ЕСБюшгенс, Р.В.Студнев

ДИНАМИКА САМОЛЕТА

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ
ДВИЖЕНИЕ

Москва
«Машиностроение»
1983
ББК 39.53
Б98

УДК 629.7.015.001

Рецензент засл, деятель науки и техники РСФСР,
д-р техн, наук М. А. Тайц

Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В.

Б98 Динамика самолета. Пространственное движение. — М.:
Машиностроение, 1983. — 320 с., ил.

В пер.: 3 р. 30 к.

В книге проанализированы особенности устойчивости и управляемости
самолета при одновременном управлении элеронами, стабилизатором и рулем
направления. Рассмотрены физические причины взаимодействия продольного
и бокового движений, приводящие к появлению новых свойств в пространственном
движении самолета. Особое внимание уделяется анализу практических случаев
проявления взаимодействия продольного и бокового движений. Рассматриваются
некоторые методы анализа пространственного движения самолетов с использо-
ванием ЦВМ.

Книга предназначена для научных работников и инженеров, занимающихся
исследованиями и испытаниями самолетов.

3606030000-172

038 (01)-83

172-83

ББК 39.53

6Т5.1

© Издательство «Машиностроение», 1983 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Особенности характеристик устойчивости и управляемости сверх-
звуковых маневренных самолетов, проявляющиеся при быстрых
движениях по крену (вращение относительно продольной оси),
и особенно режимы неустойчивости, выявленные на практике,
сделали необходимым выполнение комплексных исследований
динамики пространственного движения. Эти исследования пока-
зали, что основной причиной особенностей динамики таких дви-
жений является существенное влияние инерционных моментов,
роль которых возросла для компоновок сверхзвуковых манев-
ренных самолетов, имеющих тонкие крылья сравнительно неболь-
шого удлинения и вытянутый фюзеляж, в котором сосредото-
чены основные грузы, вследствие чего моменты инерции 1У и 1г
достигают весьма больших величин.

По-видимому, впервые исследование влияния инерционных
моментов на динамику вращающегося по крену самолета было
выполнено еще в 1948 г. Филлипсом [491. Однако практический
интерес к проблеме появился только в шестидесятых годах с на-
коплением опыта эксплуатации сверхзвуковых маневренных само-
летов [12, 50, 51, 52, 54, 56, 57]. Цикл исследований по динамике
пространственного движения, выполненных авторами, был об-
общен в монографии «Динамика пространственного движения
самолетам и работе [12]. Проблемы пространственного движения
маневренных самолетов не потеряли своей актуальности и в на-
стоящее время. Напротив, круг проблем, решаемых с использова-
нием методов, разработанных для задач пространственного дви-
жения самолетов, существенно возрос. За последние годы были
выполнены новые исследования, позволившие расширить наши
знания о свойствах динамики самолета, уточнить полученные
ранее результаты. Начаты исследования и получены первые су-
щественные результаты по особенностям динамики самолетов
с высоким уровнем автоматизации управления. За последние годы
накоплен определенный опыт по анализу динамики конкретных
самолетов с учетом всех характерных особенностей их аэродина-
мических и инерционных параметров в широком диапазоне усло-
вий полета и для различных конфигураций самолетов. Такой
анализ практически возможен только при разработке комплексных
1*
методик расчета на ЦВМ с эффективной обработкой получаемых
результатов и выводом на терминальные устройства ЦВ\1 необхо-
димой для исследователя информации. Все это послужило для
авторов стимулом вновь обратиться к задачам пространствен-
ного движения самолета.

Материал, помещенный в настоящей книге, предполагает
знакомство читателя с основами теории движения самолета в ли-
нейной постановке, когда полное движение самолета можно раз-
делить на продольное и боковое движения, которые исследуются
независимо. Теория таких движений излагается в многочислен-
ных книгах как зарубежных, так и отечественных авторов [21,
22, 23, 36, 411. Предлагаемая книга является определенным
дополнением к работе [13 I, в которой излагаются элементы теории
продольного и бокового движений, требования к характеристикам
устойчивости и управляемости и некоторые современные напра-
вления автоматизации ручного управления самолетов.

В данной книге частично использованы материалы моно-
графии [11].

Главы 10 и 11 написаны на основании материалов работ, раз-
витых канд. техн, наук М. Г. Гоманом и В. Л. Сухановым и
любезно представленных авторам.

При выполнении расчетов и анализа отдельных вопросов,
вошедших в книгу, большая помощь авторам была оказана
М. М. Медведевым, В. Л. Сухановым, М. Г. Гоманом, С. Н. Суп-
руненко, Ю. А. Виноградовым и другими, которым авторы вы-
ражают свою признательность. Авторы благодарны д-ру техн,
наук В. А. Ярошевскому и д-ру техн, наук В. К. Святодуху за
обсуждение работы и весьма полезные замечания по ее содержа-
нию, которые несомненно позволили ее улучшить.

Авторы признательны Заслуженному деятелю науки и техники
РСФСР, д-ру техн, наук М. А Тайцу|, рецензировавшему руко-
пись и высказавшему ценные замечания по ее содержанию, кото-
рые с благодарностью были приняты.

Следует отметить с большой благодарностью помощь
В. И. Кобзева при подготовке книги к печати.

Авторы
10 мая 1980 г., когда рукопись этой кни-
ги в основном была готова, после тяжелой
болезни в возрасте 47 лет скончался Рэм Ва-
сильевич Студнев — доктор технических
наук, крупный ученый в области динамики
полета, один из ведущих ученых ЦАГ И.

Вся творческая жизнь Р. В. Студнева
была связана с ЦАГИгде он начал научную
деятельность [в 1956 году & после окончания
Московского физико-технического института
(МФТИ).

Рэм Васильевич принадлежал к ученым
ЦАГИ новой формации, воспитанным и
выращенным совместными усилиями МФТИ
и ЦАГИ. Отличное образование, полученное
в МФТИ, выдающийся талант Рэма Ва-
сильевича и творческая работа в стенах
ЦАГИ способствовали его успеху в получении
новых результатов в динамике полета.

Его работы — крупный вклад в теорию
пространственного движения летательных
аппаратов, в теорию систем управления и

в разработку эксперименталь-

ных методов исследования динамики на стендах.

Р. В. Студнев многие годы читал лекции в МФТИ, руководил аспирантами,
осуществлял руководство крупными научными подразделениями в ЦАГИ.

Мое близкое знакомство и сотрудничество с Р. В. Студневым началось
с 1956 г., когда он проходил дипломную практику и выполнял дипломную работу
в ЦАГИ. Затем нами были выполнены совместные работы по динамике простран-
ственного движения, опубликован ряд статей.

В последующие годы я по многим вопросам научной работы в ЦАГИ сопри-
касался с Рэмом Васильевичем, с удовольствием наблюдал его успехи и научный
рост. В написании и подготовке к печати выпущенных нами монографий ему
принадлежит огромный труд и немалые заслуги по существу ряда изложенных
в них проблем.

Внезапная кончина Р. В. Студнева в расцвете творческих сил — большая
потеря для всех нас, для нашей науки.

Всем, кто близко знал Р. В. Студнева, работал с ним многие годы, тяжело

сознавать, что его уже нет с нами.

Академик Г. С. Бюшгеке
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А — параметр, характеризующий соотношение моментов инерции, А ~	—

lx)

В — параметр, характеризующий соотношение моментов инерции, В = (Iz —
----- Ix ) 1у\

— средняя аэродинамическая хорда крыла (САХ);

С — параметр, характеризующий соотношение моментов инерции, С — (Iz —
1уУ

cXt су* cz — безразмерные коэффициенты аэродинамических сил относительно
осей связанной системы координат сх (J/, 2) = X (Yt Z)/qS\

cXa — коэффициент лобового сопротивления;

_ р .

ср — коэффициент тяги, Ср = ——;

g—ускорение свободного падения;

Н — высота полета (геопотенциальная);

/х, /у» Iz — моменты инерции самолета относительно осей связанной системы
координат (О, X, У, Z);

I — размах крыла;

М — отношение скорости полета V к скорости звука а (М = V/a);

M-Ry* MRz — проекции на оси связанной системы координат полного
момента внешних сил (аэродинамических сил и тяги двигателей);

Л1Х, Му, Mz — проекции на оси связанной системы координат момента аэро-
динамических сил;

т — масса самолета;

ту, т2 — безразмерные коэффициенты моментов аэродинамических сил
относительно осей связанной системы координат;

^х> Пу, Пг — продольная, нормальная и боковая перегрузки в ЦМ самолета,

пх =-----; п„ = ——; п, = —— :

mg у mg	mg 7

Р — тяга двигателя;

р = —77-);

CIL /

V2

q = р “2----скоростной напор воздушного потока;

R — результирующая системы сил, действующих на летательный аппарат,
в общем случае аэродинамических и тяги, за исключением гравитацион-
ных сил, инерционных сил и сил, возникающих при контакте с Зем-
лей;

Rx> Ry, Rz — составляющие вектора R по осям связанной системы координат;
(Vbh

Re = ———, где v — кинематический коэффициент

вязкости воздуха);
Условные обозначения

S — площадь крыла;

[/ — воздушная скорость летательного аппарата (скорость начала О связанной
системы координат относительно невозмущенной воздушной среды);

OXYZ — связанная система координат;

хцм — координата центра масс самолета в долях или процентах САХ;

а — угол атаки самолета;

Р — угол скольжения;

у — угол крена;

6В, $э> $н— углы отклонения руля высоты, элеронов и руля направления;
О — угол тангажа;

0 — угол наклона траектории (угол между земной скоростью самолета и го-
ризонтальной плоскостью);

х — отношение амплитуды угловой скорости крена к амплитуде угловой ско-
рости рыскания;

, ,	2m

р — коэффициент относительной плотности самолета, р, =	;

р — массовая плотность воздуха;

г₽=^

sin а — коэффициент динамической устойчивости са-
* «V

молета по углу скольжения;

Т/п — масштаб времени, используемый при приведении уравнений к безразмер»
т

ному виду, хт = psV ♦

ср — угол отклонения стабилизатора;

Фг—угол между главной осью инерции самолета ОХ и осью строительной го-
ризонтали самолета;

ф — угол рыскания;

ш — круговая частота колебаний; ,

<ох, (ду, сог — угловые скорости крена, рыскания, тангажа связанных с само-
летом осей координат;

(оа, — критические скорости (крена) по тангажу и рысканию;

<ох, со^, <о2 — безразмерные угловые скорости, сох =	;

со2/

2V ;

ц. м. — центр масс самолета.
Введение

В общем случае возмущенное или управляемое движение самолета
является пространственным, так как одновременно происходит
изменение параметров, определяющих как продольное движение
(угла атаки, угла тангажа, угловой скорости тангажа), так и бо-
ковое движение (угловых скоростей крена и рыскания, угла сколь-
жения). В тех случаях, когда амплитуды изменения параметров
движения самолета малы, уравнения продольного и бокового
движения могут приближенно исследоваться раздельно, что во
многих случаях и делается [13]. Однако, при достаточно больших
изменениях параметров движения, разделение уравнений на урав-
нения продольного и бокового движения начинает приводить
к недопустимо большим ошибкам и необходимо рассмотрение
полной системы уравнений пространственного движения.

К задачам динамики полета, в которых существенным яв-
ляется рассмотрение полных уравнений движения, можно, в ча-
стности, отнести исследования динамики маневренных самолетов
при выполнении ряда маневров с использованием вращения
относительно продольной оси, широко используемых в летной
практике.

Например, таких маневров, как:

—	вход и выход из виража и боевой разворот,

—	перевороты через крыло в горизонтальном полете,
— перевороты через крыло при входе в пикирование,
— быстрые и медленные бочки,

—	вираж с переменой направчения разворота (восьмерка)
и т. д. (рис. В.1).

Для исследования перечисленных задач необходимо анализи-
ровать управляемые движения самолета при одновременном
действии летчика органами продольного, поперечного, а в ряде
случаев и путевого управления. В этой связи изучение простран-
ственного движения самолета фактически приводит к необходи-
мости анализа наиболее общих случаев его движения, устойчи-
вости и управляемости. Физический смысл особенностей, возни-
кающих при пространственном движении самолета, заключается
во влиянии на динамику самолета инерционных моментов, воз-
никающих при вращении относительно осей, не совпадающих
Рис. В.1. Примеры пространственных маневров с использованием вращения
относительно продольной оси самолета

с главными осями инерции. Влияние таких моментов на динамику
самолета весьма существенно для целого ряда движений. Прежде
всего это движение, сопровождающееся быстрыми вращениями
самолета относительно продольной оси, что характерно для
маневров с быстрыми переворотами самолета по крену. Такие
движения как сваливание и штопор самолета также во многом
определяются действием на него инерционных моментов. Однако
особенности режимов сваливания и штопора заключаются в опре-
деляющем влиянии сложных нелинейных зависимостей аэродина-
мических сил и моментов от параметров движения. Настоящая
книга ограничивается задачами движения с малыми и умерен-
ными значениями углов атаки и скольжения, когда зависимости
сил и моментов от параметров движения являются линейными,
и поэтому задачи сваливания и штопора в ней не рассматриваются.

Влияние инерционных моментов на динамику летательных
аппаратов существенно, что надо учитывать при анализе различ-
ных задач, зависящих от типа и назначения летательного аппа-
рата. В настоящей книге рассматривается круг проблем, харак-
терных для динамики прежде всего маневренных самолетов.
Целый ряд весьма интересных и сложных задач возникает при
анализе пространственного движения спускаемых летательных
аппаратов, близких к осесимметричным. При исследовании дина-
мики спускаемых летательных аппаратов наибольший интерес
вызывает вопрос развития движения вращающегося летательного
аппарата при прохождении резонансного значения угловой ско-
рости крена и возможность стабилизации в окрестности резо-
нанса. Результаты таких исследований содержатся в работах
В. А. Ярошевского [42—45], А. А. Шилова [37—40], М. Г. Го-
мана [15, 16], в работах, опубликованных за рубежом [53], и др.
Обобщение полученных результатов и подробная библиография
содержатся в книге В. А. Ярошевского [45].

В последние годы были получены новые результаты и раз-
работан ряд новых методов анализа пространственного движения,
которые излагаются в настоящей книге.

Задача исследования динамики пространственного движения
самолета в общем случае его управления является чрезвычайно
сложной и может быть исследована достаточно полно только
расчетным путем на ЦВМ. Однако и такой анализ наталкивается
на существенные трудности. Эти трудности обусловлены суще-
ственно нелинейными характеристиками исследуемых уравнений,
что приводит к неоднозначной связи параметров движения само-
лета с отклонениями органов управления. Математически эта
неоднозначность выражается в существовании многих состояний
равновесия самолета — особых точек, реализация движения
в окрестности которых зависит от предыстории движения. В этой
связи весьма существенно получение представления о возможных
видах движения самолета, чтобы на основе этих знаний можно
было правильно организовать численные исследования на ЦВМ.
В настоящей работе эта задача решается путем выделения некото-
рых модельных задач, соответствующих частным случаям соотно-
шений параметров самолета — критических скоростей крена для
движения тангажа (соа) и рыскания (сор). При этом рассматри-
вается три основных случая: когда критические скорости равны,
когда они существенно различаются и когда одна из них значи-
тельно^ больше другой. Часть результатов исследований этих
вопросов была ранее опубликована [11, 28, 30], однако основные
результаты публикуются впервые. Результаты, полученные в этих
разделах книги (гл. 4—6), используются при анализе задачи
в точной постановке и позволяют лучше понять основные законо-
мерности.

Большое внимание уделяется в книге анализу динамики само-
лета при попадании в режим инерционного вращения [11]. Этот
режим, наряду с режимами сваливания и штопора, является
основным критическим режимом, характерным для современных
маневренных самолетов, однако в литературе он рассмотрен
в недостаточной степени.

В настоящее время существенное значение в улучшении пило-
тажных характеристик самолетов играет широкое использование
систем улучшения устойчивости и управляемости (СУУ). Основ-
ные направления развития автоматизации управления современ-
ных маневренных самолетов изложены в книгах [8, 13, 26, 24]
и др. Оснащение самолета СУУ, особенно с исполнительными
приводами большого хода, существенно отражается на свойствах
его пространственного движения. Этот вопрос освещался ранее
в работе [11 ].

Анализ динамики конкретного самолета во всем его эксплуата-
ционном диапазоне режимов полета для различных его конфигу-
раций требует выполнения большого объема сложных расчетов,
которые возможны только с использованием ЦВМ. Некоторые
методы применения ЦВМ для таких расчетов излагаются в гл. 10.
ГЛАВА J

Уравнения пространственного движения
самолета

Движение самолета происходит под действием аэродинамических
сил и моментов, сил и моментов от двигателей и гравитационных
сил. При определении движения самолета необходимо в общем
случае решить следующие задачи:

—	найти угловые и линейные скорости движения самолета,
обусловленные действием на него перечисленных ранее сил и мо-
ментов;

—	определить углы ориентации самолета относительно на-
бегающего па него потока и осей координат, связанных с Зем-
лей;

—	определить перемещение самолета относительно Земли.

Каждой из этих частных задач соответствует своя группа
дифференциальных уравнений.

Основной целью настоящей книги является исследование
вопросов устойчивости и управляемости самолета. Это позволяет
упростить общую систему уравнений движения самолета [131.

В настоящей главе выводятся достаточно точные и полные
уравнения движения самолета, позволяющие проводить анализ
его динамики путем расчетов на ЦВМ. Использование таких
уравнений для аналитических оценок практически невозможно,
поэтому второй задачей настоящей главы книги является дальней-
шее упрощение уравнений движения и вывод приближенных
уравнений, приемлемых для выполнения аналитических исследо-
ваний особенностей динамики самолета при управлении.

§ 1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

В случае анализа динамики самолета, совершающего
полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения
движения по сравнению с общим случаем полета летательного
аппарата [13] могут быть упрощены, в частности, можно пре-
небречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем
еще ряд упрощающих допущений.

Будем считать, что самолет представляет собой абсолютно
жесткое тело. Влияние упругости конструкции будем учитывать
только квазистатически, для текущего значения скоростного
напора.

Будем считать, что масса и моменты инерции самолета на рас-
сматриваемых интервалах времени неизменны и соответствуют
исходному состоянию равновесного полета.

Будем считать, что конфигурация самолета имеет плоскость
симметрии и что массы распределены симметрично по отношению
к этой плоскости.

При анализе устойчивости и управляемости самолета будем
использовать следующие прямоугольные правые системы осей
координат.

Нормальная земная система координат OXrYvZg. Эта система
осей координат имеет неизменную ориентацию относительно
Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета.
Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация
может быть принята произвольно, в зависимости от целей реша-
емой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто
направляют к Северу параллельно касательной к меридиану,
а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости
и управляемости самолета удобно принять направление ориента-
ции оси OXg совпадающим по направлению с проекцией вектора
скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент вре-
мени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена
вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной
плоскости и образует вместе с осями 0Xg и 0Yg правую систему
осей координат (рис. 1.1). Плоскость Xg0Yg называют местной
вертикальной плоскостью.

Связанная система координат OXYZ. Начало координат рас-
положено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости
симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо парал-
лельно какому-либо другому, фиксированному относительно само-
лета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит
в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при гори-
зонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.

Углом атаки а называется угол между продольной осью
самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость 0XY.
Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета
на ось 0Y отрицательна.

Углом скольжения [3 называется угол между воздушной ско-
ростью самолета и плоскостью OXY связанной системы коорди-
нат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на
поперечную ось положительна.

Положение связанной системы осей координат OXYZ относи-
тельно нормальной земной системы координат OXgYgZg может
быть полностью определено тремя углами: ф, О, у, называемыми
углами Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему
Рис. 1.1, Нормальная земная OXgYgZg и связанная OXYZ системы координат

Рис. 1.2, Углы Эйлера, используемые при исследовании динамики самолетов

координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому
угловому положению связанной системы относительно осей нор-
мальной системы координат.

При исследовании динамики самолетов используются следу-
ющие понятия углов Эйлера.

Угол рыскания гр — угол между некоторым исходным напра-
влением (например, осью OXg нормальной системы координат)
и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную пло-
скость Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией
продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг
оси ОYg по часовой стрелке.

Угол тангажа О — угол между продольно# осью самолета ОХ
и местной горизонтальной плоскостью OXgZg. Угол положителен,
если продольная ось находится выше горизонта.

Угол крена у — угол между местной вертикальной плоскостью,
проходящей через ось ОХ, и связанной осью 0Y самолета. Угол
положителен, если ось OY самолета совмещается с местной вер-
тикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой
стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными
поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Бу-
дем считать, что нормальная и связанная системы координат
в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей
произведем относительно оси О Yg на угол рыскания гр (яр совпадает
с осью OFg/pHC. 1.2)); второй поворот—относительно оси 0Zx
на угол $ (Ф совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот
произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью
ОХ). Проектируя векторы гр, Ф, у, являющиеся составляющими
15

вектора угловой скорости движения самолета относительно нор-
мальной системы координат, на связанные оси, получим уравне-
ния связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения
связанных осей:

со* = у sin

G)^ = ipcoS'&cosy+ -frsiny;	(1.1)

со2 = ft cos у — ф cos ft sin у.

При выводе уравнений движения центра масс самолета необ-
ходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества
движения

т(-^- + о х v)==^4-G,	(1.2)

где со — вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;

R — главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-
ческих сил и тяги; G — вектор гравитационных сил.

Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ
самолета в проекциях на связанные оси:

т	+ ®^2 —	= + G*'

т	- “^2) =	+ Gy’	-3)

где Ух, Уу, Уг — проекции скорости V; Rx, Ry, Rz — проекции
результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gx, Gy,
Gz — проекции силы тяжести на связанные оси.

Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с ис-
пользованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:

Gx = —G sin-O;

Gy —— Geos fl cos у;	(1.4)

Gz — Geos •& sin y.

При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли,
проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения
и величиной скорости (V) соотношениями

Ух — V cos a cos р;

Уу —— V sin a cos Р;	(1.5)

Vsinp,
Таблица 1.1

Направляющие косинусы между нормальной земной
и связанной системами координат

Связанная система	Нормальная земная система		
	°*g	0Yg	ozg
ОХ	cos ip cos О	sin 0	—sin ip cos fr
OY	—cos ip si n 6 cos 7 + +sin ip sin 7	cos 0 cos 7	cos ip sin 7 +  4- sin ip sin cos 7
OZ	cos ip sin Ф sin y+ Ч- sin ф cos у	—cos й sin 7	cos ip cos у —  — sin ip sin -0 sin 7

Выражения для проекций результирующих сил Rx, Ry, Rz
имеют следующий вид:

Rx == — cxqS + Р cos ([>;

Ry суЯ^ + Р sin

(1.6)

Rz — czqS,

где сх, су, cz — коэффициенты проекций аэродинамических сил
на оси связанной системы координат; Р — гяга двигателей (обычно
Р = f (V, //));	—угол заклинения двигателя (<рр > 0, когда

проекция вектора тяги на ось 0Y самолета —положительна).
Далее везде будем принимать срР = 0. Для определения входящей
в выражение для скоростного напора q величины плотности р (И)
необходимо интегрировать уравнение для высоты

= Vx sin	Vy cos O' cos у — V2 cos 0 sin у.	(1.7)

Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной
атмосферы либо по приближенной формуле

р^0,125е~хн,

где для высот полета Н с ГО ОООмХ 10~4 [1/м]. Для получения
замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных
осях уравнения (1 3) необходимо дополнить кинематическими
соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации
самолета у, &, ф и могут быть получены из уравнений (1.1):

Ф =	* п (<оу cos у — <о2 sin у);

fr = а>„ sin у-|-<в2 cos у;	(1.8)

у = со* — tg Ф (ыу COS у — <oz sin у),

а угловые скорости <оА, coz определяются из уравнений движе-
ния самолета относительно ЦЛ1. Уравнения движения самолета
относительно центра масс могут быть получены из закона измене-
ния момента количества движения

™- = MR-ZxK.	(1.9)

В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения:
К — момент количества движения самолета; — главный мо-
мент внешних сил, действующих на самолет.

Проекции вектора момента количества движения К на подвиж-
ные оси в общем случае записываются в следующем виде:

/Сv Iх^х	ху^у ' xz^z>

Iху^х 4 У^У yz^zt	(1 • 10)

=	Ixz^X	yz^у 4~ Iz^z*

Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распростра-
ненного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость
симметрии. В этом случае Ixz = 1уг = 0. Из уравнения (1.9),
используя соотношения (1.10), получим систему уравнений дви-
жения самолета относительно ЦМ:

/х - hy 4- (1г - 1у)	+ 1ху^г = М^,	(1.11)

diDy	j d(ji)x

y~dt	1ху~7Г

4“ (А« z) ®Z®X IMRy,

Ixy И -	+ (^ - 4) <0x<0p = MR

Если за оси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0.
В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем
производить, используя в качестве осей 0XYZ главные оси инер-
ции самолета.
Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются
суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя.
Аэродинамические моменты записываются в виде

Мх = mxqSl;

Му = niyqSl-,

Mz = mzqSbk,
где тх, ту, mz — безразмерные коэффициенты аэродинамических
моментов.

Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем
случае выражаются в виде функциональных зависимостей от ки-
нематических параметров движения и параметров подобия, за-
висящих от режима полета:

СХ. У, Z или тх, ytZ = F (а, р, а, 0, <лх, ау, со2, 6Э, ф, 6Н, М, Re). (1.12)

Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому
при анализе устойчивости или управляемых движений эти парамет-
ры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае
движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов
будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как
правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.

На рис. 1.3 приведены правила знаков для основных пара-
метров движения самолета, а также для величин отклонений
органов и рычагов управления.

Для малых углов атаки и скольжения обычно используется
представление аэродинамических коэффициентов в виде разложе-
ний в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только
первых членов этого разложения. Такая математическая модель
аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки доста-
точно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами
в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по
аэродинамике самолетов различного назначения примем следу-
ющую форму представления коэффициентов аэродинамических сил
и моментов в функции параметров движения и углов отклонения
органов управления:

^Х Z== ^хО	^Х («) 9

Су Z==Z Су0 W

Cz == “R Cz 6н5

mx = /ПхоР +	4- mxv<i»y + m|p +

__	__	e (1-13)

triy =	p + my A<ox + my y<ay -f- my p m/63 +

mz = tnz (a) -p mz a>z ф- rnfa ф- mzq>.
Рис. 1.3. Правила знаков для основных переменных, определяющих управле-
ние самолетом

При решении конкретных задач динамики полета общая форма
представления аэродинамических сил и моментов может быть
упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические
коэффициенты бокового движения являются константами, а про-
дольный момент может быть представлен в виде

mz (а) = mZQ + /п?а,

где mZG — коэффициент продольного момента при а = 0.

Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональ-
ные углам аир, обычно находятся из статических испытаний
моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-
ния производных	необходимо проведение

х (у) z х

динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях
обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей
и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обра-
ботке одновременно определяются величины:

(1)	О у . В •	® X	у I В •	/ 1 1 Л \

тх* = тхх Ц- тх sin а; ту* = тухту sina. (1.14)

w со,, , В	. В

ту& = туу + ту cos а; тх% = тху + тх cos а.
В работе [13] показано, что для анализа динамики самолета,
особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-
тов в виде соотношений (1.13), в которых производные т$ и т$
_______________________________________________	__ * у
приняты равными нулю, а под выражениями т™х, т^и и т. д.
понимаются величины	[см. (1.14)], определяемые в экс-

перименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение
задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при
постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выра-
жения для скоростей Vx, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые
преобразования, получим

= % cos а + toA.sina 4- р + -£- sin у cos О. (1.15)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

21

Уравнения движения самолета

Рис. 1.4. Примеры со-
поставления расчетов с
результатами летных
испытаний маневрен-
ного самолета:

а — на дозвуковой ско-
рости полета, Н= 10 км,
М = 0,75; б — на дозву-
ковой скорости полета,
Н = 10 км, М = 0,65;
в — на сверхзвуковой
скорости полета



Используя это выражение, можно преобразовать составляющие,
обусловленные нестационарными характеристиками в выражениях
для тХ1 ту (1.13)

&гпх = тх*а>х + тх£соу + т‘х cf р + sin у cos fl; (1.16)

&ту = т+ tny*<Ax + т^у р +	sin у cos fl. (1.17)

В каждом из выражений (1.16) и (1.17) основными являются
первые два члена. Как показывают расчеты, влияние выделенных
членов в выражениях (1.16), (1.17), пропорциональных р и у,
мало, и ими обычно можно пренебречь. Например, члены, про-
порциональные р, составляют не более 1...5 % от соответству-
ющих величин и т$р, что лежит в пределах точности опре-
деления этих производных.

Учитывая приведенные соображения, в настоящей работе
будет использоваться представление нестационарных аэродинами-
ческих характеристик в виде объединенных выражений (1.14),
причем для сокращения записи производные (1.14) будут записы-
ваться без нижнего индекса. Применительно к характеристикам
продольного движения такие упрощения в общем случае являются
грубыми, и при точных расчетах необходимо использовать пред-
ставление коэффициентов продольного момента в виде (1.13) с со-

хранением членов m^z и При приближенных оценках ди-
намики самолета с достаточным запасом устойчивости эти произвол-
^7	^7	.	6.

ные могут быть объединены в одну производную mz* = mz + mz-
Возможность использования аэродинамических характеристик,
полученных при статических испытаниях, либо при динамических
испытаниях в аэродинамических трубах на экспериментальных
установках с использованием методов вынужденных колебаний для
исследования устойчивости и движения самолета при малых
возмущениях подтверждается удовлетворительной сходимостью
расчетов соответствующих движений с материалами летных испы-
таний. Целью настоящей работы, как уже отмечалось, является
анализ пространственных движений, в которых имеется быстрое
вращение самолета относительно вектора скорости с наложенными
на это движение колебаниями. Допустимость применения аэро-
динамических характеристик, полученных перечисленными
способами, для такого движения отнюдь не очевидна. Строго
говоря, для исследования динамики вращающегося по крену само-
лета необходимо использование аэродинамических характеристик,
определенных на специальных динамических установках, на кото-
рых в качестве исходного реализуется вращательное движение
модели самолета относительно вектора скорости. Таких система-
тизированных материалов для малых углов атаки в настоящее
время имеется недостаточно. Однако возможен прямой путь про-
верки принятой модели аэродинамики — путь сопоставления ма-
териалов летных испытаний самолета с результатами расчетов его
движения, в которых моделируются те же отклонения органов
управления, что и в полете. При получении соответствия резуль-
татов для достаточно широкого спектра управляемых движений
самолета можно с большой вероятностью полагаться на принятую
аппроксимацию аэродинамики. В качестве иллюстрации получа-
емых таким путем результатов на рис. 1.4 приведены примеры
сопоставления записей изменения некоторых параметров движения
самолета с результатами расчетов соответствующих режимов
полета. На рис. 1.4, а, б приведены примеры записей параметров
движения при полете на дозвуковых скоростях, а на рис. 1.4, в
на сверхзвуковых скоростях полета (пунктиром показаны записи,
полученные в полете). Из сопоставления расчетов с материалами
летных испытаний видно их удовлетворительное качественное
соответствие. Некоторые количественные расхождения могут быть
отнесены к недостаточно i очной модели датчиков перегрузок,
используемой в расчете, и к необходимости некоторой коррек-
тировки характеристик, полученных при испытаниях в аэро-
динамических трубах, по материалам летных испытаний, что
в приведенных примерах расчетов не делалось. Удовлетворитель-
ное соответствие реального движения самолета и расчетов, вы-
полненных с использованием аэродинамических характеристик,
полученных при статических испытаниях, обусловлено линей-
ностью аэродинамических характеристик в рассматриваемом диа-
пазоне углов атаки и скольжения самолета. Порядок максималь-
ной величины изменения угла атаки при быстром вращении само-
лета может быть оценен по величине сох, которая приближенно
равна изменению угла атаки на конце крыла самолета (Лак)

Лгу
.

Учитывая, что реальные величины <ох < 0,07...0,1, получим,
что наибольшие изменения угла атаки составляют величины
3...5 и при исходной величине угла атаки а0 с 10... 12° аэродина-
мические характеристики самолета, как правило, остаются в ли-
нейной области значений.

Учитывая приведенные ранее материалы, при анализе дина-
мики самолета будут использоваться представления аэродина-
мических характеристик в виде (1.13), определяемые по существу-
ющим в настоящее время методам в аэродинамических трубах.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТА В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ

В том случае, когда необходимо рассматривать управля-
емое движение самолета при полете с относительно малыми углами
атаки, которое может сопровождаться развитием больших угловых
скоростей, в уравнениях движения необходимо сохранить не-
линейные члены, содержащие произведения угловых скоростей.
При рассмотрении уравнений движения, записанных относи-
тельно главных осей инерции, необходимо учитывать, что угол
атаки (сс), в функции которого определяются аэродинамические
характеристики самолета, обычно отсчитывается от оси стро-
ительной горизонтали самолета. В связи с этим при определении
величины Vy по формуле (1.5) необходимо в качестве угла атаки
рассматривать величину

а1 = а + <Рг.	(2-1)
где <рг — угол между строительной горизонталью самолета, от
которой отсчитывается аэродинамический угол атаки, и главной
осью инерции ОХ (<рг > 0, когда для совмещения положительной
полуоси ОХ со строительной горизонталью ее необходимо повер-
нуть по часовой стрелке относительно оси 0Z).

Подставляя соотношения (1.5) в уравнения движения (1.3)
и (1.11) с учетом выражений (1.13) и производя необходимые
преобразования, для общего случая горизонтального полета с пе-
ременной скоростью V и малых величин а и р, получим следующую
систему дифференциальных уравнений:

— a 4 юг —	---(<рг а) = Yo 4 Yaa 4	— -^-cos d cos у;

-J- А(дх(£)у — Alzo -j-- Mz и -|- Mz Mz ci -f- Mz(f i (2.2)
p —	4 P — (<pr + a) = Z₽p Z6n6„ 4- cos f) sin y;

- В<лхаг = Л1^р +	+ Мухых + Л4уп6„ Л?рэ6э;

4 Соуо2 = Жр 4- Ж’Х + Мху&и + Мхн6н 4 Л^Э6Э; (2.3)

У = — (сха—Ср)-^ — g Sin 0.

В системе уравнений (2.2) и (2.3) точкой обозначено дифференци-
рование по времени, а аэродинамические силы и моменты пред-
ставлены основными линейными членами разложения в ряд по
параметрам движения самолета. При этом приняты следующие
обозначения:

V   cytf]S . пл mzoqSl .
mV ’	М*> “=	/Г- ’

mV ’ Г ~ mV ’ lVlz Tz ’

12	1z£V

.	=(3	c^qS .

2 IZ2V ’	Z	mV ’

(2.4)

__ сг qs _	Р
mV ’ СР= 4Г ’

ТЛ_. m^S12

Му Iy2V

и Т. д.;
25

_в m^’qSl

Jx

— J »

1Ц

—со„			
мхх=-	IX2V	и	Т. д-;
МхЭ =	tnxzqSl fx	и	т. д.;

IZ--- lx . (J ________,

1у

Для получения большей общности результатов, особенно при
аналитических оценках, в ряде случаев уравнения движения
самолета целесообразно преобразовать к безразмерному виду.
Для приведения уравнений к безразмерному виду введем следу-
ющие переменные:

масштаб времени хт;

безразмерные угловые скорости сох, со2;

безразмерные моменты инерции самолета iXi iy, iz\

_ т .	.. _ 2/Л е —	__ <tix(ijyzd .	; Ixtdhz)

т ~~ pSV '	^ pSZ ’	(г/’ z) — 2V ’ х ('Лг) т (1/2)2 '

(2-5)

Отметим, что параметры тт, pt и коэффициент I 2V, используемый
при вычислении со(Х, Уг z), совпадают с аналогичными параметрами,
используемыми при приведении уравнений бокового движения
к безразмерному виду. При преобразовании уравнений продоль-
ного движения к безразмерному виду значения ц и ы2 обычно вы-
числяются с использованием величины средней аэродинамической
хорды (ЬА) в качестве характерного размера, что следует иметь
в виду при анализе полной системы уравнений движения. По этой
же причине необходимо производные аэродинамических коэффи-
циентов	и т. д. определять с помощью следующих фор-

мул:

т2б = т^ЬкЩ

ю2 2^а .
mzl^mz —р—у

trzc =

= тг -р- .

(2.6)

Используя соотношения (2.5), преобразуем уравнения (2.2)
к безразмерному виду для полета самолета па постоянной высоте
(р = const). Изменение скорости полета при горизонтальном
полете, когда sin 0 ~ О, описывается уравнением (2.3), в котором
величину (сха— сР) для упрощения анализа примем постоянной.
Введем безразмерное время т с помощью следующего дифферен-
циального соотношения:

dt хт dx,

(2.7)
где величина тт является переменной вследствие изменения ско-
рости полета V При проведении преобразований необходимо
учитывать следующее правило дифференцирования:

d . . d /- 2V X 2V d^i 2 dV-

(2-8)

где со* — О(х, y,z)’

В результате простых преобразований с учетом соотношений
(2.7) и (2.8) получим уравнения движения самолета в безразмер-
ном виде:

срг =	— cos ft cosy;

со2 +	+

I
^z6 ~Ь

(2.9)

Р' — №у — рсох (а + фг) =

, 4® я 2gi?m .

Н—о— ои Ч----7— cos & sin у;

2 н 1	Ip	•’

»; — ВцшД, = mSp +	+ ‘**2 ~ )“» +

__	. __ о / - c _______________c \ ___

a’x +	+ ”2 pj ax -|-

+ /n“gco 4-т6нб +тСэ6

1 x* у i X н • x э»

f dx
где x = -тг.
ат

В дальнейшем нижний индекс (*) у производных тх*>
и т. д. будет опускаться для сокращения записи. В системе урав-
нений (2.9) приняты следующие обозначения:

-a	_я	_R /И?

mz6=-7—;	=	= и т. д. (2.10)

rz6	V iy	iX

Удобство безразмерной формы уравнений состоит, в частности,
в том, что, не решая уравнений, можно сделать некоторые общие
выводы о свойствах их решений. В частности, единственным
параметром в системе уравнений (2.9) после отбрасывания грави-
27

тационных членов, зависящим от режима полета, является вели-
чина р,. Величина р определяется высотой и не зависит от скорости
полета. Отсюда следует вывод о том, что качественная картина
движения самолета при действии возмущений и при управлении
зависит только от высоты полета и не зависит от скорости. Основ-
ное влияние скорости полета выражается в изменении масштаба
времени. Например, при аг<п = const, от скорости полета за-
висят частота колебаний и время затухания, но не зависят устой-
чивость движения, величина декремента затухания, количество
и вид особых точек системы уравнений движения и т. д. (все это
справедливо с единственной оговоркой о том, что в окрестности
рассматриваемых режимов полета аэродинамические коэффици-
енты мало зависят от скорости и числа М полета). Уравнения (2.9)
после отбрасывания гравитационных членов являются нелиней-
ными уравнениями с постоянными коэффициентами даже для слу-
чая движения самолета с переменной скоростью (если сха — сР =
= const). При этом переменность скорости проявляется в изме-
нении демпфирования благодаря наличию коэффициента (сха— сР)
и в изменении масштаба времени. При переходе к размерному
времени необходимо пользоваться следующей зависимостью t
от т:

t = J	dr = J	.	(2.11)

О	о

Для получения зависимости между t и т в явном виде преобразуем
уравнение (2.3) к новой переменной т:

dv	(Сха-Ср)

du	2

(2.12)

Проинтегрировав уравнение (2.12) при сх — сР = const, получим

(£	_ Q \

--9 -) т.

(2.13)

И, наконец, подставляя (2.13) в (2.11) и производя интегрирование,
получаем формулу для зависимости t от т:

сха~~ср т

, т 2	2 т

* - CI7 ~®	1

PSl/0 (сха~ср) L	J

Легко проверить, что при (сха — сР) -> 0 это выражение в пределе
переходит в тождество t = тт/л0. Из системы уравнений (2.9)
непосредственно видно, что разгон самолета (полет при сР > сх)
увеличивает демпфирование, т. е. действует стабилизирующе,
а торможение (сР < сха) — дестабилизирующе, т. е. при полете
с уменьшающейся скоростью эффективное демпфирование умень-
шается.

Ввиду того, что в дальнейшем будут анализироваться уравне-
ния движения в безразмерном виде при постоянной скорости
полета, когда сха = сР, перепишем их еще раз, учитывая сделан-
ные ранее замечания и опустив гравитационные члены:

а' — jiwz + itpo\ =--а — Ас/,

<0z +	= mz6a	а' +

Г

₽' —	(а + ф) — -у- [3 + Дс2;

(2.И)

(Оу — В|10)Л(02 = 1Пу$ + ШуУ(Пу + ГПуХ(Ох +

(Пх + CLIG)^ = тх$ + tnxx(Hx 4- пгхиЫу -!г Д/пх.

§ 3. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОСНОВНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

Уравнения пространственного движения самолета в об-
щем виде являются чрезмерно сложными для аналитических
исследований. Необходимость выполнения аналитических
и приближенных, качественных исследований динамики самолета
и свойств его движения в рассматриваемых задачах чрезвычайно
существенна. Это обусловлено, в первую очередь, нелинейным
характером пространственного движения самолета, когда вид
движения существенно зависит от предыстории движения, после-
довательности и амплитуд отклонений органов управления и т. д.
В этих условиях только знание свойств движения позволяет
правильно построить расчеты на ЦВМ. В связи с этим можно
предложить следующую последовательность выполнения анализа:
— приближенный качественный анализ свойств движения,
выявление основных расчетных или характерных случаев;

— выполнение точных расчетов на ЭВМ для подтверждения
сделанных выводов;

— сопоставление с материалами летных испытаний и уточне-
ние расчетов.

С учетом сделанных замечаний можно сформулировать цели
настоящего параграфа как определение возможных упрощений
уравнений движения путем пренебрежения второстепенными чле-
нами и оценка влияния отброшенных членов. Еще раз отметим,
что такие упрощения делаются для получения качественного
29

представления о свойствах движения, которое в дальнейшем
уточняется расчетом по полным уравнениям. Иногда становятся
допустимыми даже достаточно грубые упрощения, которые поз-
воляют в наглядном виде получить результаты, тогда как выпол-
нение более точных исследований часто приводит к труднообозри-
мым результатам.

Для многих задач динамики самолета влияние гравитацион-
ных сил на возмущенное движение самолета относительно центра
масс мало, и они обычно определяют медленно изменяющиеся
составляющие типа спирального движения. Это часто позволяет
пренебречь влиянием гравитационных сил, что существенно упро-
щает анализ быстрых составляющих возмущенного движения
самолета.

Оценим влияние гравитационных сил на динамику самолета
при вращении относительно продольной оси как основного вида
пространственного движения.

Рассмотрим полные уравнения пространственного движения
самолета в предположении, что V = const, И = const и С —
= nix = trtxy = 0, <рг = 0. В этом случае при тхЬ^ — const,
получим, что сох — Q = const. Ограничив рассмотрение несколь-
кими переворотами, можно принять, что cos О 1. При Q ==
= const уравнения движения являются линейными и гравита-
ционные члены входят в них как возмущения:

—	са саа

а' — ii(d2 + pPQ а = у г‘ п cosy;

С02 + Лр^Оу —	= 1ПгбЧ’‘,

(3-1)

Р' _ g<B _ рОа _ * _^sinv;

Ыу — Врй®2 — /йур — fhyv(>)tJ = /йудн,

со* — /йхжй = гпхэ8э;

Л	о*	„

/ = pQ.	<3-2>

Влияние гравитационных сил и влияние управляющих моментов
на динамику самолета может быть оценено по отдельности.

Решение системы уравнений (3.1) состоит из установившегося
решения и решения, соответствующего переходному процессу.
Например,

а (т) = ауст (т) 4- апер (т) и т. д.

(3.3)
В свою очередь, решение для a*c’ (?) является суммой некоторой
постоянной составляющей решения и периодической составля-
ющей, вызванной воздействием гравитационных членов о часто-
той рй:

ауст (т) = ауст аус (Т( ^Q)

(3.4)

Составляющая изменения угла атаки в переходном процессе
зависит как от начальных условий, так и от изменений отклонений
органов управления. Для оценки амплитуды колебательной со-
ставляющей решения | ауст (т, pQ) | необходимо рассматривать
гравитационные члены в уравнениях движения как периодиче-
ское возмущение, определить из уравнения (3.1) передаточную
функцию для угла атаки и найти ее модуль:

1«д (<•>)! =

V(Re А)2 + (Im А)2
1/ (Re Дс)2-И Im Д0)2 ’

(3-5)

где Re Л и 1mA—действительная и мнимая части числителя,
a Re Ао и Im Ао —действительная и мнимая части знаменателя

передаточной функции при частоте to = рй.

.	саа

Передаточная функция {-^-1, где мд = ог' п , имеет вид

V. Мд 7	Z

а

«д

^4р4 + М3 ^гР2 -Ь Ь±р -|- ftp
а4Р4 + азР3 + Я2Р2 + Д1Р + ао

(3.6)

Выражения для коэффициентов	приведены в табл. 3.1.

В соответствие с (3.5) и (3.6) получим:

фг п К 1^ (Р^)4 - b2 (рй)2 + b0]* + [- b3 (рй)3 + bx (рй)]2

2 К[а4 (рй)4 — а2 (рй)2 + а0]2 + [— а3 (рй)3 -|_ а± (рй)]2 ‘

(3.7)

Оценим влияние параметров самолета на амплитуду колебаний
по углу атаки, обусловленных влиянием гравитационных сил,
при малых угловых скоростях вращения самолета по крену. Из
соотношения (3.7), производя необходимые упрощения, получим

(3.8)

т. е. изменение угла атаки обычно значительно меньше угла атаки
в горизонтальном полете, |ад|<^аГфП.
со

<3

3

*=:

Ю
е

Е-ч

•♦ft	о	+  1 -	=3>  4- 13 J35  СЧ	1	lK  а	»?  IS-	Й6	3 N  cq	,3 ==>	-?	’S	’—’  1Й =<-	, со.  СЧ	СО. N	4“	'£  .4	сч ^4-  s?1	а  'S	=L ,  ।	’ aq “Г  "Г	СО.=г>  СЧ	'£=	L—!  Д_ Ska ।	4^	а  8 oj	-i-  N	।			
		\zfiui + ?Zw/J /уЮ — - x \ r  !  XTi»tu + 3,o + nn  n°			
	сч	CO. ГЧ  4J  N  '3  •£  8 м	СЧ a a-  '8  N 1  L -  Ss>  c’ V1  1		
	со	СП.М  8 a>  <o	03  03	=J  3  £  14  3  5	I  N &  1
	<*	•—<			
пхнаий  -иффеох		c*			

еч

а

CQ

СО.

«3

'8

•3 N

'8

со. гз»

'£

03

aV1 сч

N

•3 N

'В

I

II

сч

•—<
Выражение в знаменателе (3.7) будет иметь минимальное зна-
чение при угловой скорости крена, приближенно определяемой
из соотношения

р[т₽(1+Л)4-/п“(14-В)]

(3-9)

Это значение угловой скорости крена соответствует приближен-
ному значению резонансной частоты воздействия гравитационных
сил на вращающийся самолет. Подставив выражение (3.9) в (3.7),
можно определить амплитуду колебаний по углу атаки при резо-
нансной частоте Q '
•г*

(1-Л)

(3 — со у

2р

2р

<7/ит. п
2

-(1 -В)

ОС -

- c?,"lz6

гб 2р.

са
СУ

2

_(0

-----т и

2 У

2р,

В

2р,

ОС — ^7
с,,тЛ
— та	—

26	2р.

. (3.10)

— т

— т

Z

Z б

— т

— т

— т

-а cvAz6

Анализ полученных выражений и расчеты, выполняемые с исполь-
зованием полных уравнений движения, показывают, что влияние
гравитационных членов на режимах полета, где самолет обладает
удовлетворительной с позиций ручного управления продольной
и боковой устойчивостью, является малым (рис. 3.1, 3.2). Измене-
ния перегрузки от воздействия гравитационных сил достаточно
малы. Из приведенных материалов следует, что для приближен-
ных исследований можно отбросить в уравнениях движения гра-
витационные члены, сохранив члены, обеспечивающие баланси-
ровку самолета в горизонтальном полете. Следует отметить, что
полученные таким образом уравнения неточно описывают гори-
зонтальный полет самолета, так как подъемная сила не сбаланси-
рована составляющей силы тяжести.

Рассмотрим несколько иной подход к анализу системы урав-
нений (3.1). Произведем предварительно линеаризацию этих
уравнений относительно условий горизонтального полета, т. е.
Рис, 3.1. Влияние различных упрощений уравнений движения на перехоцные
процессы по а и f при вращении самолета с угловой скоростью сох:

--------точное решение; -------- — решение уравнений (3.11);	—  — — решение
уравнений (3.1) при г . п = О

2 Бюшгенс Г. С.
примем, что а = аг. п + Да. Отбросив в уравнении продольных
саа

сил выражение +—(cosy — 1), а в уравнении боковых
саа

сил-------~~9~'П— s*n Т> получим приближенную систему уравне-

ний

—	— сЧ^а

Да' — |К0г 4-	-|--^2— — °;

®z +	— tn^6a — trfyu>z = "jzAfr;

P' — pco^ — цсох Да — p<ox (аг. n + <pr)-P = 0;	(3.11)

— Вр<ола>2 — m^p — myvd)y = tnyB8H;

= тхябэ.

В этих уравнениях Дер — дополнительное отклонение органов
продольного управления к отклонению, необходимому для обес-
печения горизонтального полета. Уравнения (3.11) приближенно
описывают движение самолета, в частности правильно описывают
условия горизонтального полета. Проведем сопоставление урав-
нений, записанных в форме (3.11), с позиций точности при пренеб-
режении влиянием гравитационных сил, с уравнениями (3.1),
в которых принято аг>п = 0:

—	в обоих случаях пренебрежение гравитационными членами

приводит к получению приближенных результатов;

—	отбрасывание гравитационных членов в (3.1) приводит к тому,
что не выполняются условия для исходного горизонтального по-
лета, так как Amz приводит к появлению угла атаки и со/, си-

стема уравнений (3.11) ли-
шена этого недостатка;

— отбрасывая гравита-
ционные члены в (3.1), полу-
чаем установившиеся реше-
ния с точностью до перио-
дических членов;

Рис. 3.2. Переходные процессы по
ох, соответствующие изменениям
параметров а, Р на рис. 3.1
_____рассматривая уравнения (3.11), получаем установившееся
ешение с ошибкой, состоящей как из периодического, так и из
постоянного члена;

саа

Су^г. п

Ло (со*)

(3.12)

где Ло (<ох) — свободный член характеристического уравнения
системы (3.11). Оценка величины этого члена показывает, что он
обычно мал; система уравнений в виде (3.11) хороша тем, что она
переходит в приближенные уравнения бокового движения с учетом
продольной балансировки и заведомо верна при умеренных углах
крена (| У | < 45°).

Приведенные соображения позволяют сделать тот вывод, что
при анализе длительных вращений самолета правильнее пользо-
ваться уравнениями движения в форме (3.1), приняв в них аг. п —
= 0, а при анализе разворотов по крену на относительно малые
углы крена (| у | < 45°) правильнее пользоваться уравнениями
в форме (3.11). Следует отметить, что уравнения в форме (3.11)
достаточно хорошо описывают основные закономерности движения
самолета и при вращении, приводят только к некоторым коли-
чественным ошибкам (рис. 3.1), в связи с чем в ряде случаев можно
использовать и их. Анализ влияния гравитационных членов
в общем случае, когда т^х 0, приводит к необходимости иссле-
дования нелинейных уравнений, что возможно только путем вы-
полнения расчетов. Такие расчеты показывают, что и в этом
случае пренебрежение гравитационными членами в уравнениях
движения не изменяет качественного характера движения при
условии, что самолет обладает аэродинамической устойчивостью.
В общем случае аэродинамических характеристик самолета при-
ближенно также можно считать, что гравитационные члены дают
дополнительную периодическую составляющую в решении. По-
скольку нас обычно интересует ограниченный интервал времени,
то наличие этих членов проявляется в некотором изменении ам-
плитуд параметров движения, но не оказывает влияния на каче-
ственные, существенные свойства движения. Это позволяет от-
бросить в уравнениях гравитационные члены, что значительно
упрощает исследование динамики. При выполнении конкретных
расчетов движения гравитационные члены, естественно, необхо-
димо учитывать, что не затрудняет расчеты.

Влияние изменения скорости и высоты полета. Влияние изме-
нения скорости полета самолета в процессе пространственного
Движения может быть оценено с помощью уравнений (2.9), из
которых следует, что нестационарность движения эквивалентна
изменению характеристик демпфирования самолета.

2*
Предполагая, что в процессе движения летчик не изменяет
режим работы двигателя (т. е. сР const), оценим возможные
порядки величины изменения коэффициента лобового сопротивле-
ния сха при пространственном движении маневренного самолета.
Изменение угла атаки самолета в процессе пространственного
движения даже в 3...4 раза приводит на дозвуковых скоростях
полета к изменению ДсЛО < 0,03, а на сверхзвуковых скоростях
Дсла < 0,08. Влияние такого изменения сла эквивалентно изме-
нению демпфирования менее чем на 1 % как на дозвуковых, так
и на сверхзвуковых скоростях. Из этих оценок следует, что обычно
допустимо пренебрегать изменением скорости полета при прибли-
женном анализе, ошибки в этом случае невелики и не могут изме-
нить количественный характер решения. Учитывая это, в даль-
нейшем будем полагать V = const.

Изменение высоты полета при маневрах вращения по крепу,
выполняемых из условий горизонтального полета, учитывая
кратковременность таких маневров (/^10...15 с), обычно мало
(Д/f < 500 м) и им также можно пренебречь, т. е. полагать р =
= const в процессе исследуемого движения.

Упрощение аэродинамической модели самолета. Приведенная
выше аэродинамическая модель самолета достаточно полно опи-
сывает его свойства, однако для аналитических оценок может
быть упрощена. В дальнейшем аэродинамические коэффициенты
тух, т*у будут обычно приниматься равными нулю, кроме
специально оговариваемых случаев. При выполнении численных
расчетов учет этих членов не представляет труда. При анализе
управления самолетом иногда будет предполагаться, что элероны
создают только момент а руль направления — только мо-
мент кту, т. е. будут отбрасываться члены iny^Q и тхнбн. В тех.
случаях, когда перекрестные моменты управления оказывают
существенное влияние, они будут учитываться. Во всех случаях
представление моментов от элеронов и руля направления в виде
Дтх, &ту облегчает понимание существа рассматриваемых
явлений.

Учитывая, что в рассматриваемых движениях изменения углов
аи|3 малы и угловые скорости (о2 и ыу также малы | coz ~ 0 (coxa),
co v ~ 0 (wxp) |, получим, что член Ссо^сОг в уравнении моментов
крена имеет второй порядок малости Ссо^(о2 ~ 0 (ар), а так как
и С обычно невелико, то для рассматриваемых задач эти члены
можно принять равными нулю.

С учетом сделанных замечаний получим упрощенную систему
уравнений движения, которая в дальнейшем будет основной для
выполнения приближенных и качественных оценок динамики
самолета:

а' — рсо2 +	+

(Ог-|-	— TTIzqCL —	mz(p9

cz

P' — pcd^ — pcoA (a + <гг)-----------2" P - 0;

(3.13)

Шу —	ГПуУ^у — ^Пу)

coi — ra£p — m“xcox = A^x.

При выполнении конкретных расчетов используются системы

уравнений (2.2), (2.3), (1.8).
ГЛАВА 2

Взаимодействие продольного и бокового
движений

Прежде чем переходить к исследованию динамики наиболее общих
случаев движения самолета, остановимся на физических причинах
особенностей пространственного движения, которые приводят
к нелинейным дифференциальным уравнениям.

§ 4.	ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЧИНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПРОДОЛЬНОГО И БОКОВОГО ДВИЖЕНИЙ САМОЛЕТА

Если определять движение самолета относительно оси
0Z (изменения сог, а) как продольное, а относительно осей ОХ
и OY (изменения сох, (dz., [3, у) как боковое, то при пространствен-
ном движении можно говорить о взаимодействии или взаимо-
связи продольного и бокового движений. Можно определить
следующие основные причины проявления взаимодействий про-
дольного и бокового движений самолета: аэродинамическое,
кинематическое, инерционное, а также взаимодействие, обусло-
вленное влиянием гироскопических моментов двигателей.

Аэродинамическое взаимодействие движений проявляется при
наличии зависимости аэродинамических производных устойчи-
вости бокового движения от параметров продольного движения,
в первую очередь от угла атаки а, и аэродинамических производ-
ных продольного движения от параметров бокового движения
(например, от угла скольжения Р). Особенно существенна зависи-
мость аэродинамических характеристик бокового движения от
угла атаки. Такие характеристики, как mJ,, тхх, тхд и т. д. обычно
не зависят от угла атаки при малых его значениях и начинают
существенно изменяться только при достаточно больших значе-
ниях а (а > 12... 15°). Аэродинамическая поперечная устойчи-
вость самолета, характеризуемая производной m2, обычно суще-
ственно зависит от угла атаки для всех его значений. На рис. 4.1
приведены примеры зависимостей производных момента крена
по углу скольжения от угла атаки и числа М полета. Видно, что
для дозвуковых скоростей полета может быть предложена сле-
дующая аппроксимация момента крена:

m2 = m20 + т“ра.
Рис. 4.1. Пример зависимости поперечной устойчивости от числа М полета (а)
и от угла атаки (б) при дозвуковой скорости полета

На сверхзвуковых скоростях производная т* обычно практически
постоянна.

Для коэффициентов продольного момента учет значительных
по величине возмущений по углу скольжения также может вы-
звать необходимость введения зависимости от Р2, учитывающей
его влияние, однако обычно оно мало.

Таким образом, более точное представление зависимости аэро-
динамических коэффициентов от параметров движения указывает
на наличие аэродинамического взаимодействия бокового и про-
дольного движений, причем члены уравнений, определяющие эго
взаимодействие, оказываются нелинейными. Особенно существенно
аэродинамические перекрестные связи проявляются при свали-
вании и штопоре самолета, т. е. на углах атаки, которые в насто-
ящей книге не рассматриваются.

Кинематическое взаимодействие. При энергичном вводе само-
лета в крен, когда его ось ОХ не успевает изменить свое положе-
ние в пространстве, например, в связи с тем, что из-за большой
инерционности самолета относительно осей ОУ и 0Z моменты
аэродинамической устойчивости не успевают ликвидировать от-
клонения по а и р, происходит одновременное изменение угла
атаки и угла скольжения самолета. Это связано с проявлением
кинематического взаимодействия движений. Для пояснения этого
вида взаимодействия рассмотрим упрощенную схему движения
самолета при крене. Будем считать, что ось самолета ОХ и вектор
скорости полета V сохраняют в пространстве неизменное поло-
жение, и самолет начинает изменять угол крена. Такое движение
с неизменным положением оси ОХ в пространстве возможно, в ча-
стности, в том случае, когда самолет обладает нейтральной устой-
чивостью по углу атаки и скольжения, т. е. т = п/у = 0. Тогда
при крене у == 90° угол атаки самолета а0 «переходит» в угол
скольжения р, а при у = 180°, р — 0, а — —а0 и т. д. (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Периодическое изменение углов атаки и скольжения при вращении
самолета относительно неподвижной в пространстве оси ОХ

Члены, определяющие кинематическое ^взаимодействие, входят
в уравнения для а' и р' в виде произведений P<ov,

В общем случае ось ОХ в процессе кренения самолета пере-
мещается и поворачивается в пространстве и изменения углов
атаки и скольжения носят более сложный характер.

Инерционное взаимодействие. В уравнения моментов (урав-
нения для производных coz, со^, (Ох) входят члены, содержащие
произведения угловых скоростей вида Лоцсо^, B(oxcoz и Са)^(ог.
Физический смысл этих членов в уравнениях движения состоит
в том, что они учитывают появление центробежных инерционных
моментов при вращении летательного аппарата относительно оси,
не совпадающей с главной осью инерции. В результате движение
самолета в общем случае становится взаимосвязанным, если вектор
угловой скорости не совпадает ни с одной из главных осей инер-
ции. При этом, поскольку при маневрах самолета наибольшей
по величине угловой скоростью обычно является угловая скорость
крена, то наиболее существенно влияние инерционных моментов,
действующих относительно осей 0Z и 0Y.

Влияние инерционного взаимодействия на динамику самолета
при выполнении маневров крена часто весьма велико. В большой
степени особенности пространственного движения, движения сва-
ливания и штопор самолета обусловлены именно этим видом вза-
имодействия.

Влияние гироскопического момента двигателя. Вращающийся
ротор турбореактивного двигателя самолета с кинетическим мо-
ментом /двСОдв представляет собой гироскоп и, как всякий гиро-
скоп в ответ на приложенный к нему некоторый внешний момент,
приводящий его к повороту с угловой скоростью (0, стремится
прецессировать в ортогональном направлении либо создает мо-
мент

^гир “ ^дв^дв X

Для учета влияния гироскопического момента двигателя
в правые части уравнений пространственного движения самолета
•	/ /двСОдвСОг \

следует добавить: в уравнение для член ----------------j---у,

а в уравнение для член —двудвС0^ . Наличие гироскопического
момента двигателя приводит к тому, что при выполнении маневра
по тангажу у самолета появляется также и рыскание, а при изме-
нении угла рыскания одновременно начинает меняться и угол
атаки. При маневрах крена влияние гироскопического момента
двигателя мало, приводит к некоторой несимметрии движения
самолета в зависимости от направления кренения (влево или
вправо) и далее в работе учитываться не будет. В каждом кон-
кретном случае его учет не представляет труда.

Таким образом, из рассмотренных основных причин взаимо-
действия простейших форм движения самолета (продольного
и бокового) главными оказываются инерционное, кинематиче-
ское и аэродинамическое взаимодействия. При этом в инерционном
взаимодействии основное значение имеет форма эллипсоида инер-
ции самолета. При вытянутом эллипсоиде инерции, характерном
для современных самолетов и других крылатых летательных
аппаратов, разности моментов инерции (/у — /А) и (/z — 1Х)
оказываются большими величинами. Это заставляет при иссле-
довании движения самолета анализировать полные уравнения
движения в нелинейной форме, так как в этом случае опускать
члены, содержащие произведения угловых скоростей, оказывается
недопустимым.

§ 5.	УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ВРАЩЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ

Рассмотрим устойчивость движения самолета при
вращении с постоянной угловой скоростью относительно продоль-
ной оси. Решение этой модельной задачи было впервые выполнено
Филлипсом [49] и независимо от него, но значительно позже,
авторами в работе [12]. Исследование этого случая движения
самолета следует выделить, так как оно послужило базой, на
основе которой была развита в дальнейшем теория пространствен-
ного движения.

Рассмотрим устойчивость движения самолета при вращении
его относительно продольной оси ОХ с постоянной угловой ско-
ростью крена сох = Й = const. Будем считать, что в процессе
установившегося вращения с угловой скоростью Й скорость по-
лета остается неизменной (V = const), и угол тангажа самолета
не успевает существенно измениться, так что можно приближенно
принять cos ~ 1,0.

Для исследования устойчивости «в малом» преобразуем урав-
нения (2.9) к уравнениям в вариациях, линеаризовав их относи-
тельно некоторого установившегося движения, особенностью ко-
торого является наличие угловой скорости крена = Й, и
обозначим параметры этого режима индексом нуль. При малых
отклонениях от установившегося режима параметры движения
можно представить в следующем виде:

а = а0 Ч~ Аа; coz согО Ц- Acoz;

Р — Ро Ч" АР; — со^о Асо^;

= й = const; у — рЙт.

