Текст
                    УДК 537.5
ББК 22.333
Т77
Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Лекции по сверхвысокоча-
сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2 т. Т. 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. - 496 с. - ISBN 5-9221-0372-5.
Современная сверхвысокочастотная электроника представлена в книге
не технической стороной с кратким описанием физики и основ теории раз-
различных электронных ламп, а детальным описанием основных физических
явлений, возникающих при взаимодействии электронных потоков с элек-
электромагнитными полями и лежащих в основе различных типов устройств
сверхвысоких частот. В книге уделено большое внимание математическому
моделированию на ЭВМ явлений в электронных потоках на сверхвысоких
частотах. Изложение ведется так, чтобы показать тесную связь сверхвысо-
сверхвысокочастотной электроники с современной нелинейной теорией колебаний и
волн и теорией излучения. Особенностью книги является то, что в ней опре-
определенное место занимает история СВЧ-электроники. В первом томе книги
излагаются основные понятия, методы и модели «классической» сверхвы-
сверхвысокочастотной электроники. Также в нем рассматриваются релятивистские
аналоги классических СВЧ-устройств: клистронов, ламп бегущей и обратной
волны, приборов со скрещенными полями.
Лекции предназначены для физиков различных специальностей, инте-
интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромагнитными
полями, для научных работников, аспирантов и инженеров, проводящих
исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизики, радио-
радиотехники и физики плазмы. Они могут быть полезны студентам старших
курсов соответствующих специальностей.
ISBN 5-9221-0372-5 (Т. 1)
ISBN 5-9221-0371-7	© физматлит, 2003


СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Лекция 1. Вводная 9 Основные особенности сверхвысокочастотной электроники. Пять идей, которые создали СВЧ-электронику. Индивидуальное излучение заря- заряженных частиц (спонтанное излучение классических осцилляторов). Индуцированное излучение ансамбля возбуэюденных классических осцил- осцилляторов. Возбуждение резонансной системы заданным током. Стацио- Стационарные уравнения возбуждения линии передачи электронным потоком. Нестационарная теория возбуждения волновода током медленно меня- меняющейся амплитуды. Лекция 2. Элементарная кинематическая теория клистронов . . 51 Модуляция электронного потока по скорости. Кинематический анализ процесса группировки электронов в пространстве дрейфа. 100$ идея братьев Вариан и Хансена. Клистронные усилители и умножители частоты. Некоторые результаты теории резонансных автогенерато- автогенераторов. Элементарная теория отражательного клистрона. Клистронный генератор с запаздыванием: от режимов монохроматических колебаний до режимов динамического хаоса. Лекция 3. Волны пространственного заряда малой амплитуды . 85 Гидродинамическое описание электронного потока. Волны простран- пространственного заряда и группирование в пространстве дрейфа. Резистив- ный усилитель. Волны пространственного заряда в электронном по- потоке со столкновениями и диффузией. Двухлучевая неустойчивость (абсолютная и конвективная неустойчивость; глобальная неустойчи- неустойчивость). Неустойчивость Гельмгольца и об одной гипотезе образования спиц в кольцах Сатурна (многопучковая неустойчивость). Циклотрон- Циклотронные волны. Связанные волны.
Содержание Лекция 4. Нелинейные явления в электронных потоках в гидро- гидродинамическом приближении 120 Неизлунательная неустойчивость Пирса. Диод Пирса: от регулярных автоколебаний к хаосу. Уравнения Годфри. Конечномерная модель ко- колебаний в электронном потоке в диоде Пирса. Управление режимами колебаний в диоде Пирса. Нелинейные волны пространственного заряда. Моделирование нестационарных нелинейных процессов в клистроде с помощью гидродинамических уравнений. Лекция 5. Математическое моделирование нелинейных явлений на ЭВМ и оптимизация параметров пролетных клистронов 164 Каскадное группирование электронного потока. Многорезонаторные клистроны. Нелинейная двумерная модель взаимодействия элек- электронного потока с ВЧ полями в клистроне. Уравнения одномерной релятивистской теории многорезонаторного клистрона. Моделирова- Моделирование и оптимизация многорезонаторных релятивистских клистронов. Двумерные эффекты в многорезонаторных клистронных усилителях. Многолучевые клистроны. Лекция 6. Индуцированное и спонтанное излучение в резонанс- резонансных автогенераторах 192 Индуцированное излучение в автогенераторах типа О. Спонтанное из- излучение электрона при произвольном двиэюении через резонатор. Связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резо- резонансных автогенераторах. Сравнение классического и квантового под- подхода. Лекция 7. Магнетрон, амплитрон и другие 201 Кинематическая дрейфовая теория движения электронов в скрещенных статических электрическом и магнитном полях и в поле бегущей вол- волны. Фазировка в скрещенных полях. Расчет мощности взаимодействия и к.п. д. применительно к плоскому магнетрону. Что вносит цилин- дричность в физику магнетрона. Цилиндрический магнетрон: история создания от Хэлла до Бута и Рэндала. Вильям Браун и усилитель со скрещенными полями. Карматрон и дематрон. Лекция 8. Пространственный заряд в скрещенных полях 237 Пространственный заряд в скрещенных полях и три загадки магнетро- магнетрона (свойства магнетрона при магнитном поле больше критического, когда генерации нет; начало генерации в магнетроне; есть ли вооб- вообще стационарный режим генерации в магнетроне). Неустойчивость
Содержание 5 электронного потока в скрещенных полях. Вычислительная физика и магнетрон. Связь с проблемой турбулентности в электронном потоке. Слоэюная динамика пространственного заряда в усилителе со скрещен- скрещенными полями. Лекция 9. История создания лампы бегущей волны и элемен- элементарная теория взаимодействия электронного потока с бегущей электромагнитной волной 269 История изобретения Рудольфом Компфнером лампы бегущей волны. Роль Джона Пирса. Анализ взаимодействия электронного потока с бегущей прямой электромагнитной волной на основе метода последова- последовательных приближений. Квадратичная группировка. Качественное опи- описание процесса группирования электронов в бегущей волне. Принципы подобия для приборов с длительным взаимодействием (нерелятивист- (нерелятивистские и ультрарелятивистские пучки). Лекция 10. Нелинейная теория лампы бегущей волны 293 Нелинейные уравнения ЛЕВО. Линеаризация нелинейных уравнений ЛЕВ. Дисперсионное уравнение ЛЕВ. Закон сохранения энергии в элек- электронном потоке, взаимодействующем с бегущей электромагнитной волной. Механизм фазировки в бегущей электромагнитной волне. Осо- Особенности и результаты решения задачи на ЭВМ. Спиральная лампа бегущей волны как основа усилительного модуля. Способы повышения к.п.д. ЛЕВО. Лекция 11. Лампа бегущей волны с цепочкой связанных резона- резонаторов 330 Особенности физических процессов в ЛЕВО с цепочкой связанных резо- резонаторов. Об особенностях физических процессов вблизи границ пропус- пропускания периодической замедляющей системы. Дискретный и волновой подход к анализу взаимодействия в ЛЕВО с цепочкой связанных резона- резонаторов. Клистрон с бегущей волной. Линейные ускорители заряэюенных частиц. Лекция 12. Карсинотрон 367 Взаимодействие электронного потока с обратной электромагнитной волной. Карсинотрон. "Чужие следы на песке... — история изобретения лампы обратной волны Компфнером и Эпштейном. Теория пускового реэюима лампы обратной волны в приблиэюении заданного поля. Нели- Нелинейное поведение лампы обратной волны (результаты стационарной нелинейной теории) Лампа обратной волны магнетронного типа.
6 Содержание Лекция 13. Карсинотрон как распределенная автоколебательная система 396 Натурный эксперимент и нестационарная теория ЛОВ: от монохрома- монохроматических автоколебаний через автомодуляцию к динамическому хаосу. Релятивистский карсинотрон: нестационарная теория и результаты численного моделирования. Влияние сил пространственного заряда и отражений от концов замедляющей структуры на генерацию в реляти- релятивистской ЛОВ. Экспериментальное исследование сложной динамики в релятивистской ЛОВ. Релятивистский карсинотрон и радиолокация. Лекция 14. Некоторые методы решения нелинейных нестацио- нестационарных задач электроники 434 Метод "частиц в ячейке1'. Учет влияния пространственного заряда. Методы расчета полей в замедляющей системе: метод эквивалент- эквивалентных схем и уравнение возбуждения. Конечно-разностный метод реше- решения нестационарных уравнений релятивистского карсинотрона в ла- гранжевых переменных. Математическое моделирование электронных приборов с помощью самосогласованной системы уравнений Максвелла- Власова. Применение метода функционального отображения к анализу нестационарных процессов в ЛЕВ с запаздывающей обратной связью. Лекция 15. Оротрон 470 Взаимодействие электронного потока с полями открытых резонато- резонаторов. Излучение Смита-Парселла. Оротрон. Основные уравнения оро- трона. Некоторые результаты теории оротрона. Нестационарные про- процессы в оротроне. Методы повышения к.п. д. оротрона. Модификации оротрона.
ПРЕДИСЛОВИЕ Самый успешный путь обучения — проделать все самому и учиться на собственных ошибках. Луч- Лучше этого пути нет. Еще один хороший путь — наблюдать, как кто-то проделывает это. Третий путь — слушать лекции о том, как и что делать; и последний стоящий путь — прочитать об этом. Р. Компфнер У книг по сверхвысокочастотной (СВЧ) электронике, в основном, два стиля. Наиболее распространенный можно назвать техническим. В соответствии с этим стилем большую часть книги занимает описа- описание конструкций и параметров соответствующих приборов, разумеется, с изложением основ их физики и элементов теории. Типичной книгой, написанной в этом стиле, является известный учебник И.В. Лебедева «Техника и приборы СВЧ» (Том I. Техника СВЧ, М.: Высшая школа, 1970 и Том П. Электровакуумные приборы СВЧ, М.: Высшая школа, 1972). Второй стиль — физический. По-настоящему в этом стиле напи- написана, по нашему мнению, лишь одна книга — книга Л.А. Вайнштейна и В.А. Солнцева «Лекции по сверхвысокочастотной электронике» (М.: Сов. радио, 1973). Эта книга уникальна и останется на все времена, пока существует СВЧ-электроника. Но с момента её издания прошло почти тридцать лет. Книга не устарела, но стала неполной: она не отражает сегодняшнего дня СВЧ-электроники. Кроме этого, с появле- появлением вакуумной и плазменной релятивистской электроники, лазеров на свободных электронах и вакуумной микроэлектроники к исследовани- исследованиям подключились физики, не имеющие систематического образования в СВЧ-электронике. Сказанное определило появление предлагаемых читателю лекций. Это действительно лекции, которые в разном виде (общий курс, спецкурсы) читались студентам-радиофизикам Саратов- Саратовского государственного университета, на Саратовских школах-семина- школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике, на соответствующих предпри- предприятиях и в НИИ. Поскольку в последнее время оба автора занимают- занимаются нелинейной динамикой, под которой сами понимают современную теорию колебаний и волн, в книге широко используются представле- представления и методы этого нового междисциплинарного направления в науке. В частности, использованы элементы курса лекций «Нелинейная дина- динамика и сверхвысокочастотная электроника», который один из авторов (Д.И. Трубецков) прочитал в июне 2001 года в Сеульском национальном университете (Корея). Ещё одна особенность лекций — в них определённое место зани- занимает история сверхвысокочастотной электроники. М.В. Волькенштейн
8 Предисловие в своей книге «Перекрестки науки» (М.: Наука, 1972) писал: «Есть физики — и очень хорошие физики, которые не интересуются историей своей науки. Мне это не импонирует. Мне всегда казалось, что знание истории науки, более того, знание творческих индивидуальностей, её развивающих, очень обогащает мысль. В отличие от искусства наука объективна, она имеет дело с независимыми от человека законами природы. Но наука так же как и искусство, создаётся людьми, она есть и познание и творчество. Интересны не только окончательные резуль- результаты исследования, но и путь, который к ним привёл, в особенности, если этот путь был найден великим интеллектом». С этим трудно не согласиться, тем более потому, что основные идеи СВЧ-электроники выдвинули не только физики, но и лётчик Сигурд Вариан, гуманитарий Хэлл и архитектор Компфнер. Основное внимание в книге уделено детальному описанию физиче- физических явлений, возникающих при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными полями. Математические выкладки приводятся подробно. В ряде случаев даны алгоритмы численного решения задач на ЭВМ. Последнее авторам кажется особенно важным, потому что через всю книгу проходит попытка показать тесную связь сверхвысоко- сверхвысокочастотной электроники с современной нелинейной теорией колебаний и волн, которая невозможна без вычислительного эксперимента. Список литературы к каждой лекции не является полностью ис- исчерпывающим и охватывает, как правило, те работы, которые непо- непосредственно использовались при написании лекции. В Предисловии нет краткого изложения каждой лекции, поскольку дано расширенное оглавление, повторяющееся перед текстом каждой из лекций. Подчеркнём, что первая часть книги будет полезна как раз для фи- физиков, которые не изучали систематически СВЧ-электронику в универ- университете (книга получилась очень объёмной и пришлось разбить её на два тома). В первом томе излагаются основные понятия, методы и модели «классической» сверхвысокочастотной электроники. Рассматриваются такие, уже ставшие привычными, приборы как клистроны, магнетроны, лампы бегущей и обратной волны. Во втором томе пойдет речь о таких современных областях иследований в электронике как взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитными волнами; лазеры на свободных электронах; сверхизлучение в электронных пото- потоках; плазменная СВЧ-электроника; сверхмощные релятивистские гене- генераторы высокочастотного излучения; вакуумная микроэлектроника. Лекции предназначены для физиков различных специальностей, интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромаг- электромагнитными полями (в том числе для тех, кто ранее не изучал СВЧ-элек- СВЧ-электронику), для научных работников, аспирантов и инженеров, проводя- проводящих исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизи- радиофизики, радиотехники и физики плазмы. Они могут быть полезны студентам старших курсов соответствующих специальностей. Д. И. Трубецков А.Е. Храмов
Лекция 1 ВВОДНАЯ Частоты электромагнитных колебаний, лежащие в пределах от 3 • 108 до 3 • 1011 колебаний в секун- секунду, принято называть сверхвысокими. СД. Гвоздовер. Теория электронных приборов сверхвысоких частот, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956, с.9. Прежде чем приступить к изложению, сделаем несколько вводных замечаний. Л.А. Вайнштейн, В.А. Солнцев. Лек- Лекции по сверхвысокочастотной элек- электронике, М.: Советское радио, 1973, с.5. Основные особенности сверхвысокочастотной электроники. Пять идей, которые создали С В Ч-электронику. Индивидуальное излучение заряженных частиц (спонтанное излучение классических осциллято- осцилляторов). Индуцированное излучение ансамбля возбужденных классических осцилляторов. Возбуждение резонансной системы заданным током. Стационарные уравнения возбуждения линии передачи электронным потоком. Нестационарная теория возбуждения волновода током медленно меняющейся амплитуды. Первая лекция настоящего лекционного курса сверхвысокочастот- сверхвысокочастотной электроники для физиков посвящена вводным замечаниям об осо- особенностях процессов взаимодействия носителей заряда с электромаг- электромагнитными полями на сверхвысоких частотах (СВЧ), о связи сверх- сверхвысокочастотной электроники с другими разделами физики и о тех фундаментальных идеях, которые привели к развитию электроники сверхвысоких частот как самостоятельной науки. Во вводной лекции рассматриваются общие закономерности спонтанного и вынужденного излучения заряженных частиц, вводится фундаментальное для ваку- вакуумной СВЧ-электроники понятие фазировки (фазовой фокусировки, группировки), а также выделяются случаи линейной и квадратичной
10 Лекция 1 группировки. В конце лекции выводятся уравнения возбуждения резо- резонаторов и волноведущих структур заданными токами, которые будут далее использоваться для описания явлений и процессов в сверхвысоко- сверхвысокочастотных электронных приборах на протяжении всего курса лекций. Основные особенности СВЧ-электроники. Пять идей, которые создали СВЧ-электронику В центре внимания электроники сверхвысоких частот как науки находится изучение процессов взаимодействия потоков заряженных частиц с переменными электромагнитными полями. При этом электро- электроника СВЧ исследует преимущественно такие системы, в которых время пролета электронов через пространство взаимодействия является срав- сравнимым с длительностью периода возбуждаемых электронным потоком колебаний или даже намного превосходит его. В любом электронном приборе взаимодействие переменного элек- электромагнитного поля (электромагнитных колебаний или волн) с элек- электронами (свободными или связанными) является основным в его работе. Поле воздействует на электронный поток, создает в нем переменный ток, который, в свою очередь, изменяет поле. В физике такие систе- системы называют самосогласованными. Разумеется, можно, да и нужно, детализировать устройство электронного прибора. Но всегда имеется связка поле-электроны (в более общем виде — поле-активная среда; см. рис. 1.1). Детализация: электродинамическая система, Изующая поле нужного вида, ввод и вывод энергии Колебательная или волноведущая система Электроны (свободные или связанные) Детализация для вакуумных ламшэммитер (катод), электронно-оптическая система, коллектор, система фокусировки и формирования пучка КОЛЕБАНИЯ ВОЛНЫ (Могут быть аккустические, а не только электромагнтные) + Взаимодействие ЭЛЕКТРОНЫ Рис. 1.1. Колебания, волны и электроны в электронных приборах Одна из главных тенденций развития современной радиоэлектрони- радиоэлектроники — повышение частоты («вечная» тенденция) и увеличение мощности различных устройств. Электроника сверхвысоких частот возникла как
Вводная 11 развитие низкочастотной радиотехники по мере продвижения в сторону все более высоких частот (или соответственно, все более коротких волн). Такое продвижение было вполне закономерным следствием задач, кото- которые стали возникать в конце 20-х-начале 30-х годов перед радиотехни- радиотехникой. В первую очередь это были задачи, связанные с радиорелейной свя- связью, радиолокацией, научными исследованиями. Одновременно с этим выяснилось, что классические для низкочастотной техники методы создания электронных устройств оказываются практически непримени- неприменимыми на сверхвысоких частотах, т. е. на частотах, лежащих в диапазоне /~ 0,3-=-3- 103 ГГц. Это связано с тем, что для ламп, работающих на сравнительно низ- низких частотах, имеет место выполнение двух принципиальных условий: *Ж1, A.1) где к = ojIс = 2тг/А — волновое число, D — характерный размер про- пространства взаимодействия электронного устройства; "*прол < 1, A-2) где и — частота колебаний, ?Прол — время пролета электрона через пространство взаимодействия. Условие A.1) («полевое» условие) означает, что переменные поля в лампе не должны проявлять своих волновых свойств: электронная лампа должна быть элементом цепи с сосредоточенными параметрами. Второе условие A.2), которое можно назвать «электронным», означает, , [ах / / ,ч что время пролета электрона tuv>OJl = —, г через лампу (v(x, t) — J v(x,t) xx скорость электрона при его пролете через пространство взаимодействия |#2 — х\\) много меньше периода колебаний электромагнитного поля. Иными словами электрон при движении в лампе не должен проявлять своей инерционности: величина Сс^прол? или как ее еЩе называют угол пролета электрона, очень мала (можно считать её равной нулю). В СВЧ-электронике эти условия уже не выполняются и заменяются другими, часто противоположными условиям A.1) и A.2): kD~l (&?>>1), A.3) ^прол ~ 1 Мпрол > 1). A-4) Видимо, можно утверждать, что СВЧ-электроника, как самостоя- самостоятельная наука, возникла тогда, когда было осознано, что попытки про- продвижения приборов в высокочастотный диапазон, для работы которых принципиальны условия A.1) и A.2), обречены на провал, и нужны новые принципы и методы усиления и генерации электромагнитных
12 Лекция 1 волн на сверхвысоких частотах. Каковы же эти методы и как, кем и когда они были предложены? Впервые колебания на сверхвысоких частотах были получены в 1919 году в аудионе (вакуумном триоде) — трехэлектродной лампе, содержащей управляющую сетку между нитью накала и анодом. Триод был сконструирован для работы на низких частотах, а СВЧ-колебания имели место при наличии колебательного движения электронов в межэлектродном пространстве при положительном потенциале на сетке и отрицательном на аноде [1]. Вскоре были открыты и исследованы колебания в простейших магнетронах — «гладком» и с разрезным анодом, а затем в диодах — генераторах. Далее новые идеи появлялись в изобилии, и их количество росло по законам взрывной неустойчивости... Однако «развитие идей в элек- электронике и производство электронных приборов далеко не всегда со- соответствуют друг другу» [2, стр. 221-222]. Надо иметь в виду, что приборам нового типа при завоевании «места под солнцем» — массо- массового применения — приходится вести жесткую конкурентную борьбу с приборами старых типов, технология которых хорошо отработана и производство налажено. Лишь немногие новые приборы выдержива- выдерживают эту борьбу: следя за развитием сверхвысокочастотной электроники, нетрудно заметить, что ежегодно появляется несколько новых типов приборов, которые, однако, изготавливаются в виде немногочисленных опытных экземпляров для лабораторных исследований и затем оста- остаются лишь вехами, отмечающими развитие научных идей. Массовое же применение получают, как правило, только приборы с «выдающимися свойствами» [2, стр. 221-222]. Очевидно, что выдающимися свойствами обладают те приборы, в основе принципа действия которых лежат и выдающиеся идеи — идеи «грубых» (в смысле, близком теории коле- колебаний) механизмов взаимодействия электронных потоков со стоячими или бегущими электромагнитными полями. Наверное, не будет большой ошибкой утверждение, что в истории становления СВЧ-электроники было пять выдающихся идей, которые и определили дальнейшее разви- развитие этой науки. Данный курс построен таким образом, что последовательно будет рассматриваться каждая из этих идей, ее достоинства и недостатки, а также те приборы, которые были реализованы на основе той или иной идеи. Перечислим эти идеи с краткой их характеристикой. Идея первая: модуляция электронов по скорости и груп- группирование электронов в пространстве дрейфа. Условие A.4), характерное для СВЧ-диапазона, сводило на нет все преимущества и достоинства «статического» способа управления электронным по- потоком, когда управляющий элемент воздействует непосредственно на пространственный заряд электронного облака, создаваемого катодом. Поэтому усилия исследователей были направлены на то, чтобы свести к минимуму влияние инерционности электронов. Первыми, кто поняли,
Вводная 13 как превратить этот недостаток (инерционность) в достоинство, были А. Арсеньева-Хейль и О. Хейль A933 г.), открывшие метод скоростной модуляции, а первыми экспериментально реализовавшими новый при- прибор (клистрон) были братья Вариан и их коллега по Станфордскому университету Хансен (заметим, что они не знали до опубликования своих результатов о работе Арсеньевой-Хейль и Хейль). Основная их идея — разделить процесс скоростной модуляции потока (по схеме она осуществлялась в узком зазоре объемного резонатора и приводила к периодическому изменению скорости электронов без модуляции по плотности электронного потока) и группирования, которое осуществля- осуществлялось в пространстве дрейфа, свободном от каких-либо высокочастотных полей. В результате группировки в потоке возникают электронные уплотнения с частотой модулирующего напряжения. Это так называе- называемый динамический способ управления электронным потоком. Идея вторая: взаимодействие высокочастотных электро- электромагнитных полей с электронами в скрещенных статических электрическом и магнитном полях. Приборы, основанные на та- таком взаимодействии, — магнетроны — являются одними из первых нашедших широкое практическое применение приборов сверхвысоко- сверхвысокочастотной электроники. Показательно, что одна из работ по истории СВЧ-электроники (ее автор Д. Брайттейн, профессор истории науки Института Технологии в Джорджии) называется «Магнетрон и начало микроволнового века» [3]. Во время второй мировой войны и после нее магнетрон стал «рабочей лошадкой» радиолокационных станций. Заметим, что магнетрон не является единственным представителем, реализующим данную идею: широко исследовались и разрабатывались и другие приборы со скрещенными полями. Идея третья: взаимодействие электронного потока с бегу- бегущей прямой электромагнитной волной. Если мы не можем обеспе- обеспечить малое время пролета электрона, чтобы поле за время его пролета не изменялось, тогда пусть «... поле движется вместе с электронами». Если фазовая скорость волны будет близка к скорости электронного пучка (этого можно добиться путем замедления волны в той или иной искусственной среде — замедляющей системе), то при определенных условиях получим усиление электромагнитной волны в такой системе. Осознание этого позволило в свое время создать Рудольфу Компфнеру, чьи слова приведены в эпиграфе к предисловию к курсу лекций, элек- электронные приборы с длительным взаимодействием, наиболее известный из которых — лампа бегущей волны. Идея четвертая: взаимодействие электронного потока с обратной электромагнитной волной. В этом случае электронный пучок как и в предыдущем случае пребывает в синхронизме (не точном!) с электромагнитной волной, однако групповая скорость волны (обратной пространственной гармоники) направлена навстречу пучку. Отсюда и название прибора — карсинотрон (в переводе
14 Лекция 1 с греческого — «рак, пятящийся назад»), правда, более распространено другое название — лампа обратной волны. Карсинотрон-генератор стал в современной теории колебаний и волн эталонной моделью распределенной автоколебательной системы. Идея пятая: взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитными полями. Мазеры на циклотронном резонансе. Основная идея, которая привела к созданию мазеров на циклотронном резонансе — это идея использования индуцированного излучения в потоке электронов, вращающихся в магнитном поле. В этом случае имеет место фазовая группировка, возникающая из-за неизо- неизохронности электронов-осцилляторов, т. е. из-за зависимости частоты вращения электрона в магнитном поле от энергии электрона. Конечно, этот краткий обзор основных идей СВЧ-электроники да- далеко не полон: сюда не вошел параметрический способ управления электронным потоком, разработка которого привела к появлению ла- лазеров на свободных электронах. Может быть ее следует считать шестой идеей из создавших С1ВЧ-электронику'?'За рамками этих пяти идей осталась идея использования эффекта сверхизлучения ансамбля классических электронов-осцилляторов для генерации сверхмощных импульсов СВЧ-излучения. Рассмотрению всех этих вопросов будет уделено внимание в лекциях. В курсе лекций будут также рассмотрены результаты численного моделирования различных систем СВЧ-элек- СВЧ-электроники и, более того, в некоторых случаях будет обсуждаться методика построения моделей и вычислительных схем. В заключение вводной части отметим глубокую связь между СВЧ-электроникой и такими областями фундаментальных исследо- исследований как нелинейная теория колебаний и волн, теория излучения, нелинейная динамика ([4-7]). Следует сказать, что специалисты в области электроники сверхвысоких частот всегда использовали язык теории колебаний и волн. Более того, электроника, наряду с гидродинамикой, одной из первых стала «нелинейной» наукой, применяя различные методы вычислительной физики. Огромна роль в понимании работы различных электронных СВЧ-приборов теории излучения. Так с точки зрения теории излучения все приборы сверхвысокочастотной электроники основаны на различных типах индуцированного излучения. Показательно, что началу разработки и исследованию мазеров на циклотронном резонансе положили работы именно по изучению индуцированного излучения (как в квантовой, так и классической трактовке) потока электронов, движущихся в магнитном поле. В последние годы успехи нелинейной динамики «заставили» специалистов в области СВЧ-электроники искать типично нелинейные феномены и явления в системах электронный поток- электромагнитное поле: уединенные волны, режимы возникновения динамического хаоса, синхронизацию автоколебаний, образование
Вводная 15 структур в электронных потоках. Вопросы исследования нестацио- нестационарных процессов (в особенности сложной динамики) в электронных системах кроме несомненного фундаментального значения имеют и широкое практическое приложение в связи с необходимостью создания мощных генераторов широкополосного сложного сигнала для применения в системах радиолокации и радиопротиводействия, в системах нагрева плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза и т. д. Приведенный выше обзор основных особенностей сверхвысокоча- сверхвысокочастотной электроники не претендует ни на полноту, ни на систематич- систематичность. Скорее это аннотация того материала, который авторы нашли нужным включить в лекции. Индивидуальное излучение заряженных частиц (спонтанное излучение классических осцилляторов) Преобразование энергии направленного движения электронного по- потока в электромагнитное излучение может происходить за счет резо- резонансного взаимодействия отдельных электронов с полем монохрома- монохроматической волны. В классической электродинамике для описания этих процессов используется методика, основанная либо на нахождении по- поля, возбужденного невозмущенным электроном-осциллятором, либо на вычислении работы электромагнитного поля над электроном, соверша- совершающим заданное движение, невозмущенное этим полем [8]. Однако более изящным является подход к рассмотрению этих явлений на основе пред- представлений квантовой электродинамики [10], причем при необходимости всегда возможно сделать соответствующий переход к классическому пределу. Предположим, что электроны совершают периодическое (колеба- (колебательное) движение около некоторого ведущего центра, который сам движется со скоростью v± (состояние 1). При этом электрон отдает энергию плоской электромагнитной волне с волновым вектором к, где |к| = с^/^ф, Уф — фазовая скорость волны в данной среде. С квантовой точки зрения в лабораторной системе отсчета электрон испускает квант с энергией Ни и импульсом /ik, меняя импульс с pi на р2- Электрон-ос- Электрон-осциллятор в системе отсчета ведущего центра можно рассматривать как частицу с ненулевой внутренней энергией и массой mi, отличной от массы то покоящегося электрона. Когда электрон-осциллятор пере- переходит в состояние 2, в системе ведущего центра его масса становится равной ?7i2, и частица переходит на соседний нижний энергетический уровень с излучением кванта Ни о, где ujq — частота колебаний осцил-
16 Лекция 1 лятора в собственной системе отсчета. В этой системе закон сохранения энергии запишется в виде: mic2 — ГП2С2 = hojQ. A-5) В лабораторной системе отсчета законы сохранения энергии и импульса имеют следующий вид: -- hu, A.6) Pi-P2=ftk, A.7) где V\2 ',2*1,2 /-1 Q\ 1,2 = , Pl,2 = , A.8) Преобразуем соотношение A.6). Для этого перепишем первое слагаемое в виде: 2 /-1 , / L "Г Аналогично для второго слагаемого в соотношении A.6) имеем i/m|c4 +p|c2 . Тогда закон сохранения энергии A.6) примет вид: z2 = Йо;, A.9) В последнем соотношении квадратные корни представляют собой пол- полные энергии частиц в состояниях 1 и 2. Исключим из соотношений A.5)- A.9) ?7i2 и Р2- Соответственно из равенств A.5), A.7) и A.9) имеем: A.10) A.11) т^с4 + р2с2 = (НиJ - 2hujJm\c4' + p\c2 + т\с4 + р\с2. A.12) Подставляя соотношения A.10) и A.11) в равенство A.12) получаем: J - 2hu>om1c2 + mic4 + pjc2 - 2H(p1k)c2 + /i2&2c2 = 2 /, Ч2 о?- ггцс = (/го;) - ofc' ¦
Вводная 17 Окончательно находим, что О О/ , ч ТП\С К / О О , О On /^ ^ „ч wormi + c^(piki) - и; = - (u)q - oo + A:^c^). A.13) Перейдем в выражении A.13) к классическому пределу, устремляя >• 0. Тогда COS в, Последняя формула выражает эффект Доплера: излучение источ- источника, имеющее частоту oj$ в системе отсчета, в которой он покоится, воспринимается неподвижным наблюдателем как волна с частотой о;, если источник движется со скоростью v\ под углом в к линии наблю- наблюдения (угол измеряется в лабораторной системе отсчета). Соотношение A.14) выражает условие резонанса при взаимодействии осциллятора и высокочастотного поля с поправкой на эффект Доплера: собственная частота осциллятора oj$ равна той частоте электромагнитной волны, которую он «видит» в своей системе отсчета. Рассмотрим некоторые важные частные случаи. 1. ujq =0. Изменение импульса в классическом пределе в соответ- соответствии с формулой A.7) ничтожно мало. При излучении внутренняя энергия электрона-осциллятора не меняется, поэтому он ведет себя по- подобно заряженной частице, движущейся равномерно и прямолинейно. В соответствии с соотношением A.14) и ф 0 лишь при обращении в нуль знаменателя, т. е. cos0 = ^. A.15) Vl Результат очевиден: соотношение A.15) — необходимое условие излу- излучения Вавилова-Черенкова, которое наблюдается при v\ ^ Уф. Таким образом излучение имеет место лишь при сверхсветовых скоростях дви- движения частицы и возможно только для медленных электромагнитных волн, т. е. при Уф < с. 2. ооо > 0. В этом случае знаменатель в соотношении A.14) должен быть положителен, т. е. v^ cos в ' что справедливо при vi/уф < 1. Таким образом возможно взаимодей- взаимодействие осцилляторов с быстрыми электромагнитными волнами.
18 Лекция 1 3. ojo < 0. Как следует из закона сохранения энергии, осцилляторная энергия частицы при излучении возрастает, что соответствует аномаль- аномальному эффекту Доплера. Из формулы A.14) видно, что Уф COS в ' а, следовательно, излучение будет лишь при v\ > Уф, т.е. осцилля- осциллятор будет перемещаться со сверхсветовой скоростью. Любопытно, что при аномальном эффекте Доплера осциллятор излучает, одновременно увеличивая свою энергию. Ясно, что и излучаемую и колебательную энергию он черпает из энергии дрейфового движения. Интересно, что в область взаимодействия можно вводить и неосциллирующий пучок, поскольку потом электроны могут «раскачаться». Рассмотрим теперь пучок, образованный электронами, которые дви- движутся в однородном магнитном поле. В системе отсчета, связанной с ве- ведущим центром, частицы вращаются по окружностям. Циклотронная частота (частота вращения или гирочастота) выражается формулой еВ ujco ( ч Шс = ^г = Т' ( 6) где т — релятивистская масса, j = 1/д/1 — (v/сJ — релятивистский фактор, В — магнитная индукция и ojc$ — нерелятивистская гирочасто- гирочастота. Излучение таких электронов называется магнитотормозным. В со- соответствии с квантовой теорией такие осцилляторы в нерелятивистском случае имеют эквидистантный энергетический спектр с расстояниями между соседними уровнями — «уровнями Ландау» — Hwco. У реляти- релятивистского осциллятора расстояние между уровнями Ландау равно Hwc, и, следовательно, спектр слабонеэквидистантен, что важно, например, для создания мазеров на циклотронном резонансе. Индуцированное излучение ансамбля возбужденных классических осцилляторов Итак, при вышесформулированных условиях электроны-осцилля- электроны-осцилляторы в среде с высокочастотным полем будут излучать. Но без учета реакции поля излучения поведение каждого осциллятора будет незави- независимо от других, а электромагнитное поле некогерентно. Эффективность энергообмена мала. В квантовой теории такое излучение называется спонтанным. Когерентное излучение должно быть индуцированным, в этом случае вероятность испускания квантов существенно зависит от внешнего электромагнитного поля. Индуцированные процессы из- излучения в вакуумной электронике связаны с группировкой (фазиров-
Вводная 19 кой) г) — образованием электронных сгустков в благоприятной (тормо- (тормозящей) фазе высокочастотного поля. Фазировка происходит в результа- результате действия поля на движение первоначально несфазированных частиц. Найдем условия возникновения когерентного индуцированного из- излучения в системе классических электронных осцилляторов, следуя работам [10, 11]. Для этого рассмотрим совокупность большого числа одинаковых осцилляторов, образованных электронами, совершающими движение в одномерной потенциальной яме Uo(x). На осцилляторы в этом случае действует сила Fq(x) = — dUo/dx, а также высокоча- высокочастотное поле F(t). Последнее будем предполагать однородным, т.е. не зависящим от координаты ж, и слабым, что позволит решать задачу в линейном приближении. Уравнение движения электронов под дей- действием указанных сил имеет вид m^-f - F0(x) = F(t). A.17) at Невозмущенное периодическое движение электрона будет описываться уравнением т- - F0(x^) = 0. A.18) dt2 Решение последнего уравнения представляется рядом Фурье: A.19) Так как x^(t) является вещественной функцией, то X-k = х*к. В па- параболической потенциальной яме невозмущенные колебания гармони- гармонические, и в сумме A.19) отличны от нуля только слагаемые с к = =Ы. В общем же случае все хи не равны нулю. Кроме того, при этом коле- колебания неизохронны, т. е. частота ио зависит от энергии ? осциллятора: где энергия При данной постановке задачи осцилляторы могут отличаться только фазой ifo. Учитывая предполагаемую малость возмущения, вносимого высоко- высокочастотным полем в движение электронов-осцилляторов, а также огра- х) Понимание важности такого явления как группировка электронного по- потока было впервые осознано Брюхе и Рекнагелем в связи с анализом динами- динамического способа управления электронным потоком [9]. Они же впервые ввели в электронику термин фазовая фокусировка.
20 Лекция 1 ничения на время жизни осцилляторов (на этом остановимся ниже), представим решение A.17) в виде x(t) = x^\t) + x^(t), где \х^\ <С <С |ж^|. Тогда, раскладывая силу Fq(x) в ряд Тейлора, получаем A-20) С учетом разложения A.20) и выражения A.18) уравнение A.17) стано- становится линейным и принимает вид (L21) где dFo(x( ')/dx^ ' — известная функция времени. Вспомним некоторые сведения из теории дифференциальных урав- уравнений. Теорема. Частное решение неоднородного линейного уравнения второго порядка в действительных переменных может быть представлено в виде ъ р у = G(x, xf)f(xf) dx' (a < х < 6), а где G(x,x') есть функция Грина, дающая «фундаментальное» реше- решение, причем G(x, х') = - (y1(x)y2(xf) - у2(х)у1(х'))Н(х - х'). Здесь Н — функция Хевисайда, у\ и у2 — линейно независимые ре- решения соответствующего однородного уравнения, W = У\{х)у2{х) — — У2{х)у\{х) — вронскиан исходного уравнения. Для линейной неза- независимости решений у\ и y<i необходимо и достаточно, чтобы W ф = 0 М х е (а, Ь). С учетом утверждения этой теоремы решение уравнения A.21) мо- может быть записано в виде *')] dt\ A.22) to
Вводная 21 где у\ и г/2 — частные линейно независимые решения однородного уравнения dt2 В качестве у\ и ?/2 можно использовать частные производные (Ц t) л^ ' , где С некий параметр, определяющий невозмущенное ко- колебание х(°'(С, t). Действительно, дифференцируя уравнение A.18) частным образом по С, приходим к уравнению ' эс которое имеет вид A.23). В качестве С можно использовать любые два параметра, связанные с начальными условиями, если для соответству- соответствующих функций W ф 0. Примем за параметры энергию ? и фазу (ро. Тогда дх^ дх^ , ^ A.24) Olfo ОС Вронскиан в этом случае равен W = 1/muio ф 0, и выбранные значе- значения у\ и ?/2 действительно линейно независимы. Прямой путь исследования излучательных свойств ансамбля элек- электронов-осцилляторов состоит в вычислении суммарного переменного тока, возникающего при наложении высокочастотного поля, а затем проводимости всей системы, как отношения тока к переменному напря- напряжению. Здесь принципиальны два момента. 1. Электроны колеблются в разных фазах и воздействие переменного поля на движение отдельной частицы может быть как тормозящим, так и ускоряющим. Поэтому для нахождения суммарного эффекта требуется усреднить найденный ток по фазам. 2. Необходимо учитывать конечность времени пребывания электро- электрона в высокочастотном поле (время жизни осциллятора г). Понятно, что при бесконечном времени жизни осцилляторы будут непрерывно обмениваться энергией с полем и средний эффект окажется нулевым. Рассмотрим вначале второй момент. Введем функцию распреде- распределения частиц по временам жизни Ф(т). Если полное число частиц в единице объема TVo, то число частиц dN, времена жизни которых лежат в интервале (г, г + dr), равно dN = N^{r)dr. Плотность тока, создаваемая всеми электронами: j = -е сю dN = -e7V0 [ х{1)Ф(т) dr. A.25)
22 Лекция 1 Усредняя по начальным фазам, которые распределены равномерно и явно входят в выражения для у\ и у2 (см. ниже), получаем выражение для тока вида 2тг сю у- 2тг ч (j) = — \ j d(fo = —eNo Ф{т) [ — ir1' d(fo ) dr = 2тг J J V 2тг J I о oo СЮ = -e7V0 [ Ф(т)(х{1)) dr. A.26) о Задача сводится к вычислению (i^1)), где х^ определяется квадрату- квадратурой A.22), т.е. t 2тг (?(!)) = ^ [ [ [y2(t)y1(tf)-y1(t)y2(tf)]F(tf)dtf dip0. A.27) 2тг J J ?о о Найдем явные выражения для ?/i, ^/2, 2/1, 2/2 на основе ряда Фурье A.19): A.28) ^ = -000 Y^ k2xkejk{uJot^°\ A.29) д_ д? ~ ^ ~д? к= — оо У2 = 5Z ^я7 ko^fcejfe(a;o^+(/?o)j , A.31) А;= — сю При подстановке этих рядов в выражение A.27) появятся интегралы типа 2тг сю k= — oo Очевидно, что отличны от нуля только те члены двойных рядов, для которых к = I. Тогда с учетом соотношения к= — оо к= — оо
Вводная 23 для интеграла A.27) по сро можно записать 2тг сю к= — оо х (-jk)x*k e~juJot' +oj0k2xkejkuJot- oo o E2 & k= — oo Если высокочастотное поле меняется по гармоническому закону (F(t) = = — еЕ = —еЕ°е^шЬ), то из выражения A.27) находим: to dt' = --и;ое 2^ — | где Ао;^ = о; — kujo- Окончательно, учитывая, что t — to = т, получим: = juoeE f^ к24с Ukfc|2l"^1 " f12) г, ^^ L J Для вычисления плотности тока по формуле A.26) необходимо за- задать явный вид функции распределения электронов-осцилляторов по временам жизни Ф(т). Зададимся для определенности следующим ви- видом Ф(т) = ve~VT. Легко видеть, что среднее время жизни для принятой функции (г) = 1/v. Интегрируя выражение A.26) для (j) no r (при известном законе Ф(т)), получаем плотность тока, а затем, деля результат на поле Е, находим следующее выражение для проводимости среды, образованной ансамблем осцилляторов: д — " * 'U~u / ^ •" ЛС I „'Л, .. i ,. I * (l.OOJ Проводимость в общем случае является комплексной величиной. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес.
24 Лекция 1 1. v — О (время жизни осцилляторов бесконечно). Согласно A.33) проводимость при Auik ф 0 чисто реактивная. В системе электроны-ос- электроны-осцилляторы-высокочастотное поле происходит перекачка энергии, од- однако, энергия каждой из подсистем остается в среднем постоянной. 2. v = ос (время жизни осцилляторов равно нулю). В этом случае а — О — взаимодействия нет. 3. Линейные осцилляторы. dojo/d? = 0, а х^ = x1e^() + а^е"-?^0*"^0). Энергия ? = 2mu>o\xi\2 и, следовательно, d| = l/2mujQ. Тогда из уравнения A.33) получаем выражение для прово- проводимости: а = **> [, \ + , \ 1 - A-34) Исследуем а вблизи резонанса, когда |До;| = \и — uq\ ^C о;о, а время жизни существенно превышает период колебаний, т. е. г = l/i/ ^> 7q = = 2тг/о;о, или // <шо. При указанных условиях первый (резонансный) член в квадратных скобках намного больше второго, и а = af + ja"', где 2 e2N0Auj а = —= ;j=-, сг = - 2ш [До;2 + i/2] ' 2m [До;2 + и2] ' На рис. 1.2а показаны зависимости af(Aoj) и a/f(Aoj). Из рисунка видно, что а' всегда положительна, т. е. гармонические осцилляторы в среднем поглощают энергию электромагнитного поля. Частотная характериси- ка cf((jj) носит типично резонансный характер. Максимум поглощения ^тах приходится на точный резонанс и; = ujo и растет с уменьшением г/, т. е. с увеличением времени жизни. Ширина резонансной кривой по по- половинным значениям равна 2v = 2/ (г). Физически такая зависимость вполне прозрачна: чем больше время жизни осцилляторов, тем точнее должен быть резонанс из-за накопления разности фаз между полем и колебаниями осцилляторов за время их жизни. Квантовая интерпретация поведения системы линейных осцилля- осцилляторов как поглощающей среды состоит в следующем. Спектр гармо- гармонического осциллятора является эквидистантным. В этом случае веро- вероятность вынужденного перехода между соседними уровнями пропор- пропорциональна энергии того уровня, на который попадает электрон после перехода. Ясно, что вероятность перехода на более высокий уровень больше, чем на нижний, и осцилляторы в среднем поглощают энергию высокочастотного поля. С классической точки зрения этот эффект связан с изохронностью колебаний линейных осцилляторов. Поэтому взаимодействие протекает одинаково при любой их энергии, однако, осцилляторы с нулевой энергией могут лишь поглощать излучение. Рассмотрим теперь поведение ансамбля нелинейных осцилляторов, для чего найдем величину а вблизи резонанса на n-й гармонике частоты
Вводная 25 Рис. 1.2. Частотная зависимость действительной и мнимой части проводимо- проводимости ансамбля гармонических осцилляторов вблизи резонанса (а) и частотные зависимости линейной и квадратичной проводимости в окрестности резонан- резонанса на n-й гармонике (б) осцилляторов: Аип = \и — пи^\ <С и)о, v <С с^о- В этом случае в соотно- соотношении A.33) можно оставить только n-й член: ,d_ d? = СП +СГ2, где A.35) A.36) d8 У <7i и G2 знаменатели соответственно — линейная и квадратичная функции резонансного фактора (jAun + и). Рассмотрим детальнее вещественную часть a: Re а = аг = а[ -\- аг2, где A.37) ((AwnL/) d? Как видно, a[ и а'2 — соответственно четная и нечетная функции расстройки Аооп. На 1.2?показаны <j[(Aujn) и cr2(Aujn) при значениях -jg(ujo\xn\2) > > 0 и -рР- > 0. Из рисунка видно, что \а[ \ максимальна при точном резо- резонансе Аиоп = 0. Знак а[ совпадает со знаком производной -4у{иоо\хп\2). В отличие от этого у проводимости а2 может быть любой знак при
26 Лекция 1 произвольном характере неизохронности (знак производной -jfiP-)'- он зависит от величины и знака расстройки. Максимум величины а2 до- достигается при некоторой отстройке от резонанса, когда |До;п| ~ v. Каково же фактическое поведение ансамбля нелинейных осцилля- осцилляторов, описываемого суммарной величиной о~'1 Согласно соотношению A.37), о~[ растет по модулю пропорционально времени жизни т, тогда как @*2)тах является квадратичной функцией. Отсюда понятно, что при больших временах жизни проводимость среды определяется сг2, т. е. неизохронностью осцилляторов. Знак проводимости в этом случае устанавливается расстройкой До;п, и, следовательно, при любом знаке производной -х^Р- система осцилляторов может быть излучающей. Рассмотрим в качестве примера движение электрона в магнитном поле. Собственная частота ujq совпадает с циклотронной частотой: и = = qjc = -^-qjCOj где ? = тс2, ?о = гпос2 — энергия покоя. Производная с = ~?- (L38) Таким образом чтобы имело место индуцированное магнитотормозное излучение, знак расстройки Аип следует установить положительным. Возникает вопрос: почему система случайно распределенных по начальной фазе осцилляторов обладает ненулевой проводимостью? Это связано с группировкой осцилляторов по фазам их колебаний около определенной фазы высокочастотного поля — фазовой группировкой. Вычислим усредненное по начальным фазам и времени жизни значение возмущения координаты осциллятора: 2тг оо 1 о о Используя соотношение A.22) и значение вронскиана W = 1/тооо, получаем 2тг оо t О 0 to A.39) Подставляя в полученное выражение функции у\ и г/2 в виде рядов Фурье A.28)—A.31) и учитывая вид распределения электронов по вре- временам жизни Ф(т) = иеит', находим после интегрирования k= — o
Вводная 27 Как и раньше выделим резонансный член и получим (х\ )/Е. Тогда d\xn>2 jn jn + и d? + d? A.41) Последняя формула показывает, что среднее смещение отлично от нуля и осциллирует с частотой поля, т. е. имеет место фазовая группи- группировка. Величина (щ ) /Е является комплексной, что свидетельствует о наличии фазового смещения сгустка относительно фазы поля. Первый член в выражении A.41) имеет величину порядка 1/г/, т.е. растет ли- линейно со временем. Второй член, связанный с неизохронностью осцил- осцилляторов, возрастает как \/ v2 и описывает квадратичную группировку. Введем параметр неизохронности /i, который определим как отно- отношение модулей активной проводимости при квадратичной и линейной группировке: A.42) 1 cr2max / °"lmax и d , Xu 2 2 ) Как уже обсуждалось, квадратичная группировка всегда может обес- обеспечить излучение среды, состоящей из электронов-осцилляторов. Усло- Условием индуцированного излучения при фазовой группировке неизохрон- неизохронных осцилляторов является значение параметра неизохронности ц > 1. В качестве примера вычислим значение ц для электрона в магнит- магнитном поле при п = 1 в слаборелятивистском случае. Умножим числитель и знаменатель выражения A.42) на величину тиос и внесем ее под знак производной (это можно сделать, так как она не зависит от ?). Учитывая соотношение A.38), в соответствии с которым duc d? получим, что — Величина тш^х^2 = mv2^. В слаборелятивистском приближении ? = = тс2 = гпос2 + гпоУ2/2. Отсюда -^- (ттгсс?^ |^i |2) « 2. В итоге получа- получаем: A.43) 2 где /Зц = V||/c, C± = v±/c, N — число оборотов, совершаемых электро- электроном за время жизни г, L — длина пространства взаимодействия, г>ц и
28 Лекция 1 v± — соответственно продольная и поперечная скорости электронов-ос- электронов-осцилляторов. Рассмотрим теперь случай, когда времени жизни недостаточно для развития квадратичной группировки и основной вклад в активную проводимость A.37) вносит величина о~[. Условием излучения в этом случае является неравенство ИЛИ d\xn\2 ) d? — x d? При положительной производной du$/d? для излучения необходимо, чтобы d\xn\2/d? < О, что маловероятно. Следовательно, производная duo/d? < 0, и кроме того, она должна быть достаточно большой. Это может реализоваться в потенциальной яме с полочкой (рис. 1.3), где duJo/dS отрицательна и велика по модулю. Если полочка имеет боль- большую протяженность (штриховая линия), то эффект усиливается. Прак- Практически, электрон, который оказыва- оказывается на длинной полочке, перестает колебаться, т.е. исключается из взаи- модействия с высокочастотным полем. Этот тип фазировки носит название фазовой селекции. Эффект фазовой се- селекции приводит к излучению, когда из колебательного режима исключа- исключаются «неправильнофазные» электро- электроны, т. е. частицы, находящиеся в уско- ускоряющей фазе высокочастотного поля. Все результаты, полученные в дан- ном разделе, предполагали простран- пространственную однородность высокочастот- Рис. 1.3. Потенциальная яма ного поля и одномерность движения и ух) с полочкой частиц, что представляет собой суще- существенную идеализацию. В случае отсутствия однородности поля могут возникать существенно новые механизмы фазировки и индуцирован- индуцированного излучения. Например, в работе [11] показано, что если высокоча- высокочастотное поле знакопеременно на траектории частицы, то даже линейные осцилляторы могут образовывать индуцированно излучающую систе- систему. Пусть частицы совершают невозмущенные колебания вдоль оси х и дрейфуют вдоль у направления. Поместим систему таких осцилля- осцилляторов в высокочастотное поле, имеющее компоненты Ех, Еу, и неод- неоднородное в направлении х с масштабом неоднородности порядка ам- амплитуды колебаний. В этом случае электроны дрейфуют вдоль оси у со скоростью, зависящей от их фазы. В результате в направлении у возникают сгустки, которые излучают за счет торможения полем Ех.
Вводная 29 Данная пространственная группировка является квадратичной, но не связана с неизохронностью осцилляторов. Отметим, что пространствен- пространственная группировка является также и «фазовой», так как имеет место обра- образование сгустков в определенной фазе высокочастотного поля. Однако при фазовой группировке, описанной выше, осцилляторы перемешаны и невозможно заметить в пространстве каких-либо уплотнений. Возбуждение резонансной системы заданным током Задача о возбуждении резонансной системы заданными токами [2, 12] сводится к интегрированию уравнений Максвелла г): A.45) с граничными условиями вида [пЕ] = 0 на so (n — нормаль к поверх- поверхности so) в случае, если резонатор ограничен идеально проводящей поверхностью so- Здесь Е и Н — напряженности электрического и маг- магнитного поля; D и В — векторы электрической и магнитной индукции, j — вектор плотности электрического тока. Уравнения A.45) должны быть дополнены материальными уравнениями, которые в простейшем случае имеют вид: D = еЕ, В = /iH, j = o-E, A.46) где е, /л — соответственно электрическая и магнитная проницаемость и а — проводимость, причем в вакууме е = €о, /i = /io- Рассмотрим возбуждение объемного резонатора (колебательной си- системы, все поле которой сосредоточено в объеме, ограниченном поверх- поверхностью so, и не проникает за пределы so) монохроматическим током с плотностью j = Re{j(uj)ejwt}. A.47) Ограничиваясь периодическими процессами, будем искать решение си- системы уравнений A.45) в виде U(uj)ejujt, A.48) х) Здесь не рассматривается возбуждение резонатора магнитными токами, что имеет место, например, в теории парамагнитных приборов СВЧ.
30 Лекция 1 где Еп(о;) и Нп(о;) — комплексные амплитуды полей на частоте о;, которые удовлетворяют уравнениям rotE = — jct;/i(ct;)H, A.49) rotH = juje{uj)'E + j. Возможность ограничиться рассмотрением только первой гармоники тока следует из допущения, что собственные частоты объемного резона- резонатора лежат вдалеке от высших гармоник частоты и. Заметим также, что в уравнениях A.45)—A.49) неявно предполагается зависимость токов и полей от пространственных координат, а не только от^иш. Далее предполагается, что известно решение задачи о собственных колебаниях, т.е. известны собственные векторные функции Es и Hs, которые характеризуют распределение в пространстве электрического и магнитного поля s—го собственного колебания нагруженного резона- резонатора. Поля Es и Hs удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла rotEs = -jsig, A.50) rotHs = juseEs, Каждое из собственных колебаний характеризуется своей комплексной частотой u,s = oj's + ju,1: = w't(l + ^-) , w'J = u>'e/2Qa, A.51) где Qs — нагруженная добротность резонатора. Набор {ojs} образует дискретный спектр (дискретность спектра обусловлена тем, что поле занимает конечный объем). Применение комплексной частоты A.51) означает, что временной множитель exp (jut) = exp (joj'st) exp (—uj"t) определяет поле, колеблющееся с частотой u's и имеющее затухание и". Учитывая вышесказанное, решение задачи о вынужденных колебаниях можно представить в виде: Е = ^ ASES - grad<Z>, H = ^ BSUS, A.52) где As и Bs — постоянные коэффициенты; Ф — квазистатический по- потенциал поля пространственного заряда 1). ) Потенциал Ф удовлетворяет обобщенному уравнению Пуассона div (sgrad#) = — о = —— divj, которое при е = const переходит в обычное уравнение Пуассона.
Вводная 31 Опуская преобразования, для коэффициентов разложения A.52) можно записать следующие соотношения: A.53) где Ns = f eE28 dV = - [ ^ v v есть норма s-го собственного колебания. Если воспользоваться соотношениями 2 UJ — Шч _ = I (_± l\ , 2 2 \UJ — LOs U) + UK / ' то коэффициент As (формула A.53)) можно представить в виде суммы, а коэффициент Bs — в виде разности двух других величин. Этим новым величинам можно придать следующий смысл. Формально введем новые функции, сопоставимые с векторными функциями Es и Hs и обознача- обозначаемые индексом (—s), которые определяются формулами W_s = -Ws, E_S=±ES, H_S = THS, N_S = NS. A.54) Легко проверить, что они удовлетворяют уравнениям Максвелла A.50) при замене s на (—s). Тогда выражение A.52) может быть представлено как Е = где A.56) Данная запись более удобна для выделения резонансных слагаемых, чем соотношения A.52)—A.53). Действительно, так как и > 0, в вы- выражениях A.56) только коэффициенты Cs могут принимать большие значения, a C-s всегда ограничены. Перепишем первое соотношение
32 Лекция 1 A.56) в виде: ^Juj)EsdV. A.57) Меняющиеся во времени комплексные амплитуды Cs(oj) и }(и) можно представить в виде интегралов Фурье C.(w,t)= J Cs(oj — сю A.58) причем функции Cs(oj + ?) и j(o; + ?) являются периодическими про- процессами. Тогда, переписывая A.57) в виде (" + 0 = ^ } J(w + ?)ES dV, A.59) умножая его на exp (—j?t) и интегрируя по ?, получаем: = 2^J J J(w.*)E»e-i€td^V. A.60) V -сю Учитывая интегралы A.58), окончательно получаем уравнение, кото- которому удовлетворяют коэффициенты Cs: Если резонатор возбуждается на частоте о;, которая лежит вблизи какой-либо собственной частоты резонатора со ж cos и Qs ^> 1, то все слагаемые в формуле A.55) кроме одного определяют свойства полей, не имеющих в данном диапазоне частот резонансных свойств г), и лишь члены CsEiS и CSHS окажутся резонансными (резонанс во времени). Отметим также, что выводы теории возбуждения открытых резо- резонаторов (колебательных систем, которые имеют достаточно высокую х) Это так называемый «нерезонансный» фон, дающий динамические по- поправки к полю пространственного заряда.
Вводная 33 добротность, и колебания в которых сопровождаются излучением в сво- свободное пространство) заданными токами имеют много общего с соотно- соотношениями A.55), A.56), формально совпадая с ними при определении нормы собственных колебаний как Ns = lim ej7 f eE28 dV = - lim ej7 \ /iH^ dV, R J S R J S где Vr — объем шара радиуса /2, a j выбирается так, чтобы интеграл сходился. Изменяется также роль нерезонансного фона. В закрытых добротных резонаторах на возбуждение колебаний практически не тра- тратится активная мощность (это хорошо видно из формулы A.56)), и нере- нерезонансный фон является реактивным. В открытых же резонаторах, где нерезонансный фон связан с излучением энергии из объема резонатора, на его возбуждение тратится активная мощность, причем эта мощность может быть сравнима с мощностью, передаваемой резонансному коле- колебанию. Вместе с тем формулы A.55)), A.56)) остаются справедливы, и могут использоваться для анализа СВЧ-автогенераторов с открыты- открытыми резонансными системами. В заключение этого раздела отметим, что в СВЧ-электронике во многих случаях стремятся работать на одном виде колебаний, чтобы другие виды колебаний при этом не возбуждались. Если это не реали- реализуется автоматически (в первую очередь это касается мощных генерато- генераторов, где необходимо увеличение геометрических размеров пространства взаимодействия) собственные частоты нежелательных колебаний либо уводятся из рабочей полосы частот, либо снижается добротность этих типов колебаний за счет специальным образом размещаемых диссипа- тивных нагрузок. Стационарные уравнения возбуждения линии передачи электронным потоком Будем рассматривать возбуждение однородного по оси х бесконеч- бесконечного (или что тоже самое конечного, но идеально согласованного на концах) волновода [12], пронизываемого прямолинейным электронным потоком с плотностью тока j = \jx г), где 1 — единичный вектор в на- направлении оси х. Под волноводом будем понимать любую передающую линию, электромагнитное поле которой занимает в поперечном сечении конечную площадь. В таком волноводе могут существовать волны, распространяющиеся в направлениях ±ж. Волны, распространяющиеся в волноводе, будут характеризоваться полями E±s = E°±s(v±y^°x, H±s = Н^(г±)е^ж A-62) х) Предполагаем, что плотность возбуждающего тока изменяется во време- времени по закону е?шЬ. 2 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
34 Лекция 1 и волновыми продольными числами /3±s. E±s, H±s — напряженности электрического и магнитного полей собственной s-й волны в системе без пучка, они удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла. Здесь верхний индекс отвечает за волны распространяющиеся в направлении оси х (прямые волны), а нижний — против оси х (встречные волны). Тогда электрическое поле в волноводе можно представить как две группы волн: группа, в которой все волны распространяются вправо: t = YtE>sej(ut~l3'x), A-63) S и группа волн, распространяющихся влево: №+№, A.64) где знаки «—У» и «•<—» соответствуют волнам, распространяющимся соответственно вправо и влево; /3S — постоянная распространения s-й волны в системе без пучка, причем будем полагать, что /3S одинаково в обоих случаях. Введем продольное волновое сопротивление s-й волны: ?г, A-65) где Ps — активная мощность, переносимая s-й волной в направлении х. Величина Ks часто называется сопротивлением связи. Действительно, чем больше Ks, тем больше Е8^х, а следовательно, тем сильнее степень взаимодействия распространяющейся в линии передачи волны с пото- потоком электронов. С учетом определения A.65) потоки мощности, переносимые s-й волной вправо или влево от выбранной плоскости х = ж", выражаются соответственно формулами ф р Еф A } Здесь «*» означает комплексно сопряженную величину. Если в плоскости х — ~х амплитуда волны изменяется на величину dE, то изменение потока мощности, переносимого волной, можно найти, дифференцируя соотношение A.66): A67) Если теперь предположить, что изменение поля на величину dE в точке х = ~х обусловлено током г (ж), то в точке х = ~х удовлетворяется равен- равенство dE = dEs = dEs. Полное изменение мощности в линии передачи
Вводная 35 определяется изменением потоков мощности, текущих вправо и влево и записывается как dP = dt. + dts = ^ + ^ dE* + ^ + ^s dE. A.68) Предполагаем далее, что ток i(Hc) связан с электронным пучком, возбу- возбуждающим волновод. Тогда можно найти изменение мощности взаимо- взаимодействия элемента тока i(x)d~x с полем Е8 + ES: dP = -I Re (i(x)(l?8 + E)*) dx = \ i*(x)(ts + %)dx. A.69) Знак минус в выражении A.69) х) отражает тот факт, что увеличение потока мощности в линии передачи происходит за счет мощности, от- отдаваемой электронным потоком полю. Приравнивая соотношения A.68) и A.69), получаем выражение, известное в литературе как теорема «наведения»: dE = -^y1 i{x)dx. A.70) Отметим, что пучок возбуждает элементарные волны в любой точке пространства взаимодействия и их необходимо суммировать по всей длине линии передачи (см. рис. 1.4). В точке х = ~х поле будет склады- складываться из волн, бегущих вправо от элементов тока, для которых ~х < х (элемент 1 на рис. 1.4), и волнами, бегущими влево, для которых ж" > х (элемент 2). Используя соотношения A.63) и A.64) и теорему «наведения» A.70), для напряженности наведенного поля в произвольной точке простран- пространства взаимодействия получим: dx - A.71) (I — длина пространства взаимодействия). х) Поясним, как появляется соотношение A.69). Для выражения Re (ab*)/2 имеем: Re((ai + ja2)(b± + j&2))/2 = (a±bi + a2&2)/2; с другой стороны: (ab* + a*6)/4 = (aibi + a2&2)/2. Сравнивая первое и второе выражение, приходим к соотношению: Re (ab*)/2 = (ab* + a*b)/4.
