SEMINAR
ON THE ATIYAH - SINGER
INDEX THEOREM
by
RICHARD S. PALAIS
with contributions by
M. F. ATIYAH R. T. SEELEY
A. BOREL W. SHIH
E. E. FLOYD R. SOLOVAY
PRINCETON, NEW JERSEY
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
1965
P. ПАЛЕ
Перевод о английского
8. Н. РЕШЕТНИКОВА
Под редакцией
А. С. Д Ы Н И Н А
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР:
Москва 1970

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава I. Формулировка теоремы и набросок доказательства. А. Борель 9
§ 1. Теорема об индексе 9
§ 2. Топологический индекс 12
§ 3. Аналитический индекс 14
§ 4. Добавление 17
Литература 19
Глава II. Обзор ЛГ-теории. Р. Соловэй 20
§ 1. Группа К (X) конечного С ^-комплекса 20
§ 2. Характер Чжэня 21
§ 3. Различающая конструкция (по [2] ) 22
§ 4. L-теория 25
§ 5. Умножения в L-теории 26
Литература 31
Глава III. Топологический индекс, оператора, ассоциированного с G-
структурой. Р. Соловэй 32
§ 1. Изоморфизм Тома 32
§ 2. G-структуры на многообразиях 34
§ 3. Обзор формализма Бореля — Хирцебруха (по [2] ) 36
§ 4. Применение к ch (D) 43
§ 5. Класс Эйлера и класс Тодда 44
§ 6. L-род 47
Литература 51
Глава IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоеинях.
Р. Пале 52
§ 1. Обозначения 52
§ 2. Джет-расслоения „ 57
§ 3. Дифференциальные операторы и их символы 62
§ 4. Эрмитовы расслоения и сопряженные операторы 69
§ 5. Формы Грина ' 74
§ 6. Некоторые классические дифференциальные операторы ... 76
§ 7. Суммы Унтни t , gj
Оглавление
,357
§ 8. Тензорные произведения 82
§ 9. Связность и ковариантное дифференцирование 86
§ 10. Spin-структура и оператор Дирака 92
Глава V. Аналитический индекс некоторых конкретных операторов.
Р. Соловэй 95
§ 1. Обзор теории Ходжа 95
§ 2. Эйлерова характеристика 96
§ 3. Теорема Хирцебруха о сигнатуре 98
§ 4. Нечетномерные многообразия 103
Литература 105
Глава VI. Обзор функционального анализа. Р. Пале 106
Глава VII. Фредгольмовы операторы. Р. Пале 118
Глава VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств. Р. Пале 124
§ 1. Цепи 124
§ 2. Квадратичные интерполяции пар гильбертовых цространств 130
§ 3. Квадратичные интерполяции цепей 138
§ 4. Шкалы и цепн {'f(z", V)} 140
Глава IX. Дискретные соболевскне цепи векторных расслоений. Р. Пале 147
k
§ 1. Пространство С (|) 147
§ 2. Гильбертово пространство Н° (|) 148
§ 3. Пространство Н (%) . . 149
Глава X. Непрерывные соболевские цепи векторных расслоений. Р. Пале 156
§ 1. Непрерывные соболевскне цепи 156
§ 2. Цепи {Нк{Тп, V)} 157
§ 3. Теорема продолжения 162
§ 4. Теоремы Реллиха, Соболева и теорема сужения 165
Глава XI. Алгебра Сили. Р. Пале 174
Глава XII. Гомотопическая инвариантность индекса. Р. Пале 184
Глава XIII. Суммы Уитии. Р. Пале 189
§ 1. Прямая сумма цепей топологических гильбертовых про-
пространств 189
§ 2. Соболевская цепь суммы Уитни 190
§ 3. Поведение SmbU относительно суммы Уитни 191
§ 4. Поведение Intj и оц относительно суммы Уитни 192
§ 5. Поведение индекса относительно суммы Уитни 193

358
Оглавление
Глава XIV. Тензорные произведения. Р. Пале 195
§ 1. Тензорные произведения цепей топологических гильберто-
гильбертовых пространств 195
§ 2. Соболевские цепи тензорного произведения расслоений . . . 200
§ 3. Операция # . . - 205
§ 4. Свойство (S3) алгебры Си ли . . . 208
§ 5. Мультипликативность индекса 208
Глава XV. Определение ia и if на группе К (М). Р. Соловэй 213
§ 1. Определение аналитического индекса на К (В (М), S (М)) . . 213
§ 2. Свойство мультипликативности топологического индекса i/ 215
§ 3. Доказательство леммы 1 220
§ 4. Определение индексов ia н it на К (М) 221
§ 5. Сводка свойств индексов 1а и it на группе К (М) 224
§ 6. Мультипликативность индекса i на группе К (М) 226
§ 7. Прямая проверка равенства ia = it в некоторых специаль-
специальных случаях 230
Глава XVI. Построение алгебры Intft. P. Пале и Р. Сила 232
§ 1. Преобразование Фурье 232
§ 2. Операторы Кальдерона — Зигмунда 239
§3. Операторы Кальдерона — Зигмунда на компактных много-
многообразиях 256
§ 4. Операторы Кальдерона — Зигмунда на векторных расслое-
расслоениях 263
§ 5. Определение н свойства Int,- (|, г\) 266
§ 6. Элемент нз Int0 (S1) с аналитическим индексом, равным —1 267
§ 7. Топологический индекс оператора из § 6 270
§ 8. Соглашение о знаке 276
§ 9. Историческая справка о сингулярных интегральных опера-
операторах 277
Литература 278
Глава XVII. Инвариантность аналитического индекса относительно
внутренних гомологии. Р. Пале и Р. Сила 279
Глава XVIII. Группы внутренних гомологии расслоеиий. Э. Флойд . . 297
§ 1. Предварительные замечания 297
§ 2. Вычисление Q* (X) ® Q 300
• § 3. Кольцо внутренних гомологии расслоений 301
Литература 305
Глава XIX. Теорема об индексе. Приложения. Р. Соловэй 306
§ 1. Доказательство теоремы об индексе 306
§ 2. Альтернативная формулировка теоремы об индексе .... 307
§ 3. Неориентируемый случай теоремы 2 . , , . . . . 310
Оглавление
359
§4. Теорема Римана — Роха - Хирцебруха 316
§ 5. Общие сведения о теоремах иелочисленностп 318
§ 6. Теоремы целочисленности 321
Литература 323
Приложение I. Теорема об индексе для многообразий с краем. М. Атья 327
Введение 327
§ 1. Эллиптичность для многообрашй с краем 328
§ 2. Различающий элемент [a (d, Ь)] 336
§ 3. Замечании к доказательству 340
Приложение II. Нестабильные характеристические классы и топологи-
топологический индекс классических эллиптических операторов.
Ши Вей-шу 342
§ 1. Характеристические классы 342
§ 2. т-гомоморфизм 348
§ 3. Характер классических эллиптических операторов 351
Литература 355

УДК 513.83, 517.9
Теорема Атьи — Зингера об индексе —один из наи-
болзе популярных математических результатов последнего
пятилетия. Такой интерес к проблеме индекса объяс-
объясняется ее положением на стыке анализа и топологии,
а также тем, что для ее решения потребовались новейшие'
математкчэские разработки.
Теореме Атьи—Зингера и связанным с ней вопросам
посвящен ряд специальных семинаров. Книга написана
одним из руководителей такого семинара (в Принстоне)
Р. Пале в сотрудничестве с другими учеными. Она со-
содержит полное изложение решения проблемы индекса
включая весь необходимый топологический и аналити-
чзский аппарат.
Книга предназначена прежде всего для топологов, но
и математики других специальностей найдут в ней много
интересного. Она полззна также преподавателям, аспи-
аспирантам и студентам старших курсов университетов и
пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
*И-70
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Перед читателем не совсем обычная книга. Прежде всего
это отредактированные записи докладов годового семинара,
посвященного доказательству одной теоремы — теоремы М. Атьи
и И. Зингера об индексе эллиптического оператора на зам-
замкнутом многообразии. Сравнительно большой объем этого
доказательства объясняется тем, что сам результат находится
на высоком этаже современной науки, точнее (если уж при-
применять архитектурные термины) —на галерее, соединяющей
высотные здания топологии и линейных дифференциальных
операторов с частными производными.
Сам предмет рассмотрения характеризуется удачным заме-
замечанием Атьи, что раньше аналитики имели дело с общими
операторами на простых многообразиях, а топологи и геометры—
с простыми операторами на общих многообразиях, теперь же
настала пора общих операторов на общих многообразиях.
Такое положение естественно вызывает интерес у многих
математиков, подтверждением чему служит работа в течение
1963—1964 гг. специальных семинаров в нашей стране, США
и Франции, посвященных разбору теоремы Атьи — Зингера.
Настоящая книга является переводом трудов американского
семинара, изданных в известной серии „Annals of Mathema-
Mathematics Studies"; изложения докладов семинара А. Картана —
Л. Шварца также изданы (ротапринтным способом) в 1965 г.;
наконец, краткие конспекты летнего семинара под гор. Горь-
Горьким опубликованы в Успехах математических наук, 21, вып. 5
A966).
Американский семинар рассчитан прежде всего на интересы
топологов, и потому аналитическая сторона дела изложена
с максимальной тщательностью. Таким образом, для начинаю-
начинающих эта книга может служить прекрасным пособием по теории
эллиптических псевдодифференциальных операторов в вектор-
векторных расслоениях, а для благодарных специалистов —весьма
полным и удобным для ссылок собранием основных понятий
и теорем.
К топологической подготовке читателя предъявлено больше
требований. Поэтому полезно предварительное знакомство

Предисловие редактора перевода
с „Лекциями о характеристических классах" Дж. Милнора
(перевод опубликован в сборнике переводов „Математика").
Больше подробностей можно найти в топологической части
уже упоминавшихся конспектов горьковской школы (это отно-
относится, в частности, к формализму Бореля — Хирцебруха).
Общее представление о дальнейшем развитии этой глобаль-
глобальной теории эллиптических операторов дает замечательный об-
обзорный доклад М. Атьи на Международном конгрессе мате-
математиков (Москва, 1966 г.), опубликованный в 1968 г. в Трудах
этого конгресса.
Уместно напомнить, что теорема Атьи — Зингера об индексе
явилась ответом на вопрос, поставленный в свое время
И. М. Гельфандом. Может быть, этот перевод побудит совет-
советских математиков к активной разработке нового многообещаю-
многообещающего направления.
Л. С. Динин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теорема об индексе — поразительный и центральный резуль-
результат в быстро развивающемся направлении исследований, кото-
которое можно охарактеризовать как изучение соотношений между
аналитическими и топологическими инвариантами некоторого
класса линейных отображений между сечениями дифференци-
дифференцируемых векторных расслоений (имеется в виду класс интегро-
дифференциальных или псевдодифференциальных операторов).
В действительности это направление не ново и имеет некото-
некоторые классические результаты, например теорию Ходжа гармо-
гармонических форм и формулировку Хирцебруха теоремы Римана —
Роха, каждая из которых фактически тесно связана с теоремой
об индексе. Кроме того, после теоремы об индексе появились
новые замечательные результаты, открытые Атьей, Боттом,
Зингером и другими. Упомянем только индекс по модулю два,
определенный для эллиптических операторов на вещественных
расслоениях с самосопряженным символом, который в общем
случае связан с Арф-инвариантом многообразия, и замечатель-
замечательное обобщение формулы Лефшеца о неподвижных точках,
которая уже имеет важные применения к теории /г-кобордизмов
и к изучению неподвижных точек периодических преобразо-
преобразований.
Эта книга состоит главным образом из слегка переработан-
переработанных лекций, прочитанных на семинаре в Институте повышен-
повышенных исследований, состоявшемся в 1963—1964 годах по ини-
инициативе А. Бореля. Исключение составляют гл. XVI и XVII
и приложение М, Атьи, которые были написаны немного
позднее.
Кроме подробного доказательства теоремы об индексе,
главное внимание семинара обращалось на развитие тополо-
топологического и аналитического аппаратов, связанных с интегро-
дифферемциальными операторами. С топологической стороны
предполагалась разумная степень осведомленности. Поэтому
основные факты, касающиеся /("-теории и характеристических
классов, больше сообщаются, чем доказываются; главный упор
был сделан на показ того, как с помощью этих средств эллип-
эллиптические операторы порождают когомологические классы, и

Предисловие
на изучение свойств этих классов. Что касается аналитической
стороны, то ее решено было начать более или менее ab initio.
Причиной такого несколько неуравновешенного изложения
послужили отчасти склонности руководителей семинара, а также
и то, что, хотя большая часть алгебраической топологии по-
подробно изложена в легко доступных изданиях, большая часть
требуемого анализа развита недавно, и имеющиеся публикации
зачастую относятся лишь к случаю тривиального расслоения
над областью в евклидовом пространстве.
Мне хотелось бы поблагодарить многих участников семи-
семинара, чьи замечания способствовали более гладкому изложе-
изложению. В частности, параграф о джет-расслоениях в гл. IV
обсуждался с А. Васкез и Л. Чарлап, а предложение М. Кне-
зера улучшило параграф о фредгольмовых спграторах (гл. VII).
Я бы хотел также выразить большую признательность Ф. Брау-
деру, Е. Нельсону и Е. Штейну за их постоянные и неоцени-
неоценимые советы при написании моей части этой книги.
Наконец, Ши Вей-шу тщательно прочитал всю книгу и испра-
исправил большое количество опечаток и других ошибок. За это,
я уверен, читатели будут ему так же благодарны, как и автор
этих строк.
Ричард С. Пале
ГЛАВА I
А. Борель
В качестве введения в предмет настоящего семинара эта
лекция содержит формулировку и грубое описание доказа-
доказательства теоремы об индексе. Подробные доказательства сфор-
сформулированных результатов и обсуждение необходимых поня-
понятий составят предмет последующих лекций.
Все многообразия являются компактными, гладкими (класса
С°°), ориентируемыми и ориентированными, состоят из связных
компонент одной размерности и, если не оговорено специально,
не имеют края. Комплексные векторные расслоения обычно
обозначаются той же буквой, что и их пространства расслое-
расслоения. Через Ех обозначается слой над точкой х расслоения Е,
через С°° (Е)— пространство гладких сечений комплексного
векторного расслоения Е над некоторым многообразием.
§ 1. Теорема об индексе
1. Пусть X — многообразие, Е и F — гладкие векторные
расслоения над X. Дифференциальный оператор d из Е в F —
это линейное отображение d: С°° (i?) —> C°°(.F), которое локально
задано матрицей обычных (т. е. скалярных) дифференциаль-
дифференциальных операторов. Более точно, пусть U — область определения
локальной карты, хь х2, ..., хп {п = dimX) — локальные коор-
координаты, С°° (U) — пространство комплексных С°°-функций ка
U, и пусть выбраны сечения в пространствах Е и F над U,
которые в каждой точке х е U образуют базисы пространств
Ех и Fх. Тогда оператор d определяет отображение С°° (U)p->
—>С°° (U)q(p — <S\mEx, q=>&\m.Fx (x e ?/)), заданное матрицей
Р{х, d) = (P(x, д/дхи..., д/дхп)и) A<»<р, 1</<?), где
Ptj e C°° (U)[d/dxu ..., д/дхп]. Порядок г оператора d опреде-
определяется как максимум степеней полиномов Pi; по частным
производным. Характеристическая матрица Q (х, |) оператора
d в точке х получается из матрицы Р, если взять члены сте-
степени г, заменить частные производные д\дхь на неопределен-
неопределенные переменные |, и умножить все на (— 1)'/2. Каждому ко-
касательному вектору \\dx\ + ... + \ndxn поставим тогда
в соответствие (р X ^-матрицу Q (х, |) с комплексными коэф-

Предисловие
на изучение свойств этих классов. Что касается аналитической
стороны, то ее решено было начать более или менее ab initio.
Причиной такого несколько неуравновешенного изложения
послужили отчасти склонности руководителей семинара, а также
и то, что, хотя большая часть алгебраической топологии по-
подробно изложена в легко доступных изданиях, большая часть
требуемого анализа развита недавно, и имеющиеся публикации
зачастую относятся лишь к случаю тривиального расслоения
над областью в евклидовом пространстве.
Мне хотелось бы поблагодарить многих участников семи-
семинара, чьи замечания способствовали более гладкому изложе-
изложению. В частности, параграф о джет-расслоениях в гл. IV
обсуждался с А. Васкез и Л. Чарлап, а предложение М. Кне-
зера улучшило параграф о фредгольмовых операторах (гл. VII).
Я бы хотел также выразить большую признательность Ф. Брау-
деру, Е. Нельсону и Е. Штейну за их постоянные и неоцени-
неоценимые советы при написании моей части этой книги.
Наконец, Ши Вей-шу тщательно прочитал всю книгу и испра-
исправил большое количество опечаток и других ошибок. За это,
я уверен, читатели будут ему так же благодарны, как и автор
этих строк.
Ричард С. Пале
ГЛАВА I
ТЕЗРЕ131Ы
А. Борель
В качестве введения в предмет настоящего семинара эта
лекция содержит формулировку и грубое описание доказа-
доказательства теоремы об индексе. Подробные доказательства сфор-
сформулированных результатов и обсуждение необходимых поня-
понятий составят предмет последующих лекций.
Все многообразия являются компактными, гладкими (класса
С°°), ориентируемыми и ориентированными, состоят из связных
компонент одной размерности и, если не оговорено специально,
не имеют края. Комплексные векторные расслоения обычно
обозначаются той же буквой, что и их пространства расслое-
расслоения. Через Ех обозначается слой над точкой х расслоения Е,
через С°° (Е) — пространство гладких сечений комплексного
векторного расслоения Е над некоторым многообразием.
§ 1. Теорема об индексе
1. Пусть X — многообразие, Е и F — гладкие векторные
расслоения над X. Дифференциальный оператор d из Е в F —
это линейное отображение d: С°° (?)-> C°°(.F), которое локально
задано матрицей обычных (т. е. скалярных) дифференциаль-
дифференциальных операторов. Более точно, пусть U — область определения
локальной карты, хь х2, ¦¦., xn (n = dim X) — локальные коор-
координаты, С°° (U) — пространство комплексных С°°-функций на
U, и пусть выбраны сечения в пространствах Е и F над U,
которые в каждой точке x^U образуют базисы пространств
Ех и Fх. Тогда оператор d определяет отображение С°° (U)p ->
-* Сж (U)q (р = dim Ex, q = dimFx (xe[/)), заданное матрицей
Р(х, d) = {P(x, d/dxi,..., д/дхп)и) A<г<р, КК?), где
Ptj <= С" (if) [д/дхи ..., д,1дхп]. Порядок г оператора d опреде-
определяется как максимум степеней полиномов Pt, по частным
производным. Характеристическая матрица Q (х, |) оператора
d в точке х получается из матрицы Р, если взять члены сте-
степени г, заменить частные производные д\дхг на неопределен-
неопределенные переменные |г и умножить все на (— 1)'/2. Каждому ко-
касательному вектору Ei^i + . . . + lndxn поставим тогда
в соответствие (р X ^-матрицу Q (х, |) с комплексными коэф-

10
А. Б о р е л ь
фициентами. Система называется эллиптической, если р = q и
если матрица Q(x, ?) невырождена (обратима) для всех 1=^=0
и для всех xel, Хорошо известно, что пространства kerd и
coker d = C°° (F)/lm d являются конечномерными; разность раз-
размерностей этих пространств называется индексом оператора d.
Мы будем обозначать его через ia (d) и называть аналити-
аналитическим индексом, чтобы отличать от индекса в другом смысле,
определяемого ниже. Таким образом,
i-a (d) = dim ker d — dim coker d. A)
Известно, что число ia{d) инвариантно относительно деформа-
деформаций оператора d; это привело Гельфанда к вопросу о том,
можно ли выразить ia (d) в топологических терминах. Теорема
об индексе дает положительный ответ на этот вопрос. Для
того чтобы иметь возможность сформулировать ее, вводится
рациональный класс когомологий chd е Н* (X; Q), зависящий
от символа оператора d (см. п. 2). Пусть далее (J1 (X) — кого-
когомологический класс Тодда комплексифицированного касатель-
касательного расслоения многообразия X. Он получается следующим
образом из произведения формальных степенных рядов:
(),
где Xi(i=l, 2, ..., s^ dim X/2) — неопределенные переменные.
Произведение представляется как формальная сумма одно-
однородных полиномов, симметрично зависящих от х\. Эти поли-
полиномы выражаются через элементарные симметрические функ-
функции, /-я из которых заменяется на /-й класс Понтрягина
многообразия X (/ = 1, 2, ...). Определим теперь топологиче-
топологический индекс it{d) формулой
it (d) = (ch d - ? (X)) [X] (д = dim X), B)
где в правой части стоит значение n-мерной компоненты эле-
элемента chdJ'(X) на фундаментальном цикле [X] многообразия
X. Тогда имеет место
Теорема (Атья — Зингер). Пусть d — эллиптический опера-
оператор на многообразии X. Тогда la(d) = it{d).
Это еще не самая общая формулировка теоремы об
индексе. Атья и Зингер обобщили ее: (а) на эллиптические
комплексы, т. е. последовательности операторов, символы ко-
которых образуют точную последовательность; это легко сво-
сводится к случаю одного оператора; (б) на более общие опера-
операторы; это существенно для доказательства — с такими
операторами мы будем постоянно иметь дело; (в) на1 краевые
задачи; этот вопрос почти не будет здесь затронут из-за не-
Гл. 1. Набросок доказательства
11
достатка времени и места (см., однако, приложение I, напи-
написанное Атьей). Четвертое обобщение, которое включало бы
гротендиковский вариант теоремы Римана — Роха над С,
предположено, но, насколько мне известно, еще не осу-
осуществлено ')•
Доказательство естественно распадается на две части: то-
топологическую, в которой рассматриваются свойства it (d), и
аналитическую, связанную с ia(d). Мы начнем с топологи-
топологической части, так как аналитическая часть на нее опирается.
Но сначала рассмотрим подробнее chd.
2. Определение когомологического класса chd. Пусть X —
конечный ClF-комплекс. Группа Гротекдика К (X) комплекса X
является факторгруппой свободной коммутативной группы,
порожденной классами изоморфных комплексных векторных
расслоений над X, по подгруппе, порожденной элементами
Е-Е'-Е", где 0 -* Е"-> Е-> Е'-+ 0 -точная последователь-
последовательность расслоений. Если выбрана базисная точка х s X, то
К(Х) есть ядро гомоморфизма K(X)->Z, относящего каждому
расслоению Е размерность его слоя Ех. Если У —замкнутый
подкомплекс комплекса X, то относительная гротендиковская
группа К(Х, Y) есть по определению K(X/Y), где простран-
пространство X/Y означает X с Y, стянутым в точку, которую тогда
считают базисной.
Пусть теперь X —снова многообразие. Пусть В (X) (соответ-
(соответственно S(X)) — расслоение единичных шаров (соответственно
единичных сфер) кокасательного расслоения Г* (X) относительно
некоторой римановой метрики и п: В (X) -> X — естественная
проекция. Известно, что относительно когомологического умно-
умножения кольцо Я* (В (X), S (X)) (кольцо коэффициентов произ-
произвольно) есть свободный модуль над Н* (X) с канонической
образующей U степени п = dim X. Поэтому существует изо-
изоморфизм ф„: Н*{В(Х), S{X))—>H*{X) — так называемый изо-
изоморфизм Тома, понижающий размерность на п и обратный
к изоморфизму: ан->а^(/(аеЯ*A)).
Пусть d: C°°(E)-> C°° {F) — дифференциальный оператор по-
порядка г на многообразии X. Хорошо известно, что матрица
Q(x, |), которая определялась выше с помощью локальных
') Атья и Зингер до сих пор не опубликовали подробного изложения
теории индекса краевых задач. Имеющиеся краткие наброски (см., в част-
частности, примечание к стр. 328) содержат существенные пропуски. По поводу
современного состояния этой проблемы см. работу редактора [6]. По по-
поводу четвертого упоминаемого здесь обобщения см. серию статей Атьи и
Зингера, а также анонс Ши Вей-шу [8]. Дальнейшее развитие теории
индекса освещено в докладе Атьи [9]. — Прим. ред.

12
Д. Б о р е л ь
координат, имеет фактически внутренний смысл и ставит в
соответствие каждому |е Т'(Х)Х линейное отображение слоя Ех
в слой Fх. Это отображение, конечно, гладко зависит от
х и ? и, следовательно, задает гомоморфизм ar(d): n*E->n'F
поднятий расслоений Е и F на В(Х) с помощью я. Гомомор-
Гомоморфизм or(d) называется символом оператора d. Условие эллип-
эллиптичности означает, что сужение отображения аг (d) на S{X)
является изоморфизмом. В этом случае мы можем сопоста-
сопоставить тройке (п'Е, n'F, or(d)\S (X)) различающий элемент
[ar(d)]^K(B{X\ S(X)) (см. [2]). Теперь chd определяется
формулой
Г("+1)/2 C)
где ch [a, (d)] е Н* (В (X), S(X); Q) является характером Чжэня
элемента [or(d)].
§ 2. Топологичесгшй индекс
Правая часть равенства C) имеет смысл для любого эле-
элемента а^К(В(Х), S (X)) независимо от того, порождается а
эллиптическим оператором или нет. Это же справедливо и
для it. Таким образом, топологический индекс можно рас-
рассматривать как функцию на К(В(Х), S(X)); она является го-
гомоморфизмом группы К{В{Х), S(X)) в группу рациональных
чисел Q. Укажем основные свойства этого гомоморфизма.
Зо Мультипликативность относительно ®. Пусть X, X' —два
многообразия. Тогда имеется спаривание
К (В (X), S (X)) ХК(В (Xr), S (X')) -+К(В(ХХ X'), S(X X X')),
которое называется тензорным произведением, и имеет место
равенство
Вкратце а 0 b определяется следующим образом. Выберем
такие расслоения Е, F над В (X), расслоения ?", F' над В (X)
и изоморфизмы a: E-+F, а': Е''->F' над S(X) и S(X0, что а
и 'о являются соответствующими различающими элементами.
Это всегда можно сделать. Над пространством X X X' тензор-
тензорное произведение
О -* Е ® Е'
F' + Е' ® F
О
комплексов 0 —> Е — -> F —> 0, 0-> E'-->F' -+0, очевидно, является
точной последовательностью над S (X X X). Соответствующий
различающий элемент [2j и есть а ® &.
Гл. I. Набросок доказательства
13
4. Пусть X — четномерное многообразие. Как мы увидим
далее, на X имеется эллиптическая дифференциальная система
Do, топологический индекс которой является /.-родом мно-
многообразия X и аналитический индекс которой равен нулю,
если dim X=2 mod 4, и равен сигнатуре многообразия X, если
dimX=0mod4. Пусть %a = [o(D0)].
С другой стороны, К (В (X), S(X)) является модулем над
кольцом К (X). Мы можем поэтому определить it также и на
К(Х), полагая
it (X, V) = it (V ¦ хо) (V^K (X)). E)
Это гомоморфизм кольца К (X) в кольцо Q. Подгруппа
/CW-Xo имеет конечный индекс в группе К(В(Х), S (X)), и,
следовательно, it полностью определяется своими значениями
на этой подгруппе. Функция it на кольце К (X) обладает сле-
следующими свойствами:
(a) it (X+Y,a + b) = it (X, а) + it (Y, b),
it{X, a®b) = it(X, a) + it (X, b).
Здесь + обозначает несвязную сумму, а © — сумму Уитни.
(б) ц (XxY,a®b) = it (X, a) • it(Y, b).
(в) tt(X, а) = 0, если (X, а)~0, т. е. если существуют мно-
многообразие Y с краем X — dY и элемент а'^К{У), сужение
которого на X равно а.
(г) it (Р2п (С), 1) = 1, it (S2m, Vm) = 2m,
где Vm, 1—образующие кольца Д'E2/п).
5. Наконец, теорема единственности утверждает, что су-
существует только одна вещественная функция на группах
К {X), где X пробегает четномерные многообразия, удовлетво-
удовлетворяющая условиям (а), (б), (в), (г).
Это фактически является следствием одной теоремы о ко-
бордизмах. Пусть 2 — множество классов изоморфных объектов
[X, а], где X — четкомерное многообразие и а е К (X). Пусть
А — множество классов эквивалентности в 2, когда отноше-
отношение эквивалентности определяется так: [X, а]~[Х',-а/], если
существуют многообразие Y с краем dY^X — X' и элемент
b ^ К (У), сужение которого на X (соответственно на X') со-
совпадает с элементом а (соответственно с а'). В множестве А
можно создать кольцевую структуру, сложение и умножение
в которой определены соответственно с помощью несвязной
суммы и тензорного произведения. При этом множество Ах
классов элементов [X, а] с одномерными а является подкольцом.

14
А. Б о р е л ь
Можно показать, что кольцо Л, ® Q изоморфно кольцу
многочленов от классов элементов, которые фигурируют выше
в (г). Далее вещественную функцию на множестве 2, обла-
обладающую свойствами (а), (б), (в), можно рассматривать как
гомоморфизм кольца А ® Q в кольцо вещественных чисел R.
Из только что упомянутой теоремы о структуре кольца Аг ® Q
довольно легко следует, что такая функция полностью опре-
определяется своими значениями на вышеупомянутых элементах.
§ 3. Аналитический индекс
В свете вышеуказанной теоремы единственности естественно
попытаться рассмотреть ia как функцию на К. (В (X), S (X))
и доказать, что она обладает теми же свойствами, что и it.
Это можно будет сделать, если верны следующие утвер-
утверждения:
(i) если операторы d и d' являются эллиптическими и их
символы определяют один и тот же элемент в К (В (X), S (X)),
то ia(d) = ia{d');
(ii) каждый элемент из группы /С {В (X), S (X)) можно реали-
реализовать как класс символа некоторого эллиптического опера-
оператора.
Предположение утверждения (i) означает, что символы
гомотопны '). С другой стороны, у гомотопных между собой
операторов аналитические индексы совпадают, и, следова-
следовательно, (i) вытекает из
(iii) гомотопию между символами можно поднять до гомо-
топии между операторами.
Оказывается, что условия (ii) и (iii), вообще говоря, не
выполняются в классе дифференциальных эллиптических опе-
операторов. Это приводит к необходимости рассмотрения более
широкого класса эллиптических операторов, для которых ia и
it по-прежнему определены, причем в этом классе уже доста-
достаточно элементов для удовлетворения свойств (ii), (iii); теорема
об индексе доказывается для этих операторов. Мы приходим,
таким образом, к первому вопросу аналитической части до-
доказательства основной теоремы.
6. Алгебра Сили Intr (E, F) операторов порядка =^г (см. [5]).
Для того чтобы дать общее представление о таких операторах,
напомним сначала некоторые факты об операторах на R", ис-
используя стандартные мультипликативные обозначения: а =
= (о„ .... а„) (а, > 0, а, е Z), | о | - Ца,, Da = d*ai/dx? ... дх1п,
1) На самом деле „стабильно" гомотопны. — Прим. ред.
Гл. 1. Набросок доказательства
15
|а <= |°i ... |"rt. Положим также 1112 = 2 if и обозначим через %
преобразование Фурье f~*f, где
Оператор Рисса Ra — это оператор вида $~] ° (|/| I1)° ° Ъ, где
средний сомножитель есть умножение на (|/| 11 )а. Каждой ко-
конечной линейной комбинации А = ^аа(х) Ra операторов Рисса
а
с коэффициентами из пространства B°° = B°°(Rn), состоящего
из С°°-функций, все частные производные которых ограничены,
мы поставим в соответствие символ а(А) = ^аа(х)A/\1\)а,
который можно рассматривать как функцию на пространстве
R" X 5"". Отображение А-^а(А) является инъективным и про-
продолжается по непрерывности (в подходящей топологии) до
взаимно однозначного отображения некоторого класса опера-
операторов, действующих в #°°(R ) (где #°°(R") — пространство функ-
функций, все частные производные которых интегрируемы с квад-
квадратом) и называемых В°°-сингулярными интегральными опера-
операторами порядка 0, на пространство функций над R" X Sn~ ,
все частные производные которых ограничены. Тогда Л°°-опе-
ратор порядка г является произведением В = ААГ, где А — опе-
оператор порядка нуль, а оператор Л = %~] ° A + 11 РI/2°?5 есть
квадратный корень из оператора 1 +А (А —оператор Лапласа).
При этом символ аг(В) равен а(Л)°Ц|г.
Эти операторы с точностью до операторов меньшего порядка
включают дифференциальные операторы D= 2 аа(х) Da no-
la \—r
рядка г с коэффициентами из В°°, поскольку из Da = g~ о ( —г|)а ° S
следует, что D = B аа (х) #а) ° (— iA0)r, где оператор Ло =
•= S ° 111 ° 5 — квадратный корень из оператора А, и можно
показать, что Лг — Ло является оператором порядка ^г —2.
Пусть теперь X является многообразием, Е и F — гладкие
комплексные векторные расслоения над X. Линейное отобра-
отображение А: С°°(Е)->С°°(F) принадлежит алгебре Сили Int^i:, F),
если выполняются следующие условия:
A) для функций ф, г|зеС°°(Х) с непересекающимися носи-
носителями оператор фЛг|з является оператором порядка =^г — 1;
B) для функций ф, г|з^С°°(Х), носители которых лежат
в общей координатной окрестности U, над, которой сечения
расслоений Е и F выбраны как в п. 1, оператор срЛг|з задается
с точностью до операторов порядка ^г—1 матрицей {Ац)
В°°-операторов порядка г.

16
А. Б о р е л ь
Матрица символов {ar{Alj)) имеет внутренний смысл и свя-
связывает с каждым l^T*(X)x\0(x <^ U) линейное преобразо-
преобразование пространства Ех в пространство Fх, вследствие чего
гомоморфизм аг(А): я* (Е) -> я* (F), определенный над S(X),
является символом оператора А. Оператор А называется эл-
эллиптическим порядка г, если он принадлежит Intr(?, F) и если
отображение ат{А) является изоморфизмом. Множество таких
операторов будем обозначать через E\\T{E,F). Если А^Е\\Г(Е, F),
то, используя символ ог(А), мы можем определить когомоло-
когомологический класс ch(A) для оператора А и топологический ин-
индекс it(A) точно так же, как для дифференциальных опера-
операторов. Более того, можно показать, что пространства ker А и
coker А конечномерны, так что ia(A) снова определено, и что
выполнены условия (И) и (ш). Следовательно, 1а можно теперь
рассматривать как функцию на группе ЩВ{Х), S{X)), и даль-
дальнейшие шаги доказательства состоят в показе того, что она
обладает теми же свойствами, что и it.
7. Мультипликативность. Нужно проверить следующее: если
А, В, С —такие эллиптические операторы на пространствах X, Y
и X X К, что [а(А)] ¦ [а(В)] = [о (С)] в смысле спаривания, опре-
определенного в § 2, п. 3, то ia(A)- ia(B) = ia(C). Это будет дока-
доказано с использованием спаривания операторов (А, В) i—>/1фВ,
которое подсказано конструкцией из п. 3. Однако здесь имеются
некоторые технические трудности, так как оператор Л#В не
является, как правило, интегро-дифференциальным оператором.
Тем не менее он является пределом таких операторов, и это
дает возможность проследить за символами и индексами.
8. Пусть X — четномерное многообразие, V — расслоение
над X; определим
где в правой части стоит аналитический индекс любого опе-
оператора, символ которого принадлежит V ¦ %0. Действительно,
используя связность на расслоении V и оператор Do, упомя-
упомянутый в п. 4, мы можем найти дифференциальный оператор
с таким символом. Теперь следует доказать, что имеют место
утверждения (а) —(г) из п. 4, если заменить it на ia. Это
делается вполне стандартно, за исключением утверждения (в),
доказательство которого составляет одну из главных частей
всего доказательства.
Теперь теорема об индексе для четномерных многообразий
вытекает из п. 4, 5 и 8.- Для перенесения теоремы на нечетно-
мерные многообразия нам понадобится следующее утверждение:
Гл. I. Набросок доказательства
17
9. На окружности S1 существует эллиптический оператор Ео,
действующий в тривиальном расслоении, для которого ia(E0)=
= ii(Eo)?zO. Это вместе со свойствами мультипликативности
из п. 3, 7 позволяет умножением на Ео свести нечетномерный
случай к четномерному.
10. Аналитический индекс является целым числом по опре-
определению. Так как каждый элемент из кольца К(В(Х), S(X))
соответствует классу символов эллиптического оператора
в алгебре Сили, то основная теорема для этих операторов
влечет за собой
Следствие. Пусть X — многообразие цяеК(й (X), S (X)).
Тогда топологический индекс элемента а является целым
числом.
Как мы увидим, отсюда следуют все теоремы целочислен-
ности, относящиеся к роду Тодда или Л-роду.
§ 4. Добавление
Порядок изложения материала в последующих главах не
совпадает с принятым в этом наброске. Для ориентировки
читателя мы прокомментируем здесь содержание различных
глав.
Главы II —X являются основой и для топологической, и
для аналитической частей. В соответствии с целью нашего семи-
семинара изложение последней практически замкнуто в себе (опу-
(опущены только доказательства некоторых совершенно стандарт-
стандартных фактов), тогда как многое из топологии предполагается
известным. В гл. II содержится краткий обзор /С-теории,
характера Чжэня и показывается, что группу К (X, Y) можно
определить как множество классов эквивалентности подходящих
последовательностей векторных расслоений. В гл. III описы-
описывается метод вычисления топологического индекса, когда рас-
расслоения, дифференциальный оператор и касательное расслоение
к базисному многообразию связаны надлежащим образом
с данным главным расслоением.
В гл. IV содержится основной материал о дифференциаль-
дифференциальных операторах: определения, символы, точная последователь-
последовательность расслоений джетов, сопряженные операторы, операторы
Грина, некоторые классические операторы.
В гл. V определяется дифференциальный оператор, приво-
приводящий к сигнатуре многообразия, и проверяется теорема
об индексе в некоторых специальных случаях.
2 Р. Пале

!8
А. Б о р е л ь
В гл. VI—X дается обзор определений и некоторых резуль-
результатов из функционального анализа: в частности, рассматри-
рассматриваются ограниченные операторы, действующие на банаховом
пространстве с конечномерными ядром и коядром (так назы-
называемые фредгольмовы операторы), пространства Соболева Нк,
неравенство Соболева, теорема Реллиха.
Алгебра Сили вводится аксиоматически в гл. XI при помощи
пяти условий, причем доказательство существования отклады-
откладывается до гл. XVI. Гл. XII, XIII, XIV и часть гл. XV посвя-
посвящены основным свойстам алгебры Сили: свойствам регуляр-
регулярности эллиптических операторов (гл. XI), гомотопической
инвариантности аналитического индекса ia (гл. XII) (это соот-
соответствует свойству (i) из § 3, свойство (и) по существу содер-
содержится в аксиомах, так что его справедливость является основой
доказательства теоремы существования), связи с суммами
Уитни (гл. XIII) и свойству мультипликатив юсти (п. 7), которое
доказывается с помощью шестого условия, наложенного на
алгебру Сили (гл. XIV).
В гл. XV доказывается, что оба индекса ia и it удовлетво-
удовлетворяют условиям (а), (б), (г) п. 4 и что it также удовлетворяет
условию (в). Доказательство того, что (в) также верно для ia,
гораздо труднее и содержится в гл. XVII.
В гл. XVI доказывается теорема существования алгебры
Сили интегро-дифференциальных операторов со свойствами,
постулированными в гл. XI и XIV. Метод, окончательно при-
принятый в этих заметках, отличается от использованного в ра-
работе [5], которой мы придерживались в настоящей главе. Это
оказалось более удобным для замкнутого в себе изложения.
Гл. XVI содержит также построение скалярного эллипти-
эллиптического оператора на окружности, оба индекса которого равны
— 1, комментарии к соглашению о знаках, принятых в опре-
определении 1а и it, и исторические замечания о сингулярных инте-
интегральных операторах.
Гл. XVIII является топологической и содержит доказатель-
доказательство теоремы единственности (см. п. 5), использующее основ*-
ные результаты теории кобордизмов Тома.
Как из результатов гл. XI —XVIII получается доказательство
теоремы об индексе, кратко изложено в гл. XIX, содержащей
также обобщение теоремы на неориентируемый случай, даль-
дальнейшие замечания к ней и несколько ее основных приложений
(теорема Римана —Роха, теорема Хирцебруха об индексе, раз-
различные теоремы целочисленности алгебраической топологии).
Приложение I посвящено теореме об индексе для много-
многообразий с краем. Дается точная формулировка и обсуждаются
понятия, содержащиеся в ней, однако само доказательство
Гл. I. Набросок доказательства
19
лишь кратко набросано. Наконец, в приложении II, имеющем
отношение к гл. III, рассматриваются в более общем аспекте
характеристические классы и топологический индекс диффе-
дифференциальных операторов, ассоциированных с (/-структурами.
ЛИТЕРАТУРА
[11 Atiyah M. F., The index of elliptic operators on compact manifolds
Sem. Bourbaki, Mai 1963, Exp. 253.
[21 Atiyah M. F., H i г z e b г u с h F., Analytic cycles on complex mani-
manifolds, Topology, 1 A962), 25-46.
[3] Atiyah M. F., Singer I. M., The index of elliptic operators on com-
compact manifolds, Bull. Amer. Math. Soc, 69 A963), 422-433.
[4] S e e 1 e у R. Т., Singular integrals on compact manifolds, Amer. I. Math.,
81 A959), 658-690.
[5] Сили Р. Т., Интегро-диффереициальные операторы иа векторных рас-
расслоениях, сб. „Математика" 11 :2 A967), 57-97.
[61* Д ы и и и А. С, Об индексе семейств псевдодифференциальиых операто-
операторов на многообразии с краем, ДАН, 186, № 3 A969), 506-508.
[71* Атья М., Зингер И., С era л Г., Индекс эллиптических опера-
операторов I, УМН, XXIII A968), вып. 5, 99-142; II, УМН, XXIII A968);
вып. 6, 135-149; III, УМН, XXIV A969), вып. 1, 127-182.
[8]* S h i h W., Bull. Amer. Math. Soc, 72, № 6 A966).
[9]* Atiyah M. F., Global aspects of the theory of elliptic differential ope-
operators, „Труды Международного конгресса математиков", «Мир», 1968,
57-64.
1) Звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода. —
Прим. ред.

ГЛАВА II
©БЗОР 1С~ТЕО1»ИИ
Р. Солов эй
§ 1. Группа К(Х) конечного CW-комплекса
Пусть X — конечный Сй^-комплекс. Определим абелеву
группу К(Х) следующим образом. Образующими этой группы
будут классы {?} эквивалентных между собой комплексных
векторных расслоений ? над X. (Если X не является связным
комплексом, то размерности слоев ? могут быть разными над
различными его компонентами.) Каждой короткой точной после-
последовательности векторных расслоений
0-
0
(Е)
соответствует соотношение {?} = {!'} + {?"} в группе К(Х).
Тензорное произведение векторных расслоений превращает
группу К(Х) в коммутативное кольцо: {?} ¦ {ц} = {?®т]}. Отобра-
Отображение /: Y->X индуцирует (через обратный образ векторных
расслоений) отображение /!: K(X)-^K(Y) вида /'({!}) = (Г^-
Пусть х — точка. Тогда посредством формулы dim ({?}) =
= dim? определен изоморфизм dim : /С ({*}) = Z. Если X — про-
пространство с базисной точкой х^Х, то мы полагаем К(Х) =
= кет[К(Х)->К({х})\.
Если (X, У) — конечная С W-napa, то пусть X/Y — пространство,
полученное из X стягиванием подпространства Y в точку {У},
которую мы и будем считать базисной для пространства X/Y.
(Если Y— 0, то пространство X/Y состоит из несвязной суммы
пространства X и базисной точки.)
Относительная группа К, (X, Y) есть по определению K(X/Y).
В работе [1] Атья и Хирцебрух показали, что можно опре-
определить „когомологические группы"
Kl{X,Y) («sZg),
удовлетворяющие всем аксиомам Стинрода — Эйленберга (моди-
(модифицированным для 22-градуировки), исключая аксиому размер-
размерности, и такие, что
К°{Х, Y) =
Гл. П. Обзор К-теории
21
Точная когомологическая последовательность сводится к точ-
точному шестиугольнику
,K°(X, Y)->K
/
К1 (Y)
\
K°(Y)
/
(Построение этой теории когомологий использует теорему
периодичности Ботта.)
Далее, кольцевая структура в К(Х, Y) может быть расши-
расширена до структуры антикоммутативного кольца в К*(Х, Y):
Kl{X, Y)-Kl(X, Y)c=Ki+'(X, Y).
§ 2. Характер Чжэня
Если X — топологическое пространство, то через Н"{Х, А)
обозначается прямое произведение JJ Н'{Х, А). Пусть | есть
я-мерное комплексное векторное расслоение над X с полным
классом Чжэня (коэффициенты рациональны)
Следуя Борелю и Серру, будем рассматривать с((|) как /-ю
элементарную симметрическую функцию неопределенных пере-
переменных хи ..., хп, так что
П
1 = 1
Тогда по определению характер Чжэня ch (g) s И"* (X; Q) равен
n
2 еХ{. Очевидно, что если пространство X имеет конечную раз-
раз2
мерность, то Н'{Х) = Н"{Х) и ch (?)«=#•(*; СО-
Отображение ch можно продолжить до кольцевого гомо-
гомоморфизма
ch: JC(X, Y)-*H"(X, У; Q).
Если Н*щ {X, У; Q) снабжено 22-градуировкой, т. е.
(где Н+ = Ц Н\ Н~ = Ц Н'\, то отображение ch согласо-
\ 1ш>0 B) i== 1 B) /
вано с обеими Z2-rpaflyHpOB"caMH и коммутирует с кограничным
гомоморфизмом б.

22
Р. С о л о в э й
Если (X, У) — конечная С IF-napa, то кольцо К* (X, Y) конечно
порождено и отображение
ch® 1Q: K*(X, Y)®Q^+H*(X, Y; Q)
является изоморфизмом. Кольцо К'(Х, Y) допускает естествен-
естественную структуру градуированного модуля над кольцом К* (X),
совместимого посредством ch со структурой модуля Н'(Х, Y; Q)
над кольцом Н* (X; Q).
Теорема периодичности Ботта дает следующее описание
К* (Sm):
Отображение ch: К* (Sm) -> Hm (Sm; Q) является мономорфиз-
мономорфизмом на подгруппу целых элементов Hm(Sm; Z).
§ 3. Различающая конструкция (по ?2|)
3.1. Пусть (X, 7) —конечная Сй^-пара, Е и F — векторные
расслоения над пространством X и отображение
a: E\Ys±F\ Y
является изоморфизмом сужений расслоений Е и F на Y.
Определим различающий элемент
d(EF, a)
, Y)
следующим образом.
Пусть AczX X I есть
XX{O}{JYX r\JXX{l}.
Тогда X X I/A sz Sl(X, Y) (где Sl {X) обозначает приведенную
надстройку над пространством X). Положим
Ао = X X {0} U Y X @, 1), Л, = X X {1} U Y X @, 1),
и пусть f{: Ai->X — сужения отображения проекции XXl->X.
Определим расслоение g над А следующим образом: над Ао
расслоение I есть fo(F), над А\ расслоение | есть fi(E), над
A0(]Ai расслоения /o(F) и fi(E) отождествляются посредством
изоморфизма а. Тогда различающий элемент d(E, F, а) является
образом элемента {?} в следующей композиции отображений:
>К1 (X XI, А) ^ Ю (S1 (X/Y)) ?? К°(Х, Y).
3.2. Следующая лемма дает основные свойства различаю-
различающей конструкции.
Гл. II. Обзор К-теории
23
Лемма 1. (i) Для отображения f: (Xf, Y')-+(X, Y) имеет
место формула
с1(Г(Е), Г(П Г(а)) = ?с1(Е, F, а).
(П) Элемент d (E, F, а) зависит только от гомотопического
класса отображения а.
(ш) Для Y — 0 имеет место d (E, F, а) = Е — F.
(iv) Для естественного отображения /!: К (X, Y)—*-f((X)
имеет место
f{d{E, F, a)) = E-F.
(v) Элемент d(E, F, а) равен нулю тогда и только тогда,
когда существует такое векторное расслоение G над X, что
изомоофизм
!
^E"\ Y;
моокно продолжить до изоморфизма расслоений E®G и
над всем пространством X.
(vi) d{E®E', F®F', a®a') = d{E, F, a) + d{E', F', a'),
(vii) d(F, E, a~1) = —d(E, F, a).
(viii) Если G — векторное расслоение над X, то
d(G <8>E, G®F, lo®a) = G -d(E, F, a).
(ix) Предположим, что a: E\ Ys*E'\ Y и a': E'\
тогда имеет место следующая формула:
d{Е, Е", a'»n) = i[Е, Е', a) + d(?", Е", а').
Доказательство. Утверждения (i) — (iv) и (vi) — (viii) до-
доказаны в работе [2].
Докажем утверждение (v). Сначала предположим, что суще-
существуют расслоение G над X и изоморфизм
a: E®G ^F®G,
являющийся продолжением изоморфизма a® lo. Если f: (X, ?)->
-+(Х, X), то
d(E®G, F®G, a®la) = f'd(E®G, F®G, ar) = Os
так как К. (X, Х) = 0. В силу (vi) имеем
a@lo) = d(E, F, a) + d(G, G, la\ Y).
Ho d(G, G, lo| Y) = fd(G, G, lo) = 0. Это устанавливает доста-
достаточность. Предположим теперь, что d(E, F, a) = 0. Выберем
такое расслоение G достаточно большой размерности, что
*XXCN. Заменяя (Е, F, а) на (E@G, FQG, аф!оK

24
Р. С о л о в э й
мы можем предположить, что Е является тривиальным рас-
расслоением X X С^, отображение а является тривиализацией:
a: F\Ys*YXCN
и число N велико по сравнению с dim X. Посредством изомор-
изоморфизма а отождествим между собой слои расслоения F \ Y.
В результате этого отождествления мы получим расслоение F
над пространством X/Y; если р: X-^-X/Y — естественное ото-
отображение, то p*F = F. Пусть Е = X/Y X CN, и пусть а —изомор-
—изоморфизм Ё | {У} = F\ {Y}, индуцированный изоморфизмом а. Имеем
pld(E, F, a) = d(E, F, а) = 0. Но отображение
ph K{XIY)^K{X, Y)
является изоморфизмом, а естественное отображение К (X/Y)—>
->K(X/Y) инъективно. Отсюда F = Ё в K(X/Y). Так как dim F
велика по сравнению с dim X ^ dim X/Y, то F — Ё = X/Y X CN.
Если отождествить расслоение F с расслоением Ё, так что й
станет тождественным отображением, то расслоение F — p*F
отождествится с Е = р*Ё, и отображение а = р*а перейдет
в \Е\ Y (последнее, очевидно, продолжается на все X). Итак,
если расслоение G имеет достаточно большую размерность
и E®G^XxCN, то изоморфизм а©1о продолжается до
изоморфизма a: E@G = FQ)G.
Доказательство утверждения (ix): из утверждений (v)
и (vii) следует, что над X существуют расслоение F и изомор-
изоморфизм
0: E®Ef®F^E'®E<$F,
являющийся продолжением отображения a®a~l®\F.
Имеет место коммутативная диаграмма изоморфизмов над Y:
E®E'®F
граммы и утверждения (i) мы п<
Ti, = d (E, E', a) + d (?"', Е", а') в силу
соображениям х\2 = d (Е, Е"„ а' ° a). J.
j (v) и (vi) и по тем же
Доказательство' утвержде-
Гл. II. Обзор К-теории
25
§ 4. L -теория
Определим теперь относительные группы К(Х, Y), следуя
Гротендику. Пусть (X, Y) — конечная ClF-napa. Определим
Ж\ (X, Y) как множество всех таких троек
Ё = (Яо, Еь о),
что Eq и Ех — комплексные векторные расслоения над простран-
пространством X, а о является изоморфизмом a: E0\Y s* EX\Y. Сложе-
Сложение троек определяется через сумму Уитни.
Тройку Ё вида
Ё = (Ео, Ео, 1& I Y)
назовем элементарной. Заметим, что если Ё — элементарная
тройка, то она лежит в образе отображения {<?(Х, Х)-*-%'{Х, Y)}.
Две тройки Ё, ?'ее?(Х, Y) называются эквивалентными,
если имеются такие элементарные тройки Р и Q, что суще-
существует изоморфизм
(Изоморфизм троек Е' и Ё" — это пара таких изоморфизмов
над X
что диаграмма отображений над Y
?0 *• tL\
является коммутативной.)
Определение. Обозначим через Lt (X, Y) множество клас-
классов эквивалентности i^ (X, Y) относительно только что опре-
определенного отношения. Множество L, (X, Y) является по по-
построению абелевой полугруппой относительно суммы Уитни.
Положим Ll(X) = Li(X, 0).
L, (X, Y) является контравариантным функтором пары X, Y.
Определим следующее естественное преобразование функторов
Х: LUX, Y)-+K(X, Y):
если тройка Ё е ef, (X, Y) представляет элемент [f]eI|(J, Y),
то %{[E]) = d(E0, Еь а). С помощью леммы 1 из § 3 прове-
проверяется корректность и аддитивность преобразования %. Более

26
Р. С о л о в э й
того, если Y—0, то %([Е]) есть в точности Ей~Ех. Главным
результатом настоящего параграфа является
Теорема 2. Отображение %: Li(X, Y)->K{X, У) является
изоморфизмом.
Доказательство. Покажем сначала, что % сюръективно.
Так как I\(X, У) = К (X/Y, {Y}), то можно предположить, что
пространство Y является точкой. Это следует из коммутатив-
коммутативной диаграммы
?,(*, Y)*-Li(X/Y, {Y})
К(Х, Y)^
Итак, пусть а^К(Х, {х}). Образ элемента а в группе К {X)
можно записать в виде Е — Е', где dimi?* = dim E'x. Пусть
а: Ех^Ех- Тогда тройка Е = (Е, Е', а) лежит в %х (X, {х}) и
при естественном отображении
К(Х, {х})->К(Х) A)
% переходит в Е — Е'; так как отображение A) является
взаимно однозначным, то %([Е]) = а. Отсюда следует сюръек-
тивность отображения %.
Утверждение (v) леммы 1 § 3 показывает, что % имеет
нулевое ядро. С помощью утверждений (vi) и (vii) той же леммы
отсюда вытекает, что отображение % инъективно. Тем самым
доказательство теоремы 2 закончено..
§ 5. Умножения в ?-теории
Пусть (Х{, Y() — конечная Сй^-пара (i—l, 2). Положим
X = Xi X Х2; Y = Хх X Y2 (J У, X Хг. B)
Пара (X, У) есть декартово произведение пар (Х1г /j и (Х2, Y2).
В /С-теории имеется умножение
К (Хи У,) ® К (Х2, У2) -> К (X, Y), C)
а ® Р-»¦ и X j3; для Yl = Y2=0 это умножение индуцируется
внешним тензорным умножением векторных расслоений: если
Ei — комплексное векторное расслоение над пространством Xt
(/= 1, 2), то ?, ® Е2 является векторным расслоением я*?\ ® я??2
над пространством Х{ X Х2 и [fj X [Е2] = [?i.<§) ?2]-
Для изучения мультипликативных свойств топологического
индекса нам понадобится описать умножение C) на языке
Гл. II. Обзор К-теории
27
„определения Гротендика" группы К (X, У). Мы определим для
каждого целого г спаривание
o|v: I,(*i. ^)®/..(Х2, F2)->L,(X, У), D)
которое соответствует умножению C) при изоморфизме %: L\->K>
введенном в § 4. (Зависимость от г несущественна, но полезна
для приложений.)
Предпошлем определению D) некоторый предварительный
материал. Пусть сначала X — компактное пространство и
Е — комплексное векторное расслоение над X. Напомним, что
эрмитова структура расслоения Е состоит из положительно
определенного скалярного произведения ( , )х на каждом
слое Ех расслоения Е; это произведение должно непрерывно
зависеть от точки к е X. Известно, что расслоение Е обладает
эрмитовыми структурами; кроме того, любые две эрмитовы
структуры на Е гомотопны друг другу. (Доказательство полу-
получается применением разбиения единицы.)
Пусть теперь Е и F — эрмитовы расслоения над простран-
пространством X (т. е. расслоения с предписанными эрмитовыми структу-
структурами), и пусть 0: E-+F—отображение расслоений. Отображение
6*: F-+E,
сопряясенное с отображением 9, задается формулой %*{х)~ [6(д:)]*
(для всех х е X), где Q(x): Ex—> Fx — отображение слоев, инду-
индуцированное отображением 9.
Нам понадобится также следующая лемма:
Лемма 3. Пусть (X, Y) — конечная С W-napa. Пусть тройка
[Е, F, о] лежит в !?1 (X, У). Тогда существует отображение
расслоений а: Е —> F, которое при сужении на Y совпадает с а.
Если а и а' — два таких продолжения, то а гомотопно а', причем
эта гомотопия постоянна на Y.
Доказательство очевидно, так как множество всех
отображений Е в F находится в естественном взаимно одно-
однозначном соответствии с множеством непрерывных глобальных
сечений векторного расслоения HomCE, F).
Предположим теперь, что заданы две тройки Tt = [?,, Fh a] e
е б3, (Хь, У'i) (/= 1, 2). Наша задача — определить л|зг( {Т{} ® [Т2]).
Сначала мы выберем эрмитовы структуры в расслоениях Еь
Е2, Fit F2. Выберем также отображения расслоений сгг: Е{—>Рг,
продолжающие отображения at (см, лемму 3).
Определим комплексные векторные расслоения Е и F над
пространством X, положив
F2s F= F1eE2®E1eF2. E)

28
Р. С о л о в э й
Зададим отображение расслоений дх Ф а2: Е -*¦ F матрицей
/ 5i <§> lfi, (— l)r+I If, ® сг2 \
F)
Лемма 4. Сужение отображения ст, ф <т2 на пространство
Y — Хх X Кя U 3^1 X Х2 является изоморфизмом
сг,фа2|Г: E\Y^F\Y.
Доказательство. Покажем сначала, что dim Ey = dim Fy
для y^Y. Пусть у = (ух, у2). Тогда простое вычисление пока-
показывает, что из E) следует
(dim Ex, У1 — dim Fi, Hl) • (dim E2, У2— dim F2, л) = dim Ey— dim Fy. G)
Так как г/е= Г, то либо у, е= Г,, либо у2 «= 72. Если г/, е= К„ то
первый множитель в левой части G) есть нуль. Действительно,
Oi(yi) — cii(yi) является изоморфизмом между пространствами
?1, г,, и Fi.j,,. Отсюда следует, что и правая часть равенства G)
равна нулю. В случае, когда у2 е Y2, рассуждения аналогичны.
Так как dim Ey = dim Fy, то для доказательства того, что
5j ф о2(у) является изоморфизмом, достаточно проверить, что
это отображение взаимно однозначно. Для этого рассмотрим
отображение {дх ф а2)" (ог ф а2) (у) и проверим, что оно является
изоморфизмом.
Сначала мы вычислим матрицу сопряженного отображения
(cfj ф а2у. Эта матрица получается отражением матрицы ото-
отображения ofj ф д2 относительно главной диагонали и заменой
каждого ее элемента на сопряженный. Таким образом, ото-
отображение (ffi ф с2у задается матрицей
L
¦1,
Следовательно, отображение (с^ ф а2)* {д\ Ф д2) задается ма-
матрицей
,а, ® 1?з + 1?[ (g) а2а2 0 \
Это отображение, очевидно, является строго положительным
эндоморфизмом пространства Е(Хи х2) в каждой точке (хь Хо) е X,
где по крайней мере одно из отображений ах{хх), д2(х2) является
изоморфизмом. В частности, отображение (дх ф д2У(ох ф 52)(у)
является взаимно однозначным в каждой точке jef. Действи-
ДействиГл. //. Обзор К-теории
29
тельно, если у = (УиУ2), то для некоторого / имеем i/,. e К,-,
так что отображение dt (у{) = at (yt) является взаимно однознач-
однозначным. Как уже замечено, это заканчивает доказательство.
Лемма 5. Гомотопический класс изоморфизма ст, ф ст2 | Y
не зависит от допущенного произвола. Это дает естественное
спаривание
Vpr. ©j(Aj, /,JX О|(Л2, i2J—>L\A, I). (o)
(Представителем для ^'(f,, f2) служит тройка [E, F, 5|#52IY]-)
Доказательство. По лемме 3 и предшествующим ей
замечаниям выбор эрмитовых структур и продолжений отобра-
отображений Gt однозначен с точностью до гомотопии. Поэтому
первое утверждение леммы очевидно. Докажем, что отображе-
отображение ty2 корректно определено. Для этого достаточно показать
корректность отображения %ty'r (так как %: L^K2)- Но хФ'(Г,, ?2)=
— d(E, F, di Ф д21Y). По утверждению (И) леммы 1 элемент
d(E, F, 5j ф <т2 | Y) зависит только от гомотопического класса
изоморфизма ст, фсг2|У. В силу первой части леммы доказа-
доказательство закончено.
Лемма 6. Факторизация отображения г})' из леммы 5 опре-
определяет спаривание D)
Доказательство. Отображение г}/, очевидно, является
билинейным. Более того, если тройки ft, Т\ е У1 (Xi, Yt) изо-
изоморфны между собой (для /=1, 2), то
Для этого достаточно показать следующее: если одна из
троек fi или Г2 является элементарной, то ^(Т,, Т2) = 0. Пусть,
например, тройка fx e^", (Zj, К,) является элементарной. Мы
уже отмечали, что Тх принадлежит тогда образу отображения
{У\(Х1, Xl)-*-?'l (Xx, Yi)}. Принимая во внимание коммутативную
диаграмму
I
b F2)^L,(J, X)
, Yl)X?'l(X2, YJ—
, Y),

30
Р. С о л о в э а
где вертикальные отображения индуцированы вложениями,
находим, что элемент ^'(Г,, ?2) лежит в образе отображения
{?,(*,/)-»?,_(*, У)}. Так как Lt(X, X)s&K(X, X) = 0, то
¦»[/(?,, Г2) = 0. Доказательство закончено.
Лемма 7. Отображение %: L1-+K мультипликативно. Дру-
Другими словами, коммутативна следующая диаграмма:
—r
У,) ® L, (Х2, У2)—r
jxxx
, У,)®/С(Х2,
, К)
, Y).
(9)
Доказательство. Пусть ft e= Wx {Xh Y{), ft = [Eh Fh a{].
Пусть Т — [Е, F, б^фб^У]. Мы должны показать, что
Доказательство существенно опирается на естественность спа-
спариваний ojv и X по переменным (Хи Y{) и (Х2, Y2).
Y2= 0. Тогда по лемме 1 (ш)
Случай 1.
Напомним, что умножение в /("-теории получается из внешнего
тензорного умножения. Так, например,
[?,] X [Е2] = [?, ® ?2].
Отсюда следует, что x([f1])Xx([f2]) = ([?I]-[F1])X([?a]-[F2]) =
= [?, ® Е2] + [Fi ® F2] - [Я,® FJ - [F, ® ?2] = (см. E)) [?] - [F] -
и {г/г}. Согласно
К (X, Х'Ха, X, X Ы U Ы X Z2) -> /С (X, Х12, 0)
являются мономорфизмами. Следовательно, случай 2 получается
из случая 1 посредством диаграммы
(*i, Ы) х (Х2, Ы)-* № х хг, х, х Ы и Ш х
Случай 2. Fj и У2 являются точками
[I, § 1.4, 1.5], отображения
(Хи 0) X (Х„ 0)
X Z2, 0)
(здесь используется естеетвенность преобразования %).
Гл. //. Обзор К-теории
31
Случай 3. Пространства У, и Г2 произвольны. По аксиоме
вырезания отображения
X Х2, Xt X
X
X ХЛ Z, X {У2} U {У,} X
биективны. Отсюда ввиду естественности случай 3 вытекает
из случая 2 и того факта, что отображение %: L^K является
изоморфизмом.
Доказанное можно суммировать следующим образом.
Теорема 8. Пусть (Xt, Yt) — конечная СW-napa, i = 1 2
(X, У)- декартово произведение этих пар (см. B)).Пусть щ =
= d{Et, F{, dt\Y),ade Et u Ft —комплексные векторные расслое-
расслоения над Xit a dt: Et -> F{ — отображение расслоений, сужен ie
которого на пространство Y{ является изоморфизмом. Пусть Е
и F — расслоения E) над пространством X и <т, ф д2: Е -» F —
отображение расслоений F). Тогда отображение <т, ф 521 У
является изоморфизмом, и в кольце К(Х, У) мы имеем сле-
следующее равенство:
d(E, F, бг1#с2|У) = а,Х<х2.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Атья М., Хирцебрух Ф., Векторные расслоения и однородные
пространства, сб. Математика, 6:2 A962), стр 3—39
[2] A t i у ah M. F Hir zebruch F., Analytic cycles on complex manifolds,
Topoiogy, 1 A962), 25—46.

ГЛАВА III
топологический еанд?нс оператора,
АССОЦИИРОВАННОГО С ©-СТРУКТУРОЙ
Р. Соловэй
§ 1. Изоморфизм Тома
1.0. Напомним основные факты об изоморфизме Тома. Пусть
Е — ориентируемое векторное расслоение размерности п над
паракомпактным пространством X. Предположим, что струк-
структурная группа расслоения Е редуцирована к группе SO(n).
Тогда можно определить расслоения В (Е) и S(E) единичных
шаров и единичных сфер, ассоциированные с расслоением
Е: S(E)czB(E)c=E.
Пусть п обозначает проекцию в каждом из этих расслоений.
Если х^Х, то пусть Ех — слой расслоения Е над точкой х.
Ориентация расслоения Е определяет канонические образующие
Uxz=Hn(B(Ex), S(EX); Q)
для каждой точки j:el Пусть
/,: (В(ЕХ), S (?,))->(?(?), S(E))
— отображение вложения.
Как показал Р. Том, существует единственный класс
Ue=Hn(B(E), S(E); Q)
(называемый классом Тома), такой, что fx(U)=Ux для всех
точек х. Изоморфизм Тома
Ф,: Н1{Х; Q)^Hn+!(B(E), S(E); Q)
задается формулой
<рДа) = л*(аI1С/ (где я: В(Е)->Х). A)
(Группы HJ(B(E), S(E); Q) равны нулю для }<п.)
Пусть i: (В(Е), 0)->(В(Е), S(Е)) — отображение вложения.
Тогда эйлеров класс расслоения Е
Х(Е)^Нп(Х; Q)
связан с классом U по формуле
n'(x(E))~C(U). B)
1.1. Все многообразия, рассматриваемые в этой главе, бу-
будут замкнутыми, ориентируемыми и четно мерными. Пусть
Гл. 111. Операторы, ассоциированные с G-структурой 33
X — многообразие размерности 21. Пусть Т* (X) — кокасатель-
ное расслоение над X, В(Х) и 5 (X) — расслоения единичных
шаров и единичных сфер, ассоциированные с расслоением Т*(Х)
относительно некоторой римановой структуры на многообра-
многообразии X. Проекцию пространства Г* (X) на X и ее сужения на
В(Х) и S(X) мы будем обозначать одной и той же буквой п.
Ориентация многообразия X индуцирует ориентацию на про-
пространстве Т* (X). Следовательно, как уже обсуждалось в п. 1.0,
мы получаем изоморфизм Тома
Ф,: Н*(Х, ®)^Н*(В(Х), S(X); Q).
1.2. Пусть а<=К(В(Х), S(X)). Тогда мы положим
*<-1)*<р.'ch(a). C)
(Таким образом, ch (Da) е Н* (X, Q).) Для мотивировки этого
определения мы коротко напомним определение ch(D).
Пусть Е и F — комплексные векторные расслоения над мно-
многообразием X. Пусть С°°{Е) (соответственно C°°(F)) обозначает
множество С°°-сечекий расслоения Е (соответственно расслое-
расслоения F). Пусть отображение
D: COO(E)->C'X(F)
является эллиптическим оператором. Оператор D может быть
дифференциальным оператором в смысле гл. IV или более
общо интегро-дифференциальным оператором типа Сили. В этом
случае символ
о (D) €= Нот {пЕ, n'F) (я: В (X) -> X)
определен. Условие эллиптичности оператора D заключается
в том, что a{D) \S (X) — изоморфизм. Отсюда, используя кон-
конструкцию различающего элемента, рассмотренную в гл. II,
мы можем определить элемент у (D) е= К (В (X), S (X)) по фор-
формуле
y{D)~d(nE, tCF; o(D)\S(X)).
Положим по определению
Очевидно, что ch(?>) зависит только от элемента y(D), и в фор-
формуле C) мы уже определили ch(Z)a), как если бы Da являлся
эллиптическим оператором с y(Da) — a. Фактически всегда су-
существует эллиптический интегро-дифференциальный оператор Da
(к которому будет применяться теорема об индексе), такой,
что у (DJ = а.
3 Р. Пале

34
Р. С о л о в э й
§ 2. G-структуры на многообразиях
2.0. Пусть G — компактная группа Ли. Под вещественным
G-модулем мы будем понимать вещественное векторное про-
пространство М, снабженное представлением
Я: G->AutR(Af).
(Существует аналогичное определение комплексного G-модуля
Ориентированным вещественным G-модулем М называется ве-
вещественный G-модуль, подлежащее векторное пространство
которого ориентированно; действие группы G на пространстве М
сохраняет ориентацию. Если, например, М и N — комплексные
G-модули, то, очевидно, векторные пространства
М\ А*М и Homc(Af, N)
также являются G-модулями.
2.1. G-структура многообразия X состоит из: A) ориенти-
ориентированного вещественного G-модуля V, B) главного G-расслое-
ния Р над многообразием X, C) сохраняющего ориентацию
изоморфизма
где Т (X), конечно, — касательное расслоение многообразия X.
Например, если группа G есть 50 (п) и пространство V
есть R" (с обычным действием группы 50 (п) на нем), то
G-структура многообразия X совпадает с римановой структу-
структурой на X.
Если пространство М есть G-модуль, то векторное расслое-
расслоение Р X аМ называется ассоциированным с G-структурой мно-
многообразия X. Например, если G = 50 (п), V = R", как выше,
и M — Ak(V), то расслоение Р X qM совпадает с расслоением
вещественных внешних дифференциальных форм порядка k на
многообразии X.
2.2. Пусть Ва — классифицирующее пространство для
группы G, и пусть Еа — универсальное главное G-расслоение
над пространством Во. Пусть /: X —> Ва — некоторое классифи-
; цирующее отображение для главного G-расслоения Р; мы бу-
будем называть / классифицирующим отображением для G-струк-
G-структуры на X. Для произвольного G-модуля М положим
М = Еа X О.М. Таким образом, М — векторное расслоение над
универсальным пространством, соответствующее G-модулю М.
Мы имеем канонический изоморфизм
= ГУ. D)
Гл. III. Операторы, ассоциированные с G-структурой
35
2.3. Если X является многообразием с G-структурой, то
можно построить элементы а <= К. (В (X), 5 (X)), которые ассо-
ассоциированы с G-структурой следующим образом.
Пусть М и N—комплексные G-модули. Пусть я: В (V*) -> Ва—
отображение проекции. Предположим, что существует изо-
изоморфизм
5: nM\S(V*)^nN\S(V*). E)
Различающая конструкция дает нам элемент
y = d(nM, n'N, 6)<=K(B(V*), S(V*)I).
Пусть отображение/: (В(Х), S(X))-+(B(V), S(V)) индуциро-
индуцировано отображением / (см. Ш). Тогда мы положим a = fly.
2.4. Пусть элемент aS/((B(I), 5(X)) ассоциирован
с G-структурой многообразия X. В конечном счете мы соби-
собираемся показать, как получается явная формула ch(Da) для
различных конкретных элементов а. Следующая теорема яв-
является первым шагом в этом направлении.
Теорема 1. Пусть X — многообразие размерности 21. Пред-
Предположим, что X имеет G-структуру с классифицирующим
отображением /: X -> Ва. Пусть элемент а е f( (В (X), 5 (X))
ассоциирован с G-структурой. Мы предположим, что элемент а
построен из G-модулей М и N и отображения а, как указано
выше. Пусть, кроме того, рациональный эйлеров класс %(F*) e
^Н*{Ва, Q) не равен нулю. Тогда элемент ch (M) — ch (N) де-
делится на %(V") и
F)
Замечание 1. Борель (см. [1]) показал, что кольцо
Н*(Ва, Q) не имеет делителей нуля. Следовательно, правая
часть равенства F) однозначно определена.
Замечание 2. Правая часть равенства F) зависит
только от G-модулей М и N и не зависит от изоморфизма д.
Следовательно, то же самое верно и для ch(Da).
i) В гл. II iC-теория рассматривалась лишь для категории конечных
CW-nap, поэтому, строго говоря, следовало бы иметь дело с JV-универсаль-
ным классифицирующим пространством BQ< v, после чего устремить N в бес-
бесконечность. (Пространства Во N могут быть конечными СйР-комплексами.^
Однако везде мы будем говорить только о BQ.

36
Р. С о л о в з i
Доказательство теоремы 1. Пусть у = d(п*М, n*N, a).
Так как отображения ch и изоморфизм Тома естественны, то
G)
Поэтому достаточно показать, что
% (V') U Ф. ch (у) = ch (M) - ch (N).
Пусть /: (B(V*), 0)-*(B(V'), S(V')) - отображения вло-
вложения. Рассмотрим диаграмму
К (В (VI, 5(П) -Lk(B(V), 0)
Uh
I ch
H"*(B(V*), S{V*)\ Q)
*'(ВО, Q)
0; Q)
s=* I n**
H"(BO, Q).
Так как отображение ch является естественным, то верхний
квадрат является коммутативным. (Напомним, что Н** (X) =
— П Нг(Х).) Коммутативность нижнего квадрата следует из
формул A) и B) раздела 1.0. Так как диаграмма коммутативна,
то
фГ1 (ch(v)) U х(П = (я* Т1 (oh(f (у)). (8)
Так как у = d (л'М, n*N, 5), то
(по лемме 1 (iv) гл. II), так что правая часть равенства (8)
совпадает с chM — chN.
Доказательство закончено.
§ 3. Обзор формализма Бореля — Хирцебруха
(по [21)
3.1. Пусть Тт — тор размерности г:
Tr=*Sl X . .. X S1 (г экземпляров).
Тогда классифицирующее пространство Втг является декарто-
декартовым произведением г экземпляров бесконечномерного комплекс-
комплексного проективного пространства, СР (со):
Вг = СР(оо)х ...
Гл. Ш. Операторы, ассоциированные с О-структурой
37
Следовательно,
Н'(ВТ, Q)fisQ[jc,, .... xr], H"(BT,
хг},
где Q[*i. .... хг] — кольцо полиномов от переменных xt e
sH2(BT, Q) с рациональными коэффициентами, a Q{*i, ..., хг} —
кольцо формальных степенных рядов.
3.2. Пусть теперь G — компактная группа Ли и Г —макси-
—максимальный тор в G. Вложение максимального тора Т в группу G
определяет отображение классифицирующих пространств
р: Вт-+Во
(определенное с точностью до гомотопии).
Группа Вейля W(G, Г) —это группа автоморфизмов тора Т,
которые продолжаются до внутренних автоморфизмов группы G.
Группа Вейля действует на кольце когомологий Н*(ВТ, Q)
(так как она состоит из автоморфизмов группы Т). Теперь мы
можем сформулировать борелевское описание Н*(ВО, Q).
Теорема 2. Отображение
р*: H*(BQ, Q)-+H*(BT, Q)
является мономорфизмом. Образ этого отображения состоит
из тех элементов у^Н*(ВГ, Q), которые инвариантны относи-
относительно действия группы Вейля на G (т. е. g • у = у для всех
g(, ))
Мы часто будем отождествлять кольцо Н*(ВО, Q) с его
образом в кольце Н*(ВТ, Q) при гомоморфизме р\
3.3. Пусть 51 — группа вещественных чисел, приведенных
по modi, т. е. S1 = R/Z. Тогда для каждого тора Г имеются
канонические изоморфизмы
[х: Нот (Г, Sl)-+Hl(T, Z), v: Нот (Г, Sl)-+H2(BT, Z),
которые в дальнейшем трактуются как отождествления. Их
можно описать следующим образом. Пусть a^H!(Sl, Z) яв-
является канонической образующей. Тогда \х (h) = ti" (о). Для опи-
описания изоморфизма v мы временно отождествим группы 51
и U (I) при помощи отображения
s->e
23lis
(s s S1).
Гомоморфизм h: T -> S1 порождает главное U A)-расслоение \h
над пространством Зт. Мы положим
v (АН с, (&).

Р. С о л о в э й
ЗА. Пусть G.— компактная группа Ли, Г —ее максималь-
максимальный тор, М — некоторый G-модуль и Еа — главное универсаль-
универсальное G-расслоение над пространством Ва. Напомним, что
М=ЕаХаМ является некоторым векторным расслоением над5о,
соответствующим (/-модулю М. Мы хотим, следуя Борелю —
Хирцебруху, описать характеристические классы расслоения М.
Случай 1. Пусть М — комплексный G-модуль размер-
размерности п. Рассмотрим М как Г-модуль. Тогда модуль М является
прямой суммой одномерных неприводимых Г-модулей
Mi'. М — Мх® ... @Мп. На модуле М/ группа Т действует по
формуле
m = е
m
(m
где а/ е Нот (Г, S1)- Эти (ог называются весами G-модуля М.
Множество весов не зависит от выбранного разложения G-мо-
G-модуля М на неприводимые Г-модули (в силу теоремы Жордана —
Гёльдера).
Рассмотрим теперь ©,- как элементы из группы Н2(ВТ, Q)
(как описано в п. 3.3) и отождествим кольцо Н*(Ва, Q) с под-
кольцом кольца Н*(ВТ, Q), как в п. 3.2. Тогда верны следую-
следующие формулы:
ch (M) =
(9)
A0)
Замечание 1. Формула (9) показывает, что элементы
Ci(M) являются /-ми элементарными симметрическими функ-
функциями от весов модуля М.
Замечание 2. Пусть гомоморфизм I: G—>-AuteM опи-
описывает действие группы G на модуле М. Классический харак-
характер этого представления ch (Я) является комплексной функцией
на группе G и ch(A)(g) = Trace (Я (g)). На группе Т существует
тождество
очень похожее на A0). Поэтому если нам известен классиче-
классический характер G-модуля М (на торе Г), то можно сразу же
написать выражение для сп(М).
Случай 2B')., Пусть М является вещественным G-моду-
G-модулем размерности 2п Bп + 1). Как Г-модуль, пространство М
1~л. Ш. Операторы, ассоциированные с G-структурой
39
распадается в прямую сумму п экземпляров двумерных Г-мо-
дулей:
лгме
и группа Г действует тривиально на /?').
Зададим на модуле М G-инвариантную метрику. Тогда,
выбрав некоторый ортонормированный базис в модуле Mh мы
можем описать действие элемента t^T следующей матрицей:
' cos 2ясо;- (/) - sin 2я©у (t) \
, sin 2л©/ @ cos 2я©; @ /'
где (О/ ^ Нот (Т, 5')- Эти ©/ называются весами модуля М.
Элемент ©;- зависит от выбора ориентации в модуле М;-; при
изменении ориентации М/ элемент со;- переходит в — (о;-.
Классы Понтрягина вещественного векторного расслоения М
задаются формулой
П «2). A2)
i-
Таким образом, х-й характеристический класс Понтрягина
Pi(M) расслоения М является i-й элементарной симметрической
функцией от элементов со^, . .., а2п.
Случай 3. М является ориентированным вещественным
G-модулем размерности 2л.
В этом случае расслоение М ориентировано. В определении
весов модуля М мы выбираем ориентации модулей М{ так,
что М получает свою заданную ориентацию (см. A1)). Тогда
эйлеров класс расслоения М задается формулой
A3)
3.5. Предложение, (а) Пусть М" является комплексным
G-модулем с весами coj, ..., со„. Тогда комплексно сопряжен-
сопряженный G-модуль М имеет веса — со;, ...,— юга. (Если М={т \т<^М},
то Хт — "km, mx + гп2 = ni\ + m2, gth = gm.)
(б) Пусть М" является комплексным G-модулем с весами
шь ..., соге. Пусть М' — вещественный ориентированный G-мо-
G-модуль, соответствующий модулю М. Тогда весами модуля NV
являются аь ..., ш„.

40
Р. С о л о в эй
Гл. III. Операторы, ассоциированные с G-структурой
41
(в) Пусть М — вещественный G-модуль размерности т. Пусть
to,, . . ., ©„ — веса модуля М (п = -тг])- Тогда весами комплекс-
комплексного G-модуля М <Е> С служат ±щ, ..., ± ©л (если т = 2д) «
± ©,, ..., ± со„, 0 (если т = 2д + 1).
Набросок доказательства. Мы можем предполо-
предположить, что G = Т и что тогда М — либо одномерное комплекс-
комплексное векторное пространство, либо двумерное вещественное*
Требуемый результат получается теперь из определения ве^
сов G-модуля.
3*6. Используя выражение A3) для эйлерова класса, Мы
Можем придать теореме 1 следующую формулировку.
Теорема 3. Пусть X21 — многообразие с G-структурой,
f: X -> Ва — классифицирующее отображение для G-структуры
и V — ориентированный вещественный G-модуль, такой, что
Т (X) = f*V.
Пусть ©1, ..., ац~веса модуля М. Тогда если элемент
ае.К(В(Х), S(X)) ассоциирован с G-структурой, а G-модули
М и N таковы, как в п. 2.3, то
ch(z?B)-r/chff)"ch(^'
I I (— со/)
\ /
3.7. Обозначения для Н*(ВТ, Q),
Случай 1. G — U (п).
Пусть С" — обычный О (я)-модуль. Пусть
Ся = Сф ... фС (п экземпляров) (*)
— тавтологичное разложение в прямую сумму. Тогда стандарт-
стандартный тор Т группы U (п) состоит из тех g?= U (п), которые ото-
отображают в себя каждое прямое слагаемое из (*). Пусть Х\, .. .
..., хп — веса пространства С" как G-модуля (относительно
разложения (*)). Тогда
И"(Вт, Q)=Q[*,, ..., хп].
Более того, если мы отождествим Н"(Ви(п), О) с подкольцом
кольца Н* (Вт, Q), то ввиду (9) получается следующая фор-
формула для классов Чжэня универсального расслоения:
Д
I *
Случай 2.
2
2"
SOBn).
Пусть R — обычный 50 Bл)-модуль, и пусть
R2re = R2® ... ©R2. . (**)
Стандартный максимальный тор Г группы 50 Bл) состоит
из тех ge50Bn), которые отображают в себя каждое сла-
слагаемое из (**). Каждый экземпляр R2 ориентирован, так что
веса пространства R" как G-модуля корректно определены.
Пусть У\, ..., Уп~ веса R п. Тогда из A2) и A3) мы получаем
следующие формулы для классов Понтрягина и Эйлера уни-
универсального расслоения соответственно:
х-Пу,
3.8. Мы сформулировали результаты Бореля — Хирцебруха
как результаты о характеристических классах расслоений над
классифицирующим пространством Во. Естественно, что эти
результаты имеют место для расслоений над любым простран-
пространством. Проиллюстрируем это на примере.
Пусть 1 — комплексное векторное расслоение над простран'
ством X. Введем формальное разложение
1-Х
Тогда каждый формальный степенной ряд от переменных
хи ..., хп, симметричный по всем переменным, можно рас-
рассматривать как степенной ряд от переменных сх (|), ..., сге(|),
являющихся элементами кольца Н"*(Х, Q). В частности, класс
Тодда представляется в виде
1 -е
Теперь пусть цп — вещественное векторное расслоение над X.
Мы рассмотрим классы Понтрягина расслоения г\ как элемен-
элементарные симметрические функции от элементов у\, ..., у\. По-
Положим
(Так как расслоение r\ ® С является комплексным, правая
часть написанного равенства уже определена.)

42
Р. С о л о в э й
Предложение.
-yt
Доказательство. Покажем сначала, что если М — ком-
комплексный G-модуль размерности т (G — компактная группа Ли),
М = Ео ® qM — комплексное векторное расслоение над Ва, ассо-
ассоциированное с модулем М, и coj, ..., <вш —веса модуля М, то
A4)
- el
Доказательство формулы A4). Пусть сть ..., ат —
элементарные симметрические функции от неопределенных пе-
переменных хь ..., хт. Рассмотрим О.[оь ..., ат] как градуиро-
градуированную алгебру, в которой элемент стг- имеет градуировку 2/.
Для некоторых полиномов Tk(ob ..., оп) мы имеем фор-
формальное равенство
о,„) =
LJr 1-е
A5)
и элементы
Q[cr,, ...,
гы Tk(ou ..., am) имеют градуировку 2k в кольце
am]. Тогда определение класса J"(|) приводит к
оо
k=Q
В частности,
, .. ., ст(Щ).
A6)
Подставляя элементы а>ь ..., сот в A5) и используя тот факт,
что а4(оог, ..., <йт) = ct(M) (по (9)), мы получаем
ст{М)) =
i-l
1 -е
A7)
Но из формул A6), A7) вытекает формула A4).
Ввиду естественности достаточно проверить случай, когда
X = BSo(n), M = Rn и ц = М. Пусть уи ..., yk (A = [л/2]) —веса
модуля М. Тогда т)®С = М®С. По предложению п. 3.5 (в)
весами модуля М <8> С служат ± уи . . ., ± yk и, может быть, 0.
Так как х/A — е~х) имеет постоянный член 1. то 0/A — е~°) при
Гл. III. Операторы, ассоциированные с О-струкгурой
43
соответствующей интерпретации есть 1. Отсюда, используя A4),
мы получаем
-У1
A8)
Здесь уг- является элементом группы Н2(ВТ, Q). Однако
в силу A2) Ц A +yf) = 1 "I- P, + ••• + рй. Таким образом, пред-
предложение доказано для расслоений г\ = М над классифицирую-
классифицирующим пространством. (См. доказательство формулы A4).) Дока-
Доказательство закончено.
§ 4. Применение к ch (D)
Если М и Af — комплексные векторные пространства, то мы
обозначим через Iso (M, N) множество изоморфизмов М на N.
Пусть G —компактная группа Ли, V — вещественный G-мо-
G-модуль, М и N — комплексные G-модули. Предположим, что
отображение
a: S(V')-+lso{Mt N)
G-эквивариантно. Тогда если Р является главным G-расслое-
нием с базой X,
? = РХ0М, F = PX0N и Г = РХЙ1', A9)
то а порождает отображение поднятий
оР: nE^nF,
где отображение л: S(T*)->X является проекцией. Более того,
отображение оР является естественным по отношению к ото-
отображениям расслоений.
Применим наши рассмотрения к случаю, когда X — много-
многообразие с G-структурой, Р — главное расслоение, V — веще-
вещественный ориентированный G-модуль, ассоциированный с этой
структурой: PXqV^T(X). Пусть Е и F — расслоения из A9).
Пусть оператор
D: Cca(E)-*C
является эллиптическим и таким, что
Тогда можно вычислить ch(D), используя теоремы 1 и 3. Дей-
Действительно, пусть элемент y(D) e= K(B(X), S{X)) определяется
как
d (nE, nF, аР) (л: В {X) -» X).

44
Р. С О АО в Эй
= Г(к"М, nN, аЕC), так что элемент y(D) ассоцииро-
ассоциирован с G-структурой на многообразии X (в смысле п. 2.3).
Итак, если X21 — многообразие с G-структурой, а
D: C°°(E)-+C°°(F)
— эллиптический оператор с символом o(D), задаваемый „уни-
„универсальной" формулой (т.е. o(D) = gp), то
Таким образом, элемент ch(D) можно вычислить, зная только
G-модули М, N и V. В гл. IV мы увидим, что каждый клас-
классический эллиптический оператор является оператором такого
типа. В следующих параграфах мы подсчитаем топологические
индексы таких операторов.
§ 5. Класс Эйлера и класс Тодда
5.0. Предложение. Пусть М — комплексный G-модуль
с весами а>{, ..., со„. Тогда
((( n
j-0 1=1
Доказательство. Пусть еь ..., <?„ — базис модуля М,
такой, что
Тогда элементы [ах А ... Л eik I 1 <А <х'2< ••• <4<«] обра-
образуют базис модуля AkM и
t-eitA...Aeik = ехр Bяг (©;, + ... + (aik){t)) • е^А ... А е<4.
Таким образом, весами модуля AkM являются элементы
Из A0) имеем
2(- l)J
i=0
(- 1Уеа'*'"+°11 =
5.1. Пусть G = 5OBn) и V = R2ra. В этом случае много-
многообразие X с G-структурой есть ориентированное риманово
многообразие.
Гл. Ш. Операторы, ассоциированные с G-структурой
45
Предложение. Пусть Х2п — ориентированное риманово
многообразие, и пусть оператор D: С°°{ 2
l
A*(f(I))®c
l() /
ССО[ 2 Ak(T* (X)) <g> с) является эллиптическим. Предпо-
1.^1B) /
ложим, что символ оператора D порождается универсальной
конструкцией (см. § 4). Тогда топологическим индексом it(D)
оператора D является %(Х) [X], где %(Х) — эйлеров класс ка-
касательного расслоения X.
Доказательство. Положим V = R2re, M= 2 Ak(V*(g>C),
4иОB)
jV"= 2 Л6(К*®С). Заметим, что пространство V" изо-
fc— 1B)
морфно V как G-модуль (относительно х -> (х, • ), где (,) — ев-
евклидово скалярное произведение).
Пусть #i, . .., у„ — веса вещественного G-модуля V. Из пред-
предложения 3.5 (в) и только что сделанного замечания следует,
что весами модуля V* ® С служат ± уи .. ., ± уп. Таким обра-
образом, по предложению 5.1
ch (AT) - ch (N) = П A ~ eUi)(l - e~y').
i=i
Согласно § 4, можно применить теорему 3 к оператору О и
получить
ch (D) =
Напомним, что
(- yi)
Отсюда ch(D)J"(JO = Д г/г = %(Х) (см. п. 8, случай 2). Таким
образом, it (D) = ch (D)J}(X) [X] = %(Х) [X].
5.2. Пусть теперь G = U (пг) X U (п), V = Ст. Пусть группа G
действует на пространстве V проекцией U (т) X U(n)-±U (т),
на пространстве W — проекцией U (пг) X U (п) —> U (п).
Пусть X является многообразием с G-структурой, и пусть
Р — главное G-расслоение над X. Тогда расслоение
X qV
естественным образом является комплексным векторным рас*
слоением с эрмитовым скалярным произведением на слоях.
Итак, X каноническим образом является эрмитовым почти

46
Р. С о лов эй
комплексным многообразием. Вдобавок г\ = Р X qW — эрмитово
комплексное расслоение над X. Обратно, если X является
эрмитовым почти комплексным многообразием и т] —эрмитово
комплексное векторное расслоение, то на многообразии X
существует каноническая G-структура, индуцирующая данную
эрмитову почти комплексную структуру и такая, что рассло-
расслоение Р X aW канонически изоморфно расслоению г\.
Теперь положим
2 Ак (V*) ® W, N = 2 Л* (у*)
2) fc lB)
М =
W.
Мы будем писать if {X) для класса Тодда комплексного век-
векторного расслоения Т (X) и J"(Xr) для класса Тодда соответ-
соответствующего вещественного расслоения.
Предложение. Пусть G — вышеуказанная группа, X —
многообразие с G-структурой и Е — Р X аМ, F = Р X о^, т) =
= Р X qW. Предположим, что оператор
D: С°° (Е)-+С°° (F)
является эллиптическим и что символ оператора D порож-
порождается универсальной конструкцией. Тогда
*,(?>) = ch(г,)/(*) [X].
Доказательство. Пусть хи . . ., хт — веса комплексного
G-модуля V. По предложению п. 3.5 (б) вещественный ори-
ориентированный G-модуль Vr, соответствующий модулю V, также
имеет своими весами хи ..., хт. Пусть (,) —стандартное
эрмитово скалярное произведение в С". Тогда отображение
х—>(,х) устанавливает изоморфизм G-модулей
Vsz V*.
Таким образом, мы имеем изоморфизм G-модулей V* = V — V.
Мы можем теперь применить предложение 5.1 и получить, что
т
ch (М) - ch (N) = ch (W) П (l - ех').
е-!
По теореме 3 (см. § 4)
где отображение f: X—>BQ является классифицирующим.
Вычислим теперь J"(Xr). Если Хг — вещественное С°°-много-
образие, соответствующее комплексному многообразию X, то
Гл. III. Операторы, ассоциированные с G-структурой
47
Но модуль Vг имеет своими весами хи .,., хт. Отсюда сле-
следует, что
(по предложению п. 3.9).
Далее, r\ = f{W), и элементы с, (X), ..., ст(Х) являются
элементарными симметрическими функциями от переменных
f*Xi, .--уГхт- (Конечно, элементы f*xu ..., f'xm не существуют!)
Таким образом,
(
- в
что и требовалось.
§ 6. ?-род
6.1. Пусть V" — ориентированное вещественное векторное
пространство, снабженное скалярным произведением ( ).
Напомним, что существует изоморфизм
*: А" {V) s& An~k (V),
определенный следующим образом.
Пространство Ak(V) снабжено естественным скалярным
произведением, определенным равенством
<е, Л ... Aek, f, Л ••¦ Afk) = det| (eh ft)\.
Если элементы еи ..., еп образуют ориентированный орто-
ортонормированныи базис, то положим
det(e, Л ... Л еп) = 1.
Отображение det продолжается по линейности до канони-
канонического изоморфизма A"(V) = R. Тогда отображение * опре-
определяется равенством
(a, b) = det (а Л * о) (а,
B0)
Если элементы ех, . . ,, ек, . .., еп образуют ориентированный
ортонормированныи базис пространства V, то
* {ех А ... Л ек) = ек+1 А ... Л еп. B1)

48
Р. С о лов эй
Отсюда легко заметить, что *2 = (^ \)к <"-*> на пространстве
Ak(V). Если dim V — четное число, что мы всегда будем пред-
предполагать, то
*2 = (— 1)* на пространстве Ak(V). B2)
Пусть теперь пространство V имеет размерность 21, и пусть
отображение
a: A'(V)® С-*Л*(Ю® С
Гл. III. Операторы, ассоциированные с G-структурой
49
равно /*(*-')+* ¦ на пространстве ЛА(У). Легкий подсчет с по-
помощью B2) показывает, что а2=1. Поэтому получается раз-
разложение в прямую сумму
где Л± является собственным подпространством отображения а,
соответствующим собственному значению ±1. Заметим, что Л±
являются комплексными векторными пространствами.
Если Е является 2/-мерным ориентированным векторным
расслоением, то мы можем определить отображение а на
каждом слое расслоения Л'(?)® С, получая тем самым раз-
разложение в прямую сумму Л* (?) ® С = Л+ (?HЛ_ (?).
Следующее предложение будет доказано в конце этой
главы.
Предложение 6.1. Рассмотрим V = R2n как веществен-
вещественный ориентированный SO Bп)-модуль. Тогда если V — рассло-
расслоение над пространством Bso&n), соответствующее модулю V, то
ch (Л+ (V)) - ch (Л. (V)) = ft (e-"t - e%
где кольцо H*(BsoBn)) отождествлено с подкольцом кольца
Н* {Вт), а элементы уъ ..., уп являются весами SO Bn)-мо-
Bn)-моду'ля V.
Предложение 6.2. Пусть X — риманово многообразие;
и пусть оператор
D: С°°(Л+ (Г (X)))-* С°°(Л_ (Г (А')))
является эллиптическим оператором, символ которого дается
универсальной конструкцией. Тогда
it(D)=-]Jyi/thyi[X],
i
где элементарные симметрические функции от у2, рассматри-
рассматриваются как классы Понтрягина.
Замечание. Функция y/thy является четной и, следова-
следовательно, задается степенным рядом из Q{y2}.
Доказательство. Мы положим M = A+(V), N = Л_(У);
применяя теорему 3 и предложение 6.1, мы получаем
п -и
— e
(=1
У1
-У1
- у i
-У!
Теперь с помощью равенства
U~l-U 1-
•дучо-иоA-^
U-I Ull2-U~m
получим
ch (D) f (X) = Ц yt ^Ш- = Д yjtb Ы2).
i i
Таким образом, /,(?>) = сЪ(О)?(Х)[Х] = Д й/th (yt/2)[X]. Если
i
мы заменим yt на 2у{, то члены градуировки 2k умножатся
на 2к. Таким образом, члены максимальной размерности ум-
умножатся на 2", и мы имеем
или, что то же самое,
Замечание. Правая часть равенства B3) совпадает
с /,-родом Хирцебруха многообразия X.
Доказательство предложения 6.1.
1. Пусть V и W — четномерные векторные пространства.
Пусть a<==Ak(V), ieA((f). Тогда формула
*Vq w{a А Ь) — (— 1) * v(a) A*w(b) B4)
легко получается из определения отображения * (см. B0).).
4 Р. Пале

50
Р. С о л о в э й
Гл. Ш. Операторы, ассоциированные с G-структурой
81
Стандартные подсчеты показывают теперь, что
Л 6) = ау(а) Л <V(&).
_ (V) ® Л_ (W)),
B5)
Из этого следует, что
Л+(У®Г) = (Л+(К)®Л+<
Л_(Vф W) = (Л_ (V) ® A+(W))©(A+(V) ® Л_|.
2. Пусть /?: 5Г -*-Ва — отображение классифицирующих
пространств, индуцированное вложением i: T—*-G. Тогда по
определению отображения р существует такое отображение
Л: ЕТ->ЕО, что
X{x-t) = X{x)-t (для х<=Ет и t<szT)
и диаграмма
является коммутативной.
Пусть М есть G-модуль, М' — соответствующий Г-модуль.
Факторизация отображения АХ 1^: Ет X М —>Еа X М опреде-
определяет отображение расслоений М'—> М, индуцирующее отобра-
отображение р на базисных пространствах. Таким образом, М' = р*М.
3. Так как отображение р*: Я* {Ва, Q)-*H*{BT, Q) является
мономорфизмом, достаточно ввиду предыдущего показать, что
ch (A+ (R«)) - ch (A. (R2")) - П (е~У1 - в*),
i
где R2" рассматривается как Г-модуль.
4. Напомним, что если G — компактная группа Ли, то
через R(G) обозначают свободную абелеву группу, порожден-
порожденную неприводимыми G-модулями. Произвольный G-модуль М
разлагается в прямую сумму неприводимых G-модулей: М =
= Мх@ . . . фМп и определяет элемент [М] <=R(G) вида [М] =
— St'Wj]. Тензорное произведение G-модулей превращает R(G)
i
в коммутативное кольцо представлений группы G.
Отображение
ch: R(G)-»Hn(Ba, Q),
определенное формулой
ch([M]) = ch(AQ,
является кольцевым гомоморфизмом.
5. Вернемся к Г-модулю R2/i. Запишем его разложение на
неприводимые Г-модули:
R2re = R20 ... ©R2.
Пусть V'i обозначает г-й экземпляр R2, рассматриваемый как
Г-модуль. Из B5) получается следующее равенство в кольце R (Г):
[А+ (R2«)] - [А_ (R2")] = П «Л+ (К,)] - [Л_ (V,)]).
Применяя ch к обеим частям этой формулы, получаем
ch (Л+ (R2n)) - ch (Л_ (R2n)) = П (ch (Л+ (V{)) - ch (A_ (Vt)). B6)
i — l
6. Эйлеровым классом расслоения V\ является элемент yt.
Таким образом, предложение 6.1 будет вытекать из формулы
B6) и следующей леммы:
Лемма. Пусть V -~ ориентированное двумерное веществен-
вещественное векторное расслоение. Тогда если элемент у является эйле-
эйлеровым классом расслоения V, то
ch (A+ (V)) - ch (A_ (V)) = в
'1"
eyt
Доказательство. Естественно, мы можем предполо-
предположить, что расслоение V является универсальным ориентирован-
ориентированным 1?2-расслоением над пространством Bsopy
Если элементы ех и е2 образуют базис в R2, то *el=-e2,
¦*е-2= — еи *1 =е, Л е2, *(е{ Л е2)— 1. Таким образом, базис про-
пространства Л+ образуют элементы 1-W(e, Л^а) и el + ie2, a
базис Л_ состоит из элементов 1 — i{ex Л е2) и ех — ie2.
Если у: SO B) ->S' —стандартный вес, то у отображает
матрицу
/соэ2я9 — sin 2я9 \
V sin 2я6 cos 2л0 /
в 6е=5!.
Пусть [X] обозначает одномерное подпространство, натяну-
натянутое на х. Тогда 5ОB)-модули [1 ± i(ex A e2j] имеют нулевые
веса, а веса модулей [<?, ± ie2] равны + у соответственно.
Теперь лемма вытекает из формулы A0).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Боре ль А., Когомологии главных расслоенных пространств и однород-
однородных пространств компактных групп Ли, сб. „Расслоенные простран*
ства", ИЛ, М., 1958.
[2] В orel A., Hirzebruch F., Characteristic classes and homogeneous
spaces, I, Amer. J. Math., 80 A958), 458-538.