Параметры ос0, ро, со2О и т. д. являются известными функциями
времени, определяемыми из уравнений исходного движения. Под-
ставим значения выражений (5.1) в основную систему уравнений
(2.9) и произведем их линеаризацию. Система уравнений для
исходного режима установившегося вращения имеет следующий
вид:

«6 =-------f- «о + ро)2О — .иЙро--------п cos у;

со2о = —рЛЙсо^о +	+ "Фг +	;

с?	саа

ро = рй>£/0 4" ЦЙ(ао 4" аг) Ч—п- Ро Ч—।------У~^ ” s*n V’ (^*2)

а'уС = }iBQc£>2o Ц-	+ туд„;

<oio =	+ рСсЬ^го + тх°6э.

Из (5.2) следует, что для получения установившегося вращения
с сох = Й необходимо в общем случае переменное по времени
отклонение органов управления, чтобы скомпенсировать влияние
изменений параметров движения самолета. Уравнение моментов,
Устойчивость Движения при =~ const 43

действующих на самолет относительно оси ОХ, может автомати-
чески удовлетворяться при 6Э = const в случае, если

(5.3)

Этот случай фактически и рассматривается далее.

Система уравнений в вариациях после пренебрежения членами
второго порядка малости будет иметь вид

а' = — а + рсо2 — pQp;

(5' = m^(bz |- mz6a — ЛрПсо/,	(5.4)

СР

Р' — -у- Р +

-= m^p + frtytby + Bp,Qcoz.

(Знак приращения А для сокращения записи — опущен).

Отметим, что в систему уравнений в вариациях (5.4) не вошли
значения параметров исходною режима полета и члены от грави-
тационных сил. Таким образом, независимо от вида управляемого
движения самолета, описываемого решением системы уравнений
(5.2), если выполняются соотношения (5.3), устойчивость его дви-
жения определяется системой линейных уравнений (5.4) с по-
стоянными коэффициентами.

Преобразуем уравнения (5.4) к системе двух уравнений вто-
рого порядка для переменных а и р. Выполнив элементарные
преобразования, получим уравнения возмущенного движения
самолета:

(Ct \	/	— сс	\

Су I гу' I ! ,1Лма т2бСу Д .,202)
2 /	2	S-i	I	(X	—

/	со	\

+ (1 + Л)ПрР' - А-^ЛpQp = O; (5.5)
\	/

Р" + (-m? - f/ +	+ ^ - W Р -

/ й с* \

— (1	4~ \ туУ ~ В-%- ) uQa = 0.

Из уравнений (5.5) видно, что вращение самолета с постоянной
угловой скоростью крена Q = const привело к взаимосвязи воз- ।
мущенных движений по углу атаки и скольжения, степень которой
возрастает пропорционально квадрату угловой скорости крена.

При малых угловых скоростях крена уравнения с точностью
до величин второго порядка разделяются на независимые урав-
нения для угла атаки и угла скольжения.

Определим условия устойчивости решений системы уравнений
(5.5). Произведя необходимые выкладки, получим выражение для
характеристического уравнения системы уравнений движения
(5.5) в следующем виде:

V Л3Х3 + ЛЛ2 -h ЛД + Ло — 0,	(5.6)

где коэффициенты Л3, Л2, ЛА и Л() являются функциями величины
угловой скорости вращения по крену Q и аэродинамических
характеристик самолета:

-	Д’»

Л3 = -f- -	(5.7)

Для устойчивости движения необходимо, чтобы все действи-
тельные части корней характеристического уравнения (5.6) были
отрицательными. На основании критерия Рауса — Гурвица можно
записать условия устойчивости движения

Л3 >0; Л2 > 0; А1 >0; Ло > 0;

(5.Н)

R = Лз (Л2Л1 — Л3Ло) — Л? > 0.

Из выражений (5.7) и (5.8) следует, что для устойчивого самолета
условия Л3> 0 и Л2 > 0 выполняются при всех значениях угло-
вой скорости крена. Расчеты также показывают, что в этом случае
и условие R > 0 также обычно выполняется для всех значений Q.
Остается единственное условие устойчивости Ло > 0, которое
в зависимости от величины Q может либо удовлетворяться, либо
не удовлетворяться. Это условие, поскольку оно связано со знаком
свободного члена, является условием апериодической устойчи-
45

вости движения самолета при вращении с постоянной угловой
скоростью относительно продольной оси и подробно будет анали-
зироваться ниже. При Ао < 0 неустойчивое движение самолета
имеет апериодический характер.

§ 6. КРИТИЧЕСКИЕ УГЛОВЫЕ
СКОРОСТИ КРЕНА

При вращении самолета с постоянной величиной угло-
вой скорости крена (сох = Q) условие устойчивости Ао > 0 в раз-
вернутом виде записывается следующим образом:

_ до2,, \ Шгб 2р. /	А~' И J	1	г у J	РО2и _1  \ ту И о.. ]	ь-- М 4  - \ _

Как это следует из выражения (6.1), основным фактором,
определяющим устойчивость движения, является соотношение
между запасами статической устойчивости самолета по углу
скольжения niy и углу атаки т^б и величинами, пропорциональ-
ными квадрату угловой скорости вращения самолета относительно
продольной оси. В связи с этим, определим вид границ областей
устойчивости движения самолета в зависимости от величины Q
на плоскости с координатами /й^, mf. Как это следует из условия
(6.1) границей области устойчивости в таких координатах яв-
ляется гипербола, описываемая соотношением

К = КоО?, Ко 4" "2“) В 2 j ’

Примеры границ областей устойчивости для различных вели-
чин угловой скорости крена приведены на рис. 6.1. Из выраже-
НИИ (6.2) и (6.3) следует, что гиперболы в координатных осях
(т“б, 0, т^) имеют асимптоты, описываемые уравнениями

-т“б = XpQ2 +	« Лрй2;	(6.4)

-т* = BpQ2 -	ж В^.22.	(6.5)

В тех областях, где значения т^б и существенно отличаются
друг от друга, гиперболы приближаются к своим асимптотам
(см. рис. 6.1). Отсюда, в частности, следует, что в этих областях
значений параметров статической устойчивости самолета можно
пользоваться приближенными критериями устойчивости, заменяя
уравнение гиперболы уравнениями ее асимптот. На основании
этих же соображений можно получить приближенные выражения
для угловых скоростей крена, называемых критическими, при
которых происходит потеря устойчивости рассматриваемого дви-
жения самолета. Используя уравнения асимптот (6.4) и (6.5),
получим

<б-6>

<е-7>

Формулами (6.6) и (6.7) целесообразно пользоваться при про-
ведении предварительного анализа устойчивости в тех весьма
распространенных случаях, когда запасы продольной и боковой
устойчивости самолета существенно отличаются, а демпфирование
движения не слишком велико. Подробный анализ геометрических
свойств границ областей устойчивости на плоскости (т%, т£)
содержится в работе [11].

Рассмотрим упрощенную физическую картину движения само-
лета при соЛ. — со = const [И]. При вращении самолета относи-
тельно оси, не совпадающей с главной осью инерции и составля-
ющей некоторый угол с вектором скорости V, на него будет дей-
ствовать, кроме аэродинамического момента устойчивости, инер-
ционный момент от центробежных сил, который легко можно
приближенно оценить, если предположить, что вся масса самолета
распределена вдоль осей ОХ и OZ (рис. 6.2). Производя суммиро-
вание (интегрируя) по всей массе самолета, распределенной
вдоль осей ОХ и 0Z, получим выражение для полного инерцион-
ного момента

Яин^(/г-Л)<02р.

(6-8)
47

Рис. 6.1. Пример границ областей
устойчивости движения самолета
при установившемся вращении по
крену (Q = const)

Рис. 6.2. Упрощенная схема дейст-
вия моментов на вращающийся по
крену самолет, обладающий боль-
шой продольной устойчивостью

Аналогичное соотношение можно получить, если рассматривать
отклонение самолета по углу атаки а и определять инерционный
момент, действующий относительно оси 0Z

Mz ИН — у	Iх) ®

(6.9)

Оба момента, вычисленные таким образом, пропорциональны
углам отклонения (Р или а) и стремятся их увеличить.

Рассмотрим движение самолета по углу скольжения, пред-
полагая, что степень его устойчивости по углу атаки настолько
велика, что угол атаки во время движения можно считать неизмен-
ным. При вращении самолета с постоянной угловой скоростью
крена со = const на него кроме аэродинамического стабилизиру-
ющего момента действует дополнительный дестабилизирующий
момент, выражение для которого было получено ранее, пропор-
циональный квадрату угловой скорости крена, который умень-
шает «эффективную» степень статической устойчивости самолета.
Очевидно, что потеря устойчивости произойдет тогда, когда
инерционный момент окажется больше^стабилизирующего аэро-
динамического момента. Следовательно, существует некоторое
критическое значение угловой скорости крена, которое можно
определить из условия, что самолет по углу скольжения (при
анализе продольного движения по углу атаки) является ней-
трально устойчивым, т. е.

d

(Му ин 4“ Му аор) — о.
Условие нейтральной устойчивости может быть записано
в виде

(/2 - 1Х) ю2 + tn^qSl = 0.	(6.10)

Из этого соотношения следует приближенная формула для
критической угловой скорости крена, при которой возможна
потеря устойчивости движения самолета по углу скольжения
(по рысканию):

1 У —nfi.qSl

**=1/т^Ь	<6J1)

Аналогично, если степень статической устойчивости самолета
по углу атаки много меньше устойчивости его по углу скольже-
ния (т. е. можно считать, что во время движения (3	0), то усло-

вие нейтральной устойчивости движения по углу атаки самолета,
вращающегося по крену, запишется в виде равенства

(1У - Л) со2 + miqSbA = 0,	(6.12)

откуда легко получить приближенное выражение для критиче-
ской угловой скорости крена, при которой возможна потеря
устойчивости движения самолета по углу атаки (по тангажу):

1 /" —rn^qSb д

<блз>

Во всех приведенных ранее рассуждениях существенным было
принятое за основу исходное движение самолета, при котором
самолет вращается относительно вектора угловой скорости и как
бы «проскальзывает» по некоторому конусу, образованному вра-
щением оси ОХ вокруг вектора скорости, соответствующему
в примере с движением по скольжению неизменному углу атаки,
а в примере с движением тангажа — неизменному углу скольже-
ния. Для того, чтобы такое исходное движение могло возникнуть,
необходимо, чтобы величина собственной частоты колебаний са-
молета (в примере с движением по углу скольжения это частота
продольных колебаний, а с движением по углу атаки — частота
боковых колебаний) была значительно больше угловой скорости.
Нетрудно убедиться, что формулы (6.11) и (6.13) после приведе-
ния их к безразмерному виду совпадают с выражениями (6.7)
и (6.6) для асимптот.

Построение областей устойчивости на плоскости параметров
и йг\ удобно при анализе устойчивости, когда параметры
летательного аппарата либо не определены, либо могут в неко-
тором диапазоне варьироваться. В тех же случаях, когда аэро-
динамические параметры самолета заранее определены, для ана-
лиза устойчивости удобно провести построение графика завися-
49

Рис. 6.3. Пример зависимости

свободного члена характеристи-

ческого уравнения

соотношения запасов продоль-
ной и путевой устойчивости са-

-2 Ло (й) ОТ

молета

Рис. 6.4. Пример зависимости
свободного члена —Ло (Q) от ве-
р,
личин аэродинамического демп-
фирования самолета

Ар

0,075

0,05

0,025

О

-0,025

мости Ло (Q), используя одно из условий (5.11). На таком гра-
фике особенно четко виден смысл введенных ранее критических
угловых скоростей крена. Поскольку А и В положительные
числа, то для статически устойчивого самолета всегда выполняются
соотношения

Ло(О)>О; Л0(О-^оо)>0.

(6.14)

с другой стороны (Q2) является параболой по переменной
х = Q2, которая, как это следует из выражений (6.10), может
иметь либо два, либо ни одного нуля, либо один нуль в особом
случае касания кривой Ло (Q2) оси абсцисс. В качестве примера
на рис. 6.3 и 6.4 построены зависимости — Л() (й) для различ-
ие-

ных соотношений между т^б и ту и разных коэффициентов демп-
фирования. Из этих рисунков, видно, что введенные ранее с по-
мощью соотношений (6.6) и (6.7) критические угловые скорости
кРена соа, «р соответствуют нулям функции Ло (Q), в которой
все члены демпфирования равны пулю. При реальных значениях
КоэФфициентов демпфирования, когда самолет не имеет демпфе-
Р°н колебаний, приближенные значения критических угловых
скоростей, определенные по формулам (6.6) и (6.7), близки к ну-
лям функции Ло (Q).

Выражение для нулей функции Ло (Q) может быть получено
в явном виде. Для этого, рассматривая в качестве искомого пара-
метр Q2, преобразуем выражение для Ло (Q) к виду

№)’ -[<+>-“ °' <6-15)

откуда следует, что

Ко 1
ЛВр,2_

.	1 1/ Г Xi ,	Ко I2 4Х1У1

— 2 V L Вр ЛВр2]	Л Яр2 *	'

Для случая малого демпфирования при существенно разли-
чающихся между собой значениях критических скоростей крена
из формулы (6.16) можно получить уточненное приближенное
выражение для критических скоростей крена в удобном для вы-
числений виде. Используя введенные ранее обозначения, запишем

<6Л7>

Пренебрегая в соотношении (6.16) малым членом ( /£° 2 ¥ под
радикалом и сохраняя только первый член представления квадрат-
ного корня в виде ряда Тейлора, получим

(0(х —— (Oct	1 ~  (0|*	Юр	1 -	Ко	1  2AW (й2а-й|)  Ко	1	;	(6.18)  (6.19)
	2AW (S2-g)	

Формулы (6.18) и (6.19), с учетом сделанных ранее замечаний
о малости демпфирования, хорошо согласуются с расчетом. Из
этих формул, в частности, видно, что демпфирование сближает
нули функции Ло (Q). Например, в случае, когда (оа > (Ор, из
выражений (6.18) и (6.19) следует, что

(Ор (оа > (оа.

(6.20)

Поскольку величины коэффициентов демпфирования обычно
малы, то условия устойчивости самолета могут быть записаны
в виде неравенств, из которых следует, что движение устойчиво
в тех случаях, когда угловая скорость крена лежит вне зоны
критических угловых скоростей:

Q < min (йа, йр),
51

либо

Q>^inax(«’, (Ор).

(6.21)

В соотношении (6.21) знак min означает меньшее, а знак max
большее из двух (Ор, которые являются нулями функции
Ло ($)•

Хорошей иллюстрацией отмеченных ранее явлений может быть простой опыт
с моделью самолета. Модель самолета, основная масса которой сосредоточена
в фюзеляже, подвешивается на резинке, так что вес модели компенсируется силой
натяжения резины. При отклонении на углы аир модель будет совершать ко-
лебания относительно центра масс под действием восстанавливающей силы 7\
равной весу модели (рис. 6.5). Закрутим резину и отпустим модель. При слабой
закрутке резины модель самолета будет медленно вращаться относительно глав-
ной оси инерции ОХЪ почти не отклоняясь от вертикали. Если резина предва-
рительно сильно закручена, угловая скорость вращения модели будет большой
и достигнет критической величины, при этом пространственный «угол атаки»
начинает возрастать и модель, вращаясь, «описывает» в пространстве конус,
т. е. наблюдается как бы потеря устойчивости движения «в малом».

Такое движение модели близко к движению самолета при установившемся
вращении по крену с той лишь разницей, что степень устойчивости у модели при
движении относительно осей 0Y и 0Z одинакова, а у самолета она обычно раз-
лична.

Отметим, что угловая скорость вращения модели после достижения кри-
тического значения практически не возрастает, так как изменение пространствен-
ного «угла атаки» модели в области критической скорости действует подобно
центробежному регулятору (регулятору Уатта).
При увеличении угловой скорости «угол атаки»
возрастает, что приводит к увеличению момента
инерции груза на резине относительно оси 0%>
и собственно тормозит развитие угловой скоро-
сти вращения.

Проведенный анализ позволяет сде-
лать следующие выводы.

1.	Движение аэродинамически устой-
чивого самолета при вращении с угло-
вой скоростью крена может стать не-
устойчивым в некотором диапазоне
значения угловой скорости.

2.	Потеря устойчивости обусло-
влена действием на самолет дестаби-
лизирующих инерционных моментов,
возникающих при его вращении отно-
сительно оси, не совпадающей с глав-
ной осью инерции.

3.	Для правильного анализа дина-
мики самолета при движении, сопро-

Рис. 6.5. Иллюстрация движения самолета при
Установившемся вращении по крену на опыте
с моделью самолета
вождающемся вращением относительно продольной оси, необхо-
димо рассматривать нелинейные уравнения пространственного
движения с сохранением членов, содержащих произведения пара-
метров движения на угловую скорость крена.

§ 7.	ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС ПРОДОЛЬНЫХ

И БОКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

Как известно [13], основные характеристики бокового
движения, такие как частота колебаний и декремент затухания,
могут зависеть от величины угла атаки самолета, однако малые
вариации угла атаки оказывают несущественное влияние на боко-
вое движение самолета так же, как малые вариации параметров
бокового движения не влияют на угол атаки. Картина существенно
изменяется, если выполняются определенные соотношения между
собственными частотами продольных и боковых колебаний. В этом
случае энергия продольных колебаний передается боковым ко-
лебаниям и может реализоваться параметрический резонанс
[29, 48]. При этом роль переменного параметра играет угол атаки,
который изменяется с частотой продольных колебаний, а пере-
менной, колебания которой при этом возбуждаются, является
угол скольжения самолета. При слабом демпфировании движения,
что может быть при полете самолета на большой высоте, вслед-
ствие параметрического резонанса возможно интенсивное нара-
стание амплитуды боковых колебаний, т. е. практическая потеря
устойчивости движения самолета.

В работе [29] рассмотрены условия реализации параметри-
ческого резонанса такого типа и влияние аэродинамических
характеристик самолета и условий полета на возможность его
возникновения.

Анализ строится на рассмотрении упрощенных уравнений
короткопериодического продольного и бокового движений, ис-
пользуемых при анализе быстрых составляющих возмущенного
движения.

Рассматривая движение в полусвязанной системе осей коорди-
нат, можно определить в этой системе координат угловую ско-
рость летательного аппарата и производные аэродинами-
ческих моментов. При преобразовании уравнений возмущенного
движения будем пользоваться обозначениями, приведенными
в табл. 7.1. С учетом этих обозначений боковое движение само-
лета будет описываться уравнениями

Р = cos Да 4- Q? sin Да -j-

= йрР +	(7.1)

Qv = ovp +	+ A/Jvq?.
53

Таблица 7.1

Формулы для вычисления параметров бокового движения
самолета в полусвязанной системе координат

Угловые скорости вращения относительно полусвязанной системы координат	Эффективные коэффициенты аэродинамической устойчивости в полусвязанной системе координат
Йф -= (Ну cos а0 + сох sin сс0  = сох cos а0 — (ду sin а0	о» — Vlp cos а0 + ТИР sin а0 д? = AjP cos	sin a0

Демпфирующие моменты относительно связанной системы координат, возникающие
при вращении самолета относительно полусвязанной системы координат

—Q t	— (o	—co  /И Ф = Л4 У cos an + M y sin ac  У	У	v	у	v  МУ = Мух cos а0 — МуУ sm а0	Мх^ = Мхх sin а0 4~ МхУ cos ао  М&У — М™х cos а0 — М™у sin а0

Эффективные демпфирующие моменты в полусвязанной системе координат

лА = дА cos ап + лА sin ап ip	у	*	л	и  — Q	—й	—й  = МуУ cos ас + МХУ sin а0		О ,	—О ,		Q .  cos а0 — My'b sin сс0  	Q		Q		Q  = МхУ cos а0 — МуУ sin а0

Изменение угла атаки самолета сказывается на колебательной
составляющей бокового движения. Наиболее благоприятные усло-
вия для возникновения резонанса имеют место в случае малого
демпфирования движений. При малом демпфировании бокового
Движения приближенно выполняется соотношение между состав-
ляющими Qq, угловой скорости:

= «пр («о) = const.	(7.2)

Ор

Введем обозначения:

соро == I * °р(ао)»	(7 -3)

др (а) = —соро (1 + Д’ Да),

гДе cof3o — приближенное выражение для частоты боковых ко-
лебаний;
da

1

<х-а0 ар (ао)

(7-4)

Ер =----j- Z& -|“ ^прЛ4^)а=ао ’

(7-5)

£р — приближенное значение коэффициента демпфирования бо-
ковых колебаний.

С учетом обозначений (7.2)—(7.5) уравнения (7.1) приводятся
к виду

0 = <Ml+xnpAa)+Zp0;	(7.6)

®р (1 + К Да) 0 - (2Ер -г Z₽).

Введем новую переменную

«(/) = (! -фхпр Да)-1/2 0(0.

(7-7)

Переменная и (t) приближенно будет определяться как ре-
шение уравнения

й

2tpfz + сд|0

1 + (К + хпр) Да -|- хпр

Ad

2<4о

и~0.	(7.8)

Если считать демпфирование продольных колебании пренебре-
жимо малым, то уравнение продольного движения можно запи-
сать в виде

2

Да Ц- соа0 Да = 0.

(7.9)

Амплитуда боковых колебаний может или нарастать, или
оставаться ограниченной — в зависимости от соотношения между
частотами боковых (сор0) и продольных (соаО) колебаний.

При — 0 и Да ?= Дашах cos соаО/ уравнение, описывающее
боковое движение, принимает вид

2

й + (Ор (1 4~ a cos (оао0 и 0,	(7.10)

где

(7 - I 1\ —j— XjjQ %пр

(°2 л \

а0 |

2(0рд /

△агаах.

(7-11)

Резонансные значения частот, соответствующие неустойчивым
решениям уравнения (7.10), могут быть определены с помощью
диаграмм устойчивости и неустойчивости решений уравнения
55

Матье (рис. 7.1). В случае а |	1 области резонансных частот

можно определить из приближенных соотношений:

при п « 1

(7.12)

при п ~ 2

4 +	1V<	< 4+ ( 2 _|_ Лй2 и т. д.»

\ з /	\ Шао )	X 3	/

2со во
где п = —.

Наиболее интенсивное нарастание амплитуды боковых коле-
баний может происходить в случае главного резонанса (n = 1),
когда колебания по углу атаки происходят с частотой в два раза
большей, чем частота собственных колебаний бокового движения:
ша0 = 2(0р0. С ростом числа п эффект резонанса ослабляется.

Остановимся кратко на физических причинах потери устой-

чивости самолета при развитии параметрического резонанса для
наиболее простого случая n= 1. Пусть под действием внешнего
возмущения (например, порыва ветра) начались колебания са-
молета по рысканию и углу атаки, причем период колебаний по
сс в два раза меньше, чем по р. Будем для определенности
рассматривать случай, когда степень устойчивости самолета по
рысканию убывает при возрастании угла атаки. Тогда при оп-
ределенном соотношении фаз колебаний по а и Р максималь-
ные значения Аа (Аа>0) будут совпадать с максимумами и
минимумами р, т. е. в моменты, когда р приближается к своим
экстремальным значениям, степень устойчивости убывает, что

и приводит к возрастанию ампли-
туды колебаний.

Можно показать, что ширина
полосы резонансных частот, а сле-
довательно, и вероятность реализа-
ции резонанса, с ростом п сущест-
венно уменьшается. Таким образом,
в случае | а ] I имеет смысл рас-
сматривать только первые области
неустойчивости (п = 1,2).

На рис. 7.2 показан качествен-
ный характер изменения р в случае

7.1.	Приближенные области устойчи-
сти решений уравнений Матье

б а
56

Взаимодействие продольного и бокового движений

Рис. 7.2. Зависимость вида движения от соотношения параметров при отсут-
ствии демпфирования продольных и боковых колебаний:

а — устойчивое движение

б — граница устойчивости

2юР
“а

о

в — неустойчивое движение

1
“а

Рис. 7.3. Зависимость вида движения от параметров при наличии демпфирования
боковых колебаний:

а

2(ор

Ml.

4 ’

в---------

(00

2(1 (3

2(.р

<°а

Ml.

4

(0о

М_|

4

<о,

20 ft

"’а

1

4

б



1





М| .

4	’

I А |

4



4



4

главного резонанса в зависимости от того, попадает соотноше-
ние частот боковых и продольных колебаний в резонансную
область или нет.

Демпфирование боковых колебаний приводит к тому, что
часть энергии колебаний по углу атаки, которая передается бо-
ковому движению, рассеивается. Если демпфирование достаточ-
57

но эффективно, то параметрического резонанса вообще не
будет.

Можно показать также [29], что демпфирование сужает по-
лосу резонансных частот. В частности, при выполнении нера-
венства

или, что то^же самое

wao

△ашах »

| ^пр

(7-13)

области неустойчивости исчезают.

Таким образом, неравенство (7.13) может служить достаточ-
ным условием отсутствия параметрического резонанса продоль-
ных и боковых колебаний самолета. Качественный характер
изменения р (t) при наличии демпфирования в случае главного
резонанса [показан на рис. 7.3.

Так как величина £р/соаО зависит от условий полета и опре-
деляется главным образом плотностью атмосферы, то с помощью
соотношения (7.13) можно оценить высоту полета, ниже кото-
рой параметрический резонанс в движении самолета не мо-
жет быть реализован. Отношение £р/<оаО можно представить
в виде

^р/^аО I Р ’

где зависит только от аэродинамических характеристик са-
молета.

Если выполняется неравенство

P(W)

A&max I Ипр К \ \2

(7.14)

то движение самолета [устойчиво. Для типичных характе-
ристик современного маневренного самолета из этого условия
следует, что параметрический резонанс возможен только на
высотах полета Н > 15 км, т. е. практически маловероя-
тен.

Если продольное движение самолета демпфируется, то коле-
бания по углу атаки с течением времени затухают:

△а = Аатахе cos соа(/.

(7.15)
Характер боковых колебаний будет определяться уравнениями
вида (7.8) или (7.10), только в этих уравнениях а — функция вре-
мени.

Очевидно, что условия возникновения резонанса с некото-
рым приближением будут аналогичны условиям, полученным
ранее. Характер бокового движения при малых £а представляется
следующим образом.

» • Амплитуда боковых колебаний нарастает до тех пор, пока
выполняется резонансное соотношение между частотами. В не-
который момент времени (поскольку а (I) убывает) резонансное
соотношение нарушается. Начиная с этого момента, амплитуда
боковых колебаний перестает нарастать. Если боковые колеба-
ния демпфируются, то амплитуда колебаний по р убывает. Если
в начальный момент времени резонансное соотношение между
частотами не выполняется, то колебания по углу атаки прак-
тически не сказываются на боковом движении. Более подробно
особенности движения самолета при резонансных соотношениях
собственных частот продольных и боковых колебаний излагаются
в работе [29]. Приведенные материалы показывают, что реали-
зация параметрического резонанса на практике маловероятна,
поскольку требуется одновременно вполне определенное соотно-
шение частот и пренебрежимо малое демпфирование продольных
и боковых колебаний.
Г л А в А

3

Исследование движения самолета методами
качественной теории дифференциальных уравнений

Основным математическим аппаратом, на основе которого обычно
производится анализ динамики самолета, являются аппарат
теории линейных дифференциальных уравнений, метод преобра-
зований Лапласа, частотные методы и т. д. Для исследования
динамики летательного аппарата в общей постановке, т. е. когда
учитываются большие возмущения и рассматриваются нелинейные
уравнения движения, эти методы становятся неприемлемыми.
В настоящее время нет аналитических методов, позволяющих
находить решения нелинейных уравнений движения летательного
аппарата. Для описания основных свойств решений этих уравне-
ний и выявления их особенностей в настоящей работе будут
привлечены методы качественной теории дифференциальных урав-
нений. Необходимо, однако, отметить, что методы качественной
теории дифференциальных уравнений используются главным обра-
зом для анализа уравнений второго порядка и значительно меньше
они разработаны для дифференциальных уравнений более вы-
сокого порядка. В настоящей работе делается попытка исполь-
зовать некоторые из имеющихся в этом направлении результатов,
главным образом, с целью проведения классификации возможных
видов пространственных движений самолета. К таким резуль-
татам, в первую очередь, можно отнести общие представления
о структуре решений нелинейных дифференциальных уравнений,
понятия особых точек, сепаратрисных поверхностей и т. д. Все
необходимые сведения и формулировки в рамках используемого
в работе математического аппарата приводятся в настоящей
главе.

Будем считать, что за рассматриваемое время скорость и вы-
сота полета самолета практически не изменяются и влиянием
Действия гравитационных сил на движение самолета относительно
Центра масс можно пренебречь. Если дополнительно предполо-
жить, что на рассматриваемом интервале времени рули находятся
в некотором неизменном положении, то правые части уравнений
Движения самолета будут зависеть только от параметров движе-
иия и не будут в явном виде зависеть от времени. Такие системы
Уравнений относятся к так называемым автономным или дина-
мическим системам, анализ свойств решений которых возможен
с использованием методов качественной теории дифференциальных
уравнений 12, 4, 10, 19, 20].

Методы качественной теории дифференциальных уравнений
позволяют представить возможные виды движения, описываемые
нелинейными уравнениями, в частности, выявить все возможные
установившиеся движения и зависимость движения от начальных
условий по фазовым координатам. Знание свойств возможных
видов движений для различных сочетаний отклонений органов
управления (на постоянную величину) позволяет представить
характер движения самолета при простейших законах управле-
ния — путем ступенчатых отклонений органов управления. Зна-
ние закономерностей движения самолета при таких управлениях
позволяет более правильно построить методику расчетов на ЦВМ
произвольного управления самолетом.

§ 8.	ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ
качественной теории дифференциальных
УРАВНЕНИЙ к АНАЛИЗУ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

В общем случае уравнения движения самолета могут быть записаны в виде
Xi = ft (хъ ..., хп), i 1, п.	(8.1)

Переменные хъ ..., хп, представляющие собой величины угловых скоростей,
углы атаки и скольжения самолета и т. д., можно рассматривать как координаты
точки /г-мерного фазового пространства. Поскольку в правые части уравнений
(8.1) не входит в явном виде время, то из системы дифференциальных уравнений
его всегда можно исключить и тем самым понизить их порядок при условии, что
одновременно не все правые части уравнений обращаются в нуль. В результате
такой операции получаются дифференциальные уравнения, не содержащие
время, интегралы которых определяют связи между фазовыми координатами
(хь ..., хп), выполняющиеся во все время движения. Получающиеся при этом
картины движения на фазовой плоскости для уравнений второго порядка либо
в фазовом пространстве, если порядок уравнений выше второго, описывают
движение, в частности, указывают на области устойчивого и неустойчивого дви-
жения, на периодические движения и т. д. Практическое выполнение описанного
выше построения траекторий движения в фазовом пространстве в большинстве
случаев столь же сложно, как и нахождение решений исходных уравнений
в общем виде.

Основные представления о характере фазовых траекторий можно получить,
если рассматривать правые части системы уравнений (8.1) как компоненты век-
тора f (xi, ..., хп), выходящего из точки х{, ..., хп (рис. 8.1). Таким образом,
системе уравнений (8.1) ставится в соответствие некоторое векторное поле. В этом
векторном поле вектор / определяет фазовую скорость, поскольку его компонен-
тами являются величины производных от координат. Во всех точках простран-
ства фазовые траектории направлены по касательной к вектору f. На этом осно-
ваны некоторые приближенные методы построения фазовых траекторий. Дейст-
вительно, начав в некоторой точке фазового пространства xi, ..., хп> можно с по-
мощью уравнений (8.1) вычислить компоненты вектора f и передвинуться на не-
которое расстояние в направлении этого вектора. Повторяя последовательно эту
процедуру при достаточно малых «шагах» изменения параметров (хх, хп)>
Особенности анализа пространственного движения самолета

61

Рис. 8.1. Иллюстрация понятий, связан-
ных с анализом фазовых траекторий

можно с необходимой точностью по-
строить всю фазовую траекторию.

Как для вопросов устойчивости, так
и для общего качественного анализа диф-
ференциальных уравнений большое зна-
чение имеет исследование особых точек
или точек покоя системы уравнений (8.1).
Это те точки (xj, х*), для "которых
одновременно все правые части уравне-
ний обращаются в нуль, т. е.

Л(Ч..........xn) = 0. i= 1, . . п. (8.2)

Вид движения в окрестности особых точек для рассматриваемых задач ме-
ханики может быть получен путем нахождения решения уравнений, линеаризо-
ванных относительно параметров движения в этой точке. Основные свойства
решения линеаризированных уравнений определяются корнями соответствую-
щего характеристического уравнения. В этой связи и сами особые точки опреде-
ляются и классифицируются в зависимости от корней характеристических урав-
нений, линеаризированных относительно параметров в особой точке уравнений
движения. Прежде чем переходить к описанию свойств решений в окрестности
особых точек в n-мерном случае, сузим класс исследуемых динамических систем,
а именно, будем учитывать, что рассматриваемые нами механические задачи от-
носятся к так называемым «грубым системам». Понятие грубых систем [2, 4, 10,
19] заключается в следующем. Для того чтобы рассматриваемая динамическая
модель движения хорошо отражала свойства реального физического процесса,
необходимо, чтобы она была устойчива к малым изменениям параметров. Пре-
жде всего, у динамических систем, соответствующих физическим задачам, при
малых изменениях параметров в правых частях уравнений должна оставаться
неизменной качественная структура разбиения на траектории в фазовом прост-
ранстве. Системы, для которых это требование выполняется, называются грубыми
[2, 4, 19]. В грубых системах возможно конечное число особых точек и любые
сочетания корней характеристического уравнения в окрестности особых точек,
за исключением чисто мнимых и кратных корней. При определении зависимости
вида особых точек от параметров системы уравнений движения могут встречаться
особые точки, не удовлетворяющие условию грубой системы. Исследование дви-
жения летательного аппарата в окрестности негрубых особых точек практического
интереса не представляет, поскольку вероятность такого сочетания параметров
самолета в действительности нулевая и на практике такое движение не реализуется.

В работах [2, 4, 19] приводится классификация возможных в грубых си-
стемах видов особых точек для уравнений второго порядка в зависимости от корней

Z2 характеристического уравнения:

1)	Zn Z2 — действительные отрицательные (положительные). Состояние рав-
новесия, соответствующее этому условию, называется устойчивым (неустойчи-
вым) узлом. Характер фазовых траекторий виден из рис. 8.2;

2)	Zx. Z2 — комплексные с отрицательной (положительной) действительной
частью. Состояние равновесия называется устойчивым (неустойчивым) фокусом
(Рис. 8.3);

3)	Zb Z2 — действительные, разных знаков. Состояние равновесия назы-
взется седлом (рис. 8.4).

При увеличении порядка уравнений до третьего количество возможных ва-
риантов возрастает. Классификация и определения особых точек в зависимости
Рис. 8.2. Фазовые траектории в окрестности особой точки на плоскости:
а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел

Рис. 8.3. Фазовые траектории в ок
рестности особой точки на плоско
сти:

а — устойчивый фокус; б — неустой
чивый фокус

Рис. 8.4.
рестности

плоскости

Фазовые траектории в ок

седловой особой

точки

ня
Особенности анализа пространственного движения самолетй

бЗ

от корней характеристического уравнения для этого случая предложены в моно-
графии [19].

В соответствии с этой работой при анализе уравнений третьего порядка будем
пользоваться следующей классификацией и наименованием особых точек;

1)	Д-1» ^2>	— действительные отрицательные (положительные). Состояние

равновесия, отвечающее этому случаю, называется устойчивым (неустойчивым)
узлом и изображено на рис. 8.5;

2)	один из корней — действительный, два других — комплексные, причем
все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Соот-
ветствующее этому случаю состояние равновесия называется устойчивым (не-
устойчивым) фокусом (рис. 8.6);

3)	один из корней — действительный, два других — комплексные, причем
знаки действительного корня и действительной части комплексно сопряженных
корней разные. Этот случай соответствует состоянию равновесия, называемому
седлофокус (рис. 8.7, а, б);

4)	все корни — действительные разных знаков, что соответствует двум типам
состояний равновесия, называемым седлоузлом (рис. 8.8. а и б).

Далее будут рассматриваться нелинейные уравнения пятого порядка. Для
таких уравнений можно ввести понятия и определения особых точек по аналогии
с работой [19]. Классификация и наименование особых точек для уравнений пя-
того порядка, по-видимому, может быть принята и для общего п-мерного случая,
поскольку в ней фактически учтены все возможные сочетания действительных
и комплексных корней. Фазовое пространство пятого порядка уже не поддается
наглядному графическому представлению. В связи с этим, иллюстрации, которые
будут приведены ниже для этого случая, представляют из себя условные схема-
тические изображения функций пяти переменных на плоскости или в трехмер-
ном пространстве.

Итак, при анализе уравнений пятого порядка будем пользоваться следующей
классификацией и наименованием особых точек в зависимости от корней (Ль ...,
..., Х5) характеристического уравнения.

1.	Корни Хх, ..., Х5 — действительные отрицательные (положительные). Со-
стояние равновесия, соответствующее этому случаю, будем называть устойчивым
(неустойчивым) узлом. Характер фазовых траекторий аналогичен изображенному
на рис. 8.5, а, б.

2.	Три корня — действительные, два — комплексные, причем знаки дей-
ствительных корней и действительной части комплексно-сопряженных корней

а ~~

устойчивый узел; б—[неустойчивый узел
Приложение качественной теории дифференциальных уравнений

Рис. 8.6. Фазовые траектории в окрестности особой точки в трехмерном прост-
ранстве:

а - устойчивый фокус; б — неустончг вый фокус

Рис. 8.7. Фазовые траектории в окрестности особой точки в трехмерном про-
странстве типа седлофокус:

а — X > 0. ^<0;б-Х<0. В>0
отрицательные (положительные). Особую точку в этом случае будем называть
устойчивым (неустойчивым) узлом фокусом. Характер фазовых траекторий анало-
гичен изображенному на рис. 8.6, а, б с учетом усложнения картины при пере-
ходе к пятимерному пространству.

3.	Один корень — действительный (Z), две пары комплексных корней (£х ±
nh, £2 ± причем знаки действительного корня и действительных
Частей комплексно-сопряженных корней отрицательны (положительны). Особую
точку в эгом случае будем называть устойчивым (неустойчивым) фокусом. Харак-
тер фазовых траекторий иллюстрируется на рис. 8.9.

4.	Один корень — действительный (Л), две пары комплексных корней (§г ±
-г Н2 ± ПЪ»), причем знаки действительной части одной или обеих пар комп-
лексно-сопряженных корней противоположны знаку действительного корня.
Состояние равновесия (особую точку) в этом случае будем называть седлофоку-
сом. Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки иллюстрируется
на рис. 8.10.

5.	Три корня — действительные (Хх, Х2, л3), два — комплексные (§ + л]),
причем действительные корни имеют различные знаки. Состояние равновесия
(особую точку) в этом случае будем называть седло-узел-фокус. Характер фазовых
траекторий в окрестности особой точки показан на рис. 8.11.

6.	Три корня — действительные, два — комплексные, причем действитель-
ные корни имеют одинаковые знаки, отличные от знака действительной части
комплексно-сопряженной пары корней. Особую точку в этом случае будем на-
зывать ссдлофокусом.

Характер фазовых тракеторий для этого случая анатогичен изображенному
на рис. 8.7.

7.	Все корни — действительные, разных знаков. Особую точку в этом слу-
чае будем называеть седлоузлом. Характер фазовых траекторий для этого случая
аналогичен изображенному на рис. 8.8.

На всех рисунках стрелками показано направление движения фигуративной
точки по фазовой траектории при возрастании времени.

Характерным для движения в окрестности особых точек типа седло является
тот факт, что почти все фазовые траектории приближаются на некоторое мини-
мальное расстояние к особой точке при 0< /< оо, но не достигают ее, т. е.
все интегральные кривые являются седловыми. Исключение составляют фазовые
траектории, лежащие на некоторых особых поверхностях, которые могут либо
«входить» в особую точку, либо «выходить» из нее. Особые поверхности, которые
пересекаются в седловой особой точке, имеют большое значение при анализе
фазового пространства решений. Это обусловлено тем, что при наличии несколь-
ких устойчивых особых точек, такие поверхности часто разграничивают области
их притяжения, т. е. области, из которых фазовые траектории стремятся к соот-
ветствующим особым точкам. В связи с этим, такие поверхности называются
сепаратрисными.

Анализ свойств решений уравнении движения с использованием методов ка-
чественной теории дифференциальных уравнений может быть разделен на сле-
дующее основные этапы (рис. 8.12). Сначала из системы уравнений (8.1) находятся
все возможные состояния равновесия, т. е. координаты особых точек. После на-
хождения особых точек исследуются движения в их малой окрестности. Эта за-
дача значительно более простая, чем первая. Действительно, для определения
Движения в малой окрестности особой точки необходимо линеаризовать уравне-
ния движения относительно фазовых координат, соответствующих особой точке,
и исследовать характеристическое уравнение полученной системы линейных
Уравнений. Все отмеченные операции — линеаризация и нахождение корней
характеристического уравнения — легко выполняются на ЦВМ. Однако иссле-
дование траекторий в фазовом пространстве на этом не заканчивается. Необхо-
димо получить представление о фазовых траекториях вдали от особых точек,
е. о движении «в большом». Решение этой задачи значительно более сложно,
чем рассмотренные ранее, и может идти двумя путями — путем расчета конкрет-

3 Бюшгенс Г. С-
Рис. 8.8. Фазовые траектории в трехмерном пространстве в окрестности особой
точки типа седлоузел:

а — ^ > 0; Х2, Х3 <0; б — Xlt Kz > 0; 13 < 0

Рис. 8.9. Фазовые траектории в окрестности особой точки в пятимерном про
странстве:

а — устойчивый фокус; б — неустойчивый фокус
Осо

67

бенности анализа пространственного

движения самолета

Рис. 8.10. Фазовые траектории
в пятимерном пространстве:

а - м > 0; It < 0; ls 0; б — К

в

окрестности

особой точки типа седлофокус

Рис. 8.11. Фазовые траектории в окрестности особой точки типа седлофокус
в пятимерном пространстве:

а ~ >1, Х2 <0, Х3 0 g z 0; б — X, <0; Х2, Х3 > 0 £ z 0

3*
Рис. 8.12. Структурная схема расчетов при анализе свойств решений в фазовом
пространстве

ных фазовых траекторий и путем нахождения и построения изоклин, т. е. линий,
на которых касательные к фазовым траекториям имеют постоянный наклон к ко-
ординатным осям.

Для получения представления о структуре разбиения фазового пространства
кроме нахождения особых точек и анализа движения в их окрестности необходимо
определить сепаратрисные поверхности, разделяющие области фазового про-
странства с различным характером движения, и найти предельные циклы, если
они существуют. Для задач определения сеператрисных поверхностей и предель-
ных циклов не существует регулярных методов решения, даже для движения на
плоскости. В связи с этим большой интерес представляют различные приближен-
ные методы с привлечением численных расчетов.

Остановимся на возможности приближенного нахождения сепаратрисных
поверхностей. Сепаратрисные поверхности выходят из особых точек, когда в со-
ответствующем характеристическом уравнении имеются действительные корни,
в частности, из седловых особых точек. Для <грубых» систем и уравнений рас-
сматриваемого нами типа таких поверхностей конечное число. В непосредствен-
ной окрестности особой точки сепаратрисные поверхности являются плоскостями.
Основным свойством сепаратрисной поверхности является то, что решения для
фазовых координат, лежащих на этой поверхности в окрестности особой точки,
не зависят от одного из действительных корней характеристического уравнения,
например, положительного. Благодаря этому на сепаратрисной поверхности
могут, в частности, существовать устойчивые решения, хотя во всем остальном
пространстве они будут апериодически неустойчивы.

Решение для произвольной переменной Xi в окрестности особой точки может
быть представлено в виде

Xi =	-j-	(8.3)

i = 1, . . ., n,


—-— ' ~

где •••*	— корни характеристического уравнения, в общем случае ком-
плексные.	v

Пусть Ai — действительный корень. Покажем, что для обращения всех ко-
эффициентов A±i в нуль, обычно достаточно обращения в нуль коэффициента
в решении хотя бы для одной из переменных, например, для хъ Действительно,
рассмотрим систему линейных уравнений, описывающих движение летательного
аппарата в окрестности особой точки:

п

Xi = У] atjXj, i = 1, . . п.	(8.4)

Если подставить в систему уравнений (8.4) решение х, = /4J ехр (Л,/), то харак-
теристический определитель обратиться в нул^, что говорит о том, что одно из
уравнений системы (8.4) является следствием остальных уравнений. Исключая
одно из уравнений, например первое, из системы уравнений (8.4) получим систему
линейных алгебраических уравнений для нахождения составляющих решений
х2» •••» хп ПРИ члене exp (\/) в функции решения Поскольку корень не
имеет кратного, то всегда можно так исключить из системы (8.4) одно уравнение,
чтобы оставшиеся уравнения имели характеристический определитель, не равный
нулю, откуда в силу линейности уравнений следует, что существует решение

х,- = rfgj (Ч / = 2, .... л.	(8.5)

т. е. решение представляется в виде произведения коэффициента на константу,
которая зависит от номера параметра движения /, при котором она вычисляется,
и от коэффициента характеристического уравнения. Величина в решении
для Xi является функцией начальных условий. Поскольку уравнения линейны
и однородны, то константа Д? представляется в виде

п

л?=2М(о)>	(8-6)

Z=1

где Xi (0) — значения параметров движения в начальный момент времени.

Как следует из выражения (8.5) в том случае, когда А[ — 0, в нуль обра-
щаются коэффициенты при соответствующих членах ехр (Лх/) в решениях для
всех параметров движения.

Из выражения (8.6) следует, что областью начальных значений параметров
движения Xi, при которых в решении отсутствует член ехр (X, t), является ги-
перплоскость размерности (п — 1) в n-мерном пространстве, проходящая через
особую точку. Уравнение ^гой гиперплоскости можно получить, если приравнять
нулю выражение для Д’} (8-6):;

п

£ btxi = 0.	(8.7)

1=1

В силу единственности решения системы дифференциальных уравнений (8.4)
все интегральные кривые, имеющие хотя бы одну точку, отличную от особой,
общую с точками плоскости (8.7), целиком лежат в ней. Отсюда следует, что ни ж
одна интегральная кривая не пересекает эту плоскость, т. е. плоскость является
сепаратрисной и разделяет фазовое пространство на области. Число сепаратрисных
плоскостей, проходящих через особую точку, равно числу действительных кор-
ней. Если характеристическое уравнение системы имеет только один положитель-
ный действительный корень, то интегральные кривые во всем фазовом простран-
стве, за исключением интегральных кривых, лежащих на сепаратрисной плоскости,
приближаются на некоторое минимальное расстояние к особой точке, после чего
от нее удаляются (см. рис. 8.7, 8.8). Исключение составляют интегральные кри-
вые, лежащие на сепаратрисной плоскости, которые, если действительные части
всех остальных корней отрицательны, приближаются сколь угодно близко к осо-
бой точке. Рассмотрим метод определения уравнения сепаратрисной плоскости
в окрестности особой точки. Пусть решение для произвольной переменной xi
в окрестности особой точки представляется в виде (8 3), где — действительный
корень. Определим уравнение сепаратрисной плоскости, для которой решение
фазовых траекторий" не зависит от этого корня. Для нахождения зависимости
коэффициента A±i от начальных условий по фазовым координатам рассмотрим
производные Xf (8.3) по времени, вплоть до (п—1)-го порядка в начальный момент
времени t = 0:

х/ (0) = Лп 4* Лг? 4~ • • •»

xi (0) =	+ A 2t^2 “Ь • • •>

(8.8)

*Г' (0) = лихг’ +	+ • • ••

Из системы линейных уравнений (8.8) найдем выражение для коэффициента

Ац =
где

	1	1	1
△о —	м	Х2	
	Х"“’	1	3 3
			

А1  Ао ’		(8.9)
Ai =	xi (0)	1	: 1  xi (0) Х2	• Хп	. (8.10)
	*Г’(0)	

В соотношении (8.9) выражения для производных по времени от i-й коорди-
наты могут быть преобразованы с использованием уравнений движения в зави-
симости от фазовых координат, которые будут входить в (8.9) линейно. Посколь-
ку уравнения сепаратрисных плоскостей получаются путем приравнивания вы-
ражений для Аг1 к пулю, то практически необходимо вычислять только опре-
делитель Аг. Соответствующие иллюстрации описанной процедуры приводятся
в гл. 5 книги.

С удалением от особой точки точность представления уравнений движе-
ния линейными ухудшается, и сепаратрисные (п—1)-мерные гиперплоскости
переходят в поверхности более сложного вида, разделяющие фазовое простран-
ство на несколько подпространств, в каждом из которых могут быть различные
виды интегральных кривых. Приближенные представления о положении сепарат-
рисных поверхностей могут быть получены численными методами. Для этого
на сепаратрисной плоскости, вблизи от особой точки, выбирается произвольная
точка, координаты которой принимаются в качестве начальных значений, и на-
ходится решение уравнений движения. Найденная фазовая траектория в пер-
вом приближении лежит на сепаратрисной поверхности. Производя последова-
тельное «передвижение» по сепаратрисной плоскости в окрестности особой точки
и анализируя получаемые фазовые траектории можно «воссоздать» положение
. сепаратрисной поверхности в фазовом пространстве. Такой метод, однако, яв-
ляется приближенным, и, по-видимому, далеко не во всех случаях позволяет
достаточно точно найти решения для сепаратрисных поверхностей.

Как отмечалось ранее, основными элементами, определяющими качественную
картину расположения интегральных кривых в фазовом пространстве для гру-
бых динамических систем, являются особые точки, предельные циклы и сепа-
ратрисные поверхности. Если известно положение и типы особых точек, предель-
ные никлы и сепаратрисные поверхности, то можно в общих чертах представить
качественную картину расположения интегральных кривых в фазовом простран-
стве и определить картину движения в зависимости от начальных условий.
Изменения параметров уравнений движения, в нашем случае при исследо-
вании динамики самолета таковыми, в частности, являются величины отклонений
органов управления самолетом <р, 6Э, 6Н, приводит к изменению фазовой картины
движения. При этом общий вид расположения интегральных кривых может
претерпевать либо некоторые количественные изменения, когда так называемая
топологическая структура разбиения фазового пространства — число и характер
особых точек, предельных циклов и сепаратрисных поверхностей — не изменя-
ется, либо качественные изменения, что происходит при некоторых особых, так
называемых «бифуркационных», значениях параметров. Это может выразиться
в изменении типа особых точек (например, превращение особой точки типа ус-
тойчивого узла в седловую), в изменении числа особых точек, в исчезновении
либо появлении предельного цикла и т. д. Очевидно, что такие значения парамет-
ров уравнения представляют особый интерес, так как они определяют границы,
на которых происходит качественное изменение характеристик управляемого
движения самолета, например, появляются области неустойчивого движения,
нарушения управляемости и т. д.

Рассмотрим зависимость свойств фазового пространства решений от пара-
метров динамической системы, используя результаты работы [10]. Основой рас-
сматриваемого в этой работе метода является локальное исследование бифурка-
ций с последующим выяснением их роли в глобальной структуре с отбрасыванием
особых случаев. Рассматриваемая в настоящей работе механическая задача поз-
воляет существенно ограничить круг исследуемых вопросов, поскольку она от-
носится к классу динамических систем с конечным числом состояний равновесия
и периодических движений. В таких системах в фазовом пространстве имеется
конечное число состояний равновесия и периодических движений и все остальные
движения асимптотически приближаются к ним как при возрастании, так и при
убывании времени. Этот класс динамических систем быт выделен Смейлом и
получил название систем Л1орса-Смейла [10, 19].

Рассмотрим возможные в таких системах типы бифуркаций. Будем рассма-
тривать динамические системы, описываемые уравнениями

Xi (хь . . ., хл), 1 = 1,..., п.	(8.11)

Пусть правые части уравнений гладко зависят от некоторого параметра v. Тогда
состояния равновесия уравнений (8.11) определяются как корни системы урав-
нений

fi (х* (v), v) = 0,	(8.12)

а тип состояния равновесия определяется корнями соответствующего характери-
стического уравнения

Z(Z, v) = 0.	(8.13)

При непрерывном изменении параметра v исчезновение корня х* (v) в урав-
нении (8.12) возможно лишь в случае обращения в нуль его Якобиана, который
совпадает со значением характеристического полинома (8.13) при Л = 0, т. е.
при обращении в нучь свободного члена характеристического уравнения. В силу
этого, граница области существования состояния равновесия х* (v) состоит из
точек, удовлетворяющих уравнению

X (0, v) = 0.	(8.14)

В более общем случае потеря устойчивости может иметь колебательный
характер, откуца следует, что любая точка границы области устойчивости состоя-
ния равновесия данного типа удовлетворяет уравнению

X(tco,v)=0	(8.15)

При каком-либо действительном значении со. Разделяя в (8.15) действительную
и мнимую части, получим:

X! (со, V) = 0; Ха (®> v) = °-	(8.16)
Эти уравнения определяют некоторую поверхность <VW, описываемую параметри-
ческими уравнениями (8.16), где <о изменяется от —оо до +оо, и особую поверх-
ность No, точки которой удовлетворяют уравнению

7л (0, v) = 0.

(8.17)

Внутри каждой области, ограничиваемой поверхностями 7VW, No, состояния
равновесия зависят от параметра v непрерывно и имеют один и тот же тип, опре-
деляемый количеством корней характеристического уравнения, имеющих от-
рицательную (р) и положительную (q) действительную части.

Рассмотрим как изменяется фазовая картина движения при прохождении
через поверхности Лг(1), No в процессе изменения параметра v. При прохождении
параметров системы через границу происходит исчезновение состояния рав-
новесия 0p'q (v). Это исчезновение происходит благодаря слиянию его с другим
состоянием равновесия типа 0р—1, q, или типа 0р *’ ^1. В момент слияния
возникает сложное состояние равновесия, которое при дальнейшем изменении
параметра исчезает. Последовательные стадии изменения фазовой картины
иллюстрируются на рис. 8.13.

При прохождении параметров системы через границу А^ состояние равно-
весия сохраняется, изменяется только его тип. При этом, если оно ранее было
типа 0р’ q, то после прохода точкой v через поверхность становится либо
0л2, q 2, либо 0р^"2’ q~2. Одновременнос этим изменением состояния равно-
весия от него рождается или с ним сливается периодическое движение (Г). Со-
ответствующая иллюстрация изменения фазовой картины приведена на рис. 8.14.
Описанные основные типы бифуркаций символически могут быть записаны:

QP- q J_ qP+B <7~1

()Р. <7_[_ QP—1» <7+1

исчезновение особой точки;	(8.18)

qP> <7	0р~2, q+2 | Ppf

qP. q | fP—1. <7+2	QP—2, I/+2

qp. <7_>. op+2, q~~ | pH"1’ q
►

QP* <7 I y-P+2. <7—1	qP+2, <7 -2

появление предельного цикла;

исчезновение предельного цикла;

появление предельного цикла;

исчезновение предельного цикла.

(8-19)

(8.20)

Бифуркации (8.19) и (8.20) разделяются в зависимости от знака величины:

a=Re^^
n dv дХ ’

(8.21)

где Re — действительная часть выражения; звездочкой обозначено комплексно-
сопряженное число, и производные вычисляются при v = и X = но, где v3 —
бифуркационное значение параметра v.

Рис. 8.13. Последовательные стадии изменения состояния равновесия при не-
прерывном изменении параметра у, приводящем к слиянию особых точек седло
и узел
Рис. 8.14. Изменение типа особой точки от устойчивого фокуса к неустойчи-
вому фокусу с одновременным образованием предельного цикла

При о > 0 имеет место бифуркация с возрастанием числа р у состояния рав-
новесия, а при о< 0 — с его убыванием.

Особый интерес представляют бифуркации устойчивого состояния равнове-
сия. Такие бифуркации символически могут быть записаны в виде

о"’°

+ 0"-‘-

(8.22)

Оп-°_»о"~2,
qH, 0_|_^п—1,

(8.23)

При бифуркациях (8.23) состояние равновесия в обоих случаях из устойчи-
вого переходит в седловое и при этом одновременно из него рождается или в нем
исчезает устойчивое Гп' 1 или соответственно седловое Гп~~^' 2, периодическое
движение. В первом и последнем случае происходит исчезновение устойчивого
установившегося движения, во втором случае такое исчезновение не имеет места,
поскольку при этом устойчивое состояние равновесия непрерывно преобразуется
в устойчивое же периодическое движение. При этом область притяжения устой-
чивого состояния равновесия непрерывно переходит в область притяжения
устойчивого периодического движения.

Приведенные в настоящем параграфе факты будут использоваться далее
при рассмотрении зависимости фазовой картины движения самолета от параме-
тров управления, в первую очередь от величины момента крена от элеронов.

§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЕМОГО
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА В ОСОБЫХ ТОЧКАХ

Цель исследований заключается в нахождении связи
между величинами углов отклонений органов управления само-
лета (6Э, q-, бл) и теми изменениями параметров его движения —
углов атаки и скольжения сс, Р и проекций вектора угловой ско-
рости сох, (о/у, со2 — к которым приводят эти отклонения.

Изолированные продольное и боковое движения самолета
характеризуются тем, что при отклонении рулей высоты и направ-
ления на некоторые постоянные углы (q0, би0) самолет изменяет
соответственно угол атаки и скольжения на некоторую постоян-
ную величину и начинает в полете поворачиваться относительно
инерциального пространства с некоторой угловой скоростью (w2,
<dz). В тех случаях, когда маневр рассматривается за короткий
отрезок времени либо выполняется с большими перегрузками,
влиянием силы тяжести на движение относительно центра масс
можно пренебречь и предельные значения угловых скоростей
самолета считать постоянными величинами. Такие установив-
шиеся предельные условия полета соответствуют особым точкам
уравнений движения самолета с опущенными гравитационными
членами. Благодаря такой связи между отклонениями органов
управления и параметрами движения исследование динамики са-
молета, когда маневр выполняется путем отклонения рулей в раз-
личных комбинациях на некоторые постоянные углы, может быть
проведено наиболее полно и наглядно с использованием методов и
терминологии качественной теории дифференциальных уравне-
ний.

Когда вопрос о связи между отклонениями рулей управления
и изменениями параметров движения решался в предположении
малости таких изменений, а динамика самолета описывалась си-
стемой линейных дифференциальных уравнений ответ на него
был достаточно прост. Методы анализа таких движений подробно
излагаются в обширной литературе по динамике самолета (см.,
например [13]). Результаты этих исследований (для тех случаев,
когда влиянием гравитационных членов можно пренебречь) сво-
дятся к трем основным пунктам.

1.	Реакция самолета на отклонение руля высоты (q) не за-
висит от отклонений элеронов и руля направления. Аналогично
реакция самолета на отклонение элеронов и руля направ-
ления не зависит от отклонений руля высоты. Иными словами,
продольное и боковое управляемые движения самолета яв-
ляются независимыми при^ малых изменениях параметров дви-
жения.

2.	Величины установившихся значений углов атаки и сколь-
жения, а также проекции на связанные оси вектора угловой
скорости (а\, со , <о2) являются однозначными функциями значе-
ния всех параметров движения и не зависят от начальных усло-
вий и последовательности отклонений органов управления и
являются единственно возможными при данном отклонении рулей.

3.	Зависимость параметров возмущенного движения” самоле-
та от величин отклонений органов управления в случае ли-
нейных аэродинамических характеристик имеет линейный ха-
рактер.

При анализе пространственных движений, сопровождающихся
энергичным кренением, строго говоря, ни один из этих выводов
не сохраняется. В первую очередь это относится к тем маневрам,
при которых производятся одновременные энергичные отклонения
элеронов и руля высоты. Далее будет показано, что изменения
всех параметров движения самолета при таких маневрах взаимо-
связаны. Более того, величины предельных установившихся зна-
чении углов атаки и скольжения и проекций вектора угловой
скорости (со*, coz) являются неоднозначными функциями откло-
нений органов управления. Математически это означает, что для
каждой комбинации отклонений органов управления имеется
несколько особых точек системы уравнений движения. Во
всех этих случаях линейный характер зависимости угловой
скорости крена от величины отклонения элеронов нару-
шается.

В задачах исследования движений, описываемых нелиней-
ными уравнениями, можно выделить несколько основных вопро-
сов, которые для упрощения проблемы целесообразно рассматри-
вать последовательно.

1.	Нахождение всех возможных комбинаций установившихся
значений параметров движения, т. е. нахождение всего комплекса
особых точек, соответствующих заданным значениям возмущений,
отклонении органов управления и т. д.

2.	Исследование вида движения в окрестности каждой особой
точки и его устойчивости (движение «в малом»).

3.	Исследование движения во всем фазовом пространстве
(движение «в большом»).

В настоящем параграфе рассмотрим первую часть общей за-
дачи исследования фазовой картины движения самолета, а именно
определим зависимость значений параметров движения в особых
точках от величин отклонений органов управления. Знание таких
зависимостей позволяет для любой комбинации отклонений орга-
нов управления определить координаты всех особых точек, т. е.
все возможные значения «точек покоя» — «статические решения».

Начнем вывод соотношений для нахождения особых точек
в предположении, что все аэродинамические силы и моменты могут
быть представлены в виде линейных функций параметров движе-
ния. Для движения самолета с большими углами атаки и сколь-
жения такое предположение несправедливо и методика нуждается
в уточнении.

Перейдем к нахождению значений параметров движения в осо-
бых точках. Для этого предварительно перепишем систему урав-
yg	Приложение качественной теории дифференциальных уравнений

нений (2.14) в удобном для анализа виде:

а' = рсо2----а —	— Ас/,

со' = т^а +	— A4- Дт2;

С

₽' = рсо^ 4- -g- р 4- н (а + ч г) «х 4- Д^;	(9.1)

й'у = ^Р + ™уУйу + BfX0)x(02 4- Am/

СО* = Ш*Р 4 fhxX(bx — Ср(О^СО2 4- Атх.

Для нахождения координат особых точек в фазовом простран-
стве необходимо найти все решения для параметров движения,
удовлетворяющие нелинейной системе алгебраических уравнений,
полученной после приравнивания всех производных нулю.
В тех случаях, когда аэродинамические коэффициенты являются
линейными функциями своих аргументов, система алгебраических
уравнений может быть легко решена с помощью следующего
приема. Если рассматривать четыре первых алгебраических урав-
нения, то видно, что нелинейные члены этих уравнений являются
функцией величины соА Если принять величину в качестве
параметра, то можно найти зависимости остальных переменных
движения от отклонений органов управления и величины этого
параметра (<ох). Найденные таким образом функции от можно
подставить в последнее алгебраическое уравнение и с его помощью
определить зависимость потребного отклонения элеронов для
обеспечения принятого значения параметра соЛ. Последнее нели-
нейное уравнение проще всего решать графически. Такой прием
позволяет свести задачу решения системы нелинейных уравне-
ний к решению системы линейных уравнений и построению не-
линейной функции от одной переменной.

Рассмотрим эту процедуру более подробно. Система алгебраи-
ческих уравнений, полученная приравниванием производных
нулю, в общем случае является неоднородной и может быть
представлена в виде

са



тгб^ст	^26 ст  Cz p,CO^(ZCT 4“ 2 Рст —  ^Р^>Х^2 СТ 4“ ^2//РсТ	ст —•	Ат2‘  (9.2)  СТ ==S Ас2  ту' ^у ст —
0Пределен,<е параметров движения в особых точках

77

й дополнительного уравнения:

—/Лх^3 “ ^*Рст	Шх^О^стрст /Их ’(Ох

тх о)у ст -[- Ср со у ст • сог ст	4“ ГИхН6н»	(9-3)
с*  где	= 2J <|; Дс2 =	с6“  -f-A;	(9-4)
Amz = /«гбф; Аш,, == Шу fin	1 -6эя  Шу бэ.	

