:

f(t) О--•F(x).

Перечислим основные свойства преобразования
Лапласа, которые нам потребуются в дальнейшем.

1.	Изображение производной функции df(t)fdt
равно изображению функции F(x), умноженной на х,
минус значение функции при t = 0:

4г- О---------• xF (х) -/(0).	(4.2.4)

2.	Изображение постоянной а равно этой постоян-
ной, деленной на х

а О-----Ъа/х.	(4.2.5)

3.	Изображение суммы функций равно сумме изо-
бражений этих функций:

Ел (0 о-йЕш

1-1	1-1

(4.2.6)
4.	Изображение произведения постоянной а на
функцию f(t) равно произведению постоянной а на
изображение функции Ё(х):

af (По--------• аГ(х).	(4.2.7)

5.	Если изображение функции имеет вид

= ’ (4'2”

П (* -а')
1-1

где at — различные корни полинома рп(х)= Ц (х—а(),
/—I
то оригинал имеет вид
" °?

НО-У-4—.	(4.2.9)

ft Pn(ai)
где
я
л	Л П (а* — сц)

£(“)=-37 П (*-»<) 1„«, - £	- 

1-1	Л-1

Таким образом,
----------------------е---------------------(4.2.10)
»---------------------Z-i p (ctz)	'

JJ(x— at)
i-1

6.	Из соотношения (4.2.10) можно вывести еще два
полезных соотношения:

1
хрп (х)

О—— +> —-Г-,-----------•

Рл(°) Д «1Рл(<*1)

(4.2.11)

Если g(x) =хт + рт_1х'п~| + ... + 31Х 4- Ро И т < п,
то

g(x)
Рл(х)

g(x)

П (X - <»i)
1-1

О

g(«i) -Oft
Р' (а<)	•
7.	Если существует предел lim f (t), то
f->oo

lim f(t)= lim xF(x) ---------------------•F(x)). (4.2.12)

t-»oo	X-»0

Применим преобразование Лапласа к решению си-
стемы уравнений Колмогорова (4.1.6). Обозначим изо-
бражение вероятности состояния р/(/) функцией
я/(х):

Pi (О О--•nt(x).	(4.2.13)

Тогда системе уравнений (4.1.6) для вероятностей со-
стояний будет соответствовать систёма уравнений для
их изображений:

хл, (х) = £ Ьця1 (*) — Е кип1 <*) + Pl (°)

(i= 1, 2...n),

откуда

£	(х) 4- Pi (0)

Я/(X) в .....----------- (/ = 1, 2, ..., п), (4.2.14)

где

Х4=£хо.	(4.2.15)

l-i

Таким образом, вместо системы однородных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами (4.1.6) для вероятностей состояний мы по-
лучили систему однородных алгебраических уравне-
ний с постоянными коэффициентами для изображений
вероятностей состояний (4.2.14). Эту систему нужно
решать с учетом нормировочного условия:

£р/(0=1	(0<Pi(0<l;	(4.2.16)

i-i

Следовательно, одно из уравнений (4.2.14) можно за-
менить на более простое:

£ яДх)—i-.	(4.2.17)

которое является изображением нормировочного усло-
вия (4.2.16).
Пример 1. В автохозяйстве имеется п автома-
шин. Каждая из этих автомашин (независимо от дру-
гих) может выходить из строя; интенсивность простей-
шего потока отказов автомашины равна X. Отказав-
шая автомашина становится на стоянку и ожидает
начала ремонта. Время ожидания начала ремонта ав-
томашины распределено по показательному закону
с параметром у. Время ремонта автомашины распре-
делено по показательному закону с параметром ц. Оп-
ределить вероятности состояний автомашины, если
в начальный момент она была исправна.

Решение. Состояния автомашины следующие:

Si — автомашина исправна,
$2 — автомашина ожидает ремонта,
S3—автомашина ремонтируется.

Размеченный граф состояний автомашины пока-
зан на рис. 4.2.1.

В соответствии с этим графом и мнемоническим
правилом, сформулированным в п. 4.1, составим си-
стему дифференциальных уравне-
ний для вероятностей состояний

Pi (0 = РРз (0 ~ hpi (0.

p2(0 = Mi(0 — YP2(0.

Рз(О = YP2(0 —РРз(0-

Вместо первого дифференциального уравнения исполь-
зуем нормировочное условие

Pi (0 + Р2 (0 + Рз (0 = 1 •

В рассматриваемом примере начальные условия сле-
дующие:

Pi(0)=l, Р2 (0) = Рз (0) = 0.

Исходя из этого, можно выписать следующие уравне-
ния для изображений:

хл2 (х) =	(х) — ул2 (х), ХЛ3 (х) = ул2 (х) — ЦПз (х),

Л[ (х) 4- л2 (х) 4- л3 (х) = 1/х.
Решая эту систему алгебраических уравнений, по-
лучим

(„х J_______________Мх + н)___________

112' ’ х хг + х (Л 4- ц 4- у) 4- Хц 4- Ху 4- уц ’

( , = УД1(х) _1________________уХ_____________

3' ' х+р х + х (Х + И + у) 4- Хц 4- Ху 4-У|* '

Введем обозначение

р(х)==х2 4- х(Х 4- р 4- у) 4- Хр + Ху 4- ур =

= х2 4- С{х 4- Cq,
где Х4-р4-у = С1, Хц 4- Ху 4- ур — Со- Детерминант
уравнения р(х) — 0 равен

D —Со —С?/4.

Для положительных Х>0, ц > О, у >• О детерми-
нант £> может быть как положительным или отрица-
тельным, так и равным нулю. Например, при ц — у =
— 1 детерминант £> > 0 при 0 < X < 4, D — 0 при
X = 4 и D < 0 при X > 4.

Рассмотрим для простоты случай, когда детерми-
нант D < 0. В этом случае существуют два различ-
ных отрицательных корня уравнения р(х) = 0:

р (х) = х2 4- С\Х 4- Са = (х — at) (х — Oj),

где

—4- С2 — 4С»

а1 =--------------

at • «2 — Cq,

С| С । 4Cq
02 ==	_

а, 4- «2= —Ср

С учетом принятых обозначений изображение лз(х),
примет вид

л3(х) = уХ/(х • р(х)).

По формуле (4.2.11) получим

..._ уХ , ( ea,t ,	е“2<	.

Рз'Г>— Ola2 +\a1(a1-a2) + a2 (a8-O1)

Далее,

_ / х _ X (х 4- ц) _ X Хц
хр(х) — р (х) f хр (х) *
Следовательно,

( a,t _ a,t

------е—

af — a2

eO1<
at (at — as)

eatt
as (a2 — at)

Вероятность pt (t) найдем из нормировочного усло-
вия

Pi (0=1 —р2(0 —Рз(0-

Графики функций pt(0, р2(0 и р3(0 для у = ц=1,
Л = 5 показаны на рис. 4.2.2.

На ЭВМ можно непосредственно строить графики
функций р,(0.

Заметим, что прн /-»-оо функции р2(0 и р3(0
имеют одну и ту же асимптоту <р(0 = 5/11, а функ-
ция pi(t) имеет асимптоту ф (0 = 1/11:

lim р2(0 = Рг = 5/11, lim р3(0 = р3 = 5/11,

lim Pi(0 = Pi= 1/Н (см. рис. 4.2.2). ►

Вернемся к анализу однородных марковских слу-
чайных процессов с дискретными состояниями и не-
прерывным временем. Рассмотрим теперь процесс,
протекающий в системе S, все множество состояний
которой является эргодическим. Напомним, что мно-
жество состояний W всей системы S называется
эргодическим, если из любого состояния s, можно пе-
рейти в любое другое состояние зу. Другими словами,
если число состояний системы S конечно и равно п
(что вполне достаточно для инженерных приложе-
ний), то система, выйдя из состояния si, через неко-
торое время попадет в состояние s/ и затем через не-
которое время снова вернется в состояние з(. Следо-
вательно, любое состояние s, и любое подмножество
состояний V cz W системы S являются транзитив-
ными, т. е. для любой пары состояний з; и sy (i, / =
= 1, 2.....п) найдется такое т > 0, при котором

выполняется неравенство

Рц(t0, т) = Р {S(t0 + -t) = si\S(М = 3j > 0. (4.2.18)

Назовем процесс, протекающий в системе S, эрго-
дическим, если существует предел

lim р0(/0, t) = p/ = P{S = s/) >0	(г, /=1, ...,п).

(4.2.19)

Для эргодического процесса по истечении доста-
точно большого промежутка времени т вероят-
ность того, что система S будет в со-
стоянии Sj (/=1,2............п),	не зависит от

того, в каком состоянии з,- (i=l, 2, .... п)
система была в начальный момент to — 0
и не зависит от величины т. Очевидно, что
транзитивность процесса (существование «маршрута»
между любыми двумя состояниями st и Sj системы S)
является необходимым условием существования пре-
дела (4.2.19). Действительно, если процесс, протекаю-
щий в системе, не транзитивен, то рано или поздно
система окажется в одном из замкнутых подмножеств
состояний или в одном из концевых состояний, и
тогда возврат из этих подмножеств состояний (или
из концевых состояний) будет невозможен.

Чтобы процесс, протекающий в системе S, был
эргодическим, нужно, чтобы процесс был не только
транзитивным, но и однородным, т. е. чтобы вероят-
ность перехода из состояния s, в состояние sy за время
т не зависела от того, в какой момент времени t0 си-
стема находилась в состоянии з,, а зависела лишь от
величины т:

(4.2.20)

Р/у(4>. т) = руу(т).
Будем называть марковский случайный процесс
с дискретными состояниями и непрерывным временем
однородным, если выполняется равенство (4.2.20).

Очевидно, чтобы марковский процесс был однород-
ным, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие
систему из состояния в состояние, были стационар-
ными пуассоновскими (простейшими) потоками, т. е.
система S была простейшей.

Теорема Маркова (мы здесь ее не доказываем)
утверждает, что любой транзитивный однородный
марковский процесс с конечным числом состояний п
обладает эргодическим свойством:

lim рцЦй, т)= lim р0(т) = р/ >0 (i, /= 1, 2.п).

(4.2.21)
Следовательно, по истечении достаточно большого
времени т функционирования системы S вероятность
того, что она будет в состоянии в/, не зависит от того,
в каком состоянии $,• она находилась в начальный мо-
мент времени t0, а вероятность состояния st будет не
зависящей от времени и является постоянной вели-
чиной Pi (/==1,2, ..., п).

Режим функционирования системы S, когда ве-
роятности состояний р/ (/ = 1, 2.п) не зависят

от времени, будем называть стационарным режимом,
а вероятности (4.2.21) — финальными (предельными)
вероятностями. Любой марковский процесс с конеч-
ным числом состояний, обладающий эргодическим
свойством, имеет стационарный режим, ко-
торый обязательно наступит после до-
статочного времени функционирования
системы.

Таким образом, чтобы марковский процесс, проте-
кающий в системе S с конечным числом состояний
п, обладал эргодическим свойством, необходимо вы-
полнение двух условий 1):

1.	Граф состояний системы S не должен иметь ни
одного состояния и ни одного подмножества состоя-
ний без выхода и без входа (множество всех состоя-
ний W системы S должно быть эргодическим).

2.	Все потоки событий, переводящие систему из
состояния в состояние, должны быть простейшими

') Заметим, что эти условия примерно те же, что и для
цепи Маркова (см. п. 3.3).
с постоянными интенсивностями (марковский процесс
должен быть однородным).

Системы, в которых протекает эргодический мар-
ковский случайный процесс, будем называть простей-
шими эргодическими системами.

Время функционирования такой системы можно
разбить условно на два интервала (0, t„), (tn, оо)

Переходный режим	Стационарный.режим

функционирования функционирования
системы	системы

О

Рис. 4.2.3

(рис. 4.2.3). Участок времени (0,/„) называется уча-
стком переходного режима функционирования си-
стемы, а участок времени (t„, оо) — участком стацио-
нарного режима функционирования системы. Для лю-
бого момента времени te(fn, о°) выполняется усло-
вие

|Р/(0~ Р/1<е	(/= 1, 2, ..., п), (4.2.22)

где величина е выбирается достаточно малой. Чем
меньше величина е, тем больше в общем случае бу-
дет время /п переходного режима функционирования
системы.

Проанализируем подробнее стационарный режим
функционирования системы S Так как при стацио-
нарном режиме предельные вероятности постоянны
(не зависят от времени), то их производные равны
нулю:

=	= 0	(i==l, 2, ...,п). (4.2.23)

at at

Следовательно, для стационарного режима функцио-
нирования системы S дифференциальные уравнения
Колмогорова превращаются в систему однородных
алгебраических уравнений с постоянными коэффи-
циентами (см. (4.1.24)):

0 = 22 hjiPj — Pt U — К 2, .'.., п),
которую можно переписать в виде:
п	п

Pi Е Ч» Z ЬцР1 О» И................п). (4.2.24)

/-1	/-1

Эту формулу можно интерпретировать следующим
образом: если простейшая эргодическая система на-
ходится в стационарном режиме, то сумма всех пото-
ков вероятности, переводящих систему S из других
состояний в состояние st, равна сумме всех потоков
вероятности, переводящих систему S из состояния si
в другие. Другими словами, для любого состояния si
сумма всех входящих потоков вероятности должна
быть равна сумме всех выходящих потоков.

Уравнение (4.2.24) можно привести к более про-
стому виду

п

Z xiipi

Pi =	---- (i = 1, 2.......n),	(4.2.25)

Л/
где

= Е	(4.2.26)

/-1

— интенсивность суммарного простейшего потока, пе-
реводящего систему из состояния s,- в другие.

Чтобы решить систему алгебраических уравнений
(4.2.25), нужно одно (любое) из этих уравнений за-
менить нормировочным условием

ЕР/ = 1.	(4.2.27)

i-i

Пример 2. Определить, является ли система, рас-
смотренная в примере 1, простейшей эргодической си-
стемой. Если да, то найти предельные вероятности
состояний этой системы при ц = у = 1, X = 5.

Решение. Система, граф которой изображен на
рис. 4.2.1, является простейшей эргодической, так как
все потоки, переводящие систему из состояния в со-
стояние, являются простейшими, а все состояния —
транзитивными. Уравнения (4.2.25) для предельных
вероятностей имеют вид

Р1 = ИРз/Л, р2 = Хр1/у. Рз — УРг/Р-
Заменяя последнее равенство на нормировочное уело-
3

вне Spj=l, получим систему уравнений
1

Pl = НРзА. р2 = Лр,/у. Pi + р2 + Рз = 1,

откуда

Рз == Kpi/ц.

Следовательно,

। X . X	у и 4- Хи 4- Ху	,

Pi + уА + у Pi «=Р.	----- = 1.

откуда

уц	1	_ X 5

Pl ~ уц + Хц + Ху “ 11 ’ Р*~ у.Р'~~И’

X 5

Рз = 7Р1===тГ'

Можно убедиться в том, что пределы вероятностей
состояний (при t->-со), полученные в примере 1,
равны полученным в этом примере финальным (пре-
дельным) вероятностям. Действительно,

lim рз(0 = lim хлз(х) = р3 =	►

/~>оо	Х~Ю	ЛИ > АГ "Г ГР

Предельная вероятность состояния pt для марков-
ского случайного процесса с дискретными состоя-
ниями и непрерывным временем имеет смысл, ана-
логичный предельным вероятностям для однородной
цепи Маркова:

Р< = ^,	(4.2.28)

где It — математическое ожидание времени однократ-
ного пребывания системы S в состоянии si, xi — ма-
тематическое ожидание времени цикла блуждания
системы S относительно состояния st.

Формулу (4.2.28) можно записать и в другом виде
(см. 2.7.11)):

(4.2.29)

Ч 4- Oi

где ft, — математическое ожидание времени однократ-
ного пребывания системы S вне состояния Sj.
Следовательно, финальная вероятность р,- пребы-
вания простейшей эргодической системы S в состоя-
нии si равна отношению математического ожидания
времени однократного пребывания системы S в со-
стоянии Si к сумме этого математического ожидания
и математического ожидания ф, времени однократного
пребывания системы S вне состояния s,-.

Из равенства (4.2.29) следует, что

it = biPt/(l-pt),	(4.2.30)

=	-р<)/рг.	(4.2.31)

Покажем, что для простейших систем математиче-
ское ожидание времени ?,• однократного пребывания
системы S в любом не концевом состоянии s(- распре-
делено по показательному закону с параметром
определяемым по формуле (4.2.26). Действительно,
параметр Z, равен интенсивности суммарного потока
событий, выводящего систему S из состояния s,-,
а этот поток, как сумма простейших потоков, также
простейший (см. п. 2.4). Следовательно, поток собы-
тий, переводящий систему S нз не концевого состоя-
ния Si, является простейшим с интенсивностью Л/.
В п. 2.2 было показано, что интервал времени
(рис. 2.2.2) От любой точки на оси времени I до бли-
жайшего события в простейшем потоке распределен
по показательному закону с параметром, равным ин-
тенсивности этого потока, что доказывает наше
утверждение. Следовательно,

ti = ^-	(4.2.32)

Специально отметим, что время однократного пре-
бывания системы S в неконцевом состоянии s, рас-
пределено по показательному закону для любой
простейшей системы: не эргодической или
эргодической; эргодическая система может находить-
ся как в стационарном, так и в переходном режиме.
Но формулы (4.2.30) и (4.2.31) справедливы то л ь ко
для простейшей эргодической системы,
находящейся в стационарном режиме.

Выше отмечалось, что время переходного режима
/п зависит от выбора начальных усло-
вий. Действительно, если в момент t = 0 вероятности
р<(0) (/ = 1, 2, п) уже равны предельным ве-
роятностям (pi(0) = p< (/=1,2, .... п)), то время пе-
реходного режима будет равно нулю; если эти ве-
роятности далеки от предельных, переходный режим
будет продолжительным.

Пример 3. Для условий примера 2 при у==>
= I*— 1 (т^г)' Х = 5(т^) найти величины tt, О<.

X vy inn х	X vy 1АП x

Решение. /1 = 1Д = 1/5 (суток), /2 = /3= 1/ц =
= 1 (сутки),

$1 = /1 (1 — Р1)/Р1 = 2 (суток),

О2 = /2 (1 — р2)/р2 == 6/5 (суток),

О3 = h (1 — рз)/р3 = 6/5 (суток).

Пример 4. Размеченный граф состояний ЭВМ
□оказан на рнс. 4.2.4. Возможные состояния ЭВМ
следующие:

Si — исправна, решает задачу,

s2— исправна, не решает задачу,

«з—неисправна, факт неисправности не уста-
новлен,

— факт неисправности установлен: ведется поиск
неисправности,

«в — ремонтируется,

s6	— профилактический осмотр ЭВМ,

s7	— профилактический ремонт.

Рис. 4.2.4

Все потоки событий — простейшие. Найти предельные
вероятности состояний ЭВМ и математическое ожи-
дание 01 времени, в течение которого ЭВМ не решает
задачу, независимо от того, исправна она или нет,
находится на профилактике или нет.

Решение. По формулам (4.2.25) находим пре-
дельные вероятности:

Р1 — ^21Р2/(^12 4" Мз)»

Р2 = AI2P1 Ч" ^-5205 4” ^62Рб 4" ^72Рт)/(^26 4" ^21 4" ^2з)>

Рз == (W1 4" ^23Рг)Аз4» Р< — ^мРз/^45>

Рь =	Р& — ЪхРгК^Ю	^6?)• Р1 = ^67Рв/^72*

Выразим все вероятности р, (1 — 2, 3, ...) через ве-
роятность рь а второе уравнение (как самое громозд-
кое) заменим на нормировочное условие:

р2 = (Х12	Л13) Pi/A-21 — °2Р1»

Рз — (W1 + ^2зРг)Аз4= А1з 4* ^гз0^) Р1№ы = азР1>

Pi — ^<34рзР1 А45 = а4Р1,

Рб — ^Pi/^2 — ^43P4P1As2 — а5Р1>

Рв — ^2бРг/(^62 4" ^67) ~ ^2бР2Р1К^62 4” ^67) = ОбРь

Pl — ^sflbPlI^n ~ alPb

Ju Pi — Pl + °2P1 + ^ЗР< + O4P1 + °5P1 + °6Pl + alPl ~ 1 >
4-1
откуда ,
______________________________1______________

1 4” З2 + 03 4” ^4 4-	4”	4“

В соответствии с формулой (4.2.32) находим м. о. вре-
мени, в течение которого ЭВМ однократно решает
задачу:

i - 1 -	1

1 М Я,]2 4-

По формуле (4.2.31) находим м.о. времени О1( в тече-
ние которого ЭВМ однократно не решает задачу:

=М1 — Pi)/Pi-

Рассмотрим численный пример (все значения вели-
чин выражены в сутках):

— среднее время наработки ЭВМ на отказ равно
20 суткам: 1/Л13= 1/Хгз = 20,
— среднее время решения задачи равно 6 часам:
1Д12 = 1/4,

— среднее время простоя исправной ЭВМ равно
0,5 часа: 1/X2i — 1/48,

— среднее время установления факта неисправ-
ности ЭВМ равно 0,5 часа: 1 /кц — 1 /48,
— среднее время поиска неисправности равно
1 часу: 1/Х« = 1/24,

— среднее время устранения неисправности равно
2 часам: 1Д52 = 1/12,

— профилактический осмотр проводится в сред-
нем раз в 30 суток: 1/Х26 — 30,

— профилактический осмотр в среднем длится
3 часа: 1/Х>з2 = 1/Х,в7 == 1/8,

— профилактический ремонт длится в среднем
4 часа: 1Д?2 = 1/6. Следовательно,

йг = (Л12 + Л13)Д21 = 0,084375,

Дз = (А,[з + ^-2з^2)Дз4 — 0,001130,

#4=^ ^3403/^,45= 0,002259,

Дд == ^,4504/^52 === 0,004518,
fig ===	“1“ ^67)== 0,000176,

== ^в7^б/^*72 =s= 0,000234.

Теперь найдем вероятности состояний
/ Z	7	X

Pi = 1/( 1+£ aj = 0,915171,

/ X	fe-2 /

р2 — &2Р1 — 0,077218, рз —	— 0,001034,

р< = а4Р1 == 0,002067, р5 = a5Pi = 0,004135,
Рв = aePi = 0,000161, р7 = а7р! = 0,000214.

Величина 1\ — м. о. времени, в течение которого ЭВМ
однократно решает задачу, равна

t, = 1/(Х12 4- Х13) = 0,2469 (суток) = 5,926 (часов).

Следовательно, величина — м. о. времени, в тече-
ние которого ЭВМ однократно не решает задачу (прн
этом ЭВМ может быть либо исправной, либо неис-
правной, либо находится на профилактике), будет:

$1 = h (I — pj/pi — 0,5493 (часа) = 32,96 (минуты).
Заметим, что если бы ЭВМ была абсолютно на-
дежной и не требовала проведения профилактического
осмотра и ремонта, то размеченный граф состояний
имел бы вид, показанный на рис. 4.2.5. В этом случае

Pi == ^2i/(^2i *1* ^12)== 0,923077,

ii — 1/Л12 = 0,25 (суток) —6 (часов),

— <2 — 0 Pi)/Pi — IA21 —

= 0,02083 (суток) = 0,5 (часа).

Мы видим, что вероятностные н временные харак-
теристики работы ЭВМ изменились незначительно: ве-
роятность pi возросла с 0,915171 до 0,923077, время Ji
увеличилось с 5,926 (часа) до 6 (часов)
уменьшилось: было 0,5493 (часа), а ста-
ло 0,5 (часа). Это свидетельствует о том,
что ЭВМ обладает достаточно хоро-
шими эксплуатационными характеристи-
ками. >

Продолжим анализ однородных мар-
ковских случайных процессов с дискрет-
ными состояниями н непрерывным вре-
менем с конечным числом состояний п.
Можно показать, что для таких процес-
сов при произвольном графе состояний,
обладает свойством эргодичности, тоже

предельные вероятности состояний, но эти предель-
ные вероятности будут зависеть от начальных условий.

В качестве иллюстрации рассмотрим простой при-
мер. Пусть множество состояний W системы S со-
стоит нз трех непересекающихся подмножеств:

При этом, если система S находится в подмножестве
WIt то она может перейти как в подмножество U7lb
так и в подмножество Ш'ш. Если система S нахо-
дится в подмножестве И7ц, то она из него выйти не
может; аналогично и с подмножеством U7ih: система
S, попав в него, из него выйти не может. Все сказан-
ное условно изображено на рис. 4.2.6.

Если в начальный момент времени t = 0 система
находилась в подмножестве V7|, то по истечении до-
статочно большого времени t (теоретически при

а время

Рис. 4.2.5

который не
существуют
система S перейдет либо в подмножество
1Гц, либо в подмножество №щ:

lim pl(t) = pl = Q
/~>оо

lim p/(0 = p/>0

t “>оо

lim pk(t) = pk>0
/->00

e IF,),
(s, e Г»),
(sk e WnO

Z Pi = 0.

i

При этом

Z Pi + Z Pk — 1.
/ A

Если система S в начальный момент времени t =0
была в подмножестве IFn, то она так и останется
в этом подмножестве

lim pt (0 — pi —Q IFO,
t -»»

lim pf (t) = p/>0	(s, e= Wa),

t-*a>

lim pk (/) = р* = 0 (s* e FuO-
/->OO

Следовательно,

Рис. 4.2.6	£р/в1,	^Pt-O.

Аналогично, если система S в начальный момент
времени t = 0 находилась в подмножестве Жш, то

ZPi = O, £р/ = 0, Ept=l.

i	i	*

Будем считать, что подмножества IFn и IFm обла-
дают свойством эргодичности: система S, попав
в одно из подмножеств (или IFm), будет все
время блуждать по всем состояниям этого подмно-
жества.

Естественно, что нас будет интересовать только
случай, когда блуждания процесса начинаются нз со-
стояний подмножества Wi. Как в этом случае найти
предельные вероятности? Можно, конечно, поступить
так: составить систему дифференциальных уравнений
для всех состояний системы IF = Wi 4- lFn 4- IFm,
решить эту систему и найти пределы полученных ре-
шений при /->оо. Но можно поступить гораздо проще.
Если иайти вероятность Ри — попадания системы
в подмножество состояний Wn н вероятность Рш =
= 1 — Рц попадания системы в подмножество Ш'ш, то
можно ограничиться рассмотрением стационарных ре-
жимов, протекающих в подмножествах Wu н W'm.
В предположении, что система S перешла нз под-
множества Wt в подмножество lFn, можно найти пре-
дельные вероятности состояний системы S — р<Н).
Тогда по формуле полной вероятности pt = р(,П)Рп
е JFn). Если предположить, что система S пере-
шла из подмножества W'i в подмножество IFm (ве-
роятность этой гипотезы равна Рщ = 1—Рц), то
найдем предельные вероятности системы S — /4Ш)«
Опять, применяя формулы полной вероятности, нахо-
дим рА = р«”>рп1

Таким образом, задача сводится сначала к отыска-
нию вероятности Рп — попадания системы S в под-
множество состояний IFn н вероятности Рш — 1 —
— Рп — попадания в подмножество состояний 1FIH.
Для нахождения этих вероятностей выделим в со-
ставе подмножеств и те состояния, в кото-
рые система S непосредственно попадает
из подмножества Wt. Назовем эти состояния подмно-
жества входными состояниями подмножества U/ц и
будем нх обозначать S/B). Все такие состояния со-
ставляют входное подмножество (S/B) е 1F(iB),
S IFn). He исключается и случай, когда IPn* =
— т. e. когда система S может непосредственно
попасть в любое состояние подмножества 1FU. Ана-
логичные понятия вводятся н для подмножества ЦГщ:
входные состояния подмножества IFm обозначим s*B),
все такие состояния составляют входное подмноже-
ство IFni (skB) е IFin, IFin s IFin). Все это схематично
изображено на рис. 4.2.7.

Преобразуем размеченный граф состояний системы
следующим образом: сделаем все входные состояния
3/В) (принадлежащие входному подмножеству IF’<n))
и все входные состояния з*В) (принадлежащие вход-
ному подмножеству ТГш) поглощающими. Преобра-
зованные подмножества показаны на рис. 4.2.8 (они
помечены сверху знаком	Для преобразован-
ной так системы S составляется размеченный граф
состояний и находятся предельные вероятности

Р/($/и е Так как при оо си-
стема S попадает либо в подмножество Wu\ либо
в подмножество ВГ’ц , то

Рп=Т.Р/ (5/е^‘п’).	(4-2.33)

Pin —TuPk ($а е ^П1)» Рц + Pin — । • (4.2.34)
k

Пример 5. Размеченный граф состояний системы
показан на рис. 4.2.9. Найти предельные вероятности

Рис. 4.2.9

состояний системы для начальных условий:

М0) + р2(0)=1	(Pl(0)>0, р2(0)>0).

Решение. Состав подмножеств Wt, IFn, IFm сле-
дующий:

Wi = {sb s2}, 'Fn —{s,. s4. «sb = {se, s7, sa, s9),
входные состояния для подмножества IFn ~ s3 и s4,
для подмножества IFm ~ s6-

Следовательно, входные подмножества будут
iFii’ = {% 54}.	=

Преобразованный граф состояний имеет вид, пока-
занный на рис. 4.2.10. Для нахождения предельных

Рис. 4.2.10

вероятностей р3, р4 и р6 воспользуемся седьмым свой-
ством преобразования Лапласа (4.2.12):

Pi — lim pi (ОО------• lim хлх (х),

t-»oo	х-»0

где pi(t)O-------• л/(х) (/ = 3, 4, 6).

Составим алгебраические уравнения для изобра-
жений вероятностей состояний, соответствующих пре-
образованному графу состояний, изображенному на
рис. 4.2.10. Для этого воспользуемся формулами
(4.2.14) и (4.2.17):

л2 (х) = (Х12л, (х) + р2 (0))/(х + Х2),

(Л2 = Х21 4- Л24 4- А^), л3 (х) — А-оЛ! (х)/х,
л4 (х) = А24л2 (х)/х, л6 (х) = А-кЛ-г (х)/х,
«I (*) + «г (х) 4- л3 (х) 4- л4 4- Де (*) = I/*-

Решим полученную систему алгебраических урав-
нений относительно изображения Л[(х):

s.«++-йт-+-^4^+
* Т	X 'Т' Л3	X

I А24 Г (х) I Pi (0) 1 . A2g Г Ataftt (х) i

х L х + Х2 x-f-AaJ х L х + Х2

, Р2 (0) 1 _ 1

+ X 4- А» I х ’

6 Теория случайных процессов
откуда

1

«I (х) = -

. Г х	<	1 ^8»

,,(0)1х + А.г + х + А» + х + А,

хА12 ,1 , Aa^Ata । AgeAta

7+а7 + 18 + Т+Т7 + 7+а7

Следовательно,

я, (0) = lim «! (х) »

Аа — Ра (0) (А24 + Аае)
AtaAa + Аа<А1а + Aj(jA|2

Из равенства

лз (х) — А13л1 (х)/х

получаем

хл3(х) = А13л1 (х),

откуда

рз = lim хя3 (х) = Л^яДО) —
х->0

А|3Аа — рз (0) (XiaXat + А^Аае)
А^Аа + Aa^Ata + AjgAu

Далее, из равенства

получим

я2(х) =

МаЛ1 (*) + Рз (0)
X + А2

я2(0) =

А.аЯ, (0) + Ра (0)
Аа

Следовательно,

ft = lim fa (/) = lim хлч (x) = A24 lim л2 (x) — AMft2 (0).
<-*00	*-»0	X-»0

Заметим, что

ft = lim M) = ft = l«m & (0 =

/-><»

= lim хя( (x) = lim хя2 (x) — 0.
x-»O	x-»0

Теперь найдем предельные вероятности для эрго-
дического процесса блуждания системы по состоя-
ниям подмножеств 1Гц и JFin. Для этого составим два
размеченных графа состояний, показанных иа
рис. 4.2.11. Так как это второе преобразование графа
системы S изображенной на рис. 4.2.9, то состояние
системы пометим знаком
Предельные вероятности для системы, граф кото-
рой представлен на рис. 4.2.11, а, были найдены в при-
мере 2, так как этот граф с точностью до обозначе-

а

ний совпадает с графом, изображенным на рис. 4.2.1.
Следовательно,

Рз — ^53^45/(^53^45 + ^-53^34 + ^34^45)1 Pi — 1 — Рз — р4»

р4 ~ ^>53^34/(^53^45 4" ^53^34 4“ ^•34^'45)-

Предельные вероятности состояний для графа, изо-
браженного на рис. 4.2.11,6, найдем по формулам
(4.2.25) —(4.2.27):

~	~	~	~	— Лее ~

Рб + Р7 + Р8 + Р9= I.

Решим эту систему уравнений относительно вероят-
ности pi'.

^78® I „ L ^78 „ I ^89^76 ® ______ 1

Pi + Pi + Pi + -^7 Р? — *•
откуда

~_____________________^>87^89^.97

Pl ^<87^'89^'97 + Х79Х89Х97 4“ А.78А.67Л97 4“ Л78^87^-89 *

® ___ ^78 ®	~ ___ А.78 ~	~ ___ ^89 ~

Рб~^р7’	—	р9~й7р1-

Таким образом, получаем окончательные формулы
для предельных вероятностей состояний системы, граф
которой изображен на рис. 4.2.9:

р1=р2 = 0, Р8 = РзР||. Р4 = Р4РП> Ра — Р^ч,

~

Рб — РбРш. Рт = р7Рш. Ра —РаРщ, Р9 = РэРиь
Рассмотрим в качестве иллюстрации численный
пример, в котором для простоты расчетов все интен-
сивности потоков для графа, изображенного на
рис. 4.2.9, равны единице, а начальные условия та-
ковы:

р2(0) = р,(0)= 1/2.

В этом случае

.	3 —(1/2) (2)	2	.. 3 — (1/2) • 2 _ . _2_

Р3 — 3+1 + 1	5 ’	1	3+1 + 1	5 *

Я2(0) = ?/5-+-‘g. = .3., р4 = 1.3/10== 3/10,

р6 = 1 - 2/5 = 3/10 = 3/10, Рп = Рз + Р4 = 7/10,
Рщ = 1-Рп = 3/10,

P3 = P4 = PS= 1/3, р7 = р8=р9 = Рб= 1/4.

Окончательно получим значения предельных ве-
роятностей:

р1==р2==0, рз — р4 = р&— 1/3 • 7/10 = 7/30,

Рб = Р7 = Р8 = Рэ = 1/4 • 3/10 = 3/40,
дающие в сумме единицу.

Предельные вероятности зависят от начальных ус-
ловий. Так, если в начальный момент система нахо-
дится в состоянии si, т. е. pi(0)=l, получим

Рз —3/5, «,(0 = 3/5, л2 (0) = 1/5, р4 = 1/5,

Ре = 1/5, Рп = рз + р4 = 4/5, РИ1 = 1/5,

Рз=^р4=:р5 = 4/15, р0 = р7 = р8 = рэ= 1/20,

Pi = р2 = 0.

Если в начальный момент система находится в со-
стоянии s2, т. е. рг(0)= 1, то

Рз=1/5, л, (0=1/5, л2 (0) = 2/5, р4 = 2/5,
р6=2/5, Рп = р3 + р> = 3/5, Phi = 2/5,

РЗ = Р4 = Р5= 1/5, Р6 = Р7 = Р8 = Р9= 1/Ю,
р! = р2 = 0.

Таким образом, мы убедились в том, что для раз-
личных начальных условий у системы S, граф ко*
торой изображен на рис. 4.2.9, существуют предель-
ные вероятности, но эти вероятности существенно за-
висят от начальных условий. ►

4.3. Закон распределения и числовые
характеристики времени однократного
пребывания марковского случайного процесса
с непрерывным временем и дискретными
состояниями в произвольном подмножестве
состояний U

Вначале рассмотрим самый простой случай, когда
подмножество состояний U состоит из одного состоя-
ния s,: U = {S(}. Очевидно, что случай, когда состоя-
ние s, является концевым (поглощающим), рассмат-
ривать нет смысла, так как, попав в это состояние,
система остается в нем навсегда. Следовательно, не-
тривиальным является случай, когда состояние s, яв-
ляется либо начальным (источником), либо транзи-
тивным (см. п. 3.1).

Допустим, что в начальный момент t — 0 система
S с конечным числом состояний п попала (или на-
ходилась) в начальном или транзитивном состоянии
«л Рассмотрим случайную величину Г, — время одно-
кратного нахождения системы S в состоянии s/, от-
считываемое от момента t — 0. Если интенсивность
суммарного потока событий, выводящего систему S
из состояния S,-, не зависит от времени:

МО = Z М/(0= ^i = const, (4.3.1)
/“i

то случайная величина Г/ будет иметь показательный
закон распределения с параметром X,- (это было по-
казано в п. (2.2)):

{0	при t < 0,

1 - е"** при t > 0,

(<>0).	(4.3.2)

Заметим, что такой закон распределения случай-
ной величины Tt будет иметь место как в случае, если
интенсивности X// = const(/= 1, 2, ..., п), так и
в случае, если Х^ (0 ¥= const, но их сумма (4.3.1) по-
стоянна.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда
сумма (4.3.1) зависит от времени:

Я

(0 — L М/ (0 =#= const.

(4.3.3)

Найдем вероятность события {Тi > t} (рис. 4.3.1).
Система покинет состояние s,, как только в пуассо-
новском потоке событий с
к----------£----интенсивностью ^,(0 насту-

— --------------*—— пит первое событие. Следо-

* вательно, вероятность собы-
Рис. 4.3.1	тия {^«‘ > 0 равна вероят-

ности события: (в пуассо-
новском потоке событий с интенсивностью МО на
интервале (0,0 не наступит ни одного события}.

Таким образом,
t
- С ft) dx
« (t > 0),	(4.3.4)

откуда
f1(0=i-P{r/>0 =
0	при t < 0,

-k<x>dx	<4-3-5)

1 — е ’ при t > 0,
t
(X)dx

ft (0 = F\ (о = (0 e « (t > 0). (4.3.6)

Введем обозначение
t

A1(0=Jxi(T)dT.	(4.3.7)

о

Тогда

(	0 при t < 0,

,_e-A,0> при OO.	<4-3-8’

Mn = >‘Me'K,m	('>0).	(4.3.9)

Очевидно, если 1/(0= Л, = const, из (4.3.9) полу-
чится показательный закон распределения.
Таким образом, зная интенсивность пуассоновского
потока событий Х,(0, выводящего систему из состоя-
ния Si, можно по формулам (4.3.8) найти ф.р. Fi(t)
с. в. Л —времени однократного пребывания системы
в состоянии st при условии, что в момент t = 0 си-
стема находилась в этом состоянии.

Можно решить и обратную задачу: допустим, что
нам известна ф.р. Fj(0 неотрицательной с.в. 7\; ка-
кой должна быть интенсивность пуассоновского по-
тока событий Л/(0? Из уравнения (4.3.8) имеем

t

Л (0= 1-е о	U > 0).

Найдем отсюда функцию Л./(^):

t

-J Xj МЛ	*

е» = 1-^(0, J Л,(т)Л = -1п(1 ~Ft(f)).

о

Дифференцируя последнее выражение по t, получим

х'(/>=т=таг (/>0)-	(4Л10)

Формула (4-3.10) позволяет найти соответствие между
заданным законом распределения с. в. Т( и интенсив-
ностью потока событий АДО-

Пример I. Интенсивность пуассоновского потока
событий, выводящего систему из состояния sit ki(t)~
— at + b\ найти закон распределения случайной ве-
личины Ti — времени однократного пребывания си-
стемы в состоянии st(a > 0, b > 0).

Решение. По формулам (4.3.8) и (4.3.9) полу-
чаем

(	0	при t < 0,

t 1 — exp {— а/г/2 — Ы} при t > 0,

fi (t) == A (0 -(at + b) exp {- ai3/2 - bi}	(t > 0).

При i = 0 fi(t) — a/exp{—at3/2} (/>0) полу-
чаем закон Рэлея (см. 7.9.26)*) с параметром <т ==
»= 1/Va’« ПРИ a = 0 fi(t) — bexp{e~bi}, т. е. когда ин-
тенсивность не зависит от времени, естественно, полу-
чим показательный закон с параметром = Ь.
Пример 2. Интенсивность пуассоновского потока
событий, выводящего систему из состояния s,-, равна
Найти закон распределения с. в. Гг при условии,
что система попала в состояние s, в момент времени
х > 0.

Решение. Применяя тот же прием, что в пре-
дыдущем примере, получим:

Ft(t |т)= 1 - Р{7\ >/|т} =

0	при t < т,

(	*	1

1 — exp j А/ (х) dx г при t > х,
"% '

= M/)expJ— A, (х) dx I (/> т).

* т	)

Если ki(t) — at + Ь, то получим

F4(/|t) =

f	0	при t < х,

~ ( 1 — ехр | — [уО2 — т2) + b(t — т)] } при От,
/Д/|т) =

= П + 6)ехр| — [yU2~ x2) + b(t~ т)]| (От).

При 6=0 получаем «сдвинутый» закон Рэлея с па-
раметром <з=\1л/а'.

Л(/|т) = а,ехр{ — у(/2 — т2)}	(От),

при а = 0 получаем «сдвинутый» на величину т пока-
зательный закон с параметром А = b (рис. 4.3.2):

h(< |т) = 6ехр{ — b(t — т))	(От).

Пример 3. Какова должна быть интенсивность
пуассоновского потока событий А/(/), если с. в. Ti рас-
пределена по закону Эрланга 2-го порядка, а система
S в момент времени / = 0 находилась в состоянии sit
Решение. = №te~M (t > 0),

(	0 при t < О,

Fit) — <

*u (1—e-w(l+M при t>0.

Следовательно,

1 _(1 ~е~м(1 + М)) М + 1	1 + 1/(М)'

График этой функции показан на рис. 4.3.3. '
Можно применить и несколько иной подход к оп-
ределению закона распределения с. в. Т, — времени
однократного пребывания в состоянии s,-. Это время

Рис. 4.3.3

будет определяться моментом первого попадания си-
стемы S в одно из соседних (по отношению к состоя-
нию Si) состояний.

Множество всех соседних состояний по отношению
к состоянию а, обозначим Wi = {si,sj.Sf, s*}.

Преобразуем систему S таким образом, что все
соседние по отношению к состоянию s; состояния сде-
лаем концевыми (поглощающими) (рис. 4.3.4).Тогда
очевидно, что функция распределения с. в. 1\ будет
определяться из выражения

Л (/) = Р {Ti < о = А (0 + & (О + • • •

...+М0++М). (4,3.11)
где pj(t} —вероятность того, что система, описывае-
мая графом G, изображенным на рис. 4.3.4, в момент
времени t будет в состоянии 5/, если в момент вре-
мени / = 0 она была в состоянии si (/=1,2, .... k).
В соответствии с нормировочным условием для этого
графа G имеем

к

М)+ £₽/(')=!.	(4.3.12)

откуда

F<(0 = l-pJ(0.	(4.3.13)

Для системы, граф G которой изображен на рис. 4.3.4,
можно записать следующее дифференциальное урав-
нение:

4/М0/Л--М) ЕЫ0в

== - (о [ S м, (о + £+i мо] •

Все интенсивности Xi/(0 (j = A-{- 1, •••. «) равны
нулю, так как состояния з*+ь • • • > з„ не являются со-
седними по отношению к состоянию st. Следовательно,

4Д(0/л==-М0ЕМ0.

/-1

В соответствии с формулой (4.3.3) последнее уравне-
ние можно записать в виде

<Ш0/<Й“-М)М0-	(4.3.14)

Решение этого дифференциального уравнения при
начальном условии (0) = 1 имеет вид

Pi (0=ехр 1 — J Мт) dt | (t > 0).

Io J

Подставляя его в (4.3.13), получим

Л(0=

при t < 0,
при t > 0.
Полученное выражение для функции распределения
Fi(t) совпадает с выражением (4.3.8).

Этот прием мы будем использовать в дальнейшем.

Найдем вероятность Рц перехода из состояния si
в состояние sh соседнее по отношению к St, прн усло-
вии, что в начальный момент 1 = 0 система находится
в состоянии s, (т. е. при р,(0)=1). Эта вероятность
определяется по формуле

Ptl = lim p/(t)	(j= 1, 2, .... k),	(4.3.15)

k

при ЭТОМ E Ptl — 1.

/-I

Вероятность pf(t) может быть получена в резуль-
тате решения системы дифференциальных уравнений,
соответствующих размеченному графу G, изображен-
ному на рис. 4.3.4, прн начальном условии

Pi(0)=l, р,(0) = 0	0 = 1,2,...,*).

Если все интенсивности постоянны, т. е.

Х//(0 = Х// = const (/=1, 2, .... *),
то вероятность Р,/ равна отношению интенсивности
Xi/ к суммарной интенсивности всех потоков событий,
выводящих систему нз состояния sr.

/ *

Р// — кцI Е X//.	(4.3.16)

Теперь рассмотрим произвольное незамкнутое под-
множество состояний U ={si, .., Si, .... s„}. Так
как множество U не замкнуто, то система S попав
(или находясь) в момент времени t=0 в подмноже-
стве состояний U, рано или поздно покинет его. В на-
чальный момент времени t = 0 система S была в од-
ном нз состояний множества U, следовательно,

Е pt (0)=1.	(4.3.17)

i-l

Очевидно, что время Ти однократного пребывания си-
стемы S в подмножестве состояний U будет равно
времени, в течение которого система попадает в одно
из входных состояний подмножества Z, являющегося
дополнением подмножества U (рнс. 4.3.5):

w=u + z.

(4.3.18)

Обозначим «л-ь .... sh ...» sz~i входные состоя-
ния подмножества Z. Тогда входное подмножество Z(B)

Рис. 4.3.5

можно определить следующим образом:

Z(B) = {«*-,...Sf, ..., sz_J (Z<B>sZ).

