РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ
ЕМЛЯНЫХ ОТКОСОВ и
БЕТОННЫХ ПЛОТИН НА
НЕСКААЬНОМ ОСНОВАНИИ
ПО МЕТОДУ
КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
ОБРУШЕНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ
ПО ЭНЕРГЕТИКЕ И ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ СССР
ВСЕСОЮЗНЫЙ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ГИДРОТЕХНИКИ
имени Б. Е. ВЕДЕНЕЕВА
Р. Р. Чугаев
РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ЗЕМЛЯНЫХ ОТКОСОВ
И БЕТОННЫХ ПЛОТИН
НА НЕСКАЛЬНОМ ОСНОВАНИИ
ПО МЕТОДУ КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ОБРУШЕНИЯ
О
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА	1 9 6 3	ЛЕНИНГРАД
В данной работе приводится критический анализ известных способов расчета
устойчивости откоса, относящихся к случаю однородного, сухого, связного грун-
та. В результате такого анализа предлагается и обосновывается простой способ
определения величины сил трения, действующих по заданной круглоцилиндриче-
ской поверхности обрушения, легко позволяющий учитывать неоднородность грун-
та, влияние фильтрационных сил на устойчивость откоса и т. п.
Дополнительно в работе обосновывается предложенное ранее Р. Р. Чугае-
вым общее выражение для коэффициента запаса устойчивости заданного отсека
обрушения, ограниченного снизу круглоцилиндрической поверхностью, причем
указывается путь назначения численных значений для допустимой величины
коэффициента запаса.
В заключение поясняется и обосновывается практически удобный прием уче-
та фильтрационных сил как в случае земляных откосов, так и в случае бе-
тонных плотин, устойчивость которых рассчитывается по методу круглоцилии-
лричсских поверхностей.
В конце работы поясняется техника расчета устойчивости откосов по пред-
лагаемому способу.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная работа выполнялась в Отделе грунтов и оснований
ВНИИГ имени Б. Е. Веденеева, в связи с подготовкой материала,
необходимого для составления соответствующего нормативного до-
кумента по расчету устойчивости земляных откосов.
Следует отметить, что в настоящее время в литературе отра-
жен обширный материал, касающийся вопросов расчета устойчи-
вости земляных откосов по методу круглоцилиндрических поверх-
ностей обрушения. Отдельные новые работы по данному вопросу
продолжают публиковаться. Вместе с тем, как мы себе представ-
ляем, в современной литературе отсутствует все же достаточно стро-
гое, ясное и систематическое изложение теории расчета устойчи-
вости земляных откосов по методу круглоцилиндрических поверх-
ностей обрушения. Это последнее обстоятельство и обусловило не-
обходимость исследований, изложенных в настоящей работе.
В итоге предлагаемой работы обосновывается новый практи-
ческий способ расчета («способ весового давления»), являющийся
более точным, чем известный способ расчета К. Терцаги, и вместе
с тем более простым, чем способы К- Терцаги и Г. Крея. Дополни-
тельно в работе более подробно поясняется метод учета фильтра-
ционных сил, освещенный в печати автором еще в 1941 г. [Л. 27];
также в работе излагается рациональный способ расчета устойчи-
вости бетонных плотин на нескальном основании по методу кругло-
цилиндрических поверхностей. В заключение работы поясняется
техника расчета откосов по предлагаемому способу расчета.
В процессе составления данной работы автор ее ознакомился
(в августе 1962 г.) с техническим отчетом, составленным в Инсти-
туте ВОДГЕО И. В. Федоровым; этот отчет в настоящее время
опубликован в книге [Л. 26], вышедшей в свет уже после состав-
ления текста излагаемой ниже работы.
При выполнении данной работы большая помощь автору была
оказана инж. Г. А. Чугаевой, которой были проведены иссле-
дования некоторых отдельных вопросов, вошедших в предлагае-
мую работу, а также построены соответствующие графики, состав-
лены чертежи к работе и т. п.
Просьба ко всем организациям и лицам присылать свои заме-
чания в отношении предлагаемой брошюры по следующему адресу:
Ленинград, К-64, Гжатская 21, Всесоюзный научно-исследователь-
ский институт гидротехники имени Б. Е. Веденеева.
3
§ 1. Введение
Расчеты устойчивости откосов, образованных сыпучим или связ-
ным грунтом, в настоящее время выполняются с помощью извест-
ного метода круглоцилиндрических поверхностей обрушения.
Согласно этому методу произвольно задаются целым рядом «ок-
ружностей (дуг) обрушения»; при этом, рассматривая каждую из
этих окружностей обрушения в отдельности (см., например, окруж-
ность обрушения АВС на рис. 1), тем или другим способом оцени-
вают степень устойчивости «отсека обрушения» ABCD, ограничен-
ного снизу данной окружностью. В результате устанавливают «са-
Рис. 1.
мую опасную» дугу окружности, характеризуемую минимальным
коэффициентом запаса устойчивости. Этот минимальный коэффи-
циент и принимают за коэффициент запаса устойчивости рассмат-
риваемого откоса.
Главной задачей данного метода является оценка устойчивости
заданного отсека обрушения ABCD, ограниченного снизу дугой
окружности АВС. Такую задачу мы и будем далее рассматривать,
не касаясь вовсе вопроса о том, в каком порядке рационально
задаваться окружностями обрушения, с тем, чтобы возможно ско-
рее найти наиболее опасную окружность1.
1 Этот последний вопрос в настоящее время еще не имеет удовлетворитель-
ного решения.
4
Надо сказать, что метод круглоцилиндрических поверхностей
(так называемый шведский метод), предложенный еще в 1916 г.
К. Е. Петерсоном [Л. 1], в последнее время усиленно разрабаты-
вался за границей, причем в течение последних лет в печати появи-
лись новые работы, относящиеся к этому методу: А. Бишопа [Л. 10,
11]; О. К- Фрейлиха [Л. 16, 17, 18, 19]; М. Како [Л. 20]; М. Арноль-
да [Л. 13] и др. Что касается состояния данного вопроса в СССР,
то, как известно, у нас еще в 30-х годах был введен в практику
известный способ К. Терцаги, предложенный им в 1929 г. [Л. 7],
причем этот способ до последнего времени главным образом и при-
меняется нашими проектными организациями. Вместе с тем спо-
соб К. Терцаги, как то будет показано далее, дает заниженные
коэффициенты запаса, а следовательно неэкономичные сооружения.
Небезынтересно отметить, что сам К- Терцаги, издавая в 1942 г.
свою книгу «Теория механики грунтов» и посвящая целую главу
этой книги расчету устойчивости откосов, вовсе не упоминает в
ней о своем методе. Отсюда можно заключить, что К. Терцаги
давно отказался от своего метода, широко применяющегося у нас.
Касаясь литературных источников, посвященных рассматривае-
мому вопросу, надо подчеркнуть, что в громадном большинстве слу-
чаев эти источники освещают вопросы расчета устойчивости от-
косов в крайне неясной и даже запутанной форме, причем часто
в этих работах встречаются различного рода погрешности (вскры-
ваемые нами далее), которые могут дезориентировать читателя.
Можно утверждать, что достаточно систематическое и строгое из-
ложение данного вопроса в литературе отсутствует.
Рассматривая в начале излагаемой ниже работы только одно-
родный сухой связный грунт, мы для удобства и ясности освеще-
ния данной темы расчленяем вопросы расчета устойчивости та-
кого грунта на две совершенно самостоятельные части: 1) анализ
предельного равновесия заданного отсека обрушения и 2) состав-
ление общего выражения для коэффициента запаса устойчивости
данного отсека обрушения.
В результате критического рассмотрения имеющихся в литера-
туре способов расчета, мы обосновываем наиболее простые
расчетные зависимости (уравнение предельного равновесия задан-
ного отсека обрушения и общее выражение для коэффициента за-
паса). Такие расчетные зависимости должны позволять легко учи-
тывать различные допол н и тел ьн ые (осложняющие) моменты,
обычно встречающиеся в практике, как то неоднородность грунта,
фильтрационные силы и т. п.
В заключение работы приводится наиболее рациональный спо-
соб учета фильтрационных сил как в случае земляных откосов,
так и в случае бетонных плотин, расположенных на нескальном
основании.
Поясняя те или другие расчеты, предложенные разными авто?
рами, мы далеко не всегда будем придерживаться той системы
изложения вопроса, которая давалась самим автором этих расчетов.
5
I. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОТСЕКА ОБРУШЕНИЯ.
ОГРАНИЧЕННОГО СНИЗУ ЗАДАННОЙ
КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
(СЛУЧАЙ ОДНОРОДНОГО, СУХОГО, СВЯЗНОГО ГРУНТА)
§2. Предварительные указания
Имея заданный устойчивый отсек обрушения ABCD
(рис. 1), представим себе, что действительные значения
угла внутреннего трения (<?д) и удельной силы сцепления по-
степенно уменьшаются до тех пор, пока наш отсек не окажется
в состоянии предельного равновесия. Уменьшенные значения
и с, отвечающие предельному равновесию отсека обрушения,
обозначим через <рк и ск (<рк и ск — критические значения угла
внутреннего трения и удельной силы сцепления).
Очевидно рассматриваемый отсек обрушения может находить-
ся в состоянии предельного равновесия при различных сочета-
ниях величин <рк и ск. На рис. 2 представлена кривая
^к=/(?к);	(1)
каждая точка этой кривой дает нам пару значений <?к и ск, от-
вечающих предельному равновесию отсека обрушения. Можно
сказать, что задача расчета данного отсека обрушения и заклю-
чается в построении кривой, выражаемой зависимостью (1), рис. 2.
б
Уравнение, связывающее величины ск й <рк й выражаемое гра-
фически кривой АВ (рис. 2), и является уравнением пре-
дельного равновесия отсека обрушения.
Составление такого уравнения всеми авторами выполняется
на основании известной зависимости Кулона:
тк =	-I- «К tg <рк1	(2)
где — критическое касательное напряжение для данной пло-
щадки, намеченной на поверхности сдвига, в момент
предельного равновесия;
— нормальное напряжение для той же площадки в мо-
мент предельного равновесия.
В литературе существует два разных метода построения кри-
вой АВ (рис. 2):
Рис. 3.
а)	метод, согласно которому заданный отсек обрушения АВСВ
(рис. 3) разбивается на отдельные вертикальные элементы (стол-
бики), причем каждый такой элемент (столбик) считается моно-
литным твердым телом, стоящим своей подошвой на дуге обруше-
ния;
б)	метод, согласно которому заданный отсек обрушения ABCD
(рис. 1) рассматривается как монолитное твердое тело, отделен-
ное от основания круглоцилиндрической поверхностью сдвига АВС,
вдоль которой действует зависимость (2) Кулона.
Первый указанный метод (п. а), по-видимому, более отвечает
действительности, причем в соответствии с этим методом легче учи-
7
тывать неоднородность грунта, слагающего откос. Вместе с тем пер-
вый метод (п. а) приводит нас к расчету статически неопределимой
системы, что значительно усложняет задачу.
Второй метод (п. б) несколько меньше отвечает действитель-
ности, причем этот метод является неприемлемым для неоднород-
ного грунта. Вместе с тем второй метод (п. б), как то будет пока-
зано ниже, позволяет (с некоторым приближением) решить зада-
чу, пользуясь только тремя уравнениями статики.
Ниже, имея в виду всюду только плоскую задачу, рассмот-
рим отдельно два указанных метода расчета. При этом, доведя, со-
гласно второму методу решение задачи до конца (до получения
уравнения кривой АВ\ рис. 2), в заключение (см. ниже подраздел
I-В) дадим некоторое упрощенное решение вопроса, на основе ко-
торого в дальнейшем относительно легко можно будет учитывать
неоднородность грунта, фильтрационные силы и т. п.
Л. Решение задачи путем разбивки отсека обрушения на вертикальные элементы
(столбики)
§ 3.	Исходные положения
Как было отмечено выше, каждый отдельный вертикальный эле-
мент отсека обрушения (см., например, элемент abed на рис. 3)
рассматривается как твердое тело, опирающееся своей подошвой на
дугу обрушения. Очевидно все вертикальные элементы (твердые
столбики), составляющие отсек обрушения, взаимодействуют меж-
ду собой: по вертикальным границам рассматриваемых столбиков
передаются от одного столбика к другому силы Е. Если столбик
№ 4 действует на столбик № 5 с силой то столбик № 5 действу-
ет на столбик № 4 с силой Е", причем |Е'| = | Е" |.
Рассматривая какой-либо элементарный столбик (см., например,
столбик abed), видим, что в общем случае в момент предельного
равновесия на такой столбик действует пять сил:
1)	сила собственного веса
ZG — bh^,	(3)
где у — объемный вес грунта; h — средняя высота столбика и b —
ширина его1. Можно считать, что вертикальная линия действия
силы 6G проходит через центр т подошвы столбика;
2)	сила сцепления, действующая вдоль линии ad подошвы
столбика,
ВСК = c£s,	(4)
где os — длина дуги ad, образующей подошву столбика;
3)	реакция основания ^RrN, подсчитанная без учета силы
сцепления и с учетом только: а) силы трения по подошве ad и
1 Напомним, что мы рассматриваем плоскую задачу.
8
б) нормальных напряжений зк по этой подошве. Существенно
подчеркнуть, что в момент предельного равновесия реакция %RTX
должна составлять с нормалью Он (см. чертеж) угол, равный
Имея это в виду, можно показать, что линия действия силы
проходящая через центр т подошвы столбика ad, должна
быть касательна к так называемому кругу трения („кр. тр“),
центр которого совпадает с центром 0 окружности обрушения,
причем радиус его г0 равен:
—г sin <рк,	(5)
где г —радиус окружности обрушения;
4)	сила F], действующая на данный столбик слева (со сто-
роны левого соседнего столбика);
5)	сила действующая на данный столбик справа (со сто-
роны правого соседнего столбика).
Силы Fj и Е2 являются внешними по отношению к рас-
сматриваемому столбику; они в общем случае наклонны; вели-
чина этих сил и положение линий действия их неизвестны.
Поскольку отсек обрушения находится в равновесии, то можем
утверждать, что для каждого элементарного столбика, находяще-
гося также в равновесии, должны быть соблюдены следующие ус-
ловия статики:
а)	многоугольник сил, построенный для любого столбика на ос-
нове перечисленных выше пяти сил, должен замыкаться (при этом
условии будут соблюдены для каждого в отдельности рас-
сматриваемого столбика первые два уравнения статики);
б)	все перечисленные пять сил должны пересекаться в одной
точке (при этом условии будет соблюдено как для каждого от-
дельного столбика, так и для всего отсека в целом третье уравне-
ние статики — уравнение моментов).
По отношению ко всему отсеку в целом силы Е являются сила-
ми внутренними. В связи с этим имеем следующее дополни-
тельное условие, которое необходимо выдержать при решении рас-
сматриваемой задачи: геометрическая сумма сил Е, найденных для
всех столбиков, составляющих отсек обрушения, должна равняться
нулю.
Само собой разумеется, что, пользуясь только тремя уравнения-
ми статики, рассчитать данную статически неопределимую си-
стему, образованную рядом твердых столбиков, стоящих на дуге
обрушения, не представляется возможным. Поэтому при решении
такого рода задачи различные исследователи вынуждены были
принимать те или другие допущения в отношении сил Е. Из лите-
ратуры известны четыре различных допущения, согласно кото-
рым разные авторы предлагали определять силы Е. В соответствии
с этим внутри рассматриваемого метода расчета (метода, пре-
дусматривающего разбивку отсека обрушения на отдельные стол-
бики) будем различать четыре способа расчета:
9
1) Способ Свена-Гультена, согласно которому силы Ё
принимаются горизонтальными; точки же их приложения счита-
2 .
ются заглубленными на величину -^-п под поверхностью земли
О
(где h — заглубление окружности обрушения под поверхностью
земли).
2) Способ Феллениуса. Согласно этому способу при-
нимаются следующие два условия:
а)	равнодействующая сил Ех и Е2, действующих на данный
столбик (см. столбик abed на рис. 3), должна проходить через
центр т подошвы столбика, т. е. сумма' моментов сил Е{ и Е2
относительно точки т должна равняться нулю. Исключение
здесь должны составлять только крайние столбики, для которых
сила Е2 и Ех должна проходить через внутреннюю границу
„средней трети" подошвы столбика (так, чтобы в крайних точ-
ках А и С дуги обрушения напряжения равнялись нулю);
б)	силы Е при переходе от одного столбика к соседнему
должны менять свой уклон постепенно, причем сила Ех для по-
следнего столбика (столбика № 5 на рис. 3) должна быть при-
мерно параллельной откосу.
3)	Способ Крея. Согласно этому способу принимается:
а)	силы Е должны быть горизонтальны (как в способе Свена-
Гул ьтен а) ;
б)	сумма моментов сил Е\ и Е2 относительно центра tn подошвы
столбика должна равняться нулю (как у Феллениуса) *.
4)	Способ Терцаги. Рассматриваемая сила Е принимается
параллельной касательной, проведенной к дуге обрушения в дан-
ном месте2.
Надо заметить, что помимо перечисленных четырех способов
расчета, принципиально отличающихся друг от друга, принятой
схемой сил, действующих на элементарные столбики, в литературе
встречается еще много различных предложений, касающихся толь-
ко техники расчета, согласно тому или другому способу. Неко-
торые из такого рода расчетных приемов мы поясним далее.
§4	. Способ Свена-Гультена
Способ Свена-Гультена [Л. 2] является графическим.
Для простоты пояснения ограничимся рассмотрением только сы-
пучего грунта (с — 0).
Величину <рк, согласно Сзену-Гультену, находим путем по-
пыток.
Задавшись каким-либо значением <рк и разбив отсек обруше-
ния на ряд столбиков, строим замкнутый многоугольник сил
1	Это допущение Крей, впрочем, не оговаривает. Однако оно вытекает не-
посредственно из рассуждений Крея.
2	К. Терцаги не оговаривает этого допущения. Впервые обратили внимание
на то, что в основе способа Терцаги лежит указанное допущение, О. В. Вязем-
ский и Г. Н. Ягодин [Л. 5].
10
сперва для столбика № 1 (рис. 4), затем для столбика № 2 й
т. д. При таком построении руководствуемся поясненным в § 3
допущением в отношении сил Е.
Свен-Гультен считает, что если угол <рк назначен правильно,
то многоугольник сил для последнего столбика (столбик № 7)
должен замкнуться. Если этот многоугольник не замыкается, то
приходится задаваться другим значением <рк и т. д.
Рис. 4.
Сразу же отметим, что способ Свена-Гультена не может счи-
таться удовлетворительным, в частности, по следующей причине.
2
Задаваясь точкой приложения сил Е на глубине (см. вы-
11
ше § 3), будем получать условия, при которых в общем слу-
чае равнодействующая сил Ех и Е2, найденных для данного стол-
бика, не будет проходить через центр т подошвы столбика.
Следовательно в общем случае по линии подошвы каждого стол-
бика будем получать внецентрен ное сжатие, обуславли-
вающее противоестественную эпюру напряжений по подошве
столбика (см. рис. 4, где показаны такие эпюры напряжений для
каждого столбика).
Выше (см. § 3), говоря о способе Феллениуса, мы отметили, что
Феллениус принял допущение, согласно которому сумма моментов
сил Е| и Е2, действующих на данный столбик, относительно соот-
ветствующей точки т, должна равняться нулю.
Однако, строго говоря, это положение должно рассматриваться
как обязательное (а не как допущение); нарушая такое положение
мы будем иметь картину напряжений по дуге обрушения, не от-
вечающую действительности (рис. 4).
§	5. Способ Феллениуса
Способ Феллениуса [Л. 3] является также графическим.
Здесь, как и в случае способа Свена-Гультена, строим последо-
вательно многоугольники сил для отдельных столбиков, состав-
ляющих отсек обрушения. При этом руководствуемся положения-
ми, .принятыми в отношении сил Е и поясненными в § 3.
Отыскивая путем попыток угол <&к и ск, решаем задачу сле-
дующим образом.
Принимаем какое-либо значение ск. Затем для этого значе-
ния ск задаемся целым рядом значений и для каждого такого
значения фк строим свои многоугольники сил. Искомому значе-
нию <рк (соответствующему заданному значению ск) будут отве-
чать условия, когда многоугольник сил для последнего столбика
замыкается, причем сила Ех для последнего столбика, проходя
примерно через границу средней трети подошвы этого столбика,
оказывается параллельной поверхности откоса.
На рис. 5 для примера показаны многоугольники сил, отвечаю-
щие указанному случаю.
Способ Феллениуса помимо большой громоздкости страдает
еще следующим недостатком.
В этом способе имеет место некоторый произвол в отношении
направления сил Е. Указание Феллениуса на то, что направление
сил Е при переходе от одного столбика к другому должно изме-
няться постепенно, не является достаточно конкретным.
Учитывая сказанное (главным образом громоздкость данного
способа), далее мы вовсе не будем рассматривать способ Фелле-
ниуса.
12
§6	. Способ Крея
Способ Крея [Л. 4] был разработан им только для сыпучего
грунта. Однако в дальнейшем этот способ неоднократно распро-
странялся различными авторами и на случай связного грунта
В этом параграфе будем иметь в виду главным образом общий
случай связного грунта.
Рис. 5.
Поскольку сам Г. Крей изложил свой способ в крайне неясной
и даже ошибочной форме, ниже вовсе не будем интересоваться
рассуждениями Крея; рассмотрим только окончательное рас-
четное уравнение, предлагаемое Г. Креем, и поставим вопрос о том,
какой именно расчетной схеме элементарных вертикальных стол-
биков отвечает данное уравнение.
Часто говорят, что решение Г. Крея удовлетворяет только двум
уравнениям статики и не удовлетворяет третьему уравнению (урав-
1 О. В. Вяземским и др.
13
нению проекций всех сил на горизонталь). Однако такое утверж-
дение неудачно: не соблюдая всех трех уравнений статики, вообще
нельзя решить задачу.
Как нам представляется, анализируя уравнение Крея,
следует отыскать ту систему элементарных вертикальных столбиков
(рис. 3), для которой при выводе расчетного уравнения Крея, со-
блюдаются все три уравнения статики. Такую задачу
мы и решаем, причем и находим указанную систему столбиков,
названную нами м од ел ь ю Крея.
Рис. 6.
Таким образом основное критическое замечание в адрес
Г. Крея, по нашему мнению, следует формулировать не в том смыс-
ле, что расчетное уравнение Крея не удовлетворяет всем уравне-
ниям статики (как то обычно говорят), а в том смысле, что «мо-
дель Крея», совершенно точно описываемая его урав-
нением, не вполне отвечает действительности.
Легко показать, что модель Крея может быть представлена в
виде, изображенном на рис. 6. Как ясно из этого чертежа, она ха-
рактеризуется следующими тремя моментами:
1)	отдельные элементарные твердые столбики, образующие от-
сек обрушения, соединены друг с другом идеальными шарни-
рами, которые передают силы Е в горизонтальном направле-
нии (см. § 3 и рис. 6. где показано четыре таких шарнира: №№ 1,
2,3,4);
14

Рис.
2)	эти шарниры расположены на такой высоте, что: а) для
внутренних столбиков сумма моментов сил Е{ и Е2, действующих
на данный столбик, относительно центра tn его подошвы равна
нулю; б) для двух крайних столбиков сила Е2 или Е\ проходит
через точку т', отвечающую внутренней границе средней трети по-
дошвы столбика (т. е. так, что напряжения в крайних точках А и С
дуги обрушения оказываются равными нулю);
3)	наконец, к последнему столбику (на рис. 6 к столбику V)
приложена некоторая фиктивная уравновешивающая горизонталь-
ная сила Ео, линия действия которой проходит через центр 0 дуги
обрушения (следовательно момент силы Ео относительно точки О
всегда равен нулю).
Главная ошибка Крея заключалась в том, что он упустил из ви-
да упомянутую силу Ео и пытался составить уравнение предель-
ного равновесия для неуравновешенной (падающей) системы стол-
биков, стоящих на дуге обрушения. Принимая силы Е горизонталь-
ными (считая грунт «гипотетическим»), как неизбежное след-
ствие этого допущения, Г. Крей должен был к одному из
столбиков (например, к последнему) приложить силу Ео, с тем
чтобы уравновесить рассматриваемый ряд столбиков. Только после
этого можно было бы к данной системе столбиков прилагать урав-
нения статики. До приложения силы Ео столбики, стоящие на дуге
обрушения и подверженные действию горизонтальных боко-
вых сил Е, не могут находиться в равновесии1. Поэтому и вопрос
о предельном равновесии такой системы столбиков ставить нельзя.
Имея в виду все сказанное и рассматривая модель Крея
(рис. 6), представим на рис. 7 несколько отдельных элементар-
ных столбиков, имеющих различный угол а наклона подошвы к
горизонту. На каждый такой столбик в общем случае в момент
предельного равновесия действуют силы: 8(7, 8СК, %RTN, (Ej — Е2);
см. § 3. Линии действия этих сил пересекаются в центре т по-
дошвы столбика. Сообразуясь с этим и задавшись искомыми ве-
личинами и cKt можем у точек т столбиков построить замкну-
тые многоугольники сил, как то показано на рис. 7. При таком
построении учитываем, что реакции %RTtX должны составлять с
радиусом дуги обрушения углы, равные ®к; разность же сил
(Ej — Е2), согласно Г. Крею, должна иметь горизонтальное на-
правление. Кроме того учитываем, что полные реакции *RTNC
оснований столбиков, подсчитанные с учетом сил трения, нор-
мальных сил и сил сцепления, составляют с радиусом Опт дуги
обрушения некоторые углы о, причем эти полные реакции мо-
гут быть разложены на силы ZRrx и силы 8Ск, параллельные по-
дошве столбика.
> Так же как не может находиться в равновесии, например, игральная ко-
лода карт, поставленная на наклонную плоскость, в случае, если силы трения
между отдельными листами карт мы положим равными нулю.
16
Из рассмотрения построенных многоугольников сил можем
найти (графически или аналитически) для каждого столбика:
а) величины реакций и б) разности сил (£, — £2)-
Для первого столбика (рис. 6) E^-fy таким образом для этого
столбика из многоугольника сил находим непосредственно силу EJ.
Эта сила очевидно по абсолютной величине будет равна силе Еи
относящейся ко второму столбику. Имея это в виду и зная раз-
ность сил (£*! — Е2) для второго столбика, находим для него си-
лу Е2 и т. д. В результате определяем (при заданных <рк и ск)
величины £*! и Е2 для каждого столбика, а также и уравнове-
шивающую силу Eq для последнего столбика.
Определив силы Et и Е2 для всех столбиков, находим далее
высотное положение идеальных шарниров, скрепляющих отдель-
ные столбики.
Для первого столбика горизонтальная линия действия силы
Е2 проходит через центр т подошвы этого столбика, чем и оп-
ределяется местоположение шарнира № 1 (рис. 6). Зная, таким
образом, плечо силы Ех для второго столбика, приравниваем
сумму моментов известных сил Ех и E2t действующих на второй
столбик, нулю; из полученного уравнения находим плечо силы
E2t причем и устанавливаем высотное положение шарнира № 2.
После этого таким же образом рассматриваем третий столбик и
устанавливаем местоположение шарнира № 3 и т. д. В конеч-
ном счете, подойдя к последнему столбику, находим плечо фик-
тивной уравновешивающей силы Еъ (относительно центра т по-
дошвы последнего столбика).
Отметим, что, задавая вначале расчета разные <рк и ск, будем
получать плечи силы Fo разной величины. Очевидно, что иско-
мым значениям <рк и ск должно отвечать такое плечо горизон-
тальной силы EQt при котором линия ее действия будет прохо-
дить через центр 0 дуги обрушения.
Выяснив все описанные выше обстоятельства, обратимся те-
перь к анализу многоугольников сил на рис. 7, причем разло-
жим найденные силы %RTN на две составляющие их силы:
а)	силу ZNK — нормальную к подошве столбика, а следова-
тельно действующую вдоль радиуса Отп дуги обрушения;
б)	силу ЗГК— действующую вдоль подошвы столбика, т. е.
вдоль поверхности сдвига в данном месте.
