Автор: Бакалов В.П. Игнатов А.Н. Крук Б.И.
Теги: электротехника электрическая связь электроника
ISBN: 5-256-00265-1
Год: 1989
Текст
В. П. Бакалов
А. Н. Игнатов
Б. И. Крук
основы
ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
И ЭЛЕКТРОНИКИ
Учебник
для высших
учебных
заведений
«Радио и сэязь»
В. П. Бакалов
А.Н.Игнатов
Б. И. Крук
основы
ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
И ЭЛЕКТРОНИКИ
Допущено
Министерством связи СССР
в качестве учебника для студентов вузов связи,
обучающихся по специальности 1728(0710)
«Экономика и организация связи»
Москва
Р) "Радио и связь»
1989
ББК 32.88
Б19
УДК 621.372(075)
Рецензенты: П. П. Воробиенко, К. К. Товара, И. Н. Добротворский
Редакция литературы по электросвязи
Бакалов В. П. и др.
Б 19 Основы теории электрических цепей и электроники:
Учебник для вузов/В. П. Бакалов, А. Н. Игнатов,
Б. И. Крук.— М.: Радио и связь, 1989.—528 с.: ил.
ISBN 5-256-00265-1.
Излагаются основы теории линейных и нелинейных электрических цепей. Дается
представление о принципах работы электронных и полупроводниковых приборов, микросхем
и микропроцессорных устройств и о построении на основе законов теории электрических
цепей практических схем усилителей, генераторов, электрических фильтров и других
аналоговых и цифровых устройств. Уделяется внимание применению БИС и микропроцессор-
ных систем.
Для студентов вузов связи, а также вузов электро- и радиотехнического профилей.
2303020000-033
ББК 32.88
ISBN 5-256-00265-1
© Издательство «Радио и связь», 1989
ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных задач, поставленных XXVII съездом КПСС
перед народным хозяйством СССР, является ускорение научно-
технического прогресса. Важнейшая роль при этом отводится
средствам автоматизации и компьютеризации производственных
процессов, средствам управления и связи, базирующимся на
современных достижениях электротехники, радиотехники и элект-
роники.
Радиотехника и электроника—родственные науки, занимаю-
щиеся изучением электромагнитных процессов в пассивных и
активных электрических цепях с целью создания различных
устройств для преобразования, передачи, обработки и хра-
нения информации. На основе достижений в области радио-
техники и электроники развиваются средства связи, автома-
тика и вычислительная техника, телевидение, радиолокация и
навигация, системы управления технологическими процессами
и др.
Основными задачами электротехники являются генерирование,
передача и преобразование электрической энергии в другие-виды
энергии (механическую, тепловую, световую, химическую и т. д.).
Зарождение науки об электричестве относится к XVI в., когда
английский ученый У. Гильберт (1544—1603) написал свой знаме-
нитый трактат «О магните, магнитных телах и большом
магните—Земле». В- XVII—XVIII вв. были проведены многочис-
ленные опыты, позволившие установить существование электри-
ческих зарядов двух типов—положительных и отрицательных,
изобрести первый конденсатор (Ж. Нолпе, 1745), разработать пер-
вую последовательную теорию электрических явлений (Б. Франк-
лин). >!
Во второй половине XVIII в. началось «количественное изу-
чение» электрических и магнитных явлений, появились первые
измерительные приборы—электроскопы. Особое значение в раз-
витии теории электрических явлений сыграли открытия законов
Кулона (1785), Ома (1826) и Кирхгофа (1847), а также открытие
Т. Эрстедом (1820) магнитного действия электрического поля.
Таким образом, было установлено единство электромагнитных
явлений, получивших свое логическое завершение й г^йботах
Дж. Максвелла, сформулировавшего в 1873 г. фундаментальные
уравнения классической электродинамики.
з
В конце XIX—начале XX веков с открытий дискретного
характера зарядов (Дж. Томсон, 1897 г.) начался новый этап в
развитии науки об электричестве. В этот период были заложены
основы электронной теории строения вещества как совокупнос-
ти электрически заряженных частиц, создана квантовая теория
электромагнитных процессов, что привело к рождению электро-
ники как науки о взаимодействии электронов с электромагнитны-
ми полями и о методах создания электронных приборов и
устройств.
Со второй половины XIX в. началось широкое использование
электрических и магнитных явлений в технике: в 20-х гг.,
появились первые электромагниты; в 30-е гг. в России П. Л. Шил-
лингом и в США С. Морзе созданы первые модели телеграфа; в
40-е годы построены электродвигатели и генераторы тока; в
50—70-е гг. массовое распространение получило электрическое
освещение, начало которому положило изобретение электрической
свечи русским ученым П. П. Яблочковым. Начало применения
электрической энергии для технологических целей положили ра-
боты Б. С. Якоби (1838 г.), предложившего использовать элек-
трический ток для нанесения различных металлических покры-
тий. В 70—80-е гг. XIX века электроэнергию стали использо-
вать при получении алюминия, меди, цинка, для резки и сварки
металлов, упрочения деталей и в других технологических про-
цессах, начинается применение электроэнергии на транспорте.
Большое значение для развития электротехники имели изобре-
тения русского инженера М. О. Доливо-Добровольского, разра-
ботавшего к концу 90-х гг. ряд промышленных конструкций
трехфазных асинхронных двигателей, трансформаторов и постро-
ившего трехфазную линию электропередачи Лауфен—Франкфурт
длиной 175 км, положившей начало современному развитию
электротехники.
Особенно важное значение имело изобретение А. С. Поповым
(1895) радио, открывшее новую страницу в развитии научно-
технического прогресса. Это открытие привело к рождению
радиотехники как области науки и техники, занимающейся
вопросами изучения и применения электромагнитных колебаний и
волн радиодиапазонов для передачи информации—в радиосвязи,
радиовещании и телевидении, в радиолокации и радионавигации, в
радиотелеметрии и радиоуправлении, при контроле за различными
технологическими процессами и механизмами, в научных иссле-
дованиях и др.
В XX в. начинается бурное развитие электроники—обширной
'области науки, техники и производства, охватывающей исследо-
вание и разработку электронных приборов и принципов их
использования. В истории развития электроники можно выделить
четыре основных этапа: электронных ламп, транзисторов, интег-
ральных схем и функциональных устройств.
4
Первый этап начался в 1904 г., когда английским ученым
Д. А. Флемингом была изготовлена первая электронная лампа—
диод. Прототипом электронной лампы явилась лампа накалива-
ния, созданная русским электротехником А. Н. Лодыгиным в
1872 г. В 1907 г. была предложена электронная лампа с управляю-
щим электродом—триод, способная усиливать и генерировать
электрические сигналы. В последующие годы, наряду с со-
вершенствованием электронных ламп, разрабатывались и дру-
гие электронные приборы: электронно-лучевые, ионные, фото-
электронные.
Начало второго этапа развития электроники связано с откры-
тием в конце 1947 г. американскими учеными У. Браттейном,
Дж. Бардиным и У. Шотки транзисторного эффекта. В 1948 г.
были изготовлены первые промышленные образцы биполярных
транзисторов, а в 1952 г.—полевые транзисторы. В транзисторах
были реализованы идеи, которые впервые были сформулированы
советским ученым О. В. Лосевым в 1922 г.
Непрерывное расширение функций электронной аппаратуры и
ее усложнение привели в 1958 г. к началу третьего этапа —
возникновению микроэлектроники. Задачей микроэлектроники яв-
ляется микроминиатюризация электронной аппаратуры с целью
уменьшения ее объема, массы, стоимости, повышение надежности
и экономичности на основе использования комплекса физических,
конструктивно-технологических и схемотехнических методов. Раз-
витие микроэлектроники связано с повышением степени интегра-
ции элементов интегральных схем. В настоящее время разрабо-
таны сверхбольшие интегральные схемы (БИС), содержащие более
105 элементов. Однако сейчас уже становится ясным, что
увеличение степени интеграции не может быть беспредельным.
Качественно новым решением, которое, в частности, обеспечит
повышенную надежность, является отказ от традиционных схем-
ных элементов—транзисторов и переход к использованию объем-
ных эффектов в твердом теле.
Научно-техническое направление, связанное с отказом от
компонентной структуры микроэлектронных изделий и основанное
на использовании объемных эффектов, является началом четверто-
го этапа развития электроники, получившего название функцио-
нальной микроэлектроники.
Указанные этапы электроники не имеют резких границ и часто
перекрываются. Но общей закономерностью является то, что
каждый новый этап впитывает в себя все достижения предыду-
щего, использует их физические, а также конструктивно-техноло-
гические принципы.
Крупный вклад в развитие электротехники, радиотехники и
электроники внесли советские ученые. Фундаментальные исследо-
вания в области физики и технологии электронных и полупровод-
никовых приборов выполнили М. А. Бонч-Бруевич, Л. И. Ман-
5
делыптам, А. Ф. Иоффе, С. И. Вавилов, А. А. Чернышов; по про-
блемам возбуждения и преобразования электрических колеба-
ний, распространения и приема радиоволн—Б. А. Введенский,
В. О. Калмыков, М. В. Шулейкин, А. А. Расплетин и др.
Значительные достижения и стремительные темпы развития
электротехники, радиотехники и электроники предъявляют все
более высокие требования к уровню подготовки специалистов,
связанных с разработкой и эксплуатацией современной радио-
электронной аппаратуры. Среди дисциплин, составляющих основу
базовой подготовки специалистов в этой области, важнейшее
место отводится курсу «Основы теории цепей и электроники»
(ОТЦиЭ). Содержание этой дисциплины составляют задачи
анализа и синтеза электрических цепей, изучение как с качествен-
ной, так и с количественной стороны установившихся и переход-
ных процессов, протекающих в различных электронных приборах
и устройствах. Этот курс призван объединить в единое целое
комплекс различных вопросов, излагаемых ранее в теории
линейных и нелинейных электрических цепей, теоретической
электротехнике и радиотехнике, теории электронных и квантовых
приборов.
Настоящая книга является первым учебником по данному
курсу и состоит из двух взаимосвязанных частей: основ теории
цепей и электроники. В первой части учебника рассматриваются
основы теории линейных и нелинейных электрических цепей. Во
второй части книги излагаются принципы работы электронных и
полупроводниковых приборов, интегральных схем, приводятся
схемы усилителей, генераторов, электрических фильтров и других
аналоговых и цифровых устройств, реализуемых на современной
базе микроэлектроники.
В. П. Бакаловым написаны гл. 1—7; Б. И. Круком—гл. 8—
13; А. Н. Игнатовым—гл. 14—21, кроме 19.3—19.5, 20.9, 20.10,
которые написаны И. А. Оболониным; введение написано
В. П. Бакаловым и А. Н. Игнатовым совместно.
Часть 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЗАКОНЫ И
МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
(1-1)
1.1. ТОК, НАПРЯЖЕНИЕ, МОЩНОСТЬ
Понятия электрического тока и напряжения являются одними из
основных в теории электрических цепей. Электрический ток в
проводящей среде есть упорядоченное движение электрических
зарядов под воздействием электрического поля (ток проводимости
в металлах, электролитах, газах; ток переноса в электровакуумных
приборах и др.).
Количественно электрический ток в каждый момент времени
характеризуется скалярной величиной —мгновенным зна-
чением тока, характеризующим скорость изменения заряда q во
времени:
д/_>о Д t dt
где А<?—электрический заряд, прошедший за время А? через
поперечное сечение проводника. В системе СИ заряд измеряется в
кулонах (Кл), время—в секундах (с), ток—в амперах (А). В
дальнейшем для краткости электрические токи и напряжения
будем просто называть токами и напряжениями.
В соответствии с приведенным выше определением понятие «ток»
может использоваться в двух смыслах: ток как физический процесс и
ток как количественная характеристика (вместо «силы тока»).
Как функция времени ток Яп может принимать положитель-
ные и отрицательные значения. Принято считать значение тока /(/)
положительным, если движение положительно заряженных частиц
совпадает с заранее выбранным направлением отсчета тока и
отрицательным—в противном случае. Выбор направления отсчета
тока произволен, положительное направление отсчета тока пока-
зывается стрелкой (рис. 1.1, а).
Электрическое напряжение между двумя точками электриче-
ской цепи определяется количеством энергии, затрачиваемой на
перемещение единичного заряда из одной точки в другую:
7
о
fo
о
а)
Рис. 1.1
Электрическая
цепь
6)
,. Д W dW
u = lim ——=—.
д«-од? "Я
(1.2)
(1.3)
где W—энергия электрического поля. Единица измерения напря-
жения в системе СИ—вольт (В).
В потенциальном электрическом поле напряжение между двумя
точками совпадает по величине с разностью потенциалов между
ними. Например, напряжение между зажимами а и b цепи,
показанной на рис. 1.1,6,
ЧаЬ = У а
где Va и Vb—потенциалы зажимов а и Ь.
Значение напряжения в любой заданный момент времени t
называется мгновенным и обозначается u=u[t). Являясь скалярной
величиной, w(/) может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Для однозначного определения знака
напряжения выбирают положительное направление его отсчета,
которое показывается стрелкой (рис. 1.1,6), направленной от
одного зажима электрической цепи к другому. Для определенности
будем считать, что положительное направление отсчета совпадает
с направлением стрелки от более высокого потенциала, т. е. «+»,
к * более низкому, т. е. « —» (рис. 1.1,6). При этом положи-
тельные направления отсчета напряжения и тока будут ме-
жду собой согласованы, так как положительное направление
отсчета напряжения иаЬ соответствует направлению перемеще-
ния положительно заряженных частиц от более высокого по-
тенциала Кв(+) к более низкому КЬ(_). Очевидно, что иаЬ=— иЬа.
Применительно к напряжению на участке цепи, по которо-
му протекает ток, часто используют термин «падение напря-
жения^ 1
Электрическая энергия, затраченная на перемещение единично-
го положительного заряда между двумя точками участка цепи с
напряжением и (разностью потенциалов), к моменту времени t
определится согласно (1.1) и (1.2) уравнением
9 t
W= (udq = Г uidt,
где принято 1F=O при t= — со. Энергия в системе СИ измеряется в
джоулях (Дж).
(1.4)
8
Производная энергии по времени определяет мгновенную
мощность, потребляемую участком цепи:
p = dWfdt=ui. (1.5)
Мощность измеряется в ваттах (Вт). Знак мощности р определяет-
ся знаками напряжения и тока. Если />>0 мощность потребляется
участком цепи, а при /><0—отдается.
По характеру изменения во времени различают постоянные,
гармонические, периодические несинусоидальные, непериодические
токи и напряжения. В ряде случаев (например, в цепях с
распределенными параметрами) токи и напряжения могут быть не
только функциями времени, но и функциями пространственных
координат. В технике связи токи и напряжения как материальные
носители сообщений называют сигналами.
1.2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Электрической цепью называют совокупность устройств, пред-
назначенных-для прохождения тока и описываемых с помощью
понятий тока и напряжения. Электрическая цепь состоит из
источников (генераторов) и приемников электрической энергии.
Источником называют устройство, создающее (генерирующее)
токи и напряжения. В качестве источников могут выступать как
первичные устройства, преобразующие различные виды энергии в
электрическую (аккумуляторы, электромашинные генераторы, тер-
моэлементы, пьезодатчики и т. д.), так и устройства, преобразую-
щие электрическую энергию первичных источников в энергию
электрических колебаний требуемой формы. Приемником называ-
ют устройство, потребляющее (запасающее) или преобразующее
электрическую энергию в другие виды энергии (тепловую, механи-
ческую, световую и т. д.). Физическими элементами реальной
электрической цепи являются резисторы, катушки индуктивности,
конденсаторы, трансформаторы, транзисторы, электронные лампы
и другие компоненты электроники. При этом электрическая цепь
может конструктивно выполняться либо из указанных выше
дискретных компонентов, либо изготовляться в едином техноло-
гическом цикле (интегральные схемы). Электрические цепде^срдер-
v жащие как интегральные, так и дискретные компоненты, получили
наименование гибридных.
В основе теории электрических цепей лежит принцип модели-
рования. При этом реальные электрические цепи заменяются
некоторой идеализированной моделью, состоящей из взаимосвя-
занных идеализированных элементов. Последние представляют
собой простые модели, используемые для аппроксимации (при-
ближения) свойств простых физических элементов или физических
явлений. В зависимости от точности приближения одна и та же
физическая электрическая цепь может быть представлена различ-
9
Рис. 1.2
c i
°—°
->
и
6)
ними моделями, причем, чем точнее модель, тем она сложнее. На
практике обычно ограничиваются наиболее простыми моделями,
обеспечивающими решение задач анализа и синтеза реальной цепи
с заданной точностью. Важно иметь в виду, что если физические
элементы и явления могут быть описаны лишь приближенно, то
идеализированные элементы определяются точно. К простейшим
идеализированным элементам модели электрической цепи отно-
сятся независимые и зависимые источники (активные элементы) и
элементы резистивного сопротивления, индуктивности и емкости
(пассивные элементы)*.
Систему уравнений, описывающую модель электрической цепи,
называют математической моделью цепи. В теории электрических це-
пей изучаются общие свойства моделей цепей, поэтому в дальнейшем
под электрической цепью будем всегда понимать ее модель, свойства
которой близки к свойствам реальной физической цепи.
Пассивные элементы. Резистивным сопротивлением называют
идеализированный элемент, обладающий только свойством не-
обратимого рассеивания энергии. Условное обозначение резистив-
ного сопротивления показано на рис. 1.2, а. Математическая
модель, описывающая свойства резистивного сопротивления,
определяется законом Ома:
u=Ri или i=Gu. (1.6)
Коэффициенты пропорциональности R и G в формулах (1.6)
называются соответственно сопротивлением и проводимостью
элемента и являются его количественной характеристикой, причем
при согласованных направлениях тока и напряжения R и G
положительны и связаны обратной зависимостью R=l/G. Изме-
ряют омах (Ом), a G—в сименсах (См).
Уравнение, (1.6) определяет зависимость напряжения от тока и
носит название вольт-амперной характеристики (ВАХ) резистив-
ного сопротивления. Если R постоянно, то ВАХ линейна
(рис. 1.3, а) и соответствует линейному элементу. Если же R
зависит от протекающего через него тока или приложенного к
дему напряжения, то ВАХ становится нелинейной (рис. 1.3,6) и
соответствует нелинейному резистивному сопротивлению.
•эгс
* Резистивное сопротивление называют еще элементом активного сопротивле-
ния, а индуктивный и емкостной элементы—реактивными.
10
Рис. 1.3
Мощность в резистивном сопротивлении можно определить
согласно уравнению (1.5):
p = ui=Ri2 = Gu2. (1.7)
Мощность в резистивном сопротивлении всегда больше нуля, так
как оно только потребляет энергию, преобразуя ее в тепло.
Индуктивным элементом называют идеализированный элемент
электрической цепи, обладающий только свойством накопления
им энергии магнитного поля. Условное обозначение индуктивного
элемента изображено на рис. 1.2, б.
Математическая модель, описывающая свойства индуктивного
элемента, определяется соотношением
T = Lz, (1.8)
где Т—потокосцепление, характеризующее суммарный магнит-
ный поток, пронизывающий катушку:
*=1
где w—число витков катушки; к — номер витка, с которым
сцеплен поток Фк. В простейшем случае, когда каждый из потоков
Фк сцеплен со всеми витками катушки Ч/ = Фи'.
Коэффициент пропорциональности L в формуле (1.8) называется
индуктивностью. Он имеет положительное значение й является
количественной характеристикой индуктивного элемента. Измеря-
ется индуктивность L в генри (Гн), а магнитный поток Ф—в веберах
(Вб). Если величина L постоянна, то зависимость (1.8)
(вебер-амперная характеристика) линейна и соответствует линей-
ному индуктивному элементу. Если же L зависит от электрического
режима (тока или напряжения), то зависимость (1.8) нелинейна и
соответствует нелинейному элементу индуктивности.
Связь между током и напряжением на индуктивном элементе
определяется согласно закону электромагнитной индукции выра-
жением
п
<«» r di n Q,
“=л=л5? (L9)
т. e. напряжение на индуктивном элементе пропорционально
скорости изменения тока в нем. Следовательно, при протекании
через L постоянного тока и = 0 и свойства индуктивного элемента
эквивалентны коротко замкнутому (КЗ) участку (см. рис. 1.1, а).
Мощность электрических колебаний в индуктивном элементе
т . di
p = ui = Li—,
т. е. может быть как положительной (при совпадении направлений
и и z), так и отрицательной (при несовпадении направлений и и z).
Причем в первом случае (р>0) энергия потребляется индуктивным
элементом, а во втором (р<0)—отдается.
Энергия, запасенная в индуктивном элементе к моменту t,
определится согласно (1.4)
t t
Wl= j pdt= j (1-10)
— 00 — 00
т. e. всегда положительна.
Емкостным элементом называют идеализированный элемент
электрической цепи, обладающий только свойством накапливать
энергию электрического поля. Условное обозначение емкостного
элемента показано на рис. 1.2, в.
Математическая модель, описывающая свойства емкостного
элемента, определяется волып-кулонной характеристикой
q = Cu. (1.11)
Коэффициент пропорциональности С в формуле (1.11) назы-
вается емкостью и является количественной характеристикой
емкостного элемента. При согласованных направлениях тока и
напряжения величина С всегда положительна. Измеряется С в
фарадах (Ф).
Если С постоянная, то вольт-кулонная характеристика (1.11)
линейна и соответствует линейному емкостному элементу. Если же
параметр С зависит от электрического режима, то характеристика
(1.11) нелинейна и соответствует нелинейному элементу.
Между током и напряжением на емкостном элементе существу-
ет связь, определяемая согласно (1.1) и (1.11) равенством
i=^=C$, (1.12)
dt dt
т. е. ток в емкостном элементе пропорционален скорости изме-
нения приложенного к нему напряжения. При постоянном напря-
12
жеиии и=const z = 0 и емкостной элемент по своим свойствам
эквивалентен разрыву цепи.
Мощность электрических колебаний в емкостном элементе
. du
p = ut = Cu—,
dt
т. е. может быть как положительной, так и отрицательной. При
р>0 энергия потребляется емкостным элементом, а при р<0—от-
дается.
Энергия, запасенная в емкостном элементе к моменту t,
t t
Wc= j pdt= | Cu^=^, (1.13)
— 00 — 00
т. e. всегда положительна.
В инженерной практике резистивное сопротивление, индуктив-
ный и емкостной элементы часто называют просто сопротивле-
нием, индуктивностью и емкостью, отождествляя, по существу,
элемент с его параметром. В дальнейшем для простоты, где это не
приведет к недоразумениям, также будем пользоваться этой
терминологией.
Рассмотренные идеализированные резистивный, индуктивный и
емкостной элементы могут служить простейшими моделями
резисторов, высококачественных катушек индуктивностей с ма-
лыми потерями и электрических конденсаторов с высокими
диэлектрическими свойствами в области низких и средних частот.
В области высоких, а особенно сверхвысоких частот модели
резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов становятся
более сложными.
В зависимости от соотношения между длинами цепи I и волны
тока и напряжения X различают цепи с сосредоточенными и
распределенными параметрами. При Z<X можно считать, что
параметры R, L, С сосредоточены в резисторах, катушках
индуктивности и конденсаторах; при /»Х необходимо пользо-
ваться моделью цепи с распределенными параметрами (см. гл. 11).
Рассмотренные выше резистивные, индуктивные и емкостные
элементы относятся к двухполюсным, так как содержат только два
зажима (полюса, вывода). Однако кроме двухполюсных элементов в
теории цепей и электронике широко используются трехполюсные,
четырехполюсные и многополюсные элементы. Например, свой-
ства трансформатора как физического устройства, содержащего две
индуктивно связанные катушки, не могут быть описаны моделью
только двухполюсных элементов с индуктивностями Lr и L2- Для его
моделирования необходимо введение еще одного параметра—вза-
имной индуктивности М; при этом моделью трансформатора
будет являться четырехполюсный элемент (см. гл. 4).
13
Активные элементы. Активными элементами электрической
цепи являются зависимые и независимые источники электрической
энергии. К зависимым источникам относятся электронные лампы,
транзисторы, операционные усилители и др. (см. § 7.10). К
независимым источникам относятся аккумуляторы, электрогене-
раторы, термоэлементы, пьезодатчики и другие преобразователи.
Независимые источники можно представить в виде двух моде-
лей—источника напряжения и источника тока.
Независимым источником напряжения называют идеализиро-
ванный двухполюсный элемент, напряжение на зажимах которого
не зависит от протекающего через него тока. Условное обозна-
чение источника напряжения показано на рис. 1.4, а.
Источник напряжения полностью характеризуется своим за-
дающим напряжением иг (индекс «г» соответствует генератору),
или электродвижущей силой еТ (рис. 1.4, в). Внутреннее сопротив-
ление источника напряжения равно нулю и иногда при изобра-
жении источника напряжения обозначают знаком « + » только
один из зажимов и не показывают стрелкой положительное
направление иг, имея в виду, что оно действует от « + » к «—»
(рис. 1.4,6). Часто при анализе цепей ограничиваются изображе-
нием только зажимов источника напряжения, как показано на
рис. 1.1,6.
Вольт-амперная характеристика источника напряжения пред-
ставляет собой прямую, параллельную оси токов (рис. 1.5, а).
Такой идеализированный источник способен отдавать во внеш-
нюю цепь бесконечно большую мощность. Ясно, что физически
такой, источник реализовать нельзя. Однако в определенных
пределах изменения тока он достаточно близко отражает реальные
свойства независимых источников.
Независимым источником тока называют идеализированный
двухполюсный элемент, ток которого не зависит от напряжения на
его зажимах. Условное обозначение источника тока показано на
рис. 1.4, г. Источник тока полностью характеризуется своим
задающим током ,zr. Внутренняя проводимость источника тока
равна -нулю (внутреннее сопротивление бесконечно велико) и ВАХ
представляет собой прямую, параллельную оси напряжений
(рис. 1.5,6). Такой источник также способен отдавать во внешнюю
14
Рис. 1.5
цепь бесконечно большую мощность и является идеализацией
реальных независимых источников.
Свойства реальных источников с конечным внтуренним сопро-
тивлением Rr можно моделировать с помощью независимых
источников напряжения и тока с дополнительно включенными
резистивными сопротивлениями RT или проводимостью GT (см.
рис. 1.4,3, е). Напряжение и и отдаваемый ток i этих источников
уже будет зависеть от параметров подключаемой к ним цепи, а их
ВАХ будут иметь тангенс угла а наклона, пропорциональный RT и
GT соответственно (штриховые линии на рис. 1.5).
Однако свойства целого ряда электронных устройств нельзя
описать моделью соединенных между собой указанных выше
независимых источников и пассивных двухполюсных элементов. К
числу таких устройств относятся электронные лампы, транзисто-
ры, операционные усилители и другие электронные приборы. Это
так называемые зависимые или управляемые источники. Зависи-
мые источники играют важную роль в генерации и усилении
электрических колебаний (см. гл. 13, 17, 18) и будут подробно
рассмотрены в § 7.10.
1.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СХЕМА. ТОПОЛОГИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Кроме понятия электрической цепи в инженерной практике
широкое распространение нашел термин «электрическая схема».
В теории цепей схемой называют графическое изображение
электрической цепи. Элементам схемы соответствуют активные
и пассивные элементы электрической цепи, изображенные на
рис. 1.2 и 1.4.
В микроэлектронике понятие электрической цепи и элекронной
схемы часто отождествляются между собой. Так, например,
микросхемой (интегральной схемой) называют интегральную
электрическую цепь, содержащую сотни и тысячи простейших
активных и пассивных элементов. Чтобы не ломать сложившуюся
традицию будем использовать термин «электрическая схема» или
просто «схема» применительно к графическому изображению
электрической цепи или электронной схемы и термины «электри-
15
ческая цепь» или «электронная (микроэлектронная, интегральная)
схема» применительно к моделям реальных физических электри-
ческих или электронных устройств.
Для анализа электрических цепей в последнее время все
большее распространение находят матрично-топологические мето-
ды. В их основе лежит представление электрической схемы с
помощью графа цепи. Графом цепи называют геометрическую
систему линий (ветвей), соединяющих заданные точки (узлы). Если
ветви графа ориентированы по направлению токов ветвей, то граф
называется ориентированным (направленным). На рис. 1.6, а изоб-
ражена электрическая схема и ее ориентированный (рис. 1.6,6)
граф. Граф содержит всю информацию о геометрической структу-
ре схемы.
Простым узлом называют место соединения зажимов двух
элементов (рис. 1.7, а), а сложным—место соединения зажимов
трех и более элементов (рис. 1.7,6).
Ветвью называют -часть цепи, включенной между двумя
узлами, через которые она обменивается энергией с остальной
цепью. Ветви, подсоединенные к одной паре узлов, образуют
параллельное соединение (рис. 1.7, в).
Последовательно соединенные ветви, связывающие два задан-
ных узла, образуют путь, если в нем нет повторяющихся узлов.
Например, между узлами 1 и 4 (рис. 1.6,6) путь образуется
ветвями 3, 5 или 3, 4 или 2, 6 и т. д. Замкнутый путь называется
контуром (рис. 1.7, в).
Подграфом называют часть графа. Подграф является связным,
если любые его два узла связаны, т. е. соединены ветвями.
Деревом графа называют связный подграф, содержащий все
узлы, но не содержащий ни одного контура (рис. 1.8). Ветви дерева
называют ребрами (на рис. 1.8 показаны сплошными линиями).
В теории графов доказывается, что число ветвей дерева,
содержащего пу узлов, определяется уравнением
пя=пу-1. (1.14)
Совокупность ветвей, не входящих в состав дерева, образует
его дополнение (на рис. 1.8 помечено штриховыми линиями). Ветви
дополнения называют хордами. Можно показать, что число хорд
лх=п„-иу+1, (1.15)
где ив—общее число ветвей исходного графа.
Сечением графа называют минимальное множество ветвей,
удаление которых разбивает граф На две несвязанных части
(подграфы). На рис. 1.6,6 показан пример двух сечений, образо-
ванных ветвями '1, 2, 4, 5 (по линии А — А) и 3, 6 (по линии
В—В). Добавление любой из ветвей сечения делает граф связным.
Аналитически граф можно описать с помощью структурной
матрицы Ас (матрицы соединений, инциденций), представляющей
16
Рис. 1.8
собой прямоугольную таблицу с числом столбцов, равным числу
ветвей, и числом строк, равным числу узлов. Элементы структур-
ной матрицы аи определяются из условия:
{1, если ветвь / выходит из узла к;
— 1, если ветвь I входит в узел Л;
О, если ветвь / не связана с узлом к.
Например, для графа, изображенного на рис. 1.6,6, матрица
имеет вид
-11100
00-101
1-1 0-1 о
0 0 0 1 -1
17
Анализ матрицы Ас показывает, что сумма элементов каждого
ее столбца равна нулю. Это является следствием зависимости
одной из строк, поэтому ее можно исключить из Ас. Узел, строка
которого исключается, называют базисным, а матрица А, обра-
зующаяся при этом, редуцированная.
1.4. ЗАКОНЫ КИРХГОФА /
Законы Кирхгофа являются основными в теории цепей.
Первый закон—закон токов Кирхгофа (ЗТК)1 формулируется
по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт,
что в узлах не могут накапливаться заряды. Он гласит:
алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле
электрической цепи, равна нулю. Формально это записывается так:
т
Е 4 = 0, (117)
к = 1
где т—число ветвей, сходящихся в узле.
В уравнении (1.17) токи, одинаково ориентированные относи-
тельно узла, имеют одинаковые знаки. Условимся знаки выходя-
щих токов считать положительными, а входящих—отрицатель-
ными. Тогда, например, для узла 1 схемы, изображенной на
рис. 1.6, а, согласно ЗТК можно записать: — i1 + i2 + i3=0. Число
независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу
независимых узлов электрической цепи и определяется уравнением
(1.14).
Закон токов справедлив и по отношению к сечениям электри-
ческой цепи. Например, для сечения А—А (см. рис. 1.6, б) можно
записать: 1\ — i2 — i4—z5 = 0. Здесь у токов ветвей 2, 4, 5 сече-
ния А—А, направленных относительно линии А — А вниз, взят
знак «—», а у тока ветви 1, направленной Вверх,—знак «+».
Можно взять и обратные знаки, важно лишь, чтобы токи,
одинаково ориентированные относительно линии А—А, симво-
лизирующей сечение, имели одинаковые знаки.
Второй закон—закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формули-
руется по отношению к контурам и гласит: алгебраическая сумма
напряжений ветвей в любом контуре цепи равна нулю:
Е «к=о, (1.18)
t=l
где п.—число ветве.й, входящих в контур.
В уравнении (1.18) напряжения, совпадающие с направлением
обхода контура, записываются со знаком « + », а не совпадаю-
щие—Со знаком «—».
'Составим, например, уравнение по ЗНК для цепи, изображен-
ной на рис. 1.6, а. В соответствии с направлением для I контура
18
Рис. 1.9
— иг+и1+и2 + 1/3 = 0; для II контура
— и2 — u3 + w4+m5 + i/7=0; для III кон-
тура — и5 + и64:0. Можно показать
[1 ], что общее чйсло линейно-незави-
симых уравнений, составляемых по
ЗНК, определяется числом независи-
мых контуров, равных числу хорд
[см. (1.15)].
Метод расчета электрических це-
пей, основанный на законах Кирхго-
фа, в которых переменными явля-
ются токи в ветвях, называют ме-
тодом токов ветвей. В соответствии
с этим методом для нахождения
токов или напряжений ветвей состав-
ляются (лу—1) уравнение (1.17) по
ЗТК и (пв—иу+1) уравнение (1.18) по ЗНК. В результате получаем
систему из (иу— 1 )+(«„—иу + 1)=пв линейно-независимых уравне-
ний, число которых равно числу токов ветвей. Совместное
решение этой системы позволяет найти все токи.
Пример. Рассчитать токи ветвей схемы резистивной цепи, изображенной на
рис. 1.9, по методу уравнений Кирхгофа.
Схема имеет иу=4 узла, ив=6 ветвей. Выберем узел 4 в качестве базисного и
составим пу—1=3 уравнения по ЗТК:
для узла 1
для узла 2
для узла 3
-*1 + *3 + *4
-*2~*з + *5
о;)
о;>
o.J
(1.19)
По ЗНК составляем пв—иу+1=3 уравнения для контуров, показанных на
рис. 1.9, стрелками: для I контура — wrl + wt +u3 + w5=0; для II контура
мг2 + м2 —мз + м4=0; для III контура — ur2 —w2 + M6 — M5=0- Или с учетом закона
Ома (1.6):
— wrl + R^ii -+- /3 -4- Z5 = 0;')
Mr2 + ^2Z2 —^3Z3 + ^4Z4 = 0; (
— Mr2 — *2 + ^6z6 — ^5 *5 = 0- -J
(1.20)
Решая совместно системы уравнений (1.19) и (1.20), найдем искомые токи. При
использовании законов Кирхгофа в качестве независимых переменных можно было
взять напряжения ветвей (метод напряжения ветвей) или токи одних ветвей и
напряжений других ветвей.
1.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СХЕМ
В основе различных методов преобразования электрических
схем лежит понятие эквивалентности, согласно которому напря-
жения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием,
19
L1 L2 Ln 1
“l “n
U
a)
“2
U
6)
Un
I ^2 Rn 1
чнын>
~Ui““2 ~ihi
W
^2 Rn I
<4
Рис. 1.10
остаются неизменными. Преобразования электрических схем при-
меняются для упрощения расчетов. Рассмотрим наиболее типич-
ные методы преобразования.
Последовательное соединение элементов. Согласно ЗТК при
последовательном соединении элементов через них протекает один
и тот же ток i (рис. 1.10). Согласно ЗНК напряжение, приложенное
ко всей цепи,
п
4= Е ик-
к=1
(1.21)
Тогда для последовательного соединения резистивных элементов
1?!, R2, ... , R„ (рис. 1.10, а) с учетом (1.6) будем иметь
п
u = i Е Rk=iR,
k=l
где R= £ Rk. ' (1.22)
k=l
Для последовательного соединения индуктивных элементов
L2, ..., Ln с учетом (1.9) получаем (рис. 1.10,6)
V т di rdi
и = L, LkT=LT’
к-к dt dt
где L= £ Lk. (1.23)
k=l
Для последовательного соединения емкостных элементов Ск,
С2, ... , С„ с учетом (1.12) находим (рис. 1.10, в)
л 1 Г 1 г
м = У — I idt=- I idt,
k=kckj CJ
где 7= E (1-24)
e k=le‘
Таким образом, цейь из п последовательно соединенных
резистивных, индуктивных или емкостных элементов может быть
заменена одним эквивалентным резистивным, индуктивным или
емкостным элементом с параметрами, определяемыми формулами
20
Рис. 1.12
(1.22)—(1.24). Причем при нахождении эквивалентного сопротив-
ления или эквивалентной индуктивности необходимо суммировать
сопротивления и индуктивности отдельных резистивных и индук-
тивных элементов, а для нахождения эквивалентной обратной
емкости—суммировать величины, обратные емкости отдельных
емкостных элементов. В частности, при п = 2
С=С,С21{С, + С2). (1.25)
При последовательном соединении независимых источников
напряжения они заменяются одним эквивалентным источником
напряжения с задающим напряжением иг, равным алгебраической
сумме задающих напряжений отдельных источников. Причем со
знаком «+» берутся задающие напряжения совпадающие с
задающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком
«—»—несовпадающие (рис. 1.11).
Параллельное соединение элементов. При параллельном соеди-
нении элементов согласно ЗНК к ним будет приложено одно и то
же напряжение и (рис. 1.12). Согласно ЗТК для тока каждой из
схем, изображенных на рис. 1.12, можно записать
п
i= £ ik. (1.26)
k=l
На основании этого уравнения с учетом формул (1.6), (1.9) и (1.12)
для параллельного соединения резистивных элементов получаем
i=u £ Gk = uG,
к=1
где G = f Gk; (1.27)
k=l
для параллельного соединения емкостных элементов
21
A du „du I
где C= £ C,; (1.28)
k=l
для параллельного соединения индуктивных элементов
п ] 1
fc=lb* ь
1 п 1
где 1= £ ’ (1.29)
ь И=1Ь‘
Следовательно, цепь из п параллельно соединенных резистив-
ных, индуктивных или емкостных элементов можно заменить
одним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкост-
ным элементом с параметрами, определяемыми формулами
(1.27)—(1.29).
Таким образом, при параллельном соединении резистивных,
емкостных и индуктивных элементов для нахождения эквивалентных
проводимости и емкости цепи проводимости или емкости отдельных
элементов складываются. Эквивалентная обратная индуктивность
цепи находится суммированием обратных индуктив-
ностей отдельных индуктивных элементов. В частности, при п = 2
Л=Л1Л2/(Л14-/г2); L = L1L2/(L1 + L2). (1.30)
Для нахождения тока в параллельной ветви часто пользуются
формулой разброса. Например, для тока i2 при параллельном
соединении Rt и R2 можно записать
. .
г2 = /-------—.
2 R^ + R2
(1.31)
Эта формула может быть получена из ЗТК и закона Ома для R2.
Параллельно соединенные независимые источники тока можно
заменить одним эквивалентным источником тока с задающим
током, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных
источников. Причем со знаком « + » берутся задающие токи,
совпадающие по направлению с задающим током эквивалентного
источника, а со знаком «—»— не совпадающие (рис. 1.13).
При расчете электрических цепей часто возникает необходи-
мость преобразования источника напряжения с параметрами иг и
Rr (см. рис. 1.4, д) в эквивалентный источник тока с параметрами
zr и GT (см. рис. 1.4, е), или наоборот—преобразование источника
тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобразования
осуществляются в соответствии с формулами
ir = uJRr; Gr=l/Rr, (1.32)
22'
которые могут быть получены из ЗНК и ЗТК для схемы на
рис. 1.14,6, е и принципа эквивалентности.
Преобразование «звезда—треугольник». Кроме последователь-
ного и параллельного соединений элементов весьма распростра-
ненными являются соединения элементов треугольником и звездой
(рис. 1.14). Найдем формулы преобразования соединения треуголь-
ника в звезду. Запишем для схемы треугольника уравнения по ЗТК
и ЗНК (рис. 1.14, а):
для узла 1 ha —hi —/1=0, ]
для узла 2 /23 —i‘i2 —12 = 0, f (1-33)
для контура I «12 + «2з + мз1 =0. J
Решая систему (1.33) относительно и12 с учетом равенств
«23 = ^23’23 и u31=R3li3l, получаем
м12 =——i-------------^11—i2. (1.34)
я12+я23+я31 я12+я23+л31
Для схемы «звезда» на основании ЗНК для w12 можно записать
(см. рис. 1.14,6):
«i2 = /?ii’i Л212. (1-35)
Так как на основании принципа эквивалентности напряжение
и12 и токи и i2 из (1.34) и (1.3'5) равны друг другу, то попарно
равны и сомножители при токах it и <2:
Л =—-------------. R —ад,— (1.36)
^12+^23+^31 ^12+^23+^31
23
Уравнение для R3 получаем аналогично (круговой заменой
индексов):
Л3 = *3/23p • (1-37)
^12+^23+^31
Уравнения (1.36) и (1.37) позволяют осуществить переход от
соединения резистивных элементов треугольником к соединению
звездой. Обратный переход можно получить по формулам
/?23 = /?2 + 1?з + /?21?з//?1; > (1.38)
/?31 =1?з + 1?1 -У R3R^ / R2, J
которые получены из (1.36) и (1.37).
Аналогичным образом с учетом уравнений (1.9) и (1.12) можно
получить формулы преобразования «звезда—треугольник» индук-
тивных и емкостных элементов. Так, для емкостных элементов
при преобразовании «треугольник—звезда» имеем
Q = ^1г + С31+ С12С31 / С23, "I
С2-СМ + С12 + С23С12/С31, / (1-39)
Сз = Сз1 + С2з + Сз1С2з/С12, J
а при обратном преобразовании «звезда—треугольник»
Ci2 = Ci С2/(С1 + С2 + С3), )
С23 = С2С3/(С1 + С2 + Сз), > (1.40)
Сз1 = С3С1/(С1 + С2 + Сз). J
Преобразование «треугольник—звезда» и обратно для индук-
тивных элементов осуществляется по формулам, аналогичным
(1.36)—(1.38).
1.6. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ
Принцип наложения (суперпозиции) имеет важнейшее значение
в теории линейных электрических цепей. Подавляющее число
методов анализа линейных цепей базируется на этом принципе.
Если рассматривать напряжения, и токи источников как задающие
воздействия, а напряжение и токи в отдельных ветвях цепи как
реакцию (отклик) цепи на эти воздействия, то принцип наложения
можно сформулировать следующим образом: реакция линейной
цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого
воздействия в отдельности.
Принцип наложения можно использовать для нахождения
реакции в линейной цепи, находящейся как под воздействием
нескольких источников, так и при сложном произвольном воз-
действии одного источника.
24
Рис. 1.15
Рассмотрим вначале случай, когда в линейной цепи дей-
ствует несколько источников. В соответствии с принципом
наложения для. нахождения тока i или напряжения и в за-
данной ветви осуществим поочередное воздействие каждым
источником и найдем соответствующие частные реакции ik и
ик на эти воздействия. Тогда результирующая реакция опреде-у
лится как
п п
i= Е 4; «= Е
к=1 к=1
(1.41)
где п—общее число источников.