Схема разбиения множества состояний W на подмно-
жества показана на рнс. 4.3.6.

ZCB>	и<В)

S^j,	S/T>4.j,...,Sn_J,Sn

амвмм/ v.-	--- --	------------ - J

2	U

Рис. 4.3.6

Преобразуем нашу систему так, чтобы все вход-
ные состояния подмножества Z были концевыми (по-
глощающими). Преобразованные таким образом под-
множества состояний изображены на рис. 4.3.7 (преоб-
разованные подмножества помечены сверху тильдой).

Если для преобразованных подмножеств состояний
U + Z(B) составить преобразованный размеченный
граф состояний G (S) и найти для начальных условий
п

£ (0) = 1 вероятность

1-1

Рую (0 =

(4.3.19)
то ф. р. времени пребывания системы S в подмноже-
стве состояний U определяется из выражения

(4.3.20)

Найдем п. р. случайной величины Ти, для чего про-
дифференцируем левую н правую части равенства
(4.3.20) (см. (4.3.19)):

fu (0 = Ри (t) = Ркв, (/) =	(dp, (t)/dt. (4.3.21)

Так как все состояния §/ (j = k — 1, ..., I — 1) яв-
ляются концевыми, то

dp,(ty/dt~ (о а=k-1, k,.... i-1).

(4.3.22)
Следовательно,

L(0 = Е ЕМОМО- (4.3.23)
/ 1 / =»/

Таким образом, для отыскания закона распределения
времени блуждания процесса в незамкнутом подмно-
жестве состояний U = {Sj, ...	______

..., sj, .... s„} до первого вы-
хода за пределы этого подмно-	,-Х-

жества необходимо:

1.	Определить подмноже-
ство входных состояний Z(B) =	Рис. 4.3.7

=={$4—Ь $4, •••• Sfi •••» S|— 1},
в которое система S может непосредственно попасть
нз подмножества U.

2.	Преобразовать систему S таким образом, чтобы
все состояния подмножества Z(B)={s*-i, sfc, ...
..., Sf, ..., st-1) стали концевыми, т. е. нужно по-
ложить

X;i(/) = 0 (j = k— 1, k,	1; i=l, 2, ..., n).

(4.3.24)

3.	Для таким образом преобразованной системы S,
состоящей нз подмножеств состояний U и 2(В), соста-
вить размеченный граф состояний G(S) и записать
систему дифференциальных уравнений, которую нужно
решать при начальных условиях р*(0), pI+i(0), ...
..., Рп(0), причем

£р<(0)=1.
i-t

(4.3.25)

4.	Решив эту систему уравнений, кайти п. р. слу-
чайной величины Ти по формуле (4.3.23).

Обратим особое внимание на то, что указанный
способ нахождения п. р. времени Ти однократного пре-
бывания в незамкнутом
подмножестве состояний U
может применяться как в
случае однородного, так и
неоднородного марковского
процесса.

Пример 4. Для усло-
вий примера 5 п. 4.2 найти

Рис. 4.3.8	закон распределения вре-

мени пребывания в подмно-
жестве состояний U={slt s?} (см. рис. 4.2.9) при на-
чальных условиях

Р1(0) + р2(0)=1,	Р!(0)>0,	р2(0)>0.

Решение. Подмножество состояний Z'B> состоит
из состояний 5з, $4, s6. Преобразованный граф состоя-
ний системы S будет иметь вид, показанный на
рис. 4.3.8.

Решение дифференциальных уравнений будем ис-
кать с помощью преобразования Лапласа, так как
рассматриваемый марковский процесс однороден:

(х) = (^2|й2 (*) + Р\ (0))/(х 4- М (^i = М2 4* ^1з)>

Я2 (х) = (Х12я ] (х) 4* р2 (0))/(х 4- ^г) (^2 = Л21 4- Х24 4- A,^),
откуда

- г.л _ Л.»1 + (^34 + Л-Зв) Р1 (0) + ХД| (0)

я, (х) ---------х’ + С1* + С0------•

где Cf — Xi 4- Со —	— А>]2А>2|.

Найдем корни уравнения х2 4-Cjx 4-Со = 0:

«-(-c.+Vq-icj/s,

7с;-4С0)/2.
Допустим, что С? > 4С0; тогда в соответствии со свой-
ством 6 преобразования Лапласа имеем (см. п. 4.2):

р! (/) = [Л21 + (Ам + Аа) Pi (0) + alPi (0)] e^/(2ai 4- С,)+

+ (U2i I- А** 4- Aa) Pi (0) + a2p, (0)1 e“’7(2o2 + C,).

Аналогичное решение получим и для вероятности
Рг(0:

-	_ А)а + ХцРа (0) + xpi (0)

я’ w-------ж«+*;у+с;— •

где Ci — М 4- Aj, Со — Л.iАз — AtsAsi. Следовательно»

__ Хи + Ацра (0) + atp2 (0) а4
2а t + С|

Ais + Аира (0) 4~ а»р> (0)
2аа + С,

По формуле (4.3.23) получим выражение для п. р.
случайной величины Ти:

fu (0 я МзР 1 (0 + А^4р2 (0 + А-авЙг (0-

Для наглядности рассмотрим простой числовой при-
мер:

А12 = Л13 = Л21 =	= Xjj = 1,	р((0) = 0,	й(0)= 1.

Найдем величины
14“ 1 =х 2, Aj = 14" I 4" I =£ 3,
С| === Л| 4“ А’й ав 5,	Cq s= AjAg — Aj^Aga	5,

_а, = (-5 4- V25 - 4 - 5 )/2 « - 1,382, оц* - 3,618»

(/) = Лме*7(2в> + Ci) 4-	4- Q =

== ‘ (е-1Л®и _ e-3.eiMjt

-у 5

р2(о«	(0,618е-1-3«2‘ 4- l.eiSe-3-918*).

V5

Следовательно,

fu (0 =	[е-1^ - е-*«м +

4- 2(0,618"1,382< 4- l,618e-3’6l8<)/V5] —
= е-1.3821 + е-з.б18<	е-«‘‘ + е-в1' (/ > 0),
Нетрудно убедиться в том, что функция fu(t) об
ладает необходимыми свойствами плотности распре
деления:

ОО

МО>о, $/в(0Л==1.

о

Запишем полученную плотность распределения в
несколько ином виде: положим —ai = at > 0, —аг =
= йг>0; тогда fu (i) = — a.ie~a,t -|-	a^e~01t. Заме-

тим, что l/aI4-l/a2=l, 1/ai > О, l/a2>0. Следо-
вательно, полученная плотность fu(t) представляет со-
бой вероятностную смесь (см. гл. 9*) двух показатель-
ных законов распределения Д (/) —	, f2 (t)—O2e~a,t

с вероятностями р\ — 1/аь р2= \/а2:

fu =	+ РгМ).

Можно убедиться в том, что последняя формула
для п. р. случайной величины Ти справедлива для лю-
бых начальных условий и любых постоянных поло-
жительных интенсивностей Xi2, X2i, Х13, X,24, W Это
следует из того, что всегда существуют два различ-
ных действительных отрицательных корня at и а2
уравнения

X2 -f- (Л.1 4- А.2) X -|- А.|Х2 — ^12^21 ~ О,
которые не зависят от начальных условий.

По формулам (9.8.3)*—(9.8.5)* найдем М [Ти] и

М [Ги] =— + —= 4 + 4 ~ °’599>
а1 а2 а1 а2

г*]* । ___ Z I ।	1 \ । Z 1		1 \ _ 2 ।	2

а2^и1-Р1^ + ^ + Р2^+^-^з-+ а3 .

D [ГJ = «21Т« J - (М [Гц])2 = 4 + 4- (Ч- + -Н2~

а2 \а1 а2 /

«« 0,444.
ГЛАВА 5

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ
И РАЗМНОЖЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ

5.1. Определение марковского процесса гибели
и размножения с непрерывным временем,
его размеченный граф состояний, условия
существования стационарного режима,
предельные вероятности состояний

Ранее (п. 3.1) мы уже сталкивались с процессами
гибели и размножения для цепи Маркова. Как и
в том случае, с состоянием s, связана неслучайная
величина х,: если система S в момент времени t
находится в состоянии s„ то дискретная случайная
величина X(t), связанная с функционированием си-
стемы, принимает значение i. Таким образом, полу-
чаем с. п. X(t), который в случайные, заранее неиз-
вестные моменты времени скачком изменяет свое со-
стояние. Одномерный закон распределения с. п. X(t)
определяется равенством

P{X(0 = n = P{S(/) = sJ = p,(0 (1 = 0, 1, 2, ...).

(5.1.1)

Если в процессе гибели и размножения для цепи
Маркова скачки функции X(t) могли происходить
в строго определенные моменты времени /1, /2, ... tk,
то в марковском процессе гибели и размножения с не-
прерывным временем скачки функции X(f) могут про-
исходить в любой момент времени t.

Таким образом, марковским процессом гибели и
размножения с непрерывным временем назовем такой
случайный процесс, который может принимать толь-
ко целые неотрицательные значения;
изменения этого процесса могут происходить в лю-
бой момент времени t, при этом в любой момент вре-
мени он может либо увеличиться на единицу, либо
уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.
Коротко такой процесс будем называть процессом ги-
бели и размножения.
Размеченный граф состояний G (S) процесса ги-
бели н размножения показан на рис. 5.1.1. Интен-
сивности пуассоновских потоков событий, ведущих
к увеличению функции X(t) («размножению»), обо-
значены Xz(/), где индекс i соответствует индексу
того состояния S/, нз которого выходит стрелка

Л0И) Л/t)	_7(О

Рис. 5.1.1



(рис. 5.1.1). Интенсивности пуассоновских потоков со-
бытий, ведущих к уменьшению функции Х(/) («ги-
бели»), обозначены ц,(/), где индекс i также соответ-
ствует индексу того состояния s,, нз которого выхо-
дит стрелка. Пуассоновские потоки событий, ведущие
к «размножению» процесса X(t) (интенсивности ко-
торых обозначены буквой Л с индексом), будем назы-
вать потоками размножения. Пуассоновские потоки
событий, ведущие к «гибели» процесса Х(0 (интен-
сивности которых обозначены буквой р с индексом),
будем называть потоками гибели.

Очевидно, что одномерный закон распределения
процесса гибели и размножения X(t) можно опреде-
лить с помрщью системы уравнений Колмогорова для
графа G(S), изображенного на рнс. 5.1.1:

dpo= Pi (0 pi (/) - X, (0 ро (/),

dPi (t)/dt = Kt-iPt-i (/) + ц/+1 (/) pi+1 (0 -	(5 L2)

~(M0 + M0)Pi(0 P-l. 2, 3, ...),
где

Л(/) = Р{8(/) = 5|} = Р{Х(0 = 0 (/ = 0, 1, 2, ...).

(5.1.3)

Систему уравнений (5.1.2) нужно решать при началь-
ных условиях р, (0)^0 (/ = 0,1,2, ...), при этом

£р<(0) = 1.	(5.1.4)
В инженерных приложениях обычно имеют дело
с процессами гибели н размножения с ограниченным
числом состояний, когда 0^Х(0^«- У такого про-
цесса п + 1 состояний; размеченный граф состояний

Яо«)	Лп-,а)

Рис. 5.1.2

показан на рис. 5.1.2. Система уравнений Колмого-
рова для процесса гибели и размножения с ограни-
ченным числом состояний имеет внд

dp0 (t)/dt = Pi (0 pi (0 — Ло (0 До (0.

dp( (t)/dt = А.,., (0 pi-i (/) + ц/+1 (0 pi+i (0 —
-(МП + М0)МП 0=1.2............................п-1), (5.1.5)

dpn (t)/dt = Kn.iPn-i (/) -	(/) рп (0.

Систему уравнений (5.1.5) нужно решать при началь-
ных условиях pi(0)^0 (<=0, 1,2, .... п), при этом

Ь((0) = 1.	(5-1.6)

i-i

Иногда в инженерной практике встречаются про-
цессы «чистого размножения. Процессом чистого
размножения называется такой процесс гибели и раз-
множения, у которого интенсивности всех потоков ги-
бели равны нулю. Размеченный граф состояний та-
кого процесса без ограничения на число состояний
показан на рнс. 5.1.3, а. Система уравнений Колмого-
рова для таких процессов может быть получена из
системы уравнений (5.1.2), в которой нужно положить
все интенсивности потоков гибели равными нулю:
р,(/)«0 (i=l,2, ...).

Размеченный граф состояний процесса чистого раз-
множения с конечным числом состояний п -f-1 пока-
зан на рис. 5.1.3, б.

Система уравнений Колмогорова для процесса чи-
стого размножения с конечным числом состояний
может быть получена из системы уравнений (5.1.5),
если в ней положить ц,(/) = 0 (i = 1, 2, .... п).

Аналогично вводится понятие процесса «чистой» ги-
бели. Процессом чистой гибели называется такой про-
цесс гибели н размножения, у которого интенсивности

Рис. 5.1.3

всех потоков размножения равны нулю. Размеченный
граф состояний такого процесса с конечным числом
состояний показан на рис. 5.1.4. Система уравнений

Рис. 5.1.4

Колмогорова для процесса чистой гибели может быть
получена нз системы уравнений (5.1.5), если в ней
положить Х, (/) = О (1 = 0, 1, .... п— 1).

Процессы гибели и размножения (однородные н
неоднородные), т. е. с постоянными или переменными
интенсивностями потоков, находят широкое примене-
ние в инженерной практике при исследовании различ-
ных технических систем. Процессы, происходящие
в различных системах массового обслуживания, также
относятся к процессам гибели и размножения *)-

Пример 1. Рассматривается производство авто-
машин на автозаводе. Считая поток производимых

') Исследованием систем массового обслуживания зани-
мается специальная теория массового обслуживания; авторы
предполагают посвятить ей отдельную книгу, в которой будут
освещены различные инженерные приложения этой теории.
автомашин пуассоновским с интенсивностью А, (О,
найти одномерный закон распределения случайного
процесса X(t)—числа выпущенных машин к моменту
времени t, если в момент t—О начат выпуск авто-
машин.

Решение. Очевидно, что здесь процесс чистого
размножения без ограничения на число состояний,
при этом Ki(t)= МО, та1< как интенсивность выпуска
автомашин не зависит от того, сколько их уже выпу-
щено. Граф состояний такого процесса показан на

Рис. 5.1.5

рис. 5.1.5. Одномерный закон распределения случай-
ного процесса X(t) для графа, изображенного на
рис. 5.1.5, определяется системой уравнений Колмо-
горова:

dpa(t)ldt— — Л(/)ро(О.

dpl(t)ldt=-K(t)pl(t)+'K(t)pl_l(t) (1=1, 2, ...)

(5.1.7)

Так как число выпущенных автомашин X(t) на лю-
бой фиксированный момент времени t распределено
по закону Пуассона с параметром

a(t) = J k(t)dt,	(5.1.8)

о

то

P{X(0==n=Pi(0 = J^e-a(O 0' = 0, 1,2,...),

(5.1.9)

M[X(01 = D[X(f)] = a(0.

Можно непосредственно убедиться, что вероятности
(5,1.9) удовлетворяют системе дифференциальных
•авнений (5.1.7) при начальном условии ро(О)=1.
Действительно, по формуле (5.1.9) получим:

t

-J X (т) dt

Po(O — e~a<t>~e 0	,

t

.	$ X (т) dt	*

=	(-1)^$А(/)<Й =

oJ
t
Х(т)4т

==-A(/)e«	= -А(/)р0(/),

а это есть первое уравнение системы (5.1.7). Далее,
pi (/) = а(/)е-° <0,
(Л _ е-а (о da (О _ а (л е-а (,) da (0 _
dt	dt UVfe dt ~

=	МП<*/ = М0 =

= x (/) e-“ <0 - A (/) a (/) e~at = К (t) p9 (/) - A (/) p, (/).

Мы получили второе уравнение системы (5.1.7). Та-
ким же образом можно получить t-e уравнение си-
стемы (5.1.7).

Следовательно, в данном случае для нахождения
одномерного закона распределения случайного про-
цесса X(i) нет необходимости решать систему диф-
ференциальных уравнений (5.1.7).

Для фиксированного момента времени t числовые
характеристики случайной величины Х(/) будут:

t

M[X(t)] — D[X(t)]=a(t)=^k(()dt. (5.1.10) ►

о

Рассмотренный в этом примере процесс Х(/) назы-
вается неоднородным процессом Пуассона. Процесс
Х(0 представляет собой скачкообразную неубываю-
щую целочисленную функцию, скачки которой могут
принимать только значение «4-1».

Если интенсивность А(/) = А = const, то получим
однородный процесс Пуассона или просто процесс
Пуассона. Для такого процесса при ро(О)— 1, pi(Q) =
= 0 («> 0)

=	0-0, 1, 2, ...).

(5.1.11)

Характеристики процесса Пуассона будут

M[X(/)] = D[X(/)] = W. (5.1.12)

Очевидно, что процесс Пуассона является процессом
восстановления (см. п. 2.2), у которого срок службы
элемента распределен по показательному закону с па-
раметром X.

Случайный процесс X(t) называется процессом
с независимыми приращениями, если для любых зна-
чений аргументов t\ < t2 < ts ... ti < ti+\ ... слу-
чайные величины —приращения процесса X(t) —

U^Xi^-XiQ, Ui = X(t3) —X(t2)....

и^ха^-х^),...

независимы (см. рис. 5.1.6, где с. п. показан в виде
непрерывной кривой).

Процесс Пуассона X(t) (как однородный, так и
неоднородный) является процессом с независимыми
приращениями, так как его приращение на любом
участке времени (/, t + т) есть число событий, появив-
шихся на этом участке, а для пуассоновского потока
числа событий, попадающие иа непересекающиеся
участки времени, являются независимыми (см. п. 2.1).
Пример 2. В условиях предыдущего примера
производство автомашин длится лишь до тех пор, пока
их не будет произведено п штук, после чего завод
переходит на производство других автомашин. Опре-
делить закон распределения случайного процесса
X(t) — числа выпущенных машин на момент времени
t, если в момент времени / = 0 начат выпуск авто-
машин.

Решение. В этом примере мы имеем дело с про-
цессом чистого размножения с ограниченным числом
состояний: 0	X(t)^ п. Однако для отыскания одно-

мерного закона распределения такого процесса опять

Рис. 5.1.7

нет необходимости решать систему уравнений Кол-
могорова, соответствующую размеченному графу, изо-
браженному иа рис. 5.1.7.

Действительно, так как до состояния sn-i графы
на рис. 5.1.7 и 5.1.5 совпадают, то должны совпадать
и соответствующие вероятности:

Р {X (/) = 0 = а (0 =	<0

(i = 0, 1, 2, ..., п — 1), (5.1.13)

где
t

a(0==^A(0d/.	(5.1.14)

о

Но для любого момента времени t должно выполнять-
ся нормированное условие

Ей(0=1.	(5.1.15)

1-0

Следовательно,

Р. (О=1 - £ Р, (о = 1 - £	‘- т  <5 1-16)

1-0	1-1
Числовые характеристики случайного процесса X(t)
определяются по формулам

М [X (0J = lPi (0 + прп (0,	(5.1.17)

м [X2 (01 = "Е i2Pi (О + п2рп	(5-118)

D [X (/)] = М [X2 (0] - (М [X (О])2.	(5.1.19)

Очевидно, что при неограниченном увеличении вре-
мени t

HmM[X(0] = n,	(5.1.20)

lim D [X (/)] = 0.	(5.1.21)

t

Если интенсивность производства автомашин постоян-
ная А,(/) = Л, то формулы для одномерного закона
распределения несколько упрощаются:
p{x(o=n=MO=17r*~x'a==o, 1,2..................Л-1),

(5.1.22)

Р {X (0 = п) = рп (0 = 1 - X е~и. (5.1.23)
(•=0

Отсюда (см. (5.2.7)*, (5.2.9)*)

М [X (/)] = Ё IP (i, Kt) 4- п [1 - R (п - 1, Л0],
i ="0
п-1

М[Х2(/)] = Е »2Р(». W)4-n2)l -R(n- 1, Л/)] =
1=0

= (Kt)2 R(n — 3, Kt) + KtR (n - 2, Kt) +

4-n2[l — R(n — 1, X/)];

На рис. 5.1.8 (n > 2) показаны графики функций
M [X (/)] и а [X (0J = VM [X2 (/)] - (Л1 [X (О))2.

Пример 3. Рассматривается процесс эксплуата-
ции однотипных автомашин в большом автохозяйстве.
На момент времени t = 0 в автохозяйстве имелось п
таких автомашин, новых машин в автохозяйство ие
поступает. Интенсивность потока списания (снятия
с эксплуатации) каждой автомашины данного типа
постоянная и равна ц. Это значит, что срок службы

представлен на рис. 5.1.

каждой автомашины есть
случайная величина, распре-
деленная по показательному
закону с параметром р.
Рассматривается случайный
процесс X (/) — число одно-
типных автомашин, находя-
щихся в эксплуатации. Най-
ти одномерный закон рас-
пределения этого процесса,
если автохозяйство ие по-
полняется данным типом
автомашин.

Решение. Процесс
Х(/) есть процесс чистой ги-
бели, размеченный граф
G (S) состояний которого

». На этом графе щ == ip, так

как в состоянии s,-, в эксплуатации находится i авто-
машин, а каждая машина порождает поток списаний
с интенсивностью р, следовательно, суммарный поток,

Рис. 5.1.9

переводящий систему из состояния s< в состояние s/-t,
будет равен ^,p = ip (i — n, п—1, .... 1). Система
уравнений Колмогорова для процесса Х(0 имеет вид
dpo(t)/dt — + npi(t),

dp( (t)/dt = (i + 1) ppt+, (t)-ippt (t) (i = 1,2.n-1),

dprt(O/^ = -W«(0.	(5Л.24)

Эту систему уравнений нужно решать при начальных
условиях

рп(0)=1, р4(0) = О	(i —0, 1.....л-1). (5.1.25)
Решение системы уравнений будем искать с по-
мощью преобразований Лапласа (см. п. 4.2):

хя0(х) = ря1 (х),

(х) = (« + 1) gHi +1 (х) — /ря, (х)
(/=1,2..................п-1), (5.1.26)

хя„ (х) = — пцля (х) 4- 1.

Из последнего уравнения получаем

я» (х) = 1/(х 4- пр).

Следовательно (см. (4.2.8) и (4.2.9)),

Р«(/)==е-п,л/.	(5.1.27)

Это также следует из того, что закон распределения
времени пребывания в состоянии sn является показа-
тельным с параметром пц. Убеждаемся в том, что
ря(0) = 1. Далее, из уравнения хяя_1(х) = прля(х) —
— (п — 1) рл„_i (х) находим

я«-1 W = пря„ (х)/(х 4- (п — 1) р) =

= «р/[(х 4- пр) (х 4- (п — 1) ц)].

Следовательно (см. (4.2.8) и (4.2.9)),

Ря-1 (0 = п к_(я-1) *< — е-^].

Нетрудно установить, что

я (х\ = (n — i+l)(n — i + 2)

(х + пМ)(х + (п-1)ц) ... (x + (n-l)p)

p' П (n - о

Г-0	p'n!	1

'	‘ i

П (x + (n - /) p)	TT (x (n — I) p)

Г-о	i~o

(/ = 0, 1, ..., n- 1).	(5.1.28)

Изображение an-i(x) представляет собой выраже-
ние, подобное (4.2.8), следовательно, решение будем
искать в виде (4.2.9).

Обозначим

ri (х) = П (х 4- (n — I) р)
полином степени I, который имеет (» + 1) различных
корней:

Оо= — пц, а1 = — (п — 1)ц, ...

..., ak = — (п — k) р....af = — (п — 0 ц.

Найдем производную этого полинома

i

drt (x)/dx =£ гt (х)/(х 4- (п — /) р)

1=0

и ее значение при х = ak — — (п — /г)ц (^ = 0, 1, ...

drt(x) I	— V ri (-(«-* *) И)

L -(«-*) И+ («-/) И ”

<	I

IJ [-(n-fe)p + (n-ft)p] I ni + 1JJ(£_/i)

Л-О________________________V1 Л-0	__

и (k -1)	L м* - n —

1=0

Следовательно (см. (4.2.10)),
о-«>=7^7 4Z , г1"-*111'------------

1=0 Л-0

«г--—«'/[Ё П (*-*)/(*-о1
л-о	' Lt-o л-о	J

(t = 0, 1...л-1).	(5.1.29)

Так, при I = 2 получим

к=2)т2>',"-‘,71£ П (*-*м‘-о1-
л-о ' Lt-o л-о	J

е-пц< е-(д-1)|И

е-

2

I	1-11

*) Полагаем П(*-*)/(*-о-П(*“й> П (*-«)•
Л—0	Л—0	ш—/ + 1
Вероятность ро(О найдем из нормировочного условия

Ро(О = 1 - £	(5.1.30)

1=0

Характеристики процесса Х(1) определим по фор-
мулам

М[Х(О]=Е/Л(О,	(5.1.31)

1 = 1

D [X (/)] = М [Г(0]- <м [Х(01)2 =

п	f п	\2

= £М~ Zfo(0 • (5.1.32)
i-i	\i-i	/

Пример 4. Рассматривается эксплуатация одно-
типных автомашин в большом автохозяйстве. Интен-
сивность поступления таких автомашин в автохозяй-
ство равна Х(0- Каждая поступившая в автохозяй-
ство автомашина списывается (снимается с эксплуа-
тации) через случайное время Т, распределенное по
показательному закону с параметром ц.. Рассматри-
вается случайный процесс X(t)—число автомашин
данного типа, находящихся в эксплуатации в момент
времени t. Найти одномерный закон распределения
случайного процесса X(t), если 1) нет ограничений
на число эксплуатируемых машин, 2) в автохозяйстве
может эксплуатироваться не более п автомашин.

Решение. 1) Очевидно, что если нет ограни-
чений на число эксплуатируемых автомашин, то слу-
чайный процесс X(t) есть процесс гибели и размно-
жения, размеченный граф которого представлен на
рис. 5.1.10.

Система уравнений Колмогорова, соответствующая
этому графу, будет иметь вид

dp0 (t)/dt = цр! (t) — к (/) p0 (0,

dPl (t)/dt = к (t) pt_t (t) 4- (i + 1) PPi+1 (0 -

- (X (/) 4- ф) pt (/) (i = 1, 2, ...) (5.1.33)

Если в начальный момент времени / = 0 в автохозяй-
стве не было ни одной машины, то решать эту систему
уравнений нужно при начальных условиях Ро(О) = 1,
рг(0) = 0 (I — 1, 2, ...). Если при / = 0 в автохозяй-
стве было k автомашин (А =1,2, ...), то начальные
условия будут иметь вид

Р* (0) === *. Р<(0) = 0 (t = 0, 1, 2.l=/=k).

Можно эту систему решать и при произвольных на-
чальных условиях: р,(0)>0 (« = 0, 1, 2, ...), ио при
ОО

этом должно выполняться условие У. pi(0)= 1.

t-i

Рис. 5.1.10

2) Если в автохозяйстве может эксплуатироваться
не более п автомашин данного типа, то имеет место
процесс, гибели и размножения X(t) с ограниченным

р	1р а+Пр	пр

Рис. 5.1.11

числом состояний п, размеченный граф которого пред-
ставлен на рис. 5.1.11.

Система уравнений Колмогорова для размечен-
ного графа, изображенного на рис. 5.1.11, имеет вид

dp0 = ид, (/) — A (0 po (0,

dPi(t)!dt = X(t)Pl_t (0 4- (i 4- 1)(0 - j

-mD + WP'ft) (i=l,2..............и-l),	' '

dpn (t)/dt = A (/) pn_i (0 — nnpn(t).
Эту систему необходимо решать при начальных усло-
виях, рассмотренных выше. В любом случае
п

Емо)=1.

I >!

Отыскание решения системы (5.1.34) и тем паче
(5.1.33) в общем виде и при произвольной функции
Х(0 представляет значительные трудности и не имеет
практических приложений. Дело в том, что при реше-
нии различных инженерных задач нужно знать ха-
рактеристики процесса X (/): М [X (/)], D [X (/)], а од-
номерный закон распределения р,(0 = Р{Х(/)= 1} яв-
ляется промежуточным звеном в таком исследовании.
Ниже, в этой же главе, будет указан способ состав-
ления уравнений непосредственно для характеристик
процесса гибели и размножения X(t) (без привлече-
ния одномерного закона распределения рД/)). ►

Продолжим исследования процессов гибели и раз-
множения. При постоянных интенсивностях потоков
гибели и размножения и конечном числе состояний
п + 1 будет существовать стационарный режим. Это
вытекает из того, что множество 1F всех состояний
процесса гибели и размножения является эргодиче-
ским: все его состояния и все подмножества состояний
являются транзитивными (см. п. 3.1). Следовательно,

Рис. 5.1.12

система S с конечным числом состояний п 4- 1, в ко-
торой протекает процесс гибели и размножения с по-
стоянными интенсивностями потоков гибели н размно-
жения, является простейшей эргодической системой
(см. п. 4.2).

Для простейшей эргодической системы гибели и
размножения с конечным числом состояний размечен-
ный граф состояний показан на рис. 5.1.12.

Предельные вероятности состояний для простей-
шего эргодического процесса гибели и размножения,
находящегося в стационарном режиме, могут быть по-
лучены из системы уравнений (5.1.5), в которой
нужно все интенсивности потоков взять постоянными,
а все производные вероятностей состояний положить
равными нулю:

О = Н1Р1 — Хоро,

О — Kl_lpt_i + Hz+iP/+i — (А, + щ)Pi zg । 25)
(«= 1, 2.......................га — 1), 1	'

— Царп.

Найдем решение этой системы однородных алгеб-
раических уравнений. Из первого уравнения получим:

^оро — HiPi •

Из второго уравнения имеем:

НгРг == (^1 + Hi) Pi hPo,

но Хоро = Ц1Р1, следовательно,

Н2Р2 = (^i + Hi) Pi — Hi Pi = *iPi-

Далее

НзРз = (^2 4" Нг) Рг — ^iPi>

но Xipi = игра, откуда

НзРз = (^2 4" Нг) Рг H2P2 — ^гРг

н т. д. Проводя такую рекуррентную процедуру,
можно доказать, что

HiP<— ^i-iPi-i (г = 1, 2, ..., га). (5.1.36)

Подставляя равенство (5.1.36) в любое уравнение
системы (5.1.35), можно убедиться в его справедли-
вости.

Равенство (5.1.36) можно сформулировать в виде
правила: для простейшей схемы гибели и размноже-
ния, находящейся в стационарном режиме, потоки ве-
роятности между любыми двумя соседними состоя-
ниями равны. Советуем запомнить это правило, им мы
будем пользоваться в дальнейшем.
Из равенства (5.1.36) получаем

Л-i	Л-i. Л-2	Л)

Pi— Pi-l—	•~Ро —

«	Д1 ft-1

<z=1.....л>- <5J-37>

4-1

Таким образом, любую предельную вероятность
р, (1= 1,2, .... п) можно выразить через предель-
ную вероятность р0. Вероятность р0 можно найти нз
нормировочного условия

п-^=|.

1-0	1-1 4-1	®

откуда

Ро-------^—}---------.	(5.1.38)

1 + Z П Ч-1>»
1-1 4-1

Формулы (5.1.36) и (5.1.38) дают возможность вычис-
лить предельные вероятности состояний простейшего
процесса гибели и размножения, находящегося в ста-
ционарном режиме при конечном числе состояний.

В инженерных приложениях иногда приходится
сталкиваться с простейшими схемами гибели и раз-
множения, у которых практически нет ограничений на
число состояний п + 1. Например, рассматривая про-
цесс ввода в эксплуатацию, саму эксплуатацию и за-
крытие буровых скважин по добыче нефти, которых <
насчитывается в СССР несколько сотен тысяч, как
процесс гибели н размножения, можно практически
считать, что число состояний такого процесса ничем
не ограничено (га->сю).

В этом случае (при га->оо) нужно более детально
рассмотреть условие существования стационарного ре-
жима. Из равенства (5.1.38) следует, что стационар-
ный режим будет существовать, если сумма, стоящая
в правой части формулы (5.1.38), при га-* оо сходится
к некоторому конечному числу. Можно доказать, что
для существования стационарного режима процесса
гибели и размножения при п-*оо достаточно сходи-
мости ряда

i

S-i
И*

(5.1.39)

При этом ряд

Jk_

Kk-i

должен расходиться. Очевидно, что условие (5.1.39)
будет выполняться, если начиная с некоторого i будет
справедливо неравенство

-^-<х<1.	(5.1.40)

Этому неравенству можно дать простое и нагляд-
ное инженерное толкование: начиная с некоторого со-
стояния s, и для всех последующих состояний интен-
сивность потока размножения должна быть меньше
интенсивности потока гибели.

Пример 5. В условиях предыдущего примера
найти предельные вероятности состояний системы для
стационарного режима (если он существует), если ин-
тенсивность поступления автомашин в автохозяйстве
постоянная k(t) ~ к = const.

Решение. 1) Если нет ограничений иа число
автомашин в автохозяйстве, то условие (5.1.40) будет
иметь вид

так как в рассматриваемом примере kt —к (1 =
= 0, 1,2, ...), pi, = ip. Очевидно, что при любых по-
ложительных (конечных) значениях интенсивностей X
и р найдется такое значение i, при котором неравен-
ство (5.1.40) выполняется. Это неравенство будет
выполняться и для всех последующих состояний
S/ U>i)- Найдем предел

п I

lim У ТТ -т^-= lim

/>	оо	ЛИ

= lim V M = V W-e-7e+V
‘I *-> »1

Y1 U/ц? “ТГ 1
так как д, — ” е и — 1 как

1-0

костей распределения Пуассона

Следовательно (см. (5.138)),

сумма всех вероят-
с параметром Л/р-

1

х

1	"ТГ

= —---__ = О »*

1 + eK/u - 1

Обозначим

Л/р = а.

(5.1.41)

(5 I 42)

Из формул (5.1.37), (5.1.41), (5.1.42) получаем, что

I .	I л	f	{

ПК. .	т-т- Л	Сь О1

-е-=^П ^=р°7г=л-е’а=р(г‘>а)’
4-1 к	4=1

(5.1.43)

где Р (t, а) =® а'е-®/»! (i=0, 1,...)—распределение
Пуассона.

Таким образом, мы получили интересный резуль-
тат: число автомашин, находящихся в эксплуатации
в стационарном режиме (при отсутствии ограничений
на общее их число), распределено по закону Пуас-
сона с параметром а, равным отношению интенсив-
ности потока поступления автомашин в автохозяй-
ство Л к интенсивности потока списаний каждой
автомашины ц. Этот вывод естественно может быть
распространен на эксплуатацию любых однотипных
технических устройств (ЭВМ, самолетов, станков, неф-
тедобывающих скважин, машин, танков, ракет, кораб-
лей и т. д.).

Из того что число эксплуатируемых машин рас-
пределено по закону Пуассона, следует, что м. о. числа
эксплуатируемых автомашин равно его дисперсии:

М[Х(/)] = О[Х(П] = а = А.
г*

2) Если в автохозяйстве может быть не более п
автомашин данного типа, то (см. (5.1.38)):

_ _	* 1	1	е~а

Р® п i	п	п

1 + Й	1 + £ a7<t J} а1е~а/н

1-1 4-1	Z-l	1=0

= Р(0, а)//? (га, a),

где Р(Л,а)= a*e-«/A! (fe = 0, 1, ...)—распределение
Пуассона,

R(n, a)=EP(A, a).
4=0

Следовательно (см. (5.1.37)),

i	t	t

Pi = Po П ^/H4 = Рв П MM = Po =

(/ = 0, 1, 2, ...,ra). (5.1.44)

Назовем распределение предельных вероятностей
(5.1.44) усеченным законом Пуассона-, этот закон за-
висит от двух параметров а н га. Таким образом, число
автомашин, находящихся в эксплуатации в стационар-
ном режиме при условии, что их общее число не мо-
жет быть больше га, распределено по усечен-
ному закону Пуассона с параметрами
а и га, где параметр а равен отношению
интенсивности потока поступлений ав-
томашин в автохозяйство X к интенсив-
ности потока списания каждой автома-
шины ц.
Найдем м. о. числа эксплуатируемых автомашин
в стационарном режиме:

п £ IP и. а)

Z-0
П ,	П

__	1 V* * а< -»	1	V а<	-а 

“ R (п, а) Zu 1 il е ~ R (п, а) Zu (Z - 1)1 6 —
z-i	Z = 1

<s.l.46>

R(n, а) Zu (« — !)!	R(n, а) '	'

z-i

Из формулы (5.1.45), в частности, следует

£ i"P(z, а)= J} i'P(t, а) = а/?(п— 1, а) («= 1, 2, ...).

Z-0	Z-1

(5.1.46)

Эта формула пригодится при исследовании систем
массового обслуживания.

Для вычисления дисперсии числа эксплуатируемых
машин найдем второй начальный момент:

i-0	1-0

1.	.. У t2 —e-g = —*— У t -g-

R (n, a) Zu ii R (n, a) Zu ( i — 1
z-i	z-i

R (n, a) S ““ 1 + 0 (, - 1)| e~a =
z=i

/?(n — 1, a) .	2 /? (n — 2, a)

R (n, a)	' R (n, a)
откуда

D [X (0J = м [X2 (0] - (М [X О)])2 =	+

+ “2 Г *1?Г V - ( У1 (« > 1)-	(5.1.48)

1	L R (п, а) \ Л (л, а) / J '	’	'	’

Легко видеть, что прн п —► оо М [X (/)] = D [X (/)] = а,
так как lim R(k, а)— 1.

&->оо

Формулы (5.1.44) называют формулами Эрланга;
в теории массового обслуживания их обычно записы-
вают в виде

Р/ = 7Г/Ё1г <1' = 0’ 1> 2..............п).	(5.1.49)

/ 4-0

Они были получены шведским ученым Эрлангом при
исследовании п канальной системы массового обслу-
живания с отказами, с интенсивностью потока поступ-
ления заявок на обслуживание X и интенсивностью
потока обслуживания каждой заявки р. Вероятность
pt равна вероятности того, что в системе будет ровно
i заявок в стационарном режиме. Подробный анализ
различных систем массового обслуживания будет про-
веден в следующей книге авторов. ►

Рассмотрим более подробно процесс гибели н раз-
множения, когда ряд (5.1.39) расходится и неравен-
ство (5.1.40) не выполняется нн для какого i. В этом
случае стационарного режима не существует Более
того, при возрастании t

limpt(f) = 0 (i = 0, 1, 2, ...),
/->oo

т.	e. система будет все время «двигаться в среднем
вправо», в сторону большего номера состояния, а с. п.
Х(0 будет иметь тенденцию все время в среднем воз-
растать, его м.о. будет все время увеличиваться.

Если рассматриваются процессы чистого размно-
жения, то нормировочное условие
будет выполняться только в случае когда ряд

Ei

к-0

расходится.

Если же ряд

Ei

к-О

сходится, то

XPidXi,
1-0

откуда

р(/)=1-£М)>0.
1-0

Последнее неравенство означает, что за конечное
время t имеется вероятность p(t) того, что значение
процесса чистого размножения X(t) будет больше
сколь угодно большого значения п. Такие процессы
имеют место при рассмотрении явлений типа «взры-
ва» и находят широкое применение при ядерных ис-
следованиях.

Пример 6. Рассматривается процесс чистого раз-
множения, у которого интенсивность к1 = а‘к, где а —
безразмерная величина. Определить условия, при ко-
торых будет наблюдаться явление «взрыва».

Решение. Исследуем ряд

СО	ОО	ОО

Очевидно, что при а > I ряд сходится (беско-
i-o а

нечная геометрическая прогрессия) и, следовательно,
будет наблюдаться явление «взрыва». ►
5.2. Закон распределения и числовые
характеристики времени нахождения
процесса гибели и размножения
в произвольном подмножестве состояний

В главе 4 (п. 4.3 и 4.4) были рассмотрены общие
приемы определения закона распределения н число-
вых характеристик времени Ти нахождения марков-
ского случайного процесса с дискретными состояниями
и непрерывным временем в произвольном подмноже-
стве состояний U, которые могут быть применены и
для марковских процессов гибели и размножения. Од-
нако особенности графа процессов гибели и размноже-
ния во многом упрощают нахождение законов распре-
деления и числовых характеристик с. в. Ти.

Подмножество

Подмножество Z-t Подмножество U

Рис. 5.2.1



А,<0 ,

Подмножество tj

Как правило, в различных инженерных приложе-
ниях рассматривается подмножество U сосёдних со-
стояний (рис. 5.2.1):

U — {sit si+1,	(iC/’> f = 0, 1. 2, ...,n;

/ = 0, 1, 2, ...,ra). (5.2.1)

Когда i = j, то подмножество содержит одно состоя-
ние Sii U ={S().

Обозначим Тщ время однократного пребывания
процесса гибели и размножения в подмножестве U =
= {s„ ..., S/}. Для нахождения закона распределе-
ния времени Tifj составим преобразованный разме-
ченный граф состояния G(S), показанный на
рис. 5.2.2. На этом графе состояния s,_i и sy+i яв-
ляются концевыми (поглощающими), так как этн со-
стояния образуют входное подмножество Z(B) (см.
рис. 5.2.1):

Z1 *------{•»/ — !» S/ +1}-

(5.2.2)
В свою очередь, входное подмножество Z(B) принад-
лежит подмножеству Z, являющемуся дополнением
к подмножеству U (см. рис. 5.2.1):

U-t-Z = W', U(]Z—0, z^Zi + z^

= {«о...*7-1, «/+b • • •. •»«}- (5 2.3)

Согласно правилу нахождения закона распределе-
ния случайной величины Titl, изложенному в п. 4.3,
нужно составить систему дифференциальных уравне-
ний для вероятностей состояний для системы с гра-
фом, изображенным на рис. 5.2.2, и решить их при

Подмножество

I л/7>	лжа> л?.7а>л/t) I

,| • • •	щ I |fy*i

Подмножество U

Рис. 5.2.2

начальных условиях р*(0), удовлетворяющих огра-
ничениям

Ьдоы,

pft(0)>0.

(5.2.4)

Эти начальные условия соответствуют тому, что при
/ = 0 система S находилась в одном из состояний
подмножества U = {sit ..., «/}.

Система дифференциальных уравнений для нахож-
дения закона распределения времени 7\/ имеет вид
(см. граф на рис. 5.2.2)

dp^tydi = pz+Ip/+i(0-(M0 + M0)jM0,

dpkWdt =Hft+iP*+i(O + A.ft_i(Opft_i(/)— (5.2.5)

-(М0 + нИ0)М0 (k = i+i, 1),

dpi {tydt — ^j^\Pf-i (0 — (Xz (/) 4- Pj (/)) Pj (/),
dp/+1(0/^ = ^/(0(0-
Функция распределения Fh =	<0

равна вероятности того, что к моменту времени t си-
стема S уйдет из подмножества состояний О
(рис. 5.2.2) и окажется в подмножестве состояний
ZiS> — {s^i, S/+1), т. е. либо в состоянии Si-i, либо
в §/+1. Следовательно,

/?i,/(0 = j5i_1(0 + p/+I(0 (/>0), (5.2.6)
где вероятности состояний pz-i(O и р/+1(0 вычисляют-
ся в результате решения системы уравнений (5.2.5)
при начальных условиях (5.2.4), откуда (см. (5.2.6) и
(5.2.5)) п. р. случайной величины Titi будет:

Ti.iVf— dt ----------dt 1 di---------

= M0jM0 + M0P/(0- (5.2.7)

Таким образом, для отыскания закона распределе-
ния с. в. Ti.i — времени пребывания процесса гибели
и размножения в произвольном подмножестве U =
={si, ..., Sj}—нужно:

1)	Определить подмножество состояний Z(B), в ко-
торое система S может непосредственно попасть из
подмножества U:

sl+l} (Z>1, /<п-1). (5.2.8)

2)	Преобразовать систему S так, чтобы все со-
стояния подмножества Z<B> были поглощающими (см.
рис. 5.2.1):

Vi (О «= Pz-i (0 - Л/+1 (0 = |х/+1 (0 = 0. (5.2.9)

3)	Для таким образом преобразованной системы
S, состоящей из подмножеств U и ZtB) (рис. 5.2.2),
составить размеченный граф состояний G(S) и запи-
сать систему дифференциальных уравнений, которую
нужно решать при начальных условиях (5.2.4).

4)	Решив эту систему уравнений, найти плотность
распределения с. в. Ti, / по формуле (5.2.7).

Рассмотрим частный случай, когда одно из состоя-
ний Si или Sj является граничным (Si == s0 или s/ =
= sn). Для случая, когда st = s0, размеченный граф
состояний системы S имеет вид, показанный на
рис. 5.2.3.
В этом случае (при si = s0) система дифферен-
циальных уравнений для определения плотности
fo, f(t) будет иметь вид

rfpo (0/Л == И! (/) Pl (0 — Хо (/) Ро (О

dp*(O/^ ~ ^k-i (t)Pk-i (0 + Ш+1 (t) Pk+i (0 —	(5.2.10)

-(М0 + М0)М) (*=». 2,1),

dp} — hj-ijij-i (0 — (Ху (<) + Цу (0) р] (0>
rfp/+1(O/^ = ^(OPy(O.