36 Лекция 1 Ж 1" = (р 2sKI2)i{x)dx Рис. 1.4. Схема, поясняющая вывод уравнения возбуждения линии передачи заданным гармоническим током Обычно для простоты ограничиваются рассмотрением только одно- одного вида волн, возбуждаемых в линии передачи сгруппированным током, для которых s = О (основной вид волн). Тогда выражение A.71) для полной напряженности поля можно переписать в виде: x-x) dx - i(x)ejMx-x) dx, A.72) где E° — амплитуда входного сигнала. Здесь первое слагаемое — внеш- внешняя приложенная напряженность поля в начале линии передачи, второе слагаемое — интегральный эффект от составляющих между ~х — 0 и ~х — = ж, третье — между ~х = х и ~х = I. Фактор e±JPo(x-x) уЧИТЫвает конечную скорость изменения фазы волны: в данный момент в плос- плоскость х приходят «элементарные» волны, возбужденные током г (ж) тем раньше, чем дальше от плоскости х находится источник возбуждения. Сопротивление связи Kq = К можно рассматривать как коэффициент, связывающий ток i(x), и возбужденное им в плоскости ~х поле. Перейдем от интегрального вида уравнения возбуждения линии передачи к дифференциальному относительно возбужденной части по- поля Ех. Для этого необходимо воспользоваться правилом Лейбница: Правило Лейбница. Если функция f(x,y) и ее частная про- производная df/dy непрерывны на прямоугольнике а^х^Ьис^у^е, то
Вводная 37 Замечание. Для интеграла Ф(у) dy Ф(у) у которого функции ф(у) и ф(у) дифференцируемы на отрезке с ^ ^ у ^ е и не выходят за пределы а ^ ф(у), Ф(у) ^ Ь по правилу дифференцирования сложной функции имеем: Ф(у) dy J Ф(у) ф(у) Учитывая вышесказанное, соотношение A.72) легко свести к урав- уравнению: I. A.74) Последнее соотношение является дифференциальным уравнением воз- возбуждения линии передачи потоком. Оно справедливо для любых кон- конфигураций линии передачи, поэтому задача заключается в правильном вычислении сопротивления связи конкретной системы. Отметим, что интегралы вида Т~ J i(~x)e~^oX dx, входящие в фор- 2 о мулу A.72), допускают энергетическое толкование. Действительно, =F =Ftt j i(T)E°e~jf3oX dx = ^Pe — средняя за период электронная мощ- о ность взаимодействия сгруппированного тока пучка с полем Е°е~^°х волны в линии передачи без пучка. В соответствии с этим интегралы Реа = Re |"l li(x)E°ej^x dx\, Per = Im |"i li(x)E°ej^x dx\ о о A.75) можно назвать соответственно активной и реактивной компонентами электронной мощности взаимодействия. Изложим теперь строгую стационарную теорию возбуждения волно- волноводов заданными токами [2]. Будем рассматривать как и раньше волно- волновод, однородный по оси ж, поле в котором отлично от нуля только внутри цилиндра с поперечным сечением S± и образующими, параллельными оси х. Волны, распространяющиеся в таком волноводе, характеризуют-
38 Лекция 1 ся полями, задаваемыми соотношениями A.62). Данные поля относятся к фиксированной частоте возбуждения о;, причем волны различных на- направлений при учете потерь в волноводе будут различаться следующим образом: lm/3S > О, Im/3_s < 0. При этом индекс s, определяющий собственные волны в волноводе, в силу изотропности всех веществ и выполнении теоремы взаимности можно всегда выбрать так, чтобы выполнялось условие /3-s = — /3S. Собственные волны в волноводе удовлетворяют условию ортого- ортогональности [13, 2]: {[EsUr]-[ErUs]}ldS = 0 при гф-s, A.76) s± где S± — поперечное сечение волновода х = const. Искомые поля Е, Н, возбуждаемые монохроматическим электриче- электрическим током, удовлетворяют неоднородным уравнениям Максвелла rotE = jf, A.77) rotH = -jke~E+j. Будем искать магнитное поле в виде Н = ? (CSHS + C_SH-S), A.78) s где коэффициенты C±s зависят только от х. Так как величины C±s постоянны при j = 0 (тогда формула A.78) дает общее решение однород- однородных уравнений Максвелла — суперпозицию всех собственных волн), то запись решения в виде A.78) представляет по существу метод вариаций постоянных, позволяющий решить систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений, поскольку известно общее решение од- однородных уравнений. Подставляя выражение A.78) во второе уравне- уравнение A.77), получаем соответствующее выражение для электрического поля Е = ? (CSES + C_SE_S) - — У jke *-^ \ dx dx где и) = ск. Для упрощения последнего соотношения подчиним функ- функции C±8(z) дополнительному условию = j*, A-80)
Вводная 39 в котором фигурирует поперечная составляющая плотности тока ЛЬ(®13у>Зг)- Вся вторая строчка формулы A.79) не может быть уничтожена по той причине, что векторы, стоящие в левой части A.80), не имеют составляющих по оси х. Таким образом выражение A.79) для поля Е принимает вид ^', A.81) где jl(jXj 0,0) — продольная часть плотности тока. Второе уравнение для C±s получаем, подставляя выражения A.78) и A.81) в первое уравнение A.77), в виде: dC' [IE.] + Щ^- [1E_S]) = -? rotJ-. A.82) dx L SJ dx L ~ w e Пользуясь соотношениями A.80) и A.82), несложно показать, что вели- dC±8 чины | выражаются соотношениями ах к ^ = -L [ jE_s dS, ^^ = -^ [ jEs dS, A.83) аж vv5 J dx Ns } s± s± в которых Ns = J {[ESH-^] - \E-8H8]}ldS A.84) есть норма волны с индексом s, которая для волн, распространяющихся без затухания, имеет четкий энергетический смысл — она пропорцио- пропорциональна потоку мощности волны. Если токи занимают отрезок волновода х\ < х < х^-, то из выраже- выражений A.83) следует, что X Х2 Cs(x) = ±-\dx\ jE_s dS, C.(x) = -L f dx I jEs dS. A.85) Из формулы A.83), а также из уравнения возбуждения линии пе- передачи в интегральной форме A.71) видно, что возбуждение волново- волноводов происходит подобно возбуждению резонаторов. Единственное раз- различие между возбуждением резонаторов и возбуждением волноводов заключается в том, что если в первом случае имеет место резонанс во времени, то во втором — резонанс в пространстве. Действительно, если j = j°(y,z)e~^x, то в правой части в подинтегральных выра- выражениях уравнения возбуждения в виде A.71) содержатся слагаемые вида е~^^3~^х (аналогичный результат имеет место и в соотношении A.83)). При равенстве /3 = /3S после интегрирования в правой части
40 Лекция 1 появятся слагаемые возрастающие пропорционально ж, это — резонанс в пространстве, который полностью аналогичен резонансу во времени, когда uj = u)s, и имеет место секулярный рост амплитуды колебаний, пропорциональный t. Развитая теория возбуждения гладких волноведущих систем может быть достаточно просто обобщена на случай периодических волноводов, для которых справедливы соотношения е(х + nD, у, z) = е(х, у, z)\ fi(x + nD, у, z) = /х(ж, у, z)\ n e Z, где D — период структуры. В этом случае зависимость собственных волн от продольной координаты усложняется и определяется соотно- соотношениями Е,=Е°(Ж,у,ф^ж, Us=n°s(x,y,z)e^^, A.86) где Е^, Н^ — периодические функции с периодом Z), а волновое число /3S определяется не однозначно, так как всегда вместо /3S можно взять % A-87) Смысл формул A.86) и A.87) следующий: если разложить функции Е^, Н^ в ряд Фурье по ж, то поле волны представится в виде суммы пространственных гармоник, причем гармоника с индексом п будет иметь волновое число, даваемое формулой A.87). Неоднозначность связана с тем, что волновым вектором данной волны можно назвать волновое число любой из пространственных гармоник. В целом же теория возбуждения гладких волноводов переносится без изменений на периодические волноводы, чем мы и воспользуемся при анализе прибо- приборов с длительным взаимодействием в последующих лекциях. Следует, однако, оговориться, что такой «перенос» не справедлив вблизи полосы пропускания замедляющей системы [14] (см. также лекцию 11). Нестационарная теория возбуждения волновода током медленно меняющейся амплитуды Пусть однородный и бесконечный вдоль оси х волновод возбужда- возбуждается током j(r,t) = Re{J(r,t)e^nt}, A.88) где J(r, t) — медленно меняющаяся по сравнению с exp (jftt) функция времени. С точки зрения спектральных характеристик предположение о медленном изменении амплитуды означает, что спектр сигнала Aft лежит в достаточно узком диапазоне вблизи некоторой частоты ft. В этом случае достаточно знать главную часть возбуждаемого поля, обусловленную частотами и « ft (точнее, \и — Щ < Aft), а побочными частями вследствие их малой интенсивности можно пренебречь.
Вводная 41 Рассмотрим возбуждение волновода гармоническим током на ча- частоте uj = ft + До;, следуя методике, используемой нами для вывода уравнений возбуждения резонаторов. Введем собственные функции периодического волновода (см. формулы A.62)): E±s=E°±e(x,y,z,u)e^p-x; H±s=H°±s(x,y,z,oj)e^^x, A.89) где E±s, H±s — периодические функции с периодом, равным периоду волновода. Если заменить E±s(#, у, z, uj) на E±s(#, у, z, ft), то мы совершим ошибку порядка Аи. Если же заменить величину /3s(o;) на /3s(ft), то ошибка в определении функций E±s, H±s (а значит и полей, которые представляют собой линейные комбинации этих функций) имеет поря- порядок (x/3fs(u))Au)), т.е. увеличивается по мере удаления от источника. Поэтому учтем зависимость постоянной распространения f3s от часто- частоты, пренебрегая вследствие малой ширины спектрального интервала сигнала зависимостями от частоты функций E±s и H^_s. Разложим постоянную распространения в ряд Тейлора вблизи ча- частоты ft, учитывая, что она в общем случае комплексная 1): + \ ^'(fi)(AwJ + • • • A-90) Тогда, учитывая малость До;, уравнение A.83) для коэффициентов C±s dx NL s± можно переписать в виде = ± 1 [ j^E^e^'^)^* dS A.91) dx I s s 2 s где C±s = C±sexp \±jx(j48(il)+P'8(il)Au> x) Заметим, что данную процедуру можно применять только вдали от гра- границы пропускания волноведущей системы.
42 Лекция 1 Умножая обе части уравнения A.92) на exp [jAwt] и интегрируя по До; от —оо до +00, а также учитывая, что C±s(Auj) ф О только при малых Аи благодаря медленному изменению комплексной амплитуды сигнала, получим 1 dC±s ± дС±8 vsrp at dx ' -"eV"' at = ^ J J(W) [E%s]n dS = -j A.93) где (...) обозначает усреднение во времени; + ОО +ОО б±, = [ 7J±s(Auj)ejAujt d(Au); J= [ j(^ + Au)ejAujt ^s rp = l//3fs(?l) — групповая скорость на частоте Г^. Представим поля в волноведущей системе в соответствии с соотно- соотношениями A.55) как ЕМ = Е (CSES + C_SE_S) - т + Аш)?№ + До;), A-94) H(w) = 2 (^Н« + C-SH-S) . A.95) Здесь j/ — продольная составляющая тока. Для нахождения непосредственно полей умножим эти соотношения на е-?(^+Аа;^ и проинтегрируем по Аи от —оо до +оо, пренебрегая как и раньше зависимостью медленно меняющихся функций Е^, Н^ от До;, учитывая разложение в ряд постоянной распространения A.90), а также связь между коэффициентами Сs и Cs, а затем возьмем действитель- действительные части полученных выражений. Опуская элементарные выкладки, получим, что Е = , [Е.]п + C-s [E_e]n) Je^nt + \ \ h dt, A.96) — сю ;(<5s[Hs]Q + c_s[H_s]Q)}^m. A.97) H = Re Возьмем интеграл, стоящий в правой части уравнения A.96), учи- учитывая, что j/ = Re J/ exp [?Ш], а также предполагая, что j —у 0 при
Вводная 43 t —У —оо. Тогда, интегрируя по частям, можно получить: — сю и т. д. Окончательно можно записать: }"¦ (L98) В данном разложении достаточно ограничиться только первым членом разложения, делая при этом ошибку порядка Аи. Вернемся к уравнению A.93) и выясним физический смысл каждого из слагаемых в левой части уравнения. Для этого рассмотрим распро- распространение волн в свободной от источников области волновода, когда j = 0. Будем рассматривать задачу (берем для определенности верхние знаки): 1 dC±s dC±s . ,(плдС±8 j д„^лд2С±8 ~ A.99) с граничным условием С(х = 0) = /(*), A.100) где f(t) — произвольная медленно меняющаяся комплексная функция времени. Если положить jfs(ft) = 0, /3"(Г?) = 0, то решение уравнения A.99) хорошо известно и имеет вид: Cs = f (t-^—)e-^x. A.101) \ V3 гр У Оно описывает волну комплексной амплитуды поля, распространяю- распространяющуюся с групповой скоростью в сторону возрастания ж, без искажений, но с затуханием. Аналогично можно показать, что волна C-s будет распространяться подобным образом в противоположную сторону. Наличие членов j's(ft), /3"(ft) в разложении A.90) и соответствую- соответствующих членов в уравнении A.99) приводит к искажению профиля волны / в процессе распространения её вдоль волновода [15, 16]. Эти эффекты «расплывания» профиля волны становятся существенными на рассто- расстояниях L rsj (--)/До;) и L rsj (/^(До;J) от источника. Поэтому при выполнении условий LYs(tt)Au; < 1, ЬР'ДЩАиJ < 1 A.102)
44 Лекция 1 можно пользоваться решением A.101), а, следовательно, и упрощенным уравнением для коэффициентов: ^-Ж ± ТГ+ *<°>е- = Ж, | A.103) Если под L понимать длину прибора, то соотношения A.102) опреде- определяют условия применимости нестационарного уравнения возбуждения A.103) для этого прибора. Соотношения A.102) показывают, что урав- уравнение возбуждения применимо, если характерное время изменения ам- амплитуды сигнала 2тг/Дс<; мало по сравнению с периодом ВЧ-поля 2тг/с<;, и, что характерное расстояние расплывания профиля волны амплитуды (jgAcxj)'1 и (/^'(До;J) много больше длины L. Заметим, что при этом не накладывается никаких ограничений на соотношение между временем прохождения волной длины прибора L/vs гр и характерным временем изменения амплитуды 2тг/Дс<;, их соотношение может быть любым. Рассмотрим энергетические соотношения, для чего умножим урав- уравнение A.103) на С±8 и выделим отдельно действительные и мнимые части. Тогда можно записать: 8W дР г — + 2lsvs rpW = т^ - J (jE) dS, A.104) s± A.105) где Р = — A^s|Cf±s|2/4 — поток мощности is-й волны; W = P/vs rp — плотность энергии волны; ф — фаза волны C±s = |C±s|exp {j^}. Здесь также полагается, что электрическое поле волны имеет вид Е = = Re {c±sE±seiut} иЕ;= E_s. Уравнение A.104) представляет собой закон сохранения энергии, ко- который можно трактовать, как уравнение баланса активных мощностей в элементарном объеме. Действительно, соотношение A.104) показыва- показывает, что энергия волны, втекающая в элементарный объем, ограничива- ограничиваемый двумя поперечными сечениями, расположенными на расстоянии dx, и работа, совершаемая источниками в этом объеме (соответственно первый и второй члены в правой части), идут на накопление энергии поля и покрытие потерь в данном объеме (первый и второй члены в левой части). Уравнение A.105) соответственно описывает баланс реактивных мощностей.
Вводная 45 Выведенные выше нестационарные уравнения возбуждения волно- волновода были впервые получены в работах [17, 18]. Однако изложенная методика не обладает достаточной степенью строгости. Поэтому найдем теперь, следуя работе Л.А. Вайнштейна [19], строгое решение задачи о возбуждении произвольного однородного волновода заданным током медленно меняющейся амплитуды. Пусть периодический волновод возбуждается током j с медленно ме- меняющейся амлитудой A.88). Представим плотность тока для удобства расчета возбуждения s-и волны в волноводе (с комплексным волновым числом ps(u))) в виде: З(х, у, z, t) = 3„(х, у, z, e.)e-M-Mx-at\ A.106) где Js — медленно изменяющаяся функция четвертого аргумента 6S = = t — /3's(?l)x), /3's = d/3s/du>. Наиболее интересным является случай, когда Js есть медленно изменяющаяся функция координаты х (по сравнению с e^s^x), т.е. при синхронизме электронного потока с s волной, но в общем случае это не предполагается. Поля в волноведущей структуре, как обсуждалось выше, можно представить выражениями A.78) и A.81). Если в них полагать функ- функции Е8 и Hs зависящими только от у, z, о;, т.е. включить множитель ejCs(u:)x B коэффициент Cs = Cs(x,lj), to последний будет удовлетво- удовлетворять уравнению ^ - j/3s(u;)Cs = ь, is = -L [ jE_s ds. A.107) ах Ns J Пусть До; = ft — и), тогда введем вместо Сs и is новые функции Сs и /s, которые определяются как С,(х,ш) = Csi A.108) Уравнение A.107) относительно новых переменных примет вид dCs . ~ ~ dx s s s Аппроксимируя функцию /3s(uj) = f3s(?l + До;) при |До;| < ДГ^ рядом Тейлора, перепишем уравнение A.109) в виде ... С. = /.. A.110)
46 Лекция 1 Функции Cs, Cs, /s, Is представим в виде сю C.(x,t)= f Cs(x,oj)ejut duj = Се(х,в.)е-М-Юх-т\ h(x,t) = — сю СЮ A.1П) C,(x,0.)= — СЮ СЮ Здесь Cs и Is — медленно изменяющиеся функции 0S. Они связаны меж;ду собой уравнением ocs змы&с. /3'a"(u)d3ct ? причем C-s и I-s связаны таким ж;е уравнением, в котором f3s заменено Ha/3_s = —f3s- Ниже запишем выражения для функции Cs, соответству- соответствующей волне, которая распространяется в положительном направлении оси ж, для функции C-s справедливы аналогичные выражения. Общее решение уравнения A.112) есть сумма общего решения одно- однородного уравнения C®(x,6s) и частного решения неоднородного урав- уравнения. Если частное решение удовлетворяет условию излучения, то получим X СЮ с,(х,в.) = (%(х,ва)+ | | Gs(x-c,e.-e)Ts(<z,e)dedc, A.113) — сю —сю где Gs — функция Грина, которая при сохранении только первых двух членов в левой части уравнения A.112) определяется выражением вида [20] Ga(x, 0) = (-2,тг#'(ВД~1/2 ехр ["щ Если /3fJ(?l) = 0 и учитываются только первый и третий члены в левой части уравнения A.112), то функция Грина для этого случая запишется как I 1/3 B/3's'(U)x/2) 1/3 A.115)
Вводная 47 где V(t) — функция Эйри. Если в левой части A.112) учитывать только член dCs/dx, то формула A.113) примет вид х Cs(x,0s) = Cos@s)+ \ Ts((,O)d(, A.116) причем С® не зависит от х. Зная Cg(zx^6s), значения Cg(x,6s) при х ^ хо, можно вычислить по формуле сю Cos(x,0s)= | Gs(x-xo,0s-e)C°s(xo,0)d0, A.117) которая может быть применена к Cs, если Is = 0 при х = х$. Существенно, что одна и та же функция Gs определяет изменение комплексной огибающей Сs как в процессе свободного распространения волны, так и процессе ее возбуждения сторонними токами. При доста- достаточно малых х и вещественном значении Cfs(?l) выражения A.114) и A.115) можно заменить дельта-функцией G8(x,0) = 6@) (x>0), A.118) приводящей к формуле A.116). Непосредственный физический интерес представляет, однако, не функция С8, а поле s-и волны сю E(x,y,z,t)= | Cs(x,w)F,s(y,z,w)ejutdt = — СЮ = Ев(я, у, z, в8)е-М-Юх-п», A.119) где Es(x,y,z,es)= | Cs(x,Aw)Es(y,z,tt + Aw)ejAue'd(Auj), A.120) и, кроме того, нужно связать «возбуждающую» функцию 18 в правой части A.112) с векторной функцией Js. Полагая, что Ns = 1, введем векторные функции A.121)
48 Лекция 1 Тогда для поля s-й волны получаем выражение сю Es(x,y,z,Os) = [ Cs(z,0s-0)E°s(y,z,0)d0, A.122) Ts(x,es)= j dS | Ja(x,y,z,6a-6)E°_s{x,y,6)d6. A.123) S± -OO Таким образом поле s-й волны получается в результате свертки функции Сs с векторной функцией Е^ по «групповому» времени 0 = t — — /38 (il)x, а возбуждающая функция 18 — в результате такой же свертки векторных функций Js и Е^_8 и интегрирования по поперечному сече- сечению S±. Зависимость Е±8 от в различна для различных волн. Для чисто поперечных волн в свободном пространстве, в плоскопараллельном волноводе или в коаксиальной линии E±s и Ns не зависят от о;, тогда E°±s=E±s(y,zMF), A.124) так что выражения A.122) и A.123) упрощаются и принимают вид: E8(x,y,z,08) = C8(x,08)E8(y,z), г A.125) I8(x,08)= J J8(x,y,z,O8)E-8(y,z)dS. s± Другие волны характеризуются конечным «временем поперечного установления» Ats. г) Если Ats ^C А^, где Д# ~ I/Aft — характерное время для комплексных огибающих токов и полей (т.е. Js и Cs), то формулы A.125) остаются справедливыми при условии, что Es и E_s взяты на несущей частоте fi. Последнее вытекает из соотношений E\s{y,z,e)d6 = E±s{y,z,U). A.126) Если Is(x,6s) есть медленно изменяющаяся функция ж, т.е., если возбуждающий ток находится в синхронизме с данной волной, то соглас- согласно формулам A.113) и A.116) по мере распространения волны (с ростом продольной координаты х) происходит рост величины С8(х,08), кото- которая может достичь больших значений. Таким образом мы опять пришли к явлению пространственного резонанса, но теперь уже в нестационар- нестационарных уравнениях возбуждения волноведущей системы. При отсутствии х) Для волн в пустом волноводе с идеально проводящими стенками Ats 1/сс73, где (jjs — критическая частота.
Вводная 49 синхронизма Is(x,0s) — быстро изменяющаяся функция ж, такой же — и при том малой — получается функция Снесли С® = 0). Влияние второго и третьего члена в левой части A.112) тем меньше, чем больше характерное время А0 (чем меньше АН). Уравнение возбуждения A.103), по-существу, эквивалентно полу- полученным строго соотношениям A.125) и A.126) и уравнениям A.112) с одним первым членом в левой части. При этом мнимая часть Pfs(H), ответственная за изменение формы энергетического спектра волны и его смещение по оси частот (т. е. за сдвиг несущей частоты), в формуле A.103) не учитывается. Второй член в левой части уравнения A.112) позволяет учесть деформацию комплексной огибающей при распро- распространении волны, например, растяжение и сжатие импульса [20]. Список литературы 1. Трубецков Д. И. История электронных ламп сверхвысоких частот / В кн. Формирование радиоэлектроники. — М: Наука, 1998. Гл. 12, С. 300-333. 2. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973. 3. Brittain J.E. The magnetron and beginning of the microwave age // Phys. Today. 1985. V. 33, № 7. P. 60. 4. Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Нелинейные волны, динамический хаос и некоторые задачи сверхвысокочастотной электроники / В сб.: Проблемы физической электроники. — Л.: Изд-во ФТИ, 1986. С. 7. 5. Трубецков Д.И., Шепелева Е.Я. Структуры (общий взгляд и за- задачи электроники) / В сб.: Проблемы физической электроники. — Л.: Изд-во ФТИ, 1988. С. 124. 6. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomorenko V.I.у Ryskin N.I. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave devices // CHAOS. 1996. T. 6, № 3. С 358. 7. Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной дина- динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, №4. С. 61. 8. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электрон- электронных пучков в плазме. — М.: Наука. 1990. 9. Briiche E., Recknagel A Uber die «Phasenfokussierung» bei der Electronenbewegung in schnellveranderlichen elektrischen Feldern // Ztsch. fur Physik. 1938. Bd. 108, H. 7-8. S. 459. 10. Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1988.
50 Лекция 1 11. Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В. К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его ис- использование в высокочастотной электронике // Изв. вузов. Радио- Радиофизика. 1967. Т. 10, №9, 10. С. 1415. 12. Шевчик В.П., Трубецков Д. И. Аналитические методы в электро- электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970. 13. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988. 14. Булгакова Л.В., Трубецков Д.И., Фишер В.Л., Шевчик В.И. Лек- Лекции по электронике СВЧ приборов типа О. — Саратов: Изд-во СГУ. 1974. 15. Wainstein L.A. Propagation of quasi-monochromatic plane waves in absorbing and amplifying media // In: the Proceedings of the Fifth Colloquium of Microwave Communication. Budapest, 24-30 June, 1974. P. ET-429. 16. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // Лекции по элек- электронике СВЧ и радиофизике C-я зимняя школа-семинар инжене- инженеров; книга V). Саратов: Изд-во СГУ, 1974. 17. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Две лекции по нестационарной те- теории взаимодействия электронных пучков с электромагнитными волнами // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике C-я зим- зимняя школа-семинар инженеров; книга V). Саратов: Изд-во СГУ, 1974, С. 88. 18. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Некоторые вопросы теории лам- лампы обратной волны как распределенной автоколебательной си- системы. В кн.: Электроника ламп с обратной волной // Под ред. В.Н. Шевчика и Д.И. Трубецкова, Глава III. Саратов: Изд-во Са- рат. ун-та, 1975. 19. Вайнштейн Л.А. Переходные процессы при возбуждении волно- волноводов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, № 1.С. 20. 20. Вайнштейн Л.А. // Успехи физич. наук. 1976. Т. 118, № 2. С. 339.
Лекция 2 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КЛИСТРОНОВ «Опять клистроны, магнетроны, ЛБВ... — вздохнёт кто-то, полистав книгу, — Что здесь можно сказать нового?». Оргкомитет и лекторы отвечают таким читателям строчками поэта Д. Самойлова: Люблю обычные слова, Как неизведанные страны. Они понятны лишь сперва, Потом значенья их туманны. Их протирают как стекло, И в этом наше ремесло. Лекции по электронике СВЧ и радио- радиофизике F-я зимняя школа-семинар инженеров), книга 1. Саратов: Изд-во СГУ, 1983. с. 3 Модуляция электронного потока по скорости. Кинематический ана- анализ процесса группировки электронов в пространстве дрейфа. 100$ идея братьев Вариан и Хансена. Клистронные усилители и умно- умножители частоты. Некоторые результаты теории резонансных ав- автогенераторов. Элементарная теория отражательного клистрона. Клистронный генератор с запаздыванием: от режимов монохрома- монохроматических колебаний до режимов динамического хаоса. Как обсуждалось в первой лекции, характерной особенностью про- процессов на сверхвысоких частотах является невозможность пренебречь инерцией электронов. В низкочастотной электронике, где всегда выпол- выполняется условие с^прол <^С 1 (о; — частота сигнала, ?Прол — время пролета электрона через пространство взаимодействия), можно считать, что в течение всего времени пролета ?Прол электронами промежутка \х2 — — х\\ поле в нем не изменяется. В этом случае возможно применение статического метода управления электронным потоком — модуляции электронного потока по плотности, который заключается в том, что сет-
52 Лекция 2 ка лампы электростатически воздействует на пространственный заряд электронного облака вблизи катода, изменяя в соответствии со своим потенциалом электронный ток лампы от нуля до величины, равной току насыщения. Понятно, что этот способ не будет работать, если имеет место соотношение ojtnpojl ^> 1? когда поле сильно меняется за время пролета, и инерцией электронов уже пренебречь нельзя г). Другим спо- способом получения модулированного по плотности электронного пучка является динамический способ управления. Главное в нем заключается в разделении пространств модуляции электронного пучка по скорости и по плотности. При этом управляющий сигнал воздействует не на плотность, а на скорость электронов, периодически замедляя и ускоряя их в переменном электрическом поле. Этот процесс получил название модуляции электронного потока по скорости. Модуляция по скорости переходит в модуляцию по плотности вследствие конечного угла проле- пролета электронов в пространстве дрейфа, чем и решается вопрос создания высокочастотной переменной компоненты тока пучка. В качестве мо- модулирующего элемента может быть использован отрезок замедляющей линии или объемный резонатор. Анализ задачи о взаимодействии электронного потока с электро- электромагнитным полем при динамическом способе управления может быть разделен на три подзадачи: 1) анализ процесса модуляции электронов по скорости; 2) изучение процесса группировки электронов (модуляции электрон- электронного потока по плотности); 3) описание процессов возбуждения резонансной системы сгруппи- сгруппированным электронным потоком. В данной лекции будут последовательно рассмотрены все эти во- вопросы в кинематическом приближении, т. е. без учета кулоновских сил расталкивания между электронами пучка 2). Полученные результа- результаты применяются далее к построению элементарной теории клистрона и определению его основных характеристик: выходной мощности, к.п.д., коэффициента усиления (для пролетного клистрона), зон колебаний и электронной перестройки частоты (для отражательного клистрона). Нелинейные процессы в клистронах и оптимизация их параметров бу- будут изложены в лекции 5. х) В последние годы электростатический метод управления электронным потоком опять привлек внимание исследователей в связи с развитием ваку- вакуумной микроэлектроники. Однако в приборах с автоэлектронной эмиссией или фотоэмиссией, управляемой электромагнитным полем, правильней гово- говорить не об электростатическом способе управления, а о модуляции эмиссии [1]. 2) Влияние сил пространственного заряда на колебательные процессы в электронном пучке будет учтено в последующих лекциях.
Элементарная кинематическая теория клистронов 53 Модуляция электронного потока по скорости Рассмотрим схему резонаторного модулирующего устройства, изоб- изображенную на рис. 2.1, в котором однородный немодулированный по- поток проходит через две сетки, идеально проницаемые для электро- электронов и идеально непроницаемые для электрических полей. Между ка- катодом К и сеткой 1 модулятора приложено постоянное ускоряющее напряжение Vo (такое же напряжение между катодом и сеткой), так что электроны попадают в модулятор с постоянной скоростью vo = = л/ЩУо . Между сетками 1 и 2 действует переменное напряжение V\ sino;?. За модулятором находится пространство, свободное от стати- статических полей, которое будем называть пространством группирования или пространством дрейфа. Предположим, что для описания процесса модуляции можно пренебречь силами пространственного заряда. Будем также считать, что время пролета электрона через модулятор мало по сравнению с периодом колебаний ВЧ-поля, таким образом действую- действующее на каждый электрон поле можно считать статическим. Тогда для каждого из электронов можно записать закон сохранения энергии mv2 2 1^ + e где ut — фаза влета электрона в модулятор. Скорость электронов на выходе из модулятора запишется в виде v = vq\/\ + t^smut = vo \ 1 - — ?2 + - ^sincot + — ?2 sin2ujt + ...> , I 16 2 16 J B.1) где ? = Vi/Vo- Если воспользоваться приближением малого сигнала, т. е. предполагать, что амплитудное значение переменного напряжение мало по сравнению с ускоряющим напряжением Vo (С ^С 1), в выраже- выражении B.1) можно ограничиться членами порядка ?. Тогда выражение для скорости электронов примет вид: ) B.2) где ut\ — фаза влета электрона в модулятор. При больших амплитудах модуляции (нелинейная модуляция) нельзя ограничиваться только первым членом в разложении скорости в ряд, поэтому на выходе из ВЧ-зазора появляется периодическая во времени переменная составляющая скорости, которая, кроме частоты модулирующего напряжения, содержит еще и ее гармоники. Кроме этого при нелинейной модуляции имеет место энергообмен между потоком и полем модулятора. Действительно, если ограничиться членами не первого, а второго порядка малости, то постоянная составляющая скорости v = vq I 1 — — —^ ) становится функцией V 16 Vo ) переменного напряжения.
54 Лекция 2 К 1 I I 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 -0,2 M \ \ " . \ i ^~ ж 2жЧ Зж/Чтг фо Рис. 2.1. Схема устройства, осуществляющего модуляцию электронов по скорости Рис. 2.2. Зависимость параметра эф- эффективности модуляции М от угла пролета (ро Если угол пролета через ВЧ-зазор конечен, то для нахождения за- закона модуляции в этом случае необходимо проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего зазора х = г]—- sinoot B.3) при начальных условиях ut = u)ti, x = vo, x = 0 (d — протяженность модулятора). Опуская выкладки, сразу выпишем выражение для закона модуляции в случае слабого сигнала (? ^С 1) [2, 3]: 1 о = vo 1 + - sin B.4) где у?о — — ~~ невозмущенный угол пролета (угол пролета в отсутствии ВЧ-поля), М — параметр эффективности модуляции, который выража- ется соотношением "=*(?)/(?)• B.5) Выражение B.4) является приближенным, однако, как показано в [4], при малых, но конечных ?, оно достаточно хорошо описывает скоростную модуляцию. Вид зависимости М(сро) показан на рис. 2.2. Как видно из него, эффективность модуляции с увеличением величины сро осциллирует и уменьшается. При сро = 2тг, 4тг, ... параметр М = 0. В этом случае все электроны проходят поле модулятора в таких усло- условиях, когда их первоначальное ускорение полностью компенсируется торможением и наоборот. Электронный поток выходит в этом случае из модулятора немодулированным по скорости. При </?о = 5тг, 9тг, ... наблюдаются относительные максимумы, величина которых падает с увеличением (ро. В связи с технологическими трудностями невозмож- невозможно сколь угодно сильно уменьшать длину модулятора ti, а следователь- следовательно, величину невозмущенного угла пролета, для достижения макси-
Элементарная кинематическая теория клистронов 55 мального параметра эффективности модуляции. Поэтому в реальных устройствах величина угла пролета лежит в пределах (/?о Е (тг/2, тг), что соответствует М ~ 0,6 -г 0,9. Кинематический анализ процесса группировки электронов в пространстве дрейфа Рассмотрим группировку (фазовую фокусировку) модулированного по скорости электронного потока в пространстве дрейфа, свободном от полей. Как и раньше будем проводить анализ группирования потока в кинематическом приближении. Процесс группирования обусловлен тем, что электроны, покинувшие модулятор раньше, но с большими скоростями, догоняют электроны с меньшими скоростями, но вышед- вышедшими из модулятора позже. Это приводит к образованию электрон- электронных уплотнений, т.е. к модуляции потока по плотности. Наглядное представление о группировании в трубе дрейфа дает пространственно- временная диаграмма электронного потока на плоскости (x,u)ti),u)ti — фаза влета электрона в трубу дрейфа (рис. 2.3). Каждая линия на ней соответствует траектории движения одного электрона. До пересечения с плоскостью модулятора поток однороден по плотности и скорости, чему соответствует одинаковый наклон и одинаковые временные ин- интервалы A(u)ti) между траекториями рассматриваемых электронов. Воздействие управляющего гармонического напряжения (изображен- (изображенного на рисунке штриховой линией) приводит к модуляции скорости электронов — периодическому изменению наклона траекторий. Для электронов типа 2 наклон траекторий не меняется, поскольку они пе- Рис. 2.3. Пространственно-временная диаграмма группирования электронов в пространстве дрейфа: 1 — электрон, который тормозится полем, 2 — электрон, не испытывающий воздействия со стороны поля, 3 — электрон, который ускоряется полем
56 Лекция 2 ресекают плоскость модулятора в момент времени, когда управляющее напряжение равно нулю. Для электронов типа 1, попадающих в тор- тормозящую фазу поля, наклон траекторий уменьшается, для электронов типа 3 — увеличивается (они попадают в ускоряющую фазу поля). За период высокочастотного воздействия траектории сходятся (что соответствует образованию уплотнений) или расходятся (образуются разряжения частиц), что и иллюстрирует процесс группирования. Найдем угол пролета электрона до некоторой плоскости в простран- пространстве дрейфа, находящейся на расстоянии / от середины модулятора. В силу равномерного движения электронов время t прибытия их в за- заданную плоскость, учитывая закон скоростной модуляции B.4) и ма- малость ?, будет равно: t = tx + l/v = h + * « h + A \ ri-L .7^ « h + A \ vo[l + (?Msino;?i)/2] v0 v 2 Тогда для угла пролета в пространстве дрейфа получим выражение О = ut — ut\ = — — — • -— sin u)ti = во — X sin ut\. B.6) Величина^ = -Ч— #о называется параметром группирования; во = —. 2 vo Отметим, что хотя мы и полагали ^ < 1, параметр группирования мо- может быть и не малым, так как #о ~ I может принимать любые значения. Определим теперь зависимость сгруппированного тока от времени в данной точке пространства /. Пусть /о — ток электронного пучка до модулятора, %\ — сгруппированный ток. Тогда на основании закона сохранения заряда для группы электронов, проходящих плоскость х = = 0 за время dti, а затем плоскость х = / за время dt можно записать B-8) i(O,ti)dti = Iodti = i(l,t)dt, B-7) откуда для сгруппированного тока получаем г = /0 Дифференцируя выражение B.6) по переменной ?i, находим B.9) На рис. 2.4 представлены зависимости тока пучка от начальной фа- фазы влета в пространство дрейфа для различных значений параметра группирования. При X <$С 1 из формулы B.9) видно, что ток меняется по гармоническому закону, амплитуда переменной составляющей мала. Уравнение B.9) принимает вид: г = /0A + Xcosoot!). B.10)
Элементарная кинематическая теория клистронов 57 1 /о Л х= /о и х= = 1,84 У V = 2,0 и Рис. 2.4. Зависимость тока пучка от начальной фазы влета электронов для различных параметров группирования. Видно, что при X ^ 1 наблюдается обращение в бесконечность величины тока пучка При X = 1,0 знаменатель выражения, стоящего в правой части урав- уравнения B.9), при ujt\ = 2птг, п Е Z обращается в нуль, а ток — в бес- бесконечность (такой нефизический результат связан с неучетом сил про- пространственного заряда, приводящих к размытию сгустка). Если X > 1, знаменатель дважды за период обращается в нуль и имеет место два бесконечных пика тока. Проведем гармонический анализ сгруппированного электронного потока. Так как сгруппированный ток является периодической функ- функцией времени, то ее можно представить в виде ряда Фурье г = /о - в0), п=1 где Ап — амплитуда гармонических составляющих, которые представ- представляются в виде: 2тг 1 Г Ап — — i(t) cosn(ut — во)d(ujt). 7Г J О Учитывая закон сохранения заряда B.8) и выражение B.6) для угла пролета сгруппированного тока, найдем п = — I cosn(o;?i - X sinojti)d(ojti). Последнее выражение является интегральным представлением функ- функции Бесселя n-го порядка Jn(nX). Таким образом для коэффициентов
58 Лекция 2 i = 11+1*2+13 -1,2 Рис. 2.5. Зависимость амплитуды гармоник сгруппированного тока от вели- величины параметра группирования Фурье Ап получаем An=2I0Jn(nX), и сгруппированный ток может быть записан окончательно как = /о A+ V 2Jn(nX) cosn(uit - в0] n=l B.11) B.12) На рис. 2.5 представлены соответствующие зависимости амплитуд гармоник тока от величины параметра группировки. Максимум первой гармоники приходится на параметр группирования X = 1,84. Амплиту- Амплитуда тока первой гармоники при оптимальном параметре X составляет ве- величину 1,16/о, т. е. имеют величину порядка постоянной составляющей тока пучка. Из формулы B.12) также понятно появление бесконечного пика тока при X = 1,0: дело в том, что этому значению парамет- параметра группирования соответствует бесконечное большое число гармоник с конечными амплитудами (см. кривую на рис. 2.5, соответствующую сумме трех первых гармоник сгруппированного тока г = %\ + %^ + ^з)- 100$ идея братьев Вариан и Хансена Итак, мы научились управлять электронным потоком на сверхвы- сверхвысоких частотах, а именно получать сгруппированный по плотности поток. Вывели закон скоростной модуляции и построили теорию кине- кинематической группировки предварительно промодулированного пучка в пространстве свободном от полей. Теперь нам остается научиться использовать такой пучок для усиления и генерации СВЧ-сигналов. Разместим в конце пространства дрейфа выходной элемент, связан- связанный с высокодобротным колебательным контуром (объемным резона- резонатором). Если частота ujq входного резонатора (или её гармоника
Элементарная кинематическая теория клистронов 59 ^ Рис. 2.6. Фрагмент страницы из лабораторной книги для записей от 22- 35 июня 1937 г., на которой Рассел Вариан изобразил основную конструкцию клистрона близка к собственной частоте выходного резонатора о;, то соответству- соответствующая гармоника сгруппированного тока (о; ~ oj$ или uj « tiujq) будет возбуждать выходное устройство резонансным образом. Приборы, ра- работающие по данной схеме, получили название «клистронов» (точнее описанная нами конструкция соответствует схеме двухрезонаторного пролетного клистрона). Слово «клистрон» происходит от греческого слова хАг;?ё?г/, которое означает «прибой» (дословно «разбивание волн на пляже»). История изобретения клистрона стоит того, чтобы уделить ей неко- некоторое время. Судя по воспоминаниям Э. Гинстона [5], прибор, ставший прообразом современного клистрона (рис. 2.6), был изобретен летом 1937 г., а соответствующая статья братьев Вариан появилась в 1939 г. и. Статья начиналась так: «Очень эффективные ВЧ-резонаторы, опи- описанные в этом журнале Хансеном, послужили основой для создания усилителей и генераторов нового типа, в которых время пролета элек- электронов, обычно рассматриваемое как источник серьезных трудностей на очень высоких частотах, обращено на пользу конструкции» (имеется в виду работа Хансена «Резонатор, предназначенный для клистронного генератора» [7]). Такое начало звучит довольно скромно, но отражает главное, а именно, применение в конструкции лампы объемного резо-
60 Лекция 2 натора. По поводу работы братьев Вариан удачно пишет Р. Компфнер [8, стр. 6-7]: «... Варианы применили очень эффективный контур, так называ- называемый «румбатрон», который незадолго до этого предложил исследо- исследователь из той же компании — Хансен. Он придумал то, что могло бы стать резонатором с очень высокой добротностью, — резонатор в виде двух конических сегментов сферы, которые почти касаются друг друга. Румбатрон сыграл важную роль в схеме «клистрона», как его назвали братья Вариан.» Остановимся на обстоятельствах изобретения румбатрона. Хансен занимался созданием рентгеновского излучателя и решил, что для ускорения электронов, используемых в излучателе, можно применить большие ВЧ-напряжения, которые образуются в резонансной системе. По словам Хансена, он и Рассел Вариан много думали «над различ- различными хитрыми способами, которые могли бы быть использованы для получения большой скорости электронов без большой суммы денег» [5, стр. 33]. Эксперименты и теоретические расчеты Хансена вскоре показали, что резонатор, необходимый для рентгеновского излучателя, должен обладать очень малыми потерями. Это заставило его отказаться от резонаторов в виде отрезков коаксиальных линий и «выбросить» из конструкции внутренний проводник. Последнее и привело к созданию объемного резонатора (рис. 2.7). Следует заметить, что Рассел Вариан также принимал участие в работе по рентгеновскому излучению и был в деталях знаком с работой Хансена. В эти же годы A933-1937) Сигурд Вариан был летчиком. Именно он заинтересовал Р. Вариана задачей обнаружения воздушной цели с земли в плохую погоду или ночью. Р. Вариан пришел к выводу, что решение этой задачи состоит «в использовании радиоволн, и что точ- точное определение направления с помощью оборудования, имеющего ра- разумные размеры, потребует использования радиоволн сантиметрового диапазона. К середине 1936 г., по счастливой для Рассела случайности, новый резонатор Хансена — румбатрон — мог быть приспособлен для генерации этих волн» [5, стр. 33-34]. Станфордский университет (физический факультет) предоставил братьям Вариан возможность работать над созданием генератора в сво- своих лабораториях, выделив 100 долларов в год на все нужды (отсюда название статьи Гинзтона — «100-долларовая идея»). Причем универ- университет оговорил, что потенциальная прибыль должна быть впоследствии поровну разделена между им и братьями (позднее в эту маленькую корпорацию вступил и Хансен). Руководство физического факульте- факультета не ошиблось: университет получил более 2,5 миллионов долларов. «Большая часть нынешней репутации Станфорда в электронике и фи- физике может быть приписана совместным усилиям этих трех человек и студентов, которые работали с ними», — писал в 1975 г. Эдвард Гинзтон — один из упомянутых студентов.
Элементарная кинематическая теория клистронов 61 D Рис. 2.7. Различные формы резонаторов для клистронов. Показано попереч- поперечное сечение, так как резонаторы аксиально симметричны. Пучок электронов должен двигаться параллельно оси симметрии. Тип (Л) весьма удобен для практического использования, но труден для расчетов. Пунктиром показана сфера и резонатор типа концентрической линии; (Л ) можно рассматривать как искажение того или другого. (В) очень легко рассчитывается, (С) — труднее, но тоже возможно рассчитать. Для (В) показана приближенная картина линий электрического поля. Тип (D), аналогичный (Л), полезен практически, но не может быть рассчитан точно (рисунок и подпись из [8]) Как были сделаны решающие шаги на пути изобретения клистрона, лучше всего понять, обратившись к воспоминаниям Р.Вариана, которые приводит Гинзтон [5, стр. 35-37] в разделе «Группировка —тринадцатая идея». «В один из дней, после того, как мы продумали множество вариан- вариантов, я был занят разработкой классификации всех вариантов, которые мы проработали, чтобы мы могли систематически изучать их все и не обнаружить потом, что пропустили некоторые наиболее многообещаю- многообещающие. В процессе разработки этой классификации я неожиданно подумал о принципе скоростной группировки г). С психологической точки зре- зрения скорее интересно, что эта попытка классификации действительно привела к изобретению клистрона. Принцип скоростной группировки не х) В оригинале [5, стр. 35-37] использован термин «velocity grouping» рый мы переводим как «скоростная группировка». кото-
62 Лекция 2 соответствовал ни одной схеме в классификации, которую я придумал, и я скорее думаю, что идея пришла ко мне потому, что я бессознательно пытался проверить справедливость моей классификации. Поэтому я придумал исключение из классификации, которое в действительности оказалось основной концепцией для клистрона». Далее Р.Вариан пояс- поясняет термин «скоростная группировка» следующим образом. «Новый метод» является вариантом сеточного управления, но ни один из элек- электронов не избегает прохода через сетку. Они просто замедляются или ускоряются... При этих условиях электроны после прохождения через управляющие сетки будут иметь различные скорости в зависимости от фазы в колебательной системе, когда электроны проходили через нее. Если электроны движутся прямолинейно, то ускоренные будут догонять отставшие, и поток электронов превращается из однородного в состоящий из последовательности сгущений или волн электронов, имеющих ту же частоту, что и возбуждающая». Интересно, что, по воспоминаниям Гинзтона, прошло всего несколь- несколько дней от обсуждения описанной выше концепции до начала кон- конструкторской работы над новым прибором. Важнейшую роль в столь быстром начале работы сыграло то, что объемный резонатор Хансена — главная часть будущего прибора — уже существовал. Емкостную часть резонатора (рис. 2.7) составили «крошечные шестиугольные сетки в ви- виде сот» [5, стр. 36], которые были выполнены С. Варианом вручную (рис. 2.8). Многочисленные трудности, которые пришлось преодолеть изобретателям клистрона, пока не появилась первая лампа, живо опи- описаны в неоднократно цитированной статье Гинзтона. Во всяком случае, они потратили на создание первого макета ровно половину выделен- выделенных ассигнований — 50 долларов. «Как указывал позднее Рассел, это был, возможно, самый дешевый проект, из когда-либо выполненных в электронике СВЧ» [5]. Кроме того, если следовать Гинзтону, то братья Вариан и Хансен были первопроходцами во всем: от идей через теорети- теоретическое обоснование до конструкции и экспериментального воплощения прибора. «... До тех пор, пока их работа «Высокочастотный генератор и усилитель» не была помещена в «Журнале прикладной физики» в 1939 году, они не знали, что скоростная модуляция открыта в 1933 году А. Арсеньевой-Хейль и Оскаром Хейлем в Европе» [5]. Когда первый клистрон был сделан, то возникла новая проблема: как узнать, генерирует ли он? Пришлось изобретать и способ детек- детектирования колебаний. Р.Вариан предложил следующую схему. Часть электронного пучка проходила через отверстие во втором резонаторе и в области за ним отклонялась магнитным полем так, что луч попадал на ограниченную область флуоресцирующего экрана (рис. 2.8). Так была создана достаточно чувствительная и оперативная детекторная система для обнаружения колебаний. «Это изобретение было, возмож- возможно, почти так же важно, как изобретение самого клистрона, потому что
Элементарная кинематическая теория клистронов 63 Рис. 2.8. Схема клистрона-генератора братьев Вариан: 1 — катод, 2 — уско- ускоряющая сетка, 3 — фокусирующее кольцо, 4 — сетки, 5 — пространство груп- группировки, 6 — элемент обратной связи, 7' — магнитное поле детектирующего устройства, 8 — флуоресцирующий экран без него мы, по-видимому, никогда не смогли бы обнаружить колебания, хотя бы они, по-счастью, и имели место», — писал Р. Вариан [5, стр. 37]. И вот, наконец, наступило 19 августа 1937 года, когда заработал пер- первый прибор. Сигурд Вариан впоследствии так писал об этом времени: «Мы наблюдали повторяющиеся вспышки на экране нашего детектора, но все выглядело очень нестабильно и весьма разочаровывающе. При- Примерно 21 августа я отсоединил лампу от насоса и заменил вольфрамовые проволочные сетки медными шестиугольными сетками и установил микрометрический винт для подстройки. Это была главная операция. На утро 30 августа 1937 года я был готов начать опять. Я повернул выключатель, немного подстроил лампу и появились колебания по всему флуоресцирующему экрану. Мы раскопали старый кристалли- кристаллический детектор с кошачьими усами и гальванометр и начали измерять ВЧ-энергию по всей комнате. Мы быстро определили частоту, двигая кристаллический детектор через стоячие волны в комнате. К нашему
64 Лекция 2 удовольствию мы вычислили, что длина волны была 6,5 см, и были очень смущены, когда должны были признать, что мы измерили по- полуволны, т. е. правильная длина волны была 13 см» [5, стр. 37]. Несколько позднее за новым прибором закрепилось название «кли- «клистрон», которое было предложено профессором факультета античной литературы Станфордского университета Френкелем. Два последующих года работы над клистроном продолжались в на- направлении использования его в допплеровской радарной системе и си- системе для посадки самолетов. К моменту публикации статьи братьев Вариан их группа уже многого добилась: она уже хорошо понимала все характеристики клистрона, имела в своем распоряжении клистроны-ге- клистроны-генераторы (в том числе, отражательные), клистроны-усилители с двумя и несколькими резонаторами, исследовала клистрон как компонент сложной СВЧ-цепи. Как гордо пишет Гинзтон [5, стр. 38], который подключился к работе в 1939 г., «мы смогли продемонстрировать, что почти все, что можно сделать с обычными радиолампами могло быть сделано с помощью клистрона в СВЧ-диапазоне». Интересно, что ма- маленькая группа, реализовавшая 100-долларовую идею, превратилась впоследствии в мощную Ассоциацию Вариан (основана в 1948 г.) — фирму, хорошо известную в мире электроники г). Изобретение клистрона сыграло важную роль для дальнейшего развития электроники СВЧ, особенно для превращения её в самосто- самостоятельную область индустрии. Клистрон использовался (в ряде слу- случаев используется и сейчас) в навигационных системах гражданской авиации, в системах спутников связи, в военной радиолокации и ра- радиопротиводействии. Клистроны дали жизнь и многим ускорителям, используемым в медицине и ядерной физике, в том числе знаменитому станфордскому ускорителю, длиною в две мили (см. лекцию 11). Исто- История клистрона — это еще и история удивительно удачного объединения трех разных талантливых людей — физика и изобретателя Р. Вариана, летчика и физика-экспериментатора, умеющего делать все С. Вариана, физика (теоретика и экспериментатора) и педагога, опережавшего свое время, В. Хансена 2). х) В 1996 году эта фирма прекратила свое самостоятельное существование, слившись с более мощной. 2) И хотя известный американский писатель Митчел Уилсон (в прошлом физик, окончивший Колумбийский университет, работавший у Энрико Фер- Ферми) весьма категорично заявляет: «В моих произведениях не бывает прото- прототипов», его роман «Брат мой, враг мой» (М.: Мир. 1964. 440 с) несомненно написан под впечателением работы братьев Вариан (уж очень сходны факты из биографий реальных братьев и братьев Меллори — героев романа, кото- которым впервые удалось осуществить телевизионную передачу движущегося изображения).
Элементарная кинематическая теория клистронов 65 В Советском Союзе работы по созданию прямопролетных клистро- клистронов были начаты в середине 30-х годов, и первые металлические усили- усилительные клистроны на длину волны 13 -г 16 и 25 см и мощностью 50 Вт были разработаны в 1940 году Н.Д. Девятковым и его группой [9, 10]. К этому же времени относятся работы Ю.А. Кацмана в Ленинградском электротехническом институте им. В.И. Ульянова (Ленина) по разви- развитию теории и разработке прямопролетных клистронов на длину волны 10см [11]. Клистронные усилители и умножители частоты Прежде чем говорить о выходных характеристиках клистронных усилителей, определим некоторые основные соотношения, характеризу- характеризующие энергетическое взаимодействие электронного потока с перемен- переменным электромагнитным полем. Как уже отмечалось в первой лекции, энергетическое взаимодей- взаимодействие между прямолинейным электронным потоком и электромагнит- электромагнитным полем связано с изменением кинетической энергии электронов, преобразующейся в энергию электромагнитного поля. В кинематиче- кинематическом приближении рассматривается движение в заданном высокоча- высокочастотном поле, при пренебрежении самосогласованного влияния элек- электронов на само поле. Это означает, что энергия электронов идет не на изменение поля, а на поддержание установившихся колебаний, т.е. рассматриваются условия поддержания стационарных колебаний. Пусть электрон движется прямолинейно в переменном поле Е, тогда его уравнение движения имеет вид: d(mv) ^ d (mv2\ ,_, ^dx v y J = eE, или — = evE = eE — . dt ' dt \ 2 J dt Мощность взаимодействия с полем напряженности Е одного электрона на пути dx, равная изменению кинетической энергии электрона в еди- единицу времени, будет определяться как Если п — концентрация электронов, то находящиеся на пути dx элек- электроны (N = ndx) будут характеризоваться мощностью взаимодействия PN = NPe = ne^p Edx = iEdx. dt Если конвекционный ток г и поле Е находятся в фазе, то кинетиче- кинетическая энергия электронов увеличивается (поле отдает мощность элек- электронному потоку). Противофазность г и Е соответствует обратному процессу — пучок отдает мощность ВЧ-полю. В общем случае при произвольном сдвиге фаз между г и Е мощность взаимодействия будет 3 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
66 Лекция 2 комплексной величиной. Кроме активной мощности взаимодействия появляется реактивная мощность, которая характеризует ту мощность, которой периодически обменивается поле и электронный поток. Предполагая гармонический характер изменения переменных вели- величин и используя комплексные амплитуды, можно записать среднюю за период мощность взаимодействия на пути / в виде Ре = i iE* dx, B.13) Соответственно активная Реа и реактивная Рег мощности взаимодей- взаимодействия принимают вид: Реа = - i \iE* dx, Per = - Im iE* dx. о B.14) Определив понятие электронной мощности взаимодействия, можно обратиться к эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами для высокодобротной СВЧ-колебательной системы (объемного резона- резонатора). Эквивалентная схема представляет собой обычный колебатель- колебательный контур, составленный из сосредоточенных элементов. В частности, в объемном тороидальном резонаторе клистрона и электронный пучок, и электрическое поле колебательной системы находятся в узком зазоре, так что зазор с высокой степенью точности эквивалентен конденсатору. Если рабочая полоса частот резонатора достаточно узкая (в резо- резонансной системе имеют место колебания только одного вида), то ре- резонансные свойства можно опи- описать введением в эквивалент- эквивалентную схему (см. рис. 2.9) емко- емкости С и индуктивности L. Экви- Эквивалентные емкость и индуктив- индуктивность вносят в схему реактивную проводимость 6НК = шС — 1/ujL. Поведение и свойства элемента связи, а также нагрузки учиты- Рис. 2.9. Эквивалентная схема сверх- сверхвысокочастотного устройства с узко- узкополосной резонансной системой ваются включением в схему эк- эквивалентной активной проводи- проводимости (проводимости нагружен- нагруженного контура) gHK [2]. Мощность потерь за период на gHK, как видно из эквивалентной схемы, выражается соотношением р -к К 1 нк — ь нк (у 1 B.15)
Элементарная кинематическая теория клистронов 67 где Vi — напряжение, воздействующее на пучок. Полная проводимость резонансной системы без электронного пучка будет равна Унк = ?нк + jbHK. B.16) Понятие электронной мощности взаимодействия B.13) позволяет ввести понятие электронной проводимости уе: ye=ge+jbe = ^, Se = ^, be = ^. B.17) Отсюда ясно, что когда активная мощность взаимодействия положи- положительна, то пучок действует подобно дополнительной нагрузке (ge > 0). Однако, если Реа < 0, то ge < 0, и существует возможность установле- установления в колебательном контуре незатухающих колебаний. В установив- установившемся режиме, когда амплитуда колебаний остается постоянной с тече- течением времени, должно выполняться условие стационарных колебаний Уе+Упк = 0 B.18) или отдельно для активной и реактивной составляющих проводимости: #е+#нк=0, B.19) be + bHK = 0. B.20) Выражение B.19) позволяет при известных параметрах резонансной системы и нагрузки, а также известной электронной мощности взаимо- взаимодействия определить амплитуду стационарных колебаний, а следова- следовательно, мощность, отдаваемую в нагрузку. Формула B.20) определяет частоту стационарных колебаний. Однако вернемся к пролетному двухрезонаторному клистрону. Так как теория взаимодействия сгруппированного тока с переменным элек- электромагнитным полем (схема пролетного клистрона) достаточно подроб- подробно и тщательно изложена в монографии [2], не будем останавливаться на выводе выражения для электронной мощности взаимодействия, а сразу выпишем окончательные соотношения: Реа = 1ОУо?2ММХ)сОВ0о + \ ЛМ^/ДЫ, B-21) Per = -IoVobMJi(X)Smeo + \ /oVb?i/r(?>o), B-22) где ?i и ^2 — соответственно амплитуды ВЧ-напряжения, нормирован- нормированные на ускоряющее напряжение Vo, в модулирующем ВЧ-промежутке и выходном ВЧ-промежутке. Вторые слагаемые представляют собой электронную мощность взаимодействия немодулированного электрон- электронного потока с высокочастотным полем. Функции fa и /г носят на- названия монотронных функций и определяют эффекты конечного угла пролета </?о в модулирующем зазоре (их вид можно найти в монографии
68 Лекция 2 [2] г)). При условии d <1 вторыми слагаемыми в выражениях B.21) и B.22) можно пренебречь. Из формулы B.21) видно, что в зависимости от угла пролета во взаимодействие характеризуется либо передачей энергии электронным потоком ВЧ-полю, либо наоборот — поле отдает энергию электронам. Знак активной компоненты мощ- ¦^ у^~^^т = ^~~^ ^_ ности определяется фазой тока, \—<s ^^tfX ^ч"~"*^ входящего в выходной резонатор. Реа<0 If/ Pea>^ Качественно это можно понять ш^ с точки зрения взаимодействия ^^/^"^х^^уг^^х^^^/^^*^—»^ электронных уплотнений (струк- ш тур в электронном потоке) с пе- D О1П л ременным полем (рис. 2.10). Вид Рис. 2.10. Схема, поясняющая энерго- к vk / ^ обмен электронного пучка и электро- взаимодействия зависит от то- магнитного поля в выходном резона- г0> в какУю фазу поля попадают торе в пролетном клистроне. электронные сгустки. Если сгуст- сгустки проходят зазор в течение отри- отрицательного полупериода, то электроны тормозятся и Реа < 0, при про- прохождении положительного полупериода наблюдается ускорение элек- электронов, и Реа > 0. Отметим, что реактивная компонента электронной мощности взаимодействия B.22) сдвинута по фазе на угол тг/2 отно- относительно Реа-, т-е- когда Реа максимальна, величина Рег равна нулю и наоборот. Предположим, что ^ < 1 (усиление слабых входных сигналов) и cos#o = — 1 (оптимальные условия энергообмена), тогда из соотно- соотношения B.21) и условия стационарных колебаний B.19) получим: 2MhJ1(X) _ ( . где V<i — амплитуда ВЧ-колебаний в выходном резонаторе. Для малых сигналов Ji(X) « Х/2 = ^Мво/А и коэффициент усиления напряже- напряжения в режиме слабого сигнала имеет вид: Ку = ? = 2у'°. B.24) Реально реализуемые значения коэффициента усиления по напряже- напряжению не превышают нескольких единиц, так как его увеличение связано либо с увеличением длины пространства дрейфа, либо с уменьшени- уменьшением величины входного сигнала. Однако и тот и другой способ ведут к увеличению разгруппировки электронов, что ухудшает энергообмен в выходной колебательной системе. Клистронные усилители слабого сигнала кроме низкого коэффициента усиления характеризуются также высоким уровнем шумов и узкой полосой усиливаемого сигнала. х) См. формулы (Ш.4) и (III.5) на стр. 97 [2].
Элементарная кинематическая теория клистронов 69 В случае большого входного сигнала (усилитель мощности) из перво- первого условия стационарных колебаний и формулы B.23) несложно найти, что _ У? _ BМ/оЛррJ гнк — бнк 0 — 0 B.25) Мощность во входном резонаторе Р\ = gkVi/2 (gk — проводимость первого резонатора). Тогда для коэффициента усиления по мощности получаем: Кр = —- = 2 —^-. B.26) Определим максимальный электронный к.п.д. двухрезонаторного клистрона, воспользовавшись выражением B.21), в следующем виде: B.27) Подбирая оптимальные значения углов пролета (cos во = 1)? параметра группировки (X = 1,84) и полагая М ~ 1, У^ = Vo (это соответствует максимально возможной амплитуде напряжения, так как при дальней- дальнейшем увеличении Уч электроны будут отражаться обратно в простран- пространство дрейфа), получим максимальное значение к.п.д. равным 58 %. Клистрон может быть эффективно использован и как умножитель частоты. Это связано с тем, что в сгруппированном токе величина амлитуд гармоник (гп = 2IoJn(nX)) основной частоты достаточно вы- высока. В таблице 2.1 приведены величины отношения максимальных значений гармоник гп к постоянной составляющей тока /о и к первой гармонике %\. Табл и ца 2.1 п in/Io in/h 1 1,16 1,00 2 0,96 0,83 3 0,86 0,75 5 0,74 0,64 10 0,60 0,52 15 0,54 0,47 20 0,48 0,42 Из таблицы видно, что максимальная величина гармоники убывает достаточно медленно (отметим, что значения гармоник ВЧ-тока с уче- учетом пространственного заряда получаются несколько хуже приведен- приведенных в таблице). Это позволяет использовать клистрон как эффектив- эффективный умножитель частоты, причем конструкция умножителя ничем не отличается от конструкции усилителя, за исключением лишь того, что выходной резонатор настраивается на частоту, кратную частоте моду- модулирующего напряжения. Характерное отношение выходного к входно- входному сигналу в умножителях частоты лежит в пределах 0,01 -г 0,1.
70 Лекция 2 Некоторые результаты теории резонансных автогенераторов В предыдущих разделах рассматривалось усиление ВЧ-сигнала в приборах с динамическим управлением электронным потоком. Рас- Рассмотрим теперь резонансный автогенератор, состоящий из объемного резонатора и электронного потока г). Пусть резонатор является высо- высокодобротным и возбуждается на одном колебании с индексом s. Напомним, что уравнение возбуждения резонатора можно записать в виде A.61) (см. также [3, 13]): dCs +j(oo-us)Cs = JL [ j(w,*)Ee dV B.28) dt JX *' * 2N, v (все обозначения совпадают с обозначениями лекции 1). Частота коле- колебаний определяется (см. A.51)) как и = u's + ju)'J, где первое слагаемое определяет частоту колебаний, а второе — декремент затухания этого колебания. Если ток j(o;) не гармоническая, а периодическая функция, то в качестве j(c<;) в уравнении B.28) необходимо использовать первую гармонику тока j(?) 2тг 1 j(w) = - j(t) exp (jut) d(ut) = 2j(t) exp (jut). B.29) 7Г J 0 Остальные гармоники резонансного возбуждения не дают и, как обсу- обсуждалось в первой лекции, составляют так называемый нерезонансный фон. Используя формулу B.29) уравнение B.28) можно переписать в ви- виде: + J{L° L°)C k\№№ext>tiwt)dV B.30) причем для добротного резонатора можно считать, что вектор Es веще- вещественный (т. е. пренебречь затуханием колебаний). Для Es в этом случае будут выполняться соотношения: Ев = Е* Ns = — [ E24dV > 0. B.31) Vo Величина W = ^\CS\2NS B.32) х) Характерным примером резонансного автогенератора является отража- отражательный клистрон, который будет рассматриваться в следующем разделе.
Элементарная кинематическая теория клистронов 71 равна энергии s-ro вида колебаний в режиме генерации. Таким образом норма резонансного колебания имеет четкий физический смысл — она пропорциональна энергии этого колебания. Рассмотрим следующий вопрос: на какой частоте и с какой ампли- амплитудой происходят стационарные автоколебания системы электронный поток — резонатор. При рассмотрении пролетного клистрона для ответа на этот вопрос использовалось эквивалентное представление резона- резонатора как колебательного контура. Понятно, что такое рассмотрение не обладает необходимой общностью *). Получим общие соотношения для любого резонансного генератора, используя выражения B.30) и B.32). Из расмотрения пролетного клистрона ясно, что амплитуда будет определяться энергетическим балансом в системе. Однако наиболее ин- интересно найти поправку к частоте генерации относительно «холодной» частоты резонатора и её зависимость от электронного потока, т. е. найти электронную перестройку частоты. Благодаря стационарности колебаний в системе, положим в формуле B.30) —- = 0 и домножим обе ее части на C*NS: s 2 J s Взяв комплексно сопряженное от обоих частей выражения B.33) и ис- используя B.32), получаем: V. B.34) V Резонансная часть электрического поля равна E(t) = Re {CSES exp (jut)} , B.35) причем, ^Щ = Im {CSES exp {jut)} . B.36) Таким образом из выражения B.35) с учетом формул B.35) и B.36) получаем два соотношения соответственно для активной и реактивной х) Л.А. Вайнштейну принадлежит замечательная фраза: «Когда мне рису- рисуют эквивалентную схему, я чувствую, что меня обманывают.» Однако когда в резонаторе рассматривается один тип колебаний, представление в виде эквивалентной схемы правомерно.
72 Лекция 2 мощности взаимодействия: \ J17dV = Ре„, B.37) |dV = Per. B.38) Формула B.37) есть формулировка закона сохранения энергии: в правой части стоит мощность, отдаваемая электронами электромаг- электромагнитному полю, в левой — мощность, выделяемая в нагрузке и в резонато- резонаторе. Формула B.38) есть баланс реактивных мощностей, определяющий частоту стационарных колебаний. Реактивная мощность обращается в нуль при uj = u)fs, т. е. при точном резонансе, что согласуется с пре- предыдущим рассмотрением. Поделив выражение B.38) на B.37) получим формулу для частоты стационарных колебаний: ^М = §^. B-39) Последнее выражение определяет электронную перестройку ча- частоты и справедливо для всех резонансных генераторов. Элементарная теория отражательного клистрона Отражательный клистрон представляет собой резонансный автоге- автогенератор клистронного типа, в котором модуляция электронов по ско- скорости и взаимодействие сгруппированного потока с ВЧ-полем проис- происходят в единственном резонаторе. Схема отражательного клистрона приведена на рис. 2.11. Группирование потока осуществляется в тор- тормозящем поле между резонатором и специальным электродом — от- отражателем, на который подается отрицательный относительно резо- резонатора потенциал \Vr\- Отражательный клистрон представляет со- собой генератор, в котором первоначальные колебания возникают за счет шумовых флуктуации в пучке г). В предгенерационном режиме сгруппированный ток характеризуется бесконечно большим набором временных шумовых гармоник. Таким же числом гармоник обладает и ток, наведенный во внешней цепи зазора. Однако так как резонатор представляет собой колебательную систему с высокой добротностью, он «выделяет» из бесконечного набора шумовых гармоник ту, частота которой близка к его собственной частоте. Если в среднем за период х) На языке теории излучения имеет место спонтанное переходное излуче- излучение, которое после группирования пучка становится индуцированным.