Сила полного сопротивления сдвигу для данного столбика
будет равняться
г гк + гск = zmk tg «Рк +	(в)
1 Для простоты пояснения на рис. 6 представлен случай сыпучего грунта
(когда с = 0).
2
17
Далее можем написать (из рассмотрения многоугольников
сил) еще следующие зависимости:
ЗЛ'К = ZG cos a 4- (Ej — Е2) sin a;
Ег-Е2 = 80 tg (a + p) =	5G>
ь ’	1 ± tg a tg p
где верхний знак отвечает нисходящей, а нижний знак
щей ветви дуги обрушения.
Подставляя (8) в (7), имеем:
WK == [cos а -И	Р"'sin a]
I 1± tga tgp J
(7)
(8)
восходя-
(9)
Введем обозначения
p 80 ’
Из (9) видно, что
Р = cos a -|-	sin «•
r	± tga tgp
Так как
x srK + scK ,	, 1 BCK
tg P = ---------- = tg?K
6 1	6ЛК	t> . к । p of?
то (11) можно переписать в виде
, _х 1 *ск
tga + tg?« + Tlu-
₽ = cos “ +  ------- scKT Sin “•
1 ±tgatg?K±tga^y
Решая (13) в отношении р, получаем:
1 -ь sin а В * * * * * *
(Ю)
(П)
(12)
(13)
(14)
з —_____________________
1 cosa(l + tgatg<?K)’
В соответствии с (6), (10) и (14) силу полного сопротивле-
ния сдвигу рассматриваемого столбика по дуге обрушения мо-
жем теперь представить в виде:
&ТК + 8СК = ₽8G tg<?K 4- CJS =
%G 8С„ sin а .
------г;--г—:------< tg 4- cKriS,
cosa(l ?- tgatg?K) ° 4
(15)
18
Выражение (15) можно представить еще в форме
bcK tgq tgcpK__
cosa(l tgatg?K) cosa(l ±tgatg?K)
—
1 K COS a ’
где b — ширина столбика:
b = gs cos q.
При этом вместо (15') можем написать:
~ у* I ?	Тк______—
* ' J “ “ cosa(l ± tgqtg<?K) +
x Г tgstg?* __________+ 1 1 be
[cosq(l ± tga tg?K) cos q J K
или окончательно1:’
8ГК + oCK — RO tg ?к 4- ЬсД---г,-  тт-----г-
к к 1	& ТК . kj cos a (1 ± tg й tg <рк)
(15')
(16)
(17)
(18)
В случае сыпучего грунта, когда ск = 0, вместо (18) по-
лучаем
о Тк =------г -—?----г о G tg ?к-	(19)
cosq(l ± tgqtg<pK) й,к
Устойчивость системы столбиков, показанных на рис. 6, мо-
жет быть нарушена путем вращения их относительно центра 0.
Такое вращение столбиков может вызвать так называемый ак-
тивный момент (/Иак,) т. е. момент веса G отсека обрушения от-
носительно центра 0 дуги обрушения. Этот момент равен:
ЛГак = G*o = gOjA'j -j- oG2x2 4-...,	(20)
где G — общий вес грунта в пределах отсека обрушения (вес
всех элементарных столбиков); л:0 —плечо этой силы относи-
тельно центра 0; gG,, 8G2,...— веса отдельных столбиков; xlt
jc2, ... —плечи этих сил относительно центра 0. Как видно, ве-
личину Л4ак по формуле (20) легко можно вычислить, если дуга
обрушения нам задана.
Момент сил, сопротивляющихся вращению отсека обрушения
(пассивный момент):
'Ипасс = Г (З7’к 4- оСк)1 4- г [г> Тк - *СК)2 + г (G Тк 4- ЗСК)3 4-..., (21)
1 Зависимость Г. Крея в форме (1£) опубликована Бишопом [Л. 10, 11, 13,
33]. Подобные предложения были сделаны О. В. Вяземским [Л. 5].
19
где г —радиус дуги обрушения; значками же 1, 2, 3 и т. Д-
обозначены силы сопротивления сдвигу, подсчитанные согласно
(18) для I, II, III и т. д. столбика.
В момент предельного равновесия
А/ак — ^^пасс>
(22>
следовательно, согласно (20), (21) и (18) уравнение предельного
равновесия для рассматриваемого отсека обрушения можем пред-
ставить в виде
cosa(l ± tgatg<pK)
(23>
где знак £ указывает на суммирование соответствующих вели-
чин, подсчитанных предварительно для всех элементарных стол-
биков.
Задача расчета должна заключаться в том, чтобы путем под-
бора найти такие пары значений и ск, при которых уравнение
(23) удовлетворяется. В результате оказывается возможным для за-
данного отсека обрушения построить'кривую с,к=/(?к), показан-
ную на рис. 2.
В случае сыпучего грунта (ск = 0) уравнение (23) упрощается
й цолучает вид
2
или вид.
рде
cosa(l ± tgatg?K)
oG sin a =	------—
cos a (1
---
tgatg <?K)
(24)
(25)
(26)
x
sin a = —.
r
Уравнение (25) и было предложено Г. Креем. Это уравнение в
отношении <?к решается также подбором.
п: Как видно, уравнение (23) совершенно точно описывает систему
столбиков, показанных на рис. 6 (модель Крея).
Уравновешивающая сила Eq в уравнения (23) и (25) не вошла,
так как линия ее действия проходит через центр 0. Вместе с тем,
вводя эту силу в механическую схему, изображенную на рис. 6, мы
тем самым добиваемся положения, когда эта схема оказывается
удовлетворяющей всем трем уравнениям статики.
20
Если бы мы, однако, составляли уравнение предельного равно-
весия, исходя не из уравнения моментов, а из уравнения проекций
всех сил на горизонталь1, то, разумеется, мы должны были бы
учесть силу Eq.
Как видно, Г. Крей, пользуясь законом Кулона, совершенно точ-
но решил модель, показанную на рис. 6 (по-видимому сам не подо-
зревая этого). Однако, конечно, трудно сказать, насколько такая
модель, решенная Т. Креем, отвечает действительности. Во всяком
случае можно себе представить такие условия, когда данная мо-
дель не является приемлемой. Действительно, покажем на рис. 8,
например, последний элементарный столбик и положим, что для
этого столбика имеется условие
(а + ?к)> 90 .	(27)
В таком случае для рассматриваемого последнего столбика нет
возможности построить замкнутый многоугольник сил, подобный
Рис. 8.
показанному на рис. 7, в. В этом случае, чтобы привести во вра-
щение относительно центра 0 систему вертикальных столбиков, рас-
сматриваемых Креем, необходимо к последнему столбику прило-
жить дополнительную силу, направленную вверх. Таким образом
при .наличии соотношения (27) модель Крея приводит нас к аб-
сурду.
1 Что имеет улесто, например, в предложениях Маслова—Верера (см. ниже
§ 8, 2°).
21
§ 7. Способ Терцаги
К. Терцаги [Л. 7] для расчета устойчивости заданного отсека об-
рушения ABCD (рис. 1) дал следующую расчетную зависимость
(вписанную в принятых нами обозначениях; см. выше):
EoGsin а — EoGcosa	/ло.
=------------------------ (28)
где новое обозначение £л. —длина дуги АВС*.
По этой зависимости К. Терцаги предлагает определять вели-
чину гк, зная или задавшись величиной Данная зависимость
была получена К. Терцаги так же, как и зависимость Г. Крея (см.
§ 6) в результате использования уравнения моментов всех сил,
действующих на отсек обрушения ABCD, относительно центра О
окружности обрушения. Теоретическое обоснование зависимости
(29), приведенное К. Терцаги, несколько противоречит основным
положениям механики, поэтому мы его касаться вовсе не будем.
Анализ зависимости (29) приводит нас к выводу, что эта зави-
симость более всего (но не вполне) отвечает системе элементар-
ных столбиков, представленных на рис. 9.
Называя эту систему столбиков «моделью Терцаги», отметим,
что данная модель характеризуется в частности следующими дву-
мя обстоятельствами:
1) отдельные элементарные твердые столбики, образующие от-
сек обрушения, соединены между собой особыми шарнирами, ко-
торые передают силы £ вдоль дуги обрушения (см. § 3 и рис. 9, где
показано пять таких шарниров №№ 1, 2, 3, 4, 5)* 2.
* Зависимость (28) К. Терцаги предлагал решать графически, путем по-
строения особых силовых схем. В 1932 г. Р. Р. Чугаев предложил (Л. 8] анали-
тический прием расчета по формуле (28), при помощи которого непосредственно
определяется коэффициент запаса устойчивости отсека обрушения как отноше-
ние, особым образом вычисленного, пассивного момента к активному моменту
(см. ниже § 31). Прием Р. Р. Чугаева в последующем был опубликован С. И. Ми-
тиным [Л. 9] (без ссылки на первоисточник) и назван «Способом Крея-Терцаги»,
хотя, как будет видно из дальнейшего, силовая схема Г. Крея ничего общего
не имеет с силовой схемой К- Терцаги. Надо’ заметить, что начиная с 30-х годов
способ К- Терцаги в форме, предложенной Р. Р. Чугаевым, главным образом
и использовался в СССР в практике проектирования гидротехнических соору-
жений. В настоящее время этот способ также часто рекомендуется в различных
литературных источниках несмотря на его недостатки (см. ниже). Вместе с тем
сам. К. Терцаги, как было отмечено нами в § 1, давно отказался от этого способа.
2 Строго говоря, силы Е, передаваемые шарнирами от столбика к столбику,
должны быть направлены: силы Ег для /i-ого столбика нормально к радиусу дуги
обрушения, проведенному в центр подошвы n-ого столбика; сила же Ei для
(п+1) столбика — нормально к радиусу, проведенному в центр подошвы
(n + 1) столбика.
Таким образом здесь несколько нарушается закон механики, согласно кото-
рому упомянутые силы Е| и Е2 должны быть не только равны по величине, но
и направлены строго в противоложные стороны. Разумеется, при малой вели-
чине b этой погрешностью можно пренебречь.
22
Рис. 9.
'oi эиа
2) эти шарниры расположены на дуге обрушения (у самой
подошвы столбиков), благодаря чему можно считать, что для
данного столбика силы Еъ Е.>, оСк и о(7 всегда пересекаются в
центре т его подошвы1.
Исходя из указанной модели (рис. 9), представим на рис. 10
несколько отдельных элементарных столбиков. Построив у то-
чек т этих столбиков соответствующие многоугольники сил (от-
вечающие модели Терцаги; рис. 9), видим, что в данном случае
сила, сопротивляющаяся сдвигу подошвы данного столбика по
дуге обрушения, равняется
о Тк 4- gCk = 3(7 cos a tg <?к -г ck'jS.	(29)
Рассуждая далее так же, как и в случае способа Крея (§ 6),
можем в данном случае легко получить вместо уравнения (23) Крея
уравнение предельного равновесия Терцаги в виде
ЕхЗ G—г Е [3(7 cos а tg <?к "г	(30)
или в виде
Е х ZG г ЕIG cos a tg ?к + г Е cKts.	(31)
Из этого уравнения нетрудно получить приведенную выше
зависимость Терцаги (28).
Рассматривая далее схему на рис. 9 (модель Терцаги), мож-
но видеть, что алгебраическая сумма всех сил Е для этой
•схемы равна нулю. Отсюда заключаем, что геометрическая
сумма всех сил Е в данном случае не будет равна нулю (по-
скольку силы Е в разных местах имеют разный наклон к гори-
зонту). В связи с этим сумма проекций сил 3(7, ЗСК, %RTX для
всех элементарных столбиков (рассматриваемых совместно) не
будет равна нулю при проектировании всех этих сил как на го-
ризонтальную, так и на вертикальную оси координат.
Таким образом можем утверждать, что модель столбиков на
рис. 9, характеризуемая поясненными выше двумя обстоятель-
ствами (см. пп. 1 и 2), не удовлетворяет двум уравнениям ста-
тики: уравнению проекций сил на горизонталь и уравнению про-
екций сил на вертикаль. Указанная модель столбиков получается
неуравновешенной; столбики здесь, как и в случае модели Крея,
когда мы исключим из нее силу Е„, являются падающими
(а не находящимися в покое).
Для того, чтобы модель Терцаги удовлетворяла всем трем
уравнениям статики, необходимо ввести в нее фиктивную урав-
новешивающую силу Ео. Эта сила должна быть наклонной
и линия действия ее должна проходить через центр 0 дуги об-
рушения (на рис. 9 сила £0 показана пунктиром). Величину и
направление этой силы легко вычислить. Силу EQ можно разло-
1 Или в точке, отвечающей границе средней трети подошвы столбика (если
рассматриваются крайние столбики).
25
жить (геометрически) на элементарные силы оЕ„, приложенные,
в центрах т подошв столбиков и направленные в центр 0 дуги
обрушения (см. чертеж). В этом случае все три уравнения ста-
тики будут соблюдены; однако, многоугольники сил на рис. 10
окажутся построенными не вполне правильно; при их построе-
нии силы ЪЕн оказываются неучтенными. Можно сказать, что
уравнение (31) предельного равновесия К. Терцаги не вполне
правильно; оно описывает модель на рис. 9 (с учетом сил о^)
не вполне точно, так как при построении многоугольников сил
на рис. 10 мы здесь пренебрегаем элементарными уравновеши-
вающими силами ЪЕ".
Таким образом, если уравнение (23) Крея точно отражает
модель столбиков на рис. 6, то уравнение (31) Терцаги отража-
ет модель столбиков на рис. 9 только приближенно. Трудно,
разумеется, сказать, насколько указанное допущение, имеющееся
в решении К. Терцаги (в отношении сил ьЕ$} искажает действи-
тельность и насколько сама модель К. Терцаги (рис. 9) сходна
в отношении распределения по дуге обрушения нормальных сил
W с действительными откосами. Впрочем, некоторые общие со-
ображения на этот счет нами будут приведены далее (в подраз-
деле I-В). Здесь отметим только, что модель Терцаги (рис. 9)
не дает нам того абсурда, который мы получаем для модели
Крея (рис. 6) при наличии условия (27) (см. конец § 6).
§ 8. Замечания о предложениях некоторых
других авторов
Выше мы условились внутри метода, предусматривающего
разбивку отсека обрушения на отдельные вертикальные элементы
(столбики), различать только такие способы расчета предель-
ного равновесия, которые характеризуются своей оригинальной си-
стемой сил, действующих на рассматриваемые столбики. Изучая
литературные источники, мы обнаружили только четыре таких
способа: Свена-Гультена (рис. 4), Феллениуса (рис. 5), Крея
(рис. 6 и 7), Терцаги (рис. 9 и ГО). Как было отмечено выше, ос-
тальные встречающиеся в литературе оригинальные предложения
(относящиеся к рассматриваему методу) касаются главным об-
разом или только техники расчета или учета тех или других до-
полнительных усложняющих моментов (как, например, учета поро-
вого давления и т. п.); при этом такого рода предложения вовсе
не затрагивают существа самих силовых схем, которые кладутся
в основу расчета предельного равновесия однородного сухого связ-
ного грунта. Остановимся в этом параграфе на кратком рассмот-
рении только некоторых предложений отмеченного характера.
1	. Предложение А Бишопа. В 1955 г. А. Бишоп [Л. 10], исходя
из силовой схемы на рис. 11, предусматривающей любое направ-
ление и любую величину сил Е, написал соотношение, которое
26
для случая предельного равновесия сухого грунта может быть
представлено (в наших обозначениях) в виде
Е ZGx = г tg ок Е gG cos а + г tg ?к S [(tj — т2) cos а —
— (£*!— Е2) sin а] -г Е cKos.	(32)
Далее А. Бишоп, не имея возможности найти величину вто-
рого слагаемого правой части (32), полагал:
Е [(?! — т2) cos а — (£*! — Е2) sin а] — 0,	(33)-
причем в результате получил известную зависимость К. Терцаги
Е ZGx = г tg Е ZG cos а + LscK,	(34)
которая совпадает с формулой (28).
Отсюда ясно, что зависимость, рекомендованная Бишопом в.
1955 г. для практического применения, отвечает силовой схеме Тер-
цаги, представленной на рис. 9.
Несколько позже — в I960 г. [Л. 11] А. Бишоп вместо уравне-
ния Терцаги (34) предложил пользоваться более точным (по мне-
нию А. Бишопа) уравнением, которое полностью совпадает (при
отсутствии порового давления) с уравнением Крея (23). Здесь толь-
ко А. Бишоп дополнительно учел силы сцепления грунта (чего не
делал сам Крей)
1	Но что часто выполнялось у нас в СССР различными авторами, в част-
ности, силы сцепления по Крею были учтены О. В.-Вяземским и Г. Н. Ягодиным:
(Л. 5].
27
Имея в виду все сказанное, следует считать, что А. Бишоп не
дал какого-либо нового практического способа для расчета пре-
дельного равновесия отсека обрушения, выполненного сухим связ-
ным или сыпучим грунтом. А. Бишоп в своих обширных исследо-
ваниях, посвященных учету порового давления, пользовался вна-
чале способом Терцаги, а затем перешел к способу Крея *. Впрочем
этих обстоятельств А. Бишоп в своих работах не оговаривает; так-
же, к сожалению, этот момент не отмечают и другие авторы, трак-
тующие работы А. Бишопа; в результате получается некоторое лож-
ное впечатление — впечатление будто бы А. Бишоп разработал не-
который новый способ расчета предельного равновесия откосов.
2	. Предложение Маслова—Берера [Л. 12]. Здесь используются те же
допущения1 2 в отношении сил, действующих на элементарные
столбики, что и в способе Крея. Поэтому следует считать, что
в основу расчетного уравнения Маслова—Берера положена та же
схема сил, что и в основу расчетного уравнения Крея (см.
рис. 6 и 7).
В отличие от способа Крея, в данном случае уравнение предель-
ного равновесия составляется не на основе уравнения моментов
всех сил, действующих на отсек обрушения, а на основе уравнения
проекций всех сил на горизонтальную ось.
В связи с этим в рассматриваемом случае уравнение предель-
ного равновесия следовало бы записать в виде:
(35)
При такой (правильной) записи уравнения предельного рав-
новесия расчет по Маслову — Береру должен всегда давать те
же самые численные результаты, что и расчет по Крею.
Однако авторы, рассматривая неуравновешенную (падающую)
систему столбиков, не учитывают силу Ео и записывают уравне-
ние предельного равновесия для системы столбиков (не находя-
щихся в равновесии) в виде
Е(Е1-Е2) = 0	(36)
жли в виде
Е tg(a — a,) = 0,	(37)
где в случае сыпучего грунта3 aI=cK.
Что касается общего выражения для коэффициента запаса ус-
тойчивости, то это выражение в способе Маслова—Берера имеет
особый вид, отличный от выражения Крея. Этого вопроса мы, од-
нако, здесь касаться не будем (см. ниже раздел II).
1 А. Бишоп в своих статьях затрагивает еще вопрос о коэффициенте за-
паса устойчивости откоса, чего мы здесь не касаемся (о коэффициенте запаса
см. ниже раздел П).
2 Не всегда оговариваемые автором.
3 В случае с шзного грунта, под величиной a, Н. Н. Маслов понимает так
называемый .угол сопротивление сдвигу-.
28
В заключение подчеркнем, что отмеченный выше подход авто-
ров, в результате которого вместо уравнения моментов получается
уравнение (37), обусловливается тем обстоятельством, что авторы
данного предложения распространяют его не только на случай
круглоцилиндрических поверхностей обрушения, но и на случай по-
верхностей обрушения другого вида. Это последнее обстоятельство
и является основной особенностью предложения авторов ’.
3° Предложение Н. Н. Маслова („метод проекций"). Это Предложение
[Л. 12] отличается от предыдущего только следующим:
а)	схема сил, действующих на элементарные «столбики», со-
ставляющие отсек обрушения, принимается по Терцаги (рис. 9),
а не по Крею;
б)	уравнение предельного равновесия составляется в проекциях
всех сил не обязательно на горизонтальную ось; данное уравнение
может составляться также и в проекциях на хорду, стягивающую
дугу обрушения1 2.
Б. Решение задачи в результате рассмотрения отсека обрушения как единого
твердого (монолитного) тела
§ 9. Предварительные указания
Рассматривать отсек обрушения как единое твердое (моно-
литное) тело впервые предложил (в 1936 г.) А. И. Иванов [Л. 21].
После А. И. Иванова с таким же предложением выступили
Д. Тейлор (в 1937) и У. А. Тер-Аракелян (в 1939 г.). В дальней-
шем отсек обрушения как монолитное тело рассматривали
О. Фрейлих, М. Како и др.
Как было отмечено ранее, указанный подход к вопросу позво-
ляет избавиться от необходимости устанавливать силы Е, причем
задача статического расчета может быть решена достаточно точно.
Вместе с тем данный метод имеет два недостатка (см. выше § 2):
во-первых, этот метод нельзя распространить на неоднородные
грунты, часто встречающиеся в практике, во-вторых, модель моно-
литного отсека обрушения, по-видимому, в меньшей мере соответ-
1 Вопроса о поверхностях обрушения, отличных от круглоцилиндрической,,
мы здесь не будем рассматривать, так как этот вопрос выходит за рамки насто-
ящей работы.
2 Приближенного способа расчета откосов, предложенного Н. Н. МасловыМ
ГЛ. 12] и названного им .метолом устойчивого откоса" или, иначе, .методом
гр* здесь не касаемся, поскольку этот способ не относится к методу кругло-
цилиндрических поверхностей.
Отметим только, что данный способ не всегда, как нам кажется, может
дать приемлемые результаты. Например, в случае сыпучего грунта (са=0), ко-
гда основание откоса образовано грунтом, имеющим — 25", а тело откоса—
грунтом, имеющим — 45°, угол наклона откоса к горизонту согласно .мето-
ду Fp" должен получиться равным 45°; в действительности же он должен быть
несколько больше 25°.
Такое положение объясняется тем обстоятельством, что .метод fp", во вся-
ком случае не может быть распространен на неоднородные грунты (что, впро-
чем, автор метода не оговаривает).
29-
-ствует действительности, чем модель отсека, расчлененного на от-
дельные вертикальные элементы.
Как будет видно из дальнейшего, направление исследований, вы-
бранное Д. Тейлором, О. Фрейлихом и М. Како, в отличие от на-
правления исследований, выбранного А. И. Ивановым и У. А. Тер-
Аракеляном, вполне соответствует общепринятым условиям статики.
В связи с этим, стремясь в начале настоящего раздела рас-
крыть прежде всего правильный путь решения поставленной
задачи, мы сперва опишем способы расчета Д. Тейлора, О. Фрей-
лиха и М. Како и только после этого перейдем к краткому изло-
жению способов А. И. Иванова и У. А. Тер-Аракеляна.
Предварительно, однако, нам придется осветить (в §§ 10—13)
вопрос о силах, действующих на монолитный отсек обрушения.
Надо еще заметить, что Д. Тейлор, О. Фрейлих и М. Како, как
то будет показано ниже, не довели решения поставленной задачи
до конца, во всяком случае они не получили, исходя из модели мо-
нолитного отсека обрушения, уравнения предельного равновесия,
дающего нам кривую АВ (рис. 2). Учитывая это обстоятельство,
нами после освещения работ названных авторов дается (в § 17, 18)
вывод упомянутого уравнения, основанный на соответствующем
обобщении работ Д. Тейлора, О. Фрейлиха и М. Како, а также уп-
рощенный способ построения кривой связи cK=f (^K).
§ 10. Силы, действующие на монолитный отсек
обрушения, находящийся в.состоянии
предельного равновесия
Представим на рис. 12 отсек обрушения ABCD, рассматривае-
мый как монолитное твердое тело. Этот отсек отделен от своего
основания швом АВС, очерченным по дуге окружности. Вдоль та-
кого шва в каждой его точке действуют касательные напряжения
т, ихэогоиэиясе виээяонявс! олончь*эгэс1п inawow я вээитпснвниьг’ои
Кулона (2).
В момент предельного равновесия на рассматриваемый отсек об-
рушения действуют следующие силы (рис. 12):
1.	Внешние объемные и поверхностные силы, которые могут быть
приведены к одной равнодействующей силе G, имеющей линию дей-
ствия Eq—Eq. В частном случае, когда внешней силой является
только сила собственного веса грунта, величина G оказывается рав-
ной весу отсека обрушения, причем линия ее действия Ео—Ео ока-
зывается вертикальной линией, проходящей (в случае однородного
грунта) через центр тяжести площади отсека обрушения.
2.	Элементарные силы сцепления оС,., действующие на эле-
ментарные площадки поверхности обрушения (касательно к дуге
обрушения), причем каждая сила 8СК равна
3CK = cAs	(38)
где 8s— длина элементарного у а тка дуги обрушения.
30
В случае однородного грунта, который здесь рассматриваем,
касательные напряжения сцепления ск распределяются равномер-
но вдоль дуги обрушения.
Рис. 12.
3.	Элементарные нормальные силы оЛк, действующие на эле-
ментарные площадки поверхности обрушения (нормально к ним),
причем каждая сила o/VK равна
WK = a&	(39)
Рис. 13.
Силы 87'к и <WK для каждой
сложить; геометрическая сумма
где ^—критическое нормаль-
ное напряжение в данной точ-
ке. Общий характер распре-
деления напряжений зк вдоль
дуги обрушения представлен
на рис. 13.
4.	Элементарные силы тре-
ния о7'к, действующие на эле-
ментарные площадки поверх-
ности обрушения (касательно
к дуге обрушения), причем
каждая сила оГк равна
=	(40)
элементарной площадки можно
их представлена вектором %Rtn
31
(рис. 14). Этот вектор будет составлять угол <?к с лучом Ол, про-
веденным через центр т элементарной площадки поверхности
обрушения.
В связи с этим можем считать, что на отсек обрушения дей-
ствуют только следующие силы:
1)	внешняя сила (7;
2)	элементарные силы сцепления оСк, имеющие разные на-
правления в различных точках дуги обрушения;
3)	элементарные реакции Шгх, которые, как известно (см.
§ 3), всюду направлены касательно к кругу трения (»кр. тр.“).
§11. Алгебраическая и геометрическая суммы
элементарных сил сцепления оСк, действующих
вдоль дуги обрушения
Обозначим алгебраическую сумму величин SCK, под-
считанных для всех элементов os, составляющих дугу обруше-
ния АВС, через Ск
Ск = Е ск S 3s = ск £ os = cKLst	(41)?
где Ls — длина дуги обрушения АВС.
32
Через Ск обозначим геометрическую сумму тех же
элементарных сил ЪСК. На рис. 15 представлено геометрическое
сложение элементарных сил ьСк. Намечаем хорду АС, стягива-
ющую дугу АВС\ длину этой хорды обозначим через Лхор. Нор-
мально к хорде АС проводим луч On. Далее рассматриваем па-
ры симметрично расположенных (относительно луча On) элемен-
тов 8s дуги обрушения: и 8s4; Bs2 и 8s3 и т. д. Элементарные
силы для этих элементов дуги обрушения обозначим соответст-
венно через (оСк)ь (3CK)t, (8СК)2, (8СК)3 и т. д. Перенося эти эле-
Рис. 15.
ментарные силы 8СК по линии их действия в точки луча tin и
геометрически складывая те силы 8СК, которые были подсчитаны
для симметричны^ элементов 8s, получаем после такого сложе-
ния эпюру сил 8СК, построенную на базе луча Вп. Силы 8СК, из
которых каждая представляет собой сумму двух сил 8СК, имеют
одинаковое направление, параллельное хорде АС.
Искомая равнодействующая сила Ск полученной эпюры дол-
жна быть параллельна хорде АС. Легко показать, что величина
зз
силы Ск, представляющей собой геометрическую сумму всех
элементарных сил оСк, равняется
£к = £|Лхор*	(42)
Плечо ас силы Ск (относительно центра 0) определится, если
возьмем момент сил Ск и 8СК относительно центра 0:
асСк = 2 rcKZs = гСк	(43)
или подставляя сюда (41) и (42):
псскАХор ==	(44)
где г — радиус дуги обрушения, представляющий собой плечо
элементарных сил 8СК.
Из уравнения (44) получаем:
«С = г.	(45)
^хор
Величина ас определяет местоположение линии MCNC дей-
ствия равнодействующей Ск.