Решив систему (5.2.10) при начальных условиях

р*(0)>0 (А = 0, 1..../),	Epft(O)=l, (5.2.11)

4-0

найдем плотность распределения с. в. То, у по формуле
/о,/(П = МПР/(О (f>0).	(5.2.12)

Аналогично определяется и плотность распределе-
ния с. в. Tit когда «/==«„. В этом случае граф

я* .(f) 1.(6

^ft«>

ПоОмножеапОо U

Рис. 5.2.3

преобразований системы S показан на рис. 5.2.4. Си-
стема дифференциальных уравнений имеет вид

rfPi-i(O/* = Hi(OPi(O»

4^ (t)/dt = Hi+, (0 pt+i (0 — (Ху (0 + Цу (0) pt (0.

dpk{t)!dt = Хл_!(Op*-i (0 + И*+1 (0р*+1 (0 —	(5.2.13)

-(^(О + ма(О)ра(О (*«/ + 1,1),

dpn (t)fdt = X„_1 (0 р„_! (О — р„ (О р„ (t).

Решив систему (5.2.13) при начальных условиях

МО) > 0 (k = i, i + 1......n),	^pk (0) = 1, (5.2.14)
найдем плотность распределения с. в. Tt, „ по формуле

(ОО)-

(5.2.15)

Зная плотность распределения с. в. Тг,/, можно
найти ее числовые характеристики: м.о.

со

о

оо	оо

= $ Щ (О Р/ (0 dt + $ iPi (0 Pi (о dt, (5.2.16)
о	о

второй начальный момент

ОО
м[т?/] = $ ?flt!(t)dt=
о

со	оо

= $	(0 Pi (0 dt 4- J t^ (t) р, (0 dt (5.2.17)

о	о

и дисперсию

D [Г,. /] = М [Г?/] - (М [Г,. J)2.	(5.2.18)

Пример 1. В вычислительном центре (ВЦ)
имеется три однотипных ЭВМ. На каждую ЭВМ дей-
ствует пуассоновский поток отказов с интенсивностью

Afi)

[^1*—I*—-1^*1
/уг)

Подмножество U

Рис. 5.2.4

Л(0 и пуассоновский поток ремонта (восстановле-
ния) ЭВМ с интенсивностью ц(0. Найти выражение
для п. р. fi,2(0 с. в. 71,2 — времени, в течение кото-
рого в ВЦ будет работать одна или две ЭВМ, если
в начальный момент времени f==0 работала одна
ЭВМ, все ЭВМ работают независимо.
\ Решение. Состояния ВЦ следующие:

So—не работает ни одна ЭВМ (все три ЭВМ вос-
станавливаются),

Si — работает одна ЭВМ, две восстанавливаются,

Sj— работают две ЭВМ, одна ЭВМ восстанавли-
вается,

Sj — работают все три ЭВМ.

Рис. 5.2.5

Граф состояний ВЦ имеет вид, показанный иа
рис. 5.2.5. Подмножество U ={slt sj), подмножество
£(в) _.Saj Преобразованный граф G(S) показан
на рис. 5.2.6.

гл а)

Рис. 5.2.6

Система дифференциальных уравнений, соответ-
ствующая графу G(S):

dp0 (')/<*'= МО Р.(').

dpi (t)!dl = 2Л (0 р2 (I) - (X (П + 2ц (t))p 1 (/),
dp2 (t)jdt = 2ц (Г) р, (0 - (2Х (/) + И (0) р2 (0.	‘ ’

dp3(t)ldt = p(t)p2(t).

Эту систему нужно решать при начальных усло-
виях

Р1(0)=1, р((0)^0 (i = 0, 2, 3).

При переменных интенсивностях Х(/) н p(t) решать
систему (5.2.19) можно любым численным методом
на ЭВМ. Для иллюстрации рассмотрим случай, когда
X(/)== X = const, ц(0 = ц = const. Система уравнений
для изображений по Лапласу вероятностей состояний
будет:

хЯ№)^ХЯ,(х), • ч	1

хй, (х) == 2ХЯ2 (х) — (X + 2ц) «I (х) + 1,

хЯ2(х) = 2рЯ( (х) — (2Х 4-ц)й2(х),	’	'

хЯ3(х) = цЯ2(х).

Решая эту систему, получим

(5.2.21)
где

С1 = ЗХ4~Зц,	С0 = 2Х24-Хц4-2|х2. (5.2.22)

Корнями уравнения р(х) — х2 4- Cix 4- Со = О будут

—	± С{ — 4С0

а1,2—	2

(5.2.23)

Оба эти корня действительные, отрицательные и раз-
личные, следовательно,

*iW = -?--------------г. (5.2.24)

14 > (х —а,)(х-а2)	'	'

где

аз = — (2Х 4- ц)-

Применяя формулы (4.2.8) — (4.2.11), получим

А« = ^-1? +		(52-25>

(5.2.26)

откуда
[-ait	ea«t “I

<5-2-27>

По формуле (5.2.7) находим плотность распределения
с. в. Л, 2:

fi, г (0 ~ ^pi (0 4- ррг (0 =

= a - a, (a‘ “ “з) — ea,t (“2 — <%)] +
U| U2

+ -^Г	- еа,Ч = 41 (-a.)	4-

+ д2(_ъ)е^ a>0), (5.2.28)
гДе

'	Х(а,-аз) + 2р*

(<Х| — <х2) (—аО	42	(а, — а2)а2	'	'

Выражение (5.2.28) представляет собой вероятно-
стную смесь (см. п. 9.8*) двух показательных зако-
нов распределения с параметрами (—cq) и (—а2) и
с вероятностями q\ и q2 соответственно (<7i + <72 = 1).

Следовательно (см. п. 9.8*),

М [7, 2J =	М [т?,2] =	, (5.2.30)

’	-а,	-02	cq а2

О^,2НМ[7?,2]-(М[Г,,#

Рассмотрим численные примеры:

а)	А — р = 1. В этом случае ft, 2(t) — е~‘ (t > 0),
так как из каждого состояния подмножества U =#
= {«ь s2) можно перейти в одно из состояний подмно-
жества Z — {«о, «з) н при этом интенсивность потоков
событий, переводящих систему из подмножества U =»
= {«1, «г) в подмножество Z — {so, «з}, постоянная и
равна единице (см. граф на рис. 5.2.5). Можно убе-
диться в том, что в этом случае

С, = ЗА 4- Зр = 6, Со = 2А2Ар-J-2р2 = 5,

-6 + V-36 - 20	,	-6 — л/36 - 20 е

О1==-----2L-----= “1.	-----= ~5,

о.	О	1(-1 +3)4-2	,

Оз— 2А	р—• 3, <7, —	—1»

_ I (—5 + 3) + 2

?2~ (-1 +5) (-3) “ U’

м [Л,2j = <t [7^1=1.

б)	А = 2, р = 1. В этом случае

С] = 9, Со=12, eq =—1,628, cq——7,372, 03=—5,
qx = 0,9351, ^2 = 0,0649, a [TI>2] = 0,2413,
f2 (0 = 1,522e -be»* + 0,478e-7,372t (/ > 0),

M[TU2] = 0,6832. ►

Рассмотрим простейший процесс гибели и размно-
жения (все интенсивности пуассоновских потоков
постоянны), находящийся в стационарном режиме.
Блуждание процесса по подмножеству состояний U
может начаться только из состояний s, или ,«/
(рис. 5.2.1). Следовательно, начальные условия для
решения системы уравнений (5.2.5) будут удовлетво-
рять соотношениям

р,(0) + р,(0)-1.	/

fe(0) = 0 (4-/-1. < + 1......./-1. /+1). ’	1

Для стационарного режима функционирования си-
стемы S, граф которой представлен на рис. 5.2.1, эти
начальные условия определяются по формуле Бейеса
(см. п. 2.6*):

рг(0)=	.	(5.2.32)

Pt+Pj

где

Pi~T.Pi	(5.2.33)

1=0

— вероятность того, что система S (рис. 5.2.1) в ста-
ционарном режиме будет находиться в подмножестве
состояний Zt ={so, Si, .... 5,-1), а

Pi= t Pk	(5-2.34)

k=j + l

представляют собой вероятности того, что система S
в стационарном режиме будет находиться в подмно-
жестве СОСТОЯНИЙ Z/={s/+I, ..., Sn-i.Sn}-

В формулах (5.2.33) и (5.2.34) вероятности pi (I =
= 0, 1, ..., i— 1) и pk (k — j 4- 1, ..., n) опреде-
ляются как предельные вероятности состояний си-
стемы S, граф которой изображен на рис. 5.2.1 при
МО — Xz, МО — Решая систему уравнений (5.2.10)
при начальных условиях (5.2.5) н (5.2.6), можно
найти закон распределения с. в. Г,, / — времени одно-
кратного пребывания системы S в подмножестве со-
стояний U = {si, ..., «/} в стационарном режиме.

Если требуется определить только математическое
ожидание времени Tt, j пребывания системы S в ста-
ционарном режиме в подмножестве состояний U —
= {«{, ..., Sj}, то можно обойтись и без решения си-
стемы дифференциальных уравнений (5.2.10).
\ Покажем, как это делается. Введем обозначения

G, / = м [Г/, /], <о, i-i — М [Го, i-11. ?/+i,п = М[Г/+1, J-
(5.2.35)

Тогда на основании эргодического свойства системы
S, находящейся в стационарном режиме, можно
записать равенство

(5.2.36)
h, I +т/, /

где

/

pi,i= Е Pl (!<); i = 1............«—	1; /в< 2.....n),

i-i

(5.2.37)

г/,/ — м.о. времени пребывания системы S вне под-
множества U — {st, Sj} в стационарном режиме.
Очевидно, что на основании формулы полной ве-
роятности (см. п. 2.5*)

*i,1 Рг^о, i I "1" Pzfj+\, п’

(5.2.38)

где pZi — вероятность того, что система S в стацио-
нарном режиме, выйдя из подмножества U, попадет
в подмножество Z; (см. рис. 5.2.1); Pzj~ вероятность
того, что система S в стационарном режиме, выйдя
из подмножества U, попадет в подмножество Z/;

PZi + PZ/^1-

(5.2.39)

На основании формулы Бейеса (см. п. 2.6*) получим

z-i //*->	«	\

pz. = ЕPk/( Е + Е , pkj и > °> / < «)•
‘	k-0 I \Ь0	fe = /+i	/

(5.2.40)

Если / — 0, то pz = 0, pZj ==!(/< п), если j — п, то
Pz =0 (i>0).
•	п
На основании эргодического свойства можно запи-
сать следующие равенства:

*0. i-1	,  j	-	Po,i-l,  ‘0. i-I + 4, n  *1+1, n	-  J	, J	P/ +	l,n-  ‘/+1. n ’ ‘o. /  Из этих равенств  7	_7 Po-  ‘0, Z-l —‘i, n 1 _ =	•  1 Po, i-l  f	— 7	P!+i.n  /+1'n °J  Следовательно (см. (5.2.36)), 7 _ Pl<! -	(5.2.41)  (5.2.42)  (5.2.43)  (5.2.44)

Таким образом, для отыскания tt М [7\ нужно
определить величины /0, i-i и */+i, л-

Рис. 5.2.7

Рассмотрим граф состоянии подсистемы 8г, изо-
браженный на рис. 5.2.7. Очевидно, закон распреде-
ления времени пребывания в подмножестве Zz сис-
темы S/ (рис. 5.2.7) и в подмножестве Z, системы S
(рис. 5.2.1) в стационарном режиме будет оди-
наковым, так как для обеих систем начальные усло-
вия блуждания одинаковы: рг_1(0) = р/_1(0)= 1,
а сами подмножества Zt и Z,- одинаковы: Zi = Zi =
= {«о,Si, ..., sz-i). Для графа, изображенного на
рис. 5.2.7, на основании эргодического свойства имеем

/'о. z-i/(^o, i-i + it, i) = i-i, (5.2.45)
где

Ро, 1-1

(5.2.46)

— вероятность того, что система Sj, граф состояний
которой G(S<) изображен на рис. 5.2.7, в стационар-
ном режиме будет находиться в подмножестве состоя-
ний 2, (рис. 5.2.7);

/м = М[Гм] = -^	(5.2.47)

— математическое ожидание времени однократного
нахождения системы St в состоянии s,- (для стацио-
нарного режима); мы знаем, что оно распределено по
показательному закону с параметром ц*.

Для нахождения предельных вероятностей pi нуж-
но решить систему алгебраических уравнений, соот-
ветствующих размеченному графу состояний, изобра-
женному на рис. 5.2.7 (см. (5.1.37) и (5.1.38)),

i

Р1 = РоП^*-1/н* (/=1, 2, ...,i),

। к-i	(5.2.48)

Ро = ^1 + 2Z JI

Из формулы (5.2.45) получаем

Л), <-1 = G, iPo, i-i/U — Ро, i-i) “ ~ Ро, i-1/U Ро, 1-1)-

(5.2.49)

Аналогичным образом поступаем и для отыскания ве-
личины f/+i, п. Вводится в рассмотрение граф подси-
стемы S/, изображенный на рис. 5.2.8. Для подси-

стемы	S/ имеем  ,	Р-2.50)  Г/+1,	Г/, 1
где	Pi	(5-2.51)  i-z+i

— вероятность того, что система S/, граф состояний
которой изображен на рис. 5.2.8, в стационарном ре-
жиме будет находиться в подмножестве 2'/={s/+i, ...
..., sn}. Вероятность р{ находим по формулам

i
Pl = Pl П	0 = /+1......п),

*-/+!

fij ~ S
\	/-7+1 л-/+1	/

(5.2.52)

откуда

(5.2.53)

*ж.» = 77^'.	~	»)•	<5-2-54>

Если одно из состояний множества U является гра-
ничным (Si = s0 или Sj = sn (рис. 5.2.1)), то задача

Рис. 5.2.8

Рис. 5.2.9

упрощается. При s{ = s0(j < п) размеченный граф со-
стояний системы §/ будет иметь вид, показанный на
рис. 5.2.9. В этом случае имеем

to. I = ~ Ро, //(1 — Ро, /)>
П+1

Ро, j — Pi — 1	P/+i>

/+1	(5-2.55)

Р/ + 1 = Ро П ^k-l/Pkt
Л-1

(/+1 I	\-1

1 + S JI •
При Sf — sn (i > 0) размеченный граф состояний
системы Sz будет иметь вид, показанный на рис. 5.2.10.
В этом случае получим

п = )-— pi, пК 1 — pi, п),

Pi,n=^~pi-u	(5.2.56)

Pi~\ — fl + E
\ i-i k-i	/

Все сказанное в данном пункте можно распростра-
нить и на случай, когда п не ограничено, но при этом
должны соблюдаться условия существования стацио-
нарного режима, изложенные в предыдущем пункте.



А

Рис. 5.2.10

Пример 2. Для условий примера 5 из п. 5.1 найти
м.о. времени Ti, в течение которого для стационар-
ного режима в автохозяйстве находится не менее i
автомашин при условии, что нет практических огра-
ничений на число автомашин.

Л	Л Л

tfi	Ijjl

Рис. 5.2.11

Решение. Для отыскания закона распределения
с. в. Ti составим граф состояний, изображенный на
рис. 5.2.11. По формулам (5.2.56) находим

= + Е TU/V) ' =

\ z-z Г-z	7  »(1 + S(V  X.	1 — 1	
Введем обозначение 1/ц = а; тогда

(	1 - £ аге-“/Л

-S ____ I 1 1 ____^*0________

+ «* ^-“/(4 - 1>!

Р (< - 1, а)

I — R (I — 2, а)

где P(k, а) — a^e-a/kl — распределение Пуассона,
п

R(n, a)=£P(fe, а), В данном случае п — оо. От-
А-0

сюда (см. (5.2.26) при Xz-i = к получим

Р(< - 1, а)

1 — /? (t — 1, а)

Pl, оо - 1 — Pi-1 - 1 —

1 - R (I - 2, а) 1 - R Ц - 2, а) ’

5.3. Метод псевдосостояний

Рассмотрим простой процесс восстановления (см.
п. 2.2), когда элемент выходит из строя и мгновенно
заменяется другим. Последовательные моменты вы-
ходов из строя (они же моменты восстановления)
разделены случайными интервалами 7\, Т2, .... кото-
рые независимы и одинаково распределены с плот-
ностью f(t). Так, например, процесс Пуассона (или
процесс чистого размножения с параметром X, ==
= const), рассмотренный в п. 5.1, представляет со-
бой простой процесс восстановления, где случайные
величины 71, Т2, ... независимы и распределены оди-
наково по показательному закону с параметром X:
/(^)=Хе-м(^>0).

Встает задача: можно ли с помощью марковского
случайного процесса с непрерывным временем и ди-
скретными состояниями составить модель простого
процесса восстановления, у которого закон распреде-
ления времени между восстановлениями не был бы
показательным. Эту задачу можно решить с помощью
метода псевдосостояннй. Покажем, как это
делается.

Рассмотрим процесс чистого размножения с конеч-
ным числом состояний «4-1, размеченный граф со-
стояний которого представлен на рнс. 5.3.1. Найдем
для этого процесса чистого размножения закон рас-
пределения времени Ти пребывания в подмножестве
состояний U = {so, Si, ..., s„_i} (см. рис. 5.3.1) при
условии, что в момент 1 — 0 система S находилась
в состоянии «з. Очевидно, что с. в. Ту представляет
собой сумму времен пребывания в состояниях s0,
Sj, . . . , Sn—2, Su—!•

Ту=ЕЛ,	(5.3.1)

z-o

где T,— время однократного пребывания системы
в состоянии St (i — 0, 1.п— 1).

Мы знаем, что время однократного пребывания
в транзитивном состоянии (i = 0, 1, .... п—1) для

U

Рис. 5.3.1

однородного марковского случайного процесса распре-
делено по показательному закону с параметром X;.
Следовательно, случайная величина Ту будет иметь
обобщенный закон распределения Эрланга n-го по-
рядка (см. (9.5.15)*)

п-1	п-1

/В(о=(-1Г'ПХ'Е

1-0	/-0

-М
е 1

(/>0).

п-1

(X/ - X»)

Это распределение можно представить в виде

/.(/)=£	(*>0),	(5.3.2)

1-0

где

«<-Птглр <5ЛЗ>

Л-О
k+i

Xat=l.	(5.3.4)

1-0

Отметим, что величины at могут быть как положитель-
ными, так и отрицательными. В [13] показано, что
с помощью обобщенного закона Эрланга n-го порядка
можно с достаточной степенью точности аппрокси-
мировать произвольную плотность распределения не-
отрицательной случайной величины.

Назовем подмножество состояний U псевдосостоя-
нием и рассмотрим процесс чистого размножения, со-
стоящий из таких псевдосостояннй Uo, U\, U2, ...

Рис. 5.3.2

(рнс. 5.3.2). Процесс чистого размножения, состоя-
щий из псевдосостояний UQ, U\, U2......не будет

марковским процессом, однако его можно
моделировать с помощью марковского процесса блуж-
дания по состояниям s(/’ (i = 0, 1, 2, ..., п — 1; 7 = 0,
1, 2, ...).

Таким образом, с помощью системы S, граф ко-
торой изображен на рис. 5.3.2, можно моделировать
простой процесс восстановления с достаточно произ-
вольной п. р. f(t) времени между восстановлениями.

Псевдосостоянне U может иметь самую различную
структуру, однако структура, изображенная на
рнс. 5.3.1, является достаточно простой для проведе-
ния различного моделирования немарковских про-
цессов.

Другая достаточно простая структура псевдосо-
стояния U ={so, Si, .... Sj,, ..., Sn—i} показана на
рис. 5.3.3. Очевидно, что с вероятностью

а{ = п^'1 > 0	1; / == 1, 2...«—1'1

(5.3.5)

закон распределения случайной величины Ти будет
представлять обобщенный закон Эрланга 2-го порядка
с параметрами Хо, i и Kt, п- Следовательно, безуслов-
ный закон распределения случайной величины Ти бу-
дет представлять собой вероятностную' смесь (см.
п. 9.8*) обобщенных законов Эрланга 2-го порядка:

п-1

i-i



^•1, п — ^о, 1

(5.3.6)

Пример 1. Рассматривается процесс эксплуата-
ции ЭВМ. Время безотказной работы ЭВМ распре-
делено по обобщенному закону Эрланга 2-го порядка

Рис. 5.3.3	Рис. 5.3.4

с параметрами 12; время ремонта ЭВМ распреде-
лено по обобщенному закону Эрланга 2-го порядка
с параметрами jii, ц2. Определить вероятность того,
что ЭВМ будет в момент времени t работать, если
в момент t = 0 она была отремонтирована и начала
работать. Найти предельную вероятность того, что
ЭВМ работает.

Решение. Очевидно, что ЭВМ может находиться
в двух псевдосостояниях: UQ—ЭВМ работает, U\—
ЭВМ ремонтируется. Размеченный граф состояний, из
которых состоят псевдосостояния, показан на
оис. 5.3.4 (1/O = {S<°>,	^ = {so0’ «Н)-
Система дифференциальных уравнений Колмого-
рова для вероятностей состояний, входящих в псевдо-
состояния, будет иметь вид

^ЧО/Л^рПО-рЛЧО.
dp^{t)ldt^\p^{f)-\p^{t),
dp^^dt^K^^-p^it),

р!>0) (0 4- РГ (О 4- р’0‘> (0 4- р!” (0 = 1-

Решение будем искать с помощью преобразования
Лапласа при начальном условии р<°>(0)=1, р«»>(0) =
==р(П(0) = р(О(0) = 0:

*4” W = Mi” (О ~ М141 ’ W.

хл<1> (х) = р ,4й W — Ml" W.

(х) + 4°> (х) + 4«> (х) + 4° W = V*.

Решая эту систему уравнений, получим

я(0) / == (* + Р1) (х + Ра) (* + М

Я0 ' '	хр (х)	’

где

р (х) = (х+ pt) (х 4- р2) (х + Х2) 4- Л, (х + р() (х 4- р2) 4-

4- Л]Х2 (х 4" Рг) 4" ^-АгРг — х3 4" С2х2 4- С,х 4" Со.

В зависимости от значений параметров Xt, Хг, pi, Рг
уравнение р(х) = 0 может иметь те или другие корни.
Рассмотрим для простоты случай, когда все корни
этого уравнения различные и отрицательные:

р (х) = (х — at) (х — аг) (х — аз).

Тогда

AnPtPo £п°' (х)
„(0) / и _ 2ПГ2 । 80	1

я0 w хр{х} -1- р(х) •

где

g<0)	__ <* + Pi) (х + р2) (х + Л2) — А2Р1Р2 _

= х2 4- х (pt + р2 + Л2) + X2pt 4- Х2р2 4- ptp2,
следовательно (см. п. 4.2),
,	8 oti 8 akt

Я (0	+Е	й” <«.) 

Л-i
з в (

-W-+E^> с+«.«?(-»))•
Л-1

Далее,

-(0) _ __Л1_ «(0)  *i (* + >*) (* + Нг)  

Я1 — х + hi о	хр (х)

_	. ^jgj0^ (*)
~ хр(х) р(х) ’

где
й" « -	= Л +

откуда
8 akt

Й"Ю - Tiir + \	+ ».«?>(«.))•

Лв 1

Аналогично получаем

Я(П(Х) = -h--h.^ «<°> (х) =	+	=

° ' ' х + Ц| х 4-	0 ' •	xp(x)

~’ xp{x)	p(x) ’

. . JL ак*	Л,

rt"w-^+£TO-+^£fra-.
Л-l	k-l

«гм-,:'w

^(o-W’+^Ziisnsr
Л-1

Вероятность того, что ЭВМ будет исправна в момент
времени t, найдем по формуле:

Р {S (о <= и0] = Го (0 = р<0) (0 + р<0) (0 =

__Да*1Рд +	। у1 g я v

<’«’> а А

Хр + Ме? (“>)) + «?” (Ml-
Вероятность того, что ЭВМ будет ремонтироваться
в момент времени t, равна:

P{S(0 = ^} = n(0 = 1 - МО-

При / —> оо существует стационарный режим. Пре-
дельные вероятности можно найти по формулам

г„—Ип. r.(0— MlW + t'RW -1 - г„
t -> оо	Р W

р(0) —	4" ^'iPiM'2 4"	4"

откуда
г __________________ । ________________________г

0	И1И2А-2 + Л.1И1И2 +	-f- Л|кгЦ|	1

Если требуется найти только предельную вероят-
ность го, то сделать это можно из следующих сообра-
жений. Обозначим to, ?i — среднее время однократного
пребывания в подмножестве Uo н U\ соответственно
(в стационарном режиме). Тогда

Очевидно, что l0— 1/М 4- 1Дг, ?i = 1/щ 4- 1/ц2, от-
куда

_L + _L

__________1 _______________

° _L + _L + _L + J_“

М Л.2 Ц| Ц2

_ ________^2И1И2 + ^1Ц1Ц2________

Ц|Ц2^2 + Л>1|*11*2 +	А,2|*2 + ^1^-2Й1

Пример 2. Рассматривается эксплуатация оди-
наковых технических устройств (ТУ) на предприятии
(например, станков или ЭВМ, или компрессоров). По-
ток поступлений новых ТУ на предприятие представ-
ляет собой поток Пальма; интервал времени между
событиями в этом потоке распределен по обобщен-
ному закону Эрланга (k + 1)-го порядка с парамет-
рами Хь ..., X*. Время эксплуатации ТУ распре-
делено по показательному закону с параметром ц.
Найти для стационарного режима числовые характе-
ристики числа эксплуатируемых ТУ при условии, что
на предприятии может одновременно эксплуатиро-
ваться не более п ТУ и что это условие снято (п->оо).
Решение. Рассмотрим псевдосостояние Um, граф
которого показан на рис. 5.3.5. Тогда размеченный

Рис. 5.3.5

граф состояний рассматриваемой системы S при
п->оо будет иметь вид, показанный на рис. 5.3.6. Оче-
видно, что у такой системы S с псевдосостояниями

будет иметься стационарный режим. Допустим, что
решая систему алгебраических уравнений для пре-
дельных вероятностей, соответствующих размеченному
графу состояний, изображенному иа рис. 5.3.6, мы
нашли вероятности р0, р\, .... рт, ... пребывания си-
стемы S в состояниях з0,	.... sm, ... (рт == Р {S =

= зта}, т = 0, 1, 2, ...).
Теперь рассмотрим систему алгебраических урав-
нений для предельных вероятностей подмножества Um
в стационарном режиме (см. рис. 5.3.5 и 5.3.6):
где

pU) = P{S = sW} (* = 1, 2, ...» k; m = 0, 1, 2, ...).
Решая эту систему, получим

n(l) = AD	п(2) = Ап(1)=Ап

Рт Л, Рт> Рт X» Р» Х2

«—&Р.......................<-"“0.1.2,...).

(5.3.7)

Обозначим гт вероятность того, что система S
в стационарном режиме находится в псевдосостоя-
нии Um'-

гт = Р{8сУт} (m = 0, 1, 2, ...).
Очевидно, что эта вероятность будет равна (см.
рис. 5.3.5):

Гт = Рт + £ Р% = Рт + £ у2- Рт = Рт £	‘

(-1	1-1	1	1—0	1

Введем обозначение

“=Ёг>‘.	<5-3-8>

i-0 1

откуда
Гт == рта (т = 0, 1, 2, ...).	(5.3.9)

Найдем предельные вероятности рт (т = 0,1,2, ...)
из следующей системы алгебраических уравнений, со-
ставленных для состояний s0,	sm,

«<*>, ... (см. граф состояний на рис. 5.3.6):

ЛоРо = НРь

(Ч+и) а—Vo*’ + 2нр2,

(V+ти) р„ - V«i, + о» + 1) gpmt' (5.3.10)
(« и 2, 3, ...).

Воспользуемся равенством р£)==А,оРтА* (« = 0, 1,
2, ...). Тогда уравнения (5.3.10) примут вид

ЛоРо^НРь

(X04-mp)pCT = X0pm_1+(m+ 1)црж+1 (5.3.11)
(m= 1, 2, ...).

Подобную систему уравнений мы уже решали (см.
примеры 4 и 5 из п. 5.1). Обозначим

•у = а;	(5.3.12)

тогда

рж~-^Ро (« = 0,1,2,...).	(5.3.13)

Для нахождения вероятности р0 нельзя воспользо-

СО

ваться условием У рт— 1,так как указанная сумма
т—0

меньше единицы. Действительно, единице должна
быть равна сумма всех вероятностей пребывания
в псевдосостояииях Uo, U\....Um, ...

Воспользуемся формулами (5.3.9) и (5.3.13):

X гт= ^рта=а £-^Ро = ае«ро=1,
m-О т-0	т-0
откуда
ат

=	<5.3.14)

Следовательно (см. (5.3.9)),

гт = рта = ^-е-а = Р(т, а) (т = 0, 1, 2, ...),

(5.3.15)

где Р (т, а) — <з.те-а/т\ — распределение Пуассона.

Сравнивая это распределение вероятностей с рас-
пределением (5.1.43) из примера 5 п. 5.1, убеждаемся
в том, что оии совпадают. Таким образом, получили

интересный результат: вероятности того, что система
S будет в стационарном режиме находиться в псев-
досостояииях Uo, Ub ..., Um, ..., распределены по
закону Пуассона. Этот выводив зависит от того,
каким образом распределены интер-
валы между событиями в потоке Паль-
ма поступающих иа предприятие ТУ, т. е.
не зависит от Aj, Л2, .... Ап, так как с помощью обоб-
щенных законов Эрлаига можно с достаточной точ-
ностью аппроксимировать практически любую плот-
ность распределения неотрицательной случайной ве-
личины.
В случае, если иа предприятии может быть в эксп-
луатации не больше п ТУ (см. граф иа рис. 5.3.7),
уравнения (5.3.11) примут вид

^ОрО — РР1>

(ко + тц)рт = Хорт_1 + (m+ 1) црт+1 (5.3.16)
(m = 1, 2, .... п — 1),

ПЦр„ = Лор„_1.

Решая эту систему уравнений, получим

Pm = -^j-Po (т = 0, 1, 2, .... п).

Обратим внимание на то, что на рис. 5.3.7 подмно-
жество Un содержит одно состояние: Un= {$„}, по-
этому

r'n==‘mTP°a =	1......п-1).

а„	(5.3.17)

rn Рп Ро-

Следовательно,

^.+г.-^Ё5+^='.
п:«0	ffi«0

откуда

Л _ ----------'Л--------,	(5.3. (8)

Еат	а" I — а

ml	nt а

пг=»0

ап/(ап!)

т-0

ТР(Я’а)

Р (я, а) 4- Р (я, а)

(5.3.19)
Математическое ожидание и дисперсию случайного
процесса X{f) — числа ТУ на предприятии, находя-
щихся в эксплуатации в стационарном режиме при
ограиичеииом числе п, найдем (см. (5.1.45), (5.1.47)
и (5.1.48)) по формулам

М [X (01 - £ mr. + пг. =	.

m-о	К (». о) + Р (п, а) —-—

Напомним, что

п

Р (п, а) = е' R (и, а) — Р (k, о),

4-0
п-1

М[Х2(/)] = 2 rn2rm + n2r„ =
m—О

а/? (я — 2, а) + а2/? (я — 3, а) 4- я’Р (я, а)/а
R (я, а) + Р (я, а) ------------------—

(п > 2),

D[X(0] = М 1№(0] — (МIX (0D2.

При n-»oo (Пт Р(п, а) —0, lim Р(п, а)=1) получим
П->оо	л-»оо

М [X (/)] = D [X (/)] = а. ►

5.4. Дифференциальные уравнения
для характеристик марковского процесса
гибели и размножения
без ограничения на число состояний

Анализируя марковские процессы гибели и раз-
множения, мы до сих пор основное внимание обра-
щали на определение одномерного закона распреде-
ления случайного процесса Х(0— числа «живых»
единиц, а также его различных временных характе-
ристик.

В инженерной практике нас чаще всего интере-
суют характеристики этого процесса: математическое
ожиданиел!х(/)= М [Х(0], дисперсия Dx (0 === D [X (0],
а также корреляционная функция	—

о о

= М[Х(0Х(Г')1 (см. п. 1.2).

Задачу определения характеристик случайного
процесса Х(0 можно решать следующим образом.
1.	Решив систему п дифференциальных уравнений
Колмогорова, найти вероятности состояний этого про-
цесса: р{ (0 = Р {X (0 — 1} (г = 0,1,2,	т. е.

найти одномерный закон распределения.

2.	Найти характеристики процесса X(t) по фор-
мулам:

mx(0 = M[X(0] = tipdt),
1-0

Dx (0 = D [X (0 ] = M [(X (Г) - mx (О)2] =

= E (г - mx (0)2 Pi (0 = E i2Pi (0 ~ (E iPi (o) ’
i=»0	/

Затем найти предел lim mx(t) и lim Dx(t). Заметим,
rt->co	n->oo

что отыскание одномерного закона распределения
pi(t)(i = O, 1, .... п) случайного процесса X(t) тре-
буется в качестве промежуточной операции. Встает
вопрос: а может быть, можно найти характеристики
случайного процесса X(t) и без нахождения одномер-
ного закона распределения? Да, такая возможность
имеется. Покажем, как это делается.

Рассмотрим первоначально процесс гибели и раз-
множения , с неограниченным числом состояний
(п->оо), для которого уравнения Колмогорова пред-
ставлены формулами (5.1.2).

Умножим левую и правую части i-ro уравнения
системы (5.1.2) на величину i (i = 0, 1, 2, ...):

0 • dp0 (t)/dt = 0 • |xt (0 Pl (0 - 0 • Ло(0 р0 (0,

i • dpi (t)/dt = i •	(0 pt_i (0 4- i>i+i (0pi+t (0 —

- i (M (0 + (0)>< (0 V > 0). (5.4.1)

Сложим левые и правые части полученных уравнений
(первое уравнение вносить в сумму нет необходи-
мости, так как обе его части равны нулю):

Е i dpt (t)/dt = Е ПМ-iPi -1 (0 +

< —• 1

4” Vi+i (0p<+i (0 — * (^< (0 4~ Уч (0) Pt (01* (5.4.2)
Обратим внимание иа то, что в левой части уравне-
ния (5.4.2) стоит производная математического ожи-
дания mx(t) (если оно существует). Действительно,

(М.З)

l-l	i-1

Проведем ряд простых преобразований правой части
равенства (5.4.2):

Е (0 Pi-i (0 Е (t) pi (t) 4- E Ф<+1 (0 Pi+i (0 —
i-1	i-i	i-t

ОО	CO	OQ

- E	(o pt (о - E н i)i( (о p/ (о - E (o Pi (o+

i-1	i-0	i-0

+ Z (‘- 1)|*I (0 Pi (0 — E (0 Pi {t} =

-E(*+i-0MOPi(0+E(*-i-Oi*i(0Pi(0»

<“0

= E(M0-M0)Pi(0 (5.4.4)

i-0

(так как jio(0 = 0).
Следовательно,

= mx (t) = £ (Х( (0 - (0) Pi (t). (5.4.5)

С помощью такого же приема найдем производную
второго начального момента случайного процесса
Х(0 (если этот момент существует). Для этого умно-
жим левую и правую части s-го уравнения системы
(5.1.2) иа величину i2:

0 • dpQ (t)/dt = 0 • щ (0 Pl (0 - 0 • Ло (0 р0 (0,

?dpi(t)ldt = {t^pi.i (0 + ^i+I (0Р<+1 (0 -

-12Ui (0 + Pi (0) р{ (0 (i > 0), (5.4.6)
Теперь сложим левые и правые части полученных
уравнений:

4-1	4-1

= (/) pi i (/) _ £ (/) р( (/) +
4-1	4-1

+ £ 6*4+1 (0 Pi+1 (0 — £	(0 Pi (0 =

4-1	4 = 1

[(* + I)2 - 6 Ъ (0 Pi (0+S [(£—1 )2—z2] (0P,(t) =

i-0	l~l

oo

= 2 [*Z (0 + 1*4 (0 + 2t (bt (0 - 14 (0)1 pt (/). (5.4.7)
4-0

Известно, что
□ [ад-сМад-т^).

Продифференцируем обе части этого равенства и вос-
пользуемся формулами (5.4.7) и (5.4.5):

dD[X(/)l dDx(t) da2[X (t)]	dmx(t)

dt	dt	dt	' dt

OQ

= £ [*4 (0 + 1*4 (0 + 2i (Л, (/) - |X4 (0 ) -
4-0

— 2mx (0 (Л4 (0 —1*( (0)] (0 =

OQ

= 2 [*4 (0 + 1*4 (0 + 2 (i - mx (/)) (Xi (/) - P4 (0)1 Pi (0.
i-0

(5.4.8)

Воспользуемся формулой (1.2.18) и найдем корреля-
ционную функцию Kx(t,t') процесса гибели и раз-
множения X(t). Будем для определенности считать
t' > t. Введем обозначение

Pi, I (t, П = Р{Х (0 = I. X (Г) - /} =«

= Р {S (0 = S4, S(O-sJ. (5.4.9)
По теореме .умножения вероятностей получим

Pi, I (t, П - Р {X(t) = i} P {X (t') — j\X(t) = 1} =

= P {S (0 - sj P {S (/') = s, | S (0 — sj =

= рД0Р/и(/'-0. (5.4.10)
где

Pi,i{t,t')=P{X(t) = i, X(t') = j} (5.4.11)

С учетом формул

с. n. X(t) ') в момент t равен
i, а в момент времени f ра-
вен / (рис. 5.4.1);

P/U(^.0 =	(5-4.12)

= P{X(t') = /|Х(0 = 0

— условная вероятность то-
го, что с. п. X (f) в момент
времени /' равен /, вычис-
ленная при условии, что в
момент времени t с. п. Х(0
равен i (рис. 5.4.1).

>.4.10) — (5.4.12) запишем вы-

ражение для первого смешанного начального момента
с. п. X (0:

М[Х(0Х(П1 = Е Ечр/,/(м')=
i-О /-0

= Е ip{ (0 Е /Р/1 i Ч', 0- (5.4.13)
(-0	f-0	71

Выражение У 1р)цЧ', 0

представляет собой ус-

ловное м.о. случайной величины Х(/'), вычисленное

при условии, что в момент времени t < /' с. п. Х(0
был равен t(X(0 = 0.

Обозначим это математическое ожидание

0=Е/Р/н(^0.	(5.4.14)

Для нахождения этого условного м.о. иужио интег-
рировать уравнение (5.4.5) иа участке времени (t, t')

*) Случайный процесс X(t) ступенчатый, на рис. 5.4.1 он
для простоты изображен в виде непрерывной кривой.
при условии, что в момент времени t математическое
ожидание mx(t) = i. Следовательно,

М IX (/) X (/')] = X iPi (0 т,., (t, t').	(5.4.15)

i-0	'

По формуле (1.2.18) находим корреляционную функ-
цию случайного процесса X (/) :

Хх (О П = М [X (О X (Г)] - тх (0 тх (Г). (5.4.16)

Пример 1. Рассматривается процесс эксплуата-
ции одинаковых технических устройств (ТУ) на пред-
приятии. Пуассоновский поток поступлений ТУ на
предприятие имеет интенсивность МО, пуассоновский
поток списаний каждого ТУ — интенсивность ц(/).
Найти характеристики — м.о. и дисперсию — случай-
ного процесса X(t)—числа ТУ, эксплуатируемых на
предприятии в момент времени t, если нет практиче-
ских ограничений на число ТУ на предприятии и в на-
чальный момент Х(0) = 0.

ла)

ла) ла)

t/ia) a+i)/i(.t)

Рис. 5.4.2



Решение. Размеченный граф состояний этого
процесса показан на рис. 5.4.2. Имеем

M0 = M0. HiW-ZHO. (5-4.17)

Уравнение (5.4.5) для м.о. mx(t) процесса X{t)
примет вид

~7Г~ == Е~W Pi “
i-0

= х (0 - р (0 £ iPi (0 = МО — и (0 «х (0- (5.4.18)
i-0

Общее решение уравнения (5.4.18) при начальном
условии гпх(0) будет

- $ Ц (t) dt

$ Ц < t) dt

Х(х)е° dx4-/nx(0)

(5.4.19)
В соответствии с условием примера решать уравне-
ние (5.4.18) нужно при начальном условии

шх(0) = Х(0) = 0.	(5.4.20)

Поэтому в данном примере выражение для mx(t) при-
мет вид
t	х

-Д ц(х)</х	§ р, <х) dx

/пх(0 = е ° j Х(х)е® dx. (5.4.21)
о

При постоянных интенсивностях X = const и ц = const
решение уравнения (5.4.19) будет

тх (0 = £ (1 - е~*‘) + тх (0) е~»‘,	(5.4.22)

а при начальном условии тх(0) = 0 получим

т,(0 = £(1-«Л	(5.4.23)

Найдем по формуле (5.4.8) уравнение для диспер-
сии случайного процесса X (0:

со

-^1 = £^(0 + ^(0 + 2(г-тх(0)(Х(0-
i-0

— Ф (0)] Pi (0 = 40+1* (0 тх (0 -+- 2Х (0 тх (0 —

- 2Х (0 тх (0 - 2И (0 а2 [X (0J + 2ц (0 т2х (0 =

= * (0 + И (0 тх (0 - 2ц (0 Dx (0. (5.4.24)

Общее решение уравнения (5.4.24) при начальном
условии Dx(0) имеет вид

Dx(t) =
t	р	X

-§2p(x)dx	*	§2p(x)dx

= е 0	}(*(*) + n(x)mx(*))e° dx + Dx(0) .

- 0
В соответствии с условиями примера решать уравне-
ние (5.4.24) нужно при начальном условии

Dx(0) = D[X(0)] = D[0] = 0.	(5.4.26)

Поэтому в данном примере выражение для Dx (/) при-
мет вид

t	х

-$2|4(t)d-r *	J 2|4 (т) dx

Dx(t) — e 0	\ (X (х) + ц (х) тх (х)) е® dx.

о

(5.4.27)

При постоянных X = const и ц = const и начальных
условиях Dx(0) = mx(0) = 0 получим

Dx(t) = ^(l-e^ = mx(i), (5.4.28)

т. е. м.о. случайного процесса равно его дисперсии.
В примере 5 из п. 5.1 было показано, что в стацио-
нарном режиме (при /->оо) вероятность того, что
анализируемый случайный процесс X(t) примет значе-
ние t, определяется по формуле (см. 5.1.43)

а1

lim pt (t) = Pi = — e~a,
i->oo	"

где a = Х/ц. Другими словами, в стационарном ре-
жиме одномерный закон распределения случайного
процесса X(t) представляет собой закон Пуассона
с параметром a — к/p, для которого, как известно,
математическое ожидание равно дисперсии.

На нашем примере можно убедиться, что и для
нестациоиариого режима одномерный закон распреде-
ления случайного процесса X(t) является тоже зако-
ном Пуассона с параметром mx(t) — -~(l — е-**)
(при начальных условиях (5.4.20) и (5.4.26) и при
постоянных к — const и р== const). Покажем, что это
так. Если

Pi (/) =	е~тх <«	(5.4.29)
ТО

dpi (/)
dt

imx<tY e

-тх Ц) dmx (t)

dt
i!

тх (t)‘e

-тх (f) dmx (/)

dt

K«)]' ' -mxlt)dmx(t) K«)]'	dmx(t)

(i- l)t“e —di--------------—e ~di--------------

dmx (0
dt

1Л dm {t)
-piW)—4t — =

= (pi-i(t) —pt (/))

dmx (/)

(t=l, 2, ...). (5.4.30)

= Pi-i(t)

Далее,

[7° - e’")] = x «

(5.4.31)

С учетом выражения (5.4.31) получим

= й-i (0 (1 —	(0 ц) — р, (О (X — т, (01») =

,	»х(0[»«х(0]	-тх(1)

+м------л е

= b-Pi-i (t) + (« + 1) HPi+i (0 — hPt (0 — tPPi (0- (5.4.32)

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для
производной вероятности pi(t), полученным для раз-
меченного графа состояний, изображенного на
рис. 5.4.2. Следовательно, выражение (5.4.29) соот-
ветствует решению системы дифференциальных урав-
нений для вероятностей состояний, получаемых на
основе графа, изображенного на рис. 5.4.2.

Мы показали, что одномерный закон распределе-
ния случайного процесса X(t) при постоянных к —
— const и р = const и начальном условии A(0) = 0
представляет собой закон Пуассона с параметром
определяемым равенством (5.4.23). Покажем,
что необходимым условием того, чтобы одномерный
закон распределения с. п. X(t) был законом Пуассона,
является условие Х(0) = 0. Другими словами, одно-
мерный закон распределения с. п. X (г) является за-
коном Пуассона и при переменных интенсивностях
Х(/) и р.(/) лишь бы в начальный момент времени
при t = 0 Х(0) = 0. В этом случае mx(t) определяется
равенством (5.4.21). Найдем производную левой и
правой частей этого равенства:

t	X

dm (i)	t $u(x)dt

MO* 0	dx +

о
t	t

+ W e°

Следовательно, если

pt (t) = Mill e~mx	(/ = o, 1,2,...),

to (cm. (5.4.30))

dp At)	dm (t)	dm (t)

-it—=

== Pi-t (0 (* (0 - и (0 f*x (0) - Pi (0 (* (0 - и (0 m* (0) =

= M0p<-i (0 + (4 + 1) M0 Pr+i (0

-(M0 + *M0)M0 G'=J. 2. ...)•

Получили уравнение (5.4.32) и для переменных ин-
тенсивностей, что и требовалось показать.

Следовательно, н для переменных интенсивностей
Л(0 и МО имеют место равенства

«ЯО-Охй. р<(/)“Ц^в-я«(П (/ = 0,1,2, ...),
которые определяются тем. что одномерный закон
распределения с. и. Х(0 является законом Пуассона.

Можно доказать и более общее утверждение: не-
обходимым и достаточным условием того, чтобы одно-
мерный закон распределения с. п. X(t) был законом
Пуассона, является условие, чтобы начальное распре-
деление с. п. X(t) было распределением Пуассона:

тя(0) = Ря(0),

а=о, I.,..).