Элементарная кинематическая теория клистронов 73 Катод Резонатор Отражатель потери в резонаторе будут компенсироваться энергией, поступающей от сгруппированного электронного потока, то в клистроне установится режим стационарных колебаний. Мини- Минимальное значение постоянной составля- составляющей тока пучка /о, при котором воз- возникают колебания на основной часто- частоте, называют пусковым током, а ре- режим возникновения стационарных коле- колебаний называется пусковым. Процесс группирования электронов в однородном тормозящем поле мало чем отличается от рассмотренного вы- выше группирования в пространстве дрей- дрейфа (см. рис. 2.3, на котором приведена пространственно-временная диаграмма электронного потока в пространстве дрейфа пролетного клистрона). Если тормозящий потенциал между второй сеткой резонатора и отражателем линейно зависит от координаты (а в кинематической теории, неучитывающей пространственный заряд потока, распределение потенциала действительно линейно), то, очевид- очевидно (см. рис. 2.12, на котором представлена пространственно-временная диаграмма для этого случая), ускоренные в модуляторе электроны пролетают дальше в пространстве сетка-отражатель, чем электроны, затормозившиеся после прохождения модулятора. Центром сгруппи- сгруппированного сгустка становятся электроны, вылетевшие из модулятора с неизменившейся скоростью и пролетающие зазор в тот момент време- времени, когда фаза ВЧ-поля изменяется с ускоряющейся на тормозящую. При обратном движении потока от отражателя к высокочастотному зазору резонатора поле, которое при прямом движении было ускоря- ускоряющим, становится для электрона тормозящим. Центр сгустка будет попадать в максимум тормозящего поля зазора (в этом случае, оче- Рис. 2.11. Схематическое изоб- изображение отражательного кли- клистрона во = Зя/2 во = 7я/2 00=1171/2' Рис. 2.12. Пространственно-временная диаграмма группировки электронно- электронного потока в тормозящем поле, поясняющая возникновение различных зон генерации
74 Лекция 2 видно, Реа < 0), если невозмущенный угол пролета электрона в поле отражателя @о)опт = 2тг (п - ±) . B.40) Здесь п — номер зоны колебаний (п = 1, 2, 3, . . .). Зона колебаний — зависимость мощности от частоты или от величины потенциала от- отражателя Vr. Зоне колебаний соответствует область во, где Реа < 0. Выражение B.40) дает центр зоны колебаний. Из пространственно- временной диаграммы несложно видеть, что границы зоны колебаний будут определяться следующими значениями углов пролета: (Oo)min = 2тг (п - 1/2) нижняя граница, , , (#о)шаж = 2тгп верхняя граница. ^ ' ' Рассмотрим процесс группировки потока в постоянном тормозящем поле. Уравнение движения для электрона, вылетевшего из модулятора в точке х = 0 в момент времени t = ti, имеет вид X = v(t-t1)-a-{t-t1)\ а=ч(У° + \Уг\), B.42) где D — расстояние между модулятором и отражателем. Угол пролета электронов можно найти из соотношения B.42), поло- положив х = 0 и отбросив тривиальное решение t = t\. Тогда TWAlVo- B-43) Невозмущенный угол пролета определяется выражением vo В предполож;ении, что электроны проходят центр модулирующего зазо- зазора в момент времени t\ и модуляция слабая, закон модуляции запишется в виде v = v0 (l + ^ sin wtA . B.45) Подставляя значение v в виде B.45) в формулу B.43), и учитывая выра- выражение B.44) для угла пролета в пространстве группирования, находим, что 2. B.46) Используя, как и при рассмотрении теории пролетного клистрона, закон сохранения заряда I^dti = idt, для сгруппированного тока получаем соотношение
Элементарная кинематическая теория клистронов 75 Данная зависимость отличается лишь знаком при гармоническом члене от соответствующего выражения B.9) теории пролетного клистрона. Поэтому группировка оказывается сдвинутой по фазе относительно группировки в пространстве дрейфа на величину тг, что, как уже отме- отмечалось, объясняется особенностями группировки в каждой из систем. Разложение в ряд Фурье дает для первой гармоники сгруппирован- сгруппированного тока значение: гх = 2/oJi(Xo) cos (cot- 0O), B.48) где J\ — функция Бесселя 1-го порядка. Проанализируем стационарный режим работы отражательного кли- клистрона. Для этого воспользуемся выведенными в предыдущем разделе энергетическими соотношениями для резонансных автогенераторов: -Pea B.49) о о — баланс активных мощностей, J ^i1{t)^dtdx -Per B.50) О О — баланс реактивных мощностей. Здесь E(t) = U(t)/l = V\ sinuit/l. Используя выражение B.48) для первой гармоники сгруппированно- сгруппированного тока и выражение для E(t), из соотношений B.49) и B.50) получаем = -Реа, B.51) -Per, B.52) где Ф = в0 - 2тг (п - 1/4) , п е Z. Последние уравнения представляют собой уравнения стационарных колебаний отражательного клистрона. Их удобнее переписать в ином виде, используя эквивалентную схему резонатора. В этом случае урав- уравнения B.51) и B.52) примут вид Янк + ge = 0, B.53) ^ gHKQ + be=0. B.54) 2Р где #нк = gk + gn = —y~ — результирующая активная проводимость резонатора (gk) и нагрузки (gH).
76 Лекция 2 Учитывая вышеприведенные соотношения и выражение B.46) для Хо, перепишем равенство B.53) следующим образом: Jl(Xp) _ #нкУо /о кк\ Хо 1оМ29особФ Последняя формула является уравнением для определения амплитуды стационарных колебаний V±. Пусковому режиму генератора соответствует бесконечно малая ве- величина ВЧ-напряжения на зазоре резонатора (V\ —у 0) и оптимальное значение угла пролета во (а? следовательно, Ф = 0, ge = (#е)мах)- При этих условиях Хо -У 0, lim 1[r о) = -, а (#о)опт = 2тг (п - 1/4). Тогда из соотношения B.55) находим для пускового тока тгМ2(п-1/4) V ; Из этого выраж;ения следует, что пусковой ток отражательного кли- клистрона уменьшается с увеличением номера п зоны колебаний. Это свя- связано с тем, что с ростом п (величины #о) электроны дольше находятся в пространстве группирования, что облегчает образование электронных сгустков при малых V\. Мощность, отдаваемая электронным потоком электрическому по- полю, выражается соотношением B.51). Выразив напряжение на зазоре V\ через параметр группирования Хо, можно записать: ^ B.57) Понятно, что не вся мощность, определяемая этим выражением явля- является полезной: часть ее идет на компенсацию потерь в стенках, диэлек- диэлектрических вставках и т. д. Поэтому практический интерес представляет мощность, выделяющаяся в нагрузку, которая определяется как Рн = = ^нк(#н/#нк). Окончательно Рн = Щ^ ХоЫХ0)со8Ф*±. B.58) Соответственно к.п.д. отражательного клистрона выражается как М ^-. B.59) Обратимся теперь к анализу второго условия стационарных ко- колебаний B.50), которое позволит нам определить частоту генерации. Поделим уравнение B.50) на B.49). Тогда OLip. = -^ = -tg<P B.60)
Элементарная кинематическая теория клистронов 77 или, используя определение добротности, получим 2("-;":) = -*?* B.61) Из последнего соотношения находим для частоты генерируемых коле- колебаний отражательного клистрона i - b-f) ¦ B.62) В центре каждой зоны (Ф = 0) частота генерируемых колебаний и в точ- точности равна частоте u's резонатора. Частота генерируемых колебаний будет меняться при изменении потенциала отражателя Vr в пределах одной зоны, так как с изменением Vr меняется величина Ф. Данное явление, как уже говорилось, носит название электронной перестройки частоты. Электроная перестройка является одной из наиболее важных характеристик отражательного клистрона. С точки зрения физики, эффект изменения частоты с изменением Vr может быть связан с изме- изменением диэлектрических свойств электронного облака [14]. Из рассмот- рассмотрения формулы B.61) понятно, что диапазон электронной перестройки существенно зависит от конкретной конструкции клистрона и величины нагрузки (Q), а также от электрических параметров его работы {1%Ф = = -Per/Pea)- Клистронный генератор с запаздыванием: от режимов монохроматических колебаний до режимов динамического хаоса Как уже обсуждалось в первой лекции, одним из направлений современной сверхвысокочастотной электроники является разработка и исследование генераторов, характеризующихся широкополосным шу- моподобным выходным излучением. Генераторы хаотических автоко- автоколебаний составляют важный класс приборов вакумной СВЧ-электро- ники. Одной из таких систем, демонстрирующих сложную динамику, является генератор на пролетном клистроне с внешней запаздывающей обратной связью [15, 16]. Основным недостатком этого генератора яв- является узкая рабочая полоса частот, что не позволяет создать шумовой сигнал с полосой больше нескольких процентов. Вместе с тем, если такой ширины полосы достаточно, то простота конструкции, а также высокий к.п.д., свойственный клистрону, делают генератор хаотических колеба- колебаний на клистроне весьма привлекательным. Обратная связь в клистроне наиболее просто осуществляется за счет ответвления части мощности с выхода прибора во входной моду- модулирующей резонатор через внешнюю линию с задержкой во времени. Цепь обратной связи характеризуется в этом случае коэффициентом затухания сигнала А и задержкой d в цепи обратной связи.
78 Лекция 2 В работах [16, 17] изучена теоретическая модель, описывающая сложную хаотическую динамику двухрезонаторного клистронного ге- генератора с запаздывающей обратной связью. Выпишем уравнения мо- модели без вывода. Пусть напряжение на зазорах входного и выходного резонаторов имеет вид Vi,2 = Re где Vi^(t) — медленно меняющиеся по сравнению с экспонентой ^ш°1 комплексные амплитуды, oj$ — собственная частота резонатора. Тогда в кинематическом приближении и в предположении линейной моду- модуляции по скорости электронного потока во входном резонаторе (т. е. Vi/Vo <С 1; Vo — ускоряющее напряжение) система уравнений, описы- описывающая исследуемую систему, записывается в виде [17]: d F*1 -Н- + 71*1 =71*2, B-63) ат B.64) где введены безразмерные медленно меняющиеся амплитуды колебаний напряжений на зазорах входного F\(t) = V\ (tNo/2Vo и выходного F\ = = AV2(r - o;od/^)#oe~ja;oG72V() резонатора; безразмерное время г = = uJot/Ф; 71,2 = &/%Qi,2 — параметры затухания во входном и выходном резонаторах; а = АК1^Фв^е~^ф+7Т/2Л>/2У^ — параметр пропорциональ- пропорциональный току пучка; Ф = uJo(d + I/vq); I — расстояние между резонаторами; К — волновое сопротивление резонатора [18]. Величина Ф равна набе- набегу фазы за время распространения сигнала по петле обратной связи, которое определяется как временем пролета l/vo электронами про- пространства дрейфа, так и временем задержки в цепи обратной связи d. Оптимальным для взаимодействия пучка с полем выходного резонатора является значение Ф = 2тг(п — 1/4), которое соответствует центру зоны генерации с номером п. Отметим, что в случае 71 ^> 1 (малая добротность входного резона- резонатора) система уравнений B.63), B.64) сводится к уравнению [15] § -1)\)$^>.г B.65) которое справедливо также для простой модели гироклистрона с запаз- запаздывающей обратной связью [19] Найдем условия самовозбуждения колебаний в модели клистронно- клистронного генератора с запаздыванием, ограничиваясь случаем оптимального значения величины Ф = 2тг(п — 1/4). Последнее предположение позво- позволяет считать параметр а вещественным.
Элементарная кинематическая теория клистронов 79 Характеристическое уравнение для системы B.63), B.64) получа- получается при подстановке Fi^ ~ ехр (рт) и разложения функции Бесселя в ряд J±(x) « х/2: (Р + 7i)(P + 72) = аЪе~р. B.66) Данное уравнение имеет бесконечное число комплексных корней, что отражает наличие бесконечного числа собственных мод в системе. Обсу- Обсудим вопрос об устойчивости этих мод. Так как в момент смены характе- характера устойчивости величина корня характеристического уравнения чисто мнимая (р = jlj), то из уравнения B.66) отдельно для действительной и мнимой части получаем выражения: —и2 + 7i72 — <^7i cos о;, B.67) cj(ji + 72) — —c^7i sin о;. Поделив одно уравнение на другое, найдем уравнение для частот соб- собственных мод: ^i±4 = -tg"- B-68) 77 Ш Графическое решение уравнения B.68) в случае, когда добротности резонаторов достаточно высоки (так что ^/тГТ2 < тг/2), приведено на рис. 2.13а. Из него видно, что уравнение B.68) имеет бесконечное число корней, соответствующих бесконечному числу собственных мод. Поскольку параметры а и 71,2 считаются положительными, следует учитывать лишь те корни уравнения B.68), для которых cos и > 0 (чер- (черные точки на рис. 2.13а). Из рис. 2.13а также видно, что основная мода имеет нулевую частоту, т. е. генерация возникает точно на собственной частоте резонатора и® (реактивная мощность взаимодействия равна нулю). Последнее справедливо только в центре зоны генерации. Для основной моды условие самовозбуждения находится из первого уравнения системы B.67) и имеет вид: OL > 72- Решения, соответствующие этому случаю, являются монохроматиче- монохроматическими колебаниями с частотой о;о, их комплексная амплитуда имеет вид Fi52 = Foeiv, где фаза ср произвольна, а амплитуда Fq находится из решения уравнения 72Fo = 2aJi(Fo). B.69) Понятно, что с ростом тока пучка (увеличением параметра а) число вещественных корней этого уравнения увеличивается (см. рис. 2.13^, на котором приведено графическое решение данного уравнения). Следова- Следовательно, появляются все новые и новые стационарные состояния. Ситуа- Ситуация, когда при одних и тех же значениях параметров задачи (в данном
Лекция 2 Рис. 2.13. Графическое решение уравнения B.68) для определения частот собственных мод (а) и уравнения B.69) для нахождения стационарных со- состояний (б) двухрезонаторного клистрона с запаздыванием случае — а и 7) возможна реализация различных состояний, называется мультистабильностью. Появление все новых стационарных режимов обусловлено многократной перегруппировкой электронов (появлением новых электронных структур (сгустков)) в пространстве дрейфа по мере увеличения амплитуды поля во входном резонаторе. Однако не все из них устойчивы. Седловые неустойчивые состояния равновесия рас- располагаются на возрастающих участках функции Бесселя (обозначены белыми точками на рис. 2.136), а устойчивые — на падающих участках (черные точки). Неустойчивые состояния равновесия в результате бифуркации Андронова-Хопфа мягко теряют устойчивость с ростом а, т.е. возникает предельный цикл, амплитуда которого растет с увеличением надкритичности а. Эти колебания называются автомодуляционными, так как они возбуждаются только на фоне автоколебаний на основной моде с большой амплитудой. Физически причина возникновения автомодуляции определяется кинематической разгруппировкой (разрушением) электронных сгустков вследствии того, что амплитуда колебаний, модулирующих по скорости электронный поток, достаточно велика. В этом случае на амплитудной характеристике усилителя появляется крутой падающий участок. Такой механизм модуляции называется амплитудным [21]. Частоты, на которых возникает автомодуляция, также находятся из уравнения B.67), но теперь уже при условии cos о; < 0. Будем называть возмущения на этих частотах автомодуляционными модами, посколь- поскольку они могут возбуждаться только на фоне стационарных колебаний с достаточно большой амплитудой. Из рис. 2.13а видно, что частота fti первой автомодуляционной моды лежит в пределах ^/тГТ2 < ^1 < тг/2. Рассмотрим последовательность смены режимов колебаний в гене- генераторе, происходящих по мере увеличения параметра а (т. е. с увеличе-
Элементарная кинематическая теория клистронов 81 22 Рис. 2.14. Бифуркационная диаграмма колебаний в теоретической модели двухрезонаторного клистрона с запаздыванием (из работы [17]) нием тока пучка или коэффициента затухания в цепи обратной связи) при постоянных параметрах потерь 71,2 = 1 [17]. Данные исследования уже невозможно провести аналитически, поэтому рассмотрим резуль- результаты численного моделирования системы уравнений B.64) и B.65). С увеличением а последовательно наблюдались самовозбуждение колебаний на основной моде (и = 0) и установление режима стаци- стационарной генерации, а затем возникновение автомодуляции на первой автомодуляционной моде (см. рис. 2.13а). Режимам периодической авто- автомодуляции в фазовом пространстве соответствуют предельные циклы различной формы. С изменением параметрам наблюдается усложнение формы предельного цикла, а также жесткие переходы между различ- различными циклами. При этом частота автомодуляции скачкообразно из- изменяется. Такие жесткие переходы между колебательными режимами объясняются наличием в системе мультистабильности (рис. 2.136). При дальнейшем увеличении а происходит переход от периодиче- периодической автомодуляции к хаотической. В области хаотических колебаний наблюдается большое число окон периодической автомодуляции. Вы- Вышесказанное иллюстрирует рис. 2.14, на котором представлена бифур- бифуркационная диаграмма: на ней отложены положения максимумов ам- амплитуды выходного сигнала F при различных значениях параметра а. Режимам периодической автомодуляции на диаграмме соответствуют линии, режимам хаотической динамики — сплошные черные области. В работе [17] приводятся результаты экспериментального исследо- исследования клистронного генератора с внешней обратной связью. Генератор реализован на пролетном клистроне, выход которого соединен со вхо- входом. В цепь обратной связи был включен поляризационный аттенюатор, позволяющий в широких пределах изменять затухание в цепи обратной связи L (т.е. изменять уровень мощности, который подается на вход
82 Лекция 2 Рис. 2.15. Спектры выходного излучения генератора, наблюдаемые в экспе- эксперименте в режиме периодической модуляции (а), автомодуляции с удвоенным периодом (б) и хаотических автоколебаний (в) (из работы [17]) клистрона с его выхода). Рассмотрим последовательность режимов ко- колебаний, наблюдаемых в эксперименте при изменении затухания L при неизменных значениях тока пучка /о и ускоряющего напряжения Vo- Экспериментальные спектры выходного сигнала генератора при раз- различных значениях L представлены на рис. 2.15. При L « 10 дБ в автоколебательной системе возбуждались стаци- стационарные гармонические колебания на частоте /о ~ 2,8 ГГц, близкой к частоте максимального усиления исходного клистронного усилите- леля в режиме малого входного сигнала. Уменьшение затухания при- приводило вначале к росту амплитуды стационарных колебаний, а при L « 7,6 дБ возникал режим периодической автомодуляции с частотой /а ~ 3,5 МГц. В спектре выходного сигнала (рис. 2.15а) появлялись частотные составляющие /о ± /а. Если уменьшать L дальше, то при L « 3 дБ наблюдались удвоения периода автомодуляции (рис. 2.156). В спектре генерации это соотвест- вует появлению частотных составляющих /о ± /а/2п. И при L « 0,5 дБ генерация становилась хаотической. Спектр генерации в данном слу- случае является сплошным, хотя можно выделить в нем максимумы на основной частоте /о, на частоте автомодуляции fa и ее субгармониках. В натурном эксперименте как и в численном моделировании в режиме хаотической динамики наблюдались окна периодической автомодуля- автомодуляции с частотами /а/3 и /а/5. Таким образом результаты натурного эксперимента качественно, а в ряде случае и количественно, соответ- соответствуют теоретическим и численным расчетам. Например, частота пер-
Элементарная кинематическая теория клистронов 83 вой автомодуляционной моды, согласно теории (см. рис. 2.13а), лежит в пределах 5 МГц < /а < 8,3 МГц, что близко к экспериментальному значению 3,5 МГц. Оценки по результатам натурного эксперимента значений параметра а, при которых происходит перестройка режимов колебаний, также близки к соответствующим расчетным значениям. Так экспериментальные значения параметра а, при которых происхо- происходит самовозбуждение колебаний, возникновение автомодуляции и пер- первое удвоение периода, соответственно равны а « 1,56, 2,73, 7,8, в то время как численное моделирование дает а « 1,0, 4,0, 9,05. Заметим, что в последнем случае можно требовать только качественного соответ- соответствия, так как теория не учитывает целый ряд существенных факторов, определяющих динамику генератора (влияние поля пространственного заряда, особенности конкретной технической реализации генератора и т. п.). Список литературы 1. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г., Соколов Д. В. Лекции по сверхвы- сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. 2. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959. 3. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы в электро- электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970. 4. Клеен В. Введение в электронику сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио,1963. 5. Ginston Е. The $100 idea // IEEE Spectrum. 1975. V. 12. P. 30. 6. Varian R., Varian S. High frequency oscillator and amplifier // Journal of Appl. Phys. 1939. V. 10. P. 321. 7. Hansen W. W., Richtmayer R.D. On the resonator suitable for klystron oscillator // Journal of Appl. Phys. 1939. V. 10. P. 189. 8. Kompfner R. The invention of the travelling-wave tube. — Sun Franciscko Press. 1964. 9. Лобанов M.M. Из прошлого радиолокации. — M.: Военное изд-во МО СССР, 1969. 10. Девятпков Н.Д., Данильцев Е.Н., Пискунов И.В. О колебательных режимах клистрона // ЖТФ. 1941. Т. 11, № 15, 16. С. 1348. 11. Кацман Ю.А. Создание русского клистрона. — Санкт-Петербург, 1997. 12. Шевчик В.Н. Взаимодействие электронных пучков с электромаг- электромагнитными полями. — Саратов: Изд-во СГУ. 1963. 13. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
84 Лекция 2 14. Вайнштейн Л. А. Стабильность колебаний в генераторах магне- тронного типа // В сб. «Электроника больших мощностей». М.: Наука, 1964. Вып. 3. С. 36. 15. Афанасьева В.В., Лазерсон А.Г. Динамический хаос в двухрезо- натрных клистронных генераторах с запаздывающей обратной связью // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т.3,№5. С. 88. 16. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Шигаев A.M. Слож- Сложная динамика простых моделей электронно-волновых систем // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 6. С. 66. 17. Дмитриев B.C., Жарков Ю.Д., Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Тео- Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических коле- колебаний клистронного автогенератора с запаздыванием // Радиотех- Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 5. С. 604. 18. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. — М: Высшая школа, 1990. 19. Ергаков B.C., Моисеев М.А. // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31. С. 962. 20. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические коле- колебаний. — М.: Наука. 1987. 21. Блиох Ю.П., Бородкин А.В., Любарский А.Г., Онищенко Н.М., Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображе- отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, №1,2. С. 34.
Лекция 3 ВОЛНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ Существование «волн» как одной из форм, в кото- которой проявляется движение, принадлежит к наи- наиболее привычным свойствам физического мира; их описание дает нам одну из нитей, связываю- связывающих воедино различные разделы физики. Из предисловия редакторов амери- американского издания к книге «Нелиней- «Нелинейные волны», М.: Мир, 1977, с.9. Гидродинамическое описание электронного потока. Волны простран- пространственного заряда и группирование в пространстве дрейфа. Резистив- ный усилитель. Волны пространственного заряда в электронном по- потоке со столкновениями и диффузией. Двухлучевая неустойчивость (абсолютная и конвективная неустойчивость; глобальная неустойчи- неустойчивость). Неустойчивость Гельмгольца и об одной гипотезе образования спиц в кольцах Сатурна (многопучковая неустойчивость). Цикло- Циклотронные волны. Связанные волны. В данной лекции мы приступаем к рассмотрению волновых процес- процессов в электронных пучках на сверхвысоких частотах, связанных с сила- силами упругого взаимодействия, которые в первую очередь обусловлены силами объемного пространственного заряда. Исторически изучение этих вопросов связано с развитием теории СВЧ-приборов с модуляцией электронного потока по скорости и последующей группировкой в про- пространстве дрейфа. Первоначально описание явлений в электронном потоке ограничивалось кинематическим приближением, т. е. движение электрона рассматривалось без учета полей пространственного заряда только под действием внешних сил. Хотя понятие волны пространствен- пространственного заряда было введено практически одновременно с изобретением клистрона в работах B.C. Хана и С. Рамо в 1939 г. [1, 2], значение электронно-волновой теории выявилось значительно позднее, в 50-х годах, когда была показана возможность нарастания при определенных условиях амплитуд волн пространственного заряда вдоль пространства
86 Лекция 3 дрейфа. Дальнейшее развитие этой теории, которое привело к созда- созданию электронно-лучевого усилителя — двухлучевой лампы, принцип которой основывается на усилении волн пространственного заряда г). Появился принципиально новый на тот момент подход к рассмотрению явлений в электронном потоке — теория связанных волн и, как след- следствие, к исследованию электронных приборов, принцип работы которых основан на использовании колебательных и волновых явлений в самих электронных пучках без использования каких-либо «материальных» колебательных систем [3] 2). Под волнами пространственного заряда (ВПЗ) будем понимать вол- волнообразное распространение возмущений плотности, тока, напряжен- напряженности поля пространственного заряда и скорости в электронном пучке, причем скорость такого возмущения зависит от постоянной составля- составляющей плотности пространственного заряда в потоке. В общем случае существует много различных типов ВПЗ, в данной лекции ограничимся подробным анализом линейной теории группирования электронного потока в пространстве дрейфа и приложением ее к учету влияния пространственного заряда в теории пролетного клистрона; рассмот- рассмотрим двухлучевую неустойчивость, а также примеры ее использования в электронике (двухлучевая лампа) и для возможного объяснения неко- некоторых наблюдаемых явлений в астрофизике; укажем на одну из анало- аналогий в гидродинамике жидкостей. В конце лекции кратко остановимся на циклотронных волнах в электронных потоках, а также рассмотрим аппарат связанных волн. В основу рассмотрения волновых процессов в электронных потоках положен гидродинамический анализ. Такой подход позволяет с единых позиций рассмотреть широкий класс задач о поведении потоков заря- заряженных частиц как в вакууме, так и твердом теле, а также о взаимодей- взаимодействии электронных потоков с бегущими волнами различной природы (см., например, [4]). Гидродинамическое описание электронного потока Возможность использования гидродинамической теории примени- применительно к анализу процессов в электронных потоках связана с пере- переходом от микроскопического описания уравнений дискретной среды к макроскопическим уравнениям непрерывной среды, опирающимся на следующие положения. Поток электронов в вакууме можно рассматри- рассматривать как дрейфующую плазму. Поведение плазмы характеризуется по- поведением ее микроскопических элементов. О коллективном поведении плазмы можно говорить только в длинноволновом приближении, когда г) Далее мы рассмотрим этот прибор достаточно подробно. 2) Монография [3] носит энциклопедический характер и до сих пор не утратила своей значимости.
Волны пространственного заряда малой амплитуды 87 рассматриваются волновые процессы с длиной волны, много большей значения дебаевского радиуса ^. C.1) Здесь vT — средняя тепловая скорость электронов пучка, ир = = y/vpo/'? ~ плазменная частота бесконечно широкого электронного потока, г\ — удельный заряд электрона, ро — плотность заряда и е — диэлектрическая проницаемость. Сверхвысокочастотные волновые процессы удовлетворяют этому требованию, что позволяет использовать классическую статистику и проводить анализ на основе гидродинамической модели. Как показано в работе [5], результаты гидродинамической теории совпадают с результатами кинетического рассмотрения только при условии, что частота v соударений не зависит от скорости носителей. При достаточно малом тепловом разбросе по скоростям гидродинамическое описание электронного потока применимо в широком интервале значений отношения v/oj (и — частота высокочастотного возмущения). Более того, очень часто используется приближение, в котором не учитывается тепловой разброс скоростей электронов, а также столкновения и диффузия в пучке. Именно в рамках этих предположений запишем основные уравнения гидродинамической модели. 1. Уравнения Максвелла. При учете вихревых полей как в пучке, так и в волноводной системе, в которой движется пучок, имеет место обобщенное волновое уравнение: ДЕ-«,/*?? =й)§ + ^, C-2) dt (Ji so где Е есть сумма напряженностей вихревого электрического поля, ко- которое описывает собственное излучение электронов, собственные коле- колебания резонаторов и волноводные моды, и потенциального электриче- электрического поля. Если учитывается только потенциальное поле, связанное с взаимодействием электронов через кулоновские поля, то решаются совместно уравнение для полного тока и уравнение Пуассона: дВ . _. ^0 а, Н~ J —JncwiH? C.3) Очевидно, что, введя уравнение непрерывности, которое выражает за- закон сохранения заряда, вместо уравнений C.3) можно рассматривать
88 Лекция 3 эквивалентные системы уравнений вида divE = A "I C-4) dlvJ = ~w или ?() о. ~г J = ,1полн5 C-5) j. . до dlvJ = "в* ¦ 2. Уравнение движения записывается следующим образом: ^ = ту (Е + [vH]), C.6) оно представляет собой закон изменения скорости передвигающейся в пространстве частицы. Поэтому так как уравнения поля характери- характеризуют изменение полей в любой точке пространства с течением време- времени, логично выразить производную —- через величины, относящиеся к неподвижной точке пространства, т. е. перейти к переменным Эйлера. Изменение скорости dv равно изменению скорости в данный точке пространства за время dt (-p— dt) и разности скоростей в один и тот же dt момент времени в двух точках, разделенных расстоянием с/r, равным пройденному частицей за то же время at (т— ах + -^г— ay + -p— dz = удх ду dz = (drV)v), т.е. а следовательно, полная производная запишется как ? = ? + <W,v. ,„) Окончательно уравнение движ;ения в переменных Эйлера имеет вид: | + (vV)v = ,,(E + [vH]). C.8) 3. Уравнение для конвекционного тока выглядит так: Jo+T= (po + p) '(vo+v), C.9) где jo, рсь vo — постоянные составляющие плотности тока, плотности заряда и скорости, a j, p, v — их переменные составляющие. Рассмотрим теперь электронный поток, который бесконечен в на- направлении у и z (т. е. -U- = -й- = 0) и движется вдоль оси ж, вдоль кото- которой ориентировано бесконечное однородное постоянное магнитное поле.
Волны пространственного заряда малой амплитуды 89 Очевидно, что в этом случае в потоке могут распространяться только продольные волны, а соответствующие переменные величины в рамках гидродинамической модели будут иметь только ж-компоненты. Тогда основные уравнения C.4), C.8) и C.9) гидродинамической модели для бесконечно широкого потока запишутся как (индекс «ж» у переменных величин опускаем) где в общем случе поле Е = Евн + ЕПЗ ~~ сумма внешнего переменного поля и поля пространственного заряда. Последнее определяется из уравнения Пуассона, которое для одномерного случая имеет вид дЕиз дх C.13) Волны пространственного заряда и группирование в пространстве дрейфа. Резистивный усилитель Прежде чем переходить к рассмотрению волн пространственного заряда, рассмотрим, к чему приводит попытка описания группировки электронного потока в пространстве дрейфа в кинематическом прибли- приближении в переменных Эйлера, а не Лагранжа, которые мы использовали при построении теории пролетного и отражательного клистрона. Пусть вдоль оси х движется поток невзаимодействующих частиц. Их скорость удовлетворяет уравнению движения, которое в переменных Эйлера имеет вид C.11) Оно формально совпадает с уравнением, описывающим в теории волн модель одноволнового приближения. Общий вид уравнения одноволно- вого приближения таков: ? + f(.)?=0. CЛ5) Это уравнение описывает плоскую бегущую волну в нелинейной среде без диссипации и дисперсии. В общем случае V(v) — нелинейная функ- функция. Пусть в момент времени t = 0 пучок оказывается возмущенным по скорости согласно закону a sin kx (пучок промодулирован по скорости).
90 Лекция 3 / у \ -~'' 1 „ р X. V 2 X —-- 2 с Рис. 3.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невза- невзаимодействующих частиц. Здесь сплошными линиями обозначена скорость, штриховыми — плотность, а — начальное состояние, соответствующее сину- синусоидальному возмущению скорости; 6— образование электронных уплотне- уплотнений (группирование частиц около точек 1 и 2); в, г — опрокидывание волны скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой р = р(х) Перейдем в движущуюся со скоростью vq (vq — невозмущенная ско- скорость потока) систему отсчета и рассмотрим в ней эволюцию начального возмущения. Переход в новую систему отсчета эквивалентен замене координат вида х = х' — v^t. Введем новую переменную: и = v — vo, где и — переменная составляющая скорости. Тогда в движущейся системе координат уравнение C.14) будет выглядеть следующим образом: ди ди C.16) Решение этого нелинейного уравнения есть так называемая простая волна и = U(t-x/u), C.17) где явное выражение для функции U определяется видом начального возмущения. При распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле бегут с разной скоростью. В случае пучка эт. е. следствие того, что частицы смещаются относительно друг друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут обогнать другие (это наблюдалось на пространственно-временной диаграмме потока в кинематическом при- приближении (см. рис. 2.3)), вследствие чего функция u(x,t) становится неоднозначной. Проследим за пучком на фазовой плоскости (и,х), на которой каждая точка движется со своей собственной скоростью. Верхняя полуплоскость соответствует движению вправо, нижняя — влево, причем скорость каждой точки пропорциональна удалению ее от оси х. Рис. 3.1 иллюстрирует эволюцию пучка на фазовой плоскости. Начальное состояние скоростей пучка — синусоида a smkx; здесь же
Волны пространственного заряда малой амплитуды 91 штриховой линией показана зависимость плотности пространственного заряда пучка от продольной координаты. С течением времени происхо- происходит искажение профиля волны: частицы с и > 0 уходят вперед, а с и < О отстают от волны. Одновременно образуются сгущения частиц вблизи точек 1 и 2, где и = 0, т. е. происходит группирование пучка (рис. 3.1а). Волна постепенно становится круче (рис. 3.16), и в какой-то момент времени производная ди/дх на переднем фронте обращается в беско- бесконечность (в бесконечность также обращается плотность р(х) объемного заряда пучка). В следующий момент времени происходит опрокидыва- опрокидывание волны (рис. 3.1 в), и функция u(x,t) становится многозначной, у нее появляется точка поворота, т.е. образуются встречные пучки. После опрокидывания волны функция р(х) имеет удвоенное число особенно- особенностей (рис. 3.1в;г). С дальнейшим течением времени структура волны еще более усложняется. Из нашего рассмотрения видно, что и в кинематическом анализе существует возможность использовать уравнения в переменных Эйле- Эйлера, однако такой подход является более сложным и менее наглядным, чем описание процесса группирования в переменных Лагранжа, где не возникает проблемы многозначности функций при обгоне и повороте частиц. Однако вернемся к рассмотрению волн в потоке взаимодействующих через общее поле пространственного заряда частиц. Будем рассматри- рассматривать бесконечно широкий поток, пространственный заряд которого пол- полностью нейтрализован неподвижным ионным фоном. Наличие ионов может быть объяснено присутствием в реальном приборе остаточных газов, которые ионизируются пучком. Предположение о неподвижности ионного фона связано с большой массой ионов (так протон почти в 2000 раз тяжелее электрона), что позволяет считать, что ионы не принимают участия в колебательных процессах на сверхвысоких частотах. В одномерном потоке в силу его бесконечной поперечной протяжен- протяженности нет изменения потенциала, а значит и характеристик потока в по- поперечном направлении. Пучок считается бесконечно длинным, так что потенциал, vq и jo вдоль пучка не изменяются. Переменные величины j и v изменяются только в продольном направлении. Тогда уравнение движения C.11) запишется в виде I („о + v) + Ы + ~V)l(V0 + ~V) = ft+ „og + *§§ = VE. C.18) Используем предположение о малости сигнала, что даст возмож- возможность пренебречь в исходных уравнениях членами второго и более высокого порядка относительно малых переменных величин. Линеари- Линеаризованные уравнения движения C.18), уравнение непрерывности C.10) и уравнение для переменной составляющей плотности конвекционного
92 Лекция 3 тока C.12) запишутся соответственно в виде ¦pov. C.21) Из уравнений C.19)—C.21) можно исключить риу и получить урав- уравнение, связывающее j и Е. Разрешая уравнение для плотности конвек- конвекционного тока C.21) относительно v, продифференцировав результат по времени и используя уравнение C.20), приходим к соотношению dv _ 1 dj vo dj dt po dt po dx' Продифференцировав уравнение C.19) по времени и используя полу- полученное выше соотношение для dv/dt, найдем: &.„ э*1 ,а*7 д~Е (з_22) Уравнение C.22) связывает переменные составляющие плотности кон- конвекционного тока и поля. Если Е создается переменными зарядами в самом электронном потоке, то можно использовать уравнение полного тока C.3) в виде Подставляя его в соотношение C.22), получим окончательно уравнение вида: где величина fjpo/^o представляет собой квадрат плазменной частоты ujp для бесконечно широкого потока. Решение линейного дифференциального уравнения в частных про- производных C.23) записывается в форме: У= Aejujte~jkx. C.24) Подставляя вид решения C.24) в уравнение C.23), получаем диспер- дисперсионное уравнение, т. е. уравнение, связывающее частоту волны о; с ее волновым числом к (к = 2тг/А, А — длина волны): -со2 + 2voujk - v2k2 + oj2 =0. C.25)
Волны пространственного заряда малой амплитуды 93 Разрешая это уравнение относительно &, имеем ku2 = -±^=l3±pp, C.26) где uj — действительная величина, В = — fiv = —. vo И vo Решением уравнения C.23) будет действительная часть суммы ~2 = (А 1е-^"ж + A2ej0'x) e^-^, C.27) где коэффициенты А\ и А<± определяются из начальных условий задачи. Из уравнения непрерывности C.20) получаем выражение для р в виде р= (A1^e-jP*x + A2—ejP*x)ejlwt-Px). C.28) Используя C.21) и соотношения C.27) и C.28), находим выражение для v: C.29) oopo oopo ' Учитывая выражение C.26) можно сделать вывод, что переменные величины j, р, v, определяемые выражениями C.27)-C.29), описывают- описываются двумя волнами пространственного заряда с фазовыми скоростями: = г,ф И)б = C.30) Волна, соответствующая знаку «+», имеет Уфм < vq и называется мед- медленной волной пространственного заряда (МВПЗ), а со знаком « —» — быстрой волной пространственного заряда (БВПЗ), для нее г>фб > vo. Диаграмма Бриллюэна, соответствующая дисперсионному уравнению C.26), приведена на рис. 3.2. Верхняя прямая соответствует МВПЗ, нижняя — БВПЗ. Полученные соотношения в рамках сделанных предположений яв- являются достаточно общими. Применим их для анализа процессов груп- группировки в пространстве дрейфа при наличии модуляции по скорости (модуляция по плотности отсутствует). Пусть при х = 0 расположен узкий высокочастотный зазор — модулятор. Тогда начальные условия для уравнения C.23) запишутся в виде У@) = 0, v = 2v1ejujt. Подставив эти начальные условия в уравнения C.27)-C.29), определим константы интегрирования А\ и А^ и получим следующие выражения для 7, р и v: у =
94 Лекция 3 Рис. 3.2. Дисперсионная характеристика модулированного во входном устройстве пучка (а) ; стоячие волны плотности тока и скорости в электрон- электронном потоке в фиксированный момент времени (б) , C.32) V = C.33) Здесь первые слагаемые в скобках относятся к МВПЗ, а вторые — к БВПЗ. Уравнения C.33) и C.31) можно переписать в несколько ином виде, а именно: v = 2vi cos/Зрх cos (u)t — /Зх). C.34) 3 = — LOp sin Cpx sin (ojt — fix). C.35) Зависимости от продольной координаты v и j в фиксированный момент времени приведены на рис. 3.2& Из сравнения зависимостей C.34) и C.35) видно, что на расстояниях х = ХрBп + 1)/4 (где Хр = 27rvo/u}p; п G Z) переменная составляющая скорости обращается в нуль, а пере- переменная составляющая плотности конвекционного тока достигает мак- максимального значения. В этих точках электроны, имеющие скорость на выходе из модулятора больше, чем скорость электронов, вышедших из него раньше, догоняют их, образуя уплотненный сгусток. Одновре- Одновременно с образованием сгустков (появлением jo ф 0) в потоке возникает ВЧ-поле пространственного заряда, которое приводит к разрушению этих структур. Таким образом силы пространственного заряда снова приводят к появлению переменной составляющей скорости. Причем при х — пХр/2 переменная составляющая скорости принимает значение, равное скорости на выходе из модулятора, а переменная составляющая
Волны пространственного заряда малой амплитуды 95 плотности тока обращается в нуль. С точки зрения закона сохранения энергии в системе координат, перемещающейся с невозмущенной ско- скоростью пучка vo, максимальное значение плотности тока соответствует максимальной потенциальной энергии электронов (максимальному зна- значению потенциала поля пространственного заряда). В точках, где мак- максимальна переменная составляющая скорости, становится максималь- максимальной и кинетическая энергия электронов. При возбуждении быстрой вол- волны в потоке v и рсфазированы, т. е. преобладают электроны со скоростя- скоростями больше vo, и результирующая кинетическая энергия, переносимая пучком, больше энергии невозмущенного пучка. Если же возбуждена медленная волна, то в тех местах, где наблюдаются сгущения, скорость электронов меньше vo; она больше, где наблюдаются разряжения, т.е. преобладают замедленные электроны, и энергия переносимая пучком, меньше чем энергия пучка без волны. Из рассмотрения понятно, что с ростом амплитуды МВПЗ сум- суммарная энергия системы «электронный пучок-волна» уменьшается, и наоборот: с ростом амплитуды БВПЗ энергия системы будет возрас- возрастать. Волны, для которых выполняется условие уменьшения энергии системы с увеличением их амплитуды, принято называть волнами с от- отрицательной энергией, а волны, для которых наблюдается увеличение энергии системы с ростом их амплитуды, — волнами с положительной энергией г). Получим выражение для плотности потока энергии в электронном пучке, исходя непосредственно из уравнения движения электронного потока и уравнения непрерывности. Для этого рассмотрим произведе- произведение напряженности поля пространственного заряда на конвекционный ток: Если учесть здесь уравнение непрерывности dj/дх = —dp/dt, соотно- соотношение C.36) принимает вид х) Примеры волн с отрицательной и положительной энергией не исчерпыва- исчерпываются только ВПЗ. Так П.А.Стэрроком (см. [9, 10]) было показано, что в среде, движущейся со скоростью и, энергия быстрой и медленной волны, измеряе- измеряемая неподвижным наблюдателем, выражается соотношениям VKM,6 = Wq{\ =F =F и/Уф), где УфИ—Уф— скорости волн в подвижной системе координат, Wo — энергия системы. Понятно, что при и > Уф величина WM < 0, в то время как скорость переноса энергии (групповая скорость) обеих волн положительна. Появление понятия о волнах с отрицательной энергией в СВЧ-электронике связывается с работой [11], в которой выведена так называемая теорема Чу о кинетической мощности.
96 Лекция 3 где плотность кинетической энергии Wn = %f- C.38) AT] и плотность потока кинетической энергии Sn = ^ = vWn. C.39) Если теперь сделать предположение о малости возмущений, т.е. \v\ <С <С vq и т.д., то, сохраняя в выражении C.38) члены второго порядка малости, получим Wu = hi [po(^ + 2vov + v2) + p(vl + 2vov)}. C.40) Рассчитаем среднюю за период плотность кинетической энергии. Ес- Если предположить, что пучок промодулирован на входе, то, как показано выше, в нем будут распространяться волны пространственного заряда. Для общности не будем конкретизировать вид модуляции, тогда рас- распределения переменных величин тока, плотности и скорости по длине пространства дрейфа будут определяться выражениями C.27)-C.30), а поле пространственного заряда запишется как (ut-(k+wp/v0)) _^_ ej(ut-(k+up/vo))\ ^ C.41) где Eq как и раньше определяется начальным возмущением. Тогда из выражения C.40) получим х ' 2тг ) 2rj v ' 2тг 0 0 0 2тг 2тг 1 Г ~ 2 i P ~ ~ + —- —— а{ш1) + — a{ujt). 2тг J 2r] 2тг J т/ о о Первый интеграл — плотность энергии невозмущенного электронного пучка, которую мы обозначим как (W®)- Так как v и р представляют собой сумму гармонических составляющих, то второй и четвертый ин- интегралы равны нулю. Таким образом нас интересует 2тг 2тг S(Wn) = (Wn) - (W°) = ?±- j* v2 d(ut) + ^- f vpd(ut). C.42) о о Из уравнения Пуассона, которое может быть записано как дЕ/дх = = —p/so, и уравнения движения легко получить связь между полем и скоростью: v = rjE/(j(u) — kvo)). Тогда, учитывая вид переменных
Волны пространственного заряда малой амплитуды 97 составляющих плотности C.28) и скорости C.29), окончательно полу- получим для быстрой и медленной ВПЗ S(Wu6) « ?-ф- ^ > 0 5{WnM) « -*^° ^ < 0 C.43) (здесь пренебрегли слагаемым, появившемся при вычислении первого интеграла, так как при шр < w оно мало по сравнению со вторым слагаемым). Таким образом и из соотношений C.43) следует, что МВПЗ пере- переносит отрицательный поток мощности, БВПЗ — положительный поток мощности. Какие же условия необходимы, чтобы в среде возбуждалась волна с отрицательной энергией? Из закона сохранения энергии понятно, что для возбуждения волны с отрицательной энергией необходима ситу- ситуация, когда МВПЗ может отдавать свою энергию среде или другим волнам. Типичной иллюстрацией этого могут служить процессы в резистив- ном усилителе [12, 9]. Схема прибора следующая (см. рис. 3.3): предва- предварительно модулированный во входном устройстве электронный пучок проходит через диэлектриче- диэлектрическую трубку, внутренняя стен- стенка который покрыта поглоща- поглощающим слоем, и наводит в нем переменный заряд. Поля, созда- создаваемые наведенными зарядами, в свою очередь, воздействуют на электронный пучок и из- ^ о о ^ ^ J Рис. 3.3. Схема резистивного усилите- меняют переменную составля- ля: 1 _ резистивный слой; 2 _ ди_ ющую тока пучка. После прохо- электрическая трубка; 3 - электрон- ждения трубки пучок попадает Ный поток; 4 и 5 - входное и выходное в выходное устройство. Входное устройство устройство возбуждает в пучке две волны пространственного заряда, поля которых вызывают в ре- зистивной стенке движение зарядов, что в свою очередь приводит к джоулевым потерям энергии волн. Быстрая волна затухает (волна с положительной энергией), а МВПЗ нарастает (т. е. увеличивает свою амплитуду), отдавая энергию среде. Поэтому такая система выступает как высокочастотный усилитель. Экспериментальное доказательство нарастания МВПЗ в резистивном усилителе иллюстрирует рис. 3.4. Теория резистивного усилителя здесь не приводится, так как она до- достаточно подробно изложена в книгах [13, 9]. Если пучок является ограниченным в поперечном направлении и окруженным металлическим экраном, то дисперсионное уравне- уравнение для постоянных распространения ВПЗ является трансцендентным и имеет бесконечное число решений, а, следовательно, число пар ВПЗ 4 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
98 Лекция 3 20 10 -20 Рис. 3.4. Зависимость квадрата отно- относительного сгруппированного тока от ускоряющего напряжения [12]: 1 — ди- диэлектрическая среда заменена метал- металлической поверхностью (возбуждены две ВПЗ с постоянными амплитуда- амплитудами); 2 — пучок движется в резистив- ной среде, но ток пучка мал (воз- (возбуждены нарастающая и затухающая волны); 3— ток большой (преобладает нарастающая медленная волна) 450 550 650 V0,B составляет в этом случае бесконечную последовательность (рис. 3.5) [3, стр. 24-35]. С точки зрения решения соответствующей краевой задачи это вполне понятный результат: появление бесконечного ряда волн объясняется существованием граничных условий. Граничным условиям для трубы дрейфа удовлетворяют все волны, у которых распределе- распределение по радиусу таково, что на стенке трубы поле обращается в нуль. Наибольший интерес представляют пары волн низшего порядка /3qi и /Зо2, поля которых не имеют нулей внутри поперечного сечения элек- электронного пучка. Это волны со скоростями, наиболее отличающимися от невозмущенной скорости пучка vq. Им соответствует максимальная энергия волн по сравнению с энер- энергией пар волн высшего поряд- порядка. Отметим, что распростране- распространение волн в потоках конечного се- сечения можно рассматривать по- подобно рассмотрению ВПЗ в беско- бесконечно широком пучке. Единствен- Единственное различие заключается в необ- необходимости пользоваться модифи- ю Poi со Щ i i i ю Р Р02 Рис. 3.5. Сравнение постоянных рас- расцированной величиной постоян- постоянной распространения [6, 7] /3q = пространения /3 ВПЗ в бесконечно = R^ (и соответственно реду- редушироком (а) и в цилиндрическом пучке (б) цированной плазменной частотой ujq = Rojp), где R < 1 — коэффи- коэффициент редукции. Уменьшение эф- эффективной плазменной частоты для ограниченного канала связано с тем, что часть силовых линий поля пространственного заряда замыка- замыкается на стенках трубы дрейфа, а следовательно, продольная составляю-
Волны пространственного заряда малой амплитуды 99 щая поля уменьшается, что и учитывается соответствующим выбором коэффициента редукции. Уточним теперь линейную кинематическую теорию группирования, изложенную в предыдущей лекции, учитывая силы пространственного заряда. Ток пучка в пространстве дрейфа записывается в виде / = /о + + Re {i} (г = Sj,S — площадь поперечного сечения потока). Учитывая выражение C.35), для тока пучка можно записать / = /0 [i + Re \j^-sin(PPx)^wt-0xA] . C.44) L I v^ JJ Из закона скоростной модуляции B.4) можно найти, что —— = — j-—. vo 2 Тогда перепишем соотношение C.44) как / = /0 [l + L?- sin PPx cos (ut - fix)] . C.45) Заметим, что при малых ? фаза влета электрона в модулятор ut\ « ut — — /Зх. Тогда окончательно для сгруппированного тока получим = /п sin C.46) Напоминаем, что во = — — невозмущенный угол пролета электронов в пространстве дрейфа. Величина X = носит название параметра группирования. При —^— —у 0 (простран- (пространно ственный заряд мал) соотношение C.46) переходит в выведенное в пре- предыдущей лекции в рамках кинематической теории выражение для сгруппированного тока B.10). Из выражения C.46) также видно, что увеличение пространственно- го заряда (увеличение —^—) приводит к уменьшению сгруппированного vo тока. Волны пространственного заряда в электронном потоке со столкновениями и диффузией В предыдущем разделе рассматривались волновые процессы в элек- электронных потоках в предположении отсутствия столкновений и диф- диффузии носителей заряда. Рассмотрим теперь волны, которые распро-
100 Лекция 3 страняются в бесконечно широком электронном потоке в неподвижном ионном фоне при наличии столкновений и диффузии. В этом случае основные уравнения гидродинамической модели за- запишутся в линеаризованном виде как [4, стр. 12] % = vE-vv+*g. C.48) dt ро дх — уравнение движения, в правой части которого первое слагаемое описывает влияние поля пространственного заряда, второе учитывает столкновения, а третье — диффузию в электронном потоке (v — частота соударений, vT — средняя квадратичная тепловая скорость); ^ = А C-49) дх е0 # = "§, C-50) дх dt j = pv0 + pov C.51) — уравнения Пуассона, непрерывности и уравнение для конвективного тока. Предполагая, что все переменные величины изменяются по за- закону eJ(ut-kx) ^ из системы уравнений C.48)-C.51) несложно получить следующее дисперсионное уравнение: A _ „?) ki _ 2рок A _ jV/2) + pi (I - jV) - 01 = 0, C.52) где v^ = Vt/vo, v' — v 1^ч Ро = w/vo. Решение уравнения C.52) имеет вид ^-^) }¦ C-53) Проанализируем это решение в некоторых частных случаях. 1. vT = 0, v = 0. Электронный поток без столкновений и диффузии. В этом случае решение дисперсионного уравнения C.53) переходит в уже полученное нами решение C.26), которое показывает существова- существование двух волн пространственного заряда — МВПЗ и БВПЗ (см. рис. 3.2).
Волны пространственного заряда малой амплитуды 101 Рис. 3.6. Дисперсионные характеристики ВПЗ при наличии редких столкно- столкновений (а), частых столкновений (vT = 0) (б) 2. v'T = 0, v < 2ojp. При наличии редких столкновений обе волны, МВПЗ и БВПЗ, становятся затухающими: 2шр) •"-" 2 ' C.54) i,2 =Po- j'A>y A ± ^1 - (^ причем затухание пропорционально величине i//2vo, т. е. не зависит от частоты и (рис. 3.6а). 3. v'T = 0, v > 2ир. В случае частых столкновений решение диспер- дисперсионного уравнения принимает вид C.55) Из соотношения C.55) видно, что понятие быстрой и медленной вол- волны пространственного заряда теряет смысл, так как фазовые скорости обеих волн, распространяющихся в потоке, становятся равными скоро- скорости электронов vo. Если v — 2ujp, то обе волны затухают одинаково: k12 = /Зо — j/Зр. Когда v > 2ujp, ВПЗ имеют различные декременты затухания Im к\ ф Im к2 (см. рис. 3.66). Чем больше становится v по сравнению с 2ljp, тем быстрее происходит затухание одной из волн, и тем медленнее затухает другая. Если и ^> 2ир, то . ш — При условии v (| Imfci| ^> | Re fci > и волна с к\ практически не распространяется ). Вторую волну можно считать распространяющей-
102 Лекция 3 ся, если | Im &21 < | Re &21, т. е. о \ 4. vT ф 0 (v't < 1), v = 0, с^р < о;. Тогда /2 \  C.56) ВПЗ в таком потоке с диффузией, но без столкновений эквивалентны ВПЗ в потоке без диффузии, но с меньшей статической скоростью и большей плазменной частотой vot = *>оA - Vt) < уо, и т Можно показать, что фазовая скорость МВПЗ в потоке с диффу- диффузией меньше, чем в потоке без диффузии. Физически объяснить повы- повышение эквивалентной плазменной частоты за счет диффузии можно следующим образом. Колебания частиц плазмы с плазменной часто- частотой обусловлены появлением возвращающей силы — электрического поля, вызванного создавшейся неоднородностью. Эта сила стремится восстановить однородность плазмы так же, как возвращающая сила при колебаниях гармонического осциллятора, например, маятника, стре- стремится вернуть его в положение равновесия. Диффузия также приво- приводит к устранению неоднородности плотности, т. е. увеличивает возвра- возвращающую силу («упругую постоянную маятника») и, следовательно, плазменную частоту. Действие столкновений эквивалентно появлению сил трения, которые уменьшают возвращающую силу и эквивалентную плазменную частоту. Двухлучевая неустойчивость (абсолютная и конвективная неустойчивость; глобальная неустойчивость) Гидродинамическое описание электронного потока, которое привело нас к необходимости ввести понятие волн пространственного заряда, распространяющихся в потоке заряженных частиц, позволило приме- применительно к рассмотрению системы с предварительной скоростной мо- модуляцией электронного пучка существенно уточнить линейную кинема- кинематическую теорию пролетного клистрона. Рассмотрим теперь ситуацию, в которой концепция ВПЗ не просто приведет к уточнению какой-либо имеющейся теории, а позволит объяснить принцип работы двухлучевой
Волны пространственного заряда малой амплитуды 103 лампы — усилителя, в котором используются два электронных пучка с немного различающими скоростями, движущихся параллельно друг другу и сильно связанных через общее поле пространственного за- Входной Выходной ряда (см. рис. 3.7). Для улучше- с™ ^ g^™* ' ния связи между пучками в экс- _, | Vqi периментах использовались като- катоды, выполненные в виде плос- ~~1.,:,, ,v ¦..,-...-.: -,-,.-:-с,::..-.-=,.-.-.-,. -...-¦- .-.-.;¦ :.-..-.^ --\\ ких спиралей, которые вставля- —I """ ¦¦¦¦¦¦ ¦¦•¦¦¦ - - ¦// лись друг в друга, в результа- 02 01 те потоки оказывались хорошо п о _ ~ ^ л. Рис. 3.7. Схематическое изображе- смешанными. Усиливаемый сиг- Ние двухлучевого усилителя нал вводился путем модуляцией одного или обоих потоков за счет размещаемого в начале пространства взаимодействия отрезка спирали. Двухлучевой усилитель не состоялся как используемый в СВЧ-элек- тронике прибор, так как с увеличением частоты необходимо уменьшать разность скоростей потоков, а следовательно, при какой-то величине разницы скоростей получим, что с учетом теплового разброса скоростей два пучка просто неразличимы. Вместе с тем двухлучевой усилитель является классическим примером рассмотрения различных неустойчи- востей в теории волн. Рассмотрим далее два ионно-скомпенсированных потока без столк- столкновений и диффузии, которые будут описываться линеаризованны- линеаризованными гидродинамическими уравнениями, связывающими конвекционный ток и поле C.22), уравнениями для плотности конвекционного тока C.21) и уравнением Пуассона C.13). Тогда имеем: о2~ о2~ о2~ о т~1 at2 u iiZ dxdt u L'z дх2 jl,2 = Vo 1,2^1,2 + PO 1,2^1,2) C.58) 3F1 i — = — (pi + p^i). C.59) UX So Здесь индекс «1» относится к первому, а «2» — ко второму потоку. Используя стандартное предположение, что переменные величины ме- меняются по закону eja;^, систему уравнений можно переписать в виде: " l 'h+h), C.60) JLO • "-^± + 2j -^— ^ - ^— н 2 = jojso^^ E. C.61) OX \V0 1,2j OX \V0 1,2j ' «0,1,2
104 Лекция 3 Получившаяся система уравнений представляет собой самосогла- самосогласованную модель возбуждения электронного волновода электронными пучками. Первое уравнение описывает возбуждение электронного вол- волновода, два других — группирование электронного потока под действи- действием поля пространственного заряда. За счет предварительной модуляции потока с невозмущенной ско- скоростью i?o,i < ^о,2 в нем за счет инерционной группировки наблюдается модуляция по плотности пучка. Такая ситуация, как обсуждалось выше, эквивалентна распространению в пучке двух волн пространственного заряда — быстрой и медленной, фазовые скорости которых определя- определяются соотношением C.30): Уф м^ = vo,i/(l ± ир/и). Второй, быстрый пучок (г>о,2 > ^од) взаимодействует с продольной составляющей замед- замедленной волны в первом потоке, в результате чего при соответствующем выборе скорости г>о,2 второго потока последний будет отдавать энергию ВЧ-полю, т. е. будет происходить усиление сигнала. Подставив из урав- уравнения C.60) выражение для поля пространственного заряда в уравне- уравнения C.61), окончательно получим систему уравнений относительно j\ и J2,: ^2~ / ., \ Я-i", Г//,\2 /,, \2~l_ /,, \2_ 1Э [ — ) ~^Z - \\ — ) - ТГ" 31 - - [ — ) 32, C.62) дх2 J \voiJ дх ТГ^" + %3 ( — ) ~ъ ( — ) ~ ( ~^~ ) \ 32 = - ( ~^— ) 3i • C.63) OX W02/ ОХ [4^02/ \ ^02 / J \ ^02 / Данная система имеет решение j\ = j2 = 0, когда между потоками нет взаимодействия. Однако возникает вопрос: будет ли такое решение устойчивым? Для выяснения этого будем искать решение в виде ji,2 = Vli2e~jkx. C.64) Подставив соотношение C.64) в уравнения C.62) и C.63), получим систему линейных алгебраических уравнений вида: W2 = 0, ф2 = ) 1 ( Условием разрешимости этой системы уравнений является равенство нулю детерминанта системы, которое и дает дисперсионное уравнение 2 - (oj - kvOiJ(oj - kvO2J = 0. C.65)
Волны пространственного заряда малой амплитуды 105 Последнее можно переписать в виде: ——о = 1- C.66) Как показано в [3], уравнение C.66) является общим видом диспер- дисперсионного уравнения для N взаимодействующих электронных потоков с дискретным распределением по скоростям {v}i,i = 1, ..., N.B анали- анализируемом случае г = 1, 2. Упростим дальнейшее рассмотрение, предположив, что потоки идентичны (u)pi = соР2 = сор). Рассмотрим отдельно два случая: два встречных потока и два потока, движущихся в одном направлении. 1. г>01 = —^02 = vq. Тогда из уравнения C.65) получаем, что +4ш*к4* . C.67) Неустойчивость может возникнуть только в том случае, если вели- величина со будет комплексной, т. е. k2v2 \к\ <V2^. C.68) Vo Или, перейдя от рассмотрения волновых чисел к длинам волн, получим, что Хр < V2 Л. C.69) Последнее неравенство является условием того, что и — комплекс- комплексная величина, т. е. и = Re со + j Imuj. Тогда exp [jut] = exp [(j Re со — — Inid;)^]. Следовательно, при Imo; < 0 в системе будет иметь место неустойчивость. Из соотношения C.69) видно, что в данном случае неустойчивы только длинноволновые возмущения. Рассмотрим дисперсионные характеристики двух взаимодейству- взаимодействующих потоков. Как уже обсуждалось, для одного возмущенного по- потока дисперсионные характеристики имеют вид, представленный на рис. 3.2а. Тогда для двух невзаимодействующих потоков дисперсионная характеристика будет иметь вид, показанный на рис. 3.8а (штрихо- (штриховая линия). Дисперсионные характеристики, определяемые уравнени- уравнением C.67), показаны на этом рисунке сплошными линиями. Понятно, что ветви 1 дисперсионной характеристики соответствуют медленным волнам, а 2 — быстрым волнам. Это легко установить рассматривая асимптоты кривых, которыми являются прямые, соответствующие сво- свободным ВПЗ.
106 Лекция 3 Рис. 3.8. Дисперсионные характеристики двух взаимодействующих потоков, движущихся навстречу друг другу (а), движущихся в одном направлении (б). Штриховыми линиями показаны дисперсионные характеристики невзаимо- невзаимодействующих потоков. Заштрихованы области действительных значений &, при которых имеют место комплексные значения ш Из рисунка видно, что для быстрых волн неустойчивости быть не может — любым действительным к соответствуют действительные значения частоты и. Для медленных волн в диапазоне, определяемом формулой C.68), частота будет комплексной, причем при lm oj < 0 возмущения будут нарастать во времени. Таким образом в анализируемой консервативной системе существу- существует неустойчивость. Энергия, необходимая для ее поддержания, оче- очевидно, черпается из невозмущенного «неволнового» движения потоков, движущихся с постоянными скоростями. Как будет себя вести начальное возмущение со временем в такой си- системе при выполнении условия C.69)? Оказывается возмущение возрас- возрастает во времени, но не выходит за пределы некоторой области, в которую оно было внесено. Такая неустойчивость носит название абсолютной неустойчивости. 2. Электронные потоки, движущиеся в одном направлении (i?oi • • V02 > 0). В этом случае, как видно из уравнения C.66), дисперсионное уравнение имеет вид (бе? — =1- C.70) Диаграмма Бриллюэна для этого случая приведена на рис. 3.86". Диспер- Дисперсионное уравнение по-прежнему имеет четыре решения, два из которых не нарастают во времени (ветви 1), а два других (ветви 2) могут нарас- нарастать, так как действительным к соответствует область (заштрихована на рисунке) комплексных значений и.
Волны пространственного заряда малой амплитуды 107 Однако эта неустойчивость отлична от той, что в случае встречных пучков, поскольку возмущение ведет себя иначе. Так как пучки имеют скорости, направленные в одну сторону, возмущение сносится вместе с пучком: имеет место нарастание только по длине пространства взаи- взаимодействия (такназываемая конвективная неустойчивость). Отметим, что классификация вида неустойчивости зависит от выбора системы от- отсчета, в которой проводится анализ. Действительно, если в приведенном примере перейти в систему координат, движущуюся вместе с пучком, то неустойчивость в системе с попутными электронными потоками будет уже абсолютной. В заключение данного рассмотрения дадим формальное определе- определение абсолютной и конвективной неустойчивостей. Определение. Пусть функция u(x,t) характеризует некото- некоторый волновой процесс, тогда, если имеет место соотношение lim u(x,t) = 0 VxG(^i, ж2), t—>-оо то в системе имеет место конвективная неустойчивость. Если функция u(x,t) характеризует некоторый волновой процесс и имеет место соотношение lim u(x,t) = ос Vx G (xi, ж2), t—>-oo то в системе имеет место абсолютная неустойчивость. Для гиперболических систем существует следующий критерий уста- установления неустойчивости, который иллюстрируется предыдущим рас- рассмотрением: если асимптоты дисперсионных характеристик на плос- плоскости (о;, к) направлены в одну сторону, то неустойчивость конвек- конвективная, если в разные — абсолютная. В заключение заметим, что если имеется система с конвективной неустойчивостью, замкнутая в кольцо, то в этом случае иногда говорят о глобальной неустойчивости. Примером системы с глобальной неустой- неустойчивостью является лампа бегущей волны с запаздывающей обратной связью, которая будет рассмотрена в последующих лекциях. Неустойчивость Гельмгольца. Об одной гипотезе образования спиц в кольцах Сатурна (многопучковая неустойчивость) Иногда можно встретить описания двухпучковой неустойчивости (во всяком случае словесные), когда проводится аналогия с взаимо- взаимодействием двух потоков жидкости. Эта аналогия неверна. Чтобы на- наглядно доказать это, проанализируем ситуацию, в которой так же, как и в предыдущем разделе, имеет место неустойчивость двух потоков
108 Лекция 3 Граница раздела встречных потоков жидкости Рис. 3.9. Неустойчивость Гельмгольца: а — возмущения границы раздела нет — два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу друг другу; 6 — граница раздела возмущена — схематично показаны формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности тангенциально- тангенциального разрыва скорости жидкости, движущихся навстречу друг другу; потоки предполагаются несжимаемыми. Это реализуется, если рассматриваются два слоя иде- идеальной несжимаемой жидкости г), которые скользят относительно друг друга с постоянными и направленными в противоположные стороны скоростями vi и V2, участок поверхности разрыва плоский, плотности жидкости постоянны и равны pi и р2 (см. рис. 3.9а). При этих условиях жидкость с каждой из сторон от поверхности разрыва описывается уравнением Эйлера =-Vp C.71) (р — давление) и уравнением непрерывности, которое в силу сжимае- сжимаемости жидкости сводится к виду divv = 0. C.72) Линеаризуя уравнения относительно малых возмущений v, p и р, получим для верхнего слоя dvxl dvxl + v dt дх 1 дрх1 р\ дх C.73) г) Под идеальной понимается жидкость, при движении которой вектор напряжения в жидкости перпендикулярен любому элементу поверхности, независимо от того, как он ориентирован в пространстве. Математически это означает, что давление в жидкости есть скаляр, а не тензор [14]. В этом случае в жидкости отсутствуют сдвиговые силы, и в частности, силы вязкости.