Проиллюстрируем принцип наложения (суперпозиции) на при-
мере резистивной цепи, изображенной на рис. 1.15, а. Найдем ток в
резистивном элементе /?3. Положим вначале, что в цепи действует
только один источник иг1; второй источник напряжения исклю-
чается и зажимы его закорачиваются. При этом получаем
частичную схему, изображенную на рис. 1.15, (5. Определим ток i'3
от воздействия напряжения иг1:
i'3 = i'i———, где i‘i=-----—-------.
Ri+R3 Rt+R2R3I(R2 +R3)
Теперь полагаем, что в цепи действует только источник иг2.
Исключив источник url, получим вторую частичную схему
(рис. 1.15,в). Ток z'3 от воздействия ит2 определится как
• ft ‘ft • ft
г3",2Л1 + Я3’ ГДе l2~ R2 + RlR3/(Rl + R3)'
Результирующий ток z3 найдем как алгебраическую сумму частных
токов z3 и z3:z3 = z 3 + 1’3. При определении результирующих токов
знак «+» берут у частных токов, совпадающих с выбранным
положительным направлением результирующего тока, и знак
«—»—у несовпадающих. Как следует из рассмотренного примера,
при составлении частичных электрических схем исключаемые
идеальные источники напряжения закорачиваются. В случае, если
в цепи действуют источники напряжения с внутренними сопротив-
25
Рис. 1.16
пениями Rr, при их исключении они заменяются своими внутрен-
ними сопротивлениями RT.
При наличии идеальных источников тока соответствующие
ветви исключаемых источников размыкаются, а при наличии
реальных источников они заменяются своими внутренними прово-
димостями GT.
Пример. Определить ток i3 в цепи, изображенной на рис. 1.16, а. Составляем
две частные схемы (рис. 1.16,6 и в), для которых находим частные токи:
i'=i j" _ иг2
3 rl Ri + Rt2+^3 Яг2 + Я2+Л3
Результирующий ток /3=Г3-Н’3.
Если в линейной цепи приложено напряжение сложной формы,
применение принципа наложения позволяет разложить это воз-
действие на сумму простейших и найти реакцию цепи на каждое
из них в отдельности с последующим наложением полученных
результатов. Примеры использования этого метода будут рас-
смотрены в гл. 6 и 7.
1.7. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи
с «„-ветвями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо
решить систему из ив уравнений. Для снижения числа решаемых
уравнений и упрощения расчетов используют метод контурных
токов и узловых напряжений.
Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых
уравнений до числа независимых контуров, определяемых равенст-
вом (1.15). В его основе лежит введение в каждый контур
условного контурного тока /ж, направление которого обыч-
но выбирают совпадающим с направлением обхода контура.
При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК.
В частности, для каждого из выделенных контуров можно
составить уравнения по ЗНК. Поясним суть метода контурных
токов на примере резистивной цепи, схема которой изображена на
26
рис. 1.15,<2. Для контурных токов iKl и 42 этой схемы можно
записать уравнения по ЗНК в виде
— ыг1+(-^1 + -^з)гк1 +Лэ4г=0» „
-Иг2 + 7?з41+(1?2 + ^з)гк2 = 0- Г
Перенесем мг1 и нг2 в правую часть системы и получим так
называемую каноническую форму записи уравнений по методу
контурных токов:
^11 гк1+^12Zk2 = Wk1> I
^21Zk1+^22*k2 = Wk2> J
где Л11 = Л14-Л3; 7?22 = Я24-1?3 называют собственными или
контурными сопротивлениями I и II контуров; ^12 = ^21 =^з — вза~
имным сопротивлением I и II контуров; «к1 = «г1; «К2 = 1/г2— контур-
ными задающими напряжениями. Истинные токи в ветвях находят-
ся как алгебраическая сумма контурных токов: i1 = iK1; z2 = zk2;
z3 = zki + zk2- ® общем случае, если резистивная цепь содержит к
независимых контуров, система уравнений имеет вид:
^1141+ ^12*k2 + — + =
^21 41 “^^22 Zk2 4" ••• 4" ^2k4k = Wk2’ . (1 j/П
^kl 41 4" R-kl Z*k2 4“... 4"Rkk^Kk ^кк*
Слагаемые RiniKn в уравнении (1.42) берутся со знаком « + », если
токи iKl и iKn обтекают Rln в одном направлении и со знаком «—» в
противном случае. Контурное задающее напряжение и* равно
алгебраической сумме задающих напряжений источников, входя-
щих в каждый контур. Со знаком « + » суммируются источники,
задающее напряжение которых направлено навстречу контурному
току, и со знаком «—», если направления напряжения и
контурного тока совпадают.
Решая систему уравнений (1.42), найдем величины контурных
токов
41 = ^1 l&R> Zk2 = ^2I&R) •••; 4к = ^кМл»
где — определитель системы (1.42):
^R~
^11^12 •• -&1к
^21^22 •• &2к
(1.43)
&к\&к2 • • &кк
Определитель Ак находится путем замены fc-ro столбца
в (1.43) правой частью системы (1.42). Например, для Ах
имеем:
27
л1=
мк1^12 ••• Rlk
ик2^22 -• &2к
М*к^к2 ”• R-kk
Разлагая определитель по элементам первого столбца,
можем получить уравнение для 41 в другой форме:
Ац । ^21 । । ^ki 1 X-5 а
hi = uxi-^+uK2-^+... + utk—=-- £ «к1Дп,
nR nR nR аК/=1
(1.44)
где Дп, Д,2,..., Дк1—алгебраические дополнения определителя
(1.43).
Аналогичные уравнения можно получить для остальных то-
ков:
1 * 1 *
,12=Т- £ МН^12» •"» Zrt = T-’ X U*l^lk‘ (1-45)
ДК„=1 J=1
Как следует из уравнений (1.44) и (1.45), контурный ток
может быть получен путем алгебраического суммирования част-
ных токов от воздействия каждого контурного задающего
напряжения в отдельности. Таким образом, полученный ре-
зультат отражает рассмотренный в §1.6 принцип наложе-
ния.
Если в схеме кроме источников напряжения содержится пт
ветвей с источниками тока, то независимые контуры выбираются
так, чтобы источник тока входил только в один контур. Это
можно сделать, если выбрать дерево графа цепи таким, чтобы
источник тока входил в одну из хорд. Число контурных уравнений
при этом уменьшается до
пК = пв —Иу + 1— пт. (1-46)
Напряжения от задающих токов этих источников учиты-
ваются в левой части системы (1.42) на взаимных сопротив-
лениях, которые эти токи обтекают. Например, для схемы,
изображенной на рис. 1.16, а, составляется только одно уравнение
для II контура:
&22 4г + 41 ^3 = С^г2 + R2 + /?3 )42 + R> 41 = мг2-
Для линейных электрических цепей важную роль играет
принцип взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если
.источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь I пассивной
линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви к ток
определенной величины, то этот же источник, будучи помещенный
в ветвь к, вызывает в ветви I ток той же величины. Справедли-
вость этого принципа следует непосредственно из уравнений (1.44)
и (1.45) с учетом того, что Д№ = Дк/.
28
1.8. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Метод узловых напряжений является наиболее общим и
широко применяется для расчета электрических цепей, в частности
в различных программах автоматизированного проектирования
электронных схем.
Метод узловых напряжений базируется на ЗТК и законе Ома.
Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины,
определяемой равенством (1.14). В основе этого метода лежит
расчет напряжений в (иу—1)-м узле цепи относительно базисного
узла. После этого на основании закона Ома находятся токи или
напряжения на соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность
метода узловых напряжений на примере резистивной цепи,
изображенной на рис. 1.17, а. Примем потенциал К3 = 0 (базисный
узел) и с помощью (1.32) преобразуем источники напряжения в
эквивалентные источники тока (рис. 1.17,6), где irl = Krl(z1; zr2 =
= Мг2^2» 1'гЗ = ИгЗ^З> = ^2=1/-^2» ^3 = 1/^3’ ^4=V-^4’
G5 = l/1?5. Составим уравнения для узлов 1 и 2 по ЗТК:
-z1 + z2-z4+z5 = O; 4+13-12 = Ъ- (1.47)
Каждый из этих токов можно выразить через узловые напряжения
и токи zrl, zr2, zr3:
«2 = ^2-(«2-“1)^2; i3 = l'r3 + “2G3;
*4 = (“2-“1)64; «5 = M1G!5-
Подставив эти значения в уравнение (1.47), получим после
группировки членов при их, и2 и переносе iT1, zr2, ir3 в правую часть:
(G1 + G2 + G4 + G5)u1-(G2 + G4)u2 = iri-ir29 1 п
(^2 ^4 ) W1 “Ь(^2 + G3 “1“ ^4)^2 = *г2 *гЗ* )
РИС. 1.17
29
(1.49)
Введем следующие обозначения:
=G\+G:2 + G:4+G5; G22=G2+G3+G4;
Gl2 = G2i = G2 + G4; iyi = iri —415 *у2 = гг2 — ггз-
Тогда система уравнений (1.48) примет вид
G11U1~ ^12М2 = 1у1>
^2i М14" G22u2 = zy2.
Проводимости Gu и G22 представляют собой арифметическую
сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно
к узлам 1 и 2, они называются собственными проводимостями
узлов 1 и 2. Проводимости <Ji2 = <J2i равны арифметической сумме
проводимостей всех ветвей, включенных -между узлами 1 и 2, и
называются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраичес-
кую сумму задающих токов zyl и zy2 источников тока, подключен-
ных соответственно к узлам 1 и 2, называют задающими узловыми
токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической
сумме берутся со знаком «+», если положительное направление
задающего тока источника ориентировано к соответствующему
узлу, и «—», если от узла. Например, для узлового тока zyl со
знаком «+» берется ток zrl, так как ориентирован по направлению
к узлу 1, и знак «—» берется для zr2, так как он ориентирован от
узла 1.
Решив систему (1.49) относительно иг и и2, определим узловые
напряжения цепи. Искомые токи находим по закону Ома.
Полученный результат можно обобщить на произвольную рези-
стивную схему с п узлами. Если принять n-й узел за базисный, то
система уравнений по методу узловых напряжений будет иметь
вид:
^11М1 ~ ^12и2~ — ~ ^1(п-1)м(п-1) = гу1’
— G2lut + G22u2 —... — <72(В-1)И(В-1) = гу2; I /1 глч
~ ~ G(n-l)2U2 ••• + G!(B-1)(B-1)M(B-1) —ly(B-1), _
где Lt, iy2, zy(B_ n—задающие узловые токи в узлах 1, 2,..., (л— 1).
Решение системы (1.50) можно получить с помощью определи-
телей
M1=Ai/Ag> u2 = ^2/^G>-> m(b-1) = ^(»-1)/^G>
где Дд—определитель системы (1.50):
Дд —
— G2l + G22... — G2(„-i)
(1-51)
30
определители Дх, А2,А(П_1( находятся путем замены соответст-
вующего столбца в (1.50) задающими узловыми токами гу1,
t’2,..., lyo,-!). Разлагая определители Ах, Д2, ...А(п_у по элементам
I, 2, ...,(п— 1)-го столбца, получаем по аналогии с (1.45) уравнения
узловых напряжений:
J Л— 1 1 Л— 1 J л— 1
М1=Т" X lyl^llJ U2=-jT X *yl ^12* •••’ М(п-1) = у £ 1у|^Цп-1)- (1-52)
aGi=i aGi=i aCJ=l
Из уравнений (1.52) так же, как из уравнений (1.45), следует, что
узловые напряжения определяются алгебраической суммой част-
ных узловых напряжений, обусловленных действием каждого
задающего узлового тока в отдельности, т. е. как и в методе
контурных токов уравнения (1.52) отражают принцип наложения,
характерный для линейных электрических цепей.
1.9. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда
необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви.
При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой
подключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника
(рис. 1.18, а). Двухполюсник называют активным, если он содер-
жит источники электрической энергии, и пассивным—в противном
случае. На рисунках активный двухполюсник будем обозначать
буквой А, а пассивный—П. Более подробно определение и общая
теория двухполюсников излагается в гл. 8.
Различают две модификации метода эквивалентного генерато-
ра: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквива-
лентного источника тока.
Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод
базируется на теореме Тевенина, согласно которой ток в любой
ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный
двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить
эквивалентным источником (генератором) напряжения с задаю-
щим напряжением, равным напряжению холостого хода на
зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением,
Рис. 1.18
31
Urj uxx Ur2 ил к \
а) 6)
Рис. 1.19
равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного
двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (рис. 1.18,6).
Для доказательства этой теоремы разомкнем ветвь с элементом R
и определим расчетным или экспериментальным путем напряжение
холостого хода их х (рис. 1.19, а). Затем включим в эту ветвь навстречу
друг другу два йсточника напряжения с задающим напряжением
мг = их.х (Рис- 1-19, б). Ток в ветви с R при этом (рис. 1.19, б) не из-
менится по сравнению с током i в исходной схеме (см. рис. 1.18, а). Ре-
зультирующий ток в выделенной ветви найдем методом наложения:
i=iA + il + i2, где iA — частичный ток, обусловленный активным
двухполюсником; —ток, обусловленный действием источника иг1;
i2—ток, обусловленный действием источника иг2. Однако напряже-
ние активного двухполюсника и задающее иг2 действуют навстречу
друг другу, поэтому iA+i2 = 0. Следовательно, ток в цепи i=i, будет
обусловлен только действием источника с иг1 = ихх (см. рис. 1.18, б).
Частичный ток г\ может быть найден, если положить все задающие
напряжения и токи активного двухполюсника равными нулю.
Получившийся при этом пассивный двухполюсник полностью
характеризуется своим эквивалентным сопротивлением R3 относи-
тельно выделенных зажимов. Таким образом, приходим к схеме,
изображенной на рис. 1.18,6.
После замены активного двухполюсника эквивалентным источ-
ником в соответствии с этой схемой имеем
i=uxx/(R + R3), (1.53)
где R3—можно найти либо экспериментальным, либо расчетным
Рис. 1.20
32
Разомкнем ветвь с R3 и определим их х (рис I 20, о) по ЗНК для I контура:
“x.x + ^2«2-«r2=0- Отсюда Их.х = Иг2-Л2»2’ ГДе ’2 = («Г2-«Г1)/(Л1+Л2).
Эквивалентное сопротивление R3 пассивного двухполюсника определяется из
схемы на рис. 1.20,в: R3=RlR2l(Ri+R2'). Подставив «1Х и R3 в уравнение (1.53),
найдем: i3=uIX/(R3+R3).
Метод эквивалентного источника тока. В основе этого метода
лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви
линейной электрической цепи не изменится, если активный двухпо-
люсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквива-
лентным источником тока с задающим током, равным току
короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью,
равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкну-
той ветви (см. рис. 1.18, в).
Доказательство этой теоремы проще всего осуществить пу-
тем преобразования эквивалентного источника напряжения (см.
рис. 1.18,6) в эквивалентный источник тока (см. рис. 1.18, в) с
параметрами
Gr=l/Rr-, ir = ix.3 = ux.xGr, (1.54)
где 4.з—ток короткого замыкания рассматриваемой ветви.
Из (1.54) следует формула, которую можно положить в основу
экспериментального определения параметров пассивного двухпо-
люсника:
R3 = Rr=l/Gr = uxx/ix3. (1.55)
После нахождения ix 3 и R3 искомый ток можно найти по формуле
i=iX3(R3/(R + R3)). (1.56)
Пример. Найти ток в резистивном элементе R3 (рис. 1.20, а) методом
эквивалентного источника тока.
Замкнем ветвь с R3 (рис. 1.20, г) и найдем ток /Зхз методом наложения:
*3к.з = * Зк.з + Gk.3 = Мг 1 /Я 1 + Wr2 /Я2•
Эквивалентную проводимость определим согласно схеме на рис. 1.20, в:
G3=1/Я, + i/R2=(R1+R2)/RlR2 = 1/Л-
Подставив значения R3 и i3x3 в (1.56), получим искомое значение тока i3.
Очевидно, что методы эквивалентного источника как напряже-
ния, так и тока дают один и тот же результат. Применение того
или иного метода определяется удобством и простотой нахожде-
ния их х или ix 3.
1.10. ПРИНЦИП ДУАЛЬНОСТИ
Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в
предыдущих разделах, позволяет сформулировать важный прин-
цип теории электрических цепей—принцип дуальности (двойствен-
33
2 - 3439
Таблица 1.1
Понятия
исходные дуальные
Напряжение и Сопротивление R Индуктивность L Задающее напряжение иг Ток i Проводимость G Емкость С Задающий ток ir
ЗТК £/к=0 к di u=Ri; u=L—; dt ЗНК £«*=0 * du i=Gu; i=C—; dt
j '=уИ JLf
Метод контурных токов Метод эквивалентного генератора напряжения Метод узловых напряжений Метод эквивалентного генератора тока
Последовательное: Параллельное:
к к
к -=£— С кСк к -=Е- L ГЦ
ности). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи
справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они
будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Этот
принцип проявляется, например, в сходстве законов изменения
напряжения в .одной цепи и законов изменения токов в другой
цепи (дуальной). Таблица 1.1 иллюстрирует двойственный харак-
тер основных законов и соотношений в электрических цепях.
Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет
существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для
одной цепи, то, используя дуальные соотношения, можно сразу
записать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.
1.11. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА. БАЛАНС
МОЩНОСТИ
Теорема Телледжена является одной из наиболее общих теорем
теории электрических цепей. Рассмотрим граф произвольной
электрической цепи, содержащей п„ ветвей и пу узлов. Для
34
согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема
Телледжена гласит: сумма произведений напряжений ик и токов ik
всех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна
нулю'.
"в
I «Л=0. (1-57)
*=i
Докажем эту теорему на примере цепи, изображенной на
рис. 1.21.
Составим сумму произведений ukik для каждой из ветвей:
IX 4 = ( “ Мг1 + «1 ) 1'1 + «2 *2 + м3 г’з + «4 *4 + «5 »5- (1 •58)
к
Согласно ЗНК должны выполняться условия: — иг1 + и1 = — иг>
и3 = и2 —и4 = и5- Поэтому равенство (1.58) можно переписать в
форме
IЦЛ = - «2 Ч + «2 *2 + “2 *3 - “4 <} + “4 *4 + «4 *5 = “2 (*2 + *3 - *! ) +
*
+ «4(г4 + <5-1’з) = 0,
так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю согласно ЗТК,
что и доказывает теорему. Необходимо подчеркнуть, что посколь-
ку теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирх-
гофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линей-
ных и нелинейных, активных и пассивных, цепей, параметры кото-
рых изменяются во времени (параметрических цепей). В общем
случае эта теорема справедлива и для случая попарных произведе-
ний ик и i, разных ветвей, если для них выполняются ЗНК и ЗТК.
Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим
из которых является баланс мощности. Действительно, произведе-
ние ukik согласно формуле (1.5) представляет собой мгновенную
мощность рк к-й ветви, поэтому в соответствии с (1.57) сумма
мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если в (1.57) выде-
лить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности
можно сформулировать следующим образом: сумма мощностей,
отдаваемых независимыми источниками, равняется сумме мощно-
стей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.
Пример. Составить баланс мощности для цепи, изображенной на рис. 1.22.
Сумма мощностей, развиваемых источниками напряжения и тока pHCT = Mrizi+M32zr-
Потребляемая мощность с учетом закона Ома PnoT = Mizi + M2z2 + M3z3 + M4z4 = ^iz ? +
+ ^2z2 + ^3z3 + ^4z4- В соответствии с балансом мощностей рист=рПот-
Следует отметить, что при определении рист произведение uri
берется со" знаком « + », если направления задающего напряжения
иГ и тока i направлены навстречу друг другу, и со знаком « —» в
35
/74 A*. ; (Т\ Я- ;
Рис. 1.21
Рис. 1,22
противном случае. Аналогичное правило знаков для источников
тока: если напряжение на зажимах источника направлено на-
встречу задающему току /г берется знак «+», а если напряжение
совпадает с током—знак «—». Баланс мощности выражает не что
иное, как закон сохранения энергии в электрической цепи.
Одной из важнейших практических задач является оптимальная
передача электрической энергии от активного к пассивному двухпо-
люснику. Оптимум обычно понимается в смысле получения макси-
мальной мощности в нагрузке Ra. Для цепи постоянного тока актив-
ный и пассивный двухполюсники можно заменить эквивалентной
схемой, изображенной на рис. 1.23. Мощность р определим как
p--‘1R’-(n^wR--
а напряжение на нагрузке uH=ur-iRr. Максимум мощности будет
достигаться при Ra^RT, при этом ток в цепи принимает значение
/0₽иг/(2Лг), а мощность
(1-59)
Коэффициент полезного действия (КПД) системы передачи
определяется равенством
П "Рч/Рнстi2RT)/M ~ 1 - iRT/ur,
При i^i0 и Ри^Рнтах имеем r)=»0,5 (50%). На рис. 1.24 представ-
лены зависимости ряст, ра, ц от тока /.
Рис. 1.23
36
Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В РЕЖИМЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ
2.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Электрические цепи могут находиться под воздействием постоян-
ных или переменных напряжений и токов, Среди этих воздействий
важнейшую роль играют гармонические колебания. Последние
широко используются для передачи сигналов и электрической
энергии, а также могут применяться в качестве простейшего
испытательного сигнала. Исследование режима гармонических
колебаний важно и с методической точки зрения, поскольку анализ
электрических цепей при негармонических воздействиях можно
свести к анализу цепи от совокупности гармонических воз-
действий. В этом смысле методику анализа и расчета цепей при
гармонических воздействиях можно распространить и на цепи при
периодических несинусоидальных, а также непериодических воз-
действиях (см. гл. 6).
Гармоническое колебание /(г) (рис. 2.1) характеризуется сле-
дующими основными параметрами: амплитудой 1т, угловой
частотой со, начальной фазой <р(. Аналитически гармонические
колебании можно определить уравнением:
/0®/т8ш(фГЧ-ф{). (2.1)
Наименьший промежуток времени, по истечении которого зна-
чения функции i(t) повторяются, называется периодом Т. Между
периодом Т и угловой частотой со существует простая связь:
Т^2п/(о. (2.2)
Величину, обратную периоду, называют циклической частотой:
f=\)T. Из вышеизложенного следует, что ®=2л/. Единицей
измерения частоты f является герц (Гц), угловой частоты
од—радиан в секунду (рад/с).
В радиотехнике и электросвязи используют гармонические
сигналы от долей герц (инфранизкие частоты) до десятков и сотен
гигагерц (сверхвысокие частоты).
Для питания различных электроэнергетических установок в
СССР принята промышленная частота /=50Гц. В качестве
источников гармонических колебаний промышленной частоты
используются электромашинные генераторы различного типа.
Принцип работы простейшего электромашинного генератора
иллюстрирует рис. 2.2. В состав генератора входят; статор,
создающий магнитное поле с магнитной индукцией В, и ротор,
37
Рис. 2.1
Рис. 2.2
вращающийся в этом магнитном поле с угловой частотой о. При
пересечении витками катушки ротора магнитного потока Ф в них
согласно закону электромагнитной индукции наводится ЭДС,
равная
е= - — = -W —,
dt dt
(2-3)
где Т = >уФ—потокосцепление катушки с магнитным потоком;
w—число витков катушки. При постоянной скорости вращения
ротора для получения ЭДС синусоидальной формы применяются
полюса специальной формы. Частота на выходе генератора
y=ZV/60, (2.4)
где рп—число пар полюсов ротора; v—скорость вращения ротора
(об./мин).
Электромашинные генераторы используются для получения
гармонических напряжений и токов не выше 5 ... 8 кГц. Для
получения гармонических сигналов более высоких частот обычно
используются ламповые и полупроводниковые генераторы (см.
гл. 13).
Важными параметрами гармонических колебаний являются их
действующее и среднее значения. Действующее значение гармони-
ческого тока
' 1= (2.5)
V го
где i—мгновенное значение гармонического тока:
г=/т$т((Ш+ф(). (2.6)
Подставив значение i из (2.6) в (2.5), после интегрирования
получим для действующего значения тока
/=7т/У2«0,7071т. (2.7)
Аналогично определяется действующее значение напряжения:
38
0,707 Um. (2.8)
Действующие значения токов и напряжений называют еще их
среднеквадратическими значениями.
Среднее значение гармонического тока
т
/ср=|р'- (2.9)
о
Подставив значение i из (2.6) в (2.9), находим, что /ср=0. Этот
результат вполне понятен, если учесть, что уравнение (2.9)
определяет площадь, ограниченную кривой /(/) за период Т (см.
рис. 2.1). Если значение тока определено за полпериода, то можно
записать: (
T/2
2 1 2/
4Р=| idt=2-^ «0,637 Im. (2.10)
J л
о
Аналогично определяем, что С7ср® 0,637 Um.
2.2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Гармонические колебания можно представить различными
способами: функциями времени (временное диаграммы) (см.
рис. 2.1); вращающимися векторами (векторные диаграммы);
комплексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами.
Tqt или иной способ представления применяется в зависимости от
характера решаемых задач.
Временнбе представление гармонических колебаний наглядно,
однако его использование в задачах анализа цепей затрудни-
тельно, так как требует проведения громоздких тригонометричес-
ких преобразований. Более удобно векторное представление
гармонических колебаний, при котором каждому колебанию
ставится в соответствие вращающийся вектор определенной длины
с заданной начальной фазой. В качестве примера на рис. 2.3
показано векторное представление двух колебаний it и i2:
Zi^isinfaw+cp!), |
i2=Zm2sin(«w-|-(p2). J
Их сумму i3 легко можно найти по формулам суммирования
векторов:
/з = /1 + /2 = ^тз8ш(а)/+Фз), (2.12)
где
39
Im3= x//ml+/m2 + 2Zml/m2COs(<p2-(p1);
y3=arctg-"?sin-+Z"?sin<P2-.
/mlcos<pj+/m2cosq>2
Величина ф = ф2 —фх называется фазовым сдвигом между колеба-
ниями il и г^-
Совокупность векторов, изображающих гармонические колеба-
ния в электрической цепи, называют векторной диаграммой.
Векторные диаграммы можно строить как для амплитудных, так и
для действующих значений токов и напряжений.
Наиболее распространенными являются представления гармони-
ческих колебаний с помощью комплексных чисел. Эти представления
лежат в основе символического метода расчета электрических це-
пей—метода комплексных амплитуд. Представим ток i, определяе-
мый формулой (2.6), на комплексной плоскости. Для этого изобразим
вектор 1т на комплексной плоскости с учетрм начальной фазы ф
(рис. 2.4, а). Знаком «+» обозначено положительное направление
вещественной оси, aj= — 1—положительное направление мнимой
оси. Будем вращать этот вектор в положительном направлении
(против часовой стрелки) с угловой частотой <в. Тогда в любой
момент времени положение вращающегося вектора определится
комплексной величиной (комплексным гармоническим колебанием);
i (t)=1те}(<а,+^=7mcos (со/ 4- ф.) +jZmsin (со/4-ф(). (2.13)
Первая часть слагаемого (2.13) отражает проекцию вращающегося
вектора на вещественную ось, а вторая часть—на мнимую ось.
Сравнив второе слагаемое в (2.13) с (2.6), приходим к выводу:
синусоидальный ток i на комплексной плоскости представляется в
форме проекции на мнимую ось вращающегося вектора (2.13):
i = Im [JMeJ(<e,+’.)] = Im [ZmeJ“‘], (2.14)
где Im—сокращенное обозначение слова Imaginarins (мнимый):
40
Im f P A
Iml------------- ?1 '
0 aij ш 0 ш1 ш
a) 6)
Рис. 2.5
ZM = 7Me^. (2.15)
Величина Im носит название комплексной амплитуды тока.
Если гармоническое колебание задается в форме косинусоиды,
например
Z = /mCOS (со? + ф;),
(2-16)
то на комплексной плоскости этому току соответствует проекция
вектора (2.13) на вещественную ось:
i= Re (Zme7(“r+ф.)] = Re [Jme*“], (2.17)
где Ro—сокращенное обозначение слова Realis (действительный,
вещественный).
Возможна и другая форма представления гармонических
колебаний на комплексной плоскости. Учтем, что согласно
формулам Эйлера
со8фг=(^’«+е"Л<)/2; 8тф<=(^*<-е"-,*<)/2/ (2.18)
Тогда уравнение для типа i из (2.6) можно записать в виде
i= ^5 [еЛи< +»,)_£“ + 1 | Lm Qjmt._ ImQ-jaty (2.19)
2/ J у 2 2
Аналогично для тока i из уравнения (2J6):
i== I”1 +e-A®«+»f)] = (2.20)
где [т=1те~^<—сопряженная комплексная амплитуда тока. Та-
ким образом, ток i из уравнения (2.6) согласно (2.19) можно
представить как геометрическую разность векторов IJ2 и 2т/2,
вращающихся в противоположных направлениях с угловой часто-
той со, а ток из (2.16)—как геометрическую сумму этих векторов
(рис. 2.4,6). В первом случае i располагается на мнимой, а во
втором случае—на действительной осях. Комплексную амплитуду
синусоидальной функции заданной частоты можно рассматривать
как преобразование временной функции в частотную область.
Спектральное (частотное) представление гармонических колеба-
ний состоит в задании амплитудного и фазового спектров колебания
(рис. 2.5). Более подробно спектральное представление и методы ана-
лиза цепей, основанные на этом представлении, рассмотрены в гл. 6.
41
2.3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В
РЕЗИСТИВНЫХ, ИНДУКТИВНЫХ и
ЕМКОСТНЫХ ЦЕПЯХ
Резистивные цепи. Пусть к резистивному элементу R приложено -
гармоническое напряжение
M=t7B1sin(cof+(pu). (2.21)
Согласно закону Ома через него будет протекать ток
»= = vsin(“z+(p“) = /”sin(“z+(pi)’ (2-22)
lx.
где Im=U^R—амплитуда; ф, = фи—начальная фаза тока. Таким
образом, ток i и напряжение и в резистивном элементе совпадают по
фазе друг с другом (рис. 2.6, а). Средняя за период Т мощность,
выделяемая в R,
т т
Лр= 7 jpdt= | J Uidt= UI=I2R= U2G. (2.23)
о о
При последовательном или параллельном соединениях не-
скольких резистивных элементов ток в цепи определяется уравне-
нием, аналогичным (2.22), где R определяется согласно (1.22) для
последовательного и (1.27) для параллельного соединений элемен-
тов. При этом фазовый сдвиг между током и приложенным
напряжением остается равным нулю.
Индуктивные цепи. Под действием напряжения (2.21) в индук-
тивном элементе будет протекать ток согласно (1.9):
/= 1 udt= A- UMsin((ot+(p„- =/ж$т(<вГ+ф,), (2.24)
где Im=Um/((f)L)=U„/XL; Xl=(£>L— индуктивное сопротивление1,
Ф,=Ф„—л/2—начальная фаза тока.
Величину, обратную XL, называют индуктивной проводимостью
BL= 1/(<»£). Как следует из полученных выражений, ток в
42
индуктивности отстает от приложенного напряжения на л/2, т. е.
фазовый сдвиг между током i и напряжением и (рис. 2.6, б):
Ф = <ри-фг = л/2. (2.25)
Нетрудно видеть, что средняя за период мощность в индуктивном
элементе равна нулю.
При последовательном и параллельном соединениях индуктив-
ных элементов ток .в цепи определяется уравнением, аналогичным
(2.24), где L находится согласно (1.23) для последовательного и
(1.29) для параллельного соединений.
Емкостные цепи. Для емкостного элемента согласно уравнению
(1.12) имеем
i=CVt = +Ф„ + ^ = /„sin (со/+ф,), (2.26)
где Im=(oCU„ = BCU„; Вс = <оС—емкостная проводимость'. ф( =
= фи+л/2—начальная фаза тока. Величину, обратную Вс, назы-
вают емкостным сопротивлением Ус=1/(соС).
Из приведенных уравнений следует, что ток в емкости
опережает приложенное напряжение на л/2 (рис. 2.6, в), причем
знак « —» свидетельствует об отставании напряжения и от тока i.
Средняя за период мощность в емкостной цепи также равна нулю.
При последовательном и параллельном соединениях емкостных
элементов ток в цепи определяется согласно (2.26), где С
находится из (1.24) для последовательного и (1.28) для параллель-
ного соединений.
2.4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПИ
ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ
R, L, С ЭЛЕМЕНТОВ
Допустим, что в цепи, содержащей последовательно соединен-
ные элементы R, L, С (рис. 2.7), протекает ток
1=/„8т(<в/+ф|). (2.27)
Согласно ЗНК напряжение на отдельных участках цепи определя-
ется уравнением
и = uR + uL + ис = Ri+L J idt. (2.28)
Подставив в (2.28) значение тока из (2.27), получим
и = RImsin (<о/+ф,) +co£/„sin (со/+ф,- —л/2)+
+ /„sin (ш/++ л/2). (2.29)
Уравнение (2.29) можно переписать в виде
и = C„Rsin (со/+фк) + I7„tsin (со/+фь) + UmCsm (2.30)
где
43
(2.31)
UmR2* RIm> U U
Фк = Фь Ф1=гФ(“л/2; фс^ф, + л/2.
На рис 2.8 изображена векторная диаграмма напряжений,
описываемых уравнений (2.30).
Напряжение UmR на активном сопротивлении R называется
активной составляющей приложенного напряжения и обозначается
Uma=UmR, разность напряжений Ump=UmL— UmC называют реак-
тивной составляющей. Согласно этому определению и формулам
(2.31) имеем
V^ImR- Ump=lm(XL—Xc)=ImX.
Величина X*=Xr —Xr=(oL—l/((oC) называется реактивным сопро-
тивлением, а величина Z= R2+X2—полным сопротивлением цели.
Треугольник на векторной диаграмме, образованный напряже-
ниями Um , U, Um называют треугольником напряжений. Если
U.L>Vmc\XL>\c), то цепь носит индуктивный характер (прило-
женное напряжение опережает ток) и треугольник напряжений
имеет вид, изображенный на рис. 2.9, а; если UmL< UttlC(XL<Xc),
то цепь носит емкостной характер (приложенное напряжение
отстает от тока) и треугольник напряжений принимает вид,
изображенный на рис. 2.9, в. Треугольник со сторонами R, X, Z,
подобный треугольнику напряжений, называется треугольником
сопротивлений (рис. 2.9, б, г). Из треугольников сопротивлений и
напряжений следует:
44
y/uL+ul^^z,
Ф -arctg (t7rafS/(/Ma)^arctg (X/R);
R = Zcos<p; X=Zsinq>.
(2.32)
(2.33)
2.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПИ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ R, L, С
ЭЛЕМЕНТОВ
Приложим к цепи, содержащей параллельно соединенные
элементы R, L, С (рис. 2.10), напряжение
м= £7wsin (ю/4-фи). (2.34)
Согласно ЗТК ток в неразветвлениой части цепи
/*
i=iR+iL+ic^Gu+ i udt+C~~. (2.35)
Подставив значение напряжения и из (2.34) в (2.35), получим
i- ^sin(wZ+9u)+“£(/msin(«)/+(pu-n/2)+
+<оСС/и|8П1(аи+ф|(+л/2). (2.36)
Перепишем уравнение (2.36) в виде
i=7w«sin (tot+фя)+Zrt£sin (со?+ф£)+ZmCsin (со Z+фс), (2.37)
где
ImC=BcUc; 1
Фя=фй; <р£=фи-я/2; Фс^фи+л/2. J
На рис. 2.11 изображена векторная диаграмма токов, описывае*
мых уравнением (2.37).
Ток в активном сопротивлении ImR называют активной
составляющей тока Zma; а разность токов /„,,=*/«£—1тС—реактив-
ной составляющей тока. Для /ма и Zmp справедливы соотноше-
Рис. 2Л1
45
Рис. 2.12
ния: Ima=UmG; lmp=Um(BL-Bc)=UmB. Величина B=BL-BC=
= l/(oL)—(oC называется реактивной проводимостью цепи, а
Y= jG2 + B2 —полной проводимостью цепи..
По аналогии с треугольником напряжений и сопротивлений
при параллельном соединении элементов можно ввести треуголь-
ник токов и проводимостей (рис. 2.12, а, б). Как следует из этих
рисунков, при ImL>ImC (BL>BC) цепь носит индуктивный характер
(общий ток отстает от приложенного напряжения) и при ImL<ImC
(BL<BC)—емкостной характер (ток опережает приложенное на-
пряжение). Из треугольников токов и проводимостей следует:
Im=^I2a+I2mp = UmY,
<p = arctg(Zmp/7ma) = arctg(5/G), k ' (2.39)
G=ycosq>, В= /sirup.
Сравнение треугольников токов и проводимостей с треугольни-
ками напряжений и сопротивлений показывает их дуальный
характер. Дуальны также и все соотношения, описывающие цепи
при последователном и параллельном соединениях элементов!
дуальны и сами цепи.
2.6. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ
ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении эле-
ментов в режиме гармонических воздействий обычно осуществля-
ется символическим методом. Это объясняется тем, что класси-
ческий метод расчета приводит к громоздким интегрально-
дифференциальным уравнениям и требует большого объема
тригонометрических преобразований. Символический метод позво-
ляет тригонометрические операции над гармоническими колеба-
ниями и геометрические операции над векторами свести к
алгебраическим операциям над комплексными числами, что
существенно упрощает расчет. При этом могут быть использованы
все методы преобразований и анализа, изложенные в гл. 1.
Допустимость использования символического метода объясняется
46
тем, что в линейных цепях в режиме гармонических воз-
действий в цепи устанавливаются гармонические колебания той
же частоты. Таким образом, неизвестными параметрами то-
ков и напряжений будут лишь амплитуды и фазы, опре-
деляемые однозначно их комплексными амплитудами. Запи-
шем основные законы электрических цепей в символической
форме.
Для резистивного элемента R связь между комплексны-
ми амплитудами тока 1т и напряжения Um можно опре-
делить согласно закону Ома (1.6) путем замены мгновен-
ных значений токов i и напряжений и их комплексными
амплитудами:
Um = RIm- (2.40)
Для индуктивного элемента L связь между 1т и Um опреде-
лится согласно (1.9) с учетом (2.24):
Um=ja>LIm=jXLIm, (2.41)
где j=ejn/2— множитель, характеризующий фазовый сдвиг между
вектором тока 1т и напряжением Um (см. рис. 2.6). Уравнение
(2.41) отражает закон Ома для индуктивных элементов.
Для емкостного элемента С на основании (1.12) можно
записать:
. Lm=j^CUm или Um= ~jXcIm. (2.42)
Полученные уравнения (2.40)—(2.42) справедливы и для комплекс-
ных действующих значений токов и напряжений:
для R. I=U/R=UG; (2.43)
для L: I=UJjXL= -jBLU; (2.44)
для С: I=jBcU= U/(-jXc); (2.45)
где 7=7m/V2; U=Um,l^.
Аналогично можно получить уравнения законов Кирхго-
фа в комплексной форме. Так, для ЗТК (1.17), заменив мгно-
венные значения токов ik их комплексными амплитудами 1тк,
получим
Е /м*=0, (2.46)
*=i
а для ЗНК (1.18)
Е Umk=0- (2-47)
fc=l
47
Полученные уравнения законов Ома и Кирхгофа в комплексной
форме и лежат в основе символического метода расчета линейных
цепей при гармонических воздействиях. Причем, как показывает
анализ уравнений (2.24), (2.26), (2.41) и (2.42), при переходе к
комплексной записи операции дифференцирования заменяются
умножением на /со, операции интегрирования—делением на /со. В
результате вместо системы интегрально-дифференциальных урав-
нений получаем систему алгебраических- уравнений, решение
которой определяет амплитуды и начальные фазы искомых токов
и напряжений. ,
Применим символический метод к анализу гармонических
колебаний в цепи при последовательном (см. в § 2.4) и па-
раллельном (см. § 2.5) соединениях элементов R, L, С. Для
последовательного соединения R, L, С согласно ЗНК (2.47)
имеем Um =LLmR + UmL+Umc или с учетом (2.40), (2.41), (2.42):
C/M = [/?+j(«)L-l/0)C)]/M=(JR+jJ)7M = Z/M. (2.48)
Величина Z в уравнении (2.48) есть комплексное сопротивление
цепи:
Z = R+jX. (2.49)
Комплексное сопротивление Z можно выразить в показательной
или тригонометрической форме:
Z = Zq^ = Zcos<p+jZsin(p. (2.50)
Таким образом, рассмотренное ранее полное сопротивле-
ние цепи Z представляет собой модуль комплексного сопро-
тивления:
Z=\Z\=Jr2 + X2,
а фазовый сдвиг <р—аргумент (фазу) комплексного сопротив-
ления:
<р=argZ=arctg (Х/Я).
Аналогичным образом можно получить уравнения токов и
напряжений в комплексной форме для параллельного соединения
элементов R, L, С (см. § 2.5). Так, уравнение (2.37) в комплексной
форме примет вид
Im = [G-j(BL-Bc)-]Um = (G-jB)Um=YUm. (2.51)
Величина Y в (2.51) есть комплексная проводимость цепи:
Y=G—jB, или У= Уе-Уф= Kcoscp—jTsincp. (2-52)
48
Следовательно, полная проводимость цепи Y равна модулю
комплекной проводимости: У= |У|, а фазовый сдвиг ср—аргу-
менту комплексной проводимости: ср = argy=arctg(fi/G).
При анализе различных электрических цепей часто возникает
необходимость преобразования схемы последовательно соединен-
ных элементов в эквивалентное параллельное соединение и
наоборот (рис. 2.13). В основе подобных преобразований лежит
принцип эквивалентности (см. § 1.5). Согласно этому принципу ток
i и напряжение w12 в исходной (рис. 2.13, а) и преобразованной
(рис. 2.13, б) схемах должны остаться неизменными. Для первой
схемы I=U_i2l^ Для второй /=С712У. Из равенства токов I и
напряжений С/12 для обеих схем имеем:
. Из равенства (2.53) следуют формулы преобразования парал-
лельного участка (рис. 2.13, б) в эквивалентный последовательный
(рис. 2.13, а):
R = G/Y2; X=B/Y2. (2.54)
Аналогично из равенства Y=\/Z можно получить формулы
преобразования последовательного участка (рис. 2.13, а) в эквива-
лентный параллельный (2.13,6):
G = R/Z2; B=X/Z2. (2.55)
Преобразования (2.54) и (2.55) можно положить в основу
разложения тока в последовательном участке и напряжения в
параллельном на активную и реактивную составляющие.
Пример. Преобразовать последовательный 7? С-участок (рис. 2.14, а) в эквива-
лентный параллельный (рис. 2.14, б). Определить активные и реактивные состав-
ляющие токов и напряжений на обоих участках.
В соответствии с уравнением (2.55) получаем
R Ra2C2
~ R2 + (1/&C)2 “ 1+(соЯС)2’
49
а) б)
Рис. 2.14 I
I
1/coC &C |
C~ R2+(l/mC2) ~ l+(mRC)2' j
Из рис. 2.14 находим уравнения для активной и реактивной составляющих L7mp
и 4Р: Uma=ImR; Im&=UmG- Imp = UmB. ।
Символический метод особенно эффективен при анализе
сложных разветвленных цепей. Причем поскольку все методы
расчета подобных цепей (метод контурных токов, узловых
напряжений, наложения и др.) базируются на законах Ома и
Кирхгофа, то эти методы могут использоваться и при комплекс-
ной форме с заменой соответствующих величин (токов, напряже-
ний, сопротивлений, проводимостей) их комплексными значе-
ниями.