(5.4.33)
Нетрудно убедиться в том, что начальное условие
Х(0) = 0, при котором тх(0) = Dx(0) — 0, ро(О)=1,
р,(0) = 0 (t = 1, 2, ...), является частным случаем
этого условия (5.4.33).

Для нахождения корреляционной функции случай-
ного процесса X(t) найдем сначала условное м.о.

которое можно получить из равенства
(5.4.19) в виде

0 =

г г	х

= е *	\ А.(х)е* dx -(- i

-1

(5.4.34)

Следовательно (см. (5.4,15)),

со

М [X (0 X )] = iPi <0 т*' Н (*'• 0 =
i=0

-J u.Mdt
= е ‘

dx I mx (t) 4- a,, [X (/)]

(5.4.35)

где mx(t) определяется из уравнения (5.4.21), a
a2[X(0] = Dje (0 + ^(0-

Дисперсия Dx(t) может быть найдена из уравне-
ния (5.4.27).

Корреляционную функцию Kx(t,t') найдем по фор-
муле (5.4.16). Если интенсивность потоков постоянна,
Л(t) = X = const, p(t)== р = const, то формулы (5.4.34)
н (5.4.35) примут вид

tnx>M(f, 0 = 7(1 -e-na'-O) + t-e-H»'-n (f >0,

(5.4.36)

М [X (0 X (f)l = I (1 - в"* <*'-*») тх (0 +

+ е-«‘<<'-Оа2[Х(0] (f>0- (5.4.37)
Если в начальный момент времени при 1 = 0 имеем
Х(0) = 0 (тх (0) = Dx (0) = 0), то формулы (5.4.36) и
(5.4.37) примут вид

/пх(/) = (Л/ц)(1-а-^).	(5.4.38)

«2 [X (/)] ==£(1- е~*) + 4(1- еЦ')]2-
г*	I» г*	J

откуда

Кх (t, О = М [X (0 X (Г)] - тх (0 tnx (f) =

=4(1 _е-Р«)е-ц(«'-0	(/'>/).	(5.4.39)

Так как Kx(t, t') = Kx(t', t), то

Kx(t, О=~0 -	(t > t'). (5.4.40)

Формулы (5.4.39) и (5.4.40) можно объединить в одну:

Kx(t, Г)=4(1 -е-мМп«.П])е-и1<-<'1. (5.4.41)

В пределе (при /->оо и t'->.oo) получим стационар-
ный режим, для которого

тх (0 = Dx (0 = тх = Dx =

Хх(/гГ) = Ае-р1*'’И.	(5.4.42)

Замечание. При достаточно большом тх(0
(тх(/)>20) одномерный закон распределения с. п.
X(t) можно приближенно считать нормальным, так
как

Р {X (0 < п} = t [тх (Ор е~т* "}k\ =
А-0

= /? (га, тх (/)) ~ Ф ((га — тх (/))/Vтх (/)) -}- 0,5,

X

где Ф(х) = —~z \ е-*’<2 dt — функция Лапласа.
у2я J

Это замечание справедливо как для постоянных
интенсивностей X = const, ц » const, так и для пере-
менных интенсивностей; как для стационариого, так
и для нестационарного режимов.
Можно доказать и более общее утверждение: нор-
мальный случайный процесс X(t) с характеристиками
mx(t) и	является марковским. Нормальный

с. п. полностью описывается двумя характеристиками:
м.о. mx(t) и к. ф. Kx(t, t').

Пример 2. Рассматривается процесс эксплуата-
ции нефтяных скважин. Интенсивиость ввода нефтя-
ных скважин в эксплуатацию k(t)=at. Интенсив-
ность потока выходов из строя каждой скважины

|i = const. Найти характеристики с. п. X(t) — числа
нефтяных скважин, находящихся в эксплуатации на
момент времени t, если X (0) = 0.

Решение. В соответствии с решением предыду-
щего примера имеем (см. (5.4.21), (5.4.33)):

t

mx(i) = e-iit{axe>udx — -^-[ii.t— 1 -f-e"**'). (5.4.43)

J

0

График зависимости mx(t) показан на рис. 5.4.3 при
а—1, р=1. Кривая mx(t) имеет асимптоту

Таким образом, по истечении времени т « 3/ц нач-
нется практически линейный рост числа эксплуати-
руемых нефтяных скважин:

(о|).
Одномерный закон распределения с.п. X(t) по-
прежнему будет законом Пуассона:

Р {X (0 - 1} = pt (0 =	«>. (5.4.44)

Для нахождения условного м.о. гпХ'р(/', 0 найдем
общее решение уравнения (5.4.5) при начальном ус-
ловии тх(0) = i; М0 = at-, р(0 =

1'	_ ,	*

ц dt л Jpdr

тх> (i (/', 0 = е *	\ ахе‘ dx + i —

. t

=	1	(По-

следовательно (см. (5.4.15)):

М [X (О X (/')] = X ® т' I ‘ <*'• V =
1—0

= -£ [|1Г	') (ц/ - 1)] тх (0 +

+ e-»^mx(t)(l+mx(t)) (t'>t), (5.4.45)

откуда

Кх (t, /') = М [X (О X (/')] - тх (0 тх (f). ►

Пример 3. В условиях примера 2 (k(t)=at,
р = const) известно, что на начало года (на момент
t\ > 0) в эксплуатации было п\ нефтяных скважин.
По плану к концу года на момент О (О >0) в экс-
плуатации должно быть па нефтяных скважин. Опре-
делить вероятность выполнения плана.

Решение. Математическое ожидание числа сква-
жин, эксплуатируемых на конец года, будет опреде-
ляться по формуле, аналогичной (5.4.19) (см. также
(5.4.44)):

тх(/2) = е '

axe*' dx 4- nt

.J. [и/2 _ i _ <h-w(и/) _ 1)] + ще-»^-^ (5.4.46)
Дисперсию числа скважин, эксплуатируемых на ко-
нец года, найдем по формуле, аналогичной (5.4.27)
(при Ox(/i) = 0, так как в момент Л число скважин
Х(^)=Л|, где nj неслучайное число):

— $ 2р4т р

Dx (/2) = е ' J (ах + цтх (х))

J 2udx
е1' dx =

=	(2и/2 - 1 -	(2рЛ - 1)] -

_ е-2ц(б-«,)] + П] (е-ц и,-/,) _ е-2и(«,-<,))	(5.4.47)

При большом значении тх(/2) и при условии
тх (t2) — 3 л/ Dx (t2) > О можно с достаточной точ-
ностью считать, что с. в. X (t2) распределена нор-
мально. Следовательно, вероятность выполнения пла-
на можно найти по формуле

Р U(/2) > «21 = 1 - р {Х(/2) < nJ =

= 0,5 — Ф f	.

Замечание. При большом значении t2 (когда
|1(/2 — fi)>3 и ц12> 10) имеет место приближенное
равенство

ntx(tJ~Dx(tJ~^(?t2-\).

В этом случае закон распределения случайной вели-
чины X{t2) будет «приближаться» к закону Пуассона
с параметром тх(12). ►

Пример 4. Рассматривается производство и
эксплуатация однотипных ЭВМ. Интенсивность пуас-
соновского потока производимых ЭВМ имеет вид

’а! при

Л(0 = <а/1 при ti<t^t2,
, 0 при t > t2.

(5.4.48)

На рис. 5.4.4 показан график зависимости Х(/). На
участке (0, llt) происходит развертывание производ-
ства ЭВМ; на участке (6,/2) ЭВМ производятся с по-
стоянной интенсивностью, а в момент /2 — снимаются
с производства. Каждая произведенная ЭВМ эксплуа-
тируется в течение случайного времени Т, распреде-

ленного по показательно-
му закону с параметром
р. Определить м. о. mx(t)
и дисперсию Dx(t) числа
ЭВМ, находящихся в экс-
плуатации, если на мо-
мент начала производ-
ства t = 0 данного типа
ЭВМ в эксплуатации не
было (тх (0) —Dx (0) =0).

Решение. В соответс
имеем (см. (5.4.43)):

с решением примера 2

mx(t) = Dx(t) = -^(iit-l +е-»‘) (0</</,). (5.4.49)
г*

Для нахождения характеристик mx(t) = Dx(t) при
Л < t < tz достаточно ввести переменную т = / — Л,
при этом начальное условие для решения уравнения
(5.4.18) на этом участке будет иметь вид

тх । т »о = Dx । т“0 = а (р^ — 1 + е-»*'')/^2.	(5.4.50)

Так как на.участке т > 0 интенсивности потоков Л и
р постоянны, то можно воспользоваться ранее найден-
ным решением (см. (5.4.22)):

тх (т) = Dx (т) = -у- (1 - е-»") + тх । т_0 е~их.

Следовательно,
тх (/) = Dx (/) =

=	(1 _ е-u ц -/.)) + «	_ 1 + е-М)	=

(/,<Г</2). (5.4.51)
г* г*

На участке времени t > t2 имеет место процесс ги-
бели (Х = 0), следовательно (см. (5.4.22)),

mx(t) = Dx(t) = mx(t2)e-^-^ (t>t2), (5.4.52)

где

"М/2) = ^ -^(1 - е-^)в-»м‘,-Ч (5.4.53)
График зависимости mx(t) = Dx(t) при 6 = 3 (года),
6 = 6 (лет), а = 1000 (1/год2) 1/р. = 4 (года) пока-
зан на рис. 5.4.5. При т*(0>20 можно с достаточ-
ной точностью считать, что одномерный закон распре-
деления случайного процесса Х(/)—числа ЭВМ, на-
ходящихся в эксплуатации, — будет нормальным

с найденными характеристиками. На основании «пра-
вила трех сигма» можно утверждать, что практически
возможные значения числа эксплуатируемых ЭВМ
будут находиться в пределах

тх (0 ± 3 ^Dx (t) = тх (t) ± 3 Vmx(0 =

Так, например, если в эксплуатации находится
в среднем тх (0 = 4900 ЭВМ, то для фактического
числа эксплуатируемых ЭВМ получаем следующие
границы:

4900fl ±-4=-") = 4900 ± 211.
k V4900)

Таким образом, практически все возможные зна-
чения числа эксплуатируемых ЭВМ колеблются в пре-
делах 4 % их среднего числа. При этом чем большее
значение имеет м.о., тем меньше относительное коле-
бание у с. п. X (/). ►

Представляет определенный интерес рассмотрение
характеристик процесса «чистого» размножения, когда
щ(/) = 0 (1-1,2, ...).
В этом случае получим следующие дифференци-
альные уравнения для характеристик процесса «чи-
стого» размножения (см. (5.4.5), (5.4.8)):

dmx (t)/dt = f X, (/) Pi (t),	(5.4.54)

/=о

dDx (f)/dt = f K{ (0 [ 1 + 2 (Z - mx (0)1 Pi (0-	(5-4.55)

i~0

Если X,(t) = X(t) и в начальный момент времени
t = 0 распределение вероятностей pi (0) (Z =0, 1,2,..)
представляет собой распределение Пуассона с пара-
метром т*(0):

Pi (0) = [тх (0)]' е~т* ,0)/i! (i = 0, 1, 2, ...), (5.4.56)

то одномерный закон распределения с. п. X(t) пред-
ставляет собой закон Пуассона с параметром mx(t),
определяемым решением уравнения

dmx (t)/dt = f МО Pt (0 = Ь (0,	(5-4.57)

i-0

откуда

t

mx(t) = $ X (/) dt + mx (0).	(5.4.58)

о

При этом выполняются равенства

тх (0 = Dx (f), р{ (0 = [тх (0]‘ е~т* wli\ (5.4.59)
Заметим, что равенства (5.4.58) н (5.4.59) будут вы-
полняться также и в случае, если т*(0) = 0, так как
в этом случае имеет место «вырожденное» распреде-
ление Пуассона н равенства (5.4.56) справедливы.

При постоянной интенсивности Х(0 = Х и тл(0) =
= 0 получаем

тх (0 = Dx (Г) = X/, pi (0 = (X/)' e-u/il (i = 0, 1, ...).

(5.4.60)

Корреляционную функцию процесса «чистого» раз-
множения при X = const можно получить из выраже-
ния (5.4.41) при ц->0:

Kx(t, /') = lim — (1 -e-Htminir.ni)e-ni«-ri.

ц->о И
Раскрывая полученную неопределенность по правилу
Лопиталя, получим

Лж (/, f) = X min (t, I').	(5.4.61)

Пример 5. В условиях предыдущего примера
определить вероятность того, что за все время произ-
водства (за 6 лет) будет произведено не менее
13200 ЭВМ.

Решение. Используя зависимость (5.4.48), най-
дем по формуле (5.4.58) величину м.о. общего числа
произведенных ЭВМ при условии, что тх(0) = 0:

ОО	ti

тх (оо) = J X (/) dt = J X (/) dt =
о	о

at%

= $ at dt + J atidt = -у- + att (t2 —1}). (5.4.62)
о	t

Подставляя в это выражение данные предыдущего
примера: а= 1000 (год)-2, = 3 (года); /2 = 6 (лет),
получаем

тж(оо) = тж(/2)= 1000 • 9/2+ 1000 • 3 • 3= 13500 (ЭВМ).

Так как в нашем случае выполняются условия пуас-
соновского распределения с.п. X(t) (шж(0) = Ож(0) =
= 0, ро(О)= 1), то mx(t2) = Dx(t2) = 13500, откуда

<тж(/2) = 713500= 116,2 (ЭВМ).

Известно, что при mx(t2)> 20 можно с достаточ-
ной для практики точностью считать, что с. в. X(t2),
распределенная по закону Пуассона, распределена по
нормальному закону с параметрами тж(/2) = 13500
(ЭВМ), аж(/2)= 116,2 (ЭВМ). Следовательно, иско-
мая вероятность

Р {X (t2) > 13200} = 0,5 - Ф { 1320°i1^j—} = 0.995.

Заметим, что если по «правилу трех сигма» прак-
тически возможное число произведенных ЭВМ опре-
деляется из условия

тх (/2) ± Зсж (t2) = 13500 ± 348,6,
т. е. колеблется в пределах 13 152 < X(t2) < 13 848, то
максимальное число ЭВМ, находящихся в эксплуата-
ции (см. предыдущий пример), будет колебаться
в пределах

8012 ±268,5. ►

5.5. Дифференциальные уравнения

для характеристик марковского процесса
гибели и размножения

при ограниченном числе состояний

Рассмотрим случай, когда с. п. X(t) не может
превышать значения п (0 X(/)	п.). Граф состоя-

ний такого процесса показан на рис. 5.5.1. Система

Рис. 5.5.1



дифференциальных уравнений для вероятностей со-
стояний такой системы имеет вид

dp0 (t)/dt = щ (0 pi (/) — Ло (0 ро (0.

dp{ (0/^ = Мч+1 (0 Pt+i (0 + ^/-1 (0 Р/-1 (0

-(М0 + М0)рД0 (0<i<n),

dpn {t)/dt = Лп_1 (0 pn_i (0 -	(0 р„ (0.

Умножим левую и правую части i-ro уравнения на I
(i = 0, 1, 2, .... п) н сложим все эти уравнения по-
членно так, как это делали в п. 5.4. После выполне-
ния ряда простых преобразований получим уравне-
ние для математического ожидания с. п. X(t):

dmx (t)ldt = £ (Л, (0 - (0) рг (0-	(5-5.1)

i =0

В этом выражении

Лп (0 = Но (0 = О-

(5.5.2)

Мы видим, что при м-*-оо уравнение (5.5.1) перехо
днт в уравнение (5.4.5).
Проведя преобразования, аналогичные тем, кото-
рые были проведены в п. 5.4, получим дифференци-
альное уравнение для дисперсии с. п. Х(1):

dDx(t)/dt=£[kl(t) + М0 +

+ 2 (i - тх (0) (М (0 - цг (0)1 Pi (0-	(5.5.3)

При решении уравнения (5.5.3) необходимо учитывать
ограничения (5.5.2).

Корреляционную функцию Kx(t,t') с. п. X(t) най-
дем по формулам (5.4.9) — (5.4.16), в которых верх-
ний предел сумм нужно брать равным п.

Рассмотрим один частный случай, когда

1((0 = (п-0^(0	0 = 0, 1, .... п),

М0 = чЛ0	О = о, 1, ..., п).	(5-54)

Обратим внимание иа то, что для выражений (5.5.4)
Я,„(/) = Но(0 = 0. В этом случае формулы (5.5.1) и
(5.5.3) примут вид

(t)/dt = nk (0 — (ц (0 + Л (0)	(0. (5.5.5)

dDx (t)/dt = nX(f) + (g (0 - (0) mx (0 -

-2(h(0 + X(0)Dx(0-	(55.6)

Размеченный граф .состояний для случая, когда
Х,(0 = (л — i)X(i), М0 = ф(0 показан на рис. 5.5.2.

(п-мм) (л-Ьла) ят

mryptt)	flju(t)

Рис. 5.5.2

Рассматриваемый случай имеет следующее до-
вольно распространенное инженерное приложение.
Имеется система, состоящая из п однородных (оди-
наковых) технических устройств (ЭВМ, станков, ком-
прессоров, автомашин и т. п.). Любое техническое
устройство (ТУ) (например, i-e) может находиться
в двух состояниях s(0‘> и «(•), размеченный граф со-
стояний z-го технического устройства показан на
рис. 5.5.3. Например, состояние — i-e ТУ неис-
правно и ремонтируется, состояние s<^ — i-e ТУ ис-
правно и находится в эксплуатации. В этом случае
Х(0—интенсивность пуассоновского потока восста-
новления ТУ, ц(/)—интенсивность пуассоновского по-
тока отказов ТУ. При этом предпола-
гается, что любое техническое устрой-
ство переходит из состояния в состояние
независимо от того, в каком состоянии
находятся другие ТУ, н все ТУ «ведут
себя» статистически одинаково. Поэто-
му размеченный граф состояний, изобра-

женный на рис. 5.5.3, описывает поведение произволь-
ного t-го ТУ.

Случайный процесс Zt(t)— блуждание i-го ТУ по
своим двум состояниям — определим следующим об-
разом:

1,	если в момент времени /

Z-e ТУ находится в состоянии s\^’,

Z ,(()=< „

1	0, если в момент времени t

„ Z-e ТУ находится в состоянии з(0‘>.

JU(t)

Рис. 5.5.3

Следовательно, общее число ТУ, находящихся
в «первом» состоянии,

(5.5.7)

/-1

Введем обозначения

Я1(0 = Р{2<(0=1}.

«о (О = Р {Zt (0 = 0} = 1 - л, (/).

Эти вероятности не зависят от индекса Z, так как
каждое ТУ (из общего числа п) «ведет себя» стати-
стически одинаково и независимо от других ТУ. Та-
ким образом, од но м е р н ы й закон распреде-
ления случайного процесса X(t) будет биномиаль-
ным с параметрами п, Я1(/).

Найдем м.о. процесса X(t), определяемого равен-
ством (5.5.7). С учетом принятых обозначений (5.5.8)
имеем

М (X (/)] = тх (/) = М Г Z Zt(t)I =

Li-1 J

“EMlZaOl-wJO. (5.5.9)
В соответствии с размеченным графом состояний,
изображенным на рис. 5.5.3, получим:

(t)/dt = к (0 Яо (0 - Ц (О Л! (/) = к (f) (1 - Я, (/)) -

- и (/) л, (О = МП - (н (П + * (П) (О-

Умножим левую и правую части этих равенств на п;
с учетом (5.5.9)

п dn{ (t)/dt — d (пщ (l))/dt = dmx (f)/dt = nk (t) —

- (ц (0 + X (/)) пщ (f) = nk (t) - (н (0 + b (П)	(/).

(5.5.10)

Это выражение в точности совпадает с (5.5.5).

Так как одномерный закон распределения с. п.
X(t) является биномиальным с параметрами п, Л1(П»
то

Dx (0 = ПЛ] (0(1 — л, (0) = ««1 (0 — «л? (0 =

= тх (0 — т2 (t)/n = тх (0 (1 — тх (5.5.11)

В рассматриваемом случае нет необходимости ре-
шать дифференциальное уравнение (5.5.6) для нахож-
дения дисперсии. Достаточно найти решение уравне-
ния (5.5.5) и затем по формуле (5.5.11) определить
дисперсию.

Покажем, что выражение (5.5.11) удовлетворяет
уравнению (5.5.6). Действительно,

«МП + (МИ “МП)™,(И -

- 2 (ц (0 + к (0) тх (0 (1 - тх (t)/n) =

= dmx (t)/dt — [2тх (t)/n] dmx (t)/dt, (5.5.12)

где

tfrnx (f)/dt — [2mx (t)/n] dmx (t)/dt =

«МП VI— dDx(t)
——Л--г-

Если в равенство (5.5.12) вместо производной
dmx(t)/dt подставить выражение, определяемое пра-
вой частью равенства (5.5.5), то получится тождество,
в чем читателю предлагается убедиться самостоя-
тельно.
Из равенства (5.5.7) следует, что

X(t) = X(t) —mx(t) =

= £zi(Z)-M[£zi (/)]=£ 1(0, (5.5.13)

J = 1	Li-1 J	i = l

где Z{ (0 = ^(0 -MfZ, (/)].

Найдем корреляционную функцию с.п. X(t):

Kx (t, П = М [Х (0 X (f)] = M [ £ 1 (0 £ Zt (/')]•

Так как с.п. Z,(f) и Zj(t) независимы при
тр

К At, 0=мГ£1(о1(/')] =
L /«" i	J

= £mi1(o1(OJ. (5.5.14)

Введем обозначение

Кг{ (t, t') = M [1 (01 (/')] = (t, f).	(5.5.15)

С учетом этого получим

Kx (0 П = £ K*{ (t, t') = пКг (t, f). (5.5.16)

Запишем корреляционную функцию Kz(t, t') в виде:

Кг (t, П = м [Z{ (0 Z{ (f)] -	(Z) тг{ (/')

(i=l, 2....n).	(5.5.17)

На рис. 5.5.4 показана одна из возможных реа-
лизаций Zi(f) с.п. Z,(f). Ряд распределения сечения
с. п. Zi{t) имеет вид

О | 1

Z<(/): l-MnlMO’
Произведение	(рис. 5.5.4) может прини-

мать только два значения: 0 и 1; поэтому ряд распре-

Рис. 5.5.4

деления с.в. Zi(t)Zi(f) для фиксированных значений
t и f имеет вид



О

1 - Л! (/, /')

1

«1 (t, t')

(5.5.18)

где

(0 <') = Р (Zi (О Zi (f) = 1}.	(5.5.19)

Следовательно,
М[г((0^(П1 = Л1(Л П- (5.5.20)

На основании правила умножения вероятностей (см.
п. 2.3*) получаем

O = ni(03Xni(//, 0 (f > 0,	(5.5.21)

где niii(f, t)—условная вероятность того, что с. п.

Zt(t')= I при условии, что с. п. Zi(t)= 1:

яц 1 (Г, 0 = Р {Zi ((') = 11 Zi (t) = 1} (Г > 0 (5.5.22)

(рис. 5.5.4). В соответствии с размеченным графом,
изображенным на рис. 5.5.3, вероятность ni(0 будет
определяться следующим образом:

f	_	X

- §(иЮ+Мх))<а	*

«1 (0 = е 0	J Я, (х) е°	dx 4- ni„

. о

где Л1в =Л1(0).
Следовательно, для нахождения условной вероят-
ности ni|i(f, t) нужно проинтегрировать систему диф-
ференциальных уравнений, соответствующую разме-
ченному графу состояний, изображенному на
рис. 5.5.3, в интервале времени от t до f (t' > t) при
условии, что в момент времени t система находилась
в состоянии s<'>:

t'	—	х	1

- 5 (l*W+A.W)dx *' J (n(x)+X(T))dt
я1|1(^> t) — e *	p(x)e'	dx 1

-1

(t' > t).	(5.5.24)

Таким образом, по формулам (5.5.23) и (5.5.24)
находим

Кг (t, t') = Л1 (0 Л[ 11 (/', 0 — Л1 (0 Л1 (/'),
откуда при t' > t получим:

Кх (t, f) = ПЛ1 (0 Л111 (Г, 0 — ПЛ1 (0 Л] (Г) =

= т,(0(л1)1(Г, 0-л,(Г)). (5.5.25)

Пример 1. Рассматривается эксплуатация п оди-
наковых Старков иа машиностроительном заводе. Ин-
тенсивность пуассоновского потока отказов каждого
станка ц = const; интенсивность пуассоновского по-
тока восстановлений каждого станка к — const. В на-
чальный момент времени t = 0 все станки были ис-
правны (/пх(0) = л, £>*(0) = 0, Л1(0)= 1). Определить
характеристики с. п. X(t)—числа исправных станков.

Решение. В этом случае выражения (5.5.23) и
(5.5.24) примут вид

I	X

-$(ц+Л)Л(	'

n((0 — е °	\ А,е° dx + 1

. о

= Ш + и) 4- це -<>‘+х>7(* 4-ю	(f> 0), (5.5.26)

«111	»

t'	х

- $ (ц,+Х) dx *'	$ (ц +Х) Л

t) — e *	ре'	dx4-l

. t

== М* 4- Ю 4- це-ь+М'-'Щ. 4- Ю (/' > 0. (5.5.27)
Следовательно (см. (5.5.9), (5.5.11), (5.5.25)),
mx(t) — (t)n — пк/(к + и) + пце~^+K)t/(k + ц) (/ > 0),
(5.5.28)

Dx(t) = mx(t)(l

= [«Ш + И) +	4- и)] yi- (1 - е

л т И

(5.5.29)

Kx (t f) = Шх (0 (л 111 (/', /) — л, (t')) —

— Г ------1--е-(ц+м /1 —Е— /е-(ц+Х) («'-<> _ е-(ц+а>

[л + ц^ц + л. J И4- Л. к	'

V > t).	(5.5.30)

Если t' < t, то в выражении (5.5.30) нужно аргу-
менты t и f поменять местами:

я А,
Н + А.

_£Е_
Ц + А,

е- (ц+*)Н х

X

---—(е-(Р+М(«-И _ е-(|>+МП

Н + А.	е '

(t > П.

Поэтому выражение для JKx(t, t') может быть запи-
сано в виде

	=ктт+Т+Ге'(>1+Х)"""И1 х L Ц + А	Ц + л	J  х —t_(e-(n+Mi«-ri _ e-(n+Mmax«, И). (5.5.31)  Ц 1* л

В данном примере система обладает эргодическим
свойством (МО = (п—i)A= const, МО =ф =
= const, число состояний конечно), поэтому для нее
будет существовать стационарный режим, для кото-
рого

тх — lim тх (t) — пА./(А. + р) = ля, (л, = Л/(Л + р)),
t->oo

Dx — lim £)х (t) = лА,ц/(А.-|-ц)2 = мл, (1 — л^, (5.5.32)
t->oo	•

Kx(t, t')= lim Kx(t,	>

t->oo, ^'->OO

Пример 2. Цех, работающий круглосуточно
(в три смены), имеет 100 одинаковых станков с ЧПУ
(числовым программным управлением), среднее вре-
мя безотказной работы каждого станка 10 суток,
среднее время ремонта станка 0,5 суток. Определить
характеристики с. п. X(t) — числа исправных станков
в стационарном режиме, считая, что потоки отказов
и восстановлений каждого станка — простейшие и все
станки работают независимо друг от друга.

Решение. В соответствии с условиями примера
имеем:

1/10 = 0,1 (—5—1, Х = 1/0,5 = 2 (—5—1.
\ сутки /	'	\ сутки /

Следовательно,

mx = n‘kl(k 4- ц) = 100 • 2/(2 4- 0,1) ** 95,24 (станка),

= пЛи/(Л 4-р)2 = 100 • 2 • 0,1/(2 4-0,1 )2 « 4,51,

<гх =	2,12 (станка),

Kx(t, f) = Dxe-(u+Ml/-ri « 4(5ie-2,iif-ri.

Вероятность того, что произвольно выбранный ста-
нок в данный момент времени t будет в ремонте (не-
исправен),

,	100-95,24	п„._с	-

л0 = 1 — Л, -------------= 0,0476. ►

Пример 3. Рассматривается работа вычислитель-
ного центра (ВЦ), с которым соединено п дисплеев,
работающих в режиме «on line» круглосуточно. Каж-
дый дисплей включается в работу с ВЦ в среднем X
раз в сутки независимо от работы других дисплеев.
Каждое включение дисплея на работу с ВЦ длится
случайное время, распределенное по показательному
закону с параметром р., независимо от того, сколько
дисплеев работает. Считая поток включений каждого
дисплея простейшим с параметром X, определить ха-
рактеристики с. п. X(t)—числа включенных дисплеев
в момент времени t, если в момент времени / = 0 ни
один из дисплеев не работал.

Решение. Вероятность того, что дисплей (лю-
бой из п) будет включен в работу с ВЦ, определяется
по формуле (5.5.23) при ni(0) = 0:

f	X

- $ (Ц.+Х) dx * J (ц+ X) dx

Я] (/) = е 0 J Хе° dx =
о

(5.5.33)
р “Г А
Следовательно (см. 5.5.9), (5.5.11), (5.5.25)):

тх(/)==лА(1-е-<и+М<)/(ц_}_л) (/->0), (5.5.34)
Рх(0 = «Ли(1 _e-(n+M«)(i +^.е-(и+м<у(и + л)2,

(5.5.35)

О =	Н)Х

X (e-to+MK'-Л — Ле-(и+Мтах(«.п) .	(5.5.36)

В условиях данного примера существует стацио-
нарный режим, для которого

тх (1) = tnx — пК/(ц + Л), Dx (t) — Dx = nXp/(p. + Л)2,

(5.5.37)

Кх (t, t') = пЛре- (н+М I *'i/(p, + Л,)2.

Например, если п=100, Л, — 20 f—!—Y	ц —

\ сутки х

= 288 (—— Y - = 5 (мин), то

к сутки / ц

100-20 с еп „	100-20-288 с

т* 288 + 20 ~б>50> &х— (288+ 20)2 ₽“6’10,

Kx(t, f) = 6,10e-308it-''i.

Таким образом, в стационарном режиме с ВЦ будут
«общаться» в среднем 6,5 дисплея.

Пример 4. В условиях предыдущего примера оп-
ределить вероятность того, что число «общающихся»
с ВЦ дисплеев будет больше величины к; определить
закон распределения времени Г*, в течение которого
число «общающихся» с ВЦ дисплеев будет больше k.

Эта задача имеет большое практическое значение
при проектировании ВЦ, работающего со многими
терминалами (дисплеями). Допустим, что ВЦ спроек-
тирован таким образом, что если обращения посту-
пают не более чем от к дисплеев, то все эти обраще-
ния обеспечиваются вычислительными ресурсами, в
противном случае (когда обращения поступают от
l> k дисплеев) k дисплеев обеспечиваются вычисли-
тельными ресурсами, а (/ — k) дисплеев ожидают.

Решение. В соответствии с результатами дан-
ного пункта случайная величина X(t)—сечение про-
цесса в момент времени t — распределена по бино-
миальному закону с параметрами п и л>(0 (см.
(5.5.33)). Следовательно,

k

Р {%(/)> k}= 1 - £ С"лГ (0(1 -я(	(5.5.38)

/п»0

Например, если k = 10, то для стационарного режима
ирн'К = 20 Uhr) • Р = 288 иУ ПОЛУЧИМ <Я1 =
= тх/п — 6,50/100 = 0,065):

Р {%(/)> 10} =1 -Р{Х(0<Ю} =

ю

= 1 - Е Cfw 0,065m • O,935loo-m.
т "О

Так как величина щ мала, а п велико, то с достаточ-
ной для инженерной практики точностью можно счи-
тать, что с. в. X(t) (при фиксированном 0 распреде-
лена по закону Пуассона с параметром а = тх =
= 6,5. Тогда

Р {X (0 > Л} « 1 - /? (k, тх), (5.5.39)

т

где R (т, a) = J^ аке~а/М — функция, связанная с
распределением Пуассона.

В нашем случае

Р{Х(0> 10} = 1 — /?(10; 6,5).

По таблице (см., например, J5]) находим Р {X (/) >
> 10} « 0,0670.	_____

Если величина	20 и тх (/) — 3 л/Dx (/) > 0,

то с достаточной для инженерной практики точностью
можно считать, что с. в. X(t) (при фиксированном 0
распределена по нормальному закону с параметрами
mx(t) и Dx[t), следовательно,

р(Х(О>ц=о.5-Ф(-^а.),

(5.5.40)

где Ф(х) = —Д=- ( e~t2i2dt — функция Лапласа.

<2л J
Например, если в условиях предыдущего примера
считать п =400, то в стационарном режиме получим:

тх = 400 • 20/(288 + 20) « 26,

Dx = 400 • 20 • 288/(288 + 20)2 « 24,4,
ах = -у/Dx ~ 4,94,	тх — Зах = 26 — 14,82 = 11,18 > 0

и в этом случае (при k =40)

Р {X (0 >k}~ 0,5 - Ф ([40 - 26]/4,94) « 0,00233. ►

Перейдем теперь к определению закона распреде-
ления времени Тк, в течение которого с.п. X(t) будет
больше k. На рис. 5.5.5 изображена реализация с. п.
X(t). Для простоты эта реализация изображена в виде

непрерывной кривой, в то время как на самом деле
эта кривая имеет скачкообразный характер, со скач-
ками, равными ±1 при включении или выключении
одного из п дисплеев.

Поясним рис. 5.5.5. В случайный момент времени
Т\ произошло первое пересечение случайным процес-
сом X(t) уровня k «снизу вверх». Процесс X(t) пре-
вышал уровень k в течение случайного времени Ть\
после чего в случайный момент времени Т2 он пересек
уровень k «сверху вниз». Далее процесс X(t) не пре-
вышал уровня k в течение случайного времени 01”.
после чего в случайный момент времени 7'3 он вновь
пересек уровень k «снизу вверх» и находился выше
уровня k в течение случайного времени Т*ь и т. д.
Очевидно, что случайные величины Г(Д Ть\ Т4**, • • •
в стационарном режиме будут распределены одина-
ково и независимы.
Для нахождения закона распределения случайной
величины Тк воспользуемся приемом, изложенным
в п. 4.3. Закон распределения времени Тк найдем с по-
мощью преобразованного графа состояний, изобра-
женного на рис. 5.5.6 (см. также рис. 5.5.2).

(п-к-1)Л	л

(А+О>и (Л+2)>и	п/i

Рис. 5.5.6

Плотность распределения случайной величины Тк
определяется по формуле

М0 = (*4-1)ИРа+1(0,	(5.5.41)

где вероятность p*+i(0 определяется в результате
решения системы дифференциальных уравнений,
соответствующих размеченному графу состояний
(рис. 5.5.6), интегрируемых при начальном условии:
pt+t(0)=l, Д(0) = 0 (t^fe-hl). Заметим, что та-
ким же образом можно получать закон распределе-
ния случайной величины Тк и для нестационарного
(неоднородного) случая, когда интенсивности потоков
событий зависят от времени Щ0, и(0].

Если интенсивности потоков постоянные (1, ц), то
для нахождения математического ожидания случай-
ной величины Тк в стационарном режиме нет необхо-
димости решать систему дифференциальных уравне-
ний, а можно воспользоваться приемом, описанным
в п. 4.4.

Рассмотрим преобразованный граф состояний
(рис. 5.5.7). Для системы с таким графом существует
стационарный режим; предельные вероятности pi
имеют вид

& (i^k, k+l,	(5.5.42)

СпР Я	'

i-Е с'А*"-1’
z=o
где

= <55-44)

9 Теория случайных процессов
и ее инженерные приложения
Для системы с графом, изображенным на рис. 5.5.7,
м.о. времени Н* пребывания в состоянии sk- равно

"1Н«1 = -<Г=ТчТ-

так как с. в. Н* распределена по показательному за-
кону с параметром (n — k)K. На основании формулы

(п-Ш	Л

• * • ЕИЗ

(Л+7)/1	(A+2)jU	njj.

Рис. 5.5.7

(4.2.29) получим

й	М(Н*]

откуда

Pk

(5.5.46)

Так, для случая, когда k= 10, п=100, Л—20( С~ТК||

= 288(cvtm)’ получим:
XVjkЛих

М = '(n'-fejx	9СГ20 (СУТОК> = °.0133 (часа) ==

= 0,8 (мин) = 48 (сек).

Далее

cy?"-fc

Pk— л-i

1	- Z СпР1<Г~‘

i «*0

Эту вероятность можно определять по приближенной
формуле, заменяя биномиальное распределение пуас-
соновским с параметром тх:



т^е mx/kt

1-

/-=0

p(k-
1-Л(Л_1>Шх) •
где

тх = пр — пк/(ц + Л) « 6,5.

По таблицам, приведенным в [5], получим:

Р(10; 6,5) = 0,055792; I - R(9; 6,5) « 0,122781;
рк ₽» 0,4544.

Отсюда

= М [Га] ~ 48 1 ~^44- = 57,63 (сек).

Расчеты показывают, что с достаточной для инже-
нерной практики точностью можно приближенно по-
лагать, что случайная величина Тк распределена по
показательному закону с найденным математическим
ожиданием:

рк (0 = р {Тк < 0 « 1 -	(/ > 0). (5.5.47)

Следовательно,

D [7\] ~	~ 3322, а [Г4] « mt^ ~ 57 ,63 (сек). ►

Пример 5. Для условий предыдущих двух при-
меров определить закон распределения времени Qk

Рис. 5.5.8

(см. рис. 5.5.5), в течение которого число «общающих-
ся» с ВЦ дисплеев будет не больше k (в стационар-
ном режиме).

Решение. Размеченный граф состояний системы
для определения закона распределения с. в. Q* пред-
ставлен на рис. 5.5.8. Плотность распределения с. в.
Qa определяется из выражения (см. п. 4.3)

£а(0 = («-*Н/Ш	(5-5.48)

где вероятность pk(t) определяется в результате
решения системы дифференциальных уравнений,
соответствующих размеченному графу состояний
(рис. 5.5.8), интегрируемых при начальном условии:
Р*(0) = 1, р,(0) = 0

При постоянных интенсивностях потоков (X, р)
математическое ожидание случайной величины Qk

пЛ	(n-i+IM (n-i)J

Рис. 5.5.9

(п-к*1М (п-к)Л

кр (k+T)ju

определяется с помощью размеченного графа состоя-
ний, показанного на рис. 5.5.9. Для этого случая м. о.
времени 'Pfe+i пребывания в состоянии s*+l



(5.5.49)

так как с. в. 4f*+i распределена по показательному за-
кону с параметром (& + 1)р. Следовательно,

Pk + l = м [¥*+1]/(М [ТА + 1] + М [QJ),
откуда

М IQ*] = М [^+1] (1 - pk+l)/pk+l. (5.5.50)
Например, при k— 10; n=100; А = 20(—-—V
Р = 288 (ттк?) получим

“ 3.157 - 10— (суток) ~

« 7,576 • 10~3 (часа) — 0,4545 (мин) = 27,27 (сек).

Решая систему алгебраических уравнений, соответ-
ствующих графу, изображенному на рис. 5.5.9, найдем
предельные вероятности

р^С'р^-'Ро/^ О’ = 0, 1, 2......k+ 1),

(5.5.51)
(fe+i

^оС1пр1дп-‘
Отсюда

Р* + 1	*+1	• Р— 1*4- Л ’

Е

4-0

Заменяя биномиальное распределение пуассоновским,
найдем

mx+'e~m*/(k + 1)1 _ Р (fe + I, тх)

Рь+1 “Тй ~	/?(*+«, т\ ’

4-0

По таблицам, приведенным в [5], получим:

/>(11; 6,5) ==0,03345, Я(11; 6,5) =0,96606, рк+1 ~ 0,0342,
откуда

1—Рь.1	1 —0,0342

М Ш = М т+1]	27,27 -	«

« 770,1 (сек) =12,83 (мин). ►
ГЛАВА 6

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ

6.1. Канонические разложения и интегральные
канонические представления случайных
процессов

Известно, что неслучайную функцию x(t), отве-
чающую определенным условиям1), можно в интер-
вале [—Т; Т] изменения аргумента разложить в ряд
Фурье:

со

А'(0 — •у +	(«* cos kat + bk sin kwt) (-T <t <T),

k-i

где

т
2 Г
ак = у \ x (0 cos kcotdt,
о

т

bk == y- $ x (/) sin kod dt (k = 0, 1, 2, ...).
о

В. С. Пугачевым [18] была предложена и развита
идея представления с. п. X (/) в виде его разложения

х(0=%(0+£ ^ч>И0	(6.1.1)

й-1

(где Vk — случайные величины, <р*(У)—неслучайные
функции), т. е. в виде суммы элементарных случай-
ных функций (э. с. ф.).

Как будет показано в дальнейшем, представление
с.п. в виде разложения (6.1.1) дает возможность про-
водить довольно просто различные преобразования
с. п. — как линейные, так и нелинейные, определение
которым будет дано ниже, в п. 6.2. Это объясняется
тем, что разложение (6.1.1) для фиксированного мо-

*) Точнее, условиям Дирихле.
мента времени t представляет собой линейную функ-
цию с. в. Vk, что намного облегчает нахождение ха-
рактеристик с. в. X(t). С другой стороны, вся зави-
симость от времени сосредоточена в функциях <р*(0,
которые являются неслучайными функциями времени.

В. С. Пугачев показал [18], что для любого слу-
чайного процесса X(t) можно построить его разло-
жение вида (6.1.1); при этом можно предложить
много способов такого построеиня.

В пункте 1.1. было введено понятие элементарной
случайной функции. Очевидно, что с. п. вида

Х(0 = У-ф(0	(6.1.2)

(где К —обычная центрированная с. в. с характери-
стиками то—0, Dv\ <р(0 —обычная (неслучайная)
функция времени) является э. с. ф.

В дальнейшем произведение цеитрироваиной слу-
чайной величины V на неслучайную функцию ф(/) бу-
дем называть элементарным случайным процессом
(э. с. п.). Вся случайность сосредоточена в с. в. V, за-
висимость от времени / — в неслучайной функции
ф(/). На закон распределения с. в. V не наклады-
вается каких-либо ограничений, кроме того, что
М[У] = /п„ = 0.

Найдем характеристики э. с.п. (6.1.2). Для этого
зафиксируем аргумент t н рассмотрим с. в. X(t) —
= У •<₽(/); она представляет собой линейную функ-
цию с. в. V, следовательно (см. п. 8.2*),

М[Х(П] = М[Уф(/)] = ф(0М[И = ф(0 0«0,

(6.1.3)
О[Х(01 = О[Уф(01 = ф2(/)О[У] =

= Ф2(0М[Р] = Ф2(/)Оо.	(6.1.4)

Для нахождения корреляционной функции э. с. п.
зафиксируем моменты времени / и f я рассмотрим
две центрированные с. в.: X(t) и X(t'). Найдем их ко-
вариацию: это и есть корреляционная функция с. п.
Х(<):

К* (1, i') = М [X (О X (Г)] = М [УФ (О Уф О =.

= Ф (О Ф Ю м [И2] = Ф (О Ф (/') D [У] = ф (О Ф ю D„.

(6.1.5)
Положив в выражении (6.1.5) t = t', получим дис-
персию случайного процесса (6.1.4). Нормированная
корреляционная функция э. с. п. имеет вид

г (t - К* (t’	Ф (О <Р (О Ру — .

(О Dx (t')	V<J>2 (О Dy<f2 (t') Dy

(6.1.6)

Пример 1. Рассматриваются элементарные слу-
чайные процессы:

У(0=К a, Z(0 = Vcos2/, {/(/) = V/2,

где V—нормально распределенная с. в. с характери-
стиками ту =0, сто, а — неслучайная величина. Найти
характеристики (м.о., дисперсию и корреляционную
функцию) каждого из этих процессов и построить для
каждого нз иих семейство реализаций.

Решение. По формулам (6.1.2) — (6.1.5) имеем:
ти (/) - тг (/)» ти (t) = 0, Ку (/, П = aW„ = Dy (/),
Кг (t, f) = cos21 cos2 for2, Dz (t) = Кг (t, 0 = cosэ. 4 to2,
Ku (t, t') = fl (f)2 a2, Du (/) =	(/, 0 = fa2.

Семейства реализаций рассматриваемых э. с. п. пока-
заны на рис. 6.1.1—6.1.3. Для всех рассматриваемых

Рис. 6.1.1	Рис. 6.1.2

э. с. п. ось 0/ представляет собой математическое ожи-
дание этих процессов. ►

Каноническим разложением случайного процесса
Х(/) называется выражение вида

оо

(6-1.7)
В этом выражении тх (/) — М [X (01 представляет
собой м.о. случайного процесса X(t); Vlf .... Vk,...—

некоррелированные, центрированные с. в. с диспер-
сиями £>ь	; <pt(0,	(0 — неслучай-

ные функции аргумента t.
Выражение (6.1.7) мож-

но переписать в виде

Х(0 = /Пх(0 + Ь0,

где

жо=Еу,ф*(о (6.1.8)
й-1

— центрированный с. п., а
выражение (6.1.8) представ-
ляет собой каноническое

разложение центрирован-	Рис б j 3

ного с. п. X (0-

Случайные величины У), ..., Vk, ... будем назы-
вать коэффициентами канонического разложения, а не-
случайные функции ф1 (/),..., ф*(0» • • • — координат-
ными функциями канонического разложения. Канони-
ческое разложение (6.1.7) может содержать как ко-
нечное число членов разложения, так и бесконечное
(счетное) число членов.

Найдем характеристики с. п. X(t), заданного своим
каноническим разложением. При фиксированном ар-
гументе t выражение (6.1.7) представляет собой ли-
нейную функцию с. в. Vi, .... Vk...следовательно.