Если рассматривать соЛ как параметр, значения которого мо-
гут задаваться произвольным образом, то видно, что в правые
части системы алгебраических уравнений (9.2) входят члены,
зависящие от этого параметра и от величин отклонений органов
управления (ср, бн, 6J, а также угла (срг) между главной осью
инерции и осью ОХ самолета. При непрерывном изменении ве-
личины какого-либо из параметров управления в правых частях
уравнений получаем зависимости координат особых точек в функ-
ции соответствующего параметра.

Из системы алгебраических уравнений (9.2) следует, что пара-
метры движения в особых точках зависят линейно от величин
отклонений стабилизатора и руля направления, а коэффициенты
пропорциональности являются некоторыми функциями величины
угловой скорости крена. Такая линейная зависимость позволяет
представить значения параметров движения в особых точках,
которые будут обозначаться индексом «ст» (статическое решение),
в следующем виде:

осст — Arn 4~ ^<ргФг 4“ ^у Ac 71/ Дсг/ -|- . .

ст == ^mz 4“ ^(РгФг А1Пу 4~ • • • >

рст •== &тг	4~ Ату Ьту • • • ;

-	А^П Л - • Л^Г А ---------

^//Ст ~~	^<РГФГ 4“ Ащу

Все формулы для величин Аа, Аи\ А^и сведены в табл. 9.1.
Формулы, приведенные в табл. 9.1, получаются путем решения
неоднородной системы алгебраических уравнений (9.2).

Решение для i-й переменной, как известно из линейной алгебры,
находится по формуле

(9-5)

где До — характеристический определитель системы уравнений,
а Д/ — определитель, составленный из тех же элементов, в ко-
тором 1-й столбец заменен столбцом правых частей.

Таблица 9.1

		лР			А^У		
	1  2Л0	(ц3й3ЛВ +  + |х2Вйхот“б)	5  N £| On	1  ND - + °	'  £1	д  31	01  N ©1  OKN	к  |	NTO  7Х>  ч	" тг  Со „  £| h  1			Дсу
	1  Л	(-у-	“ Н2®	„со \ ХтуУ ]	Ло ^13В®х + И ®хту сР са \ г>~	z	У	1  -tiB<ox 2	2	J  ✓			Amz
	JLlCOx |  Яо '	га  Си „СО,	.	„гу _С07. ,  2 mz6myV + VMz6muV +  са \  + и2ЛВю2_^)		Яо  + р2<^в	N О О'	to %  +  ”С >	* ©1  S	C\N  «та	э,  S	ТВ  ££	1  С\	“-]—		«0
	1 /	ND ^$3  +	31  n ©|  ND	C*N  Ь	3>  Со	S>  SI х	_|_  1,	———	см  о  JS	1	fc“ -®2-В...  2 тгН +  ’<б +		
	2Л0 \			2Л0  + P2®2fi			Ас2

	CQ ©  +		+	X50  1	О N  N\Q	|Й  '3 N	*=  '$	ъ.  Ч?	с? Ч  '3		1 1  Яо '	1 «V сч  °%.N CN  ON  ig  no  3 N  'S	+  8y=> сч	N\O  |3 N  '3  O1 4  13  СЧ				A/rty
	।	rj	СО	Ч л — 9  - Iimz6 + И Л®х +  ..2^а 1  г Fl ^z6 1			f  У - C02 Z  ^2 z6 2	r  c“ A  1	-OS	z  + Hmz6 2	2~2	°7  1 ®>26 -		
	Яо	2  __			Яо				_co„ my
Из самого способа получения уравнений (9.2) путем прирав-
нивания нулю производных следует, что выполняется равенство

До — Ло,

где коэффициент Ло является свободным членом характеристиче-
ского уравнения (5.6), полученного при исследовании устойчиво-
сти установившегося вращения самолета по крену.

Первое, что необходимо отметить в соотношениях (9.5) -J
свойство суперпозиции решений, полученных для различных
возмущений, входящих в правые части уравнений (9.2). Это
свойство обусловлено тем, что в рассматриваемой постановке для
линейных аэродинамических коэффициентов при соА. = const алгеб-
раические уравнения (9.2) оказываются линейными и, следова-
тельно, всякое решение может быть представлено в виде суммы
решений в функции каждого отдельного возмущения. В общем
случае нелинейных аэродинамических коэффициентов (например,
при зависимостях вида mz (a), irvy (а) и т. д.) это свойство не будет
выполняться.

Каждый из коэффициентов Ла, A^z и т. д. представляет собой
отношение некоторого полинома по степеням cov к свободному
члену характеристического уравнения Ло. Коэффициент Ло (см.
§ 6) может обращаться в нуль на границах областей устойчивости
движения самолета при вращении с cov = const, и таких значе-
ний угловой скорости крена обычно два. Из формул табл. 9.1
следует, что при этих значениях угловой скорости крена все функ-
ции Аа, Л°\ Л^, Л°у неограниченно возрастают и при переходе
через критическую угловую скорость крена терпят разрыв и из-
меняют знак.

Физический смысл возрастания коэффициентов пропорциональ-
ности Аа, А^ ит. д. при приближении к критической скорости
можно пояснить с помощью следующих рассуждений. Уменьшение
величины Ао (<оА) означает понижение степени устойчивости
движения самолета. Поскольку величина возмущения сохраняется
(постоянное отклонение органов управления), то реакция само-
лета на это возмущение при уменьшении степени устойчивости
возрастает и при критических скоростях крена, когда самолет
уже не обладает устойчивостью, это возмущение приводит к не-
ограниченному росту всех параметров движения самолета. Ха-
рактер зависимости основных слагаемых функций Аа, Л^2,
Лр, А^у от угловой скорости крена иллюстрируется на
рис. 9.1, 9.2.

Следует иметь в виду, что неограниченный рост параметров
движения в особых точках при приближении к критическим ско-
ростям крена обусловлен принятыми допущениями о малости
Рис. 9.1. Пример зависимости от весовых множителей величины управляю-
щего момента

углов а и р, когда тригонометрические функции были заменены
первыми членами разложений в ряд Тейлора. В связи с этим
количественные результаты соответствуют правильным решениям,
только когда (| а |, | р ) < 15 ... 20 . При больших углах атаки
обычно нарушаются и условия о постоянстве аэродинамических
производных устойчивости (линейности зависимости от параметров
Движения).

Для полного определения значений параметров движения
самолета в особых точках в зависимости от величин отклонений
органов управления необходимо в функциональных зависимостях

(со ), рст (соЛ) и т. д. определить те конкретные значения cov.
которые соответствуют рассматриваемым отклонениям рулей.
Рис. 9.2. Пример зависимости от сох весовых множителей величины управляю-
щего момента

Для этого необходимо доопределить полученные зависимости
параметров движения самолета от (ох уравнением (9.3), позво-
ляющим найти величину потребного отклонения элеронов, соот-
ветствующую движению самолета с данными величинами соА,
С02 СТ» Рст	СТ'

Поскольку все параметры движения, входящие в уравнение
(9.3) — известные функции угловой скорости крена и величин
отклонений органов управления, то величина Дтх (и соответ-
ственно легко может быть найдена. В общем случае, когда
0, задача нахождения связи между 6Э и соЛ несколько ус-
ложняется. В этом случае с помощью зависимостей, приведенных
Q1 реДеленис параметров движения н особых точках

83

Б табл. 9.1, находятся выражения для рст, <в^ст и т. д., которые
представляются в виде

С

рст = Рст (tox) 4" А* (wx) тУ^А

-	—	-	6 -	—6	(у-°)

ст — <&у ст (tox) ~ А,пу (®х) ^у $э И Т* Д-

После подстановки этих выражений в уравнение (9.3), получим
уравнение для нахождения зависимости 6Э от сох:

П1х z==Z ~~ ^хРст tTlX О^СтРсТ -	(&у ст (-^Х^	(®х)"'-

— ШХУ А^ ((Ох) — ^х^астЛД^ (сОх) — ^x^PcT^zziy (tox)) Шу^э ~Ь

+ т^А^ («X)2-	(9-7)

В связи с малостью величины произведения Аа A?J (т?д6д)2гп°^
^у у У

в соотношении (9.7) можно опустить последний член, и соотно-

шение (9.7) существенно упрощается:

-"^СТ - ^^х —	ст — "^сЛт___

^хЭ +	+ ™“Раст) Amf/ + ™xPVcrAmv +

На рис. 9.3 приведены примеры зависимостей установившихся
значений основных параметров движения самолета от угловой
скорости крена соА. Как для маневра крена, выполняемого из
горизонтального полета аб > 0 так и для маневра крена, выпол-
няемого из условия полета с отрицательной перегрузкой аб < 0.
В обоих случаях Дт^ = 0.

Следует отметить, что кривые статических решений построены
только для положительных значений угловой скорости крена
WЛ > 0. Из формул табл. 9.1 следует, что все функции ЛД Аыу
явлются нечетными, а А и A^z — четными по <ох.

Полученные зависимости параметров движения самолета от (Ох
имеют особенности при «критических» значениях угловых скоро-
стей крена (см. рис. 9.3). В этих точках все статические решения
принимают бесконечно большие значения, откуда с учетом за-
висимости (9.3) для самолета с ненулевой поперечной устойчи-
востью, т. е. при тх 0 следует, что и потребные отклонения
Веронов для создания таких угловых скоростей крена также бес-
конечно большие.

С помощью зависимостей, аналогичных показанным на рис. 9.3,
могут быть найдены значения параметров движения самолета
в особых точках (координаты особых точек), соответствующие
Рис. 9.3. Пример зависимости величин параметров движения самолета в особых
точках от величины сох для исходных условий балансировки ag > 0 и ао О
(\triy = Лт2 = 0)
8е)

Рис. 9.4. Пример нахождения координат особых точек для движения самолета
при отклонении органов продольного и поперечного управления (А/пг0 > 0;
Атх0 > 0)

конкретным значениям величин, характеризующих управление
самолетом (бэ, ср, бп).

На рис. 9.4 приведена иллюстрация методики нахождения
координат особых точек для случая, когда т^э6э = Дтл,0. В рас-
сматриваемом примере движение самолета характеризуется пятью
особыми точками в фазовом пространстве. Напомним, что движе-
ние в окрестности полученных особых точек реально может реали-
зоваться только в случае, если оно соответствует апериодически
устойчивому движению.

Аналогичная процедура нахождения координат особых точек
может быть использована и в случае, когда аэродинамические
характеристики самолета являются нелинейными функциями угла
атаки и линейны по всем остальным параметрам движения. В этом
с^учае формальная запись всех производных устойчивости сохра-
нится в том же виде, только сами коэффициенты могут быть функ-
циями угла атаки, за исключением только производной продоль-
ного момента /п^а, вместо которой в уравнения войдет функ-
ция шгб(а).

Для нахождения координат особых точек воспользуемся ме-
тодом, весьма близким к рассмотренному ранее. Приняв сох =
= const, введя обозначение т?б — (а)/ос и воспользовавшись
формулами для статических решений (табл. 9.1), можно выписать
решения для всех параметров движения самолета. Воспользовав-
шись формулой для аст (соА) из табл. 9.1, получим уравнение
для нахождения аст:

О&ст^О (^ст> Ок) “ fl (^ст> ^а)>	0-9)

где (аст, соЛ) — выражение в числителе формулы для нахож-

дения аст.

Следует отметить, что произведение астЛ0 (аст, сох) не имеет
особенностей по а в отличие от отношения mz (а)/а, которое могло
иметь особенность при а = 0.

При каждом фиксированном значении сох = const нелиней-
ное уравнение (9.9) может быть решено и найдены соответству-
ющие значения аст, которых может быть несколько. Решая по-
следовательно для всех значений сох, найдем зависимости alCT (coj.
Дальнейшее решение задачи осуществляется по методике, изло-
женной ранее, поскольку при каждом значении (о) ) аэроди-
намические коэффициенты являются известными и могут быть
использованы в формулах статических решений.

Проиллюстрируем применение изложенной ранее методики
определения аст на примере частного случая, когда демпфирова-
ние колебаний мало (получаемые далее соотношения являются
приближенными для общего случая).

Из табл. 9.1 выпишем формулу для аст (со ), рассматривая
только продольное управление Дтг:

__ р2

(ту +	) Дт2 ~

—&тг
'йгб(«)/аст+

(9.10)

Соотношение (9.10) преобразуется к нелинейному уравнению
для определения аст

тгб (аст) + оСстЛрео^ = —Дт2,

(9.П)

которое легко решается, например, графически.

Основной характеристикой, определяющей число особых точек
при заданных величинах отклонений органов управления, яв-
ляется функция ДтЛ (соЛ, ср, 6Н). Действительно, с помощью
этой функции для известных величин ср, 6Н, <рг и бэ находятся
все значения угловой скорости крена соЛ в особых точках, которые
дозволяют по формулам (9.5) определить и остальные параметры
движения в этих особых точках. Более того, как это будет пока-
зано в следующем параграфе, вид зависимости Дтх = f (сол,
§ , <р, <рг) позволяет в целом ряде случаев оценить устойчивость
движения в окрестности найденных особых точек, точнее, выявить
особые точки с заведомо неустойчивым движением в их окрест-
ности-

Можно выделить три основные области значений угловой
скорости крена <ov, для каждой из которых характеристики дина-
мики самолета имеют свои особенности. При движении с малыми
угловыми скоростями крена, когда выполняется условие

| ЮД|<С min (®а> йр),	(9.12)

где знак min (<оа, сор) означает меньшую из двух величину, дви-
жение самолета близко к описываемому линейными дифферен-
циальными уравнениями изолированного бокового и продольного
движений. Вторым предельным случаем является быстрое вра-
щение самолета относительно продольной оси с большой угловой
скоростью крена. Такое движение по своим свойствам близко
к вращению твердого тела, на которое не действуют аэродинамиче-
ские моменты, поскольку при больших величинах основную
роль играют гироскопические моменты. Угловую скорость крена
можно считать большой, если она удовлетворяет условию

10)х|>max(<оа, Юр),	(9.13)

где знак max (соа, сор) означает большую из двух величину.

Движение самолета имеет наиболее сложные характеристики
при значениях угловых скоростей крена, близких к критическим
скоростям, когда инерционные и аэродинамические моменты со-
измеримы.

§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА

ОСОБЫХ ТОЧЕК

Как отмечалось, фазовые траектории обладают тем
свойством, что они нигде не пересекаются, за исключением «осо-
бых» точек или точек «покоя» системы. При этом фазовые траекто-
рии могут либо «входить» в особую точку (в этом случае особая
точка соответствует состоянию устойчивого равновесия), прохо-
дить мимо, либо «выходить» из нее — неустойчивое равновесие.
Подробное исследование движения летательного аппарата в фа-
зовом пространстве с нахождением фазовых траекторий во всех
точках этого пространства весьма сложно и в этом нет необходи-
мости. Существенно больший интерес представляет более простая
задача — задача нахождения положения особых точек в фазовом
пространстве и исследования движения летательного аппарата
в их окрестности.

Задача определения вида особой точки сводится к анализу
движения в ее окрестности, т. е. к исследованию движения «в ма-
лом» и поэтому вплотную примыкает к проблеме анализа устой-
чивости движения вблизи особой точки. При этом знание и исполь-
зование критериев устойчивости либо неустойчивости движения
позволяет определять, к какому типу относится рассматриваемая
особая точка, а главное — может ли практически быть реализовано
движение в ее окрестности. Представим, как это обычно делается
при линеаризации уравнений, параметры движения самолета
в виде

а = аст -|- Лес;

со2 = ст + Л(о2;

Р-Рст + Лр;	(10.1)

ст AcDZy,

— (оло -р Д(оА.

Выполняя обычную процедуру линеаризации уравнений (2.14),
получим систему однородных уравнений в вариациях (для’сокра-
щения записи знак вариации в уравнениях опущен):

а' 4-	« — № + рРсох0 4- рРстсох = 0;

— т^бсс — mz6(Dz + ЛрсохосОу 4- ст^х = 0;	(10.2)

1

Р pcozy Р р (фг еСст)^х	— 0,

~ m^P — m<yy^y — B\lmx№z — ст(ох = 0;

СОх — тхХ(0х 4- ст(Ог — Шхр — (CpcOz ст 4- О)/у -= 0.

Для нахождения условий устойчивости необходимо рассма-
тривать характеристическое уравнение системы уравнений (10.2),
которое в общем случае может быть записано в виде

х5 + в^ + в3№ 4- вд2 4- вгх + в0 = о. (ю.З)

Условиями устойчивости решений системы уравнений (10.2)
согласно критерию устойчивости Рауса—Гурвица является вы-
полнение системы неравенств

В0>0;	> 0; В2>0; В3>0; В4>0;

= В4В3 — В2 > 0;	(10.4)

= Вх (В2ВА - В3В0) - (В4ВХ - В0)2 > 0.
89

Условия устойчивости (10.4), записанные в виде зависимостей
между аэродинамическими и инерционными характеристиками
самолета, сложны и практически могут быть использованы только
при проведении расчетов на вычислительных машинах. Исключе-
ние составляет критерий апериодической устойчивости Во О,
который определяет устойчивость во многих практически важных
случаях и может быть получен в достаточно простом виде.

Из системы уравнений (10.2) следует, что выражение для Во
можно получить, если раскрыть определитель

“И	М0)хо	О

—Шгб	~triz6	0	Л|ШОло

-	cz

—о	——	—и

О	—Висохо	—^у	—ГПуУ

пРст

ст

н(фг 4“ СС-ст)

/ЗрСОг ст

С|1С0^ст — (Срсо2СТ + тр)

(10.5)

В определителе (10.5) пунктиром выделен минор, с помощью
которого вычислялся свободный член характеристического урав-
нения Ло при анализе движения самолета при установившемся
вращении по крену с сох = const (см. § 5).

Для раскрытия определителя воспользуемся следующим прие-
мом. Умножим столбцы с первого по четвертый соответственно на:

dccCT . ст . ^Рст . d(j)y ст
dCi)jc

и прибавим их к пятому столбцу. Тогда нетрудно убедиться, что
в верхних четырех строчках пятого столбца получим производные
по сох от левых частей алгебраических уравнений (10.2), из ко-
торых находились статические решения. Поскольку в правых
частях этих уравнений стояли постоянные величины, то соответ-
ствующие производные по оА. как левых, так и правых частей
этих уравнений равны нулю. Непосредственной проверкой легко
Убедиться, что в пятой строке пятого столбца после операции
суммирования, получим выражение, равное производной
^^хст/dco^ Таким образом, получим, что свободный член ха-
рактеристического уравнения системы уравнений (10.2)— опре-
делитель (10.5) — может быть записан в виде (подробнее
см. [11]).

:	d(i)x

Раскрывая определитель (10.6) по элементам последнего столбца,
получим окончательное выражение для свободного члена ха-
рактеристического уравнения Во в виде

=	(10.7)

На основании соотношения (10.7) необходимое условие устой-
чивости Во > 0 может быть записано в следующем удобном для
применения виде. Движение устойчиво, если выполняются не-
равенства

—Г* >о при А>0;	(10.8)

d(dx

<о при Л0<0.	(10.9)

d(ox

Легко показать, что неравенства (10.8) и (10.9) представляют
собой обобщение полученного в гл. 2 условия апериодической
устойчивости движения самолета при установившемся вращении
относительно продольной оси.

Неравенство Во > 0 или эквивалентные ему условия (10.8)
и (10.9) являются необходимыми, но не достаточными критериями
устойчивости. Из неравенства Во > 0 следует только то, что в ха-
рактеристическом уравнении не имеется нечетного количества
действительных положительных корней, однако не исключается
возможность наличия четного числа положительных действитель-
ных корней или любого числа комплексно-сопряженных корней
с положительной действительной частью. Обычно характеристиче-
ское уравнение (10.3) имеет не более одного положительного
корня, в связи с чем критерий устойчивости (10.8) и (10.9) позво-
ляет определить апериодическую устойчивость движения самолета
в окрестности особой точки, т. е. выделить седловые особые
точки. Остальные критерии устойчивости (10.4) упростить не
удается.

Остановимся кратко на^некоторых свойствах коэффициентов
и корней характеристического уравнения (10.3). Рассмотрим
изменения свободного члена характеристического уравнения
в окрестности критических угловых скоростей крена. При анализе
движения самолета с сох = const было получено, что свободный
член Ао характеристического уравнения обращается в нуль,
а затем изменяет знак при переходе через критические угловые
рлределснис вида особых точек	91

скорости крена. В общем случае, когда т* 0, изменения Во
в окрестности критических скоростей могут быть исследованы
следующим образом. Легко показать, что функция Атх (<щ)
может быть представлена в виде

д^==4^-,	(10.10)

™0 (^х)

где функция G (соД не имеет нулей, совпадающих с нулями
функции А о (соД.

Дифференцируя функцию Лтх по cov, получим

q dAp

d £\т,х	dct)x	i dG 1	/1 /4 11 s.

—-------------~------1-.	(10.11)

dux	dax

Подставим выражение (10.11) в формулу для Во:

Во —

G (<ох) dA0

Ао (юх) d(dx

dG
d(i)x

(10.12)

При переходе через критические скорости крена величина Ло
обращается в нуль, а призводная dA0/da)x не равна нулю. Отсюда
следует, что при критических угловых скоростях крена функ-
ция Во (соД имеет полюс первого порядка, т. е. при приближе-
нии параметра сох к критическим значениям (соа, сор) корни
характеристического уравнения начинают неограниченно воз-
растать.

Легко убедиться, что коэффициент В4 характеристического
уравнения (10.3) не зависит от величины угловой скорости крена <ох.
С другой стороны, известно, что сумма действительных частей
всех корней равна этому коэффициенту с обратным знаком, т. е.

= — S (2?i + М-	(10.13)

i

Таким образом, из соотношения (10.13) следует, что если
Действительная часть хотя бы одного корня характеристического
Уравнения начинает возрастать, в частности стремиться к беско-
нечно большой величине, то всегда имеется корень, действитель-
ная часть которого стремится к бесконечно большим значениям
противоположного знака.

Выведенный критерий апериодической устойчивости позволяет
определять условия, при которых нарушаются характеристики
Устойчивости и управляемости самолета. В этой связи несомнен-
ный интерес представляет определение зависимости границы


92	Приложение качественной теории дифференциальных уравнений

апериодической устойчивости от параметров управления самоле-
том (6Э, <р,

Рассмотрим возможный вид такой зависимости для частного
случая аэродинамических характеристик самолета, когда гп^
== 0 и mlx = const и можно пренебречь произведением Ссо^
в уравнении для со*. Из соотношения для Во (10.5) видно, что
параметры установившегося движения аст, coZCT, рст, co/ycJ
входят только в последний столбец определителя. Отсюда следует,
что свободный член характеристического уравнения Во является
линейной функцией этих параметров.

Используя выражения, следующие из уравнения равновесия
сил, можно определить зависимости coZCT и со7Ст от аст и рст:

I

^2 СТ ~ 2jlT ^СТ	Рст^л »

_	(10.14)

®у ст =	2u~ ^ст (^ст “F <Рг) Ок*

Таким образом, условия на границе апериодической устойчивости
могут быть представлены в общем случае в виде функции трех
параметров аст, рст и сох:

Во а (<о>) «ст + b (соЛ) рст + с (о\) = 0,	(10.15)

т. е. уравнениями бифуркаций на плоскости параметров аст, рст
будут прямые линии. Соотношение (10.15) можно преобразовать
к непосредственной зависимости от параметров управления (ср, 6Н)
самолета. Воспользовавшись выражениями для нахождения ста-
тических решений можно записать:

ЛСС (р	л (X — е

m	Он>

z	У

Рст = Ат /ПгбЧ1 + Ат т6уИЬн.
z	у

(10.16)

Подставив (10.16) в (10.15), получим вновь линейное уравнение
для бифуркационной границы, но теперь в зависимости от пара-
метров управления ср, 6„ и величины угловой скорости крена

Во = Oj (сод.) <р 4- Ьг (сох) 6„ ф с (со,),

(10.17)

где (сод), Ьх (сох)—функции угловой скорости сод, а
с (сох) — — тххАо (со*).
Спучай больших угловых скоростей крена

93

учитывая, что связь между 6Э и сох в общем случае нелинейная,
йз соотношения (10.17) можно заключить, что и граница бифур-
кационных значений <р, бн, 6Э также является нелинейной.

Аналогично можно рассмотреть границу колебательной устой-
чивости, подставляя в характеристическое уравнение До (0) = О
значение корня равное /со, где со принимает значения от —оо
до + °°-

Разделив действительные и мнимые части, получим:

Re Aq (ио, czct, [Зст, сох)-- О,
1шЛо(но, аст, рст, coj —0.

Из системы уравнений (10.18), исключив со, можно получить
границу области колебательной устойчивости в виде F (аст,
рст, со/), но это уже будет некоторая нелинейная функция своих
аргументов. В связи с этим такая граница может быть практически
рассчитана только на ЦВМ.

§ 11. ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА ПРИ БОЛЬШИХ
УГЛОВЫХ СКОРОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОДОЛЬНОЙ оси

Как было показано ранее, можно выделить три основ-
ные области значений угловой скорости крена сох—малые, про-
межуточные и большие, в каждой из которых движение самолета
обладает своими особенностями. При малых угловых скоростях
крена в уравнениях движения можно опустить инерционные члены
и рассматривать их как линейные уравнения, учитывая, если это
необходимо, только нелинейности аэродинамических коэффициен-
тов. Наиболее сложные закономерности имеет управляемое дви-
жение самолета, сопровождающееся угловыми скоростями крена,
при которых инерционные и аэродинамические моменты имеют
одинаковый порядок величин; это область угловых скоростей
крена, которая главным образом и рассматривается в настоящей
книге. И, наконец, имеется область очень больших угловых ско-
ростей крена, которая характерна тем, что инерционные моменты
гироскопической устойчивости самолета при движении с такими
угловыми скоростями превосходят моменты аэродинамической
устойчивости. Такое движение является в некотором смысле
предельным движением самолета при маневре крена и резуль-
таты, полученные при его исследовании, помогают анализировать
некоторые виды движения самолета при больших угловых скоро-
стях крена.

Итак, большими значениями угловой скорости ох можно
считать такие, для которых выполняется неравенство

wx > шах (соа, сор).

(Н1)
Когда большей критической скоростью крена является ве-
личина соа, неравенство (11.1) может быть переписано в размер-
ном виде следующим образом:

(Л, — 1Х) Юх > — tniqSbA.		(11.2)

Неравенство (11.2) означает, что основное влияние на движение
самолета будут оказывать инерционные моменты, по сравнению
с которыми влияние аэродинамических моментов устойчивости
мало и ими можно пренебречь. Учитывая малость аэродинамиче-
ских моментов устойчивости по сравнению с инерционными,
с помощью формул табл. 9.1 легко показать, что статические ре-
шения при | (ох | оо стремятся к следующим предельным зна-
чениям:

lim аст—>0;	lim coZCT->0;

(i)r-4co	Ь) ->оо

.	-	(11-3)

lim PCT—>0;	lim coycT->O.

C£)„->oo	(b --Уоо

•A,

При этом соотношения (11.3) выполняются при любых отклоне-
ниях стабилизатора и руля направления, что объясняется большой
гироскопической устойчивостью движения самолета.

Подставляя выражения (11.3) в уравнения движения самолета
(3.13) в качестве параметров невозмущенного движения, линеари-
зуем их и получим уравнения в вариациях относительно движе-
ния, заключающегося в быстром вращении самолета относительно
продольной оси с угловой скоростью крена (оЛ = Q:

coz +

му — B^Qmz = тууму\
са

а.' + цОр -f- а = ikoz;

СР

Р' — fxQa------^-Р =

(114)

(11-5)

— '	—(О —	-Д

сох — тххмх = т*$.	(11.6)

Нетрудно видеть, что уравнения разделились на две пары
линейных уравнений второго порядка и одно уравнение первого
порядка, которые могут решаться последовательно. Решение
уравнений (11.4) не зависит от остальных уравнений и может
быть записано в следующем виде:

му	-f-

mz = В^^ 4* jB2e^sT.

(11.7)
СлУча

й больших угловых скоростей крена

95

Комплексно-сопряженные корни Х2 удобно определять с по-
мощью приближенной формулы, основанной на допущении о ма-
лости коэффициентов демпфирования по сравнению с мнимой

частью корня:

Х1,2 ~ 4- («“б тр} ± tuQ ( АВ.
Z \	у / л

(11-8)

Остальные корни системы уравнений (11.4)—(11.6) при аналогич-
ных допущениях приближенно можно записать в виде

(П-9)

(11.10)

Уравнения (11.5) и (11.6) являются однородными линейными
уравнениями относительно переменных а, р и поскольку
решения для со£/ и <ог известны (11.7). Решения для аир зависят
от изменения вариаций угловых скоростей со2 в процессе
движения, благодаря чему и решение для вариации сох также
зависит от вариаций сог/ и сог. Таким образом, решение для ыу
и со2 зависит от двух корней характеристического уравнения и
двух констант, определяемых начальными условиями; решение
для а и р в общем случае произвольных начальных условий
зависит от четырех корней и четырех констант, а решение для
уже зависит от всех пяти корней и пяти констант. Дальнейшее
упрощение анализа возмущенного движения самолета может
быть получено, если рассматривать случай, когда тх = 0.

Проанализируем этот случай более подробно, рассматривая
движение в фазовом пространстве угловых скоростей. Из уравне-
ния (11.6) получим общее решение для cov:

cov = (олОеХеТ.

(Н.П)

Подставляя в решение (11.7) выражения для корней, преобразуем
соотношение для йу и ©z к виду

—-----тг (rn^z + т	z	---ч

со£/е 2 \ гб у ) = cusin(jiQ/ ЛВ)т;

(11.12)

—----V + пг^УАт	z ------х	.	----

соге 2 \ 26 у ) ;=c21sin(pQ|, ЛВ) т 4-с22 cos (uQ ЛВ)т.

Из выражения (11.12), производя простые выкладки, получим

1

С22

1	(07,\

1	__----х- ( т / -|- т У) т	____

4-соуе 2 1 гб у ’ = sin (jiQ |/ЛВ) т;

' /АхАи	(11.13)

“г~1гю")е	1	cos (ИЙ//ЛВ) т.
Введем новые переменные, связанные линейными зависимостями
С угловыми скоростями (Я у и (ОД

/ —	с21	~	\ 1

(	Т	/	г	— ^zl‘

\	£11	/	С22

(11.14)

Произведя замену переменных (И-14) в соотношениях (11.13),
возведем в квадрат каждое из этих соотношений и сложим их.
В итоге получим уравнения интегральных кривых в фазовом про-
странстве для переменных <Ьу1, cozl:

/ _G)_ . -И) \

—п	—о	m / + т 11 Т

2	।	2 I <б у I

со0 + (о21 = е\ * '

(11.15)

Исключая время из соотношения (11.15) с помощью решения для
(0Л. (11.11), получим уравнение семейства поверхностей в фазовом
пространстве, на которых лежат интегральные кривые:

т Л
х

_ со, , _со„

«	т ? -]- т У

~2	. ~2	_ ~ гб У .

~г О?1 = 60 СО*	>

_ со_ , _ со,,
m 2 -4- т У

~~	2б У

С0 — 0)л0

(11.16)

(11.17)

При каждом значении коэффициента с0 поверхность, описы-
ваемая уравнением (11.16), представляет собой тело вращения
относительно оси O(ov. Если решения для со/Д, ю21, cov устойчивы,
то движение в фазовом пространстве происходит по поверхности
параболоида, касающегося начала координат:

(Од. = (О^д = (021 — 0.

(11.18)

Схема движения в фазовом пространстве показана на рис. 11.1.
Система уравнений движения (11.4)—(11.6) имеет один действи-
тельный корень (11.10), определяющий сепаратрисную поверх-
ность, уравнение которой непосредственно следует из решения
для (11.11):

(ох =0.	(11.19)

Движение в сепаратрисной плоскости будет устойчивым, если
т*х <С 0, и неустойчивым, если т*х > 0. Движение в фазовом
пространстве действительных угловых скоростей o)v, (о2,
имеет те же особенности, чго и движение в пространстве пере-
менных Ыу19 (о21, (ох. Отличие состоит в том, что если в простран-
стве (о/Д, со21, (дх сечение поверхности, по которой движется фигу-
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

угловых скоростей крена

97

ри	Фазовая картина движения

в окрестности особой точки, соответ-
ствующей быстрому вращению самоле-
та по крену

ративная точка, плоскостью ор-
тогональной оси Ойх является
кругом, то в пространстве

соА. такое сечение — эллипс.

Изменение углов атаки и
скольжения самолета в возму-
щенном движении описывается
уравнениями (11.5). Рассмотрим
в первую очередь движение са-
молета при наличии начальных
возмущений только по углам

атаки и скольжения, т. е. когда cdz/ (0) = coz (0) = 0.



Такое возму-

щение можно представить как действие на самолет ступенчатого
порыва ветра. Из выражений (11.4) следует, что угловые ско-
рости йу и coz остаются тождественно равными пулю, т. е. про-
дольная ось самолета в возмущенном движении сохраняет по-
стоянную ориентацию относительно инерциального пространства
и может перемещаться только путем плоскопараллельного дви-
жения, что объясняется большой гироскопической устойчивостью.

Поскольку coz/ = со = 0, уравнения
ны в более простом виде

(11.5) могут быть переписи-

а' 4- uQp 4—а “ 0;

Р' - нПа - Р - 0.

(11.20)

Решение уравнений (11.20) при соответствующем выборе начала
отсчета времени можно записать следующим образом:

/а р \
1 | су	сг |

р—2 \ 2	2 /TsinpQT.

(11.21)

Из выражений (11.21) видно, что решение для аир представляет
собой колебательный затухающий процесс. Колебательный ха-
рактер изменения углов а и Р обусловливается их кинематической
связью с углом между продольной осью самолета и вектором ско-
рости. Кроме этого, благодаря действию аэродинамической силы

4 Бюшгснс Г. С.
98	Приложение качественной теории дифференциальных Уравнений

*-—.-

самолет начинает «сноситься» по потоку, и угол между неподвиж-
ной в инерциальном пространстве осью вращения самолета и
вектором скорости уменьшается.

Частные случаи движения ^быстро^вращающегося самолета
показывают, что наблюдаются два типа движений, возникновение
которых зависит от действующих возмущений. Если на быстро
вращающийся самолет действуют^возмущения по углам в атаки
и скольжения, то его возмущенное движение сводится к такому
их изменению, при котором продольная ось самолета движется
плоскопараллельно и не изменяет своей угловой ориентации.
Если же возмущения приводят к изменению угловой скорости,
то ось ОХ самолета начинает прецессировать относительно век-
тора скорости полета.

§ 12. НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О МЕТОДАХ
ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

Одним из наиболее распространенных и эффективных
методов приближенного анализа задач динамики полета является
использование таких упрощающих допущений, которые позво-
ляют свести задачу к анализу дифференциальных уравнений не
высокого порядка. Понижение порядка системы дифференциаль-
ных уравнений, описывающих движение самолета, основывается
на одном из двух приемов:

—	разделение движений системы на медленные и быстрые;

—	разделение уравнений на подсистемы в связи с малой взаим-
ной зависимостью параметров, входящих в каждую из подсистем.

Иллюстрацией использования первого приема понижения
порядка дифференциальных уравнений является разделение урав-
нений продольного движения на уравнения длиннопериоднческого
и короткопериодического движения [13]. В качестве примера
второго способа можно назвать разделение уравнений простран-
ственного движения на уравнения продольного и бокового дви-
жений.

В настоящей книге широко будут использоваться при прибли-
женном анализе приемы понижения порядка исследуемых уравне-
ний. В связи с этим рассмотрим соображения, лежащие в основе
таких приемов.

Метод разделения движений на медленные и быстрые изложен
в целом ряде работ [9, 18, 16, 45 и др. ] и заключается в следу-
ющем [18]. Пусть движение исследуемой автономной системы
описывается системой нелинейных уравнений, записываемой в виде

=	, гп), i=l,	(12.1)
где у. — постоянные, имеющие размерность времени, сокращенно
называемые постоянными времени.

Возможность разделения движений системы на быстрые и
медленные возникает тогда, когда в системе (12.1) постоянные
времени имеют различный порядок. Например, если таких групп
постоянных времени две, то система записывается в виде

Ti — ft (Ль • • •> Уъ • • •> f/v)»	— 1» • • •»	(12.2)

Cl L

=	yv); /=1, ...» v. (12.3)

где X + v = гг\ Ti9 Tj — величины одного и того же порядка;
8 — малое отвлеченное число.

При этом предполагается, что правые части уравнений (12.2)
и (12.3) не зависят от е и средние значения \ft | и | gj имеют один
и тот же порядок.

Из уравнений (12.2) и (12.3) видно, что переменные изменя-
ются медленнее, чем^ (так как производныеdxjdt—малы). Рассма-
тривая быстрые изменения yit будем считать величины постоян-
ными, т. е. будем их рассматривать как параметры. Состояния
равновесия быстрых движений будут решениями системы урав-
нений

т. е.

gj(X!, х}_, У!.........Z/v) = O.

=	....а).

(12-4)

(12.5)

В рассматриваемых задачах, функции (12.5) однозначны. Состоя-
ния равновесия (12.5) будут устойчивы, если все корни харак-
теристического уравнения быстрых движений, линеаризирован-
ных относительно этих состояний равновесия, имеют отрицатель-
ные действительные части. Если это условие выполняется при
всех yh определяемых (12.5), то уравнения (12.3) можно заменить
уравнениями (12.4), т. е. можно пренебречь малыми постоянными
времени еТ7-.

Исследование получающейся упрощенной системы

, __ dxt

1 ~~~dF

=	уъ . . ., z/v);

О — gj(хр • • •> Х\у у^ • • •» у у)

(12.6)

Дает правильный ответ на вопрос об устойчивости исходной си-
стемы (разумеется при достаточно малом е), но, во-первых, только
по отношению к возмущениям, совместимым с системой (12.6),
т- е. таким, при которых изображающая точка в начальный мо-
мент лежит на гиперплоскости, определяемой уравнениями (12.5),
и во-вторых, если система (12.6) есть грубая система.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости исходной системы
по отношению к возмущениям совместимым с системой (12.2
12.3), т. е. таким, при которых изображающая точка в начальный
момент времени не лежит на гиперповерхности (12.4). Другими
словами, рассмотрим устойчивость быстрых координат «в боль-
шом», предполагая, что условие их устойчивости «в малом» вы-
полнено. Исследовав устойчивость по координатам z/j, считая xt
постоянными, получим область устойчивости в пространстве ко-
ординат у19 ..., yv (вопрос о практическом построении этой
области не затрагиваем), которая будет изменяться при измене-
нии координат xt, которые играют в данном случае роль пара-
метров. Следовательно, можно построить область устойчивости
в п-мерном пространстве параметров и координат

%i, ...,	у-±, ... £/v,	(12.7)

которую обозначим через Gy.

Аналогично, рассматривая уравнения медленных движений
и считая, что для быстрых движений удовлетворяются уравнения
установившихся движений, т. е. рассматривая уравнения (12.6),
можно построить область устойчивости Gx по координатам

%i, ..., л\.	(12.8)

Пусть теперь

*{0),	40), /А •••> ^0)	(12.9)

— суть начальные возмущения координат. Обозначим через Ау,
Ах начальные положения изображающей точки в пространствах
(12.7) и (12.8), соответственно, определяемые начальными коорди-
натами из строки (12.9). Система будет устойчива по отношению
к возмущениям (12.9), если точки Ау, Ах будут находиться соот-
ветственно в областях Gy и GA, и неустойчива, если хоть одна из
этих точек будет находиться вне соответствующей области. Если,
например, точка Ai: не лежит в области Gx, то неустойчивость
проявится в первую очередь в изменении координат x-L, а потом
распространится на другие координаты, а если Ау окажется вне
Gy, то неустойчивость начнет проявляться с изменения коорди-
нат yi. Пусть точки Ау, Ах находятся соответственно в обла-
стях Gy, Gx. Тогда изображающая точка, начав свое движение
из Ау за малое время st попадает в малую окрестность гиперпо-
верхности (12.4) вследствие быстрого изменения координат yj.
Переменные за это время изменятся мало, после чего начнется
ее медленное движение к состоянию равновесия (изменение пере-
менных Xi).

Все предыдущие рассуждения верны при достаточно малых 8.
Этим значениям е соответствуют определенная топологическая
структура фазового пространства, которая будет сохраняться при
увеличении е, пока эта величина не достигнет некоторого значе-
ния при котором произойдут первые изменения топологии фа-
зового пространства, например, изменение типа какого-нибудь
из состояний равновесия. Число называется первым бифурка-
ционным значением в. Очевидно, что изложенные ранее построе-
ния будут давать качественно верные результаты, если 8 < elt
и заведомо неверные, если 8 > ех. Однако вопрос о малости пара-
метра 8 и при выполнении условия 8 << 8j не может быть решен
только из общих математических соображений: существенную
роль здесь играют требования, диктуемые конкретной задачей.
Из сказанного вытекает некоторая условность понятия малого
параметра, который численно может быть совсем не мал, если
в рассматриваемой задаче 8Х не есть малая величина, а условия
задачи позволяют довольствоваться только качественной карти-
ной фазового пространства. В настоящей книге последние сообра-
жения будут широко использоваться для получения качествен-
ного представления о фазовом пространстве, сведения о котором
при необходимости могут быть уточнены численными расчетами.

Рассмотрим второй случайЛкогда разделение уравнений на
подсистемы возможно в связи с малой взаимной зависимостью
параметров, входящих в каждую из подсистем. Этот случай
широко распространенного в практике исследования возмущен-
ного и управляемого движения самолета с использованием урав-
нений изолированного продольного и бокового движений. Такое
разделение уравнений является приближенным и область его
применения нуждается в обосновании. Материалы, приведенные
в настоящей книге, позволяют сформулировать некоторые оценки
допустимости таких упрощений.	I

Нетрудно показать [13], что выделение уравнений продоль-
ного движения из общих уравнений пространственного движения
при исходном горизонтальном полете самолета, является строгим,
т. е. выполняется точно независимо от амплитуд изменения пара-
метров продольного движения. В то же время, выделение уравне-
ний бокового движения в тех же условиях является приближен-
ным и справедливость такого упрощения необходимо обосновы-
вать. Кроме этого, в ряде случаев возникает задача исследования
продольного движения самолета в процессе более сложного исход-
ного движения, например заключающегося во вращении самолета
по крену. В этом случае весьма заманчиво исследовать движение,	I

рассматривая значительно более простые, чем в общем случае,	I

Уравнения продольного движения.	I

Во всех перечисленных случаях упрощение исследований до-	I

стигается путем перехода к приближенным уравнениям и, следо-
вательно, приводит к появлению определенных ошибок в расче-	I

тах. Перекрестные связи уравнений продольного и бокового дви-	II

^ений могут иметь либо линейный, либо нелинейный характер.	I
Примерами линейного взаимодействия являются влияние гироско-
пического момента двигателя, некоторые зависимости аэродина-
мических характеристик от параметров движения. Нелинейными
перекрестными связями являются, например, связи через инер-
ционные моменты, степень воздействия которых на движение
самолета нелинейно зависит от амплитуды движения.

При решении вопроса о разделении уравнений на уравнения
продольного и бокового движения не всегда необходимо, чтобы
параметры выделяемых уравнений не зависели от изменения
параметров, описываемых остальными уравнениями. Когда такая
зависимость имеет односторонний характер, т. е., например,
параметры уравнений бокового движения зависят от парамет-
ров продольного движения (а), а обратной зависимости нет,
то и в этом случае для ряда задач уравнения могут быть
успешно разделены. При этом, если уравнения бокового дви-
жения имеют устойчивые решения при величинах а в диапазоне
а1 <С а а2»

то решения сохраняют устойчивость практически при любых изме-
нениях а из этого диапазона. Исключение может составить дви-
жение, когда а (/) является периодическим незатухающим про-
цессом. В этом случае при некоторых значениях параметров само-
лета возможна потеря устойчивости бокового движения вследствие
параметрического резонанса. Примеры таких решений были
приведены в гл. 2.

Перекрестные связи типа гироскопического момента двигателя
являются линейными и их относительный эффект постоянен не-
зависимо от амплитуды движения; при малых амплитудах он мал,
а при больших — велик. В связи с этим, необходимость учета
таких связей решается в зависимости от конкретной задачи. Иной
характер влияния у нелинейных связей, например, у инерцион-
ных перекрестных связей. Их влияние изменяется пропорцио-
нально квадрату амплитуды, поэтому они могут быть несуще-
ственны при малых амплитудах движения, но могут оказывать
определяющее влияние при увеличении амплитуды. Приближенно
можно считать, что удельный вес перекрестных инерционных
связей уравнений определяется соотношением величин угловой
скорости крена и меньшей из частот собственных продольных
либо боковых колебаний. При этом влияние инерционных момен-
тов сказывается, в первую очередь, на движении с меньшей соб-
ственной частотой колебаний и выражается как в изменении ампли-
туды, так и частоты колебаний получаемого решения. Такие
изменения приближенно могут быть оценены на основе анализа
параметров установившегося движения. Соответствующие зави-
симости могут быть рассчитаны с использованием формул, которые
приводятся в табл. 9.1. Полученные значения для установившихся
величин параметров движения достаточно полно характеризуют
103

свойства движения и по ним можно оценить возможность разде-
ления уравнений. Такое разделение возможно в том случае, когда
сохраняется линейность зависимостей от cov по всем параметрам
движения в окрестности соА. == 0. Как только эта зависимость
становится нелинейной, это является признаком существенного
влияния нелинейного взаимодействия движений. Однако такой
путь в общем случае достаточно громоздок, в связи с чем далее
формулируется более простой, но грубый способ оценки. Можно
показать, что частота (со*) и амплитуда (ср*) решения для про-
дольного или бокового движения, соответствующего меньшей
собственной частоте колебаний (соо), изменятся но сравнению
с результатами, получаемыми при исследовании изолированных
движений, пропорционально следующим выражениям:

— ~ 1/1 -	(12.10)

соо Г \ соо /	7

\ С00 /

где фо, соо — соответственно амплитуда и собственная частота
движения при сох = 0 (т. е. при изолированном движении).
В табл. 12.1 приведены результаты приближенных оценок ошибок
в амплитуде и частоте колебаний, которые могут иметь место при
анализе движений летательного аппарата с кренением, в зависи-
мости от соотношения величин угловой скорости крена и меньшей
критической скорости крена при рассматриваемом маневре.

В табл. 12.1 в качестве min (соо) следует рассматривать мень-
шую из величин соа или co|3. При определении меньшей из вели-
чин соа и необходимо рассматривать следующие выражения.
Для продольного движения <па следует оценивать по формуле

1 f ~m^qSb^

V ' ly- fx 9	(12.12)

Таблица 12.1

Приближенные оценки ошибок в амплитуде
и частоте колебаний

Ошибки	Величина соотношения “я min (“о)			
	0.3	0,45	0,55	0,71
Максимальная ошибка по частоте  Максимальная ошибка по амплитуде	10 %  10 %	20 %  25 %	30 %  45 %	50 %  100 %
либо, в случае нелинейной зависимости продольного момента от
угла атаки mz (а), по фЬрмуле (18.25), которая может быть за-
писана в виде

Wa -—

(ос J qSb^
a* Uy — 'U

(12.13)

где угол атаки cl определяется из алгебраического уравнения
(18.19).

Для бокового движения в качестве <ор следует брать меньшую
из величин:

сор1 =

(12.14)

(12.15)
ГЛАВА 4

Пространственное движение самолета с равными
величинами критических скоростей крена

Исследование общего случая пространственного движения само-
лета, сопровождающегося вращением относительно продольной
оси, является чрезвычайно сложной задачей, в связи с чем опре-
деленный интерес представляют исследования частных случаев
такого движения. Анализ частных задач, когда на характеристики
самолета накладываются определенные ограничения, позволяет
выявить ряд закономерностей, которые значительно сложнее
обнаружить для общего случая.

Как известно [131, величины запасов продольной статической
устойчивости и устойчивости пути обычно изменяются по режимам
полета. В соответствии с этим значения критических скоростей
крена также изменяются для различных условий полета. Наиболее
характерным является случай когда соа и близки между собой
в диапазоне дозвуковых скоростей полета. При больших числах М,
когда начинается сдвиг фокуса назад, (оа > сор. При сверхзвуко-
вых скоростях полета обычно также > Ор. При увеличении
угла атаки в дозвуковой зоне часто соа < сор, что связано с умень-
шением продольной статической устойчивости по углам атаки.
При сверхзвуковых скоростях полета обычно имеет место умень-
шение путевой устойчивости в этой зоне, сор < соа.

В настоящей главе рассматриваются устойчивость и управ-
ляемость самолета, у которого величины критических скоростей
крена равны (соа = сор).

При рассмотрении динамики самолета, обладающего равными
критическими скоростями крена и рыскания, примем ряд допол-
нительных допущений о значениях его параметров. Будем считать,
что самолет обладает одинаковыми характеристиками демпфирова-
ния по тангажу и рысканию. Примем также приближенно, что его
параметры, характеризующие несущие свойства с* и близки.
Последнее допущение для самолетных компоновок не выполня-
йся, а обычно выполняется для симметричных ракет. Однако
такие допущения значительно упрощают исследования и позволяют
получать качественно правильную картину движения самолета
в условиях, где влияние демпфирования мало (это, в частности,
соответствует полету на большой высоте).


При принятых допущениях может рассматриваться широкий
круг практически важных задач исследования движения сим-
метричных и квазисимметричных вращающихся летательных аппа-
ратов, в частности, спускаемых летательных аппаратов. В по-
следние годы в этом направлении выполнен ряд работ как оте-
чественных, так и зарубежных [15, 16, 37—40, 42—46]. В ча-
стности, следует отметить работы В. А. Ярошевского [42—45],
А. А. Шилова [37—401, М. Г. Гомана [15, 16]. Результаты ис-
следований по динамике вращающихся спускаемых аппаратов
обобщены в монографии В. А. Ярошевского [45].

Основной целью исследований динамики спускаемых аппаратов
является изучение влияния нестационарности движения, в част-
ности при медленном изменении угловой скорости вращения, на
динамику летательного аппарата с малой несимметрией. При этом
влияние поперечной устойчивости летательного аппарата на его
движение является малым, во всяком случае приводит к медлен-
ным изменениям угловой скорости крена, а высота и скорость по-
лета летательного аппарата изменяются, как известные функции
времени. В этих условиях постановки и заключается основное
отличие задач, решаемых применительно к спускаемым аппаратам,
и задач, характерных для динамики самолета.

Целью исследований, которые приводятся в настоящей главе,
является выявление свойств движения при установившемся вра-
щении по крену самолета, летящего на постоянной высоте, с по-
стоянной скоростью, характеристики которого удовлетворяют
сформулированным ранее условиям. Последующий анализ основан
на развитии результатов, полученных ранее в работе [11].

§ 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ И АНАЛИЗ
УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

При сделанных ранее допущениях о симметричных
характеристиках самолета по углу атаки и скольжения в случае,
когда момент поперечной устойчивости т* равен пулю, целый ряд
задач может быть исследован значительно более полно, чем это
было возможно в общем случае.

Рассмотрим устойчивость и особенности движения самолета
при установившемся вращении относительно продольной оси
с сод = Q = const, характеристики которого удовлетворяют
сформулированным ранее условиям. В этом случае уравнения
движения в безразмерном виде, записанные относительно главных
осей инерции, имеют вид

_ _ са _ _

а' — ucoz -h |ф<ох =------а; р' —	— раы, = -~

(i>z -f-

(13-1)
Преобразование уравнений для анализа устойчивости	107

—

Ыу — BptOxCOz — ГПу$ 4- ГПуУ(Лу + triyO,

— /	--Й—	--

= тххюх + тх0.	(13.2)

Произведем преобразование уравнений (13.1) и (13.2) к виду,
удобному для исследований. В силу принятой нами аэродинамиче-
ской и инерционной симметрии самолета можно ввести следующие
обозначения:

^У ~~~	Gp ^2б ™У ==

= mpj -= m(();

Л = В-=1-7к,

где 7Л	/7/; I =	12,

Входящие в правые части уравнений (13.1) и (13.2) слагае-
мые тА0, и т70 представляют собой моменты управления.

Из уравнений (13.1) и (13.2) видно, что в рассматриваемом слу-
чае при тА-0 = const угловая скорость крена соЛ. постоянна по
величине. Отсюда, в частности, следует, что уравнения (13.1)
можно рассматривать отдельно от уравнения (13.2) и считать, что
со = Q = const. Симметричный вид уравнений движения (13.1)
позволяет несколько упростить их запись благодаря переходу
к комплексным переменным — углу атаки и угловой скорости
с помощью соотношений

ср = а + г*Р;

_	-	/	/—ч	(13’3)

оз = сог 4- t&y (где i -= у — 1).

Произведя преобразования, получим

<р' — рсо — ZpQcp ----у- <р;

,	. i	(13.4)

со — i Др У со —	тмы т0,

НДС	~Т“

Систему уравнений (13.4) удобно привести к одному уравнению,
описывающему изменение комплексного угла атаки самолета ср.
Из первого уравнения системы (13.4) получим

7 [ф"+~ifiQ) ф1;	(13-5)

w=v к+(-?- - ‘>iQ) d •	<13-6)
сор

Подставляя выражения (13.5) и (13.6) во второе уравнение систему
(13.4) и группируя члены при соответствующих производных уГла
ф, получим

ф" + Мг - т<> - fMQ О + Л)1 Ф' +

4- — ртф—	—	— Ф = т„р. (13.7)

Уравнение (13.7) является линейным неоднородным уравне-
нием с постоянными комплексными коэффициентами. Для его ре-
шения можно использовать методы, аналогичные методам решений
линейных уравнений с действительными коэффициентами. Решение
уравнения (13.7) может быть записано в виде

ср = Л1еХ1Т -j- А,ех*х 4~ Аи

(13.8)

где коэффициенты Аъ /12, Л3 являются комплексными постоян-
ными, зависящими от начальных условий. Первые два члена
выражения (13.8) описывают общее решение однородного уравне-
ния (13.7), а коэффициент А3 —частное решение неоднородного
уравнения

- ~2^ - Р2ЛЙ2 - фй ( Л - тм) '

(13.9)

Корни и X, определяются из выражения

±4 / Нг- ^.0-4^(1 + Л)

-4 [-ртф-^-р2/Ш2-фО(д	.	(13.10)

Из выражения (13.10) видно, что корни в общем случае
являются различными комплексными корнями’ и решение (12.8)
состоит из колебаний двух различных частот. С учетом того, что
квадратный корень в выражении (13.10) представляет собой
комплексное число, выражения для корней характеристического
уравнения можно переписать в виде

Xl>2 = —(Rd ± Re.,) + / (ImL Ч Im.2),	(13.11)

где —Ren Тгг^ и —Re2, Im.,—действительные и мнимые части
соответственно первого и второго слагаемых в соотношении
(13.10).
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими

руками

Преобразование уравнений для анализа устойчивости 1Q9

Для устойчивости движения необходимо выполнение условий

Re, > 0,	(13.12)

Rex>|Re2|.	(13.13)

Остановимся на анализе этих неравенств. Учитывая, что

Re1 = 4-(4'-m»')’	(13.14)

получим, что условие (13.12) всегда выполняется для аэродинами-
чески устойчивого летательного аппарата, поэтому необходимо
анализировать только условие (13.13). Считая демпфирование
малым, на основании соотношения (13.13) выведем приближенное
условие устойчивости. В подкоренном выражении формулы (13.10)
в случае малого демпфирования коэффициент при мнимой части
существенно меньше по величине, чем действительная часть,
поэтому при извлечении корпя можно сохранить только первые два
члена его разложения в ряд Тейлора. Выполняя эту операцию,
получим приближенное выражение для корней Xi и Х2:

Х1<2- - 4 f-y-- т» - О +	±

Г-4|<т„ + p2Q2 (1 - Л)2



(13.15)

Используя выражение (13.15), условие устойчивости (13.13)
можно представить в виде

Неравенство (13.16) получено в предположении, что выражение
под радикалом в формуле (13.15) положительно. Иными словами,
Дополнительно предполагается, что выполняется неравенство

тч < l,fi2 (Л)2-	(13.17)

Неравенство (13.17) является приближенным условием апериоди-
ческой устойчивости движения вращающегося самолета. Это нера-
венство всегда выполняется для статически устойчивого самолета и
фактически является условием допустимой неустойчивости, кото-
рая может быть скомпенсирована гипроскопической устойчивостью
при вращении. Из сравнения условий (13.16) и (13.17) видно, что
условие устойчивости (13.16) является более сильным и его выпол-
нение заведомо влечет за собой выполнение условия (13.17).
Действительно, условие (13.16) можно переписать в следующем

/7i<p<4'^Q2^)2^>	(13.18)

виде:

где

Величина /<, как это следует из выражения (13.19), положи-
тельна и лежит в диапазоне между нулем и единицей:

1>К>0.	(13.20)

Когда /С = 1, получаем приближенные условия апериодической
устойчивости (13.17), с другой стороны, если К = 0, то динами-
чески устойчивым может быть только статически устойчивый само-
лет. На практике величина К отлична от нуля и единицы и при-
нимает некоторые средние значения.

Рассмотрим зависимость корней (13.15) от величины угловой
скорости вращения самолета по крену. Из выражения (13.15)
следует, что при вариации величины Q основному изменению под-
вержены мнимые части корней. Это особенно наглядно видно, если
рассматривать предельный случай инерционных характеристик
самолета, когда для моментов инерции выполняется условие
/А « /, те. /1	1,0. При этом условии выражения для корней

дополнительно упрощаются и приводятся к виду

*2 = ~4(^-«о) + ф(й-(13.22)

При изменении величины Q происходит изменение мнимых частей
корней, которые при Й 0 становятся различными. Это свиде-
тельствует о существовании в возмущенном движении самолета
двухчастотных колебаний. У одной из составляющих решения
частота возрастает по мере увеличения й, а у второй сначала
убывает по модулю, обращаясь в нуль при йф =	——-

(рис. 13.1), а затем изменяет знак и начинает возрастать. Величина
приближенно равна собственной частоте колебаний, а более
точно совпадает с определением критической скорости крена,
введенной в гл. 2. Путем анализа общего вида решения для ср
при /п0 = 0 можно представить вид фазовых траекторий па пло-
скости координат а, ф. Движение происходит относительно особой
точки в начале системы осей координат. Поскольку характеристи-
ческое уравнение имеет две пары комплексных корней с отрица-
Преобразование уравнений

для анализа устойчивости

111

Рис. 13.1. Качественный ха-
рактер изменения мнимых
частей корней характеристи-
ческого уравнения при из-
менении величины угловой
скорости вращения Q (£5ф —
значение критической скоро-
сти вращения)

Рис. 13.2. Пример изменения
фазовых координат а, р при
вращении самолета с различ-
ными значениями угловой
скорости крена Q

тельной действительной частью, то особая точка является устой-
чивым фокусом. Следует отметить, что фазовые траектории имеют
пространственный характер и зависят от четырех фазовых пере-
менных. При их изображении в виде проекции на плоскость (а, Р)
получим картину, при которой фазовые траектории могут пере-
секаться, так как остальные фазовые переменные (со^, со2) на этих
иллюстрациях не изображены.

В решении (13.8) коэффициенты /lj и А., являются постоянными
комплексными числами, зависящими от начальных условий,
которые на фазовой плоскости а, /р могут быть представлены
в виде векторов. При изменении аргумента т эти векторы, из-за
наличия множителей вида ехр (п]т) (где т) = Im Х1>2), начнут пово-
рачиваться, причем, если т| > 0, то вращение происходит от поло-
жительного направления действительной оси к положительному
направлению мнимой осн, а если q < 0, то к отрицательному на-
правлению мнимой оси. При этом векторы ехр (Хут), Л2 ехр (Х2т)
благодаря множителю е^т, будут дополнительно изменяться по
модулю. Эти качественные соображения позволяют представить
вид фазовой траектории движения на плоскости (а, ф). На рис.
13.2, а приведены соответствующие примеры изменения фазовых
координата, р при вращении самолета с малой величиной Q йф.
Для этого случая мнимые части корней имеют разные знаки и
векторы ехр (Т^т) и А2 ехр (Х2т) вращаются в разные сто-
роны.

При приближении величины Q к критическому значению Q =
= Йф скорость вращения вектора А2 уменьшается (стремится
к нулевой) и фазовая картина принимает вид, изображенный на
рис. 13.2, б. При дальнейшем увеличении Й так, что Q > йф, как
следует из рис. 13.1, обе мнимые части комплексных корней имеют
одинаковые знаки, фазовая картина меняется и принимает вид,
изображенный на рис. 13.2, в. В этом случае векторы Аг ехр (луг)
и А2 ехр (А2т) вращаются в одну сторону.

§ 14.	ДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ САМОЛЕТА

ПРИ ДЕЙСТВИИ НА НЕГО УПРАВЛЯЮЩИХ МОМЕНТОВ

Практически во всех случаях полета самолет сбаланси-
рован на отличном от нуля угле атаки, т. е. на пего кроме момента
крена действует продольный момент, а иногда и момент рыскания.
Наличие несимметрии у самолета в виде момента т0 делает уравне-
ния движения неоднородными в связи с чем дополнительно необ-
ходимо рассматривать частное решение, которое при т{) — const
записывается в виде

Фчастн = А =-------------------------

—[\.тч — |l12AQ2------— i

£ф
4 -----

2	10

(14.1)

Действительная часть выражения (14.1) дает частное решение для
угла атаки, представляющее собой установившееся движение,
если решение устойчиво, а мнимая часть — решение для угла
скольжения. Получить соответствующие решения для а и Р
можно, если умножить числитель и знаменатель выражения (14.1)
на комплексно-сопряженное знаменателю выражение. После выде-
управление в ра щчющнмся самолетем

113

пения действительной и мнимой частей, получим формулы для
установившихся (статических) решений:

mztl ( —m>t — |Мй2 —	— ту||[лЙ ( A — тЛ

«ет^-7^------------------------------7^--------чГ- ’•	(14.2)

( -И/иф - ИМЙ2 - т-^7- ) + ц=Й2 ( A -7L _ ть> )

/йу0 ( ~тч> ~	--4- mzUu£> ( А  тю\

Рст = -7-3--------------ТГТ-4--------г4г------- (14-3)

Выражения (14.2), (14.3) являются частным случаем соотношений,
приведенных в табл. 9.1, которые были получены для общего вида
характеристик самолета.

Рассмотрим изменение угловых скоростей сост самолета при
приложении управляющего момента. Величина установившейся
угловой скорости связана с решением для (р соотношением

рсоСт -	су	(| ст,

откуда получим

(ОСГ -= 3-	- ipQ) (Re А3 ф- i Im Л3).

Учитывая соотношения

<Л2 ст = ~Аз -- 1П1 ^3»

^cT-~«ReA + ^-ImA,

(14.4)

(14.5)

(14.6)

определим зависимости coZCT и со//ст от управляющих моментов:

^f/0

[+ pQ2 ( а - тЛ

2ц \ г__________________/_______\	_______/_

- 1,Лй2)2+p2fi2 (л ~т^2

С0/у ст —
114

Пространственное движение самолета при со
----------------—-------------------------«____Р

Рис. 14.1. Соотношение
между вращающейся
OXYZ и невращающейся
OX*Y*Z* системами осей
координат

Из соотношений (14.2), (14.3), (14.7), (14.8) следует, что:

/) наличие любого из управляющих моментов mzG либо myG
приводит к изменению одновременно как а, так и |3;

2)	при приближении величины Q к критическому значению Q(p
реакция самолета на воздействие управляющего момента сущест-
венно возрастает и при отсутствии демпфирования аст и рст
стремятся к бесконечно большим значениям;

3)	воздействие моментов mzQ (myG) на параметры движения
а (Р) при Q > изменяет знак на обратный по сравнению с пло-
ским движением при Q ~ О, а знак перекрестного воздействия
mzG (j™yo) на р (а) от величины Q не зависит и постоянен;

4)	реакция самолета по угловой скорости coZCT (со^ст) при
приложении управляющего момента mzG (ту0) сохраняет неизмен-
ный знак при всех величинах Q. При этом, перекрестная реакция
&z = fi (Myo) и &у = f% (fnzG) при увеличении Q > изменяет
знак на обратный.