Пример. Проиллюстрируем это на примере расчета цепи, изображенной на
рис. 2.15, различными методами в комплексной форме. Заменим элементы ветвей в
исходной схеме их комплексными сопротивлениями, а источники напряжения и
токи их комплексными значениями (рис. 2.16):
Zi = +>L; Z2=R2 —j(1/(oC2 ); Z3 = R3 +j (o)L3 - 1/®C3).
Рассчитаем теперь эту цепь различными методами в символической форме,
используя комплексы действующих значений токов и напряжений.
1. Метод наложения. Сравнение схем, изображенных на рис. 2.16 и
рис. 1.15, а Показывает их одинаковую топологию. Таким образом, путем перехода
от R к Z, от иг к Uj и от i к I можно сразу получить соответствующие
Рис. 2.16
50
уравнения для токов /2, 73 (см. § 1.6).
2. Метрд контурных токов. В соответствии с § 1.7 составляем систему из двух
уравнений для контуров I и II:
_12±к2 —
?L21li2 =
(2.56)
где Zn-Zi + Z3; Z22tZ2 + Z3; Z12 —Z21—Z3; U^ — Uri', ^Zk2—IZr2-
Решая систему (2.56) Согласно (1.44), (1.45) получаем
Д12 , Tr A22
“7 Г Ujl2 ~Z~>
&z &z
An A2
Az A^l
где Az =
Z11Z12
^21?22
» An,
i
A12,
A21, A22 — алгебраические дополнения определителя Az.
Токи ветвей найдутся из равенств: Л =7^; li=l*2> /з=/к1+ТК2-
3. Метод узловых напряжений. В соответствии с этим методом (§ 1.8) для
заданной схемы согласно (1.50) необходимо составить только одно уравнение для
узла 1:
111^1-112^2=^1’
где y11 = y12=r1 + r2+Z3 = l/Z1 + l/Z2 + l/Z3; 7у1 = Url Ух + Ut2Y2. Тогда t/12 =
=^-^2=(Уг1 Г1+^г2Г2)/(Г1 + У2+У3).'
Токи /v /2, /3 найдем по закону Ома для участка цепи в комплексной форме:
Zi=tei-^i2)/^i; /2=&2-t/i2)/z2; /3=^12/^.
При этом должен выполняться ЗТК: — 72 + 73=0.
4. Метод эквивалентного генератора. Определим ток 73 методом эквивалент-
ного генератора напряжения. Разомкнув ветвь с Z3 по аналогии с рис. 1.20,
поручим уравнения t/xx = Uj2~Li?l2 и ^?b=?i?2/(^1+^2)-
Ток 73 найдем из (1.53), записанного в комплексной форме: 73 = C/xx/(Z3+Zr).
После определения комплексных значений токов 7 и напряжений U мож-
но записать уравнения для мгновенных значений i и и. Так, если уг-
ловая частота задающих источников синусоидальных колебаний url и иг2
равна со, то мгновенное значение тока z3 = 7m3sin(co/+(p3), где 1т2 = |73|>/2;
(p3=arg73; 73=73e^3.
2.7. БАЛАНС МОЩНОСТИ В ЦЕПЯХ ПРИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под
воздействием источника гармонического напряжения, в форме
двухполюсника (см. рис. 1.1). Под воздействием напряжения
waJ)= (7msinart в цепи будет протекать ток i=I„sm((ot—ср). Отдавае-
мая источником в цепь за период Т средняя мощность
51
г
P«Pep“iju/t//«“^!cos(p“ t//coscp. 1 (2.57)
0 I
Согласно закону Ома U=IZ или с учетом '(2.33) t/=P//cos(p.
Тогда уравнение (2.57) примет вид:
P~12R~U2G. I (2.58)
Таким образом, средняя за период мощность Р равна
мощности, рассеиваемой на активном сопротивлении (проводи-
мости) цепи. В этой связи мощность Р носит Название активной и
измеряется в ваттах (Вт).
Кроме активной мощности Р в цепях гармонического тока
используют понятие реактивной мощности •
Q - {//sinф=I2X = V2B. (2.59)
и комплексной мощности
S=*P+jQ. (2.60)
Модуль комплексной мощности называется полной мощностью:
S‘\S\^y/'P2+Q2. - (2.61)
Единица измерения реактивной и полной мощности—вольт х ам-
пер (ВА).
Мощности Р, Q, S можно выразить и в другой форме.
Представим S с учетом (2.57) и (2.59) в виде
S« UIcos<o+jVIsm(t>=Ule^=UL (2.62)
Тогда нетрудно видеть, что
P»Re[(//]«Re[S]- C«Im[t//] = Im[S]; S=UI~\S\, (2.63)
т. е. активная мощность равна реальной части, а реактивная—
мнимой части комплексной мощности S. Как следует из формул
(2.57) и (2.63),
cos ф «Р/S. (2.64)
Это отношение в энергетике называется коэффициентом мощ-
ности (косинусом <р) и является важной характеристикой элек-
трических машин и линий электропередач. Чем выше cos ср,
тем меньше потери энергии в линии и выше степень ис-
пользования электрических машин и аппаратов. Максимальное
значение созф«1, при этом P=S; 2=0, т. е. цепь носит чисто
активный характер и сдвиг фаз между током i и напряжением и
равен нулю.
52
Условие передачи максимальной мощности от генератора в
нагрузку можно найти из условия
(2-65)
♦
где —комплексное внутреннее сопротивление источника; 2^
комплексно-сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие
следует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы,
приведенной на рис. 2.17. Ток в данной цепи достигает максимума
при Хг=—Хп и выполнении условия RT=RK (см. § 1.11), что и
доказывает равенство (2.65). При этом мощность в нагрузке будет
определяться уравнением (1.59).
По аналогии с треугольниками токов, напряжений, сопротивле-
ний и проводимостей (§ 2.4,2.5) можно ввести треугольники мощно-
стей. Так, согласно (2.61) и (2.62) треугольник мощностей для цепи,
носящей индуктивный характер, будет иметь вид, изображенный на
рис. 2.18, а, а для цепи с емкостным характером—на рис. 2.18,6.
Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармони-
ческом воздействии. В силу справедливости первого и второго
законов Кирхгофа для комплексных действующих значений тока I
и напряжения U в каждой из ветвей рассматриваемой цепи можно
записать теорему Телледжена (1.57) в комплексной форме:
£ 144=0. (2.66)
**=1
Однако поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряжен-
ным токам Ik, то уравнение (2.66) можно записать в виде
(2.67)
lt=i k=l
Уравнение (2.67) отражает баланс комплексной мощности,
согласно которому сумма комплексных мощностей, потребляемых
53
всеми ветвями цепи, равна нулю. Баланс комплексной мощности
можно сформулировать и в другой форме: сумма комплексных
мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме
комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями *
электрической цепи:
f^BCT=f SlnOT. (2.68)
k=l fc=l
Из условия баланса комплексной мощности следуют условия
баланса активных и реактивных мощностей:
т т
I ЛИС1= Е Апот; (2.69)
fc=l fc=l
т т
Е а.ст= Z &ПОТ- (2.70)
k=l fc=l
Условие баланса активных мощностей непосредственно вытекает .1
из закона сохранения энергии.
Глава 3. ПРОСТЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
КОНТУРЫ
3.1. ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ
В РАДИОТЕХНИКЕ И ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоя-
щей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором
фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжени-
ем равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса,
называют колебательными контурами, или резонансными цепями.
Колебательные контуры и явление резонанса находят широкое
применение в радиотехнике и электросвязи. Резонансные цепи
являются составной частью многих радиотехнических устройств:
избирательные цепи в радиоприемниках и усилителях, частотно-за-
висимые элементы автогенераторов, фильтров, других аналоговых
устройств. Для получения высоких технико-экономических показа-
телей (избирательности, полосы пропускания, коэффициента пря-
моугольности, равномерности и т. д.) резонансные цепи должны
иметь достаточно сложную структуру (многоконтурные связанные
цепи, активные резонансные системы и др.). Некоторые из этих
систем будут рассмотрены в гл. 10, 13. В настоящей главе изучим
основные особенности работы цепей в режиме резонанса на
примере простейших колебательных контуров.
54
Простейший колебательный контур содержит индуктивный и
емкостной элементы, соединенные последовательно (последова-
тельный контур) или параллельно (параллельный контур). В по-
следнее время широкое распространение получили резонансные це-
пи на базе операционного усилителя (ОУ). Различают два типа ре-
зонансов: напряжений и токов. В последовательном контуре воз-
никает резонанс напряжений, а в параллельном—резонанс токов.
Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют
резонансной.
3.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР. РЕЗОНАНС
НАПРЯЖЕНИЙ
На рис. 3.1 изображена схема последовательного контура с
реактивными элементами L и С и активным сопротивлением R,
характеризующим потери в контуре. Приложим к контуру
гармоническое напряжение с частотой <о. Комплексное входное
сопротивление контура на данной частоте определяется согласно
уравнению
Z=7?+jT=7?+j(coL-1/(oC), (3.1)
а ток в контуре уравнением
/=C//Z=C//(/?+jJ). (3.2)
Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением
wL— 1/соС . X
<p=arctg--—=arctg-. (3.3)
ЛХ К.
При резонансе ср=О, что возможно, если
У=<о£-1/юС=0. (3.4)
Отсюда получаем уравнение резонансной частоты са0:
(п=®0 = 1/У1с. (3.5)
На резонансной частоте комплексное сопротивление носит
чисто активный характер, т. е. Z=R, ток совпадает по фазе с
Рис. 3.1
55
приложенным напряжением и достигает максимального значения
Io = U/R. Реактивные сопротивления контура на резонансной
частоте со0 будут равны друг другу:
=ХС0=®о L^L/C= р. (3.6)
ю0С
Величина р носит название волнового (характеристического)
сопротивления контура.
Резонансные свойства контура характеризуются добротностью
контура
Q=p/R- (3.7).
Величина, обратная добротности, называется затуханием контура
и обозначается d:
d=l/Q. (3.8)
Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных
контуров от 10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла
параметра Q найдем отношение действующих значений напряже-
ний на реактивных элементах (L и С) к действующему значению
приложенного напряжения при резонансе:
^ьо _ ^со Л> мо _ 4 _Р • fi g\
и ~ и ~ и ~a>0CU~R~^' }
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз
резонансные напряжения на реактивных элементах превышают
приложенное напряжение. Отсюда следует и термин «резонанс
напряжению!. Это свойство контура «усиливать» приложенное
напряжение резонансной частоты широко используется на практике.
Величины р, соо, Q, d являются вторичными параметрами
контура в отличие от величин R, L, С, называемых первичными.
Наиболее полно явление резонанса проявляется при исследова-
нии энергетических соотношений. Положим, например, что при
резонансе ток в цепи i=Jm0sinco0Z. Определим согласно (1.10) и
(1.13) сумму энергий электрического и магнитного полей:
W= Wc + WL=—+—=^^cos2 (M+^sin2 (o0t.
ь ь 2 2 2 2
Если учесть, что при резонансе UmCO = ImOp = ImOy/L^C, т. е.
C(7mco = ^Zmo» то получим, что сумма энергий электрического и
магнитного полей при резонансе остается постоянной
W= CU 2C0/2=£Z20/2=const, (3.10)
так как уменьшение WL сопровождается увеличением Wc и
наоборот. Таким образом, происходит периодический обмен
56
энергий между элементами L и С без участия источника. Энергия
источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в
элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при
резонансе не потребляется.
3.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОНТУРА. ПОЛОСА
ПРОПУСКАНИЯ
Анализируя характер уравнений напряжений и токов в RLC-
цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздейст-
вии, нетрудно видеть, что они являются частотно-зависимыми.
Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости реак-
тивных элементов XL и Хс от частоты <в. На рис. 3.2 и 3.3
изображены зависимости A"L(co), Хс(<в), Z(co), ср (со), определяемые
формулами:
Xl(<b)=coL; Ус(<в)=1/шС; У(св) = со£-1/(соС),
Z(co)=5/(coL)2+(1/соС)2, |
ср (со)=arctg {(coL — 1 /<оС)/Я}. J
(З.П)
(3-12)
Зависимости У£(со), Тс(со), У (со), Z(co) носят название частот-
ных характеристик параметров цепи, а зависимость ср (а>)—фазо-
частотной характеристики (ФЧХ). Из представленных характери-
стик следует, что при со<со0 цепь имеет емкостной характер (Х<0;
ср<0) и ток опережает по фазе приложенное напряжение; при
со>Ьо характер цепи индуктивный (Х>0; <р>0) и ток отстает по
фа^е от приложенного напряжения; при со=со0 наступает резонанс
напряжений (Х=0; ср=О), и ток совпадает по фазе с
Рис. 3.2
Рис. з.з
57
приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принима-
ет при этом минимальное значение Z=R.
Зависимость действующего значения тока от частоты можно
найти из уравнения (3.2):
7(ц>)=- - U (3.13)
y/R2+[(oL—l/<oC)2
Действующие значения напряжений на реактивных элементах
можно найти согласно закону Ома:
(3.14)
x/J?2+((dL- 1/шС)2
7/с(ю)=7((о)Ус((о)-- U (3.15)
' 7 ' ' ' <»Сх/Л2+(«)£—1/<оС)2
Зависимости /(со), UL(o), Uc(a) называются амплитудно-час-
тотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряже-
ний, или резонансными характеристиками. На рис. 3.4 изображены
АЧХ, определяемые (3.13)—(3.15). Анализ зависимости 7 (со)
показывает, что она достигает максимума при резонансе со=со0;
I0 = U/R.
Зависимости UL (со) и Uc (<о) также носят экстремальный
характер, причем при со= оо(JVL = ос) UL(co)=U, при со=со0
согласно (3.9) имеем
UM-UlO = UcM=Uco=IoP^UQ. (3.16)
Максимальные значения Uc(со) и UL(o) достигаются на частотах
(йс и coL, которые могут быть определены из условий
Q ^t/t(<o) д (3.17)
8<о ’ да
Подставив значения UL((o) и С7с(со) из (3.14) и (3.15) в (3.17) и
решив полученные уравнения, получим
<0с=(00ч/(2е2-1)/(2е2); (0L=«)0V(2e2)/(2e2-l). (3.18)
При этом напряжения на элементах С и L примут максимальные
значения:
Uc^Ul^^UQ2/^2-! = 2U/(dy/4—d2). (3.19)
Анализ полученных зависимостей показывает, что с увеличением
добротности Q (уменьшением затухания d) частоты сос и cot
сближаются с резонансной частотой со0. При этом Io, UCmax, Ur^
возрастают.
Степень отклонения режима колебательного контура от резо-
нанса принято оценивать абсолютной, относительной и обобщен-
58
ной расстройками. Отклонение от резонансного режима может
происходить в результате изменения частоты задающего генерато-
ра или вариации параметров контура.
Абсолютная расстройка определяется как
Д(о=со-со0 или Д/=/-/о, (3.20)
относительная
5 = Дсо/®о = Д/lfQ,
обобщенная
(3.21)
(3.22)
р X mL-AI^C со со0\ со со0
R R R \со0 со / \со0 со
Наиболее широко в теоретических исследованиях применяется
обобщенная расстройка так как ее использование существенно
упрощает расчет. Например, АЧХ (3.13) можно записать через
обобщенную расстройку S, в форме
1= £7/Л УТ+V = /о /УЩ1, (3.23)
а ФЧХ в форме
<p = arctg£. (3.24)
Важной характеристикой колебательного контура является
полоса пропускания. Полосой пропускания принято называть
полосу частот вблизи резонанса, на границе которой ток
снижается в ^/1 раз относительно 10 (рис. 3.5). Для нахождения
граничных частот /.и f2 полосы пропускания решим уравнение
1/10 = 1 Д/1 + = 1 /^/2. В результате получим с учетом (3.22)
£12 = б(ш/ш0-(о0/в))= ±1, откуда
Лз=^!-^(УьЙё1+1). (3.25)
Абсолютная полоса пропускания Л/л определяется как раз-
ность граничных частот /2 и /1:
59
относительная полоса пропускания
8/о=ДЛ//о-1/С-</.
(3.26)
(3.27)
Уравнение (3.26) может быть положено в основу экспе-
риментального определения добротности по АЧХ. Формулы
(3.26) и (3.27) показывают, что чем выше добротность Q,
тем меньше полоса пропускания и наоборот. Причем, по-
скольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то
подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с
внутренним сопротивлением приводит к расширению полосы
пропускания.
3.4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ
КОНТУР. РЕЗОНАНС ТОКОВ
Простейший параллельный колебательный контур с потерями в
ветвях /?! и R2 имеет вид, изображенный на рис. 3.6. Комплексная
входная проводимость такого контура
Y— + G2-j (Bt -B2)^G-jB, (3.28)
где Ti-G'i—Y2 = G2+JB2—комплексные проводимости ветвей
с индуктивностью и емкостью соответственно. Проводимости
G2, В2, В2 можно найти из формул преобразования (2,55):
В2^, (3.29)
1 Л 2 Л-I Л-2
где =yjk ?+(со£)2; Z2~\/R 1+(1 /®С)2. Из условия резонанса
токов имеем <p=arctg(5/G)=O. Отсюда следует:
д___ д д _ 1/<©С «
(З.зо)
Решив (3,30) относительно ®, получим уравнение резонансной
частоты
(3.31)
Из уравнения (3.31) следует, что резонанс в параллельном
контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного
выражения (т. е. при Rx < р и R2 < р или Rt > р и R2 > р).
Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны
друг другу:
Ivl^UB^I^UB2. (3.32)
60
При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из
уравнения
I^UG^U/R^, (3.33)
где активное сопротивление R0) называют эквивалентным резо-
нансным сопротивлением параллельного контура. Как следует из
уравнения (3.33), входной ток контура совпадает по фазе с
приложенным напряжением. Величину кОэ можно найти из условия
резонанса токов. Так как при резонансе токов 5«О, то согласно (3.28)
и (3.29) полная эквивалентная проводимость контура
(3'34>
Подставив значение ®р из (3.31) в (3.34), получим
G^Ri+RzW+RM, (3.35)
откуда
&&**(?*+RlRi)l(Ri+Ri). (3.36)
Наибольший теоретический и практический интерес представ’
ляют резонанс токов в контурах без потерь и с малыми потерями.
Контур без потерь. Для контура без потерь (Я^Лг^О)
уравнение резонансной частоты (3.31) принимает вид
(3.37)
т, е. совпадает с выражением (3.5) для последовательного контура.
Эквивалентное сопротивление контура без потерь ЯОэ»=оо и
входной ток равен нулю, а добротность обращается в бесконеч-
ность, Комплексы действующих значений токов в ветвях
-А V(3.38)
т. е. ток в индуктивности отстает от приложенного напряжения на
п/2, а в емкости опережает на л/2. На рис. 3,7, а изображена
векторная диаграмма токов для этого случая при U"Ucj°^U.
61
Сумма энергий электрического и магнитного полей для
параллельного контура без потерь, как и для последовательного
контура, остается неизменной, т. е. процесс протекает аналогично
последовательному контуру.
Контур с малыми потерями (Atр; R2 с р). Резонансная
частота для этого случая будет приближенно совпадать с частотой
(Од. Для контура с малыми потерями можно принять, что
p2zs>RxR2, тогда
/?0э®р2/(л1+/?2)=Р2/л=е2/?, (з.з9)
где R=Rl + R2. Ток в неразветвленной части цепи
I^UIR^U^R), (3.40)
а комплексы токов в ветвях
I.x=e~*i; 12к=ё*1, (3.41)
Р Р
где (р! =arctg(p//?1); <p2=arctg(p//?2), т-е- действующие значения
токов в ветвях
/t=Z2 = tf/p=W*)- (3.42)
Из уравнений (3.40) и (3.42) следует, что отношение токов в ветвях
к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура:
4//о=ВД> = & (3.43)
т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе
в Q раз больше тока на входе контура (отсюда термин
«резонанс токов»). На рис. 3.7,6 изображена векторная диа-
грамма токов для этого случая. В контуре с потерями сумма
энергий электрического и магнитного полей не остается по-
стоянной.
Интересен случай R1=R2 = p. Как следует из уравнения (3.31),
для сор получаем неопределенность, при этом входное сопротивле-
ние контура будет носить чисто активный характер на любой
частоте (случай безразличного резонанса).
3.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОНТУРА
Контур без потерь. Частотные зависимости параметров парал-
лельного контура от частоты имеют вид:
BL(и) = 1 / (со£); Вс(со) = соС; В(со)=(1 /со£) - соС; X(со) = 1 /В(со). (3.44)
На рис. 3.8 изображены графики зависимостей (3.44). Как
следует из рисунка, при со<со0 входное сопротивление контура
носит индуктивный, а при со>со0 емкостной характер, причем
вследствие отсутствия потерь при переходе через со=со0 ФЧХ
контура изменяется скачком от — л/2 до л/2, а входное реактивное
62
Рис. 3.8
сопротивление контура претерпевает разрыв (|Х| = оо). Частотная
зависимость входного тока определяется уравнением
7(<о) = t/|B((o)|, ' (3.45)
т. е. является зеркальным отображением модуля реактивной
проводимости В (со) (на рис. 3.8 показано штриховой линией).
Контур с малыми потерями. Комплексное эквивалентное сопро-
тивление контура можно определить уравнением
(J?1+>L)[j?2+l/(/a>C)]
Ri + Л2+;[<о£- 1/(<оС)] ’
(3.46)
В режиме малых'расстроек с учетом малости потерь (JljCcoL и
R2 с V (®Q) уравнение (3.46) можно переписать в такой форме:
Z (Ю)%-^£-= Р- =-^-.
' R+JX R(l+J^) 1+Л
(3-47)
Выделяя в (3.47) активную R3 и реактивную Х3 составляющие,
получим уравнения частотных характеристик:
__ R(>3 . v ________ , ”7 _____ ^Оэ
(3,48)
На рис. 3.9, а изображены нормированные относительно 7?Оэ
частотные характеристики R3/R03, XJR03 и Z3/R03 как функции
обобщенной расстройки Фазочастотная характеристика цепи
определится уравнением (рис. 3.9,6):
ф= -arctg(X3/A3)= — arctg£. (3.49)
Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему
виду частотные характеристики контура с потерями существенно
отличаются от характеристик контура без потерь. Это отличие
63
касается прежде всего зависимости реактивного сопротивления
контура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно
оказывается равным нулю (см. рис. 3.9, а), а в контуре без потерь
терпит разрыв (см. рис. 3.8).
Зависимость комплексного входного тока от частоты определя-
ется из уравнения
zW““(i-tf9=4>(i+A). (3-5О>
Z3(co) А0э
т. е. при резонансе (£=0) ток принимает минимальное значение,
определяемой формулой (3.40).
Частотная зависимость токов (со) и 12 (со) в ветвях определя-
ется согласно закону Ома:
т i \ и т / \ и
Л (со) = - - —; 12 со =——===,
' ’ jRl+ (coL)2 ' ’ jRl+^C)2
т. е. Ц с увеличением со уменьшается, а 12 растет, причем в пределе
Д(оо)=0; /2(оо)={//Л2.
Колебательный контур подключается обычно к источнику с
задающим напряжением UT и определенным внутренним сопротив-
лением Аг (рис. 3.10). При этом комплексное напряжение на
контуре U. определяется уравнением
Ci = ZZ3=C/rZ>/(l?r-|-Z3), (3.51)
где Z3 определяется формулой (3.47). При резонансе токов
&=.&.₽=1УМЯг+Доз)- (3-52)
64
Рис. 3.10
Определим частотную зависимость C7t/C7, г с учетом (3.47),
(3.51), (3.52):
Hit___*г ^Оэ_ ZO
{/жр"(1+Л)[/?г+яОэ/(1+Л)]- 1 ’
Введем понятие эквивалентной добротности контура
2,=—(3-54)
1 + Яо,/Яг v 7
Тогда после несложных преобразований формулы (3.53) с учетом
(3.54) и (3.22) получаем
и* ___________1_________
ик р 1 +Убэ (®/®о - ®о/®) ’
(3.55)
Из (3.55) нетрудно получить АЧХ и ФЧХ относительно напряже-
ния на контуре, нормированного к напряжению (7К.Р:
и. 1
(3.56)
cp = arctgC3( —
\®о
Юр
со
(3.57)
На рис. 3.11 показан характер этих зависимостей при различ-
ных сопротивлениях Rr источника.
Полоса пропускания параллельного контура определяется как
полоса частот, на границах которой напряжение на контуре
уменьшается в ^/2 раз относительно {7К.Р (см. рис. 3.11):
и. _ 1
,/1 + 2э (<о/<оо - <о0/<о)2
0,707.
<2
Отсюда получаем уравнения граничных частот полосы пропускания:
65
3 - 3439
Л,2=^-(71+4Й.2 + 1).
(3.58)
При этом абсолютная АЛ и относительная ЗЛ полосы пропуска-
ния будут равны:
(3.59)
tf0=^=d(l+R03/Rr). (3.60)
JO
Сравнение уравнений (3.27) и (3.26) с уравнениями (3.59) и
(3.60) показывает, что параллельный контур в общем случае имеет
более широкую полосу, чем последовательный. И только при
Лг = оо (см. рис. 3.11) их полосы пропускания будут равны. Таким
образом, для улучшения избирательных свойств параллельного
контура его необходимо возбуждать источником тока. Из уравне-
ния (3.52) также следует, что параллельный контур нельзя
использовать для усиления напряжения, так как всегда UKp<Ur.
Глава 4. ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
4.1. ЯВЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ.
КОЭФФИЦИЕНТ СВЯЗИ
При протекании тока в катушке индуктивности с параметром L2
в окружающем пространстве согласно закону электромагнитной
индукции создается магнитный поток Фп (рис. 4.1, а). Если
какаЯ-лйбо часть этого потока Ф12 пронизывает витки другой
катушкй с L2, то в последней наводится ЭДС взаимной индукции,
определяемая законом Максвелла—Фарадея:
^=-^12^, (4.1)
где коэффициент Mi2 носит название взаимной индуктивности
катушек Ll и L2. Единица измерения взаимной индуктивности—
генри (Гн).
Знак « —» в уравнении (4.1) определяется согласно правилу Ленца
направлением индукционного тока, который имеет такую ориента-
цию, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал тому
изменению магнитного потока Ф12, которое этот ток вызывает.
Напряжение взаимоиндукции на зажимах катушки индуктивности L2
66
Если напряжение и приложено к катушке индуктивности Ь2, то
под действием тока i2 в катушке также будет наведена ЭДС
взаимной индукции:
1 Л 4^*2
ем--М2Х-.
(4-3)
В соответствии с принципом взаимности (см. § 1.7) для
линейных цепей Л/12 = Л/21.
Рассмотренная ниже индуктивная связь носит односторонний
характер: ток it вызывает ЭДС взаимоиндукции еМг или ток i2 —
ЭДС eMi. В случае замыкания катушки L2 на конечное сопротивле-
ние R (рис. 4.1,6) в последней под воздействием потечет
индукционный ток i2, который, в свою очередь, вызовет в первой
катушке ЭДС взаимоиндукции eMl (4.3). Таким образом,
установится двухсторонняя индуктивная связь катушек и L2.
При этом каждая из катушек Lt и L2 будет пронизываться;двумя
магнитными потоками: самоиндукции, вызванным собственным
током, и взаимоиндукции, вызванным током другой катушки.
Следовательно, в катушке индуцируется ЭДС
(4.4)
а в катушке L2 ЭДС: .
e2=eL2+eM=-L2^-Ml2d±. (4.5)
Взаимное направление потоков само- и взаимоиндукции зави-
сит как от направления токов в катушках, так и от их взаимного
расположения.
67
Рис. 4.2
Если катушки включаются таким образом, что потоки само- и
взаимоиндукции складываются, то такое включение называется
согласным. Если же потоки само- и взаимоиндукции вычитаются,
то такое включение принято называть встречным. На рис. 4.1,6
показан случай согласного включения.
Степень связи между и L2 принято характеризовать
коэффициентом связи к:
к=у/к12кц , (4.6)
где коэффициенты
£12=Ф12/Фц и к21=Ф21{Ф22 (4.7)
характеризуют одностороннюю связь между катушками и L2.
Магнитные потоки Ф12, Ф2ь Фц и Ф22 можно выразить через
параметры катушек Lt, L2, Mi2, М21 и токи 1х, i2 с помощью формул
Фц =L1iilwl -,^i2 = M12illw2-,<i)21=M21i2lwi;<i)22 = L2i2lw2, (4.8)
где w2—число витков катушек L2 и Ь2 соответственно.
После подстановки (4.8) в (4.6) с учетом (4.7) получим для
коэффициента связи
k = Ml4LjT2, (4.9)
где Mi2 = M2l=M.
Значение к изменяется в пределах от 0 (отсутствие связи) до 1
(сильная связь). Индуктивная связь существенным образом зави-
сит 6т; йоТоков рассеяния Фи и Ф2„ поэтому степень связи иногда
характеризуют коэффициентом рассеяния о2 = 1— к2.
Для компактности и удобства изображения схем электрических
цепей с взаимной индуктивностью вводят понятие одноименных
зажимов. Последними принято называть узлы, относительно
которых одинаково ориентированные токи создают складываю-
щиеся потоки само- и взаимоиндукции. На рис. 4.2 показано
схематйчное изображение одноименных зажимов для случая
согласного и встречного включений катушек Lr и L2. Следователь-
но, для определения вида включения и L2 на схеме достаточно
определить, как ориентированы токи и i2 относительно
одноименных зажимов (на рис. 4.2 обозначены точкой): при
одинаковой ориентации имеем согласное (рис. 4.2, а), а при
разной—встречное включение (рис. 4.2,6).
68
4.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим случаи согласного и встречного включений двух
индуктивно связанных катушек и L2 с потерями Rr и R2,
находящихся под действием гармонического напряжения
и = Um sin (coz+фи). (4.10)
Для согласного включения катушек (см. рис. 4.3, а) в соответст-
вии с ЗНК и уравнениями (4.1) и (4.2) можно записать
u = uRi + uL, + uM + uL2 + uM+uR2=(R1 + R2)i+ (Li + L2+2M)dildt.
(4.Н)
В комплексной форме уравнение (4.11) согласно § 2.6 запишется в
виде
7/=(7?1 + 7?2)7+/<о(7,1+7,2+2Л/)7. (4.12)
Обозначим через Z3.c комплексное эквивалентное сопротивление
всей цепи при согласном включении
2э.с = Лэ+уш£э.с, (4.13)
где
R3 = Rt +R2; L^L^ + I^ + IM. (4.14)
Тогда уравнение (4.12) можно записать в виде
C/=7Z3C, (4.15)
отражающем закон Ома для рассматриваемой цепи.
Фазовый сдвиг между током i и приложенным напряжением и
фэ.с = фи - ф» = arctg (®£э. с//?э). (4.16)
и л л 1 > КВПгН
На рис. 4.4, а изображена векторно-топографическая диаграмма
напряжений на отдельных элементах цепи при согласном включе-
нии Lr и L2-
Комплексное напряжение на катушке Lr с потерями равно
Рис. 4.3
69
Рис. 4.4
Ui =/[/?! +>&+< (4.17)
Аналогично определяется комплексное напряжение на второй
катушке £2 с потерями R2:
U2 = I [Я2 (L2 + Л/)]. (4.18)
При встречном включении катушек (см. рис. 4.3, б) уравнения
(4.11) и (4.12) примут вид:
» = uR, + uLt-uM+uL1 + uR1-uM=(Rl + R2)i+ (Li+L2- 2M) di/dt,
(4.19)
U=(R, + R2) 1+j<o (L2+L2 - 2Л7) I. (4.20)
Комплексное эквивалентное сопротивление цепи при встречном
включении
Z3.b = 7?3+7“^3.b, (4.21)
где
L3.b = L1 + L2-2M (4.22)
— эквивалентная индуктивность цепи при встречном включении
катушек1 индуктивности.
Как следует из (4.14) и (4.22), эквивалентная индуктивность при
согласном включении больше на 2М, а при встречном меньше на
2М суммарной индуктивности Lt + L2.
Уравнения для тока Д, фазового сдвига <рэ.в и напряжений С715
С/2 аналогичны (4.15)—(4.18):
70
(4.23)
U=7Z,.B; (рэ.в = Ф„ - Ф( = arctg (ш£э. В/Лэ);
V, = I [/?! +7® (М - Л/)]; и2=1 [Т?2 +j® (L2 - А7)].
На рис. 4.4, б изображена векторно-топографическая диаграмма
напряжений для случая встречного включения. При встречном
включении катушек может наблюдаться «емкостной эффект»,
когда фазовый сдвиг между током и напряжением одной из
катушек будет отрицательный. Это может иметь место, например,
при выполнении условия Ь2<М. В этом случае UL2<UM и
ф2 э. в = arctg [со (L2 - М) /R2 ] < 0, (4.24)
и напряжение U2 будет отставать от тока I. Однако вся цепь
всегда будет носить индуктивный характер, так как при любых
значениях параметров Lt, L2 и М справедливо условие
фэ. в=arctg [о (Lx + L2 - 2М) /Яэ] > 0. (4.25)
Это непосредственно следует из условия L2 + L2—2Л/>0. Действи-
тельно, поскольку (^/Z^—у/Т^)2>0, то L1+L2>24/L1L2 • Но из
(4.9) находим, что L2L2 (так как £<1), следовательно,
L1 + L2>2M—отсюда и.следует условие (4.25).
Уравнения (4.14) и (4.22) можно положить в основу эксперимен-
тального определения взаимной индуктивности М. Для этого
достаточно определить ток I, напряжение U, мощность Р в цепи
при согласном и встречном включениях катушек и найти
/?Э = РС//2 = РВ//2; Z3.c = C//7c; Z3.B=t//7B, (4.26)
где индексы «с» и «в» относятся к согласному и встречному
включениям.
Реактивные составляющие комплексных сопротивлений при
согласном и встречном включениях можно определить как
X3a=JZ2e-R2 , X3B = JZ2B-R2 . ii-jpo.
Отсюда, учитывая, что Уэс=ш(£1+ £2 + 2Л7) и Х3, B=a(L1 + L2 —
—2М) находим взаимную индуктивность:
Л/=(АГЗС —Х3.в)/(4<в). (4.27)
4.3. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим случай согласного и встречного включений двух
параллельно соединенных индуктивно связанных катушек с индук-
тивностями L2, L2 и потерями Rt, R2, находящихся под действием
напряжения (4.10). Для случая согласного включения (рис. 4.5, а) в
соответствии с ЗТК и ЗНК можно записать
71
а) б)
Рис. 4.5
Z=Zi+Z2; 'I
^=/1Z1 + 72Z12; У (4.28)
U=L\Zl2 i + Z2Z2 > J
где Zl=Rl+joLl‘, Z2 = R2+j(£>L2, Zl2 = Z2i=j(£>M. Решая систему
(4.28) относительно I2 и 12, получаем
/1=--------=--------; 12=---------=--------• (4-29)
(Z,Z2-Z?2)/(Z,-Z12)
Величины, стоящие в знаменателях (4.29), имеют смысл эквива-
лентных комплексных сопротивлений индуктивно связанных вет-
вей 2^3. С ® 2?i. д.
Z13.C=(Z1Z2-Z122)/(Z2-Z12); Z23.c=(ZlZ2-Zb)/{Z1-Zl2).
(4.30)
Они складываются из двух составляющих: собственных сопротив-
лений ветвей Z[ и Z2 и сопротивлений, вносимых за счет
индуктивных связей Z1BH C и Z2bhc:
Z13.c = Z1+Z1BH.c; Z23.c = Z2 + Z2bh.c . (4.31)
Комплексные вносимые сопротивления Z1BH.C и Z2bh.c можно
определить, решив совместно (4.30) и (4.31):
Zibh.c = (ZiZ12 Z22)/ (Z2 Z12);
Z2bh:c=(Z2Z12-Z122)/(Z1-Z12). (4.32)
Ток в неразветвленной части цепи I с учетом (4.29) определится
как:
1=и.1^.с, (4.33)
72
Рис. 4.6
где Z,.C = (Z1Z2-Z122)/(Z1+Z2-2Z12). Нетрудно видеть, что
в случае отсутствия индуктивной связи (Z12 = Z21 = 0) эквива-
лентное комплексное сопротивление цепи ZB.C = Z1Z2/(Z1-|-Z2),
что соответствует известной формуле параллельного соединения
Zi и Z2.
На рис. 4.6, а изображена векторно-топографическая диаграмма
для случая согласного включения и L2.
Аналогичным образом можно получить соответствующие
уравнения для встречного включения катушек (рис. 4.5,5). При
этом необходимо учесть, что в уравнениях перед слагаемыми с
Zu и Z21 необходимо заменить знак на противоположный. Так,
уравнения (4.30), (4.32), (4.33) примут вид
Z13.B=(Z1Z2-Z122)/(Z2+Z12); Z23.b = (Z1Z2-Z122)/(Z1+Z12);
(4-34)
Z1BH.B= -(Z.Z^+Z^/^+Z^)-, Z2bh.b = - (Z2Z12'W2)/
(Z^Z^); (4.35)
Z3.B = (Z1Z2 —Z22)/(Z1 + Z2 + 2Z12). (4.36)
На рис. 4.6, б изображена векторно-топографическая диаграмма
для случая встречного включения.
Из уравнений (4.30), (4.34) нетрудно найти эквивалентные
индуктивности ветвей:
£1э = (£1£2-Л/2)/(Л2 + Л/); L23=(L^2-М2) I (Lt +М), (4.37)
где знак «—» относится к согласному, а «+»—к встречному
включению индуктивно связанных элементов.
73
4.4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ИНДУКТИВНО
СВЯЗАННЫХ ЦЕПЕЙ
При расчете индуктивно связанных цепей обычно используют
законы Кирхгофа и метод контурных токов. Другие методы либо
нецелесообразно использовать из-за громоздкости решения, либо
нельзя применять вследствие наличия индуктивной связи (методы
узловых напряжений, эквивалентного генератора). Для того чтобы
можно было использовать все рассмотренные ранее методы расчета,
применяют «развязку» индуктивных связей. Рассмотрим сущность
этих методов на примере цепи, схема которой изображена на рис. 4.7.
Расчет по законам Кирхгофа. Составим уравнения по ЗТК и
ЗНК в комплексной форме:
Zi=Z2+Z3;
(/?! +j<oL1) Zj +jaM! 3Z3 -jtoMt 2I2 + (R2 +j(f)L2) I2 -
—IJnM 12 = Uri — Uj-2 ;
— (Z?2 +7®^2) h +j(0^i2h + (Z?3 +JC0L3 + l//(oC3) I3 +
= Ur2.
> (4.38)
При составлении уравнений по ЗНК необходимо пользоваться
следующим правилом знаков: напряжение взаимоиндукции, созда-
ваемое в к-й ветви от тока, протекающего в 7-й ветви, берется со
знаком «+», если направление обхода к-й ветви и положительное
направление тока в 7-й ветви одинаково ориентировано относительно
одноименных зажимов. В противном случае берется знак «—».
Решая систему (4.38), получаем искомые токи Ilf 12 и Z3.
Метод контурных токов. В соответствии с этим методом
(см. § 1.7) и правилом знаков уравнения для контурных токов 7К1 и
(см. рис. 4.7) примут вид:
Рис. 4.7
74
(4-39)
(Z.ii — 2Z12)7»i + (Z13+Z12 —Zli)Ll2 — Uxi;
- (Zi3+Zi2—Z2)ZIci + Z227lt2 = C/.2,
где Z11=/?14-JR2+j<o(L1+Z.2);Z22 = /?2 + ^3+j(i)(L2+L3) 4-1//соСз;
Z2=1?2+jo)Z/2; Z12=jcoAf12; Zi3=j(oMi3', Uxi = Uri—Hr2~, Их2=Иг2-
Решая систему (4.39), находим контурные токи 1к1 и !&, а затем
токи ветвей I1=Ixi, Z2=Z,i —lz=Ix2-
Рассмотренные методы* можно обобщить на схемы произволь-
ной конфигурации.
Развязка индуктивных связей. Расчет индуктивно связанных
цепей существенно упрощается, если использовать эквивалент-
ные схемы, не содержащие в явном виде индуктивные свя-
зи. Составление подобных эквивалентных схем и составляет
сущность метода «развязки» индуктивных связей. При этом
эквивалентные связи учитываются в эквивалентных индуктив-
ностях развязанных схем. Примером подобной развязки могут
служить эквивалентные индуктивности, определяемые уравне-
ниями (4.14), (4.22), (4.37).
В общем случае развязку любых двух индуктивно свя-
занных элементов и £2, соединенных в одном узле (рис. 4.8, о),
можно осуществить с помощью схемы, изображенной на рис. 4.8, б
для случая, когда элементы и L2 соединены в узле О
одноименными зажимами () и с помощью схемы на рис. 4.8, в
для соединения и L2 в узле 0' разноименными зажи-
мами (Д). Для доказательства эквивалентности этих схем до-
статочно составить уравнения по законам Кирхгофа для каждой
из них и доказать их идентичность. Действительно, для случая
включения одноименными зажимами для схемы на рис. 4.8, а
имеем
UJ&0=j^MIl+j^L2l2. J 1 J
Для развязанной схемы на рис. 4.8,6 имеем
Йо =уи (L2 - М) I2 +ja>MI. J 17
Учитывая, что h=I—12 и Z2=Z—Д, после подстановки
и 12 в (4.40) получаем уравнения, аналогичные (4.41). По-
добным же образом доказывается эквивалентность и вто-
рой схемы при включении Lt и L2 разноименными зажи-
мами.
В качестве примера на рис. 4.9 изображена схема с развязан-
ными индуктивными связями, эквивалентная изображенной на
75
Рис. 4.8 Рис. 4.9
MM WM
рис. 4.7. После развязки индуктивных связей расчет полученной
эквивалентной схемы может быть осуществлен любым из извест-
ных методов.
4.5. ТРАНСФОРМАТОР
Трансформатором называется устройство, предназначенное
для преобразования величин переменных напряжений и токов.
Простейший трансформатор состоит из двух индуктивно свя-
занных катушек с индуктивностями Lr и Ь2, расположен-
ных на общем сердечнике. Катушка, к которой подключается
источник, называют первичной, а к которой подключают на-
грузку—вторичной. Сердечник может быть выполнен из фер-
ромагнитного или неферромагнитного материала. Примером
трансформатора последнего типа является воздушный транс-
форматор, находящий широкое применение в технике связи,
измерительных приборах, различных радиотехнических устрой-
ствах.
Воздушный трансформатор. На рис. 4.10 изображена схема
простейшего воздушного трансформатора с потерями в первичной
1?! и вторичной R2 катушках (обмотках), нагруженного на
комплексное сопротивление ZH=HH+jTH.