M[x(oi=/nx(o+ Е м(у*]ф*(о.
й-1

Но по условию с. в. Vk центрирована (М [К*] — 0),
поэтому

М {X (01 = шх (/).	(6.1.9)

Зафиксируем два момента времени t и /' и найдем
ковариацию с. в. X(t) и X\t'}, т. е. корреляционную
функцию с. п. X(t),

о о

К At, п = М[Х(0Х(Щ.
Подставим в это выражение разложение центриро-
ванного с. п. (6.1.8):

Г <»	со

к At, i>M £ Фа(0^аЕфл(О^
Lv-1	h-l

Г co o°	“|

= m s £Уа^фа(0фа(П •

L k 1 h =• 1	j

По теореме сложения м.о. знак суммы и знак м.о.
можно менять местами, а неслучайные множители
Ф*(£) и Фл(Г) можно вынести за знак м.о.:

Хх (/, /') = Е f ФА (0 Фл it') м [rftRh].
fc«*l 1

Но M[VaVa] = 0 прн k =^= h, так как с.в. Уь V2, ...
не коррелированы; при одинаковых значениях индек-
сов (k — h) получим

M(vfcvft] = M[vg=D4.

Следовательно, корреляционная функция с. п. X(t),
заданного своим каноническим разложением (6.1.7),
имеет вид

^х(/,/')=Ефа(ОФа(ПСа.	(6.1.Ю)

А-1

Выражение (6.1.10) называется каноническим разло-
жением корреляционной функции с.п. X(t); оно пред-
ставляет собой сумму произведений координатных
функций (при аргументах t и t') и дисперсий Dk-

Таким образом, мы доказали, что если с. п. пред-
ставлен своим каноническим разложением (6.1.7), то
его корреляционная функция выражается канониче-
ским разложением корреляционной функции (6.1.10).
Можно доказать и обратное утверждение (мы этого
делать не будем): если корреляционная функция слу-
чайного процесса X(t) представлена своим канони-
ческим разложением (6.1.10), то центрированный слу-
о

чайный процесс X (/) может быть представлен кано-
ническим разложением (6.1.8).

Дисперсия с. п. X(t), заданного своим канониче-
ским разложением (6.1.7), равна значению корреля-
ционной функции при равенстве ее аргументов:

^(о=^а, о = 1 ^*(0^.	(6.1.П

А"* 1

Выражение (6.1.11) будем называть каноническим,
разложением дисперсии с.п. X(t), оно представляет
собой сумму произведений квадратов координатных
функций и дисперсий О*.

В соответствии с формулой (1.2.23) нормирован-
ная корреляционная функция с.п. X(t), представлен-
ного своим каноническим разложением (6.1.7), будет
иметь вид (см. (6.1.10) и (6.1.11))

Гл(/,

^Dx(t)Dx (Г)

Уф* (Оф* (По*

=----—   -------------------- (6.1.12)

Д/ (Д 4 & °*) (Дфа (Г> °а)

Таковы основные характеристики с. п., представ-
ленного своим каноническим разложением (6.1.7).
Особо отметим три обстоятельства, связанные с ка-
ноническими разложениями.

Во-первых, каноническое разложение с.п. X(t)
можно получать множеством способов. Известно, что
функцию x(t) можно разложить в обобщенный ряд
Фурье

х(0=Ес*ф4(0.

Л=* 1

где на функции ф*(0 накладываются определенные
ограничения (они должны быть ортогональны и нор-
мированы). Но такие функции фй(<) можно получить
различным образом.

Во-вторых, каноническое разложение (6.1.7) ни-
чего не говорит о том, какой одномерный, двумер-
ный, ..., 6-мерный закон распределения имеет с.п.
X(t). Одно и то же каноническое разложение может
иметь различные законы распределения, так как с. в.
Vi, Уг, •  -, V*, ... могут быть распределены по раз-
ным законам.
В-третьих, практические способы построения кано-
нического разложения (6.1.7) должны основываться
иа статистических данных об с. п. Обрабатывая такие
статистические данные, получаем оценки для м. о. и
корреляционной функции с. п. X(t): mx(t),
Имея эти оценки, можно найти аналитическое прибли-
жение к. ф. Кх’(t, t') ~ Кх (t, f).

По аналитическому приближению можно функцию
двух аргументов /(«’(/, /') разложить в двойной ряд
Фурье и найти координатные функции и дисперсии
коэффициентов канонического разложения. Этим прие-
мом мы воспользуемся в гл. 7 при нахождении кано-
нического разложения стационарного с. п.

Пример 2. Случайный процесс X(t) задан своим
каноническим разложением

п
л(о=тх(п+Е ийФй(о»
*-1

где с. в. Vt распределены нормально с характе-
ристиками М [И*] — 0, D[KJ = Z>t (k = 1, 2...п),

М • Vm] = О (k ф т) (с. в. Vt, V2, Vn не кор-
релированы).

Найти одномерный, двумерный и /-мерный законы
распределения с. п. Х(/).

Решение. Для фиксированного момента t с. в.
ft

X (0 = тх (I) + У, Vkqk (/) будет представлять собой
линейную функцию некоррелированных, нормально
распределенных с. в. Vi, Иг,  •  > И«. Следовательно
(см. п. 9.7*), случайная величина X(t) будет распре-
делена нормально с характеристиками (см. (6.1.11))

тх (0 = М [X (/)], Dx (/) = D [X (0) = £	(0 Dk.

Л«»1

Одномерный закон распределения будет иметь вид

f (I, х) = -7=4=^ exp ( - 1* ~ от-^£-1. (6.1.13)
’ V2«Ox(t) *4 2DX (0 J

По этим же причинам двумерный закон распреде-
ления рассматриваемого с. п. также нормальный с
характеристиками mx(t), mx(t'), Dx(t), Dx(t') и

rx (t, t') =	=

(0 Dx (Г)

E 4>fc (C <₽ft (Г) Dft

__fc-l

4>2h(6oh

Следовательно,

2ny/Dx(t)Dx(t')(l-r2x(t, /'))

у exo f -	1 Г <^-^(0>8 _

Pf 2(l-r*(f, П) [ Dx(t)

_ 2r* <*• <z) (* — w* (0) (*' — m* (О) I (*' — mx (Г))* 11
VDX (I) Dx (t')	Dx (t') J J '

(6.1.14)

Аналогично, /-мерный закон распределения с.п. Х(/),
взятый для сечений t\, t2, .... h, будет нормальным
с математическими ожиданиями тх(1\), mx(t2),...
.... mx(ti) и корреляционной матрицей ||К*(6,//)II,
где

Кх (th t,) = t Ф* (/J Ф* «/) Dk (/,/=1,2.../).

Л — 1

Замечание. Особо отметим, что двумерный за-
кон распределения нормального с. п. X(t) является его
исчерпывающей характеристикой, так
как все характеристики /-мерного закона распределе-
ния (1 = 2, 3, ...) зависят только от двух функций
mx(t) и Kx(t,t'). Кроме того, с.п. X(t) будет марков-
ским. ►

До сих пор рассматривалось каноническое разло-
жение случайного процесса, которое можно построить
для ряда дискретных точек, получаемых при разло-
жении случайного процесса на конечном интервале
(—Т,Т). Если Т->оо, то этот ряд дискретных точек
сольется в прямую. При этом каноническое разложе-
ние случайного процесса X(t) перейдет в интегральное
каноническое представление. Покажем, как это проис-
ходит.

Запишем каноническое разложение с. п. X(t) в виде

х(0=М + Еик<мо- (6-1.15)

1-1

Пусть X — действительная переменная, принадлежа-
щая некоторой области Л (леЛ); обозначим ДХ—
длину каждого нз элементарных участков, на которые
равномерно разбивается область Л. Тогда выражение
(6.1.15) можно переписать в виде

со

х (о = тх (0 + £ Ь. Фх (0 М. (6.1.16)

i-i

Очевидно, что при неограниченном увеличении интер-
вала Т, на котором рассматривалось каноническое
разложение (6.1.15) (Т->оо), величина ДХ стремится
к нулю, а отношение Vi/ДХ будет представлять собой
некоторую случайную функцию ') непрерывного аргу-
мента X:

lim Ух/ДА, = г(Л) (АеЛ). (6.1.17)
Д1-*0

При этом функция фх(0 двух аргументов (дискрет-
ного X и непрерывного t) станет функцией двух непре-
рывных аргументов Хи/:

lim Фх(0 = Ф(Х, /),	(6.1.18)

Д1-*0

а сумма в (6.1.16) преобразуется в интеграл по об-
ласти Л

Х(/) = тх(/) + $ Х(Х)ф(Х, t)dk. (6.1.19)
(Д)

Последнее выражение называется интегральным ка-
ноническим представлением случайного процесса X(t).

Каноническому разложению (6.1.15) соответствует
каноническое разложение корреляционной функции
с. п. X(t)

К At,	Ф1(ОФ1(П^.	(61.20)

х-i

гдеРх=М[П]-

') Здесь мы говорим о случайной функции, так как аргу-
мент А ие является временем.
Так как отношение Р*,/ДХ представляет собой ту
часть дисперсии, которая приходится на значение X,
отнесенное к длине элементарного интервала ДХ, то
формулу (6.1.20) можно переписать в виде

ОО

«Л.	(6.1.21)

л-1

Введем обозначение

G(X) = lim Р*/ДХ.	(6.1.22)

дл-»о

Функция G(X) называется плотностью дисперсии.
Тогда при ДХ—*() (Т-»-оо) сумма (6.1.21) перейдет
в интеграл по области Л, и мы получим выражение
для корреляционной фуикпии с. п. X (/):

(t,	$ Ф (*. 0 Ф (*, t') G (к) dK. (6.1.23)

(Л)

Осталось выяснить, какими свойствами обладает
случайная функция Z(X) в (6.1.17). Очевидно, что
случайная функция Z(X) является центрированной:

M[Z(X)] = 0.	(6.1.24)

Это вытекает из того, что для любой сколь угодно
малой величины ДХ случайная величина У*,/ДХ яв-
ляется цеитрированиой.

Корреляционная функция Кг(Х, X') случайной функ-
ции Z(X) при X X' должна быть равна нулю:

Кг (X, X') = 0 (X =£ Л').	(6.1.25)

Это следует из того, что случайные величины Vk/ДХ
и Vr/ДХ не коррелированы при любом сколь угодно
малом значении величины ДХ и X=# X'.

Покажем, что корреляционная функция KZ(X, X')
определяется из выражения

= (X, X') = G (X) d (X — Xх),	(6.1.26)

где G(X) — плотность дисперсии (см. 6.1.22), б(х)—
дельта-фуикция (см. приложение 6 в [5]).

Для доказательства этого утверждения достаточно
показать справедливость формулы (6.1.23) при усло-
вии, что корреляционная функция случайной функции
Z(X) определяется по формуле (6.1.26).
О о

По определению Kx(t, t') = М[X(/)X(/')!• В соот-
ветствии с равенством (6.1.19) центрированный с. п.
о

X (0* может быть записан в виде

0 г

Х(/)= J г(А.)ф(Л, t)dk,
(А)

откуда

Так как области интегрирования одинаковые, то по-
следнее выражение можно переписать в виде

*,(/,/')== мТ J $

L (Л) (Л)

ф(Л, Оф (АЛ t') z (Л) Z (Г) dk dk'

Допустим, что двумерный закон распределения
/Дх.УД, V) случайной функции Z(X) известен;
тогда

*х('.	J J

-ОО (<Л> (Л)

Ф (Л, О ф (к', t') zz' dk dk'

X

XMz, z', к, k')dzdz'.

Переменим порядок интегрирования:

(Л) (Л)

, г', к, k')dzdz' Idkdk'.

Внутренний интеграл по определению представ-
ляет собой корреляционную функцию Кг(к, к') слу-
чайной функции Z(A). Воспользуемся для этой функ-
ции выражением (6.1.26); получим

/С* (6 Л = j J Ф I) Ф (*', i') G W«(X - К) rfA, dK' =
(А) (А)

= §ф(М /)С(Х)Г $ <р (А/, *') б (X — V) da/l rfX.

(A)	L(A>	J

В соответствии co свойством 4 дельта-функции (см.
приложение 6 в [5])

J Ф (A', t') д (А — Xх) dX = ф (А, /'),
(А)

следовательно,

Кх (t. t')= J Ф (А, П Ф (А, Г) G (A) dA,

(А>

что совпадает с выражением (6.1.23). Таким образом,
мы показали, что выражение (6.1.26) удовлетворяет
свойствам корреляционной функции случайной функ-
ции Z(A).

Дисперсию с. п. X(t), заданного своим интеграль-
ным каноническим представлением, найдем, положив
в формуле (6.1.23) t — t':

Dx (0 = Кх («, /) = J ф2 (А, О G (А) с(А. (6.1.27)
(А)

Приведенное построение интегрального канониче-
ского представления не является математическим до-
казательством возможности построения такого пред-
ставления для любого случайного процесса, однако
они расширяют наши знания о структуре процесса.
В главе 7 будет показано, как получать интегральные
канонические представления для одного важного клас-
са случайных процессов — стационарных случайных
процессов.

Случайная функция Z(A), у которой корреляцион-
ная функция равна произведению неслучайной функ-
ции G(A) на дельта-функцию разности аргументов А
и А' (/(г(А,А') = G(A)6(A — А')), называется неста-
ционарным «белым ш^жом»; Если функция G(A) не
зависит от Л (G(X) = G = const), то К {К, Х') =
— G6(X— V), и случайная функция называется ста-
ционарным «белым шумом». Для случайного про-
цесса, представляющего собой «белый шум» (ста-
ционарный или нестационарный), характерно сле-
дующее:

( 0 при Л #= Л',

(, ОО при Л = л.

Это вытекает из свойств дельта-функции. Более под-
робно о «белом шуме» мы расскажем в гл. 7.

6.2. Линейные и нелинейные преобразования
случайных процессов

В инженерной практике часто возникает следую-
щая задача. На вход системы S подается с. п. Х(1)—
«входной сигнал» или «входное воздействие»
(рис. 6.2.1). Система S осуществляет преобразование

Х(О	Систем	Y(t)
Входное здейстдиа	В	Реакция системы

на си стену	(.выходной

сигнал')

Рис. 6.2.1

входного сигнала X(f), в результате чего на выходе
системы S получается с. п. У(0. называемый «реак-
цией системы» S (нли «выходным сигналом» си-
стемы S).

Например, при полете самолета в качестве вход-
ного воздействия X(t) на самолет (систему S) можно
рассматривать колебания плотности атмосферы, а в
качестве выходного сигнала У(/)—колебания само-
лета относительно его центра массы.

Другой пример: рассматривается система S, в ко-
торой проводится эксплуатация однородных техниче-
ских устройств (ТУ) (например автомашин). В каче-
стве входного воздействия Х(/) рассматривается чис-
ло введенных (на момент времени t) в эксплуатацию
ТУ, а в качестве реакции системы Y(t) — число
эксплуатируемых в момент t технических устройств
(Х(0^ У(0, так как часть ТУ может выйти из строя).
При эксплуатации ЭВМ в качестве входного воз-
действия можно рассматривать напряжение силового
питания Х(0> подаваемого на вход стабилизатора
напряжения, а в качестве выходного сигнала У (0~
напряжение на выходе стабилизатора.

В общем случае в качестве входного воздействия
на систему S может рассматриваться векторный с. п.
^(0e{Xi(0, Xa(t)........Хя(0}, когда на вход си-

стемы S подается п с. п. (см. рис. 6.2.2), на выходе

Рис. 6.2.2

системы S получают тоже векторный случайный про-
цесс У(6“{У1(0» Уг(О> • ••. У*(0}- Размерности
векторных случайных процессов X(t) и У(0 могут и
не совпадать (k^=n).

Символически преобразование случайного пр'
цесса X(t), поступающего иа вход системы S
(рис. 6.2.1), в выходной сигнал У(0 можно записать
в виде

У(0-Л{Х(0),	(6.2.1)

где At — оператор системы S.

Индекс t означает, что этот оператор осуществляет
преобразование случайного процесса по аргументу t,
обычно имеющему смысл времени.

Заметим, что понятие оператора At системы S зна-
чительно шире понятия функции. Например, запись
y = f(x) (у есть функция х) означает, что каждому
значению аргумента х (из области его возможных
значений) по определенному правилу (алгоритму)
ставится в соответствие значение функции у. Таким
образом, число х преобразуется в число у.

Понятие оператора At несколько иное. Запись
y(t)~ At{x(t)} (функция y(t) является результатом
преобразования функции x(t) оператором At) озна-
чает, что каждой функции x(t) по определенному
правилу (алгоритму) ставится в соответствие функ-
ция y(t).
Например: x(t)— cosat-, оператор At является опе-
ратором дифференцирования Л = 57. тогда

у (t) — At {cos ©/} = ~ cos at— — (sin ®/)<в.

Ниже будут рассматриваться различные опера-
торы: оператор интегрирования, оператор решения
дифференциальных уравнений, оператор возведения
в квадрат, оператор суммирования, оператор умноже-
ния и др.

При исследовании преобразования (6.2.1) в инже-
нерной практике могут иметь место две задачи: пря-
мая и обратная.

Прямая задача ставится так: известны характери-
стики (или законы распределения) с. п. Х(<) на входе
в систему S, известен оператор At системы S; тре-
буется определить характеристики (или законы рас-
пределения) с. п. У (t) иа выходе системы S.

Обратная задача ставится несколько иначе: из-
вестны характеристики (или законы распределения)
с.п. X(t) на входе в систему S; заданы требования
к характеристикам (или законам распределения) с. п.
У(0 иа выходе системы S; требуется определить вид
оператора At системы S, наилучшим образом удов-
летворяющий заданным требованиям к с.п. Y(t).

Необходимо отметить, что решение прямой задачи
намного проще, чем обратной. Решение обратной за-
дачи находит широкое применение при проектирова-
нии различных технических устройств, так как оно
дает возможность обосновать требования к оператору
At системы S. Другими словами, решение обратной
задачи дает возможность сформулировать требования
к проектируемому техническому устройству.

В соотношении (6.2.1) есть три элемента: вход-
ное воздействие на систему X(t), оператор At и реак-
ция системы У(/). Если известны какие-либо два эле-
мента, можно определить третий: 1) зная характери-
стики входного воздействия X(t) и оператор системы
At, можно определить характеристики реакции си-
стемы У(/) (прямая задача); 2) зная характеристики
входного воздействия X(t) и требования к характе-
ристикам реакции системы Y(t), можно определить
оператор системы At (обратная задача)
Иногда в инженерной практике возникает и третья
задача: зная характеристики реакции системы Y(t) и
оператор системы At, определить характеристики вход-
ного воздействия X(t). Примером третьей задачи мо-
жет быть следующая инженерная проблема: с. п.
X(t) изучается (измеряется) с помощью оператора
системы At, который нам известен. Результат такого
измерения Y(t) также известен. Требуется определить
характеристики с. п. X(t).

Модификацией обратной задачи является задача
идентификации оператора системы At, которая ста-
вится следующим образом: зиая характеристики вход-
ного воздействия X(t) и характеристики реакции си-
стемы Y(f), определить оператор системы At, т. е.
найти различные параметры, определяющие оператор
системы At.

Преобразование векторного с. п. X(t) размерности
п можно символически записать так (см. рис. 6.2.2):

У,(П = Л</)Ц(0} = 4)'»{Х1(П, Х2(0.....Х„(П)

(i=l, 2......k).	(6.2.2)

Другими словами, i-я составляющая Yt(t) векторного
с. п. У(0 получается в результате преобразования
оператором векторного с. п. X(t) (i — I, 2, .... k).

Пример такого преобразования может быть сле-
дующий:

Уt (*) = t (0 X, (П + (О (i=l,2,..., k).

(6.2.3)

Перейдем к анализу различных операторов. Все
множество операторов А можно разделить иа два ие-
пересекающихся подмножества L и N (А = L + N;
L-N — 0). Подмножество L состоит из линейных
операторов, а подмножество N — из нелинейных опе-
раторов. В свою очередь, подмножество линейных
операторов L можно разделить иа два иепересекаю-
щихся подмножества: Lo — линейных однородных опе-
раторов и LH — линейных неоднородных операторов
(рис. 6.2.3).
Оператор Lo называется линейным однородным,
если он обладает следующими двумя свойствами:

1°. Линейный однородный оператор от суммы
функций равен сумме линейных однородных опера-
торов от каждой функции, входящей в сумму:

Ц t xt(o| = Е MMOL

(6.2.4)

Другими словами, знак линейного однородного опера-
тора Lo и знак суммы Е можно менять местами.

2°. Постоянную величину (не зависящую от пере-
менной, по которой проводится преобразование) мож-
но выносить за знак оператора Lo:

L0{cx(t)} — cLo{x(f)}.	(6.2.5)

Из этих двух свойств следует, что

Lo ( Е aiXi (0 ) = Е atLo {xt (/)},	(6.2.6)

) i-i

в частности, если п — 1 и а\ = 0. то

Lo{0} = 0,	(6.2.7)

т, е. если входное воздействие отсут-
ствует, то н реакция.системы равна
нулю.

Оператор LH называется линейным неоднородным,
если он состоит из линейного однородного оператора
н некоторой вполне определенной неслучайной функ-
ции <р(/):

Lu{x(t)} = L0{x(t)} + ^(t).	(6.2.8)

Пример 1. Указать, к какому виду относятся
следующие операторы:

1)	—	--.Sf). (оператор дифференцирования),

t

2)	У (0 = а (0 $ х (т) dx (оператор интегрирования),
о

t

3)	у (/) ~ $ ф (т) х (т) dt (оператор интегрирования
о

с определенным «весом» ф(/)).

4)	у (О ~ -а + а{ ^p~ + aax(t) (оператор диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоян-
ными коэффициентами),

5)	У (0 — а (/)	4-ф1(0,

6)	У (t) = а (0 J ф (т) х (т) Л+<р2 (0.
о

7)	Н0 = ф(0*(0 + фз(0-

Решение. Операторы 1)—4) являются линей-
ными однородными, так как оба свойства (6.2.4),
(6.2.5) выполняются. Например, оператор 4) может
применяться к сумме почленно:

„ d2 (х, (/) + хг (О) ,	4(х>(0 + х2(П) .

—	--------t-ai dt b

+ oo (*i (0 + x2 (0) = аг + at +

+ tJoXf (t) +	—j--- + at —+ OoX2 (/) =

= f/i (0 + y2(0;

не зависящую от t величину с можно вынести за знак
оператора:

fl2^^ + a,£J^O)+CeCx(o=s^(o.
Отметим, что если в операторе 4) коэффициенты
будут зависеть от времени: a2(Z), «МО. <М0. то опе-
ратор остается линейным однородным.

Операторы 5), 6), 7) являются линейными неодно-
родными, так как они содержат слагаемые <₽t(0,
<р2(/), ч>з(0 соответственно. Если эти слагаемые по-
ложить равными нулю, то операторы 5), 6), 7) станут
линейными однородными.

Пример 2. Указать, к какому виду относятся
следующие операторы:

1)	«/(0 = cos х (0 4-ф (0.

2)	у (Г) == а (/) х3 (Z),

3)	у(0 =	+ sin х(0,

4)	y(t) — e~K{t',xW.

Решение. Все указанные операторы являются
нелинейными, так как ие выполняются ни условия
(6.2.4), (6.2.5), ни условие (6.2.8). ►

Будем называть систему нелинейной и обозначать
той системы является нели-
нейным (N). Если оператор
системы линейный (L), то
систему будем называть ли-
нейной и обозначать S^.

Линейные системы Sl
играют значительную роль
в инженерных приложениях.
Оператор системы S во мно-
гих случаях может быть
либо строго линейным, либо
линеаризуемым. На рис. 6.2.4
показана зависимость ско-
рости вращения вала турбо-

реактивного двигателя в зависимости от количества
подаваемого топлива х. В диапазоне «рабочих» зна-
чений величины хе (а, Ь) функция у(х) может быть
линеаризована или представлена рядом прямых (ло-
маной). Как увидим в дальнейшем, анализ линейных
систем намного легче, чем анализ нелинейных систем.
Здесь имеется определенная аналогия с функция-
ми случайных величин. Известно (см. п. 8.2*), что чис-
ловые характеристики линейной функции случайных
величин определяются через числовые характеристики
аргументов. Если случайная величина

Y^ZaiXi + at,
i-i

ТО

п

М [F] = лг„ — Е 4itnt + Оо,

х-1

О[Г]-^=Е tafiiKu,

О о
где /п, = М[Хх], Ki^MlXiXj].

В п. 6.1 было указано, что с.п. X(t) может быть
с достаточной точностью представлен своим канони-
ческим разложением

со

Х(0 = т,(0+ЕПф4(0.	(6.2.9)

*-1

Этот с. п. подается на вход линейной системы Sl,
имеющей линейный неоднородный оператор £„(•}

<		п
п	л		1
		ту(1)-Ьн{тх^)}=
		

Рис. 6.2.5



(рис. 6.2.5). Следовательно, с. п. X (0 подвергнется
линейному неоднородному преобразованию (6.2.8):

Y (0 = LH {X (0) == Lo {* (01 + <₽(/) =

= Loimx (0 + Е VkVk (0 I + <р (0.	(6.2.10)

(.	4 = 1	)

В соответствии с первым свойством линейного одно-
родного оператора (6.2.4) получаем:

ОО

Y (0 = La {X (0} = Lo {тх (0) + £ Lo {VkVk (0) + Ф (0.

А— 1
Так как с. в. Vk не зависит от времени t, по которому
проводится линейное однородное преобразование, то
эту с. в. можно вынести за знак линейного однород-
ного оператора:

Y (0 = Ln {X (/)} = Lo {тх (/)} + Е VkLo {<р* (0} + <р (/).
г-i

Обозначим

Л>{фб(0}^Ф*(О	2, ...), (6.2.11)

(6.2.12)

Тогда получим

У(О==£н{Х(П}==фо(О + ф(О+£ М>»(0. (6.2.13)
6-1

Выражение (6.2.13) представляет собой канониче-
ское разложение с. п. Y(f), у которого

1)	математическое ожидание

ту (/) = М [У (0] = to (0 + Ф (0 = Lo {тх (0) + ф (0 =

= L№(fnx(t)}, (6.2.14)

2)	координатные функции определяются из выра-
жения (6.2.11),

3)	коэффициенты разложения Vk (6=1,2,...)
остались без изменения; следовательно,

У (/) = LH{X(0) = «„(/)+ £ Fkt*(0- (6-2.15)
1

Таким образом, можно сформулировать следую-
щее правило неоднородного линейного преобразова-
ния с. п., заданного своим каноническим разложением
(6.2.9) (см. рис. 6.2.5). Если случайный процесс, за-
данный своим каноническим разложением X (/) —
п

= тх (/) + Е ^бФб (0. подвергнут линейному неодно-
4-1

родному преобразованию £„{•}, то получится случай-
ный процесс тоже в виде канонического разложения:

У (/) = Ln {X (0) = tny (/) 4- Е V^k (0,
fe = l

при этом математическое ожидание с. п. У (/) полу-
чается в результате того же линейного неоднородного
преобразования математического ожидания случай-
ного процесса X(t):

my (t) = L„ {шх (/)};

а координатные функции канонического разложения
случайного процесса Y(t) получаются в результате
соответствующего линейного однородного преобразо-
вания координатных функций канонического разложе-
ния случайного процесса X(t)-. $&(/) = Lo {ср* (0}
(коэффициенты канонического разложения с.п. Y(t)
остаются теми же, что коэффициенты канонического
разложения с. п. X (/)).

Так как с.п. Y(t) представлен своим канониче-
ским разложением (6.2.15), то его корреляционная
функция может быть также представлена канониче-
ским разложением (см. (6.1.10))

к у a, n-E’MO'M/w	(6.2.16)

*	*=i

Но в соответствии с равенствами (6.2.11) выраже-
ние (6.2.16) можно записать в виде

Ку (t, f) - Д Lot (t) {<pft (/)} Lot, {<pfc (f)} Dk. (6.2.17)

В этом выражении LOf {<p* (/)) означает, что линейный
однородный оператор Lo{-} берется по аргументу t,
a Lot, {<pfc (/')} — по аргументу t'.

Применяя к выражению (6.2.17) первое свойство
линейного однородного оператора (6.2.4), получим

Ку (t, t') = Lo/ { L°t' { Д Ф» (0 <₽* (О ‘

Выражение, стоящее под знаком суммы, представ-
ляет собой корреляционную функцию с.п. Х(/), сле-
довательно,

Ky(t, t')^Loi{Lot,{Kx(t, /')}}

Так как к. ф. симметрична относительно своих аргу-
ментов, то

Ku(t, t') — Lot{Lot,{Kx(t, /')}}==

— Lot,[Lot{Kx(t, t')}}. (6.2.18)
Таким образом, корреляционную функцию Ku(t, f)
случайного процесса Y(t), полученного в результате
линейного неоднородного преобразования случайного
процесса X(t): Y(t) = L„{X(t)}, можно найти в ре-
зультате соответствующего двойного линейного одно-
родного преобразования корреляционной функции
Kx(t,t') случайного процесса X(t), взятого сначала
по аргументу t, а затем — по t' (или наоборот).

Так как дисперсия Dy(t) с.п. Y(t) равна его к.ф.
при равенстве аргументов, то

D„ (t) =	(t, t) = lim Lot {Lot, (Kx (t, /')}}. (6.2.19)

Следовательно, дисперсия Dy(t) случайного процесса
Y(y), полученного в результате линейного неоднород-
ного преобразования случайного процесса X (t):
Y(t)— Ln{X(t)}, получается в результате двукратного
применения соответствующего линейного однородного
преобразования к к.ф. Kx(t,t') и затем нахождения
предела полученного выражения при

Таким образом, схема решения задачи линейного
преобразования с.п. X(t) следующая: даны характе-
ристики преобразуемого с.п. Х(0 (м.о. mx(t) и к.ф.
Kx(t,t')), задано линейное неоднородное преобразо-
вание

Г(0 = ЦХ(0} = ЦХ(0} + ф(0.

Требуется найти характеристики с.п. У(0 (м.о.
my(t) и к. ф. Ky(t, f)).

В соответствии с равенствами (6.2.14) и (6.2.18)
получаем

У(0=£я {Х(0) = £о{Х(П}+ф(0,

ту (0 = L„ (тх (0) = Lo (тх (0} + <р (0, (6.2.20)
Ку (t, t')^LOi{LOi,(Kx(t, /')}}.

Схема решения этой задачи изображена на
рис. 6.2.5.

Особо отметим, что указанная схема имеет место
как для случая, когда с. п. X (0 задан своим кано-
ническим разложением, так и для случая, когда не-
известно каноническое разложение с. п. Х(0. Это сле-
дует из того, что практически любой с. п. может быть
с достаточной точностью представлен своим канони-
ческим разложением.

Задача 1. Дифференцирование слу-
чайного процесса. Даны характеристики с. п.
X(t): mx(t) и Kx(t,t') \ с. п. X(t) подвергается диффе-
ренцированию:

У(/)==-^-Х(/).	(6.2.21)

Требуется найти характеристики процесса Y(t).

Решение. Операция дифференцирования яв-
ляется линейной однородной, следовательно,

тд/)==±^)_,	=	/'), (6.2.22)

Dy (0 = lim Ку (t, t').

Пример 3. Найти характеристики производной
с. п. X(t)—Vt+a, рассмотренного в примере 4 из
п. 1.2 (где введены несколько иные обозначения).

Решение. В примере 4 из п. 1.2 были найдены
характеристики с. n. X (/): тх (/) = mot 4- а, Кх t') —

— а2//', где mv — М [V], а2 — М [V2].

Случайный процесс У (/) есть производная с. п.
X(t): У(0 = ^-Х(О, значит,

Шу — ту (/) — (mvt + a) — mv = const,

Ку (t, t') — d~t,- a2tt' — a20 — const,

Du (0 = lim Ku (t, t') = a2v — const.

Таким образом, с. n. У(0 = V. Это следует и непо-
средственно из того, что

У(/)-4 J(/) = 4(W + a)= V.X;

Пример 4. Найти характеристики производной
с. п. X(t)— We~vt, где с. в. W распределена нормально
с параметрами mw, aw, а с. в. V распределена равно-
мерно в интервале (0, й); t > 0, а > 0, с. в. W, V
независимы.
Решение. Найдем характеристики с.п. X(t):
тк (/) = М [We~vt] = M[F]M [e~vt\ =

С _ , du	1 —e~at

tnw e a mw

о

M [X (О X (/')] = M \W2e~ vte~vt'] =

1

Kx (/, t') = м [X (/) X (f)] - mx (0 mx (/')«

_e-a(t+n
a(t + t’)

_m2 (l-e^)(l-e-H
a3tt'

Отсюда

т __________*	mw 1-е а<(1 + at)

ту \Ч	rft тх v) а	ft

Находим корреляционную функцию производной:
к,«.

д f +	*“е a(t+t') — (t + t')ae-at-f+t'}

~ ~dF I a	— (/ +1')3

mw 0 — e at){\ — e~ai'— t'ae’at') |

_ —	_	J =

__ ol + m2w ( a2e~a<t+tr> 2

“ a I t +1' (t +1')3

X [а(^4-Г)е-а<<+<'> + е-а<<+*'>- 1]} —
wa>

~ -a~(h'F {ate~at + e~at ~~ 1)(а/ e~at' + e~at ~ О-

Полагая найдем

n  ot + mw f — 2 [1 — e~iat — 2ate 2at] ( a2e~2ai |

(1 — e~at — ate~atY
t*

Пример 5. Найти производную с.п. Х(/) =
— Ксо8(ф/ 0), где с. в. У распределена по закону
Рэлея с параметром а, а с. в. 0 распределена равно-
мерно в интервале (0,2л), ^ — неслучайный пара-
метр, с.в. У и 0 независимы.

Решение. В примере 7 из п. 1.2 было показано,
что с.п. X(t) имеет характеристики mx(t) — d,
Кх (/ — f) = о2 cos $ (/ — /'), следовательно,
„ /л__________________ dmx (/)	«

т/о = —аГ~ = °>

Ку П " -эйг ** <*• О = °2*2 cos * (' - f)’

(/) = lim Ку (t, t') == eV-
* t+t'

Задача 2. Интегрирование случай-
ного процесса. Даны характеристики с.п. Х(0;
mx(t) и Ax(f,f). Случайный процесс У(/) получается
в результате интегрирования с. п. X (/):

t

У (t) = X (х) dx.

о

Требуется найти характеристики с.п. У (О-

Решение. Операция интегрирования является
линейной однородной, поэтому

Г	t . V	V

(0 = ( тх (т) dx, Kv (t, t') — J I J Kx (t, t') dx') dx,
о	0 \o	/

(6.2.23)

Dy (f) = J Г $ Kx (t, x') t/тЛ dx.
0 \o	/

Пример 6. C.n. X(t) задан в виде своего кано-
нического разложения

X(0 = /2+E	(/>0),

где Vk — центрированные некоррелированное с.в.
с дисперсиями Dk (k — I, 2, ..., п), ak > 0 (k —
= 1, 2....п),	с.п. У(0 = $ X(т)dx\ определить его

о

характеристики (/>0).
Решение. Применим формулы (6.2.23)
t	t

my(i)—\rnx(x)dX—^T'2dl — t3/3 (ОО),
о	о

Найдем корреляционную функцию с. п. X(t). По фор-
муле (6.1.10) получим

К, (Л	e*(<+nD*.

Найдем двойной интеграл

Й'.'	- t	г

е-Ч <<+^ dx' Ът = J е-^ dx J e-aiSdx' ==
/о	о

= (1 - е~“**) (1 - е akt'W ft > о, Г > 0).

Тогда

Kx(t, t')dt\dt —

Se'“ft<t+nDkdr'\dr —
0 \0 4-1	/

“L--------з	°*-

4—1	4

Каноническое разложение с. п. У (t) будет иметь вид

i'w—«>°>- ►
4-1	k

Перейдем к анализу нелинейного преобразования с. п.

Х(1), заданного своим каноническим разложением:

Y (/) = Ht {X (/)} = ^(тх (() + £ ГкФ*(0
I	4-1

где JV/{X(t)} — нелинейный оператор от функции X(t}
по аргументу t.
Нелинейные операторы АОрЦО} не обладают об-
щими свойствами, которыми обладают линейные
операторы Lt {%(/)} (см. (6.2.4) — (6.2.8)). Каждый не-
линейный оператор А0{Х(/)} обладает своими свой-
ствами. Поэтому общих правил нахождения харак-
теристик с. п., полученного в результате преобразо-
вания с. п. X(0 нелинейной системой S^, нет.

Однако и в этом случае можно утверждать, что
с.п. У(/) на выходе нелинейной системы Sw тоже
можно представить в виде канонического разложения,
параметры которого: м.о. координатные функ-
ции ФИО и коэффициенты разложения будут зави-
сеть от параметров канонического разложения слу-
чайной функции X(t), подаваемой на вход нелиней-
ной системы Sw и оператора этой системы A0{X(f)}.
Это утверждение следует из того, что с достаточной
точностью любой случайный процесс можно предста-
вить в виде канонического разложения. Покажем
справедливость этого утверждения для некоторых не-
линейных операторов.

Задача 3. Квадратичное преобразо-
ван и е с. п. Х(/), заданного своим каноническим раз-
ложением

п
x(0 = ^(0+Z^(0-
.	fc=l

Требуется найти характеристики с.п. У(/)~(X(i))2.

На случайные величины V* (k — 1, 2, ..., п) на-
кладываются дополнительные ограничения: любые че-
тыре из этих величин независимы (также независимы
любая тройка и пара), а распределения этих величин
симметричны относительно математического ожида-
ния (например, нормальный закон, закон равнобед-
ренного треугольника, равномерное распределение
при условии, что м.о. равно нулю).

Решение. В соответствии с условиями задачи
имеем:

(п	\2

+ = \

✓
п	п	\

= т*(1) + 2 £ V^k (/) тх (0 + £ УЫ (0 4-
S=l

+ S lW<M0<₽/(0- (6.2.24)
k<l

10 Теория случайных процессов
и ее инженепные ппияожения
Найдем м. о. случайного процесса Y (0:

ту (0 - М [У (0Г= М [(тх (0 + X (0)2] = т2 (0 +

+ 2тх (0 М [X (01 + М (01 = т2 (0 + Dx (0

Так как с.п. Х(0 задан своим каноническим разло-
жением, то

т„ (0 == ml (0 + Dx (0 - ml (0 + £ Dk^ (t). (6.2.25)
ft™ 1

Вычтем из выражения (6.2.24) математическое ожи-
дание, определяемое по формуле (6.2.25):

0 "

У (0 = У (0 - ту (0 = Е V к2тх (t) Фк (0 +

А-1

+ £ (VI - Dk) ф2 (0 + Е И,2ф4 (0 ф, (0. (6.2.26)
А™ 1	ft< I

Введем обозначения

2тл (0 == ф4 (0, ф2 (0 « v4 (t), 2Ф* (0 Ф/ (0 == ф4 , (0,

(6.2.27)

Vk — Dk — Uk,

С учетом принятых обозначений получим:

J (0- £	(0 + £	(0 + Е П HP*, I (t)-

Jk-l	A-l	k<l

(6.2.28)

Покажем, что выражение (6.2.28) представляет
собой каноническое разложение центрированного с. п.

У(/) (см. (6.1.8)).

Для этого достаточно показать, что с. в. V*, Uk,
№*,/(£== 1,2, .... n), k ФI, являются центрирован-
ными и некоррелированными

l)M[Vkl = 0, MlV^l-O, D[Vkl==Dk
по условию задачи;

2)	M[C/kJ = MM-Dk] = Dk-Dk = 0,
М [UkUt] = М [(И - Dk) (Vl - D,)] =

= М [Vt - Dk] М [V? - £>,] — 0,
так как случайные величины V* и Vi независимы;

3)	М	М = 0 по условию задачи;

4)	М [VkUi] = М [Kfe (V? - Dj] = 0,
так как случайные величины V к и Vt независимы;

5)	М (VkUk] = М (К1 - £>*)] = М [l4 - DkVk] =
= М[И3*]-Д*М[У*] = 0,

так как закон распределения с. в. Ук симметричен от-
носительно м. о. (в этом случае все нечетные цен-
тральные моменты равны нулю);

6)	M[KfeW\z] = M[viKz]=0 или М[ИА1Г£>/]==
= М[ВД) = 0,

так как с. в. Vk (/г = 1, 2, ..., п) независимы;

7)	= М[(У» —D*) V^/l = о нлн

М /] = м [(vl — Dk) V tV — 0, так как любые
три или две с. в. Vk (k=l, 2.....и) независимы;

8)	M[rM«7/J = M[Vr*Vr/Vr/V/) = 0, так как лю-
бые четыре с. в. с разными индексами независимы.

Следовательно, корреляционная функция с. п. Y(t)
может быть* представлена своим каноническим раз-
ложением:

Ку (t. t') = t Drfk (0 ф* (Г) 4- t DUkyk (I) ъ (/') +
4=1	4-1	*

+ S Dwk г<р4, I ) Ф4, I (t')>
где

D* = D[Vfc],

Duk =D[f/ft] = D[724-Dj=	(6.2.29)

= M [( Vl - D?2] = M [ И1] - D24 = № - Dl,
DVk t = D J = D [VkVt] = M [VlV^] = DkDl.

(так как случайные величины Vk и Vi йезависимы).

Пример 7. На вход квадратичного детектора по-
дается с. п. Х(/)= Ксозф<4- t7 sin-ф/, где У н U не-
коррелированные, центрированные, нормально рас-
пределенные с. в. с дисперсиями D [У]» D [17] »» о2
(см. пример 10 из п. 1.2). На выходе детектора полу-
чается с. п.

У(/) = (Х(0)2.

Найти характеристики с.п. Y(t).

Решение. В данном случае

D. = D2 = ct2, DBi=DBj=M[(V2-o2)2] =

= М Ц£/2 - а2)2] = ц4 - а4.

Для нормального закона четвертый центральный
момент будет равен ц4 = 3ст4 (см. (6.3.13)*), следо-
вательно, Du> = DUj = 2ст4, Dw। 2 = DiD2 — ст4. Далее
(см. (6.2.27)):

Ф1 (0 = Фг (0 = 0, V; (/) = cos2 ф/, v2 (/) = sin2 ty,

<C'k, i (!) = <Pi,2 (0 = 2 cos sin $t.

0
Следовательно, каноническое разложение с. п. У (/) бу-
дет иметь вид

о

Y (t) = и{ cos2 ф/ 4- U2 sin2 ф (/) 4- W22 cos ф/ sin ф/,
откуда

Ку (Л О — 2ст4 cos2 ф/ cos2 ф/' 4-

4- 2ст4 sin2 ф/ sin2 ф/' 4- 4ст4 cos ф/ sin ф/' =

= 2ст4 (cos ф/ cos ф/' 4- sin ф/ sin ф/')2 =

— 2ст4 cos2 ф (/ — /') = 2 (Кх (t, t'))2,
так как Kx(t, i') = ст2 cos ф(/— /') (см. пример 7 из
п. 1.2);

Dy(t) = Ky(t, /) = 2ст4 = 2О2.

В соответствии с формулой (6.2.25)

(/) = Dx = ст2.

Пример 8 На вход квадратичного детектора по-
дается с. п.

* (0 = Ё (V\ cos 4- Uk sin $ft/),
fe= 1

где Vk и Uy некоррелированные, центрированные,
нормально распределенные с. в. с дисперсиями
D (Vfe) = D [£7fe] = Dk — cl. Найти характеристики с. п.
— на выходе детектора.

Решение. В соответствии с решением предыду-
щего примера имеем центрированный с. п.

У(0=£ [(vl — os) cos2 (0+

fe-I

4- 2V'fetz* sin cos ^kt 4- (ul — Oft) sin2
который представлен своим каноническим разложе-
нием; следовательно,

Ку (t, f) = 2 £ о| cos (/ - Г), Dy (/) = 2 £ а*,
n

Если с. п. X(/) = /nx(04-S (^fecos W + ^sin ФЛ
ft-i

то каноническое разложение центрированного с. п.
о

У (/) будет иметь вид (см. (6.2.27) и (6.2.28)

о	Д

У (0 = 2тх (/) X (Vk cos W 4- Uk sin ipA0 4-
k-i

+ [(Vfe — o2k) COS2 гМ 4- 2VkUk sin cos <$kt 4-

4-(t/2 — ol) sin2
Следовательно,

Ky (t, t') = 2mx (0 mx (f)	a* cos (t — t') 4-

4- 2 E aj cos	(/ — t'),

fee I

D (t) = 2m2x(t)t °l + 2 £ al,
fe-i	fe-i

ту(() = т2х(1)+^а1.
6.3. Линейная форма векторного
случайного процесса.

Сложение случайных процессов

В п. 6.2 были рассмотрены линейные и нелиней-
ные преобразования скалярного с. п. В этом пункте
будет рассмотрено преобразование векторного с. п.:

х(о={х, (о, х2(о......хит-

Неоднородной линейной формой векторного слу-
чайного процесса X(t) называется выражение

k

+	(6.3.1)

£-1

Если ао(О — 0, то получаем однородную линейную
форму векторного с. п. X (/):

У о (0 =ial(t)Xl (/).	(6.3.2)

Известны характеристики векторного с. п. X (t):

I.	Математическое ожидание векторного с.п. X(t)

mx.(t) = {mx(t),	(6.3.3)

где

m, (О = M [%,(/)] (i = l. 2, .... fe). (6.3.4)

2.	Квадратная матрица размерности (k X k) вза-
имных корреляционных функций векторного с. п. X (/)

IIRud, ПН,	(6.3.5)

где
о о

Rii (Л Г) = М [X, (о X, (/')] (/,/=1,2.k).	(6.3.6)

Требуется найти характеристики с. п. Ун(0 и Уо(0»
определяемых по формулам (6.3.1) и (6.3.2) соответ-
ственно.