Для более наглядного объяснения полученных свойств целесо-
образно рассмотреть движение самолета, взяв в качестве системы
осей координат оси OX*Y*Z*, которые колеблются вместе с само-
летом по а и р, но не вращаются по крену. Соотношение между
системами осей координат видно из рис. 14.1. Невращающаяся
система координат удобна тем, что позволяет проследить траекто-
рию движения носика фюзеляжа самолета вокруг вектора скорости.

Для вывода уравнений движения самолета в осях 0Х*У*7*
можно воспользоваться уравнением (13.7) и преобразованием

Ф = <ре~1ЙЦТ

(14.9)

которое ставит в соответствие угол ф во вращающейся системе
координат углу ф в невращающейся системе. Подставляя в урав-
нение (13.7) соотношение (14.9), получим уравнение для ф:



_|_ [_М/Иф _	+ i^Ix ф =	(14. Ю)
www.vokb-la.spb.ro - Самолет своими руками?!

Управление вращающимся самолетом

—........................	.....................................ш

iro.n ф представляет собой пространственный угол атаки
фюзеляжа самолета относительно невращающейся системы осей
координат. При записи уравнений движения относительнотакой
системы координат в правых частях уравнений движения появ
лялся периодически меняющийся член, величина которого про'
порииональпа т... Наличие такого возмущающего члена в правой
части делает уравнения неоднородными и приводит к появ=
в решении члена Л3е~ При наличии периодической> во1 v
щения в случае, если характеристическое уравнение системы имррт
колебательные корни, можно ожидать резонансные явХяРеше
ние для <р наиболее просто nnnvurm.	явления, кеше-

,шх (14.9) в решен,,,,	„времен-

ф=Ае(М-адг + Ле(Хг_га(1)т НЛс_(£2мт

Вводя новые обозначения для корней характеристического vnaR
нения, получим	-	1 отческого урав-

(14.13)

(14.14)

Для получения более наглядных приближенных оценок зави-
симости корней от Q рассмотрим самолет, у которого I х /, так,
что можно приближенно принять I х 0. Выражения для корней
в этом случае существенно упростятся:

Из приближенных соотношений (14.15), (14.16)

(14.15)

(14.16)

следует, что



когда Q =



то частота внешнего воздействия
В

Рис. 14.2, Пример изменения фазовых координат a, fl в невращающейся системе
осей координат (в некоторых точках фазовой траектории показана ориентация
самолета по крену)

Рис. 14.3. Пример изменения фазовых координат а м fl при действии на самолет
продольного момента управления (Ат^0 >0)

совпадает с частотой собственных колебаний. В этом случае
в системе имеет место резонанс, и амплитуда колебаний увеличи-
вается, достигая значений, определяемых величиной демпфирова-
ния самолета. При увеличении частоты возмущения до величины,
превышающей резонансную, реакция самолета ио углу атаки и
управление вращающимся самолетом 117

скольжения отстает по фазе от возмущения на 180е, что соответ-
ствует изменению знака вынужденной составляющей решения. Это
выражается в обращении знака связи между а и mzQ (р и ту0) при
вращении самолета с й > йф. Аналогично обстоит дело и в общем
случае, когда 1Х 0. Используя представление решения для ср
в виде (14.12), можно рассматривать изменение параметров движе-
ния на фазовой плоскости для переменных а, р (ср = а + /р).
На рис. 14.2 представлены примеры изменений параметров движе-
НИЯ ДЛЯ случая Q < <}ф (a), Q ~ йф (б) и <2 > йф (я). На этих
рисунках показана также ориентация самолета по крену в различ-
ных фазах движения.

Аналогично могут быть получены фазовые траектории для
параметров движения, определяемых в связанных с самолетом
осях координат, т. е. для обычных углов атаки и скольжения. Для
этого необходимо воспользоваться представлением решения в виде
(13.8) и учесть выражение (14.9) для определения Л3. Примеры
фазовых траекторий для управления т2{} приведены на рис. 14.3
для значений Q < Пф, Q ~ Иф и й > Йф.

Полученные свойства движения самолета при продольном и
путевом управлении в процессе вращения сохраняются и в общем
случае, который будет рассматриваться в последующих главах.
Наиболее существенным ограничением применения результатов,
полученных ранее, является допущение о том. что самолет не
имеет поперечной устойчивости (тх = 0). Это допущение позво-
лило считать, что в возмущенном движении Q = const, что в общем
случае не выполняется.
ГЛАВА

Пространственное движение самолета

При < (!)а

В случае, когда критические скорости крена являются существенно
различными и сор соа, уравнения пространственного движения
могут быть упрощены, а именно, их порядок может быть понижен
до третьего. Такое уменьшение порядка дифференциальных урав-
нений движения позволяет получить в аналитическом виде ряд
результатов, которые в общем случае не удается найти. В этом
случае исследуемые уравнения соответствуют боковому движению
самолета с дополнительными нелинейными членами [281.

§ 15. ПРИБЛИЖЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРИ < юр <С «а И АНАЛИЗ ИХ СВОЙСТВ
В СЛУЧАЕ МАЛОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ

Будем рассматривать пространственное движение само-
лета для тех случаев, когда |	<£ соа и критические скорости

крена существенно различны, причем

СОр^СОсе.

(15.1)

При выполнении приведенных условий можно приближенно счи-
тать, что угол атаки самолета в возмущенном боковом движении не
изменяется, ос а' ~ 0. В этом случае из уравнения для а'
получим приближенное соотношение для определения угловой
скорости oz, вызванной боковым движением самолета:

= Р(0х.

(15.2)

Подставив это соотношение в уравнения пространственного движе-
ния (3.13), получим систему нелинейных уравнений, приближенно
описывающих боковое движение самолета:

Р' =	+ н«лссо + -f- ₽;

<0р = /ПрР +	4- ВцохР + Дт^;	(15.3)

со* — /ПхР 4- tnx <ох 4~ Д'”»
Случай юЛ-

< сор	при

малом демпфировании

119

Таким образом, уравнения пространственного движения самолета
разделяются на две группы уравнений, отличающиеся темпом
изменения параметров: на систему уравнений (15.3), описывающих
медленно меняющиеся параметры, и уравнения, описывающие
квазиустановившиеся движени я:

(02 = рсок
сс-=а0,

(15.4)

выполняющиеся для параметров движения, при быстром затухании
возмущений. Как отмечалось в § 12, такое разделение уравнении
возможно при условии, что решения для быстрых переменных
являются устойчивыми при любых значениях медленно изменяю-
щихся переменных, т. е. величин р, сох, соу. Это требование при
сформулированных в начале параграфа ограничениях на величину
со для уравнений продольного движения выполняется. Более
того, в рассматриваемом случае могут быть сделаны некоторые
оценки точности выполнения соотношений (15.4).

Оценим величину отношения критических скоростей крена для
движений тангажа и рыскания при которых равенство (15.2)
выполняется с достаточной для практических целей точностью.
Рассмотрим сначала, при каких соотношениях между и
выполняется соотношение (15.2) в установившихся режимах дви-
жения. Воспользовавшись формулами для статических решений
(табл. 9.1) и считая демпфирование малым (%	0), получим

(Во	Вс&

] Р У

—	0)2 2/Л0)1/

^2 СТ_____~ а У

Рст х и2 Вс™
I ___________________ —"

<х>Х
а	у

(15.5)

Если потребовать приближенного выполнения соотношения
(15.2) для всех значений из диапазона 0 < |	| < свр, то

получим условие

4 ^у

<4 2/п“»

<7

(15.6)

(Для выполнения соотношения (15.2) с ошибкой не более 10 %
необходимо принять, что е =0,1.)

Рассмотрим второе условие, при котором выделялись уравнения
бокового движения, а именно неизменность угла атаки (Да ~ 0).
Из формулы для статических решений (табл. 9.1) следует:

Даст
а0

“а

“2	1

(О-

(15-7)
Р сс

Учитывая, что | cov < <оа, получим, что наибольшее значение
величина Даст достигает при максимальных значениях cov. Приняв
шах |	| = сор, получим, что изменение Даст составляет вели-

чину

*	~2

Лс^ст	_ г™ г* —_______—	f] к о\

а0 “ 1-е* ’ где ь •	(1^.8)

а

Чтобы величина Да Даст не превосходила значение Да

~ 0,1аъ необходимо выполнение условия	о,3.

<T>CZ

Качественный характер влияния величины сор соа на боковое
движение самолета виден из рис. 15.1, па котором приведены ре-
зультаты моделирования движения самолета при больших возму-

Рис. 15.1. Примеры движения на фазовых плоскостях Р, <ох и о^, йд- для раз-
личных соотношений величин критических скоростей крена по рысканию Тор
И тангажу
ГлучаП < ь>р «: »'>д "Г'11

Демпфгроваиин

121

щениях. При сор соа с 0,3 движение близко к изолированному
боковому, которое реализуется в случае, когда соа -> 0. Рас-
четы по формулам (15.6) и (15.7) показывают, что соотношение
со zcoa С 0,3 можно считать условием практической применимости
приближенных уравнений бокового движения (15.3).

Приступим к анализу свойств полученной системы нелинейных
уравнений (15.3), описывающих боковое движение самолета. Из
сравнения уравнений (15.3) с обычными линейными уравнениями
бокового движения следует, что в уравнениях (15.3) опущены гра-
витационные члены, и, следовательно, они неточно описывают
медленные движения типа спирального, однако учтены инерцион-
ные моменты, что позволяет с их помощью исследовать управляе-
мые движения, сопровождающиеся большими угловыми скоро-
стями крена.

Изучение качественных свойств нелинейного бокового движе-
ния самолета начнем с модельного случая, когда предполагается,
что самолет не обладает демпфированием. Уравнения движения
в этом случае преобразуются к виду

₽' =	4- naoiox;

== mfy +	(15.9)

Приравнивая производные нулю, получим выражения для коор-
динат особых точек:

Р = 0; с^ = 0; <ov= 0.	(15.10)

Кроме этой особой точки, которая сохраняется и при наличии
демпфирования, имеется особая прямая, которая сплошь состоит
из особых точек и существует только при отсутствии демпфиро-
вания:	)

₽ = 0;

(0^ = —ССОСОА.

(15.11)

Система уравнений (15.9) может быть проинтегрирована, что
позволяет найти решения для фазовых траекторий в конечном
виде.

Из второго и третьего уравнений системы (15.9), получаем
Уравнение

dwy	+ Вц(й2х

dux rrfi
X

из которого после интегрирования следует:

<0^ + С] — СОх +

(15.12)

(15.13)
122

Пространственное движение самолета при

“₽« «а

где С|—произвольная постоянная, значение которой определяется
начальными условиями для переменных йх (0) и (0). В частном
случае нулевых начальных условий соЛ (0) =	(0) = 0 постоян-

ная С\ 0.

Выражение (15.13) представляет из себя уравнение цилиндри-
ческой поверхности с образующей, параллельной оси 0(3. Отметим,
что из выражения (15.13), следует, что С\ может принимать
любые как положительные, так и отрицательные значения в зави-
симости от начальных условий.

Поделив уравнение для р на последнее уравнение системы
(15.9), с учетом выражения (15.13) получим уравнение для фазовых
траекторий

dp
du)x

By2

Зт%

1 ,
-----кос

Xi

(15.14)

«х + Н

(Dx — pCj



Проинтегрировав (15.14), получим уравнение фазовых траекторий
в явном виде:

-g-p^ + Q = 12^р + I1 (-^ + а°)”2	РА®*»	(15.15)

где Со — вторая произвольная постоянная, определяемая началь-
ными условиями для р (0) и (0).

Рассматриваемая нами система уравнений (15.9) не является
грубой, что привело к появлению бесконечного числа особых точек,
определяемых прямой (15.11). Если какая-либо фазовая траекто-
рия пересечет прямую (15.11), то соответствующая точка пересече-
ния является особой точкой для рассматриваемого движения
(рис. 15.2). Отсюда следует, что каждой комбинации начальных

Рис. 15.2. Пример зависимости положения фазовых траекторий на плоскости
ёх, от произвольной постоянной Сх
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

Случай Ох

123

< (Ор С0а при малом

демпфировании

Потеря устойчивости
с развитием й)х<.0

77777777^777777777777777777777777,
Потеря устойчивости
с развитием ojx>O

'/ZZZZZZZZZZZZZZZZ^
ЯС1
X

Рис. 15.3. График зависимости pCj (cox), используемый для определения зна-
чений й* в особых точках



условий по переменным (ЬА и соответствуют свои особые точки
на прямой (15.11).

Координаты особых точек могут быть получены из одновремен-
ного решения уравнений (15.11) и (15.13), которые приводятся
к одному нелинейному уравнению для определения значений
координаты со*:

Зт₽

(й;)3=сь

(15.16)

Величины &х удобно находить графически, строя зависимости
от <АХ левой части равенства (15.16) (рис. 15.3). Значения остальных
координат в особой точке определяются из соотношений

Р=0;	о>р==—«о«£-

Рассмотрим устойчивость движения в окрестности особых
точек, определяемых величиной ы*. Уравнения (15.9) в вариациях
относительно параметров движения в особой точке будут иметь
вид:

Р' = ptOj, + paO(ox;

(»'у = [ту + Bp (coZ)2] Р;

(15.17)

Ых = т*Р-

Продифференцировав первое уравнение по т и подставив выраже-
ния для й>у и ах из второго и третьего уравнений, получим

р" = р (т$ 4- аот% -|- Bp (a>Z)2) Р-	(15.18)
Из уравнения (15.18) определяются два корня характеристиче-
ского уравнения системы уравнений (15.17), третий корень равен
нулю. Из уравнения (15.18) следует, что решение для р (т) в окрест-
ности особой точки имеет колебательный характер. Частота колеба-
ний определяется по формуле

(Do — У—р	+ «о^х + Вр (сох)2).

(15.19)

Решение в особой точке устойчиво, если выполняется неравенство

+ а&пх + Вр (сох)2 < О,

(15.20)

и неустойчиво при обратном знаке неравенства (15.20). Таким
образом, условие, при выполнении которого особая точка соот-
ветствует устойчивому движению, можно записать в виде

= ^1/1 -р аохь

(15.21)

Из рис. 15.2 и 15.3 следует, что при некоторой величине Сг — СГ,
т. е. при некоторых начальных условиях, одна из неустойчивых
особых точек (№ 2 или 3) сливается с устойчивой особой точкой
(№ 1). Это произойдет при значении постоянной СГ, определяемой
по формуле

с;=4 (1 +вд)3,г

О

(15.22)

Такое значение СГ соответствует величине угловой скорости
в особой точке:

(D% крит — (D0 /

(15.23)

1

Учитывая выведенные ранее условия устойчивости и неустойчи-
вости решений в особых точках (15.21), получим, что все особые
точки, для которых угловая скорость меньше (Ь£крит являются
устойчивыми, а для которых | со? | > со* крит соответствуют седло-
вым особым точкам.

Следует отметить, что через особую точку пройдет фазовая
траектория, удовлетворяющая вполне определенным начальным
условиям, которым соответствует некоторое значение постоянной
Со. Это значение Со находится из условия прохождения фазовой
траектории, описываемой уравнением (15.15), через особую точку
с координатами р = 0; оэх = ш?. Отсюда получаем
Случай (Qx < Ор « СОд при малом

демпфировании

125

рассмотрим частный случай начальных условий, соответствующих
воздействию на самолет порыва ветра:

₽(О) = ₽о;	«х(0) = «!/(0) = 0.	(15.25)

В этом случае Ct — 0 и уравнение фазовых траекторий на пло-
скости (й>а, ах) приобретает вид

(— 2 \

1—”зюг)’	(15.26)

Г* /

а на плоскости (В, ®х) вид

т*х (р2 - Й) = р (4~ + «о) + -fC- «1-	(15.27)

Из соотношения (15.27) видно, что при достаточно малых угло-
вых скоростях крена, когда можно опустить член с сох, фазовыми
траекториями будут либо эллипсы, если выполняется условие

+ аотх < О,

(15.28)

либо при невыполнении этого условия — гиперболы. В последнем
случае движение неустойчиво. Критерий устойчивости (15.28)
совпадает с обычным приближенным условием устойчивости для
линейных уравнений бокового движения [13].

Для рассматриваемого случая имеются три особые точки
с координатами:

I) ₽ = 0,	2) ₽ = 0,	3) ₽ = 0,	
	СОх = (Ох,	(Ох	СОх,	
= соу = 0,	СОу 	CXqCOx,	соу -= а0(0х,	(15.29)

3(1+Xiao).

(15.30)

где

Можно показать, что особые точки 2 и 3 являются седловыми
особыми точками и через них проходят сепаратрисные кривые,
разделяющие области устойчивого движения в окрестности особой
точки /, от области неустойчивого движения, сопровождающегося
неограниченным возрастанием со*. Характер фазовых траекторий
системы уравнений (15.9) виден из рис. 15.4.

Для нахождения уравнения сепаратрисной кривой, определим
величину р0 = ркрит, при которой фазовая траектория проходит
через точку р = 0, сох = со*. Получим:

Если при ступенчатом порыве ветра | р0 | < Ркрпт» т0 движение
самолета ограничено (при наличии демпфирования —устойчиво).
а

Рис. 15.4. Фазовые траектории нелинейных уравнений бокового движения при
нулевом демпфировании

При ро | > Ркрит движение апериодически неустойчиво. Таким
образом, при анализе устойчивости возмущенного движения само-
лета в дополнение к условию (15.28) необходимо учитывать условие
I РI < Ркрит- На рис. 15.5 приведены примеры зависимости
Ркрит от величин и а0 Характер движения самолета при поры-
вах ветра, полученный путем моделирования на АВМ при х0 > О,
виден из рис. 15.6, а, Моделирование проводилось с использова-
нием практически точных уравнений движения. Фазовые траекто-
рии на рис. 15.6 соответствуют случаю относительно малого демп-
фирования. Влияние степени демпфирования на величину
критического возмущения может быть оценено с помощью
рис. 15.7, на котором построена зависимость ркрит от 1/^3ат»
где /?чат “ количество колебаний до практического затуха-
ния (п ат — 0,48л 5). Эга величина варьировалась измене-
нием производных тыу и с? в одинаковое число раз
х у	Z

относительно номинального зна-
чения.

Как было получено ранее, в
общем случае начальных усло-
вий положение особых точек и
вид фазовой картины движения
определяются постоянной С\,

Рис. 15.5. Пример зависимости от а0 ве-
личины возмущения от ветра | Ркрит I»
приводящей к потере устойчивости
движения

зависящей ог начальных условий по cov и сог На рис. 15.8 по-
строены примеры изменения фазовых картин при вариации ве-
личины С\ для а0 > 0. Значение С. = 0 соответствует рассмо-
тренному ранее случаю Р(О)=|Зо, соЛ (0) =	(0) — 0, а осталь-

ные случаи соответствуют различным сочетаниям начальных
условий по параметрам движения.

§ 16. АНАЛИЗ ОСОБЫХ ТОЧЕК И ДВИЖЕНИЯ
В ИХ окрестности

Рассмотрим свойства движений самолета, описываемых
системой уравнений (15.3), в общем случае его характеристик.
Анализ нелинейной системы дифференциальных уравнений треть-
его порядка будем основывать на использовании методов каче-
ственной теории дифференциальных уравнений, описанной в гл. 3
настоящий книги.

Пусть с помощью органов управления созданы моменты ДтЛ.
и действующие на самолет. Этим управляющим моментам
соответствуют особые точки или состояния покоя, координаты
которых могут быть найдены из системы алгебраических уравнений

сг

СТ ”	7 2р Рст>

— 1

т® + jBpQ2

СТ + ГПуХО^ + ^ту

(16.1)

Q =------ф (т^Рст + тхуыу ст + ЬтХ

тхх

В дальнейшем, в настоящем параграфе, в качестве независимого
параметра, описывающего исходное движение, вместо отклонений
органов управления будем рассматривать величины Рст и Q.

Для анализа движения в окрестности особых точек произведем
линеаризацию уравнений движения самолета. Сохранив только
члены первого порядка малости и опуская для краткости записи
знак вариации, получим

р' = р®,, + ра0(0Л + Р;

о)у = (mf + BuQ2) р -|- гпуу(оу -j-	-j- 2Вррст) (16.2)

— '	——	--(0,.—	--R

(0А -= тх- со* + mxJ&y + тхр.

Сгруппируем члены и введем обозначения:

/йу — /йу - BpQ2;

тух = 2BpQpCT.
анализ особых точек и движения в их окрестности

129

С учетом этих обозначений уравнения преобразуются к виду,
совпадающему с видом линейных уравнений бокового движения:

с₽

₽' =	Р’

4- ГПуХ<Лх',	(16.3)

= гПхЫх + тхуШу +
Система уравнений (16.3) имеет характеристическое уравнение
3-го порядка

Р3 + В2р2 + В1Р + Во = 0,	(16.4)

ГДе п -%

В2 = —1ПуУ — тх-------2";

„р . _

_	-	— R	~ В	- °) 7/ ~	. CZ I - ^7/ . -	/1 r>

В1 = туутх ~ paom^ —— тхут.ух-\~-^-ymyvmx ); (16.5)

_	- В ~	_ <0, R ,	_ б, - В I - “x - В

Bq = —mxpmy — цаотхут.у -j- тууцаот'х + tnx pm'y —

CP
cz
T

- Q).T

mx

— mxytny

Так как B2 > 0, то условия устойчивости имеют вид:

Во > 0:	(16.6)

R - В2Вг — Во > 0.	(16.7)

Неравенство (15.6) является условием апериодической устойчи-
вости и может быть преобразовано к виду

Во = Воо — 2 т — ~ тху^ p2BQpCT + p2BQ2 тхх — тууа0) > О,

(16.8)
где

Вм = т^ц \тууао — тих^ |-т^р\тх — mxJa0) —

Аналогично, условие колебательной устойчивости (16.7) может
быть преобразовано к виду

R == Во + (>пуу + тхуа0 +	pW +

4-2pBQPcT [туу + тхх^ тху [imx >0,	(16.9)

5 Бюшгенс Г. С-


где

Рассмотрим влияние угловой скорости й и угла скольжения
рст на устойчивость движения самолета. Члены, определяющие
это влияние, выделены в выражениях для Во и R. Из (16.8) и (16.9)
следует, что условия устойчивости представляют собой комбинации
членов, получаемых при анализе устойчивости линейных уравне-
ний бокового движения и нелинейных добавок. В случае, когда
самолет обладает аэродинамическим демпфированием, вращение
с угловой скоростью приводит к уменьшению как апериодической,
так и колебательной устойчивости движения. Для самолета, обла-
дающего аэродинамической поперечной устойчивостью (т£ < 0),
при движении со скольжением и вращением так, что йрст > 0,
степень устойчивости апериодического движения возрастает,
а колебательного уменьшается. При обратном знаке этого произве-
дения, а именно, когда Йрст < 0, апериодическая устойчивость
убывает, а колебательная повышается. Само по себе начальное
скольжение не влияет на устойчиво ть движения самолета, если
аэродинамические характеристики не зависят от р, а начинает
существенно влиять только при выполнении маневров крена (т. е.
когда й =£ 0). Влияние угловой скорости крена на устойчивость
движения проявляется и при отсутствии угла скольжения само-
лета.

Примеры границ областей устойчивости на плоскости пара-
метров (Q/cop), (m^pCT//n^x©p) приведены на рис. 16.1.

Как следует из формул (16.8), (16.9), границы областей устой-
чивости в координатах рст, Й определяются только аэродинами-
ческими характеристиками самолета и величиной угла атаки.
В связи с этим они являются универсальными для всех возможных
маневров крена. Анализ устойчивости конкретного маневра может
быть выполнен, если известны соответствующие величины рст и й.
Следует отметить, что полученные условия устойчивости верны и
для угловых скоростей й > при оговоренном ранее ограниче-
нии, что Й соа.

Уравнение (16.4) при й = рст = 0 является приближенным
характеристическим уравнением бокового движения самолета и
обычно содержит один действительный отрицательный корень и
два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действитель-
диализ

особых точек

и движения в их окрестности

131

Рис. 16.1. Примеры границ областей устойчивости в зависимости от величин
Рст и Q и соответствующие этим значениям виды особых точек (a, b, с, d)

ной частью. Учитывая существенную важность для дальнейшего
анализа знания зависимости величины действительного корня от
параметров самолета, в первую очередь от значений параметров
движения в особой точке, рассмотрим один из наглядных методов
нахождения такой зависимости. Рассмотрим зависимость корня X
от величины гп\ Пусть X — корень, удовлетворяющий характери-
стическому уравнению (16.4). Тогда, подставив л в (16.4) вместо р,
получим тождество

4- B2l2 + (Bl — рту) % + Во + (m? — аот?) р/Пу] = О, (16.10)
где

- - / -

Bl = туутхх — ра0^? — тх ту + \туу -|- тх J; (I6.ll)

Во = —mln тух — аотуу)--------{myvmx — mxymv ).

Б*
Рис. 16.2. Пример зависи-
мости корня / от величи-

ны ГП-

Из (16.10) можно выписать зависимость, связывающую величину
mF с л:
у

- ф - +	F	(16-12)

Рассматривая л как параметр, удобно построить функцию F (X),
с помощью которой при любом значении легко находятся
соответствующие значения корней X. Пример такой зависимости
построен на рис. 16.2. Из этого рисунка, в частности, можно сде-
лать вывод, что при ту 0 обычно имеется один действительный
корень, а при ту /> 0 может быть три действительных корня.

Рассмотрим изменение величины действительного корня харак-
теристического уравнения, обусловленное движением самолета
с отличными от нулевых значений величинами Q и [Зст. Пусть X —
корень характеристического уравнения (16.4) при Q = рст = 0.
При появлении в коэффициентах характеристического уравнения
дополнительных членов, пропорциональных Q, |3СТ, действитель-
ный корень изменится. Для оценки изменения величины действи-
тельного корня при вариации некоторого параметра v можно вос-
пользоваться следующим приемом. Обозначим выражение для
характеристического полинома через F (X, v), где X — действитель-
ный корень характеристического уравнения

X3 -ф ВЛ/ + ВгК + B0 = F (X, v).

(16.13)

Пусть при v -= 0 характеристическое уравнение (16.13) имеет
корень Хо. Тогда F (Хо, v) = 0. Поскольку при малом изменении
параметра v характеристическое уравнение должно выполняться
при некотором значении корня К, можно продифференцировать
выражение (16.13) по v и приравнять эту производную нулю:

dF	дХ	dF

dh	dv	dv
.... «собых точек И движения в их окрестности	]33

д н а л11	____________________— --—-----—— ------------------------------------------—----

Из (16.14)
при малом

следует формула для определения зависимости dVdv
изменении параметра v:

д7.   f dF	dF \

dv	\ dv	d'k / a=?i0 *

(16.15)

Изменение корня Д% определяется по формуле

(16.16)

С использованием этой методики нетрудно получить выражение
для ДХ, обусловленное влиянием членов в характеристическом
уравнении, пропорциональных рстй:

(з^ + гв^+в,)'

(16.17)

ДХ =

Из приведенных материалов по влиянию Q и рст на величины
корней характеристического уравнения следует, что вращение
самолета с Q О (при рст ~ 0) приводит к уменьшению величины
—т^у и, соответственно, к уменьшению по величине корня крена
(см. рис. 16.2), вплоть до появления положительных значений
корня. Из соотношения (16.17) следует, что при QpCT > 0 прира-
щение действительного корня АХ имеет отрицательный знак, т. е.
соответствует увеличению степени апериодической устойчивости
движения. При QpCT < 0 корень крена убывает по модулю и
может изменить знак, т. е. самолет может потерять устойчивость.
Рассмотрим, как при этом изменятся остальные корни характе-
ристического уравнения. Как следует из (16.5), коэффициент
характеристического уравнения не зависит от й и рст. Учитывая,
что этот коэффициент равен сумме действительных частей корней
с обратным знаком, получим, что изменение действительного корня
приведет к соответствующему изменению действительной части
комплексно-сопряженных корней:

Д£= — 4-ДХ.	(16.18)

£

Учитывая результаты анализа влияния рст и й на величину дей-
ствительного корня, можно определить влияние этих величин на
Действительную часть комплексно-сопряженных корней. При
$₽сТ > О демпфирование будет ухудшаться, а при Нрст О
Демпфирование колебательной составляющей движения будет
возрастать.

Как известно, коэффициент Вг характеристического уравнения
выражается через корни этого уравнения следующим образом:
При малых значениях демпфирования коэффициент Вг прибли-
женно равен квадрату мнимой части комплексно-сопряженных
корней:

if ~	-т- acfrix + р BQ2).	(16.20)

Как следует из (16.20), с увеличением Q происходит уменьшение
мнимой части комплексного корня, т. е. уменьшение частоты
колебаний. На основе проведенного анализа корней характеристи-
ческого уравнения, используя терминологию гл. 3, получим, что
при малых величинах Q и рст особая точка обычно является фоку-
сом, а при изменении рст и Q может перейти в особые точки (седло-
фокус двух типов). Соответствующие иллюстрации приведены на
рис. 16.1. В области а) при переходе через бифуркационную гра-
ницу происходит изменение знака действительного корня, а в об-
ласти в) — знака действительной части комплексных корней.

Для получения качественного представления о положении
фазовых траекторий в трехмерном пространстве переменных
(Р, со, со/у) в дополнение к уже найденным параметрам определим
изоклинные поверхности, соответствующие нулевым значениям
производных со* = 0, р' = 0,	= 0. Из уравнений (15.3)

получим соответствующиеТприближенные выражения, в которых
для простоты выкладок ограничимся случаем Amz/ = 0 и cj = 0.

,	R	G)

ыл = 0; mJ# тхха>х + Дтх = 0;	(16.21)

Р' = 0;

йу = 0;

И А	0;

—muV%

(16.22)

(16.23)

Р =

Изоклинные поверхности (16.21) и (16.22) представляют собой
плоскости и примеры их расположения в пространстве (р, cov, co,z)
приведены на рис. 16.3. Значительно более сложный вид имеет
изоклинная поверхность (16.23), пример которой приведен на
рис. 16.4. Для лучшего понимания расположения этой поверхности
удобно рассматривать ее
сечения плоскостями <0^-=
= const (рис. 16.5). Отме-
тим также, что из соотно-
шения (16.23) следует: что
эта поверхность образова-

ние. 16.3. Положение изоклин-
ных поверхностей й'х = 0 и Р 33
«с: 0
Рис 16.4. Изоклинная поверхность
^ = °

на прямыми, проходящими
через ось Оых и каждой ве-
личине <6Л = const соответст-
вует прямая со своим углом
наклона. Вид этой поверх-
ности не зависит от продоль-
ного и поперечного управле-
ния. При различной продоль-
ной балансировке самолета
изменяется положение плос-
кости (16.22), а момент Дтх

окрестности

135

при поперечном управлении приводит к эквидистантному сдви-
гу плоскости (16.21) (см. рис. 16.3).

Изоклинные поверхности, вместе с полученными ранее дан-

ными, позволяют представить фазовую картину движения само-

лета.

Рассмотрим вид фазовой картины движения самолета, сбалан-
сированного на положительном угле атаки при управлении элеро-
нами. Для нахождения координат особых точек воспользуемся
графоаналитической методикой, описанной в гл. 3. На рис. 16.6
приведены примеры зависимостей рст (соА), Дтл (о)А). Приняв
величину Дтх в качестве параметра, рассмотрим как будут изме-
няться фазовые картины движения самолета. При малой величине
Д/пх имеется одна устойчивая особая точка и две седловые особые
точки. Фазовую картину движения при Дтх = 0 можно пред-
ставить на основе материалов анализа для случая отсутствия демп-
фирования, рассмотренного в § 15. Из уравнения для нахождения
координат особых точек (16.1), приняв для упрощения выкладок,
что	= тху = 0, можно получить значения координат

особых точек в конечном виде:

1) устойчивая особая точка

Pi = 0; соЛ1 = 0;

2) седловые особые точки

co^/i = 0;

(16.24)

(16.25)

(16.26)
Рис.

16.6. Пример зависимостей Рст ((Ох) (а)

и (сох) (б) для ао > О

Рис.
особых точек и движения в их окрестности

137

!4з соотношений (16.25), (16.26) следует, что при уменьшении демп-
фирования тхх—>0, nty ~>0, координаты особых точек будут
изменяться таким образом, что р2,3 -> 0, а сох2,3 может стремиться
' некоторой величине, определяемой отношением т™у Для
самолета, обладающего демпфированием, сох2,з > Такие осо-
бые точки существовали и в случае нулевого демпфирования при
соответствующем подборе начальных условий.

В результате при малом демпфировании можно представить
картину движения в фазовом пространстве, близкой к изображен-
ной на рис. 15.8, и отличающейся тем, что фазовые траектории
«стягиваются» к единственной особой точке в начале осей коорди-
нат. Соответствующие иллюстрации фазовых траекторий приве-
дены на рис. 16.7.

По мере увеличения отклонений элеронов и возрастания
параметра Дтх = Дт* начинает изменяться действительная часть
комплексно-сопряженных корней уравнений в вариациях для
движения в окрестности особой точки. При некотором бифурка-
ционном значении ДтЛ. происходит изменение вида особой точки
от типа устойчивый фокус в
особую точку типа седлофо-
кус (см. рис. 16.6) и одно-
временно появляется предель-
ный цикл (см. гл. 3). Ана-
лиз возникающего предель-
ного цикла содержится в
§ 17.

Рассмотрим фазовые кар-
тины движения самолета, сба-
лансированного на отрица-
тельном угле атаки. На
рис. 16.8 приведены приме-
ры зависимостей рст (соЛ) и
ДтЛ (сох), позволяющие опре-
делить координаты особых то-
чек в этом случае. Из анали-
за этих зависимостей следует,
что при Дтх 0 имеется три
особые точки, одна из кото-
рых является устойчивой, и
Две седловые особые точки.

Пример зависимостей
(g)x) (п), ^тх (qx.) (б) для «б <
Рис. 16.9. Пример фазовых траекторий для а0 < 0, ДтЛ- > 0, Д/п7 = О

Движение в рассматриваемом случае имеет вид аналогичный слу-
чаю а0 > 0 (см. рис. 16.7).

При увеличении значения параметра Amv до бифуркационного
значения Ат* (см. рис. 16.8) происходит изменение качественной
картины движения -— устойчивая и седловая особые точки слива-
ются и исчезают, остается только одна седловая особая точка.
В этом случае движение самолета в рассматриваемой модели дви-
жения заключается во вращении с возрастающей угловой ско-
ростью оц. В действительности при учете продольного движения
значение сох будет ограничено (см. гл. 7). При дальнейшем увели-
чении Лтх и достижении второго бифуркационного значения этого
параметра вновь появляются две особые точки: одна — колеба-
тельно-неустойчивый седлофокус и вторая — седловая особая
точка. В окрестности неустойчивой особой точки реализуется
предельный цикл (рис. 16.9). Следует отметить, что свойства фазо-
вых картин движения, рассмотренные ранее для нелинейного
бокового движения, сохраняются и в общем случае пространствен-
ного движения при выполнении условия (Ор < <оа.

§ 17.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕПАРАТРИСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

И ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ

Задачи нахождения уравнений сепаратрисных поверх-
ностей и определения предельных циклов являются значительно
более сложными, чем рассмотренные ранее задачи анализа движе-
г-кфатрисные поверхности и

предельные циклы

139

в ОЕрестности особых точек. Как отмечалось в гл. 3, в общем
нП чае их не удается решить. Однако в рассматриваемом случае
Гализа уравнений нелинейного бокового движения сформулиро-
ванные вопросы удается в определенной мере исследовать. В част-
ности, возможно определение уравнения сепаратрисной поверх-
ности* в непосредственной близости особой точки, когда поверх-

ность является плоскостью.

Когда характеристическое уравнение имеет третий порядок,
возможны два вида значений корней: 1) один действительный,
положительный или отрицательный корень и два комплексно-
сопряженных корня; 2) три действительных корня. В рассматри-
ваемой задаче обычно только один из трех действительных корней
может быть положительным. Соответствующие этим случаям виды

движения в окрестности сепаратрисной плоскости иллюстрируются
рис. 17.1. На рис. 17.1, а показан вид движения в окрестности
особой точки (ОТ), когда действительный корень > 0, а на
рис. 17.1, б, когда корень Хх << 0. На рис. 17.1, в показан случай
трех действительных корней, когда Хх > 0, %2,з <С 0. Сепаратрис-
ная плоскость на рис. 17.1, а разделяет фазовое пространство на
две области, движение в которых имеет различные точки притя-
жения. Сепаратрисная плоскость на рис. 17.1, б также разделяет
фазовое пространство на области притяжения особых точек, и ее
нахождение представляет практический интерес. Когда особая

точка соответствует устойчивому движению, эта плоскость позво-
ляет приближенно определить соотношение между параметрами
движения самолета, так как часто | X | > | £ | и движение, описы-
ваемое действительным корнем, успевает быстро затухнуть и оста-
ется колебательное движение, которое происходит в окрестности
найденной плоскости. В том случае, когда движение в окрестности
особой точки является колебательно-неустойчивым, то, как отме-
чалось в гл. 3, в ее окрестности возникает предельный цикл,
который приближенно располагается в найденной сепаратрисной
плоскости.

Для нахождения уравнения сепаратрисной плоскости восполь-
зуемся методикой, изложенной в гл. 3. Решение для фазовых

Рис. 17.1. Зависимость вида фазовой картины в окрестности сепаратрисной
плоскости от корней характеристического уравнения:

° ~~ Х1 >0; £ ± О) (* < 0); б — М <0; q ± й| (i < 0); в — Z, < 0; 12, Х3 < О
траекторий, лежащих на сепаратрисной плоскости, не зависит от
действительного корня к. В общем случае решение, например цдя
параметра движения tov, может быть представлено в виде

соЛ (т) — Ae?wlT -J- Л2е^т А^,

(17.1)

где — действительный корень; Х2, Х3 — действительные либо
комплексно-сопряженные корни; /К, Л2, А — постоянные, зави-
сящие от начальных условий.

Решение в виде (17.1) соответствует всем фазовым траекториям
в окрестности седловой особой точки. В качестве начальных усло-
вий при этом могут быть взяты любые сочетания фазовых коорди-
нат <оЛ, (Ьу, р. Определим, при каких сочетаниях фазовых коорди-
нат, рассматриваемых как начальные условия в решении (17.1),
коэффициент Ах будет равен нулю. Как было показано в гл. 3,
соответствующее уравнение будет уравнением сепаратрисной
плоскости.

Из решения (17.1) получим систему алгебраических уравнений
для нахождения постоянных А» А2, А3 в функции начальных
условий:

А А А А А = (0);

А А ^2 А	Мз — а)х (0);

(17.2)

А 4" ^2 А А ^зА — -	(0).

Выражение для Ау в функции (ох(0), coi(O), Аг(0) находится из
соотношения

А — Щ

где До — характеристический определитель системы алгебраиче-
ских уравнений (17.2), а Дт — определитель, получаемый из До
заменой первого столбца на столбец правых частей.

Поскольку нам необходимо найти А» а затем приравнять этот
коэффициент нулю, то нет необходимости находить определитель
До, достаточно знать определитель Д-р

Раскрывая определитель (17.3) и приравнивая его нулю, получим

--- ---------------//	-— /

I — O)x

0Ц- (^2  |“ А) ” 0.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

ьге поверхности и

предельные циклы

141

Для нахождения уравнения сепаратрисной плоскости необходимо
выразить на основании уравнений движения производные <Ь'Х
и через фазовые переменные:

== tnxp + ,пх A(J|.v>	(17.5)

и" =	(-ф (/«л- / «ь- + /й“л/й£|3.	(17.6)

Подставив выражения (17.5) и (17.6) в (17.4), получим уравнение
сепаратрисной плоскости:

Х27з ~г	' Ь (™Х )” — (^2 ~ф“ 7з) П1Х J <i>x ф-

ф- — (X2	X3)	] £ ф- (mf’u) a>y = 0.	(17.7)

Выразим значения корней ?.2> Z3 через аэродинамические
характеристики самолета и корень Из характеристического
уравнения следует, что

- —В2 — Х2Х3 = —Вц/7\

(17.8)

где В2 и Во определяются из соотношения (16.5).
Подставив выражение (17.8) в (17.7), получим:

—	|2 +	Ь М <*]	T

Выражение (17.9) хотя и достаточно громоздкое, однако позволяет
достаточно просто определять при известных значениях корня
соответствующую сепаратриспую плоскость. Значение действи-
тельного корня Xi удобно находить, используя метод, изложенный
в § 16. Для грубых оценок, уравнение для сепаратрисной пло-
скости для малого демпфирования можно приближенно пред-
ставить в виде

— В —
тут

У

rr^v

(17.10)

|з



И

На рис. 17.2 приведена схема фазовой картины движения для
самолета, сбалансированного на положительном угле атаки, и
выделены найденные по описанной методике плоскость колебаний
в окрестности устойчивости особой точки и сепаратрисная пло-
скость, отделяющая область притяжения устойчивой особой точки
от остального фазового пространства.

Уравнения бокового движения самолета (15.3) являются
нелинейными уравнениями, и поэтому в них кроме устойчивого
Рис. 17.2. Схема фазовой картины движения и положения сепаратрисных пло-
скостей для случая Лтх = 0, а0 > О

либо неустойчивого движения в окрестности особых точек могут
существовать режимы периодического движения — предельные
циклы. Как отмечалось в гл. 3, при изменении типа особой точки
от устойчивой к колебательно-неустойчивой всегда одновременно
рождается периодическое движение — предельный цикл. Для
нахождения таких режимов и определения условий их существо-
вания воспользуемся методом гармонического баланса [9, 1, 7].
Анализ уравнений (15.3) в общем случае приводит к весьма гро-
моздким выражениям, поэтому для получения результатов в до-
статочно наглядном виде сохраним в уравнениях только наиболее
существенные члены. В частности, пренебрежем влиянием на
динамику самолета следующих коэффициентов сил и моментов,
приняв их равными нулю, с? fUyX т^у = 0.

Для использования метода гармонического баланса произведем
преобразование уравнений (15.3) к новым переменным так, чтобы
они имели особую точку, относительно которой рассматривается
движение, в начале координат. С этой целью получим из (15.3)
точные уравнения в вариациях относительно установившегося
движения самолета, рассматривая параметры его движения в виде:

₽ = рст + Ар;

, (ог, ст -~j— Acov.


с₽паратТиснь1е поверхности

и предельные циклы

143

3 есь Рст» ю*/ст» — значения параметров движения самолета
в особой точке.

Получим уравнения в вариациях:

ДР' — рДсо^ + цаоДсоЛ;

Део,, = т^у^у 4- (ту BpQ2) Др
гРРстЯрА^л- + ЯрРст (До\)2 + 2ВрйДрДсох 4 ВцДр (Дам2*,
(17.12)

Д(Ох ~~ А/7д;ДР Мх Д^0А.

Приведем систему уравнений (17.12) к одному уравнению для
вариации угловой скорости крена. Опустив для краткости записи
знак вариации, получим

(Ох В^х 4"	4“ С{ЫХ 7?1(0х)	4-

-г (Во + Со®* + £>о®л) ®* = 0.

(17.13)

где В2, Bt, Во — коэффициенты линеаризованных уравнений
движения (16.5);

Ci = — 2Bp2Q; Со = — (вц2т^СТ -	;

Dx -= — Bp2; Do = Bp2m“*.	(17.14)

Полученное при таких преобразованиях уравнение (17.13)
является столь же точным как и (15.3) и позволяет исследовать
движение не только в окрестности особой точки, но и во всем фазо-
вом пространстве. Его особенностью является то, что оно записано
относительно смещенной в фазовом пространстве точки, что позво-
лило сделать это уравнение однородным (т. е. его особой точкой
является начало координат). Пусть в окрестности этой особой
точки существует предельный цикл и изменение параметров
движения самолета близко к гармоническому, т. е.

соА = asin^T.	(17.15)

Решение (17.15) должно «в среднем» удовлетворять уравнению
(17.13). Поэтому амплитуда и частота колебаний могут быть най-
дены, если подставить решение (17.15) в уравнение (17.13), а затем,
помножив его на sin vt и cos vt, проинтегрировать на интервале
времени, равном периоду колебаний (Т = 2л/у).

Выполнив интегрирование, получим систему алгебраических
Уравнений для нахождения величин а и v:

b2v2+в0 + о0 4 «2 = °;

-v’-4-Bj + d^-o.

(17.16)
Из системы алгебраических уравнений (17.16) получим фор-
мулу для нахождения амплитуды а на предельном цикле:

П717.

а 3D0 —•	U/-17)

Учитывая выражения для Do, (17.14) и тот факт, что В2Вг _

— Во = R (см. (16.7)), получим в окончательном виде формулу
для нахождения амплитуды

(17.18)

Для самолетов обычно выполняется неравенство | т™х > ^уу\-
Поэтому из (17.18) следует, что необходимым условием существо-
вания предельного цикла является колебательная неустойчивость
движения при малых возмущениях (7? < 0). Из полученных
результатов следует, что если в окрестности особой точки решение
колебательно-неустойчиво, то оно при увеличении амплитуды
переходит в предельный цикл. Частота колебаний на предельном
цикле при известной величине амплитуды колебаний может быть
найдена из второго уравнения системы (17.16):

v2 = Bx-Bu2^-.	(17.19)

Из формулы (17.19) видно, что частота колебаний при малых
амплитудах (а ~ 0) близка к частоте собственных боковых колеба-
ний

v - V Bi

(17.20)

и убывает при возрастании амплитуды колебаний. Характер дви-
жения в окрестности особой точки нетрудно представить. Как
было получено в § 16, особая точка в случае, если < 0, представ-

ляет собой седлофокус (см.
рис. 16.1). При увеличении ам-
плитуды фазовые траектории
начинают наматываться на не-
который предельный цикл, кото-
рый расположен вблизи сепарат-
рисной плоскости (рис. 17.3).
Причем фазовые траектории,

Рис. 17.3. Иллюстрация положения
фазовых траекторий в окрестности
особой точки типа седлофокус и_ пре-
дельного цикла

146



которые подходят сверху и снизу, наматываются на один и тот же
предельный цикл соответственно над или под сепаратрисной
плоскостью. Способ нахождения соответствующей плоскости был
изложен ранее.

На рис. 17.4 приведены примеры фазовых траекторий на пло-
скости (ох, р для случая а0 > 0 (сор/соа -> 0), полученные расчет-
ным путем. Из рисунка видно, что по мере увеличения отклонения
элеронов (момента Атх) возрастает колебательность движения, и
при некотором значении Ага* движение становится неустойчивым
«в малом» и реализуется предельный цикл. При дальнейшем увели-
чении управляющего момента Дтх степень неустойчивости воз-
растает и амплитуда предельного цикла увеличивается, что
подтверждает результаты, полученные ранее.

Полученный ранее результат, заключающийся в том, что боко-
вое движение при наличии колебательной неустойчивости стре-
мится к предельному циклу, имеет вполне определенные подтверж-
дения в летных испытаниях. Некоторые примеры таких движений
приведены в гл. 7—9.

Как следует из проделанного анализа, причиной возникнове-
ния предельного цикла являются нелинейные инерционные и кине-
матические члены в уравнениях движения при линейных аэродина-
мических характеристиках. Нелинейности в аэродинамических
характеристиках могут оказать определенное влияние на пара-
метры предельного цикла, но основные его закономерности сохра-
нятся. В этой связи следует отметить, что движение типа предель-
ного цикла часто наблюдается и в записях результатов летных
испытаний самолетов на штопор.
г Л Л в А

6

Пространственное движение самолета
при

В настоящей главе рассматривается второй предельный случай
соотношения характеристик самолета, когда меньшей является
величина критической скорости крена по тангажу. Аналогично
анализу, приведенному в гл. 5, исследования ограничиваются
движениями с угловой скоростью крена, удовлетворяющей не-
равенству |	| < СОр.

§ 18.	ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ САМОЛЕТА С МАЛЫМ
ЗАПАСОМ ПРОДОЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим свойства пространственного движения са-
молета, аэродинамические характеристики которого таковы,
что для критических скоростей крена выполняется соотношение
0)з- Кроме этого аэродинамические характеристики продоль-
ной устойчивости будем как и ранее считать линейными функци-
ями своих аргументов. Рассмотрим особенности устойчивости
самолета при выполнении маневров крена, обращая вначале основ-
ное внимание на влияние силы тяжести на его динамику.

В том случае, когда степень устойчивости самолета по углу
скольжения достаточно велика, можно в первом приближении
считать, что во все время движения самолета выполняется соотно-
шение [3 ~ р' ~ 0. С учетом сделанных замечаний запишем урав-
нения пространственного движения самолета в следующем
приближенном виде:

- са

а' — рсо2 —---а 4~ ko (cos у — 1);

(Oz [ А	j- 4 A^zO>

<Ay -= — (a0 4- a) cox; p = 0;

pcox,

(18.1)
где сс — угол атаки, являющийся приращением к углу атаки а
соответствующему горизонтальному полету самолета;	*и

cos©.

(18.2)

При рассмотрении движения самолета, заключающегося во
вращении по крену, выполняемому из условий горизонтального
полета, изменения угла тангажа обычно невелики, поэтому во
всех случаях будет рассматриваться некоторая постоянная вели-
чина Фо, характеризующая в среднем ориентацию траектории
самолета относительно Земли. При этих условиях коэффициент kG
является константой и при полете самолета по горизонтальной
траектории принимает практически наибольшее значение.

Перейдем к анализу свойств динамики самолета, описываемых
системой уравнений (18.1), при его вращении с сох = Q = const.
После несложных преобразований уравнения (18.1) могут быть
приведены к одному дифференциальному уравнению второго
порядка для изменения угла атаки:

- J + ZpQ2 +
J	\

СС -

2р

= — /?ouQ sin у — (cosy — 1) + Лр2И2а

(18.3)

где у = pQr.

Уравнение (18.3) для а является неоднородным линейным диф-
ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и его
решение может быть представлено в виде суммы общего и частного
решений:

а (т) = cos соат ф- £>2е^аТ sin соат -|-

+ Со -ф- cos Qpx + С2 sin Qp/г

где Со =
£>i и D2 — произвольные постоянные, зависящие от начальных
условий.

Для начальных условий а (0) = а' (0) = 0 постоянные

и D2 определяются из соотношений

Di-------(Со + CJ;

(18.12)

r>2 =	+

В общем случае зависимость изменения угла атаки (т) при
вращении с <ЪЛ. = Q от параметров самолета достаточно гро-
моздка, поэтому для получения наглядных результатов рассмо-
трим частный случай медленного вращения самолета, когда
йр — 0 (е) малая величина. В этом случае приближенное решение
для сс (т) может быть записано в виде

а(т) =

~ ra
mZ6-2^aocosacp

СС -

Cymz6

(1 — cos Прт).

(18.13)

2ц

Из соотношения (18.13) следует, что:	,ГГлп

- изменение угла атаки при крене отрицательное, т. е. угол
ЭТа- ZX уменьшение угла атаки будет „меть место
при угле крена у 180° и приближенно будет равно.

max | Да |
&г. п

- са

Л _<’Ь	«

2/П^ VCOS^cp

гу _ W -у
Ситгб

(18.14)
150

Пространственное движение самолета при



Из соотношения (18.14) следует, что амплитуда изменения угла
атаки при медленном вращении по крену зависит от параметра
2рп“б/фй“бг:	

max ] Ла |
«Г. п

1

2l»^6 \

(18.15)

График зависимости величины шах|Да|/аб от параметра
2рт*?б

----построен на рис. 18.1. Из формулы (18.15) и рис. 18.1

с>2б	1

следует, что при очень малых запасах продольной устойчивости
при крене самолета могут наблюдаться значительные изменения
угла атаки, обусловленные влиянием силы тяжести. На рис. 18.2

приведены примеры расчетов по полным уравнениям движения
изменений а (т) и у (т) для самолета с малым запасом продольной

устойчивости, когда параметр

ОС - ^7

Сит2б

лыпие изменения

Результаты расчетов показывают, что наибо

угла атаки имеют место при угле крена несколько большем у =
~ л. Амплитуда изменения угла атаки удовлетворительно со-
гласуется с результатами, приведенными на рис. 18.1 (на рисунке
результаты, полученные из расчетов динамики на ЦВМ нанесены

в виде точек, соответствующих различным значениям угловой
скорости крена).

Из рис. 18.1 следует, что при увеличении степени продольной
устойчивости изменение угла атаки, вызванное влиянием грави-
тационных сил, существенно уменьшается. В частности, при
2р/?&

реальных значениях параметра -------—	10 эти изменения

малы и составляют величину не более 15...20 % от значения на-
тах/Да!	чального угла атаки. В связи

с этим, при приближенном
анализе динамики вращаю-
щегося самолета с обычным
запасом продольной устой-
чивости можно не учитывать
влияние гравитационных чле-

Рис. 18.1. Оценка максимальной
величины изменения угла атаки
max Да/ао, обусловленного вли-
янием гравитационных сил
Рис. 18.2. Примеры изменения угла атаки а (т) (а) и изменения угла крена у (т)
(б) для самолета с малым запасом продольной устойчивости

нов в уравнениях, что дополнительно подтверждает результаты,
приведенные в § 3 гл. 1. Когда степень продольной устойчивости
достаточно велика, основное влияние на изменения угла атаки
оказывают инерционные моменты, пропорциональные Q2, однако
оценка первого минимума в переходном процессе по углу атаки,
выполняемая с помощью соотношения (18.15), дает качественно
удовлетворительное соответствие, что видно из рис. 18.1. Учиты-
вая, что влияние гравитационных сил обычно мало, в дальнейшем
основное внимание будет обращаться на влияние инерционных
моментов на динамику самолета, а влиянием гравитационных сил
будем пренебрегать. С учетом сделанных допущений, уравнения
движения самолета (18.1) можно дополнительно упростить и при-
вести к виду

са
г

а — р<п2 =-----~~ а;

СОг —р-	(°с) “Т“	(18. 16)

СО?/	Р О,

[де а — полное значение угла атаки самолета.

° Уравнениях (18.16) предполагается, что аэродинамические
характеристики су (сс) и mz (со2) являются линейными функциями
своих аргументов и, следовательно, представляются в обычном
Пространственное движение самолета пои <л ,
_________________________________х

виде как с*сс, m^2(&ZJ а зависимость продольного момента от угла
атаки может быть в общем случае нелинейной однозначной функ-
цией а. Основным допущением в уравнениях (18.16) является
выполнение условия	для всех значений угла атаки.

Физический смысл этого условия заключается в предположении
о том, что рассматриваемое движение самолета заключается во
вращении вокруг вектора скорости V (т. е. ось вращения совпа-
дает с вектором V). Такие условия движения могут реализоваться
как при большой путевой устойчивости самолета, так и при соот-
ветствующей организации поперечно-путевого управления путем
координированного отклонения элеронов и руля направления
так, что Му/Мх ж —tg а0.

Подставляя выражение для ыу в уравнения (18.16), получим
уравнения, описывающие продольное движение вращающегося
самолета:

Л	и

а — рсо2 —-------------- а;

£

со2 —	= mz6 (а) Д- Д- kmzQ. (18.17)

Рассмотрим устойчивость решений уравнений (18.17) для
различных постоянных величин угловой скорости крена й. Для
этого сначала определим координаты особых точек этой системы
уравнений при Amz0 = const.

Из (18.17), положив о/ =; а>2 = 0, получим
- са

ст = сеет»	(18.18)

(аст) + ЛрЙ2аст Д- /п2б -|“«ст = — Атг0.	(18.19)

В общем случае, когда fnz (а) является нелинейной функцией
угла атаки, для нахождения связи cxCT = f (Q, Amz0), необходимо
решать нелинейное уравнение (18.19), которое удобно преобра-
зовать к виду

- сс

т^> (а) + а + А/пЛ = - ЛрЙ2а. (18.20)

Пересечение функции, стоящей в левой части, с линейной функ-
цией а в правой части с коэффициентом наклона, зависящим
от Q, даст решение. Графическое решение уравнения (18.20)
приведено на рис. 18.3.

Для анализа устойчивости движения уравнения (18.17) необ-
ходимо линеаризовать относительно параметров движения («ст,
динамика самолета с

малым запасом продольной устойчивости

Рис. 18.3. Пример определения балансировочного угла атаки вращающегося
самолета:	J	г

для линейной зависимости (а) == т^а; б — для нелинейной зависимости (а)

(о2Ст) в окрестности особых точек. Проведя эти преобразования,
получим уравнения в вариациях:

- са

7	° 4/

а — рсо2 =------к- а;

, - - у	л	Qy	__ СО 2

со2 — XpQ а = mz6 (аст) а + т2бсо2

(18.21)

(в уравнениях знак вариации А для сокращения записи опущен).
Исходные условия движения самолета вошли в уравнения (18.21)
в виде зависимости локальной производной т2 (аст) и входящей
в уравнения величины й. Из (18.21) легко получить характери-
стическое уравнение, которое имеет обычный для уравнения ко-
роткопериодического продольного движения вид:

р2 + агр + а0 = 0;	(18.22)

где at = -f- — m26z;

Шгб («ст) + Лцй2 +

_^zra
tnZ6cy

2ц

(18.23)

Единственным существенным отличием от случая изолированного
короткопериодического продольного движения является выраже-
ние для свободного члена характеристического уравнения а0,
из которого следует, что частота продольных колебаний изме-
няется с увеличением угловой скорости вращения самолета по
крену Q, и при некотором значении Q = Q* движение становится
неустойчивым. Такое критическое значение Q = Q* определяется
из равенства

= l/""^ •	 (18-24)
Неустойчивость продольного движения при линейных аэро-
динамических характеристиках практически не реализуется, так
как соответствует (при Ат2 — 0) бесконечно большим баланси-
ровочным значениям угла атаки. При нелинейной зависимости
т2 (а) реализация такой неустойчивости вполне возможна. Рас-
смотрим для примера нелинейную зависимость тг (а) с«выпола-
живанием», приведенную на рис. 18.3, б. Самолет при движении
с Q = 0 был сбалансирован на угле атаки аб. При движении
с Q 0 балансировочный угол атаки самолета будет увеличи-
ваться при возрастании величины Q, и продольное движение будет
сохранять устойчивость до тех пор, пока выполняется условие
Q < Q*. Как видно из рис. 18.3, б, в этом случае может быть три
балансировочных значения угла атаки. Первое (точка Л) —
является устойчивьш состоянием равновесия, второе (точка В) —
неустойчивое состояние равновесия, и соответствующая особая
точка является седловой, а третье (точка С) — также устойчивое
состояние равновесия. Движение в окрестности седловой особой
точки В неустойчиво, хотя самолет аэродинамически устойчив
(т2 < 0) на этом угле атаки. Критическое значение угловой ско-
рости крена Q, при превышении которого движение становится
неустойчивым (во всяком случае нарушается непрерывная зави-
симость между изменением Q и а), определяется из условия, что
при этом значении угла атаки а* локальная производная т2
равняется отношению mja*.

Значение угла атаки, удовлетворяющее этому уравнению,
позволяет определить критическое значение угловой скорости
крена:

£>	= V ~	.	(18.25)

крит у	v

Выведем приближенную формулу для критической скорости
крена (о« в размерном виде для случая, когда нелинейная зависи-
мость mz (а) может быть аппроксимирована двумя отрезками
прямых. Критическое значение момента А/Иг, при превышении
значения которого инерционным моментом (Jy — /х) насту-
пит практическая неустойчивость движения самолета, может быть
представлено в виде

АТИг = т2 (а* — аб) qSb&.

Приравнивая инерционный и аэродинамические моменты и произ-
водя необходимые преобразования, получим приближенную фор-
мулу для критической угловой скорости крена в размерном виде:

0)а

(18.26)
рдияние

поперечной устойчивости при уменьшенной продольной устойчивости

155

4 Пример продольного
Жжения на фазовой плоскости &г
д Л л я различных значении угловой
скорости крена &

Как следует из самой проце-
дуры определения Пкрит и
ф* ее величина при нелиней-
ной зависимости т2 (а) яв-
ляется функцией балансиро-

вочного угла атаки.

Пример изменения фазовой картины движения для различных
величин сол = Q для характеристики mz (а), имеющей «ложку»
на больших углах атаки, приведен на рис. 18.4. Видно, что при
Q == 0 имеется одна устойчивая особая точка. По мере увеличе-

ния угловой скорости крена сначала дополнительно появляются
две особые точки — седловая и фокус, а затем седловая особая
точка сближается с устойчивой особой точкой, и при Q = QKpilT
они исчезают. Остается одна особая точка типа устойчивого фо-

куса.

§ 19. ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
НА ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА
С МАЛЫМ ЗАПАСОМ ПРОДОЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

В § 18 в качестве первого приближения анализ ограни-
чивался движением самолета, при котором угловая скорость
крена предполагалась неизменной величиной. Однако даже в слу-
чае достаточно большого запаса путевой устойчивости в процессе
возмущенного движения при вращении самолета происходит изме-
нение угла скольжения, которое при достаточно большой вели-
чине поперечной устойчивости самолета может оказывать влияние
на его движение. В этой связи в настоящем параграфе в качестве
второго приближения рассматривается влияние изменения угла
скольжения самолета на его динамику по-прежнему в предполо-
жении, что степень продольной устойчивости самолета значи-
тельно меньше его путевой устойчивости, т. е. соа С При этом
ограничении на характеристики рассматриваемых самолетов, осно-
вываясь на методике понижения порядка дифференциальных
Уравнений (§ 3), можно приближенно находить угол скольжения
самолета из квазистатических соотношений, считая, что во все
время движения моменты относительно оси 0Y самолета в среднем
являются сбалансированными. При рассматриваемых предполо-
жениях движение самолета будет описываться следующей системой
дифференциальных уравнений:

а' = рсог------а — ррсо/,

coz ~ /п2бсс — Лрсох(о^ 4“ mz6coz -ф AmzJ

w* =	+ tnxxax + ЛтЛ;

+ ni^aty = 0;

(19.1)

(ду -|- сс(ох — 0.

В уравнениях (19.1) под величиной а понимается полное значение
угла атаки самолета.

После простых преобразований система уравнений (19.1) при-
водится к виду:

„СС

г ~~ СУ	. “2.

а = pcoz----а — ааых,

£

<02 = т“бй + Лр.(02а 4- ГПгбЫг 4- Дт2о>

Юх 4- тхх (1 4- Ьа) шх 4- Дтхо.

- и
ту
где а = {.I —V
т.р

У

— R — и
т' т у
ь ^= х у

- fi —
пг tn
у х

(19.2)

(19.3)

Определим из системы уравнений (19.2) координаты особых
точек в зависимости от величин управляющих моментов Атх
и Ьту. Приравняв производные параметров движения нулю,
после простых преобразований получим нелинейное алгебраиче-
ское уравнение для угла атаки, нули которого дадут значения а
в особых точках:

F(a)4-Дтг = 0,	(19.4)

 2	! gc	—2	\

.де F(a)= [т“б+	+	4- «уттМJ

(19.5)

— у
т t
юперечной устойчивости при уменьшенной продольной устойчивости 157

пинаты других параметров движения в особых точках при

К00Гтных значениях а = а* определяются из выражений

са

У

c°z* 2р а*

о

(19.6)

(19-7)

Нахождение нулей нелинейного уравнения (19.4) удобно вы-
полнять графически. На рис. 19.1 построен пример функции
F (а) и определены значения угла атаки в особых точках при
некотором значении Лт2. Из рис. 19.1 следует, что при рассма-
триваемых значениях А/пх и Дт2 имеются три особые точки (/,
2, 5). Причем движение в особых точках 1 и 2 происходит с угло-
вой скоростью крена cox, совпадающей по знаку с моментом Д/пх,
создаваемым органом поперечного управления, а в особой точке 5,
движение происходит в направлении, обратном моменту тх, что
обусловлено действием на самолет момента поперечной устойчи-
вости.