ГЛАВА iV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
НА ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
Р. Пале
§ 1. Обозначения
Через М мы будем обозначать паракомпактное С°°-много-
образие, возможно с краем, через С°°{М, С) —кольцо комплекс-
комплексных С°°-функций на многообразии М, через С°° (М, R) — подкольцо
вещественных функций, через V (М) — аддитивную категорию
комплексных векторных расслоений над многообразием М.
Объекты категории V (М) мы будем обычно обозначать бук-
буквами 1, т), Z, и, вообще говоря, будем использовать одинаковые
символы для обозначения векторного расслоения и его простран-
пространства. Слой расслоения | в точке х мы будем обозначать через \х.
Через С°° мы обозначим аддитивный функтор из категории V (М)
в категорию комплексных векторных пространств, который
каждому векторному расслоению | ставит в соответствие С°°-се-
чения расслоения | и каждому Fes Нот (|, г^) — индуцирован-
индуцированное отображение F,: С°° (?)—>С°° (г\), определенное формулой
Ft(f)(x) = F(f(x)) (элементы из Нош(|, ц)—это, конечно, С°°-ото-
бражения расслоения | в расслоение г\, которые для каждой
точки х е= М являются линейными отображениями простран-
пространства \х в пространство цх). Обозначим через С~A) подпростран-
подпространство пространства С°°(|), состоящее из сечений с компактными
носителями, а через Со°(?) — подпространство пространства СГ(|)>
состоящее из сечений, носители которых компактны и не пере-
пересекаются с дМ. Заметим, что пространство С°°(|) является
С°°(М, С)-модулем, что пространства СТ (I) и Со°(|) являются
его подмодулями, а отображение Ft является гомоморфизмом
модулей и отображает С? (I) в СГСп) и Со°(|) в Со°(т)).
Мы обозначим через L функтор из категории V (М) X V (М)
в категорию V (М), который каждой паре расслоений A, г\) ста-
ставит в соответствие расслоение L (?, ц), слоем которого L (|, г\)х
в точке х является комплексное векторное пространство L (%х, r\x)
всех линейных отображений пространства |х в пространство г\х.
Если Т «= Нош A, т)), то T{x) = T\lx(=L (\, г\)х и структура рас-
расслоения в L (|, т)) однозначно характеризуется тем, что
У е= С°° (L A, т))). Тогда соответствие Г->Г является естествен-
естественной эквивалентностью функторов Нот и С°° (L), которое мы
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 53
будем рассматривать как отождествление, т. е. будем считать
что Hom = C°°(L).
Пусть W — конечномерное комплексное векторное простран-
пространство, тогда через WM e= V (М) обозначается расслоение произве-
произведения М X W. Мы часто будем вместо С°° (WM) писатьС°°(М, W).
Если ^gF (М), то его сопряженное расслоение есть |* = L (|, См).
Аналогично если у есть вещественное векторное С°°-расслоение|
то Y* будет обозначать сопряженное вещественное расслоение^
Если М = М1 X ... X Mk и ?'sV(Afj), то расслоение
|! ® ... ® |* является расслоением над многообразием М, слоем
которого в точке х = (хь ..., xk) служит пространство
llx <8> ...®l*fe. Если fe=C°°(iO, то мы определим сечение
/! ® ... ® fk расслоения |, ® ... ® |fe формулой
Структура расслоения |! ® ... ® |* характеризуется тем, что
/' ® ... ® f * е С°° (I1 ® ... ® |*), если /' е С°° (Г).
Если |'eV(Af), i= I, .. ., k, то мы определим элемент
I1 ® ... ®t е V (М) формулой |! ® ... ® lk = Л* (i1 ® ... ® gft),
где А: М—>Л1Х ... X М — диагональное отображение х—>•
->(jc> ...,^л;). Если |г = | (/=1, ..., й), то мы будем писать
I1 ® ... ®?* = <8>А?. Если я является перестановкой множе-
множества {1, ..., k}, то я индуцирует морфизм расслоений, который
также обозначается через л, а именно расслоение ®fc| пере-
переходит в себя по формуле n(vt <8) ... ® ц&) = Упо) ® ... <8> Уп<*).
Множество элементов расслоения ®*?, которые остаются не-
неподвижными при всех перестановках л, обозначается через 5А(|)
и называется k-я симметрической степенью расслоения |. Суще-
Существует каноническая проекция S(ft) e Нот (® * |, 5* (|)), а именно
ТГ^Я' где сУмма берется по всем k\ перестановкам чисел
{1, . . ., k). Мы будем также использовать символ S{k) для обо-
обозначения проекции 5(й) ® id множества <8)fts®1l на 5fe(|)®il-
Заметим, что можно рассматривать тензорные и симметри-
симметрические произведения также и для вещественных векторных
С°°-расслоений. .
Пусть y является вещественным векторным С°°-расслоением
над пространством М. Для каждого gsV'(Af) и неотрицатель-
неотрицательного целого числа k определим комплексное вектсрлое С°°-рас-
слоение Lk (у, |) над М, слоем которого в точке х является
пространство Lk(yx, |х) А-линейных (над R) отображений про-
пространства (ух)" в %х (мы полагаем L°(yx, |х) = |х); структура

34
Р. Пале
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях
55
векторного расслоения вводится очевидным образом. Опреде*
лим подрасслоение Ls(\, |) расслоения Lk(y, |), слоем которого
в точке х является пространство Lks{yx, |ж) симметричных ^-ли-
^-линейных отображений пространства (ух)ь в %х. Если f e Ь*(ух, 1Х),
то существует ассоциированное отображение J: ух->1х, опре-
определенное формулой f (v) = f(v v), т. e. f= / о д, где А: Ух-*(ух)к
является диагональным отображением. Образ отображения
f->f легко устанавливается: это пространство Р^к)(ух, %х) одно-
однородных полиномиальных отображений степени к простран-
пространства ух в пространство ?,х. (Если еи ..., еп — базис простран-
пространства Yjo to Р(к)(Ух> 1х) состоит из всех отображений вида
хе
l l
где сумма берется по всем л-наборам целых неотрицательных
чисел a = (alr ..., ап), таких, что 2 Щ = &> а все уа являются
элементами пространства \х.) Отображение f->f устанавливает
изоморфизм между пространствамиLks(yx, lx) и Р{1г)(ух, 1Х); обрат-
обратное отображение называется поляризацией. Отсюда следует,
что расслоение Ls (у, ?) естественно эквивалентно расслоению
P(ft)(Y>i)> слоем которого в точке х является пространство
P(fe) (Yx, lx)-
Существует каноническое отождествление расслоения
<g)*Y*®l с расслоением Lk(y, 1), характеризующееся тем свой-
свойством, что элемент (и1 ® .,. ® vk) ® е из пространства <E>kyx <§) \х
соответствует отображению (wu ..., wk)->ul {wy) ... uk(wk)e
в пространстве Lk(yx, %х). При этом отождествлении подрас-
подрасслоение Sk (у") ® | cr <g)k у* <§) | отождествляется с подрасслое-
нием Lks(y, |) расслоения Lk{y,\). В частности, если oef(,
е es tv, то элемент (v ® ... <8> и) ® е принадлежит Sk (ух) <8) |л и
соответствует некоторому элементу из пространства Lks (ух, 1Х),
а именно
(оу,, ..., oyfe)->y(aJi) ... о(г»А)е;
этот элемент мы будем обозначать через Sk(v)<E>e.
Заметим, что мы построили три естественно эквивалентных
между собой расслоения ,
Вообще „предпочтительнее" оказывается Lks {у, |) (некоторый
выбор надо сделать), однако удобно варьировать эти различ-
различные точки зрения на одно и то же расслоение, и мы часто
будем так поступать.
Обозначим касательное расслоение многообразия М через
Т (М), его двойственное касательное расслоение — через Т*(М)
и через Т'(М)~ расслоение Т'(М) с удаленным нулевым сече-
сечением. Таким образом, элементами Г'(М) являются пары (v, x),
где х €= М и v — ненулевой линейный функционал на касатель-
касательном пространстве к многообразию М в точке х; проекция рас-
расслоения я: Т (М)-> М задается формулой n(v, x) = x. Отсюда
видно, что я*(|) является векторным расслоением над базой
Т'(М), слоем которого над точкой (и, х) является простран-
пространство \х, так что пространство Нош (я*|, я*т)) состоит из таких
функций a с областью определения 7"(М), что a(v, x) является
линейным отображением слоя Ъ,х в слой г\х. Для каждого веще-
вещественного числа k мы определим линейное подпространство
Smblfcd, т)) пространства Нот(я*?, я*т)) формулой
Smblfc A, т)) = {о е= Нот (я'1, кц) | а (ро, х) = pka (v, х), р > 0}.
Если число k является целым неотрицательным, то подпро-
подпространство Smblfcd, r\) пространства SmbU(|, r\) определяется как
Smblf (i, л) = С00 О(й) (Г* (Л1), L A, т\)) ),
или, более явно, элемент asHom(n*^, я*т)) принадлежит под-
подпространству Smblfe (|, т)) тогда и только тогда, когда для ка-
каждой точки х е= М существует однородное полиномиальное
отображение \х степени k пространства Т* (М)х в пространство
L&jc, г\х), такое, что a(v, x) = fx(v).
Существует канонический изоморфизм
A*: Hom(Lks (T(М), %), T])^Smblf(i, n),
задаваемый формулой
Мы оставляем читателю проверку того, что Xk является
композицией следующей последовательности канонических изо-
изоморфизмов:
())(
& С(Р& {Г (М), L

56
Р. Пале
Изоморфизм, обратный к Xk, будет обозначаться через а*—* а.
Таким образом, если as Smblf (g, ц), то элемент as
е Нот(Ls {T(М), g), х\) определяется формулой a(Sk(v) <g> е) =
= ст (о, jc)e.
Пусть V и W — соответственно вещественное и комплексное
векторные пространства конечной размерности, и пусть f: V -*W
есть С°°-отображение. Тогда для каждой точки хеУ диффе-
дифференциалом отображения f в точке х называется элемент dfx
пространства L(V, W), определенный формулой
Соответствие x—>dfx является С°°-отображением df: V—>L (V, W),
называемым первым дифференциалом отображения f. Произ-
Производя каноническое отождествление L (V, Lk~1(V, W))s*Lk(V, W),
мы получаем по индукции последовательность С°°-отображений
dkf = did ~lf): V ->La (V, W) и с помощью классической теоремы
дифференциального исчисления о равенстве смешанных произ-
производных имеем фактически dkf: V->Lks (V, W). Если е — (еь ..., еп) —
базис пространства V, то, беря двойственный базис хи ..., хп
пространства V* (С°°-систему координат для пространства V),
имеем . flkf
dkfx (e, , ..., е, \ = ?-Ц (х).
х \ li lk) dxt ... дх{ v '
Если а = (аь ..., а„) является „д-индексом", т. е. д-мерным
вектором из целых неотрицательных чисел, то полагаем
|а|\ |а|!
a | = aj +
+ а„, a! =
are!
и
Если х
а / ' а!
= {х\, ..., хп)~набор п комплексных чисел, то мы будем пи-
гг. гг.
сать
д\а\
ха = х
дхп
хапп и Da для дифференциального оператора
Если е = (вх еп) — некоторый д-набор, то под еа
будем понимать |а|-набор (е(а'\ ..., е^), где е^ является
а^-набором (е,-, ..., et). Поэтому, например, вышеуказанное
соотношение между dkfx и частными производными отображе-
отображения / дает d) a 'fx (ew) = Da f (x), и теорема Тейлора принимает
вид k
-^dmfx(v{m)) + R^
2
I a | <
а!
I a 1 = 4
ft+i
где Rk+l: V^Lrl(V, W) и R«
суть С°°-отображения.
?л. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 67
§ 2. Джет-расслоения
Пусть р^М; через 1Р(М) или просто /,, обозначается идеал
кольца С00 (М, С), состоящий из функций, обращающихся в нуль
в точке р. Если | является комплексным векторным С^-рас*
слоением над М и
то комплексное векторное пространство fe-джетов расслоения |
в точке р обозначается через /*(|)? и определяется следующим
образом:
Каноническое линейное отображение С°°(|) в /*(|) обозна-
обозначается через fy-*ih(J)p, и элемент jk(f) называется "k-джетом
отображения f в точке р.
Лемма 1. Существует единственное линейное отображение
dp: Ip->LS(T{M)P, С), такое, что если Х\ ..., Xk — векторные
поля на многообразии Ми f e
4f(xp,..., 4) =
Кроме того последовательность
,
то
О-
точна.
°-+Lka(T(M)p, C)->0
Доказательство. Для &=1 лемма очевидна и dpf — dfp.
Предположим по индукции, что лемма верна для всех целых
чисел, меньших чем k. Пусть / е 1Р, так что по предположению
индукции dkp~lf — O, и пусть X1, ..., Xk — векторные С°°-поля на
многообразии М. Тогда
{(X1.. .XlXi+1 ...Xk) f](p) - [(X1 ... Х1-1Х'+1Х'Х'+2 . . . Xk)f] (р) =
= [(X1 ... X1-1 [Г, Xi+{\ Xi+2 . . . Xk) f] (p) ~
Hk~lf(Yl Yl~X
l Yi+2
\p, Лр ,
Другими, словами, [{X ... X )f](p) симметрично по аргументам
Х\ ..., Xk. В частности, так как зависимость [(X1 . . . Z*)/J(p) =
= Хр [(Х2 ... Xk) f\ от X1 определяется только значением Хр
последнего в точке р и линейна по Хр, то зависимость
[(X1 ... Xk)f](p) от X' определяется только его значением
в точке р и линейна по Х1Р. Это доказывает существование

Р. Нале
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 59
отображения dpf, а его единственность очевидна, как и линей-
линейность d%: 1%->h\(Т(М)р, С). Заметим далее, что если gu . . ., gk+1
принадлежат Ip и X является векторным С°°-полем на много-
много2
2
gk) = 2 8i ¦ • • (Xgt) ... (gk+i)
+ *
(gt) (gk+i) p, т. e.
отображает /p+ в /*. По индукции если
k) [(' k)\
образии М, то X
отображение / >—/ р p у
feE/*+1, то (Z1 ... Xk)f^Ip, т. е. [(*' ...Xk)f\ (p) =
= d*/ Cyp, ..., Xkp) = 0, что доказывает вложение /P+I ? ker dp-
Пусть e = (eu ..., en)~ базис пространства T (M)p, (е\, ..., е*) —
двойственный базис, и пусть функции Хи ..., Хп^ С°°(М, R)
удовлетворяют соотношениям Xt (p) — 0 и {dXt)p = e*. Если
/еГ (М, С), то по теореме Тейлора / = S [^Г D^(jt?)] Z<1 + g'
где
(обозначения введены в конце § 1). Если /
) 0 при |о|<А, откуда
/,,
то
f- S(i^e
Тогда dPt [ {-gj:) ) = V~HPh так как если |<z| = |pi = ft, то
{D^Xa)(p) равно 0 при р^=а и а! при а = р. Следовательно,
если /ekerrfp, то Da(p) = 0 при \a\ = k, поэтому f = ge/J+1,
, и г&~г" 1
т. е. ker dp ?/P .
Наконец, для данного й? Lks (T(M)P, С) положим
S i«
Тогда /е/р и dkpf (e<a)) = (Daf)(p)= а(е{а)), поэтому 4/ = а, а из
этого следует, что отображение dp." Ip-> L*s {Т {М)р, С) сюръек-
тивно, что и требовалось доказать.
Замечание. Случай k = 2 настоящей леммы хорошо изве-
известен. Если / е /р, т. е. если dfp = O, то dp/ называется гессиа-
гессианом отображения / в точке р.
Лемма 2. Если ge=Ip(M) и dgp = v, mo dpgk = k\ Sk{v).
Доказательство. Пусть X1, .. ., Xk — векторные С°°-поля.
Тогда Xхgk = k {Xlg) gk~l и
= k{k—\)(Xlg)(X2g)gk 2 +элемент из идеала Ikp \
и по индукции
X1 ... X'g" = k (k - 1) . . . (k - I +
. . . (X'g) g*-1
элемент из Ip~1+l.
В частности,
Xk ... Xlg" = k ! {X'g)... (Xkg) + элемент из 1р,
так что мы имеем
dkpgk{Xkp, ..., Xp) = k\v(Xp) ¦ ¦. v{Xkp) = k\ Sk{v){Xkp, .... Zp),
что и требовалось доказать.
Если / е С°° (g) и ЛеС°° (?*), то А ° / будет обозначать эле-
элемент jc -> А (х) (/ (х)) из кольца С°°(Л1, С). Заметим, что если
f e Z* (g) и Л s Zp F*), Toftofe /*+'+2.
Лемма 3. Существует единственное отображение
dkp:
(I*), то
такое, что если f <= Zkp~\Q и
Если gre=C°°(M, С) удовлетворяет условиям g(p) = 0 и dgp = v,
и если /€=С°°(|) удовлетворяет условию f(p) = e, то dp~{gkf) —
—k \ (Sk(v) <g> e). Наконец, точна следующая последовательность:
0
Доказательство. Если h,
p)->0.
удовлетворяют
равенству h(p) — h'(p), то h — h' «= ZP(|&); поэтому если f^.Zkp ' (|),
и тогда d\{h °
p
i' ° f) =
то A»;-A of^h-hJot^J,
=(dp(A —A') °/)=0-Если*', .. .,Xks=T(M), то отсюда следует,
что зависимость dp (А о/)(ZP, ..., Хр) от А определяется только
его значением А (р) в точке р и является, как легко видеть,
линейной функцией от А(р), поэтому по рефлексивности суще-
существует единственный элемент dpf (Хр Хр) в пространстве |р1
такой, что
d*(Ao/)D, .... Xkp) = h(p){dkpf(Xp, .... 4)).
Так как dp(h°f) симметрично и мультилинейно относительно
переменных X ,...,. X , то dpf ez Ls (Т (М)р, |р). Оставшиеся
утверждения леммы легко получаются теперь как тривиальные
следствия лемм 1 и 2, Доказательство закончено*

60
Р. Пале
Так как Zp(?)^Zp ' A), то каноническое отображение I
f *-+ h (f)P пространства С°°(|) в Jk(\)р = С" (l)/Zkp &) индуцирует |
линейное отображение jk (f)p >—*• /fe_ i (f)p пространства /s(|)p
в Jkp~l (g) с ядром Zkp~{ (l)/Zp (g). По лемме З мы имеем точную
последовательность
в которой вложение i: Lks{T{M)p, ?р)-
тем, что
характеризуется
где g — произвольный элемент из кольца С00 (М, С), удовле-
удовлетворяющий соотношениям g(p) = Q, dgp = v, и где / — такой
элемент пространства C°°(g), что f(p) = e. Отсюда следует, что
* изоморфно 0 L?(T(M)P, lp). Если e = (<?i> ..., еп)- базис
0
{f(e(a))} устанавливает
%р, откуда Jk {%)р изо-
т=0
пространства Г(М)р, то отображение /
изоморфизм между LT(T(M)P, |р) и
|а|=от
морфно ® |р.
|а|<&
* U /*(|)р. Определим отображение jk (f):
5
Пусть /*(|
-*/*(!) для /еС[5 формулой jk(f)(p) = !h<f)p. Так как каж-
каждый элемент пространства /ft(|)p имеет вид /fe(/)p, то суще-
существует не более чем один способ превратить пространство /6(§)
в векторное С°°-расслоение над М, такое, что если f e С°° (|),
то jk (/) е С°° (/* (|)). Поэтому отображение jk: f -*¦ \и (f) является
линейным отображением пространства С°° (|) в С°°(/61). Оно
называется k-джет продолжением отображения f.
Пусть N — либо конечномерное векторное пространство V,
либо полупространство в V, и пусть й^ — конечномерное ком-
комплексное векторное пространство. Пусть далее ср: @ ^ N — карта
многообразия М и г|>: || (9 *» 0 X W — тривиализация расслое-
расслоения | над ©. Чтобы доказать существование расслоения /*(|),
мы опишем ассоциированную тривиализацию
W.
L?(V,
Легко показать, что эти тривиализации гладко связаны.
Именно каждый элемент f^C^iS,) задает поднятие до С°°-ото-
бражения f = ty ° f о ф-1: N —> W. По теореме Тейлора, если p^N,
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 61
то jk(.f)p~0 тогДа и только тогда, когда dmfp = O при т = 0,
1, ..., ^ (см- доказательство леммы 1). Отсюда (полагая
р'=ф(р)) мы получаем, что отображение
определяет тривиализацию
m=X)
L?(V,
Если е = {ех, ..., еп) — базис пространства V, то
h(t)—* (p> {DaJ(p)}w</^ определяет
и потому отображение
тривиализацию
Последнее дает, вероятно, наиболее наглядное описание
/г-джетов: ^-джет отображения f в точке р представляет собой
множество всех частных производных отображения f порядка =^&.
Подытожим некоторые основные свойства джет-расслоений.
Теорема 1. (Точная последовательность джет-
расслоений.) Существует точная последовательность джет
расслоений
h
0 -* Lhs (Т (М),
/fe-'
0.
Отображение /ft(g) —> /ft ' (|) задается формулой }к {f)p \—> jk_l (f)p,
а вложение i: LS(T(M), g)->/*(|) характеризуется тем, что
i(Sk(v) ® е) = /й (-ту S/) > ес-/гн g ^С°° (М, С) удовлетворяет усло-
виям g{p) — 0, dgp = v, a /sC°°(|) удовлетворяет условию
)
Доказательство проведено выше.
Если / обращается в нуль в окрестности точки р, то ясно,
что jk(f)P — O для всех k. Следовательно, имеет место
Теорема 2. Если 6 является открытым множеством в М,
то отображение jk (/)p>—*-/fe (f |<Э)р индуцирует изоморфизм /* (g) |© s*
/*(||0)
Теорема 3. Пусть Т — такая функция на многообразии М,
что Т (р) е L (Jk (g)p, цр). Для того чтобы имело место Т s
eCoo(L(ift(g),T))) = Hom(/ft(i), tj), необходимо и достаточно,
чтобы отображение х *—>¦ Г (jc) /fe (f)ж принадлежало пространству
Сда() 5 /С°°(|)
Сда(т))
каждого

62
Р. Пале
Доказательство. Необходимость очевидна. При дан-
ком ре,М выберем элементы {/,} в пространстве С°°(|) так,
чтобы {jk(fi)P} образовали базис в /&(|)р и, следовательно, эле-
элементы {jk(fi)} образовали локальный базис пространства /*(?)
вблизи точки р. Пусть А, е=С°° (/*(|)'), так что hi(x)(]k(fI)x) = dtf
для х, близких к р. Пусть gu ..., gs— локальный базис рас-
расслоения г] в окрестности точки р, и пусть Т (х) jk (ft)x) —
= 2 a{j (x) gj (х) около точки р. Тогда Т (х) = 2 а,-/ (х) (А* (я)(8> g/ (л:))
вблизи р. Если отображение х*—> Т(х) jk(fi)x принадлежит
С°°(т)), то коэффициенты atj будут гладкими и, следовательно, Г
будет гладким сечением расслоения /й(|)* <g> i\ = L(/*(?)> ti)
вблизи точки р.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векГорных расслоениях
63
§ 3. Дифференциальные операторы и их символы
Определение. Дифференциальным оператором порядка k,
действующим из расслоения | в расслоение г\, называется
такое линейное отображение D: С°°(|)-> С°° (ц), что для каж-
каждой точки р^М из /&(/% = О следует Df(p) = O (т. е. ли-
линейное отображение f -* Df(p) пространства С°°(?) в г\р обра-
обращается в нуль на Zp (|)). Обозначим множество дифференциаль-
дифференциальных операторов порядка k из расслоения | в расслоение г\ через
Diff (|, ц).
Выпишем некоторые тривиальные следствия этого опреде-
определения. Заметим, во-первых, что дифференциальный оператор
порядка /г является локальным, т. е. если De=Diiift(g, r\) и
если сечения fu f2^= C°°(g) совпадают на открытом множестве 6,
то Dfi и Df2 также совпадают над 6. Во-вторых, Diiik_l (|, т)) s
^Diff/j (|, т)). В-третьих, Difffe(|, r\) является подпространством
пространства Нотс(С°°Ш, С00^)), фактически же это мно-
множество является С°°{М, С)-подмодулем. Наконец, заметим, что
если De=Difffc(g, т\) и ГеНога(л, S), то 7tDsDiffft(g, ?).
Определение. Дифференциальный оператор порядка k
U e Difffed, W) будем называть универсальным дифференциаль-
дифференциальным оператором порядка k для расслоения |, если для каж-
каждого дифференциального оператора DeDifffe(g, tj) порядка k
существует единственный элемент Т е Horn (W, г\), такой, что
D = T,U.
Если [/'<s Diif.,(g, W) — другой универсальный дифферен-
дифференциальный оператор порядка k для расслоения |, то в силу
обычного доказательства единственности универсальных объек-
объектов имеется единственный изоморфизм Т: W ~ W, такой, что
U' TU
Теорема 1. Оператор jk: C°°(l)-> С°°(/&(|)) является уни-
универсальным дифференциальным оператором порядка k для рас-
расслоения %.
Доказательство. То, что оператор jk является диффе-
дифференциальным оператором порядка k, есть тавтологическое
утверждение, ибо /А(/)р = 0 влечет за собой /й(/)р = 0. Если
"jj (= Diff*(|, f)), то отображение f-+Df(p) пространства С°° (Q
в цр обращается в нуль на Zp{%)\ поэтому существует един-
единственное линейное отображение Т(р) пространства С°° (|)/2*(|) =
= Jk{l)P B пространство г\р, такое, что Df(p) = T(p)jk(f)p. По
теореме 3 из § 2 имеем Г е Нот (/* (g), t]) и по определению
?> = TJk-
Следствие 1. Отображение Т->Г.Д устанавливает изо-
изоморфизм Нот (/* (|), т)) ^ DiffA (|, т]) (ка/с С°° (М, С)-модулей).
Следствие 2. Отображение Т-+Т, является изоморфиз-
изоморфизмом между Ногп(|, т)) и Diffo(|, r\).
Доказательство. Так как Z°(|) = {/еС°°(|)| /(р) = О},
то существует естественное отождествление расслоения /°(|)
с расслоением |, при котором /0 становится тождественным
отображением.
Из локальности дифференциальных операторов вытекает,
что если Z)eDiffft(|, r\) и карта 0 открыта в /И, то сущест-
существует единственный дифференциальный оператор порядка k (обоз-
(обозначим его через D \&), действующий из пространства ||@ в ц \6,
такой, что (D\@)(f\@) = (Df)\6 для каждого сечения /еС°°(|).
Из теоремы 2 § 2 и следствия 1 получаем
Следствие 3. Если {&J — открытое покрытие многообра-
многообразия М и Z^sDiffft (||<За, т||©„), то (9^гя существования такого опе-
оператора D€=Difffe(i, r\), что Da= D\6a, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство Da\6af\ 6^ == D^\6af\ @p для всех а
и р. Более того, если такой оператор D существует, то он
единственный.
Пусть (v, x)?=Tr(M), и пусть ее=Ъ,х. Тогда существует бес-
бесконечно много таких функций ?€=С°°(М, iR), что dgx — v, и бес-
бесконечно много таких сечений fe=C°°(i), что f(x) — e; однако,
задав произвольно такие g и /, мы определим ?-джет функции
-Tf(g — g{x))kf в точке х единственным образом, и фактически
по теореме 1 из § 2 получим именно элемент i(Sk(v) <g> e),
где отображение /: Lks{T(M), !)-*• /*(|) является вложением в точ-
точной последовательности джет-расслоений. Отсюда следует, что

64
Р. Пале
если DeDifi&(g, r\), то элемент D (-гг (g — g (x) )kf j (л:) корректно
определен.
Определение. Если ?>€=Difffe(?, \\), то мы определим
функцию ok{D) на пространстве 7"(М), называемую символом
оператора D, которая ставит в соответствие каждой паре (v, х) e
еГ(М) линейное отображение a(D)(v, х) пространства \х в цх
вида ak(D)(v, х)е = D \-^-(g- g{x))kf)(x), где функция ge
е С°°(М, R) удовлетворяет условию dgx~v, а сечение f<=C°°(l)
удовлетворяет условию f{x) = e.
Теорема 2. (Точная последовательное ть симво-
символов.) Функция ak является линейным отображением простран-
пространства Diffft(g, т)) в Smbl?(g т)) Более того если Diff(| i))>
ak является линейным отображением простра
fft(g, т)) в Smbl?(g, т)). Более того, если Diffft_j(|, i))->
—»• Dif fft (g, т)) — отображение вложения, то последовательность
линейных отображений комплексных векторных пространств
О -* Diffft_, (g, ц) -* Diff, (I,
Smblf (g,
О
является точной.
До к аз ательство. Напомним, что так как многообразие М
паракомпактно, то аддитивная категория V (М) является полу-
полупростой (т. е. каждая точная последовательность векторных рас-
расслоений над М порождает прямое разложение); поэтому каж-
каждый аддитивный функтор из категории V (М) в некоторую
другую аддитивную категорию является точным'). В частности,
применяя контравариантный функтор ? ( , г\): V (М) -> V (М)
к точной последовательности джет-расслоений (теорема 1 из § 2)
мы получаем точную последовательность в категории V (М),
а именно
О-*/.(/*-'(&), r))->L(/(l), n)-?+L(Lhs(T(M), |), т))->0. -
Если мы теперь применим функтор сечений С°° к этой после-
последовательности и вспомним, что C°°L — Нот, то, используя
следствие 1, получим точную последовательность
-.te, ti)->Diff*(g, ti)-^
') Напомним, что функтор называется точным, если он точную последо-
последовательность переводит в точную. — Прим. перев.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях
65
где Y, = C (О. Пусть DsDiff*(g, t)), и пусть Г-такой един-
единственный элемент из Нот (/*(?), г,), что D = Tjk. Для задан-
geC (M, R), что dgx = v, и такое сечение fe=C?(|), Что/Й =
. =е.Тогдапотеореме1из§2имеем/E*(о)(Эе)=/б(^-((д-^(л;))й/) ,
откуда '*
yk (D) (S* (о)®е) = (Сте (Г) Г) (Sk (о)®е) =
= (ГГ (*)) (S* (о)®е) = Г, («(S* (о)®е))
¦(g-g(x))kf)j(x)^ak(D)(v, x)e.
Если мы теперь рассмотрим композицию отображения у^ с изо-
изоморфизмом Кк: Нот(Lks(T(M), g), ti)^Smbif(|, tj) из § 1, то
получим точную последовательность
О— Diff*_,(&, ^
Более того, как мы уже вычислили выше,
г'5 х)е,
т. е. aft = Хк о Yfe> чт0 и требовалось.
Перефразируем ту информацию, которая содержится в точ-
точной последовательности символов. Во-первых, каждый элемент
из Smblft(g, г]) является символом некоторого дифференциаль-
дифференциального оператора порядка к, действующего из расслоения g
в расслоение г\\ во-вторых, два таких оператора имеют общий
символ тогда и только тогда, когда они различаются на диф-
дифференциальный оператор порядка к— 1.
Элемент aeSmbU(g, r\) называется эллиптическим, если
отображение а(у, х) является линейным изоморфизмом между
пространствами \х и х\щ для всех (у, ^)еГ(М). Оператор
DsDifffe(g, ti) называется эллиптическим оператором порядка k,
если эллиптичен его символ. Заметим, что теперь мы можем
утверждать существование эллиптического оператора, соответст-
соответствующего эллиптическому символу.
Предупреждение. Если D — эллиптический оператор
порядка k, то D является оператором порядка (k+l), но не
является эллиптическим оператором порядка (k + 1), так как
ok+l(D)*=0l
l()
Исследуем теперь, как выглядят дифференциальные опера-
операторы и их символы в координатах. Пусть iV обозначает или
пространство R", или замкнутое полупространство в R", и пусть
5 П. Пале

.66
Р. Пала
V и W — конечномерные комплексные векторные пространства.
Линейное отображение D: C°°(N, V)->C°°(N,W) называется
дифференциальным оператором в частных производных порядка k
с С°°-гладкими коэффициентами, если оно имеет вид
2 AaD«f,
6
Df
где для каждого га-индекса а с | а | ^ k коэффициент Аа является
С°°-отображением пространства N в L (V, W). Так как (см. § 2)
условие Jk(f)P = Q эквивалентно тому, что Daf(p) = 0 при|а|^
^.k, откуда Df(p) = 0, то такой оператор D принадлежит
Difffe(|, 11), где g = yVX W. Вычислим ak (D)(v,y)(e), где y^N,
п
eeF, a v e T* (N)y = R"* имеет вид v = 2 Vj (dx^ (xu ..., хп—
стандартные координаты в пространстве R"). Пусть g =
= 2о/(*/ ~У])> откуда g(y) = 0 и dgy = v, и пусть элемент
/eC°°(yV, V) тождественно равен е. Тогда
~ ft!
Ясно, что Dagk(y) = 0, если \a\<k, и что (Dagk) (y) = k\ va, если
\a\ = k, откуда
k ' |o|-ft
есть так называемый „характеристический полином" оператора D
(заметим, что сумма берется по всем д-наборам индексов а
с | а | = k, но не с | а | ^ k). В частности, оператор является эл-
эллиптическим тогда и только тогда, когда 2 vaAa(y) является
линейным изоморфизмом пространств V и W для всех точек
y^N и всех с^О в R".
Предположим снова, что | и т] — произвольные комплексные
векторные расслоения над многообразием М, и пусть Ге
<= Нотс (С°° (|), C°°(ti)) — любой локальный оператор. При за-
заданных карте q>: Ф ~ N в М п тривиализациях ^: \\(д = & X V,
%: tiX@ = @XW каждое сечение feC°°(|) определяет
f = 1i,Iafom-ieCoo(iV, F) и каждое сечение geC°°(ri) опреде-
ляет g = $2°f °Ф
й б
(
)
C°°(N, W), и существует единственное
°°(N )C°°(N W)
ляет g $2f Ф (, ), уу
линейное отображение D: C°°(N, V)->C°°(N, W), такое, что
ff = Df для всех /<=С"F).
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 67
Если D — дифференциальный оператор в частных производных
порядка k, то ясно, что 7"|0e=Diifft (Ц&, ц\6), и по следствию 3
из теоремы 1 настоящего параграфа, если последнее имеет
место для всех наборов ф, i|>, и ife, то reDifffc(|, т)). Обратно,
мы теперь покажем, что если TeDiff^ (|, г]), то оператор D
является дифференциальным оператором в частных производ-
производных порядка k. Действительно, пусть ре©, и пусть ф (р) = г/.
Тогда имеем однозначно определенные изоморфизмы \р s* V и
¦Чр — F' та,кие> что fiP)~f(y) Для /е=С°°(!) и g(p)~g(y) для
gfeC°°(T]). Так же как в § 2, мы имеем вполне определенный
изоморфизм /6A)Р^Ф V, такой, что /* (/)Р-~ {/)в?у}|а|<», если
). Тогда если S(p) —произвольное линейное отображе-
отображение пространства Jk(Qp в т^, то для каждого га-индекса a
с |а|</г существует единственный набор Аа(у) линейных отоб-
отображений пространства V в пространство W, такой, что
S(p)k(f)p~ 2 Aa(y)D«f(y).
Теперь по следствию 1 из теоремы 1 получаем, что Т = SJk с од-
однозначно определенным SgeC00 (L(/ft(|), л)), и, следовательно,
для каждой точки yz=N мы получаем такой набор {Aa(y)}ia[<k,
что
= S(p)jk(f)P~ 2
Из следствия из теоремы 3 § 2 вытекает, что каждое Аа
является С°°-отображением пространства Л^ в пространство
L (V, W), что заканчивает доказательство следующей теоремы.
Теорема 3. Если Г<=Нотс (С°°(|), С°°(т))), то для того,
чтобы имело место rsDiffft(|, т]), необходимо и достаточно,
чтобы для каждой карты q>: (д s* N многообразия М (где че-
через N мы обозначим пространство R" или замкнутое полупро-
полупространство в R") и для каждого набора тривиализаций^^.Ц© s*
= SXF, ^r т)|©^@ х W7 существовали наборы {A^\a\<k
С*'-отображений пространства N в пространство L (V, W), та-
такие, что
ff = 2 AaD«f,
Более того, пусть в данной точке ре© с условием ср(р) = у
слой |р отождествляется с пространством V по формуле }(р)~
~f(y), слой цр отождествляется с W по формуле g(p)~g(y),

68
Р. Пале
а пространство T* (М)р отождествляется с R" при помощи ото-
отображения (d(ppy. Тогда
oh(T)(v,
|a|~ft
vaAa(y).
Рассмотрим далее свойства композиции дифференциальных
операторов. Как и раньше, будем понимать под N либо само
пространство R", либо замкнутое полупространство в R"; под
U, V, W — конечномерные комплексные векторные пространства;
операторы О':С~(ЛЛ U)-+С°° (N, V), D2: C°° (N, V)-> С00 (N, W)-
дифференциальные операторы в частных производных соответ-
соответственно порядков k и /, причем
= 2 AaD°f,
1й
= 2
В
где Ла: N-*L(U, V), fip: N~*L(V, W) суть С°°-отображекия.
Используя формулу Лейбница в виде
я<р
где отображения A: N->L(V, W) и F: N->V являются С°°-
отображениями, получаем
IP Кг |o|<fe
Делая замену а + Я = у и меняя порядок суммирования, мы
видим, что
где
с,-
Y-c
Заметим, что если \y\ = k +1, то
\a\-k
ВпАа.
Если ogR", to va+$ = vav$, поэтому
или, другими словами, характеристический полином оператора
D2D1 является произведением в смысле композиции линейных
преобразований характеристического поликома оператора D2
и характеристического полинома оператора D1.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях
69
Для заданных трех векторных расслоений |, т), ? над мно-
многообразием М мы определим билинейное отображение из
Нот (пг\, я*?) X Нот (я% ni\) в Нот (п% п%), которое бу-
будем обозначать через (а2, ai)-^-a2au формулой о^ух{х), х) =
— a2(v, x)°Oi(v, x). Теорема 3 и проделанные только что
вычисления доказывают следующую теорему.
Теорема 4. Если |, r\, g — комплексные векторные расслое-
расслоения надМ и D'sDiffft (|, tj), ?>2eDiffzCn, ?), го D^'eDiff*+,(?, ?).
) (D2)(D1)
Следующее утверждение часто применяется для проверки
того, что Г: С°° (|) ->• С°° (т)) есть дифференциальный оператор
первого порядка.
Теорема 5. Для того чтобы линейное отображение
Т: С°°(|)-> С°°(г\) принадлежало Diffj (|, ц), необходимо и до-
достаточно, чтобы Т (fg)(p) = O всякий раз, когда fe=C°°(M, R) и
geC°°(i) удовлетворяют условиям f(p) — O и g(p) = 0.
Доказательство. По определению jTeDif^d, r\) тогда
и только тогда, когда Т(/г)(р) = 0, если h^Zlp(l). Теперь, с од-
одной стороны, Zp(|)==/p • Ссо(|) = /р • /р • С°°(|) и, следовательно,
каждый элемент из Zp(?) разлагается в конечную сумму эле-
элементов вида fg, где элементы f^C°°(M, R), g€=C°°(g) обра-
обращаются в куль в точке р. С другой стороны, если сечение
geC°° (|) обращается в нуль в точке р, то по теореме Тейлора g
разлагается в конечную сумму ?=2*А» где п^С°°(%), &,-е
eEC°°(M, R), причем kt(p) = O. Тогда если функция/€=C°°(M, R)
обращается в нуль в точке р, то fg= 2 (fki)hi&I^C°°{%) =
= Zi(|), что и требовалось.
§ 4. Эрмитовы расслоения и сопряженные операторы
Строго положительная гладкая мера ц на многообразии
М — это такая мера Радона, что если q>: & sz R" — карта на М,
то существует строго положительная С°°-функция р на R", такая,
что \ fd\i= J (f °q>~1(x))p(x)dx для каждой непрерывной ком-
комплексной функции f ка многообразии М с компактным носи-
носителем, лежащим в <д. Например, риманова структура на много-
многообразии М порождает такую меру с р (л:) = [ del ^г/ (л:) |1/2. Будем
предполагать, что на М, а также на дМ зафиксирована гладкая
мера, и будем писать j f и J / для соответствующих интегра-

70
Р. Пале
лов. Заметим, что если / — непрерывная функция на много-
многообразии М с компактным носителем, то из J | /1 = 0 вытекает
0.
м
Обозначим через Met(|) комплексное расслоение над М,
слоем которого в точке х е М является пространство поло-
положительно определенных эрмитово симметричных билинейных
форм (т. е. скалярных произведений) на слое \х с очевидной
структурой расслоения. Эрмитова структура расслоения \
является элементом C°°(Met(|)), и под эрмитовым расслоением
мы понимаем комплексное векторное расслоение g со специально
выбранной эрмитовой структурой ( , )\. Если расслоения | и г)
являются эрмитовыми расслоениями над М, то существует есте-
естественное отображение * расслоения L (|, ц) в расслоение L (г\, ?)
(которое является изоморфизмом расслоений над R, но анти-
антилинейным над С), а именно если T^L(?,X, г\х), то T*^L(r[x, \х)
определяется формулой {Те, е')п = (е, Т*е\. Это порождает анти-
антилинейное отображение, также обозначаемое через *, простран-
пространства SmbJft(g, т]) в Smblft(i], |) вида a*(v, x) — a(v, x)\ Если рас-
расслоение | является эрмитовым, то для сечений f, g e C°° (?)
мы определим комплексную С°°-функцию (/, g)% на многообра-
многообразии М формулой (/, g\(x) = (f(x), g{x))i. Ясно, что отображение
(/> ё) -*¦ (f• &)t является эрмитово симметричным и носитель
функции (f, g)i содержится в пересечении носителей сече-
сечений / и g. В частности, если f и g принадлежат простран-
пространству СГ(?) сечений расслоения |, имеющих компактный носи-
носитель, то функция (f, g)i имеет компактный носитель и скаляр-
скалярное произведение (f, g)% = I (f, g) корректно определено. Ясно,
Af
что произведение ( , )g задает в пространстве С7Ш предгиль-
предгильбертову структуру; ассоциированную норму (f, f)^2 будем обо-
обозначать через || f|||.
Определение. Если g и ц — эрмитовы расслоения над
многообразием М и ?> е Difffe (|, т)), то оператор D* e Diffft (t), g)
мы будем называть формально сопряженным для оператора D
при условии, что (Df, g)^ = (/, D*g)t для всех f e Co° (%),
Лемма 1. Пусть S e Difffe (tj, |). Если Sg = 0 для всех
сечений g e Со° (т)), го 5 = 0.
Доказательство. Пусть п<^С°°A). Мы должны покат
зать, что Sh = 0, а так как Sh непрерывно, то достаточно про-
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 71
верить, что Sh (р) = 0, если р ф. дМ. Пусть q> есть С°°-функция
с компактным носителем, содержащимся в М \ дМ, тожде-
тождественно равная единице в окрестности точки р, и пусть g = q>h.
Тогда Sg = 0, и так как сечение g совпадает с А в окрестности
точки р, то Sh(p) = Sg(p) = 0.
Лемма 2. Если оператор D e Diff& (|, т)) обладает фор-
формально сопряженным, то последний единствен.
Доказательство. Предположим, что операторы Т и
Г'—формально сопряженные для оператора D, и пусть
S = T—T'. По лемме 1 достаточно показать, что Sg = 0 для
всех сечений g€BC(?(r\). Но если /еСо°(т|), то
(f, Sgh = (f, Tg)z - (f, T'gh = (Df, g\ - (Df, g\ = 0.
В частности, беря f = Sg, мы получаем, ||S^|||==0, и, следова-
следовательно, Sg = 0, что и требовалось.
Пусть далее D e Diffft (g, ri). Пусть {©„} — такое открытое по-
покрытие многообразия М, что при каждом а оператор Da = D\©a
имеет формально сопряженный оператор D*a^ Diifk(t]\ 6a, %\ ва).
Ясно тогда, что оператор D*a\©an@p — формально сопряжен-
сопряженный для оператора ?>|<9аП©р. так что по лемме 2 Da\©a(}@$~
— D$ | ©а П ©р- По следствию 3 из теоремы 1 из § 3 существует
единственный оператор D* e Difffe (ц, |), такой, что D* \ 6а = D*a
для всех а, и ясно, что оператор D* является формально
сопряженным для оператора D (обычное рассуждение, связан-
связанное с разбиением единицы). Таким образом, доказана
Лемма 3. Пусть D <= Diff&(|, r\). Если для каждой карты
ф: ©а ^ 6 s R" некоторого атласа многообразия М оператор D | &а
имеет формально сопряженный, то и оператор D имеет фор-
формально сопряженный.
Лемма 4. Пусть многообразие М гомеоморфно либо про-
пространству R", либо замкнутому полупространству {х е R" | хп <! 0}.
Тогда оператор D e Diifk (|, т)) имеет формально сопряженный
оператор D", причем ak(D*) = (— \)kak(D)".
Доказательство. Будем рассматривать случай, когда
М—полупространство: в случае М = R" доказательство анало-
аналогично и даже несколько проще. Пусть на М мера задана фор-
формулой J / = J /(х)р (х)dx и на dM = Rn~i — формулой §f =
мм ем
= J f(x)o(x)dx, где р(х) и а (х) являются положительными

72
Р. Пале
С°°-функциями на М и R"~ соответственно, a dx — соответствую-
соответствующие элементы меры Лебега. Мы можем предположить, что
| = М X V\, ч\ = М X V2, где пространства Уг- являются конечно-
конечномерными пространствами со скалярными произведениями ( , )с.
Если отображение Т: V\ —*¦ V2 является линейным, то его со-
сопряженное обозначается через Т': V2-*VU так что (Tv, wJ =
= (vT'w)\. Эрмитова структура расслоений ? и т) задается
единственным образом при помощи некоторых С°°-отображе-
ний А и В многообразия М в пространство положительных
операторов, действующих в пространствах Vx и F2 соответ-
соответственно; отображения А и В задаются формулами (е, е')% =
= (А(х)е, е')и если е, е'е^ и (е, е'\ = {В(х)е, е'J, если е,
е' sг\х. Тогда если Ге/, (g^., r\x), то сопряженный к нему опера-
оператор задается формулой Г* = А (*)"' Т'В(х). Пусть ?»: С°° (М, Vx) -*>
—>С°°{М, 1/2) — оператор вида
где сумма берется по всем д-индексам а с |а|^/г и каждое Са
является С°°-отображением многообразия М в пространство
Если f, АеСГ(|) = СГ(ЛГ, V,), то
и, интегрируя на М по мере Лебега, получаем
0. т<п,
jd> h), т = п.
Простая индукция дает
м
м
дМ
где Ga является в каждой точке ^sR° ' = дМ полуторали-
нейным отображением пространства /А~'(|)х в пространство С.
Далее, (Df, g\ = 2 / (BCaDaf, g\pdx = ^ J W, pC'*Bg\ dx,
a a
следовательно,
(Df, g) - f (f,
= J G(h_lf, Jh_lg),
Гл. IV- Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 73
где для каждой точки х е дМ отображение G является полу-
торалинейным отображением пространства /'"'(^Х^^
в пространство С, задаваемым формулой
G
(g)) =
l
/*_, (f), /,_,
Далее,
/(л
где
= J (J, D'
= S f
/
является дифференциальным оператором порядка k, действую-
действующим из пространства С°°(М, V2) = С°°(т]) в пространство
С°°(М, 1/,) = С°°(|). Отсюда
\ - (f,
= J G (/*_,/, /i-iff).
Тогда если fug имеют носители, непересекающиеся с про-
пространством дМ,к Gik-if, jk-ig) = O, так что (Df, g)^ = (f, D'g)t,
то оператор D* — формально сопряженный для оператора D.
Кроме того, характеристический полином оператора D* имеет
вид
(-0* 2 A{x)~lC'a{x)B{x)va = {-
I!*
mi
Cl(x)va =
это, в силу того что 2 С„(л:)оа является характеристическим
полиномом оператора Z), доказывает, что ak(D*) = { — \) ak{D)*.
Отметим, что имеет место
Следствие из доказательства. В случае, когда про-
проанство М есть {xsR" | ^О} б G( )
уе, когда пр
странство М есть {xsR" | лг„^О}, обозначим через GrA(|,
расслоение над дМ = R"~ , слоем которого над точкой х
•является пространство полуторалинейных отображений из
Jk~l (%)x X /*~1(Tl)jf B С. Тогда для каждого оператора

74
Р. Пале
D e Diffft (g, ц) существует глобальное сечение G
такое, что
g, r\)),
(Df, g\ ~ (f, D*gh = J
J
dM
для fez С? (I), geCTin).
Основным результатом этого параграфа является следующая
теорема, тривиально вытекающая из лемм 2, 3, 4 и теоремы 3
из § 3.
Теорема. Если % и г\ — эрмитовы расслоения над много-
многообразием М, то каждый оператор D e Diff& (|, х\) имеет един-
единственный формально сопряженный D" <= Differ), g). Более того,
Заметим, что
и если Ое Differ], ?), то {DD)" = D'D\
e] ?), {D) DD\
Определение. ?слы |—эрмитово расслоение над простран-
пространством М, то оператор D e Diff2& (g, ?) называется сильно эллипти-
эллиптическим порядка 2k, если ( — l)ka2k(D)(v, х)~ положительный
оператор на пространстве \x{m. e: (( — \)kaik(D){v, х)е, е\ > О
для всех е ф О в |х) при любом (v, х) е Т'(М).
Следствие. Если D e Dif lk (g, tj), то оператор D*D является
строго положительным порядка 2k тогда и только тогда, когда
отображение Ok{D)(v, x): \х—>г\х является изоморфизмом для
всех (и, x) e Tr (M). Следовательно, если размерности расслое-
расслоений g и ц совпадают, то оператор D эллиптичен тогда и только
тогда, когда D'D — строго эллиптический оператор порядка 2k.
§ 5. Формы Грииа
В этом параграфе мы вновь будем предполагать заданной
строго положительную гладкую меру на многообразиях М и дМ
и снова будем считать, что | и т] —эрмитовы расслоения над М.
Если D принадлежит Diff& (g, ц), то формула (Df, gI, = (f, D*g)i,
где сечения /еСГ(|), g^CTii}) имеют носители, не пересе-
- кающиеся с дМ, наводит на мысль, что и в более общем случае
можно выразить (Df, g)^ — (f, D"g)i как интеграл от некоторого
выражения, содержащего джеты сечений fug над дМ. Для
теории граничных задач это необходимо уточнить, что теперь
и будет сделано.
Определение. Определим расслоение Gr&(|, х\) над мно-
многообразием дМ, слоем которого над точкой х является простран-
ство полуторалинейных отображений из
rft-l.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 75
Гладкое С°°-сечение G e C°°(Grfe(g, ti)) будем называть формой
Грина порядка k расслоений \ и х\, а также формой Грина для
оператора D e Difffe (g, r\), если
(Df, g\ - (f, D*g)t = / G (Д_, (f), J,,! (g))
dM
для всех fe=C7{& и ge С?(ч).
Замечание. Пусть М = {хе R"| х„<0}, g = i] = AfXC.
Тогда если G является формой Грина для оператора D е
е Diff2(g, л)> то такой же является и форма G', определенная
как
G'Uif, he) = g UiU hS)+T^ Ш
Это показывает, что, вообще говоря, формы Грина для опе-
операторов определены не единственным образом.
Замечание. Если G e C°° (Gr& (g, т])) и ср, г|> — комплексные
С°°-функции на многообразии М, то существует единственная
форма G'sC~(Gr,(g,r))), такая, что G'{jh_,(/), Д-i (g)) =
= G (/fe—i (ф/)» /fe-i(i|>gf))- Это следует из очевидного факта, что
jk-\(<pf)x является билинейной формой по /&_1(фЬ и h-i(f)x
и аналогично для /&_i (tyg). Предположим, что {@J является
открытым покрытием многообразия М, и пусть {cpY} — локально
конечное С°°-гладкое разбиение единицы на многообразии М,
подчиненное покрытию {©J; скажем, носители (<р ) лежат в
ва(у). Отсюда следует, что если Ga e C°° (Grfe (g | 6а, ц \ ©„)), то
существует единственная форма G e C°°(Grfe(g, т])), такая, что
g (/*_, (f), 7*-i (г)) = S оа ы (/,_, (фя/), д., (<ру8)).
Я,, Y
Пусть теперь D s Difffe(g, tj) и Ga — форма Грина для опера-
оператора D\<8a. Задав feC~(g) и ^^СГ(т1), мы имеем f =
", где каждая сумма конечна, так как сечения f
и g имеют компактные носители, в то время как семейства
носителей фу локально конечны. Следовательно,
V\g)n ~ (Ф J. Я'ч
С
= jG(/fe-,(f),/*-,(?)).
л, Y
Это доказывает, в частности, следующую лемму:

76
Р. Па ли
Лемма. Пусть D <= Difffe(g, ц) и для каждой карты
<р: 0s6'sR" некоторого атласа многообразия М существует
форма Грина G e= C°°(Grfe(g| 0, ц\ ©)) для оператора D\6; тогда
существует форма Грина и для оператора D.
Теорема. Каждый оператор D e Difffe (|, ц) имеет форму
Грина.
Доказательство получается непосредственно из леммы
и следствия из доказательства леммы 4 предыдущего параграфа.
§ 6. Некоторые классические дифференциальные операторы
а. Производная Ли. Пусть g — комплексное векторное рас-
расслоение над многообразием М, слой которого в точке х^М
состоит из всех комплексных симметричных тензоров в точке х
фиксированной валентности и типа симметрии. Задав вектор-
векторное поле X на многообразии М, определим отображение
дх: С100 (|)-* С°° (|), являющееся оператором производной Ли.
Основным свойством оператора дх является равенство
где §еГ(М, R), fe=C°°(g). Из теоремы 5 § 3 следует, что
dx<=Diff,(g, ?). Кроме того, если функция g-eC°°(M, R) обра-
обращается в нуль в точке х, a dgx = v, то
а.(дх)(v, х)f(х) = дх(gf)x = v(X)f(x),
т. е. отображение Oi(dx)(v, x) является скалярным умножением
на элемент v (X). Отсюда следует, что оператор дх является
эллиптическим тогда и только тогда, когда многообразие М
одномерно и векторное поле X нигде не вырождается (т. е. не
принимает нулевое значение).
б. Внешняя производная. Пусть
| = Л(Г(М))® С= @Л'(Г(Л1))®С
/ = 0
— расслоение комплексных дифференциальных форм, и пусть
отображение d: C°°(g) —>С°°A) является оператором внешнего
дифференцирования.
Если g- —вещественная С°°-функция на многообразии М и
аеСм (g), то d(ga) = dg Л со + g Л da. Снова теорема 5 из § 3
показывает, что d e Diff. (|, g). Если.§-(х) = 0 и dgx = v, то
d (ga>h = v А ®х,
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 77
так что символ a! (d) (v, x) является левым внешним умноже-
умножением и Л на элемент и.
в. Кодифференциал и лапласиан. Сохраняя предыдущие
обозначения, предположим дополнительно, что М является
гс-мерным римановым многообразием. Риманова структура
многообразия М определяет строго положительную гладкую
меру на М и на дМ, а также эрмитову структуру на расслое-
расслоении |. Определим два дифференциальных оператора, действую-
действующих из расслоения | в |: кодифференциал б, являющийся опера-
оператором первого порядка, и лапласиан А, являющийся оператором
второго порядка. Эти операторы задаются формулами д — а"
uA = 6d + d5. Заметим, что б2 =Jd*f = (d2)* = 0, откуда А = (d+5f.
Напомним, что форма feC°°(g) называется замкнутой, если
df = 0, козамкнутой, если б/ = 0, и гармонической, если Af = 0.
Ясно, что если форма / замкнута и козамкнута, то она гармо-
гармонична. Если /, g'sCo'd), T0
<Af, gh = <d&f, g)t + Fdf, g)t = (б/, б?>| + {df, dgh.
В частности, если А/ = 0, то, полагая g — f, получим 6/ = cff = 0,
т. е. гармоническая форма является замкнутой и козамкнутой,
если ее носитель компактен и не пересекается с дМ. В част-
частности, на компактном многообразии без края каждая гармони-
гармоническая форма замкнута и козамкнута.
Для более точного описания операторов б и А мы предпо-
предположим, что многообразие М ориентированно. Пусть й является
гс-формой, определяющей риманову метрику (т. е. 8>x=elf\...f\en,
где (еи ..., еп) — ориентированный ортонормальный базис про-
пространства Т* (М)х). Подробности нижеследующего очерка можно
найти в книге Де Рама „Дифференцируемые многообразия".
Напомним, что скалярное произведение в пространстве %х пол-
полностью описывается тем, что пространства Ар (Т* (М)х) ® С
взаимно ортогональны и
(о! Л ... Avp, WiA ... A wp)i =
= 2е(я)(о,, шяA)) ... {vp, wn(p)),
я
где сумма берется по всем перестановкам A, ..., р). Это экви-
эквивалентно тому, что если {еи ..., еп) — ортонормальный базис
пространства Т*(М)х, то {eixA ... Aeip) (Kp<rc, i, <i2< ...< ip)
является ортонормальным базисом в пространстве Ъ,х. Отсюда
следует, что если обозначать через [е]п компоненту элемента
ее| в Лга(Г(М))®С, то существует однозначно определен-
определенный антилинейный вещественный автоморфизм * расслоения g,
такой, что [А Л *ц]а = (Л, 1^\(ЬХ для А, ц s %x. Более того,

78
Р. Пале
пр0С1ранст>° Л'(Г(/И))вС , пространство
совпадает с умножением
причем
gh(i>, так что если \
(f,g)l=J[!A*g]n.
j
м
Пусть w — автоморфизм расслоения |, совпадающий с умноже-
умножением на (-1)* в ЛР(Т*(М))®С, так что
g + {f)Adg.
Мы заметим, что [да (/) Л d * g]n = - [/ Л d * w (g)]n, откуда
если /, geC°°(i), то
[d(fA*g)L = ldfA *g]n-UAd*w(g)]n =
= [df A * g]n - [f A * w * d * да (g)]n.
Если /, g G.CT it), то по формуле Стокса
/ [/Л *g]n-i = / [d(/Л *g)]n = (df, g)b-(f,w*d*w(g))v
Это доказывает равенство б = w * d* w, а также что если v
является (п — 1)-формой на многообразии дМ, определяющей
риманову меру, и если мы определим сечение G eC^Gr^i, |))
формулой [е А * е']я-1 = G (e, e') vx для х е дМ ие.е'е J°(?)x = lx,
то G является формой Грина для оператора d.
Заметим, что оператор б имеет степень —1, следовательно,
так как оператор d имеет степень +1, то Д имеет степень 0.
Для заданной точки v^.T*(M)x определим отображение
4,: i*-*L: формулой
4(^1 Л ... Л ер) = 2 (-1)/+1 (о, ej)elA...Ae,A ... А ер.
Тогда мы утверждаем, что (v Л е, е'\ = (е, ive%. Это до-
достаточно доказать (так как отображение v-+iv линейно)
ддя элемента v, принадлежащего ортонормальному базнсу
(еи..., еп) пространства Т*(М)Х. Можно также предполо-
предположить, что элементы е и е' принадлежат ортонормальному
базису {«г, Л ... Aelp) (l<p<tt; i{< ... <ip) простран-
пространства lx. Мы предоставляем читателю самому проверить фор-
формулу в этом случае. Так Как crj (d) (v, x) = v A > то из тео-
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 79
ремы 4 § 4 следует, что aiF)(v, x)= — iv. Так как A = d6 + 6d,
то из- теоремы 4 § 3 вытекает, что a2(A)(v, х) = — (v A iv +
+ ivv A )¦ Непосредственно из определений видно, что
v A ive + ivv Ae = \\v\f е; следовательно, оператор ст2(Д)(и, х)
является скалярным умножением в пространстве gx на эле-
элемент — || о If2, откуда вытекает, что оператор Д сильно эллипти-
эллиптический. Так как Д = (d + 8f = (d + 5)*(d + б), то по следствию
в конце § 4 оператор d + б является эллиптическим. Заметим,
что так как операторы d и б имеют степени +1 и — 1 соответ-
соответственно, то оператор d + б переводит р-форму в сумму (р—1)-
формы и (р + 1)-формы. Отсюда, если расслоения |г и |° являются
подрасслоениями расслоения |, определенными равенствами
1е = фЛ2р(Т*(М))®С и 1° = .фЛ2р+1О*0М))®С, то оператор
р р^
d + b действует из С°°Aе) в С°°(|о) и, как дифференциальный
оператор из С°°(|г) в С°°(|о), по-прежнему является эллипти-
эллиптическим. Этот оператор играет основную роль в теореме об
индексе. Определим теперь форму Грина для оператора d + b.
Мы видели, что если /, g е СГ A), то
J [/ Л
Беря комплексное сопряжение и замечая, что * g — * g, получаем
дМ
Меняя. местами f и g в последней формуле и вычитая ее из
предыдущей, получаем равенство
<(rf + fi)f, ё)ъ-(!, (d + 6)g)t= j[fA*g-gA*T]n-u
дМ
из которого очевидна форма Грина для оператора d + б.
Чтобы получить форму Грина для оператора Д (прототип и
источник названия всех форм Грина), теперь нужно лишь
в предыдущем уравнении сначала заменить f на (d + б) f,
а затем g на (d + 8)g и сложить два получившихся уравнения.
г. Оператор д. Пусть теперь М — комплексно-аналитическое
многообразие размерности п = 2т. Тогда g=®gp><7, где (|Pl q)x
Р, q
состоит из форм, которые в голоморфных локальных коорди-
координатах zx, . . ., zm в точке х имеют вид
Sai1...y1.../?dZiIA ... AdzipAdz!xA ... l\dziq
(i'i < ... < ip; h< ... < /„).

80
Р. Пале
Элементы пространства |р"ч называются дифференциальными
формами типа (р, q); ясно, что ф f' " = Аг(т'{M))<S>С = gr.
Существуют операторы д и 5 из Diff^g, ?), такие, что d = d + d,
^2 = ^2_q и дд + дд — 0. Именно если zit ..., zm — локальные
голоморфные координаты в 0, сечение /еС°°(|) имеет в О
вид Лю, где ЛеС°° (ЛГ, С), ю = dzil Л ... Л ^г^ Л dzfi Л ... Л dz/?,
то df =
dzt A © и d/
m
-щ dZi А (о на карте в. Ясно,
что операторы д и д отображают пространство C°°(gp' 9) в про-
пространство c°°(%p+i'g) и C°°(gp'9+1) соответственно. Мы заметим
далее, что если функция h е С°° (.М, С) голоморфна в & и
/eC°°(g), то на & имеет место d(hf) = hdf, так как -^-=0.
Если т] является голоморфным векторным расслоением над
многообразием М, то |Р'9®'П называется расслоением диффе-
дифференциальных форм типа (р, q) с коэффициентами в расслоении ц,
a g ® "П — расслоением дифференциальных форм с коэффициен-
коэффициентами в расслоении г\. Тогда мы имеем единственный оператор
д е Diff 1 (| ® т), |®ti), такой, что если 0 открыто в многообра-
многообразии _ЛГ, /eC°j[l|(9), и если сечение g&C°°(i\\@) голоморфно,
то d(f <Е) g) = (df)<g> g. Действительно, если gu ..., gk — базис
пространства голоморфных сечений над &, то над © каждое
сечение /?eCco(g®il) можно записать единственным образом
в виде F = 2/j® gi, где /геС°°(| |<9). Тогда если такой опе-
i
ратор д существует, мы должны иметь OF = 2<5/ ® gt над &.
Если hx, ..., hk —другой базис пространства голоморфных сече-
сечений над <д, то gi — ^jo-nhj, где функции ai;- е См @, С) голо-
голоморфны. Отсюда /? = 2Bад/Л ®Л/, и так как д(ац[{) = а/7 д/г,
то 2 <5/г ® gi — 2 <31'2 a/ifi) ® Л/, откуда следует, что опера-
тор д\6 корректно определен и является единственным. След-
Следствие 3 из теоремы 1 § 1 завершает доказательство существо-
существования и единственности оператора д со сформулированными
свойствами. Если задана на многообразии М риманова
структура и эрмитова структура на г\, то расслоение | <g> "П
имеет индуцированную эрмитову структуру. Вычисление сопря-
сопряженного оператора ¦& для оператора д и доказательство эллип-
эллиптичности оператора д + ¦&¦ аналогичны проведенным в пункте в.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 81
Подробности читатель может найти в книге Ф. Хирцебруха
„Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie",
стр. 1171).
§ 7. Суммы Уитни
Рассмотрим комплексные векторные С°°-расслоения |;
(/= 1, .. ., г) над многообразием М; их сумма Уитни есть рас-
расслоение ф|г над М, слоем которого в точке х является про-
пространство ф(§г)л-> а структура расслоения характеризуется тем
свойством, что отображение (/i fr)~* ®fi является изомор-
физмом между пространствами фС°°(?г) и С"(@ЪЛ. ('Здесь
(@fi){x)=@fi(x).\ Отсюда следует, что пространство J (®lt\
естественно изоморфно пространству ф/*A?)» причем А-джет
i
элемента ф/, в точке х совпадает с ф/А (/,).*.
Если ць ..., % —векторные расслоения над М, то заметим,
что существует канонический изоморфизм
©
^, {aif}
задаваемый следующей формулой:
®
(@оц\{о, х){еи ..., er) = (®an{v, x)et ®ois(v, x)eX
Аналогично существует линейный изоморфизм
«7
©А/,
Ч
где
Данному оператору D e Diffft /'©i,-, фт]Л соответствует эле-
элемент {А/} е © DiffA (|(, Tjy), который будем называть матрицей
ч
оператора D и который имеет следующий вид:
>п ... А/
. Ai • • • А,
') См. также Ч ж э и ь Ш э н-ш э н ь, Комплексные многообразия, ИЛ,
М., 1961 -Прим. ред.
6 Р. Пале

82
Р. Пале
Заметим, что
*Л а '¦ i a
так что оператор @Ои является эллиптическим оператором
порядка k тогда и только тогда, когда матрица {{okDtj){v, x))
определяет изоморфизм между пространствами ф(|Дг и Ф(л;)л-
i 1
для всех точек (и, х) е Т' (М).
Существует более общее определение эллиптичности диф-
дифференциального оператора, принадлежащее Дуглису и Нирен-
бергу, которое мы сейчас приведем.
Определение. Оператор фDtl называется эллиптическим
в смысле Дуглиса и Ниренберга, если существуют такие целые
неотрицательные числа st и tj, что Di; eDiff^-/, Aг, Л/) и для
всех (v, x)^T'(M) матрица
((а,,-,,(?>,/)(о, *)))
устанавливает изоморфизм между пространствами
и
(Если оператор ф Dtj является эллиптическим порядка k,
И
то можем положить st = k, t} = 0.)
Смысл этого определения проясняется в случае г = s и
?)tj = 0 при / ф /. В этом случае оператор ф Dtj называется
диагональным; положим D{ = Du и ф D{ = ф Dlf. В этой си-
ситуации оператор ф Dt является эллиптическим порядка k
i
тогда и только тотда, когда каждый оператор D^T>'ulk(%t, т)г)
является эллиптическим порядка k, в то время как оператор
ф?)г будет эллиптическим в смысле Дуглиса и Ниренберга
i
тогда и только тогда, когда существуют такие целые неотри-
неотрицательные числа ki{=sl — ti), что оператор Dt e Diff kt {%t, r\j)
является эллиптическим порядка kt для i—\, ..., г.
§ 8. Тензорные произведения
Пусть М я N суть С°°-многообразия и по крайней мере
одно из них не имеет края, пусть 11 и |2 ~ комплексные век-
векторные С°°-расслоения над М и N соответственно. Тогда gj ® |2
является векторным расслоением над многообразием М X N,
слоем которого в точке (х, у) служит пространство () ()
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 83
а структура расслоения характеризуется тем свойством
что если Ае=С~(|,)» /2eCMfe), то /, ®/2sС°°A, ® у (где'
fi<S)f2(x, y) = fi(x)<S)f2(y)). Если даны также векторные рас-
расслоения % над 7W и Tfe над Л/, то определяется билинейное спари-
спаривание (аь о2)-+о1<8> а2 пространства Smbl^g,, iijx Smbl^(g2,Ti2)
в Smbl^^g, ® g2, r\x ® л2), задаваемое формулой
<Ti®or2((t>i, u2), U, г/)) = а,(и1, л:)®ст2(и2> у).
Лемма. Если Z), e=Diffft(g,, tj,), ?>2 e= Diff,(|2, tj2) и
|2, Л1®Л2) удовлетворяют соотношению Г(/,®/2) =
то (Г) (А)®(/))
Доказательство. Пусть ('(oi, u2), (х, у)) е 7'(Af X N), и
пусть ее(Уг Выберем функции g,eCM(M, R) и g2<^C°°(N, R),
удовлетворяющие условиям g, (л:) = 0, (dgl)x = vu g2(y) = 0,
(dg2)y = v2. Определим функцию ge^C°° (M X N, R) равенством
g(x, y) = gi(x) + gz(y). Тогда g^U, г/) = 0 и dg(Xi y) = (и,, о2),
так что, выбирая сечение //^С°°(|г) с fi{x) = ei, получаем
, v2) (е, ® в2) = i
(k + 1I
m
S i
Так как Dl(g™fl)(x) = 0 при т>й и так как D2(g2nf2)(y) = 0
при т>/, последняя сумма сводится к единственному члену
с m = k, k + l — ш = I, причем этот член есть в точности
°k{D\){vu x)el®al{D2)(v2, y)e2, что и требовалось.
Теорема. Пусть заданы операторы Dx e Diffft (g,, лО и
D2s Diff;(g2) Лг). тогда существует единственный оператор
Т е= DiffA+z (|, ® g2l Л1 ® Лг). такой, что Т (/, ® /2) = Z),/, ® ?>2/2.
Положив Т = Dx ® ZJ, имеем
Ok+i (Di ® ?>2) = crA (D,) ® at (D2).
Доказательство. Второе утверждение теоремы совпа-
совпадает с предыдущей леммой. Для доказательства первой части
достаточно ввиду следствия 3 из теоремы 1 § 3 ограничиться
случаем, когда М есть Rm (или замкнутое полупространство
в Rm) и N есть R" (или замкнутое полупространство в R"),
так что М X N есть Rm+" (или замкнутое полупространство
6»

84
Р. Пале
в Rm+n1)). Далее мы можем предположить, что gi = AfXKb
g2 = N X V2, Ц1 = М X Wi и Лз = // X W2) так что
?i®?2 = (MXA0X(Vi® V2) и т^фть-ДОХЛОх^, ® Г2).
Пусть заданы «-индекс а! и «-индекс а2, и пусть через а{ ® а2
обозначен (т + гс)-индекс (ссп а1т, а21, ..., а2л); определим
оператор Z)a' ® Z)a' = Z)a'®^. Тогда если /геС°°(^, 7,), то функ-
функция /i®/2 eC°°(Af X iV, l^! ® K2) задается формулой
/i®/2(*i *m, Ух, •¦-, yn) = f\{xu .-., xm)®f2{yu .... */„),
a'®ajf,®/:2 = Daifi®?>a2f2. Более общо, оператор
/(?,®i2, 11,®%) имеет вид Г = S Ca.w/'8,
где [ ос] | + |a2Ki& + /, а Ca,®a2 является С°°-отображением про-
пространства М X N в пространство Z. A^ ® V2, W{ <S> W2). Если
операторы Dt и ZJ имеют вид
01= 2 Az.-D, А>= 2 fi«,0°\
|а,|<А |а,|<;
то оператор Т удовлетворяет необходимому условию в том и
только том случае, когда
2 Ca.ea^/, ® Da% = B i4eiDe7,) ® B Ba3Da%) =
Гл. IV. Дифференциальные Операторы на векторных расслоениях 85
так что
Если мы возьмем вместо fj „моном" вида x->xaiVi(Vi eFj,
а вместо /2 „моном" вида y—>^v2(v2^V2), то найдем, что это
возможно тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Ca,®a2 = Ащ ® ?а2, ЧТО И ТребОВЭЛОСЬ.
Существует другое „тензорное произведение" операторов,
зависящее от эрмитовой структуры и играющее важную роль
в теореме об индексе. В дополнение к уже сделанным допу-
допущениям мы предположим, что на многообразиях М и N заданы
строго положительные гладкие меры („произведение Фубини"
которых, конечно, индуцирует строго положительную гладкую
меру на М X N) и что расслоения |,-, ц{ обладают эрмитовыми
структурами (которые индуцируют эрмитовы структуры на
расслоениях g, ® т), и т. д.). Пусть | = A, ® 12) ф (щ ® %) и
"П = Oli ® ЫФA1 ® ifc)- Пусть /|, е Diffo(ii, ii) - тождественный
оператор; аналогичное обозначение используется и для других
') Напомним, что по крайней мере одно из многообразий М я N по
условию не имеет края. — Прим. ред.
расслоений. Тогда если Z>,e=DiffA (&, ть), /=1,2, то опреде-
определяется оператор Д # D2 e Difffe (g, -л) вида
-/ti,®02
т. е.
h
2) е (- f,
Оператор, сопряженный к Di # D2 (относительно естественной
эрмитовой структуры расслоений | и ц, в которой слагаемые
ортогональны), задается матрицей
А.®02 01® Ль
следовательно, оператор (Z), # А>)* @i # 02) имеет матрицу
+ /5l®0202 0 \
О Л|,® 0202 + 010?® Ль/
(-D*
откуда следует, что если D\ и D2 — эллиптические операторы
порядка k, то оператор (D\ # D2)*(DX ф ZJ) является сильно
эллиптическим порядка 2&, и потому оператор Dj^^ является
эллиптическим порядка & (см. следствие в конце § 4). Если
lit I2 —векторные расслоения над многообразием М, то напом-
напомним, что |! ® |2 = Д (gj ® |2); это эквивалентно тому, что слоем
этого расслоения над х служит {%у)х ® (|2)Л и структура рас-
расслоения характеризуется тем свойством, что если /геС°°(|(),
то /, ® f2ezC°° (I, ® ia), где /, ® f2 {x) = fl (х) ® /2 (х). Если ^ и ть -
векторные расслоения над многообразием М, то имеется есте-
естественное билинейное спаривание (alt <r2)->ai^>a2, отображаю-
отображающее Smbl^i,, Ti,)xSmblf(g2, т^ в Smblf+/(g, ® |2) л, ® ть)
вида (a!®<T2)(u, jc) = (Xi(i>, л:)®сг2(и, л;). По теореме 2 § 3
для заданных операторов Dj e Difffe(|b t^i) и ZJ s Diffг (|2, il2)
существует оператор Т е DiffA+/ (g{ ® |2, "Hi <S> "Пг), такой, что
afe+i G1) ^= <тА (Л)]) <2) сгг (^2); однако в отличие от вышеописанной
ситуации здесь не существует канонического выбора опера-
оператора Т. (Заметим, что бесполезно" пытаться охарактеризовать
такой оператор Т при помощи формулы T(fl®f2) = Dlfif
г

Р. Пале
Например, пусть М = R, ? = т] = М X С, так что g ® т] = М X С
и /i ® f2 = fif2- Тогда если Д = ZJ = d/d*, то оператор Г должен
удовлетворять условию T(fg) = f'g'. Но Г(/) = Г(/ • 1) = /' • 1' = 0,
так что Т = 0; получается противоречие.) Понятие связности,
к которому мы обратимся далее, частично помогает в этой
неприятной ситуации.
§ 9. Связность и ковариантное дифференцирование
Рассмотрим точную последовательность джет-расслоений
для k = 1:
где pjAf)x = f(x), i(dgx<8)f(x)) = jl(gf)xjViR МС~($, g^C°°(M, R)
с g(x) — 0. Ввиду общего принципа расщепления мы можем
определить С°°-подрасслоение расслоения /'(!)> дополнительное
к образу отображения L Выбор такого подрасслоения С (|) назы-
называется связностью расслоения |. Элементы подрасслоения С(|)
называются постоянными 1-джетами этой связности. Существует
единственное отображение расслоений С: |->/'(!) с образом
С(|), такое, что отображение рС является тождественным.
Если eeg, то С (е) называется постоянным 1-джетом через е.
Обратно, каждый морфизм расслоений С: ?->/'(!)> который
является глобальным сечением для р, есть вложение, образ
которого С(|) является связностью расслоения |. В двойствен-
двойственной ситуации, если задана связность С(|), то существует един-
единственный морфизм расслоений Т: /' (?) —> L(T(M), g), имеющий
расслоение С (|) своим ядром и для которого отображение 77
является тождественным; обратно, каждый морфизм Г: /*(|)->
—>L{T{M), |), такой, что отображение 77 тождественно, имеет
своим ядром некоторую связность С (I). Дифференциальный
оператор первого порядка \7 = T,ji: С°°(|) ->С°°(L (Г(ЛГ), 1)) на-
называется ковариантной производной, определенной данной
связностью С(|). Так как 77 тождественно и /(dg^ ® /(*)) =
=/i((^-^W)/L. то V((fir-ff(лc))/)(Jc) = dg^®/(Jc)или v(grf) =
=dg0f + gV/, если ^еС°°(М, R). Обратно, пусть отобра-
отображение V: C°°(g)->C°°(L(r(.M), D) является линейным и удо-
удовлетворяет этому тождеству. Если /, (/)_,. = 0, то по теореме
Тейлора мы можем найти сечения /ь ..., /rasC°°(|), fi(x) = O,
и функции gu ..., gnf=C°°(M, R) с gi(x) = Q, такие, что
f^^igift- Тогда ясно, что vf(*) = 0, откуда следует, что
оператор V является дифференциальным оператором пер-
первого порядка, и по следствию 1 из теоремы 1 § 3 суще-
существует единственное отображение ГеНош(/1(|), ЦТ{М), |)),
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 87
такое, что V = 3"./i- Легко видеть, что 77 — тождественное
отображение, откуда кег(Г) является связностью, а оператор
V ~ ассоциированной ковариантной производной. Таким обра-
образом, если принять
Определение. Линейное преобразование V: C°°(|)—>
—> С°° (L (Т (М), |)) называется ковариантной производной,
если V(gf) = dg®f + gvf для geC°°(Af, R) и /еС"(|),
то имеет место
Теорема 1. Ковариантная производная V: C°°'(S) ->
—?-C°°(L(r(vW), D) йсгб дифференциальный оператор первого
порядка и ассоциирована с некоторой однозначно определен-
определенной связностью расслоения с.
Следствие. ax\\7){v, x)e = v®e.
Замечание. Приведенное выше определение ковариант-
ковариантной производной принадлежит Кошулю. Настоящее определе-
определение связности расслоения | (одно из сотни других) принад-
принадлежит, по-видимому, Ботту.
Определение. По заданным ковариантной производной
V: C°°{l)-+C°°{L{T{M), D) и точке wz=T(M)x определяется
линейное отображение VV С°°(|)->!.г вида X7wf = (vf)(w).
Аналогично по заданному сечению Х^С°°(Т(М)) (т. е. С°°-век-
торному полю на многообразии М) определяется отображение
Vx- C~($-+C'°№ вида (Vxf)(x) (f)(X())
Тогда очевидна
Теорема 2. Если отображение v: C°°(l)^C°°(L(T(M), |))
является ковариантной производной расслоения |, то X
является гомоморфизмом С°°{М, Ц)-модулей С(
, I). Если g<=C"(M, R), f eC-(I), то
откуда следует, что ct^VxH0' x) является скалярным умноже-
умножением на v (X) в пространстве |л..
Заметим также, что оператор Vm однозначно определяет
связность С(|), для которой оператор V является ассоциирован-
ассоциированной ковариантной производной. Действительно, если /,(/%,.<=
e/'d)^, то /,(/)^еСA) тогда и только тогда, когда VtJ = 0
для всех точек шеГ (М)х.
Лемма. Пусть |, ? — векторные расслоения над многообра-
многообразием М и v — ковариантная производная расслоения ?. Тогда
для заданных сечения FeC°°(|®S) и точки х^М существуют

88
Р. Пале
сечения Л f,eC°°(g), gu ..., j,sC"E) с
такие, чго /i (Я* = /i B /г ® &)*.
Доказательство. Выберем сечения Ль ..., /zreC°°(g)
так, что элементы Л/(х) образуют базис пространства g^,
и сечения gu ..., gs^C™ (?,) —так, что элементы ji(gi)x обра-
образуют базис пространства С (?), где С — связность, соответствую-
соответствующая оператору V- Тогда gt(x) образуют базис пространства ?х,
следовательно, hj®gi{x) образуют базис пространства (g®^)^,
так что hj ® gi образуют локальный базис пространства сече-
сечений расслоения g ® ? в окрестности точки х. Поэтому в окрест-
окрестности точки х сечение F можно записать как 2 Д*/Л/ ® gi
с aweC°°(M, С). Полагая /,- = 2а«Ау, имеем /r = 2fc®g'<
вблизи точки х, что и требовалось.
Теорема 3. Пусть g, r\, ? — векторные расслоения над
многообразием М, fle Difft (g, т|) а V" ковариантная произ-
производная расслоения ?. Тогда существует единственный оператор
'р-гчт" ;g®?, ti®?), гакой, чго Г(/ ® h){x) = {Dj ® Л)(х) при
) = 0. Обозначая этот оператор Т через Z) ® v Л получим
Поэтому D ®v/ — эллиптический оператор тогда и только тогда,
когда оператор D эллиптический.
Доказательство. Единственность немедленно следует
из леммы, и по следствию 3 из теоремы 1 § 3 достаточно прове-
проверить локальное существование такого оператора. Следовательно,
мы можем предположить, что М есть R" или замкнутое полу-
полупространство в R" и что g = М X U, i) = MXV, ? = MXW,
откуда tet, = MX(U®W) и t)®Z = MX(V®W). Пусть
п
D — Aq+^Ai(d/dXf), где At являются С°°-отображениями мно-
гообразия М в пространство L{U, V). Пусть hit ..., hs — базис
пространства сечений расслоения ?. Тогда если .FeC°°(g®?),
то сечение F может быть записано единственным образом
в виде /Г=2//®А/, где //eCco(g), и мы можем определить
оператор TF следующим образом:
Гл. /V. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях
где
где функции gj
f ® h =
Если fe=C°°(g), AeC°°(t), то
C°°(M, С) определены однозначно, так что
А/. По теореме 2 v«
и, следовательно,
Г (f ® Л) =
Последнюю формулу можно получить прямыми вычислениями,
которые мы оставим читателю. Из этой записи очевидно, что
оператор Т обладает требуемым свойством.
В дальнейшем, если gi, . . ., gm — расслоения над многообра-
многообразием ,М, то будем обозначать через яу канонический изомор-
изоморфизм расслоения gj ® ... ® g;- ® ... ® gm с расслоением
¦I/ ® Ii ® • • • ® i/-i ® I/+i ® • • • ® Im-
Теорема 4. Если g и ц — векторные расслоения над М
с ковариантными производными Vi " Vi) соответственно, то
существует однозначно определенная ковариантная производ-
производная Vgg-п для расслоения g ® "П, такая, что
при fe=C°°(g), ?еС°°(т1).
Доказательство. Единственность оператора V? § „ оче-
очевидна, так же как и то, что оператор Vj §,,. удовлетворяющий
выписанному тождеству, является ковариантной производной
расслоения g <8> г\. Используя теорему 3, мы определим оператор
Vi S „ = VE ® v4/ + л, о (/V| ® V^;
остается проверить требуемое тождество. Для заданной точки
р^М пусть ft, ..., /г — локальный базис пространства сечений
расслоения g вблизи точки р, причем (V|/<)P = 0; пусть gx, ..., gs—
локальный базис пространства сечений расслоения г\ вблизи
точки р, причем (Vi,?y)/J = p. Пусть f = 2з-^> ^= 2&/?/ в окре-
окрестности точки р. Тогда f ® g = 2 a?u/ff ® g/ вблизи точки р и,
следовательно,
Vs §
g)(p) = 6
' = 2 [dfo
ft

90
Р. Пале
ng) (p) = 2 [(dat
тогда как
Равенство правых частей этих выражений, получается непосред-
непосредственно из равенства d(aibj) = (dai)bj + ai(dbj), а равенство ле-
левых частей есть требуемое тождество.
Следствие. Если V| ~~ связность расслоения |, а V т* —
связность расслоения Т*(М), то существует единственная связ-
связность v|w расслоения <%>кТ*{М) ® |, такая, что если /ь ..., /ft<=
С°°(Г(М)) ?eC°°(g), то
k
= 2 n,
(А ® ... ® /й
Определение. Представим Dk e DiffA (l, Lks{T (M), 1))
в e«^e Dk = D{k)jk, где Z)(W e= Horn (/*(g), Z.J(r<Af), g)). ?г/аеи<
называть Dk k-м полным дифференциалом расслоения |, если
?>D) расщепляет точную последовательность джет-расслоения
0-+Lks(T(M), l)^/(l)Wft-'(g)-+0.
Теорема 5. Оператор Dk e Diffft (|, L*(^ (ЛГ), |)) является
k-м полным дифференциалом расслоения | тогда и только тогда,
когда ak (Dk) (v, x)e = Sk (и) ® е.
Доказательство. Пусть D^ = /)(й) jk. Тогда Dk является
k-м полным дифференциалом в том и только том случае, если
отображение D^i является тождественным морфизмом рас-
расслоения LS(T(M), |), где / — отображение вложения в последо-
последовательности джет-расслоения. Следовательно, по теореме 1 из
§ 2 оператор Dk является &-м полным дифференциалом тогда
и только тогда, когда -для ое7'(М^ и е е %х имеем
Sk (v) <8> е = Я(,) i(Sk (v) ® e) = D(k)jk(^- gkf) (р) = ± Dk (gkf) (p)
при условии, что сечение /еС°°(|) удовлетворяет условию
f(p) — e, а g-eC°°(jW) удовлетворяет условиям g(p) = 0 и
dgp = v. Но по определению (см. § 3)
что и требовалось.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 91
Напомним (см. § 1), что пространство Smblft(g, т)) является
образом пространства Нот^^Г^), |), ц) при изоморфизме Aft,
где Xk(F)(v, x)e = F(Sk(v) <8> е), и что обратный изоморфизм
обозначается через ст—>а, так что если a e Smblf(|, т^), то эле-
элемент а е Hom(bs(T(M), |), г\) характеризуется тем свойством,
что a(Sk(v) ® е) = ст(а, х)е.
Теорема 6. Пусть для данного k-го полного дифферен-
дифференциала Dk расслоения | определено линейное отображение Dk
пространства Smblft(|, ц) в пространство Difikih т]) по формуле
Dk (a) = a, • Dk.
глобальный
Тогда Dk
сечением отображения
является
ok: Diffft(|, -л)—*Smblft(g, ц) и, следовательно, расщеплением
точной последовательности символов (см. § 3, теорема 2).
Доказательство. По теореме 5 имеем ok(Dk(a))(v, x)e —
^(a, • Dk)(v, x)e = as(aH,)ak(Dk)(v, x)e = a(Sk(v) 0 e). Из опре-
определения элемента 5 получаем a(Sk(v) ® e) = a(v, x) e, откуда
Ом Фк (ст)) = ст. чт0 и требовалось.
Если | и г\ — векторные расслоения, то напомним (см. § 1),
что существует естественная проекция 5(ft) расслоения ®&|®11
на подрасслоение S*(§)®ti, а именно симметризация, опреде-
определяемая формулой
f) = -]|-
(е,
ek
(О
где сумма берется по всем &! перестановкам чисел {1, 2, ..., &}.
Теорема 7. Пусть ^i — ковариантная производная рас-
расслоения | над многообразием М, и пусть V^ ~ ковариантная
производная расслоения Т*(М). Тогда Dk = S*Vf-1} • • • V^Vs
является k-м полным дифференциалом расслоения |.
Доказательство. Имеем
aft(Dfe)(u, jc)e = ff0(SW)(o, Jf) or, (g**-1)) (о, jc) ... a, A) (o, x)e-
(... ®(o ® e) ...)) =
® ... ® v) ® e) = (o ® „.. ® и) ® e.
Но при каноническом отождествлении расслоения Sk (T*(Af))®l
с расслоением Lks{T (М),%) элемент (и® ... ® и) ® е соответ-
соответствует элементу Sk (v) ® e, что и требовалось.