Как видно, при равномерном распределении касатель-
ных напряжений вдоль окружности обрушения (в данном случае
касательных напряжений сцепления) линия действия равнодей-
ствующей элементарных касательных сил всегда должна быть
параллельна хорде ДО, причем ее местоположение, определяе-
мое размером ас, вовсе не должно зависеть от вели-
чины самих касательных напряжений (в данном
случае от величины удельной силы сцепления гк).
Обозначим отношение (ас:г) через рс:
(46)
Из (43) и (45) видно, что рс можно записать в виде
Зная рс, можем найти ас и Ск:
«с = НчЛ	(48)
ск = ^.	(49)
34
Вопрос о местоположении линии ЛЦУС, определяемом разме-
ром ас, является очень важным для дальнейшего, так как именно
на линии MCNC должна лежать точка пересечения линий дей-
ствия трех сил, действующих на отсек обрушения (сил G, Ск и
/?nv; см. ниже)1.
§ 12. Алгебраическая и геометрическая суммы
элементарных нормальных сил WK
Выше, рассматривая силы сцепления, имели в виду случай,
когда вдоль дуги обрушения действует равномерно распре-
деленное напряжение — напряжение сцепления.
. Переходя теперь к рассмотрению нормальных напряжений <\,
имеем распределение их вдоль дуги обрушения неравномер-
ное (рис. 13). Можно показать, что эпюра напряжений ак для
обычных случаев, встречающихся в практике, не будет симмет-
ричной относительно линии On, проведенной нормально к хор-
де АС.
Введем обозначения:
Л/к —алгебраическая сумма элементарных сил WK, под-
считанных для всех элементарных площадок 3s, составляющих
дугу^ обрушения;
7VK —геометрическая сумма упомянутых элементарных
сил (имеющих разные направления).
Очевидно:
7VK</VK;	(50)
величину NK можно представить в виде
=	(51)
где р назовем „коэффициентом эпюры нормальных напряжений “2.
Можно показать, что численное значение коэффициента р,
равного
-X’	(52)
зависит только:
а)	от центрального угла 2<о0 (рис. 13) и
б)	от формы эпюры напряжений (от закона распределения
напряжений вдоль дуги обрушения), но не от величин самих
напряжений.
1 Данный вопрос, так же как и вопрос, излагаемый в следующем параг-
рафе, впервые был освещен в работах Д. Тейлора.
2 В соответствии с этим можно именовать .коэффициентом эпюры нап-
ряжений сцепления**.
35
Если бы нормальные напряжения зк распределялись вдоль
дуги обрушения равномерно, то в этом случае для вели-
чины р легко можно было бы получить зависимость (см. преды-
дущий параграф):
Н = Ре = 7^,	(53)
^хор
которую можно представить также в виде
В действительности, однако, как то было сказано, напряже-
ния ак распределяются вдоль дуги обрушения АС неравномерно.
Рис. 16.
Закон распределения этих напряжений нам неизвестен. С неко-
торым приближением для подсчета численного значения р
Д. Тейлор в своих исследованиях принял симметричный
36
синусоидальный закон распределения напряжений ак (рис. 16),
согласно зависимости
(55)
где з() —- максимальное напряжение на оси симметрии On и
— угол, показанный на чертеже.
Исходя из зависимости (55), получаем:
rd& =
(56)
/V = 2 J (?K^s)cos(w0 — u>) = 2ro0 sin	cos (<оо — <•>)	(57)
w-0	w'-O
откуда
I sin | — <о I d&
М J \ ш° /
Н =	---------------------•	(58)
J sin cos (% — ю) d<&
d
Решая зависимость (58), окончательно получаем для симмет-
ричного синусоидального распределения напряжений
На рис. 17 по зависимостям (54) и (59) построены кривые / и II.
Кривая / дает значения р. в зависимости от величины цен-
трального угла 2о>0 при равномерном распределении напряжений
по дуге обрушения.
Кривая II дает значения р в зависимости от величины цент-
рального угла 2<о0 при симметричном синусоидальном распреде-
лении напряжений по дуге обрушения.
37
Можно утверждать, что для эпюры ак величина р. всегда будет
Рис. 17.
распределения напряжений, видим, что численные значения р
должны практически лежать в пределах
1,0<р<1,10.	(61)
§ 13. Алгебраические и геометрические суммы
элементарных сил трения 6ГК и элементарных
реакций tRiw Сумма моментов (относительно
центра 0) элементарных сил трения 8ГК
1°. Сила трения Тк. Алгебраическая сумма элементарных сил
ЪТК, подсчитанная для всех элементов, составляющих дугу об-
рушения, равна
Л = 2 8ГК = Е tg = tg ?к S WK = NK tg ?K.	(62)
1 Соотношение, обратное (60), должно получиться только в случае, когда
напряжения ак в точках А и С (рис. 16) больше, чем напряжение ак в точке В.
Такой случай в практике, разумеется, не может иметь места.
38
Геометрическую сумму сил £ГК можно записать в виде
(8ГЛ + (ЗГК)2 +	= (tg^/VJ, + (Г^)2 +
= tg ?к [(WK)1 + (ЗлГк)2 +	],	(63)
а следовательно
rK = tg<MVK.	(64)
Разделив (62) на (64), имеем:
откуда
Гк = рГк,	(66)
где и — коэффициент эпюры напряжений <зк.
2°. Реакция RTN. Алгебраическая сумма элементарных реак-
ций o/?nv, подсчитанная для всех элементов, составляющих дугу
обрушения, равна
Rtn = S (S/?w) = S + (8ГК)’ =
= 2 / W+Ww=/i+tg^Ks (w =
=	ут+t? %=rw+A^tg2?; (67)
Следовательно, согласно (62):
Rtn =	+	(68)
Геометрическая сумма всех сил ZRtn-
Htn = ]/ Тк2 +Х2 = V(рТ'к)2 + (^к)2 = Р /7Д + NJ. (69)
Разделив (68) на (69), получим:
Rtn
—---= и,
Rtn
а следовательно
Rtn =
(70)
(71)
где ji — коэффициент эпюры напряжений <зк.
39
3°. Моменты сил Мк, Тк и RTX относительно центра 0 окружности об-
рушения. Выше мы сталкивались со следующими реактивными
силами, отвечающими моменту предельного равновесия отсека
обрушения (рис. 16):
^ = 2(8^); Ч;
ЗГК; Т1( = 2(8Г1(); Tj
%Rtn*9 Rtn = Е(*/?тлг); Rtn,
(72)
где Е — знак, означающий алгебраическое суммирование по всей
длине окружности обрушения; черта над соответствующей бук-
вой показывает геометрическое суммирование.
Учтем теперь следующие обстоятельства:
1.	Линии действия элементарных сил o.VK проходят через
центр 0; следовательно и линия действия равнодействующей
сил WK, т. е. сила 7VK также будет проходить через центр 0
окружности обрушения.
2.	Так как Rt.\ является равнодействующей сил NK и Тк , то
момент ее равен сумме моментов сил Л/к и Тк. Коль скоро мо-
мент силы Nk_ относительно центра 0 равен нулю (см. п. 1),
момент силы Rt.\ всегда равен моменту силы Тк.
3.	Сила Тк является равнодействующей сил оГк ; поэтому мо-
мент силы Тк равен сумме моментов элементарных сил оГк.
Учитывая сказанное, напишем теперь соотношения между
моментами (Л4) различных сил (относительно центра 0 окруж-
ности обрушения). При этом индексом у буквы М будем обо-
значать силу, момент которой имеется в виду:
AU = 0; Е Ж5Агк = 0;	= 0;
к	К	л к »
МГк = г8Гк ;
£7Игтк = Е гоТк = 7* Е &7К = гГк =	;
1 к
где через ат обозначено плечо силы Тк :
ат = •
М/?ГЛ, =	= г sin <pKoZ?7,v ;
Е = г0 £ 'jRtn — ^Rrx ~ r^RiN = sin <?kRtn J
Mrtx
(73)
(74)
(75)
(76)
где r0 —радиус круга трения (r0 = г sin <?к; см. § 3); через г0'
обозначено плечо силы Rtn-
rQf = pr0 = К sin <рк .
(77)
40
Дополнительно можем написать:
S№rK = SM₽nv;	(78)
=/И- .	(79)
г к	'<TN	V 7
Сообразуясь с (74) и (76), соотношение (78) можно предста-
вить в виде
v м<,т* = 2 M7,Rtn = к sin <f>K/?r.v = ^'Rtn = arTK.	(80)
4°. Дополнительные замечания. Величина ат, т. е. плечо силы Тк ,
определяет местоположение линии Мт — Nt действия силы Тк.
Линия действия Mt — Nt будет параллельна хорде АС, стягиваю-
щей окружность обрушения, только в случае симметричной
эпюры напряжения ак (показанной на рис. 16 с целью определе-
ния примерных численных значений ц). В действительности эпю-
ра не является симметричной и поэтому линия MTNT не должна
быть параллельной хорде АС (как то и показано на рис. 16).
Точка тт пересечения линии действия MTNr и линии дей-
ствия Etn — Etn (отвечающей силе Rtn) характеризуется усло-
вием: угол, составленный радиусом Ош г и линией действия Etn—
— Etn, должен равняться углу <рк.
Из рассмотрения приведенных выше соотношений видно, что
коэффициент эпюры нормальных напряжений равняется
NK	Тк	Rtn	ат
NK	Тк	Rtn	г
где г — радиус окружности обрушения.
В заключение подчеркнем еще следующее обстоятельство, на
которое в свое время обращал внимание Д. Тейлор.
Если линии действия всех элементарных сил касательны
к кругу трения, имеющему радиус r0 = rsin<pK (рис. 16), то ли-
ния действия геометрической суммы сил oRtn, т. е. силы
Rtn оказывается касательной к так называемому „приведен-
ному кругу трения", имеющему радиус
rQ' = Ко = К sin <рк .	(82)
Это положение вытекает из всего, что говорится выше о ве-
личине момента силы Rtn относительно центра 0.
На этом мы закончим освещение основных положений „ста-
тики круглоцилиндрических поверхностей обрушения". Далее
перейдем к изложению способов расчета, основанных на этих
положениях (способов расчета Д. Тейлора, О. Фрейлиха, М. Како),
а также к изложению способов, противоречащих указанным по-
ложениям (способов А. И. Иванова и У. А. Тер-Аракеляна).
41
§ 14. Способ Тейлора
Д. Тейлор (Л. 15) считает, что на отсек обрушения ABCD
(рис. 18) действуют три силы:
1) сила Ск — геометрическая сумма элементарных сил сцеп-
ления оСк;
2) внешняя заданная нам сила G, имеющая линию действия
3) сила Rtn — геометрическая сумма элементарных сил gRtn
(линию действия этой силы мы выше назвали Ет,\—Etn).
Рис. 18.
Поскольку под действием указанных трех сил отсек обруше-
ния должен находиться в равновесии (предельном), то следова-
тельно указанные силы должны пересекаться в одной точке и
многоугольник сил, построенный на основе этих сил, должен
замкнуться.
Учитывая эти положения, поступаем следующим образом:
1)	по формуле (45) или (48) определяем плечо ас силы сцеп-
ления Ск, причем на чертеже намечаем линию Мс — Nc действия
этой силы (параллельно хорде, стягивающей дугу обрушения);
2)	определяем местоположение точки тс пересечения линии
действия сил Ск и О; очевидно, через эгу точку должна прохо-
дить линия действия третьей силы Rtn',
42
3)	в соответствии с имеющимся центральным углом 2%, от-
вечающим рассматриваемой дуге обрушения (рис. 16), по кривой
II на рис. 17 определяем величину у;
4)	далее задаемся каким-либо значением (например, значе-
нием <?к ), причем по формуле (82) вычисляем радиус приведен-
ного круга трения;
5)	затем через найденную выше точку mct касательно к при^
веденному кругу трения, проводим линию действия ETn — Etn\
6)	после этого, зная направления всех трех сил, а также ве-
личину силы G, строим треугольник сил, причем из этого тре-
угольника находим силу Ск;
7)	наконец, пользуясь формулой (42), вычисляем величину
удельной силы сцепления сК|, отвечающей тому углу трения <рК|,
которым мы задались выше.
Задавая в п. 4 расчета различные значения <?к, будем полу-
чать в п. 7 расчета соответствующие им величины ск. По этим
данным и представляется возможным построить кривую связи АВ,
показанную на рис. 2.
Расчет по способу Д. Тейлора можно построить и иначе:
задаваться удельной силой сцепления ек и находить соответствую-
щий этой силе угол трения <рк •
Можно также написать уравнение моментов всех сил отно-
сительно центра 0:
a0G = r^R-TiX' + атС*,	(83)
где а0 — известное плечо силы G.
Уравнение (83) можем переписать в виде:
a^G = |xr sin <?kRtn + accKLM[t.	(84)
Как видно, в это уравнение входит две неизвестных: и ск.
Уравнение (84) и является искомым уравнением предельного
равновесия; оно графически выражается кривой АВ на рис. 2.
Величину Rtn, входящую в (84), приходится находить графи-
чески. В связи с этим следует считать, что способ Д. Тейлора
является графическим способом.
Из изложенного выше ясно, что способ Д. Тейлора в рамках
допущения, касающегося величины ц, является совершенно
точным.
Абсолютно точный расчет предельного равновесия монолитного
отсека обрушения можно было бы выполнить только при усло-
вии, если бы мы предварительно установили закон распределе-
ния напряжений ак вдоль дуги обрушения. При этом мы могли
бы найти совершенно точное численное значение р- и далее,
пользуясь расчетной схемой Д. Тейлора, построить кривую АВ
(рис. 2), в точности отвечающую рассматриваемому монолитному
отсеку обрушения.
43
Оперируя только тремя уравнениями статики, указанную
эпюру напряжений построить, разумеется, нельзя и потому
нам приходится здесь пользоваться (как то предложил Д. Тейлор)
условным симметричным синусоидальным законом распределения
напряжений ак вдоль дуги обрушения. Такое допущение в отно-
шении формы эпюры ок, как видно из рис. 17, не должно давать
значительной погрешности.
§	15. Способ Фрейлиха
О. Фрейлих в своих работах [Л. 16—19], как и другие авторы,
не разделяет рассматриваемый вопрос на две его самостоятельные
части (что было сделано нами): а) расчет отсека обрушения, на-
ходящегося в состоянии предельного равновесия, й б) составление
общего выражения для коэффициента запаса устойчивости отсека
обрушения.
При этом О. Фрейлих значительное внимание уделяет вопросу о
коэффициенте запаса.
Если, однако, попытаться выделить из работ О. Фрейлиха толь-
ко первый вопрос (расчет предельного равновесия отсека обруше-
ния), то можно прийти к следующим выводам.
О. Фрейлих рассматривает ту же систему сил, что и Д. Тейлор
(рис. 19) *.	_
Получив равнодействующую S силы сцепления Ск и внешней
силы (7, О. Фрейлих устанавливает положение линии ETn —Etn дей-
ствия Rtn, т. е.силы, равной по величине силе S и противоположно
ей направленной:
|7?™| = 1$|.	(85)
Далее автор, определив величину плеча ат = рг, устанавли-
вает на линии действия Etn — Etn местоположение точки тт.
Разложив в этой точке силу Rtn на составляющие Л;к и 7'к,
мы и получаем угол <?к, как угол, образованный лучом 0шг
и линией действия Etn — Etn (см. § 13).
Имея в виду сказанное, расчет по О. Фрейлиху выполняем
следующим образом:
1)	также, как и в случаеспособа_Д. Тейлора, устанавливаем:
а) линию Мс — Nc действия силы Ск, б) точку /пс пересечения
линий Л4С — Nc и Ео — Ео, в) численное значение коэффициента р;
2)	далее задаемся какой-либо величиной удельного сцепле-
ния ск и по формуле (42) вычисляем силу С^_	_
3)	складывая в точке тс известные силы Ск и G, устанавли-
ваем линию действия Etn — Etn',
1 Эта система сил здесь является единственно возможной.
44
4)	после этого по формуле (75) вычисляем плечо ат и из
центра 0 радиусом ат описываем окружность (см. пунктир на
рис. 19), причем получаем искомую точко гпт (как точку пере-
сечения линии ETn — Etn и проведенной окружности);
5)	наконец, соединяем лучом 0тт точку тт и центр 0, при-
чем и получаем угол <?к, отвечающий той величине см которой
задались выше.
Задаваясь рядом значений гк, можем получить указанным
образом соответствующие значения <рк и в результате построить
кривую связи АВ на рис. 2.
Что касается „обратной задачи**, когда нам задан угол <рк,
причем требуется найти соответствующую величину сю то эту
задачу согласно способу О. Фрейлиха (в отличие от способа
Д. Тейлора) решить затруднительно.
45
Как видно, способ О. Фрейлиха, как и способ Д. Тейлора,
является графическим. В отличие от способа Д. Тейлора,
О. Фрейлих не строит приведенный круг трения. Вместо при-
веденного круга трения О. Фрейлих на чертеж наносит радиусом
ат=рг „приведенную окружность обрушения". Собственно только
этим моментом и отличается предложение О. Фрейлиха в области
рассматриваемого вопроса, от описанного выше предложения
Д. Тейлора. Поскольку этот момент касается не существа вопроса,
а только техники расчета, то едва ли следует считать, что
О. Фрейлих предложил новый способ решения. По-видимому
правильнее здесь было бы говорить о техническом приеме, пред-
ложенном О. Фрейлихом для решения схемы сил, установленной
Д. Тейлором. Впрочем этот технический прием О. Фрейлиха не
облегчает, а скорее затрудняет решение задачи по Д. Тейлору.
Нам представляется, что единственно полезным соображением,
высказанным здесь О. Фрейлихом, является указание на возмож-
ность разложения (в точке шт) силы Rtn на две ее составляю-
щие (NK и Тк), о чем Д. Тейлор в своей работе не говорил.
§16	. Способ Како
Рассматривая решение М. Како [Л. 20], предложенное им для
составления уравнения предельного равновесия отсека обруше-
ния, будем пользоваться рис. 20.	_
М. Како решает вопрос о величине силы сцепления Ск и ли-
нии ее действия так же, как Д. Тейлор (см. выше § 14). Внешняя
сила G считается заданной. __ _	_
Геометрическую сумму сил G и Ск обозначаем через S; момент
силы S относительно центра 0 — через Ms. Если предположить,
что величиной критического сцепления ск мы задались, то сле-
дует считать, что сила S и ее момент Ms нам известны.
М. Како так же, как и О. Фрейлих (см. § 15h_ представляет
реакцию 7?tn (рис. 19) двумя ее составляющими: NK и Тк.
Далее (рис. 20) М. Како намечает оси координат: начало
координат располагает в центре 0 и ось ОК направляет нормально
к хорде АС, стягивающей дугу обрушения.
После этого М. Како переносит силу Тк по линии ее действия
(по линии Мт— Nt) в точку тк, лежащую на оси ОК. В этой
точке („точке Како") сила Тк раскладывается на две ее составля-
ющие: параллельную оси ОК—составляющую Ту и параллельную
оси ОХ — составляющую Тх.
Плечо полученной силы Тх относительно центра 0 обозначим
через ак. Ясно, что
где аг— плечо силы Тк, которое выражается формулой (75);
46
<ог—угол, составленный линией действия силы Ск и линией дей-
ствия силы Тк (т. е. линиями Л4С — Nc И —Л^).
Введем дополнительно следующие обозначения:
SL и Sv — составляющие силы S (соответственно принятым осям
___	_ ОХ и ОК);	_
Nx и Ny — составляющие силы NK.
Как видно из рис. 19 и 20, можно считать, что на отсек обруше-
ния в момент его предельного равновесия действуют следую-
щие три силы:
S (S„ $); NK (Nx, #,); Тк (Tx, Ту).
Имея в виду эти силы, составляем уравнение моментов отно-
сительно центра О1:
М, + МТх=0.
(87)
1 Моменты силы NK и силы Ту относительно центра 0 равны нулю.
47
Откуда
/ИГд.= -Л/5.	(88)
Так как	_
Мтх = акТх,	(89)
то, согласно уравнению моментов (88):
— М
=	(90)
ик
Обращаемся теперь к двум остальным уравнениям статики:
Sv+ Гг+Ч = 0;	(91)
Sy+Ty + Ny = 0.	(92)
Дополнительно используем условия, справедливость которых
можно доказать:
тх =A^tg?1( ИЛИ jVy = -^-;	(93)
(94)
Подставляя соотношения (93) и (94) в (92), получаем:
S;-Vxtg<P1,+ -^-=0.	(95)
Из (91) имеем:
jVK = -(Sv+Tv).	(96)
Подставляя (96) в (94), вместо двух уравнений статики (91)
и (92) получаем одно уравнение:
Sy + (S, + Tt)tg<P,<+-z£j- = O	(97)
тк
ИЛИ	__
1g ?к (<\у + tg <?к)    ~'р	/по\
l+tg2<?K “
Подставляя теперь в уравнение (98) уравнение моментов (90),
получаем:
tg ?к Sv tg <рк) A1S	fQQ}
l+tg2?K “ «к ’
48
или
_	__ /у/
S, + Sxtg'?K = -ri(tg?K + ctg?K)>	(100)
ик
или, наконец,
+	(101)
Это уравнение и должно рассматриваться как уравнение пре-
дельного равновесия, предложенное М. Како. Пользуясь им,
можно построить для заданного откоса и заданной окружности
обрушения кривую ск =/ (?к), представленную на рис. 2. При этом
приходится поступать следующим образом.
1.	Задаемся некоторым значением удельной силы сцепления
ск, причем из формул (42) вычисляем силу Ск и по формуле
(45) ее плечо а^.
2.	Зная G и Ск, определяем путем геометрического сложения
этих сил равнодействующую S, а затем момент этой равнодей-
ствующей Ms.
3.	Наконец, путем подбора находим из уравнения (101) зна-
чение <рк, отвечающее принятой величине ск.
Как видно, при решении уравнения (101) нам необходимо
знать величину плеча ак силы ТХ9 т. е. длину отрезка 0шк (см.
рис. 20). Способ М. Како отличается от способа Д. Тейлора
именно тем, что М. Како оперирует не плечом силы 7К, т. е.
величиной «г=|1гг (что также имеет место у О. Фрейлиха), а
величиной як, связанной с размером ат формулой (86)-
Для определения величины ак на основании приближенного
анализа различных эпюр напряжений ак (принимаемых для дуги
обрушения) М. Како дает следующие придержки:
а)	если в точках А и С, ограничивающих дугу обрушения
(см. рис. 20), величина зк = 0, то отрезок Втк равен
Вт* — 0,6 ВЕ\
(Ю2)
исходя из этого размера, М. Како для плеча ак получает фор-
мулу
r sin % —cos <o0
<o0 sin 2% *
~2 Г-
(ЮЗ)
где 2<oo—центральный угол, показанный на рис. 20;
б)	если напряжение з в точках А и С отлично от нуля (благо-
даря наличию какой-либо пригрузки в виде, например, камен-
ной наброски, покрывающей поверхность земли), то отрезок Втк
должен удовлетворять условию
В£>В/пк>0,6££,	(104)
49
причем для отрезка Етк, определяющего положение (на оси ОК)
точки тк, дается приближенная зависимость
___	—/ А, 4- \
Етк = BE ( 0,4 - 0,2 -	~ I ,	(105)
где Л2, hA — заглубления под поверхностью пригрузки, по-
крывающей откос, соответственно точек Л, В и С (вернее h2,
/г3 есть высоты „приведенной нагрузки" в соответствующих
точках).
Давая свои формулы для ак, М. Како отмечает, что в боль-
шинстве случаев они дают несущественную погрешность.
В заключение подчеркнем следующие обстоятельства.
Нам представляется, что величина aKi которой оперирует
М. Како (обходясь при этом без коэффициента }i), является
менее определенной (менее „надежной"), чем величина ат и г0',
которыми пользуются Д. Тейлор и О. Фрейлих. Если для опре-
деления ат и г0' нам следует устанавливать только величину р,
носящую определенный физический смысл (см. формулу 81), то
для определения ак надо дополнительно учитывать еще угол
(рис. 20) в соответствии с формулой (86). Надо полагать^ что
графо-аналитический способ М. Како в указанном отношении
уступает способу Д. Тейлора. Положительным моментом в пред-
ложениях М. Како с нашей точки зрения является только введе-
ние осей координат, представленных на рис. 20, и попытка пе-
рейти от чисто графического способа расчета к аналитическому.
§ 17. Обобщение работ Д. Тейлора,
О. Фрейлиха и М. Како. Предлагаемое
уравнение предельного равновесия
для монолитного отсека обрушения
(«с пособ монолитного отсек а»)
Как было отмечено ранее, Д. Тейлор в 1937 г. [«Л. 15] впервые
указал правильную схему сил, действующих на отсек обрушения,
рассматриваемый как монолитное твердое тело (рис. 18).
Значительно.позже О. Фрейлих и М. Како впервые применили
в своих расчетах разложение реакции Rtn на составляющие Тк
и NK (рис. 19 и 20). Дополнительно М. Како ввел в рассмотре-
ние координатные оси 0К и 0Х, направив ось 0К нормально
к хорде, стягивающей дугу обрушения (рис. 20).
Изучая работы перечисленных авторов, приходится признать,
что эти работы не были все же доведены до их логического
завершения. Обобщая работы Д. Тейлора, а также исследования
О. Фрейлиха и М. Како, можно дать полную механическую
50

схему сил, действующих на рассматриваемый отсек обрушения.
Такая схема представлена нами на рис. 211 * *.
Большинство обозначений, указанных на этой схеме, известно
из предыдущего. Напомним, однако, некоторые из них, а также
поясним новые, принимаемые нами обозначения:
О —центр окружности (дуги) обрушения;
г — радиус дуги обрушения;
Еа — Еп — линия действия внешней силы О;
г0'— радиус приведенного круга трения ri}' = pr0 =
= lirsin9K;	_
- jVc ~ линия действия силы сцепления Ск;
Мт — NT — линия действия силы трения Тк;
Eix—Etn— линия действия реакции Rtn, а также силы S, пред-
_ ставляющей собой сумму сил G и Ск;
и Sy — составляющие силы S;
ас — плечо силы_Ск;
ат— плечо силы Гк;
а0 — плечо силы О;
тс — точка пересечения линии £0 —£0 и линии 7ИС — tVc;
тт — точка пересечения линии ETn — ETn и линии Мт— Nt\
mK — „точка Како“ (точка пересечения оси О И и линии МуА^г);
/ян — „точка Иванова*4 (см. ниже § 19), т. е. точка пересе-
чения линии Ео—и дуги обрушения;
хс — абсцисса точки /ис;
— угол наклона хорды АС, стягивающей дугу обруше-
ния, к горизонту;
е — угол, составленный указанной хордой и линией Ео—Е^
<»0 —половина центрального угла, отвечающего дуге обру-
шения;
—угол, составленный линиями Мт—NT и Мс — 7VC.
1 Попытка дать чертеж, обобщающий предложения Д. Тейлора, О. Фрей-
лиха и М. Како, была впервые сделана И. В. Федоровым (Л. 26, см. рис. 111-22).
Однако схема И. В. Федорова являлась неполной и кроме того, с нашей точки
зрения, не вполне правильной: она относилась к случаю симметричной
эпюры с, в связи с чем сила N по И. В. Федорову оказалась направленной
вдоль оси ОХ. Такая схема сил могла бы значительно упростить поставленную
нами задачу (не рассматривавшуюся И. В. Федоровым) — задачу об отыскании
аналитической связи между <рк и ск. Однако, как было указано выше, эпюра
для а не может быть симметричной относительно осн ОУ; эта эпюра при отсут-
ствии внешних поверхностных сил и однородном грунте получает симметрич-
ный вид только в случае схемы на рис. 34, т. с. при отсутствии „откоса". Здесь
следует иметь в виду, что не допуская принятия симметричной эпюры для а
при построении силовой схемы на рис. 21, мы в то же самое время можем при
подсчете численного значения коэффициента р, исходить из условного
симметричного распределения напряжений вдоль дуги обрушения (что, следуя
Д. Тейлору, мы делали в § 12).
52
Дополнительно ниже придется пользоваться углами х, vh ?,
й и <ос, показанными на рис. 21.
