Специальная теория относительности - Угаров В.А.

Автор: Угаров В.А.

Теги: физика естественные науки теория относительности эйнштейн

Год: 1977

Похожие

Специальная теория относительности: Сто лет абсурда

Теория относительности

Физические поля в общей теории относительности

Текст

В. А. УГАРОВ
СПЕЦИАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических факультетов
педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977

530.1
У 24
УДК 530.12
20402—111 © Главная редакция
У П-Ч,Л„. _- 91-77 физико-математической литературы
Uoa(UZ)// издательстпа «Наука», 1977, с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава 1. Классическая механика и принцип относительности ... 7
§ 1.1. Система координат и система отсчета в классической меха-
механике 7
§ 1.2. Выбор системы отсчета iu
5 1.3. Преобразования Галилея 11
§ 1.4. Принцип относительности Галилея. Втором закон Ньютона 15
§ 1.5. Законы Ньютона и инерцпальпыо системы отсчета .... 20
§ 1.6. Абсолютное время н абсолютное пространство 24
§1.7. Как физика приближалась к теории относительности ... 26
§ 1.8. Обобщение принципа относительности Галилея 29
§ 1.9. Скорость света в вакууме 32
Глава 2. Постулаты Эйпштейна. Иптервал между событиями. Пре-
Преобразования Лоренца 34
§ 2.1. Постулаты Эйнштейна 34
§ 2.2. Релятивистская система отсчета 36
§ 2.3. Прямые следствия постулатов Эйнштейна (несколько мыс-
лепных экспериментов) 41
§ 2.4. Относительность сипхропизации часон двух инерциальных
систем отсчета. Непосредственный вывод преобразований
Лоренца 47
§ 2.5. Преобразования Лоренца как следствия постулатов Эйн-
Эйнштейна 51
§ 2.6. Распространение фронта световой волны. Интервал между
событиями 55
§ 2.7. Преобразования Лоренца как следствие инвариантности ин-
интервала между событиями 58
§ 2.8. Комплексные величины в СТО. Симметричные обозначения 60
§ 2.9. Геометрическая иллюстрация преобразований Лоренца . . 64
Глава 3. Следствия преобразований Лоренца. Классификация интер-
интервалов и принцип причинности. Метод fc-коаффициента 66
§ 3.1. Об измерении длин п промежутков времени. Относитель-
Относительность одновременности 66
§ 3.2. Относительность длины движущихся линеек (масштабов).
Видимая форма тел. движущихся с релятивистскими ско-
скоростями E<>
§ 3.3. Относительность промежутков нремсни между событиями 77
? 3.4. Классификация интервалов и принцип причинности .... 84
s 3.5. Преобразование компоиепт скорости частицы при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой .... 88
S л.о. Преобразование абсолютной величины и направления ско-
скорости частицы 95
§ 3.7. Метод ^-коэффициента (радиолокационный метод) 98

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 4. Четырехмерное пространство -аремя 111
§4.1. Трехмерное и четырехмерное евклидовы пространства . . . ill
{) 4.2. 4-лространство-время — четырехмерное псевдоевклидово
пространство 112
§ 4.3. 4-векторы и 4-тензоры 114
§ 4.4. Псевдоевклидова плоскость . . . .' 117
Глава 5. Релятивистская механика частицы 127
§ 5.1. 4-скорость и 4-устеоренио 128
§ 5.2. 4-сила и четырехмерное уравнение движения 134
§ 5.3. Трехмерное релятивистское уравнении движения частицы
(второй закон Ньютона в релятивистской форие) 139
§ 5.4. Релятивистское выражение для энергии частицы 142
§ 5.5. 4-вектор энергии-импульса 146
§ 5.6. Масса покоя системы. Энергия связи 150
§ 5.7. Некоторые задачи релятивистской механики тастгщы . . . 154
§ 5.8. Законы сохранения релятивистской механики 168
Глава 6. Теория Максвелла в релятивистской форме 172
§ 8.1. Трехмерная систодо уравнений Максвелла. 4-потенцнал и
4-ток 173
§ 6.2. Преобразование 4-потепциала и 4-тока 176
5 6.3. Тензор электромагнитного поля 180
§ 6.4. Преобразование компонент электрического и магнитного
нолей 184
§ 6.5. Инварианты электромагнитного поля 189
| 6.6. Сила Лоренца 190
| 6.7. Ковариантность системы уравнений Максвелла 196
§ 6.8. Уравнения Минковского для движущихся сред (преобразо-
(преобразование материальных уравнений) 199
§ 6.9. Преобразование электрического и магнитного моментов . . 205
§ 6.10. Некоторые задачи, связанные с преобразованием электро-
электромагнитного ноля 207
§ 6.11. Тензор энергии-имнульса-натяжений электромагнитного
поля в вакууме 212
§ 6.12. Тензор энергии-импульса-натяжеппй электромагнитного
поля а среде. Тензор Минковского и тензор Абрагама . . . 222
§ 6.13. Тензор энергил-югаульса-натяжепий сферически симмет-
симметричного заряда 228
§ 6.14. Потенциалы поля в движущейся непроводящей среде . . . 229
§ 6.15. Потенциалы поля в движущейся проводящей среде .... 236
Глава 7. Оптические явления и специальная теория относительности 245
§ 7.1. Свойства плоских световых воли 245
§ 7.2. 4-волновой вектор. Эффект Доплера. Аберрация света . . . 248
§ 7.3. Ограниченная в пространство плоская волпа. Преобразова-
Преобразование энергии и амплитуды плоской волны 252
§ 7.4. Давление электромагнитной волны (света) на поверхность 257
§ 7.5. Изменение частоты света при отражении от движущейся по-
поверхности (зеркала) 259
§ 7.6. Световые кванты (фотоны) как релятивистские частицы . . . 262
§ 7.7. Кванты света в среде. Эффект Вавилова — Черепкова. Ано-
Аномальный эффект Доплера 267
Глава 8. О некоторых «парадоксах» специальной теории относи-
относительности 273
§ 8.1. Сверхсветовые скорости 274
§ 8.2. Парадокс пити и рычага 279

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 8.3. Тахионы 283
§ 8.4. Парадокс часов 290
§ 8.5. «Эквивалентность» массы и энергии. Нулевая масса покоя 296
Дополнения
I. В. Л. Гинзбург. Как и кто создал специальную теорию
относительности? 303
П. Безуспешные поиски среды, в которой распространяется свет 315
III. Был лп опыт Майкельсона «решающим» для построения СТО? 332
IV. Почелгу не следует вводить зависимость массы от скорости или
же релятивистскую массу? 338
V. Неинерцналъпые системы отсчета. СТО и переход к теории тя-
тяготения (ОТО) 342
Хронология событий, связанных с историей СТО 349
Приложение I 350
§ 1. Симметричные обозначения, правила суммирования .... 350
§ 2. Преобразование координат при повороте декартовой системы 351
§ 3. Тензоры 354
§ 4. Инвариантность 4-дивергенции и оператора Д'Аламбера . . . 358
§ 5. Свертывание («омоложение») индексов тензора 359
§ 6. Некоторые сведения об определителях (детерминантах). Дуаль-
Дуальные тензоры 361
§ 7. Тензор напряжений 366
{) 8. Прямолинейные косоугольные системы координат 368
§ 9. Определение гиперболических функций и некоторые соотноше-
соотношения между ними 372
Приложение II. Основные формулы электродинамики в гауссо-
гауссовой системе 374
Литература 378
Предметный указатель 382

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга— переработанное и дополнен-
дополненное издание книги, вышедшей в 1969 г. под тем же названием.
Книга паписана как учебник и рассчитана на студентов и пре-
нодаиателей, в том числе и учителей физики средней школы. Об-
Общий план книги не изменился, по в :>том издании подробнее изло-
изложены основы теории, большее внимапие уделено четырехмерной
трактовке, приведены разные способы изложения СТО; введены
параграфы, посвященные методическим вопросам и вопросам ис-
истории СТО; расширена глава, посвященная электродинамике.
При подготовке этого издания были учтены многочисленные
замечания читателей, которым автор выражает искреннюю благо-
благодарность. Мне приятно поблагодарить Г>. \Т. Болотовского
и С. ТТ. Столярова, нанисавших для этой книги §§ 6.14, 6.15. Осо-
Особую признательность мне хотелось бы выразить В. Л. Гинзбургу.
Б книгу вошло многое из того, что я узнал на руководимом им
семинаре. Ряд вопросов обсуждался с ним непосредственно; отмечу
особенно вопрос о тензоре энергии-импульса-натяжений в среде.
Наконец, для птой книги В. Л. Гинзбург написал статью «Как и
кто создал СТО?», публикуемую в виде Дополнения I. На мой
взгляд, эта статья очепь точно отвечает па вопросы, возникающие
у каждого, кто заинтересуется историей возникновения СТО,
и возможность включить эту статью в книгу я считаю за честь
для себя.

Глава 1
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
И ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1.1. Система координат и система отсчета в клас-
классической механике. Все явления природы происходят в простран-
пространстве и времени, а алемепт любого явления — это то, что происходит
в данный момент времени в данной точке пространства. То, что
происходит в данной точке и в данный момент времени (фактически
то, что сосредоточено в достаточно малой области пространства
и ограничено достаточно малым промежутком времени) в специ-
специальной теории относительности *) принято называть событием.
Как видно из этого определения, конкретное содержание события
может быть весьма различным. Поэтому принято всегда указы-
указывать, что «событие состоит в том. что...». Примерами событий могут
служить посылка светового сигнала из некоторой точки простран-
пространства в некоторый момент времени или лее пребывание движущейся
частицы (материальной точки) в данной точке пространства в дан-
данный момент времени.
Когда реализуется некоторое событие, то говорят, что оно
«наступило» (или наступает, или наступит). Любое физическое яв-
явление представляет собой последовательность событий. Таким обра-
образом, описание отдельного события служит основой для описания лю-
любого я мления. Поэтому с описания отдельного события мы и начнем.
Чтобы охарактеризовать точку пространства, где наступило
событие, нужно придать каждой точке пространства свою отметку
до того, как мы начнем рассматривать конкретпые физические
явления. Но пространство однородно и изотропно. Это значит, что
все точки пространства и все направления в пем равноправны.
Здесь следует подчеркнуть сразу, что речь идет о свободном про-
пространстве, или вакууме. Для специальной теории относительности
рассмотрение физических явлений в вакууме принципиально важ-
важно. Хотя вакуум представляет собой сложную физическую систе-
систему, для паших целей достаточно считать, что в той области про-
пространства, которую мы припимаем за вакуум, практически отсут-
отсутствует вещество, обладающее массой покоя, а гравитационное
и электрическое поля не слитком сильны.
Но если все точки пространства одинаковы, то для того, чтобы
выделить какую-то точку, нужно поместить в нее материальное
*) Далее вместо полного названия «специальная теория относительности»
зачастую используются три начальные буквы; СТО.

8 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
тело (тело, обладающее массой покоя). Разметка точек простран-
пространства обычно осуществляется введением координатной системы.
С помощью материального тела мы выделяем точку пространст-
пространства — начало координатной оистемы. Самой простои координат-
координатной системой является декартова система координат. Ее построение
начинается с того, что проводятся три взаимно перпендикулярные
прямые — оси координат X, Y, Z. Вместе с тем в физике это —
по абстрактные прямые линии. Оси координат — это, в принципе,
жесткие, твердые (недеформируемые) тела *). С ними, кстати, всег-
всегда будут связываться приборы, эталоны и другие предметы данной
системы отсчета. Поэтому важно не забывать, что физическая
координатная система — это всегда материальное тело.
Разметка точек в декартовой системе координат осуществляется
совсем просто. Из любой точки пространства М можно опустить
перпендикуляры на оси X, Y, Z (или, как еще говорят, можно
спроектировать эту точку на оси координат). Измеряя расстоя-
расстояние проекции точки по осям X, У, Z от начала отсчета с помощью
выбранных масштабов, мы получим числа х, у, z, которые назы-
называются декартовыми координатами точки. Измерение расстояния
может осуществляться последовательным перекладыванием еди-
единичного масштаба вдоль оси от начала отсчета до проекции точки
на ось. Такая процедура, фактически осуществляемая при измере-
измерении длины в повседневной жизни, является возможным опреде-
лепием длины отрезка или тела в том случае, если тело покоится
в данпой системе координат. Как мы увидим далее, специальная
теория относительности предоставляет нам весьма удобный спо-
способ измерения расстояний, не прибегая к твердым масштабам и их
последовательному перекладывапшо (см. гл. 2). Оба способа,
конечно, эквивалентны.
Итак, введением декартовой системы координат мы отнесли
каждой точке пространства три числа — три декартовых коорди-
координаты х, г/, z. Но основная задача физики — это изучение движе-
движения. Самым простым видом движения является механическое дви-
движение, и уже его описание требует отсчета времени. Таким обра-
образом, система координат неизбежно должна быть дополнена часами.
По этим часам нужно отмечать время наступления событий в раз-
разных точках пространства. Сколько часов потребуется для этого?
В классической механике па этом вопросе обычно не задержи-
задерживаются и молчаливо предполагают, что достаточно одних часов,
покоящихся в данной координатпой системе. Полезно выяснить,
что кроется за этим предположением. Допустим, что часы распо-
расположены в начале координатной системы. События могут наступать
в любых точках пространства, в том числе и достаточно удален-
*) СТО отрицает существование абсолютно твердых тел (см. гл. 8), по для
осей координатной системы достаточно быть просто не слишком упругими.

§ 1.1] СИСТЕМА КООРДИНАТ И СИСТЕМА ОТСЧЕТА 9
ных от начала. Как по часам, удаленным от места наступления
событий, отмечать время наступления этих событий? Очевидно,
к часам, расположенным в начале координат, необходимо послать
какой-то сигнал от места наступления событий как раз в тот мо-
момент, когда событие наступило. Если скорость сигнала конечна,
он придет к часам нозжо, чем наступило событие, причем время
запаздывания сигнала зависит от расстояния между точкой, тцо
наступило событие, и часами. Однако в классической механике
допускается, что в принципе существуют сигналы, идущие беско-
бесконечно быстро. Тогда, разумеется, достаточно одних часов, жестко
связанных с любой точкой коордипатной системы.
Подразумевается, что время наступления событий отмечается
так: в момент наступления события в любой точке пространства
из этой точки к часам посылается сигнал, время прихода которого
к часам и есть время наступления события (скорость сигпала бес-
бесконечна!). Предположение о бесконечно быстрых сигпалах отно-
относится, конечпо, не только к регистрации событий; в ньютоновской
механике оно заложено памного глубже: в механике Ньютона
бесконечно быстро передаются взаимодействия между телами
(см. § 1.4).
Современная физика утверждает, однако, что все сигналы
(взаимодействия) передаются с конечной скоростью; другими сло-
словами, существует предельная скорость передачи взаимодействий.
Как это можно увязать с тем, что ньютоновская механика, в осно-
основе которой лежит предположение о бесконечно быстрых сигналах,
превосходно справляется с решением многих задач (например,
великолепно рассчитывает движение тел в Солнечной системе)?
Ответ па этот вопрос весьма прост. Предельная скорость передачи
сигнала (или взаимодействия) очень велика. По современным
представлениям, это скорость электромагнитных воли (света)
в вакууме, ее значение составляет примерно 3-Ю10 см/сек. Поэтому
можно рассчитывать на то, что до тех пор, пока скорости рассмат-
рассматриваемых тел существенно меньше скорости света в вакууме,
а характерные расстояния таковы, что время распространения
света вдоль пих пренебрежимо мало,— ньютоновская механика
будет справедливой, а для отсчета времени событий будет доста-
достаточно одних часов. Вместе с тем сразу же ясно, что для быстрых
Движений {v ~ с) и протяженных систем придется иным способом
определять время наступлепия событий и по-иному строить меха-
механику. Так на самом деле и поступает специальная теория относи-
относительности, которая явно учитывает конечную скорость передачи
взаимодействий.
Вернемся к классической схеме. Системой отсчета в классиче-
классической механике называют тело отсчета с координатной системой,
набор эталонов длины и одни часы, жестко скрепленные с телом
отсчета. Система отсчета подразумевается в физике всегда, посколь-

К) КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
ку любое измерение, производимое прибором, дает результат,
относящийся к той системе отсчета, где этот прибор покоится.
§ 1.2. Выбор системы отсчета. При решении конкретных задач
мы выбираем удобную систему отсчета и удобную систему коорди-
координат. Откуда берется такая возможность выбора? Что касается ча-
часов, в классической механике нужны в каждой системе отсчета
лишь одни идеальные часы. Однако тело отсчета, начало отсчета
и направления координатных осей можно выбрать произвольно.
Хорошо известно, как пользуются этим обстоятельством в гео-
Х2
метрии. Например, уравнение эллинса имеет простой вид -j -j-
-* -гт> = 1 лишь в том случае, если начало координат поместить
в центр эллинса, а координатные оси направить по его главным
осям. Конечно, все характерные особенности эллипса сохранятся
и ирп любом другом выборе координатной системы, но все формулы
окажутся неизмеримо сложнее. Здесь важно подчеркнуть, что
переход от одной координатной системы к другой в аналитической
геометрии меняет алгебраическую форму уравнений геометриче-
геометрических объектов; сами объекты, конечно, остаются неизменными.
Рассматривая физические явления, можно также строить коор-
координатную систему достаточно произвольно. Однако при этом неяв-
неявно подразумеваются два важных свойства пространства в вакууме:
однородность и изотропность. Однородность — это тождоствен-
ность всех точек пространства. Свойство это очень существенно.
В сущности, оно позволяет лам пользоваться физикой. Законы
физики оказываются одинаковыми в разных точках Земли, да
и в пределах Солнечной системы. Но именно это и позволяет поме-
помещать начало отсчета в любую удобную точку. Когда мы повора-
поворачиваем координатную систему вокруг начала, подразумевается,
что от этого ничего измениться не может. Но это означает, что всо
направления, идущие от данной точки, тождественны по своим
свойствам. Это и есть изотропность пространства. В классической
механике (точнее, в системах отсчета, где справедливы законы
Ньютона, см. § 15) предполагается однородность и изотропность
свободного пространства.
В отличие от геометрии, в физике есть еще одна возможность
в выборе систем отсчета: можно рассматривать системы отсчета,
находящиеся в относительном движении. Для геометрии это просто
излишне. Но в физике неизбежно возникают системы отсчета, нахо-
находящиеся п относительном движении. Можно, например, ставить
физические опыты на космическом корабле и па Земле. Это и есть
две системы отсчета, в каждой из которых могут находиться непод-
неподвижные относительно нее приборы. Как только мы допустили
системы отсчета, движущиеся относительно друг друга, сразу
возникают два существенно разных, но фундаментальных вопроса.

5 1.Я] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛКЯ И
1. Как влияет движение системы отсчета па физические явле-
явления, наблюдаемые в этих системах, т. е. меняются ли физические
законы при переходе от одной такой системы к другой?
2. Допустим, что мы наблюдя ом конкретное физическое явле-
вие с помощью приборов, покоящихся н некоторой системе отсчета,
и в результате измерений получаем для физических величин,
характеризующих это явление, некоторые числа. То же самое
явление можно наблюдать и в другой системе отсчета, движущей-
движущейся относительно перпой. Измерения, выполненные во второй си-
системе координат, также дадут нам некоторые числа, определяющие
те же самые физические величины. Как сопоставить эти
числа?
Здесь важно, что наблюдается одно и то же явление. И мы
должны уметь сопоставлять эти числа. В конце концов, система
отсчета — это искусственное построение, созданное для выполне-
выполнения измерений. Само явление, как п законы природы, не может
зависеть от выбора системы отсчета. Явления природы — это
об7»ективно существующая вне нашего сознания и вне наших изме-
измерений реальность.
Конечно, результаты измерений могут оказаться в разных
системах отсчета разными, но мы во всяком случае должны уметь
пересчитывать результаты наблюдений, полученные в одной систе-
системе отсчета, к результатам, которые получены или могут быть
получены в другой. Короче говоря, нам нужен способ пересчета
результатов измерений. Как найти такой способ?
Ответ па первый вопрос ведет нас к принципу относительности
и через законы Ньютона выделяет особый класс систем отсчета —
инерциальные системы (§ 1.5). Отпет па второй вопрос дают
правила преобразования координат события, т. е. преобра-
преобразования Галилея в классической механике (§ 1.3) или преобразо-
преобразования Лоренца в релятивистской механике (§§ 2.4, 2.5, 2.7).
§ 1.3. Преобразования Галилея. Переход от одной системы
отсчета к другой, движущейся относительно первой, делали задол-
задолго до появления теории относительности. Первым, кто пользовался
таким приемом, был, по-видимому, Гюйгенс, рассматривавший
таким образом задачу о соударении шаров. Будем для краткости
обозначать систему отсчета буквой К, а если систем несколько, то
введем индексы кверху (Kti, К', К", . . .). Мы уже говорили о том,
что «элементом» любого физического явления можно считать собы-
событие. Естественно начать с пересчета величин, характеризующих
событие, при переходе от одной системы отсчета к другой. Всюду
впредь под «переходом от одной системы отсчета к другой» подразу-
подразумевается рассмотрение систем отсчета, находящихся в относитель-
относительном движении. Изменение начала отсчета и поворот координатных
осей за «переход» мы считать пе будем.

12
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
В произвольной системе отсчета К событие характеризуется
четырьмя числами: х, у, z, t — тремя координатами точки, где
событие наступило, и моментом времени, когда оно наступило.
Нам нужно зпать, как выглядит та же самая четверка чисел х',
у', z', t' в любой другой системе отсчета К', которая движете»
относительно системы К.
Уже с самого начала мы вынуждены ограничить свою задачу
и рассматривать только такие системы отсчета, которые движутся
относительно друг друга пря-
прямолинейно и равномерно, бе»
вращения вокруг начала.
Другими словами, ни одна
из рассматриваемых систем
отсчета не испытывает уско-
ускорения относительно другой.
Несколько позже выяснится,
что речь идет о совокупности
так называемых пнерциаль-
иых систем отсчета, по выде-
выделение таких систем отсчета
можно будет произвести лншь
на основании законов Нью-
Ньютона; поэтому мы отложим во-
вопрос о том, как определяются
и находятся такие системы,
до § 1.5. А пока мы просто
геометрически рассмотрим
две системы К п К', движу-
движущиеся относительно друг дру-
друга равномерно и прямоли-
прямолинейно (поступательпо). Допу-
Допустим, что система отсчета К' движется относительно К со скоро-
скоростью V. Пусть в данный момент времени t радиус-вектор точкп М
в системе К' равен г'. Тогда из рис. 1.1 видно, что г' = г — R,
где г — радпус-вектор той же точки в системе К, и В. — радиус-
вектор начала системы координат К', отсчитанный от начала К.
Это соотношение справедливо для любого момента времени, но К
меняется по известному закону Я — VI + Во, где Во — радиус-
вектор, определяющий положение начала О' в момент времени
t = 0. Если принять, что в момент t = 0 оба начала совпадают, то
Е= vt и мы получаем закон преобразования координат в вектор-
векторной форме:
г' = г - Vt, A.1)
где компоненты вектора V заданы в системе К. Однако мы можем
воспользоваться изотропностью пространства и повернуть каждую
Рис. 1.1. Две координатные системы К и К'
с произвольно направленными осями х, у, z
и х', у, г'. Система К' движется относительно
К со скоростью V. ^адиус-вектор точки М,
равный в системе К вектору г, в системе К'
равен г'. По правилу сложении векторов г =
= г' 4- *. где И — радиус-вектор начала от-
отсчета О'.

1.3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ
13
яз систем К vs. К' вокруг своего начала любым способом. Удобно
поступить так. Вращением систем отсчета направим оси х и х'
по направлению относительной скорости систем К и К'. Затем
вращением вокруг общей оси х, х' направим оси у, у' и z, z' парал-
параллельно друг другу. Таким образом, ничего не потеряв в физиче-
физической общности, мы приходим к взаимному расположению коорди-
координатных систем, изобра-
К'
•м
/ х,х'
жеппому на рис. 1.2.
Теперь уже компоненты
скорости V — (V, 0, 0).
Начало системы К'
скользит по общей оси
х, х со скоростью У, а
в начальный момент вре-
времени оба начала совпа-
совпадали. Из векторпой фор-
формулы A.1) или непо-
непосредственно из рис. 1.2
видно, что связь между
координатами точки М
{где, как мы считаем,
наступило событие) в си-
системах К и К' определя-
определяется формулами
х' = х — Vt, у' = у,
z' =z.
Теперь, чтобы полио-
полиостью определить, как вы-
выглядят координаты со-
события в системе К', нужно знать, какое время наступления
этого события будет отсчитано по часам системы К' (теперь уже
у нас двое часов — одни в системе К, другие в системе К'). Но ведь
мы пользуемся в обеих системах бесконечно быстрыми сигналами,
а для таких сигналов конечная относительная скорость систем
несущественна: бесконечная скорость в обеих системах бесконеч-
иа. Следовательно, по часам обеих систем время наступления
события будет одно и то же, т. е. t = t'. К такому же выводу тол-
толкает нас и «здравый смысл», потому что в повседпевпой жизни мы
не обнаруживаем влияния движения на ход времени. Не забудем,
однако, что бесконечно быстрые сигналы — это всего лить услов-
условность и что, хотя здравый смысл не обманывает нас в повседневной
жизни, мы должны быть готовы к тому, что там, где скажется
конечная скорость сигналов, может оказаться, что t Ф f.
Но в рамках классической механики, как мы теперь установи-
установили, формулы преобразования от «координат» события, определен-
Рис. 1.2. Две системы отсчета К и К' с параллельны-
параллельными осями, движущиеся относительно друг друга со
скоростью V (V — скорость движения К' относитель-
относительно К). В классической физике координаты «события»
иереечитываются от системы к к системе отсчета К'
по формулам «преобразований Галилея»: х'=х—Vt,
у' — у, г' = z, f = [.

14 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
ных в системе К (х, у, z, t), к координатам события в системе К'
(х1, у', z', l') выглядят так:
х' = х — Vt,
"'. = '• <!.*>
Z = Z,
f = U
Эти формулы годятся, естественно, только для взаимного располо-
расположения систем отсчета, изображенного иа рис. \.2. Преобразования
«координат» события системы К в систему К' A.2) называются
преобразованиями Галилея. Мы хотели бы сразу обратить внима-
внимание читателей на то, что время оказалось четвертой координатой
события и, говоря о координатах события, мы подразумеваем
четверку чисел (х, у, z, l). Это делается не только для краткости
речи. В специальной теории относительности открываются глубо-
глубокие основания для такой терминологии (см. гл. 4).
Мы уже подчеркивали равноправие систем, движущихся отно-
относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Системы К и К'т
которыми мы будем впредь пользоваться, отличаются лишь тем,
что относительная скорость К' относительно К равна V, а систе-
системы К относительно К' равна — V. Следовательно, чтобы полу-
получить формулы обратного перехода, достаточно поменять местами
штрихованные и нештрихованные величины, изменив при этом
знак у V. Имеем
х =, х' + vt',
У = У ' A.3)
z — г ,
/ = *'.
Конечно, эти же самые формулы получатся и прямым алгебраиче-
алгебраическим путем.
Отметим одно из следствий преобразований Галилея. Допустим,
что в системе К наступили два события на оси х — одно п точке хх
в момент времени tlt другое в точке хг в момегтт U (t1^t.z). Можно
ли подобрать систему К, в которой оба события наступили бы
в одной и той же точке иространства? Найдем ^-координаты этих
событий в системе К': х\ — хх — 1'/х, х'., = х2 — Vt2; составим
разность х'2 — х\ — х2 — хх — V (tz — tj. Если потребовать
х2 — х\ = 0, мы получим уравнение для определения скорости
системы К' относительно К: V — (х2 — x^)l{t« — ^). Смысл резуль-
результата очень прост: система К' за время t.2 — fx перенесет точку х\
в то место, где наступило второе событие, к нужному моменту
времени. Мы видим, что всегда можно подобрать систему К',
удовлетворяющую поставленному условию. Но это возможно

§ 1.4] ПТИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 15
только потому, что в классической механике допустимы любые
значения У. В теории относительности, где скорость движения
системы отсчета, как и любого материального тела, ограничена,
найти нужную систему можно отнюдь не всегда.
Прежде чем переходить к принципу относительности Галилея,
условимся об одном термине. Для удобства речи часто говорят
о различных «наблюдателях» или «наблюдателях в разных систе-
системах отсчета». Эта терминология вызвала в свое время ожесточен-
ожесточенные споры, потому что многим казалось, что она подразумевала
субъективный подход к физическим измерениям. Но присутствие
«наблюдателя» при выполнении измерений вовсе не обязательно:
их можно производить приборами и без участия человека. Факти-
Фактически так и происходит, например, на космических кораблях,
даже тогда, когда на их борту есть люди. Под «наблюдателем
из системы Ку> фактически всегда подразумевается совокупность
приборов, покоящихся в этой системе. То, что приборы, установ-
установленные в разных системах отсчета, дадут различные результаты
при измерепии величин, относящихся к одному и тому же явле-
явлению, удивления вызвать не может, поскольку относительное дви-
движение — фундаментальный физический факт. Объективность зако-
законов природы находит свое отражение в том, что, зная результаты
наблюдения какого-то явления в одной системе отсчета, можно
пайти результаты наблюдения этого явления в любой другой
системе отсчета. Можно надеяться, что после этих замечаний
появление наблюдателя на страницах этой книги не вызовет
возражений.
§ \Л. Принцип относительности Галилея. Второй закон
Ньютона. Принцип относительности Галилея относится исключи-
исключительно к механическим явлениям; он был первым шагом к уста-
установлению принципа относительности, распространяющегося на всю
физику. Галилей заметил, что состояние равномерного прямоли-
прямолинейного движения не оказывает шшяния на механические явле-
явления. Нужно четко сформулировать, что это значит. Как мы уже
знаем, для описания любых физических явлений, в том число
и явлений механики, необходима система отсчета. Рассмотрим две
системы отсчета, движущиеся относительно друг друга равномерно
и прямолинейно. Поставим в одной из них любой «механический»
опыт: будем, например, рассматривать движение математического
маятника или изучать свободное падение тел. Принцип относи-
относительности утверждает, что тождественные опыты, поставленные
в двух системах, о которых мы говорили, дадут тождественные ре-
результаты. Это значит, что с помощью таких опытов обнаружить
относительное движение систем невозможно. Конечно, при другой
постановке опытов относительное движение обнаруживается Сез
труда многими способами.

46 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. \
Первая из известных формулировок принципа относительности,
которую можно найти в книге Галилея «Диалоги о двух главней-
главнейших системах мира — птолемеевой и коперниканской» A632 г.),
носит чисто качественный характер. Мы сделаем небольшую выпи-
выписку из этой книги, отражающую суть дела:
«Запритесь с кем-нибудь из друзей в кают-компании под палу-
палубой большого корабля, взяв с собой мух, бабочек и других неболь-
небольших летающих животных. Возьмите и большой сосуд с водой,
в котором плавают рыбы. Подвесьте бутыль, из которой капля
за каплей вытекает вода в широкий сосуд внизу. Пока ваше судно
стоит на месте, внимательно наблюдайте, как насекомые летают
по помещению с одинаковыми скоростями во все стороны. Рыбы
плавают как угодпо, не предпочитая какого-либо особого направ-
направления. Капли падают в сосуд под бутылью. Если же вы бросите
что-нибудь вашему другу, то вы приложите одинаковое усилие,
в каком бы направлении ни бросали, если расстояния одинаковы.
Прыгая обеими ногами сразу, вы будете пролетать одинаковые
расстояния в любом направлении. Тщательно пронаблюдав все это
(хотя вы и не сомневались, что все будет происходить именно так,
пока корабль стоит на месте), отдайте команду, чтобы корабль
начал двигаться с любой скоростью, лишь бы его движение было
равномерным и не подвергалось каким бы то ни было возмущени-
возмущениям. Пи в одном из указанных процессов вы не обнаружите ни ма-
малейших изменений и не сможете ни по одному из них узнать,
движется ли ваш корабль или стоит на месте».
Из качественной формулировки принципа относительности
Галилея — тождественность результатов тождественных механи-
механических опытов, поставленных двумя наблюдателями, движущими-
движущимися равномерно и прямолинейно относительно друг друга,— выте-
вытекают существенные следствия. Действительно, если известны зако-
законы, управляющие механическими явлениями, а все тождественные
механические опыты дают один и тот же результат в разных систе-
системах отсчета, то и законы механики должны быть одинаковыми
в этих системах отсчета. Другими словами, уравнения механики
должны быть одинаковыми во всех системах отсчета, движущихся
относительно друг друга равномерно и прямолинейно.
Итак, основные уравнения механики, записанные в координа-
координатах и через показания часов своей системы отсчета, должны иметь
одинаковый вид. Вместе с тем ясно, что многие величины меняются
при переходе от одной системы отсчета к другой. Действительно,
рассмотрим движение частицы *) в системе К; оно обычно задается
как зависимость радиус-вектора от времени, г = г (t). Согласно
*) Имеется в виду небольшое тело (обладающее массой), столь малое,
что его вращение учитывать не нужно. В механике в этом случав часто гово-
говорят о материальной точке, но нам слишком много придется говорить о точках
пространства, поэтому термин «частица» предпочтительнее.

§ 1.41 ПРИНЦИП ОТПОСИТКЛЬНОСТИ ГАЛИЛКЯ 17
(U) движение той же частицы в К' задается переменным радиус-
вектором г' (t) — г (l) — Vt. Дифференцируя обе части послед-
последнего равенства но t и имея в виду что dr Idt — ?/, a drldt — v,
получим
v'=--v — V. A.4)
Таким образом, скорость частицы в системах К и К' различна.
Величины, изменяющиеся при переходе от одной системы коорди-
координат к другой, называются относительными. Таким образом, х-ко-
ординаты и скорость частицы являются относительными величи-
величинами. Однако ее ускорение в системах К и К' одинаково, как это
сразу становится очевидным иосле дифференцирования равен-
равенства A.4):
dv' dv /Tr ..
^Г = — (F-const).
То, что ускорение тел одинаково для всех наблюдателей из систем
отсчета, движущихся относительно друг друга равпомерно и пря-
прямолинейно, просто очевидно. Но этот результат позволяет нам
бопять, что зпачит «уравнения имеют одинаковый вид во всех
системах отсчета». Основным уравнением классической механики
является уравнение, выражающее второй закон Ньютона. Это
уравнение связывает между собой силу, действующую на тело,
и ускорение, приобретаемое телом под действием этой силы:
константа т называется массой тела.
Если законы механики во всех системах отсчета, движущихся
относительно друг друга равномерно и прямолинейно, действитель-
действительно одинаковы, то уравнение A.5) должно сохранять свой вид во
во всех таких системах отсчета. Нетрудно убедиться, что это так
и есть. Мы уже доказали, что во всех рассматриваемых системах
отсчета ускорепия одинаковы. Но что происходит с силами при
переходе от одной системы отсчета к другой? Допустим, что пас
интересуют два тела I и II; пусть сила их взаимодействия зави-
зависит от расстояния между ними, их относительной скорости и вре-
времени. Но преобразования Галилея вообще не меняют ни одну из
этих величип. Действительно, выпишем координаты и скорости тел
I и II в системах отсчета К и К', пользуясь преобразованиями
Галилея:
I
II
Координаты
и скорости тел
I И II D К
*1, У{> гЬ vl
Хг, У2, Z2\ «'2
Координаты в К'
x[ = xi — Vt, у\ = Уи z'^Zi
x'2-x2-Vt, y'2--=^ti *\ = Ч
Преобразова-
Преобразование скорости
ю| = »1 — V
2 В. А. Угаров

18 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. t
Сразу видно, что х2 — жх — х'2 — х[, у2 — у1 = у'2 — у\,
го —zx — z'2 —z\. А поскольку расстояние между телами равно
У(хг — хг)г + (г/г ~ Uif + (Ч — 2iJ в системе Я,
У (х'2 — х\) +\У2—Уо -\- (Z2 — zi) в системе К ,
то ясно, что оно не меняется при переходе от К к К'. Что касается
относительной скорости, то
т. е. она остается неизменной; в силу преобразований Галилея
время неизменно: t — t'. Поэтому силы, зависящие от перечислен-
перечисленных переменных, вообще не меняют своего вида при переходе от К
к К'. По силы, рассматриваемые в механике, зависят либо от рас-
расстояния (силы тяготения, силы электрического взаимодействия,
упругие силы), либо от относительной скорости (силы трения).
Следовательно, силы, встречающиеся в механике, остаются неиз-
неизменными при преобразованиях Галилея. Поскольку все величины,
входящие в A.5) —ускорения и силы,— не меняются при преоб-
преобразованиях Галилея, основное уравпение классической механики
(второй закон Ньютона), связывающее силы и ускорения, имеет
одинаковый вид в системах К и К' и отличается только обозначе-
обозначениями переменных. (Предполагается, конечно, что масса — вели-
величина постоянная; инвариантность массы — один из основных
постулатов классической механики *).) В системе К уравнение,
описывающее второй закон Ньютона, если сила зависит от рас-
расстояния и времени, имеет вид
m^ = F(r12, t),
а в системе К'
Уравнение, которое не меняется при преобразовании входя-
входящих в него переменных (другими слонами, члены которого оказы-
оказываются инвариантными), называется инвариантным по отношению
к данному преобразованию. Таким образом, мы показали, что
уравнепис, выражающее второй закон Ньютона, инвариантно
по отношению к преобразованиям Галилея.
Теперь уже можно точнее сформулировать, при каком условии
«тождественные опыты ведут к тождественным результатам». Урав-
*) Залетим, что в механике Ш.ютона рассматривается движение тел
с переменной массой (реактивное движение, движение капли с конденсацией),
но во всех этих случаях тело отдает вещество окружающей среде или полу-
получает от псе. Когда говорят о перомеппостп массы н СТО (ср. Дополнение IV),
речь идет о том, что в системе покой тела его масса остается неизменной,
т. с. никакого обмена массой между телом и средой ие происходит.

§ 1.41 ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 19
нение Ньютона A.5) — обыкновенное дифференциальное уравпе-
ние второго порядка. Движение системы описывается его реше-
решениями. Для того чтобы решеиия уравнения A.5) в системах К и К''
совпадали (это и обеспечивает «тождественность» движения), не-
необходимо, чтобы совпадали и начальные условия в этих системах.
Инвариантность осповного уравнения механики обеспечивает
условие того, что все механические явления протекают одинаково
во всех системах отсчета, равномерно движущихся относительно
друг друга, только в том случае, если начальные условия в этих
системах совпадают.
Если начальные условия для одного и того же явления в раз-
разных системах отсчета различны, то и само явление будет выгля-
выглядеть по-разному. К примеру, если капля дождя падает но верти-
вертикали для наблюдателя, стоящего на платформе, то для наблюда-
наблюдателя, едущего в поезде, эта же капля будет двигаться по параболе
(мы считаем, что капля падает ускоренно). Однако и начальные
данные в этих системах были разные; с точки зрения наблюдателя
в поезде, у капли в начальпый момент была горизонтальная ком-
компонента скорости; наблюдатель, стоящий на платформе, должен
считать, что никакой горизонтальной составляющей скорости
у капли в начальный момент не было.
Мы уже упоминали выше, что в механике Ньютона предпола-
предполагается бесконечно быстрая передача взаимодействия межд^тела-
межд^телами. Теперь уже можпо пояснить это подробнее. «Взаимодействие»
тел определяется силами. В классической механике считают, что
силы зависят от расстояния между телами, причемГэто Считается
верным и для тел, находящихся в относительном движении. Но
расстояние между двумя движущимися телами должпо записы-
записываться и пиде
г.- К [«г (*)-*i (*)]*+№* @-ft @14 Ы0-М*Iг-
Если принять, что взаимодействие (сила) передается с конеч-
конечной скоростью, то считать при этом, что в выражение для силы
входит г12, нельзя. Если пас интересует сила, действующая со сто-
стороны тела II на тело I, то положение тела II нужно взять не в мо-
момент ?, а раньше на тот промежуток времени, который необходим,
чтобы взаимодействие «передалось» от тела II к телу I. Если прене-
пренебрегать этим временем запаздывания, то это означает фактически,
что мы считаем скорость распространения взаимодействий беско-
бесконечно большой. Именно так и считают в механике Ньютона.
То же самое видно, если вводить потеициальпуго эпергию. Запи-
Записав, как обычно, центральную силу для взаимодействия диух
частиц в виде
F=
мы явно прелебрегаем запаздыванием в передаче взаимодействия.
2*

20 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ 1.
Мгновенная передача взаимодействия (это называли в свое
время дальнодействием) для нас представляется удивительной и
непонятной. Передача всякого сигнала (т. е. энергии и импульса,
способных совершать некоторое действие, например включить
какое-либо устройство) требует времени. Передать сигнал «отсюда»
в другое место («туда»), как пас учит опыт, мгновенно нельзя.
По во времена Ньютона иного представления, как дальнодействие,
для передачи взаимодействия возникнуть не могло. Конечная
скорость передачи взаимодействий появилась вместе с представле-
представлением о поле, которое было введено в теорию электромагнетизма
Максвеллом. В теории Максвелла взаимодействие зарядов или токов
осуществляется посредством поля, которому приписывается само-
стоятельпое существование. Но из пее следует, что поле распро-
распространяется с конечпой скоростью, а это и означает, что взаимодей-
взаимодействие распространяется со скоростью распространения поля. Ско-
Скорость распространения электромагнитного поля в пустоте играет
фундаментальную роль для теории относительности. Ее обозна-
обозначают латинской буквой с. Численно с равно примерно 3 '1010 см/сек.
Так как измепение поля передается от точки к точке, нолевые тео-
теории называют теориями близкодействия. Как мы увидим, теория
относительности в принципе отвергает дальнодействие.
§ 1.5. Законы Ньютона и инерциальные системы отсчета.
Основные законы механики — законы Ньютона позволяют выде-
выделить среди всех мыслимых систем отсчета особый класс систем,
в которых не только законы механики, но и все остальные физиче-
физические законы выглядят особенно просто. Это — так называемые
инерциальные системы отсчета. Инерциалъноп системой отсчета
мы будем называть такую систему отсчета (точнее, такие системы
отсчета, поскольку окажется, что таких систем бесчисленное мно-
зкество), в которой справедливы все три закона Ньютона.
Мы начнем с разъяснения вопроса о том, какое значение имеет
первый закон Ньютона для выделения инерциальных систем отсче-
отсчета среди остальных систем. Первый закон Ньютона — закон
инерции — утверждает, что тело, на которое не действует сила,
движется по инерции, т. е. равномерно и прямолинейно. Нередко
можно было услышать (и даже прочитать в учебниках), что пер-
первый закон не является самостоятельным утверждением, а является
следствием второго закона.
Формально это так. В первой части A.5) стоит равнодействую-
равнодействующая всех сил, действующих на тело. Второй закон просто утвер-
утверждает, что ускорение, приобретаемое телом, пропорционально
этой равнодействующей и обратно пропорционально массе тела.
Из уравпения A.5) следует, что если равнодействующая всех сил
равна нулю или если вообще никаких сил пет, то тело не испыты-
испытывает ускорения. А если тело не испытывает ускорепия, то оно

§ 1.5] ИНЕГЦИАЛЬНЫК СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 21
либо движется равномерпо и прямолинейно, либо просто покоится.
Отсюда делалось заключение, что закон инерции можно получить
из закона динамики.
Зачем же Ньютону понадобилось отдельно формулировать за-
закон инерции? Едва ли Ньютон не понимал, что закон инерции —
это следствие закона динамики. Но дело обстоит сложнее, чем
это может показаться с первого взгляда. Ньютон отлично пони-
понимал, что и уравнение A.5), и закон инерции не могут быть спра-
справедливы в любых системах отсчета. Не случайно в определение
инерциальной системы входят все три закона Ньютона. Напомним
третий закон: всякой силе можно найти равную и противоположно
направленную силу. Этот закон подчеркивает, что в ньютоновской
механике все силы имеют характер взаимодействия между телами.
Силы в механике Ньютона — это обязательно результат взаимо-
взаимодействия между телами.
Разберем полезный, хотя и очепь простой пример. Пусть в инер-
инерциальной системе отсчета К покоится тело. Тогда, согласно вто-
второму закону Ньютона, ясно, что па тело не действует сила. Не бу-
будем трогать этого тела, а рассмотрим его с точки зрения наблюда-
наблюдателя из системы отсчета, которая движется относительно К с уско-
ускорением а. Этот наблюдатель обнаружит, что рассматриваемое тело
движется относительно него с ускорением — а. Если бы для систе-
системы отсчета, где он находится, был бы справедлив второй закон
Ньютона, то он мог бы сказать, что на тело действует сила — та-
Но мы хорошо знаем через наблюдателя в инерциальной системе
отсчета, что никаких сил, действующих на тело, просто пет. Зна-
Значит, в системе отсчета, движущейся ускоренно относительно инер-
инерциальной, второй закон Ньютона просто несправедлив. Конечно,
многие читатели уже поняли, что, переходя в ускоренно движу-
щуются систему отсчета, мы обнаружили «силу инерции», но эта
сила не является силой для механики Ньютона (см. Дополнение V).
Но раз законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета,
Ньютону нужно было подчеркнуть, что существует определенная
система отсчета, в которой эти законы справедливы. И первый
закон Ньютона, по существу, носит характер такого утверждения.
Этим законом постулируется, что инерциальная система отсчета
(т. е. система отсчета, где справедлив закон инерции) существует.
Другими словами, можно указать систему отсчета, где тело,
не взаимодействующее ни с какими другими телами, движется
по инерции, т. е. равномерно и прямолинейно.
Закон инерции представляет частный случай закона сохране-
сохранения импульса. Он является, с одной стороны, следствием второго
и третьего законов Ньютона, а с другой — следствием второго
закона и предположения об однородности пространства (равно-
(равноправия всех его точек), т. е. механика Ньютона подразумевает од-
однородность пространства в любой инерциальной системе отсчета.

22
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
[ГЛ. 1
Ось Вращения
Земли
Рис. 1.3. Опыт Фуко, позволяющий обна-
обнаружить одну из ИСО. Для цростоты ри-
рисунок изображает опыт Фуко на полюсе.
Фактически опыт производился н Париже,
но суть дела от этого не меняется.
Но допустим, что мы знаем одну инерциальную систему отсче-
отсчета. Тогда по принципу относительности Галилея все системы отсче-
отсчета, движущиеся относительно нее равномерно и прямолинейно,
также будут инерциальными. Отсюда ясно, что число инерциаль-
ных систем отсчета бесконечно.
Как же найти хотя бы одну инерциальную систему отсчета?
Конечно, обнаружение такой системы — дело опыта. Для этой
цели годится знаменитый опыт.
Фуко с маятником. Для про-
простоты мы опишем этот опыт так,
как он производился бы на одном
из полюсов Земли (рис. 1,3). На
полюсе устанавливается рамка,
к которой подвешен тяжелый
шарик на нити. Точка подвеса
маятника находится на оси Зем-
Земли; крепление в подвесе свобод-
свободное, так что рамка при повороте
вокруг оси Земли не увлекает
за собой нить. В положении
равновесия нить маятника сов-
совпадает с осью Земли. Если от-
отклонить маятник от положения равновесия и отпустить без
начальной скорости, оп будет совершать колебания в некото-
некоторой плоскости. На маятник действуют две силы — сила тяже-
тяжести mg и натяжение нити Т. Обе эти силы лежат в плоскости его
качаний Р и ие могут вывести маятник из этой плоскости. Если
второй закон Ньютона строго выполняется на Земле, плоскость ка-
качаний маятника будет сохранять свое положение относительно
Земли. Но на опыте Земля уходит из-под маятника и тем самым
«расписывается» в том, что в системе координат, связанной с Зем-
Землей, второй закон, строго говоря, несправедлив.
Из-за этого не стоит особенно огорчаться, потому что практиче-
практически законами Ньютона на Земле можно пользоваться с большим
успехом. Это видно хотя бы из того, что вся иткенерная и теоре-
теоретическая механика пользуются вторым законом Ньютона без
всяких поправок. Происходит это, конечно, потому, что поправки
на «иперциальность» системы отсчета, связанной с Землей, неве-
невелики: они обусловлены вращением Земли, которое не очень бы-
cipo. Поэтому и в школьном изложепии можно считать Землю
ииерциальнвй системой.
Но принципиально Земля иперциальпой системой не является.
Иперциальной системой будет такая система координат, относи-
относительно которой сохраняется положение плоскости качаний маят-
маятника. Ее можно обнаружить из того же самого опыта Фуко. Систе-
Система эта оказывается довольпо «экзотической». Ее цептр распола-

g 1.5] ИНИЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТ \ 23
гается на Солнце, а три координатные оси направлены на «непод-
«неподвижные» звезды (т. с. звезды, жестко перемещающиеся вместе с так
называемой небесной сферой). В силу особой роли Солнца эта
система называется гелиоцентрической. Конечно, главное в выборе
инерциальной системы — это выбор направления координатных
осей. Выбор пачала отсчета в центре инерции Солнца удобен пото-
потому, что в Солнечной системе Солнце является самым большим
по массе телом. В этой системе движение плапет выглядит особенно
просто. Обратим внимание на то, что оси гелиоцентрической систе-
системы отсчета пе участвуют во вращепии Солнца. Кстати, система
•отсчета, координатные оси которой жестко связаны с Землей (т. е.
вращаются с ней), называется геоцентрической. Она, как показал
•опыт Фуко, будет неинерциальной системой.
Итак, в гелиоцентрической системе справедливы законы дина-
динамики Ньютона. Согласно принципу относительности Галилея во
всех системах отсчета, которые движутся равномерно и прямоли-
прямолинейно относительно гелиоцентрической, в равной степени справед-
справедливы законы Ньютона. Все эти системы мы и будем называть инер-
циальными системами отсчета *). Хотя число инерциальных систем
бесконечно, они все же теряются среди всех возможных систем
отсчета. Если бы было возможно собрать в один мешок все возмож-
возможные системы отсчета, то, сунув в этот мешок руку и схватив первую
попавшуюся систему отсчета, мы вытащили бы скорее всего неинер-
циальную систему.
Опыт Фуко является далеко не единственным опытом, позво-
позволяющим найти отклопепие геоцентрической системы отсчета от
инерциальной. Укажем еще один опыт такого типа. Когда бро-
бросают тяжелое тело с некоторой высоты, то оно падает не по верти-
вертикали, как это должно было быть под действием силы тяжести.
а песколько отклоняется к востоку. Из отклонения движения сво-
свободно падающих тел от вертикали можно обнаружить и неинер-
циалыюсть геоцентрической системы и найти инерциальпуго систе-
систему отсчета.
В механике существует еще один закон сохранения для замкну-
замкнутых систем —закон сохранения момента импульса. Он является,
так же как и закон сохранения импульса для замкнутой системы,
следствием второго и третьего законов Ньютона. Вместе с тем он
может быть получен как следствие второго закона и предположе-
предположения об изотропности пространства. Это означает, что механика
Ньютона подразумевает изотропность пространства.
Закон сохранения энергии для замкнутых систем получается
как следствие втого закона Ньютона и предположения о потен-
потенциальности сил, действующих между частицами, образующими
*) В дальнейшем в.мосто «инерциальпая система отсчета» мы часто будем
ограничиваться начальными буквами — ИСО.

24 КЛАССИЧЕСКАЯ МКХАНИКЛ II ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
систему. С другой стороны, он вытекает из уравнений движения
системы и предположения об однородности времени. Из этого
следует, что в механике Ньютона подразумевается однородность
времени.
Поэтому можно определить инерциальную систему как такую
систему отсчета, по отпошению к которой пространство является
однородным и изотропным, а время — однородным.
Иногда определяют инерциальпую систему отсчета как такую
систему отсчета, которая жестко связана со свободно движущимся
телом. Ото определение в принципе верно, но им фактически невоз-
невозможно воспользоваться для экспериментального определения
ИСО. В нашем распоряжении нет «свободно движущегося тела»,
поскольку исключить силу тяжести невозможно. Поэтому методи-
методически правильнее определять ИСО как систему, в которой справед-
справедливы все три закона Ньютона.
Инерциальные системы выделены среди других (неинерциаль-
ных) систем отсчета не только в механике. Покоящийся в инерци-
альной системе отсчета электрический заряд не излучает электро-
электромагнитные волны, а покоящийся в неинерциалыюй системе отсче-
отсчета — излучает.
Инерциальные системы отсчета играют огромную роль в физи-
физике. Имеипо для этих систем записаны известные нам заколы
физики. Переход к неинерциальным системам сопряжен со зпачи-
тельными трудностями. В общих чертах можно сказать, забегая
вперед, что специальная теория относительности учит нас, как опи-
описывать всевозможные физические явления в любой инерциалыюй
системе отсчета *). Но что ото значит и как пто фактически осуще-
осуществляется? До того, как мы получим ответы на эти вопросы, нам
придется проделать еще немалый путь.
§ 1.6. Абсолютное время и абсолютное пространство. Хотя,
по существу, при выводе преобразований Галилея уже было ска-
сказано все то, что подразумевается в утих преобразованиях о про-
пространстве и времени, повторим еще раз соответствующие утвержде-
утверждения. Обычно, когда говорят о «классической» физике, то, в част-
пости, имеют в виду пьютоновскую механику. Взгляды Ньютона
на пространство и время точно отражают классический подход
к ;>тим понятиям. Стоит внимательнее остановиться на воззрениях
Ньютона еще и потому, что опи соответствуют нашему повседнев-
повседневному опыту, очень привычны и понятны, а переход к нредставле-
*) Нужно отмстить, что СТО может быть сформулирована также и в
неинерциальных системах отсчета. Фактически СТО может иснользопатьсн
d любых системах отсчета, пока нет сил тяготепия (в плоском 4-иространстве-
времеии). Однако в той форме, которая была придана СТО Эйнштейпом и кото-
которая будет развиваться в этой кпиге, она приложнма лишь к иперциалыш.ч
системам отсчета.

§ 1.6] АБСОЛЮТНОЕ БРЕМЯ II АБСОЛЮТНОЕ П1ЮСТРАНСТНО 25
нию о пространстве и нремепи, характерному для специальной тео-
теории относительности, связан с отказом от этих представлений.
Более того, еще более решительный шаг от этих представлений
сделан в теории тяготения Эйнштейна, которую называют иногда
общей теорией относительности. Вот что можно прочесть у Нью-
Ньютона *): «Абсолютное пространство по самой своей сущности,
безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда
одинаковым и неподвижным».
Таким образом, по Ньютону, пространство представляет собой
громадный пустой ящик, в который вложены материальные тела
и в котором разыгрываются физические явления. Вместе с тем
Ньютон знал, что в механике справедлив принцип Галилея. А это
означало равноправие состояния покоя и равномерного прямоли-
прямолинейного движения. Как в этих условиях следует выделить «непод-
«неподвижное абсолютное» пространство?
Конечно, выделить «неподвижное абсолютное» пространство,
наблюдая явления механики, невозможно. Поэтому обнаружение
абсолютного пространства и абсолютного движения связано уже
с выходом за рамки механики. Предполагается, что оно возможна
при истолковании оптических янлений. Поэтому п историческом
очерке, посвященном истолкованию некоторых эксперименталь-
экспериментальных фактов (Дополнение II), будем считать, тто привилегирован-
привилегированная, выделенная система отсчета Ньютопа (неподвижное абсолют-
абсолютное пространство) — это гелиоцентрическая система, хотя, в конце
концов, выяснится, что никакой привилегированной системы
вообще не существует, а существует привилегированный класс
систем отсчета, в которых законы физики выглядят особенно-
просто,— класс инерциальных систем отсчета.
Теперь посмотрим, что писал ТТыотоп о времени:
«Абсолютное, истинное математическое время само по себе
и по своей сущности, без всякого отпошении к чему-либо внеш-
внешнему, протекает равномерно и ипаче называется длительностью».
Снова мы сталкиваемся с утверждением о том, что и время
есть нечто внешнее по отношению к природе. Итак, согласно воз-
воззрениям Ньютона, время и пространство существуют сами по себе
и не зависят от материальных тел, находящихся в пространстве.
Конечно, представления Ньютона о пространстве и времени кажут-
кажутся нам очень схоластичными. Однако не следует их недооцени-
недооценивать. Мы приведем небольшую выдержку из книги [Щ (стр. 245):
«В беседах с одним из авторов этой книги в давно прошедшие
годы Эйнштейн выражал свое глубочайшее уважение к Ньютону
и, в частности, восхищение его мужеством. Он подчеркивал, что
Ньютон даже лучше, чем его критики в XVII столетии, понимал
*) «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» (I(i87). Перевод ua рус-
русский язык А. Н. Крылова помещен в Собрании сочинении последнего, Пзд-во.
АИ СССР, т. VII, 1936.

26 IOACCH4F.CKAH МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
трудности, связанные с идеями абсолютного пространства и абсо-
абсолютного времени. Однако постулирование этих понятий было в то
иремя единственным практически осуществимым способом про-
продвинуться в описании движения».
Конечно, возпикает естественный вопрос: почему же классиче-
классическая .механика, опирающаяся на такие представления о простран-
пространстве и времени, которые едва ли можно разъяснить, действует
столь эффективно? Но оказывается, что ;>ти представления при-
приближенно верны, а отклонения от них в повседневной жизни совсем
несущественны. Отклонения от классических представлений отчет-
отчетливо обнаруживаются лишь при изучении микрочастиц и в косми-
космических условиях, и с ними уже столкнулась современная физика;
но такие наблюдения требуют создания специальных условий
и достаточно сложных приборов.
В конце этого небольшого параграфа необходимо все нее кратко
изложить современный взгляд на эти вещи. С современной точки
прения, нет абсолютного пространства и, следовательно, нет ника-
никакого абсолютного движения. Все инерциальпые системы отсчета
равноправны. Специальная теория относительности показывает,
что отсчет времени наступления событий оказывается различным
в различных инерциальных системах отсчета. Таким образом, от-
отсчет времени оказывается уже зависящим от состояния движения.
Теория тяготения Эйнштейна идет еще дальше. С точки зрения
этой теории свойства пространства и времени не заданы навсегда,
а определяются находящимися в пространстве телами. С точки
зрения диалектического материализма, согласно которому про-
пространство и время — это формы существования материи, выводы
теории тяготения Эйнштейна представляются куда более удовлет-
удовлетворительными, чем ньютоновские представления о пространстве
и времени.
§ 1.7. Как физика приближалась к теории относительности.
Очень полезно с точки зрения современной физики проследить
за тем, как давали себя знать релятивистские эффекты задолго до
построения специальной теории относительности. Этот параграф не
претендует па исторический очерк (ближе к нему Дополнение II),
но предназначен облегчить понимание двух следующих парагра-
параграфов, где изложены, по существу, первые принципы теории.
Безусловно, первым шагом на пути к созданию специальной
теории относительности было открытие принципа относительности
для явлений механики Галилеем.
Возпикает естественный вопрос: почему Галилей ограничил
свой принцип только механикой? Ответ на него прост: во времена
Галилея ничего того, что мы называем «другими разделами физи-
физики», просто не существовало. Механика практически представляла
собой всю физику. Если еще учесть то, что чуть ли не до конца

$ 1.7] КАК ФНЗНКЛ ПРИИЛИЖАЛАСЬ К ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 27
XIX века пытались все физические явления объяснить на основе
механики, то станет ясно, что принцип относительности, сформу-
сформулированный Галилеем, охватывал в свое время «всю физику».
Следующий важный этап на пути к теории относительности —
установление конечности скорости света. Этот вывод был сделан
на основе астрономических наблюдений Ремером A676 г.). До Ре-
мера считалось, что скорость распространения света бесконечна.
Припцип относительности Галилея мог быть выражен в мате-
математической форме после того, как были записаны уравнения меха-
механики (Ньютон, «Математические начала натуральной философии»,
1687 г.). Так как основными переменными в уравнениях механики
являются координаты и время, то для преобразования уравнепий
механики при переходе от одной системы отсчета к другой, нахо-
находящейся относительно первой в движении, нужны формулы преоб-
преобразования координат и времени при таком переходе. Из принципа
относительности Галилея вытекало, что соответствующее преобра-
преобразование координат и времени должно оставлять форму заколов
Ньютопа неизменной (§ 1.4). Эти преобразования —преобразо-
—преобразования Галилея.
В 1851 г. в Парижском Пантеоне был поставлен опыт Фуко
с маятником, наглядно продемонстрировавший вращение Земли
и указавший инерциальную систему отсчета (§ 1.5). Собственно,
на этом опыте можно было бы закончить то, что из мехапики имеет
прямое отношение к теории относительности.
Принцип относительности Галилея, законы Ньютона и преоб-
преобразования Галилея тесно связаны между собой. Прямым следстви-
следствием преобразований Галилея является классическая формула пре-
преобразования скоростей A.4): v' — v —V. В 1851 г. Физо поста-
поставил опыт, который ясно ноказал, что эта формула снраведлива
пе всегда. Опыт Физо с движущейся водой схематически состоял
в следующем. В системе отсчета К со скоростью У по трубке текла
вода; определялась скорость света в воде. Мы можем (чисто кине-
кинематически) рассуждать так. Свяжем с движущейся водой инерци-
инерциальную систему К'. В этой системе скорость света v' определяется
известным соотношением г/ — с/п, где п — показатель преломле-
преломления воды. Чтобы найти скорость света в системе К, нужно просто
применить формулу A.4), тогда мы нолучим v — с/п + V. Резуль-
Результат же Физо (подтвержденный также современными измерениями)
был
Отсюда видно, что классическая формула A.4) в данном случае
несправедлива. И именно это мы хотели подчеркнуть. Что касается
подробностей проведения опыта и современного его истолкования,
то все :ito можно найти и § 3.6.

28 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА II ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
Для теории относительности очень важную роль сыграла тео-
теория Максвелла A856—1873 гг.; теория была сформулирована в не-
нескольких больших статьях; затем уже появился двухтомный
«Трактат»). Это была первая полевая теория, в которой взаимодей-
взаимодействие передавалось с конечной скоростью — скоростью распро-
распространения поля. Для этой скорости теория давала вполне опреде-
определенное значение, в частности, для вакуума она была равна
1/]/еоио, где е0 и \х0 —электрическая и магпитная постоянные.
Конечно, сразу возник вопрос, удовлетворяется ли принцип отно-
относительности; другими словами, сохраняют ли свой вид уравнения
Максвелла при преобразованиях Галилея. Нетрудно проверить,
что преобразования Галилея изменяют вид уравнений Максвелла.
Отсюда возникло подозрение, что принцип относительности не рас-
распространяется на динамику. Нужно было, чтобы прошло несколь-
несколько десятков лет, чтобы выяснилось, какое «чудо» представляет
собой теория Максвелла. Ничего не зная и не подозревая о теории
относительности, Максвелл построил теорию, полностью удовлет-
удовлетворяющую ее требованиям.
Теперь, когда мы хорошо знаем, где можно было «почувство-
«почувствовать влияние теории относительности, петрудно вернуться мыс-
мысленно к нужным фактам. Теория относительности дает себя знать,
когда скорости тел приближаются к скорости света в вакууме
(про такие скорости говорят, что они релятивистские). Но макро-
макроскопических тел, обладающих релятивистскими скоростями, не су-
существует. Лишь микрочастицы могут обладать скоростями, близ-
близкими к скорости света. Первой известной микрочастицей оказался
электрон (Томсон, 1894—1896 гг.). Томсон определил экспери-
экспериментально отношепие заряда электрона к его массе. Его оцыты
производились на разрядных трубках, где скорости электронов
далеки от скорости света. По в 1896 г. была обнаружена естествен-
естественная радиоактивность. Среди испускаемых радиоактивным веще-
веществом излучений оказался и ноток электронов (они были вскоре
отождествлены с электронами в разрядной трубке). Скорости этих
электронов оказались уже близкими к скорости света. Когда
Кауфман в 1902 г. исследовал движение таких электронов в элек-
электрическом и магнитном полях, то выяснилось, что классическое
уравнение движения (второй закон Ньютона) описывает их движе-
движение неправильно. Так впервые было обнаружено отклонение
от ньютоновских законов.
Подводя итоги, можно сказать, что к началу XX века стало
ясно, что ньютоновская механика, преобразования Галилея спра-
справедливы не всегда, а самые быстрые из известных сигналов —
световые — передаются с конечной скоростью.
Хотя макроскопических объектов, движущихся с релятивист-
релятивистской скоростью, не существует, иод руками у людей всегда был
релятивистский объект — свет. И, естественно, очтические экспе-

$ 1.8] 0К0БЩКШ1Е ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 29
рименты сыграли важную роль в истории СТО: с истолкованием
оптических экспериментов связано возникновение гипотезы о нали-
наличии «светопосной среды». Отказ от этой гипотезы стоил пемалых
усилий, но сейчас вспоминать о ней стоит лишь как о странице
в истории физики (см. Дополнение II).
§ 1.8. Обобщение принципа относительности Галилея. Припцип
относительности Галилея распространялся только на явления
механики. Мы обнаружили, что второй закон Ньютона, выражен-
выраженный в дифференциальной форме, в сочетании с преобразованиями
Галилея удовлетворял принципу относительности. С формальной
точки зрения это означало, что при преобразованиях Галилея
уравнение A.5) оставалось неизменным, лишь мепялись обозначе-
обозначения цере.менных. Естественно, возникает вопрос: почему принцип
относительности должен распространяться только на .механиче-
.механические явления? Почему нельзя считать, что все физические явления
происходят одинаково во всех инерциальных системах, если па-
чальпые условия атих явлений заданы одинаково? Другими сло-
словами, ночему нельзя допустить полного равноправия всех инер-
инерциальных систем отсчета по отпошению ко всем физическим явле-
явлениям?
Этот вопрос не очень волновал физиков вплоть до середипы
XIX века, потому что для них вся физика сводилась к механике.
Но уже к середине XIX века стало ясно, что физика к механике
не сводится. К этому же времени стало складываться убеждение
в том, что существует всеобщая связь между явлениями, между
физическими явлениями в частности. Деление физики на «меха-
«механику», «электричество», «теплоту» и т. д. (оправданное тем, что
каждая групна явлений имела собственный набор основных урав-
уравнений) приобрело уже скорее педагогический и учебный характер,
нежели деление по существу. Если приглядеться внимательнее, то
даже в «чисто механическом» явлении можно усмотреть проявле-
проявление закономерностей иного рода. Соударение билльярдных шаров
всегда приводится как классический пример из механики. Но
в момент соударения, когда шары несколько сплющены, вступают
в игру силы упругости, определяемые электромагнитными сила-
силами. Следовательно, никаких «чисто механических» явлений в при-
природе быть не может. Но тогда ясно, что принцип относительности
должен распространяться па «всю физику» или же не выполняться
вообще.
Таким образом, с точки зрения физики конца XIX века рас-
распространение принципа относительности на все физические явле-
явления было вполне естественным. Но такое обобщение принципа
относительности Галилея как раз и есть то, что называют пер-
первым постулатом Эйнштейна или принципом относительности
Эйнштейна.

30 Классическая механика и относительность [гл. t
Однако сразу же обнаруживается, что уравнения электродина-
электродинамики противоречат равноправию иперциальных систем отсчета.
Прежде всего, если рассмотреть основную систему уравнений
электродинамики —систему уравнений Максвелла, то при преобра-
преобразованиях Галилея они меняют свой вид, т. е. не сохраняют свою
форму. По из этого следует, что электромагнитные явления опи-
описываются по-разному в различных ИСО; иными словами, на элек-
электромагнитные явления принцип относительности не распростра-
распространяется. В частности, это означает, что в той системе отсчета, в ко-
которой уравнения Максвелла записываются в обычном виде (см.
гл. 6), скорость распространения электромагнитных волн (света)
равна с = 1/|^ео|Ао, а во всех других системах отсчета, движущих-
движущихся относительно нее, эта скорость уже другая. Но вакуум зани-
занимает особое место по отношению к системам отсчета. Ведь вакуум
потому и вакуум, что в нем нет «среды», обладающей массой покоя.
С материальной средой всегда можпо сязать систему отсчета,
т. е. выбрать такую систему отсчета, в которой среда покоится
как целое или в ограниченной области. Но эта система отсчета
является выделенной. Равноправная с пей, но движущаяся отно-
относительно нее система отсчета должна обладать тем свойством,
что в ней среда также покоится. А это уже иная физическая ситуа-
ситуация. Итак, наличие среды всегда выделяет одну систему отсчета
Среди остальных. Но в вакууме выделить такую систему нельзя,
потому что не существует системы отсчета, в которой он покоится.
Значит, но отношению к вакууму все системы отсчета равноправ-
равноправны. Отсюда логически следует (при допущении полпого равпопра-
вия всех инерциальпых наблюдателей), что скорость электромаг-
питных волн (света) должна быть одной и той же, равной
во всех ИСО.
Классическая же формула преобразования скоростей A.4)
показывает, что это не так. Пусть в инерциальной системе отсчета
К скорость света в вакууме равна с. Тогда в другой инерциалыгой
системе К' спорость света в вакууме с' равна с — V. Значит, ско-
скорость света в вакууме с определяется величиной i/\feo\io только
в какой-то одной привилегированной системе отсчета. Итак, в об-
области электромагнитных явлений принцип относительности пред-
представлялся несправедливым.
Рассуждение, приведенное выше, опиралось на фундаменталь-
фундаментальное предположение, совершенно неприемлемое для физики XIX ве-
века, а именно: электромагнитные волны (свет) могут распростра-
распространяться в вакууме, или —иначе —для их распространения не нуж-
нужно присутствие какого-либо вещества. Это очень трудный для
понимания пункт при переходе к релятивистской физике от клас-
классической.

S 1.81 ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛКЯ 31
Но что можно было сделать в такой ситуации? Логически откры-
открывались три возможности:
1) Можно было допустить, что принцип относительности рас-
распространяется только на механику, к электродинамике он не отно-
относится и в электродинамике есть «абсолютная» система отсчета.
Но, как было сказано выше, такая возможность просто исключает-
исключается, если иметь в виду всеобщую связь физических явлений.
2) Можно было бы считать, что принцип относительности имеет
универсальную применимость, а поскольку система уравнений
Максвелла не удовлетворяет этому принципу (она мепяет свой
вид при преобразованиях Галилея), от нее нужно отказаться.
Но система уравнений Максвелла показала себя как безотказная
и псчерпывающая теория в рамках одпой инерциальной системы
отсчета (лабораторной). С другой стороны, ньютоновская механика
и связапные с ней преобразования Галилея оказались справедли-
справедливыми не всегда. Поэтому систему уравнений Максвелла разумно-
было бы сохранить.
3) Если считать, что принцип относительности справедлив для
всех явлений природы и система уравнений Максвелла правильна,
то переход от одной инерциальной системы отсчета к другой уже-
не может описываться преобразованиями Галилея (изменяющим
вид уравнений Максвелла). С другой стороны, новое преобразова-
преобразование не может оставить форму уравпений механики неизменной.
Следовательно, пужно будет изменить уравнения механики такг
чтобы новое преобразование оставляло их неизменными.
Последняя возможность сжато формулирует программу, реали-
реализуемую специальной теорией относительности: 1) принцип относи-
относительности распространяется на все явления природы; 2) скорость
электромагнитных волн в вакууме одна и та же во всех ИСО
(как следствие сохранения вида уравнений Максвелла).
Но как же должны выглядеть преобразования координат и вре-
времени, удовлетворяющие двум поставленным требованиям? Такими
преобразованиями, как выяспится, будут преобразования Лорен-
Лоренца, и мы подробно займемся ими в следующей главе. А в заключе-
заключение заметим следующее.
Как только принцип относительности Галилея был распростра-
распространен на все физические явления, он стал подлинным принципом
физики. По-видимому, целесообразно делать различие ые.кду за-
законами и принципами физики. Когда говорят о законах физики,
подразумевают их справедливость для ограниченного круга физи-
физических явлений. Например, законы Ньютона описывают явления
механики. Уравнения Максвелла относятся к электродинамике
и являются поэтому законами электродинамики. Три закона
термодинамики относятся к тепловым явлениям. Принципы же
физики имеют универсальное значение, они распространяются
на все физические явления.

32 КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ [ГЛ. 1
Наиболее известным принципом физики является принцип
сохранения энергии. Знаменитая книга М. Нлаика, посвященная
сохранению энергии, именно так и названа: «Принцип сохранения
энергии» (ГТТИ, 1936). Мы верим в то, что закон сохранепия энер-
энергии справедлив для всех физических явлений. Точпо так же мы
убеждены, что для всех физических явлений справедлив закон
сохранепия импульса. Принцип относительности занимает свое
место в физике в одном ряду с принципом сохранения энергии
и импульса.
§ 1.9. Скорость света в вакууме. Скорость света в вакууме
занимает особое место в природе, потому что — по современным
воззрениям — она является наибольшей возможной скоростью
передачи взаимодействия между телами. О передаче взаимодей-
взаимодействия (т. е. передаче некоторого «действия» со стороны одного тела
на другое) часто говорят как о передаче сигнала (именно этот тер-
термин больше всего в ходу в теории относительности). Передать сиг-
сигнал — это значит передать анергию и импульс (теория относитель-
относительности учит, что они неразделимы, см. § 5.5), способные «включить»
некоторую систему (например, некоторый спусковой механизм).
Ниоткуда пе вытекает заранее, что в природе существует
верхний предел для скорости передачи сигналов. Однако и тео-
теория, и опыт показывают, что все известные взаимодействия распро-
распространяются с конечной скоростью, а наибольшей скоростью
передачи сигнала является скорость света в вакууме (папомпим,
что эта скорость является также скоростью распространения
электромагнитных волн любой частоты в вакууме). Как уже упо-
упоминалось, классическая теория молчаливо предполагала, что
сигнал может распространяться бесконечно быстро.
Если принять, что в природе существует предельная скорость
распространения сигналов, то ее абсолютная величина должна
быть одна и та же во всех инерциальных системах отсчета. Ведь
все эти системы, согласпо принципу относительности, равноправ-
равноправны, и нельзя указать физический опыт, в результате которого
можно было бы обнаружить различие между ними. Если бы пре-
предельная скорость распространения взаимодействий была разной
в разных инерциальных системах отсчета, стало бы возможным
отличить одну инерциальную систему от другой. Если считать
принцип относительности универсальным, это невозможно. Отсюда
сразу нее вытекает, что скорость света в вакууме должна быть одной
и той же в любой иперциальной системе отсчета.
Л если источник движется к наблюдателю или наблюдатель дви-
движется к источпику? Такое движение пе может изменить величины
цределыюй скорости передачи сигнала. Следовательно, скорость
света в вакууме не может зависеть ни от движения источника,
ни от движепия наблюдателя.

g 1.9] СКОРОСТЬ СВЕТА В ВАКУУМЕ 33
Очевидно, что скорость света в вакууме, тем самым, наделяет-
наделяется уникальными свойствами. Все скорости являются относитель-
относительными, т. е. меняются при переходе от одной инерциальной систе-
системы к другой. А абсолютная величина скорости с остается всегда
одной и той же. Хотя среди инерциальных систем отсчета нет
привилегированной, в них имеется одна привилегированная ско-
скорость. Оба эти обстоятельства неразрывно связаны с тем, что
электромагнитные волны могут распространяться в вакууме; ины-
иными словами, для их распространения не требуется никакой мате-
материальной среды. Конечно, предположение о том, что существует
привилегированная (инвариантная) скорость, явно нарушает
классическую схему, т. е. соотношения A.4), а следовательно,
и A.2) и A.3).
Но, как бы ни были строги и красивы логические рассуждения,
верховным судьей в физике был и всегда останется эксперимент.
Эксперимент совершенно недвусмысленно подтверждает два об-
обстоятельства: 1) в данной ИСО скорость света в вакууме одинакова
во всех точках и по всем направлениям; 2) во всех ИСО эта ско-
скорость имеет одно и то же значение. Речь идет об опытах Майкель-
сона и Кеннеди — Торндайка; они описаны в Дополнении II.

Глава 2
ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ИНТЕРВАЛ
МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛОРЕНЦА
§ 2.1. Постулаты Эйнштейна. Конец предыдущей
главы был посвящен разъяснению двух основных положений СТО,
называемых постулатами Эйнштейна. Ввиду их важпости мы еще
раз повторим их с некоторыми комментариями.
Постулат I. Все тождественные физические явления в инер-
циальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях
протекают одинаково. Другими словами, среди ИСО не существует
«привилегированной» системы и невозможно обнаружить состоя-
пис абсолютного движения.
Этот постулат распространяет принцип относительности Гали-
Галилея на все явлепия природы. Он раз навсегда кончает с абсолют-
абсолютным пространством: если все инерциальные системы отсчета рав-
равноправны, то среди них нет привилегированной системы отсчета.
Абсолютное же пространство как раз и было привилегированной
системой. Точно так лее отпадает и вопрос об «абсолютном» движе-
движении (в вакууме), которое подразумевалось как движение относи-
относительно абсолютной системы отсчета (ср. § 1.6).
Постулат II. Скорость света в вакууме одинакова по всем
направлениям и в любой области данной инерциалъной системы
отсчета и одинакова во всех инерциалъных системах отсчета.
Часто к этому постулату добавляют еще, что скорость света
в вакууме не зависит от скорости источника. Это, однако, сразу
следует из постулата II в той форме, в которой он выписан выше.
Действительно, с источником всегда можно связать инерциальную
систему отсчета (если он движется неравномерно и по кривой, то
мгновенпо сопутствующую инерциальную систему). В этой системе
источник покоится, а все остальные инерциальные системы дви-
движутся относительно пего (а он относительно них). Согласно посту-
постулату II скорость света во всех этих системах одинакова, по это
и означает, что она не зависит от скорости источника. Что касается
движения наблюдателя, то в вакууме существенна лишь относи-
относительная скорость источника и наблюдателя, и поэтому предыду-
предыдущее рассуждение исчерпывает вопрос.
Следует четко понимать, что подразумевает постулат II. Для
этого представим себе, что в системе К измеряется скорость света
следующим образом. Из точки хг в момент времени tx посылается
вдоль оси х световой сигнал, который приходит в точку хг в момент
времени t2. Тогда с — (х2 — xi)/(ti — h)- Эти же два события —

§ 2.1] ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА 35
посылка и прием сигнала — рассматриваются из системы К'.
Посылка сигпала для наблюдателя из системы К' происходит
в точке х\ в момент t[, а прием — в точке х2 в момент t't. И несмотря
на то, что системы К vs. К' находятся в относительном движении,
направленном как раз по общей оси х, х', мы должны получить,
что отношение (х'2 — х[)/A'г — /{) тоже равно с. С точки зрения
«здравого смысла» такого быть не должно (парисуйте для себя
схему опыта). Но именно этого требует второй постулат.
Мы сформулировали постулат II, по существу, так, как это было сделано
в работе Эйнштейна 1905 г. Однако в пате время, вероятно, целесообразнее
формулировать ого иначе. А именно исходить из того, что в природе существует
предельная скорость передачи сигнала (взаимодействия). Это — главное
утверждение. Далее полагают, что этой предельной скоростью является ско-
скорость электромагнитных волп (света) в вакууме. Последнее утверждение
не является обязательным — в принципе СТО не утратила бы смысла, если бы
1гредельпая скорость оказалась иной, но в СТО используется именно это
предположение. Из того, что скорость света в вакууме является предельной
скоростью передачи взаимодействпй, непосредственно вытекает, что она
должна иметь одно и то же значение во всех ИСО (ср. § 1.9)
После того как сформулированы первые принципы теории
относительности — два постулата Эйнштейна,— можно сформули-
сформулировать общую задачу специальной теории относительности. Ее
основа — это нрипцип относительности: равноправие всех ипер-
циальных систем отсчета по отношению ко всем физическим яв-
лепиям. Теория относительности обязана дать такое описание
физических явлений, которое было бы одинаковым во всех инер-
циалышх системах отсчета. Но если в нашем распоряжении есть
уравнения, описывающие ту или иную группу явлений, то эти урав-
уравнения должны иметь одинаковый вид во всех иперциальных систе-
системах отсчета (в каждой системе отсчета в своих переменных). Вспом-
Вспомним, что в уравнения механики и электродинамики существенным
образом входят коордипаты и время наступления события. При
переходе от одной инерциальной системы к другой координаты
и время наступления события преобразуются. Преобразования
Галилея изменяют вид уравнений Максвелла, но, поскольку мы
хотим сохранить уравнения Максвелла, как правильные уравне-
уравнения электромагнитного поля, во всех инерциальных системах, нам
следует найти такие преобразования координат и времени, кото-
которые сохраняют вид максвелловских уравнений. Такими преобразо-
преобразованиями окажутся преобразования Лоренца.
Однако преобразования Лоренца непосредственно вытекают
и из постулатов Эйнштейна. Дело в том, что теория Максвелла
была построена с самого начала как релятивистская. Внутренняя
причина этого состоит в том, что она содержала в себе правиль-
правильное описание свойств самого релятивистского объекта — света.
Таким образом, найдя преобразования координат и времени
события, удовлетворяющие постулатам Эйнштейна, мы должны
3*

36 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
позаботиться о том, чтобы основные уравнения физики были оди-
одинаковыми во всех инерциальных системах, т. е. были бы кова-
риантными по отношению к этим преобразованиям. Смысл термина
«ковариантный» будет разъяснен в § 4.3. Сейчас же необходимо
остановиться на том, что значит «основные уравнения» физики.
Основными закопами в механике мы называем уравнения Нью-
Ньютона, в электродинамике — уравнения Максвелла, в термодина-
термодинамике — уравнения, выражающие первое и второе начала.
Относительные величины были и в классической физике —
например, скорости, координаты, направления скоростей,— но
специальная теория относительности добавляет к ним — несколь-
несколько неожиданно для нашей интуиции — относительность проме-
промежутков времени между событиями и относительность длин масшта-
масштабов (расстояний). Однако это и есть та «цепа», которую приходится
платить за то, чтобы реализовать принцип относительности по от-
отношению ко всем физическим явлениям.
И все же самое главное в теории отпосительности, вопреки ее
названию,— это совсем не относительность различных величин,
т. е. их зависимость от выбора системы отсчета. Суть теории отно-
относительности как раз в обратном. Теория относительности показы-
показывает, что законы природы в инерциальных системах отсчета не за-
зависят от выбора системы отсчета, не зависят от положения и
движения наблюдателя, а результаты измерений в различных
системах отсчета могут быть сопоставлены. Говоря философским
языком, теория относительности подчеркивает объективный харак-
характер законов природы, а вовсе не относительность знания.
Конечно, пытаться изменить исторически сложившееся пазва-
ние — кстати, оно принадлежит не Эйнштейну, а было предложено
Планком в 1906 г.— дело безнадежное. Однако есть одна деталь,
на которую можно обратить внимание. Спорят, как правильно
говорить: «специальная» или «частная» теория. Едва ли этот спор
имеет существенное значепие. По смыслу речь идет об ограниче-
ограничении теории рамками иперциальных систем отсчета. По существу
это ограничение сводится к тому, что теория справедлива в отсут-
отсутствие полей тяготения или — практически — в слабых полях тяго-
тяготения. Поэтому самым правильным пазванием было бы название
«ограниченная теория относительности», принятое во французской
литературе.
Хотя постулаты Эйнштейна являются первыми принципами тео-
теории относительности, все же их недостаточно для ее построения.
Принципиально важным для теории служит построение реляти-
релятивистской системы отсчета, к чему мы и переходим.
§ 2.2. Релятивистская система отсчета. При построении реля-
релятивистской системы отсчета, так же как и при построении всей
теории, безусловно подразумевается справедливость обоих посту-

§ 2.2] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА 37
латов Эйнштейна. Кроме того, мы будем предполагать, что ско-
скорость света в вакууме — это предельная скорость передачи сиг-
сигнала. Последнее утверждение не содержится в постулатах Эйн-
Эйнштейна. Однако, как мы увидим ниже, оно неизбежно должно вхо-
входить в теорию, если мы хотим, чтобы в теории действовал принцип
причинности (см. § 3.4).
В § 1.1 мы подробно остановились на том, как строится система
отсчета в классической механике. Там было указано, что в каждой
системе отсчета достаточно одних часов, поскольку предпола-
предполагается, что можно использовать бесконечно быстрые сигналы.
Но в СТО явно учитывается существование предельной скорости
сигнала, и если скорости, которые нас интересуют, приближаются
к этой предельной, то пользоваться одними часами становится
неудобно ( и даже невозможно). Но именно такие скорости и инте-
интересны для теории относительности.
Поэтому к координатной системе (построение которой не отли-
отличается от построения, изложенного в § 1.1) добавляется еще набор
часов. В принципе в СТО предполагают, что часы помещены в каж-
каждой точке пространства. Практически в этом необходимости нет,
но в любой точке, где определяется время наступления события,
в припципе должны быть часы. Все часы данной системы отсчета
неподвижпы в этой системе.
В СТО предполагается, что можно иметь в своем распоряжении
столько идеальных тождественных часов, сколько нам нужно. Это
предположение легко реализуется в наше время. Согласно кванто-
квантовой механике все микрочастицы одного сорта тождественны. В ча-
частности, характерные частоты колебаний атомов одного сорта
в точности совпадают. Если за часы принять сами атомы, а за
эталоны времени — характерные периоды их колебаний, мы полу-
получим достаточное количество нужных часов.
Точно так же можно поступить и с эталонами длины. Длина
волны характерного излучения данного атома вполне может быть
выбрана за единицу длины. Убеждение в том, что длина волны
излучения заданного атома может быть неизменпым эталоном дли-
длины, существовало даже до возникновения квантовой механики:
именно так была увековечена длина метра Майкельсопом (начало
XX века).
Когда мы рассматриваем две ИСО, находящиеся в отпоситель-
ном движении, то масштабы длины и часы каждой системы непод-
неподвижпы только по отношению к «своей» системе отсчета. Можно ли
считать, что мы располагаем тождественными масштабами и часами
в разных ИСО, если, скажем, в рамках одной системы отсчета
такие часы и масштабы имеются? В литературе можно встретить
рассуждение о том, что масштабы длины и часы могут передавать-
передаваться из одной ИСО в другую. Безусловно, так поступать не следует.
Передавая часы или эталоны длины из одной ИСО в другую, мы

38 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА {ГЛ. 2
сообщаем им ускорение. В принципе ускорение меняет длину эта-
эталонов и ход часов. Простые примеры: бросьте часы или линейку
на каменный пол. Часы могут просто остановиться, а линейка —
сломаться. Даже атомные часы ломаются, когда разрушаются
атомы. Все это — действие ускорения.
Но чтобы получить тождественные эталоны длины и времени
в разных ИСО, нет никакой необходимости что-либо передавать из
одной системы в другую. В любой системе отсчета достаточно
взять чистое вещество, излучение которого обеспечит нас необ-
необходимыми эталонами.
Следует подчеркнуть важность того, что в любой ИСО можно
иметь эталоны длины и времени в точности такие же, как и во всех
остальных. Действительно, принцип относительности и равнопра-
равноправие всех ИСО в сочетании с одипаковостью эталонов длины и вре-
времени позволяют ввести полную тождественность этих систем
отсчета.
Итак, в каждой ИСО есть столько подходящих часов, сколько
требуется. Время наступления события в дашюй точке — это
показание стрелки часов, находящихся в той точке, где наступило
событие, в момент наступления события. Если два события насту-
наступили в разных точках пространства, а часы в каждой из этих точек
показали один и тот же отсчет в момент наступления этих событий,
мы должны считать события одновременными. Но одновременность
событий, наступающих в разных точках пространства, зависит,
очевидно, от того, как согласовано начало отсчета времени у этих
часов (ход часов предполагается абсолютпо одинаковым). Таким
образом, определение одновременности событий и согласование
начала отсчета времени у всех часов данной ИСО (синхронизация
часов) — это одно и то же. Следует подчеркнуть, что синхрониза-
синхронизация часов (т. е. установление одновременности событий) может
производиться по-разному. Преимущества синхронизации, пред-
предложенной Эйнштейном, будут ясны из дальнейшего. Вместе с тем
необходимо подчеркнуть, что одновременность событий определяет-
определяется, причем это определение можно произвести отнюдь не един-
единственным образом.
Приведем пример, из которого видно, насколько важно уметь
определять одновременность событий. Как определяется скорость
частицы? Пусть частица движется вдоль оси х. Для определепия ее
скорости нужно знать положение частицы в момент t1 (пусть это
будет ж1) и положение частицы в момент tz (скажем, х2). Если дви-
движение равномерно, то скорость найдется как (х2 — x-,)/(t2 — tt).
Но приход частицы в точку хх отмечается часами, расположен-
расположенными в этой точке, а приход в точку х2 — часами в точке хг.
Чтобы определить скорость, нужно быть уверенным, что часы,
расположенные в точке х2, показывали в момент tx то же самое,
что и часы, расположенные в х±. Только в этом случае определение

§ 2.2] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА 39
скорости будет иметь смысл. Но это и означает, что часы должны
быть синхропизованы.
После того как мы выяснили, что установление одновременно-
одновременности и синхропизация часов — это одно и то же, перейдем к воп-
вопросу о том, как синхронизуются часы в рамках одной ИСО. Пер-
Первое, что приходит в голову,— это собрать часы в одном месте, све-
сверить их, а затем расставить по своим местам. Вместе с Эйпштейпом
мы откажемся от этой процедуры по следующей причине: всякое
передвижение часов связано с тем, что часы подвергаются уско-
ускорению. В принципе, всякое ускорение влияет на ход часов. Сле-
Следовательно, лучше сначала поставить часы на свое место, а затем
уже их сверять *).
Как можно осуществить сверку (синхронизацию) часов, распо-
расположенных в разных точках пространства? Пусть в начале коорди-
координат данной ИСО находятся часы, которые мы назовем опорными
(они, конечно, ничем не отличаются от остальных). От пих можно
послать сигнал к любым часам данной ИСО. При этом предпола-
предполагается, что расстояния от начала отсчета до всех часов известны
(для установления таких расстояний часы не нужны!). Зная ско-
скорость распространения сигнала, можно найти время его распро-
распространения от опорных часов до любых часов системы. Если усло-
условиться, что сигнал от опорных часов посылается в момент t = О,
то как раз ото время распространения должны показывать синхро-
синхронизуемые часы в момент прихода сигнала к этим часам. Хотя,
вообще говоря, можно воспользоваться любым сигналом; имея
в виду синхронизацию часов во всех ИСО, удобнее всего выбрать
световой сигнал в вакууме, поскольку во всех ИСО он распро-
распространяется с одинаковой скоростью. Использование для синхро-
синхронизации часов светового сигнала в вакууме — еще один элемент,
придающий полное равноправие всем ИСО.
Итак, «агент» синхронизации — это световой сигнал. Опишем
теперь процесс синхронизации по Эйпгатейну (в данной ИСО).
1. Часы расставлены по своим местам и запущены. Координаты
точек, где находятся часы, известны, следовательно, известны рас-
расстояния всех часов от опорных (расположенных в начале координат).
2. От опорных часов в условно выбранный момент /х посылается
световой сигнал, идущий в вакууме по известному нути к синхро-
синхронизующим часам. Приход светового сигнала к часам отмечается
прибором или наблюдателем.
За. Показанием часов в момент прихода сигнала нужпо считать
t = t± -f rlc, где г — пройденное светом расстояние от опорных
*) Существует обширная литература, в которой «показывается», что
бесконечно медленная транспортировка часов не влияет на их ход. Это,
конечно, физически вполне правдоподобно. Но в релятивистской теории
важны релятивистские скорости и релятивистские расстояния, где подобная
процедура едва ли интересна.

40 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
часов. Тем самым «начальное» показание часов выбрано, часы
«сверены» с опорными.
Можно воспользоваться и другим, эквивалентным способом.
Зб. Во всех точках, где находятся часы, поставлены зеркала,
от которых свет отражается обратно к источнику. Если опорные
часы отметили время возвращения сигнала ?2, то отмеченному
часами у зеркала моменту времени следует приписать значение
В этой процедуре синхропизации часов ость одна топкость.
Когда мы используем прием За, мы считаем скорость света с из-
известной. Но мы уже видели, что для определения скорости движе-
движения в одном направлении необходимо двое синхронизованных
часов. С другой стороны, скорость света обычно определяют при
движении луча по замкнутому пути. В частности, скорость света
при наличии одних часов может быть определена с помощью отра-
отражения от зеркала. Для этого нужно использовать прием 36 и знать
расстояние от опорпых часов до зеркала. Если это расстояние
равно г, то с = 2г/(?2 — ?х). Однако, если скорость света при дви-
движении «туда» не равна скорости света при движении «обратно»,
этого мы установить не можем. Определить это опытным путем
нельзя просто потому, что наши часы синхронизованы так, что
для скорости света опи дадут значение с. Однако теория относи-
относительности исходит из того, что скорость света в вакууме одина-
одинакова по всем направлениям; с другой стороны, вся совокупность
опытных фактов не противоречит ни этому утверждению, ни след-
следствиям теории относительности.
Таким образом, мы пришли к релятивистской системе отсчета
координатной системе (с жесткими осями) и неподвижно закреп-
закрепленными в этой системе синхронизованными часами. О таких часах
данной ИСО мы будем говорить как о «наборе» часов. Процедура
синхронизации по Эйнштейну такова, что она может быть прове-
проведена одинаковым образом в любой ИСО.
Согласно принятому правилу синхронизации часов одновре-
одновременность наступления событий можно определять еще и так. Пусть
два события наступают в точках пространства, находящихся
на равных расстояниях от третьей точки. Если в момент наступле-
наступления обоих событий в зту третью точку из места наступления собы-
событий посылаются световые сигналы, то события считаются одновре-
одновременными, если оба сигнала приходят в третью точку в один и тот
же момент времени.
Конечно, в рамках СТО можно рассматривать ускоренное дви-
движение тел, но, безусловно, нельзя рассматривать ускоренно дви-
движущихся (относительно иперциальных) систем отсчета. Поскольку
эталоны длины и часы неподвижно скреплены со своей ИСО, ясно,
что ускорять и эталоны и часы не следует. В противном случае

§ 2.3) ПРЯМЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПОСТУЛАТОВ ЭЙНШТЕЙНА 41
рассмотрение действия ускорения на эталоны длины и часы выну-
вынудило бы пас рассматривать конкретпое их устройство и тем самым
сразу бы лишило теорию ее всеобщего значения.
§ 2.3. Прямые следствия постулатов Эйнштейна (несколько
мысленных экспериментов). Два основных следствия постулатов
Эйнштейна —«относительность длины масштабов» и «относитель-
«относительность промежутков времени между событиями»— могут быть
получены непосредственно из самих постулатов. Чаще всего их
получают из преобразований координат и времени события, совме-
совместимых с постулатами Эйнштейна (преобразований Лоренца). Но
это просто удобный путь (мы им воспользуемся в § 3.2), вовсе
не обязательный. Сейчас мы опишем несколько «мысленных экспе-
экспериментов», с помощью которых получим нужные следствия. Мыс-
Мысленные эксперименты играют заметную роль в обоснованиях СТО;
опи представляют собой некоторые воображаемые эксперименты,
которые вовсе не обязательно фактически осуществлять. По суще-
существу, это просто рассуждения, позволяющие получить определен-
определенные следствия из заданных предпосылок *). Сейчас мы переходим
к изложению нескольких мысленных экспериментов, результаты
которых мы впоследствии получим еще раз, обсуждая следствия
преобразований Лоренца.
Мы начнем с очень простого мысленного эксперимента, который
качественно покажет нам относительность одновременности, если
выполняется второй постулат Эйнштейна,— результат, который
мы получим еще разными способами. Эксперимент ставится на
эйнштейновском поезде; так называют любой поезд, идущий равно-
равномерно и прямолинейно, но (желательно!) с релятивистской скоро-
скоростью. В мысленном опыте можно допустить и такое. В поезде точно
определена его середина (ото делается в системе отсчета поезда
и не вызывает затруднений). В середине поезда сидит наблюда-
наблюдатель 1, а па стапции сидит наблюдатель 2. От концов поезда, рав-
равноудаленных от наблюдателя 1, к нему посылаются световые сиг-
сигналы. Мысленный эксперимент ставится так, что сигпалы, иду-
идущие от концов поезда, приходят к наблюдателю 1 как раз тогда,
когда он поравняется с наблюдателем 2 (в мысленных экспери-
экспериментах ие принято интересоваться, как такое можно практически
осуществить). Для нас существенно, какие выводы сделают оба
наблюдателя из одного и того же факта одновременного прихода
сигналов в середину поезда.
Наблюдатель 1. Световые сигналы должны пройти до меня
одинаковые расстояния. Следовательно, эни посланы одновременно.
*) Не следует думать, что «мысленные эксперименты» (Gedankenexperi-
mente) характерны только для теории относительности. Серию «мысленных
экспериментов», относящихся к квантовой механике, можно найти в дискус-
дискуссии Н. Бора с А. Эйнштейном, УФН 66, 571 A958).

42
ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Наблюдатель 2. Световые сигналы попали ко мне, когда мимо
меня проходила середина поезда, следовательно, они были посла-
посланы несколько раньше. Но «раньше» голова поезда была ближе
ко мне, чем его хвост. Значит, от хвоста сигнал нужно было по-
послать с некоторым опережением, чтобы он пришел ко мне одно-
одновременно с сигналом, идущим от головы. Следовательно, сигнал
от хвоста послан раньше, чем от головы.
Из этих простых рассуждений ясно, что два одновременных
события в одной системе отсчета (в нашем примере — в системе
поезда) отнюдь не одновременны
ц' К' УК в '*РУГ0И (в нашем примере —
" " в системе «Земля»).
Все последующие мысленные
эксперименты будут уже иметь
количественный характер. Мы
—*-х,х' всегда будем рассматривать две
ИСО, обозначаемые if и К', отно-
в'
А'
С
z'
Рис. 2.1. «Мысленный эксперимент», по-
позволяющий установить, что д-шна линеек,
расположенных перпендикулярно направ-
направлению относительного движении иоорди-
натЕгых систем, не меннетсп при намере-
намерении их а .lioGoii ИСО.
сительпая скорость которых па-
правлена по общей оси х, х' (см.
рис. 1.2). Предполагается, что в
начальный момент t = t' — 0 де-
декартовы оси обеих систем сов-
совпадают.
а) Сравнение длин параллель-
параллельных линеек, расположенных пер-
перпендикулярно направлению относительного движения двух ИСО.
Возьмем в каждой из систем отсчета К и К' линейки одинаковой
длины. В каждой из систем положим свою линейку вдоль соот-
соответствующей оси уму'. Пусть это будут равные линейки ВС
и В'С (рис. 2.1). В каждой из систем отсчета можно найти сере-
середины линеек, пусть это будут точки А и А'. Пусть липейки дви-
движутся так, что при совпадении осей у и у' середины линеек, т. е.
точки А и А', совпадают. Системы К и К' в момент времени t =
= t' — 0 геометрически тождественны. Вопрос заключается в том,
какую длину линейки В'С измерит наблюдатель из системы К
и какую длину линейки ВС измерит наблюдатель из К'. Каждый
из наблюдателей должен отметить положение начала и конца
идущей мимо пего линейки одновременно в своей системе отсчета.
Для рассматриваемою случая одновременность удобно устано-
установить следующим образом. Когда точки С" и В' оказываются
на оси у. то из этих точек посылаются световые сигналы в точку
А'. В системе К' отрезки А'С и В'А' равны, скорость света с
одна и та же, и в точку А' сигналы придут одновременно. Значит,
С и В' одновременно в системе К' пересекут ось у. В точпости
так же точки Си/? одновременно в системе К' пересекут ось у'
с точки зрения системы К. В момент времени ( — I' — 0 (когда оси

S 2.3]
ПРЯМЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПОСТУЛАТОВ ЭЙНШТЕЙНА
43
у и. у' совпадают) произведем измерения длины линейки В'С
с точки зрения системы К и длины линейки ВС с точки зрения К'.
Таким образом, на совпадающих друг с другом осях у и у' оказы-
оказываются одновременно четыре точки С, С, В, В', и, следовательно,
наблюдатели в обеих системах могут сравнить свои результаты.
Если бы оказалось, что СВ > С В' или, наоборот, С В' > СВ, то
это позволило бы указать различие между системами отсчета К
и К', что недопустимо согласно исходному предположению о рав-
равноправии всех инерциальпых систем отсчета. Поэтому наблюда-
наблюдатели из К и К' могут обнару-
жить только,} что СВ = СВ'.
Следовательно, длины (и
единицы длины) в направле-
направлении, перпендикулярном на-
направлению относительного
движения, остаются неизмен-
неизменными при их измерении в лю-
любой ИСО. Но ото означает,
что и координаты точек но
осям, перпендикулярным на-
направлению движения, также
не меняются. Следовательно,
точно так же, как и при пре-
преобразованиях Галилея,
у' =у, z' = z. B.1)
л'
1
о'
Рис. 2.2. «Мысленный эксперимент», из кото-
которого следует, что промежуток собственного
времени между двумя событиями всегда ока-
зынается меньше, чем промежуток времени
между двумя теми же самыми событиями, отме-
отмеченными по двум часам любой другой системы
отсчета (опыт со «(Световыми часами.)), а) К рас-
расчету собственного промежутка времени между
моментами посылки и приема светового сигна-
сигнала в начале системы координат О', б) If ра-
расчету промежутка времени между теми же со-
событиями в системе отсчета К, относительно
которой источник света и зеркало движутся.
б) Сравнение хода часов в
системах К и К'. Наблюдая
за ходом часов в двух систе-
системах К и К', движущихся от-
относительно друг друга, можно сравнивать только показания одних
часов в одной системе с показаниями нескольких часов в другой
системе, поскольку двое часов из разных систем отсчета сходятся
в одной и той же точке пространства всего лишь один раз. Как
минимум, d одной из систем должна быть пара часов, которые,
как предполагается, синхронизованы между собой способом, о кото-
котором было рассказано в § 2.2 этой главы. Для определенности будем
сравнивать одни часы в системе К' с двумя часами системы К.
Пусть и системе К' в начале О' расположены часы и источник
света (рис. 2.2а). На расстоянии z'a от источника света (и часов)
в направлении, перпендикулярном направлению относительного
движения, на осиг' установлено зеркало. Световой сигпал от источ-
источника направляется на зеркало, откуда, отразившись, вернется
и точку О' через промежуток времени At' — 2z'0/c. В системе К'
и источник света и зеркало покоятся, поэтому распространение
происходит вдоль одной прямой (оси z') «туда» и «обратно».

44 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА (ГЛ. 2
Распространение этого же сигнала рассматривается теперь
в системе К, относительно которой источник и зеркало вместе
с системой К' движутся вправо со скоростью V. Хотя посылка
сигнала происходила из двух совпадающих начал отсчета О и О',
отражение света от зеркала произойдет уже в какой-то точке хг
системы К, а прием сигнала — в точке хг оси х. Таким образом,
в системе К путь сигнала выглядит уже как две стороны равно-
равностороннего треугольника. Так как путь, проходимый светом в си-
системе if, больше, чем путь света в системе К', можно ожидать,
что промежуток времени At между посылкой и приемом сигнала,
отсчитанный в К, будет больше, чем At'. Действительно, наблю-
наблюдатель из системы К найдет, что два события — испускание света
из точки О' и приход света в точку О' — произойдут в двух раз-
различных точках пространства — О ж В (рис. 2.26). Промежуток
времени At между двумя этими событиями в системе К будет изме-
измерен уже двумя часами, отстоящими друг от друга па расстоянии
V At по паправлепию движения. Во всех системах отсчета ско-
скорость света равна с; поэтому, разделив длину боковых сторон
треугольника ОАВ на скорость света с, мы получим промежуток
At в неявной форме:
Определяя из последпего равенства At, получим, что
Поскольку z0 — z'a, то
где введено обозначение В = Vic. В системе К' оба события про-
произошли в одном и том же месте, следовательно, измерялись одними
и теми же часами. Интервал времени между событиями, отсчитан-
отсчитанный по одним и тем же часам (что означает наступление событий
в одной и той же точке пространства), называется интервалом
собственного времени для этих событий. Конечно, интервал вре-
времени, начальный и конечный моменты которого отмечаются в раз-
различных точках системы отсчета и, следовательно, различными
часами, уже не будет интервалом собственного времени между со-
событиями. В рассмотренном примере интервалом собственпого вре-
времени является At'. Из формулы B.2) видно, что промежуток вре-
времени между событиями оказывается наименьшим, если он опре-

$ 2.3] ПРЯМЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПОСТУЛАТОВ ЭЙНШТЕЙНА 45
деляется в той системе отсчета, где эти события наступают в одной
и той же точке пространства. Как мы увидим в § 3.4, можно ука-
указать условия, при которых существует такая система отсчета,
в которой два заданных события наступят в одной точке.
Итак, мы получили важнейший вывод: промежуток времени
между двумя событиями — величина относительная; оп зависит
от выбора системы отсчета. Ничего похожего в классической физи-
физике не было, промежутки времени имели абсолютный характер.
На этом примере хорошо видно также, что и отсчеты времени
в разных системах должны быть различными. Когда начала отсче-
отсчета О и О' совпадали, то по нашему условию часы из К и К', нахо-
находившиеся в этой точке, отметили моменты времени tt = 0 и t\ — 0.
Когда световой сигнал вернулся в О', то часы из К' отметили вре-
время 1'г = t[ + At'. Но в этот же самый момент в этой же самой точке
находятся часы системы К (не те, которые были в О, а. другие, но
сипхропизоваппые с ними). Их показание будет уже t2 = tx -f- At.
Как мы уже установили, At =f= At', следовательно, показания
часов будут разными. Это и означает, что момепты наступления
событий отсчитываются но-разному в разных системах отсчета.
Заметим, что этот расчет показаний часов в системе К полностью
соответствует правилу сипхронизации часов но Эйнштейну, изло-
изложенному в § 2.2.
в) Сравнение длины линеек, расположенных параллельно на-
направлению относительной скорости. Система отсчета, в которой
покоится тело, является для этого тела собственной системой
отсчета. Такую систему обычно принято обозначать К0. Допустим
теперь, что в этой системе покоится липейка, лежащая на оси х*.
Обозначим длину линейки в этой системе через 10 (собственная
длина линейки). Чтобы определить длину линейки в любой систе-
системе отсчета, нужно одновременно (в этой системе) определит коор-
координаты начала и конца линейки. Лишь в системе К0, где линейка
покоится, можно не думать об одновременности измерения поло-
положения копцов линейки. Именно благодаря тому, что в повседнев-
повседневной жизни измеряется собственная длина предметов, процесс
измерения длины столь прост и осуществляется непосредственным
переложением масштаба.
Если говорить об инерциальных системах отсчета, движущихся
относительно Друг друга, то линейка покоится в одной-единствен-
пой системе отсчета, а относительно всех других систем отсчета она
движется. И непосредственное перекладывание единичного масшта-
масштаба становится уже невозможным. Воспользуемся способом изме-
измерения длины, пригодным также и для измерения длины линейки,
движущейся относительно системы отсчета.
Поместим левый колец линейки в пачало отсчета О0, причем
в О0 поместим еще и источник света /. На правом конце линейки
поместим зеркало S перпендикулярно оси xQ (и х) (рис. 2.3, а).