92
Р. Пале
Следствие. Пусть заданы ковариантные производные
V| и Vj-.- Тогда существует канонический изоморфизм /ft(|)s
в © L?(T(M), I), такой, что h(f) = {Dm(f)}0<m<k.
Доказательство следует немедленно из теоремы и опре-
определения k-vo полного дифференциала.
§ 10. Spin-структура и оператор Дирака
Напомним вначале некоторые основные факты о клиффор-
довых алгебрах и спинорных группах. Подробности читатель
может найти в мимеографических заметках Дж. Милнора
A963) „The representation rings of some classical groups" ').
Клиффордова алгебра Ап. характеризуется с точностью до
единственного изоморфизма следующими свойствами:
1) Ап является вещественной алгеброй с единицей;
2) Rrt S Ап порождает Ап;
3) е\ = — 1 и eiej = — ejel, где еи ..., еп — стандартный базис
пространства R".
Отсюда следует, что [е^е]2 ... е'пп) (ik = 0 или 1) является
базисом пространства Ап, так что, в частности, dimAn = 2n.
При этом Ап = At © At, где At и At суть подпространства,
натянутые на те элементы вышеуказанного базиса, которые
имеют соответственно четное и нечетное число чисел ik, равных
единице. Тогда At является подалгеброй, At At s At, AtAt =
= At At S At, и соответствие aQ + ax ~+a0 + axen, где a0 e At-U
a, e Лд-i, является изоморфизмом между Ап-\ и At. Обрати-
Обратимые элементы ве^, такие, что p(u)v = uvu~l для всех ueR",
образуют подгруппу Pin(rc) в Ап и р является гомоморфизмом
группы Pin (га) в группу О(п). Прообраз группы SO(n) при
гомоморфизме р обозначается через Spin(rc) и называется
п-мерной спинорной группой. Группа Spin(n) является связной
(для гс>1) подгруппой в At, и сужение гомоморфизма р на
Spin (га) имеет ядро ±1. Так как з^ (SO(га)) = Z2 для п>2, то
отсюда следует, что Spin (га) является универсальной накры-
накрывающей группы SO (га) для га>2.
Если п = 2k — четное число, то комплексифицированная ал-
алгебра Ап® С является простой и, следовательно, имеет един-
единственный с точностью до изоморфизма неприводимый левый
модуль Sn, в качестве которого можно взять минимальный
J) См. также ШеваллеК., Теория групп Ли, т.1, ИЛ, М., 1948.
— Прим. ред.
Гл. IV. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях 93
левый идеал кольца Ап ® С. Элементы из Sn называются
п-мерными спинорами. Если рассмотреть Sn как Л^ ® С-модуль,
то он расщепляется в прямую сумму Sn = St ©SiT двух не-
неэквивалентных неприводимых модулей, элементы которых на-
называются соответственно положительными и отрицательными
спинорами. Более того, AnSt cz Sn, откуда, в частности, сле-
следует (так как R" s At), что vSt s SZ и vSt ? St для v e R".
Поскольку Spin (n)^. At, то St и St можно рассматривать
как 8рт(га)-модули, которые также являются неприводимыми.
Отметим, что если «е Spin (га) и neR", то для s e Sn имеем
и (vs) = (uvu~') (us) = (р (и) v) (us).
Пусть теперь М — ориентированное риманово многообразие.
Под Spin-структурой многообразия М понимается некоторая
редукция структурной группы SO(n) расслоения Т(М) к группе
Spin (га). На языке координатных расслоений это означает сле-
следующее: задано некоторое множество {(©у, X], . . ., Хп)} (А — от-
отмечающий индекс), где {©J — открытое покрытие многообра-'
зия М, а Хи ..., Х\ суть С°°-векторные поля, определенные на
&к и образующие в каждой точке ориентированный ортонормаль-
ный базис. Заданы также отображения gX]l: 0j,f| ®ц~*" Spin(«),
удовлетворяющие соотношениям gn (х) — 1 для х е <дъ
g\ii(x)gv.v(x)=gKv(x) для лгеОд, П ©у. П ©v и> наконец, p(gXv.(x))u =
= (Х^ (х), XI (х)), или Х) = 2 Р (<?аД ¦ Х^. Задав таким образом
Spin-структуру, определим ассоциированное расслоение Sn(M)
со слоем Sn. Таким образом, пространство расслоения Sn(M)
является несвязным объединением множеств @х X Sn X {Я}
с отождествлениями (х, gxv.(x)s, X)~(x, s,n), л:е0яП©ц- Так как
St и St являются инвариантными подмодулями модуля Sn
относительно действия группы Spin(n), то модуль Sn(M) кано-
канонически расщепляется в сумму Уитни двух подмодулей St (M)
и St (М). Существует билинейное спаривание Т (М) X Sn (M)—>
—>Sn(M), задаваемое следующим образом: если w^T (М)Л, х^в^
2 f
И Ш =
(X), ТО
w (х, s, ц.) = (х, vs, ц).
Тождество и (vs) — (р(и) v)(us), полученное ранее, с и = g\ll(x)
показывает, что это определение совместимо с отождествле-
отождествлениями. Так как RnSt S St, то мы получаем индуцированные би-
билинейные отображения T(M)XSt (M)-> St (M) и T(M)XSt(M)-+
-+St(M). Определим теперь элемент а е Smblf(Srt(Al), Sn(M))

94
Р. Пале
равенством a(v, x)s = vs (где мы отождествили пространства
Т"(М) и Т (М) с помощью некоторой римановой структуры).
По вышеизложенному мы можем с помощью сужения рассма-
рассматривать айв Smbl?(s;f(A*), Sn (М)\ и в Smblf (Sn (M), St (M))-
Если v ф О, то o(v,x) отображает пространство Sn(M)x изо-
изоморфно само на себя; фактически a(v, xf s = — || v |p ввиду
определяющих соотношений клиффордовой алгебры. Следова-
Следовательно, ст является эллиптическим символом и, конечно, остается
таким же, когда его рассматривают в Smblf (Sn (M), Sn (M))
или в Smblf (Sn (M), Si (M)).
Определим теперь оператор DeDiff, (Sn(M), Sn(M)) с таким
символом, называемый оператором Дирака. Пусть v ~ кова-
риантная производная расслоения Sn(M), полученная как пря-
прямая сумма ковариантных производных расслоений St (M) и
Sn (M) (существует канонический выбор оператора v> связан-
связанный с римановой структурой расслоения Т(М), но, по-видимому,
он не дает никаких преимуществ). Пусть О|,..., олиш, ш„-
два ортонормальных базиса в пространстве Т(М)Х, так что
и>* —2"//°*> где элементы utj образуют ортогональную матрицу.
Тогда если / е= С°° (Sn (М)) и 2 «"V/ = 2 w 2
и 2 «"/V./ = 2 w, 2 «,,V0/ =
т0 мы можем определить оператор ^
24УоЛ р рр [() ^iis/vf
в каждом ортонормальном базисе vu ..., vn пространства Т (М)х.
То, что D e Difii(Sn(M), Sn(M)), следует из представления
D\©% = ^?iXb\7хх на ©г Так как оператор V при сужении на
расслоения St (M) и Sn (M) является ковариантной производ-
производной, то оператор D отображает пространство C^iSn) в про-
пространство C^iSn), и обратно.
Пусть теперь v^T(M)x и функция g eC°° (M, R) удовле-
удовлетворяет условиям g(x) = 0 и dgx = v, т. e. dgx(w) = (w, v).
Тогда если se=Sn(M)x и / е= С°°E„ (М)), rp,ef(x) = s, то мы
имеем Va,4 (gff) (*) = dg (a>/) s = (a>i, о) s и, следовательно,
а, (й!) (v, x)s = D (gf) (x) = 2 (а>/, и) шг5 = vs = а (и, jc) s;
это доказывает, что оператор D имеет требуемый символ и
потому является эллиптическим.
ГЛАВА V
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ИНДЕКС НЕКОТОРЫХ
КОНКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Р. С о лов э й
В § 1 мы сделаем обзор теории Ходжа, которую будем
использовать в § 2, 3 для проверки теоремы об индексе в
ряде конкретных случаев. Эта проверка сыграет свою роль
в доказательстве теоремы об индексе в общем случае. В § 4
мы покажем, что топологический индекс дифференциального
оператора на нечетномерном многообразии равен нулю.
§ 1. Обзор теории Ходжа
1.0. Пусть X — замкнутое ориентированное риманово много-
многообразие размерности п. Напомним основные свойства опера-
операторов d, б и *, введенных в гл. IV, § 6.
1.1. Пусть |fe = Л* (Г* (X)) ® С — расслоение комплексных
дифференциальных &-форм над многообразием М. Риманова
структура многообразия X порождает эрмитову структуру
в расслоении |* и строго положительную гладкую меру на X.
Таким образом, получается эрмитово скалярное произведение
в пространстве C°°(lft); обозначим его через (а, р), где
а,
1.2. Существует некоторый изоморфизм расслоений
*: Ak{f{X))® C^An~k{f{X))® С.
(О
Если V — слой расслоения Т* (X) над точкой х^Х, то на
слое |* изоморфизм A) является комплексификацией изомор-
изоморфизма *: Л*(V) = Л"~к(V), рассмотренного в гл. III, § 6. Инду-
Индуцированный изоморфизм между пространствами С°° (|р) и
Сс°(%п~р) мы также будем обозначать *. Напомним следующие
свойства отображения *:
(а, р)=|аЛ*Р, где а,
Nfe(ra-fc)
на
B)
C)

94
Р. Пале
равенством a(v, x)s = vs (где мы отождествили пространства
Т*{М) и Т (М) с помощью некоторой римановой структуры).
По вышеизложенному мы можем с помощью сужения рассма-
рассматривать о и в Smblf(S?(Al), Sn(M)), и в Smblf (s^Af), s? (M))-
Если v ф О, то a(v, х) отображает пространство Sn{M)x изо-
изоморфно само на себя; фактически a(v, xfs = — || w|p ввиду
определяющих соотношений клиффордовой алгебры. Следова-
Следовательно, а является эллиптическим символом и, конечно, остается
таким же, когда его рассматривают в Smblf (S%(M), Sn (M))
или в Smblf (Sn(M), St{M)).
Определим теперь оператор DeDiff,(Sn(Af), Sn(M)) с таким
символом, называемый оператором Дирака. Пусть v — кова-
риантная производная расслоения Sn(M), полученная как пря-
прямая сумма ковариантных производных расслоений Sn (M) и
Sn (M) (существует канонический выбор оператора V» связан-
связанный с римановой структурой расслоения Т(М), но, по-видимому,
он не дает никаких преимуществ). Пусть оь ..., vn и wu ..., wn —
два ортонормальных базиса в пространстве Т(М)Х, так что
wt = 2"i/wt> гДе элементы иц образуют ортогональную матрицу.
Тогда если / е С*" (Sn (Afl) и 2 о>Л7ш/в 21 и>, ЪиИЧv f =
i ' wj i ' i ' >¦
/. то мы можем определить оператор Df (*) = 2jfiV0./:
в каждом ортонормальном базисе оь ..., vn пространства Т(М)Х.
То, что D ^Diili(Sn(M), Sn(M)), следует из представления
D I &к — 2 Xbvxa. на 0^. Так как оператор v при сужении на
расслоения Sj(M) и Sn (M) является ковариантной производ-
производной, то оператор D отображает пространство С°°Eп) в про-
пространство С°°E^), и обратно.
Пусть теперь оеГ(М)^ и функция g-eC°°(Af, R) удовле-
удовлетворяет условиям g(x) = 0 и dgx = v, т. е. dg^ (oy) = (ш, v).
Тогда если se5«(ML и /sCoe(Sn(Al)), где f(x) = s, то мы
имеем vB (S'f) W = rf^ (даг)s = ("'г» °)s И< следовательно,
t, v) Wis = vs = a{v,x)s;
это доказывает, что оператор D имеет требуемый символ и
потому является эллиптическим.
ГЛАВА V
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ИНДЕКС НЕКОТОРЫХ
КОНКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Р. С о лов эй
В § 1 мы сделаем обзор теории Ходжа, которую будем
использовать в § 2, 3 для проверки теоремы об индексе в
ряде конкретных случаев. Эта проверка сыграет свою роль
в доказательстве теоремы об индексе в общем случае. В § 4
мы покажем, что топологический индекс дифференциального
оператора на нечетномерном многообразии равен нулю.
§ I. Обзор теории Ходжа
1.0. Пусть X — замкнутое ориентированное риманово много-
многообразие размерности п. Напомним основные свойства опера-
операторов d, б и *, введенных в гл. IV, § 6.
1.1. Пусть |fe = ЛЙ (Г* (X)) ® С — расслоение комплексных
дифференциальных &-форм над многообразием М. Риманова
структура многообразия X порождает эрмитову структуру
в расслоении |ft и строго положительную гладкую меру на X.
Таким образом, получается эрмитово скалярное произведение
в пространстве C°°(gfe); обозначим его через (а, C), где
а, ре=С°°A*).
1.2. Существует некоторый изоморфизм расслоений
*:
Если V — слой расслоения Т* (X) над точкой х^Х, то на
слое |* изоморфизм A) является комплексификацией изомор-
изоморфизма *: Ak(V) = An~k(V), рассмотренного в гл. III, § 6. Инду-
Индуцированный изоморфизм между пространствами С°° (?,р) и
Ссо(|"~/7) мы также будем обозначать *. Напомним следующие
свойства отображения *:
(а, р)=|аЛ*р, где а, р<=С°°Aй),
\fe (л-ft)
на
B)
C)

Р. С о л о в эй
Если п четно, то формула C) превращается в
*2=(-l)ft
на
(dimZ четно);
* р = * р, т. е. оператор * вещественный.
D)
E)
1.3. Пусть d: C°° (I*)-»- C°°(lk+1)- внешняя производная.
Тогда й2 = 0. Теорема Де Рама утверждает, что группы
Н*(Х, С) когомологий многообразия X с комплексными коэф-
коэффициентами канонически изоморфны группам когомологий ком-
комплекса
о
A°) — -
Пусть б: С°°(|*+1)->С°°(|*)— оператор, сопряженный с опе-
оператором с?. Тогда если многообразие X четномерно, то по-
получаем
б = — * d * (dim X четно). F)
п
Пусть § = Л(Г*(Х))®С = 2 1г- Тогда оператор
2
является
формально самосопряженным (т. е. равен своему формально
сопряженному). Положим A = (d + 6J = dd + dd. Тогда опера-
оператор А: С°° (?*) -> С°° (|fe) является однородным степени нуль. Для
сечения qpeC°°(g) мы имеем
Аф = 0 <ё# (rf + б) Ф =
= бф = 0.
G)
Если Аф = 0, то будем говорить, что сечение qp гармоническое.
В этом случае ввиду G) получаем с?ф = 0; по теореме Де Рама
гармоническое сечение ф представляет некоторый класс кого-
когомологий а^Н"(Х, С). Говорят, что сечение ф является гармо-
гармоническим представителем класса а.
1.4. Основной результат теории Ходжа состоит в обратном
утверждении: каждый класс аеЯ'A, С) содержит гармони-
гармонический представитель ф, и этот представитель единственный.
Поэтому существует канонический изоморфизм
Н*{Х, C)sskerA.
§ 2. Эйлерова характеристика
2.0. Пусть X — замкнутое ориентированное С^-многообразие,
g, ц— эрмитовы векторные расслоения над.^ и
D: С~(О->С™(ч)
Гл. V. Аналитический индекс некоторых операторов
97
—эллиптический дифференциальный оператор. Пусть Dm: С°°(т])—>
—>-С°° (t,) — формально сопряженный для оператора D. В гл. XI
будет доказано, что kerb и kerD* являются конечномерными
векторными пространствами и (см. теорему 8 гл. XI) что
ia (D) = dim ker D — dim ker D\
(8)
Мы будем использовать равенство (8) как рабочее определение
аналитического индекса оператора D.
2.1. Пусть многообразие X и расслоение |* такие же, как
в § 1.
Пусть 6j = dim# (X, С); это число называется i-м числом
Бетти многообразия X. Альтернированная сумма
/=0 '
называется эйлеровой характеристикой многообразия X. Пусть
? = ®12Р, 1° = Ф|2/'+!. Так как оператор d имеет степень +1,
р р
а оператор б —степень —1, то d + 8 отображает пространство
С°°Aе) в пространство С°°A°). В гл. IV, § 6, п. в, было дока-
доказано, что оператор d + б эллиптичен.
Предложение 1. Аналитический индекс оператора
d + 8: C°°(le)^C°°(l°) (9)
совпадает с эйлеровой характеристикой многообразия X.
Доказательство. Пусть D обозначает оператор (9).
Покажем, что
In/2] fn/2]
dim ker D = 2 b2l, dim ker D*= 2 6a+i- (Ю)
г=о /-о
Ввиду (8) это докажет требуемое утверждение. Используя G),
убеждаемся, что1 ядро оператора d + 8: С°° (|г)-* С°° (|°) совпа-
совпадает в точности с четномерными гармоническими формами. По
теории Ходжа (см. § 1.4) такие формы находятся во взаимно
однозначном соответствии с четномерными элементами кольца
Н*(Х, С), что доказывает первую из формул A0).
Чтобы получить вторую, заметим, что так как оператор
d + 8: C°° (%е) —> С°° (?°) формально самосопряженный, то опера-
оператор D*, формально сопряженный с (9), совпадает с d + д:
С°° (|°) -> С°° (Iе). Вторая из формул A0) следует теперь из рас-
рассуждения, аналогичного изложенному выше.
7 Р. Пале

98
Р. С о ло в э й
Следствие 2. Пусть X — четно мерное замкнутое ориенти-
ориентированное многообразие. Тогда теорема об индексе справедлива
для оператора d + b: C°°(Z,e)-> С°° &°).
Доказательство. Символ оператора d + б, согласно
гл. IV, § 6, п. б и в, задается формулой
Следовательно, он порождается универсальной конструкцией
в смысле § 4 гл. III. Так как многообразие X четномерно, то
применимо предложение 5.1 гл. III: топологический индекс опе-
оператора (9) задается формулой
Х(Х)[Х],
(П)
где %(Х) —эйлеров класс касательного расслоения многообра-
многообразия X.
Мы используем это следствие только в случае, когда X = S2k.
В этом случае непосредственно проверяется, что эйлеров класс
сферы S2k есть удвоенная образующая группы H2k (S2k, Z) (с по-
помощью определения %{Х) через препятствия).
§ 3. Теорема Хирцебруха о сигнатуре
В этом параграфе мы представим сигнатуру многообра-
многообразия X как аналитический индекс некоторого эллиптического
оператора Dx. С помощью результатов гл. III мы вычислим
топологический индекс оператора Dx: он оказывается L-родом
многообразия X. Это позволяет проверить, что h(Dx) = ia(Dx),
когда X является комплексным проективным пространством
СРBт). Более общо, это показывает, что предыдущее равен-
равенство эквивалентно теореме Хирцебруха о сигнатуре многообра-
многообразия X.
3.1. Напомним определение сигнатуры многообразия. Сна-
Сначала пусть V — конечномерное вещественное векторное простран-
пространство. Пусть ( , ) — невырожденная симметричная билинейная
форма на V. Тогда стандартным результатом линейной алгебры
является существование такого базиса {еи ..., ет, fx /„}
пространства V, что
(et, ef) = 6,,-, (П, f,) = - 6Ф (et, ff) = 0. A2)
(Здесь 5if равно 1, если i = /, и 0 в противном случае.) Целое число
т — п называется сигнатурой билинейной формы ( , ); оно не
зависит от выбора базиса, удовлетворяющего условиям A2).
Гл. V. Аналитический индекс некоторых операторов 99
Пусть теперь X — замкнутое ориентированное многообразие
размерности 4k. Тогда существует естественная симметричная
билинейная форма на пространстве Н21г(Х, R):
(а, р> = а11Р[А], где
R).
A3)
Теорема .двойственности Пуанкаре утверждает, в частности,
что форма A3) невырождена.
Сигнатура билинейной формы A3) называется сигнатурой
многообразия X. Если X — замкнутое ориентированное много-
многообразие, размерность которого не делится на 4, то сигнатура
многообразия X по определению равна нулю.
3.2. Пусть теперь X — замкнутое ориентированное риманово
многообразие размерности 21. Как в § 1, положим
1* = Л*(Г(Х)®С), где g = ©s*.
k
Определим отображение расслоений а: 1->| следующим обра-
образом: на расслоении §*
Из D) вытекает, что а2=1.
Лемма 3. Существуют такие подрасслоения 1+ и %~ рас-
расслоения
что
A5)
причем если точка v принадлежит пространству расслоения %+
(соответственно | ), то a (?.>) = и (соответственно a(a)= — v).
Доказательство. Пусть Р — главное SOB/)-расслоение
над многообразием X. Пусть V = !?2г. Тогда расслоение | кано-
канонически изоморфно Р Xso B/)А (У*)® С. Как было показано
в п. 6.1 гл. III, существует отображение
а: Л*0О®С->Л*A/*)®С, A6)
которое эквивариантно относительно группы SO B1) и обладает
свойством а2=1. Это отображение, очевидно, порождает ото-
отображение а: |—>|. Пусть А± — собственные подпространства
отображения A6), соответствующие собственным значениям ±1.
Тогда
(так как a2=l).
Если мы теперь положим
то легко видеть, что утверждения леммы будут выполнены,
79

100
P. Co л о вэ\
3.3. Отображение пространства С°°(|) в себя, индуциро-
индуцированное отображением а: |—*¦%, обозначим также через а. Тогда
С00A±) {Сооа)|аф=±ф}
Из D), F), A4) непосредственно получается важная формула:
a(d + 6)=-(d + d)a. A7)
Из A7) следует, что оператор d + б определяет отображения
d + б: С"(|+)-*С-(Г).
d + б: C°°(r)->C°°fe+).
A8)
(Например, если феС°°A+), то a((d + 6)cp)= — (d + d)aq> =
= -(й + б)Ф, т. е. (d + e)cpe=C-(r).)
Так как оператор d + б формально самосопряженный, то
оба отображения A8) формально сопряжены друг с другом.
Будем обозначать первое из отображений A8) через Dx.
Лемма 4. Оператор Dx эллиптический.
Доказательство. Согласно § 6, п. в, гл. IV, оператор
d + б эллиптический, т. е. отображение ai(d + 6): я*|-»-я*|
является изоморфизмом. По свойству функториальности сим-
символа (см. теорему 4 § 3 гл. IV) следующая диаграмма комму-
коммутативна:
л
*+
>¦ л
п
n't
п
Так как ol(d + б) — изоморфизм, то отображение oj (Dx) должно
быть взаимно однозначным. Аналогично отображение ax(Dx\
взаимно однозначно.
Остается показать, что Oi(Dx) есть отображение „на", или,
что эквивалентно, отображение e1(Dxy взаимно однозначно. Но
по теореме из § 4 гл. IV отображение o^D^)* совпадает с ото-
отображением — al(D'x'), которое, как мы уже знаем, является вза-
взаимно однозначным. Доказательство закончено.
3.4. Теорема 5. Аналитический индекс оператора Dx
является сигнатурой многообразия X.
Доказательство. 1. В силу A7) имеем a(d + 6)=»
— —(d + б)а. Так как A — (d + 6J, то аД = Да. Поэтому а ото-
отображает kerA в себя. Отождествляя кегД (пространство гар-
гармонических форм) с пространством Н'(Х, С), получаем такое
Гл. V. Аналитический индекс некоторых операторов
101
отображение а: Н"{Х, С)->//*(Х, С), что а2=1. Так полу-
получается разложение пространства Н*{Х, С) в прямую сумму
Н'(Х, С) = #;(*, С)@Н1(Х, С),
где Н'±(Х, С) = {х<=Н'(Х, C)|ax=±;e}.
2. С памощью теории Ходжа, как в доказательстве пред-
предложения 1, видим, что
la (Dx) = dim Я; (X, С) - dim H'_ (X, С). A9)
3. Пусть 0<&</. Так как а: НР(Х, С)->Н21~"(X, С), то а
оставляет инвариантными подпространства
Н\Х, СHЯ2'-*(Х, С) и Н1{Х, С).
Пусть Hk±{xz=Hk@Hn-k\ax=±x}, где 0<&</. Аналогично
определяются пространства Н±. Тогда
Я*±= 0 Нр±- B0)
4. Мы хотим показать, что
ia(Dx) = dim Hl+ - dim Hl_. B1)
Ввиду A9) и B0) достаточно показать, что
dim#*. = dimtfi = dim#*(X, С) @<fe</).
Но это очевидно, так как
Н± = [х ± ах|х s Hk(X, С)}.
5. Мы теперь должны рассмотреть два случая.
Первый случай: l = 2k + l. Тогда сигнатура многообра-
многообразия по определению равна нулю. Более того, из A4) следует,
что отображение а: #'->Я' совпадает с отображением г*. Так
как отображение * вещественно, то
а(ф) = — сир, где ф^Я1 (X, С).
Отсюда следует, что отображение ф—>ф устанавливает изо-
изоморфизм пространства Н'+(Х, С) с пространством Н'_(Х, С).
Поэтому dim Hl+ — dim Hl_ = 0.
Второй случай: l = 2k. Тогда dim.X" = 4?. В этом слу-
случае сигнатура многообразия X совпадает с сигнатурой били-
билинейной формы ( , )
<а, р> = J а Л р

102
Р. С О ЛО в 9 й
на пространстве Hl(X, R) (мы будем отождествлять класс
когомологий а с его гармоническим представителем). Кроме
того, из формулы A4) вытекает, что а = * на пространстве
Н1(Х, С). Так как отображение * вещественно, то
Н^(Х, C) = tf'±(X, R)®C,
где Hl±(X, R) = Hl±(X, С)ПН1(Х, R). Отсюда, обращаясь к B1),
получаем
la iDx) = dim н+ (*• W ~ dim Hi (X, R). B2)
6. Займемся теперь вычислением сигнатуры многообразия X
(см. § 3.1).
Легко видеть, что форма ( , ), задаваемая равенством
(Р, v)=
является вещественной и положительно определенной на про-
пространстве Hl(X, R). Более того,
(Р, у) = (Р, * Y) (Р, Y ^ И1 (X, R)). B3)
(Применить B) к правой части равенства и заметить что
*2= 1 на пространстве H2k(X, R) в силу D).)
Таким образом, если выбраны ортонормальные базисы
{*,, ..., ет] в Я'+ и ft, .... /„} в Hi, то
<е„ в,> = бг/, (/=„ fy) = - 6(/. B4)
Действительно, по определению *ф=±ф, если фея1 (X, R)
(• = ol), откуда (et,e,) = (et,*et) = (ei,el), (ft, f,) = (ft,*•//')-
= -(/»> //)¦ Более того, (eif f,) = 0, так как (ег> f,) = (ei, *fj) =
= - (e<, f/) = - {f,, et) = - (f/f * ej = - (/;., et) = - (е„ /,). Теперь
ясно, что сигнатура многообразия X равна т — п, т. е разно-
разности dimW'JI, R)-dim//'_(*, R). Ввиду B2) доказательство
закончено.
Следующее предложение немедленно следует из предложе-
предложения 6.2 гл. III.
Предложение 6. Топологический индекс оператора Dv
равен г г х
где классы Понтрягина многообразия X рассматриваются как
элементарные симметрические функции от переменных у2.
Гл. V. Аналитический индекс некоторых операторов
103
Равенство
П г/i/th yt [X] = сигнатура (X)
B5)
является основным утверждением теоремы Хирцебруха о сиг-
сигнатуре. Доказательство Хирцебруха включает прямую проверку
того, что обе части равенства B5) равны единице в случае
Х = СРBгп) (где СР Bт) — комплексное проективное простран-
пространство комплексной размерности 2т; см. [1], стр. 14, 73). После
этой проверки из теоремы 5 и предложения 6 вытекает
Предложение 7. Для оператора Dcpam) имеет место
теорема об индексе.
Фактически мы видим, что, более общо, равенство ia(Dx) =
= it(Dx) эквивалентно равенству B5); следовательно, первое
является вариантом теоремы Хирцебруха об индексе [1].
Однако теорема об индексе в общем виде может быть дока-
доказана без использования этого равенства, за исключением спе-
специального случая предложения 7, и, следовательно, теорема
о сигнатуре окажется следствием теоремы об индексе.
§ 4. Нечетномерные многообразия
Предложение 8. Пусть X — нечетно мерное многообра-
многообразие (замкнутое ориентированное и класса
как всегда).
Пусть ?, т) — комплексные векторные расслоения с базой X и
D: С-(?)-*С-(т|)
— эллиптический дифференциальный оператор порядка k. Тогда
топологический индекс it(D) оператора D равен нулю.
Замечание. В гл. XI будет описан класс более широкий,
чем класс дифференциальных эллиптических операторов. Пред-
Предложение 8, вообще говоря, не верно для операторов D из этого
более широкого класса.
Доказательство. Зададим на X риманову структуру.
Пусть В(Х) (соответственно 5(АО) обозначает подрасслоение
единичных шаров (соответственно подрасслоение единичных
сфер) расслоения Т (X).
Так как оператор D эллиптический, его символ задает
изоморфизм
ak(D): я'?<=* яЧ| (где я: S(X)-^X).
Поэтому если teS (X), х — п (v), то ak (D) (v): t,x о* г\х. Так как
оператор D является дифференциальным оператором, то ото-
отображение ok(D) при фиксированном х е X является сужением

104
Р. С о л о в э й
однородного полиномиального отображения Т*(Х)х
степени k. Отсюда следует, что
L (?,х, х\х)
B6)
Различающая конструкция элемента из гл. II дает элемент
(aX, n% ak(D))
группы К(В(Х), S(X)). Пусть отображение Т: (В(Х), S(X))-+
—>(В(Х), S(X)) определено по формуле Г(о)= — v, где
оей (X).
4.1. Лемма. Т1 (у (D)) = у (D).
Доказательство. Утверждение A) леммы 1 из п. 3.2
гл. II дает нам равенство
Г(уф))=ч1{Гп% ГяЧ rah(D)).
Так как я»Г = я, то 7*л* = я*. Тогда B6) показывает, что
T*ek (D) = (- 1)* ak (D). Отсюда
d(n% пц, (-l)*a
Гомотопия {t->einktak{D)\ 0</<l} между отображениями
сгй (?>) и (— l)kak{D) показывает, что (см. лемму 1 (ii) из п. 3.2
гл. II)
Гу (D) = d(nX, я'т,, а; Щ = Y (D),
что и требовалось.
Применяя характер Чжэня ch к равенству леммы 4.1,
получаем
Г ch(Y(?>)) = ch(Y (?>)). B7)
4.2. Лемма. Пусть as=H'(B(X), S(X); Q). Тогда
Га = - а. B8)
Доказательство. Пусть п = dimX, ?/e= Hn(B(X), S(X); Q)
— класс Тома (см. п. 1.0 гл. III). Отображение Т индуцирует
на каждом слое отображение степени (—1)"=— 1 (так как
п — нечетное число). Следовательно, T'U= — U. Обращаясь к
п. 1.0 гл. III, мы имеем
a = U U я*р для некоторого реЯ*(X, Q).
Здесь я является отображением проекции В (X) на X. Так как
TV = я*, то Га = ГU U Гя'р - - (?/ U я'р), т. е. Па = - а.
Сравнивая B7) с B8), мы видим, что ch(y(D)) = 0. Отсюда
немедленно следует, чтр it{D) равно нулю. Действительно,
it (D) = ch (D) J (X) [X]; ch (?>) = ± ф-' ch (Y (?))),
Гл. V. Аналитический индекс некоторых операторов
105
где ф.: И'(X) ^ Н'(В (X), S(X); Q) - изоморфизм Тома, а <? (X)
является классом Тодда многообразия X.
Замечание. Предложение 8 обобщает тот хорошо извест-
известный факт, что эйлерова характеристика нечетномерного много-
многообразия равна нулю.
ЛИТЕРАТУРА
[1] HirzebruchF., Neue Topologische Methoden in Algebraischen Geomet-
rie, Springer, 1956.
[2] M и л н о р Дж., Лекции о характеристических классах; сб. Матема-
Математика, 3:4 A959), 3-53; 9:4 A965), 3-40.

ГЛАВА VI
©ВЗОР ФУННЦИОНЙЛЬНОГ® ДИАЛИЗА
Р. Пале
В настоящей главе мы соберем теоремы из функциональ-
функционального анализа, которые нам понадобятся в следующих главах.
Если X — банахово пространство, то через X* будем обозна-
обозначать аягадвойственное пространство к пространству X, т. е.
пространство непрерывных комплексно сопряженных линейных
функционалов на X с нормой || / |j == sup {\1{х) |, ||jc|[=1}.
Отображение 1—>1 (где черта означает комплексное сопряже-
сопряжение) является антилинейной изометрией антидвойственного
пространства X* с более привычным двойственным простран-
пространством к X, так что стандартные факты о двойственном с X
пространстве полностью переходят в соответствующие факты
об антидвойственном пространстве X*.
Если 5 — подпространство пространства X, то множество
{/ е Г, 11 5 = 0} является замкнутым подпространством в X",
которое мы обозначим через 5х. Если 5 —замкнутое подпро-
подпространство пространства X, то напомним, что пространство X/S
является банаховым с нормой \\х + S || = inf {||x + s||, se5},
а естественная проекция л3: X^X/S является открытым и
непрерывным отображением. Из того что отображение ns от-
открыто, следует, что если Т: X-> Y— непрерывное линейное
отображение, равное нулю на S, то индуцированное отобра-
отображение Т: XfS—>Y, такое, что Т °ns = T, является непре-
непрерывным.
Если X и Y— банаховы пространства, то через L (X, Y)
обозначим банахово пространство непрерывных линейных ото-
отображений пространства X в пространство Y с нормой \\Т\\„, =
{||()||||||}ESL(Z)[|SrL<nS|LI|riL
p{()|()LLL
Если rei(I, Y), то Ге!(Г, X") определяется формулой
(ТЧ) (х) = I(Тх), и из теоремы Хана —Банаха (нижеследующая
теорема 2) легко следует, что || Т* |[ = || Г-||.
Теорема 1. (Теорема об открытом отображе-
н и и.) Если X и Y — банаховы пространства и отображение
Т е L (X, Y) является отображением „на", то Т является откры-
открытым отображением (следовательно, если отображение Т взаимно
однозначно, то оно устанавливает изоморфизм пространства X
Гл. VI. Обзор функционального анализа
107
с пространством Y как топологических векторных про-
пространств.
Доказательство. См. книгу Люмиса „Введение в аб-
абстрактный гармонический анализ", ИЛ, М., 1956.
Следствие. Если 0-*X —*¦ Y —>Z-*¦ 0 — точная последова-
последовательность банаховых пространств и непрерывных линейных
отображений, то естественное взаимно однозначное отображе-
отображение пространства Y/lm (X) на Z является изоморфизмом топо-
топологических векторных пространств.
Теорема 2. (Теорема Хана — Банаха.) Если S — зам-
замкнутое подпространство банахова пространства X и I e 5*,
то существует такой функционал f е X", что \\f\\ = \\l\\ и f\ S— I.
В частности, если отображение X* —*¦ 5* является отображением
сужения, то последовательность 0 —> S1- —> X* —*¦ S* —> 0 точна,
так что пространства 5* и X*ISL канонически изоморфны как
топологические векторные пространства.
Доказательство. См. цитированную книгу Люмиса.
Теорема 3. Вещественное (комплексное) п-мерное норми-
нормированное векторное пространство V изоморфно (как топологи-
топологическое векторное прострлнство) пространству Ц." (Сп) и, следо-
следовательно, является банаховым пространством.
Доказательство. Доказательство будет проведено для
вещественного случая; комплексный случай по существу иден-
идентичен. Пусть иь ..., vn — базис пространства V, определим
п
отображение Г: R" -> V формулой Т (х) = 2 xtvt, так что Г
является линейным изоморфизмом. Непрерывность отображе-
отображения Т очевидна, достаточно будет доказать, что отображе-
отображение Т~1 непрерывно. Зададим норму в пространстве R" как
||*|1= max| xi \. Тогда множество S = {* e R", || *j|— 1} является
компактным и не содержит нуля, откуда
А = inf {|| Тх ||, *e=S}>0,
и очевидно, что
< оо, что и требовалось.
Следствие. Конечномерное .подпространство веществен-
вещественного или комплексного нормированного пространства V замк-
замкнуто в V.

108
Р. Пале
Теорема 4. Локально компактное вещественное (или комп-
комплексное) топологическое векторное пространство X конечномерно.
Доказательство (А. Глисон). Пусть (У— компактная
окрестность нуля; выберем такие элементы аь ..., am^U, что
U<=U(at + -jU) и, следовательно, ±U s Q(JLfl| +-JL- )
Для заданного элемента и е U выберем по индукции такую
последовательность {/(«)} из чисел 1, 2, ..., гп, что v — a,,Q) —
а — —^аПп) принадлежит , U. Так как множе-
2 2
а/A)—
2
ство U компактно, то -ыг U при п
оо попадает внутрь произ-
оо
Положив
вольной окрестности нуля, откуда и — ZA~Wai w
я-0
с, = ^ "г5?" > имеем и — с{ах + ... + cmam. Так как окрест-
Цп)-1
ность U порождает все пространство X, то оно натягивается
на элементы аи ..., ат.
Теорема 5. Если пространства S и Т — взаимно дополни-
дополнительные замкнутые подпространства банахова пространства X,
то отображение (s, t)—>s + t является изоморфизмом про-
пространств 5®Г и X (как топологических векторных пространств).
Доказательство. Напомним, что || (s, t) \\ = \\s\\ + \\t ||, так
что отображение (s, t)-*s + t, очевидно, непрерывно. Так как
оно взаимно однозначно, то применение теоремы 1 завершает
доказ ательство.
Теорема 6. Если S — замкнутое подпространство банахова
пространства X и если либо dim 5, либо codim 5 = dim XIS
конечна, то 5 допускает замкнутое дополнительное подпростран-
подпространство Т и, следовательно, X = S^&T.
Доказательство. Если dim S < оо, то пусть хи ..., хп—
базис пространства 5 и (теорема 2) выберем элементы /,, . .., 1п
в пространстве X" так, что h\S, ..., ln 15 — двойственный базис
п
для пространства 5*. Тогда отображение Р (х) •= 2 h (x)xt
является непрерывной линейной проекцией пространства X на 5
и, следовательно, ker P = Р~ @) является замкнутым линейным
дополнением к пространству S. Если codim S<oo, то алгебраи-
Гл. VI. Обзор функционального анализа
109
ческое линейное дополнение для пространства 5 является
конечномерным и по следствию из теоремы 3 автоматически
замкнуто в пространстве X.
Теорема 7. Пусть X — банахово пространство, и пусть
S?Г — подпространства в X. Если S замкнуто в пространстве X
и имеет конечную коразмерность в X, то то же верно и для под-
подпространства Т.
Доказательство. Так как пространство X/S конечно-
конечномерно, то то же самое верно и для подпространства T/S и,
следовательно, Г/5 замкнуто в X/S (следствие из теоремы 3),
так что Г = я^'(Г/5) замкнуто в пространстве X.
Теорема 9. Если X и Y — банаховы пространства, и если
отображение Т е L(X, Y) имеет непрерывное обратное S^L(Y, X),
то каждое отображение Т' е L (X, Y), для которого \\Т —Т' Ц^ ^
||~'
также обладает непрерывным обратным.
Доказательство. Положим А = Т— Т'\ тогда || SA ||0о<
< || 5 ILH Г-Г1<1. Так как|| (SA)n Ц. <|| SA \Ц, то ряд Ix + SA +
+ (SAJ+ ... +(SA)n+ ... сходится абсолютно в простран-
пространстве L(X, X) к некоторому элементу В, и ВAХ — 5Л) =
= (/v — SA) В = Iх, откуда Ix ~ SA является топологическим
линейным автоморфизмом пространства X. Тогда отображение
ТAХ — SA) = Г — А = Т' является топологическим линейным изо-
изоморфизмом пространств X и Y и, действительно, (Т')
~
- SA)
р
, X).
Теорема 10. Если X и Y —банаховы пространства и
Te=L(X, Y), то кет(Г) = Т(Х)±. Если вдобавок пространство Т(X)
замкнуто в Y, то T*(Y*) — (ker T)x, в частности пространство V(Y*)
замкнуто в X*.
Доказательство. Имеем Г*(/) = ОФФ{Г*(/)(л;) = 0 для всех
х <= х) 44 Ц(Тх) = 0 для всех хе=Х}$ф1 е= Т(Х)^. Если про-
пространство Т (X) замкнуто в Y, то по следствию из теоремы 1
отображение Г: Х/кетТ -»Г (X) является изоморфизмом, и пусть
S: Г (X)-> Х/кет Т — его обратное. Если /е(кегГ)х, то / ин-
индуцирует элемент Г е (Х/кет Т)\ удовлетворяющий равенству
fOjt=/, где я: Х-^-Х/кет Т — каноническая проекция. По теореме2
элемент S*T^T(X)* можно продолжить до элемента /'еГ.
Далее, Т ° я = Т, откуда п = STn = ST и, следовательно, Т1Г (х) =
= /'(Тх) = 57 (Г*) = I (STx)^l(nx) =l(x), т. е. Г/' = /, что доказы.
вает включение (ker ТI- ^ Т*(Т). С другой стороны, если

по
Р. Пале
скажем / = TV, то1(х) = 1'(Тх) = 0 при х е= кег Т, так что / е (кег Т)х
и Г(Г)?=(кегГ)х.
Следствие 1. Если S — замкнутое подпространство бана-
банахова пространства X, то отображение л*3 является изоморфизмом
между (X/S)* и 5х (как топологическими векторными простран-
пространствами).
Доказательство. Так как отображение ns является
отображением „на", то n*s взаимно однозначно и образом его
служит (кегя5)х = Sx. Так как Sx замкнуто в X* и, следова-
следовательно, является банаховым, то применение- теоремы 1 завер-
завершает доказательство.
Следствие 2. Если T^L(X, Y) имеет замкнутую область
значений, то
1) кег (Г) s (К/Г (*))• = (сокег 77.
2) (кег Г)* ?? Х*/ГAГ) = сокег (Г).
Доказательство. По теореме 10 кет (Т) = Т (X)L. По
следствию 1 пространство Т (X)L изоморфно пространству
(Y/T(X))\ По теореме 2 пространство (кегГ)" изоморфно про-
пространству Х*/(кет Г)х. Применяя теорему 10, получаем (кег Лх =
«= Г G*).
Определение. Если X и Y — банаховы пространства, то
обозначим через К(Х, Y) множество вполне непрерывных (или
компактных) линейных отображений пространства X в Y, т. е.
таких линейных отображений Т: Х->У, что Т отображает еди-
единичный шар Вх пространства X (следовательно, каждое ограни-
ограниченное подмножество из X) в относительно компактное под-
подмножество пространства Y.
Если Т^К(Х, Y) принадлежит замыканию пространства
К(Х, Y) и s>0, то выберем такое отображение S^K(X, Y),
что || Т - S IL < е/3, и такие хи ..., хп<=Вх, что Sxu ..., Sxn
будут е-плотными в множестве SBX. Тогда из неравенства
треугольника следует, что элементы TXi, ..., ТХп е-плотны в ТВХ,
откуда пространство ТВХ имеет компактное замыкание в про-
пространстве Y, так что Tz=K(X, Y), т. е. К,(Х, Y) замкнуто
в пространстве L(X, Y). Так как скалярное кратное относи-
относительно компактного подмножества из Y, как и сумма двух
относительно компактных подмножеств из Y, являются относи-
относительно компактными, то пространство К(Х, Y) является подпро-
подпространством пространства L(X, Y). Если Т е К(Х, Y), S^L(Y, Z),
то из относительной компактности ТВХ и непрерывности ото-
Гл. VI. Обзор функционального анализа
111
бражения S- вытекает, что множество STBX является относи-
относительно компактным в пространстве Z. Если R^L(Z, X), то
множество RBZ ограничено в пространстве X и множество TRBZ
относительно компактно в пространстве Y. Таким образом,
имеет место
Теорема 11. Если X и Y — банаховы пространства, то К (X, Y)
является замкнутым подпространством пространства L(X, Y). Если
Z — некоторое третье банахово пространство, то L(Y, Z)K,(X, F)s
<=К(Х, Z) и К(Х, Y)L(Z, X)^K(Z, Y).
Следствие. К(Х, X) является замкнутым идеалом в L(X, X).
Лемма. Если К — компактное подмножество в банаховом
пространстве X, то всякая последовательность в единичном
шаре пространства X* содержит подпоследовательность, равно-
равномерно сходящуюся на К-
Доказательство. По теореме Асколи') достаточно дока-
доказать, что элементы из Вх* равномерно ограничены и равносте-
равностепенно непрерывны на компакте К- Но очевидно, что из /eSx*
следует | / (х) |< sup {|| х \\, х е= К), и так как \1(х) — 1(у)\<\\х-у ||,
то все элементы из Вх» равномерно непрерывны на X.
Теорема 12. Если X и Y —банаховы пространства и
Те=К(Х, Y), то reJC(r, Г).
Доказательство. По предыдущей лемме если {/„} — по-
последовательность в пространстве By, то из {/„} можно выде-
выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на ТВХ
и, следовательно, на ТВХ, или, эквивалентно (так как Т*1п(х) =
= 1п(Тх)), последовательность {Т„} содержит подпоследова-
подпоследовательность, которая равномерно сходится на Вх, т. е. которая
сходится в X". Но это и означает, что ТВу* является относи-
относительно компактным в пространстве X*.
Теорема 13. (Ф. Рисе.) Пусть X — банахово пространство,
ks=K(X, X) и T = I-k. Тогда:
1) кег Г = Т~ @) конечномерно:
2) Т(Х) замкнуто в X и сокег Г = Х/Т (X) конечномерно.
Доказательство. Пусть У = кег Т. Тогда если Bv — еди-
единичный шар в пространстве V, то k (b) = b — T(b) = b для b e Bv,
т. e. k(Bv) = By. Но множество k(Bv) относительно компактно,
') В отечественной литературе эта теорема часто называется теоремой
Арцела. — Прим. перев.

112
Р. Пале
откуда пространство V локально компактно, и по теореме 4
имеем dimF<oo, что доказывает утверждение 1.
По теореме 6 X = V ф W, где W — замкнутое подпространство
в X, и ясно, что Г отображает W взаимно однозначно на про-
пространство Т{Х). Достаточно проверить, что (Т \ W)~l ограничено,
т. е. что Ц Tw||>е|| w \\ при некотором е для всех шеЩ', так
как тогда пространство Т(Х), будучи изоморфно пространству X,
будет банаховым и, следовательно, замкнутым в Y. В противном
случае существовала бы такая последовательность {wn} в про-
пространстве W, что ||да„|| = 1 и Twn—>0. Мы можем предположить,
J()I Т k()
что J(iB,)^jteI Тогда так как wn — k(wn) = Twn->0, то wn—*x,
так что х е W. Но Т х — lim T wn = 0, откуда х е ker T = V и
x&VQW, что дает * = 0. Но ||jc|| = lim|| wn\\= 1, что противо-
противоречит предположению. Наконец, по следствию 2 из теоремы 10
имеем (Г/Г(Х))* = кег Г = кег(/-&*). По теореме 12 k'<=K(X', X*),
и в силу первого утверждения нашей теоремы dim(^/r(Z))*< oo,
откуда dim (Х/Т {X)) < оо.
Теорема 14. Если X и Y — банаховы пространства,
T<=tL(X, Y), dimr(X)<oo, то Т<=К(Х, Y).
Доказательство. Множество Т(ВХ) ограничено в про-
пространстве Т(Х), и по теореме 3 оно относительно компактно.
Теорема 15. Если Н — гильбертово пространство, то группа G
обратимых элементов из L (Н, Н) является связным подмноже-
подмножеством в пространстве L (Я, Н).
Доказательство. Если fei, то Т*Т является строго
положительным оператором на пространстве Н и, следовательно,
имеет строго положительный квадратный корень А. Пусть
U = ТА~\ откуда U'l! = A-lfTA~x = А~ХА2А~{ = I, так что опе-
оператор U унитарен. Так как множество строго положительных
операторов, очевидно, выпукло в G, то в G существует кривая,
соединяющая А с /, и, следовательно, имеется кривая, соединяю-
соединяющая T = UA с U. Пусть у log —обратная для функции t->e",
отображающей полуинтервал [0, 2я) в окружность {геС;! z \ — 1}.
Тогда —log является ограниченной борелевской функцией на
спектре оператора U и операторное исчисление нормальных
операторов показывает, что оператор В = — log U является огра-
ограниченным самосопряженным оператором (эквивалентно: если
2Я V
U = \ e!t dPt — спектральное разложение оператора U, то
Гл. VI. Обзор функционального анализа
ИЗ
B= f tdPt\. Тогда U = eiB и отображение t ^-ettB, O^.t^.1,
¦* /
о /
о /
соединяет / с V в G.
Лемма. Если Н — гильбертово пространство и оператор
Т е К.{Н, Н) является самосопряженным, то либоЦТЦ^, либо—1| Т ||тс
является собственным числом оператора Т.
Доказательство. Выберем последовательность элемен-
элементов {хп} на единичной сфере пространства Я с условием, что
|| Тхп || —»|| ТIL- Так как оператор Т вполне непрерывный, то мы
можем предположить, что Тхп->у и тогда || у \\ = \\ Т L. Из нера-
неравенства Шварца вытекает, что
|| Ту || = lim || Т2хп |! ^ lim (T2xlt, х„) = lim || Тхп f = \\T |?,
II Т*у || ¦ || у II>(Т2у, у) = || Ту |f >|| Тlit, = || Т \\1 • ||у |р>||Гу|| ¦ || у ||,
так что (Т2у, у) = |Т2у\ • \\ у || и, следовательно, Т2у является ска-
скалярным кратным элемента у с коэффициентом (Т2у, у)/(у, у) —
= II Т111/11 Т 111 = II Т ||^. Мы можем предположить, что Т ф 0, и
положить х = у +1| ГЦ Ту. Если х = 0, то у является собствен-
собственным вектором оператора Т, соответствующим собственному
значению — II^IL; если же х=т*=0, то элемент х является собст-
собственным вектором, соответствующим собственному значению ЦЦ
Теорема 16. Пусть Н — гильбертово пространство, и пусть
оператор Т^К(Н, Н)самосопряжен. Пусть Ех(Т) = {х^Н; Тх = Хх)
для заданного leR. Тогда ЕХ{Т) являются взаимно ортого-
ортогональными подпространствами в пространстве Н, а само Н рас-
распадается в прямую гильбертову сумму этих Ех (Г). Более того,
все пространства ЕХ(Т), за исключением, возможно, только Е0(Т),
являются конечномерными. На самом деле если е > 0, то про-
пространство ф Е^{Т) конечномерно, и, следовательно, множе-
U|>e
ство {leR; ЕХ(Т) ф 0} собственных значений оператора Т не
имеет предельной точки, за исключением, быть может, только
нуля.
Доказательство. Если х е ЕХ(Т) и у е Е^(Т), то
К{х, у) = {Тх, у) = (х, Ty) = \i(x, у), так что (х, у) = 0 при Хфц.
Если V= ф ЕХ(Т), то 7Т<=Т/ и S=T\V^K{V, V). Так как
|| So H-^s в || о ||, то оператор S имеет непрерывный обратный, так
что замыкание единичного шара пространства V компактно и
8 Р. Пале

114
Р. Пале
по теореме 4 пространство V конечномерно. Пусть Y = © Ех (t),
yesY и ^еУ1. Тогда (Тх, у) = (х, Ту) = 0, так как TY s Y;
следовательно, ГУ1 ^ Y1', так что оператор Г | Y1 принадле-
принадлежит KiY1, Y1) и является самосопряженным. Поскольку, оче-
очевидно, оператор Т \ Y1 не имеет ненулевых собственных значе-
значений, то по лемме\\T\Y1 L = 0, откуда Т IY1 = 0, так что Г =Е0(Т).
Следствие. Существует последовательность {fn} собствен-
собственных векторов оператора Т, образующих ортонормальный базис
пространства Н. Более того, если {!„} является последователь-
последовательностью соответствующих собственных значений (т. е. Tfn = Xjn),
то Л,„-*0.
Пусть А' — компактное пространство. Обозначим через С (X)
алгебру непрерывных комплекснозначных функций над X с нор-
нормой ||fL = sup{|f(jc)|; xs=X}.
Если Н — гильбертово пространство, то для А е L (Н, Н)
спектр зр(Л) есть множество {1еС;Л-X не является едини-
единицей алгебры L (Н, #)}.
Теорема 17. Пусть Н — гильбертово пространство и
Ле L (Н, Н) — самосопряженный оператор; тогда множество
sp (А) является непустым компактным подмножеством веще-
вещественной оси R и существует сохраняющий норму изомор-
изоморфизм f->f(A) алгебры C{sp(A)) на подалгебру из L(H, H),
порожденную операторами А и I, который однозначно опреде-
определяется тем свойством, что тождественное отображение спектра
sp (Л) соответствует оператору А и f(A) = f(A)*.
Доказательство. Вполне элементарное изящное корот-
короткое доказательство, принадлежащее фон Нейману, можно найти
в приложении I книги С. Ленга „Введение в теорию диффе-
дифференцируемых многообразий", М., 1967. В действительности
Ленг строит изоморфизм f—>f(A) только для вещественных f,
тогда получающиеся операторы f (А) самосопряжены. Если
f~g + ih, где g и h — вещественные функции, то из определе-
определения f(A) = g(A) + ih{A) очевидно, что это единственное про-
продолжение, удовлетворяющее условию } (A) = f(A)'.
Если А е К{Н, И), то по следствию из теоремы 16 простран-
пространство Я имеет полный ортонормальный базис {/„}> составленный
из собственных векторов оператора A, Afn = kJn и Я„ —»• 0.
Ясно, что sp (А) = {0} U {Хп} и отображение f—*-f(A) задается
формулой /(Л)(/„) = /(Я„)/„, откуда получаем
Гл. VI. Обзор функционального анализа
11Б
Следствие. Если А — вполне непрерывный оператор,
то оператор f (А) вполне непрерывен тогда и только тогда'
когда f@) = 0.
Напомним, что если множество 0^С открыто и f: 6-+X
отображает © в комплексное банахово пространство X, то f
называется голоморфным отображением в области 6, если для
каждой точки гое0 существует lim (г — го)~'(/(.г) — f(zQ)) в X.
Лемма. Для каждой заданной точки геС с Rez>0
определим отображение pz: [0, оо)->-С формулой pz{t) = ег]°з*,
если t>0 и Дг@) = 0. Тогда функция pz непрерывна и удовле-
удовлетворяет равенствам pz+z, = РгРг„ р2 = р,. Более того, если
L>0, то отображение z—*-pz\[0, L] является голоморфным ото-
отображением области Rear>0 в пространство С([0, L]).
Доказательство. Пусть z = x+iy и х>0. Тогда
| pz(t) \ = \exloei\, и так как *log*->— <х> при *->0, то отобра-
отображение pz непрерывно. Равенства pz+z, = PZPZ, и р- = pz очевидны.
Если при Rez>0 определить функцию qz(t) = (log t) pz(t) для
^>0> ^z@) = 0> то (вспоминая, что по правилу Лопиталя
lim (log^)"^108* = 0 при х>0 и положительном целом п), как
и выше, убеждаемся в непрерывности функции qz, более того,
элементарное вычисление дает h~l (Pz+h(t) — pz(t)) — qz(t) —
= {ezloet)h~l(ehloet — I — hlogt), что по теореме Тейлора равно
h (-^(!og02?(z+pA)IOB*)» 0<р<1. Поэтому, полагая je = Rez>0,
получаем | А (/>,+А(f)-/>,(*))-?«@1<1* I (^ilogtfe^^^*),
и так как функция (log02^(jc+|A|)logi ограничена на отрезке [0, L],
то ft" (Pz+k(t) ~Pz{t)) ПРИ h—>0 стремится равномерно на от-
отрезке [0, L] к функции gz(t).
Теорема 18. Пусть Н — гильбертово пространство, и пусть
A^L(H, Н) — положительный ') оператор. Тогда sp (Л)е[0, оо),
и если геС, Re2r>0 и pz — функция из леммы, то Az=pz(A)
является корректно определенным элементом в L(H, H). Более
того, имеют место утверждения:
1) Отображение z—>Az является голоморфным отображением
области Rear>0 в пространство L(H, H) и является гомомор-
гомоморфизмом полугрупп (т. е. Аг+г> = Аг • А*\
') Здесь оператор Asl (H, Н) называется положительным, если
{Аи, а)^0 для всех a s H, и строго положительным, если {Av, v) > 0 для
всех v ф Q. — Прим. ред.
8*

116
Р. Пале
3) Если А —вполне непрерывный оператор и Re2>0, то опе-
оператор А2 вполне непрерывен.
4) Если А — строго положительный оператор, то при х^О
оператор Ах тоже строго положителен. Более того, отображе-
отображение г —> А2 можно продолжить до (не обязательно непрерывной)
функции, отображающей область Rez^O в пространство
L (Я, Я), значения этой функции в точках iy мнимой оси
определяют унитарный оператор А1у, причем отображение
v~>Azv является непрерывным отображением области Rez^O
в пространство Я для каэюдого v e Я. Кроме того, Ax+ty =
= А*А* при х>0.
Доказательство. Если f<=C(sp(A)), то оператор f(A)
положителен тогда и только тогда, когда функция / неотри-
неотрицательна на вр(Л) (см. цитированную книгу С. Ленга). Отсюда,
в частности, получаем, что если f есть тождественное отобра-
отображение множества sp (А), то оператор А положителен тогда и
только тогда, когда sp(A)s[0, <х>). Существование опера-
оператора Аг со свойствами 1), 2), 3) вытекает из леммы, теоремы 17
и ее следствия. Если />0, то оператор Af = (Atl2)* (At/2) поло-
положителен. Если 0<f<l, то А — А* А]~(, так что из строгой по-
положительности оператора А вытекает строгая положительность
оператора А*1). Более общо, если />0, то А* = (А*1п)а, где п =
=^ [t]+ 1, и оператор А' снова является строго положительным,
если таков оператор А2).
Далее, если оператор А строго положителен и, следова-
следовательно, инъективен, то пространство V = Im А плотно в про-
пространстве Н, так как V = (ker A*I = (ker АI. Определим
оператор А1у: V-* Н формулой Alyv = A1+tya, где v = Лео.
Тогда lm(Aty) — lm(Al+ty), откуда замыкание пространства
Im(Aiy) является ортогональным дополнением к пространству
ker {Ax+iy)* = ker (А1~'"). Но оператор Л, а следовательно, и Л2
инъективны и Л2 = U'~'*)(i4l+'*), откуда ker(А1~'у) = 0 и lm(Aiy)
плотно в Н.
') Действительно, если (А*и, и) = 0, то (At/2u, Л*'2и) = 0, откуда А*®и = 0
и, следовательно, Аи — А А и = 0, что противоречит строгой положитель-
положительности оператора А. — Прим. ред.
2) Если В — строго положительный оператор и t>\, то 0 = (В*ц, и) =
¦= (BB(t~ i)/2u, B(t~ 1)/2и) влечет В('~ 1)/2ы = 0. Повторяя при необходимости
это рассуждение, убеждаемся, что Bsu = 0 при некотором s, 0<s<l, откуда
в силу предыдущего замечания и = 0. — Прим. ред.
Гл. VI. Обзор функционального анализа
117
Теперь если v = Лео е V, то
f { = (л'-'"Л1+^со, со) = (Л2ш, со) =
= (Лсо, Aa>)=\\v\?,
так что оператор А1у можно продолжить единственным обра-
образом до унитарного отображения гильбертова пространства Н
в себя. Заметим, что если и=ЛсоеУ, то
lim
lim
А1+'вв> = Aiyv.
В общем случае для заданных и е= Н и е>0 мы можем найти
элемент v е V с || и — v ||<е. Тогда
| Лг(и - о) || +1| Azv - Aiyv || +1| Aiy (v - и) |
Так как
sup {\
ezlogt\
^<|| Л \\J, очевидно, стре-
стрег iy
Так как || ^^ < p {\\, <^<| \J р
мится к единице при z—>iy, то lim || Аги — Aiyu ||^2e, и по-
скольку е произвольно, то Azu—>Aiyu при z—>iy. Поэтому
отображение г—>Л2и является непрерывным отображением
области Rez>0 в пространство Я. Так как равенство Аг+г и =
= AZAZ и выполняется для всех значений Re г, Re г'> 0, то по не-
непрерывности оно сохраняется и для Re z, Rez'^O; в частности,
i lyx

ГЛАВА VII
ФРЕДГОЛЬВЯОВЫ ОПЕРАТОРЫ
Р. Пале
Определение. Если X и Y — банаховы пространства, то
элемент Т е L (X, Y) называется фредгольмовым оператором
из X в Y (или просто F'-оператором), если:
1) ker 7 = Г~'@) конечномерно;
2) cokerT=Y/T(X) конечномерно.
Обозначим множество F-операторов, действующих из про-
анства X в пространство Y, через F (X, У) и определим
странства X
функцию
в пространство
ind: F(X, Y)-
формулой ind (Г) = dim ker T — dim coker Т.
Теорема 1. Если X и Y — банаховы пространства и Ге
eF(I, Y), то Т (X) замкнуто в Y, оператор Т* принадлежит
F (Г, X') и ind (Г) = - ind (Г).
Доказательство. Первое утверждение теоремы вы-
выполняется даже для тех операторов Т е L (X, Y), у которых
dim coker Г< оо. Так как оператор Т можно разложить в ком-
композицию двух операторов Sh, где h: Х->Х/кет T — канони-
каноническое отображение и 5 взаимно однозначно, и так как
Т (X) = S (X,'кет Т), то можно предположить, что оператор Т
взаимно однозначен. Пусть W — линейное дополнение к про-
пространству Т(X) в пространстве Y. Тогда dimW<oo и (см. гл.
VI, теорема 3)_пространство W язляется банаховым. Опреде-
Определим оператор Т: X@W-+Y формулой Т(х, w) = Tx + w. Легко
видеть, что Г —непрерывный, линейный и биективный опера-
оператор, откуда (см. гл. VI, теорема I) он является изоморфизмом
X на Y как топологических векторных пространств. Так к?.к
пространство X замкнуто в X@W, то пространство Т(X) =
= Т(Х) замкнуто в пространстве Y.
Тогда из следствия 2 из теоремы 10 гл. VI мы получаем
dim ker (Т*) = dim coker T, dim ker T = dim coker (T*) и остальные
утверждения теоремы.
Теорема 2. Пусть X и Y — банаховы пространства и
Т es L {X, Y). Предположим, что существуют такие операторы
Гл. VII. Фредгольмовы операторы
119
S, S'^L{Y,X), что S7-IX€=K(X,X) и TSf - /к е K(Y, Y).
Тогда Т е F{X, Y). Обратно, если Т е F(X, Y), то существует
такой оператор S e L(Y, X), что операторы ST — IX и TS — Iy
на самом деле имеют конечный ранг (следовательно, по тео-
теореме 14 гл. VI они принадлежат К(Х,Х) и K(Y, Y) соответ-
соответственно).
Доказательство. Имеем Т~1 @) S EГ)~'@); последнее
пространство является конечномерным пространством (см. тео-
теорему 13 гл. VI). По той же теореме (TS')(Y) является замкну-
замкнутым подпространством конечной коразмерности в Y, и так
как Т (X) ^ (TS'){Y), то из теоремы 7 гл. VI вытекает, что
пространство Т(Х) является замкнутым и имеет конечную ко-
коразмерность в пространстве Y. Следовательно, Т е F (X, Y).
Обратно, если T^F(X, Y), то по теореме 6 гл. VI полу-
получаем, что I = r'@)©V, Y = T(X)@W, где У и В?-замкну-
В?-замкнутые подпространства в пространствах X и Y соответственно.
Тогда оператор Т отображает пространство V взаимно одноз-
однозначно на пространство Т (X), и по теореме 1 гл. VI отобра-
отображение (Г|У)~' непрерывно. Продолжим (T\V)~' до непрерыв-
непрерывного отображения S: Y—>Х, полагая S равным нулю на
пространстве W. Тогда оператор ST — IX является проекцией
пространства X на Т~х @) вдоль пространства V, а оператор
TS — Iy является проекцией пространства Y на W вдоль Т (X).
Следствие 1. Если Te=F(X,Y), k<=K(X,Y), то Т +
+ ijeF(I, Y).
Доказательство. Выберем оператор SeL(y, X) так,
чтобы операторы ST — IX и TS—Iy были компактными. Тогда
операторы S (Т + k) - Ix = (ST -Ix) + Sk и (T + k)S-IY =
= (TS — ly) + kS' по теореме 11 гл. VI также являются ком-
компактными.
Следствие 2. Множество F (X, Y) открыто в простран-
пространстве L (X, Y).
Доказательство. Для заданного оператора Т е F (X, Y)
выберем оператор S ^ L (Y, X) так, чтобы ST — Ix = k е К(X, X),
T$-Iy = k'(= K(Y, Y). Покажем, что если Г <= L (X, 7) и
II Г- Г L< ||5 \\Z\ то Гб^A, Г). Пусть А = Т-Г, так что
||Sj4L><1; тогда по теореме 9 гл. VI оператор Ix — SA
является обратимым элементом алгебры L (X, X). Обозначим
обратный к нему оператор через В, и пусть S' = BS. Тогда
ЗГ = ST - 5А = k + (lx - SA), так что ST' = BST' = Bk + Ix,
или S'T' — I x = Bk. Аналогично оператор lY— AS имеет

120
Р. Пале
обратный оператор С в алгебре L{Y,Y), и если S" = SC, то
T'S^TS- AS = k' + (Iy-AS), так что T'S" = T'SC = k'C + Iy,
или T'S"-Iy = k'C. Ho Bk<=K;(X,X), k'C<=K(Y,Y) по тео-
теореме 11 гл. VI, что доказывает следствие 2.
Следствие 3. Если X, Y и Z — банаховы пространства,
TX<=F(X,Y), T2e=F(Y,Z), то Т = Г,Г2е F (X, Z).
Доказательство. Выберем операторы S, е?(У,Х) и
52eL(Z,F) так, чтобы ?, = 6\Г, -/х, ^2=r,5, — Гу, ?3 =
= S2T2 — ly и k4 — T2S2 — lz были компактными операторами.
Пусть S = S,52. Тогда ST = SI (S2^2) Г, = S, (Л3 + IY) 7", = Si^i +
+ SIr,-Si*37',+Л,+ /.Y, или 5r-/x = S,^3rI+^1. Но опера-
оператор 5]^3^i + ^i является компактным по теореме 11 гл. VI.
Аналогично оператор TS — Ix = T2k2S2 +k4 тоже является
компактным.
Теорема 3. Пусть X, Y и Z — банаховы пространства,
Te=F(X,Y), SesF(Y,Z). Тогда
Доказательство. Мы видели, что ST^F(X,Z), так
что индекс этого оператора ind(ST) корректно определен. Из
точной последовательности
~1
О -* Г @) -> Г5"' @) -?.* S @) Л Т (X) -> 0
получаем, что
dim Г~'5~' @) = dim Г @) + dim (s~l @) Л Т (X)),
или
1) dim ker (Sf) = dim ker T+ dim ker 5 —
-dim(s-I@)/S"I@)n7'W).
Из точной последовательности
0 -> SY/STX -> ZjSTX -> Z/SY -> 0
получаем
2) dim coker (ST) = dim coker 5 + dim (SY/STX).
Из точной последовательности
о -^ г х + s @) -> у ^ sy/srx -^ о
видно, что
^ У/Г
1 @) ^ (У/Г Х)/(Г X + S~l @)/Г X),
Гл. VII. Фредгольмовы операторы
121
так что
20 dim coker (ST) = dim coker S + dim coker T
(
Следовательно, из 1) и 2') получаем
3) ind (ЯГ) = ind (S) +ind (Г) +
+ dim(ГХ + S~l @)/ГХ) - dim (S'1 @)/S~' @) Л ГХ).
Но последовательность
является точной, откуда
dim (S~' @)/5~'@) Л TX) = dim
+
о
@)/ГХ);
последнее равенство вместе с 3) заканчивает доказательство
теоремы.
Теорема 4. Если X и Y — банаховы пространства, то
отображение ind: F (X, F)->Z является постоянным на каждой
компоненте связности множества F (X, Y).
Доказательство. Пусть Т ^ F (X, Y). Достаточно про-
проверить, что ind(S)== ind (Г), если оператор S близок к Т. По
теореме 6 гл. VI мы можем выбрать такие замкнутые под-
подпространства V и W пространств X и У соответственно, что
J = ker7"©J/ и Y = T(X)@W. Для заданного . оператора Se
gL(I, У) рассмотрим отображение (о, w)*—>Sv + w простран-
пространства V@W в пространство У. Если S = T, то это отображение
является взаимно однозначным и непрерывным в обе стороны,
и, следовательно, по теореме 1 гл. VI оно является изомор-
изоморфизмом между пространством V@W и пространством X. Сле-
Следовательно, по теореме 9 гл. VI то же самое справедливо
для оператора 5, близкого к Т. Поэтому оператор S, доста-
достаточно близкий к оператору Т, отображает изоморфно прост-
пространство V на замкнутое подпространство S(V) пространства
У, и codim S(V) = dim W = dim coker Т. Так как оператор S
взаимно однозначен на пространстве V, то можно написать
X = kerS@ZQ)V, и тогда оператор S взаимно однозначен на
пространстве Z0V, так что пространство SZ имеет нулевое
пересечение с пространством SV и dim SZ = dim Z. Отсюда
Y=W'(BSX = W'®SZ(BSV, так что dim coker 5 - dim W =
= codim SV — dim SZ = dim coker T— dim Z. С другой стороны,
dim ker 5 + dim Z — codim V = dim ker T, откуда получаем, что
ind E) = dim ker 5 —dim coker 5 = dim ker T — dim coker T = ind (T).

122
Р. Пале
Следствие. Если Tz=F(X,Y) и ke=K (X, Y), то ind (Г) =
= ind (Г+6).
Доказательство. По следствию 1 из теоремы 2 имеем
Т + К(Х, Y)^F(X, Y), и так как К(Х, Y) связно (фактически
зто линейное подпространство в L (X, Y)), то следствие непо-
непосредственно вытекает из теоремы.
Лемма. Пусть X и Y — гильбертовы пространства, Т s
е F (X, Y), ind (Г) ^ 0, и пусть V —подпространство в X, dim V =
= indG). Тогда в содержащей Т компоненте связности про-
пространства F(X, Y) имеется сюръективный оператор Ти кег Г, = V.
Доказательство. Так как dim ker T — dim T (XI =
= ind (Г) 2^0, то можно найти некоторое подпространство W
в ker Г и изоморфизм Р этого W на Г(Х)Х, который мы про-
продолжим до элемента из L(X, Y), положив Р равным нулю на
W1. Тогда при O^^^l оператор tP имеет конечный ранг и,
следовательно, принадлежит К(Х, Y). Поэтому по следствию 1
из теоремы 2 S — T + P находится в той же компоненте связ-
связности пространства F(X, Y), что и Т. Оператор S, очевидно,
сюръективен, откуда ind E)= dim ker S, и так как по теореме 4
ind(S) = ind (Г) = dim V, то существует такое унитарное пре-
преобразование О пространства X, что U (V} = ker S. Пусть Тх =
= SU. Тогда ker Т{ = U~lS~[ @) = V. Поэтому достаточно по-
показать, что оператор Г( лежит в той же компоненте связно-
связности пространства F(X, Y), что и оператор 5. Но по теореме 15
гл. VI существует путь U (t) в группе G автоморфизмов
пространства X, соединяющий U с Iх. Так как G s F {X, X),
то из следствия 3 теоремы 2 получаем, что путь SU (t) есть
путь в пространстве F(X, Y) из Т{ в S.
Теорема 5. Если X uY — гильбертовы пространства, и если
два элемента S и Т из F (X, Y) имеют один и тот же индекс,
то они лежат в одной и той же компоненте связности прост-
пространства F (X, Y).
Доказательство. Так как соответствие Т —* Г* является
топологическим отобрахсением пространства F(X, Y) на про-
пространство F{Y",X*) и ind(T') = — ind(r), то достаточно рас-
рассмотреть случай, когда индексы операторов S и Т неотрица-
неотрицательны. Выберем по лемме операторы Г, и S\ из тех же
компонент связности пространства F {X, Y), что и операторы
Т и S соответственно, так что Т\ и Si сюръективны и кегГ,=
= kerSj = K. Тогда по теореме 1 гл. VI операторы Si и Тх
отображают пространство V изоморфно на пространство Y;
Гл. VII. Фредгольмовы операторы
123
следовательно, оператор А — Т 'Si лежит в группе G авто-
автоморфизмов пространства V±. По теореме 15 гл. VI сущестьует
путь At от оператора А к тождественному отображению про-
пространства VL, целиком лежащий в G s Fiy1, V ). Ортого-
Ортогональная проекция Р пространства X на уЧ как легко видеть,
принадлежит пространству F(x, V1), так что по следствию 3
теоремы 2 TxAtP является путем в пространстве F(X, Y) из
ТгАР в TiP. Но ясно, что 7,^/> = S и Г1Я = Г„ откуда опе-
операторы 5] и Г( лежат в одной и той же компоненте связно-
связности пространства F (X, Y); следовательно, этому же свойству
удовлетворяют и операторы 5 и Г.
Пусть X — гильбертово бесконечномерное пространство. По
следствию из теоремы 11 гл. VI К (X, X) является замкнутым
идеалом в алгебре L (X, X), следовательно, А = L (X, Х)/К (X, X)
является банаховой алгеброй. Пусть я: L (X, X)—>• А — ка-
канонический гомоморфизм, и пусть U — группа единиц алгебры
A, Uo — компонента связности в группе U, содержащая 1. По
теореме 2 F (X, Х) = я~1(Ц). В силу следствия из теоремы 4 су-
существует корректно определенное отображение ШсГ: ?/—>-Z,
такое, что ind°n = ind, а по теореме 3 отображение Tiid
является групповым гомоморфизмом. Из теоремы 5 следует,
что ker (ind) = UQ. Пусть V — некоторое одномерное подпростран-
подпространство пространства X, и пусть Г —изоморфизм пространства X
на пространство v\ Тогда ind(f)=— 1, так что 1тГ(я(Г)) =
= — 1, и так как — 1 порождает группу Z, то последователь-
последовательность
0
¦?/<,-> С/—*Z-
•0
является точной.

ГЛАВА VIII
ЦЕПИ ТОПШШГИЧЕСКИХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ
Р. Пале
§ 1. Цепи
Если X — банахово пространство и мы заменим норму
в пространстве X на эквивалентную, то норма в простран-
пространстве X* также заменится на эквивалентную. Другими словами,
если X является подлежащим топологическим векторным про-
пространством некоторого банахова пространства, то X* — корректно
определенное топологическое векторное пространство. Назовем
топологическое векторное пространство X топологическим гиль-
гильбертовым пространством1), если оно является подлежащим
топологическим векторным пространством гильбертова про-
пространства Я. Если ( , ) — скалярное произведение в простран-
пространстве Я, то отображение х-*-(х, ) является изоморфизмом
между пространством Я и пространством X* (именно по этой
причине мы предпочли определить X* как антидвойственное
пространство, а не просто как двойственное к X). Если
Я —гильбертово пространство, то мы будем всегда рассматри-
рассматривать этот канонический изоморфизм как отождествление, т. е.
Я* = Я. Отсюда следует, что если X — топологическое гильбер-
гильбертово пространство, то не будет никакого неудобства, если мы
будем писать (I, х) вместо 1{х), когда хё! и /el*. Более
того, ввиду рефлексивности топологических гильбертовых про-
пространств мы можем отождествить X" с X, тогда (х, /) = (/, х),
если х е X, /еГ.
Определение. Пусть J" обозначает множество либо це-
целых, либо вещественных чисел и J"+ = {k s J1 \k^0}. Цепью
топологических гильбертовых пространств {ЯА} называется та-
такое множество топологических гильбертовых пространств, за-
занумерованных числами из $+, что:
1) если k>l~^0, то подлежащее векторное пространство
пространства Hk является линейным подпространством подле-
') У автора — „hilbertian space". Поскольку дословный русский перевод
мало отличим от перевода термина „hilbert space", имеющего в тексте дру-
другое значение, то мы его переводим везде как „топологическое гильбертово
пространство". — Прим, ред.
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
125
жащего векторного пространства Н1 и отображение вложения
Hk—>-Hl непрерывно;
2) пространство Я°° = f") Hk плотно в каждом Нк;
3) пространство Н° является гильбертовым (так что (№)* =
Если при каждом k>l^0 вложение Hk-*Hl не только
непрерывно, но даже вполне непрерывно, то мы скажем, что
цепь {Я*} удовлетворяет условию Реллиха, или является цепью
Реллиха.
Если J' = Z, то {Нк} называют дискретной цепью топологи-
топологических гильбертовых пространств; если же J" = R, то {Нк} на-
называется непрерывной цепью гильбертовых пространств.
Если {Нк} — цепь топологических гильбертовых пространств,
то при &>0 мы определим #~* = (Я*)\ Если k<0, то по реф-
рефлексивности мы имеем Н~~ = (#*)*; в то же время при k = О
мы имеем Я~~'г = (Я ) по определению.
Если ?>/1>0, то в силу 2) пространство Нк плотно в И1;
следовательно, если мы определим )Uky. Нк->Н1 как отобра-
отображение вложения, то отображение j(_k _t) = /(", k): H~l -> H~k
также является вложением, и так как отображение /</, k)
является вложением, то образ отображения /(_j, _г> плотен
в пространстве Н~ . Кроме того, если m >k, то j(L m\ =/«, k) hk, m\
откуда j(-m, -i) —}{-m. -ft) !(-k, -D- Следовательно, мы можем
рассматривать H~l как плотное линейное подпространство
в пространстве Н~к\ отображением вложения будет H-k, -;)•
Если k~^O~^z — I, то /(_/, ь) = /(-/, о)/(о, ft) определяет вложение Нк
в плотное линейное подпространство пространства Н~1. Отсюда
если мы определим Я~~°° = иЯ ' т0 мы можем рассматривать
каждое Нк как векторное подпространство пространства
И~°°{оо >k> — оо), и если оо >?>/> — оо, то мы имеем непре-
непрерывное вложение /(/ k): Нк->Н1, /(_^_0 = /*/ ky Временно обо-
обозначим спаривание пространств Нк и Н~к через ( , )k. Если
/ е Нк, g е Н~к и k > I, то f е И1. Если к тому же g^H~l, то
Отсюда следует, в частности,, что для каждого числа k
спаривание ( , X является продолжением спаривания ( , )а
пространства Я0 с собой; поэтому мы будем далее писать

126
Р. Пале
(g, />*= (g. f)o Для fe=Hk, ge=H k. Заметим, что тогда (g, fH
Корректно определено, если g e Н~°° и fe Я°°. Введем в про-
пространство Я°° топологию обратного предела \\mHk, т. е. сла-
слабейшую из топологий, в которых каждое вложение Я°° —> Нк
непрерывно. В пространстве Я~~°° вводится топология индук-
индуктивного предела \\тН~к, т. е. сильнейшая из топологий, в ко-
которых каждое вложение Hk->H~°° непрерывно. Тогда ( , H
является полуторалинейным спариванием пространства Я°°
с пространством Я~°° (на самом деле, как легко видеть, про-
пространства Я°° и Я~~°° являются локально выпуклыми тополо-
топологическими векторными пространствами и пространство Я~°°
является антидвойственным к пространству Я°°, т. е. является
пространством всех непрерывных антилинейных функционалов
на Я00). _
Определение. Если \Hi} и {Hz) —цепи топологических
гильбертовых пространств, то морфизмом цепей {я?} -> {н%\
называется набор таких отображений {Т^}, что Tk: Н\-+Н\
для каждого ^ej' является непрерывным линейным отобра-
отображением и Tk=Ti\Hi для k>l. Обозначим множество таких
отображений чергз Нот({я?}, {я|})-
Заметим, что операция a{Tk} + ?5 \Tk) = {a.Tk + $T'k\ вводит
в Нот ({Я?}, {я*}) структуру векторного пространства. Кроме
того, если {Sfe}e= Нот ({я*}, {Яэ}). то {SkTk}z=Hom {{н\), {н\)), и
легко видеть, что этот композиционный закон превращает
класс дискретных (непрерывных) цепей топологических гиль-
гильбертовых пространств в аддитивную категорию (неабелеву, так
как существуют лишь ядра, но не коядра морфизмов).
Если {Г*}е=Нот({Я*}, {Нг}) и fe=H?, to, так как при k>l
Tk = Ti\Hki, отображение Tkf = Tif = Taof корректно определено.
Далее из TJ = TJ е н\ для всех k вытекает T^f е Н?, т. е. Тт
является линейным отображением пространства НТ в простран-
пространство Яг°- Так как НТ плотно в каждом пространстве Я?, то
отображение Гм определяет каждое Tk, а именно отображе-
отображение Tk является единственным непрерывным продолжением Тж
до отображения пространства Hi в И.\.
Определение. Если {я?} и {н^—две дискретные (не-
(непрерывные) цепи топологических гильбертовых пространств и
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
127
reZ(R), то пусть ОРГ{{Н[), {Яг}) — векторное пространство
всех таких линейных отображений Т: НТ —>¦ Ht, кто для ка-
каждого ^eZ(R) отображение Т продолжается до непрерывного
линейного отображения Tk'- Нк\->Н\~Г.
Замечание. Заметим, что так как пространство НТ плотно
в Н\, то отображение Tk определяется единственным образом
через отображение Т, и так как при k>l отображения Н\->н\
и H%~r-*Hlfr непрерывны, то Tk = Tt\Hi. В частности, если
г = 0, то {Tk} e Нот ([Я?}, {Яг}). Так как соответствующее ото-
отображение Т^, очевидно, совпадает с Т, то имеет место
Теорема I. Если {#?} и '{Н*} — дискретные (непрерывные)
цепи топологических гильбертовых пространств, то определен-
определенное выше отображение {Tk}->Tm является линейным изомор-
изоморфизмом пространства Нот ({Нк\, {lit}) на пространство
Ы) mi
Определение. Если {я?} и {я|} — дискретные (непрерыв-
(непрерывные) цепи топологических гильбертовых пространств и г s Z (ft),
то пространство L(H\, H*2~r) является банаховым простран-
пространством (в топологии равномерной сходимости на ограниченных
множествах). Введем в пространство ОРТ слабейшую из топо-
топологий, при которых каждое отображение Т—>Т^ пространств
из ОРТ в L\H\, Нч~ ) является непрерывным (т. е. такую, чтобы
сеть \Та) в ОРТ{\Н{\, {Яг}) сходилась к Т тогда и только тогда,
когда для каждого числа k и каждого ограниченного множе-
множества В ^ н\ сеть \Т%} в L (Яь Н'?~г) сходится равномерно
к отображению Tk на множестве В).
Замечание. Заметим, в частности, что теорема 1 вводит
топологию в пространство Ногп({Я?}, {Яг}).
Теорема 2. Пусть \Hi} и {Н$} — цепи топологических гиль-
гильбертовых пространств, и пусть г, s^J1, где r>s. Тогда
OPs(,[fii}, {Я*}) является подпространством пространства
OPr{{nk\\, {Я*}) и отображение включения является непрерыв-
непрерывным. Более того, если хотя бы одна из цепей {н\) или {я!}
удовлетворяет условию Реллиха и Т ^.QPs({Hh}, {#*}), то для
каждого AeJ1 единственное непрерывное продолжение отобра-
отображения Т до линейного отображения из Hi в Яг~г является вполне
непрерывным.

128
Р. Пале
Доказательство. Пусть t = r — s, и при данном ^ej"
пусть /: Я*->//*"', /': Hli~'-+Ня'*'* =-Н*~г суть отображения
вложения, так что отображения / и /' непрерывны, причем
отображение / является вполне непрерывным, если цепь [нк\\
удовлетворяет условию Реллиха; в свою очередь отображение /'
является вполне непрерывным, если цепь {#г} удовлетворяет
такому условию. Если Ге OPs{\Hk], {Я*}), то пусть отобра-
отображения Tk-f. Hi~*:->H2~l~s' = Hf и Tk: H\-+h\~s являются
непрерывными продолжениями отображения Т. Тогда хотя бы
одно из отображений Tk-tj и \'Тк является непрерывным про-
продолжением Т до линейного отображения Я?—>Яг~г, что дока-
доказывает принадлежность морфизма Тк к ОРТ. Так как компо-
композиция непрерывного и вполне непрерывного отображений
является вполне непрерывным отображением (см. теорему 11
гл. VI), то мы сразу получаем последнее утверждение. Нако-
Наконец, предположим, что 7(а) сходится к Г в ОР/, пусть k^J',
и пусть В — ограниченное множество в пространстве Нк. Тогда
Гй4 сходится к Tk равномерно на В, следовательно, и }'ТкЩ
сходится к /Т/г равномерно на В, что доказывает непрерыв-
непрерывность.
Теорема 3. Пусть {#?}, [нк} и {нк} — дискретные (непре-
(непрерывные) цепи топологических гильбертовых пространств, и пусть
г, s е,/. Тогда (S, Т) -> ST является непрерывным отображе-
отображением пространства ОР3({нк2), {Яз}) X ОРГ{{н\}, {#!}) в про-
пространство OPr+s{{H\), {Н\}).
Доказательство очевидно.
Определение. Пусть {#?} и \Нк} — цепи топологических
гильбертовых пространств и Т: НТ —*• #2° — линейное отобра-
отображение. Линейное отображение S: Н™ —*¦ НТ называется тран-
транспонированным для отображения Т, если (Tf, g)o=(f, SgH для
всех элементов f е НТ, g s HT-
Замечание. Если 5' —другое транспонированное для
отображения Т, то (f, (S — S') gH = 0 для всех /еЯГи^е ЯГ-
Поэтому так как пространство НТ плотно в пространстве Н°,
то 5 = S', т. е. если транспонированное для отображения Т
существует, то оно единственно; будем обозначать его через Т*.
Заметим, что Т" = Т.
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
129
Теорема 4. Пусть \н\) и {Яг} — цепи топологических
гильбертовых пространств; предположим, что отображение
Т: НТ'-*Н? принадлежит ОРт{{н\), {н\)) при некотором r^J1.
Тогда Т обладает транспонированным Т* <^ ОРг({н%), {н\}),
а отображение [Т*)к: Нг-*-Н\~Г является сопряженным с ото-
отоб (Т)* ЯH^k д д k'
бражением (Т-ь+г)*: Яг
для каждого
Доказательство. По предположению для каждого k^J"
отображение Т продолжается до непрерывного линейного ото-
отображения T-k+r- HTk+r ->Я<ГА. Определим отображение
(T% = (T_k+r?: Н\->Н\-Г. Если k>U то Г_/+г = Г_6+г|ЯГ/+г,
откуда следует, что (T')k = (T')l\H2, так что отображение
(tWhT является корректно определенной функцией Т1 над
пространством ЯГ» не зависящей от k. Если f е ЯГ, то T*f =
= {т\+г1 е Hi для всех k, откуда T*f e H?, и, следовательно,
Т* является линейным отображением пространства Я?° в НТ-
Если /еЯГи gsHT, то (Tf, g)o = (TQf, g)o = <f,(To)'g)o =
= (f, (T')-rg)Q = (f, Т^)о; следовательно, отображение Т* дей-
действительно является транспонированным для отображения Т.
Так как для каждого k отображение Т* является по определе-
определению сужением непрерывного линейного отображения
(T_k+rY: Hi-
Як—г
1 >
То немедленно получается последнее утверждение теоремы.
Теорема 5. Пусть \Н\} и {Яг} — дискретные (непрерыв-
ные) цепи топологических гильбертовых пространств; предпо-
предположим, что Т: НТ -> Я" — линейное отображение с транспони-
транспонированным Т*. Пусть г, s e rf; предположим, что для каждого
jfeGc/, где k^s, отображение Т допускает непрерывное ли-
линейное продолжение Т& Н\-^Н{~Г и что для каждого k^J1,
где fc > г — s, отображение Т1 допускает непрерывное линейное
продолжение (Т%: н\->н\~Г. Тогда Т<=ОРг{{нк), {я|}), и
если k<.s, то отображение Tk является сопряэюенным с ото-
отображением (Tl)_k+r.
Доказательство. Если k<s, то —k + r>r — s, откуда Tl
допускает непрерывное линейное продолжение (T')_k,+r: H^k+r—>
-> Н~ ; следовательно, Tk = (г'Iй+г является непрерывным
9 Р. Пале

130
Р. Пале
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
131
линейным отображением пространства Я? в пространство н\ ''
Если/еЯГ, то для всех ?6= Яг"" имеем (Tkf, gH=°(f, (^)-ft+rg>o=
= (f> T'gH = (Tf, g)o, и так как пространство Н? плотно в Н%,
то rft/ = Г/, так что отображение Tk является продолжением Г.
Следствие 1. Если Т продолжается до линейного непре-
непрерывного отображения Tk'- H\ —*¦ Hi для всех k^O, a T' про-
продолжается до непрерывного линейного отображения (Т%: Ht—*-
->Я? для всех k>Q, то Т ^OP0({Hk,}, {Hi}) и, следовательно
(см. теорему 1), Г определяет морфизм цепи {Hk\} в цепь {Hi}.
Доказательство. Положить г = s = 0.
Следствие 2. Если \Н\\ и (Яг) — дискретные топологи-
топологические цепи гильбертовых пространств, и если Г продолжается
до непрерывного линейного отображения Tk'. H*\->Hi~] для
каждого целого числа k^l, a T1 продолжается до непрерыв-
непрерывного линейного отображения {Т%: Н\^>-Н\~х для каждого це-
целого ?>1, то re=OPi({#?}, {Яг}).
Доказательство. Положим r = s—l
k> r — s = 0 эквивалентно требованию k~^\
и заметим, что
так как J" = Z.
§ 2. Квадратичные интерполяции пар гильбертовых
пространств
Данная непрерывная цепь топологических гильбертовых
пространств при сужении множества индексов на подмноже-
подмножество целых чисел дает дискретную цепь, и это соответствие,
как легко видеть, является функтором из категории Cr непре-
непрерывных цепей в категорию С2 дискретных цепей. В этом и
следующем параграфах мы будем строить секущий (т. е. пра-
правый обратный) функтор Cz-~-*Cr, называемый квадратичной
интерполяцией.
Пусть #{о, о обозначает категорию, объектами которой яв-
являются такие пары (Яо, Hi) гильбертовых пространств, что
Яо S Я], и отображение вложения #0-> Н\ является непрерыв-
непрерывным линейным отображением пространства Яо на плотное под-
подпространство пространства Н{; морфизмами Т: (Но, #0—>(#о, #9
в этой категории будут все непрерывные линейные отображения
Го: Яо—>#<>, продолжаемые до непрерывных линейных отобра-
отображений Т\\ Н\->Ц[. Определим аналогичную категорию //{о, п,
образованную топологическими гильбертовыми, а не гильбер-
гильбертовыми пространствами, и заметим, что существует очевидный
„ослабляющий структуру", или „забывающий" функтор
F: #{о, о—*-Н{о, и- Подобным же образом определяется кате-
категория Я(о, и, объектами которой являются занумерованные мно-
множества {Hti гильбертовых пространств, а индексы берутся из
отрезка [0, 1], так что если 0^s<*<l, то HS S Ht и вложе-
вложение Hs->Ht является непрерывным линейным отображением
пространства Hs на плотное подпространство пространства Не,
морфизмами Г: [Ht] ~> {#?] в этой категории будут все непре-
непрерывные линейные отображения Го: Но-*-Но, которые для всех
2е [0, I] продолжаются до непрерывного линейного отобра-
отображения Tt: Ht^>-H't. Снова определяется аналогичная катего-
категория Н{о, и, образованная топологическими гильбертовыми, а не
гильбертовыми пространствами, и мы снова имеем очевидный
„забывающий" функтор F: #[o, t]—>Я[о, ц.
Если {ЯД —объект категории Яда, п, то, так как вложение
it: HQ->Ht, t e [0, I], имеет плотный образ, сопряженное с ним
отображение сужения i\: H*t-*H*0 является непрерывным вло-
вложением и имеет плотный образ, ибо ц инъективно. Если
мы отождествим H*t с его образом при отображении i*t,
то {H\_t) — другой объект категории Я[0, п, который мы будем
тоже обозначать {HtY или D{Ht} и назовем антидвойственным
к {ЯД. Если Т0 = Т: [Нt) -> [H't) - морфизм и Tt: Ht-+H't яв-
является непрерывным продолжением Го, то отображение
Г*: Н'1-*¦ Н\ продолжается до Т\: H't* -*¦ Н*. Таким образом,
если положить О(Т) = Т\, то D: H[Q,i]—> Я[о, ij является контра-
вариантным функтором. Аналогично если для пары (Яо, Н{)
как объекта из Я{0, о определить D(H0, Я,) = (Яр Яд) (где мы
отождествили пространство Н\ с его образом при отображе-
отображении, сопряженном с вложением t Яо—>#t) и для морфизма
Г: (Но, яО->(Яо, Н\) определить D(T) = T\, to D: Я{0, ц-~->Я{0, о
является контравариантным антидвойственным функтором.
Для заданного объекта (Яо, Нг) из категории Я{о,1} обозначим
через (, )(¦ скалярное произведение в пространстве Ht. Так как
вложение H0~^Hi является непрерывным (с нормой С), то при
^еЯ0 отображение г/>—^(х, у\ является элементом из Яо, от-
откуда следует, что существует единственный элемент Ах из
пространства Яо, такой, что (х, у\=--(Ах, уH для всех у<^Н0-
Легко видеть, что отображение А: Я0->Яо является линейным,
и так как \{Ах, уH\ = \(х, у\ \ <|| х ||, • j| у ||, < C2i| х \\0\\ у\\0, то
ЦЛЦ^^С2, и отображение Л непрерывно. Так как (Ах, x)q =
9*

132
Р. Пале
= (x, x)x > О, если х?=0, то А является строго положительным
оператором.
Определение. Если пара (Но, Н[) является объектом
категории H{o,i), то определяющим оператором пары. (Яо, Нх)
называется такой единственный ограниченный строго положи-
положительный оператор А: Но-+Но, что (х, у\=(Ах, уH для всех
х, у^Н0. Если O^t^l, то оператор А' (см. теорему 18.4
гл. VI) — строго положительный непрерывный оператор на
пространстве Яо. Следовательно, (х, y)t = (Atx, yH является
положительно определенным скалярным произведением на Но.
Пополнение пространства Но по соответствующей норме || х \\t =
= {Ah, x)Qn = || At/2x ||0 обозначается через Qt (Яо, Нх). Зануме-
Занумерованное множество {Qt(H0, Hi)} обозначается Q(HQ, Hi). Если
Т: (Яо, Я^—>(Яо, Hi) — морфизм в категории Я{о,1}> то положим
Q(T) = T.
Замечание. То, что Q является, как подсказывает обо-
обозначение, функтором Я{о,1} -•—>Я[о,п, будет доказано в теореме 1.
Доказательство функториальности было получено независимо
несколькими математиками, включая Е. Штейна, неопублико-
неопубликованное доказательство которого используется здесь. Функтор Q
называется квадратичной интерполяцией.
Ясно, что Qo(Ho, Hi) = H0 и что (при очевидном отожде-
отождествлении) Qi(H0, H{) — H\. Для простоты будем часто полагать,
что Qt(H0, Hx) = Ht. Если 0<s<*<1, то ||*||, = \Атх\\0 =
= \\A{t~s)/2As'2x\\o<\\A(t~s)'2\\j\x\\s, так что тождественное отобра-
отображение пространства Яо в себя продолжается до непрерывного
линейного отображения Hs-+Ht. Так как композиция Яо—»•
-*Hs->Hf-*Hi совпадает с вложением пространства Яо в Нх,
то отображение Hs-+Ht взаимно однозначно и каждое Ht мы
можем рассматривать как вложенное в Нх (беря его образ
при отображении Ht-+H\), так что Hs^>Ht становится ото-
отображением вложения. Так как пространство Яо по определению
плотно в Ht, то при Os?^s<tf^l пространство Hs a fortiori
плотно в Ни так что в силу нашего соглашения Q(HQ, Нх) = {Я.}
является объектом категории Я[о,ц- Теперь предположим, что
отображение H0->Hi вполне непрерывно, и пусть {^ — огра-
ограниченная последовательность в пространстве Яо. Выделяя, если
потребуется, подпоследовательность, мы можем предположить,
что {*„} является последовательностью Коши в простран-
пространстве, Ни т. е. что\\хт-ха\\1 = \\А1'2(ха-хт)\\о->-0, откуда выте-
вытекает, что оператор А112: Н0->Н0 вполне непрерывен, и по тео-
теореме 18.3 гл. VI таким же является оператор Аг1г при
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
133
Тогда если 0 < s < / < 1 и {хп} — такая последовательность
в пространстве Яо, что норма \\хп \\s = || Asl2xn |0 ограничена, то,
выделяя соответствующую подпоследовательность, мы можем
предположить, что {A{t~s)nAslixn} является последовательностью
Коши в пространстве Яо, т. е. что
сходится к нулю, откуда вытекает, что {хп} является последо-
последовательностью Коши в пространстве Ht. Так как Яо плотно
в Hs, то вложение Hs-+Ht вполне непрерывно.
Теорема 1. Функтор Q: Я^.о*—>Я[о,ц является „тожде-
„тождественным" на морфизмах. Кроме того, Q0(H0, НХ) = НО,
Qi (Яо, Н1) = Ни и если вложение Но-*-Нх вполне непрерывно,
то и вложение QS(HO, Я^-^СМЯо, Hi) вполне непрерывно для
0<<1
Доказательство. Исключая функториальность, все
остальные утверждения немедленно следуют из определения Q
или были доказаны ранее. Нам остается проверить, что если
Т: (Яо, Hi)—>(Яо, Hi) является морфизмом в категории Я{о,1},
т. е. Т = Т0: Hq-^Hq является ограниченным линейным ото-
отображением, которое продолжается до ограниченного линейного
отображения Тх: Нх-+Н'\, то отображение То продолжается до
ограниченного линейного отображения Tt: Ht-+Ht при каж-
каждом t^[0,l]. Пусть В — определяющий оператор для пары
(Яд, Н[) и (, )rt — скалярное произведение в пространстве Н'и
так что
(х, у% = (В'х, у)'о, х, уе=Н'о.
Фактически мы покажем, что если М = maxfll ToL, || Tt \\<J, to
при 0<*<l/2
\(Ти, v)'2t\^M
для всех «еЯо, чеЯ^ с I!«1(^ = 11 о |^ = 1. Отсюда следует не
только существование отображения T2t, но и неравенство
H^tlL^^L Так как оператор А1-' самосопряжен и взаимно
однозначен, то его образ плотен в пространстве Яо; следова-
следовательно, он плотен также и в H2t, и потому достаточно огра-
ограничиться случаем и = А ~*Хо', аналогично мы можем предполо-
предположить, что v = Б'-^о. Заметим, что || Ах01|0 = || А'А*-'х0 ||о = || и ||и = 1

134
Р. Пале
и аналогично \\ Вуо%= U поэтому мы должны доказать, что
| (ТА^х0, В1~%У„ | = | (В*ТА 1-<х0, В1-%У01 = | (В'ГЛ«'%, Вуо)'о \ <М
при 0</<1/2, если ||Лхо||о = |[Вг/о11о=1-
Пусть S = {zeC, 0<Re2<l/2}, 5S = {2eC, Rez = 0 или
pe г = 1/2} и S = S — OS. Определим отображение Ф: S -> С
формулой
г У
Теперь мы докажем более сильный результат, а именно что
|ф(г)КМ, если z <= S.
Лемма 1. Отображение Ф: 5 —»¦ С непрерывно, и его су-
о
жение на множество S голоморфно. Кроме того:
1) функц ия | Ф | ограничена на множестве S,
2) на множестве OS выполняется неравенство \ Ф! <I M.
Доказательство. Непрерывность отображения Ф на
о
множестве 5 и его голоморфность на S легко получить из
утверждений A), D) теоремы 18 гл. VI. Далее,
| Ф {t + is) | = | (ГЛ-'М'-'хо, B-isB1+tyo)o! <
•CUT II II A~isAl-{^ II ln-"n'+',i IK
=^uII * оILII A A X0|!o|o о г/ollo-
Так как A~'s является унитарным отображением простран-
пространства Но, а оператор B~ls является унитарным отображением
пространства Н'о (см. теорему 18.4 гл. VI), то |Ф(/ + гз)К;
<\\То\\ЛА1~1хои\Вмуо\а. Далее, по теореме 18.4 гл. VI ото-
отображение г—*-\А1~*хо^о\в1+*уо% является непрерывным и, следо-
следовательно, ограниченным на отрезке [0, 1/2], и потому функция
\O(t + is)\ ограничена при 0^/^1/2, т. е. при t + is^S.
Так как по предположению [| Ах01|0 = II Ву0 \}'о = 1, то | Ф (is) | ^
<l|7IL<Af. Наконец,
Ф D + is) | = | (ВТA~lsAll2x0, B-isBl/2y0X I
-1(TA-l°All2xQ, В-»ВмуХ | <11 Г, LI A~ls
Так как Л~'5 является унитарным преобразованием простран-
пространства Но, a B~ts — унитарное преобразование пространства Но,
и так как \\Ах01|0 = || Вг/о |? = 1, то
/"л. W//. //е/г« топологических гильбертовых пространств
135
Желаемый результат, что |Ф(гЖМ, если z s S, следует
теперь из леммы 1 и хорошо известного принципа максимума
Фрагмена — Линделефа:
Лемма 2. Пусть функция f: S—> С голоморфна в обла-
о
сты 5, непрерывна и ограничена в области S. Если \f\^.M
на dS, то \f\^.M в области S.
Доказательство. Если мы предположим, что функция
f(t + is) равномерно стремится к нулю на 5 при |s|—>оо, то
утверждение теоремы следует из принципа максимума модуля
функции / в прямоугольнике {t + is, 0 ^ t ^ 1/2, | s I ^ cr}, если
\f(t + is)\^.M при \s\^a. Если п — положительное целое чи-
число, то ехр (z2/n) является такой функцией. Действительно,
| ехр ((/ + isfjn) | = ехр ((t2 - s2)/n) < ехр (A/4 - s2)/n);
это выражение, во-первых, ограничено величиной ехрA/Dя)),
а во-вторых, стремится к нулю при |s|—>оо. Так как |f | огра-
ограничено, то функция fn{z) — f{z) exp(z2/n) удовлетворяет нашим
условиям, и так как \fn\^.Mexp(l/Dn)) на dS, то при г е S
|/(z)exp(z2/n) \ = \fn(z) |^МехрA/Dя)). Фиксируя точку z и
устремляя я—>оо, получаем |/(г)|^М.
Это завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2. Существует единственный функтор Q: Яда,о—>
•—>//[o,i], при котором коммутативна следующая диаграмма:
H{oi)
IF
Доказательство. Так как забывающий функтор
F: //{0,1} ~-—»¦ Н{о,\), очевидно, является сюръективным (по опре-
определению каждое топологическое гильбертово пространство
является подлежащим топологическим векторным простран-
пространством некоторого гильбертова пространства), то остается
из F(H0, tf,) = .F(tfo, Hi) вывести FQ(H0, Hy) = FQ{H'o, #0-
Ho F(Ho, Hi) = F(Ho, Hi) равносильно тому, что Я, и н\ имеют
одно и то же подлежащее топологическое гильбертово про-
пространство или, другими словами, что тождественное отобра-
отображение / пространства Яо является изоморфизмом /: (Яо, Hi)—*-
~> (Яо, Н[) в категории Я(о,1}. Тогда по теореме 1 (т. е. в силу
функториальности Q) морфизм Q(/) = / является изоморфизмом

136
Р. Пале
между Q(H0, Hi) и Q(h'o, Hi), т. е. тождественное отображение
пространства Яо можно продолжить до непрерывного линей-
линейного отображения (как легко видеть, тождественного) Qt(H0, Hi)
на Qt(Ho, H'i), где 0s?^ <! 1. Но это и означает, что FQ(H0, Я[)=
= FQ(Ho, Н\).
Определение. Функтор Q: H{o,i}-*Ню,ц теоремы 2 также
называется квадратичной интерполяцией.
Так как Q и оба забывающих функтора F являются тож-
тождественными на морфизмах, то то же верно и для функтора Q.
Заметим, что коммутативна следующая диаграмма:
I Q
51
#[0,1]
где D — контравариантный антидвойственный функтор, введен-
введенный в начале настоящего раздела. Явно это сводится к сле-
следующему: если пара (Яо, Н\) является объектом категории
#{0,1}, ТО
Q(#o, #,)* = <?,_,(#:, Hi).
Чтобы убедиться в этом, возьмем определяющий оператор Л
пары (Яо, Hi). Так как оператор Al~m строго положителен и,
следовательно, взаимно однозначен, то можно его образ Kt сде-
сделать гильбертовым пространством со скалярным произведением
(,)(, считая, что Al~m: Яо = /С* является изометрией, т. е.
(Л>-'%, Al~my)t = (х, уH. В частности, оператор A112: #0 = /Ci
является изометричным. Пусть Т: Но = Но — естественный изо-
изоморфизм, т. е. / (х) = G7, хH для всех / е Яо, х е Яо. Тогда
1/2 *
отображение S = А Т: Но = /Ci будет изометричным операто-
оператором. Докажем далее, что 5 отображает пространство H*-t изо-
метрично на Kt и потому является изоморфизмом {я*-*} = {Kt}-
Предположим, что SI = Al~t/2v е= Kt- Тогда Г/ = ЛA-«/2у и
II 5/ |к, = || v ||о = sup {| (у, xH1, || x ||o = 1}. Так как оператор Л'1-')'2
имеет плотный образ в пространстве Яо и || ЛA~')/2д:||о = || Jc||i_f, то
И SI \\K( - sup {| (v, ЛС-«%)о |, x e Яо, || x ||, _, = 1} =
= sup{|(r/! x)\, xs=H0, llxll,.^!}-
= sup{|/(x)|,
Следовательно, достаточно будет доказать, что QtiKo, Ki) =
Но если и, у е /Со и и = Ах, v = Ay, то (и, v)t = (Лх, Лг/),
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств 137
= (Atl2x, А'12уH = (А1 Ах, АуH = (Л'ы, о0), и мы получаем же-
желаемый результат.
Другое свойство функтора Q, которое нам понадобится
позже, есть его „транзитивность", или „выпуклость". Оно выра-
выражается следующей формулой:
, Я,),
Qr(Qs(ffQ, Я,), 4(#о. #i)) = Q,+r(f-
если O^s^^^l и 0<><11. Ввиду теоремы 2 достаточно
показать, что Q имеет аналогичное свойство. Если А — опре-
определяющий оператор пары (Яо, Я,), то для элементов х, //еЯ0
мы имеем
(х, у\ = {А*х, у\ = (А*А*-°х, уХ = {А{~3х, у)„
откуда следует, что Qr(Qs(H0, Hi), Qt(H0, H^) является по-
пополнением пространства Яо относительно скалярного произ-
ведения (ArV~s)x, y)s = (AsArit~s)x, y\ = (As+r(t-s)x, y\; это есть
в точности определение Qs+r (t-S) (Яо, Hi).
Для будущих ссылок соберем вместе свойства функтора О.
Теорема 3. Функтор квадратичной интерполяции Q:H^.d—*
~—>Я[о,1] обладает следующими свойствами:
1) 4(#о, #i] = #o, Qi(#o, #iH#i!
2) функтор Q является тождественным на морфизмах;
3) если Яо—> Я] — вполне непрерывный оператор, то отобра-
отображение QS(HQ, Я[)—>Q*(#o> Нг) вполне непрерывно при 0 ^.s <t^l;
4) Qt(H0, Hrf-Qi-tlffu Hi);
5) QAQAfio, Hi), Qt(H0, #,)) = Q,+r (,_„(#<>, #i), если 0<
<<^<1 0<г<1
и
По заданным объектам (Яо, Hi) и (Яо, Я') из катего-
категории Я{о,1}, где Hi=Ho, определяется третий объект (Яо, Н'\) из
этой же категории Я{о,1}, который мы обозначим (Яо, Нх): (Яо, Я').
В частности, если в пространстве Я] задана структура гиль-
гильбертова пространства, то мы имеем каноническое отождествле-
отождествление Hi = Н] и можно определить элемент (Яо, ЯО : (Яь Яо).
Аналогично по данным объектам {Я*} и {я?} из катего-
категории Я[о,п с Hi = Но определяется третий объект {Ht} : {Ht} =¦
= {Ht} следующим образом: Ht = H2t при- 0 ^ t ^ 1/2 и н" ==
= Я2/-1 при 1/2^^^ 1. Заметим, что ввиду „выпуклости"
квадратичной интерполяции, если пара (Яо, Я]) является объ-
объектом категории Я{о,1} и Hu2 = Qii2{H0, Нх), то <2(Я0, Hi) =
= Q(H0, Я1/2): Q(Я1/2, Я1). Покажем теперь, что если пара

138
Р. Пале
(Яо, Hi) является объектом из категории Я{о,и и пространство Я(
имеет структуру гильбертова пространства, то
Q((#o, Hi): (Hj, Hl)) = Q(H0, Я,) : Q(h\, Но).
Мы можем предположить, что Яо является гильбертовым про-
пространством; пусть А является определяющим оператором пары
(Яо, Hi). Пусть Kt — пополнение пространства Яо по норме,
соответствующей скалярному произведению ((х, y))t = (A2tx, yH,
где 0^^<!1. Тогда ясно, что Kt является объектом катего-
категории Я[о,1], причем Ко = Но. Действительно, определяющим опе-
оператором пары (Ко, К\) будет оператор В = А2, откуда следует,
что Kt = Qt{Ko, Ki). Ясно, что Кт = Ни откуда
Q(Ко, Ki) = Q((Ко, Km): (Km, Ki)) = Q((Яо, Я,): (Km, Ki)) =
= Q(H0, Hi):Q(Km, Ki),
так что достаточно отождествить пару (Km, Ki) с парой (я1, Яо).
Теперь пространство Km является пополнением Яо по норме, по-
порожденной скалярным произведением ((х, у))ш = (Ах, уH = (х, у)и
откуда по определению K\/2=zHi = Hi. Более того, если y^Ki/2, то
«У, y))f = snV{\((x, у)\\, ((х, х)), = 1} =
= зир{|(Л2ж, у\\, \\Ах\Ъ=\),
или, так как оператор А имеет плотный образ в простран-
пространстве Но, то
Ш, y))f = snv{\(Ax, y\\, ||xH,= l}=sup{|(x, y\\, IUilo=l},
что в точности является нормой у как элемента пространства Яд.
Отсюда пространство Яд является пополнением пространства
К1/2 = Н* по норме, соответствующей скалярному произведе-
нию (( , ))„т. е. (Kl/2, *,) = (#[, #о>
Теорема 4. Пусть (Hk, Яо) — объект категории Н{о, ц, где
Но — гильбертово пространство и ? >0. Для k^t^O onpe-
делим Ht = Qtlk(Hk, Но), и пусть H_t = Я?( = ^_1/к(Н'о, Н\),
см. п. 4 теоремы 3). Тогда для k~^r~^s~^ — k имеем
Q(Hr, Hs) = Hr+t (j-r).
§ 3. Квадратичные интерполяции цепей
Мы теперь определим функтор из категории С% дискретных
цепей гильбертовых пространств в категорию Сц непрерывных
цепей гильбертовых пространств, который мы тоже обозначим
Гл. V1I1. Цепи топологических гильбертовых пространств
139
через Q и назовем квадратичной интерполяцией. Если H={Hk} —
объект категории Cz, то определим некоторый объект Q(ff) =
= {Q(H)S} категории Cr формулой
для целого неотрицательного числа k и O^s^l, так что
по п. 1 теоремы 3 § 2 мы имеем Q(H)k = Hk, если k — целое
неотрицательное число. Легко видеть, что Q(H) является непре-
непрерывной цепью гильбертовых пространств и что Q(H)°° = Я°°.
При этом по п. 3 теоремы 3 § 2 если Я — цепь Реллиха, то
такой же будет и цепь Q(H).
Если k — целое отрицательное число, то для 0 ^ s ^ 1 мы
имеем
fe+1-s
<?(#)'
откуда по п. 4 теоремы 3 § 2 получаем
и, наконец, в силу рефлексивности
Q(H)k+1~s = Q (Hk+1, Нк)
Из последнего равенства видно, что формула, определяю-
определяющая Q(HI при t^O, остается справедливой и при /<0. За-
Заметим также, что Q(H)~°° = Н~°°.
Пусть заданы две дискретные цепи Нг и Я2; напомним, что
для reZ пространство ОРг(Ни Н2) состоит из всех линей-
линейных отображений Т: НГ~>Н^'> которые для каждого ieZ
можно продолжить до непрерывного линейного отображения
TV Hi —¦>Н2~Г. Отсюда следует, что Tk+i'- (Я?+1, Я1)—>
—>(H2 + l~r, Hi~r) является морфизмом в категории H[o.D, и
по п. 2 теоремы 3 § 2 это соответствие является также мор-
морфизмом Tk+i: Q{H\+\ H^)^Q(H2+l~r, Н\~т) категории Яд п,
т. е. Tk+l (и, следовательно, Т) при O^s^l продолжается
до непрерывного линейного отображения Tk+l^s пространства
Так как HT = Q(Hi)°°, то T^OPr(Q(Hl), Q(H2)); таким обра-
образом, установлено вложение ОРг(Ни Я2)^ OPr(Q(H{), Q(H2))
при г е Z. Поскольку обратное включение легко следует из
Q(Hif = Hki, мы фактически имеем равенство ОРг(НиН^ =
= OPT(Q(Hl), Q(H2)) при reZ.