Легко видеть, что схема сил, изображенная на рис. 21, удовле-
творяет всем условиям статики.
Найдем из рассмотрения этой схемы сил анали-
тическую связь между величинами <рк и ск, т. е. урав-
нение кривой АВ, показанной на рис. 2.
При решении этой задачи, следуя Д. Тейлору, введем только
одно допущение—допущение, касающееся величины коэффи-
циента [1 эпюры напряжений. Согласно этому допущению числен-
ные значения ц считаем заданными кривой // на рис. 17.
Обращаясь непосредственно к решению поставленной задачи,
можем, согласно рис. 21, написать:
sin ?,. = £-	(106)
ит
или в соответствии с (82)
sin?K=-^	(Ю7)
Найдем величину г0':
r0' = 0mc sin vj,	(108)
где 0/ис — отрезок, соединяющий центр 0 с точкой тс, и
sin ч = cos (<ос + *),	(Ю9)
так как
у, = (90° - шс) - х = 90° - (<ос + х).	(110)
Подставляя (109) в (108), имеем:
г0' = 0/йс cos (<ос -J- х) = Qmc (cos <ос cos х — sin <ос sin x) =
= 0/nc COS <OC cos X (1 — tg <OC tg x).
Из чертежа видно, что:
tgx =
COSwc= •
O/ZZC
COS x = -=i ;
S
. xc
tg <0- = —~
6 c ac
(Ill)
(П2)
53
Подставляя (112) в (111), получаем:
или окончательно
— ас
го =0отс
0/«с
__ zx.
ас sx
(ИЗ)
(Н4)
Подставляя теперь найденное значение г/ в (107), имеем:
A la. s \
sin —--------------=Д- I
S К \хс	Sx)
Выразим далее S, и через силы G и Ск:
Sx= О COS £ — Ск;
Sy = G sin е,
(115)
(116)
где угол е следует считать заданным;
$=/$/ + $/ = G (cose +sin-’e. (Н7)
Выражение (117) можно представить в виде:
S = G )Л1 — Фк (2 cos s — Фк),	(И8)
где обозначено:
G 7 ^«7» хор
(И9)
причем здесь 2 — площадь ABCD отсека обрушения.
Безразмерная величина Фк может быть названа „коэффициен-
том сцепления".
Подставляя (116) и (118) в (115), получаем:
SlnJ _ фд2 COS е — Фк) \А ~cose-Фк )(120^
ИЛИ
. — (cos £ — Фк) — — sine
if'	г
sin к =------г   	-	(121)
ц / 1 _ фк (2 cos е - Фк)
54
Что., учитывая (49), можно представить в виде:			
sin<f>K = где	Нс	coss	^sins — Фк «с	(122)
	н	/1—фк (2COSS—Фк) ’	
Имея в виду, что		а! ° । II то 8 п	(123)
«и	=	ас cos е — хс sin s,	(124)
найденной зависимости (122) придаем следующий окончатель-
ный вид:
J --М>к
Sin<pK =--7^^----	- -	. —
I* /1— 4>K(2coss-g>K)
(125)
Выражение (125) и дает нам искомую аналитическую связь
между <?к и ск; следовательно по этому уравнению и можно по-
строить кривую связи АВ, показанную на рис. 2.
Необходимо подчеркнуть, что найденная нами зависимость
(125) в рамках допущения, касающегося численного значения р.,
является совершенно точной1.
§ 18. Частные случаи предлагаемого
уравнения предельного равновесия.
Упрощенный способ построения кривой
связи ск=/(<?к) для заданного отсека обрушения
(„упрощенный способ монолитного отсека")
Рассмотрим вначале несколько частных случаев откоса.
1 Случай вертикальной силы О . В ЭТОМ случае
s = 90c — ф;	(126)
поэтому вместо (125) получаем:
- у.сФк
sin<рк =---. Г .	,	(127)
I* J/1—Фк (2в1пф—Фк)
1 Разумеется, такое утверждение является условным. При выводе уравне-
ния (125) мы пользовались еще следующими допущениями: 1) поверхность
сдвига является круглоцилиндрической, причем отсек обрушения является
монолитным твердым телом; 2) вдоль поверхности сдвига действует зависи-
мость (2) Кулона.
55
или	sin г - фк
sm <?	- Ис	(128)
?к I1 /1 — Фк (2 sin ф—Фк)
где — угол наклона хорды АС к горизонту; о—„угол Иванова".
2°. Случай сыпучего грунта (ск = 0). В ЭТОМ Случае (рис. 22)
Фк обращается в нуль, причем получаем1:
. / ч cLq sin о
sin (?Л =	= —
(129)
1 Как видно, для случая сыпучего грунта
sin о
:Х = sin <?к)и
где о — „угол Иванова".
56
а следовательно
/	\	•	0	®
(?«)„ = arc sin —
(130)
через (срк)0 обозначена величина <рк, отвечающая ск = 0.
3°. Случай отсутствия сил трения (ок -= 0). В ЭТОМ случае (рИС. 23)
из (125) получаем
-|1СФК =0,
(131)
57
откуда1
<132)
а следовательно ________
(с* )о =	~z~ = —у— sin о = sin о, (133)
ьд. г 1АсЬХОр	Ls
где (ск)о — критическое удельное сцепление, отвечающее случаю
<?к =0.
4°. Упрощенный способ построения кривой связи ск — /(гк) („Упрощенный
способ монолитного отсека"). На рис. 24 построен целый ряд кривых
Тк=/(Фк),	(134)
вычисленных по уравнению (128) для различных величин (sin 8: [ic)
и ф. При вычислении этих кривых величина (|хс: [*) принималась
равной 1,04.
Из рис. 24 видно, что кривые (134) практически: а) не
отличаются от прямых линий, б) не зависят от
угла ф.
1 Как видно для грунта, лишенного трения (<р — 0),
sin о
Фк
58
Так как Фк выражается зависимостью (119), то можем напи-
сать:
ск = I —j— т I Фк = ^гФк ,	(135)
\ L хир /
где
(136)
ьхор
Для заданного отсека обрушения величина т, входящая в (135),
постоянна. Поэтому можно утверждать, что кривая связи ск =/(% )
для данного отсека обрушения является практически также
прямой линией.
Рис. 25.

Исходя из этого условия и учитывая выражения (129) и (133),
можем дать следующее упрощенное уравнение для искомой
кривой связи ск=/(?к):
или
или, наконец,
где
G а» Л ?к \
C'~~LS г (<?«)„/’
/Иак —
(137)
(138)
(138')
(139)
Как видно, полученное уравнение кривой связи, является до-
статочно простым.
Для построения кривой связи £к=/(?к), относящейся к за-
данному отсеку обрушения, достаточно установить следующие
геометрические характеристики рассматриваемого отсека: 1)2%
59
(с тем, чтобы по графику на рис. 17 найти jxc); 2) 2 (для того
чтобы определить О); 3) £хор и г, входящие в (138'). Кроме
того необходимо установить центр тяжести отсека, с тем, чтобы
найти угол S. Зная эти величины, по формулам (130) и (133) на-
ходим (<рк)в и (ск)о, причем, пользуясь этими величинами (от-
кладывая их по осям координат), и проводим прямую ск = f (?к);
см. рис. 25.
В этом и заключается предлагаемый нами «упрощенный способ
монолитного отсека». Надо считать, что точность этого способа не
уступает точности «способа монолитного отсека», изложенного в
предыдущем параграфе (см. уравнение 125).
Рис. 26.
§19. Способ Иванова
А. И. Иванов [Л. 21, 22, 23] пишет выражение для коэффи-
циента запаса устойчивости отсека ABCD (рис. 26) в виде:
tg <р J ads + cLs
ids
(140)
Для момента предельного равновесия, который мы здесь
только и рассматриваем, зависимость (140) получает вид (если
60
дополнительно числитель и знаменатель правой части этой зави-
симости умножить на г):
1 =------------------ (141)
г I ~ds
А. И. Иванов после ряда преобразований знаменатель пра-
вой части (141) в конечном счете представляет в виде выраже-
ния, которое может быть переписано в форме (139).
Что касается величины, которую можно назвать моментом
сил трения (относительно центра 0)
^r = rtg'P-(142)
то эту величину А. И. Иванов представляет не в виде
Mr=rtg<fKNK,	(143)
что должно было бы иметь место, а в виде
(^r)HB = rtg?K7VK',	(144)
где Ак — алгебраическая сумма нормальных сил oN (см. § 12), а
NK' — не вполне правильно подсчитанная геометрическая сумма
этих сил.
В результате такой ошибки схема сил, отвечающая моменту
предельного равновесия, согласно А. И. Иванову, получает вид,
изображенный на рис. 26 (и не имеющий ничего общего с пра-
вильной схемой, даваемой нами на рис. 211).
Из этого чертежа видно, что суть способа А. И. Иванова за-
ключается в следующем.
Внешнюю силу G переносим по линии ее действия в точку
/пи („точку Иванова"), представляющую собой пересечение линии
E(t — Ео действия силы G и окружности обрушения (см. также
рис. 21).
Затем эту силу проектируем на луч 0/Пии, проведенный из
центра 0 через точку /пи, причем получаем
/V/= О cos	(145)
где S — угол, образованный лучом 0/Лии и линией действия Ео —
Eq силы G; этот угол назовем „углом Иванова".
1 А. И. Иванов оперирует проекциями сил на вертикальную и горизонталь-
ную оси, причем выполняет ряд преобразований, которых мы здесь не приводим.
Проанализировав эти зависимости А. И. Иванова, легко убедиться в справедли-
вости наших утверждений.
61
Далее переписываем уравнение предельного равновесия (141)
в виде	_
«об = г tg<?K Л7 + rcKLs	(146)
или в соответствии с (145) в форме:
auG = г tg ©к G cos 8 + rcKLs.	(147)
Наконец, разделив (147) на г, уравнение предельного равнове-
сия А. И. Иванова- можно представить окончательно в такой фор-
ме
G sin 8 = G tg ©к cos 3 + cKLs.	(148)
Рассматривая уравнение А. И. Иванова (147), видим, что в
этом уравнении величина момента активных сил (внешней силы
О), а также величина момента сил сцепления учтена правильно.
Погрешность здесь имеет место только в исчислении момента
сил трения, который согласно А. И. Иванову записывается не в
виде (см. § 13)
A4r=FrMtg©K,	(149)
а в виде
(л,г)и.= '•Gcos8tg<pK.	(150)
С тем, чтобы оценить степень неточности способа А. И. Иванова,
нам, очевидно, следует сопоставить выражения (149) и (150). Этот
вопрос рассмотрим далее в § 25.
§ 20. Способ Тер-Аракеляна
У. А. Тер-Аракелян в 1939 г. [Л. 24], рассуждая несколько иначе,
чем А. И. Иванов (см. § 19), пришел к тем же расчетным зависи-
мостям, что и названный автор. Ввиду такого совпадения работы
У. А. Тер-Аракеляна с работой А. И. Иванова [Л. 21] следует счи-
тать, что У. А. Тер-Аракелян не давал в 1939 г. какого- либо ориги-
нального способа расчета откосов. Вместе с тем в 1962 г. [Л. 25]
У. А. Тер-Аракелян выступил в печати с некоторыми новыми пред-
ложениями, дополняющими не вполне правильный способ
А. И. Иванова. На этих новых предложениях У. А. Тер-Арекаляна
здесь и остановимся, вовсе не касаясь его старой работы.
Рассматривая новую статью названного автора [Л. 25], разу-
меется, будем иметь в виду только вопрос о предельном равновесии
откоса (заданного отсека обрушения его) *. Вопрос о коэффициенте
запаса устойчивости, которому У. А. Тер-Аракелян уделяет значи-
тельное внимание, здесь затрагивать не будем1 2.
1 В своей статье У. А. Тер-Аракелян помимо откосов рассматривает подпор-
ные стенки, плотины и т. п.
2 Этому вопросу посвящается следующий раздел нашей работы (см. ниже).
Впрочем в этом разделе по мотивам, изложенным в нем, мы вовсе не касаемся
предложений У. А. Тер-Аракеляна по вопросу о коэффициенте устойчивости, счи-
тая эти предложения неприемлемыми.
62
Не анализируя тех теоретических обоснований, которые
У. А. Тер-Аракелян приводит в своей статье (эти обоснования нам
непонятны и в некоторой мере они противоречат, как нам представ-
ляется, основным положениям строительной механики), позволим
себе остановиться только на рассмотрении окончательного уравне-
ния, которое У. А. Тер-Аракелян получил в своей новой работе.
Это уравнение (см. уравнение 28 названной выше статьи), будучи
выписано (в наших обозначениях) для случая предельного равно-
весия рассматриваемого отсека обрушения, имеет вид:
(151)
где <рк и с* — критические значения и с (при которых от-
сек обрушения находится в предельном равновесии)1; ^—коэф-
фициент эпюры напряжений о (у У А. Тер Аракеляна обозна-
чен через V —поправка к коэффициенту н (введенная нами);
согласно таблице, приводимой в рассматриваемой статье, числен-
ное значение этой поправки изменяется2 от 1,00 до 1,03. Если
принять эту поправку равной 1,01 и учесть (139), то зависимость
(151) можно переписать в виде:
1 = l.OlHtg?, |/ Г2 - 1 + С, I., ~	(152)
г («„G)-	«0G
или в виде
a„ G = 1,01 n tg фк G д/ г2 — at2 -j rcKL д.	(153)
Так как (см. рис. 21)
1/ г'2. — а2 = г cos о,	(154)
то уравнение предельного равновесия У. А. Тер Аракеляна по-
лучает вид
atlG - 1,01 |irO cos о fg ?к 4- rcKLs,	(155)
где 6— „угол Иванова".
Как видно, в отличие от зависимости А. И. Иванова (150) для
момента сил трения У. А. Тер-Аракелян получил следующее вы-
ражение:
(УИт)т-АР= l,01K<7coso tg?K.	(156)
1 У У. А. Тер-Аракеляна под <?к понимается некоторый другой угол.
2 В зависимости от величины <рк и от величины центрального угла 2<-»п.
63
Впрочем У. А. Тер-Аракелян предлагает считать, что'в фор-
муле (156), как правило:
1,01^—1,00.	(157)
При таком подходе к вопросу зависимость У. А. Тер-Аракеляна
снова обращается в расчетную зависимость А. И. Иванова (150),
иллюстрируемую схемой на рис. 26.
Таким образом, можно считать, что У. А. Тер-Аракелян и в
1962 г. в основном рекомендует пользоваться способом? предло-
женным А. И. Ивановым (1936 г.). Только в исключительных
случаях У. А. Тер-Аракелян предлагает вводить в расчетное урав-
нение А. И. Иванова особую поправку Д. Тейлора, уточняющую
расчет (поправку в виде множителя, равного примерно 1,01 и;
см. формулу 156). Сопоставляя зависимости У. А. Тер-Аракеляна
с нашими зависимостями (§§ 17 и 18), легко видеть, что указан-
ная поправка Д. Тейлора вводится у У. А. Тер-Аракеляна не вполне
правильно (хотя эта поправка, как будет видно из дальнейшего,
все же значительно уточняет расчетную зависимость А. И. Ива-
нова).
В. Сопоставление и обобщение рассмотренных способов расчета. Наиболее простой
способ расчета, предлагаемый для практического применения
(„способ весового давления")
§21. Общие указания
Рассматривая описанные выше способы расчета, можно видеть,
что все авторы 1 уравнение предельного равновесия отсека обру-
шения записывают в виде уравнения моментов относительно центра
0 дуги обрушения:
Л4ак =/Иу--J-7ИС,	(158)
где Жс — момент сил сцепления относительно центра 0, отвеча-
ющих моменту предельного равновесия; остальные обозначения
известны из предыдущего.
Равным образом можно видеть, что моменты Л4ак и /Ис, вхо-
дящие в (158), все авторы представляют одинаково:
^ = ^0;	(159)
AJC = ^Z,	(160)
причем эти выражения не могут вызвать каких-либо возражений.
Единственное расхождение между рассмотренными выше спо-
собами кроется в величине момента сил трения (отвечающих
предельному равновесию). Можно считать, что все авторы этот
момент (относительно центра 0) записывают в виде
AJ^rTVtg^.	(161)
1 Исключая авторов способа Маслова—Берера.
64
Однако входящая в это уравнение величина Л/ (ал ге б рай-,
чес кая сумма элементарных нормальных сил oTV, исчисленных
для всех элементарных площадок, образующих дугу обрушения)
у различных авторов исчисляется по-разному. Впрочем воп-
рос о величине /V можно поставить и так: можно считать, что
все авторы, способы которых были рассмотрены выше, выража-
ют силу N одинаково по следующей формуле:
N=?0G,	(162)
вместе с тем коэффициенту 30 разные авторы приписывают раз-
личную величину. Учитывая (162), величину Л1Г, согласно (161),
перепишем в виде
^r=?orGtg©K.	(163)
Зависимость (163) является весьма существенной, так как
она позволяет по величине 30, исчисленной в соответствии с пред-
ложениями разных авторов, удобно сопоставлять между собой
различные способы расчета в количественном отношении.
Ниже мы и рассмотрим прежде всего вопрос о том, как,’со-
гласно разным авторам, выражается величина р0.
Коэффициент р0 будем далее называть „коэффициентом пере-
хода от внешней силы G к алгебраической сумме сил оЛГ
или просто — „коэффициентом перехода". Как видно, этот коэф-
фициент равен
о
(164)
Рассматривая способы, относящиеся к первому методу рас-
чета (когда отсек обрушения разбивается на отдельные столби-
ки), следует различать „дифференцированный коэффициент пере-
хода", обозначенный нами через 8:
1?=^-.	(165)
Пользуясь величиной р, момент сил трения согласно первому
методу можно представить в форме
Afr= S r$ZG tg = r3>tg<pKS8G= Por^tgcpK. (166)
откуда видно, что в данном случае коэффициент перехода ₽0
является некоторой средней величиной из „дифференцированных
коэффициентов перехода"
Как видно из (163), момент сил трения прямо пропорциона-
лен величине р0. Следовательно погрешность, получающаяся при
65
установлении численного значения р,ь равна погрешности в ис-
числении момента сил трения, например:
пбП
W„.	1
где (р0)Ив — коэффициент ро, вычисленный по способу А. И. Ива-
нова.
Отсюда видно, что в случае сыпучего грунта (с = 0) по-
грешность в установлении величины р0 равна также погрешно-
сти, получающейся при установлении коэффициента запаса устой-
чивости отсека обрушения1.
§22. Величина коэффициента перехода р,
согласно Г. Крею и К. Терцаги
Дифференцированный коэффициент перехода р, выражаемый
соотношением (10), согласно Г. Крею определяется найденной ра-
нее формулой (14):
	, _ гск : 1 + -K^-sina ^Кр cosa(l ± tgotg?,,)’	<*68)
цли	г 1 + 8ФК sin а	,169) 1 кр cos a (1 4- tg a fg cpK)’
где	=	=	(170)
верхний знак в формулах (168) и (169) отвечает нисходящей,
а нижний знак — восходящей ветви дуги обрушения.
В случае сыпучего грунта (г = 0) величина рКр получает зна-
чение
*^к? cosa(l ~ tga lg<pK)*	071)
Согласно К. Терцаги’ (см. зависимость 30) имеем:
₽Тер = cos a>	(172)
причем, как видно, рТер не зависит от <?к и ск.
На рис. 27 по формуле (16’9) построены кривые
?кр=/1(“. ?к)	(173)
1 См. ниже раздел П.
66




для различных значений оФк. На этом же чертеже по формуле
(172) нанесена кривая
?гер=Л(«)-	(174)
Кривые рКр показаны: для нисходящей ветви дуги обрушения —
сплошной линией; для восходящей ветви — пунктиром. Кривые
₽те? — показаны пунктиром с точкой.
Для столбиков, имеющих наибольший вес (наибольшую вы-
соту), величина а изменяется обычно в пределах: а) для нисхо-
дящей ветви от 0 до 40 — 50°; б) для восходящей ветви от 0 до
5— 10°. Имея это в виду, легко с некоторым приближением на
основании графиков рис. 27 установить среднее значение 3, т. е.
величину р0.
Выше отмечалось, что для сыпучего грунта (оФк = 0;
рис. 27, а) погрешность в определении £ равна погрешности в
установлении коэффициента запаса устойчивости. В случае грунта,
обладающего большим сцеплением (см. например рис. 27, г) си-
лы трения играют уже второстепенную роль, причем погреш-
ность в установлении величины 3 мало сказывается на оконча-
тельных результатах расчета.
§23. Точное значение коэффициента перехода
в случае монолитного отсека обрушения.
Значения g(), согласно способам А. И. Иванова
и У. А. Тер-Аракеляна
„Точное“ значение 30 для отсека обрушения, рассматриваемо-
го как монолитное твердое тело, можно найти в результате
анализа схемы сил, изображенной на рис. 21.
Величина	__
ft	N	N	/17R4
₽0 = —=	(175)
G	G
где N — геометрическая сумма элементарных сил ZN, действую-
щих на все элементарные площадки, составляющие поверхность
обрушения (§ 12).
Из рис. 21 видно, что
М = /?ГЛ. cos ?к = S cos ?к.	(176)
Учитывая (118), выражение (176) переписываем в виде
N = cos ^KG i 1 — Фк (2 cos s —Фк )•	(177)
Подставляя эту зависимость в (175), получаем:
Ро = ** cos ?к |/1 — Фк (2 cos s — Фк)	(178)
71
или
ft. = i1 j/l - sin’ ?K |/1 - Фк (2 cos г - Ф„),	(179)
причем здесь ©к и ск связаны зависимостью (125). Имея это в
виду, выражаем sin <рк в формуле (179) согласно зависимости
(125). При этом после соответствующих преобразований найден-
ной зависимости получаем:
<180)
где Фк--„коэффициент сцепления" (см. формулу 119).
В полученной зависимости величина Фк может изменяться в
пределах
0<Фк<—;	(181)
!М'
легко показать (см. формулу 132), что при
ФК=^=^- = (ФК)м.Кс	(182)
1ХСГ	ГС
величина <рк должна равняться нулю.
Следовательно значение Фк согласно (182) является макси-
мально возможным.
В случае вертикальной силы G зависимость (180) можно
переписать в виде
ь=“ V1 -	+2Ф«(гтт -s,n $ - ф«!	- ’) <183>
или в виде
+	'>]-* [(-г)’-1!- (18,,
где Ф — угол наклона хорды, стягивающей дугу обрушения, к
горизонту; о —„угол Иванова".
В случае „сыпучего г р у н та“ (с = 0) вместо (180) полу-
чаем:
₽» = И У 1 -	= 16^-sin28.	(185)
72
В случае грунта, лишенного трения (? = 0), имеем:
= [X j/ l - Фк (2 COS е-«>„),	(166)
что при наличии вертикальной силы О можно переписать также
в виде
Ро = !‘]/1-Фк(2 51п6-Фк)	(187)
_ По формуле (184), относящиеся к случаю вертикальной силы
О, на рис. 28 построены кривые
?о =/('?> фк)	(188)
для различных значений „угла Иванова“ о. При вычислении этих
Нс z-
кривых численные значения и — были приняты постоянными
и равными (см. рис. 17):
Р = 1,06; -^=1,04.	(189)
Можно считать, что рис. 28 дает нам „точное" значение
(в рамках допущения о численном значении р.).
Следует подчеркнуть, что график на рис. 28 охватывает всю
практически возможную область встречающихся
откосов.
На нижней половине данного графика нанесены кривые связи
<?К = /(ФК), построенные по данным рис. 24 (для р.с=1,10).
Таким образом по графику на рис. 28 можно легко устано-
вить точное численное значение р0, отвечающее любым соотно-
шениям величин о, 6, Фк и ©к (при принятых численных значе-
ниях ;х и рс).
Переходя теперь к способам А. И. Иванова и У. А. Тер-Ара-
келяна, укажем следующее.
Согласно А. И. Иванову величина ft, равна (см. формулу 150)
(ft,)Hu = coso;	(190)
согласно же новому предложению У. А. Тер-Аракеляна [Л. 25]
(см. формулу 156) величина ft, равна1 *:
(Мт-лР = l»01I*c°s о.	(191)
§24. Предлагаемый для практического
использования упрощенный способ расчета
„способ весового давления"
На рис. 28 показаны величины ft,, вычисленные по нашей
точной формуле (184); только такие величины ft, и могут встре-
чаться в практике при величинах о < 40J.
1 Коэффициент 1,01 в формуле (191) поставлен нами условно, согласно наз-
ванному автору этот коэффициент изменяется в пределах от 1,00 до 1,03.
73
							
f,f0 105	fio				о-	аЛ-1 Чх’ 1	
	i-tr ^Jri <'^5aflfOl J	Ф=20* Гф=25° №£			Р	rJ^/'z 7	•	оо’ 1	
l,Uj 1,00 6 0,95	r'	ш Пл	5-^/ />'			I ФГ^Я	
	К i \^L	\\И ли			4^ > f^|		
>//777// 0,90 0,05 пал	&>30*		fps/strs/v/s	7/^/////77/7.	'zz2zzz/zz/V^		
					\		
	'i’40‘ /-o’ a	Ю	Q	20	0,	30	а	.40	0,.	«? ал	
Цои 0 Ю*	8,C< 1 Tv?/			i X’xi	\7 i	.1 1 х-<	I	*4г [х’"	
20*	s'			1	i		
	s						
OU 4d	'ft						
			Рис. 2S.				
Изучая этот график, видим, что величина практически из-
меняется в основном в пределах
0,95	< 1,05.	(192)
Область величин р0, лежащих в этих пределах, на графике
располагается выше горизонтальной линии Б—Б (отштрихован-
ной снизу).
Надо учитывать, что с ростом сил сцепления (с увеличением
Фк) роль сил трения при подсчете коэффициента запаса устойчи-
вости откоса соответственно снижается. Поэтому относительна
большая погрешность в величине при больших значениях Фк
не существенна.
Дополнительно следует иметь в виду, что значения 8 = 30 —
40 , область которых на рис. 28 располагается ниже граничной,
прямой Б — Б, чрезвычайно редко могут встречаться в практике.
Предельное максимальное значение „угла Иванова“ 8 следует
считать равным примерно 30
Имея в виду сказанное, при расчете любых земляных отко-
сов можно считать, что
3„ = 1,0 = const,	(193)
при этом очевидно погрешность в исчислении момента сил тре-
ния не будет более 5%, с чем вполне можно мириться, учиты-
вая в частности приближенность установления расчетных значе-
ний с и с.
Рассматривая на рис. 27 кривые дифференциальных значений*
В (по Крею) и учитывая указания, приведенные в конце § 22 (в
отношении величин угла а), можно видеть, что и здесь величи-
ны 3 в среднем оказываются достаточно близкими к единице.
Из приведенных пояснений делается совершенно очевидным
приемлемость для практических расчетов следующего допуще-
ния (значительно упрощающего расчет и являющегося менее
грубым, чем, например, допущения К. Терцаги, см. ниже): счи-
таем, что при расчете устойчивости откосов „ко-
эффициенты перехода“ и 8 всегда можно при-
нимать равными единице:
|80 = Р = 1.0|.	(194>
а следовательно можно полагать, что
а)	элементарная нормальная сила соответствующая лю-
бому элементу дуги обрушения, равна внешней силе 8(7, прихо-
дящейся (по линии ее действия) на данный элемент дуги обру-
шения;
7S-
б)	алгебраическая сумма элементарных сил W, т. е. величина
7V равна внешней силе G;
в)	в каждой точке дуги обрушения действует нормальное
(к дуге обрушения) напряжение
— 7/zcosa',	(195)
где Л — ордината приведенной нагрузки, действующей на дугу
обрушения; 7 — интенсивность внешних объемных сил (предпо-
лагается, что поверхностные внешние силы отсутствуют); а' —
угол, составленный направлением объемных сил и дугой обру-
шения (в данной ее точке). В случае, если объемными силами
являются только силы тяжести грунта
с = -'Лсоза,	(196)
где А — заглубление рассматриваемой точки дуги обрушения под
поверхностью грунта; у — объемный вес грунта.