Рис. 4.10
76
Рис. 4.11
Составим уравнение трансформатора по ЗНК для I и II
контуров
XZi = 211X1— 2i 2L2 >
0= —Z.12I1+Z22I29
(4.42)
где
2и =^и +;ЛГц =/?1 +у®£1; Z12 =jXi2=zj^M;
212 = R22 +/Х22 = (^2 + Ди) +j (®^2+^н) •
(4.43)
Из системы уравнений (4.42) следуют уравнения для токов Ц и 12:
Ц=------; I2= -‘-и/-11 . (4.44)
2ц—Zf2/Z22 z22-z?2/zn
По аналогии с (4.29) введем понятие вносимых сопротивлений:
Z1BH=-Z122/Z22; Z^-ZblZ^. (4.45)
Тогда уравнения (4.44) можно переписать так:
Ц=—(4.46)
Zii+ZiM z22+z2„ z
Уравнениям (4.46) соответствуют одноконтурные схемы замещения
воздушного трансформатора, изображенные на рис. 4.11. Величины
/?1ВН и Х1ВН, /?2вн и Х2вн определяются из (4.45) с учетом (4.43):
р ____ ^12 п . р _______ ^12 п
«1вн~ „2 2 «22, «2вн~„2 у2 «11,
Л22+Л22 "llTAll
-^12 V V — V
р2 . у2 Л22, Л2вн— - у2 Л11-
К22 + Л22 — ЛЦТЛЦ
(4-47)
(4.48)
Знак «—» в уравнениях (4.48) свидетельствует о размагничиваю-
щем действии вторичной обмотки на первичную.
Воздушный трансформатор может быть представлен двухкон-
турной схемой замещения, изображенной на рис. 4.12. Эта схема
77
получается непосредственно из схемы, изображенной на рис. 4.10,
после объединения в один узел одноименных зажимов и развязки
индуктивных связей согласно рис. 4.8. Таким образом, для
определения токов в воздушном трансформаторе могут быть
использованы одно- либо двухконтурные эквивалентные схемы
замещения.
Из общих уравнений для комплексных токов Ц и 72 с учетом
(4.42), (4.43) можно найти отношение комплексных токов и
напряжений в воздушном трансформаторе:
/1Иг=(Z2+Za) /Z12; и. IU2 = [(Z2+ZH) Zr t -Zb] I (Z„Z12),
(4.49)
где U2=I2ZH.
Из уравнения (4.49) следует, что отношение как комплексных
токов, так и напряжений в воздушном трансформаторе с потерями
зависит от сопротивления нагрузки ZH.
В случае отсутствия потерь (И1=/?2 = 0) имеем
/1/Z2 = ZH/Z12 + l/fcTp; UJU2=k,p, (4.50)
где величина ктр=ЬЬМ носит название коэффициента трансфор-
мации. Как видно, в данном случае отношение напряжений не зависит
от нагрузки Z„, а отношение токов зависит от Zn. Такой
трансформатор называют совершенным. Для совершенного транс-
форматора коэффициент связи k = 1, а коэффициент рассеяния о = 0.
Существует еще понятие идеального трансформатора, у кото-
рого потери равны нулю, индуктивности катушек бесконечно
велики, а их отношение равно коэффициенту трансформации £тр =
= L1/L2 = w1/m>2, где Wj, w2 — число витков первичной и вторичной
катушек. В идеальном трансформаторе отношение как токов, так
и напряжений не зависит от нагрузки и определяются только
коэффициентом трансформации kTp.
Трансформатор с ферромагнитным сердечником. Ферромагнит-
ный сердечник применяется для увеличения магнитного потока и
связи между катушками, что приводит к росту мощности,
отдаваемой во вторичную цепь трансформатора. При этом по
своим свойствам он приближается к идеальному трансформатору,
но становится нелинейным устройством вследствие появления
дополнительных потерь на гистерезис и вихревые токи. Однако на
практике трансформатор с ферромагнитным сердечником стара-
ются конструировать таким образом, чтобы нелинейность была
мала и ею можно было пренебречь. Тогда расчет подобного
трансформатора можно осуществить на основе двухконтурной
схемы замещения, изображенной на рис. 4.13, с параметрами,
приведенными к параметрам первичной обмотки. Данная схема
78
*S1 II 1г *S2 ^Z
Рис. 4.12 Рис. 4.13
может быть получена по аналогии со схемой рис. 4.12 с учетом
потерь в стали Go и намагничивания Во. Приведенные значения
Х2, Я'ъ Л определяются согласно равенствам:
Xs2 = ^Tp-^s2» ^2=^тр^2> £2=2г/^тр^ Х^2=^тр^2> 2н = ^тр^н’
(4.51)
где Xsl, Xs2—индуктивные сопротивления первой и второй
катушек (индуктивности рассеяния). Величины тока потерь в стали
I„=G0Uq и намагничивающего тока I^=B0U^ определяют суммар-
ный ток потерь:
1о=1ф+л„ = 1о^, (4.52)
где аргумент 8 называется углом потерь.
Глава 5. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
5.1. ТРЕХФАЗНАЯ СИСТЕМА. СОЕДИНЕНИЕ
ГЕНЕРАТОРА И НАГРУЗКИ ЗВЕЗДОЙ
И ТРЕУГОЛЬНИКОМ ‘ 1'1’
В электроэнергетике для получения синусоидальных токов и
напряжений широкое применение получили трехфазные цепи.
Трехфазной цепью называют совокупность трех однофазных
электрических цепей (фаз), в каждой из которых действует
задающее напряжение одной и той же частоты, сдвинутые
относительно друг друга на определенный угол (обыййб‘;120°).
Трехфазная цепь* была предложена М. О. Доливо-Добро-
вольским (1891 г.), который разработал все основные ее элементы:
* Понятие «фазы» здесь является чисто конструктивным термином и ничего не
имеет общего с фазой комплексной величины тока или напряжения.
79
генераторы, трансформаторы, линии электропередачи, трехфазные
двигатели. Трехфазные цепи имеют ряд технико-экономических
преимуществ по сравнению с однофазными: экономичность,
меньшие пульсации выпрямленного напряжения, простота реали-
зации, возможность создания вращающегося магнитного поля в
асинхронном двигателе и др. (см. § 5.4), которые обусловили их
широкое распространение.
Трехфазное напряжение в простейшем случае может быть
получено с помощью трехфазного синхронного генератора, изо-
браженного на рис. 5.1. При вращении ротора в обмотках А, В, С
статора генерируются напряжения, имеющие одинаковую частоту
и амплитуду, но сдвинутые относительно друг друга на угол 2л/3
(рис. 5.2):
80
Рис. 5.5 Рис. 5.6
UA= Ue~J0; UB= Ue~j2n/3; Uc= Ue~j4n/3 = Uei2n/3.
В зависимости от способа соединения обмоток генератора и
нагрузки различают соединения трехфазных цепей звездой и
треугольником. Если принять за начало фазной обмотки конец, от
которого действует задающее напряжение (+), то при соединении
звездой все концы фазных обмоток (—) соединяются в одну точку
(рис. 5.3), называемую нейтральной (нулевой). Соединение звездой
может осуществляться с нулевым проводом и без него (на
рис. 5.3 показано штриховой линией). При соединении треугольни-
ком начало одной фазной обмотки соединяют с концом следую-
щей по порядку фазной обмотки, образуя замкнутый треугольник
(рис. 5.4).
На практике применяют различные комбинации соединения
фаз генератора и нагрузки: звезда—звезда, треугольник—тре-
угольник, звезда—треугольник и др. /
Напряжения и токи в фазах генератора и нагрузки называются
фазными и обозначаются U* и Ц. Напряжения между линейными
проводами и токи в них называют линейными и обозначаются С7Л,
/л. Из рис. 5.3 и 5.4 следует, что при соединении звездой и
симметричной нагрузке 1Л=Ц, а при соединении треугольником
Ц_л =У* во всех фазах. Для нахождения соотношений между t/„,
при соединении звездой и 1Л, при соединении треугольни-
ком достаточно рассмотреть векторные диаграммы напряжений
(рис. 5.5) и токов (рис. 5.6) для соединений звездой и треугольни-
ком (случай Z=R). Из представленных диаграмм нетрудно
получить соотношения между линейными и фазными действующи-
ми напряжениями и токами при соединениях звездой: U„ = y/3 и
треугольником 1л=у/31^.
81
5.2. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
При расчете трехфазной цеци, как и при расчете сложной
разветвленной цепи, можно испоА»зовать любой из ранее рассмот-
ренных методов в символической форме.
Расчет трехфазной цепи при соединении звездой. При симметрич-
ном режиме работы цепи потенциалы узлов 0 и 0' одинаковы и их
можно объединить нулевым проводом. При этом
Ia+Ib+Ic^- (51)
Если заданы фазные напряжения UA, UB, U^, то расчет токов в
отдельных фазах можно вести независимо:
La = Ua/Z; ib=ub/z-, i^ujz. (5.2)
Линейные напряжения определяются из ЗНК:
Uab=Ua-Ub\ Ubc=Ub~Uc-, LLca=LLc~ILa- (5-3)
На рис. 5.5 показана векторная диаграмма, соответствующая
этому случаю при Z=R. При комплексном характере Z=R+jX
диаграмма напряжений будет сдвинута на угол (p=arctg (Х/А)
относительно диаграммы токов.
Для случая несимметричной нагрузки расчет трехфазной цепи
удобно вести. методом узловых напряжений. При этом находят
напряжение
£о-о = ( UaYa +UbYb+ U^Yc) I (YA+b+Xc+Zo), (5.4)
где Ул, YB, Yc, Уо—комплексные проводимости ветвей нагрузки
А, В, С и нулевого провода. После определения (Уо'о по закону
Ома находим токи для участка цепи:
La=(Ua-Uo'o)Ya; Lb=(Ub-U00)Yb; Ic^Uc-Uv^Yc. (5.5)
В случае, если заданы линейные напряжения Unr. игл,
расчет трехфазной цепи можно осуществить следующим образом.
Подставляем в уравнение (5.1) значения
La=UaYa; Ib=UbYb; L^UcYc- (5.6)
В результате получаем UaYa+UbYb+ UcYc=0, откуда находим
^-(UbYb+UcYc)/^. (5.7)
Выразив значения UB и Uc через и Ur. л из (5.3), получаем
Ua^UabY^UcaYc^KY^Yb+Yc).
82
A 2a
a
a
Рис. 5.7 Рис. 5.8
Аналогично находим UB и U^:
Ub^UbcYc-LJabY^I^ + Y^^-
Uc = (UcaXa -UbcYb) I (Ya+Yb+Ic) .
Подставив значения UA, Ц_вн LLc я формулы (5.6), найдем искомые
токи IA, IB, If..
Расчет трехфазной цепи при соединении треугольником. В случае
несимметричного режима при заданных фазных (линейных) напря-
жениях фазные токи определятся по закону Ома:
Lab=LLabIZlab', Lbc=LLbcIZlBC', Lca=ILca1^ca- (5.8)
Линейные токи можно найти по ЗТК для узлов А, В и С:
1а=1ав~1саь Lb=Isc~Lab'i Lc=Lca~Lbc- (5.9)
Аналогичным образом производится расчет трехфазной цепи в
симметричном режиме при Z/p=ZRr = Zr^ = Z.
При необходимости учета сопротивлений линейных проводов ра-
счет сложной трехфазной цепи (рис. 5.7) можно выполнить путем
преобразования «треугольник—звезда» (см. § 1.5 и рис. 5.8):
ZA = ZABZCA/(ZAB + ZBC->rZCA);
Zb=ZbcZab/[Zas+Zbc+Zca)', г (5.10)
Z£=ZCaZBcI(Zab+Zbc+Zca), J
после чего можно использовать формулы (5.6), (5.9).
5.3. МОЩНОСТЬ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ
Активную мощность, потребляемую в трехфазной цепи, в
общем случае можно определить как сумму мощностей в
отдельных фазах нагрузки:
Р=Р1ф+/>2ф+^>зф= ^1фЛфС08 (pj + С/гф^гф cos Ф2 + ^зф^зф COS^ ।
83
(5.13)
Аналогично определяем реактивную потребляемую мощность:
2 = 2хф+2гф+2зф = 17 1фЛф sin ф 1 + U2ф^2ф sin ф2 + UзфЛф sin ф3,
(5-12)
где фх, ф2, Фз—фазовый сдвиг между током и приложенным
напряжением в первой, второй и третьей фазах соответственно.
Для симметричной нагрузки уравнения (5.11) и (5.12) примут
вид:
Р=3 иф1ф cos ф=у/З U„1Л cos ф;
2 = 3 иф1ф sin ф = у/З иа1л sin ф.
При этом уравнения (5.13) справедливы при соединении нагрузки
как звездой, так и треугольником. Это непосредственно следует из
соотношений между линейными и фазными напряжениями и
токами при соединениях звездой и треугольником. Действительно,
при соединении звездой имеем
ил = у/зиф, 1л=1ф, Р=^/Лсо8ф=уз’с/Л/Лсо8ф, (5.14)
а при соединении треугольником
ил = иф, 1„=у/31ф; Р=^7лсо8ф=7щлсо5ф. (5.15)
Полная мощность цепи при этом
S=^3U„Ia. (5.16)
Идентичность уравнений (5.14) и (5.15), однако, не означает,
что при переключении нагрузки со звезды на треугольник
мощность, потребляемая цепью, не изменяется. Нетрудно видеть,
что при таком переключении и заданном ил мощность, потребля-
емая цепью, увеличивается в 3 раза по сравнению с мощностью,
потребляемой при соединении звездой (для доказательства доста-
точно в общее уравнение для Р подставить соответствующие
значения 1„ и С7Л).
Активную мощность в трехфазной цепи с нейтральным
проводом можно измерить методом трех ваттметров (на рис. 5.9
звездочками обозначены одноименные зажимы ваттметра). В
случае отсутствия нейтрального провода измерения выполняются
методом двух ваттметров (рис. 5.10). Действительно? согласно
(2.62) комплексная мощность трехфазной цепи 5= СЛ,/ ,+ Upl Р+
+UcLc- Учитывая, что согласно ЗТК Lc = ~?-а~1-В, полу-
чаем:
S=(Ua-Uc)La+ (Ub-Uc)LB=UacL + UbcLb. (5.17)
84
о
Рис. 5.9 Рис. 5.10 Рис. 5.11
Отсюда непосредственно следует возможность определения мощ-
ности, потребляемой цепью, с помощью двух ваттметров:
Р=Л + Р2 = UACIA cos флс + UbcIb cos Фвс , (5.18)
где флс—фазовый сдвиг между напряжением UAC и током 1Л;
фвс—фазовый сдвиг между UBC и 1В.
При симметричном режиме работы трехфазной цепи достаточ-
но одного ваттметра (рРР1г pW2 или pW3, см. рис. 5.9). Если цепь
не имеет нулевого провода, то он может быть получен искусствен-
но так, как показано на рис. 5.11.
5.4. ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
ПРИНЦИП РАБОТЫ АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ
Одним из главных достоинств трехфазных цепей является
возможность получения вращающихся магнитных полей, ле-
жащих в основе работы наиболее распространенных типов
асинхронных двигателей. Принцип получения вращающегося маг-
нитного поля можно проиллюстрировать на примере двух
взаимно перпендикулярных катушек индуктивностей (на рис. 5.12
показан в разрезе один виток каждой катушки), питаемых
синусоидальными токами z\ и /2. Под действием этих токов
создаются магнитные поля с индукцией в точке пересечения
катушек (ток течет от конца, помеченного знаком «х» к концу «.»):
2?! =.Smsinон и B2 = Bmcos<ot. Результирующий вектор магнитной
индукции
В=В1 +jB2 = Вт (sin at +j cos <bz) =jBme ~jM, (5.19)
т. e. получено результирующее магнитное поле, вращающееся по
часовой стрелке с угловой частотой со.
Аналогичным образом может быть образовано вращающееся
магнитное поле в трехфазной системе (рис. 5.13) с токами,
создающими мгновенные значения индукции:
Вл = Вт sin (nt; Вв=Вт sin (со/—2л/3); Вс = 5msin(coZ+2n/3). (5.20)
85
Введем в рассмотрение фазовый оператор a=ej2”/3. Тогда
результирующий вектор индукций В определится с учетом (5.20),
как:
В =j (ВА+а2Вв+аВс) =jBm ^sin со/+a2 sin (at cos -—
2 • 2тс • 2тс । • •« / •
—a cos (at sm —ka sin (at cos —\-a cos (at sin — =j 1,5B„ (sin (at+
3 3 3/ '
+jcosa«)=-l,5£Ble"*r. (5.21)
Таким образом, получено результирующее магнитное поле с
амплитудой магнитной индукции 1,55т, вращающееся с угловой
частотой со по часовой стрелке.
На использовании вращающегося магнитного поля основан
принцип действия трехфазного асинхронного двигателя, изобре-
тенного в 1888 г. М. О. Доливо-Добровольским. Вращающееся
магнитное поле в асинхронном двигателе создается обмотками
статора. Это поле наводит в обмотках ротора индукционные токи.
Взаимодействие этих токов с вращающимся магнитным полем
приводит к возникновению вращающегося момента в направлении
поворота поля. В результате ротор начинает вращаться со
скоростью v (об/мин), несколько меньшей скорости вращения
магнитного поля vn (отсюда термин «асинхронный» двигатель).
Для характеристики степени различия указанных скоростей враще-
ния вводят параметр
s0=(va-v)/v, (5.22)
называемый скольжением. Для получения вращающего момента
величина скольжения должна быть больше нуля (обычно s0 =
= 0,02...0,04). В установившемся режиме асинхронный двигатель на-
ходится в состоянии динамического равновесия, когда вращающий и
тормозной моменты из-за трения уравновешивают друг друга.
86
Глава 6. ЦЕПИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
6.1. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ
ФУРЬЕ
При передаче информации по каналам связи, в процессе прео-
бразования сигналов в различных устройствах, как правило,
используют несинусоидальные колебания, поскольку чисто гар-
монические колебания не могут являться носителем инфор-
мации. Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гар-
монического колебания по амплитуде (AM), частоте (ЧМ)
или фазе (ФМ) (гл. 12) либо используют импульсные сиг-
налы, модулируемые по амплитуде (АЙМ), ширине (ШИМ),
временному положению (ВИМ) (гл. 12). Существуют и дру-
гие, более сложные сигналы, формируемые по специальным
законам. Отличительной чертой указанных сигналов является
сложный негармонический характер. Несинусоидальный вид име-
ют токи и напряжения, формируемые в различных импульс-
ных и цифровых устройствах (гл. 19, 20), несинусоидальный
характер приобретают гармонические сигналы, проходящие че-
рез различные нелинейные устройства (гл. 12) и т. д. Все это
приводит к необходимости разработки специальных методов
анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воз-
действием периодических несинусоидальных и непериодических
токов и напряжений. В основе этих методов лежат спек-
тральные представления несинусоидальных воздействий, бази-
рующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье.
Из математического анализа известно, что периодическая
несинусоидальная функция f(t\ удовлетворяющая условиям Ди-
рихле* **, может быть разложена в ряд Фурье:
00
/(z)=y+^(a)tcosA:co1/-|-Z>jlsinA:(o1/), со1=2тс/Г (6.1)
к=1
где ак, Ьк—коэффициенты разложения, определяемые уравнениями
* Эти условия требуют, чтобы на периоде Т функция f(t) имела ко-
нечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и
минимумов, что для реальных электрических сигналов обычно выполня-
ется.
87
т т
ак=|, J/(/)cosbk=-^ sin ka^tdt. (6.2)
о о
т
Величина a0/2=^f(t)dt представляет среднее за период зна-
о
чение функции /(/)** и называется постоянной составляю-
щей.
В теоретических исследованиях обычно вместо формулы (6.1)
используют другую, основанную на замене независимой перемен-
ной a=coz:
00
Да)=~ +^(afccos ka+bk sinfca), (6.3)
л=1
где
2л 2я
ак=- /(a)cosfcouZa; bk=- /(a) sin fcouZa. (6.4)
Л J ' ' К J ' '
о о
Уравнение (6.3) есть тригонометрическая форма ряда Фурье.
При анализе цепей часто удобней пользоваться комплексной
формой ряда Фурье, которая может быть получена из (6.3) с
помощью формул Эйлера:
cos ka.=(eJka+е "'*“) /2; sin fca=(e7*“—е“л“)/(2/). (6.5)
Подставив (6.5) в уравнение (6.3), после несложных преобразова-
ний получим комплексную форму ряда Фурье:
00
/(«)=5 Лел“, (6.6)
fc= — 00
где Ак—комплексная амплитуда к-й гармоники:
(6.7)
где Ak = y/ak+bk ; <pk = arctg{bk)ak). Подставив значения ак и Ьк из
(6.4) в формулу (6.7), получим
* /(/)—может иметь смысл как ^тока, так и напряжения.
88
2я
/(a)e-7*“tZa, (к=0; ±1, ±2...).
(6.8)
Совокупность амплитуд 0,5 Л*=0,5А _к в разложении (6.6),
отложенных против соответствующих положительных и отрица-
тельных частот *\ образует симметричный относительно оси
координат (вследствие четности коэффициентов ак) линейчатый
амплитудный спектр. г
Совокупность ординат 9^ = — cp_fc из (6.7), входящих в разложе-
ние (6.6) и отложенных против соответствующих положительных и
отрицательных частот, образует симметричный относительно
начала оси координат (вследствие нечетности коэффициентов Z>t)
линейчатый фазовый спектр. В § 6.3 рассмотрены примеры
амплитудных и фазовых спектров некоторых периодических
несинусоидальных сигналов.
Для непериодических сигналов используются спектральные
представления, базирующиеся на паре преобразований Фурье.
Преобразование Фурье может быть получено путем предельного
перехода от ряда Фурье (6.6). Для этого зададим непериодический
сигнал f(t), удовлетворяющий условию абсолютной интегрируе-
00
мости в бесконечных пределах (рис. 6.1): f | f(t) | dt< со. С
физической точки зрения это означает, что задается реализуемый
сигнал с конечной энергией, при этом
|/(/)|<Л/е'с°', (6.9)
где М, с0—положительные постоянные величины.
Условие (6.9) означает, что модуль |/(01 имеет ограниченный
показатель роста. Превратим мысленно этот сигнал в периодиче-
ский путем его повторения через период Т (см. рис. 6.1). К
* Понятие отрицательной частоты не имеет физического смысла, однако оно
удобно в теоретических исследованиях, поэтому широко используется в специаль-
ной литературе.
89
полученному таким образом сигналу применимо разложение (6.6),
которое после перехода к переменной t можно записать в виде:
(6.10)
к= — оо
Т/2
I | Z(0 еЛ; Т=2л/(0
-Т/2
(6.11)
После подстановки Л* в уравнение (6.10) с учетом (6.11) получаем
00 Т/2
. (6.12)
11=-00 -Т/2
Переходя в уравнении (6.12) к пределу при Т -»• оо и учитывая, что
при этом «>! -* dm и ka>i —* со, а сумма вырождается в интеграл,
получаем для исходного сигнала
00 00
f(t)= lim Л (/)=! | е>*“rfco | f(t)еdt. (6.13)
Т—►оо J J
— 00 • — 00
Внутренний интеграл в уравнении (6.13) носит название спектра
сигнала F(jco):
00
F(»= f f(t)e~^dt. (6.14)
— 00
Тогда формула (6.13) примет вид
00
/(0=^ J F(»e^rf(0. (6.15)
— оо
Уравнения (6.14) и (6.15) являются основными в теории
спектрального анализа, причем (6.14) называется прямым, а
(6.15)—обратным преобразованием Фурье. По аналогии с Ak
спектр F(J(o) является в общем случае комплексной функцией
частоты и может быть записан в алгебраической форме:
£(усо)=Л(о))-уВ(<о) (6.16)
и показательной форме
F(j«>)=|F(»|e (6.17)
90
где
00 00
J(co) = J f(t) cos atdt; 5((o)= J f(t) sin otdt. (6.18)
— oo — oo
Модуль
| F(jo) | = у/A2 ((£>)+B2 (a) (6.19)
определяет амплитудный, а аргумент
(p (co) = arctg (В (co) /А (co)) (6.20)
— фазовый спектр сигнала. Причем, как и для периодичес-
кого сигнала, амплитудный спектр является четной, а фа-
зовый—нечетной функцией частоты. Вид модуля |F(jo))| по-
зволяет судить о распределении энергии в спектре неперио-
дического сигнала, определяемом равенством Парсеваля (теоремой
Рэлея):
(6-21)
Уравнение (6.21) можно получить следующим образом: пред-
00
ставим левую часть (6.21) в виде f f(t)f(t)dt и применим к f(t)
преобразование (6.15):
оо оо оо
^f2(t)dt=± J f(t)dt J F(j<o)eJ*dGi.
— oo — 00 — 00
Учитывая независимость переменных t и о, перепишем последнюю
формулу в виде
оо оо оо
^f2(l)dt=^ J F(j<o)d<o |/(f)e*"*A.
- оо — оо - оо
Внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр
F^—jo). Если учесть, что F(j<o) F(—j(o) = \F(J(o)\2, то получим
равенство (6.21). Из уравнения (6.21) следует, что величина
|F(j<o)|2 представляет собой энергию сигнала, приходящуюся
на 1с-1 текущей частоты со, поэтому квадрат модуля спек-
тра |F(j<b)|2 называют спектральной плотностью энергии сиг-
нала.
Сравнение уравнений (6.11) с (6.14) позволяет установить связь
между спектрами периодических и непериодических сигналов:
91
(6.22)
т. e. спектр F(jai) имеет смысл плотности комплексных амплитуд.
В отличие от линейчатого спектра периодических сигналов спектр
непериодического сигнала носит сплошной характер (разность
между соседними частотными составляющими по частоте равна
d(o).
Для сигналов f{t) и их спектров F(j(o) справедлив ряд
фундаментальных свойств, к числу которых относятся:
свойство линейности:
п п
Е Е
Л = 1 к=1
где ак—коэффициенты разложения; «=»—знак соответствия;
дифференцирование сигнала, соответствующее умножению его
спектра на оператор jo:
интегрирование сигнала, соответствующее делению его спектра
на /со:
t
J
— оо
смещение сигнала во времени на т:
/(/±T)=e±Jfi>TF(/(o);
умножение спектров (теорема свертки):
00 00
F1(J<a)F2(j(o)= J fl{x)f2{t-x)dx= J
— оо — 00
изменение масштаба независимого переменного:
где а=const.
Последнее свойство означает, что ширина спектра сигнала
увеличивается при сжатии сигнала во времени, и наоборот,
уменьшается при растяжении сигнала во времени.
Одним из важных свойств преобразований Фурье является
взаимозаменяемость параметров t и <о. Так, для четной функции
f(t) можно записать
92
F(j<a)= f f(t)e~**dt= f f(t)d°*dt,
' -00 -00
что с точностью до множителя 1/2л совпадает с выражением
(6.15), если в нем заменить со на t.
Замечательным свойством разложений (6.6) и (6.15) является
то, что периодический несинусоидальный и непериодический
сигналы могут быть представлены суперпозицией гармонических
составляющих. В частности, непериодический сигнал—бесконеч-
ным числом бесконечно близких по частоте бесконечно малых
гармонических составляющих с амплитудой
dAk=X-F{j(o)d(Si. (6.23)
Этот факт имеет очень большое значение, так как позволяет
использовать при анализе различных явлений в электрических
цепях методы гармонического анализа (см. § 6.4, 7.9).
6.2. ДЕЙСТВУЮЩЕЕ, СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЯ И
МОЩНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА
Действующее значение периодического несинусоидального тока
определяется согласно (2.5), где i(t) определяется уравнением (6.1).
Представив (6.1) в форме разложения только по косинусоидаль-
ным составляющим
’(0= Е 4*cos(to1r-<p)k)=70+ £ /^cos^co^-cpj (6.24)
fc = 0 k=l
и подставив это значение тока i(t) в (2.5), после интегрирования
получим
/ 00 г 2 / 00
1= 1120+ Е v=J Zo+ Е Л2, (6-25)
V <с=1 2 V к = 1
т. е. действующее значение периодического несинусоидального
тока I полностью определяется действующими значениями его
гармоник 1к и не зависит от их начальных фаз <рк.
Аналогичным образом находим действующее значение пери-
одического несинусоидального напряжения:
U= Ul+^Ui. .(6.26)
v *=1
Среднее значение тока определяется согласно общему выра-
жению (2.9). Причем обычно берут среднее значение i(t) по
абсолютной величине
93
т
/ср = |||фМ
о
(6.27)
Аналогично определяется Ucp.
Активная мощность при воздействии периодического несину-
соидального сигнала определяется по формуле
г
Р=1|и(г)ф)Л, (6.28)
О
где
00
i(t)= Е
к = 0
оо
«(')= Е С^срв^см-ч^-ь^),
к = 0
(6.29)
фи—фазовый сдвиг между током и напряжением к-й гармоники.
Подставляя значения i(t) и и(/) из (6.29) в уравнение (6.28), после
интегрирования получаем
00 00
Р= Е C44cos'l't= £ Рк, (6.30)
fc = 0 k = 0
т. e. средняя за период активная мощность периодического
несинусоидального сигнала равна сумме мощностей отдельных
гармоник.
Аналогично находим реактивную мощность
е= Е ик1к^к= f Qk (6.31)
k = 0 k = 0
и полную мощность
S=UI= f и2к Е Л2.
V к = 0 к = 0
(6.32)
Следует подчеркнуть, что в отличие от гармонических сигналов
(см. (2.61)) для негармонических сигналов
S*^P2 + Q2. (6.33)
Величина Ря„=у/S2—(P2+Q2) носит название мощности искаже-
ний и характеризует степень различия в формах тока i и напряжения и.
Кроме мощности искажений периодические несинусоидаль-
ные сигналы характеризуются еще коэффициентами: мощности
94
к* = Р18‘, формы Лф = {7/С7ср; амплитуды кл=ит]и', искажений
£н-= UJU', гармоник kr=J£jUl)il2IUl и др.
к
6.3. СПЕКТРЫ ТИПОВЫХ СИГНАЛОВ
Для теоретических и экспериментальных исследований ха-
рактеристик электрических цепей и передачи сообщений по
каналам связи используются различные типы сигналов: гар-
монические колебания, уровни постоянных напряжений, после-
довательность прямоугольных импульсов и т. д. Особо важную
роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют
испытательные сигналы в форме единичной функции 1 (?) и
единичной импульсной функции 8(f) (функция Дирака). Опреде-
лим спектры наиболее распространенных типовых электрических
сигналов.
Единичная функция. Единичная функция задается уравнением
(рис. 6.2, а)
(1при(»0;
' ' (0 при f<0.
F(/o>,c)= l(f)e “е i<a,dt=
Строго говоря, функция (6.34) не удовлетворяет условию абсо-
лютной интегрируемости (6.9), поэтому воспользуемся следующим
приемом: умножим 1(f) на гасящий множитель e-rt(c=const), при
этом можно использовать прямое преобразование Фурье (6.14):
1е-(с+-И)<*=—(6.35)
C+JW
— оо О
Преобразование F(jco,c) носит название обобщенного преобразо-
вания Фурье. Для получения спектра единичной функции перейдем
к пределу:
Г(/<в)=lim F(j<b, с)=1=1 е ~J 2. (6.36)
Из уравнения (6.36) получаем амплитудный | F(j(o) | = 1/со (рис.
6.3, а) и фазовый спектр функции 1(f) (рис. 6.3,6) ф(ш) = — л/2, т. е.
амплитудный спектр при ш=0 обращается в бесконечность, что
свидетельствует о наличии в исходной функции 1(f) скачка при
t=0 (рис. 6.2, а). Для образования этого скачка в соответствии с
(6.36) при t=0 осуществляется суммирование бесконечно боль-
шого числа синусоидальных составляющих.
Единичная импульсная функция. Функция 8(f) задается анали-
тически условиями
95
Рис. 6.2 Рис. 6.3
{О при /<О;
оо при 7=0; (6.37)
О при 7>0.
Эта функция является физически нереализуемой математической
абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет
очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально
она может быть получена, например, путем предельного перехода
(при т->0) единичного импульса (рис. 6.2,6), площадь которого
равна единице:
л= J 8(7)<Й=1. (6.38)
— 00
Одним из интересных свойств функции 8(/) является ее фильтрую-
щее свойство, определяемое равенством (рис. 6.4)
f (6.39)
— оо
Для нахождения спектра 5-функции воспользуемся прямым
преобразванием Фурье (6.14), которое с учетом (6.16)—(6.18)
можно записать в виде
F(j<b)= j b(t)e~iatdt= J d (t) cos (otdt—j j 8(/)sina>tdt.
— oo — oo — oo
Так как второе слагаемое будет равно нулю, а первое—единице
вследствие свойств (6.37) — (6.39), то окончательно получим
£(>)= J 8(7)Л=1 е^ = 1. (6.40)
— оо
Таким образом, 8-фуикция имеет равномерный амплитудный и
нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах
фазового спектра означает, что все гармонические составляющие
8-функции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют
при 7 = 0 пик бесконечно большой величины.
Следует отметить, что сдвиг 5-функции на время т приводит
согласно свойствам преобразования Фурье (см. § 6.1) к спектру
96
F(jco)=l e-ja", т. e. амплитудный спектр функции 8(z—т) остается
прежним, а фазовый изменяется пропорционально со/.
Из равенства (6.40) согласно обратному преобразованию Фурье
(6.15) следует, что
8(')=s
e7<etJ(o.
(6.41)
Учитывая условие взаимозаменяемости параметров t и со, послед-
нее выражение можно переписать в виде
00
5(<о)=^ j e±iwtdt. (6.42)
— 00
Уравнения (6.41) и (6.42) широко используются в теории
сигналов и цепей.
Спектр постоянной составляющей. Спектр постоянной состав-
ляющей функции а0/2=1 /2 с учетом (6.42) определяется урав-
нением
оо
F(jco)=^ J е’-'<Л’Л = л5(со). (6.43)
— 00
Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на
всех частотах, кроме со=О, где F(jco) обращается в бесконечность,
т. е. имеем на частоте со=О дискретную составляющую частоты в
форме 5-функции.
Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику
использования прямого преобразования Фурье при определении
спектра гармонического колебания
/(/)=^mcos(o0Z. (6.44)
Преобразование (6.14) для функции (6.44) имеет вид
'97;
4 - 3439
F(j<o)= J Amcos(o0te jMdt.
— oo
(6.45)
Формально функция (6.44) не удовлетворяет условию абсолютной
интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. Поэтому
для вычисления интеграла (6.46) воспользуемся формулой Эйлера
(2.18) и уравнением (6.42):
2
— 00
= пАт [5 (со - соо)+5 (со+ш0)],
(6.46)
т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоя-
щий из двух спектральных линий на частотах +<оо.
Спектр последовательности прямоугольных импульсов. Для
нахождения спектра последовательности прямоугольных импуль-
сов с периодом повторения Т и длительностью t„ (рис. 6.5)
необходимо воспользоваться рядом Фурье (6.10). Комплексная
амплитуда к-й гармоники будет равна согласно (6.11):
Т/2
Ак=- f /(/)e~-,toit<Zr=^
— * т J J \ / T kfOttJl
— T/2
(6-47)
Подставив значение Ак в уравнение (6.10), получим разложение в
ряд Фурье:
xk=-oo t/k=-oo
Л<М„/2
(6.48)
где через д=Т11я обозначена величина, носящая название скваж-
ности импульсов. На рис. 6.6, а изображен спектр комплексных
амплитуд для q = 2. Как видно из рисунка, спектр последова-
тельности прямоугольных импульсов представляет собой дискрет-
98
ный спектр с огибающей (штриховая линия на рис. 6.6, а), которая
описывается функцией
sinx/x, где x=kitlq, (6.49)
носит название функции отсчетов. Число спектральных линий
между началом отсчета по оси частот и первым нулем огибающей
равно q— 1. Постоянная составляющая серии прямоугольных
импульсов равна величине \fq, т. е. чем больше скважность, тем
меньше уровень постоянной составляющей. С увеличением скваж-
ности q число дискретных составляющих увеличивается—спектр
становится гуще (рис. 6.6,6).
Спектр одиночного прямоугольного импульса. Спектр прямо-
угольного одиночного импульса (рис. 6.7) можно найти как
непосредственно из прямого преобразования Фурье (6.14), так и
путем предельного перехода при <?->со (Т-юо) разложении (6.47).
В результате получим
f(>) = ZbS^2) (6.50)
(Ofjn/Z
На рис. 6.8 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение
рис. 6.6 и 6.8 показывает, что по своей форме спектр одиночного
импульса совпадает с огибающей дискретного спектра последо-
вательности периодических импульсов, однако спектр одиночного
импульса является сплошным.
Аналогичным образом можно найти спектр сигналов и более
сложной формы.
Пример 1. Найти спектр экспоненциального импульса
г/.хрирн
(О при г<0.
В соответствии с прямым преобразованием (6.14) получаем
F(»= —=— 1
J <*+>
О
99
Рис. 6.9
где | F(j(o) I = 1 /х/а2 + со2—амплитудный (рис. 6.9, а) и ф (со)=arctg (со/а)—фазовый
(рис. 6.9,6) спектры сигнала.
Пример 2. Определить спектр затухающей синусоиды (рис. 6.10)
/(/) = 1 (/)e-alsinco1/.
Согласно (6.14) находим
F(j<o)=
е (“ ^‘sincojZtZ/^
о
oh
а2—со2+со2+2уасо
Отсюда находим спектры: амплитудный (рис. 6.11, а)
а>1
| F(jco) | =— -----,
.у (а2—со2 + со2)2+(2асо)2
и фазовый (рис. 6.11,6)
Ф (о)=arctg
2аа>
а2—со2 + со2’
6.4. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
В основе расчета линейных электрических цепей, находящихся
под воздействием периодических несинусоидальных сигналов,
лежит принцип наложения (см. § 1.6). Его суть применительно к
100
несинусоидальным воздействиям заключается в разложении неси-
нусоидального периодического сигнала в одну из форм ряда
Фурье (см. § 6.1) и определении реакции цепи от каждой
гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится
путем суперпозиции (наложения) полученных частных реакций.
Таким образом, расчет цепей при периодических несинусоидаль-
ных воздействиях включает в себя задачу анализа спектрального
состава сигнала (разложение его в ряд Фурье), расчет цепи от
каждой гармонической составляющей и задачу синтеза, в резуль-
тате которого определяется результирующий выходной сигнал как
функция времени или частоты или его действующие или ампли-
тудные значения.
При решении задачи анализа обычно пользуются тригоно-
метрической (6.3) или комплексной (6.6) формой ряда Фурье с
ограниченным числом членов разложения, что приводит к
некоторой погрешности аппроксимации истинного сигнала. Коэф-
фициенты разложения ак и Ьк в (6.3) или Ак и <рк в (6.6)
определяются с помощью уравнений (6.4), (6.7) и (6.8)..При этом
входной сигнал /(а) должен быть задан аналитически. В случае,
если сигнал задается графически, например в виде осциллограм-
мы, то для нахождения коэффициентов разложения ак и Ьк можно
использовать графоаналитический метод. Его суть заключается в
следующем:
период сигнала 2л (рис. 6.12) разбивают на т интервалов,
равных Да = 2л/т, причем точки разрыва Да) не должны попадать
на середину участков разбиения;
определяют значение сигнала Да„) в середине каждого участка
разбиения;
находят коэффициенты разложения ак и Ьк путем замены
интеграла в (6.2) конечной суммой
ак~^ Е/К) cos А: (и-1/2)^; (6.51)
п=1 т
bk^lf^n)smk(n-l/2)2^. (6.52)
"гп=1 т
Расчет цепи от отдельных гармоник определяется обычно
символическим методом (см. § 2.6). При этом необходимо иметь
в виду, что на к-й гармонике индуктивное сопротивление
АДА:)=А:(оД а емкостное сопротивление Хс[к)= \/(к<оС), т. е. на
к-й гармонике индуктивное сопротивление в к раз больше, а
емкостное в к раз меньше, чем на первой гармонике. Этим, в
частности, объясняется то обстоятельство, что высокие гармоники
в емкости выражены сильнее, а в индуктивности* слабее, чем в
приложенном к ним напряжении. Активное сопротивление R на
низких и средних частотах можно считать не зависящим от
101
частоты. На высоких и сверхвысоких частотах зависимость
активного сопротивления круглого проводника от частоты можно
выразить эмпирической формулой
R=R0- 0,385^7/, (6.53)
где Rq—сопротивление проводника постоянному току; d—диа-
метр сечения проводника.
После определения искомых токов и напряжений от отдельных
гармоник находим методом наложения результирующую реакцию
цепи на несинусоидальное периодическое воздействие. При этом
либо определяем мгновенное значение результирующего сигнала
на основании расчета амплитуд и фаз отдельных гармоник, либо
его амплитудные или действующие значения согласно уравнениям
(6.25), (6.26). При определении результирующей реакции недопус-
тимо геометрически складывать комплексные амплитуды отдель-
ных гармоник, так как в соответствии с представлением гармо-
нических колебаний на комплексной плоскости (см. § 2.2) вектора
различных гармоник вращаются с различной угловой частотой.
Пример. К цепи, изображенной на рис. 6.13, приложено напряжение u(f) в
форме прямоугольных импульсов с периодом повторения Т (рис. 6.5). Определить
мгновенное и действующие значения напряжения на емкости.
Разложение данного напряжения в ряд Фурье определяем по формуле (6.48).
Ограничимся первыми тремя членами разложения (6.48):
. . 1 4 sin со/ 4sin3co/
2 Л ЗЛ
Таким образом, приложенное напряжение содержит постоянную составляющую
L/0=l/2, первую Ц1)=4/л и третью С/(3)=4/Зл гармоники с нулевыми начальными
фазами. Найдем напряжение на емкости от постоянной составляющей приложен-
ного напряжения t/0:
UС (О) = Л о ^2 — D .А ^2 •
л1 + К2
Комплексное действующее напряжение от первой гармоники будет равно:
1 / . X
^С(1)-2з(1)Т-^-22(1)(^2+7®^)’
JCOC
102
Токи 72(1) или 73(1) можно найти по формуле разброса (см. § 1.5). Например,
ДЛЯ 13(1) имеем:
_г R2+j<aL
-3<1» -1(0а2+;(шл-1/®с)’
где
т =__________^(п_________
-“° (/?2+>£)/(>С)'
1 ' A2+j(co£—1/соС)
Аналогичным образом находится напряжение на емкости от 3-й гармоники:
ZZco) =_7 з (3)/(j3®C),
где
R2 +fowL
2з(3)=11(3) Л2+7(3ю£_1/3(оС)’
г =__________^3)_________
-1<3) (/?2+j3<o£)/j3<oC '
1+^2+y(3<o£-l/3wC)
После нахождения комплексных действующих значений напряжений на емкости
отдельных гармоник и выделения в них модулей 77с(1), ^с(З) и фаз <Pci =arg (7(1),
(pC3=arg77(3) записываем мгновенное значение напряжения на емкости в форме
суммы (ряда):
«с (0 = ^с(О) + С/с(1) sin (art+фС1) + Uc(3) sin (3®/ + фсз )•
Действующее значение напряжения определяем согласно (6.26)
^С = у/ ^С(0)+ UC(l)+ UС(3)-
Расчет цепей при непериодических воздействиях будет рассмотрен в § 7.9.
Глава 7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
7.1. ПЕРЕХОДНЫЙ И УСТАНОВИВШИЙСЯ
РЕЖИМЫ. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
В предыдущих главах рассматривались процессы в электрических
цепях и методы их расчета в установившемся режиме, т. е. в
режиме, при котором напряжения и токи в цепях либо не зависят
от времени, либо являются периодическими функциями времени в
юз
о
. К I 5
I tzfr; l 5 ul
о - J
Рис. 7.1
зависимости от вида приложенного воздействия. Установившийся
режим в цепи достигается обычно через определенный промежуток
времени после начала воздействия, поэтому рассмотренные ранее
методы анализа не охватывают так называемый переходный
режим от начала воздействия до установившегося состояния цепи.
Переходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней
реактивных элементов (индуктивности, емкости), в которых
накапливается энергия магнитного и электрического полей. При
различного рода воздействиях (подключении к цепи или исключе-
нии источников электрической энергии, изменении параметров
цепи) изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти
изменения не могут осуществляться мгновенно в силу непрерыв-
ности изменения энергии электрического и магнитного полей
(принцип непрерывности), что и приводит к возникновению
переходных процессов. Следует подчеркнуть, что переходные
процессы во многих устройствах и системах связи являются
составной «нормальной» частью режима их работы (см. гл. 18,
19). В то же время в ряде случаев переходные процессы могут
приводить к таким нежелательным явлениям, как возникновение
сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет важность
рассмотрения методов анализа переходных процессов в электри-
ческих цепях.
В основе методов расчета переходных процессов лежат законы
коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение
параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение
источников, приводящее к возникновению переходных процессов.
Коммутацию будем считать мгновенной, однако переходный
процесс, как было отмечено выше, будет протекать опреде-
ленное время. Теоретически для завершения переходного процесса
требуется бесконечно большое время, но на практике его
принимают конечным, зависящим от параметров цепи. Будем
считать, что коммутация осуществляется с помощью идеального
ключа К (рис. 7.1), сопротивление которого в разомкнутом
состоянии бесконечно велико, а в замкнутом равно нулю.
Направление замыкания или размыкания ключа будем показывать
стрелкой.
Различают первый и второй законы коммутации. Первый закон
коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля
катушки индуктивности WL = Li2/2 и гласит: в начальный момент
t = 6+ непосредственно после коммутации ток в индуктивности
104
имеет то же значение, что и в момент / = 0_ до коммутации и с
этого момента плавно изменяется*:
fL(O_) = zL(O+). (7.1)
Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения
электрического поля емкости Wc = Cu2/2 и гласит: в начальный
момент / = 0+ непосредственно после коммутации напряжение на
емкости имеет то же значение, что и в момент / = 0_ до
коммутации и с этого момента плавно изменяется:
uc(0_)=uc(0+). (7.2)
В отличие от тока в индуктивности iL и напряжения на емкости
ис напряжение на индуктивности uL и ток в емкости ic могут
изменяться скачком, так как согласно (1.9) и (1.12) они являются
производными от iL и ис и с ними непосредственно не связана
энергия магнитного и электрического полей. Значения токов в
индуктивности zt(0 + ) и напряжений на емкостях ис(0+) образуют
начальные условия задачи. В зависимости от начального энерге-
тического состояния цепи различают два типа задач расчета
переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями,
когда непосредственно после коммутации (при / = 0+) zL(0+) = 0;
мс(0+)=0 (т. е. И7(0+)+И/с(0+) = 0) и задачи с ненулевыми
начальными условиями, когда zL(0+)/0 и (или) ис(0+)/0 (т. е.
^(0^)+И/с(0+)^0). Нулевые и ненулевые значения начальных
условий для iL и ис называются независимыми, а начальные
условия остальных токов и напряжений зависимыми. Независимые
начальные условия определяются с помощью законов коммутации
(7.1) и (7.2).
7.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В Я£-ЦЕПЯХ
В основе временных методов расчета переходных процессов в
электрических цепях лежит составление интегрально-дифферен-
циальных уравнений для мгновенных значений токов и напря-
жений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа,
методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать
как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства
решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения
относительно независимой переменной, в качестве которой может
служить iL или ис. Решение полученных дифференциальных
уравнений относительно выбранной переменной и составляет
сущность классического метода расчета переходных процессов.
Рассмотрим применение этого метода к анализу переходных
процессов в 7?Л-цепи (см. рис. 7.1). Из рисунка следует, что до
* Здесь и далее под/(0_) понимается левосторонний предел функций f(t) при
z-»0_, а под /(0+)—правосторонний предел /(<) при <->0+.
105
коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток zL(0_)=0 и цепь
находится при нулевых начальных условиях. В момецт t—0
ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, под-
ключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания
ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его ма-
тематического описания выберем в качестве независимой пе-
ременной iL=i и составим относительно нее дифференциальное
уравнение по ЗНК:
iR+uL = iR+L^=u(t). (7.3)
dt
Уравнение (7.3) относится к линейным неоднородным дифферен-
циальным уравнениям первого порядка, решение которого можно
записать в форме '
Z = ?св "I" Aip» (7-4)
где zCB—свободная составляющая тока, обусловленная свобод-
ными процессами, протекающими в цепи без участия источника
w(z); гпР—принужденная составляющая тока, обусловленная дейст-
вием источника напряжения u(t).
Свободная составляющая тока zCB есть общее решение однород-
ного дифференциального уравнения
М?+1Л=0, (7.5)
dt
а именно:
iCB = Aept, (7.6)
где А—постоянная интегрирования; р—корень характеристичес-
кого уравнения, составляемого по дифференциальному уравнению
(7-5):
R+pL = 0. (7.7)
Отсюда получаем p=—RfL. Величина т=1/|р| носит название
постоянной времени RL-vfiws. t = L/R [с].
Принужденная составляющая z™ может быть определена как
частное решение уравнения (7.3). Однако, как будет показано в
дальнейшем, znp можно найти более просто методами расчета
установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:
1) u(t) =U=const; 2) и(z) = Umsin((0Z+<pu).
В первом случае принужденная составляющая /пр может быть
определена из установившегося режима: inv = U)R. Для нахож-
дения постоянной интегрирования А перепишем (7.4) в форме
i=At~tl‘t+ U/R и учтем начальные условия для i и первый закон
коммутации (7.1):
z(O_) = z(O+)=O=^ + t7/l?.
106
Рис. 7.2 Рис. 7.3
Отсюда находим A = — UIR. Таким образом, закон изменения тока
в AL-цепи будет определяться уравнением
1=^(1-е-‘^), (7.8)
напряжение на индуктивности определится согласно (1.9):
uL=L*=Ut~4\ (7.9)
На рис. 7.2 изображены графики зависимости i(z) и uL(t).
Анализ полученных уравнений (7.8) и (7.9) показывает, что чем
больше постоянная времени цепи т, тем медленнее затухает
переходной процесс. На практике принято считать переходной
процесс законченным при t=3z, при этом ток достигает 95% от
своего установившегося значения. Графически т может быть
определена как интервал времени на оси t от 0 до точки
пересечения касательной к uL (рис. 7.2), при этом напряжение на uL
уменьшается в е раз.
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых
начальных условиях в момент /=0+ индуктивность ведет себя как
бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при ?=оо как
бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).
Для второго случая принужденная составляющая тока со-
гласно § 2.4 будет znp = /Msin(o)/+<pB-cp), где 1т= - U?
ч/Я2+(<оЛ)2
<р = arctg(oL/R). Постоянная интегрирования определится из урав-
нения
»ь(0-)=<1.(0+)=0=Л+7ж8т(фи-ф),
где А = — 7msin((pu — ф). Следовательно, закон изменения тока в
цепи в этом случае будет определяться уравнением
107
z = 7msin(raZ+9„-9)-7msin(<p„-(p)e (7.10)
На рис. 7.3 изображена временная зависимость тока (7.10).
Напряжение на индуктивности определится уравнением:
uL = L = UmL sin (со/+(p„ - (p + л/2) + UmL sin (ф„ - ф) е “(/т, (7.11)
где UmL = (aL Im.
Анализ уравнения (7.10) показывает, что в случае подключения
цепи к источнику и(/) в момент, когда фи = ф±л/2, в последней
могут возникать сверхтоки. Если т достаточно велика, то бросок
тока в начальный период может достигать imax = 21т. Напротив,
при включении цепи в момент, когда Фи = Ф, в ней сразу наступает
установившийся режим. Аналогичная картина наблюдается и с
напряжением на индуктивности (7.11).
В качестве второго примера расчета рассмотрим случай
ненулевых начальных условий в /iL-цепи (рис. 7.4). К моменту
коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного
поля, равная Bzt = Lz2(0), где i(0)= U/(R0 + R). После коммутации
в /iL-цепи возникнет переходный процесс, описываемый уравне-
нием
iR + l4=0, (7.12)
at j
т. е. inp = 0. Решая уравнение (7.12), находим с учетом (7.5)—(7.7):
i=гсв = Aept = Ае~t/T.
Постоянную А находим из начального условия z(0) и закона
коммутации (7.1):
/(0) = г(0+)=С//(/г+1?о)=Л.
Окончательно закон изменения тока в переходном режиме будет
описываться уравнением
108
Напряжение uL определяется как
uL=L у = - Re~t,x. (7.14)
L dt Ro+R
На рис. 7.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что
вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени,
расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных
условиях L ведет себя как источник тока.
7.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АС-ЦЕПЯХ
При расчете переходных процессов в АС-цепях в качестве
независимой переменной выбирают ис. Затем также составляют
дифференциальное уравнение для заданной АС-цепи, решение
которого с учетом начальных условий для ис(0) и определяет
закон изменения напряжения на емкости.
Рассмотрим вначале АС-цепь при нулевых начальных условиях
(рис. 7.6), которая подключается в момент t=0 к источнику
постоянного и (I) = U или синусоидального и (t) = Um sin (coz 4- <pj
напряжения. Переходный процесс в данной цепи будет описы-
ваться следующим дифференциальным уравнением:
Ri+uc = RC^+uc = u, (7.15)
решение которого ищем также в форме суммы общего и частного
решений, определяющих свободную и принужденную составляю-
щие:
«С = мСсв + ИСпр- (7.16)
Свободная составляющая является решением однородного диф-
ференциального уравнения
АС^+Мссв=0, (7.17)
иСсв=Ле", (7.18)
где р определяется из характеристического уравнения
АСр+1=0; р= —1/АС.
Величина АС носит название постоянной времени АС-цепи и
обозначается через т.
Определим теперь принужденную составляющую иСпр для
случая, когда и (z) = U=const. Из рис. 7.6 следует, что в устано-
вившемся режиме uCap=U. Следовательно, с учетом (7.16) и (7.18)
уравнение для ис примет вид ис=Ле_‘/т+17. Для нахождения
постоянной интегрирования А учтем нулевые начальные условия
109
Рис. 7.6 Рис. 7.7
для wc(0+) и второй закон коммутации (7.2): ис(0_) = ис(0+)=0 =
= А + и, откуда A = — U. Таким образом, получаем окончательно
для ис:
uc=U(l-e~tl'). (7.19)
Ток в цепи определяется согласно (1.12):
i=C—=—е~‘/т. (7.20)
dt R v ’
На рис. 7.7 изображены графические зависимости ис(/) и /(/).
Анализ полученных результатов показывает, что в момент
Z=0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя как
короткозамкнутый участок. Напротив, при /=оо емкость пред-
ставляет собой бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи
для постоянного тока).
Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно
видеть, что при этом
ис пр =UmC sin (<о/+фи+ф-л/2), (7.21)
где
UmC = ImCXc=—=^== ]
7я2+(1/<оС)2 у (7.22)
ф = arctg [1 /(a>RC)], J
а ис определится уравнением
ис = Ае ~ + UmC sin (cof+ф„+ф - л/2).
Постоянная А определится из начальных условий для ис = (0+) при
Z=0+:
А = - UmC sin (фи+Ф - л/2).
Окончательно закон изменения ис определится уравнением
«с = и«с sin (coz+Фи+Ф - л/2) - UmC sin (ф„+ф - л/2) е"‘/т. (7.23)
На рис. 7.8 изображен график зависимости uc(t). Анализ
уравнения (7.23) показывает, что в случае неудачного включения
но
Рис. 7.8
при фи = л —ср и большой т в цепи могут возникать перенапря-
жения, достигающие на емкости величины uCmax~2UmC. В случае
удачного включения, когда ф„ = л/2 —ф, в цепи сразу наступает
установившийся режим. Ток в цепи
z- = f sin (о>Г+ф„+ф)+imC * sin (фи + ф - п/2) е ~,/т. (7.24)
at соке
Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий,
когда . емкость С, заряженная до напряжения U, разряжа-
ется на сопротивление R (рис. 7.9). К моменту коммутации
в емкости будет запасена энергия Wc=CU2/2. После ком-
мутации возникает переходный процесс, определяемый уравне-
нием:
RC^+uc=0, (7.25)
т. е. имеет место свободный режим разряда (емкости)
uc = uCcB = Aept = Ae-tl\ (7.26)
Постоянную интегрирования А находим из начального условия
для uc(0+)=U и закона коммутации (7.2):
ис(0_)=ис(0+)= С/=Я.
Таким образом, получаем закон изменения напряжения на
емкости
нс=Се-'/’ (7.27)
и тока в цепи
i=C—= ——е-,/т. (7.28)
dt R у '
Знак « —» в уравнении (7.28) для тока свидетельствует о том, что
ток разряда направлен противоположно опорному направлению
тока в емкости (см. § 1.2). На рис. 7.10 приведены графики
изменения напряжения uc(t) и тока i(t) данной НС-цепи. Следует
111
Рис. 7.9
подчеркнуть, что вся запасенная энергия Wc емкости с течением
времени преобразуется в элементе R в тепло. При ненулевых
начальных условиях С ведет себя как источник напряжения.
7.4. РАЗРЯД ЕМКОСТИ С НА ЦЕПЬ RL
<В предыдущих параграфах рассматривались переходные про-
цессы в RL- и НС-цепях, которые относятся к цепям первого
порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями
первого порядка (7.3), (7.15). При наличии в цепи двух незави-
симых накопителей энергии (L и С) переходные процессы в них
будут уже описываться уравнением второго порядка *. Простей-
шим примером такой цепи второго порядка является последо-
вательный колебательный контур (рис. 7.11). Для этого контура
можно по аналогии с RL- и НС-цепью составить дифференциаль-
ное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой
переменной напряжение на емкости
+мс = гН+С + ис = и.
Учитывая, что i=Cduc]dt, окончательно получаем
LC^+HC^+uc = u. (7.29)
dt2 dt V
У
Решение дифференциального уравнения (7.29) ищется, как
обычно, в форме суммы свободной иСсв и принужденной иСпр
составлякйцих:
«с = “Сев + «с пр- (7.30)
Вид мСпр зависит от характера приложенного напряжения, а
«сев определяется решением однородного дифференциального
уравнения второго порядка:
г * Порядок дифференциального уравнения будет определяться числом не-
зависимых накопителей энергии электрического и магнитного полей.
112.
R I
Рис. 7.11
£С^+ЯС^+«Ссв = О. (7.31)
at at
Решение уравнения (7.31) будет зависеть от вида корней
характеристического уравнения
LCp2+RCp+\=0. (7.32)
Корни уравнения (7.32) будут определяться только парамет-
рами цепи, независимо от выбранной переменной:
(733)
Величина a = /?/2L носит название коэффициента затухания
контура, . а соо= 1 LC есть резонансная частота контура
(см. § 3.2). Таким образом, уравнение (7.33) можно переписать
в виде:
Pi, 2 = — a ±>/a2—coo- (7.34)
Характер переходного процесса будет существенным образом
зависеть от вида корней р{, р2, которые могут быть:
1) вещественны и различны при 1?>2р;
2) комплексно-сопряженные при R < 2р;
3) вещественны и равны при R=2р.
Здесь p = yj LfC—характеристическое сопротивление контура
(см. формулу (3.6)).
Для исследования характера переходного процесса во всех этих
случаях рассмотрим разряд емкости С на цепь RL (см. рис. 7.11).
Так как до коммутации емкость С была заряжена до напряжения
U, то имеем ненулевые начальные условия:
«с(0+)=С/; 1Гс(0+) = СС72/2.
После коммутации (переключение К из положения 1 в
положение 2) емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет
113
свободный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и
напряжений на отдельных элементах цепи для случая 1—3.
В первом случае, когда R>2p, корни pt и р2 в (7.34) будут
вещественны и различны, и решение уравнения определится как
uc = uCcB = A1epi‘+A2ep2l, (7.35)
где At и А2 — постоянные интегрирования. Для определения Аг и
А 2 запишем еще уравнение для тока в цепи:
i=С^=С(Р1 A 1ept‘+p2A2ep2l). (7.36)
Теперь постоянные At и А2 можно найти из начальных условий
для ис(0+) и z(0+) (при / = 0+) и законов коммутации (7.1), (7.2):
Mc(0-) = Mc(0+)= U=A1 + А2; )
г(0_) = г(0+) = 0=р1Л1+р2Л2-J '
Из решения системы уравнений (7.37) определяем значения At и
^2-
A^-UpiUpi-Pi)', A^UpiKpi-p^.
В результате получаем уравнения для напряжения ис и тока г:
Мс=^-(р1е₽2'-Р2е₽1,Ь (7.38)
z=—^-(е^'-е'-'). (7.39)
ЦР1-Р2Г
Закон изменения напряжения на индуктивности определяется
при этом уравнением
uL = ^d4t=-^^P2t-P^Pl\ (7.40)
dt Pi -р2
Из уравнений (7.38) — (7.40) следует, что каждая из найденных
величин ис, i, и, состоит из двух слагаемых, затухающих по
экспоненте с коэффициентами <0 и р2<0. На рис. 7.12 показан
характер зависимостей (7.38)—(7.40). Момент времени соответ-
ствующий точке перегиба ис, максимуму |г| и нулевому значению
uL, определяется из решения уравнения di/dt = O, а момент t2 из
решения уравнения duL)dt = Q'.
ti=—— In — ; r2 = 2G. (7.41)
Р1~Р1 Pl
Анализ полученных кривых показывает, что в рассматривае-
мом случае происходит апериодический разряд емкости С, причем
в период от 0 до энергия Wc расходуется на покрытие тепловых
114
потерь в R и создание магнитного поля в L (pc = uci<Q;
pL = uLi>0). В дальнейшем (при t>tt) как энергия электрического
поля емкости Wc, так и запасенная к моменту t = tx магнитная
энергия индуктивности WL расходуется на покрытие тепловых
потерь в сопротивлении R. Отрицательное значение тока свиде-
тельствует о противоположном направлении тока разряда относи-
тельно опорного направления.
Во втором случае при /?<2р, когда корни и р2 носят
комплексно-сопряженный характер:
Pi,2 = -а±>ч/®о-а2= - а±>с, (7.42)
где (ос = ч/(Оо —а2 называется частотой собственных затухающих
колебаний, решение уравнения (7.31) имеет вид
Wc = MccB = ^e“"sin((B<.Z4-0), (7.43)
где А и 0 — постоянные интегрирования. Закон изменения тока в
цепи определяется уравнением
i:= С = — аЛе " sin (сос/+0)+шсЛе “ cos (<ос Z+0). (7.44)
Постоянные А и 0 определяются из начальных условий для ис и i
и законов коммутации (7.1), (7.2):
Мс(0_) = Мс(0+)= U=A sin 0; (7.45)
z(O_) = z(O+)= — ctA sin 0 + (1)СЛ cos 0.
Отсюда получаем
A = U(o0/(oc; 0 = arctg(шс/а).
Окончательно уравнения для ис, i и uL примут вид
115
uc=U^e “sin(cocZ+0); (7.46) •
i=-U-^e-’ttsm(oct; (7.47)
hl= C7—e-a'sin(cocz —0). (7.48)
®c
Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет
место колебательный разряд емкости с частотой юс, зависящей
только от параметров R, L, С цепи. Интервал времени Тс = 2п/(ас
носит название квазипериода. На рис. 7.13 изображены графики
зависимостей ис(?) и /(/), определяемых уравнениями (7.46) и (7.47).
Быстроту затухания периодического процесса принято характери-
зовать декрементом затухания, который определяют как отноше-
ние двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака
(см. рис. 7.13):
Д = Mf) =е-«т., (7.49)
McG+^c)
На практике чаще используется логарифмический декремент
затухания
8 =1пА = аТ = ; nR . (7.50)
7р2-л2/4
Из уравнений (7.49) и (7.50) следует, что затухание тем больше,
чем больше R. При /?>2р колебания прекращаются и переходной
процесс становится апериодическим. При R = 0 имеем незатухаю-
щие гармонические колебания с частотой юс=со0 = 1/^/Ес. Оче-
видно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес,
так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе
колебательного разряда емкости (свободных колебаний в RLC-
контуре) имеет место попеременное запасание энергии Wc в
электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности WL:
вначале Wc расходуется на создание магнитного поля WL
индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивлений R,
затем запасенная энергия WL расходуется на перезаряд емкости и
покрытие потерь в R и т. д. до полного перехода первоначальной
энергии W'cfO) в тепловые потери в R.
Третий случай /? = 2р является пограничным между колебатель-
ным и апериодическим и соответствует критическому разряду
емкости. Решение уравнения (7.31) при этом имеет вид
uc = uCcB = A1epi,+A2tep^. (7.51)
Ток определяется уравнением
116
i=C^=C(A1P1+A2+A2p2t)e^,
где p=Pi=P2= —корни характеристического уравнения (7.32);
Ал, А2—постоянные интегрирования, определяемые из начальных
условий для ис и i:
uc(0_) = uc(0+)=t7=A,
г(0_) = 1’(0+)=(Л1р1+Л2)=0.
Отсюда находим A2 = aU. Окончательные выражения для ис, i и uL
примут вид:
ас= £/(«?+1)е““'? (7.52)
z=-^/e~", (7.53)
Mt=C/(aZ-l)e-“‘. (7.54)
По своей форме графики зависимостей (7.52) — (7.54) аналогичны
кривым, изображенным на рис. 7.12 с той лишь разницей, что их
скорость изменения будет больше, чем при /?>2р. Значение R = 2р
носит название критического сопротивления контура.
7.5. ВКЛЮЧЕНИЕ Л1С-ЦЕПИ
НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Рассмотрим теперь случай нулевых начальных условий z'(0+) =
= 0, когда ALC-контур включается на постоянное напряжение
(рис. 7.14). Отличие данного случая от рассмотренного в § 7.4
заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужден-
ной составляющей иСпр= U. Свободная ее составляющая иСсв будет
определяться, как и ранее, уравнениями (7.35), (7.43) или (7.51) в
зависимости от вида корней р2 и р2. Постоянные интегрирования
и А2 найдутся при этом из начальных условий z‘(0+) = 0;
ис(0+) = 0 и законов коммутации для i и ис. Определим, например,
закон изменения ис, i и uL в случае, когда корни и
р2 — вещественные и различные. При этом иСсв определится
уравнение (7.35), и напряжение ис и ток i будут иметь вид
«с = «Сев + «Спр = А 1е₽1'+А 2ер*' + U; (7.55)
г=С^=Л^1е₽*,-М2р2е₽< (7.56)
Для нахождения Лх и А2 используем начальные условия для ис и i:
Mc(®-) = Mc(0 + ) = 0 = ^l+^2+^ 1 /? <74
1(0_)=»(0+)=0=Л1р1+Л2р2. J 1 '
117
Отсюда
A1 = Up2/(p1-p2); A2=-Up1/{p1-p2).
Окончательные уравнения для ис, i, uL имеют вид:
ис= U--^^-(p^P2,-p2QPl,)‘, (7.58)
i= - u (е^-е^*); (7-59)
uL=—(p1e₽*‘ —p2&2*). (7.60)
Р1 ~Р1
На рис. 7.15 изображены графики зависимостей (7.58) — (7.60),
где моменты времени 1Л и t2 определяются уравнениями (7.41).
Сравнение формул (7.58)—(7.60) с (7.38)—(7.40) показывает, что i
и uL отличаются только знаком, а ис наличием постоянной
составляющей U.
Аналогичным образом можно найти уравнения ис, i и uLn для
случая 7?<2р:
uc=U 1—Эе “^K' + O) ; (7.61)
U -M . i=—e sinco.L V'L c (7-62)
«L=- U—e otfsin(<Bcz—0). ®c (7.63)
На рис. 7.15 штриховой линией показана зависимость (7.61),
которая свидетельствует о колебательном характере заряда
емкости. Таким же образом можно получить уравнения для
ис, i и uL для случая критического заряда емкости С
при Л = 2р.
118
Не вызывает принципиальных трудностей и случай, когда
7?£С-контур включается на гармоническое напряжение. Очевидно,
что при этом изменяются принужденные составляющие напряже-
ний ис и uL и тока i, а также постоянные интегрирования.
Принужденные составляющие могут быть найдены, как и в § 7.2,
7.3, из установившегося режима, а постоянные интегрирования—
из начальных условий для ис и i.
7.6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЯХ
При расчете переходных процессов в разветвленных цепях
классическим методом составляется система уравнений для мгно-
венных значений токов и напряжений по ЗТК и ЗНК. Затем
полученная система сводится к дифференциальному уравнению со-
ответствующего порядка относительно выбранной независимой пе-
ременной (ис или iL). После этого полученное уравнение решается по
аналогии с уравнениями, рассмотренными в § 7.2—7.5.
В качестве примера рассмотрим разветвленную цепь второго
порядка, изображенную на рис. 7.16. Для данной цепи имеем
ненулевые начальные условия: пс(0+)=(7; zL(0+)=0. Составим для
нее систему уравнений по законам Кирхгофа:
i. — ij 4“ i'»= i? + Cdiir /dt*. )
U=iiR1 + uc; > (7.64)
uc=i2R2+Ldi2ldt. )
Выберем в качестве независимой переменной i2 = iL и, решая (7.64)
относительно i2, получим
£С§+(Л+Я2С^+(1+£\2=-£-, (7.65)
dt2 \Ri / dt \ RiJ Rt
т. е. получили неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка аналогичное (7.29). Его решение ищем в виде
*2 = *2 с»+ «2 пр. (7.66)
где /2пр= U/(Rl+R2), а i2cB определяется из решения однородного
дифференциального уравнения
£С^ + (^ + /г2С)%£ + (1+^)/2<=» = 0’ (7-67)
которое будет иметь вид, аналогичный (7.35), (7.43) или (7.51) в
зависимости от вида корней характеристического уравнения
£Ср2 + (-^+Я2С)р+(1+^) = 0. (7.68)
119
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий
и законов коммутации, причем для нахождения ис используется
система уравнений (7.64). Например, для случая вещественных и
различных корней при R1 = R2 = R получим
h = h пР+h. св=+ А ie₽1 ‘+А 2е^‘;
«с = hR+L Yt = R (Д+А ie₽1*+А 2е₽2*) + L (?1А ie₽1‘ +Р2^2еР2')»
где Аг и А 2 определяются из начальных условий
1-2(0_)=х2(0+)=0=-^-+Л1+Л2,
Z/v-f- 7\ t
мс(0-) = wc(^4-)= U= U/2 + L(p1A1 +p2^2) + ^(^i +^2)»
откуда
@ Lpi “I- ^R,
1 2RL Pi~p2 '
д U L>p^-\-2R
2 2RL Рх~р2
На рис. 7.17 изображены графики uc(t) и i2(t).
Как следует из вышеуказанного, для определения характера
переходного процесса и записи уравнения свободной составляю-
щей независимой переменной необходимо располагать характе-
ристическим уравнением цепи. Это уравнение может быть
получено из соответствующего дифференциального уравнения
цепи или из анализа ее операторного сопротивления (см. § 7.7).
. Последнее может быть получено, если в уравнении для комплекс-
ного сопротивления цепи Z=Z(/o) заменить оператор до на р и
приравнять его к нулю:
Z(p)=0. (7.69)
Например, для цепи, изображенной на рис. 7.16, имеем
120
Z=Z(j&) = R^
(R2+ja>L)/J<oC
Л2+У®^ +1 Z/coC
Отсюда получаем
или после преобразований
LCp2 + (±+R2C )р+( 1 +£)=0,
\^1 / у "1/
•
что полностью совпадает с (7.68).
Таким образом, отпадает необходимость преобразовывать
систему уравнений к одному уравнению для выбранной независи-
мой переменной.
7.7. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
И ЕГО СВОЙСТВА
В основе операторного метода расчета переходных процессов
лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести
решение из области функций действительного переменного t в
область комплексного переменного р:
p = a.+j(o. (7.70)
При этом операции дифференцирования и интегрирования функ-
ций времени заменяются соответствующими операциями умно-
жения и деления функций комплексного переменного на опе-
ратор р, что существенно упрощает расчет, так как сво-
дит систему дифференциальных уравнений к системе алгебра-
ических. В операторном методе отпадает необходимость оп-
ределения постоянных интегрирования. Этими обстоятельства-
ми объясняется широкое применение этого метода на прак-
тике.
Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Пря-
мое преобразование Лапласа определяется уравнением
F{p)=]f^-^dt, (7.71)
О
где /'(?)—функция действительного переменного t, определенная
при /^0 (при /<0: /(/) = 0) и удовлетворяющая условиям
ограниченного роста:
|/(0| <МеЧ (7.72)
121
где множитель М и показатель роста с0— положительные
действительные числа. На рис. 7.18 изображена область определе-
ния функции комплексного переменного Г(р).
Обратное преобразование Лапласа определяют из решения
(7.71):
c+joo
Л0=^ J Fip^dp. (7.73)
c—jco
Функция F(p), определяемая уравнением (7.71), носит название
изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.73)—оригина-
ла. Следовательно, оригинал и изображение представляют со-
бой пару функций действительного f(t) и комплексного F(p)
переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокра-
щенной записи преобразований (7.71), (7.73) используют сле-
дующую символику:
£(?)-£(/(<)]',
где L—оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности
будем использовать знак соответствия = (см. § 6.1).
Между парой преобразований Лапласа (7.71) и (7.73) и
преобразований Фурье (6.14) и (6.15) существует определенная
связь: преобразование Фурье—это частный случай преобразова-
ния Лапласа для случая а=0. Действительно, приняв а=0,
получим p=j(Q и (7.71), (7.73) преобразуются в (6.14), (6.15).
Следует, однако, отметить, что°преобразование Лапласа имеет
более широкую область определения, чем Фурье, так как
последнее применимо согласно (6.9) только к функциям, имею-
щим отрицательный показатель роста. Преобразование же Ла-
пласа можно использовать согласно (7.72) и для функций с
положительным показателем роста (в этой связи F(p) иногда
называют обобщенным спектром сигнала). Пользуясь аналогией
между F(/a>) и F(p), можно доказать для F(p) справедливость ряда
теорем:
1) линейности (см. §6.1) £ ajk(t)= £ akFk(p)-,
к — 1 fc=l
2) дифференцирования оригинала для ненулевых начальных
условий f'Ct)=pF(p)—f(0A для нулевых начальных условий:
?(0=^(р);7"Й42^)^т.д.; t
3) интегрирования оригинала
о
4) смещения в области действительного переменного (теорема
смещения) /(z±r)=e±pTF(p);
122
о
Рис. 7.19
Рис. 7.18
5) изменения масштаба независимого переменного /(щ)=
=-F^-^, а = const;
6) свертывания Fv (р) F2 (р) = f (т)/2 (t - т) </т = j /t (/ - т)/2 (т) dt.
о о
В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых
сигналов.
00
1. Единичная функция F(p)=J le~p,dt=-e~pt
1 I-,/
=-, т. е. 1 = 1/р.
р
о о 4
2. Единичная импульсная функция, изображение которой мож-
но найти в форме изображения двух единичных функций величины
Цг) и сдвинутых друг относительно друга на т (рис. 7.19). Для
этих функций с учетом теоремы смещения имеем
тр
Для результирующего изображения с учетом свойства линейности
получим
Устремив т-»0, найдем изображение единичной импульсной
функции (8-функции): 50=1 (сравни с (6.40)).
3. Экспоненциальный сигнал /0=е-®' при г>0:
е ®‘е p,dt=——,
а+р
о
т.е. е~^ = \/(а+р).
123
Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу
других функций, удовлетворяющих условию (7.72). В литературе
имеются специальные справочники, в которых приведены ориги-
налы и изображения широкого класса функций.
Расчет переходных процессов операторным методом. Пользуясь
основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить
основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим,
например, последовательный ЛЛС-контур (см. рис. 7.14), находя-
щийся при ненулевых начальных условиях ис(0_)/0; tL(0_)/0.
Для этого контура уравнение по ЗНК имеет вид:
t t
u = iR+L^+^ idt = iR+L^-+uc(0_)+^ idt. (7.74)
dt C J dt ' ’ C J v/
— oo 0
Применив к (7.74) прямое преобразование Лапласа и принимая во
внимание свойства линейности, дифференцирования и интегриро-
вания оригинала, получим:
U(p) = Rl(p)+pLI(p)-Li(O_)+^+^ 7(р).
Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:
^(р) + Ь(°-)-Ис(0-)/Р_ ^о(р) /77ГЧ
W R+pL+l/pC Z{p)' V )
где С/0(р)= С/Ы+7л(0_)—wc(O_)/p носит название операторного
напряжения Z_(p) = 1?+pL +1 / рС—операторного сопротивления
цепи. Если в Z(p) заменить р на /со, то получим комплексное
сопротивление цепи. Величины Li(0_) и ис(0_)//? называют
расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнит-
ного и электрического полей, запасенную в L и С к моменту
коммутации. Величина, обратная Z(p), называется операторной
проводимостью цепи:
Y^~Z(pi~ R+pL+1/pC'
Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид
'(?>=fw=t'Wr(p)‘ ,7'76’
Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в
операторной форме:
первый закон (ЗТК)
т
Z 4(р)=0; (7.77)
fc=l
124
второй закон (ЗНК)
Z с4(р)=о.
к=1
(7.78)
Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной
форме аналогичны этим же законам в комплексной форме (см.
(2.46)—(2.47)) с той лишь разницей, что в (7.78) в каждой из и
ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют
дополнительные расчетные источники Ltik(0_) и — Un(0-)/p,
положительное направление которых совпадает с выбранным
положительным направлением тока в этой ветви.
Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме,
можно найти изображения искомых токов и напряжений в цепи.
Для определения оригиналов токов и напряжений можно восполь-
зоваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо
применить теорему разложения. Теорема разложения позволяет
при нахождении оригинала операцию интегрирования в (7.73)
заменить операцией суммирования, что значительно упрощает
расчеты. Для случая вещественных и различных корней формула
разложения имеет вид*
ftfeh <7-79)
где F(p)=F1 (р)/Г2(р)—изображение, представляющее собой ра-
циональную дробь комплексного переменного р; рк—корни
характеристического уравнения F2(p) = 0; п—число корней F'2(pfc) =
=dF2(p)ldp\
При наличии нулевого корня р = 0
Л(р)
pFi(pY
и формула разложения принимает вид:
F\ (Pt)
PtF'ilPk)
(7.80a)
В случае комплексно-сопряженных корней в разложении (7.79)
достаточно взять удвоенное значение реальной части:
/(z)=2Re
У Fi№ePkt
1_Л .
(7.806)
Для иллюстрации основных теоретических положений найдем
операторным методом закон изменения тока в последовательном
* Вывод формул разложения приводится в [1—3].
125
ALC-контуре при включении его на источник постоянного
напряжения (см. § 7.5). Уравнение для изображения тока можно
найти по закону Ома для нулевых начальных условий (7.76) с
учетом изображения постоянного напряжения U=Ulp\
и/р _ си _F.jp)
Zjp) R+pL+llpC LCp2+RCp+\ F2jp)'
Найдем корни характеристического уравнения
F2 (р) = LCp 2+RCp +1=0;
_ R j_ l(RV
P1-2~ 2L-\]\2l) +LC'
При /?>2р корни будут вещественны и различны. Для нахождения
оригинала тока i(t) воспользуемся теоремой разложения (7.79).
Для этого найдем производные F’2jp.) и F2(p2):
Р'г (Pi) = 27LCp1 + RC',
F'2 (Р2)=2LCp2 + RC.
Подставив значения 7г1(р1) = £1(р2) = С17 и F'2(pY) и F2(p2) в (7.79),
получим оригинал тока
i(t)=—££—ер*'+———е₽2‘= —(е₽2'-е₽Н,
2LCp. + RC 2LCp2 + RC Hp.-p2Y >
что полностью совпадает с ранее полученным уравнением (7.59).
Из рассмотренного примера хорошо видны преимущества
операторного метода: простота, отсутствие громоздких операций
по определению постоянных интегрирования. Следует подчерк-
нуть, что, базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной
форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее
рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений
и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными оператор-
ными схемами. При составлении эквивалентных операторных схем
источники тока и напряжений z(/) и u(t) заменяются соответствую-
щими изображениями 1{р\ и U (р), индуктивность L заменяется на
pL, а емкость С—на \/рС при нулевых начальных условиях. Если
начальные условия ненулевые, то последовательно с pL добав-
ляется источник напряжения Lz(O_), а с С—источник напряжения
— ис(0_)/р (рис. 7.20).* Например, эквивалентная операторная
схема для цепи, изображенной на рис. 7.16, будет иметь вид
(рис. 7.21). Составив для этой схемы уравнения по законам
* Возможны схемы замещения заряженной емкости «с(0) и индуктивности с
током i(0) с помощью источников тока с задающими токами С«с(0) и ihjO)/p
соответственно.
126
Рис. 7.20
Рис. 7.21
Кирхгофа в операторной форме, получим систему алгебраических
уравнений, решение которой существенно проще системы (7.64).
Операторные передаточные функции. Важную роль в методах
анализа и синтеза электрических цепей играют операторные
передаточные функции, которые определяются как отношение
изображения выходной реакции цепи к изображению входного
воздействия. В соответствии с этим определением различают
четыре вида передаточных функций:
И (р) = ^2^- Я.(п)=4^.
и^у 1,{рУ
Я (п) — (р) . тт / ^2 (р) .
(7-81)
где Ни(р), Hi(p) имеют смысл передаточных функций по напряже-
нию и току; Яг(р); HY(p)—передаточные сопротивление и прово-
димость соответственно.
Если в (7.81) заменить оператор р на уш, то получим уравнение
комплексных передаточных функций Я (до), которые широко
используются при частотных методах анализа электрических цепей
(см. §7.9).
Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью (7.81)
нетрудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и
саму реакцию на заданное воздействие. Аналогично можно найти
реакцию цепи с помощью Я(/со). Более подробно свойства
передаточных функций электрических цепей рассмотрены в гл. 9.
7.8. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
В настоящее время для анализа переходных процессов в цепях
широкое применение находит метод переменных состояния,
позволяющий при расчетах эффективно использовать ЭВМ. Суть
метода заключается в том, что переходной процесс в цепи
рассматривается как траектория в «-мерном пространстве (где
127
Рис. 7.22 Рис. 7.23
п—порядок цепи) с начальной точкой при 7 = 0 (начальное
состояние) и конечной при /=оо. Например, переходный про-
цесс в последовательном ALC-контуре (см. § 7.4, апериодичес-
кий разряд и рис. 7.11) можно в пространстве состояний пред-
ставить кривой, изображенной на рис. 7.22, где /Л(0) = 0 и Иг(0)=С7
характеризуют начальное состояние цепи, a iL(t) и uc(t) опре-
деляют состояние цепи в любой заданный момент времени.
Достоинства этого метода—наглядность, простота, удобство
программирования на ЭВМ, возможность анализа как линейных,
так и нелинейных цепей, а также цепей с переменными пара-
метрами.
Поясним сущность данного метода на примере цепи, находя-
щейся при ненулевых начальных условиях: it(0) = zo; ис(0) = ио
(рис. 7.23). Для этой цепи можно записать при 7>0:
т diL
ul = L—=uc-,
'с —;----------Q
с dt L
или
diL
dt
1
(7.82)
duc_ 1 . 1
~dt~ C*L RCUc'
Уравнения (7.82) называются уравнениями состояния цепи, a iL и
ис—переменными состояния. Начальные условия ijr,(0)=io и
ис(0) = ио определяют с помощью (7.82) состояния цепи в любой
момент 7>0. Величины iL и ис можно считать компонентами
вектора состояния х:
h.
“с
Тогда (7.82) можно переписать в матричной форме:
128
^=x(z)=Ax(z); Z^O,
(7.83)
где
0 1/L
-1/С — 1/7? С
x(0)= Z’°
В случае, если цепь находится после коммутации под воздей-
ствием источников, уравнение состояния принимает вид:
x(z)=Ax(z)+Bw(z), (7.84)
где w—вектор воздействий источников; В—матрица параметров
цепи.
Например, для случая включения HLC-контура на постоянное
напряжение уравнение состояния имеет вид (7.84), где
-R/L —1/L
\!С 0 ’
1/L
w(z) = С=const.
Зная состояние цепи x(z], реакцию цепи у(/) (токи и напряжения
в любой ветви) можно наити как линейную комбинацию вектора
состояния х(?) и вектора входных воздействий
y(z) = Cx(z)+Dw(z), (7.85)
где y(z)—вектор искомых реакций цепи; С, D—матрицы, завися-
щие только от параметров цепи.
Так, если в качестве компонентов вектора y(z) в предыдущем
примере 7?£С-контура взять uR и uL, то искомые реакции цепи (мй
и иг) определяются согласно системе уравнений:
uR = R-iL+0-ис 4- 0 • U;
uL = — R-iL—\ -uc + \-U,
которую можно переписать в форме (7.85), где
Следует подчеркнуть, что уравнения (7.83)—(7.85) справедливы
для линейных цепей с постоянными параметрами (матрицы А, В,
С, D не зависят от t). Для цепей с переменными параметрами
(параметрические цепи) матрицы A(z), B(z), C(z), D(z) являются
функциями времени.
Уравнения (7.84), (7.85)—основные в методе переменных
состояния. Для решения уравнений состояния могут использо-
ваться как аналитические, так и численные методы. Аналитически
уравнение (7.84) может быть решено в области как действитель-
ного переменного Z, так и комплексного переменного р. Причем в
129
5 - 3439
последнем случае используется операторная форма записи уравне-
ния состояния (7.84):
pX(p)-x(O) = AX(p)+BW(p), (7.86)
где Х(р), W(p)—изображения векторов состояния х(г) и входных
воздействий w(r).
Из (7.86) получаем непосредственно решение*
X(p)=(pl—A)-1BW(p)+(pI—А)-1х(0), (7.87)
где I—единичная матрица. Применив к (7.87) теорему разложе-
ния, можно получить искомый вектор состояния х(/) = Х(р).
Основная трудность решения (7.87) заключается в обращении
характеристической матрицы (pl—А), требующей применения
специальных достаточно сложных алгоритмов. Более простыми в
реализации на ЭВМ являются численные методы решения
уравнения состояния.
В области действительного переменного решение ищут в форме
x = x(z)=eA/x(0) + J ел(,-т)Ви'(т)Л, (7.88)
о
где еА/—матричная экспонента (матрица перехода). Из (7.88)
следует, что решение уравнения состояния содержит два слагае-
мых: первое—реакция цепи при нулевом входном сигнале;
второе—реакция цепи при нулевом начальном состоянии.
Для вычисления eAZ обычно используют разложение:
еА' = 1 + А,+А2^+А3 + ... (7.89)
Hptarifep. Найдем матрицу перехода для схемы, изображенной на рис. 7.24.