Заметим, что для фиксированного момента вре-
мени t выражение (6.3.1) является линейной функ-
цией системы случайных величин (X] (/), .... ХА(/)).
Следовательно, в соответствии с формулами (8.2.9)*,
,(8.2.13)* получаем

М [Г„ (0J =	(0 = £ а( (0 mt (0 + Оо (0, (6.3.7)

D [Ун (0] = Du (t)= Ed (0 Dt (0 +
н i-i

4-2‘S a<(0G/(0KJ/(0, (6.3.8)

где

D((0 = D[X((0) = K((1, 0,	(6.3.9)

Kq(0 = M [^(0^(01.	(6.3.10)

Но в соответствии co свойствами взаимной корре-
ляционной функции, приведенными в п. 1.2 (см.
(1.2.40) —(1.2.42)),

(t, 0 = М (0 Xt (0J = Rlt (t, t), (6.3.11)
/c//(0==^/a, 0.	(6.3.12)

Следовательно,

D [Ун (0] =£ a? (0/?„(/, 0 +

+ 2 £ ^(00/(0/?//^, 0- (6.3.13)
к/

Короче, выражение (6.3.13) можно записать так:

k k

D [Ун (01 = g E (0 a, (0 Rit (t, t). (6.3.14)

Если составляющие векторного случайного процесса

X(t) не коррелированы (/?^(/, 0 О при i=j£ j), то

k

А

D (Уи (01 = Е d (/) Кн (/, 0 = Е d (0 Dt (0. (6.3.15)
/-1	/=i
Для отыскания корреляционной функции с.п. YH(t)
о

найдем центрированный с.п. У„ (/) (см. (6.3.1) и

(6.3.7)):

°	д

уи (О = Ун (О - ™уи (О = Е а{ (О Х{ (t) + Оо (0 -

Д	До

- Е (О (/) - оо (/) = Е а/ (0 Ъ (О, (6.3.16)
j-i	/=1

о

где Xt — Xt (/) — mi (О (/=1,2.k).

По определению корреляционной функции
о о

кУла, /')=м[ун(0Ун(П]=

[Д 0 Д °	1

EMO^oEMn*/(nJ==

[Д Д	0	0	1

Е ЕаЛОа/ЮХДПХДП 

Для фиксированных моментов t и t' получаем сумму
с. в., к которой применяем теорему сложения матема-
тических ожиданий:

Д Д	0	0

Кув (t, t') = Е Е а, (0 af (f) М [Xt (t) X, (/')] -
k k	k

= E E ai (o a, (/') Rtl (t, f) = £ a, (/) at (tf) Rti (t, f) +

+ E (0 a, (f) Rit {t, t') =^ai (/) ai (/') Ki (t, t') +

1чЧ	z-i

+ 'Lai(t)al(t')Ril(t,t'). (6.3.17)

Если составляющие с. n. X(t) ие коррелированы,
то

к

Куи (/, К) = £ а/ (0 at (/') Ki {t, f).	(6.3.18)

H i-i

Математическое ожидание с. п. Уо(/), определяе-
мого формулой (6.3.2),

М (Го (01 = тИа (0 = Е а/ (0 mi (/).	(6.3.19)

Xе!
Корреляционная функция

Kya(t,t') = KyH(t,e).	(6.3.20)

Частным случаем линейной формы векторного с. п.

X(t) является сумма его составляющих:

ь

НО =Z *<(/).	(6.3.21)

i-l

В этом случае характеристики случайного процесса
Y(t) будут (см. (6.3.7) и (6.3.17)) равны:

k	k k

ти (0 = X (t), Ку (t, f) = Е X Ki} (0 t'), (6.3.22)
i-l	i-l /•!

т. e. m.o. my(t) равно сумме м.о., составляющих век-
торного с. п. X(t), а корреляционная функция — сумме
всех элементов взаимной корреляционной матрицы
этого векторного с. п. X(t).

Если составляющие векторного с.п. X(t) не корре-
лированы, то (см. (6.3.18))

k

Ky(t,	f),	(6.3.23)

i-l

т. e. корреляционная функция суммы некоррелирован-
ных случайных процессов равна сумме корреляцион-
ных функций этих случайных процессов.

Пример 1. «Производственная функция» отрасли
(предприятия) может быть представлена приближен-
ной формулой
k

Ylf^'L^XM, (6.3.24)
г-i

где У (/)—количество выпускаемой отраслью продук-
ции на момент времени /, Xi(t) — трудовые ресурсы
отрасли на момент времени t, Х2(0— основные фонды
отрасли на момент времени t и т. д., С|(/), az(t), ...
. ,.,aft(0—переменные коэффициенты, которые из-
вестны. Известны также характеристики с. п. Xi(0.
Х2(0> •••> ^л(0- "*1(0. "Ы0....."МО и взаимная

корреляционная матрица \\Ru(t, f)||. Требуется опре-
делить характеристики случайного процесса Y(t).

Решение. Производственная функция отрасли
представляет собой линейную форму вектор кого с. п.
^(0, составляющие которого Xt(f), X2(t), ...» Xk(t)
представляют различного вида ресурсы, имеющиеся
в распоряжении отрасли.

Следовательно, по формулам (6.3.19), (6.3.20),
''(6.3.7) и (6.3.17) находим

k

М [У (/)] = т„ (0 = Е а( (П mt (/),	(6.3.25)

k k

Ку (t, tr) = Ё Е( <4 (о а, (/)	(t, t'). (6.3.26)

Пример 2. Плановое задание для отрасли по
выпуску продукции за год установлено уп. Опреде-
лить вероятность выполнения плана отраслью в конце
года (на момент времени 1к) при условии, что в на-
чале года to выпуск составлял у0, а двумерный закон
распределения с. п. Y(t)—нормальный с характери-
стиками (6.3.25) и (6.3.26).

Решение. По условию в начале года (в момент
/о) с. в. Y (to) равна у0.

В п. 1.2 было указано, что двумерный закон рас-
пределения нормального случайного процесса являет-
ся его исчерпывающей характеристикой. Это озна-
чает, что для определения вероятности выполнения
плана Р {Y (tK) > уп) достаточно знать состояние про-
цесса в момент времени to. Указанная вероятность не
будет зависеть от того, как процесс развивался до
момента to (напомним, что такие процессы называют-
ся марковскими, они были подробно рассмотрены
в гл. 3, 4, 5).

Таким образом, безусловный двумерный закон
распределения с. п. У(0 в точках t0 и tK (для слу-
чайных величин У (to) и Y(tK)) будет нормальный
с тремя параметрами

ь

mg(t0)= Е Gj (to)mt(to),

k

mu (4) = E ai (4) mt (tK),
k It

Ky (to> м = E E ai (a>) at (4) Ki/ (to>

/”1

Зная двумерный закон распределения, можно найти
условный одномерный закон распределения с. в.
Y(tK)—YK, вычисленной при условии, что с.в. Y(t0)
равна уо- Известно (см. (7.9.15)*), что этот закон
тоже будет нормальным с параметрами



(У0 "Ч)

°У0

D«K I У о -• °Ук С1 ~ Г»к»о)’ <4 I »в — VD«K I У О’

где

тУк тУ тУо = тУ ^). °Ук = Ку (**• *«)»

аУк = л/&ук ’ Dyo = Ку (А)> М» °»0 — Dya,
гукуй = KyKyJ(oyK<Jya) = Ку (to, ^(оу^у^-

Следовательно, искомая вероятность выполнения от-
раслью плана при условии, что в момент to, выпуск
составлял у о, будет

Р {У (/к) > У ОIY (/0) = Уо} = 0,5 - Ф f,
\ Х|»о /

где Ф(х)— функция Лапласа (см. (6.3.15)*).

Рассмотрим численный пример. Пусть средний
выпуск ЭВМ отраслью определяется по формуле

ту (/) = 1000/ 4- 10000

(где / измеряется в годах), а к.ф. Ky(t,f) выпуска
ЭВМ— по формуле

Ky(t, t')= 1О6е-о-359| t -n

Найти вероятность выполнения пятилетнего плана
уа = 15000 ЭВМ, если к концу четвертого года пяти-
летки было выпущено уо — 14850 ЭВМ. Для этих
условий получим:

тук — ти (5) = 15000 (ЭВМ),

т.уа — ту (4) = 14000 (ЭВМ),

= Dy (5) = 106, оук - <!уа = 103 (ЭВМ),

Гу у = Лу-(/<>’-/-- = е-0.359 « 0,7,
к аУхаУо
1КПАЛ । 0,7  103 (14850 — 14000)	.c_ne

т«к|»в== 15000 4- —---------------- 15595 (ЭВМ),

OyKp0 = V106(l -0,72) = 714 (ЭВМ),

Р (Г &) > Уп IУ &) = Уь) - 0,5 - Ф (-5^~4155-- ) -

= 0,5 + Ф (0,834) ~ 0,5 4- 0,3 « 0,8.
Заметим, что безусловная вероятность выполнения
плана на конец, пятилетки определяется по одно-
мерному закону распределения, который будет нор-
мальным с характеристиками ту (5) = 15000 (ЭВМ)
и 0^(5)= 1000 (ЭВМ), а вероятность выполнения
плана Р (У (5) > уП) — 0,5.

Пример 3. Рассматривается процесс Х(()
эксплуатации одинаковых технических устройств (ТУ)
на предприятии при интенсивности поступления ТУ
Х(() = const и Х(0) = 0 (см. п. 5.4). Случайный про-
цесс Y(i)—число списанных (вышедших из строя)
ТУ к моменту времени /(У(0) = 0); с. п. Z(/)—число
поступивших в эксплуатацию ТУ к моменту времени
/(Z(0) = 0). Считая поток поступлений ТУ в эксплуа-
тацию простейшим с параметром X, а время работы
каждого ТУ распределенным по показательному за-
кону с параметром р, найти характеристики случай-
ных процессов X(t), Y(t) и Z(t).

Решение. Очевидно, что Z (/) = X (t) 4- У (0. Ха-
рактеристики с. п. X(t) и У(/) для начальных усло-
вий X(0) = Z(0) = 0 были найдены в п. 5.4:

тх (/) = Dx (/) =	(1 - е~^), тг (I) = D2 (t) = М,

г*

Кг {t, t') = X min (/, f).

В n. 5.4 было показано, что для условий данного
примера одномерный закон распределения случай-
ного процесса чистого размножения Z(t) с парамет-
ром X представляет собой закон Пуассона с пара-
метром т2(/) и одномерный закон распределения
случайного процесса гибели и размножения X (/) с па-
раметрами [1 и X является также законом Пуассона
с параметром

В п. 9.8* было показано, что если сумма двух
неотрицательных случайных величин распределена по
закону Пуассона и одно из слагаемых распределено
тоже по закону Пуассона, то и другое слагаемое
также распределено по закону Пуассона, при этом
сами слагаемые независимы. Следовательно, с.п. Y(t)

имеет пуассоновский одномерный закон распределения
с параметром

(0 = Dy (t) = тг (/) - тх (/) =

= — (1=
и '	'	\ и >

На рис. 6.3.1 показаны зависимости mx(t), nty(t) и
mx(t) при Х = р= 1.

6.4. Комплексные случайные процессы

При исследовании стационарных с.п. мы будем
широко использовать выражения тригонометрических
функций через комплексные функции, в связи с чем
нам необходимо будет пользоваться комплекс-
ны м и с. п.

Комплексным случайным процессом называется
с. п. вида

Х(0 = Х1(/) + «2(0,	(6.4.1)

где Х](/), Х2(0— действительные случайные процес-
сы, I == ^—1 — мнимая единица. Таким образом,
комплексный с. п. представляет собой линейную форму
двух действительных с.п. (см. п. 6.3).

Для фиксированного момента времени t комп-
лексный с.п. X(t) превращается в комплексную с. в.;
случайная величина ХД0—его действительная часть,
Х2(0—его мнимая часть. Пользуясь определениями
для комплексной с. в., приведенными в п. 8.8*, най-
дем характеристики комплексного с.п. X(t). Матема-
тическое ожидание комплексного с. п. (6.4.1) равно:

тпх (0 = тх, (0 + imX2 (0,	(6.4.2)

где

mXi (0 - М [X, (01,	(0 = М [Х2 (/)]. (6.4.3)

о

Обозначим Х(0 — центрированный комплексный с. п.:

X (0 — X (0 - шх (0 = X, (0 + iX2 (0,	(6.4.4)

о	о

XI(0 = XI(0-mx,(0, Х2 (0 = Х2 (0 —	(0. (6-4.5)

Корреляционная функция комплексного с. п. опре-
деляется по формуле
о "б

К At, f) = M[X(0X (/')[,	(6.4.6)

где	____

Х(//) = Х1(П-1’Х2(П	(6-4.7)

— комплексный с. п., сопряженный комплексному слу-
о

чайному процессу X (0).

Дисперсия комплексного с. п. X (0 определяется
через его к. ф. следующим образом:

о “б

о At) = К At, о = м[х(0Х(0] =
о

— М [IX (0П = DAt) + DAt), (6.4.8)
где

A(0 = D[X1(0], D2 (0 = D [Х2 (0]	(6.4.9)

— дисперсии действительной и мнимой частей комп-
лексного с. п. X (0.

Корреляционная функция комплексного с. п. мо-
жет быть выражена через корреляционные функции
его действительной и мнимой части и через их вза-
имные к. ф.

о о

Хх(ЛГ) = М[Х(/)Х(Г)} =

= м [(х, (0 + iXt (0) (X, (Г) - IX* (Г))] =

= М[Х1(/)Х1(О + Х2(0Х2(П +

+ /(Х1(ОХ2(0-Х1(ПХ,(0)]“

= Ki (t, f) + Кг (t, t') + i [*I2 {f, t) - Rl2 (t, t')], (6.4.10)
где

о о

KAt, f) = M[X1(0X1(f)]	(6.4.11)

— к. ф. действительной составляющей комплексного
с. о. Х(0;

Кг (t, П=М[Х2(0Х2(0]	(6.4.12)

— к. ф. мнимой составляющей комплексного с. п. Х(£);

о о

/?12(/, f/) = M[X1(Z)X2(f)]	(6.4.13)

— в. к. ф. действительной и мнимой составляющих
комплексного с. п. X(t).

Отметим, что математическое ожидание mx{t)
комплексного случайного процесса X(t) (6.4.2) пред-
ставляет собой неслучайную комплексную функцию
аргумента t\ дисперсия Dx(t) комплексного случай-
ного процесса X(t) (6.4.8) представляет собой неот-
рицательную неслучайную действительную функцию
аргумента t, корреляционная функция Kx(t,f) комп-
лексного случайного процесса (6.4.10) может быть
как действительной, так и комплексной неслучайной
функцией двух аргументов t и f. Корреляционная
функция Kx(t,t') будет действительной либо когда
действительная и мнимая части случайного процесса
X(t) не коррелированы (Ri2(t,f)s= 0), либо когда их
взаимная корреляционная функция симметрична от-
носительно t и f:	=

Комплексный с.п. X(t) можно записать через по-
лярные координаты случайной точки Xi(<) и Х2(0 на
комплексной плоскости:

X (/) = R (0 cos 9 (/) + iR (0 sin 9 (1), (6.4.14)
304 ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
где

₽ (0=|Х (01=л/х(0*(0=Vx?(0 + %2(0,

(6.4.15)

tg 6 (0 = Х2 (0/Х, (/),	(6.4.16)

e(0 = arctg(Xs(0/X,(0).	(6.4.17)

Пользуясь формулами Эйлера, выражение (6.4.14)
можно записать в виде:

Х(0 = /?(0 е‘в<‘>.

Действительный с. п. /?(0 называется модулем
(или абсолютной величиной) комплексного с. п. Х(0;
действительный с. п. 6(0 называется аргументом
комплексного с. п. X (0.
ГЛАВА7

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

7.1.	Определение стационарного случайного
процесса, эргодическое свойство

Выше (см. гл. 3, 4, 5) мы уже сталкивались с с. п.,
протекающими однородно во времени, когда насту-
пает стационарный режим функционирования си-
стемы. Такие режимы были проанализированы при
исследовании цепей Маркова (гл. 3), марковских с. п.
с непрерывным временем и дискретными состояниями
(гл. 4) и марковских процессов гибели и размноже-
ния с непрерывным временем и дискретными состоя-
ниями (гл. 5). В этой главе мы рассмотрим общие
свойства таких случайных процессов.

В качестве примеров стационарных с. п. можно
рассмотреть следующие

—	колебание напряжения, подаваемого в качестве
силового питания ЭВМ;

—	колебания числа эксплуатируемых технических
устройств (ТУ), если поток вводимых в эксплуата-
цию ТУ является стационарным и каждое ТУ эксплуа-
тируется в среднем одно и то же время;

—	давление газа в газопроводе и др.

Очевидно, что у стационарного с. п. X(t) все ве-
роятностные характеристики не должны зависеть от
времени.

Рассмотрим одномерную п. р. стационарного с. п.
/(/,*)*)• Так как эта плотность не зависит от того, где
взято сечение t, то имеет место равенство

f(ti, x) = f(t2, x)=...=f(x).	(7.1.1)

') Для простоты будем считать, что сечение случайного про-
цесса является непрерывной случайной величиной.
Зная одномерную плотность стационарного с.п. X(t),
можно найти его м. о. и дисперсию:

во	во

М [X (0] = $ xf (t, x)dx = $ xf (x) dx = mx = const,

— CO	—co

(7.1.2)
oo

D [X (/)] = (x — mJ2 f (t, x) dx —

— CO

oo

= j (x — mx}2 f (x) dx = Dx = const. (7.1.3)
— во

Таким образом, у стационарного с.п. математическое
ожидание и дисперсия являются постоянными величи-
нами, не зависящими от времени.

x(t)

х<Цх(е,+о Ш2)1х(^+г> Xftpixcti+r) х^х^+т)
____।__________i______________।___________1___

°	t2+'1' Ч *1+г	4 V* t

Рис. 7.1.1

Рассмотрим n сечений стационарного с.п. Х(/),
взятых в моменты времени /ь t2, ..., tn (см.
рис. 7.1.1); n-мерную плотность распределения с.п.
Х(0 можно записать в виде

fn(6. h, xit x2...........xn). (7.1.4)

Очевидно, что если с. п. является стационарным,
то эта n-мерная п. р. не изменится при сдвиге всех
аргументов времени на одинаковую величину т
(см. рис. 7.1.1):

fn(4, h.....tn; .......хп) =

= fn (fi + 4 + т......tn + г, xi....*«)• (7-1 -5)

Таким образом, приходим к следующему опреде-
лению стационарного с.п.: случайный процесс Х(0
называется стационарным в узком смысле, если его
n-мерная плотность распределения ие изменяется при
сдвиге всех его временных аргументов на одинако-
вую произвольную величину т.
Таким образом, n-мерная п. р. стационарного с. п.
не зависит от того, в какие моменты времени Л, ti, ...
..., tn рассматриваются сечения этого процесса, а за-
висят лишь от с д в и го в ti, х2, .... Гл-i между этими
сечениями (рис. 7.1.2).

Следовательно, двумерная п. р. стационарного с. п.
X(t) ~ f2(6, t2, xi, х2) будет зависеть не от аргумен-
тов tt и ti, а только от аргумента т промежутка между
сечениями (рис. 7.1.3). Очевидно, что эта п. р. ие
должна зависеть от того, каким образом занумеро-
ваны сечения, другими словами, двумерная п.р. долж-
на зависеть лишь от разности между аргументами:

fz(ti, xi> хг) =
= fz (^2 — h >

Обозначим

t2 — tt = X.

Тогда

fi(ti> tz, xlt x2) =

= f2(x, xt, x2).

Найдем корреляционную функцию стационарного с. п.:

Кх(Л, /2)=

ОО

— 5 § (*1 — тх) (х2 тх) fi (tt, t2, х„ x2) dxj dx2 ==
— co

oo

= 5 § (-*1 — mx) (x2 — fz (T. X1( x2) dxi dx2 =

= fex(x). (7.1.8)

Так как величина т определяется равенством
(7.1.6), то к. ф. стационарного с. п. обладает следую-
щим свойством:

(7.1.9)

kx (х) = kx (-Х),
т. е. корреляционная функция стационарного с. п. есть
четная функция сдвига т между двумя сечениями
этого процесса (см. рис. 7.1.3).

Случайный процесс называется стационарным
в широком смысле, если его математическое ожида-
ние постоянно (тх = const), а корреляционная функ-
ция есть функция сдвига между аргументами-.

Очевидно, что если с. п. является стационарным
в узком смысле, то он является стационарным и
в широком смысле. Обратное же утверждение не
быть справедливым: если с. п. является
стационарным в широком смысле,
то он ие обязательно будет стацио-
нарным в узком смысле.

Обозначим Ц7Ш множество всех
стационарных в широком смыс-
ле процессов и W'y — множество
всех стационарных в узком смыс-
ле процессов. Между этими множе-
ствами существуют следующие со-
\ с= И7Ш, W'y f| = 1Гу, которые про-

иллюстрированы на рис. 7.1.4.

Так как дисперсия равна корреляционной функ-
ции при равенстве аргументов: Dx(t)= Kx(t, t), то
имеет место равенство

Ох = Кх (t, 0 - kx {t - 0 = kx (0).	(7.1.10)

всегда может

Рис. 7.1.4
отношения:

Так как Dx 0, то и

йх(0)>0.

Кроме свойств (7.1.9) — (7.1.11) к. ф.
кого с. п. должна обладать свойством

1М*)К*х (0)

(7.1.11)

стационар-

(7.1.12)

и свойством положительной определенности

J $ kx (t - t') Ф (0 Ф (*') dt dt' > 0,	(7.1.13)

(В) (В)

условия выполнения которого будут даиы в п. 7.2.
В выражении (7.1.13) ф(0 — любая функция аргу-
мента t, а область В — любая область изменения ар-
гумента t.
Помимо корреляционной функции вводится в рас-
смотрение еще одна характеристика: нормированная
корреляционная функция (н. к. ф.) стационарного с. п.

гх (т) = kx (x)/Dx = kx (x)/kx (0).	(7.1.14)

Она обладает практически теми же свойствами, что
и корреляционная функция, у которой изменен ма-
сштаб по оси ординат. Тем не менее выпишем эти
свойства:

гх (т) = гх (—т), гх (0) = 1, | гх (т) К 1,

J J rx (t - Г) <р (/) <р (f) dt dt' > 0.	(7.1.15)

(В) (В)

Из неравенства | гх (т)|С I следует неравенство
|Мт)|^М0) (см. (7.1.12)).

Стационарные с. п. могут обладать или не обла-
дать эргодическим свойством. При рассмотрении мар-
ковских процессов с дискретными состояниями мы
вводили понятие эргодического множества состояний
(см. гл. 3 и 4). Если процесс протекает однородно и
множество состояний конечно и обладает эргодиче-
ским свойством, то в нем устанавливается стацио-
нарный режим функционирования, характеризующий-
ся тем, что1 любая реализация этого процесса рано
или поздно пройдет через любое состояние незави-
симо от того, в каком состоянии находился этот
процесс в начальный момент времени. Другими сло-
вами, эргодическое свойство состоит в том, что любая
реализация эргодического стационарного с. п. доста-
точной продолжительности является как бы «полно-
мочным представителем» всей совокупности реали-
заций стационарного с. п.

Для эргодического стационарного с. п. X(t) м.о.
может быть определено из выражения

т

mx = M[X(0] = lim X(t)dt. (7.1.16)
Г-»оо 41

Достаточным условием выполнения равенства
(7.1.16) — эргодичности стационарного с. п. X(t) по
математическому ожиданию — является

limfe, (т) = 0.	(7.1.17)
Дисперсия эргодического с. п. может быть найдена по
формуле

т

Dx = D [X (/)] = lim ~ ( (X (0 - mx)2 dt. (7.1.18)
Т-»«> J,

Достаточным условием выполнения равенства
(7.1.18)—эргодичности стационарного с.п. X(t) по
дисперсии — является

Пт^(т) = 0,	(7.1.19)

Т->«х
где ky(x)— к. ф. стационарного с. п.,

Г(0 = П(0Р-	(7.1.20)

Корреляционная функция эргодического стационар-
ного с. п. может быть определена по формуле

т

kx (т) = lim -gy- ( (X (t) — mx) (X (t — т) — mx) dt.
г -» »	_ г

(7.1.21)

Достаточным условием выполнения равенства
(7.1.21) — эргодичности стационарного с.п. X(t) по
к. ф. — является

limfe2(t) = 0,	(7.1.22)

т->оо

где kz(x)—корреляционная функция с.п.,

Z (t, О) = X (0 X а + О).	(7.1.23)

Обычно стационарный с. п. бывает неэргодическим,
когда он протекает неоднородно. В частности, неэр-
годичность с. п. X(t) может быть вызвана тем, что
в качестве слагаемого с.п. рассматривается с.в. На-
пример, случайный процесс

U(t) = X(t) + V	(7.1.24)

будет неэргодическим, если V—с. в. с характеристи-
ками то и Dv, a X(t) — эргодический с.п. Действи-
тельно, в соответствии с результатами, полученными
в п. 6.3, имеем, если с. п. X(f) и с. в. V независимы,

ти (0 = тх -г ku(x) = kx(x) + D„. (7.1.25)
В этом случае

lim ku (т) — lim (kx (т) + D„) =
t->oo	T->co

— lim kx (т) 4- lim D„ = Dv. (7.1.26)
T->oo	T->oo

Следовательно, c. n. U (t) является неэргодическим.

Пример 1. Рассматривается неслучайная вели-
чина а как частный случай с.п.: Х(/)=а; найти ее
характеристики; определить, является ли этот про-
цесс стационарным и обладает ли он свойством эрго-
дичности?

Решение. М[Х(/)] = а=const, D*(/) = К*(/,0 —
= £ж(0)=0, с.п. X(t)—a стационарен и обладает
эргодическим свойством.

Пример 2. Рассматривается с. в. V как частный
случай с. п.: X(t) = V; найти его характеристики, оп-
ределить, является ли этот процесс стационарным и
обладает ли он свойством эргодичности.

Решение. М [X (/)J = М [И] = Kx(t, t') =
о о

= М [X(/)%(/')] = м [(И - т0)(И - m0)] = D[K] = Do =
= kx(x). Случайный процесс X{t)—V стационарен,
ио не обладает эргодическим свойством, так как
lim kx (т) у=0. ►

Т->оо

Многие стационарные с. п. возникают в результате
преобразования стационарного пуассоновского про-
цесса (стационарного пуассоновского (простейшего)
потока).

Пример 3. Случайная телеграфная волна. Слу-
чайный процесс X(t)—случайная телеграфная вол-
на — возникает следующим образом. На оси Ot
имеется простейший поток событий с интенсивностью
Л. Случайный процесс X(t) попеременно принимает
значения а и —а; при наступлении очередного собы-
тия в простейшем потоке с. п. X (/) скачком меняет
свое состояние с 4-а на —а или наоборот (рис. 7.1.5).
Найти характеристики с.п. X(t).

Решение. Одномерный закон распределения с. п.
X(t), очевидно, имеет вид

—а | 4-а
Действительно, так как моменты перемен знака ни-
как не связаны со значением с. п. Х(0, то нет ника-
ких оснований считать какое-либо из значений (4-а
или —а) вероятнее другого. Следовательно,

тх (О = ~а • 0,5 4- а • 0,5 — 0;

DJ/) = (-a)2.0,5 + (+а)2- 0,5==а2. (7.1.27)

Рассмотрим два произвольных сечения с. п. X (t) и
X(t') н найдем м.о. их произведения:

кх а, /')=м и (о х (/'и = м [х (о х (Г)].

Произведение Х(0Х(/') может принимать два значе-
ния: —а2, если в интервале (t,f) в простейшем по-
токе произошло нечетное число событий; +а2, если

X(t)

Рис. 7.1.5

в этом потоке произошло четное число событий. Сле-
довательно, вероятность того, что на интервале т =
= f — t(t'> t) произойдет четное число событий
в потоке, будет

P,er = р {X (0 X (/') = а2} = Z (ХтГ е-17(2т)! =
т=0

= Z (Лт)2'7(2т)!	chZx =

m—0

.-Ал (е** + е	1 + е **

е	2	—	2

откуда

1 — e~2U

= Р {X (о X (/') = —а2} = 1 - Рчет = -^4-------
Следовательно,

Кх (t, Г) = *х(т) = а2-УЦ--------

1 — />~2U

— а2----g-— = а2е~2Кх (т > 0).

Аналогично, при t'<.t и т — t'— t<zO получим:
Кх (/, f) = kx (т) = а2е~2К <-*> (т < 0).

Объединяя последние две формулы в одну, получаем

Мт) = й-а1Ч (7.1.28)

График этой функции пока-
зан на рис. 7.1.6. Следова-
тельно, с. п. X(t) стациона-
рен и эргодичен.

Пример 4. Обобщен-
ная случайная телеграфная

волна. Как и в предыдущем	Рис 716

примере, иа оси 0/ имеется

простейший поток событий с интенсивностью Л. В мо-
мент наступления i-ro события с.п. X(t) прини-
мает случайное значение Xt (i— 0, 2, ...), сохраняя

его до следующего события в потоке (рис. 7.1.7). В на-
чальный момент времени t — О Х(О)~Хо. Случайные
величины Хо, Х\, Xt, .... Xi, ... независимы и рас-
пределены одинаково с плотностью f(x). Найти ха-
рактеристики с. п. X(t).
Решение. Очевидно, что одномерная плотность
распределения с. п. X(t) равна f(x). Следовательно,

оо

(0 = М [Я (0] — М [XJ = $ xf (х) dx — тх,

Г	(7.1.29)

Dx (0 = D [X (/)] = D [XJ = J (х - тхУ f (х) dx = Dx.

— ОО

Рассмотрим два сечения с.п. X(t) и X(t'), разде-
ленные интервалом т = f — t, х > 0. Если между
точками / и f не появится ни одного события в про-
о о о

стейшем потоке, то Аг(/)вАг(О=Х (см. Рис- 7.1.7).
Если между точками t и f появится хотя бы одно

О 0	0 о

событие в простейшем потоке, то X (t) — Xt, X (f) = Xt
(i j). Следовательно,

Kx (t n = kx (x) = e-*M [X?| + (1 - e -Хт) M [Х,Х/] =

= Dxe~* (t > 0),
так как случайные величины X, и X/ независимы при
i =#= /. Аналогично, для х < 0 получаем

kx (х) = Dxe~K<~^.

Объединяя последние две формулы, имеем

kx(x) = Dxe-^.	(7.1.30)

Следовательно, рассматриваемый с. п. является ста-
ционарным и эргодическим.

Рассмотрим случай, когда случайные величины Хо,
Хь Х2, ... представляют собой систему одинаково
распределенных нормальных, независимых случай-
ных величин. Будет ли в этом случае с.п. X(t) нор-
мальным? Нет, несмотря на то, что одномерный за-
кон распределения нормален. Дело в том, что закон
распределения двух сечений с.п. Х(/) не является
нормальным, так как эти сечения с отличной от нуля
вероятностью совпадают: Р {X (/) = X (/')} =

Вероятность же равенства двух случай-
ных величин, распределенных по нормальному за-
кону, должна быть равна нулю.
Рассмотрим еще один случай, когда с. в. X,- (t =
= 0, 1, 2, ...) дискретна и имеет ряд распределения

— л/Dx *JDX
л{:	.

0,5	0,5

В этом случае

тх (0 = тх = М = 0, Dx = D = Dx (/),
kx (т) = Яхе^1Ч

Одна из реализаций такого процесса показана на
рис. 7.1.8.

Замечание. Процессы, изображенные на
рис. 7.1.7 и 7.1.8, имеют различный вид, однако их

X(t)

Рис. 7.1.8

характеристики полностью совпадают. Отсюда сле-
дует, что равенство м.о., дисперсии и корреляцион-
ной функции с. п. еще не означает равенства законов
распределения этих процессов, что вполне есте-
ственно.

Пример 5. Процесс с независимыми сечениями.
Рассматривается с. п. X(t), описанный в предыдущем
примере, при неограниченном увеличении интенсив-
ности простейшего потока (Х-иоо). Найти характе-
ристики такого предельного процесса Y (t)~ lim X (t),
A.-» оо
считая, что этот предел существует.

Решение. Математическое ожидание тх и дис-
персия Dx с. п. X(t) не зависят от интенсивности X,
и поэтому они остаются неизменными: ту == тх,
Dy == Dx. Найдем к. ф. предельного с. п. Y(t):

lim Аж(т)= lim Dxe~K |т| = Dx lim e-Mtl==
X~>oo	X,->OO	X»->oo

( Dx при т — 0,
I 0 при т ^=0.

(7.1.31)
Так как по условию предыдущего примера при Х->оо
все сечения с.п. X(t) независимы, то получим модель
с. п. У (/), для которого любые два сколь угод-
но близкие сечения независимы. Такой
процесс будем называть процессом с независимыми
сечениями. Случайный процесс с независимыми сече-
ниями не имеет ни одной точки непрерывности.

Пример 6. Стационарный белый шум. Иссле-
дуем предельное поведение с.п. X(t), рассмотренного
в примере 4, при условии, что интенсивность простей-
шего потока к неограниченно увеличивается (к->оо),
дисперсия сечения этого процесса тоже неограниченно
увеличивается (Dx->oo), но при этом отношение
Dx/k остается постоянным: lim Dxlk = C.

D*->oo, Х->оо

Найти характеристики с. п.

Z(/)= lim X (t).
Х->оо

Dx/X=c

Решение. Преобразуем корреляционную функ-
цию с.п. X(t) (см. (7.1.30)) с учетом равенства
Dx/k = с:

kx(t) — Dje0~x|T| — -^-ке~к^1^ =ске~К Hl
Л

Следовательно, корреляционная функция с.п. Z(t)
будет

Л2(т)= limске~К 1 х 1 = 2с lim--^ е~Х|т|.
Х->оо	Х->оо £

Под знаком предела стоит плотность распределе-
ния с. в. U, распределенной по закону Лапласа (см.
(8.9.19)*), симметричному относительно начала коор-
динат, у которого м. о. равно нулю, а с. к. о. равно
л/’Цк. Следовательно,

lim 1*1 = 6 (т),
Х-»оо *

где 6(т)—дельта-функция. Таким образом,

Лг(т) = 2с6(т).	(7.1.32)

Мы убедились в том, что с.п. Z(t) представляет со-
бой стационарный белый шум (см. п. 6.1), и по-
строили модель такого шума. Следовательно, белый
шум можно представить как предельный случай по-
следовательности очень коротких импульсов, ампли-
туда которых представляет собой независимые слу-
чайные величины с очень большой дисперсией, при
этом отношение дисперсии этих импульсов к частоте
их появления является постоянной (конечной) вели-
чиной. Такие процессы (или весьма близкие к ним)
встречаются на практике при рассмотрении различ-
ных естественных помех в каналах связи, «теплового
шума» в электронных устройствах, «дробового эф-
фекта» в электронных лампах и кинескопах. Подроб-
нее о белом шуме будет сказано ниже.

Пример 7. Модель электронного потока в ра-
диолампе (кинескопе). Поток электронов, направляю-
щихся от катода к аноду радиолампы, представляет
собой простейший поток событий с параметром X.
При попадании электрона на анод его напряжение
Х(0 возрастает на единицу и затем убывает по экспо-
ненциальному закону с параметром а, зависящим от

Рис. 7.1.9

характеристик электронной схемы (рис. 7.1.9). Еди-
ничный скачок напряжения от поглощения очередного
электрона анодом суммируется с остаточным напря-
жением на аноде. Найти характеристики с.п. X(t) на-
пряжения на аноде.

Решение. Напряжение Xt(t) от воздействия t-ro
электрона, поступившего иа анод в момент времени
Tit будет иметь вид

ГО

при
при

(7.1.33)
где 1 (/) — единичная функция (см. приложение б
в [5]), t > О, Т, > 0. Так как поток электронов про-
стейший, то к моменту времени t на аиод поступит
случайное число У электронов, распределенное по за-
кону Пуассона с параметром kt. Следовательно, на-
пряжение на аноде будет представлять собой случай-
ное число У случайных слагаемых Xi(t):

*(0=£Xi(0=Z i (t -Ti)e~a^-T^. (7.1.34)
i-1	i=l

Известно (см. задачу 8.80 в [5]), что пуассонов-
ский поток событий на интервале (0, /) можно с до-
статочной точностью представить как совокупность

точек на этом интервале, координата каждой из ко-
торых ©>е(0, t) распределена равномерно в этом ин-
тервале (см. рис. 7.1.10) и не зависит от координат
других точек. В этом случае выражение (7.1.34) при-
мет вид

X(t) = £
i-i

(t>Q,	(7.1.35)

где все с. в. в, независимы и распределены равно-
мерно в интервале (0,0; с. в. У не зависит от с. в.
©i (i: = 1, 2, ...). Следовательно (см. п. 8.5*),

D [X(/)] = М [У] D	+ D [У] (М [е’“<^0')])2.

Так как случайная величина У распределена по за-
кону Пуассона с параметром kt, то М [У] — D [У] = kt.
Далее, с. в. в/ распределена равномерно в интервале
(О, t), следовательно,

м [е-	_ ± J ,-«-•>

О

М 1(е-“ <*-«*>)«] J ^2a(f	=	.

О

Поэтому

М[Х(0] = М-Ц^==£(1-е-»'). (7.1.36)

D [X (01 = V {D [е~а + (М [е~“ ~в'>))2} =

= им [(«-“(' -’<>Л = i (1 - е-«). (7.1.37)

Рассмотрим два сечения с. п. X (/) в моменты вре-
мени t и	(рис. 7.1.9). Случайный процесс

X(t') будет равен напряжению X(t), умноженному на
экспоненту «-««'-*> плюс напряжение U(t' — /), ко-
торое получается в результате поступления электро-
нов иа анод (в интервале времени (t, f) :

X (f) = X (t) e -»<«''« 4- U (f - 0.	(7.1.38)

Случайные величины X(t) и Щ?—t) независимы,
так как они получались в результате поступления на
анод электронов в различные непересекающиеся ин-
тервалы времени (0,/) и (/,/')• Поэтому при /' > t

о о

КХ(ЛО=М[Х (0^(01 =
0	0	о

== М [X (О (X (0 е-» <*'-'» - и (Г - 0)] ==
о	0	0

= М (X (О2 е ° <*' «>] + М [X (0 и (t-1’И =

= Рж(0е-<г-°. (7.1.39)

При t > f получим

Kx{t, =	(/>0- (7.1.40)

Следовательно,

Kx(t, f) = Z)x(min(/, f))e-““-ri	(7.1.41)
Рассмотрим предельное поведение процесса X(t) при
t —> оо:

limmx(0= lim -£-(1 — е-“') = А
«-►оо	«-►оо “	“

limDx(/)=lim А(1-^) = -^,
Г->оо	f->oo za	м

lim Kx(tf t') —
t, t'-> СО

= lim D* (min(/, f))e“ II * I. (7.1.42)
l«-«'I4°r|

При Z/a = mx > 20 с. п. можно считать нормальным.

Таким образом, с.п. X(t) при f-*oo (практически
при t > З/a) будет стационарным и эргодическим.

Если предположить, что напряжение на аноде не
затухает (а-*-0), то с.п. Х(/) будет представлять
собой процесс Пуассона (процесс чистого размноже-
ния с интенсивностью к — const), характеристики ко-
торого были найдены в п. 5.4.

Действительно, при а->0

lim тх (/) — lim к (1 — e~at)/a = к lim te~at = kt,
а->0	а->0	а->0

lim Dx (0 — lim к (1 - е-2“')/(2а) = kt,
а-»0	а-»0

lim Kx(t, /') = lim-^-[l -e-2aminw, nje-a|«-n =
a-»0	a-»0 2<x

— к min(/, f).

Полученные выражения совпадают с формулами
(5.4.60), (5.4.61).

Пример 8. Модель функционирования линейного
детектора. В условиях предыдущего примера поло-
жим, что электроны поступают на анод «пачками»,
при этом моменты поступления пачек образуют про-
стейший поток событий с интенсивностью к, а число
электронов в i-й пачке — с. в. имеющая функцию
распределения F(w) с числовыми характеристиками
mw и Da,. Случайные величины IV'i, Wi....Wi, ...

независимы и не зависят от числа поступивших пачек.

Такая схема имеет место при работе линейного
детектора, когда на его вход в случайные моменты
времени, определяемые пуассоновским потоком, по-
даются положительные импульсы случайной вели-
чины Wi, а в период между импульсами напряжение
убывает по экспоненциальному закону (рис. 7.1.11).
Скачок напряжения от прихода очередной пачки элек-
тронов суммируется с остаточным напряжением на

°	7?	?2 тз К Ts Ts Т7 Т8 t

Рис. 7.1.11

аноде. Требуется найти характеристики с. п. X(t)—
напряжение на аноде.

Решение. Очевидно, что процесс X(t) может
быть записан в виде формулы, аналогичной (7.1.35):

Х(0 = Е W(e~aV~*l'),
i=t

(7.1.43)

где с. в. У — число пачек электронов, поступивших на
анод к моменту времени /; IFi — число электронов
в t-й пачке, 0, — момент поступления i-й пачки. Слу-
чайные величины У, Wi, 0t взаимно независимы. Обо-
значим

^(0 = 117^-“	(7.1.44)

тогда (см. п. 8.5*)

М [Xi (01 = М [FJ М [е" <*-•<)] = т„ (1 -

(7.1.45)

М [(Х/ (о)2] = М [U72] М [(в"»

<71W>
Следовательно,

М1Х(0] = м[(Е X, (О

= М [У] М [X, (01 = кта ,	(7.1.47)

Ях(П = о[£х4 (/)]==

= М [У] D [Х< (01 + D [У] (М [Х{ (О])2=-
= W (D„ 4- ml) (1 - е'Ы)/(Ы) =

= А(Ош + т2ш)(1-е“2“')/(2а). (7.1.48)

Проводя преобразования, аналогичные тем, которые
были проведены в предыдущем примере, получим

Кх (f, t') = Dx (min (t, tf)) e-“ ।	.	(7.1.49)

При t-^OO, f-> ОО И f — t — t получим
lim mx (0 — tnx — Amja,

Hm Dx (t) = Dx = k(Da + ml)/(2a), (7.1.50)
lim Kx (t, t') — kx (t) — Dxe~a 1,1 •.
t->oo. f'->oo

Таким образом, при /->-oo напряжение X(t) пред-
ставляет собой стационарный эргодический случай-
ный процесс.

Рассмотрим предельное поведение процесса X(t),
когда неограниченно увеличиваются

а)	интенсивность простейшего потока событий Л,
порождающего «пачки» электронов (Х-»-оо);

б)	дисперсия числа электронов в каждой пачке
(Рю—>-оо);

в)	параметра (а-»-оо).

Неограниченное увеличение параметра а означает,
что напряжение от каждой пачки электронов очень
быстро падает до нуля; в пределе при а->-оо пло-
щадь импульса (рис. 7.1.11) будет стремиться к нулю.
При этом имеют место равенства

Х/а = Л1( DJa — ki.	(7.1.51)
В этом случае выражения (7.1.50) примут такой вид:

lim тх = lim ktnja = kitn„,

Х->оо, а->оо	а->оо,

lim kx(x)= lim

X-х». а-»оо	а-»оо

Л(£>» + Ч)е'аи7(2“)=

= ^М(т), (7.1.52)

X;(t)



где 6 (т) —дельта-функция.

Таким образом, в пределе получаем стационарный
белый шум, который образуется в результате беско-
нечно частой последовательности пачек электронов,
имеющих конечное м. о. и бесконечную дисперсию
числа электронов в пачке, а
также бесконечно малую дли-
тельность импульса от воздей-
ствия пачки электронов.

Пример 9. Импульсный
дробовой эффект. Рассматри-
вается напряжение в цепи X(t),
порождаемое импульсами на-
пряжеия, имеющими прямо-
угольную форму (рис. 7.1.12).
Высота /-го импульса про-
должительность Кь Моменты

сов Т1, Т2, ..., Ti, ... образуют простейший поток
событий с интенсивностью X. Напряжение Xi(t) от
i-ro импульса суммируется с напряжением от других
импульсов. Случайные величины Wi, К/ и Т, взаимно
независимы н имеют характеристики mw — М
РШ = О[Г,.],	тх=М[К,], £>Х = О[К<]. Требуется

найти характеристики процесса X(t).

Решение. На участке (0, t) с. п. X(t) может
быть представлен формулой

X (0 = £ xt (0 == £	(t, et, Ki),	(7. i .53)

i-l	i=l

«i



t

Рис. 7.1.12

появления

где с. в. Y распределена по закону Пуассона с пара-
метром X/, с. в. распределена равномерно в интер-
вале (0, t), функция <р (t, 0,, К,) = И (/ — 0/) • 1 (0/ +
+К/ — 0 — импульс, начало которого приходится на
момент времени 0, е(О, t), длительность его равна
К„ а высота — единице (рис. 7.1.13).
Введем в рассмотрение гипотезу о том, что с. в.
К,- принадлежит элементарному интервалу (х; х +
-j-dx): К,- е (х, х 4- dx). Вероятность такой гипотезы
будет

Р {К/ е (х, х + dx)} » fH (х) dx,

где Дс(х)—плотность распределения с. в. К£.



Рис. 7.1.13

t t

Тогда условное м.о. функции <₽(/,©,-, К/) (при ука-
занной выше гипотезе) будет

t

М[<р(t, eit к,=х)] =т-$1(/-у)1(у + х-о^.
о

Интеграл представляет собой площадь прямоуголь-
ного импульса, высота которого равна единице, а дли-
на— х. Следовательно,

0„ К/ = х] = у • 1 х = у.