Указанное допущение равносильно принятию равным единице
следующего выражения:
1)	в общей формуле Г Крея (14) или (23), учитывающей
•сцепление:
1 — оСк .
1 ч- sin a
₽к =-----* -г--------Г=1,00;	<197)
кр COS ft(l ± tgatg'fK)	'
2)	в формуле Г. Крея (5), относящейся к случаю сыпучего
трунта (г = 0):
рк„ =----ГГ-А—I------г = 1.00;	(198)
кр cos ft (1 ± tg a tg к)
3)	в формуле К. Терцаги (31):
₽Tep = cosft=l,0.	(199)
Согласно данному допущению момент сил трения оказывается
равным
Мт = г tg ?к S 3G = г tg <?KG,	(200)
причем уравнение предельного равновесия для рассматриваемого
отсека обрушения приобретает вид
E(oGx) = rtg?K£(oG) 4-rcKSos	(201)
или
S (SG sin a) = tg <?K S (oG) + cKLs.	(202)
Как видно, это уравнение решается, в отличие от уравнения
Крея, без подбора величин или ск. Вместе с тем данное урав-
нение оказывается более точным, чем уравнение К. Терцаги
(см. ниже).
76
Наряду с этим уравнение (202) легко распространить на случай
неоднородного грунта. При помощи этого уравнения далее будем
учитывать фильтрационные силы и т. п.
Таким образом, приведенные нами в §§ 17 и 18 решения следует
рассматривать только как обоснование выражения (202), реко-
мендуемого непосредственно для практического применения.
В заключение этого параграфа отметим следующее.
Г. Крей в двадцатых годах [Л. 4; см. сноску на стр. 126],.
имея в виду только сыпучий грунт (и делая ряд формальных
ошибок — „опечаток-, запутывающих вопрос), глухо отмечает, что
в случае предварительных расчетов по отысканию „наиболее опас-
ной- дуги обрушения, в формуле, аналогичной (201), можно по-
лагать cos а = 1, a tga (в среднем) ^0,0 (так как tga „положи-
телен и отрицателен и именно для наибольших высот груза h
имеет наименьшее значение"). Такое предположение, как видно,
обращает коэффициент рКр в формуле (198) в единицу.
В 1941 г. нами [Л. 27; см. сноску на стр. 170] отмечалось,
что для упрощения расчетов в формуле (28) следует полагать
cosa= 1,0, т. е. считать 3 = 1,0.
Указанные предложения, как недостаточно обоснованные и не
вполне ясно изложенные, не привились, однако, в практике. В свя-
зи с этим выше и пришлось подробно остановиться на данном во-
просе, причем, как видно, наем удалось расширить область приме-
нения указанного предложения на случай связных грунтов, пока-
зав, что точность расчетов, в основу которых положено пояснение
упрощающее допущение, является достаточной для окончатель-
ных расчетов.
Надо еще сказать, что в послевоенный период мы столкнулись
с поясненным выше допущением, высказываемым Е. Д. Кадомским,
который с целью обоснования этого допущения строил график, для
дифференциального коэффициента перехода 6 (рис. 27), рассмат-
ривая случай сыпучего грунта.
Данный наиболее рациональный, с нашей точки зрения, способ
расчета устойчивости откосов, мы позволили себе назвать «спо-
собом весового давления», поскольку здесь величина эле-
ментарных нормальных сил давления oN определяется йепосред-
ственно весом грунта, расположенного над рассматриваемыми
элементами дуги обрушения.
§ 25. Сопоставление рассмотренных способов
расчета
На рис. 29, 30, 31 представлены кривые связи ^к=/(<рк) и
ск =/(tg ?к)> вычисленные по различным способам для произ-
вольно заданной дуги обрушения (соответственно для откоса
1 :1, 2:1 и 3:1).
77
Рис. 29, а-б
Огкос 1: 1. Кривые связи: а) ск=/(?к); <0
/—по способу монолитного отсека; //- по Крею; III— по способу весового давления:
«обу Иванова, рекомендуемому У. А. Тер-Аракеляном в качестве основного; V— по
нова с поправкой У. А. Тер-Аракеляна; VI-по Торцаги.
IV— по спо-
способу Ива-
4)
с ' %*	н XI
Рис. 31, а-б.
Откос 3:1. Кривые связи: л) ск — /(<рк) и б) ск = /(<g ?к):
/—по способу монолитного отсека; //—по Крею; III— по способу весового давления; IV—по способу
Иванова, рекомендуемому У. А. Тер-Аракеляном в качестве основного; У—по способу Иванова
с поправкой У. А. Тер-Аракеляна; VI—по Тернагн.
Из рассмотрения этих графиков видно следующее:
1. Кривые связи, полученные по различным, способам, являются
практически прямыми линиями. При = 0 все способы дают один
и тот же результат (что и естественно, поскольку изучаемые спо-
собы отличаются друг от друга только методами определения сил
трения).
2. Прямая связи 1 (относящаяся к способу монолитного от-
сека) должна рассматриваться как точная кривая связи. Поэтому
можно считать (см. чертежи), что все прямые связи, расположен-
ные дальше от начала координат, чем прямая /, дают запас в рас-
чете !.
3.	Наибольший запас в расчете (в рассмотренных примерах до
+ 20%) дает способ К. Терцаги, в связи с чем сооружения, рассчи-
танные по этому способу, должны являться не экономичными.
4.	Способ Иванова, рекомендуемый как основной У. А. Тер-Ара-
келяном, также дает значительный запас в расчете (хотя и мень-
ший, чем способ Терцаги: в рассматриваемых примерах до 12%).
5.	Способ Крея и способ У. А. Тер-Аракеляна (1962 г.) оказы-
ваются достаточно близкими к точному решению.
6.	Рекомендуемый нами способ весового давления дает погреш-
ность в рассмотренных примерах ±3%.
Дополнительный анализ графиков на рис. 29, 30, 31 показывает
следующее * 2.
Наибольшее расхождение в коэффициентах запаса устойчи-
вости, исчисленных по различным способам, всегда получается
при сд = 0 (т. е. в случае сыпучего грунта). С увеличением сд
силы трения должны играть все меньшую роль, причем указан^
ное расхождение будет снижаться. Наконец, при ск = (гк)макс
(когда <рк = 0) все способы должны давать одинаковый резуль-
тат (см. выше п. 1).
Имея это в виду и интересуясь наибольшим расхождением в
величинах коэффициента запаса устойчивости, исчисленных по раз-
ным способам, будем рассматривать только случай сыпучего
грунта (с = 0).
Для этого случая погрешность в моменте сил трения, а также и
в величине коэффициента запаса (см. ниже) равняется, как то
отмечалось выше, погрешности в величине р0.
Принимая за абсолютно правильное значение то значение,
которое найдено по нашему способу — «способу монолитного от-
сека» (§§ 17 и 18), можем для величины, выражающей погрешность
способа Иванова и способа Тер-Аракеляна, написать:
А __ Зо д__________________________Ро
^Ив /д \	, -^Т-Ар /О \
(Ро)Ив	(?о)Т-Ар
(203)
где найдено по способу монолитного отсека.
’ Чем дальше от начала координат располагается кривая связи, тем больший
запас в расчете она дает.
2 С учетом данных следующего раздела.
81
Учитывая зависимости (185), (190) и (191), выражение (203)
можно представить в виде:
А W2 — sin2 *	% Vh2 — sin2 6
Див =_______а-----; дт-лР= —т-тп--------
coso	1,01р. cos о
Наконец, используя выражение (129), окончательно
р. cos
(204)
получаем
(205)
Див = — - —	- . - . ,
у 1 — |j.2 sin2 <?к
д _______________cos __________
ТАр 1,01 1 — р2 sin2 <?к
(206)
По формулам (205) и (206) на рис. 32 построены кривые:
Дт-ар=/2(?к),	(207)'
причем эти кривые даются: для р=1,06 (сплошные линии) и
для |а=1,12 (пунктирные линии).
Как видно из этого графика, способ Иванова (рекомендуемый,
как правило, У А. Тер-Аракеляном) дает все же при больших
углах <рк значительную погрешность (доходящую до 10 — 20%).
Что касается поправки, введенной Тер-Аракеляном (и, как прави-
ло, не обязательной с его точки зрения), то она значительно
снижает погрешность расчета (доводит ее до 2—3%)1 2.
Таким образом с точки зрения точности расчета не могут выз-
вать возражения: 1) способ Крея; 2) способ Тер-Аракеляна
(1962 г.), 3) способ весового давления2.
Эти три способа дают результаты, пренебрежимо мало отли-
чающиеся от результатов, получающихся по точному способу мо-
нолитного отсека.
Что касается способа Иванова и особенно способа. Терцаги,
то эти способы, как дающие излишний запас в расчете, безусловно
следует признать неприемлемыми. Дополнительно надо иметь
в виду, что оба эти способа являются ошибочными в теоретическом
отношении.
Останавливаясь на рассмотрении остальных четырех способов,
отметим следующее:
1 Говоря о погрешности расчета, имеем в виду погрешность в коэффици-
енте запаса. Величина погрешности только в моменте сил трения по способам
Иванова и Тер-Аракельна при наличии сил сцепления может быть значительно
большей, чем то указано. Для получения ее величины р(„ даваемые на рис. 28,
следует разделить на вИв и fiT.Ap, выражаемые формулами (190) и (191). Од-
нако, как отмечалось, с ростом сцепления большая погрешность в силах тре-
ния является уже несущественной.
2 Нам представляется, что такой вывод (в отношении точности трех наз-
ванных способов) можно делать, только на основании проведенных нами иссле-
дований.
«2
1.	Способ монолитного отсека, как уже отмечалось выше, дол-
жен рассматриваться как абсолютно точный (в рамках допущения,
касающегося величины н). Поскольку в основу этого способа по-
ложена схема сил Д. Тейлора, то результаты расчета по способу
монолитного отсека должны полностью совпадать с результатами
расчета по способам Д. Тейлора, О. Фрейлиха и М. Како1.
Рис. 32.
Вместе с тем, поскольку расчет по нашему уравнению (125) и
особенно по «упрощенному способу монолитного отсека» (§ 18,
рис. 25)2 является более простым, чем расчет по другим упомяну-
тым выше способам, то естественно при желании пользоваться вто-
рым методом расчета (когда отсек обрушения рассматривается
как монолит) следует применять наши предложения.
2.	Способ Тер-Аракеляна (т. е. способ Иванова с поправкой
Тер-Аракеляна) едва ли следует рекомендовать для построения
кривой связи ск=/(фк) в случае однородного сухого связного
1 Впрочем способ М. Како здесь может дать несколько иные результаты в
связи с неточностью назначения величины плеча ак для силы Тх (см. § 16).
2 Напомним, что точность «упрощенного способа монолитного отсека» не усту-
пает точности основного способа монолитного отсека.
83
грунта Ч Хотя этот способ и дает достаточно точные результаты^
но он уступает в отношении сложности расчета способу моно-
литного отсека1 2.
Дополнительно надо иметь в виду, что все же способ Тер-Ара-
келяна должен рассматриваться, несмотря на его точность, как.
ошибочный: автор этого способа без какой-либо надоб-
ности поставил задачу так, что три силы, приложенные к телу„
находящемуся в покое, оказались не пересекающимися в одной
точке (хотя разброс точек пересечения линий действия отдельных
сил случайно получился невелик). Именно отсутствие надобности
идти на такого рода «допущение» и заставляет нас отказываться от
способа Тер-Аракеляна: задача достаточно просто (проще, чем
у У. А. Тер-Аракеляна) решается без использования упомянутого-
нарушения основного положения механики.
3.	Как было указано ранее, способы, связанные с рассмотре-
нием отсека обрушения как монолита (в том числе и способ Тер-
Аракеляна), не могут найти широкого распространения в практике,
так как согласно этим способам нет возможности учитывать не-
однородность грунта в отношении о и с (для неоднородного грунта
схему сил, аналогичную представленной на рис. 21, решить в об-
щем случае нет возможности). Имея в виду такое положение, для
широкого практического использования следовало бы рекомендо-
вать способ Крея, который является теоретически правильным и
который дает, как видно из рис. 29, 30 и 31, весьма точные резуль-
таты. Однако способ Г. Крея является весьма сложным: он требует
решения соответствующего уравнения путем подбора величин <рк
и ск.
Учитывая такое положение, мы вынуждены были выше реко-
мендовать для практического применения способ, названный нами
«способом весового давления» (§ 24). Этот способ, хотя
и менее точен, чем способ Крея, но является наиболее простым;
вместе с тем он более точен, чем способ Терцаги (см. рис. 29, 30„
31)3.
§ 26. Дополнительные замечания
1°. Из всего изложенного выше ясно, что вопрос о расчете
устойчивости отсека обрушения упирается в необходимость вы-
яснить, каким образом вдоль дуги обрушения АВС (рис. 13) рас-
1 Говоря здесь о расчете, .мы всюду имеем в виду построение в резуль-
тате расчета кривой связи ск=/(?к)> Общее выражение коэффициента запаса
устойчивости откоса мы здесь не обсуждаем.
2 Впрочем окончательную расчетную зависимость, относящуюся к этому спо-
собу, можно преобразовать и, используя идею, отмеченную в § 18, свести расчет
по данному способу до таких же простых форм, что и в случае упрощенного спо-
соба монолитного отсека. Однако едва ли это следует делать.
3 Согласно данному способу отсек обрушения приходится, разумеется, раз-
бивать на отдельные столбики. Но такая разбивка должна иметь место и при;
рассмотрении отсека обрушения как монолита (она необходима для определения
центра тяжести отсека обрушения).
84
Я1 ределяются нормальные напряжения а и какова их величина.
Если бы нам была известна эпюра этих напряжений, то мы легко
могли бы подсчитать все элементарные силы o/V, а затем и алге-
браическую их сумму N. После этого можно было бы совершенно
точно ( в рамках закона Кулона) определить и момент сил тре-
ния, действующих вдоль дуги обрушения и решить поставлен-
ную задачу.
Отметим, что закон распределения нормальных напряжений
(вдоль дуги обрушения), согласно некоторым рассмотренным выше
способам расчета принимается следующий1:
а)	в способе Крея (для случая сыпучего грунта):
с =	=	________?_________М_ =
cs 05 cos Я (1 ± tg я tg <?к) Ь/ cos я
- h 1
7 1 ± tgяtgcк’
(208)
(209)
где у — объемный вес грунта; b — ширина элементарных столби-
ков; Л — их высота;
б)	в способе Терцаги:
я = — = — >----- = COS я q— ---= y/z cos2 Я;
05	05	О; COS я ‘	’
в)	в сиособе весового давления2:
oTV oG	Ыг\	,
з = — = — = -г-.—!— = Y/Z cos я.
05	05	Ь/COS Я	‘
(2Ю)
Само собой разумеется, что такого рода законы распределе-
ния нормальных напряжений з вдоль дуги обрушения здесь но-
сят не точный — условный характер, позволяющий решать постав-
ленную задачу с известным приближением (и вместе с тем до-
статочно просто)3.
2°. Известно, что в случае сыпучего грунта (с = 0) плоский
откос находится в состоянии предельного равновесия, когда
где 6 —угол наклона откоса к горизонту; коэффициент запаса
такого откоса равен единице.
1 Ниже будем иметь в виду только случай вертикальной силы G , равной
собственному весу отсека обрушения.
2 Для жидкости величина g, как известно, равна
3 Отметим, что И. В. Федоров [Я. 26] делает попытку решить задачу о
распределении напряжений з вдоль заданной дуги обрушения более точно—
при помощи известных уравнений Кеттера.
85
Если увеличивать радиус окружности обрушения, проходя-
щей через подошву откоса С, до бесконечности, то в пределе
для „наиболее опасного4* случая получим плоскую поверхность
сдвига, совпадающую с плоской наклонной поверхностью откоса
DC. При этом, как легко показать, предлагаемая нами зависи-
мость (202) для сыпучего грунта обращается в уравнение пре-
дельного равновесия, которое может быть записано в виде
sin6 = tg<pK,	(212)
где угол 6 оказывается равным углу а0 (рис. 33), составленному
вертикалью, проведенной через центр 0, и перпендикуляром»
опущенным из центра 0 на поверхность откоса.
Рис. 33.
Как видно, зависимость (212) несколько не отвечает необходи-
мому здесь равенству (211), в связи с чем можно утверждать, что
предлагаемая зависимость (202) в пределе несколько не увязы-
вается с обычной расчетной зависимостью для плоского откоса, об-
разованного сыпучим грунтом, с чем, однако, мы миримся.
Вместе с тем зависимость К. Терцаги (31), являющаяся менее
точной (для окружностей обрушения, заглубленных под поверх-
ностью грунта: см ниже п. 3°), чем зависимость (202), дает нам для
сыпучего грунта вместо соотношения (212) соотношение1:
tge = tg<pK,	(21 з>
что отвечает необходимому для плоского откоса равенству (211).
1 Действительно: формула (31) для сыпучего грунта получает вид
£ SG sin а = tg ?к £ oG cos я,
а следовательно
(sin з)средЕ *>G _
(COS я)срсд S	g
где индексом—„сред“ обозначены средние значения sin я и cos а. При
= оо величина (sin я)Спед=sin = const и (cos я)сред = cos ao=const. Имея это &
виду, и получаем (213). Зависимость (212) была получена аналогично.
86
Такое положение делается понятным, если учесть, что К- Тер-
цаги перенес закон сдвига, справедливый для плоской поверх-
ности (без всякого его изменения), на случай сдвига грунта по
криволинейной круглоцилиндрической поверхности.
3°. Будем иметь в виду только сыпучий грунт. Напишем
известное выражение для 30:
Л7
G
(214>
где N — алгебраическая сумма элементарных сил 57V; G —вес от-
сека обрушения.
Будем далее рассматривать круглоцилиндрические поверх-
ности сдвига, проходящие через подошву откоса С. При этом
мысленно будем изменять:
Рис. 34.
а)	величину угла 6 от нуля (рис. 34) до некоторой конечной ве-
личины 0 (рис. 33);
б)	величину радиуса г от некоторой конечной величины до
величины г = со (рис. 33).
Рассматривая получающиеся при таком изменении биг от-
косы, можно наметить два „крайних" случая:
1) случай, когда угол 6 относительно велик, причем поверх-
ность сдвига является плоскостью, совпадающей с поверхностью
откоса;
2) случай, когда угол 6 = 0, причем откос АС практически
отсутствует и центр 0 окружности обрушения лежит на поверх-
ности грунта (рис. 34).
Легко видеть, что в случае на рис. 33 (первый крайний
случай) имеет место закон сдвига по плоскости:
Т = /V tg ?к = 80 tg =cos6OtgcpK;	(215)
в этом случае имеем
₽0 = cos 6,	(216)
87
причем такая величина ft, является наименьшей возможной
величиной. Данный крайний случай характеризуется также ус-
ловием	_
W = /V,	(217)
где N—геометрическая сумма элементарных сил rW.
В случае на рис. 34 (второй случай)
N + /V;	(218)
значение здесь приобретает наибольшее возможное значе-
ние благодаря „эффекту распора", обусловленному силой £
(см. эпюру горизонтального давления на рис. 34); в этом случае1
Что касается алгебраической суммы N (которая при подсчете
сил трения должна умножаться на tg ?к), то эта сила значитель-
но больше N = G Если представить себе, что область ABCD
(рис. 34) заполнена покоящейся жидкостью (© = 0; с — 0), то в
этом случае, как легко можно подсчитать
/V = 1,260,	(220)
т. е. здесь величина ft, (для жидкости) оказывается равной
(?о)жилк= 1,26.	(221)
Эту величину ft, и надо считать максимально возможной.
Из всего сказанного ясно, что вообще говоря величина %
должна лежать в пределах
cos 0 < < 1,26,	(222)
причем, чем больше под поверхностью земли заглублена окруж-
ность обрушения, тем больше сила Е, обусловливающая эффект
распора и тем больше величина ft, приближается к своему верх-
нему пределу (удаляясь от нижнего предела, соответствующего
сдвигу по плоскости).
Способ К. Терцаги основан на представлении сдвига по плос-
кости. Этот способ вовсе не учитывает „эффекта распора" и
ориентирует нас в формуле (222) на минимальные предельные
значения ft,, которые, как правило, не будут иметь места в дей-
ствительности.
Из сказанного ясно, что формула К. Терцаги должна давать
правильные результаты только в случае, показанном на рис. 33
(когда поверхность сдвига обращается в плоскость). При заглуб-
88
ленной поверхности сдвига, когда возникает сила Е, формула К. Тер-
цаги должна давать заведомо заниженные значения чем и
объясняется заниженное положение «кривых Терцаги» на графиках
рис. 27.
Что касается «способа весового давления», основанного на при-
нятии равенства (194), то, очевидно, этот способ, в отличие от спо-
соба К. Терцаги, в какой-то мере учитывает «эффект распора». В
связи с обоснованием этого способа нами было показано, что вмес-
то «теоретического» неравенства (222) практически мы имеем не-
равенство (192), в связи с чем способ весового давления оказы-
вается практически приемлемым.
4°. В заключение обратим внимание на то, что из рассмотре-
ния графика на рис. 24 можно сделать следующий вывод.
Кривые ?К=/(ФК), показанные на этом графике, практически
не зависят от угла 0 (от угла наклона хорды, стягивающей дугу
обрушения, к горизонту). Эти кривые являются практически
прямыми линиями, проведенными на равном расстоянии друг от
друга.
Учитывая эти обстоятельства, легко показать, что уравнение
предельного равновесия (128), идя на пренебрежимо малую по-
грешность, можно записать в виде
8,п?к = ^{^-фЛ	(222')
г* \ Нс	/
или, учитывая (119), в виде
где о — „угол Иванова"; 9 —площадь отсека обрушения; Ехор —
длина хорды, стягивающей дугу обрушения.
II. О КОЭФФИЦИЕНТЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ОТСЕКА
ОБРУШЕНИЯ
§27. Предварительные указания
к постановке вопроса
о составлении общего выражения
для коэффициента запаса (k)
уст ойчи в о сти отсека обрушения
Коэффициент запаса (k) устойчивости должен иметь опреде-
ленный физический смысл и быть логически обоснованным.
Этот коэффициент включается в расчетные формулы с целью
ввести запас в величину различных параметров, находимых при по-
мощи расчета (в величину «искомых параметров»). Необходимость
запаса в величине искомых параметров обусловливается в общем
случае следующими тремя обстоятельствами:
89
1)	неполным соответствием натуре той, обычно несколько ус-
ловной модели явления, которая кладется в основу вывода
расчетных зависимостей, необходимых для определения искомых
параметров;
2)	неточностью метода расчета, т. е. неточностью вывода упо-
мянутых расчетных зависимостей, основанного на рассмотрении
принятой модели явления;
3)	неточностью численного значения «исходных парамет-
ров», т. е. различных величин, которые задаются для расчета при
помощи намеченной расчетной схемы сооружения (для
расчета действительное сооружение приходится заменять обычно
несколько упрощенной расчетной схемой).
Погрешности в численных значениях «искомых параметров»,
обусловленные теми или другими из трех отмеченных обстоя-
тельств, и должны выправляться коэффициентом запаса.
Эти погрешности могут быть различного знака. Такое об-
стоятельство, вообще говоря, должно учитываться при назначении
численного значения коэффициента запаса /г1.
Поясним более подробно каждое из упомянутых трех обстоя-
тельств.
1-е обстоятельство: неполное соответствие натуре приня-
той модели явления.
Здесь для примера можно привести модель в виде отсека обру-
шения, ограниченного снизу дугой окружности и выполненной твер-
дым (монолитным) телом, а не грунтом (сыпучим или связным),
что имеет место в действительности. Здесь также для примера мож-
но напомнить «модель Крея» и «модель Терцаги», описанные в
§§ 6 и 7.
2-е обстоятельство: неточность метода расчета.
Выполняя, исходя из принятой модели явления, тот или другой
математический вывод, часто приходится вводить различного рода
упрощающие предположения: пренебрегать сравнительно малыми
величинами, пользоваться, приближенными связами между неко-
торыми величинами, например, известной зависимостью Кулона
и т. п.
3-е обстоятельство: неточное назначение численного значе-
ния исходных параметров (замена действительного сооружения уп-
рощенной расчетной схемой).
В расчетные формулы, относящиеся к оценке устойчивости от-
сека обрушения, входят в частности следующие исходные лара-
метр ы:
а)	угол внутреннего трения грунта
б)	удельная сила спепления с\
1 Здесь, строго говоря, следует пользоваться соответствующими правилами
теории вероятности.
90
в)	объемный вес грунта 71;
г)	внешние дополнительные силы: сейсмические, фильтрацион-
ные и т. п.
д)	размеры, определяющие очертания самого откоса, напри-
мер, коэффициент откоса т.
Можно ожидать, что численное значение того или другого ис-
ходного параметра, принятого в расчете, окажется в том или дру-
гом месте сооружения не отвечающим действительности, причем,
благодаря этому, можем получить нарушение устойчивости по-
строенного откоса, если не введем в расчет соответствующий коэф-
фициент запаса. В расчетной схеме сооружения можем иметь в ви-
ду только внешние силы собственного веса грунта; в действитель-
ных же условиях, помимо таких сил могут быть еще, например,
сейсмические силы, которыми мы пренебрегаем, и т. п.
Наиболее существенным вопросом при расчете устойчивости
откоса является вопрос о точности установления величин <? и с.
Действительно, используя в расчете принятые численные значе-
ния ©иг, надо учитывать следующее:
1.	Строго говоря, грунт, образующий откос, всегда будет в
некоторой степени неоднородным в отношении ? и с. Для рас-
чета же часто принимают среднее значение » и с. Вместе с тем
нет уверенности, что в пределах рассматриваемого откоса, ко-
торый может простираться на большую длину (измеряемую
иногда километрами) в том или другом его месте средние мест-
ные значения <? и с окажутся совпадающими со средними общи-
ми значениями « и с, установленными для всего сооружения в
целом.
2.	Возможная неполнота данных геологических разведок так-
же заставляет смотреть на принятые в расчете значения о и с,
как на величины, не вполне соответствующие действительности.
3.	Наконец, сам метод определения <р и с может иметь су-
щественные погрешности:
а)	исходные параметры о и с находят на основании опытов
с образцами грунта, взятыми, например, из намеченных карьеров.
Такого рода опыты могут производиться по-разному, причем
различные методы опытного определения ф и с для данного об-
разца грунта будут давать разные значения и с в связи с не-
достаточной точностью этих методов;
б)	сам отбор образцов грунта на месте строительства может
не вполне отразить истинную картину распределения численных
значений <р и с по сооружению;
в)	положим, что из области залегания грунта, представляю-
щего для нас интерес, по определенной системе было отобрано
1 Часто, однако, вместо двух величин с и 7 в расчетные зависимости
с
удается ввести одну величину:
9L
достаточное количество образцов грунта, причем все эти образ-
цы были исследованы в лаборатории. Разумеется, полученные
для этих образцов значения © и с будут различной величины.
Если для расчета примем наибольшее из найденных © и с, то
сооружение может разрушиться; если же примем наименьшее
из найденных © и с, то сооружение может оказаться не эконо-
мичным. Естественно возникает вопрос о том, какой процент
•обеспеченности найденных опытом и с следует принять при
установлении расчетных значений и с. Решение этого воп-
роса вызывает затруднение и кроет в себе известный риск.
Установив, так или иначе на основании проведенных исследо-
ваний численные значения © и с, далее можем или непосредст-
венно применять их в расчете (при этом численное значение
коэффициента запаса k должно иметь одну величину) или пред-
варительно ввести на эти значения © и с тот или другой запас
(„локальный* запас), выражаемый коэффициентами запаса
Л/, причем непосредственно для расчета рекомендовать значения
©£/ и ckc' (при этом численное значение коэффициента запаса k
уже должно быть другое: величина k в этом случае должна
зависеть от принятых значений Л/ и &/).
Только с учетом всех перечисленных выше обстоятельств мо-
жет быть, строго говоря, установлено общее выражение для коэф-
фициента запаса k, а также его численное значение.
Однако такого рода вполне логичный подход к решению вопроса
о коэффициенте запаса является очень сложным и практически
неприемлемым. В практике часто приходится отбрасывать менее
существенные обстоятельства и останавливаться только на
главных причинах, обусловливающих наибольшую возмож-
ную погрешность в численных значениях искомых параметров.