Матрицы А и В для данной схемы имеют вид:
-Я2/£ 1/£
-1/C -1/^С
; в=
А =
О
1/Л1С ’
Примем £ = 0,55 Гн; С=0,5 Ф; /^ = 1 Ом; Я2 = 3,5 Ом; е(/)=1(/); *L(0)=0;
wc(0)=l В. Тогда получим
Матрица перехода согласно (7.89) примет вид
1 -It +22,5t2 ... 0+2/ —9/2 +
0 -2t —9/2 ... 1—2/ 0/2 +
Таким образом, матрица перехода представляет собой квадратную матрицу
порядка п с элементами в форме рядов от t. Подставив значение еАг в уравнение
130
Рис. 7.24
(7.88), можно определить после интегрирования искомое решение x(z). Следует,
однако, отметить, что ряд (7.89) сходится медленно и использование уравнения
(7.88) требует большого объема вычислений, поэтому вместо (7.88) обыч-
но используют итерационную процедуру для дискретных моментов времени
tn=n&t=nh, где h = At достаточно малый шаг:
(и+пл
х[(«+1)й]=еААх(иЛ)+ f еА[<и+1)А“т]В«(т)А. (7.90)
nh
Интеграл в (7.90) вычисляется численными методами (методом прямоугольников,
трапеций, Симпсона и др.). Так, при использовании метода прямоугольников
алгоритм (7.90) приобретает вид
х[(и +1) /г]=еАЛх(л/г)+еАЛ ABw (nh). (7.91)
При нулевом входном сигнале w=0 (свободные колебания)
х[(л+1)Л]=еААх(ий). (7.92)
Если ограничиться в разложении (7.89) только первыми двумя членами е^аЛ+АЛ,
то получим
х[(и+1)Л]»х(иЛ)+Ах(иЛ)Л. (7.93)
Алгоритм (7.93) очень легко программируется на ЭВМ <»»цмеет
ясный физический смысл. Он определяет положение точки в
пространстве состояний на (л+1)-м шаге, исходя из ее состояния
на п-м шаге при аппроксимации траектории на участке h
прямолинейным отрезком с постоянной скоростью х(Л).
Пример. Рассчитать траекторию состояний, изображенную на рис. 7.22,
используя аппроксимацию ее на каждом из т участков величины h в форме
прямолинейных отрезков. Скорость изменения состояния х(Л) на 1са^дом из
выделенных участков остается постоянной.
На основании уравнения состояния (7.83) имеем:
для момента Z=0 х(0)=Ах(0);
для момента t=h
х(Л)»х(0)+х(0)Л = х(0)+Ах(0)Л;
для момента t=2h
*(2h)&x(h)+x(h)h=x(h)+Ax(h)h-9
для момента t=(n+l)h
131
х [(л +1) h ] « х (nh)+Ax [nh) A,
т. e. полученное уравнение полностью совпадает с (7.93).
7.9. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПРИ
НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Для расчета цепей при непериодических воздействиях могут
использоваться временной и частотный методы анализа. В основе
временного метода лежит понятие переходной и импульсной
характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют
реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции (6.34).
Обозначается переходная характеристика цепи g(t). Импульсной
характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие
единичной импульсной функции (8-функции) (6.37). Обозначается
импульсная характеристика h(t). В зависимости от типа реакции
(ток или напряжение) различают переходные и импульсные
характеристики по току и напряжению. Обозначаются они
соответственно с индексами i и и: gt(t), gu{t), hu(t).
Использование понятий переходной и импульсной характерис-
тик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия
непериодического сигнала произвольной формы к определению
реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(?) или
импульсной функции 8(z), с помощью которых аппроксимируется
исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной
цепи находится (с использованием принципа наложения) как
сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(?) или 8(/).
Между переходной g(t) и импульсной h(t) характеристиками
линейной пассивной цепи существует определенная связь. Эту
связь можно установить, если представить единичную импульсную
функцию через предельный переход разности двух единичных
функций величины 1/т, сдвинутых друг относительно друга на
время т (см. рис. 7.19):
8(>)-lirnl|<)-;l<-,)=^1 (>)-!'(>), (7.94)
т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной
функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной,
то соотношение (7.94) сохраняется и для импульсных и переход-
ных реакций цепи:
<7-95)
Уравнение (7.95) справедливо для случая, когда g(0) = 0
(нулевые начальные условия для цепи). Если же g (0)/0, то,
представив g(t) в виде #(*)=£1(0+#(0)1 (О» гДе Si (0)=0, получим
уравнение связи для этого случая:
132
h(t)=g'(t)=g'i(t)+g(O)d(t). (7.96)
Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи
можно использовать как классический, так и операторный метод.
Сущность классического метода состоит в определении времен-
ной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных
ветвях цепи) на воздействие единичной 1(?) или импульсной 8(?)
функции. Обычно классическим методом удобно определять
переходную характеристику g(t), а импульсную характеристику
h\t) находить с помощью уравнений связи (7.95), (7.96) или
операторным методом.
Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по
напряжению для цепи, изображенной на рис. 7.25. Численно g„(/) для данной цепи
совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент Г=0 к
источнику напряжения С/Х = 1В:
Закон изменения мс(/) определяется при этом уравнением (7.19), где необходимо
положить UY = \ В:
g.(0= 1—е~'/т.
При нахождении g(t) и h(t) операторным методом пользуются
изображениями функций 1(/) и и методикой расчета
переходных процессов, изложенных в § 7.7.
Пример. Определим операторным методом gM(f) ЯС-цепи (см. рис. 7.25). Для
данной цепи в соответствии с законом Ома в операторной форме (7.76) можем
записать:
8и (0 + Uc (р)|и (р)= i/р -/(/>) —,
рС
\ 4/ J'
где
1 1 с
{ ’ Z(p) pZ(p) p(R+l/pC) pRC+l
(7.97)
1
Окончательно получаем Uc(p)=
находим Uc(p)=gu(t)=\^e~,l\
. Отсюда по теореме разложерфр>(7.80а)
т. е. то же значение, что и полученное выше
классическим методом.
Следует отметить, что величина 1(р) в уравнении (7.97)
численно равна изображению переходной проводимости. Аналогич-
ное изображение импульсной характеристики численно равно
операторной проводимости цепи:
133
Например, для ЛС-цепи (см. рис. 7.25) имеем
R+\/pC~pRC+1 '
Применив к Y(p) теорему разложения (7.79), получим
АИ0=-^е-‘/т-
Если переходная или импульсная характеристики цепи известны,
то ее реакция на воздействие произвольной формы может быть
найдена с помощью интеграла Дюамеля или интеграла наложения.
Интеграл Дюамеля. Интеграл Дюамеля может быть получен,
если аппроксимировать приложенное воздействие (г) с помощью
единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время
Дт (рис. 7.26). Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие
определится как
/г®Ы(0)^(Ф
/2(Дт)=Д/^(?-Дт);
f2 (£Дт)=Д/jg (t - кДт).
Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздей-
ствий найдется исходя из принципа наложения:
/г (0 =/2 (°) + £ /г =Л (0) g (t) + f Д/jg (Г - кДт),
к=1 fc=l
где п—число аппроксимирующих участков, на которые разбит
интервал 0...Л Домножив и разделив выражение, стоящее под
знаком суммы, на Дт и перейдя к пределу с учетом того, что при
Дт -»• 0 кДт -> т, получим одну из форм интеграла Дюамеля:
п
/2(0=/1(°)г(0+ lim У ^g(t-kfa)fa=f2(tyg(t) +
Дт—*0
к = 1
134
+]Л(т)^(/-т)Л. (7.98)
о
Уравнение (7.98) отражает реакцию цепи на заданное напряжение,
поскольку при Дх -* 0 аппроксимирующая функция стремится к
исходной.
Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена путем
применения теоремы свертки (см. § 6.1):
/2(')=Л(0)^(') + Ь (t-T)g(r)<h. (7.99)
о
Наконец, интегрируя по частям выражения, стоящие в уравне-
ниях (7.98) и (7.99), получим третью и четвертую форму интеграла
Дюамеля:
/2(')=/i(')g(0) + f/i (x)g'(/-x)rfr, (7.100)
О
/2(')=Л (')g(0) + (z-x)g'(x)A. (7.101)
О
Применение той или иной формы интеграла Дюамеля диктуется
удобством и просютой выражений.
Пример. Запишем реакцию цепи (см. рис. 7.25) на напряжение ut (г), изображен-
ное на рис. 7.27 с помощью интеграла Дюамеля (7.98). Переходная характеристика
данной цепи имеет вид gu(/)=l— еПосле нахождения переходной функции
определяем число участков интегрирования, где функция непрерывна и дифферен-
цируема. Определяем значение f'(x) на этих участках. Для рассматриваемого
воздействия таких участков будет три 0^/<G; /2^<00« Необходимость
включения третьего участка объясняется тем обстоятельством, что несмотря на
прекращение входного воздействия, в силу переходных процессов /(см. гл. 7) в цепи
будет наблюдаться остаточная реакция. Для каждого из выделенных участков
запишем уравнение (7.98) с учетом реакций предыдущих участков:
на участке
'1 «2 0 = Uiogy 0 +1 «1 (х) gu {t-х) Л = 1/10 - 0 + [t/20-I/0i]f+ Г^0"1710ЛС_^1е-, L на участке tY^t<t2 '1 «20=t/iog„0+|«i (т)г„(/-т)А= 1/20+е‘ 0 (t/2o- t/io) ЯС~1 ! 'i J IRC. .„KCr£20Z£10/?cp _e _ U()i h
135
Рис. 7.27
на участке /2^<0°
‘1
«2(0=^iog,(0 + [“1(х)г«('-т)А-172О?и(/-/2)=е‘,/,,с U1° U1°RC х
J L м
О
X (1 — e'i/KC)+ t72Oe'2/RC- U0l
Интеграл наложения. При нахождении реакции цепи с помощью
интеграла наложения используется импульсная характеристика
цепи h (/). Для получения общего выражения интеграла наложения!
аппроксимируем входной сигнал (?) с помощью системы
единичных импульсов длительности dx, амплитуды fr (т) и
площади fl(x)d{x) (рис. 7.28). Выходная реакция цепи на каждый
из единичных импульсов /2(0=Л (т)Л(Г—т)Л. Используя принцип
наложЩий, нетрудно получить суммарную реакцию цепи на
систему единичных импульсов:
(t)A(r-t)rfr = f/1 (t-x)h(x)dx. (7.102)
’ О о
Интеграл (7.102) носит название интеграла наложения*. Ме-
жду интегралами наложения и Дюамеля существует простая
связ>,п'$пределяемая связью (7.96) между импульсной h (t) и
переходной g(t) характеристиками цепи. Подставив, например,
значение /г (г) из (7.96) в формулу (7.102) с учетом фильтрую-
щего свойства 8-функции (6.39), получим интеграл Дюамеля в
форме (7.101).
В основе частотных методов анализа линейных цепей при
непериодических воздействиях лежит преобразование Фурье (6.14),
(6.15) и уравнения для комплексной передаточной функции цепи
* Уравнения (7.102) могут быть получены и непосредственно путем при-
менения теоремы свертки (см. § 6.1) к изображению /Дг) и h(t).
136
я (/со) (см. § 7.7). При этом по заданному входному сигналу (f)
определяют с помощью (6.14) спектр Fj (/со), затем находят спектр
выходного сигнала
(7.103)
Применив к (7.103) обратное преобразование Фурье (6.15),
можно найти искомую реакцию
Для нахождения комплексной передаточной функции цепи
можно использовать уравнение связи (6.22), при этом для
комплексной передаточной функции можно записать:
<7Л04)
где Аг, А2—комплексные значения входного воздействия и
выходной реакции.
Выражение (7.104) имеет важное практическое значение, так как
позволяет определить комплексную передаточную функцию
по характеру ее реакции на гармоническое воздействие.
Пример. Найдем комплексную передаточную функцию цепи (см. рис. 7.25) по
напряжению (комплексный коэффициент передачи).
В соответствии с (7.104) получим
н ( a\_U2 Jj&c- Ul!j(oC 1
“V<0F-tZi Vi UilR+l/jnC) jmRC+1'
7.10. ЦЕПИ С ЗАВИСИМЫМИ
ИСТОЧНИКАМИ. ЭЛЕКТРОННЫЕ МОДЕЛИ
ЦЕПЕЙ VM9T
Зависимые источники. В предыдущих разделах рассматривались
пассивные и активные электрические цепи, содержащие независи-
мые источники тока и напряжения. Вместе с тем в радиотехнике и
электросвязи очень широкое применение находят активные цепи с
зависимыми (управляемыми) источниками. Это цепи, содержащие
электронные лампы, транзисторы, операционные ус#ЛйтвЙИ и
другие активные элементы (см. гл. 15—17). Иногда эти цепи
называют активными необратимыми цепями, так как они не
удовлетворяют условию обратимости (взаимности, см. § 1.7).
Зависимый источник представляет собой четырехполюсный
элемент (рис. 7.29) с двумя парами зажимов—входных (1, Г) и
выходных (2,2'). Входные ток и напряжение являются
управляющими. Различают следующие разновидности зависимых
источников: источник напряжения, управляемый напряжением
(ИНУН); источник тока, управляемый напряжением (ИТУН);
источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); источник
137
Рис. 7.29
тока, управляемый током (ИТУТ). На рис. 7.29 показаны услов-
ные обозначения зависимых источников различного типа.
В ИНУН (рис. 7.29, а) входное сопротивление бесконечно
велико, входной ток /t=0, а выходное напряжение U2 связано со
входным Ui равенством U? = H„Ur, где Н„—коэффициент переда-
чи по напряжению. Источник типа ИНУН является идеальным
усилителем напряжения.
В ИТУН (см. рис. 7.29,6) выходной ток 12 управляется
входным напряжением С715 причем 7х=0 и ток 12 связан с Щ
равенством U.2=HyU_i, где HY—передаточная проводимость.
ВКИНУТ (рис. 7.29,в) входным током Ц управляется выходное
напряжение U2, входная проводимость Y бесконечно велика:
j7t=0, l[2=HzLi, где Hz—передаточное сопротивление.
В ИТУТ (рис. 7.29, г) управляющим током является Д, а
управляемым 12. Входная проводимость ИТУТ, как и ИНУТ,
бесконечно велика, С7х=0,= где Ht—коэффициент передачи
по току. Источник типа ИТУТ является идеальным усилителем
тока.
Примером зависимого источника является операционный уси-
литель (ОУ). Выпускаемые в виде отдельной микросхемы
(рис. 7.30, а) ОУ широко применяются в качестве активных
элементов электрической цепи.
Операционный усилитель имеет два входа: 1—неинвертирую-
щий и 2—инвертирующий. При подаче напряжения C7t на вход
1—выходное напряжение С72 имеет ту же полярность, что и С7Х, а
138
1 о-
2 о
£>««
^(ВгВГ) иг
а)
6)
Рис. 7.30
при подаче на вход 2 напряжение U2 меняет свою полярность
на противоположную.
Идеальный ОУ (рис. 7.30,6) представляет собой ИНУН с
бесконечно большим коэффициентом усиления (Ни -»• оо), бесконеч-
но большими входным сопротивлением и выходной проводи-
мостью (выходное сопротивление равно нулю).
Отличительной особенностью зависимых источников является
их необратимость, т. е. цепи с этими источниками имеют четко
выраженный вход и выход. Таким образом, для цепей с
зависимыми источниками различают путь прямого прохождения
сигнала (от входа к выходу) и обратного прохождения (с выхода
на вход), реализуемого с помощью специальных цепей обратной
связи (ОС)*. Необходимость введения в активные цепи ОС
объясняется рядом важных качеств, которыми эти цепи обладают:
возможностью моделирования различных функций (суммирование,
интегрирование’ дифференцирование и др.), генерированием и
усилением колебаний, моделированием пассивных элементов типа
-R, -L, -С и их преобразованием (например, С и £), перемещение
нулей и полюсов функции цепи (см. гл. 17, 18) и др....
В качестве цепи прямой передачи обычно используется 'Удййй+ель
с коэффициентом передачи Я(р), а в качестве цепи ОС пассивная
цепь с коэффициентом передачи Нос (р). Цепь с ОС условно можно
изобразить с помощью следующей схемы (рис. 7.31). На схеме
знаком S обозначен сумматор входного сигнала и сигнала ОС. При
этом если в S сигналы складываются, то ОС называют
положительной (ПОС), а если вычитаются, то отрицатель-
ной (ООО).
Принимая коэффициент передачи сумматора равным единице,
получаем для передаточной функции всей цепи
И
W 1±Я(р)Ям(р)’
(7.105)
где знак «+» относится к ООС и « —»—к ПОС.
* Обратная связь часто возникает за счет различных паразитных связей
«выход—вход», особенно на высоких частотах.
139
Рис. 7.31 Рйс. 7.32
Произведение Нй(р)=Н(р)Нос(р) называют передаточной
функцией по петле ОС, или петлевым усилением. Петлевое
усиление можно вычислить или определить экспериментально
путем измерения | Н (р) Ное (р) |₽=> (АЧХ) и arg [Н (р) Нос (р)}
(ФЧХ) при разомкнутой петле ОС (рис. 7.32). При этом получим
Н(р)Яос(р)=^ (7.106)
\Р)
Величину Н (р) Но,, (р) I P=ja> = Н (7ю) Hoc (j®) можно изобразить на
комплексной плоскости в виде вектора. При изменении со конец
вектора петлевого усиления опишет некоторую кривую, называе-
мую годографом (рис. 7.33).
Важным свойством цепей с ОС является ее устойчивость.
Устойчивость цепи в общем случае можно определить по
характеру расположения полюсов передаточной функции. Однако
при высоком порядке передаточной функции вычисление полюсов
представляет определенные трудности, поэтому для оценки устой-
чивости цепи пользуются различными критериями устойчивости, в
частности, Найквиста и Михайлова.
Критерий Найквиста формулируется следующим образом: цепь
с обрадиюй связью будет устойчивой, если годограф петлевого
усиления не охватывает точку с координатами [+1,у0]. На
рис. 7.33 изображены годографы устойчивой и неустойчивой цепи.
(J^z)
a)
1
t)
Рис. 7.33
140
Ufa =*=£ рОых
|aBx П/? |«6ых
Рис. 7.34
Рис. 7.35
Достоинством критерия Найквиста является то, что его можно
легко определить опытным путем.
Электронные модели цепей. Рассмотрим применение цепей с
зависимыми источниками для моделирования различных функций
и элементов цепей.
Интегрирующие и дифференцирующие цепи находят широкое
применение в различных устройствах импульсной и вычислитель-
ной техники для формирования линейно изменяющихся напряже-
ний и токов, селекции сигналов, линейного преобразования
различных импульсов и т. д. Интегрирующая цепь описывается
уравненйем:
/2 (0=fci
(7.107)
а дифференцирующая—уравнением
(7.108)
где ки к2—коэффициенты пропорциональности.
Простейшая интегрирующая и дифференцирующая цепи, могут
быть реализованы на базе .КС-цепочки (рис. 7.34, 7.35). Действи-
тельно, если параметры интегрирующей цепочки (рис. 7.34) тако-
вы, что т = КС»7в, где /„—длительность входного сигнала, то на
выходе такой цепи имеем
Аналогично, если для дифференцирующей цепочки (рис. 7.35)
выполнено условие т=КС«/ц, то
(7.109)
Однако точность интегрирования и дифференцирования такой
пассивной цепи невысока. Поэтому на практике операции (7.107) и
(7.108) реализуют с помощью активных цепей с зависимыми
источниками, например на базе ОУ (см. гл. 19).
141
Рис. 7.36
Конвертор отрицательного сопротивления (КОС) инвертирует
знак сопротивления, подключаемого к нему в качестве нагрузки,
также может изменять его модуль (рис. 7.36, а). Комплексное
входное сопротивление конвертора определяется как ZL=kNZ„. где
Z*—сопротивление нагрузки; kN—коэффициент конверсии (отри-
цателен и безразмерен).
Различают два типа конверторов отрицательного сопротивле-
ния: по напряжению (КОСН) и по току (КОСТ). Для КОСН
(рис. 7.36,6) характерно одинаковое значение токов Ц и 12 на
входе и выходе конверторов, а для КОСТ (рис. 7.36, в)—одинако-
вое значение напряжений • и U2. Из этих схем нетрудно
получить уравнения, описывающие КОСН и КОСТ. Так, для
КОСН имеем:
11=1.2’ LL2=^NeLLl'i =
где kNe.<0. В частности, при kNe= — l получаем ZL= — ZH. Таким
образбйр с помощью КОСН или КОСТ можно получить
отрицательные элементы — К, —L, —С. Учитывая, что отрица-
тельные сопротивления являются активными элементами, достав-
ляющими энергию в цепь, их применяют для реализации
различных сложных функций, в активных фильтрах и др.
Практически КОСН и КОСТ могут быть реализованы на базе ОУ.
Гиратор—необратимый четырехполюсник (рис. 7.37, а), описы-
ваемый уравнениями [г=И1Ог и 1Г = ~LL2GV, где GT—проводи-
мость гиратора.
Условное изображение гиратора показано на рис. 7.37,6.
Нагрузим гиратор сопротивлением нагрузки Z2. Входное сопро-
тивление гиратора
Z =£1.=^к=_!_, (7.110)
/, G2G2 Gr2Z2
т. е. обратно сопротивлению нагрузки, поэтому гиратор часто
называют инвертором положительного сопротивленйя. Свойство
142
a)
Рис. 7.37
(7.110) является очень важным, поскольку позволяет имитировать
индуктивность с помощью емкости. Действительно, если Z2 =
= 1//соС, то где L3=CjG^ — эквивалентная индуктив-
ность. Это свойство гираторов является очень важным для
микроэлектроники, поскольку изготовление индуктивностей по
интегральной технологии представляет сложную задачу. Исполь-
зование же гираторов с малым значением GT позволяет из
небольших емкостей С моделировать большие значения L.
Существуют и другие многочисленные применения гиратора:
преобразование напряжения и тока, моделирование Т- и П-образ-
ных звеньев с катушками индуктивности, трансформаторов,
резонансных контуров. В качестве примера на рис. 7.38 изображе-
на модель параллельного колебательного контура (рис. 7.38,6) на
базе гиратора (7.38, а).
Важным свойством гиратора является то, что он не вносит
энергии в цепь и не потребляет ее из цепи, т. е. ведет себя как
пассивный элемент без потерь. Это следует непосредственно из
уравнений гиратора.
Реализация гиратора осуществляется с использованием., .актив-
ных элементов. Например, ОУ (на базе двух источников на
базе ИТУН и ООС; на основе двух ПОС и др.).
Колебательный контур, модель которого можно получись на
базе ОУ. Одна из возможных схем такого контура изображена на
рис. 7.39.
Передаточная функция этой цепи
Jj / _ U2 (р) _ *3 __________J_______________
Ux(p) Rl\+p2ClC2R2R3+pC2(R2 + Ry + R2R3IRiy '
Рис. У. 38
143
Рис. 7.39
т. е. аналогична передаточной функции последовательного колеба-
тельного контура. .
Важным преимуществом электронных аналогов колебательных
контуров является отсутствие в них индуктивных элементов,
высокое значение добротности, слабо зависящей от нагрузки,
легкость перестройки.
5. Моделирование передаточных функций общего вида можно
осуществить путем представления передаточной функции линейной
цепи в виде рациональной дроби:
Приведя (7.111) к общему знаменателю, получим
U2 (р) (pm+bm-ipm~1 +... + Z>1p+Z>o)= Ut (р) (а„рп+а„- 1ря~1 +... +
4-ajj+ao).
Это равенство можно переписать в форме
JdcL Р Р Р
*Ь1^-.и2(р)Ь0-.
(7.112)
Так как операции 1/р” соответствует m-кратное интегрирование,
то уравнению (7.112) соответствует структурная схема, изображен-
ная ца, рис. 7.40.
Рис. 7.40
144
Таким образом, с помощью интеграторов, сумматоров, мас-
штабных усилителей, умножителей может быть реализована
передаточная функция Н(р) достаточно общего вида.
Глава 8. ДВУХПОЛЮСНИКИ
8.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Двухполюсником называется электрическая цепь (или ее часть)
любой сложности, имеющая два зажима для подключения ее к
источнику энергии или к другой электрической цепи. На рис. 8.1
приведены в качестве примера несколько схем двухполюсников.
Если в схеме двухполюсника есТь источники электрической
энергии, он называется активным (рис. 8.1, а и г). При отсутствии
таких источников двухполюсник—пассивный (рис. 8.1, б и в).
Если двухполюсник содержит только линейные элементы, он
является линейным (рис. 8.1, а и в). При наличии в схеме
двухполюсника хотя бы одного нелинейного элемента он будет
нелинейным устройством (рис. 8.1,6). Двухполюсник на рис. 8.1, г
в зависимости от режима работы транзистора может быть отнесен
как к линейной цепи, так и к нелинейной.
В зависимости от элементов, из которых составлены двухпо-
люсники, различают: резистивные (состоящие из резисторов /?); с
одним реактивным элементом (RL- и ЛС-двухполюсники); реак-
тивные LC-двухполюсники и двухполюсники общего вида (RLC-
двухполюсники).
В дальнейшем подробно будут рассмотрены только два класса
пассивных линейных двухполюсников: реактивные (LC) и общего
вида (RLC). Это связано главным образом с тем, что реактивные
двухполюсники образуют ветви широко применяемых в радиотех-
нике и связи четырехполюсных цепей (электрических фильтров,
амплитудных и фазовых корректоров) и изучение их свойств
облегчит понимание процессов, происходящих в этих цепях. Учет
а)
Рис. 8.1
145
i(t)
Ддухлолюс-
HUH
a)
Z(jb>)
Ю
Рис. 8.2
потерь в реальных катушках индуктивности и конденсаторах
приводит к необходимости рассмотрения двухполюсников общего
вида, содержащих элементы R, L и С*.
В тех случаях, когда нас не интересует «содержимое» двухпо-
люсника, будем изображать его, как показано на рис. 8.2, а. Ко
входу двухполюсника приложено напряжение с мгновенным
значением и(/), а через его входные зажимы протекает ток с
мгновенным значением i (/). Когда входным воздействием является
напряжение, реакцией цепи на это воздействие будет ток, и
наоборот.
При синусоидальных напряжении и токе используют их
символическое изображение в виде комплексных амплитуд U_m, 1т
или комплексных действующих значений. Если сигнал является
несинусоидальным и его спектр занимает определенную полосу
частот, то в рассмотрение вводят спектральные плотности
напряжения U(j(o) и тока Заменяя оператор у со на оператор
р, легко можно перейти в случае необходимости к операторным
изображениям U(p) и 1(р).
Единственной характеристикой пассивного двухполюсника явля-
ется его входное сопротивление, связывающее напряжение и ток
на входных зажимах. Для синусоидальных колебаний заданной
частоты Z=UJI', при использовании спектральных плотностей
для изображений в операторной форме
Z(p)=U(p)II(p).
Вместо входного сопротивления можно применять обрат-
ную величину—входную проводимость'. Y=l/Z\ Y(ja))=i/Z(j(a);
Y(p) = l/Z(p).
С учетом изложенного двухполюсник часто изображают в
виде, показанном на рис. 8.2,6.
8.2. РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ
Предварительные замечания. Реактивными называются двухпо-
люсники, состоящие только из реактивных элементов: индуктив-
ностей и емкостей. Так как активных сопротивлений в этих схемах
* Другие классы двухполюсников описаны в [1]. Нелинейные двухполюсники
будут рассмотрены в гл. 12.
146
A----------> £------------->
а) ° 6) “ 0 6) “
Рис. 8.3
нет, то входное сопротивление реактивных двухполюсников не
содержит активной составляющей и является мнимым: Z= +jX.
Реактивные двухполюсники представляют собой идеализиро-
ванную модель реальных двухполюсных схем, составленных из
катушек индуктивности и конденсаторов. Чем меньше угол потерь
в диэлектрике конденсаторов и выше добротность катушек
индуктивности, тем меньше в них потери энергии и тем ближе
идеальная модель к реальной схеме.
Если на вход реактивного двухполюсника подать гармоническое
колебание и менять его частоту, то входное сопротивление
двухполюсника на разных частотах будет иметь различные значения.
Зависимость входного сопротивления Z (jo) от частоты называется
частотной характеристикой реактивного двухполюсника.
Одноэлементные реактивные двухполюсники. Они состоят из
одного реактивного элемента—индуктивности или емкости. Двух-
полюсник из индуктивности приведен на рис. 8.3, а. Его входное
сопротивление записывается в виде ZL(jo)=joL. График этой
функции представляется прямой линией (рис. 8.3,6). Входная
проводимость Yl (jo) является функцией, обратной входному
сопротивлению: YL (jo) = —j/oL. Ее график приведен на рис. 8.3, в.
Значения частоты со, при которых входное сопротивление
(проводимость) двухполюсника обращается в нуль, называются
нулями входного сопротивления (проводимости). Значения часто-
ты (о, при которых входное сопротивление (проводимость)
обращается в бесконечность, называются полюсами входного
сопротивления (проводимости). Нули на графиках обозначают
кружочками, полюсы—крестиками.
У функции ZL(jo) имеются один нуль на частоте ш=0 и один
полюс при <о-»оо. У входной проводимости YL(jo) на частоте
со = 0 расположен полюс и на бесконечно большой частоте—нуль.
Графики, изображенные на рис. 8.3,6 и в под частотными
зависимостями входного сопротивления и входной проводимости,
называются полюсно-нулевыми диаграммами.
Второй одноэлементный двухполюсник, состоящий из емкости,
показан на рис. 8.4, а. Входное сопротивление двухполюсника
Zc (/<о) = 1/(/юС) = —ЦоС, а входная проводимость Yc(jo)=joC.
Графики их частотных зависимостей и полюсно-нулевые диаграм-
мы изображены на рис. 8.4,6 и в.
147
Рис. 8.4
Двухэлементные реактивные двухполюсники. Таких двухполюс-
ников два. Один из них—последовательный колебательный
контур—показан на рис. 8.5, а и представляет собой последова-
тельное соединение емкости и индуктивности. При последователь-
ном соединении элементов их сопротивления суммируются,
поэтому входное сопротивление двухполюсника
Z(/o)=Zc(/<b) +ZL(/co) = l/(/ct>C) +ja>L. (8.1)
На рис. 8.5,6 приведены графики сопротивлений Zc (/со),
Zt (/со) и всего двухполюсника. Здесь же приведена полюсно-нуле-
вая диаграмма входного сопротивления. На частоте cox, где
сопротивления Zc(/со) и ZL(jm) равны по величине и противопо-
ложны по знаку, входное сопротивление последовательного коле-
бательного контура обращается в нуль. Это явление изучено в § 3.2 и
известно под названием резонанса напряжений. Частота сох является
нулем функции Z (/со) и называется частотой резонанса напряжений.
В соответствии с (3.5) резонансная частота co^l/^/LC.
Из рис. 8.5,6 видно, что до частоты сопротивление емкости больше
сопротивления индуктивности, и поэтому входное сопротивление последователь-
ного колебательного контура в диапазоне частот от нулевой до резонансной имеет
емкостной характер, т. е. контур ведет себя как некоторая эквивалентная емкость.
После резонансной частоты начинает преобладать индуктивное сопротивление и
контур можно считать эквивалентной индуктивностью.
Рис. 8.5
148
Рис. 8.6
График входной
обратной функции.
проводимости можно построить как график
Он дан на рис. 8.5, в. Там же показана
полюсно-нулевая диаграмма У (Ja).
В дальнейшем удобно пользоваться преобразованным выраже-
нием для Z(jco). Вынесем из правой части выражения (8.1) за
скобки множитель L/(j<o): Z(jo)=^— +joL=—(——о
jcoC jco \LC
Заменим выражение \f(LC) квадратом резонансной частоты (of.
Окончательно получим:
Z(7'(d)=—(cof-co2).
(8-2)
Второй реактивный двухполюсник—параллельный колебатель-
ный контур (рис. 8.6, а). При параллельном соединении элементов
суммируются их проводимости:
ПМ= М» + +>С. (8.3)
Графики проводимостей У£(усо), Yc(Jai) и У (у со) и полюсно-
нулевая диаграмма входной проводимости изображены на
рис. 8.6,6.
На частоте coj реактивные проводимости компенсируют друг
друга и проводимость контура обращается в нуль. Это явление
называется резонансом токов (см. § 3.4). Частота сох является
нулем проводимости У(усо) и называется частотой резонанса
токов. В соответствии с (3.37) (Oj = 1 Д/£С.
Входное сопротивление параллельного контура является обрат-
ной функцией проводимости (рис. 8.6, в). В диапазоне частот от О
До а>! входное сопротивление имеет индуктивный характер, а
после резонансной частоты—емкостной. На этом рисунке показа-
149
Рис. 8.7
но расположение нулей и полюсов входного сопротивления
параллельного контура. Частота резонанса токов й>| является
полюсом входного сопротивления, так как на ней сопротивление
стремится к бесконечно большому значению.
Преобразуем выражение (8.3):
Г (j<o) = 1 / (j<oL) +jd)C = С/ (ja>) - <»2)=-| (<»i ~ ю2) •
(8-4)
Выражение для входного сопротивления параллельного колеба-
тельного контура будет иметь вид
Читателям полезно сравнить и проанализировать выражения (8.2)
и (8.4) самостоятельно.
Трехэлементные реактивные двухполюсники. Из трех элементов
можно составить четыре различные схемы. Проанализируем
подробно схему, изображенную на рис. 8.7, а. Удобно рассматри-
вать ее как последовательное соединение двухполюсников: индук-
тивности L2 и параллельного колебательного контура с элемента-
ми Lt и СР Как и ранее, частота резонанса токов параллельного
контура
Входное сопротивление двухполюсника, представленного по-
следовательным соединением индуктивности L2 и параллельного
контура, запишется в виде суммы их сопротивлений:
Z (j®8) = j®L2 + 7“ 2 1 2
’ J Cl w?-<o2
(8.5)
150
На рис. 8.7,6 показаны сопротивления индуктивности L2 и
параллельного контура ZroHT(jco). На этом же рисунке изображена
частотная характеристика входного сопротивления двухполюсника
Z (ую) и его полюсно-нулевая диаграмма. На рис. 8.7, в приведен
график частотной зависимости и полюсно-нулевая диаграмма
входной проводимости данного трехэлементного двухполюсника.
Частоту резонанса напряжений ш2 можно найти из условия
равенства нулю на этой частоте входного сопротивления двухпо-
люсника Z (уа>), т. е. из условия
j(o2L2 +
J®2 1
С, <01—0>2
Отсюда получаем, что
ю2 = <о? + 1/(А2С), (8.6)
или
ш2 = (
Преобразуем выражение для Z(jo). Вынесем за скобки в
правой части (8.5) множитель ](йЬ2:
Z{j^=j^L2 (1 + =j(oL2 + il(^C4 ~ю2 •
' ’ \ <01—<0/ <01—<0
С учетом (8.6) окончательно имеем
2 2
Z(Jm)=>L2g=5. (8.7)
Из (8.7) видно, что при ш=0 входное сопротивление обращает-
ся в нуль, т. е. имеет место нуль функции Z(ja>). При (0=0)!
входное сопротивление обращается в бесконечность, наступает
резонанс токов. Эта частота соответствует полюсу функции Z (/<о).
При (о=(о2 входное сопротивление обращается в нуль, наступает
резонанс напряжений. Частота ш2 является нулем функции Z(jcd).
Читателям предлагается самостоятельно проанализировать
оставшиеся три схемы трехэлементных реактивных двухполюс-
ников.
Свойства реактивных двухполюсников. Анализируя приведен-
ные выше схемы, можно выделить ряд общих для них свойств,
которые оказываются присущими всем реактивным двухполюсни-
кам.
1. Количество резонансов в двухполюснике всегда на единицу
меньше количества его элементов.*
* Это свойство проявляется только в канонических двухполюсниках, с
которыми познакомимся ниже.
151
2. Резонансы напряжений и токов чередуются. Это же относит-
ся к нулям и полюсам входного сопротивления. Например, если на
частоте ш=0 располагается нуль, то следующим будет полюс,
затем снова нуль и т. д.
3. Входное сопротивление реактивного двухполюсника воз-
растает с ростом частоты. 'Иными словами, производная сопро-
тивления по частоте положительная: I
j I
4. Зная сопротивление двухполюсника на нулевой частоте
(постоянный ток) и используя свойство 2, легко определить
характер первого резонанса в двухполюснике. Так, если на
нулевой частоте Z(jco)=O, то в начале координат располагается
нуль; он не относится ни к какому резонансу, так как на
постоянном токе резонанса не происходит. За нулем следует
полюс, при котором сопротивление двухполюсника обращается в
бесконечность, что характерно для резонанса токов. Таким
образом, первым наступает резонанс токов. Если же на нулевой
частоте Z(ja>) стремится к бесконечности, то в начале координат
располагается полюс, а затем по свойству 2 располагается нуль,
что свидетельствует о наличии резонанса напряжений.
Таким образом, если сопротивление двухполюсника на по-
стоянном токе равно нулю, первым наступает резонанс токов;
если сопротивление стремится к бесконечности—резонанс напря-
жений.
5. В зависимости от значения сопротивления на частоте <в = 0
множитель j<o записывается либо в числителе, либо в знаменателе
выражения для Z(jo). Чтобы получить на частоте со=О нулевое
значение входного сопротивления, множитель уш записывается в
числителе. Для получения на этой частоте бесконечно большого
значения Z(j(o) множитель j<o следует записать в знаменателе.
6. В числителе выражения Z(jco) стоят скобки с частотами
резонансов напряжений, которые являются нулями входного
сопротивления. Когда текущая частота равна частоте резонанса
напряжений, Z(jco) обращается в нуль. В знаменателе выражения
для Z(j<o) стоят скобки-с частотами резонансов токов, которые
являются полюсами входного сопротивления. При равенстве
текущей частоты и частоты резонанса токов сопротивление
стремится к бесконечности.
8.3. КАНОНИЧЕСКИЕ СХЕМЫ РЕАКТИВНЫХ
ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общие понятия. Каноническими называются схемы, построенные
по какому-либо заранее определенному правилу. В теории
реактивных двухполюсников для построения канонических схем
используют, например, такое правило (канон): двухполюсник
152
о<?—х-о х . . . х -------------------*
I ыг ы3 а>п.3 шп.г w„.7 ы
6)
Рис. 8.8
представляют в виде последовательного соединения параллельных
колебательных контуров либо параллельного соединения последо-
вательных колебательных контуров. При этом, чтобы охватить все
многообразие схем, допускается существование одного или двух
вырожденных колебательных контуров (т. е. содержащих всего по
одному элементу). Такие канонические схемы получили название
схем Фостера.
Существует и другой канон: двухполюсник представляют в
виде цепочечного (лестничного) соединения реактивных элементов.
Такие схемы называются схемами Кауэра.
Построенные по указанным правилам канонические схемы
двухполюсников обладают одним ценным свойством: они со-
держат минимальное число реактивных элементов, т. е. ка-
нонические схемы являются экономичными. Кроме того, постро-
ение двухполюсника в канонической форме существенно облегчает
его анализ.
Любой реактивный двухполюсник всегда можно преобразовать
в каноническую форму. Рассмотрим более подробно часто
используемые на практике канонические схемы Фостера. Таких
схем—восемь.
В зависимости от значения входного сопротивления на нулевой
и бесконечно большой частотах, или, что то же, в зависимости от
характеров первого и последнего резонансов, различают четыре
класса реактивных двухполюсников. Таким образом, каждый класс
содержит две канонические схемы Фостера.
Канонические схемы Фостера первого класса. В двухполюсниках
этого класса первым наступает резонанс токов, последним—ре-
зонанс напряжений. Число элементов такого двухполюсника
п—нечетное.
На рис. 8.8, а приведен график частотной зависимости входного
сопротивления всех двухполюсников этого класса, состоящих из п
153
Рис. 8.9
реактивных элементов. Под ним изображена полюсно-нулевая
диаграмма входного сопротивления (рис. 8.8, б).
Используя приведенные выше правила построения двухполюс-
ников, нетрудно представить две канонические схемы Фостера,
имеющие данную частотную характеристику.
Первая схема (рис. 8.9, а) состоит из последовательно включен-
ных параллельных контуров. Сопротивление каждого из них
(см. рис. 8.6, в), а значит и всей схемы, на частоте со=0 принимает
нулевое значение. Чтобы обеспечить в соответствии с графиком на
рис. 8.8, а непрерывное возрастание входного сопротивления на
бесконечно больших частотах, необходимо подключить последова-
тельно с контурами индуктивность £а, рост сопротивления
которой на высоких частотах и обеспечит требуемую зависимость.
Вторая схема Фостера (рис. 8.9,6) содержит последовательные
контуры, соединенные параллельно. Для обеспечения нулевого
значения входного сопротивления на постоянном токе (<о=0),
параллельно с резонансным контуром включается индуктивность
As*
В обеих схемах нумерация элементов совпадает с нумерацией
резонансов на рис. 8.8, а, происходящих в этих контурах. В первой
схеме Фостера в параллельных контурах происходят резонансы
токов. На графике частотной зависимости входного сопротивле-
ния резонансные частоты токов имеют нечетные индексы; такие же
нечетные индексы присвоены элементам, образующим параллель-
ные контуры. Во второй схеме Фостера в последовательных
контурах возникают резонансы напряжений; элементы этих конту-
ров имеют четные индексы, как и частоты резонансов напряжений
на рис. 8.8, а.
Запишем выражение для входного сопротивления двухпо-
люсников первого класса. В соответствии со свойствами, перечис-
ленными в § 8.2, сомножитель j<o запишется в числителе;
сомножители, содержащие частоты резонансов токов (сом, 0)3, со5
и т. д.),—в знаменателе; сомножители, содержащие частоты
резонансов напряжений (ш2, юб и т- Д«)>—в числителе
выражения входного сопротивления:
<в.в)
v 7 (ю?-ю2)(юЗ-ю2)...(а)2-2-а) )
154
Так как число резонансов в канонических - схемах на единицу
меньше числа реактивных элементов, то последняя резонансная
частота имеет индекс п — 1. Это частота резонанса напряжений и,
следовательно, сомножитель, содержащий ее, записывается в
числителе выражения Z(jco).
Входные сопротивления первой и второй схем Фостера будут
различаться выражениями множителя Н через элементы двухпо-
люсников. Преобразуем выражение (8.8). Вынесем из каждой
скобки числителя и знаменателя множители со2:
(О2 (в>2/<о2 — 1) (О2 (<04/<02 — 1) ... (О2 (<02- ! /и2 — 1)
<о2 (<о2/со2 — 1) и2 (а>з/<о2 — 1)... со2 (<о2_2/<о2— 1)
(8.9)
Так как число скобок в числителе и знаменателе одинаковое, все
сомножители ю2 сократятся. Устремим в (8.9) частоту со к
бесконечности; при этом первые слагаемые в каждой скобке будут
намного меньше единицы и ими в выражении (8.9) можно
пренебречь. Выражение для Z(jco) существенно упростится:
Z(»=jcotf. (8.10)
Для определения коэффициентов Н в конкретных 'двухпо-
люсниках необходимо получить эквивалентные их схемы на
частоте со->оо. В первой схеме Фостера (рис. 8.9, а) сопротив-
ления параллельных контуров при стремлении частоты к бес-
конечности стремятся к нулю, а сопротивление индуктивности £а
становится бесконечно большим. Поскольку контуры и ин-
дуктивность соединены последовательно, сопротивлениями кон-
туров можно пренебречь по сравнению с сопротивлением ин-
дуктивности. Поэтому эквивалентная схема двухполюсника на
бесконечно большой частоте будет представлена только индук-
тивностью £а, и ее сопротивление Z(jco)=jcoLa. Сравнивая это
выражение с (8.10), видим, что для первой схемы Фостера
коэффициент Н=ЬЛ.