140
Р. Пале
Вспоминая каноническое отождествление Нот (Я!, Яг) с про-
пространством ОРп{Ни Я2), где Нх и Я2 —две дискретные или
непрерывные цепи топологических гильбертовых пространств
(см. теорему 1 § I), мы получаем как следствие, что
Нот (Q (Hi), Q(H2)) = Нот(Ни Я2) и, следовательно, функтор
Q: Сг "~—*¦ Cr действительно является тождественным на мор-
физмах.
Суммируя все сказанное, мы получим теорему.
Теорема. Функтор Q квадратичной интерполяции из кате-
категории Сг дискретных цепей топологических гильбертовых про-
пространств в категорию Cr непрерывных цепей топологических
гильбертовых пространств обладает следующими свойствами'.
1) Q(H)k+l~s = Qs(Hk+\ Hk) ^AsZb0<s<1, так что
в частном случае Q(H)k = Hh, если k e Z; при этом Q(#)°° — Н°°,
Q(я)"" = Я~°° и OPT{Q(Я), Q(Я')) = ОРГ(Я, Я'), если reZ;
2) Q{T) = T, если Т — морфизм в категории Cz;
3) если Я — дискретная цепь Реллиха, то Q (Я) является не-
непрерывной цепью Реллиха.
Эта теорема, по-видимому, вполне оправдывает следующее
упрощение обозначений: если Я = {Я*} — дискретная цепь топо-
топологических гильбертовых пространств, то мы будем обозначать
цепь Q(H) через {Hk} и сохраним это обозначение для непре-
непрерывной цепи, порожденной дискретной цепью {Hk} при квадра-
квадратичной интерполяции. Там, где необходимо различать цепи Я
и Q(H), будем писать {Hk}kez для дискретных цепей и {Hk}keR
для непрерывных, возвращаясь к обозначению Q там, где это
необходимо для ясности.
§ 4. Шкалы и цепи {/*(Z", V)}
Следуя русской терминологии, введем следующее
Определение. Непрерывная цепь {Hk} топологических
гильбертовых пространств называется шкалой, если для задан-
заданных чисел k, /eR, k~^l и t e [0, 1] имеет место
Qt{Hk, Hl) = Hk+t(l~k).
Теорема 1. Если непрерывная цепь {Hk}kesR является шка-
шкалой, то она порождается дискретной цепью {Hk}kez при квадра-
квадратичной интерполяции. Если непрерывная цепь получена из дис-
дискретной при помощи квадратичной интерполяции, то она
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
141
является шкалой тогда и только тогда, когда для заданных
чисел й^/^О выполняется равенство
Доказательство. Первое утверждение теоремы три-
тривиально, второе легко следует из п. 4 и 5 теоремы 3 и тео-
теоремы 4 § 2.
Определение. Пусть X — пространство с мерой,
а — измеримая положительная вещественная функция на X
с положительной нижней гранью. Пусть V — эрмитово вектор-
векторное пространство. Для каждого вещественного числа k введем
гильбертово пространство L,\{X, V, а) измеримых функций
f: X-+V, таких, что ||/|| = J \\f (*) |Р а (*)* < оо.
Теорема 2. При вышеуказанных X, V, а пространства
[Lk (X, V, а)} образуют непрерывную цепь топологических гиль-
гильбертовых пространств, которая на самом деле является шкалой.
Доказательство. Пусть m = inf{a(x), x^X}. Тогда
Of|^<m('-ft)||f|| при k>l; это неравенство показывает, что
Lk{X, V, a) ? Li (X, V, а) и что это вложение непрерывно.
Задав k^O, f^Ll(X, V, а) и положительное целое число п,
определим отображение fn: X-*V формулой fn{x) = f{x), если
а(х)<л, и /„ (л:) = 0, если а(х)>п. Ясно, что fn<=f\L\{X, V, a)
к
и, кроме того, /„ сходится к / в пространстве L\{X, V, a),
так что {lI(X, V, a)}ft>0 является непрерывной цепью. Заме-
Заметим, что отображение f—>akl2f является изометрией простран-
пространства L\{X, V, а) на пространство Ll{X, V, a). Отсюда следует,
что Lk(X, V, a) = L~k(X, V, а), причем спаривание задается
формулой (f, g) = (a~kf, akgH = J (f (x), g(x)), так что
(Lk (X, V, a)]fts_R является непрерывной цепью. Если?>/, то пара
{Lk (X, V, a), Li {X, V, а)) является объектом категории Я{о, 1}
с определяющим оператором A: Ll(X, V, a)->Ll(X, V, a) вида
Af = a(l~k)f. Если t e [0, 1], то Л'/ = at{l-k)f, так что простран-
пространство Qt(Lk(X, V, a), L2t{X, V, a)) является пополнением про-
пространства L\{X, V, а) по норме / -> || а'«-*№/ ||ft = ||f \+t{l_k), т. е.
Qt{L\{X, V, a), L*(X, V, а)) = L\+t «_k) (X, V, а).

142
Р. Пале
Последнее равенство и доказывает, что цепь \L\{X, V, а)}
является шкалой.
В дальнейшем нас будет особенно интересовать следующий
класс шкал.
Определение. Если V — эрмитово векторное простран-
пространство, то для каждого fceR определим гильбертово про-
пространство lt(Zn, ]/) таких функций /: Z"—*¦ F, что ||/|| =
= It ll/(v)|P(l+||v|R*<«>.
vez"
Теорема 3. Если V — эрчитово векторное пространство,
то для каждого неотрицательного целого числа п семейство
{tl(Zn, V)}k(=R является непрерывной цепью Реллиха и, кроме
того, шкалой.
Доказательство. Если в пространство Z" ввести меру,
относительно которой каждое множество измеримо и каждая
точка имеет единичную меру, и определить функцию a(v) =
= 1+IMP, то легко видеть, что /f(Z", V) = Ll(Zn, V, a); сле-
следовательно, ввиду теоремы 2 остается проверить условие Рел-
Реллиха. Пусть k > /. Для заданного г > О рассмотрим конеч-
конечное множество F, состоящее из таких точек v e Zn, что
A+|| v|p)'~fe>e2/2. Тогда подпространство /f(F, V) простран-
пространства ll(Zn, V) состоит из таких функций /, что f(v) = O при
v §ё F. Подпространство li (F, V) является конечномерным,
поэтому единичный шар в этом пространстве компактен
и в этом шаре мы можем выбрать конечную е/]/2-сеть
fu • • •. fm- Если f принадлежит единичному шару пространства
ll{Zn, V), то
Si
vef
v<=z"
следовательно, мы можем выбрать такие элементы fh что
при
С другой стороны, так как A +|| v |P)'~fe<82/2
fi (v) == 0 при v ф F, то
Гл. VIII. Цепи топологических гильбертовых пространств
143
так что || / - f t% = 2 II f (v) - ft (v) li2 A +1| v IP)' < e2. Это дока-
зывает, что в единичном шаре пространства l\ (Zn, V) множество
fi, ¦ ¦ -, fm е-плотно относительно метрики пространства /?(Z", V).
Так как е>0 было произвольным, то единичный шар про-
пространства fi(Zn, V) является вполне ограниченным подмноже-
подмножеством в пространстве lj(Z", V), т. е. вложение /f(Z", К)—>
—> /f (Z", V) вполне непрерывно.
со
Лемма I. Для данного k> 1/2 пусть Bk = 2 J A + y2)~kdy
о
и 1>k — [ A + У2)'*dy. Тогда если с^\, то
Доказательство. Воспользовавшись методом Макло-
рена оценки сумм, имеем
1 л-0 О
Подстановка у — х/с преобразует правый интеграл в выра-
оо
жение J A + ф)~к dy, а левый —в выражение
оо 1
J A + г/2)"* dy = {
1/с Ш
откуда легко вытекает лемма.
Лемма 2. ?суггг fe>l/2, c^ 1 ы а^ — неотрицательное веще-
вещественное число для каждого (isZ, то
S
S а2
Доказательство. Заменяя с на с2, мы приходим к не-
неравенству B fluf <Sfe 21 а2с A + H-2/c2)fe, которое получается

144
Р. Пале
из леммы 1 и неравенства Шварца
4-°-
Теорема 4. Пусть п — целое положительное число, k^ 1/2.
и пусть f(=l\{Zn, V). Тогда для каждого leZ ряд
2 /(Я, ц) сходится абсолютно и функция р(/): Zn~'-+V,
пег
определенная формулой р (/) (Я) = 2 f (Я, ц)> принадлежит про-
странству lt-i/2(Zn~ , V). Более того, отображение р: l\(Zn, V)—>
—»• ^1—1/2 (Z", v) является непрерывным линейным отображением
и имеет непрерывное линейное сечение (т. е. правое обратное)
Х: /i-1/2(Zre-', F)^/l(Zre, К).
Доказательство. Положив в лемме 2 0^ = 11/(Я, ц)||,
с = 1 +1| Я |р, получаем
•A+1|Я|р)*-1/2<в, 2 ц/(я,^|рA+|[я|р + ^)*.
|ie2
Так как правая часть неравенства не превышает ||ЛЦ, то это
доказывает абсолютную сходимость ряда 2/(Я, ц) к некото-
рому элементу р (f) (A)gF и дает
IIР (/) (Я) IP A + II Я Iff72 < Bk 2 II / (Я, ц) IP A +1| Я IP + fx2L.
Суммируя по всем Я е Zn~l, получаем неравенство
которое доказывает, что р является непрерывным (и, очевидно,
линейным) отображением пространства/|(Zre, V) в u-m(Zn~\ V).
Для данного элемента ge/|_1/2(z"~1, V) определим отображе-
отображение %(g): Zn~>V формулой
X (S) (Я, ц) = g (Я) A +1| Я |рГ1/2 у (Я) A +
для leZ
"
Z, где
-*-i-l
Гл. К///. Цепи топологических гильбертовых пространств
145
Легко видеть, что для всех Я ез Z" ' имеет место равенство
2 Х(?)(Я, И) = ?(Я). Полагая в лемме 1 с = A +1| Я|РI/2, полу-
чаем y(A)^l/bk, что в свою очередь дает
= II g (Я) IP A + II Я If)* y (ЯJ
Суммируя по всем |isZ и применяя лемму 1, получаем
ц s Z
(
V
Следовательно, суммирование по всем Я <= Z" ] дает
Последнее неравенство доказывает, что %(g) e l\(Zn, V) и что
%¦ lk-m{Zn~\ I/)—>/|(Z", V) является непрерывным (и, как
легко видеть, линейным) отображением. Так как PX(g)(X) =
= 2 х(^)(Я, М-) = ^(Я), отображение % является сечением для
lie z
отображения р.
Теорема 5. Пусть п и I — целые числа, причем п>1^0,
и пусть s — n —1/2. Если k > s и f s l\ (Zn, V), то для каждого
leZ' ряд
2 /(я,
сходится абсолютно, и функция р(/): Z' -> F, определенная
формулой р (/) (Я) = 2 f (Я, }х), принадлежит пространству
u e z"—'
^-«(Z7, К). Более того, р: ll(Zn, v)->ll-s{t, V) является не-
непрерывным линейным отображением и имеет непрерывное линей-
линейное сечение
Доказательство получается немедленно из теоремы 4 с по-
помощью индукции по л — I.
Ю Р. Пале

146
Р. Пале
Следствие. Если п —целое положительное число, k>n/2,
/f(Z", V), то существует такая константа В, что ряд
f{y) сходится абсолютно и имеет место оценка
Доказательство. Это совпадает со случаем / = 0 тео-
теоремы.
ГЛАВА IX
ДИСКРЕТНЫЕ СОБОЛЕВСКИЕ ЦЕПИ
ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
Р. Пале
В этой главе через М мы будем обозначать компактное
С°°-многообразие, возможно с краем; |, r\, ? будут эрмитовыми
векторными расслоениями с базой М. Будем также предпола-
предполагать, что многообразие М снабжено фиксированной строго
положительной гладкой мерой.
§ 1. Пространство С*(?)
Пусть k — целое неотрицательное число; обозначим через
Ck (|) комплексное векторное пространство С*-сечений расслое-
расслоения |. Зададим в пространстве С°(|) компактно-открытую топо-
топологию и заметим, что | ||f ||lo = sup{||f (х) || \х е М} является нор-
нормой для С°(|); пространство С°(|) является полным в этой
норме. Поэтому С°(|) является подлежащим топологическим
векторным пространством некоторого банахова пространства.
Напомним, что, как указывалось в гл. IV, если ср: Os^R" —
карта многообразия М, ty: || & ^ © X V — тривиализация расслое-
расслоения | над 6 и сечение /е C°°(g) представляется над & отобра-
отображением / = 1|э о/ о ф-1; R"^ у, то /ft(|) | 6 si & X ф V и ik(f)\&
|a|<ft
представляется отображением Jfe(f): Rn—»¦ © V вида Jk())(y) =
= {Daf (y)})a,<k. Отсюда следует, что отображение й-джет про-
продолжения jk: C°o(l)^-C°°(Hk(t,)) расширяется естественным обра-
образом до отображения Ck(i)—>С0{Jk{\)), так что то же самое
координатное представление сохраняется и для расширенного
отображения, которое мы по-прежнему обозначаем через jk.
Тогда отображение jk: Ck(i)—> C°(Jk(D), как легко видеть,
инъективно и мы топологизируем Ck (|), потребовав, чтобы jk
было гомеоморфным вложением. Тогда сходимость fn к f в про-
странстве С*(|) в терминах вышеуказанных координат озна-
означает, что если |а|^й и К — компактное подмножество про-
пространства R", то последовательность Dafn сходится равномерно
к элементу Daf на компакте К- Это показывает, что jk изо-
изоморфно отображает пространство Ck(%) на замкнутое подпро-
подпространство пространства С°(/й(|)) (так что Ck{%) является под-
10*

148
Р. Пале
лежащим топологическим векторным пространством некоторого
банахова пространства) и что топология пространства С*(|)
совпадает с „С*-топологией".
§ 2. Гильбертово пространство Н° (?)
Напомним, что в силу § 4 гл. IV скалярное произведение
(f>'gh= J (/(*)> g(x))l определяет структуру предгильбертова
м
пространства на С°°(|). Определим Я°A) как пополнение этого
предгильбертова пространства. Ясно, что мы можем (и будем)
рассматривать пространство Я°(|) как множество таких изме-
измеримых сечений / расслоения g, что ||/||= J (f('x), /(х))|<оо;
м
при этом мы отождествляем сечекия, равные почти всюду.
Теорема 1. Подлежащее топологическое гильбертово про-
пространство не зависит от меры на многообразии М.
Доказательство. Если р — производная Радона — Нико-
дима другой строго положительной гладкой меры_на много-
многообразии М относительно заданной меры, то р и У р являются
строго положительными С°°-функциями на М; следовательно,
умножения на У^р и l/Yp являются ограниченными взаимно
обратными преобразованиями пространства Я°(|) в себя. Но
V^pffi есть в точности норма элемента f в пространстве Н°(|),
построенного по второй мере.
Теорема 2. Если Т е Нот (|, Т)), то отображение Tt: C°° (%)—*¦
-*• С°° (ц) продолжается до ограниченного линейного преобразо-
преобразования пространства Я°(?) в пространство #°(т]).
Доказательство. Пусть N (Т) (р) — норма линейного
отображения Т(р): tp—>r]p. Тогда функция N(Т): M~*R непре-
непрерывна, откуда А = sup {N (Т)(р), р^М}<<х>. Из очевидного
неравенства || ТJ\\^ ^ A \\ f \\\, /еС°°(|), вытекает утверждение
теоремы.
Следствие. Подлежащее топологическое гильбертово про-
странство пространства Н° не зависит от эрмитовой структуры
расслоения |.
Доказательство. Если х\ есть расслоение % с другой
эрмитовой структурой, то, тождественный элемент из Нот (|, г\)
продолжается по теореме до топологического векторного изо-
Гл. IX. Дискретные Соболевские цепи
149
морфизма между Я°(|) и Н°(ц). Но это расширение, как
легко видеть, совпадает с тождественным отображением в про-
пространстве И0 Сё).
Теорема 3. Пространство С0(|) плотно в пространстве
Н°A); вложение С°(|) в Я°(|) непрерывно.
Доказательство. Если /е=С°(|), то \\f [J = J \\f(*)|j?<
м
< Jlllfllio=IHflllo J Ь откУДа вытекает как C° (g) s H° (g), так
м м
и непрерывность этого отображения вложения. Так как
C°°(i)sC0(g) и пространство С°°(|) плотно в Я°(|), то тем же
свойством обладает и пространство С°(|).
§ 3. Пространство Hk (|)
Несмотря на то что не существует канонической эрмитовой
структуры на векторном расслоении /ft(|), из следствия тео-
теоремы 2 предыдущего параграфа вытекает, что Я°(/*(|)) является
корректно определенным топологическим гильбертовым про-
пространством. Определим топологическое гильбертово простран-
пространство Я*A) как пополнение пространства С°°(|) относительно
топологии, в которой линейное вложение
превращается в гомеоморфизм такого пространства С°°(|)
в Я0 (/*(!)). Заметим, что из определения следует, что отображе-
отображение ]k продолжается до непрерывного линейного изоморфизма /^
пространства Hk (|) на замыкание образа /* в пространстве
я°(/*(Ш.
Теорема 1. Если k и I —целые неотрицательные числа и
k~>l, то тождественное отображение пространства С°°(?) про-
продолжается до непрерывного линейного отображения jik: #*(?)->
->Я<(|).
Доказательство. Пусть Сщ(%) обозначает С°°(|) как
топологическое подпространство в пространстве Я*(?), так что
по определению отображение jk' Сщ (|)-^-Я°(/6(|)) является
гомеоморфизмом. Пусть отображение Tlk е Нот (Jk(Q, fl(^))
является канонической проекцией, определенной формулой
Та (/* (f)P) = it (f)P, так что если (Tlk),: C°° (Jk (g)) -> С°° (/' (g)) -

J50
Р. Пале
индуцированное отображение, то (Ttk)Jk = ji, или // l{Tik),jk
является тождественным отображением пространства С°°A).
Теперь по теореме 2 предыдущего параграфа отображение (Tik)m
можно продолжить до непрерывного отображения простран-
пространства №(jk(l)) в Я0 (/(?)), поэтому ]Tl(Ttk),jk является непре-
непрерывным отображением пространства Сщ (%) в Су\ (|) и,
следовательно, продолжается до непрерывного отображения
/й: Я* F)-#'F).
Замечание. Заметим, что если m>k, то jibhm — lim> так
как обе части равенства являются непрерывными отображе-
отображениями пространства #т(|) в Н1(?,) и совпадают на плотном
подпространстве Я°°(|) в пространстве Ят(|).
Лемма. Пространство Со°A) плотно в пространстве Я°(|).
Доказательство. Пусть Тх — трубчатая окрестность
многообразия дМ (в некоторой римановой метрике) радиуса 1
и Тп — концентрическая трубчатая окрестность радиуса 1/л. Так
как мера многообразия дМ равна нулю и дМ является пере-
пересечением всех Тп, то мера пгп трубчатой окрестности Тп стре-
стремится к нулю при л—>оо. Пусть gn: М—>[0, 1] есть С°°-функция
с firn=l на М~Тп, пересечение носителя которой с дМ
Гл. IX. Дискретные Соболевские цепи
151
f-gJ\\t<
есть пустое множество. Если f e С
^mrtsup {||/ (х)|р|дге М}—> 0, откуда gnf сходятся к / в про-
пространстве Я°(|) при я—>оо. Так как gnf e Со°(|) и простран-
пространство С°°(?) плотно в пространстве №(%), то отсюда вытекает
утверждение леммы.
Теорема 2. Пусть k, I — целые неотрицательные числа и
k>t. Тогда непрерывное линейное отображение jtk: Я*(|)—>
-> Н1 (|), продолжающее тоэюдественное отображение простран-
пространства С°°(|), инъективно.
Доказательство. Выберем эрмитову структуру на рас-
расслоении Jk (|), и пусть ( , )уА(|) — соответствующее этой стру-
структуре скалярное произведение в пространстве №(Jk(%)). Тогда
(f> g)k = (jkf> jkg)jk(l) является допустимым скалярным произ-
произведением в пространстве Я*(|), так как jk изоморфно отобра-
отображает пространство Яй(|) в пространство H°(Jk(Q). Поскольку
/*: С" (?)-»• С" (/*(|)) принадлежит Diff* F. 7* F)) (см. теорему 1
§ 3 гл. IV), то в силу теоремы из § 4 гл. IV получается, что
существует единственный формально сопряженный оператор
/ft<=Diffft (/*(|), i), удовлетворяющий условию (jkf, g)jk (?) =
= (f, fkg)b гДе f e C°° (|) и g s C"(/fe(|)). Предположим теперь,
что /еЯ © и что itk(f) = O- Мы должны показать, что f = О,
и так как отображение jk: Я*(|)—>H°(Jk{\)) является изомор-
изоморфизмом „в", то достаточно будет показать, что jk (f) = 0. Пусть
{/„} —последовательность в пространстве С°°(|), сходящаяся
в пространстве #fe(g) к элементу /. Тогда последовательность
ikifn) сходится в пространстве Я°(/*(|)) к элементу Jk(f), и
если g^Co (/*(!)), то
jok(fn)> так что
(f) = 0,
Но в пространстве H°{Q мы имеем
lim /„ = lim м (/») = /о* (
так как по предположению }lk (f) = 0. Отсюда следует, что
lim (/„, А)| = 0 для всех /г е Я°(У, так что, беря, в частности,
h = jlg, где ge=Co°(i), мы получаем (Jk(f), g)jk{l) = O, т. е. /4 (/)
ортогонально в пространстве #°(/ft(g)) к Co°(/fe(g)). Но по
лемме отсюда следует, что }k (f) = 0.
Замечание. Будем рассматривать инъекции /Oft: Hk(?)^>-
—>Я°(|) как отождествления, т. е. будем рассматривать под-
подлежащее векторное пространство Я*(|) как подпространство
пространства //° (|); отображение jOi будет отображением вло-
вложения. Так как /« = /ш'м. то все отображения /#: Я* (|)->
->Яг(|) также являются отображениями вложения.
Теорема 3. Пусть k — целое неотрицательное число. Тогда
Ck(l)^Hk(Q и отображение вложения Ck(l)—>Hk(Q непре-
непрерывно.
Доказательство. Пусть С(")(|) обозначает пространство
С°°(|) с топологией, индуцированной из пространства Cft(|), и
пусть /до обозначает отображение jk, рассматриваемое как
отображение пространства C(%(g) в пространство C°{jk (g)); от-
отсюда по определению топологии пространства Cft(|) (см. § 1)
отображение j^) непрерывно и на самом деле является гомео-
гомеоморфизмом „в". С другой стороны, из .теоремы 3 § 2 отображе-
отображение I. C°(Jk(l))->H°(Jk(l)) непрерывно. Теперь если мы будем
писать С["](|)для пространства С°° (I) с топологией, индуциро-

152
Р. Пале
¦ ванной из пространства #*(!)> и /од для отображения /ft, рас-
рассматриваемого как отображение пространства Сщ(|) в Я0(/*(!)),'
то по определению пространства Я* (|) отображение /од является
гомеоморфизмом „в", следовательно, /од ijw: Сда (|) -»¦ Сод (|)
непрерывно. Но, конечно, /од//ад является тождественным ото-
отображением пространства С°°(|) на себя. Отсюда следует, что
тождественное отображение пространства С°°(|) продолжается
до непрерывного отображения пространства Ck(Q в Я*(|). Так
как мы отождествили пространство Я*(|) с подмножеством
в пространстве Я°(?), то это отображение является включением.
Теорема 4. Если | — эрмитово векторное расслоение над
многообразием М, то {#*(!)} является дискретной цепью топо-
топологических гильбертовых пространств.
Доказательство. Так как пространство С°° (|) плотно
в Яй(?) и Яоо(|) = Пя*^)эСоо(|), то пространство #"(|)
ft
плотно в каждом Я (|). По замечанию к теореме 2 мы полу-
получаем непрерывное линейное включение Я* A)—> Я*(|) при &>/
и, пользуясь результатами § 2, найдем, что пространство Я°(|)
является гильбертовым пространством.
Замечание. В следствии из теоремы 4 § 4 гл. X будет
показано, что пространство С°°(|) не только вкладывается
в Я°°(?), но на самом деле эти пространства равны.
Мы сохраним все обозначения и предположения гл. VIII.
Если k — целое отрицательное число, то пространство Я*(|)
является антидвойственным к пространству Я~*(|) и Я~°°(|) =
Теорема 5. Предположим, что дМ пусто, и пусть fle
<= Difffe (|, г\). Тогда оператор D имеет транспонированный D1,
и фактически D1 есть формально сопряженный D* e Difffe (|, ti)
с оператором D.
Доказательство. Так как дМ пусто, то (Df, g)^ =
= (f, D*g)i для всех сечений /еС°°(|) и g ^ С°° (х\) по опре-
определению оператора D*. Но это как раз и показывает, что
D* = D1.
Теорема 6. Если ?)sDiffr(g, r\), то для каждого целого
положительного числа k~^r оператор D продолжается до не-
Гл. IX. Дискретные Соболевские цепи
153
прерывного линейного отображения Dk: Hk(?,)->H
k~r
(л).
Доказательство. Пусть s = k — г, и пусть ]s: C°°(г\) —>
—> С°° (Г(л)) ~ отображение s-джет продолжения. Тогда /Ле
^Diffs(Ti. Js(t\)) (см. теорему 4 § 3 гл. IV); следовательно,
существует единственное Т е Нот (/* (|), Js (r\)), такое, что
JsD = TJk [см. следствие 1 теоремы 1 § 3 гл. IV]. Если через
Сод(|) мы обозначим пространство С°°(|) с топологией, инду-
индуцированной из пространства Я4(|), и аналогично через С^](ц) —
пространство C°°(ti) с топологией, индуцированной из простран-
пространства Hs (ц), то по определению пространств Я*(|) и Hs(r\) ото-
отображения /У. С["](|)->Я0(/(|))и7,: Си (ц)~>Н°(Г (т|)) являются
гомеоморфизмами „в". Кроме того, по теореме 2 отображение Г.
продолжается до непрерывного линейного отображения про-
пространства Я0(/*(|)) в Я0(XsOn)). Отсюда следует, что оператор
D = ilxTJk является непрерывным линейным отображением про-
пространства Свд(|) в Су](ц) и, следовательно, продолжается до
непрерывного линейного отображения Dk пространства Я*(|)
в пространство Ns(r\).
Теорема 7. Если ГеНот(|, ti), to индуцированное ото-
отображение Tt: С°°(|)—>С°°(г\) является элементом пространства
ОРоA, Л).
Доказательство. Напомним, что Tm e Diffo(|, r\) (см.
следствие 2 теоремы 1 § 3 гл. IV); следовательно, по тео-
теореме 6 для каждого неотрицательного целого числа k опера-
оператор Т„ продолжается до непрерывного линейного отображения
(Tt)k- Hk(%)-*Hk(r\). Оператор Г, имеет транспонированный
(Т*)„е Diffo(r), |), и снова по теореме 6 для каждого целого
положительного числа k оператор (Г*), продолжается до непре-
непрерывного линейного отображения пространства Я*(т)) в про-
пространство Я*(|). Применяя следствие 1 теоремы 5 гл. VIII, мы
закончим доказательство.
Теорема 8. Функтор |'~-»{Яй(|)} является ковариантным
функтором из категории эрмитовых расслоений в категорию
дискретных цепей топологических гильбертовых пространств.
Если Т s Нот (|, ¦»]), то индуцированный морфизм {Tk} <=
е Нот ({Я* (§)}, {Hk (л)}) определяется требованием, чтобы ото-
отображение Tk: Я*(|)-*Яй(т]) являлось непрерывным продолже-
продолжением отображения Tt: C°° (§) -> С°° (ц).
Доказательство. По существу это утверждение является
переформулировкой теоремы 7 (см. теорему 1 гл. VIII).

154
Р. Пале
Теорема 9. Если дМ пусто, то
Diff,(g, Tj)sOP,(g, tj).
Доказательство. Если D e Diff , (|, т|), то по теореме 6
для каждого целого k~^\ отображение D: С°°(|)->С°°(т]) про-
продолжается до непрерывного линейного отображения Dk: #*(g)->
—^ //*""' (л). По теореме 5 оператор D обладает транспонирован-
транспонированным Z)' и фактически Dl = D* <= Diff, (т|, |); поэтому, снова при-
применяя теорему 6 для каждого целого числа k^l, получаем,
что оператор D* продолжается до непрерывного линейного
отображения (D\: Hk:(т))-> Hk~x (g). Вспоминая следствие 2
теоремы 5 § 1 гл. VIII, мы заканчиваем доказательство теоремы.
Лемма. Если k и I — целые неотрицательные числа, то
Diff*+,(S, т,) = Diff, (/*(!), T|)oDiffft(g, 7*(g))-
Доказательство. Пусть/*: C°°(g)->C°°(/*(g)),/*+/: С°°(|)->
-*С<я(/*+/E))и7/: С00(/(|))->С00(//(/(|)))-отображения джет-
продолжений. Заметим, что Д+/(/% = 0 тогда и только тогда,
когда JiUk(f))P = O (действительно, в локальных координатах
первое означает, что Daf(p) = 0 при |а|<Н/, тогда как вто-
второе означает, что DaD^f(p) = 0 при |а|^/ и IP!<!?). Отсюда
следует, что существует мономорфизм S расслоения /*+/(|)
на подрасслоение расслоения /'(/*(!)), такой, что S(jk+l(f)p) =
~liUk{f))P- Так как точная последовательность векторных
расслоений расщепляется, то мы можем определить оператор
Т <= Нот(Jl(Jk(D), Jk+l(D), такой, что ST - тождественный
оператор т. е. TJljk = jk+l. Тогда если D <= Difffe+i(|, т|), то суще-
существует единственное отображение R e Hom(/*+r(|), r\), такое,
что D^RJb+t^dRTMJojb. Но /*e=Diffk(?, /*(g)), в то время
как (RT\Jt e Diff t(Jk'(l),n).
Теорема 10. Если дМ пусто, то для каждого целого не-
неотрицательного числа k имеем
Difft(g, 4)s
g, Ч).
Доказательство. При k = 0 и А = 1 зта теорема совпа-
совпадает с теоремами 7 и 9 соответственно. Следовательно, мы
можем предположить, что k>l и по индукции что теорема
верна для k—l. По лемме мы можем представить оператор
/) е Diffft (g, ч) в виде D = DXD2, где Д, е DiffA_, (|, /*-'(!))
и D, e Diff 1 (/*-' (|), т|). По предположению индукции D2 ^
Гл. IX. Дискретные Соболевские цепи
155
e-OPft_i(g, /*-'E)). а по теореме 9 /)е 0^,G*-» (g), л), откуда
по теореме 3 гл. VIII оператор D = D]D2 принадлежит OPk(%, r\).
Пусть М = [0, I], расслоение g является одномерным три-
тривиальным расслоением над М и ?>eDiffi(?, g) является обы-
обыкновенной производной, т. е. Df = f1. Если бы оператор D
обладал транспонированным D*, то для всех feC°°(g) мы
имели бы
или, другими словами, мера с единичной массой в точке 1
и минус единичной в точке 0 являлась бы абсолютно непре-
непрерывной относительно меры Лебега, что невозможно. Таким обра-
образом, оператор D не имеет транспонированного и D^0P\(%, I),
в действительности Оф OPk(%, I) для любого k (теорема 4 § 1
гл. VIII). Следовательно, наше предположение, что дМ пусто,
существенно в теоремах 5, 9 и 10.

ГЛАВА X
НЕПРЕРЫВНЫЕ СОБОЛЕВСКИЕ ЦЕПИ
ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
Р. Пале
§ 1. Непрерывные Соболевские цепи
Напомним, что в § 3 гл. VIII мы определили функтор
(квадратичную интерполяцию) Cz"~—>"Cr, который каждой дис-
дискретной цепи топологических гильбертовых пространств
k
р ртовых прост
ставит в соответствие непрерывную цепь {Hk}kl-^ и является
тождественным на морфизмах. Если М — компактное много-
многообразие со строго положительной гладкой мерой и | — эрми-
эрмитово векторное расслоение над М, то, применив этот функтор
к дискретной Соболевской цепи {Hk(%)}k^z, мы получим непре-
непрерывную цепь {#*(|)}йе.к, называемую непрерывной соболевской
цепью расслоения |. По теореме 1 § 3 гл. VIII, если reZ,
то 0P({H4mkm k
где т] — другое эрмитово расслоение над многообразием М,
Теперь мы можем определить для rsR пространство
ОРГ{1, T,)=
В следующей теореме мы отождествим пространство
Hom({//fe(i)}^R, {Я*(т|)}4в8) с ОР0&, ч) (см. теорему 1 §1
гл. VIII). Поэтому если /: |~*т] —отображение расслоений, то
индуцированное отображение /,: Н°° A)-> Н°°(г\) принадлежит
H(fe *
Hom({//fe(g)}
ftsR,
(см. теорему 7 § 3 гл. IX).
Теорема. Пусть М — компактное многообразие со строго
положительной гладкой мерой. Тогда функтор | ™—*-{#fe(g)}fe
является функтором из категории V (М) эрмитовых векторных
расслоений над М в категорию CR непрерывных цепей гиль-
гильбертовых пространств. Если f: |—>т| — морфизм в категории
V (М), то /,: Н"° (|) —> Н°° (tj) является ассоциированным морфиз-
мом в категории С%.
Доказательство. Надо воспользоваться теоремой 8 § 3
гл. IX и теоремой § 3 гл. VIII.
Гл. X. Непрерывные Соболевские цепи
157
§ 2. Цепи {Hk(Tn, V)}
Для целого неотрицательного числа п и м-индекса а с | а | ^?
положим d= а!(&-|а|)| • Тогда если ysR", то (l+\\y\?)k =
= 2 Ctt/a. Пусть V — эрмитово векторное пространство,
|O|<fc
тогда ф V обозначает прямую сумму экземпляров простран-
|o|<fc
ства V, по одному экземпляру для каждого /г-индекса а с | а \^.k,
превращенную в эрмитово векторное пространство со скалярным
произведением
({«J, Ю)= S с5(««, Ов).
|o|<fc
Пусть Г есть /г-мерный тор Rrt/2itZ", так что функцию
(класса Ck) на торе Тп можно рассматривать как функцию
(класса С*) на пространстве R" с множеством 2itZ" периодов.
Интеграл от векторной функции, определенной на Тп, пони-
понимается как интеграл от соответствующей функции над R" по
фундаментальному кубу {х е R", — я ^ х < я} относительно
соответствующей меры Лебега.
Если k — целое положительное число или оо, то Ck(Tn, V)
будет обозначать пространство С6-отображений тора Тп в V,
которое мы отождествим с С*(|), где | — тривиальное расслое-
расслоение над Тп со слоем V. Пользуясь результатами § 2 гл. VI,
мы имеем каноническое отождествление расслоения /*(|) и три-
тривиального расслоения над Т" со слоем ф V, причем отобра-
|о|<*
жение &-джет продолжения
/*: С* (Г", у)
lo|<fc
О
задается формулой Jk(F)(x)={Daf(x)}la\<k. Нормой в простран-
пространстве С°(Тп, V) будет
j;=sup{||f(x)||2,
и, следовательно, на основании § 1 гл. IX мы получаем, что
норма в пространстве Ck(Tn, V) определяется формулой
Аналогично если обозначим через Hk(Tn, V) пространство Нк A)
(где k — целое неотрицательное число), то (см. § 2 гл. IX) про-

158
Р. Пале
странство Н°(Тп, V) является пополнением пространства С°{Тп, V)
по норме
llflg= \\\f{x)fdx
I»
и, следовательно, Нк{Тп, V) является пополнением простран-
пространства Ск(Тп, V) по норме
II f и2 "V пк П rflt II2
II/llfe = 2л Ca\\D fjg.
I а К ?
Далее, цепь {Нк(Тп, V)} является цепью топологических
гильбертовых пространств (в действительности гильбертовых
пространств), дискретной Соболевской цепью расслоения |,
и, следуя нашим соглашениям об обозначениях, мы будем
писать {Нк(Та, V)}keR для непрерывной цепи, полученной из нее
при помощи квадратичной интерполяции (по определению она
является непрерывной соболевской цепью расслоения |).
Определение. Для каждого veZ" обозначим через ev
элемент из С00 (Тп, С) вида ev (х) = Bn)~nl2 eivx. Для /еГ {Тп, V)
определяется отображение f: Zn —> V формулой
je-»*f(x)dx,
f1
так что если f e= С°° (Тп, С), то f(v) = (f, ev>0.
Лемма 1. Элементы {ev}vez« составляют ортонормальный
базис пространства Н°(Тп, С).
Доказательство. Легко видеть, что (е^, evH = \4, так
что достаточно доказать, что пространство Е, составленное
из конечных линейных комбинаций элементов ev, плотно в про-
пространстве Н°(Тп, С). Ясно, что Е является алгеброй, разделяю-
разделяющей точки и замкнутой относительно комплексного сопряжения,
так что по теореме Стоуна —Вейерштрасса пространство Е
плотно в С°(Тп, С). По теореме 3 § 2 гл. IX Я плотно в про-
пространстве Н°(Тп, С).
Лемма 2. Если AeR, то элементы {A +|| vf)~k/2ev}veszn
образуют ортонормальный базис пространства Нк(Тп, С) и эле-
элементы {A + [ v|p)№ev}vsz« образуют двойственный базис в про-
пространстве н~к(тп, с).
Доказательство. Так как цепь {Нк(Тп, С)}ке=я полу-
получается квадратичной интерполяцией цепи {Нк(Тп, С)}к
Гл. X. Непрерывные Соболевские цепи
159
то достаточно будет доказать теорему для целых положи-
положительных значений k. Но Daev = (/)|a|vaev, и формально двой-
двойственным к Da является оператор (—l)|a|Da; следовательно
если fz=C°°(Tn, С), TO<Daf,D4>o = (-Dla|<f, D24>o = v2a(f>evV
Вспоминая тождество 2 c?v2a = (l +\\v\ff, упомянутое в на-
чале этого параграфа, имеем (f, ev)k= 2 Ca(Daf, DaevH. Так
как пространство С°°{Тп, С) плотно в Нк(Тп, С), то то же
равенство справедливо для всех [еЯ4(Г, С). Из леммы 1
получаем, что семейство {A +||v\f)~mev}v^zn ортонормально
в Нк(Тп, С). Если (f, ev>* = 0 для всех vsZ", то (f, ev>0 = 0
для всех veZ" и по лемме 1 / = 0, так что семейство
{A +IMP)~*/2ev}VGZn есть ортонормальный базис. Так как
<( 1 + II v |РГ*/2 вA, A +1| v |p)ft/2 ev\ = (в|1, ev>0 = 6^, то отсюда сле-
следует, что семейство {A +||v|p)fe/2ev}vszn образует двойственный
базис в пространстве Н~к(Тп, с). Лемма доказана.
Напомним, что в § 4 гл. VIII мы определили Z|(Z", v) как
гильбертово пространство отображений g: Zn-+V, таких, что
Теорема 1. Для каждого & <s R отображение f->f про-
продолжается (с пространства С°°(Тп, V)) до изометрии про-
пространства Нк(Тп, V) на пространство ll(Zn, v); это продолже-
продолжение мы также обозначим через f -> /. При этом если f^Hk (Tn, V),
то ряд 2_/(v)ev сходится абсолютно к функции f в простран-
vez"
стве Нк(Тп, V).
Доказательство. Заметим, что Нк(Тп, Vx ® V2) =
= Нк(Тп, Vl)®Hk(Tn, V2) и что 1\{Ъ\ Vl®V2)~^ll(Zn, Кi)e
@4{Zn, V2). Если /,ф/2еГ(Г, V,eV2), ™ (/,®?2) = f,фf2;
поэтому если теорема справедлива для пространств V\ и V2,
то она справедлива и для V\®V2- Так как пространство V
изометричпо прямой сумме пространств С, то мы можем огра-
ограничиться только случаем V = C.
В этом случае если / е Я0 (Тп, С), то число (/, evH кор-
корректно определено в С, так как еуеС°°(Г\ C)s#°°G"", С).
Если /еС°°(Г", С), то (f, evH = /(v), так что мы определили

160
Р. Пале
функцию f (v) = (/, evH для всех / e= Я °°(ГЛ, С). Тогда по лемме 2
если f<=Hk(Tn, С), то
= S.Kf, (l+llv|p)ft/2ev>0|2= 2_lf(v)l2(l+||v|P)*H|/|f;
л. X. Непрерывные Соболевские цепи
161
и ряд 2 if, О+1МРГЧ>оA+1МРГй'Ч = 2 f(v)ev cxo-
ve-z" vez"
дится абсолютно к элементу / в пространстве Нк(Тп, С).
Следствие. Цепи {Hk{Tn, V)} и [ll(Zn,v)} изоморфны.
В частности {теорема 3 § 4 гл. VIII), цепь {Hk(Tn, V)} является
цепью Реллиха и шкалой.
В следующей лемме через Е(Тп, V) обозначим пространство
отображений f: Tn-+V вида /(х)= 2 ev(x)g(v), где функция
vez"
g: Zn^-V обращается в нуль всюду, за исключением конеч-
конечного числа значений v.
Кроме того, по заданной функции f: Tn-+V и элементу
а е= Г" определим отображение fa: Tn->V вида fa(x) = f(a + x).
Лемма. Если V — эрмитово векторное пространство то-
1) Е(Тп, V) плотно в Hk(Tn, V) для всех AgR;
2) если f<=E(T», V), а е Г, то fa<=E(T", V) и ||feflt = ||/|U
аля всех k ^ R;
3) если f(=E(Tn, V) и а есть п-индекс, причем |а|<г то
Daf е Е (Тп, V) и || Daf |U < II f II* для всех k e R.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 1
достаточно проверить лемму для V = C. Тогда пространство
Е(Тп, С) совпадает с линейной оболочкой элементов {ev} „.
Так как по лемме 2 теоремы 1 элементы {A +1| v \f)~k/2 e^ „
образуют ортонормальный базис пространства Hk(Tn, C)V"по-
C)V"поскольку (ev)e = e'™ev, тогда как Daev = (г)|а| vaev, лемма доказана.
Теорема 2 (Соболев). Если V — эрмитово векторное про-
пространство, г — целое неотрицательное число, k — вещественное
число, причем k>n/2 + r, то Hk(Tn, V)<=Cr(Tn, V) и отображе-
отображение вложения является вполне непрерывным.
Доказательство. Достаточно будет доказать, что ото-
отображение вложения непрерывно, так как мы можем разложить
его в композицию
Hk(Tn, V)->Hl(Tn, V)-+Cr(Tn, V),
где k>l>n/2 + r, и'по следствию из теоремы 1 отображение
Hk{T\ V)->Hl{T\ V) вполне непрерывно.
Пусть f<=E(Tn, V), так что /= 2 ej(v), где ?(v)=0 всюду>
vez"
за исключением конечного числа точек v e Zn. В частности
f@)= 2_/(v), откуда по следствию из теоремы 5 § 4 гл. VIII
так как k — r>n/2. По теореме 1 имеем
Если а е Г", то, заменяя f на fa и пользуясь утвержде-
утверждением 2) леммы, получаем
так как fa(O) = f(a). В силу того что это неравенство имеет
место для каждого элемента а <= Г", мы получаем
где |||f |||o = sup{IIf{a)||, аеГ}' Если а есть л-иидекс, причем
|а|^г, то в силу утверждения 3) леммы это дает
Вспоминая, что
2 ck4
2 cS|
| а |
112
0.
получаем окончательно, что
i*\ II f ||2
, т. е. тож-
дественное отображение пространства Е(Тп, V) является
непрерывным из топологии, индуцированной на нем простран-
пространством Hk(Tn, V), в топологию, индуцированную пространством
Сг{Тп, V). Утверждение 1) леммы завершает доказательство.
Следствие. Если г — целое положительное число и
k > л/2 + г, то ряд 2 evf (v) сходится абсолютно к f в прост-
ve=z"
ранстве Cr(TnV) для каждого f^Hk(Tn, V). В частности, если
f^C°°(Tn, V), то ряд 2 evf(v) сходится к f в С°°-топологии.
V<=z"
Доказательство получается немедленно из теорем 1 и 2.
Теорема 3. Пусть п и I —целые числа, причем п > / ^ 0,
и пусть s = п — 1/2. Тогда если k — вещественное число, боль-
11 Р. Пале

i62
P. Пале
шее чем s, то отображение сужения С°°(Тп, V)—>C°°(T1, V)
продолжается единственным образом до непрерывного линей-
линейного отображения р: Hk{Tn, V)->Hk~s(Tl, V). При этом р об-
обладает непрерывным линейным сечением %: Hk~'(Tl, V)->
Доказательство. Пусть {^С°°(Тп} V). Но предыду-
предыдущему следствию если х — (у, zj^T1 X Тп~1, то
f {У, г) = 2 е(К щ (у, z) f(X, ц) =
(Я, II)
= ^ek(y)ell(z)f(X, ц),
(Я, ц)
где суммирование ведется по всем парам (А, ц) из простран-
пространства Z1 X Zn~' = Z" и ряд сходится равномерно на торе Тп,
Тогда так как е^ @) = Bn)~s, то
f(y, 0) = Bл)-' 2 ех(у)( 2 f(k, ц)\
этот ряд сходится равномерно на Т1. Следовательно,
K Ц).
Теперь теорема немедленно следует из теоремы 1 и теоремы
5 § 4 гл. VIIL
§ 3. Теорема продолжения
Пусть Bn={xe=Rn, ||x||<l}, и пусть Вп+ = {хе=Вп, х„>0).
Если V — эрмитово векторное пространство, то через X будем
обозначать либо Вп, либо В+. Определим Co°(Z, V) как про-
пространство С°°-отображений пространства X в V, имеющих
компактные носители. Для целых неотрицательных чисел k
определим пространство С%(Х, V) как банахово пространство,
получающееся из пространства-С™ (X, У) пополнением по норме
111/1111 = supi 2 Cka\\Daf{x)\f
l|a|<fc
4-
J
Аналогично определим гильбертово пространство Но{Х, V)
как пополнение пространства Со'(Х, V) по норме.
!*= 2 Cl\\\Daf(x)\fdx.
Гл. X. Непрерывные соболевские цепи
163
Ясно, что {Но{Х, V)} является дискретной цепью гильбер-
гильбертовых пространств и, как обычно, [Но(Х, V)jfc==Rобозначает не-
непрерывную цепь, полученную из нее квадратичной интерполя-
интерполяцией. Если МС?(Вп, V), то f\Bl^C-(Bl, У),\\\Г\РЛ>" ^
IU и 11 f | Вп+ lift <|| f Ik; следовательно, справедлива
Я»
Теорема 1. При целом неотрицательном k отображение
сужения f->f\Bn+ пространства С${Вп, V) в пространство
Со° (В%, V) продолжается до непрерывного линейного отобра-
отображения Со{Вп, V)->Co(.Bn+, V). При неотрицательном вещест-
вещественном k оно продолжается до непрерывного линейного ото-
отображения Hk0(Bn, V)->Ho{Bn+, V).
Теорема 2. Если k —целое неотрицательное число, то ото-
отображение сужения С*(Я", V)-+C%(B%, V) имеет непрерывное
линейное сечение
Е: Cko(B%, V)->Ck0(Bn, V).
При этом отображение Е можно выбрать так, что если I — це-
целое число и 0</<&, то Е продолоюается до непрерывного ли-
линейного сечения ЕA): С0(В+, V)->Clo(Bn, V) отображения суже-
сужения Clo(Bn, v)->Clo(B+, V); если I — вещественное число и
О < / ^ k, то отображение Е продолоюается до непрерывного
линейного сечения Em: Ho(B%, V)->Hlu{Bn, V) отображения суэюе-
ния Н10(Вп, V)-*Hlo(Bn+, V).
Доказательство. Для заданного элемента feCoC+, V)
определим отображение E(f): Bn-+V как
fix),
Cj[xu .... дгп
k+i
хп), xa<0s
где числа Cm не зависят от / и выбраны так, что отображе-
отображение ?(/) является С^-гладким на Вп~х. Именно мы должны
так выбрать числа С,„, чтобы для любой функции f выполня-
выполнялись равенстза
и*

164
Р. Пале
для г = 0,1, ..., k. Так, разумеется, будет, если
;ш= 1, г, т = 0, 1, ..., k, (*)
2j
m=0
где arm = (— rn/(k +l))r. Но числа arm образуют матрицу Ван-
дермонда системы @, - l/(k+ 1), -2/(k+ 1), ..., -k/(k + 1)), и,
следовательно, по хорошо известной формуле определитель
этой матрицы равен
П {¦№+»¦
так что система уравнений (*) имеет единственное решение
(Со, Си ..., Ck). Тогда Е, определенное этим выбором чисел Cit
как легко видеть, является линейным отображением простран-
пространства Со(В%, V) в пространство Со(Вп, V); по определению
E{f)\B\ = f, т. е. Е является сечением отображения сужения.
Из определения отображения Е легко видеть, что для данного
/г-индекса а с |а|^А имеет место следующее равенство:
k
DaE(f)(x)= S (
если хп< 0, откуда легко следует, что если / — целое число и
0</<?, то ||| ?(f)|||;<const|| f||, и аналогично || ?"(/=) ||z =^
^const|| / ||г. Это дает существование отображений Е(п и Ещ. Су-
Существование отображения Ещ для вещественных значений
/, 0 ^ / ^ k, получается из основного интерполяционного свой-
свойства функтора квадратичной интерполяции.
Так как шар Вп вкладывается в фундаментальный куб
{x^R", — я ^xt < л}, то мы можем рассматривать Вп как под-
подмножество в торе Г". Более того, если /^Со°(б", V), то мы
можем рассматривать f как элемент из С°°{Тп, V), продолжая
его нулем на дополнении шара Вп. Назовем этот элемент f
каноническим отождествляющим отображением пространства
Со(вп, V) в пространство C^iT*, v). Из определений рас-
рассматриваемых норм немедленно вытекает, что это отображе-
отображение является изометрией пространства С^{Вп, V) как подпро-
подпространства пространства Со(Вп, V) (соответственно Но(Вп, V))
в пространство Ck(Tn, У) (соответственно Яо(Г", V)). Таким
образом, установлена
Теорема 3. Каноническое отождествляющее отобраосе-
ние Со°(бя, y)->C°°(Jn, У) продолжается до изометрии прост-
Гл. X. Непрерывные Соболевские цепи
165
ранства Со(Вп, V) в пространство Ck(Tn, V) и пространства
ЯоСв"' У) в Hk(Tn, V) для каждого целого неотрицательного
числа k.
§ 4. Теоремы Реллиха, Соболева и теорема сужения
В этом разделе М будет обозначать «-мерное компактное
многообразие (возможно, с краем) со строго положительной
гладкой мерой, | будет обозначать эрмитово векторное рас-
расслоение над М.
Пусть ер*: @i = R+(/= 1, ..., t) — карты многообразия М, та-
такие, что
где бГ/21 =j«sR" ', ||лг||<2-/". Выберем еще карты многообра-
многообразия М
Фг: ©i^R" (/ = /+1, ..., г)
так, чтобы
(•=.1 •
Пусть {Я,,,...,ХГ) естьС°°-разбйениеединицы многообразия М,
(носитель Xi)SфГ'(Вп), и пусть ци ..., \лг — такие С°°-веществен-
ные функции на многообразии М, что (носитель ц,-) s фГ1 (б")
и функция (хг тождественно равна единице на носителе Xt.
Пусть, наконец, i|32: 11<д{ ^ ©г X- V (i = 1 г) является С°°-три-
виализацией расслоения | \<д{, где V" — фиксированное эрмитово
векторное пространство.
Определение. Определим линейные отображения
Pl:C°°(Tn,V)^C°°(i) (i=l, 2, .... г). ,
), с помощью формул
Р:
зависящие только от (ф(-,
0,
P(gl gr) =
+¦¦¦+

166
Р. Пале
Теорема 1. Для каждого целого неотрицательного числа k
г
линейное отображение Р: ф (Тп, V) -* С°° (%) продолжается до
непрерывного линейного отображения
Р(щ: ®ск{тп, v)-*ck{t\
а также до непрерывного линейного отображения
Рщ: ®Hk{Tn, V)->Hk®.
Доказательство. Напомним, что имеются тривиализации
ф. /*(|)|©г^0гХ ф V вида jk(.f)P-+{Daf{c$i(p)%a]<k, где f =
= ty of оф-1. (см. § 2 гл. IX). Определения пространств С* (!)
и #*(!) (см. § 1, 2 гл. IX) показывают, что из существова-
существования Р@) и P[oi для расслоения /fe(i) и эрмитова пространства
© F следует существование Р«» и P[Oi для расслоения | и
эрмитова пространства V; поэтому можно положить k = 0.
Как легко видеть, достаточно проверить, что каждое из
отображений Pl: C°°(Tn, F) —* С°° A) продолжается до непрерыв-
непрерывного линейного отображения P(V С°(Тп, V)-> С0(g) и до непре-
непрерывного линейного отображения Рщ: Н^(тч, V)-> Н° (?). Далее,
если одно из i= 1, .. ., г временно фиксировано, то мы можем
легко построить эрмитову структуру на расслоении |, такую,
что (е, e')i = (i|)r-(е), ^(е')), если е, e'eg,., где х^ц>Г1 (Вп\ Мы
можем также построить такую строго положительную гладкую
меру на многообразии М, что [_?= | ^(фГ1 (лг))сГл:, если (носи-
м к"
тель g) ш (pf1 (Вп). Но тогда, как мы показали в § I, 2 гл. IX,
|||f |||0 = sup[|f(«)|| и !!f ||^= J || f(x) IP- допустимые нормы для про-
. м
странств С°(|) и 7/°(|) соответственно. Пользуясь этими нор-
нормами, мы имеем
III P'g Illo = sup | |x* (x) 11| g (Ф1 (*)) II < С HI g |||o,
II ^ ff Ho " j I l*t (ФГ' W ) P li Ж*) IP djc < C2 I! Sl\ %
где С — sup j fij (x) |. Это доказывает существование отображений
и
Гл. К. Непрерывные соболевские цепи
167
Теорема 2. Для каждого целого неотрицательного числа k
существует непрерывное линейное сечение
Yc«:
отображения Р№>: фС*(Гл, V)-»CA(|). Яры эгол мы можем вы-
г1
брать отображение Yw т-ол;, чтобы для каждого целого числа I,
0 ^ / ^ k, оно продолжалось до непрерывного линейного сече-
сечения ус. Cl(%)-+ ®С1{Тп, V) отображения Ри), а также до непре-
г
рывного линейного сечения уи]: Н'(?)-+ @Н1(Тп, V) отображе-
отображения Рц].
Доказательство. Пусть Е = ?№): СЪ(В+, V) -> Со(вп, V)-
отображение, указанное в теореме 2 § 3. Для заданного /еС* (|)
положим ft = \J, где \lt ..., kr — разбиение единицы на многооб-
многообразии М, выбранное ранее. Ясно, что ify °/. о'ф-'еС§E^, V),
i=l, ..., t, так что Е^о^оф^^еСо^". V). Кроме того,
° ft ° фГ
Г
). Воспользовавшись каноническим отож-
отождествлением пространства сЦвп, V) с подпространством про-
пространства Ck(Tn, V) (см. теорему 3 § 3), определим отображе-
отображение YW: /-*(Y{fc,(f) Ym(f)) из С*(g) в еСй(Г", V) по фор-
формулам У('Й)(/) = ?'(^О/;ОФГ1)> если 1<г> и Y(&)(/) = г|зг о^'ФГ1,
если i>t. Непрерывность соответствия f—>f{ = kif как отобра-
отображения Ck(l) в Ck (l) очевидна, а как отображения Hk Ц) в Я* (|)
следует из теоремы 9 гл. IX. Так как отображение фг является
диффеоморфизмом, а г|з,-— эквивалентностью расслоений, то оче-
очевидна непрерывность fi->$l°fi °ф~' и как отображения Ck (%)
в С*E", V), и как отображения Я*(|) в Hk(Bn+, V); непрерыв-
непрерывность же отображения Y(*j и непрерывная продолжимость Y(&)
до отображений yw и Yw теперь получается непосредственно
из теоремы 2 § 3. Наконец, если fe=Ck(?), то (носитель ylk (f)) s
s (носитель Xi); следовательно, так как (it- = 1 на носителе Х1г
то ^Y(ftj(/) = Y(ft)(/)- Таким образом,

168
Р. Пале
следовательно, PwV(k) (f) = /1 + • • • + U = (h + • • • + ^2) / = f, и
отображение Y(« оказывается сечением отображения P(k)-
Если/ —целое число, 0^l^.k, то отображение P(nY(«: С(|)->
-»Сг(?) непрерывно и является тождественным на плотном под-
подпространстве С* (|) и, следовательно, на всем С1 (?), т. е. y<«
является сечением отображения Рщ. Аналогично yw является
сечением отображения Рщ.
Следствие 1. Если I — вещественное число и О ^ / ^ k,
to P,k, продолжается до непрерывного линейного отображе-
отображения Рцу. (&Hl(Tn, V)-> Н1(Ё,), а отображение у[к] продолжается
до непрерывного линейного сечения ущ. Н1 (?)-> ®Н1(Тп, V)
i = l
отображения Рщ.
Доказательство. Так как пространство Яг(|) (соот-
(соответственно Н1 (Тп, V)), где / не является целым числом, полу-
получается квадратичной интерполяцией пространств #[г'(?) и
Я['1+1A) (соответственно Н^ЦТп, V) и H[t]+l(Tn, V)), то доста-
достаточно доказать утверждение теоремы для целых значений /.
Но этот случай совпадает с обеими предыдущими теоремами.
Следствие 2. Если I — целое число, 0^/^k, то y«)
изоморфно отображает пространство Cl(Q на замкнутое под-
подпространство пространства Q)Cl(Trl, V). Если I — вещественное
число, 0 ^ / ^ k, то у[ц изоморфно отображает пространство Н1 (|)
на замкнутое подпространство пространства @Н1{Тп, V).
Доказательство. Если у{1) (хт) сходятся к 0, то хт =
= РA)УA) (хт) тоже сходятся к 0. Следовательно, Y(» является
изоморфизмом „в". Следовательно, его образ является полным
и потому замкнутым в пространстве @С1{Тп, V). Аналогичное
доказательство проходит для yhi-
Замечание. Так как в пространствах @С1(Тп, V) и
@Н1{Тп, V) нормы заданы явно (см. § 2), то мы можем рас-
Гл. X. Непрерывные соболевские цепи
169
сматривать следствие 2 как задание нормы в пространствах
1
Теорема 3. Цепь {Hk
шкалой.
является цепью Реллиха и
Доказательство. Пусть / и m — вещественные числа,
0^/ </п. Выберем число k целым и больше числа т. Пусть
/- вложение Hm{l)-*Hl&), i - вложение Нт (Тп, V)->Hl{Tn, V).
Обозначим через г<г) индуцированное вложение фЯт(Г, У)->
(&Н1(Тп, V). Тогда мы получаем следующую диаграмму,
отображения Y[m] и Рщ в которой были определены в следст-
следствии 1:
(Г\ V)
я'й)?^ @н1(т\ v)
Как легко видеть, эта диаграмма коммутативна, так как
если f — точка подпространства Сй(|), плотного в пространстве
НтЦ), то
Puit(r)yim]f = Pwi(rL(k)f = Pvmuf = Ртчт!- = f = if-
Так как отображения yim] и Рщ непрерывны, в то время как
(см. следствие из теоремы 1 § 2) отображение i и, следова-
следовательно, отображение i(r) вполне непрерывны, то отображение j
вполне непрерывно, так что {Hk(?,)}k<=* является цепью Рел-
Реллиха.
Пусть теперь k > / — целые неотрицательные числа, 0 ^ s ^ 1
и m = k + s(l — k). Пространство @Hk(Ta, V) естественно изо*
так
морфно пространству Hk[Tn, ©V], поэтому по следствию из
теоремы 1 § 2 цепь \®Нк{Тп, V)\ оказывается шкалой,
что, в частности,
®HkCr, V), @Hl{Tn, V)\=®Hm{Tn, V).
-l ( = 1 / i = l

170
Р. Пале
Гл. X. Непрерывные сдболевсКие цепи
т
Так как отображения у[щ и P[k\ продолжаются до отображе-
отображений уц] и Р[ц, то из основного интерполяционного свойства
квадратичной интерполяции вытекает, что эти отображения
продолжаются до ум и Р{ту.
Qs(Hk(l), Я'(?))=±0 Нт(Т\ V).
у{тп) г'=-1
С другой стороны, мы имеем продолжения у[т] и Р(т] отобра-
отображений Y и Р:
и Р
ш:
Г, V).
р[т] 1 = 1
Если f принадлежит пространству //*(g), плотному в простран-
пространствах Нт{1) и Qs(Hkm, #'(!)), то P[m]ylm]f = P(k>y(k)f =>f; отсюда
следует, что Qs(Hk{l), Hl{Q) = Hm{%), так что по теореме 1
§ 4 гл. VIII мы получаем, что цепь {Нк(?)}ке.я является шкалой.
Следствие 1. Если Т е OPr_t (|, т]), го для каждого &gZ
отображение Т продолжается до вполне непрерывного отобра-
отображения пространства #*(g) в Нк~г (g).
Доказательство. Теорема 2 гл. VIII.
Следствие 2. ?слы 7"g OP_i(g, т]), го для каждого &eZ
отображение Т продолжается до вполне непрерывного отобра-
отображения НкЦ) в Hk(r\).
Теорема 4. (Соболев.) Если s — неотрицательное целое
число, I — вещественное число, /> l/2(dim M)+s, то Hl{%) s Cs'(g)
ы отображение вложения Я'(|)->С5(|) вполне непрерывно.
Доказательство. Напомним, что dim Л! = л, так что
t~>n/2 + s. Выберем целое положительное число k, большее
чем /, и пусть
i(r): ®Hl{Tn, V)-*eCs(Tn, V)
— вполне непрерывное отображение вложения (см. теорему 2 § 2),
Тогда имеется диаграмма
0 Н1(ТЯ, V)
i
(Г", I/)
l-i
где отображение / определено так, чтобы диаграмма была ком-
коммутативной, и, следовательно, / является вполне непрерывным.
Доказательство теоремы 3 показывает, что отображение у су-
сужается до тождественного отображения пространства Cfe(|), и
так как С*(|) плотно в пространстве Н1A), то доказательство
теоремы закончено.
Следствие. Я°° (|)=С°° (|). При этом на пространстве Н°° (g)
топология обратного предела ПтЯ6(|) совпадает с топологией
обратного предела lim Cft (|), г. е. является С°°-топологией.
Доказательство получается непосредственно из предыдущей
теоремы и теоремы 3 § 3 гл. IX.
Замечание. Отсюда следует, что мы можем рассматри-
рассматривать пространство Н~°° как предел limC~*(g), где С~*(|) —
пространство, антидвойственное к пространству Cfe(g). Другими
словами, Я~°°(§) является пространством „обобщенных сече-
сечений" расслоения §.
Далее мы не будем делать различия между пространствами
Я°°(|) и С°°(|), пользуясь обоими символами как взаимозаме-
взаимозаменяемыми.
Теорема 5. Пусть М есть п-мерное компактное С°° много-
многообразие с краем. Тогда существует п-мерное компактное
С°°-многообразие М* без края, содержащее М в качестве С°°-под-
многообразия и такое, что каждое векторное С°°-расслоение
над М является сужением векторного С°°-расслоения над М*.
Доказательство. Пусть М* — дубль многообразия М.
Дифференциальная структура многообразия М* определяется
явным заданием диффеоморфизма пространства дМ X [0, 1]
с некоторой окрестностью U многообразия дМ в М. Если g —
векторное расслоение над М, то по теореме о накрывающей
гомотопии расслоение 11 U эквивалентно (g \дМ) X [0, 1]; выбрав
как-то С°°-эквивалентность этих расслоений, определим струк-
структуру С°°-расслоения на дубле расслоения g, превратив его таким
образом в С°°-расслоение над М\ сужение которого на много-
многообразие М совпадает с расслоением |.
Теорема 6. Пусть N — компактное С°°-подмногообразие
многообразия М, имеющее ту же размерность, что и М. Ото-
Отображение сужения f->f\N пространства С°°(|) в пространство
С°° (g IM) продолжается до непрерывного линейного отображе-
отображения p(ft): Ck (g) -> Ck (g | N) при целом неотрицательном k и до

172
Р. Пале
непрерывного линейного отображения p[fej: Я*(|) -> Я*(| \N)
при каждом неотрицательном вещественном k. При этом если
k —целое неотрицательное число, то существует непрерывное
линейное сечение %(й): Cfc(g| JV)->C*(g) отображения pw, кото-
которое при каждом вещественном I с 0<Г / ^.k продолжается
до непрерывного линейного сечения %[г] отображения р.{] и, если
I — целое число, до непрерывного линейного сечения %A-) отобра-
отображения Ра).
Доказательство. Пользуясь теоремой 5, мы можем
предположить, что дМ = 0. Предположим, что ф? выбраны так,
что карты ц>{ | (@t П N), г=1, ..., г', образуют атлас многообра-
многообразия N и 0, Л N = 0, если i > г'. Пусть ~Pm: Ck (g | N) -> ф Ck (Tn, V)
Г'
и Y(*): ®Ck(Tn, V)->Ck(l\N) суть отображения, построенные
«=i
аналогично отображениям P(k) и y(k); тогда, обозначая через я
и г соответственно канонические проекцию и вложение, мы так
определим отображения р(А) и %<&), чтобы внешность и внутрен-
внутренность следующей диаграммы стали коммутативными:
Ck{l\N)
p(.k)
a, V)
ti
n\\i
)Ck(Tn, V)
To, что p(fe) — отображение сужения, легко следует из ра-
равенства ©г П W = 0, если г>г'. Из того, что отображения y(k),
i и Y<4) являются соответствующими сечениями для Р{к), л и Pw,
следует, что %w является сечением для отображения р(й).
Оставшиеся утверждения теоремы легко получаются из тео-
теоремы 2 и ее первого следствия.
Теорема 7. (Теорема сужения.) Пусть N —компакт-
—компактное С°°-под многообразие многообразия М, и пусть s =
= -^-(dimM — dim N). Тогда для каждого вещественного числа пг,
большего чем s, отображение сужения f-*f\ N из С°°(|) в С°°(| \N)
продолжается до непрерывного линейного отображения
р: Ят(|)->Ят~5(| |iV). При этом отображение р имеет непре-
непрерывное линейное сечение %: Hm~s {%\N)-> Hm (g) (эквивалентно:
p сюръективно).
Гл. X. Непрерывные Соболевские цеНи
173
Доказательство. Ввиду теорем 5 и 6 мы можем пред-
предположить, что дМ = 0 и что / = d\mN< dim M = л. Предполо-
Предположим, что карты ф?: @г-^ R" (i=l, ..., г) выбраны так, что
г'
(/= * + 1, ..., г') и ЛА <= (J ф,~'(В^), в то время как 6, (]N=0,
i — l
если i>r/.
г'
Определим отображение Р: ®С°°(Т1, V)->Coo(l\N) анало-
гично определению отображения Р в начале этого параграфа,
но с (ф?К©? П Ю, ^ | @* П Ю, Цг I Л^),_, ^ вместо (Ф,, ^, (*,),_,_ г;
пусть P(D и Рщ являются продолжениями отображений из тео-
теоремы 1. Аналогично пусть k — целое число, большее чем пг, и
пусть y(k): Ck(l\N)-> @Ck(Tl, 7)-с'ечение отображения Рш,
построенного аналогично отображению у<&) в теореме 2, но для
/= 1 г' и с сужением всего на N. Наконец, пусть отобра-
отображения р: Hm(Tn, V)->Hm~s(Tl, V)uX: Hm~s(Tl, V)->Hm{T\ V)
такие же, как в теореме 3 § 2. Тогда определяются отображе-
отображения р: Hm{l)->Hm-sH\N) и х: tfm~s(g \N)->Hm(g), делающие
коммутативными внутренность и внешность следующей диа-
диаграммы:
¦ [m]
ЯтG-«, К)
' (т1, v)
прк
Утверждение, что р|С°°(|) является отображением сужения
С°° (|) -» С (|| АО, следует из того, что &if\N = 0 при />/¦', и не-
непосредственного развертывания определений участвующих ото-
отображений, которое мы оставим читателю. С другой стороны,
тот факт, что y является сечением отображения р, формально
следует из того, что отображения y,m], Y[m-s] и ^г) являются
сечениями отображений Р(т), P[m-S\ и яр<г) соответственно.
В дальнейшем нам понадобится только следующий частный
случай.
Следствие. Отображение сужения f-+f\dM простран-
пространства С°°(!) в С°°A\дМ) продолжается до непрерывного линей-
линейного эпиморфизма

ГЛАВА XI
АЛГЕБРА СИНИ
Р. Пале
В этой главе под М мы будем понимать компактное С°°-много-
образие без края с фиксированной строго положительной глад-
гладкой мерой; g, г\, ? будут обозначать эрмитовы векторные рас-
расслоения над многообразием М.
В своей работе „Интегро-дифференциальные операторы на
векторных расслоениях", опубликованной в Trans. Amer. Math.
Soc.'), Сили построил для каждого целого числа k подпро-
подпространство IntA(|, tj) пространства OPk{%, ц) и некоторое линей-
линейное символ-отображение ок: IntA(|, r])-»SmblA(g, rj) со следую-
следующими свойствами:
E1) O.Pfc_,(g, г]) содержится в IntA(g, т]) и совпадает с ядром
отображения ак;
E2) Diffft (|, Tj) s IntA (|, Tj) при &:>0, и символ-отображе-
символ-отображение ак пространства Int^(|, ц) продолжает символ-отображение
пространства Diff/?(?, ц), определенное в гл. IV;
E3) если rslntft(l, ц) и Seiner,, ?), то ST <=Intk+l(%, ц)
и GА+<EГ) = аг{5)G«(Г);
E4) если Т принадлежит Intfe(g, ц), то его транспонирован-
транспонированный Т' (который существует и принадлежит ОРк(ц, |) по тео-
теореме 4 гл. VIII) принадлежит Intfe(|, ц) и ак(Т1) = ( — [)к ок{Т)*\
E5) существует отображение %к: Smblfe(g, T])-»Int&(|, ц) (не-
(неканоническое), которое является правым обратным для отобра-
отображения ак. При этом % есть непрерывное отображение простран-
пространства Smblfe(S, г}) (с С°°-топологией) в пространство Intfe(g, ц)
(с топологией, индуцированной из пространства OPk{%, л)); см.
определение, следующее за теоремой 1 гл. VIII.
Необходимо заметить, что отображение ак не является не-
непрерывным, и, действительно, легко показать, что его ядро
О/Эл_1(|, г]) не замкнуто в пространстве OPk(g, tj).
Дополнительно имеется шестое свойство (S6), которое будет
введено в § 4 гл. XIV. Построение пространства Intft(|, ц),
отображений ак, %к и проверка свойств (SI) —(S6) будут осу-
осуществлены в гл. XVI. Однако в гл. XVI мы не будем ссылаться
Гл. XI. Алгебра Сили
175
на материал предшествующих ей глав, так что при желании
можно читать гл. XVI начиная с этого места. В настоящей
главе и в главах, непосредственно за ней следующих, мы вы-
выведем основные следствия свойств (SI) —(S6).
Определение. Int (g, tj) = (J lntk (g, tj).
Sez
Теорема 1. Int(g, л) = (J OJ>»(g, ti).
Доказательство Intft s OPk s OPk+i.
Теорема 2. Если Тs Int(g, ц), то существует единствен-
единственное непрерывное продолжение Т: Н~°° (|) -> Н~°° (ц) оператора Т.
Это отображение Т является линейным, как и соответствие
Т^Т. Если Sslnt(ti, 5). то STe= Int (g, Z) « ST = ST. Если
/|SDiffo(E, |) ^ Into (|, |) s Int (|, |) является тождественным
отображением пространства Я°°(|), то 1% является тождествен-
тождественным отображением пространства #"~°°(g). Наконец, если
Т е ОРк(?„ г]), то Т \НГ(Ё>)=ТГ для всех reZ и, в частности,
Доказательство. По теореме 1 T s OPfe(?, т]) для неко-
некоторого feeZ. Тогда оператор Г продолжается единственным
образом до непрерывного линейного отображения Тг: Яг(|) —>
-> Яг~* (л) для каждого reZa 7r+J = Тг |Я'"+1(|). Непрерыв-
Непрерывность отображения Т: \JTT:' Н~°°(^)—>Н~°°(ц) получается не-
г
медленно из равенства Н~°°(Q = lim Н~г (%)¦ Единственность ото-
отображения Т получается из плотности пространства Я°° (|)
в каждом пространстве Яг (|), следовательно, и в Я~°°(|);
остальные утверждения тривиально вытекают из единствен-
единственности Т.
Теорема 3. (Точная последовательность сим-
символов.) Последовательность
') Русский перевод этой статьи см. в сб. Математика, 11:2 A967),
57 — 97, — Прим. перге.
является точной.
Доказательство получается немедленно из свойств
(S1) и (S5).
Замечание. Сравните с теоремой 3 § 3 гл, IV.

176
Р. Пале
Определение. Элемент а из Smblft(g, ц) называется
эллиптическим, если a(v, х) изоморфно отображает %,х на цх
для всех (v, ^)еГ'(М), т. е. если о <^ Iso (л.% я*г]). Оператор
Т е IntA (|, т]) называется эллиптическим оператором порядка k,
если символ ok(T) эллиптичен. Будем обозначать множество
таких операторов через ?& (g, ц). С помощью (S2) мы видим,
что Ей (I, л) Л Dlff A (g, ц) является в точности множеством эллип-
эллиптических дифференциальных операторов порядка k, действую-
действующих из расслоения % в расслоение ц (см. § 3 гл. IV).
Лемма. Если элемент crs Smbl^(g, r\) эллиптический, то
отображение о~\ определенное формулой a~l(v, x)=--a(v, x)~\
принадлежит Smbl_ft(T], |) и является эллиптическим символом.
Доказательство. Если /(я*|, я*т]) — открытое подмноже-
подмножество в пространстве L (я*|, п*ц), слой которого над (v, х) состоит
из всех линейных изоморфизмов %х на цх, то отображение е—>е~\
как легко видеть, является С°°-диффеоморфизмом /(я*|, л*ц) на
7(я*т1, я*|). Так как cr<= Iso (л*|, л'ц) = С°° (/(я*|, я*^)), то отсюда
что о-1 е= С°°(/(я*ть я*'|)) = Iso(ji4 п{)'.' Так
й( )
как
является
следует „ % „ .. =// „_ ч„ .„ .. ъ/. *^ «с,.
a(pv, x) = pka(v, x) при р>0, то отсюда вытекает, что a'1 (pv, x) =
= (pko(v, x))~l = p~ko~l (v, х); следовательно, а~1
эллиптическим элементом пространства Smbl_fe(T), g]
Теорема 4. Если Т е ?A (g, т]), го существует такси опе-
оператор Т' е ?_a(ti, |), что а_к(Т') = о!г(Т)~1, и всякий оператор V
рр к(ц, |), что о_к(Т) о!г(Т), и вся
удовлетворяет следующим условиям: Т'Т — /|
ГГ^еОР.,^, л)-
рр
О/)_1 (|, |) и
Доказательство. По лемме и теореме 3 мы можем найти
оператор Г'е?_А(т], |), такой, что a_k(T')(v, x) = ok(T)(v, x)~\
Тогда ввиду условия (S3) имеем Т'Т е= О/>0(|, |), ГГе OP0(ri, t])
исто(ГЛ = ог0(/|), СТо(ГИ = ого(/11)- Отсюда по теореме 3 T'T-he=
.,fe ?) и ГГ-^еОР.,^ л)-
Теорема 5. (Теорем а регуля рн о с ти.) Пусть
Если f€=#-°°(g) и Г/еЯг(л), го f+k
Hr+k{%).
Доказательство. По определению #~°°(g) = (J#m (^>
так что f e Hm (|) для некоторого m e Z. По индукции доста-
достаточно будет доказать, что т<г + &==>/е Ят+1 (|). Заметим, что
так как m+l<r + ?, то Яг+&(|) <= Нт+ХЦ). Выберем по тео-
теореме 4 такой оператор 7" е ?_ft (r^, |), что ГТ —7|S OP_,(|, |).
Тогда по теореме 2 так как /е=Ят(|), то f'Tf-f =
л. X/. Алгебра С или
177
= G"Г —7|)/еЯт+1(|). С другой стороны, так как 7"<=0/>_ft (т], g)
и Г/ еЯг(т]) по предположению, то по теореме 2 мы получаем
ffe Я
г+А
s Я
т+1
Следовательно, / = T'Tf - {f'ff - /)
Следствие 1. ?с./ш Tfe5H°°(r)), то /еЯ°°(§). Другими
словами, если отображение Tr: H''(|)-> Яг~А(л) является непре-
непрерывным продолжением оператора Т, то Тг {Нт (|)) П Я°° (ri) =
7(Я°°(|))
Следствие 2. ?с./ш Tf = O, то /еЯм(|). Другими сло-
словами, если отображение Тг: Нт {%)—>fir~"{r\) является непрерыв-
непрерывным продолжением оператора Т, то ker 7r = ker Г-.
Теорема 6. Если Т е Z?fe (g, л), го для каждого целого
г непрерывное линейное продолжение Тг: Нг (|)-> ЯГ~* (л)
оператора Т является F-оператором.
Доказательство. Выберем по теореме 4 такой оператор
Г е= ?_fc (л, I), что Г'Г - /6 е= ОР_, (g, g) и ГГ - /„ е= ОР_, (ч> ч).
Тогда по следствию 2 теоремы 3 § 4 гл. X оператор T'r-zTr — Ii
является вполне непрерывным отображением пространства Яг(|)
в себя и аналогично оператор ТГТ'Г--К — 7Л является вполне не-
непрерывным отображением пространства Я "(л) в себя, откуда
оператор Тг является ^-оператором (см. теорему 2 гл. VII).
Следствие. Пространство Г(Я°°(|)) является замкнутым
подпространством пространства Я°° (л), пространство ker T
является конечномерным замкнутым подпространством про-
пространства Я°°(|).
Доказательство непосредственно вытекает из след-
следствий I и 2 из теоремы 5 и из того, что топология пространства
Я°° (|) = Hm Hk (|) сильнее индуцированной из любого Hr(Q.
Теорема 7. Если Т <^Ek (|, л), го Р е ?А (т], |). Яри этол
пространство ker Г' является конечномерным замкнутым под-
подпространством пространства Н°° (ц), дополнительным к подпро-
подпространству Т(Н°°A)); фактически подпространства 7(Я°°(|)) и
ker 71' являются ортогональными дополнениями друг к другу
в пространстве Я°° (л) относительно скалярного произведения
в пространстве Я0 (л).
Доказательство. Если (v, i)er (M), то так как отобра-
отображение ak{T)(v, x) является изоморфизмом между пространствами
12 Р. Пале

178
Р. Пале
\х и г\х, то по свойству (S4) отображение ak (Т() (v, х) =
= (— \)kak(T)(v, xf является изоморфизмом между простран-
пространствами Лл- и 1Х, так что V е= Ek {r\, |). Если g = Tf е= Т(Я00'(?))
иАекегг', то <#, А)„ = (Г/, А)„ = (/, Г'АN = 0, так что простран-
пространства Г(Я°°(|)) и ker Г' являются ортогональными относительно
скалярного произведения ( , )Т). Если (Г)о: Я0(л)-*Я~*(|) — не-
непрерывное продолжение оператора Т', то по следствию 2 из
теоремы 5 ker Т' = ker (г')о является замкнутым подпростран-
подпространством пространства Я°(т]) и, следовательно, существует орто-
ортогональная проекция Р: Н°(л) -> ker T'. Если ^еЯю(г]), то
Pg е= ker Г' <= Я°°(л), откуда h = g-Pg<= Я°°(л). Остается только
показать, что АеГ(Я°°(|)). По теореме 6 пространство
(Г')о(Я°(т))) является замкнутым в пространстве Н~а(%), откуда
по теореме 10 гл. VI пространство {Tk)*Q(Hk{l)) является орто-
ортогональным дополнением к пространству кег(Г*H, или по след-
следствию 2 из теоремы 5 оно является ортогональным дополне-
дополнением к пространству ker Т* в пространстве Н°(ц). Но по тео-
теореме 4 гл. VIII оператор (Tt)*0 = Tk является непрерывным про-
продолжением оператора Т до отображения Яй(|)-»Я0(т)). Окон-
Окончательно мы получаем ГА (Я* (!)) = (ker P)x. Теперь поскольку
A = fiT-Pfirs(kerr')i и As Я" (л), то h s ГА (Я* (|)) П Я°° (л),
или /z e Г(Я°°(|)) по следствию 1 из теоремы 5.
Теорема 8. ?слы Ге?4(|, л), го следующие целые числа
равны между собой:
1) indGV), где Тт: Hr(E,)-+Hr~k(r\) —единственное непрерыв-
непрерывное продолжение оператора Т (это по теореме 6 F-оператор);
2) dim ker Г-dim ker Г';
3) dim ker 7 - dim coker Г.
Доказательство. По определению ind (Г,) = dim ker Tr —
— dim ker (Tr)*. По следствию 2 из теоремы 5 ker Tr = ker Г, и
так как (ТГУ = (Г'),-* по теореме 4 гл. VIII, то кег(Гг)* =
= ker (Ть) опять-таки по следствию 2 из теоремы 5. Наконец,
по теореме 7 пространство кегГ' является дополнительным под-~
пространством к подпространству Г(Я°°(|)) в пространстве Я°°(г\),
так что dim coker T = dim ker T*.
Определение. Если Т е Ek%{%, л), то целое число, опре-
определенное любым из выражений теоремы 8, называется индек-
индексом оператора Т и цбозначается ind (T),
Гл. XI. Алгебра Сили
179
Теорема 9. Если Ге^^г]), то ind (Г') = ~ ind (Г).
Доказательство тривиально.
Следствие. Если Ге?4(^^) и Т* = \Т для некоторого
числа IgC, го |Я|=1 и indG) = 0.
Доказательство. Действительно, Т = (Т*)' = XT' = | А,21 Т.
Так как оператор Т, будучи эллиптическим, не равен нулю,
то | А, | = 1. Кроме того, ker XT = ker T и coker XT = coker T, откуда
ind(r) = ind (XT) = ind (Tl) = - ind (Г).
Теорема 10. Если Т, Г<= Ek&, л) « ok(T) = ok(T'), то
ind (Г) = ind (ГО.
Доказательство. По теореме 3 имеем 7" — Г'е
е OPb_i(E, л), откуда ввиду следствия 1 из теоремы 3 § 4 гл. X
оператор Тг — 7"': Яг(|)-»Яг~^(л) вполне непрерывен. Тогда
(см. следствие из теоремы 4 гл. VII) ind(rr) = ind(r'), так что
ind G) = ind (Г).
Теорема 11. Если Т?=ЕкA,ц) и S<=Ei(r\,?), то ST е
) dE) d()
Доказательство. Очевидно, что оператор ST принад-
принадлежит ' Ek+i(%, О (см- (S3)). Для каждого числа гё2 если опера-
операторы Тг: Hr(l)->Hr-kD), 5r_fe: Hr~k(n)->Hr-k-'(O,(ST)r: Hr&)-^
->ЯГ й~?(?) являются непрерывными продолжениями операто-
операторов Т, S и S7\ то EГ)Г = Sr~kTn откуда (см. теорему 3 гл. VIII)
ind (ST)r = ind (Sr-k) + ind (Tr); следовательно, ind (ST) = ind (S) +
+ ind(r).
Теорема 12. Пусть T^Ek(%,^\}^ u предположим, что
ind (T) = 0 и ker 7 = 0. Тогда оператор Т: Я°° (|) -> Я°° (л) является
l (!) 1
биективным. Более того, T
л)
_fe (л, |) ы (Т-^ (г~!) =
Яры эго.и оператор Тт: Яг (|) -> ЯГТЙ (л) является изоморфизмом.
топологических пространств для всех г <= Z.
Доказательство. Так как ind (Г) = 0 и ker Г = 0, то
ker Ть = 0, так что сюръективность оператора Г следует из тео-
теоремы 7. Так как ker Тт = ker T = 0 (следствие 2 из теоремы 5)
и ind (Tr) = ind (Г) =«= 0, то оператор Гг тоже биективен и, следо-
следовательно (см. теорему 1 гл. IV), является изоморфизмом топо-
топологических векторных пространств. Таким образом, оператор 7\~
является непрерывным продолжением оператора Т~1 до ото-
отображения пространства Нг~я(г\) в пространство Я'(|); отсюда

!80
P. Пале
следует, что Т ' s OP_A (ц, |). Как в теореме 4, выберем опе-
оператор Г'е if_fe(r], I) с символом ог_А(Г/) = огА(Г)""', так что
ГТ —/|SO/'_i(|, |). Для доказательства того, чтоТ~1 ^Е_к(ц,%)
и (T_fe(^"') = ak{T)~l, достаточно по теореме 3 проверить, что
= Г' —Г
и так как 5Г = Т'Т —
OP_i_, (г),|). Представим оператор S ввидеEГ)Г~',
х
в то время как Т
~х
h , (| |), р Т
eOP_4(i], |), то теорема 3 гл. VIII завершает доказательство.
Теорема 13. Предположим, что а е Smbli (|, |) является
эллиптическим символом и удовлетворяет условию а* = ст. Тогда
существует такой оператор Л е if] (|, g), чго
1) сг(Л) = сг;
2) Л' = - Л;
(|, |), ind (Л*) = 0
3) Л — биективный оператор; Л
ок(Лй) = сг* для всех feeZ;
4) оператор (Л*)г: ЯГ(|)-*ЯГ~А(|) является изоморфизмом
топологических векторных пространств для всех k, rsZ;
5) отображение Т -> ГЛ* является (линейным) биективным
соответствием между пространствами Into(|, т]) и IntA(|, т]) ы
между пространством Ео (I, ц) и пространством Ек (|, х\) для всех
k<=Z. Более того, если Т е= ?„(?, т]), ro ind(rAA) = ind (Г).
Доказательство. По теореме 3 существует оператор
Se?i(U) c orI(S) = or. Пусть A0 = y(S-SO- Тогда ясно, что
Лп = - Л? и а, (Ло) = у (a, (S) - a, (S')) = j (о - (- о)) = ст. Так как
пространство #°(|) сепарабельно, то оператор Aq имеет не более
чем счетное число собственных значений; следовательно, мы
можем выбрать такое чисто мнимое число Я, что оператор
Ло — Я/j = Л имеет нулевое ядро. По теореме 3 (так как Я/| е
е= OP0(S. Ю) оператор Л принадлежит Ех (|, |) и ст1(Л) = ст1(Л0) = ст.
Так как число Я, чисто мнимое, то (XIiY = — (Я,/|), откуда
Л'= —Л. Тогда по следствию из теоремы 9 ind(A) = 0, и так
как кегЛ = 0, то оператор Л биективен, Л~! s E_l (|, |) и
ог_1(Л~') = ог~' п0 теореме 12. В силу теоремы II Л*е?й(?, |)
и ind(AA) = 0 для всех А е Z, и по свойству (S3) имеем a^(Afe) = orfe.
Так как кегЛ = 0, то кегЛА = 0, и по теореме 12 оператор
(Лв)г: Яг(|)-> Hr~a{Q является изоморфизмом топологических
векторных пространств для всех k, reZ. Наконец, ввиду (S3)
отображение Т -> ТЛк является отображением (очевидно, линей-
линейным) пространства Into(|, ц) в Intfe(g, ц), а отображение S->SA~k
Гл. XI. Алгебра Сила
181
является его двусторонним обратным. По теореме II Т^Ей(?„ ц)
тогда и только тогда, когда TAk e Ek (|, tj) и, кроме того,
ind(fAft) = ind (Г) + ind (Л*) = ind (Г).
Теорема 14. Пусть Se?A(|, g), k^=0, и предположим,
что S = S*. Тогда существует ортонормалъный базис {/„} лро-
странства Я°(|), состоящий из собственных векторов оператора S
(в частности, /П^Я°°(|)); соответствующие собственные значе-
значения {Хп} вещественны, Хп—>0, если k<0, и А,^'-»0, если k>0.
Если /еЯ~°°(|), то /еЯ4г(^) тогда и только тогда, когда
kerS = 0, го
является допустимым скалярным произведением в пространстве
Доказательство. Мы предположим сначала, что kerS = 0
Если k<0, то (см. следствие 2 из теоремы 3 § 4 гл. X) опе-
оператор 5 можно продолжить до вполне непрерывного отобра-
отображения S: Я°(|)-»Я°(|). Так как пространство Я°°(?) плотно
в пространстве Я°(|) и
(Sf, gh = (Sf, g)l = </, S'fir>6 = (/, 5g>e = (f, ~Sgh
для f, g s Я°° (|), то отсюда следует, что оператор § является
самосопряженным. По следствию из теоремы 16 гл. VI суще-
существует последовательность {Хп} вещественных чисел и ортонор-
мальный базис {fn} пространства Я°(|), такие, что Sfn = Xnfn и
Яя-»0. Так как kerS = 0, то kerS = 0 (см. следствие 2 из тео-
теоремы 5), следовательно, Хп ф 0 и fn = (Я,„)~' 5/„. Тогда по индук-
индукции fn^H'^H) для /л>0, и так как?<0, то/^Г^
откуда 5/„ = SjFn = Я„/я. Теперь 5'е ?"йг (|, |), и отображение
EГ)&Г: ЯАг(|) ->Я°(|) является изоморфизмом топологических
векторных пространств по теореме 12 (см. также следствие из
теоремы 9). Отсюда (/, g)kr = ({Sr)kr f, (Sr)krg)i является допусти-
допустимым скалярным произведением в пространстве Нкг{%). Но так как
элементы /„ образуют ортонормальный базис в пространстве
НЩ), то
(/. g)kr = S <{s\r f, Mi ((sr)kr g, Mi-

182
Р. Пале
Тогда по теореме 4 гл. VIII ((Sr)kr f, fn)h = (f, (Sr)l fn)i -
- <f, ((Sr)')o fn),- Далее, (SrY = (S')r - Sr, и так как /„ э Я°° (I),
то (S0ofJ, = Sr/n = Ag2L откуда <(Sr)*, f, fn\ = К (f, L\ и (/, g\r =
= 2 I К l2r (ь /»>6 <ff, /«>r Если ?>0, то по теореме 12 S e=
e ?_й (|, |) и —& <0. Так как собственный вектор оператора S~\
соответствующий собственному значению X, является собствен-
собственным вектором оператора 5 с собственным значением А,, то
случай k>0 тривиально получается из случая k<0. Пусть,
наконец, ker 5 не обязательно нулевое пространство. В этом
случае ker 5 является конечномерным подпространством про-
пространства Я°° (|). Пусть Р — ортогональная проекция простран-
пространства Я°(|) на ker S, суженная на Я°°(|). Если {еи ..., еп] —
п
ортонормальиый базис в пространстве kerS, то Pf= 2 (f>^m\^/ra-
m=l
Для заданных /, q e
мы имеем ет <
#"'(!) и е„
так что отображение f —> 2 (f> ^m)tem является непрерывным
продолжением проекции Р до отображения Hl(t,)—>Hl~9'A).
Отсюда следует, что PeOP^d, |) для всех </е2 и, в част-
частности, для q = k—\. По теореме 3 5, = S + Р е Ek{%, |), и так
как S = S', то из теоремы 7 следует, что ker Si = 0, а для такого
оператора 5i теорема уже доказана. С другой стороны, опера-
оператор S получается из оператора S, заменой некоторого конеч-
конечного числа собственных векторов с собственными значениями
единица на собственные векторы с собственным значением нуль,
так что теорема справедлива и для оператора 5.
Следствие. Пусть 5е?ь(^, ц), где &>0. Тогда в про-
пространстве Я°(§) существует ортонормальный базис {fn}, соста-
составленный из собственных векторов оператора SlS. Соответствую-
Соответствующие собственные значения {Л„} неотрицательны и Хп—> °о. Кроме
того, для каждого reZ элементы. (\ + Хп)~т fn образуют пол-
полный ортонормальный базис относительно некоторого допусти-
допустимого скалярного произведения в пространстве Hkr (|).
Доказательство. S'Se^fel) п° теоремам 7 и И и
(S'Sf = S'S'* = S'S, так что существование элементов fn по-
получается немедленно из предыдущей теоремы. Кроме того,
(Sfa, Sfn\ = {S'Sfn, fn)i = Xn (fn, fa)v откуда Я„> 0. Так как k > 0,
то / = /?е ОР0(|, !)sOPi,_i(§, |), откуда по теореме 3
Т = (S'5 + /) €= E2-t (I, I). Более того, если Tf = 0, то 0 == (Tf, fM =
Гл. Л7. Алгебра С или
183
= (S/, S/>4+ <f, f\; следовательно, <f, />g =0, так что f = 0 т е
rrJj°№Ta« иГТ'/ = П T! ind(r) = 0' Т°ГДа по-Реме" 12
i ^ ^2Аг(ё. ёЛ и (У )а изоморфно отображает пространство Hkr(P\
на пространство Я ^(|) = Я^A)* для всех rsZ. Отсюда еле
дует, что скалярное произведение (f, g)kr = ((r)krf, g) опреде-
определяет невырожденное билинейное спаривание пространства Hkr(t)
с самим собой. Из предыдущей теоремы вытекает что линей
ные комбинации элементов /„ плотны в #'(|) для произвольно
больших чисел /, следовательно они плотны и в? простран"
стве Я (|). Более того, так как (Г\гf„ = Trf =П+Л 7f
отсюда ^следует, что (/..^-(WX?. тЙ ^^еЬнй
AiJ"J /» ортонормальны относительно скалярного произ-
произведения ( , )kr. Следовательно, ( , )kr является допустимым
скалярным произведением в пространстве Hkr Ц), и элементы
A+AJ /„ образуют ортонормальный базис.