46
ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Теперь рассмотрим два события. Первое событие состоит в том,
что в момент t -- t0 — 0 из источника / посылается световой сиг-
пал ндоль оси х0 в направлении зеркала S. Второе событие состоит
в том, что световой сигнал, отразившись от зеркала 5', приходит
обратно к левому концу линейки в О0. Оба события наблюдаются
в точке О0 с помощью одних часов. Поэтому промежуток времени
Рис. 2.3. «Мысленный эксперимент», позволяющий обнаружить «сокращение» длины
линейки, если эта длина измеряется в системе отсчета, относительно которой линейка
движется равномерно и прямолинейно. Линейка располагается параллельно скорости
ее движения, а) К измерению длины линейки, покоящейся в системе отсчета К" (соб-
(собственная длина линейки) б) К ивмерению длины линейки в системе отсчета, относительно-
которой линейка движется со скоростью V.
между ними — это промежуток собственного времени Atn, кото-
который, очевидно, можно записать в виде
д/ ° (о ч\
М0--—. (Z.6)
Для наблюдателя в системе К эти же самые два события выгля-
выглядят несколько иначе (рис. 2.3, б). В момент испускании сигнала
источник / в системе К находится в точке О, а зеркало S — в поло-
положении &V В момент отражения зеркало S будет находиться ужо
в точке 52, а источник — в точке /х. В момент прибытия сигнала,
отраженного от зеркала ?\ к левому концу стержня источник
будет уже находиться в точке /2. Моменты времени, соответствую-
соответствующие первому и второму событиям, отсчитываются в системе К
в разных точках и, следовательно, разными часами. Это означает,
что промежуток времени At между этими событиями можно опре-
определить согласно B.2) через At0. При движении света вправо ско-
скорость, с которой он догоняет зеркало S, равна с — V (классиче-
(классическое сложение скоростей в данной ИСО), а при движении влево
свет идет навстречу зеркалу со скоростью с + V. Обозначая (пока
еще неизвестную) длину линейки в системе К через I, получим,
что время, за которое свет дойдет от источника до зеркала, t1 —
= If (с — V), а время, за которое он пройдет от зеркала до источ-
источника, t2 — Ц{с + V). Таким образом, промежуток времени между

§ 2.4] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ СИНХРОНИЗАЦИИ ЧАСОВ 47
посылкой и приемом светоного сшнала в К рапеп
В
Вспоминая, что Л/о = V 1 — /'2 А/, и принимая во внимание
B.3), из последнего равенства найдем
-= 10 УТ=& ^ -^. B.4)
Формула B.4) показывает, чему будет равна длина линейки,
если измерять ее длину и любой ннерциалыюй системе отсчета.
В той системе, где она покоится (В — 0), ее длина равна Zo, с чего
мы, собственно, и начали. Формула B.4) несимметрична относи-
относительно длин I и 10, поскольку она связывает собственную длину
линейки 10 (в системе К0) с несобственной длиной I в любой дру-
другой системе К.
Итак, непосредственно из постулатов Эйнштейна мы вывели
относительность иромежутк°1! времени между событиями и отно-
относительность длин (линеек) масштабов. Обе эти величипы в класси-
классической механике были одинаковыми но всех ииерциальпых системах
отсчета. Оба результата присущи именно теории относительности
и требуют подробного обсуждения. По мы отложим обсуж-
обсуждение полученных результатов до §§ 3.2, 3.3. поскольку сами эти
результат).! — ввиду их важности — будут получены еще не-
несколькими способами, которые выявят некоторые новые обстоя-
обстоятельства, существенные для интерпретации соотношений B.2)
и B.4).
§ 2.4. Относительность сипхропизации часов двух инерциаль-
ных систем отсчета. Непосредственный вывод преобразований
Лоренца. До сих пор рассматривалась синхропизация набора
часоп данной ипорциалыюй системы. По все инерциальные систе-
системы равноправны и любое событие может отмечаться наблюдателем
из любой иперциальной системы. Координаты события отмечаются
наблюдателем каждой системы по своей координатной сетке.
Время наступления события отмечается набором часов каж-
каждой иперциальной системы по часам, находящимся в момент
наступления события в той точке пространства, где наступило
событие. Образно говоря, все пространство заполпепо движущи-
движущимися часами разных систем отсчета, и мгновенная вспышка света
в данном месте пространства, осветив циферблаты всех часов,
находящихся в данной точке, позволяет определить время наступ-
наступления этого события (вспышки) но всех тех системах отсчета,
часы которых были в этой точке в момент вспышки. Чтобы пока-
показать, что здесь происходит, достаточно рассмотреть две системы —
К п К'.

48 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Вопрос заключается в том, что показывают часы из двух
систем — системы К и системы К',— оказавшиеся в одной точке.
Конечно, если мы хотим сопоставлять показания часов из разных
систем (не забудем, что в каждой из систем все часы синхронизо-
синхронизованы), между показаниями соответствующих наборов часов должна
быть установлена некоторая связь. Без такой связи проводить
сравнение бессмысленно.
Оказывается, все, что можно сделать,— это поставить на оди-
одинаковый отсчет лить двое часов — одни из К, другие из К',—
оказавшиеся в данный момент времени вместе. Поставив эту пару
часов на одинаковый отсчет, мы — в силу синхронизации в каж-
каждой системе — переводим соответственно и показания всех осталь-
остальных часов в каждой системе. При этом оказывается, что во всех
остальных точках пространства находящиеся там часы из К и К'
показывают разное время. Это — очень существенный результат:
часы, синхронизованные в одной системе отсчета, рассинхронизо-
ваиы с точки зрения любой другой инерциальной системы отсчета.
Другими словами, если в системе К' одновременно зафиксировать
показания всех часов системы К, то окажется, что часы в системе
К показывают разное время. Мы получим сейчас соответствующие
формулы.
Обычно связь между показаниями наборов синхронизованных
часов в К и К' устанавливают следующим образом. Когда начала
коордипат систем К и К' совпадают, то часы из К и К', находя-
находящиеся в общем начале отсчета, ставят на деления / = 0 и t' — 0.
Как мы увидим ниже, из этого вовсе пе следует, что во всех осталь-
остальных точках пространства часы из К и К' показывают одпо и то же
время.
Нам понадобится формула преобразования координат точек
пространства при переходе от системы К к системе К'. Когда
пачала коордипат совпадают, то координатная сетка системы К'
с точки зрения системы К сжата в 1/Г раз (предполагается, что
единичные собственные масштабы на осях координат одинаковые
как в К, так и в К'). Следовательно, в начальпый момент времепи
координаты точки х и х' связаны соотношением (см. B.4))
г V утзгвгГ
К моменту времени t вся координатпая сетка системы К' сместится
как целое на расстояние Vt, и потому в этот момент мы получим
х = аг'/Г + Vt. Отсюда, если в момент t коордипата точки в систе-
системе К была равна х, то в системе К' ее координата х' будет
х' (ж, 0 = Г (х — Vt). B.5)
По осям у, z координатная сетка остается неизменной (§ 2.3),
поэтому
У' =У, *' = z-

§ 2 4] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ СИНХРОНИЗАЦИИ ЧАСОВ 49
Теперь нас интересуют показания часов из системы К', находя-
находящихся в точке х в момент времепи t; обозначим эти показания
через t' (х, t). Эта величипа может быть найдена многими спосо-
способами, но сейчас мы хотим использовать для ее определения процеду-
процедуру синхронизации часов.
Поступим так: когда начала координат О и О' совпадают, а по-
показания находящихся там двух часов (одних из К, других из К')
равны нулю, вдоль общей оси х, х' в направлении возрастания х
и х' посылается световой сигнал. Далее рассматривается момент
времепи t по часам системы К. В этот момент сигнал нриходит
в точку х2 = ct системы К. Приход сигнала в точку х2 в момент
t — это событие, координаты которого в К будут (х2, /). В систе-
системе К' то же самое событие будет иметь координаты (х'г, t'2), причем
согласно второму постулату х'г = ct'2. Но соотношение B.5) годится
для любых событий, и поэтому, подставляя в левую и правую
части х2 и х'г и сокращая па с, по чучим
*; = Tt A - В). B.6)
Это и означает, что часы из набора часов системы К', оказавшие-
оказавшиеся в точке х2, показывают время t't, отнюдь не совпадающее со вре-
временем, которое показывают в этой же точке часы из К (они пока-
показывают время t). Это и означает различный отсчет времени наступ-
наступления события, о котором уже шла речь в § 2.3.
Теперь мы можем пайти показание еще одних часов из систе-
системы К' в момент времепи t. В момент времени t начало отсчета О'
окажется в точке хх = Vt; вместе с началом в эту точку переме-
переместятся опорные часы системы К'. Они отсчитают во время переме-
перемещения промежуток собственного времени Д?' = t\ — 0 = t\.
По часам системы К промежуток времени между тем, когда нача-
начало О' совпадало с О, и тем, когда О' очутилось в точке хг, равен
At ^ t — 0 = t. Согласно B.2)
t[ - tlV. B.7)
Итак (рис. 2.4), мы пришли к выводу, что и момент t (по часам
системы К. т. е. одновременно в К) члсы из К', находящиеся в раз-
пых точках системы К, показывают разное время:
в точке хъ — ct l\ — Г A — В) t,
в точке ху — Vt t[ — t/T.
И это несмотря па то, что все часы из набора К' синхронизованы
в своей системе. Но расчет обнаружил, что они рассинхронизовапы
в системе К. Мы получили также, что рассинхронизация зависит
от того, в какой точке системы К сравниваются часы. Найдем раз-
разность показаний часов из К' в точках х2 и хг:
At' =*;_*; = TBt (В - 1).
4 В. А. Угаров

50 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Эта разность показаний набегает на расстоянии Ах = хг — хг =
= ct A — В). Если считать, что рассинхронизация непрерывно
зависит от расстояния вдоль оси х, то можно найти рассинхрони-
зацию на единицу длины:
Из B.8) видно, что рассинхронизация, отнесенная к единице-
длины, не зависит от выбора момента времени t, а определяется
Момент t
t'=0
О' ЧС t'2=r(l-B)t
x, = Vt хг = ct x
Рис. 2.4. Рассинхронизация часов системы К' с точки зреция системы К. Когда начала
систем Ото' совпали, двое часов из систем К и К', оказашпиеся в этой точке, ставятся
на показания t = 0 и С = 0. В момент времени t (по часам из К) можно иайтп показания
часов из К' в точках xt = Vt и жа = ct.
исключительно расстоянием между часами из К', отсчитанным
в системе К; теперь уже для произвольной пары точек можно
записать
J2 tl ¦= 1 — [X% Xi).
Как уже указывалось, наборы синхронизованных часов систем
К и К' согласуются между собой тем, что в момент совпадения
координатных систем К и К' в точке хх — 0 часы из К и К' ста-
ставятся на пулевой отсчет, т. е. часам, находящимся в этой точке,
приписываются зпачения t = 0 и V — 0. Полагая жа = х, полу-
получим из последнего равенства
t'(x, t = 0) = — T^x. B.9)
Из формулы B.9) видно, что покажут в момент времени t = О
(по часам из К) часы из системы К', находящиеся в точке х. Их
показания представлены графически па рис. 2.5. Слева от качала
отсчета часы из К' все больше и больше опережают часы из К,
а справа — отстают от них.
Теперь уже нетрудно выяспить, что покажут часы из системы
К', находящиеся в точке х в момент времепи t. Мы воспользуемся
еще раз тем обстоятельством, что разпость показаний двух часов
из К' не зависит от выбора момента времени t, В точку х в момент

§ 2.5]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
51
t придут те часы из К', которые в момент t — 0 находились в точ-
точке ас — Vt и, согласно B.9), отставали от опорных часов на про-
Г)
межуток времени — Г — (х — Vt). На этот промежуток времени
эти часы будут отставать от опорных часов всегда. Но в момент t
опорные часы покажут время
t\ = tlV (см. B.4)), а часы в t'(x,O)k
точке х — время
*¦ ' ' Г с *¦ ' ****. опережают
= Г (*-
B.10)
Рис. 2.5. Показания часов системы К' в
момент времени t = 0 (по часам из К) в
точках с координатами х.
Формулы B.5), B.6), B.10)
и являются преобразованиями
Лорепца. Конечно, приведен-
приведенный вывод B.10) может пока-
показаться громоздким и даже из-
излишним. Действительно, ис-
используя рассуждения, привед-
приведшие пас к соотношению B.5), но применительно к переходу от
К' к К, мы получим
х(х', t') = V(x' + Vt'). B.11)
Разрешая B.11) относительно t' и заменяя х согласно B.5),
мы действительно сразу придем к B.10):
Показав относительность синхронизации часов, мы выяснили
физический смысл различного отсчета времени в различных инер-
циалышх системах. Кроме того, понимание «рассипхронизации
часов» позволяет избежать многих недоуменных вопросов. В за-
заключение обратим внимание на то, что точка, в которой показания
часов из К ж К' совпадают, все время перемещается вдоль поло-
положительной оси х со скоростью, которую можно получить из фор-
формулы B.10), положив в пей t = I'':
р 1
B.12)
Г В
¦ с.
§ 2.5. Преобразования Лоренца как следствия постулатов
Эйнштейна. Найдем формулы, позволяющие по координатам
(х, у, z, t) события в системе К найти координаты (х', у', z', t')i
того же самого события в системе К'. Эти формулы (преобразова-
(преобразования координат события) должны быть согласованы с постулатами
Эйнштейна.

52 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Как уже указывалось, пространство и время во всех инерци-
альных системах отсчета должны быть однородными. Из этого
вытекает, что связь между координатами события в двух инер-
цпалышх системах должна быть линейной. Действительно, пусть
« системе К изменилось начало отсчета координат и времени, т. е.
совершено преобразование х — х -|- х0, у —-¦ у + Do, z = z + г0)
t — t -- t0. Если связь между координатами события в К и К'
линейна, то мы получим, например, для х (аи а2, ая, а4 —
постоянные)
х — ахх + а2у -f а3г + akt -—
=^ ахх + а2у + аяг -|- aj + («А
Из носледнего равенства видно, что в К' тоже произошло измене-
изменение начала отсчета, так как выражение в круглых скобках оди-
одинаково для всех точек К'. По такое изменение в силу однород-
однородности пространства и времени во всех ИСО несущественно.
Допустим теперь хотя бы один киадратичпый член в формуле
п реонра зовапи я:
х' = Ьхх2 -Ь . . . = Ъу? -J- 2Mir0 + ...
Второй член в третьем звене равенства уже зависит от х и ведет
к искажению (деформации) пространства. Этого мы допустить
не можем. Итак, искомые преобразования — линейные.
Мы пользуемся расположением систем отсчета, изображенным
на рис. 1.2: относительная скорость К и К' направлена по общей
оси х. х', осп у и z соответственно параллельны осям у' и z'. В мо-
момент t — V =0 координатпые системы совпадают. Скорость К'
относительно К равна V. Ось х определяется пересечением плоско-
плоскостей у — 0, z — 0; поэтому, если оси х и х' совпадают, то из усло-
условия у — 0, z -- 0 должно следовать и у' — 0, z' = 0. Таким обра-
образом, формулы преобразования для у и z должны иметь вид (Л, В,
С, D — постоянные)
у' = Az -г By, z' = Су - Dz.
Поскольку чисто пространственные вращения координатных систем
несущественны для описания физических явлений, можно пово-
поворотом осей у' и г' вокруг оси х' добиться того, чтобы плоскость
у — 0 переходила в плоскость у' = 0, а плоскость z = 0 — в пло-
плоскость z' — 0. Таким образом, можно положить у' = By, z' = Dz;
однако в силу равноправия направлений у и z (пространство изо-
изотропно, а относительная скорость систем отсчета паправлепа
по оси х, х') нужно считать, что В = D. Итак,
у' == Dy, z' = Dz.

5 2.5] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 53
Нам остается определить коэффициент В. Рассмотрим единичную
линейку, расположенную в системе К на оси у (коордипаты ее
копцов т/х = О, у2 = 1). В системе К' координаты концов линейки
были бы у1 = О, у2 = D, а длина V равнялась бы Г =¦ у'г — j/J =
= D. Если взять единичную линейку в системе К', расположен-
расположенную вдоль оси у' (у\ = О, у'2 = 1), то координаты ее концов в К
были бы уг = 0, у2 — 1/D, а длина I равнялась бы I = уг — J/i =
= UD.
Таким образом, измеряя единичную линейку системы К,
наблюдатель из К' найдет ее длину равной D, а измеряя единич-
единичную линейку системы К', наблюдатель из К найдет ее длину рав-
равной MD. В силу равноправия инерциальных систем такой резуль-
результат недопустим, и следует положить D = 1. Итак,
У = У, z = z',
как этой было получено из постулатов Эйнштейна непосредствен-
но (§ 2.3).
Найдем теперь формулы преобразования для х и t. Поскольку
преобразования линейны, то
х = А1гх -\- A12t + А10 (*)
и, обратно,
где все коэффициенты А — постоянные величины. По условию,
когда начала О и О' совпадают, I — 0 и ? = 0. Отсюда А10 -— 0,
А2о = 0. Наблюдая за точкой О', можно сказать, что ее коорди-
координата х в момент t равна Vt; поэтому из (*) имеем
0 - AnVt +Altt;
таким образом, А12:Ап —¦ —V. Обозначая *) /112 через Г', можно
записать (*) в виде (ср. § 2.4)
х' -= Г (х - Vt), B.13)
а па основании аналогичных рассуждений
х - Г(аг' -г Vt'). {2.Щ
Таким образом, задача свелась к определению коэффициентов
Г и Г'. В силу однородности времени и пространства, а также
изотропности пространства оба ути коэффициента могут зависеть
лишь от абсолютной величины скорости V.
Легко убедиться в том, что Г = Г'. Действительно, пусть в К
масштаб, лежащий вдоль оси х, имеет собственную длину 10.
Поместим один его конец в пачале системы отсчета К, тогда коор-
*) Мы пишем здесь сразу Г и Г' (пиже показано, что Г' = Г). Очень
скоро выяснится, что эти величипы совпадают с величинами Г, появивши-
появившимися в B.2) и B.-5).

54 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
динаты его концов будут соответственно х1 = 0, х2 = 10- В момент
времени t — t' = 0 (напомним, что в этот момент геометрически
системы К и К' совпадают) согласно B.14) х[ — 0, х'г = 101Т.
Значит, длина масштаба с точки зрения К' равна Г — х'2 — х[ =
— 1О'Т'. Возьмем масштаб такой же длины, неподвижпый в систе-
системе К', а также лежащий вдоль оси х. Тогда координаты его концов
будут равны х\ = О, х'г = 10. Но с точки зрения системы К в мо-
момент t = 0 координаты его концов согласно B.13) будут уже
хл = 0 и хг = IJV. Следовательно, его длина равна I = х2 —
— а;, = 10/Г', т. е. он укорочен в Г' раз. Но обе системы К и К'
равноправны, их относительная скорость одинакова, поэтому
сокращение должно быть одинаковым, следовательно, Г = Г'.
Найдем теперь величину Г. Отличие систем К и К' состоит
лишь в относительном движепии, и Г может зависеть только от
абсолютной величины V. Воспользуемся постулатом о постоянстве
скорости света в вакууме во всех ИСО. В момент t = t' = 0 (когда
начала обеих систем О и О' совпадают) из общего пачала посы-
посылается световой сигнал. Пусть событие состоит в приходе сигнала
в некоторый момент (t и системе К и t' в системе К') в некоторую
точку (х в системе К и х' и системе К'), лежащую на оси х. В систе-
системе К :>та точка имеет координату х — ct, а в системе К' та же точ-
точка имеет координату х — ct'. Эти времена и координаты связаны
между собой преобразованиями B.13) и B.14), н, подставляя эти
выражения для х и х' в B.13) и B.14), мы получим
ct' =Tt(c — V), ct = IY (с + V).
Если почленно перемножить левые и правые части этих двух
соотношений, то, сократив на //', получим
vw^VT^W' B = ~- BЛ5)
C2
Мы убедились в том, что величина Г совпадает с величиной Г,
которая впервые появилась в формулах B.2) и B.4).
Чтобы найти формулу преобразования времени, найдем f
из B.14), принимая во внимание B.13):
,,_ _?__fl__? T^-vt) _ -
IT V ГУ V
-г ('-7*)-
Таким образом, мы приходим к преобразовапиям координат и вре-
времени события в виде
y'=y, z' = z, J' = r(t-|i). B.16)

f 2.6] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФРОНТА СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ 55
Преобразования B.16) и есть преобразования Лоренца. Их
нетрудно переписать также для произвольного направления отно-
относительной скорости V систем отсчета К и К'. Действительно, мы
получили, что меняются координаты но направлению движения,
а поперек направления движения — остаются неизменными.
Разложим радиус-вектор точки г на части: параллельную направ-
направлению движения Гц (r||||F) и перпендикулярную направлению
движения vL {rL J_ V):
Г = Г± + Гц.
Тогда
но
Поэтому
г' - г I, + r'j_ -= Г (г,, — Vt) + г ± = Г [(г,, -1- г ±) — VI] - A — Г) г ±,
rj.=»—гц=г—F -^-- [F(ТГ2ГI •
Отсюда:
г'-Г(г-Г*)-(Г-1)-
'-г («-•?-).
Это уже преобразования Лоренца в векторной форме для
произвольного направления относительной скорости: формула для
г' соответствует классической формуле A.1), в которую она пере-
переходит при Г = 1.
Мы снова отложим обсуждение смысла преобразований Лорен-
Лоренца B.16), чтобы получить их еще одним способом. Этот способ
приведет нас к пониманию того, что реальный физический мир,
в котором происходят все явления природы, представляет собой
четырехмерное многообразие —«пространство-время». Специальная
теория относительности предстанет перед нами как теория четырех-
четырехмерного пространства-времени, как теория, имеющая прямой гео-
геометрический смысл. По физическому содержанию и возможности
дальнейшего обобщения такой подход оказался чрезвычайно важ-
важным для всего нашего физического мировоззрения и первым шагом
к построению теории тяготения.
§ 2.6. Распространение фронта световой волны. Интервал
между событиями. Проведем еще один мысленный эксперимент,
рассматривая его с точки зрения двух ИСО — К и К',— находя-
находящихся в вакууме (К' движется по общей оси х, х' со скоростью V).

56 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 1ГЛ. 2
В начальный момент t = I' = 0, когда по условию оба начала
отсчета О vs. О' совпадают, в общем начале отсчета произведем
вспышку света. Согласно второму постулату Эйнштейна свет
распространяется по всем направлениям в К и К' с одинаковой
скоростью с. Следовательно, волновой фронт (т. е. поверхность
равных фаз) будет представлять собой сферы в обеих системах К
и К'. Уравнения этих сфер можно сразу записать:
В системе К | В системе К'
х2 + у2 + г2 = сН2. | х'2 + у'2 + z'2 = сН'г.
Если даже забыть все то, что уже говорилось о разных отсчетах
времени t и t' в системах К и К', можно сказать, что мы написали
для системы К' справа f вместо t по следующим соображениям.
Допустим, что время в системах К и К' одинаково, т. е. t = t'.
Тогда радиусы обеих сфер (для данного момента t) оказываются
одинаковыми. Получается, что один и тот же физический объект —
волновой фронт — описывается с равным правом двумя сферами
одинакового радиуса, но с центрами в точках О и О'. Это бессмыс-
бессмысленно. Значит, положить t = t' невозможно. Перепишем оба
равенства в виде
сН2 — (хг + г/2 + z2) = О,
сН'% — {х'г + у'2 + z'2) = 0.
В этом мысленном эксперименте фактически речь идет о двух
событиях. Первое из них состоит в отправлении сигнала из начала
системы отсчета х0 = 0, у0 = 0, z0 = 0 в момент времени t0 = 0,
второе — в приходе сигнала в произвольную точку сферы с коор-
координатами х, у, z в момент времени I. Если составить выражение
которое называют интервалом между этими диумя событиями
и обозначают символом s, то полученный нами результат можно
сформулировать так: для двух событий, состоящих в отправле-
отправлении светового сигнала из одной точки и приходе его в другую,
квадрат интервала между этими событиями в любой ИСО должен
быть равен нулю:
s* ^ 0, s'2 = 0. B.17)
Конечно, интервал между событиями может быть определен
не только для отправления и прихода светового луча. Если коор-
координаты события 1 определяются числами хи уи z,, tY, а координа-
координаты события 2 — числами х2, у^, z2, t2, то по определению интервал
между этими событиями s12 равен

5 2.6] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФРОНТА СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ 57
Однако для произвольных событий интервал s12 уже не равен
нулю.
Часто бывает удобно перейти к рассмотрению событий, про-
происходящих в бесконечно близких точках и в бесконечно близки&
моменты времени. Полагая в этом случае t2 — t\ = dt, хъ — xt =
= dx, y2 — Уг = dy, z2 — zx = rfz, получим для квадрата интер-
интервала
ds2 = c4t2 - dx2 - dy2 - dz\
Как мы сейчас покажем, основным свойством интервала между
событиями является его инвариантность при переходе от одной
инерциальной системы к другой.
Из мысленного эксперимента по посылке — приему светового-
сигнала следует согласно B.17), что если в одной ИСО ds2 = О,
то и во всякой другой ds'2 — 0. Обе величины ds и ds' — бесконеч-
бесконечно малые одного порядка и поэтому должны быть пропорциональ-
пропорциональны друг другу. Следовательно, можно записать, что
ds2 = ads'2,
где а — коэффициент пропорциональности. Это соотношение долж-
должно выполняться для интервала между любой нарой событий.
Действительно, никаких условий на связь мешду интервалами ds
и ds' для нары произвольных событий у нас пет, а для событий
частного вида — приема и отправления светового сигнала — связь
должна быть имеппо такой.
Коэффициент а не может зависеть от коордипат х, у, z и вре-
времени t, потому что ото означало бы, что различные точки прост-
пространства и различные моменты времепи неравноправны. Так как
мы считаем пространство и время однородными, то а должно быть
постоянной величиной, записящей только от абсолютной величины
отпосителыюй скорости двух рассматриваемых ИСО. Действитель-
Действительно, коэффициент а не может зависеть и от направления относи-
относительной скорости двух ИСО, так как это означало бы неравно-
неравноправие различных направлений в пространстве. В силу изотроп-
изотропности пространства мы должны считать, что а может зависеть только
от абсолютной величины относительной скорости рассматривае-
рассматриваемых инерциалышх систем отсчета.
Рассмотрим три ИСО, обозначив их соответственно К, К', К",
причем Vi_ — скорость К' относительно К, а Vг — скорость К"
относительно К. Мы можем написать, что
ds* ^
ds2 = a (F2) &J. (••)
Рассматривая непосредственно системы К' и К", можно записать

58 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
где F12 — абсолютная величина скорости системы К' относитель-
относительно К". Подставляя последнее выражение в (*) и сравнивая с (**),
мы паходим, что
Поскольку F12 зависит не только от абсолютных величин
векторов Vx и V2, но и от угла между ними (а этот угол вообще
не входит в носледнее соотношение), очевидпо, удовлетворить
соотношению можно тогда, когда коэффициент а сводится просто
к постоянной величине; постоянная а, как это ясно из последнего
равенства, может быть равна только единице. Поэтому
cfc2 = ds'-;
из равенства бесконечпо малых иптервалов вытекает раьепство
(интервалы s и s' не могут отличаться па произвольную постоян-
постоянную, поскольку из s = 0 следует s' = 0)
s = s',
т. е. инвариантность интервала s относительно преобразований
координат и времени, согласующихся с постулатами Эйнштейна.
Мы уже видели и еще раз убедимся в том, что такими преобразо-
преобразованиями являются преобразования Лоренца.
Таким образом, выражение сЧ2 — х2 — г/2 — z2 должно оста-
оставаться неизменным при переходе от системы К к К'. Когда систе-
системы К и К' расположены так, как это изображено на рис. 1.2,
у — у', z = z' и сумма у% ~- z2 уже является инвариантом. Поэто-
Поэтому инвариантом преобразования будет фактически выражение
^ = сН2 — х"-. B.18)
§ 2.7. Преобразования Лоренца как следствие инвариантности
интервала между событиями. В предыдущем параграфе было
показано, что при переходе от одной иперциальной системы отсчета
к другой координаты днух событий должны удовлетворять соот-
соотношению
сН'2 — х'2 = сН2 — х2, или х'2 — сЧ = х2 — сЧ2. B.19)
Здесь для простоты принято, что одно из событий имеет коорди-
координаты @, 0, 0, 0), а в силу нашего соглашения о системах отсчета
это означает, что и в другой системе отсчета оно имеет коорди-
координаты @, 0, 0, 0).
Сделаем еще один шаг для упрощения записи. Читатель, вероят-
вероятно, уже обратил внимание на то, как часто встречается произве-
произведение скорости света и времени ct. Введем новую едипицу вре-
времени — световой метр: время, за которое свет проходит расстоя-

i 2.7] ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ 59
ние в 1 м. Очевидно, 1 м времени =1 м/с (секунд), т. е. 1 м про-
проходится за Не секунд.
Свет пройдет т метров за время т — = t сек; отсюда ясно, что
т(св-м) - с* (сек). B.20)
Эта единица покажется не столь уже необычной, если вспомнить,
что в астрономии расстояние измеряется по времени (и скорости
света) — в световых годах.
Итак, если измерять время в световых метрах, выражение
для инвариантного интервала между событиями станет совсем
простым:
х'2 _ т'я = х2 - т2. B.21)
Проще всего найти преобразования, удовлетворяющие B.21),
так. Мы знаем (§ 2.5), что преобразования координат и времени
должны быть линейными. Запишем такие преобразования с неоп-
неопределенными постоянными коэффициентами в виде
х' = а,х -(- Ь,х,
, г! B-22)
т = а2х + Ьгх.
Подставим выражения B.22) в левую часть B.21) и сгруппи-
сгруппируем коэффициенты при х2, т2 и 2хх:
х'* - т2 = х2 {а\ — а\) — х2 FJ - Ъ\) + 2эт (a1bl - a2b2)=x2-x*.
B.23)
Последнее звено и равенстве написано согласно B.21); оно долж-
должно соблюдаться тождественно, т. е. прн любых х и т. Но для
этого необходимо, чтобы выполнялись следующие соотношения:
а\ - а\ = 1, Ъ\-Ъ* = 1, аЛ - а2Ь2 = 0. B.24)
Этим соотношениям очень легко удовлетворить, положив
коэффициенты а и Ъ равпыми гиперболическим функциям (их
определение и осповные соотношения между ними см. Приложе-
Приложение I, § 9), а именно:
Тогда два первых равенства из B.24) удовлетворяются авто-
автоматически, а из третьею, которое можно переписать в виде aja2 =
= b2lbY, следует th'&1 = th#2, и, чтобы удовлетворить ему,
достаточно положить •&1 = $2 = ¦&. Таким образом, преобразова-
преобразование B.22) примет вид
х' — х ch ft -г т sh ft,
т' =*shG + TchG. B'2O)

60 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Параметр ¦& может зависеть лишь от относительной скорости F»
Он называется параметром скорости и играет существенную роль
и СТО (см. § 3.5). Для его определения используем нервое равен-
равенство B.25). Для начала отсчета О' нужно считать х' = 0, и мы
получаем
-:--lh#. B.26)
х
Но выражение, стоящее слева, в обычных единицах временк
запишется так: х ct — В, поскольку xit для начала О' просто
равно скорости системы К' относительно К. Итак, мы нашли
связь параметра ¦& со скоростью V:
t.hfl = _B. B.27)
Отсюда нетрудно найти cli -0 и shu (см. Приложение I, § 9):
ch fi -— r - — г — I ,
lA — thzfl уЧ — В2 B.28)
Окончательно для искомых преобразований получаем
Х' = хТ + х (-ГВ) - Г (х - Вт),
г' = х ( —ГВ) + тГ - Г (т - Ва:). К }
Для обратных преобразований мы получим (проще всего поме-
поменять штрихованные величины на пештрихованные и наоборот,
заменив В на —В):
х :- Г (х 4- Вт'),
г , ,„ ' B.30)
т — I (т -г Во: ). '
Нетрудно обнаружить в :)тих замечательно симметричных фор-
формулах те же самые формулы преобразований Лоренца B.16); для
этого достаточно сделать замену B.20).
Таким образом, мы получили вновь преобразования Лоренца,
исходя из инвариантности интервала и однородности пространства
и времени. В этом нот ничего удивительного, потому что инва-
инвариантность интервала — прямое следствие постулатов Эйнштейна.
§ 2.8. Комплексные величины в СТО. Симметричные обозначе-
обозначения. Нередко в целях формального удобства вводят мнимую вре-
временную координату х —- ict — ix. Этим приемом в рамках
специальной теории относительности целесообразно воспользо-
воспользоваться потому, что он избавляет пас от необходимости вводить
и различать ко- и контра вариантные координаты (см. Приложе-
Приложение 1, | 8). Введение таких координат неизбежно при изложении
релятивистской электродинамики, если не вводить мнимого вре-

§ 2.8] КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В СТО 61
мени. Следует подчеркнуть, что введение мпимого времени всего
лишь удобный прием и что без него можно обойтись; поэтому
в появлении мнимой единицы нет никакой мистики. В конечном
виде все формулы для координат и времени не содержат мнимой
единицы7 и это еще раз показывает, что мнимая единица играет
лишь вспомогательную роль.
Итак, и целях формального удобства введем мнимую коорди-
координату т = ict. Тогда
S2 = сН% - х2 - -(х2 + т2) (i2 - -1).
Приведем вывод преобразований Лоренца с использованием мни-
мнимой переменной т. Рассмотрим плоскость переменных (х, т);
в этой плоскости выражение х2 + т2 является расстоянием от
начала координат до точки (х, х). Это расстояние не меняется при
повороте координатной системы на угол ф в плоскости (х, т).
Поворот в обычной (евклидовой) нлоскостп на угол ф описы-
описывается формулами (см. Приложение I, § 2)
х' = х cos ф + у sin ф, у' = —х sin ф -\- у cos ф, B.31)
где все величины действительны.
Рассмотрим поворот в плоскости {х, х), где одна из координат —
чисто мнимая величина. Будем считать, что формулы B.31) сохра-
сохраняют свой вид и в этом случае; как мы увидим, геометрический
смысл формул с мнимой переменной будет существенно отличаться
от смысла формул B.31). Итак, запишем искомое преобразование
в виде
х' = х cos <р + т sin ф, B.32а)
т' = т cos ф — х sin ф. B.326)
Выясним смысл параметра ф. Он может быть связан только
со скоростью V относительного движения К' и К, потому что
только этим различаются эти системы. Возьмем любую точку
в системе отсчета К' (х' — const). Она движется относительно К
так же, как и вся система, т. е. со скоростью V; для любой точки,
жестко связанной с системой К', можно написать V = dxldt.
Считая х функцией т, продифференцируем B.32а) по "т. Мы полу-
получим dx cos ф — dx sin ф — 0, откуда следует, что
Ах 1 Ах
и, следовательно,
tg ф - Ш. B.33)
Тангенс оказался мнимым, и это еще раз напоминает нам о том,
что среди переменных есть мнимая величина.

62 ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
Из B.33) можно найти sin ф и cos ф по обычным формулам
тригонометрии:
= ШГ,
cos ф = —- = —,. = Г,
где введено уже использованное нами обозначение B.15) Г =
= A — В2)~1/2. Подставляя в B.32) значения cos <p и sin <p, нахо-
находим искомые преобразования для переменных х, т:
х' = Г (х + Шт), т' = Г (т — iBx). B.35)
Формулы преобразования координат события от К к К' долж-
должны отличаться от формул преобразования координат того же
события от К' к К только заменой штрихованных величин па
нештрихованные и наоборот; кроме того, знак у скорости V
следует заменить на обратный. Таким образом, из B.35) мы полу-
получим
х = Г (х' - iB~x'), т = Г (? + iBx'). B.36)
Конечно, тот же результат получится, если непосредственно*
решить систему B.35) относительно хит.
В формулах B.35) и B.36) легко перейти к действительным
переменным х, t. Для этого подставим в них т = ict и т' = ict'.
Тогда мы сразу получим формулы преобразования B.16). Прямое
и обратное преобразования переменных х и t имеют вид
х' = Т(х— Vt) (a), x = T(x' + Vt'), (в)
(б), t =
Нам пригодится в дальнейшем сопоставление преобразований
Лоренца, записанных в форме B.25) и B.32). Напомним, что
в B.25) все величины действительны, а в B.32) входит мпимое
время. Воспользовавшись соотношениями (см. Приложение I, § 9)
cos ia = ch a, sin ia — i sh a, tg ia = i th a,
мы видим, что достаточно в формулах B.25) положить ф = —i-fr,
чтобы они перешли в формулы B.32). Таким образом, в плоскости
действительных неременных х, t формально мы имеем дело с пово-
поворотом декартовой системы на мнимый угол. Такой поворот весьма
мало напоминает вращение декартовой системы, а формулы B.25),
определяющие его, являются «пародией» на формулы B.31),
описывающие настоящий поворот. Геометрический смысл «пово-
«поворота» осей х, х согласно формулам B.32) мы выяспим чуть ниже

g 2.8] КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В СТО 63
в атом же параграфе, а сейчас пыпишем нужную для дальнейшего
симметричную форму преобразований Лоренца.
Введем симметричные обозначения основных перемепных сле-
следующим образом:
хг = х, х2 — у, х3 = z, х4 = Ш = ix B.38)
для мнимого времени и
хо = ct = т, х1 = х, х2 = у, х3 = z B.39)
для действительного времени.
Набор переменпых B.38) будет удобен при изложении реляти-
релятивистской электродинамики. Что касается пабора переменныхB.39),
то именпо он принят в книге [9]; эта книга содержит изложение
общей теории относительности, а переход к ее изложению от СТО
целесообразнее вести без мнимой единицы. Перепишем соответ-
соответствующие преобразования переменных B.30) (в действительной
форме):
х° = IV 4- ТВх1' 4- 0-х2' 4- 0-х3',
х1 = ТВх0' 4- IV' 4- 0-х2' 4- 0-х3',
х2 = 0-х0' 4- 0-х1' + 1-х2' 4- 0-х3', B-30'>
з? = о-ха' + Ох1' + 0-х2' 4- 1-х3,
и B.36) (с мнимым временем):
г = ту _!_ П- г' 4- 0- г' /ВГг'
~ П t' -I 1 т# J_ П V -L П v'
П ' . A . A ¦ П ' B-36'>
Преобразования B.30') и B.36') можно записать в сокращен-
сокращенной форме:
xl~-=aihx'h (а), | х1=а1кхк. (б) B.40)
В формулах B.40а, б) подразумевается суммирование по к, по
в (а) от 0 до 3, а в (б) от 1 до 4. Индекс i «свободпый», принимающий
в (а) все значения от 0 до 3, а в (б) — от 1 до 4. Коэффициенты
&ik и aih образуют соответственно матрицы
Г ГВ 0 (К
гв г о
0 0 10
0 0 0 1,
(а),
, г
0
0
\ШГ
0
1
0
0
0 -
0
1
0
-?ВГ
0
0
г
(б), B.41)
которые называются матрицами преобразований Лоренца. Для
преобразования координат п времени при переходе от одной

ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 2
инерциальной системы отсчета к другой используются всегда
матрицы такого вида. Эти матрицы различаются лишь величиной
относительной скорости V, т. е- различными значениями В = Vic.
Формулы обратного перехода, т. е. перехода от системы К
к К', получаются заменой В на —В. Обозначим матрицу перехода
от К к К' через a'ift, так что
xu = a\ka*, xi^a'ikxh. B.42)
Для матрицы с действительными элементами указанная замена
приводит к совершепно] новой матрице а'ц,- Но матрица а\к при
замене В па —В переходит в матрицу ahi (строки и столбцы
мепяются местами), поэтому
х\ -=ahixk. B.43)
§ 2.9. Геометрическая иллюстрация преобразований Лоренца.
Поскольку при нашем выборе взаимного расположения инер-
циальных систем отсчета координаты j/игне изменяются, доста-
достаточно рассмотреть преобразование систем отсчета в плоскости
<ат, т).
2.G. Геометрическая иллюстрация преобразопптш Лоренца. Преобразовании Лорен-
аодятсл к тому, что оси хит поворачиваются на угол <р — arctg В вокруг начала
шплнлению к биееектписс коошишатпого \гла ц занимают положения х', т'. Прямые
Vac. .
ца сводятся
соответствует
Пусть оси хит системы К изображены двумя взаимно перпен-
перпендикулярными линиями (рис. 2.6). Чтобы провести на этой схеме
оси системы К', воспользуемся формулами B.29). Из них видно,
что пачала отсчета систем К и К' совпадают (при х = 0 и т = О
также и х' — 0, т' = 0). Точка х' — 0 (начало системы К') дви-
движется по отношению к системе К со скоростью У; следовательно,

% 2.9] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ 65
ее движение изображается па этой схеме прямой, составляющей
с осью т угол ф, причем угол <р определяется соотношением ср —
= arctg В. Но прямая х' — 0 — это ось времени в системе К'.
Значит, преобразование Лоренца для оси т сводится к тому, что
что ось т' наклоняется под углом ср к оси т.
Ось х определяется условием т' = 0. Но из B.29) видно, что
в системе К это условие удовлетворяется па прямой т = Вх.
Конечно, ось т' тоже можно было бы пайти из условия х' — 0,
тогда из B.29) мы снова пришли бы к прямой х = Вт. Итак,
уравнения новых осей занигаутся следующим образом:
ось т': х = — х; ось х': т = Вх. B-44)
Ось х составляет с осью х угол, определяемый соотношением
Ф = arctg В. Таким образом, преобразования Лоренца сводятся
к тому, что от прямоугольной системы отсчета х, т мы переходим
к косоугольной х , т'; оси х и т поворачиваются около начала
отсчета в направлении к биссектрисе координатного угла, причем
обе они поворачиваются на один и тот же угол ф = arctg В (см.
рис. 2.6, а). Вот что значит поворот на мнимый угол! Формально
введенный нами попорот прямоугольной системы совсем не похож
па вращение декартовой системы координат.
Наш результат показывает, что, рассматривая инерциальные
системы отсчета и прибегая к геометрической иллюстрации этих
преобразований, мы пе можем оставаться в рамках ортогональпых
осей х, т. Если даже оси исходной системы взять ортогональными,
то переход к любой системе К' делает систему косоугольной.
На рис. 2.6, б изображен переход от ортогональной системы К'
к системе К согласно B.30). По появление косоугольных коорди-
координат ведет к необходимости делать различие между ко- и контрава-
риаптиыми координатами (см. Приложение I, § 8). Вот почему
так трудно обойти эти понятии в СТО, если пе спрятаться за мни-
мнимую единицу (см. § 2.8).

Глава 3
СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА.
КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ И ПРИНЦИП
ПРИЧИННОСТИ. МЕТОД /с-КОЭФФИЦИЕНТА
Не следует думать, что из преобразований Лоренца
можно получить какие-то новые следствия, которые нельзя было
бы получить непосредственно из постулатов Эйнштейна: ведь
и сами-то преобразования Лоренца и конечном счете являются
следствиями постулатов Эйнштейна. И в самом деле, начало этой
главы посвящено обсуждению результатов, которые были уже
получены в гл. 2. Другое дело, что с помощью преобразований
Лоренца они получаются проще, и мы, конечно, этим восполь-
воспользуемся. Мы пе откажемся даже от того, чтобы показать, как все
эти следствия, включая закоп преобразования скоростей, можно
получить, даже не прибегая к построению координатной системы
(метод /с-коэффициепта). Может, копечпо, сразу возникнуть вопрос,
в чем же эпачение преобразований Лоренца, если все результаты,
полученные до сих пор, можно извлечь и другими путями. Но все
дело заключается в том, что, несмотря на всю важность получен-
полученных результатов, ото еще не все то, что нам нужно. Чтобы убе-
убедиться в выполнении принципа относительности, нужно знать,
как преобразуются осповпые уравнения физики при переходе
от одной ИСО к другой. В основе этих преобразований как раз
и лежат преобразования Лоренца.
§ 3.1. Об измерении длин и промежутков времени. Относитель-
Относительность одновременности. Преобразования Лоренца позволяют пере-
пересчитывать координаты события (в «координаты» включается
и время) при переходе от одной ИСО к другой. По событие — это
всего лишь элемент физического явления, и в конечном счете
основной задачей СТО является соответствующий пересчет наблю-
наблюдаемых физических величин. Одпако, прежде чем ставить эту
задачу, нужно остановиться па процессе измерения осповпых
физических величин. Важнейшими физическими измерениями
являются измерепия расстояний (длин) и промежутков времепп.
Мы привыкли измерять длины тел или расстояния между точками,
если эти тела или точки покоятся относительно нас. Если тело
покоится, то достаточно переложить вдоль него единичный масш-
масштаб столько раз, сколько это нужно. Так и поступают в повсе-
повседневной жизни, когда, скажем, отмеряют ткань или измеряют
длину комнаты.

g 3.1] ОБ ИЗМЕРЕНИИ ДЛИН Й ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ 67
Довольно просто также измерить промежуток времепи между
двумя событиями, наступающими в той же самой точке, где нахо-
находятся часы. Нужно просто отметить момент времепи, когда про-
произошло первое событие, и момент времени, когда произошло
второе событие. Разность между отсчетами часов и даст промежу-
промежуток времени между событиями. Именно так устанавливается,
например, продолжительность лекции или футбольного матча.
Но как измерить длину тела, движущегося относительно нас?
Пусть мимо нас с большей скоростью проходит поезд и мы хотим
определить его длину. Одному человеку сделать это совсем не
просто. Ведь он должен одновременно заметить положение начала
поезда (электровоза) и хвоста поезда относительно каких-то точек,
неподвижных на земле. Но когда он заметит положение электро-
электровоза и начнет поворачивать голову, хвост уже уйдет вперед. Следо-
Следовательно, о том, чтобы зафиксировать одновременно положение
начала и хвоста поезда, следует особо позаботиться.
После того, как одновременное положение начала и хвоста
отмечено на земле, расстояние легко промеряется обычным спо-
способом — это длина покоящегося тела.
А как найти промежуток времени между событиями, происхо-
происходящими в различных точках пространства? Вспомним, как изме-
измеряется время спринтера при забеге на стометровку. Здесь собы-
события — это старт и финиш спортсмена. Часы одни! Выстрел старте-
стартера служит сигналом к началу бега и запуску секундомера, который
находится на финише. Звук распространяется в воздухе со ско-
скоростью 330 м/сек, и спортсмеп начнет свой бег раньше, чем судья
на финише запустит секундомер. Но все это не очень существенно,
потому что скорость бегупа очень мала (в лучшем случае около
36 км/ч — 10 м/сек, что мало даже по сравнению со скоростью
звука). Но из приведенного примера можно почувствовать, что
определение промежутка времени между двумя событиями, насту-
наступающими в разных точках пространства, требует внимания.
В § 2.1 было рассказано, как поступают в теории относитель-
относительности: в каждой иперциальной системе строится своя система
координат, и во всех точках этой системы, где это потребуется,
расставлены неподвижнЕле часы. Эти часы синхронизованы в этой
системе отсчета, так что одинаковым показаниям этих часов соот-
соответствует один и тот же момент времени в этой системе.
Когда мы переходим к сопоставлению событий в двух ипер-
циальпых системах отсчета К и К', мы увязываем показания син-
синхронизованного набора часов из К с таким же набором часов из
К' тем, что полагаем ( = 0 и (' = 0 в совпадающих началах О
и О' (см. § 2.2). Напомним, что преобразования Лоренца — это
просто пересечет координат события в системе К, т. е. координат
(х, у, z, t), к координатам того же события в системе К'. По фор-
формулам B.16), или B.29), или, наконец, B.40) мы получаем выра-
5*

At = Г (Д/' +-|-Дл:') . C.2')
68 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
жение для (х', у', z', t') через (х, у, z, t). Конечно, все те неожи-
неожиданные с точки зрения «здравого смысла» следствия постулатов
Эйнштейна, с которыми мы познакомились в гл. 2, можно полу-
получить и из преобразований Лорепца. Этим мы сейчас и займемся.
Предварительно выпишем две удобпые для дальнейшего форму-
формулы. Рассмотрим два произвольных события: I (хх, yx, zx, tx) и
II (х2, у2, z2, t2). Пересчет координат и времени этих событий
в систему К' согласно B.37а, б) дает
х'г = T(x2-Vt2),
х =Г (х Vt ).
Составляя разности t'2 — t\ и х\ — х[, т. е. вычитая нижние равен-
равенства из верхних, и вводя обозначения Ах = х2 — хх, Ах' =
= х[ — x't, At' = t't — t[, At — t2 — tx, мы получим нужные
формулы (сразу же выписываем и формулы обратного перехода):
Ax' = r(Ax—VAt), C.1) Дж = Г(Да:' + V At'), C.1')
C.2)
Формулы C.1) и C.2) (а также C.1') и C.2') — это просто преоб-
преобразования Лоренца для разностей пространственных координат
и времен наступления двух событий. К ним следует добавить
еще соотношения Ау' — Ау и Az' = Az.
Из формулы C.2) сразу вытекает, что два события, одновре-
одновременные в К, вовсе не одновременны в К'. Действительно, полагая
в C.2) At = 0, получим
Д*' = — Т-^-Ах. C.3)
Видно, что At' ^ 0, если Ах ^ 0. Но если при At — 0 также
и Ах = 0, то события либо совпадают, либо наступают в плоско-
плоскости х = const. Для таких событий At' = 0.
Из формулы C.2) следуют два условия, при соблюдении кото-
которых можно пренебречь относительностью промежутков времени
между событиями. Во-первых, нужно считать В <^ 1, тогда Г « 1
и можно записать At' = At — (Vic) {Ах/с). Чтобы пренебречь
вторым членом в этом соотношении, следует считать отношение
Ах/с малым. Это (второе) условие, безусловно, выполняется, если
события наступают в области пространства, ограниченной вдоль
оси х, т. е. при малых Ах. Однако никаких ограничений на область
пространства по направлениям у и z нет, поскольку все события
в плоскости х ~ const наступают в один и тот же момент времени
по часам системы К'.

5 3.2] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ЛИНЕЕК 69
Конечно, относительность одновременности — это то же самое,
что и рассинхронизация часов, подробно рассмотренная нами
в § 2.4. В формуле B.376) достаточно положить f = 0, чтобы
сразу получить формулу B.9), которая далась нам совсем нелегко.
Из формулы C.2), стоит лишь положить At = О, мы получаем
формулу B.8). На этом примере видно, как много может быть
скрыто в скромных па вид «преобразованиях».
В повседневной жизни нарушение одновременности в различ-
различных системах отсчета неощутимо: разность времен At пропор-
пропорциональна В/с, как это видпо из C.2), если положить At = О
(одновременность в К). Однако из той же формулы C.2) видно,
что если — Ах — заметная величина, то и At' может быть замот-
с
ной величипой. Это будет в том случае, если Да; велико.
Очень важно подчеркнуть, что относительность одновремен-
одновременности обусловлена конечностью скорости света. Если совершить
формальный переход к пределу с-»-оо (фактически это означает
условие В —>¦ 0), то одновременность становится абсолютной. Этот
результат относится к случаю малых относительных скоростей
систем отсчета.
Из формул C.1) и (З.Г) видпо, что два события, наступившие
в точках прострапства с одной и той же х-координатой в системе К
(т. е. в одной и той же точке системы отсчета К), в любой другой
системе отсчета К' имеют различные я'-координаты. Действитель-
Действительно, из C.1) получим Да:' = Г (Ах — V At) = —TV At. Но At —
это промежуток собственного времени, и поэтому Г At = At'.
Отсюда Ах' — —V At'. Смысл последнего результата очевиден.
Он определяет смещение точки х относительно системы К', отсчи-
отсчитанное в системе К'.
§ 3.2. Относительность длины движущихся липеек (масшта-
(масштабов). Видимая форма тел, движущихся с релятивистскими ско-
скоростями. Рассмотрим топорь измерение длины движущейся линей-
линейки. Пусть в системе К синхронизованы часы и сделаны простран-
пространственные отметки. Допустим, что относительно К движется со
скоростью V линейка, расположенная параллельно оси х. С этой
линейкой можно связать систему К'. Как измерить длину этой же
линейки в системе К? Очевидно, нужно определить координаты
конца и начала линейки в системе К, но обязательно одновременно
в этой системе. Это требование одновременности ведет к непри-
непривычному для нас, хотя об этом уже говорилось в § 2.3, результату:
длина линейки при измерении ее в системе отсчета, относительно
которой она движется, оказывается мепьше, чем при измерении
ее в системе отсчета, где она покоится. Итак, пусть линейка непо-
движпа в системе К', а координаты ее концов равны х\ и х'г.
По определению ее длипа в К', которую, как мы уже указывали,

70 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
называют собственной длиной, равна х'2 — х[. Обозначим собст-
собственную длипу линейки через Zo, т. е. 10 — х'2 — х[. Поскольку
линейка неподвижна в системе К', то об одновременности измере-
измерения координат ее концов можно не беспокоиться: ее длина изме-
измеряется любым обычным способом.
В системе К координаты концов линейки будут определяться
согласно преобразованию Лоренца (см. B.37а)):
х* = Г (х, - Vtt), х[ = Г (ж, - VtJ.
Составив разность х'2 — х\, мы получим
*; - < = Г {(х2 -xJ-V (tt - tt)}. C.4)
Слева в C.4) стоит собственная длина липейки. Справа в фигур-
фигурных скобках стоят Ах и At для двух событий — положения левого
конца линейки х2 в момент t2 и положения правого конца линейки
х1 в момент *х'(в системе К).
Величина Ах только тогда будет длиной линейки в К, если
положение концов липейки в К будет отмечено одновременно в К.
Иначе для Ах можно получить любое значение. Вспомните пример
с определением длины движущегося поезда в пачале § 3.1:
вы заметили положение хвоста поезда и медленно поворачиваете
голову к его началу. Когда вы'отметите положение начала, а затем
промерите расстояние между отметками, измеренная длина будет
больше собственной длины поезда. Сделайте наоборот: заметьте
положение начала поезда и медленно поворачивайте голову
к хвосту. Легко сообразить, что если немножко подождать, то
длина поезда может оказаться даже равной нулю. Именно об этом
и говорит формула C.4). Итак, чтобы однозначно определить дли-
длину линейки в системе К, нужно рассмотреть два одновременных
в К события: совпадение левого конца линейки с какой-то прост-
пространственной отметкой в К (допустим, х,) и совпадение правого
конца линейки с какой-то пространственной отметкой в К (допу-
(допустим, х2). Это значит, что Ах = I лишь при условии At = 0.
Но тогда из C.4) следует 10 = VI, где через I обозначена длина
линейки, определенная в системе К. Обычно последнюю формулу
принято писать так:
ГЖ C.5)
Конечно, при тех же самых условиях задачи можно восполь-
воспользоваться и формулами обратного преобразования:
х2 = Г D + VQ, хх = Г (х\ + VQ.
Вычитая правое равенство из левого, получим
Ах = По + ГУ (? - t[) = Tl0 + TV At'.

§ 3.2] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ЛИНЕЕК 71
Но Ах превратится в длину I лить при условии At — 0. Выразив
с помощью B.376) At' через At и Ах: At'= T (At—~ Ах\ —
и положив в этой формуле At = 0, мы снова получим C.5).
Приведем еще два способа определения длипы движущейся
линейки, приводящих, естественно, к тому же результату. Пусть
линейка АВ покоится в си-
системе К, так что ее левый
конец А совпадает с началом
отсчета О (рис. 3.1). В момент
t = 0 с началом О совпадает
начало системы К' (показания
часов в О': t' = 0). Затем на-
блюдатель в В отмечает мо- , | з-
мепт прохода О' через точку В. /\ В ?
Пусть это будет момент t. Ско-
Скорость СИСТеМЫ К' ИЗВеСТНа. Рис. 3.1. К измерению длины движущейся
Таким образом, собственная
длина линейки равна lo=VAt.
Это собственная длина, потому что она измеряется масштабами и
часами из К, где линейка покоится. Скорость тоже определена в си-
системе К. С другой стороны, наблюдатель из К', находящийся в точ-
точке О', по своим часам отметит моменты прохождения точек А
и В (точку А в момент t' — 0, точку В в момент t'). Но мимо
отого наблюдателя липейка движется тоже со скоростью V (в про-
противоположную сторону), и наблюдатель из К' будет считать, что
длина движущейся линейки I равна I = V At'. Но At' = (f — 0)—
это промежуток собственного времени между двумя событиями
(сопнадтше О' с А, а затем с В). Что касается At = (t — 0) = t —
это промежуток времени между теми же событиями в системе К.
I At' 1
Согласпо B.2) At = Г Дг', а так как -г- — -гг-=-тг, то
Ь0 1Л1 1
1=.10=л
Относительность длин — прямое следствие относительности
одновременности. Пусть в К' покоится линейка, причем коорди-
координаты ее концов х'2 и х[. Собственная длина 10 = Ах' = х\ — х\.
Пусть в К' одновременно (At' = 0) на концах линейки вспы-
вспыхивают лампочки и эти два события отмечаются в системе К.
Найдем расстояние между точками, в которых наступили эти
события в системе К: Ах = Г (Ах + V At') = Г Ах' = Т10
(см. (З.Г)). Это означает, что расстояние между точками, в кото-
которых наступили эти два события, больше, чем собственная длина
линейки. Но ото расстояние вовсе пе длина линейки, которую
измерит наблюдатель в К. Чтобы определить длину липейки
в К, нужно найти координаты концов линейки одновременно в

72 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
системе К. Одновременные в К' события происходят в К с относи-
относительным запозданием (рис. 3.2): At= Г ( M' + ^Ax'j = Т-$10. Но
за это время конец линейки х[ сдвинется по направлению движения
на расстояние V At = FB2Z0. Таким образом, измерештая длина
линейки будет меньше чем Г70 на величину V Д?, т. е.
I -Т10-ТВЧо = 10 /Т^В5.
Напомним еще, что результат C.5) был получен непосред-
непосредственно из постулатов Эйпштейна (§ 2.3). Теперь пора остано-
остановиться па физическом смысле ре-
* 1О * зультата C.5). Мы обнаружили,
*"""*""""¦ " ¦ I чт0 длина физического тела (ска-
(скажем, линейки) относительна, т. е.
различна в разных системах от-
отсчета. Наибольшую длину линей-
ка имеет в той системе, где она
VAt
—о
покоится, т. е. собственная длина
является наибольшей. Если опре-
определять длину линейки в любой
Рис. 3.2. Относительность длин линеек i
как следствие относительности одновре- ИНОрциалЫЮИ СИСТеме, ОТНОСИТеЛЬ-
мснности наступления двух событий. цо которой липеЙКа ДВИЖетСЯ, ее
длина окажется меньше собствен-
собственной. Из формулы C.5) вытекает, что если бы линейка могла
двигаться со скоростью с, то ее длина оказалась бы равной нулю.
Но такого случиться не может: любое тело, обладающее конечной
массой покоя, в том числе и всякая реально возможная система
отсчета, не может достичь скорости, равной с.
Что озпачает уменьшение длины линейки? Нередко можно
услышать вопрос: становится ли линейка «на самом деле» короче?
Прежде всего, ясно, что никакого сжатия линейки произойти
не может. Это следует из основного принципа, положенного
в основу СТО,— принципа равноправия всех ИСО. Во всех ИСО
физическое состояние линейки одно и то же. Поэтому не может
быть и речи о возникновении каких-либо напряжений, ведущих
к деформации линейки. «Укорочение» линейки происходит исклю-
исключительно в силу различных способов измерения длины в двух
системах отсчета. С другой сторопы, обнаруживаемая относитель-
относительность длины линейки не является иллюзией наблюдателя. Этот
результат получается при любом разумном способе измерепия
длипы движущегося тела. Более того, рассматривая физические
явления в данной системе отсчета, нужно за длину тела принимать
длипу I согласно C.5), а отнюдь не длину 10.
Крайне неудачно, имея в виду формулу C.5), говорить о «ло-
ренцевом сокращении», хотя эта формула действительно была
введена впервые Г. А. Лоренцем в 1892 г. Но в нее вкладывался

5 3.2] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ЛИНЕЕК 73
совсем иной смысл (см. Дополнение II), чем тот, о котором мы
рассказали.
Очень четко сказал Эйнштейн по поводу реальпости лоренцева
сокращения: «Вопрос о том, реально лоренцево сокращение или
нет, не имеет смысла. Сокращение не является реальным, посколь-
поскольку оно но существует для наблюдателя, движущегося с телом;
однако оно реально, так как оно может быть принципиально дока-
доказано физическими средствами для наблюдателя, не движущегося
вместе с телом».
Часто спрашивают еще: чему равна длина линейки «па самом
деле»? Этот вопрос лишен смысла, если его задавать «вообще».
Вопрос о длине линейки безотносительно к какой-либо системе
отсчета просто не имеет смысла. В каждой системе отсчета линейка
имеет свою длину; это и есть ее длина «на самом деле». Все инер-
циальные системы отсчета равноправны, и определяемые в этих
системах длины линейки все равноправны. В каждой системе
отсчета линейка будет вести себя так, как если бы она имела
длину, определенную в этой системе. Хотя все ИСО равноправны
относительно друг друга, для линейки существует все же одна
«избранная» привычная нам система координат, а именно та
система, в которой она покоится. С точки зрения наших привыч-
привычных представлений это и есть «настоящая» длина линейки; мы
склонны принять ее за истинную длину, но эта длина определяет
поведение линейки лишь в этой «собственной» системе отсчета.
Наконец, последнее замечание. Линейка существует объектив-
объективно, т. е. вне нашего сознания и вне нас. Но есть ли у нас длина
до того, как осуществлены измерепия? Длина как некоторое
число возникает в результате измерения и выбора единиц длины.
Конечно, у линейки есть протяженность (если хотите, длина) как
качество и до измерения, но до измерения нет численного зпаче-
ния длины. Таким образом, у объективно существующего тела
численное значение длины возникает после измерения, а резуль-
результат измерения, как мы установили, зависит от того, приборами
какой системы мы пользуемся.
Рассмотрим теперь в двух системах отсчета К' и К" линейки
одинаковой собственной длины: Га и Го (l'o — Q. Измерения,
произведенные в системе К', покажут, что
К > 1'о- C.6)
Измерения, произведенные в системе К", покажут, что
Й > 1'0. C.7)
Неравенства C.6) и C.7) отнюдь не противоречивы, потому что
C.6) получено для масштабов и часов системы К', а C.7) — для
масштабов и часов системы К". Различие в получаемых значениях
длины линейки кроется в том, что одновременность в системах К'

74 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
и К" определяется по-разпому. Трудпость в интерпретации выво-
выводов специальной теории относительности состоит не в том, что
существуют относительные величины, а в том, чтобы обнаружить
равноправие всех инерциальных систем отсчета. Неравенства C.6)
и C.7) как раз и отражают такое равноправие.
Вывод СТО об относительности длины движущегося тела
необычен отчасти потому, что в повседневной жизни мы не ощущаем
такого эффекта. Возьмем самое быстрое доступное нам движение —
движение Земли по орбите. В этом случае V — 30 км/сек. Отноше-
Отношение Vic ~ 10-* и I = 10 {Л - 10"8 » 10 A —1 • Ю-8) « 10. Сно-
Снова следует подчеркнуть, что сокращение длин — прямое следствие
конечности скорости света. Если бы скорость света была беско-
бесконечной, то, как видно из формулы C.5), длина липейки была бы
одинаковой во всех системах отсчета. Это видпо также из того,
что при с-v со одновременность событий становится абсолютной.
Хотя до сих пор все время говорилось об относительности
длины тел (линеек), следует помнить, что речь идет на самом деле
об относительности расстояний между двумя неподвижными
точками в одной системе отсчета при измерении их приборами
из другой системы отсчета.
Рассмотрим кубик в системе К, где он покоится, со сторонами
Ах, Ay, Az и собственным объемом AT0 — Ах Ay Az. Согласно
преобразованиям Лоренца в произвольной ИСО К' имеем Ах' =
= A/Г) Ах, Ay = Ay, Az' = Az и, следовательно,
AT' = Ах' Ay' Az' = A/Г) Ах Ay Az = A/Г) АТ0.
Таким образом, изменение объема кубика при переходе от систе-
системы К к системе К' определяется формулой
В2. C.8)
Из полученного результата вытекает, что собственный объем
тела — инвариант преобразования Лоренца:
Можно ли непосредственно паблюдать лоренцево сокращение,
скажем, наблюдая или фотографируя быстро движущееся тело?
В первой работе Эйнштейна, посвященной теории относительности,
можно прочесть следующее: «Тело, которое в состоянии покоя
имеет форму шара, в движущемся состоянии — при наблюдении
из покоящейся системы — принимает форму эллипсоида, с полу-
полуосями II A — P2)v?, R, Л» (Собрание научных трудов, т. I, стр. 18).
Слово «наблюдение» в приведенном отрывке могло быть интерпре-
интерпретировано как визуальное наблюдение или фотографирование. Лет
пятьдесят после появления СТО все были убеждены, что видимая
форма релятивистски движущегося шара — эллипсоид. Оказа-

¦S 3.2]
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ ДВИЖУЩИХСЯ ЛИНЕЕК
75
Сдет
лось, однако, что вопрос о видимой форме тел, движущихся с реля-
релятивистской скоростью, требует учета многих обстоятельств и что
¦быстро движущаяся сфера остается сферой. Если считать, что
глаз и фотопластинка фиксируют мгновенное изображение, созда-
создаваемое светом, то это изображение создается лучами, идущими
от разных участков тела, которым мы интересуемся, и приходя-
приходящими одновременно на сетчатку глаза или фотопластинку. Но если
оптические пути света,
идущие от различных й'--§- С
точек наблюдаемого те-
тела, разпые, то на пла-
пластинке будут зафиксиро-
зафиксированы уже положения то-
точек тела в разные момен-
моменты времени, разумеется
предыдущие по отноше-
отношению к моменту фотогра-
фотографирования. Весь эффект
обусловлен конечностью
скорости распростране-
распространения света. На простом
примере поясним, поче-
почему видимая форма дви-
движущейся сферы совпада-
совпадает с видимой формой не-
неподвижной сферы.
Допустим, что светя-
светящийся куб, движущийся
вдоль прямой, парал-
параллельной одной из его
граней, пролетает мимо фотоаппарата (или наблюдателя). Фото-
Фотографирование или наблюдение производится в тот момепт, когда
центр куба попадает на нормаль, опущенную из точки, где нахо-
находится фотоаппарат, па направление движения (рис. 3.3, а). Конеч-
Конечно, мы заранее должны знать, что движущееся тело имеет форму
куба в собственной системе отсчета.
В определенный момент времени к пластинке придут все
фотоны, испущенные одновременно в системе пластинки па линии
AD, и фотоны, испущенные точкой В раньше на интервал време-
времени 11с (I — длина ребра куба). Но в этот момепт времени точка В
находилась в положении В'. Одновременное определение поло-
положений точек Л и D в системе пластинки ведет, согласно обычному
правилу измерения длины, к лоренцеву сокращению: V =
-1A- р2I'2. С другой стороны, ВВ' = (Не) v = §1.
Из рис. 3.3, б и в можно понять, что картина, которую увидел
бы неподвижный наблюдатель (идеализированный) при наблюде-
Наблюдатель
рис. 3.3. Визуальное наблюдение куба, пролетаю-
пролетающего мимо наблюдателя: «) взаимное расположение
наблюдателя и куба нри О — 0; б) видимая картина
летящего куОа; в) возможная интерпретация видимой
картины одним наблюдателем: поворот куба на угол
<р = arcsiu ii; г) наблюдение летящего куба под
углом ¦&.

76 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. Э
нии движущегося куба, совпадает с той, когда рассматривается
неподвижный, но повернутый па некоторый угол ф куб. Этот
угол определяется соотношением sin q> = р\ Это — частный слу-
случай более общего результата: всякое трехмерное движущееся
тело видно в данный момент повернутым. Если же куб находится
относительно наблюдателя в таком положении, что он в состоя-
состоянии покоя виден под углом ¦О1' относительно оси х , то угол пово-
поворота будет другой. Если куб достаточно удален от наблюдателя,
то идущий от пего свет можно принять за параллельный пучок.
Когда этот пучок наблюдается в системе К, то для наблюдателя
в К он распространяется под углом ¦& к оси х, причем углы &
и •&' связаны соотношением (см. G.11))
cos ft = (cos #' + P)/(l + р cos #')•
Изменение направления фронта" плоской волны при переходе от
одной системы отсчета к другой (находящейся в относительном
движении)—это аберрация
у, . света. Изображение, полу-
/f'yf " * чаемое в этом случае на
| I пластинке, соответствует
i | °\ ^° | кубу (рассматриваемому в
j ^ . О'\ К под углом Ь), поверну-
, > ' I ~~* ~?~хг тому на угол ¦& — ¦О'.
/ j ' Отсюда ясно, что сфера
/ i также поворачивается, но
^ J это не меняет форму ее
|д контура (подробности см.
vm. в [28]).
Фотопластинка И все же — можно ли
сфотографировать тело так,
Рис. S.4. Принципиальна)! схема, позволяющая ЧТОбЫ было Зафиксировано
сфотографировать лорснцево сокращение "движу-
щсгоси стержня. Когда середина стержня О' она- На ПЛЭСТИНКе рОЛЯТИВИСТ-
зываетсн на линии РО, срабатывает устройство, гкпр глкпятпрттиг»? Чтпйм
открывающее (на мгновение) затвор в Р так, чтоОы ^ли" иилрсицвиии. пиши
он пропустил лучи, испущенные точками стержня Избежать Трудностей С ПО-
п момент цересечепия точкой О' линии РО.
воротом, можно взять од-
одномерный объект, сравни-
сравниваемый на пластинке с его собственной длиной. Для этого
наблюдатель в К (стержень покоится в К') должен знать
заранее, что стержень движется вдоль заданного направления,
и собственную длину стержня. Тогда у себя в системе К он строит
двойник движущегося стержня и фотографирует движущийся
стержень на фоне его собственной длины.
Простейшая схема для фотографирования стержня, испытав-
испытавшего лоренцово сокращение, могла бы быть такой (рис. 3.4).
Стержень параллелен оси х и движется вдоль этой оси. Наблюда-
Наблюдатель находится па нормали к оси х, причем эта нормаль проходит

§ 3.3] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ 77
через середину двойника стержня, покоящегося в системе К'.
Когда середипа движущегося самосветящегося стержня оказы-
оказывается на нормали, срабатывает механизм, открывающий затвор
фотоаппарата; при этом на пластинке фиксируются одновременные
положения начала и конца стержня. Сфотографировать неподвиж-
неподвижный двойник можно, конечно, когда угодно. Скорее всего, это
тоже «мысленный эксперимент».
Нельзя не упомянуть, однако, о том, что качественно «поворот
куба», движущегося с релятивистской скоростью, был сфотогра-
сфотографирован. За подробностями мы отсылаем читателя к L27].
Вообще, «видимая» картина может довольно существенно
отличаться для различных наблюдателей. Вот простой пример.
Пусть наблюдатель находится на некотором расстоянии от плоско-
плоскости, на которой одновременно в системе, где покоятся плоскость
и наблюдатель, вспыхивают лампочки или вообще производится
вспышка света. Тогда из-за конечности скорости распространения
света наблюдатель увидит, что плоскость постепенно начинает
светиться, причем «волна освещения» бежит от центра к перифе-
периферии. В частности, если одновременно мгновенно освещается
бесконечная нить, удаленный наблюдатель видит две разбегаю-
разбегающиеся световые точки.
По той же причине видимая (наблюдаемая) скорость также
может отличаться от фактической: ока может оказаться даже
больше скорости света [33].
§ 3.3. Относительность промежутков времени между события-
событиями. Допустим, что в некоторой точке системы К' наступили два
события в моменты времени t[ и l's. Промежуток времени, разде-
разделяющий эти события, может быть отсчитан по часам, находящимся
в этой точке. По определению промежуток времени между собы-
событиями, наступившими в одной и той же точке некоторой системы
отсчета, отсчитанный по одним часам этой системы, называется
промежутком собственного времени между событиями. Обозначая
промежуток собственного времени через At0, получим для нашего
случая А^° = At' = г'г — t[.
Определим теперь промежуток времепи между рассматривае-
рассматриваемыми событиями в системе К. Согласно C.2) At = Г At' — Г At0.
Это уже известный нам результат B.2).
Однако, если события в системе Я" наступили в одной точке
пространства, в любой другой системе К это уже не так. Действи-
Действительно, пусть в К' два события произошли в разное время, но
в одной точке, т. е. Ах' = 0, по At' Ф 0. Согласно C.1) Ах —
= FV At' ф 0. Смысл последнего результата очевиден: все точки
системы К' движутся относительно К со скоростью V и Ах — ото
просто смещение любой точки системы К' за рассматриваемый
промежуток. Так как Г At' — Г Ale — At, то Ах = V At.

78 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. S
Таким образом, промежутки времени между одной и той же
парой событий в различных ИСО оказываются различными. Наи-
Наименьший интервал времени между событиями мы обнаружим в той
системе отсчета, в которой эти события происходят в одной и той
же точке, а следовательно, отмечаются одними и теми же часами,
т. е. наименьшим является интервал собственного времени.
Промежуток времени между событиями с точки зрения систе-
системы К можно измерить еще и так. Точка системы К', в которой
наступают два рассматриваемых события, движется со скоростью V
относительно К. Если в системе К события наступили в точках
хг и х2, то промежуток времени между событиями At, очевидпо,.
равен Д* = Ax/V. Но согласно C.1) Ах = YV At' (Ax' = 0),
откуда мы снова получаем
Известно прямое экспериментальное подтверждение выводов
СТО об относительности промежутков времени. Легкие частицы
(ц-мезоны) были обнаружены, с одной стороны, в лаборатории —
в результате расщепления ядер, а с другой — в космических
лучах. Время жизни (нремя полураспада) ц-мезонов, измеренное
в лаборатории, оказалось равным около 2-10~6 сек. Это время
жизни можно считать собственным временем жизни, поскольку
скорости лабораторных мезонов нерелятивистские (см. C.9); под
скоростью координатной системы К' подразумевается скорость
системы, связанной с мезоном). За время Ai° = 2¦ 10~е сек мезон
распадается на другие частицы.
Известно, что ц-мезоны, паблюдаемые в космических лучах
у Земли, образуются в верхних слоях атмосферы на высоте 5—6 км
за счет первичного космического излучения. Скорость возникших
ц-мезонов сравнима со скоростью света — с этой скоростью они
движутся к Земле. Согласпо C.9) время полураспада мезона в ла-
лабораторной системе At равно At = Г At0. Для мезона Г ~ 10
и в лабораторной системе отсчета At = 2-10~5 сек. За это время
jA-мезои пройдет расстояние с At = 3-Ю10 X 2-10~5 да 6 км. Если
бы релятивистского эффекта относительности промежутков вре-
времени не было, то мезо» прошел бы всего около 600 м и мы не
обнаружили бы ц-мезопы па уровне моря. Таким образом, только-
релятивистское преобразование интервалов времени позволяет
объяснить наблюдаемый на Земле поток мезонов.
Прекрасной иллюстрацией относительности промежутков вре-
времени может служить эффект Доплера. Этот эффект состоит в том,
что если источник света и наблюдатель (приемник) движутся отно-
относительно друг друга *), то частота света, определяемая наблюда-
*) Заметим, что, обращаясь далее к рассуждениям «классической» физики,
мы будем все же всюду использовать типично релятивистское предцоложение

$ 3.3]
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ
79
телом, отличается от той частоты, которую обнаружил бы наблю-
наблюдатель, если бы он покоился относительно источника. Частоту
света, определяемую наблюдателем, покоящимся относительно
источника, естественно назвать собственной частотой света; обо-
обозначим ее через соо. Все наши рассуждения относятся к вакууму.
Рассмотрим сначала случай, когда направление распространен
ния света совпадает с направлением относительной скорости ис-
источника и наблюдателя (продольный эффект Доплера). На рис. 3.5,а
- VI ----- *\
t=0 t=T
Источник //адлюдатель
a)
х.х'
Ишочтк
Наблюдо/пел»
Рис. 3.5. К выводу формул для продольного доплср-эффекта: а) наблюдатель удаляется
от источника; б) наблюдатель приближается к источнику.
это соответствует распространению света вдоль оси х, х'. При
рассмотрении эффекта Доплера световую волну можно имитиро-
имитировать посылкой коротких импульсов из источника через промежу-
промежуток времени (период) Т. Допустим теперь, что такие импульсы
посылаются из начала системы К, т. е. из точки О. Любой наблю-
наблюдатель, покоящийся в этой системе, обнаружит, что эти импульсы
приходят к нему также через промежуток времени Т. Свяжем
теперь наблюдателя с системой К'. Пусть в момент времени, когда
О ж О' совпадают (t = 0, t' = 0), из О посылается первый импульс,
который, естественно, отметит и наблюдатель из О'. Следующий
импульс выходит из О через промежуток времени Т (по часам из К),
Но в этот момент начало О' находится от О уже на расстоянии VT.
Скорость света относительно О' в системе К равна с — У, поэто-
поэтому световому лучу понадобится дополнительное время VT/(c — V),
чтобы дойти до начала О'. Таким образом, наблюдатель в О примет
импульс через промежуток времени (по часам К)
Мы получили промежуток времени, разделяющий получение
первого и второго сигнала наблюдателем в О', отсчитанный по
часам системы К. В системе К' прием сигнала происходит в одной
точке О' и переход к промежутку времени (собственному проме-
о том, что для распространения света пе требуется никакой материальной
среды. Именно поэтому для нас существенна только относительная скорость
источника и наблюдателя.

80 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 1ГЛ. 3
жутку) можно осуществить согласно C.9): Т'о = A/Г) Т', так что
период Т'а для наблюдателя из О' будет равен
Если перейти к частотам (со0 — 2п/Т, со' = 2п/Т'о), мы получим
Последний переход осуществляется проще всего так: числи-
числитель и знаменатель под корнем умножают па 1 — В, в знаменате-
знаменателе в выражении 1 — В2 пренебрегают членом В2, тогда и полу-
получается правая часть C.12). Эта формула годится для наблюдателя-
удаляющегося от источника,— наблюдаемая частота меньше соб-
собственной.
Если наблюдатель приближается к источнику (на рис. 3.5, б
точка О" должна быть левее точки О), а из К" посылаются сигналы,
аналогичные рассуждения (источник и наблюдатель теперь сбли-
сближаются; относительная скорость света с + V) ведут к формулам
f" .__J т, Т" — \/ *~ в Т и, наконец,
1 + в ' а у 1 + в
Формулы C.12) и C.13) (без приближенных значений) — точ-
точные релятивистские формулы для продольного доплер-эффекта.
Они будут получены впоследствии (§ 7.2) на основе «строгих»
релятивистских формул. Но приведенный вывод физически безуп-
безупречен и вместе с тем ясно показывает, что эффект Доплера склады-
складывается из двух независимых частей: 1) оп связан с непрерывно изме-
изменяющимся расстоянием между наблюдателем и источником; 2) он
связан также с преобразованием промежутков времени между
событиями при переходе от одной системы отсчета к другой.
Первый фактор не имеет пи малейшего отношения к теории отно-
относительности. Продольный эффект Доплера качественно следует
из классической теории, а соответствующая формула получается
из C.10). В формуле C.10) «классически» пичего не надо менять,
поскольку промежутки времени во всех системах отсчета одина-
одинаковы. Различие между классической формулой и релятивистской
существенно лишь с точностью до В2. Последнее приближенное
равенство в C.12) как раз и дает классическое выражепие, сле-
следующее из C.10). Поскольку отношение В определяется относи-
относительной скоростью источника и наблюдателя, то, по крайней
мере для макроскопических источников, отношение В очень мало
и доплер-эффект определяется главпым образом изменением рас-
расстояния между источником и наблюдателем.

S 3.3]
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРЕМЕНИ
81
Однако существует случай, когда относительная скорость
источника и наблюдателя отсутствует, хотя системы, в которых
покоятся источник и наблюдатель, движутся относительно друг
друга. Это — случай, если наблюдается движущийся источник
в тот момент, когда его скорость перпендикулярна направлению
наблюдения (лучу зрения) (рис. 3.0, а). В момент наблюдения,
>1
о'-Ю
Источник
Наблюдатель
V7
1'ис. З.в, К выводу формул для доплер-эффекта: о) поперечный эффект; б) общий случай
изображенный на рис. 3.6, а, расстояние между источником
и наблюдателем пе меняется. Следовательно, с классической точки
зрения никакого доплер-эффекта быть не должно. По с релятивист-
релятивистской точки зрения период посылки сигнала в К' (обозначим его
через Го, это интервал собственного времени, так что со0 = 2п1Т'в)
должен быть пересчитан на время наблюдателя по формуле C.9),
т. е. Т = Т'о/\/~1 — В2, откуда мы получаем для поперечного
доплер-эффекта формулу
a'-YY^Woo. C.14)
Это уже формула второго порядка но В. Поперечный эффект
обнаружить гораздо сложнее, чем продольный, но он был все же
обнаружен в 1938 г. Его обнаружение, как видно из предыдущих
рассуждений, является прямым доказательством относительности
интервала между событиями. Еще раз повторим, что само сущест-
существование поперечного доплер-эффекта вытекает только из СТО.
Нетрудно получить формулу эффекта Доплера, если рассматри-
рассматривается излучение под углом к направлению движения источпика
(рис. 3.6, б). Если первый импульс посылается в точке Л, а вто-
второй — в точке В, то разность хода параллельных лучей, идущих
под углом •& к направлению скорости, равна VT cos •&. Отсюда
VT cos "й1
яспо, что для наблюдателя Т' = Т и, соответственно,
В. А. Уггром

82 СЛЕДСТВИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
О) —
1_ К. cos О
г:
. Заметим,что в этой формуле со' и со0 измерены
в одной системе отсчета. Еще раз убеждаемся, что в классической
физике поперечного доплер-эффекта {& — я/2) нет: м' =- w0.
Мы убедились в том, что если два события в пекоторой систе-
системе отсчета наступают в одном месте (одноместны), то временпой
интервал между ними определяется как промежуток собственного
времепи (одними часами), а нромежуток времени между этими же
событиями в любой другой системе может быть найден соглас-
согласно C.9). Возпикает вопрос: всегда ли можно от промежутка вре-
времени, найденного в произвольной системе отсчета, перейти к соб-
собственному промежутку? Оказывается, что это можно сделать
не всегда, а условие, нри котором это становится возможным, будет
найдепо в § 3.4.
Введем теперь понятие собственного времени тела. Пусть тело
движется равномерно и прямолинейно относительно системы
отсчета К. С движущимся телом можно связать систему К';
в этой системе тело покоится, и, следовательно, происходящие
с ним (или на нем) события отмечаются одними часами. Эти часы
отсчитывают собственное время в точке, где находится тело;
можно сказать, что они отсчитывают собственное время тела.
Формула C.9) в этом случае просто показывает, что промежуток
собственного времени тела между событиями, происшедшими
с телом или па теле, всегда меньше промежутка времени между
этими же самыми событиями, отсчитанного по часам любой ИСО,
относительно которой это тело движется. Не следует забывать
при этом, что собственный промежуток времени отсчитывается
одними часами, а нромежуток времени в системе, относительно
которой тело движется,— по крайпей мере, двумя. Это очепь
существенно, потому что часто говорят, интерпретируя резуль-
результат C.9), что движущиеся часы идут медлепнее неподвижных.
Такой способ выражения может только запутать дело. Ведь часы
во всех ИСО идут совершенно одинаково. Различным оказывается
отсчет промежутков времени между событиями. Но это естествеп-
но, поскольку часы, синхронизованные в одной ИСО, рассинхро-
низованы в другой.
Собственное время можно ввести и для ускоренно движущейся
частицы. Рассмотрим для этого движение частицы за бесконечно»
малый промежуток времепи. Пусть скорость частицы в данный
момент времени равна V. Рассмотрим теперь инерциальпую систе-
систему отсчета К*, движущуюся со скоростью V. В зтой системе
отсчета справедливо соотношение dx — ]/ — р2 dt. Приближенно
это соотношение выполняется и для мгновенно-сопутствующей
частице системы отсчета К'. Отличие системы К* от мгновенно-
сопутстиующей системы К' состоит в том, что система отсчета К'

§ 3.3] ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ПРОМЕЖУТКОВ ВРКМПНИ 83
обладает ускорением, а система К* — нет, хотя они движутся
в данный момент времени с одинаковой скоростью. Но чем мень-
меньше интервал времени dt, тем точнее годится соотношение dx —
--= ~\f \ — fi'^dt для системы К'. Если проинтегрировать это выра-
выражение, мы получим точное выражение для т, которое по смыслу
является суммарным «собственным» временем любых систем коор-
координат К*.
Исходя из этих соображений, будем считать, что если по часам,
связанным с сопутствующей телу системой отсчета, интервал
между событиями, происшедшими с телом, оказался равпым dx,
то по часам другой ИСО, относительно которой тело движется,
промежуток времени между этими же событиями dt окажется
равным, согласно C.9),
dt ~ у dx,
1де
Ь"'1*^ (ЗЛ5)
теперь уже v — v (t) — это скорость тела (а не системы отсчета),
почему и введены обозначения р* и у. Когда скорость тела перемеп-
па и задается ьависимостыо v = v (t), связь между конечным
промежутком времени т и промежутком времени, отсчитанным
по часам системы, относительно которой тело движется, получает-
получается интегрированием:
х-te- j /l-(iifJ^ C.16)
Что за величина стоит в левой час/и C.16)? Ее можно, конеч-
конечно, назвать собственным временем тела. Но как ее измерить?
Ведь, строго говоря, соотношение C.9) годится для часов в инер-
циальных системах отсчета, а если часы скреплены с произвольно
движущимся телом, они испытывают ускорение. Ускорение,
безусловно, влияет на ход часов (по-разному для часов различной
конструкции; если вы не верите в это, бросьте ваши часы на пол).
Но тогда трудно говорить об отсчетах времени с помощью таких
часов. Разумная интерпретация формулы C.16) заключается в том,
что время т — т0 — это суммарное время, измеренное многими
сопутствующими телу инерциальными системами, или — это то
же самое — время, отсчитанное часами, жестко связанными с те-
телом, но такими, на которые абсолютно не влияет ускорение тела.
Следует подчеркнуть, что различие показаний часов из различ-
различных иперциальных систем отсчета которое мы получили, не имеет
ни малейшего отношения к какому-либо нарушению хода часов
в той или иной системе. Как и в случае измснепия длины линеек,
речь идет просто о разных способах измерения времени. Все
6*

84 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
часы во всех системах отсчета идут идеально точно. Однако изме-
измерения промежутков времени между двумя событиями, производи-
производимые двумя наборами часов из разпых систем отсчета, по-своему
синхронизованных в своей системе отсчета, приводят к нолучеп-
пому результату: промежуток собственного времени между двумя
событиями оказывается всегда наименьшим.
Рассмотрим пример (вполне аналогичный примеру, приведен-
приведенному в связи с изменением длины масштаба), показывающий, что
замедление времени обусловлено различными способами его срав-
сравнения. Возьмем совершенно одинаковые часы: А в системе К
и А' в системе К' (это могут быть атомы одинакового сорта).
Пусть мы наблюдаем за часами А' системы К', т. е. сравниваем
часы А с последовательностью часов, синхронизованных с часа-
часами А'. Тогда наблюдатели из К' обнаружат, что часы А идут
медленнее по сравнению с набором часов из К'. Напротив, если
следить за одними часами А' системы К', то наблюдатели из систе-
системы К обнаружат, что часы А' идут медленнее, чем набор часов
из К'. Противоречивы ли эти результаты? Нет. Мы ясно видим,
что способы сравнения часов в первом и втором случаях различ-
различны. Всегда оказываются отстающими те единственные часы,
которые сравниваются с разпыми часами другой системы отсчета.
Такое удивительное положение оказывается неизбежным. В основе
теории относительности лежит равноправие всех ИСО, и, когда
возникают относительные величины, они возникают одинаково
во всех ИСО.
§ 3.4. Классификация интервалов и принцип причинности.
Из формул C.1) и C.2) видно, что если взять два произвольных
события, то как пространственное расстояние между ними, так
и промежуток времени между их наступлением оказываются отно-
относительными величинами (Ах' Ф Ах, At' Ф At). До сих пор мы
сталкивались с событиями частного вида: при измерении длин
рассматривались координаты концов линейки х2 и хг одновремеп-
но (ti = t2); при определении интервала времени рассматривались
моменты времени t\ и t\ в одной и той же точке х'г = х[. Но уже
и в этих случаях пространственные и временные «расстояния»
между событиями оказались относительными. Не удивительпо,
что они оказываются относительными в общем случае. Вместе
с тем, как мы знаем, непосредственно из постулатов Эйнштейна
вытекает, что инвариантом преобразований Лоренца является
интервал между событиями:
sa =-= /с2 {Ь - ttf - (х2 -я,J — (у2 — i/jJ — (г2 — ziJ —
= Ус2 (AtJ- (AxJ-(Ayf— (AzJ. C.17)
Обозначения те же, что и при выводе формул C.1) и C.2). Удобно
ввести также отдельные обозначения для пространственного и

S 3.4] КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ, ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ 85
временного расстояний между событиями:
1*% = (Д*J -f (АуJ + (ДгJ, At = t12. C.18)
Записав квадрат интервала между двумя событиями в К
в виде Sj2 = c%t\% — 1]2 и квадрат интервала между этими же
двумя событиями в К': s[l = сН[1 — 1[\, мы выпишем условие
инвариантности интервала s\l = sf2 в виде
сЧ\,-112-сЧ[1-1Ц. C.19)
Рассматривая события в произвольной системе отсчета К,
мы скорее всего обнаружим, что события происходили в разных
точках пространства и в разные момепты времени.
Нельзя ли за счет выбора системы отсчета К' добиться: а) чтобы
события I и II происходили в одной и той же точке пространства;
б) чтобы события I и II происходили в один и тот »;е момент вре-
времени и, наконец, в) чтобы события I и II происходили в одной
точке пространства и в один и тот же момент времени? Начнем
по порядку.
Итак, а) можно ли подобрать такую систему К', в которой эти
события произойдут в однойи тойжеточке пространства, т. е. будут
одпоместными? Это означает, что в системе К' должно быть 1[г = 0.
Но тогда из C.19) следует, что
C.20)
т. е. s\2 ^ 0, а интервал я12 должен быть действительным. Б систе-
системе К' рассматриваемые события происходят в одной точке прост-
ранства, и с точностью до множителя с интервал между ними сво-
сводится к временному интервалу:
Поэтому действительные интервалы между событиями носят назва-
название времениподобных интервалов. Условие времениподобности
интервала можно записать еще в виде ZI2<; ct1%.
Рассмотрим движение частицы, обладающей массой покоя
(только такие тела и рассматриваются в обычной механике).
Допустим для простоты, что эта частица равномерно движется
вдоль оси х и за время At перемещается на расстояние Ах. В систе-
системе К' эта частица сместится на Ах' за время At', определенное
согласпо C.1) и C.2). Отношение Ах/At = v — скорость частицы
в системе К. Учитывая это обстоятельство, перепишем C.1)
и C.2):
Az' -^T (Ax-V At) -Г (-^-V) At = T (v-V) At, C.22)
-^)Д^ГA--^)Д*. C.23)

86 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
Из C.22) легко найти скорость той системы К', в которой два
рассматриваемых события одноместны, положив Ах' — 0. Из пра-
правой части сразу же получаем очевидный ответ V = v. Это просто
система, сопутствующая частице. Из C.23) вытекает еще одно
важное следствие. Пусть At = tz — tx >0. Это значит, что собы-
событие II наступило позже события I. Есть ли такая система К',
в которой At' < 0, т. е. временная последовательность событий
изменилась на обратную по сравнению с системой К? Из C.23)
видно, что знак At' будет совпадать со знаком At в том случае,
когда И 1)>0- Н° эт0 условие выполняется всегда, так как
скорость тела v всегда меньше с. (Система отсчета — ото тоже
материальное тело.) Вместе с тем это же условие выполняется
и для любой пары событий, связанных временинодобным интер-
интервалом. Действительно, в третье звено равенства C.23) входит
выражение (l ^-\ . Как видпо из C.18), l12 ^ Ах и если
c^i2 > ^12' т0 заведомо с At > Ах. Это значит, что отношение
Ах/с-At меньше единицы; V/c всегда меньше единицы, поэтому
[1 -т?1 >>0, и, следовательно, At' >¦().
Следовательно, понятия «позже» и «раньше» для двух этих
событий, рассматриваемых с точки зрения систем К и К', имеют
одинаковый, т. е. абсолютный, характер. Вообще, если интервал
между событиями времениподобный (напомним, что значение
интервала — величина инвариантная), то последовательность со-
событий во времени сохраняется во всех ИСО. Мы увидим ниже,
что для интервалов, отличающихся знаком от времепииодобпых,
это совсем не так.
Какое значение имеет сохранение последовательности во вре-
времени для всех иперциальных систем отсчета? Мы начали с того,
что два события, разделенные времепиподобным интервалом,
в какой-то системе отсчета окажутся одноместными. Если одно
из них произошло «раньше», а второе «позже», то первое может
быть причиной возникновения второго, т. е. эти события могут
быть связаны между собой причинно-следственной связью. По тог-
тогда их временная последовательность не может зависеть от выбора
системы отсчета. Из наших результатов как раз и следует крите-
критерий возможности причинно-следственной сйязи (интервал — вре-
времениподобный). Последовательность же событий во времени сохра-
сохраняется во всех системах отсчета автоматически.
Времепиподобный интервал между событиями указывает на
возможность причинно-следственной связи между событиями не
только потому, что обеспечивает одинаковую последовательность
событий во времени во всех ИСО. Он указывает па физическую
возможность влияния одного события на другое. Из неравенства

§ 3.4] КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ, ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ 87
l\2 <ic4\2, характеризующего времениподобный интервал, выте-
вытекает, что за время, прошедшее между наступлением событий, свет
заведомо может пройти от точки, где произошло событие I, к точ-
точке, где произошло событие II (произведение с (?2 — tt) как раз
и есть путь света за время t2 — (t). Это означает, что в принципе
за промежуток времени между наступлением события Т и наступ-
наступлением события II некоторое взаимодействие (сигнал) могло бы
распространиться от точки, где произошло событие I, к точке, где
происходит событие II. Не претендуя па общность в постановке
вопроса, будем считать, что одно событие может влиять на другое
только через физическое (силовое) взаимодействие. Тогда, если
событие I наступило, «сигнал» о том, что оно наступило, может
попасть в точку, где произойдет событие II, до того, как собы-
событие II наступит. Это означает, что событие I может быть причипой
события II, а событие II — следствием события I. В этом случае
события могут находиться в причинно-следственной связи. Таким
образом, и с физической точки зрения события, разделенные вре-
мениподобпым интервалом, могут находиться в причинно-след-
причинно-следственной связи. Разумеется, опи могут и не находиться в такой
связи. Речь идет только о принципиальной возможности. Сущест-
Существенно, что для таких интервалов не нарушается последователь-
последовательность событий во времени: следствие не может влиять на свою
причину.
б) Перейдем теперь к рассмотрению интервалов другого знака.
Снова рассмотрим условие инвариантности интервала C.19)
и выясним, можно ли найти такую систему координат К', в кото-
которой два заданных события I и II происходят одновременно. Это
значит, что в этой системе t[2 — 0.
Таким образом, s*2 = —1[\ <<0. Квадрат интервала между
событиями должен быть отрицательным, а сам интервал оказы-
оказывается мнимым. В системе К' рассматриваемые события происхо-
происходят в один и тот же момент времени, и интервал между ними сво-
сводится (с точностью до мнимой единицы) к пространственному
интерпалу 1[.2 --=- isI2. Поэтому мнимые интервалы называются
пространственноподобными. Условие пространствешгоподобности
интервала можпо записать еще и в виде 112 >> ct]2.
Мо;кпо ли найти систему отсчета, в которой для двух данных
событий At' — 0? Из C.2), положив At' — 0, мы получаем для V
значение
Так как можно всегда подобрать события так, что /,о = Ах, то из
условия пространственноподобности интервала следует для этого
случая Ах > с-At. Из C.24) вытекает, что мы можем получить
V <;с, т. е. в принципе такую систему подобрать можпо. В третье

88 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 1ГЛ. S
звено равенства C.23) входит отношепие Ах/с-At; как мы сказали,
опо мо?кет быть больше единицы. Но это значит, что множитель
A — ] за счет выбора V можно сделать отрицательным.
\ С С iSt /
Отсюда вытекает, что временная последовательность двух
событий, связанных пространственноподобпым интервалом, может
быть изменена за счет перехода от одной ИСО к другой. Это не го-
годится для событий, которые могли бы находиться в причинно-
следствепной связи. Но с физической точки зрения они и не могут
находиться в такой связи. Действительно, условие Z*2 >• сН\г
говорит о том, что за время, которое проходит между событиями,
никакой «сигнал» не может быть передан из точки, где наступило
событие I, в точку, где наступит событие П. Следовательно, собы-
события, разделенные пространствеггаоподобным интервалом, в при-
причинной связи находиться не могут.
Итак, специальная теория относительности позволяет указать
условия, при которых причинно-следственная связь между собы-
событиями оказывается возможной или невозможной. Это очень важ-
важный критерий, который в общем виде нельзя получить из других
соображений. Следует, конечно, еще раз подчеркнуть, что все
наши рассуждения опираются па представление о существовании
предельной скорости передачи сигнала.
в) Если нас интересует система отсчета, в которой события
были бы и одновременны и одноместны, т. е. соблюдались бы два
равепства t[2 = 0 и 1\г — О, то для этого было бы необходимо
совместное выполнение двух условий: s12 ^ 0 и s12 ^ 0. Но они
выполняются совместно лишь в том случае, если s12 = 0 и s'n = 0.
Если рассматриваемые события не состоят в посылке и приеме
световых сигналов, то равенство интервалов нулю может быть лишь
в том случае, когда оба события совпадают и в К и в К'. Совпаде-
Совпадение событий, конечно, не зависит от выбора системы отсчета.
Интервал между двумя событиями, наступившими в данной
системе в разных точках пространства и в разные моменты вре-
времени, равный по абсолютной величине нулю, уместно назвать
светоподобным интервалом. Светоподобным интервалом связаны
события, состоящие в последовательном прохождении световой
волны через различные точки пространства. Мы убедились в этом
уже в начале § 2.6.
§ 3.5. Преобразование компонент скорости частицы при нере-
ходе от одной иперциальнои системы отсчета к другой. Из преобра-
преобразований Галилея для координат и времени A.2) было получено
правило A.4) преобразования скорости частицы при переходе
от одной ИСО к другой: v' ~~v — V. Это правило но удовлетворяет
второму постулату Эйнштейна, поскольку скорость света в вакуу-
вакууме оказывается разной в различных системах отсчета. Из преоб-

* 3.5]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ СКОРОСТИ ЧАСТИЦЫ
89
разований Лоренца следуют формулы преобразования для скоро-
скорости, которые удовлетворяют постулатам Эйиштейпа. К выводу
этих формул мы и переходим.
Рассмотрим движение частицы с точки зрения двух ИСО — К
и К'. Скорости определяются обычным образом:
Если
x = x(t),
то
dx
V*~~ dt '
В
системе
y=--y(t),
„ dy
v«~~dT>
К
z =
2@,
dz
~dt
В системе К'
Если
TO
dx'
dt' '
,;' - *У'
VV - dt'
dz'
Подразумепается, что между x, t и х', t' установлена связь
(через преобразования Лоренца), так что независимой перемен-
переменной можно считать, скажем, t. При изменении t на dt получают
приращения все переменные; запишем эти приращения в диффе-
дифференциалах, дифференцируя преобразования Лоренца (см. B.16)):
= V(dx'-)-Vdt'), dy = dy', dz = dz', dt =
C.25)
Разделив первые три равенства C.25) на последнее почленно,
получим
dx' + Vdt' dy
dy'
dt
t' + ^d*' ' dt
с
dz _
dt ~'
dz'
В каждом из полученных равенств делим числитель и знаменатель
правых частей на dt'. В итоге получим
V*--—
-» vu--
C.26)
Это и есть формулы релятивистского преобразования скоростей.
По этим формулам, зная компоненты скорости i>x, v'y, v'z в

90 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
системе К' и скорость системы К относительно К' (эта скорость
равна —V), можно найти компоненты vx, v;n vz в системе К. Чтобы
получить формулы обратного перехода, нужно изменить знак
скорости V и поставить штрихи у величин, где их не было, а
там, где они были,— убрать:
Тот же самый ответ получится, конечно, и непосредственно иэ
формул C.26). Из формул C.26) и C.27) видно, что равномерное
движение в одной ИСО окажется равномерным и во всех других
ИСО. Таким образом, равномерное прямолинейное движение
является выделенным. Напротив, равноускоренное движение в не-
некоторой ИСО, согласно релятивистской кинематике, вовсе не
является равноускоренным в других ИСО (см. § 5.1).
В формулах C.26) и C.27) ось х выделена по сравнению с осями
у и z. Это связано лишь с тем, что вдоль оси х направлена относи-
относительная скорость систем отсчета К и К'. Если в этих формулах
перейти к пределу В —*- 0, т. с. положить формально с ->- со,
мы возвращаемся к преобразованию A.4) Галилея. Это означает,
что для двух систем отсчета, относительная скорость которых
мала по сравнению со скоростью света, преобразования Галилея
достаточно точны, поэтому в попседневной жизни не приходится
прибегать к релятивистским представлениям. Еще раз мы убеди-
убедились, что отличие релятивистских представлений от классических
связано с конечностью скорости света. Заметим, что формулы C.26)
и C.27) естественно получаются на основе четырехмерного подхода
к теории относительности.
Рассмотрим движение по оси х . \\ этом случае в системе отсче-
отсчета К' компоненты скорости будут v'x = v', v'v = 0, v'z = 0. По фор-
формулам C.26) мы получаем, что в системе К компоненты vv и vz
равны нулю. Следовательно, движение и в системе К происходит
по оси х, a vx = v. Поэтому согласно C.26)
C.28)
Если положить v — с, то из C.28) следует v ¦¦--¦ с. Это соот-
соответствует второму постулату Эйшптейпа: скорость света в вакууме
во всех ИСО одинакова.
Заметим при этом сразу же, что подставлять в C.28) v' = с
не очень последовательно, поскольку материальные частицы,
представляющие собой «сигнал», не могут двигаться со скоростью с,

§ 3.5]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ СКОРОСТИ ЧАСТИЦЫ
91
а формула выведена для материальных частиц (т Ф 0). Однако
в формуле C.28) можно полагать г/ = с, рассматривая кванты
света (фотоны) как релятивистские частицы (§ 7.6). Кроме того,
существуют ультрарелятивистские частицы, скорость которых
близка к скорости света. Так, например, скорость электронов
в Ереванском ускорителе отличается от с в восьмом (!) знаке.
В качестве еще одного примера использования формулы сло-
сложения скоростей C.28) приведем объяснение результатов опыта
Вода
Зерпало
Источник
сдета
\ Оборотная
призма
вода
Рис. 3.7. Схема опыта Физо. Луч света пт источника растегтлпстсл полупрозрачной пла-
пластинкой Рр на два пучка, один из которых идет в поде по течению, а другой — цротив.
Френель, которого интересовал вопрос о том, как распространяется свет и движущейся
среде, предполагал, что если скорость света в ненодвижной воде v', скорость днижения
воды V, то скорость света v для наблюдателя, относительно которого иода движется,
равна v = v' ± hv, где апак «+» соответствует распространению света по течению,
а знак и—»— распространению против течении; h называется коэффициентом увлечения.
Коэффициент увлечения искал физо, поставивший описываемый опыт. Из результатов
опыта Физо следовало, что k = 1 — 1/п2. Теория относительности весьма естественно
объясняет результат Физо (см. текст). Подробности опыта можно пайти в книгах [13]
и [15].
Физо. В опыте сравнивалась скорость света в неподвижной отно-
относительно наблюдателя (лаборатории) воде и в воде, движущейся
со скоростью V. Скорость света в неподвижной воде равна с/п.
Затем (рис. 3.7) свет пропускали через движущуюся воду, а его
скорость определялась в лабораторной системе отсчета по наблю-
наблюдению интерференции двух пучков света — идущего по течению
воды и против. Из результатов опыта Физо следовало, что к фазо-
фазовой скорости света в неподвижной воде нужно было еще добавить
скорость воды V, умноженную на A — Vn2), где п — показатель
преломления воды. Таким образом, если фазовая скорость света
в неподвижной воде г/ — с/п, то фазовая скорость, определенная
в лабораторной системе, оказалась равной
C.29)

92 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
Используя формулу C.28), мы получим, что в лабораторной систе-
системе в силу закона преобразования скоростей
v — -
V
— 1(
сп \ сп
Пренебрегая в зпаменателе величиной (V/cnJ, малость которой
определяется тем, что скорость воды нерелятивистская {{VicJ <^ 1),
получим
с . .,/. 1 \ F2 с Г, . V I . 1 \ V2 /о ол\
рж—ЬМ I ~- -- — Н 1 г) п =- . C.30)
п \ п2 ) сп п L с V п2 ! с2 J v '
В выражении C.30) в том же приближении пренебрегаем членом
У2/с2 и получаем результат Физо C.29). Таким образом, формула
преобразования скоростей Эйнштейна дает естественное объясне-
пие результатов опыта Физо (ср. § 1.7).
Мы уже говорили о том, что важнейшим предположением сов-
современной физики является утверждение о невозможности переда-
передачи сигналов (взаимодействий) со скоростью большей, чем ско-
скорость света. Но с помощью движущегося тела, несомненно, можно
передать сигнал (энергию, импульс), поэтому скорость тела не
может превышать с. Релятивистская механика приводит к тому,
что материальпое тело (т. е. тело, обладающее массой покоя) не
может даже достичь этой скорости, а всегда имеет меньшую ско-
скорость. По это справедливо в определенной ИСО. Нельзя ли за счет
выбора системы отсчета получить в другой ИСО скорость, превы-
превышающую с?
Если бы из классической механики следовало, что в заданной
ИСО скорость тела никогда не превышает с, то только за счет
выбора системы отсчета можно было бы получить скорость тела,
превышающую с. Действительно, согласно формуле A.4) v =
= v' + V, где v' — скорость тела относительно К', а V — отно-
относительная скорость систем отсчета К и К'. Если скорости v и V
превышают 0,5с, то скорость тела v в системе К будет больше с.
Но в СТО преобразование скоростей происходит, как мы ви-
видели, иначе. Из C.26) и C.27) видно, что скорости частицы и систе-
системы отсчета отнюдь не складываются по правилу сложения векто-
векторов. Более того, при сложении скоростей в СТО действует неве-
невероятное правило с -\- с = с.
Из формул C.26) или C.27) следует, что если скорость частицы
в К меньше с (v/c ¦< 1), а скорость К' относительно К также мень-
меньше с (Vic <1), то скорость частицы, определенная в К', всегда
меньше с. Самое простое доказательство этого утверждения для
случая одномерного движения проводится с помощью форму-
формулы C.28). Составив выражение (v/c) — 1, записываем цепочку