Чтобы получить эквивалентную схему на бесконечно большой
частоте для второй схемы Фостера (рис. 8.9,6), нужно учесть, что
на этой частоте сопротивления емкостей С2, С4, ... Cn-i ничтожно
малы и их можно не учитывать по сравнению с сопротивлениями
индуктивностей L2, L4, ... L„~i. Таким образом, на частоте со —► оо
схема представляется параллельным соединением индуктивностей
L6, L2, L4, ..., Ln-i. Ее проводимость запишется в виде
l/Z(»=l/(/co£6) +1/(j(oL2) + 1/(jcoL4) + ... + l/fjcoL»-!).
Сравнивая ее с выражением, обратным (8.10), получаем
1/Я= 1/£б+1/£2 +1/£4 + ... +
Канонические схемы Фостера второго класса. В двухполюсниках
данного класса первым наступает резонанс напряжений, послед-
ним—резонанс токов. Число элементов п—нечетное.
155
Рис. 8.10
Частотная зависимость входного сопротивления двухполюсни-
ков второго класса и его полюсно-нулевая диаграмма показаны на
рис. 8.10, а и 6.
Первая каноническая схема Фостера (рис. 8.11, а) состоит из
последовательного соединения параллельных контуров и емкости
Са. Включение последней обеспечивает бесконечно большое значе-
ние сопротивления двухполюсника на постоянном токе (ш=0).
В параллельных контурах происходят резонансы токов с частота-
ми со2, <о4, ..., С0„-1.
Во второй схеме Фостера (рис. 8.11,6) резонансы напряжений
происходят в последовательных контурах LxCt, L3C3, ..., Ln-2
Сп-2- Включение емкости С6 дает возможность получить близкие к
нулю значения сопротивления двухполюсника на высоких часто-
тах. Предлагаем читателям самостоятельно установить, какие
элементы участвуют в образовании резонансов токов.
В соответствии со свойствами реактивных двухполюсников
выражение для входного сопротивления будет иметь вид
7 (/ml = — • (ю1-ю2)(юэ-”>2) - К-2-«>2) /о 1 п
Последний (и —1)-й резонанс является резонансом токов, поэтому
сомножйтель с частотой «>„-! записан в знаменателе Z(jco).
Рис. 8.11
156
О?—X—о—X—о—X------5-5-5--х—о—х---*-
Ш1 w2 Wj ш„_3 ыа.г шп^ ш
6)
Рис. 8.12
Упрощая при ш-»ос выражение (8.11), как это делали для
двухполюсников первого класса, получим
2(/ш)=Я/(Я. (8.12)
Эквивалентная схема двухполюсника рис. 8.11, а на очень
высоких частотах (со -»ос) будет состоять из последовательного
соединения емкости Са и емкостей С2, С4, Сп-Х, так как в
параллельных контурах на этих частотах ничтожно малыми
проводимостями индуктивностей L2, L4...Ln_x можно пренебречь
по сравнению с большими проводимостями емкостей С2, С4, ...,
..., С„-!. Следовательно,
-7/ • ч 1 , 1 , 1 , , 1
j&C, j(0C2 ja>C4 j(oCn-i'
Сравнивая это выражение с (8.12), легко видеть, что
я=1/са+1/с2+...+1/с„-1.
Во второй схеме Фостера при стремлении частоты со -»со
можно пренебречь малыми проводимостями контуров £ХСХ, L3C3,
..., L„-2 Сп-2 по сравнению с большой проводимостью емкости
Сб. Эквивалентная схема двухполюсника будет состоять из одной
емкости Сб, и поэтому Z(yco)= 1/(усоСб). Сопоставление с (8.12)
дает, что H=\fC6.
Канонические схемы Фостера третьего класса. Двухполюсники
этого класса характерны тем, что в них первым и последним
резонансами являются резонансы токов. Число элементов п—чет-
ное.
На рис. 8.12 построены график частотной зависимости сопро-
тивления (а) и полюсно-нулевая диаграмма (б).
Канонические схемы Фостера для двухполюсников этого класса
изображены на рис. 8.13, а и б. Первая схема Фостера состоит
только из контуров и не требует включения дополнительных
157
Рис. 8.13
элементов, так как она имеет нулевые значения входного
сопротивления на частотах ю = 0 и со->оо. Вторая схема Фостера
помимо последовательных контуров содержит элементы L6 и С6,
которые и обеспечивают нулевые значения входного сопротивле-
ния на постоянном токе и бесконечно большой частоте.
Входное сопротивление двухполюсников третьего класса запи-
сывается в виде следующего аналитического выражения:
(а>2—<02)(с04 —<02)--(<0п-2—<02)
(©1 —<02)(<0э —©2) ... ((Од-1 — <02) *
(8.13)
Следуя рассуждениям, приведенным для двухполюсников пер-
вого и второго классов, получим коэффициент Я=1/Сб+1/С1+ ...
... Ч-1/Св-! для первой формы Фостера и H=\fC6 для второй
формы Фостера.
Канонические схемы Фостера четвертого класса. У двухполюс-
ников четвертого класса первым и последним резонансами
являются резонансы напряжений. Число элементов п—четное.
Графики частотной зависимости входного сопротивления и
расположения полюсов и нулей даны на рис. 8.14, а и б.
Канонические схемы Фостера изображены на рис. 8.15.
о-Х-о X . . . X
и ы1 шг ып.3 шп.г шпЧ
6)
Рис. 8.14
158
Рис. 8.15
В первой схеме Фостера (рис. 8.15, а) для получения бесконечно
больших значений сопротивлений на нулевой и бесконечно
больших частотах включены элементы La и Са. Выражение для
входного сопротивления имеет вид:
(8-14)
Коэффициент для первой схемы Фостера равен H=La, для второй
схемы Фостера (рис. 8.15,6):
1/Я=1/£1 + 1/£3+...+1/Д,-1.
Канонические схемы Кауэра. Канонические схемы Кауэра, как
уже отмечалось, строятся в виде лестничного соединения элемен-
Рис. 8.16
159
тов L и С. Таких схем восемь, и они показаны на рис. 8.16
(а—первый, б—второй, в—третий и г—четвертый классы).
Первая форма Кауэра содержит индуктивности в продольных
ветвях; во второй форме Кауэра индуктивности располагаются в
поперечных ветвях. Частотные зависимости входных сопротивле-
ний схем Кауэра описываются теми же кривыми и формулами,
что и схемы Фостера соответствующих классов.
8.4. ДВУХПОЛЮСНИКИ
ОБЩЕГО ВИДА (RLC)
Входное сопротивление двухполюсников общего вида (RLC).
Предположим, что двухполюсник состоит из п независимых
контуров. Ко входу приложено напряжение и(/), через входные
зажимы протекает ток i(t) (см. рис. 8.2, а). Двухполюсник пассив-
ный, т. е. не содержит внутри источников энергии. Отнесем первый
контур ко входу двухполюсника. Воспользуемся операторным
методом и составим систему уравнений для контурных токов:
1*1 (р) Zn (р) +IK2 (р) Z12 (р) + ••• +4п (p)Z1B(p)= (р);
4i (р) z21 (р) + /к2 (р) Z22 (р) + ... +ZKB (р) Z2n (р)=0;
4i(p)znl(p) +zb2(p)zb2(p) + ... + ZBB(p)ZBB(p)=0.
Найдем ток в первом контуре, т. е.
двухполюсника. В соответствии с (1.45)
ток (р) на входе
и, Z12 • • • Zln
0 Z22 • • . Z2B
0 Zn2 • •
^11 Z12'.. .. Z1B
Z2i Z22 • • .. Z2B
Zn2 .. • • Znn
Определитель можно разложить по элементам первого
столбца. С учетом нулевых членов столбца A1 = LZ1(p)A11, где
160
Ди—минор определителя Дх:
^22 — ^2п
Лц(р)= •
Zn2 ••• Znn
Тогда 71 (р) = (71 (р) • Д11 (р) /Д (р).
Входное сопротивление двухполюсника запишется в виде
Z(p)= Ut (р)/71 (р) = Д (р)/Д11 (р).
Сопротивления Zmm и Zkm, входящие в определители Д и Дц,
являются соответственно собственным операторным сопротивле-
нием m-го контура:
Zmm = pLmm-\ — |- Rmm =pLmm p — h p Rmm
P'-'mm '-'mm
и взаимным операторным сопротивлением k-го и m-го кон-
туров
Zkm =pLkm -| — F Rkm =pLkm 4" Р ~р, Ь Р Rkm •
Р^кт
Они представляют собой рациональные функции комплексной
переменной р, следовательно, определители Д и Дц (при
раскрытии которых выполняются только операции умножения
и сложения) также будут рациональными функциями перемен-
ной р.
Таким образом, можно утверждать, что входное сопро-
тивление ALC-двухполюсника, равное отношению рациональ-
ных функций, представляет собой рациональную дробь, т. е.
является дробно-рациональной функцией комплексной перемен-
ной р.
Пример. Определим входное операторное сопротивление двухполюсника,
изображенного на рис. 8.17, а. Для этого сформируем систему уравнений для
контурных токов:
41 (р) (рЬ2 + -Н - /,2 (р) -^-= Ut (р);
\ P^i/ р€\ 1
1 / 1 \ I
— 4i (р)—7г +In(p)\pL1+ —— +R 1=0.
pCi у p^i /
J
Определители А и Ап этой системы уравнений равны:
161
6 - 3439
Ui
a)
д=
1
pCi
1
pLi + + R
P^i
1
pCi
p3LlL2Cl +pL2RCY +/> (Li +L2)
PG
А11 =(p2LiCx +pRCx + l)/pCx.
Запишем выражение для Z(p):
z/ а = А +p2L2RC1+p(Ll + L2) +R
Ац p2LxCx +pRC\ +1
Если ввести обозначения n3 = L1L2Q» a2 = L2RC\, al=Ll+L2, a0 = R, b2=LtCu
bl = RC1 и b0=\, то запись входного сопротивления примет более об-
щий вид:
z( > a^+a^ + atP+flo
b^+bip+bo
. Эта функция является дробно-рациональной относительно переменной р.
Входное сопротивление многоконтурного АЛС-двухполюсника
представляется дробно-рациональной функцией комплексной пере-
менной:
2_ Д^"+Д»-1Р,'~1+ + Д1/>+а0
bmpm+bm-ipm i+...+bip+b0
Вынесем из числителя коэффициент ап, а из знаменателя —
коэффициент Ьт:
рп+—рп-1+... + —р+ —
Z(p)=^-------.
Л Ьт-1 , ь, ь0
трт+-^-р"‘ ~1+- + гр+г
От От
т т т
(8.15)
162
Найдем корни числителя и знаменателя и представим в соответст-
вии с теоремой Виета числитель и знаменатель в виде произведе-
ния простейших сомножителей. В результате получим еще одну
форму записи Z(p):
Z(p\ = H ^.~Р01 \^~Ро2^ - (8.16)
<Р-Р1)(р-Р2)-(Р-Рт) ____.
где Н=ап1Ь^, р01, р02, ...— корни числителя, или нули входного
сопротивления; рк, р2, ...— корни знаменателя, или полюсы
входного сопротивления. В общем случае Ро* = “о*+/<»(№ и рк =
= а*±М-
Свойства входного сопротивления /?£С-двухполюсников. Сфор-
мулируем основные свойства входного сопротивления.
1. Входное сопротивление /?£ С-двухполюсник о в представляет
собой дробно-рациональную функцию вида (8.15) с веществен-
ными коэффициентами, причем степени числителя п и знаменателя
т равны друг другу или отличаются на единицу. Это свойство
вытекает из того, что Z(p) определяется отношением рациональ-
ных функций определителей А и Ап. Коэффициенты при р
определяются элементами схемы двухполюсника и поэтому
являются вещественными. Порядки определителей А и Ап не
могут отличаться более чем на единицу.
2. В силу вещественности коэффициентов рациональных поли-
номов числителя и знаменателя нули и полюсы входного
сопротивления могут быть либо вещественными, либо комплекс-
но-сопряженными, либо и теми и другими.
3. Нули и полюсы входного сопротивления лежат в левой
полуплоскости комплексного переменного р. Это свойство нуж-
дается в доказательстве. Пусть для определенности через входные
зажимы двухполюсника протекает ток / (/) = §(/). Его изображение
по Лапласу 7(р)=1. Изображение напряжения на зажимах
двухполюсника U (р) = I (р) Z (р) = Z (р) численно равно входному
сопротивлению. Поэтому можно записать
гj/ \- +aip+a0
bm(p-Pi)(p-p2) -(р-Pm)
Эта дробь может быть представлена в виде суммы простых
дробей
С/(р)=Лор+ -А_ + + ... +
Р~Р1 Р-Р2 Р~Рт
При вещественном полюсе рк=а изображение Ак/ (р— рк) соответ-
ствует по теореме разложения (7.79) оригиналу Лке“‘‘. Для
комплексного полюса р& = ак+усок изображение Ак/(р—рк) соответ-
ствует оригиналу Лкеа‘( eJ“‘*. Наличие пары комплексно-сопряжен-
163
ных полюсов ак+/<о* приводит в оригинале напряжения и(/) к паре
слагаемых вида
. oU jw.t . лл — J<ot
Аке ‘ е ‘ и Аке ‘ е ‘
или после их объединения к слагаемому вида 2Лке“‘* cos При
положительных а указанные слагаемые будут возрастать до
бесконечности. Поэтому значение а должно быть отрицательным;
в этом случае отклик пассивной цепи на воздействие будет
затухающим.
Отрицательные значения а соответствуют полюсам, лежащим в
левой полуплоскости. Таким образом, доказано, что полюсы
функции Z(p) лежат в левой полуплоскости. Аналогично можно
доказать, что полюсы входной проводимости Y (р) также должны
лежать в левой полуплоскости. Но полюсы У(р) являются нулями
Z(p), поэтому нули и полюсы входного сопротивления (входной
проводимости) не могут находиться в правой полуплоскости.
Пример. Перепишем входное сопротивление двухполюсника (см. рис. 8.17, а) в
виде
71 \ = йз(/’-Р01)(р-/’02)(р-Р0з)
W ь2 (р-аХр-/^)
На рис. 8.17, б показана полюсно-нулевая диаграмма Z(p) для значений
элементов, которые обеспечивают два комплексно-сопряженных нуля и один
вещественный нуль и два комплексно-сопряженных полюса. Частотная характерис-
тика Z(/®) получается из Z(p) при т. е. в случае, когда изучается поведение
Z (р) на мнимой оси /со (точки на мнимой оси плоскости р соответствуют
вещественным частотам гармонических колебаний). Можно представить функцию
Z(p) как поверхность, натянутую над плоскостью р, причем в точках, являющихся
полюсами, она «устремляется» в бесконечность, а в точках, являющихся нулями,
она «касается» плоскости. Изменение модуля частотной характеристики |Z(/co)| с
частотой со «повторяет» изменения поверхности Z (р) над мнимой осью.
Качественно это изменение иллюстрируется рис. 8.17, в.
Рассмотрим реактивный двухполюсник, образованный схемой рис. 8.17, а при
сопротивлении /?=0. Этот двухполюсник изображен также на рис. 8.7, а. Коэффи-
циенты а2з а0 и Ьх в выражении Z(p) обращаются в нуль, поэтому
z( } a3P3+aiP a3p(p2+aila3)
b2p2+b0 b2(p2+b0/b2)'
Нули этой функции
Poi=0;
Ро2,о3 = aila3 = £/ ч/(^1 +^<2 )/(М ^>2 )
Полюсы Z(p) определяются как
Pi,2 = ±j\/^о/= ±j\/l/(£i ).
Расположение нулей и полюсов входного сопротивления реактивного двухпо-
люсника показано на рис. 8.18, а. Они находятся на мнимой оси. На рис. 8.18, б
164
показан график модуля частотной характеристики |Z(/<o)|, а на рис. 8.18,в—график
частотной зависимости Z (до) (сравните последний график с графиком на
рис. 8.7, б).
8.5. ОБРАТНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ
Два двухполюсника называются взаимно-обратными, если на
всех частотах произведение их входных сопротивлений равно по-
ложительной вещественной постоянной, т. е. если Za (j<o) Z6 (j<o) = R2.
Другими словами, у взаимно-обратных двухполюсников частотная
зависимость сопротивления одного из них с точностью до по-
стоянного вещественного положительного множителя обратна час-
тотной зависимости сопротивления другого, т. е. Za(/co) =
= R2/Z6(j(£>) = R2 Уб(/ш).
Пример. Простейшие двухполюсники, состоящие только из индуктивности
(рис. 8.3, а) и емкости (рис. 8.4, а), являются взаимно-обратными. Действительно,
ZL (/со) Zc (/со) =j&L-^—=—=R2, т. е. произведение их сопротивлений постоянно и
jcoC С
не зависит от частоты.
Введем еще одно понятие. Два двухполюсника называются
потенциально-обратными, если при определенных условиях они
могут стать взаимно-обратными. Таким условием может быть,
например, совпадение резонансных частот двухполюсников.
Пример. Двухэлементные двухполюсники—последовательный (рис. 8.5, а) и
параллельный (рис. 8.6, а) колебательные контуры являются потенциально-обрат-
ными. Обозначим элементы последовательного контура ЬЛ и Са, а элементы
параллельного контура L6 и Сб. Тогда
Произведение
165
zna(p)
Рис. 8.19
-о
Za(/<o)Z6(/<o)=
£6<0б~м2
Са<о, —<о2
равно положительному числу R2=L6fCa, если подобрать равными резонансные
частоты <оа=<о6.
Если задан какой-либо двухполюсник, то можно построить
обратный ему двухполюсник. Для отыскания правила построения
обратных двухполюсников рассмотрим исходный двухполюсник,
составленный из ряда последовательно включенных более простых
двухполюсников (рис. 8.19, а). Его входное сопротивление
(р) = Zla (р) + Z2a (р)+Z3a (р)+... +Zna (р).
Здесь для общности оператор ja заменен на оператор р. Из
условия обратности Za(p)Z6(p) = l?2 следует, что Y6(p)=Za(p)/R2,
т. е. проводимость обратного двухполюсника
Y6(p) = Zia(p)/R2+Z2a(p)/R2+Z3a(p)/R2 + ...+Zna(p)/R2 =
= Г1б(р)+ Г2б(р)+ У3б (р)+...+ Увб(р).
Сумме, стоящей в правой части равенства, соответствует парал-
лельное включение двухполюсников с проводимостями У1б (р),
У26 (р) и т. д. (рис. 8.19,6), причем каждый двухполюсник с
проводимостью Yk6(p) = Zka(p)/R2 является обратным исходному
двухполюснику с сопротивлением Zta(p).
Таким образом, последовательному соединению ряда двухпо-
люсников соответствует в обратном двухполюснике параллельное
соединение двухполюсников, обратных исходным, и, очевидно,
наоборот, параллельному соединению ряда двухполюсников соот-
ветствует в обратном двухполюснике последовательное соединение
двухполюсников, обратных исходным (см. принцип дуальности в
§ 1.11).
Пусть двухполюсник Zla(p) является простейшим и состоит
только из индуктивности Lt, т. е. Zla(p)=p£j. Проводимость
обратного ему двухполюсника У1б (p) = Zla (р)/7?2 =pL1/7?2=pC1.
Отсюда следует, что обратный двухполюсник — емкость, величина
которой Ci = LifR2.
Если двухполюсник Z2a(p) является емкостью С2 и Z2a(p) =
= 1/(рС2), то
166
К2С
Рис. 8.20
У2б (?)=Z2a (р)//?2 = 1ЦрС2 R2) = 1 l(pL2),
т. е. обратный двухполюсник—индуктивность. Поэтому L2 =
= C2R2. Осталось рассмотреть случай, когда Z3a(p)=R3. При
этом Y36(p) = Z3a(p)/R2 = R3/R2 = G3. Можно теперь сформулиро-
вать правило построения обратного двухполюсника, если задан
исходный. В обратном двухполюснике параллельное соединение
элементов и ветвей заменяется последовательным, и наоборот,
последовательное соединение—параллельным, а элементы схемы
заменяются на обратные, т. е. индуктивность заменяется ем-
костью, емкость—индуктивностью, а активное сопротивление—
активной проводимостью.
Пример. Дан исходный двухполюсник (рис. 8.20, а). Пользуясь изложенным
выше правилом, строим обратный двухполюсник. Он приведен на рис. 8.20,6.
8.6. ПОНЯТИЕ О СИНТЕЗЕ
ДВУХПОЛЮСНИКОВ
До сих пор осуществлялся анализ двухполюсников: по задан-
ной схеме двухполюсника определяли и анализировали выражение
его входного сопротивления Z(p). Под синтезом двухполюсников
обычно понимают обратную процедуру: построение схемы двухпо-
люсника и расчет ее элементов по заданному выражению входного
сопротивления Z(p).
Возникает законный вопрос: всякому ли выражению Z(p)
можно сопоставить реальный, т. е. физически осуществимый
двухполюсник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухпо-
люсник, то функция Z(p) должна отвечать свойствам входного
сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рацио-
нальной с вещественными коэффициентами и степенями числителя
и знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и
полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси
плоскости р. При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p)
должна обладать свойствами входного сопротивления этих двух-
полюсников. Они перечислены в § 8.4.
Если заданная функция Z(p) обладает свойствами входного
сопротивления тех или иных двухполюсников, то говорят, что она
167
удовлетворяет условиям физической реализуемости. Это означает,
что существуют схемы двухполюсников с реальными значениями
элементов^ входное сопротивление которых описывается заданной
функцией Z(p).
В результате синтеза часто получают двухполюсники в виде
канонических схем Фостера или Кауэра (подобные схемы сущест-
вуют и для /LLC-двухполюсников).
Для иллюстрации идеи синтеза ограничимся рассмотрени-
ем только реактивных двухполюсников. Для двухполюсников,
построенных по первой форме Фостера, наиболее общей яв-
ляется схема, изображенная на рис. 8.15, а. Остальные схемы
(см. рис. 8.9, а; 8.11, а; 8.13, а) могут быть получены из нее
путем «удаления» соответствующих элементов La и Са.
Можно составить выражение для входного сопротивления
Z(p), отражающее структуру рис. 8.15, а:
Z(b)= pLa+-L+—±—+—±—+...+_. (8.17)
рСя (р +а>2)С2 (р +<04)С4 (р +(O2k)C2k
Первые два слагаемые соответствуют последовательному соедине-
нию элементов La и Са, остальные — последовательному соедине-
нию параллельных контуров с элементами Ь2 и С2, Ь4 и С4 и т. п.
Существуют формулы для расчета элементов этой схемы. При-
ведем их без доказательства:
7(п] 1 , (p2+a>it)z(p)
La=lim™ —=limZ(p)p; — = lim p
p—*00 P Ca p—*o ^2k P2-^°2k
(8.18)
Процедура синтеза двухполюсников по первой форме Фостера
сводится, таким образом, к представлению заданной рациональ-
ной дроби Z(p) в виде (8.17) и расчету элементов по формулам
(8.18). Заметим, что первое слагаемое будет существовать в
выражении (8.17) тогда, когда заданная дробь Z(p) неправильная,
т. е. степень числителя будет на единицу превышать степень
знаменателя. Число элементов двухполюсника соответствует наи-
высшей из степеней числителя и знаменателя заданной дроби Z (р).
При четных степенях знаменателя из (8.17) исчезает второе
слагаемое 1/(рСа).
Пример. Дано выражение
7М= 10* •/>’+1,5 • 1014р
W />4 + 2 10V+0,511016’
Осуществим синтез двухполюсника по первой форме Фостера. Можно показать,
что заданная функция Z(p) является физически реализуемой. Представим Z(p) в
виде (8.17):
z(p) (p2+®f)C1+(p2+^)C3-
(8.17а)
168
Расчет элементов произведем по формулам (8.18):
С\ = 1,165 мкФ; С3=7,0 мкФ; Д, = 1 /(со 1 Сх)=28,6 мГн; £3 = 1 /(со J С3)=0,84 мГн.
Схема двухполюсника состоит из четырех элементов (наивысШая степень
дроби—4): последовательно соединенных двух параллельных колебательных
контуров с элементами Лх, С\ и L3, С3. Отсутствие в схеме катуш-
ки индуктивности La обусловлено тем фактом, что дробь Z(p) правиль-
ная. Вследствие четности степени знаменателя в схеме отсутствует конден-
сатор Са. fl т<
Аналогичным образом осуществляется синтез двухполюсников
по второй форме Фостера. В этом случае наиболее общей является
схема на рис. 8.13, б. Входная проводимость У(р) такого двухпо-
люсника представляется суммой слагаемых, описывающих прово-
димости последовательных контуров и элементов L6 и Сб. При
синтезе двухполюсников заданная проводимость Y(p) раскладыва-
ется на сумму указанных слагаемых.
В теории электрических фильтров (см. гл. 10) находит применение
синтез реактивных двухполюсников по схемам Кауэра (см. рис. 8.16).
Наиболее общими являются схемы на рис. 8.16, г. Из них получаются
остальные разновидности двухполюсников. Выражения входных
сопротивлений для этих схем можно записать в виде так называемых
лестничных дробей. Так, в первой схеме Кауэра (левая схема на
рис. 8.16, г) катушка индуктивности Lt соединена последовательно с
остальной частью схемы, поэтому Z(p)=pL1 + Z;2(p). Оставшаяся
справа от катушки часть схемы представляет собой параллельное
соединение конденсатора и части схемы правее точек а—Ь. Поэтому
У2 (р) = 1 /Z2 (р) = рС2 + Y3 (р). Рассуждая подобным образом, можно
прийти в итоге к следующей записи:
Z(p)=jp£1 +---------Ц---------. (8.19)
pL^pCt+M...
Дробь вида (8.19) называется лестничной. Синтез двухполюсников по
первой схеме Кауэра состоит в разложении заданной функции Z(p) в
лестничную дробь (8.19). Коэффициенты при р являются значениями
элементов схемы.
В виде лестничной дроби можно представить и входное со-
противление второй схемы Кауэра (правая схема на рис. 8.16, г). В
этой дроби первый и остальные элементы будут следующего вида:
l/tnUJ, 1/(р£2), 1/(рС3) и т.д.
Пример. Осуществим синтез двухполюсника по выражению Z (р) из предыдущего
примера в виде первой схемы Кауэра. Заданная дробь имеет четвертый порядок
(наивысшая из степеней числителя и знаменателя равна 4). Разложение ее в цепную
дробь осуществляется последовательным делением полинома знаменателя на
169
от
второго деления и т. д.:
полином числителя*, последнего — на остаток от первого деления, остатка от
первого деления — на остаток
1) р4+2-108/>2+0,51 Ю16 106р3 +1,5 • 1014р
— 10’6р
р4+1,5 • 108р2
0,5 • 108/>2+0,51 • 1016 2) 10V + 1.5- 1014р 0,5 108р2+0,51 •
— 210’2р
106р3 +1,02 • 1014р 0,48 • 1014р 3) 0,5-108р2+0,51-1016 0,48 • 1014р
— 1,04- 10’6р
0,5 • 108р2 0,51 • 1016 4) 0,48 1014р 0,51 1016
— 0,94-10’ 2р
0,48 • 1014р 0
1018
В результате находится цепная дробь:
Z(p)=----------------------—j------------------.
10-6/>+----------------------------------
1
2 • 10’2р+---------------------—
1,04-10-6/>+1/0,94-10’2р
Этой дроби соответствует реактивный двухполюсник, схема которого подобна
рис. 8.16, в (левая схема), но содержит четыре элемента С, = 1,0 мкФ; Д2 = 20мГн;
С3 = 1,04 мкф; L4=9,4 мГн.
Глава 9. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
9.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В технике связи, радиоэлектронике, автоматике и телемеханике
приходится передавать электрические колебания (сигналы) от
* В случае неправильной дроби начинают с деления полйнома числителя на
полином знаменателя, в результате чего выделяется первый член разложения pL3.
170
Рис. 9.1
источника к потребителю, от одного участка цепи к другому. Для
этих целей используются четырехполюсники—устройства с двумя
парами зажимов (четырьмя полюсами).
Условимся понимать под четырехполюсником электрическую
цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары
зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической
энергии. Зажимы, к которым подключается источник электричес-
кой энергии, называются входными, а зажимы, к которым
присоединяется приемник электрической энергии (нагрузка),— вы-
ходными.
В качестве примеров четырехполюсников можно привести
трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются
электрические фильтры—устройства, пропускающие без сущест-
венного ослабления колебания в определенной полосе частот и
значительно ослабляющие все остальные колебания, усилительные
устройства радиопередатчика или радиоприемника, линия между-
городной телефонной связи и т. п. Все эти устройства, имеющие
совершенно' «непохожие» схемы, обладают рядом общих свойств.
Выявлению таких свойств и посвящен раздел теории цепей—тео-
рия четырехполюсников.
В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на
рис. 9.1. Ко входу четырехполюсника (1 — 1) подключен источник
электрической энергии с задающим напряжением Ur и внутренним
сопротивлением Zr. К выходным зажимам (2—2) присоединена
нагрузка с сопротивлением ZH. На входных зажимах действует
напряжение U^, на выходных—U2. Через входные зажимы
протекает ток Д, через выходные зажимы—12. Заметим, что в
роли источника и приемника электрической энергии могут
выступать другие четырехполюсники.
На рис. 9.1 использованы символические обозначения напря-
жений и токов, что справедливо при анализе четырехполюс-
ника в режиме синусоидальных колебаний. Если же использу-
ется источник периодических несинусоидальных или непериоди-
ческих колебаний, то можно воспользоваться спектральным
представлением напряжений и токов: Ur (/со); (/со); U2 (/со); Ц (/со) и
/2(/®).
171
Рис. 9.2
Будем широко использовать подобное представление при анализе
частотных характеристик четырехполюсников. В необходимых
случаях будем обращаться к операторным изображениям UT(p),
(р), U2 (р), Ii (р) и 12 (р), которые легко получить, заменяя
оператор /со на оператор р.
Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Ли-
нейные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что
не содержат нелинейных элементов и характеризуются поэ-
тому линейной зависимостью напряжения и тока на выход-
ных зажимах от напряжения и тока на входных зажимах.
Примерами линейных четырехполюсников являются электричес-
кий фильтр, линия связи, трансформатор без сердечника, при-
мерами нелинейных—преобразователь частоты (содержащий дио-
ды) в радиоприемнике, выпрямитель переменного тока, транс-
форматор со стальным сердечником (при 1 работе с насыще-
нием стали). Усилитель, содержащий нелинейные элементы (на-
пример, триоды), может считаться как линейным, так и не-
линейным четырехполюсником в зависимости от режима его
работы (на линейном или нелинейном участке характеристик
триодов).
Четырехполюсники бывают пассивными и активными. Пассив-
ные схемы не содержат ’источников электрической энергии,
активные—содержат. Последние могут содержать зависимые и
независимые источники. Примером активного четырехполюсника с
зависимыми источниками может служить любой усилитель,
примером пассивного—LC-фильтр.
В зависимости от структуры различают четырехполюсники
мостовые (рис. 9.2, а) и лестничные: Г-образные (рис. 9.2,6);
Т-образные (рис. 9.2, в); П-образные (рис. 9.2, г). Промежуточное
положение занимают Т-образно-мостовые (Т-перекрытые) схемы
четырехполюсников (рис. 9.2,6).
172
Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметричные.
В симметричном четырехполюснике перемена местами входных и
выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой
он соединен. Четырехполюсники, кроме электрической симметрии,
могут иметь структурную симметрию, определяемую относительно
вертикальной оси симметрии. Так, Т-образный, П-образный и
Т-перекрытый четырехполюсники (рис. 9.2) будут иметь вертикаль-
ную ось симметрии при ZX = Z3. Мостовая схема структурно
симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в
структурном отношении, обладают электрической симметрией.
Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравно-
вешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизон-
тальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 9.2, а)
и используются, когда нужно сделать зажимы симметричными
относительно какой-либо точки (например, земли). Можно сделать
уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.
Наконец, четырехполюсники делятся на обратимые и необрати-
мые. Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энер-
гию в обоих направлениях; для них справедлива теорема
обратимости или взаимности (см. § 1.8), в соответствии с которой
отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при
перемене местами зажимов.
9.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей тео-
рии четырехполюсников является установление соотношений меж-
ду четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе и
токами, протекающими через входные и выходные зажимы.
Уравнения, дающие зависимость между U_t, U2, h и /2,
называются уравнениями передачи четырехполюсника. Для линей-
ных четырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величи-
ны, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи,
называются параметрами четырехполюсников.
Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая
входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокуп-
ность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.
Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить
параметры сложного четырехполюсника и получить тем самым
зависимость между напряжениями и токами на зажимах результи-
рующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех
напряжений и токов внутри заданной схемы.
Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить
обратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти
параметры четырехполюсника и затем построить его схему и
рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.
173
Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров.
Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (71[1=/1),
второй контур—к его выходу (Л2 = Л)- Будем считать, что во
внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые
источники энергии.
При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условить-
ся о положительных направлениях напряжений и токов. В
дальнейшем будем придерживаться положительных направлений,
показанных стрелками на рис. 9.1, если особо не будут оговорены
другие случаи.
Составим систему уравнений для контурных токов:
f L11zil+Il2zi2 + ... + IKnZln=U_i,
1*1 —21 +1*2 £22 + ••• + ZKnZ2n = — U2, (9 1)
hl^nl+ZK2^n2 + — +Ln^jm = ^-
Определим из этой системы токи и 12:
L=L,=^1+V^ 1
Д Д ч
Г — Л __Д12/7 — &22ТТ (
L2— ix2~ 7^—1 2’ '
(9.2а)
где А —главный определитель системы уравнений; Ап и А22— его
соответствующие миноры.
Введем обозначения Уц = А11/А; Yl2 = &2l/&; У?1 = — А12/А;
Y22= — А22/А.
Тогда
Li = YllU1+Yl2U2, )
l2=Y2lUl + Y22U22. J
(9.26)
Коэффициенты Уп, У12, У21 и У22 в уравнениях (9.2)
называются ^-параметрами, или параметрами проводимостей
четырехполюсника, так как по размерности они являются именно
таковыми. Уравнения (9.2) называются уравнениями передачи
четырехполюсника в Y-параметрах. Эти уравнения представляют
собой одну из возможных форм уравнений передачи. Они
позволяют находить любую пару из значений h, [2, Ул и JZ2, если
заданы значения другой пары.
Помимо уравнений в форме (9.2) существует еще пять форм
уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения у2, U2
и токи Zj, /2,
174
^21/1 +^22^2
(93)
содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений
четырехполюсника, или Z-параметры, и называются уравнениями
передачи в Z-параметрах. Параметры Zn, Z12, Z2i и Z, 7" имеют
размерность сопротивлений. Заметим, что они не являются
обратными величинами по отношению к параметрам проводимос-
ти, так что, например, Zli^]/Yll или Z12/l/y12. Не следует
также путать эти параметры с собственными и взаимными
сопротивлениями контуров Zn, Z12 и т. д. в уравнениях (9.1) для
контурных токов.
Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую
входные и2 и и выходные U7 и /2 напряжения и токи:
//1=411//2+412/2’ 1 (ОДЛ
/1=421^2 + 422/2 J 1 }
называются ^-параметрами, или обобщенными параметрами.
Уравнения (9.4) называются уравнениями передачи в А-парамет-
рах. Параметры Atl и А22 являются безразмерными; параметр Л12
имеет размерность сопротивления; параметр Л21—размерность
проводимости.
Приведем еще одну форму уравнений передачи:
И =£11/1+^£2; 1 zo
/2 = Я21/1+Я22//2. J 1 ’
Коэффициенты Н21, Н12, Н21 и Я22 называются Н-параметрами и
применяются при рассмотрении схем с транзисторами, так как
режим транзистора определяется входным током и выходным
напряжением U2. Параметры Н12 и Н21 являются безразмерными,
а параметры Н21 и Н22 имеют размерность сопротивления и
проводимости. Уравнения (9.5) называются уравнениями передачи
в Н-параметрах.
Все формы уравнений передачи принципиально равноправны.
Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи,
которая в данном случае решается.
Полная совокупность параметров любой системы уравнений
передачи образует систему параметров четырехполюсника. Так,
систему Y-параметров четырехполюсника образует совокупность
его параметров УП, У21, У12, У22.
175
Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы параметров, независи-
мо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются,
очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называ- |
ются эквивалентными, и при включении любого из них между одними и теми же
внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.
Свойства параметров-коэффициентов. Системы Y-, Z-, А- и
Н-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи,
и поэтому часто их объединяют одним названием параметры-
коэффициенты, Рассмотрим основные свойства параметров-коэф- *
фициентов. ,?
1. Параметры-коэффициенты определяются только схемой че- i
тырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, |
между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они |
характеризуют собственно четырехполюсник. 1
Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 9.2,6), подключен- |
ного к внешним цепям, действует напряжение и ток а на выходе напряжение 5
U2 и ток /2. Определим A-параметры четырехполюсника.
В соответствии с ЗНК и ЗТК = и 1\=Ул1
Подставляя выражение для тока Ц в первое равенство, получаем
U^+ZdZ^+ZJs,
I^l/Z^+I,.
Сравнивая эти уравнения с уравнениями передачи в А-параметрах (9.4), находим
A^—A+Zy!Z2\ Ai2=Zx\ A2i = \IZ2 и Л22 = 1. Как видим, A-параметры определя-
ются только элементами Г-образного четырехполюсника и не зависят от внешних
воздействий.
2. Все системы параметров-коэффициентов описывают один и
тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами
параметров-коэффициентов существует однозначная взаимосвязь.
Пример. Установим связь между A-параметрами и Z-параметрами. Решая
систему уравнений в Z-параметрах (9.3) относительно неизвестных и Ц
находим:
z2i z21
Z2i z21
где \Z\ = Z11lZ22— Z12Z21—определитель системы уравнений (9.3).
Сравнивая эту систему уравнений с системой (9.4), устанавливаем, что
dii=?n/?2i» 412= — |Z|/Z21; ^ = 1/Z21 и ^22= — ^22/^21- Решая систему (9.4)
176
Таблица 9.1
Параметр Y z A H
Y — Z.22 _ ^12 |Z| |Z| Z21 Zn |Z| |Z| 1 »u 1 I Ju || Ju NJ | JS 1 NJ 1 1 Hu. || Ju |ju | *ll ** ® | £4| -1 J. d uTi 1
Z 1 -1 — ГЧ <ч|— >^|| — Hu 1 • • p | н* 1 >-* 1 1 1 Ju || Ju | Ju 1 ~ s Is s 1- 1 I Is |SX3 £c N NJ NJ Ы 1- ! 1Й5 |_|£t! ||£4 sl s Is
А -1 s :| я 1 N М N СЧ гч (N М N * 1 N 1 1 — 1 Nl Nil Nl 1 1 -И ГЧ ГЧ Nil Nl 1 Nl — 1 1 |£щ IItq |£Ц 1 - s Is s I® |£q | _ |jq ||Й5
Н 1 Zn Zu bi IYI Zn Zu IN IIN й1 I N NJ 1 NJ w 1 M I h- 1 Kl 1 IN lIN Is I — |> ||Ju W 1 NJ h- NJ | NJ 1 1 Ju | — | JU l| JU tsj J> NJ NJ 1 NJ 1 ~ —
относительно неизвестных Ur и U2, можно найти выражение Z-параметров через
А-параметры:
^ii=^.nM2i» Z12= ^2i~^M2i и ^22= — Л22/Л21,
где |А| = Л11Л22 — Л12Л21 — определитель системы уравнений (9.4).
Аналогичным образом можно установить связь между другими системами
параметров. В табл. 9.1 приведены соотношения между различными системами
параметров — коэффициентов.*
3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не
более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, так
* При пользовании различной литературой по теории цепей необходимо иметь
в виду, что знаки в соотношениях между параметрами-коэффициентами зависят от
выбора направлений напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника.
177
2гП №
Четырехпо-
люсник
Zex2
Рис. 9.3
как в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаим-
ные сопротивления Zkm и Zmk k-ro и m-го контуров равны между
собой, то равными оказываются и миноры Д12 и Л21 определителя
Д в системе уравнений (9.2, а). Следовательно, У12 = “Zu- Зная
связь между Y-параметрами и Z-параметрами, можно установить,
что Zl2 = — Z21. Далее можно показать, что для А-параметров
справедливо соотношение
|А| =
Ац А12
А_21 А22
— АцА22 А12А21 — 1.
Это легко доказать, если выразить в данном определителе
A-параметры, например, через Z-параметры.
Наконец, аналогичным образом можно найти, что Н12 = Н21.
Таким образом, независимыми параметрами четырехполюс-
ника могут быть: Уп, Zi2= — Z21» Z22; Zn, Zi2= —Z2i, Z22;
Яп, Hl2 = H2l и H22 или любые три из параметров А п, А12, Л21
и А22.
4. При изменении направления передачи энергии через четырех-
полюсник во всех выражениях, включающих A-параметры, коэф-
фициенты Ап и А 22 меняются местами.
Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в обрат-
ном направлении, т. е. от зажимов 2 — 2 к зажимам 1 — 1
(рис. 9.3). Если в уравнениях передачи (9.4) заменить напряжение
U} и ток Ц на зажимах 1 — 1 на напряжение U2 и ток —1'2 в
соответствии с рис. 9.3, а напряжение U2 и ток 12 на зажимах
2—2 — на величины — U'k и —I'i, то (9.4) можно переписать в
виде:
{и'2=А1кЦ\-А121\-,
( —12 = А 21 U\ — A 22I'i.
Решая эту систему относительно нового входа четырехполюсника,
т. е. относительно переменных U\ и Ги получим
178
f U't =A22U'2+Ai2I'2; (9 6)
I I'i = Л21 Я'2 + а11г2.
Сопоставляя эти уравнения с (9.4), можно сделать интересное
наблюдение: в уравнениях передачи параметры Ли и А22
поменялись местами. Оказывается, этот факт справедлив не
только для уравнений передачи, но и для любых других
выражений, в которые входят А-параметры.
5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только
два независимых параметра. В самом деле, в случае симметрич-
ного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление
передачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не
изменяются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения
передачи (9.4) и (9.6), устанавливаем, что ЛП=.Л22. Из табл. 9.1
находим также, что в симметричных четырехполюсниках Уп =
= -у22; 1u = —z22 и |Н|=-1.
Любой симметричный пассивный четырехполюсник полностью
описывается двумя независимыми параметрами: Лп = /122 и
любым из параметров А12 и А 21 (так как они связаны уравнением
1111.22-1121.21 = О’ 111= ~ 122 И 112= —121’ 111= ~ 122 И
Z12 = —Z21; Я12 = Я21 и любым из параметров Яп и Я22 (так
как для симметричных четырехполюсников ЯПЯ22 — Я12Я21 =
= - О-
6. Параметры-коэффициенты имеют определенный физический
смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырех-
полюсник поставить в такой режим работы, при котором
уравнения передачи будут содержать лишь один интересующий
нас параметр. Подобное произойдет, если использовать режимы
холостого хода (ХХ-размыкания пары зажимов) и короткого
замыкания (КЗ-замыкания накоротко пары зажимов). Так, при
холостом ходе на зажимах 2—2 (см. рис. 9.1) ток 72 = 0. Тогда
уравнения передачи, содержащие ток 12, например уравнения (9.3)
в Z-параметрах, будут иметь вид:
^1=1иЛ и t72 = Z2171.