ГЛАВА XII
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
ИНДЕКСА
Р. Пале
В этой главе предполагается, что М является компактным
римановым многообразием без края, и с помощью этой рима-
новой структуры пространство Т (М) канонически отожде-
отождествляется с пространством Т* (М). Обозначим через 5 (М) рас-
расслоение единичных сфер, ассоциированное с расслоением Т (М).
Как и всегда, |, ц, Z являются эрмитовыми векторными рас-
расслоениями над М; через | обозначается сужение расслоения я*|
над Т (М) на пространство S(M), аналогично определяются fj и ?.
Элемент а из Smbli(g, |), определяемый как a(v, х) е = || v \\е,
является эллиптическим и удовлетворяет равенству а* — а. От-
Отсюда следует (см. теорему 13 гл. XI)
Теорема 1. Существует такой оператор А е ?, (|, |), что:
1) отображение А биективно и Ak ^ Е-а(%, |) для всех 4eZ;
2) ок (Ak) (v, x)e = \\v \f e, где ke=Z;
3) если ТеЕк{Ъ,ц), то TA~k s ?0(|, ц) и ind(TA~k) = ind (Г).
Теорема 2. Отображение а-*-о, определяемое формулой
5 = а | 5 (М), является биективным отображением пространства
Smblid;, 11) «а Hom(|, fj) <Эля каждого ^eZ; обратное отобра-
отображение задается равенством о (v, x) = \\v \\k olj^-j , х). При
этом символ сг е= Smblfe(|, т]) является эллиптическим тогда и
только тогда, когда о е Iso (|, fj).
Доказательство следует непосредственно из опреде-
определений.
Определение. Определим отображение дк: Intfe(g. r\)->
->Hom(l, fj) формулой ak{T) = ak{T)\S{M). Заметим, что ото-
отображение &k является, как легко видеть, линейным и что если
Se=Int,(Ti, g), ;re=Intft(g, ц), то ol+k(ST) = al{S)ak{T) {см. свой-
свойство (S3) гл. XI). Далее, по теореме 3 гл. XI и вышеприведен-
вышеприведенной теореме 1 последовательность
(S, Ц)
Hom(|,
Гл. XII. Гомотопическая инвариантность индекса
185
Лемма.
, то Ек&, r])UEi(l, т))=
Доказательство. Предположим, что &>/. Если
Те Et(l, П), то, поскольку ?2 (|, r\)slntk_xd, ц), символ
ak{T) равен 0 по теореме 3 гл. XI, так что ТфЕк{1, ц).
Определение. Определим множество Е(|, ц) эллипти-
эллиптических операторов, действующих из расслоения | в расслое*
ние ц, положив Е(I, ц)= {J ?*(?> л)- -?'с-/гм Ге?(|, tj), то мы
ft ez
определим порядок k оператора Т как такое целое число (един-
(единственное по лемме), что Т^ЕкA, т]). Определим суоюенное сим-
символ-отображение 2: ?(|, t])-»Iso(|, fj) по формуле 2 (Г) = ак{Т),
где k — порядок оператора Т.
Замечание. Заметим, что если Ге?(|, ц) и S^E(r\, ?)
имеют порядки k и / соответственно, то (см. теорему II гл. XI)
ST — эллиптический оператор порядка k + l, так что 2(Sf) =
= дк+1 (ST) = at (S) ak (T) = 2 (S) 2 (Г).
Лемма 1. Если оператор Ле?](|, |) удовлетворяет уело,
виям теоремы 1, го 2 (Л*) является тождественным автомор-
автоморфизмом расслоения | для всех 4eZ; следовательно, если
Ге?(|, ti), ro А *
является точной. Наконец, из теоремы 1 следует, что Ts.Ek (|, rj)
тогда и только тогда, когда стА(Г)е Iso(|, fj).
Доказательство. Если (v, Jt)e5 (М), то || v || = 1, так что
2(ЛА)(п, х)е = 0А(Л*)(г;) x)e = ok(Ak)(v, x)e = \\v f e = е.
Пусть теперь L.(|, r\) обозначает, как обычно, комплексное
векторное расслоение над пространством S(M), слоем которого
над точкой (v, x) является пространство всех линейных отобра-
отображений пространства \х в пространство г\х. Пусть 7(|, fj) обо-
обозначает открытое подмножество в пространстве L (|, f)), слоем
которого над точкой (v, x) является пространство всех изомор-
изоморфизмов слоя %х в пространство цх (пространство / (|, fj) является
С°°-расслоением над S{M), но не является векторным расслое-
расслоением; оно пусто, если dimi^ilimri). Напомним, что простран-
пространство Нот (|, fj) естественно изоморфно C°°(L(l, fj)); аналогично
Iso(|, fj) естественно изоморфно множеству С°°(/(|, fj)) C°°-ce-
чений пространства / (|, fj).
Определение. Пусть /г^е Iso(|, fj), 0^^^ 1. Если ото-
отображение h: S(M)X[0, 1]—>/(|, fj), определенное формулой
h((v, x), t) = ht(v, x), является С°°-гладким, то назовем {ht} ре-
регулярной С°°-гомотопией отображения 1г0 в отображение /г, и
будем говорить, что отображения h0 и hx являются регулярно
С0"-гомотопными.

P. Пале
Лемма 2. Пусть S, T^Ebil, ц), и предположим, что ото-
отображения 2 E) и 2 (Г) регулярно С°°-гомотопны. Тогда ind (S) =
= ind(r).
Доказательство. Пусть {/ij — регулярная гомотопия
между отображениями 2E) и 2 (Г); для каждого t^[0, 1] опре-
определим (см. теорему 2) Н, е= Smbl0 (g, л) формулой Ht (v, х) =
= К (iiljj-, х), так что #o = MS)> H1=a0(T). Тогда ((и, jc), /)->
->Ht(v, х) является С°°-отображением из Г'(М) X [0, 1] в
пространство L (л% я*т]), откуда следует, что t -> Ht яв-
является непрерывной кривой в пространстве Smblo(g, ц), когда
последнее рассматривается с С°°-топологией. Тогда если
%о: Smblo(|, T])-»Into(|, *n) — отображение из (S5) в начале
гл. XI, то отображение t—>%o(Ht) определяет непрерывную кри-
кривую в пространстве ОР0(|, ц); следовательно, *-»-Хо(#Д> яв-
является непрерывной кривой в пространстве L(H°(Q, H°(r\)) по
определению топологии в ОР0(%, ц). Так как каждое ht принад-
принадлежит Iso(|, fj), то по теореме 2 каждое Ht является эллипти-
эллиптическим символом из пространства Smblo(g, ц), так что каждое
отображение &>(#/) принадлежит Е0Ц, г)). Следовательно (см.
теорему 6 гл. XI), каждый оператор %o(Ht)o является F-onepa-
тором и (см. теорему 4 гл. VII) ind(xo(tfo)o) = ind(xo(#i)o); сле-
следовательно, ind(&,(#o)) = ind(xo(tfi)). Ho(r0(xo(#o)) = tf0=(ro(S),
ого(Хо(Я1)) = Я1 = ог0(Г), откуда по теореме 10 гл. XI
ind E) = ind (хо (Но)) = ind (Хо (Я,)) = ind (T).
Теорема 3. Пусть S, Т<= Е(|, ц), и предположим, что ото-
отображения 2E) и 2 (Г) регулярно С™-гомотопны. Тогда ind (S) =
= ind (Г).
Доказательство. Выберем оператор Ae?,g, |), удо-
удовлетворяющий условиям теоремы 1, и пусть 5 и Г —операторы
порядков / и k соответственно. Тогда операторы SA~l и ТЛ~к
принадлежат ?0(|, ц) и 2(SA~') = S(S), 2(ГЛ"А) = 2(Г) по
лемме 1; следовательно, по лемме 2 ind(SA~') = md(TA~k). Но
из утверждения 3) теоремы 1 вытекает, что ind(SA~/) = ind(S),
ind(rA~*) = ind(r). Доказательство закончено.
Как в § 1 гл. IX, превратим пространство C°(L(|, rj)) не- .
прерывных сечений расслоения L (|, fj) в банахово простран-
пространство с компактно-открытой топологией. Конечно, пространство
С0 (Mil ц)) можно отождествить естественным образом с про-
пространством непрерывных морфизмов из расслоения | в расслое-
расслоение fj, а пространство Mom (| fj) = C°°(L(|, fj)) является плот-
плотным линейным подпространством в пространстве C0(L(|, fj)).
Гл. XII. Гомотопическая инвариантность индекса
187
Аналогично пространство С°(/(|, fj)) непрерывных сечений рас-
расслоения /(|, fj) естественно изоморфно пространству всех не-
непрерывных изоморфизмов векторных расслоений | и fj. Так как
пространство 1A, fj) открыто в L (|, fj), то пространство
С°(/(|, fj)) является открытым подпространством в C°(L(|, fj));
следовательно, пространство Iso(|, fj) = Hom(f, fj)DC0(/(|) rj))
плотно в пространстве С0AA, fj)).
Определение. Обозначим через Д(|, ц) множество ком-
компонент линейной связности пространства C°(I(%, fj)). Если
cre=C°(/(|, fj)), то обозначим через [а] ту компоненту линейной
связности, к которой принадлежит элемент а. Если [а] = [ог],
то мы. говорим, что отображения а и а' гомотопны. Определим
отображение б: Е(%, ц)->А(^, ц) формулой б (Г) = [2 (Г)].
Лемма. Отображение а -> [а] пространства Iso (|, fj) в А (|, ц)
сюръективно. При этом если ай и <TiSlso(|, fj) гомотопны (т. е.
если [о0] = [<*i]), то они регулярно С00-гомотопны.
Доказательство. Так как пространство C°(L(l, fj))
банахово, то оно локально линейно связно; следовательно, так
как С°(/(|, fj)) открыто в пространстве C°(L (|,_fj)), то линейно
связная компонента б пространства C°(Z.(|, fj)) открыта
в C°(L(%, fj)). Как отмечалось выше, пространство Iso(|, fj)
плотно в С0AA, fj)), поэтому мы можем найти crelso(i, fj)r)S,
откуда [сг] = б, что доказывает сюръективность. .Если мы рас-
рассмотрим расслоения I X [0, 1] и fj X [0, 1] над пространством
S(M)X[0, 1], то пространство ^(/(IX [0, 1], fj X [0, 1]))
плотно в С0(/(? X [0, 1], rj X [0, 1])) по тем же причинам, по
которым пространство С°°G(|, fj)) плотно в С°G(|, fj)). Теперь
второе утверждение леммы становится очевидным.
Замечание. Эта лемма, конечно, является лишь частным
случаем классической теоремы о том, что если у есть С°°-рас-
слоение, то каждое его непрерывное сечение можно равномерно
(и, следовательно, с точностью до гомотопии) аппроксимировать
С°°-сечением, а также заменить непрерывную гомотопию между
С°°-сечениями на С°°-гомотопию между ними.
Теорема 4. Отображение б: ЕA, т))->Д(|, л) сюръективно,
и фактически если б0е А(|, ц), то для каждого йе2 суще-
существует T(=Ek (I, rj) с б (Т) = б0. Более того, если S <= Е (|, ц) и
) б(Г), то indE)=-ind(r).
Доказательство. По лемме мы можем определить эле-i
мент <r0slso(|, fj) с [ао1 = йо. По теореме 2 мы можем опреде-
определить эллиптический символ а в пространстве Smblj, (§, ц)с д =» <г0.

188
Р. Пале
По теореме 3 гл. XI мы можем определить оператор Ге?А(|, ц)
с ак(Т) = а. Тогда й(Т) = [2(Г)] = [dh(T)] = [а] = [а0] = б0, что
доказывает первое утверждение. Если 6(S) = 6(jT), т. е. если
[2E)] = [2 (Г)], т0 п0 лемме 2E) и 2 (г) регулярно С°°-гомо-
топны, откуда по теореме 3 получаем ind (S) = ind (Г).
Определение. Определим функцию ind: Д (|, т]) —> Z гре-
бованием ind (б (Г) ) = ind (Г) 5ля Ге.Е(Е;, т]) (корректность этого
определения по существу есть переформулировка теоремы 4).
Естественное спаривание C°(/(fj, ?))ХС°(/(|, fj)) в С0AA, ?))
индуцирует спаривание Д(т), ?) X Д(|, л) в Д(|, ?). Аналогично
отображение'сг-хт пространства С°(/(|, fj)) в C°(/(fj, |)) инду-
индуцирует отображение [а] —> [сг]~ = [а] множества Д (|, т^) в Д (ц, |).
В частности, Д(?, |) является группой, а именно группой ком-
компонент топологической группы С°(/(|, 1)).
Теорема 5. ?сли бе=Д(|, ц) и б'еД(т], ?), ro indF'6) =
= ind (б') + ind (б) и indF~1)= — indF). В частности, отображе-
отображение ind: A(|, ?)->Z является гомоморфизмом.
Доказательство. Выберем по теореме 4 операторы
Ге?(И) и Se=E(i\, I) с б G) = б и бE) = б'. Тогда бEГ) =
= [2(S7')] = [2EJ(r)] = [2E)]lr2(r)] = 6/6) так что indF'6) =
=¦• ind (ST) = ind (S) + ind (Г) = ind F') + ind (б). Далее, б''б =
= [2 (Г)]"J [2 (Г)] = [2 (ГГ12 (Г)] = [S(/S)I, так что 0 = ind(/l) =
(I) A)
Замечание. Существует также отображение б—>д* мно-
множества Д(|, ц) в Д(т], |), индуцированное отображением ст-хт*
пространства С°(/(|; fj)) 3 C°(/(fj, |)). Но б* = б~1, т. е. если
ох ^ С0 AA, ц)), то существует сечение аоеСо(/(|, fj)) с [ог0] =
= [G,] и о*==ог-'. Действительно, полярное разложение дает
(Т| = а0ог, где ог0еС°(/(|, fj)) и cro(u, x): %,х-*цх является уни-
унитарным, ctsC°(/(|, i)) и а (о, j:): %x-*i,x строго положительно.
Тогда at = aQ (ta + A — t) a0 G|)) является кривой в пространстве
С°(/(|, fj)), соединяющей элементы а0 и аг.
ГЛАВА XIII
СУММЫ УИТНИ
Р. Пале
§ 1. Прямая сумма цепей топологических
гильбертовых пространств
Пусть {#i} и {#2} — две цепи топологических гильбертовых
пространств, и пусть Н — Н\®Яг- Тогда мы немедленно полу-
получаем, что {Hk} снова является цепью топологических гильбер-
гильбертовых пространств с Н°° = НТ®Н^; обозначим эту цепь через
{#f}®{#2}. Так как естественное отождествление гильбертова
пространства с его антидвойственным согласовано с прямой
суммой и так как антидвойственное к прямой сумме топологи-
топологических гильбертовых пространств естественно изоморфно пря-
прямой сумме их антидвойственных, то Нк = Нк\@Н% для КО и,
j
следовательно, Я~°° = ЯГ°°ф Н^°°. Пусть отображения /j>: Ик\-^-Нк,
•2 7 rk 7 т& • I ТТ°° ТТ°° *2 г т°°
i' Я > Я и i : H > Я i : Яг
р >н\, Р\: Пк
Р: Я°° —> Яг° — естественные проекции. Ясно, что в этом случае
7 rk 7 т& • I ТТ°° ТТ°
k Я2 -> Я и i : Hi -> Я
ния, отображения Pi: Нк
ТТ°°
Я — естественные вложе-
вложеНГ,
н\ и Р1: Н°
{/1} г Нот ({Я?}, {Я*}),
/'
0Ро({яГ},
Hom({Hk), {я?}),
ОР0({я&}, {//?});
При этом \Рц [ik] является тождественным морфизмом
цепи {#*}, морфизм {pI} {it} является тождественным морфиз-
морфизмом цепи {lit}, a {ii} {Pk\ + {&} {р\} является тождественным
морфизмом цепи {Hk}, т. е. цепь {Нк} является „бипроизведе-
нием" цепей {Hi} и {Яг} в смысле аддитивной категории. Это
доказывает, что, как было сформулировано в гл. VIII, катего-
категория цепей топологических гильбертовых пространств является
на самом деле аддитивной.
Предположим теперь, что {Яз} --еще одна цепь топологических
гильбертовых пространств и морфизм Tf. Я/°~> НТ принадлежит
ОРгЦн)}, {Яз}) (/= 1, 2). Тогда по теореме 3 гл. VIII морфизм
Ti © Г2: Я°° -> НТ, определенный формулой Т{ © Т2 = ТХРХ + Т2Р2,
принадлежит ОРг([Нк}, {Яз}). Обратно, пусть задан

190
Р. Пале
морфизм Т из ОРг({нк}, [Ht})t тогда Т, = П!*=ОРг{{н)}, {я!})
и T-Ti®T2. Аналогично если морфизм Tt: H?-> Hf
принадлежит ОРг({На], {Я/}), /= 1, 2, то морфизм Г,©Г2: Н?-+
-+Н°°, определенный формулой 7\ фГ2 = ^i + t2^, принадлежит
ОРг({Яз}, {Я*}), тогда как если Г: Hf-+H°° принадлежит
ОРг({Нз), {Я*}) и Г/: H?->Hf определяется формулой Т^р'т,
то 7уе=О/>Д{Яз}, \Н)}) и Г-Г1072. Отсюда вытекает
Теорема. Пусть [Н,-}, /=1, 2, 3, — три цепи топологи-
топологических гильбертовых пространств, и пусть il: НТ —*¦ НТ + Н<?
(/= 1, 2) и Р1: НТ + Яг° —>¦ Я/° (/= 1, 2) — естественные вложения
и проекции соответственно. Тогда отображение T-+{Til, Ti2)
является изоморфизмом между ОРг ({н\} ® [Hi], {Яз}) и \
ОРг{{н\), {Нз})®ОРг({н$}, {//§}), а отображение T->{plT, P2t) \
является изоморфизмом между ОРг({Нз}, {н\} ф {я2}) ы «ро- !
Д{} {*})({я*}, {Яг}). (
§ 2. Соболевская цепь суммы Уитни
Пусть М — компактное С°°-многообразие без края, со строго
положительной гладкой мерой. Тогда, как мы уже видели (см.
теорему 10 гл. IX), соответствие ?->{Яй(|)} является ковариант-
ным функтором, именно функтором Соболева, из категории
эрмитовых векторных расслоений над М в категорию дискрет-
дискретных цепей топологических гильбертовых пространств. Если
ГеНот(|, т]), то индуцированное отображение Г4: Н°° (%)-*•
-»Я°°(т]) принадлежит ОР0(%, г\) (см. теорему 9 гл. IX) и на
основании теоремы 1 гл. VIII соответствует отображению рас-
расслоений Hk(T). Следовательно, если SeHom(g, ц), то (S + r).==
= 5, + Т„. Таким образом, доказана
Теорема 1. Функтор Соболева | —>{Hk (?)} является адди-
аддитивным функтором.
Следствие. Если gj и |2 — эрмитовы векторные расслое-
расслоения над многообразием М, то {Я* (g, ©&)> = {#'* (g,)} ф {/У* (gj)}.
Доказательство. Сумма Уитни вместе с естественными
вложениями и проекциями образует естественное бипроизведе-
ние в категории .эрмитовых векторных расслоений над много-
многообразием М.
Гл. ХШ. Суммы Уитни
191
Пусть теперь |ь ..., Ъ,г и т]1( ..., цг — эрмитовы векторные
расслоения над М, | = ф|,- и п^Ф'Пу Пусть отображение
%i. Н°°{%)->Я°°(|), принадлежащее O-Pofo, I), индуцировано
вложением |,-->|, и пусть у/: Я°° (л) -> Я°° (%), принадлежащее
ОРоС1!» Л/)> является отображением, индуцированным проекцией
т]->т]/. Для заданного оператора Г: Я°° (|) -> Я°° (п) определим
оператор Гг/: Я°° (gj -*• Я°° (rj/) формулой T,, = yiT},t. Назовем
отображение Гг/- компонентой отображения Т относительно дан-
данного разложения в сумму Уитни расслоений g и т], а заиндек-
сированное множество {7*^} —матрицей компонент оператора 7".
Само собой разумеется, что если ? = ф?й и S: Н°°(ц)-+Н°
то имеет место обычный закон композиции матриц:
Если Т<=ОРГ{1, ц), то Tif^Ofr(ti, г]{) по теореме 3 гл. VIII
или на основании § 1 настоящей главы. При этом в силу тео-
теоремы из § 1 получается
Теорема 2. Пусть glf ..., %г и т] , ^ — эрмитовы век-
векторные расслоения над многообразием М. Тогда отображение
T~*-{Tj.} является линейным изоморфизмом пространств
OPr(®\i, ФлЛ « ® ОPr(li, Л/)-
§ 3. Поведение Smbl* относительно суммы Уитни
Пусть М является С°°-многообразием, и пусть gj, ..., gr и
¦"Пь •¦•> ^ — комплексные векторные С°°-расслоения над много-
многообразием М. Пусть g = ©gi и л = Фт1/- Тогда л*|=фя*|г и
я*т) = фя*т]у, так что Нот (n*g, n*ii) s ф Нот {n%t, п*Ц/); обозна-
/ и
чим этот естественный изоморфизм о->{аи). Ясно, что если
i = @t,k и теНот(я*т1, n*g), то (w)i( = 2 т6/а/(. Если расслое-
fe /-1
ния gj и tiy эрмитовы, то (a")ll = a"jr Если г = s и GG = 0 для
i?=j, то, как легко видеть, crelso(ji*|, л'т]) тогда и только
тогда, когда cr,(e=Iso(n*^, я*%). и в этом случае (а")г/ = 0
при /т^/.и («г),,- = ог~!. Наконец, легко видеть, что creSmblfe(g, т])
тогда и только тогда, когда a/(-eSmblA(i,-, т]/). Мы получили
следующую теорему.

192 •
Р. Пале
Теорема. Отображение а-*{ац) является линейным изо*
морфизмом между пространством Smbl^/1"©!,-, © цЛ и . про-
странством © SmblA(?,-, г]Д
ч
Г г г \
Следствие. Если сг е SmblA \®Ъ, ©ть) и сг,, = 0 для 1ф и
\i-\ /-1 У
то символ а является эллиптическим тогда и только тогда, когда
каждое ait является эллиптическим.
§ 4. Поведение
и сгй относительно суммы Уитни
Пусть М — компактное С°°-многообразие без края, со строго
положительной гладкой мерой. Пусть ^ |г и Tjj, ..., rja —
эрмитовы векторные расслоения над многообразием М и |= ©!,-,
Л = 04/. Пусть Х{: Я~ &)-*#"(?) и Yy: Я~(г]) -^"(л/) - ото-
отображения, индуцированные естественными вложениями |г—>?
и проекциями ц->гц. Так как последние принадлежат Нош(|г, ?)
и HomCn, Л/) (см. следствие 2 из теоремы 1 § 3 гл. IV), то
к, е= Diff0 (|;, |) g= Int0 (I*. I) и уi е= Diff0 (tj, Л/)- Тогда если
Telntftd, т]), то из свойства (S3) гл. XI следует, что компо-
компоненты Тц — yjTKi оператора Т принадлежат Intfe (g?, Л/)- При
этом, так как отображение o0(Xt) является, как легко видеть,
вложением расслоения п*%{ в я*|, a aQ (у,) является проекцией я* л
на расслоение л\-, то ak{T!l) = aa{y!)ak{T)oQ{Xi) = {ak{T))ll.
Обратно, пусть Г: Я^Ш^Я^г,) и 7^, = Y/ra,, е= Int* F«, Лу)
для всех /, /. Тогда обозначим через Yl-: Я°° (|) —> Я°° (|f) и
Я,/: Я°° (г^-^Я00(л) отображения, индуцированные проекцией ?—>!,-
и вложением Л/-*1! соответственно. Имеем Т— 2 ^/^/Л^ и так
i, !
как Yi s Into (|, I,) и A/ s 1п^(т];, т]), то (см. свойство (S3) гл. XI)
rslntfed, г]). Этим доказана
Теорема. Отображение Т-*{Тц} является линейным изо-
изоморфизмом между пространством lntk{(&%t, ©лЛ и простран-
пространством ©Intfedi, т]/). Яры этом если Т е IntA(|, rj), го (сгА(Г) )„ =
и
Следствие. Если Г е Intft
и Тц = 0 для i ф I,
го Г является эллиптическим оператором порядка k в том и
только том случае, когда каокдый оператор Тн является эллип-
эллиптическим порядка k.
Гл. Х1/1. Суммы
193
§ 5. Поведение индекса относительно суммы Уитни
Лемма. Пусть V,, ..., Fr « IF], .... Гг - банаховы про-
пространства и V = © Vt, W = ф 1Г,-; «г/сгб Г,-: V, -> 1Г, является
F-оператором. Определим оператор Т: V -*¦ W формулой
T{v\, ..., уг) = (Г1и1, ..., rrur). Тогда Т является F-оператором
| « ind(r)=2indGi).
Доказательство тривиально.
Пусть М — компактное С°°-многообразие без края со строго
положительной гладкой мерой. Пусть |ь ..., %т и тц, .-., т]г —
эрмитовы векторные расслоения над М.
Теорема I. Пусть Tt€=Ek(lit \]{) (/=1, ..., г). Определим
оператор Т: Н°° ( ® ?,-)-* Я"Y©^ формулой Т (fu ..., fr) =
ь)иШ(Т)=%Ш(Т().
У f-i
Доказательство сразу вытекает из леммы и следствия
из теоремы § 4.
Предположим, что многообразие М риманово. Дальнейшие
обозначения введены в гл. XII. Если а{ е C°(/(f,, fj,)), / = 1 г,
то определим элемент фст^ пространства С°A( ф|г, ФлЛ1
формулой (фо-Л@, х){еи ..., er) = (q1(a, x)elt ..., or(v, x)er).
Отображение (а„ .. .,аг)-^ ©а^ из Ca(/(i,, rjI))X ... ХС°(/AГ, fjr))
в С°//Уф|г, ФЛг))> KaK легко видеть, является непрерывным,
поэтому при переходе к компонентам линейной связности это
отображение индуцирует отображение (Ьи ..., бг)->©бг из
А(Е„Л1)Х...ХД(Бг.Лг) в
(Г,/„ ...,Trfr). Тогда Te=Ek(®
Теорема 2. Если 5{ s A (|/f т]г), го
Доказательство. Выберем (см. теорему 4 гл. XII) опера-
операторы Ti<=E0(li, r\i) так, что 6(Ti) = 6i, откуда indF,) = indG\).
Определим оператор Т: Н ( 0&)-»¦#/ ® ty\ формулой r(/j /г)=*
13 Р Пале

194
Р. Пале
= GVi, •••> Trfг). Тогда по теореме 1 71 e?,/©?,. ©4i) и
ind G) = Д] тAFг-). Но по теореме § 4 ao(T) = ®50(Ti); следова-
следовательно,
Тогда
\ i
г
= ind F (Г) ) = ind G) =2 ind F,.).
Следствие. (Устойчивость индекса относи-
относительно „надстройки".) Пусть |, ч\, ? — эрмитовы векторные
расслоения над многообразием М, и пусть I e Iso (?, Z) ~ тожде-
тождественный автоморфизм расслоения ?. Тогда если б^А(|, г\), то
элемент 6ф[/] из А(|©?, лФС) имеет тот же индекс, что и
элемент б.
Доказательство. Пусть / = 2 (/j), так что [/] = б (/j).
Следовательно, ind ([/J) = ind (/j) = 0. Из теоремы теперь сле-
следует, что ind (б Ф [/j) = ind (б) + ind ([/]) = ind (б).
ГЛАВА XIV
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Р. Пале
§ 1. Тензорные произведения цепей
топологических гильбертовых пространств
Пусть Н\ и Я2 — два гильбертовых пространства. Напомним,
что естественное скалярное произведение в их алгебраическом
тензорном произведении Hi ® Н2 характеризуется свойством
(ei ® fu е2 ® /2) = («1. e2)(/j, /г)- Пополнение этого предгильбертова
пространства обозначается через Hi <g> Я2. Если {е„} —полный
ортонормальный базис в пространстве Яь {/„,} — полный орто-
ортонормальный базис в пространстве Я2, то элементы е„ ® fm
образуют полный ортонормальный базис в пространстве Hi ® Я2.
Напомним, что Hi <§> Я2 можно рассматривать как пространство
операторов Гильберта — Шмидта, действующих из пространства,
двойственного к Н2, в пространство Яь причем элемент ех ® е2
соответствует оператору f-*f(e2)e1. Если пространство Ht реа-
реализуется как L2{Xt), где Х{ и Х2 — пространства с мерой, то
Hi (§> Я2 естественно изоморфно пространству L2(Zj X X2): если
элемент et представляется элементом ft<^L2(Xt), то е, ® е2
соответствует элементу fsL2(Z, X Х2) вида /(Arb х2) = fi(xi)f2(x2).
Если ^ е L2(Xi X Х2)> то соответствующий оператор Гильберта-
Шмидта К'- L2(X2)->L2(Xi) (мы отождествляем двойственное
пространство к L2(X2) с самим пространством L2(X2) при помощи
естественного антиизоморфизма /—>/) задается посредством
(Kg)(xi)= \ k{xu x2)g{x2)dx2. Если мы заменим скалярные
произведения в пространствах Я) и Я2 на эквивалентные, то
скалярное произведение в пространстве Нх ® Я2 заменится на
эквивалентное, так что мы получим то же самое пространство
Hi ® Я2 с эквивалентным скалярным произведением. Таким
образом, пространство Нх <§> Н2 определено, если Я] и Я2—только
топологические гильбертовы пространства. Если пространства Я[
и Я2 являются гильбертовыми и отображение Tt: #*->#* есть
ограниченное линейное преобразование, то легко видеть, что
отображение Ti ® T2: Hi ® Н2 —> Н\ ® Я2 линейно и ограни-
ограничено, || 7*! <g> T2IL = || Г, L -|| Г2 !)„, так что оператор 7"^® Т2 продол-
продолжается до ограниченного линейного отображения 7*]®7*2: Я1®Я2—>
->Я1 ® Яг- Если отображения 2"! и Г2 инъективны, то и отображе-
18*

194
Р. Пале
'=G,/, Trfr). Тогда по теореме 1 Т ^ Eof®l{, ©ту) и
indG)== Д] ind (б,). Но по теореме § 4 50(^) = Ф5о(^*); следова-
' Тогда ind/фо,)-
тельно,
2
= ind (б (Г)) = ind (Г) = 2 ind F<).
Следствие. (Устойчивость индекса относи-
относительно „надстройки".) Пусть |, ц, ? — эрмитовы векторные
расслоения над многообразием М, и пусть I e Iso (?, ?) — тожде-
тождественный автоморфизм расслоения ?. Тогда если б е А (|, т)), го
элемент бф[/] ыз А(?Ф?, Т1©?) «леег гог же индекс, что и
элемент б.
Доказательство. Пусть / = 2(/j), так что [/] =
Следовательно, ind ([/]) = ind (/j) = 0. Из теоремы теперь сле-
следует, что ind (б ф [/J ) = ind (б) + ind ([/]) = ind (б).
ГЛАВА XIV
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Р. Пале
§ 1. Тензорные произведения цепей
топологических гильбертовых пространств
Пусть Hi и #2 — два гильбертовых пространства. Напомним,
что естественное скалярное произведение в их алгебраическом
тензорном произведении Hi ® Н2 характеризуется свойством
(е, ® fu е2 ® /2) = («1» е2) (fu k)- Пополнение этого предгильбертова
пространства обозначается через #!<§) #2. Если {еп} — полный
ортонормальный базис в пространстве #,, {fm} — полный орто-
ортонормальный базис в пространстве Я2, то элементы еп ® /„,
образуют полный ортонормальный базис в пространстве Я, ® #2.
Напомним, что Hi ® Н2 можно рассматривать как пространство
операторов Гильберта — Шмидта, действующих из пространства,
двойственного к Нь в пространство #ь причем элемент ех ® е2
соответствует оператору f->f{e2)ex. Если пространство Ht реа-
реализуется как L2(Xi), где Xt и Х2~пространства с мерой, то
Я! ® Н2 естественно изоморфно пространству L2(Xi X X2): если
элемент е{ представляется элементом ft e L2 (Z?), то е, ® е2
соответствует элементу f^L2(Xi X Х2) вида /(а:,, дг2) = fi{xl)f2{x2).
Если ^ е L2(Zi X Х2), то соответствующий оператор Гильберта —
Шмидта К'- L2(X2)-> L2(Xi) (мы отождествляем двойственное
пространство к L2(Z2) с самим пространством L2(X2) при помощи
естественного антиизоморфизма /-»/) задается посредством
(Kg)(xi)= j k(xi, x2) g(дг2) dx2. Если мы заменим скалярные
произведения в пространствах Hi и Н2 на эквивалентные, то
скалярное произведение в пространстве Hi ® Н2 заменится на
эквивалентное, так что мы получим то же самое пространство
Hi <§> Н2 с эквивалентным скалярным произведением. Таким
образом, пространство Hi ® Н2 определено, если Hi и Н2—только
топологические гильбертовы пространства. Если пространства Hi
и Н2 являются гильбертовыми и отображение Ti1. Hi-+H't есть
ограниченное линейное преобразование, то легко видеть, что
отображение Т\ ® Т2: Hi ® Н2 -*Н\ ® Яг линейно и ограни-
ограничено, || Г, О Г2 L = II Т\ L -II ^2 И», так что оператор 7^® Г2 продол-
продолжается до ограниченного линейного отображения Тх ® Т2: Нх^Н2->
-*¦ Н\ ® Яг- Если отображения Tj и Т% инъективны, то и отображе-
13*

196
Р. Пале
иие Л <§) Т2 инъективно. Действительно (см. теорему 10 гл. VI),
Т*\{Н\) плотно в Hi и Т2{Н2) плотно в пространстве Н2; отсюда
вытекает, что пространство (t\ О T'2)(Hi <g> Н2) плотно в про-
пространстве Н\ ® Н'гЛ а потому и в н\ <§> Н2; тем более простран-
ство^ {Т\ ® Tl)(Hi ® Н2) плотно в Н{ 0 Н2. Так как (Г] ® Г2)* =
= Т'* <8> Гг, то по теореме 10 гл. VI оператор Т\ ® Т2 инъективен.
Мы хотим теперь определить операцию тензорного умноже-
умножения для дискретных цепей топологических гильбертовых про-
пространств. Разумеется, она не может не удовлетворять следую-
следующему требованию: если \ — эрмитово векторное расслоение над
многообразием М, г\ — эрмитово векторное расслоение над
многообразием ./V, то для расслоения | ® г\ над MX N должен
быть естественный изохчорфизм между цепями {Нк {% 0 ц)) и
{#*(?)}®{#*(т])}- Нельсон показал, что пространство НкA<8>г\)
в действительности естественно изоморфно пространству
f) #'(?) О Нт{у\) в некотором требующем уточнения смысле;
это мотивирует нижеследующее определение.
Пусть Hi = [Hi) и Н2 — \Н2) — дискретные цепи топологиче-
топологических гильбертовых пространств. Мы приступаем к построению
третьей цепи H = {Hk}, которая по определению и будет цепью
Я, ® Н2. Заметим сначала, что если k>l, tn>n и отображения
.1 rjk tjI -2 rjm nri
hk' "l "l И Inm-  ~~> ЯВЛЯЮТСЯ ВЛОЖвНИЯМИ, ТО, КЭК
уже отмечено выше, отображение j\k ® fnm; н\ ® Я™ -^ Н\ ® Н\
является инъективным. При этом если k'->k и т'>т, то
(/]>/L)(/L®l) (/U®/Ll) (^®/L) что мы
можем рассматривать пространство H\®Hf вложенным (как
векторное пространство) в пространство Н\ ® Нп2, а }\к%> fnm -
как отображение вложения. В частности, если k, m>0, то мы
можем рассматривать Я? <§) Н? как линейное подпространство
в пространстве Hi <8> Н2. Определим пространство Я0 как
Я =Я1®Я2. Для k>0 определим Я* как векторное простран-
пространство, равное [) Н\ёН2A,т^0), откуда, в частности,
HkSH°. Введем в пространство Я* топологию обратного пре-
предела пространства Н[ ® ЯГ, т. е. слабейшую из топологий,
в которых непрерывно каждое вложение Нк—>Н\®Н2п. Легко
видеть, что Нк — топологическое гильбертово пространство.
Действительно, выбор допустимых скалярных произведений
Гл. XIV. Тензорные произведения
197
в пространствах Н\ и Я" задает скалярное произведение ( , Iт
в пространстве Н\ ® Я™, как описано в начале этой главы, и
(/. &)к = 2 (/. g)im задает допустимое скалярное произведе-
1+т<,к
ние ( , )к в пространстве Я . Заметим что если l + m<k, то
можно_найти /'^/ и т ~^т с l' + m =k, такие, что Н\' <g> H?'s
S я! ® Я™; поэтому мы можем также рассматривать простран-
пространство Нк как пересечение всех Я] ® ЯГ с 1 + т = k.
Непосредственно из определения получаем, что если&>&'1>0,
то Я* s Я*' и отображение вложения непрерывно. Так как про-
пространство НТ плотно в каждом пространстве НТ, то НТ <8> ЯГ
плотно в каждом пространстве Hi ® Н™, а следовательно,
в каждом Я{ ® Я™ и, как легко видеть, в Нк. Поскольку
Я°° = ПтЯ\ очевидно, также является обратным пределом
дважды индексированного семейства Н\ 0Н^{1, т^О), то про-
пространство НТ ® ЯГ плотно в Я°°; поэтому пространство Я°°
плотно в каждом Я*. Отсюда следует, что Я = {Нк} является
цепью топологических гильбертовых пространств, которую мы
определяем как тензорное произведение цепей Ht и Я2 и будем
обозначать Н\ё>Н2 или {Я?} ® {я|}. Положим Н? ® Я^ =
= Я°° = (Я, ® Я2)°°.
Предположим теперь, что / е ЯГ' ® Я2 т^(н\ §> Hf) ^ где
l + tn^k. Тогда так как вложение пространства Нк в н\ ® Я™
непрерывно, то / задает посредством сужения непрерывный
функционал на пространстве Я*. Далее НТ ® Яг", где / + m^.k,
можно рассматривать как подпространства пространства
Н~г <§ Яг"*, и мы можем взять их линейную оболочку
2 НТ1 ё> Н2т. Тогда f->f\Hk задает линейное отображе-
ние пространства 2 Н~* ® ^г"'" в пространство \Н ) = Н ,
l+m<k i ~ m
и так как пространство ЯГ ® Яг° плотно в каждом Hi <8> Н2 ,
то это отображение сужения инъективно. Напомним теперь
теорему Макки о локально выпуклых векторных пространствах.
Пусть X — комплексное векторное пространство, X — его алге-
алгебраическое двойственное. Для заданной на X псевдонормы
N через L(N)^X обозначим подпространство W-ограничен-
ных линейных функционалов над X. Тогда теорема Макки
утверждает {Trans. Amer. Math. Soc, 57 A945), 199), что
если Nb ..., Nk — набор псевдонорм на пространстве X и
N — их точная верхняя грань, то L{N) является линейной

198
Р. Пале
к ^
оболочкой 3jL(N{) пространств L(Nt) в X. В применении
к настоящей ситуации, полагая X = НТ ® Я" и в качестве Nt
беря сужения допустимых норм на Н\ ® Я™, найдем, что выше-
вышеуказанное отображение 2 Н~ ® Яг" в Я~* действительно
биективно. Однако в дальнейшем нам не понадобится эта
реализация Я* при k<0.
Теорема 1. Пусть Ht(i= I, 2, 3, 4) — дискретные цепи топо-
топологических гильбертовых пространств, и пусть S: НТ —>Нз" и
Т: Н? -> НТ — такие линейные отображения, что S e OPr(Hi, Я3)
и fs OPS (Я2, Я4) для некоторых г и seZ. Тогда
S0T: Н7 ® Н™-*> Hf 0 Н7 продолжается единственным обра-
образом до отображения S ® Т: НТ ® НТ—^НТ 0 НТ, и отображе-
отображение (S, Т) -*¦ S 0 Т билинейно. При этом оператор S* 0 Т* транс-
транспонирован к оператору 5 ® Т. Если г и s — неотрицательные
целые^ числа, такие, что S^OPr(Hu Я3) и Т е OPS(H2, Я4),
то S <§ Т продолжается единственным образом до непрерывного
линейного отображения (S ® 7%: (Hi ® Я2)* ->(Я3 ® Ht)k~r~s при
Доказательство. Так как ОРГ^ОР0 при г<0, то мы
можем, конечно, определить такие неотрицательные целые,
числа г и 5, что S^OPr(Hu Я3), Te=OPs(H2, H4). Пусть
5й: Я?->Яз~г и 7V Я*-+H*l~s — единственные непрерывные
продолжения отображений 5 и Т. Заметим, что если k>l и m>р,
то операторы 5^ ® Гт и E; ® Гр) j (//i ® Яг1) оба являются непре-
непрерывными отображениями пространства Я? ® Яг* в пространство
Я1~г ® Я™"*, совпадающими с оператором 5 ® 7* на плотном
множестве НТ ® Я"; следовательно, они равны. Отсюда выте-
вытекает, что (So ® Го) I HT ® Яг° является непрерывным отображе-
отображением пространства НТ ® Лг° = Нгп Я* ® н\ в пространство
Яз° ® Н7 = Пгп Яз~Г ® Hl~s. Это доказывает существование опе-
оператора S ® 7"; единственность следует из плотности пространства
НТ ® НТ в Н7 <& Н7. Билинейность следует из единственности.
Так как операторы S* и Т* существуют и принадлежат соответ-
соответственно OPr(H3, Hi) и OPS(H4, Я2), то по теореме 4 гл. VIII
убеждаемся также и в существовании оператора S* ® Т*. Вспо-
Вспоминая теперь, что в пространствах {Н\ ® Я2)°=Я? ® Н\ и Н% ® н\
Гл. XIV. Тензорные произведения
199
определены скалярные произведения, легко проверим, что если
^е=Я~ ToflS&TW®/) /®/) (А®^ E'П
так что VV-» vy ^/;, sy = v/. w уу i ;gj для j<^ti]\ <8> Hf и
g е Яз° ® ЯГ, а по непрерывности и для f e НТ 0 Hf,
ge=H? ® ЯГ, т. е. S' ® Г' = E ® 7*)'. Предположим теперь, что
k~^r + s, и пусть /, пг^0, причем / + /n^/fe — г — s. Тогда
оператор Eо ® 7*о)\(Н\+Г ® Яг1"*) = Si+r 0Tm+s является непре-
непрерывным отображением пространства H\+r ® Яг1 в пространство
Яз ® ЯГ, и так как вложение (Hi ® Н2)к-*Н\+Г ® ЯГ непре-
непрерывно^ (потому что (/ + г) + (/п + s)<й), то (So ® 7)|(Я1 ® Я2)* =
= (S ® Г)й является непрерывным отображением пространства
(Ht ® Я2)* в (я'з ® ЯГ). Так как это выполняется для всех /, пг ^ О
с / + /n^^ — r — s, to(S® T)k является непрерывным отображе-
отображением пространства (Я, ® Я2)* в пространство (Я3 ® H4)k~r~s,
которое, как легко видеть, продолжает оператор S ® Т.
Следствие I. Пусть г = 0 или 1, и пусть s = 0 или 1.
Тогда (S, T)->S 0 Т является билинейным отображением пря-
прямого произведения ОРТ(НЬ Я3) X OPS(H2, Я4) в пространство
OPr+s (Hi ® Я2, Я3 ® Я4).
Доказательство. Если /2 е ОР0 (Я2, Я2) — тождествен-
тождественное отображение пространства Я" и 1з^ОРо(Нз, Яз) —тожде-
—тождественное отображение пространства Я3, то ясно, что S ® Т =
= (/3 ® Г) E ® /2), так что (см. теорему 3 гл. VIII) достаточно
будет показать, что 5 ® /2е OPr(Hi ® Я2, Н3<8>Н2) (тогда по
симметрии и /3 ® 7* е OPS(H3 ® Я2, Я3 ® Я4)). Лемма получается
теперь из теоремы и двух следствий теоремы 5 гл. VIII.
Следствие 2. Пусть Mi — компактное С*'-многообразие без
края со строго положительной гладкой мерой. Пусть \t — эрми-
эрмитово векторное расслоение над Mt, /= 1, 2, 3, 4. Тогда если г, s —
целые неотрицательные числа и SsOPr(|b |3), ГеОРл(|2, &д>
то S ® Т е OPr+s ({Я* (I,)} ® {Я* (S,)}, {Я* (s3)} ® {Я* (|4)}).
Доказательство. В силу следствия 1 можно приме-
применить индукцию и предположить, что утверждение леммы верно
для чисел, меньших г и s. Возмем операторы At^.Ei(\t, ?,•), ука-
указанные в теореме 1 гл. XII. Тогда 5®Г=EЛГ'®ГЛ2"')(Л,®Л2).
Так как SATl^OPr-i(Hu Я3) и TA2ls=OPs-x(H2, На),

zoo
P. Пале
то нужный результат получается теперь из индуктивного
предположения и теоремы 3 гл. VIII.
Ввиду теоремы 1 гл. VIII и следствия 1 при r = s = 0 спра-
справедливы следующая теорема и следствие из нее.
Теорема 2. Пусть С — аддитивная категория дискретных
цепей топологических гильбертовых пространств; тогда тензор-
тензорное произведение ® является ковариантным функтором из
С X С в С, аддитивным по каждой переменной отдельно.
Следствие. Существуют естественные эквивалентности
функторов
(Я, © Я2) ® Я3 ^ (Я, ® Я3) © (Я2 ® Я3),
Я, ® (Я2 ф Я3) as (Hi ® Я2) © (Я, ® Я3).
Замечание. Ясно что существуют также естественные
эквивалентности между Я1®Я2;и Я2®Я1 и между Hi0(H2^>H3)
и (Я] ® Я2) ® Я3, т. е. функтор ® является коммутативным,
ассоциативным и дистрибутивным.
§ 2. Соболевские цепи тензорного произведения
расслоений
Пусть Mi и М2 — компактные С°°-многообразия без края со
строго положительной гладкой мерой. Многообразие Mt X М2
снабжается произведением мер сомножителей, которое также
является строго положительной и гладкой мерой. Если |,- —
эрмитовы векторные расслоения над Mt, то (см. § 8 гл. VI)
li ® ?2 является векторным расслоением над многообразием
Mi X М2 с эрмитовой структурой, которая характеризуется тем
свойством, что ((е,®е2), К ® 4))|i0|i = (ei> e'i\{ev e\ Для
ev e{e(gj)p и е2, e^s(|2)p. Напомним, что мы отождествили
Я°°(|,) ® Я°°(!2) с подпространством пространства Я°°(|,®|2),
а именно если ft e Я00 (lt), то ft ® f2 является элементом про-
пространства Я°° (ii ® У, значение которого в точке (р, q) равно
/j (p) ® f2 (q). Подобным образом предгильбертово пространство
H°(h) ® Я°E2) отождествляется с некоторым подпространством
пространства Я°(?,®|2). При этом если fi? ^еЯ°.(У, то
-(Г,.
Гл. XIV. Тензорные произведения
201
так что вложение пространства Я0^) ® Я°(|2) в пространство
Я°(|1®Ы Даже изометрично. Пространство Я°°(|,)® Я°°(|2)
является С°°-плотньш в Я°° (gi ® ?2), тем более оно Я°-плот-
но. С другой стороны, пространство Яоо(|1®|2) плотно в про-
пространстве Я0(|,<8>|2), так что Я°(^)® Я^уэЯ00^,)® Я°°(|2)
плотно в пространстве Я°(|1®|2), и по определению про-
пространство Я°(|!)® Я°(|2) является пополнением пространства
Я"(|1) ® Я°(|2). Мы доказали следующее утверждение.
Лемма 1. Я°(|,)® Я0(|2) = Я°(|1 ®|2). Следовательно, при
I, пг^О мыМолучаем более общее равенство
Я°(/г(|)) ® Я°(/'и(|)) °'
Л-е м м а 2. ?слм k — целое неотрицательное число и I, m —
целые неотрицательные числа с I + m = k, то существует един-
единственное отображение T(L m) е Нош (/* (|, ® g2), Jl (|,) ® /m (|2)),
гй«ое, «го T{U m)]\ (/, ® f2)(p,,, = U (f,)„ ® /„, (/2),, г<3е f,- г Я°° (g,).
Яри этом если ТAу п) (/) = 0 для всех I, m ^ 0 с / + m = k, то
j = 0; следовательно, отображение
%к е= Нот (/* (|, ® |2), © /' (|,) ® /т (&))
формулой K(j) = {T(i,m)UJ}[+m=,k, задает канони-
каноническое отождествление 'асслоения Jk {%{ ® |2) с некоторым под-
расслоением расслоения © Jl(h) ® Jm{W-
Доказательство. По теореме из § 8 гл. IV отображе-
отображение /,®/m: Н°° E,)®ЯТО (|2) -> Я00 (/'(Б,))® Я00 (Г* (У) продол-
продолжается единственным образом до отображения (его мы также
будем обозначать Д ® /ш: Я°°(|, ® |2)^Я°(/гE.) ® /т(|2))). ко-
которое принадлежит Diff^g,®^, /'(gi)® /m(g2)), и по следствию 1
из теоремы 1 § 3 гл. IV существует единственное отобра-
отображение Ти, m) e Нот (/* (g, ® g2), J1 (|,) ® /т (|2)), такое, что
(ji<8>im)(f)(P.q) = 7*A.m)ik(f)(p.q)- Остается проверить, что если
f e Я°° (g, ® g2), причем (/, ® jm) (f)(p, ?) = 0 для всех l + m = k, то
h(f)(p,q) — O- Так как это локальный вопрос, можно предполо-
предположить, что Mt = R"' и Ь-ЯЛ'ХК„ тaкчтofsЯoo(R'I^XR'г2,r1®F2).
Мы должны показать, что если Yo является {щ + «^-ин-
«^-индексом, причем IyoI^^» to (Dyf)(p, q) = 0. Мы можем запи-
записать Yo единственным образом в виде cto^Po. где а0 является
ягиндексом, р0 является «2-ипдексом и | а01 + | Ро I = I Yo I- (Обо-
(Обозначения заимствованы из доказательства теоремы 3 § 8

202
р. Пале
гл. IV.) Выберем / + т = k, где |а0К/, IPol^/«- Тогда дока-
доказательство уже цитированной теоремы дает (ji<8>jm)(f\ } =
= {Da®^f(p,q)}lal<ltpl<m, так что, в частности, из равенства
/*)#)<,. „«О вытекает, что Dy^
Теорема. Каноническое вложение Я°° (Ю ® Я00 (|2) -»¦
-*• Я°° (§i ® |j) продолжается единственным образом до изомор-
изоморфизма цепей {Я* F,))® {#*(&)> и {Я*(|,®|2)}.
Доказательство. Так как пространство Я°° (g,) ® Я°° (|2)
плотно во всех топологических гильбертовых пространствах
HlHi)<8> Ят(|2) и #*(gi®g2), то достаточно показать, что если
мы обозначим Я00^)® Я°°(|2) как подпространство простран-
пространства Hk(h®h) через (Я~Й,)®Я~Fа)IЧ. а как подпростран-
подпространство пространства Я/(?.)®#т(|2)- через (Я0О(|1)®Я0О(?2))[/,т],
то топология (Я°"E])® Я°"(|2))[й] совпадает с наименее тонкой
из топологий, более тонких, чем каждая из топологий про-
пространств (ЯГ(|)®ЯОО(|2))[/ т] с l + m = k. Далее, по опреде-
определению отображение Д: (Я* F,) ® Я°°(|2))[й] -> Я0 (/ft (|, ® |2))
является гомеоморфизмом „в", и аналогично ввиду леммы 1
отображение /Z®/OT: (Я00^,) ® Н°° (h)\lm]-+H°(Jl (h) ® /m(|2)) .
также является гомеоморфизмом „в". Теперь если 7(/, т) — ото-
отображение из леммы 2, то Г(г> т).Д = /, ®/т, или (/z®/„,)"' ° Га# m)./ft -
тождественное отображение пространства #°°(gi)® Я°°(|2).
Так как (см. теорему 3 § 3 гл. IX) отображение
Tv. «,)•: Я0 (/* (|, ® |2)) -> Я0 (/' (g,) ® /m (|2)) непрерывно, то то-
тождественное отображение пространства (Я°°(|,) ® Я°°(|2) )[Щ
в (H°°(h)<8> Я°° (|2) )t/_ m] непрерывно, т. е. топология простран-
пространства (Я°°(!1)®Я°°(|2))И является более тонкой, чем топология
пространства (Я00^) ® Я°°(|2))[/!т], если l + m = k. Так как точ-
точные последовательности векторных расслоений расщепляются,
то с помощью леммы 2 мы можем найти проекцию %k e
еНот( ф /zFi)®/m(g2), /*(gi ® |2)), такую, что яйЯА является
Z+m=ft
тождественным отображением в пространстве /ft(ii®|2). Если
Я(л «) s Horned,)® Im{U), /ft(gi®|2)) является сужением ото-
отображения nk на расслоение /z(?,) ® /т(у, то 2 я(Ллх)Га>от)
является тождественным отображением / (|i ® |2), откуда ото-
отображение ^ я(л m),TUt m), является тождественным отображе-
Гл. XIV. Тензорные произведения
203
нием пространства H°(Jk(?i ® g2)). Предположим теперь, что
{/„} — последовательность в пространстве Н°° {%{) ® Я°°(|2), схо-
сходящаяся к нулю в каждом из пространств (Я°°(?,) ®Я°°(|2))[/ т],
т. е. последовательность {(// ® jm) (/„)} сходится к нулю в
пространстве #°(/'(gj)®/"*(&)), если l + m = k. Тогда
так что, поскольку отображение я(/> m).: Яо(/'(|!)®
-> Я0 (/* (|i ® |2)) непрерывно снова по теореме 2 гл. IX, то
последовательность {jk(fn)} сходится к нулю в пространстве
H°(Jk(h ® |г))> т. е. последовательность {/„} сходится к нулю
в пространстве (Я°° (gi) ® Я°° (|2) )[й]. Следовательно, топология
в пространстве (#°°(gi)® #°°(g2))w является менее тонкой, чем
всякая топология, которая тоньше, чем топология в каждом
(Я 00 Ы ) / А
Я0
ж]
т = А.
Замечание. В дальнейшем мы отождествляем цепи
и {Я
Следствие 1. Пусть %t и ^ — эрмитовы векторные рас-
расслоения над многообразиями М{ (/= 1, 2), а г, s — целые неотри-
неотрицательные числа. Тогда E, 7")->S®r является билинейным
отображением ОРГAЬ тц) X OPs(l2, Пг) в OPr+J(?i®i2, Л, ® ti2),
а также Int(g,, rn)XInt(g2, %) в Int(|I®g2, л, ® т|2).
Доказательство. Первое утверждение получается не-
немедленно из следствия 2 теоремы 1 предыдущего параграфа.
Если Sslnt(g1, т},), то (см. теорему 1 гл. XI) 5 е ОРг(%и щ)
для каждого reZ, и если г<0, то Sg OP0(ii» ^i) (см- тео"
рему 2 гл. VIII), так что SeOPr(?i> Л1) Для некоторого неот-
неотрицательного г. Аналогично если Jelnt(g2, •%), то 7^ОРЛ(|2) т]2)
для некоторого неотрицательного числа s и, следовательно,
S® 7'sOPr+J!(g1®g2, rii®^)- Применив теорему 1 гл. XI, мы
получим нужное утверждение.
Следствие 2. Пусть Si^Eidi, %). г'=1> 2, так что опе-
оператор С — S\S\ ® 1\г + /|, ® S252 принадлежит ОР2 (gi ® |2, gi ® |2)-
Тогда оператор
является F-оператором для каждого 4sZ, При этом kerCft =•
- кег С s= Я°° (gi) ® Я°° (g2), a dim ker Cft = (dim ker 5,) (dim ker 52).

204
Р. Пале
Доказательство. По следствию из теоремы 14 гл. XI
мы можем определить ортонормальный базис [Щ в простран-
пространстве Я°(|г), где ^еЯ°°(^) является * собственным вектором
оператора SJSp соответствующим неотрицательному собствен-
собственному значению Яп}. Тогда {(l + Х{п) /А) — ортонормальный
базис относительно некоторого допустимого скалярного произ-
произведения в Н1 (|г). Следовательно, {(l +A^)~//2(l + Xf)~n'2 fn<8> fp) -
ортонормальный базис в пространстве Яг(|,) ® Ят(|2)- Вспо-
Вспо#*(ii®g2) есть пространство f] Hl{W%>Hm {\2)
миная, что
f] Hl{
1 + т—к
с слабейшей из топологий, в которых каждое вложение
ft ' ® Ят(|2) непрерывно, получаем, что
2 ("
является ортонормальным базисом относительно допустимого
скалярного произведения в пространстве Я*(|!<8)?2). Далее,
но, с другой стороны, при k > 0
откуда {ф1А)р} = {A + Ч" + ^p2)) */2^®/р} также является орто-
ортонормальным базисом относительно некоторого допустимого
скалярного произведения в пространстве Я*(|1®|2). если k>0.
Так как
то {ф^"*'} есть ортонормальный базис в пространстве
Далее заметим, что
Гл. XIV. Тензорные произведения
205
Так как последовательность {я]"} сходится к оо (см. следствие
из теоремы 14 гл. XI), то
Отсюда следует, что образ отображения Ck является замкнутой
линейной оболочкой таких элементов ф}*', что Я^1' + Я^ Ф 0.
Аналогично пространство кетСк является линейной оболочкой
элементов Ф^т, таких, что Я{!) + Я^» = 0, или, поскольку Я^> ^ 0,
таких, что Я/1' = Я„ = 0. Следовательно, dim ker Ck совпадает
с произведением числа таких /, что A,/J) = 0, на число таких пг,
что я!2,' = 0, т. е. равно (dim ker SiSi) (dim ker S2S2) =
= (dim ker S,) (dim ker S2). Так как ф^еЯ00^)® Я°°(у, то
кегС^^Я^^ОЯ00^, так что ker С* = ker С.
§ 3. Операция #
В оставшейся части этой главы приняты следующие обо-
обозначения: Mt {i=\, 2) — компактное риманово многообразие без
края, \t и ц{ — эрмитовы векторные расслоения над многообра-
многообразием М^ Пусть М есть риманово многообразие Мх X М2,
а | и т] —следующие расслоения над М:
Обозначим, как всегда, через
® Лз).
Нот (|,-,
и 1Ц1 s Hom(%,
соответствующие тождественные отображения.
Элемент <геС°A(я*^, я'т]г)) называется однородным сте-
степени reR, если o(pv, x) = pra(v, x), где р>0 (таким образом,
Smblft (?(,%), AeZ, совпадает с множеством элементов а из
C°(L (it'^t, п*г]{)), которые являются С°°-гладкими и однород-
однородными степени k). Заметим, что если г>0, то такое а продол-
продолжается до непрерывного отображения пространства T(Mt), если
доопределить а@, х) как нулевое отображение слоя %х в г)х;
в то же время при г<0 (а также при г = 0, если a(v, x) за-
зависит от о) невозможно никакое непрерывное продолжение сг
на Т(М).
Пусть а е С0 (L (л*^, «*t]i)) — однородный символ степени
?->0; положим @ ® сго(/|:!))((у1, о2). (*м ^2)) равным сг(оь Xi) ®
® ого(А!)(°2> -^2)» если t>( =й= 0, и равным нулевому отображению
пространства (|,)Х| ® (|2)^2 в (т^ ® (|2)v если v{ = 0. Тогда из
того, что уже говорилось, следует
0 ® (То (/?.) е= С0 (L (я (|, ® 6Я), я* (л, ® 6а)).

206
Р. Пале
и фактически а ® а0(/^) однородно степени г. (Заметим, что
даже если <re Smblr(i,, т^), то а ® а0(/g2) может и не принад-
принадлежать Smblr(|i ® |2, ill ® Лг). так как это отображение, вообще
говоря, непрерывно, но не С°°-гладко в точках ((о,, v2), (х1г х2))
пространства Т(М), где v\ — 0. Как мы видели в § 8 гл. IV
если (xeSmblf (|,, т],), то сгОсг0 (/^2) ge Smbl? (ii®?2, ^ii <S>^2) и, как
легко видеть, за исключением этого случая, а ® сто(/|2) не может
принадлежать Smblr(g, ® |2, *li ® %) •) Более общо, если г, s>0
и o<^C°(L (я*|ь k*t)i)) однородно степени г, a tsC°(Z. (я*|2, я*т]2))
однородно степени s, то сг®т = (сго(/г,2)® т)(с ® сго(/|,)) принад-
принадлежит C°(L(n*(i, ® ?2), я*(тц ® %))) и является однородным
степени г + s. В случае г = s мы определим элемент а ф т из
пространства C°(Z,(jc*g, я*т])), который снова является однород-
однородным степени г; именно зададим следующую матрицу компа-
нент этого элемента сгфт (см. § 3 гл. XIII):
где (—l)r = eirn. Напомним, что матрица для (а ф т)* получается
из матрицы для афт отражением относительно главной диа-
диагонали и взятием сопряженного каждой ее компоненты. Так
как (-1)Г = (-1ГГ, то
¦ - МЛ,,) ® (- 1ГЛт (- 1)-'а ® ао(/Л2)
откуда (<г ф т)'(<г ф т) имеет матрицу
'<т*а® <то(Д,)-
0
О Gт,,) I
О
) тт* + аа*
>М/ть)/*
которая, очевидно, является строго положительным эндомор-
эндоморфизмом слоя l(xt,x,) в каждой точке ((vu v2), (xu х2)) прост-
пространства Т'(М), где по крайней мере одно из отображений
a(vltxi): (li)Xi-*-(y\i)Xi или т(Ь2, х2): (|2)Хг->{ц2)х, невырожденно;
поэтому афт невырожденно в каждой такой точке. Следова-
Следовательно, если <r«=C°(/(«*gi, лЧ)) и TsC°(/(n'|2, лц2)) (в част-
частности, dim It = dim т^ и, значит, dim | = dim ti), to
является мономорфизмом, а потому и изоморфизмом для всех
((»i» v2), (xit x2)) е Т' (М). Этим доказана
Гл. XIV. Тензорные произведения
207
Теорема 1. Если о{ <= С°(/(я*|<, л'ц{)) однородно степени
г>0, то Ст1фа2 принадлежит С0 (I (я% п*г))) и однородно сте-
степени г.
Напомним, что в гл. XII определено сужение |г расслое-
расслоения n\i на подрасслоение единичных сфер расслоения T{Mt).
Напомним также, что для любого reR это отображение суже-
сужения является взаимно однозначным отображением множества
элементов из C°(L(n%, я'т],)), однородных степени г, на
С°(/,(|г, f\t)); обратное отображение ст->(т(г) определяется,
конечно, как
a^(v,x) = \\v\\ra(v/\\v\\,x).
Наконец, напомним, что Д(|?, т]г) есть
связности пространства С°(/(|, fj)).
множество компонент
Теорема 2. Существует однозначно определенное отобра-
отобра( )б фб ) ( ( )
множества А(|ь
е Д (|,, т],-) и г>0,
р р
X А(|2> т]2) в Д(|, У)),
то
р щ
жение (бь б2)->б, фб2
такое, что если сгг е 6,-
Доказательство. Если at ^ С°(/(|;, f\t)), то ст(г) принад-
принадлежит С0 (/(тс*§*, я*т]г)) и является однородным степени г для
каждого г > 0, так что по теореме 1 а\г) фсг^ е С°(/(я*|, ji*ti))
и потому (аAг)фсг2г))|5(М)е С0 (/(|, fj)). При этом отображение
К CT2)->(af» фа<^)|5(М) пространства С0G(|„ л,))ХС0(/Aя, Ла))
в пространство С°(/(|, fj)) является непрерывным и потому
индуцирует отображение А (?,, т),) X Д (|2, т]2) -> Д (|, т]). Если s > 0,
то при изменении ^ от нуля до единицы выражение Я@ =
= /s + A —t)г изменяется от г до s и (сг^^фсг^от)| S(M) является
непрерывной кривой в пространстве С°(/(|, fj)) от элемента
(а{{' ф а(р) 15 {М) до элемента (of ф cr2s)) | 5 (М); следовательно,
отображение А (?,, т],) X Д (|2, тJ) -> Д (|, л) не зависит от г
и, очевидно, является единственным отображением, имею-
имеющим свойства, указанные в формулировке теоремы. Теорема
доказана.
Напомним, что в гл. XII мы определили индекс-отображе-
индекс-отображение ind: А (§,-, т]г) —> Z. В оставшейся части этой главы нашей
целью будет доказательство „мультипликативности" этого ото-
отображения, т. е. равенства
ind (б! ф 62) = (ind F,) )(ind F2)).

208
Р. Пале
§ 4. Свойство (S6) алгебры Сили
Если k — целое неотрицательное число и D e Difffe (g,, T]i),
то D ® /е, е Diff* (?, ® |2, л. ® 6а) и а* ф ® /fa) = <?; (О) ® а0 (/gj
(см. § 8 гл. IV). По аналогии может показаться, что если
Т е Intfc (gj, T)i), то оператор Т ® Д2 (который по следствию 1
из теоремы § 2 принадлежит 0Рк(gi ® g2, т), ® g2)) будет принад-
принадлежать Intft(gi ® g2, Tii ® 1г). а его символом будет ок(Т)<8>о0Aь).
Однако, как указано в предыдущем параграфе, ок(Т)<8>о0A%,)
не принадлежит даже Smblft(gj ® ?2, Л1 ® Ы> если а{Т)Ф
ф. Smbl*(gi, tij), так что это предположение нужно отбросить.
Если k — положительное число, то ак (Т) ® av(I^ при-
принадлежит С°(/.(я*(|1 ® g2), я*(тI ® %))) и является одно-
однородным степени k, так что на каждом компактном мно-
множестве мы можем этот элемент равномерно аппроксимировать
элементом из Smbl^ (|, ® g2, т), ® |2). Не столь очевидно, что,
как показал Сили, мы можем аппроксимировать оператор
Т ® /$г в пространстве OPkfa ® g2, t]i ® 1г) оператором Л, при-
принадлежащим IntA (|i ® g2. ill ® h)> так что ак (А) аппроксими-
аппроксимирует ak (Т) ® (т0 (/|J в компактно-открытой топологии. Это
является основным фактом наряду со свойствами (SI) —(S5),
перечисленными в гл. XI. Мы обозначим формально его как (S6)
и докажем вместе со свойствами (SI) —(S5), когда дадим явное
построение алгебры Сили.
(S6) Пусть Mi и М2 — компактные С°°-многообразия без края,
со строго положительной гладкой мерой. Пусть gj и tjj — эрми-
эрмитовы векторные расслоения над Мь |2 — эрмитово векторное
расслоение над.М2, и пусть Т е Intfe(gb т],), k>0. Тогда суще-
существует последовательность {Ап} в пространстве Intft (gi®g2, тц®Ы>
такая, что Ап сходится к оператору Т <§> h2, принадлежащему
ОРkill ® 12. ill ® |2), " <*k{An) сходится к ак{Т) ® о-0(/|.) в ком-
компакт но-открытой топологии.
§ 5. Мультипликативность индекса
Для заданных операторов St e Int(g,-, т)?) (i= 1, 2) определим
оператор * Si # S2, принадлежащий OP(i, r\), как оператор,
матрицей компонент которого (см. § 2 гл. XIII) является
Si <§
/г,, ® St \
S2
г I с 1ДД ^ ,' Го  S^OPkih,-*) следует, что
l # S2 e OP,(g, т)). ?Суш bO«S,e IntA(|f> п,), го существует
J It (g ) А
Гл. XIV. Тензорные произведения
209
сходится к оператору Si # S2 в пространстве OPk(l, r\) и ak(An)
сходится к элементу ак (Sx) # ak (S2) в компактно-открытой
топологии.
Доказательство. Так как Iit e= OP0 (g,, g,), 1Ц[е=ОР0 (ц{, щ)
и S\ e OPk{x\t, l{), то первое утверждение теоремы получается
из теоремы 2 гл. XIII и следствия 1 теоремы § 2 настоящей
главы. Если St e Intfe(g,-, r\t) с й>0, то в силу (S6) из предыду-
предыдущего параграфа мы можем найти последовательность {Вп}
в пространстве Int*. (g( ® g2, т), ® |2), сходящуюся к оператору
S, ® /|2 в пространстве OPk (g, ® g2, tji ® У, причем ak (Bn) схо-
сходится к элементу ak (Si) <8> <то(/|2) в компактно-открытой топо-
топологии. Аналогично мы можем определить последовательности
операторов {С„}, {?)„} и {?„} в пространствах Int^ (t)j ®tJ, T],®g2),
Intft (|i <g> g2, |i ® тJ) и Intu(Tji ® TJ, |,jg> ti2) соответственно, схо-
сходящиеся к операторам /,,, ® S2, /|, ® S2 и Sf ® 7^, последова-
последовательности символов которых сходятся в компактно-открытой
топологии OPk соответственно к символам аоA^) <8> (— 1 )k ak (S2f,
<r0(/6,)®orft(S2) и (-l)*o-ft(S,)*® <го(/ть)- Тогда (см. теорему § 4
гл. XIII) оператор
Лп =
принадлежит Intfe(g, т)) и, как легко видеть, сходится в прост-
пространстве OPk(l, т]) к оператору Sj # S2, в то время как аг(Ап)
сходится к символу ak (Si) # ak (S2) в компактно-открытой
топологии.
Т е о р е м а 2. (S, # S2/ = Si # (- S2).
Доказательство. Матрица оператора (Sj # S2)f полу-
получается из матрицы оператора S) Ф S2 отражением относительно
главной диагонали и заменой каждой компоненты на транспо-
транспонированную, т. е. она имеет вид
-/„
/5,
Si
si
и, как легко видеть, совпадает с матрицей оператора Si#( — S2).
Следствие 1. Матрицей оператооа (Si # S2)'(Si # S2)
(С 0\ t ~ . t
является матрица I » ^ I, где С = SiSi ® /|г + /|, ® 5'2S2) D ==
( )) , A(|f> п,), ущует
последовательность {AJ в пространстве Int* (g, rj), гакая, ето А
J4 Р. Пале

210
Р. Пале
Следствие 2. Если St e ?", (lit ц{), то для всех & е Z
ker (Si # S2)k — ker (Si # S2), причем это пространство имеет раз-
размерность (dim ker Sx) (dim ker S2) + (dim ker Sf)(dim ker 5|).
Доказательство. Сначала заметим, что для любого
оператора Т е ОРХ (%, т]) имеем
а) ker 7<= ker Tk;
б) кегГ'Г = кегГ;
в) (Т*Т)к = Л-хТк.
С помощью (а) и (в), взяв Т = 5, # S2, получаем, что
ker E, # S2) s ker E, # S2)k s ker ((S, # S2)' (S, # S2) )k.
Пользуясь (б), получим ker E, # S2) = ker (S, ф S2)f E! # S2).
Следовательно, достаточно проверить равенство
ker (E, # S2)' (S, # S2) )k = ker (S, # S2)' E, # S2),
а также размерность фигурирующего в нем пространства.
Ввиду следствия 1 имеем ker(Ei#S2)'E1#52))A = ker Cft©ker Dk.
По следствию 2 теоремы § 2 kerCft = karC с размерностью
(dim ker Si) (dim ker S2). Меняя ролями расслоения |г и У]{, а также
операторы 5,- и S*, получаем, что ker Dk = ker ?> с размерностью
(dim ker Si)(dim ker Si)- Отсюда следует, что
ker ((S, # S2Y (S, # S2) )k = ker С 0 ker ?> = ker (S, # Stf (S, # S2)
является пространством размерности, указанной в правой части
равенства в формулировке следствия.
Лемма 1. Пусть X и Y — гильбертовы пространства,
Т: X -*¦ Y — непрерывное линейное отображение. Если опера-
оператор Т*Т имеет замкнутый образ, то этим свойством обладает
и оператор Т.
Доказательство. Пусть V = (kerГ) = (kerГТ). Тогда
оператор Т*Т отображает пространство V взаимно однозначно
на образ оператора Т"Т, так что (см. теорему 1 гл. VI) если
последовательность T*Tvn сходится к 0, то и vn сходится к 0;
здесь {vn} является последовательностью в пространстве V.
Далее, из условия Tvn—> 0 вытекает T*Tvn-*0, и потому опе-
оператор Г отображает пространство V изоморфно на простран-
пространство T(V) = T (X). Следовательно, пространство Т (X), будучи
изоморфно пространству V, является гильбертовым простран-
пространством и потому замкнуто в пространстве У.
Лемма 2. Пусть Н} и Я2 — топологические цепи гильбер-
гильбертовых пространств, Ле ОР^{НХ, Н2) и образ оператора
Гл. XIV. Тензорные произведения
211
(А*А\: Hk-*H k замкнут. Тогда оператор Ак: н\~>Н°2 имеет
замкнутый образ.
Доказательство. Выбор допустимого скалярного произ-
произведения в пространстве н\ порождает некоторый изоморфизм
/: HTk = H\. Но (А{А)к = АоАк и (см. теорему 4 гл. VIII) опе-
оператор j'Aq: H2->Hi сопряжен с оператором Ак, так что оператор
}{А*А)к = АкАк имеет замкнутый образ, и по лемме 1 таким же
является и оператор Ak-
Теорема 3. Пусть St е Ех (%{, у\{), так что (см. теорему l)
имеем S, # S2 е= ОРХ (|, л). Тогда оператор (S, # S2),: Я1 (|) ->
-> Я0(л) является F-оператором и ind (Si # S2)i = (ind Si) (ind S2).
Доказательство. Положив v = dim ker, имеем
v ((S, # S2),) = v (S,) v (S2) + v (S\) v (si)
по следствию 2 из теоремы 2. Так как по теореме 4 гл. VIII
(S, ф S2)] = (Si # S2Y0, то с помощью теоремы 2 и ее второго
следствия мы получаем
v ((S, # S2)\) = v (S\ # - Sa) = v (SQ v (S2) + v (S,) v (Si).
Тогда
v ((S, # 52H - v ((Si # S2);) = (v (SO - v (Si) ) (v (S2) - v (S2) ) =
= (md(S,))(md(S2)).
Таким образом (см. следствие 2 теоремы 10 гл. VI), достаточно
проверить, что оператор (Sj ф S2)i имеет замкнутый образ,
а по лемме 2 достаточно проверить замкнутость образа опе-
оператора ((Si Ф S2)'(Si ф S2))i. С помощью следствия 1 теоремы 2
( c ° \
находим, что ((S, ф S2r (S, ф S2) )i
и
, где оператор С,
имеет замкнутый образ по следствию 2 из теоремы § 2. Меняя
ролями расслоения |,- ици операторы St и Si, получаем, что
оператор D\ имеет замкнутый образ, следовательно, образ опе-
оператора ((Si Ф S2)' (Si Ф S2) )i, равный прямой сумме образов
операторов Сх и Du также замкнут.
Теорема 4. (Мультипликативность индекса.)
Если &{^А A^ %), то
ind (б, ф 62) = (ind 6,) (ind 62).
14*

212
Р. Пале
Доказательство. По теореме 4 гл. XII мы можем
выбрать операторы S{ s= ?, (?,-, т],-) с бг = бEг) = [ст, (S?)], так что
6i#62 = [(a! (Si)# а, (S2))[ S(M)]. Если мы выберем после-
последовательность {Ап}, указанную в теореме 1, то Oi{An) =
= a1(An)\S(M) равномерно сходится к (a, (Si) # а! (S2) )| 5 (Af).
Вспоминая (см. доказательство леммы из теоремы 4
гл. XII), что 6i ф ^2 является окрестностью элемента
(oi(S,)#a2(S2))|S(Al) в пространстве С°A{%, т))), полу-
получаем, что для больших значений п элемент аЛ {Ап) лежит
в 6i#62) откуда Ап<=Ех{1, ч\) и 6i #62 = 6(.ДЯ), так что
ind (б! ф б2) = ind (An). С другой стороны, последовательность Ап
сходится к оператору Si # S2 в пространстве OPX{%, r\), так
что последовательность {Ап)х сходится к (Si # S2)i в простран-
пространстве L(Hl{%), Я°(т))) для достаточно больших п. Следовательно,
по теореме 3 настоящей главы и теореме 4 гл. VII ind(y4J =
id(DI) = (ind(S1))(ind(S2)).
ГЛАВА XV
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ia И /t НА ГРУППЕ К(М)
Р. Соловэй
В § 1 мы покажем, что аналитический индекс ia(D) зави-
зависит только от y{D) е К. {В(М), S(M)). Параграфы 2 и 3 по-
посвящены изучению мультипликативности топологического
индекса it. В § 4 каждому векторному расслоению т) над
четномерным многообразием М мы поставим в соответствие
некоторый оператор DM ® 1Л. Полагая
для i=it или ia, мы можем рассматривать индекс i опреде-
определенным на К(М). В § 5 суммируются основные свойства 1а и it
на К{М). Большей частью эти свойства доказаны в § 5 — 7,
хотя одно будет установлено (с большими усилиями) в гл. XVII.
§ 1. Определение аналитического индекса
на К (В (М), S (М) )
Пусть М — замкнутое ориентированное риманово многооб-
многообразие. Пусть В{М) (соответственно S{M)) — расслоение еди-
единичных шаров (соответственно единичных сфер) многообразия М ')•
Пусть л: В (М) -* М — проектирующее отображение. Если Z, — рас-
расслоение над многообразием М, то через ? мы будем обозна-
обозначать сужение расслоения я% на S{M).
Пусть ? и г) — комплексные векторные расслоения над много-
многообразием М и D: С°°(?)->С°°(г|) — эллиптический оператор.
Символ оператора D дает изоморфизм
a(D): ?^tj.
Различающая конструкция дает y(D) <= К(В(М), S(M)):
A)
Теорема 1. Существует гомоморфизм
ia: K(B(M),
') Автор выразился не совсем точно. Напомним, что В (М) и S (М) опре-
определяются как расслоения единичных шаров и единичных сфер касательного
расслоения Т (М) над многообразием М. — Прим. перев.

214
Р. С о лов э й
такой, что
ia(D) = ia(y(D)) B)
для каждого эллиптического оператора D. (Таким образом,
аналитический индекс оператора D зависит только от y(D).)
Если Yo е К (В (М), S (М)), то Yo = Y (?>) для некоторого элли-
эллиптического оператора D.
Доказательство. Докажем сначала последнее утвер-
утверждение теоремы. Так как отображение я: В{М)-*М является
гомотопической эквивалентностью, то каждое комплексное
векторное расслоение над пространством В(М) изоморфно
некоторому расслоению вида я*?, где ? является гладким век-
векторным расслоением над многообразием М. Поэтому (см. тео-
теорему 2 гл. II) при подходящих ?, ц и а0 имеем
\0 = d(nX, n\, а0),
где сг0 ^ Iso(g, ij)'). По теореме 4 гл. XII существует эллип-
эллиптический оператор D: С°° (?) -> С°° (ц) с символом а (В), гомо-
гомотопным <т0- Тогда \(D)~\Ot и мы доказали последнее утвер-
утверждение теоремы.
С помощью теоремы 4 гл. XII мы видим, что аналитиче-
аналитический индекс ia(D) зависит только от гомотопического класса
элемента a(D) в пространстве Iso(?, rj). Кроме того, a(D) —
= o(D') для некоторого эллиптического оператора D' порядка
нуль. В оставшейся части доказательства мы будем рассма-
рассматривать только эллиптические операторы D порядка нуль.
Случай 1. Автоморфизм a(D) продолжается до автомор-
автоморфизма расслоения я*? as jt4i над всем В(М).
По лемме 1 гл. II y(D) = 0. Покажем, что аналитический ин-
индекс ia{D) равен 0. Так как отображение я: В(М)->М является
гомотопической эквивалентностью, то символ a(D) гомотопен
отображению л*г|з, где i)j: ? ^ ц. С другой стороны, гр„: С(?)->
->C(tj) является эллиптическим дифференциальным операто-
оператором порядка нуль и a(opj = я*г|з| S(М). Следовательно, ia(D) =
= ia(ty.) — Q> так как ар, является изоморфизмом.
Случай 2. Оператор D является эллиптическим операто-
оператором порядка нуль, причем y (D) = 0.
Покажем, что ia(D) = 0. По лемме 1 (v) гл. II существует
расслоение а» над многообразием М, такое, что отображение
a(D)+l&: ~ '
Гл. XV. Определение ia и it на группе К(М)
215
продолжается до изоморфизма над всем В(М). Но а(О)ф1а =
= а(Оф1№) (см. § 4 гл. XIII). Ввиду случая 1 имеем
/а(?>® 1и) = 0. С другой стороны,
la (D 0 1J = la (D) + ia A а) = ia (D).
Следовательно, ia (D) = 0.
Случай 3. Пусть D\ и D2 — эллиптические операторы,
причем y(Dl) = y(D2).
Покажем, что ia(D{) = ia{D2). Пусть D3 — эллиптический
оператор порядка нуль, причем \{D3)= — y(?>i)- Пользуясь
результатами §4 гл. XIII, получаем а(Ь!ф/K) = a (Di)®a(D3).
Из аддитивности различающей конструкции (см. лемму 2 (vi)
гл. II) следует, что y(Dl®D3) = \(Di) + y(D3) = 0. Аналогично
\(D2® D3) — 0. По теореме 1 гл. XIII и ввиду случая 2 полу-
получаем 0 = ia {Dx ф D3) = ia [Di) + ia (D3); аналогично 0 = ia{D2) +
+ ia(D3). Следовательно, ia{Di) = ia{D2).
Случай З показывает, что равенство B) корректно опреде-
определяет аналитический индекс ia на К(В(М), S(M)). Теорема 1
гл. XIII и аддитивность различающей конструкции показы-
показывают, что ia является гомоморфизмом. Это заканчивает дока-
доказательство теоремы.
Замечание. Само определение топологического индекса
показывает, что it{D) зависит только от y(^)- Следовательно, it
определяет гомоморфизм
it: K(B(M), S(M))->Q,
такой, что it(D) — it(y(D)). Для доказательства теоремы об ин-
индексе для всех эллиптических операторов над многообразием М
достаточно показать, что 1а и it совпадают на К{В(М), S{M)).
§ 2. Свойство мультипликативности топологического
индекса it
2.1. Сделаем обзор нужных нам результатов о тензорных
произведениях, которые были получены в гл. XIV. Пусть Mt,
/=1, 2, является замкнутым ориентированным римановым
многообразием, %{ и г\{ — эрмитовы векторные расслоения
над Mt. Пусть М — Mi X М2. Определим эрмитовы расслоения |
и tj над многообразием М по формулам:
') Мы будем допускать, что размерности слоев расслоения ? могут раз-
различаться над разными связными компонентами многообразии М.