§ 3.5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ СКОРОСТИ ЧАСТИЦЫ 93
равенств:
JL + X. "' | к- 1 v"'
- /v/ =- ;^ <o. C.31)
С2 'с2
Отсюда ясно, что у <;с.
Но нельзя ли последовательными переходами от одной ИСО
к другой прийти к относительной скорости систем отсчета, превы-
превышающей с? Собственно говоря, система отсчета — это система
материальных тел, и для ответа мы могли бы воспользоваться
только что полученной теоремой. Конечно, в СТО в любом случае
нельзя получить относительную скорость систем отсчета, боль-
большую с. Но мы нолучим этот результат еще раз иным путем, кото-
который сам по себе поучителен.
Введем кроме системы К еще две системы отсчета К' и К".
Чему равна относительная скорость систем отсчета К и К", если
известны относительные скорости систем К и К', с одной сторопы,
и систем К' и К", с другой? Пусть относительная скорость К и К'
равна V, а относительная скорость К' и К" равпа W. Если ввести
обозначения Bt = У/с, а В2 — Wlc и, соответственно, 1/Гх =
= У\ - В?, 1/Г2 -= У 1 - В», то
^ ^) C.32)
C.33)
Подставим C.33) и C.32), чтобы найти непосредственную связь
между координатами и временем в системах К и К":
х = Г^ (х"+ Wt"+ Vt" +
- Г4Г2 {A + В,В2) х"+ (V+ W) t"} -
- Г1ГВ A -|- В.В.) (х 4- -V±gL- tr) . C.34)
Аналогично можно получить
C.35)
Обозначим
v-\-w v\ w
\-\-VWIci
*-U- C.36)

01 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
Вычислим первые множители в выражениях C.34) и C.35):
1\ГгA Н,И2)-
1 1
/
V
1
+ HfBaK У A + В,В2J
1
1-rHiB2
Тогда C.34) и C.35) можно записать в виде
i/i—v—
У с* •
Следовательно, дна последовательных преобразования Лоренца
с относительными скоростями систем отсчета, равными V и W,
эквивалентны одному прсоГ>1>а;ювапию с относительной скоростью
U, определенной согласно C.36). Другими словами, относитель-
относительные скорости систем отсчета также «складываются» по прави-
правилу C.28). Но мы ужо убедились, что в результате такого сложения
получить скорость, большую чем скорость спета, нельзя.
Формулу C.36) легко получить с помощью комплексного вра-
вращения (см. § 2.8). С геометрической точки зрения переход от К
к К' и затем от К' к К" представляет собой последовательный
поворот в плоскости (х, т) на углы <р, и ср2, причем tg ф! — iBj,
a tg <р2 = Ш2.
Тангенс результирующего угла можпо найти по обычной фор-
формуле для тангенса суммы двух углов (<р — ср, ~ ф2):
или
.п _ Шг-НВг
а ото как раз и есть формула C.36), если заменить В, Вг и Вг
их значениями. Оба последних соотношения показывают, что>
совокупность преобразований Лоренца обладает основным свойст-
свойством группы (и смысле математической теории групп): два преобра-
преобразования Лоренца дают снова преобразование Лоренца (здесь
существенно, однако, что относительная скорость всегда направ-
направлена по оси х).
Приведем полезную интерпретацию формулы C.28). В § 2.7
мы ввели параметр скорости г% связанной с относительной ско-
скоростью систем отсчета соотношением В = —th Ф. Можно внести

§ 3.6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКОРОСТИ ЧАСТИЦЫ 95
также параметр скорости частицы р" = —tJi 0. Тогда C.28) пере-
перепишется в виде
M^9^T-FFF-- H,th0,,l|l# --th@ + fl); C.37)
последнее звено равенства записано на осповании формул Прило-
Приложения I. § 9. Это — интересный результат. В классической тео-
теории складываются скорости B.4), в релятивистской теории скла-
складываются параметры скоростей; последним обстоятельством мы
воспользуемся в § 5.7.
§ 3.6. Преобразование абсолютной величины и направления
скорости частицы. Из формул преобразования компонент скоро-
скорости C.26) можно получить выражении, определяющие абсолютную
величину скорости и ее направление и системе К, зная компонен-
компоненты скорости в К'. Прежде всего, очевидно, что если в К' компо-
компонента скорости v'z — 0, то я в К компонента vz = 0. Это значит,
что если в системе К' движение происходит в плоскости (х', у'),
то и в К движение будет происходить в плоскости (х, у). Выберем
оси х' и у' так, чтобы скорость частицы лежала r К' в плоскости
(х', у'). Тогда ясно, что если ¦О1' — угол, составляемый скоростью
г/ с осью х', то v'x — г/ cos {I1', v'v — v' sin •&'. Угол, составляемый
скоростью v с осью х в системе К, мы обозначим через "&• Следо-
Следовательно, vx —-- v cx>s г'), г;^ — v sin ¦&. Найдем формулы, связываю-
связывающие v и ¦& с и' и гУ. Перепишем дне иервые формулы C.26), выразив
компоненты v'x и v'v через и' и \V:
в i + "cos^ в
с
C.38)
Разделив иторую формулу па норную, мы получим выражение
для tgft:
Чтобы найти выражение для абсолютной величипы скорости,
достаточно вознести в квадрат и сложить почленно равенства C.38);
мы сразу получим
iJr2v'V cos ft' — г/2В2 sin2fl' ' ' с1 ' „ ,_
• C.40)
Из формул C.39) и C.40) вытекает, что при переходе от систе-
системы К' к системе К меняются yi о.т наклона скорости к соот-
соответствующей оси х (напомним, что [оомотрически оси х и х'

96
СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
[ГЛ. 3
совпадают) и абсолютная величина скорости (рис. 3.8, а). Ко-
Конечно, это же самое имеет место и в классической механике, по
описывается другими формулами.
Луч света
о'
'= о
У'
5)
Рис. 3.8. а) Частица в К' движется в плоскости (ж', у'). Угол наклона ее скорости к оси х?
равен в', причем tg в' = Vylv'x. В системе К компоненты vy и vx меняются согласно C.26),
откуда ясно, что угол # у;ке не равен в' (см. также C.3!))). Для случая, изображенного
иа чертеже, О' >в. б) Свет надает в системе отсчета К' но оси у', т. е. нормально направ-
направлению движения системы. Очевидно, что v% = 0, v'y = с, ¦&' = я/2. В системе К, соглас-
согласно C.26), vx = V, v — с "lA — В2, откуда tg О = ~\/l — Bs/B'. Углом аберрации назы-
называют угол, составляемый видимым направлением 'прихода света в К с направлением
света в К', т. с. угол с осью у. Угол аберрации a = л/2 —в.
Отметим полезную формулу, вытекающую из C.40). Она пона-
понадобится нам к гл. 7. Составим, пользуясь первым равенством C.40),
выражение
cos;0
\ 2
;0'j — v'Z — V* — 2i/ycosu'+
Следовательно,
C.41)

§ 3.6] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКОРОСТИ ЧАСТИЦЫ 97
ИЛИ
Ж= (ЗЛ2
Из C.41) нетрудно получить также удобное выражение для квад-
квадрата абсолютной величины скорости:
из которого сразу следует, что если v' 1с и Vic меньше единицы,
то v <с. Для частного случая, когда скорость определялась
согласно C.28), эта же теорема была доказана выше. Форму-
Формулу C.43) можно получить, конечно, возведя в квадрат левые
и правые части C.26) и сложив их.
Из формул C.38) и C.39) легко получить формулы, определяю-
определяющие изменение направления лучей света при переходе от систе-
системы К' к системе К. В этом случае, положив в формуле C.43)
v' = с, мы, как и следовало ожидать, получим, что и v = v' = с.
Учитывая это, мы получим соответственно из C.39) и C.38)
Sin ft = / ST-Sinft, COS ft = —-———5T- . C.45)
l + Bcosu' 1 + BcosO' v '
Формулами C.45) описывается явление аберрации света, которое
состоит в том, что волновой фронт световой волны меняет свое
направление при переходе от одной ИСО к другой. Пусть свет
в К' идет но нормали к направлению движения, например в на-
направлении оси у' (рис. 3.8, б); это значит, что ¦&' — л/2. Тогда,
согласно C.44), tgft = Y\ — В2/В.
Углом аберрации принято называть угол, образуемый види-
видимыми направлениями луча в двух ИСО. В К' свет шел в направ-
направлении оси у', а в К — под углом а = л/2 — ¦& к оси у. Очевидно,
угол а и является углом аберрации, причем
Для угла аберрации а по формулам преобразований Галилея
(проделайте это сами!) мы получили бы tg a = В. Это значит,
что релятивистская формула отличается от нерелятивистской
членом порядка В3.
Нетрудно получить формулы для угла аберрации и в том слу-
случае, когда свет падает под произвольным углом к направлению
7 В, А. Угаров

98 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 1ГЛ.
движения. Будем считать, что В <^ 1. Тогда, согласно C.45),
sinft = (l-i-
Отбрасывая все члены, начиная с В2 и выше, получим
sin ft — sin ft' = —В sin ft' cos ft'.
Угол ft' — ft = Aft — это угол аберрации. Так как правая часть,
пропорциональная В, мала, то и Aft мало:
sin ft — sin ft' = 2 cos J*2L*L sin ^~°* « — cos ft' Aft.
Следовательно,
Aft = В sin ft'. C.46)
Это — элементарная формула аберрации для света, падающего
в системе К' под углом ft'. На рис. 3.8 иллюстрируется изменение
направления скорости частицы при переходе от системы К' к К,
а также вычисление угла аберрации для нормального (относитель-
(относительно движения) падения света. О роли явления аберрации в разви-
развитии СТО см. Дополнение II.
В заключение вычислим относительную скорость двух частиц.
Естественно определить относительную скорость двух частиц как
скорость одной из них в той системе К, в которой другая частица
покоится. Пусть в системе К' скорости частиц равны v[ и v^.
Выберем систему координат К так, чтобы V = —v'2. Скорости
частиц сразу же определяются из C.40). Абсолютная величина
скорости v2 равна нулю, а абсолютная величина скорости первой
частицы будет равна
Этим выражением и определяется значение квадрата относитель-
относительной скорости двух частиц. Выражение C.47) симметрично относи-
относительно Vi И 1?2-
Для формулы C.40) было показано, что v2 всегда меньше сг
(см. C,43)); это справедливо и для C.47): относительная скорость
частиц не может превысить скорость света в вакууме.
§ 3.7. Метод fc-коэффициента (радиолокационный метод). Ни-
Ниже излагается изящный метод получения основных следствий
постулатов Эйнштейна. Этот метод можно было бы изложить
короче, ссылаясь на результаты, полученные ранее другими спо-
способами. Но мы сознательно идем па пекоторое повторение, чтобы
этот параграф был более или менее самостоятельным. Особен-

$ 3.7] МЕТОД ^-КОЭФФИЦИЕНТА 99
ностью этого метода (вплоть до вывода преобразований Лоренца)
является то, что он не требует явного использования координат-
координатного метода. Хотя ниже используются графические иллюстрации
с координатами, они носят лишь вспомогательный характер: для
изложения они не обязательны, но полезны тем, кто знаком с про-
пространственно-временными диаграммами.
Рассматривается только одна пространственная координата:
многие особенности СТО обнаруживаются уже в этом случае,
который проще и допускает наглядные иллюстрации. Итак, пусть
все события наступают на оси х (и соответственно на совпадающей
с пей оси х системы К', см. рис. 1.2). Все рассуждения, исполь-
используемые в методе «^-коэффициента», представляют собой мысленные
эксперименты, состоящие в основном в обмене световыми сигна-
сигналами в вакууме; речь будет идти о посылке, отражении и приеме
световых сигналов. Такая игра в световые зайчики в конечном
счете позволяет получить основные следствия постулатов Эйн-
Эйнштейна .
Основное предположение, которое делается в методе &-коэф-
фициента, опирается на эффект Доплера (см. § 3.3). Для одно-
одномерного случая речь идет всегда о продольном доплер-эффекте.
Итак, если в некоторой точке системы К расположен неподвиж-
неподвижный радиолокатор, испускающий короткие импульсы через про-
промежуток времени (период) Т, наблюдатель из системы К', удаляю-
удаляющийся от этого локатора с иостоянной скоростью, обнаружит, что
интервал между приходом световых импульсов будет уже иной,
несмотря на то что часы, закрепленные вместе с локатором, и часы
наблюдателя в К' идут совершенно одинаково.
Будем говорить для иростоты речи не о локаторе и приемнике,
а о двух наблюдателях А и А', покоящихся соответственно в систе-
системах отсчета К и К'. Итак, если наблюдатель А посылает световые
сигналы, разделенные друг от друга по его часам интервалом
времени Т, то наблюдатель А' будет принимать эти сигналы (по
своим часам) уже через другой интервал времени. Обозначим
этот интервал времени через кТ. Так появляется /^-коэффициент,
основная величина в рассматриваемом методе.
Подчеркнем, что промежутки времени Т и кТ — зто проме-
промежутки времени между посылкой первого и второго сигнала наблю-
наблюдателем А и приемом^этих сигналов наблюдателем А', отмеченные
по часам, покоящимся соответственно в системах К и К'.
Исходя из основных свойств пространства и времени — их
однородности и изотропности,— можно считать, что коэффициент
к не зависит ни от положения приемника и источника, ни от вре-
времени посылки и приема сигнала, ни от направления посылки
сигнала (другими словами, направление общей оси х, х' может
быть выбрано в пространстве произвольно). Конечно, этот коэф-
коэффициент не зависит и от промежутка времени между посылкой
7*

100 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
сигналов. Он может зависеть только от относительной скорости
наблюдателей А и А'. Действительно, опыт учит, что изменение
частоты света при доплер-эффекте зависит только от скорости
относительного движения.
Причина появления коэффициента к очевидна. Пусть наблю-
наблюдатель А находится в начале отсчета системы К и посылает свето-
световые сигналы наблюдателю А', находящемуся в начале отсчета
системы К'. Система К' удаляется вправо от системы К. Пусть
первый сигнал посылается в момент времени t. Тогда нетрудно
определить момент времени тх по часам А, когда наблюдатель А'
примет этот сигнал. Действительно, сигнал, идущий со скоростью с,
должен за время тх пройти, во-первых, путь Vt, который разделял
наблюдателей А и А' в момент t, во-вторых, путь Vx^, который
за время тг пройдет наблюдатель А': ст1 = Vt -\- Ftx, откуда
тх = ^ t. Второй сигнал испущен в момент t -\- T, поэтому
он дойдет до А' за время т2, определяемое из соотношения ст2 =
= V (t]+ T) + Ft2, откуда т2 = cZv • Разность т2 — тх =
= —г; Г показывает промежуток времени между приемом сигна-
С —— V
лов наблюдателем А'. Однако мы вовсе не получили выражения
для коэффициента к, как это могло бы показаться. Ведь коэф-
коэффициент к должен появиться тогда, когда мы найдем промежуток
времени между приемом сигналов по часам наблюдателя А'.
Но связи между показаниями часов А и А' у нас пока нет.
До сих пор мы использовали только однородность и изотроп-
изотропность времени и пространства. Теперь мы используем постоянство
скорости света в вакууме. Постоянством света в вакууме во всех
ИСО нам придется пользоваться очень часто. Это условие можно
сформулировать так: «свет не может обгонять свет». Сейчас же
мы переходим к вопросу, который явно использует равноправие
всех инерциальных наблюдателей (т. е. первый постулат Эйн-
Эйнштейна).
Мы приняли, что сигналы, посланные наблюдателем А через
промежуток времени Т, будут приняты наблюдателем А' (по его
часам) с интервалом кТ. В силу равноправия наблюдателей мы
должны считать также, что сигналы, посланные наблюдателем
А' с интервалом Т, будут приняты наблюдателем А также с интер-
интервалом кТ (принцип относительности для двух инерциальных
наблюдателей А и А').
Стоит заметить, что это предположение в сильнейшей степени
опирается на тот факт, что в вакууме никакой среды, в которой
распространяется свет, не существует. Если бы такая среда
существовала, коэффициент к должен был бы зависеть от скоро-
скоростей наблюдателей А л А' относительно этой среды. Именно

i 3.71 МЕТОД fc-КОЭФФИЦИЕНТА 101
такая среда (эфир) больше всего волновала умы физиков XIX века;
она явилась причиной драматических ситуаций, предшествовав-
предшествовавших ноявлению СТО (см. Дополнение II). Сейчас уже вполне
разумно сразу принять современную точку зрения.
Теперь мы найдем явное выражение коэффициента к через
скорость относительного движения. В этой процедуре нам не по-
понадобится ничего, кроме нескольких мысленных опытов, свя-
связанных с посылкой, приемом и отражением световых сигналов.
Отражение, если угодно, можно трактовать как посылку сигналов
«наблюдателем» в обратном направлении в тот самый момент,
когда он принимает прямой сигнал.
Пусть первый сигнал от наблюдателя А к наблюдателю А'
послан в тот момент, когда системы'^ и К' совпадают. Наблюда-
Наблюдатели А и А', каждый из которых находится в начале отсчета
своей системы, в этот момент тоже находятся в одпой^и той же
точке.
Естественно, что передача этого сигнала от Л к Л', а также
обратного сигнала от А' к А не требует никакого времени. Спустя
промежуток времени Т по своим часам А посылает световой
сигнал к наблюдателю А', который получит его через промежуток
времени кТ после получения первого сигнала. Пусть наблюда-
наблюдатель А' незамедлительно по получении второго сигнала пошлет
световой сигнал обратно к А (это то же самое, что и зеркальное
отражение). По часам наблюдателя А' два сигнала разделены
промежутком времени кТ. Значит, ответный сигнал пойдет от А'
к А через этот промежуток времени. Но наблюдатель А примет
его уже не через промежуток времени кТ; для него этот промежу-
промежуток времени увеличится еще в к раз и станет равным к2Т. Значит,
но часам А второй обратный сигнал будет получен в момент к2Т.
Следовательно, с точки зрения наблюдателя А весь путь второго
сигнала (посланного в момент Т) к наблюдателю А' и обратно
занял время кгТ — Т = (&2 — 1) Т. Так как скорость света оди-
одинакова при распространении света как в прямом, так и обратном
направлениях, то время распространения света от А к А' (или
обратно) равно тг (к2 — 1) Т. Отсюда ясно, что рэпиолокацион-
ное определение расстояния между А я А' (в момент отражения
даст величину -^ (к2 — 1) Тс.
Таким образом, мы определили расстояние между наблюда-
наблюдателями А и А' в тот момент, когда происходит отражение сигнала.
Но в какой момент по часам А произошло отражение? Обратим
внимание на то, что речь идет о часах, расположенных около
наблюдателя А, а рассматривается событие (отражение сигнала
в точке, где находится А') в удаленной от А точке. В этом слу-
случае мы не можем' непосредственно измерить время нгстуглсвия

102 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦ* {ГЛ. 3
события, а должны этому событию определенный момент вре-
времени приписать.
Второй световой сигнал был послан в момент времени Т, а был
принят обратно в момент к2 Т. Поэтому момент времени отражения
1 1
определится как -я- (У -г №Т) = -^ (к2 -1- 1) Т. Следовательно,
за промежуток времени у (&2 "I" 1) Т наблюдатель А' сместится
на расстояние у (к2 — 1) Тс от наблюдателя Л. А это значит,
что относительная скорость наблюдателя А'
h v к* 1
= 1 . или —- ,2, . . (-148)
Отсюда мы получим *)
Сразу же выпишем две формулы, которые нам понадобятся ниже:
к -\-\ 1 р А: 1 __ рг> /о са\
~2к ~ yjZTgi—1' 2k~~Lti- F-0U>
Очень удобно воспользоваться графической схемой, позволяю-
позволяющей наглядно представить полученные результаты. Введем декар-
тову систему координат на плоскости с осями х и ct. Мы увидим
ниже, что выбор пространственных и временных координат оди-
одинаковой размерности просто неизбежен. Пока же мы будем просто
откладывать по оси ординат величину т, пропорциональную вре-
времени: т = ct. На рис. 3.9 проведены оси х и т. Каждая точка
в этой плоскости представляет собой событие, определяемое коор-
координатами {х, х). Движение тела — это последовательность собы-
событий, состоящих в приходе тела в данную точку в данный момент
времени, п изображается в виде некоторой кривой в плоскости
(х, т).
Равномерное движение тела изображается на этой плоскости
некоторой прямой. Распространение светового луча со скоростью
с изображается биссектрисой (уравнение х = т), проходящей
через I и III квадранты, если свет идет в положительном направ-
направлении оси х, и через квадранты II и IV, если свет идет в противо-
*) В дальнейшем мы увидим, что лта формула определяет изменение
частоты света при отражении сю от движущегося зеркала (см. § 7.5).

3.7]
МЕТОД ft-КОЭФФИЦИЕНТА
103
t=U
положном направлении. Поскольку скорость тела всегда меньше
скорости света, равномерное движение любого тела изобразится
прямой, составляющей с oci.ro т угол, меньший чем л/4.
Легко найти точки плоскости, отображающие движение наблю-
наблюдателей А и А'. В системе К (которая и изображена на рис. 3.9)
наблюдатель А покоится (мы будем считать, что он находится
в точке х — 0). Тогда его «миро-
«мировая линия», т. е. последователь-
последовательность точек на плоскости (х,
т), соответствующих событиям,
состоящим в том, что он нахо-
находится в данной точке в данный
момент времени, будет просто
осью ординат. Итак, ось ординат—
это мировая линия наблюдателя
А. Мировая линия наблюдателя
А' в системе К — это прямая,
наклоненная к оси т под углом а,
тангенс которого определяется со-
соотношением tg а = х/х — xict —
— v'c. Если в момент t — 0 на-
наблюдатели А и А' находились
в одной точке, мировая линия
наблюдателя А' проходила через
начало отсчета О. Посылка и
прием световых сигналов наблюда-
наблюдателем Л на графике (х, т) изо-
изображаются следующим образом.
Первый «обмеп» сигналами происходит в точке О. Затем, спустя
промежуток времени Т (в мировой точке Aj), наблюдатель А
посылает световой сигнал. Его распространение описывается
прямой AYA[, параллельной биссектрисе. Наблюдатель А' примет
световой сигпал в мировой точке А\. Распространение светового
сигнала, посланного наблюдателем А' в обратном направлении,
описывается прямой А[А* (параллельной биссектрисе квадрантов
II и IV. не изображенной на чертеже). Наблюдатель А примет
обратный сигнал в мировой точке А2. По условию ОАг — Т *),
по определению ^-коэффициента ОА% = к*Т. Точке А\ в систе-
системе К соответствует момент времени (по часам, находящимся
в точке х — U, т.е. у наблюдателя А) Л3. Очевидно, что ОА3 —
= 1/.2(ОА1 —ОА2) — х'2 (к2 -'г 1) Т. Время распространения второ-
второго сигнала от А до А' равно, естественно, V2 {ОАг — OAj) =
= Ч2 (к2 — 1) Т.
Мирабия пиния
набтодшпеля fl,
Рис. 3 9. Графическая иллюстрация к
определению относительной скорости
двух наблюдателей.
*) В координатах т следовало бы писать ОА1 = сТ. но для простоты
записи мы не будем этого делать.

104 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА [ГЛ. 3
Далее отметим одну полезную теорему, касающуюся /с-коэф-
фициента. Из формулы C.49) видно, что изменение знака у отно-
относительной скорости, т. е. у величины В, меняет величину к nal/k.
Это означает, что при той же самой абсолютной величине скорости
удалению и приближению соответствуют обратные значения коэф-
коэффициента к.
Теперь рассмотрим случай, когда есть три системы отсчета
К, К' и К" и три наблюдателя, располагающиеся в соответ-
соответствующих началах отсчета О, О' и О". Пусть ^-коэффициент для
наблюдателей Л и Л' равен к (А, А'); он зависит только от отно-
относительной скорости систем К is. К' (обозначим ее, как и раньше,
через V). Если относительная скорость наблюдателей А' и А"
равна W, коэффициент к для этих наблюдателей к (А', А") зави-
зависит только от W. Можно ли, зная к (А, А') и к (А', А"), найти
к (Л, А")? Получим соответствующую формулу.
Пусть наблюдатель А посылает два световых сигнала, разде-
разделенных промежутком времени Т, отсчитанным по его часам.
Наблюдатель А', принимающий эти сигналы, обнаружит, что они
приходят через промежуток времени к (А, А') Т, как это следует
из определения ^-коэффициента. Этот отсчет времени делается уже
по часам А'. Наблюдатель А" находится дальше от А, чем наблю-
наблюдатель А', и сигналы, минуя наблюдателя А', идут дальше к А".
В тот момент, когда А' принял первый сигнал от Л, он без про-
промедления (не пугайтесь, это мыслештый опыт!) посылает сам све-
световой сигнал к Л". И к наблюдателю А" идут уже два сигнала:
один — непосредственно идущий от А, второй — посланный
наблюдателем А'. Но оба сигнала световые, они идут с одинаковой
скоростью и посланы от А' в один и тот же момент. Фактически
они идут как один сигнал.
Эту же самую процедуру наблюдатель А' проделывает в момент
получения второго сигпала от А. И снова от А к Л" идет один
сигнал, состоящий из двух световых импульсов, посланных один
раз от Л, а второй — от Л .
Наблюдатель Л" примет два сигнала. С одпой стороны, по опре-
определению, по своим часам он найдет промежуток времени между
приходом сигналов равным к (Л, Л") Т. С другой сторопы, эти же
сигналы были посланы наблюдателем А' с промежутком времени
междуjbhmh к (Л, Л') Т. По определению, наблюдатель Л" найдет,
что промежуток времени между приходом этих сигналов равен
к (Л', Л") -к (Л, Л') Т. Но сигналы от Л и от Л' пришли к Л"
одновременно, поэтому
к(А, А") =к(А, А').к(А\ А"). C.51)
Результат замечательно прост. Зная ^-коэффициенты для двух
пар систем отсчета, в которые входит одна общая система, можно

5 3.7J
МЕТОД fc-КОЭФФИЦИЕНТА
105
получить неизвестные ^-коэффициенты для двух оставшихся систем
простым умиожением известных ^-коэффициентов.
Графически этот результат легко получается с помощью
рис. 3.10. Здесь изображены мировые линии трех наблюдателей:
А, А' и А". Все наблюдатели в момент t — 0 находились в одной
и той же точке О. Спустя промежуток нремени Т наблюдатель А
посылает из мировой точки Аг
световой сигпал, мировая линия
которого изображена пунктирной
нрямой АгА\А\. По условию
ОАХ — Т, по определению ОА\ =
= к(А, А') Т,ОА1 =к(А,А") Т.
С другой стороны, очевидно,
ОА\ = к {А', А") -к (А, А[) Т. За-
Заметим, что предлагаемая схема
годится для наглядного изобра-
изображения «мысленных эксперимен-
экспериментов», но пользоваться ею для гео-
геометрического онределения различ-
различных величин нельзя. Плоскость
(х, т) — не обычная евклидова
плоскость (см. гл. 4). Однако, со-
сочетая наглядное геометрическое
представление с алгебраическими
определениями, мы не ошибемся.
Нетрудно найти формулу пре-
преобразования скоростей коорди-
координатных систем. Пусть пас интересует относительная скорость U
систем К и К", если известны относительная скорость К и К',
которую мы обозначим через V, и относительная скорость К'
и К", равная W.
Вводя уже известные обозначения У/с = Вх и W/c = В2,
получим, согласно C.48), C.49) и C.51),
U Jg—l lfl(A, А')-к* (А', А') — 1Ы_
Т~ *2 + 1 ~кЦА А')&(А' A") + i
Рис. 3.10. К выводу формулы C.51),
1 + В,В2#
Переходя к обычным обозначениям, получаем формулу преобра-
преобразования скоростей C.28):
и=-
v+w
i+VW/c2
Из приведенных рассуждений видно, что моменты наступления
событий и промежутки времени между событиями оказываются
разными для наблюдателей из разных ИСО. Чтобы обнаружить
это, вернемся к уже рассмотренному примеру обмена световыми
сигналами между наблюдателями А и А'. Напомним, что нервый

106 СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА ГГЛ. 3
«обмен» происходит в момент, когда наблюдатели находятся
в одном месте. В этот самый момент часы наблюдателей А а А'
ставятся на нулевой отсчет. Затем А через промежуток времени Т
по своим часам посылает сигнал, направленный к4'; по определе-
определению промежуток времени, разделяющий прием первого и второго
сигнала наблюдателем А', отсчитанный по часам Л', ранен кТ.
Однако наблюдатель А припишет приходу сигнала к А' момент
времени Va(A;2 — 1) Т Это значит, что А будет считать, что послан-
посланные им через промежуток времени Т сигналы придут к Л' с интер-
интервалом V2 (к2 ~ 1) Т. По часам А' этот же интервал, как сказано,
ранен кТ. Таким образом, величина промежутка времени между
двумя одпнми и теми же событиями — приходом первого и второго
сигнала к Л' — оказывается различной: для А' она равна кТ,
а для А равна V2 (к2 + 1) Т. Следовательно, мы обнаружили, что
время наступления события (прихода второго сигнала) относи-
относительно: оно равно кТ для А' и V2 (к2 -f- I) T для А. Промежуток
времени между двумя событиями тоже оказался разным для
А и А'. Это н означает, что время наступления событий и проме-
промежуток времени между событиями — величины относительные.
При каких условиях эти величины все же совпадут? Это будет
при условии кТ ~ V2 (к2 -~ 1) Т. Нетрудно сообразить, что для
этого нужно, чтобы к ~ 1, или, как это видно из C.48), Vic —*- 0.
Это значит, что для тех ИСО, относительные скорости которых
малы по сравнению со скоростью света, различием в отсчетах
времени и относительностью промежутков времени между собы-
событиями можно пренебречь.
Собственное время. Метод ^-коэффициента позволяет легко
установить связь промежутка времени между двумя событиями,
наступающими в некоторой МСО в одной точке пространства
и. следовательно, фиксируемыми одними часами (промежуток
собственного времени), с промежутком времени между теми же
событиями, отсчитанным по двум часам другой ИСО, в которой
рассматриваемые события происходят в разных точках.
Снова вернемся к обмену световыми зайчиками. Если А посы-
посылает сигналы через промежуток Т по своим часам, то А' при-
принимает эти сигналы с промежутком времени кТ по своим часам.
Однако для А, как мы видели (стр. 102), этот промежуток равен
1/2 (кг -г 1) Т. Отношение этих величин и дает соотношение
между промежутком собственного времени Ат = кТ и промежут-
промежутком времени At, отсчитанным но двум часам другой ИСО. Это
отношение равно
Дт кТ 2к
= /»-¦?.
где в последнем звене равенства использовано соотношение C.48).
Результат этот, конечно, нам известен.

1 S.7] МЕТОД ft-КОЭФФИЦИЕНТА 107
Относительность длин линеек (расстояний). Представим себе
что у нас есть две неподвижные точки в той системе отсчета, где
покоится наблюдатель А'. Можно считать (хотя это совсем не обя-
обязательно), что эти точки — концы линейки. Пусть липойка дви-
движется от наблюдателя А, а наблюдатель А' находится на том
конце линейки, который ближе к А (не забудьте, что линейка рас-
расположена вдоль той прямой, по которой направлена скорость
отпосителыгого движения).
Чтобы определить длину линейки, наблюдатель А посылает
в момент 1г (отсчитанный но своим часам) сигнал и ждет, когда
этот сигнал, отраженный от дальнего конца линейки, керпется
к нему. Пусть момент возвращения этого сигнала (по часам А)
равен ?4- Очевидно, момент отражения сигнала равен 1/г (tt -\- ?4).
Точно так же можно послать сигнал к ближнему концу линейки
{пусть в момент t2) и определить момент его возвращения (допу-
(допустим, ts). Момент отражения сигнала от ближнего конца равен
х/2 (?3 -f- t3). Для того чтобы оба сигнала отражались одновре-
одновременно (по часам А) от обоих концов нииейки, необходимо выпол-
выполнение условия
V, (k + U) « V, [U + h). C.52)
В мысленном эксперименте выполнение этого равенства можно
обеспечить за счет выбора времен посылки первого и второго сиг-
сигнален.
IIо первый сигнал от А наблюдатель А', находящийся на ближ-
ближнем конце линейки, примет в момент ktt (напомним, что начальный
отсчет часов А и А' совпадал, когда оба наблюдателя находились
в одной точке). Отраженный от дальнего конца линейки сигнал,
который придет к Л в момент tt, пройдет мимо А' в момент tjk.
Действительно, сигнал, полученный А' в момент tjk, будет при-
принят наблюдателем А в момент (tjk)-к — tt.
Для наблюдателя А' удвоенная длина линейки 10 определяется
как промежуток времени, необходимый для того, чтобы свет
дошел до дальнего конца линейки и обратно, умноженный на
скорость света, т. е.
(? ) = *„. C.53)
Что касается соотношения между t2 и t3. то оно следует непо-
непосредственно из определения ^-коэффициента:
t3 - k%. C.54)
Мысленные эксперименты, необходимые для измерения длины,
изображены на рис. 3.11, к которому после разъяснения схем
на рис. 3.9 и 3.10 не требуется особых пояснений.

108
СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
[ГЛ. 3
Длина линейки, определяемая наблюдателем А, равна раз-
разности расстояний от него до дальнего и ближнего концов линейки
при непременном условии, что эти расстояния определяются одно-
одновременно. У нас это условие обеспечено соблюдением равенства
C.52). Расстояние от А до дальнего конца равно 72 (i4 — ?1) с,
а до ближнего V2 (t3 — t2) с. Следовательно, А должен считать
за длину линейки I величину
I = V2 [(tt - tj - (t3 - tt)] с. C.55)
Соотношения C.53) — C.55) позволяют найти связь между
I и 10. Из C.52) следует, что t4 = t2 + t3 — tY. Подставив полу-
полученное выражение для tk в левую
часть C.53), получим, исполь-
использовав сразу C.54):
Мирокш линия
паЬптдвтепя
-h
-Я:
Ifi+l
1
C.56)
Так как, согласно C.52), ts —
— ^i — h—*3t т0 из C.55) сле-
следует
Рис. 3.11. К определению длины движу-
движущейся линейки.
_ (h — M)~(h—h) _ I
~ 2 ~ е '
Теперь унче C.56) примет вид
где в последнем равенстве учтена формула C.50). Это как раз
и есть полученная нами ранее ормула C.5).
В этом выводе особенно отчетливо видно, насколько существен-
существенно при определении длины найти одновременное положение концов
линейки. Заметим кстати, что вывод формулы B.4), по существу,
является также радиолокационным.
Преобразования Лоренца. Мы убедились в том, что методом
^--коэффициента можпо получить все основные следствия первых
принципов СТО — постулатов Эйнштейна. Преимуществом этого
метода является то, что он позволяет избежать явного введения
координатной системы.
Но, конечно, использование методов СТО в физике требует
явного введения системы отсчета. А если так, введепие преобразо-

I 3.7]
МЕТОД h-КОЭФФИЦИЕНТА
109
л:
\
\
Ч
\
\
/ /
7
/
/
Рис. 3,12. К выводу преобра-
преобразований Лоренца,
ваний Лоренца просто неизбежно. Преобразования Лоренца
можно получить и методом А'-коэффициента.
Рассмотрим системы отсчета К и К', наблюдатели А и А'
в которых регистрируют одно и то же событие. В обеих системах
начало отсчета времени выбрано так,
что t—t' = O, когда оба начала отсчета
О и О' совпадают. Затем в момент tx на-
наблюдатель А посылает световой сигнал
к Л', который тот принимает (по своим
часа.м) в момент времопи t[; сигнал,
посланный А, идет дальше вместе с сиг-
сигналом, посланным А' в момент полу-
получения сигнала от А. Фактически вдоль
оси х идет один сигнал, состоящий из
двух. Пусть событие Р состоит в при-
приходе этого сигнала в некоторую точку
(или же приход сигнала совпадает с
наступлением некоторого событии). В
этой точке сигнал отражается (если
угодно, немедленно по приходе прямого
сигнала посылается обратный). Снача-
Сначала он попадает в момент t'2 к наблюдателю А', который сразу
же с его приходом посылает в направлении А еще и свой сигнал.
Теперь уже от А' к А идет единый сигнал, фактически состоящий
из двух. Этот сигнал принимается наблюдателем А в момент t2
(рис. 3.12).
Наблюдатель А припишет событию Р координаты следующим
образом. Время t наступления события — это просто полусумма
времени отправления и получения сигнала, поскольку скорость
света на пути «туда» и «обратно» одинакова:
< = V, (*! + *,). C.57)
Расстояние до точки, где наступило событие, можно найти,
если умножить скорость распространения сигнала с па время
прохождения сигнала туда; оно равно половине всего времепи,
затраченпого на прохождение сигнала. Сигнал проделал замкну-
замкнутый путь за время t* — tlt поэтому координата события х опреде-
определится наблюдателем А как
х - Уг (tt - h) с. C.58)
Из C.57) и C.58) получим
1 с ' 2 ' с
Но наблюдатель Л' в точпости так же найдет, что
C.5У)
t' — t'— x
с
C.60)

НО СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА {ГЛ. &
Согласно определению коэффициента к, сопоставляя интерва-
интервалы между обменом сигналами, получим
t[ — O = kt1 — O), t2—O=k(t'2 — 0). C.61)
Согласно C.59) и C.60) получим
C.62)
C.63)
Перемножая накрест равенства C.62) и C.63), немедленно-
получим, что величина
1'г-^- = 1г — ~ C.64>
сохраняет свое значение во всех ИСО, т. е. является инвариантом.
Записав C.62) и C.63) в более удобной для решения форме:
тт(т) <3-66>
без труда найдем, что
. №— 1 ,
th '
f
2к the ' 2ft
а учитывая C.50), обнаружим, что это как раз и есть преобразо-
преобразования Лоренца:
xr = T(x—Vt), r = r(f-il-x).

Глава 4
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
§ 4.1. Трехмерное н четырехмерное евклидовы про-
пространства. Когда мы вводим координатную систему, положение
каждой точки задается с помощью трех чисел, которые называют
координатами точки. Под многообразием трех измерений пони-
понимают совокупность всех точек. Если мы хотим от многообразия
перейти к пространству, обладающему определенными геометри-
геометрическими свойствами, мы должны определить выражение для рас-
расстояния между двумя бесконечно близкими точками многообра-
многообразия. Задав квадрат расстояния между такими точками, можно уже
определить основные геометрические величины (длина вектора,
угол между векторами, площади двумерных фигур, образованных
векторами). В мире, в котором мы живем, с большой степенью
точпости сираподлииа геометрия, основные законы которой были
сформулированы Евклидом. Согласно геометрии Евклида в декар-
декартовых координатах квадрат расстояния между двумя бесконечно
близкими точками может быть записан в виде
&¦ = dx2 + dif + dz\ D.1)
Это выражение представляет собой не что иное, как теорему
Пифагора, записанную для диагонали прямого трехмерного парал-
параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz.
Координатная система может выбираться произвольно (декар-
(декартова система координат выделена лишь своею простотой), и по са-
самому своему геометрическому смыслу расстояние между точками
не должно зависеть от выбора координатной системы. Это озна-
означает, что выражение D.1) должно быть инвариантом любого
преобразования координат. Инвариантом преобразования коорди-
координат должно быть также и расстояние между любыми двумя точ-
точками. Таким образом, в евклидовой геометрии инвариантом
является расстояпие между двумя точками:
ri2 = Y(x,-xtJ-r(y,-ylf \-(z,-Zi)\ D.2)
где (xj, yt, zx) и (x2, y2, z2) — координаты двух точек простран-
пространства. Соотношения D.1) или D.2) связывают координаты двух
точек пространства между собой. В частности, для переходов
от одной декартовой системы к другой (такой переход представ-
представляет собой вращение, если отвлечься от малоинтересного посту-

112 ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ [ГЛ. 4
нательного перемещения системы) формулы преобразования коор-
координат приведены в Приложении I, § 2. Из этих формул видно, что
в новой системе координат любая ноная координата выражается
через все старые.
В трехмерном евклидовом пространстве можно ввести векторы,
определяемые тройкой чисел — компонентами векторов. Коор-
Координаты точки являются компонентами радиус-вектора. Следова-
Следовательно, компоненты любого вектора преобразуются по правилу
преобразования координат. Через компоненты векторов по изве-
известным правилам находятся абсолютные величины векторов, их
скалярное произведение и угол между ними.
Что означало бы появление еще одного измерения в евклидовом
пространстве? Разумеется, представить себе воочию четырехмер-
четырехмерное пространство трудно. Но в этом и нет особой необходимости.
Располагая основными соотношениями для трехмерного простран-
пространства, мы просто переносим их на четырехмерное пространство.
Пусть координатами точки в 4-пространстве будут х, у, z, w.
Для четырехмерного евклидова пространства квадрат расстояния
между бесконечно близкими точками запишется уже в виде (мы
приводим также и симметричные обозначения)
ds2 = dx* + dy2 + dz2 + dw* = dx°2 + dx1* + dx2^ + dx3*, D.3)
а расстояние между точками —
wif. D.4)
Выражения D.3) и D.4) будут инвариантами преобразования
координат, а основные геометрические соотношения определятся
по аналогии с определениями тех же величин, которые приняты
в трехмерном пространстве.
§ 4.2. 4-пространство-время — четырехмерное нсевдоевкли-
дово пространство. Рассмотрим четырехмерное многообразие,
образованное «точками», коордипатами которых служат четыре
числа х, у, z, х = ct, определяющих 4-точку. В каждой точке
этого многообразия может наступить то или иное событие, пред-
представляющее собой мгновенный физический процесс. Четырехмер-
Четырехмерное пространство-время — это чисто геометрическое понятие.
Иногда, следуя Минкокскому, это пространство называют «миром».
Любое событие наступает в какой-либо точке мира Минковского.
Геометрические свойства мира Минковского могут быть уста-
установлены после того, как будет известно некоторое инвариантное
соотношение между координатами точек, которое можно истолко-
истолковать как расстояние между двумя точками многообразия. Если
определить расстояния между точками, мы перейдем от многооб-
многообразия к пространству. Но откуда можно найти нужное инвариант-
инвариантное соотпогаение? Не следует забывать, что координаты точек

§ 4.2] ^-ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ ИЗ
«мира» определяются физически различными величинами, и поэто-
поэтому заранее предполагать, что «расстоянием» в этом миро будет
выражение вида D.3), не следует. Но теория относительности
дает прямой ответ на этот вопрос. Если оставаться в рамках инер-
циальпых систем отсчета, для любой пары событий (а с геометри-
геометрической точки зрения — для любой пары точек мира Минковского)
остается инвариантным интервал между событиями C.19). Пере-
Переход от одной ИСО к другой описывается преобразопаниями Лорен-
Лоренца, и никакие другие преобразования в рамках СТО нам пе нужны.
Следовательно, в качестве основной инвариантной квадратичной
формы, определяющей «расстояние» в мире Минковского, мы
можем — из физических соображений — взять выражение для
квадрата интервала между событиями:
fa* = йт2 — dx2 — dy2-dz2 = da** - dx1* - dx* - dx3\ D.5)
где т — ct. Выражение D.5) как раз и определяет квадрат рас-
расстояния между двумя бесконечно близкими точками в мире Мин-
Минковского. Таким образом, постулаты Эйнштейна, следствием
которых является инвариантность интернала между событиями,
приводят к тому, что геометрия ^-пространства-времени (про-
(пространства Минковского) определяется основной фундаментальной
формой вида D.5). Из вида этой формы ясно, что координаты
и время не равноправны.
В Дополнении V будет показано, что переход от инерциальпых
систем отсчета к пеиперциальным меняет вид интервала между
событиями. Хотя ото выражение всегда остается инвариантным,
его форма становится уже иной — квадрат интервала приобре-
приобретает вид
tfs2 = gih dx'dx*, D.6)
где справа подразумевается суммирование по i и по к от 1 до 4,
а коэффициенты gtk, называемые метрическими коэффициентами,
могут зависеть от коордипат и времени. Сейчас это общее выраже-
выражение нужно нам лишь для того, чтобы выписать g^ для выраже-
выражений D.3) и D.5). Используя симметричные обозначения, приве-
приведенные в D.3) и D.5), получим соответственно
#00 = ВП = /?22 = #33 = 1 . D-3')
?00 = 1, gn = g22 = g33 = —1. D.5')
Как это ясно и непосредственно, различие между D.3) и D.5)
состоит в знаках метрических коэффициентов. Совокупность этих
знаков называют сигнатурой соответствующих квадратичных
форм. Сигнатура D.3) имеет вид (-j—|—'- +), а сигнатура D.5) —
Н )• В четырехмерном пространстве, которое получилось
бы простым увеличением числа измерений нашего обычного про-
страпства, сигнатура была бы (f -)- -\—г). Такое пространство
8 В. А Угаров

114 ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ [ГЛ. 4
ничем не отличалось бы от нашего пространства, кроме числи
измерений, и оно также называлось бы евклидовым (четырехмер-
(четырехмерным) пространством. Сигнатура пространства, рассматриваемого
в специальной теории относительности, соответствует сигнатуре
вида D.5), т. е. (-J ).
Изменение сигнатуры означает измепение «расстояния» между
точками пространства, изменение свойств пространства по срав-
сравнению со свойствами привычного нам евклидова. Это 4-простраи-
ство с необычпыми геометрическими свойствами крайне важно
для СТО. Именно в этом пространстве «наступают» все физические
события, разыгрываются все физические явления.
Геометрия мира Минковского отличается от евклидовой гео-
геометрии, но все же не слитком сильно, потому что коэффициенты
в D.5), так же как и коэффициенты в D.3), постоянны. В связи
с этим геометрию, определяемому квадратичной формой D.5),
нрипято называть псевдоевклидовой, а соответствующее простран-
пространство — псеедоевклидовым пространством.
Итак, пространство четырех переменных х, у, z, ct специаль-
специальной теории относительности является четырехмерным псевдоевкли-
добым пространством. Оно возникает отнюдь не простым добав-
добавлением четвертой (временной) координаты ct к трем простран-
пространственным х, у, z, а возникает при своеобразном определении D.5)
инвариантного расстояния между точками этого пространства.
Физическая причина необходимости рассмотрения псевдоевкли-
псевдоевклидова пространства состоит в том, что, несмотря па тесную связь
пространственных и временных отсчетов для события, эти отсчеты
в СТО неравноправны.
§ 4.3. 4-векторы и 4-тензоры. В точности так же, как в трех-
трехмерном пространстве, координаты точки в 4-пространстве можно
рассматривать как компоненты 4-радиус-вектора, проведенпого
из начала координатпой системы в данную точку. Все 4-векторы
будут обозначаться стрелкой над буквой, в частности, 4-радиус-
вектор мы будем обозначать R. Для удобства читателей мы будем
вести параллельную запись основных соотношений, используя
как комплексную запись, так и запись через действительные
неременные. Комплексная запись упрощает изложение электро-
электродинамики, а использование переменных в действительной форме
готовит пас к формализму общей теории относительности, где
введение комплексной координаты ничего пе дает. Большинство
формул будет записано в симметричпых обозначениях, причем
запись координат 4-векторов в две строки сразу позволяет вспом-
вспомнить смысл введенных обозначений. Итак, мы вводим 4-радиус-
вектор одним из двух способов:
(а) Я( *0/*2*3) . (б) D.7)
R(
\
х у z
т=

4.3]
4-ВЕКТОРЫ И 4-ТЕНЗОРЫ
115
Индексы у координат вектора в D.76) стоят вверху не зря. Исполь-
Использование действительных значений координат требует различия
между ко- и коптравариантными компонентами вектора (см. При-
Приложение I, § 8), и у контравариантпых компонент индекс стоит
сверху. Квадрат иптервала между событиями запишется соот-
соответственно в виде
ds2 ~. da* -|- dx\ + da* -\- da* =
4
Отличны от нуля:
• (б) D.8)
Отличны от пуля:
Отметим, что знаки иптервалов, выписанных в D.8а) и D.86),
противоположны. Так как ds2 может принимать как отрицатель-
отрицательные, так и положительные значения, то выбор знаков для ds2,
по существу, пе имеет значения.
Преобразования Лоренца — это преобразования компонент
4-радиус-вектора, т. е. координат события. Мы снова их выпишем:
(а)
^.0 р /~0
Лг — 1 \JU
X2' = X2,
(б) D.9)
Но 4-радиус-всктор — это такой же 4-вектор, как и все остальные.
Поэтому, если в системе отсчета К заданы 4-векторы
то в системе К' компоненты этих же векторов определятся по фор-
формулам
Л; = Г(Л! |-ШЛ4),
К = Аз,
(а)
Л2' ~ Л2,
(б) D.10)
Выражения D.8а, б) представляют собой квадрат бесконечно
—У
малого вектора (dRf. Следовательно, квадрат модуля 4-вектора
нужно определить так (это инвариантная величина):
(а) =.
.А*-А3\ (б) D.11)
8*

116 ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ ЕГЛ. 4
Конечно, формулы D.11а) и D.116) дают разные знаки для
—У
инвариантной величины А2. Но это так же несущественно, как
и ири определении знака интервала (см. замечание после фор-
формул D.8)). Однако нужно иметь в виду, что разные знаки при
выборе интервала меняют условия, определяющие «временипо-
добные» и «пространственноподобпые» интервалы и векторы
(в литературе в этом отношении едипства нет).
В D.116) мы ввели ковариантные координаты по формулам
Приложения I, § 8: Ah — gihAx. Нетрудно видеть, что Ао = А0,
Ал -= —А1, А2 = —А2, Ля = —А3.
Как и в трехмерном пространстве, нам придется иметь дело
с тензорами. Проще всего закон преобразования компонент тензо-
тензора получается как закон преобразоппния ироизведопия компонент
двух 4-некторов. Формулы преобразования компонент для 4-век-
торои А и В можно записать в симметричных обозначениях (см.
B.40а, б)):
д'"Ул''. (а)
(б) D.12)
Перемножая левые и правые части этих соотношений, сразу же
получаем правила преобразования произведений компонент век-
векторов:
iB'm, (a) | AlBh = апакпАпВ'т. (б) D.13)
Таким образом, мы получаем общий закон преобразопапия
тензоров r,h - AiBh и Г* - А1Вп:
m, D.14)
:m. D.15)
Формула D.15), где существенно различие между ко- и контра-
вариантными координатами, представляет собой закон преобра-
преобразования днажды контрвариантного тензора.
В 4-аространстве следует строить измеряемые физические
величины так, чтобы они обладали вполне определенными свой-
свойствами преобразования при переходе от одной ЙСО к другой, т. е.
при преобразованиях Лоренца. Но при преобразовании координат
(в мире Минкопского речь идет о всех четырех координатах)
определенными свойствами преобразования обладают только тен-
тензорные величины, причем тензоры различной валентности (ранга)
преобразуются но разным законам. Таким образом, все физические
величины, которым мы приписываем реальный смысл, должны
быть тензорами: либо скалярами (т. е. тензорами нулевой валент-
валентности), либо 4-векторами (т. е. тепэорами нерпой валентности),
либо, наконец, тензорами валентности ваше первой. Мы увидим,

S 4.4]
ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ
117
что электромагнитное поле образует тензор второго ранга (см.
гл. 6). Переход от привычных трехмерных величин к четырехмер-
четырехмерным (безусловно, необходимым, когда речь идет о преобразова-
преобразованиях Лоренца) не всегда прост и осуществляется в разных слу-
случаях по-разному. Часто принычный трехмерный вектор удается —
с некоторыми видоизменениями — представить как простран-
пространственную часть 4-вектора. Выражение для его четвертой компо-
компоненты оказывается несколько неожиданным, по при ближайшем
рассмотрении вполне естественным. В этом нет ничего удивитель-
удивительного, поскольку в не релятивистском пределе мы почти всегда
от релятивистских соотношений возвращаемся к классическим.
Многочисленные примеры построепия четырехмерных лекторов
и тензоров можно найти в гл. 5—7.
§ 4.4. Псевдоевклидова плоскость. Особенности псевдоевкли-
псевдоевклидова пространства можно проиллюстрировать на примере псевдо-
евклидовой плоскости. Для этого одна из координатных осей
должна быть обязательно осью
времени (или пропорциональной
времени), потому что в СТО
чисто пространственная геомет-
геометрия остается еще евклидовой и
лишь пространство-время опи-
описывается псевдоевклидовой гео-
геометрией. Удобнее всего при
нашем выборе систем отсчета
рассмотреть плоскость (х, т.).
Напомним, что четырехмер-
четырехмерный] пространствеппо-времепной
континуум, точками которого являются события, иногда назы-
называют миром Минковского. Каждое событие в нашем реальном
физическом мире наступает в определенной мировой точке мира
Минковского. Рассматривая частицу, можно считать за событие
ее пребывание в данной точке в данный момепт времени. Неза-
Независимо от того, движется частица в пространстве или нет, в мире
Минковского последовательность происходящих с частицей собы-
событий образует некоторую кривую, называемую мировой линией
частицы.
Проводом оси х, т системы К перпендикулярно друг другу
и рассмотрим простейшие случаи. Пусть частица покоится в систе-
системе К в точке х — х0; ее мировой линией в плоскости (х, т) мира
Минковского будет прямая, параллельная оси т (рис. 4.1, а).
Пусть другая частица равномерно движется по оси х в системе К
со скоростью v. Ее мировой линией в этой системе будет уже пря-
прямая, наклоненная под углом ¦0 к оси т (рис. 4.1. б). Несколько
позже мы увидим, что Ь — arctg (vie).
Xr2
Рис. 4.1. а) Мировая линия тела, покоя-
покоящегося в точке х = х0. 6) Мировая линия
тела, равномерно движущегося по оси х.

118
ЧКТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
[ГЛ. 4
Рассмотрим произвольное движение частицы в этой системе
отсчета. Движение точки представляется мировой линией х =
= х (т) в плоскости (ж, т), как это изображено на рис. 4.2.
Наклоп мировой линии относительно оси т в каждой данной
точке определяется производной dxidx в этой точке. Действительно
(см. рис. 4.2),
tgO = .?.= i*L = iL. D.16)
& dx с dt с v '
Таким образом, угол наклона
определяется из равенства
arctg--=arctgp\ D.17)
Mi/рода
с8ето8ых
лучей
Рис. 4.2. Система действительных коорди-
координат ж, т = ct. Положение частицы в за-
заданный момент времени определяется точ-
точной на этой плоскости. Движению части-
частицы соответствует кривая на этой плоско-
плоскогде р = у/с, а у — мгновенная
скорость точки (тела). Посколь-
Поскольку всегда $ < 1, то для всякого
движущегося тела угол ¦& не
может превысить 45°. Для свето-
световых лучей мировой линией будет
служить биссектриса координат-
координатного угла.
В § 2.9 мы видели, что в ре-
результате преобразований Лорен-
Лоренца оси т/, х' получаются из осей
т, х, если эти оси, как ножницы,
у р рд
ного угла. В случае движения с пере-
переменной скоростью угол, составляемый ка-
касательной к мировой линии и осью т,
определяется из соотношения lft = arctg(B'с),
где v — мгновенная скорость частицы.
сти, называемая мировой линией точки. СДВИПуТЬ К биссектрисе — МИрО-
Мировые линии неподвижных точек — пря- „ « „ » _ тт
мые, параллельные оси т. Мировая линия ВОИ ЛИНИИ СВеТОВОГО Луча. На
световых лучей — биссектриса координат- рис 4.3, а, ГДО парЯДУ С ОСЯМИ
нг>гг> угля R слччяр. ттнижепил r ncDe- r™^ » "-¦> 'н° ""f t\j ^ «u/tmn
т, х проведены оси т , х , на-
глядио видна относительность
одновременности. В системе К'
одновременны все события, ле-
лежащие на оси х' или вообще на прямых т'— const. Геометрически
все эти прямые параллельны оси х' — это линии одновременно-
одновременности в системе К'.
Рассмотрим два события Аг и А», лежащие на оси х' (два эти
события происходят в системе К' одновременно, в момент /' — 0).
Чтобы узнать моменты времепи, в которые произойдут эти два
события в системе К, их нужно «спроектировать» на ось т, про-
проведя прямые, параллельпые оси х, потому что в системе К одно-
одновременны события, лежащие на прямых х = const (рис. 4.3, а).
Мы видим, что в системе К эти события происходят в разные
моменты времени t1 и /2- Конечно, это просто геометрическая
иллюстрация относительности синхронизации часов, о которой
шла речь в § 2.4.

§ 4.4]
ПСЕВДОКШШИДОВА ПЛОСКОСТЬ
119
Очень важный результат следует из рис. 4.3, б. На пем про-
проведены мировые линии двух тел, движущихся равномерно, но
с различными скоростями. Чтобы определить расстояние между
пими в данный момепт времени, нужно пайти координаты этих
тел одновременно в той системе, в которой это расстояние ищется.
Ясно видно, что в системах К и К' расстояние между телами,
измеренное в какой-либо одной из систем К или К', оказывается
H
о
L M
Рис. 4..'!. а) Преобразопание Лоренца сводится к тому, что оси хит поворачиваются
па угол ц, — arctg В вокруг качала коордииат но направлепию к биссектрисе координат-
координатного угла п занимают положения ж', т'. Прямые х' -.¦.- const параллельны теперь оси Ох',
а прямые т' — const параллельны осп Ох' (мы перешли к прямолинейной, но косоуголь-
косоугольной система координат). Ясно видна относительность одновременности: события Ах и А8,
одновременные и К' (лежащие на прямой т' — const), совсем не одновременны в К (чтобы
найти соитнгтетвующие нм моменты п системе К, мы проектируем их на ось X с помощью
жрямых, параллельных оси х). б) Здесь проведены две мировые линии тел (LL и ММ).
Хорошо мицпа. относительность расстояния между движущимися телами. Чтобы найти
рарстопние между ними, нужно определить координаты утих тел, но непременно одно-
одновременно. Пусть одно ия тел находится в точке N. Тогда с точки зрения К в этот же самый
момент второе тело находится в точке Д. Но с точки прения К' второе тело в этот же
самый момент находится в точке Р. Отрезки NH и NP, отражающие расстояние между
телами, разные.
различным. В силу равноправия систем отсчета ни одно из полу-
полученных расстояний нельзя считать истинным. Но тогда все законы
механики, где сила зависит от расстояния, становятся для движу-
движущихся тел неоднозначными. В ньютоновской механике, где время
было абсолютным, эта трудпоетъ, копечно, не возникала.
Рассмотрим осп ,т, т системы К (рис. 4.4). Если взять две
мировые точки, то квадрат интервала между пими определяется
выражением s]2 — (т2 — тАJ — (х2 — ххJ. Для простоты будем
считать, что событие 1 наступило в точке г -0 в момент т = О,
т. е. в точке О. Любые события, наступившие на оси х до и после
наступления события 1, изображаются точками па плоскости (х, т).
Так как квадрат интервала (расстояния) от события 1 до любого

120
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
[ГЛ. 4
X=-Ct
x =ct
Абсолютно
удаленные
события
х
Абсолютно
^удаленные
, тсолнзт-^события
'нов прошедшее^
события равен s2 = т2 — х2, то эта плоскость разбивается на четы-
четыре квадранта I, II, III, IV прямыми х = т, соответствующими
последовательности событий, состоящих в приходе луча, испу-
испущенного из точки х = 0 в момент т = 0, в точку х в момент т.
Интервал между событиями на прямых т2 — х2 = 0 светоподоб-
ный, и «расстояние» на псевдоевклидовой плоскости между такими
событиями равно нулю. Рассмотрим теперь четыре квадранта вне
светоподобных прямых. В квадранте I s2 = т2 — х2 >0. Следо-
Следовательно, интервал между любым
событием квадранта I и событием
1 времениподобпый. Для всех со-
событий этого квадранта т. >¦ 0;сле-
0;следовательно, все они произойдут
позже события 1 и изменить это
никаким выбором системы отсчета
нельзя. Это значит, что квадрант
I есть область абсолютного буду-
будущего по отношению к О. В квад-
квадранте II также s2 >0, но в нем для
всех событий т-<0; область II —
это область абсолютного прошед-
прошедшего по отношению к событию \.
В квадрантах III и IV s2 < 0,
т. е. интервал между любым собы-
событием, расположенным в этой обла-
области, и событием 1 нространствеп-
ноподобный. Все эти события нро-
исходят в точках, не совпадаю-
совпадающих с точкой, где произошло событие 1, и измепить это
за счет выбора системы отсчета нельзя. Однако можно найти
такие системы отсчета, в которых данпое событие из области III
или IV наступило бы раньше, или позже, или, наконец, одновре-
одновременно с событием 1, поскольку понятия «одновременно», «раньше»
и «позже» для событий этой области относительны.
Если рассмотреть два события, расположенные произвольно
на плоскости (т, х), то характер интервала между ними опреде-
определится наклоном прямой, соединяющей две эти точки. Если эта
прямая наклонена к оси х под углом, большим я/4, то интервал
между событиями 1 и 2 времениподобный; если под углом, мень-
меньшим гтМ,— пространственноподобный. Наконец, если эта прямая
параллельна биссектрисе,— интервал светоподобный.
В четырехмерном пространстве уравнение, описывающее рас-
распространение света, имеет вид сН2 — х2 — у2 — z2 = 0. С гео-
геометрической точки зрения в 4-пространстве это уравнение описы-
описывает «конус», который обычно называют световым конусом. Внут-
Внутренние нолости конуса соответствуют областям «абсолютного
Рис. 4.4. Сечение пространственно-вре-
пространственно-временного конуса плоскостью (ж, х). Точна
О — событие 1. Но отношению к собы-
событию О все события, лежащие в квад-
квадрантах III и IV, представляют собой
абсолютно удаленные события; собы-
события, лежащие в квадранте I, предстап-
ляют собой абсолютное будущее, а со-
события, лежащие в квадранте II,— аб-
абсолютное прошедшее.

¦ x
§ 4.4] ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ 121
будущего» и «абсолютного прошедшего». Световой конус, па кото-
котором лежат светоподобные направления, характеризуется еще
и тем, что при всех переходах от одной ИСО к другой его положе-
положение в четырехмерном пространстве для каждой мировой точки
остается неизменным.
Пусть событие состоит в приходе светового луча в определен-
определенную мировую точку, где находится наблюдатель. Таким образом,
речь идет о паблюдепии световых сигналов в данной точке про-
странстпа и в дапный момент времени.
В заданную мировую точку световые
лучи могут попасть только по тем на-
правлениям четырехмерного простран-
пространства, которые лежат на «световом ко-
конусе прошедшего» до бесконечности
(практически достаточно далеко в све-
световых единицах). Каждой образующей
этого копуса можпо сопоставить при
этом точку на пространственной сфере
бесконечно большого радиуса, в центре Лсевдолирагороба теорема
которой находится наблюдатель. Такая "" ="^ ~""
условная сфера используется при наблю-
наблюдениях небесных тел, она носит назва- ^f-^SSS
ние небоспой сферы. стронете.
Когда мы изображаем псевдоевкли-
псевдоевклидову плоскость на листе бумаги, не
следует забывать, что мы привыкли к соотношениям между дли-
длинами отрезков, привычным для евклидовой плоскости. На
рис. 4.5 изображен прямоугольный треугольник, сторона кото-
которого АС равна х2 — х±, а ВС — соответственно т2 — хг. По
на этой плоскости Л В2 — ВС2 — АС2 — согласно определению
квадрата интервала, но вопреки теореме Пифагора; это псевдо-
псевдопифагорова теорема. Поэтому, когда мы сравниваем длины отрезков
на плоскости (х, т.), следует это делать осмотрительно.
На евклидовой плоскости (х, у) геометрическое место точек,
равноудаленных от начала координат, определяется уравнением
г2 = х2 -j- i/2 — const — это окружность. На нсевдоевклидовой
плоскости (я, т), где квадрат расстояния от начала координат
определяется соотношением s2 = т2 — х2, геометрическим местом
точек, «равпоудаленных» от начала координат (рис. 4.0), будут че-
четыре гиперболы (s2 не обязательно положительно). Если выб-
выбрать гиперболу, для которой s2 = 1, и провести лучи, выходящие
из начала координат, до их пересечения с этой гиперболой, то от-
отрезок каждого такого луча определит едипичпуго «псевдоевклидо-
«псевдоевклидову» длину в этом направлении. Можпо дать физическую интерпре-
интерпретацию построения гиперболы я2 = \. Пусть в мировой точке т — 0,
х = 0 рождаются частицы с разными скоростями, но с одним и тем

122
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
[ГЛ. 4
же временем жизпи т0 = 1. Тогда геометрическим .местом мировых
точек, в которых происходит распад этих частиц, будет как раз
гипербола s2 = 1, мировыми лилиями этих частиц — лучи, выхо-
выходящие из мировой точки @, 0) п доходящие до этой гиперболы.
Рассмотрим в плоскости (х, т) две пары равнобочных гипербол:
т2 — хг = 1,
х2 — та = 1.
D.18)
D.19)
Нетрудно разбить плоскость (х, х) на четыре квадранта,
в каждом из которых заключено но одной гиперболе. Грапицы
квадрантов окажутся асимптотами
этих гипербол. Действительно, под-
подставляя уравнение т = кх луча,
проходящего через начало коорди-
координат, с произвольным тангенсом угла
наклона к (к — tg а) в уравнения
х' гипербол D.18) и D.19), мы обнару-
обнаружим, что координата пересечения
определяется из уравнения х2 = ±
±A/A—к2)). Это уравнепие имеет
действительный корепь лишь при ус-
условии &2<1. При &2= 1 координата
точки пересечения на оси х отодви-
отодвинется в бесконечность. Это и означает,
что лучи т — х являются асимптотами
этих гипербол. Таким образом, миро-
мировые линии световых лучей х -— ct яв-
являются асимптотами гипербол D.18),
D.19).
Каждая из гипербол D.18) и
D.19) пересекает только одну из
осей — х или т. Точки пересечения
гипербол D.19) с осью х определя-
определяются из условия т — 0. Мы видим,
что гиперболы D.19) пересекают ось
х в точках х ~ ±1. Аналогично на-
находим, что гиперболы D.18) пересе-
пересекают ось т в точках х — ±1. Поскольку гиперболы D.18), D.19)
отсекают на координатных осях единичные отрезки, естественно
пазвать эти гиперболы масштабными.
Так как выражение т2 — х2 — c"t- — я2 является инвариантом
преобразований Лоренца, то и в системе К' будут соблюдаться
равенства х — х'2 — 1, х — х'2 = —1, из которых сразу же
следует, что и на новых косоугольных осях х' и т' те лее самые
гиперболы отсекают единичные отрезки.
Рис. 4.В. В системе координат (ж, х)
проведены четыре напнобочные ги-
гиперболы х2 —х2 -- 1, ж2 — х2 — 1.
Поскольку цреобразопания Лоценца
остапляют инвариантным пыраже-
Ш1е Хг—X." — С2B — Х-.ТО И D ItORbtX
косоугольных координятлх мы полу-
получим гиперболы т'2—х" ¦¦- 1, х'2 —
— х'' — 1. Но это озилчагт, что эт,1
четыре равнобочные пшерболы пе-
пересекают соответственно octi x, т.,
х', х' на расстояниях от начала ко-
координат, равных единице. Проведен-
Проведенные гиперболы называются масштаб-
масштабными.

§ 4.4]
ПСЕВДОЕВКЛИДОВЛ ПЛОСКОСТЬ
123
Из рис. 4.6 непосредственно видно, что единичные отрезки
на осях х и х' вовсе не равны друг другу. Не следует забывать,
однако, что изображение псевдоевклидовой плоскости па евкли-
евклидовой условно и что «собственные» единицы длипы выбраны
одинаково.
Теперь уже легко пояснить геометрически, как возникает
укорочение движущейся линейки. Изобразим на одпом чертеже
оси х, х и оси х', х'. Проведем часть гиперболы, проходящей через
первый квадрант координатных систем К я К' (рис. 4.7). Отре-
Отрезок ОА изображает единичную линейку, покоящуюся в К. Ее
А
х
Рис. 4.7. Геометрическая иллюстра-
иллюстрация относительности длины линеек.
Воспроизведен первый киадраит,
изображешшй па рис. 4.6. О А —
линейка, покоящаяся в системе К.
Мировые линии ее концов — От и
АА". Гипербола ж2— т2 = 1 пересе-
пересекает ось х в точке А, а ось х' — в
точке А'. Таким образом, ОА = 1
и ОА' — I. Чтобы найти одновре-
одновременно положение концов линейки
в системе К', следует пересечь ми-
мировые линии концов линейки какой-
либо прямой т' — const, например
осью х' (соответствующей моменту
I' = и). Тогда длина линейки в си-
системе К' оказываете)! раиной ОА".
Но ОА" < ОЛ' — 1.
Рис. 4.8. На этом рисунке рассмат-
рассматривается случай, когда линейка по-
покоится в К'. Мировые линии ее
концов —• прямые, параллельные
От' (сама ось От' и прямая, прохо-
проходящая через В). Длина линейки в
К определяется пересечением этих
мировых линий с осью х (t ¦¦-¦ 0) к
оказывается равной ОВ. Но ОВ <
< ОА = 1, и мы приходим к тому
те результату: длина линейки на-
наибольшая в той системе, где она
покоится.
мировые линии в системе К — прямые, параллельные оси Ох,
проходящие через точки О и А. Но с точки зрения системы К'
одновременное ноложение концов отрезка ОА в момент х' = 0
соответствует пересечению его мировых линий с осью х', т. е.
точкам О и А". Единичная линейка в К' равна ОА'; из рис. 4.7
видно, что ОА" <ОА' — 1.
Допустим теперь, что единичная линейка покоится в системе
К' (рис. 4.8). Ее длина равна теперь ОА', а ее мировые линии
параллельны оси Ох'\ одна из них — сама ось Ох', вторая —
прямая А'В. Чтобы одновременно определить координаты концов
линейки с точки зрения системы К, нужно пересечь мировые линии

124
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
[ГЛ. 4
концов липойки любой прямой т = const. Нам удобнее взять
прямую т = 0. Из рис. 4.8 видно, что ОВ <.ОА =1.
Теперь остановимся на геометрической иллюстрации относи-
относительности промежутков времени (рис. 4.9). Пусть часы покоятся
в начале координат системы К'. Их мировой
линией будет просто ось Ох'. В момент времени
t = 0 движущиеся часы были в начале коорди-
координат системы К, где мы сравнили их показание
с одними из часов системы К', находящимися
в этой точке.
Как всегда, считаем, что при совпадении О
и О' часы из обеих систем показывают время
( = 0 и f - 0. Тогда отрезки ОВ и О'В' соот-
соответствуют показаниям часов в системах^К и К'.
В мировой точке В' показание движущихся
часов увеличится на единицу по сравнению с их
показанием в точке О'. Но точка В' в системе
К одновременна со всеми событиями, располо-
расположенными на прямой т — const, проходящей
через точку В'. В частности, мировая линия
часов, находящихся в точке хг и покоящихся
в К, как раз проходит через точку В'. Это зна-
значит, что если движущиеся часы из К' отсчитали
промежуток собственного времени О'В', то про-
промежуток времени, отсчитанный двумя часами
из К (находящимися в точках О и а^), равен
ОВ. Но из чертежа видно, что промежуток вре-
мепи, отсчиташшй часами в К', меньше, по-
поскольку О'В' = 1, а ОВ > 1.
Если же часы покоятся в системе К, то
опи отсчитают единицу времени в мировой точке
В (рис. 4.10), которая в системе К' одновремен-
одновременна с точкой В" (ОВ"— это показание часов си-
системы К', которое обпаружит в точке В" наблю-
наблюдатель из системы К). Точка В" получена пе-
пересечением прямой, параллельпой оси х' и про-
проходящей через точку /?, с осью Ох'. Но
ОВ" >ОВ' = 1; следовательно, движущиеся
часы отсчитают опять-таки промежуток вре-
времени больший, чем двое покоящихся часов.
Длина дуги (псевдоевклидова!) мировой линии непосредствен-
непосредственно связана с собственным времепем тела — она ему просто про-
пропорциональна: ds — с dx. Таким образом, длина дуги мировой
линии позволяет судить о том, какое собственное время отсчитали
часы, связанные с частицей. Но нужно помпить, что, пытаясь
оценить длину дуги на нсевдоевклидовой плоскости, нужно быть
Рис. 4.9. Геометриче-
Геометрическая иллюстрация от-
относительности проме-
промежутков времени ме-
между двумя события-
событиями. Пусть часы поко-
покоится в системе К' и
расположены п начале
координат О. Их ми-
мировая линия совпада-
совпадает с осью их'. Пока-
Показание этих часов в
мировой точке В' от-
отличается па единицу
от показания в точке
О'. По в системе К
точка В' одновремен-
одновременна мировом точке В
(лежащей на одной
пряной т — const с
точкой В'), часы в ко-
которой (расположен-
(расположенные в этой точке и
покоящиеся в К) по-
покажут время, опреде-
определяемое отрезком ОВ,
по отношению к пока-
показанию других nacoR
из К, расположенных
в точке О. Из черте-
чертежа видно, что ОВ <
< О'?' = 1. Это и оз-
означает, что промежу-
промежуток времени переме-
перемещения часон системы
К' меньше с точки
зрения К', чем с точ-
точки зрения К.

4.4]
ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ
125
осмотрительным. «Опасности» ясны ужо из того, что для двух
точек, находящихся на конечном пространственном расстоянии,
«длина дуги», соединяющей их, может оказаться равной нулю
Подумайте сами над тем, почему в приведенных выше рассужде
ниях мы получили правильные результаты, опираясь на нагляд
ные геометрические рассуждения. Ко-
Конечно, особенности нсевдоевклидовой
плоскости накладывают свой отпе-
отпечаток на истолкование результа-
результатов. Рассмотрим в качестве примера
отличие собственного времени от
Миро8ая/ линия
иаси§, п
х
Рис. 4.10. То же самое, что и иа
предыдущем рисунке, но теперь
часы покоятся в начале системы
К. Мировая линия часов — ось
Ох. В точке В часы отсчитают
единицу времени. Но одновре-
одновременными с этим моментом п си-
системе К' будут события, лежа-
лежащие на прямой, параллельной
оси ж' и проходящей через точку
В. Ясно, что ОН" > ОН' — 1,
т. е. покоящиеся часы отсчита-
отсчитают меньший промежуток време-
времени, чем часы движущиеся.
Рис. 4.11. Различие между
«собственным» временем те-
тела и координатным време-
временем, отсчитываемым по мно-
многим часам системы отсчета,
относительно которой части-
частица движется.
координатного, т. е. времени, отсчитываемого по часам системы,
относительно которой тело движется. Пусть часы Q' покоятся в
начале системы К', а их мировая линия—ОА3 (рис. 4.11). Как
обычно, совпадающие часы ь О ж О' показывают ? = 0, t'=0.
Мировые линии любых часов Q, покоящихся в К, —прямые,
параллельные оси т. В мировых точках Аи Ла, А3, . . . можно
сверить часы Q' с часами Qu ().,, Q3, . . ., синхронизованными
в К и показывающими н любой мировой точке Аг, Аг, А3, . . .
общее, единое для К время. Его величина равна длине мировой
линии QtAt для мировой точки Ai. Но для часов Q' длина
мировой линии, соединяющей О' и Ль равна уже ОА1. Однако
ОА\= QXA\ — OQI, откуда ясно, что ОАХ <С QiAx. Это и означает,
что часы Q', которые сравниваются с часами Qu (?2, . . ., по-
покоящимися в системе К, отстают от часов Qu Q%, . . ., которые
синхронизованы в системе К.

126
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
[ГЛ. 4
Наконец, пусть сначала два человека («близнецы») находились
в точке О. Затем один из них («путешественник») совершает рав-
равномерное и прямолинейное движение, за исключением неболь-
небольшого промежутка времени, когда ему приходится изменить направ-
направление скорости па обратное, чтобы снова вернуться в точку О.
Рис. 4.12. Мировые линии двух «близнецов». Мировая линия «путешественника»— лома-
пая OAII; мировая линия «домоседа»— прямая ОВ. «Путешественник» испытывает уско-
ускорение, когда он изменяет направление своего движения в точке Л и тем самым оказы-
оказывается в течение этого времени в неинерциалыюй системе отсчета. Длина мировой линии
тела определяет промежуток собственного времени тела. Очевидно, что промежуток
собственного времени у «путешественника» меньше, чем у «домоседа» (см. псевдопифаго-
рову теорему па рис. 4.5).
Другой «близнец» все время остается в точке О. Из рис. 4.12 вид-
видно, что мировая линия «путешественника» ОАВ длиннее мировой
линии «домоседа». Однако согласно псевдопифагоровой теореме
это значит, что по собственному времени «путешественник» прожил
меньше, чем «домосед». К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 8.

Глава 5
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ
Чтобы выполнялся принцип относительности Эйн-
Эйнштейна необходимо, чтобы основные законы физики имели одина-
одинаковый вид во всех инерциальных системах, отличаясь лишь обо-
обозначением переменных, относящихся к соответствующей системе'
отсчета. С физической точки зрения последнее замечание озна-
означает, что в каждой ИСО измерения нроизводятся своими прибо-
приборами, покоящимися в этой системе. Но нреобразования координат
события при переходе от одной ИСО к другой — это преобразова-
преобразования Лоренца. Следовательно, уравнения мехапики, например,
должны сохранять свой вид (в указанном смысле) в любой ИСО.
Это условие автоматически выполняется, если уравнения меха-
механики записаны в четырехмерном векторном виде. Действительно,
в этом случае закон преобразования левой и правой части такого
уранпепия известен и он не меняет вид уравнения. Про уравнения,
записапиые в векторной (или в общем случае тензорной) форме,
говорят, что они записаны в ковариантной форме.
Уравнение Ньютона, связывающее силы и ускорепия, кова-
риантно по отпошению к преобразованиям Галилея, по оно не
ковариаптпо по отношению к преобразованиям Лорепца. Однако
преобразования Лорепца однозначно вытекают из постулатов
Эйнштейна, которые падежпо подтверждены экспериментально.
Чтобы удовлетворить основному постулату Эйнштейна о равно-
равноправии инерциальпых систем отсчета, нужно обеспечить кова-
риаптпость уравнений механики при релятивистском преобразо-
преобразовании координат и времени — преобразования Лоренца. Срав-
Сравнительно нетрудно написать нужные уравнения механики, если
воспользоваться четырехмерным геометрическим представлением
СТО. Мы так и будем действовать.
Конечно, с развитием науки происходит не отмена ранее изве-
известных («правильных») законов, а ограничение области их приме-
применения. Между различными теориями, описывающими одну и ту же
группу явлений в предельпых случаях, всегда есть соответствие.
В случае релятивистской механики окажется, что большинство
формул классической механики соответствует предельному случаю
релятивистских формул при f? ->¦ 0. Другими словами, классиче-
классическая механика есть предельный случай релятивистской механики,
соответствующий скоростям, малым по сравнению со скоростью

128 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
света. Тем не менее релятивистская механика приводит и к таким
выводам, на которые классическая механика не давала ни малей-
малейшего намека (например, наличие энергии покоя тела).
§ 5.1. 4-скорость и 4-ускорение. Чтобы записывать соотноше-
соотношения между физическими величинами в пространстве-времени,
мы должны построить нужные 4-векторы. Строя эти величины,
мы имеем в виду, что в предельном случае малых скоростей пре-
преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, отно-
относительность промежутков времени и длип уже не имеет места
и уравнения Ньютона соответствуют принципу относительности
Галилея, если переход от одной ИСО к другой описывается пре-
преобразованиями Галилея. В описываемом предельном случае время
и пространство уже не связаны друг с другом и мы можем поль-
пользоваться привычными трехмерными величинами. Поэтому, строя
четырехмерные величины, мы всегда будем стремиться к тому,
чтобы три их (пространственные) компоненты были сходны с соот-
соответствующими трехмерными величинами. В предельном случае
малых скоростей (Р -»- 0) три комноненты четырехмерных величин
должны переходить в обычные механические величины.
Построение 4-скорости и 4-ускорения мы будем вести по анало-
аналогии с построением соответствующих величин в трехмерном про-
пространстве, где положение частицы задавалось трехмерным радиус-
вектором г, а 3-скорость определялась как производная радиус-
вектора по времени drldt. Определить 4-скорость как производную
-¦у
4-радиус-вектора R по времепи нельзя. Нам нужен 4-вектор ско-
скорости, а для этого 4-вектор приращения R, т. е. dR, можно делить
только на скаляр (инвариант преобразований Лоренца). Ни само
время, ни его дифференциал скаляром не являются.
В качестве иивариаптной величины, зависящей от времени,
можно взять интервал или собственное время частицы (ср. § 3.3).
Мы еще раз введем понятие собственного времени, связав его
с интервалом между событиями. Мы пользуемся тем обстоятель-
обстоятельством, что движение частицы в 3-пространстве — это непрерыв-
непрерывная последовательность событий, состоящих в том, что частица
в данный момент занимает определенную точку пространства.
Пусть в системе К координаты частицы за время dt изменились
на dx, dy, dz, а ее смещепие равно dl = ]/ dx2 + dy2 + dz2.
Рассмотрим мгновенно-сопутствующую частице инерциальную
систему К' (мгновенно-сопутствующий частице ИСО называется
система, постоянная скорость которой V равна мгновенной ско-
скорости частицы). В системе К' за бесконечно малый промежуток
времени dt' координаты частицы не меняются: dx' — dy' — dz' =
= 0. Имея в виду инвариантность интервала между событиями,

§ 5.1] 4-СКОРОСТЬ И 4-УСКОРЕНИЕ 129
запишем
ds2 = Ли2 — dx2 — dy* — dz2 = с2 dt'2.
В системе К' иромежуток dt'— ото промежуток собственного
времени. В этой главе мы будем обозначать его через dx (обозпа-
чением т — ct, использованным в предыдущих главах, в этой
глане мы не пользуемся). Из предыдущего равенства имеем
>-/<-*(§¦)'*-/<-?*•
Мы пришли к уже известному нам (§ 3.3) результату, а заодно
доказали инвариантность собственного времени (dx = dslc). Выпи-
Выпишем нужные для дальнейшего формулы:
dx = dtly, ds = cdx, y = A - PT1/2, P @ = v @/c. E.1)
Мы видим, что собственное время частицы отсчитывается по часам
мгновенно-сопутствующей ИСО. Но за конечный промежуток
времени для частицы, движущейся с ускорением, мгиовенно-
соцутствующие ИСО меняются. Конечное собственное время
частицы определяется как суммарное время, отсчитанное многими
ИСО. В принципе часы жестко связывать с частицей не следует,
поскольку всякое ускорение влияет на ход часов. Лишь в том
случае, когда ускорение, испытываемое частицей, практически
на ход часов не влияет, собственное время можно отсчитывать
но часам, жестко связанным с частицей. Но отсчет «собственного
времени» легко провести по времепи, отсчитываемому часами
системы К (отпосительно которой частица движется), если известна
зависимость скорости частицы от времени, т. е. v — v (t):
Из формул E.1) и последней формулы видно, что координатное
время (время, отсчитываемое всеми часами из К) является функ-
функцией собственного времени т. Из формулы ds = с dx видно, что
на равных правах с собственным временем dx можно пользоваться
интервалом ds, причем все формулы будут отличаться па некоторые
степени инвариантного множителя с.
Итак, введем 4-вектор скорости
Поскольку dx — инвариант, a dR —вектор, векторный харак-
характер V не вызывает сомпений. Раскроем трехмерный смысл первых
9 В. А. Угаров

130 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
трех компонент E.2) в обозначениях D.7а):
ua-^^--=y^ = yva (a= 1,2,3), E.3)
где va — компоненты обычной 3-скорости. Итак, три первые ком-
компоненты 4-скорости — это компоненты обычной 3-скорости, умно-
умноженные па множитель у, зависящий от абсолютной величины ско-
скорости частицы. Четвертую компоненту найдем отдельно:
dxi d(ict) . /г /v
W4 = -^A = 7_!_!=. icy. E.4)
В обозначениях D.7) имеем
dxa dxa
u '
В духе записи D.7а, б) можно написать
«! «. «3 «Ч
yvx yvy yvz icy
yc yvx yvy yvz
yvz)
При p -»- 0, т. е. при скоростях тела v <C с, множитель y ~- 1,
и тогда первые три компоненты 4-скорости E.5а) и последние три
компоненты E.56) совпадают с обычной скоростью. Особый иптерес
представляют четвертая компопента E.5а) и нулевая E.56) 4-ско-
4-скорости. Они отличпы от нуля даже тогда, когда частица покоится
(при v = 0 у = \ и щ = ic, а и0 — с). Последний результат
имеет ясный смысл. Время остановить нельзя, оно всегда течет.
«Покой нам только снится», и в четырехмерном мире «покоя»
(в том смысле, что V ¦-- 0) быть не может. Что касается «скорости
течения времени», то она, разумеется, определяется выбором
единиц времени.
Можно записать компопенты 4-скорости еще и так:
V(yv,icy); (a) | V(ey,yv). (б) E.6)
Квадрат 4-вектора является инвариантом. Оп находится по
формулам D.11а) и D.116) соответственно:
Вычисление проще всего производится в собственной системе
отсчета частицы, т. е. в системе отсчета, где опа покоится (v — 0).
Тогда в E.5а) останется лишь ы4 = ic, а в E.56) и0 — с. Следо-
Следовательно,
V2 = ul + и\ + и I + и\ =-. - с2; (а) | У2 = и°а - ы1' - а2' — а3' = с2; (б)
E.7)

S 5.1] 4-СКОГОСТЬ И 4-УСКОРЕНИЕ 131
квадрат 4-скорости в E.7а) и E.76) разного знака в силу различ-
различного определения интервала (см. гл. 4), но этот знак при выбран-
выбранном определении У2 уже не меняется, откуда следует, что v <L с
всегда.
Как только скорость в 4-пространстве записана в виде 4-век-
тора, сразу же можно записать формулы преобразования ее ком-
компонент при переходе от одной инерциальноы системы к другой.
Пусть в системе К заданы составляющие 4-скорости V (м,, и2,
и3, м4). Согласно формулам D.10а) в системе К' мы получим
и[ — Г (u, -1- №и4), К = uii и'3 ~ из, и\ = 1Л ( — Ши,), E.8)
но 4-скорости имеют составляющие V (yv, icy), V (y'v', icy'),
подставляя которые в E.8) получим
y'v'x = Г (yvx — yV), y'v'v = yVy, y'v'z = yvz,
icy' = Г (icy — Шуих). E.9)
Из последнего равенства E.9) следует, что
Подставляя это выражение в три первых равенства E.9):
vx = -ГГ Г (Vx У), Vy~ -y-Vy, Vz— —rVl,
получим для компонепт скорости в К' формулы, выведеппыге
в гл. 3 из преобразований Лоренца.
Заметим попутно, что если вместо формул перехода от К
к К' E.8) мы используем формулы обратного перехода, то вместо
E.10) найдем
# (?) E.10')
что позволяет получить значение v^V'» выраженное через колшо-
ненты скорости в системе К'. Из E.10') следует формула C.41)„
полученная иным путем:
У\—р— i -
У
Из формулы E.10) вытекает, что если частица покоится в К (v =
= 0), то у' — Г; этот результат очевиден, потому что частица,
неподвижная в К, движется относительно К' со скоростью V.
Тот же самый результат получится, если мы воспользуемся
определением E.66) и формулами преобразования D.106). Мы
9*

132 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ -МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
предоставим это сделать читателю. Наш результат очевиден —
пространственные компоненты 4-скорости определяют преобразо-
преобразование привычной 3-скорости.
Теперь нам следует определить 4-ускорение, которое мы также
сразу построим как 4-нектор:
или же в компонентах:
dut d-
(а)
dui (ftz*
(б)
Ниже мы выпишем несколько формул, касающихся ускорения,
но нужных пам лишь для специальных вопросов, в обозначе-
обозначениях (i.7a). Компоненты четырехмерного ускорения можно выра-
выразить через компоненты трехмерных векторов v и v. Мы получаем
d , . dt dy ,
потому что, как легко проверить,
dt TT
a —j— = y. Четвертая компонента ускорения:
h _ . dy ic dy2 . ,lRp
В случае равномерного движепия (v = 0) псе четыре компоненты
ускорения обращаются в нуль. В системе отсчета, в которой
частица покоится,
и$---их, «?;=*'„, u$=vz, №4° = 0, E.16)
т. е. три пространственные слагающие 4-ускорения совпадают
с обычными трехмерными компонентами ускорения, а временная
составляющая обращается в нуль. Из E.16) видно, что
В силу инвариантности квадрата модуля 4-вектора (см. Приложе-
Приложение I, § 1) можно утверждать, что 4-вектор ускорения — простран-
ственноподобный вектор (см. определение интервала D.5)).

S 5.11 4-СКОРОСТЬ И 4-УСКОРЕНИЕ 133
Выпитом компоненты 4-вектора ускорения w в обозначениях
D.7а, б):
.,5-4). W
Энергию частицы % мы ввели, несколько забегая вперед (см.
формулу E.32)). С помощью E.15) и E.17) нетрудно получить,
что
(^) E.18)
Выпишем формулы преобразования 3-ускорения (v = dv/dt,
•
г»' = dv'ldt') при переходе от одной ИСО к другой. Преобразова-
Преобразования Галилея оставляли 3-ускорепие частицы без изменения.
Преобразования Лоренца меняют компоненты 3-ускорения. Проще
всего формулы преобразования компонент 3-ускорения получаются
так. Считая vx и v'x соответственно функциями I и (', учитывая
связь t ш V B.16), получим из C.26), вводя обозначения (vjc) =
= Р«, {v'Jc) = р; и т. д.:
dvy
и аналогично для dvz. Разделив левые и правые части этих ра-
равенств соответственно на левую и правую части равенства dt =
= Г I dt' -\ dx' I , получим
• 1
Конечно, тот же самый результат получится и преобразова-
нием 4-вектора ускорения w. Удобно записать его в системах
К и К' в виде w (y2v + yvy, icyy), w' {y'%v' + y'v'y', icy'y').
Из формул преобразования компонент 4-вектора
и)г = Г (wj — iBw'J, u\ = Г (и'4
получим
= ri(^ -[ - y'v'x + Vy'),

134 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
G помощью E.10') из этих соотношений найдется vx. Из фор-
формул преобразования для и>2 = ю'г и w3 — w'3 получатся формулы
преобразования для vy и vz.
В формулы преобразования компонент 3-ускорепия входит
скорость движения частицы. Но 3-ускорение возпикает лишь
в том случае, когда скорость меняется. Следовательно, даже в том
случае, когда в одной ИСО 3-ускорение постоянно, во всех осталь-
остальных оно уже меняется со временем: в релятивистской механике
равноускоренное движение в одпой ИСО уже не равноускоренное
во всех остальных!
§ 5.2. 4-сила и четырехмерное уравнение движения. Поскольку
мы будем часто обращаться к трехмерным классическим соотно-
соотношениям, выпишем некоторые из них. В классической механике
масса тела частицы считается постоянной величиной; будем обо-
обозначать ее через т. Второй закон Ньютона в классической меха-
механике записывается так:
±{mv)=--F E.19а)
или
E.196)
где F — трехмерный вектор обычной силы; величина р = mv
называется классическим импульсом частицы.
Умножая левую и правую части E.19а) на v dt, после простых
преобразований мы получаем как следствие второго закона Нью-
Ньютона
d (mv42) ~= Fv dt. E.20)
Справа в E.20) стоит работа силы Р; слева по закону сохране"
ния эпергии должно стоять изменение энергии. Таким образом»
энергию тела с точностью до постоянной величины можно опре~
делить как Т — mv-ii. Здесь постоянная выбрана равной нулю»
чтобы тело в покое никакой энергией не обладало. Следовательно!
энергия rrw2!2 связана только с движением тела; ее пазывают
поэтому кинетической энергией («энергией движения»). Подчерк-
Подчеркнем, что если бы мы считали, что в состоянии покоя тело обла-
обладает энергией %0, то «полная» энергия движущегося тела была бы
% — Т -f- g0- Можно интерпретировать постоянную g0 как
постоянную потенциальную, или внутреннюю, энергию. Но ни-
никаких оснований для этого в классической механике нет и g0
можно считать просто произвольной константой. Следовательно,
«полная* энергия свободного тела в классической механике
в принципе могла быть любого знака (в зависимости от знака

S 5.2] 4-СИЛА И ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 135
достоянной §0). При обычном выборе (%0 = 0) полная энергия
свободного тела совпадает с кипетической.
Допустим теперь, что частица находится в потенциальном
поле, т. е. силу, действующую на частицу, можно записать как
I1 — —grad U, где U (х, у, z) — потенциальная энергия. Так
как v dt = dr, a grad U dr = dU, E.20) перепишетсяtв виде
d (mv2l2) = —dU.
Отсюда следует закон сохранения, полной энергии классической
механики:
другими словами, Т -\- U = const.
Теперь можно перейти к определению 4-импульса частицы Р.
По аналогии с 3-импульсом (р — mv) мы вводим 4-импульс как
произведение инвариантной (скалярной) массы m на 4-скорость V,
так что Р = rriV. Поэтому
P(myv, imyc) (a); | P(myc, myv). (б) E.21)
Как будет ясно из дальнейшего, инвариантную массу т целе-
целесообразно назвать массой покоя. По аналогии с E.19) можно пред-
предположить, что четырехмерное уравнение движения имеет вид
% = F E-22)
или в компонентах,
т*? = Ъи E.23)
где дифференцирование, естественно, ведется по инвариантному
собственному времени dx (иначе по получится векторное соотпо-
шение), а справа стоит 4-вектор силы F (%t, g2l гЗгз> гЫ, ком-
компоненты которого нам еще предстоит определить.
Еще раз напомним (ср. § 4.3), почему так важно записать
уравнение движения в четырехмерной векторной форме E.22).
Дело в том, что согласно первому постулату Эйнштейна все оспов-
ные законы физики должны иметь одинаковую форму во всех
ИСО. С математической точки зрения это означает, что уравнения,
описывающие физические законы, должны записываться в кова-
риантном виде по отношению к преобразованиям Лоренца. Урав-
Уравнения записаны в ковариантном виде, если их левые и правые
части преобразуются при преобразованиях Лоренца одинаковым
образом. Но это просто означает, что левые я правые части должпы

136 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
быть соответственно либо скалярными (инвариантными) вели-
величинами, либо 4-векторами, либо, наконец (об этом речь пойдет
в гл. 6), тензорами одинакового ранга. Уже одно это обеспечивает
сохранение записанных таким образом соотношений при переходе
от одной ИСО к другой. Записав уравнение движения в векторной
форме E.22), мы обеспечили ковариантность этого уравнения при
преобразованиях Лоренца, т. е. универсальность принципа отно-
относительности Эйнштейна.
Компоненты вектора dPldx нам уже известны, поскольку
известпы компоненты dVldx E.17а, б), а т — инвариант:
(a)
Мы обозначили компоненты 4-вектора F готической буквой ^
с индексами, т. е. F (&, %t, %3, &) или же F (%°, %\ %2,%3).
Приравнивая 4-векторы, мы приравниваем их компоненты. Для
трех первых компонент E.24а) или трех последних E.246) имеем
(а = 1, 2, 3)
4) = %a, (a) y4-(myva) = %*. (б) E.25)
Определим теперь три первые компоненты 4-силы %а. Оче-
Очевидно, они пропорциональны компонентам 3-силы, поскольку при
предельном переходе Р -> 0 мы должны вернуться к обычному
уравнению Ньютона. Если сохранить обычное определение силы
и по-прежнему считать, что «сила определяет изменение импульса»,
следует положить
где Fa — компоненты обычной трехмерной силы. Подставив в пра-
правую часть E.25а) выражения для ga, получим
(yv) = Flx, (a= 1,2, 3),
а умножив каждое из этих уравнений на соответствующий единич-
единичный коордипатный вектор та и сложив полученные выражения,
придем к векторной форме уравнения движения:
S-(myv) = F. E.26)
Сравнивая E.26) с нерелятивистским уравнением движения E.19),
мы видим, что они отличаются только определением импульса.