Определение координат особых точек можно было выполнить,
используя общую процедуру, описанную в гл. 3. Для этого
необходимо построить зависимости функций аст (сох), |3Ст(юЛ)
(рис. 19.2), соответствующие установившемуся движению и задан-
ной величине Лт2, с помощью которых строится зависимость по-
требного момента поперечного управления, позволяющего реали-
зовать движение с соответствующей величиной сох (рис. 19.2, в).
Из графика на рис. 19.2, в при заданной величине Дтх находятся
значения сох, позволяющие определить значения остальных пара-
метров движения в особых точках. Из анализа зависимости
ktnx (<М с учетом условия апериодической устойчивости (10.8),
(10.9), следует, что особая точка 1 является устойчивой, а особые
точки 2 и 3 являются неустойчивыми, так как в них характери-
стическое уравнение имеет положительные корни. Для более
подробного анализа движения в окрестности особых точек лине-
аризуем уравнения (19.2) относительно соответствующих этой
особой точке параметров движения (Q, аст, со2СТ). Опуская для
сокращения записи знак приращения, получим уравнения в ва-
риациях:

а' = ра)2 —

са

-f+ «Q2

а — 2tfQaCTcox;

со2 =	+ Дрй2а + 2Лр£2осСтО)х + ^гб<л2;

(19.8)

Q)x ==	(1 *4“ * ^ст) ®х “I” ^х Ь52СС.
Характеристическое уравнение системы линейных уравнений
(19.8) имеет вид

р3 + D2p2 + D1P + Do = О,

(19.9)

С*»	__/ <	1	\

где D2 ===- ~~п------f^z6 — тх (1 Т Й«ст),
поперечной устойчивости при уменьшенной продольной устойчивости 159

и малом значении аст характеристическое уравнение (19.9)
приближенно может быть представлено в виде произведения двух
полиномов:

р — тх

(19.11)

Приравнивая нулю каждый из полиномов, можно получить при-
ближенные выражения для корней продольного движения и дви-
жения крена. Анализ значений корней в особых точках показы-
вает, что в особой точке 2 один из корней продольного движения
становится положительным, а в особой точке 3 — положительным
становится корень крена.

Для построения схемы движения в фазовом пространстве
рассмотрим положение изоклинных поверхностей, соответству-
ющих нулевым значениям производных параметров движения.
Уравнение поверхности со* = 0 может быть представлено в виде

(1 йа)®х = —	(19.12)

_COv

Это уравнение цилиндрической поверхности с образующей парал-
лельной оси Ocoz, которая при пересечении с плоскостью coz = О
образует гиперболу. Из уравнения для а' получим изоклинную
поверхность, на которой а' — 0:

й2 _ Г^_ + ^1а = о.	(19.13)

При малых значениях <ох эта поверхность является плоскостью,
проходящей через ось Осох. Используя знания о положении и виде
изоклинных поверхностей и свойствах движения в окрестности
особых точек, можно представить схему движения для рассма-
триваемого случая в фазовом пространстве (рис. 19.3).

Движение в окрестности особой точки 3 в зависимости от
гальных условий развивается различно. Часть фазовых траек-
торий имеет точкой притяжения особую точку /, а другая часть
соответствует неустойчивому движению с неограниченным воз-
растанием параметров (в рамках рассматриваемой упрощенной
МоДели движения).

Воспользовавшись методом, изложенным в гл. 3, определим
авнения сепаратрисных плоскостей в окрестности особых точек,
Со°тветствующих значению действительного корня X характери-
Рис. 19.3. Схематическое изображение фазовых^ траекторий в пространстве (сс>
wz) и положения изоклинных поверхностей сох = 0 и а — О

стического уравнения. Уравнение сепаратрисной плоскости можно
записать в виде (см. § 17)

ос (X2Z3) ос ос (Х2	Х3) = 0.

Учитывая, что

о»

Х^Х2Х3 —

(19.14)

произведем замену в уравнении (19.14):

ХД3 = —(19.15)

^2 +	------(^2 + ^1),

получим:

—-^а + а" — а' (Г>, + Х.) = 0.

(19.16)

Выразим сс" и ос' через параметры движения ос^, со*. Для полу-
чения обозримых результатов пренебрежем в уравнении для ocz
-	са

членом ясо^ос, который обычно значительно меньше, чем
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

ПО еречной устойчивости при уменьшенной продольной устойчивости J61

/-оставляет менее 10 °о от этого члена). С учетом этого упрощения,

— с

а' — рсо,-----а;

(19.17)

С?.

сау
и 2

(19.18)

Подставим в (19.16) выражения (19.17), (19.18) и проведем необ-
ходимые преобразования:

Do
Xi

,а \ 2 ex

-«Z

са
СУ

Уравнение (19.19) является уравнением сепаратрисной плоскости
в окрестности особой точки.

В случае существенной зависимости поперечной устойчивости
тх от угла атаки, когда момент крена, вызванный углами а и 0,
приближенно можно представить в виде	уравнения дви-

жения имеют вид, аналогичный (19.2), кроме уравнения для со*:

са

'	~	У	„ “2.

ОС —- pCDz	2	GCCCOxf

со2

(19.20)

—'	-

(Ох = тх

b* м?пуУ I myf^xX.

Координаты особых точек в этом случае могут быть
алгебраических уравнений

найдены из

(О.хо

(19.21)

+ Л|1

“ло

са
У

Д2 \

ю*0. =—А/п,. (19.22)

+	Р 2



Н \ 2

6

9

Бюшгенс Г. С.
Пространственное движение

самолета при со



162

Рис. 19.4. Нахождение параметров
движения аСт, Рст, (ох в особых точ-
ках для заданных величин Л/и *

(тх = тх^а)	**

Определить координаты
особых точек можно, решая
графически нелинейное ал-
гебраическое уравнение
(19.22) либо используя стан-
дартную методику, изло-
женную в гл. 3. На
рис. 19.4 приведены зависи-
мости аст (сох), рст (сох) и
следующая из уравнения для
со* = 0 зависимость Атх(оЛ).
Из приведенных на рис. 19.4
графиков следует, что в за-
висимости от величин откло-
нения органов управления в
фазовом пространстве пара-
метров движения самолета
возможна либо одна особая
точка, соответствующая
устойчивому движению, либо

три особые точки, две из которых 1 и 2 соответствуют устой-

чивому движению, а особая точка 5 является седловой и соот-

ветствует апериодически неустойчивому движению.

В рассматриваемом случае систему уравнений (19.20) можно

дополнительно упростить, приняв, что уравнение для сох выпол-
няется квазистатически. Это допустимо сделать, поскольку, как
следует из последнего уравнения системы (19.20), движение
по сох устойчиво при любых значениях а. Следует отметить, что
при аналогичном анализе динамики самолета с Шх = const при
достаточно больших отрицательных значениях угла атаки дви-
жение крена становилось неустойчивым и это не позволяло пре-
небрегать динамикой изменения угловой скорости крена. При
пренебрежении этим движением из учета выпадает неустой-
чивый корень крена, что приводит к качественно неверным вы-
водам.

Рассматривая изменения сох как квазистатические в соответ-
ствии с соотношением (19.21) и для упрощения выкладок отбрасы-
вая член в уравнении продольных сил, который мал, получим
ше поперечной устойчивости при уменьшенной продольной устойчивости 163

приближенное уравнение для нахождения фазовых траекто-
рий:

	Г	~2	"]  тгб +	-J-/^«2)2	1	| А -  а + /nz6 co2 + &mz

сс

—

U

2ц

СУ

d(j)z
da

(19.23)

Из системы уравнений (19.20) получим уравнение изоклинных
кривых. Из условия а' = 0 получим уравнение прямой:

са

со2---0.’	(19.24)

Уравнение изоклины, на которой = 0, имеет более сложный
вид:

со2 =

(19.25)

На основе знания изоклин и характера движения в окре-
стности особых точек можно представить схему фазовой картины
движения на плоскости (a, coz) (рис. 19.5).

Фазовая картина движения может быть уточнена, если вер-
нуться к анализу движения в фазовом пространстве. Из послед-
него уравнения (19.20) получим уравнение изоклинной поверх-
ности (а* = 0:

тхх (1 + Ь,а) ых + Лтх = 0.	(19.26)

Из (19.26) следует, что изоклинная поверхность, на которой
= 0, является цилиндрической поверхностью с образующей,
параллельной оси Осо2, симметричной относительно оси а = 0.
Положение изоклинных поверхностей со* = 0 и а' = 0 показано
на рис. 19.6. На этом рисунке приведена схема фазовой картины
Движения, показаны положение особых точек и направление фа-
зовых траекторий. Из сопоставления изображений на рис. 19.6
и рис. 19.5 видно, что упрощенный анализ позволил правильно
представить основные свойства фазовой картины движения в трех-
мерном пространстве. Более подробный анализ с нахождением
корней характеристического уравнения и уравнений сепаратрис-
ных плоскостей может быть выполнен методом, аналогичным

6*
Рис. 19.5. Схематическое изображение фазовых траекторий на плоскости a, о2

Рис. 19.6. Схематическое изображение фазовых траекторий в пространстве (г'»
сох, coz) и положения изоклинных поверхностей сох = О и а =0
жяние поперечной усТоДчнвостн при уменьш
----------------------------------

изложенному ранее при анализе случая
запись уравнения сепаратрисной плоскХ

и в случае, когда щР зависит от угла атаки п ( 9) сохРанится
фициентов в этом уравнении необхолПрИ вычислении коэф-
соответствующее значение лей™,,™ ° Димо т°лько полетя«„

Из полученных в настояв еЛЬНого КоР»я. ДСТавлять
что анализ, выполненный в	Р^У^атов cneawT

ограничивается исследованием9 Л НИИ> Что Р = О Д Уя?
ности особой точки 1 (см. рМис ДВ™«й только в oxpeci
С <С 0)а.	>	T. С. пптлхгл^ —

.^льтатов следует,
, что р - 0 (§ 18),
только в окрест-
), т. е. движением
ГЛАВА

Особенности динамики самолета при одновременном
управлении элеронами и стабилизатором

В настоящей главе исследуются свойства и особенности движения
самолета при одновременном управлении по крену и тангажу;
анализируется физическая картина движения самолета; опре-
деляются особенности и отличия пространственного движения
самолета по сравнению с изолированными движениями и анали-
зируются их причины; исследуется устойчивость движения само-
лета как в процессе выполнения маневра, так и при прекращении
маневра при приведении органов управления в нейтральное поло-
жение; рассматривается динамика самолета при выполнении
маневра и действующие на самолет перегрузки.

Получение наиболее общих представлений о пространственном
движении самолета возможно с привлечением методов качествен-
ной теории дифференциальных уравнений. В связи с этим в по-
следующих параграфах будут рассматриваться маневры самолета,
выполненные при одновременном ступенчатом отклонении орга-
нов управления в различных комбинациях. Это несколько огра-
ничивает область применения получаемых результатов, однако
найденные таким образом решения позволяют получить каче-
ственное представление об особенностях динамики самолета в об-
щем случае.

Прежде чем переходить к формальному анализу рассмотрим
физические причины, которые приводят к появлению особенностей
в движении самолета при наличии угловой скорости крена. Вра-
щение самолета относительно продольной оси приводит к двум
основным эффектам. Во-первых, благодаря инерционному взаимо-
действию эффективная степень статической устойчивости самолета
снижается, что приводит к усилению реакции самолета по углу
атаки на отклонение стабилизатора. Во-вторых, из-за появления
при вращении гироскопических моментов при отклонении ста-
билизатора происходит развитие угла скольжения самолета. На
эти основные эффекты накладывается дополнительное влияние
изменения угловой скорости крена, обусловленное поперечной
устойчивостью самолета и изменением углов атаки и скольжения.

Такое обилие различных физических факторов приводит
к тому, что характеристики движения могут быть существенно
различными в зависимости от параметров самолета и величин
«г>и управлении элеронами и стабилизатором

MaHeBpwJ^_J—------------------------------

167

понений органов управления. В частности, весьма существенно
°ТКдвижение влияет вид зависимости поперечной устойчивости
самолета от угла атаки. В этой связи в § 20, 21 рассматривается
лучай, когда = 0, что обычно характерно для сверхзвуко-
вых скоростей полета, а в § 22 случай, когда поперечная устой-
чивость линейно зависит от угла атаки, т. е. может быть предста-
влена в виде tr& т^а.

§ 20. АНАЛИЗ ВОЗМОЖНЫХ ТИПОВ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАНЕВРОВ САМОЛЕТА
ПРИ УПРАВЛЕНИИ ЭЛЕРОНАМИ И СТАБИЛИЗАТОРОМ

Под типом пространственного маневра будем понимать
характер изменения фазовых картин движения для всех возмож-
ных величин отклонений элеронов при фиксированной комбина-
ции отклонений органов управления самолетом по тангажу,
а в общем случае по тангажу и рысканию. В соответствии с этим
тип пространственного маневра определяется управлением само-
лета по тангажу, а конкретная фазовая картина уже зависит
от величины отклонения элеронов (величины момента ДтА.о).
Функция Дтх (сох, ср) определяет количество особых точек и
в большой степени определяет вид движения самолета в их окре-
стности, в частности, условие его апериодической устойчивости.
В связи с этим функция ДтА (соА-, <р) является той характеристи-
кой, которая определяет тип маневра, и в дальнейшем зависимость
движения в фазовом пространстве от параметра управления анали-
зируется с использованием этой функции, т. е. для каждого вида
такой функции находится зависимость числа и вида особых точек
от величины отклонения элеронов и анализируется движение
в окрестности полученных особых точек. Рассмотрим возможные
виды зависимости ДшА от параметров продольного управления.
Вместо величины ср введем эквивалентную ей величину ссб:

Из (20.1) следует, что угол приближенно равен приращению
угла атаки в изолированном продольном движении при отклоне-
нии стабилизатора. Величина момента крена Дтх, потребного
Для балансировки самолета при вращении с угловой скоростью
Чо определяется из уравнения моментов крена при приравнива-
нии производной со* нулю:

ДИ2х х:== ITlx Wx	~Н	ст^// ст*	(20.2)
В соотношении (20.2) сохранены только основные члены и рассм0
трение ограничивается случаем, когда mA- = const.

Как показывают расчеты, слагаемое CpcoZCTcoyCT оказывает
влияний на характер изменения функции Дтх только в непосред.
ственной окрестности критических угловых скоростей крена
где этот член становится определяющим. При угловых скоростях
крена, не очень близких к критическим, его влияние несуща
ственно и при качественных оценках может не учитываться
Благодаря этому обстоятельству задачу исследования зависимости
Дтх (сох) можно разбить на две части: исследование при угловых
скоростях крена <ох, отличных от критических, и исследование
при значениях <ох в непосредственной близости к критическим
скоростям крена.

Положим в соотношении (20.2) произведение угловых скоро-
стей равным нулю. Такое упрощение позволяет выявить основные
закономерности изменения функции Дшх, определяющие упра-
вляемое движение самолета.

Начнем анализ со случая, когда qr = 0. Выпишем выраже-
ние для рст (соА.) из табл. 9.1 с учетом введенного ранее обозначе-
ния для аб (20.1):

||2 \	s —

Рст '=	\ - ад.	(20.3)

Ло (“ mzt)

Рассмотрим случай, когда Ао имеет нули, равные значениям
критических скоростей крена соа и сор. Из соотношения (20.3)
следует, что вид функции |3СТ (соАСТ) зависит от знака и величины аб.
В результате, подставив (20.3) в (20.2), получим два основных
типа зависимости Лтх (со ) для положительных и отрицательных
значений балансировочного угла атаки самолета (рис. 20.1).
При конкретных значениях Лтх из зависимостей, построенных
на рис. 20.1, определяются значения соА в особых точках, с по-
мощью которых на основании формул, приведенных в табл. 9.1,
находятся значения всех параметров движения в особых точках.
Таким образом, зависимости ДтА (соА) определяют количество
особых точек. В рассматриваемых случаях, как следует из
рис. 20.1, может быть от трех (вариант Л) до пяти особых точек
(вариант Б).

Для случая близких значений критических скоростей крена,
когда соа = сор, примеры зависимостей рст (соА) и ДтА (соА) при-
ведены на рис. 20.2 для аб > 0 и аб <0. Видно, что количество
особых точек в зависимости от величины момента управления
Дтх может уменьшиться до одной, хотя в некоторых диапазонах
своими

Рис. 20.2. Вид зависимостей Рст (с°л)
и Д/пх (сох) для положительных и от-
рицательных аб (для случаев равных
критических скоростей соа == сор ==
= й)(р (фг = 0);

------ — ctg >0;---------с*б < $

Рис. 20.1. Характерный вид зави-
симостей Рст (<ЬХ) и Дтх (соА) для
положительных и отрицательных аб
(для случая <рг = 0):

— ccq >0;------------------ctg < А

значений Дтх их может ^быть и три, как в общем случае произ-
вольных значений соа, сор.	_	_

Рассмотрим возможные виды зависимости_Д/тгх (со-
ставим в равенство (20.2) выражение для рст (<О> определенное
с помощью соотношений табл. 9.1 для управления и вели-
чины срг:

Произведя необходимые преобразования и групп Ру
одинаковых степенях приведем формулу (20.4) ул
Для анализа виду:

9— - 10 х

Д,тг ==-----------—- Сх (<чх).

(20.5)

руками?!
В соотношении (20.5) приняты следующие обозначения:

где D2 = ЛВц2;

о,

(20.6)

f - a	c^mzZ	( - В czm^

D{ = \fnz6 ------— у Вр 4" У™ у---------+

I « cz _«2\ / „ си	тх .^си

+ I — А-^--тгб\	+и—=-ЛВ-^-фг; (20.7)

' Х	' т*х

тх -а
—

СО г

тх

- ши

ССб Шу' Фг

2р/п“б

Поскольку на функцию Ао (сох) не влияют параметры управле-
ния в продольной плоскости (&б и <рг), для определения возможных
видов зависимости Лтх (сох, аб, <рг) достаточно исследовать функ-
цию Сх (cov), стоящую в числителе. Из формулы (20.6) следует,
что функция Сх (сох) является параболой по со*. При | соА | ->оо
независимо от параметров управления величина Сх -> ос. Из этого
результата следует, что вид параболы СДсОх) можно полностью
определить по значениям нулей, поскольку направление ее кри-
визны известно.

Исследования различных видов функции СДсох) удобно про-
водить на плоскости параметров ссб, <рг. Рассмотрим прежде всего
поведение функции С^со*) в окрестности точки соЛ. = 0. При
выполнении условия

Сх (0) > 0	(20.8)

функция	может иметь либо два положительных корня Хх

и либо не иметь ни одного корня, либо в особом случае касания
кривой С\ (со*) оси абсцисс один корень. В том случае, когда
Ci (0) < 0, функция Cl (сох) имеет только один положительный
корень.

Выразим условие (20.8) через параметры самолета и характе-
ристики управления. Пренебрегая малыми членами вида

2[i	2р ’
получим выражения для условия (20.8) в приближенном виде.

(20.9)

Прямая, описываемая уравнением (20.9) (прямая 1 на рис. 20.3),
Разделяет плоскость параметров (срг, аб) на две области, в одной
из которых функция Ci(ct>2) имеет либо два, либо не имеет ни
одного нуля, а в другой один нуль.

г Выделим на плоскости (осб, срг) область, в которой функция
Ci (ох) не имеет ни одного нуля, т. е. область, где функция С\ (со*)
знакопостоянна. Условием знакопостоянства функции Сх (со*)
является отрицательность подкоренного выражения в формуле
Для корней полинома

D\ - 4D2Dq с 0.

(20.10)
172

Одновременное

Подставляя в формулу (20.10) выражения для Z)2, и £>0 и произ
водя необходимые преобразования, получим приближенное уело
вие знакопостоянства функции Су (й2) в виде неравенства

12

я Cz - 0)Z
— Л — — mz6



— 4АВ[12т^бт^

о

4АВц2 ——

_ (О Y
тх

и —

CU

В-^--туу
z J

Кривая, полученная из соотношения (20.11), на рис. 20.3 обозна-
чена цифрой 2. Для параметров управления, лежащих в области
между двумя прямыми, описываемыми (20.9), (20.11), функция
Ci (ебх) имеет два нуля.

Особый интерес представляет положение нулей Х2 функции
Су (ю2) по отношению к нулям свободного члена Ло (сох)- Урав-
нение кривых на плоскости (ссб, (рг), на которой нули функции
Сх (сох) и нули Ло совпадают, можно получить, подставив в выра-
жения (20.6) значение (о2, равное нулям Ао (рассматриваются
только случаи, когда они существуют):

—2	—2 .

<0x1 “ (Осс»

<0x2 — СОр •

(20.12)

(20.13)

Подставляя (20.12) и (20.13) в формулу (20.6), получим два урав-
нения границ таких областей

ЛВр (OccDi -j-	— 0;

(20.14)

Лйр 2(0р (opDi Do = 0.

(20.15)

Используя соотношение, являющееся определением для (оа и сор»
А («а) = Ло («₽) = 0,	(20.16)	;
www.vokb-la.spb.ru - С амолёт своими руками?!

управлении элеронами и стабилизатором	173

staHeaF^JZ2_2— --------'—--------------------------------------

ажения (20.14), (20.15) можно упростить. Проделав необхо-
выкладки, получим:

+ Фг —-у-В —/п^1аб=0; (20.17)

cojUpBЦ- + m*ctn^j фг — /п“б (-у-В — т/\ аб = 0. (20.18)

Из выражений (20.17), (20.18) следует, что линии, разграничива-
ющие области, отличающиеся различным взаимным положением
нулей функций С\ (©*) и Ло («£), являются прямыми, проходя-
щими через начало координат а0 = фг = О (см. рис. 20.3, кри-
вые 3, 4).

В практически наиболее интересном случае анализа динамики
самолета с малым демпфированием выражения (20.17) и (20.18)
можно дополнительно упростить, воспользовавшись приближен-
-2	- 2

ними формулами для соа и



“2

(Оа

Лр

“2 _

СОр

В[л

(20.19)

Подставив (20.19) в (20.17) и (20.18), получим приближенные
уравнения границ в виде

Фг + аб = 0;	(20.20)

/ т$А

фг + «б - 0.	(20.21)

1-----

Проведенный анализ возможных видов функций Ci((0x) позволил
выявить ее основные свойства и разделить плоскость (аб, <рг)
на области с различным характером поведения кривой Сг (сдх)
по отношению к Л0(ац). Из расчетов следует, что взаимное поло-
жение областей с различным характером изменения Сх ((Ох) прак-
тически не зависит от соотношения между критическими ско-
ростями крена <оа и Учитывая, что зависимость Дтх (<ох)
представляется в виде (20.5), можно выделить шесть основных
видов функций Дт = f (сох, ссб, фг) для различных величин осб,
Фг, которые изображены на рис. 20.4 и соответствуют шести типам
аневров крена, обозначенных буквами Л; В; С; О; В; F.

Расположение особых точек в фазовом пространстве подчи-
н тся определенным закономерностям. Например, в рассматри-
ваемом случае (при /у = I (С = 0) и т^х = const) особые точки
Рис. 20.4. Возможные виды зависимости Атх (сох), характеризующие типы ма-
невров крена при управлении в продольном канале (т^ = const)

типа фокус чередуются при изменении параметра сох с седловыми
особыми точками. Действительно, в этом случае характер разрыва
зависимости Дтх (сох) при приближении сох к значению крити-
ческой скорости таков, что производная	при прохожде-

нии через критические угловые скорости крена не изменяет знака,
а величина Ао (сох) меняет знак. С другой стороны, в областях
непрерывного изменения функции Дтх (сох) очевидно, что если
Дтх (^х) принимает одинаковые значения при двух различных
величинах угловой скорости крена сох, то между этими угловыми
скоростями в силу непрерывности функции производная изменяет
знак. Отсюда, с учетом критерия устойчивости (10.8), (10.9) полу-
чим, что особые точки с положительными и отрицательными
действительными корнями (типа фокус и седло) чередуются по
параметру сох.

Подробно зависимость характеристик динамики самолета от
вида функции Дтх (сох) будет рассматриваться далее, однако
целесообразно сделать некоторые замечания уже на данной стадии
исследований. Даже беглый взгляд на кривые статических реше-
ний показывает, что в области угловых скоростей крена, меньших
первой критической, функция Дтх (сох) стремится либо к +°°»
либо к —сю, откуда, в частности, следует, что во втором случае
при отклонении элеронов на величину, большую некоторого
значения, непрерывная связь между величиной Дтх и угловой
скоростью крена нарушается. В этом случае самолет может быть
выведен на угловые скорости, большие, чем вторая критическая
(со2крит). Из рис. 20.4 следует, что такие свойства присущи дви-
жению самолета в случаях В и D.
Продольной балансировки при маневрах с креном

175

В области угловых скоростей крена, превышающих вторую
ит1 вескую, наиболее практически важным является вопрос —
^шествует ли пересечение кривой статического решения A/nx(djJ
осью = 0- Существование такого пересечения (маневры
типа А, В, С) означает наличие особой точки, соответствующей
движению самолета с угловой скоростью крена п\> ®2крит при
^отклоненных элеронах. Очевидно, что исследование таких
случаев представляет большой практический интерес, поскольку
попадание самолета в подобные условия движения означает не что
иное, как потерю управляемости элеронами.

§ 21. ЗАВИСИМОСТЬ ФАЗОВОЙ КАРТИНЫ ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТА ПРИ МАНЕВРАХ С КРЕНЕНИЕМ

ОТ ЕГО БАЛАНСИРОВКИ В ПРОДОЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Среди возможных типов маневров крена выделим наи-
более распространенные в реальной практике и рассмотрим соот-
ветствующие им фазовые картины движения. Маневры крена,
выполняемые при балансировке самолета на положительном угле
атаки (типа Е и F, см. рис. 20.4), имеют много общего, в связи
с чем подробно будет рассмотрен только маневр типа Е. Для
маневров, выполняемых из условий полета с отрицательным углом
атаки, характерными являются маневры типа В, которые и будут

• - устойчивый, пространственный фокус
о -неустойчивый пространственный фокус
"К-пространственное седло

«с. 21.1. Пример выделения основных областей изменения функцирГАт^ (сох),
сличающихся количеством и типом особых точек, для маневров крена, выпол-
яемых из полета с положительным углом атаки (типа Е, см. рис. 20.4)
рассмотрены далее. Маневры типа А соответствуют характеристи-
кам самолета, который имеет апериодическую неустойчивость
в малом при сох ~ О, в связи с чем такие движения являются
практически мало реальными. Маневры типа С и D реализуются
в узкой зоне значений величин осб и (рг в связи с чем они маловеро-
ятны и также рассматриваться не будут.

Маневры крена, выполняемые из условий полета с положитель-
ным углом атаки (типа Е). Маневры такого типа являются харак-
терными для управляемого движения самолета по крену, выполня-
емого из условий горизонтального полета, либо полета с положи-
тельной нормальной перегрузкой.

На рис. 21.1 построен график зависимости \тх (сох.) для этого
случая для всего диапазона угловых скоростей крена. Значения

Рис. 21.2. Значения корней характеристического уравнения возмущенного дви-
жения относительно особых точек для маневра крена типа Е («б > 0)
„ппочьиой балансировки при маневрах с креном
-----------------------------------------------

177

метров движения для соответствующих величин соЛ. при-
паРа^ы на рис. 20.1. Для рассматриваемых маневров крена можно
веДеН1ИТЬ пять основных областей изменений функции Дтх (<ох),
БЫДичаюЩИХся количеством и типом особых точек (см. рис. 21.1).
тТЛ границах этих областей происходит бифуркация фазовых
рТНН, ведущая к изменению либо количества, либо типа особых
1 чек Тип особой точки, как отмечалось в гл. 3, определяется
соответствующими значениями корней характеристического урав-
нения, которые для рассматриваемого случая построены в зависи-
мости от сох в особой точке и приведены на рис. 21.2. Графики
траекторий корней построены для сох > 0, траектории корней для
ф получаются как зеркальное отображение полуплоскости
й* > 0.

Первая область

В первой области имеется пять особых точек (см. рис. 21.1) —
три особые точки типа устойчивый фокус и две особые точки типа
седло, соответствующие неустойчивому движению и разделяющие
области устойчивого движения. В связи с тем, что изображение
пятимерного фазового пространства невозможно, все иллюстра-
ции фазовых картин будут выполняться в виде схематических
условных изображений либо на плоскости основных переменных
(Р, сох), либо в пространстве (сс, р, cov). Эти картины, естественно,
не соответствуют действительной пятимерной фазовой картине
и единственно могут служить для иллюстрации положения осо-
бых точек, движения в их окрестности и их областей притяжения.
Для построения таких условных картин кроме данных о коорди-
натах особых точек и значений корней характеристического
уравнения для параметров движения, соответствующих особым
точкам, можно использовать знания некоторых изоклинных по-
верхностей.

При параметрах движения, совпадающих с величинами на
кривой рст (сох), равны нулю все производные от параметров
Движения, кроме <лх, т. е. эта кривая является изоклинной и на
ией известно направление фазовых траекторий — они парал-
лельны оси 0cov, а направление движения при возрастании вре-
мени определяется из уравнения для (oi. На плоскости ДтхП —

— mxv6)x, проходящей через особые точки, равна нулю
производная сох и, следовательно, фазовые траектории располо-
жены в плоскости, ортогональной оси 0сох. Пример построенной
таким образом условной фазовой картины на плоскости ф, сох)
приведен на рис. 21.3.

Особая точка, к которой стремятся параметры движения само-
лета, зависит от начальных условий движения. Для маневров,
Рис. 21.3. Схематическая фазовая картина движения на плоскости (Р, сол) для
меневра крена типа Е (с&б > 0) в первой области изменения Дгйх (йх) (см.
рис. 21.1)

начинающихся с малых угловых скоростей сох (0),	(0), со2 (0),

такой точкой притяжения является особая точка с наименьшим
значением угловой скорости крена. Сепаратрисные поверхности,
выходящие из особых точек типа «седло», разграничивают области
начальных условий на три, в каждой из которых имеется своя
особая точка, являющаяся точкой притяжения. Схематическое
представление движения в рассматриваемом случае видно из
рис. 21.4. Сопоставив схематические изображения фазовых картин
движения на рис. 21.3 и 21.4 можно увидеть, что более упрощенное
представление (см. рис. 21.3) передает наиболее существенные
черты фазовой картины движения. Следует, однако, отметить
и некоторые ограничения упрощенного представления движения
на плоскости. На рис. 21.5 схематически представлены фазовые
траектории в пространстве (а, р, сох) для соотношения критиче-
ских скоростей соа < (Ор. Вид движения в проекции на плоскость
(Р(ох) в этом случае практически не изменится (см. рис. 21.3),
а в пространстве (а, р, сох) эти изменения имеются (см. рис. 21.4
и рис. 21.5). Пример переходного процесса при ступенчатом от-
клонении элеронов, когда движение реализуется в окрестности
особой точки вида «а» (см. рис. 21.1), приведен на рис. 21.6.
Такое изменение параметров движения самолета является одним
из наиболее типичных для маневров крена..
балансировки при маневрах с креном



ос

рис. 21.4. Схематическое представление фазовой картины движения в простран-
стве (сс, Р, ё)х) и Для соотношения критических скоростей сор < соа («б > 0;

Рис. 21.5. Схематическое
представление фазовой кар-
тины движения в простран-
стве (а, Р, qx) для соотноше-
ния критических скоросте
(аб > 0; Атх >



Рис. 21.6. Пример изменения
параметров движения при
ступенчатом отклонении эле-
ронов из первой области зави-
симости Атх (ёох)
Вторая область

| Атл-11 с | ыпх । < । лтд21.	(21>2)

Во второй области имеется три особые точки: две особые точки
типа устойчивый фокус и одна — типа седло. Пример схемати-
ческой условной фазовой картины движения приведен на рис. 21 7
Движение при маневрах крена, начинающееся при условиях
в окрестности начала координат, реализуется в окрестности особой
точки «2 (см. рис. 21.1), а переходный процесс имеет вид, анало-
гичный изображенному на рис. 21.6.

Третья область

ч Дтл21	| Дтх | < | Дтх3|.	(21.3)

Количество особых точек в третьей области такое же, как и во
второй, однако одна из особых точек типа устойчивого фокуса
становится седлофокусом (изменяет знак действительная часть
комплексного корня). При отклонениях элеронов, удовлетворя-
ющих условиям (21.3), устанавливаются нелинейные незатуха-
ющие колебания относительно фокуса я3, стремящиеся к предель-
ному циклу. Пример переходного процесса, соответствующего
движению в окрестности особой точки типа приведен на
рис. 21.8.

Четвертая область

|Дтхз| с | ДтД < | Дтл4|.

(21.4)

В четвертой области имеются две особые точки типа седлофокус
(5 > 0), одна — типа устойчивый фокус и две особые точки типа

Рис. 21.7. Схематическое представление фазовой картины движения для маневра
крена типа Е («б > 0) во второй области изменения Лтх (<оЛ) (см. рис. 21-1)
„полольной балансировки при маневрах с креном

и	---------------------------------------

181

Рис. 21.8. Изменения параметров движения при ступенчатом отклонении элеро-
нов из второй области зависимости Д/йЛ (®Л) (см. рис. 21.1)

^ис- 21.9. Схематическое представление фазовой картины движения для маневра
крена типа Е (а 5 > 0) в четвертой области изменения &tnx (сох) (см- Рис- 21-Ч
182

Одновременное управление элеронами и стабилизят
-------------—------------------------—_____7ТоРом

седлофокус (X >0). Пример схематической условной фазовой
картины движения приведен на рис. 21.9.	и

Пятая область

|Дтх4| < |Д/пх|.	(21 5.

Движение в пятой области аналогично движению в четвертой
области. Отличие состоит в том, что на ветви статической кривой С
(см. рис. 2.11) особые точки типа седлофокус переходят в особые
точки типа устойчивый фокус. Движение в окрестности особой
точки аналогично изображенному на рис. 21.8.

Маневры крена, выполняемые в полете с отрицательным углом
атаки (типа В). Пример зависимости Дтх (сох) для всего диапазона
изменения угловой скорости крена приведен на рис. 21.10. Зна-
чения параметров движения для соответствующих величин <ЬХ
приведены на рис. 20.1. Для этого типа маневра крена, соответ-
ствующего типу В (рис. 20.4), исходным является полет, когда
главная ось инерции самолета находится под вектором скорости.

На рис. 21.11 приведены графики траекторий корней харак-
теристического уравнения для движений в окрестности особых
точек. Для рассматриваемого типа маневров можно выделить три
основные области значений величин поперечного момента Дтх,
расположенных симметрично относительно оси Дтх == 0, которые
отличаются количеством и видом особых точек и соответствуют

Ат

ъ-устойчивый пространствен^
ный фокус

о-неустойчивый простран-
ственный фокус

Ур-пространственное седло

Рис. 21.10. Основные области изменения функции (<ох), отличающиеся ко-
личеством и типом особых точек, для маневров крена, выполняемых из полета
с отрицательным углом атаки (типа В)


21.11, Значения корней характеристического уравнения возмущенного
Движения относительно особых точек для маневра крена типа В («о < 0)

различному характеру движения самолета при управлении эле-
ронами. Рассмотрим эти области более подробно.

Первая область

Дтл1|.	(21.6)

Г)

этом диапазоне величин поперечного момента имеется пять
^собых точек, из них три особые точки типа устойчивый фокус
Две — типа седло (X > 0), и, соответственно, выделяются три
ласти устойчивого движения относительно особых точек а, Ь, с,
которые разграничиваются особыми точками типа седло
(рис. 21.10). Какое движение самолета при каждом значении от-
клонений элеронов (Атд.) из интервала (21.6) в действительности
будет реализовано зависит от начальных условий при маневре
При этом значения параметров движения, в частности, значение
угловой скорости крена в установившемся режиме, могут быть
различными. Например, при выполнении маневра крена из усло-
вий полета с нулевыми начальными условиями по основным
параметрам движения точкой «притяжения» для решения яв-
ляется особая точка аг. Характер и динамические свойства движе
ния в окрестности этой особой точки могут быть оценены по зна-
чениям корней характеристического уравнения, приведенным на
рис. 21.11. При иных начальных условиях точками «притяжения»
решения могут являться особые точки сг и Ь±. Практически реали-
зуется движение в окрестности всех трех устойчивых особых
точек. Как отмечалось ранее, движение в окрестности особой
точки реализуется в том случае, когда производится ступенча-
тое отклонение элеронов при нулевых начальных условиях по
угловой скорости крена и остальным параметрам движения. Зная
положение особых точек, зависимость корней от параметров
движения в особой точке (рис. 21.11) и свойства фазовых траекто-
рий при больших угловых скоростях крена cov > шах (сда, со3),
можно представить общий вид фазовой картины движения в рас-
сматриваемом случае (рис. 21.12). Как и ранее схематическая
фазовая картина построена в виде условной проекции на пло-
скость двух фазовых координат (Р, сот). При выполнении маневра
крена путем отклонения элеронов на величину, лежащую в об-
ласти II, движение самолета осуществляется в окрестности особой
точки Ь2. Изменение при этих условиях величины Атх. до значений
области I создает условия для реализации движения в окрестности
особой точки Ьг. Пример соответствующей схематической услов-
ной фазовой картины движения приведен на рис. 21.12. Для
реализации движения самолета в окрестности особой точки cv
необходимо предварительное приложение к нему отрицательного
управляющего момента крена из области II. Из рис. 21.12 видно,
что движение в окрестности особых точек типа Ьх и сл может
реализовываться и при элеронах, приведенных в нейтральное
положение^ Такие условия движения самолета, когда он практи-
чески теряет управляемость элеронами, получили в отечественной
литературе название режимов инерционного вращения [II].

Вторая область

| Дтл11 < | Nmx | с | Д/йг21-	(21.7)

В диапазоне отклонений элеронов (21.7) имеются три особые
точки, две из которых Ь2, с2 (см. рис. 21.7), являются устойчивыми
фокусами и соответствуют устойчивому движению самолета,
Рис. 21.12. Схематическая фазовая картина движения для маневра крена типа
В («б < 0) в первой области изменения Лтх (соЛ) (см. рис. 21.10)

а одна является особой точкой типа седлофокус (X > 0). Сепара-
трисные поверхности, проходящие через эту точку, разграничи-
вают фазовое пространство на две области, в каждой из которых
движение устойчиво. При нулевых начальных условиях и сту-
пенчатом отклонении элеронов точкой «притяжения» является
особая точка Ь2.

Пример схематической фазовой картины, построенной как
и ранее в виде условной проекции па плоскость ((3, (ох), приведен
на рис. 21.13. Область II (рис. 21.10) создает «окно» в стати-
ческих кривых и позволяет при управлении «реализовать» движе-
ние в окрестности особых точек bly Ь2, Ь3 на кривой бив окре-
стности особых точек с2, с3 на кривой с.

Третья область

ДшЛ |	| Дтх2 .

(21.8)

В этой области имеется пять особых точек, так как вновь допол-
нительно появляются две особые точки (см. рис. 21.10). При
этом особые точки с3 и Ь3 являются устойчивыми фокусами,
а особая точка a:i — седлофокусом (£ >0). Области притяжения
фокусов разграничиваются сепаратрисными поверхностями, про-
ходящими через особые точки типа седлофокус. При нулевых
начальных условиях и ступенчатом отклонении элеронов на вели-
чину, удовлетворяющую условию (21.9), в начале переходного
процесса движение реализуется относительно неустойчивого ф0.
куса (рис. 21.14). Однако, поскольку в окрестности особой точки а
нет иных особых точек, кроме седловых, то в зависимости от
параметров самолета либо устанавливается некоторый предельный
цикл, и движение носит характер незатухающих нелинейных
колебаний, либо фазовая траектория проникает в область при-
тяжения особой точки i>3. Движение в окрестности особой точки Ь
может быть также реализовано при последовательном отклонении
элеронов сначала на величину, удовлетворяющую условию (21.8)
а затем дополнительно до величины, удовлетворяющей условию
(21.9). При этом движение стабилизируется после первого откло-
нения в окрестности особой точки типа Ь2 (см. рис. 21.10), а после
дополнительного отклонения элеронов — около особой точки
типа Ь3. Движение в окрестности особой точки с3 реализуется при
последовательном отклонении элеронов сначала из отрицательной
части области II (соотношение (21.7)), а затем при перекладке
в положительную область III (соотношение (21.8)). Вообще дви-
жение в окрестности особых точек с3 и Ь3 может быть реализовано
благодаря наличию «окна» в области II.

Таковы основные свойства качественных картин возможных
видов движения самолета при маневрах крена, выполняемых из
условий полета с отрицательным углом атаки. Отметим, что при
малых величинах отклонений параметров движения от нулевых
и малых отклонениях органов управления линейная теория ка-
чественно верно описывает движение самолета, так как в этом
случае точкой «притяжения» является особая точка аъ и область
ее «притяжения» окаймляется двумя седловыми особыми точками.

Проведенный анализ возможных видов пространственного
управляемого движения самолета показал, что оно обладает рядом
особенностей, которые не удается обнаружить из анализа линей-
ных уравнений движения. Основными из таких осо-
бенностей являются:

1.	Существенное многообразие особых точек, часть из которых
являются устойчивыми. Количество и тип особых точек зависит
от исходных условий полета и величины момента поперечного
управления. В связи с этим в зависимости от управления и началь-
ных условий движение самолета может реализовываться относи-
тельно различных особых точек. В результате однозначная связь
между отклонениями органов управления и движением в ряде слу-
чаев может нарушаться. Примером такого движения являются
критические режимы, например, режим инерционного вращения.

2.	Характеристики установившегося движения существенно
зависят от параметров управления, т. е. имеется нелинейная
связь между характеристиками движения и отклонениями органов
управления.

3.	Динамические характеристики самолета при управлени
также существенно зависят от амплитуд движения и от исходны
условий {исходной балансировки) при маневре.

§ 22.	ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
МАНЕВРОВ САМОЛЕТА В СЛУЧАЕ, КОГДА СТЕПЕНЬ
ПОПЕРЕЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАВИСИТ ОТ УГЛА
АТАКИ

Для самолетов сверхзвуковых компоновок, обычно
имеющих треугольные и стреловидные крылья, характерна суще-
ственная зависимость степени поперечной устойчивости от угла
атаки на дозвуковых скоростях полета, когда производная мо-
мента крена по углу скольжения может быть аппроксимирована
следующим образом:

т* (а) = т“рсф.	(22.1)

Рассмотрим, как изменятся свойства пространственного движения
самолета в случае, когда степень поперечной устойчивости пред-
ставлена в виде соотношения (22.1). Как и ранее, для получения
данных о возможном количестве и расположении особых точек
в пространстве параметров движения рассмотрим зависимость
вида Дтх (ох) от параметров управления самолета в продольном
движении, а именно от осб. Выражение для Дтх (сох) в установив-
шемся движении имеет вид

Д^х ((0л) == в)х СПХ ССст (в)х) Рст (о)х).	(22.2

Подставляя выражения для аст (юх), рст (щх) из табл. 9.1, с уче-
том соотношения для определения аб (20.1), получим*

Из анализа соотношения (22.3) можно сделать некоторые выводы,
не выполняя расчетов. Поскольку аб входит в выражение (22.3)
в четной степени, то тип маневра крена в рассматриваемом случае
не зависит от знака угла атаки и характеристики поперечной упра-
вляемости самолета одинаковы как для положительных, так и для
отрицательных углов атаки. Из соотношения (22.3) также следует,
что функция Дтх (сох) будет зависеть от соотношения критических
скоростей крена, поскольку в числитель выражения входит соот-
--------аб > 0; — ----< О

Рис. 22.2. Зависимости параметров аст, £Ст и кпгх от сох для случая, когда
= т“₽а и бо < йр

ношение, изменяющее знак при прохождении сох через критиче-
ское значение сор. В этой связи, рассмотрим возможные случаи
соотношений критических скоростей крена и Ор.

Соотношение критических скоростей крена, когда < соа.
Пример функции Дтт (<ох) для такого соотношения критических
скоростей построен на рис. 22.1. Как отмечалось ранее, вид функ-
ции не зависит от знака аб. Из рис. 22.1 видно, что при относи-
тельно малых отклонениях элеронов движение самолета описы-
вается фазовой картиной, в которой может быть до девяти особых
точек. После превышения величиной Дтх некоторого бифурка-
ционного значения Д/nJ нарушается непрерывная связь между сох
и количество особых точек уменьшается до пяти. Движение
самолета при Д/йх > Дт* происходит с <ох > шах (соа, сор).

Соотношение критических скоростей крена, когда ёор > соа.

Ример функции Дтх (с5х) для такого соотношения критических
°Р°стеи построен на рис. 22.2. Как и ранее, полученная функ-
не зависит от знака ссб. Сопоставляя рис. 22.1 и 22.2, можно
Рис. 22.3. Построение схематической фазовой картины движения на плоскости
₽,	(б) с использованием зависимости («стРст) от сох (а) для оса >0, сор

<	(а)

сделать вывод, что характер поперечной управляемости самолета
существенно изменился. В рассматриваемом случае при малых
отклонениях элеронов движение самолета описывается одним
состоянием равновесия и только при превышении некоторого
значения Д/й*2 количество особых точек увеличивается и дости-
гает пяти. Из рис. 22.2 видно, что в области угловых скоростей
крена, меньших первой критической, сохраняется непрерывная
связь между Дтх и tox.

Близкие значения критических скоростей крена. При

~ top соф разрывы в функции Дтх (tox) отсутствуют и в основ-
ном сохраняется непрерывная зависимость сох от величины от-
клонения элеронов. При определенных сочетаниях характеристик
типы пространственных маневров

(жиые 	___—_— -----------------

191

а н условий полета возможно существование небольшой
саМ° тп угловых скоростей крена, где нарушается непрерывная
облас и ПрИ > соф. Рассмотренные типы зависимостей
cB?3% )"и &б ограничивают возможные типы маневров крена для
^tTlслучаев, когда степень поперечной устойчивости зависит от
теХ аТаки. Полученные зависимости позволяют проанализиро-
Уг‘ь характер фазовых картин движения при конкретных откло-
нениях органов управления.

Случай сор, < ®а- Рассмотрим характерные фазовые картины
чвижения при таком соотношении критических скоростей, ограни-
чив анализ маневрами,- при которых балансировка самолета
выполняется на положительном угле атаки. Для маневров, вы-
полняемых из условий балансировки самолета на отрицательном
угле атаки, фазовые картины имеют аналогичный вид, необходимо
только поменять знаки координат особых точек на противопо-

ложные.

На рис. 22.1 были приведены графики изменения углов атаки
и скольжения в зависимости от и потребного отклонения эле-
ронов для реализации соответствующего движения. Рассмотрим
картину движения в фазовом пространстве для случая Дтх = 0.
Из рис. 22.1 следует, что движение самолета описывается девятью
особыми точками, причем из условий апериодической устойчи-
вости (10.8), (10.9) следует, что особые точки 7, 4, 5, 8, 9 соответ-
ствуют устойчивым движениям, а особые точки 2, 3, 6, 7 —
Рис. 22.5. Построение схематической фазовой картины движения на плоскости
(pco.v) с использованием зависимости (аст> рст) от для ас > 0,

являются седловыми, так как в соответствующем характеристи-
ческом уравнении имеются положительные действительные корни.
Для получения подробных данных о характере движения в фазо-
вом пространстве необходимо производить многократное интегри-
рование уравнений движения, однако для получения качествен-
ных представлений можно воспользоваться более простыми при-
емами. Рассмотрим зависимость произведения астрст от
(рис. 22.3, а), при пересечении которой с прямой

й* = 0 == т“₽сф 4-	(22-4)

получаются координаты особых точек. Эта зависимость позволяет
представить направление изменения угловой скорости крена на
кривых статических решений рст (сох) и аст (сох), которые на-
несены на графики (см. рис. 22.3, б) в виде стрелок. Зная по
результатам расчетов характер движения в окрестности особых
точек и направление изоклин, можно представить схему фазовых
траекторий в виде условных проекций на плоскость (Р, «Д (сМ*
рис. 22.3, б). Из условий построения этой картины и расположи-
vubie типы пространственных маневров

-

193

собых точек следует, что полученные фазовые картины
н*,я ются кососимметричными относительно осей 0(3 и Otov.
^Некоторое уточнение полученной схемы фазовых траекторий
дополучить, перейдя к рассмотрению трехмерного фазового про-
М0>Кнства. Соответствующие иллюстрации приведены на рис. 22.4.
^приведенных пллюстРа1^пй видно, насколько сложной является
ьзовая картина движения самолета в рассматриваемом случае.

Случай top > toa- Рассмотрим аналогичным образом фазовые
аотины движения самолета в этом случае. На рис. 22.2 были
построены примеры зависимостей аст (tox), рст (ох), \тх (tox)
при > 0- Из характера изменения зависимости Дтх (сох)
видно, что при относительно малых отклонениях элеронов дви-
жение самолета характеризуется одним состоянием установив-
шегося движения, т. е. имеется единственная особая точка. При
отклонении элеронов, большем некоторого бифуркационного зна-
чения, движение усложняется, так как в фазовом пространстве
появляется пять особых точек, три из которых соответствуют
апериодически устойчивым движениям (во всяком случае в этих
особых точках действительные корни — отрицательны), и две
являются седловыми особыми точками.

Воспользовавшись приведенной ранее процедурой получения
данных об изоклинах, можно представить схему фазовой картины
движения на плоскости ф, tox) (рис. 22.5). Несколько более
полное представление о фазовых картинах движения дает схема,
построенная в трехмерном пространстве (сс, р, сох) (рис. 22.6).

№

Рис- 22-6. Схематическое изображение положения особых точек и фазовых тра-
ект°рий в пространстве (а, Р, oj для а- > 0, соа < (Ор А/пх^ < О

7

Вюшгснс Г. С.
Л1,зат

°Ь

§ 23.	ВЛИЯНИЕ МОМЕНТОВ РЫСКАНИЯ ОТ ОРГАНОВ
ПОПЕРЕЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

В общем случае органы поперечного управления сам
летом кроме момента крена создают и момент рыскания, т. е I
эффективность характеризуется двумя производными и
Соотношение между величинами этих моментов зависят от конкрет
ной конструкции органов поперечного управления и обычно за
висит от угла атаки. Например, для элеронов характерно создание
на малых углах атаки так называемых подкручивающих моментов
рыскания, а на умеренных и больших углах атаки — тормозящих
моментов рыскания. Под подкручивающим моментом рыскания
понимается момент, который, дополнительно увеличивая скольже-
ние вследствие поперечной устойчивости самолета (/^<0), спо-
собствует увеличению угловой скорости крена. Когда момент

рыскания является подкручивающим, то выполняется соотноше-
ние fn^/nfy < 0. Аналогично, под тормозящим моментом рыска-
ния понимается момент, препятствующий развитию угла сколь-
жения и, следовательно, угловой
скорости крена, и для него выпол-

няется соотношение m^jm^ > 0.
На рис. 23.1 приведены примеры
изменены я производных моментов
тхэ и т$э для трех типов наибо-
лее распространенных органов по-
перечного управления — элеронов,
дифференциального стабилизатора
и интерцепторов [46]. Из графи-
ков, приведенных на рисунках,
видно, что для всех трех типов
органов управления характерно
создание кроме моментов крена

Рис. 23.1. Примеры зависимостей соотно-
шения коэффициентов т\3 и ту2 для раз-
личных типов органов поперечного управ-
ления:
а — зависимость соотношения от величин
угла а гаки, отнесенной к углу атаки нача‘^
сваливания оссв; б — зависимость от числа
при ос ~ 0:	------ — дифференциальны^

стабилизатор (косая ось вращения); '
элероны; -------- интерцепторы
моментов рыскания элеронов
рлиян”^-----------------------------

195

тов рыскания, причем соотношение этих моментов обычно
момесит от угла атаки.

заБПои анализе влияния моментов рыскания органов попереч-

1 управления для иллюстрации основных свойств и особен-
Н°Г°ей ограничимся случаем, когда степень поперечной устойчи-
110С1г самолета не зависит от угла атаки и будем считать, что
ВОСТИ	с	$

оизводные т/ и туэ также не зависят от угла атаки.

определим связь между угловой скоростью крена и величиной
отклонения элеронов в рассматриваемом случае. Воспользовав-
шись соотношениями из табл. 9.1, получим выражения для угла
скольжения в установившемся движении самолета, сбалансиро-
ванного на угле атаки аб при отклонении элеронов на угол 6Э:

(а	\

(23.1)

Z	У j

Подставив выражение (23.1) в уравнение для моментов крена
и сгруппировав члены при 6Э, получим

-	(Ло/Н2) +	в - “б

=-----------:--------йА„ (23.2)

Я ~ Л определяется взаимным положе-
Характер зависимости 6Э от °* ° ₽’ кыпажепия (23.2). Нули
нием нулей числителя и знаменат < лителя а нули знамена-
функции 6Э (йх) определяютсяДУ^™ функции’ Анализ возмож-
теля приводят к появлениям разрыв ФУ	Q. В этом слу-

ных видов функции 6Э (®х)	“ с нулями свободного члена

чае нули функции бэ (®х) совпала „оточенного при анализе
Ао ц2 характеристического УРавввВ ’ иЯ самолета (см. § 5, 6)
устойчивости установившегося врлщ чим Нули знаменателя
и, следовательно, равны ®а и ®р-	д^6э = 0

через й£ и йк. Из соотношения (23.2) видно,	у

1	и шР.	и следовательно, «а —

числитель и знаменатель совпадают и> поперечного упра-
» «8 - Рассмотрим случай, когда органы нопереч
вления создают тормозящие моменты рыскания,	у
> 0, а для критических скоростей крена выполняется соотношу 1
(Ор < соа. В этом случае, из соотношения (23.2) следует, чТо
полняются следующие неравенства сор < «р и coj < со , (так
п р и бл и жен но оп реде л яетс*
зависимости \тх построен

множитель у скобки, из которой
величина сд«, увеличился). Пример
на рис. 23.2, а.

Для случая, когда соа < сор, из аналогичных рассуждений
следует, что Ор < (ор и со« > соа. В результате получим завися-
мость Дтх (сох), пример которой построен на рис. 23.2, б. Из
сопоставления графиков на рис. 23.2, а и б видно, что характе-
ристики поперечной управляемости самолета существенно зависят
от соотношения критических скоростей крена соа и (Ор.

Рассмотрим случай, когда органы поперечного управления
создают подкручивающие моменты рыскания, т. е. кту \тх < о.
Соответствующие иллюстрации зависимости Дтх приведены на
рис. 23.3, а, б. Из сопоставления графиков на рис. 23.2, а и 23.3, а

Рис. 23.2. Пример зависимости Атх от сох для органов поперечного управления
создающих «тормозящие» моменты рыскания (t\mylkmx > 0):

а — для йр < G)a; б — для соа < а>р

Рис. 23.3. Пример зависимости Атх от сох для органов поперечного управления
создающих «подкручивающие» моменты рыскания &ту!ктх < 0:
а — для Юр < соа; б — для < й>р
Влияние моментов рыскания элеронов

Рис-23-4. Характерный вид зависИМп.
СТИ Атх ОТ CD.V для положительных
отрицательных значений баланс,^
вечного угла атаки самолета (ссб) Р

весьма

„ на рис. 23.2, б и 23.3, о соот-
"ртственно, видно, что соотно-
шение Ат/Атх также
существенно влияет на харак-
теристики поперечной управ-
ляемости самолета.

по-

Рассмотрим,^ как изменятся
зависимости \mx (<ov) для

197

значений балансировочного угла

.томительных и отрицательных

атаки самолета. Изменение угла атаки приводит к изменению поло-
жения нулей числителя выражения (23.2) относительно нулей зна-

менателя, причем при ссб > 0 нули числителя сближаются, а при
а- < 0 — расходятся. С учетом этого, получим, что зависимость
Дгйх (cov) приобретает вид, изображенный на рис. 23.4 как для
случаев, когда органы поперечного управления создают тормозя-
щие моменты, так и когда они создают подкручивающие моменты
рыскания. На рисунках сплошными кривыми построены зависи-
мости для осб > 0, а пунктирными кривыми — зависимости для
ссб < 0. Из графиков, приведенных на рис. 23.4, следует, что
для балансировки самолета на положительном аб характерна
зависимость поперечной управляемости, при которой имеется
непрерывная связь между (ох и 6Э при угловых скоростях, меньших
первой критической, и отсутствуют режимы установившегося
вращения при 6Э — 0 при угловых скоростях крена, больших второй
критической скорости. Для балансировки самолета на аб < О
характеристики поперечной управляемости существенно изме-
няются, нарушается непрерывная зависимость /\тх (сох.) на угло-
вых скоростях крена, меньших первой критической, и появляются
состояния установившегося движения на угловых скоростях, боль-
ших второй критической скорости.

Расчеты показывают, что наличие тормозящих моментов
рыскания у органов поперечного управления затягивает момент
Нарушения непрерывной связи бипх (сох) на большие по величине
°тРицательные значения аб по сравнению со случаем, когда органы
поперечного управления создают подкручивающие моменты рыска-
ия‘ С другой стороны, наличие тормозящих моментов рыскания
риводит к появлению устойчивых состояний движения самолета
ри оэ = о и больших второй критической скорости при мень-
ащХ П° М°д^ЛЮ значениях отрицательного балансировочного угла
нид^' Чем 6 слУчае наличия подкручивающих моментов рыска-
Одновременное управление элеронами и ставили
----------—---------------------------------- -22^4^

§ 24. ОСОБЕННОСТИ ПОПЕРЕЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ
САМОЛЕТА ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ УПРАВЛЕНИИ
ЭЛЕРОНАМИ И СТАБИЛИЗАТОРОМ

Известно, что характеристики поперечной управт
емости самолета, определяемые на основе использования линейны'
уравнений движения, зависят от угла атаки, на котором сбаланси
рован самолет [13]. В общем случае связь между отклонением
элеронов и величиной угловой скорости крена является нелиней*
ной и эта зависимость существенно различна для разных величин
угла атаки. Управляемость самолета по крену при маневрах
с большими значениями сох определяется рядом факторов, из кото-
рых основными являются соотношение критических скоростей
крена соа и сор и характер зависимости производной поперечной
устойчивости Шх от угла атаки. Используя зависимости для ста-
тических решений (табл. 9.1), можно определить возможные виды
функциональных связей Атх с сох и аб. Соответствующие типич-
ные зависимости функции Дтх (сох) приведены в табл. 24.1 для
продольного управления, соответствующего балансировке само-
лета как на положительном, так и на отрицательном угле атаки.
Практический интерес при исследовании характеристик попереч-
ной управляемости самолета представляют маневры, при которых
реализуются:

—	умеренные угловые скорости крена сох с min (соа,
соответствующие штатным условиям эксплуатации самолета;

—	большие угловые скорости крена сох > шах (соа, сор).

Движение при таких угловых скоростях относится уже к об-
ласти критических режимов движения, так как связано с нару-

Таблица 24.1

Зависимость характеристик поперечной управляемости
от балансировочного угла атаки аб
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!



отклонении элеронов и стабилизатора

199

бычных характеристик управляемости самолета. В на-
ц^ипе^ параграфе анализ ограничивается только случаем уме-
стояШ ' угЛовых скоростей крена. Движение при закритических
реИНЫ х крена анализируется отдельно в гл. 9. Из всего много-
св ^зпя типов маневров крена, приведенных в табл. 24.1, можно
°^3лить две основные группы, отличающиеся характером изме-
нения функции (6>х) в диапазоне угловых скоростей

|	| < min (©«, ©р).	(24.1)

к первой группе отнесем те типы маневров, для которых все
особые точки в области угловых скоростей, удовлетворяющих
неравенству (24.1), соответствуют апериодически устойчивым ре-
шениям (это маневры, выполняемые в полете с положительным
углом атаки). Ко второй группе отнесем маневры, для которых
в интервале угловых скоростей крена (24.1) имеются апериодиче-
ские неустойчивые особые точки типа седлофокус (маневры с аб <
< 0). При маневрах первой группы поведение самолета в упра-
вляемом полете характеризуется в первую очередь тем, что ка-
жущаяся эффективность элеронов по мере приближения угловой
скорости крена самолета к критической величине начинает как бы
уменьшаться и значительные увеличения отклонений элеронов
приводят лишь к малому возрастанию величины угловой скорости
крена. Пример переходных процессов по основным параметрам
движения самолета, полученный в летных испытаниях при сту-
пенчатом отклонении элеронов, выполненный из условий полета
с перегрузкой пу — 1, показан на рис. 24.1, а и б. Из рисунка
видно, что параметры движения самолета колеблются относи-
тельно некоторых значений, определяемых статическими реше-
ниями (сохст, аст, рст и т. д.), а переходные процессы по основным
переменным имеют значительные перерегулирования. При выпол-
нении маневров первой группы движение самолета при крене
сопровождается изменениями углов скольжения и атаки (рис. 24.2)
и на летчика и конструкцию самолета могут действовать значи-
тельные перегрузки.

Основное свойство маневров первой группы — кажущееся
Уменьшение эффективности элеронов при увеличении угловой
ск°рости крена (см. рис. 24.2) — объясняется одновременным
влиянием на динамику самолета поперечной устойчивости и инер-
ционных перекрестных связей. Такое влияние можно объяснить
помощью следующих рассуждений. Благодаря инерционному
заимодействию продольного и бокового движений, эффективная
тепень статической устойчивости самолета при движении с угло-
и скоростью сох как бы уменьшается, вследствие чего создаются
У лови я для развития угла скольжения. В свою очередь, развитие
скольжения благодаря наличию поперечной устойчивости
и Дит к появлению момента крена, который изменяет величину
угловой скорости крена, причем, когда ось самолета в цач
маневра находится над вектором скорости, такое влияние na<lt
является в торможении вращения самолета. Это свойство маневп °'
крепа характерно как для полета на дозвуковых скорост В
когда соа <лв, так и для полета на сверхзвуковых скорости*’
когда сор. Особенно сильно кажущееся ограничение эф&Л
тивности элеронов проявляется при соотношении критически

0,8

ОЛ

О

йн,Уст,градус

Рис. 24.1. Примеры переходных процессов по основным параметрам движения
в легных испытаниях, полученных при отклонении элеронов из условий гори-
зонтального полета (Л4 <С 1,0; Пу пСх ~ 1,0)

Ъц, 4>ст, градус
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

при отклонении элеронов и стабилизатора
управляем^-----!-----_----------------------

? сопоставление величин установив-
ши- значений параметров движения, полу-
шИхся зн тным путем с данными летных
ценных Р молета на дозвуковой скорости
испытании са

(М _ расчет; «.О, △ ~ ле™ые
Дрыгай,,я

скоростей крена, когда сор соа. Это
связано с тем обстоятельством, что
при таком соотношении критических
скоростей самолет имеет меньшую
устойчивость по рысканию и при
маневре крена легко выходит на
большие углы скольжения.