216
Р. С о ловэй
Пусть S{: С°° (?г) -> С°° (r\i) — эллиптический оператор порядка
г>0, г=1, 2. Определим оператор S, # S2 e ОРГA, т^) матри-
матрицей
C)
Если 5i и S2 — дифференциальные операторы, то Si # S2
является эллиптическим оператором порядка г. Но, вообще
говоря, Si # S2 не будет эллиптическим оператором порядка г.
Символ a (S{) оператора 5,- по своему определению задан
только на множестве Tr(Mi) ненулевых касательных векторов
многообразия Mt. Так как отображение o(St) является одно-
однородным степени г>0, то оно продолжается на все Г (Mt):
а @, х) полагается равным нулю.
Определим символ о (Si 4f= S2) ^ C°(L (я% л'ц)) следующей
матрицей компонент:
cr(S2) (-l)r«r(S,r®a0(/4l)
Если Si и S2 —дифференциальные операторы, то a(Si#S2)
является обычным символом. В общем случае отображение
a (Si # S2) является однородным степени г и эллиптическим
(т. е. если (v, х)^Т(М), ьфО, то ст(S, # S2) (и, д;)е Iso(i^, лЛ).
Наконец, заметим, что аналитический индекс обладает
следующим свойством мультипликативности: пусть оператор
5: С°° (|) -> С°° (т)) будет эллиптическим порядка г. Предположим,
чтоаE) гомотопен aE!#S2) в пространстве C°(Iso(n*|, п*ц))
(я: Т'(М)^М). Тогда
г» E) = la (Sx # S2) = la (Si) ¦ ia (S2) E)
(оператор Si # 52 является /^-оператором, так что индекс
la (Si # S2) определел).
2.2. Напомним определение топологического индекса эллип-
эллиптического оператора
S: С~(Е)->С-(л).
(Здесь | и т) — комплексные векторные расслоения над много-
многообразием М. Временно М — произвольное замкнутое ориенти-
ориентированное риманово многообразие.)
Пусть m — размерность многообразия М, и пусть U е
^Hm(B(M), S{M); Q) —класс Тома многообразия М, опреде-
определенный ориентацией последнего. Пусть
Ф,:Я'(М, Q) о* Н* (В'(М), S(M); Q)
— изоморфизм Тома ф,(а) = я*аи^ (гДе п'- В(М)-*-М),
Гл. XV. Определение ia и i, на группе К(М)
217
Так как S — эллиптический оператор, то определен элемент
, S(M)) (см. § 1). Положим
F)
G)
где
г(т)=т(т2+1)
Напомним теперь определение элемента J" (М) е Я* (М, Q).
Пусть | — вещественное векторное расслоение над многообра-
многообразием М; рассмотрим рациональные классы Понтрягина рас-
расслоения | как элементарные симметрические функции от пере-
переменных у\, ..., у\ (п— достаточно большое число): 1 + pi (|) + ...
!)• Тогда
341) =
М
1-е"
(8)
Наконец, f (М) = f (Т (М)).
Следующая формула вытекает из (8):
Напомним доказательство. Пусть
= П
1
(где yt — независимые переменные, а числа г, s — r достаточно
большие). Формула произведения для классов Понтрягина
S
утверждает, что р (|, ф |2) = р(|,) • р (|2) = Д A + #?)• Теперь фор-
формула (9) легко получается из формулы (8):
t-r+1
Наконец, если a<^H*(M, Q), то a [M] — значение компо-
компоненты высшей размерности элемента а на фундаментальном
цикле, определенном ориентацией многообразия М. Топологи-
Топологический индекс оператора S задается формулой
A0)

218
Р. С о лов э й
2.3. Вернемся к обозначениям п. 2.1. Пусть тг = dim Mt.
Определим элемент v (Si # S2) е= К (В (М), S (М)) формулой
Y(Si#S2) = rf(n'i, яЧ a(Si#S2)|S(Af)). Определим тополо-
топологический индекс /<Ei#52)^Q формулами F) и A0).
Теорема 2. Топологический индекс мультипликативен:
Доказательство основано на том, что все „ингреди-
„ингредиенты" топологического индекса it обладают свойством мульти-
мультипликативности. Знак в фомуле F) предназначен для компен-
компенсации знаков, возникающих из-за косой коммутативности кого-
когомологического умножения.
Покажем сначала, что
<Т (М) — J'(Mi) X <Т (М2). A1)
Фактически мы имеем разложение в прямую сумму Т (М) =
¦=» п\Т(М^@п2Т(М2). По формуле (9) получаем
j- (М) = п\ j- (м,) и пут (м2) = д- (м,) х J (М2).
Мы покажем в конце, что
Ch E, # S2) = Ch E,) X Ch (S2).
A2)
Если принять формулу A2), то теорема 2 следует из хорошо
известного тождества
(а X а2) [М, X М2] = а, [М,] • а, [М2], at e H'(Mt, Q), A3)
ибо Ch(S,#52)J'(iW) = (Ch(SI)X Ch(S2))-(J'(Ml)XJ'(M2)) =
= (Ch(Si)-J'(Ml))X(Ch(S2)-J'(M2)), откуда it {Si # S2) =
= Ch(Sr#52) • J-(M) [M] = (Ch(S!) • ЛМ,))Х(Ch(S2) • J-(M2))[M] =
= it (Mi) • it (Af2) (по формуле A3)).
Доказательство формулы A2) использует гомотопическую
эквив алентность
г: (В (М,) X В (М2); В (М,) X 5 (М2) U 5 (М,) X В (М2)) ->
-> (в (Mi х м2); s {М, х м2)),
определенную следующим образом:
В (М, X М2) S В (М,) X 5 (М2).
Отображение г будет тождественным на В (Mi X M2) и радиаль-
радиальной ретракцией внешности множества В (Mi X М2) на простран-
Гл. XV. Определение ia и it на группе К(М)
219
ство S(MiX М2)- Рисунок изображает отображение г на стан-
стандартном слое, когда mi = m2 = 1.
Пусть Uls=H"li(B(Mt), S(Mi); Q)-класс Тома многообра-
многообразия М{, и пусть U e= #m'+m» E (М), S(M); Q) - класс Тома
многообразия М. Тогда (r*)~l(Ui X U2) сужается до образующей
в Н*(В(М)Х, S(M)X) для каждой точки х е М. Так как это
характеризует класс Тома U (см. § 1.0 гл. III), то
UiXU2. A4)
Следующая лемма будет доказана в § 3.
Лемма 1. Операция \ является мультипликативной:
Из леммы 1 мы получаем
г* (ch (v E, ф S2))) = ch (v E,)) X ch (Y E2)).
С другой стороны, из формулы F) вытекает, что
ch (Y (St)) = (- 0е (m<> я* Ch (St) U Uit
ch (Y E, # 52)) = (- l)e ""^V Ch E, # 52) U U.
Из равенств A4), A5) и A6) мы получаем
A5)
A6)
ChE2), A7)
где 8] <=г(гпх + m2), 82 = e(m,)+8(m2) + m1m2. [Множитель (—l)m'm'
получается следующим образом: Ch(S2)U U2{= ± ch(y E2)))
состоит из четномерных компонент. Следовательно, Ch(S2)
состоит из членов четности ш2 (совпадающей с градуировкой
элемента U2). Чтобы получить A7), надо переставить ChE2)
и U\, откуда и появляется множитель (—l)m'm>.]
Наконец, формула A2) получается из A7) и следующего
очевидного равенства: *
е (т, + от2) = е (mi) + e (m2) + mxtn%.,

220
Р. С олов э й
§ 3. Доказательство леммы 1
Мы сохраним обозначения § 2. Таким образом, для 1=1, 2
мы имеем расслоения |г и % над многообразием Mt и отобра-
отображение расслоений
определенное над пространством В(М{). (Здесь я: ?(Мг)-> M{
является проекцией1), символ a (Si) по непрерывности продол-
продолжается на все пространство В (М[).) По определению
= d (л%, л\, a (St) | 5 (Mt)). A8)
Так же как и в разд. 2.1, имеются расслоения g и % опре-
определенные над многообразием М(—МХХМ2), и отображение
расслоения
а E, # S2): я'| -> п\ (я: В (М,) X В (М2) -* М), A9)
определенное на всем В (Мi) X В (М2). Отображение A9) является
изоморфизмом вне нулевых сечений расслоения B(Mi)XB (М2)-
По определению
V E, # S2) = d (л% п\ a (S, # 52) | S (М)), B0)
где я —проекция В(М) на М и v(Si#S2) принадлежит
.ДГ(В(М), 5(М)). Применим теперь теорему 8 гл. II. Положим
Xi = B{Mt), Y^SiMi), Et =n%, F{ = n\, а(=(тEг). Сравнение
определений из § 5 гл. II и разд. 2.1 настоящей главы пока-
показывает, что
Е = п% F=*k\ 5I#a; = a(S1#Ss)
(где я: В{М1)ХВ(М2)-^М).
Положим для краткости
д {В (М{) X В {М2)) = В (Mt) X S (М2) U S (М{) X В (М2).
Тогда теорема 8 гл. II вместе с равенством A8) показывает, что
y(Sl)Xy(S2) = d(n% л\ аE1#52)|(9(Я(М1)Х5(М2))). B1)
(Обе части равенства B1) принадлежат
К (В (М,) X В (М2)), д (В (Мг) X В (М2)).)
Мы выведем лемму 1 из B0) и B1). Пусть ||л;|| обозначает
длину вектора х, и пусть
') Мы испольлуем символ я для обозначения проекций нескольких рас-
расслоений, какого именно—ясно из контекста.
Гл. XV Определение ia и it на группе
221
Таким образом, Е{М) — часть пространства В(МХ)Х В{М2),
лежащая между S(M) и д(В(Мх)Х В(М2)) (см. рисунок в § 2).
Мы имеем гомотопически коммутативную диаграмму гомо-
гомотопических эквивалентностей
ВШг) , д(В(М,) х В(Мг)))
В(Мг) , Е(М))
B2)
Здесь отображения it и i2 являются вложениями, а отобра-
отображение г —такое, как в лемме 1 (см. рисунок).
Отображение a(Sx # S2) \E(M) является изоморфизмом, так
как пространство Е (М) состоит из ненулевых векторов. Опре-
Определим элемент у'<^К{В{МХ)Х В(М2), Е(М)) по формуле
Y* = d (я% я*л, о E, # S2) | Е (М)).
Тогда из формулы B2) получаем r'/2 (v*) = /J (v*)- Теперь /• (у*) =
= \(S\) X \(S2) по формуле B1), и из равенства B0) получаем
4 ("V*) = Y E, # 52). Следовательно,
и лемма 1 доказана.
§ 4. Определение индексов 1а и и на К(М)
4.1. Нам понадобится следующий материал из § 3 гл. V.
Пусть М — замкнутое ориентированное четномерное многообра-
многообразие, dim М = 2т. Пусть | = Л* (Т* (М) )®С — расслоение комплекс-
комплексных внешних дифференциальных форм. Тогда существует кано-
каноническое разложение | в прямую сумму 1 = | ©|~. Эллиптиче-
Эллиптический дифференциальный оператор
сужается до эллиптического дифференциального оператора
Характер оператора DM может быть вычислен, если вос-
воспользоваться результатами § б гл. III. Для этого мы рассмотрим
классы Понтрягина многообразия М как элементарные сим-

222
P. Co лов эй
метрические функции от переменных у\, '..., у2т : 1 + рх (М)+ .. .
- г/2). Тогда
B3)
Элемент у{ имеет формальную степень 2. Так как {еУ1 — е~у^)\у1 =
= 2 + Члены положительной размерности, то из равенства B3)
вытекает
Ch (DM) = 2m + Члены положительной размерности. B4)
4.2. Пусть г] — комплексное векторное расслоение над много-
многообразием М. Пусть л: Т*{М)-*-М — отображение проекции рас-
расслоения. Тогда отображение
а (DM)
п
-> я* (Г
принадлежит пространству Smbh (|+ ® т], |~ ® т)). Этот символ
является эллиптическим порядка единица, поскольку таков
a {Dm)- Ввиду точной последовательности для символов диф-
дифференциальных операторов (см. теорему 2 § 3 гл. IV) существует
эллиптический дифференциальный оператор первого порядка
символом которого является a {DM) ® 1я»п- (Элемент DM <g> I,,
определяется неоднозначно, однако эта неоднозначность несу-
несущественна для дальнейшего.)
Напомним, что К.{В{М), S(M)) является К. (Л1)-модулем
относительно действия
а • р = я*а ® Р (a s= #(М). §<=К(В(М)з S{M))).
Вычислим элемент y(Am® 1-п) следующим образом: y{DM ® 1Л)=
по лемме 1 (viii) гл. II. Другими словами,
). B5)
Отсюда немедленно получается
Ch(?>jM®lT)) = Ch(DjM).ch(Ti). B6)
4.3. Пусть далее i обозначает либо ia, либо it. В § 1 мы
определили отображение i: K(B(M), S(M))-*-Q, такое, что
Гл. XV. Определение ia и it на группе К(М)
223
где D — эллиптический оператор над многообразием М. В слу-
случае если М — четномерное многообразие, определим индекс
по формуле
i{a) = i(a-y(DM)).
Обращаясь к B5), получаем
4.4. Следующая теорема по существу утверждает, что имеется
достаточно много эллиптических операторов вида DM ® 1Л.
Теорема 3. Пусть М — четномерное многообразие. Если
индексы ia и it совпадают на К {М), то
для всех эллиптических операторов D на многообразии М.
Доказательство. Пусть ф = ia — it. Покажем, что если ф
аннулируется на КШ) • \{DM), то ф аннулируется на всем
модуле К(В(М), S(M)).
Определим группу / через точную последовательность
(Здесь / — отображение вложения.) Отображение ф определяет
факторотображение ф: / —*¦ Q. Мы должны показать, что ф = 0.
Достаточно показать, что / является группой конечного порядка,
так как группа Q не имеет кручения. Мы увидим в действи-
действительности, что / является группой кручения с конечным числом
образующих и, следовательно, конечной. Другими словами, мы
должны доказать, что / 0 Q = 0.
Доказательство будет базироваться на тех фактах, которые
напоминались в гл. II. Пусть {X, У) —конечный С 1^-комплекс.
Тогда:
1) К(Х, Y) является абелевой группой с конечным числом
образующих;
2) характер Чжэня является гомоморфизмом колец:
ch: K(X, K)<g>Q= 0 Hl(X, Y;
*=sO(mod 2)
, Y; Q). B8)
Из 1) следует, что группа / имеет конечное число образующих.
Далее мы напишем цепь эквивалентных утверждений:
а) /®Q = 0.
б) [k(m)-v(dm)]®q = k;(b(m),s(M))®q.
(Применить точный функтор ® Q к формуле B7).)

224
Р. С о лов э й
в) Hev (M, Q) • ch (у (DM)) = Hev (В (М), S (М); Q).
(Применить B8) к б).)
г) Hev(M, Q) • Ch(DM) = Hev(M, Q).
(Применить изоморфизм Тома к в).)
д) Элемент Ch [DM) обратим в кольце Hev (M, Q).
Докажем д). Ввиду B4) мы можем написать
где х<^ Hev(M, Q) является суммой членов положительной
размерности. Так как многообразие М конечномерно, то эле-
элемент х нильпотентен (действительно, х2п+1 = 0). Следовательно,
A-х)A+х + х2+ ... + х2т) = \ - х2т+х = 1
и элемент Ch(DM) имеет обратный, равный
2-т{1+Х + х2+ ... +х2т).
Это показывает, что Ch(DM) обратим в кольце Нег> (М, Q).
Доказательство закончено.
§ 5. Сводка свойств индексов ia и it на группе К (М)
Мы немного изменим обозначения предыдущего параграфа.
Если М — четномерное замкнутое ориентированное многообразие,
а е /( (jM), то мы будем писать i(M, а) вместо г (а), когда мы
захотим указать явно зависимость от многообразия М. (Здесь i
обозначает либо it, либо ia.)
Следующая теорема содержит свойства индексов 1а и it.
Часть доказательства будет отложена до следующей главы.
Теорема 4. Пусть i обозначает либо ia, либо it. Тогда
индекс i, рассматриваемый как функция на К. (М), обладает
следующими свойствами:
а) i{X+Y,a + b)=i{X,a) + i(Y,b); i(X,a®b) = i(X,a) + i(X, b),
где + обозначает несвязную сумму, а © является суммой
Уитни (мы предполагаем здесь, что dim X = dim Y);
б) i(X X Y, a ® b) = i (X, a) ¦ i(Y, b);
в) 1{Х, а) = 0, если пара (X, а) является краем, т. е. если
существуют компактное ориентированное многообразие Y с краем
X = dY и элемент а' ^ К (Y), сужение которого на X совпадает
с элементом а;
г) i(CPBm), 1) = 1; iiS2™, Fm) = 2m, где элемент Vm^K{S2m)
характеризуется следующим свойством: ch(Fm) является обра-
образующим элементом в кольце H2m(S2m, Q), определенным ориен-
ориен2
Гл. XV. Определение 1а и it на группе К(М)
225
тацией S
2m
т. е.
ch(Vm)[S2m]=l.
Замечание. В гл. XVIII будет доказано, что свойства
а) — г) однозначно определяют вещественную функцию /. Вместе
с теоремой 3 это будет доказательством теоремы об индексе
для четномерных многообразий.
Доказательство свойства в) сводится для ia к граничной
эллиптической задаче. Об этом будет говориться в гл. XVII.
Доказательство а). В § 1 мы доказали, что отобра-
отображение ia: K{B(X), S(Z))->-Z является групповым гомоморфиз-
гомоморфизмом. То, что отображение lt: K{B(X), S(X))-*Q является го-
гомоморфизмом, легко получается из определения топологического
индекса. Отсюда если / обозначает либо ia, либо it, то
, a® b) = i([a + b] ¦ y(Dx)) = i(
• y(Dx))
, b).
y(Dx))
Аддитивность топологического индекса it относительно опе-
операции несвязной суммы тривиальна. Проверим аддитивность
аналитического индекса ia: пусть S и Г —такие эллиптические
операторы нулевого порядка на многообразиях X и Y соответ-
соответственно, что
Тогда если мы определим очевидным образом несвязную сумму
операторов S + Т, то у (S + Т) = у (S) + у (Т) (несвязная сумма!)').
Отсюда la [S + Т) = ia {а + Ь). Но, как легко видеть, ia {S + Т) =
= ia(S) + ia(T).
Доказательство в) для топологического индекса lt.
Если Х = дК, то T(Y)\X расщепляется в прямую сумму рас-
расслоения Т (X) и одномерного тривиального расслоения. Следо-
Следовательно, если /: X -> Y — отображение вложения, то
|здесь pi являются z-ми классами Понтрягина. Таким образом,
Ch(Dx) и J1 (X) лежат в образе гомоморфизма /*.
Пусть Dx ® 1в — эллиптический оператор, причем y(Dx<2> le) =
= ay {Dx). Тогда Ch [Dx® la) = Ch [Dx) ch (a) = Ch (Dx) j' ch {a')
лежит в im /*.
Теперь если Ae=#*(X, Q) и K = fk', то А[Х] = 0. Для того
чтобы показать это, предположим, что dim К = dim X. Пусть
') Это утверждение не содержится среди свойств (SI) — (S5), но его
легко можно получить из построения алгебры Сили.
15 Р. Пале

226
Р. С о л о в з й
lix<=H2m(X,Q) и цк«= #2m+i (Y, X; Q) —ориентированные фун-
фундаментальные классы многообразий X и Y. Тогда <?цу = цх и
X \Х\ = (X, цх) = (К, дцу) = FХ,
ЫХ', цу).
Однако б/* = 0 в силу точной последовательности когомоло-
когомологической пары {X, Y). Если взять X = Ch.(Dx <Э la) J1 (X), то по-
получим it{X, a) = 0.
В § 6 мы докажем свойство б); § 7 будет посвящен дока-
доказательству свойства г).
§ 6. Мультипликативность индекса i на группе К (М)
Пусть Mi и М2 — четномерные замкнутые ориентированные
римановы многообразия, и пусть М = М\ X М2. Доказательство
свойства б) будет основываться на следующей теореме.
Теорема 5. Пусть |г — расслоение комплексных внешних
дифференциальных форм над многообразием М,, и пусть | — со-
соответствующее расслоение над М. Пусть
D
M:
и DM:
— операторы из § 4. Тогда с точностью до канонического изо-
изоморфизма мы имеем:
а) 1 = |, 8> |2;
б) 1+ = ёГ®?2+е?Г®12~; г=1Г ®?2+Ф^Г ® С
(следоваг^бно, DM} # Da,,: C°°(l+) -* С00^));
в) операторы
Dm и Dm,#D№: C00^)-^00^-)
имеют гомотопные символы.
Покажем сначала, как из теоремы 5 вытекает утвержде-
утверждение б) теоремы 4. Пусть аг е K(Mt). Так как индекс t адди-
аддитивен относительно суммы Уитни, то можно предположить, что
ai = [r\i]- Определение операции # показывает, что
(DMl 0 Ц,) # {DMl ® !„,) = (DMl #
B9)
Правая часть формулы B9) имеет по теореме 5 (в) символ,
гомотопный символу оператора Dm ® Ц,®цг-
Применим отображение / к обеим частям равенства B9).
Индекс левого оператора равен ЦМи [г),]) • i(M2 ¦ [г\2]) (из тео-
теоремы 2, если i = it, и из результатов гл. XIV, если i = ia).
С другой стороны, индекс правой части равен i(M, [t)i <8> тJ])
по замечанию из предыдущего абзаца. Так как [г^ ® тJ] =
Гл. XV. Определение ia и it на группе К(М)
227
= [лЛ X [лгЬ то доказательство свойства б) теоремы 4 вытекает
из теоремы 5.
Обратимся теперь к доказательству теоремы 5. Если V —
конечномерное вещественное векторное пространство, то обо-
обозначим через AJ.(F) комплексификацию внешней алгебры про-
пространства V. Если V = V\ ф V2, то существует канонический
изоморфизм векторных пространств
Ц C0)
который отображает Vi ® 1 + 1 ® v2 в
Я, ® Л2 в Я, Л Я2 (для Я( А* (К))
Так как Af = Mi X М2, то
(здесь о?
и
C1)
Если мы применим C0) к каждой точке многообразия
М\ X М2, то получим изоморфизм ijj: Si®i2->l, при котором
для ф,- е Я°° (|г) имеем
ф(ф, ® Ф2) = я|ф, Л я*ф2. C2)
В дальнейшем мы будем отождествлять расслоение gj ® |2
с расслоением | при помощи изоморфизма ij).
Таким образом мы доказали утверждение а).
Пусть теперь V — четномерное вещественное векторное про-
пространство. В п. 6.1 гл. III мы определили каноническое ото-
отображение
a: AJ. (V) s* Л*с (V),
квадрат которого равен единице; Л+ (V) являются его соб-
собственными пространствами с собственными значениями ±1.
Пусть w — умножение на ( — l)k в пространстве A*(F). Тогда w
коммутирует с отображением а, так как а не меняет четность
однородных элементов, именно а: \k(V)—> A2!~k(V). Отсюда
следует, что w отображает собственные подпространства А±
отображения а в себя. Так как w2=l, то отображение w
является автоморфизмом пространств Л±.
Отображения w и а будут, следовательно, коммутировать
на уровне расслоений, откуда w индуцирует автоморфизм рас-
расслоений |г. Далее нам понадобится факт, что отображение
w: I?—>lf гомотопно тождественному автоморфизму. Чтобы
это увидеть, мы определим отображение we: A*C(V)—*¦ A*C(V)
по формуле
ил)(ф) = ф, если феЛс(К), где k четно,
» если
, где k нечетно.
16*

228
Р. С о лов эй
Тогда отображение we коммутирует с а и индуцирует авто-
автоморфизм расслоений ?*; при этом wo = \, wx = w, так что wQ
является искомой гомотопией.
Пусть теперь V и W — четномерные векторные пространства.
Если aeAjG) и 6 е= Л* (W), то
(a ® b) = av(a) + aw(b)
(см. п. 6.1 гл. III). Из этого следует, что
Л+ (V© W) = (Л+ (V) ® Л+ (W))е(Л_ (V) ® Л_ (Г)),
Л_ (Fф 1Г) = (Л_ (F) ® Л+ (Г))©(Л+ (F) ® Л_ (W)). C3)
Беря C3) на уровне расслоений, мы получаем утверждение б)
теоремы 5.
Обозначим через D оператор d + b. Тогда
D\lt = DMt, D\IT-D'ue C4)
как утверждалось в § 4.
Лемма 2. Пусть ф^еС00^-) для /= 1, 2.
?> (qpi ® ф2)
ф2
Доказательство. Предположим, что сечение ф,- является
однородным степени &,-. Так как оператор D является диффе-
дифференцированием, то
d (ф, ® ф2) = ?>Ф1 ® ф2 + (- 0й' Ф1 ® <^Фг- C5)
Переходя к расслоениям gf и пользуясь равенством B4) гл. III,
получаем
*(ф, ® ф2) = (- 1)*'*' *ф! ® *ф2. C6)
С другой стороны, так как многообразия Мь М2 и М четно-
мерны, то
б = - #d*. C7)
Следовательно,
*Ф2)) =
(ф,
= бф, ® ф2
(Здесь мы воспользовались тем, что *2 = (—1)* на Лй и *ф
имеет ту же четность» что и ф; оба эти утверждения верны
только для четномерных многообразий,)
Гл. XV. Определение и и I, на группе К(М)
229
Лемма 2 получается теперь из формулы C5) и соответ-
соответствующего результата для оператора б, доказанного в преды-
предыдущем абзаце. v
Воспользовавшись леммой 2 и равенством C4), мы видим
что оператор DM относительно разложения в прямую сумму б)
имеет матрицу '
м,
W о I (g) ?)*
М„
s, м2
D'
C8)
м,
С другой стороны, матрицей оператора Dm, # Dm, служит
C9)
(см. C)).
Для того чтобы доказать совпадение C8) и C9), сделаем
следующие отождествления:
Dw = — wD, w2=l.
Первое отождествление получается из того, что оператор D
меняет четность, второе тривиально. Отсюда мы получаем,
что произведение матриц
— w °/__ ® /. о. О
I
О
равно матрице C9).
Так как отображение w. if-*lf гомотопно тождественному
в пространстве автоморфизмов расслоений, то первая и третья
матрицы ¦ матричного произведения могут быть продеформиро-
ваны в тождественные автоморфизмы расслоений. Это задает
гомотопию в классе эллиптических операторов от оператора
Dm, # DM, к оператору Dm- Переходя к символам, мы получим
гомотопию символов, утверждаемую в в).
Замечание. Для приложений теоремы 5 надо показать,
что Y {DM) ® 1 = Y (Дм, # Аи..) ® 1 в кольце К (В {М), S{M))® Q.
Это равенство легко получается из вычислений характера
д помощью B3).

230
P. Co лов эй
§ 7. Прямая проверка равенства ia = U в некоторых
специальных случаях
Утверждение, что аналитический индекс равен топологиче-
топологическому для многообразия СР Bт) и одномерного тривиального
расслоения и что
ia(CPBm), \) = it{CP{2m), 1) = 1,
получается из предложения 7 гл. V.
Рассмотрим теперь i(S'2m, Vm). Так как классы Понтрягина
многообразия S2m равны нулю (в действительности S2nt ста-
стабильно параллелизуемо), то из B3) вытекает, что
(см. также B4)). Отсюда следует, что
где U е= Н2т (В (S2m), S (S2m)) - класс Тома. Пусть теперь эле-
элемент а е H2m(S2m, Q) является образующей, определенной
ориентацией сферы:а[52т] = 1. Пусть Vn^KiS2) — образующая,
причем ch (Vm) = а. Тогда из B5) вытекает
ch (v (Ds2m ® 1 vm) ) = (- 1)m2m a U U.
Рассмотрим далее оператор
D0)
из § 2 гл. V. Обозначим для простоты его через Do. Анали-
Аналитический и топологический индексы оператора Do равны эйле-
эйлеровой характеристике сферы S2m, которая равна 2 (см. пред-
предложение 1 и следствие 2 гл. V).
С другой стороны, характер оператора Do можно вычис-
вычислить, воспользовавшись предложением 5.1 гл. III. Мы имеем
где х (S2m) — эйлеров класс. Так как классы Понтрягина сфе-
сферы S2 равны нулю, то j'(S2m)=l и Ch.(D0) = X (S2m) = 2а.
(Эйлеров класс равен эйлеровой характеристике, умноженной
на образующую.) Отсюда следует, что
ch(v(Do)) = (-ir2aUC/. D1)
Если теперь (X, К) —конечная CW-пара, то ch индуцирует
изоморфизм между К (К, Y) <$ Q и Hev (X, Y; Q). Следовательно,
Гл. XV Определение 1а и i, на группе К(М)
231
ядром ch является подгруппа кручения группы К(Х, Y). Тогда
из равенств D0) и D1) вытекает, что
m ® lvm) = 2т~'
' у (Do) + кручение.
D2)
Теперь 1а и it являются отображениями в Q и, следовательно,
аннулируют кручение. При этом, как мы видели выше,
Отсюда i(S2m, Vm) = i(y(Ds2m® \vm)) = 2m. (Здесь / равно 1„
или it.) Таким образом, мы закончили доказательство свой-
свойства г).

ГЛАВА XVI
ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ Int*
Р. Пале и Р. Сили
§ 1. Преобразование Фурье
Обозначим через LP(R"), где 1<!р<оо, множество измери-
измеримых комплексных функций f на R", таких, что $f\\LP~
— ( j I /W \p dx\ < оо; через L°°(R") обозначим пространство
измеримых комплексных функций f на R", таких, что || / ||L°° =
= inf {M; \f(x)\<M почти всюду}<оо. Напомним, что если ото-
отождествить функции, которые совпадают почти всюду, то LP(R")
превращается в банахово пространство с || ||р в качестве
нормы. При этом если 1=?Ср<оо и 1—=1, то простран-
пространство L*(R") является двойственным к пространству LP(R"),
причем спаривание задается формулой
<f,g)=jf(x)g(x)dx, где f^L", g^L".
Если f и g — неотрицательные измеримые функции на R", то
легко показать, что функция / * g, на R", определенная форму-
формулой f*g (х) = I f{x — y)g{y)dy, удовлетворяет неравенству
\\f*g\\LP<\\f\\LA\g\\LP, где 1<р<оо.
(См. Люмис Л. „Введение в абстрактный гармонический ана-
анализ".) Отсюда вытекает
Теорема 1 (теорема Юнга). Пусть l^p^oo, пусть
f eL"(R") и g^Lp(Rn). Тогда функция f (x — у) g (у) является
суммируемой как функция от у для почти всех значений х и
функция f * g, определенная формулой
f*g{x)= / f{x-y)g(y)dy,
принадлежит пространству Lp (R"), причем
\\f*g\\LP<\\f\\Li\\g\\LP.
Применив теорему Фубини, убеждаемся в ассоциативности
и коммутативности операции *, откуда вытекает
Гл. XVI. Построение алгебры IntA
233
Следствие. Пространство L1 (R") является коммутативной
банаховой алгеброй относительно операции *, и каждое про-
пространство Lp (R") является L' {Кп)-модулем.
Если /eL'(R"), то преобразование Фурье f = S~ (f) опреде-
определяется по формуле
Легко видеть, что | f (у) KI|/||Li. Кроме того, если последова-
последовательность уп сходится к у, то | e~lx'"nf (х) | = | f (x) | и для ка-
каждого xgR" последовательность e~ix'ynf (x) сходится к e~ix'yf (x),
так что в силу теоремы Лебега о мажорированной сходимости
получаем, что последовательность f{yn) сходится к J(y), т. е.
функция f непрерывна. Если, кроме того, jgL1 (R"), to
(hg) (y)=\dxjf (x -z)g (г) e-lx-y dz =
= J dxj f (x) g (z) e-< (*+^dz = J(y) g (y).
Этим доказана
Теорема 2. Если f, g «= Ll (R"), то f* g =? • g.
Определение. Обозначим через S(Rn) пространство таких
С°°-отображений f: R"->C, что для каждой пары п-индексов а, р
величина \хаОЦ(х)) ограничена в R". Топология в простран-
пространстве S (Rn) задается при помощи семейства псевдонорм
#„.„(/) = sup {[ x*Dtf(x) |, х €= R"}.
Заметим, что если Р: R"->C является полиномиальным
отображением и D — дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами на пространстве R™, то
NP, D (f) = sup {| P (x) Df (x) |, x «= R"}
также является непрерывной псевдонормой в простран-
пространстве S(Rn). В частности, пространство S(R") является стабиль-
стабильным относительно действия дифференциальных операторов с по-
постоянными коэффициентами и относительно умножения на
полиномы. Если / е 5 (R") и k — положительное целое число,
то существует такое число Mk > 0, что | A +\\х |р)й f (x) | ^ Mk, или
Далее,

234
Р. Пале и Р. С и ли
Это выражение является конечным, если 2k — п — 1 > — 1, т. е.
если k>n/2. Отсюда следует, что S(R") s Ll{R"), следовательно,
для элементов пространства S(Rn) определено преобразование
Фурье.
Пусть е, — (б17, ..., 6ni)GR", /=1, 2, ..., п, является стан-
стандартным базисом в пространстве R". Имеем
где по теореме Тейлора
\g(tx)\^2. Если fel'dT), то
= 2eltixi с
откуда
у(/ (У + /е,) - f (у)) = / е-*-»(- ix,)f(x) dx +
+ t J e-'*-»g (**) xft (x) rfx.
Если теперь функция feS(R"), то x*f e= S(R") s L1 (Rn), и
так как | e~ix-vg(tx) |<2, то | J e~"-^ (/x) xj/ (x) dx <2|x2f| .
Устремляя t к 0, получаем
По индукции получается доказательство следующей леммы.
Лемма 1. Если f g S (R"), то ее преобразование Фурье
f является С°°-гладкой функцией и
f = / е~1'-У (- ixf f(x)dx = (- гI р'
Предположим опять, что feS(R"). Тогда мы можем вы-
выбрать такую константу Mk, что
Как уже говорилось выше, если
J (\+х\+ ... +4_
, то
следовательно,
J /(х,, . . ., xra)
9 ?
/"л. XV/. Построение алгебры 1пЦ
235
откуда
J
_, J j^dxn
-7
устремляя Г к oo, мы получаем, что j-^-dx = O. Аналогично
Г p^dx = O для i=-\, ...,n. Теперь если у e=R", то Da(e~ix'y) =
J OX,
= (— iyf e~iKy; отсюда получаем, что функция е~и-^(х) при-
принадлежит пространству SCR") для каждого у, следовательно,
или
Применяя индукцию, мы получаем доказательство следую-
следующей леммы:
Лемма 2. Если f e= S (R"), то .
Теорема 3. Преобразование Фурье f-^f является непре-
непрерывным линейным отображением пространства S (W) в себя.
Кроме того, если feS(R"), то
Доказательство. Последняя формула получается сразу
из лемм 1 и 2. Выберем &>п/2, так что, как отмечалось
выше, J(l+|U|R-*rfjf = C<oo. Тогда
= J A+1| х ff (Dax*f) (x) в'1"' A + IU If)"* dx.
следовательно,
sup I ya(Dpf) {y) | < С sup | A+1| x ff {Da/f) (x) |.
Так как sup|(l +\\xf)k{Dax?f) (x) | является непрерывной псевдо-
псевдонормой в пространстве S(R"), теорема доказана.
оо
Напомним значение определенного интеграла /= J e~t2'2dt.

236
Р. П але а Р. Силы
Вспоминая, что теорема Фубини справедлива для положитель-
положительных подинтегральных функций, имеем
dx9
2Я oo
_,f/2 , Г
— оо — оо
г iu« г г
R2
Отсюда следует, что
Г g— II х Ц2/2 dx —
= 2я.
dXl
l-l -
Лемма. ?слы определить отображение g: R" —> С по фор-
формуле ?(х) = ехр(-||х|Р/2), то ge-S(Rn) и g = {2n)nl2g.
Доказательство. По индукции (Dag) (х) = Ра (х) g (x),
где Ра —полином степени, меньшей чем [ а |.
Отсюда следует, что
для некоторой константы Са, р, а тогда из правила Лопиталя
вытекает, что | х15(Z)a,g) М I стремится к нулю, когда || х \\ стре-
стремится к оо, тем самым | хр(Dag) (x) \ ограничено. Теперь
й(У)= Jexp(--^^--?x.j/)rfx =
«Г (У) J
{у).
Теорема 4. (Формула обращения Фурье.) Если
S(R"), ro
Доказательство. Пусть n e 5(R") s L1 (R"). Тогда,
так как f е= V (Rn), отображение (у, z)-+h(y)f(z) принадлежит
L1 (R" X R") по теореме Фубини, и, следовательно, отображение
Гл. XVI. Построение алгебры Intj,
237
(у, z)-+e-ixyh(y)f{z)e-tz'V также принадлежит пространству
L'(R" X R"), откуда по теореме Фубини
J e-*-»h(y)l(y)dy= j e~ix-yfi(y)dy J f(z)e-"-edz-
= J R(x + z)f(z)dz= \h{z)f(z-x)dz.
Заменяя h на hE, где при е>0 полагаем he(x) = h(ex), полу-
получим h& (z) = e~nh (z/e), так что
J e-l*-»h (ey)f(y) dy=\h (z/e) f (z-x) d (-j) = J h (да) f (еда-х) ^да.
Но отображения h, f, h vl f являются непрерывными и
ограниченными, так что по признаку сходимости Лебега полу-
получаем при е, стремящемся к нулю, что
h(O)je-ix-yf(y)dy = f{-x) \h{w)dw.
Выбирая функцию h равной функции g из леммы, получаем
h (х) = ехр (- || х |р/2), h @) = 1, Й (да) = Bл)^2Л (да) и
J h(w)dw = Bя)п/2 J Л (да) t/да = Bя)ге.
Следствие. Преобразование Фурье, суженное на S(R"),
является автоморфизмом пространства S (R").
Доказательство. Пусть <^s обозначает сужение пре-
преобразования Фурье на пространство S(R"). По теореме 3
&s является непрерывным эндоморфизмом пространства S (R"),
следовательно, таким же будет и преобразование 7' = Bji)~2"<^'J1.
По теореме 4 преобразование <^5Г = TS^s является тождествен-
тождественным отображением пространства S(R"). Этим доказательство
кончается.
Обозначим через ( , H скалярное произведение в гильбер-
гильбертовом пространстве Lr(Rn):
(f,g)o=jf(x)g(x)dx
Если feS(R"), то М = sup| f (х) |< оо и ||f ||L, < оо, следо-
следовательно,
1/115
\f(x)\dx^M\\f\\Ll <oo,

238
Р. П але
Р. С и
так что S(R")sL2(R"). Хорошо известно, что пространство
Co°(R") плотно в L2(R"), тем более пространство S(R") плотно
в пространстве L2 (R").
Теорема 5 (теорема Планшереля). Преобразование
Фурье пространства S (R") продолжается единственным образом
до непрерывного линейного автоморфизма f —*-f пространства
L2(R"). При этом для функций f, g^L2(Rn) справедлива фор-
формула Парсеваля, т. е.
(f, g)o = Bn)n(f, gH,
или, другими словами, отображение f —*-Bn)~n/2f является изо-
метрией пространства L2(R") на себя.
Доказательство. Если f, gGS(R"), то из неравенства
Шварца вытекает, что
J I е-ь-yf (z) JJy)\dydz<\\f \\L, || g ||L, < oo.
По теореме Фубини получаем
(f, Й)о = jf(y)I(y)dy=jdy[ <r"-yf(z)g~(y)dz =
- J f(z)($ e*"»i(y)dy)dz=f f(z)g(-z)dz.
Но по теореме 4 g (— z) = Bn)ng(z), так что формула Пар-
Парсеваля справедлива для функций f, geS(R"). Таким обра-
образом, отображение f —*-Bjt)~ f является изометрией на плотном
подпространстве 5(R") пространства L2(R") и продолжается
единственным образом до изометрии всего пространства L2(R").
Определение. Обозначим через {Я*(R")} непрерывную
цепь гильбертовых пространств {Z-KR'1, С, A Ч-ЦхЦ2))}, где мера
в пространстве R™ совпадает с мерой Лебега, умноженной
на Bя)-"\ Таким образом, норма || ||g в пространстве Hk{Rn)
задается формулой
II / f, = Bл)~п / | f (х) I2 A + || х \?)k dx.
Замечание. Определение пространства bl(R", С, (l +||xЦ2))
дано в § 4 гл. VIII. По теореме 2 из § 4 гл. VIII получаем,
что {/?(R")} является шкалой. Заметим, что Н° (R") = L2 (R"),
следовательно, пространство S (R") плотно в H°(Rn). Кроме
того, отображение /(х)ь-^A +\\x\f)~mi{х) является изометрией
Гл. XVI. Построение алгебры
239
пространства H°(R") на пространство #ft(R"), и так как про-
пространство S (R") стабильно относительно умножения на A +|| х |р)й,
то S (R") плотно в каждом из пространств Нк(Цп), следова-
следовательно, и в пространстве H°°{Rn).
Определение. Для каждого целого неотрицательного
числа k определим гильбертово пространство #*(R"), являю-
являющееся пополнением пространства S (R") по норме
II/ U = S CkalDaf\f> [см. § 2 гл. X].
Лемма. Если k — целое неотрицательное число, то для
функции f e S (R") мы имеем
\\fh = \\f\\k-
Доказательство получается немедленно из теорем 3 и 5.
Теорема 6. Цепь {Я*
является шкалой гильбертовых
Ф
пространств. При этом преобразование Фурье на пространстве
S (R") продолжается единственным образом до изоморфизма
шкалы {Hk(Rn)} со шкалой {Hk(Rn)} и шкалы {Hk{Rn)} со шка-
шкалой {Hk(Rn)}\ оба изоморфизма ми будем по-прежнему обозна-
обозначать f^J. Если f€=Hk(Rn), то 11/11* = II f II* и f(x) = Bn)nf(-x).
Определение. Определим пространства 0Pr (Rn) =
- 0Рг ({Я* (R")}, {Я* (R")}) и 0Р_«, (R") = П Орг №)•
rsz
§ 2. Операторы Кальдерона — Зигмунда
Определение 1. Обозначим через Smblr(R") линейное
пространство С°°-отображений a: R" X (R" — {0})—*-С, таких, что
а(х, tZ,) = tra(x, ?) для t>0 и для целых положительных k и
п-мультииндексов а, C
sup {11| х f (Dxf (Dtf a (x, О |; x «= R",
< oo.
Зададим топологию в пространстве Smblr(R") при помощи этого
семейства псевдонорм.
Определение 2, Срезающей функцией на пространстве R™
называется такое С"-отображение 9: R" —*-[0, 1], что 9 равно
тождественно1 нулю близ начала координат и равно единице
в окрестности бесконечности,

240
Р. П але и Р. С или
Определение 3. Пусть а е Smbl/.(R") и 8 — срезающая
функция на пространстве R"; определим линейное отображение
Л (8, a): S(Rn)-+S(Rn) no формуле
[А (в, a) f] (х) = Bя)-я J
(g) а (*, g) f (g) <$.
доказательство кото-
котоИмеют место следующие результаты
рых будет приведено ниже.
Теорема 1. Для каждых срезающей функции 6 на про-
пространстве R", вещественного числа s и целого г существует
такая константа С F, s, r), что
\\A(Q, o)flL<||/llr+5C(e, s, г)sup
а(х, g)
dx
для каждых f^S(Rn) и а ^ Smblr(R"). Здесь р —целое число
> (| s |/2) + (n/2), a sup берется по всем элементам ^ е S".
В частности, мы можем рассматривать отображение А F, а)
как элемент пространства ОРТ (R™), и отображение а ¦—> А F, а)
является тогда непрерывным линейным отображением простран-
пространства Srnbl, (R") в пространство 0Pr (R™). Наконец, если 8' — дру-
другая срезающая функция на R", то А (в, а) — А (в', а) е ОР^„ (R")
для всех элементов а е Smblr (R™).
Теорема 2. Для данных элементов xoeR" ы ^eS"
существует такая последовательность {<р,„} в пространстве S (R"),
что
0) фя.М = 0, еслы ||x-*oll> —,
(п) 11ф«|1в=1
(iii)
странстве
если a
R™
го
<р„И, =— 0 для 5<0,
Smblo(R") и 8 — срезающая функция на про-
про|| А (8, а) Фт - а (*0, So) Ф« llo -*• 0.
Следствие. Если элемент а е Smblr(R") «e равен тожде-
тождественно нулю, а % —.срезающая функция на R", то А (Э, а) не
принадлежит пространству OPr< (R") «ы для какого г'<г.
Определение 4. Обозначим через 2(R'1) комплексное
векторное пространство, образованное всеми формальными
суммами вида а = 2 %. где аА е ЭтЬЦ (R") « а^ = 0 для
ftez
достаточно больших значений k. Зададим в пространстве S (R")
фильтрацию подпространствами Sr(R"), состоящими из таких о,
у которых ak = 0 для 6 > г.
Гл. XVI. Построение алгебры Int*
241
Замечание. Если aft e Smblft (R"), то, как легко видеть.
Daxak{x, g) является элементом пространства Smblft(R"), кото-
который мы будем обозначать через D"a^. Аналогично Dt.ak(x, g)
является элементом пространства SmbU_ia| (R"), который будем
обозначать D%ak. Пусть o='2iake= Sr(R") и a'= 2 6fte S4(R").
Тогда элемент й1аъ+\а\ не равен 0 только в том случае, когда
|a|^r — k, следовательно, D%D\ak+\a\ не равно 0 только тогда,
когда | а | ^ г — k; отсюда следует, что для каждого feeZ эле-
элемент
|а|>0
является конечной суммой элементов из пространства Smb1ft (R")
и обращается в нуль, если k~>r (черта обозначает комплекс-
комплексное сопряжение). Аналогично (D\ak-i+\a.\)\— ' ®xj bi является
элементом пространства SmblA (R"), равным нулю, если />s
или | а | > г — k + I, следовательно, если | а | > г + s — k или
k — r>l>s. Отсюда для каждого fceZ выражение
S S бт
|a|>0
является конечной суммой элементов пространства Smblfe(R")
и равно нулю, если k > г + s. Отсюда следует, что элементы а*
и ста' из пространства 2(R") корректно определены и принад-
принадлежат Sr(R") и Sr+S(R") соответственно. Явный вид элементов
с* и оо' дается в следующем определении.
Определение 5. Если элементы о =
а' = 2 bk
k
являются элементами из 2 (Rrt) {принадлежащими 2r (R") и 2S (R")
соответственно), то определим элементы о* и оо' в пространстве
2 (R") {принадлежащие 2r (R") и 2r+J (R") соответственно) по
формулам
|aj>0
|a|>0
-ESE ^
P. Пале

242
Р. П але и Р. С или
Теорема 3. 2(R*) является *-алгеброй относительно опе-
операций, введенных в определении 5.
Определение 6. Линейное отображение A: S (R") —*¦ S (Rn)
называется оператором Кальдерона — Зигмунда порядка г, если
существует элемент о = 2 o-k в пространстве 2, (R"), такой,
что для каждого целого числа пг
функция 6 на R", при которой
Гл. XVI. Построение алгебры 1пЦ
243
существует срезающая
A-
Л (в,
Множество таких операторов А будем обозначать через
CZr(Rn), положим CZ(R")= (J CZr (Rn). Определим символ
<7(Л) = (Т.
Замечание. Из последнего утверждения теоремы 1 и из
следствия теоремы 2 вытекает корректность определения сим-
символа а {А).
Если y4eCZr(R") иа(Л)=Цаь то Л-Л (9, af) e ОЯгЧ (R"),
и так так ЛF, flr)e0Pr(R"), то Л е= ОЛ-(R"). Кроме того,
если аг ф О, то по следствию теоремы 2 А F, г) <? ОРТ_Х (R"),
следовательно, оператор Л ^ОРТ_Х (R"). Таким образом,
CZ, (R") = {A€=CZ (Rn), о (Л) «= 2r (Rn)} = CZ (Rn) П ОЯГ (Rn).
Непосредственно из определения получаем, что 0/3_oo(R'1)^
sCZr(R") и что ог(Л) = 0 для оператора Л e OP-.» (R°). Из
предыдущего замечания следует, что f]
Д"), а(Л) = О}.
Так как CZr(R") ?= OPr(Rn), то по теореме 4 гл. VIII мы
получаем, что если Л е CZr (R"), то для оператора Л суще-
существует транспонированный А' & OPr(Rn).
Следующая теорема формулирует основные алгебраические
факты о множестве операторов Кальдерона — Зигмунда и ото-
отображении а.
Теорема 4. Множество CZ (R") операторов Кальдерона —
Зигмунда на пространстве R" является замкнутым относи-
относительно суммы, произведения, перехода к транспонированному
и, следовательно, является *-алгеброй. Множества CZ, (R")
являются подпространствами пространства CZ (R") и придают
CZ(R") структуру фильтрованной *-алгебры. Кроме того, ото-
бражение a: CZ(R")-> 2(R") является «-гомоморфизмом и
а (Л) е 2r (R") тогда и только тогда, когда ^eCZ,(R"). На-
Наконец, последовательность
О -> ОР^ (Rn) -*> CZ (Rn) -* 2 (Rn) -> О
является точной.
Определение 7. Пусть А <= CZr (R") ы а (Л) = 2 а*, где
afc e Smblu (R"), определим
or(A) = (~i)rar.
Следствие из теоремы 4. ог является линейным ото-
отображением CZr(Rn) в Smbl,(R"), и если Ae=CZr(Rn), то
аЛЛ') = (-1/МЛ)-
При этом последовательность
О -* CZr_i (Rn) -*- CZr (R«) -*- Smblr (Rn) -*- 0
является точной.
Если Ae=CZr(Rn) и BgCZs(R"), to AB (=CZr+s{Rn) и для
всех точек (х, ?) s R" X (Rn — {0}) ыл<еел*
ar+s (ЛВ) (х, Е) = [аг (Л) (х, ?)] • [а, (В) (х, ?)].
Определение 8. ?слы ij; e S (R"), ro определим отобра-
отображение М$: S (R") -*¦ S (R") по формуле
Теорема 5. Пусть г|з s S (Rrt); определим отображение
D: S(R")-> S (Rrt) no формуле D = M^Da. Тогда De=CZ[a[{Rn)
и а(„|(?>)(х, ?) = ф (*)?".
Теорема 6. Яг/сгб Л s CZr (R"), г<3е г>0, и пусть фе S (R").
Существуют последовательность {BJ в пространстве CZr{RnXRm)
и оператор К ^ OP0{Ra X Rm), такие, что последовательность Bv
сходится в пространстве OPr (R"XRm) к оператору А® М^, — К,
а последовательность ar(Bv)((xb x2), (?,, ?2)) сходится равно мерно
на Rn+m X Sm+n-1 к элементу ar(A)(xbZiH{x2).
Наконец, мы рассмотрим координатные преобразования.
Если U — открытое множество в пространстве R", то будем
рассматривать С™ (С/) как подпространство пространства S (R"),
продолжая каждый элемент f из Со° (С/) тождественно нулем
вне окрестности С/. Если ф: C/-*R" является С°°-диффеомор-
физмом, то определено отображение ф,: СГ (t/)—>Co° (il>(?/)) по
формуле г|з, (/) = / о ф и отображение г|)*: 5(R")-> C°° (?/)
16*

244
Р. П але и Р. С и ли
равенством if)* (f) = f °0р. Заметим, что если ср является элемен-
элементом пространства Со" (U), то Mv отображает S(R") в простран-
пространство Со°(С/), а пространство C°°(U)-~ в пространство Co°(?/)s
sS(R"). Отсюда следует, что если элементы <р, и ф2 принад-
принадлежат С™ (?/) и оператор А отображает S(R") в себя, то
М(р, ° -ф* о А ° ф, ° Мрг отображает пространство S(R") в себя.
Теорема 7. Пусть U — открытое множество в простран-
пространстве R", ф: ?/—s-R" является С"-диффеоморфизмом и qpj, Фг^
6= C~ (?/). Гогда если Л <= CZr (R"), го В = М<р, ° г|з* ° А ° тр. ° Af<p,
также принадлежит CZr(R") ы
0Г (В) (х, Е) = Ф, (х) а, (Л) fo (х), /"' (х) Б) ф2 (х),
/ (х) — отображение, сопряженное к дифференциалу отобра-
отображения т|э в точке х.
Приступим теперь к доказательству сформулированных
теорем.
Лемма 1. Для каждого вещественного числа s и всех
g, т) е R" имеет место следующее неравенство:
Доказательство. Достаточно проверить, что
Действительно, требуемое неравенство получается непосред-
непосредственно из (*) при s ^ 0, тогда как при s < 0 результат полу-
получается из случая s>0 перестановкой | и ц и подстановкой —s
вместо 5. Для того чтобы доказать неравенство (*), мы поло-
положим ||g|| = а, ||т)||= Ъ и заметим, что ||?-п1РХШ1-ЦЛИJ =
= а2 — 2ab + Ь2, так что
Так как f—>оо при а, Ь
dt dt „
гается при О
= f(a, b).
оо, то минимум функции f дости-
Далее, 2 -^-+ -^- = 4<з6 (а — Ь), откуда следует, что минимум
функции f достигается либо при а—Ь, либо когда по крайней
мере одно из о или b обращается в нуль. Если а = Ь, то
f (а, Ь) = 1 + а2, в то время как f (а, 0) = 1 +'а2 и f (О, Ь) =
— 1 + 4Ь2 + 2Ь4, следовательно, f(a, b)~^\ >0.
Гл. XVI. Построение алгебры lnt»
245
Лемма 2. Пусть k e С°° (R" X R"); предположим, что для
каждого целого положительного числа р существует такая
константа Ср, что \k(%, Б) \<С„A +||Б 1Р)'ЙA + 111 - Б If Г".
Тогда существует (как легко видеть, единственный) оператор
К в OPt(Rn), такой, что для каокдой функции |eS(R")
(Kf)(l) = j k(l, БO(Е)<*Б-
При этом для каждого вещественного числа s существует
такая константа С (s), что
\\Kf\\s<CpC(s)\\f\\s+t,
где р — целое число >—g—by-
Доказательство. По теореме 6 § 1 если мы определим
оператор Лг: 5 (Rn)-* S (R") формулой
то отображение Аг продолжается до изометрии пространства
#e(R") на пространство H9~r{Rn); следовательно, норма опера-
оператора К, действующего из пространства Hs+t (R") в #*(R"), сов-
совпадает с нормой оператора А = AsKA~(s+t), действующего из
//"(R") в пространство H°(Rn). Но
(Af)®=fa(t, ?OE)d5.
где а (|, Б) = A+ III ff2 k (|, Б) A+ II Б |p)"(s+<)/2. По лемме 1 и из
предположения относительно k получаем
Тогда по теореме 1 § 1 (вспоминая, что L2 = Н°) имеем
при условии A +||g|p) D+|sl/2eL1(R'1), которое, как мы видели
в § 1, выполняется, как только -~-- р< у.
Доказательство теоремы 1. Мы имеем
[А{вГа)П (I) = Bп)~п J d (I - Б, Б) 6 (?)? (С) rfS .
где d(|, л)= J е-'Л'5а(х, g)dx.
Так как
A+ III - 5 lf)P а (I - Б, Б) = J в'-«"й 1 - ? (^-f а (х,

246
Р. П але и Р. С или
и а(х, t?,) = tra(x, ?)> теорема 1 получается непосредственно из
леммы 2.
Доказательство теоремы 2. Мы можем считать
*о = О, в противном случае сделаем соответствующий сдвиг.
Пусть каждая функция <р принадлежит S(R"), причем j|<po||=l
и носитель функции <р лежит в области {х е R", ||л;||<1}.
Определим изометрию Тт пространства #°(R") на себя по
формуле (Tmf)(x) = mnl2f{mx), и пусть <рш = Tmeim«•• >ф. Тогда
выполнено условие (i) теоремы 2. Для того чтобы получить (и),
мы заметим, что
II Фт If = J A + III Iff I Фт (I) I2 d\ = J A+1| m? + m2?0 1РГI Ф E) Pdg
стремится к нулю при m, стремящемся к оо (по мажорантному
признаку сходимости). Так как оператор Тт и умножение
на e»m<U ¦) являются изометриями пространства #°(R"), мы мо-
можем установить (Hi), показав, что e~tmit°°' ш)Тт1АF, а)фт = 1|зш
аппроксимирует элемент а (О, g0) ф в пространстве H°(kn).
Мы имеем
4>т (х) = /и"" Bя)-п J el «-«*•• *"*>6 (g) a (x/m, g) Ф (?/от - т?0) d?
Полагая g = ?/т — от?0 и используя однородность элемента а,
получаем
фт (х) = Bл)-л | в'«. *> 6 (mg + m2g0) а (дс/т, |/т + go) Ф (?) dg.
Мажорантный признак сходимости Лебега дает для каждого
R"
я J ег' «. *> a @, So) Ф (E) d\ = a @, So) Ф (x).
Покажем, что эта последовательность сходится и в простран-
пространстве L2. Для этого докажем, что для каждого а функции xatym(x)
ограничены на R™. Действительно, воспользуемся снова одно-
однородностью элемента а, тогда после интегрирования по частям
имеем
(х) I = Bп)~п | J el (l' X)D\ [6a (x/m, ml + m%0) q> (g) Щ \ <
2я)-" J | D\ [Qa (x/m, m| + m%0) Ф
Гл. XVI. Построение алгебры 1пЦ
247
J |Faf(x/m, mg
Если мы положим (&af(y, ?) = Dl [6 (Q а (у, ?)] и выберем R
так, чтобы 6(?) = 0 для ||?||^/?, то (*) является суммой чле-
членов вида
&>) I * |ф V (Е) I ^g ^
< const J n + mU\fm'Wy)(l)\dl.
115+mColl > Rim
В последнем выражении интеграл для ||| + т^0||^1 мажори-
мажорируется интегралом Г | фЛ> (g) | dg. В области R/m < || g + mt^ || < 1
мы получаем следующую оценку интеграла:
< const- J ||т1Ц-|РЧф(У>(т|-т?о)кт|.
Rim < И Tfl II < I
Так как фго s S (R"), то для каждого целого положительного
числа k мы имеем
так что из условий ||?oll=l и || т) ||< 1 вытекает || r\ — tnt^ |
^т— 1 и вычисление интеграла в полярных координатах дает
его оценку
1
< Const • Jp«-1-IPI(l+(m_lJ)-ftrfp<
Rim
< const- [l-(A)«-'3.]A+ (m 1J)_*
+ (m _1J)
(первый множитель есть log (/?/от) при | р | = га). Выбор k больше
(НР11~п)/2 обеспечивает ограниченность, причем независимо
от значений от. Мы получили поточечную сходимость -фт —>- -ф
и \tyrn (х) |<const • A +|| х \\)~" е L2, так что из мажорантного
признака сходимости следует, что Г | о|з„, — т|з |2 —>• 0.
Замечание. Умножение элемента ф на e'm(U-> сдвигает
ф на от?0, так что элементы ф все более концентрируются в ма-
малом секторе около направления вектора g0. Применение опе-
оператора Тт концентрирует носитель функции ф вблизи начала
координат пространства R".
Доказательство теоремы 3. Так как образ *-алгебры
при гомоморфизме является снова *-алгеброй, теорема 3 легко
получается из теоремы 4.

248
Р. П але и Р. С t
Доказательство теоремы 4. Рассмотрим только произ-
произведение АВ двух элементов из CZ (R"), так как линейность а
очевидна и так как доказательство для сопряженного опера-
оператора аналогично доказательству для произведения и даже
проще него.
Достаточно рассмотреть А = А{6Ь а) и В = А F2, Ь), где
а <= Smblr (R") и 6 е Smbl^R"). Мы можем предположить, что
6j = 1 на носителе функции 62. Для простоты обозначим
а (х, Б) = а (х, Б) в, (?) и 5 (х, Б) = Ь (х, ?) в2 (Б). Из первой фор-
формулы в доказательстве теоремы 1 получаем
(АВ) (т) = Bя)
й (т - g, |) J б (| - ?, Е) f (Б) rf? rfg =
= Bя)-2" J Я (т - I, I) [ Б (g - Б, Б) f (?) dg
Если мы положим а(а)(х, g)=Dja(A, Б) и б(а)(х, S) =
A \а
— DA Б (х, ?,), то получим
Е, ?)
I a|<m
Здесь мы применили теоремы 2 и 3 § 1.
Так как все производные от 6, обращаются в нуль на но-
носителе функции 62 и 6i62 = 62, то
= АВ-
2
|a|<m
является оператором вида
где
Мы докажем, что если m+l^r, то лемма 2 применима
к оператору К с / (из леммы), равным r + s — от— 1, так что
KOP(Rn)
л. XV1. Построение алгебры
249
Из формулы
К S, ?) =
мы получаем
|/г„(т, g, ?)i
il, ПЕН)
/""
потому что а(а> (х, Б) однородно степени г — от — 1 по Б при
больших значениях ||?||. Так как
|5(g-?, Ш<СД1 + ||БИГA+||?-Б1РГ'7/2,
мы получаем
|*(т, ?)|<сопзЬA+||Е||)в J A+||?-?11Г+'-*Х
III II<II С И
II5 I! > IIС II
x(i+!iT-iiirprfi,
поскольку A + ||Б Р) * ~ A +|| Б II)- Обозначим интеграл Г
IUII< II ?II
через k\, а другой — через k2. В выражении k2 положим
от + 1 — q = — р, где р > га. Тогда, интегрируя отдельно по двум
полупространствам II Е-т||<||1-? || и ||g-т ||>[||-БН, мы по-
получаем Мт, ?)<const-(l+fl?||)s+'-'n-1(l+yl|T-?||)~\ так
как в каждом полупространстве один из множителей
в J (l+|||-SII)m+1~4(l+l|Tr-|iirPrf| не превосходит
II S II > II С II
1 \
+уЦт —БН) > а ДРУг°й является интегрируемым.
Для- k\ мы имеем по лемме 1
Гт~Х
A + II g II
откуда следует
const • A +1| Б II
У"*'1
A + II g - ? I
fe, (т, ?) < const A +1| ? || )
+'-"-1
1 + 11| т - ? |
' r~m~l'
-р
Таким образом, можно применить лемму 2, и мы видим,
что K^OPt(Rn). Отсюда следует, что /4BeCZ(Rrt) и что ,

250
Р. Пале и Р. Сила
Для того чтобы закончить доказательство теоремы 4, мы
должны проверить, что отображение a: CZ (R") ->- 2 (R") является
отображением „на". Пусть 2 а/е= 2,. (R"), так что элементы
aj <= Smbl/(R/t) и а; = О для }>г. Выберем срезающую функ-
функцию Qt так, чтобы
для /<0 и |а|<|/|. Это можно сделать, так как последова-
последовательность A + ||х|р)~' Daxaj (x, ?) сходится к нулю равномерно
при ||?||->оо, поскольку as{x, Q является однородным степени
Пусть а (х, ?,) = 2 a-t (*> ?) 6/ (?)• Этот ряд сходится равно-
равномерно на пространстве R"XR" и обладает следующими свой-
свойствами:
(i) Величина A+|| xf)kDxa(x, ?)A +||5ГХ"Г
пространстве R" X R" для каждых k, a.
ограничена на
(И)
\f)kDax\a(x, 9- 2 а,(х, ?) 6,
L l—m
n
L lm J
ограничена на пространстве R"xRn для каждых k, a.
Из свойства @ получаем, что если для f e S (R") опре-
определить оператор (Л/)(х) = Bя)-" JV <*-?>a (x, ?)/(?)rf?, то А
отображает пространство 5 (R") линейно в себя; из (и) и
леммы 2 следует, что
А ~ 2
А F„ a,)
2
/¦—m
Следовательно, А е CZ (R") и
.^ (R").
а,.
Для доказательства теорем 5 и 6 нам понадобится следую-
следующая лемма.
Лемма 3. Если а е Smblr (R") и г > 0, то применимы
оценки теоремы 1, когда 6 заменено константой, равной еди-
единице. Более того, А F, а)-ЛA, а)еОР.м(Г) для любой
срезающей функции Э, следовательно, А{\, o)eCZ,(R") м
<тг(ЛA, а)) = (_х)'а.
Гл. XVI. Построение алгебры
251
Доказательство. Нужно лишь обратиться к лемме 2,
потому что если г ^ 0, то
j|(-S(-fer)''<*-
лг/2
и так как функция F—1) обращается в нуль вне компактного
множества, то
dx < const. A+
для каждого вещественного числа s.
Доказательство теоремы 5. По теореме 3 § 1 имеем
так что по теореме 4 § 1
(Df) (х) = Bя)-" J
или, другими словами, D = A(\, а), где a e Smbl|a|(R") опре-
определяется по формуле а{х, Q = ij; (x) (Of. Так как |а|>0, то
теорема 5 получается непосредственно из леммы 3.
Доказательство теоремы 6. Так как норма опера-
оператора A®M,j как оператора, действующего из пространства
#s+r(R" X Rm) в Hs(RnXRm), мажорируется при г>0 нормой
оператора А, действующего из пространства #s+r(R") в ЯS(R"),
то достаточно будет рассматривать оператор А вида /1(9, а)
с символом ае= Smbl,.(R"), r>0. Ввиду леммы 3 мы можем
аппроксимировать оператор А{\, а)® М^ операторами ЛA, bk),
где bk e Smblr(R" X Rm). Пусть х и ? — точки пространства R",
г/, т) —точки пространства Rm. Возьмем функцию <р из
C"(R" X Rm), такую, что <р(х, у) обращается в нуль для
4 |Ф(х, y)dxdy=\.
|
Определим элемент
x, у, Ь л) =
Smblr(R" X Rm) по формуле
когда || 1 |р + || л IP = 1. При Ц Е IP + II Л IP = *2 положим bk (x, # |, л) =
= fbH{x, у; l/t, л/0- ТаК как Для каждых а, р, -у» б, / величина

252
Р. Палеи Р. С или
Гл. XVI. Построение алгебры Int*
253
xa/(Dx)y(Dyf(d/dl,)^>(y)a(x, g) ограничена в области Ш1<2, то
xat?(Dx)y(De)'[bk(x, у; g, ч)-
равномерно на R"+m X Sm+n~\ Следовательно, a(A(l, Ьк)) схо-
сходится к а{А{\, а)) <8) о(М^) равномерно на R"+m x Sm+n~\ что
и требовалось. Теперь сходимость последовательности А{\, Ьк)
к оператору А{\, a)<S>M^ в пространстве OPr(Rn X Rm) полу-
получается, как в доказательстве теоремы 1.
Доказательство теоремы 7. Так как операторы
¦ф,Мф! и M^ilp* принадлежат пространству OP0(Rn), то доста-
достаточно рассмотреть случай А = А (9, а), где а е Smblr (R™). То-
Тогда мы имеем
М) (х) = Bя)-" J J е' «-*• О а (х,
A)
где у='ф~'(
положим а'
Тогда
где
Bя)""ф1 (ж) а (л:)-1 J J ег ^ W-* to
Воспользуемся разложениями
1(^)- Заменим функцию 9(?) на 9(/{a:)?),
= а (-ф(дг), ?), /(jc)? = g и o(jc) =| det/(jc)|.
B)
C)
-ll)a' (x, |) X
X в F) (Wo) (У)
/=-о
и
ИЛИ
- -Ф (х) =
I a |-2
(x, у),
|a|=2
Qe
где d\J)j.. является дифференциалом отображения i)? в точке х.
Умножая в случае надобности на разбиение единицы, мы можем
предположить, что там, где ф, (х) ф2 (у) Ф 0, мы имеем
С||г/-х||, где 0^^<1 D)
и Ri(x, y)=O(\\x-y\?). Заметим, что
-ФЬ), /W-i-5) _ ''(ж-!,, 1)_г(^1(*. w). i)
— E 6 •
Положим z = г(/?1 (х, г/), |) в указанном выше разложении
функции ег. Воспользуемся частичной суммой разложения функ-
функции if) с m членами и частичной суммой разложения функ-
функции ez с k членами и, пренебрегая остатками, получаем
{AmJ)(x) =
yff; S О,(*)(у-*)а. g) X
/-0 V | a |=2 /
Xaf(x,l)B(l)(cp2fv)(y)dydl. E)
ft
Если в сумме 2 взять только член / = 0, то получится опе-
/=о
ратор
Bя)-яФ, (х) v (хГ] { J el <*-у. «a'(x, g) 9 (g) (ф5/о) (#) <г/dg,
который по теореме 4 принадлежит пространству CZr(R") и
имеет требуемый символ. Члены, соответствующие i^j^k,
порождают интегралы вида
Фз (jc) J / е {х~у' 1) (х - yf gV (х, I) 9 (|) ф4 (у) f (у) dy dg,
где IPI>lvl- Запишем
и переставим ^|- и rft/, затем, проинтегрировав по частям,
мы получим элементы пространства CZt (R") с ^ = г +1 v I—I P К г,
так как для больших значений g выражение (д/dlf |va' (jc, g)9(g)
является однородным степени г +1 у I — | Р I по переменной g.
Следовательно, Лот, ^ является элементом пространства CZr(R")
с нужным а/, если m'>m и k'>k, то операторы Лт>& и Л„,',6'
совпадают в пределах пространства CZ, (Rn), ^r — min (m, k+ 1).
Рассмотрим теперь члены, порождаемые остатками исполь-
использованных тейлоровских разложений. Найдем, что ,
((А' - Am, k) /) (jc) = F) + Члены вида G),

2S4
Р. Пале и Р. С или
где выражения F) и G) соответственно равны
\
{i-t)kei{R[-l)tdt(R[, i
F)
; G)
здесь ф3,ф4 е Co°(R") и IyI^&> IPI^l- Докажем следующие
два утверждения.
Лемма 4. Для заданного s > 0 можно так выбрать произ-
произвольно большие k и пг, чтобы F) и G) имели вид
K(x, y)f(y)dy, (8)
/С имеет компактный носитель в пространстве R" X R" и
непрерывные производные порядка ^.4s.
Лемма 5. Пусть Т: S (R") -> S (R") — линейное отображение;
предположим, что существуют такие целое четное число 2s ^ О
и функция К в пространстве C*s (R" X R") с компактным носи-
носителем, что
G7)(jc) = J K(x, y)f(y)dy.
Тогда если j^ — 2s и t ^ 2s, то оператор Т продолжается до
непрерывного линейного отображения пространства W (R")
в пространство #'(R").
Если принять эти леммы, то теорема 7 выводится показом
того, что оператор А'— ALl_x имеет порядок ^.r — t и потому
разложение оператора Л' до порядка г —/ + 1 получается из
аналогичного разложения оператора Altl-\. Чтобы проверить
порядок оператора A' — ALt_u мы покажем, что для каждого /
имеет место || A'f — Altl^f ||/_r+/<cy||/: ||/, где \\f\\k~ норма эле-
элемента / в пространстве Hk (R"). Пусть s — целое число, причем
2s ^ max (|/|, |/ — r + l\). Тогда на основании лемм 4 и 5 мы
можем выбрать ш>1 и k>l— 1 так, что А' — Ат,к отображает
пространство HJ непрерывно в пространство H!~r+l. Так как
оператор Am<k — Лл/_, имеет порядок ^г-1-/, то из неравен-
неравенства треугольника получаем, что || Л'/— Л./-l/llz-r+j^^/ll/II/-
Доказательство леммы 4. Возьмем ? таким боль-
большим, чтобы существовало целое число 21, удовлетворяющее
неравенствам'
2k - 4s + 2 > 21 > r + k + 1 + 4s + п. (9)
Гл. XVI. Построение алгебры Int*
255
Так как Аге1 <*¦ » = - || z f el <*•
Где Д5 =
записать F) в виде суммы членов вида
JJJ
о
мы можем
Г*
Г* X
о
х |V (лг, i) e (|) ф4 (у) / (у) dt dydi (i о)
с |y 1 = ^ + 1- Переставляя (Д^)' с двумя внутренними интегра-
интегралами и интегрируя по частям, снова получаем
J J J
X
о
X (AgI [fa (х, I) 9 (I)] ф4 (у) f (у) dt dy dg. A00
Так как элемент а' является однородным степени г по пере-
переменной I и так как \y\ = k+ 1, то ввиду (9) (A5)'[|va/(x, |)9(|)]
является однородным степени r + 6 + l— 2/< — 4s — n для боль-
больших значений || 11| и, следовательно, интегрируемо. Применяя
теорему Фубини, мы видим, что A0') принимает вид фор-
формулы (8), где
К(х, у) =
J J el
X(Ai)l\fa(x,
Так как производные от функции R} порядка ^/ являются
О(\\х-у\?~') и \y\ = k+\, то из D) и (9) найдем, что
Ri\x — y + tR'i\\ имеет производные порядка <I4s, непрерыв-
непрерывные по {х, у, t) в силу (9); действительно, производные по-
рядка<45 являются О (\\ х — у fk+2~2l~is) и 2k + 2 - 21 — 4s>0.
При этом производные от функции е« (*-»+«>. 6) порядка ^4s
по переменной | вводят степени переменной | порядка <!4s,
которые не нарушают интегрируемости по |. Следовательно,
К (х, у) имеет непрерывные производные порядка <!4s.
Аналогично для другого остаточного члена мы имеем
G) = ф3 (jc) J J el {x-y' l) (у - хУ Rm (x, yf \\x-y \\~21 X
X (AS)' \Va (x, I) 9 A) | ф4 (у) f (у) dy dl
C'|PI>1 h|yI<A. Выбрав m> 1 +8s+.r + k + n, а затем I
так, что
2| (

256
Р. Пале и Р. С или
мы можем переставить dy и
вать ядро 4s раз.
и непрерывно дифференциро-
дифференцироДоказательство леммы 5. (Т является непрерывным
отображением пространства #y(R") в пространство #'(R") для
/^ —2s и t <; 2s.) Достаточно взять / = — 2s и ? = 2s, так как
вложения Н' в пространство H~2s и пространства Я25 в Н1
непрерывны. Но тогда нам нужно только доказать, что для
функции f из пространства S (R™) выполняется неравенство
1 -У,~) -Это вытекает
xdxi)
из интегрирования по частям, дифференцирования под знаком
интеграла и неравенства Гёльдера. Действительно,
= J | Л2/ J К (х, у) Л27 (у) dy
dx
%A%K(x, y)]f(y)dy
<j\f (УJ dy J | max A2xsA2ysK (x, y) f dx.
§ 3. Операторы Кальдерона — Зигмунда
на компактных многообразиях
В этом параграфе через М будем обозначать компактное
«-мерное многообразие без края. Будем писать Hk (М) д.гя
топологического гильбертова пространства Hk(CM), где См
является линейным тривиальным комплексным расслоением
над многообразием М. Аналогично определим пространства
OP* (М) = GPk (См, См), Smblfc (М) = Smbl* (CM, См) и Difffe (M) =
= Difffe(CM, CM).
Если Т: С°° (М) —*¦ С°° (М) является линейным отображением,
то оператор Т называется локальным, если из того, что функ-
функция f^C°°(iW) обращается в нуль на открытом- множестве <8,
следует, что и элемент Tf обращается в нуль на &. Например,
в § 3 гл. IV было показано, что элементы пространства DiffA (M)
локальны. Легко видеть, что оператор Т является локальным
тогда и только тогда, когда для двух функций ф] и <р2 из про-
пространства С°° (М) с непересекающимися носителями имеем
МФ ТМщ = 0, где M4,i e Diffo(.M) является отображением / >—> ф,-/.
Определение 1. Линейное отображение Т: С°°(М) —*¦ С°°(М)
называется квазилокальным тогда и только тогда, когда для
Гл. XVI. Построение алгебры Int4
257
двух элементов фь ф2 из пространства С°° (М), носители кото-
которых не пересекаются, оператор М^ТMv, принадлежит ОР-оа(М):
Замечание. Если A€=CZr(R"), a q>,, cp2€=S(Rn) имеют
непересекающиеся носители, то из теоремы 5 § 2 (с | а | = 0)
следует, что Мщ. е CZQ (R") и а (Мф.) (л;, g) = ф,- (х). Тогда из
теоремы 4 § 2 следует, что Мф, АМЪ е CZr (Rn) и а (М^АМ^) = 0,
а потому по той же теореме .Мф, АМ<рг ^ OP-™ (R™). Другими
словами, элементы пространства CZ (R") являются квазилокаль-
квазилокальными операторами.
Определение 2. Если Т: С°° (М) -> С°° (М) является
линейным отображением, то носитель оператора Т определяется
как дополнение наибольшего открытого множества 6, такого,
что
1) 77(х) = 0, если лге=0;
2) Tf = 0, если (носитель f) S ©.
Замечание. Если элемент ф е С°° (М) имеет носитель,
непересекающийся с носителем оператора Т, то, как легко видеть,
MVT — 7\Мф = 0. Если функция феС°°(М) равна тождественно
единице в окрестности носителя Т, то Л1A_ф)Г = 0, так что
Т = МуТ и аналогично TM(f = T. Ясно, что если фь ф2еС°° (.М),
то для каждого Г: С°° (.М) -> С°° (М) носитель оператора (М^.ТМ^
содержится в объединении носителя ф] и носителя ф2.
Определение 3. Пусть -ф: & —>R" — карта многообра-
многообразия М, и пусть Т: С°° {М) -> С00 (М) — линейное отображение
с носителем в 0. Определим некоторое линейное отображение
А {Т, -ф): 5 (R") -> Со (R"), называемое пересадкой оператора Т
при помощи 1)з: пусть функция ф ^ Со° (©) равна тождественно
единице в окрестности носителя оператора Т, а для feS(R™)
положим А(Т, -ф> / = Л(ф(/ о/ф)) о ifT1, продолжив это нулем вне
области (©)
Замечание. Заметим, что носитель оператора А(Т, ifi)
содержится в if>(©) и носитель этого оператора есть в точно-
точности образ носителя Т относительно я|). Обратно, если отобра-
отображение S: S(R")—> C0(R") имеет компактный носитель, лежащий
в области it>(?/), то S имеет вид А (Т, ф) для некоторого опе-
оператора Т: С°° (М) -> С°° (М), носитель которого лежит в U;
фактически для такого отображения 5 мы можем определить
оператор A (S, -ф): С°° (М) -> С°° (Л1), имеющий носитель в обла-
области @, и соответствия Г>—^Л (/Г, -ф) и S'—^A(S, if)") являются
взаимно обратными взаимно однозначными отображениями
17 Р. Пале

258
Р. Палеи P. Сила
между множеством линейных отображений Г: С°° (М) -*¦ С°° (М)
с носителями, лежащими в области &, и множеством линей-
линейных отображений S: S (Яп) -> С,Г (R") с компактными носите-
носителями из области (©)
Теорема 1. Пусть if: U''-*¦ R" — карта многообразия М,
пусть множество @ открыто в М, причем Es(/. Тогда отобра-
отображение Т»—> А (Т, if) является линейным гомеоморфизмом под-
подпространства, состоящего из элементов пространства OPk (М),
имеющих компактные носители в множестве <д, на подпро-
подпространство элементов пространства OPk (R"), носители которых
лежат в множестве (©)
Доказательство. Пусть Q —компактное подмногооб-
подмногообразие в R", причем i|;(©)s int Q s Q ?ф((/), и пусть функ-
функция <реС°° (М) равна тождественно единице на множестве ©
и имеет носитель, лежащий в Множестве if (int Q). Тогда мы
можем написать оператор А(Т, if) => i° v« T °ц°Л, где отобра-
отображение i: С™ (Q)-» Со°(Кп) является вложением, v: С°° (М)-> С™ {Q)
является отображением /•—>(ф/)°/ф~1, отображение ji: Co°(Q)—>
—> С°° (Л!) задается формулой /1—*• f ° if (/ о -ф продолжается нулем
вне множества U), а отображение Я: S(R") -> Co°(Q) задается
формулой / •—*¦ (ф ° ¦ф"')/• Если мы определим пространство
#o(Q) как замыкание пространства C~(Q) в Hk (Q), то легко
видеть (например, из § 4 гл. X), что ie ОР0({Но (Q)}, {яй(«")))
й чтоЛеОР0({яА('Я")}> {Я*(О)}). С другой стороны, очевидно,
vroiieOPofltf^Q)}, |ЯЙ(М)}) и что уеОР0({я*(М)|, (я§@)}),
откуда следует непрерывность отображения Г >—=> Л (г, -ф). Не-
Непрерывность отображения S>-^-A(S, if) доказывается анало-
аналогично, и фактически Л (S, if) = fi ° S'° i ° v.
. Определение 4. Яуст-6 Г: С°° (М) -+ С°° (М) - линейное
отображение. Если для каждой карты -ф: ©—>R" многообра-
многообразия М и элементов ФьФг^С^1 F) пересадка А (МЩ1ТМЪх ijj)
оператора М^ТМ^ при помощи i)p принадлежит пространству
CZr(R"), то говорят, что оператор Т локально принадлежит
пространству CZT. Определим CZr(M) как множество всех ли-
линейных отображений Т: С°° (М) -> С°° (М), которые являются
квазилокальными и локально принадлежат CZr. Для оператора
Т^CZr(M) определим аг(Т)^ Smblr (M) следующим образом:
пусть ф,, ф2, if такие, как выше, и пусть А = А Т )
Тогда
Ф1
v, р) ф2 (р) = аг (А) 0 (р),. (rfij,;)-1 (о)).
Гл. ХК/. Построение алгебры Int*
259
Замечание. Непосредственно из теоремы 7§ 2 получаем,
что элемент аг(Т) корректно определен. То, что он принад'
лежит множеству Smblr(M), является простым следствием из
l(R")
0)r()
Напомним, что пространство ОРГ{М) имеет две различные
структуры С°°(.М)-модуля, „левую" и „правую", определяемые
действием феС°°(М) на элемент Т <^ОРГ(М) либо как М^Т,
либо как ГМф.
Теорема 2. Для каждого r^Z множество CZr (M) является
левым и правым С°° {М)-подмодулем модуля OP (M) и отобра-
отображение аг: CZr(M)—> Smblr(iW) является гомоморфизмом мо-
модулей {относительно каждой из структур). Ядром отображения аг
является пространство CZr_t{M). Если г^О, то Diffr(.M)s
S CZr (M) и аг является продолжением символ-отображения
а/. Diffr(Af)-»SmbI?(Af) {см. гл. IV). Наконец, если T<=CZr{M),
S<e=CZs(M), то ST€=CZs+r{M) и os+r(ST) = os(S)or(T).
Доказательство. Пусть {ф,-}, /=1, ..., /, есть С°°-раз-
биение единицы на многообразии М, такое, что если пересече-
пересечение носителя элемента ф(- с носителем ф/ не пусто, то суще-
существует такая карта -ф: &—>R" на многообразии М, что (носи-
(носитель фг) U (носитель ц>/)^&; существование такого разбиения
легко следует из лебеговой характеристики размерности ')•
Если T^CZr(M), то Т = ^M(f.TMv.. Если (носитель фг)П (носи-
ц t 1
тель Ф;)=0, то M<t.TM(f.<=OP_ao(M)<=OPr(M). Если (носи-
(носитель ф,-) Л (носитель ф;) ф 0, то, выбирая, как прежде, карту if,
имеем А(МФТМФ/, -ф) е CZr (R") <= OPr (R"). поэтому снова, на
этот раз по теореме 1, М<$ТМу. е OPr (M). Следовательно,
Т= 2 Мф.ГМф. s OPr (M), и мы доказали, что CZr{M)<=OPr(M).
ц «. /
Легко видеть, что сумма двух квазилокальных операторов в
пространстве С°°(М) является снова квазилокальным операто-
оператором, так как оператор Мф, E + Т) М,ь = MViSMm + M^TM^ при-
принадлежит ОР-аьЩ), если оба оператора МФ|5Мф2 и М^ТМу,
находятся в нем. Подобным же образом если оператор
Т: С°° {М) -> С°° (М) является квазилокальным и феС°°(.М), то,
так как М^М^ТМу^ МЧ(МЪТМЧ^ и M^TM^M^^iM^TM-^) Mq,
и так как ОР-^Щ) является левым и правым С°°(Л1)-модулем,
множество квазилокальных операторов в пространстве С°°{М)
') Имеется в виду известная теорема Лебега, что на «.-мерном много-
многообразии в любое открытое покрытие можно вписать открытое покрытие,
число соседних элементов в котором ^п+1. — Прим. ред.
17»

260
Р. П але и Р. С или
является левым и правым С°° (М)-модулем. Предположим, что
операторы S я Т отображают пространство С^^М) в себя,
¦ф: © -*• R" — карта многообразия М, уи ф2 е С~ (М), A. fi <= С°° (М).
Тогда
Л (Af,,
Мф2, -ф) =
ф1 SAf,,,
ф,, -ф),
где % и Д являются элементами пространства Co°M>(®))> рав-
рав1 '
ными Я о
и ц°-ф~' соответственно на окрестности множе-
множе) П 4 §
) ф р
ства if) (носитель ф! U носитель ф2). По теоремам 4 и 5 § 2
(с 1 а | = 0) если операторы At и А2 принадлежат пространству
CZr{Rn) и A", jieS(Rn), то оператор М%.А\ + Мр.А2 принадлежит
CZr(R") и
ог
+ МцА2) (х, С) = X (х) Or (At) (x, ?) + Д (х) а, (Л2) (лг, Q.
Отсюда немедленно получаем, что CZr(M) является левым
С°° (-М)-модулем и что ог является гомоморфизмом модулей,
аналогично для правой структуры. Пользуясь следствием из
теоремы 4 § 2, сразу получаем, что ker {or) = CZr_x (M). Вло-
Вложение Diffr {M)sCZr{M) для г ^3*0 и то, что от продолжает
символ-отображение из гл. IV, получается теперь из теоремы 5
§ 2 и следствия из этой теоремы вместе с тем фактом, что
дифференциальные операторы являются локальными и тем
более квазилокальными.
Наконец, предположим, что ТeCZr{M), S^CZS(M). Пусть
функции ф,, ф2^С°°(М) имеют непересекающиеся носители;
выберем функцию ф3^С°° (М), равную тождественно единице
на окрестности носителя элемента ф] и равную тождественно
нулю на окрестности носителя элемента ф2> и пусть ф4 = 1 — ф3,
так что Фз + ф4 = 1 и
M^STM^ = (M<f,,SM<tt) ТМъ + Af,,
Теперь Му^М^евОР-^Щ) и М^ТМ^е OP^^iM), в то время
как ТМч>г^Сгг(М)^0Рг(М) и M<flSesCZs(M)<=OPt(M); отсюда
следует, что M^STMq,<^. ОР-^{М); следовательно, оператор ST
является квазилокальным.
Пусть -ф: @-*Rn —карта многообразия М и фь ф2еС^°F).
Выберем функцию феСо°(©), равную тождественно единице
на окрестности объединения носителей функций ф] и ф2. Легко
видеть, что M<ttSTM<t2 = (M<flSM<t)(M<fTM<t,) + В, где
(Af,,SAf,)(Af i-v
(A*,,SAf i-,
Га. XV/. Построение алгебры Int*
261
очевидно, принадлежит ОР-^ (М). Тогда
А (Л1ф,5ГМф2, -ф) - A (M9lSM9, -ф) А (М^ТМ^, Ч>) + А {В, -ф).
Так как В е ОР-Х (М), то по теореме 1 А (В, -ф) е ОР_Х (R"). То,
что ST€=CZr+s(M) и что or+s(ST) = os(S)or(T), получается из
теоремы 4 § 2 и ее следствия.
Теорема 3. Пусть ip: 6 —>R" — карта многообразия М, и
пусть оператор T^CZr(Rn) имеет компактный носитель в ib((8).
Тогда А(Т, Ъ~1)^Сгг(М) и
для
ог (А (Т, -ф-1)) (v, х) = or (T) С-ф (х), )
и аг(А{Т, -ф))^. х) = 0 для точек хф.6.
Доказательство получается непосредственно из тео-
теоремы 7 § 2. (Надо вычислить символ оператора А(Т, -ф'1) и
воспользоваться функциями ФьФг^^Г (^). равными тождественно
единице на окрестности множества -ф~' (носитель Т), т. е. на
окрестности носителя А(Т, -ф—1).)
Следствие. Пусть S: С°°(М) -> С°° (М) — квазилокальное
линейное отображение, и предположим, что для каждой точки
/? е М существуют карта if>: <д —> R" в точке р и функции
Ф1, ф2еСом(Л!) с %(р)Ф0, такие, что A(M^SM^2, $)<^CZr(Rn).
Тогда S€=CZr{M).
Доказательство. Простое применение рассуждения,
связанного с разбиением единицы, позволяет записать такой
оператор 5 в виде суммы операторов вида А(Т, ijj) и опера-
операторов из OP-ao(M)^CZr(M).
Теорема 4. Предположим, что на многообразии М задана
гладкая строго положительная мера ц. Тогда если ТeCZr(M),
то его транспонированный Т1 также принадлежит CZr (M) и
{ 7
Доказательстве. Для заданной точки р^М выберем
карту ф: &—¦>Rn в точке р, которая переводит меру ц в меру
Лебега на множестве tyF), и пусть фь ф2^С~(.М) с (р((р)ф0.
Тогда А (Мф,Т1Мщ, г|)) = A (MVlTMVt, ф>)'. Утверждение теоремы
получается теперь из следствия к теореме 4 § 2 и предыду-
предыдущего следствия.
Теорема 5. Существует непрерывное линейное отображе-
отображение %т: 2>тЪ\т(М)-+0Рт{М), такое, что %r(o)<=CZT{M) и
а г (%r (or)) = о для каждого о s Smblr (M).

262
Р.. Пале и Р. С или
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 1Г
пусть {ф,-}, /=1, ..., /, будет таким С°°-разбиением единицы
для многообразия М, что пересечение носителей элементов ср{
и ф/ непусто; тогда существует карта if),- /: &ц —> R", в которой
содержатся носители ф(- и фу. Для каждой такой пары /, / иг
a^Smb\r{M) определим Оц е Smblr (R"), положив аи {х, ?). = О
для хф%(@и) и o,y(i|)f/(p), (*t>v)j'(o)) = фД/>)ф, (/>)<*("> /?)•
Ясно, что тогда отображение о—>оц является непрерывным
линейным отображением пространства Smblr(.M) в Smblr(R").
Пусть 6 — срезающая функция на пространстве R". Тогда по
теореме 1 § 2 отображение
a t-> Л (9, (тг/)
Smblr (Af) -> О
является непрерывным линейным отображением пространства
Smblr(R") в OPr{Rn), образ которого лежит в пространстве
CZr(k") и аг(А(В, аИ)) = а1{ по определениям 6 и 7 § 2. Тогда
в силу теорем 1 и 3 отображение a*-* Atf (а) = Л(Л@<гг/), Щ1)
является непрерывным линейным отображением Smblr (M)
в OPr(M), Au{a)<s=CZr(M) и
аг (Ац (а)) (v, р) = ф, (р) ф; (/?) a (v, p).
Отсюда следует, что %г (а) = 2 Av (a)> гДе суммирование ве-
дется по всем таким парам г, /, что (носитель фг) (") (носи-
(носитель фг) =#= 0, удовлетворяет требованию теоремы.
Следствие. Последовательность
О -> CZr_, (М) -* CZf (М)
является точной.
Теорема 6. Пусть М\ и М2 — компактные римановы много-
многообразия без края, и пусть А е CZr (Мг), г > 0. Существуют после-
последовательность {Bv} в пространстве CZr (Mi X М2) и оператор
К^ ОР0(М\У,М<^, такие, что Bv сходится к оператору A<S)l — K
в пространстве ОРГ{МХ X М2), a ar(Bv)((vb v2), {xit x2)) равно-
равномерно сходится к ar(A)(vu X\) на расслоении единичных сфер
над многообразием М\ X М2-
Доказательство. Если оператор Л имеет вид А(Т, -ф~'),
где if: ©-*R" —карта многообразия Ми то оператор T^CZr(R )
имеет носитель, лежащий в множестве if>(©). Тогда утвержде-
утверждение теоремы получается из теоремы 6 § 2 (взятием для ото-
отображения if) этой теоремы разбиения единицы на многообра-
многообразии Мг, подчиненного координатному покрытию). Так как ка-
Гл, XVI. Построение алгебры
263
ждый оператор из пространства CZT(MX) может быть пред-
представлен в виде сумм таких операторов А(Т, of) и элементов
пространства ОР-Ж{М^ и так как А^ОР-.^ влечет А^гОР0,
откуда Л® / е ОРй, то это доказывает теорему.
§ 4. Операторы Кальдерона—Зигмунда
на векторных расслоениях
Пусть М — многообразие, такое, как в § 3, и пусть |, tj, ? —
эрмитовы векторные расслоения над М.
'Определение 1. Для каждого сечения h^C°° (%) опре-
определим отображение Mh: С°° (М)-+С°° (|) по формуле Mh(f) = fh
и для каждого элемента /еС°° [т\) определим отображение
l.i С00 (л)-*С00 (М) по формуле I,(g) (x) = l(g(x)).
Теорема 1. Для каждого сечения he С°°(|) имеем
MK^.T>iUQ{CM, l) и ao(Mh)(v, x)e = eh(x). Для као/сдого сечения
/•sC°°(t|) имеем /.eDiffpfo, См) и ao(lj(v, x)e = l(e).
Доказательство тривиально.
Определение 2. Определим CZr(t,,r\) как множество ли-
линейных отображений Т: С°°(|)—>• С^Сп), таких, что /„<> Т о Мл е:
<=zCZr(M) для каждого сечения h<=C°°(g) и ?б=С°(т]*)- : ,
Теорема 2. Если T^CZr{^, т)), то существует единствен-
единственный элемент ar (T) e Smblr (?, г\), такой, что
от{1,о Тощ)(v,x) = t(ar(T)(v, х)h(x))
для всех сечений Л<=С°°(|) и /<=С°°(т)*).
Доказательство. Так как единственность очевидна, то
достаточно доказать локальное существование, и мы можем
предположить, что | и т) являются тривиальными расслоениями.
Пусть Л], ..., hm — базис С°°-сечений расслоения \, элементы
gx gn образуют базис С°°-сечений расслоения ц, а I1 1п —
двойственный базис сечений расслоения ц'. Пусть Тц = 1\ °Та Мн,,
определим элемент ar(r)sSmblr(|, ^.условием, что матрица
символа or(T)(v, х) в базисах (Л, (х), ..., hm(x)) для слоя ^..и.
[g\{x), ..., gn{x)) для слоя цх является матрицей аг(Тц)(и, х).
Тогда если Ле=С°°(|) и 1е С00^*), то h = ^Ь',Н,' и /=2а//',.
где а{, b/ = С°°(М), и 1,° Т<= Mll = '^Ma.TtfMb., так что.по тео-
теореме 2 § 3
or(lt°T°Mh)\v, x) = 2lai(x)or(T4Hv, x)b1(x)=*l(or(T)(v, x)h{x)).