§ 5.2] 4-СИЛЛ И ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 137
За релятивистский (трохмерпый) импульс принимают величину
р = myv, E-27>
тогда по внешнему виду E.26) пе отличается от E.19).
Итак, три пространственные комионепты уравнения E.23)
дали нам второй закон Ньютона в релятивистской форме. По у нас
остался невыясненным смысл четвертого (или нулевого) соотно-
соотношения. Чтобы выяснить его смысл, надо знать %к (или %°).
Но оказывается, что, задав три компоненты 4-сшш, мы тем самым
определили и четвертую. В этом можно убедиться следующим,
образом. Дифференцируем E.7а, б) по т:
1 dx ¦ г dx ¦ л dx ' 4 dx v ' „
n duo . d^ duz du3 (O.28>
dx dx dx dx v '
Но согласно E.23) dajdx — g,/m, причем три первых компонен-
компоненты g мы определили в E.20); компоненты u-t нам известны из E.5).
Поэтому E.28а), например, можпо записать так:
откуда сразу находится и ^4 (и аналогично ^°):
^-.l^(Fv); (a) %° = l{Fv). (б) E.29)
с
Вывод E.29б) мы предоставляем читателю.
Итак, мы нашли компоненты 4-силы F, которую называют
силой Минковского:
f(yFxyFy yFt a(U))-(vP^f(^)). (a)
3°
E.30)
Чтобы выяснить смысл четвертого соотношения E.23) в обозначе-
обозначениях E.5а) или нулевого в обозначениях E.56), приравниваем
соответствзчощие компоненты E.24) и E.30):
или же
^ E.31)

138 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
Здесь мы можем в точности повторить рассуждения, которые
относились к соотношению E.20). Справа в E.31) стоит работа
-силы; слева должно стоять изменение энергии. Определим полную
энергию свободной релятивистской частицы выражепием
g = тс2у = тс2 A - р2)-1'2; E.32)
в этой формуле р = vie, где v — абсолютная величина трехмерной
скорости тела. Подчеркнем, что из E.31) величина энергии тела
определена лишь с точностью до постоянной величины. Опреде-
Определение E.32) подразумевает, что покоящаяся частица (v — 0,
f>^— 0) обладает энергией %й — тс2. Такой выбор постоянной
вовсе не произволен, а оправдывается предельным переходом
к классической формуле сложения скоростей.
Мы отложим обсуждение релятивистского уравнения движе-
движения E.26) и релятивистского выражения для энергии частицы
E.32) до §§ 5.3 и 5.4, а сейчас остановимся па преобразовании 4-си-
лы и вытекающих отсюда следствиях. Выпишем закон преобразо-
преобразования силы (в обозначениях E.30а)):
$;=r(g,+iBg4), &=?ь. &=йз, э;=г(^4-шг^). E.зз)
Начнем с простого случая. Пусть в системе К0 частица покоит-
покоится, причем на нее действует сила (трехмерная) F¦ Тогда согласно
<5.30а) F° {F0, 0). Из формул E.33) получим
у г х - л. г х, V гу — с у 1 У г z — F zi У М- V - - х V г х.
В рассматриваемом случае частица движется относительно К'
со скоростью системы отсчета К0, т. е. со скоростью —V. Следо-
Следовательно, 7' — Г> и мы получаем формулы преобразования ком-
компонент силы и работы, совершаемой силой:
— В2, ^-/,
E.34)
Из первых трех равенств E.34) видно, что компоненты силы,
параллельные скорости относительного движения, остаются неиз-
мепными. Компопенты силы, перпендикулярные направлению
относительного движения, меняются. Нетрудпо установить смысл
последнего соотношения E.34). Если в К0 частица покоилась,
то и К' она движется со скоростью —V. Работу совершает только
компонента силы Fx (остальные составляющие силы перпендику-
перпендикулярны движению). Мощность, выделяемая за счет работы силы Fx
в системе К0, как раз и равна —F%V', что мы и получили.
Из формул E.34) видно, что в нерелятивистском случае, когда
В <^ 1, трехмерная сила совсем не меняется при переходе от одной
ИСО к другой. Это обстоятельство вполне соответствует нашим
интуитивным представлениям о неизменности сил в любой системе

f 5.3] ТРЕХМЕРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 139
отсчета. Одпако при изложении СТО и в особенности при выводе
отдельных соотношений СТО из рассмотрения преобразования сил
следует в первую очередь подчеркивать изменение компонент
силы при переходе от одной ИСО к другой.
В общем случае, используя E.30а), получим из E.33)
у' (F V) = Г[у (Fv) — VyFx].
Переписав последние равенства в виде
r-JLrl> -—(Fv)'] F---3-F F--3-F
Y J Y I E35)
(FV) = -7-riFv —F^J
и учитывая E.10). окончательно запишем
F*~T<Fv) F i/T=TP
г х - у 1 ^ у р »
^^^ *—#1'* E.36)
я» - ^lAl-B2 , , __ (Fv)-Vt\
rz у 1 С V — ^
1 — —— ;¦ 1 — ;¦
Из формул преобразования E.36) для 4-силы видно, что если
в какой-то ИСО трехмерной силы нет, то опа не может появиться
ни в какой другой ИСО. Таким образом, при переходе от одной
ИСО к другой силы преобразуются, но не появляются и не исче-
исчезают.
Отсюда сразу вытекает справедливость закона пнерции во всех
ИСО. Если в одной ИСО на тело не действует сила и оно движется
по инерции (v — const), то то же самое будет и в любой другой ИСО
<см. E.27) и E.32)).
§ 5.3. Трехмерное релятивистское уравнение движения части-
частицы (второй закон Ньютона в релятивистской форме). Записав
уравнение движения в 4-векторной форме E.23) и определив ком-
компоненты 4-силы (силы Минковского), мы, во-первых, обеспечили
удовлетворение принципа относительности, а во-вторых, полу-
получили четыре компоненты уравнения движения. Три компоненты
дали нам собственно «уравнение движения» в трехмерной форме
E.27), а четвертая позволила определить релятивистское выражение
для энергии E.32). Уравнение E.27) было получено из тех сооб-
соображений, что уравнения динамики должны сохранять вид во всех
ИСО, т. е. быть ковариантными по отношению к преобразованиям

140 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
Лоренца. Но даже не переходя от одной ИСО к другой, мы знаемг
что точным уравнением движения является E.26), а не E.19).
Выпишем два эти уравпения рядом и выясним, в чем состоит
их отличие:
-jr-(mv) — F; (a) -j-(myv) = F. (б) E.37)
dt ч > \ / dt ^ ' ' v ' х
Прежде всего, ясно, что при р = vie <^ 1, когда у ~ 1, урав-
уравнение E.376) переходит в E.37а). Это значит, что классическая
механика является предельным случаем механики релятивистской,
когда скорости частиц нерелятивистские. По это еще не все.
Чтобы в классической механике выполнялся принцип относитель-
относительности Галилея, необходимо, чтобы преобразования Галилея были
справедливыми, а для этого нужно (§ 2.7), чтобы В <^ 1, т. е.
чтобы относительная скорость рассматриваемых систем отсчета
также была бы нерелятивистской.
Иногда, сопоставляя E.37а) и E.376), говорят, что E.376)
отличается от E.37а) только тем, что в E.376) масса зависит
от скорости, так что, приняв ту за релятивистскую массу, мы
получаем классическое уравнение. Мы увидим сейчас, что все-
обстоит гораздо сложнее, а в Дополнении IV обсудим, почему
не имеет смысла вводить зависимость массы от скорости вообще.
Для сравнения E.37а) и E.376) удобно переписать левую-
часть E.376) на оспонании следующего тождества (см. также E.31)
и E.32)):
d I % \ v d% . % dv v ,_, . , dv
Перегруппировав члены, можно переписать E.37а) и E.376) так:
dv r, , ,
m-jr-^F, (a)
/г эо\
F—^(Fv)]=^[F-^(l<W. (б)
Замечательно, что в ИСО, сопутствующей частице (v — 0), E.38а)
совпадает с E.386). Из этих соотношений сразу видно, что основное
отличие релятивистского закона динамики E.376) от классиче-
классического E.37а) состоит в том, что в релятивистском законе 3-ускоре-
ние, вообще говоря, уже не совпадает по направлению с силой.
Следовательно, нростое сопоставление компонент силы и ускоре-
ускорения, какое легко проводится для случая E.37а), уже просто-
невозможно. Из уравнения E.386) видно, что все же есть два
случая, когда ускорение и сила совпадают по направлению,
и тогда можно сравнить определение массы в E.37а) и в E.376).
а) Пусть сила, действующая на частицу, всегда перпендику-
перпендикулярна ее скорости, т. е. F _L v. Тогда из E.386) сразу следует,

S 5.31 ТРЕХМЕРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 141
что уравнение движения имеет вид
my F
E.39)
причем у — const, как ото ясно из E.31) и E.32). Это вполне реаль-
реальный случай — случай движения заряженной частицы в постоянном
магнитном иоле. Сила Лоренца F = е [vB] направлена так, что
Fv—0 (всегда). Можно сказать, что движение релятивистской
частицы в постоянном магнитном поле происходит согласно клас-
классическому уравнению движения E.19), но с некоторой эффективной
{но постоянной) массой ту. Но все :>то годится лишь для частного
вида силы, удовлетворяющей условию Fv = 0. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим еще один случай.
б) Пусть сила, действующая па частицу, всегда направлена
по направлению се скорости. Это означает, конечно, прямолиней-
прямолинейное движение частицы (при определенном выборе начальной
скорости). Простым примером такого движения может служить
движение заряженной частицы в плоском копдепсаторе (началь-
(начальная скорость должна быть направлена по полю). Если J^Hw,
то v (Fv) = F (vv) = Fv1 и из E.386) мы получаем уравнение
движения
1 dv _
причем 7 уже переменная величина.
Таким образом, в двух частных случаях, допускающих срав-
непие E.38а) и E.386), мы получаем различную зависимость массы
от скорости; это ясно указывает на то, что никакой универсальной
зависимости массы от скорости не существует. Целесообразно
пользоваться инвариантпой массой покоя (см. Дополнение IV).
Как и п классической мехапике, уравнение динамики можно
записать и для случая, когда масса иокоя частицы меняется за счет
обмена энергией и импульсом с окружающей средой. Если части-
частица теряет в единицу времени 4-вектор импульса П (П{) =
= (-уП, —y®) из"за конвекции, то вместо E.22) следует написать
ИЛИ
4-(тиЛ = ^1 + и,, E.40)
где только 5; — настоящая механическая сила, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию FV = 0. Переписав E.40) в компонентах, получим

142 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
Здесь П и Ф — импульс и энергия, подводимые конвективно
к частице в единицу времени. Составив произведение
ПУ = 72(П?;— Ф)= — Ф°,
мы видим, что величина Ф° — скорость конвективного подвода
энергии в системе покоя частицы; она равна скорости изменения
энергии покоя частицы. Действительно, дифференцируя E.40),
имеем
"*¦& + »«-ЯГ «&-Ы1,. E.41)
Умножая левую и правую части E.41) на ut и принимая во впи-
мапие, что V (dV/dx) = 0 и что FV = 0, получим
-= с* 41=
dx
dx
Если считать, что настоящая механическая сила должна удо-
удовлетворять условию
то в случае конвективной передачи импульса и энергии механиче-
механической силой следует считать величину (см. E.41))
В отсутствие настоящей механической силы следует учитывать
механическую «реактивную» силу
Tlhuh
удовлетворяющую условию IiV — 0.
В частном случае импульс II может приобретаться и не меха-
пическим образом, например, за счет излучепия или обмена теплом
между частицей и средой. В случае чистой теплопередачи 4-им-
пульс тепла, подведенного к частице за время dx, равен 8Qt ==
= Пг dx = (8p, i (8Q/c)).
Следовательно, 8р — П dt, 8Q — Ф dt являются импульсом
и энергией тепла, подведенного за время dt, В этом случае 4-им-
пульс подведенного тепла является 4-вектором.
§ 5.4. Релятивистское выражение для энергии частицы. Заме-
Заметим, что формула E.31) может быть получена не только как чет-
четвертая компонента E.23), но и прямо из E.376), в точности так жет
как в классической механике E.20) есть следствие E.19). Чтобы
убедиться в этом, умножим скалярно на v левую и правую части

{ 5.4] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ 145
E.386); получим
v = 1 [Fv - ?
mvv
Это и есть формула E.31), если учесть E.14). С другой стороны,
четвертая компонента E.23) оказалась законом сохранения энер-
энергии. Выражение для энергии E.32) существенно отличается от
классического. В механике Ньютона считалось, что энергия
покоящегося свободного тела (т. е- тела, не обладающего потен-
потенциальной энергией) равна пулю, откуда однозначно вытекала
определение кинетической энергии Т = mv2/2. В релятивистской
мехапике полную энергию свободпой частицы определяют как
% = тс2у. Это энергия полная в том смысле, что она включает
в себя и ту эпергию, которой обладает тело, когда оно покоится
(эта энергия равна тс1). Но мы говорили, что из E.31) выражение
для энергии определено лишь с точностью до постоянной, и, вы-
выбрав должным образом постоянную (положив %0 = —тс2), мож-
можно было бы, как и в механике Ньютона, считать, что энергия
покоящегося тела равна нулю. Но так поступить в СТО нельзя.
В механике СТО нельзя забывать ни о правилах преобразования
различных величин, пи о принципе соответствия с классической
механикой (в предельном случае Р —*¦ 0 должно быть совпадение
многих классических и релятивистских величин). Известно, что-
преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея
при малых относительных скоростях систем отсчета (В —*- О,
Г —у 1); при малых скоростях частиц (р* -> 0) трехмерный реля-
релятивистский импульс переходит в трехмерный классический
импульс, гщь -*¦ mv.
Допустим, что мы определили полную энергию свободной
релятивистской частицы в виде % = тс2у -f- С; тогда в предель-
предельном случае р* -*¦ 0 мы получили бы % = тсг + С. Рассмотрим
теперь преобразование компонент 4-нмпульса при переходе от
одной ИСО к другой. Его нужно производить по формулам
р\ --= г {pl + fBPt), p: = р2; Р'3 - р3, p-t = г (р4 -
E.42)
Подставляя значения компонент 4-импульса Plf P2, Р3, Р4 из
E.21), получим
) Ру = Р«, Pl--Pz, g' = r(g4-yPx), E.43)
где рх, ру, рг и рх, р'у, р'г — компоненты трехмерного реляти-
релятивистского импульса у — myv. В предельном случае, соответствую-
соответствующем переходу к классической механике, когда В ->- 0, р ->- О
и, соответственно, р'х -v mv'x, px -v mvx, % -> тс2, из первого

444 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
VC
равенства E.43) следовало бы mvx = mvx — mV ^~ • Но из по-
последнего равенства должен вытекать классический закон сложе-
сложения скоростей v'x = vx — V. Это будет так, если С — 0. Этим
и доказывается справедливость E.32). Следует отметить, что
цринщш соответствия между классическим и релятивистским
выражениями энергии не соблюдается только потому, что из меха-
механики Ньютона нельзя обиаружить существование энергии покоя
и аддитивная константа была выбрана без учета энергии покоя
(см. ниже).
Из E.32) видно, что полная энергия не обращается в нуль
даже тогда, когда скорость тела равна нулю (у = 1 при v = 0).
Энергия свободной частицы в системе, где она покоится, равна
тс2 и называется энергией покоя g0. Хотя до сих пор речь шла
о частице, но ее элементарность по входила в рассуждения. Поэто-
Поэтому все полученные формулы вполне применимы к любому слож-
сложному телу (системе), образованному несколькими составляющими.
Естественно, что т будет тогда полной массой тела, a v — ско-
скоростью его движения как целого. Формула %й = тс2 справедлива
для любого покоящегося как целое тела. Следовательно, масса
покоя тела определяет полное содержание энергии в нем, неза-
независимо от того, каково происхождение этой энергии.
В классической механике энергия покоящегося тела может
быть как положительной, так и отрицательной: она определена
с точностью до постоянной величины. В релятивистской механике
энергия свободного тела (энергии любой замкнутой системы)
всегда положительна и связана с массой покоя тела; масса покоя
тела определяет энергию покоящегося тела. Инерция тела оказа-
оказалась мерой энергии тела. Всякое изменение эпергии тела па вели-
величину А% ведет к изменению массы этого тела на Am = А%1с2.
ГЗ Возпикает вопрос: как могла остаться незамеченной столь
большая энергия, какой является энергия покоя любого тела?
Ведь 1 г вещества содержит в себе ~1021 орг. По яедь существенно
не то, сколько энергии содержит та или иная система, а то, какая
часть энергии может быть использована. Хотя любая масса содер-
содержит колоссальный запас энергии, реализовать ее совсем не про-
просто. Лишь в самое последнее время научились использовать атом-
атомную энергию. Вплоть до недавпего времени энергия покоя просто
не реализовывалась (соответственно этому всегда сохранялась
масса). Поскольку реализуемая энергия всегда представляет
собой разность энергий, наличие энергии покоя никак не прояв-
проявлялось.
В силу того, что с2 весьма велико, изменение массы при изме-
изменении энергии тела очень мало и в большинстве случаев экспери-
экспериментально не обнаруживается, несмотря на то что взвешивание
всегда было одним из самых точных измерений. Так, например,

§ и.4] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ 145
нагревание 1 кг воды на 100° изменяет массу воды всего лишь
на 5 -КЗ"9 г. Столь незначительное изменение массы нельзя обнару-
обнаружить даже с помощью самых чувствительных современных весов.
Однако изменение массы при образовании ядер вполне ощутимо;
более того, именно по дефекту масс определяется энергия связи
(см. § 5.6).
В релятивистской механике кинетическую энергию естествен-
естественно определить как ту часть энергии частицы, которая обращается
в нуль при v = 0. Эта часть энергии получается вычитанием
энергии покоя из выражения полной энергии:
Т = % — тс* = тс2 (у -~ 1). E.44)
К тому же самому результату можно прийти, вычисляя работу
силы согласно уравнению релятивистской динамики:
dT = Fv dt = vd (myv) = myv dv + mvz dy —
(A ^2 \
—2+ — )=:mysv dv.
Отсюда
с
T = m \ y3v dv = mc^y -\- const.
Если T — 0 при v = 0 (т. е. при у = 1), то const = —me2, откуда
снова Т = me1 (у — 1).
Найдем условия, при которых выражение E.44) переходит
в выражение для классической кинетической энергии. Разлагая
у в ряд:
4II
мы видим, что
т. е. классическая кинетическая энергия имеет смысл постольку,
поскольку р <^1 и можно пренебречь членом р4.
Если ввести обозначения для классической кинетической энер-
энергии Ткл, а для релятивистской Грел, то E.45) можно переписать
в виде
¦I рел = ' кл "г ~g m ~?г" i • • •
или, для отношения TpenITIvl,
-^—-— 1! + -^-Р2 +(члены порядка не ниже fi4).
В ядерной физике, где требуется более точное определение
«границы применимости ньютоновской механики», принимают,
10 В. А. Угаров

146 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ 1ГЛ. 5
что Гред = Гкл, если второй член справа меньше одного процента
(мы помним, что р ^ 1 и ряд быстро убывает). Следовательно,
границу (условную, конечно) можно определить из равенства
-|-р2 = 0,01, р я* 0,12.
Поскольку 7 = 7 (v)i причем для частицы у = g/mc2, можно
говорить о релятивистских скоростях, когда полная энергия
частицы % существенно превышает ее массу покоя, т. е. вводить
условие (Щ/тс2) ^> 1. Конечно, качественно оба условия экви-
эквивалентны, но следует иметь в виду, что, когда скорость прибли-
приближается к своему пределу (с), энергия стремится к бесконечности.
Поэтому совсем небольшие изменения скорости вблизи с могут
значительно изменить энергию частицы.
В ядерной физике удобнее оперировать энергиями частиц,
а не их скоростями. Энергетические границы классической меха-
механики будут, конечно, различными для частиц различной массы.
Например, для электронов эта граница равна 3 кэв, а для про-
протонов — 7 Мэв (вам полезно самим получить эти цифры!).
Выражение E.32) для энергии с учетом выражения для нулевой
энергии g0 = тсг можно записать в виде
% = Цй. E.46)
В энергию покоя %0 входят все виды энергии, которыми обладает
тело (или система). Из E.46) видно, что при переходе от собствен-
собственной (сопутствующей) системы к любой другой инерциальной
системе все виды энергии возрастают в у раз. Ничего похожего
па этот результат в классической механике не было. С другой
стороны, при v -*- с и полная энергия частицы E.32), и кинетиче-
кинетическая энергия E.45) неограниченно возрастают. Этот результат
имеет ясный физический смысл. Частица, масса покоя которой
не равна нулю, не может достичь скорости, равной с. Это видно
из того, что для достижения такой скорости ей следовало бы сооб-
сообщить бесконечную энергию. Здесь спова проявляется предельный
характер скорости света в вакууме. Если интерпретировать свето-
световые кванты (фотоны) как релятивистские частицы (см. § 7.6), то
следует иметь в виду, что они принадлежат к другому классу
частиц и не могут быть порождены ускорением обычных частиц,
т. е. в результате динамического процесса. В природе осуще-
осуществляется предельный переход v -> с. но в этом переходе никогда
пе достигается предельная точка v = с.
§ 5.5. 4-вектор энергии-импульса. Четвертая (или нулевая)
компонента 4-импульса свободной частицы имеет непосредствен-
непосредственное отношение к энергии частицы. Это видно из простого пре-
преобразования
± = ±Ш; (а) Рш = тсу -- -?-. (б)

§ 5.5] 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 147
Поэтому 4-вектор Р называют 4-еектором энергии-импульса части-
цы. Из E.7) и из того, что P—rriV, сразу же следует, что
Я- -mV; (a) | РЪ-^тЧ*. (б). E.47)
Закон преобразования компонент 4-вектора Р выписан в E.42)
и E.43). Нам остается переписать E.22) в окончательной форме:
где р = myv. Рассмотрим частицу в системе отсчета, в которой
ее релятивистский 3-импульс р = myv равен нулю. Систему,
в которой частица покоится (v =0), можно назвать собственной
системой отсчета. Пусть энергия частицы в этой системе рав-
равна Ш°. Тогда в системе К', согласно E.43),
Г-rg», Р'Х=-Т^П° = —5-g'= —%V. E.49)
Из формул E.49) видно, что перенос энергии частицей связан
с возникновением импульса. Действительно, в собственной систе-
системе отсчета частицы, т. е. в системе, где она покоилась, частица
обладала энергией g°, но эта энергия не перемещалась в про-
пространстве. Импульс частицы (носителя эпергии) был равен нулю.
В системе К' чаетица уже движется; ее скорость равна —V". Это
озпачает, что с этой скоростью «течет» и энергия. Формула E.49)
для р'х показывает, что с течением энергии связан импульс р'х =
— —Г—2-F. Этот импульс совпадает с релятивистским трехмер-
трехмерным импульсом, потому что, согласно E.32), g°/cz — m; ско-
скорость частицы —V, а Г в этом случае совпадает с у.
Итак, агенту, переносящему энергию,— в данном случае
частице — необходимо приписать импульс. Мы получили этот
результат для частицы, однако он имеет общее значение; мы вновь
столкнемся с ним при рассмотрении электромагнитного поля
(гл. 6).
Мы хотели бы подчеркнуть здесь то обстоятельство, что сам
факт объединения некоторых величин в 4-вектор указывает на
тесную связь между пими. Величины, являющиеся компонентами
4-вектора (это обычно 3-вектор и скаляр), образуют в известном
смысле замкнутую комбинацию: чтобы вычислить энергию и им-
импульс частицы в К', нужно знать энергию и импульс в К (см.
формулу E.43)). Четвертая (или пулевая) компоненты 4-вектора
энергии-импульса в нуль обратиться не может. Если в какой-то
системе энергия и импульс частицы обращаются в нуль, они рав-
равны нулю и в любой другой системе отсчета. В этом существент
нос отличие релятивистских соотношений от классических.
10*

148 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
В классической механике у покоящейся частицы и энергия
и импульс равны нулю.
Квадрат 4-вектора является важным инвариантом. Выпишем
его:
(б) E.50)
(мы использовали соотношения E.47) и E.48)). Разумеется,
с точностью до знака он одинаков в обоих случаях. Очень важно,
что мы обнаружили инвариантную связь между релятивистским
импульсом и релятивистской энергией частицы; при этом суще-
существенно, что инвариантное соотношение E.50) определяет инва-
инвариантную массу — массу покоя частицы.
Из E.50) можно выразить энергию частицы через ее импульс:
+ m2c2. E.51)
Энергия частицы, выраженная через ее импульс, называете!!
функцией Гамильтона SS частицы. Таким образом, E.51) — ото
функция Гамильтона частицы. Известно, что производная от
функции Гамильтона по компонентам импульса дает компоненты
скорости частицы:
!^1^ = 1Г^' •'•' или v=VP%. (o.o2)
Можно вывести формулу E.52), дифферепцируя E.50):
Рх dPx + Ру dp у + Pz dpz -- ~г ?-d%, E.53)
откуда
d% <Р- d% с2 d% ca .,__,.
Но поскольку § = тос27, a p — myv, то для частицы
E.55)
и мы снова возвращаемся к E.52).
В дальнейшем нам понадобится формула, легко выводимая
из E.52): умножая левую и цравую части E.52) на dp, мы получим
v dp = d%. Для тех, кто не очень любит обращение с градиен-
градиентами, подчеркнем, что этот же результат сразу вытекает, как
в классическом, так и релятивистском случае, из E.37а) и E.376),
где, разумеется, импульс определен по-разному. Умножая левую
и правую части E.37а) и E.376) на v dt, мы получаем справа F dr,
т. е. d%, а слева v dp. Итак, и в классике и в релятивистской

5 5.5] 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 149
мехапике мы имеем одну и ту же формулу
йЩ = v dp, E.56)
но определение энергии и импульса будет различным.
В простейшем случае одномерного движения % — f, (р)
определяется согласно E.51). В плоскости перемепных g, p
скорость определяется через тангенс угла наклона крипой % —
= % (р) в данной точке. При р "*>> тс из E.51) следует
% = ср. E.51')
Частицы с конечной массой покоя, для которых справедливо это
соотпошение, называются улътрарелятивистскими. Связь E.51')
годится как для ультрарелятивистских частиц, так и для фотонов.
В § 7.6 мы увидим, что световые кванты (фотоны) можно тракто-
трактовать как релятивистские частицы. Но уже здесь стоит подчерк-
путь, что это сонссм особые частицы. В любой ИСО эти частицы
обладают конечным импульсом и конечной эпергией. В любой
ИСО их скорость в вакууме одна и та же. Они не могут быть полу-
получены ни из какой частицы, обладающей конечной массой, за счет
ее ускорения. Наконец, из E.50) мы обнаружим, что масса покоя
фотона равна нулю.
Остановимся еще на нескольких соотношениях для частицы,
находящейся в потенциальном внешнем поле. Поскольку пред-
предполагается, что поле распространяется с конечной скоростью, то
основной нринцип СТО — конечная скорость передачи сигнала —
соблюден. Что касается силы, действующей иа частицу, она опре-
определяется через значение потенциальной функции и точке, где
находится частица (поле стационарно).
Если частица находится в потенциальном иоле, то Fv dt --
— —dU м вместо E.31) мы получим d (тс*у) — —dU, откуда
следует закон сохранения полной энергии релятивистской части-
частицы в потеициальпом поле (полной в том смысле, что сохраняется
сумма релятивистской энергии частицы п ее потенциальной энер-
энергии) :
тс2у -)- U = const. E.57)
В релятивистской механике кинетическая энергия равна
тс2 (у — 1); изменив значение константы в правой части на тс2,
можно переписать закон сохранения энергии в виде
тс2 (у — 1) + U = const. E.58)
Когда частица находится в консервативном поле, то несмотря
на то, что при движении меняются как ее скорость, так и потен-
потенциальная энергия, величина % = тс"у | U сохраняется (см.
E.57)) в том смысле, что она не зависит от времени в данной ИСО.
Можно назвать величину % полной энергией частицы в консерва-

150 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
тивпом поле. Конечно, эта величина сохраняется в любой ИСО,
но меняет свое (постоянное) значение на другое при переходе
от одной ИСО к другой. Для частицы в консервативном поле
определение 4-импульса как Р — mV остается в силе, но вместо
E.48) придется написать Р [myv,—{% — U)], поскольку туе —
с
ji <? TJ
= —туе2 = —-—, как это видно из E.21) и E.57), а из
Р2 = —т2сг вместо E.51) получится
$ = $S = cVpz + m*cz + U. E.59)
Формула E.59) — ото функция Гамильтона для частицы в кон-
сервативпом поле. Как и для свободной частицы, 3-релятивистский
импульс можно выразить через энергию, скорость и потенциаль-
потенциальную энергию:
1 „ %—V
p — myv^-^-rrufyv = —j3— v.
Преобразование четвертой компоненты вектора энергии-им-
энергии-импульса частицы в потенциальном поле согласно E.42) показывает
(удобно при этом использовать E.10)), что в системе К' полная
энергия %' = тс2у' + U', как это и должно быть.
§ 5.6. Масса покоя системы. Энергия связи. До сих пор рас-
рассматривалась механика «частицы», т. е. попедеиие некоторого
единого целого. Однако «элементарпость» (неразложимость) части-
частицы нигде фактически не предполагалась, и поэтому можно перене-
перенести все выводы на сложные системы, состоящие из «подсистем».
Масса покоя М сложной системы определяется согласно общей
формуле E.50) так:
M2c2 = -J--P2, E.60)
где теперь уже Е — полная энергия системы, а Р — ее полный
импульс.
Ограничимся пока простейшим случаем систем, состоящих
из отдельных частиц. Допустим спачала, что частицы не взаимо-
взаимодействуют между собой. Тогда энергия системы — это просто сум-
сумма энергий частиц, образующих систему:
? = 2&- E.61)
Аддитивность энергии как раз и характеризует отсутствие взаимо-
взаимодействия. Полный импульс системы всегда векторно складывается
из импульсов отдельных частиц, т. е. аддитивен всегда:
P=>^Pi E.62)

5 5.6] МАССА ПОКОЯ СИСТЕМЫ. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ 151
Масса покоя системы в этом случае может быть записана в виде
E.63)
Чтобы найти, как связана масса покоя системы с массами
покоя частиц, образующих систему, проще всего перейти в систе-
систему отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю: Р = 0.
Тогда из E.63) получим
Мы видим, что масса покоя системы выражается как сумма эпергий
отдельных частиц (деленная на с2). Но энергия отдельной частицы,
согласно E.44), может быть всегда представлена п виде суммы
энергии покоя и кинетической энергии:
%г = mtc2 + TV E.65)
Тогда по E.63) мы получим
i {
Из E.66) вытекает существенный результат: масса покоя систе-
системы превосходит сумму масс покоя составляющих ее отдельных
частиц на величину полной кинетической энергии этих частиц
(деленную па с2), вычисленную в системе отсчета, где полный
имиульс системы равен нулю.
Таким образом, мы приходим к выводу, что в релятивистской
механике даже для системы из невзаимодействующих частиц
масса покоя не является аддитивной величипой. Такое свойство
массы пепривычно с точки зрения классической механики. Воз-
Возникает соблазн ввести иную массу отдельных частиц таким обра-
образом, чтобы масса покоя системы складывалась бы иэ этих новых
масс, которые называют иногда «релятивистскими». Нетрудно
понять, как это можно сделать. В системе отсчета, где Р = 0,
согласно E.64) имеем
E.67)
i i
Следовательно, можно написать
2 2? E-68)
если назвать величину mfM = пгг7; релятивистской массой.
Так мы ириобретаем аддитивность (которая совсем не обязатель-
обязательна), но вместе с ней открываем дорогу различным недоразумениям.

152 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
Действительно, введение релятивистской массы уже для одной
частицы создает иллюзию того, что увеличение энергии пли
«релятивистской массы» частицы с ростом ее скорости (или импуль-
импульса) связано с изменениями внутренней структуры частицы. По
этого, конечно, нет и в помине (можно, пе трогая частицу, просто
перейти в другую систему отсчета). На самом деле рост энергии
с увеличением скорости — следствие особых свойств 4-простран-
ства времени, находящих свое отражение в преобразованиях
Лоренца.
С четырехмерной точки зрения термин «масса» относится
к инвариантной абсолютной величине 4-нектора пнергии-импуль-
са. Вводя релятивистскую массу, мы фактически применяем термин
«масса» (с точностью до множителя) к временной компоненте 4-век-
тора энергии-импульса, а это, как мы знаем, энергия. Но энергия
и масса покоя, которой мы хотим пользоваться,— существенно
разные физические понятия.
Энергия — относительная величина; она зависит от того,
в какой ИСО рассматривается частица или система частиц. Масса
нокоя остается одной и той же во' всех ИСО — это абсолютная
величина 4-вектора. Временная компонента"' 4-вектора (энергия)
совпадает с его абсолютной величиной (массой покоя) лишь в том
случае, когда пространстненные компоненты этого 4-вектора рав-
равны нулю (это значит, что либо импульс частицы, либо полный
импульс системы частиц равен нулю). И лишь в этом случае,
когда величина энергии совпадает с энергией покоя, энергия
пропорциональна массе покоя (с постоянным коэффициентом с2).
Таким образом, можно придать четкий четырехмерный смысл
импульсу, энергии и массе покоя частицы (и системы), считая две
первые неличины составляющими 4-вектора энер1ии-импульса,
а последнюю величину — абсолютной величиной этого же 4-век-
4-вектора. С методической точки зрения этот вопрос обсуждается
в Дополпепии IV.
Остановимся теперь па системе, образованной взаимодействую-
взаимодействующими частицами. Формула E.63) остается, конечно, в силе. Одна-
Однако вместо E.61) нужно написать
?=Si» + ?/, E-69)
где через U обозначена энергия взаимодействия частиц. Эта энер-
энергия определяется как работа, необходимая для того, чтобы разде-
разделить систему на «исходные», невзаимодействующие части. Для
устойчивой системы U <0, поскольку в «равновесном, устойчи-
устойчивом» состоянии должен быть минимум эпергии. Для такой систе-
системы величина U называется энергией связи. Хотя выписать явное
аналитическое выражение для энергии взаимодействия часто
бывает затруднительно (см. § 5.8), оказывается возможным оце-

§ 5.6] МАССА ПОКОЯ СИСТЕМЫ, ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ 153
нить ее величину. Из соотношения E.60) в системе отсчета, где
_Р = 0, нолучим
M = -!-g , E.70)
или, иначе,
где мы воспользовались соотношением %х = пггс2 + Т;, спра-
справедливым для каждой отдельной частицы.
Если соблюдено условие 2 Tt <C U, т. е. если" суммарная
i
релятивистская кинетическая энергия частиц невелика, то
M^mt + iU/c*). E.72)
Из E.72) видно, что в системе взаимодействующих частиц всегда
отлична от нуля раэпость
AM = 2»»i-M,j' E.73)
которую припято называть дефектом масс. Когда нас интересует
устойчивая система, то U < 0, a AM >• 0. По дефекту масс можно
вычислить энергию связи:
U = AM-с2. E.74)
. акой подсчет имеет смысл лишь в том случае, когда энергии
связи значительны. Именно такой случай мы имеем в атомных
ядрах. Известно, что атомные ядра очень устойчивы,— это и гово-
говорит об их большой энергии связи. Атомные ядра состоят из про-
протонов и нейтронов, причем число протонов и нейтронов, входящих
в данное ядро, вполне определенно. Можно экспериментально
определить массу протона и нейтрона в свободном состоянии
(вне ядра). Также экспериментально можно онределить и массу
любого атомного ядра. Составляя разность между суммарной
массой свободных протопов и нейтронов, образующих ядро,
и измеренной массой ядра, находят дефект масс и согласно E.74) —
энергию связи. Именно таким снособом определяют энергии
связи ядер в атомной физике.
Вынишем отдельно соотношения для ультрарелятивистских
частиц (уда с). В этом случае для отдельной частицы (см. E.51'))
% = ср E.75)

154 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ 1ГЛ. 5
и, следовательно, из E.51) будем иметь т = 0. Однако уже для
двух (и более) частиц из E.63) получим (поскольку У\% =
t t
= с 2 pt)
Это значит, что масса покоя системы, состоящей иэ частиц с мас-
массой покоя, равной нулю, вовсе lie равна нулю. Но в этом пет
ничего удивительного, поскольку массы покоя пе складываются!
В заключение два слова о «сложных» подсистемах. Определяя
массу покоя сложной системы согласно E.70) или E.64), нужно
в качестве энергии брать полную энергию системы. Допустим,
что в систему входит также и электромагнитное по.ге. Обозначив
энергию электромагнитного поля через W, из E.70) получим
Отсюда видно, что энергия электромагнитного поля, как
и всякая энергия, вносит свой вклад в массу покоя системы.
§ 5.7. Некоторые задачи релятивистской механики частицы.
В рамках заданпой иперциальпой системы отсчета пользоваться
четырехмерными соотношениями ни к чему, достаточно исполь-
использовать трехмерное уравнение E.26) и соотношение E.31). Напом-
Напомним, что общий вид второго закона Ньютона остается неизменным,
лишь по-иному определяются импульс и энергия частицы. Однако
такое переопределение существенно меняет характер решений
по сравнению с решением той же задачи на основе уравпешга
классической механики. В частности, решение любой задачи
релятивистской механики не позволяет получить скорость части-
частицы, большую чем скорость света. Возникают и иные особенности,
для выяснения которых рассмотрим несколько задач, решая их
параллельно па основе классического и релятивистского урав-
уравнений движения.
В связи с тем, что полученные формулы в дальнейшем не пона-
понадобятся, в этом параграфе вводится отдельная нумерация для
каждой задачи.
I.Элементарное решение задачи об одно-
одномерном движении под действием постояп-
н о й силы. Уравнение движения имеет вид (слева — класси-
классическое уравпепие, справа — релятивистское)
d
dt
d
(mv)'-F; (a) -?-(myv)=F, F) A)

5 5.7] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ 155
где F = const. Интегрируя при начальных условиях v = 0 при
2 = 0, имеем
mv = Ft; (a)
myv-^Ft {y^—±==\. (б) B)
Из Bа, б) алгебраически находится скорость как функция времени:
»кл = —; (a) vmi, — — =-=—- —• (о) (о)
Мы обсудим эти результаты в задаче II, поскольку выяснится, что
задача II — это просто иная формулировка задачи I.
П. Прямолинейное равноускоренное дви-
движение частицы. Если частица в системе К' движется
вдоль оси х' (v'y = v'z = 0), то и в любой другой ИСО мы получим
согласно C.26) vy = vz = 0. Итак, будем рассматривать движение
вдоль общей оси х,х' такое, при котором ускорение постояпно.
Если ускорение частицы не меняется, то в системе отсчета, где
частица покоится (в собственной системе отсчета), компонепты ее
ускорения суть (ю0, 0, 0, 0). Величина ю0 — это обычное трех-
мерпое ускорение, направленное вдоль оси х'. Квадрат 4-век-
тора ускорения является инвариантом, и поэтому для равно-
равноускоренного движения во всех системах отсчета должно соблю-
соблюдаться условие *)
где и?0 —¦ значение трехмерного ускорения в собственной системе
отсчета. Это условие, конечно, отличается от требования v = 0 **).
Для одномерного движения в любой системе отсчета комноненты
-+¦
4-скорости имеют вид V (itx = yvx, 0, 0, icy), откуда согласно
E.23) g2 = %я = 0- Следовательно, в произвольной ИСО остают-
остаются два уравнения:
Мы обозначили Fx = F и 1л* = и. Условие A) запишется в виде
*) В этой главе мы используем 4-пространство-время, где четвертая
коордипата мнимая.
*
**) Если ш0 = const, то v переменно. В классической механико под
действием постоянной силы тело приобретало постоянное ускорение, в реля-
релятивистской динамике под действием постояппой силы тело приобретает посто-
постоянное ускорение только в мгновенно-сопутствующей системе отсчета.

156 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ 1ГЛ. 5
Уравнение движения запишется в виде
¦^—7*0, или -^- = w0. B)
В трехмерных обозначениях
или —-==- = ^ + 6. C)
Но, решая задачу I, мы убедились, что можно сразу получить
эти равенства, если в релятшшстское уравнение движепия подста-
подставить постоянную силу F = mw0. Но w0 — это вовсе не v, как это
видно из B).
Если начальные условия таковы, что при t = 0 скорость v
равна нулю, то С = 0 и, выражая скорость через w0, мы полу-
получим из C)
.,_ wot Ркл „_ dx .,.
где введепо обозначение ь'кп = wot. Интегрируя последнее соот-
соотношение при начальпых условиях х = 0, t = 0, нриходим к вы-
ражепию
E)
Решепие классического уравнения движения для постоянной
силы и тех же начальных условий имеет вид
х =
Если классическая скорость неограниченно растет с течением
времени, то в силу очевидного неравенства
+
a<ia, если
из D) следует, что релятивистская скорость всегда остается мень-
меньше с, как это и должно быть согласно принципу предельной ско-
скорости распространения сигналов. При ^Кл^с <€ 1 релятивистские
выражения D) и E) для скорости и и координаты х переходят
в классические. Если переписать D) в виде v = c/y~l -f-
то очевидно, что v-*¦ с при t -*¦ со.
Найдем связь между координатным временем t и собственным
временем частицы т. Если выбрать общее^начало отсчета времени

§ i 7] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ 157
h = Т0 - О, ТО (СМ. C.16))
F)
При t —>¦ со, пренебрегая под корнем единицей по сравнению
с wot/c, получим
с -. 2w0t
т~ — In —— .
w0 с
Мы видим, что собственное время тела, движущегося равно-
равноускоренно, растет значительно медленнее, чем время в «неподвиж-
«неподвижной» системе отсчета, относительно которой рассматривается
движение.
Остается, конечно, физический вопрос о том, какие часы
отсчитывают собственное время частицы, описываемое формулой
F), поскольку связь dx — (I/7) dt относится к равномерно и пря-
прямолинейно движущимся часам. Мы подробно обсуждали этот
вопрос в § 3.3.
В заключение заметим, что релятивистское равноускоренное
прямолинейное движение называют также гиперболическим,
поскольку зависимость пройденного пути от времени (см. ниже G))
с геометрической точки зрешш представляет собой гиперболу.
Если заряженная частица движется в однородном и постоянном
электрическом поле или тяжелая частица — в однородном и посто-
постоянном поле тяготения, движение является гиперболическим.
Выпишем в заключение основные формулы, характеризующие
1 пнерболическое движение:
dt
Из выражения для производной от скорости по времени видно
различие между релятивистским и нерелятивистским «постоянным»
ускорением.
III. Движение заряженной частицы в по-
постоянном однородном электрическом и о -
л е. Выберем следующие начальные условия: в момент / — 0 коор-
координаты заряженной частицы х0 = у0 — 0, а ее скорость v0 пер-
перпендикулярна полю IE. Это соответствует задаче о частице,

158
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ
[ГЛ. 5
влетающей в заряженный конденсатор параллельно его пластинам
(рис. 5.1). Направим ось х но направлению Е, а ось у — по направ-
направлению v0. Тогда движение частицы будет происходить в плоскости
(х, у). Пока это возможно,
-у ' /// // ///.-,/. /л/ /,, <• / не будем различать класси-
классическое и релятивистское урав-
уравнения движения, записав их
в общей форме:
еЕ
V//////////// /
х
Рис 5 1 Электрон, влетающий в однородное
электрическое поло конденсатора, в момент
времени t = 0 находится в начаче координат
Сила со стороны поля направлена по оси ж,
начальная скороеть электрона г0 направлена
по оси у Классическое решение задачи сов-
совпадает с решением задачи о движении тяже-
тяжелой точки, брошенной горизонтально со ско-
скоростью »'о и поле тяжести
dt -e±J>
где F — еЕ — сила, дейст-
действующая со стороны электри-
электрического поля на заряженную
частицу. В компонентах:
Рх = «Е, ру = 0.
Отсюда импульс находится
интегрированием:
рх = eEt + Pox, Py = Ров-
Но по начальным условиям как в классическом, так и релятивист-
релятивистском случае при t = 0 рх = 0. а рау = р0- Следовательно, можно
написать
Рх == e±Lt, Pay ^^ Ро
Тенерь уже нужно учесть различие в определениях импульса:
классического
Имеем
— mv,
dx _ eEt
~d7~^ ~
dy
Интегрируя, находим
еЕ & .
±х
Но при t — 0 по начальным
релятивистского
p
В этом случае
Энергия частицы % определится
как
=-- Ym2ck + pi сг -f (ceEtf =-
Используя соотношение E.55)
С2
^рел ~ "»" Pi A

§ 5 7]
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ
159
условиям хо=^уо —
чательно получим
еЕ fi
Скорость частицы
и окон-
оконс течением времени неограни-
неограниченно растет. Траектория части-
частицы, получаемая исключением из
(*) времени t, - парабола
еЕ
B)
получим
рел _ dx _ foe2
Vx —ж-~т"-
B')
где vlea определено согласно (!')•
Из B') вытекает, как и в пре-
предыдущем параграфе, что урел
всегда меньше с, потому что
рел_ dy ippc2 (oi\
с течением времени убывает.
Интегрируя B'), получим с уче-
учетом начальных условий_
Интегрируя C'), с учетом на-
начальных условий имеем
рое . , ceEt
У = ¦?тг Arcsh -s—.
" еЕ %о
Исключая t из выразкений для
х и у, получим
ср0
Таким образом, если классическая траектория была параболой,
то релятивистская траектория оказалась цепной линией. Но для
случая у «С с цепная линия переходит в параболу. В самом деле,
при v.'c < 1 мы имеем у ~ 17 Ро = mv^ a g0 = тс*. Кроме того,
при малых х можно принять ch ¦О » 1 + ¦0V2!, откуда
а это и есть парабола B). На этом примере, впрочем как и на всех
следующих, нидно, что решение задач релятивистской механи-
механики не требует ннедения какой-либо зависимости массы от ско-
скорости: решение получается просто интегрированием уравнения
движения.

160 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ 1ГЛ. 5
IV. Движение заряженной частицы в по-
постоянном однородном магнитном поле. Клас-
Классическое и релятивистское уравнения движения заряженной
частицы в магнитном поле
%- = '\*В[ A)
выглядят одинаково не только по форме. Дело в том, что магнит-
магнитное поле не совершает работу над зарядом и энергия частицы
остается постоянной (см. E.20) и E.31)); разумеется, выражения
для энергии в классическом и релятивистском случаях различны.
На основе релятивистского соотношения
= const, уравнение A) переписывается в виде
dv ее2
Л г B)
тогда как из классического определения импульса р = mv следует
Таким образом, релятивистское и классическое уравнения движе-
движения B) и C) отличаются лишь константами перед векторным
произведением. Напомним, как решается уравнение B) или C).
Направим ось z по направлению магнитного поля. Тогда В = Вк.
Для постоянных мпожителей, возникающих перед произведе-
произведением Ivle] в уравнениях B) и C), введем обозначения:
еВ ес2В еВ 1
«ft = — , иРел = —=~ = J<*b =
Далее для определенности решаем уравнение B). Раскрывая
векторпое произведение Ivk], перепишем B) в компонентах:
• » •
vx = wvy, Уу=— (avx, vz = 0. E)
Удобно перейти к комплексной переменной в плоскости (vx, vy).
Умножая второе из уравнений E) на мнимую единицу и складывая
с первым, получим -т- (vx -f- ivy) ~—Uo(vx-\-ivB).
Это уравнение сразу интегрируется:
vx + iUy ~ ae~lti>t,
где а — комплексная постоянная. Если ее записать в виде а =
= vote-ia с вещественными vot и а, то решение будет иметь вид
F)

§ 5.7] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ 161
Очевидно, vot представляет собой модуль комплексного числа,
стоящего в левой части F):
vot = »1 + vl.
Следовательно, величина скорости частицы в плоскости (х, у)
остается постоянной. Выражепие F) можно переписать в форме
которая допускает неносредственное интегрирование:
x + iy = ^e-i«t>l+a-n>2h G)
Вспомнив геометрическое представление комплексного числа,
записанного в виде w = х + iy = re1(P, мы убеждаемся, что
частица все время остается на окружности постоянного радиуса
г — (;о1/(о, а угол, который составляет ее радиус-вектор с осью х,
увеличивается равномерпо со временем: ф = at + const. Это
означает, что проекция движения частицы на плоскость (х, у)
представляет собой равномерное движение по окружности радиуса
"of _ "of% _ JH_ /о\
о ~ ecW ~~ eB ' { '
где /;( — проекция импульса'на плоскость (ж, у), с круговой часто-
частотой @. Что касается движения по оси z, то из третьего уравне-
уравнения E) следует, что
z = z0 -f vozt. (9)
Из уравнений (8) и (9) следует, что заряженная частица в однород-
однородном магнитном поле движется по нинтовой линии, ось которой сов-
совпадает с направлением магнитного поля, а радиус определяется
согласно (8). Скорость частицы, как это и должно быть в магнит-
магнитном поле, постоянна. Если в начальный момент скорость частицы
вдоль магнитного поля была равпа нулю (voz = 0), то частица дви-
движется просто по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.
Величина сорел определяет циклическую частоту вращения
проекции частицы на плоскость (ж, у), перпендикулярную н прав-
правлению магнитного поля. Эта частота называется циклотронной.
Как мы видели, coft = Ywpeni т. е. циклотронная частота реляти-
релятивистских частиц меньше циклотронпой частоты нерелятивистских
частиц. При малых скоростях у —>- 1, а сой ->- ©г.
В заключение рассмотрим ускорение, приобретаемое заряжен-
заряженной частицей в электромагнитном поле, согласно классической
и релятивистской механике. Из общего уравнения движения
11 В. А. Угаров

162 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
получим для классического случая (р = m-v)
Чтобы получить ускорение в релятивистском случае, используем
соотношение E.55), откуда
dp_ _ jv_ <ш_ , J5_ dv_
dt ~ С2 1Г •" С2 ЧГ*
но согласно E.31) d%ldt = Fv =- eEv, а согласно E.32) g/c2 =
= ту, поэтому (ср. уравпение E.38))
1 * е 1 " е
у л туе2 ч ' у %
Второй член в последнем звепе равенства может быть интернре-
тировап как появление некоторого трения (пропорционального
скорости); отсюда можпо качественно понять, что ускорение
частицы резко падает при приближении скорости частицы к ско-
скорости света. Ясно, конечно, что Vk = vr с точностью до р2. Дви-
Движение заряженной частицы в постоянных электрическом и маг-
магнитном полях изложено в [9], § 22; мы хотим только отметить, что
в случае скрещенных (взаимно перпендикулярных) полей, для
которых справедливо Е* — с252 Ф 0 (ср. § 6.5), переходом к неко-
некоторой инерциальной системе отсчета можпо оставить либо только
электрическое, либо только магнитное поле. Тогда в этой системе
отсчета уже можпо воспользоваться полученными здесь резуль-
результатами.
V. Реактивное движение в релятивист-
релятивистской механике. Как и в предыдущих задачах, мы будем
вести параллельно решение для классического и релятивистского
случаев. В качестве примера рассматривается движение ракеты,
которую (вместе с выбрасываемым газом) можпо нринять за зам-
замкнутую систему. Напомним, что движение ракеты происходит
за счет того, что в любой промежуток времени из ракеты выбра-
выбрасывается некоторое количество вещества с определенной скоро-
скоростью относительно ракеты. По закопу сохранения импульса корпус
ракеты вместе с оставшимся горючим приобретает импульс в па-
правлении, противоположном направлению выброса горючего.
Как в классическом, так и релятивистском случае очень удобно
решать задачу в сопутствующей ракете инерциальной системе
отсчета. Так как скорость ракеты меняется, речь идет о мгновенно-
сопутствующей системе.

§ 5.7]
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ
163
Пусть в момент t масса ра-
ракеты (горючее с контейнером)
раина М (?), а скорость —
V {t); двигатель ракеты рабо-
работает так, что за время dt из ра-
ракеты выбрасывается масса газа
dM с постояпной скоростью от-
относительно ракеты, равной и.
Выпишем закон сохранения им-
импульса в сопутствующей систе-
системе (одномерная задача):
(M-dM)dV — vdM = 0, A)
причем dM >. 0. Если прене-
пренебречь бесконечно малыми ьто-
рого порядка {dM dV), мы по-
получим
dM
т
dV
Уравнение B) легко интегри-
интегрируется (у = const):
С
У-у In
М
где С — постоянная интегриро-
интегрирования. Выбирая начальные ус-
условия: при t = 0 V — 0,
М @) = Мо, получим оконча-
окончательно
V-vln^. C)
Формула C) определяет ско-
скорость ракеты V (t) в зависимо-
зависимости от скорости выброса горю-
горючего и изменения массы ракеты
(масса сожженного топлива рав-
равна Мо — М).
В приведенном выводе есть,
однако, одна деталь, заслужи-
заслуживающая внимания. В каждый
момент времени у ракеты раз-
разные сопутствующие инерциаль-
ныо системы. В равенстве B)
приращение скорости за интер-
В релятивистском случае
следует рассматривать пе при-
приращение скорости, а прираще-
приращение параметра скорости, по-
поскольку параметры скорости
складываются (аддитивны), а
скорости—нет (см. C.37))-
Выпишем связь между ско-
скоростью и параметром скорости ¦О
(см. B.27), B.28)):
thfl =¦ р, chi[> = 7, sh * =
если речь идет о скорости исте-
истечения горючего, и
th 0 = В, ch 6 = Г,
sh Э = ГВ, F)
если речь идет о скорости ра-
ракеты. Очевидно,
% -= тс2 ch*, р = т sh*. G)
Допустим, что за промежуток
времепи dt выбрасывается мас-
масса dM со скоростью р = и/с.
Скорость ракеты после выброса
массы dM возрастает па dB =
— dVlc. Приращение dB мы
выразим через нриращение па-
параметра скорости (см. F)):
dB =¦¦ th (d6),
(8)
Запишем теперь законы сохра-
сохранения импульса и энергии. В со-
путстиугощей системе «до вы-
выброса» импульс ракеты равен
нулю (В — 0). После выброса
массы dM ракета приобретает
импульс (М 4- dM) sh (dQ),
а импульс массы dM, направ-
направленный в противоположную сто-
сторону, равен dM sh (¦&). Поэтому
-dM sh (¦&) -r
= 0. (9)
И*

164
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ
[ГЛ. 5
вал времени dt пишется для
разных инерциальных систем
отсчета. Но при переходе от
одной инерциальной системы от-
отсчета к другой в классической
мехапике все скорости (и прн-
ращения скоростей) просто сум-
суммируются. Поэтому совсем не-
несущественно, что B) относится
к разным ИСО; конечную ско-
скорость можно получить сумми-
суммированием (интегрированием)
приращений скорости за несь
промежуток времени, па кото-
который скорость ракеты меняется
от 0 до V:
ДГо
О
Это и есть как раз тот метод,
которым получена формула C).
Отсюда ясно, как существенна
в этом выводе аддитивность ско-
скоростей при переходе от одпой
ИСО к другой.
В при поденных выкладках
совсем не использовался закон
сохранения механической энер-
энергии, так как его, во-перных,
недостаточно (здесь играет роль
и тепловая энергия), а во-вто-
во-вторых, если нужно вычислить ско-
скорость ракеты, без него можно
обойтись.
Релятивистская механика по-
позволяет учесть любые превра-
превращения энергии, поэтому здесь
можно выписать также и закоп
сохранения энергии:
сШс2 ch (Ь) +
+ (М -j- dM) с2 ch (dQ) =
= Мс\ A0)
Но мы можем считать dQ малой
величиной, поэтому sh (dQ) ~
¦~ с/Э, ch (dO) -~ 1, откуда из
(9), пренебрегая бесконечно ма-
малыми второго порядка dM dQ,
имеем
dM sli (О) = М dQ, (И)
а из A0)
chtf = —1. A2)
Разделив почленно A1) па A2),
получим
,n dM , „
d6thO
или
- -Р-тг, A3)
где М — М (t) — масса ракеты
и горючего в момент t. Так как
в релятивистской мехапике ад-
аддитивен параметр скорости, то
конечное значение параметра
скорости может быть найдено
путем интегрирования:
6-pin^-, A4)
где Мо — масса ракеты в тот
момент, когда ее скорость была
равна нулю.
Формула A4) к пеявном виде
определяет также и скорость
ракеты, после того как была
сожжена масса горючего Мп —
- М.

g 5.7] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ 165
Нетрудно убедиться, что в случае движения ракеты с нереля-
нерелятивистской скоростью A4) переходит в C). Действительно, в этом
случае В <С 1 и, следовательно, th 0 — В < 1, откуда th 0 ~ 9
и A4) совпадает с C). Как и во всех решениях релятивистской
механики, скорость ракеты V не может превзойти скорости света с.
Если нам удастся сжечь даже всю массу ракеты (с горючим),
М ->- Мо, то In (Mo/M)-+ со. Из A4) следует лишь, что 0 -*¦ со
(максимальное значение р\ разумеется, равно единице). По В =
= th 0, а при 0 ->- оо th 0 -*- 1, т.е. F->c
Конечно, чем больше скорость выброса, тем эффективней дей-
действует ракета. Можно ли сделать скорость выброса равной ско-
скорости света с, т. е. Р = 1? Да, если реактивным газом будет свет:
только фотоны и нейтрино могут двигаться со скоростью с. Эти
два сорта частиц обладают той особенностью, что их масса покоя
равна нулю (§ 7.6). Впрочем, раиенстно пулю массы покоя в этом
случае видно и из A0). При v -*- с параметр скорости удовлетворяет
условию th d — р—>-1. Но при 1 li О —>- 1 chft-voo, и, чтобы
равенство A0) удовлетворялось при конечном значении М, нужно,
чтобы dM = 0.
Более подробпый анализ возможностей фотонной ракеты пока-
показывает, однако, что она непригодна для дальних космических
пол сток (см. 111]).
VI. Встречные пучки. Успехи ядерной физики суще-
существенно зависят от того, каине энергии взаимодействия между эле-
элементарными частицами доступны нашему наблюдению. До сих
пор существует два источника частиц высоких энергий — косми-
ческио лучи н ускорители. Энергия частиц в космических лучах
долго еще будет оставаться мечтой проектировщиков ускорителей,
п планомерные; исследования в физике высоких энергий пока
ограничиваются той областью энергий, которая перекрывается
ускорителями. Ускорители — ото сложные и дорогостоящие соо-
сооружения, строительство которых тянется годами, а стоимость
составляет заметную часть национального бюджета любой высо-
высокоразвитой страны.
Допустим, что в лабораторной системе отсчета частицы раз-
разгоняются до энергии %. Нам нужно осуществить соударение этих
частиц с такими же частицами (например, нас интересует соуда-
соударение протопоп с протонами). Можно направить пучок протонов
с полной энергией % (в лабораторной системе отсчета) на мишень,
содержащую водород, в которой иротопы практически неподвиж-
неподвижны. Достаточно ограничиться соударением одпого налетающего
и одного покоящегося протона. Тогда энергия системы, состоящей
и.ч двух этих частиц, равна % + т (в этом параграфе мы считаем
с = 1). Вопрос состоит в следующем: нельзя ли существенно уве-
увеличить энергию взаимодействия, если взять два пучка, каждый из
которых состоит из частиц с энергией % (в лабораторной системе),

166 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
и направить эти пучки навстречу друг другу? Насколько
возрастет «полезная» энергия взаимодействия? Для разнообразия
эту задачу мы рассмотрим в необычных единицах времени — све-
световых метрах (см. гл. 2).
Для простоты не будем говорить больше о пучках, а займемся
двумя частицами. Максимальная полезная энергия (идущая на
порождение новых частиц, ядерные реакции, разогрев вещества
и т. д.) может быть оценена в системе центра инерции, ибо имепно
в этой системе подсчитывается внутренняя энергия системы (дви-
(движение системы как целого, естественно, с нашей точки зрения,
«бесполезно»). Рассмотрим две
^г частицы 1 и 2, летящие навстре-
навстречу друг другу с одинаковыми
энергиями (скоростями) в лабо-
лабораторной системе К. Эта система
будет для них системой центра
иперции, и полная энергия ча-
частиц в этой системе как раз и
будет полезной энергией. Эта
полная энергия равна 2Т + 2пг,
Рве. 5.2. Две частицы движутся в лабора- гпе Т _ киНРТНЧРГКаЯ ЭНОПГИЯ
торной системе с равными, но нротииопо- дв х „ ^инвшчакаи оаьршн
ложно направленными скоростями. В си- КаЖДОИ ЧаСТИЦЫ, 2/71 — Энергия
стеле К' частица I покоится. ,
покоя частиц (в принятых на-
нами единицах времени с — 1).
Выясним, как выглядит то же самое соударение с точки зрепия
системы К', в которой частица 1 покоится. Это и будет картина
столкновения палетающей на мишень частицы. Плс будет интере-
интересовать энергия частицы 2, вычисленная в системе, где покоится
частица 1. Сделаем соответствующий пересчет по формулам E.43).
(Не забудьте, что рассматривается то же самое столкновение, но
только в другой системе отсчета.) Импульс и энергию частиц 1 и 2
в К обозначим через (р, Щ) и (—р, %). В системе К' импульс
и энергия частицы 1 равны р[ = 0, %\ -= т. На рис. 5.2 изобра-
изображены системы К и К' и скорости частиц в системе К. Система К' —
собственная система для частицы 1, и согласно E.49)
gj = rg? = Tm = ут A)
(в нашем случае Г = у, поскольку К' связана с частицей 1). Из A)
сразу следует, что
Будем рассматривать релятивистские скорости частиц, когда
~ 1, откуда сразу

I 5.7] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЧАСТИЦЫ 167
В нашем случае Р = В ~ 1, откуда величина ГВ, входящая
в преобразование энергии, примерно равна Г. Теперь уже неслож-
несложно записать формулу преобразования энергии частицы 2 при
переходе от системы отсчета К к К':
%\ = Г (Ш, - Вр2) = Г (Ш + Вр) я, Т% + Тр » 2Fg.
1% — это, с точностью до удвоенной энергии покоя частиц (кото-
(которой при релятивистских скоростях можпо пренебречь), энергия,
реализуемая нри встречном соударении. Чтобы реализовать ее
при покоящейся частице 1, нужпа энергия, в Г раз большая.
Из этого расчета видна та выгода, которую мы получаем, исполь-
используя встречные пучки.
Однако к тому же самому результату можно прийти проще.
Мы докажем, что иересчет энергии согласно E.43) эквивалентен
подсчету энергии но формуле % = ту в том случае, если в нее
будет подставлено релятивистское выражение относительной ско-
скорости частиц 1 и 2.
Итак, пусть I? системе К импульс частицы 2 равен р2 — рх =
— —ту$, а энергия %г = ту. Ищется энергия частицы 2 в систе-
системе К', в которой частица 1 покоится.
Согласно E.43)
g; = Г (t - Вр2) = Г (ту -г ВтуР) =-¦ Г ту A +
поскольку в нашем случае у = Г (в системе К обе частицы имеют
одинаковые скорости). Однако из формулы E.10) следует (не за-
забудьте, что у пас р <0, см. рис. 5.2)
Ту A + Вр) = у';
поэтому
%'г = ту',
где у' определяется для скорости частицы 2 в системе К' (т. е.
для относительной скорости частицы 2 относительно ?). Вычислим
относительную скорость частиц 1 и 2. Имеем
В системе К частица 2 имеет скорость —р, а частица 1 — ско-
скорость р, поэтому
Это и есть относительная скорость частицы 2. Найдем теперь у':

168 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
Следовательно,
%\ = ту' = ту у A + р2) х 2ТЩ,
ибо р ~ 1, а у = Г. Мы снова пришли к тому же самому резуль-
результату, как это и должно было быть.
§ 5.8. Законы сохранения релятивистской механики. До сих пор
говорилось о законах сохранения энергии и импульса для мате-
материальной частицы, теперь следует остановиться на законах сохра-
сохранения для системы п материальных частиц. Вопрос о законах
сохранения имеет два аспекта. Первый состоит в том, что нужно
выяснить, как выглядят релятивистские законы сохранения
в рамках заданной ИСО. Второй аспект заключается в выяснении
поведения сохраняющихся величин при переходе от одной инер-
циальной системы к другой. Оба эти вопроса решаются очевидным
образом для системы невзаимодействующих частиц и весьма слож-
сложны для частиц, взаимодействующих между собой.
Начнем с системы п невзаимодействующих частиц. Уравнения
движения и изменения энергии, относящиеся к к-к частице,
имеют вид (см. E.27) и E.31))
^F™, E.78)
A. (TO<ft>cYh)) =- Fmv(h\ E.79)
где через JTih) обозначена сила, действующая на к-ю частицу (сум-
(суммирования по к нет!).
Если рассматривается одна частица, не взаимодействующая
ни с какими другими частицами, то /?°1> = 0 и из E.78) и E.79)
непосредственно вытекают закон сохранения импульса plk' —
= m(h)y(h)vOi> = const и закон сохранения энергии g"° =
= mlh)y(h)c2 — const. В сущности, это обстоятельство и отражается
в том, что для отдельпой частицы Р% = рг — g2/c2 =¦ const. Для
отдельной частицы, которая представляет собой замкнутую систе-
систему, Р2 сохраняется нотому, что сохраняются и р и g/c отдельно.
Отметим попутно еще раз, что р и Щ/с отдельной частицы в сово-
совокупности образуют 4-вектор.
Когда речь идет о системе п невзаимодействующих материаль-
материальных частиц, сохранение суммарного импульса системы 2 Plh)
и суммарной энергии системы 2 i<ft) очевидно, поскольку сохра-
сохраняется каждое слагаемое в отдельности.
Законы преобразования суммарного импульса и суммарной
энергии
2 2ё(Л) E-80)

i 5.8] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ 169
при переходе от одной ИСО к другой очевидны: сумма компонент
векторов преобразуется как компонента вектора.
Вопрос о законах сохранения в системе п взаимодействующих
частиц гораздо сложнее. В обычной классической механике взаи-
взаимодействие частиц в случае консервативных сил можпо было
описать потенциальной функцией системы U = (гA), га\ . . .
. . ., г<П)), причем r(h) (t) определяло положение k-ik частицы в мо-
мепт t, а положение всех п частиц рассматривалось в одип и тот же
момент времени. Возможность выбора одного-единственного мо-
момента времени в конечном счете обусловлена тем, что в классиче-
классической мехапике скорость распространения взаимодействий предпо-
предполагается бесконечной.
Из-за того, что скорость распространения взаимодействий
в релятивистской механике конечна, для вычисления силы и дан-
данной точке нужно зпать положения всех частиц в некоторый пре-
предыдущий момент времепи. Отсюда ясно, что вид функции U ь реля-
релятивистском случае отнюдь ые прост.
Если записать выражение для энергии системы п тел в виде
и для суммарного импульса
Р = 2 т&)у(кЫк\ E.82)
то можно утверждать следующее. Величины Pja i %lc, в отличие от
того, что мы имели для отдельной частицы, не образуют 4-вектора.
Кроме того, эти величины не являются постоянными. Невыполне-
Невыполнение равенства % — const ясно уже из того, что в классической
механике сохраняется полная энергия системы, в которую входит
и потенциальная энергия системы. В E.81) потенциальная энер-
энергия не входит, и ввести ее строгим образом довольно сложно.
С конечной скоростью передачи взаимодействий связапо и то, что
выражение E.82) не сохраняется во времени. В конечпом итоге
это обстоятельство разъясняет и тот парадоксальный факт, что
величины % и '/•», представляющие собой сумму компонент 4-век-
торов, не являются компонентами 4-вектора. Действительно,
в любой системе отсчета, где составляются суммы E.81) и E.82),
слагаемые берутся одновременно в смысле одновременности дан-
данной системы отсчета. При переходе к другой иперциальной системе
можно найти значения импульсов и энергий отдельных частиц
по правилам преобразования 4-векторов и сложить их. Однако
в повой системе пересчитанные события окажутся уже не одно-
одновременными. Чтобы найти |иРв новой системе, нужно привести
эти суммы к одновременности в повой системе отсчета. Имепно
этот пересчет одновременности и лишает величины Р и % свойств
компонент 4-вектора.

170 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 5
При наличии взаимодействия релятивистские системы обла-
обладают десятью интегралами двшкенин: интегралом энергии, им-
импульса, движения центра инерции, момента импульса и др. При-
Приближенный вид этих интегралов приведен, например, в книге
116], § 27.
Что касается поведения интегралов движения при переходе
от одной инерциальной системы к другой, то в некотором прибли-
приближении (P(ft) = i/h>/c <C 1), где сохраняются еще члены (Р<ьJ,
энергия и импульс составляют 4-вектор, а интегралы движения
центра инерции и момента импульса — антисимметричный 4-тен-
зор. Отсюда ясно, что если эти интегралы сохраняются в одной
системе отсчета, то они будут постоянпы и во всякой другой си-
системе отсчета.
Есть один случай, в котором законы сохранения импульса и
энергии можно записать в простом виде:
2 mWyWvW = 2 mWy'Wv'W, E.83)
2 тЫс2уЫ = 2 m<ft>cY<*>. E.84)
Эти формулы пригодны в том случае, когда рассматриваются
быстрые, но слабо (или кратковременно) нзаимодеиствующие ча-
частицы. Формулы E.83) и E.84) несправедливы во время взаимо-
взаимодействия, но вполне пригодны до начала и после окончания взаи-
взаимодействия. Их, в частности, можно применить к идеальному
релятивистскому газу, а также к «соударениям микрочастиц».
Приведем пример использования законов сохранения в реля-
релятивистской форме для рассмотрения «соударепия» частиц. Пусть
на покоящуюся частицу с массой mt налетает частица с массой
т0, причем в результате «соударения» («реакции») порождаются
частицы с суммарной массой М. Реакции между частицами уп-
управляются не только законами сохранения импульса и энергии,
но также и другими специфическими законами сохранения. Их
мы учитывать не будем. Мы будем просто считать (скажем, ис-
используя экспериментальные данные), что реакция может идти.
Но уже с помощью законов сохранения импульса и энергии
можно выяснить существенный вопрос: какова минимальная
энергия налетающей частицы, достаточная для осуществления
интересующей нас реакции?
«До» реакции и «после» нее законы сохранения импульса и
энергии выполнены. На четырехмерном языке это означает, что
сохраняется 4-вектор энергии-импульса системы частиц. Картину
«до» соударения рассматриваем в лабораторной системе отсчета.
До соударения частицы не взаимодействуют, и поэтому энергия
системы частиц равна Шо-\-тщс*, а импульс равен р0, где %0 —
полная энергия налетающей частицы, а р0 — ее импульс.

§ 5.8] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ 171
Картину после соударения удобно рассматривать в системе
центра инерции. По закону сохранения импульса зта система
отсчета движется равномерно и прямолинейно относительно ла-
лабораторной и поэтому также является инерциальной (если лабора-
лабораторная система инерциальная). Минимальная энергия, требуе-
требуемая для осуществления реакции, будет в том случае, когда в си-
системе центра инерции все частицы, возникшие после реакции, по-
покоятся (в противном случае их полная энергия будет больше).
Следовательно (если ищется минимальная эпергия), после соуда-
соударения энергия системы возникших частиц равна Мс2, а импульс
равен нулю (в системе центра инерции). При переходе от одной
ИСО к другой квадрат 4-вектора энергии-импульса является
инвариантом.
Выпишем 4-векторы энергии-импульса системы частиц до и
после соударения: Р° (р0, Щ01с + т^), Р (О, Мс). Но абсолютные
величины этих векторов равны: Р°а = Р2 или М2с2 = (%01с +
+ тщс)* — р*. Используя соотношения %\1сг — р\ = пг„с2, %0 =
= То + пг0с2, будем иметь
Мгсг = тпУ + тп\ с2 + 2mj {То + т0с2)
Отсюда непосредственно следует минимальное («пороговое») зна-
значение для кинетической энергии налетающей частицы:
Полученная формула может быть использована при рассмотре-
рассмотрении весьма разнообразных реакций. Приведем три примера.
Рождение it-мезона при соударении двух нуклонов: N + N —>•
—*• N + N + п. Фоторождение it-мезона на нуклоне: N -f- у —>•
->- N + it. Рождение протоп-аптипротонной пары (р + р) при
бомбардировке протонами мишени, содержащей протоны (водо-
(водород): р + р ->- р + р + (р + р).
При интерпретации этих реакций следует исходить из того,
что всегда соблюдается закон сохранения энергии. Поэтому в этих
реакциях кинетическая энергия исходных частиц переходит
(частично) в энергию покоя порождаемых частиц. Говорить же о
«рождении» массы из кинетической энергии, безусловно, неверно.

Глава 6
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
ФОРМЕ
Теория относительности указывает, как надо рас-
рассматривать физические явления в любой инерциальпой системе
отсчета. СТО исходит из полного равноправия всех иперциаль-
ных систем. Это означает, что основные уравнения, описываю-
описывающие физические явления в природе, должны быть одинаковыми
во всех инерциальпых системах; конечно, для каждой системы
отсчета они записываются в соответствующих переменных, т. е.
для масштабов и часов данной системы отсчета.
Основная система уравнений, описывающих электромагнит-
электромагнитные явления,— это система уравнений Максвелла. Замечательно,
что система уравнений Максвелла, сформулиропапная за пятьде-
пятьдесят лет до появления специальной теории относительности, ока-
оказалась ковариантной по отношению к преобразованиям Лорепца,
т. е. с точностью до обозначений переменных сохраняла свой
вид, если к ней применялись преобразования Лоренца. Это и озна-
означает, что система уравнений Максвелла сохраняет свой вид в лю-
любой инерциальной системе отсчета, а нриицип относительности
выполняется автоматически.
Таким образом, уравнения электродинамики с точки зрения
СТО менять не нужно, и могло бы показаться, что теория отно-
относительности ничего существенного в электродинамику внес!и не
может. Однако это совсем не 1ак.
Прежде всего, до создания теории относительности было не-
неясно, в каких системах отсчета справедлива система уравнений
Максвелла. Из теории относительности сразу же следовало, что
эта система уравнений годится для любой инерциальной системы
отсчета. Далее, естественно было переписать систему уравнений
Максвелла в четырехмерной форме. Такая запись позволяет уста-
установить формулы преобразования основных величин, входящих
в теорию, при переходе от одной ИСО к другой. При переходе
к четырехмерной записи мы обнаружим также неразрывное един-
единство зарядов и токов, электрических и магнитных моментов,
электрического и магнитного полей. Обнаружится связь и неко-
некоторых других физических величин. Такая тесная связь между
определенными физическими величинами оставалась и тени до
появления релятивистского подхода к электромагнитным явле-
явлениям.

§ 6 1] ТРЕХМЕРНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 173
Что касается преобразования компонент электрического и
магнитного полей при переходе от одной инерциальной системы
к другой, то это преобразование последовательно может быть про-
проведено лишь в рамках теории относительности. Только теория
относительности показывает, что для описания электромагнит-
электромагнитного поля необходимо использовать четырехмерный антисимме-
тричпый тензор.
§ 6.1. Трехмерная система уравнений Максвелла. 4-потен-
циал и 4-ток *). Теория Максвелла представляет собой макроско-
макроскопическую теорию электромагнитного поля. В этой теории элект-
электромагнитное поле в произвольной среде описывается четырьмя
векторами: напряженностью электрического поля Е, напряженно-
напряженностью магнитного поля Н, индукцией электрического поля Т) и
индукцией магнитного поля В.
В однородной изотропной среде число векторов поля, необхо-
необходимых для описания электромагнитных явлений, уменьшается до
двух, так как векторы поля оказываются пропорциональными
друг другу:
D = &E, B — \iH. @.1)
Постоянные коэффициенты еи|| называются соответственно ди-
диэлектрической и магнитной пропицаемостями. Вакуум описы-
описывается как однородная изотропная среда с определенными значе-
значениями s и и., которые принято обозначать е0 и ц0 и называть соот-
соответственно электрической и магнитной постоянными.
Векторы поля — согласно теории Максвелла — подчиняются
двум основным уравпепиям:
rot II =J+sE,
. (б) F.2)
rot E=--— цН;
rot H =.?•-,
(а)
rot Е — —В;
слева написаны уравнения для произвольной среды, справа —
для однородной и изотропной.
В теории Максвелла средние значения электрического и маг-
магнитного полей (по отношению к «истинным», микроскопическим
полям) определяются векторами Е и В. Векторы D и Н в общем
случае связаны со средними полями соотношениями
1> = г0Е + Р, B = \io(H+M), F.3)
где введены еще два вектора: вектор поляризации Р и вектор
намагпичения Ш.
*) Все уравнения и формулы электродинамики записаны в этой главе
в системе СИ. Для удобства читателей основные формулы выписаны также
и в гауссовой системе в Приложении П.

174 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
В теории Максвелла предполагается выполнение закона сохра-
сохранения заряда; для непрерывного распределения заряда он запи-
записывается в виде уравнения не рерывности:
dt . -»w —0 F.4)
Здесь р — плотность заряда, a j = pv — плотность тока.
Следствиями уравнений F.2) и F.4) являются два уравнения,
которые удобно присоединить к F.2) и F.4):
divl? = c
divB =
div JH = 0.
(б) F.5)
Для плотности силы, действующей со стороны электромагнитного
поля на свободные заряды и токи, принимается выражение
/ =9{J<] + [vB)}, F.6)
называемое силой Лоренца. Из этого выражения еще раз видно,
что Е и В являются средними макроскопическими полями.
Система уравнений Максвелла может быть записана не только
через векторы поля, но и через скалярный и векторный потен-
потенциалы ф и А. Мы рассмотрим случай однородной изотропной среды
и свяжем потенциалы tpnic полями J? и В соотношениями:
Е=_уФ_ A, B = votA. F.7)
Если подставить эти выражения в систему F.26), наложив
на потенциалы дополнительное условие Лоренца
(можно показать, что этому условию можно удовлетворить всег-
всегда), мы получим уравнения, которым должны удовлетворять по-
потенциалы ф и А:
I—I — ^ I—I Л —»¦ * /f* Q\
где
^ ^*2 1/ец
В уравнениях F.9) подразумевается, что р = р (г, t), j = j (r, t),
т. е. что плотности заряда и тока — заданные функции коорди-
координат и времени. Уравнения F.7) и F.9) эквивалентны системе
уравнений F.2).
Далее, нужно придать четырехмерный смысл величинам, входя-
входящим в уравнения Максвелла, а сами уравнения Максвелла пере-
переписать в четырехмерной форме. Но действовать нам придется

§6 1] ТРЕХМЕРНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 175
постепенно и уравнения Максвелла F.2), F.4) в четырехмерной
форме будут записаны лишь в § 6.7. Начнем же мы с построения
четырехмерных величин из потепциалов ср, Л и плотностей р, рг>.
Уравнения F.9) — это дифференциальные уравнения одного
и того же вида — уравнения Д'Аламбера. Поэтому они сразу за-
записываются как одно четырехмерное уравнение, если ввести два
—> -*.
4-вектора: вектор 4-потенциала Ф и вектор 4-плотпости тока s.
Некоторое время мы будем выписывать параллельно определе-
определения и соотношения в действительной и мнимой форме, аналогично
тому, как мы поступали в механике. Итак, определим вектор
4-потенциала Ф следующим образом:
- гФ!Ф2ФзФ4 () 3>ГФ° Ф1 Ф2 Ф31 ,б, ,6llv
и вектор 4-тока:
7 ts} ??»!*), (а) 7 (s° f?*}. (б) F.12)
Напомним также определение 4-радиус-вектора:
= ct х у
Компоненты 4-векторов Ф, s, R соответственно в обычных и сим-
симметричных обозначениях записаны в дпух параллельных строках,
и их сопоставление позволяет сразу найти нулгаое значение ком-
компоненты. Определив 4-потенциал и 4-плотность тока, можно
уравнения F.9) записать в вакууме (т. е. при s = e0 и jj, = ju,0,
где c2=1/p.ou.o) едипой формулой:
=-Цо*А №=1,2,3,4), (а) | ПФ*=-Цо8* D = 0,1.2,3). (б)
F.13)
То, что три уравнения F.13а) при к = 1, 2, 3 совпадают с тремя
уравнениями F.9) в вакууме, очевидно. Уравнение F.13а) для
к = 4 дает ? — ср= — \ioicp, но с2 = 1/(еои.о), и мы приходим
к уравнению F.9).
Убедиться в том, что и уравнения F.136) совпадают с уравне-
уравнениями F.9) в вакууме, мы предоставляем читателю.
Условие Лоренца F.8) и закон сохранения заряда F.4) можно
—V —V
записать в вакууме через 4-дивергенцию векторов Ф и s.

176 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
Действительно, например,
х2 ' дх3
Значит, условие Лоренца и закон сохранения заряда в вакууме
в четырехмерной записи имеют вид div(D = 0, divs = 0. Ко-
Конечно, и действительная запись ведет к тем же самым результа-
результатам. Выводы, к которым мы пришли, весьма существенны. Как
показано в Приложении I, § 4, 4-дивергенция — инвариант пре-
преобразований Лоренца. Что касается уравнений F.13а, б), то эти
4-векторные соотношения справедливы в любой инерциальной
системе отсчета в вакууме. Таким образом, уравнения для потен-
потенциалов, условие Лоренца и закон сохранения заряда могут быть
переписаны так, что становится сразу очевидным, что они
сохраняют свой вид в любой иперциальной системе отсчета. Отно-
Относительно ковариантной записи уравнений для потенциалов в пре-
преломляющей среде (е,ф&0 и \уф ц0) см. далее (§§ 6.14, 6.15).
§ 6.2. Преобразование 4-потенциала и 4-тока. Уже одно то,
что нам удалось построить 4-векторы Ф и s, позволяет сразу за-
записать формулы преобразования компонент этих векторов. Мы
запишем эти преобразования как в действительной, так и в комп-
комплексной форме (ср. D.10а, б)):
ф1-г(ф;-шф;)> ф2=ф;, ф3=ф3, ф4=г(ф;+шф;);
F.14а)
F.15a)
фо=Г(Ф°'4-ВФ1'), Ф» = Г (Ф^ + ВФ0'), ф2 = ф2') фз = фз'.
F.146)
F.156)
Остановимся подробнее на преобразованиях плотности тока.
4-ток образован плотностью тока и плотностью заряда. То, что
ток и плотность заряда объединились в один 4-вектор, вполне
естественно. Если говорить о системах отсчета, находящихся в от-
относительном движении, то заряд может покоиться лишь в одной

§ 6.2] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 4-ПОТЕНЦИЛЛА И 4-ТОКА 177
(«собственной») системе отсчета. Во всех других ИСО заряд дви-
движется и с точки зрения этих систем представляет собой уже не
только заряд, но и ток. Мы видим, как прост переход от покояще-
покоящегося заряда (электростатика) к движущемуся (ток),— ото просто
переход от собственной системы отсчета заряда к любой другой
ИСО. Когда ток возникает при перемещении зарядов вместе с дви-
движущейся средой или телами, говорят о конвекционном токе.
При переходе от собственной системы к произвольной ИСО речь
как раз и идет о конвекционном токе.
В формулу j — pv входит плотность именно тех зарядов, ско-
скорость которых равна v. Иначе могут возникнуть недоразумения.
В металлах, например, идет ток, хотя р — 0. Действительно, в ме-
металлах суммарная плотность заряда, складывающаяся из плотно-
плотностей зарядов ионов и свободных электронов, равна нулю: р —
— ()+ -J- р_ — 0. Но ток, конечно, может идти, если есть регуляр-
регулярное движение электронов: j — р^.?.'+ - р_х;_ ~ P-V-, потому что
скорость регулярного движения иолов равна нулю.
Из формул @.15) мы сразу получим конвекционный ток при
переходе от «собственной» системы заряда. Итак, пусть в системе
К' задана плотность заряда р', а тока нет (j' — 0). Следовательно,
в системе К' 4-плотность тока имеет компоненты s' @, 0, 0, /ср' —
= icp0), т. с. s[ — s'2 — s's — 0, Sj — icpa. Тогда согласно F.15а),
например, в системе К
В развернутой форме последнее уравнение @.10) дает
icon
S4 S ICQ =
_ F2/C2
Таким образом, мы приходим к закону преобразования плотности
заряда при переходе от «собственной» системы, где заряды покоят-
покоятся, к системе, относительно которой заряди движутся со скоро-
скоростью V:
Из первого уравнения F.16) получаем плотность тока
Ток, связанный с движепием заряженной среды или заряженного
тела, как мы сказали, называется конвекционным током.
Смысл равенства F.18) очень прост. Скорость заряда, покоя-
покоящегося п К', относительно системы К раина V (это скорость си-
системы К'\ то же вытекает и из релятивистской формулы преобра-
12 В. А. Угаров

178 ТЕОРИЯ МАК6ВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
зования скоростей C.27)). Поэтому F.18) представляет собой про-
просто конвенционный ток. Что касается изменения плотности заряда
F.17), то оно связано с изменением объема (плотность — это заряд
единицы объема). Так как объем преобразуется по закону
а речь идет об одном и том же физическом объеме, содержащем
все тот же заряд de, то
de de _ 1 de
у т=
Конечно, полный заряд в заданном объеме остается неизмеп-
ным в любой системе отсчета:
F.19
Равенство F.19) выражает инвариантность заряда, заключен-
заключенного в данном объеме. С помощью F.17) можно иначе представить
4-вектор s. Рассмотрим в системе К небольшой элемент объема
движущейся заряженной среды. Тогда для сопутствующей этому
элементу системы отсчета К0 скорость элемента v = 0, р = р0.
В системе К плотность р = роу и, следовательно, J = pv = poYv
Тогда s (роУУ, Po^v) = Po^i ГД° V — -^-скорость элемента среды.
Итак,
*j = poi*i. F.20)
Для s2 получаем
? = P2OY2 ("а - с2) = - роа/с2. F.21)
4-вектор s — времениподобный вектор; это обстоятельство отра-
отражает тот факт, что скорость заряда v всегда меньше с.
Если в системе К' имеется незаряженный проводник, по кото-
которому идет ток, т. е. в системе К'
s0 (/*oi 7"г/о, 7го. г'сРо = 0), F.22)
то в if обнаруживается некоторая плотность заряда р. В самом
деле, согласно F.15)
h = Г;ж0, s2 = jyo, s3 = /20, s4 = icp = TWjx0. F.23)
Первые три формулы F.23) определяют значения тока в системе
К, последняя определяет плотность заряда в системе К:
р = Г-|-7д.о. F.24)

§ 6.2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 4-ПОТЕНЦИАЛА И 4-ТОКА
179
Следовательно, наблюдатель в К обнаружит плотность р, хотя
в системе К' плотность заряда равнялась нулю. Нетрудно дать
геометрическую интерпретацию этого результата. Пусть провод
ник покоится в системе К; ионы проводника неподвижны, а элек-
электроны перемещаются с не-
некоторой средней скоростью .. . „ и
v. В системе К мировые rl ^^ ti„. ^'"П Ч*
липии ионов представляют
собой прямые, параллель-
параллельные оси т, а мировые линии
электронов — прямые, со-
составляющие с осью т не-
некоторый yi'Ofl'&=arctg (vie).
На рис. 6.1 изображены
системы отсчета К (х, т) и
К' (х', т'), мировые линии О'
ионов (пунктир) и мирО'
вые липии электропов (тон-
(тонкие сплошные прямые, на-
наклоненные под углом Ф к
оси т). Поскольку металл
в среднем нейтрален, то из
каждого участка проводни-
проводника должно выходить равное
количество мировых линий
ионов и электронов. Плот-
пость заряда должна изме-
измеряться одновременно в каж-
каждой системе отсчета. В сис-
системе К опа определяется чи-
числом мировых линий ионов
и электронов, пересекаю-
пересекающих единицу длины в этой системе. Например, плотность заряда
определяется числом мировых линий ионов (взятым со знаком «+»)
и числом мировых линий электропов (взятым со знаком «—»), про-
проходящих через О А. Масштабная гипербола отсекает па осях х
и х единичпые отрезки. К этим единичным отрезкам и нужно от-
относить заряды. Но в системе К' плотность заряда нужно подсчиты-
подсчитывать одновременно для всего проводника. Одновременные события
в К' лежат на прямых, параллельных оси х', в частности на самой
оси х'. Однако из рис. 6.1 видно, что на единичном отрезке О А'
положительных зарядов больше, чем отрицательных. Поэтому
проводник окажется положительно заряжеппым в системе К',
хотя в системе К он был нейтральпым. Конечпо. если взять замк-
замкнутый проводник с током, то и в системе К' его суммарный
заряд останется равным нулю, однако в системе К' возникнет
12*
Рис. 6.1. Диаграмма Минковского, поясняющая
появление плотности заряда в системе К' у про-
проводника с током, плотность заряда в котором в си-
системе К равна нулю. В проводнике суммарная
плотность заряда, обусловленная зарядами ионов
и электронов, равна нулю. Ток создается движе-
движением электронов, ионы неподвижны. На рисунке
мировые линии ионов изображены пунктирпыми
прямыми, а мировые линии электронов — наклон-
наклонными сплошными линиями. Кроме системы отсчета
К (оси х, х) отмечена и система отсчета К' (оси
ж', т'); проведена также масштабная гипербола,
отмечающая единичные отрезки на исях х и х'.
Так как плотность заряда должна определяться
во всех точках одновременно, то ее нужно опре-
определять для всех точек тела на оси ж или х' соответ-
соответственно. Видно, что если единичный отрезок в си-
системе. К содержит равное число ионов и электро-
электронов, то единичный отрезок в К'содержит больше
ионов, чем электронов. Это и означает появление
положительной плотности заряда в системе А"'.

180 ТИОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
электрический дипольный момент, которого в системе К не
было (см. § 6.9 и рис. 6.4).
§ 6.3. Тензор электромагнитного поля. В электродинамике
напряженность электрического поля Е и магнитную индукцию В
удобно выражать через векторный и скалярный потенциалы А
и ф по формулам *)
B-^rotA, Е--- — gradcp — dA/dt. F.25)
Перепишем эти формулы, используя комнонепты 4-потенциала,
причем будем выписывать пока соотношения для комплексного
4-пространства:
ду dz - dXi дхз , (b
дЧ= длх _ с дФ4 ЗФ, .„ ( дФ4 «ЭФ,
—- —- ic'c^
F.27)
Последние члены в равенствах F.26) н F.27) записаны па осно-
основании определения компонент 4-потенциала. Аналогично, исполь-
используя компоненты Ф, можно записать и остальные компоненты век-
векторов 1С и В. Мы получим формулы, аналогичные F.26) и F.27),
из которых следует, что все компоненты векторов _?' и В можно
выразить через некоторые комбинации производных от компонент
4-вектора Ф по четырехмерным координатам. Эти комбинации
образуют антисимметричный 4-тензор второго ранга **)
F'fc!=c(-T§T—1ST) С*'2, 3,4). («.28)
Прежде чем обсуждать математические особенности и смысл
выражения F.28), мы должны остановиться на том, как выглядит
этот же самый нереход в случае действительного 4-пространства.
Как мы указывали, в этом случае уже приходится различать ко-
и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Тензор
электромагнитного поля F.28) удобнее записать в ковариантных
компонентах. Тогда, если контранариантными компонентами век-
вектора Ф были компоненты (Ф°, А), то ковариантпыми компонентами
*) В предыдущих главах мы обозначали буквой В отношение скорости
коордипатпой системы к скорости света. Здесь пам пеобходюго ввести вектор
В — .магнитную индукцию и ее проекции Вх, Ву, Bz. Во избежание недоразу-
недоразумении в формулах перехода в этой главе мы по будем использовать обозна-
обозначение В = Vic, за исключением случаев, где недоразумения исключены.
**) Как и м большинстве книг, где излагается релятивистская электро-
электродинамика, мы используем индексы ink, посмотря на то что рядим то и дело
появляется мнимая единица, тоже обозначаемая через г. Нужно надеяться,
что это не вызовет недоразумений у читателя.

jj 6.,'lj ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 181
будут (Ф°, — А). Дифференцирование по контравариаитным коор-
координатам приводит снова к ковариантным компонентам (см. Прило-
Приложение I, § 8). Таким образом, F.26) меняет только знак, a @.27)
запишется, если иметь в виду, что ф —- сфп, Ах — — Ф,, t — х°/с,
х = х1, так:
, с
Таким образом, в случае действительного 4-пространства мы вво-
вводим копариантный антисимметричный 4-теизор второго ранга:
по внешнему виду совпадающий с F.28). Смысл введения F.28)
или (В.28') очень примечателен. Два максвелловских вектора поля
_Е и В в 4-пространстве могут быть выражены едипым образом
через некоторую комбинацию пространственно-временных произ-
производных от 4-вектора потенциала Ф. Для пас самым существенным
является поведение величин Fih при переходе от одной ИСО к дру-
другой. Но их преобразование находится совсем просто: величины
Fih образуют тензор, поскольку нетрудно убедиться в том (см.
Приложение I, § 3), что производные от компонент 4-некторов
по координатам преобразуются по правилу преобразования тен-
тензоров. Если индексам i и к в F.28) и F.28') придать независимо
все значения от 1 до 4 (и от 0 до 3 соответственно), мы получим 16
значений Fik (четыре из которых равны пулю), выраженных через
компоненты JE и В. Запишем эти компоненты в виде матриц:
/ 0 сВг -сВу -гЕх\
Г I — сВг 0 сВх —1Е„ \ . .
F.29)
0
-еВг
сВу
1ЕХ
0
-сЕх
— сЕц
— сЕг
сВг
0
— сВх
iEy
сЕх
О
сВг
-сВу
-сВу
сВх
0
i-F-z
сЕу
-сВг
0
сВх
— '&х
— iEy
lh2
0
сЕ2
сВ„
-сВх
0
Мы видим, что компоненты напряженности электрического
поля и магнитной индукции являются компонентами одного 4-тен-
зора электромагнитного поля. Как обычно, в обозначении Fih
первый индекс, i, указывает строку, а второй, к,— столбец ма-
матрицы Fih.
Часто для сокращения тензор F.29а) записыиают в виде
% - (сВ, — iK) *), а тензор F.296) — в виде % -- {К, сВ),
*) В гл. 5 готической буквой д обозначаются компоненты 4-силы.
В этой главе ата же буква используется исключительно дли обозначения
тензора.

182 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
подразумевая при этом расположение компонент векторов Е и В,
принятое соответственно в F.29а) и F.296).
Результат, который мы получили, непохож на привычную
трехмерную картину. В теории Максвелла говорят обычно о век-
векторах поля. Действительно, векторы Е и В являются 3-векторами,
пока речь идет лишь о преобразовании системы координат (т. е. о
поворотах координатной системы). Как только мы переходим
к системам отсчета, находящимся в относительном движении,
картина резко меняется. В 4-пространстве Е и В уже пе векторы,
даже не четырехмерные. Хотя векторы Е и В выражаются через
компоненты четырехмерного потенциала, но сами по себе трех-
трехмерные векторы Е и В нечем дополнить до 4-векторов. В 4-нро-
странстве электромагнитное поле представляет собой единую ве-
величину, более сложную по своей математической природе, чем
4-вектор. Поля Е и В слились в один 4-тензор, который называется
тензором электромагнитного поля.
Появление одного 4-тензора вместо двух трехмерных векто-
векторов, описывающих электромагнитное поле, имеет ясный физи-
физический смысл. Электрическое и магнитное ноля неразрывно свя-
связаны между собой, а «появление» или «исчезповение» одного из
полей просто связано с выбором системы отсчета. Например,
«чистое» электрическое поле, порождаемое зарядом, возникает
в очень специальных условиях, когда заряд рассматривается
в той системе, где он покоится. Однако в любой другой инерциаль-
ной системе этот заряд уже движется и, следовательно, образует
электрический ток, который создает магнитное поле. С другой
стороны, мы видели, что если по проводнику идет ток и провод-
проводник в некоторой системе отсчета представляется нейтральным, то
в других инерциальных системах отсчета он представляется ja-
ряженным, и, следовательно, в этих системах появится электри-
электрическое поле.
Таким образом, достаточно, например, чтобы в системе К
было лишь электрическое поле, чтобы в любой другой системе К'
появилось еще и магнитное. Если в системе К есть только маг-
магнитное поле, то в любой другой системе К' появится и магнитное,
и электрическое поля. Именно этот физический факт нельзя отра-
отразить в математическом анпарате, если ноля Е и В мы попытались
бы сохранить как векторы. Мало того, что трехмерные векторы
электромагнитного поля нечем дополнить до 4-векторов. Но, кро-
кроме того, если бы каждый из векторов Е и В входил в «свой» 4-
вектор, то при преобразованиях Лоренца каждый из векторов
в «новой» системе выражался бы через компоненты «своего» век-
вектора в «старой». Тем самым, векторы Е и В оказались бы не свя-
связанными между собой. Опыт, однако, указывает на тесную связь
между электрическим и магнитным полями, т. е. между векто-
векторами Е и В.

§ 0.3] ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 183
Два трехмерных вектора обладают шестью независимыми ком-
компонентами. Антисимметричный 4-тензор второго ранга как раз
обладает шестью независимыми компонентами. Мы как раз и об-
обнаружили в (G.29 а, б), что ноля Е и В составили антисимметрич-
антисимметричный 4-тензор — тензор электромагнитного поля. Поскольку лю-
любая компонента тензора в иовой системе отсчета есть линейная
комбинация всех компоыепт тензора в старой системе отсчета, то
при переходе от одной системы отсчета к другой электрическое
поле может появиться за счет того, что в другой системе было
только магнитное поле, и наоборот. В известпом смысле электро-
магпитное поле является замкнутым образованием: если в какой-
то инерциальной системе нет ни электрического, ни магнитного
поля, то электромагнитное поле не возникает ни в какой другой
иперциальной системе. Преобразованием компонент электро-
электромагнитного поля мы займемся в следующем параграфе, а сейчас
коротко остановимся па описании электромагнитного поля в ве-
веществе.
Для описания поля в веществе, кроме средних полей Е и В,
необходимо ввести еще два вектора. В качестве этих векторов
можно взять либо векторы электрической ипдукции D и напря-
напряженности магнитного поля -Н", либо вектор электрической поляри-
поляризации JP и вектор намагничения М. Четыре последних вектора
связаны между собой соотношениями
~М. F.30)
Векторы И и Г) образуют свой особый тензор, компоненты ко-
которого принято обозначать буквой fik, а сам тензор сокращенно
обозначают f = (Н, —icD). Этот тензор получается из F.29а) за-
заменой компонент сВ на компоненты И, а компонент —iE на ком-
компоненты —icD. Выпишем матрицу компонент этого тензора:
@ Нх -Ну -UDS\
-HL 0 Нх -гоЛ
Ну _Ях 0 -U
icDx tcDy icDz 0
Наряду с тензором f полезно ввести еще тензор электрического
и магнитного моментов вещества, определение которого легко
следует из F.30):
/Fik-fih. F.32)
о
Сокращенно его обозначают так: Ш — {31, icP). В развернутой
форме:
@ Мг —Му icPx
— Mz О Мх icPu
Mv -мх о J
— icPx —icPy —icPz

184 ТИОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
Уже сам факт возникновения тензоров F.29), F.31) и F.33) ука-
указывает па тесную попарную связь величин _Е, В; H,Du M, Р. Мы
выписали здесь тензоры jih и mik лишь для 4-комплексного про-
пространства; соответствующие выражения для действительного
4-пространства читатель беа труда паиишет сам.
§ 6.4. Преобразование компонент электрического и магнитного
нолей. Особое удобство четырехмерного подхода состоит в том,
что, коль скоро определена математическая природа той или иной
физической величины (скаляр, 4-вектор, 4-тензор), вопрос о ее
преобразовании при переходе от одной ИСО к другой решается
автоматически. В механике мы имели дело с 4-векторами. Ком-
Компоненты полей Е и И, II и ТУ и М и 2*, как мы установили, яв-
являются компонентами тензоров F.29а, б), F.31) и F.33) соответ-
соответственно.
Следовательно, компоненты трехмерных векторов преобра-
преобразуются по правилу преобразования компонент тензора. Например,
для компонент Fih в 4-комплексном пространстве формулы пре-
преобразования запишутся так:
Fik = aimahlF'mi, F.34)
где aim — компоненты матрицы преобразования Лоренца B.41а),
а компоненты F,k определяются согласно F.29а). Преобразуя
компоненты матрицы F.296), нужно взять матрицу преобразова-
преобразований Лоренца в форме B.416).
Здесь следует сделать чисто методическое замечание. Часто
в лекционном изложении избегают введения тензоров, чтобы не
усложнять курс. Действительно, объяснить смысл введения тен-
тензоров и их особенности, скажем, за полчаса дело мудреное.
Однако электромагнитное поле — :>то тензор, и от этого уйти ни-
никуда нельзя. Возникает старый вопрос: «не назвать ли нам кошку
кошкой» сразу? Конечно, дело не в названии, а в формулах преоб-
преобразования F.34). Эти формулы можно и, вероятно, нужно полу-
получить максимально простым способом. Их легко получить, напри-
например, так: из F.28) ясно, что величины Fih представляют со-
собой линейные комбинации производных компонент 4-вектора по
4-координатам; преобразование производных компонент вектора
при преобразовании координат следует из элементарного анализа
(см. Приложение Т, § 3).
Для запоминания правила преобразования компонент тензо-
тензоров полезно помнить, что они преобразуются как произведение
соответствующих компонент векторов. Так или иначе, мы полу-
получаем формулы F.34). И здесь все же самое время назвать тензор
тензором, раскрыв, разумеется, смысл компонент тензора не-
несколько односторонне — как производных компонент векторов
по координатам.

§ 6.4] ПРЕОГ.КЛНОПАНИЕ КОМПОНЕНТ Е И Я 185
Покажем на примере, как находятся формулы иреобразования
полей. Найдем формулу преобразования для В г =- Fl2/c. Формула
преобразования Ь\% согласно F.34) имеет вид
^12 "~ «lm«2i^mC F.35)
Напомним, что здесь подразумевается суммирование по двум
независимым парям индексов т и I, каждый из которых изме-
изменяется от 1 до -1. Таким образом, в сумму F.35) входит шестнадцать
членов, каждый из которых содержит произведешь днух a,ih и
одной из компонент Fih. Очень рекомендуем читателю, который
впервые сталкивается с такими формулами, выписать (один раз
в жизни!) все шестнадцать членов. Удобнее всего это делать так.
Сначала разворачиваем сумму, скажем, по т, придавая т значе-
значения 1, 2, 3, 4. Индекс I но-нрежнему означает суммирование. Мы
получим сумму из четырех членов, в которой уже индекса т
не будет. Затем в каждом из этих четырех членов произведем сум-
суммирование по I. В итоге все шестнадцать членов будут выписаны.
Затем в эти члены нужно уже подставлять а^ из матрицы Ло-
репца (см. B.11а)) и компоненты Fik из F.29а). Вы сразу обнару-
обнаружите, что большинство членов суммы F.35) равно пулю. Поэтому
суммирование в F.35) фактически можно производить значитель-
значительно проще. Действительно, а1т при т, изменяющемся от 1 до 4,—
ото просто элементы цервой строки матрицы Лоренца (см. B.41а)),
а сс2; при I — 1, 2, 3, 4 — это элементы второй строки матрицы
Лоренца. Но в первой строке матрицы отличны от пуля только-
элементы ап и сс14. Следовательно, нужно брать для т лишь зна-
значения 1 и 4. Во второй строке отличен от нуля только элемент а22 —
— 1. Следовательно, дли I нужно взять только значение I = 2
и вместо F.За) можно написать"
Fi2 = cBz = a.2ialmF'm2 = aimF'mo — ссц^Ь-г «14^42 =
eB'*+TEV
Сопоставляя второе и последнее равенства в последней цени ра-
равенств и сокращая на с, получим
г у 1_И2.'С2
Аналогично получаются формулы преобразования остальных ком-
компонент. Запишем их имеете:
Ех = Е'х, Ёв - Г (Е'у + 1Ж), Ёг ~ Г (Е'г ~ VBy); ^

486 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
Выпишем для дальнейшего также формулы преобразования
для D и Н:
F'37)
В точности те же самые результаты F.36) и F.37) получатся, ко-
конечно, и в действительном 4-пространстве. Мы не будем больше
упоминать о нем, поскольку, во-первых, все равно впредь мы бу-
будем пользоваться окончательными формулами, а они одинаковы;
во-вторых, существенное различие содержалось лишь при поре-
ходе к (С.27) и F.27'). Далее все уже просто.
Из формул F.36) видно, что при переходе от одной инерциаль-
ной системы отсчета К' к другой К все векторы поля меняют свою
величину и направление. Неизменными остаются только «про-
«продольные компоненты», т. е. компоненты по направлению относи-
относительного движения (вдоль оси х).
Разобьем электрическое и магнитное поля Е и В на составляю-
составляющие, параллельные и перпендикулярные направлению движения
(единичные векторы i, j, к направлены по осям я, у, z соответ-
ствеппо), например:
Заметив, что вектор скорости V координатной системы К' имеет
компоненты (V, 0, 0), получим
I VB] =
V О О
в; у, к
= - jVB't-i-kVB'v = V{- jB'z + kB'y),
Тогда формулы F.36) можно переписать в векторной форме:
Здесь, может быть, уместно напомнить, что все выражения
вида [F-4]|| равны нулю, а выражения вида [F-4.]jl совпадают с са-
самим векторным произведением для любого Л. Формулы обратного
преобразования получаются заменой штрихованных величин па
лештрихованные и наоборот, а также изменением знака у V:

§ 6.4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ Е И Н 187
Для нерелятивистских скоростей Г ~ 1, и мы получаем из
F.38)
E = E' + [B'V], B = B'-~\E'V]. F.40)
Здесь введены обозначения: Е = Е\\ + -Б± иВ=Вц + Вх. Фор-
Формулы обратного преобразования от К к К' получаются, как всегда,
заменой штрихованных величин на негатрихованные и наоборот
с одновременным изменением знака у V:
^ F.41)
В заключение выпишем формулы преобразования для D и IT.
Можно не проделывать выкладки, а вспомнить, что мы получили
формулы преобразования для компонент тензора % — (сВ, —i'E),
а теперь нас интересуют такие же формулы для тензора f —
— (Н,—icD). Для соответствующих компонент получим вместо
F.39)
а для нерелятинистских скоростей, когда Г ~ 1, вместо F.41)
получим
Z>' = 7> + 4rtFJ/l, H' = H-[VD\. F.-53)
Допустим, что в системе К' магнитное поле В' = 0. Тогда
в системе К связь менаду Б и В оказывается очень простой. Заме-
Заметим прежде всего, что WE] = [VEL], поскольку WЕ\\] = 0. Из
F.38) получим
F-44)
58 =^[Г.^„ ^
Если же в системе if' равно нулю поле Е' или в системе К равно
нулю Е, то, аналогично,
. F.45)
В обоих случаях в любой инерциальной системе поля оказы-
«аются взаимно перпендикулярными. Как из релятивистских
формул F.38), так и из приближенных формул для малых ско-
скоростей F.41) вытекает, что если в одной из систем (скажем, К)
электрическое или магнитное поле равно нулю, то во всех других
инерциальных системах отсчета электрическое и магнитное поля
перпендикулярны друг другу. Этот же самый результат можно

188 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [.ГЛ. 6
получить, используя инварианты преобразований Лоренца (см.
§ 0.5).
Если в системе отсчета К' поля 1-У и В' взаимно перпендику-
перпендикулярны, то существует система отсчета К, в которой одно из полей
исчезает. В § 6.5 будет показано, что преобразования Лоренца
оставляют выражение с2 В2 — Е'2 инвариантным. Следовательно,
если в К' удовлетворяется условие с'2В'2 — Е'2< 0, за счет вы-
выбора системы отсчета можно получить чисто электрическое поле,
а если r\S'2 — Е'г >0 — чисто магнитное. Покажем, как нахо-
находится скорость V системы отсчета К. Пусть эта скорость в слу-
случае с"В'г — Е''2<_ 0 перпендикулярна В', а в случае с2/?'2 — Е'2 >
>0 перпендикулярна Е'. Тогда соответственно в первом случае
В\\ — 0, а во втором ~Е\\ — 0. Остается добиться в первом случае
В L -= 0; для этого требуется выполнение условия (см. F.38))
Умножив обе части итого выражения векторно на Е' и прини-
принимая во внимание соотношения [V Е']^ ¦-¦ \VE'1\L — \V E'L],
\Е' [VE'1\\1 — V Е"г, В\ —В', для скорости системы отсчета V
получим
V =- — (с2/Е'2) [ ЕВ]. F.46)
Аналогично, но втором случае нриходим к формуле:
V ~(\;В'*)[Е'В']. F.47)
Всегда можно найти такую иперциальпую систему отсчета,
к которой электрическое и магнитное ноля в данной точке парал-
параллельны друг другу (см., однако, замечание о световых волнах
в конце § 6.5). Очевидно, что если существует одна такая
система, то существует и бесчисленное множество систем, обла-
обладающих этим же свойством. Действительно, в любой инерциаль-
пой системе отсчета К', движущейся равномерно и прямолинейно
относительно К по направлению, совпадающему с общим направ-
направлением Е и В, поля Е' и В' останутся параллельными, потому что
компоненты полей, направленные вдоль движения, пе изме-
изменяются.
Чтобы найти хотя бы одну систему, в которой поля параллель-
параллельны, поступим следующим образом. Допустим, что в системе К
поля параллельны, т. е. [ЕВ\ — 0. Направим скорость системы
К' (в которой поля Е' и В' уже не будут параллельными) пер-
нендикулярно полям Е и В; направление скорости V примем
за ось х, х' (рис. 6.2). Тогда Ех -- Вх — 0 и равенстно пулю век-
векторного произведения эквивалентно равенству ЕуВ2 — EZBU — 0.
Подставляя в ото равенство значения компонент Е и В, выра-
жеппые через компоненты ТУ и В' согласно F.36), мы придем

=! 6.5] ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 189
к уравнению
Из этого уравнения можно определить по заданным полям Е'
и В' скорость системы I". Если принять во внимание, что согласно
(G.86) Е'х — В'х -—- 0, то мы сразу
можем найти и направление ско- К К Е S
рости V относительно Е' и В'.
Действительно, [Е'В'\— г (E'VB'7 —
— E'zBy), a V — V-i, и поэтому
можно, решая приведенное выше
уравнение, записать
1-|..K2/C2 " c2fi'2-j-?, * V'"/
г Рио. (i.2. Переход к системе отсчета К,
1 ем СаМЫМ, НО задаПИЫМ векторам р которой электрическое и магнитное
Е' И в' В СИСтеме К' МОЖНО ПайТИ П0ЛЯ 0""a"B^TC" »яРалле.пьными.
систему К, в которой Е и Л будут
параллельны. Направление скорости этой системы совпадает
с направлением [Е'В'\, а величина скорости является одним
из корней квадратного уравнепия F.48). Разумеется, из двух
корней F.48) выбирается тот, для которого 1'<; с. Случай
Е'В' — 0 разобран выше: перейти к параллельным полям здесь
ужо нельзя, зато можпо перейти либо к чисто магнитному, либо
к чисто электрическому нолю.
§ 6.5. Инварианты электромагнитного поля. Хотя нри преоб-
преобразованиях Лоренца напряженность электрического поля Е
и индукция магнитного поля В меняются, существуют некоторые
комбинации этих нолей, остающиеся нри преобразованиях Ло-
Лоренца неизменными. Эти величины являются инвариантами анти-
антисимметричных 4-тепзоров второго ранга. Таких инвариантов мы
используем два (см. Приложение I. § (i):
Вспоминая определения тениороп Fih и F*k
-il-:), %*(-iE, сВ)
и принимая во внимание, что первый инвариант представляет со-
собой просто сумму квадратов всех компонент Flk, а второй — по-
попарные произведения соответствующих компонент тензоров Fik
и FU, сразу напишем /, -= 2 (с2В2 — Ег), /2 =-- — 2/с («В).
Опуская несущественные постоянные множители, можно ска-
сказать, что электромагнитное поле обладает двумя инвариантами

190 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
(мы не будем выписывать инварианты тензора ^ и смешанные
инварианты % и f, поскольку они нам не понадобятся):
1г = сгВ2 - Е\ /2 = BE.
Из наличия двух этих инвариантов вытекают следующие ре-
результаты, частью уже упомянутые выше. Если в какой-то ИСО
поля Е и В взаимно ортогональны (ЕВ = 0), то они ортогональпы
также в любой другой инерциальной системе отсчета. Если в ка-
какой-нибудь системе отсчета Е = сВ, то и во всех инерциальных
системах отсчета это соотношение сохраняется.
Отметим сразу же, что для световой волны в вакууме оба ин-
инварианта равны нулю. Эти свойства, т. е. В _!_ Е и сВ — Е, сохра-
сохраняются в любой ИСО.
Ясно, что если /2 = 0, а 1г -ф. 0, то всегда можно пайти си-
систему отсчета, в которой либо Е — 0, либо В — 0 (в зависимости
от знака /t), т. е. перейти либо к чисто магнитному, либо чисто
электрическому полю. Обратно, если в какой-то системе либо Ег
либо В равно нулю, то во всех других инерциальных системах
они будут взаимно ортогональны. Заметим, что величина BE не
является «настоящим* скаляром, так как она меняет знак при
переходе от левой координатной системы к правой и наоборот.
Истинным скаляром будет величина (BEJ.
§ 6.6. Сила Лоренца. Займемся теперь силами, действующими
на электрические заряды в электромагнитном поле. Чтобы не
усложнять изложение, ограничимся объемным распределением
зарядов *). В сопутствующей системе отсчета К', где рассматри-
рассматриваемый элемент объема покоится вместе с зарядом, на заряд дей-
действует сила только со стороны электрического поля (магнитное
поле на покоящийся заряд не действует). Сила, действующая на
заряд, заключенный в единице объема, называется плотностью
силы. Если плотпость заряда в сопутствующей системе отсчета
К' равна р0, плотность силы f определяется формулой
/' = Р,Е\
где Е' — напряженность электрического ноля в К'.
Переход к любой другой ИСО связан с изменением полей Е
и В, причем если даже в сопутствующей системе магнитного поля
пе было, а было только электрическое, в любой другой ИСО по-
появится магнитное поле. Найдем плотность силы /", выраженную
через компоненты полей Е и В в произвольной инерциальной
системе. Рассмотрим сначала случай нерелятивистских скоростей,
когда Г ~ 1; при этом условии согласно F.17) р = р0Г а? р0,
а согласно F.41) Е' = Е + WB], поэтому
F.49)
) О точечных зарядах см., например, [8], § 29.

§ 6.6] СИЛА ЛОРЕНЦА 191
Формула F.49) в последнем звене равенства определяет вели-
величину, которая обычно в электродинамике называется плотностью
силы Лоренца. Сила Лоренца определяет силу, действующую на
единицу объема, содержащего заряд, со стороны электрического
и магнитного полей в системе К, относительно которой заряд
движется со скоростью V. То, что сила /' в системе К' оказалась
равной силе / в системе К, совсем не удивительно, поскольку со-
согласно E.34) в нерелятинистском случае величина силы при пере-
переходе от одной ИСО к другой не меняется.
Конечно, формула F.49) может быть исиользована и в том слу-
случае, когда скорость движения зарядов в различных точках про-
пространства различна. В этом случае для каждого элемента объема
сопутствующая система отсчета будет своя и, соответственно, ско-
скорость V будет в различпых точках различной.
Выведем выражение для силы Лоренца еще одним способом,
который наглядно показывает, как образуется выражение F.49).
Пусть в сопутствующей системе К' есть электрическое и магнит-
магнитное поля, задаваемые векторами Е' и В'.
Представим каждое из этих полей, воспользовавшись принцн-
ном суперпозиции, в виде суммы двух полей:
Очевидно, что исходное поле представляет собой просто сум-
сумму двух полей: Е' = Е[ -г E't, В' — В[ +В'2. Однако формулы
преобразования полей I и II порознь очень просты, и это позволит
нам сразу получить ответ. В системе К'
/' = ров' = Рож;. F.50)
По первой формуле F.45) можпо сразу записать электрическое
поле I в системе К:
где Bi — магнитное поле в К. Согласно F.36) электрическое поле
II в системе К
Е2 = E'txl + Г (E'Zvj + E'2Js) ~ E'2
в том случае, когда Г ~ 1. Полное электрическое поле в К равно
сумме .7?] и Ег:
F.51)
Магнитное ноле В в системе К равно Вх ~\-В2- Составив вектор-
векторное произведение [VB] = WBj] + [VB2], мы видим иэ второй
формулы F.44), определяющей Вг. что произведение | [VB^] | ~
~ (V2fc2), и им в иерелятивистском случае можно пренебречь.