Волны пространственного заряда малой амплитуды 109 C.74) 1 дрУ1 dt pi ду divv = O. C.75) В уравнении C.74) учтено, что рассматривается поток жидкости, у ко- которого постоянная составляющая скорости направлена по оси х. Приме- Применяя к первому уравнению операцию div , и учитывая, что div grad = V2, получим уравнение для переменной составляющей давления 1ГТ + ^ПГ = °- (З-76) дх ду Решение этого уравнения будем искать в виде Pi = Pi(yy(ut-kx) ¦ C.77) Тогда для pi(y) получается уравнение dy решение которого Ai ехр (—ку). Следовательно, решение уравнения C.76) при у > 0, т. е. над границей раздела, имеет вид: -~~-' а — ку j (uot — кх) / о т о \ Pi = /lie yeJK J. C.78) Смещение границы задается в виде у = y(x,t) ~ ej(ut-kx)^ Тогда по правилу дифференцирования сложной функции yl li J \ li j i/1 J \ 01/ i/1 • Из уравнения Эйлера для vy-R составляющей скорости имеем: dvyi ., j \dy\ г., , ч~1 1 dpi -jt=3("- *«oi)i" Ь(« ~ kvoM = ~ — W, откуда: Pi = -(и - кУог^рогуг/к. C.79) Очевидно, что давление снизу от границы р^ равно величине, определя- определяемой формулой, аналогичной формуле C.79), но с другим знаком, при этом необходимо учесть, что г>02 направлено в сторону противополож- противоположную Voi, т-е- Р2 = (оо -\- куО2Jро2У2/к. C.80)
110 Лекция 3 Так как давления на границе должны быть равны (р± = ^2), то из уравнений C.79) и C.80) приходим к дисперсионному уравнению (ui-kvoiJ = -l^)(uj + kvO2J, C.81) решение которого: и 02) =Ь j(i?oi + ^02)л/~Рт~р02 ] • C.82) Из решения C.82) видно, что частота является комплексной ве- величиной, причем всегда выполняется условие 1т и < 0 при действи- действительных к. Это и есть неустойчивость Гельмгольца, которая является, очевидно, абсолютной. Физический механизм неустойчивости вполне прозрачен (см. рис. 3.96). Если на границе возникает возмущение, то линии тока искажаются, а следовательно, возникают поперечные гра- градиенты давления. Из выражений для давления C.79) и C.80) видно, что это приводит к усилению возмущения. Последнее в свою очередь увеличивает градиент давления и т. д. Легко видеть, что по физике явлений неустойчивость Гельмголь- Гельмгольца отнюдь не аналогична неустойчивости двух взаимодействующих электронных пучков. В частности, для нее принципиально решение двумерой задачи. Итак, оказывается, что в двухпотоковых системах могут наблю- наблюдаться явления, связанные с возникновением неустойчивости и, как следствие ее, имеет место рост амплитуды волн. Применим аппарат, с которым познакомились, к одной из задач, непосредственно не связанной с электроникой, но являющейся красивой иллюстрацией вышеописанных явлений применительно к многопотоко- многопотоковой системе. Задача связана с астрофизикой и касается объяснения на- наблюдаемых в кольцах Сатурна азимутальных спицеобразных возмуще- возмущений [15]. Кольца Сатурна представляют собой совокупность большого числа узких колец, чередующихся со столь же узкими зазорами. Харак- Характерное время образования такого микрокольца составляет несколько десятков лет. На их фоне, как видно на фотографии (рис. 3.10а) (из работы [15]), полученной космическим аппаратом «Вояджер-2», видны азимутальные спицы, характерное время существования которых су- существенно меньше времени образования кольца и составляет несколько десятков минут. Данные неоднородности (спицы) имеют свойство обра- образовывать устойчивые структуры, состоящие из нескольких спиц. Это позволяет предположить, что образование неоднородностей связано
Волны пространственного заряда малой амплитуды 111 со, Гц 10 Рис. 3.10. Фотография части кольца В с отчетливо просматривающимися кольцевыми структурами в области спиц, сделанная К A «Voyager 2» с рас- расстояния 2.5 км (из работы [15] (а)), дисперсионная характеристика элек- электростатических волн в кольцах Сатурна при учете взаимодействия между потоками (б) с волновыми процессами в кольце г). Заметим, что и в области спицы тонкое микрокольцо не разрушается, т.е. можно предположить, что главную роль в развитии волнообразных возмущений играют продоль- продольные (азимутальные) смещения частиц, а их радиальными смещениями можно пренебречь. Оговоримся сразу же, что характерные размеры спицы Л ~ 108 -г- 109 см малы по сравнению с радиусом синхронной орбиты го ~ 1,2 • 1010 см, что позволяет рассматривать одномерную задачу. Следующим важным фактом для понимания рассматриваемой мо- модели служит то, что кольцо состоит из заряженных макрочастиц. Как следует из работ [16, 15], потенциалы макрочастиц в кольцах Сатурна столь высоки, что силами взаимного притяжения можно пренебречь, и рассматривать смесь частиц, составляющих Кольца как обычную плазму. Более того, как показывают оценки из работы [15] можно прене- пренебречь влиянием поля магнитосферы Сатурна, т. е. изменение скорости заряженных частиц будет определяться только полем пространствен- пространственного заряда и столкновениями между частицами. Система уравнений, ) Отметим, что существует и некоторые другие, отличные от нижеизло- нижеизложенной гипотезы образования спиц, однако, все они не объясняют факт упорядоченности их структуры [15].
112 Лекция 3 описывающая в линейном приближении динамику возмущений состоит из линеаризованных уравнений движения и непрерывности для частиц разных сортов в отдельных потоках и уравнения Пуассона для самосо- самосогласования задачи (уравнения записаны для одномерного случая), т. е. имеем: дх ' {6Ш) C-84) C-85) Здесь индекс г указывает на сорт частиц, j — номер потока, vT — средняя тепловая скорость движения частиц. Для простоты будем рас- рассматривать только динамику макрочастиц, а ионами и электронными компонентами в кольце пренебрежем. Это позволит, следуя [15], поло- положить vT = 0. Тогда из системы уравнений C.83)-C.85) можно получить, считая что все переменные величины изменяются по закону e3'(ut-kx)^ уравнение вида ~i l Pi = —n Потенциал ф$ можно представить так [15]: где тензор {Sl-t} описывает вклад частиц сорта г из j-ro пучка в электри- электрическое поле в области j-ro пучка. Учитывая выражение C.86), приходим к системе линейных однородных уравнений относительно /5!: Р) = ifli.i,*- C-87) Условие равенства нулю детерминанта этой системы даст дисперсион- дисперсионное уравнение, которое описывает азимутальные волны в многопотоко- многопотоковой модели кольца при сделанных выше допущениях. Рассмотрим отдельно два случая: 1. Случай невзаимодействующих потоков. Предположим, что рас- расстояние между элементарными потоками столь велико, что можно пренебречь взаимодействием между ними. Тогда в тензоре {*§]/}, как
Волны пространственного заряда малой амплитуды 113 несложно видеть, все недиагональные элементы равны нулю, так как они описывают взаимодействие между потоками. Дисперсионное урав- уравнение распадается на систему независимых уравнений, каждое из ко- которых описывает волны в одном из потоков. Все уравнения однотипны и имеют вид / г \2 Л V \шрз) _ 1 (о оо\ ' 2^ 7 1 i \2 ~~ х> (б.ъъ) i (и-куоз) где Л — коэффициент, в который входят значения диагональных эле- элементов матрицы {*Sj/}, u)pj — плазменная частота частиц сорта г в j-м пучке. Сравнивая вид дисперсионного уравнения C.88) с дисперсион- дисперсионным уравнением C.66), которое описывает взаимодействие двух элек- электронных потоков, видим, что они полностью совпадают, если рассмат- рассматривать величину y/~A(jjp как некоторую эффективную плазменную ча- частоту. Тогда все предыдущее рассмотрение неустойчивости в двухлуче- вой лампе может быть перенесено на случай электростатических волн в кольцах Сатурна в приближении слабой электростатической свя- связи между отдельными микрокольцами. И можно предположить, что в длинноволновом диапазоне (низкочастотные колебания, которые нас и интересуют) возможно развитие конвективной неустойчивости. 2. Случай взаимодействующих потоков. Рассмотрим теперь более интересный случай: волны во взаимодействующих потоках. В этом случае в тензоре {S^} будет много ненулевых элементов. Анализ дис- дисперсионного уравнения может быть произведен, если рассматривать усредненные по сечению кольца возмущения плотности, т.е. просум- просуммировать выражение C.87) по индексу j. Опуская выкладки, выпишем сразу дисперсионное уравнение для этого случая: — • In OJ _ (Ямин) = 1, C.89) где von- и von+ — невозмущенные средние скорости потоков на грани- границах кольца, von- (ймин) и von+ (ймин) — соответственно невозмущенные скорости для частиц с наименьшим геометрическим размером. Соответ- Соответствующая диаграмма Бриллюена приведена на рис. 3.10& Пунктирной линией отмечена область частот, где наше рассмотрение выходит за границы сделанных предположений г). Штриховкой отмечена область формирования спиц. Видно, что дисперсионная кривая лежит в этой области, что подтверждает возможную связь образования «спиц» с рас- рассматриваемыми волнами пространственного заряда в кольце. г) Это связано с тем, что в уравнениях движения C.83) не учтены силы Ко- риолиса, которые в диапазоне значений о; и /г, соответствующих пунктирной линии, играют важную роль в динамике частиц, составляющих кольцо.
114 Лекция 3 1,06 0,98 0,90 J ^ 3,80 1,40 -1,00 - 100,0 200,0 300,0 400,0 0,0 100,0 200,0 300,0 400,0 Рис. 3.11. Распределения скорости и плотности электростатических волн в системе трех взаимодействующих потоков, полученные в численном экс- эксперименте (из работы [17]) В работе [17] было проведено численное моделирование нелинейных уравнений, описывающих неустойчивость в многопотоковой системе. Интегрировались непосредственно соответствующие нелинейные урав- уравнения, из которых были получены линеаризованные уравнения C.83)— C.85). Не останавливаясь на методике численного решения уравнений, кратко рассмотрим результаты численного эксперимента, проведенного для случая трех взаимодействующих потоков. На рис. 3.11 приведены зависимости скорости потоков V и плотности тока потоков J от про- продольной координаты х. Невозмущенные скорости потоков соотносятся как 1 : 1,01 : 1,02. На начальном участке пространства взаимодействия начальное возмущение, подаваемое на вход системы, нарастает (это линейная стадия развития неустойчивости). Далее с ростом амплитуды возмущения становятся существенны нелинейные эффекты, которые приводят к ограничению амплитуды переменных составляющих. От- Отчетливо прослеживается структура «пиков» плотности тока по всей длине пространства взаимодействия, которая автором работы [17] свя- связывается с устойчивыми спицами, наблюдаемыми в кольцах Сатурна. Циклотронные волны До этого рассматривались только волны пространственного заря- заряда в электронном потоке. Однако электронный поток в пространстве дрейфа в присутствии аксиального магнитного поля поддерживает не только две волны пространственного заряда, но также и две циклотрон- циклотронные волны [18]. Как уже обсуждалось, ВПЗ обязаны своим происхожде- происхождением восстанавливающим силам пространственного заряда. Подобным образом возникают и циклотронные волны, которые поддерживаются
Волны пространственного заряда малой амплитуды 115 восстанавливающими магнитными силами. При этом циклотронные волны требуют поперечного возбуждения в отличие от волн простран- пространственного заряда, которые возбуждаются продольными возмущениями. Чтобы получить выражения для фазовых скоростей циклотрон- циклотронных волн, проанализируем поведение пучка в присутствии аксиального магнитного поля. Причем, предположим, что силы пространственного заряда пренебрежимо малы. Тогда уравнение движения электрона за- запишется в виде dv _ + (vV)v = -^[v,B]. C.90) Для модели, где х,у — переменные, a dz/dt = vo (постоянная про- продольная скорость), уравнение C.90) распадается на уравнения для двух компонент поперечной скорости: ^f+vo^f = -VvyB, C.91) ^+Vo^ = -VVxB. C.92) Будем, как и раньше, искать решение в виде vx = ио exp {jut — kz), vy = Avx. C.93) Подставляя соотношения C.93) в уравнения C.91), C.92) и проводя очевидные преобразования, получим А = ±j, C.94) juj — vok = TJ^cj C.95) где ojc = г)В — циклотронная частота. Из последнего выражения видно, что имеются два волновых ре- решения, которые соответствуют двум волнам — медленной и быстрой. Фазовые скорости этих волн соответственно равны уф, м,б = Л , Vo . ¦ C.96) Из последнего выражения видно, что разница в фазовых скоростях волн вызвана присутствием магнитного поля — отсюда и название — циклотронные волны. Выведенные соотношения полностью аналогичны по своему виду соответствующим соотношениям для ВПЗ, что подчеркивает общую природу этих пар волн, обусловленную силами упругого взаимодей- взаимодействия. Воспользовавшись представлениями о потоке переменной мощно- мощности, можно показать [18], что медленная циклотронная волна переносит отрицательный поток мощности, а быстрая — равный ему по величине положительный поток мощности. Аналогия с ВПЗ теперь полная, так как оба типа волн имеют одинаковые характеристики потока мощности.
116 Лекция 3 Поэтому как и в случае ВПЗ существует возможность усиления как медленной, так и быстрой циклотронных волн. Заметим также, что циклотронные волны в отличие от ВПЗ, которые являются продольными волнами, суть поперечные волны, а следова- следовательно, можно говорить о поляризации циклотронных волн. Очевидно, что поляризация будет определяться знаком аксиального магнитного поля В. Аппарат связанных волн Рассмотрим теперь систему двух связанных волн, причем природу волн конкретизировать не будем. Предположив, что связь слабая, урав- уравнения для связанных волн можно записать в виде: -р- = —k\x + с12а2, -р- = -к2х + c2iai, C.97) dx dx где &i52 — постоянные распространения волн, причем в силу слабой свя- связи они не отличаются от постоянных распространения волн в отсутствии связи, Ci2, C21 — коэффициенты связи. Затуханием волн пренебрегаем, т. е. &i52 = ^/^ф1,2 — действительные величины. В случае слабой связи общая средняя мощность приближенно равна сумме мощностей в несвя- несвязанных системах: Р = 2{|ai|2 ± |а2|2} « const, дР/дх = 0. C.98) Знак +/— соответствует волне с положительной или отрицательной энергией. Последнее выражение представляет собой выражение тео- теоремы Чу о кинетической мощности в так называемом двухволновом приближении. В частности, для электронного потока в пространстве дрейфа, теорема Чу примет вид Р = 2{\аб\2 - \ам\2} « const. C.99) Поскольку а2 = аа*, из второй формулы C.98) следует, что 0- C-100) Подставляя уравнения C.97) и комплексно-сопряженные им уравнения в выражение C.100), находим (±с*2 + c2i) aia* + (ci2 ± с*21) а\а2 = 0. C.101) Последнее соотношение справедливо для любых а± и а2- Поэтому при с12 = C2i и с2\ = с\2 получаем, что -j- (\а\\2 — \а2\2\ = 0 или ах Р = 2 (|oi|2 - Н2) = const = |fli@)|2 - |о2@)|2, C.102)
Волны пространственного заряда малой амплитуды 117 Таблица 3.1 (о;, &)-диаграмма со* i / /f со \ \ CO] i CO V ¦// / * !_/'¦ / Л \ *¦" \ \ l'f< 4 Свойства системы связанных волн /г — действительная величина для всех из и наоборот; неустой- неустойчивости нет из — действитель- действительная величина для всех к; к — ком- комплексная величина для действительных из] волны, затухаю- затухающие в пространстве; неустойчивости нет из — действительная величина для всех к и наоборот; к имеет значения, соответ- соответствующие усилению, для действительных из; конвективная неустойчивость к — действительная величина для всех действительных из; из — комплексная ве- величина для действи- действительных к; абсолют- абсолютная неустойчивость Примеры системы связанных волн Связь волн с положительной или отрицательной энергией, групповые скорости волн име- имеют одно направление. Забегая вперед отметим, что примером такого взаимодействия являет- является ЛБВ-подавитель, где имеет место взаимодействие БВПЗ с прямой волной в волноведу- щей линии передачи (волной с положительной энергией), в результате которого происхо- происходит полное подавление входно- входного сигнал Связь волн с положительной или отрицательной энерги- энергией, групповые скорости волн противоположны. ЛОВ-пода- витель; взаимодействие БВПЗ с обратной волной в волнове- дущей линии передачи (обе волны с положительными энергиями), полное подавле- подавление входного сигнал возможно на бесконечной длине про- пространства взаимодействия Связь волн с положительной и отрицательной энергией, груп- групповые скорости волн сонаправ- лены. ЛБВ-усилитель; взаи- взаимодействие МВПЗ с прямой волной в волноведущей линии передачи Связь волн с положитель- положительной и отрицательной энерги- энергией, групповые скорости волн противоположны. ЛОВ-усили- тель, ЛОВ-генератор
118 Лекция 3 где ai(O) и ^@) — значения амплитуд связанных волн в начале пространства взаимодействия. Из соотношения C.102) видно, что по мере распространения вдоль пространства взаимодействия наблюда- наблюдается либо одновременный рост амплитуд обеих волн, либо одновре- одновременное их подавление. При с\2 — —с\± и с2\ — — с\2 получаем, что ^-(|а1|2 + |а2|2) =0или Р = 2 (|ai|2 + |а2|2) = const = |ai@)|2 + |а2@)|2, C.103) т. е. увеличение амплитуды одной из волн возможно только за счет уменьшения амплитуды другой волны. Предполагая, что ai, а2 ~ ej(ut-kx) ^ и ПрИНИмая в0 внимание форму- формулы C.102) и C.103), из условия совместности системы уравнений C.97) находим следующие дисперсионные уравнения: для одинаково направленных потоков мощности - oj/v2) = |c12|2; C.104) для противоположно направленных потоков мощности (к - и/у!)(к - uj/v2) = -|ci2|2. C.105) В системе без потерь возможны четыре варианта связи взаимодей- взаимодействующих волн (см. табл. 3.1) [19, 9]. Дисперсионные характеристики соответствуют возможным вариантам связи. Эффективное взаимодействие между связанными волнами возмож- возможно только в случае, когда выполняются условия синхронизма, т. е. когда фазовая скорость одной волны близка к скорости другой волны. Так, например, при синхронном взаимодействии волны в линии передачи с одной из циклотронных волн C.95) в пучке реализуется так называ- называемый режим циклотронного резонанса. Понятно, что энергообмен при этом будет зависеть от знака энергии волн. Список литературы 1. Hahn W. Small signal theory of velocity modulated beams // General Electric Rev. 1939. V. 42. P. 258. 2. Ramo S. Space charges and field waves in an electron beam // Phys. Rev. 1939. V. 67. P. 276. 3. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебатель- колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. — Саратов: Изд-во СГУ, 1963. 4. Гаврилов М.В., Трубецков Д.И., Шевчик В.Н. Волны в потоках носителей заряда и их взаимодействие с волнами в линиях переда- передачи / Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып. 11A28). - М.: ЦНИИ «Электроника», 1973. 5. Викулов И.К., Тагер А. С. О кинетическом и квазигидродинамиче- ком методах решения задач СВЧ электроники при учете теплового
Волны пространственного заряда малой амплитуды 119 разброса скоростей электронов // Электронная техника, Сер. 1. Электроника СВЧ. 1968. Т. 8. С. 3. 6. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н. Волны пространственного заряда в электронных потоках // Известия вузов СССР. Радиотехника. 1959. Т. 2. С. 511. 7. Шевчик В.Н., Трубецков Д. И. Аналитические методы в электро- электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970. 8. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электро- электронике. — М.: Мир, 1963. 9. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984. 10. Sturrock P. A. In what sense do slow waves carry negative energy // Journal Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 2052. 11. Chu L.J. The kinetic power theorem. — IRE Electron Device Conference, Univirsity of New Hempshire, June, 1951. 12. Birdsall C.K., Brewer G.R., Haeff A. V. The resistive wall amplifier // Proc. IRE, 1953, V. 41. P. 865. 13. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959. 14. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. 15. Блиох П.В., Ярошенко В.В. Электростатические волны в кольцах Сатурна // Астрономический журнал. 1985. Т. 62, № 3. С. 569. 16. Альвен X. Космическая плазма. — М.: Мир, 1983. 17. Бессуднова И.О. К нелинейной теории электростатических волн в кольцах Сатурна // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, №5. С. 109. 18. Johnson С.С. The theory of fast-wave parametric amplification // J.Appl.Phys. 1960. V. 31. P. 1646. 19. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. — М.: Мир, 1971.
Лекция 4 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКАХ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ Однако не следует забывать, что линейные уравнения для волн... получены в результате упрощения (линеаризации) исходных нели- нелинейных уравнений гидродинамики. Поэтому представляется необходимым выяснить, при ка- каких условиях оправдано линейное приближение для волн, а также рассмотреть принципиально новые эффекты, обусловленные нелинейностью уравнений. Этим вопросам и посвящена настоящая глава. Л.М. Бреховский, В.В. Гончаров. Вве- Введение в механику сплошных сред. М: Наука, 1982. с. 291 Неизлунательная неустойчивость Пирса. Диод Пирса: от регулярных автоколебаний к хаосу. Уравнения Годфри. Конечномерная модель ко- колебаний в электронном потоке в диоде Пирса. Управление режимами колебаний в диоде Пирса. Нелинейные волны пространственного заря- заряда. Моделирование нестационарных нелинейных процессов в клистроде с помощью гидродинамических уравнений. В лекции 3 при рассмотрении многопучковой неустойчивости был сделан закономерный переход от линейной теории, которая позволила поставить и решить вопрос об устойчивости и типе неустойчивости (если, конечно, она реализуется в системе), к нелинейной теории, ко- которая позволяет анализировать динамику системы не только на на- начальном (линейном) этапе развития неустойчивости, но и исследовать пространственно-временную динамику систем в течение сколь угодно длительных промежутков времени (пока, конечно, остаются справед- справедливы гидродинамические уравнения для электронного потока). Здесь нужно отметить, что применительно к рассмотрению пучков заряжен- заряженных частиц, гидродинамический подход имеет существенное ограни- ограничение. Дело в том, что уравнения движения в переменных Эйлера
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 121 C.11) справедливы только при рассмотрении электронного пучка как сплошной среды — некоторой заряженной жидкости, скорость которой является однозначной функцией координат и времени. В электронике это не всегда имеет место. Очень часто оптимальные режимы работы электронных ламп характеризуются наличием в пучке обгонов и отра- отражений, что не позволяет использовать гидродинамический подход для описания явлений. Вместе с тем для ряда задач гидродинамический подход является наиболее оптимальным. В данной лекции будет рассмотрена именно такая система — диод Пирса, который позволяет при анализе некоторых режимов колеба- колебаний ограничиться гидродинамическим описанием. Отметим, что диод Пирса, являясь простейшей моделью электроники СВЧ, тем не менее демонстрирует многие нелинейные явления, включая динамический хаос, классический сценарий перехода к стохастичности, перестройку хаотического аттрактора с изменением управляющего параметра, син- синхронизацию хаотических колебаний внешним гармоническим сигналом. Все это позволяет рассмативать диод Пирса как эталонную модель возникновения «электронной турбулентности». В конце лекции будет рассмотрен вопрос распространения в элек- электронных потоках волновых возмущений большой амплитуды — нели- нелинейных волн пространственного заряда, а также пример применения гидродинамической теории к моделированию нестационарных нелиней- нелинейных процессов в приборах с модуляцией эмиссии. Неизлучательная неустойчивость Пирса Диод Пирса представляет собой две бесконечных плоских парал- параллельных сетки, пронизываемых моноэнергетическим бесконечно ши- широким электронным потоком. Плотность заряда ро и скорость vo по- потока на входе в диодный промежуток поддерживаются постоянными. Пространство между сетками заполнено нейтрализующим фоном непо- неподвижных ионов с плотностью pi. Плотность нейтрализующего заряда равна по абсолютной величине невозмущенной плотности заряда в элек- электронном потоке (ро = — pi). В такой системе при определенных условиях возможно развитие неизлунательной неустойчивости, которая носит название неустойчи- неустойчивости Пирса [1]. Она связана с существованием внешней обратной связи через цепь, соединяющую сетки, поскольку они заземлены [2]. Получим условия развития неустойчивости Пирса. Неустойчивость Пирса зависит от дисперсионной характеристики колебаний пучка, которые, как было показано, определяется формулой C.26). При k = ojp/vo одна из волн является стационарной (uj = 0). В случае безграничного потока это тривиальный результат (если фа- фазовая скорость волны меньше с, то всегда найдется система отсчета, в которой существует стационарная волна). Однако в ограниченной
122 Лекция 4 системе существует выделенная система отсчета, в которой волны C.26) являются стационарными, что приводит к сильной неустойчивости по- потока [3]. Введем стационарное возмущение плотности пространственного за- заряда потока, соответствующее волнам пространственного заряда (см. C.26): р(х) = psin (uipx/vo), D.1) где р — некоторая амплитуда. Возмущение плотности пространствен- пространственного заряда наводит на плоскостях диода статические заряды, которые, в свою очередь, создают поле, возмущающее движение электронов. Найдем его, воспользовавшись для этого уравнением Пуассона, при- принимающим в одномерном случае с нулевыми граничными условиями вид dx2 so K } Учитывая соотношение D.1) при граничных условиях ip@) = ip(L) = 0, имеем ер = — — [ — 1 sin ( —^— ) — — sin ( —^— ) . D.3) ?<э \Wp J L \ vo / L \ vo / ] Первый член в формуле D.3) определяет потенциал плазменных колеба- колебаний пучка, а второй — наведенное поле. Возмущение скорости электрона может быть найдено из уравнения dv р v2 . ((jjpL\ dt po L \ vo / которое позволяет проанализировать вопрос об устойчивости движения потока. Пусть sin (ujpL/vo) > 0, т. е. 2тгп < ojpL/vo < 2тг(п + 1/2), п = 0, 1, 2,... D.5) Если возмущение плотности пространственного заряда р > 0 (избыток электронов), то dv/dt > 0. Следовательно, наведенное поле способству- способствует уменьшению возмущения плотности пространственного заряда р, и избыток электронов уменьшается. Если р < 0 (недостаток электро- электронов), то dv/dt < 0, и недостаток электронов уменьшается. Следова- Следовательно, при выполнении условия D.5) пучок устойчив. Пусть теперь sin (ujpL/vo) < 0, т. е. 2тг(п + 1/2) < ojpL/vo < 2тг(п + 1), п = 0, 1, 2, ... D.6) Если р > 0 (избыток электронов), то dv/dt < 0, и наведенное поле, тормозя электроны, ведет к накоплению заряда. При р < 0 из соотно- соотношения D.4) видно, что возмущение скорости dv/dt > 0, и недостаток электронов возрастает.
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 123 Таким образом при выполнении условия D.6) электронный пучок неустойчив. Как видно из соотношения D.4), характерное время разви- развития неустойчивости (когда v становится порядка vq, f> ~ ро) L Г . (jjpL~\ Vq I Vq J -1 Отметим, что проведенный анализ позволяет лишь установить усло- условия развития неустойчивости и оценить характерное время развития неустойчивости. К чему же приводит неустойчивость, не совсем ясно, так как заряд между плоскостями диода может либо накапливаться, либо уменьшаться. В данном случае все определяется начальным воз- возмущением, накладываемым на плотность пространственного заряда потока. Различают в связи с этим мягкий и жесткий режим неустойчи- неустойчивости Пирса. В первом случае наблюдается полное прохождение тока и недостаток электронов в области между плоскостями диода. Во вто- втором режиме образуется виртуальный катод — область в пространстве взаимодействия с потенциалом, близким к ускоряющему, от которого отражается часть электронного потока обратно к плоскости инжекции, при этом наблюдается избыток электронов в диоде. Вместе с тем, при величине а = upL/vq (так называемый параметр Пирса) порядка Зтг возможно полное прохождение электронного потока х). В последнем случае рост неустойчивости Пирса ограничивается нелинейностью в системе, и в диоде наблюдается режим полного про- прохождения потока. Таким образом существует возможность описания системы в рамках гидродинамического подхода, чему и посвящен сле- следующий раздел. Диод Пирса: от регулярных автоколебаний к хаосу. Уравнения Годфри Система гидродинамических уравнений, описывающая нелинейные нестационарные процессы в диоде Пирса, состоит из уравнений Пуас- Пуассона, непрерывности и движения. Выпишем данные уравнения сразу в безразмерном виде, так как при численном моделировании всегда пользуются величинами, приведенными к безразмерному виду. Это позволяет выделять комплексы безразмерных параметров (критерии подобия), которые играют роль управляющих параметров системы, поз- позволяя свести большое число параметров «размерной» системы уравне- уравнений к нескольким параметрам для безразмерных уравнений. В данном г) Увеличение параметра Пирса а при фиксированной длине системы L и ускоряющем напряжении Vb (vo = y/2rjVo ) эквивалентно увеличению то- тока / инжектируемого пучка. Токи, превышающие критическое значение /кр, при котором в системе наблюдается неустойчивость, традиционно называют сверхкритическими токами.
124 Лекция 4 случае имеем единственный управляющий параметр, а именно пара- параметр Пирса се, представляющий собой невозмущенный угол пролета по плазменной частоте. Проведем нормировку физических величин (штрихи, стоящие над безразмерными величинами в дальнейшем будем опускать) в следующей форме: х' = Lx, t' = tot = Lt/vo- Тогда система уравнений, описывающая диод Пирса, примет вид: д\ ..2,. ^ дх2 ^ п dp _ d{pv) ~dt = дх~' dv dv dip D.7) D.8) D.9) dt dx dx' Данные уравнения решаются при следующих граничных и начальных условиях: г?@, t) = 1, </?@, t) = 0, р@, t) = 1, ^A? t) = 0. D-Ю) Система уравнений D.7)-D.10) интегрировалась численными мето- методами в конечно-разностном представлении. Построим численную схему для решения данной задачи. Во-первых, необходимо ввести функции плотности, скорости и потенциала, задан- заданные в дискретном времени и в дискретном пространстве. Для этого зададим шаг во времени Д? и шаг пространственной сетки Ах = 1/iV, где N — число узлов пространственной сетки. Будем строить явную схему для интегрирования уравнений D.7)-D.10). Это означает, что для нахождения значений функций на следующем шаге по времени используются значения этих функций только на предыдущих шагах по времени, и не используется значение функции на данном шаге г). В начале рассмотрим уравнение движения D.9). Заменяя производ- производную по времени конечной разностью вида dv(x,t) dt AT D.11) х) В отличие от этого, неявные схемы подразумевают для нахождения значений переменных на данном шаге п во времени использование значений этих переменных не только на предыдущих шагах, но и на шаге п. Типичный пример — широко известная схема Кранка-Никольсона (см. подробнее [4-6]).
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 125 где п — шаг во времени, Vj = v(xj), Xj = jAx, j = 1, ... N. Тогда выражение D.9) в конечно-разностном виде можно записать как \x,v,(p), D.12) где Т — оператор, «переводящий» значения функции v на временном слое п в значения на (п + 1) слое. Возникает вопрос: как корректно перейти к конечно-разностному представлению оператора перехода Т (так как можно самым различным образом записать пространственные производные в разностном виде)? Основной критерий выбора той или иной схемы — ее устойчивость г). Для анализа устойчивости пользуются следующей методикой. Про- Проводят линеаризацию оператора Т, и переходят к исследованию устой- устойчивости возмущения вида и = иехр (jkx). Тогда уравнение D.11) сво- сводится к уравнению вида: nn+1 = un • G(At, Ax, и, </?), D.13) где G называется коэффициентом перехода для уравнения D.12). Усло- Условием устойчивости разностной схемы будет неравенство \G\ ^ 1. Проанализируем устойчивость двух разностных схем, получаемых из уравнения движения D.9) путем замены dv/dx центрированной разностью [7] (схема «1») vn+1 _ vn nvn+1- vn_x (pn+1-(pn_1 — -\- v ¦ — — = —— — D.14) l\Ti Al\X Al\X и левой разностью (схема «2») A^ J i Ax Ax v ' Линеаризуем данные уравнения (т. е. скорость представим в виде vq + v и будем отбрасывать члены второго порядка малости) и най- найдем оператор перехода для случая ip(x,t) = 0 (понятно, что наличие внешнего поля не окажет влияние на устойчивость разностной схемы). Возмущение, относительно которого будем исследовать устойчивость разностной схемы, зададим в виде uexp(jkxj). Тогда, для схемы «1» (формула D.14)) имеем „«+1 = „» - ^ („»+1 - и]_г) , x) При всей важности критерия устойчивости разностной схемы, это не единственное требование, предъявляемое к виду Т. Другим, не менее важ- важным требованием, является консервативность разностной схемы (т. е. выпол- выполнение законов сохранения энергии и импульса), однако рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данного курса лекций.
126 Лекция 4 И окончательно Найдем теперь величину |G|, которая примет вид Таким образом получаем, что схема с центральными разностями абсо- абсолютно неустойчива (\G\ > 1 для любых значений параметров) — при любых сколь угодно малых величинах шага по времени и координате любые ошибки и возмущения в данной схеме будут нарастать во времени по экспоненциальному закону. Это далеко нетривиальный результат: применение наиболее распространенной и привычной конечно-разност- конечно-разностной аппроксимации производной приводит к «нефизическому» поведе- поведению решения. Если повторить выкладки для схемы «2», то мы придем к выраже- выражению вида: В этом случае условие, что \G\ ^ 1, принимает вид: (^± - А A _ Cos k Ax) < 0. D.16) Оценивая второй множитель своим максимальным значением max {1 — cos&Ax} = 1 получаем условие, накладываемое на шаги по времени и координате, при котором разностная схема D.14) устойчива Д*<—. D.17) vo Соотношение D.17) в вычислительной математике называется усло- условием Куранта. Условие Куранта определяет параметры сеточного раз- разбиения (в нашем случае шага по времени At и шага по координате Ах), при которых разностная схема устойчива. Разностная схема D.15) в теории решения краевых задач разност- разностными методами носит название схемы с разностями против потока [8]. Она имеет большое значение при исследовании различных потоковых систем и широко используется для решения задач в вычислительной гидродинамике, физике плазмы, электронике, метеорологии и т. д. Заметим, что из рассмотрения условия Куранта может показать- показаться, что можно брать сколь угодно большие шаги пространственно- временной сетки, если они удовлетворяют D.17). На самом деле на Ах также накадывается вполне определенное условие. Рассмотрим его, для чего представим производную по продольной координате следующим
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 127 образом: dv ~дх~ _ Vj+i - vj-i 3 Предположим, что v = ITexp (jkx). Тогда dv -и — — j i\j cte — j i\j и, OX а дискретное представление имеет вид: dv ~dx~ _ jH3-i-)*x ., sin А-Ат si = и — = -kueJ*Xj ——-r— = jkv —r-^- 2Аж j/еАж J kAx Понятно, что дискретное представление стремится к непрерывному при к Ах —у 0, когда —— —у 1. Это реализуется при к Ах ^С 1, т. е. к Ах Ах < 1/к - Л. D.18) Последнее соотношение означает, что шаг пространственной сетки дол- должен выбираться много меньше характерного пространственного мас- масштаба возмущения Л; тогда временной шаг может быть выбран из условия Куранта. Уравнения непрерывности D.8) и Пуассона D.7) также записы- записываются в конечно-разностном виде, причем первое с помощью схемы разностей против потока, а второе в виде: Соотношение D.19) представляет собой систему линейных алгебраиче- алгебраических уравнений, которые решаются стандартными методами линейной алгебры (см., например, [9, 10], а также лекцию 14). Рассмотрим результаты численного моделирования с помощью вы- вышеописанной методики сложной динамики в гидродинамической мо- модели диода Пирса. На рис. 4.1 приведена бифуркационная диаграмма колебаний плотности заряда в сечении системы х = 0,2. Бифуркаци- Бифуркационная диаграмма представляет собой отложенные по оси ординат ве- величины локальных максимумов временной реализации плотности при фиксированном значении параметра Пирса, который откладывается по оси абсцисс. Регулярным режимам на бифуркационной диаграмме соответствуют линии; развилка линии соответствует удвоению периода при переходе через некоторое критическое значение параметра. На бифуркационной диаграмме легко выделяются две области. При а большем 2,8575тг, динамика системы хорошо совпадает с ди- динамикой универсального одномерного логистического отображения, описывающего один из универсальных сценариев перехода к хаосу —
128 Лекция 4 1,0 2,8500 2,8625 2,8750 2,8875 а/я Рис. 4.1. Бифуркационная диаграмма колебаний плотности пространствен- пространственного заряда в диоде Пирса в точке х = 0,2 каскад удвоений периода Фейгенбаума [11]. Логистическое отображение жп+1 = \хп A - хп) D.20) является универсальной моделью, к которой сводится большое число систем самой различной природы, общим в которых является наблюде- наблюдение последовательности удвоений периода с изменением управляющих параметров. На рис. 4.2 показаны характеристики колебаний (временная реализация, спектр мощности и фазовый портрет) плотности пространственного заряда в сечении х = 0,2 для различных уменьшающихся значений параметра а. Фазовый портрет строился с помощью метода Такенса [11], который сводится к построению фазовых векторов вида R = {p(t),p(t ,... p(t + (n - где Т — длительность задержки метода Такенса, an — размерность про- пространства вложения (п = 2 соответствует проекции аттрактора колеба- колебаний на плоскость). Первые четыре рисунка (а-г) демонстрируют каскад удвоений периода: на них соответственно показаны режимы периода 1, 2, 4 и 8. На рис. 4.2д показан хаотический режим, возникающий после каскада удвоений периода. Из рассмотрения восстановленного фазового портрета видно, что аттрактор представляет собой узкую ленту в фа- фазовом пространстве. В работе [12, 13] данный режим назван ленточным хаосом. Характеристики ленточного хаоса подобны характеристикам хаотической динамики в простых конечномерных системах, в которых также наблюдается переход к хаосу через удвоения периода, например, классической системе Ресслера [14]. При а < 2,8575тг размер аттрактора возрастает, и внешний вид диаграммы уже не соответствует диаграмме, построенной для логи- логистического отображения. В терминологии работы [12] это режим спи-
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 129 P(J) -45 a -90^ 0,0 P(f) -45 б -90 0,0 W -45 ?-90 0,2 0,2 0,2 0,0 0,2 -45 ?-90 0,0 W -45 3-9O p(/)o,o -45 ?-90 / 0,2 / 0,0 0,2 / P0 1,9 0,9 Pit) 1,1 0,9 P© 1Д 0,9 P© 1,1 0,9 P© 1,1 0,9 P© 1Д 0,9 p(t+T) Pjt+T) pQ+T) p(t+T> 122,9 Рис. 4.2. Спектр мощности, фазовый портрет и временная реализация колебаний плотности заряда при следующих значениях параметра Пирса: (а) а = 2,88тг — цикл периода 1; (б) а = 2,87тг — цикл периода 2; (е) а = 2,8665тг — цикл периода 4; (г) а = 2,8655тт — цикл периода 8; (д) а = 2,865тг — ленточный хаос; (е) а = 2,86тг — спиральный хаос рального хаоса, который характеризуется существенным усложнением колебаний в диоде (рис. 4.2е). Покажем, что при определенных условиях из исходных гидроди- гидродинамических уравнений, описывающих диод Пирса, можно получить логистическое отображение. Для этого от системы дифференциальных уравнений в частных производных перейдем к системе двух связанных интегральных уравнений с запаздыванием относительно поля Eq на входной сетке системы и времени пролета Т частиц через диодный промежуток [15, 16]. 5 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
130 Лекция 4 Перепишем уравнение Пуассона в виде 0-ff-,,,,-,,. <4.И) Граничное условие ср(О) = срA) = 0 можно записать как 1 \Edx = 0. D.22) о Продифференцируем D.21) по времени. Тогда д дЕ 2др т^ = ат- D23) Подставляя этот результат в уравнение непрерывности получим Ё1 = дЛЕ^1 = а2^ = А (±ЁЕ\ D 24) = = а = (± Эх дх dt дх\а2 dt Из уравнения Пуассона можно найти выражение для плотности про- пространственного заряда Р=У^ + 1. D-25) Подставляя выражение D.25) в уравнение D.24), получим: дЕ ЭЕ + дх [а2 \" дх ' dt ' ' " ' ~ *" D6) Учитывая, что полная производная записывается как dE(x,t) дЕ дхдЕ дЕ ^Б dt dt dt дх dt дх' [ ' ' из уравнения D.26) находим f [Л f + §1 = О- D-28) дх la dt dt] Проинтегрировав это выражение по ж, и учитывая при нахождении константы интегрирования соотношение D.24), получим: ±\Е 1 1 дЕ +\^? dt D.29) где из условия нормировки следует, что poVo = 1, (дЕ(х, t)/ddt)x=o = = dE0(t)/dt = dEo/dt. Проинтегрировав уравнение D.29) по времени, учитывая из уравне- уравнения движения, что Е = d2x/dt2, получим: 4 + ж = ^^4 + ^ = Л ВД) + (* - h). D.30) a a at a
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 131 В качестве начальных условий здесь выбрано х = О, t = ti, d2x —— = Eo(ti). В принципе система уравнений D.9), D.30) dt2 х=о полностью эквивалентна исходной системе гидродинамических уравнений. Однако она не дает устойчивых во времени решений при численном моделировании. Поэтому обычно переписывают полученную систему уравнений в другом виде. Умножим левую и правую часть уравнения D.30) на функцию sin (a(t — s)) и проинтегрируем от s = t\ до s = t. Выпишем отдельно получающиеся интегралы в левой и правой частях D.30). Это с исполь- использованием интегрирования по частям даёт 11Л tl — —2" sin (a(t — s)) ds + a x sin (a(? — s)) ds = a dt J = — —j sin (a(t — ti)) + ax, D.31) (s - h) sin (a(t - s)) ds = -\ sin (a(t - h)) + a(t - h). D.32) a Окончательно из уравнения D.30) с учетом интегралов D.31) и D.32) имеем: t x(t) = (t - h) + - [ E0(s) sin (a(t - s)) ds. D.33) CM. J tl d2x Такж;е из уравнения D.30), с учетом, что —^ = E(t), находим: dt t E(t) = E0(t) - - [ E0(s) sin (a(t - s)) ds. D.34) ti Таким образом от системы уравнений Пуассона D.7), непрерывности D.8) и движения D.9), пришли к системе связанных интегральных уравнений D.33) и D.34). Чтобы ее решить, необходимо задаться соот- соответствующими граничными условиями. Подставляя в D.33) граничные условия х = 1, t = Т — ti (Т = T(t) — время пролета через диодный промежуток), получим: t 1 = Т + - \ E0(s)sin(a(t- s)) ds. D.35) t-т
132 Лекция 4 Здесь Т и Eq — неизвестные функции времени. Подставим в уравнение D.22) выражение для Е, полученное из соотношения D.30). Тогда (t-t1)-a2x, D.36) а а 1 1 2 _1 [ е dx = Щ± + [ (* -t1)dx- — = 0. D.37) a J a J 2 о о Вычислим интеграл в выражении D.37). Для этого перепишем его в виде ](t-t1)dx= о Производную dx/dti найдем из D.33), и тогда 1 Ut-t1)dx = - о i 2 * = ^- + - f ^o(s)(*-s)sin(a(t-s)) ds. D.38) 2 a J t-T Объединяя выражения D.37) и D.38), окончательно получаем 2 Ь E0(t) = ^(l-T2)-± J E0(s)(t-s)sin(a(t-s))ds. D.39) t-т Таким образом пришли к системе уравнений D.35) и D.39), которые называются уравнениями Годфри. Получим из них логистическое отоб- отображение, следуя работе [13]. Введем обозначения: t h = - \ E0(s)(t- s) sin (a(t- s)) ds, t-T t I2 = — Eq(s) sin (a(t - s)) ds. t-T Тогда уравнения Годфри запишутся в виде: 1 = Т + ^/2, D.40) lE0(t) = ^(l-T2)-±-h. D.41) Предположим, что время пролета слабо меняется в пределах одно- одного периода колебаний. В этом случае с точностью до членов первого
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 133 порядка малости можно считать, что Т « const. Это предположение справедливо вблизи значений су, соответствующих границе устойчиво- устойчивости, где движение потока близко к стационарному. Из уравнения D.40) имеем T = l-i /2. D.42) Подставив соотношение D.42) в формулу D.41), находим E0(t) = a(h-I1)-?. D.43) Предполагая малое изменение величины Eq за время Т, легко полу- получить для интегралов оценки вида h « -(Т cos (аТ) - sin (аТ)/а)Ео№)/а = /3#o(*D> h « -A - cosaT)E0(t*2)/a = 7^o(^), где t* и t\ — некоторые моменты времени из интервала [t — T,t]. Далее предположим, что t\ ~ t\. Это очень сильное предположение, однако, его справедливость в конечных пределах следует из результатов численного моделирования. Тогда E0(t) = a(-rE0(t - т) - 0Eo{t -r))-\ E%{t - т). D.44) Обозначив Ai = аG — /5), А2 — 7 /2 перепишем последнее соотноше- соотношение в виде E0(t) = Ai??0(* - т) - A2E$(t - т). D.45) Переходя к дискретному времени tn = п • т (п = 1, 2 . . .) и вводя новую переменную E'Q = (A2/Ai)?ch придем к выражению, которое совпадает по виду с логистическим отображением D.20). Действитель- Действительно, имеем, что E'0{tn+1) = Ai?U(in) (I - E'0(tn)). D.46) Здесь величина Ai представляет собой управляющий параметр, экви- эквивалентный параметру Л в логистическом отображении D.20). Как следует из структуры уравнений D.44), величина 1^ опреде- определяет нарастание плотности заряда в потоке, а 1\ — нелинейные свой- свойства, связанные с воздействием формирующегося в потоке электрон- электронного уплотнения на его движение. Квадратичное отображение D.46), представляющее собой отображение с единственным максимумом (см рис. 4.3а), определяет основные особенности превращений энергии в гидродинамической модели. Из работы [17] следует, что отображе- отображение жп+1 = g(xn) с функцией g(x), имеющей единственный максимум
134 Лекция 4 xn+i 0,50 (в рассматриваемом случае это логистическое отображение с g(xn) = = ХхпA - хп) D.20)), характеризует процессы, в которых рост возму- возмущений происходит при малых значениях переменной хп. Далее при пре- превышении некоторого порога, равного максимуму функции g(x), проис- происходит ограничение неустойчиво- неустойчивости — уменьшение величины хп. В рассматриваемой распределен- распределенной системе этому соответству- соответствуют, во-первых, рост возмущения за счет торможения потока и, как следствие, рост плотности заряда в диодном промежутке при малых значениях Eq. За счет накопле- накопления заряда при этом наблюдает- наблюдается увеличение напряженности по- поля Eq. И, во-вторых, ограниче- ограничение роста возмущения, связанное с ускорением потока в возросшем поле Eq. В результате этого плот- плотность пространственного заряда падает, и величина Eq уменьша- 0,0 0,50 0,87 0,78 0,70 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 X Рис. 4.3. Вид квадратичного (логи- (логистического) отображения D.20), по- построенного при Л = 2,2 (а); бифур- бифуркационная диаграмма для логисти- логистического отображения (б) ется. Далее процесс повторяется. Итак, из уравнений гидро- гидродинамической модели с помо- помощью перехода к уравнениям Год- Годфри было получено логистиче- логистическое отображение. На рис. 4.3? приведена бифуркационная диа- диаграмма, полученная для логистического отображения D.20) с увели- увеличением параметра Л. Величина Ai уменьшается с ростом параметра Пирса су, следовательно, в отображении D.46) с увеличением а будет наблюдаться обратный каскад удвоений периода. Последний результат является очень интересным — удалось свя- связать поведение сложной распределенной, а следовательно, бесконеч- бесконечномерной системы с поведением универсального класса конечномер- конечномерных систем — логистическим отображением, которое демонстрирует некоторые особенности, присущие исходной распределенной системе, описываемой уравнениями в частных производных. Конечномерная модель колебаний в электронном потоке в диоде Пирса Анализ в гидродинамическом приближении движения в диодном промежутке путем численного решения исходной системы дифферен- дифференциальных уравнений D.7)-D.10) дает наиболее полную информацию
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 135 о процессах в этой системе. Однако естественным является стремле- стремление получить более простое описание системы, например, с помощью конечномерной аппроксимации уравнений. Подобный подход, конечно, ограничивает область управляющих параметров, в которой можно ис- использовать данное решение. Вместе с тем, переход от распределенной системы, описываемой уравнениями в частных производных, к конеч- конечномерной системе позволяет получить более ясное представление о фи- физических процессах, происходящих в системе, упростить ее моделиро- моделирование. В конце предыдущего раздела был сделан переход от системы гид- гидродинамических уравнений к системе двух связанных интегральных уравнений с запаздыванием (уравнения Годфри). Далее на основе урав- уравнений Годфри была построена простейшая модель динамики потока в диоде Пирса — отображение, описывающее обратный каскад удвое- удвоений периода с увеличением параметра а. Однако наряду с переходом к уравнениям с запаздыванием и от них к простейшему нелинейному отображению, возможно построение конечномерной модели из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, демонстрирующей ха- характерные особенности процессов в диоде Пирса. Для ее построения воспользуемся традиционным методом постро- построения упрощенных моделей распределенных систем, а именно разло- разложением движения в системе по характерным модам линейной задачи [18, 19]. Впервые описание линейной динамики в диоде Пирса на языке пространственных мод было дано в работах Куна [20, 21]. Хаотическая динамика электронного потока в плазме в данном прибижении изу- изучалось в работе [22], однако, выбор основных пространственных мод в ней был произволен и не обоснован, и исследовались только условия возникновения бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим поэтому, следуя работе [13], методику построения упрощенной конечномерной модели динамики электронного потока в диоде Пирса на базе метода Галеркина [5, 18]. В работе [20] показано, что в области изменения параметра Пирса a Е Bтг, Зтг) в системе возбуждается бесконечное число мод с частотами, определяемыми из дисперсионного уравнения [{w2 + 1) sin a + 2jw cos a] + v-2 - aw2 - 2jw}(w2 - 1) =0, D.47) где w = oj/ojp. В случае диода Пирса линейные моды были определены в работе [20]. Покажем связь линейных мод нашей задачи и наблюдае- наблюдаемых пространственных распределений электронных волн, следуя этой работе. Результаты решения дисперсионного уравнения D.47) представ- представлены на рис. 4.4. При этом показаны только решения с наименьшим значением Im ш, которым соответствуют наименее быстро затухающие моды. В области значений параметра Пирса a Е Bтг,3тг) собственные
136 Лекция 4 Re ю/я Im т/ж 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 о/тс 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 а/ж Рис. 4.4. Решение дисперсионного уравнения для диода Пирса значения нашей задачи имеют вид Ai52 = Retui52 — j Imvui^, A3 = = 1тгоз, т.е. можно выделить два осциллирующих решения и одно чисто затухающее. Каждому собственному значению Xs соответствуют свои простран- пространственные распределения мод. Так, например, для моды напряженности поля пространственного заряда имеет место распределение As — -1 D.48) и наблюдаемое распределение поля, соответствующее моде с номером s, описывается функцией Е = СЕ8(х, + к.с. D.49) Здесь С и 7 — действительные константы. Последнее уравнение с уче- учетом выражения D.48) примет вид Е = С [Re Es cos (Re uost + 7) + Im Es sin (Reojst + 7)]eImWe* + + jC [Re Es cos (Re ust + 7 + тг/2) + + Im #s sin (Reujst + 7 + тг/2)]е1тс^. D.50) Из соотношения D.50) видно, что действительная и мнимая часть каждой из мод в линейном приближении имеет одинаковую динамику с различием в фазе на тг/2. Без потери общности при помощи выбора констант С и 7 перейдем к чисто действительным модам, наблюдаемым в численном эксперименте, а именно к Е = [ReE8cos(Rew8t) + Im E8 sin (Rew8t)] elmuJst. D.51) Собственные моды, соответствующие Ai52, демонстрируют одинаковое поведение. Для них можно видеть, что наблюдаемая мода есть супер- суперпозиция двух растущих стоячих волн с различным пространственным
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 137 60 2,0 -2,0 -6,0 -10,0 4 /* /* 1 ~2 4 \ "~~~~--A -" """" ~~ """^ " " \ \ \ „ Q6 распределением и сдвигом по фазе во времени тг/2 (см. рис. 4.5, кри- кривые 1,2, на котором приведены пространственные распределения соб- собственных мод). В результате наблюдаемое пространственно- временное распределение величин представляет собой распространяющийся волновой пакет. Динамика этого пакета определяется как мнимой, так и действительной частью величины Es. Мода, соответству- соответствующая Аз, является затухающей, и наблюдаемое распределение (рис. 4.5, кривая 3) определяется функцией ReEs. Аналогичный вид имеют линейные моды и для других переменных. В качестве исходного базиса («пробного решения» в терминологии метода Галеркина) для конеч- конечномерной аппроксимации используем набор собственных функций ли- линейной задачи з 8 = 1 Рис. 4.5. Собственные моды (про- странственные распределения) ли- нейной задачи о возбуждении коле- бании электронного потока в диоде Пирса; ^ 2 _ осциллирующие моды; ^ _ чист0 затухающая мода D.52) 8 = 1 3 8 = 1 где Rs, Vs иФ8 — пространственные распределения, соответствующие А.. Подставив пробное решение D.52) в исходную систему уравнений D.7)—D.9), записанную относительно малых возмущений, будем иметь отличный от нуля вектор невязки Ф = (Ф]_, Ф2, ^зM компоненты кото- которого записываются в виде Ol (Rlx + ^ж) + ^2 (R2x + ^2ж) + a\{R1V1)x + о|(Д2 )x + a2a3(R2V3 )ж, D.53)
138 Лекция 4 Ф2 = oiVi + CL2V2 + ^3^3 + fll (Ф1Ж + Via;) + ^2 (^2Ж + ^2ж) + + аз (Фзх + Узх) + a\VxV\x + alV2V2x + + ^з^з^3ж + a1a2(V1V2x + V^Vi^) + а2а3(К2К3ж + К3К2ж), D.54) a2R2) + а3(^зжж + «2^3), D.55) где введено обозначение (-)х = тг~(')- Введем определение внутреннего произведения [5]: 1 (f*g)=\fgdx. D.56) о При обращении к методу Галеркина неизвестные коэффициенты as находятся из решения матричного уравнения вида х Ф2 =0. D.57) Производя элементарные преобразования с учетом выражений D.53)— D.55), получим матричное уравнение для определения коэффициен- коэффициентов as в виде MA + BA + D = 0, D.58) где А — вектор, составленный из неизвестных коэффициентов а,{. Эле- Элементы матриц М и В даются выражениями niij = (Rj x R{) + (Vj x R{) , Элемент матрицы D соответствует формуле di = E 4 KRkVk)x Ri + A; + E E a/fefl/Kfi/feVi + ^V^^ + ^Vi^ + Vi^JVi]. D.59) к /, /^fe Разрешая уравнения D.58) относительно d^, получим явные уравнения: Cbi(t) = /lltti + /12^2 + ^13^3 + ^14^1 + ^15^2 + ^16^3 + + /18^1^1 + /19^1^3, D.60)
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 139 2,77 2,79 2,81 2,83 Рис. 4.6. Бифуркационная диаграмма колебаний в конечномерной модели с изменением параметра Пирса (а); увеличенный фрагмент бифуркацион- бифуркационной диаграммы, демонстрирующий область хаотической динамики и окна периодичности (б) /270203 + 128СЦСЦ , D.61) + /38^1^1 + /39^1^3- D.62) Коэффициенты /^ получаются из численного решения неявных уравнений. Нелинейности системы D.60)-D.62) являются квадратич- квадратичными и появляются в результате кинематических нелинейностей и нели- нейностей, входящих в уравнение непрерывности. Структура уравне- уравнений такова, что моды 1 и 2 возбуждаются в результате неустойчивости типа отрицательного трения, а их энергия передается в линейно зату- затухающую 3-ю моду. Динамика конечномерной модели D.60)-D.62) представлена на би- бифуркационной диаграмме (рис. 4.6). Из рисунка можно видеть, что би- бифуркационная диаграмма имеет вид, характерный для перехода к хаосу через удвоения периода. Из диаграммы также хорошо видна близость бифуркационных значений для гидродинамической (рис. 4.1) и конеч- конечномерной моделей. Однако окна периодичности и обратные бифуркации
140 Лекция 4 удвоения периода, характерные для перехода к хаосу через каскад удвоений периода, значительно лучше видны в конечномерной модели, так как в этом случае учитывается взаимодействие только трех мод. Как и в исходной системе, в модели сохраняются два типа хаотической динамики — ленточный и спиральный хаос. Это можно заметить по виду бифуркационной диаграммы: при а > 2,79тг динамика системы характерна для перехода к хаосу через удвоения периода; при а « 2,78тг наблюдается возрастание амплитуды колебаний, и система переходит в режим спирального хаоса. Таким образом конечномерная модель D.60)-D.62), полученная на базе разложения Галеркина, демонстрирует динамику, которая как качественно, так и количественно подобна поведению исходной рас- распределенной системы. Из этого следует, что поведение электронного потока в диоде Пирса в режиме полного прохождения определяется взаимодействием небольшого числа мод. Моделирование динамики ко- конечномерной модели может быть проведено существенно более просто и с существенно меньшими затратами машинного времени, чем исход- исходной системы гидродинамических уравнений D.7)-D.10). Последнее де- делает перспективным использование таких моделей для изучения и опти- оптимизации активных систем, представляющих собой несколько связанных систем со сверхкритическим током г). На возможность такого модели- моделирования указывает изложенное в следующем разделе описание влияния обратной связи на процессы в диоде Пирса. Последнее рассматривается на примере как гидродинамической, так и конечномерной модели дина- динамики электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса. Управление режимами колебаний в диоде Пирса Рассмотрим вопрос: возможно ли управлять сложными режимами колебаний в диоде Пирса 2) ? По-видимому, одним из эффективных способов управления является введение в систему управляемой обрат- обратной связи. Впервые в электронике СВЧ это было сделано В.Я. Кис- ловым [25, 26] для получения шумоподобных колебаний в ЛБВ с за- запаздывающей обратной связью (подробнее этот прибор будет обсу- ) Такие системы привлекают большой интерес для различных приложе- приложений, например, использование приборов с виртуальным катодом в качестве модулей фазированных антенных решеток (см. работы [27]-[30]). 2) Кроме очевидного практического интереса к этому вопросу, связанного с возможностью устранения нежелательных паразитных и шумоподобных колебаний в случае возникновения в электронных и ионных потоках неустой- неустойчивости Пирса, изложенное в данном разделе интересно с точки зрения общих вопросов управления сложными режимами колебаний в распределен- распределенной автоколебательной системе. Во многом интерес к этим исследованиям стимулирован большими успехами в управлении хаосом в конечномерных и дискретных системах (см., например, [23, 24]).
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 141 ждаться в лекции 14). В лекции 2 рассматривалась хаотизация ко- колебаний в простой модели пролетного клистрона с обратной связью. Не меньший интерес вызывает возможность разрушения хаотической динамики в распределенной системе. В работах [31, 32] рассмотрено влияние внешней обратной связи на сложные колебания в диоде Пирса. В них показано, что при определенных параметрах обратной связи возможно подавление хаотической динамики в диодном промежутке и установление различных типов периодических колебаний. Изложим приведенные в работах [31, 32] результаты. Внешняя обратная связь в [31] вводится путем модуляции разно- разности потенциалов между входной и выходной сетками диода сигналом, снимаемым из некоторого сечения х = хос пространства взаимодей- взаимодействия. В качестве такого сигнала используются колебания плотности пространственного заряда р(хос, i) в межсеточном пространстве. Вве- Введение такой обратной связи можно рассмотреть как подключение к про- пространству взаимодействия цепи (волновода) обратной связи с линией задержки. В гидродинамической модели введение обратной связи приводит к изменению граничного условия D.10) для потенциала на правой границе системы, а именно ?>A, *) = foc(t) = Л • [р(хос, t -d)- po] • D.63) Здесь А — коэффициент обратной связи, характеризующий какая часть мощности колебаний ответвляется в цепь обратной связи, d — запазды- запаздывание в цепи обратной связи. В этом случае требуется задать сигнал в цепи обратной связи на временном интервале t Е [—d, 0). Считая, что развитие процессов в системе начинается в момент времени t = 0, а при t < 0 плотность пространственного заряда невозмущена p(x,t) = ро, начальное распределение функции foc задается в виде /oc|ieM,0)=0- D-64) Точка подключения обратной связи в пространстве взаимодействия не изменяется: хос = 0,2. Значение параметра Пирса, при котором исследовалось влияние обратной связи, а = 2,86тг. При этом значении а в системе без обратной связи наблюдается режим спирального хаоса (см. рис. 4.2е). Анализ зависимостей плотности пространственного заряда от вре- времени в различных сечениях х = Жфикс диодного промежутка показал, что характеристики колебаний (спектр мощности, фазовый портрет, корреляционная размерность [33] и максимальный ляпуновский по- показатель [34]), рассчитанные по временным реализациям р(хфИКС,г), оставались постоянными с изменением координаты Жфикс. Это свиде- свидетельствует об отсутствии пространственного хаоса и позволяет для ана-
142 Лекция 4 Рис. 4.7. Разбиение плоскости параметров длительность задержки d — ко- коэффициент А обратной связи на различные режимы колебаний для гид- гидродинамической модели диода Пирса. Символами Тп обозначены области периодических колебаний с циклами периода п лиза поведения системы рассматривать колебания р(хфИКС, t) в каком- то одном сечении диодного промежутка. На рис. 4.7 на плоскости управляющих параметров d и А выделены области с различными колебательными режимами. Характерный вре- временной масштаб колебаний в потоке без обратной связи в безразмерных единицах времени г = 4,06. При малых значениях коэффициента обратной связи А ^ 1 наблю- наблюдаются хаотические колебания аналогичные колебаниям в диоде без обратной связи. Временная динамика в этом случае сильно нерегуляр- нерегулярна, однако, в спектре мощности на фоне высокого шумового пьедестала наблюдается хорошо выделенная основная частота /о = 1/т и слабо вы- выраженная её гармоника 2/q. Анализ аттрактора в фазовом пространстве показывает, что вокруг состояния неустойчивого равновесия системы образуется петля, на которой движение системы замедляется. При этом область в фазовом пространстве, занимаемая остальным аттрактором, плотно заполняется фазовой траекторией. Во временной реализации также хорошо заметны периоды движения по петле возле состояния однородного равновесия (с малой амплитудой колебаний плотности про- пространственного заряда р(ж, t) « 0) и периоды движения по остальному аттрактору (колебания с увеличивающейся во времени амплитудой). Увеличение А приводит к различному поведению в зависимости от длительности запаздывания в цепи обратной связи. При d > т/2 с увеличением А наблюдается увеличение сложности колебаний в элек- электронном потоке; одновременно возрастает их амплитуда.