264
Р. Пале и Р. С или
Теорема 3. Если gt=C°°(i)), ЯеГ(|ф), T<=CZr(M), то
М?°Т° k,e=CZr (|, л) uar(MgoTo я.) (о, х) е = or (T) (v, х) Я (е) g (х).
При этом каждый элемент из CZ, (?, ц) разлагается в конечную
сумму операторов вида MS°T°X, и оператора из ОР-^Ц, л)-
Доказательство. Если /еС°°(л*)> ЛеС°°(|), то опера-
оператор 1„ (Mg ° T ° Я,) ° Mh = Mi ig) о Т о Мх (А) по теореме 2 § 3 при-
принадлежит CZr(M) и
ог(I.(MgoToЯф)о Mh) (v, x) = l{g{x))X(h(x))ar(T)(v, x).
Это доказывает, что оператор Ms°T°Xt принадлежит про-
пространству CZr(g, л) и имеет указанный в теореме символ. Для
заданного оператора AeCZr(l, л) возьмем разбиение единицы
{cpj на многообразии М, такое, что если (носитель qpj f] (но-
(носитель ф/)=7^0, то объединение носителей элементов ц>{ и ф7-
лежит в открытом множестве, над которым расслоения ? и ц
тривиальны. Тогда A = ^iM(f.AM4l., а так как оператор M<f,AM<p
принадлежит ОР-Х (|, л), если носители фг и ф;- не пересекаются,
то можно предположить, что носитель оператора А содержится
в открытом множестве &, над которым расслоения | и т) три-
тривиальны. Пусть /г,, . . ., hm — базис сечений расслоения | над 0,
з gi, •••> gm~ базис сечений расслоения г\ над множеством <д.
Пусть Я1, ..., Я" и /',..., lm — двойственные сечения, тогда
если мы определим оператор Ац е CZr (M) по формз^ле Ац =
= ^оЛоЛГАу, то
Теорема 4. Для каждого r^-Ъ множество CZr(l,, r\)
является линейным подпространством пространства ОРГ(|, т])">
ar: CZr(|, л)"* Smblr (|, л) является линейным отображением
с ядром CZr-iH, л)- Если г>0, го Diffr(|, i\)^CZT{l, ц) и аг
продолжает символ-отображение ar: Diffr (|, л) ~* Smblr (?, л)>
построенное в гл. IV. ?слм JeCZr(|, л) « SeCZs(r), |), го
,(l, С) и ar() (
Доказательство. Если Г е CZr (М) s СРГ (См, См),
§еС°°(л) и ЯеС°°(Г), то Ms<=Dm0(CM, г))^ОР0(См,г)) и
X,sDiffo(|, Сж)еОР0A, Сл); следовательно, Afff - Т о л.е=ОР,(?. л),
и из теоремы 3 следует, что CZr(g, л)^ОРЛ^, л)- То, что
CZr (|, л) является линейным подпространством пространства
ОЯГ (S. ц) и аг: CZr (|, л) —*¦ Smblr (i, л) является линейным ото-
отображением с ядром CZr^l (%, л), получается непосредственно
из определений 1, 2 и теоремы 2 § 3. То, что Diffr (g,, л)^
? CZr (?, л) Для г^г 0 и что аг продолжает символ-отображение
Гл. XVI. Построение алгебры Int*
265
из гл. IV, получается из теоремы 2 § 2 вместе с тем фактом,
что если r^Diffr(g, л), то
lt о Т о Mg €= Diffr (См, См) = Diffr (М)
для каждого элемента g^C°° (?) и feC"(Ti'), так как Ме <=
<=Diffo(?, Сж), /»eDiffo(C,w, л)- Наконец, по теореме 3 для
того, чтобы доказать утверждения об операторе ST, достаточно
рассмотреть случай Т = MS°T' °ХЛ и S = Mh° S' °/ф, где Г'<=
s=CZr(M), S'€=CZ,{M), Х€=С°°(ё;), ^еС°°(л), /е=С°°(л*) и
AeC°°(g). Тогда 5Г = МйE/М/(г)Г)Я„ и так как S'Ml{g)T'<=
e=CZr+s(M) и or+s(S'Ml{g)T')(v, x) = l(g(x))as(Sf)ar(T/)(v, x) no
теореме 2 § 3, то по теореме 3 ST^CZr+s(l, ?) и ar+i(Sr)==
Теорема 5. Существует непрерывное линейное отображе-
отображение %/¦ Smblr(|, л)~* ОРГ (|, л), такое, что для каждого элемента
a<sSmblr(?, л) "л*еел< Xr(^)sCZr(|, л) « <^г(Хг(^)) = ^-
Доказательство. Ввиду очевидного рассуждения с раз-
разбиением единицы достаточно доказать, что если |, л~тривиальные
расслоения над открытым множеством 0 и феСо°(<9), то сущест-
существует непрерывное линейное отображение %/¦ Smblr(s> л)~* ОРТ (|, л)>
такое, что x,(a)€=CZ,.(?>л) и ar(xr(a)) (v, x) = у{х) а (о, jc).
Пусть Aj, ..., /гт — базис сечений расслоения | над множе-
множеством &, а g], ..., g-ra —базис сечений расслоения л над 6, и
пусть Я , . . ., Ят и /', . .., /™ — двойственные базисы. Для дан-
данного элемента aeSmblr(|, л) определим a,?GSmblf(M) по
формуле
oif (v, x) = ф (х) Iе (a (vf x) hj {x))
и положим
где отображение Хг заимствовано из теоремы 5 § 3. Легко ви-
видеть, что оператор ^ обладает всеми требуемыми свойствами.
Следствие. Последовательность
является точной.
Теорема 6. Если на многообразии М задана строго поло-
положительная гладкая мера ц, и если | и л — эрмитовы векторные
расслоения, то для каждого оператора Т е CZr (|, л) имеем
7"CZ( D (Г' A)гЛП*

266
Р. Палеи Р. С или
• '"Доказательство. По теореме 3 достаточно рассмотреть
случай, когда T = MS°S°X,, где geC00 (л) и Х€=С°°(?). Пусть
сечения |еС°°(т]') и Х^С^Ц) двойственны к сечениям g и X
относительно эрмитовой структуры расслоений т) и g. Тогда
тривиальный подсчет показывает, что Л^
/ бГМиАе С°°(М) = С00 (СЛ), то
</, Л J
= ?„ а именно если
= J (f (*), Л (х) g (x) )„ ф (x)
и аналогично (Я,)' = Мх.. Тогда
Утверждение теоремы получается из теоремы 4 § 3 и преды-
предыдущей теоремы.
Т е о р ем а 7. Пусть Мх и М2 — компактные римановы много-
многообразия без края, 5 и ц — векторные расслоения над Мц
? является векторным расслоением над многообразием М2.
Пусть T^CZr{g, r\), где />0. Тогда существуют такая после-
последовательность {Bv} в пространстве CZr(?,<g>Z,, л ® ?) " оператор
К, е OPQ (g <g> ?, л <g> ?), что Bv сходится к оператору Т ® / — /С
в пространстве ОРГ (?, ® ?> tj ® S) w ^(Sv) равномерно сходится
на расслоении единичных сфер над многообразием Mt X М2
к символу аг (А) ® а0 (/)
Доказательство. По теореме 3 мы можем предположить;
что T = MgoA°X>, где A<=CZr(M), ge=C°°(n) и isC"^.
Теперь теорема вытекает из теоремы 6 § 3.
§ 5. Определение и свойства Intr (f, n\)
Пусть снова М является компактным многообразием без
края, а ?, т], g — векторные расслоения над многообразием М.
Теорема 1. Для каждого целого г
r-i (l, т|) = CZr (g, л) Л ОРГ_, A, л).
Доказательство. Как было отмечено в замечании после
определения 6 § 2, CZr(Rn) = CZ(R") П OPr(Rn), откуда следует,
что CZr_1(R") = CZr(R't)nO/5r-i(R")- Тогда немедленно из опре-
Гл. XVI. Построение алгебры IntA
267
деления пространства CZr(M) и теоремы 1 § 3 получается
CZr_i(M) = CZr(M){]OPr_i(M), и теорема вытекает прямо из
этого равенства и определения пространства CZr(E,, т\).
Определение 1. Определим пространство
Intr (I, л) = CZr % т,) + ОРТ_Х (I, т|).
Для данного оператора T^lntr(%, r\) запишем Т = А+ S, где
A^CZr(l, л)> S <s ОРГ_! (|, л), ы зададим символ аг(Т)^
sSmblr(|, л) формулой аг(Т) = аг(А).
Замечание. Если имеется два представления оператора Т
вида Г = А + S и Т = Л' + 5', где A'<=CZr (g, л) и S'e= OPr_, (|, т|),
то А - А' = S' - S. Но А - А' е= CZr (|, t))hS'-Se ОР,^ (|, л),
следовательно,
Л - А' е= CZ, (|, т,) П ОЯГ_, (g, л) = CZr^ (g, л).
По теореме 4 § 4 стг (Л) = аг (А'); поэтому символ а, корректно
определен. Как легко видеть, отображение аг линейно.
Так как CZr (§, i])<=OPr (g, л) (см. теорему 4 § 4) и OPr_, (g, t|)s
^ОРГ{1, л), то ясно, что Intr(|, r\)^OPr(l, Л)- Свойства (S1),
(S2) и (S3) из гл. XI получаются непосредственно из теоремы 4
§ 4 и предыдущего определения 1. Свойства (S4) и (S5) полу-
получаются из теорем 6 и 5 § 4 соответственно. Наконец, свой-
свойство (S6), определенное в гл. XIV, § 4, вытекает непосред-
непосредственно из теоремы 7 § 4. Таким образом, мы закончили
построение и проверку свойств алгебры Сили.
§ 6. Элемент из Into(S') с аналитическим
индексом, равным — 1
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, в которой
впервые был вычислен аналитический индекс сингулярного
интегрального оператора, а именно многообразие М = 51, ко-
которое реализуется как единичная окружность {|г|=1}
в комплексной плоскости. Здесь имеется стандартная коорди-
координатная система Я: z—> —ilogz, переводящая точку е'х в х\ таким
образом кокасательное расслоение T*(Sl) отождествляется с бес-
бесконечным цилиндром 51 X R1.. Точке (z, v) s Sl X R1 сопоста-
сопоставляется vdXz, где Я — стандартная координатная система.
Пусть {фп}!!», = {z^Zee — обычный ортогональный базис в про-
пространстве L2(Sl).
Для ftEBC^iS1) и 0<г<1 положим

268
Р. П але и Р. С ил и
Теорема 1. Пусть f^C^iS1). Тогда при г, стремящемся
к 1 —, последовательность Prf сходится равномерно к пределу,
который обозначим Pf. Оператор Р принадлежит CZQ(Sl), и его
символ а0 (Р) (vdXz) равен 1 при v > 0 и 0 при v<0. Кроме
того, Рф„ = фп, если п ^ 0; Pq>n = 0, если п < 0.
Доказательство. Первое и последнее утверждения опи-
опираются на формулу Коши. Для первого -д—г Г (? — rz)~'d? = 1,
Ш 1Сl-i
когда |rz|<l, так что последовательность
ICI-i
сходится равномерно при г—>1—. По формуле Коши для
п ^ 0 получаем Prq>n (z) — rnzn -+zn = q>n (z), а для n < 0 полу-
чаем Ргф„ (z) = Iim j ? (? — гг) c?? = 0.
Для того чтобы доказать, что Р ^CZoiS1), рассмотрим
сначала функции ф и -ф с непересекающимися носителями. То-
Тогда M^PMJ (г) = -±[ J Ф (г) Ч> (С) (С - z) (С) rf? = J К (z, ?) / (С) d?,
где i^B, ?) е С°° (S1 X S1), откуда оператор MVPM^ имеет поря-
порядок — оо.
Наконец, рассмотрим представление оператора Р в стан-
стандартных координатах в окрестности точки z=l. Выберем
функции ф, -ф в пространстве С°° (R1). такие, что i)j= 1 на мно-
множестве {\х\<л/4} и -ф = 0 на {|л;|>я/2}, а функция ф равна 0
на множестве {|х|>л}. Тогда
(*) g
и) = Нт-^ JJ^L
-!Й*г J
так как ф(л; —у)=1, когда т|5 (л;) -ф {у) Ф 0. Пусть /Сг(лг) =
= ^-ф(л) A — ге'л)~', а оператор Г определяется формулой
= у (i/l 11+
завершим доказательство теоремы,
Гл. .ХКЛ Построение алгебры Inti,
269
если покажем, что отображение g*—> Iim K'rg отличается от ото-
ГЬ 1
г->1-
бражения g*~^Tg на оператор порядка — оо. Далее,
оо со оо
Кг F)=i J е" i
сходится равномерно к элементу
Таким образом, мы свели теорему к доказательству неравенства
для каждого целого числа k. Положим сначала |<0, тогда
что дает требуемую оценку, так как функция К является огра-
ограниченной и |/|||+1 = 0 при 1<0. Для |>0 мы получаем
тем же способом
поэтому остается только показать, что для
оо
Но -я— 2и Ф(| — «) является непрерывной функцией с периодом 1, и
J i S Ф & -

270
Р. Пале и Р. С или
Так как элементы e~2ni^k образуют ортонормальный базьс
в пространстве функций с периодом 1, то
1
2я
— оо
и теорема 1 доказана.
Теорема 2. Определим элемент а в пространстве ^..„,0VJ ,
по формуле a (v dXz) = z, если v>0, и a(v dXz) = 1, если v < 0.
Если оператор А е Int0 (Sl) имеет символ а, то он является
эллиптическим и ind^)= — 1.
Доказательство. Оператор А является эллиптическим
по определению, следующему за теоремой 3 гл. XI, так как
|сто(Л)|=1. Так как ind (Л) зависит только от oQ(A), то (см.
теорему 10 гл. XI) достаточно в CZoiS1) найти Ло с о0(А0) = о
и ind(A))= — 1. Пусть Р — оператор из теоремы 1, М — оператор
умножения на функцию qpi (т. е. ф] (z) = z). Пусть Ло = МР + (/ — Р).
Тогда а (Ло) (v dXz) = za0(P)(v dX2) + 1 - <т0(P) (v dXz) = а. Наконец,
если фя {z) = е1пг, то Л0(ф„) = ф„+1 при п>0 и Л0(ф„) = ф„ при
п < 0, следовательно, оператор Ло является изометрией про-
пространства L2(S') на ортогональное дополнение к пространству
констант в L2E'), откуда ind^0)= — 1.
§ 7. Топологический индекс оператора из § 6
Пусть (X, Л) — компактная пара, и пусть Сх обозначает
«-мерное тривиальное комплексное векторное расслоение над
пространством X. Непрерывное отображение Я: Л-* GL(n, С)
определяет изоморфизм (который тоже обозначим через Я) рас-
расслоения Сх\А на себя, который задается формулой (а, о)—>
->(а, X(a)v), и, следовательно, различающий элемент
d(Cnx, Ск,
, А).
Выведем теперь формулу для элемента ch(d(Cjr, Cj,
еЯгA, Л; Q).
Пусть х„ обозначает конус над U(ri),_r. e. пространство
U(n)Xl, в котором U(n)X{l} стянуто в точку, a U (п) X {0}
отождествляется с U («). Пусть id(n): U {n)-+ GL(n, С) обозна-
обозначает отображение вложения. Так как пространство %п стяги-
стягиваемо, то в точной когомологической последовательности
(xn, U in);
(Kn; Q)
Гл. XVI. Построение алгебры
271
отображение 6 является изоморфизмом; мы межем дать сле-
следующее . . .
Определение. Пусть ch(n) — такой единственный элемент
в H°{U(n); Q), что .
(( )) = 6ch(n).
Замечание. Так как пространство U{n) является сильным
деформационным ретрактом пространства GL («, С), то отобра-
отображение id(n) индуцирует канонический изоморфизм
H°(GL(n, С); Q)~tfo(?/(«);C),
так что мы можем рассматривать ch(n) как элемент про-
пространства H°(GL(n, С); Q).
Теорема 1. Если (X, А) — компактная пара и отображе-
отображение Я: A-+GL(n, С) непрерывно, то
ch{d{Cx, .Cx, Я)) = 6Я*(сЬ(„)),
где отображение б: Н° (Л, Q) -> Не (X, Л; Q) является когра-
ничным отображением в когомологической последовательности
для пары (X, А).
Доказательство. Так как элемент d(Cx, Cx, Я) зависит
только от гомотопического класса отображения Я: Л —> GL (п, С)
(см. лемма 1(п)§ 3 гл. II), то мы можем рассмотреть компози-
композицию Я с деформационной ретракцией GL(п, С)-» U(п), т. е.
можно считать, что Я есть Л—>•?/(«). Так как U(п) является
дифференцируемым многообразием и потому абсолютным окрест-
ностным ретрактом, то можно продолжить Я до отображения
X: <3—>¦ U (п), где © — окрестность подпространства Л в X. По
лемме Урысоиа можно определить отображение g: X-+1, тожде-
тождественно равное 0 на Л и 1 на X \ 0. Тогда если я: U (л)Х/-*и„ —
каноническое отображение, то x-+n(l{x), g(x)) определяет
непрерывное отображение f: Х-+хп, которое продолжает ото-
отображение Я, т. е. мы получили отображение пар (/, Я): (X, А)—>
—*• (хп, U («)). Затем, id(„)°Я = Я и 1*Скп = Сх, следовательно,
в силу естественности различающей конструкции (см. лемму 1 (i)
§ 3 гл. II)
d(Cx, Спх, Л) = Л
Далее, в силу естественности характера Чжэня и.по определе-
определению ch(n) имеем

272
Р. Пале и Р. С или
и, наконец, из естественности кограничного отображения для
пары относительно отображения пар получаем /*б = бЯ*. Тео-
Теорема доказана.
Пусть М — компактное ориентированное «-мерное риманово
многообразие без края, и пусть В(М) и S(M) обозначают соот-
соответственно расслоения единичных шаров и единичных сфер
многообразия М, а я: В{М)-*М и я = я 15 (М) — проекции
расслоений. Если (о, i)eB(M), то пространство Т(В (М) )(р> х)
канонически изоморфно пространству Т (М)х X Т(Т(М)Х)„ ?ё
^ Т (М)х X Т (М)х. Поэтому существует естественная комплекс-
комплексная структура в пространстве Т (B(M))(V, x), определенная усло-
условием, что умножение на i переводит точку {(и, х), (w, x))
в точку ((— w, х), (и, х)). Таким образом, Т(В(М)) является
комплексным векторным расслоением (откуда В (М) является
почти комплексным многообразием). Непосредственно из опре-
определения вытекает, что Т (В (М)) = я* (Т (М) ® С). Напомним, что
класс Тодда J" (М) определяется как J1 (Т (М) ® С), следова-
следовательно, из естественности J" получаем тСC'(М)) = д'(Т{В(М))) =
= &{В (М)) (последнее означает класс Тодда многообразия В (М)
как почти комплексного, но не как вещественного).
Пусть теперь См обозначает тривиальное ^-мерное векторное
расслоение над многообразием М, так что п*См = С| шу Пусть
А «= Intr(c5,, См), и пусть of, (A): S (М) -> GL (k, С) является суже-
сужением символа оператора А на S(M). Тогда элемент y(^).
определенный в гл. XV, совпадает с d{CkB{M), ChB{M), ar{A)),
так что по теореме 1
Для данных элементов ае=Н*(М; Q) и b<=H*{B{M), S{M); Q)
определим а • b s Н" {В (М), S {M); Q) по формуле а • Ь = я* (a) U Ъ,
где произведение в правой части формулы является произве-
произведением относительных когомологий. Тогда в соответствии
с теоремой об изоморфизме Тома кольцо Н*(В(М), S(M); Q)
¦ превращается в свободный Н* (М; О)-модуль с одной обра-
образующей—классом Тома U е Я" (В (М), S (M); Q). Изоморфизм
Тома ф,: Н'(М; Q)^H*(B(M), S (M); Q) определяется формулой
Ф, (а) = а • U = я* (а) (J U. Отсюда следует, что если b<=He(M; Q), то
Ф. {а[]Ь) = п (а)ия' (b){J U = я' {a)\)U\)n (Ь) = ср.Ыия* (Ь).
В частности, полагая b=J"{M), так что п* (b)= J" (В(М)), и
беря
Гл. XVI. Построение алгебры 1пЦ
273
получаем, что
(- 1
(п+1)/2б (д
б (дг(АУ (ch(*,)) U J (В (М)).
Напомним, что вложение S(M)-*B(M) индуцирует отобра-
отображение x-*x\S(M) когомологий Я*(В (М))->Я*(S (М)) и что
если для а е H*(S (М)) и 6еЯ'(В (М)) определить произведе-
произведение а - b = a\J(b\S(M)), то H*(S(M)) превратится в правый
Я* (В (М) )-модуль и отображение б: Н* {S (М)) -> Я* (В (М), S (М))
станет гомоморфизмом Н* (В (М))-модулей. Следовательно,
Напомним, наконец, одно элементарное свойство изомор-
изоморфизма Тома: пусть а<=Н*(М) и [М], [В(М), S(M)] обозначают
фундаментальные классы для М, (В (М), S(М)) соответствен-
соответственно, тогда а [М] = ср.(а) [В (М), S (М)]. Если х е H*(S(M)), то
дх [В (М), S (M)] = x[S (М)], где [S (М)] - фундаментальный класс
многообразия 5 (М). Следовательно, имеет место
Теорема 2. Пусть М — компактное ориентированное
п-мерное риманово многообразие без края, пусть оператор
А е 1п1>(См, См) является эллиптическим. Тогда топологический
индекс оператора А задается формулой
U (А) = (- 1)"(n+1)/2 (a* (chw) U & (В (M))\S (М))) [S (М)],
где а: S (M)—> GL (k, C)~ сужение отображения ог(А) на про-
пространство S (M), J1 (В (М)) является родом Тодда почти ком-
комплексного многообразия В (М), элемент [S(M)] является фунда-
фундаментальным классом многообразия S {М) (ориентированного
как край ориентированного многообразия В(М)).
Для вычисления индекса оператора из § 6 с помощью тео-
теоремы 2 нам осталось только вычислить ch(i).
Пусть S2 — риманова сфера, g — образующая группы Я2E2),
порожденная ориентацией этой сферы как комплексного много-
многообразия. Положим D0 = {z<=S2, UI<1}, flM = {2eS!, |z|>l},
S1 ={z^ S2, |г|=1}. Отождествим стандартным образом t/(l)
и S1, после чего Do и щ посредством отображения
z—>(z/\z\, I — |z|). С помощью изоморфизмов сужения и выре-
вырезания мы можем рассматривать g как образующий элемент
группы Я2E2, /)„,) и группы H2(D0, 51). Обозначим через ц
образующий элемент группы Н1 (S1), определенный стандартной
ориентацией (т. е. как края круга DQ), так что 6ц = g, где
б: Н1 (S1) -> Н2 (?>0, S1).
18 Р. Пале

274
Р. Пале и Р. С и ли
Как обычно, отождествим риманову сферу S2 и комплекс-
комплексную проективную прямую СРЬ т. е.- z-^[(z, 1)] для г^оои
г—>-[A, 1/г)] для z ф 0. Тогда над CPj имеется стандартное
универсальное расслоение Я, слоем которого над точкой х
является одномерное подпространство х в С2. Напомним (см.
литературу в следующем параграфе), что первый класс Чжэня Ci
определяется^ условием сх (Я) = — g. Если z e Dm, то слой
расслоения Я в_точке .г равен {(с, с/г) | с е С}, и мы определим
изоморфизм 0: H\Dco-*CS2\Dao = DooX С по формуле 8(с, c[z) =
= B, с). Это дает возможность перейти к различающему эле-
элементу d(H, CS2, e)e/<C(S2, ?»M). Если / обозначает вложение
52->E2, ?)„,), то по лемме 1 (iv) § 3 гл. II получаем
f*d(H, Cs*, в) = Н-С&.
В силу естественности характера Чжэня ch
Гch (d(/7, Cs», в)) = ch (Я) - ch(С*) = * '* - 1 = - g.
С другой стороны, /*: H*{S2, ?)«,; Q)-*#*(S2; Q) есть изомор-
изоморфизм, и в соответствии с нашим соглашением об обозначениях
Г (g) = g> отсюда _
ch(d(H,Cs,,Q))=-g.
Далее заметим, что по аксиоме вырезания включение
/: (Do, S*)-*(S\DJ
индуцирует изоморфизм в когомологиях и в /С-теории, и снова
по соглашению об обозначениях имеем j*(g) = g- Следова-
Следовательно, по лемме 1 (i) § 3 гл. II и в силу естественности ch
ch(d(H\D0, CDa, Q\Sl))=-g.
Если z s Do, то слой расслоения Я над z есть {(cz, c),c e С},
и мы можем определить изоморфизм h расслоения H\D0
на расслоение Сд, по формуле /z(cz, с) = {z, с). Тогда если
z <= S1, то
в(с2, C)=0(cz, -f-) -B, CZ)
и
id(l)B)A(c2, e) = id(i)B)(z, С) = B, С2),
т. е. коммутативна следующая диаграмма:
Л |S-
id.
(тождественно
¦Co, IS1
/"л. AV/. Построение алгебры Int*
275
Отсюда следует (формально по лемме 1 (v, ix) § 3 гл. II),
что d(H\D0, CDo) 9 | S1) = d (C0o) CBo, ido,), следовательно,
d (Сл, СО0, id0)) = - g = б (- |i).
Вспомнив наши отождествления t/(l) = 5' и x, = ZH, мы полу-
получаем, пользуясь определением 1, следующий результат.
Теорема 3. Отождествим U A) с S1 = {г е= С, | 2 |= 1}
стандартным образом, и пусть у. —образующая группы Я1 E1, Q),
соответствующая стандартной ориентации (т. е. как края
круга D0 = {z^C, | z | ^ 1}, причем последний ориентирован как
комплексное многообразие). Тогда
Замечание. Идею этого доказательства предложил
Р. Соловэй. Заметим, что мы нигде не пользовались явным
определением различающей конструкции, а только ее функто-
рйальными свойствами (см. лемму 1 § 3 гл. II).
Теорема 4. Пусть A
§ 6. Тогда топологический
минус единице.
Доказательство. Так как многообразие 51 параллели-
зуемо, то J'(B(S1))= 1, откуда по теоремам 2 и 3
it (А) = - о' (- ii) [S (S1)] = а* (ц) [S (S1)].
Теперь B(S1) = S1 X [ — 1, 1] имеет ориентацию произведения,
так что пространство 5E') = E: X {1}U 51 X {—1}) вместе с верх-
верхней окружностью 51 X {1} ориентировано отрицательно относи-
относительно обычной ориентации окружности 51, а нижняя окруж-
окружность S1 X {— 1} ориентирована положительно.
— оператор из теоремы 2
индекс it{A) оператора А равен
{1
[-1. 11
{-1}
Так как отображение alS'Xfl} является проекцией
51 X {1}-> S1, в то время как a | S1 X {— 1} является постоянным
отображением г—>1, то
18»

276
§ 8. Соглашение о знаке
В определении топологического индекса имеется некоторый
произвол, требующий компенсирующего умножения на некото-
некоторую степень числа ( — 1). Так как это уже причинило много
затруднений, то, вероятно, уместно явно указать выбор всех
его элементов и отметить влияние изменения каждого из них.
I. Определение характера Чжэня ch. Характер
Чжэня, конечно, определяется выбором классов Чжэня с(. Раз-
Различные возможности исчерпывающе изучены в приложении
к работе Бореля и Хирцебруха, Characteristic classes of
homogeneous spaces, II, Amer. J. of Math., 81, № 2 A959). Мы
приняли соглашения, содержащиеся в этой работе (определения
классов xCi = 2ct = zci из приложения), и в самом деле, после
появления этой статьи и статьи Милнора „Лекции о характе-
характеристических классах" (см. русский перевод в сб. Математика,
3 : 4 A959); 9 : 4 A965)) эти соглашения стали почти универсаль-
универсальными.
2. Определение изоморфизма Тома. Вопрос в том,
определять изоморфизм Тома ср„: Н*(М)->Я*(В(М), S(M))
посредством ф„ (а) = я* (а) (J U или посредством ф„ (а) = U (J п* (а),
где f/—класс Тома расслоения Т(М). Эквивалентно мы
можем рассматривать Н*(В(М), S(M)) как левый или как
правый Я* (М)-модуль. Мы приняли первый вариант, которого
придерживается и Милнор. Легко видеть, что переход ко вто-
второму варианту компенсируется множителем ( 1) ( 1)"
р Легк
рому варианту компенсируется множителем
в определении индекса it (где п = dim M).
(— 1)= (— 1)"
3. Определение преобразования Фурье. Здесь
вопрос заключается в возможности определения преобразования
Фурье по формуле
?(?)=/*-"*•»/(*) Ас,
так что f (х) = -j^yf j el <*¦ Щ (?) а%, или по формуле
откуда
/ (х) = j^yr / е-1 <*• Щ (?) d?.
Мы придерживаемся первой из этих альтернатив, следуя
Хёрмандеру Л., Линейные дифференциальные операторы
в частных производных, „Мир", М., 1967. Легко видеть,
Гл. XVI. Построение алгебры
277
что при переходе ко второй альтернативе символ элемента
в Intfe(|, т]) меняется на символ o'k (А), связанный с нашим
символом равенством a'k {A) (v, x) = (—l)l!ak(A)(— v, x). Конечно,
для оператора yleDifffe(§, ц) мы имеем ok(A)(— v, x) =
= ( — l)kok(v, x), так что ofk(A) = ak(A). Это изменение символа
вызывает умножение элемента у (А) ^ К (В (М), S(M)) на (— 1)",
и, следовательно, в определение топологического индекса it мы
должны ввести компенсирующий множитель (—1)".
4. Определение различающей конструкции.
Если мы поменяем ролями расслоения Е и F в определении
элемента d(E, F, а), то ясно, что новый различающий элемент
будет знаком отличаться от старого. Это, конечно, необходимо
компенсировать множителем (—1) в определении индекса it.
Интересно сравнить настоящее соглашение с тем, которое
содержится в раннем варианте доказательства теоремы об ин-
индексе, приведенном в работе М. Атьи, Р. Ботта, М. Зингера
„Topology Seminar", Harvard, 1963. Определение ch там
такое же, как и здесь, однако в определении различающей
конструкции, преобразования Фурье и изоморфизма Тома сде-
сделаны противоположные выборы. Но первые два порождают
множитель ( —1)"(— \)п = 1, т. е. они не играют роли, однако
третий случай дает множитель (—1) в определении топологи-
топологического индекса. Вот почему в их определении индекса появ-
появляется множитель (_i)»<»+iws+ij а не (_1)«c»+i)/a<
§ 9. Историческая справка о сингулярных
интегральных операторах
Сингулярные интегральные операторы (элементы из CZ0(R"))
имеют длинную историю, связанную с изучением эллиптиче-
эллиптических уравнений в частных производных. Первые результаты,
связанные с разрешимостью эллиптических задач, принадле-
принадлежат Нетеру (см. Михлин [7] для ссылок и некоторых приложе-
приложений, в частности непрерывность в рамках гёльдеровых и
/Лфункций). Кальдерон и Зигмунд получили основные нера-
неравенства для //-функций [1] и начали систематически их при-
применять к изучению уравнений в частных производных [2]. Они
работали по модулю операторов низшего порядка (как в нашем
изложении), тогда как более ранняя работа проделана по мо-
модулю компактных операторов, как в [7]. Сили обобщил их под-
подход на случай многообразий [8], где было показано влияние
на операторы замены координат. Раньше операторы на много-
многообразиях изучал Жиро в классах гёльдеровых функций.

278
Операторы порядка выше нулевого впервые рассмотрены
Дыниным [3], который изучил регулярность и разрешимость
в эллиптическом случае, по-видимому, обобщив доказательства
для дифференциальных операторов. Сили в [9] расширил алгебру
операторов, включив туда операторы отрицательного порядка,
так что регулярность и разрешимость стали прямыми след-
следствиями из основных свойств этой алгебры (см. гл. XI).
Все вышеуказанные работы использовали только „старший"
символ а,. Полное асимптотическое разложение, приведенное
здесь, принадлежит Кону и Ниренбергу [6], данные выше
определения и доказательства теорем 1 и 4 из § 2 взяты из
этой работы.
Теорема 2 из § 2 и ее приложения по существу принадле-
принадлежат Гохбергу [4]. Доказательство теоремы 7 из § 2 более или
менее новое, по общему плану оно похоже на доказательство
более слабого результата из семинара Картана-Шварца
1963-1964 гг.
Другое доказательство было дано Зингером в его лекцион-
лекционном курсе. Многие из результатов, приведенных здесь, сфор-
сформулированы в несколько ином виде в работе [10].
Ш
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
?10]
ЛИТЕРАТУРА
On singular integrals, Amer. J.
and
Calderon A. P., Zygmund
Math., 78 A956), 289—309.
Calderon A. P., Zygmund A., Singular integral operators
differential equations, Amer. J. Math., 79 A957), 901—921.
Дынин А. С, Сингулярные интегральные операторы произвольного
порядка на многообразиях, ДАН, 141 A961), 21—23.
Гохберг И. Ц., О теории многомерных сингулярных интегральных
уравнений, ДАН, 133 A960), 1279—1282.
Хёрмандер Л., Псевдодифференциальные операторы, сб. „Псевдо-
„Псевдодифференциальные операторы", „Мир", 1967.
Кон Дж., Ниренберг Л., Алгебра псевдодифференциальных опе-
операторов, сб. „Псевдодифференциальные операторы", „Мир", 1967.
М их лин С. Г., Сингулярные интегральные уравнения, УМН, 3 A948),
29—112.
See ley R. Т., Singular integrals on compact manifolds, Amer. J.
Math., 81 A959), 658—690.
Сили Р., Интегро-дифференциальиые операторы на векторных рас-
расслоениях, сб. Математика, 11:2 A967), 57 — 97.
Unterberger A., Bokobza J., Les operateurs de Calderon—
Zygmund precises, С R. Acad. ScL, Paris, 259 A964), 1612—1614.
ГЛАВА XVII
ИНВАРИАНТНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИНДЕКСА
ОТНОСИТЕЛЬНО ВНУТРЕННИХ ГОМОЛОГИИ
Р. Пале и Р. Сили
В этой главе М будет обозначать компактное ориентиро-
ориентированное гс-мерное риманово многообразие, являющееся краем
компактного ориентированного (п + 1)-мерного риманова много-
многообразия Y. Через X будем обозначать (п+1)-мерное ориенти^
рованное риманово многообразие без края, которое является
объединением многообразий Х+ = Y и Х_, причем Х+ П Х- = М,
В частности, такое многообразие X может быть дублем много-
многообразия Y, риманова структура которого некоторым образом
гладко продолжена на X. Как обычно, с помощью римановой
структуры отождествим Т (М) с Г (М) и Т (X) с Г (X). Над
каждой точкой х^М будем рассматривать Т(Х) как подпро-
подпространство пространства Т (X) и будем обозначать через" v(x)
или просто v единичную нормаль многообразия М в точке х,
направленную из Х_ в Х+.
Начнем с явного вида формулы Грина —Стокса для диф-
дифференциального оператора первого порядка.
Теорема 1. Пусть | и ц — эрмитовы расслоения над Y и
L e Diffх (?, ц)- Определим отображение G е Нот (|| М, ц | М)
формулой
Тогда если
= a,(L)(v, x).
Г(* то
(Lf,g>0-(f,LmgH = - j(G(f\M),g\M)v
м
Доказательство. Пользуясь разбиением единицы, мы
можем предположить, что носитель сечения f расположен в кот
орди/натной окрестности U точки р е М. Выберем координаты
Х\, . \, хп, t в окрестности U так, что U отождествляется
с областью {(х, i)eR"+l, — 1 <xt< I, 0<!?< l} с началом ко-
координат р. Хорошо известно, что эти координаты можно вы-
выбрать „унимодулярно", т. е. так, чтобы риманова мера на U
задавалась мерой Лебега. Мы можем также предположить,
что v = d/dt. Теперь мы можем рассматривать | \и и r\\U как
тривиальные расслоения, слоями которых служат эрмитовы

278
Р. Пале и Р. С или
Операторы порядка выше нулевого впервые рассмотрены
Дыниным [3], который изучил регулярность и разрешимость
в эллиптическом случае, по-видимому, обобщив доказательства
для дифференциальных операторов. Сили в [9] расширил алгебру
операторов, включив туда операторы отрицательного порядка,
так что регулярность и разрешимость стали прямыми след-
следствиями из основных свойств этой алгебры (см. гл. XI).
Все вышеуказанные работы использовали только „старший"
символ аг. Полное асимптотическое разложение, приведенное
здесь, принадлежит Кону и Ниренбергу [6], данные выше
определения и доказательства теорем 1 и 4 из § 2 взяты из
этой работы.
Теорема 2 из § 2 и ее приложения по существу принадле-
принадлежат Гохбергу [4]. Доказательство теоремы 7 из § 2 более или
менее новое, по общему плану оно похоже на доказательство
более слабого результата из семинара Картана-Шварца
1963-1964 гг.
Другое доказательство было дано Зингером в его лекцион-
лекционном курсе. Многие из результатов, приведенных здесь, сфор-
сформулированы в несколько ином виде в работе [10].
ЛИТЕРАТУРА
[]] Calderon A. P., Zygmund A., On singular integrals, Amer J.
Math., 78 A956), 289—309.
[2] Calderon A. P., Zygmund A., Singular integral operators and
differential equations, Amer. J. Math., 79 A957), 901—921.
[3] Дынин А. С, Сингулярные интегральные операторы произвольного
порядка на многообразиях, ДАН, 141 A961), 21—23.
[4] Г ох б ер г И. Ц., О теории многомерных сингулярных интегральных
уравнений, ДАН, 133 A960), 1279—1282.
[5] Хёрмандер Л., Псевдодифференциальные операторы, сб. „Псевдо-
„Псевдодифференциальные операторы", „Мир", 1967.
[6] К о н Д ж., Ннренберг Л., Алгебра псевдодифференциальных опе-
операторов, сб. „Псевдодифференциальные операторы", „Мир", 1967.
[7] Михлнн С. Г., Сингулярные интегральные уравнения, УМН, 3 A948),
29—112.
[8] See ley R. Т., Singular integrals on compact manifolds, Amer. J.
Math., 81 A959), 658—690.
[9] Сили Р., Интегро-дифференциальные операторы на векторных рас-
расслоениях, сб. Математика, 11 :2 A967), 57 — 97.
?I0J Unterberger A., Bokobza J., Les operateurs de Calderon—
Zygmund precises, С R. Acad. Set., Paris, 259 A964), 1612—1614.
ГЛАВА XVII
ИНВАРИАНТНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИНДЕКСА
ОТНОСИТЕЛЬНО ВНУТРЕННИХ ГОМОЛОГИИ
Р. Пале и Р. С или
В этой главе М будет обозначать компактное ориентиро-
ориентированное гс-мерное риманово многообразие, являющееся краем
компактного ориентированного (п + 1)-мерного риманова много-
многообразия Y. Через X будем обозначать (гс + 1)-мерное ориенти^
рованное риманово многообразие без края, которое является
объединением многообразий Х+ = Y и Х_, причем Х+ Г) Х- = М.
В частности, такое многообразие X может быть дублем много-
многообразия Y, риманова структура которого некоторым образом
гладко продолжена на X. Как обычно, с помощью римановой
структуры отождествим Т (М) с Г (М) и Т (X) с Г(Х). Над
каждой точкой х^.М будем рассматривать Т{Х) как подпро-
подпространство пространства Т (X) и будем обозначать через v(x)
или просто v единичную нормаль многообразия М в точке х,
направленную из Х_ в Х+.
Начнем с явного вида формулы Грина —Стокса для диф-
дифференциального оператора первого порядка.
Теорема 1. Пусть g и т] — эрмитовы расслоения над Y и
L e Diff 1 (|, ц). Определим отображение G е Нот (|| М, ц \ М)
формулой
G (х) = a, (L) (v, х).
Тогда если /еГ (|), ?еГ(г\), то
(Lf,g)o-(f,L*g)o = - \{Q{f\M),g\M\.
м
Доказательство. Пользуясь разбиением единицы, мы
можем предположить, что носитель сечения / расположен в ко^
орди/натной окрестности U точки р е М. Выберем координаты
Х\, . .\, хп, t в окрестности U так, что U отождествляется
с областью {(х, /)eR"+1, — 1 <xt< Г, 0<!i< l} с началом ко-
координат Р- Хорошо известно, что эти координаты можно вы-
выбрать „унимодулярно", т. е. так, чтобы риманова мера на U
задавалась мерой Лебега. Мы можем также предположить,
что v = d/dt. Теперь мы можем рассматривать ||t/ и r\ | U как
тривиальные расслоения, слоями которых служат эрмитовы

280
Р. П але и Р. С или
векторные пространства Vu V2 соответственно, а эрмитовы
структуры задаются С°°-отображениями А к В окрестности U
в пространства положительных операторов, действующих на V\
и V2 соответственно (см. лемма 4 § 4 гл. IV). Оператор L
задается в окрестности U формулой
(плюс операторы нулевого порядка, которыми можно пренебречь),
где G (х, t) = a] (L) (dt, (x, t)) и Ct (x, t) = a, (L) (dxh (х, t)), в част-
частности G (х, 0) = G (х). Тогда из доказательства леммы 4 § 4
гл. IV следует, что
L'g (x, t)=- А-1 А (С (х, t) В (х, t) g (x, t)) -
x, t)g(x, 0),
С
где G и Сi являются отображениями V2-*-Vu сопряженными
с G и Ct. Отсюда
Щ. е),-(/. L-gk- (во f, *), +(f, -I: @-вЙ)\ +
Поэтому
(Lf,g)o-(f,L'g)o =
- \dx, ... j dxn ... \dt [± (BGf, gh + J -§г (BCtf, g)l
-1 -1 0 j = l '"
и, вспоминая, что носитель сечения / заключен в U, имеем
1 1
J dxx ... J dxn (B(x, 0) G (x, 0)f(x, 0), g(x, 0)), =
-l _i
--j(G(x)f(x),g(x))v
м
Теорема доказана. Следующая теорема тесно связана с тео-
теоремой Кальдерона из работы „Граничные задачи для эллипти-
Гл. XVII. Инвариантность аналитического индекса
281
ческих уравнений" („Outlines of the Joint Soviet — American
Simposium on Partial Differential Equations, August, 1963",
Новосибирск).
Теорема 2. Пусть ? — эрмитово расслоение над X и
L s Diff 1 (?, ?) — такой эллиптический оператор, что отображение
L: С°°E) —> С°° (?) взаимно однозначно. Определим подпростран-
подпространства Н+ и #_ в пространстве C°°(t,\M) формулами
Я± = {/|М,/еС0О(?|Х±), L/ = 0 на Х±).
Тогда Н + и #_ являются взаимно дополнительными подпро-
подпространствами в С°° (? | М), и, следовательно, существуют проекции
Р±: С°° (Z I М) -> С°° (? IМ) на подпространства Н± вдоль Н*.
При этом Р± е CZo(S \M,t,\M) и символ оператора Р+ характе-
характеризуется следующим свойством: пусть X— Oi(L), и для данного
оеГ (М)х пусть Е~ iv) — подпространство пространства t,x,
являющееся прямой суммой обобщенных собственных подпро-
подпространств отображения — h(v, x)~ \{v, х), соответствующих соб-
собственным значениям ц с 1т(ц)>0 {для Е+ (v)) и с 1т(ц)<0
(для Е~ (v)). Тогда символ о(Р+) (v, x): t,x-> t,x является проек-
проекцией на пространство Е+ (v) вдоль Е~ (v).
Доказательство теоремы 2 проводится с помощью не-
нескольких лемм.
Лемма А. #+П#_ = 0.
Доказательство. Предположим, что /± е С°° E | Х±),
Lf± = 0 на Х± и /+ | М = f _ | М. Определим непрерывное сече-
сечение /, положив / = /+ на Х±. Мы покажем, что Lf = O
на многообразии X; следовательно, f является С°°-гладким
сечением, откуда / = 0, так как отображение L взаимно одно-
однозначно; отсюда f+\M = f\M = 0. Проверим, что L/ = 0. При
gsC°°© имеем
Ш, gH = </, L'gH = {f+, L*g | X+\ + (/_, L'g I X.)o =
- J (G (/+ \M),g\M)t- j (G (/_ |M), g\M\ = 0,
Af M
так как Lf± = 0 и /+ | M = /_ | M. Лемма доказана.
Пусть теперь р —метрика на многообразии X; определим
функцию / на I формулой t(x) = p(x, М), если хе!+, и/(х) =
= — р(х, М), если jeL. Тогда t — координата в трубчатой
окрестности {Ul<eo} многообразия М. Мы можем предполо-
предположить, что е0 = 1 и что ?|{|/|<1} равно произведению расслое-
расслоения Z,\ М на единичный интервал (—1, 1). Тогда для — 1<е<1

282
Р. Пале и Р. С и ли
существует отображение RR: С°°(?| {\t |< 1})->с°°(?| М), опре-
определенное формулой (RJ)(от) = /(от, е), где теМ. По теореме 7
§ 4 гл. X RR непрерывно из пространства #*(?) в пространство
Hs~112 (С,\М) при s>y. При е=0 нам понадобится также со-
сопряженное отображение /?*, определяемое формулой (/, #JgH =
= J (/ I M» g)s Для гладкой функции g. По двойственности R'd
м
продолжается до непрерывного отображения Hs{t,\M) в про-
етранство Hs~1/2(t,) при s<0.
Определим отображение Lo: С°°(?| Af)-*-C°°(? |Af) формулой
(Lo/)W = ^(v, x)/(x). Так как А. = cr, (L), а оператор L эллипти-
эллиптический, отображение Lo взаимно однозначно.
Лемма Б. Если g <= С°° (? | М), то при е->0+ последова-
последовательность RsL~lR*oLog сходится равномерно к пределу P+g, где
P+eCZ0(?| М, ?,\М) имеет символ, описанный в теореме 2.
То же самое справедливо и при е -*¦ 0 -- , но с заменой опера-
оператора Р+ на — Р_. Если D — любой дифференциальный оператор,
то последовательность ReDL~ RoLog также сходится равномерно
при е, стремящемся к 0 + или к О — .
Доказательство леммы Б несколько откладывается. Оно
является основной частью доказательства теоремы 2.
Лемма В. Если Р+ и Р_ — операторы, построенные в лемме Б,
то .Р+ + Р_ есть тождественный оператор.
¦ Доказательство. Пусть f е С°° (? | Af); положим и =
= L~lR*0Lof. Тогда для каждого qp<=C°°(?) имеем
I
м
(Lo/, Ф I M) = (Lo/, /?0ф>0 = (R*0L0f, ф)о = (L"> ф>0 = (и, L»o =
lim I (u, L*ф).
е-» О
По лемме Б ы|{|/|>е} является С°°-гладким, и так как Lu
— R^LJ имеет носитель, лежащий в многообразии М, то L«
в области {|/|>е}. Отсюда по теореме 1
f (Lo/, Ф | M) = lim f (L8 (и | Ме), ф |Afe) -
/и +ме
'. ¦ - lim f
e-»O+
Л///. Инвариантность аналитического индекса
283
где Ме = {^ = е}, а оператор Le — соответствующий аналог для
оператора Lo. Так как в подинтегральных выражениях все функ-
функции принадлежат С°°, то мы можем перейти к пределу, получая
= ао(Р+/+Р_/),ф|М), таккакР± = ± lim
м e-*0+
Но каждое С°°-сечение расслоения t,\M имеет вид ф^, где
Ф — сечение расслоения ?, так что Lof = Lo (P+f + Р-/). Наконец,
отображение Lo является биективным, поэтому / = P+f + P_f.
. Доказательство теоремы 2. Определим операторы Р±,
как в лемме Б. Ввиду лемм А и В достаточно доказать, что
образ оператора Р+ лежит в пространствах Н±, поскольку тогда
/ = Р+/ + Р_/ является однозначным разложением сечения/
в сумму элементов пространств Н+ и #_. Но лемма Б покаг
зывает, что если /е=С°°(?|М), то и \Х+ = (L~1R*oLof)\x+ e=
eC°°(g |Х+). Так как носитель элемента Lu = R*0Lj лежите много-
многообразии М, то Lu = 0 во внутренних точках многообразия Х+, и
Р+/ = ы |М еЯ+. Аналогично Р_/еЯ_.
Доказательство леммы Б использует следующий результат.
Лемма Г. L'1 e CZ_! (?, ?). '
Доказательство. Возьмем оператор ГеС2.|.?, g)
с символом а_] (Г) = А, = сг {L)~ . Тогда ao(TL) — 0o(fi), так что
TL = I — K, где A"sCZ_,(?, ?)• Умножая оператор (/ + /С+ •••
... + K.m)TL = I —/Cm+1 справа на оператор L, получаем .
Но /СУГе CZ_7_, (?, g) и /Ст+1Ь-' г ОР_т_2 (?, ?), так как,
L~x е ОР_1. Следовательно, оператор L z можно аппроксими-;
ровать операторами из пространства CZ_i до произвольно низ--
кого порядка.
Доказательство леммы Б. Достаточно рассмотреть
оператор M^LT*MyJ&Lag, когда носители функций ф] и ф2 не
пересекаются или содержатся в соответствующей координатной
окрестности. В первом случае М^Ь~ХM^Rl непрерывен из
HS(M) в Н°°(Х) для s < 0 и тем самым для всех значений s. Следо-
Следовательно, последовательность Rs DMcp,/, M<f2RoLog сходится рав-
равномерно к некоторому пределу Hg, и Я — оператор порядка —оо.^
Предположим теперь, что носители элементов ф[ и ф2 лежат
в координатной окрестности U а X с координатами if>: ?/—>-R"+1>

284
Р. Пале и Р. С и ли
причем расслоение ? | U тривиально. Если U не пересекается
с М, то M42RoLog = 0 и нечего доказывать, поэтому мы пред-
предположим, что г|з = (гЬ ..., -ф№, гр„+1), где ^n+x=t. Пусть функ-
функция ф равна 1 на носителе функции | ф] | +1 ф21 и носитель
ее лежит в U. Тогда в соответствии с леммой Г
Существенны некоторые подробности о символе а (В), кото-
который мы вычислим. Пусть а (В) (у, t; r\, т) = 2 bt(y, t;r\,x) и
a(yip'MyLMyap,) (у, t; т), х) = ах + а0, где элемент af является одно-
однородным степени /. Здесь ti = (tii, ..., г\п) — переменные, „двой-
„двойственные" к у, а т „двойственно" к t. Так как расслоение ? IU
тривиально, то мы можем рассматривать а^ и hi как матрицы
функций. Так как для функций / с носителем, содержащимся
в носителе функции (| ф, | + | ф21), мы имеем M(fL~lM(fM4LM<tg=g,
то из теоремы 3 § 2 гл. XVI следует, что элемент bt в области
гр(носитель (| ф] | +1 ф21)) удовлетворяет следующим равенствам:
Ь-Хах = тождественная матрица,
Пусть 9 — срезающая функция; положим
(9, bt) гр.М
- 0 . ,. д. (!)
где оператор А (9, bt) такой же, как в определении 3 § 2 гл. XVI.
Тогда если оператор D имеет порядок ^ k, то оператор
D\M4lL~xM^— 2 В А имеет порядок ^lo + k, так что для
L t>i, J
10< — \—k — {n+ 1)/2 теорема Соболева (теорема 4 § 4 гл. X)
и отмеченная выше непрерывность отображения Rl: H~112{t,\M)->
-*-Я~'(?) показывают, что ЛГМф,/.^ — 2 BArILq является
L / > и J
непрерывным отображением из Н~т (? \М) в С°(?). Поэтому по-
последовательность ReD iM^L^Mtf, — 2 ^Л RoLog равномерно
L t > /о J
сходится при е—»0; остается доказать подобный результат для
ReDBtRlUg.
Пусть а еС°° (/?'). причем функция a(s) обращается в нуль
всюду, кроме — l<s<— 1/2, и J a=l. Положим am(s) =
= ma(ms). Тогда при m-> + оо последовательность ат <8>.g схо-
сходится слабо к #pg- в пространстве Hs {X) для каждого $< — -д-,
Гл. XVU. Инвариантность аналитического индекса
285
т. е. | j (am(/)g(y), ф(г/, t))dydt сходится к j (g(y), <p(y, 0))dy
при фей"'. Таким образом, при f = ip^g и фи = гр,ф, мы имеем
оо
«=Bя)~в~'ф1. 1«ш Г f
B)
¦>" -о
на каждом открытом множестве, где эта последовательность
сходится равномерно при /п->оо. Здесь предполагается, что
е(ть т) = 1 для h2| + |T|2>l и 9 = 0 для |Tp + |T|P<i.. Мы
получим интеграл, в котором предельный переход при m -> оо
можно совершить под знаком интеграла, заменяя
оо
Г dx
на инте-
грал по конечному пути в пространстве {1т(т)^0}. Чтобы пока-
показать, что это возможно, рассмотрим уравнение A) для элемента bt.
Здесь а.\ (у, t; ц, т) является линейной функцией от (i\, т), кото-
которая не имеет особенностей при |т]|2 + |т|2>0 и вещественных
т) и т в силу эллиптичности L. Следовательно, в комплексной
плоскости имеется такое компактное множество С, не пересе-
пересекающееся с вещественной осью, что для | ц \ = 1 и (у, t) из но-
носителя (гр(| ф] | + | ф21)) (комплексные) значения т, при кото-
которых ах необратимо, расположены в С. Таким образом, при
таких ц и (у, t) функция Ьх = {ах)~1 аналитически продолжается
на дополнение множества С. С помощью A) по индукции на-
находим, что все элементы Ьх и все их производные имеют про-
продолжения, каждое из которых ограничено некоторым полиномом
от | т |. Пусть множество С лежит в области {| т | ^ R], пусть
Г (ц) — граница множества
{|т|<тахA, Я|г)|)}П{1т(т)>0}.
Продолжим функцию Э на R" X С так, что 9(т], т)=1 для
-1/2
| т] |2+ | т |2^ 1. Так как а(т)= e~itxa{i)dt экспоненциально
убывает при |т|->оо в области {1т(т)^0}~', eitx ограничено
при /^0 и 1ш(т)^0 и подинтегральное выражение в B)
является голоморфной функцией в области между Г (ту) и,
оо
{Im (т) = 0}, то I dx можно заменить на J dx. Тогда при ш-ь оо
-^ Г (rj)

286
Р. Пале и Р. С или
можно перейти к пределу под знаком интеграла, что дает
для B) следующее выражение:
Bл)"" ф1. J J 6JV"T die1 <* ч> di\,
C)
так как а (т/m) ограниченно сходится к функции а @) = [ а=1
при т-*оо. Отсюда сразу получаем, что выражение C) является
С°°-гладким для t>0 и все его производные по у и t продол-
продолжаются непрерывно в область {t^O}. Это устанавливает равно-
равномерную сходимость последовательности ReDBtR*ug. Далее,
lim
е->0+
если
и R \ц 1^=1; тогда функция
1, т) bt (у, 0; т), т) dx
1
2п
является однородной степени / + 1 по tj. (Заметим, что одно-
однородность bt сохраняется и для его голоморфного продолжения,
и для данного ц имеем в(г\, т)=1, и Г(т]) является краем об-
области {|т|</?|т)|}П{1т(т)>0}.)
Остается только вычислить <ronim ReB_1Rq) и, следова-
Ve->0+ J
тельно, a0(P+) = oJ lim /?еВ_,/?о?Д Для точки хеМ и (г/, 0) =
0
= г|э(х) имеем
( lim /?efl_i/fe
\е->0+
Так как Я = at (L), то из определения 4 § 3 и определения 7
§ 2 гл. XVI вытекает, что ах(у, О; tj, т) = ixX (v, x) + /A(u, дг),
когда и = (cf-ф*) (Г|), так что символ оператора D) имеет вид
-L- J [X(v, х)т+Я(а, x)]~'dT E)
Г(т])
внутри множества, где фх = 1 и ф2=1; здесь контур Г(т))
окружает обобщенные собственные значения отображения
— Я(у, x)~^X{v, x), лежащие в области {1т(т)>0}. В силу фор-
Гл. XVII. Инвариантность аналитического индекса
287
мулы D) и того,-что а_, (B_i) = а_] (L ') на множестве, где
и ф2=1, непосредственно из E) получаем
+) (о, Jf) = 2rf J [Я (v, х) т + Я (и, л:)]
Г(г])
(Lo)
Г (Л)
так как ао(?о)(у, jc) = A(v, x). Следовательно, из свойств голо-
голоморфных отображений элементов банаховой алгебры (или
в нашем случае из канонической формы Жордана) получаем,
что E) является проекцией на обобщенное собственное про-
пространство отображения — Я(у, x)~lX{v, x) с собственными зна-
значениями, лежащими в области {1т(т)>0}, и параллельно обоб-
обобщенному собственному пространству с собственными значе-
значениями, лежащими в {Im (т) < 0}. Теорема доказана. -
Теорема 3. Пусть X — дубль многообразия Y, и пусть
? — эрмитово расслоение над X. Пусть AsSmblJ^, ?) удовле-
удовлетворяет соотношению Я (и, х)*'= — X(v, x) для всех х, <^Т*(Х)Х и
Я (и, хJ= —1, если || и ||= 1. Определим расслоения |+ и |~ «а<Э
многообразием М формулой
/,,, го аналитический индекс элемента а
Тогда расслоение ? | М разлагается в ортогональную прямую
сумму расслоений |+©|~. При этом если v ^Т(М)Х, то Я (и, х)
изоморфно отображает g* на gj; следовательно, существует
эллиптический символ aeSmbl?(g+, |~), определенный форму-
формулой а (и, x) = X{v, x)||+. Аналитический индекс а равен нулю.
Более общо, если ц — произвольное расслоение над многообра-
многообразием М, которое является сужением расслоения над многооб-
многообразием Y, и если элемент а е Smb lf(|+ <8> Ц, |~ ® ц) опреде.
лить формулой а = а
будет равен нулю.
Доказательство. Заметим, что так как отображение
Я (и, х) линейно по у, то из условия X(v, хJ = — 1 при ||о||= 1
вытекает, что X (v, хJ = — || v \f (откуда если v ф. 0, то Я (v, х) =
= — (l/llw IP) Я (о, х), что заодно доказывает эллиптичность Я).
Пользуясь линейностью отображения X(v, x) no v, получаем
- II у, IP -1| о2 IP - 2 (Vlv2) = - || Vl + v2\f = Я (v, + t>2, xJ =
= A,(i/,, ^J + ^(f2, xf + X{vu x)X(v2, x) + X(v2, x)X(vu лг) =
= ~ II t»i If - II f 2 IP + Я (vu x) Я (оа, *) + Я (у2> х) Я (оь jr);

288
Р. Пале и Р. С и ли
следовательно, A,(t»i, x)X(v2, x) + X(v2, x)X(vu x)= — 2(vu v2).
В частности, если элементы vx и v2 ортогональны, то X(vu x)
и X(v2, х) антикоммутируют. Если х е М, то так как X(v, х)
является кососопряжекным и удовлетворяет условию Я (v, xf =
= — 1, то t,x разлагается в ортогональную прямую сумму соб-
собственных подпространств отображения X(v, x) с собственными
значениями ±/, т. е. подпространств g* и gj. Если v^T(M)x,
то v ортогонально к и, откуда А, (а, х) и X(v, дг) антикоммути-
антикоммутируют, и мы получаем, что X(v, х) отображает |^ в g~ и \~ в g*.
Если у ^= 0, то Я (а, х) является автоморфизмом пространства ?х,
так что в этом случае Я (у, х) отображает пространство |* изо-
изоморфно на gj. Это показывает, что а является корректно опре-
определенным эллиптическим символом. Отметим теперь несколько
фактов, которые нам понадобятся в дальнейшем. Если опера-
оператор Г является кососопряженным и удовлетворяет уравнению
Т2 — — 1, то оператор проекции на собственное + /-пространство
вдоль собственного —/-пространства совпадаете у(/ — /Г),
а дополнительной проекцией служит оператор -=-(/+-гТ). В част-
частности, ортогональная проекция пространства t,x на простран-
пространство gf совпадает с у (/ + Я (v, х)). Кроме того, если веГ(М)
имеет норму единица, то так как отображения Я (у, х) и Я(у, х)
обладают этими свойствами оператора Т и антикоммутируют,
таково же и Я(у, х)Я(и, х), так что проекция на собствен-
собственное ± /-пространство вдоль собственного + /-пространства
есть в точности отображение -j (/ + /Я(у, х)Я(у, х)).
Возьмем теперь оператор D e Diff] (?, ?) с символом <Т! (D) = Я.
Тогда a] (Z)*) = — Я* = Я, так что если положить L = -^ (D + Z)*),
то L = V и a! (L) = Я. Так как символ X является эллиптиче-
эллиптическим, то (см. теорему 14 гл. XI) существует последователь-
последовательность {fn} в пространстве С°°(?), образующая ортонормальный
базис пространства Я°(?), и последовательность веществен-
вещественных чисел {Хп}, таких, что Lfn = Xjn. Если мы теперь заменим
оператор L на L — р./, где \х — вещественное число, отлич-
отличное от-Я„, то снова L = V и ctj (L) = Я, но теперь еще ker/. = 0;
поэтому (см. теоремы 9, 12 гл. XI) отображение L: С°° (?) —> С°° B)
взаимно однозначно, и, следовательно, все предположения тео-
теоремы 2 удовлетворены.
Пусть В+ (х) и В~ (х) обозначают соответственно ортого-
ортогональные проекции пространства ? на g^ и |J (x s Л1), так что
Гл. XVII. Инвариантность аналитического индекса
289
X(v, х) = i(B+ (x) — В (х)) и S+ (л;) + В (х) — тождественное ото-
отображение. Определим отображения В*: C°°(? |Af)-*-C°°(g \M)
формулой
Тогда по теореме 1 при иие C°°(g| X±) мы получаем следующую
формулу Грина — Стокса:
j [(La, о) - (и, Lo)] = + t j (fi+ (и IM) - В" (и | Af), v | Af). F)
Пусть теперь ^5?+ и ®%L обозначают следующие подпростран-
подпространства пространств С°°(?\Х+) и C°°(SIZ_) соответственно:
и пусть Я± обозначают подпространства пространства С°°{?,\М)
граничных значений элементов из е7в± соответственно:
Я± = {/е=С°°(?|М), f = u\M, где и е ^?±},
так что по теореме 2 Я+ и Я_ являются взаимно дополни-
дополнительными подпространствами в пространстве С°°(?|М). Пусть
отображения Р±: С°° (? I M)-^C°°(g |М) будут проекциями на Я±
вдоль Я=р. Тогда снова по теореме 2 Я± е CZ0 (? |Af, ? |Л0,
и если v ^ Т* (М)х имеет норму единица, то отображение
(Го (Р+) (f, Jt) является проекцией на прямую сумму обобщенных
собственных подпространств отображения — X(v, x)~ X(v, x) с
положительной мнимой частью собственных чисел вдоль пря-
прямой суммы остальных обобщенных собственных подпространств.
Так как X(v, х) = - X{v, x), то, как мы отмечали выше,
ao(P±)(v, x) = -^(I + iX(v,x)X(v,x)). Следовательно, <т0 (L'*)(u,x) =
= В±(х) = 4-(/ + /Я(у, л;)). Помня, что отображения X(v, x) и
Я^, х) антикоммутируют, а квадрат каждого из них равен минус
единице, получаем
o0{B+P+)(v, х) = \A-1Му, x)-iX(v, x)X(v, x) + X{v, x)),
go
(B~pJ)(v, x) = ^(I + iX(v, x)+iX{v, x)X(v, x) + X(v, x)).
Так что если мы определим оператор С eCZ0(?|M, Ъ\М) фор-
формулой С = В+Р+ + В~Р-, то
ao(C){v, x) = \{I + X{v, x)).
19 Р. Пале

290
Р. Пале и Р. С или
Так как X(v, хJ= — / и X{v, х)* = - Л, (у, л:), то
ao(CY(v, X) = ±.(i-X(v, x))
ог0(С)"'(о, *) = (/-Л (f, х)),
откуда, в частности, получается эллиптичность оператора С.
Символ ao(C2)(v, х) — -^ X(v, x) является кососопряженным, так
что по следствию из теоремы 9 гл. XI оператор С2 имеет ну-
нулевой индекс. Так как ind (С2) = 2 ind (С), то оператор С имеет
индекс, равный нулю. С другой стороны, ker (С) — 0. Действи-
Действительно, пусть 0 = Cf = B+P+f + B~P_f. Так как отображения
В+ и В~ являются ортогональными проекциями, то
Пусть P+f = u\M, где ые<эй?+. Тогда по формуле Грина —
Стокса F), положив u = v, получаем (так как Lu = 0)
0= /Св-р+/,р+/)= j\\B-p+ff,
м
откуда В P+f = O, следовательно, P+f = B+P+f + B P+f = O.
Аналогичное рассуждение показывает, что P_f = 0, откуда
f — P+f + P_f = 0. Так как оператор С имеет нулевые ядро и
индекс, то он является взаимно однозначным отображением „на'%
и рассуждение, аналогичное доказательству леммы Г, пока-
показывает, что С e=CZ0(?|Af, ?,\M) и
<уо(С-*)(и, *) = ог0(СГ>, *) = (/-X (v, x)).
Определим теперь оператор reCZ0(|+, |~) формулой
где отображение *'+eDiff0(g+, ?,\M) является вложением про-
пространства С°°(|+) в пространство С°°(^|Л1). Тогда
<то(В P+)(v,x) = -j(I + iX(v, *))(/- iX(v, x)X (v, x]) =
= T (/ + iX (v, x) - iX (v, x) X (v, x)-X (v, x)) ¦¦
1 " • " '~X(v, x))
Гл. XVII. Инвариантность аналитического индекса
так что
= -y(/ + a(v, x))X{v, х)=-1
Теперь на пространстве |+ отображение ^(v, д;) является умно-
умножением на i, следовательно, отображение I — iX(v, x) является:
умножением на 2, так что
ao(T)(v, x) = ao
= - X(v,
- c(v, x).
Таким образом, отображение ао(Т) совпадает с отображе-
отображением — 0 на расслоении единичных сфер многообразия М,.
откуда следует, что оператор Т является эллиптическим и:
(см. теорему 3 гл. VII) аналитический индекс символа а равен
аналитическому индексу оператора Г. Итак, для завершения
доказательства того, что 0 имеет нулевой аналитический ин-
индекс, достаточно показать, что оператор Т: С°°(|+)—>• С°°(|~)
является биективным.
Определим линейное отображение U следующим образом:
если g^H+, то U отображает B+g в B~g. Для проверки
корректности этого определения нам надо показать, что если
B+g = 0, то В~? = 0. Пусть и*=Н+ и u\M^g. Так как Lu = 0,.
то, положив и = v в формуле Грина — Стокса F), имеем
0=
. g)-
м
м
так что
B+gh=\\B g||0. Это доказывает, что отображение U
не только корректно определено, но еще и сохраняет #°-норму.
Мы утверждаем теперь, что на самом деле Т = U, так что опе-
оператор Т инъективен. Действительно, для данного / е С°° (|+)
положим h = C~li+f = C~lf. Тогда / = Ch(S+P+ + В~Р_) h.
Применим + + + (+
)
+
оператор В+; получим / = B+f = В+ (В+Р+
B+P+h = B+g, где g = P+h<=H+. Далее,
Щ = B~g = B~P+h =
= Tf.
Остается показать, что Т является сюръективным. Для этого-
мы покажем, что если элемент АеЯ°(|") ортогонален к образу
оператора Т, то Л = 0.
Так как оператор Т е CZ0(|+, |~)s Into(|+, |~) является
эллиптическим, то (см. теорему 7 гл. XI) h e С°°(|~). Мы имеем.
19*

292
Р. Пале и Р. С или
три равенства:
(B+P+h, Л>0 = 0, (i)
<В+Р_Л,й>0 = 0, (ii)
(B~P+h,h)o = O. (iii)
Первое и второе выполняются, поскольку В+й = 0 и (B+P±h, hH =
= (Р±Л, B+hH, а третье потому, что элемент B~P+h =
= U{В+Р+h) = Т{в+Р+h) лежит в образе отображения Г и,
следовательно, ортогонален h. Тогда
II h % = <(В+ + Я~)(Р+ + P~)h, h\ = <В-Р_Л, h\ =
= {B~P-h - B+P.h, h\.
Далее, Р_Л е #_ и P^h — v\M, где we#_. Так как Lu = О,
то, полагая ы = и в формуле Грина — Стокса F), получаем
О = <В~Р_Л - В+Р _А, А>о = II Л |g,
откуда h = 0. Этим заканчивается доказательство того, что ана-
аналитический индекс символа а равен нулю.
Для того чтобы доказать последнее утверждение нашей тео-
теоремы, заметим, что (см. теорему 5 § 4 гл. X) ц является су-
сужением на многообразие М некоторого расслоения fj с базой X.
Пусть 5 = ?®fj; определим элемент XeSmbl^E, ?) равенством
Х = Я®/л. Легко видеть, что элемент А, является кососопря-
женным и удовлетворяет уравнению А, (о, xf= — 1, где || v || = 1.
Более того, если мы положим |* = {е е t,x\ X(v, х)е = ± ге} для
хеМ, то, как легко видеть, f * = |* ® т^. Ясно также, что
Я (у, x)| |+ = of (t>, х). Доказательство равенства нулю аналитиче-
аналитического индекса символа а вытекает теперь из равенства нулю ана-
аналитического индекса элемента д. Теорема 3 полностью доказана.
Мы покажем сейчас, как теорема 3 приводит к главной
цели этой главы, а именно к доказательству утверждения в)
теоремы 4 § 5 гл. XV относительно аналитического индекса.
Предположим, что многообразие М имеет размерность п = 2пг,
так что многообразие Y имеет размерность 2пг + 1, и пусть
X — дубль многообразия Y. Как обычно, положим
2m+l
Л*(Г(Х)® С)= 2 А" (Г (X) ® С),
0
Ле(Г (X)
Л°(Г (X)
(Г
р-0
m
С) = S
р=0
m
С) = S Л2р+1 (Г (X)
р=0
С),
® С).
Гл. /VV//. Инвариантность аналитического индекса
293
Напомним определения некоторых линейных отображений.
Во-первых, для каждого элемента v^T(X) существует отобра-
отображение внешнего умножения e-*v Ае пространства А*(Т'(Х)<8>С)Х
в себя (напомним, что мы отождествили Т(Х)Х с Т*(Х)Х), ко-
которое переводит Ар в Лр+| и потому переставляет Л* и Л°.
Во-вторых, существует внутреннее умножение iv на v, опреде-
определенное формулой
ivQ(vit ..., t»p_,) =
vu
для элемента 8еЛ"(ГA)®С)г Напомним (см. § 6 гл. IV),
что отображение /„ является сопряженным с ei—>vAe. Так
как iv отображает пространство Лр в Лр~', то оно также пере-
переставляет пространства Ае и Л°. Если мы определим ото-
отображение uv: Л*(Т(Х)<8> С)Х->А*(Т(Х)® С)х формулой uve =
= v A e — ive, то отображение ы„ является кососопряженным и
переставляет пространства Ле и Л°. Напомним (§ 6 гл. IV), что
or, (d)(v, x)(e) = v А е, откуда получаем ст, F)(и, д:)е = — г^е, так
что or, (d + б) (v, x) = uv. Кроме того, or2(A)(w. ^) = ^2 ((^ + ^Я (у. *) —
= «о! вычисление показывает, что это есть умножение на— || v |p.
Так как отображение v—>uv линейно, то аргументы, приве-
приведенные в начале доказательства теоремы 3, доказывают, что
uVtuVl + Uv2uo, = — 2 (w,, v2);
в частности, если элементы t>, и v2 ортогональны, то отобра-
отображения ищ и Ыа2 антикоммутируют.
Имеется также автоморфизм *х расслоения Л* (Т* (X) ® С),
отображающий А." в Д2т+1~р и потому опять-таки переставляю-
переставляющий Ае и Л°. Напомним явное определение отображения *х.
Существует канонический базисный элемент (элемент объема)
пространства А2т+1 (Т*(X) ® С)х вида cux = v1 A ... Л v2m+l,
где w,, ..., v2m+\ — ориентированный ортонормальный базис
в пространстве Т* (Х)х. Тогда если е е Л^, то *^е является един-
единственным элементом в пространстве д2т+1~Р; таким, что
/ Л *хе = (Д е)(их для всех элементов /еЛр, где (f,e) — эрми-
эрмитова структура на Л^7, индуцированная эрмитовой структурой
Т*(Х)х<й>С, а ё —комплексно сопряженный с е элемент. В ча-
частности, если иь ..., v2m+x является ориентированным орто-
нормальным базисом в пространстве Т(Х)Х, то *х(о,Л... Avp) =
~vp+i A ... Л v2m+i. Так как элементы пространства А*(Т*(Х)<8)С)х
вида У/ Л ... Л f/ с /,<...< /р образуют, ортонормальный
базис в пространстве Л*(Г*(Х) ® С)^., то *х является унитар-
унитарным отображением. Кроме того, получаем, что на простран-
20
Р. Пале

294
Р. П але и Р. С или
стве А" отображение *| есть (— \)р 2т +р> = 1, т. е. является
тождественным. Если е е Ар, то в силу сопряженности вну-
внутреннего и внешнего умножений на v имеем для каждого
/ Л v А *хе = (/ Л v, ё)а>,= (- I)" (v Л /, ё)<ах =
= (-1У"'(/, '>")«>. = (~ if"'f Л **(*»
и, следовательно, иЛ*^ = (-1Г'*х(г/).
Определим автоморфизм ах расслоения Л" (Т*(X) ® С) фор-
формулой ах = гр р~1)~т+ *х на Лр. Очевидно, что ах переставляет
Л° и Л* и является унитарным отображением, удовлетво-
удовлетворяющим условию а|= — 1. Отсюда ах = а~1 = — ах, т. е. отобра-
отображение ах является кососопряженным. Кроме того, если е е Ар,
то, умножая равенство v А *хе = (— 1)Р~' *хD>е) = (— *)~2р *хО'»е)
на iP(P~1)~m+lt получим, что v A ахе = axive. Заменяя е на ахе и
применяя а^ к обеим частям последнего равенства, получим
ах (v A e) = ivaxe. Следовательно, axuve = axv A e — axive = ive =
== ivaxe — v A o.xe = — uvaxe. Другими словами, отображения
ах и uv антикоммутируют.
Определим расслоение ? над многообразием X формулой
?, = Ае(Т*(Х) ® С). Напомним, что оба отображения ах и «„
переставляют Ае и Л°; поэтому мы можем определить
элемент Я, s Srablf(g, Z) формулой X(v, x)e = uvaxe, и на самом
деле Я — это символ оператора (d + &)ax, рассматриваемого как
элемент пространства Diffi (?, Z).
Заметим, что
X(v, xf = uvaxuax = - и\а\ || о ||2.
Так как ах и uv — кососопряженные отображения, то
Я,(о, х)* = а^«; = ахио = - ыоа^ = - Я, (и, х).
Таким образом, все требования теоремы 3 удовлетворены, и
можно определить расслоения |+ и |~ над многообразием Л1
формулой %* = {е et,x, X(v, х)е = ± ie), а также эллиптический
символ сг <= Smbl?(g+, |~) формулой a(v, х) — k(v, x) ||*, причем
аналитический индекс символа ст равен нулю. Определим
теперь расслоение | над многообразием М- формулой | =
= Л*(Г*(М) ® С). Так как мы можем рассматривать Г* (М) как
подраеслоение расслоения Т*(Х)\М (с помощью римановой
структуры), то расслоение | является подрасслоением расслое-
расслоения А*(Т*{Х) ® С)| М. Заметим, что если v <= Т (М)х, то отобра-
Гл. XVII. Инвариантность аналитического индекса
295
со-
сожение внешнего умножения е\—>оЛе в пространстве
пряженное с ним отображение внутреннего умножения / Хя их
разность uv являются сужениями на пространство %х соответ-
соответствующих преобразований в Л* (Г* (X) ® С)х, если рассматри-
рассматривать v как элемент пространства Т(Х)Х.
Существует канонический изоморфизм /: | ^ Z,\ M — %+ ф|~,
определенный формулами f(e) = e, если е е Л*(Г*(уИ) ® С), и
f(e) = uve= -еЛ v, если е е= Л° (Г (М) ® С). Если оеГ(уИ)х,
то легко видеть, рассматривая оба случая ееА" и ее Л°,
что f{uve) = uvuj(e).
Автоморфизм *м расслоения | аналогично *х удовлетво-
удовлетворяет условию *^ = (-l)pBm-p) = (-i)p, и если на Л*(Г(Л1)®С)
мы определим ам — ip(p~l)~m #м, то отображение ам является
унитарным и самосопряженным автоморфизмом расслоения |,
удовлетворяющим условию а2м = 1.
Пусть х е М, и пусть w2, ..., f2/n+i — ориентированный орто-
ортонормальныи базис пространства Т{М)Х, так что если мы по-
положим о, = — v, то элементы о,, ..., w2m+i образуют ориенти-
ориентированный ортонормальныи базис пространства Т{Х)Х. Проверяя
на элементах вида е = v/t А ¦ •. Avip с 1</, < ... </р фор-
формулу /{*ме) = (- 1У«v**_f(в), где ееЛ"(Г(М) ® С), и умно-
умножая последнюю на ip(p 1)~/", получим
/ (аме) = \ uvaxf (e)=j-k (v, x) f (в),
или окончательно
= T4v, x).
В частности, так как |* является множеством таких элемен-
элементов е е ?х, что Я (v, х) е = ± ге, мы имеем
Если
= {ee*Z\M,faJ-le=±e}. G)
, то мы показали, что fuvca = uvuj(o для каждого
l +
= fe
где
то а^и = ш, так что /ю
оеГ(М). Если
= / (амоз) = — uvaxf<a, следовательно, так как и?=* — \, мы по-
получаем fuv<?> = — iuvaxf (со) = — la (v, x)f (ю). Отсюда
fuj e = a(v, x)e,
(8)
По теореме 3 если ц есть произвольное расслоение над
многообразием М, которое является сужением расслоения
с базой Y, т© (X <Э Л, является эклиптическим элементом

296
Р. П але и Р. С или
пространства Smbl?(|+ <g> r\, | <8> г\) с нулевым аналитическим
индексом. Так как отображение/: |=|+ ®|~ является изомор-
изоморфизмом, то из формул G) и (8) вытекает, что если мы переопре-
переопределим |* в виде f ={ее |, аме = ± е), а <г в виде <т (у, х) = ы„,
то эти свойства сохранятся.
Таким образом, мы получили следующую теорему, доказа-
доказательство которой было главной целью настоящей главы.
Теорема 4. Пусть |* = {е е= Л* (Г (М) ® С) | аме = ± е);
определим а е Srabli (|+, |~) формулой о = а{ (d + 6)\ |+, г. е.
a (и, д:) = иет. .Если г} — расслоение над многообразием М, являю-
являющееся сужением некоторого расслоения с базой Y, то а ® A, s
е Smblf (|+ ® tj, |~ ® л) является эллиптическим символом с ну-
нулевым аналитическим индексом. Другими словами, имеет место
утверждение в) теоремы 4 § 5 гл. XV для аналитического ин-
индекса.
ГЛАВА XVIII
ГРУППЫ ВНУТРЕННИХ ГОМОЛОГИИ
РАССЛОЕНИЙ
Э. Флойд
§ 1. Предварительные замечания
Целью этой главы является доказательство теоремы един-
единственности для индекс-функции, определенной в гл. I. Это до-
доказательство может быть основано на результатах Коннера и
моих из [2]. Однако ввиду того, что кручение не играет роли,
можно также дать полное доказательство, основанное непо-
непосредственно на работе Тома [4].
Начнем с некоторых определений и замечаний, прежде всего
с понятия L-эквивалентности Тома. Зафиксируем дифференци-
дифференцируемое n-мерное многообразие X без края и целое число k
с O^k^n. Два замкнутых дифференцируемых ^-мерных под-
подмногообразия Мо и М, с ориентированным нормальным рас-
расслоением называются L-эквивалентными, если существует ком-
компактное дифференцируемое подмногообразие W в многообразии
XXI, трансверсально пересекающее X X 0 и IX 1 по под-
подмногообразиям Мо X 0 и Mi X 1 соответственно, которые состав-
составляют весь край подмногообразия W, причем нормальное рас-
расслоение подмногообразия W может быть ориентировано так,
чтобы эта ориентация была продолжением ориентации нор-
нормальных расслоений подмногообразий Мо X 0 и М] X 1 в!Х0
и IX 1 соответственно. Обозначим через Lk(X) множество
классов L-эквивалентных замкнутых ^-мерных многообразий
в X с ориентированным нормальным расслоением. Сделаем сле-
следующие замечания:
A) Если многообразие X ориентировано, то существует
взаимно однозначное соответствие между ориентациями нор-
нормального расслоения многообразия М в X и ориентациями
касательного расслоения многообразия М. В этом случае в опре-
определении L-эквивалентности мы будем предполагать ориентиро-
ориентированным касательное расслоение вместо нормального.
B) Пусть заданы многообразие Мо с ориентированным нор-
нормальным расслоением и гладкая изотопия многообразий Мо
и М\ cz X; тогда нормальное расслоение многообразия yVfi по-
получает некоторую ориентацию и многообразия Мо и Мх являются
/.-эквивалентными.
C) Если &<(dimX)/2, то для данных многообразий Мо и /VI,
существует многообразие М\, гладко изотопное многообразию

296
Р. Пале и Р. С и ли
пространства Smblf (|+ ® ц, 1" <8> г\) с нулевым аналитическим
индексом. Так как отображение/: |=|+ф|~ является изомор-
изоморфизмом, то из формул G) и (8) вытекает, что если мы переопре-
переопределим |* в виде |*={ее |, аме = ± е), а а в виде <т(у, *) = uv,
то эти свойства сохранятся.
Таким образом, мы получили следующую теорему, доказа-
доказательство которой было главной целью настоящей главы.
Теорема
определим а«
щееся сужением некоторого расслоения с базой Y, то а ^ * ц
е Smbli (|+ ® л> 1~ ® л) является эллиптическим символом с ну-
нулевым аналитическим индексом. Другими словами, имеет место
утверждение в) теоремы 4 § 5 гл. XV для аналитического ин-
индекса.
4. Пусть f ={ее Л* (Г (Л0 ®С)\аме=± е};
Smblf (|+, Г) формулой or = or,(d-f6)|i+, r. е.
г) — расслоение над многообразием М, являю-
ГЛАВА XVIII
ГРУППЫ ВНУТРЕННИХ ГОМОЛОГИИ
РАССЛОЕНИЙ
Э. Флойд
§ 1. Предварительные замечания
Целью этой главы является доказательство теоремы един-
единственности для индекс-функции, определенной в гл. I. Это до-
доказательство может быть основано на результатах Коннера и
моих из [2]. Однако ввиду того, что кручение не играет роли,
можно также дать полное доказательство, основанное непо-
непосредственно на работе Тома [4].
Начнем с некоторых определений и замечаний, прежде всего
с понятия L-эквивалентности Тома. Зафиксируем дифференци-
дифференцируемое n-мерное многообразие X без края и целое число k
с O^k^n. Два замкнутых дифференцируемых ^-мерных под-
подмногообразия Мо я Mi с ориентированным нормальным рас-
расслоением называются L-эквивалентными, если существует ком-
компактное дифференцируемое подмногообразие W в многообразии
XXI, трансверсально пересекающее 1X0 и IX 1 по под-
подмногообразиям Mq X 0 и Mi X 1 соответственно, которые состав-
составляют весь край подмногообразия W, причем нормальное рас-
расслоение подмногообразия W может быть ориентировано так,
чтобы эта ориентация была продолжением ориентации нор-
нормальных расслоений подмногообразий Мо X 0 и М] X 1 вХХО
н IX 1 соответственно. Обозначим через Lk (X) множество
классов /.-эквивалентных замкнутых ^-мерных многообразий
в X с ориентированным нормальным расслоением. Сделаем сле-
следующие замечания:
A) Если многообразие X ориентировано, то существует
взаимно однозначное соответствие между ориентациями нор-
нормального расслоения многообразия М в X и ориентациями
касательного расслоения многообразия М. В этом случае в опре-
определении L-эквивалентности мы будем предполагать ориентиро-
ориентированным касательное расслоение вместо нормального.
B) Пусть заданы многообразие Мо с ориентированным нор-
нормальным расслоением и гладкая изотопия многообразий Мо
и M\CzX; тогда нормальное расслоение многообразия Mi по-
получает некоторую ориентацию и многообразия Мо и М{ являются
/.-эквивалентными.
C) Если &<(dimZ)/2, то для данных многообразий Мо и /W,
существует многообразие М\, гладко изотопное многообразию

298
Э. Флойд
Mi и не пересекающееся с Мо. Поэтому в данном случае
с помощью несвязной суммы мы можем определить абелеву
операцию в множестве Lk(X).
Так как множество Lk (X) определяется только для много-
многообразий, то оно не всегда имеет естественную операцию и т. д.,
поэтому естественно рассмотреть более функциональные кон-
конструкции (см. [1], [2]).
Пусть X — пространство, п — целое неотрицательное число.
Рассмотрим пару (М, /), где М — замкнутое ориентированное
дифференцируемое n-мерное многообразие и f: М-+Х — ото-
отображение. Две пары (Мо, f0), (M,, fx) называются внутренне
гомологичными, если существуют компактное ориентированное
дифференцируемое многообразие W с краем, равным несвязной
сумме M0\J — Ми и отображение F: W-+X, такое, что F\M0 = f0
и F\Mi=Ji. Получается отношение эквивалентности. Обо-
Обозначим через [М, f] класс, представляемый парой (М, /), а через
Qn(X) — множество всех таких классов [М, /]. Тогда Qn (X)
является абелевой группой относительно операции взятия не-
несвязной суммы. Для одноточечного X группа Qn(X) является
группой Тома Qn, состоящей из всех классов внутренних гомо-
гомологии замкнутых ориентированных дифференцируемых л-мер-
ных многообразий. Сделаем еще следующие непосредственные
замечания:
D) Отображение qp: X -»¦ Y задает гомоморфизм qp,: Qk(X)—>
—>Qk(Y), определяемый формулой q>t[M, f] = [M, <pf]. При этом
(Ф2Ф1Х = Ф2*Ф1>> и если отображения ф0, ф,: X —»¦ Y гомотопны, то
Ф0» = Ф,«. Следовательно, если ф: X—>Y есть гомотопическая
эквивалентность, то ф„:' Qn (X) = Qn (Y).
E) Если X — ориентированное дифференцируемое многообра-
многообразие без края и 2k + 2 ^ dim X, то существует естественный го-
гомоморфизм Lk (X) —*¦ Qk (X), который переводит класс L-эквива-
лентности, представленный замкнутым ориентированным под-
подмногообразием М, в класс [Af, i] e Qk (Z), где г —отображение
вложения. Из теоремы Уитни о вложениях следует, что это
отображение является изоморфизмом Lk(X) = Qk(X).
F) Пусть X — конечный комплекс, вложенный как подком-
подкомплекс в сферу Sn. Обозначим через N замкнутую регулярную
окрестность комплекса X и через dN — ze границу. Тогда из
D) следует, что Qk (X) = Qk (N — ON), а из E) вытекает, что
Qfe(X) ?ёLk (N - dN) при 2й + 2<и.
G) Пусть /: М—>Х, где М — замкнутое ориентированное
дифференцируемое ^мерное многообразие. Тогда определены
числа Понтрягина отображения f (см. [2]): для заданных
рроизведения рг ... pi щ Нр (М) когомологических классов
Гл. XVII. Группы внутренних гомологии расслоений
299
Понтрягина касательного расслоения многообразия М и класса
х е Н" (X) с r(i|+ ,,, + h) Л-q — k имеется целое число
Л, •¦• Р1гГ(х)[М],
равное значению класса когомологий pi ... pt f* (x) s Hk(M)
на ориентирующем классе гомологии [М] е Hk (M) многообра-
многообразия М. Эти числа зависят только от класса внутренних го-
гомологии [М, f] S Qj, (X) и называются числами Понтрягина
класса [М, f). Мы можем еще предположить, что ie//'(X; Q);
в этом случае числа Понтрягина являются рациональными
числами.
Рассмотрим теперь Qk(BG), где G — компактная группа Ли.
Дадим новую интерпретацию этой группы. Рассмотрим пары
(М, а), где М — замкнутое ориентированное дифференцируемое
^-мерное многообразие и а—главное G-расслоение над М. Две
пары (Мо, а0) и (Ми а,) называются внутренне гомологичными, если
существуют компактное ориентированное дифференцируемое
многообразие W, край которого dW есть несвязная сумма
Мо[} —Ми и главное G-расслоение {} над W, сужение которого на
Mt совпадает с щ, / = 0, 1. Это есть отношение эквивалент-
эквивалентности. Покажем, что множество классов эквивалентности
находится во взаимно однозначном соответствии с Qk(BG).
Действительно, для данной пары (М, а) существует классифи-
классифицирующее отображение /: M-+BG, индуцирующее расслоение
а. Это отображение переводит класс внутренних гомологии,
представляемый парой (М, а), в класс [М, /] е Qk (BG), что и
устанавливает взаимно однозначное соответствие. Мы видим,
что в качестве BG можно взять любое классифицирующее про-
пространство для группы G в размерностях =^&+1. Следова-
Следовательно, мы можем рассматривать BG как конечный комплекс.
Аналогичным образом мы можем рассматривать внутрен-
внутренние гомологии пар (М, а), где М — замкнутое ориентированное
дифференцируемое многообразие и ае К{М). Две пары (Мо, а0)
и (Ми ах) называются внутренне гомологичными, если суще-
существуют компактное ориентированное дифференцируемое много-
многообразие W, краем которого является несвязная сумма Мо[) —Ми
и элемент 5e/((f), который при сужении jK(W)-+ K(Mt) пере-
переходит в элемент at, i = 0, 1. Можно показать, что это яв-
является отношением эквивалентности, используя для доказа-
доказательства транзитивности точность последовательности
и
л w2).
1 л 2)
Таким образом, мы превратили множество классов внут-
внутренних гомологии в абелеву группу. Но группа К(М) нахо-

300
Э. Флойд
дится во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими
классами отображений M-+ZXBU (базисная точка не рас-
рассматривается). Следовательно, как было показано выше, эта
группа внутренних гомологии находится во взаимно однознач-
однозначном соответствии с Qk (Z X BU).
§ 2. Вычисление Q* (X) ® Q
Напомним сначала некоторые хорошо известные факты из
гомотопической теории. Для заданных пространств X, Y с ба-
базисными точками обозначим через [X, Y] множество гомотопи-
гомотопических классов отображений X—>Y, переводящих базисную
точку в базисную. Мы всегда предполагаем, что X есть ко-
конечный CW-комплекс, a Y есть CW-комплекс, все остовы ко-
которого конечны.
Если пространство Y является (п — 1)-связным и dim X ^
^ 2п — 2 (т. е. имеет место стабильный случай), то множество
[X, Y] является абелевой группой и к тому же конечно по-
порожденной [3]. В стабильном случае существует гомоморфизм
[X,Y]->Hom[Ht(X), H,(Y)],
где Нот [Н,(Х), Я„(К)] является группой гомоморфизмов
#«(¦?)—*¦#. (У)» сохраняющих степень; этот гомоморфизм пере-
переводит гомотопический класс отображения / в гомоморфизм
/,: Ht(X)~>Я,(У) и является изоморфизмом по модулю класса
групп конечного порядка [3]. Точно так же гомоморфизм
[X, П->Нот[#*(Г), Н*(Х)]
является изоморфизмом по модулю кручений. Здесь речь идет
о гомологиях и когомологиях, приведенных по модулю точки.
Пусть А—>BSO(п) — универсальное SO(д)-расслоение, слоем
которого служит замкнутый n-мерный шар, и пусть дА cz A —
расслоение, слоем которого служит единичная гс-мерная сфера.
Тогда MSO (п) = А/дА является универсальным пространством
Тома; оно (л—1)-связно. Когомологии этого пространства за-
задаются изоморфизмом Тома
Ч (()
где с точностью до кручения Я* (BSO{k)) есть алгебра поли-
полиномов, порожденная классами Понтрягина.
Следующая фундаментальная теорема принадлежит Тому
[4].
B.1) Т ео р е м а. Пусть (X, В) — такая конечная CW-napa,
что пространство X — В является дифференцируемым п-мерным
многообразием без края. Тогда существует каноническое взаимно
Гл. XVIII. Группы внутренних гомологии расслоений
301
однозначное соответствие Lk (X — В) ^ [Х/В, MSO (п — Щ. В ста-
стабильном случае 2k + 2 ^ п это соответствие является группо-
групповым изоморфизмом. '
Отсюда вытекают следующие утверждения:
(8) Qfe ?й Lfe(S") для k<n/2. Следовательно, ввиду B.1) су-
существует изоморфизм пк ^ [5я, MSO (п - k)\ ss Hn(MS0 {n - k))
по модулю кручения.
(9) Если X — конечный комплекс, то группы Qk (X) и
2 Hi(XHQJ имеют одинаковый ранг. Если X вложено
i+l ~ь :,
в сферу Sn, где 2k + 2^.n, и N — замкнутая регулярная окре-
окрестность X, то Qk (X) ^ Lk (N — dN) no F) и, следовательно,
Qk (X) s* Horn [Я* (MSO (n - k)), Я* (N/dN)]
по модулю кручения в силу B.1). С помощью принципа двой-
двойственности Пуанкаре получаем
Н1 (N/dN) S* Я„_г (N/dN) s Я„_, (X).
Следовательно,
ранг Qk (X) = 2 ранг Я„_? (X) • ранг Hl (MSO (n - k)) =
i
= 2 ранг Я„_, (X) • ранг Q^n+k =
= ранг ^
Более подробный анализ группы Qk(X) можно найти в [2].
§ 3. Кольцо внутренних гомологии расслоений
Рассмотрим теперь Q,(ZX BU). Напомним, что элементами
группы Qk(Z X BU) являются классы внутренних гомологии
[М, а], где М — замкнутое ориентированное многообразие и
а ^К (М). Сложение определяется несвязной суммой; в Q, су-
существует умножение, определяемое формулой [М, а] • [М', а'] —
= [М X М', а ® а'], так что множество Q, (ZXBU) является
кольцом. Имеется подкольцо Q4(l X BU), состоящее из всех
[М, а] с виртуально одномерным а. При этом Qk(l X BU) =
= Qk(BU) se Cik(BU (n)) для n>k. Взяв классифицирующее
пространство BU (п) в размерностях ^ N в виде конечного
комплекса, мы можем применить (9) для вычисления ранга
группы Q.k(\ X BU). Он.совпадает с числом пар (ю, а/) таких
разбиений а> = (iu i2, . . .), <в/ = (/ь /2, • • •) числа k, что 4(/t+
+ /+ ) + 2(/ + /+ ) А

302
Э. Флойд'
Пусть ае/(A). Положим cha = 2cn<7a> гДе элемент chqa
является 2<7-мерной компонентой характера Чжэня. Представ-
Представляя 2^? в виде полинома от элементарных симметрических
функций, получим
„_! Сд
С q а~У (<7-1)! I Ь • • •• <7-1 •
Обозначим через ch, e= Н2' {BU; Q) класс chqa, где a - уни-
универсальное расслоение. Понятно, что H*(BU;Q) является
алгеброй полиномов, порожденной элементами ch9, q>Q. Для
данной последовательности t = (w,,w2, ...) целых неотрица-
неотрицательных чисел, где vt = 0 для почти всех значений i, положим
Если элементы а*=К(Х) и b
размерность единица, то ch(a ® b
<= К (Y) имеют виртуальную
= cha • ch b, откуда
где ch0 = 1.
Рассмотрим теперь сферу S2k и элемент 1/А е K(S2k), такой,
что chAFfe является образующей g группы H2k(S2k, Z) с:
aH2k{S?k, Q), причем элемент Ffe имеет виртуальную размерность
единица. Пусть {Vkf = V* О К* ® . . . ® Vk в /c(E2fe)a); тогда
chfe
\ g
Обозначим элемент g ® .. . ® g через g-At0. Заметим, что
cht(Vky =0, если г<*.
Рассмотрим снова последовательности т, определенные
выше. Для каждого т положим Sx = (S2k)v' X ... X (Szk)Vk, где
t); = 0 для i>k, и пусть элемент 1/т е/<"<5Т) определяется фор-
формулой V.j = (ViH'® ... ® (Ка)°6- Запишем элементы из кольца
H*(SX) в виде линейной комбинации элементов хх ® ... ® лА,
где ^еЯ*(E2')°'). Тогда
(ch,)!/., =
1 ® ... ® 1,
deg Xi > 0,
Гл. XVIII. Группы внутренних гомологии расслоений
303
Упорядочим разбиения т следующим образом. Пусть
g = 2t>, н- 4t>2+ ... +2йоА. Если разбиение т' = (о^о^...)
имеет степень deg т'= degт, то положим т/<т, когда суще-
существует такое число k, что vfl — vl для />yfe, но v'k<vk. Рас-
Рассуждая, как выше, можно показать, что
A0) ch%V%r =0, если degT/=degr и т'<т.
Рассмотрим теперь элементы [М, а] е Qk(BU) и характери-
характеристические числа таких элементов, определенные аналогично
G), с той разницей, что теперь xs=H*(BU, Q). Для заданных
конечных последовательностей co = (s,, s2, ...), т = (у,, i/2, •••)
возьмем соответствующее когомологическое проиэведение ра —
= (Pi)s'(p2fs• • • классов Понтрягина многообразия М и по-
положим
рш chT [М, а] = рф ¦ chT (a) [M].
Эти рациональные числа зависят только от класса внутренних
гомологии [М, а]. Они не равны нулю только при условии
Ds, + 8s2+ 12s3+ ...) + Bvl+4v2 + 6v3+ ...) = k.
C.1) Теорема. Рассмотрим Q,(BU) как кольцо внутрен-
внутренних гомологии классов [М, а], где М — замкнутое ориентиро-
ориентированное дифференцируемое многообразие и а — виртуально одно-
мерый элемент из К(М). Тогда Q,(BU)<S> Q является алгеброй
полиномов, порожденной парами [/^(С), 1], /=1, 2, ..., и
[S2j, V,], /=1, 2, ..., где V}e=K(S2j) имеет chfV, в качестве
образующей группы H2j(S2j; Z) с: H2j(S}; Q).
Доказательство. Рассмотрим конечные последователь-
последовательности ffl = (si,s2, •••), t = K t>2, . . .) целых неотрицательных
чисел. Пусть Pffl = (P2(C))Sl X (P4(C))Sl X .... Рассмотрим
[PaXSx, 1®VX](=Q.(BU).
Заметим, что так как классы Понтрягина многообразия Sx
все равны нулю, то
р*, • chT, [Ра X S,, 1 ® Кх] = ри/ [Рю] • (chx'KJ [SJ.
Следовательно, pffl, • сЬт/[Рш X ST, 1 ® Ух]ф0 лишь в случае
deg ю' = deg сэ, deg 1/= deg т и т'^т.
Предположим, что характеристические числа линейной ком-
комбинации
[М, а) = ^ ««,, т ГЯ» XSJ® V\]
все равны нулю. Покажем по индукции, что пал = 0 для всех
сэ, т. Пусть яш,т = 0 для всех о>, т с degT = degx0 н т < т0.

304
Э. Флойд
Тогда
О = рю/ • chTo [М, а]
т. [St.] =
где т0 = (оь v2, ...). Так как числа Понтрягина элемента
2 "<и. то [Л»1 *= ^* все равны нулю, то по теореме Тома па, г„ = 0
для Есех оэ. Следовательно, по индукции гаЩ1 г = 0 для всех
о, т.
Элементы [Рщ X Sx, I ® Ft] ® 1 являются тогда линейно не-
независимыми в кольце Q, (St/)®Q. Так как их ровно столько,
сколько требуется для построения базиса Qt(BU) ® Q в каж-
каждой размерности, теорема доказана.
C.2) Следствие. Рассмотрим гомоморфизм колец I:
Q,(BU)—>Q, где Qt(BU) — кольцо пар [М, а] с виртуально
одномерными а е К (М). Тогда отображение I полностью опре-
определяется своими значениями на элементах [Р21(С), 1] и [S2J, V/]
для i, /=1, 2 Если отображение Г. Q4(Z X BU)—*¦ Q
является гомоморфизмом колец, причем 1[М, а + Ь] = / [М, а] +
+ I[M, b], то отображение I определяется своими значениями
на элементах [P2i(C), 1], /=1, 2, ...,и [S2, V\\.
Доказательство. Нужно рассмотреть только второе
утверждение. Пусть Vt = 1 Н- Wt. Мы увидим, что
[S2 X S2 X ... XS2, 1-f Wx ® 1Г, .® ... ® Г Л О 1 =
= [S2n, 1 + Wn]®l
в кольце Q, (Z X ??/) ® Q. Оба многообразия S2 X . .. X S2 и
S2" имеют тривиальные классы Понтрягина. Кроме того,
ch(l + №, ® . .. ® W,) = 1+ ^г,
где ^ — образующая группы Н2П (S2 X ... X S2; Q), и ана-
аналогично для элемента ch(l + Wn). Поэтому элементы [E2)га,
1 + Wi ® .. . ® 1Г,] и [S2", 1 + 1ГЛ] имеют одни и те же рацио-
рациональные числа Понтрягина. Из доказательства теоремы C.1)
получаем, что
1 + Wt ® . . . ® Wx] ® 1 = [S2rt, 1 + Wn] ® 1.
Тогда, так как S2 является краем, имеем
US2", 7n] = /[(ST, l] + /[E2)ra, Г,® .
Wl])n = (I[S2,V1])\
Г л- XV til. Группы внутренних гомологии расслоений
30§
Кроме того, если элемент а е= К (М) имеет виртуальную
размерность k, то
I[M, a} = I[M, a-(k-l)] + (k-l)I[M, 1],
где все расслоения в правой части равенства имеют виртуаль-
виртуальную размерность единица. Доказательство следствия закончено.
Таким образом, мы доказали теорему единственности для
индекс-функции, сформулированную в гл. I.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Atiyah M. F., Bordism and cobordism, Proc. Camb. Philos. Soc, 57
A961), 200 - 208.
[2] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, „Мир",
1969.
[3] Spanier E. H., Duality and the suspension category, Symposium
International de Topologia Algebraica, 1958, 259 - 272.
[4] Том Р., Некоторые свойства многообразий, дифференцируемых в це-
целом. Сб. „Расслоенные пространства и их приложения", ИЛ, 1958.