Рассматривая расчет устойчивости отсека обрушения, ограни-
ченного снизу дугой окружности, практически следует вводить за-
пас:
а)	на приближенность принятой модели явления и приближен-
ность математического анализа этой модели, причем такой запас
может быть оценен только ориентировочно;
б)	на возможную погрешность в установлении величин © и с.
Последнее обстоятельство (п. б) следует рассматривать как
самое главное, так как именно здесь мы можем допустить наи-
большую ошибку.
Что касается таких обстоятельств, как погрешность в принятой
величине коэффициента откоса (очертание откоса), ошибка в ис-
числении внешних сил, действующих на отсек обрушения, то этими
обстоятельствами, сравнительно с вышеназванными, приходится
пренебрегать при построении общего выражения для коэффициен-
та запаса k.
-92
§ 28. Доведение заданного отсека
обрушения до состояния
предельного равновесия
Запроектированный и построенный откос должен быть доста-
точно устойчив. Напряженное состояние такого откоса будем назы-
вать «напряженным состоянием действительного откоса».
Заданный устойчивый действительный отсек обрушения может
быть искусственно (мысленно) доведен до состояния предель-
ного равновесия двумя различными способами:
1-й способ доведения действительного отсека обрушения
(рис. 35, схема № 1) до состояния предельного равновесия: со-
храняя велеичины действительных значений <р и с (<рд и ед), изме-
няем мысленно величину каких-либо внешних сил, действую-
щих на отсек обрушения (сохраняя при этом линии их дейст-
вия), до тех пор пока величины и сд не приобретут критичес-
кого значения <?д = <рк и сд = ск. В результате получаем вообра-
жаемый откос (рис. 35, схема № 2, где внешняя сила G увели-
чена на величину 3G), находящийся в состоянии предельного
равновесия.
2-й способ доведения действительного отсека обрушения
(рис. 35, схема № 1) до состояния предельного равновесия: со-
храняя внешние силы, действующие на отсек обрушения, умень-
шаем мысленно © или с или <р и с до тех пор, пока отсек об-
рушения не окажется в состоянии предельного равновесия.
Полученный при этом воображаемый отсек обрушения (рис. 35,
схема № 3) будет характеризоваться значениями © и с, равными
соответственно и ск.
Воображаемые отсеки обрушения, находящиеся в состоянии
предельного равновесия (схемы № 2 и № 3), как известно, долж-
ны характеризоваться тем, что угол отклонения р элементарной
9а
•силы o/?nv от соответствующей нормали для этих схем равняет-
ся <рк. В случае напряженного состояния действительного откоса
(рис. 35, схема № 1) угол отклонения причем величина р
нам неизвестна.
Существенно подчеркнуть, что если для „предельного откоса"
(схема № 2 и № 3) мы располагаем возможностью установить
величины сил Rtn и Ск (см. §§ 11— 13),jro для действительного
отсека обрушения (схема № 1), силы Rtn и Ск мы рассчиты-
вать не можем: действительный отсек обрушения (схема № 1),
находящийся в непредельном состоянии, не поддается расчету,
аналогичному тому, который приведен в §§ 11—13.
Рассмотрим моменты сил (относительно центра 0). действую-
щих на отсек обрушения: действительный (рис. 35, схема № 1)
и воображаемый (рис. 35, схемы № 2 и № 3). Можно различать
четыре таких момента, имеющих разное значение:
1)	момент внешних сил, действующих на отсек обрушения в
действительности (схема № 1); этот момент будем называть
„действительным активным моментом" и обозначать его через
(^ак) действ j
2)	момент сил трения и сцепления (по окружности обруше-
ния), препятствующий обрушению (повороту) действительного
отсека обрушения (схема № 1). Этот момент будем называть
„действительным пассивным моментом" и обозначать его через
(М
пасс )действ. ЯСНО, ЧТО
(•^ак)дсйств = (^пасс)действ»	(223)
3)	момент внешних сил, действующих на отсек обрушения,
доведенный до состояния предельного равновесия (схема № 2
или № 3). Этот момент будем называть „предельным активным
моментом" и обозначать его через (Л4ак)пред;
4)	момент сил трения и сцепления (по окружности обрушения),
препятствующий обрушению (повороту) воображаемого отсека
обрушения (схема № 2 или № 3). Этот момент будем называть
предельным пассивным моментом и обозначать его через
(^Ицасс)пред- ОчеВИДНО, ЧТО
(-Мак)пред = (-^пасс)пред>	(224)
причем для схемы № 3 эти моменты равны моментам сил для
схемы № 1 (приведенным в соотношении 223).
§ 29. Первый вариант составления
общего выражения для коэ ффициента
запаса устойчивости отсека обрушения
Говоря о предельном равновесии того или другого тела, напри-
мер, отсека обрушения, ограниченного снизу дугой окружности,
следует прежде всего представить себе возможную кинемати-
ческую картину движения этого тела после нарушения его равно-
весия.
94
При этом, если данное тело имеет тенденцию вращаться отно-
сительно какого-либо центра (а не двигаться вдоль горизонталь-
ной или вертикальной оси), то уравнение предельного равновесия
должно записываться в виде уравнения моментов относи-
тельно упомянутого центра. Именно такой случай мы выше всюду
имели в виду, рассматривая отсек обрушения.
Представляя уравнение предельного равновесия в виде соответ-
ствующим образом записанного уравнения моментов, общее вы-
ражение для коэффициента запаса k прежде всего можно дать в
виде отношения двух соответствующих моментов:
(225)
допустимые
мы должны бу-
все те основные
(226)
(227)
Надо, однако, заметить, что выбирая при этом
численные значения коэффициента запаса Хг,
дем отразить ими в соответствии с формулой (225)
погрешности расчета, которые были пояснены в § 27. В против-
ном случае зависимость (225) потеряет смысл.
Следуя указанному пути, принимаем здесь 1-й способ доведения
отсека обрушения до состояния предельного равновесия (рис. 35;
«схемы № 1 и № 2) *. При этом можем написать:
k = ^ак)пред (ИЗ СХ6МЫ № 2)
(^ак)деПст. (из схемы № 1)
дли
. __ д0 (G 4- gG) G-\-lG
“	“ G
Практически величина k, согласно формуле (227) должна вы-
числяться следующим образом:
1)	по уравнению, связывающему величины <рк и ск [например,
до уравнению (125)], вычисляем величину G, задавшись в этом
уравнении срк = и ск = сд.	_
2)	Полученное из этого уравнения значение G принимаем
за величину (G4-3G); под величиной же G в знаменателе фор-
мулы (227) понимаем действительное значение силы G.
3)	Подставляем установленные таким образом значения сил
(О + &G) и G в формулу (227) и получаем искомую величину k.
Как видно, допускаемые численные значения k примени-
тельно к формуле (227) должны устанавливаться сообразуясь
с возможной погрешностью об в определении внешних сил,
действующих на отсек обрушения. Однако, как отмечалось ра-
1 Пользуясь 2-м способом доведения отсека обрушения до предельного рав-
новесия, мы, разумеется, не можем выразить k согласно формуле (225), по-
скольку моменты сил схем № 1 и № 3, как то было указано выше, имеют одина-
ковую величину.
95
нее, главная погрешность расчета может крыться не в установ-
лении величины внешних сил, а в установлении расчетных зна-
чений и с. Поэтому данный вариант, не позволяющий оцени-
вать величиной k погрешности, кроющиеся в расчетных значени-
ях <р и с, должен быть отброшен.
Таким образом общее выражение коэффициента,
запаса k как отношение моментов сил не может
быть рекомендовано для практического исполь-
зования.
Дополнительно поясним здесь еще следующие обстоятельства.
1. В случае сыпучего грунта (£ = 0) заданный откос (рис. 35,
схема № 1) нельзя довести до состояния предельного равнове-
сия путем только увеличения силы G (без изменения направ-
ления линии действия силы О). Такое положение делается яс-
ным из рассмотрения зависимости (129), в которую величина
силы G не входит.
Таким образом для сыпучего грунта схему № 2 на рис. 35 вооб-
ще получить нельзя; вместе с тем эта схема лежит в основе фор-
мулы (227) !.
2. На схеме № 1 (рис. 3.5) показана только одна внешняя сила,
действующая на отсек обрушения. При наличии нескольких внеш-
них сил (разной физической природы и различного направления)
расчет k по рассматриваемому варианту в значительной мере ус-
ложняется.
Действительно, имея несколько внешних сил, установленных с
некоторой погрешностью, мы при доведении схемы № 1 (рис. 35)
до предельного равновесия, могли бы, согласно данному варианту,
оценивать величиной k погрешность, относящуюся только к одной
силе; другие же силы выпали бы здесь из нашего внимания.
Желая, однако, оценить допустимым значением k погрешности,,
кроящиеся в величинах всех внешних сил, нам пришлось идти в
данном случае иным путем — например, следующим:
а)	анализируем напряженное состояние нашего тела (отсека
обрушения) в действительном его состоянии (в непредельном
равновесии; схема № 1, рис. 35). При этом устанавливаем для
непредельного равновесия тела какое-либо характерное напря-
жение („действительное напряжение"). Очевидно, величина
будет отражать совместное действие на наше тело всех,
внешних сил разного направления 1 2;
1 У. А. Тер-Аракелян с тем, чтобы обойти это обстоятельство, при состав-
лении общего выражения для коэффициента запаса совершенно произвольно
изменяет направление линии действия силы G.
2 Под хд можно понимать и некоторое среднее напряжение для наме-
ченного сечения тела.
93
б)	далее вводим понятие „критического напряжения" ткр (от-
носящегося к соответствующему месту тела), т. е. такого на-
пряжения, при котором тело находится в предельном равновесии1;
в)	наконец, коэффициент запдса k записываем в виде
k = -к-.	(228)
Такое выражение для kt как видно, дает представление о сте-
пени устойчивости нашего тела и косвенно характеризует «суммар-
ную» погрешность в величинах всех внешних сил (разного на-
правления), действующих на тело.
Надо сказать, что выражение (228) неприемлемо не только по
тем причинам, которые были отмечены выше (невозможность до-
ведения действительной схемы до предельной схемы в некоторых
случаях сыпучего грунта; невозможность учета величиной k, уста-
навливаемой по формуле (228), погрешности в величинах <? и с),
но и потому, что мы не можем в настоящее время рассчитывать не-
предельное состояние отсека обрушения, что требует формула.
(228).
§ 30. Второй вариант составления
общего выражения для коэффициента
запаса устойчивости отсека обрушения
Считая, что внешние силы найдены с достаточной точностью
(сравнительно с точностью установления и с), далее не будем
здесь интересоваться погрешностями в величине этих сил.
Из рассмотрения „предельной" схемы № 3 (рис. 35) находим
критические значения <рк и ск (см., например, § 17 и § 18), при-
чем записываем .частные коэффициенты запаса" в величинах
<р и с в виде:
или	; kc = —,	(229)
? tg?K	?к	ск*	v '
где <?д и ^ — действительные, заданные нам для расчета значе-
ния и с (определенные с некоторой погрешностью; см. § 27).
Искомое общее выражение для коэффициента запаса может быть
записано в виде2:
k=f(k^ kc).	(230)
1 Величин}' тьр можем получить, доведя наше тело до состояния предель-
ного равновесия путем изменения величин внешних сил. Это изменение ве-
личин внешних сил следует, например, производить так, чтобы траектории
главных напряжений сохраняли свое положение.
2 Допустимые значения &, исчисляемые согласно этой зависимости, могут
быть несколько увеличены, имея в виду некоторую неточность принятой «модели
явления» и математического анализа ее.
97
Как видно, это выражение для k:
во-первых, оценивает погрешность в определений именно тех
величин (исходных параметров), которые устанавливаются наиме-
нее точно;
во-вторых, позволяет обойтись без расчета «непредельной схемы»
отсека обрушения (рис. 35, схема № 1).
В том случае, когда грунт сыпучий (с = 0), данный способ оп-
ределения k является наиболее рациональным, что давно приз-
нано рядом исследователей. Именно' этому пути следовали Фелле-
ниус, Терцаги и др.
Однако наличие сил сцепления усложняет расчет по данному
способу: появляются два частных коэффициента запаса
{k? и kc)t объединение которых, согласно зависимости (230),
вызывает некоторое затруднение и т. п. Сама техника расчета
величины коэффициента запаса усложняется.
Учитывая это обстоятельство, попытаемся, придерживаясь
зависимостей (229) и (230), найти наиболее удобную для прак-
тических расчетов формулу, служащую для определения k. При
этом для упрощения расчета будем исходить из несколько ус-
ловного предположения о том, что = kz = kt т. е. будем счи-
тать, что погрешности в установлении расчетных значений © и с
примерно одинаковы1.
§ 31. Обоснование окончательно
рекомендуемого выражения для
коэффициента запаса k
устойчивости отсека обрушения
Положим, что для заданного откоса и заданной дуги обруше-
ния построена кривая связи (рис. 2):
^=/(?к)	(231)
или кривая связи
=/(tg?K)«	(232)
Как было показано выше, эти кривые практически можно
считать прямыми линиями (см. прямую АВ на рис. 36).
Прямая АВ связи между критическими значениями ск и tg <?к,
построенная, например, по уравнению (202), носит приближен-
ный характер, поскольку в основу вывода уравнения (202) бы-
ли положены некоторые допущения. Действительная кривая свя-
зи ск = /0(tg срк) нам неизвестна. Имея в виду ввести соответству-
ющий запас, учитывающий неточность зависимости (202) (ее вы-
вода), а также неточность установления внешних сил, нам оста-
ется только переместить прямую АВ параллельно самой
себе в некоторое новое положение А'В'.
1 В действительности относительная погрешность в установлении величи-
ны с бывает больше относительной погрешности в установлении величины <?.
98
Перенос прямой АВ в положение А'В' может быть оценен
отношением
АО'_____OB' _ .	/933)
где величину £мет+снлы можно рассматривать как коэффициент
запаса, учитывающий погрешности, имеющиеся в самом методе
расчета, а также в исчислении внешних сил.
Если обозначить через k?+c коэффициент запаса, учитываю-
щий погрешности в определении величины © и г, то на основа-
нии сказанного ранее, можем утверждать, что величина (#Мет+силы—
— 1) незначительна сравнительно с величиной (k^c — 1). Поэто-
му учет неточности метода и неточности исчисления внешних
сил путем относительно небольшого перемещения прямой АВ
(в положение А'В') можно считать вполне приемлемым.
Принимая, таким образом, линию А'В' за прямую, отвечаю-
щую предельному равновесию (прямую связи величин ск и tg <рк),
обозначаем, как и выше, через <?д и сд „действительные" (рас-
четные) значения <? и с.
Ясно, что если пара заданных для данного грунта величин ©/
и сд' дает нам точку на рис. 36, лежащую ниже прямой АВ
или прямой А'В' (см., например, точку а), то рассматриваемый
отсек обрушения будет неустойчив. Если же величины и сд
дают нам на рис. 36 точку, лежащую выше прямой АВ или А'В'
(см., например, точку Ь), то рассматриваемый отсек обрушения
должен считаться устойчивым.
99
С тем, чтобы оценить в этом последнем случае степень
устойчивости отсека обрушения, проведем через точку b прямую
А" В", параллельную прямым АВ и А'В'.
Отношение
ОА"
ОА'
ОВ" .
OB' 4
(234>
причем представленное в таком виде, учитывает погрешность
в определении ? и с.
Действительно, если уменьшить величины tg?d и cdi отвеча-
ющие точке b в k^rC раз, то мы получим некоторые величины
tg?/ и ск':
tg?/
tg?a . р Сд
b * к — b
nv.l-c
(235>
причем величинам tg ?/ и ск' будет отвечать точка Ь', лежащая
на прямой А'В'.
Наряду с выражением (234), можно написать
ОА" = ОВ"
~ОА ~ ОВ
(236>
Из предыдущего должно быть ясно, что коэффициент запаса,,
записанный в таком виде, должен учитывать не только погреш-
ность в величинах ? и с, но также и перемещение прямой А&
в положение А'В' (о чем говорилось ранее).
Таким образом можно утверждать, что величина k, установ-
ленная согласно зависимости (236), как отношение длины соответ-
ствующих отрезков, измеренных по горизонтальной и вертикаль-
ной осям графика на, рис. 36, дает нам единственно воз-
можное логически обоснованное, значение коэф-
фициента запаса. Следует ясно себе представить, что пря-
мая АВ является геометрическим местом точек, определяемых
координатами
„ £й_
k k’
где величины tg?d и сд здесь трактуем как координаты точек
прямой А"В", проходящей через заданную точку Ь.
Из всего сказанного понятно, что значение коэффициента
запаса Л, определенное по формуле (236), имеет вполне опреде-
ленный физический смысл. Назначая допустимые числен-
ные значения k в соответствии с формулой (236), мы долж-
ны установить прежде всего возможную погрешность в опреде-
лении tg <?д и с(Ь т. е. величину и затем несколько (немно-
го) повысить численное значение k^c (до величины k), учиты-
100
ъая возможные погрешности в методе расчета и в исчислении
внешних сил1.
Исходя из уравнения предельного равновесия (записанного
в виде уравнения моментов), можем представить прямую АВ
уравнением
(^пасс);;„ = (rN) tg ?« + (rL,) С< ,	(237)
где /V —алгебраическая сумма элементарных нормальных сил 87V,
действующих на элементарные площадки дуги обрушения и
исчисленные для схемы №3 (рис. 35); (7Ипасс)^ед — пассивный
момент для этой схемы.
Учитывая, что
(^пасс)пред = (^ак)дсйств ~ CODSt,	(238)
~а также принимая N = poG постоянной величиной (поскольку
мы приняли линию АВ в виде прямой), уравнение (237) можно
переписать в виде
(М»к)дсйств = (ГК) tg <Рк + (rL J СК ,	(239)
где выражения, заключенные в скобки, являются постоянными
величинами (для заданного отсека обрушения).
Ясно, что уравнение прямой А"В", проходящей через данную
точку Ь, будет иметь вид
Л (Л1.к)дс»стВ = k (rN) tg <рк + k (rLs) ск ,	(240)
тде k — коэффициент запаса, исчисленный по формуле (236).
Зависимость (240) можно переписать в виде
/г - tg + (rLs) kcK
(ТИак)действ
или (см. схемы № 1 и № 3 на рис. 35, а также формулу 229)
в виде
rNig<?d + rLscd
a^G
или, наконец, в виде
(ЛУак)действ (ДЛЯ СХеМЫ 1) ’
(241)
(242)
(243)
1 Единственным .слабым местом" приведенной интерпретации понятия ко-
эффициента запаса является то обстоятельство, что мы вводим здесь одина-
ковый запас (&<р+с) в величины tge и с. В действительности же, как было
отмечено, значение и значение с могут определяться с различной точностью.
Однако, если бы мы попытались учесть это обстоятельство, то нам пришлось бы
проводить на рис. 36 линию А"В” не параллельно прямой A'B't причем расчет
усложнился (на что едва ли имеет смысл идти).
101
где
yWnacc = ''yVtH^+r£A,
(244)
причем здесь N, как было подчеркнуто выше, есть алгебраиче-
ская сумма элементарных сил o/V, относящихся к схеме
№ 3 (рис. 35), и и ^ — соответственно угол трения и удель-
ная сила сцепления, относящиеся к схеме № 1 (но .не
к схеме № 3).
Следует ясно себе представить, что величйна 2И°асс не яв-
ляется моментом какой-либо силы, как то часто
считают. Действительно (рис. 35):
а)	пассивный момент для схемы № 1 равен
(Л^пасс) — (^ак)действ ^пасс’
б)	пассивный момент для схемы № 2 равен
(Ссс)" = г (N + W) tg + rLscd Ф Л1;асс;
в)	пассивный момент для схемы № 3 равен
= 'W + rL^ + Жпасс-
Величина М‘асс есть некоторая фиктивная величина, кото-
рую нельзя себе представить как момент какой-либо силы.
Вместе с тем величина kt исчисленная по формуле (243), чи-
сленно совпадает с величинами k, исчисленными
по формулам (229) и (236). Поэтому для удобства вычисления
вместо формул (229) и (236) можно рекомендовать определять
коэффициент k по зависимости (243).
Данная формула давно известна1. Вместе с тем мы считали
необходимым привести здесь подробное ее обоснование, поскольку
вопрос об общем выражении для коэффициента запаса k в случае
расчета устойчивости откосов вызывает постоянные дискуссии и
трактуется разными авторами по-разному.
1 Эта зависимость (не имеющая ничего общего с часто применяющейся
в практике расчета сооружений зависимостью: k = Л/удеож: МОпр) впервые
была предложена для расчета откосов Р. Р. Чугаевым [Л. 8| в 1932 г. До этого
времени при вычислении коэффициента запаса k устойчивости откосов пользо-
вались формулами (229), дающими то же численное значение k. что и фор-
мула (243), но являющимися менее удобными, особенно в случае связного
грунта. Надо заметить, что формулы (229) впрочем можно привести к одной
формуле, дающей те же численные результаты, что и формула (243):
гДе (тк)о и (ск)0 — угол трения и сила сцепления соответственно для сыпучего
грунта (ск = 0) и для грунта, лишенного трения (<?к = 0).
102
Само собой разумеется, что допустимые численные
значения k, даваемые применительно к формуле (243), должны
в основном выражать собой ту погрешность, которая имеет
место при назначении „действительных" (расчет-
ных) значений <рд и сд.
Дополнительное замечание. В заключение отметим*
что рекомендуемое нами выражение для коэффициента запаса
устойчивости
к- _ = гт^+гс^ (246)
(Я4ак) действ	aoG
можно еще интерпретировать и следующим образом.
Величина (Л4ак)дсПств равна
(Мак)действ ~ QqG == ( АГПасс)схемы № 3 = Г/V tg Т = Г £	, (247)
где — касательные напряжения по дуге обрушения в момент
предельного равновесия (для схемы № 3).
Очевидно, эпюра нормальных напряжений з по дуге обруше-
ния для схемы № 1 является той же, что и эпюра напряжений а
для схемы № 3 (когда отсек обрушения находится в предельном
равновесии). Отсюда заключаем, что величины N (алгебраиче-
ские суммы элементарных сил ZN) для схем № 1 и № 3 — оди-
наковы.
Представим теперь себе, что к схеме № 1 (действительному
отсеку обрушения) мы приложили некоторый дополнительный
момент оЛ4, причем таким образом, что распределение о по дуге
обрушения не изменилось. Вместе с тем будем считать, что
момент	_
8Л4+а0О = М	(248)
приводит наш откос в состояние предельного равновесия.
Тогда для величины М. можно написать:
М = a„G + SM = rN tg <pd + rcdLs = г^а,	(249)
где — касательные напряжения, действующие по дуге обруше-
ния действительного откоса, в момент предельного равновесия,
обусловленные таким увеличением активного момента, которое
не изменяет эпюры напряжений о.
Сопоставляя выражения, полученные для Л/ак и М, видим*
что коэффициент запаса k можно записать в виде:
АГ rNtgyd + rcdLx
S Тк ТИак	(IqG
(250)
103
откуда видно, что величина М равна
М = Л1пасс = аиС4-оЖ,	(251)
где, как было подчеркнуто, дополнительный момент оЛ1 должен
быть приложен к отсеку обрушения таким образом, чтобы эпюра
напряжений а, полученная для схемы № 3 осталась без измене-
ния. Само собой разумеется, что физически указанный дополни-
тельный момент 6/И представить себе нельзя. Поэтому и вели-
чина приведенная выше, оказывается лишенной физического
смысла.
Учитывая все сказанное, можно утверждать, что приведенная
трактовка вопроса о коэффициенте запаса, хотя и приводит нас
к тому же выражению, что было получено выше, но вместе с тем
является несколько условной (формальной, лишенной физического
смысла) *.
III. УЧЕТ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СИЛ ПРИ РАСЧЕТЕ
УСТОЙЧИВОСТИ ЗЕМЛЯНЫХ откосов
§ 32.	Предварительные указания
Вопрос о фильтрационных силах будем рассматривать в соот-
ветствии с тем методом, который был освещен нами в 1941 г. в
Технических условиях и нормах на земляные насыпные плотины
[Л. 27]. Однако, в отличие от этих ТУиН, здесь будем пользоваться
для расчета устойчивости откосов способом весового давления (а
не способом Терцаги, что имело место в ТУиН); кроме того, осно-
вываясь на способе весового давления, приведем ниже «некоторые
дополнительные обоснования упомянутого метода учета фильтра-
ционных сил.
Будем рассматривать заданный отсек обрушения, ограниченный
снизу дугой окружности обрушения АВС (рис. 37). Грунт считаем
однородным, связным, несжимаемым2. Дополнительно предпола-
гаем, что часть отсека обрушения, расположенная ниже кривой
депрессии, насыщена движущейся водой.
Известно [Л. 28, 29], что в области грунта, насыщенного движу-
щейся водой, на каждую кубическую единицу его объема дей-
ствуют следующие три силы (рис. 37, а);
1)	удельная сила собственного веса сухого грунта усух (на-
правлена вниз);
2)	вертикальная удельная сила гидродинамического взвеши-
вания (направлена вверх):
	w = (1 — т0)	(252)
1 Этим обстоятельством сдвиг грунта по круглоцилиндрической поверх-
ности отличается от случая сдвига по плоской поверхности, где отношение
(2 тд): (£ тк) может иметь определенный физический смысл.
2 Вопросы о фильтрационных силах, обусловленных сжатием скелета грунт-
та, в этой работе мы не затрагиваем.
104
где m0 — пористость грунта; —объемный вес воды;
3)	удельная фильтрационная сила /ф, направленная вдоль ли-
нии тока и равная
/Ф = V,	(253)
где / — пьезометрический уклон в данном месте.
Вместо указанных трех сил часто рассматривают только две
силы и полагают, что на данную единицу объема грунта дей-
ствуют (рис. 37, б):
Рис. 37.
1) удельная сила собственного веса взвешенного грунта
Ъзв = ТсуХ — (1 - "U Т»;	(254)
2) удельная фильтрационная сила /ф, вычисляемая по фор-
муле (253).
Учитывая сказанное, можно считать, что на скелет грунта,
находящийся в той части отсека обрушения, которая располо-
жена ниже кривой депрессии, действуют следующие внешние
силы (рис. 38, а):
105
1)	сила собственного веса сухого грунта
G сух = Tcyx^i,	(255/
где — площадь части отсека обрушения, находящейся ниже
кривой депрессии, т. е. площадь фигуры BCDE\
2)	сила гидродинамического взвешивания грунта
ITrp = w2i;	(256)-
3)	фильтрационная сила F, представляющая собой равнодей-
ствующую всех сил Д (которые в общем случае различны по
величине и направлению в разных точках отсека обрушения).
Можно также считать (рис. 38, б), что на скелет грунта, нахо-
дящийся в объеме той части отсека обрушения, которая располо-
жена ниже кривой депрессии, действуют только две внешние силы:
Рис. 38.
1) сила собственного веса взвешенного грунта
GD30 = W-V,	(257)
2) фильтрационная сила F, вычисленная по формуле (256).
Очевидно, момент внешних сил (относительно центра 0),
действующих на скелет грунта, находящегося в объеме той части
106
отсека обрушения, которая расположена ниже кривой депрессии, и
должен рассчитываться:
или исходя из рассмотрения трех сил (рис. 38, а)
О'сух; 1Ггр; F;	(258)-
или исходя из рассмотрения только двух сил (рис. 38, б)
GB3B; F.	(259)-
Как видно, некоторое затруднение здесь вызывает установле-
ние момента фильтрационной силы F. Однако, как будет видно
из дальнейшего, это затруднение легко преодолимо.
Обратимся теперь к моменту сил трения, развивающихся
вдоль окружности обрушения, в случае предельного равно-
весия отсека обрушения.
Рис. 39.
Здесь, применяя способ весового давления, будем считать,
что элементарная нормальная сила равна весу о О элементар-
ного столбика. Если на рис. 39 представить откос, нижняя часть
которого насыщена покоящейся водой, а следовательно характе-
ризуется объемным весом 7ВЗВ, то получаем:
W=ft(z1YB3B + z27cyx),	(260)
где b, z2 указаны на чертеже.