Для маневров крена второй груп-
пы характерным является наруше-
ние непрерывной зависимости вели-
чины угловой скорости крена самолета

201

от угла отклонения при

увеличении отклонений элеронов больше некоторой величины
(см. табл. 24.1). В результате в характеристиках движения са-
молета при маневрах крена наблюдаются существенные изменения
при увеличении отклонений элеронов. Примеры соответствующих
фазовых картин движения были приведены на рис. 21.12—21.14,
Переходные процессы при управлении в этом случае обладают
следующими особенностями. При малом отклонении элеронов са-
молет вращается с угловой скоростью крена, меньшей первой кри-
тической, и сохраняет обычные характеристики управляемости.
При относительно большом отклонении элеронов угловая скорость
крена самолета благодаря действию скольжения и момента попе-
речной устойчивости начинает существенно возрастать и превосхо-
дить величину второй критической скорости крена. При этом
приведение элеронов в нейтральное положение, или даже измене-
ние знака их отклонения не всегда ликвидирует вращение самолета
по крену (рис. 24.3). Наблюдается практическая потеря управляе-
мости самолета элеронами. Поскольку такое движение обуслов-
лено влиянием на движение самолета инерционных перекрестных
моментов и в малой степени зависит от перекрестных аэроди-
намических связей, оно получило название инерционное
вращение самолета. В случае, когда между критическими ско-
ростями и выполняется соотношение соа сор, для ана-
Ве3а свойств маневра самолета по крену с различными
Нь^Ичинами °сб могут быть использованы результаты, приведен-
ап в гл- 5. В этой главе, в частности, были получены условия
ЛетРИ0Дическ°й и колебательной устойчивости движения само-
Рис. 24.3. Пример переходных процессов, полученный расчетным путем, при
попадании самолета в режим инерционного вращения

Рассмотрим применение этих условий для анализа устойчи-
вости движения самолета при управлении элеронами. Для получе-
ния более наглядных результатов пренебрежем влиянием второ-
степенных членов (примем т^у ~	~	— О). Кроме того,

будем считать, что элероны создают только момент крена (Лтх0).
При таких допущениях, условие апериодической устойчивости
(10.8)—(10.9) можег быть приведено к виду

— хутг

у

Учитывая, что для маневров крена, выполняемых при откло-
нении элеронов, для установившихся величин рст, Q выполняются
соотношения

+ mxxQ + Дтх0 = 0;

Рст —

+ BpQ2

(24.4)

Неравенство (24.2) можно преобразовать и свести его к следу-
ющему условию: движение будет апериодически устойчиво (пр11
< сор), если выполняется неравенство:

I | <	(24'5)
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!



. при отклонении элеронов и стабилизатора
—-------------------------------

о находится из уравнения

где	______

.= 1 — k+k]/1—4

203

(24.6)

Б котором

-	- Р

и и х
2m^xrrfi

Jv л*

(24.7)

Пример зависимости (Q* (ор) от параметра k построен на рис. 24.4.
Соотношение (24.6) теряет смысл при k 0, в связи с тем, что
движение в этом случае всегда апериодически устойчиво. При
— 0,5 боковое движение самолета всегда апериодически не-
устойчиво при любых возмущениях. При k — —0,5 получаем
условие апериодической устойчивости движения, верное для ма-
лых угловых скоростей крена. Величина Q* лежит в диапазоне

1, когда выполняется условие

— 0,5<-^4—^-<0.

2т х хтР

(24.8)

Критическое значение АтхОкркт, при котором нарушается устой-
чивость, определяется из соотношения

А^хО Крит-I ^х ^хРст (

Если отклонение элеронов таково, что
| Дтх | > | Дйх0 Крит | ,

(24.9)

(24.10)

непрерывная зависимость (Атх) нарушается и у р

движение самолета становится неустойчивым. гямплета пои

Условие колебательной устойчивости движ соотношение

управлении элеронами (в случае, когда выполн

(24.5)) может быть преобразовано к виду

^хРст / <

2Н

] —nty (1

й2

<*р

ор

NlCCc^x

И

C(t)TOPOe С Учетом выражения для рст (Q) (24.4), может быть также
формулировано в ВИде следующего требования: управляемое
204

Одновременное управление элеронами н стаСилия

cKq.

движение будет колебательно устойчивым, если угловая
рость крена удовлетворяет условию

(24.12)

Q<rQ

где Q** является решением уравнения

На рис. 24.5 построены примеры зависимости (Q^/cop) от отно-
шения myJ тх при нескольких значениях ссоХ^ Из условия
(24.12) и соотношения (24.13) следует, что управляемое движение

самолета при достаточно больших отклонениях элеронов может
оказаться колебательно неустойчивым. Примеры колебательной
неустойчивости движения, полученные в летных испытаниях,
приведены на рис. 24.1, а, б, где особенно хорошо видны расходя-
щиеся колебания по величине угловой скорости крена. Как было
показано в гл. 5, такое неустойчивое колебательное движение

переходит в периодическое движение и примеры соответствующих
фазовых картин были приведены в § 17. Из соотношения (24.13)
также следует, что увеличение демпфирования крена повышает
колебательную устойчивость движения и, следовательно, облег-
чает пилотирование самолета. С другой стороны, повышение демп-
фирования рыскания может привести к более ранней (по величине

Рис. 24.4. Пример зави-
симости Q* сор от параме-
тра k

Рис. 24.5. Пример зависимости Q* сор от
отношения т у ^Хх для различных значе-
ний параметра аох =
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!



при отклонении элеронов и стабилизатора

205

,ппебательной неустойчивости движения самолета. Полу-
(0д) к 'ранее результаты сохраняют свою значимость и при сбли-
ченны крНТИЧескнх скоростей крена, только в этом случае количе-
Я<еН1[Ные опенки должны быть уточнены.

^Основной вопрос, который важен для летчика при выполнении
вров, это вопрос об устойчивости движения. Не менее суще-
МаНнно, чтобы самолет был управляем при выполнении маневра.
£?ЕеаСсматриваемом случае это требование можно отнести к реак-
В л самолета на малые, корректирующие отклонения органов
ЦИцеречного управления. Для оценки характеристик поперечной
’правляемости при малых, корректирующих отклонениях орга-
нов необходимо рассматривать уравнения в вариациях относи-
тельно исходного установившегося движения. Начнем анализ
управляемости самолета со случая, когда <ор < соа и т* = const.
В этом случае уравнения в вариациях по виду совпадают с при-
ближенными уравнениями нелинейного бокового движения в ва-
риациях (16.3). При анализе управляемости будем ограничиваться

рассмотрением движении, при которых угловая скорость крена
не превышает значения первой критической. Это основные экс-
плуатационные режимы управления. Для оценки управляемости
,	f сох 1

самолета рассмотрим передаточную функцию ь которую
( Оэ 7

легко получить из системы уравнений (16.3), в правые части кото-

рых необходимо добавить выражения для моментов от органов
управления (myH6n + и тхн6н + *йхэ6э во второе и третье
уравнения соответственно). Передаточные функции для оценки

управления самолета элеронами и рулем направления приведены
в табл. 24.2. Передаточная функция	может быть при-

веде на к виду

( tox ) _ k (р2 + 2^(0^ + to?)

I ) (p + Хкр) (p2 + 2g0to0p + co2) *

(24.14)

Выражение (24.14) совпадает по виду с обычной передаточной
Функцией для оценки поперечной управляемости. Из анализа
окового движения известно [131, что характеристики поперечной

Управляемости и их оценка летчиком зависят от величины корня
кРена Хкр и от соотношения частот операторов второго порядка
р числителе и знаменателе (cof/co§). При малой величине корня
?Рена самолет «вяло ходит за ручкой», что неблагоприятно оцени-
Б^ТСЯ летчиком.

От Ухудшение оценок самолета летчиком при (<о?/о)о), существенно
п личающемся от единицы (рис. 24.6), обусловлены усложнением
и Цесса стабилизации угловой скорости крена, в связи с чем эти

Л_т. пои отклонении элеронов и стабилизатора
упРавляем___—.---------------------------------

207

качественно сохраняются и для рассматриваемой задачи
оцеН1' поперечной управляемости. Приближенное выражение
011 отношения ((of/Wo) может быть получено, если учесть, что
чина юо приближенно равна коэффициенту характеристи-
ческого уравнения (16.4). В результате получим:

(24 15)

Соотношение (24.15) для малого демпфирования может быть до-

полнительно упрощено и приведено к виду

-бэ
tn d

-(^ + ^2)+4г^

тхв

— (/«!’ +a0mP + pBQ2)

-бэ
тха.

(24.16)

На рис. 24.7 построены примеры зависимости (wf/wo) для поло-
жительных и отрицательных значений угла атаки и различных
соотношений tn/lmx. Из рис. 24.7 видно, что в случае, если ор-

ганы поперечного управления не создают моментов рыскания
(т/ — 0), соотношение (о?/^о) при приближении величины к кри-

тическому значению (Ор убывает и начиная с некоторой величины

<; сор самолет будет оцениваться летчиком как неудовлетво-
рительный, так как при корректирующих отклонениях органов
поперечного управления изменения угловой скорости крена будут
иметь колебательный трудно прогнозируемый характер.

Наличие у органов управления «подкручивающих» моментов
Рыскания (thy^linx <С 0) улучшает характеристики поперечной

Управляемости (когда tn^lffix ~ tga0). При дальнейшем увели-
чении подкручивающего момента характеристики поперечной уп-
равляемости вновь начинают ухудшаться, так как движение само-
ета плохо контролируется летчиком. Ухудшение динамических
аРактеристик самолета при пилотировании наступает при уг-
ных скоростях крена, меньших критических.

Для поперечной управляемости самолета, сбалансированного
На отрицательном угле атаки, характерно, что при туг = 0, ве-
Ичина со? с£>о > 1 и по мере приближения Q к <0р растет, причем
Одновременное управление элеронами и стяГ^п
----------— ----------------------_	22” Затор,

Оценки самолета летчиком

Рис. 24.6. Зависимость оценок
самолета летчиком от соотноше-
9 / 9

НИЯ С0| (0“

Рис. 24 7. Примеры зависимости
соотношения со| со* от величины
сЬх-

а — для соотношения т Э/т э < О

У > л

(подкручивающие моменты рыска-
ния); б — для соотношения
о

0 (тормозящие момен-

ты рыскания); в — зависимость
$ &

т от со для т э rz э 0

X э х ух

стремится к бесконечно большой величине при достижении угловой
скоростью значения Q:

Q-^y~ (т$ -аот£).	(24.17)

Из рис. 24.7, б видно, что характеристики поперечной управляе-
мости ухудшаются при приближении Q к некоторому значению
раньше, чем достигаются условия потери поперечной управляе-
мости. Подкручивающие моменты органов поперечного управления
приводят к ухудшению характеристик поперечной управляемости,
повышая чувствительность самолета к отклонениям органов управ-
ления.

Наличие тормозящих моментов рыскания	> 0) не‘

/ —	/ - $3

сколько улучшает поперечную управляемость \т.; /Шх

—tg аб), однако, при дальнейшем увеличении отношения
_ б 6	u

/тх оценки поперечной управляемости самолета летчик0
ухудшаются. Аналогичным образом могут быть проапализир0'
при маневрах крена

209

характеристики поперечной управляемости самолета в слу-
БаНЫкогда «а < Специфика анализа характеристик попереч-
ча^’ управляемости самолета по сравнению с исследованиями,
Н°Н пжащимися в гл. 6, заключается в том, что при поперечном
С° явлении происходит «возбуждение» колебаний по рысканию,
вторыми нельзя пренебрегать при данном анализе. Таким обра-
К м при определении рекомендаций по пилотированию в инструк-
30 ' летчика необходимо учитывать, что ухудшение поперечной
1ппавляемости самолета наступает при угловых скоростях крена,
меньших критических значений и при балансировке самолета на
положительном угле атаки это выражается в колебательном из-
менении и боковой перегрузки, а при балансировке на отри-
цательном угле атаки — в появлении тенденции к самопроиз-
вольному возрастанию угловой скорости крена (к «подхвату»).

§ 25. ОСОБЕННОСТИ ПРОДОЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ
САМОЛЕТА ПРИ МАНЕВРАХ КРЕНА

Рассмотрим зависимость реакции самолета по углу
атаки на отклонение стабилизатора от величины угловой скорости
крена при маневре. Искомая связь между а и Amz в установившем-
ся движении определяется функцией Аа , формула для которой
т2

приведена в табл. 9.1. Сохраняя в соотношении для только
основные члены, в частности пренебрегая влиянием демпфирова-
ния, получим приближенное выражение в виде

(25.1)

Из соотношения (25.1) следует, что реакция самолета по углу
атаки (по нормальной перегрузке) на отклонение стабилизатора,
в первую очередь зависит от соотношения между угловой скоро-
стью крена при маневре и критической угловой скоростью по тан-
гажу соа. В тех случаях, когда величина угловой скорости крена
Удовлетворяет неравенству << <оа, при маневрах крена со-
храняется правильное соответствие между отклонением стабили-
3атоРа~и приращением угла атаки самолета. В тех же случаях,
к°гда о)х > Соа> знак в соотношении между аст и Дтг изменяется
На пРотивоположный. Остановимся на причинах такого измене-
^Ия связи между приращением угла атаки осст и Д/тг2. Когда ве-
‘ 11Чпна угловой скорости крена приближается к собственной ча-
оте продольных колебаний самолета, наступает явление, близ-
е к резонансу. Как и при всяком резонансе, реакция объекта
на возмущение с частотой, меньшей резонансной, имеет правил
ный знак, а при больших частотах появляется отставание по фаз
близкое к 180 , и, следовательно, изменяется знак реакции. дн ’
логичное явление наблюдается и при маневрах крена. В приведен
ных ранее рассуждениях не учитывалось наличие у самолета демп
фирования, которое несколько усложняет представленную кап'
тину движения. Наличие демпфирования изменяет фазовые соот-
ношения между возмущением и реакцией самолета и несколько
сдвигает частоту, на которой реализуется резонанс. Это выра.
жается в том, что благодаря наличию демпфирования в случае
когда выполняется неравенство	свободный член харак-

теристического уравнения Ао обращается в нуль при больших зна-
чениях угловой скорости крена, чем числитель выражения Да

— —

(см. табл. 9.1), а при со^ > соа— при меньших значениях ov.
В результате вид функции зависит от соотношения между
критическими скоростями крена соа и сор (рис. 25.1). На рис. 25 1
пунктиром построены зависимости для самолета, не обладающего

------ точное решение---------— приближенное | ешсннс (i j и отсутствии демпфи
рования)
„ а управляемость при маневрах крена

Продольная^у____----------------_------------

211

(Жированием. Необходимо дополнительно отметить, что реак-
самолета по угловой скорости тангажа на отклонение стаби-
цнЯ тора, сохраняет правильное соответствие при всех величинах
ЛИповых скоростей крена. Из графиков на рис. 25.1 видно, что
^спучае, когда to,, изменение угла атаки существенно воз-
стает с увеличением сох. В том случае, когда соа > сор, изме-
нение угла атаки самолета при маневрах с угловыми скоростями
крена, меньшими первой критической, практически не зависит
от величины сох. В этих случаях маневры крена сопровождаются
малыми изменениями нормальных перегрузок. Следует отметить,
что реакция самолета по углу атаки на отклонение стабилизатора
при маневрах зависит только от величины отклонения и величины
угловой скорости крена, но не зависит от направления крена
(знака угловой скорости). Это объясняется тем, что выражения
и Аа являются четными функциями угловой скорости крена
,nz

(см. табл. 9.1).

Как видно из соотношения (25.1), мерой влияния инерционных
перекрестных связей может служить отношение располагаемой
угловой скорости крена сп и критической скорости соа. Учи-

тывая приближенное выражение для располагаемой
рости крена

угловой ско-

(0Рас11

тхэ2Г1|
т*х I

(где | 6™ х — величина максимального отклонения органов по-
сог^п

перечного управления), получим соотношение -	— в виде

соГ-_ 8,п> | 6этах |	,	2)

m"xl I —mazSbx

ГДе Д = Рп/Ро-

из выражения (25.2) следует, что отношение ——- возра-
жает с увеличением высоты полета, что обусловлено уменьшением
Демпфирования крена и соответствующим возрастанием распола-
гаемой угловой скорости крена. В тех случаях, когда отношение
0)х

o)cz значительно меньше единицы, проявление инерцион-

ч Го взаимодействия мало, и им можно пренебречь. В тех же слу-
ееЯХ, КОгда это отношение приближается к единице или превышает
к ’ етчик может вывести самолет на большие угловые скорости
На, при которых возможно как существенное изменение угла
атаки, если |	| < соа, так и изменение динамических свойс

самолета, если | сох > шах (соа, со^). Таким образом, изменен^
нормальной перегрузки при выполнении разворотов по кре/^
будет возрастать по мере увеличения высоты полета.

В случае, когда зависимость продольного момента от уГ1а
атаки имеет нелинейный характер, например, в виде выполаскива-
ния или «ложки», критической скоростью крена можно считать
угловую скорость, при которой изменение угла атаки происходит
в процессе маневра в нелинейной области mz (а) (см. гл. 6), по-
скольку такие изменения угла атаки практически выводят самолет
на режим сваливания.

Удобным параметром, характеризующим возможность превы
шения критической скорости, является соотношение располагае-
мой и критической скоростей крена, которое, с учетом соотноше-
ния (18.26) для критической скорости крена, в данном случае при-
ближенно может быть представлено в виде

соРасп|	/4э|б?ах , (/„ - М

1 х, 1 = 8--------А 1 э 1' 1 у х) — .	(25.3)

т*х1 Л/ — m“Sb . ( 1 — — Wa

Из этого выражения следует, что вероятность выхода самолета
на большие значения угла атаки и на режим сваливания возрастает
по мере увеличения высоты полета и балансировочного значения
угла атаки. Из этого вывода следует, что выполнение разворотов
по крену при полете с перегрузкой, либо при балансировке самолета
на относительно большом аб следует выполнять с меньшими
угловыми скоростями, чем это делается на малых углах атаки.

Остановимся кратко на оценках углов скольжения, возникаю-
щих при маневре крена с одновременным отклонением руля высоты.
Физические причины возникновения угла скольжения при откло-
нении руля высоты в процессе выполнения маневра крена связаны
с гироскопическими свойствами вращающегося самолета, который
аналогично гироскопу под воздействием момента Атг начинает
прецессировать. Воспользовавшись табл. 9.1, рассмотрим выра-
жение для функции , связывающей величину угла скольже-
ния р с моментом от стабилизатора Ат2 в установившемся движе-
нии:

2 (А

Ло

/1/7?^

(25.4)

Из соотношения (25.4) следует, что между величинами Аш2
и (Зст имеется однозначная связь, которая не зависит от соотноше-
ния между критическими угловыми скоростями крена самолета
(рис. 25.2).


213

опьная управляемость при маневрах крена

Рис. 25.2. Зависимость функции от со для различных соотношений крити-
Z	Л

ческих скоростей крена соа и сор

На основании приведенных ранее материалов можно отметить
следующие основные закономерности в развитии углов атаки и
скольжения самолета при маневрах крена. При маневрах крена
самолета, когда выполняется неравенство сор (соотношение
характерно для сверхзвуковых скоростей полета) и движение про-
исходит с угловой скоростью крена, меньшей первой критической,
изменения нормальных перегрузок (углов атаки) малы и основные
нагрузки, действующие на самолет, связаны с развитием боковых
перегрузок (углов скольжения). Пример изменения параметров
Движения для этого случая, полученный в летных испытаниях,
приведен на рис. 25.3. При маневрах крена, когда <оа <С сор
(соотношение, характерное для дозвуковых скоростей полета),
могут существенно возрастать как углы атаки, так и углы сколь-
/Кения, т. е. нормальные и боковые перегрузки.

ряде случаев переходные процессы и установившееся движе-
Ие Самолета при управлении стабилизатором и элеронами суще-
ОтВенно зависят от последовательности, в которой выполняются

Донения этих органов. Фазовые картины движения самолета
QPn некоторых конечных значениях отклонений <р и не зависят
ния°о’ В како$ последовательности осуществлялись эти отклоне-
ния Отлич”я в переходных процессах и установившихся значе-
Отк °°условлены тем, что в зависимости от последовательности
приЛ°Нении °рганов управления движение приходит в область

Тя>кения различных особых точек.
О

-25-



О

Одновременное управление элеронами и стабили
----------------------------------------

Рис. 25.3. Пример изменений параметров
жения самолета после отклонения элеп^ВИ’
из условий горизонтального полета (\1

 полученный в летных испытаниях

10

о

(рст,градус

J___I___L__!_

5	10	15	201, с

-10

результата. На рис. 25.5

В качестве примера рассмотри
динамику самолета, у которого
< (Da и поперечная устойчивость
которого зависит от угла атаки
(гг&а). На рис. 25.4 приведены при-
меры переходных процессов по основ-
ным параметрам движения для двух
случаев управления, осуществляемо-
го из условий горизонтального по-
лета. В первом случае сначала было
произведено отклонение элеронов,
а затем, через некоторый интервал
времени — отклонение стабилизатора
(сплошные кривые). Во втором
случае сначала было произведено
отклонение стабилизатора, а затем
отклонение элеронов. Видно, что по-
лученные движения имеют совершен-
но различный характер. Если в пер-
вом случае движение сопровождается
выходом самолета на угловую ско-
рость крена, превышающую вторую
критическую, и самолет в процессе
вращения выходит на отрицательный
угол атаки, то во втором случае уг-
ловая скорость меньше первой кри-
тической и угол атаки — положите-
лен. Рассмотрим причины такого
построена зависимость Даил. (сол) Для

рассматриваемого отклонения стабилизатора. Видно, что в пер-
вом случае, отклонение элеронов вывело самолет на большую
угловую скорость крена, и это движение сохранилось при откло-
нении стабилизатора. Во втором случае после отклонения стаби-
лизатора зависимость Дтх (сох) изменилась (пунктирные кр шые
па рис. 25.5), в результате, после отклонения элеронов, самолет
вышел в условия движения, соответствующие особой точке /•
Существенным для рассматриваемого случая является то, чт0
выход на <ох > шах (соа, (ор) произошел благодаря превышению
управляющего момента крена бифуркационного значения, пр
215

епьная управляемость при маневрах крена

Рис. 25.4. Пример изменения вида переходных процессов в зависимости от по-
следовательности отклонения органов управления (ср и 63)

25.5. Зависимость Л tnx (сох) для условий полета с осд > 0 при различных
начениях отклонения стабилизатора:

0 ;--------е < О
котором пропадают особые точки для (оЛ. <п1т(оаэ х
Приведенный пример неоднозначности движения самолета пЛ
управлении обусловлен существенной нелинейностью уравнений
описывающих его движение.

§ 26. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
МАКСИМАЛЬНЫХ УГЛОВ СКОЛЬЖЕНИЯ ПРИ МАНЕВРАХ
СОПРОВОЖДАЮЩИХСЯ ЭНЕРГЕТИЧНЫМ КРЕНЕНИЕМ

Летные испытания и расчеты показывают, что нормаль-
ные и боковые перегрузки, возникающие при маневрах крена могут
достигать значительных величин.

Как следует из анализа кривых статических решений и числен-
ных расчетов переходных процессов, ступенчатое отклонение эле-
ронов приводит к движению самолета с угловой скоростью кре-
на, сопровождающемуся интенсивным развитием скольжения. Из-
менение угла скольжения носит колебательный характер,
иногда с большими перерегулированиями, что может быть
опасным с точки зрения прочности самолета и воздействия
боковых перегрузок на летчика. Особенно большие углы
скольжения можно ожидать при полете со сверхзвуковой ско-
ростью. В этих условиях выполняется неравенство << о)а,
что позволяет сделать определенные упрощения в уравнениях
движения.

Найдем приближенные аналитические оценки для решений си-
стемы уравнений движения, рассматривая величины (ov и а0 как
известные функции времени, определяемые отклонениями элеро-
нов и стабилизатора соответственно. Определим с их помощью
величину максимального угла скольжения рП1ах при маневре крена.
Упрощающее допущение о том, что — известная функция вре-
мени, ограничивает применение полученных результатов для са-
молетов с малой величиной поперечной устойчивости (jnx &
о).

Рассмотрим уравнения продольного движения самолета при
маневре крена:

+ -f- а — P«z = —

— ос	1	- -

—	^26^)2	~

(26.1)
опьжения самолета при маневрах крена

Оиен><5!1_ -----------------------------------

217

С
ВИДУ

мощью несложных выкладок преобразуем эти уравнения к

d2a
dx2

„а.

о, . С

da .	(

-j-----h Н I

dx 1 г \
dp . - <*>
d? + т«

d^z
~dx2

daz
dx

г/ __ ej \
сут‘б

26	2.U )

—	г\ dd)x

Сутгб )

(26.2)

G)z =

tA^ICDj^CD ^ — И (Ох

а —

г/ — я — dcnij а — efeO'v' а с — —

-ОТгбрГРЮх — Лц(Ох — Ацау-^-----------------------А _У. рЮхСОу.

Стремясь получить предельно простые окончательные формулы,
сделаем ряд допущений относительно свойств решений системы
уравнений (26.2). Будем считать, что собственные частоты колеба-
ний самолета по углу атаки и угловой скорости тангажа суще-
ственно больше частот изменения переменных в правых частях
этих уравнений, определяемых величинами р (т), сог/ (т), сох (т),
и степень затухания процессов по а и coz также достаточно высока.
Это допущение справедливо в тех случаях, когда выполняется не-
равенство соа со|3. При таких допущениях приближенные ре-

шения для а и <oz можно рассматривать как квазистатические

и представлять в виде

- Лрсохю/У

dp _	_

—	+ т2брР«х

p2mz6pcox — Лрсох

dti)y
dx

(26.3)

л _ d<ox л c(f _ _
Лрсо,у -------Яру СОхСОу

где

/	сат*г

л - II та У

Яо — р \ — mz6-------ЙТ—

(26.4)

Упрощающие допущения позволили понизить порядок системы
Уравнений движения самолета с четвертого до второго. Подстав-
яяя выражения (26.3) и (26.4) в уравнения для Р' и со^ и произ-
В0Дя необходимые преобразования, получим приближенное урав-
иение второго порядка для определения величины угла скольжения
Р (т) в виде

+	=	J />0(йд.)йЛ,	(26.5)
Одновременное управление элеронами и стабиш.^
---------------------------------------—_2^-т<фом

где функции р (<оЛ.), q (од), bx (од), b0 (ых) находятся по прибц.
женным формулам (в выражениях для /?, q, b^, Ь(} опущены * И
—	d(£>x	/ dti)x \~

которые члены вида сох—и т. д., влияние которых
несущественно):

р(®>) =

а0

-ф ЛВоцр2

.2-2 (-^у , -®г\ I АВ 4-4 | су ,-Л

II (0х yWly т ^гб) ’ И I 2 AtTlzft I

d((0x)’ (26-6)

Ап (<j>x) .
d(«x) ’

М<^) = ^-;	(26.8)

(	~	ca \	\

a0 ( —a0,fl^y + AB	I +	(«0 — Au2“x) I

6, (»,) =--------------------------jj----------------------------, (26.9)

где

d (coj --= a0 + <0xP-2 (1 + AB) + ”

(26.10)

Отметим, что все функции р, q, Ьъ b0, d являются четными функ-
циями угловой скорости крена.

После всех проделанных упрощений для нахождения законов
изменения по времени угла скольжения р (т) получено линейное
неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с пе-
ременными коэффициентами (поскольку величина сох — извест-
ная функция времени). Найдем приближенное решение этого урав-
нения для ступенчатого отклонения элеронов при нулевых на-
чальных условиях по всем параметрам движения. Будем рассма-
тривать уравнение для угловой скорости крена самолета в наибо-
лее простом виде, считая, что самолет обладает пренебрежимо ма-
лой поперечной устойчивостью

dfj^x
dr

_<ох_ _б

— тх = Шх Оэ

(26.П)

Решение для соЛ. (т) при ступенчатом отклонении элеронов
и нулевых начальных условиях определяется по формуле

йх = О(1 -е-М»	(26J2)

„ т э6	_ й>.

где Q =----------—Хо = — тх'

т„х
кл скольжения
ОнеНК^Л-------------------

самолета при маневрах крена

219

БуДеМ

искать решение для угла скольжения р в виде
Р (т) -= Родн (т) Рчастн (т),

(26.13)

п _ приближенное общее решение однородного уравнения;
где Род» ПрИближенНое частное решение неоднородного урав-
яеНдля нахождения родн и рчастн воспользуемся известными при-
иженными асимптотическими соотношениями, позволяющими
айти решение линейного уравнения с переменными коэффициен-
тами, и в первом приближении получим

т

1 I / чя

— — р (т) dx

~ J	I *	I

Родн—° sin [ |/<7 (х) dx + <р0 ; (26.14)
» 4 <т)	\о	/

—-г-—F ЬцЫх (т)

Рчастн ------------------•	(26-15)

Произвольные постоянные Во и <р определим с учетом началь-

ных условии	Р(°)^5-(0) = 0.	(26.16)
Получим	Во = — 4 ^(0) 9А»	;	(26.17)  1 1д (О)]3 sin <ро

но = arctg

_______________/<7(0)_______________

МО) , Гр(О) Ло / q (Й) \
MOM L 2	4 \ ' д (0) /.

(26.18)

Численные расчеты показывают, что величина <р0 близка к
л'2, a sin <р0 да—1. Откуда, принимая, что выполняется ра-
венство <р0 = —л/2, приведем решение для Р (т) к виду

Р(т) =

Ь1 (т) ЙЛ0 e~x°T + Ьо (т) й (1 — е~х°т)

<7 (т)

bt, (0) ЙЛ0

1 93 (0) q (т)

р (т) dx

COS

х

J V q (т) dx

о

(26.19)

Ни °СН0ВН0Й интеРес формула (26.19) представляет для нахожде-
величины максимального угла скольжения при маневре крена
Рис. 26.1. Пример зависимости отношения рп1ах Рст от Q

Рис. 26.2. Зависимость ртах от Q для маневров, выполняемых из условий полета
с различной перегрузкой пу

(Ртах)- Можно приближенно считать, что угол скольжения при-
нимает свое максимальное значение в момент времени, когда

Т1

J ]/ q (т) (1т = п.	(26.20)

о

Соотношение (26.20) получено из условия равенства
Т1

cos] i/q(%)dx= 1,чтов случае малого демпфирования движения

1
самолета по тангажу и рысканию приближенно соответствует мо-
менту времени достижения максимума по углу скольжения. БуДе>1
также считать, что угловая скорость крена практически достигает
своего установившегося значения сох (оо) = Q много раньше, чем
выполняется условие (26.20), т. е. раньше чем р принимает свое
максимальное значение

Т1>Л-	(26.21)

До	I
льжения самолета при маневрах крена

Оценка^---------------------------------

221

□ри таких допущениях равенство (26.20) можно приближенно
записать в виде

(Я) ‘

с учетом соотношений (26 21) и (26.22) из решения (26.19) полу-
чим приближенное выражение для величины р •

'max*

Ртах

Г ____________ р(Щ

в (Q)	АМе 2

Рст I- ) [ I \ у /,0(й) е

Л

1 7(й)

(26.23)

+ 1

функция Ьо мало зависит от величины Q, поэтому, заменив (Q)
на Ьо (0) и выразив значения всех переменных через аэродинами-
ческие и инерционные характеристики самолета, получим окон-
чательную приближенную формулу для нахождения отношения
Ршах^Рст*

р (Й) л

2 ) 7(Й)

(26.24)

где пуо — нормальная перегрузка в исходном полете.

В качестве примера на рис. 26.1 и 26.2 построены графики
зависимостей (Ртах/рст) и Ртах от вычисленные с помощью
формулы (26.24); там же точками нанесены решения, полученные
при моделировании. Из этих рисунков, в частности, следует, что
отношение ртах/рст уменьшается с возрастанием величины Q.
Этот факт в первую очередь связан с уменьшением частоты колеба-
ний и, следовательно, с увеличением времени достижения макси-
мума по углу скольжения. С увеличением времени переходного
процесса большая часть энергии успевает диссипатироваться,
и амплитуда по углу скольжения соответственно уменьшается.
Увеличение начальной нор-
мальной перегрузки (п^0) при
^аневре крена также приво-
дит к уменьшению перерегули-
рования по углу скольжения.

еДует, однако, отметить,
0 несмотря на уменьше-
но6 относительной величины
™ах'Рст), само значение ртах

р“с* 26.3. Влияние соотношения
Цх/сйо на вид зависимости ^Ртах'Рс’г
от £
Одновременное управление элеронами и ст брп
—--------------------—-----------------

ft max

ft ст

3

2

0,5

Рис. 26А. Влияние на зависимость Ртах/₽ст
рыскания (т^)

от Q коэффициента демпфирована

Рис. 26.5. Влияние на зависимость ₽тах/Рст от Q величины коэффициента попе-
речной устойчивости (mJ!)

при росте величины угловой скорости крена, с которой выпол-
няется маневр, и перегрузки пу0, увеличивается, так как pcj изме-
няется более энергично, чем отношение Ртах/Рст (см. рис. 26.2).

Вывод оценочной формулы основывался на допущении, что
График результатов проверки влияния этого
допущения на результаты расчетов приведен на рис. 26.3 (на
рисунке отмечены решения, полученные при моделировании).
Из рис. 26.3 следует, что удовлетворительное совпадение прибли-
женных расчетов с моделированием имеет место при отношении

Полученные выше результаты относятся к случаю, когда са-
молет не обладает поперечной устойчивостью (mJ! = 0). Как по-
казывают расчеты и моделирование, наличие поперечной устойчи-
вости несколько уменьшает величины перерегулирования по уг
скольжения самолета при маневре крена. На перерегулирование
по р влияет и величина демпфирования самолета по рысканию
(т^р). Для иллюстрации качественной картины влияния эти*
параметров на рис. 26.4 и 26.5 построены графики зависимостей
Pmax/рст в функции Q. За исходные значения параметров
и т* взяты некоторые средние значения, характерные для само]
лета со стреловидным крылом.
г л ' А

8

Особенности
управлении

динамики самолета при одновременном
элеронами и рулем направления

В настоящей главе рассматриваются особенности пространствен-
ного движения самолета при одновременном управлении элеронами
и рулем направления. Анализируется физическая картина движе-
ния и выводятся условия устойчивости управляемого движения
самолета при маневрах крена с одновременным отклонением руля
направления. Маневры такого типа могут быть связаны как с со-
знательными действиями летчика (отклонение руля направления
для ускорения разворота по крену, выполнение правильной или
неправильной бочки и т. д.), так и с ошибками пилотирования.

§ 27. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ

И ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ
САМОЛЕТА ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ УПРАВЛЕНИИ
ЭЛЕРОНАМИ И РУЛЕМ НАПРАВЛЕНИЯ

Особенности постранственного движения самолета при
отклонении руля направления обусловлены следующими фактора-
ми. Во-первых, изменением эффективной устойчивости самолета
по углу скольжения в зависимости от угловой скорости крена. Это
приводит к возрастанию реакции самолета на отклонение руля
направления по мере увеличения угловой скорости крена. Во-
вторых, из-за действия гироскопического момента на самолет при
отклонении руля направления одновременно с развитием угла
скольжения происходит изменение и угла атаки. Эти эффекты
Дополнительно усложняются изменением угловой скорости крена,
обусловленным влиянием поперечной устойчивости самолета. На-
личие многообразия различных факторов приводит к многообразию
форм движения и сложной их зависимости от характеристик само-
Лета и вида управления.

При отклонении руля направления в процессе выполнения
аневра крена у самолета одновременно с изменением угла сколь-
ения происходит изменение угла атаки. В тех случаях, когда
я еРечная устойчивость самолета зависит от угла атаки, это вли-
с е На хаРактеРистики движения самолета может быть весьма
Щественным. В связи с этим далее будут рассматриваться два


вида зависимостей характеристик поперечной устойчивости
угла атаки /пх = const и т* = ф- где обычно
малая величина.	’

от

Рассмотрим зависимость количества особых точек уравнений
пространственного движения самолета, у которого т* = const!
от вида поперечного и путевого управления самолетом. Зависи
мость ДшЛ (<ол) при установившемся движении имеет вид

Дш< = — тххах — Мл’Рст (о>х).	(27 |)

Входящая в выражение (27.1) величина рст (шх) может быть пред-
ставлена в виде

Рст (®х) —	^6 4 ^ту

(27.2)

Подставляя в (27.2) выражения для А£ и из табл. 9.1 и вы
полняя необходимые алгебраические преобразования, получим
выражение для величины потребного для реализации маневра
крена момента Дтх в функции сох:

д»., £ L

С0х

Выражение (27.3) позволяет находить значения сох, которых обыч-
но несколько, в особых точках. По этим величинам определяются
значения остальных параметров движения в соответствующей
особой точке.

Из анализа выражения (27.3) можно сделать следующие вы-
воды.

1.	Поскольку степень сох в числителе выражения (27.3) равна
пяти, то функция в правой части может иметь не более пяти нулей.
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае может быть не более
пяти особых точек, которые и описывают возможные состоян!
установившегося движения самолета.

2.	В случае, когда в процессе движения руль направления и
отклонен (Дт^ = 0), правая часть выражения (27.3) являете
кососимметричной функцией сох. Отсюда, в частности, следУеТ’
что имеется особая точка при сох — 0, которая соответствуе
Дшх = 0. Кроме нее может быть еще четыре особые точки.

3.	В случае, когда	функция в правой части вЫР

жен и я (27.3) становится несимметричной и при сох 0 1
in и отклонении элеронов и руля направления
яе№с о **»______________________-___________________

225



и от нуля, а количество особых точек сохраняется, т. е.
^прежнему равно пяти.

п° 4 В общем случае, поскольку степень знаменателя выраже-
(27.3) по параметру сох равна четырем, функция Дтх (сох)

НИжет иметь четыре разрыва. Напомним, что эти разрывы имеют
МОсто при угловых скоростях крена, равных критическим значе-
ниям- Поскольку при прохождении через нулевое значение функ-
ция Ы изменяет знак, то в окрестности разрыва происходит
енение знака функции Дгт?Л, по знак производной dmx dwx

сохраняется (см. гл. 3). В связи с этим при прохождении соЛ
через критические скорости всегда происходит изменение знака

действительного корня, т. е. получаются чередующиеся по
особые точки типа фокус и седло.

Из (27.3) видно, что наличие путевого управления оказало толь-
ко количественное влияние на координаты особых точек, но не
повлияло на их число и, как показывают расчеты корней, типы
особых точек также сохранились те же, что и при Дту = 0.

Рассмотрим, как повлияет на изменение фазовой картины дви-
жения самолета зависимость поперечной устойчивости от угла
атаки. Будем рассматривать зависимость тх (а) в виде

/п£ (а)

(27.4)

где примем тх0 0. Учитывая соотношение (27.4), выражение
для Amv (27.1) можно преобразовать к виду

-	/ Л

Ю Н "Г -!^/1М + Вйл)™ +
\ Ло /	L

—	Г/ \	/	(X -	\

I S	®	9^1	la ctlm2	*	-21 А -

+ т^гПуУ + АВ&-1- а0 — I т“б +	Ьту .

•	\	/	J t

(27.5)

щие°СН°Ве анализа выражения (27.5) могут быть сделаны следую-

1- В выражении (27.5) степень сох в числителе равна девяти,
вя слеДУет» что движение самолета может описываться де-
тью особыми точками.

Мои $ случае, когда нет путевого управления (Amz/ "= 0), а са-
‘ ет Управляется только в поперечном и продольном каналах,
Кция в правой части (27.5) является нечетной но степеням tox
8 ~
и имеет нуль в начале координат. Максимальное количество

точек и в этом

случае равно девяти.

°собЫх

3. При &ту = 0 функция Лшх (объявляется четной по
= 0 функция Дтх (шх) — четная по степеням

В случае, когда а0
(AmJ.

'О-

4.	При &ту 0 и 0 симметрия функции Amx (qj По
нарушается и особая точка в начале координат отсутствует.

5.	Поскольку выражение в знаменателе (27.5) имеет четыре
нуля по параметру сох, то функция Д/пх (сох) может иметь четыре
разрыва. При прохождении через нуль функция (Ло (сох))2 не из-
меняет знака, в связи с чем и функция Атх (сох) (27.5) также не
изменяет знака при прохождении параметра шх через критические
значения, а производная dmjdayx при этом изменяет знак. Из
условий апериодической устойчивости движения следует, что при
прохождении шх через критические значения, знак действитель-
ного корня сохраняется неизменным. В связи с этим, не изменяется
и тип особой точки, и обе особые точки с близкими значениями
шх ~ <°крит являются одновременно либо фокусами, либо седло-
выми особыми точками.

Вид функций Атх (шх), определяющий количество и положе-
ние особых точек в фазовом пространстве, зависит от момента
управления рулем направления Ат^ и угла атаки. Наибольший
практический интерес вид этой функции представляет при угло-
вых скоростях крена, либо меньших, либо больших критических,
поскольку в этих областях изменения угловой скорости крена
обычно находятся устойчивые особые точки, имеющие достаточно
большие области притяжения. Основные виды таких зависимостей
Дтх (<ох) приведены в табл. 27.1. В таблице под отклонением руля
направления «по вращению» понимается отклонение, при котором
удовлетворяется соотношение

sign б„ = sign <7\.	(27.6)

В этом случае отклонение руля направления приводит к P^3J
витию угла скольжения, способствующего увеличению угловой
скорости крена. Под отклонением руля направления «против вра-
щения» понимается отклонение, при котором выполняется соотно-
шение

sign 6П = — sign сох.	*

В этом случае развивающееся скольжение самолета тормозе
угловую скорость крена, т. е. препятствует вращению.

Даже без отклонения элеронов отклонение руля направлен^
благодаря развитию угла скольжения и наличия у самолета
своими

перечной устойчивости приводит к появлению угловой скорости
крена самолета. На ряде режимов полета такое воздействие может
быть столь существенным, что угловая скорость крена будет со-

измерима с критическими значениями и для исследования движе-

ния самолета необходимо использовать всю методику анализа про-
странственного движения, а анализ с применением линейных урав-
нений бокового движения будет давать неверные результаты.
Наиболее простым и эффективным средством исследования особен-
ностей пространственного движения самолета при управлении
рулем направления является анализ установившихся движений и,

в первую очередь, анализ зависимости между отклонением руля
направления и угловой скоростью крена. При отклонении руля
направления, кроме момента рыскания, появляется момент крена
и соотношение между этими моментами видно из рис. 27.1. Учи-

ТЬрВая этот факт, анализ зависимости бп (сох) для случая, когда
m const, можно провести, воспользовавшись тем же соотноше-
нием (23.2), которое было основным при анализе управления само-
ета Веронами, поменяв обозначения производных на производ-
Bie п° углу отклонения руля направления.

Специфика выбора параметров эффективности руля направле-
нии заключается в том, что из условия «прямой» реакции самолета
отклонение руля направления для них должно выполняться
неравенство

8*

у X

В -6Н
у X

(27.8)


Рис. 27.1. Примеры зависимостей коэф-
фициентов тх и т п от угла атаки
ф

Рис. 27.2. Зависимость	от о»

АН	А

для = 0 и соотношения со» < со

О	Г)	ОС

Физический смысл этого неравенства заключается в том, что при
отклонении руля направления знак вращения самолета по крену
должен определяться создаваемым им углом скольжения (при
т* <0), и быть противоположным моменту крена от руля на-
правления.

Из условия (27.8) и соотношения (23.2) следует, что в зна
менателе будет отсутствовать критическое значение сор, так как
соответствующая скобка положительна при всех значениях (ох.
В результате для зависимости т$п6н (сод) характерно наличие
только одного нуля в знаменателе и, соответственно, одного раз-
рыва в этой функции. Иллюстрация получаемой в этом случае
зависимости (тхн6н) от приведена на рис. 27.2. Движение
самолета с |	| < со* и |	| > Юа — устойчиво, а при <С

< I I <С апериодически неустойчиво. Этот результат можно,
в частности, получить, если рассматривать процедуру получения
зависимости тхи6н (от), которая использовалась ранее, т. е.
строя кривые Дтх (а\) для различных значений Д/zz^ и затем от-
мечая на кривых значения, соответствующие 6П = const. Соот-
ветствующие зависимости (JCT (cox) и Д/пх. (<ох) для различных
величин Дтр. построены на рис. 27.3. Каждому значению откло-
нения руля направления бн соответствуют определенные значения
Дтх и которые расположены на кривых, построенных на
рис. 27.2. Применяя к таким точкам на кривой бп (<ох) правил0
определения апериодической устойчивости (10.8), (10.9), получи*
вывод, приведенный ранее.

Из зависимостей, приведенных на рис. 27.2, следует, что пр
отклонении руля направления при условии достаточной его ЭФ
ляемость при отклонении элеронов и руля направления

229

явности всегда возможен вывод самолета на угловые ско-
ФеК и крена, превышающие значение второй критической.

PoC* полноты картины рассмотрим характеристики управляе-
ти самолета при воздействии на него только моментов ры-
м°Сния, когда моменты крена равны нулю. Это возможно, напри-
сК прИ действии на самолет моментов от несимметричных подве-
М к при отказе °ДНОГО из двигателей двухдвигательного самолета

И Для определения параметров движения самолета в особых точ-
ках воспользуемся обычной процедурой, изложенной в гл. 3. Для
нахождения связи между моментом и угловой скоростью крена
нз уравнения балансировки моментов крена для случая =
= const и «б = о получим

Дтг/ ------

2-6

^хХ^хА0 (йх)

26 2и

(27.9)

Примеры соответствующей зависимости построены на рис. 27.4, п, б.
Влияние величины и знака аб на зависимости Дт^ (сох) может
быть получено описанными ранее методами.

Одной из особенностей пространственного движения самолета,
движущегося с угловой скоростью крена и отклоненным рулем
направления, является то, что одновременно с развитием угла
скольжения у самолета изменяется и угол атаки. Действие управ-
ляющего момента Дтр на вращающийся по крену самолет приво-
дит к появлению угловой скорости рыскания сог/ и, следовательно,
к отклонению вектора суммарной угловой скорости Q от направ-
ления главной оси инерции самолета ОХ. Из-за несовпадения
вектора угловой скорости с главной осью инерции на самолет
начинает действовать момент от центробежных сил. Этот инерци-

27.3. Зависимости для «6 = 0 и сор функций.

1 СТ ((,)л); 6 — ”гх (°\)
Рис. 27.4. Зависимость кту от при &б = 0:

а — для соотношения со^ < й>а; б — для соотношения <£>$ > (Ьа

онный момент изменяет угол атаки самолета до тех пор, пока он
не компенсируется аэродинамическим моментом устойчивости.

Для произвольного соотношения критических скоростей крена
зависимость установившегося значения приращения угла атаки
от величины момента рыскания кту определяется функцией Аа .
Воспользовавшись формулами из табл. 9.1, выпишем выражение
для и определим некоторые свойства этой зависимости

а

тУ Ло (<0х)

(27.10)

Характерный вид функции Аа (27.10) виден из графиков в
г?1у

табл. 27.2.

Из анализа соотношения (27.10) можно сделать следующие вы-
воды. Во-первых, зависимость А^Пу (сох) является кососимметрич-
ной функцией угловой скорости крена, в связи с чем изменение а
определяется знаком произведения ыхкту. Во-вторых, поскольку
в числитель выражения (27.10) не входят величины, пропорцио-
нальные критическим скоростям крена, вид функции А^ не за-
висит от их соотношения аналогично тому, как при анализе про-
дольного управления было получено, что вид функции Ат2 не зави-
—	" Из

сит от соотношения между критическими скоростями соа и сор.
анализа функции А^у также следует, что отклонение руля на-
правления «против вращения» при угловых скоростях крена, мень-
ших первой критической, когда создается угол скольжения, пре'
пятствующий развитию угловой скорости крена, всегда приеодип
к отрицательному приращению угла атаки. Отклонение РУ'
направления то вращению», когда скольжение способствует крену >

^аВДення

всегда приводит к положительному приращению угла ат
независимо от направления крена (знака угловой скорости кпе KU\
Действительно, при отклонении руля направления против в ’
щения развитие угловой скорости таково, что	°'

sign o>v sign <ov,

откуда следует, что при всех значениях скорости крена инерцИОн
ный момент < 0 и, следовательно, приводит к отрицатель
ным приращениям угла атаки (Да < 0). Аналогично анализирует'
ся движение самолета по крену при отклонении руля направления
«по вращению». Для иллюстрации отмеченных особенностей на
рис. 27.5 и 27.6 приведены примеры изменений приращения пере-
грузки при отклонении руля направления по вращению и против
вращения, полученные в летных испытаниях. Из рисунков видно
что отклонение руля направления по вращению приводит к по-
ложительному приращению перегрузки. Отклонение руля направ-
ления против вращения приводит к отрицательному приращению
перегрузки, а наличие у самолета балансировочного угла атаки —
к положительному приращению перегрузки. Эти два противоречи-
вых фактора приводят к тому, что в начале процесса Лпу < О,
а далее может быть либо положительным, либо отрицательным.

На рис. 27.7 построена полученная в летных испытаниях зави-
симость величины приращения перегрузки при маневре крена,
выполненном путем отклонения элеронов на постоянный угол,
от величины и знака отклонения руля направления. Результаты
летных испытаний подтверждают качественные выводы, сделанные
ранее. Уменьшение перегрузки для больших положительных от-
клонений бн (против вращения) обусловлено уменьшением угло-
вой скорости крена при маневре.

Второй особенностью движения самолета при одновременном
управлении элеронами и рулем направления является обратная по
знаку реакция самолета по рысканию на отклонение руля направ-
ления при угловых скоростях крена, больших критической ско-
рости крена по рысканию. Выпишем из табл. 9.1 выражение для
/1П •

|3 = И2

ту (со.х)

/	сс -	\

-а .

(27.12)

Пренебрегая в формуле для Ао членами демпфирования, по-
лучим приближенное выражение для функции ^ст

ту

&ту

Рст \
/

(27.13)
233

дяемость при отклонении элеронов

и руля направления

Рис 27.5. Примеры изменения нормальной перегрузки самолета при маневрах
крена с одновременным отклонением элеронов и руля направления по вращению,
полученные в летных испытаниях (пу§ ~ 1,0; М < 1, ср = const; дн = 4 ... 8°:)
а — зависимость dg (®х); б — (tox)

Рис. 27.6.
нормальной

Примеры изменения
перегрузки Anz/ само-

лета при маневрах крена с одно-
временным отклонением руля на-
правления против вращения, полу-
ченные в летных испытаниях (пуъ 1,0; М< 1, <р = const, 6П — —4°, —8°):

а

б

° “ максимальные забросы; * — установившиеся значения

Зависимость приращения

НоРМальной

чннь4ЛЬНОН пеРегРУзки (Апи) отвели-
Пр 1 и знака отклонения руля на-
питпЛения’ полученная в летных ис-
"ы2аниях1 „ск -1,0;	М<1.

const, 10°)
Рис. 27.8. Зависимость вида функции А 1 (oQ от соотношения критических
скоростей крена соа и сор. Сопоставление со случаем, когда демпфирование пре-
небрежимо мало

Из выражения (27.13) следует, что при угловых скоростях
крена, удовлетворяющих неравенству | сох | > | (Ор1, зависимость
(|3СТ/Лт^) изменяет знак. Вернувшись к точному выражению для
(PCT/Amv), получим, что благодаря наличию дополнительных чле-
нов в выражении для Ао (<ох), зависящих от демпфирования, в слу-
чае, когда (оа > (Ор, числитель выражения (27.12) обращается
в нуль при меньших значениях угловой скорости крена о\, чем
Хо, а когда соа < сор, то при больших сох, чем Ло (сох). Это при-
водит к изменению вида зависимости А$п от <ох для различных
сочетаний соа и сор и обусловливает соответствующие изменения
в динамике самолета. Для иллюстрации отмеченных факторов на
рис. 27.8 построены графики функций А$п для различных соотно-
шений между критическими скоростями крена и сор. Пункти-
ром проведены кривые, соответствующие динамике самолета, не
обладающего аэродинамическим демпфированием.
• при отклонении элеронов и руля направления	235

-----------------------—----------------------------

§ 28. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ САМОЛЕТА
ПРИ УПРАВЛЕНИИ ЭЛЕРОНАМИ И РУЛЕМ
НАПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим кратко некоторые особенности динамики
самолета при маневрах крена, выполняемых путем одновременных
ступенчатых отклонений элеронов и руля направления. Более
подробные данные но этому вопросу приведены в [11 ].

Особенности динамики самолета рассмотрим в зависимости
от соотношения критических скоростей крена соа и сор самолета.

Случай < Ор.

а)	Отклонение руля направления против
вращения. Для маневра крена, выполняемого из условий
горизонтального полета, пример зависимости Дтх (сох) приведен
на рис. 28.1.

Особенности маневров крена с одновременным отклонением
руля направления против вращения из условий полета с положи-
тельной нормальной перегрузкой обусловлены тем, что влияние
балансировочного угла атаки ссб и момента от руля направления
(Д/n^) приводит к приращениям угла атаки разных знаков, а
угла скольжения — одинаковых знаков. В связи с этим при ма-
неврах крена с малыми отклонениями элеронов благодаря боль-
шой поперечной устойчивости самолета основное влияние на дви-
жение самолета оказывает отклонение руля направления, которое
вследствие развития большого угла скольжения самолета может
даже приводить к изменению направления крена.

Ппп Зависимость Дтт (сол) для соа <С (dr и отклонения руля направления
тив вращения для co.v > 0 («о = аг. п)
Одновременное >правление элеронами н р)лем



Рис. 28.2. Изменения параМет
движения при одновременР°в
клонепии бл и 6Н против ,0Т*

щения, полученные в летнь!Бра
пытаниях (пуб - 1,0; м <

Характер изменения
параметров движения са-
молета при отклонении
руля направления и эле-
ронов из горизонтального
полета виден из рис. 28.2
где приведены результаты

специальных летных ис-
пытаний самолета. Из про-
цессов, приведенных нари-
сунке, видно, что в начале
движения происходит су-
щественное ухменыиение
угла атаки (перегрузки^).
В дальнейшем после не-
большого отклонения руч-
ки летчиком на себя
(Дсрст< 0), произошло уве-
личение угла атаки, воз-
растание величины (а)
и резкое уменьшение уг-
ловой скорости крена, что
привело к практической
ликвидации влияния от-
клонения руля направле-
ния на угол атаки само-
лета.

В ряде случаев при ма-
неврах крена с большими

отклонениями элеронов и руля направления против вращения,
возможен выход самолета на отрицательные углы атаки. При дви-
жении самолета с отрицательным углом атаки происходит из-
менение знака поперечной устойчивости, благодаря чему сколь-
жение, которое ранее тормозило развитие угловой скорости
крена самолета, теперь начинает способствовать ее возра-

станию до тех пор, пока сог не превысит величину второй
критической скорости крена. Маневры такого типа могут приво-
дить к выходу самолета на режим инерционного вращения (см-
ппи отклонении элеронов и ।я пат р. плен и si

ДЦ11.1'	----------------------------------------------

237

^Отклонение руля направления по в р а-
н и ю. Пример зависимости (<ох) для маневров крена
пновременным отклонением руля направления по вращению
С условий горизонтального полета приведен на рис. 28.3. Ха-
и^терной особенностью зависимости величины потребного момента
Р ерОНов от является то, что угловая скорость крена при малых
отклонениях элеронов в очень большой степени определяется ве-
личиной отклонения руля направления, а начиная с некоторых
величин отклонений 6Н и приближения величины угловой скорости
крена к значению первой критической, вообще перестает зависеть
от отклонений 6П и бэ.Такая малая зависимость угловой скорости
крена от величин отклонения органов управления объясняется
тем, что при приближении скорости крена сох к критическому зна-

чению углы атаки и скольжения самолета начинают энергично
возрастать, и достаточно весьма малого изменения угловой ско-
рости крена, чтобы поперечный момент т$х (а) р скомпенсировал
изменения величин 6Н и б3. В области угловых скоростей вращения
самолета по крену, превышающих величину второй критической
скорости, > шах (соасор), управляемость самолета элеро-

Д/77Л
238

Одновременное управление элеронами и нулем
---------------*--------------------

l^Xt 1/С

1 -
О -

"z

0,8-

0,4
о

Пу
Ь
5
2



S3, градус

W

ду, градус

О -

-W -

Уст, градус

О

-10

Случай юа > сор.

а) Отклонение руля

Рис. 28.4. Изменение параметпет «
жения самолета при одновреМе
отклонении 6Э и 6Н по вращению °М
лученные в летных испытаниях ’ По*
(пу исх = L М < 1,0)

нами сохраняется практически
при всех сочетаниях отклоне-
ний руля направления и усло-
вий продольной балансировки
самолета. Примеры переходных
процессов по основным пара-
метрам движения самолета при
ступенчатых отклонениях орга-
нов управления, полученные в
полете, приведены на рис. 28.4.
Изэтого рисунка видно, что при
больших отклонениях элеронов
и руля направления по враще-
нию переходные процессы стано-
вятся колебательными и реали-
зуется предельный цикл. В сред-
нем вращение самолета по крену
происходит с угловой скоростью
сох приблизительно равной соа.

направления против

вращения.

Примеры зависимости Атх (юх) при маневре крена, выпол-
няемом из условий горизонтального полета, приведены на рис.
28.5. Анализ переходных процессов самолета и статических реше-
ний показывает, что при малых отклонениях элеронов, движение
крена самолета определяется величиной отклонения руля направ-
ления. Характерным является тот факт, что начало маневра крена
сопровождается энергичным изменением угла скольжения. Такое
изменение угла скольжения обусловлено малой степенью устой-
чивости самолета по рысканию. Для анализа устойчивости воз-
мущенного движения самолета при одновременном управлении
элеронами и рулем направления воспользуемся приближенным!
границами областей устойчивости в координатах (|3СТ, Q), получен-
ными в гл. 5. Границы областей устойчивости, построенные в та_
кой системе осей координат, не зависят от вида управления само
летом. Для оценки устойчивости при конкретном управлении н
этой плоскости должны быть построены зависимости РСт(^)»
ответствующие исследуемым значениям моментов от органов У
равления Дтх и кту. Такие зависимости могут быть получе
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими

239

iIa ’ ^'5. Приближенные границы областей устойчивости движения самолета
КЛо*’1Оск°сти Рст, $ и положение кривых Рст(&) Для различных сочетаний от-
сний органов управления (значений Amv и Ат^)

ппи отклонении элеронов и р^ля направления
у м и к а ____________-___________—-----------------

Рис. 28.5. Зависимость Атх («л) для со$ < соа и отклонения руля направления
против вращения («б = п)



руками?!
Рис. 28.7. Зависимость Amv (юх) для сор < соа и отклонения руля направления
по вращению («с — ссг, п)

С ПОМОЩЬЮ
шеиий

приближенных соотношений для статических ре-

₽ст (й) -

— rhyx) Q
Вр (со| — Q2)

(28.1)

Am* = — m£pcT — mx*Q.	(28.2)

Выражение (28.2) определяет на плоскости (|3СТ, Q) семейство
прямых, для которых параметром является величина Amv. Каж-
дой точке на этой прямой соответствует свое значение кту. Пере-
сечение с этой прямой зависимостей (28.1), построенных для раз-
личных величин &ту (рис. 28.6), позволяет определить значения
рст и Q, соответствующие данным величинам Атх и i\tny.

Прямая, соответствующая Amv = 0, проходит через начало
координат и расположена во 2-й и 4-й четвертях. Отсюда, в част-
ности, следует, что, движение самолета при Amv = 0 (т. е. при
неотклоненных элеронах) копебательно устойчиво при любых зна-
чениях Ату при (ох < min (<оа, сор), однако начиная с некоторого
значения угловой скорости Q, наступает апериодическая неустой-
чивость движения. Из этого рисунка также следует, что при от-
клонениях элеронов и руля направления разных знаков, (т. е-
6П — по вращению) степень апериодической устойчивости дви-
жения самолета возрастает, однако, при некотором значении ь-
наступает колебательная неустойчивость движения, причем тем
раньше, чем больше величина отклонения руля направления. Эта
колебательная неустойчивость приводит к появлению предельного
цикла, и характер изменения параметров движения самолета в
этом случае аналогичен изображенному на рис. 28.4. При выход !
самолета на угловые скорости крена, превышающие величину вто-
ппи отклонении элеронов и руля направления
с1м п ка ---------------------------------------

241

w критической скорости, и приведении элеронов в нейтральное
Р°и ^ение может иметь место потеря поперечной управляемости
П°Л лета, которая выражается в сохранении практически неизмен-
ен величины угловой скорости крена, несмотря на то, что элеро-
н°Инаходятся в неотклоненном положении, т. е. реализуется режим
”нерционн°го вращения.

Маневры крена с отрицательной нормальной перегрузкой ха-
актеризуются относительной легкостью выхода самолета на угло-
вые скорости крена, превышающие значение второй критической
скорости. Приведение элеронов в нейтральное положение обычно
не прекращает вращения самолета по крену. Вращение самолета
прекращается, если в момент приведения элеронов в нейтральное
положение выполняется условие (оф > 0). Движение самолета
при приведении элеронов в нейтральное положение обычно со-
провождается энергичным изменением углов атаки и скольжения.

б)	Отклонение руля направления по вра-
щению. Примеры статических решений для основных параме-
тров движения самолета при маневре крена с одновременным от-
клонением руля направления по вращению из условий горизон-
тального полета приведены на рис. 28.7. Особенностью управляе-
мого движения самолета в этом случае является относительная
простота выхода самолета на угловую скорость крена, превышаю-
щую вторую критическую скорость. Необходимо отметить, что
движение с потерей устойчивости обычно может иметь место при
выполнении большого числа переворотов самолета по крену. При
выполнении одного переворота такие режимы обычно не успевают
развиться и самолет сохраняет управляемость.
ГЛАВА

Исследование режимов инерционного
вращения самолета

Под режимом инерционного вращения в настоящей работе по-
нимается неуправляемое вращение самолета по крену при значении
угла атаки, меньшем критического по сваливанию, которое проис-
ходит, несмотря на приведение в нейтральное положение или от-
клонение против вращения элеронов и руля направления. Такое
движение самолета обычно сопровождается существенным измене-
нием углов атаки и скольжения в процессе движения.

Наименование рассматриваемого критического режима — инер-
ционное вращение, введенное впервые в работе [11], не устано-
вилось однозначно в отечественной литературе. Эти же явления
иногда называют авторотацией, самовращением, аэроинерционным
самовращением, аэроинерционным вращением и т. д. В настоящей
работе будет использоваться термин инерционное вращение.

Такое наименование критического режима естественно яв-
ляется условным, так же как и наименование других критических
режимов (сваливание и штопор) и далеко не полностью отражает
физические причины таких видов движения самолета. Этим назва-
нием подчеркивается существенная роль инерционных дестабили-
зирующих моментов, возникающих при вращении самолета отно-
сительно оси, не совпадающей с главной осью инерции само-

лета.

Некоторые случаи движения самолета с выходом на угловые
скорости вращения по крену, превышающие вторую критическую,
рассматривались в гл. 7, 8 при анализе управления самолета по
крену с одновременным отклонением руля высоты и руля направ-

ления.

Режим инерционного вращения является одним из наиболее
опасных видов движения, обусловленных влиянием взаимодействия
продольного и бокового движений. Для него характерна весья
сложная переменная пространственная ориентация самоле
вследствие быстрого его вращения и действие на летчика значится
ных по величинам, часто переменных, нормальных и боковых
грузок. Для этого режима, как будет показано далее, характер
необычная, часто обратная реакция самолета на отклонение ct•
билизапгора и руля направления. В этой связи режим заслужив
особенно внимательного анализа.
супкстзованпя режимов инерционного вращения
-----------------------------------------------

243

r настоящей главе будут рассмотрены условия, при которых
южно попадание самолета в режим инерционного вращения,
Б°31ства движения и некоторые особенности управляемости само-
сБ° Б зависимости от его аэродинамических характеристик.