ГЛАВА XIX
ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Р. С о ло в эй
Различные этапы доказательства теоремы об индексе, на-
намеченные в гл. I, осуществлены в гл. V и XI —XVIII. Ради
полноты мы резюмируем все это в § 1.
Параграф 2 посвящен переформулировке теоремы об индексе,
принадлежащей Атье, имеющей смысл для неориентирован-
неориентированного или неориентируемого многообразия, а § 3 — сведению
неориентируемого случая к ориентированному. Здесь мы вос-
воспользуемся неопубликованной рукописью Атьи. В основе этого
варианта теоремы об индексе лежит более простое определе-
определение топологического индекса, которое, помимо большей общно-
общности, имеет и преимущество устранения вопроса о знаке.
Параграфы 4 — 6 дают основные приложения теоремы об
индексе: формулу Римана — Роха — Хирцебруха для произволь-
произвольных компактных комплексных многообразий (§ 4) и теоремы
целочисленное™ из алгебраической топологии (§ 5, 6).
§ 1. Доказательство теоремы об индексе
Теорема 1. Пусть X — компактное ориентированное глад-
гладкое многообразие без края, |, ц — два комплексных векторных
расслоения над X и S ^ Еъ. A, ц) — эллиптический оператор,
действующий из расслоения | в расслоение ц (см. гл. XI).
Тогда аналитический индекс ia(S) равен топологическому ин-
индексу it{S).
Доказательство. Применив различающую конструкцию
к символу оператора 5, получим элемент y(S)^K {В (X), S (X)).
Согласно теореме 1 гл. XV, топологический индекс it{S) зави-
зависит только от элемента y(S); при этом каждый элемент
а е К (В(Х), S(X)) имеет вид у (S) для некоторого аналитиче-
аналитического оператора S. Таким образом, аналитический индекс ia
индуцирует гомоморфизм группы К(В{Х), S(X)) в Z. С дру-
другой стороны, по определению топологический индекс it можно
рассматривать как гомоморфизм группы К (В (X), S {X))
в группу Q.
Пусть теперь многообразие X имеет четную размерность,
и пусть Dx — дифференциальный оператор, построенный в § 2
гл. V, такой, что ia{Dx) совпадает с сигнатурой многообра-
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
307
зия X, а топологический индекс it(Dx) совпадает с L-родом
этого многообразия. Определим гомоморфизмы i', i't группы
К(Х) в группу Q, положив i'a{b) = ia(b ¦ Dx), i't(b) = L(b ¦ Dx).
По теореме 3 гл. XV теорема об индексе для многообразия X
эквивалентна равенству i't{b) = i'a{b) для всех элементов
Ь<=К(Х).
Оба индекса i'a и i't обладают свойствами (а), (б), (в) и (г),
приведенными в § 4 гл. I, что следует из теоремы 4 гл. VI
и из результатов гл. XVII.
Отсюда по теореме 3.2 гл. XVIII они равны друг другу,
что доказывает теорему об индексе для четномерных много-
многообразий.
Пусть А — эллиптический скалярный оператор на окружно-
окружности, у которого оба индекса равны — 1; построение этого опе-
оператора приведено в гл. XVI. Пусть 5 — эллиптический опера-
оператор на нечетномерном многообразии X. В силу гл. XIV суще-
существует эллиптический оператор С на многообразии X X 51,
такой, что
ia (С) = ia (А) ¦ ia (S), it (С) = U (А) ¦ it (S).
Так как теорема справедлива для четномерного многооб-
многообразия X X S1, то ia (С) = it (С), следовательно, ia(S) — it(S).
Замечание. Пусть 5 и Г —два эллиптических оператора
на нечетномерных многообразиях X и Y. Из теоремы об ин-
индексе для четномерных многообразий и свойств мультиплика-
мультипликативности индексов ia и it сразу вытекает, что
откуда ia E) = it (S) или ia (S) = — it (S) для всех эллиптиче-
эллиптических операторов на нечетномерных многообразиях. В частно-
частности, так как топологический индекс дифференциального опе-
оператора на нечетномерном многообразии обращается в нуль
(гл. V), то аналитический индекс ia(S) в этом случае также
равен нулю. Однако, чтобы полностью получить теорему,
по-видимому, необходимо найти оператор на нечетномерном
многообразии, у которого оба индекса совпадают и не равны
нулю.
§ 2. Альтернативная формулировка теоремы
об индексе
Пусть X — замкнутое гладкое многообразие, не обязательно
ориентированное, и пусть Т*{Х) — его кокасательное расслоение
с проекцией л: Т* {X} —>Х. Покажем, что Т* (X) является почти
комплексным многообразием в обычном смысле.

308
Р. С о лов эй
2.1. Лемма. Пусть Е — дифференцируемое вещественное
векторное расслоение над X с проекцией я: ?->Х. Тогда суще-
существует точная последовательность векторных расслоений
Доказательство. Отображение я4 является отображе-
отображением, индуцированным днфференциалом отображения проекции
dя: T(E)-+T(X). Оно, очевидно, является сюръективным, и
его ядро состоит из векторов, касательных к слоям расслое-
расслоения Е. Далее, если V — вещественное векторное пространство
ихеУ, то касательное пространство к V в точке х кано-
канонически изоморфно пространству V. Применяя это замечание
к слоям расслоения Е, мы видим, что расслоение касатель-
касательных векторов к слоям пространства Е канонически изоморфно
расслоению п (Е). Это завершает доказательство леммы.
Если применить лемму к расслоению Т*(Х), то получится
последовательность векторных расслоений над Т* (X):
0-+пГ{Х)-+Т{Г{Х))-*п'Т{Х)->0. B)
Выбор римановой метрики на многообразии X определяет
некоторый изоморфизм Г (X) ?=; Г* (X); при этом риманова связ-
связность индуцирует расщепление последовательности B). Так
получается изоморфизм
Т (Г(X)) ?* п (Г (X)®Т{Х)) е*я'(Г(X)®Т(Х)). C)
Но Г(Х)фГA) является подлежащим вещественным век-
векторным расслоением расслоения Т {X) <g> С: комплексная струк-
структура на пространстве Г(Х)фГ(Х) задается формулой J ((и, и)) =
= < — ?>, и). В силу C) пространство Т(Т*{Х)) получает ком-
комплексную структуру (в которой вещественная часть является
„вертикальной", а мнимая —„горизонтальной"). Таким образом,
пространство Т* (X) становится почти комплексным многооб-
многообразием. По построению мы имеем изоморфизм комплексных
векторных расслоений
Г(ГA))йя'(ГA)®С). D)
Замечание. Построенная почти комплексная структура на
Т* (X) зависит от выбора римановой метрики; однако она
определена с точностью до гомотопии, так как каждые две
римановы структуры на многообразии X гомотопны.
Пусть В {X) — расслоение единичных шаров расслоения Г* (X),
определенное некоторой фиксированной римановой структурой
многообразия X. Пространство В(X) наследует почти ком-
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
309
плексную структуру от многообразия Г* (X); зададим ориен-
ориентацию В (X) посредством его почти комплексной структуры
Пусть rt = dimX, и пусть [В(Х), S (X)] е Н2п (В (X), S (X); Q)_
фундаментальный класс, определенный ориентацией простран-
пространства В(Х). Наконец, пусть J1 (В (X)) = f (Т (В (X))) - класс
Тодда этого почти комплексного многообразия В (X).
Теорема 2. Пусть X — компактное дифференцируемое
многообразие, не обязательно ориентированное, и пусть
— эллиптический оператор на многообразии Х~. Тогда
U E)
(Знак отсутствует*.)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
многообразие X ориентировано. Пусть [Х]еЯп(Х, Q) —фун-
—фундаментальный класс, определенный некоторой фиксированной
ориентацией многообразия X. Пусть U^Hn{B(X), S (X); Q) —
класс Тома, связанный с этой ориентацией (впредь везде под-
подразумеваются рациональные коэффициенты), и пусть
Ф.: Hi+n(B(X), J
— изоморфизм Тома: <р~' (а) = п*а [) U.
2.2. Лемма. Пусть хе=Я%(В(Х), S (X)). Тогда
х[В(Х), S(X)} = (-\
Доказательство. Напомним, что ориентация много-
многообразия X определяет ориентацию на каждом из слоев про-
пространства В (X). Локальная карта
о|>: я {U)e&U X Dn F)
является ориентированной, если она индуцирует надлежащую
ориентацию слоев пространства я A0- Ориентируем простран-
пространство В(Х) так, чтобы для каждой ориентированной локальной
карты а|> отображение F) являлось сохраняющим ориентацию
диффеоморфизмом (будем называть это послойной ориентацией
пространства В (X) в отличие от ранее введенной почти ком-
комплексной ориентации). Пусть [В (X), S (X)]* - фундаментальный
класс, соответствующий этой ориентации. Тогда следующая
формула является элементарным свойством изоморфизма Тома:
Ф.0№] = х[Я(Х), S(X)]* (xe=H"{B{x), &(*)))• Таким образом,
достаточно показать, что
? S (*)]* = (- \)nin+1)l2{B{X), S{X)\. G)
P. Пале

310
Р. С о лов эй
Пусть р^Т'(Х), и пусть {еь ..., еп} — ориентированный
базис касательного пространства слоя в точке р. Тогда по
определению почти комплексной структуры / на пространстве
Т* (X) элементы
[Jeu ..., Jen]
проектируются на ориентированный базис в касательном про-
пространстве многообразия X в точке я(р). Следовательно,
{/еь ..., Jen, еъ ..., еп] является ориентированным базисом
касательного пространства в точке р относительно послойной
ориентации, а элементы еи Jeu ..., еп, ]еп образуют ориенти-
ориентированный базис для почти комплексной ориентации. Эти два
базиса различаются перестановкой четности п + (п— 1)+ ...
... + 1 = Ynin+ О- Это доказывает формулу G) н заканчи-
заканчивает доказательство леммы 2.2.
Доказательство теоремы 2. (Многообразие X ориен-
ориентировано.) По формуле D)
n*J-(X) = J-(B(X)). (8)
Напомним, что
Ф,(я*а U Ь) = а • ф4 (Ь) (для всех а<=Н* (X), Ь<=Н*{В (X), S (X))). (9)
Пусть 8 = (— 1)
венств:
п(п+1)/2
Мы имеем следующую цепочку ра-
it (S) = 8<р. (ch (у (S))) • 3" (X) [X] (по определению) =
= 8<Mch(Y(S))<rE(*)))m (no (8) и (9))= A0)
= ch (y (S)) J (В (X)) [В (X), S (X)} (по лемме 2.2).
(Мы неявно воспользовались тем, что элемент J1'{X) лежит
в центре алгебры Н* {X), так как он четномерен.)
Теорема 2 (для ориентированного многообразия X) полу-
получается теперь из теоремы 1 и формул A0).
§ 3. Неориентируемый случай теоремы 2
3.1. Пусть X — замкнутое гладкое многообразие, не обя-
обязательно ориентируемое. Мы собираемся доказать теорему 2
для эллиптических операторов на многообразии X. Поступим
следующим образом: X имеет двойное накрытие X, которое
является ориентируемым. Следовательно, теорема 2 верна для
эллиптических операторов на X (см. § 2). Каждому комплекс-
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
311
ному векторному расслоению | на X поставим в соответствие
векторное расслоение яф| на многообразии X, такое, что
с"(9йс-(я,а. ' (и)
Ввиду A1) каждый эллиптический оператор S^?fe(|, ti) опре-
определяет оператор n.S: C°°{n,l) ->Cco(:rtji), такой, что ia(S) = ia{n,,S).
Мы докажем, что n,S^Ek{n?, п,ц) и что ц(S) = it(ntS). От-
Отсюда следует, что
ia(n*S) = it(jitS). A2)
Оказывается, что подгруппа группы К.{В{Х), S(X)), порож-
порожденная элементами вида y(^,S), имеет конечный индекс в
К (В (X), S (X)). Так как ia = it на этой подгруппе, то ia = it на
всей группе К (В {X), S(X)). Следовательно, теорема об индексе
справедлива на многообразии X,
3.2. Пусть X — замкнутое С°°-многообразие (может быть,
с краем), и пусть X — двойное накрытие многообразня X. Про-
Пространство X можно рассматривать как расслоенное простран-
пространство с базой X и двуточечным слоем. Пусть % — комплексное
векторное расслоение над X. Определим комплексное вектор-
векторное расслоение it.g над многообразием X следующим образом:
если х е X и г/i, у2 — точки пространства X, лежащие над точ-
точкой х, слой расслоения я,! над точкой х определяется форму-
лой К1ь=^еь
Пусть U — односвязное открытое множество в многооб-
многообразии X. Часть многообразия X, лежащая над U, является
тривиальным двойным накрытием множества U. Пусть
h> к'- С/->-л (С/) —соответствующие сечения. Из формулы A3)
мы получаем изоморфизм
С помощью A4) мы превратим п? в гладкое векторное рас-
расслоение. Если /еС°°(|), то из. A3) вытекает, что / определяет
сечение расслоения пт%. Таким образом, мы получаем A1); под-
подробности оставляются читателю.
Так как отображение {|—>я,|} аддитивно, то существует
индуцированное отображение в /С-теории:
я,:
Напомним, что конструкция индуцированного расслоения
определяет отображение я1: К(Х)-> К(Х). Следующая лемма
описывает связь между отображениями я, и я1.
21*

312
Р. С о л о в эй
3.3. Лемма. Пусть ае/((Х), bz=K(X). Тогда:
(а) я, (я1 а • Ь) = а • я, Ъ;
(б) я,я!а = а • я,1;
(в) если t: X-* X — отображение, которое переставляет эле-
элементы в каждом слое, то nlntb = b + t]b;
(г) отображение я, имеет конечное коядро (т. е. группа
К (Xynft (X) конечна).
Доказательство, (а) Мы можем предположить, что
а = [|] и b = [ц], где | — векторное расслоение с базой X, а г\ —
векторное расслоение с базой X. Достаточно доказать, что
я, (п'Ъ <g> л) <* 1 ® ял- A5)
Пусть xel, и пусть г/] и г/2~ точки многообразия X, лежа-
лежащие над X. Обе части формулы A5) имеют слои, канони-
канонически изоморфные пространству \х ® 0i{,,®%2); таким образом,
мы получаем изоморфизм A5). Непрерывность отображения A5)
проверяется на локальных картах.
Утверждение (б) получается из (а) при 6=1.
(в) Мы можем снова предположить, что b = [tj]; нужно пока-
показать, что
я*(л,л) = лФ^Ч A6)
Если у^.Х, то слои расслоений над у нз обеих частей равен-
равенства A6) изоморфны г\у фr\t {у). Таким образом, условие A6)
выполняется.
(г) Пусть О1—тривиальное комплексное линейное расслое-
расслоение над многообразием X, [О'] = 1. Так как п„(О') двумерно, то
сЬ(л,A)) = 2 + члены положительной размерности. A7)
Из A7) формально получаем, что группа К(Х) • я,1 имеет конеч-
конечный индекс в группе К{Х) (ср. доказательство теоремы 3 гл. XV).
Но К (X) - я,A) s Im я, по свойству (б). Это доказывает (г).
3.4. Нам также нужен относительный вариант отображе-
. ния я,. Пусть многообразия X и X такие, как в 3.2. Пусть
Y — подмножество многообразия X, такое, что (X, Y) допускает
структуру конечной CW-пары. Наконец, пусть Y = n~l(Y) (на-
(например, положим Y = dX и Y = dX). Определим отображение
п.: К(Х, Y).-*K(X, Y).
A8)
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
313
Если а^К{Х, Y), то по теореме 2 гл. II мы имеем
a = d(l, ц, о)
для векторных расслоений | и ц и изоморфизма а: || ?о*ц\ у.
Положим
я,а = d (лД, я.т], я,а),
A9)
где отображение п,а: я.| I F = ял | Y индуцируется изоморфиз-
изоморфизмом 0. Применяя теорему 2 гл. II, сразу получаем, что фор-
формула A9) дает корректное определение. •
Следующая лемма является относительным вариантом
леммы 3.3 (пункты (в) и (г)).
3.5. Лемма. Отображение A8) имеет конечное коядро.
Пусть ае=К(Х, Y). Тогда п\а = а + Га. {Здесь t: (X, Y)-*
3.6. Пусть теперь X — замкнутое риманово С^-многообразие,
не обязательно ориентируемое; пусть X — ориентированное двой-
двойное накрытие многообразия X. Определим на X риманову
структуру так, чтобы отображение я: Х-+Х было локальной
изометрией. Отсюда следует, что отображение я индуцирует
двойное накрытие
я: В(Х)-+В{Х),
которое является локальным изоморфизмом почти комплексных
многообразий.
Пусть | — комплексное векторное расслоение с базой X. Для
феС°°№ обозначим, через Мч: С°° A) —> С°° (I) умножение на ср.
Следующая лемма дает критерий принадлежности оператора
к алгебре 1птй.
Лемма. Пусть 1, ц — комплексные векторные расслоения
с базой X, и пусть S: С°°(|)—^С00^). Предположим, что выпол-
выполняются следующие два условия:
A) Если функции ф, ty^C°°(X) имеют непересекающиеся
носители, то
B) Для каждой точки pel существует такая функция
?Г(Д что яр(р) = 1 и М SAL<=InUl, ц).
Тогда '
)
Доказательство по существу совпадает с доказатель-
доказательством следствия теоремы 3 § 3 гл. XVI.

314
Р. С о лов эй
3.7. Лемма. Пусть ?, ц — комплексные векторные расслое-
расслоения с базой X и Sefj^, t]). Пусть, далее, ntS- С°° (яД)->
—> С°° (я,т1) — отображение, которое делает коммутативной сле-
следующую диаграмму:
B0)
B1)
B2)
Тогда
п4ц); при этом
(S).
Доказательство. 1. Изоморфизм A1) индуцирует изо-
изоморфизмы
HJ (g) ^ W (re.g), ОPi (g, ц) = ОР/ (пЛ, ад).
Отсюда следует, что ntS е Ор&. Для функции ф е С°° (Z) опре-
определим функцию ср<^.С°°(Х) формулой ф (х) = ф (я (х)). Тогда
если ф, af> e С°° (X), то
п, (MqSM*) = Myn.SM*,. B3)
Если функции ip и ф имеют непересекающиеся носители,
то это же справедливо для функций ф и ¦$. Следовательно,
MySM^^-Opk-i (l, ц), так что по B3) оператор MvnSM$ при-
принадлежит пространству Ор^-^лД, я,т]). Следовательно, опера-
оператор я,5 удовлетворяет условию A) леммы 3.6.
2. Пусть теперь реХ и U — малая окрестность точки р,
днффеоморфная пространству R". Пусть /[ и /2: U-*¦ X — два
сечения расслоения X над множеством U. Положим f/j = /?(C7).
Предположим, что функция ф е С°° (X) имеет носитель, лежа-
лежащий в U, и ф(р)=1. Мы будем писать ф = ф1 + ф2, где носи-
носитель функции q>i лежит в множестве Ut. По формуле A4) мы
имеем канонические изоморфизмы
n?\U^fe@Q\ ят[\и 2*ft[@l?, B4)
которые будем считать отождествлениями.
В дальнейшем удобно отождествить U\ и С/2 с множеством U.
, Таким образом, получаются отождествления
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
315
Отсюда следует, что отображение M<f.SMa>k является опера-
оператором
MbSMVk: С- (?!)- С00 (Лл).
имеет ма-
маВ терминах B4) оператор Myn^SMy (= nt
трицу
Следовательно, оператор M^SM^ принадлежит Int^,. Так как
точка р выбиралась произвольно, то по лемме 3.6
ji.S G Intft (ji,g, re,Ti).
3. Вычислим теперь символ оператора n^S. Так как носители
функций ф| и ф2 не пересекаются, то недиагональные элементы
матрицы B5) принадлежат Opk_v Из B5) следует, что
a,KS) = jvr,(S). B6)
Покажем теперь, что оператор ntS эллиптический. При
этом ввиду определения относительного отображения п1 фор-
формула B1) получается непосредственно из формулы B6). Нако-
Наконец, так как диаграмма B0) коммутативна, то мы получаем
изоморфизмы
ker (S) = ker (n^S); coker (S) = coker {n,S).
Отсюда сразу вытекает B2).
3.8. Пусть S: C°°(g)—5-C°°(ii) является эллиптическим опе-
оператором на многообразии X; положим
it (S) = ch (y (S)) • J- {В (X)) [В (X)]. B7)
Если многообразие X ориентируемо, то очевидно, что это опре-
определение совпадает с определением топологического индекса it(X)
(см. ориентируемый случай теоремы 2).
Мы сохраним обозначения леммы 3.7.
3.9. Лемма. it(S) = it(n^S).
Доказательство. Так как л: В(Х)-+В(Х) является
двойным накрытием, сохраняющим ориентацию, то JtJB (X)] =
= 2 [В (X)]. Эквивалентно
(ае= Н* (В (X))).
B8)
а[В(Х)]=;±п*а[В(Х)}
Так как отображение я: В{Х)->В(Х) является локальным
изоморфизмом почти комплексных многообразий, то
B9)

316
Р. С о лов эй
Так как nt = я, то из B9) следует, что t*J"(X) = J"{X). Наконец,
л* ch (Y KS)) = ch (я- л, у (S)) = ch (у E) + t'y (S)) C0)
(по лемме 3.5 и формуле B1)).
Из равенств B7) — C0) получаем
it («.S) = j (ch (y (S)) + Г ch (Y E))) • J- (B (X))[B (X)] =
= 1 (Г + Г) (ch (y E) J- (B (X))) [B (X)] =
= (I ch (Y (S)) <T (B W)) (A. + t.) [B (X)]) = /, (S).
(Мы здесь воспользовались тем, что отображение t сохраняет
почти комплексную структуру многообразия В(Х) и t,([B(X)\) =
[В(ХI)
3.10. Доказательство теоремы 2. Пусть X — замкну-
замкнутое С°°-многообразие, X — ориентируемое двойное накрытие
многообразия X. Так как теорема об индексе известна для
ориентируемого X, то для эллиптического оператора 5: С°°(?) -*¦
-*¦ С°° (т)) на многообразии X имеем
ia(S)-=it(S). C1)
Из формул C1), B2) и леммы 3.9 получаем
C2)
Рассмотрим ia и it как гомоморфизмы из /((В (X), S (X))
в группу Q (ср. доказательство теоремы 1). Из C2), B1) и
сюръективности у получается ia = it на Im яг
Но по лемме 3.5 Im я, является подгруппой конечного
индекса в группе К. (В (X), S (X)). Отсюда следует (так как ia
и it являются отображениями в Q), что ia = it на всей группе
К(В(Х), S(X)). Доказательство закончено.
§ 4. Теорема Римана — Роха — Хирцебруха
4.1. Пусть X — компактное комплексное многообразие ком-
комплексной размерности /. Пусть ц — голоморфное векторное рас-
расслоение над X. Обозначим пучок ростков голоморфных гло-
глобальных сечений расслоения ц через Q (г\). Пусть
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
31?
обозначим через %{Х, Щт))) эйлерову характеристику много-
многообразия X с коэффициентами в пучке Q (tj).
4.2. Напомним некоторые обозначения из § 6, п. г, гл. IV.
Расслоение | = Л(Г*(Х))®С разлагается в прямую сумму
| = 0 1Рш ч, где 1Р' " — подрасслоение дифференциальных форм
р. я
типа (р, q). Положим
Тогда Сте @ является градуированным векторным простран-
пространством, С°° On <S> 1°' ") является подпространством элементов гра-
градуировки q. Существует канонический дифференциальный опе-
оператор д: С°° (?) -> С00"^), который является однородным сте-
степени + 1. Обозначим его формально сопряженный через ft.
Положим ? = $д + д&; оператор ? является комплексным
аналогом оператора Д, рассмотренного в § 1 гл. V. Заметим,
что Ф и ? являются однородными операторами степени — 1
и 0 соответственно.
4.3. Напомним теперь комплексные аналоги теорем Де Рама
и Ходжа. Для ссылок мы отошлем читателя к монографии
Хирцебруха ([2, стр. 115-118]1))-
Комплексным аналогом теоремы Де Рама является теорема
Дольбо. Рассмотрим_пространство С°° (?) как коцепной комплекс
с дифференциалом д. Группы когомологий этого комплекса ка-
канонически изоморфны (с сохранением градуировки) группам
когомологий Н*{Х, п{ц)) в смысле теории пучков. Таким об-
образом, если ф е С°° (ц <S> |?) и dqp = O, то ф представляет неко-
некоторый элемент из Hq{X, й(тО).
Мы говорим, что сечение феС°°(^) является гармоническим
тогда и только тогда, когда Пф = 0. Для элемента феС°°(?)
мы имеем _ _
? ф = 0<#ф(д + #)ф = 0<#фдф = #ф = 0. C3)
Таким образом, если сечение ф гармоническое, то ф представ-
представляет элемент кольца Я* (X, Q (х\)). Обратно, каждый элемент
из Н* {X, Q (т))) имеет единственный гармонический представи-
представитель.
Пусть теперь Is = © Ц ® f2q, и пусть
так
_ я я
как операторы д и Ф имеют степени +1 и — 1 соответственно,
то д + ¦& отображает пространство С°° (?е) в C°°(g°).
') На русском языке часть результатов можно найти в книге: Ч ж э н ь
Ш э н - ш э н ь, Комплексные многообразия, ИЛ, 1961. — Прим перев.

318
Р. Солов эй
4.4. Предложение. Оператор
д+Ъ: С°° (?,)'-> C°
(Z,)C
C4)
является эллиптическим. Аналитический индекс оператора C4)
равен эйлеровой характеристике многообразия X с коэффи-
коэффициентами в пучке Q(t]).
Доказательство основано на результатах, упомяну-
упомянутых в 4.3; оно совершенно аналогично доказательству предло-
предложения 1 § 1 гл. V.
4.5. Следствие. Сохраним предыдущие обозначения.
Пусть J1 (X) — класс Тодда комплексного касательного рас-
расслоения над X. Тогда справедлива формула Римана — Роха —
Хирцебруха:
J-(X)ch(T,)[X] = x(X,Q(Ti)). C5)
Доказательство. Теорема об индексе утверждает, что
топологический и аналитический индексы эллиптического опера-
оператора равны. В силу предложения 3 правая часть формулы A4)
является аналитическим индексом оператора C4). Предложе-
Предложение 5.2 гл. III показывает, что топологический индекс опера-
оператора C4) равен левой части формулы A4).
Замечание. До теоремы об индексе формула C5) была
известна только для того случая, когда X — проективное
алгебраическое многообразие.
§ 5. Общие сведения о теоремах целочисленности
В этом и следующем параграфах мы выведем известные
теоремы целочисленности алгебраической топологии из тео-
теоремы об индексе.
5.1. Пусть X — компактное ориентированное многообразие,
и пусть а?= К(В(Х), S(X)). Существует по крайней мере один
эллиптический интегро-дифференциальный оператор Da (см.
гл. XV), такой, что y(Da) = a. Аналитический индекс этого
оператора является целым числом по определению. Таким
образом, теорема об индексе и эпиморфность отображения
D—*y(D) доказывают
5.2. Следствие. Пусть at=K(B(X),S(X)). Тогда
является целым числом.
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
319
Будем предполагать, что читатель знаком с обозначениями
теории G-структуры на X (ср. § 2, 4 гл. III). Мы выведем из
5.2 следующее утверждение.
5.3. Предложение. Пусть G — компактная группа Ли,
V — вещественный ориентированный 21-мерный G-модуль. Пред-
Предположим, что G транзитивно действует на единичной сфере
пространства V. Пусть oeS(F), и пусть Н —подгруппа
группы G, оставляющая точку v неподвижной: S (V)s^ G/H.
Предположим, что М и N — два G-модуля, изоморфных как
Н-модули. Пусть М и N — векторные расслоения над про-
пространством Во, ассоциированные с М и N соответственно. (Сле-
(Следовательно, М = Ео X qM). Если X является многообразием
с G-структурой (ассоциированной с G-модулем V) и f: X—>
->Ва — классифицирующее отображение для G-структуры на
многообразии X, то
C6)
является целым числом.
Доказательство. Пусть qps M-+N является изомор-
изоморфизмом //-модулей. Следовательно, ф(hx) — hq>(x), где АеЯ,
или эквивалентно
Аф (А"*1*) = ф (*). C7)
Пусть Iso (M, N) — множество изоморфизмов M->N как
комплексных векторных пространств. Определим отображение
ах: G -> Iso (M, N) формулой ax(g)(x) = g °<f(g~lx). С помощью
C7) проверяется, что ах факторизуется в отображение а2:
G/Я—*Iso (M, N). С другой стороны, пространство G/H, оче-
очевидно, изоморфно (как G-пространство) пространству S(V).
G-инвариантное скалярное произведение на пространстве V
устанавливает изоморфизм G-модулей 1/гГи, следовательно,
изоморфизм G-пространств S(K) = S(V). Таким образом, а2
порождает G-эквивариантное отображение a: S (V*) ->¦ Iso (M, N).
Как обсуждалось в § 4 гл. III, отображение о можно при-
применить для построения элемента а<=К(В(Х), S(X)), ассо-
ассоциированного с G-структурой и G-модулями М и N. Теперь
предложение вытекает из теоремы 1 гл. III и следствия 5.2.
5.4. Результат предложения 5.3 можно иногда улучшить
множителем 2. Пусть Н обозначает тело кватернионов.
Предложение. Пусть X, G, M, N, V такие, как в пред-
предложении 5.3. Сделаем два следующих дополнительных пред"
положения;

320
Р. С о л о в эй
1) М и N являются кватернионными G-модулями;
2) существует отображение a,: S(F*)—*Ногпн (М, N), ко-
которое
а) G-эквивариантно;
б) является однородным полиномиальным отображением
степени k;
в) обладает свойством
M, N) для оеУ
Тогда число C6) четное.
Доказательство. Пусть Р — главное расслоение для
G-структуры на многообразии X. Пусть
? = Р X ОМ, г) = Р X ON;
тогда, согласно а) и б), мы можем построить с помощью ото-
отображения а эллиптический символ стР е SmblA(?, ti) (ср. § 4
гл. III). Действительно, условие б) показывает, что элемент
аР принадлежит пространству Smbl&(?, ti) (ср. § 1 гл. IV). Из
теоремы 2 гл. IV следует, что существует эллиптический диф-
дифференциальный оператор порядка k
D: С°°(?)->С°°(л),
такой, что o(D) = oP.
Так как М и N — кватерннонные G-модули, то ? и т) явля-
являются кватернионными векторными расслоениями. При этом
если оеГA)р то отображение a(D)(v): t,x s ч\х линейно над
Н (так как с,: V—>Нотн (М, N)). Пусть элемент / является
обратимым кватернионом, и пусть отображение
/:
/:
является левым умножением на элемент /. Таким образом,
отображение / является антилинейным автоморфизмом. По-
Положим
Тогда легко проверить следующие утверждения:
1) D\ является дифференциальным оператором порядка k
(т. е. отображение Dx линейно над С, н если /г-джет элемента
Ф обращается в нуль в точке х, то и Diqp обращается в нуль
в точке jc).
2) D1J = JD1 (заметим, что J~ = — J). Отсюда следует, что
отображение Dx линейно над Н.
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
321
Покажем теперь, что a(Di) = a(D). Действительно, пусть
оеГ(ХЬ, е<=\х. Выберем g(E=C°°{X, R) и f€=C°°(?) такими,
что
g{x) = 0, dgx = v, f(x) = e.
Тогда Jf{x) = je. По определению
Т (D (ТГ S"f) (x) + Г' D (Jp g* (//)) (x))
= ok(D)(v)(e)
(последнее равенство получается из кватерннонной линейности
отображения ok(D)(v)).
Теперь по теореме 1 гл. III мы можем вычислить тополо-
топологический индекс it{Dx); он равен числу C6). С другой сто-
стороны, пространства ker D\, coker Dx являются векторными
пространствами над Н, так как отображение Dx является
Н-линейным. Отсюда следует, что, рассматриваемые как век-
векторные пространства над С, они имеют четную размерность.
Следовательно, число
ia фх) = dim ker D, — dim coker Dx
является четным.
§ 6. Теоремы целочисленности
6.1. Пусть Х2п — четномерное многообразие. Класс когомо-
логий i(I)GF(I,Q) определяется формулой
¦ U
Л да - IJ
где элементарные симметрические функции от переменных
у\, ... ,yl являются классами Понтрягина многообразия X.
6.2. Следующая теорема —известное следствие теоремы Рима-
на — Роха для дифференцируемых многообразий (ср. [3]). В этом
параграфе мы выведем эту теорему из общей теоремы цело-
целочисленности 5.3.
Теорема. Пусть Хт — четномерное ' многообразие. Пусть
z<=H2{X,Z) и отображение рг: Н (X, Z)->#*(*, Z2) является

322
Р. С о ловэй
приведением по модулю 2. Пусть w2 (X) е #2 (X, Z2) — второй
класс Штифеля — Уитни многообразия X. Предположим, что
р2 (z) = w2 (X).
Наконец, обозначим через W комплексное векторное расслое-
расслоение размерности п над многообразие и X. Тогда
<A(X)e*'2ch(W)[X]
является целым числом.
6.3. Воспользовавшись вещественным вариантом теоремы
Римана—Роха для дифференцируемых многообразий, иногда
можно усилить теорему 6.2, доказав дополнительно делимость
на два. Мы выведем далее это усиление из предложения 5.4.
Теорема. Пусть X — многообразие размерности гп, где
m = 4(mod8). Предположим, что w2(X) = 0 {т. е. многообразие
X допускает структуру Spin-многообразия). Пусть W — веще-
вещественное векторное расслоение размерности п. Обозначим че-
через сЪ(М) элемент ch(№<8>RC). Тогда число
ch(W) Л(Х)[Х]
четное.
6.4. Дадим общий очерк доказательств. Сначала мы на-
напомним определение группы Sc(m). Оказывается, что предпо-
предположения теоремы 6.2 позволяют ввести на многообразии X
5с(т)-структуру. Далее мы напомним некоторые результаты
из теории представлений для группы Sc(tn), которые послу-
послужат обоснованием для п. 5.3. Результатом будет теорема 6.2.
Для теоремы 6.3 положение аналогичное. На многообра-
многообразии X вводится Spin-структура и используются результаты
о кватернионных представлениях группы Spin (n) вместе
с п. 5.4.
6.5. Рассмотрим группу SO B) X SO (n) как подгруппу
в группе SOB+n) (здесь п^2). Пусть п: Spin (п + 2)-э>
—*¦ SO (п + 2) — накрывающее отображение. Положим
Sc (п) = я (SO B) X SO (л)).
Если Р — главное Spin (й)-расслоение, то PXsm(k)SO (k) = Q
является главным SO (й)-расслоением.
Обратно, хорошо известно, что если Q является главным
50 (&)-расслоением, то для того, чтобы Q было изоморфно не-
некоторому расслоению вида
?Х Spin «SO (*),
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
323
где Р — главное Spin (й)-расслоение, необходимо и достаточно,
чтобы w2{Q) = 0, где w2(Q) — второй класс Штифеля — Уитни
Пусть теперь Q является 50 B) X 5О (?)-расслоением над
многообразием X. Практически всегда Q можно рассматривать
как упорядоченную пару (Qu Q2), где Qi - главное SO ^-рас-
^-расслоение над X и Q2 — главное 50 (й)-расслоение над X. (Здесь
Qu например, ассоциировано с Q при помощи отображения
проекции 50 B) X SO(k)—*- 50B).) Необходимым и доста-
достаточным условием того, что Q изоморфно расслоению вида
Р X sc(k) (SO B) X 50 (k)), где Р - главное 5с (&)-расслоение,
является равенство
6.6. Двулистное накрытие Sc (k) -»¦ 5О B) X 50 (k) индуци-
индуцирует изоморфизм колец рациональных когомологий
Н' (BSc <*,; Q) s* W (Bso ©; Q) <S> Я* (Bso W); Q).
Обозначим через % универсальный эйлеров класс (с рацио-
рациональными или целыми коэффициентами): % е Я2 (BSo &)). Тогда
Н- (Bso р. А) = А [%] (где А = Ъ или Q). Как обычно, рассмо-
рассмотрим Н* (Bso (k), Q) как подкольцо в кольце Q [уи ..., уп], где
n — [k/2]. Тогда H*(Bsc(k), Q) можно отождествить с подколь-
цом кольца Q [%, уи ...,уп]. Мы будем также использовать %
для обозначения характеристического класса Sc(й)-расслоений,
определенного классом % е H2(BSc(k), Q).
6.7. Предложение. Пусть X и z <= Н2 (X, Z) — такие же,
как в теореме 6.2. Тогда многообразие X допускает такую
5с(т)-структуру (с некоторым главным расслоением Р), что
% (Р) = z. (Здесь V = Rm, а действие группы Sc (m) на простран-
пространстве V задается композицией
Sc (m) --> 50 B) X SO (m) ^ SO (m). )
Доказательство. Зададим на многообразии X рима-
нову структуру с главным SO (т)-расслоением Q2. Напомним,
что целочисленный эйлеров класс устанавливает взаимно
однозначное соответствие между главными 50 B)-расслоениями
над X и группой H2(X,Z). Пусть Q, — главное SO B)-расслое-
ние над X, причем %(Qi) = z. В силу нашего предположения
+ w2 (Q2) = р2 (х (Qi)) + w2 (X) = р2 (z) + w2 (X) = 0.
Пусть Q' является SO B) X 50 (т)-расслоением, соответствую-
соответствующим упорядоченной паре (Qu Q2).. Согласно п. 6.5, существует
5с (т)-расслоение Р, такое, что Р X sc ы (SO B) X S0(m))^Q'.
Отсюда следует, что %(Р) = %(Qx) = z (в рациональных когомо-

324
Р. С о л о в э а
логиях) и Р X sc(m)SO (т) о* Q2. Так как Q2—расслоение репе-
реперов над X, то возникает изоморфизм ip: P X sc (m)V = T (X).
Следовательно, (Р, г|з) является требуемой 5с (т)-структурой
на многообразии X.
6.8. Пусть i: Sc(k)-> Sc(k + 1) — отображение „вложения",
накрывающее „вложение" SO B) X SO (&)-> 5О B) XSO(k + 1).
Тогда группа SO(k+l) действует транзитивно на сфере S* а
cRi+l и Sc(k) — подгруппа, фиксирующая элемент ек+х.
Следующее предложение резюмирует замечания из [3]
о представлениях группы Sc(m). (В работе [3] группа Sc{m)
обозначается Gm.)
Предложение. Существуют комплексные ScBп)-модули
М' и Nf, такие, что:
A) пространства М' и N' изоморфны как ScBn— \)-модули;
B) в кольце Я* (Bsc B/1), Q) имеем
ch
6.9. В этом разделе мы резюмируем нужные нам результаты,
касающиеся кватернионных 5рт-представлений(см. [1, 4]).
Обозначим через Н тело кватернионов; пусть Ат — клиф-
фордова алгебра на пространстве R (см. § 10 гл. IV). Пред-
Предположим, что т = 4(8). Тогда существует с точностью до изо-
изоморфизма единственный неприводимый Ат <g> Н-модуль Sm
(Sm является в действительности неприводимым Лт-модулем).
Как Am <S> Н-модуль Sm однозначно расщепляется на два не-
неприводимых МОДУЛЯ: Sm = SmZBSm- ПрИ ЭТОМ AmSm^Sm-
Так как Spin (т) ^ Ат, то 5т является кватернионным
Spin (т)-модулем.
Рассмотрим 5т как комплексный Spin (т)-модуль (посред-
(посредством вложения Сс:Н). Пусть Sm — векторное расслоение над
fispin(m), ассоциированное с Sm- Тогда при соответствующей
разметке Sm имеем
т/2
M)Mm^2^2)
(Мы отождествили Н" (fisPin W, Q) с H*{BSo(my, Q)) при по-
помощи отображения, индуцированного каноническим отображе-
отображением р: Bspin (m) ->• BsO (m)-)
Гл. XIX. Теорема об индексе. Приложения
325
Доказательство теоремы 6.2. Мы можем предпо-
предположить ввиду предложения 6.7, что на многообразии X за-
задана 5с(т)-структура, ассоциированная с главным Se (^-рас-
(^-расслоением Р\. Зададим на пространстве W эрмитову структуру.
Тогда главное расслоение W превращается в U (гс)-расслоение
Р2. Упорядоченная пара (Ри Р2) соответствует некоторому
Sc (т) X U (п)-расслоению Р, и X можно рассматривать как
многообразие с некоторой Sc {т) X U (гс)-структурой.
Для краткости обозначим G = Sc{m) X U(п). Тогда G дей-
действует при помощи проекции G -+Sc(m) на 5с(т)-модуле Rn, на
единичной сфере которого группа G действует транзитивно,
поскольку транзитивна группа Sc(tn). При этом подгруппа
Н группы G, оставляющая элемент ет неподвижным, сов-
совпадает с Sc(m—l)X U (п).
Пусть М' и N' такие, как в предложении 6.8. Положим
М = м' <?> С", N = N'<S>C". Действие группы Sc(m) на прост-
пространстве М' и действие группы U (п) на пространстве С по-
порождают действие группы G на пространстве М. Аналогично
группа G действует на пространстве N. Из предложения 6.8
следует, что М и N изоморфны как Я-модули. Мы можем
применить результаты п. 5.3 к модулям М, N и группе G.
В итоге получаем, что
ff^rffl
является целым числом. (Как обычно, классы Понтрягина
многообразия X рассматриваются как элементарные симметри-
симметрические функции от переменных у\, ..., у2г, где г = от/2.) Основ-
Основной результат полз/чается теперь из тождества
(i ~eyi){\ -a~yi) eyil -e >ir 2sh(y;J2)
Доказательство теоремы 6.3. Это доказательство
в большей своей части совершенно аналогично доказательству
теоремы 6.2; поэтому много подробностей мы опускаем. Пусть
G = Spin(п) X О(т). Тогда в силу предположения w2{X) = 0
мы можем на X ввести G-структуру (см. начало доказатель-
доказательства теоремы 6.2).
Пусть М = Sm <S> RR" и N = Sm <S> rR" (cm. n. 6.9). Тогда про-
пространства M и N' являются кватернионными С-модулям,и.
.Пусть V = Rm (мы отождествляем V с V* при помощи есте-
естественного скалярного произведения в пространстве Rm). Мы

326
Р. С о лов эй
собираемся применить предложение 5.4. Тогда нам требуется
некоторое отображение
a,: S(V*)->HomH(M,N).
Так как Rffls4 и AmSm ^ 5Й, то существует билинейное
спаривание а|>: Rm ® RSm-> 5Ш. Если tieSfH, s<=Sm, iseR",
то положим
ох (v) {s <g> w) = of (v ® s) ® ay.
Тогда <?! удовлетворяет требованиям предложения 5.4.
Оставшаяся часть доказательства следует последним двум
пунктам доказательства теоремы 6.2. Интересующийся читатель
может сам восстановить все детали.
ЛИТЕРАТУРА
[ i ] A t i у a h M. F., В о 11 R., S h a p i г о A., Clifford modules, Topology, 3»
Supp. 1 A964), 3-38.
[2] Hlrzebruch F., Neue Topologische Methoden in der Algebraischen
Geometrie, Springer-Verlag, 1956.
[3] Hirzebruch F., A Riemann — Roch theorem for differentiable mani-
manifolds, Seminaire Bourbaki, Fevrier, 1959.
[4] Milnor J., The representation rings of some classical groups, mimeog-
mimeographed notes, Princeton, 1963.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕНСЕ
ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С НРАЕМ
М. Атья
Введение
В этом приложении мы коротко наметим, как теорему об
индексе можно обобщить на многообразия с краем. Если
X — гладкое компактное многообразие с краем Y, a d является
эллиптическим дифференциальным оператором на X, то суще-
существует определение эллиптического краевого условия b (или
краевого оператора Ь). Это определение, первоначально данное
Лопатинским, накладывает алгебраическое ограничение на сим-
символ оператора b по отношению к символу оператора с?. В § 1
мы дадим это определение, стараясь формулировать все во
внутренних терминах. Тогда такая пара (d, b) имеет индекс, и
задача состоит в выражении этого индекса в топологических
терминах, связанных с символами a(d) и a (b).
В случае пустого края o{d) определяет различающий эле-
элемент [сг{d)\ е /С{В(X), S(X)) и, следовательно, класс когомо-
логий по формуле
где qp, — изоморфизм Тома.
В общем случае мы покажем в § 2, что пара (o{d), o(b))
определяет различающий элемент
[o(d, Ь)]*=К(В(Х), B(X)\Y\JS(X))
и, следовательно, класс относительных когомологий
ch(d, b)e=H*(X, Y; Q)
по формуле
ch(rf, b) = {-\)n{n+m^ch[a{d, b)],
где ф, — теперь относительный изоморфизм Тома:
Н'(В(Х), B(X)\YUS(X); Q)->#*(*, Y\ Q).
Топологический индекс if{d, b) определяется тогда аналогично
случаю замкнутого многообразия по формуле
. it{d, b) = (ch(d, b)tf{X))[X].
Заметим, что &{Х)^Н*{Х, Q), но
=Ц-(Х, Y; Q),

326
Р. С О АО в Эй
собираемся применить предложение 5.4. Тогда нам требуется
некоторое отображение
ffi: S{V')-*HomH(M, N).
Так как Rm?4 и AmSt s 5
спаривание -ф: Rm ® «Sm-> 5Й-
то положим
Oi{v)(s<8) w)--
т, то существует
Если vge S{V), se
= -ф (о ® s) ® ay.
билинейное
Тогда Oi удовлетворяет требованиям предложения 5.4.
Оставшаяся часть доказательства следует последним двум
пунктам доказательства теоремы 6.2. Интересующийся читатель
может сам восстановить все детали.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А Ну ah M. F., В о 11 R., S h a p i г о A., Clifford modules, Topology, 3a
Supp. 1 A964), 3-38.
[2] Hirzebruch F.t Neue Topologische Methoden in der Algebraischen
Geometrie, Springer-Verlag, 1956.
[3] Hirzebruch F., A Riemann — Roch theorem for differentiable mani-
manifolds, Seminaire Bourbaki, Fevrier, 1959.
[4] Milnor J., The representation rings of some classical groups, mimeog-
mimeographed notes, Princeton, 1963.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ
ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С КРАЕМ
М. Атья
Введение
В этом приложении мы коротко наметим, как теорему об
индексе можно обобщить на многообразия с краем. Если
X — гладкое компактное многообразие с краем Y, a d является
эллиптическим дифференциальным оператором на X, то суще-
существует определение эллиптического краевого условия Ъ (или
краевого оператора Ь). Это определение, первоначально данное
Лопатинским, накладывает алгебраическое ограничение на сим-
символ оператора Ъ по отношению к символу оператора с?. В § 1
мы дадим это определение, стараясь формулировать все во
внутренних терминах. Тогда такая пара {d, b) имеет индекс, и
задача состоит в выражении этого индекса в топологических
терминах, связанных с символами a(d) и а{Ь).
В случае пустого края a {d) определяет различающий эле-
элемент [a(d)] eK.(B(X), S(X)) и, следовательно, класс когомо-
логий по формуле
где ф, — изоморфизм Тома.
В общем случае мы покажем в § 2, что пара (a (d), a (b))
определяет различающий элемент
[a (d, Ь)] е=К(В (X), В (X) | Y U 5 (X))
и, следовательно, класс относительных когомологий
ch(d, b)e=H*{X, Y; Q)
по формуле
ch(d, b) = (-l)n(n+1)/2<p,ch[o(d, b)],
где ф, — теперь относительный изоморфизм Тома:
Н'(В(Х), B(X)\Y{JS(X); Q)-+fT{X, Y; Q).
Топологический индекс it (d, b) определяется тогда аналогично
случаю замкнутого многообразия по формуле
. it(d, b) = (ch(d, b)?(X))[X].
Заметим, что J1 (X) €= Я* (X, Q), но
ch(d, Ь) - ? (X) е= И'(X, Y;Q),

328
М Ат ья
Приложение 1. Теорема об индексе для многообразий с краем 329
что позволяет вычислять значение этого класса на фундамен-
фундаментальном классе гомологии многообразия X (который является
элементом группы Нп(Х, Y; Q)).
Если через ia(d, b) обозначить аналитический индекс пары
(d, b), то тогда мы можем сформулировать теорему.
Теорема1). Пусть (d, b) — эллиптический дифференциальный
оператор на многообразии {X, Y). Тогда
ia{d, b) = it{d, Ь).
В § 3 мы дадим несколько кратких замечаний о методе дока-
доказательства2).
§ 1. Эллиптичность для многообразий с краем
Далее мы будем иметь дело с гладким многообразием X
с краем У. Пусть Е, G — гладкие комплексные векторные рас-
расслоения над X и У соответственно. Краевым дифференциальньш
оператором из расслоения Е в расслоение G называется линей-
линейное отображение
Ь: С°° (Е) -+ С°° (О),
которое локально задается композицией отображений т ° б, где
б —матрица частных производных на многообразии X, а т —ото-
—отображение сужения из X на Y.
В джет-терминологии гл. IV мы можем дать более формаль-
формальное определение следующим образом. Краевым дифференциаль-
дифференциальным оператором, из расслоения Е в расслоение G порядка /
называется отображение Ь: С°° (Е) -* С°° (G) вида b = Tj]b где
/г: С" (Е)->С°° (/'(?)) является джет-отображением, г: Ск (/'(?))-»
-> С°° (/' {Е) IY) является сужением из X на У, и
Г.: С°° {J1 (?) I Y) -* С°° (G)
индуцируется отображением Г е Нот(/' (?) |У, G). Легко видеть,
что соответствие Г »—*¦ 6 определяет изоморфизм
Нот(/'(?)!У. G)->Biffj(?, G),
') Эта теорема является результатом совместной работы Атьи, Ботта,
Зингера.
2) В действительности эти замечания относятся лишь к методу определе-
определения различающего элемента [a (d, 6)] еК(В (X), дВ (X)). По поводу дока»
зательства более общей теоремы, включающей теорему об индексе для псевдо-
дифференцнальных краевых задач, см. работу А. С. Дынина „Об индексе
семейств псевдодифференциальиых операторов на многообразии с краем"
(ДАН, 186, Ха 3 A969), 506-508). - Прим. ред.
где Biff((?, G) обозначает векторное пространство всех диффе-
дифференциальных граничных операторов из расслоения Е в расслое-
расслоение G порядка I.
Из точной последовательности джет-расслоений (теорема 1
гл. IV) мы получим теперь следующую точную последователь-
последовательность:
О-> Biff,_,(?, G)->Biff«(E, G)-^Hom(z/s(;rW, E)\Y, G)-*0.
Образ элемента из Biffi(?, G) при отображении at называется
его символом.
Если1) G = Gi© ... ®Gr и 6 = Fi, .... br), где
является граничным дифференциальным оператором из расслое-
расслоения Е в расслоение G; порядка 1и мы будем говорить, что Ъ
является граничным дифференциальным оператором из Е в G
порядка 1 = {1\, ..., 1Т). Символ at{b) оператора Ъ определяется
тогда как а, (Ь,)ф ... фа; Fг).
Под дифференциальным оператором на паре (X, Y) будем
понимать пару (d, b), где отображение
d: С°° (Е) -> С°° (F)
является дифференциальным оператором на многообразии X, а
6:
... @C°°{Gr)
является граничным дифференциальным оператором. Мы при-
приступаем к описанию соответствующего определения эллиптично-
эллиптичности для такой пары (d, b). Более точно, если оператор d имеет
порядок k и оператор Ь имеет порядок 1 — A1у ..., 1Т), то мы
определим, что подразумевается под эллиптическим операто-
оператором (d, b) порядка (k, l). Как и в случае, когда многообразие У
пусто, это определение состоит в некотором условии для сим-
символа
c{d, b) =
Над точкой i/еУ мы имеем естественный эпиморфизм
ри: Г{Х)У-+Г(У)У,
который имеет одномерное ядро Nу (конормаль в точке у). Для
каждого нулевого элемента v^T*{Y)u положим Lo — p^1 (v).
•') Для полной общности, конечно, следовало рассмотреть случай, когда
Е =» Е\ ф Ег © ... © Es. Для простоты изложения мы оставим это обобщение
читателю. Разложение расслоения G, однако, более важно, так как даже
простейшие краевые операторы оказываются неоднородными.
22
Р. Пале

330
М. А т ь я
Следовательно, Lv является аффинной прямой в векторном
пространстве Т* (Х)у. Пусть Av обозначает алгебру „полино-
„полиномиальных", или регулярных, отображений Lv—>C: если мы
выберем изоморфизм LcssR, то мы получим изоморфизм
Av = C\t] (кольцо полиномов от одной переменной t). Предпо-
Предположим теперь, что
f. т*(у) —> U7
является однородным полиномиальным отображением простран-
пространства Т* (Х)у в некоторое комплексное векторное пространство W.
Тогда сужение отображения / на Lo определяет регулярное
отображение
или, что эквивалентно, элемент из пространства W<8>CAO.
Следовательно, мы получили гомоморфизм
Li (Т*(Х)у, W)->W ®сЛ0.
В частности, полагая W = Hom(Ey, Fу) и применяя естествен-
естественный изоморфизм (по сущеетву Xk из § 1 гл. IV)
\\om{Lks{T{X)y, Еу), Fy)^Ls(T'{X)y, Hom(Ey, Fy)\
мы получаем гомоморфизм
Pv: Нот (L* (ПА,, Еу), Fy)-> Л„ ® Нот (Еу. Fu).
Следовательно, из символа ok(d) мы получаем элемент
pvak (d) [v, у) е Av ® Horn (Ey, Fy)
и аналогично из символа at{b) — элементы
Р о, (b.)(v, i/) s Л„ ® Нот (Е , (G,) ).
Для краткости положим
x{d)(v, y) = pvok(d)(v, у),
r{b)(v, у) = ф Р0^г (^,)(у. У) ^ Ло ® Hom^^. Gy).
Отождествляя Ло ® Нот (Еу, Fу) с НоШд^^^ ®с Ло, Fy®cAa),
мы можем рассматривать r(d)(v, у) как Ло-гомоморфизм
Eu®cAv-+Fy®cAv
и аналогично x('o)(v, у) будем рассматривать как Ло-гомоморфизм
Приложение I. Теорема об индексе для многообразий с краем
331
Теперь удобно перейти к двойственным символам ') и рассмо-
рассмотреть
r(b)'(v, у);
, Л„
Пусть M(v, у) = coker x(d)" (v, у). Предположим теперь, что
d — эллиптический оператор порядка k. Отсюда вытекает, что
для всех (и, у)
Supp(M(u,
A.1)
где Supp(M(u, г/)) cr Spec(Ac) — множество максимальных про-
простых идеалов в Av, в которых необратимо x(d)*(v, у). В част-
частности, M(v, у) является модулем элементов конечного порядка и
M(v, y) =
, у),
a, у)),
где Мх — локализация модуля М в точке X. Далее, Lv имеет
естественную ориентацию, полученную из „внутренней" ориен-
ориентации конормали Nу: если (хь ..., хп) — локальные координаты
многообразия X в точке у, причем уравнение хп = 0 определяет У
и неравенство хп^0 определяет X, то элемент dxn образует
базис в Ny и определяет его ориентацию. Следовательно, ото-
отображение Lv —> Spec (Av) является вложением вещественной
ориентированной аффинной прямой в комплексную аффинную
прямую, так что мы можем различать компоненты пространства
Spec(A^) — Lv как верхнюю и нижнюю полуплоскости; обозначим
их, как обычно, ImA,>0 и1тЯ<0 соответственно. В силу
формулы A.1) мы получаем разложение
M(v, y) = M+(v, y)®M~(v, у),
где
М+ =
ImA,>0,
М~ =©МЪ ImKO.
я.
Пусть л+(v, у): Еу ®с Av —> М+ (v, у) обозначает композицию
естественного отображения ?* ®с Ло -> М (и, у) и проекции
М—>М+. Наконец, пусть отображение
') Можно было бы возразить против дуализации всех символов, но во
избежание неразберихи мы не будем здесь отказываться от этого соглашения.
22*

332
М. Ать я
индуцировано естественным вложением С->Л„ на пространство
констант на Lv, и пусть отображение
Р(о. У)- Gl->M+(v,y)
определяется как композиция отображений
Р(и, y) = n+(v, y)°r(b)'(v, y)oj(v, у).
Пользуясь этими обозначениями, мы можем дать определение
эллиптичности.
Определение 1.2. Эллиптическим дифференциальным
оператором на (X, Y) порядка (k, l) называется пара (d, b),
такая, что (I) оператор d является эллиптическим порядка к,
(II) для всех точек y^Y и v^T*{Y)y, где v Ф 0, отображение
Р(о, У)' Gl-+M+(v,y)
является изоморфизмом.
Докажем теперь, что это определение по существу совпа-
совпадает с определением, данным в гл. X книги Л. Хёрмандера
„Линейные дифференциальные операторы в частных производ-
производных" (М., 1967). Хёрмандер начинает с рассмотрения случая
однородных операторов с постоянными коэффициентами в полу-
полупространстве хл>0в R". Пусть Р является (от X от)-матрицей,
элементы которой являются однородными полиномами степени k
от п переменных, и пусть Pt будет (т/Хот)-матрицей (/=1, .... г),
элементы которой имеют однородность степени // 0=1» •••> ?)•
Тогда по Хёрмандеру система
1» 2, ..., г}
будет краевой эллиптической системой, если:
(I) P — эллиптический оператор;
(II) mk^2^mj;
(III) краевая задача
не имеет решения, ограниченного при х„^0 и имеющего вид
f(xi *„_,) = exp(ur,?i+ ... +«„_,!„_,) A (jcJ,
где (|i, ..., in-i) =?= 0 (и вещественно) и А Ф 0.
Сначала мы заметим, что (II) и (III) можно сформулировать
следующим образом:
Приложение I. Теорема об индексе для многообразий с краем 333
(II/ для каждого вещественного вектора (|ь ..., !„_]) ф О
и для каждого множества векторов gt e С ' краевая задача
P(h, .... Ь.-.. -
(**)
имеет единственное решение А, ограниченное при хп^0. Дейст-
Действительно, пусть v = (|i, .... |„_!) и <sMv — векторное пространство
решений уравнения (*). Имеем dim a4lv = km. Так как оператор Р
является эллиптическим, то имеется разложение
где o/ftt состоит из экспоненциальных полиномов, включающих
exp (iXxJ с ImA,>0, a o4Q из полиномов, включающих ехр (г'А,л;„) с
1тЯ<0. Следовательно, пространство <М% состоит из решений
уравнения (*), ограниченных при хп^0. Уравнение (**) опре-
определяет тогда отображение
Если выполняется условие (II)', то это отображение является
изоморфизмом, так что dimo4tt = 2 Щ- Заменив v на —о,
получим
t 2
Но &Mtv ^ &MZ, откуда
dim o4lt = dim
Следовательно,
c*'
Таким образом, из условия (II)' вытекает условие (II),
а также (III) при g = 0- Обратно, из (III) получаем, что
^C ^ 2 mi
и, заменив v на — и, что
dim o4t~^ <! 2 tni-
Следовательно, ввиду (II) эти неравенства являются равенст-
равенствами, так что инъективность отображения

334
М. А т ь я
влечет его сюръективность. Таким образом, из условий (II)
и (III) вытекает (II/.
В общем случае переменных коэффициентов и неоднородных
операторов мы накладываем указанные выше условия на задачи
с постоянными коэффициентами, получаемые фиксацией значений
коэффициентов в каждой точке края и взятием членов высшего
порядка (внутри X мы, конечно, требуем, чтобы оператор Р
был эллиптическим). Другими словами, мы налагаем условия (I)
и (II/ на символы этих операторов. Мы хотим показать, что
это дает определение 1.2. Для этого мы переведем определе-
определение 1.2 на язык локальных координат в окрестности точки у е У.
Тогда v имеет координаты (|i, . . ., gn_i), и мы можем отождест-
отождествить кольцо Л, с С [хп]. Для краткости, так как точка (v, у)
теперь фиксирована, мы будем писать просто Л = Л„, Е = ЕУ
и т. д.
Пусть D обозначает пространство гладких функций от пере-
переменной х„ (со значениями в С). Превратим его в Л-модуль
стандартным образом:
„ ff\ ; dl
dxn
Применяя функтор Нотл ( , D) к диаграмме
мы получим диаграмму
0-»НотЛ(М, D)-+? ® D—^ F <g> D,
w
G&D
где ф и 0 совпадают с обычными дифференциальными операто-
операторами, фигурирующими в (*), (**). Следовательно,
НотЛ(М, D)^J
как Л-модули, так что
Нотл(М+, D)s^+.
Из композиции
Приложение 1. Теорема об индексе для многообразий с краем 335
мы получаем коммутативную диаграмму
Homc(G#, D) -«-^ HomA(G* ®Л, D) ¦•
l
Г, D)
Homc(G*. С) ¦«— Homc(G* ® Л, С) -—Нотс(УИ*. С)
где вертикальные стрелки индуцированы отображением D —» С,
задаваемым формулой />-?-/@). Условие (II)' утверждает, что
пунктирная стрелка является изоморфизмом. Композиция ниж-
нижних отображений есть в точности р*, двойственное к
р: G'-*M+.
Следовательно, эквивалентность условия (II/ и олределения
1.2 будет доказана, если мы покажем, что отображение
а: Ногпл(М+, D)-*Homc(M+, С)
является изоморфизмом. Так как оба пространства имеют оди-
одинаковую размерность, то достаточно доказать, что а не имеет
ядра. Поэтому предположим, что феНотл (М+, D), причем
а(г|з) = О. Тогда для каждо.о элемента те^М+ мы имеем
для всех полиномов /. Но М+ является модулем кручения, так
что ¦ф(ш) является экспоненциальным полиномом и, в частности,
аналитическим. Так как все его производные обращаются в нуль
в точке хп = 0, то необходимо 1|з(/?г) = 0. Следовательно, ty = 0,
откуда отображение а инъективно. Таким образом, мы можем
отождествлять наше определение с условием Хёрмандера. По
существу определение 1.2 является переводом условия Хёрман-
Хёрмандера на внутренний алгебраический язык.
Предположим теперь, что (d, b) — эллиптический оператор
на (X, Y). Оператор d сам определяет для каждой точки (v, у)
(где и?=0) векторное пространство М+ (v, у). Множество таких
пространств М имеет естественную структуру расслоения
с базой Т' (Y), где Г'(У) — дополнение к нулевому сечению
в 7'*(У). Будем писать М+ (d), когда захотим показать зави-
зависимость расслоения АГ от оператора d. Тогда краевой опера-
оператор Ъ определяет изоморфизм векторных расслоений

336
М. А тья
где nY: T'{Y)—> У является проекцией. Следовательно, эллип-
эллиптический оператор на (X, У) ассоциирован с двумя изомор-
изоморфизмами векторных расслоений, а именно с изоморфизмом
a{d): n*xE-*nxF
над Т'(Х) и изоморфизмом р над Т (У). В следующем разделе
мы покажем, что комбинация этих двух изоморфизмов дает
более удобный инвариант.
Эллиптический оператор {d, b) на (X, Y) является отобра-
отображением
В уже цитированной книге Хёрмандера показано, что эти
отображения имеют конечномерные ядро и коядро, следовательно,
и индекс. Он называется аналитическим индексом оператора
(d, b) и обозначается ia{d, b).
§ 2. Различающий элемент [о (d, &)]
Для простоты обозначений будем придерживаться следую-
следующего общего соглашения. Если отображения /г: У—>Xt фикси-
фиксированы (г= 1, 2) и Е{ — векторные расслоения над Xit то будем
писать Hom^-Ei, E2) вместо
Hom(f;?1, rjE2).
Пусть теперь X — компактное многообразие с краем У. Выбе-
Выберем риманову метрику на X и возьмем индуцированную мет-
метрику на У. Это определяет В {X), S (X), В (У), S (У) как расслое-
расслоения единичных шаров и единичных сфер расслоений Т* (X), Г* (У)
соответственно. Кроме того, эта метрика дает возможность
отождествить В (У) с подпространством пространства B(X)\Y.
Внутренние единичные нормали определяют сечение расслое-
расслоения 5(Х)|Унад У, которое обозначим через v. Сечение внеш-
внешних нормалей обозначим через —v.
Пусть (d, b) — эллиптический оператор на (X, У), такой, как
в § 1. Тогда
и отображение а(Ь) определяет элемент
pe=ISOs(/)(??*, М+),
где М+ — расслоение над Т'(У), определенное при помощи
отображения a{d), как указано в § 1. Мы хотим показать,
Приложение I. Теорема об индексе для многообпазип с краем
337
что р определяет естественным образом некоторый элемент,
переходящий в [a (d)] при гомоморфизме
К(В(Х), B(X)\Y\JS(X))->K(B(X), S(X)).
Прямое построение этого элемента весьма громоздко, так как
оно существенно опирается на доказательство теоремы перио-
периодичности Ботта. Поэтому лучше описать этот элемент аксио-
аксиоматически и затем сформулировать теорему существования.
Для каждой точки t]^S(Y)y рассмотрим полуокружность С,,.,
соединяющую точки ± vy, параметризованную углом 9: точка
(т], 0), соответствующая углу 0, есть
т] sin 0 — Vj,cos0.
Таким образом, 0^0^я, 0 = 0 соответствует элементу — v,
0 = я — элементу + х. Положим z = ехр B/9). Пусть г — фикси-
фиксированное целое число.
Для данных векторных расслоений Е, F над многообра-
многообразием X мы рассмотрим элемент
который обладает тем свойством, что для каждых y<^Y и
T]GHS (Y)y сужение а на полуокружность Сл имеет вид
а (л, е) = ехР(п9)Рт,B),
где pn (z) — полином от z со значениями в Нот (Ev, Fy). Мно-
Множество всех таких а при всевозможных Е и F обозначается
через пг (X). Заметим, что если а = a {d) является символом
эллиптического дифференциального оператора порядка k, то
сужение а на Сл является однородным полиномом степени k
по переменным cos0 и sin0, следовательно aGS_ft(X).
Пусть a^(zr(X), и пусть pA{z) — ассоциированный с а полином
от z, определенный выше. Тогда так как a(rj, 0) является изо-
изоморфизмом для всех точек (г), 0), то pn{z) также является изо-
изоморфизмом для всех г) и всех z с |z|=l. Следовательно,
если мы положим Л = С [z] и определим М„ из точной после-
последовательности Л-модулей
f; ® л -^-> е; ® л -> м
то Мщ будет модулем кручения, причем
о,
Следовательно, мы получим разложение

338
М. А т ь я
где М+ получается локализацией внутри единичной окружности,
а М^ — локализацией вне ее. Тогда M+ = (jM,| имеет естест-
венную структуру векторного расслоения над S (У). Будем
писать М+{о) для того, чтобы подчеркнуть зависимость рас-
расслоения М+ от а. Если a = a(d), где d — эллиптический диф-
дифференциальный оператор порядка к, то расслоение М+ (а) есте-
естественно изоморфно расслоению, обозначенному через М+ (d)
в § 1. Действительно, прямая Lv из § 1, где и = ц, есть в точ-
точности прямая т] + ^v, так что Л^, = С [t]. Следовательно, полагая
мы видим, что
т (d) (t) = а (л, в) = ехр (- kid) Рт) (г)
и конформное преобразование (*) переводит верхнюю /-плоскость
во внутренность единичной окружности в z-плоскости. Если
кольца Л] и Л2 рациональных функций определены условиями:
элементы из AidC(z) не имеют полюсов в |z|<l,
элементы из ЛгСгС(?) не имеют полюсов в Im^>0,
то (*) индуцирует изоморфизм Л, ё* Л2. Но по определению
Мц (d) и М% (а) мы имеем точные последовательности:
Г® Л, -а-*-?*®Л, -* М+ (d) -* О,
F'<g)A2 -^ ?*®Л2 -> М+ (а) -¦ О,
где pi и т2 обозначают гомоморфизмы, полученные расшире-
расширением кольца С [z] до Л! и кольца С [/] до Л2 соответственно.
Следовательно, имеется естественный изоморфизм
М+ (d) a M+ (а)
и, таким образом, изоморфизмы векторных расслоений
М+ {d) at M+ (a),
что и утверждалось.
Будем обозначать через ®r(X, Y) множество всех пар (a, f$),
где:
()r@,
(II) $^ISOs(Y)(H, M+(a)) для некоторого векторного рас-
расслоения Н над Y.
Как мы видели в § I, отсюда следует, что эллиптический
дифференциальный оператор (d, b) на многообразии (X, Y) по-
Приложение 1. Теорема об индексе для многообразий с краем
339
рядка (k, I) определяет элемент из 6_А (X, Y), где Н = G*
в обозначениях § 1.
Допуская терминологическую неточность, мы будем назы-
называть этот элемент символом оператора (d, b) и обозначать его
через a(d, b).
Обозначим через 6*(X) подмножество в S (X), состоящее из а,
обладающих следующим свойством: для каждой точки ц^Б (Y)y
ассоциированный полином pn(z) зависит только от у. Для та-
такого а векторное пространство М+ зависит только от у, так
что М+ (а) естественным образом является векторным рассло-
расслоением над У. Следовательно, при Я = М+(а) тождественное
отображение пространства М+ (а) определяет естественный вы-
выбор элемента р. Отождествим б* (X) с его образом в множе-
множестве 6*(Х, Y) при отображении
Если a^lSOs(x)(E, F) является элементом из @*(Х), то по опре-
определению его значения на полуокружности Cv для y\^S(Y)y
зависят только от точки у и не зависят от ц. Следовательно,
для фиксированных у, 0 значение а на окружности {ц, Q)czS{X)y
является постоянным, так что а можно тривиально продолжить
внутрь этой окружности. Это продолжение определяет тогда
элгмент
где dB{X) = S(X)[jB(X)\Y. Ясно, что если ye=Y, t)G=S(Y)y,
0<9<я и р>0, то
а (рт| sin 9 — vy cos 9) = a (y\ sin 0 — vy cos 0).
Изоморфизм и прямые суммы в Sr (X, Y) определяются оче-
очевидным образом.
Если Е и F — векторные расслоения над многообразием
IX/, то элемент a^ISOsujx/ (•?"> F) будем называть гомото-
пией в пространстве @Г(Х), если его сужение на 5 (X) X {t}
является элементом пространства 6Г (X) для каждого значения
fe=/. Если а является такой гомотопией, то мы можем опре-
определить такое векторное расслоение М+ (а) над пространством
S(Y) XI, что
M+(a)\S(Y)X{t} = M+(at).
Если Н — векторное расслоение над У X / и р принадлежит
ISOsoox/ {H, M^~ (a)), то пара (a, P) будет называться гомо-
гомотопией в пространстве 6Г (X, У). Два элемента |, T]S6r (X, Y)

340
М. Ать я
назовем гомотопными, если существует гомотопия (а, р) в про-
пространстве 6r(X, Y), такая, что расслоение | изоморфно (оо, ро)>
а расслоение ц изоморфно {щ, fr).
Теперь мы в состоянии сформулировать основной топологи-
топологический результат.
Предложение 2.1. Существует одна и только одна
функция f: Sr (X, Y)—> К (В(X), дВ (X)), удовлетворяющая сле-
следующим условиям:
(I) /(?) — / (л), если | и ц гомотопны;
(И) f(E©ti) = /(!) + / (л);
(III) /(<*) = [а], еслм aeS;(I).
Если /—единственная функция, удовлетворяющая требова-
требованиям предложения 2.1, то для %<^(э.г(Х, Y) мы можем поло-
положить
[|] = /A).
В частности, если (d, b) является эллиптическим дифференциаль-
дифференциальным оператором на (X, Y), то мы получаем элемент
[a(d, Ь)]е=К{В{Х), дВ{Х)).
Далее, как объяснено в введении, определяются ch(rf, Ъ) и
it(d, Ъ).
Замечание. Доказательство предложения 2.1 состоит из
явного построения f(g). Поэтому в принципе топологический
индекс it (d,- b) может быть явно вычислен.
§ 3. Замечания к доказательству
Обсудим сначала предложение 2.1. Идея доказательства
заключается в том, что для всякого элемента g<=6r(X, Y) мы
можем построить элемент г\евпг {Х)с [ц] = 0 и гомотопию эле-
элемента 1фц к другому элементу ?еC*(Х). Если это можно
сделать, то для каждой функции /, удовлетворяющей условиям
(I), (II), (III), мы должны иметь
Отсюда вытекает единственность функции /. Для того чтобы
доказать существование такой функции f, требуется разумная
каноническая конструкция элемента ? из элемента \, конструк-
конструкция, которая может допускать некоторую свободу выбора, но
должна обладать тем свойством, что элемент [С] не зависит
от произвола этого выбора. Конструкцию, удовлетворяющую
этим свойствам, можно совсем легко получить из элементар-
Приложение I. Теорема об индексе для многообразий с краем 341
ного доказательства теоремы периодичности (Атья, Ботт,
The periodicity theorem for complex vector bundles, Ada Ma-
thematica, 112 A964)'). Можно также обратиться к лекциям
Атьи —Ботта, опубликованным в трудах Международного
коллоквиума по дифференциальному анализу (Тата Инсти-
Институт, 1964).
Связь теоремы периодичности и предложения 2.1 будет
совсем ясна, если мы рассмотрим символ o(d) эллиптического
дифференциального оператора в точке i/еУ. С одной стороны,
oy{d) определяет различающий элемент loy(d)}<d.K{B{X)y, S(X)9)=
?ё К (Sn), где n = dim X. С другой стороны, oy(d) определяет
также векторное расслоение М$ над S (Y)y = Sn~2. Эти два
объекта, определенные при помощи символа oy(d), связаны
друг с другом отображением периодичности
Р: K{Sn-2)-*K(Sn).
Точная формула на самом деле имеет вид
[оу (d)] - - р (М+ - dim M+)*,
где * обозначает операцию двойственности2). Фактически это
выполняется не только локально, но и в целом на много-
многообразии Y. Это дает
Предложение 3.1. Для того чтобы эллиптический диф-
дифференциальный оператор d на многообразии X допускал эл-
эллиптическое краевое условие, необходимо, чтобы элемент [o{d)]
принадлежал ядру гомоморфизма сужения
К(В(Х), S(X))-*K{B(X)\Y, S(X)\Y).
Однако предложение 2.1 является существенно более точ-
точным, чем предложение 3.1, так как оно показывает, что вы-
выбор конкретного эллиптического краевого условия приводит
к некоторому элементу кольца К(В(Х), S (X) \J В (X) | Y), являю-
являющегося, конечно, третьим членом точной последовательности,
к которой принадлежит гомоморфизм предложения 3.1. Вот
почему для доказательства предложения 2.1 требуется не только
сама теорема периодичности, но также доказательство по-
последней.
') На русском языке очень похожее доказательство читатель найдет
в книге М. Атьи „Лекции по /(-теории" („Мир", 1967). — Прим. перев.
2) См. сноску на стр. 331.

ПРИЛОЖЕН ИЕН
НЕСТАБИЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ
КЛАССЫ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ИНДЕКС
КЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Ш и В ей-шу
В этом приложении мы по-иному вычислим топологический
индекс эллиптического оператора, ассоциированного с G-струк-
турой, получая таким образом индексы классических операто-
операторов на римановых или комплексных многообразиях. Мы начнем
в § 1 с введения характеристических классов в Я*- и К-теориях,
которые не обязательно инвариантны относительно прибавле-
прибавления тривиальных расслоений. Это мы используем в § 2 для
определения эндоморфизма т полугруппы характеристических
классов, который дает единый подход к классу Тодда, А- и
L-роду. В § 3 мы выведем формулу, связывающую характер
оператора и характеристические классы базиснсго многообра-
многообразия, которая и дает нужный результат для индекса. В част-
частности, мы замечаем, что характер оператора, ассоциированного
с G-структурой, зависит только от образа его символа относи-
относительно канонического гомоморфизма К(В(Х), S (X)) —» К (X).
§ 1. Характеристические классы
Напомним, что (абелевой) полугруппой называется множе-
множество с операцией, которое удовлетворяет всем аксиомам группы,
за исключением существования обратного элемента. Мы будем
использовать следующие полугруппы:
1. Пусть X является Сй^-комплексом; обозначим через е?с (X)
полугруппу (соответственно полукольцо) классов изоморфных
векторных расслоений над X относительно суммы Уитни (соот-
(соответственно тензорного произведения). Аналогично У+ (X) — по-
лугруппа четномерных ориентированных вещественных вектор-
векторных расслоений над X.
2. Пусть Л — некоторая фиксированная область целостности;
рассмотрим кольцо Л [ [t] ] формальных степенных рядов с коэф-
коэффициентами в Л. Тогда определены следующие подмножества
кольца Л[ [/]]:
/) = f(/) или f(-t)=-f(t)},
Л+[ [f]]'=¦{/I/(O = /(l/U+0-1»,
Л*1Ш.Г = {/1/@ =
-l) или /@=-/A/A+0-Ш.
Приложение II. Нестабильные характеристические классы
343
которые являются полугруппами в полугруппе Л[[?]] относи-
относительно умножения степенных рядов.
3. Для каждого С W-комплекса Х четномерное произведение
Я2* (X, А) = П Я2' (X, А)
i
когомологий комплекса X является полугруппой относительно
когомологического умножения.
Напомним, что если У и Я —два функтора
У, Я: =Г *¦&
из категории #~ конечных С ^-комплексов в категорию полу-
полугрупп &, то множество естествендых преобразований из У в Я,
которое мы будем обозначать через s^om (ef, Я), тоже является
полугруппой. Если f e^?om(?, Я) и Is j, то будем писать fx
(или просто f) для морфизма из & (X) в Н (X), определенного
при помощи /. Далее, если с каждым комплексом X е= <&~ мы
свяжем полугруппы УС{Х) и т. д., то получим контравариант-
ные функторы
Зс, &я, К, КО, Я2*
из категории
в категорию &. Через
Я)ц, где |i = ( + , X), (+, +), кольцо,
обозначим полугруппу естественных преобразований; здесь,
например, ц = ( + , X), если первый функтор W является полу-
полугруппой относительно суммы Уитни, а второй относительно
когомологического или тензорного произведения. Всякий элемент
полугруппы е%?от (?*, Я) может быть назван характеристическим
классом (или когомологической операцией, если W — Я); говорят,
что этот класс стабилен, если он лежит в образе канонического
мономорфиза ^?от(/С, Я)^ -»¦ ^;от (Ус, Я)^. Композиция есте-
естественных преобразований индуцирует отображение
SVom(K,
X M'
, ЯN,
которое обозначается как (f, g)-+f°g; когда (i, v, 6 выбраны
подходящим образом, то композиция о является билинейной.
Пример 1.1. Рассмотрим альтернированную внешнюю ал-
алгебру (соответственно внешнюю алгебру), определенную для
каждого комплексного векторного расслоения ? виртуальным
расслоением
Л' F) = 2 (- О' Л'' (g) (соответственно Л (?) = 2 Л' (?)),

344
Ши Веп-iuy
где Л' (|) есть i-я внешняя степень расслоения |. Это дает два
элемента
Л', Л
Пример 1.2. Пусть ц — вещественное ориентированное дву-
двумерное расслоение над X; рассмотрим элементы из кольца К (X),
заданные виртуальными расслоениями
Л+(т0 = | + |, Л-(л)-Е-|,
где | — единственное (с точностью до изоморфизма) комплексное
линейное расслоение, изоморфное расслоению ц как ориенти-
ориентированное вещественное расслоение, а | — его сопряженное. Это
однозначно порождает элементы
+>х
Пусть теперь Рж (С) обозначает бесконечномерное комплексное
проективное пространство, которое можно рассматривать как
классифицирующее пространство групп ?/A) и 50B). Кольцо
когомологий этого пространства является кольцом полиномов
от образующей а размерности 2. Следовательно, для каждого
комплексного линейного расслоения | (соответственно двумер-
двумерного ориентированного расслоения ц) над X е <&~ существует
единственный класс, а именно фундаментальный класс расслое-
расслоения ? (соответственно ц), обозначаемый через
с^еЯ2(Х, Л) (соответственно а,еЯ2(Х, Л)),
который является образом а при классифицирующем отобра-
отображении пространства X в Рж (С), индуцирующем расслоение |
(соответственно ц). При этом заметим, что если задан степен-
степенной ряд g(/)eA[ [t] ], то элемент
?(сде=Я2*(Х, Л)
(соответственно g(a.t])) корректно определен. Мы получили сле-
следующие теоремы.
Теорема 1.1. Существуют единственные изоморфизмы
полугрупп
<р: SVom (Ус, Я2*)+ х -^ Л [ [t] ]х,
(Ifс, /П++ —-Л
такие, что для каждого комплексного линейного расслоения %
мы имеем
f (g) = Ф (f) fog), f e= ^om (Гс, Я2*),. х,
) '
Приложение //. Нестабильные характеристические классы
345
?сл« Л является полем характеристики нуль, то существует
биективное отображение
б:
(Ifс, Я2-)КОЛЫ1О ^U л
„множества ненулевых кольцевых гомоморфизмов" в л,
такое, что каноническое вложение afc'om (^с, Я2*)коль о s
, Я2*)+ + задается формулой
гары отождествлении б ы -ф.
Теорема 1.2. Еслм кольцо коэффициентов А полугруппы Я2*
содержит 1/2, то ль* имеем единственные изоморфизмы полу-
полугрупп
(^, Я2)+ х -2-v Л±
такие, что для каждого ориентированного двумерного расслое-
расслоения г\ мы имеем
f Ы = Ф (/) К), f s ^om (g»J, Я2*)+ х,
г (л) = * (г) (s). г е ^от (g»J, я2*)+, +.
?сли коэффициенты в Я2* являются рациональными (или веще-
вещественными числами), то существует биективное отображение
б: #?от (Ifj, Я2*)кольио -=- Q+
(Q+ — полукольцо неотрицательных рациональных чисел), такое,
что вложение ^от(^, Я2)кольцо s ^om(?R, H2*)+ + задается
формулой
+
при отождествлении б м г|з.
Замечание 1.1. Будем писать Л[И]Х для обозначения
того, что мы рассматриваем Л [ [t] ] как полугруппу относи-
относительно умножения степенных рядов; аналогично— для Л[[*]]+.
По определению категории К мы можем заменить We на К.
в случаях ( + , +) и кольца, например
^от(Гс, Я2')кольио = ^от(К, Я2*)кольц0.
Будем обозначать через
ch: Q-
23 Р- Пале

346
Ши Вей-шу
отображение, обратное к б, и писать chp = ch(p) для ре Q. Это
оправданно, поскольку ch1 = ch есть просто характер Чжэня
и ch° можно отождествить с аугментацией в /С-теории. Далее
мы увидим, что ch и ch1'2 также полезны. Различные операции
над степенными рядами можно переносить посредством биек-
биективных отображений ф (соответственно i|>), получая таким
образом новые характеристические классы, например произ-
производную, сложение, подстановку и т. д. Мы будем просто
писать /*¦ для обозначения подстановки Ы в f.
Следствие 1.1. (А ть я —X и р ц еб ру х [3].) Характери-
Характеристический класс в е&'от (?*, Н2)+ х стабилен в том и только
том случае, когда в степенном ряде, соответствующем ему
при отображении ср, старший коэффициент сболтим в А и ото-
отображение отождествления, заданное мультипликативной после-
последовательностью Хирцебруха [7], коммутирует с ср.
Напомним, что если | — комплексное линейное расслоение
над конечным Сй^-комплексом X и f (t) e Z[ [/]] — степенной
ряд с целыми коэффициентами, то
является корректно определенным элементом, получаемым под-
подстановкой в f (t) виртуального расслоения 1—1 (где 1 — три-
тривиальное линейное расслоение). Это возможно, поскольку нуль-
нульмерная компонента характера Чжэня 1—1, очевидно, равна
нулю и потому нильпотентна в К, (X). Аналогично если
Л —область целостности и f (t) ^ A[[t]], то f (g — 1)е /C(X) ® ZA
также корректно определено.
Теорема 1.3. Существуют единственные изоморфизмы
угрупп
полугрупп
Ф:
А[ [t] ]
такие, что для каждого комплексного линейного расслоения ?
мы имеем
gA) = Ч> (g) A ~ 1),
В случае Л = Z существует
жение
(Гс, К®zA)+ +.
единственное биективное отобра-
отобратакое, что вложение «?S?om(c?c, ^)кольцоЕЙот(?с. К)+|Х за-
задается формулой
n^{l + t)n, n<z=Z,
при отождествлении 6 w ф.
Теорема 1.4. Существуют единственные изоморфизмы
полугрупп
Ф:
-^ A
of: ^о (J, +i +
такие, что для каждого ориентированного плоского расслое-
расслоения г\ мы имеем
где 1~ единственное (с точностью до изоморфизма) комплекс-
комплексное линейное расслоение, изоморфное ч\ как вещественное рас-
расслоение. В случае А = Z существует единственное биективное
отображение
(где Z+ — целые неотрицательные числа), такое, что вложение
^ к 'кольцо ч к /+. +
задается формулой
n^{\ + t)n + {\+trn, где neZ+,
при отождествлении б и of.
Из замечания 1.1 вытекают следующие следствия.
Следствие 1.2. (См. [6].) Операции Адамса [1] являются
единственными нетривиальными кольцевыми когомологическими
операциями в К-теории.
Следствие 1.3. При отождествлении ей?от (^с, Ю+ х =
^ Z [ [?]! альтернированная внешняя алгебра {соответственно
внешняя алгебра), определенная в примере 1.1, отвечает эле-
элементу — t (соответственно 2 + t).
Следствие 1.4. При отождествлении е%?от(<э'к, К.)+ х =
f степенные ряды
' A011 +О
23*

348
Ши Вей-шу
отвечают соответственно характеристическим классам
Л+ и Л",
введенным в примере 1.2. Образ элемента К" на четномерном
ориентированном вещественном векторном расслоении есть в точ-
точности элемент, построенный в гл. III, § 6, при помощи рима-
новой метрики.
Следствие 1.5. Пусть коэффициенты полугруппы Н2*
будут рациональными числами Q. Тогда при отождествлениях ф
и 6 канонические композиции
М'ота (К, Я2\
ольцо
2*)
X
. х
х,
, #2*)КОЛЬЦ0Х
задаются подстановкой
t, Я2*)+
степенного ряда еР* — I в f, где
pe=Q, feZ[[*]] или Z* [[*]]*.
Замечание 1.2. Все операции над векторными расслое-
расслоениями можно интерпретировать как операции над степенными
рядами, например комплексификацию, дуализацию и т. д.
Можно получить и другие виды композиций, например
(К,
X
, Я2*)+ х,
которая дает, в частности, класс Чжэня образа расслоения при
операции Адамса. Условие коцикла Ботта [5] также полу-
получается из композиции. Получены аналогичные результаты для
других классов расслоений, например Д'О-случай вытекает из
работы Андерсона [2].
§ 2. т-гомоморфизм
Мы дадим новую интерпретацию класса Тодда (соответ-
(соответственно Л- и L-родов), тесно связанную с элементами Л', Л~
и Л+ из еЖот(?\ К)+ х- Рассмотрим сначала подполугруппу
из Ji?om C^, Н)+ х, определенную следующим образом: пусть
k — целое неотрицательное число, | (соответственно т^) — произ-
произвольное комплексное линейное расслоение (соответственно ориен-
Приложение П. Нестабильные характеристические классы
349
тированное вещественное плоское расслоение), тогда
, /C®rA)+iX = {f, 3f, k, такие, что (f •/)(!) = (!-1)*
(?c, H2')+ x = {f, 37, *, такие, что (f • J) (I) = (at)k V|},
li?om' (fr* Я2*)+> x = if, Hf, k, такие, что (f • f) (л) = (og* Vrtf,
где ag (соответственно a,,) является фундаментальным классом
расслоения 1 (соответственно ц), и мы используем умножение
в качестве полугрупповой операции в е%?от.
Лемма 2.1. Для каждого f e е^от* существует единствен-
единственное / s е^от*, дающее минимальное значение k. Следова-
Следовательно, мы получаем эндоморфизмы полугрупп
х:
g", Я2*)+> х -><й?от* (8s, Я2*)+_ х,
г 0» r- -Это минимальное k называется порядком со (f)
элемента /. Яры эгеш образ tf является стабильным и T2f-rf=l,
где т2/ = т (xf), a 1 является единичным элементом полугруппы
Утверждение леммы получается немедленно из того, что
* соответствует таким степенным рядам, у которых пер-
первый ненулевой коэффициент является обратимым элементом
из А; в частности, если А является полем, то е^от* и ^
совпадают. Если мы определим эйлеров класс в Д'-теории
как элемент, соответствующий степенному ряду t, то для
каждого f ^L&ftiom* {М'с, К)+ х и каждого комплексного вектор-
векторного расслоения | мы имеем
где оа {f) — порядок элемента /. Аналогично если f принадлежит
р
, Я2*)+
х>
то
)<e<f)
(f • Tf) A) = (старший класс Чжэня расслоения l)<e
Наконец, комплексификация ®С и отображение т анти-
коммутируют, т. е. коммутативна следующая диаграмма:
W(^±, я2')+.х
, Я2*) —
+ Я2*)

350
Ши Ьей-шу
Напомним, что через ° мы обозначаем каноническую ком-
композицию
о:
(К,
. х
и что при рациональных когомологиях Я2* мы имеем
ctr3ее^от(/(, Я2*)кпльцо для произвольного peQ. Дадим сле-
следующее определение.
Определение 2.1. Для каждой пары элементов
ch0 е $ft от (/С, Я2')кольцо, / е ^от B*с, Ю+, х
определим их х-класс по формуле х (ch ° f), г. е. как образ ком-
композиции при отображении х.
Это определение оправдывается следующей теоремой.
Теорема 2.1. Следующие равенства справедливы
^(? Я2*)
?с, Я2*)+х:
т (ch о АО = - J",
A)
B)
где ^ — класс Тодда, J" — его сопряженный, А' — альтернирован-
альтернированная внешняя алгебра. В S^om(^, Н)+ х выполняются ра-
равенства:
2т(с1юЛ~) = Л-род, C)
т (ch о Л~ • тЛ+) = L-род, D)
где Л~ и Л+ определены в примере 1.2.
Замечание 2.1. Мы можем заменить ch на chp, например
но это будет удобно позже. Теперь из определения отображе-
отображения т следует, что в li?om (^с, Я2*)+_ х
(ch~ о Л') • J" есть старший класс Чжэня;
аналогичное равенство получается для А- и /.-родов. При этом
можно получить соотношение между ° и т; в частно-
частности, если f является стабильным, то х (chp ° f) = ctip ° т/.
Приложение II. Нестабильные характеристические классы 351
R, Я2*)+>х мы имеем
В
Наконец, отображение т можно определить и для других типов
характеристических классов.
§ 3. Характер классических эллиптических
операторов
Зададим ^«-пару (соответственно §Vnapy) (X, ц), где т)
является 2/г-мерным ориентированным вещественным векторным
расслоением (соответственно комплексным векторным расслое-
расслоением) над конечным С ЦР-комплексом X. Обозначим
пространство Тома (т. е. пространство В (t])/S (i\), определенное
в гл. I) и изоморфизм Тома (соответственно для овеществлен-
овеществленного расслоения т]) и через
гомоморфизм, индуцированный нулевым сечением расслоения ц.
Определим подмножество в К (t (tj) )
U(tD))s=K(t(r\)),
называемое множеством универсальных элементов пары {X, t\),
следующим образом: рассмотрим такие представления
р: G-+SOBn)
(соответственно G -> U {п)), где G — компактная связная группа
Ли, что
A) образ p(G) имеет максимальный ранг п;
B) отображение р индуцирует расслоение i\, т. е. "П = Л*(р*л0)
в категории ^J (X) для некоторого отображения hp комплекса X
в классифицирующее пространство До, где % — универсальное
2/г-мерное ориентированное (соответственно /г-мерное комплек-
комплексное) расслоение над В50\2п) (соответственно BfJ <„>).

352
Ши Веп-шу
Возьмем теперь объединение образов отображения h*
тогда подмножество в U (t (y\))
по всем р и Ар. Заметим, что U (t {ц)) не пусто, так как можно
в качестве G взять SO B/г) или максимальный тор в SO Bп).
Пусть теперь
6 €
(соответственно e?S?om
вида
где Де= p~I(9(p*T]o))s/C(^(p*;no)), называется множеством
6-универсальных элементов. Аналогично мы можем заменить
К на К, ®zA или КО и т. д.
Определение 3.1. Эллиптический оператор D на много-
многообразии X называется ^-универсальным, если его символ [a(D)\
принадлежит множеству
где ц = Т* (X) является кокасательным расслоением на много-
многообразии X (ср. гл. I, § 1).
Легко видеть, что:
A) для каждого четномерного ориентированного риманова
многообразия оператор d + б, определенный в § 2 гл. V,
является Л' ® С-универсальным;
B) для комплексно-аналитических многообразий оператор
д + & (см. гл. III) является Л'-универсальным;
C) для четномерного ориентированного риманова многообра-
многообразия оператор, определенный в лемме 6 гл. V, является Л~-уни-
версальным.
Пусть заданы характеристический класс / в еЖ'от (К, Я2*)
и ^-пара (X, ц). Мы хотим вычислить композицию
Ф • f ¦ К d (л)) -*¦> Я2* (/ (л))J^ Я2' (X)
отображения / с изоморфизмом Тома. Для 6-универсальных
элементов это можно сделать, найдя другой элемент /№ е
^(f, Я2*), который дает требуемое значение на катего-
Приложение II. Нестабильные характеристические классы
353
рии У (X) без перехода к пространству Тома; более точно, нам
требуется, чтобы
для каждой ^-пары (X, л) и каждого 5e[/e(f(t|)), т. е., как
можно было бы ожидать, на универсальных элементах компо-
композиция ф•/ является постоянной.
Для простоты предположим, что далее коэффициенты
являются рациональными числами Q.
Предложение 3.1. Пусть элементы 9 е &№о п (^\ /С)ц
и f ee%om(/(, Hv)v таковы, что их композиция /°в принад-
принадлежит e&'om (If, Я2*)+ х и порядка больше единицы: ©(f°0)>l.
Тогда существует единственный элемент /(е> е ©%?от (S5, Я2*)+ х,
удовлетворяющий условию (*). Фактически он задается форму-
формулой
^=X-'.T2(fo6), «, = ffl(f 00),
х является эйлеровым классом в <3f€om(?, Я2*)+ х, т2=т°т —
эндоморфизм из леммы 2.1 и У = ^с, ^r •
Заметим теперь, что каждый элемент вее^от^, К)+ х
определяет единственный элемент в е&от^, Я2*)+ х, а именно
ch@)= -
С), (в =
где ^ = <?с, <?r • С другой стороны, для каждого эллиптиче-
эллиптического оператора D на многообразии X обозначим через c(D)
класс
с (D) = ch (D) • J* (Г (ЛГ) ® С) г Я2* (Z, Q),
где Г (А") — касательное расслоение к многообразию X. Тогда
из предыдущего предложения вытекает следующее утвержде-
утверждение.
Предложение 3.2. Пусть 9е^?от(?«, к)+_ х (соот-
(соответственно ве^от (?ci Ю+ х) ы ^ является ^-универсальным
эллиптическим оператором на С*"-многообразии (соответственно
комплексно-аналитическом многообразии). Тогда класс c(D)
равен значению элемента ch(9) на кокасательном расслоении

354
Ши Вей-шу
Т* (X) (соответственно комплексном двойственном к касатель-
касательному расслоению) многообразия X:
c(D) = ch (в) (Г (X)).
В частности, когда 0 =¦= Л' ® С, мы имеем со (9) = 2, и из
леммы 2.1 вытекает
т(т(сЬоЛ'® С) (ch ° Л'<g> С)) = 1;
следовательно, из предложения 3.2 вытекает следующая тео-
теорема.
Теорема 3.1. Если X — четномерное ориентированное мно-
многообразие и D является Л' <8> ^.-универсальным эллиптическим
оператором, например йЛ-Ъ, то класс c{D) равен отрица-
отрицательному эйлеровому классу многообразия X и, в частности,
его топологический индекс задается формулой
Аналогично получается (см. теорему 2.1)
Теорема 3.2. Если X — четномерное ориентированное мно-
многообразие и D является Л~- униве реальным эллиптическим опе-
оператором, например определенным в лемме 6 гл. V, то класс
с (D) равен 2L \ в частности
it(D) = L(T(X))[X].
Теперь мы заметим, что для формулы Римана — Роха — Хир-
цебруха достаточно изучить случай бескоэффициентного раст
слоения (см. п. 4.5 гл. XIX). Действительно, имеет место
Предложение 3.3. Пусть D — эллиптический оператор
первого порядка, действующий из одного комплексного вектор-
векторного расслоения в другое, и F — коэффициентное расслоение.
Тогда характер оператора D<§>lF (обозначение из § 8 гл. IV)
задается формулой
ch(D<§ l^) = ch(?, -ch(F).
Теорема 3.3. Если X — комплексно-аналитическое много-
многообразие и D является А.'-универсальным эллиптическим опера-
Приложение II. Нестабильные характеристические классы
355
тором, например д + Ъ, то класс c(D) равен классу —J" ком-
комплексного двойственного к касательному расслоению
в частности
Т(Х),
Замечание 3.1. Обобщения и детальное обсуждение этих
результатов будут опубликованы отдельно; доказательства ана-
аналогичны доказательствам в работе Бореля [4].
ЛИТЕРАТУРА
Г11 Адаме Д., Векторные поля на сферах, сб. „Математика", 7:6 A963)
49—79.
[2] Anderson D. W., A new cohomology theory (в печати).
ГЗ] A t i у a h M., Hirzebruch F., Cohomologie Operationen und characte-
rische Klassen, Math. Zeitschr., 77 A961).
[4] Б о р е л ь А., Когомологии главных расслоенных пространств и однород-
однородных пространств компактных групп Ли, сб. „Расслоенные простран-
пространства и их приложения", ИЛ, 1958.
[5] Ботт Р., Лекции по ^-теории, сб. Математика, 11:1 A967), 32—56;
11:2 A967), 3—36.
[6] torn D i е с к Т., Tagungsbericht Topologie, Math. Forschungsinstitut, Ober-
wolfach, 1963.
[7] Hirzebruch F., Neue topologische Methoden in der algebraischen Geo-
metrie, Ergebnisse der Math., Springer. 1956.
[8] Ми л нор Дж., Лекции о характеристических классах, сб. Математика,
3:4 A959), 3—53; 9:4 A965), 3—40.