Безусловное м. о. будет

М (ф (/, 0„ К,)1 = М [К,Д] = mjt. (7.1.54)

Аналогично находим

м [ф (/, вь К/ = х)2] = 1 J [1 (t - у) 11 (у + X - О]2 dy,
о

но [11 (t — у) 11 (у + х — 0]2 = 1 (t — у) 1 (у + х — 0, сле-
довательно, М[ф(/, 0/, К/= х)2] = х//, откуда

М [ф (/, 0„ К4 = х)2] = mjt. (7.1.55)
Таким образом,

М[хдп) = М[г <<₽(/, вь к<)1 =

= М [U7J м [ф(/, ©„ К()1 =	,

М[^(0] = М[^ф(Лвр

= М [U72] М [ф (/, ©р X,)]2 =(,
м [X (0] = М [ £ Х{ (/)] == М [У] М [X, (01 = Ьт„тн,

(7.1.56)

D [X (0) = D [ £ Xi (/)] = М [Г] D [X, (0) +

+ D [Г] (М [Х4 (О])2 - к (De + О тя. (7.1.57)

Рассмотрим с. п. Х(/), когда IF,-= 1 (mw = 1, Dw —
= 0), а с.в. К,- распределена по показательному за-
кону с параметром ц(тк-1/ц). В этом случае им-
пульсный дробовый эффект превращается в процесс
гибели и размножения с неограниченным числом со-
стояний с параметрами Xt(/)=X, Hi(t)=iii (см.
п. 5.4). Его характеристики при /-*-оо, ?->оо, /'—
— t = x будут (см. (5.4.42), (7.1.56), (7.1.57)):

lim тх (0 = тх = кт„тя — Х/ц,

lim Dx (f) = Dx = b(Dw + ml) тя = X (0 + 12)/ц = Х/м,
<->ОО

lim Kx(t, «И» <'ia,Ae-nhi = ^(t).
f->oo, r-oo	H	M-

Случайный процесс гибели и размножения при
/-► оо будет стационарным и эргодическим.

Пример 10. Случайный процесс X(/) в любой
точке t может иметь значение -f-а или —а с одина-
ковой вероятностью, равной 0,5. Изменения процесса
X(t) могут происходить только в моменты времени
t — 0, 1, 2, ... Таким образом, процесс Х(/) постоя-
нен на любом участке (п—1,п), где п — натураль-
ное число, а на границе каждого нового участка не-
зависимо от предыдущего значения принимает одно
из значений -|-а или —а с вероятностью 0,5. Реализа-
ция процесса Х(/) показана на рис. 7.1.14. Найти
характеристики процесса Х(/),
Решение. Очевидно, что mx(f) = тх — а>0,5 —
— а-0,5 = 0, Dx(0 = £>x = a20,5 + (—а)2.0,5 = а2.
Если точки t и f принадлежат одному и тому же ин-
тервалу (п—1,п), то Kx(t, t') — Dx — а2. Если точки

t и f принадлежат разным интервалам, то Kx(t, t') —
— 0. Следовательно,

(а2 при | т| < 1 — ft[min(t f)],
Kx(t, = l n и	' (7.1.58)

*	'	(0 при |т|> 1 — ft [min (i, t')],'

где ft [z]—целая часть числа z (см. рис. 7.1.14).

Несмотря на то, что тх — 0 = const, Dx — а2 —
— const, с. п. X(t) не является стационарным, так как
к.ф. Kx(t,t') зависит не
только от т = t — t', но от
того, где на оси 0/ находит-
ся участок (/, t').

Поверхность Kx(t, t') вы-
глядит как ряд прямоуголь-
ных параллелепипедов, осно-
вание каждого из которых
представляет собой квад-
рат со сторонами, равными
единице, а высота равна а2.
Эти параллелепипеды по-
ставлены на плоскости tOt'
вдоль биссектрисы пер-
вого координатного угла,
на которой t — t', так,

что диагонали оснований совпадают с биссектрисой
(рис. 7.1.15).

Пример 11. Телеграфная волна. Случайный про-
цесс X(t) формируется так, как и в предыдущем при-
мере, с той лишь разницей, что начало координат
распределено равномерно в пределах между момен-
тами возможного изменения значения с. п. X(t)
(рис. 7.1.16). Найти характеристики процесса %(/).

Решение. Как и в предыдущем примере, тх = О,
Dx ~ а*. Возьмем произвольную точку t на оси О/

(рис. 7.1.16). Очевидно, что эта точка t будет отстоять
на расстоянии Т до ближайшей точки возможной пе-
ремены знака процесса X(t), где Т — случайная ве-
личина, распределенная равномерно иа интервале
(0,1). При f >/ и x = t' — t к.ф. /(,(/,Г)«а2 при
т < Т и к.ф. /(*(/, f) = 0 при т>7. Следовательно,
при те(0, 1) к. ф.

Kx(t, f) = а2Р {Т > т} + 0 • Р {Т < т} =

= Р {7 > т} а2 = (1 -т)<Л

При те(—1,0) получим

Kx(t, Г) = (1+т)а2,
при |т|> 1

Kxtt, —

Таким образом,

. . .	/ (1 - |т|)а2 при |т|< 1, 1

X (Т) — |	Q	ПрИ | Т | ^ | J

= а2(1 — | т|) 1(1 — | т|). (7.1.59)

Рассмотренный в этом примере процесс X{t) является
стационарным и эргодическим. График к. ф. Ах (г) по-
казан на рис. 7.1.17.
Пример 12. Обобщенная телеграфная волна.
Случайный процесс X (t) формируется так же, как и
в предыдущем примере, с той лишь разницей, что

D [(/<] = £>„. Найти

в моменты, разделенные
единичным интервалом,
процесс X(t) принимает
случайные значения U>
независимо от предыду-
щих и последующих зна-
чений с.п. Х(0, реализа-
ция которого показана на
рис. 7.1.18. Случайная ве-
личина Ui имеет харак-
теристики М[С7,] = Ши,

характеристики процесса X(t).

Рис. 7.1.18

Решение. В соответствии с решением предыду-
щего примера имеем

тх (0 = тх = ти, Dx (0 = Dx = £>„,

£>u(l — 1*1) при |*|< 1,
О при |т|>1 J

= £>„ (1 — I * I) И (1 — I * I). (7.1.60)

Пример 13. Рассматривается с.п. X(t), задан-
ный своим каноническим разложением:

X (0 = тх 4- ТЛ^к cos + Vk sin (о*0, (7.1.61)
где

МШ = М[^] = О, D[l/*] = D[VJ = D*,

м [C/*VJ = М [ V,= М [UiUj] = М [С/,VJ = 0 (I* j).

Показать, что этот процесс является стационарным.

Решение. Найдем математическое ожидание
с. п. X(t):

тх (0 = М [mJ +

+ (l/*cos®fc/+ sin ©fcOj = mx- (7.1.62)

Обозначим

о

Xk (t) — Uk cos <x>kt 4- Vk sin <s>kt. (7.1.63)

о

Случайный процесс Xk (/) будем называть элементар-
ным стационарным случайным процессом. Следова-
тельно,
о “ 0
X(t)=ZXk(t).

4-0

В примере 5 из п. 1.2 было показано, что
о о

Ко (t, f) = М [X* (/) Хк О = Dk cos ®*т, (7.1.64)
xk

где x — t — t'.
о о

Так как с. п. Х((0 и Xt(t) не коррелированы, то

Кх (/, /') = Е Ко (/, t') =Y,Dk cos (о*т = kx (т). (7.1.65)
4=0 х*	Л—0

Таким образом, мы показали, что с.п. X(t) является
стационарным.

Пример 14. Рассматривается произведение двух
независимых стационарных процессов: Х(/) = Xj(t)X
XXj(t), где Х1(/) — случайная телеграфная волна
(пример 3), Х2(/) — элементарный стационарный с.п.
с характеристиками Dk и &к (пример 13). Найти ха-
рактеристики процесса X(t).
Решение. Так как mx,(t) = mx,(t) — Q, то mx(t)=
*=mx = 0. Далее (см.(7.1.28) и (7.1.65))

кх (t, f)=м [% (/) i (/')] = м и, (о х2 (о х( (f) х2 (f)j =

= М[Х1(0Х1(//)]М[Х2(ПХ2(Г)1 =

= Dxe~ik •* •cost, (7.1.66)

где Dx — c?DXi.

Процесс X(t) является стационарным и эргодиче-
ским. На рис. 7.1.19 показаны возможные реализа-
ции случайных процессов ХД0, X2{t), X(t).

Обобщая этот пример на произвольное число п
независимых стационарных с.п. Xi(/), X2(i), ...
..., Хп(/), имеющих м. о. mXl — mXi—... =mXn — 0 н
к. ф. kt(x), (т),...,	(т), можно показать, что

п

характеристики с. п. X (t) — Ц Xt (I) будут:
i-t

h

mx(t) — mx = Q, fex(T) = HfeXi(T). ►
/-1
7.2. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса. Спектральная плотность

В п. 7.1 мы указали, что стационарный с.п. может
быть представлен своим каноническим разложением

X (0 = тх 4- Д(Кк cos <&kt + Uk sin 0, (7.2.1)

а его к. ф. — каноническим разложением корреля-
ционной функции:

Кх {t, V) — Д Dk cos (t — t') =

co

= Dk (cos cos -f- sin akt sin ®kt') —

= E Dk cos = kx (t),	(7.2.2)

4-0

где

M[Kj=M[c/j = M[Kfec/j = o,	(< =#/)-,

D[Vfcl = D[C/J = Dfc. т = /-Г.

Координатными функциями канонического разложе-
ния стационарного с. п. являются косинусы и синусы
различных частот.

Каноническое разложение (7.2.1) называется спек-
тральным разложением стационарного с. п. Спек-
тральное разложение (7.2.1) может быть представ-
лено в виде (см. примеры 5 и 7 из п. 1.2)

X (0 = тх + £ Zk cos (и,/ - 0Д (7.2.3)
fe-=0

где 0*— фаза гармонического колебания элементар-
ного стационарного с. п. — случайная величина, рас-
пределенная равномерно в интервале (0,2л); Z*—
амплитуда гармонического колебания элементарного
стационарного с. п. — тоже с. в.

Случайные величины Zo, Zly .... Zky .... 0о, 0i, • ••
..., 0Ь ... зависимы. Между случайными величинами
Zk, 0* и Vk, Uk имеют место соотношения

Zk cos 0fe = Ук,	Zk sin 0ft = Uk- (7.2.4)
В соответствии с решением примера 7 из п. 1.2
между числовыми характеристиками с.в. Z* и число-
выми характеристиками с. в. Vk и Uk имеет место
следующее равенство:

{D [Zk] + (М [ZJH/2 = D [7*] = D [t/J = Dk. (7.2.5)

Таким образом, стационарный с. п. может быть
представлен в виде суммы гармонических колебаний
(см. (7.2.3)) со случайными амплитудами Zk и слу-
чайными фазами Qk иа различных неслучайных ча-
стотах со*. Заметим, что даже если амплитуды ко-
лебаний Zft являются неслучайными (D[Zft] = 0),
а М [Zft] =#= 0, то все равно будет иметь место ста-
ционарный процесс за счет случайного сдвига фазы
колебания 0* на частоте ык.

Очевидно, что коэффициенты канонического раз-
ложения к.ф. kx(x) и набор различных частот
<йк (£=0, 1, 2, ...) в формуле (7.2.2) должны зави-
сеть от конкретного вида к. ф. kx(x). Эту зависимость
можно получить различными способами, разлагая к. ф.
в ряд. Так как к.ф. стационарного с. п. X(t) является
четной функцией своего аргумента x(kx(x) = kx(—т)),
то ее иа интервале (—Т, Т) можно разложить в ряд
Фурье по четным (косинусным) гармоникам

kx (т) = Е £>* cos coftt,	(7.2.6)

ft-0

где

и* =	(0| = 2л/(2Г) = л/Г, (7.2.7)

т	т

= \kx(x)dx, Dft = -Jr J ^(x)cos(0ftT(ZT.(7.2.8)
-T	-T

Можно доказать, что коэффициенты Do, Dt,..., Dk,...
являются неотрицательными величинами для любой
корреляционной функции йх(т) стационарного с.п.

Таким образом, зная вид к.ф. kx(x), можно по-
лучить значения (дисперсии) коэффициентов канони-
ческого разложения (Vk, Uk) и частоты и* стацио-
нарного с. п. X(t).

Дисперсию стационарного с.п. X(t), представлен-
ного своим каноническим разложением (7.2.1), найдем
по формуле (см. (7.2.2))

ОО	ОО

Dx = kx (0) = 22 Dk cos одО = 22 Dk. (7.2.9)
k-0	k~0

Таким образом, дисперсия стационарного с.п., пред-
ставленного своим каноническим разложением (7.2.1),
равна сумме дисперсий всех гармоник его спектраль-
ного разложения. На рис. 7.2.1 показан «спектр дис-
персий» стационарного с. п., представленного своим



о

О>, 2<iJj ЛЮ,

Lxt

Рис. 7.2.1

спектральным разложением, на котором од = k<&\ (k =
= 0,1,2, ...). Очевидно, что разложение к.ф. kx(x)
в ряд (7.2.6) будет тем точнее, чем больший интер-
вал разложения Т будет взят. Рассмотрим разложе-
ние (7.2.6) иа интервале (—Т', Т'), где Т' = 2Г.
—	,	, ,	,	2я <о1	я

В этом случае соА = «Шр wi =	— у > гДе ®i = y-

Далее,

Т'	2Т

Do== гк $ kx(x)dx = -±r J kx(x)dx,
-Т'	— 2Т

Т'	2Т

D'k = yz kx (т) cos <&rkx dx — -fi- J kx (t) cos (o't dx.
T'	2T

На рис. 7.2.2 показаны спектры дисперсий ста-
ционарных с. п., представленных своими разложе-
ниями на интервале (0, Т) и (0, Т') (Т' = 27). Так как
(о1 = 2и'> то спектр дисперсии разложения с. п. Х(<)
на интервале (0, Т') содержит в 2 раза больше со-
ставляющих. Однако сумма всех этих составляющих
как для разложения на интервале (0, Т), так и для
разложения на интервале (О, Г'), должна быть оди-
наковой:

£>; = Dx.
аГо * а-о *

Это следует из условия (7.2.9).

При неограниченном увеличении периода разло-
жения корреляционной функции (Т-><х) коэффи-
циенты разложения к. ф. (7.2.6) будут неограниченно

уменьшаться (D*->0), а число их в сумме (7.2.9) не-
ограниченно увеличиваться. При этом величина Да> =
= (01 — интервал между соседними частотами — будет
также стремиться к нулю.

Запишем выражение (7.2.6) в несколько ином виде,
имея в виду, что

kx (т) — Dk cos (oftT =« У (cos 6Д шт) Ди. (7.2.10)
4=0	4=0

Введем обозначение

(7.2.11)

Величина 8*(иа) Ди = Dk представляет собой ту часть
общей дисперсии стационарного с. п. X(t), которая
приходится на Л-ю гармонику. На рис. 7.2.3 пока-
заны зависимости Sx (ш4) и S, (ш^) при и, = 2ш'.

Мы видим, что с увеличением периода разложения
(Т->со) ступенчатая функция 8х(ш*) будет неогра-
ниченно приближаться к плавной кривой 8ж(а>), кото-
рая представляет собой плотность распределения дис-
персий по частотам непрерывного спектра.
Таким образом,
lim Dft/Aco =	(<о).

Дш-»О

(7.2.12)

Функция 5х(<о) называется спектральной плот-
ностью стационарного случайного процесса X(t).



2Uj	8a/f J0<a' J2w{

Рис. 7.2.3

В этом случае выражение (7.2.10) примет вид

ОО

йх(т) = lim У* (cos kA (от) Асо =

Дш-*0 —< а<0

оо

== ^ Sx (со) cos (от rf(o. (7.2.13)
о

Таким образом, к. ф. и спектральная плотность
стационарного с. п. связаны между собой косинус-
преобразованием Фурье. Следовательно, спектраль-
ная плотность выражается через к. ф. стационарного
с. п. следующим образом:

оо

Sx(&>) = -^-^ kx (т) cos ют d%.	(7.2.14)

о

Последнее выражение можно получить предельным
переходом при Аи->0 (см. (7.2.11), (7.2.8) и (7.2.6)):
Sx((o)== lim v~- = lim -^=г =

Д<0-»0 д<0 T-*oo я/Т
т

~ lim —т=-  -=r \ kx (т) cos dt.
Так
ная,

как подынтегральная функция Ajx(t)cos(B4t чет-
то

т

Sx (ш) = lim — • 2 ( kx (т) cos <окх dr. (7.2.15)
Т->оо я J

При Т-*-оо и;,—►© и получим выражение (7.2.14).

Спектральная плотность Sx(<b) стационарного с. п.
обладает следующими свойствами:

1°. Она является неотрицательной функцией ча-
стоты ш:

Sx(©)>0.

Это следует из выражения (7.2.12), так как предел

отношения двух неотрицательных
величин Dk 0 и А<о > 0 не мо-
жет быть отрицательным.

2°. Интеграл от спектральной
плотности в пределах от 0 до оо
равен дисперсии стационарного
с. п.:

Dx = J Sx(«)d<n. (7.2.16)
oJ

Это следует из равенства (7.2.13):

DX = MO)==$
о

ОО

8Х (ш) (cos ш • 0) d& — $ Sx (ш) d<a.
о

Графически эти два свойства спектральной плот-
ности отображены на рис. 7.2.4. Кривая 8х(<о) рас-
положена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограни-
ченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и
осью ординат слева, равна дисперсии Dx (заштрихо-
ванная фигура иа рис. 7.2.4).

По аналогии с нормированной корреляционной
функцией

гя (т) = kx (r)/kx (0) = kx (r)/Dx	(7.2.17)

вводится в рассмотрение нормированная спектральная
плотность стационарного с. п.:

Sx(®) = Sx(®)/Dx.	(7.2.18)
Нормированная к. ф. н нормированная спектральная

плотность  Фурье:	связаны между собой преобразованием оо  rx (т) — sx (a)cos  0

(7.2.19)

ОО

2 Г

«X (ш) = — \ гх (т) cos сот dx.

о

Рассмотрим, как будет преобразовываться спек-
тральное разложение (7.2.1) при неограниченном уве-
личении интервала разложения (7"->-оо). Перепишем
разложение (7.2.1) в таком виде:

X (0 = пгх 4- -jj- (cos k Аш/) Аш 4-

Рассмотрим предел

Введем обозначения:

+S <sin k<7-2-2°)

А-О
этого

выражения при Аш-»-0.

lim = V (со),
д«->о д® '

Тогда при Г—>оо (А©->0

lim ^- = t/(©). (7.2.21)

Да-Ю а<0

и £А©->ш) получим ин-

тегральное каноническое представление стационар-
ного с. п. (см. (6.1.19)):

X (/) = тх 4- J V (со) cos ©/ d© 4- J U (©) sin со/ Ло,

о

о

(7.2.22)
где V(co) и (/(со) — случайные функции непрерывного
аргумента ©-частоты.

Как было показано в п. 6.1, случайные функции
V(©) и U (©) представляют собой белый шум с ха-
рактеристиками

М [К (©)] = М [//(©)] = О,

К„ (а, ©') =	(©, ©') = Sx (©) б (© — ©'), (7.2.23)

где Sx(©) — спектральная плотность стационарного
с. п. Х(/), б (х) —дельта-функция.
Так как случайные величины Vk и Uk не были
коррелированы для любых k, то взаимная корреля-
ционная функция случайных функций У(ш) и (/(<»)
равна нулю при любых значениях аргументов:

/?ов (©, ©') = М [V (ш) U (©')] as 0.	(7.2.24)

С помощью формул Эйлера для комплексных чи-
сел.

a/z — cos z 4-1 sin z, e,z = cos z — i sin z,
где i = V~l — мнимая единица, элементарный ста-
ционарный с. п. X(t) может быть записан в виде

Хк (0 = Vk cos ®kt -J- Uk sin ®kt =

= Vk (elUkt 4-	- iUk (е“к‘ - e~'“*‘)/2 =

Обозначим

Wk = ^~±, Wk=-k^iUk ,	(7.2.26)

где Wk — комплексная с. в. (см. п. 8.8*); Wk— с. в.,
комплексно сопряженная со с. в. Wk-

Следовательно, элементарный стационарный с. п.
в комплексной форме имеет вид

Хк (0 = Wketa>kt 4- Wkeiab*. (7.2.27)

Покажем, что выражение (7.2.27) представляет
собой каноническое разложение элементарного ста-
ционарного с. п. в комплексной форме. Действительно
(см. (7.2.26)),

М [Г»] - М [(Vk - iUk)/2] = 1 (М [И*] - /М [<7*]) = 0,

так как М [	= М [£7fe] = 0. Аналогично получим:

М [Г4] = М [(Ик 4- ВД2] = у <М 1^1 +1^*1) = °’
Покажем, что с. в. Wk н Wk не коррелироваиы (см.
п. 8.8*):

= М [Wk (Ж)1 = М [V*] =

= М [(Vk + iUrf/4] = М [V* + 2iVkUk - U>]/4 =

“ Т (М [Ч] + 2ZM [ VkUk] - М [£/*]) - о,

так как М [П] = М [^] = Dk, M[VkUk] =

Найдем дисперсию с. в. Wk (см. п. 8.8*):

D [Гй] - М [WkWkl = м [(vk - iUk) (Vk + iUk)/4] =

=T м [VI + iVkUk - iVkUk - PU*] =

= 1М[П + ^]=^- (7.2.28)
Аналогично,

D [Г J = M [Wk (K)l - M [Wk, Г»] = Dk/2. (7.2.29)

Корреляционная функция элементарного стацио-
нарного с.п. Xk(t) = Vk cos a»kt + Uk sin (s»kt имеет
вид

feXft(T)== DfcCOscOftT,

но costOfcT = (eia,kX -f- e-i“ftX)/2, поэтому

йж*(т) = -^-(е^ + ^).	(7.2.30)

Выражение (7.2.30) представляет собой разложе-
ние корреляционной функции элементарного стацио-
нарного с. п. в комплексной форме.

Следовательно, спектральное разложение стацио-
нарного с. п. (7.2.1) в комплексной форме имеет вид
X«) = пгх + J (Wkete>k‘ + Wke‘^ =
л-о

= Е Wke1^, (7.2.31)
л—-оо

а его корреляционная функция

= £	+	£ Dke1^. (7.2.32)

—оо
В выражениях (7.2.31) и (7.2.32) W-k = ^k, ia-k —
= —i<s>k. Зависимость (7.2.13) можно переписать в та-
ком виде:

ОО

(т) = $ Sx (со) cos шт rfw =
о

= $ Sx(®)(eiax + e',<ot)rf©/2 =
О

= $ Sx (со) etm d<o/2 + Sx (со) rfco/2. (7.2.33)
о	о

Введем в рассмотрение новую функцию S* (со), ко-
торую определим следующим образом:

8’ (со) = 8Х (со)/2	прн со > 0,

S* (co) = Sx(— со)/2 при со < 0.	(7-2.34)

Таким образом, функция 8* (со) является четной функ-
цией аргумента со н определена для любых значений

этого аргумента — как положительных, так и отри-
цательных.

На рис. 7.2.5 показаны графики функций Sx (со)
и S*(co). Значения функции S*(co) при положитель-
ных значениях со в два раза меньше значений спек-
тральной плотности Sx(co) при тех же значениях аргу-
мента со.

Функция 8* (со) называется спектральной плот-
ностью стационарного случайного процесса в комп-
лексной форме. Она обладает тремя свойствами:

Г. S’(co)>o ПРИ —оо < со < оо (неотрицатель-
ная функция);
оо

2°. $ S* (со) dco = Dx (т. е. интеграл от спектраль-
ной плотности в бесконечных пределах равен диспер-
сии с. п.);

3°. S* (со) = S* (—со) (четная функция).

С учетом (7.2.34) выражение для kx(x) (7.2.33)
примет вид

ОО	00

kx (т) = J Sx (со) е1вп d<o/2 + J Sx (-со) е~l*”d(-a)

oJ	о

оо	оо

= С	d(0 _ f .SH-Z21 ei <-“> * d (-со) =

J	A	J	А

О	О

оо	О

= $ S* (со) егшт dco 4- $ S’ (со) etax da —
О	- оо

оо

= J Sx(a)ete>x da. (7.2.35)
00

Заменяя в выражении (7.2.14) coscot на («“* 4-
_|_ g-foT) /2, получим

о ?	ivn I _ Сшг

Sx(со) = | kx(т)	----dx =

О

г» оо	оо	—

=	М—T)e'mitf(—т)(—1)4-$	(т) e dx I =

1о	О	J

[О	оо	—

$ kx (т) е(шт d (—т) 4- $ kx (т) е 1<лх dx I =
— оо	О	J

оо

—	$ kx (т) е ~ian dx.

<- 00

Деля левую и правую части этого равенства на 2 и
полагая аргумент со принадлежащим всей числовой
осн, получим

00

s; (со) = Sx (со)/2 = 2^- j kx (т) e~lwxdx (--оо < со < оо).

(7.2.36)
Выражения (7.2.35) н (7.2.36) представляют собой
преобразование Фурье спектральной плотности 5*(ю)
и к. ф. /г*(т) в комплексной форме

В п. 7.1 было указано, что к. ф. £*(т) должна
обладать свойством положительной определенности
(7.1.13). Покажем, что это свойство выполняется при
условии, что спектральная плотность $*(ю)^0.

По формуле (7.2.13) имеем

ОО

kx (Т) = $х (w) COS (Ord® =
о
oo	оо

= $ (со) cos <о/ cosofdo +	(и) sin at sin at'da,

о	о

где т = t — f.

В этом случае формула (7.1.13) примет вид

$ \	— О ф (О Ф (О dtdt' =

(В) (В)

= $ § I $ cos cos Ф V ) da +

(В) (В) (. о

ОО

+ Sx (©) sin <о/ sin ®/'ф (/) ф (f) d® I dtdtf =
о	)

oo

= \ Sx (а) f ( cos cofq> (t) dt ( cos (of <p (i') dt' -j-

0J 1(B)	(B)

+ ( sin и/ф (t) dt $ sin at'if (f) dt'X da,
(В)	(B)	)

где (В) — любая область интегрирования, принадле-
жащая интервалу (0, оо); ф(/)— любая функция ар-
гумента t. Введем обозначения

$ cos ®/ф (/) dt = Xi (<о, (В)), ( sin <о/ф (/) dt = Хг (“> (Я))-

(В)	(В)
Тогда условие положительной определенности (7.1.13)
примет вид

( ( kx (t — f) ф (0 ф (f) dtdt' —

(В) (В)
00

= $ sx (со) {(Х1 (®. (В))]2 + [Хг (®, (В))]2} > О,
о

так как подынтегральная функция неотрицательна.
Можно доказать (мы этого делать не будем), что
условие Sx(®)>0 является не только достаточным,
но и необходимым для того, чтобы корреляционная
функция была положительно определенной.

Таким образом, с помощью преобразования Фурье
в комплексной форме устанавливается однозначное
соответствие между к.ф. kx(x) стационарного с.п. и
его спектральной плотностью S’(co) (см. (7.3.35)) н
спектральной плотностью S* (со) стационарного с. п. н
его к. ф. (см. (7.3.36)). В приложении 1 дана таблица
таких соответствий для некоторых стационарных с. п.,
встречающихся в инженерной практике.

Пример 1. Найти спектральную плотность Sxk (со)
элементарного стационарного с. п. X*(/)= I7* cos со*/ +
+ t/*sin©*f.

Решение. Корреляционная функция kx (т) имеет
вид

kXk (т) = Dk cos со*т,

где Da = D{|/J = D[£/J.

Покажем, что искомая спектральная плотность
(со) определяется выражением

SxA(co) = Dft6(<O-<oA),	(7.2.37)

где б (х) —дельта-функция.

Действительно, в соответствии с формулой (7.2.13)

оо	оо

kxk (т) = 8хк (со) cos coxdto = J Djfi (co — co*) cos cordco;

о	о
в соответствии со свойствами дельта-функции (см.
приложение 6 в [5])

®*+е

kxk (т) = Dk б (со — (оА) cos oxdo = Dk cos и*т.

®*~e

Так как преобразование Фурье определяет спектраль-
ную плотность н корреляционную функцию взаимно
однозначно, то выражение (7.2.37) является искомой
спектральной плотностью элементарного стационар-
ного с. п.

Найдем спектральную плотность элементарного
стационарного с. п. в комплексной форме. В соответ-
ствии с (7.2.34) имеем:

£>.	D.

s4 (®)=-г6 (®+®*) + -г6 (® - “*)• <7-2-38)

Можно убедиться в том, что это выражение для
спектральной плотности соответствует заданной кор-
реляционной функции (см. (7.2.35)):

г

kx. (т) = \ I6 (® + ®*)е“'п + б (® — “*) d& =

ОО

~ -ак+е	®fc+e

= -у-	$ б(<о + <ok)elend<o + J б(ш — <ok)etiaxd<o —

_-ак е	ш4~е

= £>* cos и*т,

что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти спектральную плотность ста-
ционарного с. п., заданную своим спектральным раз-
ложением (7.2.1).

Решение. Имеем (см. (7.2.2) и решение пре-
дыдущего примера):

ОО 00

Sx (ю) =	$ У* Dk cos (0*т cos wtdx =

о k -о
00 ОО	оо

— -^-	$ Dk cos шйт cos and? = У* Dk6 (и — <ot).

*-0 0	*-0

(7.2.39)
Спектральная плотность в комплексной форме будет
(см. (7.2.38)):

Sx (<о) = Dk [б (со + coj + б (со - ®ft)]/2. (7.2.40)

Пример 3. Найтн спектральную плотность вы-
рожденного стационарного случайного процесса X(t)
(когда X(t) — V, где V — с. в. (см. пример 2 из п. 7.1)),
у которого kx(x) = Dv — D [ V].

Решение. Рассматриваемый случай является
частным случаем примера 1 при а>* = 0 и Dk = Dv.
Действительно,

kx (т) = Do = lim Dk cos со*т = Dk.

Следовательно (см. (7.2.38)),

D.

Sx(co) = lim -^[б(ю-Ьа>к

= Dft6 (co) = Do6 (co).	(7.2.41)

Можно убедиться в том, что равенство kx(x) —
оо

= J S* (со) eio>Tdco выполняется. Действительно,
— 00

£х(т) = J £>„б (со) eZondco = £)„.
— ОО

При Dv — 1 получаем

00

S«(«>) = -i- 5 r'NT = 6(ffl).	(7.2.42)

— 00

Эта формула может служить «аналитическим» выра-
жением дельта-функции.

В частном случае, когда с. в. является не случай-
ной, а постоянной: V = а = const, получим:

^(т) = 0,	$»0.

Пример 4. Найти корреляционную функцию ста-
ционарного с.п. X(t), если ее спектральная плот-
ность Sx(co) постоянна на интервале («ь ш2) и равна
с, а вне этого интервала равна нулю.

•Sx (ю) — q

при о е(<В], ©j),
при со 5£(о>1, ш2)-

Решение. По формуле (7.2.13)

kx (т) = J Sx (со) cos сотс/со =
о

<й

= $ с cos ar da = у (sin <0гт — sin cojt] =

<01

= ^Cos(^±^,)sin(^-,).	(7.2.43)

Дисперсия рассматриваемого случайного процесса
X(t) будет

Dx = Sx (со) da — J с da = с (og — coj),
О	tot

откуда

Dx
с —---±—

а>4 — со.

Следовательно,

«» (*£4»'» (№4 г-

(7.2.44)

Рассмотрим предел этого выражения при o)2~>(Oi:

д™ D‘™ (^ ’) •<” (^ ’)/№ ’) -

— Dx cos Ю]Т lim sin g	g-?- т j =

= Dx cos cojT.

Таким образом, при ®2->-<oi мы получили случай, рас-
смотренный в примере 1, когда с.п. является элемен-
тарным стационарным случайным процессом — слу-
чайные колебания на частоте иь

Пример 5. Найти спектральную плотность с. п.
X(t), представляющего собой случайную телеграф-
ную волну (см. пример 3 из п. 7.1): kx(t) = аге~®-№.
Решение.

оо

— оо

„ r <?	00

а I	Г	»и»| _|ол j	. г ~2А|т|	-<>»	j

==-^-| 1 е	2Х е	«т +	j е	е	dx =

L - •	о

2 Г <?	» '	1

U I	Г	2ir — йат . г	—2Лг —ion .

= -2^|	J	е dx+j	е dx	=

L -00	О	-I

Q2 Г <______________<	1

= 2л L 2Л— мо —2% — ко J

а2 Г 1	.	1	1 = а2 4%	_

S 2л L 2% - /<о	2% + /<о J 2л (2Х)2 + <о2

(72л5>

График S‘(®) показан на рис. 7.2.6.

Пример 6. Показать, что стационарный белый
шум X(t) имеет постоянную спектральную плотность.

Решение. У стационарного белого шума (см.
пример 6 из п. 7.1) корреляционная функция может
быть записана в виде

kx (т) = сб (т),

откуда

s;(®)=

00

= i $ c6(x)e~^dx = -^.

Величина с называется интенсивностью белого шума.
Таким образом, стационарный белый шум представ-
ляет собой случайные колебания на всех частотах,
при этом дисперсия этих колебаний, приходящихся на
элементарный участок Д®, остается постоянной н не
зависит от частоты колебаний со. Действительно, эта
дисперсия будет приближенно равна

ДО, « S* (ш) Д® = 4- Д®
X	Xх'

и не зависит от частоты со.
Пример 7. Найти спектральную плотность ста-
ционарного случайного процесса X(t), представляю-
щего собой телеграфную волну (см. пример 11 из
п. 7.1): ^(т) = а2(1 -1т|)1 (1 -1т|).

Решение.

1

— J (1 — T)cos(OTdt =
о

2a2 Г 1 1“
л L W lo

cos юг . If	. I

	ают	s- \ шт cos ©таит I «
ю-------------o’ J	I

о	J

sin x —

2as 1 — cos ю

л it?

График спектральной плотности S*(©) показан на
рис. 7.2.7.

Л 2rt 3rt Urt ш

Рис. 7.2.7

Если корреляционная функция имеет вид
-JiljDQ-liL).

где то > 0, то

„ . ,___ 2аг	I — cos сото	_ 2тов2 1 — cos што

О, (И)	— Тош2	— п	• (шТа)2	=

__ т0а2 / sin (ют0)/2 \2
л \ шТо/2 /

Пример 8. Определить, при каких положитель-
ных параметрах а, р и Dx функция

kx (у) == Dxe~a I 'I (ch Рт + -J- shPI т |) (7.2.46)
обладает свойствами корреляционной функции.
Решение. Первое свойство kx (0) = Dx > 0, оче-
видно, выполняется.

Второе свойство kx(x) = kx(—x) (четность корре-
ляционной функции) тоже выполняется.

Третье свойство | kx (т) | kx (0) = Dx. Так как
йх(т)—функция четная, достаточно исследовать ее
при т > 0. В этом случае

=	+ 1) - у е' <—»” (f - 1)}

(т>0).

Выражение в фигурных скобках по модулю не должно
превышать единицы. Это условие будет выполняться
только в случае, когда а р.

Четвертое свойство S*(co)^0. Найдем спектраль-
ную плотность
00

= i $ kx(x)e~ia”dx =
— 00

/	00

L	о

00

+('-?)$e~ (a+0+ia) Xdx | =
0	)

___ Ox f P + Q	_1_ P~a	)	=

2л	A I a — P + /co	'	a + P +	J

_________(a2 - P2) -2a£>x	/7 9
л [(a — P)2 + co2][(a + P)2 + со2] ’

где Re{x)—действительная часть комплексного
числа х.

Анализ полученного выражения показывает, что
S’ (со) > 0 при a > р. При <х == р спектральная плот-
ность S* (®) пропорциональна дельта-функцни:5* (и) =
= £>/(со).

Таким образом, прн a Р, <х>0 и р > О корре-
ляционная функция (7.2.46) обладает всеми четырьмя
свойствами корреляционной функции стационарного
с. п. Заметим, что при a = р с. п. X(t) превращается
в с. в. (см. пример 3). В этом случае (прн а = Р)

Лх(т) = Д„ S» = £>xd(co).
На рис. 7.2.8 показаны графики зависимостей^(т) и
S»-

При а->-р график к.ф. /г*(т) будет «выпрямлять-
ся» и приближаться к прямой, параллельной осн
абсцисс От и отстоящей от нее на величину Dx (см.
пунктирную линию на рис. 7.2.8,а), а график спек-
тральной плотности S*(a>) будет вытягиваться вверх

Рис. 7.2.8

неизменной площадь, ограниченную кривой S‘(<o) н
осью абсцисс Ош (см. площадь, заштрихованную на
рнс. 7.2.8,б). Эта площадь равна дисперснн Dx. В пре-
деле при а = р спектральная плотность будет про-
порциональна дельта-функции: S* (со) = Dx6 (ш) (см.
(7.2.47)).

7.3.	Линейные преобразования стационарных
случайных процессов

В п. 7.2 мы показали, что стационарный с. п. X(i)
можно с необходимой для инженерной практики точ-
ностью представить своим каноническим разложением
(7.2.1). Для этого достаточно корреляционную функ-
цию kx(r) разложить в ряд Фурье на интервале
(—Т, Г), прн этом получаем дисперсии коэффициен-
тов разложения Dk и частоты гармонических колеба-
ний ш* (fc = 0, 1, 2, ...). Чем больше будет интервал
разложения, тем точнее можно представить с. п. своим
спектральным разложением (7.2.1).

Рассмотрим линейное однородное преобразование
стационарного с. п. X (/):

У(0 = £о,{Х(0}.	(7.3.1)
В соответствии с формулой (6.2.14) м.о. случай-
ного процесса Y(t) будет:

ту (/) = М [Г (/)] = LOf {тх},	(7.3.2)

а его к.ф. определяется по формуле (6.2.18):
Ky(t, f) = LOt,{LOt{Kx(t, О}}-

Но корреляционная функция Kx(/,f) стационарного
с.п., заданного своим спектральным разложением,оп-
ределяется по формуле (7.2.2). Следовательно,

= ^DkLoe{LO( {cosco*/ • coseuf + sin <в*/ • sin со*/'}}.

Введем обозначения:

{cos<B*0 = q>*(0.

Lot {sin <в*0 = ф* (0-

(7.3.3)

Тогда

Ку (Л О e	DkLQt, {<p* (/) cos co*/' 4- ф* (0 sin <W'} -

= Д Я* l<₽* (0 <₽k (0 + МЧ (0 M>* (01 =

= E Dk^k (/) Ф* (f) + S Mi (О Ф* (O-	(7.3.4)

k - о	fe-0

Получили каноническое разложение корреляцион-
ной функции с. п. Y(t).

Если рассматривается линейное неоднородное
преобразование (6.2.8)

Y (0 = LH< {X (/)} = LOt {X (t)} + ф (П,	(7.3.5)

то формула для математического ожидания с. п. X(t)
примет вид

ту (0 = М [Г (01 = LOf {тх} + Ф (0,	(7-3.6)

а формулы (7.3.3) и (7.3.4) для определения к.ф.
остаются теми же и для линейного однородного пре-
образования.
Чтобы с. п. Y(t} был стационарен по математиче-
скому ожиданию, необходимо выполнение условия

ту (/) = ту = LOj {тх} 4- <р (0 = const. (7.3.7)

Чтобы с. п. Y(t) был стационарен по корреляцион-
ной функции, достаточно выполнения условий (см.
(7.3.3))

LO( {cos со*/} = a* cos со*/,
1	(7 3 8)

LOf (sin со*/} = Рй sin &kt

нли наоборот

LOt {cos co*/} = a* sin co*/,
*	(7 3 9)

LOt {sin co*/} = pfc cos co*/,
причем

a2fc = P2fc.	(7.3.9')

Рассмотрим несколько примеров линейных преоб-
разований стационарного с. п. Х(1), считая при этом
известными тх и £ж(т).

1. Дифференцирование

Y (t) = dX(t)/dt.	(7.3.10)

В этом случае по формуле (6.2.22) получаем

ти (/) = ту = dmjdt = 0,	(7.3.11)

LOt {cos со*/} =	cos co*/ = — co* sin co*/ = ф* (/),

LOj {sin co*/} = sin co*/ = co* cos co*/ = ф* (/).

Условия (7.3.7) —(7.3.9') выполняются, следовательно,
с. п. Y(t) = dX(t)/dt будет стационарен по математи-
ческому ожиданию и по корреляционной функции,
которую найдем пр формуле (6.2.22):

(7.3.12)

Обозначим ? = / — /', тогда

ky^ = ^=^k^ = --^k^- <7313>

Используя метод полной индукции, можно по-
казать, что k-я производная стационарного с. п. X(t)

Y k(t) = dkX(t)!dtk	(7.3.14)
является стационарным с. п. с характеристиками

т,==М[Г*(0] = О»

(7.3.15)

Кроме того, можно показать, что если стационар-
ный с.п. X(t) является нормальным, то его k-я про-
изводная Yk (0 = dkX (t)/dtk является также нормаль-
ным с.п. с характеристиками (7.3.15).

Найдем спектральную плотность с. п. Y(/) —
— dX(t)/dt. В соответствии с формулами (7.2.35),
(7.2.36) и (7.3.13) спектральная плотность с. п. Y(t)

= Л_ J	J е doi =

— ОО	L	-оо	-

= 2л со2е/“1С</т Г $ S’ (со) е da> =
— оо	L - оо	-

==^Г I *JC(T)e/‘"dT = ®IS^(e>).

Таким образом, если с.п. Y(t)—dX(t)/dt и спект-
ральная плотность с.п. Х(0 равна S^(®), то спект-
ральная плотность с. п. У(0 определяется по формуле

S’(со) = co2S’(со).	(7.3.16)

Ввиду важности формулы (7.3.16) запишем ее
в виде правила: спектральная плотность производной
стационарного с. п. равна произведению спектраль-
ной плотности этого с. п. на со2.

Еслис.п. Yk(t) = dkX(t)/dtk (см. (7.3.14)) и спект-
ральная плотность с.п. X(t) равна $*(©), то

$ (®) = ®2‘S;(ffl).	(7.3.17)

Формулу (7.3.17) можно получить из формулы
(7.3.16), применяя метод математической индукции.

И Тс»пг>мя о ivuafiMMx ппспгеп'ля
Пример 1. Найти характеристики производной
с.п. X(t), который представляет собой случайную те-
леграфную волну (см. пример 3 из п. 7.1): тх = 0,
kx(t) = a2e-2^^.

Решение. ту = dmjdt = О,

ky <*)=--йaV2X| х 1={е-2Х 1 х 1	•

В приложении 6 в [5] показано, что

d | х |	d21 х I o., .

—4—L = sign t,	,1 = 26 (?),

dx ®	’	dx2	'

следовательно,

ky (т) = a22X |e-2X И l. (_ 2X) -^1 	+

+	e~* ।	= a22Xe И । [26 (?) - 2A, (sign ?)2].

Наличие слагаемого 26(?) показывает, что в составе
стационарного с.п. Y(t) есть белый шум. Найдем

спектральную плотность

S;(a>) (см. (7.2.45)):

s; (ф)=co2s; (ф)=
а22А <о2

~~я~ ' (2Х)2 + <Й2 •

Рис 7.3.J	На рис. 7.3.1 показан гра-

фик зависимости S* (со).
Так как с. п. Y(t) содержит белый шум, то
<й

lim \ S‘(®)dco-*oo. Это значит, что площадь, ограни-
<й->оо J У

—®

ченная кривой S*(co)h осью абсцисс на рис. 7.3.1, то-
же стремится к бесконечности.

Пример 2. Найти в. к. ф. стационарного с. п.

Х(0 и его производной Y(t) = dX(t)/dt.

Решение. По определению

RXy V, П = м [х (04- X (Г)] =	М [X (/) X (Г)] =

— dt> кх (t, t>) — ~dp'ltx (х)»
где т = f — t, следовательно,

О “ (у *,«) > - к *« <’)

С другой стороны,

Таким образом,
/?х4,(т)=-.^^(т).	(7.3.18)

Другими словами, стационарный с. п. X(t) и его про-
изводная Y{t) = dX(t)/dt «стационарно коррелиро-
ваны», так как Rx,&(i) есть функция только сдвига т.

Покажем, что стационарные процессы X(t) и У(0
в одной точке t не коррелированье Действительно,
при t' = t х — t' — t = Q, следовательно,

К* (0) = - A kx (0) = - -~DX = 0.

Пример 3. Рассматривается линейное неодно-
родное преобразование стационарного с. п. X(t)

Z(t) = a0 (t) + at (/) dX (t)/dt.	(7.3.19)

Процесс X(t) имеет характеристики mx и £х(т). Тре-
буется найти характерстики с. п. Z(t).

Решение. Обозначим

Y (t) = dX (t)/dt.