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 143 Дальнейшее увеличение А приводит к качественно иной динамике системы. Амплитуда колебаний быстро растет с течением времени и, начиная с какого-то момента, в потоке возникают отраженные элек- электроны — в системе возникает колеблющийся во времени и простран- пространстве виртуальный катод, от которого отражается часть электронно- электронного потока обратно к плоскости инжекции. Колебательная динамика в диодном промежутке определяется двумя основными механизмами — развитием неустойчивости Пирса и ограничением её нелинейностью. Введение обратной связи с А > 0,02 способствует разрушению меха- механизма нелинейного ограничения и, как следствие, неограниченному росту неустойчивости, заканчивающейся формированием виртуально- виртуального катода. Гидродинамическая модель корректно описывает процессы в потоке только при отсутствии в нем обгонов и отражений частиц, в противном случае уравнения D.7)-D.9) становятся несправедливыми. Критическое значение коэффициента обратной связи Лвк5 ПРИ котором в диодном промежутке с обратной связью появляются отраженные частицы и формируется виртуальный катод, зависит от длительности запаздывания. Как видно из карты режимов, с увеличением d величина ^вк уменьшается. При длительности запаздывания d < т/2 с ростом А сложность колебаний в электронном потоке уменьшается; в диоде возникают ре- регулярные колебания Тп. Из рис. 4.7 видны особенности переходов от одних режимов к другим при изменении параметров обратной связи. При небольших А колеба- колебания в диоде остаются хаотическими, однако, их сложность уменьшается по сравнению с колебаниями в диоде без обратной связи. Аттрактор представляет собой узкую ленту в фазовом пространстве (режим лен- ленточного хаоса). С ростом А в хаосе возникают окна периодичности (например, режимы Тз и Т§). При А > 0.03 имеет место переход к пе- периодическим колебаниям через обратный каскад удвоений периода . . . ... ->Ti6 ->Т8 -> ...->Ti. Возникает вопрос: какие процессы, протекающие в электронном потоке, определяют вышеописанную динамику исследуемой системы? Исследование распространения электронных волн в пучке показыва- показывает, что поведение системы определяется приближением её состояния к однородному состоянию равновесия р(х) = ро, v(x) = vo, <р(х) = ipo. Расстояние текущего состояния системы от неустойчивого равновесия может быть определено как \ 2 + (<р(х t) ipJ + (v(x t) vJ , t) - р0J + (<р(х, t) - ip0J + (v(x, t) - v0J } dx D.65) Рис. 4.8 иллюстрирует изменения величины отклонения системы от неустойчивого состояния равновесия с течением времени в случае хао-
144 Лекция 4 1,0 а 100 120 140 160 180 200 220 t S 2,0 1,0 б 120 140 160 180 200 220 t Рис. 4.8. Зависимость расстояния S от текущего состояния системы до неустойчивого равновесия тических (режим спирального хаоса) (а) и регулярных (цикл периода 1) (б) колебаний системы. Можно видеть, что в первом случае система в некоторые моменты времени очень близко подходит к состоянию равновесия (р(ж, t) « 0), и амплитуда волнового движения около него близка к нулю. За счет неустойчивости происходит нарастание коле- колебаний до ограничения их нелинейностью. Далее процесс повторяется. Однако всякий раз значения величины S около положения равновесия оказываются различными, также различными оказываются простран- пространственные распределения величин около состояния равновесия. Поэтому развитие неустойчивости начинается каждый раз с новых начальных условий и динамика системы сильно нерегулярна. Степень нелинейности системы можно проанализировать путем вы- вычисления нелинейных энергетических функционалов [35] dx - -, /p = - pep dx, о D.66) которые соответственно описывают переход энергии основного дви- движения потока в кинетическую энергию волнового возмущения пучка и потенциальную энергию поля пространственного заряда. В режимах хаотической динамики максимальные значения функционалов больше, чем для регулярных процессов: это указывает на большую степень нели-
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 145 -0,04 -0,08 Рис. 4.9. Зависимость разности энергий возмущения (Wp — Wk) от времени для режима развитого хаоса (сплошная линия) и регулярных колебаний периода 1 (штриховая линия) нейности в режиме развитого хаоса. На рис. 4.9 показана зависимость величины AW = Wv — Wk от времени, которая характеризует процес- процессы преобразования различных видов энергии в процессе колебательно- волновой динамики в пучке. В режиме периодической динамики видно (штриховая линия на рис. 4.9), что энергия регулярно переходит из кинетической в потенциальную, причем максимумы зависимости соот- соответствуют накоплению заряда в межсеточном пространстве. В режиме хаотической динамики на зависимости AW(t) (сплош- (сплошная линия на рис. 4.9) видны моменты времени, когда AW « 0. Это соответствует положению системы возле состояния неустойчивого рав- равновесия. Далее энергия волнового движения опять начинает нарастать во времени. Уменьшение энергии возмущения и длительное движение около состояния неустойчивого равновесия наблюдается только после резкого возрастания величины |AVK|. Физически это связано с тем, что в этом случае в пучке возникает стоячая электронная волна, плотность пространственного заряда которой в области выходной сетки резко возрастает. Тогда тормозящее поле этого электронного уплотнения сильно уменьшает скорость пучка ниже по координате, и как следствие, диодный промежуток покидает значительно большее количество элек- электронов, чем поступает в него. На рис. 4.10 показаны пространственно- временные распределения волны пространственного заряда. Из него видно, что в режиме спирального хаоса (рис. 4.10а) наблюдается рост амплитуды волновых движений. После превышения амплитудой волны критического значения наступает практически полное подавление ко- колебаний в диоде. Далее, как уже обсуждалось, процесс повторяется, но уже с новых «начальных условий». Включение обратной связи позволяет разрушить данный механизм хаотизации колебаний. При длительности задержки d < т/2 сигнал
146 Лекция 4 Рис. 4.10. Пространственно-временные распределения волны пространствен- пространственного заряда в диодном промежутке для режима развитого хаоса (а) и регу- регулярных колебаний (б) обратной связи действует так, что способствует уменьшению накопле- накопления заряда в выходной области диода и ускорению пучка в моменты времени, когда имеет место максимум величины р. В результате рост амплитуды электронных волн, распространяющихся в пучке, ограни- ограничивается и, как следствие этого, степень нелинейности уменьшает- уменьшается: система не приближается к состоянию неустойчивого равновесия (рис. 4.106). При d > т/2, наоборот, сигнал обратной связи способствует
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 147 Колебания виртуального катода Т\ Колебания виртуального катода 0,02 0,01 Хаос 0,0 0,50 1,00 1,50 d 2,00 2,50 3,00 Рис. 4.11. Разбиение плоскости параметров длительность задержки d — ко- коэффициент А обратной связи на различные режимы колебаний для конеч- конечномерной модели колебаний в гидродинамической модели диода Пирса росту амплитуды электронных волн, и как следствие, за счет вышеопи- вышеописанного механизма наблюдается усложнение динамики пучка, что при больших А приводит к формированию виртуального катода. Введение обратной связи в конечномерную модель производится путем добавления в правую часть каждого из уравнений D.60)-D.62) сигнала /осМ? который формируется следующим образом: = А • [ai(t - d) + a2(t - d) + a3(t - d)] . D.67) Такая обратная связь во многом эквивалентна той обратной связи, которая вводится в гидродинамическую модель диода Пирса. Сигнал обратной связи в распределенной модели формируется как величина плотности пространственного заряда в точке жос пространства взаимо- взаимодействия. В соответствии с разложением D.52) сигнал обратной связи в сосредоточенной модели должен быть взят как сумма амплитуд всех трех высших мод. Одновременно, сигнал обратной связи воздействует на каждую из мод, что отражается добавлением слагаемого /осМ в каждое из уравнений конечномерной модели. На рис. 4.11 представлена карта режимов на плоскости управляю- управляющих параметров And при значении параметра Пирса а = 2,774тг. При этом значении параметра Пирса в конечномерной модели без обратной связи наблюдаются развитые хаотические колебания, фазовый портрет которых подобен уже обсуждавшемуся выше спиральному хаосу. Из рисунка видно, что при возрастании амплитуды обратной связи и зна- значении задержки d < г/2 (где г = 1//о = 3,15; /о — основная частота спектра) происходит подавление хаотических колебаний и установление регулярного режима. Переход от хаотической динамики к регулярным колебаниям периода 1 происходит как и в гидродинамической модели
148 Лекция 4 через каскад удвоений периода. В случае d > т/2 происходит неограни- неограниченное нарастание амплитуды колебаний, что соответствует переходу системы в режим формирования виртуального катода, где уравнения конечномерной модели оказываются некорректными. Из сравнения ри- рисунков 4.7 и 4.11 видно, что конечномерная модель, анализ которой намного более прост, чем анализ гидродинамической системы, хорошо описывает процессы, протекающие в распределенной системе и при подключении обратной связи. Нелинейные волны пространственного заряда Перейдем теперь к обсуждению нелинейных волн пространственно- пространственного заряда в неограниченных в продольном направлении электронных потоках. Рассмотрим вначале бесконечно широкий электронный по- поток полностью скомпенсированный ионным фоном. Вдоль оси системы приложено сильное магнитное поле, так что исключается возможность поперечных движений электронов. Такой пучок описывается уже зна- знакомыми нам уравнениями, которые в безразмерном виде записываются следующим образом: dv dv dip ,л . яТ + ^/Г = 7Г 4'68 at ох ох — уравнение движения; — уравнение непрерывности, а также уравнение Пуассона: Здесь применена нормировка физических величин отличная от приме- примененной в предыдущем разделе: р' = Ро ' Р, v' = vo • v, ip' = ipo • ip = VQip/rj, x = Up • x/vo, t = to • t = Upt. Будем искать решение этой системы уравнений в виде стационарных волн, т. е. решения, зависящие от комбинации ? = х — ut, где и = const — скорость волны. Тогда д__д_д^_д_ А-А^-_ А дх~ д?дх~ дС dt~d?dt~ U дС
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 149 и система уравнений D.68)-D.70) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида dv dv dcp . А ^ ч -и— + v— = -?, D.71) dt, at, at, D.73) Проинтегрировав первые два уравнения, находим соотношения 1) 4> = \[(V- «J - A - «J] , D-74) р=1-^. D.75) v - и v у Подставляя выражения D.74) и D.75) в уравнение D.73), получим уравнение нелинейного консервативного осциллятора: с потенциальной энергией VK((/?), где у? играет роль координаты, а ? — времени. Проинтегрировав один раз D.76) с начальным условием И/@) = 0, имеем: W = if + A - uf (l - Л/1 + 2</?/A-пJ) • D.77) Форма потенциальной ямы изображена на рис. 4.12. Из рисунка понят- понятно, что решение будет носить колебательный характер, если величина ср меняется в пределах Нарушение этого условия эквивалентно опрокидыванию волны. Физи- Физически это связано с тем, что дисперсия, которая приводит к распро- распространению спектральных компонент волны с различными волновыми г) Уравнение D.71) сводится к 1 d(v-lJ _ _dy_ а уравнение D.72) к 1 dp I dv
150 Лекция 4 числами с разной фазовой скоростью, в системе слаба. Поэтому остано- остановить процесс укручения волны возможно только при достаточно малой амплитуде, когда нелинейность мала. Найдем теперь точное решение D.68)-D.70). Для этого перепи- перепишем уравнение D.76) относитель- относительно v, с учетом D.74). Тогда v v — 1 ,л ^оЧ — -vu\=- . D.78) 2 v — и Умножим обе части D.78) на d Рис. 4.12. Форма потенциальной ямы для нелинейного осциллятора D.76) v Y ~ vu Интегрируя получившиеся выра- выражение по частям, приходим к выражению вида: d \ v — — - vu \= ±y/G -(v- IJ , где G — постоянная интегрирования, которая имеет смысл квадра- квадрата амплитуды волны [36]. Дальнейшее интегрирование даст решение в неявном виде: = ± \(и - arcsin J D.79) Здесь знак « —» соответствует БВПЗ, «+» — МВПЗ. Решение D.79) описывает стационарную периодическую волну с ам- амплитудой у/G . В работе [38] показана устойчивость этого решения. Таким образом в бесконечно широком электронном пучке, не огра- ограниченном в продольном направлении, нелинейные эффекты сводятся лишь к укручению фронта волны. Рассмотрим теперь к чему приводит учет ограниченности в попе- поперечном направлении электронного пучка. Пусть цилиндрический элек- электронный поток радиуса гь движется вдоль оси проводящей цилиндриче- цилиндрической трубы радиуса R. В этом случае при условии гь ^ X ^ R, где Л — характерный масштаб возмущения, уравнение Пуассона может быть записано в виде где In {R/n) D.80) D.81)
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 151 Данные выражения получаются при разложении потенциала в попе- поперечном направлении в ряд по мембранным функциям цилиндрического волновода, если ограничиться только первым членом ряда. Фактически это означает, что возмущенное поле пространственного заряда Ех имеет в поперечном направлении распределение, совпадающее с распределе- распределением TMqi моды цилиндрического волновода (Jo(^_i_^))- Дисперсионное уравнение для этого случая выглядит так: (ш - кГ = D.82) В области коротких длин волн к ^> к± это соотношение переходит в соотношение для бесконечно широкого пучка C.26) V , однако, в длин- длинноволновой области характеристики сильно различаются (см. рис. 4.13). Для ограниченного потока рядом авторов (см., например, [39, 40]) была показана возможность существования решения в виде солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ). Уравнение КдВ является эталонным уравнением теории нелинейных волн [41], описывающим эволюцию слабоне- слабонелинейных длинноволновых возмуще- возмущений в среде с дисперсией. Как известно, оно имеет следующий вид: ди ди Здесь второе слагаемое ответственно за нелинейность, а последнее — за дис- дисперсию. Данное уравнение допускает решения в виде солитонов — уединен- уединенных волн. Качественно их возникно- возникновение связано с дисперсионным рас- плыванием, которое компенсирует уже упоминавшийся процесс опрокидыва- опрокидывания волны. На спектральном языке это объясняется тем, что фазовые скоро- скорости гармонических составляющих с различными волновыми числами неодинаковы и высшие гармоники, возникающие при искажении про- профиля волны, не находятся в синхронизме с основной гармоникой, либо обгоняя ее, либо отставая от нее. Поэтому при определенных условиях возможна компенсация эффекта нелинейности дисперсионным расплы- ванием, что и приводит к образованию солитона. 0 Рис. 4.13. Дисперсионные ха- характеристики: 1 — ВПЗ в бес- бесконечно широких потоках; 2 — ВПЗ в потоке, ограниченном в поперечном сечении х) Здесь необходимо учесть, что уравнение D.82) записано в другой норми- нормировке, чем та, которая использовались при выводе C.26).
152 Лекция 4 Отметим, что уравнение КдВ справедливо для большого класса задач нелинейной физики, и нелинейные волны в электронных потоках часто описываются с его помощью. Поясним, как появляются решения в виде КдВ-солитонов. Будем как и раньше искать стационарные волны, т. е. решения, зависящие от ? = х - ut, для задачи D.68), D.69) и D.80). Проводя вычисления ана- аналогичные тем, которые были сделаны для задачи с бесконечно широким пучком, приходим к уравнению нелинейного осциллятора вида d2 -1/2 D.83) Потенциальная энергия этого осциллятора описывается функцией 2 V / Полагая, что |2у?/A — иJ\ <С 1 (слабая нелинейность), разложим пра- правые части уравнений D.83) и D.84) в ряд с точ- точностью до членов второго порядка малости. Тогда получаем следующие соотношения: W = -\ F2<p3) , D.85) D.86) Рис. 4.14. Форма потен- потенциальной ямы W((p) со- согласно формуле D.86) для случая: F± > 0 A) и Fi < 0 B) где F1=k2±-A- и)'2, F2 = (l- и)'4. Вид потенциальной ямы W(ip) D.86) приведен на рис. 4.14. В случае F\ > 0 состояние равновесия ср = 0 будет неустойчивым, а ср = ip* = = —3F2/2F1 — устойчивым (рис. 4.14; кривая 1). В случае F\ < 0 — наоборот (кривая 2). Уравнения D.85), D.86) описывают стацио- стационарные решения уравнения КдВ. В работах [40, 42] приводятся решения в виде солитонов КдВ, которые, соответственно, имеют вид (р = -(F1/F2) sech2 (л/7п/2) , Fi > 0, <р = -(Fi/F2) [1 - sech2 (У=7п/2)] , F, < 0. D.87) Данные результаты предопределены тем, что уравнение КдВ описы- описывает эволюцию слабонелинейных длинноволновых возмущений в среде с дисперсией. Предположение о слабой нелинейности было сделано при выводе уравнений D.85), D.86), а предположение о длинноволновом характере возмущений — при выводе уравнения Пуассона D.80).
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 153 Анализ уравнений D.83) с учетом D.84) показывает, что уединенная волна может существовать и будет устойчива при 1 < k±\l — и\ < 2. Отсюда следует, что скорость стационарной волны и должна удовле- удовлетворять следующим неравенствам: 1 + kj1 < и < 1 + 2&J1 для быстрой волны пространственного заряда и 1 - 2k'1 < и < 1 - к'1 для медленной. Таким образом скорость быстрой уединенной волны всегда больше, а скорость медленной — меньше, чем соответствующие фазовые скорости линейных волн пространственного заряда. Действи- Действительно, из дисперсионного уравнения D.82) следует, что фазовая ско- скорость Уф лежит в пределах 1 - kj1 < Уф < 1 + kj1. Точное решение может быть найдено лишь в неявной форме. Инте- Интегрируя уравнение D.84), получаем где G — постоянная интегрирования. Решение в виде уединенной волны соответствует G = 0 (см. рис. 4.14). Тогда, выражая р через у при помощи выражения D.74), приходим к уравнению (и - у)^ = ±(у - 1)^к2±(у-2и + 1J /4-1, D.88) где верхний знак соответствует БВПЗ, нижний — медленной. Интегри- Интегрируя последнее соотношение, получаем решение в неявном виде: D.89) где М = k±\l — u\,V = k±\l — 2u + v\/2. Постоянная интегрированная в решении D.89) выбрана так, что ? (vmax) = 0. Нетрудно показать, что скорость и уединенной волны пропорциональна ее амплитуде vmax , но связь между этими величинами другая, чем для КдВ солитонов, и имеет вид vmax =2и-1т2/к±. D.90) С точки зрения физики процессов в пучке уединенная волна всегда представляет собой сгусток электронов, поскольку в МВПЗ возмущения скорости и плотности противофазны, а в БВПЗ — синфазны.
154 Лекция 4 Рис. 4.15. Образование уединенной волны и осциллирующего хвоста при эволюции начального возмущения скорости (а) и плотности заряда(б) Заметим, что анализ стационарных решений не позволяет понять: реализуются ли полученные решения при эволюции произвольного на- начального возмущения? Поэтому необходимо численное решение неста- нестационарных уравнений системы D.68), D.69) и уравнения Пуассона. Непосредственное численное решение исходных уравнений проводи- проводилось в системе координат, которая движется со скоростью электронного потока. На рис. 4.15 показан пример формирования быстрой уединенной волны пространственного заряда и осциллирующего «хвоста» малой амплитуды. На рисунке приведены пространственные распределения скорости и плотности заряда в различные моменты времени. Вычис- Вычислительный эксперимент показал, что в процессе эволюции достаточно широкого класса начальных возмущений возникает одна или несколько устойчивых уединенных волн, распространяющихся практически без изменения их скорости и формы. Мы не ставим себе здесь задачей подробно останавливаться на вопро- вопросах применения методов теории нелинейных волн к задачам электрони- электроники сверхвысоких частот. При подробном и строгом рассмотрении — это тема не одной лекции, а, по-видимому, целого курса лекций. В заклю- заключение нашего небольшого рассмотрения нелинейных волн простран- пространственного заряда в неограниченых в продольном направлении потоках отметим лишь несколько важных моментов. Во-первых, при анали- аналитическом исследовании волновых уравнений обычно находят решения в виде стационарных волн. В этом случае возрастает роль численного моделирования нестационарных уравнений, которое позволяет решить вопрос об устойчивости стационарных решений. Во-вторых, решения обычно ищутся для бесконечно протяженных в продольном направ- направлении потоков, хотя для электроники СВЧ принципиальный интерес представляют решения краевых задач.
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 155 Моделирование нестационарных нелинейных процессов в клистроде с помощью гидродинамических уравнений Удачным примером применения вышеразвитой теории к модели- моделированию процессов в СВЧ-приборах является расчет характеристик клистрода с помощью гидродинамических уравнений. Клистрод — это мощный усилитель дециметрового диапазона, соче- сочетающий принципы действия тетрода и пролетного клистрона. Схемати- Схематически клистрод изображен на рис. 4.16. Клистрод относится к приборам с модуляцией эмиссии [43, 44]. Лампа напоминает обычньй УВЧ-тетрод, однако выходным контуром служит объемный резонатор. ^точное смещение Анод Трубы дрейфа / Коллектор ВЧ-вход ВЧ-выходf Рис. 4.16. Схематическое изображение клистрода Между катодом и сеткой действует ВЧ-напряжение. Получающийся модулированный по плотности электронный пучок ускоряется в направ- направлении анода, находящегося под высоким потенциалом. Далее он с посто- постоянной скоростью движется через трубу дрейфа, затем проходит через зазор в объемном резонаторе, где возбуждаемое пучком электрическое поле оказывается тормозящим. После этого пучок проходит вторую трубу дрейфа, а затем попадает на коллектор. В настоящее время кли- строды применяются в системах телевещания дециметрового диапазона [45]. Возможно применение клистродов в качестве источников сигнала в линейных ускорителях космического базирования [46, 47], так как при столь же высоком уровне мощности и к.п.д., что и у современных многорезонаторных пролетных клистронов, клистроды обладают зна- значительно меньшими размерами и массой. Оценки к.п.д. клистрода [44] в предположении, что имеет место ре- режим ограничения тока пространственным зарядом г), дают максималь- максимальный к.п.д. клистрода rjma^ = ji/jo ~ 82 %, где j\ — первая гармоника г) В этом случае для плотности тока имеет место закон «3/2»: j = где К = 2,33 • 10~6/d А~2В~3/2, d — расстояние между катодом и сеткой.
156 Лекция 4 плотности сгруппированного тока. Напомним, что максимальный к.п.д. двухрезонаторного пролетного клистрона равен 58%, т.е. клистрод оказывается значительно более эффективным, чем клистрон. К.п.д. реальных приборов, разумеется, оказывается несколько ниже. Так, экс- экспериментальный образец клистрода, используемый для телевещания, имел г] « 60 % при коэффициенте усиления G = 20 дБ и выходной мощ- мощности Р = 20 кВт на частоте / = 780 МГц [45]. Параметры клистрода, предназначенного для космических систем следующие: г\ — 70%, G = = 20 дБ, Р = 500 кВт на частоте / = 425 МГц [46, 47]. Использование гидродинамических уравнений представляется весь- весьма выгодным, так как позволяет без труда моделировать процессы при произвольном законе эмиссии, поскольку плотность заряда на входе в пространство дрейфа в рамках гидродинамической модели можно задавать в явном виде как функцию времени. Интерес к приборам с мо- модуляцией эмиссии в значительной степени обусловлен созданием мат- матричных автоэмиссионных катодов (МАЭК) и возникновением нового направления — вакуумной микроэлектроники [43]. Поэтому интересно исследование прибора, аналогичного клистроду, но на основе МАЭК. При автоэлектронной эмиссии плотность тока определяется законом Фаулера-Нордгейма [43, 44] j = aV2e-b/y, где V(t) = Vb + Vm sin (u>ot), D.91) Vb — напряжение смещения, а и b — величины, зависящие от геометрии устройства и работы выхода. Анализ показывает [48], что в этом случае можно получить более высокие значения гармоник тока, чем при эмис- эмиссии, подчиняющейся закону 3/2, следовательно, применение МАЭК позволит увеличить к.п.д. прибора. Клистрод с МАЭК был впервые предложен в работе [49]. Для исследования нестационарных процессов в клистроде в работе [50] предложена модель, представляющая ограниченный в попереч- поперечном сечении поток. Движение электронов в нем предполагается од- одномерным. Так как в приборах с модуляцией плотности (в частности, в клистроде) начальная модуляция электронов по скорости отсутствует, то можно ожидать, что обгоны электронами друг друга в пучке не происходят, и можно воспользоваться гидродинамическими уравнени- уравнениями D.68)-D.70). Эти уравнения необходимо дополнить граничными условиями. В случае, когда для тока эмиссии можно воспользоваться законом 3/2, имеем О 7Г < U)t < 27Г. Считая, что статический заряд электронного потока компенсирован неподвижным ионным фоном и скоростная модуляция на входе от- отсутствует, получаем граничные условия на входе в виде (нормировка
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 157 физических величин такая же, как в предыдущем разделе): v(x = 0,0 = 1, 2 ,0 < ut < тг, [0 7Г < Ut < 2?Г. Очевидно, что для моделирования клистрода с МАЭК закон модуляции плотности будет соответствовать формуле D.91) Фаулера-Нордгейма. Представим продольную компоненту электрического поля резонато- резонатора E(r, t) в виде Е = Re [Cs(t)Es(r)ejuJst], где Е8 и ujs — соответственно распределение поля и частота собственного s-vo вида колебаний, Cs(t) — медленно меняющаяся по сравнению с e^Ust амплитуда колебаний. В нестационарном уравнении возбуждения резонатора A.61) в правой части интегрирование по всему объему резонатора можно заменить ин- интегрированием по объему, занимаемому током. Считая, что функции j и Е8 зависят только от продольной координаты ж, получаем: ^Ж + %Ся = ~%\ °'(ж't)Es{x)) dV> D-93) где х\ и Х2 — начальная и конечная координата зазора, Q — нагру- нагруженная добротность резонатора и S± — площадь поперечного сечения пучка. Введем функцию Х2 = -JEs(x)dx, D.94) и разделим в уравнении D.93) вещественную и мнимую части, полагая Cs = Ле^. Тогда 2тг х2 dA ojsA S± Г , , Г ./ j.\dVs / . , /\ j (a (\n\ —г- + —тг = — dojst nx, t)—— cos iujst + w) dx, D.95) dt 2Q 2ttNs J J dx 0 Xl 2тг X2 d4_ _ S± dt ~ Z7T X2 Г Г dVs dujst j(x,t)——sin (<jjst + ф) dx. D.96) О Хг Введем волновое сопротивление резонатора по формуле [51] К = = V*KB/2u)sW, где КЭкв — эквивалентное напряжение на зазоре резо- резонатора, W = NSA2/2 — энергия, запасенная в резонаторе за один пе- период колебаний. Отнормируем собственную функцию Vs D.94) так, что Vs(xi) — Vs(%2) — Vo, где Vo — ускоряющее напряжение. Тогда Уэкв = = ЛУо, откуда следует, что Ns = Vq /ojsK. Очевидно, что зависимость Es(x) может иметь самый различный вид в зависимости от геометрии
158 Лекция 4 резонатора, и рассматриваемая модель допускает исследование кли- строда при любой форме Е8(х). Перейдем в уравнениях D.95) и D.96) к безразмерным переменным, нормируя К на величину /o/Vo, где /о — средний ток с катода: dA usA мД/{" . , dt + 2Q Здесь введены обозначения 2тг х2 dust j(x,t) cos (иst + ф) dx, J Х\ j О хг D.99) 2тг х2 dust j(x,t) sin (иst + ф) dx. J l[ = г 7Г(Ж2 - Xi) О ял Первая гармоника сгруппированного тока при этом определяется как Активная и реактивная мощности равны Ра = Al[a'/2 и Рг = Л/^ /2, причем при данной нормировке электронный к.п.д. клистрода rj = —Ра- Уравнение движения D.68) в зазоре резонатора должно быть моди- модифицировано следующим образом: at ox ох Заметим, что при выбранной нами нормировке величин все геомет- геометрические размеры остаются неизменными при постоянном первеансе пучка Р = Iq/Vq , так как нормируются на величину uip/vo ~ у/Р. Коэффициент usK в правой части уравнений D.97) и D.98) также не изменяется, так как он пропорционален Iq/ujpVq ~ у/Р . Таким образом к.п.д. клистрода остается постоянным при постоянном первеансе, что подтвержается экспериментальными данными [45]. В работе [50] и монографии [43, лекция 9; стр. 180] приведены результаты моделирования процессов в клистроде с термоэмиссионным катодом и МАЭК. Результаты моделирования и их сравнение с теорети- теоретическими и экспериментальными исследованиями [45] свидетельствуют о высокой эффективности применения рассмотренной гидродинамиче- гидродинамической модели к моделированию нелинейных нестационарных процессов в приборах с модуляцией эмиссии.
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 159 О 50 100 150 200 t 0,0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 fо/тс Рис. 4.17. Результаты моделирования нелинейных нестационарных процессов в клистроде с термоэмиссионным катодом (из работы [50]) В качестве примера на рис. 4.17 приведены некоторые результаты моделирования клистрода с термоэмиссионным катодом [50, 52]. Уста- Установление колебаний в выходном резонаторе клистрода иллюстрирует рис. 4.17а, на котором представлена зависимость электронного к.п.д. клистрода г\ от времени. На рис. 4.176 приведены зависимости первой гармоники сгруппированного тока от угла пролета в зазоре резонато- резонатора ipQ. Как известно из теории возбуждения высокочастотного зазора заданным током [53], амплитуда первой гармоники должна вести себя согласно соотношению Данная теоретическая зависимость приведена на рис. 4.176 в виде кривой 1. Результаты численного моделирования с помощью вышеопи- вышеописанной модели достаточно сильно отличаются от теории (кривые 2, 3). Кривая 3 отличается от кривой 2 учетом сил пространственного за- заряда. Кривая 2 рассчитана из кинематической теории, т.е. силы про- пространственного заряда не учитываются, кривая 3 рассчитана с учетом сил пространственного заряда. Видно, что рассхождение между ними незначительно, что свидетельствует о возможности в данном случае пользоваться более простой кинематической теорией, т. е. решать урав- уравнения движения D.68) и непрерывности D.69) без уравнения Пуассо- Пуассона D.71). Мы не будем останавливаться здесь подробно на результатах моде- моделирования нестационарных процессов в клистроде. Интересующимся можно порекомендовать монографию [43], в которой изложены резуль- результаты исследования процессов с помощью гидродинамической модели в клистроде с МАЭК.
160 Лекция 4 Список литературы 1. Pierce J. Limiting currents in electron beam in presence ions // J.Appl.Phys. 1944. V. 15. P. 721. 2. Незлин М.В. Динамика пучков в плазме. — М.: Энергоиздат, 1982. 3. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электрон- электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990. 4. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. — М.: Мир, 1985. 5. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. — М.: Мир, 1988. 6. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — М.: Мир, 1991. 7. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972. 8. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. 9. Фадеев Д.К., Фадеева В.И. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз. 1963. 10. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. 1973. 11. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988. 12. Анфиногентов В.Г., Трубецков Д.И. Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотехника и элек- электроника. 1992. Т. 37. С. 2251. 13. Анфиногентов В.Г. Электронный поток в диодном промежутке и пространстве дрейфа (нелинейные явления, хаос и образование структур). — Дисс... к.ф.-м.н. Саратов, 1997. 14. Rossler O.E. An equation for continious chaos // Phys.Lett. 1976. V. 57A. P. 397. 15. Godfrey B.B. Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode // Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 1553. 16. Lindsay P.A., Chen X., Xu M. Plasma-electromagnetic field interaction and chaos // Int.J.Electronics. 1995. V. 79. P. 237. 17. Неймарк Ю.И. Стохастические движения динамических систем // Динамика систем. Вып. 7. Горький: Изд-во ГГУ, 1974. С.З. 18. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: Физматгиз, 1962. 19. Любимов Д.И., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу // Гидродинамика, Том 10. Пермь: Изд-во Перм. ГПИ, 1977.
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 161 20. Kuhn S. Linear longitudional oscillations in collisionless plasma diodes with thin sheaths. Part II: Application to an extended Pierce-type problem // Phys.Fluids. 1984. V. 27. P. 1834. 21. Kuhn S., Ender A. Oscillatory nonlinear flow and coherent structures in Pierce-type diodes // J.Appl.Phys. 1990. V.68. P.732. 22. Wang N.Q. Chaotic behaviour in an electron beam plasma // Phys.Lett. A. 1990. V. 145. P. 29. 23. Ott E., Grebogi C, Yorke J.A. Controlling chaos // Phys.Rev.Lett. 1990. V. 64, №11. P. 1196. 24. Badii R., Brun E., Finardi M. et al // Rev. of Modern Phys. 1994. V. 66. P.732. 25. Кислое В.Я., Млсин Е.А., Залогин Н.Н. О нелинейной стохасти- зации колебаний в электронно-волновом генераторе с задержан- задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 25. С. 2160. 26. Кислое В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых система и автогенераторах с запаздывани- запаздыванием // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике E-я зимняя шко- школа-семинар, Саратов,1981). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 78. 27. Magda I.I., Prokopenko Yu.V. Cooperative high-power radiation of two beams at the dual vircator complex // In: the Proceedings of the 11th International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS'96). (Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V.I. Prague: 1996. P. 422. 28. Алехин Б.В., Дубиное А.Е., Селемир В.Д., Степанов Н.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Натурная имитация импульсной фа- фазированной антенной решетки на основе виркаторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 1. С. 28. 29. Hendricks К., Richard A., Noggle R. Experimental results of phase locking of two virtual cathode oscillator // J.Appl.Phys. 1990. V.68, №2. P. 820. 30. Храмов А.Е. Колебания в системе связанных генераторов на вир- виртуальном катоде виртодного типа // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, №2. С. 211. 31. Ремпен И.С, Храмов А.Е. Управление режимами колебаний в электронном потоке со сверхкритическим током в диоде Пирса // Известия РАН, Сер. физич. 2001. Т. 65, № 12. С. 1689. 32. Храмов А.Е., Ремпен И.С. Влияние обратной связи на сложную динамику в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотех- Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 5. С. 732. 6 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
162 Лекция 4 33. Grassberger P., Procaccia J. On the characterisation on strange attractors // Phys.Rev.Lett. 1983. V. 50, № 5. P. 364. 34. Wolf A., Swift J., Swinney H.., Vastano J. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1989. V. 16. P. 285. 35. Yagata H. Competition of the two unstable modes in the Rayleigh- Benard convection // Progr. of Theoreical Phys. 1987. V. 78. P. 282. 36. Рыскин П.М., Трубецков Д. И. Нелинейные электронные волны. Методы и результаты для приборов О-типа // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38, № 2. С. 193. 37. Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Нелинейные волны, динамический хаос и некоторые задачи сверхвысокочастотной электроники / В сб. сб.: Проблемы физической электроники. — Л.: Изд-во ФТИ, 1986. СС. 141-179. 38. Зайко Ю.П. Устойчивость нелинейных волн пространственного заряда // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 12. С. 137. 39. Канавец В.И., Ликунов В.М. Нелинейные волновые и колебатель- колебательные процессы в протяженных электронных потоках // Радиотех- Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 2. С. 326. 40. Ругпкевич Б.Н., Пащенко А.В., Федорченко В.Д., Муратов В.И. Нелинейные волны объемного заряда в плазменном слое // ЖТФ. 1972. Т. 42, №3. С. 493. 41. Рыскин П.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. — М.: Наука. Физматлит, 2000. 42. Руткевич Б.Н., Пащенко А.В., Федорченко В.Д., Мазалов Ю.П. Стационарные волны в ограниченной плазме // ЖТФ. 1977. Т. 47, № 1.С. 112. 43. Трубецков Д.П., Рожнев А.Г., Соколов Д.В. Лекции по сверхвы- сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж", 1996. 44. Исаев А.В., Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Электронные СВЧ при- приборы с электростатическим управлением и модуляцией эмиссии // Радиотехника и электроника. 1990. V. 35, №11. Р. 2241. 45. Прист Д.Х., Шредер М.Б. Клистрод - необычно мощная лампа, потенциально пригодная для ТВ-вещания в УВЧ-диапазоне // ТИИЭР. 1982. Т. 70, № 11. С. 84. 46. Priest D.H., Shrader M.B. A high-power klystrode with potential for space application // IEEE Trans, on El.Dev.. 1991. V. ED-38, №10. P. 2205. 47. Nguen K., Warren CD., Ludeking L., Golphen B. Analysis of 425- MHz klystrode // IEEE Trans, on El.Dev.. 1991. V. ED-38, №10. P. 2212.
Нелинейные явления в гидродинамическом приближении 163 48. Шарбонье Ф.М., Барбур Дж.П., Гаррет Л. Ф., Дайк В.Р. Исследо- Исследование природы и прикладных свойств холодной эмиссии на СВЧ // ТИИЭР. 1963. Т. 51, № 7. С. 989. 49. Yokoo К., Shimawaki Н., Ono S. Proposal of a high efficiency microwave power source using afield emission array // In: Techn. Digest on VI International Vacuum Microelectronics Conf. 1993. P. 153. 50. Рыскин Н.М. Волновые взаимодействия в системах, содержащих электронные потоки и электромагнитные поля (нелинейные вол- волны, модуляционная и взрывная неустойчивость). — Дисс... к.ф.- м.н. Саратов, 1996. 51. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. — М: Высшая школа, 1990. 52. Рыскин Н.М. Численное моделирование клистрода на основе гид- гидродинамических уравнений // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. T.XL, №12. С.1511. 53. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959.
Лекция 5 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРОЛЕТНЫХ КЛИСТРОНОВ Каковы же преимущества и неудобства числен- численной модели? По отношению к эксперименту чис- численные средства имеют то неудобство, что они являются всего лишь моделями. Нужно уметь отличать ту часть результатов, которая представ- представляет теорию, от той, которая представлена осо- особенностями численной модели... Численная мо- модель особенно полезна при прогнозировании мало изученных явлений в сложных системах. К. Жаблон, Ж.-К. Симон. Примене- Применение ЭВМ для численного моделирова- моделирования в физике. М.: Наука, 1983. Гл. IX. Каскадное группирование электронного потока. Многорезонаторные клистроны. Нелинейная двумерная модель взаимодействия электрон- электронного потока с ВЧ полями в клистроне. Уравнения одномерной ре- релятивистской теории многорезонаторного клистрона. Моделирова- Моделирование и оптимизация многорезонаторных релятивистских клистронов. Двумерные эффекты в многорезонаторных клистронных усилителях. Многолучевые клистроны. Пролетные клистроны в основном конструируются как мощные и сверхмощные усилители электромагнитных колебаний сантиметро- сантиметрового и дециметрового диапазона. Во второй лекции рассматривалась элементарная кинематическая теория двухрезонаторного клистрона- усилителя, которая далее в третьей лекции уточнялась с учетом куло- новского взаимодействия электронов в рамках линейной теории волн пространственного заряда. Однако вышеизложенная теория позволяет говорить лишь о качественном описании процессов в клистронных уси- усилителях, так как не учитывает целый ряд важных факторов, оказываю- оказывающих существенное влияние на процессы взаимодействия электронного потока с высокочастотными полями в клистронах.
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 165 В данной лекции описывается математическая модель и результаты моделирования на ЭВМ нелинейных явлений и оптимизации парамет- параметров клистронных усилителей. Каскадное группирование электронного потока. Многорезонаторные клистроны Как обсуждалось во второй лекции, одним из недостатков двухрезо- наторного клистрона является низкий коэффициент усиления. С этим недостатком можно бороться путем каскадного соединения двухрезо- наторных клистронов, когда выходной резонатор TV-го клистрона со- соединяется со входным резонатором N + 1-го усилителя. Однако в этой схеме имеется ряд недостатков: 1) задействовано много резонаторов, выполняющих одинаковые функции; 2) используется много катодов — велика мощность питания. Поэтому используют многорезонаторные пролетные клистроны, в которых выходной резонатор (N — 1)-й сту- ступени является входным для N-й ступени. В такой схеме пучок после- последовательно проходит через ВЧ-промежутки, разделенные простран- пространствами дрейфа — происходит каскадная группировка (группирование электронного потока в результате последовательного и многократного воздействия на него высокочастотных полей) [1, стр. 318-352]. Схема каскадной группировки имеет ряд преимуществ. 1. В режиме малого сигнала существует возможность поднять коэф- коэффициент усиления. Это достигается за счет возможности сильно умень- уменьшить мощность входного сигнала. Существует эмпирическая зависи- зависимость коэффициента усиления по мощности от числа резонаторов N: КР = 15 + 20 -(N -2) [дБ]. Здесь необходимо заметить, что реально достижимы коэффициенты усиления порядка 40 -г- 60 дБ, так как с ростом коэффициента усиления растет вероятность самовозбуждения клистронного усилителя за счет паразитной обратной связи. 2. В режиме большого входного сигнала каскадная группировка поз- позволяет повысить не только коэффициент усиления, но и поднять к.п.д. Для трехрезонаторного клистрона он составляет (^е)мах ~ 72,8 %. Именно клистроны, использующие каскадную группировку (много- (многорезонаторные клистроны), нашли широкое применение в самых раз- различных областях радиофизики, физики и техники как мощные и сверх- сверхмощные усилители СВЧ-колебаний сантиметрового и дециметрового диапазона. Традиционное применение их связано с системами свя- связи, радиолокации, радионавигации, установок промышленного нагрева и сушки, ускорительной техники и т. п. Релятивистские многолучевые клистроны в настоящее время активно разрабатываются и исследуют- исследуются как перспективные усилители сигналов со сверхбольшой выходной
166 Лекция 5 Наведенное / у^у^ Наведен- напряжение\ уу/ / ныйток a Vi(t) Рис. 5.1. Пространственно-временные диаграммы движения электронов в трехрезонаторном клистроне для режима малого (а) и большого (б) вход- входного сигнала мощностью (до десятков и даже сотен МВт). Отметим, что клистро- клистроны, наряду с тетродами и в последнее время появившимися мощными полупроводниковыми усилителями, находят широкое применение как усилители оконечных каскадов в телевизионных передатчиках [2]. Уни- Уникальные выходные характеристики клистронов (высокий коэффициент усиления (~ 60 дБ), большой к.п.д. (~ 80 %), высокие уровни выходной мощности) делают клистрон одним из наиболее широко применяемых приборов СВЧ-электроники. Одна из основных задач конструирования и оптимизации клистрон- ного усилителя заключается в достижении максимальной выходной мощности и к.п.д. прибора. Для получения высокой выходной мощно- мощности необходимо добиться появления достаточно большой переменной составляющей конвекционного тока в области выходного резонатора. Качественно рассмотрим как решается эта задача в многорезонаторном клистроне, для чего проанализируем процесс группирования в трехре- трехрезонаторном пролетном клистроне. Рассмотрим случай малого входного сигнала. Пусть все резонато- резонаторы настроены на одну частоту. Построим пространственно-временную диаграмму для этого случая (рис. 5.1а). Электронный пучок модулиру- модулируется в первом резонаторе и группируется в пространстве дрейфа перед вторым резонатором. Так как частота второго резонатора равна частоте колебаний в первом, то сдвиг фаз ф между возбуждаемым на ВЧ-зазоре резонатора напряжением и возбуждающим током равен нулю. Прово- Проводимость второго резонатора активная, и электронные сгустки наводят
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 3 4 6 7 9 10 167 пШУШ Рис. 5.2. Схема многорезонаторного клистрона: 1 — термокатод; 2 — фоку- фокусирующий электрод; 3 — анод; 4 — входной резонатор; 5, 8 — пространства дрейфа; 6 — второй резонатор; 7 — предпоследний резонатор; 9 — выходной резонатор; 10 — коллектор с водяным охлаждением в нем тормозящее поле. В результате скоростная модуляция во втором резонаторе сдвинута на тг/2 (см. пространственно-временную диаграм- диаграмму). Если увести резонансную частоту второго резонатора в область больших частот, то группировка улучшится, но уменьшится амплитуда вынужденных колебаний во втором резонаторе. При работе в режиме недогруппированного потока основную роль играет амплитуда моду- модулирующего сигнала. Поэтому в режиме слабого сигнала оптимальным является режим синхронной настройки. Если теперь рассмотреть режим большого входного сигнала, то значительная группировка наблюдается уже в первом пространстве дрейфа, и увеличивать скоростную модуляцию смысла нет. На первое место выходит проблема согласования процессов группировки в первом и втором пространстве дрейфа. Отстроим частоту второго резонатора в большую сторону относительно первого резонатора. Тогда проводи- проводимость этого резонатора имеет индуктивный характер, и возбуждаемое ВЧ-напряжение опережает по фазе ток на величину ф < тг/2 [3]. Третий резонатор имеет резонансную частоту равную частоте первого резона- резонатора. Как видно из пространственно-временной диаграммы (рис. 5.16), все электроны, включая тех, которые были раньше «нейтральными» или имели слишком малую модуляцию, на входе в выходной резонатор собираются в один электронный сгусток за счет «догруппировки» во втором резонаторе. Первая гармоника тока достигает значения %\ = = 1,46/о [4] (сравните со случаем двухрезонаторного клистрона, где %\ = 1,16/о). Отсюда и рост к.п.д. системы (см. формулу B.27)). Схема современного многорезонаторного клистрона приведена на рис. 5.2. Электроны, эмиттируемые термокатодом 1 под действием электрического поля, распределение которого задается фокусирующим электродом 2 и анодом 3, а также под влиянием продольного фокуси- фокусирующего магнитного поля, ускоряются и собираются в электронный поток с нужными размерами поперечного сечения, движущийся вдоль прибора с одинаковой для всех электронов скоростью v = v$. Проходя через фокусирующую систему, электронный поток попадает в зазор
168 Лекция 5 тороидального входного резонатора 4. Электромагнитное поле входного резонатора, возбуждаемое внешним источником (элементы связи на рисунке не указаны), на основном типе колебаний распределено так, что в зазоре резонатора оказывается максимум продольной компоненты электрического поля. Начальные каскады многорезонаторного усилительного клистрона (входной и следующие за ним резонаторы, разделенные пространствами дрейфа) настраиваются таким образом, чтобы достичь максимально возможной величины %\ первой гармоники сгруппированного тока. После модуляции пучка входным сигналом по скорости в первом ВЧ-зазоре 4 происходит группирование электронного потока по плот- плотности в трубе дрейфа 5 и появление переменной составляющей тока. Благодаря этой составляющей происходит возбуждение второго резо- резонатора б, который не связан с внешними цепями («холостой» резона- резонатор). Если клистрон работает в режиме усиления большого сигнала, то второй резонатор, в соответствии с вышесказанным, должен иметь положительную отстройку относительно рабочей частоты (т. е. его ре- резонансная частота о;о2 больше рабочей частоты uj). Тогда второй резо- резонатор улучшает процесс модуляции и увеличивает величину %\ первой гармоники сгруппированного тока. Последующие резонаторы также настроены таким образом, чтобы улучшить группировку электронного потока к выходному устройству. На зазор предпоследнего резонатора 7 электронный пучок приходит уже хорошо сгруппированным и соответствующая переменная состав- составляющая тока велика. В случае необходимости обеспечения максималь- максимального к.п.д. усилителя основная задача этого предпоследнего каскада заключается в создании достаточно компактного электронного сгустка в зазоре выходного резонатора 9. А это значит, что резонатор 7 дол- должен обеспечить достаточные сжимающие силы в электронном сгустке, противостоящие силам кулоновского расталкивания в хорошо сгруппи- сгруппированном пучке. Эти сжимающие силы — силы инерции — возможно увеличить только за счет увеличения модуляции электронов по скоро- скорости, т. е. увеличения напряжения на зазоре предпоследнего резонатора. Как следует из качественного рассмотрения трехрезонаторного кли- клистрона, это возможно добиться путем уменьшения расстройки по часто- частоте предпоследнего резонатора по сравнению с резонаторами начальных каскадов. Длина последней трубы дрейфа 8 должна быть малой, так как силы пространственного заряда быстро уничтожают модуляционный разброс скоростей электронов потока. Последнее является и положи- положительным эффектом, поскольку эффективность отбора энергии выход- выходной резонансной системой повышается при уменьшении разброса по скоростям электронов сформированного сгустка. После прохождения выходного резонатора (элементы связи его с нагрузкой на рисунке не указаны) заторможенный пучок поступает на коллектор 10, который в мощных клистронах обычно имеет водяное охлаждение.
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 169 Из вышесказанного понятно, что физическая сторона процессов взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями резонансных систем оказывается качественно сравнительно простой. Однако математиче- математическое описание нелинейных процессов в клистронах и оптимизация их параметров является достаточно сложной задачей и требует для ее ре- решения привлечения моделирования на ЭВМ [5-8]. Это связано с целым рядом моментов, основные из которых перечислены ниже. 1. Из-за локального характера энергообмена электронного потока с ВЧ полями большой ампитуды в режимах с высоким к.п.д. в кли- клистроне возможно появление обратных и колеблющихся электронов. Это требует проведения расчетов клистронов с высоким к.п.д. в системе координат (?]_, ?), где t\ — время влета сечения электронного потока в пространство взаимодействия, t — текущее время. Последнее суще- существенно сложнее в плане численной реализации моделей, чем описание динамики электронного потока в координатах (?]_, z), где z — продоль- продольная координата. Однако при этом возможно описать не только обгоны одних электронов другими, но и отражения в потоке. 2. Большой коэффициент усиления в многорезонаторном клистроне приводит к тому, что незначительные ошибки и неточности в расчете начальных каскадов определяют появление больших ошибок при опре- определении выходных характеристик прибора. 3. Из-за необходимости согласования поля и возбуждающего тока в протяженных зазорах резонатора оптимизация пролетного многорезо- наторного клистрона с широкой полосой усиливаемых частот сводится к решению краевой задачи. 4. Неодномерность движения электронного потока. В мощных кли- клистронах используются резонаторы с бессеточными зазорами. В них ВЧ-поля «провисают» к центральной части пучка. В этом случае мо- модуляция электронного потока становится неоднородной в радиальном направлении. К другим принципиально двумерным процессам в кли- клистроне относятся пульсация пучка и динамическая расфокусировка. При достаточно больших фокусирующих магнитных полях двумерные эффекты сводятся к расслоению электронного потока в поперечном к движению электронов направлении. При построении нелинейной теории, которая может быть положена в основу оптимизации клистронных усилителей, необходимо учитывать такие факторы, существенно влияющие на процессы взаимодействия, как нелинейность модуляции по скорости электронов в модуляторе, ре- реальное распределение поля в протяженных зазорах резонаторов, обрат- обратное и радиальное движение электронов, расслоение электронного пото- потока по поперечной к направлению распространения пучка координате, конечность фокусирующего магнитного поля, релятивистские эффек- эффекты для релятивистских клистронов, нелинейные эффекты, связанные с действием сил пространственного заряда.
170 Лекция 5 В следующем параграфе рассмотрена математическая модель [8], учитывающая вышеприведенные факторы. Учитывая большую важ- важность исследования мощных релятивистских клистронов, описана мо- модель для релятивистского электронного пучка, которая учитывает ещё и неодномерность движения электронного потока. Нелинейная двумерная модель взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями в клистроне При построении модели пролетного клистрона будем предполагать следующее: 1) электронный пучок (трубчатый или сплошной) имеет азимутально-симметричное распределение плотности тока и располо- расположен соосно с пролетными каналами; 2) ВЧ-зазоры резонаторов кли- клистрона имеют аксиально-симметричную структуру (профиль их может быть любой); 3) фокусирующее магнитостатическое поле азимутально- симметрично, и осевая силовая линия совпадает с осью пучка (в про- продольном направлении поле может быть и неоднородным). Тогда для описания процессов взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями можно использовать двумерную модель, учитывающую азимутальную симметрию полей. Уравнение движения электрона во внешнем электромагнитном поле без учета тормозного излучения, т. е. при скоростях v < 0,99с, имеет вид и ^ = -^{E + [v,B]-v(v,E)/c2}, E.1) где г]о — удельный заряд покоящегося электрона, j = l/y^l — v2/с2 — релятивистский фактор. С учетом того, что для используемых в резо- резонаторах клистронов i^-типов колебаний компонента Е^ = 0, уравнение движения E.1) в цилиндрической системе координат запишется так: г-гф2 = -^ {Ег + гфВг - zB^ - г (rEr + zEz) /с2} , E.2) г j? = -2° {Ez + rBv - гфВг - z (rEr + zEz) /с2} . E.3) Полная скорость электрона v определяется в этом случае соотношением v = i/r2 + (гфJ + z2 . E.4) Будем также считать, что магнитостатическое поле слабо неодно- неоднородное, поэтому при разложении радиальной и осевой составляющих индукции В0 в ряд можно ограничиться только первыми членами. Исключим величину ф, входящую в уравнения E.2) и E.3). Из закона сохранения для азимутально-симметричных полей в случае
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 171 слабонеоднородного магнитостатического поля следует [10, 11], что г27о 2 где ис = eB°(zo)/mj, индексом «0» отмечены начальные значения при z = zo соответствующих величин. Высокочастотные поля в зазоре резонаторов представим в виде Е = = Re {E0(r, z)ejujt}, В = Re {B0(r, z)ejujt}, где напряженность маг- магнитного поля определяется из уравнения Максвелла rotE = — jc<;B. Учитывая, что Е^ = 0 и <9Eq/<9</? = 0, находим E.6) дг dz Учтем влияние пространственного заряда электронного потока, пе- переходя от движущейся со скоростью электронного потока системы ко- координат к неподвижной (лабораторной) системе. В подвижной системе координат кулоновские поля являются чисто электрическими Ер. При переходе к неподвижной системе координат электрические и магнитные поля преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца [9]: К = 7 (К - [v, B'[]) , Bl = 7 (В* - [v, E'l] /с2) , где штрихом отмечены поля пространственного заряда Ер и Вр в по- подвижной системе координат. Здесь также следует учесть, что продоль- продольные отрезки при переходе из движущейся системы координат в непо- неподвижную пересчитываются по формуле Az = jAzf. В нашем случае составляющие поля пространственного заряда за- запишутся в виде: Ер = 0, Bfp = 0, Щ = Е'р, Вр=7 (гЕ'р - zE'p) /с2, E.8) т. е. поля пространственного заряда в двумерном релятивистском слу- случае кроме Ер и Ер содержат азимутальную В^ и радиальную Вр составляющие магнитного поля. Статическую составляющую собственного магнитного поля В^0 электронного потока можно найти из закона Био-Савара-Лапласа. Для случая трубчатого электронного пучка статическое магнитное поле имеет только азимутальную составляющую В^°, вид которой приведен, например, в монографии [8, стр. 92].
172 Лекция 5 Рис. 5.З. Модель электронного потока в виде «крупных частиц» (концентри- (концентрических колец) в цилиндрической системе координат (г, г, у?). Серым цветом выделена г-я частица j-vo слоя Компоненты осесимметричного слабонерегулярного фокусирующе- фокусирующего магнитостатического поля В0 = т$В® + яоВ® могут быть записаны в виде Полное магнитное поле, действующее на электрон, складывается из фокусирующего поля E.9), из переменного магнитного поля зазора резонатора E.6) и магнитного поля движущихся электронов пучка E.8). Для нахождения тока пучка применим метод крупных частиц [12]. В предположении аксиальной симметрии системы представим элек- электронный поток совокупностью концентрических заряженных колец (см. рис. 5.3; на нём показано распределение крупных частиц (колец) в рас- расчетной области), которые характеризуются в цилиндрической системе координат составляющими скорости vz, vrj v^, координатами z, r, а также внутренним г и внешним R радиусами. Заряд dq равномер- равномерно распределен по объему кольца. Такое представление электронного потока означает, что на все электроны в кольце с координатой z и со- соответственно с внутреним и внешним радиусами г и R действует одно и то же электромагнитное поле, усредненное по объему частицы. Тогда все электроны, принадлежащие данной крупной частице (кольцу), дви- движутся одинаково. Вдоль длины пространства взаимодействия в потоке выделяют Mz частиц (Mz G Z). Весь объем трубчатого электронного потока с вну- внутренним гь и внешним радиусом Rb разбивается на Мг слоев (Mr G G Z). Таким образом электронный поток моделируется всего Mz x х Мг частицами, каждая из которых характеризуется продольным г и радиальным j номером (г = 1, . . ., Mz, j = 1, . . ., Mr).
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 173 Введем новые безразмерные переменные 2irz 2тгг л ш п E.Ю) о(*) , 1(x) , K uj mo uj где vo — начальная продольная скорость электронного потока. В новых переменных величина U = v/vq, имеющая смысл относи- относительной скорости электронов, с учетом закона сохранения E.5) и соот- соотношения E.4) запишется как EЛ1) где Fx = loyo(v - Фо/2)/1/ + y*i/2, F2 Тогда с учетом выражения E.11) уравнения движения частиц E.2) и E.3) в безразмерном виде принимают вид: ^ = -щ (?/г/73 + №/7) /wo ~Vo^ + Vo^ Br, E.12) dO^ У ^7 ^7 dO E.13) Здесь введены обозначения f1 = — — lv -^ j -\——, /2 = Ро^штш? / 1 \ 2 /з = 1 + /3q f -т^-) . Релятивистский фактор в переменных E.10) запи- сыватся следующим образом: Уравнение возбуждения A.53) n-го резонатора клистрона на задан- заданном s-виде колебаний периодическими во времени источниками в пере- переменных E.10) записываются так: 27Г E.14) тг (о; - ojsn) Nsn v у о V где Ct;sn = Ct;^n(l + j/2Qsn) и Qsn — соответственно комплексная часто- частота и нагруженная добротность s-ro типа колебаний в TV-м резонаторе,
174 Лекция 5 jCT — плотность тока сторонних возбуждающих источников. Далее ин- индекс «s» будем опускать. Полагая, что все резонаторы клистрона высокодобротные, т.е. 1/Qn ^ 1 или Фп = 2 (шп — и) /ип <С 1, и используя закон сохранения заряда для многослойной модели электронного пучка [10], получаем уравнение возбуждения резонатора в виде Лп — Лап + j Лгп — Mr Mz Qn 1 + i^nQn 2 v^ т v^ I VijE'dB, E.15) где Ioj — ток j-го элементарного слоя, 6цj, @2ij — соответственно фазы влета и вылета г-й крупной частицы слоя с номером j в зазоре п-го резонатора. Высокочастотные поля в зазоре резонаторов в безразмерных пере- переменных E.10) запишутся в виде соотношений 2Gо-1) .,„.„,„. „.р. /° , E-16) 2Go-l) Здесь величина Z = Za + j Zr = —"! ° , Km — комплексная амплитуда zujVod ВЧ-напряжения на зазоре резонатора, Vb — ускоряющее напряжение, d — ширина ВЧ-зазора, E°(r, z) — распределение напряженности элек- электрического поля в зазоре резонатора. С учетом соотношений E.16) уравнение возбуждения n-го резона- резонатора в безразмерном виде примет вид: dZan +jZrn _ KnQk dO 120(d/a, Mr M xl^loJl^e [ и.й zn^ ли *rn j=l 2=1 / / ^oo где ш = ojp/ojj ujp = W—-—о— ~~ плазменная частота электронного у S у потока, Кп — волновое сопротивление резонатора. Составляющие электрического поля крупной частицы с зарядом dq запишем следующим образом: ^Ч , г), Е? = --^Ч Щ(*, г), E.18)
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 175 где а — радиус проводящего экрана трубы дрейфа. Воспользовавшись введенными переменными E.10), перепишем выражения E.18) в виде wv _ тгсоурш2 Sj дФ _ тгсоурш2 Sj ,дФ ( . r]oMzxe S dz r]oMzxe S дг где распределения полей заряженной частицы E.18) представлены че- через распределение потенциала Ф поля заряженной частицы: 4= в> = « dz or Здесь знак «штрих» у символа j означает принадлежность данной величины частице-источнику. В формуле E.19) также использованы следующие обозначения: S — полная площадь поперечного сечения пучка, Sj — площадь сечения j-ro слоя, Mz\ — число крупных частиц на одну электронную длину волну Ле. Магнитные поля, определяемые соотношениями E.6), E.8) и E.9), в нормированных переменных выражаются следующим образом: ^, E.20) 7о dx «о 2G0-1) s.n9 + ^cog ГдЕ* _ дЕ° d(r/a) d(z/a) «о 2G0-1) s.n9 + ^cog ГдЕ _ дЕ\ Vo yK \d(r/a) d(z/a)J dx A ^ E lS's E-22) Статическая составляющая собственного магнитного поля электронно- электронного потока в безразмерных координатах в случае крупной частицы в виде заряженного кольца имеет вид Здесь уа = 2тга/Ае, Ayj = (у2 - у\-) [у\- - у\-), y±j, y2j — соответ- соответственно внутренний и внешний нормированный радиус кольца крупной частицы j-ro слоя в электронном потоке. Учитывая соотношения E.19), E.20)-E.23) уравнения движения крупной частицы с номером г из j-ro слоя в п-м резонаторе в безразмер- безразмерных переменных E.10) окончательно запишутся в следующем виде: (Zna cos в - Znr sin в) {E°zn/j2j - f2ijE*rn) +
176 Лекция 5 о мг mz 7o-l х cos Mr M P Slkl \ dO ^M dO rkl) Jlij 2 dxij Mr Mz k=l 1=1,l 'if = — - 1^L (Znacos6- Znrsin6) E syQ _ \ dxij + —о 7Г \Zka Sin в + Zbr COS в) Система уравнений возбуждения E.17) и уравнений движения E.24) и E.25) представляет собой полностью самосогласованную двумерную нелинейную релятивистскую модель релятивистского многорезонатор- ного пролетного клистрона. Эта модель описывает нелинейные и дву- двумерные эффекты при взаимодействии электронных потоков с элек- электромагнитными полями в многорезонаторных пролетных клистронах в рамках сделанных упрощающих предположений, основные из кото- которых связаны с аксиальной симметрией полей и возбуждением в резона- резонаторах только одного вида колебаний. Одним из основных критериев оптимизации мощных пролетных клистронв является достижение максимального к.п.д. при заданных параметрах пучка. Поэтому важно определить электронный к.п.д. г\е многорезонаторного клистрона в нашей модели. Как несложно показать, электронный к.п.д. в п-м каскаде клистрона в безразмерных переменных E.10) может быть определен [13] либо по
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 177 формуле ^ Mr Mz ч«» = 7о-Г ' E-26) либо по формуле fft2 f [ <*КР 1±1Ф^\ Zn) * , E.27) 2^G0-1) где (•)* означает комплексное сопряжение. Сравнение величин к.п.д., расчитываемых по формулам E.26) и E.27), дает критерий оценки погрешности численного моделирования процессов в клистроне. Уравнения одномерной релятивистской теории многорезонаторного клистрона Выведенные в предыдущем параграфе уравнения двумерной нели- нелинейной релятивистской модели многорезонаторного клистрона описы- описывают в предположении аксиальной симметрии высокочастотных и фо- фокусирующих полей нелинейные процессы группирования релятивист- релятивистского электронного пучка при каскадном взаимодействии с ВЧ-элек- тромагнитными полями и полем пространственного заряда. Эта модель позволяет также детально исследовать такие двумерные эффекты, как расслоение, перемешивание слоев с различными радиусами, пульсации электронного пучка. Вместе с тем, уравнения E.17), E.24) и E.25) являются достаточно громоздкими и сложными для использования на начальном этапе решения задачи оптимизации клистронного усилите- усилителя. Ряд существенных нелинейных эффектов может быть описан в рам- рамках более простой и наглядной одномерной теории. Поэтому целесооб- целесообразно использовать одномерные модели, обеспечивающие существенно меньшую трудоемкость расчетов, и лишь затем применять двумерную модель для уточнения полученных результатов. Переход к одномерной модели формально можно осуществить, по- положив ж = °- E-28) Тогда система уравнений E.24), E.25) и E.17) будет описывать модель электронного потока с расслоением. Такая модель, предполагающая наличие фокусирующего магнитного поля с бесконечно большой на- напряженностью, позволяет учесть различие в группировании электронов по сечению. В этом случае электронный пучок в поперечном сечении делится на Мг слоев, радиус которых в процессе взаимодействия не изменяется, а в продольном направлении динамика слоев различна. Модель с расслоением позволяет исследовать группировку в случае,
178 Лекция 5 когда поле в ВЧ-зазоре резонатора неоднородно по радиусу. Особенно существенно это для резонаторов с бессеточными зазорами, которые применяются в мощных клистронах г). Высокочастотные поля таких зазоров «провисают» к центральной части пучка [5]. В результате возни- возникающее различие в группировании отдельных слоев приводит к увели- увеличению разброса скоростей электронов и уменьшению величины первой гармоники сгруппированного тока ii, что уменьшает к.п.д. клистрона. На основе исследования моделей с расслоением были разработаны спе- специальные меры по компенсации этих эффектов [5] 2). Простейшей одномерной моделью является однослойная модель, в которой предполагается, что Мг = 1. При этом предположении и усло- условии E.28) система уравнений движения E.24), E.25) и возбуждения E.17) переходит в следующую: ^ Xi _ 2G0 - 1) п,0 по /7 je\ 1 ™ \^ т?Р (к 9Ch -W-^!eTE-Re{Zke } + Л?Л'г' E-29) n KnQk l + j<j>nQn w2/3o(lo - 1) v^ dx± Fo -jo 2 - -Е" е dd 120(d/aJ 1 + (фпЯпJ Mz ^ dd zn -1/2 Для заряженной частицы в форме кольца, усредняя поле по ради- радиусу на интервале [г{, R{], для напряженности поля пространственного заряда можно получить выражение [8] 8 = 1 Здесь Bs = T1 [V2Ji(i (все обозначения совпадают с обозначениями в предыдущем парагра- фе). В следующем параграфе рассмотрены результаты оптимизации восьмирезонаторного релятивистского клистрона с помощью сформу- сформулированной одномерной однослойной модели. г) Это связано с тем, что любые другие резонаторы не выдерживают боль- больших потоков мощности, заключенных в мощном электронном пучке. 2) Модели с расслоением электронного потока успешно применяются для исследования не только клистронов, но и других приборов электроники СВЧ, таких как ЛБВ [14, 8], виркаторы [15] и т. д.