в *

§ 29.	УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕЖИМОВ
ИНЕРЦИОННОГО ВРАЩЕНИЯ

Для решения вопроса о возможности движения самолета
в режиме инерционного вращения при отсутствии моментов управ-
ления (Атх = kthy ~ 0) необходимо:

1)	определить условия, при которых возможно существование
таких видов движения;

2)	определить характер пилотирования самолета, приводя-
щий к попаданию в такие режимы.

При решении первой из сформулированных задач необходимо
определить возможность существования устойчивых особых точек
при угловых скоростях крена, не равных нулю, несмотря на приве-
дение в нейтральное положение элеронов и руля направления.
Для того, чтобы вращение могло реализоваться при Атх = О,
как следует из уравнения для сох, необходимо, чтобы был доста-
точный по величине момент крена, который это вращение под-
держивал бы, несмотря на воздействие на самолет демпфирующего
момента тх сох. Единственным источником появления такого
момента при докритических значениях угла атаки является аэро-
динамический момент поперечной устойчивости, который при со-
ответствующем развитии угла скольжения может быть достаточ-
ным для «пересиливания» воздействия демпфирующего момента и
поддержания вращения.

Для существования особых точек, соответствующих движению
с (ох О при А/тгх = 0, необходимо выполнение двух условий.
Й0'Нервых, необходимо, чтобы свободный член характеристиче-
ского уравнения Ло (сох) имел нули, так как практически только
и этом случае возможно развитие в процессе движения достаточно
°льших углов атаки и скольжения, которые благодаря моменту
поперечной устойчивости тх (а) смогут поддерживать вращение
амолета. Это, по-видимому, является необходимым, но, очевидно,
^Достаточным условием. Во-вторых, необходимо определить ус-
Вия, связанные с начальной балансировкой самолета, либо
Управлением самолета рулем высоты, при которых существуют
особые точки с сох 0, и выбрать из них устойчивые.

ИипРец1ение эт°й ГРУШ1Ы вопросов, позволяющих оценить прин-
Ного1аЛЬН^Ю возм°жность попадания самолета в режим инерцион-
вРащения, может быть выполнено с использованием тех же
методических приемов, которые широко использовались
лизе особенностей пространственных маневров.

Условия, при которых зависимость Ао (сох) имеет

При аца.

следовательно, существуют разрывы в статических зависщЛИ И’
установившихся значений параметров движения, были поч^51*
в гл. 2. Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять ЧеНы
метры самолета, чтобы нули у функции /10 (сот) отсутствов^3

Условие, что функция Аи (<оЛ.) касается оси 0юЛ

в виде

(<*>*) = 0;

^0 (°Д п
^со?

(29.1)

(29.2)

(29.3)

(29.4)

полу ЧИл1

Из соотношения (29.2) получим, что соответствующее значение о2
определяется по формуле

-2	1ГЮ2+« D

*	2 [ ц	ЛВр]’

ГА I А	_ ОО \ / С„	_ (•)„ |

= I — 1-5--т2б‘) В — тцу .

Исключая из (29.1) со*, найденное по формуле (29.3),

условие, которому должны удовле!ворять параметры самолета,
чтобы в функции Ло (<ох) отсутствовали нули:

^Г^[(С0а)2- (®₽)2J.	<295^

Учитывая формулу для определения р, условие (29.5) может быть
приведено к неравенству, позволяющему определить зависимость
критической высоты (через соответствующую величину плот-
ности), ниже которой при данных характеристиках самолета от-
сутствуют критические скорости крена по тангажу и рысканию
Условие, при выполнении которого функция /10 (<ол) имеет нули,
т. е. существуют критические скорости записывается в виде

п /	Г(^)2 - S)2] АВ	(29 6)

/	- \ / са	- \ '

gl

2 гб 1 I 2	У]

Это условие позволяет выделить на плоскости Я, М область РеЯ^р
мов полета, где необходимо исследовать возможность режи*
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

К”

су1ЦСС Г ВОМНИ Я

рогкнмоп инерционного нращсвпн

0 , Пример областей режимов
рис. ^Лепета, на которых возможно
по-^ние самолета в режим инерцион-
ЙДвра«ения:

Н ^лимонное вращение в полете:
9 . ^рционное вращение не наблюдалось

.„ерционного вращения. В ос-
пьной части области режимов
Точета вероятность попадания
самолета в режимы инерцион-
ного1 вращения практически от-
сутствует. Пример такой грани-
цы на плоскости Я, М приве-
ден на рис. 29.1.

С помощью соотношения

245

х/

м

(29.6) можно проанализировать влияние изменения параметров
самолета на положение границы области существования крити-
ческих скоростей в координатах Я, М. Для оценки влияния пара-
метров проделаем следующие преобразования.

Введем обозначение



(29.7)

где п — множитель, показывающий во сколько раз изменилась
правая часть выражения (29.6) при изменении параметров самоле-
та; рй, — значение плотности р*, соответствующее исходным зна-
чениям параметров самолета, позволяющее определить высоту' по-
лета Яо, где выполняется условие (29.6).

Учитывая, что

________— 7.//
Р* — Рое	>

Рн„ = Рое-’1"”,	(29.8)

А// = -|-1пл; (АЯ = Я0-Я),	(29.9)

1/м (для малых высот полета Н < 10 км).

гДе Z ______

10 000’

Соотношение (29.9) позволяет оценить влияние вариаций пара-
VgTP°B самолета. Например, из (29,6), (29.9) можно получить, что
У сличение нагрузки на крыло самолета на 20 % приводит к сни-
границы по высоте на ДЯ = 1800 м.

цр Усмотрим возможность попадания самолета в режим инер-
тного вращения в случае, когда управление осуществляется

аТак°НаМИ и стабилизатором, а производная т* зависит от угла
и- Нелинейную зависимость пи (0, а) будем аппроксимиро-
246

Режимы инерционного

^Щения Само

вать приближенной формулой, обычно достаточно хорошо
вающей характеристики поперечной устойчивости самолеПИсы'
малых и умеренных углах атаки:

характеристикой Пп
управляемого

тх (а, р) = т£0Р +	где 0.

Как было показано ранее, весьма удобной
зволяющей выявить основные особенности
ния самолета при пространственных маневрах, является завГ^
мость потребного отклонения элеронов либо момента Дтх от в си‘

чины угловой скорости крена. Такая зависимость, в частност1"
позволяет определять координаты особых точек и, следовательно*
исследовать, сохраняется ли управляемость самолета или возмож-
ны случаи, когда при приведении элеронов в нейтральное положе-
ние угловая скорость крена не уменьшается до нулевой величины
Для получения зависимости Дтх (сох) воспользуемся формулой
равновесия моментов относительно продольной оси:

&1Пх— Шх СОх /72х^ССстрст»	(29.11)

Величины аст, [Зст могут быть найдены с помощью формул
табл. 9.1. из следующих соотношений:

(%ст == Ат^ГПг,

$„ = А*тЬтг.	(29.12)

Вид зависимости А/щ (о\) определяется тем, способствует ли
поперечная устойчивость самолета (а) развитию крена или
наоборот препятствует. Учитывая, что обычно производная

<0, из формулы (29.11) легко определить условия, при ко-
торых поперечная устойчивость способствует развитию крена са-
молета. Для того чтобы поперечная устойчивость самолета способ-
ствовала развитию крена, необходимо, чтобы момент от поперечной
устойчивости самолета имел такой же знак, как и угловая скорость
крена, что выполняется при удовлетворении следующего соотно-
шения между углами атаки и скольжения самолета (в установив
шемся режиме между аст и рст):

аст|Зст sign <ах < 0.	(29 '1 $

Соотношение между углами а и Р, при котором неравенство
имеет противоположный знак, соответствует тормозящему А
ствию момента поперечной устойчивости самолета на УгЛ° х
скорость крена. Рассмотрим в общем виде условия, приД<отор^ 
возможно существование устойчивых особых точек при <вх
Атх = 0. Эти условия могут быть получены из анализа завис
сти А/пх (сох), которая, в свою очередь, определяется законе
твования режимов инерционного вращения

247

Рис. 2S-2- Зависимость Лтх. (й )
,w самолета, поперечная устойчм
весть которого зависит от угла атаки

„остями изменения функций
(c^ci &б) Н (Рс/^б)> имеющих
разрывы первого рОда в
окрестности критических
скоростей крена. Произ веде-

/1(71

Д -седловая
особая точка

• -(рокус

^х

^2 крит

знаки при

1 крит

и меют одинаковые

НИЯ #стР

ст ПрИ (Ох —(0КрИТ

подходе к критической скорости крена как слева так и справа,
а производная по сох от произведения астрст имеет разные знаки.
Для устойчивого самолета при сох ->0 выполняется неравенство
> 0. Отсюда следует, что в окрестности первой критиче-
dd)x	__

ской скорости крена, если существуют особые точки при а>х О,

то они образовались при изменении зависимости

\тх = О,

d&mx ~

 < 0 и, следовательно, являются аперио-
UCl>x

Дтх (сох) так, что

дически неустойчивыми (рис. 29.2). Из приведенных ранее сообра-
жений и вторая особая точка в окрестности со1]Крит при сох >
>(01крит также является апериодически неустойчивой, т. е. сед-
ловой. Напротив, в окрестности второй критической скорости,
если существует особая точка при юх > (о2крит, то она обуслов-
лена возрастанием Атх (сох) в положительную область (для сох >
> 0), в связи с чем •	• > 0 и соответствующая особая точка

является апериодически устойчивой. В связи с этим и вторая осо-
бая^точка, получающаяся при подходе к <о2крпт так, что сох <

С32крит, является апериодически устойчивой.

Обе эти особые точки могут соответствовать устойчивым реше-
НИям с близкими значениями угловой скорости крена, но с суще-
ственно различными значениями углов атаки и скольжения. По-
скольку существование особых точек определяется произведе-
нием функций аст (сох) и рст (сох), каждая из которых пропорцио-
альна аб (т. е. произведение астРСт_~ (аб)2)» то наличие^ устой-
чивых особых точек с сох #= 0 и Дтх = 0 для случая < 0;
хо о не зависит от исходного балансировочного угла атаки.
НогИ ИМеется особая точка, соответствующая режиму инерцион-
с вращения, то она будет существовать как для маневров
g > 0, так и с_аб < 0.

угЛоЛучай	Из рис. 29.3 видно, что условие (29.13) для

°вых скоростей крена, как меньших первой, так и больших
Рис. 29.3. Зависимость и от &ля самолета с соотношением критиче-
ских скоростей (о» < cor

Рис. 29.4. Зависимость Дшх (<оЛ) для различных условий продольной баланс!
ровки самолета (случай	а)
vinecTBOBJHiBi режимов инерционного вращения

-------------------------------------------------

249

й критической скорости крена, не выполняется ни при каких
вТ°Р° ях исходного балансировочного угла атаки. Из этого сле-
зйаЧ весьма важный вывод, что движение самолета с угловой ско-
^стью крена <ох > oty невозможно при Атх = 0, и имеется только
Р устойчивая особая точка в начале координат, когда сох = 0.
q1 означает, что независимо от положения стабилизатора во время
невра и величины угловой скорости крена, приведение элеро-
м в нейтральное положение всегда прекращает вращение само-
аета Более того, из рис. 29.3 следует, что при всех маневрах кре-
на поперечный момент благодаря развитию углов атаки и сколь-
жения, находящихся в определенном соотношении, тормозит раз-
витие угловой скорости крена. В результате статическая зависи-
мость Amx (сох) как ПРП положительных, так и при отрицательных
балансировочных углах атаки самолета в начале маневра имеет
при всех угловых скоростях крена, меньших первой критической,
положительную производную d kmx,d^x. На рис. 29.4 приведены
примеры зависимостей \тх (сох) для различных условий балан-
сировки самолета.

Рассмотрим кратко особенности пространственного движения
самолета при отклонении элеронов, выполняемом из условий го-
ризонтального полета (рис. 29.5). При небольших углах отклоне-
ния элеронов установившееся значение угловой скорости крена
не превышает величины первой критической скорости, т. е. реали-
зуется решение на первой ветви статической кривой Атх (со*).
Однако при больших отклонениях элеронов возможна реализация
решения на второй ветви статической кривой, что соответствует
вращению с угловой скоростью крена, превышающей вторую
критическую. Однако приведение элеронов в нейтральное поло-
жение прекращает вращение самолета. На рис. 29.6 приведены
примеры переходных процессов по основным параметрам движе-
ния самолета при входе в крен из условий полета с отрицательной

ссг. п

ПеРегрузкой

аб ~----^егко видеть, что «выход» самолета

На большие угловые скорости крена, превышающие вторую кри-
тическую, в этом случае значительно проще, чем при маневрах
*Фена с положительной исходной перегрузкой, что объясняется
алым значением запаса поперечной устойчивости самолета в на-
4aj* маневра,
п

и D эт°м случае так же как и при маневрах крена, выполняемых
Условий горизонтального полета, приведение элеронов в ней-

и пЛЬное положение ликвидирует вращение самолета по крену,
РеЖи.мы инерционного вращения не реализуются.

КогСЛУЧаЙ	^оотнои1еиие критических скоростей крена,

^а выполняется неравенство <оа cofJ), обычно характерно для
Рис. 29.5. Переходные процессы по 0 и <ох при отклонении элеронов различ-
ной длительности, полученные при моделировании (ссо = аг. п» = ^°» $н = °

сверхзвуковых скоростей, однако при некоторых условиях может
иметь место и на дозвуковых скоростях полета самолета. Типич-
ные зависимости функций Ааб и Л£б для этого случая приведены
на рис. 29.7.

Учитывая условие (29.13), из анализа кривых, приведениею
на рис. 29.7, следует, что при угловой скорости крена, превышз
щей вторую критическую, поперечная устойчивость самолета Р^
маневре крена способствует развитию крена при продольных
лансировках самолета как на положительном, так и на отр
тельном угле атаки. Пример зависимости Атх (сох) для этого
чая приведен на рис. 29.8.	о сТц

Из рис. 29.8 с учетом условий апериодической устойчив^^
следует, что имеются две особые точки, соответствующие апер
29.6. Переходные процессы по р и при отклонении элеронов различ-
ии длительности, полученные при моделировании (ag = —аг. п 2, 6Э = 1$°»

ески устойчивому движению, расположенные вблизи второй кри-
веской скорости крена. Движения могут реализоваться в окрест-
с?и обоих особых точек и будут отличаться знаками установив-
в !Хся значений углов атаки и скольжения и их положением
Фазовом пространстве.

ИРИ попадании фазовой траектории в окрестность особой точки,
ТВетствующей | соЛ | < соа, движение сопровождается разви-
Углов атаки того же знака, что и исходный балансировочный
л атаки, а угол скольжения имеет обратный знак (для о)х > 0).
Режимы инерционного вращения
----------------------------

Рис. 29.7. Зависимости , /j от сох для самолета с соотношением критиче-
ских скоростей (оа > сТэр

При | сох | > соа движение сопровождается развитием угла атаки
с обратным знаком по отношению к исходному балансировочному
значению и угла скольжения, совпадающего по знаку с аб (для
cov > 0). Примеры соответствующих переходных процессов, по-
лученные при моделировании, приведены на рис. 29.9. Из рисунка
видно, что при некотором интервале времени отклонения элеро-
нов устанавливается движение с | сох | > соа с одновременные
развитием положительного приращения угла атаки и положитель-
ного угла скольжения, поскольку cov < 0.

Такого вида движения могут развиваться при маневрах крена,
выполняемых при начальной балансировке как на положитель-
ных, так и отрицательных углах атаки. При маневре крена,
выполняемом из условий полета с отрицательным углом атаки
самолет легко выходит на большие угловые

скорости крена. При этом в некоторых случаях приведение элеро

Дгп}

0,2
0,1

О
-0,1
-0,2
-0J
-Ofi
-0,5

			Г.п
			8н-0		
			
0,6	if 0,,	92 \о	.03 0,04 0.05 0,06 й),
			
			
			
			
			

Рис. 29.8.

&тх

6ц —

Зависим^
от для
«б = г'

wp,
О
Нов В нейтральное положение прекращает вращение, а в некото-
рых случаях нет (см. рис. 29.9). Можно отметить следующую за-
кономерность. Если в момент приведения элеронов в нейтральное
положение из условия (29.13) следует, что при текущих значениях
Углов атаки и скольжения поперечная устойчивость самолета спо-
собствует развитию крена, то приведение элеронов в нейтральное
вожение не прекращает вращения.

Очевидно, что скольжение самолета для сохранения неизмен-
1X1 среднего значения угловой скорости крена должно создавать
^омент, равный демпфирующему моменту. Отсюда следует, что
Ре нее значение угла скольжения после приведения эле-
ронов в
венству

Режимы инерционного вращени
------------------------

нейтральное положение будет удовлетворять

Рср

(О —
тх
тР(а)

(29.14)

При этом в переходном процессе могут наблюдаться значительм
перерегулирования по углам Р и а.	1

Все приведенные соображения и результаты относились к
чаю, когда момент поперечной устойчивости т* зависел от
атаки, более того мог быть представлен в виде

слу.

Угла

тх = nffla.

(29.15)

Рассмотрим возможность существования режимов инерционного
вращения в случае, когда = const, т. е. не изменяется при из-
менении угла атаки. Такая зависимость от угла атаки характер-
на, в частности, для сверхзвуковых скоростей полета. В этом

случае возможность существования режимов инерционного вра-
щения определяется зависимостью рст (сох). Эта зависимость имеет

разрывы первого рода при критических скоростях крена, где ме-
няет знак. Отсюда, в частности, следует, что в окрестности пер-
вой критической скорости, если и возможно появление особой точки
при сох 0 (Дтх = 0), то в этой особой точке либо сох < (01Крпт
dAffix ~	_ —	dAtnx п л

и тогда < 0, либо > со1кг™, но — > 0, т. е. она
асох	‘	dux

всегда является апериодически неустойчивой.

Апериодически устойчивым при Дтх = 0 может быть движе-
ние только в окрестности второй критической скорости крена,
причем этому движению всегда соответствует только одна особая
точка. В зависимости от условий начальной балансировки_особая
точка может быть либо при сох < со2крит, либо при > смирит-

Особые точки внутри интервала критических скоростей РаС‘
положены вблизи седловых особых точек, имеют малые области
притяжения, и реализация движения в их окрестности малове-

роятна.

В связи с тем, что числитель функции рст (сох) аб не зависит
от соотношения критических скоростей крена, то и возможное
реализации режимов инерционного вращения определяется тоЛЬ^е
условиями начальной продольной балансировки самолета и

зависит от соотношения соа и сор.

Условие |3СТ <0 при сох > о2Крит (Д^х — 0) 6уДет БЬ1П^
пяться для аб < 0, т. е. устойчивая особая точка появля
только при исследовании движения самолета, сбалансирован
мы инерционного вращения при действии моментов рыскания

255

ст < 0 вы-

на отрицательном угле атаки. Аналогично условие В

отношения критических’’скоростей6 КакТЭКЖе независимо от со-
ний случай практически маХероят^та^каи^4^’ После^
особой точки мала.	’ как °^ласть притяже-

НИЯ ЭТОЙ

§ 30.	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕЖИМОВ ИНЕРЦИОННОГО
ВРАЩЕНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ НА САМОЛЕТ
МОМЕНТОВ РЫСКАНИЯ

В общем случае попадание самолета в режим инер-
ционного вращения возможно, когда на него кроме момента про-
дольной балансировки действует момент рыскания, вызванный от-
клонением руля направления или какими-либо иными причи-
нами, например обусловленный отказом одного из двигателей
многодвигательного самолета, наличием несимметричных подве-
сок и т. д. Момент рыскания может быть также обусловлен дей-
ствием аэродинамического момента	который ранее не учи-

тывался, поскольку эта величина часто бывает известна недо-
статочно точно. Действие момента рыскания любой природы мо-
жет усугублять развитие неуправляемого движения самолета и
изменять вероятность реализации режимов инерционного враще-
ния, что заставляет специально исследовать этот вопрос. Следует
отметить, что вообще воздействие на самолет момента рыскания
обычно приводит к вращению самолета по крену, однако угловые
скорости в этом случае невелики (т. е. меньше первой критической
скорости крена). В режиме инерционного вращения движение
самолета происходит с угловыми скоростями, большими критиче-
ских скоростей, т. е. значительно большими, чем обычно вызы-
ваемые моментом рыскания.

Анализ условий существования режимов инерционного вра-
щения начнем со случая, когда зависимость момента поперечной
устойчивости от угла атаки может быть приближенно представлена
в виде (29.10).

Условие существования особой точки уравнений движения са-
молета при сох 0 и Дтх = 0 в случае, когда rrffi < 0 и т*о — О,
состоит в выполнении в окрестности этой точки неравенства, ко-
торое является приближенным условием того, что поперечная
Устойчивость самолета способствует развитию крена:

О^стРст Sign 0.

(30.1)

Неравенство (30.1) выполняется, когда аст и рст имеют разные
* аки. Воспользовавшись формулами из табл. 9.1, выпишем выра-
Ния для аст и рст для маневра крена самолета, сбалансирован-
25G

Режимы инерционного врашош.с
--------------------_ _Д^яспмоЛгт<

ного на угле атаки а0 при действии на самолет момента
ния t\m‘

У

РЬ1ска-

_	(	(	СО»

П2ГП	— I R	—о

“ст =	I	-----=7П—

Z1Q I	\

кту .

(30.3)

Сутгб
2р

Лр(Ох

Соотношения (30.2) и (30.3) необходимо рассматривать при
угловых скоростях крена, вблизи второй критической скорости.
Функции аст и рст [(30.2) и (30.3)1, зависящие от а0 и Дту, при
приближении к критическим скоростям терпят разрыв и изме-
няют знак. Аналогичными свойствами обладали эти зависимости,
когда рассматривалась только продольная балансировка самолета
в режимах инерционного вращения. В связи с этим все получен-
ные в § 29 свойства особых точек при Лтх — 0, соЛ. 0 сохра-
няются и в рассматриваемом случае, а именно: устойчивые особые
точки при Дтх = 0 и сох 0 возможны только в окрестности
второй критической скорости и, если они существуют, то их
всегда две, отличающиеся величинами ссст (соЛ) и рст (<ох). Легко
видеть, что границами областей, отличающихся знаком неравен-
ства (30.1), в координатах осо, Дт,у являются прямые

а„ = 0, 0СТ = О.	(30.4)

Вид областей, построенных в координатах параметров управ-
ления в продольном и боковом движениях (сс0, Am,), обладающих
тем свойством, что в них существуют устойчивые особые точки,
соответствующие движению крена самолета при приведенных
в нейтральное положение элеронах, зависит от соотношения между
величинами критических угловых скоростей крена самолета
и (0$.	W

Рассмотрим случай, характерный для полета на дозвуковь1Х
скоростях, когда сор > соа. Будем для определенности считать,
что сот > 0. Тогда из выражений (30.2) и (30.3) следует,
коэффициенты при сс0 в обоих выражениях положительны, а ПР
Amv — отрицательны. Пример таких областей приведен в та •
30.1, а. Область параметров, при которых сссг и рст имеют разН
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими

руками



инерционного Вращения при действии моментов рыскания

257

Таблица 30.1

Области значений параметров управления agAm^,
при которых возможен режим инерционного вращения

знаки и, в связи с этим, возможна потеря управляемости самолета
элеронами, в табл. 30.1 заштрихована. Из рисунка можно сделать
вывод, что эта область не охватывает прямую = 0, соответ-
ствующую движению самолета при нейтральном положении руля
направления. Сама область, в которой возможна потеря управляе-
мости самолета элеронами, весьма узка и необходимо достаточно
точное соответствие между а0 и чтобы при приведении эле-
ронов в нейтральное положение, самолет не прекратил вращения.
Отсюда,j3 частности, можно сделать весьма важный вывод о том,
что при сор > <оа самолет практически всегда сохраняет управляе-
мость элеронами, даже в том случае, когда руль направления во
все время маневра отклонен и в конце маневра не приводится в
Вентральное положение либо на самолет действует момент рыска-
ния другой природы.

Перейдем к анализу движения самолета в окрестности второй
Ритической скорости крена при соотношении критических ско-
ростей соа сор. в этом случае, прямые аст = 0 и рст = 0 рас-
полагаются во II и IV квадрантах (табл. 30.1,6). Из рисунка
табл. 30.1, б видно, что для соотношения критических скоростей
дРена, когда соа сор, картина существенно иная, чем было при
РУг°м знаке неравенства. Область, в которой возможна потеря

$ Бюшгенс Г. С.
Режимы инерционного вращСНИя
-------------------------------

управляемости самолета, теперь охватывает целиком I и Пт
большую часть II и IV квадрантов и практически при всех И
таниях а0 и Дт7 при маневрах крена, сопровождающихся С°Че'
витием угловой скорости крена, близкой по величине ко втс?33'
критической, самолет может потерять управляемость элерон^
(при значениях а0 и Д/?г из заштрихованной области в табл. Зо и1

Для более полного представления рассмотрим случай, ког
поперечная устойчивость самолета не зависит от угла атаки т
_ л (trp	е.

ITLyr — и

< О). Условием потери управляемости, как и
нее, является такое действие поперечной устойчивости на движе"
ние самолета, которое способствует развитию угловой скорости

крена самолета. При со* > 0 для этого должно выполняться не-
равенство

Рст <С О*

(30.5)

Используя соотношение (30.5), легко построить границы об-
ластей как для случая (oi3 соа, так и для сор > соа, выделяю-
щие значения параметров управления (а0, Дт^), при которых
возможна реализация режимов инерционного вращения самолета.
Примеры областей графически изображены в табл. 30.1, д, е.
Характерной особенностью движения самолета, обладающего по-
перечной устойчивостью не зависящей от угла атаки, является то,
что при Дт^ = 0 попадание самолета в режим инерционного вра-
щения с сох > <о2 крит независимо от соотношения между крити-
ческими угловыми скоростями соа и сор возможно только при ма-
неврах крена самолета, сбалансированного на отрицательном угле
атаки. Особые точки при Дтх = 0 и <ох у= 0 существуют и при
о)х < со2 крит и соответствующие условия балансировки, при ко-
торых они могут реализоваться, приведены в табл. 30.1, д, е.
Однако, как отмечалось в § 29, эти особые точки имеют малую
область притяжения, и реализация движения в их окрестности
практически маловероятна.

Наконец, если параметры самолета таковы, что тх ?и
и тх0 не очень велико, условие потери управляемости самолета
элеронами при больших скоростях крена записывается аналогично
выражению (30.1), только знак неравенства необходимо изменить
на противоположный:

аст₽ст>0 (ш<>0).	(30-6)

Очевидно, что в этом случае границы областей совпадают с п
строенными на рисунках в табл. 30.1, а, б, только теперь заштр
хованы те области, где ранее штриховки не было (табл. 30.1,	'

тт	ар \ л т. е

Из этих рисунков следует, что в случае, когда тх
инерционного вращения при действии моментов рыскания

__ _—-——-------------------------------------—-----------

259

еТ знак, противоположный обычному для дозвуковых скоро-
полета, с точки зрения управляемости самолета элеронами
угловых скоростях крена, превышающих величину второй
критической со? > со2крит, соотношение со13 соа является не-
благоприятным. В случае, когда т*о > 0, возможно попадание
самолета в режим инерционного вращения при а0 > 0. Последние
два случая, когда > 0 и > 0, представляют скорее тео-
ретический интерес, так как самолет с такими характеристиками
обычно неприемлем по характеристикам управляемости для малых
угловых скоростей крена.

На основе условий существования режимов инерционного вра-
щения, приведенных в § 29 и в настоящем параграфе, можно на
плоскости И, М приближенно выделить области условий полета
самолета, в которых можно ожидать попадание в режим инерцион-
ного вращения. Для современных маневренных самолетов на до-
звуковых скоростях полета характерна существенная зависимость
момента поперечной устойчивости от угла атаки. При таких
аэродинамических характеристиках самолета, как было получено
ранее, условием существования режимов инерционного вращения
является наличие критических скоростей крена и выполнение не-
равенства сор соа. В случае, если это неравенство не выполняет-
ся — режим инерционного вращения отсутствует.

В случае, если неравенство «С соа выполняется, то на пло-
скости Н, М можно выделить область, в которой возможна реали-
зация режимов инерционного вращения (см. рис. 29.1). На этом
рисунке отмечены точки И, М, в которых при выполнении специ-
альных летных испытаний сверхзвукового маневренного самолета
реализовывались режимы инерционного вращения. Следует, од-
нако, отметить, что неравенство сор является нетипичным
Для дозвуковых скоростей полета, и обычно характеристики само-
летов не удовлетворяют этому условию. Летные испытания манев-
ренного самолета, у которого сор > <оа, на дозвуковых скоростях
полета подтвердили отсутствие режимов инерционного вращения
во всем эксплуатационном диапазоне высот и чисел М полета.

На сверхзвуковых скоростях полета коэффициент поперечной
Устойчивости т* обычно практически не зависит от угла атаки,
демпфирование движения мало и критические скорости крена суще-
ствуют. При этих условиях режимы инерционного вращениямогут
Реализовываться при выполнении маневров крена из условий исход-
н°й балансировки на отрицательном угле атаки. Поскольку на
с?еРхзвУковых скоростях полета существенно уменьшается эф-
фективность элеронов, то такие режимы движения можно ожи-
агпь только при полете на достаточно больших числах М, когда
величина критической скорости мала (см. рис. 29.1). Естественно*
9*
260	Режимы инерционного впаигои.,

-----------------------------------—-------------

вероятность реализации в эксплуатации таких режимов на
звуковых скоростях полета мала, так как на этих режимах^**'
тирование на отрицательных углах атаки маловероятно Пил°'

§ 31.	ОСОБЕННОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК УПРАВЛЯЕМОСТИ
САМОЛЕТА ПРИ ВРАЩЕНИИ С УГЛОВЫМИ	"

СКОРОСТЯМИ КРЕНА, ПРЕВЫШАЮЩИМИ ВТОРУЮ
КРИТИЧЕСКУЮ, И НА РЕЖИМАХ ИНЕРЦИОННОГО
ВРАЩЕНИЯ

При выполнении маневров крена с угловой скоростью
превышающей значения второй критической, происходят суще*
ственные изменения характеристик управляемости самолета ко'
торые дезориентируют летчика и затрудняют принятие им правиль-
ных решений и выполнение правильных действий. Такие быстрые
вращения самолета по крену могут быть связаны либо с сознатель-
ным выполнением летчиком энергичного маневра, либо обуслов-
лены попаданием самолета в режим инерционного вращения.

Рассмотрим в чем заключаются изменения характеристик уп-
равляемости самолета при вращении с большими угловыми ско-
ростями и чем они обусловлены. В гл. 7 при рассмотрении харак-
теристик управляемости самолета было показано, что приближен-
ная зависимость установившегося значения угла атаки при откло-
нении стабилизатора имеет вид

«СТ	1

Дт2 ~ (- ла )

(31.1)

Из этого соотношения следует, что при | <ох | > соа реакция са-
молета по углу атаки (нормальной перегрузке) на отклонение
стабилизатора (AmJ изменяется на обратную. Аналогичными свой-
ствами обладает движение по рысканию при отклонении РУЛЯ
направления в процессе быстрого вращения самолета. Соответ-
ствующая приближенная зависимость между \ту и Р имеет вид
(см. гл. 8)

Необходимо отметить, что в обоих случаях реакция самолета по
угловым скоростям <о2 и coz/ на отклонение органов управлени
(Am2, AmJ сохраняется правильной и при <ох > max («а,
Действительно, из соотношений, приведенных в табл. 9.1,следУе *
www.vokb-Ia.spb.ru - Самолёт своими

руками

самолета при

261

ЧТО

инерционном вращении

Дтг Ао

(31.3)



аналогично для ®v

—	1 Г fif5 (	ram"z \	~

Д = Л [-Г Ц-	J -	] • (31-4)

в выражениях (31.3) и (31.4) в числителях стоят знакопостоян-
ные, возрастающие по сох функции, а знаменатель Ао (сох) имеет
положительный знак вне интервала критических скоростей крена.
Таким образом, при вращении самолета с угловой скоростью
крена (oxt большей второй критической, в частности, если это
вращение вызвано попаданием в режим инерционного вращения,
происходит обращение знака реакции самолета по нормальной
и боковой перегрузкам на отклонения соответственно стабилиза-
тора и руля направления при сохранении нормальной реакции
самолета по угловым скоростям на отклонение органов управле-
ния. Следует отметить, что эти свойства изменения характеристик
управляемости самолета при угловых скоростях вращения, боль-
ших критической, были получены и в случае, когда критические
скорости крена самолета равны между собой. Рассмотрим, как
можно качественно объяснить такое изменение свойств управляе-

мого движения самолета.

Движение самолета при маневрах с большими угловыми ско-
ростями крена определяется тремя основными факторами:

1)	кинематической связью между углами атаки и скольжения
при крене;

2)	возрастанием углов сс, |3, обусловленным действием инер-
ционных моментов;

3)	изменением угловой скорости вращения под действием
момента поперечной устойчивости при изменении угла скольжения
и Угла атаки.

Рассмотрим приближенную физическую картину движения
самолета, вращающегося с угловой скоростью крена, превыша-
ющей величину второй критической, при приведении элеронов
нейтральное положение. Как отмечалось ранее, балансировка
самолета в режиме инерционного вращения может осуществляться
рак на положительных, так и на отрицательных углах атаки,
ассмотрим движение самолета, который в процессе вращения
алансировался на положительном угле атаки.

Мо $Раи*ение самолета с сох > (о2крит вначале поддерживается
мснтом крена от элеронов (рис. 31.1). При приведении элеронов
262

Режимы инерционного

вращения Са^
----—----^°-1ета

в нейтральное положение угловая скорость крена начинает v
шаться, что вызывает развитие угла скольжения (рис. 31 1 Нь'
Поскольку производная момента поперечной устойчивости ’
аст > 0 отрицательная, развитие такого угла скольжения П^и
водит к появлению момента т*|3, стремящегося сохранить

пРю

ние. Приближение угловой скорости крена к критической ^ац^е'
чине приводит к уменьшению устойчивости самолета по рые^
нию и более энергичному развитию угла скольжения, котоп^
при достаточной величине поперечного момента самолета мож
привести к сохранению угловой скорости вращения самолеГ
практически неизменной при приведении элеронов в нейтраль3
т. е. к реализации режима инерционного вращения.

Аналогично развивается движение в случае, если враща-
ющийся самолет при > со.2крит балансируется на отрицатель-
ном угле атаки (рис. 31,1, б). Момент поперечной устойчивости

)>о

Рис. 31.1. Упрощенное представление развития движения при приведении
ронов в нейтральное положение из условий движения с > о2крит):
а — движение с балансировкой на >0; б — движение с балансировкой на аб
еМосТь Самолета при инерционном вращении
------------------------------------------

26,1

таких углах атаки становится положительным. В этом случае
пРпБе ение элеронов в нейтральное положение вызывает появле-
ПРИ тЛа скольжения, которое при т* > 0 способствует сохране-
нию угловой скорости крена.

pj3 приведенного качественного объяснения физических при-
сохранения вращения и особенностей изменения углов атаки
ЧПскольжения при продольном и путевом управлении можно
Формулировать правила пилотирования для вывода самолета из
ежима инерционного вращения, которые нашли хорошее под-
тверждение в летных испытаниях. При выводе самолета из инер-
иионного вращения в первую очередь необходимо вывести самолет
малые углы атаки, где обычно мала степень его поперечной
устойчивости. Для этого необходимо отклонить стабилизатор
т0 перегрузке», т. е. как бы стремясь увеличить уже существу-
ющую перегрузку. Это в силу обращенной реакции самолета на
отклонение стабилизатора приведет к уменьшению угла атаки,
после чего обычными действиями элеронов прекращается вращение
и самолет выводится из режима инерционного вращения.

Рассмотрим некоторые примеры движения самолета при по-

падании в режимы инерционного вращения, полученные при спе-
циальных летных испытаниях. На рис. 31.2 приведены примеры
переходных процессов по основным параметрам движения, полу-
ченные в летных испытаниях самолета, который был введен в ре-
жим инерционного вращения на дозвуковой скорости полета
и успешно выведен из этого режима благодаря правильным дей-
ствиям летчика. Как было показано ранее, условием попадания
самолета в режим инерционного вращения является выполнение
неравенства сор < 7оа, которое обычно на дозвуковых скоростях
не выполняется. В рассматриваемом случае это условие удовлетво-
рялось в связи с тем, что испытываемый самолет не имел бустер-
ного управления в канале руля направления, и под действием
Шарнирного момента руль направления начинал флюгировать по
потоку. Вследствие этого, эффективная путевая устойчивость
Самолета существенно уменьшилась, что привело к выполнению
НеРавенств сор < соа. Рассмотрим развитие движения и действия
^тчика в этом полете. В момент времени t = 3 с летчик из уста-
вившегося горизонтального полета отклонил элероны и руль
управления против вращения. Отклонение руля направления
у°тив вращения привело к уменьшению нормальной перегрузки
некоторому уменьшению угловой скорости крена. Из зависи-
псти от времени усилий на педалях видно, что летчик для от-
б0°Нения руля направления вынужден прикладывать усилия,
и Рясь с шарнирным моментом на руле направления (знаки РИ
р н Одинаковые). Однако при / = 4,5 с шарнирный момент на
1 е направления, вызванный развитием скольжения самолета,
О

-~30

О

<Ъ,
градус

Фет,
градус_10_

-10 - 60

градус

--до

Уст

fl-„опережает' оц

-10 ~-~1000

fl-несколько

„отстает” от	п0.

Рис. 31.2. Пример записи изменений параметров движения самолета Р #
падании в режим инерционного вращения на дозвуковых скоростях поле

rJ



Рц,Н дача.$н I

-1000	!	!

= 10 км, М = 0,8)
«сгамость самолета при инерционном вращении
ynPaI^!L----------------------------------------

265

сам отклоняет руль направления и летчик пытается его удер-
(знаки Рн и 6И разные), но ему это сделать не удается. При
5 с угол атаки уменьшается до нуля, вследствие чего умеиь-
ается величина |тх (а)|, и момент от элеронов «раскручивает»
аМолет до большой величины сох, что приводит к дополнительному
развитию отрицательной перегрузки. Стремясь скомпенсировать
развитие отрицательной перегрузки, летчик при t = 5,8 с берет
пучку управления на себя, что вследствие обращенной реакции
по нормальной перегрузке при сох > со2крит только ухудшает
условия движения, приводя к дополнительному развитию отри-
цательной нормальной перегрузки (до пу = —2,8).

Приведение элеронов в нейтральное положение приблизи-
тельно при t = 6,5 с не ликвидирует вращения, которое поддер-
живается одновременным воздействием на самолет угла скольже-
ния и момента крена от флюгирующего руля направления. Вра-
щение прекращается только при отдаче ручки управления от себя
при t = Ю с, что приводит к уменьшению пу и уменьшению под-
кручивающего момента В момент времени t — 11,5 с летчик
останавливает флюгирующий руль направления, и самолет вы-
ходит из режима инерционного вращения, сделав в общей слож-
ности три оборота вокруг продольной оси. Полученное в полете
движение самолета сопровождалось его торможением и уменьше-
нием скорости (на рисунке не показано), что оказывало определен-
ное количественное влияние на параметры движения, не изменяя
его качественной картины.

Аналогично выглядит запись другого полета этого же само-
лета, приведенная на рис. 31.3. После отклонения элеронов и
Руля направления против вращения самолет вышел на отрица-
тельную перегрузку, сопровождающуюся развитием угла сколь-
жения. Шарнирный аэродинамический момент, действующий на
Руль направления, привел к его флюгированию, что видно из
сопоставления зависимостей р (/) и 6Н (t) (факт флюгирования
’Уля определяется соответствием соотношений усилий на педалях
и отклонением руля направления, которые на данном рисунке
Не приведены). Попытка летчика увеличить перегрузку до поло-
жительного значения взятием ручки управления на себя усугу-
била развитие отрицательной перегрузки вследствие обращенной
Реакции самолета. Выход из инерционного вращения произошел
после отдачи ручки управления от себя.

Все рассмотренные маневры выполнялись при начальной
илансировке самолета на положительной перегрузке и приводили
его переходу на отрицательную перегрузку.

На рис. 31.4 приведен пример записи переходных процессов,
обученных в летных испытаниях, выполнявшихся на сверхзву-
овых скоростях полета при начальной перегрузке, близкой
Рис. 31.3. Пример записи изменений параметров движения самолета при
Дании в режим инерционного вращения на дозвуковых скоростях полета (
267

ис- 31.4. Пример записи изменений параметров движения самолета при попа-
дании в режим инерционного вращения на сверхзвуковых скоростях полета
W = 17 км, М = 1,19)

к нУлю. После отклонения элеронов при t = 15 с самолет начал
МеДленно раскручиваться по крену и достиг угловой скорости
3,5 рад/с при t = 21 с. В процессе движения нормальная

11 боковая перегрузки самолета начали возрастать. Чтобы не до-
Рис. 31.5.
руютцих сохранение нормальной управляемости самолета
на быстрое вращение (дозвуковые скорости полета) (Н

иллюстри-
у> несмотря
11,5 км, М = 0,8)

пустить развития нормальной перегрузки пу > 0 и удержать
около нулевого значения летчик отклонил ручку управлех>
от себя, что привело к резкому увеличению нормальной пеР
грузки. В момент t = 22 с летчик отпустил педали и руль напр
ления стал флюгировать по потоку, что привело к дополните
ному уменьшению критической скорости рыскания самоле
Отклонение элеронов против вращения не остановило враШе
„вляемость самолета при инерционном вращении

V ® *		-	--- 					—-----—

269

самолета по крену. После отклонения стабилизатора по перегрузке
нормальная перегрузка самолета начала уменьшаться. Только
после приведения элеронов в нейтральное положение, а стабили-
затора в положение, соответствующее взятию ручки управления
на себя, летчику удалось зафиксировать педали и вывести само-

пет из режима вращения.

В том случае, когда неравенство со|3 < не выполняется,
самолет может быть выведен на угловые скорости крена, превы-
шающие вторую критическую, но при приведении элеронов в ней-

тральное положение прекращает вращение, т. е. режимы инер-
ционного вращения не существуют. Пример такого движения,
полученный в летных испытаниях, приведен на рис. 31.5. Маневр
выполнялся на дозвуковой скорости полета с перегрузкой пу 1
путем отклонения элеронов и руля направления «против враще-
ния», и дальнейшее развитие движения происходило по описанной
схеме и сопровождалось выходом на большие угловые скорости
крена и отрицательные значения перегрузки. Приведение руля
направления и элеронов в нейтральное положение достаточно
быстро ликвидирует вращение.

На рис. 29.1 построены области режимов полета с нанесенными

на них зонами, в которых возможно попадание в режим инер-

ционного вращения для самолета, записи процессов пилотирова-
ния которого были приведены на рис. 31.2, 31.3. Там же нанесены
некоторые точки, в которых выполнялись летные испытания.
Видно, что соответствие летных испытаний и расчетных оценок
областей, где возможны режимы инерционного вращения, удо-
влетворительное, что подтверждает правильность аэродинамиче-
ской и динамической моделей движения самолета, на использова-
нии которой были основаны исследования.

Следует отметить, что в ряде случаев на области, где возможна
реализация режимов инерционного вращения, может существенно
влиять момент, обусловленный производной действие ко-
торой на вращающийся самолет аналогично воздействию управ-
ляющего момента рыскания. Для построения более точных обла-
стей, где возможны режимы инерционного вращения, необходим
анализ полных условий установившегося вращения и определение
Режимов полета, где возможно движение с сох > со2 крит при $э = 0.
ГЛАВА 10

Комплексные исследования динамики
пространственного движения самолета
с использованием ЦВМ

Исследование особенностей динамики пространственного дви-
жения конкретного самолета представляет собой весьма сложную
задачу, которую реально можно решать только с использованием
расчетов на ЦВМ. При этом основной целью расчетов должно быть
получение оперативно и в наглядной форме информации о наи-
более интересных и практически важных случаях движения са-
молета во всей эксплуатационной области режимов полета. В най-
денных таким образом расчетных областях режимов полета воз-
можно выполнение уже более подробных исследований динамики,
включая при необходимости, моделирование на пилотажных
стендах. Получаемая при этом информация позволяет также пра-
вильно организовать планирование летного эксперимента, сни-
зить необходимый объем полетов и повысить их безопасность и
информативность.

Рассмотрим методику, на основе которой может быть создан
комплекс программ для ЦВМ, решающий сформулированные
ранее задачи. Предлагаемая методика ограничивается исследова-
нием динамики самолетов без систем обеспечения устойчивости
и управляемости.

§ 32. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
В ЭКСПЛУАТАЦИОННОМ ДИАПАЗОНЕ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА

Для решения задачи численного анализа движения
самолета при маневрах по крену целесообразно использовать те
качественные особенности в движении самолета, которые могут
быть получены на основе рассмотрения установившихся режимов
вращения по крену. Такой подход предусматривает качественны
приближенный анализ, однако, как показывают результаты РаС
четов по полным уравнениям движения, достаточно правиль
отражает основные закономерности, проявляющиеся при вып
нении маневров по крену. А1атематическая модель самолет ,
которая используется при исследовании установившихся вря
ний, строится на основе приведенных в гл. 1 допущен
Анализ особенностей установившихся движений самолета при
вращении по крену позволяет провести определенную классифи-
кацию режимов полета, в частности установить, существуют ли
критические скорости крена, имеются ли режимы инерционного
вращения, возможен ли подхват самолета по крену с развитием
больших угловых скоростей. При этом можно выделить расчетные
режимы полета, где имеется возможность возникновения опасных
проявлений инерционного взаимодействия продольного и боко-
вого движений. С другой стороны, поскольку для параметров
установившегося движения получены достаточно простые
аналитические выражения, не представляет сложности форма-
лизовать процедуру классификации на ЦВМ режимов движе-
ния.

Выделенные согласно некоторым принятым критериям режимы
полета должны быть тщательно исследованы — вначале по виду
характеристик установившегося движения, а затем путем моде-
лирования на ЦВМ или пилотажном стенде по полным уравнениям
движения. На этапе моделирования следует уточнить аэродина-
мические коэффициенты самолета, для чего необходимо провести
сопоставление результатов летных испытаний на обычных режи-
мах полета с результатами моделирования. Полученная более
точная математическая модель самолета используется для даль-
нейших расчетов по оценке характеристик взаимодействия про-
дольного и бокового движений в эксплуатационном диапазоне
режимов полета.

Полученные на основе моделирования рекомендации можно
использовать при проведении летных испытаний, а также для
предложений по уточнению компоновки самолета и его системы
управления.

Полный цикл исследований, включающий численный анализ
взаимодействия продольного и бокового движений самолета при
маневрах по крену на ЦВМ, моделирование динамики самолета,
а также летные испытания можно представить упрощенной схе-
мой, приведенной на рис. 32.1. Она отражает этапы исследований,
а также связи между ними.

В настоящем параграфе остановимся на формализации расчета
На ЦВМ с целью выделения расчетных режимов полета самолета.
Прежде всего следует уточнить, что считается расчетным случаем
с точки зрения оценки проявления взаимодействия продольного
и бокового движений самолета при маневрах по крену. Для этого
Рассмотрим некоторые особенности установившихся движений
самолета при вращении. На рис. 32.2 приведены наиболее типич-
HbIe виды зависимостей параметров установившегося движения
самолета от скорости крена. Наибольший интерес представляют
зависимости углов отклонения органов управления (элеронов
или руля направления) от скорости крена, которые в ана-
литической форме представляются следующим образом (см.
табл. 32.1):

6Э — (Ох

+ Fp

+ В2Ых + В0

= «х

△э

“х-wx ст

®Н. СТ —

f 2шх + Fo

С4Ых + С2Шх + С0

= Ц)

△н
ых—(ох ст

°x~wx ст

(32.1)

(32.2)

Значения установившейся скорости крена, при которой Аэ
и Дп равняются нулю, определяют режимы вращения, в которых
параметры движения резко возрастают, что может в принципе
привести или к сваливанию самолета или к разрушению кон-
струкции. Принято называть их критическими скоростями крена
и обозначать coj, cog. Вопрос о реализации движений со скоростями
крена, близкими к критическим, связан с располагаемой эффек-
тивностью органов управления и устойчивостью установившихся
режимов вращения. Напомним, что если в качестве органа управ-
ления используются элероны, то могут существовать две критиче-
ские скорости крена, а для руля направления — одна.

Корни уравнения F (еохст) = 0 определяют значения угло-
вых скоростей, при которых установившееся вращение самоле
с сохст #=0 происходит при неотклопенных органах путевого
поперечного управления, т. е. возникают режимы инерционно
вращения. Из уравнения F (сохст) = 0 следует, что при сохст
(или <охст<0) могут существовать два значения сохст при
докритических и закритических скоростях крена, при которых
имеет место режим инерционного вращения. Практический ин-
терес представляет вращение с большей скоростью крена сохвращ,
поскольку оно является устойчивым и имеет бочьшую область
притяжения.

Для режимов инерционного вращения характерны большие
углы атаки и скольжения, перегрузки и угловые скорости. По-
этому при исследовании этих режимов целесообразно проводить
расчет данных параметров. Эти данные требуются и для выра-
ботки методики проведения летных испытаний.

Из вида зависимостей 6Э (сохст) следует, что возможны два
случая поведения самолета при отклонении элеронов по крену.
В первом случае увеличение угла отклонения элеронов может
не приводить к пропорциональному росту скорости крена, кото-
рая как бы ограничена величиной, наименьшей из критических
скоростей <оа и сор. Это явление получило название кажущейся
потери эффективности элеронов. Во втором случае при управле-
нии элеронами или рулем направления может возникать явление
«подхвата» по крену, которое характеризуется тем, что при пре-
вышении некоторой скорости крена сохподхв, возникает «непро-
порциональная» раскрутка самолета по крену с выходом на сох

Рис. 32.2. Типичные виды зависимостей установившихся значений параметров
^ст, Рст от и 6Э (сох)
max (соа, (Ор). Попытка вывода самолета с этих скоростей крен
может привести к попаданию самолета в режим инерционной
вращения. Таким образом, превышение сохподхв при маневрах
по крену является недопустимым.	р

Следует отметить, что существование режимов инерционного
вращения самолета и явления подхвата по крену зависит от
исходной нормальной перегрузки (или угла атаки), на которой
выполняется маневр по крену. Поэтому при анализе инерционного
взаимодействия продольного и бокового движений самолета тре-
буется рассматривать весь диапазон эксплуатационных пере-
грузок от л^1п до и*шах. Возможность создания какой-либо
перегрузки от этого диапазона зависит от аэродинамических
характеристик самолета, а также располагаемой мощности сило-
вых приводов управления. Таким образом, можно сформулиро-
вать следующие условия, определяющие расчетные случаи:

—	оценка существования режимов инерционного вращения;

—	оценка существования скорости крена <охПОДХВ;

—	оценка критических скоростей крена соа, со^.

Наличие этих условий еще, однако, не означает реализации
режима инерционного вращения при выполнении энергичного
крепения самолета. Для этого необходима достаточная эффектив-
ность органов поперечного и путевого управления, а также воз-
можность создания той нормальной перегрузки, при которой ука-
занные условия выполняются. Для оценки располагаемой эффек-
тивности элеронов и руля направления можно использовать зна-
чение установившейся скорости крена, рассчитанной для изоли-
рованного бокового движения, т. е. без учета взаимодействия
продольного и бокового движений. Сравнение этой скорости крена
с <оа, и сохподхв дает в определенной мере ответ на вопрос,
насколько велика степень проявления инерционного взаимодей-
ствия. Для этой же цели служит и расчет располагаемого диапа-
зона нормальных перегрузок на заданном режиме полета.

Таким образом, для оценки взаимодействия продольного и
бокового движений самолета при маневрах по крену в эксплуата-
ционной области режимов полета необходимо определить следу-

ющие параметры:

скорости крена при инерционном вращении <oXBpam 1
соответствующие им величины пу и /?2;

скорости крена при подхвате и соответствующие им углы
отклонения органов управления;

располагаемую скорость крена (охрасп из условия изол
рованного бокового движения;

максимальную и миниматьную нормальные перегрузи
Рассмотрим алгоритмы, которые целесообразно использова
при проведении этих расчетов.*
1	Расчет параметров установившегося движения самолета
при вращении по крену и оценка его устойчивости. Для проведе-
ния этого расчета при заданных высоте и скорости полета, а также
исходной балансировочной нормальной перегрузки п,.б (или
балансировочного угла атаки ct6) можно воспользоваться вы-
ражениями для установившихся параметров, приведенными
в табл. 32.1. Полученные значения установившихся параметров
движения применяются для анализа устойчивости «в малом»,
для чего система уравнений движения линеаризуется относительно
установившегося режима (см. гл. 3).

Находя корни определителя (10.5) или используя критерий
Рау са—Гурвица, оценивается устойчивость установившегося ре-
жима в малом и характер потери устойчивости, если это имеет
место.

2.	Расчет параметров режима инерционного вращения. Ско-
рость крена в режиме инерционного вращения определяется из
уравнения F (coXBpau<) = 0. Выражение для нее имеет вид

ej ащ ГПаХ

(32.3)

Отсюда следует, что границу области существования режимов
инерционного вращения в координатах //, М при заданной балан-
сировочной перегрузке пуб можно рассчитать согласно уравнению
£2 _ 4F4F0 = 0.	(32.4)

Это уравнение представляет при фиксированной нормальной пе-
регрузке функциональную связь между высотой и скоростью
полета. В случае, если F\ — 4F4F0 < 0, режимов инерционного
вращения не существует, а при F% — 4F4F0 > 0 имеется скорость
крена сохвращ. Для найденного значения соХВращ вычисляются
углы атаки и скольжения в режиме инерционного вращения и
соответствующие им нормальная и боковая перегрузки.

3.	Расчет критических скоростей крена (оа, Эти характери-
стики рассчитываются по формуле

^а, Р

УВ22-4В4ВО

(32.5)

Исходя из (32.5), можно оценить область существования в коор-
динатах Я, М критических скоростей. Граница области опреде-
ляется уравнениями:

а)	для управления элеронами

В2-4В4Б0 -0,	(32.6)
Таблица 32.1
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими

,агор1)тмы Расчета характеристик пространственного движения

б)	для управления рулем направления

с\ — 4С4С0 = 0.

277

(32.7)

4.	Расчет скорости крена и углов отклонения органов управле-
ния при подхвате самолета по крену. Условие возникновения
подхвата самолета по крену связано с потерей апериодической
устойчивости движения и может быть выражено уравнениями
= 0, либо -?н-	"= 0,	(32.8)

"х=“.-ест	d<0* “х=-юхст



или, если продифференцировать (32.1) и (32.2) по сот,

(Р8(0® 4 46<о® + Р^х + Р*& + ро) к=Их ст = °’	(32.9)

где при управлении элеронами

Р8 —	Рс —- 3F\В2 — F2^34; Р ±— 5F^Bq — 3B.F. -|- F2^2*,

Р2 = 3F2^о — B2Fо; Pq — B0F0

(при управлении рулем направления В4, В2, Во заменяются со-
ответственно на С4, С2, Со).

Минимальный по модулю корень из действительных корней
уравнения (32.9) и является скоростью крена при подхвате
(С0хподхв)» если пе существует критических скоростей крена
<оа и сор. При наличии <оа или сор данный корень равен (охподхв,
если он меньше min (соа, сор).

Полученному по уравнению (32.9) значению (охподхв соот-
ветствует угол отклонения органа управления бэ. подхв или
$1.подхв> определяемый из уравнения (32.1) или (32.2). Пре-
вышение этого угла отклонения может привести к потере аперио-
дической устойчивости движения самолета по крену.

5.	Расчет располагаемой скорости крена (охрасп из условия
изолированного бокового движения. Располагаемая скорость
крена рассчитывается по уравнениям изолированного бокового
Движения в связанной системе координат по формуле

м® te —z^M^j —	4

4Z6 (мР/й"» — ТйР/и"^

“г раса	р_гаах’

где Z6, /И у, Л4Х — производные аэродинамических сил и момен-
тов поперечного или путевого органа управления; 6тах — макси-
мальным угол отклонения органа управления.
Значение 6111ах определяется в зависимости от шарнирных
моментов органа управления и располагаемой тяги его силовых
приводов.

Отметим одну особенность в проводимых расчетах по приве
денным алгоритмам. В том случае, если имеется связь между
органами путевого и поперечного управления или в канале крена
используется два органа, например, элероны и дифференциальный
стабилизатор, то можно принять, что между углами отклонений
этих органов управления существует линейная зависимость.
Это дает возможность представить управляющие моменты крена
и рыскания в виде

Л1$6Э =

+ КФ,Л1? + кн. Хн) 6Э;

(32.11)

= (м>

+	+ Кн. эМ*Н) 6Э,

где КфЭ, Кн. э — коэффициенты линейной связи между углами
отклонений элеронов с дифференциальным стабилизатором и
рулем направления (Л<рст = КфЭ^э и $н = Кц.Д))-

6.	Расчет максимальной и минимальной располагаемой нор-
мальной перегрузки. Для определения путпах и nymin сначала
рассчитывается максимальный и минимальный угол отклонения
стабилизатора на заданном режиме полета с учетом действующих
на него шарнирных моментов и тяги силовых приводов. Для этих
углов отклонение руля высоты определяется по уравнениям ба-
лансировки в продольном движении путах и nymin. Полученные
значения сравниваются с эксплуатационными, а также с макси-
мальными значениями пу, определяемыми из условия реализации
максимального коэффициента подъемной силы ^доп- Исходя из
этого сравнения выбирается максимальная и минимальная рас-
полагаемые нормальные перегрузки.

Расчеты, выполненные по изложенным ранее алгоритмам
в эксплуатационном диапазоне режимов полета самолета при
различных перегрузках, позволяют выделять расчетные области
в координатах Я, М, где взаимодействие продольного и бокового
движений самолета при маневрах по крену существенно и может
иметь опасные последствия. Основные критерии для выделения
этих областей следующие:

а)	режим инерционного вращения;

б)	располагаемая скорость крена превышает сохподхв и'
min (соа, сор);	$

в)	исходная балансировочная перегрузка пуб, при котор
выполняются условия а) и б), принадлежат диапазону распол

гаемых нормальных перегрузок.	е

Можно предложить и дополнительные критерии, связан
с возникновением колебательной неустойчивости движения са-
279

Лета по крену или существенным возрастанием нормальных
и боковых перегрузок при реализации сох, близких к соа или сор.
Алгоритмы расчетов, необходимых для проверки этих критериев,
в основном базируются на алгоритмах, которые изложены ранее.
Единственная особенность заключается в определении скорости
крена, которая возможна при максимальном угле отклонения
органа управления. Для этого решается следующее уравнение:

^463 щахбОл: “Ь р2^х	maxCOx “Т-

4“ Fq№x Во&э max |со_.=со„ рт = 0.

•А, Л V 1

(32.12)

Наименьший по модулю действительный корень уравнения (32.12),
который меньше min (соа, сор) и является искомой величиной.
Для этого значения сохст проверяется наличие колебательной
неустойчивости, а также рассчитываются параметры установив-
шегося вращения, из которых пу и nz сравниваются с максимально
допустимыми.

§ 33. ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ РАСЧЕТОВ
ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТА НА ЦВМ

Каждый режим полета, задаваемый числом М и высо-

той Я, по сформулированным ранее критериям может быть опре-
деленным образом классифицирован с точки зрения характера и
степени проявления инерционного взаимодействия. Так, напри-
мер, возможны следующие случаи:

1-й случай — существует режим инерционного вращения;

существуют критические угловые скорости крена соа и сор,
при которых статические решения терпят разрывы;

—	имеется подхват самолета по крену.

2-й случай •— существует режим инерционного вращения;

—	имеется подхват,

—	критические угловые скорости отсутствуют;

3-й случай — возможен режим инерционного вращения;

—	имеются критические угловые скорости;

—	имеет место «кажущаяся потеря эффективности» органов
поперечного управления.

Характер управляемого движения будет определяться эффек-
тивностью органов управления, посредством которых осуще-
ствляется маневр по крену. Существенным фактором становится
соотношение располагаемой угловой скорости крена сох расп
с критическими угловыми скоростями соа, сор и угловой скоростью
Г1одхвата сох „одхв. Так, например, если при управлении само-
летом можно реализовать скорость крена, превышающую <оХПОДХ8,
Таблица 33.1

Хе по пор.	Возможен ре- жим инерцион- ного вращения	Имеются критические скорост и	Имеется «подхват»	расп >  > min (со coft, соуплт, ч \ (Z р АГПОДХв)
1	 1	—|—	—|—	- 1
2	~р	—	।	“I'-
3		+	—	~р
4		+	-р	—
5	~р	—	-р	—
6	1		—	-

то самолет может потерять устойчивость движения по крену и по-
пасть в режим инерционного вращения.

Таким образом, в зависимости от величины располагаемой
угловой скорости можно выделить 6 различных случаев для клас-
сификации каждого режима полета. Эти случаи приведены
в табл. 33.1.

Знаком «+» в таблице обозначены случаи, в которых реали-
зуются сформулированные в заголовке условия, а знаком «—» —
случаи, когда эти условия не реализуются.

Использование ЦВМ позволяет быстро провести расчет ста-
тических решений во всем эксплуатационном диапазоне режимов
полета. При этом из-за обилия получаемой информации возникает
проблема организации ее вывода в такой форме, которая позво-
ляла бы оперативно провести анализ полученных результатов.
Для построения зависимостей параметров статических решений
от установившейся скорости крена на каждом конкретном режиме
полета можно использовать графопостроитель. Пример такого
построения приведен на рис. 33.1.

Вывод на графопостроитель параметров, характеризующих
пространственное движение, во всем диапазоне режимов полета
может быть осуществлен с помощью алфавитно-цифрового печа-
тающего устройства (АЦПУ). При этом вычисления могут быть
организованы достаточно просто. Во всей рассматриваемой области
режимов полета выбирается сетка с некоторым шагом по^числу
и высоте полета Н в соответствии с дискретностью позиций АЦП
Так, например, штатные печатающие устройства на вычислитель-
ных машинах типа БЭСМ-4, БЭСМ-6 имеют 128 позиций, сп
позволяет выбрать достаточно подробную сетку режимов поле >
в которых должны быть проведены расчеты статических решен
и их анализ по выбранным критериям. Вычисляемые параметр
на каждом режиме полета необходимы как для построения ли
их равных значений на плоскости Я, М, так и для выделения
ластей режимов полета с различной степенью проявления и г
281

DE=VAR

Н= 10000.0	МАХ=0.80	NY = 1.0	UNO =00

Рис. 33.1. Пример графиков статических решений, построенный на ЦВМ

ционного взаимодействия. Поэтому расчет параметров по выбран-
ной сетке, требующий основных затрат машинного времени,
целесообразно провести один раз, а полученную информацию
хранить в виде числовых массивов, размерность которых может
быть очень высокой, на каком-нибудь периферийном запомина-
ющем устройстве, например, магнитном барабане или диске.

Параметры пространственного движения определяются ве-
личинами скорости полета и скоростного напора, значениями
аэродинамических коэффициентов самолета, которые меняются
в зависимости от режима полета. Поэтому в программе необхо-
дим блок вычисления аэродинамических коэффициентов, учиты-
вающий их изменение от числа М, балансировочного значения
угла атаки, а также оценивающий влияние упругости конструк-
ции на изменение характеристик устойчивости и управляемости.
Значения аэродинамических коэффициентов, известные по ре-
зультатам аэродинамического эксперимента и уточненные в лет-
ных испытаниях, могут быть заданы в виде числовых массивов
Рис. 33.2. Схема программы расчета на ЦВМ параметров пространственного
движения самолета

КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ WA

УГРдВрЕНИЕ ЭЛЕРОНАМИ МУ = 0

Н < м) Ф

ф

О

ф

О

Ф

-ф
С

Ф

с

с

15000

с

•В

В

С

с

О

D

о

О

О

с»

о»

100 00

С

С

5000



н=о

-О-“
о.оо
А

0.50

ф

В
1.00

• с

• С

---о —
о . 50

С

1.50

В
в
в

D
0

0

О

Е

Е

Е

С
С

Е

Е

Е

Е

Е

Е

Е

G

Е

G

Е *

$

D
2.00

------0-_

1 . 00

Е

3.00

G

G
G

Ф

-О--

1.50

о----
м



G
4.00

5.00

к

6.00 (РАД/С>

Рис. 33.3. Линии постоянных значений критической скорости при управлении
рулем направления на плоскости режимов полета (й, М)
283

в зависимости от параметров М, аб, Н, характеризующих режим
полета. Значения аэродинамических коэффициентов на каждом
конкретном режиме полета могут быть определены с помощью
линейной интерполяции.