Тогда

Z(t) = a0(t) + al(t)Y(t), (7.3.20)

что является линейной формой с. п. Y(t) (см. п. 6.3).
Следовательно,

пц (0 = Оо (0 + (0 ту (0-

Но my(t) =0 (см. (7.3.12)). Тогда

/пг(О = «о(П.	(7.3.21)

Корреляционная функция процесса Z(0 определяется
по формуле (6.3.18) при k= 1:

К2 (t, t') = а, (/) at (Г) ky (t -1') =

= al(t)al(t')-£rkx(t~t').	(7.3.22)
Таким образом, с. п. Z(t) в общем случае не будет
стационарным. Если коэффициенты в уравнении
(7.3.19) будут постоянными:

at (t) = at = const, o2 (/) = a2 — const, (7.3.23)

to c. n. Z(t) будет стационарным с характеристиками
(см. (7.1.13))

тг = о0,	=	(7-3.24)

Если с.п. Zk(t) определяется по формуле

-7 zzv /м I	/л dX(t) .	. dkX(t)

%к (0 — °о(О + ai (0 ——--h ... 4- ak (t) ——— =

at	at

k	i

= ao(O+£a((/)-^-, (7.3.25)

<-i

где X(t) — стационарный с.п. с характеристиками tn*
и Лх(т), то (см. (6.3.7))

mZk (0 = М [Zk (/)] = * (0 + Е а, (/) М [Г* (/)],
К	i-i

где yi(t) = d‘X(0/d/'. В соответствии с формулой
(7.3.15) А! [У,(/)] = 0, поэтому

mxfc(n = Oo(0-	(7.3.26)

Введем обозначения

, оо а1 ( а1

Kyt (t, t') = М [У, (0 У, (Г)] =	kx (t - f)},

(7.3.27)

00 а1 ( al	1

*yty, <t, t') = M [У, (0 Yt (Г)] =	kx (/ _ f)}

(i Ф j).	(7.3.28)

Тогда в соответствии с формулой (6.3.17) получим

Кгк (Л t') = Е а( (/) а< (Г) КУ( (t, Г) +

+ Е as (t) at (f) Ryiy At, t'). (7.3.29)

Таким образом, при переменных коэффициентах ао(Л,
Oi(t), ..., afc(t) с.п. Z*(t) (см. (7.3.25)) не будет
стационарным.
При постоянных коэффициентах во. а{, .... а* по-
лучим (см. (7.3.15))

=	(7.3.30)

//) = ^(т) = £а?(-1)'-^^(т) +

/-1 т

+ £ a/a/(-i)'+'221fcx(T). (7.з.з1)

i^i	0Х

Следовательно, при постоянных коэффициентах at
(i = 1,2, .... k) в выражении (7.3.25) с.п. Zk(t) бу-
дет стационарным. Если процесс X(t) был нормаль-
ным, то и процесс Z(t) тоже будет нормальным при
любых коэффициентах в выражении (7.3.25) —как
постоянных, так и переменных. ►

В дальнейшем будем называть оператор At (см.
п. 6.2) стационарным оператором и обозначать его
Atc, если этот оператор преобразует стационарный
с.п. X(t) в стационарный с.п. Y(t). Таким образом,
линейный неоднородный оператор

. A d‘X (/)
“°+Lai

(7.3.32)

является стационарным оператором.

2. Интегрирование. Рассмотрим линейное однород-
ное преобразование — интегрирование стационарного
с. п. X(t) в пределах от 0 до t:

t

Y(t) = ^X(t)dt.
о

(7.3.33)

Так как оператор интегрирования является линейным

однородным, то

t my(t) =	= tm*,  0 11'  0 0	(7.3.34)  (7.3.35)
Мы видим, что преобразование (7.3.33) не являет-
ся стационарным по математическому ожиданию.

Чтобы исследовать функцию Ky(t,t'), рассмотрим
более подробно преобразование (7.3.33), считая, что
процесс X(t) представлен своим спектральным раз-
ложением (7.2.1):

1 г	Д	1

У (/) = И + У (Vfc coscofc/ + Uk sin coft0 dt =

0 L	Л-0	J

oo

= mJ + £ [У* sin co^/co* + Uk(l — cos cofc0/coft]. (7.3.36)
k -o

Мы видим, что выражение (7.3.36) представляет со-
бой каноническое разложение, однако оно не является
спектральным и с. п. Y(t) не является стационарным.
Следовательно, каноническое разложение к. ф. будет
иметь вид

ОО —

Ку (t, г) = > ~т lsin sin +

+ (1 — cos <akt) (1 — cos co*/')] (7.3.37)

и дисперсия с. n. Y (0 будет определяться по формуле

оо

£>у (0 = Ку (t, 0 = £ пг [sin2 akt + (1 — cos со*/)2] =
4-0

= 2 У ~ (1 - cos akt). (7.3.38)
4-0 *

Рассмотрим еще одно линейное однородное преоб-
разование стационарного с. п. Х(0, связанное с ин-
тегрированием:	*

Z(t) = Y J X(t)dt.	(7.3.39)

о

Считая, что процесс Х(0 задан своим спектральным
разложением (7.2.1), получим (см. (7.3.36)):

ОО

Z (0 = тж + Е [v* sin <Btf/(<o*O 4- Uk (1 — cos ©*/)/(ш*0].

4-0

(7.3.40)
Выражение (7.3.40) является каноническим разложе-
нием, но не спектральным; поэтому с.п. Z(t) не яв-
ляется стационарным процессом. Его к. ф. будет иметь
вид

KAt. f) = y

(1 — СОЗ <QJtO (1 — COS COfe/')

а дисперсию найдем по формуле

О,(0- о - £ оД(^У +
к-0
оо

, / 1 - cos Vl o V П 1 — cos <o*t

+ k ) \~2LUk
fe-0

(7.3.41)

(7.3.42)

Рассмотрим частный случай для формул (7.3.40),
(7.3.42), когда ©о = О и D0>0. В этом случае спек-
тральное разложение с.п. X(t) примет вид

ОО

X (о = тх 4- Vo 4- Е (Vk cos ©*/ 4- Uk sin co*/)» (7.3.43)
*-i

а для процесса Z(t) получим такое выражение:

м /.*	। ,7 , •	sin atot itt । •	1 ~~ cos wq/

z (t) = mx 4- vo lim —t— 4- Uo hm —--------------------------------

a,->0	<°o‘	a,->0 <Oo‘

oo

I V (it sin (О*/ , ,, 1— cos<ot/\___

+ L v* ~^r~ + Uk—~

k-\

= mx4-V04-fг-4-£4-Ц(7.3.44)
*—I

В рассматриваемом случае (при (»о = О) в составе
канонического разложения Z(t) присутствует с.в. Vi».
Следовательно,

тг (/) = mz = тх,	(7.3.45)

л, V. О-D, + У а, Г+

. (1 — COS <£>kt} (1 — cos a>fe t'} 1	_

^(O = ^o +2 £-^(1-008(0,0. (7.3.47)
ы '

Мы видим, что

lim Dz(t) — D0.	(7.3.48)

/-►co

Линейное однородное преобразование (7.3.39) ис-
пользуют для получения оценки м. о. тх стационар-
ного с.п. X(t) (см. п. 11.6*). Эта оценка является
несмещенной, так как М(2(/)] = тх, но дисперсия
этой оценки будет зависеть от величин Do и t. Если
в составе стационарного с. п. X (/) нет слагаемых
в виде случайной величины (V0 = 0), а есть только
слагаемые в виде случайных колебаний на различ-
ных частотах, то в этом случае оценка (7.3.39) будет
асимптотически состоятельной, так как

lim Dz (I) = 0.	(7.3.49)

/-►оо

Таким образом, преобразование (7.3.39) может
быть использовано для оценки м.о. тх стационарного
с. п. X(t), если его к.ф. kx(i) обладает свойством

lim^(T) = 0.	(7.3.50)

^-►СО

3. Сумма двух стационарных случайных процес-
сов. Рассматривается процесс Z(t), равный сумме
двух стационарных с.п. X(t) и Y(t):	»

Z (t)~X (t) + Y (t).	(7.3.51)

Даны характеристики процессов X(t) и Y(t): mx,
kx(r), mu, Лу(т), а также их взаимная к.ф. (см.
п. 1.2):

t).	(7.3.52)
Случайные процессы X(t) и Y(t) называются стацио-
нарно связанными, если выполняется условие

R*y(t, t')=~RXy(x),	(7.3.53)

где x = t—t'.

Из свойства (7.3.53) следует, что для стационарно
связанных процессов выполняется равенство

'О-	(7.3.54)

Найдем характеристики с. п. Z{t). В соответствии
с формулой (6.3.7), (6.3.13), (6.3.17) имеем

шг (0 = тг — тх + ту = const, (7.3.55)

К, U, П ~kx(t- Г) + ky(t- t') 4- Rxy (t, t') 4- Ryx (/, /'),

(7.3.56)

O2 (0 = kx (0) 4- ky (0) 4- 27?XJ, (/, /) =

~Dx + Dy + 2Rxy(t, 0- (7.3.57)

Мы видим, что м.о. суммы двух стационарных
с. п. есть постоянная величина, равная сумме матема-
тических ожиданий слагаемых.

Корреляционная функция суммы двух стационар-
ных с. п. в общем случае будет функцией двух аргу-
ментов t и f. Если с. п. X(t) и У(0 стационарно свя-
заны, то с. п. Z(t) = X(t)-j- Y(t) будет стационарным:

(t, f) = kz (т) = kx (t) 4- ky (t) 4- Rxy (t) 4- Ry. (t),

(7.3.58)

Dz = Dx 4- Dy 4- 2/?XJ, (0).	(7.3.59)

Если стационарные с. n. X(t) н Y(t) не коррелиро-
ваны: Rxy(t,t') = O, то

Мт) = Ах(т)4-Мт) (73.60)
и с. п. Z(t) будет стационарным.

Пример 4. Рассматривается сумма двух элемен-
тарных стационарных с. п. Z(t) —X(t)+Y(t), где

X (i) = U cos 4- V sin и,/, Y(t) = U sin и,/ — V cos torf.

Случайные величины U и V центрированы и не кор-
релированы с одинаковыми дисперсиями D„ = DU —
— D. Требуется найти характеристики с. п. Z(t).

Решение. Можно убедиться в том, что

m* = m₽ = 0, kx (т)» ky (т) — D cos a>it {x — t' — f).
Найдем в. к.ф. процессов X(t) и Y(t):
о о

Rxy(t, П=М[Х(/)Г(Г)] =

— М [(£/ cos а,/ 4* V sin a,r) (U sin <&it' — V cos а,/')] =

— М [U2 cos titit sin G>t/Z — V2 sin at/ cos 4-

4-	UV (sin a^ sin — cos a^ cos a^')] —

— D (cos a^ sin a,/' — sin (ott cos (o^') =

= D sin <&t (t — t') = D sin — Rxy (t).

По формуле (7.3.58) находим (см. (7.3.54)):

К, (t, f) = kx(t- f) + k„(t- f) 4- Rxv (t - f) 4-

4- Ryx (t — t') = D [cos Ш[Т 4- COS G^T 4- sin Й>[Т 4-

4- sin G>! (-r)l = kx (t) 4- ky (t) = kz (t).

Мы видим, что процесс Z{t) представляет собой
элементарный стационарный с.п. вида.

Z (0 = Wx cos atf 4- U72 sin axt,

где IFi и IF2 центрированные некоррелированные с. в.
С одинаковыми дисперсиями DWi = Dv, — 2D. Слу-
чайные величины Wi и U72 выражаются через с. в. U
н V следующим образом:

Z (t) = U cos а^ 4* V sin 4- U sin — V cos a^ =

= (U — V) cos 4- (U 4- И) sin

откуда U7, » U — V, U72 = U+ V.

Можно убедиться в том, что

M[UM = M[U72] = 0, D [U71] = D[U72] = 2D,

М[ЙМ72] = 0. ►

Найдем в общем случае спектральную плотность
стационарного с.п. Z(t) = X(t)+Y(t), если процессы
X(t) и Y(t) стационарно связаны (см. (7.3.58)):

СО

J kz(x)e~tmdT =
— ОО

== i $ I** + ky W + (т) + (т)] e~tv" dT =

o=Sx(a) 4- Sy (а) 4* Sxy(&) 4~ S^*(a), (7.3.61)
где Sx (®), Sy (ш) — спектральные плотности стацио-
нарных с.п. Х(0 и Y(t) соответственно,

оо

=	5 Rxy{t)e-imdx

—оо

(7.3.62)

— взаимная спектральная плотность двух стационар-
но связанных с. п. Из (7.3.62) следует, что

оо

Syx (®)«	$ Ryx (т) е-‘™ dx. (7.3.63)

В соответствии с равенством (7.3.54) между вза-
имными плотностями Sxff(fi>) и S'yx(<s>) существует сле-
дующее равенство:

ОО

S;„(®) = 5US = -^- $ Ryx(x)eimdx. (7.3.64)

—- оо

Тогда формулу (7.3.61) можно записать в виде

SJ (и) = Si (®) 4- Sy (ш) + 2 Re {S^ (со)}, (7.3.65)
где Re{a) — действительная часть комплексного
числа а.

Если случайные процессы X(t) и Y(t) не корре-
лированы, то

8>М(в) + $И«)-	(7.3.66)

Из общих свойств спектральной плотности, приве-
денных в п. 7.2, следует, что Re{S^(®)} является чет-
ной неотрицательной функцией ®.

Пример 5. Найти взаимную спектральную плот-
ность SxV(®) элементарных стационарных случайных
процессов X(t) и Y(t), рассмотренных в предыдущем
примере.

Решение. По формуле (7.3.62) имеем
оо

Sitf(®) —	$ D sin 6»lxe~tKrt dx —

_ (-i)O | 1 Г	1 Г

2 I 2л J	X 2л J

U	— OQ	_ eg
Применяя формулу (7.2.42), получим

$зд (а>) = — -у- [б (а> — fflj) — б (<д 4- ©JJ.

Мы видим, что действительная часть спектральной
плотности Sjv((o) равна нулю. Поэтому в примере 4
корреляционная функция с.п. Z(t)~ X(t)+Y(t) оп-
ределяется по формуле kz(r)= йх(т)+ йр(т). Таким
образом, стационарные случайные процессы X(t) и
Y(t) могут быть стационарно связанными (/?хг/(т)^
^feO), тем не менее спектральная плотность их суммы
будет определяться по формуле (7.3.65), если дей-
ствительная часть нх взаимной спектральной плот-
ности равна нулю (Re {Sjff(ci>)} = 0).

Пример 6. Даны к. ф. двух стационарных с.п.
Х(0 И У(0-.

=	(О, >0, а>0),

=	(D, > 0, г, > 0)

и их взаимная спектральная плотность

$;>)=э/к®2 - y2)2+м (₽ > о).

Требуется найти спектральную плотность с.п. Z(t) =
= Х(0+У(0.

Решение. Преобразуем выражения для Sj»(fi>):

о» _	Р___(<0г - У2)* - 1Ы4 _

'	(ш2 — у2)2 + 1(й* (ш2 — у2)2 — <Ш4

= 7“5----гй  4 К®2 — Y2)2 ~	—

(ш2 — у2)* + ш4	1 ’	1

_ Р (<о2 — у2)2___. Р<о4

(<02 — у2)4 + <0*	1 (ш2 — у2)4 + ш4 ’

откуда

Re{S,(.>}-	

Следовательно (см. примеры 5 и 7 из п. 7.2),

Sj (со) = Sj (и) Sj (и) 4- Re {Sj„ (©)} =

/ • тт» \2

_ Дх « DytJ Sin 2 ] Р (<о2 - у2)2

л а2 + ш2 я I сото I (ш2 — у2)4 + ш4 ‘

\	2	/
7.4. Преобразование стационарного случайного
процесса стационарной линейной системой

Рассмотрим преобразование стационарного с. п.
стационарной линейной системой, описываемой линей-
ным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами

ап4гУ(04-ап-1^гГУ(0+.-.+а1^-У(0 +
at	al

+ aJ(t)~bm-^X(t)-H>m_l~X(t) + ...

...+bl±X(t) + b0X(t). (7.4.1)

Этому дифференциальному уравнению можно дать

следующую инженерную трактовку. На вход стацио-

нарной линейной системы £с поступает стационарный

с.п. X(t), имеющий ха-
рактеристики: м. о. — тх,
к.ф. — kx(t) (или спект-
ральную плотность S* (и)
(рис. 7.4.1)).

На выходе системы Lc

X(t) -------- Y(t)

-—

...... ту,Ку(Г)

S*O»>	S*(w)

Рис. 7.4.1

в установившемся

режиме будет иметь место стационарный с.п. Y(t).
Требуется найти характеристики этого с.п.: м.о.—
ту; к. ф.—^(т) (или спектральную плотность Sy (и)).

Из теории дифференциальных уравнений известно,
что решение уравнения (7.4.1) (где вместо с.п. X(t)
нужно взять реализацию x(t), а вместо с.п. Y(t) —
реализацию y(t)) будет содержать два слагаемых

У (0~Ус (0 + МО-

Слагаемое Ус (0 представляет так называемые соб-
ственные колебания системы,, если она выведена из
равновесия. Если система Lc устойчива (а такие си-
стемы чаще всего и рассматриваются в инженерной
практике), то собственные колебания в системе со
временем затухают. Будем в дальнейшем считать, что
система Lc устойчива.

Слагаемое yB(t) представляет собой вынужденные
колебания системы Lc, которые она совершает под
воздействием входного сигнала — реализации x(t)
с. п. X(t). Поэтому если рассматривать участок вре-
мени, достаточно удаленный от начала воздействия
с. п. X(t) на систему Lc, когда практически все пе-
реходные процессы в ней затухнут, то можно рас-
сматривать только вынужденные колебания системы,
чем мы и будем заниматься в дальнейшем.

Применим к уравнению (7.4.1) преобразование
Лапласа (см. п. 4.2) и обозначим изображение реа-
лизации входного процесса х(О~х(“), а изображе-
ние реализации выходного сигнала y(t) ~ ф(м):

х (О О----• X (и), У (0 о----• ф (и). (7.4.2)

Так как вынужденные колебания устойчивой си-
стемы Lc в установившемся режиме происходят в си-
стеме спустя достаточно продолжительное время
после начала воздействия входного сигнала, то на-
чальные условия уже не будут оказывть воздействия.
Поэтому уравнение (7.4.1) для изображений реали-
заций с.п. x(t) и y(t) будут иметь вид (см. (4.2.4))

(a„uB +	+ . •. + Oi« + а«) Ф ОО =

= (&««”* +	+ ... + b[U + 60) % («)• (7.4.3)

Обозначим

An(u)=£akuk, Bm(U)=ibtuk. (7.4.4)
Л-О	Л-О

Тогда уравнение (7.4.3) можно переписать в виде

<₽(М) = 4^Х(«).	(7.4.5)

Введем еще одно обозначение

Фгг = О(и),	(7.4.6)

Ап (и)	'	’

откуда
Ф (м) = G (м) х (“)•	(7.4.7)

Функция G(u) называется передаточной функцией
стационарной линейной системы. Таким образом, мы
получим в пространстве изображений простую фор-
мулу: изображение выходного сигнала ф(и) на вы-
ходе стационарной линейной системы в установив-
шемся режиме равно произведению передаточной
функции этой системы на изображение входного воз-
действия %(и). Символически это можно изобразить
в виде схемы (рис. 7.4.2).

Х(и)

&(и)



Рис. 7.4.2

Воспользовавшись свойствами преобразований
Лапласа [9], можно записать выражение, связываю-
щее реализацию y(t) стационарного с.п. Y(t) на вы-
ходе стационарной линейной системы Lc с реализа-
цией x(t) стационарного с. п. X(t), подаваемого на
вход этой системы:

i

y(t)=\g (*) X (t — т) dx, (7.4.8)
oJ

где g(/)—оригинал изображения G(u):

g (О О----• G (и).

Функция g(t) называется весовой функцией1) ста-
ционарной линейной системы. Выражение типа (7.4.8)
называется сверткой функций g(f) и x(t) и уже встре-
чалось в п. 9.4* прн рассмотрении композиции двух
случайных величин: плотность распределения суммы
двух независимых с. в. Х) и Х3 равна свертке плот-
ностей распределения этих с. в. Операция (7.4.8) сим-
волически записывалась в п. 9.4* так:

t

У (0 == J g (*) х (t — т) dx = g (0 ♦ х (0. (7.4.9)
о

Следовательно, имеет место соотношение (см. (7.4.7))

У (0 == g (0 ♦ х (0 О-• <р (и) == G (и) % (и), (7.4.10)

которое связывает выходной сигнал (или его изобра-
жение) со входным сигналом (или его изображе-
нием).

Из теории автоматического управления [14, 18J
известно, что если имеются две последовательно

') Иногда весовую функцию g(t) называют функцией Грина.
соединенные стационарные линейные системы
(рис. 7.4.3) с передаточными функциями Gi(m) и

Рис. 7.4.3

Gs(u), то передаточная функция всей системы Lc
будет

G (м) = G, (и) G2 («).	(7.4.11)

Этому соответствует схема, изображенная иа
рис. 7.4.4.

Х(и)	fr (n)'G-(iA	
		

Рис. 7.4.4

Если имеется система, охваченная отрицательной
обратной связью (рис. 7.4.5), то этой системе соот-
ветствует схема в изображениях (рис. 7.4.6). Если об-
ратная связь положительная (рнс. 7.4.7), то этой си-
стеме соответствует схема в изображениях (рис. 7.4.8).

Рис. 7.4.5	Рис. 7.4.6

Следовательно, изображение выходного сигнала на
выходе системы (рис. 7.4.5) будет иметь вид

Ф<“)“ здШ»» <7Л12>

а на выходе системы, изображенной на рис. 7.4.7,
будет определяться так:

<7Л-13>
Таким образом, если известна передаточная функ-
ция линейной системы G(u), то можно найти изобра-
жение выходного сигнала, зная изображение вход-
ного сигнала (в установившемся режиме).

В п. 7.2 было показано, что стационарный с. п.
представляет собой спектральное разложение типа
(7.2.31), т. е. сумму гармонических колебаний со
случайной амплитудой и неслучайной частотой. По-
этому рассмотрим реакцию системы Lc на гармони-
ческое колебание eia>t и найдем выходной сигнал y(t).

Рис. 7.4.7	Рис. 7.4.8

Очевидно, что выходной сигнал в установившемся ре-
жиме тоже будет представлять гармоническое коле-
бание той же частоты со. Покажем, что это колеба-
ние будет определяться по формуле

у (0 == G (zco) eiu>t,

(7.4.14)

где G(ia>)—передаточная функция, у которой аргу-
мент равен io. Для этого в уравнение (7.4.1) вместо
Y(t) подставим y(i) — G(un)eiv>t, а вместо X(t) — со-
ответственно	и будем иметь в виду, что

ei<at = (i(a)k eiat. Тогда
аг*

[а„ (/©)" + ап_, (io)"-1	4- во] G (ia) е‘ы =

= [бт О’®)” 4" &m-l О®)"* ' + • • • +	4* М

Сокращая левую и правую части равенства иа ем,
получаем

Е 6* (М*
G(t©)==2=»--------.

V ак (1ш)*
к-0
Учитывая обозначения (7.4.4), имеем

.	(7.4.15)

v ’ Ап (ко)	v '

Таким образом, мы доказали справедливость равен-
ства (7.4.14).

Функция G(«o) (где i — мнимая единица, а со —
круговая частота) называется частотной характери-
стикой стационарной линейной системы; оиа равна
передаточной функции G(u) этой системы (см.
(7.4.6)), в которой в качестве аргумента взято про-
изведение /Хю- Частотная характеристика стацио-
нарной линейной системы определяет степень усиле-
ния (или ослабления) амплитуды гармонического ко-
лебания e‘wt на выходе этой системы.

Следовательно, равенство (7.4.8) можно записать
в виде
t

y(t) = G (ia) ем = J g (т) е‘°> ’> dr. (7.4.16)
о

Тогда, если на вход стационарной линейной си-
стемы подать элементарный стационарный с. п. в комп-
лексной форме (см. (7.2.27)) Xk (t) —	то по-

лучаем (см. (7.4.16)):

t

Yk(t) = \g(T-)Wkel^(t-x}dT =
о

t

— Wk J g (Z) ei<a“ ^dt = WkG (io>4)
0

Обозначим

V*Gb)»4(M;	(7.4.17)

поэтому

У* (0 = 2*04)^'.

Следовательно, подавая на вход стационарной ли-
нейной системы стационарный с. п. в виде спектраль-
ного разложения (7.2.31), на выходе этой системы
получим стационарный с. п. тоже в виде спектраль-
ного разложения

У(0«т»+ Е F*G(te*)Z4 (7.4.18)
где Wk — комплексная с. в. (Wk = W _к, D [U7J —
= D [Г_*] = Dk, М [F*] = М [Г_*] - 0).

В этом выражении величина ту определяется по
формуле

«s = ^4 = G(0K (7.4.19)

Формула (7.4.19) может быть получена в результате
подстановки в уравнение (7.4.1) вместо У(0 вели-
чины тв, а вместо X(t)— величины тх.

Найдем дисперсию комплексной с. в. WkG(iak)
(см. (7.2.28), (8.8.7)*):

D [VkG Ы = М [VkG (fek) WkG(i(ok)] =

= G (Z®ft) Gfaj M [WkW J == Dk | G	f, (7.4.20)

так как M (IF*] = М [^*] = 0, D[IF*] = D*.

Следовательно, корреляционная функция стацио-
нарного с.п. на выходе стационарной линейной си-
стемы, имеющей частотную характеристику G(ico),
будет иметь вид
а

Е Dft|G(ia>ft)|2e'“< (7.4.21)
fe = —ОО

Таким образом, при преобразовании стационар-
ного с. п. стационарной линейной системой каждая из
кооординат ее спектра умножается на квадрат модуля
частотной характеристики для соответствующей ча-
стоты.

Величина |G(t©fe)|2 может быть как больше еди-
ницы, так и меньше. Таким образом, с.п. Y(t) на вы-
ходе линейной системы претерпевает определенные
изменения: все те частоты колебаний ©*, которые
имелись во входном воздействии А'(0> остаются в с. п.
Y(t), однако дисперсия амплитуд этих колебаний
может либо возрастать, либо уменьшаться. Таким об-
разом, некоторые колебания усиливаются, в то время
как другие ослабляются (отфильтровываются).

Так же, как это мы делали в п. 7.2, перейдем от
дискретного спектра (при разложении к. ф. на конеч-
ном интервале Т) к спектральной плотности (когда
интервал разложения к. ф. Т-»-оо). Очевидно, что
в этом случае спектральная плотность Sj (а) будет
равна спектральной плотности Sj (а), умноженной на
квадрат модуля частотной характеристики |О(/со)|2:
s; (<о) = | G О’со) |2 s; (<о).	(7.4.22)

Таким образом, получаем довольно простое пра-
вило: спектральная плотность стационарного с. п. Y (/)
на выходе стационарной линейной системы равна про-
изведению спектральной плотности стационарного
с.п. X{t), подаваемого на вход системы, на квадрат
модуля частотной характеристики этой системы1).

Следовательно, задачу, сформулированную в на-
чале этого пункта, нужно ставить и решать следую-
щим образом.

Даны:

1)	частотная характеристика G(ico) (или переда-
точная функция G(u)) стационарной линейной си-
стемы £с, т. е. задана система постоянных чисел
До, «1, .... ап; Ьо, bi, ..., bm, определяющих вид диф-
ференциального уравнения (7.4.1) (см. (7.4.4) и
(7.4.6));

2)	характеристики стационарного с.п. X(t): mx,
/ °0 \

&х(т) (или Sx(a)=-^ kx (%) e~lan dx I, подавае-
Оо	'

мого на вход системы Lc.

Требуется найти характеристики с.п. Y(t) на вы-
ходе системы Lc: my, S^(co), ky(x).

Последовательно находим:

1)	математическое ожидание ту:

my = ^mx = G^)mx, (7.4.23)

2)	квадрат модуля частотной характеристики (см.
(7.4.6)):

| G (tco) |2 — G (но) G (-ко) —

__ I Вы (1<0) |*   Вы (ЙО) Вы (—КО) ф Л ПЛ\
|Ля(/ш)|2 А„ (ia>) Ап (— ко) ’	' ’ ' '

3)	спектральную плотность Sj(co) с.п. Y (t) (см.
(7.4.22)):

s; (со) — | G Осо) f s; (tco);	(7.4.25)

') Обратим внимание еще раз на то, что это правило спра-
ведливо для установившегося режима работы устойчивой ста-
ционарной линейной системы.
4)	корреляционную функцию £у(т) с.п. У(/):

ОО

&у (т) = J Sy (а) е™ da,
— ОО

(7.4.26)

и дисперсию с.п. Y(t):

оо	оо

Dy = ku (0) = j Sy (a) dco = 2 j Su (но) da, (7.4.27)
—oo	0

так как функция Sy (а) четная.

Можно доказать [18], что если на вход линей-
ной стационарной системы Lc поступает стационарный
с.п. X(t), обладающий эргодическим свойством, то и
с.п. У(/) будет обладать эргодическим свойством.

Пример 1. На вход стационарной линейной си-
стемы Lc, имеющей частотную характеристику G(ia),
подается стационарный белый шум Х(/) (см. примеры
6 из п. 7.1 и 7.2) с характеристиками S* (а) = с/(2л),
kx(x) = ct> (т), где б(т) — дельта-функция. Требуется
найти характеристики с.п. Y(t) на выходе системы Lc.

Решение. По формулам (7.4.23) — (7.4.27) имеем:

my = G (0) тх, S’y (а) = | G (ia) |2 с/(2л),

ОО

ky (т) = J Sy (a) е‘ах da,	(7.4.28)

ОО

Dy = ky (0) = Sy (a) da.

— ОО

Может показаться, что такая задача имеет неболь-
шое значение в инженерных приложениях, так как бе-
лый шум (колебания одинаковой интенсивности на
всех частотах) практически не имеет места. На самом
деле это не так. Рассмотрим случай, когда система
Lc описывается следующим образом:

a, dY (t)/dt + ааУ (0 = X (t),	(7.4.29)

откуда

G\ia) =-----------,	(7.4.30)

atZ<»4-a0	aQ I + («^/«о)
На вход такой системы Lc поступает с.п. X(t), имею-
щий спектральную плотность (7.2.45):

. а2 2х _ в’ 1

•Эх Iм) — „ (2Х)» + л2Х ’ 1 + [<о/(2А)]а ’

если 1/(2Л) <С aJaQ и 1/а’ = а2/(л2Л), то графики
Sx((o) и | G (ia) |2 будут иметь вид, показанный на

рис. 7.4.9. Мы видим, что
в пределах «полосы про-
пускания» (—Юп, ©п) СИ-
стемы Lc спектраль-
ная плотность Sx(<°) ос-
тается практически по-
стоянной. Полоса пропу-
скания (—(оп, ®п) в дан-
ном случае определяется
ИЗ УСЛОВИЯ | G(iton) |2 = е,
где 8 — достаточно малая
величина. Для рассмат-
риваемого примера мож-

но с достаточной для инженерных приложений точ-

ностью считать, что (см. (7.4.45))

,_______1 g2 а2____________________До/«1

у вц4-а|®2 «21 л2Ха(а0 (ao/aj2 + ш2 ’

откуда (см. пример 5 из п. 7.2)
2	—-	I Т I

М«)~ад-'*	. D, = 4,(0)

а2
2Хв|До

Пример 2. В результате статистической обра-
ботки с. п. X(t) и Y(t) на входе и выходе линейной
системы Lc определены оценки тх, kx (т), S* (©), ту,
Sy(&). Считая полученные оценки прибли-
женно равными соответствующим характеристикам,
найти приближенно параметры системы Lc-

Решение. Имеем следующие равенства:

=	s;(®) = |G(»©)|2S;(©).

Допустим, что в результате обработки получены
оценки

т„ = 0, тх„ £х(т) = Dxe-a| т|,
ky (т) = Dye~a 1 т 1 (cos Рт — [a sin Р | т |]/Р) (а > Р).
В соответствии с приложением (п. 5 и 9)

* ' ' я а2 + ф2

у Dya	2ф2

Sy (®) = —	(ф2 + а» + р«)2 _ (2р<о)’ ’

Следовательно, оценку частотной характеристики
G(ia) можно найти из выражения

trc	2D»a ®2(«2 + ®2)	_

1 u w 1 “	(ф) “ дх« (ф’ + о’ + ₽*)4_(2₽ф)2

V Dva  2	(1ф) (а + ia)

D*a (/ф)2 + of® + а2 + Р2

/ ДуД -2	(-1Ф) (а - /со)

Х V Dxa (-/©)» - V2 шф + а2 + Р2 ’

Таким образом, оценка передаточной функции си-
стемы имеет вид

~	-^2Dya иг + ^2Dya аи

^Dxa иг + V2O*e au + VДх« (о2 + Р2) *

откуда (см. (7.4.4) и (7.4.6))

fto = O, b{ — ^2Dy<ia, b2==“\/2Dya,

а0 = л/D,fl (а2 + Р2), а, = V2£ха а, а2 — VD>fl,

а дифференциальное уравнение, описывающее работу
системы, таково:

h diY(t} л-h dY^ — я dixW Л-я dX^ л. л	Ь-

Ьг	т bi	а2 ^2	' dt *

В п. 7.2 были перечислены задачи, решаемые при про-
хождении с.п. X(t) через систему S, в результате
чего на выходе этой системы получается с. п. У(/).
Для стационарных линейных систем, работающих
в установившемся режиме, при условии, что с. п. X(t)
и У(П стационарны, решение всех этих задач намного
облегчается простой связью (7.4.22) между спектраль-
ными плотностями с.п. X(t) и с.п. У(0- Тем не менее
само решение этих задач требует изложения значи-
тельного по объему материала, что выходит за рамки
данной книги.
ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица соответствий корреляционных функций йж(т)
и спектральных плотностей (»)

*х(т)	•S^ (ш)
1. D6(x), й (т) — дельта-функцня	D/2n
2.	D  3.	D cos Рт  п  4.	У Di cos р<т  i = i  5.	De-a|t| (a > 0)	Dl> (®)  D [6	+ p) + 6 (w - p)l/2  £ Di [6 (® + pi) + б (co - P/H/2 i=i  D a  я a2 + <o$
6.	£ Dle-ai'’ti i = i  7.	De~a । T1 cos Pt (a > 0, p > 0)	V	Di	ai  fa	n	+0)2  Da	a2	+	P2 +	m2  я	’ la2 + (P	- a»)2]	la2	+ (P + <>ft
8. De-a|Tl(cospT + + у sin p | т 0	Da	2(a2+p2)  ~ ‘ (<o2 + a2 - p2) + 4а2Р*
9. De-alTl(cosPT- —-g- sin р|т0	Da 	2 co2	  "T (o>2 + a* + p2) - 4p W
10. ZW“a|T,(ch Pt + + |sh p | т |) (a > P)	Da 	2(a2-p2)  я [(a - pp + ®2П(а + P)2 + «И
П родолжение

кх <х)	(а>)
11.	£>(1—|т|)Ц(1— |т 1), где 1 (х) — единичная функция  12.	De~a,T|(l + а | т I)  13.	De~a,x 1 (• +а|т1 + + а2т2/3)  14.	De“a|x|(l +а|т| — - 2а2т2 + а3 | т |3/3)  15.	2а sin (0т)/т (а > 0, 0 > 0)  16.	2а2 (2 cos 0т - 1)  17.	De~^‘  18.	De~a ।т > (26 (т) - — a (sign т)2(	D / sin (со/2) V 2л \ со/2 /  D	2а4  я (а2 + со2)2 Ра	а*  я 3 (а2 + со2)3  Da 16а3<о4 я (а2 + а»2)4  а Ц (1 — | со |/0)  z 0 при 0 <| ш К 0, | а2 при 0 < | ш К 20, * 0 при 20 < | w |  «	eXp(-(_±Y)  2а V я	(.	\ 2а) )  Ра	со2  я а2 + со2

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

в. к. ф.—взаимная корреляционная функция

к. ф. —корреляционная функция
м. о. — математическое ожидание

и. к. ф.— нормированная корреляционная функция

и. р. — плотность распределения

с. в. — случайная величина

с. к. о. —среднее квадратическое отклонение

с.п. —случайный процесс

ф. р. — функция распределения

э. с. п. — элементарный случайный процесс

э. с. ф.— элементарная случайная функция
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Вентцель Е.С. Исследование операций. — М.: Сов. радио,
1972. — 550 с.

2.	Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Высшая школа,
1999. — 576 с.

3.	Вентцель Е.С. Определение вероятностей состояний в дина-
мике боя многочисленных групп.//Морской сб. — 1962,
№ 10. — С. 12—21.

4.	Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. — М.:
Наука, 1973. — 368 с.

5.	Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории
вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с.

6.	Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее
инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с.

7.	Володин Б. Г. и др. Сборник задач по теории вероятно-
стей, математической статистике и теории случайных функ-
ций. — М.: Наука, 1970.— 656 с.

8.	Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию
массового обслуживания.— М.: Наука, 1987.—336 с.

9.	Д ё ч Г. Руководство к практическому применению преобра-
зования Лапласа и Z-преобраэовання: Пер. с англ. —М.:
Науиа, 1971.— 288 с.

10.	Д и и е р И. Я. О некоторых направлениях развития исследо-
вания операций.//Морской сб. — 1970, № 1, —С. 9—18.

11.	Карлин С. Основы теории случайных процессов: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1971.—536 с.

12.	Кеме ни Дж., Сие л л Дж. Конечные цепи Маркова: Пер.
с англ. — М.: Наука, 1970.— 271 с.

13.	Кокс Д., Смит В. Теория восстановления: Пер. с англ.—
М.: Сов. радио, 1967. — 300 с.

14.	Л эии иг Дж. Х„ Бэтти н Р. Г. Случайные процессы в за-
дачах автоматического уравнения: Пер. с англ. — М.: ИЛ,
1958, —381 с.

15.	О в ч а р о в Л. А. Прикладные задачи теории массового об-
служивания.— М.: Машиностроение, 1969.— 324 с.

16.	Овчаров Л. А., Се лет ков С. Н. Автоматизированные
банки данных. — М.: Финансы и статистика, 1982.— 263 с.

17.	Оре О. Теория графов: Пер. с фр. — М.: Наука, 1968.—
352 с.

18.	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее примене-
ние к задачам автоматического управления. — М.: Гостехнз-
дат, 1957. — 659 с.
19.	Романов В. Г. К вопросу о методике динамики момеи-
тов.//РгоЫетз of Control and Information Theory. Buda-
pest.— 1976. —V. 5, No 5—6,—P. 437—448.

20.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных
функций —М.: Наука, 1968.— 463 с.

21	Тараканов К. В., Овчаров Л. А., Тырышкни А. Н.
Аналитические методы исследования систем.—М.: Сов. ра-
дио, 1974. —240 с.

22.	Ф а д д е е в Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные ме-
тоды линейной алгебры.— М.: Физматгиз, 1963.— 735 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Балансовое условие стационарного
режима марковского процесса 151
--------- процесса гибели и раз-
множения 192

— — — — цепи Маркова 122

Вероятность задержки 112

— <-го состояния 105

Весовая функция 367

Взаимная корреляционная функ-
ция 45

— спектральная плотность 363

Гамма-поток 78

Двумерный закон распределения
с. п. 25

Дисперсия с. п. 30

Дифференцирование с. п. 285

Замкнутое (концевое) подмножест-
во состояний 102

Изолированное состояние 101

Импульсный дробовой эффект 323

Интегральное каноническое пред-
ставление стационарного с. п. 270.
337

Интегрирование с. п. 287

Интенсивность потока событий 50

Марковская цепь 110

Марковский с. п. 106
-------гибели и размножения с
непрерывным временем 177
-------с непрерывным временем
128

Математическое ожидание с. п. 27
Матрица интенсивностей 136
— стохастическая 112
Метод псевдосостояний 214
Мнемоническое правило составле-
ния уравнений Колмогорова 135

Модель линейного детектора 320
— электронного потока в радио-
лампе 317

Начальное распределение вероят
ностей 112

— состояние (источник) 100

Начальный момент его порядка
с. п. 30

Некоррелированные с. п. 46

Нелинейный оператор системы 277

Неоднородная линейная форма век-
торного с. п. 294

Неоднородный процесс Пуассона
182

Нестационарный «белый шум» 273

Нормированная взаимная к. ф. 45

— к. ф. 35
-------стационарного с. п. 309
— спектральная плотность стацио-
нарного с. п. 336

Нормированный поток Эрланга 76

Каноническое разложение диспер-
сии с. п.

----корреляционной функции с. п.
266

— — с. п. 264

----центрированного с. п. 265

Квадратичное преобразование с. п.
289

Концевое (поглощающее) состоя-
ние 100

Корреляционная функция с. п. 33

Коэффициенты канонического раз-
ложения с. п. 265

Линейный неоднородный оператор
системы 278

— однородный оператор системы
278

— оператор системы 277

Обобщенная случайная телеграф-
ная волна 313

— телеграфная волна 328

Одномерный закон распределения
с. п. 24

Однородная линейная форма век-
торного с. п. 294

—	цепь Маркова 113

Однородный марковский с. п. 136

—	процесс Пуассона 182

Оператор системы 275

Ординарный поток событий 49

Передаточная функция 366

Переходная вероятность марков-
ской цепи 111

Плотность дисперсии с. п. 271

Поглощающее (концееое) состоя-
ние 100
Поток вероятности для марковско-
го процесса с непрерывным вре-
менем 135

— — — марковской цепи 121

— гибели 178

— Пальма 54

— размножения 178

— событий 47

---- без последействия 52

-----с ограниченным последейст-
вием 54

— Эрланга 70

Предельная вероятность 117

— теорема для редеющих потоков
92

-------суммарного потока 79

Преобразование Лапласа 142

Простейшая система 142

—	эргодическая система 150

Простейший (стационарный пуас-
соновский) поток событий 54

Простой процесс восстановления
69

Процесс гибели и размножения 103
— «чистого» размножения 104, 179
— «чистой» гибели 104, 180

Псевдосостоянне 216

Пуассоновский поток событий 53

Разложение с. п. 262

Реализация с. п. 13

Рекуррентный поток событий 54

Связное (эргодическое) подмно-
жество состояний 102

Семейство реализаций с. п. 14

Сечение с. п. 12

Случайная телеграфная волна 311

Случайный процесс 12 ,
----с дискретным временем 18
----— непрерывным временем 18

Соседнее состояние 100

Состояние—источник 100

Спектральная плотность стационар-
ного с. п. 335

Спектральное разложение стацио-
нарного с. п. 331

Среднее квадратическое отклоне-
ние с. п. 31

Стационарный «белый шум» 274

—	е узком смысле с. п. 306

-----широком смысле с. п. 308

— поток событий 53

— пуассоновский (простейший) по-
ток событий 54

режим марковского с. п. 149

Стохастическая матрица 112

Сумма независимых пуассоновских
потоков 92

— потоков 80

Телеграфная волна 326

Теория восстановления 68
— случайных процессов 5
Транзитивное подмножество состоя
ннй 102

— состояние 101

Уравнения Колмогорова 132

Усеченный закон Пуассона 196

Финальная (предельная) вероят-
ность 106

Формулы Эрланга 196

Центральный момент А-го порядка
с. п. 30

Центрированный с. п. 29

Частотная характеристика 370

Элементарная случайная функция
20

Элементарный с. п. 263

— стационарный с. п. 329

Эргодические цепи Маркова 118

Эргодический стационарный с. п.
309

Эргодическое (связное) подмно-
жество состояний 102
Предисловие.............................................3

Введение . .	.................................... 5

Глава {.Основные понятия теорян случайных процессов 12

1.1.	Определение случайного процесса. Классификация
случайных процессов.................................12

1.2.	Законы распределения и основные характеристики
случайных процессов.................................24

Глава 2. Потоки событий,	их свойства и классификация	47

2.1.	Потоки событий...............................47

2.2.	Некоторые свойства	потоков	Пальма............56

2.3.	Потоки Эрлаига...............................70

2.4.	Предельные теоремы	теории	потоков...........78

Глава 3. Марковские процессы с дискретными состояни-
ями. Марковские	цепи........................08

3.1.	Граф состояний. Классификация состояний. Вероят-
ности состояний...................................08

3.2.	Марковские случайные процессы с дискретными со-
стояниями и дискретным временем (цепи Маркова) 107

3.3.	Стационарный режим для цепи Маркова...........117

Глава 4. Марковские процессы с дискретными состояни-
ями и непрерывным временем............................128

4.1.	Описание марковского процесса с дискретными со-
стояниями и непрерывным временем. Уравнения
Колмогорова........................................128

4.2.	Однородные марковские случайные процессы с дис-
кретными состояниями и непрерывным временем.
Стационарный режим, уравнения для предельных ве-
роятностей ........................................141

4.3.	Закон распределения и числовые характеристики
времени однократного пребывания марковского про-
цесса с непрерывным временем и дискретными со-
стояниями в произвольном подмножестве состояний U 165

Глава 5. Марковские процессы гибели и размножения с
непрерывным временем................................  177

5.1.	Определение марковского процесса гибели и размно-
жения с непрерывным временем, его размеченный
граф состояний, условия существования стационар-
ного режима, предельные вероятности состояний . . 177
5.2.	Закон распределения и числовые характеристики
времени нахождения процесса гибели и размножения
в произвольном подмножестве состояний...............200

5.3.	Метод псевдосостояний.........................214

5.4.	Дифференциальные уравнения для характеристик
марковского процесса гибели и размножения без
ограничения на число состояний .................... 226

5.5.	Дифференциальные уравнения для характеристик
марковского процесса гибели и размножения при
ограниченном числе состояний ...................... 245

Глава 6. Преобразования случайных процессов .... 262

6.1.	Канонические разложения и интегральные канониче-
ские представления случайных процессов..............262

6.2.	Линейные и нелинейные преобразования случайных
процессов...........................................274

6.3.	Линейная форма векторного случайного процесса.
Сложение случайных процессов........................294

6.4.	Комплексные случайные процессы................301

Глава 7. Стационарные случайные процессы .	305

7.1.	Определение стационарного случайного процесса, эр-
годическое свойство.................................305

7.2.	Спектральное разложение стационарного случайного
процесса. Спектральная плотность....................331

7.3.	Линейные преобразования стационарных случайных
процессов...........................................350

7.4.	Преобразование стационарного случайного процесса
стационарной линейной системой .................... 365

Приложение.............................................376

Основные сокращения....................................377

Список литературы......................................378

Предметный указатель...................................380