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 179 Моделирование и оптимизация многорезонаторных релятивистских клистронов Рассмотрим результаты оптимизации с помощью одномерной моде- модели E.29)—E.31) восьмирезонаторного слаборелятивистского клистрона при следующих заданных величинах d/a = 2,2, уа = 2тга/Хе = 0,616, Уо = 2тга/Хе = 0,36, Vb = 6кВ (/?о = 0,152) и различных значениях плотности пространственного заряда w — ир/и. На рис. 5.4а приведены зависимости максимального к.п.д. кли- клистронов от параметра пространственного заряда w при различном числе резонаторов. Как следует из рисунка, в восьмирезонаторной схеме клистрона (сплошная ли- линия) высокое значение к.п.д. до- достигается при малых значениях w (г) = 0,903). С увеличением плот- плотности тока величина к.п.д. мо- монотонно понижатся. Для выясне- выяснения причин этого проанализиру- проанализируем зависимости скоростной моду- модуляции Vi и фазовой группиров- группировки Х{ на входе выходного каска- каскада для случаев w — 0,186 (кри- (кривая 1 на рис. 5.5) и w = 0,286 (кривая 2 на рис. 5.5). Из срав- сравнения зависимостей видно, что с увеличением величины w груп- группировка в оптимальном режиме ухудшается, а требуемая для под- поддержания плотного электронно- электронного сгустка скоростная модуляция возрастает. Это требует повыше- повышения ВЧ-напряжения на зазорах резонаторов промежуточных кас- каскадов, одновременно с этим увели- увеличением необходимо сохранять оп- оптимальным сдвиг фаз ф между то- током и напряжением на зазорах. Следует обратить внимание на распределение оптимальных рас- расстроек резонаторов промежуточ- промежуточ0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 d/a Рис. 5.4. Зависимость максимально- максимального к.п.д. от параметра простран- пространственного заряда (а)(сплошная ли- линия соответствует восьмирезонатор- ному клистрону, штриховая — ше- стирезонаторному клистрону) и от ширины ВЧ-зазора выходного ре- резонатора восьмирезонаторного кли- клистрона (б) (построено по данным, приведенным в [8]) ных каскадов клистрона. В по- последних резонаторах расстройки в оптимальном по к.п.д. режиме моно- монотонно понижаются (т. е. функция расстройки ф(п) является убывающей с увеличением номера каскада п), что обеспечивает наилучшее распре-
180 Лекция 5 Щ 1,2 1,0 0,8 0,6 Xi -5,0 13 21 29 i 13 21 29 деление ВЧ-напряжений в зазорах и, в итоге, наилучшую группировку электронного потока. Заметим также, что к.п.д. восьмирезонаторного клистрона суще- существенно выше, чем к.п.д. шестирезонаторного клистрона (штриховая линия на рис. 5.4а). Это связано с тем, что с увеличением числа ре- резонаторов удается повысить каче- качество группирования и модуляции по сравнению с шестирезонаторной схемой. На рис. 5А6 приведена зави- зависимость максимального к.п.д. от ширины d/a ВЧ-зазора выходного резонатора при ш = 0,1 и шири- шириной di+7/a = 2,2 ВЧ-зазоров ре- резонаторов промежуточных каска- каскадов. Из рисунка видно, что с уве- увеличением ширины зазора до вели- величины d/a «2,2 несколько снижа- снижается к.п.д. клистронного усилите- усилителя (примерно на 2%). При даль- дальнейшем увеличении ширины зазора (при d/a > 3,2) энергообмен меж- между пучком и ВЧ-полем приобретает знакопеременный характер (элек- (электронный сгусток входит в зазор в конце ускоряющей фазы). Догруппировка электронного сгустка в вы- выходном сгустке ухудшается, в результате чего г]та^ заметно понижается. Анализ физических процессов при увеличении ширины зазора показы- показывает, что при этом наблюдаются следующие явления, сопровождающие отбор энергии от электронного сгустка. 1. Непосредственно в области ВЧ-зазора (области энергообмена) при всех величинах ширины зазора d/a наблюдается догруппировка электронного потока и одновременное выравнивание скоростей, однако при больших значениях d/a они выражены слабее из-за большого угла пролета. 2. На выходе ВЧ-зазора сильно заторможенные электроны вновь ускоряются, что имеет место в зазоре любой ширины и, соответственно, несколько снижается электронный к.п.д. 3. С увеличением ширины зазора выходного резонатора имеет место рост оптимальной амплитуды ВЧ-напряжения в нем. Это связано с тем, что с ростом угла пролета электронов через зазор эффективное на- напряжение, действующее на них, понижается, что и требует повышения амплитуды ВЧ-напряжения для сохранения эффективности энергооб- энергообмена. Рис. 5.5. Зависимости скоростной модуляции Vi и фазовой группиров- группировки Xi для восьмирезонаторного оп- оптимизированного по к.п.д. клистро- клистрона при w = 0,186 A) и w = 0,286 B) (из работы [8])
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 181 Рассмотрим теперь, что изменяется в физике взаимодействия элек- электронного потока с ВЧ-полями в клистронном усилителе в случае силь- сильного релятивизма. В работах [16,8] рассматривается оптимизированный по к.п.д. восьмирезонаторный релятивистский клистрон. При модели- моделировании при ряде заданных параметров (основные из которых ток пуч- пучка, ускоряющее напряжение, геометрические размеры) определялись оптимальные параметры расстройки фп, нагруженные добротности Qn и амплитуды ВЧ-напряжения на зазоре каждого из восьми резонаторов, а также оптимальные длины труб дрейфа 1п между резонаторами , при которых достигается максимальный к.п.д. релятивистского клистрон- ного усилителя. Для клистрона с током пучка /о = 10 А, рабочей длиной волны Л = = 12 см, радиусом трубы дрейфа а = 0,8 см, d/a = 2, Ki+7 = 100 Ом, Kg = 150 Ом и ускоряющим напряжением Vb = 500 кВ (/?о = 0,863) максимальный к.п.д. составил rje = 0,894 при коэффициенте усиления С = 61дБ. Для клистрона с ускоряющим напряжением Vb = 1000 кВ (/?о = = 0,941) были выбраны параметры /0 = 50А, Л = 12 см, а = 1,0 см, d/a = 2, Кг+7 = 100 Ом, К8 = 150 Ом. При них rje = 0,864, G = 59,5 дБ. Оптимизация клистрона с теми же параметрами и с ускоряющим на- напряжением Vo = 1500 кВ (/?о = 0,967) предсказывает к.п.д. г]е = 0,836 и коэффициент усиления G = 63,4 дБ. Анализ скоростной модуляции показывает, что она очень мала по сравнению со слаборелятивистским случаем, который рассматривался выше. Так в последней трубе дрейфа максимальное отклонение ско- скорости электронов от среднего значения не превышает 4%, в то время как в клистроне с ускоряющим напряжением Vo = 50 кВ максимальное отклонение скорости электронов от средней достигает 18 % при близ- близких амплитудах ВЧ-напряжения на зазоре предпоследнего резонатора в сильнорелятивистском и слаборелятивистском случаях. Малую глу- глубину скоростной модуляции приходится компенсировать существенным увеличением длин труб дрейфа релятивистских клистронов. В релятивистских клистронах изменяется и характер энергообмена между электронным сгустком и ВЧ-полем в выходном резонаторе. Энергоотбор происходит в основном не за счет изменения скорости электронов, а за счет изменения их массы при торможении в резонаторе. Если в слаборелятивистском клистроне минимальные скорости элек- электронов находятся в пределах 0,1 -г- 0,3 от средней, то в релятивистском клистроне их значение лежит в пределах 0,5 -г- 0,8. При величине ширины зазора выходного резонатора d/a = 2 вели- величина напряженности ВЧ-поля в выходном зазоре в случае Vb = 500 кВ имеет величину 312 кВ/см, в случае Vb = 1000 кВ — 500 кВ/см, в случае Vb = 1500 кВ — 750кВ/см. Эти значения приближаются к пробив- пробивным напряжениям для вакуума [17], которые составляют величины ^пробоя = 200 -г- 1000 кВ/см и зависят от материала, качества обработки
182 Лекция 5 0,2 0,0 -0,2 10 20 30 0,2 0,0 -о; h .5 §%§ ,7 Ш /71 ^йп Ц 0 10 20 30 Рис. 5.6. Зависимости поперечных скоростей от продольной координаты (че- (четыре последних каскада) для центров масс крупных частиц в слабореляти- слаборелятивистском клистроне для внешнего (а) и внутреннего (б) слоев. Вертикальны- Вертикальными линиями отмечены центры зазоров резонаторов 5-8 (из работы [13]) и формы поверхности и т. д. Поэтому важным представляется оптими- оптимизация схем клистронов с увеличенной шириной ВЧ-зазоров последних каскадов. Другим способом решения данной проблемы является приме- применение распределенного отбирателя энергии типа отрезка замедляющей системы (схема твистрона) [18]. Такие отбиратели энергии достаточно высокоэффективны, поэтому можно ожидать незначительное снижение к.п.д. усилителя в этом случае по сравнению с однозазорным выходным резонатором. Двумерные эффекты в многорезонаторных клистронных усилителях Рассмотрим, следуя работе [13], принципиально двумерные эффек- эффекты в слаборелятивистском клистроне со следующими основными пара- параметрами: d/a = 2,2, уа = 0,616, Ki+s = 76 0м, Vo = 6кВ (/30 = 0,152), w = 0,1. Электронный к.п.д., рассчитанный в рамках одномерной мо- модели, равен г]е = 0,89. Использование двумерной модели E.17), E.24) и E.25) с числом частиц Mz = 16 на одну электронную длину волны Ае, числом слоев в поперечном направлении Мг = 3 и параметром фокусирующего маг- магнитного поля Ф = 1 приводит к уменьшению к.п.д. до значения rje = = 0,83, т.е. учет двумерных эффектов понижает расчетный к.п.д. на 6%. На рис. 5.6 представлены зависимости поперечных скоростей vyij от продольной координаты х центров масс крупных частиц, принад- принадлежащих слоям с j = 1 (внутренний слой; рис. б) и j = 3 (внешний
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов ,5 ,6 ,7 ,8 183 Рис. 5.7. Траектории центров масс крупных частиц в координатах (ж, г/) в слаборелятивистском клистроне всех трех слоев. Вертикальными линиями отмечены центры зазоров резонаторов 5-8, горизонтальная штриховая линия соответствует внутренней границе трубы дрейфа с радиусом уа = 0,616 (из работы [13]) слой; рис. а). Как видно из рисунка, до седьмого резонатора пульсации скорости имеют практически статический характер, причем амплитуда этих пульсаций существенно больше во внутренних слоях электронного потока. Модуляция в седьмом резонаторе приводит к появлению дина- динамических пульсаций (поперечного колебательного движения основной массы электронов, вызванного воздействием ВЧ-полей зазора резона- резонатора и пространственного заряда), амплитуда которых увеличивается, а период уменьшается. Из рис. 5.7, на котором представлены траекто- траектории центров масс крупных частиц, видно, что имеет место частичное перемешивание всех слоев. После седьмого резонатора за счет роста пульсаций пучок расширяется. Расширение пучка можно оценить, ис- используя интеграл движения граничного электрона для случая аксиаль- аксиальной симметрии [10] E.32) Гд — v\ = const, где го — радиус ведущего центра электронной орбиты, гс — ради- радиус циклотронного вращения, определяемый поперечной скоростью v± электронов (гс = v±/uc). Таким образом, как следует из соотношения E.32), за счет действия радиального электрического и магнитного полей резонатора возрастает не только радиус вращения гс, но и радиус веду- ведущего центра го, т.е. пучок расширяется быстрее, чем растет величина Г с- Рис. 5.7 позволяет также проанализировать процесс токооседания на стенки трубы дрейфа. Токооседание имеет место в области зазора выходного резонатора, причем на стенку трубы дрейфа выходят элек- электроны как внешних, так и средних слоев. Всего оседает около 12 % элек- электронов. Токооседание может быть предотвращено за счет увеличения радиуса выходной трубы дрейфа при том же значении фокусирующего магнитного поля Ф, при этом к.п.д. прибора уменьшается всего на 3 %.
184 Лекция 5 Моделирование физических процессов в клистронном усилителе в случае слабого релятивизма с помощью нелинейной двумерной модели с тремя слоями (Мг = 3) выявило также следующие эффекты. 1. Из-за лучшей модуляции наиболее быстро вдоль пространства дрейфа группировка электронов происходит во внешних слоях, однако, после прохождения седьмого резонатора группировка во всех слоях выравнивается. 2. Если рассчитать электронный к.п.д. отдельно для каждого слоя 77ej, то наибольший к.п.д. соответствует внешнему слою rjjMr = 0,89. 3. Наблюдается энергообмен между слоями через электрическое поле пространственного заряда. Внешний слой несколько ускоряется за счет торможения внутреннего. Данный эффект невелик — к.п.д. такого энергообмена мал и составляет 1 Ч- 2 % (очевидно, что средний по слоям к.п.д. такого энергообмена равен нулю). Рассмотрим теперь, как влияет переход к сильнорелятивистским электронным пучкам на двумерные эффекты. В работе [13] исследо- исследовался релятивистский двенадцатирезонаторный клистрон с ускоряю- ускоряющим напряжением Vo = 1000 кВ, током /q = 250 А и фокусирующим магнитным полем Ф = 8,5. Резонаторы, в которых отбирается энергия от пучка (нагруженные резонаторы), располагались в восьмом, десятом и двеннадцатом каскадах. В промежуточных девятом и одиннадцатом каскадах находились холостые резонаторы с достаточно большой рас- расстройкой, которые предназначались для осуществления промежуточ- промежуточной догруппировки в потоке и выравнивания скоростей электронов, что важно для повышения эффективности энергообмена в многорезонатор- ном выходном каскаде. Как и в предыдущем случае число слоев в электронном потоке было выбрано Мг = 3 и число частиц в продольном направлении на длине Ае равно Mz = 16. На рис. 5.8 приведены траектории центров масс крупных частиц для всех трех слоев. Видно, что при большом фокусирующем магнитном поле (Ф = 8,5) токооседание отсутствует. Статические пульсации пучка малы, радиальные составляющие скорости электронов, обуславливаю- обуславливающие динамические пульсации, появляются под воздействием попереч- поперечных электрических и магнитных полей ВЧ-зазора шестого и особен- особенно седьмого резонаторов. Динамические пульсации резко возрастают после прохождения девятого и одиннадцатого холостого резонатора, где поперечные скорости внешнего слоя достигают величин порядка @,4 Ч- 0,6)^о. Вследствие этого пучок имеет значительные пульсации в области выходных резонаторов. Сильная поперечная модуляция элек- электронного потока связана с тем, что основная энергия электронов связана с продольной скоростью vz, и для их торможения в зазорах выход- выходных резонаторов необходимо поле высокой напряженности. Радиальные
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 185 У Уа 0,6 0,2 - ¦ i 7 1 L 1 ^ 1А!МА||Ц|№|Ам liiifU№№iii~tJi Hiii ш\ PI ШШш ШШ ill lillli Mil НИШ iilflii I4"*"" " *** ftflMlni IIT i Vi 1 ? 9 10 Л 12 I ILL I III I 'ill 0 20 40 60 80 100 x Рис. 5.8. Траектории центров масс заряженных колец для трех слоев с раз- различными радиусами в шести последних каскадах в релятивистском двена- двенадцати резонаторном клистроне. Вертикальными линиями отмечены центры зазоров резонаторов 7-12, горизонтальная штриховая линия соответствует внутренней границе трубы дрейфа с радиусом уа = 0,836 (из работы [13]) компоненты этого поля и обеспечивают высокий уровень ускорения «поперечно-нерелятивистского» электрона. Влияние двумерных эффектов на к.п.д. в данной схеме релятивист- релятивистского клистрона мало. Так, для таких же параметров результаты расче- расчета по одномерной однослойной модели дают значение к.п.д. г\е — 0,795, а двумерная модель предсказывает величину г\е = 0,765. Это связано, в первую очередь, с высоким значением фокусирующего магнитного по- поля и спецификой отбора энергии у электронов в релятивистском случае. Высокие к.п.д. достигаются при относительно небольшом изменении средней скорости электронного потока, и поэтому преобразование про- продольной скорости в поперечную не оказывает существенного влияния на общем энергообмене. В конце обсуждения физических процессов в многорезонаторных клистронах заметим, что влияние пространственного заряда в сверх- сверхмощных релятивистских клистронах на энергообмен между отдельным электроном и электронным сгустком существенно выше, чем в нере- нерелятивистских и слаборелятивистских клистронах. Это связано, во- первых, с тем, что значительно возрастает погонный заряд пучка (ток пучка /о быстро растет с увеличением ускоряющего напряжения Vb, а скорость vq практически не меняется в случае сильного релятивиз- релятивизма), и, во-вторых, релятивистский электрон более инерционен из-за большой массы т = 7шо5 поэтому он большее время находится под действием тормозящего или ускоряющего поля электронного сгустка, находясь вблизи него.
186 Лекция 5 Многолучевые клистроны Как уже обсуждалось в начале лекции, пролетные клистроны при- применяются в радиофизике и технике, в первую очередь, как эффектив- эффективные мощные усилители сантиметрового и дециметрового диапазона. Однако клистроны, использующие в качестве активной среды один электронный пучок, имеют для некоторых специальных приложений целый ряд принципиальных недостатков и, в частности, неоптимальное соотношение «размер/масса» прибора, высокое ускоряющее напряже- напряжение и сравнительно узкую рабочую полосу частот. Эти недостатки появляются ввиду принципиальных физических ограничений, прису- присущих данным приборам. Одним из возможных способов преодоления их является использование многолучевых клистронов. Идея использования нескольких электронных потоков в пролетном клистроне появляется почти сразу же после изобретения многорезона- торного клистрона. В 60-х годах XX столетия были проведены первые экспериментальные исследования многолучевых клистронов. Рассмат- Рассматривались два основных типа приборов — многолучевой клистрон, ис- использующий высшие рабочие моды резонаторов [20] и многолучевой клистрон с бегущей волной [21]. Оба усилителя позволяют существенно снизить рабочее напряжение. Однако если необходимо расширить по- полосу усиливаемых частот А///, то клистронный усилитель с исполь- использованием основной рабочей моды резонаторов более предпочтителен по сравнению с однолучевым клистроном, а клистрон с бегущей волной более эффективен для получения больших выходных мощностей (до нескольких МВт). Рис. 5.9. Схема многолучевого клистрона: 1 — электронная пушка, формиру- формирующая многолучевой пучок; 2, 5 — проводящие экраны; 3 — резонаторы; 4 — каналы дрейфа, через которые проходят отдельные пучки многолучевого электронного потока; 6 — коллектор На рис. 5.9 приведена схема многорезонаторного многолучевого клистронного усилителя, работающего на основной моде резонаторов. Особенностью конструкции прибора является использование несколько соосных пролетных каналов 4 для электронных пучков, расположенных в одной металлической многоканальной трубе дрейфа 5. В каждом пролетном канале распространяется только один электронный пучок,
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 187 причем между соседними пучками в пространстве дрейфа отсутству- отсутствует какая-либо связь. Вместе с тем, они все пронизывают одни и те же объемные резонаторы 3. Электронные пучки с небольшими перве- ансами и токами легко фокусируются и удерживаются сравнительно слабым внешним магнитным полем, в них происходит эффективное группирование по плотности (за счет небольшой силы кулоновского рассталкивания в пучке с небольшим током), они более эффективно взаимодействуют, отдавая энергию ВЧ-полю выходного резонатора. Выходная мощность многолучевого клистрона оказывается равной сум- сумме мощностей, отбираемых от каждого в отдельности слаботочного электронного пучка. Ускоряющее напряжение в такой системе может быть существенно понижено, что позволяет уменьшить размеры и вес прибора, а также его источников питания. Кроме того, ширина полосы усиления может быть увеличена за счет увеличения полного первеанса многолучевого электронного пучка. Многолучевой клистрон включает также в свою конструкцию мно- многолучевую электронную пушку 1, фокусирующую магнитную систему (не показана на рисунке) и коллектор 7. В случае эквивалентных выходных мощностей многолучевого кли- клистрона и обычного клистрона (PyvE = Pi), равных первеансах пучков (Vn/N = T^part = V\) и равных нормированных радиусах каналов для отдельных пучков, ширина полосы усиливаемых частот многолучевого клистрона в 2 Ч- 2,5 раз больше, чем для клистрона с одним пучком [19]. Это связано с тем, что рабочая полоса частот может быть увеличена за счет снижения усиления при расстройке резонаторов и снижения их нагруженной добротности г). При увеличении нагрузки выходного ре- резонатора (снижения его нагруженной добротности) полоса становится шире, однако, при этом падает амплитуда ВЧ колебаний, что приводит к снижению к.п.д. усилителя. С увеличением числа пучков N харак- характеристическое сопротивление выходного резонатора увеличивается (за счет увеличения электронной нагрузки в связи с тем, что многолучевой электронный пучок вносит меньшую реактивную проводимость (ем- (емкость) в полную проводимость резонатора) и, соответственно, умень- уменьшается его нагруженная добротность, и тем самым увеличивается по- полоса частот А/// при сохранении высоких значений к.п.д. клистрона. Рабочее напряжение многолучевого клистрона уменьшается по срав- сравнению с напряжением соответствующего однолучевого клистрона как Vbi/Vow ~ iV2/5. Если величина суммарной площади поперечного сече- сечения многолучевого электронного пучка равна площади сечения пучка однолучевого клистрона, то ширина полосы многолучевого клистрона расширяется более, чем в 6 -г 9 раз. Однако в этом случае ток много- х) Заметим, что полоса усиления в многорезонаторном клистроне за счет высокого коэффициента усиления в первую очередь определяется парамет- параметрами выходного каскада.
188 Лекция 5 M, кг D, мм о 6 ? 4 2 _l ! / T ^ ! ! 10JCM ! x I , 7 !/ П L L_ J 0,05 0,5 5,0 30 100 Рис. 5.10. a — параметры многолучевого клистрона как функции числа пуч- пучков N, рабочая длина волны оптимизируемого клистрона Л = 3 см, выходная мощность 500 Вт, плотность тока с катода 15 А/см2; б— ширина усиливаемых частот как функция выходной мощности многолучевого клистрона для раз- различных рабочих длин волн Л, штриховая линия соответствует однолучевому клистрону (из работы [19]) лучевого пучка должен быть увеличен (для увеличения первеанса) как Son/Joi ~ ^2/5- Рассмотрим некоторые результаты оптимизации многолучевых кли- клистронов [19]. На рис. б.Юапоказаны зависимости ширины полосы А///, ускоряющего напряжения Vb, ширины пролетного канала D и массы фокусирующей магнитной системы М от числа лучей N многолучевого пучка. Видно, что с увеличением числа пучков резко уменьшается величина рабочего напряжения клистрона, одновренно имеет место рост ширины полосы усиливаемого сигнала. На рис. 5.10? демонстри- демонстрируется зависимость ширины полосы А/// многолучевого клистрона как функция выходной мощности для различных рабочих длин волн при плотности тока пучка с катода jo = 15 А/см2. В 3-сантиметро- 3-сантиметровом диапазоне многолучевой клистрон имеет ширину полосы порядка 2 Ч- 3% процентов при выходной мощности от сотен Вт до нескольких десятков кВт. В дециметровом диапазоне ширина полосы расширяется до величины А/// ~ 8 %. Увеличение первеанса пучка (плотности тока пучка до j0N = 45 А/см2) приводит к расширению полосы до 15 % при выходной мощности порядка 30 -г- 80 кВт (на рисунке не показано). Размеры и масса усилителя на основе однолучевого клистрона во многом определяются его магнитной фокусирующей системой. Как правило, вес магнита в 4 Ч- 30 раз превосходит вес самого клистрона. Оптимизация параметров многолучевого клистрона и его магнитной фокусирующей системы позволила реально уменьшить вес прибора примерно в 10 раз по сравнению с однолучевым аналогом. Это обеспечи- обеспечивается главным образом за счет существенного уменьшения мощности
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 189 источника питания прибора и суммарной длины дрейфового канала электронных пучков [22]. Наряду с привлекательными свойствами многолучевых клистронов (широкая полоса усиливаемых частот, сниженное рабочее напряжение, небольшие масса и размеры), существуют и определенные технологиче- технологические проблемы создания приборов этого класса. Наиболее значимые из них связаны, во-первых, со сложностями получения мощных электрон- электронных пучков с хорошей фокусировкой, а, увеличение числа пучков N приводит к возникновению большого числа паразитных видов колеба- колебаний. Многолучевые клистроны активно разрабатываются и как источ- источники коротких импульсов сверхмощного СВЧ-излучения, например, для нужд ускорительной техники. Так для электрон-позитронного ли- линейного коллайдера Станфордского центра линейных ускорителей раз- разработан релятивистский многорезонаторный многолучевой клистрон с выходной мощностью 2 ГВт [23]. В клистроне используется 10 пучков, имеющих первеанс 1.4. Многолучевой электронный поток проходит через четыре общих резонатора, и каждый отдельный пучок — через 10 дополнительных резонаторов для повышения полного к.п.д. прибора. Некоторые характеристики данного прибора приведены в таблице 5.1. Прибор может работать как в режиме усиления, так и в режиме генера- генерации. В последнем случае в усилитель вводится внешняя обратная связь, реализуемая за счет ответвления части мощности из второго резонатора клистрона во входной резонатор. Т а б л и ц а 5.1 Характеристики сверхмощного многолучевого клистрона [23] Выходная мощность 2 ГВт Длительность импульса СВЧ-излучения 1 мкс К.п.д. 50% Коэффициент усиления 30 дБ Рабочая частота 1.5 ГГц Рабочее напряжение 600 кВ Ток многолучевого пучка 6.7 кА Размеры 150 х 45 см Вес клистрона без магнитной системы 81 кг Список литературы 1. Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. — М: Сов. радио, 1971. 2. Проектирование радиопередающих устройств / Под ред. В. В. Шахгильдяна. — М.: Связь. 1976. 3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз. 1959.
190 Лекция 5 4. Шевчик В.П. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959. 5. Канавец В.И., Лопухин В.М., Сандалов А.П. Нелинейные процес- процессы в клистронах и оптимизация их параметров // Лекции по элек- электронике СВЧ C-я зимняя школа-семинар инженеров), книга VII. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. 6. Карнаух А.И., Карнаух В.А., Петров Д.М. Применение ЭВМ для расчета многорезонаторного усилительного клистрона с сильной магнитной фокусировкой (оптимизация в полосе частот) // Элек- Электрон, техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1972. No 6. С. 36. 7. Бороденко В.Г., Закурдлев А.Д., Малькова Н.Я., Победоносцев А. С. Опыт проектирования с помощью ЭЦВМ усилительного кли- клистрона сантиметрового диапазона // Электрон, техника. Сер. 1. Электрника СВЧ. 1971. No 8. С. 18. 8. Кураев А.А., Байбурин В.В., Ильин Е.М. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов. — Мн.: Наука и техника, 1990. 9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1967. 10. Кураев А. А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ. — Мн.: Наука и техника, 1979. 11. Ковалев И.С, Кураев А.А., Колосов СВ. Законы сохранения в приложении к теории и расчету электронных приборов // Доклады АН БССР. 1973. Т. 17, № 7. С. 621. 12. Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. — NY.: McGraw-Hill, 1981. 13. Аксенчик А.В., Кураев А.А. Двумерные эффекты в оптимизиро- оптимизированных по КПД многорезонаторных клистронах // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33, № 6. С. 1240. 14. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973. 15. Anftnogentov V.G., Hramov A.E. Oscillation Conditions of the Vircator-Klystron with External Delayed Feedback: A Computer Simulation // J.Communication Technology and Electronics. 2001. V.46, №5. P.546. 16. Аксенчик А.В., Колосов СВ., Кураев А.А., Шестакович В.П. Результаты оптимизации КПД многорезонаторных клистронов // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, № 12. С. 2526. 17. Кухаркин Е. С, Сестрорецкий Б.В. Электрическая прочность вол- новодных устройств. — М: Высшая школа, 1963. 18. Ковалев П.Ф., Кольчугин Б.Д., Кротова З.Н. Ультрарелятивист- Ультрарелятивистский твистрон // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20, № 12. С. 2636.
Моделирование и оптимизация на ЭВМ пролетных клистронов 191 19. Gelvich E.A., Borisov L.M., Zhary Y.V., Zakurdayev A.D., Pobedonostsev A.S., Poognin V.I. The new generation of high-power multiple-beam klystrons // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1993. V. 41, № 1. P. 15. 20. Boyd M.R., Dehn R.A., Rickey J.S., Mihran T.G. The multiple-beam klystron // IRE Trans. Electron Dev. 1962. V. ED-9, №3. P. 247. 21. Pohl W.J. The design and demonstration of wide-band multiple-beam travelling-wave klystron // IEEE Trans. Electron Dev. 1965. V. ED-12, №6. P. 351. 22. Королев СВ. О возможности уменьшения веса и размеров про- пролетного клистрона // Электронная техника, серия I: электрони- электроника СВЧ. 1968. Вып. 9. С. 176. 23. Caryotakis G., Jonrewaard E., Phillips R., Scheitrum G., Tantawi S., Luhmann N.C. A 2-gigawatt, 1-microsecunde microwave source // In: the Proc. of 11th Int. Conf. on High Power Particle Beams. Prague, Czech Republic. June 10-14, 1996. V. 1. P. 406.
Лекция 6 ИНДУЦИРОВАННОЕ И СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В РЕЗОНАНСНЫХ АВТОГЕНЕРАТОРАХ ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ (индуцирован- (индуцированное излучение, стимулированное излучение), ис- испускание эл.-магн. излучения квантовыми систе- системами под действием внешнего (вынуждающего) излучения; при В.И. частота, фаза, характер по- поляризации и направление распространения ис- испущенной эл.-магн. волны полностью совпада- совпадают с соответствующими характеристиками внеш. волны. В.И. принципиально отличается от спон- спонтанного излучения, происходящего без внешнего воздействия. Существование В.И. было постули- постулировано А. Эйнштейном в 1916 при теоретическом анализе процессов теплового излучения... Электроника: Энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991. с. 72. Индуцированное излучение в автогенераторах типа О. Спонтанное излучение электрона при произвольном движении через резонатор. Связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резонансных автогенераторах. Сравнение классического и квантово- квантового подхода. В квантовой электродинамике существуют простые соотношения, связывающие спонтанное и индуцированное излучение связанных элек- электронов, имеющих дискретный энергетический спектр. В данной лекции рассмотрим соотношения, связывающие спонтанное и индуцированное излучение свободных электронов (сплошной спектр излучения), проле- пролетающих через объемный резонатор, имеющий дискретный энергетиче- энергетический спектр. Будем следовать работе [1].
Излучение в резонансных автогенераторах 193 Индуцированное излучение в автогенераторах типа О Рассмотрим взаимодействие прямолинейного электронного пучка с электрическим полем собственного колебания в резонаторе. Поле зададим в виде E = Re{AeEee-^w*}. F.1) Будем считать, что электроны движутся вдоль оси х. Ограничиваясь приближением слабых сигналов, введем переменную плотность тока следующим образом: U = Re {ij(v±)J(x)e-^t} , Jv(rx)drx = 1, F.2) где ф (rj_) — функция распределения плотности тока по поперечному се- сечению пучка, J{x) — комплексная амплитуда тока в данном сечении х. Далее введем ?.(х) = j Е.,хф* dr±, i=j№(rx)|2drx, F-3) где ?8(х) — эффективное поле резонатора, S — эффективная площадь сечения электронного потока. Уравнение движения электрона в переменных Эйлера может быть записано как (см. формулу C.11)) dv ( д д\^ ( д . Поле пространственного заряда можно найти из уравнения Пуассона = дх so Из уравнения непрерывности и уравнения для конвекционного тока (см. уравнение C.3)) -^ = jwp, jx = Pov + pv F.6) можно найти величину переменной плотности пространственного заря- заряда: Тогда уравнение F.5) перепишется в виде дЕх,пз _ 1 djx F-7) F.8) дх jooeo дх откуда получаем выражение для поля пространственнного заряда: Ех,пз = ^—3х. F-9) JM?o 7 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
194 Лекция 6 Перепишем уравнение для конвекционного тока F.6) так: (ело) Выражая из последней формулы v и подставляя в полученное выраже- выражение F.4), находим J k^ FЛ1) Учитывая, что ujp = ^е2п/те^ — плазменная частота для бесконечно широкого пучка (п — постоянная составляющая концентрации электро- электронов в пучке), и используя формулы F.1)-F.3), получим = -j'w^P ASS.,X. F.12) Умножим последнее уравнение на \ф*\ и проинтегрируем по dr±, в итоге для 3{х) получим дифференциальное уравнение + ША J(x) = -jw^- AsJs{x). F.13) Решение уравнения F.13) можно найти воспользовавшись пред- представлением решения через интеграл Дюамеля. Вспомним некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений. Теорема. Общее решение неоднородного линейного дифференци- дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами drv dr~xv rt ч by = а0—? + fli-т^ + ...+ary = f(x) at ax можно представить в виде интеграла Дюамеля X у = \н+(х -x)f(x)dx, о если выполняется условие, что f(x) = 0 при х ^ 0 и Я+(ж — ~х) = = 0 при х ^ ~х (фактически эти условия означают, что «будущие» значения f(x) не могут воздействовать на «более ранние» значения у(х), а также исключаются мгновенные влияния). Функция Я+ явля- является частным случаем функции Грина, для нахождения ее необходимо проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение Ь#+(ж)=0, х >0 при начальных условиях Я+@) = Н'@) = ... = Я^)@) = 0, Я^}@) = —. по
Излучение в резонансных автогенераторах 195 Предположим, что при х = 0 пучок не модулирован, т. е. J — О dj п и — = U, взаимодействие электронов с полем происходит на отрезке О < х < L. Решение соответствующего однородного уравнения для уравнения вида F.13) было получено в лекции 3: оно представляет собой две волны пространственного заряда (медленная и быстрая), распространяющихся с волновыми числами км^ = -. Тогда в со- соответствии с теоремой решение уравнения F.13) имеет вид 2 х j(x) = -JfL ^L As \?8(x) Ге-^*-^ - eJk^~x)] dx. F.14) 2шр mv j L J Активная мощность, отдаваемая током F.14) резонаторному полю F.1), определяется формулой 2 Lx _ СО е ПР ,д |2 тз I \р*(г\р (-й\ \aJkM(x-x) jk6(x — x)\ j J777 AtOp mv J J L J о о F.15) В двойном интеграле при замене х ^ х подынтегральная функция заменяется комплексно сопряженной, ее вещественная часть не изме- изменяется, и, следовательно, этот интеграл равен половине интеграла по квадрату 0 < ж, ~х < L. Учтем сказанное и введем обозначения L I8(u>) = \es{x)e (^) dx, Fs{u) = e2|^)|2. F.16) о Тогда мощность Ps перепишется так: Ра = Жаа/ , F.17) mv 2ujp где Ws — энергия собственного колебания F.1), Ns — его норма; при этом Wt = \\Ar\2Nt, Ns = ±-\\Es\2dV. F.18) Таким образом за время Т = L/v (время пролета электронов через пространство взаимодействия) энергия поля получает приращение = N^-2^Fs{uJ + ^\-F^-w"), F.19)
196 Лекция 6 где TV = nSL — эффективное число электронов, находящихся в каждый момент в пространстве взаимодействия. Пусть через пространство взаимодействия пролетает только один электрон. В этом случае в формуле F.19) надо положить N = 1, ир = = 1, а под ?8{х) понимать составляющую Е8^х на прямой, по которой электрон движется. Имеем SlWs = ^u,^l F.20) — выражение для индуцированного излучения электрона, проходя- проходящего через слабое поле F.1). Приращение 8\WS пропорционально Ws — энергии резонаторного колебания, модулирующего движение электрона. Спонтанное излучение электрона при произвольном движении через резонатор. Связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резонансных автогенераторах Пусть электрон движется по закону г = r(t) через резонатор, в кото- котором при t = 0, когда электрон вступает в резонатор, поля нет. Покидая резонатор в момент времени t = T, электрон оставляет в нем часть своей энергии (весьма небольшую) в виде суперпозиции свободных колебаний этого резонатора. Колебания возбуждаются током с плотностью — сю Для тока легко находим: т т J(o;,r)= \i(t,r)eju:t dt= \ er(t)S(r - r(t))ejujt dt. F.21) о о Электрическое поле колебания с индексом s, подобно току (см. интеграл F.21)), может быть представлено в виде интеграла Фурье F.22) где векторная функция Es(r) не зависит от о; и представляет собой рас- распределение поля собственного колебания резонатора. Согласно теории возбуждения резонаторов (см. формулу A.53)), а также при использо-
Излучение в резонансных автогенераторах 197 вании формулы F.21), имеем А.(ш) = ., 2Ш 2ч Ns \jE*sdV = i = Т 2 [ Es(rW)rWejc"^ dt. F.23) Используем тот вариант теории, в котором для идеального резона- резонатора условие ортогональности записывается в виде \jE8E*dV = 4'irN868r. F.24) Потери (омические или радиационные) будем учитывать только собственной комплексной частотой us = u's — ш". Причем, cj'JT ^C 1, т. е. потерями за время полета можно пренебречь. Нас интересует поле Е(Т, г) и связанная с ним энергия A0Ws = \\Vs\2Ns, F.25) где 2тг — сю 2тггУУ5 J о Последний интеграл G = Г_ —^ 2е Ja; ^и мож;етбыть взят 00 си oj 00 си — ojs s на основании теоремы о вычетах. Перейдем к интегрированию по конту- контуру. В качестве контура интегрирования выберем контур, охватывающий верхнюю полуплоскость. Найдем полюсы подинтегральной функции, они являются решениями уравнения р(со) = и2 — u2s = 0: и\^ = =bo;s. Корень — ujs нас не интересут, так как он лежит в нижней полуплоско- полуплоскости. Найдем теперь вычет для интеграла G. Так как то Яыч - Шз AUJS Тогда G = ^2тг
198 Лекция 6 т о где т 18(ш) = [Es(r(?))r(?)e"ia;Td? F.27) о — интеграл взаимодействия, для прямолинейного движения согласую- согласующийся с формулой F.15). Условие uj'gT <С 1 означает, что в выражении F.26) можно считать |e-jo;sT| = i и заменить ujs в функции I*(ujs) на uj's или же на любую частоту 2, удовлетворяющую условию \и) — uis\T <^i 1 или \и) — us\ < < ио". Величина F.25), таким образом, получается в виде оWt = F.28) причем для прямолинейного движения электронная функция Fs(uj) та же, что и в формуле F.16) для индуцированного излучения. Итак, функция Fs(uj) из формулы F.16) определяет спонтанное из- излучение электрона, пролетающего через резонатор, а выражение F.20) устанавливает связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резонансных автогенераторах. Заметим, что в модифицированном виде соотношение F.20) обобща- обобщается на резонансные генераторы, в которых электроны под действием статических полей движутся произвольным образом. Таким образом, соотношения F.17) и F.19) обобщаются, но только при ир = 0: про- пространственный заряд в приборах разного типа действует по-разному и учитывать его так, как это принято в приборах типа О, в общем случае нельзя. Сравнение классического и квантового подходов Преобразуем выражение F.20) с учетом того, что функции 1Г и Fr зависят не только от частоты, но и от скорости v или, что то же, от кинетической энергии ? = mv2/2. Используя полученное выражение F.28), имеем: dFr г (dir „ дГА F29)
Излучение в резонансных автогенераторах 199 Величины Is и dls/дио даются выражениями 18{и) = J ?8(x)e-jwx/vdx и ^Ll = -L J xs8eriu3X'v dx. F.30) о о Из соотношения F.29) получим: ®Fs — е [ — L [ Tf p-^x дш ~ 2Ne\ v) s 4 о А* + ° ¦ и j ° Is]' о С другой стороны dFs_ = dFs 1 dFs dS ~ d(mv2/2) ~ mv dv ' Тогда dFs ez ( r* dls , T di: \ dls _ju; Г P -i(wi/e) , ~r 7s ^.. ' ^„. ~ 2 xcse ax, d8 mv2Ns \ s dv dv J ' dt? <y откуда получаем L dFs _ -e2uj (j f f -j(u>x/v) dT , r _ J Г с*Жих)/у ,tT . r\ ^ 2Nsmv2 \v ) s s v ) s *) 4 n n x о о F.32) Сравнивая формулы F.31) и F.32), приходим к выражению вида dFs со dFs ( , F.33) ^F 2 1 д? mv duo И окончательно находим F.34) Для релятивистских электронов ? = ?тгс27,7 = A ~ v2/c2I/2, а в формуле F.20) вместо m надо взять mj3 (продольную массу). Соотношение F.29) при этом сохраняется. В выражении F.1) частота и лежит в главной части резонансной кривой, т. е. удовлетворяет условию \и — u's\ < и". В силу этого в фор- формуле F.28) можно положить и) = о;, а полное приращение энергии Ws данного колебания равно сумме AWS = AOWS = Fs(w,?) - Ws^ (u,S). F.35) Квантовая форма этого соотношения имеет вид [1] AW, = (ns + l)Fs(w,S) - n,F,(w,S + Пш), F.36)
200 Лекция 6 где ns — число фотонов в s-м колебании, которое в силу условия и"Т <С <С 1 можно уподобить идеальному гармоническому осциллятору; Ws = = nsHu. Легко видеть, что при Ни —> 0 квантовое соотношение F.36) переходит в классическое соотношение F.35). Действительно, устрем- устремляя Ни к нулю, имеем выражение AWS = nsFs(oj,?) + Fs(lj,?) - nshbjdFs(^S), которое, если учесть, что Ws = nsHu, переходит в F.35). Соотношение F.34) может быть применено для расчета пускового тока. Если умножить обе части F.34) на число электронов Je, по- поступающих в резонатор со случайными фазами (Je = J/e, где J — ток пучка, поступающего в резонатор), то получим мощность отдавае- мую пучком данному колебанию: Je Ws ^— • Поскольку мощность, выделяющаяся в оболочке и в нагрузке, равна 2u"W (см. лекцию 2; раздел, посвященный резонансным автогенераторам), то коэффициент затухания s-ro колебания по энергии при наличии электронного пучка запишется следующим образом: = Ш s' (о.37) Генерация возможна при ks < 0, а пусковой ток будет определяться условием ks = 0. В заключение лекции отметим, что классическая теория для резо- резонансных автогенераторов дает индуцированное излучение в приближе- приближении заданного поля, а спонтанное — в приближении заданного тока. Формула F.36), полученная из квантовых представлений, определяет суммарное излучение. Список литературы 1. Вайнштейн В.А. Спонтанное и вынужденное излучение свобод- свободных электронов // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, № 5. С. 40.
Лекция 7 МАГНЕТРОН, АМПЛИТРОН И ДРУГИЕ Тизард и Кокрофт привезли в Америку черный кожанный чемодан, который мисс Джири, секре- секретарша Тизарда, держала у себя под кроватью. Она не знала, что в нем хранятся почти все новые научные приборы военного назначения, создан- созданные в Англии, и среди них новый магнетрон — прибор совсем иной степени важности, чем все остальные весьма важные изобретения... Чарльз Сноу Биографии тем и сильны, Что объять позволяют за сутки Двух любовниц, двух жен, две войны И великую мысль в промежутке. Даже беды великих людей Дарят нас прибавлением жизни, Звездным небом, рысцой лошадей И вином при его дешевизне. Л. Кушнер Кинематическая дрейфовая теория движения электронов в скрещен- скрещенных статических электрическом и магнитном полях и в поле бегущей волны. Фазировка в скрещенных полях. Расчет мощности взаимодей- взаимодействия и к.п. д. применительно к плоскому магнетрону. Что вносит цилиндричность в физику магнетрона. Цилиндрический магнетрон: история создания от Хэлла до Бута и Рэндала. Вильям Браун и уси- усилитель со скрещенными полями. Карматрон и дематрон. В этой и последующей лекциях будут рассматриваться некоторые вопросы теории магнетронных приборов и, в первую очередь, магне- тронных генераторов (магнетронов). Магнетроны — одни из первых приборов сверхвысоких частот и наиболее широко распространенные из приборов типа М, т.е. приборов, использующих взаимодействие
202 Лекция 7 Анодный блок Катод Вывод энергии Связка электронов с высокочастотным полем в скрещенных статических элек- электрическом и магнитном полях. Магнетронные генераторы (магнетро- (магнетроны) представляют собой автогенераторы резонансного типа, поэтому для них справедливы те общие соотно- соотношения, которые мы вывели в лекции 2 для автогенераторов резонансного ти- типа. С конструктивной точки зрения со- современный многорезонаторный магне- магнетрон состоит из трех основных частей (см. рис. 7.1): 1) катода; 2) анодно- анодного блока, содержащего колебательные контуры, 3) вывода ВЧ-энергии. Рабо- Рабочая поверхность катода располагает- располагается строго коаксиально с рабочей по- поверхностью анодного блока. Диаметр катода составляет значительную часть (порядка 50 %) диаметра рабочей по- поверхности анодного блока. Характер- Характерная особенность анодного блока состо- состоит в том, что в нем располагается боль- большое количество полостей, выполняю- выполняющих роль колебательных контуров (ре- (резонаторов). Форма этих полостей (ре- (резонаторов) может быть весьма разно- разнообразной, например, щель-отверстие, сектор, щель и др. (см., например, [1]). Каждая из полостей резонаторов со- соединена щелью с пространством катод- анод, и поэтому рабочая поверхность анодного блока (т. е. поверхность, на которую попадают вылетевшие из ка- катода электроны) всегда разрезана на ряд сегментов, отделенных друг от дру- друга щелями. Между этими сегментами при работе магнетрона возникает пере- переменное напряжение высокой частоты. При разработке многорезонатор- ных магнетронов были эксперимен- экспериментально обнаружены «перескоки» коле- колебаний магнетрона с одной волны на другую. Эти перескоки вызывались как изменением режима питания, так и изменениями высокочастотной нагрузки магнетрона. Дело в том, что колебательная система магнетро- магнетрона представляет собой замкнутую цепочку резонаторов. Она является в \ Связка Рис. 7.1. Схема цилиндриче- цилиндрического магнетрона: а — маг- магнетрон с резонаторами типа «щель-отверстие» и с выводом ВЧ-энергии с помощью петли; б— анодный блок с резонатора- резонаторами типа сектор, в котором чере- чередуются резонаторы различного размера, и с выводом ВЧ-энер- ВЧ-энергии с помощью щели; в — схе- схема соединения сегментов связ- связками для получения колебаний на тг-виде
Магнетрон, амплитрон и другие 203 неоднородной волноведущей структурой, в которой могут существовать стоячие или бегущие волны. Из-за замкнутости системы в ней могут распространяться только те волны, для которых выполнено условие синфазности колебаний в начале и конце колебательной системы: УУ</?0 = 2тгп, п = 1,2,3... G.1) Здесь N — число резонаторов в замедляющей системе магнетрона, </?о — сдвиг фазы на одном периоде системы, п — номер вида колебаний. Видам колебаний с одинаковым по модулю значением п соответствуют одинаковые частоты колебаний, т. е. в системе существует вырождение по частоте. Введение элементов связи между отдельными резонаторами нарушает симметрию колебательной системы и приводит к снятию вырождения, при этом частоты колебаний, соответствующие п и — п, близки. Поэтому в результате флуктуации, например, анодного напря- напряжения, магнетрон может изменить частоту генерации. Для устранения этого явления применяются либо анодные блоки, в которых последовательно чередуются резонаторы двух типов, либо анодные блоки с одинаковыми резонаторами, которые электрически связаны между собой так называемыми «связками». Действительно, усиление связи между отдельными узкополосными колебательными системами, составляющими колебательную систему анодного блока, приводит к удалению собственных частот друг от друга. Поэтому вве- введение элементов, связывающих отдельные резонаторы, — связок — приводит к увеличению устойчивости работы магнетрона. Одна из конструкций связок, представляющих собой два металлических кольца, одно из которых соединяет между собой все четные сегменты анодно- анодного облака, а другое — все нечетные сегменты, показана на рис. 7.1 в. Нормальная работа магнетрона при этом характеризуется тем, что высокочастотные напряжения соседних сегментов сдвинуты по фазе на 180°: это так называемый тг-вид колебаний (ему соответствует вид колебания (см. формулу G.1)) п = N/2). В этом случае в различные моменты времени одна связка заряжена положительно, другая заряже- заряжена отрицательно и наоборот. Поэтому в случае колебаний тг-вида связ- связки работают как обкладки конденсатора, увеличивая эквивалентную емкость резонатора, что приводит к уменьшению частоты колебаний тг-вида. При колебаниях других видов разность фаз между сегментами колебательной системы отлична от нуля, и в результате по связкам течет ток. При этом связки работают подобно индуктивностям, включенным параллельно индуктивности резонатора, что приводит к увеличению частоты колебаний. Кроме этого, из-за протекания тока по связкам увеличиваются потери на любом виде колебаний, за исключением тг- вида. Это способствует возбуждению именно тг-вида при возникновении генерации. Кроме этого, при возбуждении только тг-вида колебаний амплитуда высокочастотного поля будет иметь максимальное значение
204 Лекция 7 по сравнению с остальными видами. Это обеспечивает наиболее эффек- эффективное взаимодействие электронного потока и поля высокочастотной волны. Вывод ВЧ-энергии из магнетронного генератора осуществляется либо на коаксиальную линию с помощью петли в одном из резонато- резонаторов, либо на волновод с помощью щели в одном из резонаторов (см. рис. 7.1а,б). Принципиальной особенностью приборов со скрещенными полями является специфический характер энергообмена между электронным потоком и ВЧ-полем, связанный с изменением потенциальной энер- энергии электронов без изменения их кинетической энергии. В отличие от приборов типа О, где в энергию ВЧ-поля в результате торможе- торможения электронного потока переходит кинетическая энергия электронов, в приборах типа М источником ВЧ-энергии служит потенциальная энергия статического электрического поля. В процессе взаимодействия электроны, практически не меняя своей средней кинетической энергии, смещаются в область более высокого потенциала (к аноду) и уменьшают свою потенциальную энергию, которая и переходит в энергию волны. Важная черта приборов магнетронного типа — высокий к.п.д. Дело в том, что энергообмен между пучком и полем начинается при дрей- дрейфовых скоростях электронов, равных скорости волны в замедляющей системе. Эта необходимая для взаимодействия синхронная скорость сообщается электрону за счет статических полей и не меняется в процес- процессе взаимодействия. Соотношение между долей потенциальной энергии электрона, переходящей в энергию ВЧ-поля, и полной потенциальной энергией, которой обладал электрон при выходе из катода, определяет электронный к.п.д. прибора. Так как полная потенциальная энергия может быть достаточно большой (она определяется потенциалом ано- анода), а на создание синхронной скорости идет небольшая ее часть, то к.п.д. приборов типа М может быть близок к единице. Высокий к.п.д. в сочетании с низким сопротивлением электронного пучка (анодное напряжение, деленное на ток) делает приборы магнетронного типа особенно пригодными для получения больших выходных мощностей. Кинематическая дрейфовая теория движения электронов в скрещенных статических электрическом и магнитном полях и в поле бегущей волны Рассмотрим простейшую дрейфовую теорию взаимодействия элек- электронов, движущихся в перпендикулярных электростатическом и посто- постоянном магнитном полях, с высокочастотным электромагнитным полем объемного резонатора. Будем анализировать плоскую модель магне- магнетронного генератора (рис. 7.2а), которая, с одной стороны является естественной аппроксимацией цилиндрической модели (рис. 7.26) (если
Магнетрон, амплитрон и другие 205 V=0 { в ней радиус анода близок к радиусу катода), и, во-вторых, в некото- некоторых случаях имеет самостоятельное значение (магнетронный прибор с плоским пространством взаимо- взаимодействия, планотрон и т.д.). На- Наличие объемного резонатора силь- сильно упрощает задачу — можно счи- считать, что возбуждено только од- одно колебание с известным рас- распределением поля, но неизвестной амплитудой и неизвестной часто- частотой г). Заметим, что здесь не учи- учитывается поле пространственного Рис. 7.2. Схематическое изображе- изображение пространства взаимодействия плоского (а) и цилиндрического (б) магнетрона заряда (к чему приводит учет про- пространственного заряда будет рас- рассмотрено в следующей лекции). Другим упрощением является то, что рассматривается только одна пространственная гармоника поля дан- данного колебания резонатора. Фазовая скорость этой гармоники син- синхронна с электронами; будем её далее называть просто синхронной волной. Действием несинхронных пространственных гармоник мож- можно пренебречь, за исключением случаев орбитальных резонансов (см. подробнее [2]). Уравнение движения электрона в геометрии, представленной на рис. 7.2а, имеет вид d2 i J k х у z BxByBz G.2) Здесь Вх = 0, Ву = 0, Bz = В = const — статическое магнитное поле, Ех ф 0, Еу ф 0 и Ez = 0 — составляющие суммарного электрического поля (статическое + сверхвысокочастотное). С учетом этого: х = г]Ех + rjBy, у = г]Еу - г]Вх. Введем новые обозначения fx = r\Ex и fy = f]Eyj а также величину оос = г)В, называемую ларморовой или циклотронной частотой. Тогда уравнение движения G.2) запишется в виде х - ujcy = fx, y + ujcx = fy. G.3) Уравнения G.3) можно приближенно решить, пользуясь так назы- называемым дрейфовым приближением [2]. Рассмотрим вначале некоторые частные случаи. г) Вместе с тем о ней известно, что она достаточно близка к резонансной ча- частоте колебательной системы, так как в противном случае данное колебание будет возбуждаться с малой амплитудой и его нельзя считать единственным.
206 Лекция 7 Пусть fx = fy = 0, тогда уравнение G.3) имеет общее решение х = х0 + го cos {-u)ct + (ро), у = уо + го sin {-u)ct + (po), G.4) где жо, 2/о? го и </?о — некоторые постоянные. Физический смысл этого ре- решения — движение по окружности радиуса го с центром в точке (хо, у о). Это движение происходит с угловой скоростью ис (при ис > 0 — по часовой стрелке, при ис < 0 — против) и линейной скоростью v = |о;с|го. Период обращения 2тг/|а;с| называется циклотронным периодом. При постоянных во времени и пространстве величинах fx и fy уравнения G.3) имеют общее решение: X = Хо + ^- t + Го COS (-U)ct + y?0)j 1 G-5) 2/ = 2/о t + r0 sin (-o;c? + tpo). Данное решение можно интерпретировать как движение по окружно- окружности, центр которой движется («дрейфует») с течением времени согласно формулам x = Xo + JjLt, y = yo-Lat, G.6) UJC UJC где х и у — координаты «ведущего центра», вокруг которого обращается электрон с угловой скоростью ис. Смысл термина «дрейф» заключается в том, что обычно это — медленное движение, тем более медленное, чем больше \ис \, а движение по окружности быстрое, причем тем более быстрое, чем больше \ис\. Рассмотрим в качестве примера дрейф в плоском магнетроне под действием постоянного поля с единственной составляющей Еу = Е° = = const < 0. Этот дрейф определяется соотношениями х = xo + vot, у = 2/о, ^о = -—• G.7) LOc Радиус окружности, по которой обращается электрон, зависит от начальных условий. Если, например, при дрейфе, задаваемом форму- формулами G.7), в начальный момент х = vo, у = 0, то го = 0 и движение электрона сводится к чистому дрейфу. Если же в начальный момент электрон покоится (х = у = 0), то го = ^ = К G-8) Шс UJC и электрон движется по циклоиде, отходя от плоскости катода на рас- расстояние 2го и затем возвращаясь назад. Если расстояние катод-анод превышает 2го, то такое движение электрона называется движением в «запертом» плоском магнетроне (магнитное поле больше критического, когда электрон касается анода) в пренебрежении пространственным зарядом.
Магнетрон, амплитрон и другие 207 Формулы G.6) показывают, что уравнение движения ведущего цен- центра при постоянных fx и fy имеют вид: i = t> y = ~t> G-9) т. е. получаются из уравнений для электронов G.3) вычеркиванием «инерционных» членов х и у. Таким образом, при приложении посто- постоянного электрического поля ведущий центр движется в направлении перпендикулярном этому полю. В общем случае величины fx и fy не постоянны, а являются функ- функциями координат ж, у и времени t. В этом случае для исследования движения также можно применять дрейфовые уравнения G.9), так называемое дрейфовое приближение. Пусть теперь движение электронов происходит при наличии сверх- сверхвысокочастотного поля. В этом случае даже слабое высокочастотное поле, если оно имеет вид бегущей волны, синхронной с электронами (т. е. если фазовая скорость волны Уф близка к дрейфовой скорости электронов vo), радикально изменяет движение электронов, которое ранее описывалось соотношениями G.5). Заметим, что если переменное поле не синхронно, то оно заметно не изменяет движения электронов: несинхронное поле приводит лишь к небольшим колебаниям, которые накладываются на дрейф. Рассмотрим дрейфовые уравнения G.9) при наличии наряду с од- однородным электрическим полем синхронной волны, движущейся со скоростью Уф ~ vo и имеющей частоту и {и — частота генерации). Зависимость поля синхронной волны от времени и координаты опре- определяется множителем exp (ut — /Зх), где Уф = uj/ /3. Для тг-колебания, когда колебания в соседних щелях противофазны, /3 = тг/L, где L — период структуры по оси х г). Рассматривая нерелятивистские уравнения движения электронов, полагаем, что ^Ф ~ ^о < с, G.10) где с — скорость света. Тогда данная волна является электрической [3] и описывается электрическим вектором Герца П с единственной состав- составляющей Пж соотношением Е = grad div П + &2П, G.11) г) Заметим, что для других видов колебаний /3 другое, но зависимость синхронной волны от координаты и времени такая же.
208 Лекция 7 Электрический вектор Герца является решением уравнения [3] + 2 + 2 ох оу 2 k Ux = 0, G.13) где подразумевается зависимость от времени в виде ехр (—jut), к = = ojIс. В нашем случае для бегущей волны необходимо задать гранич- граничное условие в виде Ех (у = 0) = 0, тогда выражение для поля этой волны будет даваться соотношением Ux = Aejpx sin L/k2 - f32y\ . G.14) Здесь А — постоянная. Учитывая условие G.10), можно положить j0y/l - (к/CJ = tfyjl - (Уф/сJ ss jp. При этом совершается относительная ошибка порядка (уф/с) . Тогда в уравнениях G.12) и G.13) можно пренебречь членом к2Их, и, положив Г\тт Ф = —wJL^ Для составляющих поля волны получим ох дФ дФ * e <7151 Здесь Ф — скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа д2Ф д2Ф ^ + ^=0. G.16) ох оу В случае плоского магнетрона с гладким катодом (у = 0) будет выполняться граничное условие Ех = 0 на катоде, поэтому для бегущей волны возьмем скалярный потенциал в виде Ф = ^ sin [^(ж - «ф*)] sh jfff/, G.17) где Е > 0 — амплитуда составляющей Еу в плоскости у = 0. Тогда, с учетом электростатического поля, дрейфовые уравнения G.9) пере- перепишутся в виде сдФ . сдФ а оу н дх Здесь ^о = сЕу/Н, как следует из соотношения G.9), есть скорость дрейфа под действием статических полей в направлении оси х, а слага- слагаемые, содержащие производные потенциала Ф, определяют дрейф под действием электрического поля медленной волны. Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью vo вместе с бегущей волной G.14), для чего произведем замену переменных:
Магнетрон, амплитрон и другие 209 = -^ Ну + Ф = -[Еу)-^ H)y + -smPx'shPy. 7.20 с \ y с ) p Здесь Ф' — эффективный потенциал, действующий на электроны в по- подвижной системе координат и являющийся суммой электростатическо- электростатического потенциала Еуу, соответствующего однородному полю у ~ у ~ ~^~ ' \(-АЧ которое определяет дрейф х) вдоль оси х со скоростью сЕу/Н = vo — — г?ф, и сверхвысокочастотного потенциала G.15), который в рассмат- рассматриваемой системе координат зависит только от координаты и не зависит от времени. Тогда в подвижной системе координат уравнения движения преоб- преобразуются к более удобному виду: с дФ' с дФ' Н ду Н дх' Данные уравнения определяют медленное движение — дрейф веду- ведущих центров. Траектория этих движений совпадает с эквипотенциаля- миФ' = const, так как согласно уравнениям движения G.22) мгновенная скорость ведущего центра перпендикулярна вектору grad^. Если рас- рассматривать движение ведущих центров, непрерывно распределенных в пространстве, то их скорость (вектор с составляющими ж', у) как функция координат х', у удовлетворяет уравнению дх' ду Это означает, что движение ведущих центров подобно движению несжи- несжимаемой жидкости, поэтому плотность ведущих центров не изменяется при движении по траекториям. Фазировка в скрещенных полях. Расчет мощности взаимодействия и к.п.д. применительно к плоскому магнетрону Как было показано выше, в системе координат, движущейся вместе с волной, движение электронов складывается из дрейфа их ведущих центров согласно уравнениям G.22) и орбитального движения — вра- вращения вокруг ведущего центра с угловой скоростью ujc. При условии точного синхронизма волны и электронов Уф = vq траектории ведущих г) Заметим, что согласно релятивистским формулам преобразования элек- электромагнитных полей, соотношение G.21) определяет электрическое поле, которое действует на электрон в движущейся системе координат.
210 Лекция 7 Рис. 7.3. Эквипотенциали и траектории в плоском магнетроне центров определяются уравнением Ф = const или sin f3x' • sh /Зу = const, G.24) т.е. совпадают с эквипотенциалями синхронной волны. Отметим, что среди эквипотенциалей есть прямые линии: у = 0 (катод) и f3x' = 0, =Ь ±7Г, ±27Г. На рис. 7.3 представлены траектории ведущих центров. Направле- Направление движения по ним легко найти из второго уравнения G.22): при — —тг/2 < /Зх' < тг/2 движение происходит вверх, от катода к аноду; при —Зтг/2 < 13х' < —тг/2 — вниз, от анода к катоду. На рисунке приведены все возможные траектории, фактическое же заполнение их ведущими центрами определяется способом ин- жекции электронов в пространство взаимодействия. Если электроны эмиттируются ка- катодом, расположенным в плоскости у = 0 (в пренебрежении простран- пространственным зарядом и начальным раз- разбросом по скоростям), то это означает, что ведущие центры возникают в плос- плоскости у = го, где го выражается соот- соотношением G.8). Отсюда они и начина- начинают движение вверх к аноду, образуя при —тг/2 < 13х' < тг/2 спицу («язы- («язычок» по монографии [4]), заштрихованную на рис. 7.4. Поскольку за время обращения 2тг/|а;с| ведущий центр смещается от катода, соответ- соответствующие электроны не возвращаются к катоду и попадают на анод, когда ведущий центр приближается к нему на расстояние го- Вышеописанная картина справедлива, если расстояние D между катодом и анодом больше 2го, и если время дрейфа Т через слой -я/2 0 Рис. 7.4. Спица при точном син- синхронизме
Магнетрон, амплитрон и другие 211 го < у < (D — го) высоты (D — 2го) существенно больше 1/|о;с|, т.е. KIT » 1, G.25) причем наименьшее время Т соответствует ведущим центрам, движу- движущимся вертикально вверх (т. е. /3xf = 0), и равно [2] Т = JL [in th ^~го) - In th Ы . G.26) Условие D > 2го означает, что магнитное поле больше критического и магнетрон заперт, т. е. анодный ток в статическом режиме отсутствует. Ведущие центры, дрейфующие к катоду, соответствуют элек- электронам, инжектируемым в пространство взаимодействия при —Зтг/2 < /Зх* < —тг/2 и тг/2 < fix' < Зтг/2 и возвращающимся на катод у = 0 после недолгого пребывания в пространстве взаимодействия: совершая один оборот эти электроны оседают на катод. Они, испытав ускорение со стороны высокочастотного поля, осуществляют дополнительный разогрев катода. Далее эти электроны рассматривать не будем. Заметим только, что для их рассмотрения анализа дрейфового приближения недостаточно ввиду их малого времени пребывания в пространстве взаимодействия. Ведущие центры, дрейфующие вверх к аноду, составляют полови- половину всех ведущих центров, возникающих в плоскости у = го- В связи с этим, при исчезающе малом пространственном заряде анодный ток составляет половину тока эмиссии. Формирование спиц происходит и тогда, когда на движение электронов в прикатодной области влияет пространственный заряд (вопросы влияния пространственного заряда будут рассмотрены в следующей лекции). Таким образом, как видно из рис. 7.3 и 7.4, при точном синхрониз- синхронизме (^ф = vo) бегущая волна сколь угодно малой амплитуды отпирает магнетрон — формируются спицы и появляется анодный ток /о > 0. Анодное напряжение равно Vo = —EyD > 0, мощность, подводимая к прибору, равна Ро = IqVq- Найдем теперь мощность, отдаваемую электронами сверхвысокоча- сверхвысокочастотному полю. Для этого будем предполагать, что электроны при своем движении в поле волны сохраняют тот же радиус, что и при отсутствии высокочастотного поля. При отсутствии высокочастотного поля при эмиссии с нулевой ско- скоростью радиус орбиты го = vo/ujc, причем в начальный момент скорость дрейфа г>о как раз компенсирует скорость обращения исг$. По мере удаления от катода потенциальная энергия электрона уменьшается, а кинетическая соответственно возрастает до своего максимального значения = ^2^. G.27) 2
212 Лекция 7 Здесь в левой части стоит убыль потенциальной энергии от катода до верхней точки циклоиды (расположенной при у = 2го), а в правой — кинетическая энергия в верхней точке, где скорость дрейфа и скорость обращения складываются, и скорость частицы равна 2г>о- Слабое высокочастотное поле (Е <С \Еу\) не изменяет существенно кинетической энергии, а, следовательно, энергия электрона при ударе об анод та же, что и в верхней точке циклоиды. Величина ? = eE®D характеризует убыль потенциальной энергии при перемещении элек- электрона от катода к аноду, а энергия, которая тратится на бомбардировку анода, равна 2r$?/D. Тогда на поддержку колебаний в резонаторе (л 1гЛ с остается энергия A — — 1 ?, и мощность, отдаваемая электронами высокочастотному полю, равна Р = (l - ^) Р0. G.28) Здесь множитель г\а = 1 — 2ro/ D является анодным коэффициентом полезного действия. Он получается при эмиссии электронов с поверхно- поверхности катода у = 0. При возвышении эмиттеров над плоскостью катода rja падает, а при углублении — растет и может достичь значения ?7™ах = = 1 - ro/2D [2, 4]. Из этого рассмотрения понятен механизм фазовой фокусировки и энергетических превращений в магнетроне. Фазовая фокусировка обусловлена тем, что заполнены лишь траектории, идущие от катода к аноду, а траектории, идущие от анода к катоду (вблизи прямых /Зх' = = ±тг на рис. 7.3), пусты. Заполненные траектории дают анодный ток, поддерживающий колебания в резонаторе. Очевидно, что если бы были заполнены все траектории, то наряду с этим током появился бы ток противоположного направления, отбирающий энергию у колебаний. Энергетические превращения в магнетроне обусловлены тем, что элек- электроны при движении от катода к аноду теряют свою потенциальную энергию. В отсутствие магнитного поля эта энергия бы превратилась в кинетическую и выделилась бы в виде тепла при ударе электронов об анод. Благодаря действию магнитного поля электроны разгоняются постоянным электрическим полем Е® сравнительно мало (лишь до кинетической энергии 2г^еЕуу). Остальная часть потенциальной энер- энергии электронов непосредственно превращается в энергию электромаг- электромагнитных колебаний. Это превращение происходит в результате фази- ровки, благодаря которой в пространстве взаимодействия длительное время присутствуют лишь «полезные» электроны, образующие спицы, а электроны, отбирающие энергию у высокочастотного поля, быстро выводятся из пространства взаимодействия. Предыдущее рассмотрение соответствовало случаю идеальной фа- зировки, т.е. точному синхронизму электронов и волны. Обсудим те- теперь качественно ситуацию при отсутствии точного синхронизма, т. е.