Накопленные массивы анализируемых параметров, соответ-
ствующих режиму инерционного вращения: соа (Нь сор (Hit
Mf) , (Од. ПОДХВ Мг), Пу Mi), п2 (Hh Mi), сох (Hh Mi)
и т. д. обрабатываются последовательно и для каждого фиксиро-
ванного значения высоты Н или числа М в зависимости от ориен-
тации графика на АЦПУ формируется печать одной строки. При
построении линий равных значений вся строка, отведенная под
поле графика, заполняется пробелами за исключением позиций,
соответствующих режиму полета, на котором данный параметр
принимает заданное значение. Каждому выбранному уровню
значения параметра соответствует определенный алфавитный или
цифровой символ.

Построение областей режимов полета, где проявляется инер-
ционное взаимодействие, осуществляется аналогичным образом.

Н(М)Ф

13000

ОБЛАСТИ РЕЖИМОВ ИНЕРЦИОННОГО ВРАЩЕНИЯ

УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕРОНАМИ

NV = 0 , О
----0-

*3

*33

• 333

*3333

*33333

111111111111111111111111111111111*
111111111111111111111111111111111*
1111111111111111111111111111111111*
1111111111111111111111111111111111*
1111111111111111111111111111111111*
1111111111111111111111111111111111*

*333333

•3333333

•33333333
•33333333

• 333333333
•3333333333
*3333333333
*3333333333
•3333333333
•333333333
•333333333
*333333333
*33333333

33333

111111111144466666666666666441111*
111111114444666666666666664444111*
11111114444466666666666644444441»
11111444444466666666666644444441*
11114444444444666666644444444444*
11144444444444666666644444444444»
14444444466666666664444444444444*
44444446666666666644444444444444*

444444466666666666644444444444444*

444446666666666666444444444444444*

z 466666666666666444444444444444*

666666666666666

66666666666666

666666666666

66666666666

66666666

6666666

66666

66

-0--
0.00

ин.вращение

---0---
0.50
РАЗРЫВЫ

ПОДХВАТ

-0--
1.00

WPАС П>МIN(WA,WB.WHOДXВ)
♦ ( -)

м-

ИНДЕКС

1(4)
2(5)
3< 6 )

Рис. 33.4. Области режимов инерционного вращения на плоскости режимов по-
мета (Я, М) при Пув » 0
о -0-----------©-

0 .00
ин.ВРАЩЕНИЕ

М

ИНДЕКС
1 < 4 )
2(5)
3 6)

---о---------о----------о---------о----------о-----

0.50	1.00	1 . 5 О

РАЗРЫВЫ	ПОДХВАТ	НРАСП>М1N<НА,WB.ИПОДХВI

Рис. 33.5. Области инерционного вращения на плоскости (//, М) при = 0,5

В этом случае строка формируется из символов, классифициру-
ющих соответствующий ей набор ^режимов полета. Позиции,
соответствующие режимам полета, на которых не существует
инерционного вращения, заполняются пробелами.

На рис. 33.2 приведена примерная схема построения программы
расчета и анализа характеристик пространственного движе-
ния.

Пример расчета и построения на АЦПУ линий равных значе-
ний критической угловой скорости крена соа при управлении
элеронами и нулевой исходной нормальной перегрузке (и^Исх
= 0) приведен на рис. 33.3. Символам А, В, С, D, Е, G, F, К со-
ответствуют следующие значения угловой скорости соа: 0,5; 1,
1,5; 2,0; 3; 4; 5; 6 рад/с.

На рис. 33.4, 33.5 даны примеры построения областей режимов
полета, где возможны режимы инерционного вращения пр*
управлении элеронами. Рассмотрены маневры крена с двумя ис-
ходными нормальными перегрузками пуб = 0 (см. рис. 33.J
и Пуь = 0,5 (см. рис. 33.5). При пу^ = 0 инерционное взаимодеи
ствие проявляется существенно, имеется сверхзвуковая и дозвук
285

вая области режимов полета, обозначенные индексами «1» и «2»,
в которой возможна потеря устойчивости движения по крену и
попадание в режим инерционного вращения. При перегрузке
пУб — 0,5 инерционное взаимодействие проявляется в небольшой
сверхзвуковой области режимов полета в виде «кажущейся потери
эффективности» органов поперечного управления (область с ин-
дексом «6»), имеется также область с индексом «1».

Анализ выделенных областей в эксплуатационном диапазоне
режимов полета при различных исходных нормальных перегруз-
ках позволяет рационально выбрать режимы полета для расчета
и построения статических решений, а также для проведения
более подробного моделирования пространственного движения
самолета при энергичных маневрах по крену по полным урав-
нениям движения.

1
ГЛАВА И

Анализ пространственного движения самолета,
оснащенного ССУ

Современные самолеты широко оснащаются системами улучше-
ния устойчивости и управляемости (СУУ) [8, 13, 26, 24]. Для
пространственных маневров самолета характерно существенное
изменение параметров движения, что при анализе динамики са-
молета с СУУ приводит к необходимости учитывать нелинейные
свойства таких систем, в частности, учитывать величину угла
отклонения органов управления от СУУ. В этой связи все виды
СУУ можно разделить на две большие группы:

— СУУ с исполнительными приводами малого хода;

— СУУ с исполнительными приводами большого хода.

Типичными представителями СУУ малого хода является демп-
феры колебаний по тангажу, рысканию и крену. Такие системы
при энергичных маневрах самолета по крену практически нахо-
дятся на ограничениях по отклонению, если в их структуре не
предусмотрены соответствующие меры типа использования высо-
кочастотных фильтров. В связи с этим анализ воздействия таких
устройств на динамику самолета может производиться изложен-
ными ранее методами с учетом постоянного отклонения органов
управления от СУУ.

В качестве примеров СУУ с исполнительными приводами боль-
шого хода рассмотрим статические системы продольного и путе-
вого управления и астатические гироскопический и перегрузоч-
ный автоматы продольного управления [13]. Для таких систем
характерно, что в зависимости от рассматриваемого маневра,
они могут работать как в линейной области отклонений рулевых
поверхностей, так и выходить на предельные отклонения, что
необходимо учесть в исследованиях динамики самолета.

§ 34. ОСОБЕННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТА СО СТАТИЧЕСКОЙ СУУ

Для общего анализа динамических характеристик са-
молета с СУУ в дополнение к исследованию устойчивости и управ
ляемости при малых возмущениях необходимо проведение анализа
функционирования систем управления при энергичных маневра-
по крену с учетом инерционного и аэродинамического взаимоде
287

ствия продольного и бокового движений самолета. При исследо-
вании динамики самолета с СУУ ограничимся анализом устано-
вившихся режимов вращения по крену и рассмотрим в настоящем
параграфе наиболее распространенные варианты систем улучше-
ния устойчивости и управляемости, а именно, демпфера продоль-
ных и боковых колебаний и автоматы улучшения продольной и
путевой устойчивости [13]. При анализе установившегося дви-
жения можно рассматривать функционалы систем управления
без учета корректирующих фильтров, которые они могут содер-
жать для обеспечения устойчивости движения и требуемого ха-
рактера переходных процессов, а также не учитывать динамиче-
ские характеристики исполнительных приводов системы управ-
ления.

Начнем анализ с рассмотрения демпферов колебаний и авто-
матов повышения устойчивости в продольном и путевом каналах
управления. В этом случае функционалы системы управления
можно записать следующим образом:

Ф =	(Oz Ч~ kn Пуд\	(34.1)

бн = Ч~ kn tizR.	(34.2)

У

Здесь со^, (о2 — сигналы датчиков угловых скоростей, явля-
ющихся одностепенными скоростными гироскопами; пуд, nZR —
значения проекций перегрузки относительно связанной с самоле-
том системы осей, регистрируемые датчиками перегрузок, кото-
рые, как правило, расположены не в центре масс самолета.

Значения п1Я, пгд наряду с перегрузкой самолета в центре
масс содержат составляющие перегрузок, обусловленные угловым
движением самолета. Для того, чтобы проанализировать влияние
выноса датчиков на характеристики пространственного движения
самолета, воспользуемся соотношениями, определяющими за-
висимости пуд, пгд от параметров установившегося движения
(при &х = 6>у =	= 0):

Иуд = Иу ц, м 4 —-	Уд ((Ох (Oz) Ч- ^дСО^СОг], (34.3)

О

Пгд — Пг ц. м Ч- [-ХдСОхЩг Ч~ Ур^у^г ((Ох 4“	)I*

Перегрузки в центре масс самолета связаны с изменениями углов
атаки и скольжения приближенными соотношениями

Иу ц. м ПуСЬ\

„Вр
/12р.

Пг ц. м ~

Для определения параметров пространственного движения
самолета с СУУ при установившемся вращении по крену функ-
Нионачы (34.1), (34.2) с учетом соотношений (34.3) должны рас-
сматриваться совместно с системой уравнений, определяющей
параметры установившегося пространственного движения само-
лета, которую будем записывать в виде

to2 — ptox — У°а — Уф<р == 0;

со, + асщ -I- Zp₽ + z4H = 0;

Л-1“а + Л^гг<ог — ЛгйхЮр + Л4г<р' = 0;

Му^Ыу

4- Boxcoz + М”ЬН = 0;

(34.4)

м£р +	+ м6хабэ = 0.

Подставляя (34.1), (34.2) и (34.3) в уравнения (34.4), пре-
небрегая членами второго порядка малости, пропорциональными
co^coz, to*, tot получаем следующую линейную систему уравнений
относительно сс, р, coz, со^, в которой величина сох рассматривается

в качестве параметра:

Y^k па
Y Пупу

—С9Х

1 - Лео
______Z

у Ф хдй)х
g

(0х

-у^Н хда)х
g

2

Z kb,
ш у

2	2 Пу у

о

0

йру

-бн
В + Му

д-мФ Д
g

со.

--»1	-

МуУ+кЛс.



(34.5)

' Д пу 2

*1ТТХП-----------

III p	g X

2* /г*

— 6	Д 9

m°h_2L_? (1)2

У g x

Члены, обусловленные выносом датчика, подчеркнуты одной
линией, а члены, обусловленные влиянием системы при —
— Уд = гд — 0 — подчеркнуты двумя линиями.
289

Из системы уравнений (34.5), представленной в матричной
форме, видно, что влияние СУУ в случае, когда датчик перегрузки
находится в центре масс самолета, сводится к эквивалентному
изменению основных моментных и силовых характеристик устой-
чивости и демпфирования:

Я- = Я + м‘У =

У“ = У“ 4- У^пп^ У= - Y*ka-

Ж = zp + t*knn^ z“« = z4

Изменение этих коэффициентов при функционировании СУУ
может существенно изменить вид статических решений. Оценим
это влияние.

Наибольший практический интерес представляет зависимость
6СТ (<Яс)- Она обладает двумя важными особенностями. Во-пер-
вых, это разрывы при скоростях крена, равных критическим
скоростям соа и сор. Во-вторых, существование режимов устано-
вившегося вращения с сох Ф 0 при 6Э = 0. Рассмотрим, как
влияет наличие на самолете СУУ на эти особенности.

Уравнения, определяющие значения сох, при которых имеются
разрывы в зависимостях 6Э. ст (о)х), имеют вид

^осуу = А) +	-г-^- 4- —-

2
CO.v

(34.6)

Для функционала СУУ в продольном канале вида <равт = kn п„ +
+ ka^z', ~

(34.7)

Ю Бюшгенс Г. С.
для функционала СУУ в путевом канале вида бн.авт = kПп 4
+ kay(dy,
где

Ао = АВих + [ АМу + ВМ“ + 7Й“»7Й“г] <о* + М?М%;

маг = м“ -|- у“7и“г; тй“г =	+ лгр;

+ т.ь~мЬуу; м“» = м'уу - в7“.

Представляя уравнения (34.6) и (34.7) в следующей форме
_  =	к К - “i)

(4-4)(4-»S)

и используя метод корневого годографа [33], можно показать,
что при увеличении коэффициента k корни (<о*) этого выражения
могут сделаться комплексно-сопряженными, вследствие чего исчез-
нут разрывы в зависимостях 6Э. Ст(сол). Для этого необходимо
выполнение следующего соотношения для параметров СУУ в про-
дольном канале:

при X < 1,

(34.8)

со»

где X2 = -у-.

Для случая X > 1 такого ограничения нет. Поскольку < 1
для режимов сверхзвуковых скоростей полета, то, следовательно,
при М > 1 желательно выбирать отношение ~гу в соответ-
ствии с неравенством (34.8).

Аналогично для СУУ в путевом канале можно получить сле-
дующее нер авенство:

_£

\ V

— при 1.	(34.9)

Для X < 1 ограничения на отношение knjk^ нет.

Соотношение — — > 1 характерно для полета на дозвуковых
скоростях. Поэтому при М <1 для снижения степени инерцион
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками?!

Пространственное движение самолета со статической СУУ	291

ного взаимодействия следует выбирать отношение knjk^ в со-
ответствии с неравенством (34.9k

Таким образом, в случае, когда наименьшей критической
скоростью является <оа, демпфер тангажа и автомат повышения
продольной устойчивости, а также в случае, когда сор < соа демп-
фер рыскания и автомат повышения путевой устойчивости,
приводят к уменьшению проявления взаимодействия продольного
и бокового движения при маневрах по крену, поскольку повышают
наименьшую критическую угловую скорость, что позволяет рас-
ширить эксплуатационный диапазон сох.

Рассмотрим теперь влияние наличия на самолете СУУ на
возможность существования режимов инерционного вращения.
Уравнения, определяющие значения о)х, при которых существуют
режимы инерционного вращения при Л4Х =- const, представляется
в следующем виде:

для СУУ в

(34.11)

Для СУУ в путевом канале,

где

Дс = АВых + (лтй£ + ВМ“ +	©* +

Ю»

«б





I
По своей структуре уравнения (34.10) и (34.11) совпадают
с уравнениями (34.6) и (34.7) Поэтому для анализа уравнений
(34.10), (34.11) можно также воспользоваться методом корневого
годографа.

Наиболее интересен случай, когда сор < соа, так как при
схб < 0 может иметь место потеря апериодической устойчивости
движения самолета по крену. Можно показать, что для системы
продольного управления имеется ограничение на соотношение
коэффициентов усиления kn и /г(0 :
у

k
пу

k4>

2

__Л	У -у

м[ 6

У х

МаУ
у

BYa

МХ
1—Д2__±---— ао

У х

выполнение которого гарантирует при увеличении коэффициента
исчезновение режимов инерционного вращения.

Влияние СУУ в путевом канале в рассматриваемом случае
(сор < соа) на корни уравнения Д' = 0 зависит от балансировоч-

ного угла атаки аб. При ссб

Mz гМх х

Ж

использование СУУ

в путевом канале может привести к устранению корней уравнения
Д' = 0 и, как следствие, режимов инерционного вращения.

Наличие па самолете СУУ оказывает влияние и на пара-
метры установившегося движения. Так увеличение демпфирова-
ния рыскания увеличивает углы скольжения при маневрах крена,
а следовательно, и боковые перегрузки. Демпфирование тангажа
аналогично влияет на изменение угла атаки при маневрах по

крену с отклоненным рулем направления.

При соа < сор возрастание запаса путевой устойчивости при-
водит к уменьшению угла атаки при отклонении руля направле-
ния в маневре крена. При этом уменьшается и угол скольжения.
В случае соа > сор увеличение запаса продольной устойчивости
снижает при маневрах по крепу величину угла атаки, а также

угла скольжения при отклонении руля высоты.

В случае, если демпферы колебаний имеют виражный меха-
низм, например, в виде фильтра . 113], то наличие на са-

1	V

молете такого демпфера не сказывается на характеристиках
установившегося движения самолета в пространственном движе-
нии, так как в установившемся движении отклонение органов
управления от таких демпферов равно нулю. Влияние демпферов
будет проявляться только в переходных процессах, приводя
к увеличению забросов по углу атаки и углу скольжения»
Рис. 34.1. Зависимости а и р от сох
в установившемся движении для са-
молета со статической СУУ и двумя
вариантами места установки датчи-
ка перегрузки (М < 1):

/Ъ = 25°

= 0,6 с"*

__________без СУУ;

— — ~ АД = 10’

= 0;

Вынос датчиков перегру-
зок из центра масс самолета
(хд=£0, #д = 0, гд ф 0) при-
водит к появлению допол-
нительных членов в правых
частях уравнений (34.5), про-
порциональных квадрату ско-
рости крена и расстоянию
выноса датчиков по осям 0Y
и 0Z, а также к эквивалент-
ному изменению

коэффициентов А и В, характеризующих

вытянутость элипсоида инерции самолета:

хд .
пУ g '

A^A-M^k

в*=в + M*”kn/S-.

* б

(34.12)

Вынос датчика по оси ОХ приводит к изменению значений кри-
тических угловых скоростей в результате изменения коэффициен-
тов А и В. При этом следует отметить, что относительный вклад
добавок в соотношениях (34.12) при достаточно больших значе-
ниях коэффициентов kn , knz может достигать 20 %. Однако из-
менения критических скоростей крена соа, со^, обусловленные
функционированием системы, значительно превышают изменения,
связанные с возможным выносом датчика перегрузки по оси
ОХ.

На рис. 34.1 приведены примеры статических решений аст,
Рст для дозвукового режима полета М < 1 пуп^ =. 1. Приведен-
ные решения показывают, что влияние выноса датчика перегрузки
относительно ЦМ приводит к несущественным изменениям в ста-
тических решениях для параметров пространственного движения
самолета со статическими СУУ.
294

Пространственное движение самолета, оснащенною О у

§ 35. ОСОБЕННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТА С АСТАТИЧЕСКИМИ СУУ

Астатические перегрузочный и гироскопический авто-
маты продольного управления занимают особое место среди рас-
сматриваемых систем. Характерной особенностью для них яв-
ляется то, что величина пуд или со,, входящих в подынтегральное
выражение, остается постоянной в установившемся маневре при
неизменном положении ручки управления по тангажу [13].

Проанализируем поведение самолета с астатическим автома-
том продольного управления при установившемся движении по
крену. Рассмотрим перегрузочный АПУ:

t

ф =	4~ kn (tiy	-|- knip J (пу — dt. (35.1)

о

В установившемся движении подынтегральное выражение
в (35.1) будет равно нулю:

п,/б = КХр или аб=*^2_.	(35.2)

пу

При этом в уравнениях (34.4) величина а = аб, а величина
откчонения стабилизатора ср, которая обеспечивает данное зна-
чение ссб, становится новой неизвестной. Будем считать, что дат-
чик перегрузки находится в центре масс самолета, тогда (при
Уф = 0)

^2 Р^Х	^б>

(Djy —I Z Р   OCgCOj^,
zco2 — Асо^о)^ Л4фср — —
Alfp	MуУ^у 4~ B^x^z = 0;

W + Мххах + Л4>6Э = 0.

Решения для р, ср имеют следующий вид:

д

В у х ь	fр   ао ло

^осуу ’	7Й<Р ^осуу ’

(35.3)

(35.4)

где Ао = (TWf + Всох) (А4? 4



А)СУУ —	4~ Bl»4*

Значения соу> со2 могут быть выражены из первых двух урав-
нений (35.3).
295

Решения (35.4) для установившихся значений параметров
0, <р при сох — сор = V—Му/В имеют разрыв. Критическая
скорость крена по тангажу исчезает. Это можно объяснить тем,
что действие рассматриваемо^ астатической системы, обеспечива-
ющей постоянство пу при Хр = const в процессе маневра, экви-
валентно в некотором смысле при установившемся движении
бесконечно большому возрастанию запаса продольной устойчи-
вости, а следовательно, и критической скорости (оа. В связи с этим
при исследовании динамики самолета с перегрузочным АП У
могут быть эффективно использованы результаты пятой главы.
Отметим, что из выражений (35.4) следует важный вывод, что при
использовании перегрузочного АПУ всегда существует критиче-
ская угловая скорость (ор, даже если исходный самолет без СУУ
не имел критических угловых скоростей. Как видно из (35.4),
статические решения не зависят от коэффициентов функционала
(35.1)	, kn, ktl/p. При выборе этих коэффициентов следует исхо-

дить из условия обеспечения динамической устойчивости и желае-
мого качества переходных процессов.

Если датчик перегрузки вынесен из центра масс самолета, то
перегрузочный АПУ будет сохранять постоянной величину пуд
(34.3), т. е. с точностью до членов второго порядка малости будет
выполняться следующая связь между а и со,/

п“а +	<£ + КХр-	(35.5)

Уравнение (35.5) в сочетании с системой уравнений (34.4)
образуют систему из шести уравнений, где ср является шестым
неизвестным. Определитель этой системы

Лосуу = «“ (м£ + Ы) - -§ 4 (7Й£ + В<& - BYaZ^)
&

при xg > 0 имеет два корня относительно величины со*. Их при-
ближенные значения имеют следующий вид:

2	2	.	2	_	2 _ пуё

(ОХ1 = СОр ----g— , (ОХ2 = (Од —	•

Таким образом, при выносе датчика в носовую часть самолета
появляется вторая особенность в статических решениях, свя-
занная с чувствительностью датчика перегрузки к угловой ско-
рости. Угол атаки при выносе датчика из центра масс будет при
маневре крена изменяться в зависимости от угловой скорости
крена:

(ХР + -у “х
Из этого соотношения следует, что установка датчика перегрузки
перед ЦМ самолета (xg > 0, yg = 0) приводит к увеличению
нормальной перегрузки (угла атаки) из-за работы перегрузочного
АП У по сравнению со случаем, установки датчика в ЦМ.

Рассмотрим зависимость 6Э.ст (<ох), считая для простоты ана-
лиза, что Хд'— уД	~	0:

М^х	М%

$э. ст (wx)	—	—e	—У 7~?	*

МхЭ	Мх V°* ~ в

Угловая скорость крена, при которой 6Э>СТ (coj = 0, выра-
жается следующим образом:

2	2

е^х ин — (tys	——------ctg.

М*ХВ

При аб > 0 (о* ин < имеет место «кажущаяся» потеря
эффективности элеронов. При аб < 0, <0хИн >	— возможен

«подхват» самолета по крену при условии, что М% < 0. В неко-
тором диапазоне величин 6Э при превышении критического угла

отклонения элеронов в случае существования подхвата не суще-
ствует устойчивого установившегося режима вращения самолета,
а движение будет апериодически неустойчиво по углу атаки и
углу отклонения стабилизатора (такой результат связан с линей-
ной постановкой задачи).

На рис. 35.1 приведены примеры зависимости Мх (<ох) на до-
звуковом режиме полета при аб >0 и аб < 0 для самолета с пере-
грузочным АПУ. На рис. 35.2 приведен пример расчета динамики
самолета при медленном отклонении элеронов для случаев аб > 0
и аб <0. Как видно из приведенных примеров расчетов динамики
самолета при аб<0, потеря
устойчивости сопровождается
резким возрастанием вели-
чины отклонения стабилиза-

тора. Таким образом, в этом
случае существенным станет
ограниченность отклонения
стабилизатора, которая во
всех приведенных ранее рас-

Рис. 35.1. Зависимость AMv ((°a)
для самолета с астатическим пер
грузочным АПУ
297

Рис. 35.2. Пример расчета изменений параметров движения самолета с перегру-
зочным АПУ при медленном отклонении элеронов (М < 1, аб < 0):

а —	> 0; б —	<0

суждениях не учитывалась. Влияние ограниченности откло-
нения органов управления на динамику пространственного движе-
ния самолета будет рассмотрена в следующем параграфе.

Рассмотрим динамику самолета с гироскопическим астатиче-
ским автоматом продольного управления [13]:

t

<р = (<о2 -	J (®2 - КХр) dt	(35.6)

О

При установившемся движении величина coz будет сохра-
няться постоянной при различных значениях угловой скорости
крена при условии, что ручка управления по тангажу сохраня-
ет неизменное положение,

Wz6 КХр.
Так же как и в случае перегрузочного АПУ статические ре-
шения определяются системой уравнений (34.4), в которой е>г ==
= (огб, а <р — является неизвестной величиной.

—а

Y а 4- сох6 = <о2б;

4- асох +	== 0;

Л4“а —	4-	= — Л4“г<.Ъб;	(35.7)

Я'₽ +	+ лГ«5, = О

(в уравнениях (35.7) принято, что = Z6h = 0).

Решения системы (35.7) не имеют особенностей, так как ее
определитель, равный А0СУУ, при всех значениях	отличен от

нуля. Так, например, решения для а, р, ср имеют следующий
вид:

“>гб (	+ Вы2) .

А) СУУ

<*гб

А)СУУ

А)

0 СУУ

(35.8)

где Лосуу == УаМу 4~ МуУод2х-

В режиме горизонтального полета величина со2Г) = 0, это
условие может быть получено, если в уравнениях (34.4) учесть
гравитационные члены, которые существенны для определения
балансировочных значений параметров движения в установив-
шемся режиме полета. При (о2б = 0 (7<Хр = 0) решения (35.8)
равны нулю при всех значениях угловой скорости крена. Такой
результат связан с особенностью функционирования гироскопи-
ческого АПУ. Решения (35.8) следует понимать как средние зна-
чения параметров а, р и (р при установившемся вращении по
крену самолета с гироскопическим АПУ. Углы атаки, скольже-
ния и величина <р в этом случае будут колебаться относительно
значений (35.8) с некоторой амплитудой, зависящей от величины
угловой скорости крена, с частотой соо = сох. Это обусловлено
влиянием силы тяжести, которая будет искривлять траекторию
полета вращающегося самолета. Для того, чтобы учесть этот эф-
фект в уравнениях, описывающих пространственное движение
самолета относительно центра масс, должны быть сохранены гра-
витационные члены -у- cos у, -р- sin у. Для того, чтобы получить
299

приближенные решения этих уравнений, сделаем предположение,
что угол скольжения у самолета равен тождественно нулю, это
позволяет понизить порядок системы уравнений. Устранить угол
скольжения может стремиться сам летчик или автомат повышения
путевой устойчивости.

Если считать, что коэффициенты k& и k® в гироскопического
АПУ обеспечивают устойчивость и выбраны достаточно боль-
шими, так что колебаниями величины угловой скорости тангажа
можно пренебречь, то приближенное решение для угла атаки
будет определяться следующим уравнением:

d = — Y а + -у- cos <ох/,

(35.9)

а величина <р будет определяться из условия сбалансированности
самолета по моменту ср = —Мга/М®.

Решение уравнения (35.9) при начальных условиях а = аб ==
= —Ст - имеет следующий вид:

а —

0)2 + (Ё“)2

[е~ vv

-(-'V2 cosy-j- VSlnyL

(35.10)



где V:

у — соЛ7.

Переходной процесс по углу атаки существенно зависит от
соотношения величин Ya и cov. При энергичных маневрах по крену,
когда сод.	амплитуда колебаний мала и колебательной со-

ставляющей в решении можно пренебречь, в этом случае решение
определяется апериодической составляющей а = абе а .

Величина Уа, как правило, мала особенно на больших скоро-
стях полета, поэтому при энергичных маневрах время выполнения
одной «бочки» обычно существенно меньше характерного времени
переходного процесса по углу атаки, Т 1/Ка. Из этого следует,
что при быстрых кратковременных маневрах угол атаки будет
изменяться незначительно. При относительно медленных враще-
ниях сох ~~Ya следует учитывать колебательную составляющую
в решении (35.10) и она может быть достаточно велика. На рис. 35.3
приведены решения для различных соотношений Ya и в за-
висимости от угла крена у.

Возможность реализации рассмотренных ранее статических
решений определяется как эфоективностью органов управления,
Рис. 35.3. Изменение угла атаки самолета с гироскопическим АПУ от угла крена
в зависимости от параметра v == Уа/сох

так и устойчивостью движения самолета в окрестности устано-
вившегося движения (устойчивостью в малом). Для исследования
этой устойчивости движения самолета уравнения, описывающие
динамическую систему самолет +СУУ, линеаризуются относи-
тельно параметров установившегося движения. Характеристиче-
ское уравнение, полученное на основе этих уравнений, анализи-
руется или посредством критерия Рауса—Гурвица, или путем
определения его корней. Поскольку порядок характеристического
уравнения зависит от вида функционала СУУ, наличия низко-
частотных и высокочастотных фильтров, и, как правило, он до-
статочно велик, то исследование устойчивости движения целе-
сообразно проводить с использованием ЦВМ. Естественно, что и
неравенства, определяющие условия устойчивости по критериям
Рауса—Гурвица имеют очень сложный вид. Исключением яв-
ляется выражение для свободного члена характеристического
уравнения. Можно показать, что для рассмотренных ранее функ-
ционалов СУУ свободный член характеристического уравнения BG
записывается следующим образом:

Во = Ао суъ

<Э. СТ
б/СО-г

(35.11)

С0Х СТ

Отметим, что выражение (35.11) по своей структуре совпадает
с выражением для свободного члена характеристического уравне-
ния для случая самолета без СУУ (см. гл. 3).
Учет ограничения отклонения органов управления от СУУ

301

§ 36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА С СУУ С УЧЕТОМ
ОГРАНИЧЕННОСТИ ОТКЛОНЕНИЯ ОРГАНОВ
УПРАВЛЕНИЯ

При энергичных маневрах по крепу с СУУ отклонения
органов управления при функционировании продольного и путе-
вого каналов системы управления могут стать достаточно боль-
шими и достигать предельных значений. Рассмотрим, какие изме-
нения в пространственное движение самолета вносит ограничение
ходов отклонения органов управления от СУУ.

Начнем рассмотрение с демпферов колебаний и статических
автоматов повышения устойчивости. Для простоты будем рассма-
тривать функционалы, в которых произведен приближенный пере-
ход от сигналов перегрузок к величинам углов атаки и сколь-
жения:

фаВт =	+ kaa +	(36.1)

6ц. авт ^рР	(36.2)

Поскольку величина отклонения органа управления 6 (ф или
6Н) при функционировании СУУ ограничена, то между отклоне-
нием органа управления и сигналом (36.1) или (36.2), который
формируется в системе управления, существует следующая связь:

I.	6 = 6авт при 6niin 6авт бщах»

II.	6— 6П1ах при 6aBT>6niax;	(36.3)

III.	6 = 6П11П при 6авт<С6nijn.

Для расчета установившихся значений параметров простран-
ственного движения самолета с СУУ в продольном и путевом
каналах управления с учетом ограниченности отклонения органов
управления, как и в предыдущих параграфах, воспользуемся
системой уравнений относительно а, Р, со2, со^, 6Э, где сох рас-
сматривается в качестве параметра. При этом необходимо учиты-
вать функционалы (36.1) и (36.2), а также условия (36.3):

<ог - РсоА ~Yaa - (фавт) = 0;

+ Zp₽ - Z6“0„ (6„. авт) = 0;

M^Ct -j- MzZ.az — А(дх{*^у “h М^Фу (фавт) —- 0;

/И^Р Му'^Оу ф- -f- Му Фп (6Н, авт) 0,

Фавт — kaOC —	— 0;

6ц. аиг	~~ ^^у^У ~ 0«

(36.4)
Здесь Фф, Фи — нелинейные функции с зонами насыщения (36.3).

Существенным отличием системы уравнений (36.4) от рас-
сматриваемых ранее является наличие в ней нелинейных функций
Фф и Фн, которые возникают из-за ограниченности отклонения
органов управления. Наличие такого рода нелинейностей в си-
стеме уравнений (36.4) может приводить к существованию не-
скольких различных установившихся режимов пространственного
движения с различными параметрами аст, [Зст, <о^ст, coZCT,
6d.CT при одном и том же значении угловой скорости крена сох.

Таким образом, решения уравнений (36.4) уже не являются
однозначными функциями параметра сох, как это было в случае,
когда ограничения на отклонения органов управления отсут-
ствовали.

Проанализируем различные ситуации, которые могут воз-
никнуть при функционировании СУУ.

Если значения (рапт и 6Б.авт не превышают ограничений
(случай I из условий (36.3)), то система уравнений (36.4) может
быть преобразована к эквивалентной линейной системе уравне-
ний, содержащей приведенные значения коэффициентов демпфи-
рования М®*, и запасов устойчивости М^9 Этот слу-
чай аналогичен случаю, когда отсутствуют ограничения и пара-
метры пространственного движения определяются системой урав-
нений (34.5). Решения системы уравнений (34.5) являются одно-
временно решениями исходной нелинейной системы уравнений
(36.4) только при тех значениях угловой скорости крена, при
которых выполняются нер авенства,

Фтш Фавт Фтах»

*н min $н. авт бп max*

(36.5)

Возможна другая ситуация, когда один из органов управле-
ния находится на ограничении, например, руль направления:
бн. авт > битах И бн = бн тах (случай II ИЗ УСЛОВИЙ (36.3)).
В этом случае система уравнений (36.4) может быть заменена дру-
гой линейной системой уравнений

(1 - y“z) (Ог -	- Ya,a = Y^KXp,

-j- амх +

zpp = -z4„ max;

м“а +	- Аахау = — м^к хР;	(36.6)

'ИуР МуУ<£>у -j- Вых0)у = ------МХИ8Н max!

+ Мххах + МХЭ8Э = 0,
Учет ограничения отклонения органов управления от СУУ

303

где	_

у“ = у“ +

= м“г - h M?k = Y^ .

Решения системы уравнений (36.6) являются решениями ис-
ходной нелинейной системы уравнений (36.4) только при тех зна-
чениях угловой скорости крена, при которых выполняются не-
равенства

Фт1п Фавт фтах»
$п. авт $н max-

Можно выделить еще семь случаев расположения стабилиза-
тора и руля направления на верхнем и нижнем ограничениях.
Все возможные ситуации приведены в табл. 36.1

Таблица 36.1

(36.7)

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
фавт	I	II	III	I	I	II	II	III	III
$н.авт	I	I	I	II	III	II	III	II	III

(индексы I, II, III означают, что 6авт находится в соответству-
ющей области соотношений (36.3)).

Каждому варианту выхода органов управления на ограниче-
ния, приведенному в табл. 36.1, может быть поставлена в соответ-
ствие линейная система уравнений для параметров пространствен-
ного движения и система неравенств для сравт и 6П. авт, при
выполнении которых решения рассматриваемой линейной системы
уравнений являются решениями исходной нелинейной системы
уравнений (36.4).

Таким образом, представляется возможным, рассматривая раз-
личные варианты из табл. 36.1, построить все возможные решения
нелинейной системы уравнений (36.4). Следует отметить, что при
некоторых значениях угловой скорости крена у самолета с систе-
мой управления в продольном и путевом каналах может существо-
вать до девяти различных установившихся режимов простран-
ственного движения. При функционировании СУУ в одном про-
дольном или боковом канале управления возможно не более трех
различных установившихся режимов пространственного движе-
ния при каждом значении угловой скорости крена.

Для случая, когда СУУ имеется только в продольном канале,
задача отыскания решений может быть доведена до простых
аналитических выражений.
Пусть исходному режиму полета при (»ж = 0 соответствует
угол атаки а = аб, тогда фб = —Отсюда легко полу-
чить значение величины КХР, входяще в функционал (36.1):

КХР = х<рб,

/VI \	*	/

Тогда выражение для функционала (36.1), после замены ве-
личины сог через а и Р, будет следующим:

Фавт == ^фб	^оз^Р’Ду»	(36.8)

В случае, когда сравт находится в линейной области изменения,
можно выписать следующие решения для углов атаки и сколь-
жения:

Л/’ЧРб* (	+ Ва>2)

р __	Mz4>6K y<i>x

Рст 	—Л-------—--->

Л0СУУ

где Ло су у = [7Й“ + МЦЬа -{- £<„_/“)] х

X [М2 - В4] 4- (л1"г + м°уы2.

Подставляя выражения (36.9) в (36.8), получим

фавт = Х<Гб ’	(36.10)

Л0СУУ

где Ло -- (М“	Л®*) ( Л1₽ + В<£) + лТгМуУ(£.

Таким образом, статические решения (36.9) будут являться
решениями исходной нелинейной системы (36.4) при выполнении
следующего условия (рис. 36.1, а):

^о

Ф'min	?<Фб ~д	Чшах*

Л0СУУ

В тех случаях, когда стабилизатор находится на ограничении
Ф = Фогр» где срогр = ф111ах или срогр == фП11п, статические реше-
ния для czCT и рст имеют следующий вид:

о _ ^огр(Ч₽ + Д“х).

^ст —	-	л -------- ,

^orpM>.

Ло

(36.11)
Учет ограничения отклонения органов vnpai^ieHHH от СУУ

305

।	-| Области и\,где статические решения

существуют при Pmin «Р < Ртах

Области и)*, где статические решения
существуют при У = У тип; у = y/Vi7X

Рис. 36.1. Иллюстрация к методике выделения областей знечений сох> при ко-
торых возможны положения стабилизатора самолета с СУУ на верхнем или ниж-
нем ограничениях:

а — выделение областей <ох без выхода ср на ограничения; б — выделение областей, где
статические решения для значений (р, соответствующих верхнему и нижнему ограни-
чению, являются решениями системы

Выражение для qaBT в этом случае будет следующим:

<Гавт = ЧогР(1+х-^)-	(36-12)

Соотношение (36.12) позволяет выделить области значений сох,
при которых возможны режимы пространственного движения,
когда стабилизатор находится на верхнем или нижнем ограниче-
нии. Сделав предположение о том, что срп1ах и <pinin разных знаков,
можно получить условие, при выполнении которого решения
Рис. 36.2. Статические решения для самолета с перегрузочным астатическим АПУ
при различных условиях его функционирования пу$ — 1; М< 1:

△ х (<ох);	= <Pmin:	^=<imax’	/?а=0,3;	т^0,8с \

---------= °’3; = °

СХ	biz

(36.11) являются решениями исходной нелинейной системы (36.4)
(см. рис. 36.1, б):

Аз су у/А) < И-

Для иллюстрации проведенных рассуждений приведем два
примера построения статических решений при наличии ограниче-
ний отклонения органов управления. Сначала рассмотрим дозву-
ковой режим полета при М< 1 и п//б = 1. Будем считать, что
система управления с функционалом (36.8) имеется только в про-
дольном канале. Для функционирования системы задан следу-
ющий диапазон отклонений стабилизатора: —10° < сравт 10".
Исходное балансировочное отклонение стабилизатора равно <ро
=—2°. На рис. 36.2 изображены статические решения для вели-
чины Д/Их от элеронов при функционировании системы, а также
в случаях, когда стабилизатор находится на верхнем или нижнем
ограничении. Рассмотрено два варианта системы: автомат устой-
чивости с коэффициентом ka = 0,3, повышающий критическую
скорость соа, но не устраняющий разрывы в статических решениях,
Учет ограничения отклонения органов управления от СУУ

307

11 автомат устойчивости к ka = 0,3 совместно с демпфером тангажа
0’8 с А» ПРИ К0Т0Р°м разрывы в статических решениях исче-
зают. Соотношения (36.10) и (36.12) позволяют выделить из реше-
нии, приведенных на рис. 36.2, множество решений нелинейной
системы уравнений (36.4), описывающих все возможные устано-
вившиеся режимы пространственного движения самолета с СУУ.
На рис. 36.3 приведены зависимости фавт (сох) для трех возможных
случаев положения стабилизатора. С использованием этих за-
висимостей выделяются области значений угловой скорости сох,
в которых возможен выход'СУУ на ограничения по ср (фт1п или
Фшах). Знание этих значений сох позволяет на основе кривых,
построенных на рис. 36.2, построить возможные зависимости
ДЛ4Х (сох) для рассматриваемых вариантов СУУ (рис. 36.4).
При малых угловых скоростях крена вплоть до первой критиче-
ской скорости соа, соответствующей самолету без СУУ, зависимо-
сти 6Э. ст (сох) однозначны. Функционирование системы умень-
шает значения углов скольжения и тем самым ослабляет инерцион-
ное взаимодействие продольного и бокового движений. Зависи-
мости Д7ИХ (сох) становятся ближе к линейным. При соа << сох <
< сор и сох > cop возможны установившиеся режимы простран-
ственного движения с отклоненным до ограничения стабилиза-
тором ср = ф1Пах и ср = фт|п.

В случае, когда ka — 0,3, k^z — 0 (рис. 36.4, а) при медленном
увеличении момента крена при ДЛ4Х = ДЛ4Х* и сох = соЛ*,
стабилизатор выходит на ограничение ср = ф1Пах, дальнейшее
увеличение момента крена будет приводить к уменьшению угло-
вой скорости сох; при этом стабилизатор будет находиться на огра-
ничении ф = фтах- При ДЛ4Х > Д/Их* существует семь различ-
ных режимов движения с различными значениями угловой ско-
рости крена, часть из которых неустойчивы. Какой из этих воз-
можных режимов будет реализован зависит от характера отклоне-
ния элеронов и начальных условий движения.

В случае, когда ka = 0,3, kMz = 0 при неблагоприятных со-
четаниях отклонений элеронов и руля направления, самолет
может попасть в режим инерционного вращения с ср = фтах и
сох = сох ин (рис. 36.4, а). При подключении к рассмотренной СУУ
демпфера тангажа квазистатическое увеличение м .мента крена
не приводит к выходу стабилизатора на ограничение. Область
значений сох, при которых возможны режимы с отклоненным
до ограничения стабилизатором, сужается. В этом случае режим
инерционного вращения уже в принципе невозможен. Таким об-
разом, использование демпфера тангажа приводит к положи-
тельному эффекту — улучшается характер зависимости 6Э (сох)
(ДЛ4 (сох)), и устраняется возможность существования режима
инерционного вращения (рис. 36.4, б).
Рис. 36.3. Зависимости величины отклонения стабилизатора
ния стабилизатора:

а — при — 0,3, k(. = 0; б — при = 0,3, k.. — 0,8 с-1

1 со	ц>2	со	и) 2

от СУУ фавт (0)л) Для трех возможных случаев

положе-

о
о
я

н
л>
я

я
о

о

Рис. 36.4. Зависимость ДЛ4Ж (юх) Для двух вариантов’псредаточпых чисел СУУ (М < 1):
a-ka- 0,3; kaz - о; б - ka = 0,3;	= 0.8 С’>

r.vokb-la.spb.ru - Самолёт своими руками
Рассмотрим сверхзвуковой режим полета при М > 1 и =
= 1, когда соа > (Ор и проанализируем статические решения при
наличии СУУ только в путевом канале управления. Функционал
системы управления задан в форме (36.2), значения коэффициентов
= —5, k^y = 0,75 с, и для функционирования системы вы-
делен диапазон —10° 6Н < 10°.

В рассмотренном ранее примере, когда СУУ была только в про-
дольном канале, существовал «коридор» в статических решениях
при <р = ф11ах и ф = Фтш, позволяющий соответствующим вы-
бором коэффициентов системы ka и обеспечить возможность
функционирования системы во всем располагаемом диапазоне
угловых скоростей крена без выхода органа управления на огра-
ничения. Для самолета с СУУ в путевом канале при М >> 1 и
п^исх = 1 в рассматриваемом примере такого коридора не су-
ществует. При любых значениях коэффициентов и k^y проис-
ходит выход р\ля направления на ограничение 6Н = 10° при угло-
вых скоростях, лежащих между двумя критическими скоростями
соа, сор, соответствующими самолету без СУУ.

Анализ зависимостей 61Еавт(сох) для каждого из вариантов
статических решений позволяет построить все возможные реше-
ния асг (coY), рст (соД и А/Их (сох). Эти решения изображены на
рис. 36.5 («, б, в).

Квазистатическое увеличение момента крена приводит к воз-
растанию угловой скорости крена до величины cov* = 2,82 1 с
311

Учет ограничения отклонения органов управления от СУУ

Рис. 36.5. Зависимости а (сох), р (сог), АЛ1Х (соЛ)для самолета с СУУ в путевом
канале управления. При М > 1, пу = 1

при ДЛ4Х = ЛЛ1Х*, дальнейшее увеличение момента крена при-
водит к уменьшению сох, при этом руль направления находится
на ограничении бн = 10° (рис. 36.5, в), угол скольжения возра-
стает/(рис. 36.5, б), а угол атаки резко уменьшается (рис. 36.5, а).
Для сравнения на статические решения осст, рст и АЛ1Х нане-
сены переходные процессы на а, р и 6Э, получаемые при решении
уравнений движения при медленном отклонении элеронов по

Я 0,2/ v

линейному закону оэ = —. Хотя изменение момента крена
^7

медленно, движение все же носит неустановившийся характер.
Поэтому решения а (/), 0 (/) и ЛМХ (6Э (/)) отличаются от стати-
ческих значений, особенно это видно в окрестности выхода руля
направления на ограничение, где имеется излом в статических
решениях. При больших значениях момента крена от элеронов
движение становится динамически неустойчивым.

Методика построения статических решений для параметров
пространственного движения самолета с СУУ при наличии огра-
ничений на отклонение органов управления, изложенная ранее
для статических систем управления, может быть обобщена и на
случай астатических систем, функционалы которых содержат
интегральные члены (см. § 35). Рассмотрим это на примере пере-
грузочного АПУ. Решения (35.2) и (35.4) будут справедливы,
когда выполняются неравенства (pmin < фавт С фшах- Области
значений сох, где возможны режимы движения с отклоненным на
ограничение стабилизатором, определяются из условий знако-
определенности подынтегрального выражения в функционале
(35.1), а именно для реализации режима с ф = фП1ах необходимо,
чтобы пу —	>> 0, и соответственно для реализации режима

с ср = фт1п необходимо, чтобы пу — /СХР < 0.

На рис. 36.6 приведены зависимости фавт (сох) с перегрузоч-
ным астатическим АПУ для примеров, рассмотренных в предыду-
щем параграфе. Зависимости фавт (сох) позволяют из решений
рст, АМг, полученных без учета ограничений, выделить решения,
которые возможны при учете ограниченности отклонения стаби-
лизатора, —10° с ф с 10°. При угловых скоростях соа < сох <С
< сор, сох > сор возможны режимы движения, когда стабилиза-
тор находится на ограничении фП1ах или фтщ- Так, например,
на рис. 36.7 изображены возможные решения для АЛ4Х (co%)
в случаях аб > 0 и а6 < 0. При превышении критического от-
клонения элеронов 6, = подхв самолет попадает в устойчивые
режимы вращения, определяемые ветвью с ф = ф1пах. При умень-
шении момента крена самолет, оставаясь на этой ветви, попадает
в режим инерционного вращения. На статические решения, при-
веденные на рис. 36.7, нанесены решения А7ИХ (/) и сох (Z), полу-
чаемые при медленном отклонении элеронов 6Э = - Ч—-» В случае
аб > 0 (см. рис. 36.7, а) при больших отклонениях элеронов воз-
никает потеря динамической устойчивости движения и самолет
Учет ограничения отклонения органов управления от СУУ

Рис. 86.6. Зависимость фавт (соЛ) для
самолета с перегрузочным АПУ

переходит к устойчивому вращению
с большей угловой скоростью
крена.

Следует отметить особенность
функционирования астатических
автоматов продольного управления
с функционалами (35.1), (35.6). В
режимах пространственного манев-
рирования, когда происходит вы-
ход органа управления на огра-
ничение, величина интеграла в

313

функционале будет расти при ф — фтах и соответственно убы-
вать при ф = Фтш- Отклонение величины фавт от фтах или
Фтш будет определяться временем пребывания самолета в
этом режиме. Таким4 образом, длительное пребывание самолета
в режиме вращения с отклоненным на ограничение стабилизато-

ром, если не принять специальных мер в функционале управле-
ния, приведет к значительному запаздыванию «схода» стабилиза-

тора с ограничения при изменении режима пространственного
движения. Материалы, приведенные в гл. 11, содержат резуль-
таты исследований особенностей динамики самолета с СУУ,

далеко не полностью охватывают возникающие в этом случае
проблемы и скорее имеют методический характер, однако, и из
них можно сделать некоторые выводы.

1.	Оснащение самолета демпферами колебаний и статическими
автоматами продольной и путевой устойчивости во многом экви-
валентно изменениям соответствующих аэродинамических харак-
теристик самолета. Такие типа СУУ могут быть оценены по изло-
женной ранее методике исследования динамики самолета без СУУ
до тех пор, пока органы управления не выходят на ограничения.

В случае, если демпферы колебаний имеют виражные меха-
.	Тр

низмы в виде фильтра р то наличие на самолете такого
демпфера не сказывается на установившемся движении. Влияние
демпферов колебаний проявляется в переходных процессах и при-
водит к увеличению забросов по углам а и р.

2.	Оснащение самолета астатической СУУ приводит к суще-
ственным изменениям в характеристиках его пространственного
движения, что, например, для АПУ выражается в исчезновении
критической скорости тангажа.

3.	Существенное влияние на динамику пространственного дви-
жения самолета оказывает ограничение отклонений органов уп-
Рис, 36.7. Зависимости АЛ4Х (°\v) Для самолета с перегрузочным АПУ:
а — для ag > 0; б — для ag < 0

равления от СУУ, что, например, выражается в существовании
нескольких различных установившихся режимов пространствен-
ного движения (аст, Рст) при одном и том же значении сох. Это
затрудняет исследование динамики пространственного движения
самолета с СУУ, не позволяет сформулировать общие выводы
и делает необходимым подробный анализ динамики для каждого
конкретного типа СУУ и значений реализуемых в СУУ максималь-
ных углов отклонений органов управления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1966 ^*^”зеРман Теория автоматического регулирования М.: Наука,

2.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физ-
матгиз, 1959. 915 с.

3.	Арнольд Р. Н., Мондер Л. Гиродинамика и ее техническое применение.
М.: Машиностроение, 1964 . 468 с.

4.	Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. ^Методы и приемы качественного иссле-
дования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 384 с.

5.	Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в не-
стационарном потоке газа. М.: Наука, 1971. 768 с.

6.	Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К- Аэродинамические производные
летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 1975.
424 с.

7.	Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регу-
лирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

8.	Блейклок Д. Г. Автоматическое управление самолетами и ракетами:
Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1969. 286 с.

9.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в те-
ории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958. 408 с.

10.	Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию не-
линейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

11.	Бюшгенс Г. И., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения
самолета. М.: Машиностроение, 1967. 226 с.

12.	Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Устойчивость самолета при установив-
шемся вращении по крену. — Труды ЦАГИ вып. 1098, 1968. 21 с.

13.	Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Аэродинамика самолета. Динамика про-
дольного и бокового движения. М.: Машиностроение, 1979. 352 с.

14.	Ведров В. С., Тайц М. А. Летные испытания самолетов. М.: Оборопгиз,
1951. 477 с.

15.	Гоман М. Г. Анализ резонансных режимов пространственного движения
летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии, при полете в атмосфе-
ре. — Труды ЦАГИ вып. 1789, 1976. 41 с.

16.	Гоман М. Г. Неустановившиеся резонансные режимы движения неупра-
вляемого аппарата при полете в атмосфере. — Ученые Записки ЦАГИ, 1977.
Т. 8, вып. 6, № 59, с. 54.

17.	Картвелишвили Н. А., Галактионов Ю. И. Идеализация сложных ди-
намических систем. М.: Наука, 1976. 272 с.

18.	Летные испытания самолетов/М. Г. Котик, А. В. Павлов, И. М. Паш-
ковский п др. М.: Машиностроение, 1968. 423 с.

19.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных ко-
лебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

20.	Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциаль-
ных уравнений. М.: Гостехиздат, 1947. 448 с.

21.	Пашковский И. М. Особенности устойчивости и управляемости скорост-
• него самолета. М.: Воениздат, 1961, 342 с,
22.	Пашковский И. М. Устойчивость и управляемость самолета. М.: Ма-
шиностроение, 1975. 328 с.

23.	Пышнов В. С. Динамические свойства самолета. М.: Оборонгиз, 1951 *
173 с.

24.	Рудис В. И. Полуавтоматическое управление самолетом. М.: Машино-
строение, 1978. 152 с.

25.	Святодух В. К- Динамика пространственного движения неуправляемых
ракет. М.: Машиностроение, 1969. 272 с.

26.	Системы автоматического управления самолетом/И. А. Михалев,
Б. Н. Окоёмов. И. Г. Павлина и др. М.: Машиностроение, 1971. 464 с.

27.	Сиешко Ю. И. Исследование в полете устойчивости и управляемости
самолета. М.: Машиностроение, 1971. 322 с.

28.	Студнев Р. В., Суханов В. Л. Некоторые вопросы нелинейной теории
бокового движения самолета. — Труды ЦАГИ вып. 1383, 1971. 24 с.

29.	Студнев Р. В., Супруненко С. Н. Параметрический резонанс продольных
и боковых колебаний самолета. — Труды ЦАГИ вып. 1399, 1972. 14 с.

30.	Студнев Р. В., Труфакин В. А. Оценка движения самолета по крену при
больших возмущениях. — Труды ЦАГИ вып. 1399, 1972. 22 с.

31.	Стражева И. В., Мелкумов В. С. Векторно-матричные методы в механике
полета. М.: Машиностроение, 1973. 260 с.

32.	Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 437 с.

33.	Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических
систем. М.: Наука, 1972. 448 с.

34.	Чембровский О. А., Топчеев Ю. И., Самойлович Г. В. Общие принципы
проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1972. 414 с.

35.	Чезари А. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обык-
новенных дифференциальных уравнений. М.: А4ир, 1964. 477 с.

36.	Шаталов А. С., Топчеев Ю. И., Кондратьев В. С. Летательные аппараты
как объекты управления. М.: Д4ашиностроение, 1972. 240 с.

37.	Шилов А. А. Об исключении особенностей в общих уравнениях движе-
ния летательного аппарата — Инженерный сборник. 1962. Т. 11, №3, с.
158—160.

38.	Шилов А. А. Влияние массовой аэродинамической несимметрии тела на
характер его пространственного движения. — ДАН, 1968, Т. 183 № 5, с. 1028—
1031.

39.	Шилов А. А., Васильев А. Ф. Динамическая устойчивость пространствен-
ного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых
видах инерционно-аэродинамической несимметрии. — Труды ЦАГИ, вып. 1345,
1971. 67 с.

40.	Шилов А. А., Гоман М. Г. Резонансные режимы пространственного
неуправляемого движения летательных аппаратов на участке входа в атмосферу —
Труды ЦАГИ вып. 1624, 1975. 43 с.

41.	Эткин Б. Динамика полета. Устойчивость и управляемость. М.: Ма-
шиностроение, 1964. 489 с.

42.	Ярошевский В. А. Определение квазистатических режимов пространст-
венного движения неуправляемого тела. — Ученые записки ЦАГИ. 1970, Т. 1,
№ 5, 11 с.

43.	Ярошевский В. А. Оценка устойчивости квазистатических режимов
движения неуправляемого тела. —- Ученые записки ЦАГИ, 1971, Т 2, № 5.
8 с'

44.	Ярошевский В. А. Возмущенное движение неуправляемого тела около
центра масс при полете в атмосфере. — Ученые записки ЦАГИ. 1971, Т. 2,
№ 6, 7 с.

45.	Ярошевский В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М.:
Машиностроение, 1978. 168 с.

46.	Burns В. R. A. Design considerations for the satisfactory stability and
control of military combat aeroplanes. AGARD CP 119. 30 p.
47.	Davari В., Zaitone Е. V. Effect of a nonconstant ста on the stability
of rolling aircraft. J. Aircraft, V. 14, N. 12, 1977, p. 1169—1173.

48.	Masak M. On the lateral instabilities of aircraft due to parametric excita-
tion. JAS Techn. Note N. 86, Jan. 1965. 11 p.

49.	Phillips W. H. Effect of steady rolling on longitudinal and directional
stability. NACA TN 1627, 1948.

50.	Pinsker W. J. D. Charts of peak amplitudes in incidence and sideslip
in rolling maneuvers due to inertia cross coupling. Rep. and Mem. N. 3293, Apr.,
1958. p. 81.

51.	Pinsker W. J. D. Preliminary note on the effect of inertia coupling on
aircraft response in rolling maneuvers. ARC CP (TR) N. 435, 1959. p. 51.

52.	Pinsker W. J. D. Critical flight conditions and loads resulting from iner-
tia cross—coupling and aerodynamic stability deficiencies. ARC CP N. 404 (TR),
1958. p. 45.

53.	Price D. A., Ericsson L. E. A new treatment of roll-pitch coupling for
ballistic re-entry vehicles. AIAA Paper N. 69-101. 10 p.

54.	Rhoads D., Schuler T. A theoretical and experimental study of airplane
dynamics in large-disturbance maneuvers. IAS Preprint N. 717, 1957. 31 p.

55.	Stengel R. F. Effect of combined roll rate and sideslip angle on aircraft
flight stability. J. Aircraft, V. 12, N. 8, 1975, p. 683—685.

56.	Stone R. Estimation of the maximum angle of sideslip for determination
of vertical tail loads in rolling maneuvers. NACA Rep. N. 1136, 1953. p. 12.

57.	Welch J., Wilson R. Cross coupling dynamics and problems of automatic
control in rapid rolls. IAS Preprint N. 691, 1957, p. 741—754.

58.	Young J. W., Schy A. A., Johnson K. G. Prediction of jump phenomena
in rotationally-coupled maneuvers of aircraft, including nonlinear aerodynamic
effects. AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference, 1977, p. 56—63.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.......................................................... 3

Введение............................................................. 8

Глава 1

Уравнения	пространственного	движения	самолета ..................... 12

§	1.	Полная система уравнений	движения самолета ...	12

§ 2.	Уравнения пространственного движения самолета в
безразмерном	виде.................................... 23

§ 3.	Упрощение уравнений для исследования основных
закономерностей пространственного движения само-
лета .................................................... 28

Глава 2

Взаимодействие продольного и бокового движений...................... 38

§ 4.	Физические причины взаимодействия продольного и
бокового движений самолета............................... 38

§ 5.	Устойчивость движения самолета при установившемся
вращении относительно продольной	оси ................ 41

§ 6.	Критические угловые скорости	крена ................ 45

§ 7.	Параметрический резонанс продольных и боковых коле-
баний .................................................. *52

Глава 3

Исследование движения самолета методами качественной теории диффе-
ренциальных уравнений............................................... 59

§ 8.	Особенности применения методов качественной тео-
рии дифференциальных уравнений к анализу про-
странственного движения самолета ........................ 60

§ 9.	Определение параметров управляемого движения са-
молета в особых точках................................... 73

§ 10.	Определение вида особых точек...................... 87

§11.	Движение самолета при больших угловых скоро-
стях вращения относительно продольной оси ...	93

§ 12.	Некоторые соображения о методах понижения по-
рядка дифференциальных уравнений пространствен-
ного движения самолета................................... 98

Глава 4

Пространственное движение самолета с равными величинами критических
скоростей крена ................................................... 105

§ 13.	Преобразование уравнений и анализ устойчивости
движения................................................ 106

§ 14.	Динамика вращающегося самолета при действии на
него управляющих моментов .............................. 112
319

Глава 5

Пространственное движение самолета при сор <С ©а.................... 118

§ 15.	Приближенные нелинейные уравнения при сох •<

< сор <С соа и анализ их свойств в случае малого демп-
фирования ......................................... 118

§ 16.	Анализ особых точек и движения в их окрестности . .	128

§ 17.	Определение сепаратрисных поверхностей и предель-
ных циклов ............................................. 138

Глава 6

Пространственное движение самолета при соа <С сор................... 147

§ 18.	Особенности динамики самолета с малым запасом
продольной устойчивости................................. 147

§ 19.	Влияние поперечной устойчивости на пространствен-
ное движение самолета с малым запасом продольной
устойчивости............................................ 155

Глава 7

Особенности динамики самолета при одновременном управлении элеронами
и стабилизатором.................................................... 166

§ 20.	Анализ возможных типов пространственных манев-
ров самолета при управлении элеронами и стабили-
затором ................................................ 167

§ 21.	Зависимость фазовой картины движения самолета
при маневрах с кренением от его балансировки в про-
дольном движении ....................................... 175

§ 22.	Возможные типы пространственных маневров са-
молета в случае, когда степень поперечной устойчи- «
чивости зависит от угла атаки..........................  188

§ 23.	Влияние моментов рыскания от органов поперечного
управления на характеристики пространственного
движения самолета ...................................... 194

§ 24.	Особенности поперечной управляемости самолета при
одновременном управлении элеронами и стабилиза-
тором .................................................. 198

§ 25.	Особенности продольной управляемости самолета
при маневрах крена ..................................... 209

§ 26.	Приближенные аналитические оценки максимальных
углов скольжения при маневрах, сопровождающихся
энергетичным кренением.................................. 216

Глава 8

Особенности динамики самолета при одновременном управлении элеро-
нами и рулем направления............................................ 223

§ 27.	Основные свойства движения и характеристики по-
перечной управляемости самолета при одновременном
управлении элеронами и рулем направления . . .	223

§ 28.	Особенности динамики самолета при управлении эле-
ронами и рулем направления ...................?	. . . .	235

Глава 9

Исследование режимов инерционного вращения самолета................. 242

§ 29.	Условия существования режимов инерционного вра-
щения .................................................. 243


§ 30.	Существование режимов инерционного вращения при
действии на самолет моментов рыскания..................... 255

§ 31.	Особенности характеристик управляемости самолета
при вращении с угловыми скоростями крена, превы-
шающими вторую критическую, и на режимах инер-
ционного вращения ........................................ 260

Глава 10

Комплексные исследования динамики пространственного движения са-
молета с использованием ЦВМ........................................... 270

§ 32.	Алгоритмы расчета характеристик пространственного
движения самолета в эксплуатационном диапазоне
режимов полета ........................................... 270

§ 33.	Особенности организации расчетов характеристик про-
странственного движения самолета на ЦВМ................... 279

Глава 11

Анализ пространственного движения самолета, оснащенного СУУ. . .	286

§ 34.	Особенности пространственного движения самолета
со статической СУУ ....................................... 286

§135.	Особенности пространственного движения самолета
с астатическими СУУ....................................... 294

§ 36.	Определение параметров пространственного движе-
ния самолета с СУУ с учетом ограниченности откло-
нения органов управления ................................. 301

Список литературы..................................................... 315

ИБ № 3783

Георгий Сергеевич Бюшгенс,
Рэм Васильевич Студнев

ДИНАМИКАХСАМОЛЕТА]

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Редактор В. Г. Гатагогу

Художественный редактор/?. В. Лебедев
Технический редактор Л. А. Макарова
Корректоры В. А. Воробьева
и О. Е. Мишина

Переплет художника С. Н. Орлова

Сдано в набор 10.11.82.

Подписано в печать 13.07.83.	Т-09188.

Формат 60x901/le.	Бумага

типографская № 1. _	Гарнитура

литературная.	Печать высокая.

Усл. печ. л. 20,0. Усл. кр.-отт. 20,0.
Уч.-изд. л. 19,^7	Тираж 3000 экз.

Заказ 293. Цена 3Jp. 30 к.

Ордена Трудового Красного Знамени изда-
тельство «Машиностроение», 107076,
Москва, Стромынский пер., 4

Ленинградская типография № 6 ордена
Трудового Красного Знамени Ленинград-
ского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли.

193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
www.vokb-la.spb.ru - Самолёт с