Исходя из приведенных общих сведений, далее рассмотрим:
1)	момент внешних сил, действующих на отсек обруше-
ния, — (Жак);
2)	момент сил трения, развивающихся вдоль дуги обрушения
в случае предельного равновесия отсека обрушения, — (Жт)прсд;
3)	уравнение предельного равновесия, составленное с учетом:
фильтрационных сил;
4)	выражение для коэффициента запаса устойчивости отсека
обрушения.
107
Необходимо подчеркнуть, что величина /Иак находится ниже
совершенно точно, причем при отыскании ее мы обходимся
без построения гидродинамической сетки движения. Практически
также достаточно точно (и также без построения гидродинами-
ческой сетки) находится и величина (Л4т)пред.
Таким образом, излагаемый ниже метод учета фильтрационных
сил, основанный на использовании способа весового давления, яв-
ляется достаточно точным: он не содержит в себе каких-либо суще-
ственных новых допущений, связанных с учетом фильтрационных
сил. Кроме того этот способ сравнительно- прост, поскольку здесь
не приходится строить гидродинамическую сетку фильтрационного
потока; здесь для расчета достаточно иметь только кривую депрес-’
сии1 2.
§ 33. Момент внешних сил
(включая фильтрационные силы),
действующих.на отсек обрушения
Величина искомого момента внешних сил может быть записана
в виде (рис. 38, а)
ЖаК = аОсух + л1О;ух — a1W,rp + fl2F	(261)
или в виде (рис. 38, 6)
Л7ак = aG'w + OjGaaa + atF,	(262)
где G"yx— вес .сухой” части отсека обрушения, расположенной
выше кривой депрессии; a, al9 а» — плечи соответствующих сил
относительно центра 0 окружности обрушения (см. чертеж).
Будем пользоваться зависимостью (261), причем преобразуем
входящее в эту зависимость выражение:
— U7rp 4- a>F = Жводы (обозначение). (263)
Рассмотрим объем фильтрационной воды BMNDCE'EB (рис. 40),
заключенной в порах грунта и ограниченной снизу окружностью
обрушения BMNC и сверху кривой депрессии BE. На этот объем
фильтрационной воды действуют следующие шесть сил:
1)	сила реакции со стороны скелета грунта, причем
|Я.1 = 1 WTpl;	(264)
2)	сила реакции /?2 со стороны скелета грунта, причем*
|/?2| = И;	(265)
1 В основу этого решения, в частности, были положены предложения
Е. Д. Ка донского, И. Оде [Л. 30], Н. М. Моргунова [Л. 31]. Доказательство
справедливости окончательного выражения для AfaK (§ 33) излагается на осно-
вании упомянутого выше ТУиН [Л. 27].
2 Если вода действует на скелет грунта с силами 1Ггр и F, то скелет
грунта должен действовать на вод)' с силами и причем эти силы должны
удовлетворять соотношениям (264) и (265).
108
3)	сила собственного веса воды, заключенной в порах грунта^
Go = //г0<211в;	(266)
4)	силы гидродинамического давления, действующего на по-
верхности обрушения BMNC\ эти силы выражаются „эпюрой*
давления BMNCCXB, ординаты которой нормальны к окружности
обрушения; равнодействующая Ро этих сил давления проходит
через центр 0 окружности обрушения и дает момент относи-
тельно этого центра, равный нулю;
Рис. 40.
5)	сила Р' гидростатического давления, действующего на по-
верхность E'D откоса, эта сила выражается эпюрой давле-
ния E'DD'\
6)	сила Р" гидростатического давления, действующего на
горизонтальную поверхность DC и выражаемого эпюрой DD"C'C.
Под действием перечисленных шести сил и находится рас-
сматриваемый объем фильтрационной воды. Пренебрегая силами
инерции, сумму моментов указанных сил относительно центра 0
можем приравнять нулю (согласно началу д’Аламбера); в ре-
зультате получаем:’
«iPj - a2R2 -F ах Go - а'Р' - a"P" = 0,	(267)
где a', a" — плечи сил P' и P".
После этого, делая подстановку согласно (264) и (265), нахо-
дим окончательное выражение для величины УИВ0ДЫ:
л*воды = - «, Ггр + a2F = a, О0 - а'Р' - а!'Р".	(268)
юа
Подставляя теперь (268) в (261), имеем
Мак = ао;ух 4- «хС'сух 4- «1О0 - (а'Р' 4- а"Р")	(269)
или
Л/ак .= п6".х + a, G',lac — eQ,	(270)
где G'liac —вес грунта в объеме BMNCDE'EB в насыщенном
водой состоянии:
O/„ae=Gcyx+O0>	(271)
т. е. вес сухого грунта плюс вес воды в порах;
Q — вес воды в объеме E'C"CDE'\
е — плечо этого веса.
Заметим, что линия СС" есть продолжение окружности обру-
шения. Укажем также, что справедливость равенства
eQ = а'Р' + а"Р"	(272)
легко может быть доказана. Действительно, силу Р' можно раз-
ложить на горизонтальную составляющую (Р'г) и вертикальную
составляющую (Р'в). Вертикальная составляющая Р'в будет вы-
ражаться эпюрой E'DD"\ горизонтальная же составляющая Р'г
будет выражаться эпюрой в виде треугольника гидростатического
давления, построенного на базе отрезка С'С. Легко видеть, что
момент площади этого треугольника относительно центра 0 равен
моменту площади фигуры СС'С" относительно того же центра
{поскольку линия С'С" является дугой окружности).
Имея для Мак точное выражение (270), вычтем из него момент
•сил веса воды в объеме MC'WM; при этом, очевидно, вели-
чина Мак не изменится, так как момент этого веса относительно
.центра 0 равен нулю. Таким образом, можно написать
Мак = яС/сух 4“ afi ,1ас — eQ — Мводы в объеме МС'ХМ»	(273)
после чего выражение для Мак можно записать в виде:
Мак = М (сухого грунта АВЕРА) 4-
4- М (насыщенного грунта ВЕЕ'МВ) 4-
4-М (взвешенного грунта MNCDE'M) (274)
или
Мак — М (сухого грунта ABEFA)+
4- М (взвешенного грунта BEDCNB) 4- М (воды ВЕЕ'МВ), (275)
где буквой М обозначен момент относительно центра 0 веса
соответствующего тела (воды, сухого грунта, взвешенного грунта
и насыщенного грунта, т. е. грунта с водой).
Легко доказать, что в случае, когда кривая депрессии лежит
ниже горизонтали ME' (проведенной на уровне W — W гори-
зонта воды в бьефе), то последнее слагаемое в формуле (275)
оказывается отрицательным.
по
Легко также показать, что в случае, когда точка С выхода
окружности обрушения лежит выше горизонта воды в бьефе
(или в случае, когда воды в бьефе нет), т. е. когда силы Р' и
Р" оказываются равными нулю, величина Л4ак может быть пред-
ставлена, в соответствии с формулой (269), в виде
/Иак = Ж (сухого грунта ABEFA) +
+ М (насыщенного грунта в объеме между кривой депрессии
и окружности обрушения).	(276)
Представим теперь на рис. 41—43 несколько возможных слу-
чаев положения окружности обрушения и кривой депрессии. На
рис. 41 показаны случаи, когда окружность обрушения выходит на-
ружу выше горизонта воды в бьефе или когда воды в бьефе вообще
нет (рис. 41, б); здесь наружное ограничение отсека обрушения
не смачивается водой бьефа. На рис. 42 изображены случаи, когда
наружное ограничение отсека обрушения смачивается водой бьефа,
причем кривая депрессии лежит выше горизонтали W—W, про-
веденной на уровне горизонта воды в бьефе. На рис. 43 показан
случай, когда наружное ограничение отсека обрушения смачи-
вается водой бьефа, причем кривая депрессии лежит ниже горизон-
тали W—W.
Вне зависимости от характера фильтрационного .потока, полу-
чающегося в случае несжимаемого скелета грунта ’, можем на ос-
новании полученных выше зависимостей дать следующие общие
правила для точного определения момента внешних сил (с
учетом фильтрационной силы F):
1-е правило: когда наружное ограничение отсека обрушения
не смачивается водой бьефа (рис. 41), величина Л4ак в точности
равна сумме двух моментов (относительно центра 0) весов сле-
дующих тел, находящихся в пределах отсека обрушения:
1) сухого грунта, расположенного выше кривой депрессии;
2) насыщенного грунта, расположенного ниже кривой де-
прессии, имеющего объемный вес:
Тнас = Тсух + ^о*Гв-	(277)
2-е правило: когда наружное ограничение отсека обрушения
омачивается водой бьефа, причем кривая депрессии лежит выше
горизонтали W—UZ, проведенной на уровне горизонта воды в бьефе
(рис. 42), величина Жак в точности равна сумме трех моментов (от-
носительно центра 0) весов следующих тел, находящихся в пре-
делах отсека обрушения:
1)	сухого грунта, расположенного выше кривой депрессии;
2)	насыщенного грунта, расположенного между кривой де-
прессии и горизонталью W—
3)	взвешенного грунта, расположенного ниже горизонтали
W—1Г (объемный вес взвешенного грунта — см. формулу 254).
1 Вне зависимости от формы линий тока, направления течения и т. п.
111
>0
Рис. 41.

3-е правило: когда наружное ограничение отсека обрушения
смачивается водой бьефа, причем кривая депрессии лежит ниже го-
ризонтали W—W (рис. 43), величина 7Иак в точности равна сумме
трех моментов (относительно центра 0) весов следующих тел, на-
ходящихся в пределах отсека обрушения:
1)	сухого грунта, расположенного выше кривой депрессии;
2)	взвешенного грунта, расположенного ниже кривой де-
пресии;
3)	воображаемой воды, полностью заполняющей объем
МЕВМ, лежащий между кривой депрессии и горизонталью W—1F;
этот последний момент надо считать отрицательным.
§ 34. Момент сил трения, развивающихся вдоль
дуги обрушения, в случае предельного
равновесия отсека обрушения
1°. Первое исходное положение. Рассмотрим откос, находящийся
в условиях резкого (мгновенного) снижения горизонта воды
в бьефе (рис. 44). Как известно [Л. 27,32] в теле такого откоса
зарождается фильтрационный поток, обусловливающий относи-
тельно большие фильтрационные силы.
Рис. 44.
Выделив одну кубическую единицу грунта в пределах рас-
сматриваемого откоса, можем сложить две силы, приложенные
к скелету грунта, находящегося в объеме этой кубической еди-
ницы: силу TH™ и удельную фильтрационную силу /ф. Геометри-
ческую сумму этих двух сил обозначим через ?0; при этом у0
будем называть удельной результирующей силой.
Угол наклона силы к вертикали обозначим через 0о.
Очевидно, величины и 0о в различных точках отсека об-
рушения ABCDE будут различны. Однако, как показывают наши
исследования [Л. 27, 28, 32], с известной степенью приближения
114
поле результирующих сил ;0 в пределах отсека обрушения можно
считать однородным и полагать:
То = (То)средн = const; 0о = (Мсредн = const. (278)
На рис. 45 дается график, построенный нами [Л. 28]1 для
откосов, характеризуемых: а) объемным весом взвешенного
грунта fB3B = 1 б) различной величиной коэффициента от-
коса т\ в) различной величиной 7'заглубления водоупора: кривые
для случая Г= со на графике показаны сплошными линиями;
кривые для Т = 0 — пунктиром. По вертикальной оси графика
отложена относительная степень мгновенного снижения го-
ризонта воды в бьефе (ZjH).
Из рассмотрения этого графика можно сделать следующий
вывод.
Рис. 45.
Даже при весьма интенсивной фильтрации (рис. 44) удельная
результирующая сила у0 в случае обычных откосов весьма мало
отличается по величине от объемного веса взвешенного
грунта:
То ~ Твзв»	(279)
эффект фильтрации практически заключается лишь в том, что
векторы, выражающие удельные внешние объемные силы, при-
ложенные к грунту, благодаря фильтрации отклоняются от вер-
тикали на угол 0о (практически сохраняя при этом свою вели-
чину). Для обычных стационарных фильтрационных потоков
угол 0 будет измеряться несколькими градусами; для весьма
интенсивной фильтрации (рис. 44) угол 0 может доходить до
10-20° (рис. 45).
2°. Второе исходное положение. Представим на рис. 46 два отсека
обрушения с одинаковой площадью 2. Будем считать, что:
1 По методу ЭГДА.
115
а) один из этих отсеков (рис. 46, а) подвержен действию вер-
тикальных объемных внешних сил интенсивности fB3B; б) дру-
гой же отсек (рис. 46, б) подвержен действию несколько н а к-
лонных объемных внешних сил, той же интенсивности 7ВЗЬ?
Очевидно, в обоих случаях внешняя сила, действующая на
рассматриваемый отсек обрушения A BCD, будет одинакова по
величине:
G = 2твзв.	(280 )
Действуя в рамках допущения, положенного в основу спо-
соба весового давления (§ 24), можем утверждать, что алгебраи-
ческие суммы элементарных нормальных сил Ш, подсчитанные
Рис. 46.
для всей дуги обрушения, будут одинаковы для схем на
рис. 46, а и 46, б, причем величина их будет равна
N = G = <2 Кз11.	(281)
Отсюда заключаем, что для расчета величины /V вместо схемы
на рис. 46, б можно рассматривать схему, представленную на рис.
46, а.
Подчеркнем, что такая замена на рис. 46, б схемой на рис. 46, а
не является новым допущением; она представляет собой следствие
принятого нами способа расчета (способа весового давления), ко-
торый был обоснован нами ранее.
3°. Момент сил трения в случае предельного равновесия отсека обрушения.
При подсчете момента сил трения вводим одно допущение, вы-
ражаемое равенством (279).
116
Пользуясь способом весового давления, мы должны учитывать,
что соотношение (281) в равной мере относится как к схеме на
рис. 46, а, так и к схеме на рис. 46, б.
Учитывая отмеченные два обстоятельства, момент сил трения,
действующих по окружности обрушения, для отсека обрушения, по-
казанного на рис. 47, можем записать (согласно способу весового
давления) в виде:
(Л*г)^д = >-(Gcyx + GKU) tg <р„.	(282)
Как видно, в это выражение фильтрационная сила F не вхо-
дит (поскольку роль ее здесь сводится практически лишь к топ
му, что она способствует отклонению объемных сил 7вз|| от вер-
тикали).
Рассматривая полученное выражение (282), можем дать сле-
дующее правило, которым следует пользоваться при определении
величины моментов сил трения.
Рис. 47.
Правило: для случая предельного равновесия отсека обру-
шения, находящегося под действием фильтрационных сил, момент
сил трения, при использовании способа весового давления, следует
подсчитывать в предположении, что грунт, расположенный ниже
кривой депрессии, находится во взвешенном состоянии, причем
фильтрационнные силы в этой области грунта от-
сутствуют (F = 0).
4е. Дополнительное замечание. При определении момента сил тре-
ния можно было бы попытаться использовать известный „кон-
турный" (или „суммарный") способ учета фильтрационных сил
[Л. 28]. Согласно этому способу мы могли бы предположить, что
отсек обрушения сдвигается вместе с водой, насыщающей его
поры (как бы замерзшей в этих порах). При этом нам пришлось бы
строить две эпюры гидродинамического давления, действующего
по окружности обрушения ([Л. 27], стр. 198): а) эпюру, выра-
жающую вертикальные составляющие гидродинамического
давления; б) эпюру, выражающую горизонтальные состав-
ляющие гидродинамического давления (см. подробнее [Л. 28],
стр. 134).
117
Заметим, что при самом расчете устойчивости откоса первая
эпюра (выражающая вертикальные составляющие давления) легко
может быть учтена ([Л. 27], стр. 199); что же касается второй эпюры
(выражающей горизонтальные составляющие давления), то эту
эпюру при расчете момента сил трения учесть затруднительно.
Однако основным недостатком данного способа является то об-
стоятельство, что здесь приходится: а) или строить гидродинамиче-
скую сетку движения воды (чего не требует способ весового давле-
ния); б) или считать, что пьезометрическая линия, построенная
для дуги обрушения, совпадает с кривой депрессии (что вовсе не
отвечает действительности, например, для схемы на рис. 44).
§ 35. Уравнение предельного равновесия
отсека обрушения, учитывающее
фильтрационные силы. Коэффициент
запаса у стойчи вости произвольного отсека
обрушения, подверженного действию
фильтрационных сил
В соответствии со способом весового давления уравнение пре-
дельного равновесия, учитывающее фильтрационные силы, может
быть записано в виде
Л4ак = (Мг)11ред + /'£^к,	(283)
где Жак и (Мг)|1рСд следует определять согласно правилам, при-
веденным в конце § 33 и в и. 3° § 34.
Уравнение (283), как было подчеркнуто выше, основано на
использовании только одного дополнительного допущения, вы-
ражаемого равенством (279).
Пользуясь уравнением (283), и можно построить необходи-
мую кривую связи ск = /(?к).
Что касается коэффициента запаса устойчивости kt то он, со-
гласно разделу И, в данном случае должен быть записан в виде
l ^^пасс	Мт -f- rLsCd
k = ~м^ = —М7.—’	(284)
где Мт определяется согласно правилу, приведенному в § 34,
п. 3°, и считая, что угол внутреннего трения грунта равен
Мт Г (GCyX ^взв) tg
(285)
Момент Жак, входящий в (284), находится, пользуясь правилами,
приведенными в конце § 33.
118
IV. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ БЕТОННЫХ ПЛОТИН ПО
МЕТОДУ КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ОБРУШЕНИЯ
§36. Величина момента внешних сил
(включая фильтрационные силы),
действующих на отсек обрушения
На рис. 48 представлена бетонная плотина, расположенная на
нескальном, однородном, связном и несжимаемом грунте1. Наме-
тим произвольную дугу обрушения АВС с центром 0.
При отыскании «активного» момента /Иак сил, действующих на
отсек обрушения (включая фильтрационные силы ), рассуждае?л
следующим образом.
1°. Внешние силы, действующие на твердую фазу, входящую
в состав отсека обрушения:
/>сух — собственный вес бетона плотины;
В* и Д' — вертикальное давление воды соответственно верхнего
и нижнего бьефов, действующее на бетон плотины
сверху;
Рв и Ри — силы горизонтального давления на бетонную плотину
соответственно со стороны верхнего и нижнего бьефов;
Рй' и Рн' — силы горизонтального давления воды на вертикаль-
ные грани бетонного фундамента плотины (соответ-
ственно со стороны верхнего и нижнего бьефов);
W6 — вертикальная сила противодавления, действующая на
подошву плотины;
Гсух — собственный вес грунта (в сухом состоянии), находя-
щегося в пределах отсека обрушения;
И7гр — сила взвешивания указанного грунта (Архимедова
сила);
F—суммарная фильтрационная сила, действующая со сто-
роны фильтрационного потока на скелет упомянутого
грунта.
Обозначая через М момент той или другой силы (относительно
центра 0) и индексом у М саму силу, момент которой рассма-
тривается, можем написать:
^ак = №сух 4- Мви> -Ь МР* + МР* 4- Мр^ 4-
4- Л4рн' 4- АЛ+ Л4Гсух 4- Жivrp 4- MF.	(286)
2° Рассмотрим теперь воду, находящуюся в порах того
грунта, который выполняет отсек обрушения. Этот объем воды
ограничен сверху подземным контуром плотины и соответствую-
щими участками линий дна верхнего и нижнего бьефов; снизу
1 Как и в разделе III, мы здесь не рассматриваем фильтрационные силы, возни-
кающие при сжатии скелета грунта (обусловленные консолидацией грунта).
119
Рис. 48.
данный объем воды ограничен окружностью обрушения АВС.
Внешние силы, действующие на этот объем воды:
Вц — собственный вес данного объема воды, находящийся
в порах грунта;
силы, равные и противоположно направленные силам: Р/, Рн',
^б, U7rp, F;
В/ и Вн" — вертикальные силы собственного веса воды (верх-
него и нижнего бьефа) в объеме прямоугольников 1—2—3—4
и 5-6-7S-,
Ро — равнодействующая элементарных сил ор0, действующих
на элементарные площадки, образующие всю окружность обру-
шения. Момент этой силы относительно центра 0 равен нулю.
Пренебрегая силами инерции воды, можем, согласно началу
д'Аламбера, утверждать, что сумма моментов всех перечислен-
ных сил (относительно центра 0), действующих на воду, равна
нулю, т. е.
Л1до — Мр^ — Мр*г— Mw6 — Мivгр — Мр 4* Мвв№ + Мвн" = 0, (287)
откуда
= Мв —1 Мр г — А4р ' — Mw 4-	» 4* Мв н• (288)
гр	о	в	Н	О	В	На
3°. Подставляя найденное выражение для (М®/—|-/И/г) в (286),
получаем:
Жак =	4- Мвв’ 4- Мвв» 4- Мв^ 4- Мвп» 4“
4~ Мр 4" ТИр Мр 4~ 7И в •
1 в 1 н	сух 1 и
(289)
Введем теперь обозначения (рис. 49):
Г) момент веса Вв воды верхнего бьефа в объеме отсека
1 —2—3—4—5—6—7, ограниченного слева вертикалью 1—2, про-
веденной через точку А пересечения окружности обрушения
и линии дна верхнего бьефа:
Мв = М в ' 4-	//;
В	О	BS
(290)
2) момент веса Вп воды нижнего бьефа в объеме отсека
8—9—10—11, ограниченного справа вертикалью 10—11, проведен-
ной через точку С пересечения окружности обрушения и линии
дна нижнего бьефа:
=	+	(291)
3) момент веса Г11ас грунта, насыщенного водой, находящегося
в пределах отсека обрушения (ограниченного снизу дугой АВС*)-.
Мр = Мг 4- Мв .	(292)
1 Объемный вес грунта, насыщенного водой, определяется формулой (277).
121

При таких обозначениях зависимость (289) можно переписать
в виде (рис. 49)
М.к = №сух + МВв + М„н + Мрв 4- Мри + Ж/нас.	(293)
Руководствуясь этой зависимостью (совершенно точно учиты-
вающей фильтрационные силы), даем теперь следующее общее
правило для определения «активного момента»:
Правило: активный момент, т. с момент внешних сил (от-
носительно центра 0), действующих на рассматриваемый отсек об-
рушения, равен сумме моментов следующих шести сил (относи-
тельно того же центра 0) *:
1)	силы собственного веса плотины (без учета противодавле-
ния) ;
2)	силы собственного веса насыщенного водой грунта, находя-
щегося в пределах отсека обрушения;
3)	силы собственного веса воды верхнего бьефа в объеме, огра-
ниченном слева вертикалью, проведенной через точку пересечения
окружности обрушения и линии дна верхнего бьефа;
4)	силы собственного веса воды нижнего бьефа в объеме, огра-
ниченном справа вертикалью, проведенной через точку пересече-
ния окружности обрушения и линии дна нижнего бьефа;
5)	горизонтальной силы гидростатического давления со стороны
верхнего бьефа, выражаемой треугольником гидростатического дав-
ления, построенным на базе упомянутой выше вертикали верхнего
бьефа;
6)	горизонтальной силы гидростатического давления со стороны
нижнего бьефа, выражаемой треугольником гидростатического дав-
ления, построенным на базе упомянутой выше вертикали нижнего
бьефа.
4°	. В некоторых случаях для удобства вычислений зависимость
(293) можно преобразовать, учитывая следующие два обстоятель-
ства:
а)	моменты сил Р и G, (представленных на рис. 50 заштрихован-
ными эпюрами, равны;
б)	величина Л4ак, вычисленная по формуле (293), не изменится,
если мы к ней прибавим момент собственного веса какого-либо
воображаемого однородного тела, ограниченного снизу рассматри-
ваемой дугой обрушения, а сверху горизонтальной линией (по-
скольку момент такого однородного тела относительно центра 0
равен нулю).
Имея в виду эти два обстоятельства, для удобства расчета схе-
му, показанную на рис. 49, можем заменить одной из следующих
схем, изображенных «на рис. 51 (см. схемы а, б, в, г). На этих схе-
мах указаны силы, сумма моментов которых дает нам точное зна-
чение М ак*
1 Имеется в виду алгебраическая сумма моментов.
123
В отношении данных схем укажем следующее:
схема на рис. 51, а-, здесь пунктирные линии ab и cd яв-
ляются продолжением окружности обрушения; эти линии выде-
ляют необходимые нам объемы воды, весом В ° и /?„°;
схема на рис. 51, б\ здесь сила Ясух — собственный вес не-
взвешенной части плотины, расположенной выше горизонта W— W,
проведенного на уровне воды нижнего бьефа; Z>B3U—собственный
вес бетона,- взвешенного в воде (этот бетон расположен ниже
уровня W-W)\ Г11ас—собственный вес насыщенного водой грунта
(см. формулу 277); Гвзв—собственный вес взвешенного грунта;
схема на рис. 51, в: здесь точка а' представляет собой
пересечение продолжения окружности обрушения с горизонталь-
ной линией, проведенной на уровне горизонта воды нижнего
бьефа;
Рис. 50.
схема на рис. 51, г: здесь /^ — собственный вес вообра-
жаемого тела, имеющего объемный вес, равный (?б — 7ВЗВ), где
7б — объемный вес бетона и 7ВЗВ — объемный вес грунта во взве-
шенном состоянии; Гвзв — вес взвешенного грунта; однако, сила Гом
должна быть направлена вверх. Обратим внимание, что, поль-
зуясь для расчета схемой на рис. 51, г, мы можем вовсе не про-
водить на чертеже окружности обрушения: эта окружность (по-
казана пунктиром) для расчета /Иак не нужна; для расчета Л4ак
необходима только точка а', принадлежащая этой окружности,
и участок дуги а'Ь.
§ 37. Моменты сил трения, развивающихся вдоль
дуги обрушения, в случае предельного
равновесия отсека обрушения.
Силы трения, действующие в момент предельного равновесия
вдоль окружности обрушения, равны коэффициенту трения, умно-
женному на алгебраическую сумму элементарных нормальных
сил 8Л/, подсчитанных для каждого элемента окружности обру-
шения.
124
Рис. 51.

Интересуясь силами 8/V, величина которых зависит непосред-
ственно от нормальных напряжений □ в скелете грунта (по
дуге обрушения), мы должны рассматривать при определении
величин 8/V только те силы, которые действуют на твердую
фазу грунта, образующего отсек обрушения.
Эти силы (действующие на твердую фазу грунта) показаны
на рис. 52:
Рис. 52.
Q — равнодействующая всех сил, действующих на тело
плотины выше ее подошвы а — Ь. Сила Q может быть
найдена, пользуясь обычными правилами строительной
механики;
W6— противодавление, действующее на подошву а — b пло-
тины;
W'"—сила прижатия понура (к поверхности основания) раз-
ностью давлений воды сверху и снизу понура;
Го — суммарная„ результирующая" сила, действующая на
грунт в пределах отсека обрушения. Сила Го направлена
под углом 0о к вертикали (см. § 34).
Принимая и в данном случае допущение, выражаемое соот-
ношением (279), считаем, что
Г0 = Гвзв,	(294)
где Гвзв — вес грунта, находящегося во взвешенном состоянии
в пределах отсека обрушения.
Тогда в соответствии со способом весового давления схему
на рис. 52 можно заменить схемой на рис. 53, где показаны че-
126
тыре интересующие нас силы. Силу Гвзо здесь можно найти путем
разбивки грунта в пределах отсека обрушения на элементарные
вертикальные столбики (при этом пользуемся формулой 254).
Исходя из схемы на рис. 53, искомое выражение для (Л1г)прсд
запишем в виде1,
(ЛМпред = г (Q- 1Гб+ W'4-rB3B)tg?K,	(295)
где
Гвзв = ЪзА	(296)
причем здесь £2 — площадь отсека обрушения, занятая грунтом.
Рис. 53.
Рассматривая (295), можно дать следующее правило, пользуясь
которым следует определять момент сил трения:
Правило: для случая предельного равновесия отсека обру-
шения, находящегося под действием фильтрационных сил, момент
сил трения при использовании способа весового давления следует
определять в предположениях (см. формулу 295):
а)	что грунт, заполняющий отсек обрушения, находится во взве-
шенном состоянии, причем фильтрационные силы в этой области
грунта отсутствуют;
б)	что на поверхность основания со стороны подошвы плотины
действует равнодействующая всех сил, приложенных к плотине
(включая противодавление)2.