192 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РКЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
Поэтому [VBi] = Wli], и из F.51) мы получаем силу Лорен-
Лоренца F.49).
Если в системе К электрическое поле равно нулю {Е = 0),
а магнитное иоле отлично от нуля, то из F.45) следует, что Е' =
— ll^B'l; таким образом, сила Лоренца, которая выглядит в К
как сила, действующая со стороны чистою магнитного поля, в со-
сопутствующей системе К' выглядит как сила, действующая со сто-
стороны чистого электрического поля. На этих примерах еще раз
видно единство электромагнитного ноля и относительность его
разделения на электрическое и магнитное поля.
Здесь уместно сказать два слова о силовых линиях поля.
В каждой системе отсчета векторному полю можно сопоставить
семейство векторных силовых линий. Формально эти линии опре-
определяются как кривые, касательпые к которым в каждой точке
совпадают с направлением вектора ноля в этой точке. Силовые
линии — полезное вспомогательное понятие, позволяющее нагляд-
наглядно представить характер поля. По, в отличие от представлений
прошлого века, этим линиям никто ужо не придает физического
смысла.
Допустим, что движется заряд или ностояппый магнит. Стоит
ли говорить, что вместе с ними движется ноле и силовые линии
этого поля?
Поле — это способ описания того, что происходит в данной
точке пространства. При движении магнита происходит просто
изменение поля в данной точке с течением времени. И все же для
движепия заряда или магнита с ностояппой скоростью говорить
о движении ноля допустимо, поскольку это поле движется вместе
с ними как целое. Скорость переноса ноля — это скорость движе-
движения заряда или магнита. Однако о движении силовых линий лучше
не говорить — скорость движения силовых линий не имеет физи-
физического смысла. Вспомогательный характер силовых линий осо-
особенно .хорошо виден из того, что для одного из полей они просто
могут исчезнуть в какой-то системе отсчета.
Для иллюстрации относительного характера сил, действую-
действующих в электромагнитном поле, разберем еще один пример. Рас-
Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому идет ток, и от-
отрицательный заряд q, движущийся параллельно этому проводнику
со скоростью V (рис. 6.3). Систему К мы свяжем с проводником,
систему К' — с зарядом. В системе К на заряд действует сила
Лоренца, обусловленная магнитным нолем и направленная пер-
перпендикулярно оси проводника. Следовательно, заряд прибли-
приближается к проводнику. По в системе К' частица покоится и магнит-
магнитное поле не оказывает действия на частицу. За счет чего заряд
может изменить свое движение с точки зрения /v'?
Здесь необходимо вернуться к микроскопическому описанию
того, что происходит в проводнике. Ток в проводнике образуется

S 6.6] СИЛА ЛОРЕНЦА 193
за счет движения свободных электронов — положительные ионы
и связапные (валентные) электроны перемещаться по проводнику
не могут. Пусть плотность электронов проводимости равна р_,
а их скорость в К (относительно проводника) равна у_. Плот-
Плотность неподвижных зарядов равна р+, а в силу нейтральности
проводника р+ + р_ = 0. Поскольку проводник нейтрален, вне
a)
Рис. 6.3. Взаимодействие заряда g, движущегося со споростью V параллельно провод-
проводнику, по которому идет ток, и тока, а) В системе К проводник покоится, а заряд и элек-
электроны движутся со скоростью V. б) В системе К' проводник движется со скоростью V
а электроны а заряд покоятся.
его электрическое поле отсутствует, и сила, действующая на за-
заряд q, обусловлена только магнитным полем:
Величина магнитного поля, создаваемого прямолинейным током
на расстоянии г от его оси, известна:
где г — расстояние от оси в плоскости, перпендикулярной па-
правлению тока; вектор В совпадает с касательной к окружности,
лежащей в той же плоскости, с центром па оси тока. Направление
вектора В определяется по правилу буравчика. Таким образом,
сила, действующая па заряд, направлена к проводнику и равна
1 21 qV
р^ _
2пт 4ле0с2 г
Ток можно выразить через скорость электронов проводимости
v_, их шютность и площадь поперечного сечения S:
откуда
Vv _ д P+S У*
Г ~~ 2яе0 г С2 —~2^ г
если для простоты будем считать равными скорости электронов
в металле и заряда q, т. е. положим V = v_.
Теперь рассмотрим ту же самую картину в системе К'. В К'
заряд q и свободные электроны неподвижны. Однако теперь уже
движутся относительно заряда q заряды, связанные с проводником,
13 в. А. Угаров

194
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. 6
плотность которых равна р+. Они создают некоторое магнитное
поле В', но оно не действует па заряд q, поскольку в К' он непо-
неподвижен. Отсюда сразу ясно, что в системе К' должно появиться
электрическое поле, потому что и в К' заряд должен отклоняться
к оси. Его происхождение легко понять из полученных нами
ранее результатов. В системе К' электроны проводимости покоятся,
К
а)
Рис. 6.4. а) В системе К плотность]) зарядов р (р = р+ + р_) равна нулю, а плотписть
тока отлична от нуля и равна J. Поэтому электрического ноля нет, есть только магнитное
поле В. б) В системе К' возникает плотность зарядов р', а плотность тока становится рав-
равной j'. Магнитное поле равно В', но, кроме него, появляется и электрическое поле ?'.
поэтому р- = Гр1 (см. F.17)). В системе К' положительные заря-
заряды, связанные с проводником, движутся со скоростью —V, по-
поэтому р^ = Гр+ (в К эти заряды покоились). Результирующая
плотность заряда р' в К' равна р'+ -\- pi, поэтому
р' = р_/Г + Гр+ = Р+ (Г - 1/Г) = ГР+Й2,
где учтено, что рг = — р_; эта формула совпадает с F.24). Следо-
Следовательно, движущийся проводник заряжен положительно с объем-
пой плотностью р'. Но электрическое поле однородно заряженного
цилиндра также известно из курса электродинамики. Оно лежит
в плоскостях, перпендикулярных оси цилипдра, и направлено
по лучам, исходящим из оси цилиндра. Его величина
j-,i p'S p+iSFB2
2Я80Г 2Я80Г
Это значит, что сила, действующая на отрицательно заряжен-
заряженный заряд q, направлена к проводнику, а ее величина в К' равна
" -ГВ2.
* —<" - 2Я8О
Сравнивая этот результат с F.52), мы видим, что в нерелятн-
вистском приближении (Г ~ 1) эти силы равны. Вспоминая, что
силы преобразуются согласно E.34), мы обнаруживаем, что оба
способа описания наблюдаемого явления дают одинаковые резуль-
результаты при любой скорости V. Результаты, относящиеся к полям
в системах К и К', пояснены на рис. 6.4.

S 6.6] СИЛА ЛОРЕНЦА 195
В заключение отметим, что все результаты, касающиеся сил,
действующих на объемные заряды со стороны электромагнитного
поля, получаются совсем просто, если плотность силы Лоренца
F.49)
/ = p{E + [vB)}
записать в четырехмерпой форме. Чтобы перейти к четырехмерной
записи, перепишем компоненту силы Лоренца по оси х так:
4" (*"«** + *"i A + FusJ = i- Fihsh.
В этой цепи равенств учтено, что
i
р=—— s4,
12
Аналогичные выражения получаются для f,,—fz и /z = /3.
Отсюда яспо, что 4-вектор плотности силы, действующей на за-
заряд в электромагпитпом поле, который мы будем обозначать через
/, имеет компоненты *)
Fs F.53)
Мы уже подчеркивали, что разделение сил, действующих на
заряд со стороны электрического и магпитпого полей, па части
р_Е и р [vB] относительно. Обе :>ти силы составляют единое целое
и, естественно, сливаются в одно четырехмерное выражение F.53).
Первые три комионенты плотности, как мы видели, дают обыч-
обычное трехмерное выражение F.49). Найдем четвертую состав-
составляющую:
U = -7 F4*s* =-¦ Т (^4iSi 4- Fuat + Fi3s3) = 12- (vB).
Величина р (vE) имеет простой смысл, который сразу раскры-
раскрывается, если обе части равенства F.49) умножить скалярно на v.
Принимая во внимание, что [vB] v = 0, получим
Левая часть последнего равенства продстаиляет собой мощ-
мощность силы Лоренца в единице объема (силы, действующие со
*) Нужпо надеяться, что читатель не забудет о том, что буква F с двумя
индексами внизу — это компонента тензора f. Комионенты 4-плотпости силы
имеют один индекс пнизу.
13*

196 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА Н РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
стороны магнитного поля, работы не совершают):
Таким образом, мы пришли к 4-вектору плотности силы, ком-
компоненты которого мы выпишем вместе:
-* ( h h /з /4 1
Рассмотрим силу, действующую на единицу объема, содержа-
содержащего заряд р0, со стороны электромагнитного поля, в сопутствую-
сопутствующей заряду системе отсчета К0. Тогда / (р0Е', 0). Если перейти
к любой другой системе отсчета К, то
Здесь получены формулы для плотности силы в системе К,
выраженные через поля в системе К'. Обычно плотность силы вы-
выражают через величины, отнесенные к той системе, в которой опре-
определяется и плотность силы. Если воспользоваться F.17) и F.36),
то для нерелятивистских скоростей (пренебрегая членами V^lc2)
получим /"(р (Е + [ГВ)), Не р (Ev)).
В заключение выпишем уравнение движения заряженной ча-
тицы в четырехмерной форм е:
^ 'л F-55)
§ 6.7. Ковариантность системы уравнений Максвелла. Уравне-
Уравнения Максвелла исчерпывающим образом определяют поведение
электромагнитного поля. Они были написаны задолго до возник-
возникновения теории относительности и, конечно, до того, как были
найдены преобразования Лоренца. Согласно принципу относи-
относительности вид уравнений Максвелла должен оставаться неизмен-
неизменным во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно,
уравнения Максвелла должны быть ковариантными относительно
преобразований Лоренца. Оказалось, что система уравнений Макс-
Максвелла в том самом виде, в котором она была написана ее создате-
создателем, удовлетворяет этим требованиям. Для того чтобы установить
зто, необходимо систему уравнений Максвелла, записываемую
обычно в виде системы трехмерных уравнений, переписать в четы-
четырехмерной форме. Этим мы сейчас и займемся. Как известно, систе-
система уравнений Максвелла имеет вид
divD = p; (б) F.56)
divB = 0. (б) F.57)
(a)
votE=— В, (а)

( 6.7] КОВАРИАНТНОСТЬ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 197
Мы разбили уравнения на две строчки, объединив уравнения
для средних значений электрического и магнитного полей Е и В
и уравнения для вспомогательных векторов Н и Т).
Чтобы записать уравнения F.56) и F.57) в четырехмерном виде,
нам понадобятся тензоры F.29а) и F.31); мы используем также
определение 4-вектора плотности тока F.12а). Заметим, кстати,
для будущего, что в вакууме тензоры ^ и f связаны соотношением
F-58)
Уравнения F.56), естественно, могут быть выражены через тензор
F.31), а уравнения F.57) — через тензор F.29а).
Рассмотрим аг-компоненту уравнения F.56а):
Вспоминая, что согласно F.12а) )х = sl5 и иснользуя первую стро-
строку F.31) наряду с определениями xt — х, х2 = у, х3 = z, х4 = ict,
мы перепишем F.59) в виде —р^ р$- —Jii. = _ Sj, для двух:
G#2 U&Q CfX^
других компонент мы получим аналогичные выражения, которые
можно в общем виде записать так (г = 1, 2, 3):
(суммирование по к от 1 до 4). Легко убедиться в том, что при i = 4
мы получаем F.566). Таким образом, уравнения F.56) переписы-
переписываются в виде F.60), но уже через компоненты 4-тепзора F.31).
Рассмотрим теперь четверку уравнений F.57). Например,
ж-компонента уравнения F.57а) перепишется так:
Воспользовавшись тензором F.29а), можно переписать F.61)
следующим образом:
Нетрудно обнаружить, что последовательные слагаемые в F.62)
получаются циклической перестановкой трех индексов в каждом
предыдущем слагаемом. Однако структура уравпепия F.62)
станет совершенно прозрачной, если ввести тензор F% дуальный
тензору Ftk (см. Приложение I, § 6):
Fh = у eiklmFlm, F.63)

198 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
где eihlm—совершенно антисимметричный единичный 4-тензор
четвертого ранга. Легко убедиться в том, что дуальный тензор
F*k отличается от тензора Fik лишь перестановкой компонент
мнимой и действительной частей:
или в развернутой форме:
О —iEz iEy cBx\
iE, 0 — iEy. сВ„ \
• F.65)
¦iby iEx О сВг I
сВх —сВу —сВг О /
Используя этот тензор, пару уравнений Максвелла F.57) можно
записать в четырехмерной форме так:
dF*k 0. F.66)
dxh
Убедимся в том, что F.66) соответствует четырем уравнениям
F.57).
Уравнение F.66) содержит в себе четыре уравнения (i = 1, 2,
3, 4). Рассмотрим, например, уравпепие для i — 1:
dF\k _ dF^ dFfy , dF*3 . 8F*, _ _ . 8EZ . дЕу . д (сВх) ^
dxfc dxi dx% dx$ dx^ dy dz ' д (ict) '
или, иначе,
^_i?v.= _J^., T. 0. (ШЩХ=-(В)Х.
dy dz dt \ /x \ ix
Уравнение F.66) при i = 2, 3 дает две остальные компоненты урав-
уравнения rot .Е — — В. Остается лишь уравнение ci = 4:
_ dFtt . gf?2 | dFts dF*t ^ д(сВх) д (сВу)
dxi ' 9ж2 ' дх3
dxh dxi ' 9ж2 ' дх3 dx,t дх ду dz
мы получаем уравнение F.576): div В — 0. Таким образом, F.66)
содержит в себе уравнения Максвелла F.57).
Довольно часто выражают уравнения F.57) непосредственно
через тензор Fik. Нам такая запись понадобится, поэтому мы при-
приведем и ее. Уравнения Максвелла F.57) с равным нравом можно
записать как в форме F.66), так и в виде уравнения, одно из кото-
которых мы получили в F.62):
В уравнении F.67) суммирования нет. Из четырех возможных зна-
значений индексов i, к, I выбираются три разных (читатель убедится,
что если выбрать два из этих индексов одинаковыми, то, прини-
принимая во внимание антисимметрию тензора % (Fik = — Fhi),

( 8.8] УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 199
можно обнаружить, что соотношение F.67) превратится в тожде-
тождество). Как видно из структуры F.67), распределение выбранной
тройки чисел между индексами i, к, I несущественно. А это озна-
означает, что фактически в F.67) содержится число независимых урав-
уравнений, равное числу сочетаний из четырех индексов по три С\ =
= С\ = 4. Убедиться в том, что из F.67) следуют четыре уравне-
уравнении F.57), мы предоставляем читателю.
Теперь уже доказать ковариаптпость уравнений Максвелла
совсем нетрудно. Мы убедились в том, что они могут быть запи-
записаны в виде F.60), F.66) или F.60), F.67). Но F.60) и F.66) пред-
представляют собой соотношения между 4-векторами, поскольку в При-
Приложении I, § 5 доказано, что выражепие д}^1дхк представляет
собой вектор. Отличие F.60) от F.66) состоит лишь в том, что в пра-
правой части F.66) стоит нулевой вектор. Что касается F.67), то
это соотношение явно записано в тензорной форме и поэтому
ковариантно. Таким образом, уже из одной четырехмерной формы
записи уравнений Максвелла видна их ковариантность.
Но система уравнений Максвелла не исчерпывается уравне-
уравнениями (Г>.ГN) и F.57). Закон сохранения заряда мы уже записали
в копа риантной форме (см. стр. 176). Нам осталось лишь переписать
в кокариантной форме «материальные уравнения».
§ 6.8. Уравнения Минковского для движущихся сред (преобра-
(преобразование материальных уравнений). В предыдущем параграфе мы
убедились в том, что система уравнений Максвелла F.56), F.57)
сохраняет свой вид во всех инерциальных системах отсчета. Одна-
Однако уравпения Максвелла позволяют дать однозначную картину
электромагнитных явлений лишь в том случае, когда заданы
материальные уравнения, характеризующие ту среду, в которой
разыгрываются электромагнитные явления. Как обычно, назовем
систему отсчета, в которой среда (или участок среды) покоится,
сопутствующей системой. Для однородной изотропной среды
материальные уравнения в сопутствующей системе имеют вид
D' = tE', F.68)
F.69)
F.70)
причем диэлектрическая проницаемость е, магнитная проницае-
проницаемость и, и проводимость а являются константами. Пусть рассма-
рассматривается движение среды относительно «лабораторной» системы.
В системе, сопутствующей среде, справедливы уравнения Макс-
Максвелла для неподвижной среды. В силу принципа относительности
материальные константы е, \х, а должны быть одинаковыми как
для неподвижпой среды в «лабораторной» системе, так и в системе
отсчета, сопутствующей среде. Поскольку известны формулы пре-

200 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
образования векторов _Е, В, Н иХ>, можно записать связь между
ними в любой другой инерциальпой системе, отличной от К'.
Выпишем нужные формулы преобразования, разбив их на
продольную и поперечную (по отпотепию к скорости системы от-
отсчета V) части (см. § 6.4):
F.71)
F.71')
F.72)
F.73)
Еще раз напомним, что все выражения типа [Fu4]|| равны нулю
для любого Л, поскольку берется проекция на направление ско-
скорости, а векторное произведение перпендикулярно скорости V.
Если подставить соответствующие выражения в F.68) и F.69),
то как для продольных, так и для поперечных компонент (для
которых множитель Г сократится) мы придем к одним и тем же со-
отпошениям, которые можно объединить следующим образом:
^ F.74)
У F.75)
Уравнения F.74) и F.75) носят название уравнений Минков-
ского; е и и,, входящие в эти формулы,— это диэлектрическая
и магнитная проницаемости покоящейся среды. Существенным
отличием F.74) и F.75) от F.68) и F.69) является то, что теперь уже
в каждом из уравнений перепутываются все четыре вектора поля.
Нетрудно с помощью F.75) исключить В из F.74) и получить урав-
уравнение для трех векторов _Е, D, Н или же исключить!) из F.75),
воспользовавшись F.74).
Уравнения выглядят проще, если записать их отдельно для
продольпых и поперечных составляющих:
F.76)
Первое равенство F.77) получается из F.74), если в него
подставить выражение для В из F.75) и затем взять только
поперечную составляющую получившегося соотношения (анало-
(аналогично получается второе равенство в F.77)).

$ 6.8J УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 201
Из этих формул видно, что если в сопутствующей системе К' для
изотроппой среды векторы В и Н, а также Х> и Е совпадают по
направлению, то в других системах отсчета это уже не имеет места.
Конечно, когда речь идет о движении среды, чаще всего ипте-
ресен случай перелятивистских скоростей. Тогда, если в F.77)
пренебречь членами У^/с2 и п2У^/с2 по сравнению с единицей (п =
= У^вц/&оцо — показатель преломления среды, см. гл. 7), фор-
формулы F.76), F.77) запишутся более просто:
Р = гЕ + -±-(п*-1IГН], В = \1Н + ±-(п*-1)[ГЩ. F.78)
Эта форма материальных уравнений, записанных для движу-
движущейся среды, используется очень часто. Как это и должно быть
согласно равноправию всех ИСО в вакууме, последние соотноше-
соотношения для этого случая переходят в F.68) и F.69).
Полезно переписать материальные уравнения F.68)—F.70)
в четырехмерной тензорной форме. Мы^нестанем выводить эти урав-
уравнения, а просто выпишем их и затем проверим, что в#той системе,
где среда покоится, мы приходим к F.68) — F.70). Введем четырех-
четырехмерную скорость среды V(TV, icT), где мы пишем Г, так как ско-
скорость тела или среды V мы считаем равной скорости системы отсче-
отсчета К'. В сопутствующей системе К' 4-скорость V имеет компоненты
Щ =0, U'a= 0, С/,! = °. и* = k.
Как легко проверит читатель, тензорные уравнения
±fikUh = zFthUk, F.79)
-1 (FlhU, + FhlUt + FltUh) = |i (fihUt + fktVt +fHUk), F.80)
2 F.81)
если подставить в них компоненты V, приводят к F.68), F.69)
и F.70) соответственно.
В уравнениях F.79) и F.80) ведется суммирование по к. Всего
уравнений четыре, но для i = 4 мы получаем тождество, так что
уравнений фактически три. В уравнении F.80) нужно перебрать
все сочетания г, к и I из четырех возможных значений 1, 2, 3, 4
по три. Всего таких сочетаний С\ = 4, но сочетание 1, 2, 3 дает
тождество, и опять мы приходим к трем уравнениям, как и должно
быть. Получив правильные выражения для материальных урав-
уравнений в системе К', мы убеждаемся в правильности тензорной
записи.
Покажем применение тензорной записи на примере соотноше-
соотношения F.81). Пусть в сопутствующей системе К' (там, где среда

202 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
покоится) существует плотность тока, а плотность заряда равна
нулю, т. е. Sj (/,', /,, у,, 0). Скорость среды в системе К' есть
V @, 0, 0, ic). Найдем компоненты sj:
*; = 7 ^;&с/*=т F»iC/*=т (- ^^ (*с)=a?j''
т. е. )[ = аЕ[\ аналогично окажется, что j'2 — аЕ'^, /3' = оЕ'3.
Четвертая компонента
Но в той системе отсчета, относительно которой среда движется,
*i = -7 F*Vk = | (FaUt + Fi3U3 -;- F14C/4) = ^ (- г?"ж) гсГ = аГЯж,
*2 = -J ^й^ = т (Wi -г^24^4) = 7 (- с5зГК -! (- *?„) icT) =
так как
«7,= IV, ?/2 = ?/3-0, С74^гсГ.
Окончательный результат очевиден:
j^aTiE + lVB]), F.82)
Его смысл вполне ясен: плотность тока в среде с проводимостью
а обусловлена величиной электрического поля в этой среде, кото-
которая согласно F.41) как раз и является множителем при а, если
положить Г ~ 1.
Четвертое уравпепие определяет плотность заряда, связанную
с током проводимости:
*4 = <Фпр = 7^С4 = Т(гГ2?Г) = гГ (~^-), F.83)
или
в полпом согласии с F.24).
Тенерь следует остановиться на том, как выглядит закон Ома
для движущихся сред, т. е. материальное уравнение F.70). Мы
обнаружим, что конвекционный ток pv и ток проводимости тесно
переплетены между собой, как это сразу очевидно после объеди-
объединения j и icp в единый 4-вектор. Различие между конвекционпым
током и током проводимости обусловлено выбором системы отсчета.
Естественно поэтому, что оба тока на равных правах порождают
магнитное поле.

f 6.8] УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 203
Будем считать, что ток проводимости представляет собой дви-
движение зарядов относительно среды, тогда как конвекционный ток
возникает из-за наличия зарядов в среде благодаря движению
самой среды.
Допустим, что в некоторой системе К' есть ток проводимости
j' — аЕ' и, кроме того, нлотность заряда р'. Эти величины сов-
совместно образуют 4-ток, который может быть по формулам F.15а)
преобразован к любой системе отсчета. Выразив компоненты j
и плотность р через,/' и р' в системе отсчета К', мы получим
+-J/;). F.84)
Из первой формулы F.84) видно, что ток проводимости jx вклю-
включает в себя конвекционный ток TVp' = Vp, и поэтому он уже не
пропорционален а. Это неудобно, потому что при а = 0 ток про-
проводимости должен обращаться в нуль. Как выделить ток прово-
проводимости в общем случае? Для этого вспомним, что если в К' есть
плотность заряда р' = р0, то в любой другой системе К мы полу-
получим 4-плотность тока F.20):
F.85)
где иг — 4-скорость заряда. Этот ток следует назвать конвекцион-
конвекционным, в связи с чем в F.85) у st появился верхний индекс (к).
Допустим, что нам задан 4-ток с компонентами st; мы хотим разло-
разложить его на сумму тока проводимости и конвекционного тока. Пре-
жде всего выразим р0 через s и V. Умножив обе части st — pout
на соответствующие компоненты ut и сложив, получим shuh =
но но E.7) и% = —с2, поэтому
Ро=—^- F.86)
Следовательно, конвекционный ток может быть записан в виде
#>=—^-и,. F.87)
Чтобы получить компоненты 4-тока проводимости, нужно из ком-
понепт st вычесть компоненты F.87):
№ = 8l№ = H + mLUl. F.88)
С другой стороны, согласно F.81) величина sf* может быть запи-
записана в виде
^ F.89)
Приравняем эти выражения:
7 *'""*• F-90)

204 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. *
Вспоминая определения s (jx, /B, jz, tcp), V (yvx, yvy, yvIt icy), мы
получим в трехмерной форме
Выделим в соотношении F.91) члены, пропорциональные про-
проводимости а. Умножим левую и правую части F.9 1) на v. Вводя
обычные обозначения у и р", получим
или же
a (Ev) i
-1г
Подставляя F.92) в F.91), получим окончательно
F.93)
Таким образом, «током проводимости» можно назвать вели-
величину j'(n> =j — pv- Часто пользуются обозначением Е* для поля,
действующего в веществе, с точки зрения системы отсчета, отно-
относительно которой это вещество движется:
Е* = JE + \V В] F.94)
Тогда F.93) можно переписать в виде
JE7
* - -J (E*v)} . F.95)
Эта формула очень напоминает формулу преобразования силы
E.35). Для того чтобы переход к уравнениям электродинамики
движущихся сред был завершен, необходимо выяснить еще, как
записать граничные условия, когда грапица раздела сред дви-
движется. Условие непрерывности нормальных компонент индукции
следует из уравнений div D = 0 и div В = 0, которые, согласно
F.66) и F.60), сохраняют свой вид при переходе от одной ипер-
циальпой системы отсчета к другой. Поэтому па границе раздела
Dnl=DnU Bnl=Bni. F.96)
Что касается граничных условий для тангенциальных компо-
компонент напряженностей полей, то, рассматривая сначала сопутствую-
сопутствующую границе раздела систему отсчета К', мы имеем в этой системе
условие непрерывности тангенциальных компонент Е' и Н'. Но
с точки зрения системы К, относительно которой граница раздела
движется со скоростью г*, поля Е и Н имеют вид F.41) и F.43):
Е' = Е + [иВ], Н' = Н—\иЩ. F.97)

$ 6.9J ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ 205
Проведем нормаль к поверхности раздела п, а проекцию скорости
11 на нормаль обозначим через ип. Найдем проекции F.97) на
плоскость, перпендикулярную п. Имея в виду, что [пЕ] =
— \п, En-\-Et\ — [П-Ej], мы запишем равенство 2?ji = 2?J2b виде
\nE'ti] = \пЕ\2\, т. е.
[пЕД + \п \иВ,\\ = [пЕ2] + [п \иВ2\\,
или
[n, E2-El] = u(n(B1—B2)) + (B2—Bi) (ип).
Поскольку nBi = nB2 (согласно F.96)), окончательно получим
in, Ei-Ei\ = un(Bi-Bi), F.98)
и аналогично
in, ff2-if,]=-un(I>2-A). F-99)
Это и есть, наряду с F.96), граничные условия для векторов поля.
§ 6.9. Преобразование электрического и магнитного моментов.
Объединение электрического и магнитного моментов РиЖв один
антисимметричный тензор F.33) сразу же позволяет написать фор-
формулы преобразования компонент этих величин.
Обозначим через Р° и 3f° поляризацию и намагничение, опре-
делепные в системе отсчета, сопутствующей веществу. Тогда для
наблюдателя, относительно которого вещество движется со ско-
скоростью V, мы получим
МХ=М%, My = T(M°y + VP°2), Mz = Y{Ml-VPl),
FЛОО)
Из этих формул сразу выясняется связь между ранее введенными
трехмерными векторами JP и М. Здесь можно повторить все то,
что ранее говорилось о связи между электрическим и магнитным
полями. Как правило, намагничение всегда сопровождается по-
поляризацией, и наоборот. Лишь в специально выбранной системе
координат либо Р, либо М равно нулю. Поляризованное, но не
намагниченное тело с точки зрения наблюдателя, относительно
которого тело движется, не только поляризовано, но и намагни-
намагничено. Действительно, пусть в системе К', относительно которой
тело покоится,
0, -Р°(Р°Х,Р», Р%) ф 0.
Тогда в системе К, относительно которой тело движется со ско-
скоростью V,
р ро р рро р -про
MZ=-YVP%.

206
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. в
Следовательно, в системе К будет обнаружено намагничение тела.
Если скорость движения тела нерелятивистская, т. е. Vic <C 1 и
Г ~ 1, то
Этот эффект был обнаружен в опытах Эйхенвальда (см. [13, 29]).
Если, напротив, в системе К', относительно которой тело покоится,
Р°=0, М°(М%, Щ,
то в системе К, относительно которой тело движется со ско-
скоростью F,
Мх---Мх, Му
JLма р v JL ма (о-101)
р _п р г JL-ма р — v JL.
Следовательно, в системе К тело окажется также и поляризован-
поляризованным. Если скорость движения тела нерелятивистская, то
М=М\ Р = - [ М° Дг] .
/г
в
о)
К'
^V
-х
Это означает, например, что днижущийся постоянный магнит
несет с собой электрический момент, на чем основано используемое
в технике явление униполярной
индукции.
Приведем пример для иллюст-
иллюстрации этих выводов. Пусть по
прямоугольному контуру ABCD
течет ток, плотность которого раи-
раина /, а сам контур движется отно-
относительно системы К со скоростью
V. Снижем с контуром систему К'
(рис. С).5). Согласно формуле F.24)
на стороне ВС возникает р > О,
а на стороне AD возникает () < 0.
Очевидно, что полный заряд, воз-
возникающий на контуре ABCD, ра-
ранен нулю. Вместе с тем этот контур
обладает электрическим моментом,
направленным по оси у. Покажем, что элементарный расчет
совпадает с выводами СТО. Если в К' нет дипольного мо-
момента, а есть только z-я составляющая М, то в К согласно
F.101) возникает Ру — — Г —% М%. В системе К' прямоугольный
ток ABCD обладает магнитным моментом IS, где вектор S направ-
направлен в сторону отрицательной оси z, а по величине ранен ab, где
а н Ь — стороны прямоугольного контура. Таким образом, М% —
¦рис. в 5. Возникновение дипольного
момента у рамки с токо-и, рассматривае-
рассматриваемой и системе, отсчета К, относительно
которой ота рамка движется.

$ 6.10] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ 207
= — fab (мы считаем для простоты сечение проводника равным
единице). Нетрудно подсчитать электрический дипольныи момент,
у
возникающий в контуре. Согласно F.24) р = Г—— у?., расстояние
между ВСшАВ равно Ъ, а суммарный заряд на этих сторонах ра-
равен ра. Направление этого дипольного момента совпадает с на-
направлением оси у. Значит, Ру = pab — Г -^ аЪЦ = г"ГМ°,
как это и должно быть.
§ 6.10. Некоторые задачи, связанные с преобразованием элек-
электромагнитного поля. Поле равномерно движуще-
движущегося заряда. Магнитное и электрическое поля равномерно
движущегося заряда проще всего получить пересчетом полей от
системы К', где заряд покоится. Если точечный электрический
заряд е покоится в системе if', то в этой системе мы имеем дело
с чисто электростатической задачей и заряд создает лишь элек-
электрическое поле. Однако если рассматривать тот же самый заряд
с точки зрения системы К, движущейся относительно К' со ско-
скоростью — V, то заряд образует нрямолинейпый ток. Магнитное
поле, создаваемое прямолинейным током, хорошо известно: сило-
силовые липии такого поля представляют собой окружности, центры
которых совпадают с током; плоскости этих окружностей нор-
нормальны направлению тока. Формулы преобразования полей при-
приводят, естественно, к этим результатам.
Итак, пусть в системе К' имеется точечный заряд, расположен-
расположенный в начале отсчета. Тогда в этой системе
В 0, JS ,
4яе г
или, в проекциях на оси координат,
л;=о, Ву-о, b-z = o,
в" _ е х' F' __!_ у' я" . е г'
ах- ~ Гз» /jy —~. X' '-'г--— "з",
4яе г /те г 4ле г'
гдо г'2 _ х'2_|_у'2 _|_2'2. Согласно F.36) в системе К мы получим
ЕХ=Е'Х, Еу=^ТЕ'у, Е2 = ТЕ'2, F.102)
Вх = В'х = 0, By=-T^E'z, Bz = T^E'y. F.103)
Так как Вх — 0, то магнитное поле в системе К лежит в плоско-
плоскостях, перпендикулярных оси х, т. е. плоскостях, перпендикуляр-
перпендикулярных направлению тока. Уравнения силовых линий магнитного
поля в системе К имеют вид
By- bz>

208 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
Но
Bz Е'у у' у '
поскольку ири преобразованиях Лоренца z' = z и у' = у. Следо-
Следовательно, дифференциальное уравнение силовых линий имеет вид
¦%¦=——> или У dy + z dz = 0, т. е. d (у2 + z2) = 0. Отсюда,
очевидно, в качестве первого интеграла мы имеем уравнение ок-
окружности у2 + z2 = const. Следовательно, силовые линии яв-
являются окружностями с центром на оси тока.
Конечно, можно преобразовывать не только поля, но и потен-
потенциалы. В системе К' скалярпый потенциал равен
а векторный равен нулю: А! = 0. Если в системе К' 4-потенциал
Ф имеет компоненты [А', — ср') , то в системе К согласно F.14а)
Подставляя значения компонент 4-потенциала в системе К',
получим
Таким образом,
^ = ^-Гф' = ^-Ф, ф = ГФ\ F.104)
Теперь нужно выразить г', входящее в ф', через координаты заря-
заряда в системе^. Согласно преобразованиям Лоренца
х' =Т(х- Vt), у' =у, z' = z, F.105)
и выражение для г'2 запишется в виде
] = Рйа, г' = Г91, F.106)
где введено обозначение
(^) ). F.107)
Используя F.107), можно выразить скалярный потенциал ф, оп-
ределепный согласно F.104), через SR:
„ , г 1 е 1 е

§ 6.10] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ 209
а векторный потенциал Л представить в виде
л— — _ 1 eV
Перепишем выражения для компонент поля Е, принимая во
внимание F.102), F.105) и
F.107). Мы получим д-
e(x-Vt) \
еу
х ~~
F ег
2
лпГ, F-108)
0'
В системе К' заряд нахо- ¦% '<>"
дится в начале отсчета О'
(т р п тгшкг» г' =Ш Fin Рис- в.6. К вычислению электрического и магцит-
\i. в. u lu4ftt Л u/- J-n ч пого полей равномерно движущегося заряда.
координатами в момент t в
системе отсчета К будут
х0 = Vt, у0 -= 0, z0 = 0. Введем еще вектор R, направленный
из точки О', где находится заряд, в точку наблюдения А с коорди-
координатами (х, у, г) (рис. 6.6). Вектор К запишется в виде
R = (x—Vt)i + yj + zk, F.109)
где г, j, к—единичные векторы вдоль осей х, у, z. Умножив ком-
компоненты F.108) соответственно па *, _/ и к, мы получим
Если ввести угол О между направлением движения заряда (т. е.
осью х) и радиус-вектором JS, то
х — Vt = R cos ¦&, Л2 = Л2 cos2 * + у2 + z2
и, следовательно,
z/2 + z2 = R2 sin2-». F.110)
Учитывая F.109) и F.110), можно переписать F.107) в виде
после чего выражение для Е можно представить окончательно
в виде
1 eR Р"
Е = 'Ш'ЖТ, F2 . „п\3/2- FЛ11)
14 В. А. Угаров

210 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
В формуле F.111) электрическое поле движущегося заряда вы-
выражено в очень удобных переменных — через расстояние R от
двюкущегося заряда и угол ¦&, составляемый направлением на точ-
точку, где ищется поле, с направлением движения заряда. Из F.111)
видно, что величина поля зависит от угла ¦&. При задапном R
минимальное значение поля соответствует направлению движения
заряда (О =0, л):
1 е /л V2
а максимальное зпачепие поле имеет в направлении, перпендику-
перпендикулярном движению (•& = л/2):
Величина напряженности поля зависит от скорости движения
заряда, нричем Е$ надает, a EL возрастает с ростом скорости.
Для заряда, движущегося с релятивистской скоростью, электри-
электрическое иоле сосредоточено в двух узких телесных углах, границы
которых определены приближенно соотношением (F2sin2 -fr/c2) ~ 1;
осевая линия этих телесных углов перпендикулярна направлению
движения заряда.
Что касается магнитного поля движущегося заряда, то, учи-
учитывая, что в системе К' магнитное поле В' = 0, по формуле F.44)
для поля В в системе К найдем
i F.112)
Если скорость заряда мала, то приближенно в вакууме
1 еВ
1 e[VR] цо [еУЩ
Выражение F.113) представляет собой закон Био — Саеара.
Взаимодействие двух движущихся заря-
зарядов. Пусть два заряда е1 и е2 движутся параллельно друг другу
с одинаковыми скоростями V. Определим силу взаимодействия
между ними в той системе, относительно которой они движутся.
Пусть этой системой будет система К. Найдем силу, действующую
на заряд ех.
Со стороны заряда е2 па ег действуют электрическое и магнит-
магнитное поля. Сила, действующая на заряд ег,— это сила Лоренца:

§ 6.10] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ 211
Ft = е4 {-EJ2 + lVB2]}. Учитывая F.112), можно написать, что
iL [V \ГЗД = etl<h + -§- V (VЕа) --§¦ F2^ =
. F.114)
Для J?2 воспользуемся выражением F.111), где нужно взять
за JR радиус-вектор, проведенный от заряда е2 к заряду е15 а за
угол ¦0 —угол между It и скоростью движения зарядов V ¦ Под-
Подставляя F.111) в F.114), нолучим
VV
откуда для состав-1яющеи по направлению движения имеем
3/2
а для составляющей, перпендикулярной движению,
V2
(l-
Пусть заряды расположены на прямой, параллельной оси у,
а один из зарядов находится па оси х, так что расстояние между
зарядами равно у. Тогда г1) = л/2, Fx = 0, а
Эту формулу можпо получить совсем просто. В системе К\
где оба заряда покоятся, взаимодействие зарядов электростатиче-
электростатическое и сила взаимодействия равна exe2/4nej/2. Преобразование этой
силы при переходе от системы К' к системе К но формулам E.35) и
дает F.116). Согласно F.116) заряды отталкиваются в системе/^.
Но в системе К заряды движутся и представляют собой дна оди-
одинаково направленных параллельных тока. Такие токи, если они
текут по проводникам, притягиваются. Противоречия здесь нет,
поскольку физические ситуации различны. Рассмотрим выражение
14*

212 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 1ГЛ. в
силы F.116) в вакууме для нерелятивистских скоростей V.
С другой стороны, запишем, по Амперу, силу взаимодействия
двух элементов тока exF и e,F в вакууме:
т/2
В
р __ Ц _ т/2
12 4я ДЗ 4Н R3 — ~" 4я Л3"
Учитывая, что К = i/j, получим окончательно
Сила F.117), наблюдаемая в системе отсчета К, относительно
которой заряды движутся, состоит пз кулоновского отталкивания
и, с точностью до множителя 1/2, амнеровского притяжения.
Полученное выражение для силы F.117) нельзя без оговорок ис-
пользонать для объяснения взаимодействия токов в проводниках.
Нейтральные проводники с током в рассматриваемых условиях
должны притягиваться. Но проводник, по которому идет ток,
нейтрален лишь в одной системе отсчета (§ 6.1). Поэтому куло-
новское отталкивание нужно учитывать. По оно, по-видимому,
обычпо все-таки слабее притяжения.
§ 6.11. Тензор энергии-импульса-натяжений электромагнит-
электромагнитного поля в вакууме. Переход к четырехмерным величинам объеди-
объединяет величины, связь между которыми при трехмерном подходе
была завуалировала. Для свободной частицы в один 4-вектор сли-
слились энергия и импульс. Электрическое и магнитное поля в
4-пространстве объединились в тензор электромагнитного поли.
Энергия и импульс электромагнитного поля оказываются состав-
составляющими тензора, в который, кроме энергии (скаляра в трехмер-
трехмерном случае) и импульса (трехмерного вектора), входит еще и трех-
трехмерный тензор натяжений Максвелла. Нам придется сначала при-
привести результаты теории Максвелла в трехмерной формулировке.
1. Закон сохранения энергии для заря-
зарядов и [п о л я. Этот закон непосредственно вытекает из уравне-
уравнений Максвелла: умножив скалярно F.56а) на JE, а F.57а) на И
и вычитая полученные выражения, будем иметь
Н rot Е — Е rot Н = — JE — DE — ВН.
Имея в виду тождества Я"rot E — Exot H =div [БД"] и (d/dt) X
X (ED + BH) = 2(jDE + BJI) (последнее справедливо для изо-
изотропной среды, в которой 1) = ъЕ, B=\iIL), мы получаем

i 6.11] ТЕНЗОР ЭНБРГИИ-ИМПУЛЬСА-НАТЯЖЕНИЙ 213
откуда после интегрирования по произвольному объему Т и при-
применения теоремы Гаусса — Остроградского приходим к
-*!= —j jEdT-§ SdS. F.119)
Слева в F.119) стоит изменение во времени энергии электро-
электромагнитного поля в объеме Т. Эта энергия определяется в теории
Максвелла через плотность энергии (энергию едипицы объема)
\ F.120)
интегрированием по объему:
^ F.121)
Рассмотрим самый простой случай — заряды в вакууме. В атом
случае j = pv, а плотпость силы, действующей на эти заряды,—
плотность силы Лорепца
F.122)
Эта сила вводится в теорию, чтобы перекинуть мостик между тео-
теорией поля и силовым действием со стороны поля па заряженные
тела, помещенные в поле. В равенстве F.119) есть выражение jE.
Если умножить F.122) скалярно на v, мы получим, что f^v —
—pEv — jE. Таким образом, один из членов правой части в этом
случае — это просто работа поля над зарядом. Она — по закону
сохранения энергии — должпа переходить в кинетическую энер-
энергию частиц Т. Следовательно,
F.123)
Во второй член правой части F.119) введен вектор Пойнтинга
8 = \ЕН\, F.124)
а сам интеграл представляет собой поток вектора S через поверх-
поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем У. Под знаком
интеграла стоит еще d8 — п dS — произведение величины пло-
площадки на поверхности dS на единичный вектор ее нормали п.
Таким образом, закоп сохранения энергии для зарядов и поля
может быть записан так:
¦^{T-W)- -§8dS. F.125)

214 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
Вектор Пойнтинга F.124) обычно интерпретируется как поток
эпергии в единицу времени через едипичную площадку, располо-
расположенную нормально вектору Пойитипга. Такая интерпретация
вовсе не обязательно следует из уравнений Максвелла. Прямое
следствие уравпепий Максвелла, которому можно придать смысл
закона сохрапепия энергии,— интегральное соотношение F.119).
Ясно, что любая добавка 8' к вектору Пойнтинга 8, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию div$' = 0, ire меняет соотношения F.119). Однако
общепринятая интерпретация подтверждается опытом.
2. Закоп сохрапепия импульса для за-
зарядов и поля. К закону сохрапения импульса можно по-
подойти так. Умножим F.56а) векторно на В, а F.57а) векторно на
J); будем иметь после почленного сложепия полученных равенств
ц [Srot Н] + е [Е rot Е] ¦=-. — [JB] \ ец [НЕ] — ец \ЕЩ.
Здесь учтено, что D = eE, а В = цН; окончательно:
ц[НrotЩ + г[Еrot Щ = -ljB]—e\i-^-lEH]. F.126)
Воспользуемся векторным тождеством:
«diva — |arot a] = -^- [ааа^— убаЭЯу) »*p.
Вычитая соответствепно левую и правую части F.126) из тождества
цН AivH+гЕ div E = рЕ
(см. F.566) и F.576)), получим окончательно выражение
которое можно переписать в виде
F.127)
где введен тензор натяжений Максвелла
ТаВ = еЕаЕ& + цЯа//э - 8a&w = EaDB + Яа5р - баЭи;.
F.128)
Тензор F.128), симметричный в вакууме и изотропных телах:,
уже песимметричен в телах анизотропных, где он определяется
согласпо последнему равенству в F.128). Интегрируя по произ-
произвольному объему в области, где существует электромагнитное

5 в.Ш ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА-НАТЯНСЕНИЙ 215
поле, получим
}^«г^Г«=}/лйГ + -|-1 \DB\dT. F.129)
суо суп суъ
В F.127) снова предположено, что мы имеем дело со свободными
зарядами в вакууме, на которые действует сила Лоренца F.122).
По второму закону Ньютона
суЪ
где Р— импульс частиц, заключенных в объеме V. Интеграл по
объему, стоящий в левой части равенства F.129), преобразует-
преобразуется в поверхностный интеграл (по поверхности, охватывающей
объем Т):
\^§S. F.131)
fs a s
Выражения
представляют собой силу, действующую на бесконечно малый уча-
участок поверхности dS, компоненты нормали к которой равны па.
Векторы тв—единичные векторы декартовой системы коорди-
координат. Мы могли бы уже написать закон сохранения импульса, если
бы знали, что следует считать импульсом электромагнитного поля
в веществе. Поэтому ограничимся пока случаем вакуума, где
tf>B) = (l/c2) [EH] = 8/с*. Тогда, учитывая F.130) и F.131), мож-
можно переписать F.129) в виде
4- (Р + (?) - § Гар^тр dS, F.132)
S
определив ири этом плотность импульса поля в вакууме д как
д = 8/с* F.133
и, следовательно, импульс поля в объеме У как
<?=J gdT.
суэ
Соотношение F.132) вместе с определением F.133) выражает
закон сохранения импульса. Для полного поля, когда на гранич-
граничной поверхности Та р = 0, мы получаем закон сохранения
(d/dt)(P -\- G) = 0. Тензор Та р определен пеоднозпачпо: из урав-
уравнений Максвелла вытекает лишь интегральное соотношение

216 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 1ГЛ. 6
F.132), и если добавить к каждой компоненте вектора G компо-
компоненту произвольного тензора Т'а$, удовлетворяющего условию
(дГа$/дха) = 0, то
и соотношение F.132) все равно удовлетворяется. Здесь все ана-
аналогично тому, когда мы выбираем выражение для вектора Пойн-
тинга из теоремы о сохранении энергии или ищем выражение
для плотности тока смещения. Нага выбор определяется тем,
насколько правильны все следствия такого выбора. Tenjop натя-
натяжений F.128) в вакууме, где Т) = г^-Е, В — ц0Н, совместно с оп-
определением импульса F.133) дает разумные физические резуль-
результаты.
Заметим в заключение, что из соотношения F.132) ясно, что
определения плотности импульса и тензора натяжений тесно сли-
слизаны между собой. Переопределив выражение для плотности им-
импульса, мы сразу же изменяем выражение для Та р (см. § 6.12).
Резюмируем результаты для вакуума: пак следствие максвел-
ловских уравнений, электромагнитному полю в вакууме необхо-
необходимо приписать плотность импульса, определяемую формулой
F.133). Тогда формула F.132) выражает закон Ньютона: прира-
приращение суммарного импульса зарядов и поля в объеме Т равно
сумме действующих на этот объем сил. Эти силы удается записать
в виде поверхпостпых сил, т. е. сил, действующих на поверхность,
ограничивающую объем ТГ.
Переход к четырехмерным выражениям можно осуществить
следующим образом. Докажем сначала, что плотность 4-силы /
F.54) можно переписать в виде четырехмерной дивергенции тен-
тензора Tik:
f 1 Р „ _. dTlh
где Tik— тензор энергии-импульса-натяжений *); компоненты это-
этого тензора имеют вид
Г|* = у *Wmft+-?-«!* (*.П/*п)- F-134)
Справа в F.134) в первом слагаемом суммирование идет по пг,
а во втором — по s и п; Fim и fgn— соответствующие компоненты
тензоров F.29а) и F.31).
*) Мы оставляем для четырехмерного тензора F.134) ту же букву Т,
как и для трехмерного F.128): это не должпо вызвать недоразумения еще
и ^потому, что, как окажется, девять компонент F.134) для i и к, изменяющихся
от 1 до 3, совпадают с F.128).

§ 6.U] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА-НАТЯЖЕНИЙ 217
Чтобы получить соотношение F.134), нам понадобятся урав-
уравнения Максвелла, записанные в виде F.60) и F.67); мы их пере-
перепишем в удобном для нас виде:
FЛ35)
_ dFhi
top
Начнем преобразование четырехмерной плотности силы:
П=- Fihsk = TFih-^ = T [— (Fikfkl)-fhl—j. F.137)
Мы использовали F.135) и применили правило дифференцирова-
дифференцирования произведения.
Займемся теперь вторым членом в последнем звене равенства
F.137):
dFth. 8Рц
_ i . /"^ , afhi _
В цепи равенств F.138) проводятся следующие операции. Переход
ко второму звену основан на том, что с учетом антисимметрии
тензоров fki и Fih можно поменять местами индексы в каждом
члепе произведения, не меняя нри этом произведения:
ы-йГв'»-йГ FЛ39)
Поэтому вместо одного члена берем полусумму двух равных выря
жений, стоящих в левой и правой частях равенства F.139). В треть-
третьем эвене произведена замена немых индексов, не меняющая ре-
результата суммирования: индекс I замепен на индекс к, и наоборот.
* dFhi j 9Fii у,
т. е. вместо /Ife - написано /йг . В четвертом звене вынесен
OXl 0Х\
за скобки общий множитель fht, а в пятом использовано выраже-
выражение F.136). В шестом звене равенства мы заменили Fki согласно
F.58), что справедливо лишь для вакуума.
Однако результат F.138) остается справедливым также и для
однородной изотропной среды. Как легко убедиться, компоненты
тензоров f и % в такой среде по-прежнему пропорциональны,
но с разными коэффициентами пропорциональности для простран-

218 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
ствепных и временных компонент. Из общего вида тензоров
% = (сВ, — iE) и f == (JT, —icD) ясно, что пространственные
компоненты связывают между собой векторы ВиН, а временные
— векторы D и Е. Чтобы получить нужную связь D = &E иВ =
= jiff, следует положить
/:|~?, F.140)
^ec. F.141)
Но тогда, начиная с пятого звена F.138), последующая цепь ра-
равенств перепишется так:
Последнее звено равенства F.138), а также третье звено равенства
F.142) написаны по правилу дифференцирования произведения:
Так как множители а и Ъ в F.140) и F.141) постоянны, их можно
внести под знак дифференцирования. И, наконец, для удобства
при суммировании введены другие пемые индексы, что не меняет
сумму fhiFki = fgnFtn. Таким образом, результаты для вакуума
и однородной изотропной среды оказываются одинаковыми.
Разумеется, этот результат формально очевиден из того, что
в системе СИ вакуум является просто одной из однородных и изо-
изотропных сред, до тех пор пока существенны лишь соотношения
ТУ = кЕ и В = у,Н.
Для того чтобы объединить первый член в F.137) со вторым
в окончательной форме F.138) или F.142), нужно, чтобы диффе-
дифференцирование в обоих членах шло по одним и тем же переменным.
Но перейти к дифференцированию по другой переменной можно
с помощью символа Кронекера
Теперь можно записать уже выражение для ft полностью
(см. F.137)):
F.143)

§ 6.11] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА-НАТЯЖЕНИЙ 219
В первом слагаемом сделаем замену немых индексов суммирова-
суммирования: индекс к заменим на т, а индекс I — на к в первом и втором
слагаемом. Тогда мы получим окончательно
*Л + i в (fF)} - § F.144)
где rife определяется согласно F.134).
Итак, компоненты 4-силы / можно выразить через компоненты
тензора Tih, зависящие от векторов поля Е и В (напомним, что
для вакуума, о котором идет речь в этом параграфе, компоненты
тензоров % и f, согласно F.58), пропорциональны, с одним и тем
же коэффициентом пропорциональности).
Из этого обстоятельства и определения тензора Tih F.134)
видно, что в вакууме он симметричен, т. е. Т\ь = 7\г. Это озна-
означает, что у этого тензора десять независимых компонент. В веще-
веществе симметрия 4-тензора утрачивается.
Найдем теперь компоненты Tih, выраженные через векторы
электромагнитного поля. Сначала рассмотрим выражение fenFen.
Это просто сумма попарных произведений соответствующих ком-
компонент матриц F.29а) и F.31). Из определения тензоров ЦН, —icD)
и %(сВ, —гЕ) соответствующие компоненты видны сразу. Обо-
Обозначив чреез А коэффициент при 6ik, найдем
= 2^-Z?L. F.145)
Двойка перед скобкой появилась потому, что из-за антисим-
антисимметричности / и F произведение попарных компонент даст два
раза выражение с (ВН — DE). Теперь можно уже переписать
выражение для компонент Tih (заменив еще fmh па — fkm) в сле-
следующем виде:
Tik=—\-Ftmfkm + 8ihA. F.146)
Займемся теперь отдельными компонентами. Найдем, напри-
например, Ги:
1 111
1 11 -flmhm + Л - -*«/« *i,/i2 ^13713 —
¦ = —- {cBzHz -f cSj^j, — cExDx) -\
^ВД+ад-». F.147)
Мы обпаружили, что Ти— это компонента трехмерного мак-
свелловского тензора натяжений F.128). Аналогично можно

220 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. №
показать, что все компоненты тензора Та р, т. е. те компоненты, для
которых индексы i, к принимают значения от 1 до 3, совпадают
с тензором натяжений Максвелла F.128). Остается рассмотреть
компоненты Т^, где по крайней мере одип из индексов равен 4.
Мы начнем с 7144:
л
Tkk e — Fi.mfk.rn. + -^ =
^^ ^^. = ы>. F.148)
Компонента Тц оказалась равной плотности энергии электро-
электромагнитного поля. Найдем теперь Т^:
С L-
= - ic (DyBz - DzBy) = - iceo(io [EH\X =
= -±Sx**-tc^-=-icgx. F.149)
Аналогично
T2 = Ti2 = -icgy,
TV, = 1\3 = -icgt. F.150)
Компоненты Т14, T2i, Тм оказались пропорциональными
компонентам плотности импульса электромагнитного поля д =
= Sfc2. To, что здесь речь идет именно о плотности импульса,
а не о потоке энергии, которому импульс пропорционален, выяс-
выяснится несколько ниже (см. F.153)). Выпишем матрицу тензора
онергии-импульса-патяжепий электромагнитного поля в вакууме
Тц Tiz Г13 -tcgx
\ I
Т=\ Гз1 Т32 Т33 -icgz \ = \_±s 1.F.151)
) V W }
-7s* -7
Левый верхний квадрат, состоящий из девяти величин, опреде-
определяет тензор натяжений Максвелла. Он становится релятивистски
правильной величипой после обрамления его энергетическими
величинами Saw. Убедимся в том, что, построив тензор Tik, мы
получили законы сохранения энергии и импульса, выраженные
в трехмерной форме уравнениями F.125) и F.132). Рассмотрим
пространственные составляющие 4-силы:
dTa& j dSa _'аГяР 1 8Sa ЭТаВ dga
''Х~"~Щ~ с d(ict)~ dx& c2 9t - дч 9l ¦ (
Мы учли, что трехмерный импульс электромагнитного поля в ва-
вакууме имеет составляющие ga = Sa/c2. Умножая каждую состав-

§ 6.И] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА-НАТЯЖЕНИЙ 221
ляющую /„ (а = 1, 2, 3) на свой единичный вектор та (а, =
= 1, 2, 3) и складывая эти величины, получим (/ = / ата—
трехмерная сила Лоренца)
Интегрируя тождество F.153) по произвольному объему,
получим
JJJ^r <6-154>
суо суэ суй
В левой части F.154) стоит изменение суммарного импульса час-
частиц и суммарного импульса поля:
К правой части F.154) применим теорему Гаусса — Остроград-
Остроградского:
j ^ та дТ --- ф Тацпата dS=§ Та&патц dS; F.156)
последпий переход учитывает симметрию тензора Та р. Итак,
мы пришли к закону сохранения импульса F.132) и вместе с тем
убедились в правильности утверждения о том, что компоненты
7*14, Т^, Гй пропорциональны компонентам импульса электро-
электромагнитного поля. Выражение Та$пат$ можно рассматривать
не только как силу, действующую на "элемент поверхности, его
можно рассматривать также как и поток импульса через этот эле-
элемент поверхности. Величина Та$т$ дает векторную компоненту
этого потока. ^Конечно, обе эти интерпретации равнозначны.
Рассмотрим теперь /4. С одной стороны, согласно F.54)
^f F.157)
а с другой,
f dTkk _ STu I ЭГ42 I ЭГ*з I
Следовательно, можно записать F.158) так:
% + uiv8 + (vf) = 0 F.159)

222 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
Иптегрируя выражение F.159) по произвольному объему в поле,
получим, учитывая F.121) и F.123),
8d8, F.160)
причем к члену div 8 уравнения F.159) применена теорема Гаусса.
Это и есть закон сохранения эпергии F.125).
Таким образом, в релятивистской теории максвелловские натя-
натяжения, импульс и энергия поля в вакууме слились в одну тензор-
тензорную величину — тензор энергии-импульса-натяжений. Законы
сохранения энергии и импульса стали выражаться единым соот-
соотношением.
Принципиально важным свойством тензора энергии-импульса-
натяжений является его симметрия. Для электромагнитного полк
в вакууме отсюда сразу следует фундаментальное соотношение
между плотностями потока энергии и импульса:
8 = ус*. F.161)
Легко убедиться в том, что «след» тензора Г^, т. е. сумма его
диагональных компонент, равен нулю.
Установив тепзорную природу натяжений, импульса, потоки
и плотности эпергии электромагнитного поля, мы автоматически
получаем и правила преобразования этих величин при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой. Мы выпишем
лишь те формулы преобразования, которые нам понадобятся.
Подставляя зпачепия компонент F.151) в общие формулы
(П.1.31), мы получим
(^^) F.162)
F.163)
F.164)
F.165)
F.166)
F.107)
§ 6.12. Тензор энергии-импульса-патяжений электромагнит-
электромагнитного поля в среде. Тепзор Мипковского и тензор Абрагама. Инте-
Интерес к тензору янергии-импульса-патяжений (ТЭИ) в среде выи-
ваи в первую очередь тем, что этот тензор связан с импульсом
электромагнитного поля в среде. Эта последняя величина имеет

5 6.12] ТЕНЗОР МИНКОВСКОГО И ТЕНЗОР АБРАГАМА 223
прямое отношение к величинам, наблюдаемым непосредственно
на опыте (например, к световому давлению). Однако этот тензор
в среде не определяется однозначно и по поводу его «правильного
вида» до сих пор ведется дискуссия.
Найдем общий вид тензора энергии-импульса в однородной
изотропной среде. В § 6.И было показано, что в однородной изо-
изотропной среде общий вид компонент тензора эпергии-импульса
не отличается от случая вакуума; в обоих случаях (см. F.146))
Ttk= ~4 Pimfkm + bihA. F.168)
Однако коэффициенты пропорциональности между простран-
пространственными и временными составляющими f и g в среде различны
(см. F.140) и F.141)), и тензор Tih, определяемый согласно F.168),
в отличие от тензора F.149), оказывается уже несимметричным.
Несимметричность возникает из-за временных составляющих
тензора; пространственные составляющие, по крайней мерс
в изотропной среде, симметричны. Действительно, легко убе-
убедиться в том, что пространственные составляющие тензора Tik
в среде отличаются от пространственных составляющих в вакууме
только значениями s и [i. Так, например,
Тн = — Fimfim + Л =
Это выражение совпадает со значением Тп F.147); но если в F.147)
входили е0 и цд, то в эту формулу входят е и ц. Точно так же
мы найдем, что
т i v t i л ED+ВЛ
Однако если
Г,4= —fcqi \EH]X= -(i/c) (qi/еоцо) Sx,
то
Ти = - (i/c) [ЕН1Х = - (i/c) Sx.
Таким образом, тензор энергии-импульса-натяжений в однород-
однородной изотропной среде, получаемый непосредственным преобра-
преобразованием 4-силы, уже несимметричен. Он называется тензором

224 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
Минковского, и его компоненты имеют вид
Тн Г12 Ti3 -(i/c) rfib
1ft I т.. Гз2
^21 Г22 Г23 — (i/c) n2Sy I _
}/c)Sx —(ifc)Sy —(i/c)Sz w /
Тац -(i/c)
j. F.169)
В F.169) введен показатель преломления п = У~гц/&оцо. Соот-
Соответствующая тензору F.169) плотность импульса (компоненты
^и» ^24i ^й) оказывается равпой
flrM = -3-S«lDBl. F.170)
Мы поставили у плотности импульса также индекс «М», чтобы
подчеркнуть, что эта плотность соответствует тензору Минков-
Минковского. Плотность импульса поля в среде F.170) в п? раз отли-
отличается от F.133).
Часто предлагают сохранить для плотпости импульса поля
в среде пыражение F.133). Этим самым, конечно, мы делим суммар-
суммарный импульс на импульс поля и импульс самой среды. Но выде-
выделить нлотность импульса поля в форме F.133) можно, лишь
использовав иной тензор энергии-импульса, отличный от тензора
Минковского. Важпость сохранения соотношения F.133) состоит
еще и в том, что оно дает наиболее общую формулировку закона
инерции эпергии. Так как поток энергии описывается компонента-
компонентами Т^а тензора энергии-импульса, а плотность импульса — ком-
компонентами Га4, соотношение F.133) озпачает симметрию тензора.
Таким образом, нам следует построить новый симметричный тен-
тензор, который удовлетворял бы следующим условиям: компоненты
Та!к = — icga, a Tia = — (i/c)Sa, причем соблюдалось бы соот-
соотношение F.133). Трехмерный тензор натяжений Та р должеп
совпадать с трехмерным тензором натяжений Макспелла F.128).
Такой топзор был предложен Абрагамом; он имеет вид
В силу того, что Ta& = Tfia, и определения F.133) этот тензор
симметричен. Но введение тензора Абрагама влечет за собой
появление объемной силы, действующей па среду. Эта сила носит
название силы Абрагама. Чтобы найти ее величину, вспомпим,
что компоненты плотности лоренцевой силы связаны с тензором

§ 6.12] ТЕНЗОР МИНКОВСКОГО И ТЕНЗОР АБРАГАМА 225
энергии-импульса Минковского соотношением
ауМ
f-ъг- <6-172)
Именно так был получен тензор Мипковского.
Из соотношения F.172) сразу же получается, что
F.173)
Раскрывая сумму в правой части и меняя местами члены ра-
равенства, получим (см. F.169))
где через /л обозначена плотность силы Лоренца.
Развернем теперь выражение (dTahldxh) ma, имея в виду F.171):
дТ*к дТа& ддА _ дТаВ ддм д
F.175)
Во втором звене равенства F.175) учтено, что тензор натяжений
Максвелла один и тот же как в тензоре Минковского, так и в тен-
тензоре Абрагама; третье звено F.175) — это тождественная пере-
переписка второго звена. Но теперь уже два первых члена в послед-
последнем звене F.175) можно заменить согласно F.174), и тогда мы
получим
^^. F.176)
В правой части соотношения F.176) появился член /А, представ-
представляющий собой производную от плотности импульса; по второму
закону Пыотопа производная от плотности импульса по време-
времени — это плотность силы:
/* = ¦!¦ @м-ffA) = -|-{[*>»l--p-|™l}. F-177)
В изотропной среде
А(!!Ь1) F.178)
Плотность силы F.177) и F.178) называют плотностью силы Абра-
Абрагама.
Тензоры Минковского и Абрагама дают различные выражения
для плотности импульса электромагнитного ноля. Выпишем соот-
соответствующие выражения для плотности импульса плоской элек-
15 В. А. Угаров

226 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ 1ГЛ. в
тромагнитной волны. Для плоской электромагнитной волны
в изотропном однородном диэлектрике связь между величипой
вектора ГТойнтинга S, фазовой скоростью монохроматической
волны о и плотностью энергии полны w дается простым соотно-
соотношением:
S = w-v, F.179)
v = с/п = (в(х/еоцпI/2. (G. 180)
Для плотности импульса получим соответственно из F.170)
и F.171):
gM ^ (п2/с2) S = (п2/с2) w (с/п) = (w/c) n, F.181)
gA = E/с2) --= A/с2) w (сIn) - (w/cn). F.182)
Г>удем считать, что энергия электромагнитного поля квантует-
квантуется, т. е. что w — АТш, где N — число квантов в единице объема.
Тогда для импульса квапта в среде мы получим согласно F.181)
и F.182):
F.183)
F.184)
Какое из этих двух выражений «правильно»? Процедура вторич-
вторичного квантования электромагнитного ноля в веществе приводит
к выражению F.183). Допустим, что импульс кванта в среде р
определяется выражением
р — (ha>ic)ns, F.185)
где я —единичный вектор к направлении распространения волны,
а 4-вектор энергии-импульса квапта имеет вид
FЛ86)
Если воспользоваться F.186), можно получить верное выраже-
выражение для условия излучения Вавилова — Черенкова (см. гл. 7).
Казалось бы, это обстоятельство говорит в пользу F.186) и тен-
тензора Минковского. Однако осмотрительное использование любого
из тензоров дает правильный результат. Дело в том, что оба тензора
удовлетворяют соотношению F.127), являющемуся следствием
уравнений поля. Важно знать, как определяется импульс электро-
электромагнитного поля в веществе. Разбить полный импульс ноля на
часть, относящуюся только к веществу, и только к полю, в общем
случае невозможно. Но именно это пытаются делать, вводя импульс
Абрагама. При переходе световой волны пз вакуума в среду
импульс переносится с проходящей в среду волной не полностью;
часть импульса передается самой среде. Там, где нужно учитывать
полный переданный импульс, нужно пользоваться тепзором Мин-
Минковского; когда речь идет об импульсе, связанном с излучением

5 6.12]
ТЕНЗОР МИНКОВСКОГО И ТЕНЗОГ АБРАГАМА
!227
Подбей и переменной
',/////. напряжение
Вольфрамовая
ф 0,2 КМ
в среде, нужно использовать тензор Абрагама. Выражение F.185)
для импульса фотона дает правильный ответ при рассмотрении
эффекта Вавилова — Черопкоиа (см. гл. 7) потому, что в этом
случае важен суммарный импульс, передаваемый среде черепков-
черепковским электроном. Суммарный импульс, переданный фотону в сре-
среде, кок раз и равен ham'с. Неудивительно, что квантование элек-
электромагнитного поля в диэлектри-
диэлектриках приводит к выражепию (G.185)
для импульса. Зтовыражепие пред-
представляет собой просто суммарный
импульс электромагнитного поля,
причем этот импульс связан и с
полом, и с веществом (см. § 7.7).
Что касается силы, действую-
действующей на вещестпо, то отта связана
<¦ силой Абрагама и, естественно,
с тензором Абрагама. В 1975 г.
была предпринята попытка изме-
измерить силу Абрагама, которая, по-
видимому, привела к успешному
результату.
Схема опыта приведена на
рис. E.7 Диск, изготовленный из
титаната бария (е ~ 4000, u. -~ и,,,),
имеет в центре небольшое отвер-
отверстие. Оба края диска покрыты
алюминием; таким образом, он
представляет собой цилиндрический кондепеатор. Диск под-
подвешен па длинной вольфрамовой нити, так что он может совершать
крутильные колебания, находясь между полюсами электромаг-
электромагнита, создающего постоянное магнитное поле A0 кгс). К внутрен-
внутренней обкладке диска прикладывается переменное нанряжепие
с максимумом в 150 в, внешняя обкладка заземлена тонкой золотой
проволочкой, не илняющей на колебания диска. Напряжение
прикладывается в фазе с собственными колебаниями диска.
Силу Абрагама можно записать еще и так:
Заземление
Рис. 8.7. Экспериментальное ааблю-
дение силы Абрагама.
/А = e0u.o
где
- е/е0, чт —
-1) \ВЩ, F.187)
F.188)
и учтено, что магнитное поле постоянно (Н = 0). Для титаната
бария хт~1, поэтому
F.189)
15*

228 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
последнее равенство вытекает из того, что в однородной изо-
изотропной среде
р = D _ г0Е = (е - в0) Е = е0 [%е - 1) В. F.190)
Физический смысл «силы Абрагама» в рассматриваемом частпом
случае очевиден. J? — это часть тока смещения, обусловленная
движением связанных зарядов. По существу это просто сила
Ампера. Нетрудно установить, что эта сила вызывает крутиль-
крутильный момент (электрическое поле направлено радиально). Сущест-
Существенно, конечно, что никакие другие силы, связанные с наличием
электромагнитного поля, крутильного момента не дают.
По утверждению авторов эксперимента, наблюдаемая раскачка
диска соответствует расчету, исходящему из наличия силы Абра-
Абрагама. Еще раз повторим, что этот экспериментальный резуль-
результат — весьма интересный сам по себе — отнюдь не «выбирает»
между тензорами F.169) и F.171). Некоторые дополнительные
замечания в связи с выбором выражения для импульса фотона
в среде можно найти в § 7.7.
§ 6.13. Тензор энергии-имнульса-натяжений сферически сим-
симметричного заряда. Если электрический заряд в вакууме покоится
в системе К, то в этой системе существует только электрическое
поле, и тензор энергии-импульса-натяжений легко может быть
написап:
(T ° F-191)
где w = е0 Е2/2, а Гар = &0ЕаЕ^— 6apiP. Если заряд движется
со скоростью — V относительно системы К', то его тензор Т\и
может быть найден с помощью общих формул преобразования
компонент тензора. В частности, для преобразования плотности
импульса по оси х, т. е. (Не) Г14, и плотности энергии Г44 мы имеем
согласпо (П.1.31)
Г;4= — ШГ2ГИ + Г2ШГ44 -ШГ2 (w — Гц),
Т'ы = Г2Г44 - В2Г2Г11 = Р (w —g- Ти).
Найдем полную энергию и полный импульс точечного заряда,
учитывая, что переход от элемента объема &?*' в системе К' к эле-
элементу объема dT в К производится по формуле йТ' =---^йТ:
F.192)
. (б.ш>

S 6.14] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ НЕПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 229
Очевидно, что
Если в собственной системе отсчета заряда К он обладает сфериче-
сферической симметрией, так что Е% = El = Е\ = Е2/3, то
- ~)dT^ -^- \ E^dT
Следовательно, F.192) и F.193) принимают вид
F.194)
g; = —4- —ш. F.195)
Слагающие импульса G'y и G^ обращаются в нуль, так что
G' =-- — —¦ ¦?¦ ГС/, F.196)
Появление знака «минус» в выражении для G-' объясняется тем,
что заряд движется относительно системы К' со скоростью — V.
Сравнивая полученные формулы (G.194) и F.195) с формулами,
определяющими преобразование импульса и энергии частицы от
собственной системы отсчета к произвольной (см. E.49)), мы
видим , что эти формулы отличаются друг от друга. В свое время
пытались объяснить массу электрона как электромагнитную,
применяя соотношение
т = U/с2. F.197)
Из F.196) видно, что такая интерпретация пс проходит,поскольку
для «сдерживания» заряда необходимы дополнительные силы,
компенсирующие расталкивапие, т. е. дополнительная энергия,
которую мы не учли. Если учесть механические папряжения,
можно получить выражения
<?'=-ГгД, U' = TU F.198)
(в полном соответствии с формулами E.49)). Подробности см.
в [131.
§ 6.14. Потенциалы поля в движущейся непроводящей среде *).
В § 6.1 был введен 4-потенциал электромагнитного поля в вакууме.
Конечно, электромагнитное поле можно определить сразу иэ
уравнений Максвелла, ие вводя потенциалов. Но во многих слу-
случаях использование потенциалов — как промежуточных величин
§§ 6.14 и 6.15 написаны В. М. Болотовским и С. Н. Столяровым.

230 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ ГГЛ. 6
для определения полей Е и В— оказывается весьма удобным,
хотя бы потому, что уменьшается число функций, подлежащих
определению. Зная всего лишь четыре компоненты вектор-потен-
вектор-потенциала, можно найти с их помощью все составляющие электриче-
электрического и магнитного полей! Удобство использования потенциалов
еще ярче проявляется в электродинамике движущихся сред, где
материальные уравнения F.74) и F.75) оказываются значительно
сложнее, чем в случае покоящейся среды.
Ниже будет показано, как можно получить выражения для
потенциалов поля в движущейся среде. В качестве примера при-
применения таких потенциалов будет рассмотрено распространение
плоской электромагнитной волны в среде, которая движется
относительно неподвижного наблюдателя. Этот пример имеет
самое непосредственное отношение к вопросам, разбираемым
в гл. 7. В данном параграфе используется аппарат тензорной
алгебры, краткие сведения о котором можно найти в Приложе-
Приложении I, § 3.
Перейдем к выводу уравнепий для 4-потенциала в движущихся
средах. Поле в движущейся среде будем описывать двумя тен-
тензорами: тензором Fih (см. F.29)) и тензором /гй (см. F.31)). Тен-
Тензор Fik называют иногда тензором поля, а тензор f;k — тензором
индукции.
Введем четырехмерный потенциал ноля в среде Ф, определив
его следующим соотношением:
совпадающим с формулой F.28). Зная четыре компоненты потен-
потенциала Ф;4, мы можем по этой формуле определить все компоненты
тензора Fih, т. е. магнитную индукцию В и электрическое поле Е.
Для полного описания электромагнитного поля в среде необхо-
необходимо знать еще компоненты тензора }цп т. е. составляющие век-
векторов магнитпого ноля и электрической индукции. Если известен
тензор поля ft, тензор индукции f можно определить с помощью
материальных уравнений F.79) и F.80), устанавливающих связь
между компонентами этих двух тензоров (напомним, что в вектор-
векторной форме соотношение между тензорами 55 и f записано уравне-
уравнениями Минконского F.74) и F.75)).
Материальные соотношения @.79) и F.80), определяющие
связь между тензорами ft и f, можно записать в виде одного тен-
тензорного соотношения:
fih = sMmFlm, F.200)
где тензор четвертого рапга е,-.,;,„ подбирается так, чтобы выпол-
выполнялись соотношения Минковского F.74) и F.75). Нетрудно пока-

§ 6.14] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ НЕПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 231
зать, что нужными свойствами обладает тензор следующего вида:
&ihlm = -jr F"-*c'Wi) F/(m-xc-2?/ftt7m). F.201)
Здесь 8ц—символ Кронекера, определенный формулой (П.1.4),
a Uk—компоненты четырехмерной скорости. определеппой
в гл. 5 и имеющей компоненты V {VV, icY), где V—трехмерная
скорость перемещении среды. Безразмерная константа к опреде-
определяется через показатель преломления п:
F.202)
Нетрудно видеть, что и пустоте и = 0 и связь F.200) между тен-
тензорами f и ^ принимает вид
fih^-±-Fih, F.203)
который C0(jTueTCTBycT известным соотношениям между нолями К,
Н и индукциями I), В в вакууме:
I) = ео?, В = ц0Н. F.204)
В покоящейся среде тензор eihim пида F.201) дает между полями
и индукциями соотношения
D = гЕ, В = iiH. F.205)
В этом легко убедиться, если в формуле F.201) положить
иг = f.7., = U3 — 0, a Vk = гс.
Поскольку компонеты тензора Fim выражаются через ком-
компонент:.! четырехмерного потенциала Ф/, а компоненты тензора
^ндую^ии fih связаны с FLm соотношенпем F.200), можно выразить
и компоненты тензора fih через кодгаоиепты четырехмерного
потенциала Ф;. Иными словами, знание четырех функций Ф/
окозыиаотси достаточным для определения всех компонент полей
и индукций в движущейся среде.
Перейдем теперь к выводу уравнений для потенциалов поля
в движущейся среде. Дли этого воспользуемся уравнением F.60):
dxh ~S'-
Подставим в это уравнение fik в виде F.200). Тогда получим
Используй нпное выражение F.201) для тензора с-цат, а также
формулу F.28), выражающую FUn через компоненты потенциала
Фг, после несложных преобразований приведем уравнение F.206)

232 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМВ [ГЛ. 6
к виду
<е-207)
Умножим обе части уравнения F.207) на тензор
Воспользовавшись легко проверяемым соотношением
{Ьи-кс-ЮРг) (бга + т^гс-2С/гС/а) = 6,а, F.208)
получим окончательно
-2f/.c/a) в|. F.209)
Система уравнений F.209) определяет все компоненты потен-
потенциала Фа по заданным источникам поля st в движущейся среде.
Эта система может быть упрощена, если на потенциалы нало-
наложить удачно выбраппое дополнительное условие, например
потребовать, чтобы выполнялось следующее соотношение:
F.210)
Это условие является обобщением известного условия Лорен-
Лоренца, налагаемого на иотенциалы в вакууме (см. F.8)). Возмож-
Возможность удовлетворить условию F.210) доказывается так же, как
и в обычной электродинамике.
При выполнении условия F.210) система уравнений F.209)
упрощается и принимает следующий вид:
Система F.211) более удобна по сравнению с системой F.209)
в том отпошении, что она состоит из четырех уравнений, в каждое
из которых входит только одна компонента вектор-потенциала
(а = 1, 2, 3, 4). Решение системы F.211) при заданных внешних
источниках полностью определяет поле, создаваемое этими источ-
источниками в движущейся среде.
Если в движущейся среде имеется граница раздела, то система
F.211) должна быть дополнена соответствующими граничными
условиями (см. § 6.8).

§ 6.14] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ НЕПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 233
В качестве примера решения получеппых уравнений рассмот-
рассмотрим электромагнитное поле в движущейся среде в отсутствие
внешних источников (токов и зарядок). Поскольку в этом случае
все S; = 0, система F.211) превращается п систему четырех одно-
однородных уравнений:
{¦яг-1* -2(^ПФ«=°- <6-212>
В силу дополнительного условия F.210) из четырех величин
Фа только три являются независимыми. Поэтому мы можем поло-
положить Ф4 — 0, а три остальные величины Фх, Ф2, Ф3 будем считать
компонентами некоторого вектора, который обозначим через А.
Мы видим, таким образом, что при такой калибровке вектор-потен-
вектор-потенциал Фа для движущейся среды является трехмерным векторным
потенциалом А.
В этом случае из системы уравнений F.212) получается сле-
следующее уравнение для потенциала А:
4]> = 0, F.213)
где В = Vic, цри дополнительном условии
0, F.214)
которое следует из дополнительного условия F.210) при Ф4 = 0.
Если известно решение уравнения F.213) для потепциала А, то
поля Е и В могут быть выражены через А по формуле F.28), кото-
которая в нашем случае принимает простой вид:
В = rot A, E---^-. F.215)
Зная _Е и В, мы можем найти D и J3" с помощью материальных
уравнений Минковского для движущейся среды F.74) и F.75).
Уравнепие F.213) определяет распространение свободных
электромагнитных волн в движущейся среде (под свободными
электромагнитными волнами обычно подразумевается поле в отсут-
отсутствие зарядов и токов). Перейдем теперь к решению этого урав-
уравнения. Будем искать вектор-потенциал .4. в виде плоской электро-
электромагнитной волны:
A = Aoei<at-k>'\ F.216)
Подставляя это выражение в уравпепие F.213), получаем
к'> = 0. F.217)
Из соотношения F.217) видно, что амплитуда Ао плоской волны
отлична от нуля только для таких волп, для которых выполнепо

234 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
условие
Z (*^рJ = 0- F-218)
Уравнение @.218) петрудпо вывести из диверсионного уравпе-
ния, справедливого для плоских монохроматических воли в иокоя-
щейся среде:
F - «2/(г = 0, /с2 = к2.
Мы перепишем его в виде
В скобки мы заключили инвариантную относительно преобразо-
преобразований Лоренца величину — квадрат четырехмерного волнового
вектора в вакууме к (к, г —J . Велпчипа в скобках сохраняет
во всех ии-эрциальных системах отсчета свой вид и численное
значение. Второе слагаемое последнего равенства преобразуется
как частота со. В системе отсчета, в которой среда движется со
скоростью V, вместо <о следует написать
со' = (и) - кГ)/ ]/l-Va/c2
(см. по этому поводу § 7.2).
В силу этих соображений в системе отсчета, относительно
которой среда движется со скоростью V, дисперсионное уравнение
как раз и приобретает вид F.218):
7 9 ( ге2 { I 1 -. г •> Л
к1 5 5П—iT5r(w— kV) 2 = 0.
Это условие определяет связь между волновым вектором Л* и часто-
частотой ш плоской электромагнитной волпы, распространяющейся
в движущейся среде. Дополнительные условия F.214) для такой
волны принимают вид
(ло, к -| V -~^ру- (о»- kV)) -- 0. F.219)
Из условия обращения в нуль скалярного произведения F.219)
следует, что и дпижущоься сроде вектор Ао перпендикулярен
не направлению paciipoci рапешш волны, определяемому волновым
вектором fc, а линейной комбинации волнового вектора к- и век-
вектора скорости среды V. В двух частных случаях — когда волна
распространяется в вакууме (п — 1), а также когда среда покоится
(V =- 0) — условие (С.219) переходит в известпое условие понереч-
ности свободных электромагнитных волн: Аок — 0, из которого
следует, что в свободной электромагнитной волпе векторы Е1, JT,

§ 6.14] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ 11 ДВИЖУЩИЙСЯ Ш. ['ДОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 235
В и ТУ направлены перпендикулярно волновому вектору, т. е.
направлению распространения волны. В движущейся среде такая
поперечпость волн, вообще говоря, не имеет места. Действительно,
для плоской волны F.216) ноля Е и В определяются по Форму-
Формулам F.215):
В= -i [кА0]е^-'"¦), Е--= -
Отсюда видно, что вектор В перпендикулярен волновому векто-
вектору к, а вектор _Е — нет (в силу условия F.219) вектор Ло пе
является поперечным).
В уравнение F.217), связывающее между собой волновой век-
вектор к и частоту со волпы в движущейся среде, входит скалярное
произведение JcV. Это значит, что условия распространения волны
зависят от того, какой угол составляет направление распростра-
распространения (или, что то же самое, волновой вектор к) со скоростью
среды V. Это обстоятельство отражает явление увлечения света
движущейся средой. Рассмотрим это явление подробнее для слу-
случая малых скоростей. Будем считать, что величина В — V!c
является малой, и опустим в уравпепии F.218) все степени В
выше первой. Мы получим
¦^~&2-f -^=J- [a?-2n (k,V)\ ¦_ О,
или же
co2-2fcF [l-Дг) ю —-0.
Решая и том же приближении полученное квадратное уравнение
для ш, получим
^l^) @-220)
Из двух знаков перед первым слагаемым в правой части нужно
выбрать зпак плюс, так как при V = 0 мы должны получить изве-
известное соотношение между о> и к в покоящейся среде:
"^ (fk221>
здесь мы ввели показатель преломления покоящейся среды п.
Величина с/п — фазовая скорость света в покоящейся среде.
Если угол между векторами к и V обозначить через ¦&, соот-
соотношение F.220) при указанном выборе знаков примет вид
F-222)
Величина ш/к в выражении (С.222), так же как и в случае
покоящейся ерзды — см. F.221),— определяет фазовую скорость

236 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
света, па этот раз в движущейся изотропной среде. Сравнивая
выражения F.222) и F.221), мы видим, что фазовая скорость света
в движущейся среде различна в различных направлениях. Если
свет распространяется по движению среды (cos ¦& = 1), то фазовая
скорость равна
Если свет распространяется против движения среды (cos •& = —1),
то
_ш с
Множитель A — 1/п2) — это так называемый коэффициент увле-
увлечения света, экспериментально измеренный Физо в опыте, где
движущейся средой была вода.
§ 6.15. Потенциалы поля в движущейся проводящей среде. Прежде
чем перейти к уравнениям поля в движущейся проводящей среде, напомним
основные сведения о распространении волн в покоящейся среде при наличии
проводимости.
В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид
rotJ<?=— В, rot H = D-\-j + aE, F 223)
divD = p, divB = 0.
Здесь р и j — плотность заряда и плотность тока «сторонпих» источников.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением системы F.223) без «сторон-
«сторонпих» источников, т. е. будем считать, что р -— 0 и j = 0. Решение системы
F.223) ищем в виде
где Е„, Do, На, Во — постоянные амплитуды, по зависящие ни от коорди-
координат, пи от времепи. Мы, таким образом, ищем решение в виде плоской волны
с волновым вектором А; и частотой ш-
Подставляя выражения для нолей F.224) в систему уравнений F.223),
получим, с учетом р = 0, j = 0, следующие, уже не дифференциальные,
а алгебраические соотношения, связывающие между собой амплитуды полей:
[к, Ж0] = ыВ0, [ft, H0]=-a>n0-iaE0,
(fcJ>0) = 0, (ftB0) = 0.
При этом мы воспользовались следующими равенствами:
Tot(E0eikr)=i[k, 3?0]eikr,
Систему F.225) следует дополнить материальными соотношениями, уста-
устанавливающими связь между полями и индукциями. В простейшем случае

§ 6.15] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 237
изотропной покоящейся среды мы примем следующие соотношения:
Do -= гЕ0, Во = цЩ. F.226)
Мы будем предполагать, что величины е я ц не зависят от амплитуд
ноля (что дает линейную связь между полями Ео, Но и индукциями 1)„ и Во
соответственно). Однако е и р. могут, вообщо говоря, зависеть не только
от полей, но и от частоты ш и длины волны X — 2п/к. Если г и ц зависят
только от частоты, говорят, что имеет место частотная дисперсия. Если же е
и fi зависят от длины волны, то говорят, что среда обладает пространствен-
пространственной дисперсией.
Если материальные уравнения F.226) подставить в систему F.225),
получим уравпепия, в которые входят только амплитуды полей Еа и Но:
[к, Еа\ =и.(йН0, \кН0] = — еш-fe»)-—icot
F.227)
8 (кБ0) = О, ц (кН0) = 0.
В дальнейшем мы будем предполагать, что е и ц не обращаются в пуль.
Тогда из двух последних уравнений следует, что поля Ео и Ло перпендику-
перпендикулярны волновому вектору к. Такие волпы называют поперечными. Продоль-
Продольные волны, возникающие, например, при е = 0 (тогда, как нетрудно видеть,
получается Ев || к), мы здесь рассматривать но будем.
Умножим первое уравнение системы F.227) векторно на волновой век-
вектор к. Мы получим
[к [кЕь]] = цо [кН0]. F.228)
Зпачение [кНц] подставим из второго уравнения системы F.227), а двойное
вокторпое произведение перепишем с помощью известной формулы:
[к [кЕ0]] = к (bJEt) — к2Е0 = —к2Еа.
В последнем равенстве мы учли шжерочпость ноля Еа, т. е. соотношение
(кЕе) = 0. В результате этих преобразований получаем
(Л2 — 8|ЮJ — iau>ii)E0 = 0. F.229)
Таким образом, амплитуда Еа поперечной электромагнитной волны
в покоящейся проводящей среде может быть отлична от нуля лишь в том
случае, если выполняется равенство
А;2—е|ш2— го-цсо =0. F.230)
Это условие называется дисперсионным соотношением. Нетрудно убедиться
в том, что это же самое дисперсионное соотношение F.230) должно выпол-
выполняться для того, чтобы и магнитный вектор Но в поперечной волне был
отличеп от нуля. Для того чтобы это показать, достаточно умножить век-
торпо па к второе уравнение системы @.227) и использовать затем пер-
первое ураппепие этой системы.
Будем считать, что частота водны ш — заданная величина. Предполо-
Предположим, далее, что поле зависит только от координаты z и от времени. Тогда
ноля jE и й мы можем представить в виде
Е=Еоеии~ш, H=.:jroeih*-iat, F.231)
причем, как это следует нз системы уравнений (Ь.227), мы можем считать,
что вектор _fc'o паправлен в положительном направлении оси х, а вектор Но —
в положительном направлении оси у. Таким образом, три вектора /с, Ео, Пй
образуют правую тройку векторов.

238 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА )i РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
При фиксированной частоте ш дисперсионное уравнение F.230) дает
для полнового вектора к следующие значения:
-И—. F.232)
Волновой вектор к в среде с проводимостью оказывается комплексной
величиной. Для дальнейшего важно, что проводимость а всегда положительна.
Это видно хотя бы из того, что джоулево тепло, которое выделяется в единице-
объема проводящей среды за единицу времени, равно Q = JnyVH ~ оЕ3 > 0.
Будем считать, что частота со положительна. Тогда в выражении F.232)
мнимая часть подкоренного выражения положительна. Предполагая, чта
проницаемости е и |х также положительны, паходим, что решение fcx лежит
в первой четверти плоскости комплексного переменного (т. е. у решения кх
мнимая и действительная части положительны):
Аг, = к[ + ik'[ (k[, к'[ > 0). F.233)
Второе решение й2 отличается от первого только знаком:
кг = —к, = — к\ — ik\ , F.234)
и мы можем записать оба решения с помощью одной формулы:
k^±k'±ik", F.235)
где к' и к" — положительные величины. Величина +к' есть вещественная
часть волпового вектора к, а величина +к" — его мнимая часть.
Подстановка F.235) в выражения F.231) для полей дает
Л=-.Ц^К'г-е^±к'г-а1\ Ji-^Hoe*h"z-ei^h'z-a>t\ F.236>
В этих формулах в показателях экспопепты пужпо брать лиоо одновременно
все верхние, либо одиовремоппо все нижние знаки (там, где имеются варианты
«+» или «+»). Мы, таким образом, получаем дна решения для нолей К, П:
одно, нронорциопальпое
e-ft"z.ei(ft'z-(Bt)i F.237)
а другое, пропорциональное
eh»z.e-Hk'z+M\ (fi.238)
На нервый взгляд кажется, что одно из них, @.237), затухает с ростом z
по показательному закону (множитель e~h"z), а второе, F.238), растет по пока-
показательному закону (множитель е^"г). В действительности оба решения пред-
представляют собой затухающие волны. Для того чтобы в этом убедиться, рас-
рассмотрим, например, выражение @.238). Его можно рассматривать как волну
вида
F.239)-
амплитуда которой равна ek"z, т. е. экспоненциально растет с ростом z.
Следует иметь в виду, что такое представление оправдано лить в том случае,
если мнимая часть к волнового вектора к мала в сравненпи с действительной
частью к', т. е. изменение амплитуды волны на расстояниях порядка ее длины
невелико.
Фаза волны F.239) определяется выражением, стоящим в показателе
экспоненты:
ф = k'z + at. F.240)

§ б.1й] ПОТКЫЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩИЙСЯ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 239
Эта фаза постоянна при
z= — -|?-/-|-const. F.241)
т. е. плоскости постояпной фазы перемещаются вдоль оси со скоростью
уф = —а/к'. @.242)
Эта скорость называется фазовой скоростью волны и определяет направленно
распространения волны. Знак мнпус в F.242) показывает, что волна F.238)
распространяется в отрицательном направлении оси z. По если мы вместе
с волной будем двигаться в отрицательном направлении оси z, то амплитуда
волпы, пропорциональная множителю eh"z, будет уменьшаться по экспонен-
циальпому закону. Нетрудно видеть, что волна F.237) распространяется
в положительном направлении оси z с той же (по величине) фазовой ско-
скоростью. Амплитуда этой волны пропорциональна множителю e~k"z и, сле-
следовательно, также уменьшается в направлении распространения.
Таким образом, в проводящей среде существуют две волпы заданной
частоты, которые распространяются с равными по величине фазовыми скоро-
скоростями в противоположных направлениях. Амплитуды каждой из этих воли
уменьшаются по экспоненциальному закону в направлении распространения.
Из уравнений Максвелла следует, что между амплитудами _&'„ и На
существует зависимость, которая выражается, например, первым уравнением
системы (G.227). Учитывая это уравпепио, можем записать выражения для
полей @.231) в виде
Таким образом, для того чтобы определить свободную плоскую электро-
иагпитупую волну в проводящей среде, нужно задать, номпмо характеристик
среды е, и,, а, еще поляризацию поля, т. о., например, направление и вели-
величину амплитуды электрического поля 1Са.
Как видпо из решения @.232) дисперсионного уравнения F.230), ве-
величина волнового вектора к комылскспа. Поскольку мы рассматриваем одно-
одномерный случай, когда поле зависит только от координаты z и времени, мы
можем считать, что волповой ноктир к направлен по оси г:
/с = к' + ik", F.244)
где оба вектора к' и к" направлены по оси z. Тогда, в силу третьего уравнения
F.227), вектор JSB перпендикулярен оси г. Пусть этот вектор направлен
по оси х:
Ео =¦ (Ео, 0, 0). @.245)
Тогда
Ло = (О, Ыо, 0), F.246).
В0^~кЕ0, F.247)
т. е. как видно из F.243), магнитное ноле направлено но оси у.
Судом для простоты считать величину Еп действительной- Тогда вели-
величина Но является комплексной, поскольку в выражение для //„ F.247) входит
комплексная величина к F.232).
Представим волновой вектор к в виде

240 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. в
где ] /c| = i/"(fc'J + (/c"J, igy — k"/k'. Тогда выражения F.243) для полей
можно переписать в виде
ну~\к\ ?oe-*v<*''-«'+«, (G'249)
где мы взяли для простоты только верхние знаки в F.243).
Из этих выражений видпо, что в проводящей среде волны электрического
и магнитного нолей сдвинуты по фазе па угол ф = arctg (k"lk'). В отсутствие
проводимости к" = 0 и сдвиг по фазе пропадает.
Реальные физические ноля Е и Н тле могут быть комплексными, и физиче-
физический смысл имеют либо действительные, либо мпимые части выражений
F.249). Взяв, например, действительные части от этих выражений, получаем
Ех = Eoe~h'z cos (fe'z—м),
1 ь- F-250)
Пу= -^-1 к | Eoe~h z cos (ft'z * + )
Мнимые части выражений F.249) также дают равноправные решения:
Ex = Eoe~h"z sin {к'z — Ы),
F.251)
В заключение рассмотрим выражение F.232) для волпового вектора к для
случаев малой и большой проводимости среды. Запишем выражение F.232),
выбрав в нем для простоты знак плюс:
-^jp F.252)
Если второе слагаемое в подкоренном выражении по абсолютной величине
много меньше, чем первое (малая проводимость), то справедливо приближен-
приближенное выражение
у F.253)
В этом случае
Уё1 /~Е^ F,254)
Как видно из этих формул, в случае малой проводимости расстояние L,
на котором волна F.250) затухает в е раз, обратпо пропорционально про-
проводимости:
^/|4 Iе-255)
Если е, ц и я не зависят от частоты, то величина L имеет одно и то же значе-
значение для волн всех частот.
В обратном предельном случае большой проводимости мы можем пре-
пренебречь первым слагаемым под корнем в F.252) по сравнению со вторым. Это
дает
/°p F.256)

§ 6.15] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ ПРОНОДЯЩЕЙ СРКДИ 241
15 этом случае действительная и мнимая части волнопого вектора к равны
по величине. Расстояние L, на котором волпа затухает н е. ра,ч, равно
i = -nr=l/—• F.257)
к V ocoli v '
Эта величина носит название глубины скин-слоя (от апглийского «skin»—
шкура); название обусловлено тем, что если плоская электромагнитная волна
падает па хорошо проводящее тело (металл), то она быстро затухает, и поэтому
поле отлично от нуля только в узком слое вблизи поверхности, причем тол-
толщина (глубина) этого слоя по порядку величины равпа L. Если иицне зави-
бят от частоты, то глубипа скин-слоя L обратно пропорциональна корню
из частоты падающей волны.
В приведенных выше рассуждениях мы считали, что частота электромаг-
электромагнитной волны о есть величина задаппая, и из дисперсионного уравнения
F.230) паходили волновой вектор. Мы могли бы поступить иначе, а именно
задать длипу полны или отвечающий си действительный волновой вектор
ft = 2я/Х и затем из дисперсионного уравпепия искать частоту волны. Это
дает выражение для частоты волпы ш через волновой вектор к и параметры
среды а, ц, а:
"'-. F.258)
Мы пе будем здесь подробно анализировать это ныражение; отметим только,
что оба корня соь2 при положительных значениях е, li и ст всегда имеют отри-
отрицательную мнимую часть, что соответствует затуханию волны во времени.
Действительно, зависимость поля от времени имеет вид <Г~ . Величина со
определяется комплексным выражением F.258), которое мы можем записать
в виде со = со' -j- гк>", где со' — действительная часть частоты, а to" — мни-
мнимая часть. Если со" < 0, то легко видеть, что множитель e~itat будет затухать
со временем но закону е+ш"' (пе забудьте, что со" — отрицательная величина,
а время изменяется только в положительном направлении!).
Рассмотрим теперь уравнения для потенциалов электромагнитного поля
в движущейся проводящей среде. Как известно, в покоящейся однородной
изотропной проводящей среде между током проводимости jc и электричес-
электрическим полем В существует соотношение
jc = оЕ.
При переходе к четырехмерным обозначениям мы должны считать, что
компоненты тока образуют четырехмерный вектор, а электрическое иоле
выражается через элементы тензора второго ранга Ftll (см. F.29)). Поэтому
в релятивистской инвариантной записи величина о* долнша выражаться через
элементы некоторого тензора третьего ранга:
1т, с z=amhi^'hl' F.259)
Нетрудно проверить, что для тензора третьего ранга o"mft; можно принять
следующее выражение:
0 " " ' " ч F.260)
Если это выражение подставить в соотношение F.259), то в системе покоя
среды (?/, = и.л — ия = 0, Ui = ic) получим jc = at). Если же среда
движется со скоростью V, то из F.259) и F.260) с учетом F.29а) получаем
jhc = oUhFih. F.261)
16 В. А Угаров

242 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
Это соотношение, в соответствии с формулой F.81), эквивалентно следующим
формулам:
Первое из этих соотношений имеет простой физический смысл — это лакоп
Ома для движущегося проводника. Мпожитель при а в первом соотношении
определяет электрическое поло в системе иокоя среды. Второе соотношение
говорит о том, что если покоящийся проводник с током электрически нейтра-
нейтрален, то при его движении со скоростью V па пем появляется электрический
заряд (см. § 6.1, где дано физическое истолкование этого явления).
В случае движущейся проводящей среды уравпение F.60) следует запи-
записать в виде
где sm, с з /т, с определяется формулами F.259), F.230) и F.261). С учетом
F.261) последнее равенство перепишется так:
Подставим в это уравнение значение /mfe из соотношения F.200), где
тензор ЪтпЫп определяется согласно F.201). Тогда последнее уравнение стапет
уравнением для компонент тензора Fmk. Если теперь в полученном уравпепии
выразить Fmh через потенциалы ноля по формулам F.199), мы получпм урав-
уравнение для потенциалов поля в движущейся проводящей среде:
(G.262)
При этом потенциалы Фт удовлетворяют следующему дополнительному
условию:
Это условие является обобщением условия F.210) па случай среды с прово-
проводимостью.
Если в среде отсутствуют источники sft) то мы получаем из F.262) систему
однородпых уравнений
¦?-* («.¦&)'-» ("?)}•-*
Эта система определяет распространение снободпых электромагнитных воли
в движущейся среде, которая в системе покои характеризуется диэлектри-
диэлектрической проницаемостью е, магнитной проницаемостью ,11 и проводимостью а.
Ксли п такой среде распространяется плоская электромагнитная волна
вида F.216), то соотношение между частотой ю и волновым вектором к в этой
волне, как следует из последнего уранелия, имеет вид
fc2--^L— х тЦы-kVf+i о> Г(ш —/сГ) = 0. F.263)
Это дисперсионное уравнение получается из предыдущего дифференциаль-
дифференциального уравпения, если учесть, что в применении к плоской волне вида F.216)
оператор градиента V = д/дг равносилен умножению на — Не, а оператор

§ 6.15] ПОТЕНЦИАЛЫ ПОЛЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 243
дифференцирования по времени dldt равносилен умножению на iia. Если
проводимость среды о обращается в нуль, то уравнение F.263) переходит
в уравнение F.218).
Ил ураннения @.263) мы можем, задав частоту электромагнитной волны <а
и паправленио ее распространения, определить величину волнового вектора к
(и том самым длину волны Я. = 2л//с). И наоборот, задав величипу и направ-
направление волнового вектора к, мы можом определить частоту волиы ш. Если
одну из величин к или ш считать заданной, то уравнение F.263) является
квадратным уравнепием относительно другой из этих величин. Ото квадрат-
квадратное уравнение имеет комплексные коэффициенты, и поэтому его решения
являются комплексными. Из вида волны F.216) следует, что если частота
ее комплексна, то волна уже не является монохроматической и либо нарастает,
либо затухает во времени по экспоненциальному закону. При этом показа-
показатель затухавия (или парастания) равен мнимой части частоты ш. Если мни-
мнимая часть со" частоты ш положительна, то волпа затухает со временем, а если
мнимая часть ю" отрицательна, то волна нарастает во времени.
Если в уравнении F.263) заданными является частота со волны и направ-
направление ее распространения (угол 0 между V и А), то мы получаем квадратпое-
уравнение для абсолютной величины волнового вектора к. Решение этого
уравнения также дает для к, пообще говоря, комплексные значения. Два
комплексно сопряженных корня уравнепия F.263) для этого случая соот-
соответствуют тому, что волна нарастает или затухает в пространстве по экспо-
экспоненциальному закону. В дальнейшем мы ограничимся случаем малого затуха-
затухания, когда можно считать мнимую часть решения уравнения F.263) для
к малой по сравнению с вещественной частью. Для этого случая знак мни-
мнимой части к по определяет того, нарастает или затухает волна в пространстве.
Действительно, пусть одно из решений уравнений F.263) при задапных
ю и 0 равно к' -'- ik", где к' — действительная часть к, а к" — мнимая. Направ-
Направление волнового вектора определяем едипичпым вектором п, так что
fc = кп = (к' -|- ik') п.
Направим ось z декартовой системы координат по вектору п. Тогда
волна F.216) запишется в виде
А=^Лйег^1-к^=-А^.е1<т-п>г\ F.2G4)
При малом затухании (к" < к') мы можем считать, что выражение F.264)
определяет волну с волновым вектором к' и частотой ю, причем амплитуда
этой волны меняется по зкепопенциальному закону eh"z. Пусть к" есть поло-
положительная величина. Для того чтобы сделать какие-либо заключения о пове-
поведении волны, надо знать направление распространения волны, т. е. знак
ее фазовой скорости. Фазовая скорость волны равна отношению w/k'. Дей-
Действительно, плоскость постояпной фазы полны F.264) определяется равеп-
7 / * ш * const
ством Ш — к z —- const, откуда г ~—rrt —,—. Из последнего соотпоше-
ния видно, что плоскость постоянной фазы перемещается со скоростью а/к'.
Если и>1к' > 0, то волпа F.264) распространяется в положительном направ-
направлении оси z. Тогда при к" > 0 волпа нарастает, а при к" < 0 затухает. Если же
а/к' <1 0, то волпа распространяется в отрицательном направлении оси z.
Тогда при к" > 0 волна затухает в направлении своего распространения
(хотя амплитуда ее и нарастает в положительном направлении оси z). Таким
образом, для того чтобы решить вопрос о том, затухает или нарастает волна,
мало знать закон изменения ее амплитуды в пространстве, нужно еще знать
направление ее распространения.
Существует простой способ, позволяющий судить о том, затухает или
нарастает волпа в направлении своего распространения. Составим выраже-
выражение wk"/k'. Если ото произведение положительно, то волна нарастает в направ-
16*

24-4 ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА I! РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. 6
лении своего распространения, в противном случае волна затухает. Нетрудно
видеть, что выра;кепие шк"/к' есть произведение фазовой скорости волпы
па декремент ватухапия волны в пространстве.
Рассмотрим теперь решение дисперсиоппого уравнения F.263). Пусть
волновой вектор волпы ранеп по величипе к и составляет с вектором ско-
скорости среды V угол 0. В этом случае kV = kV cos 0. Дисперсионное уравне-
уравнение F.263) является кнадратпым уравпепием отяоеительпо частоты со. Решая
его при .малой проводимости а и отбрасыпая все степени а выше первой, полу-
получаем
«1, 2==A + хГ2)-' |[кГ2/с7сой0 ±ск У"д] + г — ацТ [l + В^1°] } , F.265)
где х = Г!-~ , В - -^ , Г A - В2)-«/2, а Д -- 1 -i хГ2 A - В2 cos2 Э).
Как видно из'этого выражения, в случае, когда в системе покоя среды е[х>ео[хо,
т. е. при х = (л2 — 1)/с2 > 0, мнимая часть частоты ш в обоих решениях
псегда положительна, какова ом ни была скорость движения среды V. А это
зпачит, что при заданном волновом векторе к волна F.216) всегда затухает
во времени. Декремент затухания пропорциопалоп проводимости о.
Рассмотрим теперь случай, когда заданными величинами в волпе F.216)
являются частота ю и направление распространения волны, определяемое
углом 0. Тогда из дисиорсиоппого уравнения F.263) можно определить
величину волнового вектора к, отвечающую заданным зпаченпям ш и Э.
Решения итого уравнения пмеют вид feJi2 -= k'U2 ~'~ '^,ч- При малых а после
небольших преобразований получаем
ск[ --= а A -}- хГ2) (кВГ2 cos в + Va)~\
2ск'{ = — сацТ A — В3 cos2 0) A + В cos О Т/Л)-1; F.266
ск'2 = — (й (хВГ2 cos 0 + УК) A — хВ2Г2 сов2 в).
2ск'^ сацГ A +»cosO ]/"&) A—хВ2 Г2соя2 0)-1 Д~1/а.
Здесь величина Д в принятых нами предположениях всегда положительна.
С помощью выражений F.2(Ш) можпо пайти формулы для произведений
<й?[>2Д-{,2. Они имеют вид
_ю_ _ о|дс2Г A — В2 cos2 0) (хВГ2 cos Q+V Д)
К '"" 2A+хГ2)A-|-Всоз
_м_ _ а|дс2Г A + В cos Э У"Д)
Ж 2 ~ 2(хВг2 cos о -;- уд) Уд"
Отсюда сразу видно, что при условии я > 0 произведения a>k'{t.Jk[>2 при
любой скорости движения среды всегда отрицательны. Это значит, что в дви-
движущейся проводящей среде волна F.216) всегда затухает в направлении
своего распространения. Единственная особенность движущейся среды
заключается в том, что при скорости движения среды, удовлетворяющей
условию 1 — хВ2Г2 cos2 Э = 0 или В = 1/A + х cos3 0), вещественная и мни-
мнимая части второго решепия одновременно меняют знак.
Потепциалы, получаемые как решепия уравнений F.211) и (ti.262), могут
быть с успехом использованы для решения других задач (см. список литера-
литературы), но болыиипство из них выходит из круга тех вопросов, которые рас-
рассматриваются в зтой книге.