Магнетрон, амплитрон и другие 213 ^Ф Ф Щ- В этом случае траектория движения ведущих центров опреде- определяется из уравнения G.20) при условии Ф' = const: -а/Зу + sin /3x'sh /Зу = const, G.29) где а = (^-!*)Я = -^Л— G.30) сЕ Е характеризует расстройку скоростей. Первое слагаемое в выражении G.29), пропорциональное у, определяет то постоянное поле в движу- движущейся системе координат при отсутствии точного синхронизма, которое обусловливает дополнительный дрейф траекторий ведущих центров, исследованный выше: они «сносятся» в направлении оси х. Этот дополнительный дрейф может уменьшить анодный ток и даже воспрепятствовать образованию спиц. Действительно, при точном син- синхронизме спица целиком расположена в полосе —тг/2 < fix' < тг/2, где ведущие центры движутся от катода к аноду. Под влиянием дополни- дополнительного дрейфа спица может выйти из этой полосы, и тогда она частич- частично или полностью повернется к катоду, и анодный ток уменьшится или станет равным нулю. При достаточно большом различии скоростей vq и Уф вышеописанный простой механизм отпирания запертого магнетро- магнетрона синхронной волной уже не работает [2]. Формулы G.29) и G.30) показывают, что форма траектории при отсутствии синхронизма определяется параметром а ~ /ЗДж, где Ах = = (уо — Уф)Т — дополнительное смещение ведущего центра в направ- направлении оси х за время пролета Т. Можно показать (см., например [2]), что анодный ток отличен от нуля при условии |сг| < ата^ ~ 1, а при |сг| > атах спицы не образуются, и анодный ток равен нулю. На рис. 7.5 изображены спицы (траектории ведущих центров) для различных вели- величин расстройки, причем вместо а взят пропорциональный ему параметр 7 _ а _ е'у G 31) Ech/Зго Здесь поле Е'у определяется формулой G.21), а величина Ech/Зго, как можно видеть из соотношений G.15) и G.17), есть амплитуда составля- составляющей Еу поля медленной волны в плоскости питания у = г^\ Еу = TEchPr0 при fix' = ±7г/2,у = г0. G.32) Данная составляющая поля фазирует ведущие центры — смещает их к вертикали /Зх' = 0, что приводит к образованию и сужению спицы. Составляющая поля Ех определяет движение ведущих центров от ка- катода к аноду и наоборот. Рассмотрим более подробно результаты расчетов, представленных на рис. 7.5. При — 1 ^ j ^ 1 (рис. 7.5а) спица искривляется, становится асимметричной, но при этом анодный ток не изменяется, поскольку
214 Лекция 7 Рис. 7.5. Спицы при различной расстройке скоростей: a — j < 1; б — j = 1\ в — j > 1] г — j > 7max- Здесь простой штриховкой отмечены электроны, возвращающиеся к катоду, а двойной — электроны, создающие анодный ток все ведущие центры, начавшие свое движение при —тг/2 < /Зх' < тг/2, приходят к аноду. Это связано с тем, что дефазирующее поле Е'у при |7| < 1 меньше фазирующего поля G.32) на краях спицы, где она всего ближе к граничным вертикалям /Зх' = ±тг/2, после пересечения которых неизбежен дрейф обратно к катоду. Существенно именно фа- фазирующее поле Еу при у = го, поскольку при дальнейшем движении к аноду фазирующее поле (пропорциональное ch /Зу) монотонно растет, а дефазирующее остается постоянным. При 7 = 1 фазирующее поле еще удерживает правый край спицы слева от вертикали /Зх' = тг/2 (рис. 7.56), при 7 > 1 этот край дрейфует в область /Зх' > тг/2 (рис. 7.5в) и возвращается к плоскости у = го- При достаточно больших значениях 7 (при I7I > 7max) в обратный дрейф вовлекаются все ведущие центры, и анодный ток равен нулю. Медленная волна в этом случае приводит лишь к образованию выступов в прикатодном электронном слое, не достигающих анода (рис. 7.5г). Что вносит цилиндричность в физику магнетрона? При исследовании цилиндрической модели магнетрона (рис. 7.26) также можно воспользоваться дрейфовыми уравнениями G.9), в кото- которых от декартовых координат нетрудно перейти к полярным коорди- координатам г, (/?. Однако электростатическое поле в цилиндрическом магне- магнетроне не может быть постоянным, а убывает как 1/г, а следовательно,
Магнетрон, амплитрон и другие 215 скорость дрейфа Уо под действием электростатического поля зависит от г по закону v v г G.33) Здесь U — скорость при г = г. Бегущая волна в новых координатах имеет вид ехр (—j (гир + ujt)), поэтому фазовая скорость ее также зависит от г: v* = v^ G.34) где U — фазовая скорость при г = г. Выражения G.33) и G.34) свиде- свидетельствуют, что в цилиндрической модели магнетрона точный синхро- синхронизм электронов и волны во всем пространстве взаимодействия между катодом и анодом невозможен: можно добиться точного синхронизма лишь при г = г, где Уо = ^ф = "V- Тогда во всем пространстве взаимо- взаимодействия при г > Т будет Уф > vo, а при г < г — Уф < vq. Величину г обычно поэтому называют синхронным радиусом. Невозможность точного синхронизма во всем пространстве взаимо- взаимодействия приводит к тому, что появляется дополнительный дрейф спиц в азимутальном направлении, причем скорость этого дрейфа зависит от радиуса. Этот дрейф искривляет спицы, а при малых амплитудах медленной волны, когда время дрейфа через пространство взаимодей- взаимодействия велико, может уменьшить анодный ток, или даже привести к его исчезновению (см., например, [2]). Цилиндрический магнетрон: история создания от Хэлла до Бута и Рэндала Автоколебания на сверхвысоких частотах впервые были получены в 1919 году в аудионе (вакуумном триоде) — трехэлектродной лампе, содержащей управляющую сетку между нитью накала и анодом. Триод был сконструирован для работы на низких частотах, а СВЧ-колебания имели место при наличии колебательного движения электронов в меж- межэлектродном пространстве при положительном потенциале на сетке и отрицательном на аноде. Вскоре были открыты и исследованы колебания в простейших маг- магнетронах — «гладком» и с разрезным анодом, а затем в диодах — генераторах. Магнетрон занимает особое место среди СВЧ-автогенераторов. Ис- Истории его создания посвящено много работ. Показательно название од- одной из них, принадлежащей перу профессора истории науки Института Технологии в Джорджии Джеймсу Брайттейну — «Магнетрон и начало микроволнового века» [5]. В 1921 году Хэлл опубликовал работу, в которой была показана воз- возможность управления движением электронов между коаксиальными цилиндрами с помощью постоянного магнитного поля (регулируемого
216 Лекция 7 извне), перпендикулярного к постоянному электрическому полю между цилиндрами. С этой работой обычно связывают открытие магнетрон- ного принципа колебаний. Интересно, что Брайттейн датирует изобре- изобретение магнетрона 1916 годом, хотя ссылается на публикацию 1921 года. Подобно одному из братьев Вариан и Компфнеру, Хэлл тоже начинал не как физик. Он окончил Иельский университет по специальности греческий язык и второстепенному курсу социологии, учился несколько лет в Академии в Олбэне, затем вернулся в Иель, чтобы окончить университет с ученой степенью по физике. Следует, однако, заметить, что Хэлл имел целью создание низко- низкочастотного мощного генератора: в его экспериментах обмотка электро- электромагнита была включена в колебательный контур магнетрона и в анод- анодную цепь, так что его магнетрон был генератором звуковой часто- частоты. Главным в экспериментах Хэлла было открытие докритического, критического и закритического статических режимов в магне- магнетроне (рис. 7.6). Стало понятно, что и в двухэлектродной лам- лампе можно управлять электрона- электронами, отклоняя их магнитным по- полем (до этого было известно лишь управляющее и отпираю- отпирающее действие сетки в триоде). Первые СВЧ-колебания в маг- магнетроне с гладким анодом (кон- (конструкция Хэлла) были получе- В = О i В<Вкр iB=BKp \В>В} 'кр Рис. 7.6. Зависимость тока /, прохо- проходящего через цилиндрический маг- магнетрон в статическом режиме, при постоянном анодном напряжении от индукции магнитного поля. Над соответствующими точками кривой изображены траектории электронов для случая отсутствия магнитного поля (В = 0), докритического режи- режима (В < Вкр), критического (В = = Вкр) и закритического (В > Вкр) режимов работы магнетрона ны в 1924 г. Жачеком. В осно- основе работы лежал механизм фа- фазовой сортировки электронов — ускоренные высокочастотным по- полем электроны сразу оседали на катоде. Для удаления из про- пространства взаимодействия магне- магнетрона электронов, которые в тече- течение нескольких периодов ВЧ-по- ля тормозились и теряли свою энергию вращательного движения, применялся наклон постоянного магнитного поля относительно оси прибора или введение дополнитель- дополнительных электродов на краях магнетрона (концевые диски). В том же 1924 г. А.А. Слуцкиным и Д.С. Штейнбергом в Харьковском университете были начаты работы, которые также привели к открытию магнетрон- ного способа создания ВЧ-колебаний (эти работы были развернуты по предложению и под руководством профессора Д.А. Рожанского). Были разработаны магнетроны с разрезным анодом, генерировавшие
Магнетрон, амплитрон и другие 217 в сантиметровом и дециметровом диапазонах длин волн. Сначала ано- аноды были двухразрезные (или двухсегментные), т.е. цилиндрический анод магнетрона делился на две части щелями, параллельными оси цилиндра. Эти щели составляли емкость колебательного контура маг- магнетрона, а индуктивностью был металлический виток, присоединен- присоединенный к половинкам анода. В дальнейшем появились и многосегментные конструкции, достоинством которых были низкие анодные напряжения и уменьшенные магнитные поля. В 1935 г. Постумус предложил так называемый магнетрон с бегу- бегущей волной (точнее это был новый режим работы магнетрона с раз- разрезным анодом). В этом магнетроне угловая скорость одной из волн, на которые можно было разложить высокочастотное поле в колеба- колебательной системе, равнялась средней скорости азимутального вращения электронного облака. До 1940 г. были сконструированы магнетронные генераторы этого типа, работающие на волнах до 75 см и длиннее с к.п.д. 50 % и больше. Таким образом, в магнетроне с бегущей волной уже был в известной мере заложен принцип будущего многорезонаторного магнетрона. Но в магнетроне не было еще многоконтурной колеба- колебательной системы, состоящей из многих резонаторов, хотя идея такого контура уже существовала. Она впервые была предложена в 1929 г. М.А. Бонч-Бруевичем. Приведем начало его патента. «В передатчи- передатчиках большой мощности, в особенности для коротких волн, большие затруднения вызывает устройство колебательной цепи последнего кас- каскада, а также применение для этого каскада большого количества ламп, включенных параллельно. Поэтому оказывается выгодным раз- разбить колебательный контур на ряд отдельных контуров, соединенных между собою таким образом, чтобы это со- соединение обеспечило совместную правиль- правильную работу всех контуров, входящих в кас- каскад. Для осуществления этой цепи в изоб- изображенном на чертеже ламповом генераторе с несколькими парами катодных ламп (см. рис. 7.7) колебательные контуры включе- включены параллельно между собою таким обра- образом, чтобы фазы в двух соседних контурах были обратными». Впоследствии в 1935 г. М.А. Бонч-Бруевич, став руководителем магнетронного проекта, вернулся к этой рис> 7.7. Схема много- идее на новом конструктивном уровне. контурного генератора, Инженеры НИИ-9 (г. Ленинград) предложенного в патенте Н.Ф. Алексеев и Е.Д. Маляров под его МА- Бонч-Бруевича руководством создали такую конструкцию магнетрона, в которой анодный блок был выполнен из целого куска меди и содержал несколько (от четырех до восьми) полостей, играющих роль
218 Лекция 7 резонаторов. Первые приборы генерировали в непрерывном режиме мощность 10 Вт на длине волны 9 см. Рассмотренная нами выше кинематическая теория магнетрона в об- общих чертах была известна и в 30-е годы. В 1940 г. Н.Ф. Алексеев и Е.Д. Маляров опубликовали статью [6], в которой описали многорезонаторный разборный магнетрон с четырь- четырьмя контурами с водяным охлаждением, который генерировал на длине волны 9 см колебания с мощностью до 300 Вт. Макет без водяного охлаждения при прочих равных условиях давал мощность 100 Вт. В че- тырехрезонаторном магнетроне были также получены колебания мощ- мощностью 2 Вт на длине волны 2,6 см. Статья Н.Ф. Алексеева и Е.Д. Маля- рова в 1944 г. была перепечатана в ведущем техническом журнале США «Труды института электро-радио-инженеров» [6]. Приоритет указан- указанных авторов признается во всем мире и отмечается практически во всех исторических обзорах или книгах по магнетрону. Война прервала исследования магнетрона в СССР, и интенсивные работы начались лишь после окончания войны. Интересно, что истории изобретения магнетрона в СССР посвящено художественное произведение (Бабат Г., Гарф А. Магнетрон. М.: Детгиз, 1957, 901 с), одним из авторов которого был Георгий Ильич Бабат — известный советский изобретатель, приме- применивший, в частности, многоконтурный блок для индукционного нагрева и использовавший в нем связки в виде колец, подобные применяемым в магнетроне. В предисловии к книге Бабат и Гарф пишут, на основе чего она была создана. «Работая над этой книгой, мы пользовались, помимо собственных воспоминаний, различными литературными источниками: комплектами советских и зарубежных технических журналов, рядом советских и зарубежных монографий, посвященных магнетронам... ... Однако наша работа ни в коей мере не является исчерпывающей историей магнетрона. Мы ограничили себя рассказом только об узком круге тесно связанных между собой лиц». Разумеется, художественное произведение — не исторический документ, но его чтение придает яркую эмоциональную окраску легко узнаваемым историческим событиям. С началом войны центр исследований магнетрона переместился в Англию. Для борьбы с ночными бомбардировками необходимо было иметь самолетные радиолокационные станции с большей мощностью, чем обеспечивали применявшиеся тогда триоды. Ограничением на пу- пути развития сантиметровой радиолокации было отсутствие подходя- подходящего генератора. Наибольшего успеха добились ученые Бирмингам- ского университета. «Британское Адмиралтейство — пишет уже упо- упоминавшийся нами Р. Компфнер (более подробно его роль в развитии СВЧ-электроники обсудим в лекциях, посвященных приборам с дли- длительным взаимодействием типа О) — учредило здесь секретную группу по исследованию ламп под руководством профессора М.Л.Олифанта с целью практического создания сантиметрового радиолокатора — это
Магнетрон, амплитрон и другие 219 было общее задание и оно было разделено между различными подгруп- подгруппами. Одни занимались детекторами, другие генераторами и усилите- усилителями и так далее. Кто-нибудь еще напишет, как вот именно в такой группе Бут и Рэндел создали многорезонаторный магнетрон». Пророчества Компфнера сбылись: о создании магнетрона написали сами Бут и Рэндол [7] и известный английский писатель Чарльз Сноу [8]. Как ни странно, чувство справедливости покинуло Бута и Рэндола, и они не сослались на работу Алексеева и Малярова. Приведем выдерж- выдержку из написанного Сноу [8, стр. 93-94]. «Англичанам действительно пришлось напрячь все свои силы ради того, чтобы выжить; неудиви- неудивительно поэтому, что в большинстве вопросов, связанных с использо- использованием науки в военных целях, они оказались более осведомленными. В первую очередь это касалось радаров. Хотя английские, американские и немецкие ученые начали заниматься радарами почти одновременно — что, кстати, дает нам повод еще раз задуматься о природе «секретных» открытий, — к 1940 году англичане значительно опередили всех осталь- остальных. Тизард и Кокрофт привезли в Америку черный кожаный чемодан, который мисс Джири, секретарша Тизарда, держала у себя под кро- кроватью. Она не знала, что в нем хранятся почти все новые научные приборы военного назначения, созданные в Англии, и среди них новый магнетрон — прибор совсем иной степени важности, чем все остальные весьма важные изобретения... Магнетрон, созданный Рэндолом и Бутом в лаборатории Олифан- та в Бирмингеме, оказался, быть может, самым полезным прибором в борьбе с Гитлером. Он произвел на американских ученых настолько сильное впечатление, что они немедленно взялись за дело и трудились все 16 месяцев, которые у них остались до вступления Соединенных Штатов в войну». Приведем еще одно, более компетентное, мнение об английском магнетроне, принадлежащее президенту Института Радиоинженеров США Ф.Б. Левеллину, когда он вспоминал о 6 октября 1940 г. — дне демонстрации магнетрона. «Этот день запомнился. Лампа давала вы- выходную импульсную мощность около 10 кВт на частоте около 3000 МГц. Это была мощность почти в 5 раз больше даваемой триодами... и, бо- более того, частота была в 4 раза выше. Можно представить себе наш энтузиазм!». В лабораториях фирмы Белл была снята рентгенограмма с английского магнетрона, и уже в середине ноября 1940 г. американцы имели несколько работающих копий английской лампы. В конце 50-х годов в США появился первый представитель нового класса широкополосных приборов типа М с замкнутым электронным пучком — платинотрон (амплитрон, усилитель со скрещенными поля- полями). Истории его создания, а также описанию некоторых его характе- характеристик, посвящен следующий параграф лекции.
220 Лекция 7 Вильям Браун и усилитель со скрещенными полями В середине 1957 г. в журнале Electronics появилась реклама (она приведена на рис. 7.8 *)) нового прибора, который назывался в ней амплитроном. Тот же номер журнала содержал статью с названием «Платинотрон увеличивает радиус ^¦1 действия поискового радара» [9]. За- : ^ метьте, что в рекламе прибор не на- называется платинотроном или усили- усилителем со скрещенными полями, как назвали его мы в заголовке раздела, а «амплитроном». История этого при- прибора начинается с некоторой путани- путаницы в его названиях. Но лучше все- всего эту ситуацию объяснит сам созда- создатель амплитрона — Вильям Браун. Вот как он пишет об этом в своих воспоминаниях [10]: «Когда прибор был изобретен, я обозначил его как широкополосный усилитель. Мне ну- I йш ' ^% * жен был какой-нибудь новый термин, щ ~ заканчивающийся на «трон». В это rf время суффикс «трон» применялся ко всем электронным лампам. Было также модно находить греческие или латинские префиксы. Поэтому я про- проконсультировался у ученого, знающе- знающего греческий язык, и он посоветовал мне греческое слово «платино», зна- значение которого соответствует широ- широким плато-подобным качествам лам- лампы. С тех пор я использовал термин платинотрон для этого прибора и использовал тот же термин в названии заархивированной журнальной статьи «Описание и рабочие характери- характеристики платинотрона — новой микроволновой лампы», опубликованной в 1957 году в Трудах Института радиоинженеров [11]. Однако наш менеджер по рынку сбыта в Рэйшен 2) полагал, что термин «амплитрон» будет более привлекателен для рынка, и термин Рис. 7.8. Реклама фирмы Рейшен в журнале Electronics от 1 авгу- августа 1957, описывающая характе- характеристики платинотрона, но назы- называемого амплитроном (из работы [Ю]) г) Практически все иллюстрации из этого раздела взяты из статьи [10], где приведены соответствующие ссылки на оригинальные работы. 2) Raytheon — компания, в которой работал В. Браун. Он был принят в нее в 1940 году и формально ушел из нее в 1984 году, продолжая работать в ней дальше в качестве консультанта. Интересно, что по служебной лестнице Бра- Браун поднялся до заместителя вице-президента компании, но после изобретения
Магнетрон, амплитрон и другие 221 «платинотрон» быстро ушел на задний план. К сожалению, термин «амплитрон» был уже замаркирован, поэтому, когда соперники Рэйшен вышли на арену, они заменили термин амплитрон и стали называть этот прибор как «усилитель со скрещенными полями», и в конце концов Рэйшен тоже начал использовать более общий термин. Я научился жить с этими взаимозаменяемыми наименованиями, и надеюсь, чита- читатель поймет, когда по ходу статьи я буду ссылаться на один и тот же прибор, называя его платинотроном, амплитроном или усилителем со скрещенными полями... ». Возвращаясь к рекламе в Electronics можно сказать, что для про- прочитавших её, прибор, описанный в ней, мог показаться «удачей одной ночи». С чем же это было связано? Не будет большой натяжкой сказать, что 1952 год был «годом усилителя». До этого времени магнетроны были единственными СВЧ-лампами, использовавшимися в радарах во время II мировой войны. Но это были генераторы, не пригодные для новых улучшенных радаров, разработанных после II мировой войны, которые требовали широкополосных усилителей с большей мощностью. СВЧ-усилители в то время были большими, весьма неэффективными, к тому же, у них была ограниченная полоса частот с падением мощности и к.п.д. на краях. Поэтому это было очень подходящее время для пре- преобразования обычного магнетронного генератора в широкополосный усилитель, который бы сохранил все выдающиеся свойства магнетро- магнетрона: высокий к.п.д., способность управления очень высокой максималь- максимальной мощностью, простоту производства и относительно низкую цену, небольшой размер и массу. Первым, кто понял как преобразовать магнетронный генератор в широкополосный усилитель, был Вильям Браун A916-1999) — заве- заведующий лабораторией магнетронных разработок в компании Рэйшен. Лаборатория начиналась с нескольких инженеров в начале II миро- мировой войны, а уже вскоре после окончания войны насчитывала более 400 сотрудников, около 100 из которых были инженерами. В 1952 году сотрудники лаборатории занимались разработкой второго поколения магнетронов для радаров и контрольных измерений, поэтому времени на исследование преобразования магнетронного генератора в широко- широкополосный усилитель на работе у Брауна практически не оставалось. Од- Однако уже тогда ему было ясно, что даже новый магнетронный генератор был непригоден для будущих, более сложных радаров и устаревал, не успев еще возникнуть. Поэтому все работы над новым прибором В. Браун проводил в небольшой, но хорошо оснащенной оборудованием для электронных тестов мастерской у себя дома. амплитрона добровольно отказался от управленческой должности, чтобы руководить непосредственно исследованиями нового прибора.
222 Лекция 7 Проследим, что происходит при преобразовании магнетронного ге- генератора в широкополосный усилитель. На рис. 7.9 схематично срав- сравниваются магнетрон с платинотроном. Напомним, что магнетрон со- содержит анодный блок, состоящий из полостей (резонаторов), который окружает катод, эмитирующий электроны. Магнитное поле направ- направлено параллельно оси системы. Чтобы прибор заработал, необходимо подать постоянное напряжение между катодом и анодным бло- блоком. При увеличении ускоряюще- ускоряющего напряжения электроны поки- покидают катод и движутся в скре- скрещенных полях. Если еще больше увеличить напряжение, то дрей- дрейфовая скорость электронов будет равна фазовой скорости высоко- высокочастотной волны в линии переда- передачи. В последнем случае, происхо- происходит эффективное взаимодействие между синхронной волной и элек- электронами, в результате чего фор- формируются электронные структу- структуры — спицы, которые в цилин- цилиндрической конструкции вращают- вращаются вокруг оси системы и отда- отдают высокочастотную мощность в линию передачи с медленной волной. Эти спицы практически идентичны у магнетрона и плати- нотрона. Как пишет сам Вильям Бра- Браун: «Оглядываясь назад, трудно понять, почему магнетрон не был преобразован в широкополосный усилитель раньше». Действитель- Действительно, та кинематическая теория ко- которая была изложена в этой лек- лекции была в общих чертах известна еще в 30-х годах (мы уже упоми- упоминали об этом в связи с идеей магнетрона с бегущей волной). Анодный блок магнетрона в том виде, в каком он применялся в магнетронных приборах, разрабатываемых в конце II мировой войны, по-существу есть линия передачи, нагруженная последовательностью резонирую- резонирующих полостей. Эта нагрузка превращает линию передачи в фильтр с полосой пропускания значительной ширины с волновым сопротив- сопротивлением, величина которого колеблется от бесконечной на краях поло- полосы до значения, равного волновому сопротивлению выходного тракта, Рис. 7.9. Основное конструктивное различие между магнетронным гене- генератором и платинотроном — нали- наличие у платинотрона входного устрой- устройства, а у магнетрона — его отсут- отсутствие. Сама электродинамическая система имеет свойства широкопо- широкополосного полосового фильтра. Магне- Магнетрон работает на нижнем краю по- полосы пропускания, в то время, как платинотрон — гораздо выше, где фазовый сдвиг с частотой уменьша- уменьшается, а характерное сопротивление легко подобрать равным волновому сопротивлению входной и выходной ВЧ-линий связи
Магнетрон, амплитрон и другие 223 в середине полосы пропускания. Магнетроны, разработанные в Англии, проектировались так, что работали на нижнем краю полосы пропуска- пропускания, что делало их резонансными приборами. У магнетрона есть всего один вывод энергии, свободно связанный с резонирующей цепью петлей (или щелью). Отсюда понятно, что если разорвать замкнутую систему магнетрона, присоединить входное и выходное устройство к разорван- разорванным концам, как показано на рис. 7.9, и заставить полученный прибор работать в частотной области ближе к середине полосы пропускания, то можно получить мощный широкополосный усилитель со скрещенными полями с замкнутым электронным пучком. Однако в 1952 году никто не мог сказать, что произойдет, если произвести такое простое механическое преобразование. В то время акцент делался на приборы с продольным взаимодействием, такие, как клистрон и лампа с бегущей волной, предложенная в 1942-1943 гг. Ру- Рудольфом Компфнером. И тем более, никто не мог предсказать, в случае создания такого прибора, который давал бы широкополосное усиление, будет ли такой усилитель работать в линейном режиме или в режиме насыщения, и будет ли он генерировать на частоте, отличной от ча- частоты входного сигнала. В итоге удачным оказался усилитель, работа- работающий в режиме насыщения, чья мощность слабо зависела от входного ВЧ-сигнала. При этом оказалось, что коэффициент усиления ограничен 20 дБ, а в большинстве случаев достигает только 10 дБ. В то время это совсем не соответствовало пониманию того, что такое усилитель. Тем на менее, платинотронный прибор быстро завоевал рынок сбыта, где были одновременно необходимы и высокая СВЧ-мощность, и большая ширина полосы пропускания. Обратим внимание на некоторые особенности резонансных колеба- колебательных систем, использующихся в магнетроне, без знания которых невозможно понимание свойств усилителя со скрещенными полями. Ко- Колебательная система магнетронного генератора представляет собой, по существу, широкополосную замедляющую систему того или иного вида, свернутую в кольцо и замкнутую на себя. При этом колебательная систе- система (анодный блок) приобретает резонансные свойства. При возбужде- возбуждении в замкнутой колебательной системе устанавливается стоячая волна, которая может быть представлена в виде двух вращающихся навстречу друг другу бегущих волн. Условие G.1) определяет возможные виды колебаний резонансной колебательной системы, характеризующиеся различными фазовыми сдвигами на период </?о = 2тгп/7У, а следова- следовательно, различными частотами и распределениями поля в пространстве взаимодействия. Так как распределение поля каждой из бегущих волн, образующих в колебательной системе стоячую волну, отличается от гармонического, то каждая из этих волн может быть разложена в ряд по пространственным гармоникам, которые имеют различную угловую скорость и одинаковую частоту. Тогда, для фазового сдвига на один
224 Лекция 7 период замедляющей системы можно записать (рт = ^0 + 27гш, т = 0,±1,±2,±3..., G.35) где (рш — фазовый сдвиг т-й пространственной гармоники. Если ?1т — угловая фазовая скорость m-й пространственной гармоники, то величи- величина и/0>т — угловое волновое число. При сдвиге на один период систе- системы азимутальная координата меняется на величину 2tt/7V — угловой период системы, а, следовательно, фазовый сдвиг на период можно представить в виде Приравнивая соотношения G.35) и G.36) и учитывая формулу G.1), для угловой скорости ттг-й пространственной гармоники n-го вида ко- колебаний можно записать п + Nm где ujn — угловая частота n-го вида колебаний. Для тг-вида колебаний (п = N/2) угловая скорость имеет вид: Обычно в магнетроне используются гармоники с номерами О, ±1. Из со- соотношения G.38) видно, что угловые скорости нулевой (т = 0) и первой обратной (т = — 1) гармоник основного вида равны и противоположны по направлению. Как уже отмечалось в начале лекции, важным является добиться стабильности работы магнетронного генератора. При работе на тг-виде колебаний возможность возбуждения паразитного вида колебаний зна- значительно уменьшается, если частота основного (п = А^/2) и первого паразитного (п = 7V/2 — 1) видов колебаний достаточно разделены. Наиболее эффективным способом такого разделения является примене- применение в качестве колебательных систем магнетрона замедляющих струк- структур с аномальной дисперсией. Такие структуры обеспечивают вблизи частоты отсечки наибольшее разделение частот при переходе от основ- основного вида колебаний к паразитным, в отличие от систем с нормальной дисперсией [13, стр. 46; рис. 1.19]. Заметим, что типичными примерами электродинамических структур с аномальной дисперсией, используе- используемых в магнетронах, являются гребенка со связками (в дециметровом и сантиметровом диапазоне; см. рис. 7.1 в) и разнорезонаторные гре- гребенчатые системы (в нижней части сантиметрового и миллиметровом диапазонах рис. 7.16). Для нас наиболее важно то, что используемая в магнетронном гене- генераторе, а следовательно, и в платинотронном усилителе колебательная система обладает аномальной дисперсией, т. е. в ней распространяются
Магнетрон, амплитрон и другие 225 волны, фазовая и групповая скорости которых противоположно направ- направлены. Это означает, что электронный пучок в амплитроне взаимодей- взаимодействует с обратной волной, фазовая скорость которой равна дрейфовой скорости электронов, а энергия распространяется навстречу пучку. По существу, амплитрон является усилителем обратной волны. Однако вернемся к истории создания амплитрона. Широкополосный усилитель со скрещенными полями и с замкнутым электронным пучком был создан в 1952 году. Как же был достигнут в итоге успех в создании такого прибора? Обратимся опять к воспоминаниям В. Брауна [10]: «За несколько лет до 1952 года я в принципе уже работал с простой модификацией магнетрона. Но я не ожидал хорошего результата от небольшого количества секций (соответствующих небольшому количе- количеству резонаторов). В лаборатории мы создавали и испытывали лампы с большим количеством секций, от 60 до 80. Эти лампы... делали... не для того, чтобы создать усилитель. На этом этапе создания прибора можно отметить, что «отчаяние — мать изобретения». Настроенный таким образом, я решил попробо- попробовать самую простую конструкцию, в которой было всего 11 секций. Колебательная система была сконструирована так, чтобы получить максимальное волновое сопротивление. Я решил проводить опыты сам, чтобы отметить все нюансы, которые могли бы привести к лучшему пониманию того, как можно преобразовать магнетронный генератор в широкополосным усилитель. Была сконструирована лампа, обозначенная как QK 403. Из-за своих обязанностей менеджера мне приходилось проводить испытания только по вечерам. Я начал испытывать лампу как генератор с нагрузкой и изменяемым отражением на обоих концах.... я с удовольствием отме- отметил большую разницу в выходной мощности, которая изменялась при изменении полярности магнитного поля. Это очень обнадеживало, так как указывало на направленное усиление. Однако было уже поздно, поэтому я выключил прибор и пошел домой. На следующий вечер я решил проверить предыдущие результаты прежде, чем продолжить испытания усилителя, и был поражен, обнаружив, что не могу их вос- воспроизвести. Затем последовало несколько вечеров интенсивной работы по проверке каждого возможного изменения, которое могло произойти во время испытания. Я начал думать, что то, что я видел раньше, было иллюзией. И, наконец, с последней надеждой я снял колпак с лампы и с облегчением обнаружил, что одна из лопастей расплавилась. Оче- Очевидно, концы лопасти попались достаточно хрупкие, и так как я хотел сохранить высокое сопротивление, расплавились как раз в тот момент, когда я отключил прибор тем вечером. Была поспешно сконструирована вторая лампа, и 18 декабря 1952 года мне удалось повторить прежние наблюдения и продолжить получение новых данных по направленным свойствам прибора ... [было] достигнуто усиление в 9 дБ при частоте 8 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
226 Лекция 7 32 28 24 20 16 12 о о 4 ' DRIVE LEVEL POWER 2.6 KW - DRIVE FREQ. 3821 MHZ GAIN - 9.6Ш» - QK304# y/ 0 123456789 ^ QK 304 ANODE a CURRENT-PEAKAMPERS б Рис. 7.10. Первые данные, полученные от платинотрона QK 403, который работал как усилитель и показал однонаправленное усиление (а); если маг- магнитное поле изменялось так, чтобы поток электронов двигался в другом направлении вокруг катода, вход и выход лампы менялись местами. Внешний вид QK 403 [10] (б) от 3780 до 3850 МГц. Максимальная мощность была 24 кВт, а к.п.д. порядка 40 %. Эти данные показаны на рис. 7.10а». Вильям Браун сохранил амплитрон QK 403, на котором были сдела- сделаны первые измерения, и передал его в MTT-S историческую коллекцию в 1987 году. Фотография лампы, позволяющая представить вид и раз- размеры первого амплитрона, приведена на рис. 7.105. Однако вначале новый усилитель не вызвал особого интереса и, как утверждает Браун, «все могло закончиться крахом», если бы не по- помощь войск связи США, которых заинтересовал новый прибор. В июне 1953 года в Оттаве на конференции по использованию электронных ламп (мы еще упомянем эту конференцию в рассказе об изобретении лампы бегущей волны: именно там Рудольф Компфнер «не узнает» изобретенную им ЛБВ) платинотрон был рассмотрен экспертами армии США, и группа сотрудников компании Рэйшен во главе с Брауном стала разрабатывать платинотрон в качестве замены «рабочей лошадки» радаров того времени — магнетрона 5J26. Именно эта конструкция магнетрона стала прообразом амплитрона QK 434 (некоторые кон- конструктивные части 5J26 непосредственно использовались в QK 434). Получившаяся лампа показана на рис. 7.11: крышка QK 434 снята, чтобы было видно его внутреннее устройство. Именно эта лампа имела огромный успех. Амлитрон QK 434 был продемонстрирован в качестве усилителя и высоко стабильного гене- генератора (принцип стабилотрона) на специальном симпозиуме в Форте Монмаут в 1954 году. Как пишет Вильям Браун, после этого симпози- симпозиума всем стало ясно, что магнетронный генератор был преобразован в широкополосный усилитель со многими желаемыми свойствами.
Магнетрон, амплитрон и другие 227 _ Резонатор Фазовращатель Отражающий элемент ) = 2пп z^^-= Рис. 7.11. (а) На фотографии представлен амплитрон QK 434; частота и мощ- мощность такие же, как у QK 403, с которым он сравнивается на фотографии. Разработанная в течение одного года, с 1953 по 1954, по контракту с вой- войсками связи США, лампа QK 434 давала стабильное усиление до 16 дБ, максимальные уровни мощности на выходе от нескольких сотен киловатт до 3 МВт, средняя мощность порядка 1500 Вт; к.п.д. ~ 60 % для нормальных диапазонов изменения мощности, и до ~ 76 % для высокомощных режимов с низким усилением (из работы [10]). (б) Принципиальная схема стабило- трона. (в) Зависимость фазового сдвига от частоты: штриховая линия — нестабилизированная система, сплошная — стабилизированная внешним вы- высокодобротным резонатором По-видимому, самым удивительным свойством амплитрона являет- является направленность усиления, которую теоретически первым объяснил Домбровски (см., например, [13,14]). На языке теории возбуждения вол- волновода заданным током это объяснение выглядит элементарно. Пред- Предположим, что в электронном потоке амплитрона возникла волна тока г = % ехр G.39) где vo = E°IВ, возбуждающая поле в колебательной системе прибора. Для доказательства направленности усиления достаточно ограничить- ограничиться приближением заданного тока и учесть, что амплитрон является усилителем обратной волны. Подставляя выражение G.39) для тока г
228 Лекция 7 в уравнение возбуждения волновода A.72), получим: Е(х) = Eoe Здесь учтено, что в усилителе обратной волны входной сигнал Е° поступает в конце пространства взаимодействия х = /, поэтому его записывам в виде Е° ехр [—jРо(% — I)]- Из уравнения возбуждения G.40) нетрудно видеть, что при условии синхронизма uj/vo = /?о «резонансным» оказывается только первый интеграл. Этим и доказывается однонаправленность усиления. Оче- Очевидно, что при смене направления магнитного поля меняет знак vq и «резонансным» становится второй интеграл. Впервые усилитель со скрещенными полями был применен в по- поисковом радаре в ракетной системе Hawk Missile System. Но там он использовался как высоко стабилизированный генератор под названием «стабилотрон» [12, 13]. Принцип стабилотрона был предложен Эрлом Шелтоном. В этом приборе используется наиболее важное свойство платинотрона— направленное усиление. Без подачи мощности питания лампа прозрачна для высокочастотного сигнала в полосе пропускания, где она работает. Сигнал, поступивший на один из элементов связи, проходит к другому концу неизмененным, за исключением небольшого затухания, которое вызывается «холодным» затуханием в СВЧ-цепи (обычно десятая часть децибелла). Но если входной сигнал подается на работающую лампу, то усиление происходит только в одном направ- направлении, в зависимости от направления магнитного поля. Поэтому если какая-то часть усиленного сигнала отражается от нагрузки выходного тракта платинотрона, она проходит обратно по лампе, слабо взаимодей- взаимодействуя со спицами, и достигает ввода энергии с небольшим ослаблением. Отсюда очевидно, что если к отражению на выходе добавить полное отражение на входе, то платинотрон превратится в генератор, частота которого будет определяться фазовыми соотношениями в цепи обрат- обратной связи. Для стабилизации спектральных характеристик такого гене- генератора в цепь обратной связи вводится высокодобротный контур. Так был создан стабилотрон. Рассмотрим принцип его работы (рис. 7.116, [13]). Пусть на входе платинотрона появляется шумовой сигнал. Часть сигнала отразится от отражающего элемента в плоскости 1 и начнет двигаться в обратном направлении. Эта отраженная мощность проходит без затухания через замедляющую систему платинотрона, фазовращатель и попадает на
Магнетрон, амплитрон и другие 229 вход резонатора, расположенного в плоскости 2. Волна, отразившаяся от плоскости 2, поступает на вход платинотрона, усиливается в нем, и вновь попадает в выходную плоскость 1, где вновь отражается и т. д. Таким образом цепь обратной связи замыкается, причем условия поло- положительной обратной связи будут обеспечиваться только для тех частот, для которых полный фазовый сдвиг в в цепи обратной связи равен 2тгп, п = 1,2,3.... Основным элементом, стабилизирующим частоту генератора, явля- является резонатор, подключенный к плоскости 2. Поскольку фаза коэффи- коэффициента отражения от эквивалентной плоскости резонатора вблизи соб- собственной частоты резонатора /о является быстропеременной функцией частоты, полный фазовый сдвиг по замкнутому контуру генератора О вблизи резонансной частоты /о испытывает резкий скачок. Для цепи обратной связи без высокодобротной резонирующей нагрузки фазовый сдвиг при изменении частоты меняется плавно и медленно. Тогда, если условия положительной обратной связи выполняются как раз на резо- резонансной частоте резонатора, то в этом случае стабилотрон устойчиво генерирует на частоте /о. Действительно, пусть (см. рис. 7.Не) в силу тех или иных причин (изменение параметров нагрузки, линии передач и т. п.) полный фазо- фазовый сдвиг в в системе изменился на некоторую величину АО. В неста- билизированной системе это приведет к значительному изменению ча- частоты А/нест, а в системе стабилизированной резонатором, благодаря резкому скачку фазового сдвига вблизи резонанса, величина А/Ст <С <С А/нест- Величина А/неСт/А/ст характеризует степень стабилизации и имеет значение порядка 200 -г- 400 [11]. Отсюда также понятно, что для изменения частоты генерации стабилотрона необходима одновременная подстройка фазовращателя и стабилизирующего контура. Таким об- образом, стабилотрон представляет собой генератор, высокоустойчивый к различным как внешним, так и внутренним возмущениям. Для сравнения в таблице 7.1 приведены данные по стабилотрону QK 630, созданному на базе QK 434, и аналогичные параметры маг- нетронного генератора 5J26 (см. рис. 7.12), выходные характеристики (частота и мощность) которого аналогичны стабилотрону. Следующим этапом разработки амплитрона под руководством Ви- Вильяма Брауна стало исследование возможности создания сверхмощной лампы на частоте порядка 3 ГГц, которая работала бы на уровне по- постоянной мощности на выходе в 400 кВт [15]. Понятно, что разработка таких устройств требует больших финансовых затрат. И здесь на по- помощь Брауну приходит случай. Вот как он пишет об этом. «Естественно, незатребованное предложение разработки такой сверхмощной лампы вызвало бы мало поддержки со стороны прави- правительства. Однако совершенно случайно, неожиданное международное событие заставило правительство благоприятно отозваться на такое
230 Лекция 7 >-Л/\ Импульс тока A7 мкс) 118 1 -""• МГц И Спектр стабилотрона 1500 МГц » Спектр магнетрона Рис. 7.12. Показан яркий контраст в характеристиках обычного 5J26 магне- магнетрона и платинотрона, действующего как стабилотрон при импульсе в 17 ми- микросекунд с «плохой» формой импульса тока. Стабилотрон имеет почти тео- теоретический спектр для импульса такой длительности, тогда как у магнетрона 5J26 он «рассыпался» на интервал 1500 МГц (из работы [10]) Таблица 7.1 Характеристики лампы Затягивание частоты, МГц Электронное смещение частоты, кГц/А Ток в импульсе, А Напряжение в импульсе, кВ Магнитное поле, Гс К.п.д., % Выходная мощность, кВт Область механической перестройки, МГц Стабилотрон QK 630 0,4^-0,6 1 -=- 4 40 36 1150 52 650 1260 -=- 1350 Магнетрон 5J26 2^-2,5 50 -=- 100 46 28,2 1400 42 550 1220 -=- 1350 предложение. Этим событием был спутник, а ответом — Научно- исследовательское Агенство по Передовым Технологиям Оборонного характера (the Defence Advanced Research Projects Agency — DARPA). Агенство занималось поиском передовых технологий. Рейшен, ведущая фирма-новатор в области новых электронных технологий, представила Агенству системное предложение, называемое RAMP, акроним Raytheon Airborne Microwave Platform. Предложенный сверхмощный амплитрон был ключевым компонентом этой системы, в которой СВЧ-луч высокой мощности, сформированный на Земле, концентри- концентрировался на платформе вертолета, действующего на высоте в 10 миль над Землей, чтобы обеспечить вертолет энергией, осуществлять связь и выполнять функции наблюдения. Этот проект получил некоторые деньги на исследование, но разработка сверхмощного амплитрона была финансирована полностью. На амплитрон с непрерывной мощностью в 400 кВт и сверхмощный импульсный амплитрон с мощностью 50 МВт было выделено свыше шести миллионов долларов. В качестве
Магнетрон, амплитрон и другие 231 своего вклада в программу компания Рейшен построила лабораторию по сверхмощным разработкам. Меня назначили руководителем этой программы, в которую входили разработки не только по сверхмощному амплитрону, но также и практическому применению высокочастотной энергии, включая промышленную микроволновую обработку материалов и первые разработки систем беспроводной передачи энергии, о которой более подробно мы раскажем ниже. Разработка мощного амплитрона непрерывного действия была успешной: была создана лампа с мощностью 425 кВт при к.п.д. 76% и шириной полосы пропускания 8 % ... Если посмотреть назад, то можно считать программу по созданию сверхмощных источников СВЧ-излучения аномальной, которая не часто возникает в мирное время, и хотя полученные лампы было большим шагом вперед в технологии, они не были такой насущной необходимостью, как магнетроны во время II мировой войны... Поэтому вскоре эта программа потускнела». Интересно также то, что программа разработки сверхмощного ам- амплитрона помешала Брауну организовать собственную компанию по разработке и использованию маломощных платинотронов, для чего не требовалось дорогостоящее и сложное оборудование, но вовлекла его в еще один очень важный и новый проект. Дело в том, что когда уже все было готово к его уходу из Рейшен, в дело вмешался «спутник», и Браун получает финансирование от министерства обороны США. В результате он остается в компании Рейшен и через некоторое время становится главой нового проекта, связанного теперь уже с лампа- лампами низкой мощности. В нем амплитрон используется для передачи с высоким качеством данных с приземлившегося на Луне космического карабля Аполло на Землю. Но предоставим вновь слово Брауну [10]. «...в наши разработки в новой лаборатории я включил все до- достижения, которых добился при работе над лампами с низкой мощ- мощностью. В итоге, работа с низкими мощностями привела к предложе- предложению использовать усилитель со скрещенными полями в передатчике... ... в лунном модуле программы Аполло. Мощность на выходе [разрабо- [разработанного усилителя QKS 1300] была 24 Вт, что в несколько раз больше того, чего надежно достигали твердотельные усилители в то время... ... Два усилителя со скрещенными полями включались каскадно (вход второй лампы соединялся с выходом первой). Если катод одной из ламп отказывал (самая вероятная неполадка), эта лампа все еще была бы прозрачна либо для передачи входной мощности, либо выходной мощности сопутствующей лампы. Фотография лампы QKS 1300 приве- приведена на рис. 7.13. ... эта работа по программе Аполло была успешной. Все высококлассные данные, включая видео, между Луной и Землей передавались с помощью усилителя со скрещенными полями. Хотя лампа успешно использовалась в программе Аполло, обнаружилось,
232 Лекция 7 что средняя продолжительность жизни ламп, апробированных в про- процессе разработки программы до их применения в лунном модуле, была всего 1000 часов. Неудача вы- вызвана бомбардировкой электро- электронов, разрушающей катод лампы. Тогда мы не поняли, что этого бы не произошло с цементиро- цементированным торированным вольфра- вольфрамовым катодом, таким, как тот, который используется в обычном магнетроне для микроволновой печи. Если бы мы это поняли, усилитель на скрещенных полях с цементированным торирован- торированным вольфрамовым катодом, воз- возможно, сыграл бы значительную роль в системах связи». Что еще можно сказать об ам- плитроне? Во-первых, он исполь- использовался в качестве элементов це- цепочек СВЧ-генераторов. Основ- Основным недостатком усилителей со скрещенными полями было низ- низкое усиление, поэтому их приме- Рис. 7.13. Амплитрон QKS 1300, работающий в диапазоне частот 2,8 -г 3,2 ГГц, использовался для пе- передачи высокого качества данных с лунного модуля на Землю в про- программе НАСА Аполло. Он обеспечи- обеспечивал усиление в 17 дБ и выходную мощность 25 Вт (из работы [10]) няют как элемент СВЧ-цепочки в соединении с другим усилителем со скрещенными полями с низкой мощ- мощностью, а затем с лампой бегущей волны с высоким усилением. В неко- некоторых случаях лампа бегущей волны запускала оконечный усилитель со скрещенными полями напрямую. Во-вторых, некоторые имеющиеся перспективы повышения усиления платинотрона до 30 дБ (например, использование в качестве катода эмиттирующей замедляющей систе- системы; Джордж МакМастер) делают вполне логичным выбор амплитрона в самых различных приложениях, где требуется высокое усиление при достаточно высоком уровне мощности и к.п.д. Вильям Браун в своей обзорной работе обращает внимание на еще одну возможную область применения магнетрона как усилителя. «Необычным изменением направления в технологии обычный магне- тронный генератор может быть превращен при помощи внешней элек- электронной схемы в регенеративный усилитель с высоким усилением C0 дБ и выше)... и стать модулем в электронно-управляемой фазовой антен- антенной решетке с целью беспроводной передачи мощности. Такие усили- усилители — узкополосные, однако, беспроводная передача мощности будет использовать только одну частоту, поэтому широкополосные устрой- устройства и не требуются».
Магнетрон, амплитрон и другие 233 Осознавая важность исследований возможности беспроволочной пе- передачи энергии с помощью СВЧ-излучения, Браун принял участие в программе НАСА, целью которой было создание системы, передаю- передающей со спутника на Землю до 5 миллионов ватт — энергию достаточную для жизнеобеспечения среднего города. Им была разработана ключевая часть этой системы — ректенна — устройство, поглощающее ВЧ-из- лучение, превращая его в постоянный ток [16, 17]. Программа НАСА была свернута в связи с недостаточностью финансирования, однако, Вильям Браун продолжал работать над данной тематикой, но теперь уже по контракту с ВВС США. В 1964 году, как уже упоминалось, он продемонстрировал вертолет, движущийся за счет энергии, передавае- передаваемой ему по СВЧ-лучу. Ключом к этому полету опять стала ректенна, эффективность (т. е. отношение силы постоянного тока на выходе к силе постоянного тока на входе ректенны) которой была существенно выше разработанной им раньше. С 1969 по 1975 год Браун был техническим директором программы Рейшен, направленной на создание системы передачи энергии по СВЧ-лучу на расстояние одной мили, включающей в себя мощный высокоэффективный передатчик СВЧ-энергии и ректен- ну, которая перехватывала СВЧ-луч и превращала его в постоянный ток с мощностью 30 кВт при к.п.д. 84 %. Вклад В. Брауна в разработки пере- передачи энергии с помощью СВЧ-излучения был весьма велик. Так книга «Solar Power Satellites: A Space Energy System for Earth» / Eds Glaser Peter E., Davidson Frank Paul, and Csigi, Katinka I. Wiley Praxis Series in Space Science and Thehnology A998), посвященная вопросам создания электростанций в космосе и передаче с них энергии по СВЧ-лучу, была посвящена Вильяму Брауну. Заметим, что в программе разработки беспроводной передачи энер- энергии ключевым элементом опять же было создание амплитрона, а, точ- точнее, сверхмощного усилителя на скрещенных полях. Как уже отмеча- отмечалось выше, только та часть программы, которая касалась амплитрона, была профинансирована полностью. Интересно, что Вильям Браун сыграл большую роль и в такой обла- области применения СВЧ-техники, как создание нагревательных и других СВЧ-устройств, не используемых для коммуникации. Браун принимал участие в разработке идеи СВЧ-печи и других промышленных уста- установок, связанных с СВЧ-нагревом. В середине 60-х годов Браун и его коллеги основали Международный институт микроволновой энергии, а в скором времени, сформировался успешно функционирующий рынок СВЧ-печей [17]. В последние годы жизни Вильям Браун работал в своей домаш- домашней лаборатории в первую очередь над развитием систем передачи СВЧ-энергии. Он выступал и как популяризатор, проводя публичные демонстрации такой передачи энергии на различных встречах и прие- приемах, для телевидения. Эти работы Брауна не были до конца оценены современниками. Однако в этом вопросе Браун нашел союзника в лице
234 Лекция 7 Петра Леонидовича Капицы. В начале 80-х годов Капица посетил ряд научных учреждений США. Во время визита он произнес следующее «пророчество», навеянное в том числе и работами Вильяма Брауна [17, р. 44]: «Следует отметить, что раньше радиофизика и электроника со- состояли на службе у энергетики и решали исключительно коммуникаци- коммуникационные проблемы (телеграф и другие средства связи). В настоящее время электроника используется в основном в сфере радиокоммуникаций, но её будущее тесно связано с передачей энергии». Карматрон и дематрон Как обсуждалось выше, электронный пучок в амплитроне взаи- взаимодействует с обратной волной, т.е. он представляет собой прибор, в котором имеет место положительная обратная связь. Поэтому как показал эксперимент, амплитрон при отсутствии внешнего сигнала или в случае, когда внешний сигнал мал, имеет на выходе шумоподобный сигнал, частота и амплитуда которого не зависят от входного сигнала. Такое поведение связано с тем, что амплитрон находится в предге- нерационном режиме и устанавливающаяся обратная связь случайна. Действительно, скорость пучка, а следовательно, генерируемая частота определяется анодным напряжением, которое, в свою очередь, зависит от анодного тока. Как только в системе устанавливается некоторая «случайная» волна, начинает протекать анодный ток, в результате ме- меняется анодное напряжение, а также скорость пучка. Происходит срыв генерации на одной частоте и установление нового режима, который снова приводит к изменению анодного тока и т. д. Процесс усложняется еще и тем, что электронный пучок замкнут и поддерживает волны только с определенными характеристиками. В работах [18, 19] обсуждается широкополосный генератор типа М с замкнутым электронным пучком, схема которого ничем принципи- принципиально не отличается от схемы амплитрона, работающего в вышеопи- вышеописанном «генераторном» режиме. В этом приборе — карматроне — ис- используется иная замедляющая система, чем в амплитроне — система встречноштыревого типа [13], нагруженная на конце, где у амплитрона располагается ввод усиливаемого сигнала, на согласованную нагруз- нагрузку для предотвращения отражений от конца замедляющей системы. В отличие от платинотрона, карматрон может стабильно генерировать при достаточно высоком уровне выходной мощности. Такое различие в характере генерации в амплитроне и карматроне связано с тем, что замедляющая система последнего имеет большее сопротивление связи, что позволяет при тех же характеристиках пучка перейти в режим стацонарной генерации. Экспериментальные исследования [19] показали, что карматрон об- обладает достаточно высокими выходными характеристиками. При за- заданном магнитном поле в приборе наблюдались интенсивные колеба-
Магнетрон, амплитрон и другие 235 ния, которые возрастали при подъеме анодного напряжения. При этом с ростом выходной мощности увеличивался анодный ток и возраста- возрастала частота генерируемых колебаний. Изменение анодного напряжения позволяло перестраивать частоту примерно в 10 %-й полосе частот. Наибольшая выходная мощность РВых — 2,6 кВт с к.п.д. около 70% была достигнута на частоте 420 МГц. В работе [18] отмечено, что к.п.д. карматрона повышается с ростом амплитуды ВЧ-поля (так же как и в магнетроне). Это связано [13] с ростом сопротивления связи при приближении пучка к замедляющей системе. Таким образом карматрон может быть интересен как генератор, сочетающий высокую выходную мощность с быстрой безинерционной перестройкой частоты в небольших пределах. Другим прибором, который, также как и карматрон, появился во многом благодаря созданию платинотрона, является дематрон (или ультрон) — широкополосный усилитель прямой волны с замкнутым пучком [14]. Отличие ультрона от платинотрона в типе замедляющей системы. В ультроне используется замедляющая система с нормаль- нормальной дисперсией, для которой справедливо соотношение dv$/du < 0. Использование системы с нормальной дисперсией позволяет ожидать более широкую полосу усиливаемых частот, чем в амплитроне. Экспериментальный ультрон SFD-202, разработанный фирмой CSF во Франции, имел следующие выходные характеристики [13]: Выходная мощность 1 МВт; Частота 3 ГГц; Усиление 15 дБ; Полоса усиления 10 %; к.п.д. 60%. Список литературы 1. Коваленко В.Ф. Введение в электронику сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1951. 2. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973. 3. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Сов. радио, 1957. 4. Капица П.Л. Электроника больших мощностей. — Изд-во АН СССР, 1962. 5. Brittain J.E. The magnetron and beginning of the microwave age // Phys. Today. 1985. V. 33, № 7. P. 60.
236 Лекция 7 6. Алексеев Н.В., Маляров Д.Е. Получение мощных колебаний маг- магнетронов в сантиметровом диапазоне волн // ЖТФ. 1940. Т. 10, № 15. С. 1297. (Proc. IRE. 1944. V. 32. Р. 136). 7. Boot Н.А.Н., Randall J. Т. Historical notes on the cavity magnetron // IEEE Trans, on ED. 1976. V. ED-23, № 7. P. 724. 8. Сноу Ч.П. Две культуры. — M.: Прогресс, 1973. 9. Brown W.C. Platinotron increases search radar renge // Electronics. August 1, 1957 10. Brown W. С The History of the Crossed-field Amplifier // IEEE MTT- S Newsletters. Fall 1995. V. 141. P. 29. 11. Brown W.C. Description and operating characteristics of the platinotron — a new microwave tube device // Proceedings of the IRE. September 1957. V. 45, № 9. P. 1209. (Существует русский перевод в кн. [14]). 12. Brown W.C. The Platinotron: «Amplitron and Stabilotron». — in Okress, Crossed Field Microwave Devices, Akademic Press, 1961. V. 2. P. 165. 13. Стальмахов B.C. Основы электроники сверхвысокочастотных приборов со скрещенными полями. — М.: Сов. радио, 1963. 14. Электронные сверхвысокочастотные приборы приборы со скре- скрещенными полями / Пер. с англ. под ред. М.М. Федорова. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961, Том П. 15. Brown W. С. «The Amplitron: A super power microwave generator" // Electron Progress. July/Aug 1960. V. 5, № 1. P. 1. 16. Brown W. С The history of power transmission by radio waves // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Special Cenntennial Historical Issue. 1984. V. MTT-32, № 9. P. 1230. 17. Staecker P. William C. Browm: A Few Introductory Comments // IEEE MTT-S Newsletters. Spring 1999. V. 151. P. 43. 18. Doehler O., Epsztein В., Arnaud J. Operation characteristics of the Carmatron Tube // Proceedings of the IRE. 1958. V. 105B, № 10. P. 529. 19. Warnecke R., Nalot J., Epsztein В., Doehler O. La carmatron, nouvel oscilateur a large band d'accord electronique // Comptes Rendus. 1955, Septembre. t. 241, No 11. P. 695.
Лекция 8 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ЗАРЯД В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ Вайнштейн с Рошалем были в новой роли: В Саратов привезли на зимние гастроли Свой вариант принцессы Турандот. Бедняжка девою останется на троне, Поскольку трех загадок в магнетроне Принц-инженер Калаф не разберет. Из фольклора 2-й зимней школы-се- школы-семинара инженеров. Саратов, 1972. Пространственный заряд в скрещенных полях и три загадки магне- магнетрона (свойства магнетрона при магнитном поле больше критиче- критического, когда генерации нет; начало генерации в магнетроне; есть ли вообще стационарный режим генерации в магнетроне). Неустойчи- Неустойчивость электронного потока в скрещенных полях. Вычислительная фи- физика и магнетрон. Связь с проблемой турбулентности в электронном потоке. Сложная динамика пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями. Данная лекция посвящена рассмотрению вопросов учета влияния пространственного заряда в теории магнетронных приборов. Вопросы учета пространственного заряда в теории любого сверхвысокочастот- сверхвысокочастотного прибора — самые сложные, требующие обычно привлечения чис- численного моделирования [1]. Вместе с тем проблема пространственного заряда, кроме очевидного физического интереса, черезвычайно важна с практической точки зрения, так как позволяет определить предель- предельные возможности прибора: для мощных приборов — максимальную мощность (так как, например, в магнетроне слишком сильный про- пространственный заряд в спицах приводит к их разрушению); для усили- усилительных приборов — минимальный шум (вызываемый флуктуациями в электронных потоках) и т. д. В данной лекции мы остановимся на трех состояниях магнетрона: 1) негенерирующий магнетрон (магнитное поле больше критическо- критического);
238 Лекция 8 2) магнетрон в начале генерации (переход от предгенерационного режима в режим генерации); 3) магнетрон в режиме развитой генерации (когда сверхвысокоча- сверхвысокочастотное поле является достаточно сильным). В первой половине лекции будут перечислены вопросы, возникающие в связи с этими состояниями (а в других состояниях магнетрон как таковой вообще находиться не мо- может!) и представлены некоторые качественные рассмотрения, дающие предварительную физическую трактовку в этих вопросах. Вторая часть лекции посвящена рассмотрению того, что может дать вычислительная физика в ответах на вышеобозначенные вопросы. Хочется отметить, что в последние несколько лет появился ряд работ (например, работа R.W. Lemke, Т.С. Genoni, Т.A. Spencer, 1999 г. [2]), в которых на мощных вычислительных машинах решались задачи полномасштабного моделирования магнетрона с помощью самосогласо- самосогласованной системы уравнений Максвелла-Власова в 2,5 и даже 3-х измере- измерениях, аналогичные рассмотренным в этой лекции. Однако результаты и этих исследований оставляют ряд вопросов теории влияния простран- пространственного заряда на работу магнетрона до сих пор открытыми. Вместе с тем такие модели позволяют весьма точно рассчитывать реальные приборы, проводя оптимизацию самых различных параметров проек- проектируемых устройств [3, 4]. Пространственный заряд в скрещенных полях и три загадки магнетрона. Неустойчивость электронного потока в скрещенных полях Прежде чем переходить к анализу влияния пространственного заря- заряда на работу магнетрона, определим, что будет пониматься под сильным пространственным зарядом [1]. Это заряд, плотность которого р ~ рс, рс — критическая плотность, равная величине _ Рс - с где Н — напряженность магнитного поля. Слабый пространственный заряд имеет место в случае, когда р <С рс- Критическая плотность рс имеет для магнетрона такое же важное значение как и критическое значение магнитного поля Вкр. Физический смысл рс заключается в следующем. Перепишем формулу (8.1) в виде В правой части здесь стоит плотность магнитной энергии или давление магнитного поля. Как известно, однородное магнитное поле оказывает фокусирующее действие на протяженные пучки, направленные вдоль
Пространственный заряд в скрещенных полях 239 него, предохраняя их от разлетания под действием сил пространствен- пространственного заряда (цилиндрические пучки при р < рс/2, плоские при р < рс). Аналогичную функцию выполняет магнитное поле в магнетроне — оно до некоторой степени компенсирует силы расталкивания в электрон- электронных спицах, образующихся в работающем магнетроне. Соотношение (8.2) показывает, до каких плотностей рс магнитное поле еще может удержать электронные структуры от разрушения силами простран- пространственного заряда. Иначе соотношение (8.1) может быть получено путем приравнивания плазменной частоты электронного облака ljp, которая определяется его плотностью, и циклотронной частоты о;с, соответству- соответствующей магнитному полю в магнетроне. Плотность пространственного заряда, существенно превышающая величину критической плотности, существовать не может. Первая загадка магнетрона — это его свойства при маг- магнитном поле больше критического, когда генерации нет. В от- отсутствии пространственного заряда все ясно — электроны в плоском магнетроне возвращаются к катоду по циклоиде, в цилиндрическом — по более сложной траектории. При сильном пространственном заряде ситуация усложняется. Если принять, что движение электрона каче- качественно такое же, как и при отсутствии пространственного заряда, и что электрическое поле равно нулю на катоде, то расчет движения электро- электронов приводит к следующим результатам [5,6]. Толщина d прикатодного электронного слоя определяется выражением (8.3) где D — расстояние между катодом и анодом, U — анодное напряжение, Uс — -2тгpcD2 (рс < 0) — критическое напряжение. Плотность заряда р(у) в этом слое 0 < у < d сильно меняется с координатой, причем сред- 1 d няя плотность — J p(y) dy — рс. Время пребывания электронов в про- d 0 странстве взаимодействия удваивается по сравнению с циклоидальным движением в магнетронном диоде при отсутствии пространственного заряда. Это связано с тем, что под влиянием пространственного заряда угловая скорость обращения электрона в магнитном поле уменьшается: (84) Отсюда видно, что при р ~ рс угловая скорость оказывается существен- существенно меньшей, чем при р <С pc. Электронные структуры, у которых \р\ > > \рс\, удерживаться магнитным полем не могут. Качественно анало- аналогичные результаты были получены для цилиндрического магнетрона [7, 8]. Суть данной теории заключается в том, что рассматривается двухпоточное состояние электронного облака в запертом негенериру- ющем магнетроне, т. е. предполагается по аналогии с движением при
240 Лекция 8 отсутствии пространственного заряда, что электронное облако состоит из двух потоков электронов — движущихся от катода к внешней границе и наоборот. Чуть позже появились работы Бриллюэна [9], в которых были най- найдены точные стационарные решения уравнения Пуассона и уравнений движения для магнетрона, и показано, что электронное облако в запер- запертом магнетроне находится в однопоточном состоянии (электроны дви- движутся параллельно катоду со скоростями, соответствующими электро- электронам, эмитированным катодом; в частности, скорость электронов у като- катода равна нулю и максимальна у внешней границы облака). Плотность заряда в этом решении постоянна и равна рс, толщина слоя d совпадает с величиной, даваемой формулой (8.3). Правда, вопрос об установлении однопоточного состояния оставался долгое время открытым. Экспериментальные исследования, которые должны были дать от- ответ на вопрос: какому состоянию (однопоточному или двухпоточному) соответствует распределение заряда в запертом магнетроне, показали, что не реализуется ни то, ни другое распределение. Экспериментально были обнаружены нерегулярные колебания электронного облака с са- самыми различными частотами. Наиболее четким и ясно наблюдаемым явлением, не укладывающимся в рамки кинематической теории, ока- оказывается легко измеряемый анодный ток, который, хотя и уменьшается с увеличением магнитного поля, но делает это существенно медленнее, чем это следует из расчетов, учитывающих реальный начальный теп- тепловой разброс электронов по скоростям при термоэмиссии. Вторая загадка магнетрона — это начало генерации в нем. Как обсуждалось на прошлой лекции, механизм фазировки в магне- магнетроне эффективен только при синхронизме электронов и волны. Сте- Степень близости скоростей в стационарном режиме генерации определя- определяется неравенством где ojo = Cvo — частота, при которой скорость медленной волны точно равна скорости электронов vo = сЕ®/Н (см. соотношение G.7)), Т — время пролета электронов от анода к катоду. Так как перемещение электронов от анода к катоду обусловлено дрейфом под действием поля синхронной волны, то, следовательно, время Т обратно пропорциональ- пропорционально амплитуде синхронной волны. Чем меньше амплитуда, тем ближе должны быть величины Уф и vo (uj и ujo). Поэтому начало генерации в плоском магнетроне можно представить так: волна весьма малой амплитуды, возникающая в результате флуктуации на частоте, почти равной и о, формирует спицы и при этом увеличивает свою амплитуду, причем по мере роста амплитуды частоты шишо могут расходиться. Однако в цилиндрическом магнетроне эти простые представления о начале генерации неприменимы. Это связано с тем, что в соответствии
Пространственный заряд в скрещенных полях 241 с соотношениями G.33) и G.34) точный синхронизм между волной и электронами во всем пространстве между катодом и анодом невоз- невозможен, он реализуется только на окружности с синхронным радиусом г. Отсутствие повсеместного синхронизма электронов и волны приво- приводит к тому, что, например, при соотношении ra/rK = 1,5 (га и гк — соответственно радиусы анода и катода) образование спиц невозможно при амплитуде сверхвысокочастотного поля, всего на порядок меньшей максимальной амплитуды, соответствующей стационарной генерации. Эти аналитические результаты подтверждаются расчётами на ЭВМ: волна достаточно малой амплитуды, «выпущенная» в пространство взаимодействия цилиндрического магнетрона, неспособна (как бы ни варьировать ее частоту и угловую скорость) сформировать спицы и за- заметно увеличить свою амплитуду за счет энергии электронов. Вышесказанное справедливо для теории магнетрона без учета про- пространственного заряда. Видно, что эта теория неспособна описать про- процесс самовозбуждения магнетронных генераторов, поскольку самовоз- самовозбуждение должно начинаться с таких полей, которые неспособны сфор- сформировать спицы, характерные для режима стационарной генерации. То обстоятельство, что магнетронные генераторы все же легко само- самовозбуждаются, объясняется действием пространственного заряда. Это действие достаточно сложно, но без него самовозбуждения нет. После того, как амплитуда синхронной волны приблизится к макси- максимальной амплитуде, т. е. амплитуде волны при стационарной генерации, роль пространственного заряда ослабевает. При высокой добротности резонатора и малом токе эмиссии может оказаться, что поле простран- пространственного заряда вообще несущественно и лишь слегка возмущает дви- движение электронов; так может быть, например, в генераторах малой мощности непрерывного действия, и тогда свойства магнетрона в раз- развитом режиме генерации никаких загадок в себе не таят. Третьей загадкой магнетрона являются его свойства в раз- развитом режиме генерации при сильном пространственном за- заряде, существенно влияющем на движение электронов. Первая работа, посвященная численному исследованию переходных процессов в магнетроне и ставшая классической, была опубликована еще в 1965 го- году (О. Buneman, S.P. Yu, G.P. Koyers [10]). В ней в результате численного эксперимента было показано, что стационарного режима генерации в магнетроне нет: электронные потоки и анодный ток пульсируют, причем характерное время пульсации существенно меньше времени установления колебаний в резонаторе. Вследствие этого стационарное состояние если и есть, то только по отношению к резонансному полю объемного резонатора, но никак не в отношении электронного облака и поля пространственного заряда. Вместе с большой важностью решения третьей загадки магнетро- магнетрона для теории приборов со скрещенными полями, обозначенный круг
242 Лекция 8 вопросов имеет и более широкое фундаментальное значение. Он непо- непосредственно связан с проблемами динамического хаоса и турбулент- турбулентности в электронных потоках. Так, экспериментально было установ- установлено, что в магнетронных генераторах наблюдается избыточный шум, на 5-6 порядков превышающий дробовой [12, 13]. Существует также ряд экспериментальных результатов, свидетельствующих о связи этого избыточного шума с динамическим хаосом. Рассмотрим результаты экспериментальных исследований, приведенных в работе [14], и на- направленных на прямую проверку связи электронной турбулентности в скрещенных полях с проблемой детерминированного хаоса. Избыточный шум и азимутальные колебания пространственного заряда в магнетронных генераторах наблюдаются уже в предгенера- ционном режиме, когда влияние резонаторной системы незначительно, и магнетрон по существу является магнетронным диодом [15]. Поэтому в экспериментах использовался магнетронный диод, в анодном бло- блоке которого имелись емкостной зонд для наблюдения колебательных процессов и окно для измерения температуры катода. Характеристики пространства взаимодействия магнетронного диода следующие: га = = 4,5 мм, гк = 2,15 мм, длина анода /а = 10 мм, катод прямонакаль- ный, высокотемпературный, металлический, с малым коэффициентом вторичной эмиссии. Все экспериментальные результаты были получены при постоянных значениях анодного напряжения Vb = 2500 В и индук- индукции магнитного поля В « 0,14 Тл (В/Вкр = 1,4). Управляющим параметром являлась плотность пространственного заряда р, зависящая от тока эмиссии /э. Величина /э в первую очередь зависит от температуры катода Тк, которая регулировалась посред- посредством изменения тока накала /н в пределах 0 ^ /н < /нб5 где ^нб — ток, соответствующий резкому возрастанию обратной бомбардировки катода. В этих режимах влияние обратной бомбардировки катода было пренебрежимо мало, что подтверждалось измерением Тк. Соответству- Соответствующие этой области значения анодного тока /а, протекающего через магнетронный диод, не превышали сотен микроампер. При /н > /нб резко возрастала мощность обратной бомбардировки, быстро повы- повышалась температура катода и процесс становился неуправляемым: /а скачком возрастал до величины 10 мА. В опытах с помощью СВЧ-ана- лизатора спектра, подключенного к зонду, регистрировались колебания пространственного заряда (спектры в логарифмическом масштабе при- приведены на рис. 8.1 и 8.2; они слева) и низкочастотные процессы и шумы в анодном блоке (на рисунках справа). Исходным состоянием являлось /н = 0, р = 0. По мере увеличе- увеличения р в формирующемся пространственном заряде при некотором зна- значении р\ возникают гармонические азимутальные колебания простран- пространственного заряда с частотами, кратными Д « 320 МГц. На рис. 8.1а приведена вторая мода азимутальных колебаний (/2 ~ 640 МГц (цена деления по оси абсцисс 10 МГц)), а на рис. 8.1 а' — осциллограмма
Пространственный заряд в скрещенных полях 243 -10 МГц в' Рис. 8.1. Спектры (слева) и осцил- Рис. 8.2. Разрушение хаотических лограммы (справа) низкочастотных колебаний в магнетронном диоде колебаний в анодном блоке маг- внешним гармоническим сигналом нетронного диода с увеличением плотности пространственного заря- заряда в нем НЧ-шумов анодного тока, полученная в этом же режиме г). На ос- осциллограмме шумы не просматриваются, но специально проведенные измерения показали, что их спектральная плотность близка к плотно- плотности полного дробового шума, определяемого формулой Шотки Бш = = 2е/аА/. По мере дальнейшего увеличения величины р интенсивность колебаний возрастает, и при некотором значении р2 > pi возникает автомодуляционная неустойчивость с частотой автомодуляции fa = = 2,5 МГц. При последующем небольшом увеличении р частота ав- автомодуляции возрастает до 6 МГц (рис. 8.16). В результате автоде- автодетектирования гармонический сигнал этой же частоты обнаруживается и в анодном токе магнетронного диода (рис. 8.15'). Дальнейшее увеличение р приводит к усложнению автомодуляции, причем наблюдается две бифуркации удвоения, которые завершают- завершаются возникновением стохастических колебаний (рис. 8.1 в), при кото- которых спектральная мощность НЧ-шумов возрастает на 6 порядков (см. рис. 8.1в', Ку =30дБ). Шумовые измерения, проведенные в диапазоне частот 1 кГц -1 ГГц, показали, что возникающий в режиме хаотических колебаний избыточ- избыточный шум создает непрерывный пьедестал, верхняя граничная полоса которого выходит за пределы данного диапазона. На фоне этого пье- г) Осциллограммы НЧ-шумов снимались с выхода усилителя с полосой пропускания (по уровню 3 дБ) 20 Гц... 1 МГц и коэффициентом усиления Ку = 60 дБ.