1 Несколько более логичное выражение для (/Иг)Прсд мы получили бы,
если бы оперировали не алгебраической суммой сил 0 и VZ6, а геометри-
ческой их суммой.
2 С силой W' в громадном большинстве случаев можно не считаться,
(пренебрегать ею).
127
§ 38. Уравнение предельного равмовесия
отсека обрушения, учитывающее
фильтрационные силы. Коэффициент запаса
устойчивости произвольного отсека обрушения,
подверженного действию фильтрационных сил
В соответствии со способом весового давления, уравнение пре-
дельного равновесия, учитывающее фильтрационные силы, можно
записать в виде
•^ак = (^г)прсд 4“	(297)
где Л4ак и (7Иг)11ред следует определять, согласно правилам, при-
веденным в конце § 36 и 37.
Подчеркнем, что уравнение (297) основано на использовании
только одного дополнительного допущения, выражаемого равен-
ством (279).
По уравнению (297) можно построить кривую связи ск=/(?к).
Коэффициент запаса устойчивости согласно разделу II
запишется в виде:
k =	= Afr'fer--— ,	(298)
Л1ак	-Мак
где Мт определяется по формуле (см. зависимость 295)
= г (Q - 1Гб + W' + Гвзв) tg	(299)
или лучше по формуле
Afr=r(Q+ U7' + rB3B)tg?d,	(300)
где Q — геометрическая сумма сил Q и 1^б.
Разумеется, как и в случае расчета устойчивости откосов, при
оценке устойчивости плотины приходится задаваться целым рядом
возможных окружностей обрушения и среди них отыскивать ту, ко-
торая характеризуется минимальным значением k.
§ 39. Указания о расчете устойчивости
напорного бассейна, расположенного на гребне
откоса. Заключительные замечания
В случае, когда на гребне земляного откоса располагается на-
порный бассейн (рис. 54 и 55), расчет устойчивости произвольно за-
128
данного отсека обрушения, ограниченного снизу дугой окружности,
должен вестись по формуле, указанной выше:
k =	(301)
А1ак	Л4ак
где, согласно приведенным выше положениям величины Мт и
ЛТак должны определяться следующим образом:
Рис. 54.
1) „момент" сил трения Мг (рис. 54)
Мт = г (Q + Гсух -F Гвзи + W') tg <?д,	(302)
где Q — геометрическая сумма всех сил, действующих на бе-
тонное сооружение: собственного веса сооружения, го-
ризонтального давления воды верхнего бьефа, проти-
водавления, действующего на подошву сооружения;
в случае схемы на рис. 54, б, предусматривающей
отрыв фильтрационного потока от подошвы соо-
ружения, противодавление равно нулю;
Гсух — вес сухого грунта, располагающегося выше кривой де-
прессии, если таковая возникла в откосе; для схемы на
рис. 54, а сила Гсух = 0;
129
Люв~вес взвешенного грунта, в пределах отсека обруше-
ния (ниже кривой депрессии, если таковая образова-
лась в откосе);
W' — сила прижатия водой к грунту понура (разность дав-
лений воды на понур сверху и снизу);
2) „активный момент" М(1К (рис. 55)
= МВц + МБ^ + 7И,сух + 7И/вас,	(303)
где через М обозначены моменты (относительно центра 0) сле-
дующих сил:
Рис. 55.
Вп — веса воды верхнего бьефа в объеме, ограниченном ду-
гой а — Ь, являющейся продолжением окружности об-
рушения;
/>сух — веса сооружения (без учета противодавления);
Гсух — веса сухого грунта, расположенного выше кривой деп-
рессии (если таковая появилась в откосе, см. рис. 55, б;
для схемы на рис. 55, а сила Гсух = 0);
Гиас — веса насыщенного грунта, расположенного в пределах
отсека обрушения (ниже кривой депрессии, если она
возникла в теле откоса).
В заключение настоящего параграфа отметим, что основы спо-
соба учета фильтрационных сил, излагаемого в настоящем разделе,
130
нам были давно известны по лекциям Е. Д. Кадомского, который
данный способ, позволяющий обойтись без построения гидродина-
мической сетки движения, излагал студентам Ленинградского по-
литехнического института на протяжении последних примерно
20 лет. В настоящем разделе мы привели вместе с тем обоснова-
ние данного способа, отличное от тех объяснений, которые давал
Е. Д. Кадомский (и которое нас не удовлетворяло). Возможно так-
же, что и в деталях само существо данного способа учета филь-
трационных сил, а также его трактовка, в нашем изложении полу-
чилась несколько отличной — противоречащей взглядам указан-
ного лица.
V. ТЕХНИКА РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ЗЕМЛЯНЫХ
ОТКОСОВ И БЕТОННЫХ ПЛОТИН, РАСПОЛОЖЕННЫХ
НА НЕСКАЛЬНОМ ГРУНТЕ, ПО СПОСОБУ ВЕСОВОГО
ДАВЛЕНИЯ1
§ 40.	Случай откоса, образованного
однородным «сухим» грунтом
Определим коэффициент запаса k устойчивости отсека обру-
шения, ограниченного снизу произвольно заданной окружностью.
Коэффициент запаса k для заданной окружности обрушения на-
ходится по формуле
h _ М..СС _	+
Мм ~	x„G	(dU4)
которая приводится к следующему расчетному виду:
/г =
[^]
tg?d +
S (гл) J
(305)

1 Ниже всюду имеется в виду плоская задача.
131
в формулах (304) и (305) обозначено (рис. 56):
Яасс°-так называемый „пассивный момент":
Мисс" == rG tg <f>d + rLsCd\	(306)
/Иак — „активный момент":
M.k = x0G;	(307)
G — вес всего рассматриваемого отсека обрушения;
хп — плечо силы G относительно центра 0 дуги обрушения;
Ls — длина дуги обрушения;
г — радиус дуги обрушения;
& —ширина вертикальных „полос" („столбиков"), на которые
при расчете разбивается рассматриваемый отсек обруше-
ния; величина £ принимается b = const;
z — средняя высота указанных элементарных полос (изме-
ряемая, как правило, по оси этих полос);
os — длина частей дуги обрушения, составляющих основание
элементарных вертикальных столбиков;
х — абсцисса, определяющая положение данной элементар-
ной вертикальной полосы (при осях координат, указан-
ных на рис. 56); для элементарных полос, расположен-
ных правее оси К-ов (рис. 56), значение х-ов отрица-
тельно;
и сд — „действительные" (расчетные) значения угла внутрен-
него трения и удельной силы сцепления.
Вычисление /г по формуле (305) следует располагать в таб-
лице, составленной по форме № 1,
ФОРМА № 1
Окружность №--------; г =---------; Ъ =---------; fCyX =--------
№№ эле- ментар- ных по- лос	Из чертежа		XZ	Из чертежа <5$, м
	х (положительное или отрицатель- 	ное), м	Z, м		
1	2	3	4	5
				
		-z =<	X (xz) =	2(6s) =
_^_1
£(**)]
tg ?<? +
Г г Е (os) 1
[ (сух Е (XZ) j
сд>= Atg<?d-\-Bcdt (308)
где через А и В обозначены числа, полученные в результате
расчета заданной дуги обрушения.
132
Значения b обычно принимают, (для откосов большой высоты)
равными b = 5—10 м.
Разбивку отсека обрушения на отдельные шолосы следует про-
водить так, чтобы ось У совпадала с одной из границ, разделяющих
отсек обрушения на отдельные полосы.
При разбивке отсека обрушения на отдельные вертикальные по-
лосы, шириной 6, у крайних точек А и В отсека обрушения (рис. 56)
могут получиться «остатки», т. е. полосы, имеющие ширины^ мень-
ше Ь:
Ьв <Ь, ЬА< Ь.	(309)
При этом, составляя таблицы по форме № 1, значение х для
этих крайних полос надлежит определять, как и для других по-
лос, что же касается величины г, то для крайних полос в таб-
лицу следует записывать вместо действительных значений z при-
веденные значения zIip:
(znp)e=-y-2;	(310)
§ 41.	Случай откоса, образованного
неоднородным (в отношении величин <?d и сд)
грунтом
В случае псухого“ грунта, неоднородного в отношении и
cdt определение коэффициента запаса устойчивости рассматрива-
емого отсека обрушения следует вести по формуле (305), пере-
писанной для откоса на рис. 57 в виде
в	д
г (2z)tg <p',z+r (2z)tg 4i>
7 сух
+•—
V(“)
д
° Е	< Ф ’ f
(ЗН)
в
2(гх)
обозначена
сумма величин, вычисленных для всех
которые лежат в пределах от точки Е
в
где через 2
E
тех элементарных полос,
А
до точки В; через 2 — сумма величин, вычисленных для верти-
Е
133
кальных полос, лежащих в пределах от точки Е до точки А,
в
через —сумма величин, вычисленных для вертикальных пс-
д
лос, лежащих в пределах от точки А до точки В, т. е. сумма
величин, вычисленных для всех вертикальных полос.
В случае откосов, образованных неоднородными (в отноше-
нии и сд) грунтами, отличающихся от откоса, представленного
на рис. 57, расчетную формулу (305) следует переписать анало-
гично формуле (311).
Расчет следует оформлять с учетом замечаний, приведенных в
предыдущем параграфе.
§ 42.	Случай откоса, образованного
неоднородным (в отношении объем ного веса)
грунтом
В случае «сухого» грунта, неоднородного в отношении величины
объемного веса, определение коэффициента запаса устойчивости
произвольно заданного отсека обрушения следует вести, пользуясь
зависимостью (305); величины z, входящие в эту зависимость, над-
лежит определить по формуле:
(312)
где z', z", z"',..., z^ — высоты (толщины) отдельных слоев грунта
с разными объемными весами у', 7", 7"',..., 70,), измеренные по
осям отдельных вертикальных „столбиков" (на которые разби-
вается отсек обрушения).
134
Что касается величины -(сух, входящей в формулу (305), то в
соответствии с формулой (312) под этой величиной надо пони-
мать значение у'
§ 43.	Откос в случае однородного
связного грунта, насыщенного
в некоторой части отсека обрушения водой
(покоящейся ил и движу щей ся)
Согласно способу весового давления для заданного отсека обру-
шения коэффициент запаса устойчивости его определяется по фор-
муле
причем здесь
а)	величину „пассивного момента" /Ипасс находим, согласно
данным § 35, по формуле
Л4пасс° = г (Gcyx + G,„„) tg <ра + rL6cd,	(314)
где Gcyx —вес грунта, расположенного в пределах отсека обру-
шения выше кривой депрессии; Овзв —вес взвешенного грунта,
расположенного между кривой депрессии и окружностью обру-
шения;
б)	величину „активного момента" Мак находим, пользуясь
одним из трех правил, приведенных в конце § 33.
Имея в виду высказанные положения, расчетную формулу
(305), относящуюся к способу весового давления, можно пере-
писать в данном случае в виде:
k = I r Elfe)] ‘g + [к- I(315)
где обозначения г, b, .х, os — те же, что и выше; величина Hv
равна
Н, = AcyxZi + Дювг2,	(316)
Дсух — относительный объемный вес „сухого" грунта
Дсух=^,	(317)
у То
где 7В —объемный вес воды;
Двзв — относительный объемный вес „взвешенного" грунта:
ДЮо = ^;	(318)
IB
zY — средняя высота „сухой" части элементарного „столбика",
лежащей выше поверхности грунтовых вод (рис. 58 и 59);
135

6)
i)
z2 — средняя высота насыщенной части элементарного „стол-
бика лежащей ниже поверхности грунтовых вод.
Что касается величины Н>, то она равняется:
а)	в случае, когда воды в бьефе перед откосом нет или когда
горизонт воды в бьефе стоит ниже точки С выхода окружности
обрушения на откос (наружная граница отсека обрушения не
омывается водой бьефа, рис. 58):
(319)
б)	в случае, когда поверхность откоса в пределах отсека об-
рушения омывается водой бьефа, т. е. когда горизонт воды пе-
ред откосом стоит выше упомянутой точки С (рис. 59):
=	+	(320)
где — средняя высота для части элементарного „столбика4*, ко-
торая лежит между поверхностью грунтовых вод и горизонталь-
ной линией W — W, являющейся продолжением горизонта воды
в бьефе; когда указанная часть элементарной полоски оказы-
вается насыщенной водой (рис. 8 а, в), величину z3 следует при-
нимать положительной; в противном случае, когда указан-
ная часть элементарной полоски оказывается сухой (рис. 59, б),
z2 следует считать отрицательным.
Вычисление k для заданного отсека обрушения (для заданной
окружности обрушения) следует производить в таблице, состав-
ленной по форме № 2.
ФОРМА № 2
Окружность обрушения №----; г =--------; Ь —;
Асух =------; двзи =------: 7Т =-------
№№ элемен- тарных полос	По чертежу				* -У	X со 0	Я, = [6] + [71	+ II	><	5s по чертежу
	х (положи- тельное или отрицатель- ное)		г2	z3 (положи- тельное или отрицатель- ное)						
1	2 .	3	4	5	6	7	8 1	1 9	ю	11
У/i Х//2л £ (5s)
г Г I Г г 2(М 1
k [Г 1' (Н,х) I	+ [ Ьъ S (Л/2л)] Сд - А ™ + Вс*
где через А и В обозначены числа, полученные в результате расчета.
138
Данная форма составлена применительно к случаям, показан-
ным на рис. 59. Для случая на рис. 58 таблица упрощается: вы-
падает графа 5, причем в графе 9 вместо АЛ, = Нг + будет
H2 = HY + z2.
В таблице формы № 2 цифрами, заключенными в квадратные
скобки, указываются номера тех вертикальных граф, из которых
надлежит брать необходимое число.
Знак Е в формуле (315) показывает суммирование соответ-
ствующих величин (от первого до последнего элементарного стол-
бика, на которые разбит отсек обрушения).
О величине b — см. § 40. Заметим, что расчет, приведенный в
настоящем параграфе, не распространяется на случай сжимаемого
грунта, когда с течением времени происходит консолидация этого
грунта.
§ 44. Откос в случае неоднородного грунта,
насыщенного в некоторой части отсека
обрушения водой (покоящейся
или движущейся)
В случае, если грунт насыщен водой (в пределах некоторой
части отсека обрушения) и является неоднородным в отношении
величин <рд и сд, определение коэффициента запаса устойчивости
Рис. 60.
рассматриваемого отсека обрушения следует вести по формуле
(315) с учетом тех указаний, которые были приведены в § 41.
В случае же грунта неоднородного в отношении своего объем-
ного веса, ведя расчет по формуле (315), приходится определять
с учетом неоднородности грунта только величину
л Г Ъ
Л = [''Ч77Й-]^-
(321)
Эта величина для частного случая откоса, образованного двумя
слоями грунта разного объемного веса (рис. 60), где М—М— есть
граница, разделяющая два упомянутых слоя, должна определяться:
139
а)	для части отсека обрушения, лежащей левее точки Л4о, по
формуле:
/Л=Д'сух2/ 4- Д",ЙВ н- А'"ПзВ^/';	(322)
б)	для части отсека обрушения, лежащей правее точки Жо, по
формуле:
= Д'су.^/ + А"сУх^" -I-	(323)
О величинах zlf входящих в формулы (322) и (323), см. в§ 43.
Через z', Дсух', Д'изи здесь обозначены соответствующие величины,
относящиеся к верхнему слою; через z", Д"сух, Д"взо — соответст-
вующие величины, относящиеся к нижнему слою грунта.
§ 45. Случаи бетонной плотины или
напорного бассейна, расположенных на
однородном связном грунте
Коэффициент запаса k устойчивости произвольно заданного
отсека обрушения следует рассчитывать по формуле
М °
(324)
где Жак определяем, пользуясь правилом, приведенным в конце
п. 3°, § 36 и с учетом соображений, указанных в п. 4°, § 36;
Жпасс° находится в соответствии с данными § 38 (см. формулу
298 и др.).
Зависимость (324) с учетом приведенных указаний может
быть представлена, например, в следующей форме (дополнитель-
ные пояснения см. в § 38):
_	г (UZ' + Л»„ + Q) tg	„
“	+ *4 +	4- Мг,ж + -I - жР;
Моменты Ж и силы, входящие в эту формулу, легко могут
быть найдены.
Что касается напорного бассейна (рис. 54, 55), расположенного
на гребне откоса, то таковой можно легко рассчитать, пользуясь
данными, приведенными в § 39.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Petterson К. Е.. Die Kalmauerrutschung In Gothenburg. Teknisk Tidskrift
1916, S. 289.
2.	Hultln S., Kicsschuttungen fur Kaimauerbauten. Teknisk Tidskrift 1919, S. 292.
3.	Ф e л л e н и у с В., Геотехнические исследования грунтов, Статика грунтов,
перевод П. С. Рубан, Госстройиздат, 1933.
4.	Крей Г., Теория давления земли и сопротивления грунтов нагрузке, пе-
ревод В. Н. Федоровича и Н. Н. Иванова под редакцией В. К. Дмоховского,
Государственное научно-техническое издательство строительной индустрии и су-
достроения, 1932.
5.	В я з е м с к и й О. В., Я г о д и н Г. Н., О приближенном методе расчета ус-
тойчивости земляных и бетонных гидротехнических сооружений по круглоцилин-
лрическим и иным произвольным поверхностям скольжения, «Известия ВНИИГ»,
т. 57. 1957.
6.	Терцаги К-, Теория механики грунтов (перевод издания 1942 г.), пе-
ревод И. С. Утевского под редакцией Н. А. Цытовича, Государственное изда-
тельство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам,
1961.
7.	Terzaghl К., The mechanics of structural clay slides and of retaining wall
movements. Rublic Roads, 1929.
8.	Ч у г a e в P. P., Проблемы Волго—Каспия, Труды ноябрьской сессии АН
СССР, 1933.
9.	Мигин С. И., К расчету земляных откосов по методу Терцаги, «Гидро-
техническое строительство», № 5, 1935.
10.	Bishop A. W., The use of the slip circle in the stability analysis of slo-
pes, Geotechnique vol. 5, № 1, 1955.
11.	Bishop A. W. Stability coefficients for earth slopes. Geotechnique, vol. 10,
№ 4. 1960.
12.	Маслов H. H., Прикладная механика грунтов, Машстройиздат, 1949.
13.	Arnold М.. Slope Stability Anallsis by a hew Graphical Method. Journal
of the Soil Mechanics and Fondations Division (Proceedinys of the American of
Civil Engineers), vol. 87, NOS, M5, part I. Oktober, 1961.
14.	Taylor D., Stability of earth slopes, Journ. of the Boston Soclty of Civil
Eng. № 3. 1937.
15.	Тейлор Д, Основы механики грунтов, Госстройиздат, 1960.
16.	Frohlich О. К.. General theory of stability of slopes. Geotechnique, vol ,5
№ 1. 1955.
17.	Frohlich О. K, Slcherheit gegen Rutschung einer Erdmasse auf kreiszy-
lindrischer Gleitflache mit Beruckslchfigung der Spannungsvcrteilung in dieser
Flache, Federhofer and Girkman, Festschrift, Wien, p. 181, 1950.
18.	Frohlich О. K.. Sobre a avaliacao do Goefficiente de Seguranca relacio
nado com о Escorregamento dum macico de Terra coerente ao longo duma super-
fien circular. Bol. Ord. Eng. Lisboa. 3:6, 1954.
141
19.	Frohlich О. К., On the Danger of Sliding of the Upstream Embankment
of an Earth Dam, Coused by Complete or Partial Discharge of the Reservoir.
Trans. 4 th Cong. Large Dams, 1 :329, 1951.
20.	Caqoot M., Methode exacte Pour le calcul de la rupture d’un massiv par
glissement cylindrique. Annales des ponts et chaussees. vol. 124. № 1—3, 1954.
21.	Иванов А. И., Расчет устойчивости, откосов плотин, насыпей и выемок.
Нижне-Волгопроект, вып. VI, Объединенное научно-техническое издательство.
Главная редакция энергетической литературы (Управление по проектированию
гидростанций и ирригационных сооружений и ячейка Гидронито НВП), 1936.
22.	Иванов А. И., О расчете устойчивости откосов и оснований земляных
плотин с учетом фильтрационных сил, «Гидротехническое строительство», № i
1940.
23.	И в а н о в А. И., О расчете устойчивости плотин на нескальном основании
с учетом фильтрационных сил, «Гидротехническое строительство», № 9, 1940.
24.	Т е р - А р а к е л я н У. А., Устойчивость бетонной плотины на нескальном
основании, «Гидротехническое строительство», № 12. 1939.
25.	Т е р - А р а к е л я н У. А., Общее решение задач статики грунтов при
круглоцилиндрических поверхностях скольжения, «Гидротехническое строитель-
ство», № 12, 1962.
26.	Федоров И. В., Методы расчета устойчивости склонов и откосов, Гос-
строй издат, 1962.
27.	Технические условия и нормы проектирования гидротехнических сооруже-
ний. Земляные насыпные плотины, стр. 151—208, Стройиздат Наркомстроя, 1941.
28.	Чугаев Р. Р., О фильтрационных силах, «Известия ВНИИГ», т. 63, 1960.
29.	Чугаев Р. Р., Подземный контур гидротехнических сооружений, Гос-
энергоиздат, 1962.
30.	Ohde 1., Beitrag zur Berechnung der Standsicherheit von Erddammen,
Schweizerische Bauzeitung, 1937, 19/VI, 109— 125, S. 297 — 299, 7. Abb.
31.	Моргунов H. С., Фильтрационная сила при расчете гидротехнических
сооружений на сдвиг, „Гидротехническое строительство № 8, 1939.
32.	Чугаев Р. Р.» Приближенный расчет устойчивости тела земляных пло-
тин, «Известия НИИГ», т. XVIII, 1936.
33.	Sevaldson R. A., Analysis of the stability of some Norwegian natural clay
slopes. Norwegian Geotechnical Institute, Publikasjon Nr. 24, Oslo, 1957.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие	3
§ I. Введение	4
I. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОТСЕКА ОБРУШЕНИЯ, ОГРА-
НИЧЕННОГО СНИЗУ ЗАДАННОЙ КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПО-
ВЕРХНОСТЬЮ (СЛУЧАЙ ОДНОРОДНОГО, СУХОГО, СВЯЗНОГО
ГРУНТА)
§ 2.	Предварительные указания	В
А.	Решение задачи путем разбивки отвека обрушения
на вертикальные элементы (столбики)
§ 3.	Исходные положения	8
§ 4.	Способ Свена-Гультена	10
§ 5.	Способ Феллениуса	12
§ 6.	Способ Крея	13
§ 7.	Способ Терцаги	22
§ 8.	Замечания о предложениях некоторых других авторов	26
В.	Решение задачи в результате рассмотрения отсека обрушения
как единого твердого (монолитного) тела
§ 9.	Предварительные указания .	...	29
§ 10.	Силы, действующие на монолитный отсек обрушения, находя-
щийся в состоянии предельного равновесия	.	30
§ 11.	Алгебраическая и геометрическая суммы элементарных сил сцеп-
ления йСк, действующих вдоль дуги обрушения........................32
§ 12.	Алгебраическая и геометрическая суммы элементарных.нормаль-
ных сил ...........................................................35
§ 13.	Алгебраические и геометрические суммы элементарных сил тре-
ния о7'к и элементарных реакций Сумма моментов (относительно
центра 0) элементарных сил трения ЪТК	38
§ 14.	Способ Тейлора	42
§ 15.	Способ Фрейлиха	44
§ 16.	Способ Како .	.	...	46
§ 17.	Обобщение работ Д. Тейлора, О. Фрейлиха и М. Како. Предлагае-
мое уравнение предельного равновесия для монолитного отсека обрушения
(«способ монолитного отсека») .	.	£0
§ 18.	Частные случаи предлагаемого уравнения предельного равновесия.
Упрощенный способ построения кривой связи ск=>/(<рк) для заданного
отсека обрушения (.упрощенный способ монолитного отсека")	55
§ 19.	Способ Иванова	60
§ 20.	Способ Тер-Аракеляна	62
В. Сопоставление и обобщение рассмотренных способов расчета.
Наиболее простой способ расчета, предлагаемый для практического
применения („способ весового давления")
§ 21.	Общие указания ...	...	.	.	64
§ 22.	Величина коэффициента перехода р, согласно Г. Крею и К. Тер-
Цаги	66
143
§ 23. Точное значение коэффициента перехода р0 в случае монолит-
ного отсека обрушения. Значения согласно способам А. И. Иванова
и У. А. Тер-Аракеляна .	.............. ................... 71
§ 24.	Предлагаемый для практического использования упрощенный спо-
соб расчета («способ весового давления») .	73
§ 25.	Сопоставление рассмотренных способов расчета	77
§ 26.	Дополнительные замечания	84
И. О КОЭФФИЦИЕНТЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ОТСЕКА ОБРУ-
ШЕНИЯ
§ 27. Предварительные указания к постановке вопроса о составлении
общего выражения для коэффициента запаса (k) устойчивости отсека обру-
шения	.................... .	.	.	89
§ 28.	Доведение заданного отсека обрушения до состояния предель-
ного равновесия	.	.	.	.	93
§ 29.	Первый вариант составления общего выражения для коэффи-
циента запаса устойчивости отсека обрушен ня	94
§ 30.	Второй вариант составления общего выражения для коэффи-
циента запаса устойчивости отсека обрушения	’.<7
§ 31.	Обоснование окончательно рекомендуемого выражения для коэф-
фициента запаса k устойчивости отсека обрушения	98
III. УЧЕТ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СИЛ ПРИ РАСЧЕТЕ УСТОЙЧИ-
ВОСТИ ЗЕМЛЯНЫХ ОТКОСОВ
§ 32.	Предварительные указания .	.	.	104
§ 33.	Момент внешних сил (включая фильтрационные силы), действую-
щих на отсек обрушения ....	...	108
§ 34.	Момент сил трения, развивающихся вдоль дуги обрушения, в слу-
чае предельного равновесия отсека обрушения .	.	.	114
§ 35.	Уравнение предельного равновесия отсека обрушения, учитываю-
щее фильтрационные силы. Коэффициент запаса устойчивости произволь-
ного отсека обрушения, подверженного действию фильтрационных сил 118
IV. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ БЕТОННЫХ ПЛОТИН ПО МЕТОДУ
КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОБРУШЕНИЯ
§ 36. Величина момента внешних сил (включая фильтрационные силы»,
действующих на отсек обрушения	.	*	*	.	.119
§ 37.	Момент сил трения, развивающихся вдоль дуги обрушения, в слу-
чае предельного равнов'есня отсека обрушения	124
§ 38.	Уравнение предельного равновесия отсека обрушения, учитываю-
щее фильтрационные силы. Коэффициент запаса устойчивости произволь-
ного отсека обрушения, подверженного действию фильтрационных сил . 128
§ 39.	Указания о расчете устойчивости напорного бассейна, располо-
женного на гребне откоса. Заключительные замечания	. 128
V. ТЕХНИКА РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ЗЕМЛЯНЫХ ОТКОСОВ
И БЕТОННЫХ ПЛОТИН, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА НЕСКАЛЬНОМ
ГРУНТЕ ПО СПОСОБУ ВЕСОВОГО ДАВЛЕНИЯ
§ 40.	Случай откоса, образованного однородным сухим грунтом . 131
§ 41.	Случай откоса, образованного неоднородным (в отношении ве-
личин уэ и с/}) грунтом . .	...	.	.	... I
§ 42.	Случай откоса, образованного неоднородным (в отношении
объемного веса) грунтом	. 13
§ 43.	Откос в случае однородного связного грунта, насыщенного в не-
которой части отсека обрушения водой (покоящейся или движущейся . 13
§ 44.	Откос в случае неоднородного грунта, насыщенного в нскоТЪрэй
части отсека обрушения водой (покоящейся или движущейся) .	1
§ 45.	Случаи бетонной плотины пли напорного бассейна, расположен-
ных на однородном связном грунте	[
Литература	111