Глава 7
ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Свет, как частный случай электромагнитных волн,
описывается теорией Максвелла. Теория Максвелла, как мы убе-
убедились в предыдущей главе, удовлетворяет всем требованиям
теории относительности и поэтому должна правильно описывать
свойства такого типично релятивистского объекта, каким является
свет. Но и в теории относительности распространение света
в вакууме занимает особое место. Мы уже подчеркивали, что ско-
скорость света в вакууме — ято верхний предел возможной скорости
передачи сигнала и недостижимая граница скорости для тел,
обладающих конечной массой покоя. Кроме того, основой всей
СТО является утверждение о том, что скорость света в вакууме
имеет одно и то же значение, в какой бы ILCO ее ни определяли.
Теория Максвелла — макроскопическая теория. В этой главе
удобно привлечь также микроскопическую и даже отчасти кванто-
квантовую картину. Речь идет о введении фотонов. В некотором отпоше-
нии введение квантовых представлений ведет к очень наглядной
картине. Использование теории относительности становится про-
просто необходимым, когда рассматриваются оптические явления,
связанные с относительным движепием тел (доплер-эффект, абер-
аберрация).
§ 7.1. Свойства плоских световых волн. Теория Максвелла
показывает, что в однородной изотропной среде (е — const, u. =
= const), проводимость которой а равна нулю, зависящие от
времени векторы поля _Е и f? (так же как и нроиорциональпые
им D и В) удовлетворяют волновым уравнениям
Это означает, что в однородной непроводящей среде могут
распространяться волны, фазовая скорость которых v = l/]/e(i
определяется исключительно свойствами среды. Одно из возмож-
возможных решений G.1) — плоские волны:
E = i:oe^l-kr\ H = n<fi4*t-kr\ G.2)

246 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
где (о — круговая частота (предполагается, что векторы поля
зависят от времени по гармоническому закону, волновой вектор к
направлен по нормали к поверхности равных фаз (волновой
фронт)). Из G.1) следует, что абсолютная величина волнового
вектора к равна (a/v, если речь идет о распространении волн в сре-
среде, и (а/с, если волна распространяется в вакууме. Поскольку
пл= \^гц/гоцп, можно написать в общем случае
fc = — ns, G.3)
где s — единичный вектор в направлении распространения.
Для вакуума п = 1. Фаза волны G.2) есть (at — кг, поэтому
поверхность равных фаз определяется уравнением (at — Avr—
= const. В данный момент времени она представляет собой пло-
плоскость kr= const, вектор нормали к которой направлен по к
(г — это обычный трехмерный радиус-вектор). С течением времени
эта плоскость перемещается в пространстве параллельно самой
себе согласно уравнению кг = const + (at.
Плоские волны G.2) должны удовлетворять не только волно-
волновым уравнениям G.1), но и уравнениям Максвелла F.56) и F.57)
в отсутствие зарядов (р = 0) и токов (i=-0); подставляя G.2)
в уравнения Максвелла, можно прийти к следующим резуль-
результатам. В плоской волне, распространяющейся в однородной
среде, векторы Е, Н ш к образуют правую тройку, т. е. они
взаимно перпендикулярны и векторное произведение любой
пары из них, взятой в указанном порядке, определяет направ-
направление третьего вектора.
Что касается соотношения между амплитудами, то справедливо
соотношение У\ьН = У&Е, т. е. для вакуума, где В = \х0Н,
а е = е0, мы получим Е = сВ.
Вектор Пойнтинга S направлен по направлению вектора к,
а его абсолютная величина равна произведению плотности энергии
в плоской волне на скорость распространения волны v, т. е. S =
= wv, или 8 = wv (к/к), где w — плотность энергии в электро-
электромагнитной волне. Этот результат имеет ясный физический смысл:
вектор Пойнтинга определяет поток энергии через единицу площа-
площади в единицу времени через площадку, расположенную нормально
к падающей волне. Но через единичный участок такой площадки
за единицу времени иройдет вся энергия, заключенная в цилиндре,
направляющей которого служит контур единичной площадки,
а образующими — прямые, параллельные направлению распро-
распространении волны. Высоту цилиндра нужно взять равной v. Вели-
Величина v определяет в этом случае объем построенного цилиндра,
а произведение vw — содержащуюся в цилиндре энергию электро-
электромагнитного поля. Все это и дает S = vw. Отметим еще, что в

§ 7.1] СВОЙСТВА ПЛОСКИХ СВЕТОВЫХ ВОЛН 247
плоской волне
w= ^-— = в/?2,
а в вакууме w = s0E'2.
Импульс единицы объема (плотность импульса) электромагнит-
электромагнитного поля в вакууме д равен S/c*. Для плоской волны в вакууме,
где S = cw, получим д = (wlc) (к/к), откуда
g — wlc. G.4)
Вопрос о плотности импульса поля в среде будет рассмотрен
в § 7 этой главы. Вспоминая инварианты электромагнитного
поля 1г и 12 (§ 6.5), мы обнаруживаем, что для плоской волны
в вакууме оба инварианта обращаются в нуль. Это означает, что
в любой системе векторы Е и Н плоской волны ортогональны,
а соотношение между их амплитудами всегда одно и то же. В систе-
системе К' плоская волна должна иметь вид
Е'= E'tf№'*'-*'г'\ G.5)
Состояние волны в мировой точке R(r, ict), т.е. фаза волны,
не может зависеть от выбора системы отсчета, поэтому фаза
at — кг должна быть инвариантом преобразований Лоренца.
Следовательно,
at — кхх — куу — kzz — a't' — kW — k'vy' — k'zz'. G.6)
Подставляя формулы преобразования для х', у', z', t' B.37) в пра-
правую часть G.6), получим
(О v
t х 1 — к'хТ (x — Vt) — k'yy — kzZ.
Это — тождество относительно t, x, у, z. Учитывая, что к--ale
7 СО 7 Ш I (U ,
и кх — — sx, ку== — Sy, kz — — sz (s — единичный вектор, совна-
дающий по направлению с к,), мы получим 1 к = — g
W-=(oT(l-f Bsi), <usxr--(u'T(ti + s'x), asy = a'sy, asz^a's'2. G.7)
Из этих формул можно легко получить формулы, описывающие
эффект Доилера (изменение длины волны света, испускаемого
движущимся относительпо паблюдателя источником) и аберрацию
«вета (изменение направления наблюдаемого луча света при пере-
переходе от одной инерциалыюй системы к другой); однако, чтобы
не повторяться, мы получим формулы G.7) сначала несколько
иначе, а затем уже, в следующем параграфе, займемся их след-
следствиями.
Мы хотим сразу стать на четырехмерную точку зрения. Было
уже отмечено, что фаза оо? — кг должна быть инвариантом

248 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
преобразований Лоренца. Но это выражение автоматически стано-
становится инвариантом, если представить его как скалярное нроиз-
ведепие 4-векторов (инвариаптность скалярного произведения
доказана в Приложении I, § 4). Для этого, наряду с 4-радиус-век-
тором R(r,ict), достаточно ввести 4-волновой вектор kilt, i — \.
Тогда &t — кг = —kR. Введение 4-волнового вектора к удобно
прежде всего потому, что мы сразу же получаем правило пре-
преобразования его компонент при переходе от одной ИСО к другой.
Если плоская световая волна распространяется в системе К',
то при переходе к системе К меняется как направление распростра-
распространения световой волны, так и наблюдаемая частота. Мы увидим,
что изменяется также и амплитуда плоской волны. Формулы
преобразования величип, характеризующих световую волну
в системах отсчета К и К', можно легко получить, если учесть, что
в плоской световой волне обычный волновой вектор /с совместно
с i (со/с) образуют 4-вектор к.
§ 7.2. 4-волновой вектор. Эффект Доплера. Аберрация света.
Рассмотрим плоскую световую волну, наблюдаемую в системе
отсчета К' и характеризуемую 4-вектором к'; выбираем систему К'
так, чтобы луч света распространялся в этой системе в плоско-
плоскости (х , у') и составлял угол ¦О1' с осью х'. Выпишем компоненты
4-вектора:
к\=к' cos 0' = — cos ¦&', к' ¦-= к' sin ft' = — sin &,
G.8)
Найдем компоненты 4-вектора к в системе К. По общим форму-
формулам D.10а)
&а = Г (ft; - iBk\), k2 = к'г, кг = к'а, к, = Г (к[ + iBk[). G.9)
Поскольку к3 = 0, в системе К луч также лежит в плоскости (х, у).
Следовательно, 4-вектор к в системе К имеет компоненты
к (— cos ¦0, — sin ¦&, 0, i —1 . Из последней формулы G.9) найдем
\ с с с /
j_-=r^— -f-iB — cos*').
или
<в = @'1+ВсмУ_==(вТ, 1+Вс08ф'ч G.10)
Следовательно, если в системе К' частота света была равпа со',
то в системе К она уже будет согласно G.10) иной (ср. с форму-

§ 7.2] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА. АБЕРРАЦИЯ СВЕТА 249
ламп G.7)). Из первой формулы G.9) вытекает, что
-^созО = Г(— cosft'-iBi — ),
с \ с с Г
или, если принять во внимание G.10),
n fi>' fi , n/ . ,)ч COS О'-)-В ._ . , .
со3О = —r(cosf> -|-")-1 + Вс(^, • G.11)
С учетом формулы G.10) из второй формулы G.9) получим
sin ft =— sin •О — , | u ^т- sin ft — „ .. , n птг- G-12)
о l-j-BcosO 1 A+Bcasu) v '
Нетрудно с помощью G.11) и G.12) найти выражение для sin &'
через угол ¦&:
Обратите внимание на то, что G.12') сразу же получается из
G.12), если заменить штрихованные величины на поштрихованны»
и наоборот, а знак скорости V изменить на противоположный.
Полученные формулы позволяют дать количественное объяснение
двум оптическим эффектам — аффекту Доплера и аберрации
света. Эффект Доплера (он обнаруживается для волн любого харак-
характера) заключается в том, что при относительном движении источ-
источника и наблюдателя (приемника) частота (звука или света), опре-
определяемая наблюдателем, отличается от частоты, измеренной
в системе отсчета, где источник покоится.
Пусть источник покоится в системе К'. Тогда приборы, нокоя-
щиеся в этой системе, определят собственную частоту источника
сдета ю0 (ш0 = со').
Определяя частоту со в системе К, нам важнее знать угол ¦&,
а не ¦&'. Из формулы G.11) следует, что
cos ft — В
cos ft' =
1—Bcos# '
откуда 1 + В cos ft' = A — B2)/(l — В cos ft), и, следовательно,
G.10) можно окончательно записать так:
¦ G.13)
Эта формула и описывает эффект Доплера. Наблюдатель в К обна-
обнаружит частоту излучения ю, не совпадающую с собственной часто-
частотой источника соо. Наблюдаемая частота со зависит не только от
относительной скорости источника и наблюдателя (В = V/cO
но и от угла ft, под которым свет идет к наблюдателю.
В частности, если излучение принимается в направлении
относительной скорости, то мы имеем так называемый продольный

250
ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО
[ГЛ. 7
эффект Доплера. Если К' находится правее К, то источник уда-
удаляется от наблюдателя и свет движется is направлении, противо-
противоположном направлению оси х (рис. 7.1, а). Следовательно, cos ¦& =
= cos я = —1. Тогда из G.13) для частоты со и периода Т =
= 2я/со имеем
la_B
т-
1 --
Наблюдатель, принимающий свет от удаляющегося источника,
обнаруживает уменьшение частоты.
К
Наблюдатель
СВет
К'
Источник
СЬет
К' а) К
Источник d = 0 Наблюдатель
х,х'
К'
Источник
Coemf^\l} = Tl/2
Наблюдатель
х,х'
Рис. 7.1. Продольный эффект Доплера: а) наблюдатель и источник удаляются друг от
друга; 6) наблюдатель и источник сближаются, в) Поперечный эффект Доплера
Напротив, если К' находится слева от К (рис. 7.1, б), то
cos ¦& = 1 и источник приближается к наблюдателю:
1 —В
Частота принимаемого света увеличивается по сравнению
с собственной частотой соо. С точностью до членов В2 две последние
формулы можно переписать так (проще всего умножить числитель
в знаменатель дроби под корнем на числитель):
со = со0 A — В), со = со0 A + В).
Можно объединить обе формулы:
к> — »о Дм .и

§ 7.2] ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА. АБЕРРАЦИЯ СВЕТА 251
Таким образом, продольный эффект Доплера оказывается
эффектом первого порядка относительно В. С точностью до второго
порядка относительно В полученные формулы совпадают с клас-
классическими формулами, вытекающими из элементарных соображе-
соображений (§ 3.3).
Если же свет наблюдается в направлении, перпендикулярном
скорости источпика (рис. 7.1, в), этот случай соответствует $ =л /2
и называется поперечным эффектом Доплера — изменение частоты
описывается уже формулой
со,
и зависит уже от В2. Если скорости движения источника нереля-
нерелятивистские, разложение бинома дает
и = соо A — В2/2).
Этот эффект является эффектом второго порядка, поэтому его
наблюдение гораздо труднее, чем наблюдепие продольного эффек-
эффекта. Неудивительно поэтому, что поперечный доплер-эффект был
обнаружен лишь в 1938 г. (Айве), причем релятивистская формула
была полностью подтверждена *). Еща раз напомним, что в клас-
классической теории никакого поперечного доплер-эффекта быть не
должно (ср. § 3.3). Поперечный доплер-эффект возникает исклю-
исключительно из-за относительности промежутков времени между
событиями.
Перепишем формулу G.13) в виде, который был использован
нами в § 6.15. Соберем справа величины, относящиеся к системе К:
, = Гсо (l—ilcosO) =Г (со — ^F cos fl-)= Г (со —kV). G.14)
Слева стоит собственная частота, справа — частота, наблю-
наблюдаемая в системе отсчета, которая движется со скоростью V,
причем направление распространения света определяется векто-
вектором к.
Формулы G.11) и G.12) совпадают с формулами, которые были
выведены непосредственно из формул преобразования скоростей;
поэтому они полностью описывают явление аберрации, о чем уже
упоминалось в § 3.6.
В частности, из G.11) и G.12) вытекает формула для угла
аберрации:
. <. sin iV l/"l — В2 ,„ . с.
*g# = В + cos ^ • <7Л5>
В заключение параграфа выведем полезную для дальнейшего
формулу преобразования элементарного телесного угла, записан-
записанного в сферических координатах. Выберем полярную ось в направ-
*) Подробности опытов Лйвса можно найти в книге: Г, С. Л андс-
б е р г, Оптика, «Наука», 1976, гл. XXI, § 124.

252 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
леции относительного движения двух систем (ось х, х). В систе-
системе К' элемент телесного угла dQ' запишется в виде dQ' =
— sin ft' d®' dtp' = —d (cos ¦&') dtp'. Поскольку координаты у и z
остаются без изменения, не меняется и координата ср (проекция
на плоскость, перпендикулярную нанравлению движения): ф = q/
и <2<р = dtp'. Из формулы, выписанной перед G.13), следует
откуда и получается нужная формула перехода:
поскольку в системе К элемент телесного угла dQ равен
dQ = sin ¦& d$ d(p.
§ 7.3. Ограниченная в пространстве плоская волна. Преобразо-
Преобразование энергии п амплитуды плоской волны. Вычислим компоненты
тензора энергии-имнульса-натяжений для плоской волны. Выбе-
Выберем ось х вдоль направления распространения волны, ось у' —
по направлению вектора Е', а ось z' — но наиравлению векто-
вектора В'. При таком выборе осей Е'х = D'x = В'х = Н'х = Е'г =
= D'z — Ну — В'у = 0. Тензор Ту, имеет простой вид (см. F.128),
F.148) и F.151)):
(— w' 0 0 — iuA
0 0 0 0 \ „ ,
О 0 0 О Г GЛ7)
— ш/ 0 0 w* I
Нам понадобятся компоненты тензора T\h также в том случае,
когда плоская волна распространяется в плоскости (х', у') под
углом ft'к оси х'. Этот переход осуществляется простым поворотом
координатной системы; матрица этого преобразования координат
имеет вид
(cosО' — sintf' 0 Ok
sin#' cosu' 0 0 I ,n .о,
О 0 10- GЛ8>
0 0 0 1/
Преобразуя компоненты тензора G.17) по общим формулам пре-
преобразования тензоров с помощью матрицы G.18), мы придем
к тензору T'ik-
,— u>'cos2fr' —w' sin ¦&' cos О' 0 —г
— w'sin О'cos d' — w'slnzft' 0 — i
0 0 0 0
,—iw' cos'ft' —iw' sin ¦&' 0 u;'

§ 7.3] ОГРАНИЧЕННАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПЛОСКАЯ ВОЛНА 253
Поэтому, в частности,
w' — w', S'x =-= cw cos 0', f[, =-- —w' cos2 $'. G.20)
Докажем теорему: ограниченная в пространстве по направле
нию своего распространения плоская волна (ипогда такую волну
называют «цугом поли») обладает импульсом и энергией, образу-
образующими 4-вектор, аналогичный 4-вектору энергии-имнульса мате-
материальной частицы (эта теорема является частным случаем более
общой теоремы *)). Для доказательства нам нужно знать формулу,
определяющую изменение объема, нанимаемого цугом волн, при
переходе от одной инерциальной системы к яругой. Трудность,
которая здесь возникает, состоит в том, что цуг движется со ско-
скоростью света с, а это значит, что объем цуга измерить л собствен-
собственной системе координат невозможно (систему отсчета, движущуюся
со скоростью света, внести нельзя!). Однако можно предпринять
обходный маневр, избежав введения собственного объема и совер-
совершив в конце концов предельный переход к скорости света.
Пусть и системе К' движется как целое некоторый объем со
скоростью v, причем в собственной системе координат его величи-
величина равна V'о- Тогда согласно C.28)
~
G.21)
Если рассматривать этот объем в системе К, то его скорость v
в этой системе будет уже определяться формулой C.41), и, следо-
следовательно, величина этого объема в системо К (мы обозначим эту
величину через f") равна
- яг л/\
-в*
второе равенство вытекает из формулы C.41). Здесь v' — это ско-
скорость движения объема в К'. Теперь, перейдя к пределу и' -> с,
получим нужную Формулу:
Таким образом, если некоторый обт>ем в системе К' был равен fr',
то и системе К, движущейся относительно К' со скоростью V,
*) Общая теорема из/южена, например, и книгах: [13], §57; В. Га йт -
л е р, К'ваптовая теория иалучопия, ИЛ, 19л(!, § 2. Сформулируем эту общую
теорему: в области пространства, где тензор Т^ удовлетворяет услопию
я— Tin -- 0, а па границах Tik — 0, компоненты Tifl образуют компонопты
4-вектора.

254 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
будет обнаружен объем, величина которого определяется согласна
G.22). Разумеется, для дифференциалов объемов имеет место
аналогичное соотношение:
1 -dT'. G.23)
а" 1+BccmV - Г A+В cos О')
Вернемся тенерь к доказательству теоремы. Применяя общие-
формулы преобразования тензора (П.Г.31) к тензору G.17), мы
получим компоненты четвертой строки матрицы Tih следующе-
следующего вида:
Г41 - ~iTW A -j- ВJ, Ti2 = О,
г4э = о, г44 = rw A + вJ,
а для тензора G.19) — компоненты
Г41 = -»rW (В -Ь cos-О') A + В cos О'),
У42 - -iTw' sin О' A -' В cos*'), G-2S>
^s - 0, Ти - TV A + В cos ft'J.
Естественно, что при ¦&' — 0 формулы G.25) переходят в G.24)*
Докагкем теперь, что компоненты G.25), а следовательно, в частном
случае и G.24), умноженные на объем или элемент объема, в нуж-
нужной системе отсчета преобразуются, как векторы. Действительно,.
например,
Ти dT^T(- iw' cos ¦»' - iBw') dT' = Г (T'Ai &T' - ШТ'М dT'),
Tk2dT=--T'i2dT', TitdT-=T'udT'^0, G.2C)
Г44dT = Г (u/ + IW cos 0) dT' - Г (Т;4 dy + iBT'u dT').
Сравнивая полученные формулы G.26) с формулами для пре-
преобразования векторов, нриходим к выводу, что величины Г4,, Ti2t
^43i ^44i T- e- компоненты четвертой строки тензора G.17) или
G.19), умножеппые на соответствующий элемент объема, состав-
составляют 4-вектор.
Разумеется, этот результат сохраняется после интегрирования
по объему или умножения на полный объем в том случае, когда
компоненты тензора Tih не зависят от координат, как это имеет
место в плоской волне.
Найдем полную энергию цуга в системе К' (см. G.19)):
U' --- j f\ldT' = j w' dT'. G.27)
го импульса цуга определяются ф
x = -\ T'u dT' = - \ (- iw' cos*') dT' = — cos 0-',
C I C
Компоненты полного импульса цуга определяются формулами
r ~ I G-28>
G'y = - T'2i dT' = — sin *', G; = 0.
С J С

§ 7.3] ОГРАНИЧЕННАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПЛОСКАЯ ВОЛНА 255
Аналогичный расчет можно проделать и в if, причем формулы
G.25) позволяют найти преобразование полной эпергии непо-
непосредственно:
f
= Г A + В cos iV)U'. G.29)
Вычислим также составляющие полпого импульса:
с J с J
= — Г (В + cosгУ)?/' = — cos*, G.30)
где мы использовали в последнем звене формулу G.И); аналогич-
аналогично, используя G.12), получим
л df =. — V sin *' —-- — Г A -j~ В cos *') U' sin * ¦—
с с
и . „
— — sin *.
с
Таким образом, в любой инерциальпой системе отсчета можно
ввести 4-вектор
Р (—'cos*', —sin*', 0, i —), G.31)
\ с с ' ' с ) ' v '
причем во всех системах отсчета Р'г = 0.
Из условия Р'2 = 0 вытекает, что световая волна в вакууме
ни в какой инерциальной системе отсчета не может оказаться
в покое. Сравнивая компоненты Р' G.31) с компонентами к' G.8),
мы видим, что формулы преобразования U' и со' должны быть
одинаковыми. Это значит, что отпошение С/'/со' должно быть
инвариантным. Следовательно, энергия одного и того же нуга,
измеренная разными наблюдателями, оказывается различной.
Отношение энергий равно отношению частот монохроматического
излучения, образующего цуг. Частоты определяются теми же
наблюдателями, которые измеряют энергию. Предполагается, что
цуг достаточно длинный, поскольку иначе он не будет даже при-
приблизительно монохроматическим.
Из полученных формул легко установить закон преобразова-
преобразования амплитуд в плоской волне. Действительно, из G.25) для пре-
преобразования плотности энергии имеем
w = ы/Г2A -г В cos*'J.
Сравнивая это выражение с формулой преобразования G.10) для
частоты:
со = <вТA -\- В cos*'),

256
ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО
[ГЛ. 7
мы видим, что плотность энергии прообразуется, как квадрат
частоты. Поскольку плотность энергии есть квадратичная функ-
функция амплитуд поля плоской волны, то отсюда вытекает, что ампли-
амплитуды is плоской волне преобразу-
преобразуются б о тому же закону, что и
частота.
В качестве иллюстрации при-
применения представления об элек-
электромагнитной волне как о систе-
системе, имиульс и энергия которой
»,_/ образуют 4-вектор, рассмотрим
' преобразование углового распре-
распределения излучения дипольного
осциллятора от системы К', где
его центр инерции неподвижен,
к любой другой ИСО. Как изве-
известно, и системе отсчета, где центр
инерции осциллятора иокоится,
а полярная ось направлена вдоль
оси осциллятора, интенсивность
излучения dl' в направлении
(¦&', ф') раина dl' (¦&', ср') --
— const -sin2 ¦&' dQ'. Но интен-
интенсивность излучения dl — dE/dt,
т. е. энергия, излучаемая в дан-
данном направлении в едипицу вре-
времени, является величиной относительной. Легко найти закон ее
преобразовании; для излучения de — cdP, где dP — доля
импульса, уходящая с излучением в заданном направлении, при-
причем с?е' — с dP'. Согласно преобразованиям Лоренца
de' - Г (de - У dJP) = Г (da - V dP cos fl) = Г de A — В cos О),
dt' =|й
{dl' — собственное время). Разделив почленно верхнее равенство
на нижнее, получим
Vjio. 7.2. Измененяе угяопого распре-
распределения излучения ДИПО-1ЫЮГ0 осцил-
осциллятора при переходе от системы отсче-
отсчета К', в которой он покоится (I! г= 0),
к системе отсчета К, относительно ко-
которой он движется (В = 1/2). Видно,
как маьсн.мум излучеиия наклоняется
п сторону движения осциллятора. Ось
осциллятора направлена но направле-
направлению движения ооци 1Лятора.
fH J!L — _^L \
" dt "" dt' Г2A — В cos О) "~ Г2A —Bcosd) "
Тогда мы сразу получаем искомый результат:
sin2 i}' dQ' , sin2 ft' dQ
dl — const -
— В COS О)
= const •
Г*A — BcosflK
= const •
V Sm2 0
¦dQ,

7.4]
ДАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ (СВЕТА)
257
где мы использовали формулы G.16) и G.12'). Из полученной фор-
формулы видно, что угловая зависимость излучения в системе К,
относительно которой осциллятор движется, существенно отли-
отличается от угловой зависимости в системе К', особенно в том слу-
случае, когда V та с. Максимум излучения приходится уже па неко-
некоторое направление, составляющее острый угол с осью осцилля-
осциллятора (рис. 7.2).
Любопытно рассмотреть, как выглядит изотропное в системе
отсчета К' излучение в системе К. У нас уже есть все необходимые
формулы. В этом случае dl' (ft', q>') = const-dQ' и
dl' const ,.-.,
dl =
Г2A — В cos О) Г2A — В cos ft)
const ><Й2
¦ = const •
¦йп.
Г4 A — В cos #J
Из последней формулы видеп «эффект прожектора» в К. Излуче-
Излучение копцентрируется вокруг направления Ь = О, поскольку мипи-
малыюе значение знаменатель при-
принимает (при заданном отношении
Vic) ири cos Ф ~ 1.
Волна
-х
Тело
Рис. 7.3. К вычислению давления, ока-
оказываемого электромагнитной полной на
поверхность.
п'НДО)
§ 7.4. Давление электромагнит-
электромагнитной волны (света) на поверхность.
Давление на поверхность тела,
т. е. силу, действующая на единицу
площади, определяется потоком
импульса через единилпую пло-
площадку и оптическими свойствами
поверхности; поток же выража-
выражается через пространственные ком-
попенты тензора энергии-импуль-
са-патя/кепий Гар, который для плоской волпы, в зависимо-
зависимости от направления ее распространения, имеет вид G.17) или
G.19). Если волна распространяется по оси х', то, как ото
видно из G.17), у тензора патяжений отлична от нуля лишь
одна компонента Т'хх = —w'. Чтобы найти поток импульса
через заданный олемепт поверхности, нужно задать направление
нормали к этой поверхности п (па). Тогда (см. гл. 6) поток импуль-
импульса через элемент dS с нормалью п равен (рис. 7.3)
S' = Т'ип[т[ dS',
потому что из всей двойной суммы отличен от пуля только один
член. Величина давления па площадку, нормальную к оси х\
равпа р' = Т'и — Т'хх — \w' \. Если световой импульс распро-
17 В. А. Угаров

258 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО ГГЛ. 7
страпяется со скоростью с, то за единицу времени на единицу пло-
площади попадет энергия, равная ю'с = %'. Но мы видели, что
ю' — р', откуда
р' - Ш'/с. G.32)
Следовательно, давление света равно эпоргии электромагпит-
пой волны, падающей за единицу времени на единицу площади,
деленной на с, если волна поглощается.
Определим теперь силу, с которой действует на стенку свето-
световая волна, падающая на нее под некоторым углом и отражающаяся
от нее. Пусть угол падения равен ft. Обозначим через п нормаль
к стенке, а через я и ,s' — едипичпые лекторы в направлении рас-
прострапепии падающей и отраженной волн. Поток импульса
через единицу площади даст силу давления р, причем компо-
компоненты этой силы будут
РЭ = Tafina + TZpia = (Та& + Пц) Па,
где ГаР и JJp — компоненты тензора натяжений падающей
и отраженной волн.
Компоненты Гар для волны, идущей под углом ft к оси х,
вьшисашл в G.19). Трехмерный волновой вектор отраженного луча
отличается от трехмерного волнового вектора падающего луча
заменой ft на —ft. Введем еще коэффициент отражения R, так что
w* = Rw. Имея в виду, что Ти — T'4i cos2^ — —w cos2u, a TI2 =
= T'u sin "& cos ft — —w sin ¦& cos ft, получим для нормальной
силы (светового давления)
рх ^ (w -f Rw) cos2 ft ^ w A -г Щ cos2 ft
и тангенциальной силы
ру — w A — R) sin ft cos ft.
Выпишем значения нормального давления рх для двух наи-
наиболее интересных случаев. При нормальном падении (ft — 0) и слу-
случае полного отражения давление равно 1w, а в случае полного
поглощения р — w. В случае изотропного излучения нужно
усреднить рх по всем направлениям, т. е. взять среднее значение
cos2 ft. Но среднее значение квадрата направляющего косинуса
единичного вектора, изотропного в пространстве, равно 1/3.
Таким образом, в случае полного поглощения изотропного излу-
излучения давление онределяется формулой р — w.'S.
Конечно, все приведенные формулы можно получить и элемен-
элементарным путем. Если исходить из величины плотности импульса
электромагнитного ноля g — Sic2 и выражения для величины век-
вектора Пойктинга в плоской волне S — we (w — плотность энер-
энергии), то g — wlc. Если плоская волна падает на стенку под углом О,
то на единичную площадку н единицу времени попадет вся онер-

§ 7.5] ОТРАЖЕНИЕ ОТ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ (ЗЕРКАЛА) 259
гия и весь импульс, заключенные в косом цилиндре с основанием
в единичную площадку и образующей, равной скорости распро-
распространения света. Объем такого цилиндра равен ccosd. Поэтому
за 1 сек на 1 см2 стенки падает энергия % — we cos г1), а импульс Gx,
передаваемый в направлении, перпендикулярном стенке, за 1 ее,
равен Gx = g cos-О1-с cos О = w cos2i§. Но импульс, передаваемый
в единицу времени на единицу площадки, как раз и равен давле-
давлению р. Вводя, как и раньше, коэффициент отражения R, получим
р =¦¦ w A + П) cos2 О.
§ 7.5. Изменение частоты света при отражении от движущейся
поверхности (зеркала). Пусть в системе К луч света движется иод
углом ¦&<) к оси х в плоскости (х, у). Зеркало, расположенное парал-
параллельно оси у, движется со скоростью V относительно системы
отсчета К. Луч спета, доходя до зеркала, отражается. Пас инте-
интересует частота отраженного света и его направление, если их
определять в системе К.
Удобно внести систему отсчета К', связанную с зеркалом.
Тогда задача решается следующим образом. В системе К задал
4-вектор светового луча, т. е. частота света и направление его
распространения. Нетрудно найти по формулам преобразований
Лоренца частоту света и направление луча в системе К'. Но в систе-
системе К', где зеркало неподвижно, справедлив обычный закон отраже-
отражения: угол падения ранен углу отражения. Ото означает, что
4-вектор отраженного луча отличается от 4-вектора падающего
луча лишь знаком компоненты волнового вектора по оси х. Чтобы
получить 4-вектор отраженного луча в системе К, нужно
еще раз применить преобразования Лоренца.
Итак, пусть в системе К распространяется луч света частоты соо
под углом "О10 к оси х; луч движется в плоскости (х, у). Компоненты
4-вектора к0 в системе К будут
/c? = fc°co.s#0 = -^-co.s#0, кйа--.0,
° G.33)
к\ = к° sin 0-0 = -^- sin г%, kJ = i-^= ik\
Найдем 4-вектор того же луча в системе К', обозначив его
через к'; согласно преобразованиям Лоренца D.10а)
й; = Г(йг + /вэд, к = к°2, к-к, к; = г(кЧ-шк). G.34)
При отражении от зеркала, покоящеюся и К', компонента к[
меняет знак; поэтому 4-вектор отраженного луча к" запишется
в виде
к\= — Г(fcM-?В/с»), /tv-=/d, k" = ka3, k'[=-Y{kl — iBk\). G.35)
\1*

260
ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО
[ГЛ. 7
Отраженный луч в системе К будет описываться 4-вектором к,
который получается обратными преобразованиями Лоренца (от
системы К' к системе К) 4-вектора к":
/d = Г (к' - (Вк\) = — Г2 {A 4- В2) к\ + 2JB&S) -
¦=—rz^Lftl + B^cosOo —2B}, G.36)
Лс2 = А;" = —^- sin Tf^o-i ^3 = ^3 — 0, G.37)
fc4 = Г (й; 4- Шй!) = Г2 {A 4- В2) к\ - 2Шй?} =
^iP-^-{(H-B2)-2Bcosfl-0}. G.38)
Так как &3 = Щ -¦ 0, то и после отражения свет остается в
н'
1,
т,т.'
плоскости (х, у). Полагая
kt — — cos ¦0, к2 = — sin
из соотношения G.38) получим
«0
1 —В2
' У/-'///////У/
X'
Следовательно, наблюдаемая и
системе К частота отраженного
спет:» о уже не равна частоте
падающего света соо.
Для тангенса угла отраже-
отражения в системе К получим
X
В)
Рис. 7 4 Отраженно света от движущегося
зеркала, а) Зерьало двил^сгся перпендику-
перпендикулярно своей поверхности. При отражении
меняется час-юга и »гол падспип не равен
углу oi рлжечшн. б) Зеркало движется парал-
параллельно своем поперхности При отражении
частота остается неизменной; угол паде-
падения равен >гту отражения.
ния света на зеркало. Пусть и
Тогда мы получим
^2В« <71)
Из G.41) видно, что Ф^Фо",
поэтому угол падения и угол
отражения в системе К оказы-
оказываются различными (рис. 7.4, а).
Полезно выписать формулы
для случая нормального паде-
системе К угол падения Ьй = 0.
»= —1, sinft = 0. G.42)

5 7.5] ОТРАЖЕНИЕ ОТ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ (ЗЕРКАЛА) 261
Из G.42) вытекает, что и после отражения спет распространяется
по нормали к зеркалу, по п направлении, противоположном
первоначальному. Система К', где иокоитси зеркало, двигалась
в том же направлении, в которой распространялся свет. Частота
света при отражении уменьшалась.
Если зеркало движется навстречу лучу, то величина В меняет
знак и мы соответственно получае.м
и = шо <_в » cos О — — 1, sin Ь = 0.
Частота света при отражении возрастает.
Используя этот эффект, можно определять скорость движуще-
движущегося предмета, например автомобиля. Если автомобиль едет
навстречу наблюдателю, то изменение частоты нри отражении
определяется по G.40) с точностью до членов ~В2 (Дсо = со — о)„):
Если, например, скорость автомобиля 72 км/ч — 20 м/сек, то
on
В — w » 0,6-10~7. Такое относительное изменение частоты
легко обнаруживается стандартными приборами.
Мы рассмотрели случай, когда скорость зеркала направлена
по нормали к нему. Но зеркало может двигаться и параллельно
своей плоскости (рис. 7.4, б). В этом случае нам придется несколь-
несколько видоизмепить использованные формулы. Формулы G.33)
и G.34) остаются, разумеется, без изменений. Однако при отраже-
отражении меняется знак уже у к2; поэтому
k"t = Г (ft? + iYikl), kl = - к°г, к; = А°, к"К = Г (к\ - (йк\). G.44)
Поскольку к3 = &° — 0, после отражения свет остается по-преж-
по-прежнему в плоскости (х, у). Возвращаясь обратно в систему К,
получим
koi, G.45)
G-46)
G.47)
koi. G.48)
Из G.48) мы сразу же получаем, что со = соо, а составив
tgft = кг/кг, мы обнаруживаем, что tgft = — tg¦fl-0, т.е. что
# = —-б1,,. Следовательпо, при движении зеркала параллельно
самому себе частота падающего света равна частоте отраженного
света, а угол падения равен углу отражения (в системе К).
В заключение выпишем формулы, соответствующие отраже-
отражению от зеркала, движущегося нормально своей плоскости, в пере-

262 ОПТИЧКСКИК ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
литивистском приближении, т. е. в том случае, когда скорость
зеркала невелика: В — Vic <^ 1. Пренебрегая всеми членами
порядка В2, получим соответственно
со - соо A — 2В cosft0),
cos ft cos ft0 - 2B sin2 fl0,
sin ft — sin ft0 — 2B sin ft0 cos ft0.
При нормальном падении на зеркало (ft0 — 0) луч отражается
в направлении, противоположном исходному, а частота меняется
по закону
co = coo(l-2—), G.49)
если зеркало движется в том же нацравлении, что и луч света.
Если зеркало движется навстречу свету, то
G.50)
Формулы G.49) и G.50) допускают простое истолкование
Отраженный свет можно представлять себе идущим от мнимого
источника, расположенного за зеркалом, причем скорость этого
мнимого источника равна 2V. Поэтому, если заменить мнимый
источник реальным, с той же собственной частотой ю0, изменение
частоты согласно G.49) или G.50) будет просто соответствовать
эффекту Доплера для этого источника.
Рассмотренные случаи отражения света от движущегося зерка-
зеркала представляют собой частные случаи общей задачи об электро-
электромагнитных явлениях на движущейся границе, разделяющей дне
среды.
§ 7.6. Световые кванты (фотоны) как релятивистские частицы.
Релятивистская механика, изложенная в гл. 5, строилась для
частиц, обладающих конечной (отличной от нуля) массой нокоя.
Ото видно, в частности, из того, что 4-импульс частицы Р — mV
имеет смысл лишь при условии т =?*= 0. Частицы с отличной от нуля
массой покоя называют иногда тардионами. Все такие частицы
не могут достичь скорости с за счет ускорения. Это видно прежде
всего из того, что для этого им нужно было бы передать беско-
бесконечную энергию и импульс (g — тс^у, р — myv, но при v -*- с
множитель 7 ~*" °°)- Решение всех конкретных задач, приведен-
приведенных в гл. 5, показывает, что в любом случае о остается меньше с.
Рассматривая взаимодействие электромагнитного поля с микро-
микрочастицами, физики столкнулись с тем, что при таком взаимодей-
взаимодействии микрочастица (например, электрон) получает от электро-
электромагнитного поля всегда определенную энергию и определенный

§ 7.6] ФОТОНЫ КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЧАСТИЦЫ 263
импульс (речь идет для простоты о монохроматическом излуче-
излучении, т. е. излучении с заданной частотой со). Впервые предположе-
предположение о том, что электромагнитное поле передает энергию электрону
определенными порциями — квантами,— было высказано А. Эйн-
Эйнштейном в связи с теорией фотоэффекта A905 г.). Для объяснения
рассеяния энергичного у-кванта на электронах пришлось пред-
предположить, что электромагнитное поле передает электрону не
только оцределенную энергию, но и определенный импульс
(эффект Комптона, 1923 г.).
Такая картина взаимодействия электромагнитного поля
с электроном может быть наглядно онисаиа как взаимодействие
«частицы света», обладающей определенными энергией и импуль-
импульсом, с электроном. Конечно, было бы весьма наивно думать, что
электромагнитное иоле действительно состоит из каких-то частиц,
напоминающих бильярдные шарики. Картипа «частиц света»
вполне годится лишь для описания обмена энергией и импульсом
между полем и микрочастицами. Если не забывать об этом, то
представление о световых частицах (их называют квантами света
или фотонами) ие может повести к недоразумениям.
Какие свойства мы должны приписать фотону, если мы хотим
считать его релятивистской частицей? Одно из свойств фотона —
а именно связь между его энергией и импульсом — можно полу-
получить из макроскопической электродинамики. Действительно, для
давления Р света, падающего из вакуума на стенку, мы получили
соотношение G.32):
Р = g/c, G.51)
где через % обозначена энергия, падающая в единицу времени
на единицу площади стенки. Теперь представим себе, что на стенку
падают фотоны (на самом деле, как это будет ясно из дальнейшего,
существенно лить то, что па стенку энергия и импульс передаются
дискретными порциями). Пусть свет представляет собой плоскую
волну, так что все фотоны движутся по одпому направлению.
По предположению каждый фотон несет с собой энергию е и
импульс /). Если за единицу времени на единицу цяощади стенки
попало N фотонов и нее они были поглощены, стенка приобрела
энергию Ne и импульс Np. Но импульс, приобретенный единицей
площади стенки в единицу времени, как раз и есть давление све-
света Р *), так что Р = Np, а % = We. Поэтому из G.51) вытекает
связь между энергией и импульсом фотона:
/? = е/с. G.52)
*) По закону Ньютона I'1— dp/dt. Разделив обе части этого равепства
на площадь, па которую действует сила, мы получим давление, т. е. р =
= Fls =A/s) (dp/dt); справа как раз стоит приращение импульса на единицу
площади в единицу времени.

264 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
По для релятивистских частиц связь между энергией, импуль-
импульсом и скоростью движения определяется соотношением р =
= (г/с2) v, откуда ясно, что для того, чтобы связь G.52) выпол-
выполнялась, необходимо считать v = с. Итак, если интерпретировать
фотон как релятивистскую частицу, нужно считать, что он дви-
движется со скоростью с.
Как и для всякой релятивистской частицы, для фотона
в вакууме можно построить 4-вектор энергии-импульса Р(р, ге/с).
По общим формулам для вычисления квадрата 4-вектора с уче-
учетом G.52) мы получим Р2 = 0. G другой стороны, для обычных
частиц Р2 = —т2с2 (см. E.47)). Отсюда видно, что масса покоя
фотона равна нулю. За то, что (воображаемая) частица достигла
предельной релятивистской скорости, пришлось отказаться от
конечной массы покоя.
Масса покоя фотона оказалась рапной пулю, и это обстоя-
обстоятельство на первый взгляд очень неприятно. Мы привыкли к тому,
что все тела и частицы в природе имеют конечную массу. Совсем
недавно массу считали непременной принадлежностью материи,
понимаемой как объективно существующая реальность. Физики то-
тоже были склонны думать, что масса покоя определяет индивидуаль-
индивидуальность каждого тела или частицы. В классической механике за тем,
что обладало массой, можно было, по крайней мере теоретически,
проследить с течением времени.
До начала нашего века свет представлялся загадочным явле-
явлением; даже физики сомневались в его материальности. Но в 1901 г.
П. Н. Лебедев экспериментально обнаружил давление света.
Давление обусловлено потоком импульса. То, что свет песет
с собой энергию, особых сомнений не вызывало и раньше. Но если
свет обладает энергией и импульсом, то его материальность также
вне сомнений. Хотя масса покоя отдельного светового кванта
равна нулю, здесь нет ничего предосудительного. В природе есть
объекты, которые имеют конечную массу покоя, и объекты с массой
покоя, равной нулю. Последние движутся со скоростью света,
причем остановить их нельзя; во всех системах отсчета у них
одинаковая скорость. Останавливаясь, они оканчивают свое суще-
существование, переходя в другие формы материи. И то, что формы
материи с массой покоя, равной нулю, переходят в формы материи
с массой покоя, отличной от нуля (и обратно), просто указывает
на равноправие этих форм.
Из релятивистской механики получить выражения для энергии
и импульса фотона нельзя. Но современная физика обнаруживает,
что при испускании и поглощепии, при взаимодействии с веще-
веществом свет ведет себя как пабор квазичастиц, каждая из которых
обладает энергией На и импульсом Йсо/с (здесь Н — постояпная
Планка, % = 1,05-10~27 эрг-сен, а со — круговая частота света).

§ 7.6] ФОТОНЫ КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЧАСТИЦЫ 265
В каждом элементарном акте взаимодействия с веществом уча-
участвует одна такая квазичастица, названная в свое время Эйнштей-
Эйнштейном квантом света; в каждом акте взаимодействия выполняются
законы сохранения энергии и импульса. Можно принять за энер-
энергию кванта света е = 7ш, а за импульс р = в, где s — едипич-
ный вектор, направленный по лучу. Таким образом, если квант
света (фотон) можно рассматривать как релятивистскую частицу,
то ее 4-вектор энергии-импульса
имеет вид Р (%к, i — \ , где +
к = ks, к = 2яА, = а/с. Если
сократить на общий множитель
всех компонент Р — постоянную
Планка Н, — мы снова приходим
к тому же 4-вектору к, получен-
полученному ранее для волнового вектора
волны, по определенному теперь
уже ДЛЯ фотона: к {к, ik), к — уис. 7.5. Вычисление давлепияГеиета.
-*¦ -> Площадь основания косого цилиндра
= со/с, Р = пк. Поскольку четы- *s = 1.
рехмерный импульс фотона с точ-
точностью до множителя % совпадает с четырехмерным волновым
вектором (введенным па стр. 248), то все результаты, получеппые
для нолпы, буквально повторяются для фотона. Речь идет о форму-
формулах, описывающих доплер-эффект, аберрацию спета, изменение
частоты света при отражении от движущегося зеркала. С точки
зрения фотонной теории света легко получить формулу для давле-
давления света. Действительно, пусть фотон падает под углом О
на поверхность тела. Нормальная составляющая его импульса
равна Йоо cos -в/с (рис. 7.5). При поглощении фотона степка полу-
получает по направлению пормали именно этот импульс. Если фотон
отражается, то величина переданного импульса зависит от коэф-
коэффициента отражения (от вероятности отражения фотопа); обозна-
обозначим его R. Тогда переданная нормально стенке составляющая
импульса при отражении фотона равна A -+- R) (hale) cos ¦0, где
R -^ 1. Если через п обозначить число фотонов в 1 см?, то за
1 сек па 1 смг стенки упадут все фотоны в косом цилиндре с обра-
образующей, равной с. Объем такого цилиндра, с площадью основа-
основания 1 см2, равен с cos ¦0. Следовательно, на 1 см2 стенки за 1 сек
упадет пс cos ft фотонов, которые передадут стенке энергию
Ныпс cos ¦0 (если все опи поглотятся) и составляющую импульса
но нормали к стенке
пс cos 0 A + R) — cos ¦& «и Пш (i + R) cos2 ¦&.
с

266 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
Импульс, передаваемый единице площади стенки в единицу вре-
времени, и есть давлении на стенку; поэтому р — w A -- R) cos2 Ь,
где iv — nhti) — плотность энергии в пучке. Результат совпадает
с тем, что иолучепо в § 7.4.
К сожалению, до сих пор вводят «массу фотона», определяя
ее по формуле, заимствованной из релятивистской механики частиц
с конечной массой покоя, а именно тф — е/с2 (е — На). Прежде
всего формула е — тс2 явно написана для случая т Ф О
(см. гл. 5) и не имеет отношения к случаю т = 0. Но и вообще
масса т,ф лишена физического смысла. Ни о каких инертных
свойствах фотона говорить не приходится: во всех системах отсче-
отсчета он движется со скоростью с, т. е. в вакууме фотон ни ускорить,
ни замедлить нельзя (его можно только уничтожить). В квантовой
статистике фотоны считают тождественными частицами и полу-
получают правильные результаты. Но если бы «масса фотона» была
существенной, то «синий» фотон был бы «тяжелее» красного и ни
о какой тождественности не было бы и речи. Напротив, единствен-
единственное общее, что есть у всех фотонов, так это равная нулю масса
покоя. Иногда массу фотона т$ используют для объяснения
отклонения светового луча в гравитационном поле. Но пользо-
пользоваться классической механикой для рассмотрения такого реляти-
релятивистского объекта, как свет, более чем непоследовательно. В реля-
релятивистской теории отклонение светового луча в гравитационном
поле получается, разумеется, без введения какой-либо массы
фотона. Наконец, есть желающие иметь и в релятивистской физике
«закон сохранения массы». Масса покоя не аддитивна (§ 5.6),
и поэтому ищут новые «массы», используя соотношение т = §/с2.
Но ото вовсе бессмысленное занятие, поскольку сохранение такой
«массы» есть просто следствие закона сохранения" энергии, который
соблюдается всегда. По именно в этом случае понадобится масса
фотона т,ф. Резюмируя, скажем, что введение массы фотона, ничего
не прибавляя по существу, вносит ненужную путаницу в далеко
не простой вопрос о массе (см. §§ 5.6 и 5.7).
Возвращаясь к нулевой массе покоя фотона, сделаем еще
несколько замечаний. Не существует никакой реальной ИСО,
в которой фотон покоился бы, поэтому масса покоя фотона —
величина ненаблюдаемая. (Также бессмысленно говорить и о тече-
течении времени в системе отсчета, связанной с фотоном.) Нулевая
масса фотона вовсе не означает отсутствие массы. К примеру,
0° G вовсе не означает, что тело не обладает внутренней анергией.
Следует напомнить, что в СТО существуют мировые линии с нуле-
нулевой длиной, имеющие не меньше смысла, чем псе другие линии.
Конечно, суть дела в том, что скорость света выделена среди всех
остальных скоростей. Кроме фотонов в вакууме есть еще и «настоя-
«настоящие» частицы — нейтрино,— также движущиеся со скоростью с.
Их масса покоя также равна нулю и является ненаблюдаемой вели-

§ 7.7] ФОТОНЫ В СРЕДЕ. ЭФФЕКТ ВАВИЛОВА — ЧЕРЕНКОВА 267
чиной. Но, в конце концов, вопрос о том, равна ли нулю масса
фотона, является вопросом экспериментальным. Существуют спо-
способы уловить влияние массы покоя фотона, если она отлична от
нуля. Такого рода эксперименты все время осуществляются,
и нижняя грапица для «массы покоя» фотона постепенно ползет
все ниже и ниже К концу 1975 г. приводилась уже цифра
т < 10-в0 г.
§ 7.7. Кванты света в среде. Эффект Вавилова — Черепкова.
Аномальный эффект Доплера. Из предыдущего параграфа и
§ 6.12 ясно, что импульс фотона в среде определяется согласно
F.183), если исходить из тензора Минковского, и согласно
F.184), если исходить из тензора Абрагама. Энергия же фото-
фотона при переходе из одной среды в другую остается неизменной,
если только не меняется частота колебаний. Какое же выраже-
выражение для импульса следует использовать, применяя закон со-
сохранения импульса к «световым квантам в среде»? Па этот
вонрос прямого ответа нет, и некоторые соображения по это-
этому поводу будут приведены в конце этого параграфа. А пока мы
покажем, что использование представления о кваптах света
(фотонах) в среде в виде F.183) позволяет получить полезные
результаты, относящиеся к кинематике излучения, т. е. к усло-
условиям, налагаемым па частоты и направление излучения. Эти усло-
условия определяются законами сохранения энергии и импульса.
Мы начнем с элементарного вывода условия излучения Вавилова—
Черенкова.
В этом случае излучение исходит от частицы, не имеющей
внутренних степеней свободы. Мы запишем законы сохранения
для системы электрон — излучение. Конечно, сами по себе законы
сохранения не дают ответа на вопрос о том, будет излучение или
нет. Этот вопрос решается расчетом на основе уравпений электро-
электродинамики. Однако, если законы сохранения не соблюдаются, излу-
излучения заведомо нет.
Допустим, что произошло излучение кванта света. Если
энергия и импульс электрона до излучения были g0, p0, а после
излучения стали gl5 pt, то законы сохранения энергии и им-
импульса имеют вид
Ag = %«-%i = »<», G.53)
Ар = р„ — Pi = -j-ns. G.54)
Записанные в таком виде законы сохранения предполагают, что
изменепие энергии и импульса электрона связано только с излу-
излучением. Нетрудно найти нужное нам следствие G.53) и G.54),
если вспомнить, что согласно закону Ньютона Ар = F At, a
умножив обе части этого равенства на v\\ вспомнив, 4ioFv At = A%,

268 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
мы получим
А% = v Ар G.55)
(это соотношение годится, естественно, лишь для малых изменений
импульса).
Подставляя в G.55) выражения G.53) и G.54), сократим на Йсо;
заметим, далее, что vs= v cos ft, где ft — угол между направле-
направлением движения электрона и направлением распространения излу-
излучения. Тогда окончательное кинематическое условие для угла
излучения ¦& запишется в виде
cos ft = -^-. G.56)
Это — условие излучения Вавилова — Черепкова. Оно не выпол-
выполняется, если электрон равномерно движется в вакууме (п = 1),
поскольку | cos "ft | ^ 1, а скорость электрона v всегда меньше с.
Следовательно, равномерно движущийся электрон в вакууме
излучать не может.
Этот результат мы получали непосредственно из припципа
относительности: покоящийся в какой-то ИСО заряд не излучает.
Относительно любой другой ИСО этот заряд движется равномерно
и прямолинейно. Но излучение либо имеет место во всех ИСО, либо
не имеет места ни в одной из пих. Следовательно, равномерно
движущийся электрон не излучает. Это рассуждение уже не годит-
годится, когда электрон движется в среде, потому что здесь появляется
новая характерная скорость — скорость движепия электрона
относительно среды, которая к тому же определяет «привилегиро-
«привилегированную» систему отсчета, свизаппую с ней.
Обратим впимание на то, что в нашем приближении, несмотря
на использованные квантовые представления, в окончательных
результатах Н выпало. Получепный результат — классический.
Применение квантовых представлений имеет чисто методическое
значение. Мы используем два закона сохранения, которые вовсе
не требуют обязательного использования квантовых представ-
представлений.
Нетрудно получить условие излучения с учетом импульса
отдачи. Введем 4-пектор энергии-импульса (кратко 4-импульса)
кванта света в среде
n(^ns, l±L). G.57)
При излучении фотона электроном должен соблюдаться закон
сохранения 4-вектора энергии-импульса (другими словами, законы
сохранения энергии и импульса). Пусть 4-импульс электрона до
излучения равен р0, после излучения р, а 4-импульс кванта

§ 7.7] ФОТОНЫ В СРЕДЕ. ЭФФЕКТ ВАВИЛОВА — ЧЕРЕПКОВА 269
света я, т. е.
Po(mVovo, imyoc), p{myv,imyc), я l-^-пя, i —).
\ С- С i
Запишем закон сохранения 4-импульса:
Ро= Р+ ">
или, в компонентах,
Poi — ni = Pi-
Возводя последнее соотношение в квадрат, подучим
-г п\ = р\,
где jjo псех членах проводится суммирование по индексу i. Однако
в силу инвариантности квадрата импульса частицы pjjj — pi,
и мы получим
п\ = 2ро1я, G.58)
(сокращать па я,- нельзя; слева и справа — независимое сумми-
суммирование). Вычислим отдельно левую и праную части G.58):
Point = -7- пту0 {1)оя) — туо%а, л? == (-~ j (и2 — 1).
Приравнивая два эти выражения и учитывая, что vos =
~— v0 cos ¦№, где ¦& — угол между испускаемым светом и направле-
направлением скорости электрона, получим
-5- [~j-j {п ¦— 1) =—^— wm70ffl cos * — my0fuo.
Отсюда
nmyovo
Если рассматривать не излучение, а поглощение кванта, то
в этой формуле следует измепить знак перед %а>. Если Йсо/тес2<^1
(что справедливо для видимого света и электрона), мы возвра-
возвращаемся к классическому условию излучения G.56):
К кинематике излучения относятся также вопросы изменения
частоты и направления распространения света при переходе от
од1гой ИСО к другой. Речь идет об эффекте Доплера и аберрации.
Эти вопросы, конечно, удобнее всего решать с помощью СТО.

270 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
В § 7.2 мы рассмотрели случай распространения света в вакууме.
Здесь мы получим соответствующие формулы для однородной
изотроппой среды, показатель преломления которой равен п;
оказывается, что этот случай сущестпеппо отличается от случая
вакуума.
Фактически все вычисления с небольшими изменениями повто-
повторяют выкладки § 7.2, и поэтому мы проведем их весьма кратко,
зато подробно обсудим результаты. Из 4-вектора я получаем про-
пропорциональный ему 4-вектор фотона в среде
к ( — пя, i—1 , n=hk. G.o9)
Пусть в системе отсчета К' свет распространяется в плоскости
(х', у') под углом ft' к оси х'\ среда по оится в системе К'. Тогда
к' (— ncos*', — nsin гГ, 0, i — ) . G.60)
\ с с с f
Компоненты вектора к в системе К найдутся по тем же форму-
формулам G.9), ил которых, как и раньше, видно, что луч остается
и в системе К в плоскости (х, у). Вместо G.10) получим
со ^ о)Т A +Втг cos ft'), G.G1)
а вместо G. И) и G.12)
n cos ft г--— !__ G.62)
1-|-Ви cos и ' у '
n sin ft' ._ f.o.
Отсюда для эффекта Доилера окончательная формула имеет вид
(ср. с G.13))
(причем по-прелагему (ср. G.14)) со'= Г (со — kV)). а для угла
аберрации (ср. с G.15)) —
***'- G-65)
Пусть монохроматический источник с собственной частотой со0
покоится в К', т. е. движется равномерно со скоростью V относи-
относительно К. Тогда со' —- О)о. Из формулы G.(И) видно, что при п^>1
(это самые обычные среды, как вода и стекло, например) далее
для скорости V <с может оказаться, что Bn cos ft ^ \, т. е. зна-
знаменатель может обратиться в нуль и даже стать отрицательным.
Поскольку изменение знака частоты означает, в крайнем случае,

§ 7.7]
ФОТОНЫ Ii СРКДЕ. ЭФФЕКТ ВАВИЛОВА — ЧЕРЕПКОВА
271
всего лишь изменение фазы колебаний:
cos (— w?) = cos cot, sin (— at) = —sin iot — sin (coi + я/2),
то частоту всегда можно считать положительной. Следонательно,
формулу для доплер-эффекта в среде можно записать оконча-
окончательно так:
11 — tin cos fi-1 "
G.66)
Отметим прежде всего, что из G.66) видно, что среда не оказы-
оказывает влияния на поперечный донлер-эффект: при ¦0 = л/2 мы
Увренкодскш
коиуЬ
Аномальныйдаплер-эффект
Рис. 7.S. а) Кинематическое объяснение возникновения излучения Вавилова — Черенко-
П.1. Отмечены положения равномерно движущейся заряженной частицы и моменты ире-
мепи (, и (г. За промежуток времени B — i1 волновой фронт займет положение, изображен-
изображенное пунктирной окружностью, б) Чсренковский конус делит проотранство вокруг излу-
излучателя па области аномального и нормального доплер-эффекта.
получаем в точности ту же формулу G.14), что и для вакуума.
Мы еще раз убеждаемся в том, что поперечный доплер-:)ффект
возникает только из-за относительности промежутков времепи
между событиями.
При условии 1 — В/г cos "О — 0 знаменатель G.66) обращается
в нуль, но это просто условие черепковского излучения. Если
движется заряженная частица без внутренних стененей свободы,
она излучает в конус около этого направления. Для нейтральпого
излучателя черепковский конус делит все пространство ио отноше-
отношению к наблюдаемому аффекту Доплера на две части. Условие
1 — Bn cos ft > 0 выполняется вне черепковского конуса
(рис. 7.6), и здесь мы имеем дело с нормальным доплер-эффектом,
для которого (dbi/dQ) > 0, как это всегда имеет место в вакууме.
«Внутри» черенкокского конуса 1 — Bn cos ¦О <С 0 и (du\/d$) < 0;
ото уже аномальный оффект Доплера.
Небезынтересно сравнить формулы для аберрации света в ваку-
вакууме и среде. Для случая нормального падепия в К' нолучим в К

272 ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СТО [ГЛ. 7
для угла аберрации а
JL^—. G.67)
Здесь отличие от вакуума (см. G.15)) состоит лить в появлении
показателя преломления п, вошедшего в знаменатель. Никаких
особенностей при V = с/п нет.
И в заключение о том, какое выражение для импульса фотона
нужно считать «правильным». Как уже указывалось в § 6.12,
два различных выражения для импульса фотона в среде I pm,=—п
и рА =—1 соответствуют различному разделению плотности
имнульса электромагнитного поля в среде на «плотность импульса
поля» и «плотность импульса самой среды». Поскольку при рас-
рассмотрении эффекта Черенкова нас интересует полный импульс,
теряемый электроном, а такой импульс определяется выраже-
выражением ди, использование </м дает правильный результат *).
*) Подробнее см. в статьях: В. Л. Г и п з б у р г, УФН 110, 309 A973);
В. Л. Гинзбург, В. А. Угаров, УФН 118, 175 A976).

Глава 8
О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ»
СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Если заглянуть в словарь, то окажется, что слово
«нарадокс» имеет по крайней мере три значения. Это, во-первых,
своеобразное мнение, отличающееся оригинальностью и расходяще-
расходящееся с общепринятым. Во-вторых, это неожиданный вывод из
каких-либо предположений. В-третьих, это результат, кажущий-
кажущийся на первый взгляд невероятным, но оказывающийся при более
внимательном рассмотрении правильным. Изучая СТО, легко об-
обнаружить примеры, иллюстрирующие псе значения слова «па-
рпдокс».
Что касается «общепринятого мнения», то в применении к СТО
речь идет о представлениях классической физики в целом и о клас-
классических представлениях о свойствах пространства и времени
в частности. Классические представления о пространстве и вре-
времени в значительной мере совпадают с теми представлениями,
которые усвоены нами в процессе школьного обучения и из прак-
практики повседневной н.пзни. Такие привычные представления давно
уже стали общепринятыми, и их применение опирается, как
мы полагаем, на «здравый смысл». Но. в конце концов, здравый
смысл — это просто совокупность наших устоявшихся убеждений,
среди которых оказываются и неверные. Эти неправильные убеж-
убеждения выявляются в науке по мере ее развития. Очень часто ока-
оказывается, что определенные представления верны лишь прибли-
приближенно, обнаруживается ограниченная область их применимости.
Именно это и произошло с некоторыми понятиями, когда возник-
возникла СТО.
В повседневной жизни, да и в классической механике, напри-
например, мы привыкли считать, что премя имеет абсолютный смысл.
II, конечно, к этому есть достаточные основания. Теория относи-
относительности показала, что отсчеты времени события, производимые
в разных ИСО, различны, т. е. относительны. Но психологически
перестроиться на относительность времени трудно, тем более что
эта относительность проявляется лишь при релятивистских ско-
скоростях (а таких скоростей у макроскопических тел просто пе
бывает) и, во всяком случае, пе в повседневной жизни. С отпосп-
тельностыо времени, с относительностью одновременности и про-
промежутков времени между событиями связана относительность длин
масштабов, находящихся в относительном движении. С точки
18 В. А. Угаров

274 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО 1ГЛ. 8
зрения здравого смысла, убеждающего нас в абсолютности вре-
времени, эти выводы парадоксальны. Но для современного уровня
физики это совсем не парадоксы. Относительность времени — это
просто современное понимание измерения (отсчета) времени
наступления события. Такое представление, кстати, хорошо
иллюстрирует представление диалектического материализма о вре-
времени, согласно которому время, как форма существования вечно
движущейся материи, может зависеть от движения материи.
«Парадоксальные» результаты кинематики СТО хорошо изве-
известны и давно вошли в популярные книги. Речь идет об относи-
относительности длин масштабов («сокращение» длин), относительности
одновременности и расстояний между событиями, относительности
промежутков времени между событиями. Все эти выводы и их
отступления от «общеприня-
«общепринятых» классических результа-
результатов подробно обсуждались и
§§ 3.1—3.3, и мы не станем
повторяться. В следующих
параграфах мы рассмотрим
парадоксы, уже несколько
дальше отстоящие от основ
СТО.
Рис. 8.1. Две частицы, движущиеся навстречу 8 8.1. Сверхсветовые СКО-
друг другу, могут «сближаться» со скоростью, s ' ' ^и^рл^»*:*"*<• „ ,
большей с. рости. пак мы видели в § дЛ,
из требования выполнения
принципа причинности вытекает ограниченность скорости пере-
передачи сигнала, т. е. скорости передачи энергии п импульса. Дви-
Движение любой частицы с отличной от нуля массой покоя — это
всегда сигнал (такая частица всегда несет с собой, если движется,
энергию и импульс). Отсюда ясно, что скорость движения таких
частиц не может превзойти скорость света в вакууме. Кинематика
теории относительности показывает, что если в заданной ИСО
скорость частицы v <с, то и в любой другой ИСО К' ее ско-
скорость ь>' <с (см. § 3.5). Разберем еще один полезный пример
в этой же связи.
Пусть в системе К две частицы движутся навстречу друг
другу с равными скоростями (рис. 8.1). Единственное условие,
которое накладывает на скорости этих частиц СТО, состоит в том,
что каждая из этих скоростей меньше с. Чему равна относитель-
относительная скорость этих частиц в Ki Пусть скорость частицы 1 (обозна-
(обозначим ее через vY) равна v; тогда скорость второй частицы v3 равна
—v. Относительная скорость частиц i>0TH = vt — v2 = v — (—v) —
= 2v. Если v > с/2, то отсюда следует, что уОтн > с- Не является
ли эта скорость примером сигнала, идущего со сверхсветовой
скоростью?

I 8.11 СВЕРХСВЕТОВЫЕ СКОРОСТИ 275
В рассматриваемом случае v0TH — это скорость уменьшения
расстояния между частицами. Это расстояние действительно сокра-
сокращается со скоростью, большей чем скорость света. Но с этой ско-
скоростью невозможно передать ли какой «сигнал».
Чтобы определить возможную скорость передачи сигнала,
поступим так. Наблюдатель, находящийся на частице 7, хочет
передать сигнал (информацию) с помощью частицы 2. В тот момепт,
когда частицы поравняются, он передает «пакет с информацией»
частице 2. Но скорость, с которой информация уходит от части-
частицы 1,— это вовсе не скорость, с которой изменяется расстояние
между частицами в if, а скорость частицы 2 относительно части-
частицы 1. Можно сказать еще и иначе, что скорость передачи информа-
информации (или сигпала) — это путь, пройденный посителем информации
за единицу времени. Расстояние само по себе носителем инфор-
информации не является.
Итак, чтобы подсчитать скорость передачи снгпала, нужно
подсчитать скорость частицы 1 относительно 2 (или наоборот).
Свяжем для этого с частицей 1 систему К0 (собственная система
для частицы 1). Чтобы из общей формулы
получить v\ = 0, следует считать, что V = v. Результат, конечно,
очегпзный: К' просто совпадает с частицей 1. Что касается v't, то
, —v—v 2v 2v/e
У2= 1_|_у2/с2 1 + у2/с2 ~ ~ 1+„2/с2 'С-
Это и есть относительная скорость рассматриваемых частиц.
Последнее звено равенства занисано, чтобы доказать, что v'2 <c.
Ниже приводится доказательство для общего случая
Пусть в системе К скорости частиц, летящих навстречу друг
другу, равны i>j = atc, v2 = а2с; теория относительности требует
лишь соблюдения условий ах < 1 и а2 <1. Если аг -<0,5
и а2 <0,5, то это случай неинтересный (даже в К нет никакой
скорости, большей с). Пусть ах + аа > 1.
Введем К'', где v[ = 0; мы уже видели, что в этом случае
V = vx. Тогда
, у% — Vf —а2с — ii<- тj -}- -х,
Докажем, что а1 + а2 < 1 + а^а.^. Преобразуем это неравенство,
перебросив все члены вправо: ata2 — ах — а2 — 1 >¦ 0. Группи-
Группируя члены, получим
(а, - 1) (а, - 1) > 0,
что выполняется согласно условию, наложенному на ах и а,.
Случай, рассмотренный ранее, соответствует ах = аа.
13*

276 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
Таким образом, в заданной ИСО обычную частицу (т ф 0)
нельзя разогнать до скорости с и нельзя также получить ско-
скорость с за счет перехода от одной ИСО к другой. Но все же нельзя
ли отыскать в природе скорости, превышающие скорость света?
Первый пример напрашивается сам собой. Возьмем твердый,
абсолютно жесткий стержень (тело) и толкнем его. Оба его конца
начнут двигаться одновременно, и сигнал будет передан мгновенно.
Но здесь ошибка кроется в исходном предположении. Природа не
знает абсолютно жестких тел. Все тела подобны пружинам различ-
различной жесткости. Передача импульса (удара или толчка) от одного
конца тела к другому происходит
в форме движения упругой волны.
А скорость упругих волн в твердых
телах заведомо меньше ^скорости
света. Таким образом, СТО только
еще раз подчеркивает, что абсо-
абсолютно жестких тел в природе нет.
Кстати, для мгновенного изменения
Рис. 8.2. Точка пересечения двух д<ж- Импульса - Даже В МвхаНИКО НьЮ-
жущихся прямых может двигаться со тона — нужна бесконечная сила.
СКОРОСТЬЮ, бОЛЬШеЙ С, тт лгпл
v ' Но если СТО категорически
ограничивает скорость передачи
сигналов, то на скорости, не связанные с передачей сигналов,
никаких ограничений нет и они могут быть любыми; они могут
п превышать с. Парадокс обычно заключается в том, что обнару-
обнаруживается пекоторая скорость, превышающая с, и утверждается,
что эта скорость — скорость передачи сигнала. В конечном счете
всегда удается показать, что рассматриваемая скорость не имеет
отношения к распространению сигнала. Мы рассмотрим несколько
примеров.
Прямая АВ движется параллельно самой себе со скоростью F5
(перпендикулярной прямой АВ), а прямая CD также движется
параллельно самой_ себе со скоростью F2 (перпендикулярно
прямой CD). Угол между прямыми равен ¦&. Какова скорость
перемещения точки пересечения этих двух прямых М?
Относительная скорость точки М по прямой АВ из-за движения
прямой CD равна и2 = V2/s'm{u. Скорость движения точки М
по прямой CD из-за движения прямой АВ равна ul = Fi/sind.
Складывая геометрически скорости их и и2 (рис. 8.2), мы най-
найдем, что
Из этой формулы видно, что при ft ->- 0 скорость Vm -*¦ °°',
она может превосходить и с. Но то, что эта скорость превышает с,
совсем не противоречит теории относительности. Во-первых, точка

8.1]
СВЕРХСВЕТОВЫЕ СКОРОСТИ
277
Рис. 8.3. Точка соприкосновения па-
дающгй электромагнитной волны с не-
некоторой плоскостью может двигаться
со скоростью, большей с.
пересечения прямых — это пе материальное тело. Во-вторых,
эта точка не может быть использована в качестве способа передачи
сигпала (информации), поскольку она образована в каждый дан-
данный момепт новыми точками обеих прямых (точку пересечения
нельзя «пометить»).
Несколько больший интерес представляет случай наклонного
падения плоской световой волны на плоскость (рис. 8.3). Рас-
Рассмотрим точку пересечения фрон-
фронта волны с плоскостью х — О
(точка А на рис. 8.3). Стечением
времени эта точка передвигается
вправо. Нетрудно найти скорость
ее перемещения: если выбрать
отрезок BD равным с, то AD=
— c/sin ¦&. Но AD — это как раз
путь, проходимый точкой А за
единицу времени, т. е. скорость
точки А. Поскольку sin-fr-^l,
всегда можно сделать эту скорость
больше с. Чтобы драматизировать
ситуацию, можно представить
себе, что плоскость х = 0 по-
покрыта люминесцентной краской.
Тогда вдоль оси со сверхсветовой скоростью побежит светящаяся
точка. Конечно, светящуюся точку, скорость которой v >¦ с,
можпо создать и еще проше, так сказать «рукой». Расположите
вдоль оси х электрические лампочки и включайте их последова-
последовательно (и независимо) слева направо с заданным запаздыванием.
Естественно, что вы можете получить движение светового пятна
с любой скоростью. Но именно из второго примера хорошо видно,
что это ие сигнал: в этом процессе не передается и не может быть
передана никакая информация, каждый источник излучает неза-
независимо. Но нельзя ли использовать для получения сверхсветовых
скоростей относительно медленное вращение твердого тела значи-
значительного радиуса? Например, диск радиуса г = с при угловой
скорости со ~ 1 имел бы на своих краях линейную скорость v -~ с
и более. Но такой скорости нельзя достичь из-за релятивистских
особенностей уравпепия движения. С ростом линейной скорости
отдельных участков тела пужпы будут все большие и большие
силы для сообщения этим участкам ускорения, и в результате
линейная скорость самых удаленных участков тела все равно не
сможет превзойти с.
Но если нельзя вращать твердое тело, то можно попробовать
вращать световой луч. Поместим в начало координат прожектор
и будем его вращать с угловой скоростью Q. Опишем вокруг
начала координат неподвижную сферу радиуса с. По поверхности

278
О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО
[ГЛ. 8
Рве. 8.4. «Зайчик», отражающийся от
вращающегося зеркала и бегущий по
удаленному экрану, может двигаться
со скоростью, большей чем скорость
света с.
этой сферы «зайчик» побежит с линейной скоростью
v = Ос.
Эта скорость может быть больше скорости света. Примером такого
луча может служить световой «зайчик» от вращающегося пульса-
пульсара. «Зайчик» от пульсара в Крабовидной туманности бежит по
Земле со скоростью ~1024 см/се,:. Но, как и в предыдущих слу-
случаях, никакой сигнал с этой скоростью не передается. Дело в том,
что в каждую точку экрана (Земли) приходит новая порция свето-
световой энергии от прожектора (пуль-
(пульсара), но не от соседней точки
экрана. Поэтому передать какую-
либо информацию от одной точки
экрана к другой невозможно.
Фактически ту же самую идею
можно осуществить еще и так.
Луч света от источника / падает
на вращающееся с угловой часто-
частотой со зеркало, состоящее из не-
нескольких граней. В зависимости
от частоты со и расстояния до
экрана можно получить движение
«зайчика» (изображение источника) с линейной скоростью, пре-
превышающей с. Изготовим отражающее зеркало в форме эллипсоида,
в одном из фокусов которого поместим вращающееся зеркало
(рис. 8.4). Тогда- отраженный от зеркала луч — по известному
свойству эллиптической поверхности — всегда пройдет через вто-
второй фокус. В этом фокусе можно расположить приемник-анализа-
приемник-анализатор. «Зайчик», бегущий по зеркалу,— независимо от его скоро-
скорости — представляет собой изображение источника.
Превышать скорость с может также фазовая скорость электро-
электромагнитных волн в среде. Фазовая скорость волн в среде v опре-
определяется через скорость с и показатель преломления среды форму-
формулой v = cln. Есть случаи, когда показатель преломления п < 1
и, следовательно, v > с. Все такие случаи относятся к среде
и определенным частотам электромагнитных волн. Например,
для жестких рентгеновских лучей у многих веществ п <1. Такое
же неравенство справедливо для плазмы. Но и здесь не возникает
никаких противоречий со СТО. Дело в том, что скорость передачи
сигнала определяется не фазовой скоростью. В среде, обладающей
дисперсией, т. е. в среде, у которой показатель преломления зави-
зависит от частоты проходящего света, сигнал можно послать с помощью
электромагнитных волн, спектр частот которых достаточно узок
(группа волн). Скорость сигнала — это скорость передачи энергии
такой группой; как показывает более подробное рассмотрение
(см. [36]), скорость передачи энергии («амплитуды группы»)

8.2]
ПАРАДОКС НИТИ И РЫЧАГА
279
определяется уже групповой скоростью. Но групповая скорость
всегда оказывается меньше с, за исключением области аномальной
дисперсии, где формально групповая скорость превышает с.
Однако в этой области само понятие групповой скорости, а вместе
с, ним и скорости передачи сигнала теряет смысл. Таким образом,
с помощью волновых процессов сигнал фактически передается
всегда со скоростью, меньшей с.
§ 8.2. Парадокс нити и рычага. Пусть в системе К0 (собствен-
(собственная система отсчета) покоится прямоугольная плоская рам-
рамка ABCD, по диагонали АС которой натянута упругая нить,
К к
л в
В b С
хп
Рис. 8.5. Прямоугольная рамка, по диагонали которой натянута уцругая нить, растяги-
пающая шарик т. а) Картина в собственной системе отсчета К0; б) так выглядит та же
картина с точки зрения системы К; в) если вместо шарика взять гантель, то на исе, с точки
зрения К, действует пара сил.
с двух сторон растягивающая шарик, масса которого равна т
(рис. 8.5, а). В системе К0 направление пити определяется из
треугольника ABC. Если внести обозначения А В — а0, а ВС = Ьо,
то
tg а0 = Ь0/а0.
В системе К0 упругие силы направлены вдоль нити, поэтому
можно написать еще, что
tg а0 - bo/ao = F°ix/F°i
y,
(8.1)
где через F^ обозначена сила, направленная к вершипе С (анало-
(аналогичные соотношения справедливы и для Fl).
Перейдем теперь к системе К, относительно которой систе-
система К0 движется со скоростью V. Мы принимаем, как обычно, что
оси х0 и х совпадают, а оси у0, у и z0, z соответственно параллельны.
Согласно формулам преобразования длин и сил C.5) и E.34)

280 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
имеем
о = а0, b = bo{i-W)l'\ (8.2)
F^ = F\X, Fiy = F\y{l-W?'\ (8.3)
Отсюда видно, что равенство (8.1) уже несправедливо; в систе-
системе К угол, определяющий направление нитп, и угол, определяю-
определяющий направление спл, вовсе не равны друг другу:
tg а' = Ыа = (Ь0!а0) (I - В2I'2 = Г"%0/а0 = tg щ/Т, (8.4)
tg «" = Flx/Fiy = (F°lx,Fl)/(l - &?'* = TF°lx/F°iy = Г tg a0. (8.5)
Хотя сумма сил по-прежнему остается равной нулю, однако
силы в системе К плправлены под углом к нити (рис. 8.5, б).
Это обстоятельство кажется па первый взгляд удивительным. Дей-
Действительно, что произойдет, например, если перерезать шпур на
участке 2. В системе А"° ускорепие в начальный момент должно
быть параллельно направлению силы (это явно нерелятивистский
случай, и обычный закон Ньютона вполне применим), т. е. оно
направлено вдоль инти. В системе К, казалось бы, ускорение
должно быть направлено под углом к нити, так как направление
нити и направлепие силы Fx не совпадают. Это явно противоречи-
противоречивые утверждения, но парадокс разрешается просто: в релятивист-
релятивистской динамике ускорение, вообще говоря, не совпадает по направ-
направлению с действующей "силой и, хотя сила направлена под углом
к направлению нити, ускорение направлено вдоль нити. Сам пара-
парадокс представляет собой полезную иллюстрацию особенностей
релятивистского уравнения динамики.
Убедимся, что в обеих системах ускорение шарика направлено
вдоль нити. Удобно записать релятивистское уравнение движения
в виде
m dvldt = у-1 [F — {vie2) (F»)l;
здесь m — масса, F — действующая па шарик трехмерная обыч-
обычная сила, v — скорость тела, у = A — Р2)~1/2, где р* = vie.
В системе К0 в момент t = 0, когда обрезают нить 2,
m dvVdt = Fl
или, в проекциях,
m dvildt = Fxg, m dv\ldt = F&.
Направление движения в пачальный момепт (делим почленно
первое соотношение на второе) определяется соотношением
dvVdvl = F?IF? = tg a0.
Согласно (8.1) это направление — направление ускорения —
совпадает с направлением нити, как это и должно быть. Итак,

§ 8.2] ПАРАДОКС НИТИ И РЫЧАГА 281
в К0 силы и ускорение параллельны и движение в начальный
момент паправлепо вдоль пити.
Теперь перейдем к системе К. В этой системе тело уже движется
со скоростью, совпадающей со скоростью системы отсчета К0.
т. е. V. Поэтому у = Г и проекции ускорепия здесь запишутся
уже так:
т dvjdt = [Flx - {Vic*) FixV]/T = FJX/T\ (8.6)
m dvjdt = Flv/T; (8.7)
здесь учтено, что скорость шарика совпадает со скоростью систе-
системы К, т. е. равна V, и имеет компоненты (F, О, 0); Flx и Fly — это
компоненты силы в системе К *). Чтобы найти направление
ускорения в К, разделим почленпо (8.6) на (8.7):
dvjdvv = (Flx/Fly)/T2 = Г tg «0/Г2 = tg ао/Г = tg a', (8.8)
где мы воспользовались в третьем звене цепи равенств соотноше-
соотношением (8.5), а в последнем — соотношением (8.4). Но из (8.8) видим,
что ускорение в Я в пачальпый момент тоже направлено вдоль
нитей, и никакого парадокса не возникает.
Однако представим себе, что вместо шарика, который подра-
подразумевается точечным, нити растягивали бы твердое тело, напри-
например гантель. Тогда в системе К на шарики гаптели действовала бы
пара сил (рис. 8.5, в) и гантель повернулась бы относительно диа-
диагонали рамки.
Но в собственной системе очевидно, что ось гантели совпадает
с диагональю рамки. Здесь мы, конечно, сталкиваемся с пара-
парадоксом. Но этот парадокс представляет собой вариант давно
известного парадокса рычага, к которому мы переходим. Пусть
в системе К0 покоится рычаг (рис. 8.6). Он находится в равно-
равновесии, несмотря на то что на него действуют две силы: F% и F%,
направленные каждая но соответствующей координатной оси.
Равновесие обеспечивается равенством моментов сил в К0:
ГО/0 t 70. /Q Q\
rxiv — ryix, vo.y;
направление моментов сил Fx и Fy противоположное.
Тот же самый рычаг можно рассмотреть и с точки зрения К,
относительно которой рычаг движется как целое со скоростью V.
Если составить выражение для момепта силы Fx и момента силы Fy
в К, то оказывается, что они уже не равны, а следовательно,
возникает суммарный момент сил, действующих на рычаг.
*) Нетрудно заметить, что соотношения (8.6) и (8.7) соответствуют двум
исключительным случаям релятивистского уравнения, когда сила и ускоре-
ускорение параллельны; соответствующие массы в этом случае называли раньше
«поперечной» и «продольной» массами. От этих, в общем неудачных, терминов
сейчас практически отказались, хотя они неплохо передают тензорный харак-
характер связи между силой и ускорением в релятивистской механике.

282 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ! СТО
Действительно, согласно E.34) и C.5)
1ГЛ. 8
Разность момептов сил Fx и Fу создаст в К вращающий момент
L -Fxly- Fylx = Fill - A - В*) Fill = ВВД = -B*Fxly,
(8.10)
где использовано (8.9). Парадокс состоит в том, что, хотя заведомо
известно, что рычаг неподвижеп, в системе К на рычаг действует
момент сил и, следовательно, рычаг должеп поворачиваться.
К°
J
- Иг ¦ —•
F =F°
'х Ос
Рис. 8.6. Парадокс рычага. Если в системе К" рычаг находится в равновесии, суммарный
момент сил равен нулю; но при рассмотрении того же самого рычага с точки зрения систе-
системы К согласно формулам преобразования длин и сил возникает момент сил, отличпый
от нуля. СТО очень изящно объясняет, почему и е точки зрения системы К рычаг Судет
находиться в покое (см. текст).
Весьма остроумное разрешение этого парадокса принадлежит
«Пауэ. Мы привыкли к тому, что момент силы вызывает вращспие;
другими словами, вызывает появление момепта импульса системы.
В системе К момент силы действительно определяет скорость
возрастания момента импульса, но возрастание момента импульса
не связано с вращением рычага. Откуда же берется приращение
момента импульса? Рассмотрим работу сил Fx и Fy в системе К.
В системе К рычаг движется, и в единицу времепи сила Fx совер-
совершает работу —FXV. Сила Fy не совершает работы, так как она
направлена нормально к скорости рычага. Следовательно, на кон-
конце рычага, в точке приложения силы Fx, совершается работа,
и в единицу времени энергия рычага в этой точке возрастает на
величину —FXV. Но это означает, что масса рычага в точке при-
приложения силы в единицу времени возрастает на —FxV/c2. Умножив
эту величину на скорость рычага V, найдем приращения импуль-
импульса —FXB2. А момент импульса за единицу времени возрастает
на —FxlyB2. А это как раз и есть дополнительный момент (8.10).
Итак, возникающий дополнительный момент описывает не враще-
вращение, а определяет скорость, с которой изменяется момент импульса

§ 8.3] ТАХИОНЫ 283
системы. В этом объяснении ость свои слабости. В СТО нет абсо-
абсолютно жестких тел, и мы обязаны учитывать деформацию рычага;
в предыдущем рассуждении молчаливо предполагалось, что рычаг
не меняет свою форму. В системе К0 мы должны рассмотреть
плечи рычага, изогнутые под действием сил F% и F°u.
Рассматривая рычаг, мы наталкиваемся еще на один парадок-
парадоксальный результат. Допустим, что на рычаг до момента t = О
силы просто не действуют, а в момент t = О одновременно в К0
«включаются» силы F\ и F°. В каждый момент времени в К0 равно-
равновесие будет соблюдено. Но в К силы будут включены уже не одпо-
временно, и будет промежуток времени, когда сила Fl уже дей-
действует, а сила F2 — еще нет. Снова возникает момент силы. То, что
здесь существенны именно силы, приложенные в разных точках
тела (парадоксы возникают, разумеется, при рассмотрении твер-
твердых тел), видно из совсем простого примера. Пусть в К0 на оси х°
лежит твердое тело длиною 1°. До момепта t = 0 на него силы
не действуют, а в момент t = 0 с обеих сторон включаются равные,
но противоположно направленные силы. В К0 равновесие всегда
есть, а в К есть промежуток времени, в котором силы не уравно-
уравновешиваются, и, следовательно, тело должно прийти в движение.
Оставим этот парадокс для размышления читателю.
§ 8.3. Тахионы. Так называют частицы, скорость которых пре-
превышает скорость света в вакууме. Сразу оговоримся, что речь
идет о гипотетических частицах: экспериментальные попытки
обнаружить такие частицы не увепчались успехом. Но уже само
предположение об их существовапии кажется парадоксальным:
в основе СТО лежит ограниченность скорости передачи сигнала,
причем пределом является как раз скорость с. Конечно, на ско-
скорость «вообще» никаких ограничений нет (см. § 8.1), но передача
сигнала — это распространение энергии и импульса. Движение
частиц, к которым мы привыкли, безусловно может служить
сигналом. Кроме того, для обычных частиц, обладающих конечной
массой покоя, с существованием которых мы освоились, скорость
света просто недостижима. Из релятивистского уравнения движе-
движения для таких частиц вытекает, что скорость света может быть
достигнута лишь эа бесконечно большое время (не говоря уже
о том, что для достижения ими скорости света требуется бесконеч-
бесконечно большая энергия). Таким образом, вопрос о сверхсветовой
ркорости частиц нашего обычного мира отпадает сразу.
Можно допустить, однако, существование особой группы
частиц, переход из которой к обычным частицам или обратно
невозможен. Эти частицы могли бы порождаться в каких-то ядер-
ядерных превращениях сразу со сверхсветовыми скоростями. Пред-
Предположение о возникновении тахионов навеяно картиной порожде-
порождения фотонов: фотоны сразу порождаются со световой скоростью,

284 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
а вовсе не возникают «динамически» при ускорении обычных
частиц.
В точности так же, как и в § 3.5, можно показать, что если
в одной ИСО скорость частицы v больше с, то это справедливо
и в любой другой ИСО. Следовательно, обычные частицы (фотоны)
и тахионы образуют независимые группы частиц в том смысле,
что переходы из одной группы в другую за счет ускорения частиц
невозможны и что переход от одной ИСО к другой оставляет
частицу в той же самой группе, в какой она находилась и в исход-
исходной ИСО.
Допустим существование таких частиц и рассмотрим кинема-
кинематические следствия этого предположения.
Итак, полагаем, что скорость тахиона v (определяемая обычным
образом) больше с, т. е. р = (vie) >1. Тогда для интервала
между двумя событиями — положениями тахиона в двух точках
пространства в два момента времени — мы, как обычно, получим
(одномерное движение вдоль оси г, х')
ds2 = с2 dt2 — dx2 = с2 A — р*2) dt2.
Для тахиона (в отличие от обычных частиц) ds2 < 0, т. е. интервал
пространственноподобный; мы видели в § 3.4, что в этом случае
понятия «позже» и «раньше» для двух событий уже не являются
абсолютными. Следовательно, существуют такие системы отсчета,
где тахион движется в одном направлении, и такие, где он движет-
движется в противоположном. Можно найти условие, налагаемое на
скорость тахиона, для того чтобы в какой-то системе К' его
движение было «обратным». В системе К' для тахиона
At' = .
Мы считаем (для любой ИСО) В < 1. Интервал времени At' будет
отличаться знаком от At (что означает изменение последовательно-
последовательности событий во времени), если 1 — |УВ < 0. Отсюда находится
искомое условие v ^>c^lV; ясно, что v ;>c. Различия в описании
движения тахиона в системах К л К' ясно видны па рис. 8.7, а.
Линии одновременности в К параллельны оси х, и, проводя их
все дальше и дальше по положительной оси ct, мы отмечаем положе-
положение тахиона все правее и правее — тахион движется вправо.
Линии одновременности в К' параллельны оси х'. Если проводить
эти линии так, чтобы они пересекали ось ct' все дальше и дальше
по положительному направлению оси ct', мы находим тахион все
левее и левее — тахион движется влево.
Этот же результат можно изложить и еще драматичнее
(рис. 8.7, б). Пусть в системе К из точки О вышел тахион, который
пришел в мировую точку Р. В системе К, как это видно на рисуп-
ке, тахион был «испущен» в момент t — 0 («раньше») и прибыл

§ S.3]
ТАХИОНЫ
285
ь точку Р в моменг tx, т. е. «позже». На той же диаграмме про-
проведены пространственная и временная оси системы К' (линии
одновременности в К' параллельны оси х'). Из рисунка видно,
что тахион в системе К' раньше был в точке Р (в момент —1\),
затем он двигался к точке О, где и был поглощен (в момент f = 0).
Таким образом, только за счет выбора системы отсчета можно полу-
получить движение тахиона в обратном направлении в пространстве
и обнаружить в одной системе отсчета поглощение тахиона вместо
испускания.
ct,.
^/'
/fa,
M
/
/
/
//
^^
at.
1
1
/
/
•in'
/
/
/ a
^^ i
/
X,
<v
Y
/
^>
'X
->>*,
Рис. 8.7. а) Движение тахиона, '.^осматриваемого з двух ИСО. В системе К тахиоп движет-
движется вправо, в К' — влево. Жирн'хч линия — мировая линия тахиона, й) Обращение поряд-
порядка событий во времени для движущегося тахиона.
Отметим попутно курьезную картину наблюдения «светящегося
тахиона», т. е. тахиона, испускающего свет. Из рис. 8.8 видно,
что наблюдатель, покоящийся в системе К, «увидит» два тахиона,
уходящие в двух противоположных направлениях.
Вернемся теперь к обращению последовательности событий во
времени, в частности обмену местами «испускания» и «поглоще-
«поглощения». Такая ситуация на первый взгляд противоречит обычным
представлениям о взаимоотношениях причины и следствия. Дей-
Действительно, пусть известно, что в О находится источник тахионов.
Источник — это «причина» возникновения тахиона. Движение
тахиона к Р — это «следствие» порождения тахиона. Но наблюде-
наблюдение в системе К' показывает, что тахион идет из Р и поглощается
в О. Как это ни непривычно, нужно все же признать, что наблю-
наблюдаемая последовательность не противоречит причинно-следствен-
причинно-следственным взаимоотношениям, если четко сформулировать, что мы
понимаем под такими взаимоотношениями. Можно рассуждать,
например, так.

286 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
Будем считать, что Л есть причина, а В — следствие, если
повторение события А в моменты времени ?х< t2, . . ., выбранные
произвольно, неизменно приводит к наступлению события В
в момент времени ?х + Т, t2 + Т, ... Здесь — существенны кон-
контролируемые повторения события Л и их корреляция с собы-
событием В. В этом смысле причинно-следственные связи не зависят
от того, какое событие наступает «раньте» и какое «позже».
¦is.
Рис. 8.8. Наблюдаемая картина движения светящейся частицы движущейся се сверх-
сверхсветовой скоростью.
Последовательность событий во времени не входит в определение
причинно-следственной связи и не может служить для установле-
установления различия между причиной и следствием.
В нашем примере в системе К' контролируемым событием
является поглощение тахиона. Этому контролируемому поглоще-
поглощению всегда будет предшествовать движение тахиона от Р к О.
Мы должны будем признать поглощение причиной, а движение
тахиона — следствием. Приведенное определение причины —
следствия не соответствует обычному утверждению о том, что
«абсолютный смысл нопятия «раньше» и «позже»... является
необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия
причины и следствия». Конечно, если «причина» и «следствие»
происходят в одной точке (в данной ИСО), то причина должна быть
рапьше следствия. Но тогда заведомо интервал между событиями
времепиподобный и в любой ИСО следствие окажется «позже»
причины. С тахионами такого быть не может. Все «события»
с тахионами происходят, с нашей точки зрепия, в разных точках.
Обмен последовательностями событий не страшен.

g 8.3]
ТАХИОНЫ
287
причинно-
Итак, изменение временной последовательности событий не
нарушает обычных представлений о нричинно-времеиной связи.
Но есть условие, которое должно быть выполнено безусловно.
Оно состоит в том, что из настоящего нельзя воздействовать на
прошлое. Сигнал, посланный из данной точки пространства,
не может оказаться в ней до того,
как оп был послан.
Если тахионы могли бы служить
сигналами, то, как это видно из схе-
схемы па рис. 8.9, можно было бы с их
помощью послать сигнал так, чтобы
другой сигнал, вызванный первым,
вернулся бы в точку иосылки первого
сигнала (причиппо-следственный
цикл) до того, как первый сигнал был
испущен. На рис. 8.9 изображены
мировые линии двух тел / и //, на-
находившихся первопачалыю в состоя-
состоянии покоя, затем двигавшихся рав-
померно и прямолинейно с одина-
одинаковыми скоростями и затем вновь
находящихся в покое. Мировые точки
А и А' лежат на линии одновременно-
одновременности, совпадающей для обоих тел, на-
находящихся в движении. Мировые
точки С и С лежат на линии одно-
одновременности, совпадающей для обоих
тел, находящихся в покое. На ри-
рисунке изображены также мировые
линии двух сверхсветовых сигналов АВ и CD. Послав сигнал АВ,
а затем (после получения сигнала АВ) другой сигнал CD, мы
примем сигнал CD в точке D раньше, чем был послан сигнал
из А.
Таким образом, мы получили пример замкнутого причинно-след-
причинно-следственного цикла, когда налицо возможность воздействия на
прошлое. Конечно, этот результат относится к любому сверх-
сверхсветовому сигналу, но в применении к тахионам это означает, что
сами тахионы (в отличие от обычпых частиц) уже не могут служить
сигналами.
Если допустить возможность существования тахионов и соблю-
соблюдение требований причинно-следственного цикла, то как раз
возможность обращения последовательности событий во времени
для тахионов позволяет избавиться от возражений, связанных
уже с «динамическими» свойствами этих частиц. Если считать
основные соотношения СТО справедливыми для тахионов, то из
формул преобразования для скорости и энергии частицы
Рис 8.S1. Замкнутый
следственный цикл с участием
сверхсветовых сигналов. Линии I,
II — мировые линии диух систем
отсчета. Из точки А посылается
первый сверхсветовой сигнал АВ
(АА' — линия одпопременнести).
Из системы II (точка С) посылается
обратный сверхсветовой сигнал CD,
который приходит к системе I (точ-
(точка D) раньше, чем был послан пер-
первый сигнал (точка А). Линии одно-
одновременности и мировые .чинии сверх-
сверхсветовых сигналов проведены в со-
соответствии с рис. 2.6, б.

288 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО 1ГЛ. 8
(см. гл. 3, 5)
следует, что в тех самых системах отсчета, в которых последова-
последовательность событий для тахиона меняет свой порядок (и в которых
меняется знак скорости, что связано с тем, что At и At' разного
знака), энергия тахиона становится отрицательной. Отрицатель-
Отрицательная энергия тахиона недопустима потому, что ее наличие озна-
означало бы возможность неограниченного получения энергии. Дей-
Действительно, совместное порождение двух тахионов — одного
с отрицательной, а другого с положительной энергией — не тре-
требовало бы затраты эпергии, а полученный тахион с положительной
энергией мог бы совершать полезную работу.
Но мы уже видели (см. рис. 8.8), что если в системе отсчета К
наблюдается испускание тахиона, который затем поглощается,
то в системе К', в которой скорость тахиона удовлетворяет усло-
условию v >c'4V, этот же процесс может быть описан как поглоще-
поглощение тахиона, движущегося в обратном направлении, причем
энергия тахиона будет уже положительной. Это обстоятельство
позволяет обойти трудность, связанную с появлением отрица-
отрицательных энергий.
И, наконец, несколько замечаний, касающихся импульса
и энергии тахионов. Из СТО вытекает (см. гл. 5), если ограни-
ограничиться одномерным случаем (рх = р), что
Если построить график g = Ч (р), мы получим гиперболу,
причем, как мы видели (§ 5.5),
v = del dp. (8.12)
Если частица ускоряется, то на плоскости (g, p) она движется
по гиперболе (8.11). Наклон касательпой всегда меньше с, неза-
независимо от того, как повышается энергия частицы — за счет ли
ускорения частицы или за счет перехода к другой системе отсчета.
Поскольку энергия частицы положительна, то нижняя ветвь
гиперболы не рассматривается. Обратим также внимание на то,
что асимптоты гиперболы, уравнением которых будет %г — ргс2 =
— О, соответствуют фотонам. Если считать, что к тахионам при-
применимы основные формулы релятивистской механики (см. гл. 5),
то р = myv и % = тс2у становятся мнимыми величинами, посколь-
поскольку у = A — РТ1/2, а р > 1, так что у = iv,, гДе ^Y. = VP ~ *•
Можно получить действительные значения импульса и энергии,
если считать за массу величину т = imt. Однако чем мнимая
масса лучше мнимых энергии и импульса? Но дело в том, что

§ 8.3]
ТАХИОНЫ
289
Энергия
Тшсионы
Импульс
т, — это мнимая собственная масса тахиона, а системы отсчета,
где тахион покоился бы, не существует (система отсчета состоит
из обычных частиц, и ее скорость всегда меньше с). Поэтому
собственная масса тахиона ненаблюдаема и ее можно считать
какой угодно.
Но тогда на плоскости (g, p) нам следует рассмотреть еще
две гиперболы, соответствующие мнимой собственной массе
2з _ р2са = _mjc4. Таким
образом, на плоскости (g, р)
нужно рассматривать три ги-
гиперболы (рис. 8.10). Наклон
касательной к этим гипербо-
гиперболам всюду больше с. Конечно,
множитель 7 входит не толь-
только в выражения для импуль-
импульса и энергии — он входит
в определения длины через
собственную длину и интерва-
интервалов времени через собствен-
собственное время. Но мы легко можем
отказаться от «собственных»
величин, считая их ненаблю-
ненаблюдаемыми.
Отсылая читателя эа под-
подробностями к литературе *),
подведем некоторые итоги.
За последнее время были сде-
сделаны попытки — оставаясь в
рамках СТО — выяснить свой-
свойства частиц, скорость кото-
которых превышает с. С точки зрепия СТО скорости, которые пе
соответствует реальному физическому распространению чего бы
то ни было, могут быть любыми. Обычные частицы всегда движутся
со скоростью меньше с; любой «сигпал» имеет скорость меньше с.
Следовательно, сам тахион пе может служить сигналом, т. е. его
взаимодействие с нашим миром крайне ограничено. Не исключено,
что можно допустить взаимодействие тахионов с нашим миром
лишь через обмен электромагнитными сигналами.
Если исходить из принципа «все, что не запрещепо, имеет
право на существование», следует допустить^возможность суще-
существования тахионов. Прямого теоретического!запрета тахионов
пока нет. Тем не менее представляется маловероятпым, что такие
частицы действительно существуют. Последпее слово остается
за экспериментом.
Рис. 8.10. Тахионы и обычные частицы, изо-
изображаемые па плоскости ("8, р).
*) «Эйнштейновский сборник 1973», «Наука», 1974.
19 в. а. Угаров

290 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
§ 8Л. Парадокс часов. Этот парадокс — если только здесь
есть на самом деле парадокс — появляется из-за иеодпократно
обсуждавшегося различия в отсчетах промежутков времени между
событиями в различных ИСО. Напомним коротко нужные для
дальнейшего результаты.
Пусть тело покоится в системе К' и по часам, движущимся
вместе с ним и системой К', были отмечены два события в точке х'
в моменты времени t[ и t'2. Промежуток t\ — t\ — это промежуток
собственного времени, и его естественно обозначать через Ат.
Эти же самые два события наблюдатели из К отметят в двух точках
системы К двумя часами, зафиксирован эти события в моменты tx
и t2. Промежуток времени между теми же двумя событиями
окажется равным At = t.2 — tY. Мы знаем, что
Р2Дг, (8.13)
т. е. промежуток собственного времени между событиями меньше,
чем промежуток между теми же событиями, отсчитанный но часам
системы, относительно которой тело движется (ср. § 3.3).
В формуле (8.13) явная асимметрия в отсчетах времени. Каза-
Казалось бы, можно рассуждать так. Поскольку все часы в К синхро-
синхронизованы, At, отсчитапное разными часами в К, может быть при-
приравнено отсчету промежутка времени по одним часам из К. Тогда
окажется, что тождественные часы в двух ИСО К и К' идут
по-разному. Но ведь СТО опирается на полную симметрию ипер-
циальных систем! И она действительно есть! Просто в наших
рассуждениях упущена важная деталь. Поскольку одновре-
одновременность относительна, часы, синхронизованные в одной системе,
вовсе не синхронизованы с точки зрения другой. Синхронизация
часов относительна! Величина At вовсе не интервал собственного
времени дли часов из К. Сделаем соответствующий подсчет.
Пусть часы /// покоятся в начале системы К', движущейся
со скоростью V относительно К. Синхропизованпые в системе К
и покоящиеся в этой системе часы / находятся в точке хх = а,
а часы // — в точке х2 = Ь.
Переменная координата часов /// в системе К равна хг = Vt.
Таким образом, координатами часов /, //, /// в системе К будут
хг = а (для часов /), (8.14)
хг — Ъ (для часов //), (8.15)
х3 = Vt (для часов ///). (8.16)
Из формулы преобразований Лоренца B.11) х = Г (х' -\- Vt'}
можно получить зависимость координаты х в системе К' от вре-
времени f в этой системе и координаты х в К, а именно:
х'=— Vt' + ^r.

§ 8.4]
ПАРАДОКС ЧАСОВ
291
Так мы найдем х[, х'2; что касается х3, то очевидно, что х'3 = 0.
Следовательно,
(8.17)
х[ = — Vt' 4--f- (Для часов /),
Xj=—Vt' + -p- (для часов //),
^3 = 0 (для часов /77).
(8.18)
(8.19)
Рис. 8.11. Объяснение полной симметрии двух
инерциалыгых систем отсчета по отношению
к «замедлению» времени. В любой системе от-
отсчета промежуток собственного времени между
двумя событиями онажется меньше, чем про-
промежуток времени между теми же двумн со-
событиями, отсчитанный по двум часам любой
другой ИСО.
Как обычно, мы считаем, что можно сравнивать показания
часов из двух систем, когда они находятся в одпом месте. Тогда
реально можно провести сле-
следующие сопоставления. Во-
первых, можно сравнить по-
показания часов /// с пока-
показаниями часов /, когда они
проходят мимо друг друга;
мы обозначим соответствую-
соответствующие показания часов через
t\ и ti\ во-вторых, можпо
сравнить показания часов ///
и II, когда часы /// пройдут
мимо часов //; обозначим эти
показания через t2 и t2 (рис.
8.11). Когда часы /7/ совпа-
совпадают с /, то и те и другие
часы находятся в точке х' =
= 0; поэтому согласно (8.17)
мы найдем значения моментов
времени t\ и t'2, а именно: t\ = a/VT, a (j = b/VT. В то же
самое время из (8.16) получаем tr = a/V, t2 = b/V, т. e. t± =
= Ttl и t2 — Tt'2. Показания tx и t2 — это показания двух^разных
часов, синхронизованных в системе К.
Согласно синхронизации в этой системе, когда часы // показы-
показывали момент t2, то и часы / показывали тот же момент t2. Разность
t% — tt — это время, протекшее в системе отсчета К, за которое
показание часов /// изменилось на t't — t[. С точки зрения систе-
системы К ход часов /// определяется соотношением
I' i' = J_ if tA — ft t ) l/Ч В2 (8.20)
как это и должно быть, поскольку t'z — t\ — промежуток собствен-
собственного времени. Так как \ t'2 — t\ \ ^ \ t2 — tt |, то движущиеся
часы, наблюдаемые из системы К, отстают. Вес это нам известно.
Теперь мы переходим к решающему шагу: нужно сравнить ход
часов I ж II так, как он представляется с точки зрения системы К'.
Чтобы судить о ходе часов, нужно проследить за ходом одних
19*

292 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
часов, скажем часов //. Но для этих часов есть только одно непо-
непосредственное показание: когда они были напротив часов ///,
то часы /// показывали t'2, а часы // показывали t2. Другое пока-
показание часов // нужно вычислить (ср. § 2.4). Мы найдем, где
находились и что показывали часы //, когда напротив часов ///
были часы /. На все поставленные вопросы мы будем отвечать
уже с точки зрения системы К'. Когда часы /// были напротив /,
они показывали время t\ = alVY. Часы // находились от часов /
на расстоянии х'г — х\ = (Ь — а)/Т (см. (8.17) и (8.18)). Но когда
часы / были напротив ///, то их координаты х[ = х'„ — 0. Поэтому
х'2 = (Ь — й)/Г — это координата часов // в тот момент, когда
совпадают часы / и ///. Но теперь уже нетрудно найти показа-
показание часов // в этот же момент времени. В формулу
мы подставим значения х'2 = (b — a)IY и t[ = a/VT. (Величина t\
в силу синхронизации часов в К' совпадет с показанием часов
из К', находящихся в точке х'2, так что t\ = t't.) В результате
подстановки получим показапие часов //:
t = Tt[ + T^-^. = tt+^-(b-a). (8.21)
Если бы часы I я II были синхронизованы, они показывали бы
одно и то же время. Но опи синхронизованы только в К, но не в К'.
Мы видим, что с точки зрения К' у часов системы К наблюдается
рассинхронизация, набегает разность показаний
увеличивающаяся с удалением часов друг от друга. Этот резуль-
результат мы уже получили в § 2.4. Так как в системе К расстояние
Ъ — а — V (t2 — tt), то показание часов // будет t = tY + (Vlc%) X
X (t2 — ty). Составляя разность отмеченного времени t2 и вычис-
вычисленного t, получим
h—t = (t2— ti) -ртг,
или, согласно (8.20),
А это и означает, что наблюдатель в системе К' обнаружит, что
движущиеся относительно него часы отстают. Тем самым полное
равноправие систем доказано.
Этот результат подтверждает полное равноправие двух рас-
рассмотренных инерциальных систем: если в двух ИСО идут двое

i 8.4]
ПАРАДОКС ЧАСОВ
293
cf(x)
ct
тождественных часов, то промежутки собственного времени, отсчи-
отсчитываемые этими часами, одинаковы. Разумеется, иначе быть и не
может, поскольку одним из первых принципов СТО является прин-
принцип относительности: если бы тождественные часы по-разному
шли в двух ИСО, то это был бы физический способ отличать эти
системы.
Хотя это разъяснение необходимо было сделать, но парадокс
часов состоит, конечно, не в этом. Допустим, мы сравнили пока-
показания двух часов: одних —
из системы А', а других —
из К'. Часы, естественно,
немедленно разойдутся после
сравнения и будут уходить
все дальше и дальше друг от
друга. Но если все же одни
из них как-то верп уть в ту
же точку, где паходятся дру-
другие часы, и снова сопоста-
сопоставить их показания — что мы
обнаружим тогда? Вот ответ
на этот вопрос и называется
парадоксом часов. Ответ этот
совсем не нрост, и читателю
следует набраться терпения.
Прежде всего заметим, что
все формулы СТО относятся
к величинам, рассматривае-
рассматриваемым в рамках инерциальных
систем отсчета. Все измере-
измерения времени, которые производятся в СТО, осуществляются
часами, неподвижными в той или ипой ИСО. Сравнив одпажды
двое часов, мы уже не можем снова свести их в одной точке
пространства, не выводя их из той системы отсчета, где они
покоились при первом сравнении. Действительно, если движение
прямолинейное, нужпо сначала затормозить одни часы, а затем
сообщить им скорость той же величины, но в обратном направле-
пии. Тогда часы, направление движения которых мы изменили,
через некоторое время окажутся в одном месте с теми часами,
с которыми производилось сравнение. Все это хорошо видно
на диаграмме Минковского, где изображены мировые линии двух
часов — Т а II (рис. 8.12).
Очень удобпо рассмотреть «парадокс часов» методом &-коэф-
фициента (§ 3.7). Мы воспользуемся пространственно-временной
диаграммой рис. 8.12. Здесь изображены мировые линии трех
часов: одних (/), находящихся в начале К (линия OD), дру-
других (//), покоящихся в начале К' (линия ОТ), и, наконец,
х
Рис. 8.12. Мировые линии двух часов I и II.
Мировая линия OD соответствует часам I,
покоящимся в К. Часы II сначала равномерно
движутся от часов I (линия ОТ), затем, изме-
изменив в точке т скорость на рапную, но про-
противоположно направленную, снова сближают-
сближаются с часами I. в точке D они оказываются
рядом друг с другом, и можно еще раз сра-
сравнить их показания (первое сравнение проис-
происходило в точке О). Сопоставление показаний
часов как раа и есть то, что называют пара-
парадоксом часов. На врезке: мировая линия одних
часов, возвращающихся в точку D.