244 Лекция 8 дестала хорошо просматриваются пики частот, кратных частоте / = = 320 МГц (рис. 8.1в). Детерминированность хаотических процессов в данном случае под- подтверждается тем, что их удается разрушить гармоническим сигналом, вводимым в катодную цепь магнетронного диода. Воздействие сигналом с частотой, далекой от частоты / = 320 МГц, не оказывало существен- существенного влияния на динамику пространственного заряда в магнетронном диоде (рис. 8.2а и а'). При приближении частоты внешнего сигнала к частоте / = 320 МГц хаотические колебания срывались и наблю- наблюдался режим периодической автомодуляции с появлением дискретного спектра (рис. 8.26). Шумы анодного тока при этом снижались до уров- уровня дробовых (см. рис. 8.25', Ку = 30 дБ). И, наоборот, в отсутствии внешнего сигнала, когда колебания пространственного заряда были автомодулированными, введение внешнего сигнала с расстройкой по частоте приводило к хаотизации колебаний анодного тока. Для качественного понимания проблем, затронутых выше, обсудим вопросы устойчивости двухпоточного или однопоточного состояния магнетрона. Так в работе [16] показывается, что двухпоточное состояние магнетрона неустойчиво по отношению к возмущениям, оставляющим электронное облако симметричным. Если рассмотреть плоский магне- магнетрон и пренебречь взаимодействием электронного слоя с катодом г), то можно показать (см. [1, 16]), что в линейном приближении собственные частоты симметричных колебаний такого слоя даются выражением ш = ±пиос/2± jujcQ/2tt, 0« л/2 Inn. (8.5) Выписанное значение 0 соответствует случаю нулевой начальной ско- скорости электрона и равенству нулю поля на катоде. В режиме ограниче- ограничения тока пространственным зарядом величина 0 дается выражением [1] 0 = 1пС, где С>1. (8.6) Рассмотрим теперь физический смысл формулы (8.5). Действительная часть и является высокой гармоникой основной частоты невозмущен- невозмущенного движения электронов (она равна о;с/2, так как период движения равен 4тг/а;с — удвоенному циклотронному периоду). Мнимая часть uj показывает, что за время 4тг/а;с амплитуда поля изменяется в е±2в раз, т.е. при знаке « + » возрастает в С2 раз. Эта неустойчивость является абсолютной и аналогична неустойчивости, имеющей место в двухлуче- вой лампе (см., например, [17]): она вызвана наличием двух встречных потоков, причем наибольший вклад в неустойчивость (в значение 0) вносят области около катода и внешней границы, где скорости встреч- х) Это означает, что электроны вблизи невозмущенной нижней границы поворачивают и начинают новый период движения в этом слое.
Пространственный заряд в скрещенных полях 245 ных потоков близки (т. е. малы) г). В цилиндрическом магнетроне такая область существует только вблизи катода, так как у внешней границы слоя радиальное ускорение электронов не мало, однако в прикатод- ной области, благодаря ограничению тока пространственным зарядом, радиальное ускорение мало и величина 0 по-прежнему может быть представлена в виде (8.6). Взаимодействие с катодом приводит к обновлению электронов в электронном слое. Поскольку часть электронов, испытавших возмущение, поглощается катодом, а вновь эмиттированные электроны возмущений скорости не имеют, учет взаимодействия приводит к дополнительному затуханию колебаний слоя. Для оценки этого затухания взаимодействие электронов с катодом можно учесть с помощью «коэффициента зеркальности» ае @ ^ зэ ^ 1). В этом случае предполагается, что из N приходящих к катоду электронов TVae отражается и возвращается в слой, a 7VA — ае) поглощается и заменяется новыми. Тогда вместо соотношения (8.5) получаем соотношения u> = ±n^±j^Q-j^ In!. (8.7) 2 J 2n J 4п ае v ' В реальном магнетроне примерно половина электронов возвращается в слой, а половина — обновляется (в зависимости от фазы, определя- определяющей смещение точки поворота у катода вверх или вниз). Поэтому можно полагать, что в формуле (8.7) значение зэ ~ 1/2, а тогда до- дополнительное затухание, вызванное обновлением электронов в слое не изменит сильной неустойчивости, о которой говорилось выше и которая приводит к возрастанию возмущений как С2 (С ^> 1) за время пролета электронов. Эта сильная неустойчивость приводит к тому, что двухпотоковое со- состояние физически не реализуемо. Действительно, время установления двухпоточного состояния во всяком случае не меньше 4тг/а;с, т. е. време- времени пролета от катода до внешней границы электронного слоя и обратно, а за это время начальное возмущение (обусловленное тем, что состояние отлично от того, которое должно установиться) возрастёт настолько, что двухпоточное состояние разрушится, не успев сформироваться. Как показывают расчеты Хартри и Никольсона, вместо двухпоточ- двухпоточного состояния возникает симметричное, близкое к однопоточному со- состояние, когда составляющие скорости, нормальные к катоду, оказыва- оказываются сильно подавленными. На рис. 8.3 показано радиальное движение электронов в том случае, когда анодное напряжение Ua возрастает от нуля за 4 циклотронных периода; при этом электроны выводятся на траектории, близкие к круговым. Отсюда видно, что благодаря разви- х) Заметим, что именно в этих областях р ^> рс, благодаря чему и происхо- происходит быстрое разрушение состояния.
246 Лекция 8 12 3 4 5 mctl2% тию неустойчивостей силы пространственного заряда почти полностью выравнивают скорости встречных потоков и создают более упорядочен- упорядоченные электронные потоки, близкие к ламинарным. Однако и такие потоки оказываются неустойчивыми. Если рассмат- рассматривать устойчивость однопоточного состояния относительно возмуще- возмущения e-j(ut-px) ^ т0 оказывается, что при вещественных и волновое число Р по- получается комплексным, а при веще- вещественных Р имеют место комплексные величины uj. Для однопоточного элек- электронного слоя, удаленного от анода, получается следующее выражение для «,[1]: oj = ojc (Pd - 0,54 ± j0,06), (8.8) которое справедливо для pd > 2, при малых pd частота и вещественна, и од- нопотоковое состояние устойчиво. Для сравнения выражений (8.5) и (8.8) необходимо учесть, что произве- произведение pd принимает бесконечную по- последовательность значений. Если рас- 5 mct/2n Рис. 8.3. Установление состоя- состояния, близкого к однопоточному сматривать плоский магнетрон как некоторую аппроксимацию цилин- цилиндрического, то, обозначая через г& радиус катода, мы должны подчи- подчинить Р условию Prk = га, га e Z, (8.9) поскольку при обходе катода (увеличение х на 2тгг^) поле, пропорцио- пропорциональное Q-Ji^t-Px) ^ должно принять прежнее значение; тогда и значения Re о; из формул (8.5) и (8.8) образуют арифметические прогрессии. Что касается величины Im о;, то по формуле (8.8) для мнимой части uj имеем > О «0,4, 4тг т. е. по сравнению с двухпоточным состоянием неустойчивость одно- однопоточного состояния нарастает более медленно, благодаря чему оно может быть осуществлено физически хотя бы на непродолжительное время. Физическая причина неустойчивости в данном случае связана с взаимодействием потоков с различными скоростями, распространя- распространяющихся в одном направлении, однако связь между потоками с раз- различными скоростями слабая (так как они пространственно разобщены)
Пространственный заряд в скрещенных полях 247 и неустойчивость также оказывается более слабой, чем в предыдущем случае. Характерная особенность неустойчивостей, обусловленных пространственным зарядом, заключается в том, что, как видно из соотношений (8.5) и (8.8), имеет место бесконечное число нарастающих колебаний с различными частотами Re о;, но примерно равными инкрементами нарастания Im и. Случайное начальное возмущение возбуждает целый спектр таких несимметричных волн, которые нарастают одинаково быстро. По достижению ими конечных амплитуд начинается нелинейное взаимодействие между ними, в результате которого электронное облако в негенерирующем магнетроне остается симметричным только в статистическом смысле: оно ведет себя хаотически, беспорядочно пульсирует, «выбрасывая» часть электронов на анод (он расположен дальше от электронного облака, чем катод, поэтому анодный ток на него меньше) и катод. При этом наличие мелкомасштабных пульсаций не исключает возможность существования крупномасштабных структур (например, волн пространственного заряда). Данное качественное рассмотрение подтверждается и полномасштабным численным моделированием, на результатах которого мы остановимся в следующем разделе лекции. Если одно из колебаний пространственного заряда находится в син- синхронизме с колебанием резонансной системы, причем как частоты, так и фазовые скорости колебаний близки, то развитие неустойчивости происходит иначе. Согласно соотношению (8.8) фазовая скорость на- нарастающей волны пространственного заряда равна Reo; , Л 0,54 \ , Л и = __ = Wcd^i - _ j , (8.10) причем (см., например, [1, Лекция 1, задачи 1, 5]) bird = —^-i-, где г>о — скорость дрейфа электронов при отсутствии пространствен- пространственного заряда и том же анодном напряжении Ua = E° D. Отсюда видно, что величина и того же порядка, что и скорость vq. Медленная волна в резонансной системе, имеющая фазовую скорость г>ф, должна при самовозбуждении синхронизоваться не с электронами, а с волной про- пространственного заряда, т.е. условием синхронизма является v$ ы и, а не Уф ~ vo\ Заметим, что структура поля волны пространственного заряда (см. рис. 8.4) и волны в линии передач существенно различны. Так как потенциал и поле обусловлены модуляцией электронного слоя и, в частности, периодичностью границы, то при удалении от границы слоя они экспоненциально убывают, в то время как поле синхронной волны убывает при удалении от анода, т. е. в противоположном направлении.
248 Лекция 8 Этот результат дает качественный ответ на вторую загадку магне- магнетрона: а именно, возбуждение цилиндрического магнетрона происходит благодаря синхронизации двух вращаю- вращающихся волн — волн пространственного заряда и волны в резонансной системе. Обе волны имеют зависимость от угла <р и времени t в виде exp [j (тир — wt)], и обе вращаются как «твердые тела», по- Рис. 8.4. Эквипотенциали ЭТОМУ рассинхронизма, связанного с фор- волн пространственного мулами G.33) и G.34), не возникает. Пока заряда вблизи внешней амплитуда колебаний в резонаторе мала, границы электронного слоя распределение поля близко к распределе- распределению поля волны пространственного заря- заряда, и, в частности, электроны начинают свое движение к аноду, стремясь образовать расширяющиеся спицы в соответствии с рис. 8.4. По мере нарастания амплитуды резонансного колебания оно во все большей степени определяет распределение поля и движение частиц. Здесь следует отметить, что соотношение (8.10) выписано в пред- предположении, что генерация начинается с однопоточного состояния элек- электронного облака. Однако скорее всего это не совсем так [1], поскольку можно предположить (и ряд экспериментальных данных это подтвер- подтверждает), что «кипящий» электронный слой также может поддерживать волны пространственного заряда с фазовой скоростью того же порядка. Кинематическая теория генерации в магнетроне, не учитывающая действие сил пространственного заряда, приводит к тому, что обра- образуются спицы, в которых сильно выражено орбитальное движение — обращение с угловой скоростью ис вокруг ведущих центров. Сами же ведущие центры дрейфуют упорядоченно — вдоль эквипотенциалей синхронной волны (ламинарное течение). Каких изменений следует ожидать при наличии сильного пространственного заряда? Суммируя вышесказанное, перечислим важнейшее, что вносит пространственный заряд в физику магнетрона. 1. Так как пространственный заряд перемещается вместе со спицами и волной, то его поле накладывается на поле синхронной волны и спи- спицы деформируются, поскольку эквипотенциали уже другие: они сами теперь зависят от движения электронов, т. е. здесь необходимо решение самосогласованной задачи. 2. При р ~ рс дрейфовое приближение неприменимо и необходимо пользоваться полными уравнениями движения. Это видно из формулы (8.4): при р ~ рс изменяется угловая скорость, а, следовательно, и все движение. 3. По аналогии с результатами, полученными для двухпоточного со- состояния, следует ожидать подавления орбитального движения в спицах под действием пространственного заряда: движение самих электронов
Пространственный заряд в скрещенных полях 249 при учете их расталкивания должно быть более упорядоченным, более близким к ламинарному течению. 4. Даже при чисто ламинарном течении электронной жидкости по спицам, они должны быть неустойчивы по отношению к возмущениям, бегущим вдоль спиц: в этом причина нестационарности спиц при «ста- «стационарной генерации». Из-за конечного времени пролета электронов от катода к аноду и непрерывного обновления электронов в спицах неустойчивость не успевает развиться достаточно сильно, так что наря- наряду с мелкомасштабной хаотической динамикой в движении электронов наблюдается крупномасштабное упорядоченное движение. Теоретические результаты, перечисленные выше дают лишь предва- предварительную ориентировку в тех загадках, которые ставит перед иссле- исследователями магнетрон. Полное количественное рассмотрение возможно лишь в результате численного эксперимента. В следующем разделе мы опишем некоторые результаты анализа нестационарных нелинейных процессов в магнетроне с помощью численного моделирования зада- задачи, в которой учитывается целый ряд факторов, которыми неизбежно пренебрегали при аналитических исследованиях. В первую очередь это касается корректного учета влияния пространственного заряда и нали- наличия случайных процессов. Заметим также, что численный эксперимент позволяет провести анализ полностью самосогласованной нестационар- нестационарной задачи. Вычислительная физика и магнетрон. Связь с проблемой турбулентности в электронном потоке Из предыдущего раздела понятно, что корректный учет влияния пространственного заряда на процессы, протекающие в магнетроне, невозможен без решения нелинейной нестационарной полностью само- самосогласованной задачи. Такая задача включает в себя интегрирование полных уравнений движения совместно с уравнением Пуассона. Са- Самосогласованность решения означает, что по найденным траекториям движения электронов рассчитывается распределение пространственно- пространственного заряда, а по нему уже находится из уравнения Пуассона поле, кото- которое затем используется для расчета уравнений движения и так далее. Решение таких задач невозможно без привлечения численного модели- моделирования. Видимо поэтому магнетрон, наряду с диодным промежутком со сверхкритическим током (см., например, С. Birdsall, W. Bridges [18]), стал одним из первых приборов высокочастотной электроники, неста- нестационарные процессы в котором были проанализированы с помощью численного эксперимента (Хартри, Никольсон; О. Buneman, S.P. Yu, G.P. Koyers). В данном разделе обсудим некоторые результаты такого полномас- полномасштабного численного моделирования с акцентом на роль простран-
250 Лекция 8 ственного заряда в физических процессах в магнетроне. Все результаты в этом разделе, если не оговаривается особо, излагаются по лекциям Л.А. Вайнштейна и А.С. Рошаля [1]. Здесь не будем останавливаться на подробностях методики численного моделирования, отсылая интересу- интересующихся к работам [1,10], а лишь отметим, что вычислительная процеду- процедура заключается в одновременном решении уравнений поля и уравнений движения. В квазистатическом приближении и отсутствии сверхвысокочастот- сверхвысокочастотной волны уравнение поля представляет собой уравнение Пуассона для потенциала Ф и решается как разностное уравнение с использованием быстрого преобразования Фурье [11]. Данная методика может приме- применяться только в случае, когда задача допускает постановку периодиче- периодических граничных условий для функции плотности р(х) и потенциала Ф(х) пространственного заряда. Тогда функции р(х) и Ф(х) имеют образы в Фурье пространстве — соответственно р(к) и Ф(к), где к — волновой вектор в ядре Фурье преобразования ехр (—jkr). В Фурье пространстве уравнение Пуассона сводится к виду [11] Ф(к) = ?0К т. е. соответствующий Фурье-образ потенциала находится из известного из решения «электронной» части задачи Фурье-образа распределения плотности пространственного заряда с помощью простой арифметиче- арифметической операции — деления на квадрат волнового вектора к2. В простейшем одномерном случае для численного решения урав- уравнения Пуассона необходимо ввести пространственную сетку, в узлах которой задаются значения плотности пространственного заряда p(xj) и потенциала Ф(х^). Здесь Xj = jAx — координата j-ro узла про- пространственной сетки, Ах — шаг пространственной сетки. Условие пе- периодичности граничных условий накладывает следующее требование к поведению какой-либо функции G(xj), заданной на сетке: G(xj) = = G(xj + L), где L = N^Ax — пространственный период, определяе- определяемый конкретными физическими условиями задачи. При моделирова- моделировании процессов в магнетроне, работающем на тг-виде, в качестве такого периода может выступать расстояние между соседними резонаторами в анодном блоке. Тогда дискретное проебразование Фурье одномерной функции G запишется как G(k) = Ах J2 G(xj)e~jhXj, (8.12) з=о а обратное дискретное преобразование Фурье будет иметь вид л NL/2-l G(Xj) = j- J2 G(k)ejkxJ. (8.13) n=-NL/2
Пространственный заряд в скрещенных полях 251 Окончательно, суммируя вышесказанное, алгоритм решения урав- уравнения Пуассона можно представить следующей схемой: / ч FFT //Ч к2 Л/п IFFT ж, ч V^ п/ \ р(х) —у р(к) —у Ф(к) —у Ф(х) -^-у Е(х). Таким образом, вначале из «электронной» части задачи находится рас- распределение плотности заряда р(х) в пространстве. Далее рассчитывает- рассчитывается в соответствии с определением (8.12) Фурье-образ р(к). При этом сум- сумма, фигурирующая в формуле (8.12), может быть эффективно рассчита- рассчитана с помощью применения процедуры быстрого преобразования Фурье (FFT). По найденным значениям р(к) определяются соответствующие значения Ф(к) из уравнения Пуассона (8.11), по которым с помощью обратного преобразования Фурье (8.13) (IFFT) находится распреде- распределение потенциала уже в «физическом» пространстве. Напряженность поля пространственного заряда может быть найдена по распределению потенциала в соответствии с определением Е = — \/ Ф. Уравнение движения представим в виде разностных уравнений, соответствующих приближению однородного поля [1]. Шаг расчета во времени составит At = тг/4а;с, т. е. 1/8 циклотронного периода. Вначале обсудим явления в негенерирующем магнетроне. Рассмот- Рассмотрение одномерной задачи выявило картину, аналогичную расчетам Хар- три и Никольсона (см. предыдущий раздел). Единственным отличием от их расчетов был учет вторичной эмиссии с катода с коэффици- коэффициентом вторичной эмиссии ош. Расчеты показали, что облако из N «машинных» электронов распадается на относительно небольшое число крупных слоев, что и приводит к флуктуациям. Флуктуации плотности пространственного заряда в свою очередь приводят к возмущениям по- потенциала, а, следовательно, и скорости. Описанное явление пропадает при ош —у 0. Действительно, пусть все эмиттируемые электроны имеют нулевые начальные скорости. Если поле вблизи катода в данный момент времени не препятствует вылету электронов, то все термоэлектроны и вторичные электроны, эмиттированные на данном шаге, поступают в область взаимодействия, образуя компактный слой. При последова- последовательных соударениях с катодом этот слой укрупняется тем быстрее, чем больше ат. Если же ат « 0 или поле препятствует вылету электронов, то слой поглощается катодом практически сразу и расслоения не на- наблюдается. Рассмотрим теперь двухмерную задачу. Размер исследуемой двух- двухмерной области такой, что он соответствует паре резонаторов маг- магнетрона 3-сантиметрового диапазона. В тангенциальном направлении предполагается периодичность. В этом случае расчеты показывают, что электронное облако по истечении некоторого переходного процесса вступает в стационарное состояние, имеющее статистический характер. Рассмотрим статистические характеристики этого состояния.
252 Лекция 8 Для каждого слоя в момент времени t вычислялись средние (по электронам слоя) нормальные и тангенциальные скорости (vn) и (vT), зависящие от нормальной безразмерной координаты ?/, а также нор- нормальные и тангенциальные температуры потока где к — постоянная Больцмана, и обычная температура т = (Тп+Тт)/2. (8Л4) (8.15) Так как предполагается, что случайные процессы в потоке являются стационарными и эргодическими, то для получения более достоверной статистики производилось допол- дополнительное усреднение этих вели- величин за промежуток времени, пре- превышающий обычное время пребы- пребывания электрона в промежутке, а именно за 4-6 циклотронных пе- периодов. Результаты расчета для цилин- цилиндрического магнетрона приведены на рис. 8.5а; б. Из них видно, что тангенциальная скорость монотон- монотонно возрастает от катода к аноду, причем лишь вблизи катода это возрастание нелинейно — наблю- наблюдается перегиб кривой. Нормаль- Нормальная скорость везде близка к нулю 36 У Рис. 8.5. Электронные скорости, плотность объемного заряда (а) и электронная температура (б) в за- запертом магнетроне и лишь вблизи анода имеет место некоторое направленное движение к аноду. Этот результат подтвер- подтверждает вывод предыдущего раздела о том, что развитие несимметрич- несимметричных неустойчивостей сглаживает различие в тангенциальных скоростях различных слоев электронного облака. Что касается плотности пространственного заряда, то она отлична от нуля во всем пространстве взаимодействия, чем и объясняется не равный нулю анодный ток г). Появление такого хвоста без сомнения связано с ростом температуры электронного облака. Как следует из х) Заметим, что если сравнить вид зависимости с решением Бриллюэна, то окажется, что в прикатодной области р падает значительно быстрее, однако, р ф 0 во всем пространстве взаимодействия, тогда как граница бриллюэнов- ского потока в данном случае у = 12.
Пространственный заряд в скрещенных полях 253 расчетов (рис. 8.56), температура электронного потока Те в скрещенных полях достигает нескольких миллионов градусов. Это указывает на высокую степень неупорядоченности потока — электронный поток на- находится в турбулентном состоянии. Вычисляя по известным функциям распределения дисперсию скоростей эмиттируемых электронов, можно по формуле (8.15) найти температуру электронов эмиссии: в данном случае она составляет порядка 3 • 104 К, что на порядок ниже темпе- температуры электронного облака в непосредственной близости вблизи като- катода (в первом слое), где много возвращающихся электронов, имеющих большой разброс по скоростям. С удалением от катода электронная температура Те повышается. В рассматриваемом нами запертом магне- магнетроне наиболее горячей является область электронного облака вблизи анода. Заметим, что в уже упомянутой работе О. Buneman et al [10] были получены аналогичные результаты, за исключением ряда несу- несущественных деталей, связанных, видимо, с различными параметрами моделируемого прибора. Можно предполагать, что вследствие большого разброса электронов по скоростям в запертом магнетроне облако пространственного заряда сильно неоднородно и в нем хаотически образуются и разрушаются электронные структуры. Для проверки этого предположения вычис- вычислялась автокорреляционная функция плотности заряда и потенциала вдоль той или иной тангенциальной линии у = const. При этом коор- координаты у выбирались так, чтобы они располагались вблизи катода, в середине или на границе облака. В большинстве случаев плотность объемного пространственного заряда оказывалась практически некоррелированной случайной функ- функцией времени и координаты. Отсюда следует, что протяженность и дли- длительность существования структур пространственного заряда через- вычайна мала. Учитывая известную обратную связь между временем корреляции и спектром процесса, можно заключить, что плотность заряда обладает сплошным широким спектром. Здесь следует еще раз отметить, что из-за ограниченности области моделирования не иссле- исследовались крупномасштабные структуры (волны пространственного за- заряда) в электронном облаке. Пространственная протяженность неоднородностей потенциала пространственного заряда существенно больше. Это связано с тем, что потенциал является интегральной характеристикой плотности заряда (соответствующая связь описывается уравнением Пуассона) и дальнодействующие кулоновские поля в среднем сглаживают потенциал. Вместе с тем, потенциалы в разных сечениях слабо коррелированы друг с другом, т. е. существует быстро осциллирующее поле пространственного заряда с широким спектром частот. Двигаясь в таком быстро и нерегулярно осциллирующем поле, электроны испытывают воздействие случайных, быстро меняющихся сил, которые вызывают разогрев и турбулизацию потока, размывают границу
254 Лекция 8 электронного облака и могут вызывать попадание значительной части электронов на анод даже при магнитном поле значительно больше критического. В заключение обсуждения вопросов динамики пространственного заряда в запертом магнетроне отметим, что электронное облако в та- такой системе является примером распределенной открытой нелинейной системы, демонстрирующей сложную динамику, которая характери- характеризуется формированием короткоживущих электронных структур раз- различного масштаба. Все это позволяет говорить об электронном облаке в магнетроне как об одной из моделей электронной турбулентности. Рассмотрим теперь динамику электронного облака в слабом поле синхронной волны. Очевидно, что эта задача связана со второй за- загадкой магнетрона — анализом переходных процессов при установ- установлении колебаний в магнетронном генераторе. Как и раньше, будем рассматривать двухмерную задачу. Однако теперь электрическое поле складывается из внешнего статического поля, поля пространственного заряда и сверхвысокочастотного поля, создаваемого резонансной си- системой. Как и в Лекции 5, будем предполагать, что электронный поток взаимодействует с одной пространственной гармоникой поля синхрон- синхронной волны, соответствующей тг-колебанию. Введем подвижную систему координат, которая движется в тангенциальном направлении с фазо- фазовой скоростью Уф = uj//3 выбранной пространственной гармоники — синхронной волны с частотой uj и тангенциальным волновым числом р. В подвижной системе координат электрическое поле синхронной волны является электростатическим, и потенциал Ф имеет в танген- тангенциальном направлении период Л = 2тг//3, т. е. при исследовании можно ограничиться исследованием процессов в промежутке протяженностью в одну длину волны Л синхронной волны (одной парой резонаторов магнетрона). В цилиндрическом магнетроне движущаяся система коор- координат должна вращаться с угловой скоростью uj/п и является неинер- циальной. Переходя к движущейся системе координат, необходимо со- соответствующим образом преобразовать и уравнения движения. Учет поля резонансного колебания (оно имеет комплексную частоту ujs = = uo's (I — j/2Qs), uo's — резонансная частота, Qs — нагруженная доброт- добротность данного колебания) может быть проведен либо с помощью неста- нестационарного уравнения возбуждения объемных резонаторов A.61), либо с помощью балансов активных и реактивных мощностей B.37), B.38) [1]. Именно последний метод и используется в данном случае в расчетах. Проанализируем процесс самовозбуждения магнетронного генера- генератора в соответствии с результатами численного моделирования. В на- начальный момент времени, когда электронов в пространстве взаимодей- взаимодействия нет, энергия колебания W имеет некоторое весьма малое началь- начальное значение. Величину W удобно представить в виде U8 = \C8\, (8.16)
Пространственный заряд в скрещенных полях 255 /la а О 20 40 60 80 100 200 300 5 0 20 40 60 80 100 200 300 500 700 Рис. 8.6. Характеристики колебаний в зависимости от времени в режиме установления колебаний в магнетронном генераторе где Сs — комплексная амплитуда сверхвысокочастотного «напряже- «напряжения» данного колебания, a F — коэффициент формы, имеющий раз- размерность емкости. Последний можно связать с нормой данного резо- резонансного колебания. Предгенерационный режим характеризуется образованием элек- электронного облака. В это время поле пространственного заряда мало и не ограничивает тока эмиссии. С ростом пространственного заря- заряда вылет эмиттируемых электронов уменьшается, и катод переходит в режим ограничения тока пространственным зарядом. На рис. 8.6а показаны соответствующие зависимости характеристик колебаний от времени. Из него видно, что в начале происходит лавинообразный рост тока Ik электронов, возвращающихся на катод и вторично-эмиссион- вторично-эмиссионного тока Is. Величина суммарного объемного заряда qs в межэлек- межэлектродном пространстве также быстро нарастает. Затем при переходе в режим ограничения тока эмиссии пространственным зарядом (этот момент можно определить по положению максимума Is) токи Is и /& уменьшаются и достигают некоторого равновесного значения, при ко- котором Is « Ik ~ const. Состояние равновесия продлевается до момен-
256 Лекция 8 та времени, когда появляется анодный ток /а. Снижение вторично- эмиссионного тока приводит к некоторому уменьшению величины \qs . Если не происходит разрушение облака пространственного заряда при больших энергиях W, то в дальнейшем величина \qs\ может считать- считаться постоянной. Тогда, пренебрегая током термоэмиссии по сравнению с током вторичной эмиссии 1), можно записать /««/* + 4, так что коэффициент вторичной эмиссии as = ^*l + ^. (8.17) До появления анодного тока активная Ра и реактивная Рг элек- электронные мощности взаимодействия (рис. 8.66) колеблются около ну- нуля, так как электроны еще далеки от анода и электронное облако не сгруппировано. В балансе активных мощностей B.37) Ра не может скомпенсировать потерь и энергия колебания W падает. В это же время формируются электронные спицы. После появления конвекционного тока на анод /а наблюдается быстрый рост мощностей Ра и Рг. Если начальное значение U8(t = 0) меньше некоторого порогового значения, то спица не образуется, генерация не возникает и колебания затухают (см. на рис. 8.6а ветвь кривой Us(t), отмеченную кружками). Для возбуждения генерации в этом случае необходимо кратковремен- кратковременное повышение величины постоянного анодного потенциала Ua на 10— 15 % в течение нескольких циклотронных периодов (момент повышения напряжения отмечен стрелкой на кривой Us(t)). С повышением анодно- анодного напряжения увеличивается эффективность взаимодействия электро- электронов с волной, что и приводит к самовозбуждению. Реальный магнетрон, благодаря наличию паразитных колебаний (в численном эксперименте рассматривается одноволновое приближение), самовозбуждается и при постоянном Ua. Однако возможно ли этим объяснить самовозбуждение генератора при сколь угодно малой начальной амплитуде ?А?@), неиз- неизвестно. В момент касания спицы пространственного заряда анода (t = to) (и соответственно появления анодного тока) предгенерационный режим можно считать завершенным, и начинается установление режима гене- генерации. В стационарном режиме постоянное значение энергии колебаний определяется соотношением 2oj"W = Pa B.37). С появлением анодного тока при t = to мощность Ра и амплиту- амплитуда Us начинают экспоненциально нарастать. В начале предгенерацион- ного режима активная мощность Ра в большинстве случаев несколь- несколько превышает величину реактивной мощности Рг, но в дальнейшем х) Это справедливо для многих типов катодов: платиновых, оксидно- торриевых и др.
Пространственный заряд в скрещенных полях 257 У 0,8 0,4 0,0 У 0,8 0,4 0,0 У 0,8 0,4 0,0 / "¦¦% у ¦ Г Э t = 2 -=?Т1 ¦.. ¦. L Л'"Г-=— /V", 1 = 4 "' J" V .. -к/2 я/2 -те/2 ж/2 Рис. 8.7. Процесс формирования спицы пространственного заряда реактивная мощность нарастает быстрее активной. Качественно это можно объяснить тем, что небольшие смещения спицы относительно максимума тормозящего поля слабо влияют на величину активной мощ- мощности взаимодействия и значительно сильнее — на величину реактивной мощности взаимодействия, которая растет в результате быстрее Ра. Та- Таким образом, опережающий рост реактивной мощности взаимодействия означает увеличение разности фаз между током электронов и сверхвы- сверхвысокочастотным полем, т. е. отставание электронной спицы от пучности продольного тормозящего поля. Вследствие этого постепенно ухудша- ухудшаются условия передачи энергии от электронов к полю, и амплитуда поля достигает стационарного значения. Эти явления обусловлены силами пространственного заряда, которые ограничивают плотность заряда в спицах, анодный ток и генерируемую мощность. Рассмотрим теперь непосредственно пространственно-временную динамику электронного потока. Рис. 8.7 демонстрирует процесс фор- формирования спицы. На нем показаны распределения электронов в про- пространстве взаимодействия в последовательные моменты времени. Рас- Распределения получены в результате наших расчетов с помощью мате- математической модели, близкой к модели Л.А.Вайнштейна и А.С. Рошаля. Из рисунка видно, как постоянно эмиттируемые катодом электроны по- постепенно отклоняются от прямолинейного движения. Рост амплитуды высокочастотной волны приводит к их группировке и началу цикло- циклоидального движения. Электроны, попавшие в неблагоприятную фазу высокочастотного поля, возвращаются обратно на катод, а находящиеся Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
258 Лекция 8 12 0 106К в благоприятной фазе формируют спицу пространственного заряда, которая с течением времени начинает деформироваться. Рис. 8.8 демонстрирует изменение температуры облака объемного заряда в ходе самовозбуждения цилиндрического магнетрона. В начале переходного процесса амплитуда колебаний мала, и сильно нагретый край облака не достигает анода. Температура облака на границе мо- может достигать 2 • 107 К (рис. 8.8, кривые 1, 2). С ростом амплитуды синхронной волны и появлени- появлением анодного тока горячий край облака поглощается анодом, по- поток в среднем охлаждается (кри- (кривые 3-5) и распределение тем- температуры становится более рав- равномерным. Время перехода по- потока от состояния, описываемо- описываемого кривой 1, к состоянию 5 со- составляет в представленном слу- случае 400 циклотронных периодов. Заметим, что продолжитель- продолжительность предгенерационного ре- 12 24 36 У Рис. 8.8. Изменение электронной тем- температуры в процессе установления ко- колебаний в магнетронном генераторе (Тг <Т2< ... < Тъ) жима определяется в основном эмиссионными свойствами като- катода, уровнем начальной амплиту- амплитуды и затуханием резонансного колебания в резонаторе. Длительность предгенерационного режима для трехсантиметрового магнетрона с пла- платиновым катодом составляла около 25-60 циклотронных периодов. Вре- Время установления генерации, как показывает численный эксперимент, определяется только затуханием. Необходимо также заметить, что все электронные процессы в маг- магнетронном генераторе характеризуются сильными нерегулярными ко- колебаниями соответствующих характеристик. На рисунках это не пока- показано, так как зависимости предварительно усреднялись по некоторому интервалу времени. Вышеописанная картина относится к одному из возможных способов генерации и, как отмечается в [1], скорее всего, фактически не реали- реализуется. Дело в том, что «затравочное» поле с энергией VK(O), которое группирует электроны и приводит к самовозбуждению, обычно вызы- вызывается тепловыми флуктуациями в объемном резонаторе; заполнение части резонатора кипящим электронным облаком сильно увеличивает эти колебания и таким образом облегчает самовозбуждение. Вместе с тем, дальнейший процесс установления режима развитой генерации не зависит (или очень слабо зависит) от деталей, относящихся к пред- генерационному режиму. Поэтому результаты, относящиеся к режиму установления, имеют существенно большее значение.
Пространственный заряд в скрещенных полях 259 Перейдем теперь к анализу стационарного режима генерации. Как уже понятно из вышесказанного, о стационарном режиме можно гово- говорить лишь в смысле теории случайных процессов, т. е. как о процессе, у которого математическое ожидание и корреляционная функция не зависят от начала отсчета времени. Это связано с тем, что анодный ток и другие характеристики не стремятся в процессе установления режима генерации к постоянным значениям, а испытывают нерегулярные коле- колебания около средних значений. Режим генерации в магнетроне — намного лучше изученный про- процесс, чем процесс возбуждения. Электронное облако в генерирую- генерирующем магнетроне принимает форму вращающегося колеса. Прикатод- ная часть образует втулку колеса. От втулки к аноду тянутся спи- спицы облака — это электронные структуры, сгруппированные благода- благодаря механизму автофазировки в области максимального торможения тангенциального поля. Взаимодей- Взаимодействуя с этим полем, электроны пере- передают ему свою энергию и тем самым поддерживают генерацию. Рассмотрим некоторые результа- результаты моделирования магнетрона трех- трехсантиметрового диапазона в режи- режиме ограничения тока пространствен- пространственным зарядом [1]. На рис. 8.9 по- показаны средние значения некото- некоторых физических величин в режиме стационарной генерации как функ- функции Us (Ua = const). Кривая нагру- нагруженной добротности Qs рассчитана для плоского магнетрона, остальные кривые — для цилиндрического. Ре- Результаты расчетов для плоского и ци- цилиндрического магнетрона в режи- режиме генерации качественно подобны. Из рисунка видно, что кривая Qs = = QS(US) имеет две ветви, и одной la 120 100 80 60 40 20 Qs 700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 1 la l\ i i j \ // 1 1 1 1 Qs 7 - - i Че 0,8 0,6 0,4 0 100 300 500 Us Рис. 8.9. Средние значения нагру- нагруженной добротности Qs в плос- плоском магнетроне, к.п.д. г\е и анод- анодного тока /а в цилиндрическом магнетроне при постоянном анод- анодном напряжении в режиме разви- развитой генерации и той же добротности соответствуют два значения Us. Физически оче- очевидно, что устойчивой является ветвь, на которой с уменьшением потерь (с увеличением Qs) амплитуда Us возрастает, т. е. ди„ диа dQs > 0. Следовательно, на левой ветви с меньшими величинами Us расположе- расположены неустойчивые точки, а на правой ветви с большими значениями — устойчивые.
260 Лекция 8 1,0 0,5 V / ~Al—y—"^ — r* =¦ .T — — ]- " ,-^—*^. Ге>1°6к 7g «^ — —¦—._, s "*" I i I 0 12 24 36 Рис. 8.10. Электронные скорости и температуры в цилиндрическом магне- магнетроне в развитом режиме генерации Анодный ток /а с ростом амплитуды волны быстро нарастает, и в какой-то момент катод прибора переходит в режим термоэмиссии. Перед этим наблюдается более быстрый рост анодного тока, а затем анодный ток резко падает, так как в рассматриваемом магнетроне теп- тепловая эмиссия мала для поддержания анодного тока. Переход в режим термоэмиссии является следствием того, что электронное облако нес- несколько удаляется от катода, механизм вторично-эмиссионного воспол- восполнения электронов нарушается и развивается лавинообразный распад облака пространственного заряда. Зависимость электронного к.п.д. г\е — Ра/I&V& от амплитуды U8 также приведена на рис. 8.9. Максимум к.п.д. соответствует наиболее благоприятному расположению спицы относительно максимума напря- напряженности тормозящего поля синхронной волны. При конструировании магнетронов обычно известным параметром является не амплитуда колебаний, а нагруженная добротность. В этом случае по кривой Qs на рис. 8.9 можно найти амплитуду Us, которая установится в исследуемом магнетроне при заданной добротности Qs, а затем по найденной величине Us исходя из остальных кривых, опре- определить остальные параметры. На рис. 8.10 изображены типичные зависимости средних нормальной, тангенциальной и электронной скоростей, а также соответ- соответствующих электронных температур в генерирующем цилиндрическом магнетроне. При этом скорости нормированы на величину уф = -г, (8.18) р т. е. на фазовую скорость синхронной волны при данном г. Здесь р — количество пар резонаторов анодного блока. Как видно из рисунка, с приближением к аноду нормальная скорость движения (vn) монотонно возрастает. Зависимость (vT) оказывается
Пространственный заряд в скрещенных полях 261 более сложной. С удалением от катода тангенциальная скорость по- постепенно (медленнее, чем по линейному закону) возрастает и достигает максимума. При этом электроны движутся в среднем быстрее волны. Ближе к аноду, благодаря взаимодействию с вращающейся синхронной волной, поток в среднем снова замедляется и выпадает из синхронизма, так как вблизи анода быстрые электроны скорее уходят из простран- пространства взаимодействия. Точный синхронизм имеет место только при двух значениях координаты у. Как следует из расчетов, скорость (vT) хорошо аппроксимируется выражением 2-а VT = — ¦ . У/Упг +Ут - CL U9) Коэффициенты е, а, ут слабо зависят от межэлектродного расстояния. Согласно выражению (8.19) vT имеет максимум ?Уф при у = ут. Обыч- Обычно ? = 1,1 Ч- 1,3, а = 0,5 -г- 0,7, ут близко к половине межэлектродного расстояния. На рис. 8.10 изображены зависимости при ? = 1,25, а = = 0,6, ут = 23. Синхронизм потока и волны (vT = Уф) в соответствии с выражением (8.19) достигается при У = Ут \?i ± ?\ = ? + а- 1-е ?. 17 16 15 14 ЦкВ - i i i i Распределение электронной температуры Те зависит от геометриче- геометрических и электрических параметров пространства взаимодействия, а так- также характеристик эмиттера. Во многих случаях температура монотон- монотонно нарастает в направлении от катода к аноду, причем вблизи анода имеется область более быстрого ро- роста Те. В других случаях максимум температуры достигается внутри об- облака. Очевидно, что максимум тем- температуры соответствует тем частям облака, где движение электронов наи- наиболее нерегулярно. Обычно величи- величина Те в генерирующем магнетроне со- составляет несколько миллионов граду- градусов. Представляет большой интерес сравнение результатов численных расчетов с данными натурных экс- экспериментов. На рис. 8.11 изображе- изображены вольтамперные характеристики плоского магнетрона, построенные по результатам численного моделирования. Кружками на рисунке отмече- отмечены соответствующие экспериментальные данные. Хорошее совпадение 0 12 24 36 Рис. 8.11. Вольтампетрные ха- характеристики плоского магне- магнетрона. Здесь кривая 1 соответ- соответствует Qs = 150, 2 - Qs = 200, 3 - Qs = 250, 4 - Qs = 300. Кружки соответствуют экспери- экспериментальным данным
262 Лекция 8 служит подтверждением адекватности и достоверности полученных численных результатов. В работах [19, 20] описываются результаты компьютерного моде- моделирования процесса автомодуляции пространственного заряда. Каче- Качественно этот процесс можно описать следующим образом. Наложенное на однородный статический электронный поток высокочастотное поле резонаторной системы сначала приводит к образованию выпуклости, на которую постепенно накручиваются новые слои электронов, обра- образуя локальную вращающуюся втулку. Когда верхние слои этой втулки поднимаются достаточно близко к аноду, они под действием высокоча- высокочастотного поля резонаторной системы отрываются от локальной втулки и постепенно в виде сгустков импульсами оседают на аноде. После оседа- оседания сгустка локальная втулка постепенно восстанавливается и описан- описанный процесс повторяется вновь. Нерегулярность этого процесса связана с тем, что время образования локальной втулки не связано со временем прохождения втулки от одной щели до другой. Поэтому процесс отрыва порций заряда от локальной втулки каждый раз начинается при новом исходном состоянии втулки. Вследствие этого от втулки каждый раз отрываются разные порции заряда. Такая хаотическая автомодуляция также является одной из причин возникновения высокого шумового пьедестала в частотном спектре сигнала, генерируемого магнетроном. Сложная динамика пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями Сложная хаотическая динамика в усилителе со скрещенными поля- полями (амплитроне) определяется возникающей обратной связью между входом и выходом прибора [21]. Как уже говорилось в предыдущей лекции в параграфах, посвященных амплитрону и карматрону, при слабом входном сигнале амплитрон генерирует шумоподобный сигнал, который не зависит от входного. При подаче значительного входного сигнала в пространстве взаимодействия формируются спицы, и уста- устанавливается режим усиления, при котором выходной сигнал «воспро- «воспроизводит» входной сигнал. Однако при возникновении связи между входом и выходом амплитрона может наблюдаться сильное искажение выходного сигнала, которое, в первую очередь, проявляется в появле- появлении флуктуации ВЧ-напряжения, ВЧ-фазы, анодного тока и других характеристик около средних значений. Такая обратная связь возни- возникает за счет вращения спиц пространственного заряда в пространстве взаимодействия от выхода к входу усилителя, поэтому флуктуации на выходе прибора переносятся на его вход, становясь начальными усло- условиями. Такой механизм, по-видимому, является основным механизмом возникновения избыточного шума в усилителе со скрещенными полями. Рассмотрим, следуя работе [21], более подробно механизм возникно- возникновения хаотической динамики в амплитроне. В работе [21] рассматрива-
Пространственный заряд в скрещенных полях 263 ется гидродинамическая модель динамики электронного потока в при- приближении ведущего центра. Исследуется модель амплитрона с плос- плоским пространством взаимодействия. Предполагается, что имеет место вза- взаимодействие только с одним видом ко- колебаний резонансной системы (одномо- довое приближение). В последнем слу- случае описание динамики системы мож- можно провести, используя только медленно меняющиеся величины амплитуды V\ и фазы <р высокочастотного поля, а так- также плотность пространственного заря- заряда по во втулке спицы (см. рис. 8.12). При этом форма и высота d втулки спи- спицы считаются постоянными вдоль про- пространства взаимодействия, а величи- величина по считается постоянной по сечению спицы, но медленно меняющейся вдоль пространства взаимодействия. Величи- Величина плотности заряда втулки по опреде- определяется соотношением между процесса- процессами вторичной эмиссии с катода и пе- перехода электронов из вершины втулки в область спицы. Движение электронов, формирующих спицы, складывается из дрейфового движения, которое проис- происходит вдоль эквипотенциалей синхрон- синхронной волны, и орбитального вращения с частотой оос. Учитывая, что движение ведущих центров подобно движению несжимаемой жидкости (см. со- соотношение G.23)), можно использовать гидродинамические уравнения для описания движения ведущих центров. Использование медленно меняющихся амплитуды и фазы ВЧ-волны позволяет исследовать сложную динамику в амплитроне только в узкой полосе частот. Например, сдвиг фаз Aip при одном прохождении сигна- сигнала через пространство взаимодействия, деленный на длину простран- пространства взаимодействия /, определяет нелинейный сдвиг волнового числа 5C от значения /?о, соответствующего рабочей частоте uj$ в отсутствии электронного пучка. При следующем прохождении сигнала через про- пространство взаимодействия снова наблюдается сдвиг 5/3 и т. д. Поэтому для понимания сложной динамики в усилителе на скрещенных полях, обусловленной обратной связью между входом и выходом лампы, необ- необходим анализ величин флуктуации выходных характеристик от одного прохождения сигнала лампы к другому. Основными управляющими О Рис. 8.12. Схема спицы, ис- используемая в гидродинамиче- гидродинамической модели динамики элек- электронного потока в скрещен- скрещенных полях. Здесь D — расстоя- расстояние «катод—анод», d — ширина втулки спицы, определяющей область, из которой эмитти- руемые электроны возвраща- возвращаются на катод; сплошные ли- линии — эквипотенциали поля синхронной волны в подвиж- подвижной системе координат (ср. с рис. 7.3 и 7.4)
264 Лекция 8 «О 20 40 60 80 N 6 0 20 40 60 80 г 0 20 40 60 80 N Рис. 8.13. Зависимость анодного тока от числа прохождений сигнала через пространство взаимодействия для увеличивающихся значений коэффициен- коэффициента вторичной эмиссии aso (из работы [21]) параметрами, от которых зависит динамика системы, в этом случае являются коэффициент вторичной эмиссии as, зависящий от материала катода, и часть заряда An, несколько раз проходящая через простран- пространство взаимодействия. Величина as определяется энергией электронов ?i, бомбадирующих катод, в соответствии с полуэмпирической форму- формулой ?г as — ехр 1 - (8.20) где aso — максимальное значение коэффициента эмиссии при ударе о катод электрона с максимальной энергией ?т. На рис. 8.13 показаны результаты расчета зависимости анодного тока 1а прибора от числа прохождений N сигнала через простран- пространство взаимодействия при фиксированном значении величины An = 2/3 и различных величинах crso- Из рисунка видно, что с увеличением мак- максимального коэффициента вторичной эмиссии система демонстрирует последовательность переходов от стационарного состояния к периоди- периодическим колебательным режимам и далее к развитому хаотическому поведению. При (jsq = 2,25 после нескольких первых прохождений лампы в си- системе устанавливается стационарное состояние (рис. 8.13а), характе- характеризуемое очень малыми флуктуациями выходных характеристик. При
Пространственный заряд в скрещенных полях 265 Рис. 8.14. Зависимость плотности пространственного заряда по от продоль- продольной координаты ж/А (Л — длина волны, распространяющейся в линии пе- передачи) для одного прохождения в режимах стационарного состояния (а) (aso = 2,25) и хаотической динамики (б) (aso = 3,5) (из работы [21]) увеличении максимального коэффициента вторичной эмиссии до ве- величины aso = 2,40 происходит потеря устойчивости стационарного со- состояния. Из рис. 8.13?; с видно, что в системе устанавливаются пери- периодические движения различных периодов. На рис. 8.13^, построенном при aso = 2,40, показан цикл периода 2, на рис. 8.13с — цикл периода 10 (crso = 2,50). И, наконец, при достижении значения aso = 3,50 поведение становится хаотическим (рис. 8.13г). Таким образом наличие внутренней обратной связи в усилителе со скрещенными полями приводит к разрушению стационарных режимов, и при превышении некоторых критических значений параметров An и aso происходит возникновение сначала периодических, а затем и ха- хаотических режимов. При этом для данного значения An существует максимальное значение коэффициента эмиссии, выше которого стаци- стационарные состояния теряют устойчивость. Аналогично, существует мак- максимальная величина An при фиксированном aso. Это свидетельствует, что основная причина потери устойчивости и возникновения слож- сложной динамики в усилителе связана с ростом величины накопленного в пространстве взаимодействия заряда. Последнее способствует росту влияния обратной связи. Заметим, что численное моделирование по- показало сильную связь между флуктуациями выходных характеристик усилителя за одно прохождение длины лампы и появлением больших изменений плотности заряда в пространстве взаимодействия. На рис. 8.14 показаны зависимости плотности заряда в спице по от длины пространства взаимодействия в течение одного прохода для ре- режима стационарных и хаотических колебаний. Зависимость плотности от длины лампы меняется от гладкой кривой в стационарном режиме до все более колебательной в хаотических режимах. Усложнение вида зависимости по(х) делает динамику системы более чувствительной к начальным условиям на входе усилителя, которые задаются вели- величиной An, характеризующей внутреннюю обратную связь. Величина
266 Лекция 8 плотности пространственного заряда по влияет на два основных па- параметра, характеризующих работу лампы: анодный ток и вторичную эмиссию. Ширина спицы определяется отклонением скорости дрейфа электронов от фазовой скорости волны (см. рис. 7.5). Поэтому любые изменения пространственного заряда или электрического поля, приво- приводящие к вариации дрейфовой скорости, влияют на анодный ток. Ко- Коэффициент вторичной эмиссии определяется энергией столкновения, которая, в свою очередь, зависит от величины как ВЧ-поля, так и посто- постоянного поля на катоде. Взаимодействие между этими двумя факторами приводит к сильным колебаниям величины по в том случае, когда плотность заряда приближается к величине критической плотности рс, а величина коэффициента вторичной эмиссии стремится к нулю. Таким образом, основным механизмом возникновения сложной нелинейной динамики в усилителе со скрещенными полями является формирование внутренней обратной связи, связанной с неоднократным прохождением некоторой части пространственного заряда через пространство взаимодействия. Заметим, что изложенные результаты работы [21] получены с помощью модели, которая не учитывает целый ряд важных факторов, например, многомодовую конкуренцию в резонансной системе и взаимодействие спиц. Однако, именно изложенный механизм хаотизации динамики пространственного заряда в амплитроне наиболее существенен, поэтому учет вышеназваных факторов может лишь уточнить приведенную картину усложнения колебаний. Список литературы 1. Вайнштейн Л.А., Рошаль А.С. Пространственный заряд в скре- скрещенных полях // Лекции по электронике СВЧ B-я зимняя школа- семинар инженеров; книга III). Саратов: Изд-во СГУ, 1972, С. 2. 2. Lemke R.W., Genoni Т.С, Spencer Т.A. Three dimesional particle- in-cell simulation study of a relativistic magnetron // Physics of Plasmas. 1999. V. 6, № 2. P. 603. 3. Kypaee А.А., Байбурин В.Б., Ильин Е.М. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов. — Мн.: Наука и техника, 1990. 4. Байбурин В.Б., Терентьев А.А., Сысуев А.А., Шуколюков А.Н., Еремин В.П. Анализ процессов в магнетронах ММ-диапазона с помощью численной многоволновой модели // Материалы между- международной научно-технической конференции «Актуальные пробле-
Пространственный заряд в скрещенных полях 267 мы электронного приборостроения», 7-9 сентября 1998 г., Саратов, Россия. Саратов: изд.-во СГТУ, 1998. 5. Брауде С. Я. Движение электрона в электрическом и магнитном поле с учетом пространственного заряда // ЖЭТФ. 1935. Т. 5, № 7. С. 621. 6. Брауде С.Я. К вопросу о действии магнитного поля на простран- пространственный заряд в плоском и цилиндрическом диодах // ЖТФ. 1940. Т. 10, №3. С. 216. 7. Гринберг Г.А., Болъкенштейн Б. С. Влияние однородного магнит- магнитного поля на движение электронов между коаксиальными цилин- цилиндрическими электродами // ЖТФ. 1938. Т. 8, № 1. С. 9. 8. Гринберг ГА. Избранные вопросы математической теории элек- электрических и магнитных явлений. — М.: Изд-во АН СССР, 1948. 9. Теория магнетрона (по Бриллюэну). Сборник переводов. — М.: Сов. радио, 1946. 10. Бипетап Ov Yu S.P., Koyers G.P. Time-dependent Computer Analysis of Electron-Wave Interaction in Crossed Fields // Journal of Appl.Phys. 1965. V. 35, № 8. P. 2550. 11. Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирова- моделирование. — М.: Атомиздат, 1985. 12. Sproull R.L II Journal of Appl. Phys. 1947. V. 18, № 3. P. 314. 13. Кандыбей Б.Г, Некрасов Л.Г, Смирнов А.Б., Усыченко Б.Г // Электронная техника. Серия I. Электроника СВЧ. 1983. Вып. 11. Сб. 14. Смирнов А.Б., Усыченко Б.Г Возникновение хаоса и избыточ- избыточного шума в магнетроне // Радиотехника и электроника. 1988. Т. XXXIII, №4. С. 883. 15. Тычинский Б.П., Деркач ЮЛ. Колебания облака пространствен- пространственного заряда в цилиндрическом магнетроне // Радиотехника и элек- электроника. 1956. Т. 1, № 2. С. 231. 16. Кадомцев Б.Б. Неустойчивость электронного облака в магне- магнетроне // ЖТФ. 1959. Т. 29, № 7. С. 833. 17. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984. 18. Birdsall С, Bridges W. Electron Dynamics in Diode Regions. — NY: Academic Press, 1966.
268 Лекция 8 19. Моносов Г.Г. Исследование электромагнитных шумов в магне- магнетроне с помощью двумерного компьютерного моделирования // Материалы международной межвузовской конференции «Совре- «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ". Саратов, 20- 24 марта 2001. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж", 2001. С. 114. 20. Monossov H.G. The two-dimensional mathematical model of electron enteraction with UHF field in a magnetron and high-voltage UHF oscillations breakdowns // Proceedings of International University Conference «Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies". St. Petersburg, Russia. May 24-28, 1999. P. 97. 21. Riyopoulos S.A. Feedback-induced noise in crossed field devices // IEEE Trans, on Plasma Sci. 1992. V. 20, № 3. P. 360.
Лекция 9 ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА С БЕГУЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНОЙ Приборы СВЧ, в которых эффект усиления или генерации основан на взаимодействии электрон- электронного потока с замедленной волной, нашли широ- широкое применение в системах связи, радиолокации и многих других областях науки и техники. A.M. Кац, Е.М. Ильина, И.А. Мань- кип. Нелинейные явления в СВЧ-при- борах О-типа с длительным взаимо- взаимодействием История изобретения Рудольфом Компфнером лампы бегущей волны. Роль Джона Пирса. Анализ взаимодействия электронного потока с бегущей прямой электромагнитной волной на основе метода последо- последовательных приближений. Квадратичная группировка. Качественное описание процесса группирования электронов в бегущей волне. Прин- Принципы подобия для приборов с длительным взаимодействием (нереля- (нерелятивистские и ультрарелятивистские пучки). Рассмотренные в предыдущих лекциях сверхвысокочастотные устройства являются принципиально узкополосными, так как используемые в них резонансные контуры (объемные резонаторы) позволяют получать усиление лишь в очень узкой полосе частот (около 1% относительно основной частоты). Если мы рассматриваем соот- соответствующие генераторы, то ширина полосы генерируемого сигнала и диапазон электронной перестройки частоты также малы. Поэтому для реализации СВЧ-приборов с широкой рабочей полосой необходимо отказаться от принципа обмена энергии между электронным потоком и переменным электрическим полем, локализованном в «коротком» зазоре высокодобротного резонатора, и заменить такую узкополосную колебательную систему колебательной системой нерезонансного типа. Такая колебательная система {замедляющая система) представляет собой широкополосную электродинамическую структуру, способную
270 Лекция 9 уменьшить фазовую скорость электромагнитной волны по сравнению со скоростью света. Для нарастания амплитуды гармонической волны в пространстве под действием внешней волны необходимо совпадение их волновых чисел, т.е. в этом случае должен иметь место пространственный резо- резонанс (резонанс волновых чисел) [1]. На самом деле, необходим резонанс и частот, и волновых чисел, что выражается в равенстве фазовой ско- скорости собственной волны в среде фазовой скорости внешней волны. Это условие обычно называют условием синхронизма волн. Применительно к электронике СВЧ это означает, что необходимо транспортировать электронный пучок вдоль замедляющей системы, и если скорость замедленной электромагнитной волны примерно равна скорости электронов (условие синхронизма), то возможно кумулятив- кумулятивное длительное взаимодействие между электронной волной и волной в волноведущей структуре. Данная идея — взаимодействие электронного потока с замедлен- замедленной электромагнитной волной (как уже отмечалось в лекции 1) ле- лежит в основе большой группы усилителей и генераторов, в которых используются нерезонансные колебательные системы. Наиболее широ- широко применяемыми и, даже можно сказать, классическими приборами с длительным взаимодействием являются лампа бегущей волны (ЛБВ) и лампа обратной волны (ЛОВ). В лекциях 9-11 рассматривается лампа бегущей волны, в лекциях 12-13 — лампа обратной волны. Основное различие этих двух устройств состоит в направлении потока мощности в линии передачи. Если фазовая скорость волны и в том и другом случае совпадает с направлением движения пучка, то поток мощности (групповая скорость) в соответствии с разложением поля в ряд про- пространственных гармоник (см. лекцию 1, формулы A.86) и A.87)) может быть направлен как в направлении движения пучка, так и против. Первый случай соответствует взаимодействию с прямой волной (ЛБВ), второй случай — взаимодействию с обратной волной (ЛОВ). Пусть имеет место выполнение условия синхронизма при взаимодей- взаимодействии с прямой волной (рис. 9.1а). Тогда, если вблизи источника элек- электронов вводить в линию передачи сигнал, то он приведет к модуляции скорости электронов и последующей группировке, т. е. созданию в пучке ВЧ-тока, который наводит в линии передачи ВЧ-поле. В результате происходит сложение наведенного поля Енав с входным сигналом Е°. Таким образом вдоль длины пространства взаимодействия происходит усиление входного сигнала. Рассмотрим в соответствии с рис. 9.1? устройство лампы бегущей волны — усилителя. Она состоит из следующих основных частей: элек- электронной пушки, входного устройства, усилительной секции, состоящей из замедляющей системы, с продольной составляющей электрического поля которой взаимодействует электронный поток, выходного устрой- устройства и коллектора, на котором оседает электронный пучок. Фокусиров-
Лампы бегущей волны 271 Электронная / пушка rj/T: Г: п 7. у: 7 \ у: у; z ^ Электронный пучок З Замедляющая т. система Коллектор \ Электронный пучок ВЧ-вход ВЧ-выход Рис. 9.1. Схема лампы бегущей волны со спиральной замедляющей системой ка электронного пучка обычно осуществляется либо постоянным либо периодическим магнитным полем. В качестве замедляющей системы используются либо спирали, либо замедляющие системы типа цепочек связанных резонаторов (ЦСР) или их модификации (ЛБВ с ЦСР будет посвя- посвящена отдельная Лекция 11). Что касается спиральной замедляю- замедляющей системы, то она объединяет свойст- свойство малой дисперсии (см. рис. 9.2) с боль- большим сопротивлением связи (см. Лек- Лекцию 1), что позволяет добиться большо- большого усиления в широкой полосе частот [2]. Для прямых волн слабая дисперсия имеет место, когда групповая и фазовая скорости волны близки. С увеличением групповой скорости vrp увеличивается поток мощности Р, проходящий через систему, что приводит к уменьшению сопротивления связи К = Рис. 9.2. Дисперсионная ха- характеристика спиральной за- замедляющей системы. Диапа- Диапазон длин волн Л G (Ai,A2) соответствует области слабой дисперсии, где г>ф(А) ~ const 20$ Р' где Ех — продольная составляющая электрического поля замедленной волны в области пучка; /3 = ojo/уф; Уф = vo. Поскольку Р = vrpW, то для обеспечения в широкополосных замедляющих системах требуемой
272 Лекция 9 величины сопротивления связи К нужно по возможности уменьшить запасенную в них энергию W (например, уменьшая объем, занимаемый полем вне пучка). Спираль при распространении в ней прямой волны в полной мере удовлетворяет этому требованию. Все результаты, кото- которые представлены в этой и в следующей лекциях, будут относиться, если не оговаривается особо, к ЛБВ со спиральной замедляющей системой. Существенной чертой усилителя бегущей волны, отличающей его от выше рассмотренных приборов типа клистрона и магнетрона, является то, что электронный поток, сгруппировавшись, отдает свою энергию электромагнитному полю на большой длине пространства взаимодей- взаимодействия при относительно малой амплитуде поля. История изобретения Рудольфом Компфнером лампы бегущей волны. Роль Джона Пирса Нет сомнения, что первый усилитель с бегущей волной разработал Рудольф Компфнер в 1942-1943 гг., так же как нет сомнения в том, что к моменту создания лампы он глубоко понимал особенности взаимодей- взаимодействия электронного потока с замедл