294 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
третьих (///), покоящихся в К" (линия TD). Отсчитаем измеряемые
промежутки времени непосредственно. В момент времени t — t' —
— О (когда начала О и О' совпадают) происходит первый обмен
световыми сигналами, который не требует времени, поскольку
часы из К и К' находятся в одной точке. В мировой точке Т встре-
встречаются часы // и ///, причем нри встрече посылается световой
сигнал из точки Т к часам /. Пусть часы II отсчитали промежуток
собственного времени между встречей с часами / и часами ///,
равный Ат2. Тогда, как мы знаем, часы / должны отсчитать время
между встречей / и // и приходом светового сигнала из Т, равное
к Ат2. Но сигнал из Т был послап в момент встречи часов // и III,
и поэтому, если часы /// отсчитают промежуток собственного вре-
времени Ат3 от момента встречи часов // и /77 до прихода в точку D,
то можпо найти промежуток времени между приемом светового
сигнала часами / (точка Е) и встречей часов / и III в точке D.
Мы видели в § 3.7, что при изменении знака относительной скоро-
скорости двух систем отсчета коэффициент к меняется па ilk. Следова-
Следовательно, промежуток времени, который изображается на рис. 8.12
отрезком ED, равен Аха/к. Из симметрии использованного мыслен-
мысленного эксперимента ясно, что Ат2 = Ат3. Обозначая величину
этого промежутка времени через Ат, мы получим, что промежуток
времени, отсчитанный часами / между встречей часов / с часами //
и часами ///, равен
^ ^ (8.22)
Но суммарное время, отсчитанное двумя наблюдателями (часа-
(часами // и ///), равно 2Дт. Это значение всегда меньше, чем (8.22),
потому что из неравенства (к — IJ >0 немедленно следует, что
к2 + 1 > 2к.
Это рассуждение имеет то несомненное достоинство, что все
отсчеты времени производятся часами, покоящимися в инерциаль-
ных системах отсчета. Итак, более короткий промежуток времени
между событиями получается при измерении его двумя инер-
циальпыми наблюдателями по сравпению с промежутком времени,
намеренным одним наблюдателем. Обратим внимание на то, что
здесь, в отличие от того случая, когда сравнивался промежуток
времени, отсчитанный по одним часам, с промежутком време-
времени между теми же событиями по двум часам другой ИСО,
сравниваются промежутки времени, отсчитанпые часами
трех ИСО.
Итак использование двух часов (// и ///) привело пас к выво-
выводу о различном отсчете промежутков времени. Предлагают иногда
использовать в системах отсчета К' и К" одни и те же часы: в точ-
точке Т часы // просто передаются в систему К", и появляется воз-

§ 8.4] ПАРАДОКС ЧАСОВ 295
можность измерить интересующий нас промежуток времени одни-
одними часами. Это предложение заслуживает того, чтобы на нем
остановиться. Хотя мы измерим промежуток времени между
событиями О и D двумя часами (/ и //), эти часы в предлагаемом
варианте отпюдь пе равноправны. Когда часы // передаются из
К' в К", они испытывают ускорение и оказываются уже в неинер-
циальпой системе. Их мировая линия уже кривая (см. врезку
на рис. 8.12). Но инерциальпое движение отнюдь не эквивалентно
неинерциальному. Вполне возможно, что часы, все время двигав-
двигавшиеся по инерции, отсчитывают больший промежуток времени,
чем часы, участвовавшие в неинерциалыюм движении. Здесь
никакого противоречия нет; к этому выводу приводит и теория
тяготения Эйнштейна.
Мы уже говорили о том (см. § 3.3), что в принципе всякое
ускорение оказывает влияние на ход часов. В принципе «пра-
«правильно идущие» часы находятся в инерциальных системах отсчета.
Пусть мировая линия частицы искривлена (а это означает, что
частица испытывает ускорение). В любой момент времени движе-
движения с ускорением можно найти инерциального наблюдателя,
движущегося по касательной к траектории истинного движения
с мгновенпой скоростью фактического движения. Часы, движу-
движущиеся с ускорением, идут «правильно», если их ход в точности
совпадает с ходом часов той же конструкции, по движущихся
указанным образом вместе с инерциальпым наблюдателем.
В каком месте мировой линии возникает различие в показа-
показаниях «инерциальных» и «неинерциальных» часон? Из принципа
относительности вытекает, что часы одинаковой конструкции идут
во всех ИСО одинаковым образом. Отсюда ясно, что различие
в показаниях двух часов, оказавшихся в одной и той же точке
пространства, обусловлено ускорением часов, т. е. искривленной
частью мировой линии. Нередко выдвигают возражение, состоя-
состоящее в том, что искривленную часть мировой линии можно сделать
сколь угодно малой, т. е. обеспечить ускорение в течение несьма
короткого времени. А набегающая разность показаний может
быть очень большой. Не забудем, однако, что ускорение за малый
промежуток времени означает появление колоссальных сил, а изме-
пепие релятивистской скорости па обратную связано со значи-
тельпым ускорением. Кроме того, отличие длипы искривленной
мировой линии от длины прямой мировой липии, соединяющей
те же точки, определяется не длиной ее искривленной части,
а тем, что она искривлена в целом. Это утверждение прекрасно
иллюстрируется рис. 8.13: хотя путь 77 из города Л в город В
«практически все время прямой», он, безусловно, длиннее, чем
путь из Л в В но прямой линии /. Если ускорение пе влияет на ход
часов, то длина мировой липии частицы определяет промежуток
собственного времени.

296
О НЕКОТОРЫХ ШАРАДОКСАХв СТО
[ГЛ. 8
До сих нор говорилось о промежутках времени, отсчитанных
одними или двумя часами. Возвращаясь к первоначальной задаче,
можно спросить, что покажут
часы / и ///, когда опи встре-
встретятся в точке Z)? Мы помним,
что наборы часов в К, К' к К"
согласованы так, что в тот мо-
момент, когда начала систем от-
отсчета 0, О' и О" совпадали,
трое часов из трех систем в этой
точке были поставлены на отсчет
t ^-. t' = t" = 0. Взглянем те-
теперь па диаграмму рис. 8.14.
На ней к мировым линиям часов
/, // и 77/добавлены еще линии
одновременности систем К' и К".
Переход из системы К' в систему
Рис. 8.13. Путь / между городами А и В
короче пути II, хотя путь II отличается от
прямого лишь па небольшом участке. Раз-
Различие в длинах обусловлено не столько
тем, что есть криволинейный участок, а
тем, что весь путь II в целом не прямой.
К" (т. е. к другому пабору синхронизованных часом) означает
скачок линии одновременности на диаграмме 8.14 от Л 2' к ТВ.
Этот переход и обусловливает значительную разницу в иоказапиях
часов / и ///. Если в каче-
качестве двух тождественных ча-
часов взять два тождественных
живых организма, мы придем
уже к «парадоксу близнецов».
Но переход к живым организ-
организмам влечет за собой ряд ос-
осложнений, и мы отошлем
,
читателя к литературе [31].
-Линия пВноЬрг.менности
системы К'
¦Линия одноВременнос/^и
системы И"
X
Рис- 81i- Переход из системы #'в систему if"
Оз„ачаСт изменение линии одновременности.
от ат мы переходим к тв.
§ 8.5. «Эквивалентность» О
массы и энергии. Нулевая
масса покоя. В этом парагра-
параграфе мы вновь возвращаемся
к вопросам, которые уже
обсуждались, причем главная причина повторения отнюдь не в
том, что откроются новые парадоксы, а в том, что появилась
возможность рассмотреть совместно некоторые результаты, которые
до сих нор излагались разрозненно. Будет приведен также ряд
полезных примеров.
Мы знаем (§ 5.6), что любая физическая система, обладаю-
обладающая в собственной системе отсчета (Ра = 0) энергией %0, обла-
обладает массой покоя Мо, равной Мо = io/c2. В этом соотноше-
соотношении под %о понимается вся энергия, содержащаяся в системе.
Мы приведем два примера, иллюстрирующих это утвер-
утверждение.

( 8.51 «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» МАССЫ И ЭНЕРГИИ 297
1. Рассматривается замкнутая система, состоящая из п невзаи-
невзаимодействующих материальных точек, между которыми проис-
происходят упругие соударения (в классической физике эта модель
соответствует идеальному газу). Обозначим через mj11, т}*\ . . .
. . ., т(ою массы покоя точек, а через v^, v™, . . ., ^п> —
их четырехмерные скорости в собственной системе К0. Перейдем
теперь к другой инерциальпой системе отсчета К, относительную
скорость которой мы направим, как обычно, по оси х. Трехмерны»
компоненты скоростей точек и К пайдутся согласно следующим
формулам:
(8.23)
Воспользуемся еще формулой C.17):
которую мы перепишем в принятых в этой книге обозначениях:
Результирующий импульс системы определяется как сумма
импульсов отдельных частиц:
Р = 2 mfYV*> (Po -- S m^Yi^i*) = 0) •
Поэтому
Нетрудно найти, что
Что касается энергии системы, то

298 О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
поскольку
^L xf 0 = 0.
Следовательно, для замкнутой системы
J? = T^-V, Mo = -§-, (8.25)
где V — скорость движения центра инерции. Но это означает,
что масса покоя системы Мо равна Щ1с2. С точки зрения кинети-
кинетической теории вещества в энергию покоя системы %0 должна
входить и тепловая энергия. Но мы уже зпаем, что в массу покоя
системы входят пе только массы покоя отдельных частиц, но
и их суммарная кинетическая энергия; эта энергия с макроско-
макроскопической точки зрения как раз и представляет собой тепло.
2. Рассмотрим пеупругое соударение двух тел. Систему двух
тел можно рассматривать как замкнутую, поэтому к этому про-
процессу можно применить закон сохранения 4-импульса. Обозна-
Обозначим массу покоя тела, оиразовавшегося после соударения, черезМ0,
а массы покоя сталкивающихся тел — через т^ и т^'. Закон
сохранения энергии-импульса заиишется в четырехмерной форме
так:
m[Ml) + rn^uV = Мощ, (8.26)
где ut — скорость единого тела, образовавшегося после удара.
Первые три уравнения (8.2G) для i — 1, 2, 3 позволяют найти
три слагающие скорости единого тела. Что касается четвертого
уравнения (i = 4), то оно запишется в виде
В системе отсчета, где вновь образовавшееся тело нокоится,
m(l> m<2>
Г
Это равенство можно переписать еще и так:
± > -1)] + тр + т«). (8.27)
Из равенства (8.27) видно, что масса покоя образовавшейся
системы Мо, кроме суммы масс покоя исходных частиц т@1> -\- т@2\
содержит в себе дополнительную массу, связанную с тем, что
релятивистская кипетическая гшергии двух частиц (выражение
в квадратных скобках) преобразовалась в какие-то иные виды

$ 8.5] «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» МАССЫ И ЭНКРГИИ 299
энергии (например, в тепло). Таким образом, релятивистская
механика в закон сохранения энергии включает сразу все виды
энергии, а не только те виды, которые мы привыкли учитывать
в механике.
В заключение следует еще раз подчеркнуть, что полученные
соотношения указывают на пропорциональность массы покоя
и энергии покоя, но гораздо важнее помнить, что это справедливо
лишь в собственной системе отсчета. Вообще говоря, энергия
и масса покоя с четырехмерной точки зрения обладают различными
свойствами при преобразованиях Лоренца (см. § 5.7), и говорить
о переходе «массы» в энергию, как это иногда делают, просто бес-
бессмысленно.
Вернемся теперь еще раз к нулевой массе покоя. Конечно,
с привычных классических позиций нулевая масса покоя пред-
представляется довольно странной. Мы видели (см. § 7.6), что мы долж-
пы приписать пулевую массу покоя частицам, движущимся со ско-
скоростью с (но современным представлениям, к таким частицам
относятся кванты света — фотоны и нейтрино). Скорость с,
как мы знаем, в СТО занимает привилегированное положение:
в любой экспериментально реализуемой ИСО она сохраняет
свое значение. На этом можно было бы поставить точку, но нам
хотелось бы сделать еще несколько замечаний.
По-видимому, не впадая в противоречия, следует считать, что
материя (в философском смысле), обладающая конечной массой
покоя, равноправна с материей, масса нокоя которой равна нулю.
Мы увидим, что последний случай реализуется в природе сравни-
сравнительно редко, но в принципе он реализуем. Обе упомянутые формы
материи могут переходить одна в другую, и на одном примере
такого перехода мы сейчас остановимся. Это — образование гамма-
квантами (фотонами высоких энергий) пар электрон — позитрон
и обратная реакция столкновения электрона с позитроном (эта
реакция изпестпа под несколько устаревшим названием «анниги-
«аннигиляции» частиц). В результате этой реакции частицы с конечной
массой нокоя (электрон и позитрон) перестают сущестиовать,
а вместо них возникают два фотона. Существенно, что в этой
реакции удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.
И фотоны (частицы, не имеющие массы нокоя), и электрон, и позит-
позитрон (имеющие массу покоя) обладают определенными импульсами
и энергией. Соответствующие суммарные величипы в этой реакции
сохраняются; фотон, как объективную реальность, определяют
(характеризуют) его импульс и энергия. Масса покоя фотона,
равная нулю, характеризует фотон не в меньшей степени, чем
конечная масса, присущая позитрону и электрону.
Если рассмотреть соударение электрона и позитрона в системе
центра инерции (в этой системе частицы движутся навстречу
друг другу с равными, но противоположно направленными

300 О НЕКОТОРЫХ (.ПАРАДОКСАХ» СТО [ГЛ. 8
скоростями i\ и у4), закон сохранения энергии запишется в виде
(8.28)
Это равенство выражает тот факт, что суммарная энергия электрона
и позитрона равна энергии двух образующихся фотонов. Если
учесть, что в системе центра инерции ь\ = vt, то для наблюдаемой
частоты возникающих фотонов мы получим
Равенство энергий образующихся фотонов следует из закона
сохранения импульса: импульсы фотонов должны быть равны
по величине (но противоположны но направлению), а импульс
фотона пропорционалеп его энергии.
Если электрон и позитрон движутся с нерелятивистскими ско-
скоростями, то для частоты фотонов, возникающих при аппигиляции
позитрона и электрона, получается значепие v — mc2fh, хорошо
согласующееся с экспериментальными данными.
Приведенный пример отшодь не является единственным. Упо-
Упомянем еще распад нейтрального (я0) мезона (масса покоя ~ 200 масс
покоя электрона): л° -> 2у.
Рассмотрим теперь п фотонов одинаковой частоты, движущихся
по различным направлениям. Энергия этой системы фотонов равна
сумме энергий отдельных фотонов: % = 2 ег = nhv; импульс
системы фотонов Р равеп сумме импульсов фотонов:
где St — единичный вектор в направлении распространения f-ro
фотона. По определению масса покоя М этой совокупности фото-
фотонов находится из соотношения
J^+.^...+^. (8.30)
Правая часть (8.30) обращается в нуль лить в том случае,
если все фотопы распространяются и одном направлении. Этот
результат пам уже известеп из § 7.3: ограниченный цуг плоских
волн обладает равной нулю массой покоя. Однако уже два фотона,
направления распространения которых составляют некоторый
угол ¦&, обладают конечной массой покоя. Действительно, из общей
формулы (8.30) получаем
(8.31)

§ 8.5] «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» МАССЫ И ЭНЕРГИИ 301
Таким образом, облако электромагнитного излучения, состоя-
состоящего из фотонов, масса покоя каждого из которых равна нулю,
обладает положительной массой покоя и, соответственно, создает
гравитационное поле и испытывает силу со стороны гравитацион-
гравитационного поля.
Исходя из того, что ужо дна фотона, в общем случае, обладают
массой покоя, можно было бы попытаться уклониться об обсуж-
обсуждения нулевой массы покоя фотона. Однако в принципе отдельный
фотон наблюдаем *) и нулевая масса покоя требует интерпретации.
Для выяснения причины появления «пулевой массы покоя» целе-
целесообразно вернуться к четырехмерным представлениям. Рассмот-
Рассмотрим 4-импульс частицы с конечной массой покоя т:
Масса покоя — абсолютная величина 4-вектора Р:
~Р2 = ^--р*^т*с2, (8.32)
причем она является инвариантом. В 4-векторе энергии-импульса
энергия — это временная компонента, тогда как пространствен-
пространственными компонентами являются составляющие трехмерного импульса.
Уместно напомнить, что основные свойства 4-вектора Р совпадают
со свойствами 4-вектора V, поскольку Р — mV. С другой стороны,
. (8.33)
Поэтому па мировых линиях нулевой длины (ds = 0) масса
покоя соответствующих частиц обращается в нуль, так как Р2 = 0.
Фотоны как раз и движутся по линиям нулевой длины.
Остается, конечно, еще один, на первый взгляд парадоксальный
вопрос. Как фотон — масса покоя которого равна нулю — пере-
переносит из одного места в другое конечную массу покоя? То, что
ото так, совершенно очевидно при поглощении фотона. Отдавая
свою энергию, например, твердому телу, фотон нагревает это тело
и тем самым увеличивает массу покоя тела.
Разберем простой пример. На одном конце тележки, способной
двигаться без трения, испущен фотон, который затем поглощается
па другом конце тележки. До излучепия фотона энергия покоя-
покоящейся тележки равна g0 — Me1 (рис. 8.15). Система замкнутая,
ее 4-импульс сохраняется, п сумма 3-импульса тележки и фотона
по-прежнему равна нулю. Сумма анергий тележки и фотона
равна Jf0. При этом масса системы осталась неизменной, хотя
*) О. Фриш, Возьмем фотоп и..., УФН 90, 379 A966).

302
О НЕКОТОРЫХ «ПАРАДОКСАХ» СТО
[ГЛ. 8
масса тележки уменьшилась, а масса фотопа равна нулю. Ничего-
страшного: масса не аддитивна! Когда фотои поглощается на дру-
другом конце тележки, ее энергия снова равна %0, но от одного конца
тележки к другому уже перенесена энергия hv и распределение
массы по тележке у лее отлича-
отличается от исходного.
Наконец, заметим, что вы-
выводы СТО заставляют уточнить
понятие «замкнутой» системы.
В механике систему называют
замкпутой, если образующие ее
тела пе взаимодействуют с «imeni-
пими» телами. Взаимодействие
описывается силами. В химии
удобно считать замкнутой систе-
систему, которая не обменивается ве-
веществом с окружающей средой
(тогда, по нерелятивистским
представлениям, масса сохрапя-
ется). Переходя к тепловым про-
процессам, под замкнутой системой
часто понимают теплоизолиро-
вапную систему. Но СТО учит,
что всякая передача энергии
связана с передачей импульса
(это относится и к передаче те-
тепла); передача энергии меняет
Мвгт
Tenemw,
испытыда-
ющая огпда'и
Да излучения
Мсг
После наглощет/Я
Рис. 8.15. Фотон переносит массу, хотя
его масса равна пулю. До излучения фо-
фотона энергия тележки равна е0. В замк-
замкнутой системе 4-импульс сохраняется, по-
поэтому суммарный з-импульс тележки и фо-
фотопа по-прежнему равен нулю, а суммарная
энергия тележки и фотона равна е0. Масса
системы осталась неизменной, хотя масса
тележки уменьшилась, а масса фотона раи-
раина нулю (масса не аддитивна!). Кгода фотон
поглощается ita другом конце тележки, ее
энергия снопа становится равной %„, но
энергия hv уже перенесена от одного конца
тележки к другому и распределение массы
по тележке уже отличается от исходного.
массу системы. Можпо объеди-
объединить эти определения в одно,
считая замкнутой систему, в которой сохраняются энергия и им-
импульс D-вектор энергии-импульса). В замкнутой механической
системе энергия и импульс сохраняются. Такая система явля-
является теплоизолированной. Ее масса, согласно обычному опреде-
определению Мс2 — (Ш/сJ — Р2, сохраняется. Конечно, закон сохрапе-
пия массы замкнутой системы не подразумевает аддитивпость
масс в системе. Это обстоятельство необходимо учитывать, осо-
беппо в случае порождения новых частиц.

ДОПОЛНЕНИЯ
I. Как и кто создал специальную теорию относитель-
относительности? *) (В. Л. Гинзбург). Теория относительности припадлежит
к числу величайших научных открытий, причем создана она в нашем
веке. Последнее особенно сущестпенно в том отношении, что тео-
теория относительности принадлежит не столько к истории науки
(или — если угодно — не только к истории науки), а служит физи-
физической теорией, которая непосредственно и очень широко исполь-
используется сегодня. Такова главная причина повышенного интереса
к истории становления теории относительности. Эта теория оказа-
оказалась связанной с пересмотром фундаментальных представлений,
касающихся пространства и времени, а тем самым и основ класси-
классической (дорелятивистской) физики. Естественно, что ломка ослоппых
понятий и переход на новые позиции пе протекают гладко — они
породили споры и дискуссии, длящиеся десятилетиями. К тому же
эти споры затронули не только физиков, по и представителей
других наук. Таким образом, к теории относительности было
приковано, да и сейчас прикопано, пристальное внимание. Отно-
Относится это, конечно, и к истории ее создания — как к истории
разлития идей,, так и к вопросам приоритета.
В результате и сейчас, через семьдесят лет после создания
специя л ьпой теории относительности (СТО), активно обсуждается
вопрос: как и кто создал эту теорию?
Чаще всего создапие СТО связывают с именем Л. Эйнштейна
и лишь в качестве его предшественников упоминают о Г. Лоренце,
А. Пуанкаре и некоторых других. Но существуют и другие мне-
мнения, сводящиеся, например, к тому, что создателями СТО являются
Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн. Какая точка зрении более пра-
правильна и о чем здесь, собственно, идет спор? Ответ на этот вопрос
а также на вопрос, вынесенный в заголовок настоящего Допол-
Дополнения, вряд ли могут быть безынтересными читателям книги.
Ниже они найдут песколько замечаний на этот счет.
Три работы считаются важнейшими при создании СТО. Авто-
Автором первой из них A904 г.) был один из общепризнанных лидеров
*) Этот текст представляет собой авторскую переработку части статьи
В. Л. Гинзбурга, в окончательной форме опубликоваппой в «Эйнштейновском,
сборнике 1974», «Наука», 1976. Ссылки (там, где нет особой оговорки) отпо-
сятся к сборнику «Принцип относительности», Атомяздат, 1973.

304 ДОПОЛНЕНИЯ
теоретической физики, голландский профессор Гендрик Лоренц
A853—1928), за два года до этого получивший Нобелевскую пре-
премию по физике. Автором второй работы A906 г., краткое сообще-
сообщение было опубликовано в 1905 г.) явился знаменитый французский
математик Анри Пуанкаре A851—1912), хорошо известный также
своими исследованиями в области физики и методологии пауки.
Наконец, третья работа A905 г.) била написана почти безвестным
мелким служащим швейцарского федерального патентного бюро
Альбертом Эйнштейном A879—1955).
Кому не известно, что новые произведения популярных и люби-
любимых писателей и поэтов сразу же привлекают внимание, в то время
как сочинениям новичков нужно еще пробивать себе дорогу?
В науке та же естественная тенденция проявляется, пожалуй, еще
резче. Почему же в интересующем нас случае — при создании
СТО — все получилось наоборот: особенно известной — без пре-
преувеличения можно сказать, знаменитой — стала именно работа
Эйнштейна? Ответ на этот вопрос был очень четко сформулирован,
например, в широко известной статье В. Паули «Теория относи-
относительности», впервые опубликованной в 1921 г. в наиболее автори-
тетпой в то время «Энциклопедии математических наук». Книга
Паули затем переиздавалась и была переведена на другие языки
{русский перевод вышел в 1947 г.). Изложение истории создания
СТО Паули заканчивает так: «Основы новой теории были доведены
до известного завершения Эйнштейном. Его работа 1905 г. была
направлепа в печать почти одновременно с сообщением Пуанкаре
и паписана без осведомленности о работе Лоренца 1904 г. Иссле-
Исследование Эйпштейна содержит не только все существенные резуль-
результаты обеих названных работ, по и прежде всего изложение совер-
шенпо нового и глубокого попимания всей проблемы» (стр. 201).
Другой известный физик, М. Bopir, так вспомипает о впечатлении,
произведенном на него чтением статьи Эйнштейна: «Хотя я был
хорошо знаком с релятивистской идеей и с преобразованиями
Лоренца, ход идей Эйпштейна был для меня откровением» (стр. 236).
В совершенно новом и глубоком освещении проблемы, явив-
явившемся откровением, и состоит очевидная причина успеха работы
Эйпштейна, причина того, что именно эта работа обычно считается
самой важной при создании СТО.
Два вопроса находятся в цептре внимания при ознакомлении
с историей науки. Прежде всего это вопрос «как?»— как возникли
и развивались идеи, как готовилось и было совершено открытие?
Вторым является вопрос «кто?»— кто сделал открытие, высказал
идею, превратил ее «в плоть и кровь», развил, довел до сознания
научной общественности? j Вопрос «как?» представляется основ-
основным, первичным: он связан с самим содержанием науки и методами
научного исследования. Вопрос же «кто?» может показаться второ-
второстепенным; и действительно, он не связан с существом дела, если

I. КАК И КТО СОЗДАЛ СТО? 305
иметь в виду, скажем, физику, а не психологию научно го творче-
творчества, социологию паучной среды или личную судьбу того или
иного человека. Но фактически анализ проблем «как?» и «кто?»
часто, если не в большинстве случаев, трудпо разграничить.
Науку развивают люди, и если коночный продукт — совокуп-
совокупность определенных утверждений, уравнений, соотношений
и т. д.— безличен или, вернее, почти безличен, первоначальный
процесс открытия или вывода и получения этих уравнений и соот-
соотношений отражает характерные и типичные черты первооткрыва-
первооткрывателей. Тем самым, если речь идет именно об истории науки,
на вопросы «как?» и «кто?» естественно отвечать одновременно.
Дальнейшим замечаниям па этот счет мы предпошлем несколько
слов о том, что такое специальная теория относительности (разу-
(разумеется, настоящая книга в целом дает на этот счет значительно
более подробный ответ; представляется удобным, однако, и здесь
кратко резюмировать ситуацию).
Одним из основных физических понятий является понятие
об иперциальных системах отсчета. Система отсчета, служащая
для определения координат и времени событий, иперциальна, если
в ней соблюдается закон инерции — изолированное тело (тело,
не находящееся иод действием сил) движется равномерно и прямо-
прямолинейно. Такое определение не свободно, правда, от возражений
и пуждается в уточнениях, поскольку остается еще неясным, какое
тело можпо считать изолированным, но, грубо говоря, изолирован-
изолированность гарантирована, если все другие тела находятся достаточпо
далеко. Примером «хорошей» иперциальпой системы может слу-
служить система координат, пачало которой совпадает с Солнцем,
а оси паправлены на далекие звезды. С несколько меньшей,
но обычпо еще весьма большой точностью закон инерции выпол-
выполняется и на Земле (действие силы тяжести считается исключен-
исключенным). Система отсчета, вращающаяся относительно инерциальной,
уже не будет таковой, причем с увеличением угловой скорости
вращения различия между ииерциальной и вращающейся систе-
системами проявляются все резче.
Если данная система инерциальпа, то инерциальной будет
и любая другая система отсчета, движущаяся относительно нее
равномерно и прямолипейно. Обобщение этого заключения на все
механические явления — утверждение о том, что все такие явления
во всех иперциальных системах протекают совершенно одина-
одинаков,— как раз и составляет содержание классического, или гали-
леева, принципа относительности. Точнее, использование и фор-
формулировка этого принципа включают в себя также вполне опре-
определенное, дорелятивистское предположение о том, как связаны
между собой координаты и время событий в различпых инер-
циальпых системах. Так, если одпа из этих систем, система К'
(координаты х', у', z' и время /'), движется относительно данной
20 В. А. Угэров

306 ДОПОЛНЕНИЯ
ипорциальной системы К (координаты х, у, z и время t) со ско-
скоростью V вдоль положительных осей х, х' (направления всех
осей считаем совпадающими), то, как предполагалось до создания
СТО.
х -- х - Vt, у' =¦ у, z - z, ? = t
(преобразования Галилея).
Впрочем, абсолютность времени — его независимость от дви-
движения системы отсчета (отсюда и равенство t' — t) — принима-
принималась нообще в любых системах отсчета.
При равномерном движении тела его ускорение, конечно, равио
нулю. Значит, при преобразованиях Галилея, т. е. в любых инер-
циальпых системах, ускорение одинаково. Поэтому при таких
преобразованиях закон динамики, второй закон Ньютона (масса X
X ускорение — силе), остается неизменным, если только масса
и сила, как и ускорение, остаются одинаковыми в системах К и К'.
Последнее предполагается (и обосновывается на опыте), в резуль-
результате чего мы и приходим к выводу о соблюдении классического
принципа относительности в механике Ньютона. Вообще гаран-
гарантией соблюдения классического принципа относительности является
неизмешюсть (инвариантность) уравнений, выражающих основные
физические законы, при преобразованиях Галилея.
Когда-то, до второй половины и даже до конца XIX века,
считали, что нею физику можно построить на основе ньютонов-
ньютоновских уравнений движения. Тем самым, считался всегда справед-
справедливым и классический принцип относительности. Развитие элект-
электродинамики поставило, однако, классический принцип относи-
относительности под сомнение. Уравнения электродинамики (уравне-
(уравнения Максвелла) при преобразованиях Галилея не сохраняют
свою форму, и поэтому применение этих преобразований при-
приводит к такому выводу: принцип относительности в электроди-
электродинамике нарушается, и, в частности, свет и электромагнитные
волны всех других диапазонов в различных инерциалышх системах
распространяются по-разному даже в вакууме. Если вводившаяся
тогда «светоносная среда»— эфир — неподвижна в одной из инер-
инерциальпых систем (в системе К), то в этой системе скорость света
независимо от направления равна с = 3-Ю10 см/сек. В других же
иперциальных системах К', движущихся относительно эфира
со скоростью V (вдоль осей х и х'), как ясно из преобразований
Галилея, скорость света будет равна с' = с — V при его распро-
распространении вдоль осей х и х' и равна с' = с + V при распростра-
распространении света в противоположном направлении, и т. д.
Но опыты опровергли этот столь ясный, казалось бы, вывод; все
эксперименты, начиная со знаменитого опыта Майкельсона, впер-
впервые проведенного и 1881 г. и затем неоднократно повторявшегося,
подтверждают сираведливость принципа относительпости и в элект-

I. КАК И КТО СОЗДАЛ СТО? 307
родинамике и вообще для всей физики. Но как же тогда, в согласии
с принципом относительности, скорость света может равняться
одной и той же величине в разных системах отсчета, когда из пре-
преобразований Галилея очевиден противоположный вывод?
Понадобилось почти четверть века, чтобы в итоге мучительных
поисков прийти к решению, составляющему ядро и основу СТО
и сводящемуся к отказу от преобразований Галилея. Точнее, как
это обычно бывает в подобных случаях, от них пе отказались,
а был понят их приближенный характер. Точные же формулы,
связывающие координаты и время в системах К' и К, имеют вид
(преобразования Лоренца). Если скорость рассматриваемых инер-
циальных систем относительно друг друга V достаточно мала
по сравнению со скоростью света с, то преобразования Лоренца
переходят в преобразования Галилея; отсюда и ясна степень
их точности, характеризуемая параметром V^lc2. Для близкого
спутника Земли скорость V ~ 8 км1се:г и V2fc2 m 10~9. Ско-
Скорость Земли относительно Солнца V « 30 км/сек и V2/c2 » 10~8.
Уже из этих примеров ясно, что в области тех явлений, с которыми
мы сталкиваемся в повседневной жизни, преобразования Галилея
и вся связанная с ними ньютоновская механика справедливы
с огромной точностью. Но и электродинамике и при исследовании
релятивистских частиц — частиц, движущихся со скоростью v,
сравнимой со скоростью света в вакууме с, нужно пользоваться
преобразованиями Лоренца. Одним из их следствий является
равенство
х2 + у2 + z2 — сН2 ¦-= х'2 Л- у'2 — z'2 —сН'2.
Если учесть, что уравнение фронта сферической световой волны
имеет вид х2 -f У2 + z2 — c2l2 — 0, то указанное равенство
сразу же свидетельствует о справедливости принципа относитель-
относительности при распространении света — во всех инерциалышх систе-
системах скорость света одинакова и равна с.
Под СТО как раз понимают теоретические построения, бази-
базирующиеся на принципе относительности и преобразованиях
Лоренца. Главное в СТО — это новые по сравнению с дорелятиви-
стской физикой пространственно-временные представления, нахо-
находящие отражение в замене преобразований Галилея преобразо-
преобразованиями Лоренца. Содержание последних, если говорить о физике,
отнюдь не сводится только к самим приведенным простым фор-
формулам, связывающим координаты и время х', у', z', t' с х, у, z, t.
Как и всегда в физике, нужно также установить смысл всех вели-
величин, указать основу используемых методов измерения координат
20*

308 ДОПОЛНЕНИЯ
и времепи, уточнить свойства служащих для этой цели масштабов
и часов. Относится сюда, в частности, и вопрос о синхронизации
часов в каждой из систем К и К'. Так, координаты и время,
фигурирующие в преобразованиях Лоренца, определены таким
образом, что события, одновременные в системе К (время t),
не одновременны в системе К' (время ?')• Отказ от абсолютного
времепи является особенно радикальным выводом (им мы обязаны
Эйнштейну). По своему значению и трудности этот вывод можно
сравнить с отказом от абсолютной неподвижности Земли, лежащим
в основе гелиоцентрической системы Коперника.
Теперь уже можно подойти непосредственно к вопросу: как
и кто создал СТО?
Путь к СТО лежал, как ясно иэ сказанного, через преодо-
преодоление фундаментальной трудности—принцип относительности
на опыте соблюдается и в электродинамике (а не только в меха-
механике), но это несовместимо с преобразованиями Галилея. Впрочем,
Лоренц и другие пытались устранить противоречие без отказа
от преобразований Галилея, путем предположения о том, что
Бее тела при их движении относительно эфира сокращаются.
Если масштаб, длина которого в покое относительно эфира равна
10, при движении со скоростью V имеет длину lo\^l — {VicJ,
то можно объяснить, почему некоторые опыты не обнаруживают
движения тел относительно эфира и их результаты не зависят
от скорости движения Земли относительно Солнца. Гипотеза
сокращения, однако, не для всех опытов достаточна; становились
известными все новые опыты, которые находились в согласии
с принципом относительности и для своего объяснения требовали
дополнительных гипотез. Такое положение было, копечно, неудов-
неудовлетворительным, и Лоренц упорно стремился «показать, что мно-
многие электромагнитные явления строго, т. е. без пренебрежения
членами высших порядков, не зависят от движения системы».
Для этой цели Лоренцу нужно было показать, что для равномерно
и прямолинейно движущегося (относительно эфира) тела уравнепия
электродипамики допускают решения, которые определенным обра-
образом соответствуют решениям для такого же покоящегося тела.
Соответствие достигается в результате перехода к повьш пере-
меиным х', у', z' и t' с помощью преобразований Лоренца, а также
введением новых (штрихованных) векторов электромагнитного
поля. В результате таких преобразований форма уравнений ноля
не изменяется, т. е. они имеют одинаковый вид для старых
(нештрихонанных) и новых (штрихованных) величин. Такое свой-
свойство называется инвариантностью — в данном случае инвариант-
инвариантностью уравнений электромагнитного ноля относительно преоб-
преобразований Лоренца.
Сейчас, после создания СТО, мы знаем, что это свидетельствует
как раз о соблюдении принципа относительности в электроди-

I. КАК И КТО СОЗДАЛ СТО? 309
иамике, но Лоренц отнюдь не считал время f нременем в движу-
движущейся системе отсчета; он назвал это время местным н нолагал,
что имеет дело «нросто со вспомогательными величинами, введен-
введенными лишь с помощью математического ухищрения. В частности,
переменную t' нельзя было назвать «временем» в том же смысле,
как переменную t» (стр. 193). В 1915 г. Лоренц писал то же самое:
«Главная причина моей неудачи заключалась в том, что я всегда
придерживался мысли, что только переменную t можно принять
за истинное время и что мое местное время t' должно рассматри-
рассматриваться не более как вспомогательная математическая величина.
В теории Эйпштейна, напротив, t' играет ту же роль, что и ?»
(стр. 197). В 1927 г., за год до смерти, Лоренц высказывался еще
более определенно: «Для меня существовало только одно истип-
ное время. Я рассматривал свое преобразование времени только
как эвристическую рабочую гипотезу. Итак, теория относитель-
относительности является фактически работой исключительно Эйнштейна»
(стр. 263). Добавлю, что, перечитав сейчас (через 70 лет после
их опубликования) работы Лоренца и Пуанкаре, я, лишь с тру-
трудом и зпая заранее результат (а это, как известно, чрезвычайно
облегчает понимание), смог понять, почему доказанная в этих
работах инвариаптпость уравнений электродинамики относительно
преобразований Лоренца могла тогда рассматриваться в качестве
свидетельства справедливости принципа относительности.
К тому же Лоренц и Пуанкаре попимали этот принцип лишь
как утверждение о невозможности заметить равномерное движе-
движение тела относительно эфира. Перейти отсюда к рассмотрению
всех илерциалышх систем отсчета как совершенно равноправных
(такова современная формулировка принципа относительности)
можно без особого труда только в том случае, если понимать
преобразования Лорепца как преобразования, соответствующие
переходу к движущейся системе отсчета.
Как мы видели, именно этого Лоренц определенно не считал.
Позиция Пуанкаре менее ясна. В его статьях 1905—1906 гг.
просто утверждается, что уравнепия электродинамики «можно
подвергнуть замечательному преобразованию, найденному Лорен-
Лоренцем, которое объяспяет, почему никакой опыт не в состоянии обна-
обнаружить абсолютное движение Земли» (стр. 122). Само же это
«объяснение», па мой взгляд, пе идет дальше объяснения Лоренца.
Вообще о своей работе Пуанкаре пишет: «Результаты, полученные
мною, согласуются во всех наиболее важных пунктах с теми,
которые получил Лоренц. Я стремился только дополнить и видо-
видоизменить их в некоторых деталях. Некоторые имеющиеся рас-
расхождения, как мы увидим дальше, не играют существенной роли»
(стр. 119). С другой стороны, в более ранних работах, статьях
и докладах Пуапкаре имеется ряд замечаний, зиучащих поч-
почти пророчески. Речь здесь идет и о необходимости определить

310 ДОПОЛНЕНИЯ
понятие одновременности, и о возможности использовать для этой
цели световые сигналы, и о принципе относительности. Но Пуан-
Пуанкаре не развил этих соображений и в своих работах 1905—1906 гг.
следует за Лоренцем. Как уже подчеркивалось, они в основном
стремились показать и показали, при каких предположениях
равномерное движение тел относительно эфира будет совершенно
незаметно. Между тем Эйнштейн в своей работе 1905 г., молено
сказать, обернул все постановку вопроса — оп показал, что, при-
приняв принцип относительности и осуществив сипхронизацию часов
светом (а также приняв, что скорость света не зависит от дви-
движения источника), никаких других дополнительных гипотез делать
не нужно: преобразования Лоренца непосредственно следуют
из указанных предположений; из них можпо также получить
сокращение движущихся масштабов и замедление хода движу-
движущихся часов.
Таким образом, если судить по опубликованным материалам,
Пуанкаре был, по-видимому, довольно близок к созданию СТО,
но до конца не дошел. Почему так произошло, можно только гадать.
Возможно, что главная причина в том, что Пуанкаре был прежде
всего математиком и в этой связи ему особенно трудно было под-
подняться (или опуститься?) до четкого понимания столь важных
для физики сторон проблемы, как достаточно определенное уточ-
уточнение смысла всех вводимых величин и понятий. Другая, хотя
и близкая, гипотеза такова: Пуанкаре помешала его привержен-
приверженность к конвенционализму, т. е. течению, подчеркивающему
(и переоценивающему) роль условных элементов и определений
в физике *). Известная конвенциопальность при построении физи-
*) Эти замечания, насколько я могу судить, совпадают с мнением
Л. де Бройля, высказанным им в речи по поводу 100-летия со дня рождения
Пуанкаре: «Еще немного — и Анри Пуанкаре, а не Альберт Эйнштейн,
первым построил бы теорию относительности во всей ее общности, доставив
тем самым французской науке честь этого открытия... Однако Пуанкаре так
и не сделал решающего шага и предоставил Эйнштейну честь разглядеть все
следствия из принципа относительности и, в частности, путем глубокого ана-
анализа измерений длины и времени выяснить подлинную физическую природу
связи, устанавливаемой принципом относительности между пространством
и временем. Почему Пуанкаре не дошел до конца в своих выводах? Несом-
Несомненно, чрезмерно критическая направленность его склада мышления обуслов-
обусловлена, быть может, тем, что Пуанкаре как ученый был прежде всего чистым
математиком. Как уже говорилось ранее, Пуанкаре занимал по отношению
к физическим теориям несколько скептическую позицию, считая, что вообще
существует бесконечно много логически эквивалентных точек зрения и картин
действительности, из которых ученый, руководствуясь исключительно сообра-
соображениями удобства, выбирает какую-то одну. Вероятно, такой номинализм
иной раз мешал ему признать тот факт, что среди логически возможных теорий
есть такие, которые ближе к физической реальности, во всяком случае, лучше
согласуются с интуицией физика и, тем самым, больше могут помочь ему.
Вот шзчему молодой Альберт Эйнштейн, которому в то время исполнилось
лишь 25 лет и математические знания которого не могли идти в сравнение

I. КАК И КТО СОЗДАЛ СТО? 311
ческих теорий совершенно несомненна. Длину можно измерять
и в метрах и в футах, а также и другими необычными и экстра-
экстравагантными методами. То же относится ко времени и к другим
величинам, а также к определению одновременности — такое
определение не предписано однозначно. Но конечный результат,
содержание физической теории (в отличие от форм записи и т. п.)
не является условным, а определяется природой, объектом
исследования. Переоценка конвенционального элемента в позна-
познании может помешать уточпению понятий. Могло это сказаться,
в частности, на том, что Пуанкаре не позаботился об уточнении
смысла «истинного» времени t и «местного» времепи t', которые
на самом деле в одинаковой мере истинны, по являются, если
угодпо, «местным» временем соответственно для систем К и К'.
Должен подчеркнуть, однако, что подобные гипотезы, в дан-
данном случае касающиеся Пуанкаре, в общем-то неоправданны.
Пуанкаре, несомпеино, принял активное участие » создании СТО,
его вклад здесь бесспорен. Спрашивать же, почему он не выполнил
еще и работу Эйнштейна, можно не с большим основанием, чем
и в отношении всех физиков того времени,— великие работы
потому и называются великим, что делать их крайне трудно.
Роль работы Эйнштейна, ее смысл, помимо уже сказанного,
поясним его же словами, содержащимися is письме, написанном
за два месяца до смерти: «Вспоминая историю развития специаль-
специальной теории относительности, мы можем с уверенностью оказать,
что к 1905 г. открытие ее было подготовлено. Лоренц уже знал,
что преобразование, получившее впоследствии его имя, имеет
существенное значение для анализа уравнений Максвелла, а Пуан-
Пуанкаре разнил ;>ту мысль. Что касается меня, то я знал только
фундаментальный труд Лоренца, написанный в 1895 г., но не был
эпаком с его более поздней работой и со связанным с ней исследо-
исследованием Пуанкаре. В этом смысле моя работа была самостоятель-
самостоятельной. Ноной в ней была мысль о том, что значение преобразования
Лоренца выходит за рамки уракнений Максвелла и касается
с глубокими познаниями гениального французского ученого, тем но менее
раньше Пуанкаре нашел синтез, сразу снявший все трудности, использовав
и обосновав все попытки своих предшественников. Этот рашающий удар был
нанесен мощным интеллектом, руководимым глубокой интуицией о природе
физической реальности.
Однако блестящий успех Эйнштейна не дает нам права забывать о том,
что проблема относительности была еще ранее глубоко проанализирована
светлым умом Пуанкаре и что именно Пуанкаре впес существенный вклад
в будущее решение этой проблемы. Без Лоренца и Пуанкаре Эйнштейн пе мог
бы достичь успеха» (А. Пуанкаре, Избранные труды, т. 3, стр. 703, «Нау-
«Наука», 1974).
Как нам представляется, точка зрения де Вройля, относящегося к памяти
А. Пуанкаре с глубоким уважением и максимальпой благожелательностью,
заслуживает особого внимания.

312 ДОПОЛНЕНИЯ
сущпости пространства и времени. Новым был и вывод о том, что
«инвариантность Лоренца» является общим условием для каждой
физической теории. Это было для меня особенно важно, так как
я еще раньше понял, что максвелловская теория не описывает
микроструктуру излучения и поэтому не всегда справедлива» *).
Так кто же все-таки создал специальную теорию относитель-
относительности, спросит читатель, желающий получить простой ответ. Как
и в большинстве подобных случаев, СТО не является открытием
или результатом, целиком принадлежащим одному человеку.
Но главную роль в создании СТО большинство физиков (и я в том
числе), безусловно, отводит Эйнштейпу, так как именно его работа
содержала «изложепие совершенно нового и глубокого понимания
всей проблемы» (В. Паули, стр. 201) и была «тем последним и реша-
решающим элементом в фундаменте, заложенном Лоренцем, Пуанкаре
и другими, на котором могло держаться здапие...» (М. Борн,
стр. 238). К числу этих «других» следует в первую очередь отнести
Лармора, который еще в 1900 г. получил преобразования Лоренца
(еще раньше, в 1887 г., очень близкие по типу преобразования
использовал Фогт).
Существуют и другие оценки роли Эйнштейна, Лоренца и Пуан-
Пуанкаре в создании СТО. И если экстремистские взгляды, сводящиеся
к отрицанию вклада Эйнштейна, не заслуживают, по моему убеж-
убеждению, никакого внимания, то более умеренные формулировки
типа «СТО создана Лоренцем, Пуанкаре и Эйпштейпом» остаются,
в конце концов, делом их авторов — такие вещи нельзя декрети-
декретировать, и никто еще не изобрел весов, на которых с аптекарской
точностью удалось бы измерять научные заслуги.
Во избежание недоразумений здесь представляется уместным
сделать еще замечание, касающееся широко используемого назва-
названия «теория относительности Эйнштейна». Такое словоупотребле-
вие совершенно естественно и законно, тем более что опо отнюдь
не тождественно с названием «специальная теория относитель-
относительности Эйнштейна». Дело в том, что под теорией относительности
если не уточнять, понимают и специальную (СТО) и общую теорию
относительности (ОТО). Общая теория относительности обобщает
и развивает СТО и, как принято считать, является непревзойден-
непревзойденной вершиной теоретической физики **). Например, М. Борн
в 1955 г. в своем докладе заявил: «Я считал и считаю поныне, что
это величайшее открытие человеческой мысли, касающееся при-
природы, открытие, в котором удивительным образом сочетаются
•) Цитируем по книге К. Зелига «Альберт Эйнштейн» (Атомиздат, 1966,
стр. 67), являющейся лучшей известной нам биографией Эйнштейна.
**) Поскольку здесь нет возможности подробпее остановиться на месте
ОТО в развитии физики, позволю себе сослаться на свою статью «Гелиоцентри-
«Гелиоцентрическая система и общая теория относительности (от Коперника до Эйнштейна)»,
опубликованную в «Эйнштейновском сборнике 1973», «Наука», 1974.

I. КАК И КТО СОЗДАЛ СТО? 313
философская глубина, интуиция, физика и математическое искус-
искусство. Я восхищаюсь им, как творением искусства». Выразительно
также замечание самого Эйнштейна, сделанное им в 1912 г. в письме
А. Зоммерфельду как раз в период создания ОТО: «По сравнению
с этой проблемой первоначальная теория относительности (т. е. спе-
специальная теория.— В. Г.) является просто детской игрушкой».
Из другого письма Эйпштейна мы знаем, что «период со дня
зарождения идеи о специальной теории относительности и до окон-
окончания статьи, в которой она изложена, составил пять или шесть
недель». На построение же общей теории относительности Эйн-
Эйнштейн затратил около 8—9 лет (с 1906 или 1907 по 1915—1916 гг.),
а затем ее развитием занимался вплоть до своей смерти 18 апреля
1955 г. К этому нужно добавить, что общая теория относительности
в максимальной известной в истории науки степени — создание
одного автора — Эйнштейна. Наконец, теория относительности
стала достоянием широкой публики и вышла за пределы чисто
научных кругов только в 1919 г., когда впервые удалось наблю-
наблюдать предсказанное ОТО отклонение световых лучей, проходящих
вблизи Солнца. Следовательно, теорию относительности в целом
можпо связать только с именем Эйнштейна.
Наконец, несколько слов о приоритете. В 1952 г. Борн писал
Эйнштейну из Эдинбурга: «Престарелый математик Уиттекер,
с которым я дружу, проживающий здесь в качестве почетного про-
профессора, подготовил новое издание своей старой «Истории разви-
развития теории эфира», второй том которой уже вышел в спет. Он содер-
содержит в числе прочего также и историю создапия теории относи-
относительности, с той особенностью, что ее открытие приписывается
Пуанкаре и Лоренцу, между тем как твои работы упомипаются
лишь как второстепенные. Хотя книга происходит из Эдинбурга,
я, собственно говоря, не боюсь, что тебе может прийти в голову,
будто я стою за этим делом. Фактически вот уже три года, как
я делал все возможное, чтобы отговорить Уиттекера от его наме-
репия, которое он давно лелеял и любил пропагандировать.
Я перечитал старые оригинальные статьи, в том числе некоторые
побочные статьи Пуанкаре, и спабдил Уиттекера английскими
переводами немецких работ... Но все было тщетно. Он настаивал
на том, что все существенное содержалось уже у Пуанкаре и что
Лорепцу было вполне ясно физическое толкование. Ну, мне-то
уж известно, сколь в действительности скептически был настроен
Лоренц и как долго длилось, пока он стал «релятивистом». Все
это я рассказал Уиттекеру, но без успеха. Эта история злит меня,
поскольку он пользуется большим авторитетом в говорящих
по-английски странах и многие ему поверят. К тому же мне
в особенности неприятно, что в свое изложение он ввел всевозмож-
всевозможные ссылки на частные сообщения по поводу квантовой мехапики
таким способом, что моя роль в ней в особенности расхваливается.

314 ДОПОЛНЕНИЯ
Так что многие (если даже и не ты сам) могут подумать, что я сам
дурным образом причастен к птому делу» *).
Ответ Эйнштейна был таков: «Дорогой Борн! Выбрось из головы
вес мысли по поводу книги твоего друга. Каждый ведет себя,
как это представляется ему правильным или, выражаясь детер-
детерминистически, как ему предначертано. Если он убедит других —
это их дело. Что касается мепя, то я, во всяком случае, нашел
удовлетворение уже в самом процессе своих усилий. Я не считаю,
однако, разумным делом защищать пару своих результатов как
свою «собственность», уподобляясь старому скряге, собравшему,
надрываясь, пару грошей. Я не питаю к Уиттекеру и уж, разу-
разумеется, к тебе никакого зла. Да ведь вовсе и пет нужды мне читать
оту штуку» **).
Этот ответ очень характерен для Эйнштейна, и тем, кто мало
знаком с его биографией, оп пояснит многое. Да, собственно,
он пояснит главное — в чем «секрет» исключительной популяр-
пости Эйнштейна в современпом мире. Тот факт, что он был вели-
величайшим из великих физиков нашего, да и не только нашего, века,—
ото основное, но далеко не все. Эйнштейн еще и боролся за спра-
справедливость, за свободу и другие прана человека, презирал тем-
темные силы и являл пример благородства и высокого человеческого
достоинства. И просто невозможно себе нредставить, чтобы Эйн-
Эйнштейн вступил в приоритетные споры, не говоря уже о дрязгах.
То же можно сказать о Лоренце и Пуапкаре. Лоренц, так много
сделавший для создания СТО, отдавал честь создания этой теории
«исключительно Эйпштейну», отмечал вклад Пуапкаре. Послед-
Последний превозносил роль Лоренца. Эйнштейн подчеркивал заслуги
Лоренца и Пуанкаре. Можно подозревать, что Пуанкаре не считал
вклад Эйпштейна особенно значительным и, возможно, даже
полагал, что он и сам «все сделал». Но в том-то все и дело, что
о настроениях Пуанкаре мы пытаемся догадаться но его молча-
молчанию ***), а не на основании каких-то высказанных им пре-
претензий.
До сих пор мы остапавливались только на исходных работах
Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна. Нужно надеяться, что сопоставить
значение этих работ можно уже на осповании изложенного выше.
В заключение хотелось бы также подчеркнуть, что для развития
СТО сыграли, естественно, свою роль и работы, выполненные
после 1905 г. Здесь следует отметить как некоторые статьи самого
*) «Albert Einstein, Iledwiga und Max Born, Briefwechsel, 1916—1955»
(письмо от 26 сентября 1952 г.).
**) Там же (письмо от 12 октября 1952 г.).
***) Удивительным является то обстоятельство, что ни в одной статье
Пуанкаре не упоминается работа Эйнштейна по СТО, хотя Пуапкаре умер
спустя семь лет после ее появления.

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 315
Эйнштейна, так и работы М. Планка и особенно Г. Минковского
(развитая им четырехмерная трактовка теории оказалась весьма
плодотворной).
II. Безуспешные поиски среды, в которой распространяется
свет. Для специальной теории относительности световые явления
в вакууме играют особую роль. Скорость света в вакууме является
предельной скоростью передачи сигпалол, и вполне справедливо
утверждение, что история теории относительности начинается
с открытия конечности скорости распространения света.
Как указывалось п § 1.8, теория относительности исходит
из того, что для распространения света (электромагнитных волп)
не требуется никакой материальной среды; другими словами, свет
может распространяться в вакууме. Но эта идея вошла в физику
с большим трудом, и ее утверждение связано с возникновением
СТО. В пате время эта идея должна использоваться с самого
начала обучения физике. По отказ от обязательного существова-
пия «светоносной среды» под давлением экспериментальных фак-
фактов — очень поучительная страница истории физики, и на ней
следует остановиться. Однако мы вынуждены начать издалека
и кратко напомнить о том, как развивались представления о при-
природе слета. В начале XVII века возникли две точки зрения на при-
природу света, не утратившие своего значения до сих пор. Одна
из них —«корпускулярная»— принадлежит Ньютону, другая —
«волновая»— Гюйгенсу. Нетрудно понять исходную позицию Нью-
Ньютона: успехи его механики заставили искать механическую интер-
интерпретацию и для света. Ньютон считал, что свет представляет собой
движение особых материальных частиц —«корпускул». Основ-
Основные свойства света — прямолинейное распространение в одно-
однородной среде, законы отражения и преломления — можно легко
объяснить, исходя из корпускулярной картины. В однородной
среде на корпускулу пе действуют силы, она движется по инер-
инерции, т. е. прямолинейно. Отражение происходит по закопу упру-
упругого удара (так происходит удар бильярдного шара о борт бильярд-
бильярдного стола); в этом случае угол падепия равен углу отражения.
А это как раз и есть закон отражения спета от неподвижной
границы.
Если на границе раздела сред lull на корпускулу действуют
силы, направленные по нормали к границе раздела в сторону
более плотной среды, то корпускула изменяет направление своего
движения. Действительно, пусть в среде / компоненты скорости
корпускулы были равны Vn и Vt. Силы, действующие на грапице,
увеличили Vn, и направление скорости изменилось — произошло
«преломление» (рис. Д.1).
Из геометрической оптики известпо, что, когда свет переходит
из среды с показателем преломления nt в среду с показателем

316
ДОПОЛНЕНИЯ
преломления пг, он испытывает преломление. Связь между углом
падения г и углом преломления г устанавливается законом Декар-
Декарта — Спеллиуса:
Sin I П%
sin г щ
Качественно рассуждения Ньютона объясняют преломление света.
Ньютон знал и о том, что у света есть такие свойства, которые
плохо укладываются в его схему (вспомните «кольца Ньютона»
в оптике — типичное интерференционное явление), однако при-
придумывал весьма искусственные объяснения, чтобы сохранить кор-
корпускулярную картину. Но примерно в то же самое время Гюйгенс
Рис. Д.1. а) Изменение направления движения корпускулы при переходе через границу
раздела сред 1 и II. После прохождения границы раздела V^ > Vn, но VJ — Vt и направ-
направление скорости меняется, б) Преломление света нри прохождении границы двух сред.
высказал мысль о волновой природе света. Гюйгенс исходил
из аналогии со звуковыми волнами, хотя природа световых коле-
колебаний ему была совсем неясна. Он понимал, что свет может рас-
распространяться там, где звук уже не существует (если смотреть
через прозрачный колпак, из-под которого выкачали воздух,
то видно, как бьется молоточек колокольчика под колпаком,
а звука не слышно). Допустить, что колебания могут распростра-
распространяться без наличия какой-либо среды, Гюйгенс (а за ним и все
физики до Эйнштейна) не мог. Поэтому для распространения све-
световых колебаний нужно было ввести особую среду. Эту среду
Гюйгенс назвал эфиром. Так возникло понятие, несостоятельность
которого обнаружила лишь теория относительности.
Ньютон выступал против теории волнового распространения
света. Он опирался на явление двойного лучепреломления в кри-
кристаллах. Ньютон показал, что если свет распространяется в виде
волн, то двойное лучепреломление означает наличие в пучке
света выделенного направления колебаний. Но во времена Нью-
Ньютона были известны только продольные волны, не обладающие
этим свойством. И Ньютон отказался от волновой теории, хотя

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 317
и допускал ее возможность. Ньютон категорически отвергал
и эфир *).
Корпускулярная точка зрения на природу света господство-
господствовала около ста лет носле смерти Ньютона. Ее утверждению и нема-
немалой степени содействовал авторитет Ньютона. По любая теория
годится лишь до тех пор, пока она пе противоречит фактам и объяс-
объясняет их. Начало XIX века принесло с собой открытие явлений,
которые убедительно свидетельстповали о полковой природе света.
Были подробно изучены интерференция и дифракция спета, уда-
удалось объяснить на основе волновой теории и прямолинейное
распространение света. Открытие поляризации света показало
шшеречность световых волн.
Таким образом, XIX век принес триумф волновой теории
света. Казалось, не оставалось сомнений в том, что свет — это
волповой процесс. Но и физики XIX века не могли себе предста-
представить колебаний, которые происходили бы без участия каких-либо
тел или какой-либо среды. Поэтому снова возник вопрос о том,
в какой среде происходят световые колебания. Название для
такой среды — эфир — было уже придумано Гюйгенсом; физи-
физические свойства эфира предстояло еще выяснить. Физика XIX века
была насыщена идеями механики, и неудивительно, что эфир
наделили механическими свойствами твердого тела (поперечные
колебания распространяются только в упругих твердых телах).
Конечно, это было странное тело: оно пе ощущалось при движении,
его нельзя было ни увидеть, ни потрогать, но другими свойствами,
не входя в противоречие с наблюдениями, эфир наделить было
нельзя.
Но, даже если оставить в стороне трудпый вопрос о свойствах
эфира, возникал еще один острый вопрос: с какой системой отсчета
связан эфир, т. е. в какой системе он покоится? Эта система,
естественно, была бы выделенной по отношению ко всем остальным,
по крайней мере для оптических явлений. И здесь, казалось, сама
природа дает прямой ответ на поставленный вопрос, если вспом-
вспомнить о явлении аберрации света. Это явление заключается в том,
что если наблюдать луч света из двух систем отсчета, движущихся
относительно друг друга, то он будет виден под разными углами
к некоторому общему в этих двух системах направлению (напри-
(например, направлению относительной скорости). Если речь идет о наблю-
наблюдении лучей света через телескоп, видимое направление, по кото-
которому идет свет, совпадает с направлением оси телескопа. Но почему
же движепие наблюдателя (телескопа) изменяет видимое паправ-
ление приходящего света? Суть дела может быть объяснена на про-
простом примере. Пусть шарик равномерпо падает но вертикали
*) Представление о дискуссии между Ньютоном и Гюйгонсом можно полу-
получить из книги Л. Эйнштейна и Л. Инфелг>да «Эволюция физики», «Наука»,
1965.

318
ДОПОЛНЕНИЯ
со скоротью с. Его нужно пропустить через трубку длины I,
движущуюся в горизонтальном направлении со скоростью V,
так, чтобы он не попал на стенку трубки. Для этого нужно, чтобы
шарик все время оказывался внутри трубки на ее оси ВВ". В част-
частности, когда шарик дойдет до точки В', туда должен подойти
Рнс. Д.2. а) Вертикально падающий шарик должен пройти через трубку, движущуюся
горизонтально со скоростью V. б) Волновой фронт должен пройти без искажений через
трубку, движущуюся горизонтально со скоростью V. в) Возникновение параллактиче-
параллактического смещения у звезды, находящейся в полюсе эклиптики, из-за перемещения Земли.
Благодаря этому эффекту звезда описывает в течение года небольшой эллипс. Следует
обратить внимание на то, в каком месте находится наблюдатель на Земле; наблюдатель,
находящийся, например, в положении А, будет видеть на небесной сфере звезду А (положе-
(положение звезды также отмечено буквой А), г) Аберрация света и движение Земли по орбите
также приводят к тому, что звезда, расположенная в полюсе эклиптики, описывает в тече-
течение года эллипс. Однако соответствующие положения Земли и звезды отличаются от
картины, приведенной на рис. в). Этим и отличаются аберрационное и параллактическое
смещения.
В рамке схематически изображено возникновение угла аберрации при изменении
направления движения Земли на обратное (через полгода).
нижний конец трубки В. Трубку, очевидно, нужно наклопить
вперед по движению. Легко найти угол паклопа ф по отношению
к вертикали. Пусть шарик проходит отрезок В"В' = I cos ф
за время т. За это же самое время конец трубки В должеп пройти
расстояние ВВ' = I sin ф. Но I cos ф = ст, a I sin ф = Ft, откуда
tg ф = Vic (рис. Д.2, а).
С точки зрения корпускулярной теории света корпускулы как
раз и играют роль шариков. Следовательно, телескоп нужно
наклонять вперед по движению. Но и волновая теория света
оставляет этот вывод неизменным. Чтобы движущаяся трубка

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 319
не «смяла» волновой фронт света (скорость трубки V, а скорость
света с), ее нужно наклонить также на угол ср, причем tg ф =¦¦ Vic
(рис. Д.2, б).
Углом аберрации называется изменение видимого угла, под
которым наблюдается приходящий луч, при переходе от одной
ИСО к другой. По совершенно ясно, что угол аберрации обнару-
обнаружить невозможно, находясь в пределах одной ИСО, потому что
направление луча (на далекую звезду) будет всегда одним
и тем же. Однако в условиях наблюдения звезд с Земли аберрация
света была обнаружена, потому что Земля движется по яллипсуг
следовательно, представляет собой одну и ту же ИСО лишь в огра-
ограниченный интервал времени. Через полгода Земля меняет вообще
направление своего орбитального движения на обратное. В этих
условиях видимое направление па звезду должно через полгода
измениться.
Английский астроном Бредли искал параллактическую траек-
траекторию звезд — кажущуюся траекторию, которую описывает в тече-
течение года звезда за счет изменения положения наблюдателя.
Рис. Д.2, в поясняет позпикновение видимого параллактического
смещения Полярной звезды. В течение года звезда должна описы-
описывать небольшой эллипс, расположенный совершенно определенно
относительно орбиты Земли.
В 1728 г., пытаясь обнаружить параллактическую траекто-
траекторию, Бредли открыл аберрацию света; он нашел, что звезды, рас-
расположенные вблизи полюса эклиптики, действительно описывают
эллипс, большая полуось которого равна 41"». Однако этот эллипс
был расположен совсем не так, как ото следовало бы для парал-
параллактического смещения (рис. Д.2, в).
Па рис. Д.2, г иллюстрируется, как возникает смещение звезды
из-за явления аберрации света. Звезду s, расположенную перпен-
перпендикулярно плоскости орбиты Земли, наблюдают из двух диамет-
ральпо противоположных положений А ж С. Угол направления
па звезду для этих двух положений (через полгода) меняется
на 2ф. Па рис. Д.2, г через угол ф обозначен угол между направ-
направлением, под которым звезду s видел бы наблюдатель с покоящейся
Земли (это направление па Земле наблюдать, конечно, нельзя),
и видимым направлением на звезду s. Через полгода тот же угол
будет направлен в противоположную сторону и разность видимых
направлений на звезду s будет равна 2ф. Воспользуемся элемен-
элементарным расчетом, чтобы оценить угол ф. Свет от Полярной звезды
падает нормально к плоскости орбиты Земли. Движение Земли
перпендикулярно направлению луча. Скорость Земли равпа
30 км/сек, скорость света 3-105 км/сек. Отсюда ф = arctg Vic =
= 20", 5; 2ф = 41". Именно эту цифру и нашел Бредли. Он понял,
что параллакс неподвижной звезды он не обнаружил (его нашел
сто лет спустя Бессель), а открыл аберрацию света. Бредли объяс-

320 ДОПОЛНЕНИЯ
ннл явление аберрации света на основе корпускулярной теории;
мы привели это объяснение. Однако тот же результат получается
и для волновой теории. Таким образом, объяснение явления абер-
аберрации для волповой теории затруднений не вызывало. Однако
такое объяснение влекло за собой неизбежное следствие для «свето-
«светоносной среды». Нужпо было считать, что свет распространяет-
распространяется в неподвижном относительно гелиоцентрической системы
эфире: иначе свет не падал бы нормально к плоскости орбиты
Земли.
Итак, из наблюдения аберрации света вытекало, что эфир непод-
неподвижен в гелиоцентрической системе отсчета (она же ньютонова
абсолютная система). Гелиоцентрическая система оказывается
выделенной, привилегированной по отношению к распростране-
распространению света. Не забудем, что до середины XIX века никто пе знал
о том, что световые волны — это электромагнитные полны опре-
определенной частоты.
Если предположить наличие светоносной среды, ее роль ничем
не отличается от роли любой материальной среды, передающей
колебания. Если скорость распространения колебаний в системе
отсчета, где среда покоится, равна v, то в любой другой системе,
которая движется относительно среды со скоростью + V, ско-
скорость распространения колебаний будет равна с ± V. Скорость
волн, согласно любой волновой теории, не зависит от движения
источника, но зависит от движения наблюдатели относительно
среды, колебания которой создают эти волны: здесь речь идет
об эфире. В связи с этим появляется зависимость явлений не только
от относительной скорости объектов, но также от их скорости
относительно среды.
Проще всего проиллюстрировать эти утверждения на примере
доплер-эффекта для звуковых волн в воздухе. Пусть воздух
покоится в системе К, где скорость звука равна v; источник дви-
движется относительно К (т. е. воздуха) со скоростью V, а наблю-
наблюдатель покоится в этой системе (рис. Д.З, а). Свяжем с источ-
источником систему К' (движение к наблюдателю) или К" (движение
от наблюдателя). В этом случае можно повторить рассуждения
из § 3.4. Из источника посылаются импульсы с интервалом Т'
или Т" Bл/7" и 2п/Т" — это собственная частота оо0). Приемник
получит два последовательных сигнала с интервалом Т = Т' —
_ ?11 = Г A _ Z.) в первом случае и Т - Т" + ?IL =
— Т" A -| j во втором. Таким образом, если движется источ-
источник отпосительпо наблюдателя и среды, то при приближении
источпика к наблюдателю последний отметит увеличение частоты
ш = co0/f 1 1 , а при удалении — уменьшение со = соо/ A Н ) .

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 321
Если же источник покоится относительно среды, а от источника
удаляется (или к источнику приближается) наблюдатель, то ско-
скорость распространения колебаний относительно наблюдателя будет
уже и — V или v -,- V (соответственно при удалении и приближе-
приближении). Теперь уже источник покоится в Л", а с системами К' и К"
связаны наблюдатели. Из источника посылаются сигналы с интер-
интервалом Т, которые- будут доходить до наблюдателя is К' порез
к\
v
Источник' Источи: -
Среда поксн.гг.ся i 'г
-о
Наблюдатель
покоится
НаЪпь
V
»-—
НиЬлмДптр.ль
Источник
покоится 6 К
Рис. Д.З. К выводу формулы доплер-эффекта для звука, а) Наблюдатель и воздух покоят-
покоятся в системе К, а источник дшгкртся в среде со скоростью V, б) Источник звука и воздух
покоятся в системе К. л наблюдатель движется в воздухе со скоростью V.
интервал Г = Т + -^ = ( 1
Т. а до наблюдателя А!" через
интервал Т" = Т ^ц-р = [ т-7—\ Т. Но теперь уже соо —
— 2л/Г, откуда мы no.iy4aeir при удалении уменьшение частоты
и = (в0 11 j , а при приближении — возрастание частоты со =
ЛТы видим, что формулы получаются разные при одной и той
же относительной скорости источника и наблюдателя. Аналогично
тому, что было сделано в § 3.4 для случая излучения волн иод
углом к направлению распространения, мы получим ы =
— — cos 0 ) и со = тг .
1_JlC0Sft
у
На итом примере хорошо пидно. что предположение о суще-
существовании эфира сразу же нарушает принцип относительности.
Конечно, принцип относительности годится н при наличии среды,
но м условия тождественности постановки опыта нужпо включить
ту же самую скорость системы отсчета относительно среды. Дру-
Другими словами, в каждую систему отсчета нужно брать свою среду.
21 В. А. Угаров

322 ДОПОЛНЕНИЯ
Короче, для соблюдения принципа относительности годился бы пол-
полностью увлекаемый пли частично увлекаемый (системой отсчета)
эфир. Но ото уже совсем странное предположение; тем не менее
и ему суждено было появиться, но в другой связи.
Если гипотеза неподвижного эфира правильпа, то с ее помощью
можно объяснять и другие оптические явления. С этой точки
зрения опыт Физо A851 г.) привел к весьма вагадочным резуль-
результатам. Мы уже описывали этот опыт в § 8.5, по постараемся сейчас
взглянуть на него глазами физика XIX века. Пусть вода покоится
в системе К', которая вместе с водой со скоростью V движется
относительно лаборатории. Допустим, что лабораторию можно
считать той привилегированной системой отсчета, где эфир
покоится. Свет распространяется в эфире; вещество меняет его
фазовую скорость, но скорость вещества роли не играет. Следо-
Следовательно, скорость света в лабораторной системе v просто равна
скорости света в неподвижной воде г/. Конечно, г/ = с/п. Пред-
Предположим на мгновение, что эфир «увлекался» бы вместе с водой.
Тогда, естественно, скорость света v' складывалась бы со ско-
скоростью движения эфира, т. е. воды, и мы получили бы, что о —
— v' + V. Эфир, наделенный странными свойствами «частичного»
увлечения, привел бы к результату v = v' ± kV со знаком, зави-
зависящим от взаимного направления движения света и среды. Опыт
Физо, многократно подтвержденный впоследствии, привел к резуль-
результату v — v' ± ( 1 г) ^- ^ак ^ы то ии было, гипотеза неподвиж-
неподвижного эфира противоречила результатам опыта Физо.
На этом борьба за признание эфира, конечно, не окончилась,
но, прежде чем рассказывать о дальнейших попытках обнаружить
существование эфира, полезно остановиться на взаимоотноше-
взаимоотношении физического эксперимента и теории. В процессе познания
природы ищутся законы, которые правильно отражали бы зави-
зависимости, существующие в природе, или, говоря философским
языком, объективные законы в объективно и вне нас существую-
существующем мире. Природа исследуется людьми, и в этот процесс вносится
много субъективного, идущего от самих людей, не говоря уже
о неизбежных ошибках. Следовательно, законы природы должны
проверяться. В чем состоит критерий правильности физических
законов? Правильность физических законов раскрывается п прак-
практической деятельности. Проверки закопов разными людьми и в раз-
разных местах, многократная проверка закона одним человеком
служат гарантией соответствия наших знаний подлинным законам
природы. Важнейший способ проверки физических законов и выяв-
выявления закономерностей природы — это искусственное создание
пужгшх условий, т. е. постаповка физического эксперимента.
Но физика не может состоять только из результатов экспе-
экспериментов. Физика невозможна без теории, позволяющей система-

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 323
тизирошть и объяснять различные явления природы, исходя
из небольшого числа фундаментальных законов. В свою очередь
физическая теория, а сейчас это уже целая наука — теоретиче-
теоретическая физика, тесно переплетена с математикой. Когда собирается
некоторый экспериментальный материал, появляется теория, поз-
позволяющая объяснить определенную группу явлений. Может ли экс-
эксперимент или серия экспериментов доказать правильность такой
теории или ее опровергнуть? Конечно, мы не говорим об ошибоч-
ошибочных экспериментах, которые всегда будут появляться; в конце
концов, их ошибочность всегда обнаруживается. С другой стороны,
при построении теории иногда ясны границы ее применимости, и
выходить за них не следует. Но с этими оговорками можно утверж-
утверждать следующее: если хотя бы один правильный эксперимент,
поставленный в пределах применимости теории, противоречит этой
теории, теорию следует признать неверной. Что же касается «дока-
«доказательства» тою или иного закона или теории путем сопоставления
полученных выводов с экспериментом, то никакое число экспери-
экспериментов, согласующихся с теорией, пе может подтвердить ее окон-
окончательно. Теория существует и считается правильной до тех пор,
пока ее выводы не приходят в противоречие с каким-то новым
экспериментом, относящимся к области применимости этой теории.
Эта ситуация сходна с правилом, принятым в математике: справед-
справедливость общей теоремы не доказывается ее справедливостью
в частпых случаях, однако один контрпример ее опровергает.
Физика в своей основе — экспериментальная наука. Процесс
познания природы, часть которого составляет физика, непреры-
непрерывен и неограничен. Вопрос об установлении полной истины — это
скорее философский вопрос, чем вопрос той или иной частной
науки. Отдельные физические эксперименты раскрывают те или
ипые частные закономерности, или, с философской точки зрения,
относительные истины. Хотя эти закономерности содержат в себе
элементы абсолютной истины, тем не менее они не могут дать
исчерпывающего познания. В конечном счете всякая теория будет
либо ограничена, либо опровергнута. Но на каждом этапе спра-
справедливость теорий определяется отсутствием противоречащих
ей экспериментальных данных, а ее ценпость — способностью
объяснить и предсказать наблюдаемые явления. Эти замечания —
интересные сами по себе — можно было бы и не приводить, если бы
они не помогли нам при изложении истории эфира. Мы будем
в основном пользоваться «отрицательными» экспериментами, ука-
указывающими на несостоятельность того или иного предположения,
пытающегося спасти или обнаружить эфир.
Вернемся к предположению о том, что эфир неподвижен в гелио-
гелиоцентрической системе (что следует из наблюдения аберрации
света). Если эфир неподвижеп в гелиоцентрической системе,
то Земля при споем движении вокруг Солнца должна испытывать
21*

324 ДОПОЛНЕНИЯ
«эфирный ветер». Нетрудно указать эксперимент для обнаружения
движения относительно эфира; его принципиальная схема состоит
в следующем (рис. Д.4). Два фотоэлемента расположены на опти-
оптической скамье, параллельной скорости движения Земли но орбите.
Посередине между ними расположен источник света /, в котором
производится вспышка света. Свет распространяется в пенодвиж-
ном эфире со скоростью с. Но фотоэлемент Ф, движется навстречу
лучу света, а Ф2 «уходит» от света. К Фх свет идет со скоростью
c-f-F, а к Ф2 —со скоростью с — V. Значит, Ф1 зафиксирует
приход света раньше, чем Ф2, на промежуток времени
Прежде чем размышлять о возможности реализации такого
опыта, обратим внимание на следующее. Когда речь идет о ско-
скорости распространения сгета, предположение о наличии эфира
сводится только к утверждению
/ о том, что существует сдиист-
fy с+У s^l&r Q-V 72 венная система отсчета, где ско-
1 ^Д рость снета в вакууме равна с.
' *~' Это — единственная привилеги-
привилегированная система. Скороть света
Рис. Д.4. Па оптической скамье смоктпро- R -RaTCWMp Rfi pppy nrTmwuv
ваны источник света 1 и два фотоэлемента В вакУУме во ВС6Х ОСТЭЛЬЬЫХ
Ф, и Ф2. Скамья расположена параллельно СПСТвМЙХ, ДВИЖУЩИХСЯ ОТНОСИ-
направлению скорости движения Земли по ,,
орбите. Если свет распространяется в не- ТеЛЬНО Нее СО СКОРОСТЬЮ V, Опре-
подвижном «эфире», то от источника I спет пр-мтртсн К 1ЛГГИЧРГКИМ пппни-
распространяется к фотоэлементу Ф, со Al-i'iliuh ьлаиьичеьлим прани
скоростью с + v, а к фотоэлементу Фг — лом сложения скоростей с' =
со скоростью с- v. =e±V. Рассуждение, кото-
которое мы провели, относится к си-
системе отсчета А", связанной с эфиром (или просто к той системе
отсчета, где скорость света в вакууме равна с). Здесь предпола-
предполагается, что сигналы, полученные фотоэлементами, регистрируются
в системе К. По если мы проведем те же рассуждения в системе К',
где оптическая скамья покоится, мы получим-в точности тот же
результат. В этой системе просто скорость света в вакууме будет
уже не та, что в К: вправо с — V, а влево с -- F(pnc. Д.4). В систе-
системе К, напомним, с — V и с -\- V были бы просто скоростями, с кото-
которыми свет «догоняет» фотоэлементы Фг и Ф2 *). Совпадение резуль-
результатов в К и К' неудивительно, поскольку в классической меха-
механике отсчеты времени наступления событий носят абсолютный
характер.
Таким образом, если бы удалось измерить разность времени
Д? (Д.П.1), тем самым было бы доказано лишь различие скоростей
*) Полезно напомнить, что согласно СТО в системе К' скорость света,
так же как а в К, равна с.

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 325
света и системах К и К'. Коснеино, конечно, это был бы аргумент
в пользу эфира (см. ниже).
Что касается порядка величины At, возникающей в опыте
такого типа, то если взять, к примеру, I = 104 см, V = 3-10"см/сек
(скорость Земли на орбите), то At т 10~10 сек. Даже современная
техника не позволяет измерить столь малый промежуток времени.
В 1878 г. Максвелл предложил схему опыта, использующую
явление интерференции света. Этот опыт позволил бы обнаружить
движение Земли относительно эфира, если бы свет действительно
распространялся is эфире, а эфир покоился бы в гелиоцентриче-
гелиоцентрической системе. Максвелл считал, что необходимая точность изме-
измерения недостижима. Однако три года спустя Майкельсоп построил
интерферометр, с помощью которого можно было бы заметить
движение установки относительно неподвижного эфира.
Опыт Майкельсопа, осуществленный в 1881 г. по идее Макс-
Максвелла, состоял в следующем (рис. Д.5). Луч света, идущий от источ-
пика /, попадает на посеребренную полупрозрачную стеклянную
пластинку Р. Половина света, падающего на пластинку, отра-
отражается, а половина — проходит через стекло. В приборе Майкель-
Майкельсопа (теперь он называется интерферометром Майкелъсона)
предусмотрены два зеркала S1 и 52, расположение которых ука-
указано на рисунке; зеркала находятся на расстояниях 1п и L2 от пла-
пластинки Р. Все части интерферометра жестко укреплены на тяжелой
плите, плавающей в ртути, для того чтобы всю систему можно
было илашю поворачивать.
На пластинке Р свет расщепляется на два луча: луч 7, идущий
к зеркалу SL, и луч 2, идущий к зеркалу S2. Каждый из лучей
доходит до своего зеркала и возвращается обратно к пластинке Р.
Благодаря полупрозрачности пластинки некоторая часть света
от каждого из этих лучей идет ио направлению 3. Поскольку
каждый из лучей 1 и 2 представляет собой некоторую часть исход-
исходного луча, лучи 1 и 2, идущие ио направлению 3, являются коге-
когерентными и могут интерферировать.
Найдем время прохождения света от Р к S2 и обратно. Вся
картина рассматривается в системе, где покоится интерферометр
и которая движется со скоростью V относительно эфира. Рас-
Расстояние между Р и 52 раино L2, скорость света вправо равна
с — V, а влево с -f V. Следовательно, искомое время равно
Найдем теперь время tr, за котороелуч 1 пройдет путь от Р к зер-
зеркалу Sx. За время Тг зеркало Sx сдвинется на расстояние Vt1 и свет
пройдет но гипотенузе треугольника PS[P" расстояние с/,. Из этого

326
ДОПОЛНЕНИЯ
/fc/novm/t
света
X
Рис. Д.5. а) Общий вид интерферометра Майкельсона. б) Принципиальная схема опыта
Майкельсона. Луч света от источника I расщепляется и полупрозрачной пластинке Р
на два луча 1 и 2, идущие вдоль и перпендикулярно направлению движения Земли по
орбите. Скорость движения Земли но орбите отмечена стрелкой и буквой V. Лучи света 1
и 2 отражаются соответственно от зеркал S, и S2 и вновь возвращаются к пластинке р.
После отражения и преломления в направлении з идут два луча. В этом направлении
и наблюдается интерференционная картина. Решающий шаг эксперимента состоит в пово-
повороте всей установки на 90°, луч / идет теперь по направлению движения земли, а луч 2—
нормально движению. Если бы свет распространялся по неподнижному эфиру, оптическая
разность хода лугей ] а 2 стала 0ы иной и интерференционная картгща, наблюдаемая
в направлении ,?, изменилась Оы (произошло бы смещение интерференционных полос).
Однако никакого смещения полос опыт не обнаружил.

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЮТСЯ СВЕТ 327
прямоугольного треугольника следует, что (с^J — L\ -f- (VtxJ,
откуда
Полнее время движения света от Р к St и обратно будет вдвое
больше, так что
1 (Д.и.З)
Различие времен tr и t2 обусловлено не только различием
в длинах плеч интерферометра, но и движением прибора.
Опыт ставится таким образом, что одно из плеч интерферомет-
интерферометра располагается параллельно направлению движения Земли
по орбите (ото направление известно по астрономическим данным).
Но мы живем на Земле, которая — по предположению — движется
относительно эфира, и потому опыт всегда проводится при наличии
эфирного нетра. Поэтому сравнить интерференционную картину
«без эфирпого нетра» с картиной «при эфирном ветре» невозможно.
Расположив, например, плечо PSt по папранлепию скорости V,
мы получим определенную интерференционную картину — чере-
чередование светлых и темных полос *),— зависящую от разности
времеп хода лучей / и 2:
С \ 1 —Нг -j/l — 1J2 /
-—-^ l—b г.Л (Д.И.4)
~ С Vl-B2 \j/[-R2 4 K^ >
Эта разность времен зависит как от L1 и Ь>. так и от скорости Т.
Если бы можно было гарантировать условие Lx — L2, то эта раа-
пость зависела бы от Гп -- L2 — L так:
При известном L интерференционные полосы, наблюдаемые в при-
приборе, однозначно определяются движением установки. Но, но-пер-
вых, проще не заботиться о соблюдении условия Lt = L2, а во вто-
вторых, удобнее наблюдать изменение интерференционной картины,
т. е. смещение полос. Для этого всю установку поворачива-
поворачивают на 90°. Плечи интерферометра меняются местами. Тогда мы
*) Об интерферометре Майкельсона см., например, в уже цитировангюи
книге Г. Ландсберга «Оптика».

328 ДОПОЛНЕНИЯ
получим
l/l_'jj2'
l/ГТ]
1-В2 /'
Это значит, что при испорото, устапоикп разность времен изме-
изменится:
2{L^L^ l±\ L + IR2 (Д.Т1.7)
и будет наблюдаться смещение полог.
Если мы хотим получить разность хода лучей порядка X. то это
значит, что At* должно быть порядка периода колебаний Т.
Но Т — Ус. Для движения Земли по орбите В~ 10~4; для види-
видимого спета К ~ 5-10~5 см, откуда суммарная длина плеч интерфе-
интерферометра Lt -{ L2 ~ ГH м. Такой путь спетоного луча можно полу-
получить многократным отразкеннем.
Майкельсон мог бы обнаружить «эфирный ветер» со скоростью
10 км/сек. Не только Майкельсоп, но и все другие физики не сомне-
сомневались и том, что «эфирный ветер» даст о себе знать. Но никаких
следом «эфирного нетра» не оказалось. Опыт Манкельсона неодно-
неоднократно повторился со все большей точностью; в настоящее время
можно было бы обнаружить «эфирный ветер», скорость которого
равна 30 м/сек, по результат Майкельсона, пли, как еще говорят,
отрицательный результат опыта Майкельсона. остается незыбле-
незыблемым. Таким образом, его надежность ие вызывает сомпепий.
Из опыта Майкельсона вовсе не следует вывод о том, что эфир
не существует. Результат опыта Майкельсона можно объяснить,
наделив эфир некоторыми свойствами. Эфир можно «добить», только
привлекая данные других наблюдений. Но мы попытаемся пока
сделать выводы из опыта Майкельсона, не связывая его с поисками
«эфирного ветра». Этот опыт показал, что новорот интерферометра
па Земле не вызывает сдвига интерференционных полос. Но этот
сдвиг в принципе мог бы быть связан с различием в скорости
распространения света но двум направлениям в системе отсчета
интерферометра.
Следовательно, — независимо от того, существует эфир или
нет,— опыт Майкельсона показывает, что скорость света на замк-
замкнутом пути, измеренная на Земле, одинакова по всем направле-
направлениям, т. е. изотропна. Так как Земля движется вокруг Солнца
по замкнутой кривой, т. е. ее можно считать инерциальной систе-
системой лишь па протяжении небольшого промежутка времени, фактп-

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 329
чески мы проводим измерения во многих ИСО. Это означает, что
из опыта следует, что скорость света па замкнутом путл изотропна
в любой ИСО.
Несколько видоизмененный опыт Майкельсона, поставленный
л 1932 г. Кеннеди и Торндайком, позволяет подтвердить главное
предположение Эйнштейна. Если взглянуть на формулу (Д.П.7),
видно, что At зависит и от с. Если бы в разных НСО абсолютное
значение скорости света и вакууме было различно, то при переходе
от одной ИСО к другой наблюдалось бы смещение полос. За интер-
интерференционной картиной наблюдали несколько раз непрерывно
от восьми дней до месяца (с перерывом на три месяца). За уто
время установка сменила многие иперцналыше системы отсчета.
Прибор был настолько чувствителен, что можно было бы обна-
обнаружить изменение с па 2 м/сек. Но ничего похожею обнаружено
не было. Таким образом, из опыта Мапкельсона следует, что
скорость света имеет одну и ту же величину (при распространении
туда и обратно) по всех направлениях для данной ИСО; кроме того,
скорость света в вакууме имеет одну и ту же величину во всех
ИСО.
Хотя мы несколько нарушим связность изложения, здесь все же
уместно принести истолковапие результатов опыта Майкельсона
в СТО. Если рассматривать опыт Майкельсона, поставленный
в любой ИСО, то его результат очевидеп. В каждой такой системе
скорость спета в вакууме изотропна, и интерференционная кар-
картина, возникающая и опыте, обусловлена исключительно геометри-
геометрической разностью хода. Короче, в любой ИСО, где покоится интер-
интерферометр, мы получим в точности ту же самую картину, которую
ii/ju классическом рассмотрении мы получили бы в той привиле-
привилегированной системе отсчета, где покоится эфир.
Необходимость более усложненного истолкования результата
возникает тогда, когда птот опыт рассматривается в ИСО, относи-
относительно которой интерферометр движется. Пусть интерферометр
покоится в К', а опыт «ставится» в К; для простоты допустим, что
(в A"') L10 = L20. Мы добавили сюда еще индекс «О», чтобы подчер-
иуть, что речь идет о собственных длинах. Очевидпо, что фор-
формулы (D.II.4) и (Д.П.6) остаются справедливыми, но L2 —
— ^ео У^ — К2, a Li — Ll0. Тогда видно, что Аг". определяемое
согласно (Д.II.6), обращается в нуль. Естественно, не дает никакого
эффекта и попорот установки. Таким образом, отрицательный
результат опыта Майкельсона объясняется п СТО относительностью
длин масштабов (которая самым непосредственным образом свя-
связана с инвариантностью скорости света, § 2.3).
Для того чтобы объяснить результат опыта Майкельсона
и сохранить эфир, Лоренц и Фитцжеральд предположили, что все
тела при движении относительно неподвижного эфира испытывают
сокращение в У — В2 раз в направлении движении («лоренцево

330 ДОПОЛНЕНИЯ
сокращепие»). Из предыдущего рассуждения ясно, что результат
опыта Майкельсона таким способом объяснить можно. Нужно
только подчеркнуть существенную разницу относительности длин
масштабов в СТО и «лоренцева сокращения». В СТО сокраще-
сокращение — это следствие измерений при относительном движении
систем отсчета. У Лоренца — Фитцжеральда это следствие дви-
движения относительно эфира; в этом случае сохранена привилеги-
привилегированная система отсчета. Но гипотеза сокращения Лоренца
обнаруживает свою несостоятельность при несколько видоизме-
видоизмененной постановке опыта Майкельсона. У Майкельсопа плечи
интерферометра были одинаковыми, у Кеннеди и Торндайка раз-
разными. Если плечи интерферометра различны, то будет наблю-
наблюдаться смещение полос, если меняется скорость интерферометра
относительно эфира. Но находящийся на Земле интерферометр
участвует в трех движениях относительно эфира: движений Земли
относительно Солнца, вращении Земли и, наконец, движении
Со.чиця. Суммарная скорость меняется на определенную величину
через каждые 12 часов (и 6 месяцеь). Эти изменения должны при-
приводить к смещению интерференционных нолос. Действительно,
если гипотеза Лоренца верна, то L2 = L2o Vi^ — В2) ииз (Д.П.4)
мы получим
с у 1 —В2
(Д.И.8)
Не будем поворачивать установку, по выясним, как изменится
At при изменении скорости В относительно эфира на Д/?. Диф-
Дифференцируя (Д.II.8) по В, получим
ЛВ "~ - v""zu ¦"»«/" v -./-1—™ / /• "" • (Д-">У)
Последпяя формула записана с точностью до В2. Но длительное
наблюдение за интерференционной картиной не обнаружило
ее изменения.
Второй способ согласовать эфир с результатом опыта Майкель-
Майкельсона — это предположение о том, что эфир «увлекается» движу-
движущимися телами. Однако, как мы видели, аберрация света «согла-
«согласуется» только с «неподвижным в гелиоцентрической системе»
офиром. Опыт, специально поставленный Физо (см. стр. 91, где
рассказано, как объясняет этот опыт теория относительности)
с целью выяснить, «увлекается» ли эфир, привел к выводу, что
офир «частично увлекается».
Конечно, перечисленными экспериментами и наблюдениями
далеко не исчерпываются все попытки установить свойства эфира.
Но уже из этих данных видно, насколько противоречивыми свой-
свойствами должен был бы обладать эфир. Но, пожалуй, самый суще-

II. ПОИСКИ СРЕДЫ, В КОТОРОЙ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ СВЕТ 331
ственный «вклад» эфира в физику состоял бы в том, что от прин-
принципа относительности в электродинамике пришлось бы отказаться.
В 1905 г. появилась работа Эйнштейна «К электродинамике
движущихся тел». В этой работе почти полностью излагалась спе-
специальная теория относительности, которая не только естествен-
естественным образом объясняла результат Майкельсона, но давала пра-
правильное истолкование всем известным механическим, электроди-
электродинамическим и оптическим явлениям.
Она с самого начала распространила принцип относительности
на всю физику, явно утвердила равноправие всех ИСО в вакууме
и тем самым сделала эфир ненужным. Замечательным образом
СТО не противоречит ни одип опытный факт.
Если Майкельсон в своих первоначальных опытах мог обна-
обнаружить изменение скорости света при изменении направления его
распространения относительно направления движения Земли
вплоть до 150 мм/сек, то экспериментаторы, производившие свои
опыты позднее, могли бы уловить это изменение пплотьдо 15 мм/сек.
Использование для той же цели лазеров позволило бы обнаружить
изменение скорости до 0,03 мм/сек. Однако изменение скорости
света для движущегося наблюдателя так и не было обнаружено.
Была проверена независимость скорости света в вакууме от дви-
движения источника. Один из опытов был проведен с внеземным
источником света —Солнцем (А. М. Бонч-Бруевичс, 1956 г.). Если
скорость света зависит от движения источника, то, измеряя ско-
скорость света, исходящего от двух противоположных точек эква-
экватора, можно было бы уловить разность этих скоростей. Опыт
ничего не обнаружил. Был проведен также лабораторный опыт,
в котором сравнивалось время пролета определенного расстоя-
расстояния 7-квантами; рассматривались у-квапты, испущенные непод-
неподвижным и движущимся источниками (радиоактивными ядрами).
Снова независимость скорости света от движения источника была
подтверждена.
Можно уверенно сказать, что, несмотря на колоссальное воз-
возрастание точности экспериментов, нет никаких намеков пи на суще-
существование привилегированной системы отсчета, ни на различие
скорости света в вакууме в различных инерциальпых системах
отсчета, ни на проявления эфира.
В заключение отметим, что ускоренное движение системы отсчета
относительно ИСО, конечно, может быть обнаружено. Механиче-
Механический опыт такого типа — опыт Фуко — был описан в § 1.5.
Имеются также оптические варианты этого опыта, о которых
мы упомянем для полноты. Мы опишем опыт Гарреса A912 г.),
повторенный затем Сапьяком. На диске, который можно вращать,
смонтированы три зеркала А, В, С и полупрозрачная пластинка
D (рис. Д.6); на диске укреплены также источник света L и фото-
фотопластинка Р. Луч света Q расщепляется пластинкой D на два

332
ДОПОЛНЕНИЯ
луча DABCDP и DCBADP, обегающие контур ABCD в двух
противоположных направлениях. Если система покоится, на ила-
стиике происходит интерференция двух лучей, идущих от L и рас-
расщепленных пластинкой D. Если диск принести во вращение, интер-
интерференционные полосы должны сместить-
сместиться, так как возникнет дополнительная
разность хода лучей.
Считая отклонение геоцентрической
системы от инерцпальной несуществен-
несущественным, рассмотрим все происходящее в
системе отсчета Земли. Для простоты
рассуждений будем считать, что зеркал
много и что свет практически перемеща-
перемещается по окружности. Тогда скорость,
с которой спет догоняет диск, если
спет распространяется в направлении
вращения диска, равна с — V = с —
— QR (R — радпус диска, a Q — уг-
угловая скорость вращепия диска); при
распространении спета и противопо-
противоположном направлении эта же скорость равна с-\- V —с-\-Q.R. Время,
за которое спет обойдет окружность диска, равно в первом случае
тх = 2лЯ/(с — V), а но втором т2 — 2nR/(c-\-V). Разность этих
времен равна
I 45Q
Гис. Д.». Схема опыта Саиь-
яка — Гарреса.
1 —
XL
с*
где S — площадь диска. Саньяк наблюдал смещение полос, пре-
превосходно согласующееся с принеденной формулой. По смещению
полос можно определять угловую скорость ?1.
Если в качестве вращающегося диска использовать Землю,
можно определить угловую скорость вращения Земли. Такой
опыт был проведен в 1925 г. Майкельсоном и Гейлем. Угловая
скорость вращения соответствовала составляющей угловой ско-
скорости вращения Земли в направлении отвеса на месте наблюдения.
Для постановки опыта пришлось проложить около 2 км труб
и запастись вторым контуром для определения нулевой точки
смещения полос. Результат Майкельсона был 0,230 + 0,005 прп
теоретической цифре 0,236. Отличное согласие!
Таким образом, в отличие от равномерного поступательного
движения Земли, ее вращение может быть обнаружено физическими
экспериментами различных типов.
III. Был ли опыт Майкельсона «решающим» для построения
СТО? Почти во всех книгах в истории создания СТО почетное
место отводится опыту Майкельсона. Так или иначе, большинство

III. ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА II СТО 333
авторов полагает, что СТО возникла в результате попыток объяс-
непия опыта Майкельсопа и что опыт Майкельсона явился глав-
главной экспериментальной основой СТО.
В единственной книге на русском языке, посвящепной экспе-
экспериментальным основам СТО, написанной С. И. Вавиловым
в 1928 г., опыту Майкельсона отводится именно такое место:
«История его (опыта Майкельсона) излагается здесь довольно
подробно, ибо фактически па его основе и формулированы основ-
основные постулаты теории относительности». Накопец, в предисловии
С. И. Вавилов писал: «Прочитав эту книгу, читатель поймет,
почему опа украшена портретом Майкельсона».
Эта же версия повторяется почти во всех наших учебниках,
где касаются истории создания СТО. В книге Ю. Б. Румера
и М. С. Рывки на «Теория относительности» (Учпедгиз, I960)
находим: «В отличие от всех предыдущих исследователей, Эйнш-
Эйнштейн усмотрел в отрицательном результате опыта Майкельсона...»
Зарубежная литература в этом смысле не отличалась от пашей.
Мы ограничимся одним примером. В книге Лауэ, наиисанной
в 1911 г., например, сказало, что «эксперимент Майкельсона
оказался фундаментальным для теории относительности».
Разумеется, кроме учебников и популярных книг, были книги
по СТО, написанные самим Эйнштейном. В книге Эйнштейна,
посвященной специальпой и общей теории отпосительпости, кото-
которую сам автор снабдил подзаголовком «Общедоступное изложе-
изложение», опыт Майкельсона упоминается в § 16: «Специальная теория
относительности и опыт». Но из текста этого параграфа нельзя
понять, была ли непосредственная связь между опытом Майкель-
Майкельсона и появлением теории. Об этом просто нет речи. В статьях
п высказываниях Эйнштейна до поры до времени не появлялось
ничего такого, что противоречило бы общепринятой точке зрения
на опыт Майкельсона как исходный пункт построения СТО.
Этому учили и учат студентов, этому учат сейчас школьников.
И поэтому было весьма удивительно прочесть в статье Р. Шенк-
ланда, опубликованной в 1963 г., следующую выдержку из записи
его беседы с Эйнштейном в 1950 г.:
«Когда я поинтересовался, как он познакомился с опытом
Майкельсона — Морли, он рассказал, что это произошло благо-
благодаря статьям Г. А. Лоренца, но только после 1905 г. «Иначе,—
сказал он,— я упомянул бы о нем в моей статье». Действительно,
в статье Эйнштейна 1905 г. нет упоминания об опыте Майкельсона
и нет ссылок на статьи Лоренца.
Хороню известно, что к построению СТО близко подходили, кро-
кроме Эйнштейна, также Лоренц и Пуапкаре. Однако фактически СТО
была построена Эйнштейном, причем практически в одной работе
1905 г. Таким образом, если говорить о решающем значении
опыта Майкельсона для создания СТО, нужно выяснить его

334 ДОПОЛНЕНИЯ
влияние на деятельность Эйнштейна. И вот из статьи Шенкланда
выясняется, что Эйнштейн узнал об опыте Майкельсона только ...
после создания СТО.
Почему вопрос о том. какую роль сыграл опыт Майкельсона
в деятельности Эйнштейна по созданию СТО, может волновать
преподавателя? Интересно, конечно, по ради забавного факта едва
ли стоит писать целый параграф. Нет, дело не только в интересе.
Исторический путь построения теории определенное время всегда
довлеет над преподаванием. Уйти от истории вопроса трудно,
а в некоторых случаях и невозможно. Конечно, со временем изло-
изложение того или иного предмета приобретает логическую строй-
стройность (преподаиание не проходит д<1ром!), но подлинная история
развития теории далеко не всегда отражает логику ее построения.
Природа, видимо, открывает спои тайны не в той последователь-
последовательности, которая удобна для их интерпретации. И первое время
после создания теории ее учебное изложение скорее следует исто-
историческому пути ее создания, чем логической схеме ее построения,
которая после завершения теории задним числом может быть
уже построена.
Теперь, взглянув с этой точки зрения на преподавание СТО,
мы виднм, что если Шенкланд пранильно понял Эйпштейпа,
то преподавание шло даже не тем ыутем, которым фактически
теория была построена. Странная ситуация!
Речь идет совсем не о том, чтобы отрицать роль опыта Майкель-
Майкельсона. И история постановки опыта Майкельсона, и его осуществле-
осуществление не могут не вызывать восхищения. Опыт Майкельсопа зани-
занимает выдающееся и непреходящее место в исторнп разлития совре-
современного естествознания. И имеете с тем опыт Майкельсона сыграл
довольпо печальную роль в становлении традиционной схемы
изложения СТО.
Опыт Майкельсона, когда его ставят в основу изложения СТОТ
неизбежно влечет за собой введение эфира. Объяснить смысл
постановки опыта Майкельсона, пе рассказав о трудных поисках
материальной среды, в которой распространяется свет, просто
невозможно (см. Дополнение II). Но все мы тенерь хорошо знаем,
что такая среда вовсе не обязательна. II методически правильней
с этого начинать. Пет ни малейшей необходимости возвращаться
в интеллектуальную атмосферу копца прошлого века.
Действительно, эфир сыграл заметную роль в физических воз-
воззрениях ХТХ века. Да, имепно представления об эфире подска-
подсказали Максвеллу идею опыта, который в конечном счете был реали-
реализован Майкельсоноя иМорли. По развитие науки всегда приводит
к тому, что в конечном счете отбрасываются ошибочные нред-
ставлепия, сыгравшие свою роль на определенном этапе развития
науки. Когда Галилей сформулировал принцип инерции,
он сразу же отверг доктрину Аристотеля о том, что всякое движе-

III. ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА И СТО 335
ние нужно поддерживать. Когда было открыто превращение
механической энергии в тепловую, пришлось отказаться от пред-
представления о теплороде. Теория относительности началась с отказа
от абсолютного движения, с отказа от уфира. Но если сейчас
уже никто но вспоминает о доктринах Аристотеля, излагая меха-
механику, никто не вспоминает теплород, излагая тенловые явления,
почему нужно сохранить эфир, излагая СТО в школе, да и в вузе?
Введение эфира в современное изложение СТО по меньшей мере
странно. Нужпо довольно долго объяснять, зачем вводится эфир,
чтобы в конце концов объявить, что эфира нет. Разве такой подход
может называться методическим?
Иногда говорят, что все равно от эфира никуда не уйдешь:
его лее равно придумают, исходя из аналоги» с распространением
звука или волн на воде. Здесь просто нужно проявить определен-
определенный такт, чтобы вовремя полепить, что в способе распростране-
распространения электромагнитных и гравитационных волн, с одной стороны,
и упругих волн, с другой, есть существенное различие и что для
распространения электромагнитных волн наличие вещества совсем
не обязательно. Спет может распространяться там; где вещества
в обычном понимании слова (обладающего массой покоя) нет.
Все равно же от эфира придется отказаться!
На это могли бы ответить так: «Верно, конечно, что лучше
не вводить «эфир», которого все равно нет, но изложение СТО —
вещь не простая. Создатели СТО шли к ней долгим и трудным
путем. Этот путь лежал через гипотезу об эфире, которая за нена-
ненадобностью была и конце концов отброшена. Но гипотеза «эфира»
была естественной, она возникла в поисках верного решения,
она отражает логику человеческого мышления и воспроизвести
ее совсем не вредно». Здесь все верно, кроме одного. Эйнштейн
шел к СТО пе через эфир (и, естественно, не через опыт Майкель-
сона), а более простым и ясным путем. II если говорить о логике
человеческого мышления, то следует присмотреться к рассужде-
нням Эйпттейна.
Какую роль играл опыт Майкельсона в деятельности Эйнштейна?
Мы уже приводили запись высказывания Эйнштейна, сделанную
Шенкландом. Однако статья Шенклаида появилась лишь после
смерти Эйнштейна и не была, если можно так сказать, «автори-
«авторизована». Совсем недавно в Принстонском архиве Эйнштейна было
обнаружено письмо Эйнштейна, содержащее прямой ответ на инте-
интересующий нас вопрос и уже не оставляющее никаких сомнений.
История появления письма следующая. За год до смерти Эйн-
Эйнштейна, 2 февраля 1954 г., некто Давенпорт прислал Эйнштейну
письмо, в котором говорилось о том, что он подбирает материалы,
показывающие, что Майкельсои «оказал существенное влияние
на Ваши рассуждения и сыграл заметную роль в создании Вашей
теории относительности». Сам Давеннорт пе был физиком и поэтому

336 ДОПОЛНЕНИЯ
просил Эйнштейна «кратко изложить, избегая специальных тер-
терминов, какую роль сыграл Майкельсон — если это было действи-
действительно так — в создапии Ватой теории».
Ответ Эйшнтейна последонал почти сразу, 9 февраля 1954 г.
Это письмо—последнее высказынание Эйипттейпа по этому вопросу.
Судя по всему, Эйнштейн неоднократно обдумывал этот вопрос
(ведь недаром же он отвечал на него Шепкланду). Письмо состав-
составлено очень четко и продуманно. Вот оно:
Дорогой мистер Давеппорт!
Уже до работы Мапкелг.сопа было хорошо известно, что в пределах точ-
точности эксперимента не наблюдалось влияния движения координатной системы
па физические явления ц, соответственно, на их законы. Г. А. Лоренц пока-
показал, что это .может быть объяснено па основе его формулировки максвеллов-
cKoft теории во всех случаях, когда можно пренебречь вторыми степенями
скорости системы (т. е. п эффектах первого порядка).
Однако из теории следовало ожидать, что такая независимость не будет
иметь .места для аффектов второго и более высоких порядков. Величайшей
заслугой Маикельсона было то, что он сумел совершенно определенно пока-
показать в одном случае, что ожидаемого эффекта второго порядка de facto не cj'iue-
ствует. Эта работа Маикельсона, замечательная в равной степени как по сме-
смелости и ясности постановки задачи, так и по той изобретательности, с которой
была достигнута необходимая, крайне высокая точность измерений, состав-
составляет непреходящий вклад в науку. Этот вклад явился ггопым сильнейшим
аргументом за то, что «абсолютного движения» не существует, т. е. в пользу
принципа относительности, сираведливость которого не подвергалась соине-
пию по отношению к мехапие и который капался песонместимым с электро-
электродинамикой.
Когда я раавивал свою теорию, результат Майкельсопа не оказал на меня
заметного влияния- Я даже но могу припомнить, знал ли я о нем вообще,
когда я писал свою первую работу по специальной теории относительности,
A905 г.). Объяснить это можно просто тем, что, но общим соображениям
я был твердо убежден в том, что никакого абсолютного движения не суще-
существует, п моя задача состояла только в том, чтобы сочетать это обстоятельство
с тем, что известно относительно электродинамики. Отсюда можно попять,
почему в моей собственной деятельности оныт Маикельсона не играл никакой
роли или, по крайней мере, не играл решающей роли.
Я не возражаю против опубликования этого письма. Я готов также дать
дополнительные разъяспения, если они потребуются.
С искренним уважением
Альберт Эйнштейн
Письмо ианисаио предельно ясно, и к нему нечего добавить.
Правда, ему противоречит одно выступление Эйнштейна, извест-
известное по книге Б. Джеффа. Лишь раз случай свел вместе Эйнштейна
и Маикельсона. Это произошло в 1931 г. в Пасадене. Эйнштейн
произнес небольшую речь перед присутствующими; в частности,
обращаясь к Майкельсоиу, он сказал: «... своими замечательными
экспериментами вы проложили дорогу теории относительности».
Как теперь выяснилось, а книге Джеффа, откуда взята приведен-

III. ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА И СТО 337
ная фраза (стр. 144), текст выступления Эйнштейна приведен
не полностью. Из отчета о выступлении Эйнштейна иа немецком
языке следует, что в книге вынала целая фраза и что Эйнштейн
говорил о «дороге» к общей теории относительности. Таким обра-
образом, со стороны Эйнштейна нигде нет даже намека на то, что
для него опыт Майкельсона был решающим, хотя всюду Эйнштейн
подчеркивает красоту этого опыта и его фундаментальный вклад
в науку. В письме к Джеффу (стр. 83) он пишет о том, что этот
опыт «укрепил мою уверенность в правильности принципа спе-
специальной теории относительности». Скорее всего это и есть самая
правильная оценка значения опыта Майкельсона в собственной
деятельности Эйнштейна. Для истории физики опыт Майкельсона
имел совсем иное, возможно, даже «решающее» значение. Над
работами Лоренца и многих других явно довлел «отрицательный»
результат опыта Майкельсона. Но не па этом пути было суждено
появиться СТО! Парадоксально, что Лоренц, который нашел зна-
знаменитые «преобразования Лоренца», заключающие в себе сконцент-
сконцентрированную суть СТО, был весьма далек от создания СТО.
Наконец, последний интересный вопрос состоит в том, почему
так упорно преподавание шло по «лоренцевскому» пути? Одно
случайное обстоятельство, сыгравшее, по-видимому, пе последнюю
роль, стоит, пожалуй, отметить здесь. Приведем небольшую цитату
из книги Г. Бонди [21]:
«Что сбивает с толку многих, так это то, что в учебниках
отдается незаслуженное предпочтение опыту Майкельсона — Мор-
ли... Эйнштейн как-то упоминал, что когда он писал свою основ-
основную работу по специальной теории относительности A905 г.),
то ничего не слышал об этом опыте. Уже значительно позлее, когда
сочли полезным воспроизвести различные работы, посвященные
относительности, издатели (по чьему-то совету) решили начать
с середины одной из работ Лоренца. В таком виде статья пачи-
налась с описания опыта Майкельсона — Морли. Тон был задан,
и с тех пор каждый или почти каждый считал своим долгом начи-
начинать именпо так. Но до чего же это неудачное начало!»
И в самом деле, легко убедиться, если взять в руки сборник
«Принцип относительности» (ОНТИ, 1935), что открывающая сбор-
сборник статья Лоренца представляет собой перевод §§ 89—92 из книги
Лоренца «Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen
Erscheinungen in bewegten Korpern» (Leiden, 1895). Она как раз
начинается с опыта Майкельсона. Сборник на русском языке
воспроизводит в точности тот текст Лоренца из немецкого изда-
издания, о котором пишет Бонди.
Что касается восклицания «но до чего же это неудачное начало!»,
то к нему присоединятся далеко не все. А вопрос о том, как разумно
излагать учащимся СТО, далеко не праздный: сейчас СТО входит
не только в курс общей физики высшей школы, но и в программу
*^2 В. А. Угаров

338 ДОПОЛНЕНИЯ
средней школы. Преподавание, безусловно, должно опираться
на идеи современной физики и исключать изжившие себя идеи
прошлого.
Путь построения СТО, использованный Эйнштейном, начался
с отказа от существования «светоносной среды», и на этом пути
опыт Майкельсона действительно не был «решающим» опытом.
Путь Эйнштейна достаточно прост и логичен, и есть все основания
использовать его для изложения СТО.
IV. Почему не следует вводить зависимость массы от скорости
или же релятивистскую массу? В чебниках СТО (особенно преж-
прежних лет) нередко вводят «релятивистскую массу»:
теРел = ту = т/у1 —рз, Р = v/c,
которая — по определению — зависит от скорости, и пытаются
придать ей самостоятельное значение.
Следует ли вводить релятивистскую массу — вопрос чисто
методический. Если считать массу треп просто сокращенным
обозначением, никакого вопроса вообще не возникает. Но совсем
другое дело — физическая интерпретация релятивистской меха-
механики. Здесь нередко возникают недоразумения и туманные истол-
истолкования. Именно об этом и пойдет речь.
Нетрудно понять, как возникло искушение ввести релятивист-
релятивистскую массу. Для этого достаточно сопоставить ньютоновское
и релятивистское уравнения движения E.37а) и E.376):
-lF(mv)=F, (а) | *.(myv) = F, (б)
как сам собой напрашивается вывод, что «вся разница» между
этими уравнениями состоит в том, что в релятивистском уравнении
масса стала зависеть от скорости. Далее, «вынув» из-под знака
производной выражение ту, объявляют его релятивистской
массой и придают ему самостоятельный смысл. Есть много возра-
возражений против такой трактовки; они будут изложены ниже. С дру-
другой стороны, будут подчеркиваться преимущества использования
инвариантной массы покоя.
Разумная релятивистская интерпретация массы — как и вся
релятивистская механика — должна опираться в конечном счете
на четырехмерные представления. Хотя во многих случаях пре-
преподавание ограничено такими рамками, что переход к четырех-
четырехмерным представлениям невозможен, забывать о том, что построе-
построение релятивистской механики (гл. 5) неизбежно требует введения
четырехмерного мира, нельзя. И если мы вынуждены ограни-
ограничиться трехмерной формулировкой релятивистской механики,
то, обращаясь к интерпретации ее результатов, приходится возвра-
возвращаться к самым ее истокам.

IV. ПОЧЕМУ НЕ СЛЕДУЕТ ВВОДИТЬ РЕЛЯТИВИСТСКУЮ МАССУ? 339
Напомним кратко, что было сделано в начале гл. 5. Мы опре-
определили 4-вектор импульса как произведение 4-скорости на ска-
ляр — массу покоя: Р = mV. Что касается уравнения движения,
то в его левую часть вошла производная dPIdx. Отсюда видно
(см. также § 5.1), что релятивистский множитель у под знаком
производной в E.376) появился из-за того, что в 4-пространстве-
времени мы пользуемся инвариантным собственным временем
вместо неинвариантного координатного. В три первые компо-
компоненты Р входят просто три нервые компоненты 4-скорости У,
не имеющие отношения к динамике. Итак, множитель у относится
к свойствам 4-пространства-времени, а не к внутреннему состоя-
состоянию частицы.
Когда мы ввели скаляр — массу покоя, то в 4-прострапстие
эта величина получила точные трансформационные свойства; дру-
другими словами, можно сразу указать закон ее изменения при пере-
переходе от одной ИСО к другой. Масса покоя — это скаляр, т. е. инва-
инвариант. Это обстоятельство крайне существенно. Так как Р2 —
= —т2с2 (см. E.47)), то отсюда ясно, что масса покоя пропор-
пропорциональна квадрату абсолютной величины 4-вектора энергии-
импульса частицы.
Как и в классической механике, мы хотим связать массу со свой-
свойствами самой частицы, и тогда едипствепный разумный способ
введения массы состоит в том, чтобы пользоваться массой покоя.
Можно сказать, конечно, что ускорение частицы и достижение ею
релятивистской скорости вызывают изменение ее впутренннх
свойств и, и частности, массы. Однако можно совсем пе трогать
частицу, а перейти в другую ИСО, а в результате уравнение движе-
движения этой частицы по-прежнему будет E.376). Таким образом, если
непосредственно принимать за чистую монету «релятивистскую
массу», то она растет без всяких физических причин. Едва ли такой
результат можно считать удовлетворительным.
Никому не нужно определять «релятивистскую массу» экспе-
экспериментально. Реально релятивистских скоростей достигают лион>
микрочастицы, а для их отождествления нужна только масса
покоя. Она легко находится, если определить энергию и импульс
частицы из соотношения E.50):
Так всегда и поступают в физике высоких энергий.
Но, может быть, можно непосредственно проверить «зависи-
«зависимость массы от скорости»? Отметим прежде всего, что никакой
однозначной зависимости массы от скорости из механики СТО
не следует. Как уже указывалось в § 5.3, суть дела состоит в том,
22*

340 ДОПОЛНЕНИЯ
что, в отличие от ньютоновской механики, в релятивистской
механике ускорепие и сила не совпадают (вообще говоря) по направ-
направлению. В ньютоновской механике массу тела можно было опре-
определить по отношению величины силы к величине сообщаемого
ею телу ускорения: т = F/(dvldt). Если аналогичным образом
определять массу в релятивистской механике, мы придем к тен-
тензору масс (о тензорах см. Приложение I, § 3). Действительно,
перепишем E.38) в виде (а = 1, 2, 3)
откуда видно, что ускорение является линейной векторной функ-
функцией силы, причем коэффициенты этой линейной векторной функ-
функции (т. е. компоненты тензора) зависят от скорости тела. Эти
коэффициенты определяют обратный тензор масс:
Появление тензора масс имеет простой физический смысл:
величина ускорения зависит от взаимного направления силы и ско-
скорости. Скорость частицы является некоторым выделенным направ-
направлением. Для упрощения направим ось 1 по направлению ско-
скорости; тогда va = 8lav, где v — абсолютное значение скорости.
При этом
m-i 1 /С ""
или же
/Г2 0 0ч
-i = — 0 10
аЭ "По о 1/
По обычному правилу (адъюнкты, деленные на величину определи-
определителя) найдем тенэор масс:
1 О О
ma(i = mf 0 у2 О
О 0 у2
откуда ясно, что одна «продольная» и две «поперечные» массы —
это главные значения тензора масс та$.
Но «тензор масс» возник исключительно из-за желания ввести
«зависимость массы от скорости»; появление такого тензора явно
не оправдано: для интерпретации любых результатов вполне доста-
достаточно массы покоя.
Таким образом, ответ на поставленный вопрос об «экспери-
«экспериментальном обнаружении» зависимости ту состоит в том, что
можно определять отдельные компоненты тензора та$. В част-

IV. ПОЧЕМУ НЕ СЛЕДУЕТ ВВОДИТЬ РЕЛЯТИВИСТСКУЮ МАССУ? 341
ности, «поперечная масса» легко находится при движении заря-
заряженной частицы в магнитном поле (см. § 5.5); «продольная масса»—
при движепии заряженной частицы без начальной скорости в одно-
однородном электрическом поле. Но если говорить в целом о всех
опытах с релятивистскими частицами, то проще сказать, что они
подтверждают релятивистское уравнение движения. В двух рас-
рассмотренных частных случаях, когда уравнение движения похоже
на ньютоновское (направления ускорения и силы совпадают),
уравнение движения выглядит действительно так, как будто
масса изменилась из-за наличия скорости. Однако это изменение
для этих двух случаев разное. Во всех остальных случаях урав-
уравнение движения существенно отличается от ньютоновского. Не при-
принимая во внимание это обстоятельство, можно столкнуться с пара-
парадоксами (см. § 8.2).
Если в релятивистской механике пользоваться "олько массой
покоя, то с методической точки зрепия существенно, что понятие
массы, введепное в школе, остается неизменным. «Наглядное»
понятие массы покоя осваивается обычным образом из ньютонов-
ньютоновской механики; эта же масса входит и в релятивистские соотно-
соотношения динамики, по она уже не может быть определена как отно-
отношение силы к ускорению. Зато опа может быть определена согласно
E.68). Масса покоя — это просто масса, используемая в ньютонов-
ньютоновской механике.
Действительно, при р <С 1 формула E.376) переходит в E.37а),
поскольку в этом случае у ~ 1. А определение массы в ньюто-
ньютоновской механике осложнений не вызывает. Гораздо существеннее
подчеркнуть, что в релятивистской механике вступают в игру
особенности пространства-времени и изменяются законы меха-
механики, но инвариантную массу покоя как характеристику части-
частицы мы сохраняем.
Иногда пытаются связать рост энергии частицы (или системы)
с ростом массы. Это также излишняя интерпретация. Зависимость
E.46) показывает, что все виды энергии одинаковым образом
возрастают, если частица (система) рассматривается не в соб-
собственной системе отсчета.
Трансформационные свойства «релятивистской массы» также
весьма неудовлетворительны. «Релятивистская масса», пропор-
пропорциональная энергии частицы, должна преобразовываться, как
четвертая компонента 4-вектора эпергии-импульса. В отличие
от нее масса покоя представляет собой, как мы уже говорили,
инвариант, характеризующий — подобно заряду — элементар-
элементарную частицу. Иногда указывают на то, что масса покоя может
не сохраняться (см. § 5.6), а «релятивистская масса» сохраняется
всегда, если соблюдается закон сохранения энергии. Но вместе
с тем сохранение релятивистской массы ровным счетом ничего
не дает но сравнению с закопом сохранения энергии — это просто

342 дополнения
следствие закопа сохранения энергии. Таким образом, закон
«сохранения» релятивистской массы — это просто избыточное
уравнение.
Введение релятивистской массы частиц и закопа «сохранения»
этой массы влечет за собой введение «массы фотона» hv/c2. Мы спе-
специально рассмотрели в § 7.6 нецелесообразность использования
этой величины.
Известно, что в качестве первых принципов СТО можпо взять
не два постулата Эйнштейна, а, например, его первый постулат
и зависимость массы от скорости [32]. Формально можно построить
СТО и на такой основе. Но от этого физический смысл релятивист-
релятивистской массы не становится, конечно, яснее. Стоит подчеркнуть,
что иостулаты Эйнштейна имеют явное преимущестпо перед дру-
другими возможными постулатами, поскольку они допускают прямую
физическую интерпретацию и яипо подчеркивают релятивистские
особенности при определении координат события.
Хотя это и не аргумепт, иногда ссылаются на то, что многие
известные физики вводили релятивистскую массу. Но истина
состоит в том, что большинство крупных физиков были против
нее [9, 11, 34, 35). Забавно, что Р. Фейпман после долгих разго-
разговоров о релятивистской массе написал:
«Как это ни странно, формула т = то/\^1 — v^lc1 очень редко
употребляется на практике. Вместо этого незаменимыми оказы-
оказываются дна соотношения, которые легко доказать: %2 — Р2с2 = Mjjc4
ж Рс — $v/c».
Подводя итоги, можно сказать, что инвариантная масса покоя
имеет бесспорпые преимущества, а релятивистская масса, ничего
не прибавляя по существу, служит источником мпогих недоразу-
недоразумений.
V. Неинерциальные системы отсчета. СТО и переход к теории
тяготения (ОТО). Среди всех возможных систем отсчета инер-
циальные системы отсчета выделяются с помощью закопов дина-
динамики. Мы определили инерциальные системы как такие системы,
в которых справедливы все три классических закона Ньютона.
Третий закон Ньютона явно подчеркивал, что силы — это резуль-
результат взаимодействия тел. В неинерциальных системах отсчета
сохранить все три закона уже невозможно. Если сохранить второй
закон, то приходится вводить силы, не удовлетворяющие третьему
закону,— силы иперции. На двух элементарных примерах мы
напомним, как это делается.
Система отсчета в СТО — это твердое тело; самое общее дви-
движение твердого тела — комбинация поступательного движения
и вращения. Произвольное движение неинерциальной системы
отсчета относительно иперциальной представляет собой сложение
ускоренного поступательного движения и вращения (равномер-

V. СТО И ПЕРЕХОД К ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ (ОТО)
343
ного или ускоренного). Равномерное поступательное движение
оставляет нас в пределах иперциальных систем. Наши примеры
относятся к ускоренному поступательному движению и равно-
равномерному вращению.
Пример 1. По наклонпой плоскости скатывается без тре-
трения тележка, масса которой равна М. На тележке на нитке подве-
подвешен тяжелый шарик массы т. Найти угол, который составляет
нить с шариком с нормалью к наклонной плоскости (рис. Д.7)
при установившемся движении.
d) 6)
Рис. Д.7. о) Тележка с подвешенным шариком скатывается с наклонной плоскости
с постоянным ускорением о. При установившемся движении нить маятника несколько
отклонена от нормали к наклонной плоскости. Складываясь, сила тяжести и натящепие
нити дают равнодействующую, сообщающую шарику необходимое для движения вместе
с тележкой ускорение а. Так рассуждает наблюдатель в инерциалыюй системе К, связан-
связанной с «неподвижной» наклонной нлоскостью. В этой системе справедлив закон динамики
Ньютона — ускорения вызываются только силами, б) Рассматриваются та ше тележка
и шарик, но с точки зрения системы К', связанной с ускоренно движущейся тележкой.
Это уже неинерциальная система, и в ней нужно ввести силу инерции — та. Шарик
покоится относительно тележки, поэтому сумма трех действующих на него сил — тяже-
тяжести, натяжения пити, инерции — должна обращаться в нуль. Легко видеть, что угол
отклонения нити от нормали к плоскости тележки получается одинаковым как при рас-
рассуждении а), так и при рассуждении б), что и должно быть.
а) Рассуждение с точки зрения инерциальной системы коор-
координат К (связанной с паклонной плоскостью). Тележка движется
равноускоренно, с ускорением а — g sin а, направленным парал-
параллельно наклонной плоскости. Если шарик покоится относительно
тележки, то он тоже должен испытывать такое же ускорение.
Но ускорение может возникать лишь за счет сил. А на шарик
действуют только две силы — сила тяжести и натяжение нити.
Чтобы они дали равнодействующую, параллельную наклонной
плоскости, нужно, чтобы они были расположены под углом.
Зная направлепие ускорения одной из сил (силы тяжести), легко
найти графически направление и величину второй силы (натяже-
(натяжения нити).
б) Рассуждение с точки зреня неинерциальной системы коор-
координат К' (связанной с тележкой и шариком). В этой системе

344
ДОПОЛНЕНИЯ
шарик просто покоится. Значит, сумма всех действующих на шарик
сил равна пулю. Но, кроме силы тяжести и натяжения нити,
мы должны учесть также еще и силу инерции —та. Легко видеть.
что мы приходим к тому же самому результату.
Пример 2. Шарик массы т, подвешенный па нитке, поме-
помещен па центробежной машине, вращающейся с постоянной угло-
угловой скоростью со (рис. Д.8). Шарик находится на расстоянии г
от оси вращения. Найти угол отклонения нити маятника от вер-
вертикали.
а) Рассуждение с точки зрения иперциальной системы коор-
координат К, связанной с «неподвижной» подставкой центробежной
-ГПШ'Г
ш
Рис. Д.8. о) Вместе с диском центробежной машины вращается шарик, подвешенный на
нити к подвесу. При установившемся движении нить маятника несколько отклонена от
вертикали в сторону от оси вращения. Складываясь, натяжение нити и сила тяжести дают
равнодействующую, обеспечивающую необходимую для вращения шарика центростреми-
центростремительную силу, равную т<л'г и направленную к оси вращения. Это рассуждение относится
н наблюдателю в инсрциальной системе К, находящемуся вне вращающегося диска.
В этой системе справедлив второй закон Ньютона и центростремительное ускорение
создается за счет сложения двух «настоящих» сил. б) Наблюдатель, расположенный на
вращающемся диске, т. е. находящийся в неинерциальной системе К', будет описывать
то же явление иначе. В системе К' шарик покоится, значит, сумма всех действующих
на пего сил равна нулю. А действующих сил теперь уже три: натяжение нити, сила тяже-
тяжести и сила инерции, равная —т<о'г. Складываясь, они дают суммарную силу, равную
нулю. Как из рассуждения о), так и из рассуждения б) вытекает, что угол а имеет одно
и то же значение.
машины. Чтобы шарик мог двигаться вместе с нитью, он должен
испытывать центростремительное ускорение пгсо2г. Но оно может
быть обеспечено лишь за счет отклонения нити от вертикали;
тогда результирующая сил тяжести и натяжения нити при опре-
делеппом отклонении нити от вертикали может обеспечить тре-
требуемое центростремительное ускорение.
б) Рассуждение с точки зрения неинерциальной системы коор-
координат К', связанной с вращающейся площадкой. В этой системе
шарик покоится. Значит, равнодействующая всех сил, действую-
действующих на шарик, равна нулю. Кроме силы тяжести и натяжения
нити, нужно ввести еще и центробежную силу инерции — rocoV.
Угол отклонения нити от вертикали а в обоих случаях оказывается,
конечно, одним и тем же.

V. СТО И ПЕРЕХОД К ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ (ОТО) 345
Два приведенных примера показывают, как с помощью сил
инерции можно сохрапить второй закон Ньютона и в неинер-
циальпых системах координат.
Рассмотренные случаи не охватывают некоторые другие типы
«сил инерции», но существенные особенности сил иперции уже
видны на этих примерах. Силы инерции пропорциональны «инерт-
«инертной» массе тела; они либо остаются постоянными во всем про-
пространстве (пример 1), либо неограниченно растут при неограни-
неограниченном удалении от оси вращения (пример 2).
Уже Галилей знал, что все тела на Земле падают одинаково-
быстро, т. е. то, что сила тяготения сообщает всем телам одина-
одинаковое ускорение. Но тем же свойством обладают и силы иперции.
Таким образом, материальные тела одинаково реагируют на силы
инерции и силы тяготения. Из опыта известна еще одна особен-
особенность сил тяготения: от них нет защиты (от всех других сил,
в принципе можно избавиться). Именно поэтому невозможна пря-
прямая опытпая проверка первого закона Ньютона на Земле или
в околоземном пространстве. Ныотоп нрямо указывал, что для
проверки этого закона нужно уйти туда, где полей тяготения нет;
поэтому в гл. 1 подчеркивалось, что первый закон Ньютона — это-
предположение.
Теория тяготения Эйнштейна, возможно, зародилась тогда,
когда у Эйпштейна возникла мысль о равноправии любых систем
отсчета. Эта мысль кажется противоречащей всему тому, о чем
шла речь в этой кпиге, в которой все время подчеркивалась
особая роль инерциальных систем отсчета. Но не будем торо-
ниться.
Если ни от тяготения, би от иперции избавиться нельзя,
можно попробовать считать инерцию и тяготение разными сто-
сторонами одного и того же явления. Тогда первый закоп Ньютона
придется сформулировать уже по-повому. Первая часть ньютонов-
ньютоновской формулировки останется без изменения: свободное движение
тела — это такое движение, при котором на тело не действуют
силы, причем тяготение мы исключаем из категории «сил». Рапыне,
у Ньютона, свободное движение означало равномерное прямоли-
прямолинейное движение. Теперь, по Эйнштейну, свободное движение
происходит но инерции и под действием сил тяготения. Тяготение
теперь — это уже вовсе не сила. О действии сил говорят теперь
лить тогда, когда движепие тела отклоняется от свободпого
движения, которое в ньютоновской схеме пазывалось свободпым
падением. По Эйнштейну, инерция и тяготение вместе обусловли-
обусловливают «свободное» движение, составляют его «фон».
Конечно, свободное движение в эйнштейновском смысле про-
происходит отнюдь не по прямой линии. Однако прямая в евклидовой
геометрии (на которую опирается ньютоповская механика) — это
кратчайшая липия, соединяющая две заданные точки (или, как

346 ДОПОЛНЕНИЯ
еще говорят математики, геодезическая линия). Это обстоятель-
обстоятельство нам придется припомнить несколько позже.
Вернемся к выводам, полученным в начале этого Дополнения.
Переход к неинерциальным системам отсчета имитировал появ-
появление сил инерции, пропорциональных инертной массе тела. Если
вспомнить, что тяжелая и инертная массы равны между собой
(или пропорциональны), то из первого примера становится ясным,
что переход к системе отсчета, движущейся поступательно, но с
ускорением, имитирует появление однородного поля тяго-
тяготения, величина которого равна — та. Из второго примера видно,
что переход к равномерно вращающейся системе отсчета также
приводит к появлению некоторого поля сил, пропорционального
массе тела. В общем случае можно утверждать, что переход
к неинерциальным системам отсчета имитирует некоторое грави-
гравитационное ноле. Эти поля имеют некоторую особенность, отличаю-
отличающую их от «истинных» гравитационных полей: они не исчезают
на бесконечности, по исчезают при переходе к иперциальным
системам отсчета.
Мы видели, что переход от одной ИСО к другой оставлял неиз-
неизменным квадрат интервала между событиями
ds2 = ЛИ* — dx2 — dy2 — dz2. (Д.V.I)
Если совершить переход от инерциальной системы отсчета
к неинерциальной, то вменяет свою общую форму. Действительно,
рассмотрим два примера перехода от иперциальной системы
к неинерциальпой.
Пример 1. Система координат К' движется равноускоренно
относительно К по прямой с ускорением а:
х = х' + at2/2, dx = dx' — at' dt';
У = у', dy = dy'\
z = z', dz — dz';
t = t', dt = dt'.
Если К — иперциальная система и
ds2 = c\dt2 — dx2 - dy2 - dz2,
то в системе К':
ds* = с2 dt'2 — (dx' + at'dt'f - dy'2 - dz'\
или
^ = (c« _ aH'2) dt'2 - 2at'dx' dt' - dx'2 — dy'2 - dz'2.
Пример 2. Равномерно вращающаяся система координат
(угловая скорость вращения й); из формул Приложения (П.1.10)

V. СТО И ПЕРЕХОД К ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ (ОТО) 347
получаем (Ф = Qt)
х = х' cos ut — у' sin Ш,
у = х' sin QM у' cos Ш.
Нетрудно получить, что rfs2 преобразуется к виду
ds8 = [с2 — Q2 (x'z + у'2)] eft2 + 2<V dx' dt' - 2Qx'dy'dt' —
- dx'* - dy'2 - dz'\
Можно показать, что в обоих случаях никаким преобразова-
преобразованием времени нельзя привести ds2 к алгебраической сумме квад-
квадратов дифференциалов четырех координат.
Итак, в общем случае переход к неинерциальным системам
меняет выражение для (инвариантного) интервала между собы-
событиями, причем так, что оно уже не сводится к «галилееву» виду
(Д-V.l). Пусть метрика 4-пространства в общем случае записы-
записывается в виде
ds^ = gihdxldxh, (Д.У.2)
где g^ зависят от всех четырех координат, а по индексам ink под-
подразумевается суммирование. Отличие метрики 4-нространства
(Д.У.2) от галилеевой (Д.У.1), в соответствии с идеями Эйнштейна,
можно отнести за счет наличия тяготения. Таким образом, отличие
glh от галилеевых значений (g00 = с2, gn = g22 = #3з = 1) 0ТРа"
жает присутствие полей тяготения. Но поля тяготения связаны
с наличием вещества. Таким образом, геометрические свойства
пространства-времени (метрика) вовсе не являются его неизмен-
неизменными свойствами, а зависят от физических объектов, находящихся
в этом пространстве-времени. Знание метрики прострапства-вре-
мени позволяет ответить на основные вопросы, которые обычно
интересуют физиков. Возникает вопрос: откуда можно найти эти
gih? Эйнштейн сумел написать систему (нелинейных) дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных, которым должны
удовлетворять десять величин gih. Эти величины зависят от рас-
распределения вещества и электромагнитного излучения. Уравнения
Эйнштейна удалось решить лишь в нескольких частных случаях.
Подведем кратко итоги. Переход к неинерциальным системам
отсчета вызывал появление метрических коэффициентов gik, отлич-
отличных от галилеевых, и имитировал появление некоторого поля сил,
пропорционального массе. Поэтому можно было думать, что эти
значения g^ и отражают наличие ноля сил, сходного с полем
сил тяготения. По поводу «истинных» полей тяготения, сохра-
сохраняющихся и при переходе к инерциальным системам отсчета,
делается аналогичное предположение. Отсюда ясно, что если
в инерциальной системе отсчета квадрат интервала определяется
согласно (Д.У.1), то это значит, что поля тяготения отсутствуют.

348 ДОПОЛНЕНИЯ
Отличие полей, возникающих при переходе к неинерциальным
системам отсчета, от истинных полей состоит в том, что g^, соот-
соответствующие «истинным» полям, не могут быть приведены к гали-
лееву виду (Д.У.1) никаким преобразованием времени и коор-
координат. С геометрической точки зрепия 4-пространство-время, вклю-
включающее в себя ноля тяготения, оказывается уже не плоским.
Оно — кривое. Но здесь нам следует поставить точку и отослать
читателя к специальной литературе (см., например, [31]).
Необходимо только отметить следующее. В земных условиях
мы с успехом применяем СТО, т. е. пользуемся интервалом
(Д.У.1), наряду с тем, что применяем ньютоновскую теорию тяго-
тяготения, т. е. считаем тяготение силой. Теория тяготения Ньютона
явно нерелятивистская, она представляет собой теорию дально-
дальнодействия. И при всем том — результаты отличные (например,
расчет движения небесных тел). Но теория Эйнштейна предска-
предсказывает, что именно так и должно быть; конечно, в определенных
условиях. Именно в «слабых» гравитационных полях (а в пределах
Солнечной системы гравитационные поля слабые; здесь не место
приводить точные критерии) уравнения тяготения Эйнштейна
сводятся к уравнению тяготения Ньютона (уравнению Пуассона).
Что касается скоростей небесных тел, то они всегда переляти-
вистские.

ХРОНОЛОГИЯ СОБЫТИЙ,
СВЯЗАННЫХ С ИСТОРИЕЙ СТО
(ел. Дополнение I)
Выход в свет книги Галилея «Диалоги о двух главнейших системах
мира — птолемеевой и коперниканской», 1632 г.
Первое определение скорости света, Ремер, 1676 E?) г.
Выход в свет книги Ньютона «Математические начала натуральной
философии», 1687 г.
Открытие аберрации света, Бредли, 1728 г.
Принцип Доплера, 1842 г.
Опыт Фуко с маятником, 1851 г.
Лабораторные определения скорости света, Физо, 1849 г., Фуко,
1862 г.
Определение скорости распространения света в движущейся воде,
Физо, 1851 г.
Создание теории электромагнитного поля, Максвелл, 1856—1864 гг.
Первый опыт Майкельсона, 1881 г.
Выход книги Э. Маха «Механика», 1883 г.
Улучшенный опыт Майкельсона, 1887 г.
Открытие радиоактивности, Беккерель, 1896 г.
Открытие электрона, Дж. Дж. Томсон, 1894—1896 гг.
Исследования Кауфмана по движению релятивистских частиц
в электромагнитном поле, 1902 г.
Работы Лоренца, посвященные электродинамике движущихся
тел, 1892—1904 гг.
Работы Пуанкаре, связанные с релятивистскими идеями, 1895—
1905 гг.
Речь Пуанкаре в Сан-Луисе, 1904 г.
Работа Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», Ann.
d. Phys. 17, 891 A905).
Доклад Минковского «Пространство и время», Phys. Zs. 10, 104
A909).
Даты рождения и смерти основоположников науки о пространстве
и времени.
Коперник A473-1543) Доплер A803-1853)
Галилей A564—1642) Максвелл A831—1879)
Кеплер A571—1630) Лоренц A853—1928)
Декарт A596-1650) Пуанкаре A854-1912)
Гюйгенс A629—1695) Минковский A864—1909)
Ньютон A643—1727) Эйнштейн A879—1955)

ПРИЛОЖЕНИЕ I
Здесь содержатся некоторые сведения из математики, необ-
необходимые для чтения этой книги.
§ 1. Симметричные обозначения, правила суммирования. Когда в трех-
трехмерном пространстве вводят прямолинейную ортогональную (декартову)
систему координат, то единичные векторы, направленные вдоль осей х, у, г,
соответственнообозначаютчерез i, J,к. Положение любой точки пространства
задается радиус-вектором г — xi + yj + zfe, компонентами которого являются
координаты точки. Но все направления в пространстве равноправны, и поэтому
целесообразно для координат и единичных векторов ввести симметричные
обозначения и писать, например, вместо х, у, z=$> х±, х2, xs, а вместо i, j, к =Ф
=Ф тг, т2, т3. Тогда радиус-вектор точки запишется в виде
где в последнем равенстве введено обозначение суммы У] и суммирование
произведено по значениям а от 1 до 3. Но знак суммы в последнем звене
равенства можпо и не писать, если раз навсегда условиться, что по двум
одинаковым греческим индексам, стоящим в одной части равепства, подра-
подразумевается суммирование от 1 до 3.
В специальной теории относительности вводится четырехмерное про-
пространство с четырьмя координатами хл = х, хг = у, хя = г, Х4 = ict. Тогда
радиус-вектор и другие векторы будут иметь уже по четыре компоненты.
Правило суммирования сохраняется и в этом случае, по суммирование
ведется уже по латинским индексам, пробегающим все значепия от 1 до 4.
Например,
4
Итак, правило сокращенного суммирования состоит в том, что по двум индек-
индексам, стоящим в одной части равенства, ведется суммирование, причем если
индексы латинские — то от 1 до 4.
Вернемся к трехмерному случаю. Радиус-вектор, записанный раньше
в виде (П.1.1), можно записать сокращепно в виде г = хата, а произвольные-
векторы а и Ь — в виде
а = аата = apwtp = ауту, Ь = bama = bprnp == bvmv.
Здесь одно и то же равенство выписано несколько раз, чтобы показать, что
индексы суммирования «немые», т. е. что суммирование можно вести по любой
букве, не меняя результата.
В качестве примера использования сокращепной записи суммирова-
суммирования выведем формулу для скалярного произведения двух векторов а и ft. Во-
первых,

ПРИЛОЖЕНИЕ I 351
Здесь учтено, что правило суммирования относится к двум индексам; в выра-
выражении (П. 1.2) два суммирования; поэтому каждое из них ведется по своей
букве. Во-вторых, единичные векторы взаимно ортогональны; поэтому каж-
каждый из векторов, умноженный на самого себя, дает единицу, а на любой дру-
другой — нуль. Поэтому
J;;; I: <пл.з>
Удобно ввести особый символ — символ Кронекера, обладающий именно
такими свойствами:
Этот символ отличен от нуля лишь при ее = Р, и поэтому любое суммирование
с участием этого символа ведет к простому результату: аа6а^ = а$. Дей-
Действительно,
асАа = aAi + «2612 + «3613 = ai-
Теперь уже легко получить окончательный результат в (П.1.2):
аЬ =
т. е. обычную формулу скалярного произведения векторов.
Одинаковые индексы, по которым ведется суммирвапие, могут оказаться
в числителе и знаменателе дроби. Правило суммирования при этом сохра-
сохраняется. Запишем, например, выражения для градиента функции / и диверген-
дивергенции вектора а: ,
Если греческий (или латинский) индекс стоит один, то это значит, что оп «сво-
«свободный» и может принимать любое значение из трех (или четырех) возможных.
Например, Ьа обозначает одну из координат вектора &, а именно Ьг, Ьг или 63.
§ 2. Преобразование координат при повороте декартовой системы. Пусть
в «старой» системе координат радиус-вектор точки М представляется в виде
г = хата. После поворота системы координат радиус-вектор той же самой
точки М запишется в «новой» системе координат п виде г = х'^т'^, где х'^ —
координаты точки в системе после поворота, a mL — новые координатные
векторы. Нетрудно установить связь между координатами в старой и новой
системах. Запишем равенство, выражающее «сохранение» вектора г:
и умножим обе его части на т'у (т. е. на произвольный координатный вектор
новой системы координат). Слева имеем
где введено обозначение тат,у = cos (и»а, т^) = аау; таким образом,
аау представляет собой косинус угла между вектором та старой системы
и вектором т'у новой. Справа имеем цепь равенств

352 ПРИЛОЖЕНИЕ I
Таким образом,
х'у^аауха (у= 1,2,3). (П.1.5)
Новые координаты выражаются через старые линейно, причем коэффи-
коэффициентами линейного преобразования являются косинусы углов между ста-
старыми и новыми координатными осями. Нам нужно найти еще коэффициенты
разложения старых координатных векторов по новым. Запишем разложение
старого вектора т^ по новым:
««=«5^. (пл-6)
где я*^ — неизвестные коэффициенты. Чтобы найти их, умножим обе части
этого равенства на гщ- Аналогично предыдущему,
Мы получили очевидный результат: в разложение единичного вектора та
по новым координатным векторам в качестве коэффициентов входят коси-
косинусы аау.
Косинусы углов между старыми и новыми векторами можно собрать в
матрицу:
/°Н °12 °13\
I a2i a22 a23 I ; (П.1.8)
\a31 °32 e33/
в обозначении aap первый индекс, а, указывает строку, а второй, р,— стол-
столбец матрицы (П.1.8). Итак, преобразование координат определяется девятью
коэффициентами aag. Однако известно, что положение любого твердого тела
(в нашем случае — системы координат), одна точка которого неподвижна,
может быть задано тремя параметрами (три угла Эйлера). Отсюда ясно,
что среди коэффициентов аа^ независимых коэффициентов всего лишь три.
Нетрудно пайти соотношения, устанавливающие необходимые связи между
коэффициентами aap. Действительно, при повороте системы координат
расстояние любой точки от начала отсчета пе меняется: г2 = х^ = х'?.
Но х'а = а$аХат Чтобы возвести это выражение в квадрат, нужно пере-
перемножить суммы, индексы суммирования в которых следует взять раз-
различными:
х'а —
х'а — х'ах'а =
Но, с другой стороны, это выражение равно z|. Это может быть лишь в том
случае, если
«3a«v«=«pv (P, v = *. 2,3). (П.1.9)
Здесь на первый взгляд девять условий, но эти равенства не меняются при
перестановке индексов Р и у. Следовательно, независимых равенств здесь
шесть. Каждое из них представляет собой произведение р*-й строки матрицы
(П.1.8) на у-ю строку (при перемножении строк матрицы складываются
попарные произведения соответствующих элементов). Смысл равенства
(П.1.9) состоит в том, что произведение любой строки на себя равно единице,
а на любую другую — нулю. Поскольку порядок перемножения строк роли
не играет (например, произведение первой строки на вторую равно произве-
произведению второй строки на первую), то число независимых равенств, как указы-
указывалось, не девять, а шесть.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
353
Полученные соотношения лучше всего иллюстрируются примером попорота
осей в координатной плоскости (xi, x2). В этом случае
-f я21х2,
причем (рис. 17.1)
яи -= cosO,
а12 = —sin
и поэтому
х[ = хх cos fl- -f я2 bin О,
= alixI —
sin Ь + x2 cos ¦&.
(П.Т.1О)
Если перейти к привычным обозначения»! xt = х, х2— у, то мы получим
всем известные формулы аналитической геометрии:
х' = х cos
у sin
у' — —х sin
i/ cos
Этими формулами нам пршп.юсь воспользоваться при выводе цреобра
зований Лоренца. Мы получили формулы прямого перехода (от петптрихован-
ной системы к штрихованной).
Формулы обратного перехода получатся аналогичным путем. Мы их выпи-
выпишем вместе с формулами прямого пере-
перехода:
A1.1.И)
причем
Рис. п. 1. Иллюстрация общих фор-
мул преобразования координат на
примере поворота декартовой систе-
^'ред1^стся°одн«м
у
Конечно, формулы обратного перехода в
(П. 1.11) можно получить автоматически,
сделан нзаимный обмен штрихованных ве-
величин с нештрихованными и замени» угол
и на —и (что соответствует повороту в об- углы между старыми и новыми ко-
ратпом направлении). ординатными векторами видны на
Как преобразуются компоненты вок- рисунке.
торов при преобразовании координат? Это
нетрудно установить тем же самым приемом, которым мы пашли формулы
преобразования координат. Но этого можно и не делать, заметив, что коор-
координаты — это тоже комнонепты вектора, а именно радиус-вектора. Поэтому
ясно, что компоненты векторов преобразуются, как координаты, т.е.
(П.1.12)
Ъа = aa
b'a '-= яР
Как мы уже упоминали, четырехмерное (псевдоевклидово) пространство,
которое рассматривается в специальной теории относительности, включает
в себя формально одну мпимую координату, связанную со временем:
Xi — x, хг=у, X-1—-Z, x^-itt.
Преобразования Лоренца соответствуют линейным преобразованиям
в этом ппостранстне:
xi ¦
(II.I.13)
23 В. А. Угаров

354
причем
(
0 10 0 1 1
0 0 1 о - г= / w ; (ПМ4)
у 1—^г
адес!| V — относительная скорость двух спетом отсчета.
Коэффициенты преобразований Лорепца aih удовлетворяют следующим
условиям:
8 (П.1.15)
г
0
0
ШГ
0
1
0
0
ПРИЛОЖЕНИЕ I
О
О
1
О
— ШГ\
0
О '
г /
Эти равенства означают, что проияведение строк матрицы преобразований
Лоренца дает единицу, если строка умножается сама на себя, и нуль, если
строка умножается на любую другую.
Вычислим определитель матрицы Лоренца *)
Г 0 0 — 1'ВГ
:.-- Г2 -Ь (— ШГ) (— ШГ) = Г2 A — Щ =, 1
0
0
ШГ
1
0
0
0
1
0
о
0
г
(цроще всего разложить определитель но элементам первой строки). Опре-
Определитель матрицы Лоренца оказался равным единице. Это означает, что
мы имеем дело с собственными преобразованиями Лоренца, т. е. но перехо-
переходим от правых троек координатных векторов к левым.
Запишем прямое п обратное преобразования Лорепца для координат
в развернутой форме:
), (П.1.16)
). (П.1.17)
Что касается компонент 4-векторов, то они преобразуются, как координаты,
и, следовательно, для вектора А (Л,, Л2, А3, А^) D-векторы мы отмечаем
стрелками) мы получим
A\^ahiAh, Ai--=aihAh. (П.1.18)
Из (П.1.15) пепосредственпо вытекает инвариантность скалярного про-
изведепия двух 4-векторов при преобразованиях Лоренца. Действительно,
пусть Ai = aihA{, Bt — ЩтВ'т, тогда
1 В = Афг- athA^aimB'm=^alhatmA'hB'm = bhmA'hB'm = A;tB?.
Српвпеппе второго и последнего звена выписанпой цепи равенств и доказы-
доказывает инвариантность скалярного произведения АВ.
§ 3. Тспзоры. Векторные величины являются частным случаем матема-
математических величин более сложпого характера — тензоров. Чтобы перейти
к ним, постараемся подчеркнуть, что главное в определении вектора. В задан-
заданной коордипатиоп системе вектор представляет собой направленный отрезок,
*) Элементарные сведения об определителях можно найти в § G этого
Приложения. Там же вычислеп и этот определитель.

ПРИЛОЖЕНИИ I 355
характеризуемый своими координатами. Но поскольку выбор коордипатной
системы дело случайное, то и координаты вектора имеют случайный харак-
характер. Существенно, однако, то, что по заданным координатам вектора в одной
декартовой системе координат можно найти его декартовы координаты в любой
другой системе но формулам (П.1.5). Именно эти формулы преобразования
и определяют вектор. Таким образом, векторная природа величин раскры-
раскрывается при преобразовании координат.
Чтобы познакомиться с понятием тензора на конкретном примере, напом-
напомним, как в электростатике вводится связь между вектором электрической
индукции I) и напряженностью внешнего электрического поля Е. Вообще
говоря, зависимость D = D(E) = П (/?,, Ег, Е3) неизвестна. Запишем D
через комнопепты Da:
E) = Pa(E) ma= Da(Et, Е2, Е3) та.
Принимая, что н отсутствие внешнего поля (Е — 0) вектор D также равен
нулю (I) @) = 0), и считая, что внешнее ноле мало (по сравнению с электри-
электрическими силами, действующими между молекулами вещества), можно разло-
разложить неизвестную векторпую функцию D в ряд Тейлора:
п JElBr , dDj @) dDj @) р dPt @)
эёГэЩМ7 ЩГ
дР2 @) , <Ш3@) ' ' '
где цо индексу Р ведется суммирование. В силу малости поля Л его компо-
компоненты Л1,, А'2, Еъ тоже малы (фактически это хорошее приближение"" для
реальных полей, за исключением полей, достигаемых в лазерных лучах),
и можно ограничиться линейными членами, пренебрегая всеми остальными.
Введем обозначение для постоянных величин (производных в нулевой точке):
дРа @)
дЕв "Еар-
Тогда получеппые выражения можно записать в виде
D2 = ?21ЕХ -Ь «22?2 -I- е^Еъ, (П.1.22)
-°з = *?лЕ\ -г 8а2?12 Н- Ч-зЕъ
или сократценно:
^а = еа^р- (II.I.23)
По компопелтам легко построить сам вектор D:
D = еа$Е$та. (П.1.24)
Связь между двумя векторами, выражаемая формулами (П.1.23) и (П.1.24),
называется линейной векторной функцией; другими словами, вектор D
япляется лилейной векторной функцией Е.
На основании формул (П.1.24) но заданному вектору Е в каждой точке
диэлектрика в той системе координат, в которой известны коэффициенты еар,
можно построить вектор 1). Но выбор системы координат дело случайное.
При повороте декартовой системы координат меняются компоненты векто-
векторов, но сами векторы остаются неизменными. Вопрос состоит в том, как
должны меняться коэффициенты еар, чтобы в новой системе сохранилась
связт. D'— &^Е$т'„, причем 1> = 1)'. Это означает, что лгы должны иметь
два разложения одного и того же вектора:
а = е^?^ш;. (П.1.25)
23*

356 ПРИЛОЖЕНИЕ I
Но закоп преобразования компонент векторов и координатных векторов изве-
известен (см. (П.1.11)): Лр = а^Еу, rna = aavm'^, и левую часть (II.1.25)
можно переписать согласно этим формулам, оставив правую без изменения:
Сравнивая коэффициенты при ^хт'ц слева и справа, находим закон преобра-
преобразования коэффициентов еар:
(П.1.26)
Сопоставим этот закон преобразования с законом иреобразовапия координат:
*'*.=--ар\Ч- (П.1.27)
¦Сравнение (П.1.27) и (П.1.26) показыпает, что каждый индекс у аа$ преобра-
преобразуется но закопу, соответствующему правилу преобразования координат.
Закон преобразования (П.1.26) представляет собой закон преобразования
тензора. Обратное преобразование, очевидно, имеет вид 8ца, = а>,раA(хедп.
Дадим теперь общее определение тензора: если в данной декартовой си-
системе координат заданы девять величин еар, которые при преобразовании
координат х'а = Я[5ата преобразуются по формулам
, (П.1.28)
то эти девять величин образуют тензор второго ранга. Нетрудно понять,
что векторы преобразуются, как тензоры первого ранга. Ранг тензора (или,
как еще говорят, валентность тензора) определяется числом ого индексов.
В нашем случае их два. В итой книге тепзоры более высокого ранга почти
не используются. Тензор определяется для пространства определенного
числа измерений, поскольку в закон его преобразования входят компоненты
матрицы преобразования. Мы рассматривали трехмерное пространство, и гре-
греческие индексы а, р\ у, и, изменялись от одного до трех.
Мы хотели бы подчеркнуть две особенности преобразования тензоров:
1) Закон преобразования коэффициентов линейной векторной функции
(тензора) получен как условие инвариантной физической связи между век-
векторами.
2) Любая комнопопта тензора п «новой» системе коордипат представляет
собой линейную комбинацию всех компонент тензора в «старой» системе.
Отметим, как полезный частный случай преобразование трехмерного
тензора второго ранга Та^, у которого отлична от пуля лишь одна комио-
пента Тц, при плоском повороте. Отличными от пуля в штрихованной системе
Л лишь (см. (П.1.28) и (П.1.10))
- а)лЧц2т>.ц — о-па^Гц--- —T{i sin ft cos ¦9.
Эти формулы вст]н;тятсн нам пеоднократно.
В специальной теории относительности работают в четырехмерпом (псев-
доевклндовом) пространстве. Мы уже рассмотрели правила преобразования
4-векторон в итом пространстве (согласно нашему определению вектор — это
тензор первого ранга). В ^-пространстве правила преобразования тензоров
фактически пе меняются, только число компонент тензора увеличивается
до шестнадцати, а суммирование ведется от 1 до 4:
- (II.1.30)
Тензор называется симметричным, если его компоненты удовлетворяют
равенству Aifl — Aki. У такого тензора всего лишь десять независимых ком-

ПРИЛОЖЕНИЕ I
357
понент. Примером симметричного тепзора может служить тензор эпергии-
импульса-натяжепий электромагнитного поля.
Тензор называется антисимметричным, если его компоненты удовлетво-
удовлетворяют равенству A ih -= —А^. Яспо, что элементы этого тензора с двумя оди-
одинаковыми индексами (i — к) равны нулю, так как единственная величина,
равная самой себе с обратным знаком,— ито пуль. Таким образом, всего
независимых компонент у антисимметричного тензора шесть (в связи с этим
его иногда называют шестивектором). Примером антисимметричного тепзора
может служить тензор электромагнитного поля.
Тензор называется единичным, если Aih ¦ - bih. Легко обнаружить, что
тензор б;^ сохраняет свой вид при преобразованиях Лоренца во всех системах
отсчета. Действительно, пусть Ат1 — от1, тогда согласно (П.Г.30)
ahlAml —
— aimahm ~ "ift!
последний переход сделан согласно (П. 1.5).
Выпишем для справок формулы преобразования тензора второго ранга
Tjk при преобразованиях Лорепца, т. е. формулы перехода от системы К'
к системе К (формулы обратного перехода получаются изменением знака у V
и заменой штрихованных величии на нештрихованные и обратпо):
Ь - Г (Г2', - ШТ^),
Т24--- a4(r2'i
(П.1.31)
— «42^12 +«41^42 = Г (^42 "Ь iBjT{2)>
Тензорные величины возникают чаще, чем это может показаться с первого
взгляда. Мы приведем покоторые примеры тензоров второго ранга в 4-про-
->- -> ^
странстве. Произведения компонент днух векторов с (с,) и Ъ (bk) ооразуют
тензор. Действительно, составим выражепие Aih = ctbk. (формулы преобра-
преобразования компонент векторов известны:
С1=^Щтс'т, bk=aklbl (П.1.32)
Следовательно,
а это как раз п есть закоп преобразования тензора (П.1.30).
Докажем, что производная по координате от компоненты вектора преоб-
преобразуется, как компонента тензора. Рассмотрим вектор 6 F;) и производные

358 ПРИЛОЖЕНИЕ I
его коиионеит. Нам удобно выписать две формулы: bt — o-imb'm, x\ — а^т^
8*1
откуда -— =C6ftb которые используются в следующей цепи равенств:
dbt dbt 9х\ д дх\ db'm
Первые и последние звенья в (II.1.33) показывают, что производная dbtldxh
преобразуется по правилу преобразования компонент тензора.
Из (П.1.33) видно также, что преобразование производной от вектора
можно вести последовательно. Сначала от Ь'т иерсйти к bt согласно формуле
bi = а,;тЬ'т. Затем можно перейти от дифференцировапия по х\ к дифферен-
дифференцированию uo хк. Конечно, тензорный характер преобразования при этом
сохраняется, но затушевывается. Так поступают иногда при преобразовании
электромагнитного ноля, когда хотят избежать введения тензора.
§ 4. Инвариантность 4-дивергеиции и оператора Д'Аламбера. Докажем
инвариантность четырехмерной дивергенции и оператора Д'Аламбера при
преобразованиях Лоренца. Снова выпишем необходимые формулы в удобном
для нас виде:
дх'%
x\a-hiXhi z
oxk
—>
и для комионепт вектора Ь:
¦Сначала докажем, что 4-градиент преобразуется, как вектор. Пусть задана
функция ср = ф (х{, х'2, х'я, х'ц), или, сокращенно, ф — ф (х\). Пусть преобра-
преобразование координат задается формулами х\ — х\ (хи х2, х3, х^). Тогда согласно
правилу дифференцирования сложных функций
dxh ~ дх\ dxk Я! дх\ '
А это и есть закон преобразования компонент вектора (П.1.32).
Докажем теперь ипвариантность 4-дивергепции. Это доказательство
содержится в следующей цепи равенств:
Щ д ,., . дА\ s дА1 дА1
где при выводе учтено, что согласно (П.1.15) ct,kiaki — 8ц
Оператор Д'Лаамбера, примененный к функции Ф:
1 32 ф д^Ф , д2Ф | дгФ 1
ЛФН
мы прежде всего запишем п виде

ПРИЛОЖЕНИЕ I 359
Но выражение д2ф/9х? является просто дивергенцией градиента. Действи-
Действительно, пусть At = дФ/дхг, тогда
,. -Г д I дФ \ 92Ф
Но дивергенция 4-вектора является инвариантом преобразований Лоренца,
и, следовательно,
В качестве функции Ф можно нзять любую компоненту какого-нибудь
4-вектора Ф (Ф&). Допустим, что в системе К есть уравнение, связывающее
соответствующие компоненты двух 4-векторов Ф (Фй) и s (sh):
(П.1.35)
Тогда из A1.1.34) следует, что если справедливо (П.1.35), то справедливо и
(П.1.36)
Но, умножая левую и правую части (П.1.36) на постоянный множитель
а^т и производя суммирование по к, мы немедлеппо получим
П'Ф'т= -W'm, (ПЛ.37)
поскольку а^тФ^ = Ф^,. Сравнение (П.1.35) с (П.1.37) показывает, что
d системе К' мы имеем в точности то же самое уравнение, что и в К, но с заме-
заменой шштрихованных воличип па штрихованные.
§ 5. Свертывание («омоложение») индексов тензора. В тензорном исчис-
исчислении вводится операция, приводящая к понижению ранга тензора. Для
тензора второго ранга она состоит в том, что суммируются компоненты тен-
тензора, имеющие два равных индекса. Замечательно, что такая операция при-
приводит к инвариантному выражению. В случае тензоров более высокого ранга
свертывание приводит к тому, что ранг тензора понижается на две единицы.
Доказательство этого свойства очень просто. Выпишем формулу пре-
преобразования компонент тензора
и просуммируем компоненты А^ с' равными индексами, положив i = к;
тогда
Аи = Аи + А2г + Лзз + Аи = а(тацА'т1 = &miA'ml = A'mm
в силу (П.1.15). Таким образом,
Аи + А22+ А33 + Ац = Лц + Aia + А'яя -{- А'и. (П.1.38)
Хотя в этой книге почти пе используются тензоры высших рангов, нам
встретятся результаты их свертывания. Мы видели, что дифференцирование
скалярной функции (т. е. инвариантного выражения) ведет к образованию
вектора — градиента функции дФ1дх^. Дифференцирование вектора ведет
к образованию тензора второго ранга д2Ф1'dxidx^. Мы уже убедились в том,

360 ПРИЛОЖЕНИЕ I
что свертка этого выражения является инвариантом (П.1.34):
дх\
Если компоненты тензора второго ранга зависят от координат, то их диф-
дифференцирование ведет к образованию тепзора третьего ранга. Например,
из тензора /^ мы получаем тензор третьего ранга dfi^/dxi-
Образуем свертку этого тензора по индексам к и I и убедимся, что она
приводит к образованию четырех величин, образующих компоненты век-
вектора. Действительно,
дх'т
-дГГ-==а'*-&р- ¦ (П.1.39)
Принимая во внимание, что индексы к, т, s пемые, мы видим, что величины
dfih/дхь преобразуются по закону преобразования векторов (П.1.32).
Рассмотрим еще, как получить инвариантное выражение из компонент
тензоров второго ранга. Если произведение компонент двух векторов, как
мы видели, образует тепзор второго ранга, то, как легко проверить, произис-
дение компонент двух тензоров второго ранга ведет к образованию тепзора
четвертого ранга. Пусть компоненты тепзора $ обозначаются через F,k,
а тепзора / — через /;т. Их произведение Tikim = Fikfim представляет
собой тензор четвертого ранга. Свернем этот тензор по индексам i и I, а также
по к и т, т. е. составим выражение
которое представляет сумму попарных произведений соответствующих ком-
компонент. Мы убедимся, что это выражение пе меняется при переходе от одной
системы отсчета к другой. Этот результат легко доказывается, поскольку
правило преобразования для компонент Flh и fjm пам известно:
Положив i = I, к — т, получим
^Гг1 = brsbptFyrt = F'spf'sp.
Равопство (II.1.41) и представляет собой доказательство инвариантности
(П.1,40). Конечно, частным случаем (П. 1.40) будет инвариантность F\k или/^г.
Поскольку мы неоднократно пользовались теоремой Гаусса — Остро-
Остроградского н применении к векторам, представляющим собой трехмерную сверт-
свертку тензора, мы выпишем соответствующие формулы. В трехмерном простран-
пространстве эта теорема касается преобразования потока вектора по замкнутой
поверхности S в интеграл по объему CV3, охватываемому этой поверхностью,
например:
(? D dS
s
= \ div D dV. (П.1.42)
Эта же теорема в симметричных обозначениях имеет вид
Папа dS= j -^ dV>, (П.1.43)

ПРИЛОЖЕНИЕ I 361
где па — компоненты нормали к элемепту поверхности dS. Если применить
(П.1.43) к вектору
то мы получим
С д1„я р
tfiiadS. (II. 1.44)
§ 6. Некоторые сведения об определителях (детерминантах). Дуальные
тензоры. 1. Расположим п2 элемептов, обозначенных символом aih, где i,k
принимают все значения от 1 до в, в виде квадратной схемы. Пусть первый
индекс i в символе a;ft обозначает номер строки, а второй индекс к — номер
столбца, d котором расположен элемент. Таким образом, мы получим квадрат-
квадратную матрицу, образованную элементами aih:
аП2 ... апп'
Из этой матрицы можно образовать определитель
"т ап2 ••• аш
который подразумевает определенное действие пад элементами aife — обра-
образование суммы п! члепов из элементов aif!. Эту сумму можно получить
следующим образом. Возьмем произведение элементов, в которое входят эле-
элементы разных строк, например строк 1 2 ... /г:
¦• «nt. (П.1.45)
или произведение элементов, в которое входят элементы разных столбцов,
например 1 2 ... п:
аа1аC2 ••• атти A1.1.40)
где значение индексов а, р, . . ., т мы сейчас определим. Чтобы получить
значение определителя, составим алгебраическую сумму членов вида (П.Т.45)
или (П.1.46), отличающихся друг от друга тем, что индексы а, р\ . . ., т
образуют в каждом из членов суммы какую-то перестановку естественного рас-
расположения чисел 1 2 ... гг. Это означает, что в каждом члепе суммы индексы
а, Р, . . ., т всегда имеют разные значения. Сумма берется но всем переста-
перестановкам чисел 1 2 . . . гг, число которых равно гг!.
Каждому члену суммы ириписыпаотся зпак « + » или «—» в зависимости
от того, четным или почетным числом парпых перестановок (трапспозиций)
элемептов можпо получить нз естественного ряда чисел 1, 2, . . ., гг дан-
данную перестановку в а Р ... т. Парпая транспозиция состоит, например,
в переходе от перестановки 1 2 3 4 к перестановке 13 2 4, где произведен
обмен местами цифр 2 и 3. Число необходимых транспозиций для перехода
от естественного ряда чисел к данной перестановке обозначается буквой г.
Таким образом, но определению детерминат га-го порядка раскрывается

362
ПРИЛОЖЕНИЕ I
следующим образом:
ц ai2
anl an2
. =t=x
(П.1.47)
где сумма берется по всем перестановкам индексов а Р . . . х, принимающих
различпые зпачения от 1 до п. Две носледние строки равенства отражают одно
из основг1ых свойств определителя — равноправие строк и столбцов. Конечно,
в выражениях типа (П.Т.45) и (П. 1.46) не обязательно брать соответственно
первые или вторые ипдоксы, расположенные в натуральном порядке. Но тогда,
чтобы привести копкретпые члены к каноническому виду (П.1.45) или (П.1.46),
пришлось бы переобозначить ипдоксы а, E, . . ., т. Такое переобозначение
свелось бык транспозициям этих индексов, а в самом определителе означало бы
перестановку строк нли столбцов. Отсюда яспо, что перестановка нечетного
числа строк (или столбцов) меняет знак определителя, а перестановка чет-
четного числа строк (столбцов) оставляет значение определителя неизменным.
Можно сказать, что если зафиксировать оиределенное значение п ипдексои
I, к, . . ., s л составить сумму членов но перестановкам индексов a f ... т
с соответствующими знаками, т. е.
2 ( —/|)rea;epn ••• «те-
то эта величина будет равна значению +Dn в зависимости от того, четным
или нечетным числом трапепозиций получается перестановка i к . . . s
из естестведпой перестановки 1 2 ... п.
Покажем, как записывается определитель третьего цорядка D3:
в31 2
a13
«23
«33
22ЗЗ
2, у=3)
13213
C12)
12233
B31)
1332З
C21)
ц2з
A32)
1221
B13)
(a=l,
2. Способ вычисления определителей. Выберем в сумме (П.1.47) все
члены, содержащие некоторый элемент aih, объединим их и вынесем этот
элемент в качестве общего множителя. Получившийся коэффициент при эле-
элементе aih обозначим через Aik. Выражение Aik, т. е. коэффициент данного
элемепта в выражении определителя, называется адъюиктой или алгебраи-
алгебраическим дополнением элемента aik. Адъюнкта данного элемента вычисляется
по простому правилу. Из определителя Dn вычеркиваются та строка и тот
столбец, в которых находится элемент aih, адъюнкта которого А^ ищется.
Вычеркпув i-ю строку и к-и столбец, мы получим определитель (и — 1)-го
порядка /)„_!, который пазыиается минором Дгй элемента а;й:
Л,/; — /}n_j =
пц ai2
i-U 2
, 2
«П2
ai-i, h-l
aU\, h-l
«71, h-l
al, ft+1
al-U k+i
ai+i, k+i
«n.h+1

ПРИЛОЖЕНИЕ I
363
Адъюнкта элемента Ath отличается от минор:! \ik, быть может, только
зпаком:
Каждому элементу можно сопоставить свою адъгопкту, однако данный
элемент входит отнюдь не во все члены суммы (П.1.47). Можпо выбрать опре-
определенное число элементов определителя, которые вместе со своими адъюнк-
адъюнктами позволяют найти значение определителя. Именно, существует теорема,
что определитель можно разложить по элементам любой строки или любого
столбца следующим образом:
п п
a.=iaak ah Да'гР ft|5>
причем здесь суммирования по к нет, а само к может иметь любое значение
от 1 до п. Если же составить сумму ироизведений элементов любой строки (или
любого столбца) на мипоры другой строки (или другого столбца), то всегда
окажется, что эта сумма равна нулю:
п
Обе последние формулы объединяются в одну:
Вычислим в качестве примера определитель матрицы преобразований
Лоренца, разложив его по элементам первой строки:
«и
а21
а31
«41
«12
«22
азг
«42
=г--Г
«13
«23
аЗЗ
«43
1
0
0
а14
аг4
«34
СС44
0 0
1 0
0 Г
г
0
0
—гвг
— iBT
—
0
i
0
0
0
0
/ПГ
0
0
1
0
1
0
0
(ВГ
0
0
г
0
1
0
Читатель легко убедится сам, что, умножая элементы первой строки па
адъюнкты элементов других строк, он получит нуль.
3. Введем совершенно антисимметричный единичный тензор гс-го ранга
(валентности). Совершенно антисимметричным едипичным тензором иго ранга
называется тензор бар ... т, компоненты которого меняют знак при переста-
перестановке любых двух индексов, а все отличные от нуля компоненты равны либо
+ 1, либо —1. Из антисимметричности тензора следует, что любая компонента
тепзора баE... т, у которой два индекса ранны, обращается в пуль (перестанов-
(перестановка двух таких индексов меняет знак компоненты из условия антисимметрич-
антисимметричности, но вместе с тем мы получаем ту же самую компоненту; но только
нуль равен сам себе с обратным знаком). Таким образом, у тепзора бар ... т
отличны от нуля лишь те компоненты, у которых все индексы af> . . . т
различны. Пусть &l2... n ~- 1; тогда отличные от нуля компоненты баВ...т
равны +1, если перестановка ар . . . т получена из перестановки 1 2 ... п
четным числом транспозиций. Если число таких транспозиций в перестановке
ар\..т нечетное, то компонента бац... т равна —1. Используя совершенно
антисимметричный единичный тензор, можно переписать выражение для

364 ПРИЛОЖЕНИЕ I
определителя Dn следующим образом:
?)n = Sap та1аа2р ... enx = 6ap__ ха.а.1а&г ••• "tin
где теперь уже подразумевается суммирование по парам индексов ар1 ... т.
В частности, для определителя, соответствующего матрице Лоренца,
мы можем паписать
4. Теперь нас уже будет интересовать 4-нространство СТО. Прежде
всего следует отметить, что мы определили совершенно антисимметричный
единичный тензор 6pvPI, но вовсе не доказали, что это тензор. Мы должны
убедиться в том, что в любой ИСО (т. е. при преобразованиях Лоренца)
компоненты этого тепзора имеют одни и те же значения. Однако сделать это
совсем носложпо. По правилу преобразования компонент тензора
Однако согласпо сказаппому в и. 1 величина справа равна ih[m
т. е. +1 в зависимости от того, каким числом транспозиций получается
перестановка iklm из естественной. Л это и означает, что &$УР11 имеет одина-
одинаковые компоненты в любой ИСО. Не меняют свои значения компоненты
этого тензора и при переходе от левой системы координат к правой (т. е. при
изменении знака у одной или трех нространстпеппых координат). Компоненты
тепзора в этом случае должны были бы переменить свой знак, как ото ясно
из (П. 1.30). Поэтому бр^рц является не тепзором, а псевдотензором; его ком-
компоненты ведут себя при изменении знака координат (отражениях) иначе,
чем тензоры, а при всех остальных преобразованиях их поведение совпадает
с поведением компонент любого тепзора.
5. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном прост-
пространстве. Оти вопросы обсуждаются для того, чтобы иметь наглядные аналогии
при рассмотрении некоторых величип в 4-пространстве СТО.
Рассмотрим три единичных вектора ортогональпой декартовой системы
координат — векторы тп1, т2, тл. Составим векторное произведение любой
пары этих векторов [тат$]\ мы получим при этом третий вектор со знаком
плюс или мипус в зависимости от порядка сомножителей в векторном про-
произведении. Нетрудно записать векторное нроизведепие с помощью совер-
совершенно аптисимметричного единичного тензора третьей валентности:
Теперь уже легко записать и векторное произведеппе двух векторов
«! - а1ата и «2 — a20mp; действительно,
|a1o2i = [ala»ta, e2BmB]==alaa2E[mamp] = 6aCValaa2pmv. (П.1.48)
Из (П. 1.48) видно, что при nty стоят коэффициенты, образованные про-
произведениями компонент вектора и свернутые с тензором 8„й,,. Перепишем
(П.1.48):
5 Ф
Здесь в третьем звене равенства добавлен второй член, равный первому,
по у которого поменялись местами немые индексы а и р. В третьем звене
учтено, что6ра7 = — 6agv. В четвертом же звене 6apv выпесепо за скобки.
Для антисимметричного тензора, образовавшегося в круглых скобках, введено

ПРИЛОЖЕНИЕ I 365
обозначение СаC -: alaa2^ — а,ря2о. Таким образом, пекторное нропзве-
депие [aj«2] представляет собой вектор, компоненты которого получаются
из антисимметричного топзора СаР по формулам
Говорят, что вектор С{Су) дуален антисимметричному тензору Сар.
Это означает, что вектор С ортогонален двум векторам ах и а.2, определяющим
двумерную плоскость. Ортогональность обнаруживается аналитически
•сразу же:
CC 6C 6 { } 0
Равепство нулю последнего вьгражепия следует из того, чт» и уменьшаемое
и вычитаемое представляет собой определители с двумя равными строками.
А такие определители равны нулю. Аналогично доказывается, что С'«2 = О
По своему геометрическому смыслу модуль вектора С равен плогцадн парал-
параллелограмма, построенного на векторах аг и аг.
Смешанное произведение трех векторов о„ а2, а3 обозначается через
{«!, «2, а3) и определяется следующим образом FЧА, — символ Кропекера
(П.1.4)):
«12
а22
a32
«13
«23
«33
<<ч . . .. . ..... ...
«11
«31
Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов — объем
параллелепипеда, построенного на этих векторах. Этот объем получается
со зпакоч «-|-» или «—» в зависимости от того, в каком порядке входят век-
векторы «!, а,, ая в смешанное произведение.
6. Дуальные тензоры. Пусть н 4-прострапстве заданы два 4-вектора
«! и «2. Тогда проекции площади параллелограмма, на координатные пло-
плоскости (?;, л-fc) определяются антисимметричным тензором ?;ft -•- «i;<i2/j— a2j(ijh-
В 4-пространстне каждой площадке ?,-;, можно сопоставить д[>угую пормаль-
пую площадку l*h такую, что все прямые, лежащие в пей, нормальны всем
прямым в исходргон площадке. Если площадка Щ1с, ортогональная к ?№,
имеет равную площадь с |!Й, то площадка |*Л называется дуальной относи-
относительно ?jft. Можно показать, что
С помощью этой формулы можно сопоставить любому антисимметрич-
антисимметричному тензору дуальный ему. Дуальпый тензор f%, в известном смысле равно-
иравеп исходному тензору filt. Мы видели, что вторая группа уравнений Макс-
Максвелла проще записывается через дуальный тензор Ffk- Сумма произведений
компонент антисимметричного тензора на их дуальные дополнения дает
псевдоскаляр
in

366 ПРИЛОЖЕНИЕ I
В этих равенствах использованы определение (П.1.49), формулы пре-
преобразования тензора (П. 1.30), свойства коэффициентов матрицы Лоренца
(П.1.15). Легко убедиться также, что F\h ~ FihFih также является инва-
инвариантом:
PihFih — alaakhF'ab^ic,^hdP'ai ~ &ac&bdF'abFей = FabF'ab-
Эти два инвариапта и были использованы нами в § 6.5.
§ 7. Тепзор напряжений. В механике оплошной среды вводится тензор
напряжений, с помощью которого можно представить силу, действующую-
па весь объем, в пиде силы, дейстпующей па поверхность, ограничивающую
этот объем. Рассматривая силы в электромагнитном иоле, мы пришли к выра-
выражениям именно этого вида; полезно рассмотреть постановку задачи в меха-
механике, где физика очень наглядна.
Если упругое тело подвергается деформации, то в нем возникают еллы.'стре-
мящиеся вернуть это тело в положение равновесия. Эти силы называются
внутренними напряжениями. Внутренние папряжения обусловлены силами
взаимодействия молекул тела друг с другом. Характорпой особенностью-
этих сил является «малый радиус действия», другими словами, их влияпие
простирается лишь па микроскопические (атомные) расстояпия. Отсюда
ясно, что если рассмотреть пекоторый объем Ч'° внутри тела, то силы, дей-
действующие на этот объем, сводятся к силам, действующим через поверхность^
ограничивающую отот объем.
Действительно, пусть на единицу объема тела действует сила F. Выде-
Выделим в теле объем Ч'0 и рассмотрим действующую на него суммарную силу.
Если па объем 3V1' действует сила Fd'V3, то полная сила, действующая на объем,
равна
I" FffV0. (П.1.50>
суэ
Но силы, с которыми действуют друг на друга различные части рассмат-
рассматриваемого объема, но закону равенства действия и противодействия взаимно-
уничтожаются и не могут дать отличной от пуля равнодействующей. Поэтому
полная сила, действующая на объем, возникает в результате действия сил
со сторопы окружающих объем 4го частей тела. Но, как уже было сказано,
эти силы действуют лишь через поверхность, ограничивающую рассматри-
рассматриваемый объем. Значит, суммарная сила сведется к некоторому поверхност-
поверхностному интегралу, в частности, E-я компонента силы
f (П.1.51)
тоже должна переходить в поверхностный интеграл. Но это возможно лишь
в том случае, если F^ можно представить в виде
(rLL52>
где про величину Tag известно только, что она представляет собой компо-
компоненты тепзора (только тогда в результате свертывания мы получим вектор).
В этом случае согласно (П.1.44)
алпа dS. (I1.I.53)

ПРИЛОЖЕНИЕ I
367
Умножив обе части (П.1.53) на т« и фактически производя суммиропапио,
получим
Соотпошепие (П.1.54) показывает, что суммарная сила, действующая
на объем, сведена к поворхпостному интегралу. Следовательно, полученпый
нами результат можно сформули- ,„
роватьтак: если сплу F, действую- Рп""
щую на единицу объема, можно _ I ,п
представить в виде
¦ «»<р,
(П.1.55)
то ее действие па весь ооъе.ч может
быть цредставлепо как действие
поверхностной силы, распределен-
распределенной на поверхности, ограничиваю-
ограничивающей объем, причем на элемент по-
верхпости dS, компоненты единич-
единичного вектора иормали п к которо-
которому равпы па, действует сила
Гврво»»р. (И.1.56)
Остановимся кратко на физи-
физическом смысле составляющих тен-
тензора напряжений. Вернемся снова
к объему 'V0 внутри тела, исиытав-
нюго деформацию. Сила, действую-
действующая на элемент поверхности dS,
ограничивающей объем f®, аави-
сит от величины dS и нап[)авлепия
ялемепта, т. е. направления норма-
нормали п к пему. Обозначим эту силу
Рис. 11.2. о) Напряжение на площадку dS на
границе объема, в котором созданы деформа-
деформации; » — нормаль к элементу поверхности dS~.
/>п —сила, действующая на площадку, нор-
нормаль которой •». б) К выводу условия ранно-
ьесня замкнутого элементарного объема и фор-
форме тетраэдра. В качестве нормали к замкну-
замкнуто)! поперхиости тетраэдра выбрана внешняя
нормаль. На гранмх БОС, ЛОС и ЛОВ единич-
единичные векторы нормали ралпы соотпетственно
—/, —j, — fc. Площади граней БОС, АОС и
ЛОВ раппы соответственно
(IS cos (и, у), dS cos (и, г).
череа рп dS, подчеркнув, что ее
направление, вообще говоря, не совпадает с направлением нормали к площадке
dS (рпс. П.2, я). Вектор jin—сила, отнесенная к единице площади и зависящая
от направления площадки,— называется напряжением на площадку dS с нор-
нормалью п, В каждой точке деформированного упругого тела любому направле-
направлению п отвечает свой вектор напряжения рп- И каждой декартовой системе
отсчета можно определить напряжения рх, ру, pz, действующие па единич-
единичные площадки, нормали которых совпадают с коордипатпыми осями. Мы дока-
докажем, что папряжение, отпесепиос к любойплощадке dSc заданным вектором п,
может быть выражено через девять компонент векторов рх, ру, рг, причем
эти девять компонент в совокупности образуют тензор натяжений Та^.
Пусть упруго деформированное тело находится в равновесии. Рассмотрим
бесконечно малый тетраадр ОЛВС (рис. П.2, б), площадь наклонной грани
которого равна dS. Пусть нормаль п к этой грани направлена под острым
углом к оси х. Тогда площадки, отсекаемые на коордипатпых плоскостях,
равны dS cos (га, х), dS cos (п, у), dS cos (n, г). Иормали к площадкам,
отсекаемым наклонной гранью па координатных плоскостях, направлены
противоположно направлению единичных координатпых осей I, j, fc, поэтому
па грань ДОС действует сила — pxdS cos (га, х). Значение рх берется в любой

368
ПРИЛОЖЕНИЕ I
точке БОС, поскольку грань бескопечно малая. Аналогично силы, действую-
/Ч
щие па грани АОС и АОВ, оказываются равными— pvdS cos in, у)
/Ч
и —pzdS cos (», г). При равновесии сумма сил, действующих на тетраэдр,
равна нулю:
/ч /ч /ч
dS [pn—pxcos(n, х) — p!tcos(n, y)—pzcos{n, z)] = 0,
откуда искомое напряжение рп ньтразится через j>x, py, рг:
/Ч
Рп= pxcos(n, x)+ py cos (n, y)-\- pz cos (n, z). (П.1.57)
В равенстве (П.1.57) стоит лишь перейти к сиыметричиым обозначениям,
чтобы убедиться в том, что мы нолучили тепзор. Действительно, п — это
вектор нормали и произвольно выбранной грани с компонентами па, поэтому
+ + Н в свою очередь ра = />артр, где
да
Рп =
= pan
р
Но
Pa.fi — компоненты вектора ра, откуда
- (П.1.58)
Из выражения (II.1.58) видно, что девять компонент векторов ра преобра-
преобразуются, как тепзор (ср., например, (ИЛ.24)).
§ 8. Прямолинейные косоугольные системы координат. До сих пор мы
пользовались ортогональной прямолинейной системой координат, но уже
а)
Рис. П.З. Иллюстрация к определению ко- и контравариантны^с координат в прямолиней-
прямолинейной косоугольной системе координат на плоскости.
переход к прямолинейной косоугольной системе позволяет проиллюстрировать
особенности, присущие произвольным координатным системам, о которых
шла речь в книге.
Выберем, как и раньше, в качестве координатпых линий семейство
прямых, но уже по ортогональных друг другу. Координатные оси обозначим
х1 и хг (рис. П.З, а). На каждой из этих осей хц отложим единичный базисный
вектор т„.
Произвольный вектор А можно разложить но неколлинеарным векто-
векторам »?„:
А=А^т^. (П.1.59)
Величины Л11 являются составляющими вектора Л, получаемыми парал-
параллельным проектированием этого вектора на координатные оси; они, но опре-
определению, называются коитравариантными компонентами вектора А.

ПРИЛОЖВНИЕ I 369
Величины
Л = Л'"!Х (П.1.60)
являются ортогональными проекциям» вектора А на координатные оси
и называются кооарианппыми компонентами пектора А. Очевидно, эти опре-
определения могут быть сохранены для любого числа измерении. Если ввести
обозначение для скалярного произведения базисных иекторов
т0 Sfiv -- gvn и в случае прямолипенгшх координатных осей g^v --- соп.Ч.
Ко- п контравариаптпые координаты относятся к одному и тому же вектору
и связаны между собой:
(П.1.02)
Этим равенством определяется переход от коптраварпантных компонент
пектора к ковариантпьм.
Определим, далее, величины ?uv условием:
Состави.ч теперь выражение
g^Ap = g^A" -, Ь$А° - A». (I1.I.G4)
Последним равенством определяется переход от ковариаптных компонент
к контравариантным. Мы получили, таким образом, две важные формулы
перехода:
Aa = g^As\ Л|Х = ^Х- (IF.I.65)
Определитель, образованный из величин g^. обозначают через g
(см. § 6 этиго Приложения):
е ^ \ gik I •
G помощью формулы (стр. 363)
2 SahAai =
мы сразу же находим, что
где А пу — адъюпкта элемента g^v.
Нетрудно обнаружить, что для ортогональных прямолинейных коор-
координат, когда >n^mv -¦- 6^Vt g\x\ = S^v " Ац = А^, т. е. никакого различия
между ко- и контравариаптными координатами нет. Этим и объясняется, что
при использовании ортогональной декартовой системы координат говорят
просто о координатах векторов.
По определению скалярным произведением двух векторов А п li назы-
называется величина
(П.1.67)
квадрат
(П.1.68)
Скалярное произведение вектора на самого себя определяет квадрат
модуля вектора, или норму вектора:
24 В. А. Угаров

370 ПРИЛОЖЕНИЕ I
Таким образом, порма является квадратом длины вектора. Если норма
вектора равна еднппце, то вектор называется нормированным или единич-
единичным. Если порма любого ненулевого вектора положительна, пространство
называется собственно евклидовым.
В частности, киадрат бесконечно малого вектора dr с компонентами dxv,
соединяющего две бескопечпо близкие точки пространства, равен
dr2 — ds2 — g^dx^dx^1. (П. 1.69)
Изменим систему базисных oceii и перейдем к новым базисным векторам
чп', направлоппым вдоль прямолппеипых осей х ** (рис. П.З, б). Можно раз-
разложить любой новый вектор т' по старым базиспым векторам:
H»!, = a?wv, (П.1.70)
где а* — постоянные коэффициенты, зависящие от конкретного преобразова-
преобразования косоугольных oceii. Для независимости т' необходимо, чтобы I я» I =
= а Ф 0. Можно, разумеется, разложить любой старый вектор и?A по повым:
»hv.W* н*;_, а'---\а'^\ -0. (П.1.71)
Из (П.1.70) и (П.1.71) следует:
ni'ui=a%.mv — a'lLa'v'mi'' "П — f-j"''») =a'Ja?mil. (П.1.72)
Из (П.1.72) видно, что коэффициенты о^ и а^1 снязапы соотношениями
а>^ = 6^ av4'^6v. (П.1.73)
где 6f; определено согласно (II.1.63).
Радиус-вектор г, проведсппыниа начала координатвточкуМ (рис. П.З,б),
может быть с равным правом алннсан днумя способами:
x%'mv-=x'»m'!V (П.1.74)
но, принимая во внимание (П.Т.70) и (П.1.71), .можно переписать (П.1.74)
опять-таки в двух формах:
?v«vf*?w/l = .r'|i}H^, xvmv — x'IJ'a^,iav (П.1.75)
Отсюда следуют формулы прямого и обратного преобразовании контравари-
антпых координат вектора г:
Общее определение вектора: иектором А называется величина, кова-
риантпыо компопонтьг которой при изменении системы отсчета преоСразуются
так же, как базисные покторы тЛ1. Контравариантные компопепты векторов
преобразуются, как коптравариантпые координаты х^. Найдем формулы пре-
преобразования компонепт вектора Л. Для ковариантпых компонент'
Лц^Л»и,1= Аа'*-т'х-а'?Л'х (П.1.77)
и, обратно,
A ^ (П.1.78)

ПРИЛОЖЕНИЕ I 371
С другой стороны, в точности так же, как для вектора г, запишем
A = Avmvr=A"liml, (П.1.79)
откуда
Л^т^лЧн^. Avmv = A"^mv (П.1.80)
и, следовательно,
Мы видим, что формулы преобразования ко- и коптравариантных ком-
компонент вектора различны.
Выпишем закон преобразования величины (П.1.61):
^v=(w'|>'v) = a?"VSmc = <ev?nc- (П.1.82)
Это — но определению — закон преобразования ковариантного тензора.
Инвариантом называется величина, сохраняющая свое значение при изме-
изменении базисных векторов (П.1.70), (П.1.71). В рассматриваемом случае
косоугольпых прямолинейных осей о^ и n[J — постоянные величины. Дока-
Докажем ппвариантность расстояния между точками:
&'2 = ^х. dx'» dx'v^ex'^dx'vgpa^gpodx* dx° (П. 1.83)
(см. (,ГТ.1.81)).
д2
Нетрудно проверить также инвариантность оператора Д =
^ дх11
Когда по теп н.чи иным соображениям вводятся векторы, то в качестве
н\ компонент могут оказаться как ко-, так и контракарпантные комиоиепты.
Приведем два важных примера. Из (П.1.81) следует, что
dA-'-a^dA'V-, (П.1.84)
отсюда ясно, что дифференциалы контравариантных координат вектора
преобразуются, как контра вариантные векторы. Однако еслп рассмотреть
скалярную функцию коптрапариантных компонент <р (ха), то, рассмотрев
компоненты вектора O(f/dxa, мы сразу же убеждаемся, что имеем дело с кова-
риантными компонентами.
Действительно, ф = <р (x'v) — <p [x'v (xa)] — подразумевается, что пре-
преобразование координат известно; как всегда, выпишем формулы с «удобными»
индексами. Так, согласно (П.1.76) x'v = а'^ха, откуда dx'v/dxa = а'? .
По формулам дифференцирования сложных функций
дх дх v дх дх v
а это как раз формула преобразования компопепт ковариантпого вектора
(П.1.77). Еще раз подчеркнем, что все полученные формулы годятся для
пространства любого числа измерений.
Переходя к 4-прострапству-времени Минковского, напомним, что след-
следствием двух постулатов Эппттейпа является инпариаптность квадратичной
формы
ds3 = с2 dP — dx- — dy* — ds2 (П.1.86)
ири переходе от одной ИСО к другой, т. е. при преобразованиях Лоренца.
Выражение (П.Т.86) определяет квадрат элементарного 'расстояния» в 4-про-
24*

372 ПРИЛОЖЕНИЕ I
странстве. Но квадрат расстояния (II.1.86) вовсе не обязательно является
положительно определенным. В связи с атнм евклидоно нростраистпо, харак-
характеризуемое формой (П.1.80), называется несобственно евклидовым или псевдо-
евклидоеым пространствпм.^Ц^ля того чтобы пользоваться формализмом соб-
собственно евклидова пространства часто прибегают к приему, который исполь-
использовался и в этой книге, заключающемуся во введении мнимой координаты
(ср. гл. 3). Этот прием упрощает изложение, но непольпо навевает мысли
о мнимости и самих релятивистских законов, которые, разумеется, не имеют
ни малейшего отношения к мнимой единице, вводимой исключительно ради
упрощения выкладок.
Если воспользоваться действительными коордппатали х" = ct, л-1 = х,
хг = у, з? = г, то (П.1.86) запишется как
di-2 = cfan2 — dx1' — dxz' — rfx3'. (П.1.87)
В любом случае
dR = modx° + я»! dx1 + »», dx2 ~- m3 dx'K (П.1.88)
Для того чтобы ds2 из (П.Т.88) совпадало с (П.1.86), необходимо, чтобы выпол-
выполнялись следующие условия:
т% = 1, т\= ml - m§ = -1; (П.1.89)
т(тъ = 0 прп j, k = 0, 1, 2, 3. (П.1.90)
Все эти условия можно записать и единой формуле
mimk = gih, (П.1.91)
где
/1 0 0 0\
I 0 — 1 О О 1
(П.1.92)
Теперь gjft определяет метрический тензор псевдоепклидова прострап-
ства. Отсюда сразу же следует связь между ко- н контраварнантными ком-
компонентами вектора в силу А^ = g,lvAv'-
Л„ = А0, А, = —А1, Л2= -Л2, Ал=г---Ая. (П.Т.93)
Скалярное произведение дву.х векторов и норма вектора определяются соот-
соответственно выражениями
(П.1.94)
Из (П.1.95) видно, что у произвольного ненулевого действ и тел ыго го
вектора Ftopvia не обязательно положительна, она может быть как нулевой,
так и отрицательной. Это еще раз напоминает нам о том, что четырехмерное
пространство специальной теории относительности является псевдоевклидовым.
§ 9. Определение гиперболических функций и некоторые соотношения
между ними. Для действительных значений х основные определения таковы:
~с\Гх
2 ' 2
sh x ex — e~x 1 — g-2x

ПРИЛОЖЕНИЕ I 373
Непосредственно индио, что
ch2 х_sh21 = -i- fax-f e--fJ— (e.v- e-*)*} = i- • A = 1.
Разделив левую и последнюю правую части последнего раненстка па ch2_x,
получим
Чтобы получить формулы
ch (х\ -1- :г2) -" ch X\ ch х-2 -J- sh х^ sh ,г2,
sh (xf -\-xn) ~ sh xi ch х2Ч- sh x2 ch ц,
нужно в определении
ч eXleX2J_e-X,e-X2
подставить значения, вытекающие из опррдолснни гипорболнческих функции:
Л-'* = ch *,, 24- sh v>tl 2, е"*1- * =• ch ¦»,, 2-sh Оь 2.
Наконец, последняя вось.ма важная формула для действительных значспии х:
sh jt chx2-f ch Xj shx2
'*»— e,\\ (xi-i-x2) ~ chxic,hx2 + »hxf shx2 "~
В этой Кинге (гл. 5) мм пользуемся еще разложениями
= 1-\-——|-..., нЬхяйх.
Связь между гиперболическими п тригонометрическими функциями устанав-
лппается следующим образом. В определения тригонометрических функций
(формулы Эйлера)
eiz_e-iz e,zJ e-iz I eu_e-iz
sin *= r, , cos 2 = ¦ , Iijj--
подставляются мнимые значение z, т. е. полагают z — /ф. Тогда пепосред-
ствеино видно, что |
sin (i<p) = г sh ф, cos (Up) — ch ф, ts; (г'|) — i t!) ф,
если только вспомнить, что i- —1 и \li — — j.
Литература к Приложению I
А. Д. М а к - К о п п о л, Введение в тензорный aiia.in.i. С приложениями
к геометрии, механике и физике, Физматгиз, 1963.
Очень разумно составленная кпига, содержащая все необходимые для
физики сведения о тензорах. Ознакомившись с этой книгой, читатель окажется
вполмр подготовленным о математической стороны к чтению книг, посвящен-
посвященных рнмановой геометрии и общей теории относительности.
11. Е. К о ч и н, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
Изд-во АН СССР, 1954; «Наука», 1965.
Книга содержит основные сведения о тензорах и написана очень доступно.

ПРИЛОЖЕНИЕ II
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ
В электродинамике layccotm система используется не мрнео
часто, чем система СИ, которой мы придерживались о тексте гл. E. Разуме-
Разумеется, выбор системы едипиц пе влияет на принципиальную сторону дела,
однако внешний вид формул меняется. Для удобства читателей мы приво-
приводим основные формулы в гауссовой системе. У формул сохранена та же
нумерация, под которой они приведены в оспошюм тексте гл. fi.
В вакууме уравнения для потенциалов А и ((• имеют вид
г-i 1 л л ' <?-Л 4я .
2 @.9)
Условие Лоренца:
div4-i-i--?E—U. F.8)
с at
Закон сохранения заряда остается неизменным:
¦^--¦¦div j=0. (E.4)
Определение 4-потенциала и 4-тока:
ф(/1. 14-) , ф(ср,м), (СИ)
~s(j, lc[>). s(cj), J). @.12)
Связь средних полей с потенциалами:
В —rot A, i'=—gradfp -А. F.25)
Тензоры электромагнитного поля в вакууме:
(Ь-28)
О IIг -Hv ~ifx\
(
Н, О Нх —iEv
Н], -Пх 0 -il
iEx iEy iEx О

ПРИЛОЖЕНИЕ II 375
Тензоры электромагпитного поля в веществе:
О Нг -Ну -П)х
Нг О пх -iDy
//.v 0 -Ю
Wy IDZ 0
( Вх — Ву — iEx,
Bz 0 Вх —iEu
BV -Bx 0 -iEz
Тензор моментов:
x 0 -iEz
iEy iEx 0
0 Mz — My
¦ M, и Mu iPv \
My -мх о »pl' F-33)
причем теперь В=йГ + 4яЛГ, a E—D—4л;/'.
Формулы иреобразования полей:
F.37)
Эти же формулы в ироекциях на направление относительпой скорости и пер-
перпендикулярно к ней:
F'38)
x(f; + -f [VD']). F.42)
Плотность силы Лоренца:
/ = p{? + i.[BB]}. F.49)
Инварианты поля E 6.5):

376 ПРИЛОЖЕ1ШК II
Четырехмерное выражение для плотности силы Лоренца одинаково как в СИ,
так и в гауссовой системе:
1
Уравнеппя Максвелла в трехмерной форме:
rot Я = — Л- — /3, div D = 4лр, F.56)
T(,tH= -в, divB=-0. F.57)
Уравнения Максвелла в четырехмерной форме:
¦Щ^ = —Ц, F.60)
дхк с
а„. ' я... ^"~лГ" -""• (,0.0/;
Материальные уравнения в трехмерной форме не меняются:
D'^-.гЕ', F.68)
B'^jiH', F.69)
j' = aF/. F.70)
Материальные соотношения в движущейся среде:
Z>-|--i- [VH\ = e I К -f- -i- [f В]) , F.74)
В —— [Fiij-.u (я— — [VI)\\. F.75)
с \ с /
Разрешая чти уравнения относительно D и В, получим (В = У,.с)
i-\, i — \VH\ F(F?)|,
I С- у
откуда
/>,=еЛ., В,,=ц//:|, F.76)
F.77)
-гцЩ D± =е A -B'i
U =и A —В2) /Г. —(ец —1)—[Г?1,
Если пренебречь в F.77) величинами В2 и киВ- по сравнению^ единицей,
то вместо F.77) получим
F.78)

ПРИЛОЖЕНИИ II 377
Материальные уравиення в четырехмерной форме:
fihuh-^Fihuh, F.79)
Si = ^LF,kUl F.81)
с
Плотность энергии электромагнитного поля:
_ED+BH
Вектор Пойптинга — Умова:
Тензор энергии-шшульса-иатяжевий в вакууме:
-icg\
-±8 ш )' g =
та& =-^-{яв/)в+1/вДэ}-в«Р И-
Тензоры энергии-иыпульса-натяжений в среде (Мипковский и Абрагам):

ЛИТЕРАТУРА
В отличие от первого издания этой книги, где была сделана
попытка перечислить большинство книг, так или иначе затрагивающие
вопросы СТО, в этом списке литературы оставлопы лишь те из них, в которых
теории относительности уделено достаточно внимания. Краткие характе-
характеристики книг приводится для удобства читателей и отражают всего лишь мне-
мнение автора этой книги.
1. «Принцип относительности»), Сборник работ классиков релятивизма,
ОНТИ; 1935.
Орнгипалыше работы Лорепца, Пуанкаре, Эйнштейна и Минков-
ского. Работы первых двух авторов цозволяют судить о непосредствен-
непосредственных предшественниках Эйнштейна. Работа ОйнштеГша «К .электродина-
.электродинамике движущихся тел* в основном исчерпывает содержание специальной
теории относительности, за исключением вопросов термодинамики.
В докладе Г. Минковского содержится изложепие основ СТО в четырех-
четырехмерной геометрической физике.
2. «Принцип относительности», Сборник работ но специальной теории
относительности, Лтомиздат, 1973.
В этом сборнике воспроизведены все материалы, касающиеся СТО,
опубликованные в сборнике 1935 г. Добавлен ряд статей Пуанка-
Пуанкаре, Лоренца, Планка, Паули. Третья часть сборника посвящена исто-
истории создания СТО: в ней представлены также статьи историков
пауки.
3. А. Э н п ш т е и п, Собрание сочинений, т. I, «Наука», 1965; т. II,
1966; т. IV, 1967.
Тома I и II содержат работы Эйнштейна но теории относительности.
Том I посвящен как СТО, так и ОТО. Во II томе в основпом собраны
работы по ОТО. В I томе содержится перевод двух брошюр Л. Эйнштейна,
ранее выходивших отдельными изданиями (см. ниже).
4. А. Эйнштейн, Сущность теории отпосительности, ИЛ, 1955.
Очень сжатое и довольно трудное изложение основных идей.
5. А. Эйнштейн, О специальной и общей теории относительпос-
ти (общедоступное изложепие), в сб. «Физика и реальность», «Наука»,
1965.
Эйнштейн пошутил как-то, что эту книгу скорее следует назвать
«общенедостуиным') изложением.
6. Л. И. Мандельшта м, Лекции но физическим основам теории
относительности, Полное собрание трудов, т. V, Изд-во АН СССР, 1950.
Отдельное издание: Лекции по оптике, теории относительности и кван-
квантовой механике, «Наука», 1972.
В лекциях Л. И. Мандельштама, обработанных его учениками, изло-
жепа история развития СТО, а также принципиальные вопросы этой
теории. Лекции были рассчитаны на достаточно подготовленную аудито-
аудиторию, н их едва ли .можно посоветовать для первого знакомстна с предме-
предметом. Однако для подготовленного читателя знакомство с этими лекциями
просто необходимо.

ЛИТЕРАТУРА 379
7. К. М е л л е р, Теория относительности, Атомиздат, 1975.
Расширенный вариант университетского курса лекций. Охватывает
большой круг вопросов СТО и ОТО. Требует значительной математиче-
математической и физической подготовки.
8. В. Паул и, Теория относительности, Гостехиздат, 1947.
Кпига представляет собой перевод статьи из математической энцик-
энциклопедии: статья написана в 1921 г. и содержит весьма полное изложение
предмета, хотя и энциклопедически краткое. В статье содержатся обшир-
обширные библиографические ссылки.
9. Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Теория ноля; кынтло 0 изданий послед-
последние: «Наука», 1967, 1973.
Первые четыре главы книги посвящены фактически СТО. Книга
представляет собой в целом последовательное изложение общей и спе-
специальной теории относительности с точки зрения принципа наименьшего
действия. Поля в среде в этой книге не рассматриваются: птот вопрос
излагается в книге тех же авторов ('Электродинамика сплошных сред»,
«Наука», 1967.
Книга рассчитана на подготовленного читателя, и многие вопросы
в ней изложены сжато и конспективно; многие полезные для первого
ознакомления со СТО детали опущены. По фактическому материалу
и манере изложения — одна из лучших кинг по СТО.
10. Р. Толпе н, Относительность, термодинамика п космология, «Паука»,
1974.
Классическая книга, посвященная как СТО, так ir ОТО. Кпига
налисапа обстоятельно и неторопливо, отличается широким охватом
материала.
11. 0. Т е Й л о р, Дж. У и л е р, Физика преюграиства-вречежг, «Мир»,
1!Ж8, 1973.
Эта книга интересна тем, что в ней делается попытка излагать СТО
в самом начале обучения в высшей школе. Книга излагает релятивистские
представления о пространстве и времени, а также весьма подробно релятиви-
релятивистскую механику. Часть материала, содержащегося в кпнге. Пыла про-
прочитана Уилером на курсах повышения квалификации американских
учителей. В книга много превосходных иллюстраций — чертежей и гра-
графиков; в качестве приложений к отдельным главам приведено около
ста очень полезпых задач, касающихся самых топких вопросов СТО.
В конце книги немного моста уделено также и общей теории относитель-
относительности.
12. П. П е р г я а н, Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947.
В книге излагается сначала СТО, а затем уже и ОТО, занимающая
большую часть книги. В первых девяти главах изложены основные резуль-
результаты СТО, одпако, пытаясь сразу подготовить математический апиарат
ОТО, автор излишне осложнил изложение СТО.
13. Р. Б.е к к е р, Теория электричества, т. II, Электроппая теория, раз-
раздел Е, Гостехиадат, 1941,
Очень ясное и доступное изложение основных вопросов СТО; вполне
доступна студенту, ознакомившемуся с курсом электродинамики.
14. В. Панове к и и, М. Филипс, Классическая электродинамика,
Физматгиз, 1963.
Во второй ноловнпе книги читатель найдет очень насыщенное
и современное изложепие СТО; в конце глав — задачи и литература.
15. А. 3 о м м с р ф е л ь д, Электродинамика, т. III, Лекции по теорети-
теоретической физике, ИЛ, 1958.
Третья глава книги посвящена подробному наложению теории отно-
относительности и теории электрона. Очень своеобразное и не слишком ,)ле-
мептарное изложение. Представляет особый иптерес для подготовленного
читателя.

380 ЛИТЕРАТУРА
1(i. В. А. Ф о к, Теория пространства, времени, тяготения, Физматгиз,
1961; изд. 2-е, «Наука», 1964.
Хотя книга в основном посвящена ОТО, в первых главах излагается
СТО. Ряд вопросов излагается оригинально.
17. Дж. Д ж о к с о п, Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
Современный курс электродинамики. Гл. 2 посвящена краткому
изложению СТО. В гл. 12 п отчасти 14 рассматриваются уже приложения.
В конце этих глав имеются задачи по СТО. Книга интересна в основном
приложениями СТО.
18. М. Л. Т о н а л л а, Основы электромагнетизма и теории относнтель-
пости, ИЛ, 1962.
В книге подробно излагаются многие вопроы СТО п ОТО, однако
пзложепие ведется в сложных обозначениях н излишне математизиро-
математизировано.
19. Р. Ф е й н м а и, Р. Л е й т о н, М. С э н д с, Фейнмаиовские лекции
по физике, «Мир».
Лекции Фейнмана, составляющие девять томов, представляют собой
интересную попытку объединения общего курса физики с курсом теоре-
теоретической физики. Теория относительности появляется в этом курсе
в нескольких томах:
том II, «Мир», 1965, гл. 15—17;
том III, «Мир», 1965, гл. 34;
том V, «Мир», 1966, гл. 15;
том VI, «Мир», 1966, гл. 25, 26.
20. Д. Б о м, Специальная теория относительности, «Мир», 1967.
Очень интересная книга с уклоном в принципиальные и философ-
философские проблемы СТО. Основная тема книги — формирование физических
представлений о пространстве и времени. Конкретные вопросы СТО,
затронутые в книге, изложены четко и нсно. Книга требует критического
отношения со стороны читателя, когда речь заходит о философских проб-
проблемах. Рассчитана на подготовленного читателя.
21. Г. Б о н д и, Гипотезы и мифы в физической теории, «Мир», 1972.
Небольшая книжка, носпященная обсуждению принципиальных
вопросов СТО н оспов теории тяготения. Очень полезпа после перпопя-
чалыюго ознакомления со СТО.
22. Г. Бои д и. Относительность и здравый смысл, «Мир», 1907.
Книга Бондп замечательна своим методическим подходом к изло-
изложению СТО. В книге совершенно справедливо подчеркивается, что
изложение СТО с позиций идей физики XIX века сегодня уже совсем
нецелесообразно. В связи с этим дана новая оценка опыта Майксльсопа,
оцепка глазами современного физика. Вместе с тем предлагается новый
метод изложения СТО, в котором вводятся наблюдатели, обладающие
идентичными часами п радиолокаторами. Тем самым из теории исклю-
исключаются жесткие масштабы. Метод «^-коэффициента» позволяет, получить
все основные кинематические результаты СТО на основе постулатов
Эйнштейна, минуя преобразования Лоренца. В таком изложении широко
используются геометрические схемы; автор показывает, каким образом
метод «й-коэффнциента» можно увязать с преобразованиями Лоренца
и обычной схемой изложения.
23. П. Б е j> г м а н, Загадка гравитации, «Паука», 1969.
Эта небольшая книга, не содержащая технических подробностей,
четко указывает на ограниченность специальной теории относительности
и неизбежность перехода в общем случае к ОТО. В книге рассказано
о том, какие выводы СТО явились отправной точкой для построения теории
тяготения. «Загадка гравитации» состоит из трех частей: первая посвя-
посвящена СТО, вторая — ОТО, третья содержит новейшие данпые астропо-
мических наблюдений. Уровень изложения предполагает знакомство

ЛИТЕРАТУРА '381
с курсом физики и математики приморий в объеме втуза. Первая часть
пе может служить для первоначального знакометиа со СТО, ыо является
превосходным конспектом для повторения.
24. К. Л а и цо ш, Альберт Ойпштейн и строопие космоса, «Наука», 1967.
Эта книга нив коси мере но может служить учебником GГО. Однако
принципиальный подход к построепию СТО изложен п пен четко и ясно.
Первые три главы книги следует рекомендовать всякому, кто начинает
изучать СТО.
25. 10. Б. Р у м с р, М. С. Р ы п к и н. Теория относительности, Учпед-
Учпедгиз, I960.'
Сравнительно простое наложение основных идей и результатов СТО;
рассчитана на студентов педвузов физнчоекпх специальностей.
26. Б. Джефф, Майкельсоп и скорость слота, ИЛ, 1963.
27. В. А. У г а р о в, Фотографирование тел, движущихся с релятивист-
релятивистскими скоростями, Эйнштейновский сборпик 1973. «Наука», 1974.
28. Я. А. С м о р о д и и с к и й, В. Л. Угаров, Два парадокса спе-
специальной теории относительности, У ФИ 107, пып. 1, 141 A972).
29. II. Е. Т а м м, Осповы теории электричества, «Наука», 1975.
30. Дж. Стретто н, Теории электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.
31. Л. М а р д е р, Парадокс часов, «Мир», 1973.
32. Я. П. Т е р л е ц к и н. Парадоксы теории относительности, «Наука»,
1906.
33. В. Л. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика, «Наука»,
1975.
34. Г. Голдстейн, Классическая механика, «Наука», 1975.
35. К. Л а п ц о ш, Вариационные принципы механики, «Мир», 19С5.
36. А. Зоммерфель д, Оптика, ИЛ, 1953.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация света 97, 249
Алгебраическое допоппешю 362
Вектор Пойнтинга 214
Временпподобный интервал 8Г>, 116,
120
Встречпые пучки 1G5
Давление света 257
Дскартона система координат 8
Дефект .масс 153
Дисперсионное соотношение 237
Закон Био — Савара 210
— сохранения полпой апергпи 135
Изотропность нространства 10, 53,
99
Инвариантность собственного вре-
времени 129
— уравнений 18
Инварианты электромагнитного поля
189
Интегралы движения 170
Интервал между событиями 56, 84
— собственного времени 44, 82
Интерферометр Майкельсона 325
Кинетическая энергия 134
Классический импульс 134
Ковариаптные компоненты вектора
369
Конвекционный ток И7, 203
Контравариантные компоненты век-
вектора 368
Коэффициент увлечения света 236
Лоренцево сокращение 329
Масса покоя 135, 296, 301
инвариантная 338
— тела 17
Масштабные гиперболы 122, 179
Материальные уравнения 199, 201
Матрицы преобразований Лоренца
63, 184, 263
Метрические коэффициенты 113
Мир Минковского 112, 117
Мировая линия 103, 117
Мысленные эксперименты 41
Однородность пространства 10, 53,
99
Оператор Д'Аламбера 358
Опыт Бонч-Бруевича 331
— Кеннеди — Торпдайка 329
— МаГгкельсопа 325
и Гейля 332
— Синьнка — Гарреса 331
— 0)пзо 27, '.И, 322
— Фуко 22, 27
Относительные величины 17 и далее
Параметр скорости 60, 94
Плотность силы 190
Лоренца 191, 213
Полная энергии частицы в консер-
вативпом поле 149
Постулаты Эйнштойпа 34, 51, ИЗ-
Преобразования Галилея 11, 14,
27, 90 и далее
—¦ Лорепца 51, 55, 66 и далее
Принцип относительности 15, 17
— причинности 84
Пространственная дисперсия 237
Пространственнонодобный интервал
87, 116, 120
Псевдоевклидова геометрия 114
— плоскость 117
Псепдоевклидово пространство 114,
372
Релятивистская масса 151, 338
Релятивистское преобразование
скоростей 89
Световой конус 120
— метр 58
Светоподобный интервал 88
Сигнатура 113
Сила Абрагама 224
— Лорепца 174, 190

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
383
Сила Мпнковского 137, 139
Символ Кропекера 218, 351
Синхронизация часов 38, 47
Система оючети 9, 10, 12 и далее
— — гелиоцентрическая 23
геоцентрическая 23
пнерциальпая 20, 305
мгповецпо-сопутствуютая 82
пеиперциальпая 342
•— — релятивистская 37
собственная 45, 147
Скип-слон 241
Собственная длина 70
Собственно евклидово пространство
370
Собственное время 100, 128, 293
Событие 7, 47 и далее
Тардноны 202
Тахиопы 283
Тензор Лбрагама 224
— антисимметричный 357
— нпдукшш 230
— маге 340
— Мпнковского 223, 224
— на ряжении Максвелла 214, 220
— ноля 230
Тензор симметричный 356
— элоктромпгпнтпого поля 182
Ток проводимости 202, 204
Угол аберрации 97, 319
Ультрарелятпшштскне частицы 149
Уравнения Макснелла 172 и далее1
-- Мппкопского 200
Условие, Лоренца 174, 176
Фазовая скорость 239
Фотоны 263
Функция Гамильтона 148
Цуг ноли 253
Частотная дпеперспя 237
Энергия покоя 144
— связи 152
Яфир .310. 328
Эффект Павилона — Черенкова 267
— Доплера 72. 248
— — аномальный 267
¦— — понеречпый 81, 251
продольный 79, 99, 249
— прожектора 257

Владимир Александрович Угаров
Специальная теория относительности
М., 197"., D84 стр. С илл.
Редактор И. Г. Buptto
Техн. редактор И. Ш. Лпсльрод
Корректор Т. С. Г[летнева
Сдано в набор 29/Ш 197 7 г. Подписано к печати 20/VII
1977 г. Бумага MOxSioVie. Физ. печ. .1. 24+1 вкл. Условн.
печ. л. 24,125. Уч.-изд. л. 24,55. Тираж 20 000 экз.
Цепа книги 1 р. 10 к. Заказ Д|» 0153
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект,15
Ордена Трудового Красного Знамени Московская
типография Ki 7 «Искра революции» Союяполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9.