Коэффициент Zll = Ul/I1 при /2 = 0 есть не что иное, как
входное сопротивление четырехполюсника, измеренное со стороны
зажимов 1 — 1 при разомкнутых зажимах 2—2, или входное
сопротивление холостого хода.
Коэффициент Z21 = U2/[i \ j =0 — отношение комплексного дей-
ствующего напряжения на разомкнутых зажимах 2—2 четырех-
179
полюсника к комплексному действующему току, протекающему
через зажимы 1 — 1, или взаимное (передаточное) сопротивление
холостого хода.
Рассматривая режим XX на зажимах 1 — 1 (/1 = 0), убеждаемся
из уравнений (9.3), что Z22— выходное сопротивление четырех-
полюсника при разомкнутых входных зажимах, a Z12—взаимное
(передаточное) сопротивление при XX на зажимах 1 — 1.
Предлагаем читателю самостоятельно установить физический
смысл остальных параметров, «устраивая» поочередно XX на
зажимах 2—2 (/2 = 0) и зажимах 1 — 1 (Л=0) и КЗ на этих же
зажимах (U2=0 и =0) и используя соответствующие уравнения
передачи (9.2), (9.4) и (9.5).
7. Из предыдущего свойства следует, что параметры-коэффици-
енты являются комплексными величинами, так как они определя-
ются отношением комплексных амплитуд (действующих значений)
напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в
режиме несинусоидальных колебаний используют спектральные
представления электрических величин. Можно показать, что
параметры-коэффициенты, рассматриваемые относительно не от-
дельной частоты, а определенного спектра частот, являются
рациональными функциями оператора /со. При переходе от
оператора /со к оператору р параметры-коэффициенты представ-
ляют собой рациональные функции оператора р.
Пример. Для четырехполюсника на рис. 9.2,6 определим параметр Zu. Исходя
из физического смысла параметра Zn (он является входным сопротивлением
Г-образной схемы при разомкнутых зажимах на входе), определяем из рис. 9.2,6:
=21 +2г-
Этот же результат можно получить следующим образом:
£1
Л *2 = °
^,12^2 _ Л и
+ 21JZ2 + + 22Z2 *2=2 + 21
где значения параметров Ап и Л21 взяты из первого примера этой главы.
Пусть далее двухполюсник Zr состоит только из индуктивности L, а
двухполюсник Z2 — только из емкости С. Тогда, используя операторную форму
записи, получаем Z х (р) = pL, Z2 (р) = 1 /(рС) и Z х х (р) =pL +1 /(рС) = , т. е. Z х х
- - р -
является дробно-рациональной функцией оператора р с положительными веществен-
ными коэффициентами. Нули этой функции р01 02 = ±J\/V(^0—мнимые и лежат
на мнимой оси комплексной плоскости; полюс рх=0. При замене оператора р
оператором /со переходим к частотной характеристике Zu (/co) = L//co [(1/(LC)—со2)].
Полученные выражения Zn(p) и Zx(/co) напоминают выражение входного
сопротивления последовательного LC-контура. Это объясняется тем, что входное
180
сопротивление Г-образной схемы (см. рис. 9.2, б) при разомкнутых выходных
зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z\ и Z2
(индуктивности и емкости), т. е. _ZU является входным сопротивлением двух-
полюсника.
9.3. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РАСЧЕТУ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем
уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матричной
форме. В частности, для системы уравнений в Y-параметрах (9.2)
ь
72
Zu
Z21
(9-7)
где слева и справа записаны матрицы-столбцы.
Действительно, выполняя операцию умножения в правой части
(9.7), имеем
Л
Zll^l+Z12t/2
121^1+122^2
Из равенства этих матриц следует система уравнений (9.2).
Система уравнений в Z-параметрах в матричной форме записи
имеет вид:
Zi
£2
Zu
Z21
Z12
Z22
X
Л
11
Для уравнений передачи в А-параметрах
£1
Л
_21
7112
Z.22
£2
1г
Наконец, запишем в матричной форме систему уравнений пере-
дачи в Н-параметрах:
Ян Z?12 X Л
/2 Я21 ^22 с/2
Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехполюс-
ники можно представить в виде различных соединений простых
четырехполюсников. При этом параметры сложного четырех-
полюсника могут быть найдены по параметрам образующих его
простых четырехполюсников.
На рис. 9.4 показана схема каскадного соединения двух четырех-
полюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при
181
Рис. 9.4
Рис. 9.5
каскадном соединении £7'2 = 17'( и 7'2 = /р Для каждого из четырех-
полюсников можно составить матричные равенства:
Ул
Ь
Д'и Л'12
Л 21 -^ 22
— ЛЬ Ah X
^21 ^22
^2
/г
Так как матрицы
1'2
равны между собой, получаем
для результирующего четырехполюсника
Таким образом, матрица А результирующего четырехпо-
люсника при каскадном соединении равна произведению одно-
именных матриц соединенных четырехполюсников: А = А'А".
Это правило распространяется на любое число каскадно со-
единенных четырехполюсников, причем матрицы должны за-
писываться в порядке следования четырехполюсников, так как
умножение матриц не подчиняется переместительному зако-
ну.
При последовательном соединении двух (или большего числа)
четырехполюсников (рис. 9.5) удобно пользоваться матрицами
Z. Для этого вида соединения U1 = U'1 + U'i и U2 = U'2+ U2,
т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехпо-
люсников в результирующем четырехполюснике складываются.
Записывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырех-
полюсника
182
При последовательном соединении четырехполюсников матри-
ца Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноимен-
ных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z' + Z".
Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном
соединении четырехполюсников (рис. 9.6), где [i=['i+[t и 72 =
=['2+1'2 матрица Y результирующего четырехполюсника равна
сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников:
Y = Y' + Y".
Матрицы Н удобно применять при смешанном — последова-
тельно-параллельном соединении четырехполюсников (рис. 9.7).
При этом Н = Н' + Н".
Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассивным
четырехполюсникам относят Г-, Т-, П-образные схемы (см.
рис. 9.2, б—г), мостовые (см. рис. 9.2, а) и Т-перекрытые схемы
(см. рис. 9.2, д). Можно получить, основываясь на матричных
методах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если
рассматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из
соединений простейших четырехполюсников.
Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изобра-
женные на рис. 9.8, а и б. Для первого из них (рис. 9.8, а),
183
2/ Lz
lz
Рис. 9.8
пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: С71 = С/2 + /221 и
/!=/2. Сравнивая эти уравнения с уравнениями передачи в
А-параметрах (9.4), можно записать матрицу А для такого
четырехполюсника:
1
О
А =
1
Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 9.8,б) имеем
Ut = U2 и и’ поэтому
А = 1 ' ° .
I/Z2 1
Другие матрицы—Z, Y и Н — могут быть легко получены из
табл. 9.1. Заметим, что для первого простейшего двухполюсника
не существует Z-параметров, так как все они обращаются в
бесконечность. По этой же причине для второго простейшего
четырехполюсника не существует Y-параметров.
На рис. 9.9, в,г показаны соответственно прямое и скрещенное
соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению соот-
ветствует матрица
а скрещенному соединению — матрица
-1 О
О -1
184
Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюс-
ников, изображенных на рис. 9.2. Г-образный четырехполюсник
(рис. 9.2, б) получается путем каскадного соединения простейших
четырехполюсников, приведенных на рис. 9.8, а и б. Его матрица А
может быть получена перемножением вышеприведенных матриц
простейших четырехполюсников:
О
Z
1
о
1
1
1/Z2
1+ZJZ2
1/Z2
(9.8)
Л
1
Для Т-образного четырехполюсника (рис. 9.2, в) матрицу А
можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение
Г-образной схемы с элементами и Z2 и простейшей схемы с
элементом Z3 в продольном плече (рис. 9.8, а):
А =
l+(Zt/Z2)
1/Z2
Z3
1
i+(?!/z2) z.+z.+iz^/z^
\jZ2 1+(Z3/Z2)
(9.9)
Для П-образной схемы (рис. 9.2, г), если ее представить
в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника,
изображенного на рис.'9.8, б и Г-образного четырехполюсни-
ка с элементами Z2 в продольном плече и Z3 в поперечном плече,
матрица
1/ZX 1
1+(Z2/Z3) z2
1/Z3 1
1+(Z2/Z3) z2
l/Zi + l/Zs + Z^Zj 1+(Z2/Z3)
Зная A-параметры Г-, T- и П-образных четырехполюсников,
можно найти по табл. 9.1 другие системы параметров-коэффи-
циентов.
Мостовой четырехполюсник (см. рис. 9.2, а) можно предста-
вить как параллельное соединение двух простейших четырех-
полюсников (рис. 9.10). При параллельном соединении следует
пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 9.1, найдем
по известным матрицам А простейших четырехполюсников (вто-
рой из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Y и,
просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y
мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырех-
полюсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором
равны
185
Отсюда матрица Y мостовой схемы
Z]—Z2
2ZxZ2 2ZjZ2
Z2 — Z j z1+z2
2ZjZ2 2ZjZ2
С помощью табл. 9.1 можно получить матрицу А мостового
четырехполюсника:
А =
Z2H~Zi 2ZjZ2
2 Z2 + Z1
Z2 — Zi Z2-Zi
Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры
Т-перекрытого четырехполюсника (см. рис. 9.2, Э), рассматривая
его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с
сопротивлением Z4 в продольном плече и Т-образного четырех-
полюсника.
К числу простейших активных четырехполюсников с зависи-
мыми источниками относятся транзисторы и лампы, работающие
в линейном режиме.
186
Чаще всего для транзисторов используют уравнения пе-
редачи в Н- или Y-параметрах. Иногда используются так-
же Z-параметры. Усредненные значения Y-, Z- и Н-парамет-
ров транзисторов приводятся в справочной литературе. Сле-
дует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют
различные значения в зависимости от того, какой именно из
электродов транзистора (эмиттер, база, коллектор) является
общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как
четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и Н-параметры
транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим
коллектором.
Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характе-
ризуется Y- или A-параметрами. Для электронной лампы с общим
катодом, если считать, что сеточные точки отсутствуют, и не
учитывать паразитные емкости, имеем:
Zn=Zi2=0; r21=s; к22=1/л,;
^11= —l/SRi= — 1/цл; Л12= — !/$; Л21=Л22==0,
где 5—крутизна электронной лампы (скорость изменения анод-
ного тока с изменением сеточного напряжения); —внутрен-
нее сопротивление лампы; цл—коэффициент усиления лам-
пы.
При перечисленных выше условиях Z- и Н-параметров для
электронной лампы не существует. В общем случае, когда
с влиянием между электродами лампы через паразитные эле-
менты приходится считаться, ни один из параметров лампы с
учетом ее паразитных элементов не равен нулю и лампа как
четырехполюсник может характеризоваться любой системой па-
раметров.
Параметры сложных четырехполюсников. При анализе слож-
ного четырехполюсника следует выделить простейшие и ти-
повые четырехполюсники и установить способы их соедине-
ния. Затем с помощью матричных методов расчета можно
определить соответствующие матрицы сложного четырехполю-
сника.
Пример. Рассмотрим определение Н-параметров каскада усилителя на тран-
зисторе со схемой, показанной на рис. 9.11, а. Каскад усилителя образуется в
результате параллельного соединения транзистора и П-образного пассивного
четырехполюсника (рис. 9.11, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y
соединяемых четырехполюсников. Ранее для П-образной схемы была найдена
матрица А. От нее с помощью табл. 9.1 можно перейти к матрице Y П-образного
четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером,
Y-параметры возьмем из справочника. Просуммировав найденные таким образом
матрицы Y П-образного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y
усилительного каскада. Далее по табл. 9.1 перейдем к искомой матрице Н
усилительного каскада.
187
9.4. ПАРАМЕТРЫ ХОЛОСТОГО ХОДА И
КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ,
Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре
зажимов четырехполюсника, например 2—2, подключить произ-
вольное сопротивление ZH (рис. 9.12, а), то со стороны другой
пары зажимов, т. е. 1—1, четырехполюсник можно рассматривать
как двухполюсник с входным сопротивлением ZBX1, которое
называют входным сопротивлением четырехполюсника. Следова-
тельно, ZBX i =
Входное сопротивление можно выразить через параметры
четырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись
выражениями для Ur и_/\ из уравнений передачи в А-параметрах
(9.4). В этом случае
_ _ Л ц t/212_^2 11^н+4 12 /П11\
— т 1 ~~л—rz . j—7 ~л—7 j > V*-1 U
/221k2+/222L£ 2 ^21^H+zZ22
так как U2=Z2I_2.
На рис. 9.12, б показан тот же четырехполюсник, нагруженный
со стороны зажимов 1 — 1 на сопротивление Zr. Его входное
сопротивление со стороны зажимов 2—2 равно ZBx2 = U't /_/ i.
В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии,
следует воспользоваться уравнениями передачи (9.6). Тогда
г? A22U2+A ]2_/ 2 Л22£г + Л12 ,а
— “2 “ J П- . Л Т~~Л 7 _i_ J > V*-
:221k 2 + Л 11J. 2 ^221^r+Z!ll
так как U'2 = Zr_I'2.
Заметим, что при изменении направления передачи энергии
через четырехполюсник в выражениях (9.11) и (9.12) параметры
Л и и Л 22 поменялись местами (см. свойство 4, § 9.2).
Входное сопротивление четырехполюсника не является его
параметром, так как оно зависит не только от свойств четырех-
полюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую
замкнута пара зажимов четырехполюсника.
Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы
(9.11) и (9.12) описывают входные сопротивления четырехполюс-
ника при произвольных сопротивлениях нагрузок ZH и Zr. Из них
Рис. 9.12
188
легко получить величины ZBxl и Zm2 при разомкнутых (холостой
ход) и замкнутых накоротко (короткое замыкание) зажимах
четырехполюсника.
В режиме холостого хода на зажимах 2—2 (выходные зажимы
разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со сторо-
ны зажимов 1 — 1 обозначается Zx.xi и определяется и5 формулы
(9.11) при ZH = oo:
Z^^A^/A^Zu. (9.13)
Аналогично входное сопротивление со стороны зажимов 2—2
при разомкнутых зажимах 1 — 1 определяется из (9.12) при Zr = oo:
Zx.x2 = A22 IА 21 = Z22. (9-14)
При коротком замыкании зажимов 2—2 и 1 — 1 в формулах (9.11)
и (9.12) нужно положить ZH = 0 и Zr = 0. В этом случае
^х.з1=Л12/Л22 = 1/Уп и ZB.32=Al2lAll = \IY22. (9.15)
Величины Zx. х 1, Zx. х 2, Zx. 3 j и Zx. 3 2 называются параметрами хо-
лостого хода и короткого замыкания. Значения этих параметров для
любой данной частоты могут быть измерены с помощью специаль-
ного прибора для измерения комплексных сопротивлений—моста
переменного тока. Это особенно удобно, когда четырехполюсник
представляется в виде «черного ящика» и нет возможности узнать его
содержимое и рассчитать какие-либо другие системы параметров,
либо когда влияние паразитных элементов четырехполюсника
трудно учесть аналитически. Измерение же других систем пара-
метров зачастую представляет значительную сложность.
Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ
легко получить, что Zx.xl/Zx.x2 = Zx,31/Zx.32, т. е. только три
параметра из четырех являются независимыми. Этих параметров
достаточно для составления уравнений передачи пассивного
четырехполюсника, причем из параметров XX и КЗ может быть
получена любая система параметров-коэффициентов.
У активного четырехполюсника все четыре параметра незави-
симы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.
В случае симметричного пассивного четырехполюсника пара-
метры ЛН=Л22 и, следовательно, Zx.xi=Zx.x2 и Zx.3i=Zx.32, т. е.
симметричный четырехполюсник' характеризуется только двумя
параметрами XX и КЗ.
9.5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Согласованное включение четырехполюсника. В передаче сигналов
связи на расстояние может участвовать большое число каскадно
включенных четырехполюсников. Ясно, что потери мощности
189
сигнала при этом должны быть минимальными, а мощность
сигнала, выделяемая в нагрузке на приемном конце, должна быть
максимально возможной.
Известно, что генератор с внутренним сопротивлением Zr
отдает максимальную полную мощность в нагрузку ZH, согла-
сованную с его внутренним сопротивлением, т. е. при ZH = Zr.
Если между генератором и нагрузкой находится четырехполюсник,
как это показано на рис. 9.1, то для передачи максимальной
полной мощности от генератора в четырехполюсник необходимо
согласовать входное сопротивление четырехполюсника ZBX t с
внутренним сопротивлением генератора, т. е. выполнить условие
ZBxl=Zr, а для передачи максимальной полной мощности от
четырехполюсника в нагрузку—согласовать входное сопротивле-
ние четырехполюсника ZBx2 с сопротивлением нагрузки, т. е.
выполнить условие ZBx2 = ZH. Такой режим включения четырех-
полюсника, когда ZBX1 = Zr и ZBx2 = ZH, называется режимом
согласованного включения.
В случае каскадного включения нескольких четырехполюсни-
ков нужно позаботиться о согласованном включении каждого
из них.
Характеристические сопротивления четырехполюсника. Остается
не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согласо-
ванно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Zr
и ZH, при которых
7 _411ZH+zll2_ 7 . 7 _^2zZr+^12__ 7
_ ВХ 1 А 7 \ Л —ГЧ _ ВХ 2 А 7 \ Л —
Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует
такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие
(9.16). Эти сопротивления называются характеристическими (соб-
ственными) сопротивлениями четырехполюсника и обознача-
ются^! и Zc2. Индекс «1» указывают на то, что характеристи-
ческое сопротивление определяется со стороны зажимов 1—-1, а
индекс «2»—со стороны зажимов 2—2.
Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления
генератора выбрать Zr = Zcl и в качестве сопротивления на-
грузки ZH=Zc2, то ZBX1 будет равно Zel, a ZBx2 будет равно Zc2.
Рисунок 9.13 иллюстрирует это свойство харатеристических
сопротивлений.
Можно теперь уточнить определение режима согласованного
включения. Режимом согласованного включения четырехполюсника
называется такой режим его работы, когда внутреннее сопротив-
ление генератора выбрано равным характеристическому сопро-
тивлению четырехполюсника Zcl, а сопротивление нагрузки
равным характеристическому сопротивлению Zc2.
а Положив в (9.16) ZBX1=Zr=Zcl и ZBx2 = ZH = Zc2, получим
190
L.
Zfixl ZC1 ZflX2 ZcZ
Zb^ 2000 Ом Z^7200m
Рис. 9.13 Рис. 9.14
у — — 12 . g _ ^22^с1+Л !2
— cl Л2Х^с2 + Л22’ “c2 ^21ZcX+Jn
Совместное решение этих уравнений относительно величин Zcl и
Zc2 дает выражение характеристических сопротивлений через
А-параметры:
2’ci=\/—11—12/^21^225 Zc2 = 5/^22^12/^21^11- (9-17)
Характеристические сопротивления можно выразить через
параметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (9.17), если
воспользоваться формулами (9.13)—(9.15), где параметры XX и
КЗ выражены через A-параметры. В результате
Zcl у/ Zx.xlZK31,
ZC2—V ZX<X2ZK>32.
(9-18)
Последние формулы удобны для экспериментального опре-
деления характеристических сопротивлений методами XX и
КЗ.
Пример. Дан резистивный Г-образный четырехполюсник (см. рис. 9.2,6)
с элементами Zx = 1600 0m, Z2 = 900 0m. Включим его согласованно с ге-
нератором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором
нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому
сопротивлению четырехполюсника со стороны зажимов 1 — 1, т. е. Zr=ZcX. Чтобы
согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам
2—2 сопротивление нагрузки ZH = Zc2.
Матрица А четырехполюсника имеет вид:
I+Z1/Z2 Zi _ 2,77 1600
1/Z2 1 0,00111 1
Зная A-параметры, по формулам (9.17) определяем характеристические со-
противления четырехполюсника: Zcх = ^/Л 1ХЛ 12/Л21Л22 = 2000 Ом и Zc2 =
= ^/Л 22Л 12 / Л 21Л 22 = 720 Ом. Их можно найти также по параметрам XX и КЗ из
формулы (9.18). Последние можно определить непосредственно из схемы: Zx.xl =
= Z1 + Z2 = 2500 Ом; ZK 3 х = Zх = 1600 Ом и, следовательно, Zc х = Zx.xlZx.3i =
= 2000 Ом. Аналогично Zx.x2=Z2=900 Ом; Zk.32=ZiZ2/(Zi+Z2) = 580 Ом
И Zc2 = у/Zx.x2Z«.32 = 720 Ом.
Итак, внутреннее сопротивление генератора следует взять равным Zr =
= 2000 Ом, а сопротивление нагрузки Zh = 720 Om.
191
Схема согласованного включения четырехполюсника показана на рис. 9.14.
Входное сопротивление четырехполюсника ZBX1 =(А nZH+A 21 Z„+A 22) =
=2000 Ом, или из схемы ZB1I =Z1+Z2ZH/(Z2+Za) = 2000 Ом, ZBx2 =
=(Л22гг+Л12)/(Л21^г+Л п)=720 Ом или из схемы ZBx2=Z2(Z1+Zr)/
(Z7+Z1 +Zr)=720 Ом.
Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника.
При согласованном включении в четырехполюсник и нагрузку
будут отданы максимальные полные мощности и, следовательно,
на стыках «генератор—четырехполюсник» и «четырехполюсник—
нагрузка» энергия теряться не будет. Потери энергии будут иметь
место только в самом четырехполюснике (например, за счет
рассеяния ее в виде тепловой энергии на резистивных элементах
схемы).
Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии—ха-
рактеристическую (собственную) постоянную передачи четырех-
полюсника, определяемую через отношение произведения напря-
жения и тока на входе четырехполюсника к произведению
напряжения и тока на его выходе, взятое в логарифмическом
масштабе
Гс=51п[£7111/(17222)], (9.19)
причем все токи и напряжения измеряются или вычисляют-
ся в режиме согласованного включения четырехполюсника, т. е.
при Zr = Zcl и ZH=Zc2.
Так как U^j^Z^^J^Z^ и U2=J_2ZB=J2Z,.2, характе-
ристическую (собственную) постоянную передачи можно предста-
вить в иных формах записи
Г =1п— ®=1п^1 (9.20)
12\l Zv2 U2y) ZC1
Если четырехполюсник симметричный, то из (9.17) следует,
что Zc]=Zc2 = Zc, а из (9.20)
Гс = 1п(/1/12) = 1п(С71/С/2). (9.21)
Так же, как и характеристические сопротивления, характеристи-
ческую постоянную передачи можно выразить через параметры-
коэффициенты. Чтобы выразить Гс через A-параметры, пред-
ставим ток из (9.4) в виде Ji =Я21 U2+A21Lг- Так как
при согласованном включении то _Zi =
= (^21^2+^22 \11- Подставляя выражение для в (9.20) и
учитывая из (9.17), что
192
получим
Гс = 1П( — 21 \/ ^22^12/^21^11 + А 22 ) у/ 411/^22 =
= In (5^/ А 12^21 *ь \/ Л 11^22 )• (9 *22)
Приведем без вывода связь собственной постоянной передачи с
параметрами XX и КЗ:
1ЬГс = -у/ ^г.з1/^x.xl =\/'^х.з2/^х.х2> (9.23)
С собственной постоянной передачи Гс связаны конкретные
физические представления. Воспользуемся выражением (9.19)
г -hn^i-hnI
-с 2 2 |t72|e^lZ2|e>.2 2 |<72_Z2|
+1 In еЯ(ф«1" ’,«2>+<’п
2
Окончательно имеем
Гс=|1п^Ц^+/(<1>,,|+<1>,,гУ<1>,1~<1>,2)=Ас+/Вс. (9.24)
Z I 2,— 2 I
Величина
Ac=|ln(|HtZ1|/|l/2Z2|)=lln(S1/S2), (9.25)
где S1! и S2—полные мощности на входе и выходе четырех-
полюсника при согласованном его включении, называется харак-
теристическим (собственным) ослаблением четырехполюсника.
Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько
уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравне-
нию с мощностью на его входе при передаче энергии через
четырехполюсник в режиме согласованного включения.
Для симметричного четырехполюсника из (9.21) получаем
Ас = In (| Ut I /1 U21) = In (LZ11 / К 21)- (9-26)
В этом случае величина Ас показывает ослабление абсолютных
значений напряжения и тока.
Единица измерения отношений величин в масштабе натураль-
ных логарифмов называется непером (сокращенно Нп).
Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение мощности в
е2 = 7,39 раза (так как при ^ln(S1/52)=l имеем S1/S'2=e2), а в
симметричном четырехполюснике—уменьшение напряжения и
тока в е=2,718 раз (так как при ln(171/C72) = ln(71/72)=l име-
ем C71/t72=l1/22=e).
На практике принято вычислять и измерять ослабление в
других единицах — белах (сокращенно Б). Ослаблению в 1 Б
193
7 - 3439
соответствует уменьшение мощности в 10 раз, ослаблению 2 Б—в
100 раз и т. д. Вместо формулы (9.25) в этом случае используют
формулу
Ac = lg(|l7tZ1|/|^xZ2|)=lg(S1/52).
Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно
применяют в 10 раз меньшую единицу—децибел (сокращенно дБ).
Поскольку 1Б=10дБ, то
Ас = Ю 1g(| U.li1 /1 U2121)= Ю lg($t / S2). (9.26)
Для симметричных четырехполюсников вместо (9.26) следует
пользоваться формулой
Ac = 201g(|C/1|/|C/2|)=201g(|
Между неперами и децибелами существует связь: 1 Нп =
= 8,7 дБ; 1дБ=0,115Нп.
Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены
согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с
мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его входом—в
10000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехпо-
люсников.
Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четы-
рехполюсника согласно формуле (9.25) составляет Ас= 101g 1000 = 30 дБ, а для
симметричного—Ас = 101g 10000=40 дБ. Кроме того, для симметричного че-
тырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по напряжению и
току. В соответствии с (9.25) оно равно 201g 10000 = 80 дБ.
Второе слагаемое в формуле (9.24) Вс=|[(<ри1 —фи2)+(ср(1—<pi2)]
учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при
передаче энергии через согласованно включенный четырехполюс-
ник и носит название характеристической (собственной) фазы или
фазовой постоянной четырехполюсника.
Преобразование (9.21) для симметричного четырехполюсни-
ка приводит к характеристической (собственной) фазовой по-
стоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений
или токов: Вс = фи1 —<ри2 = фн —ф(2- Измеряется фазовая посто-
янная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно
град).
Величины Zcl, Zc2 и Гс образуют систему характеристи-
ческих (собственных) параметров четырехполюсника. Она пол-
ностью описывает пассивный четырехполюсник.
Связь с другими системами параметров. Вычисление характе-
ристических параметров по A-параметрам осуществляется с
помощью формул (9.17), (9.22), а по параметрам XX и КЗ—с
помощью формул (9.18) и (9.23). Установим обратные соотно-
шения, т. е. выразим A-параметры и параметры XX и КЗ через
характеристические.
194
Из (9.22) следует:
е^с = \/ ^112^22 у/ — 122^ 21 И е ~° = у/ — 11—22 у/ — 122^ 21 •
Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем
сЬГс=^^ = У^11Л22; (9.27)
8ЬГс=^^=ул12Л21. (9.28)
Далее из (9.17) получаем
>/—ci/—с2 = л/—и/—22! (9.29)
y/ZclZc2 = jA12IA2l. (9.30)
Параметр Я1Х определится из произведения (9.27) и (9.29)
^n=chrcVZcl/Zc2. (9.31)
Чтобы найти параметр Л12, необходимо перемножить (9.28)
и (9.30)
2412 = shrcVZclZc2. (9.32)
Остальные два параметра получаются из отношений (9.28) к (9.30)
и (9.27) к (9.29):
A2i = ^ly/ZalZc2, (9.33)
^22=chrcVZc2/Zcl. (9.34)
Уравнения передачи (9.4) в A-параметрах после подстановки в
них величин из (9.31)—(9.34) превратятся в уравнения передачи в
характеристических параметрах:
C71=y|Jichrct/2 + 4/z^Z^shr<J2;
h =—l=sh Гс U2+VZc2/Zclch Г J2.
y/ZclZ,2 J
Для симметричного четырехполюсника, где Zcl=Zc2 = Zc,
эти уравнения примут вид
^i = ^2chrc+l2Zcshrc; 1
Ji=df2/Zc)shrc+J2chrc.J 1 • 7
Запись уравнений передачи в форме (9.35) широко применяется
Для описания цепей с распределенными параметрами (см. гл. 11).
195
^6x1~-c1 -8ыхГ-с2 -fix 2 -с2 ?6ых2~-сЗ -6x3 -сЗ -ОыхЗ -с4
Рис. 9.15
Формулы (9.13)—(9.15) и (9.31) — (9.34) позволяют выразить
параметры XX и КЗ через характеристические параметры.
Действительно,
Z*.xi =А 11IА21 =^ci cth Гс; Ji =А 12 / А 22 = ZC1 thrc;
Ах.х2~А22 IА 21 =Ас2С^Ис’ Акз2 = А 12/ Л ц = ZC2 th Гс.
Заметим, что из этих формул легко выводится формула (9.23),
приведенная ранее без вывода.
Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюс-
ников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников
ранее был использован матричный метод, в котором матрица А
результирующего четырехполюсника определялась произведением
матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюс-
ники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характе-
ристическими параметрами.
На рис. 9.15 показано каскадное согласованное включение трех
четырехполюсников с характеристическими постоянными пере-
дачи Гс1, Гс2 и Гс3.
Согласование четырехполюсников состоит в том, что харак-
теристические сопротивления со стороны их соединения выбраны
равными друг другу, а внутреннее сопротивление генератора и
сопротивление нагрузки—равными характеристическим сопротив-
лениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний
справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его
характеристическому Zc4, значит, входное сопротивление этого
крайнего четырехполюсника будет равно характеристическому
сопротивлению Zc3 предшествующего четырехполюсника. В свою
очередь, входное сопротивление среднего четырехполюсника ока-
зывается равным характеристическому сопротивлению Zc2 край-
него левого четырехполюсника. Следовательно, входное сопро-
тивление крайнего слева четырехполюсника будет равно ZC1 и
согласовано с внутренним сопротивлением генератора.
Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с
левого четырехполюсника.
На рис. 9.15 во избежание путаницы входные сопротивления
четырехполюсников со стороны зажимов 2—2 названы выходами
сопротивлениями четырехполюсников. Определим харак-
196
теристическую постоянную передачи результирующего четырех-
полюсника. Согласно (9.20)
Таким образом, результирующий четырехполюсник, составлен-
ный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырехпо-
люсников, имеет характеристические сопротивления, равные харак-
теристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и
оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой.
Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характе-
ристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсни-
ков. Учитывая, что Гс = Ас+уВс, можно записать:
3 3
Ас= £ Асг; Вс= £ Bci.
i=i i=i
9.6. РАБОЧИЕ МЕРЫ ПЕРЕДАЧИ
Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного
включения четырехполюсника является наиболее благоприятным
для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование
четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе
частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопро-
тивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристи-
ческие сопротивления четырехполюсника являются активными.
Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех
частотах рабочего диапазона, как правило, не удается. Возни-
кающая вследствие этого несогласованность приводит к допол-
нительным потерям энергии.
Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях
(см. рис. 9.1), когда Zr^Zcl и ZH^Zc2. В этом случае ZBxl^Zr
И ZBx2#ZH- Несогласованность на входе приводит к тому, что
генератор не отдает теперь максимальную полную мощность в
четырехполюсник; часть энергии отражается от входных зажимов
четырехполюсника и возвращается к генератору. Из-за несогласо-
ванности на выходе не вся энергия из четырехполюсника
передается нагрузке; часть ее отражается от нагрузки и возвра-
щается обратно в четырехполюсник. Очевидно, какая-то часть
энергии будет теряться за счет многократного ее отражения на
входных и выходных зажимах четырехполюсника.
Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях
потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи.
197
К рабочим мерам передачи относится рабочее ослабление
четырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифми-
ческих единицах полную мощность S2, выделяемую в нагрузке ZH
на выходе четырехполюсника, с максимальной полной мощностью
So, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его
внутренним сопротивлением.
Мощность, выделяемая в нагрузке ZH (см. рис. 9.1)
52 = |C/2l2| = |t/^/ZH|.
Максимальная полная мощность выделяется на сопротивлении,
равном внутреннему сопротивлению генератора, т. е. на Zr, и
подключенном непосредственно к его зажимам:
50 = lZ2Zr| = |(C7r/2Zr)2Zr| = |C/r2/4Zr|.
Рабочее ослабление четырехполюсника, Нп, подсчитывается по
формуле
А=-1п —= 1п U2ZU =ln UT +-ln Zb , (9.36)
р 2 S2 4i/izr 2t/2 2 zr
или, дБ,
Ар = 201g | Ur / 2U21 +101g | ZHI Zr |. (9.37)
В (9.36) и (9.37) входят электрические величины UT и U2,
которые могут быть измерены, поэтому эти формулы лежат в
основе большинства методов измерения рабочего ослабления
четырехполюсника.
При теоретических расчетах пользуются другой формулой*’:
Ар=Ас + ЛА1+ЛА2 + ЛА3,
где Ас—характеристическое ослабление четырехполюсника:
ДА15 ДА2—дополнительные ослабления из-за несогласованностей
на входе и выходе четырехполюсника:
AAj=201g
Zcl +zr
AA2 = 201g
Zc2+Zh
2^2,
ДА3—дополнительное ослабление за счет многократного отраже-
ния энергии от входных и выходных зажимов четырехполюсника:
AA3=201g
Д о 7 ±7 7 \ 7
При согласовании четырехполюсника с генератором Zr=Zcl
и ДАх = ДА3 = 0. При согласовании четырехполюсника с нагруз-
кой ZH = Zc2 и ДА2=ДА3 = 0.
* Вывод этой формулы дан в [3].
198
Если согласование полное, т. е. Zr=Zcl и ZH = Zc2, то Ар = Ас,
т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его
характеристическому (собственному) ослаблению. Для пассивного
четырехполюсника рабочее ослабление больше собственного ос-
лабления вследствие рассогласования на входе и выходе.
Рабочее ослабление является вещественной частью комплекс-
ной величины Гр—рабочей постоянной передачи четырехполюс-
ника:
Гр = Ар+7®р»
где Вр—рабочая фазовая постоянная.
Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функ-
цией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 9.1) называется
отношение выходной электрической величины к входной электри-
ческой величине, т. е. отношение реакции к воздействию (см.
§ 7.8).
Если входным воздействием считать напряжение генератора с
комплексным действующим значением UT, а реакцией четырех-
полюсника на это воздействие—напряжение с комплексным
действующим значением U2 или ток с комплексным действующим
значением J_2, то будем иметь дело с комплексными передаточ-
ными функциями общего вида:
H=U2/Ur и H=12IUT. (9.38)
В частных случаях, когда заданными воздействиями являются
напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток,
протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре
разновидности передаточных функций (см. формулу (7.81)):
HU=U2/ U2—комплексный коэффициент передачи по напря-
жению (для активных четырехполюсников, например усилителей,
он носит название коэффициента усиления по напряжению);
Hi=j_2.IJ_i—комплексный коэффициент передачи по току (для
активных цепей—коэффициент усиления по току);
Hz=LL 2 И1 — комплексное передаточное сопротивление;
Hr=l2l Hi—комплексная передаточная проводимость.
Передаточные функции четырехполюсника выражаются через
любую систему параметров и сопротивления нагрузки. Например,
^=tf2/tf1 = t/2/(^ntf2+^1222)=Z1I/(^uZII+^12); (9.39)
Я,=12/11 = /2/(Л21£2 + Я2212)=1/(Л21г11 + Я22). (9-40)
Можно вычислять передаточные функции в различных режимах
работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание,
согласованное включение). Например, при холостом ходе на
выходе (разомкнутые зажимы 2—2) комплексный коэффициент
передачи по напряжению находится из (9.39) при ZH = oo
ЯИх.х=1Мп. (9.41)
199
Коэффициент передачи по току в режиме короткого замыкания
на выходе (замкнутые накоротко зажимы 2—2) получим из (9.40)
при ZH=0:
JZi«.3= 1 /_ 22 *
При согласованном включении симметричного четырехполюс-
ника из (9.39) следует
_ j~c2 _ у/ 422412/(421411) _
411Zc2+412 Лц 42241г/(421411)+4 12
= 1 ------=е~Ь. (9.42)
у/411422+л/ 4124г!
Формула (9.42) устанавливает связь между передаточной
функцией по напряжению согласованного включенного симметрич-
ного четырехполюсника с его характеристической (собственной)
постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить
остальные передаточные функции в различных режимах работы и
выражения их через интересующие нас параметры.
Часто используют так называемую нормированную (рабочую)
передаточную функцию четырехполюсника:
Hp=U2/U2max, (9.43)
где U2max—максимально возможное напряжение на сопротивле-
нии нагрузки ZH, относительно которого нормируется выходное
напряжение U2.
Величину U2max можно найти из условия, что вся мощность So,
которую вообще способен развить генератор, выделяется в
нагрузке. Это возможно только при полном согласовании
четырехполюсника на входе и выходе Zr=Zcl и ZH=ZC*2 и
отсутствии потерь энергии в самом четырехполюснике (Ас = 0)'.
Тогда S2max = S0 или U^/Z„=U?/(4ZT). Откуда
C/2^=^y|J. (9-44)
Подставляя это значение в (9.43), запишем
(’«>
Из сравнения данной передаточной функции с передаточной функ-
цией (9.38) становится ясным, что термин «нормированная» появился
из-за наличия в (9.44) нормирующего множителя lyjZT[Zn,
которого нет в (9.38). Нормированная или рабочая передаточная
функция непосредственно связана с рабочей постоянной передачи
четырехполюсника. Действительно, из (9.45) и (9.36) вытекает, что
200
(9.46)
или |Яр| = е Ар.
Справедливы также более общие соотношения: — 1пЯр = Гр,
или Яр=е--с.
Из изложенного становится понятным также и применение
второго термина — «рабочая»—по отношению к передаточной
функции.
Если на входе четырехполюсника действует несинусоидальное
(периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от
мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по
Лапласу Ur(p), Uk(p), U2(p), Л(р) и 12(р), будем иметь дело с
операторными передаточными функциями Н(р) (7.81), которые
представляются в общем виде:
г//п\-а^"+а"+1Р"'1+ •" +aiP+ao (О47\
или
н(р)=н
(Р-РО1)(Р~РО2) - (Р-Роп)
(Р-Р1)(Р-Р2) • • (Р~Рт) ’
где р01, р02, ... , рОп—нули передаточной функции; рк, р2, ...
... , рт—полюса передаточной функции; H=anfbm.
При замене в формуле (9.47) оператора р на операторуш получим
частотные характеристики четырехполюсника Я(уш) = | Я(уш) | ел’(ш),
где |Я(усо)|—амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):
. . \ | _ /(а0~д2<02+«»<°4- -)2+(а1<о-а3<о3+д5<о5- ...)2
у (Ь0—Ь2ы2 + Ь4а>4 — ...)2+(61<о—й3<о3+65и3 — ...)2’
<р(ш)—фазочастотная характеристика четырехполюсника:
/ \ . д.ю—д3и3+д5и5 — ... . b,(0—b3<os+bs<os — ...
Ф (со)=arctg —---Ц—Ц----------arctg —-Ц—-Ц----------.
' ' а0—а2а>2+а4а>4— ... Ь0—Ь2ю2+Ь4т4— ...
Наличие радикала в выражении АЧХ делает эту функцию ирраци-
ональной. Поскольку в теории цепей предпочитают иметь дело с
рациональными функциями, вместо АЧХ рассматривают ее квадрат:
I Н( im\ 12 = co<°2"+ci<°2"~2+ - +c.-i<o2+c„
1 U Л rf0®2"+rf1<»2”-2+ ... +d„_l<S>2+dn’
(9.48)
коэффициенты ск и dk которой получаются путем объединения
коэффициентов при одинаковых-степенях переменной со.
Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ
четырехполюсника, изображенного на рис. 9.16, а, в режиме холостого хода на
выходных зажимах.
201
1 R
о-
1
2
—о
L .
Л Ро1
Pz
yPoz
6)
се
о
2
Рис. 9.16
по напряжению
Коэффициент передачи
согласно (9.39) равен
Я,= Я2/Я,=2./(Лпг.+Л12).
В режиме холостого хода Z„=oo и согласно (9.41) и (9.8)
Я - 1 - 1 ~2
-“ЖЖ du \+Zi!Z2 Zj+Z/
Используя операторную форму записи, имеем
pL+\/(pC) p2+\/(LC) р2+а0
R+pL+ \ /(рС) р2+pR/L+1 / (LC) р2+Ьгр+Ь0
где Я=1, a0=b0=\/LC; bl = R/L.
Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функ-
ции,
нагруженного четырехполюсника
1
P01,02=
y[LC
Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,
R . / 1 R2
P1’2~~2L±j\l Tc~^L2'
На рис. 9.16, б показано расположение нулей и полюсов функции при
1/(£С)>Л2/(4£2).
По теореме Виета можно записать:
г. / \ (р-Ро1)(р-Рог)
Н-[Р}= (Р-Р^-Рг) •
Амплитудно-частотная характеристика в данном режиме работы определяется
из Ямхх(р) путем замены р на у® и вычисления модуля полученной функции
[До-со2)2
Квадрат АЧХ запишется в виде
202
, . 2 _ о4—2д0<о2+др _ <о4+с1со2 + с2
<o4+(Z>J—2Z>o)<o2+feo <o4+<Z1<o2+</2’
где С1 = 2д0=2/(LC); c2 = ag=l/(L2C2); dl=b2l-2b0=(R/L)2-2ILC-, d2=b20 =
= i/(L2C2).
Перечислим свойства передаточных функций и квадрата АЧХ
четырехполюсников.
1. Передаточная функция является дробно-рациональной функ-
цией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэф-
фициентов объясняется тем, что они определяются элементами
схемы четырехполюсника.
2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой
полуплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей
ограничений нет.
Докажем это свойство на примере передаточной функции H„(P)=U2(P)/U1(P).
Выберем входное воздействие «,(/)=8 (г) или в операторной форме U1(P)—l.
Изображение выходного напряжения t/2(p)=t/i(p)#„(p) в этом случае численно
равно Я„(р), т. е.
(9.49)
U (п\=Н Ы=_____________“’(Р)_________=_________*(?)_______=
2W -W pm+bm ipm-l+ +hip+fto <р_р1)(р_р2)..4р_ря)
=---— +----—+ ... +----
P-Pl Р-Р2 Р-Рт
где w(p)—полином числителя передаточной функции; Л2, ..., Лт—коэффи-
циенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Перейдем от изображения U2(p) к оригиналу w2(0:
м2(/)=Л1е,’1* + /12е,’2*+ ... + Атер>*‘,
где в общем случае д=0^+70^.
В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе
четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий
характер. Это означает, что в (9.49) вещественные части полюсов д должны быть
отрицательными (af<0), т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости
переменной р.
3. Степени полиномов числителей передаточной функции и
квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей,
т. е. п^т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бес-
конечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно
большое значение (так как числитель рос бы с увеличени-
ем частоты быстрее знаменателя), т. е. четырехполюсник об-
ладал бы бесконечным усилением, что противоречит физическому
смыслу.
4. Квадрат амплитудно-частотной характеристики является
четной рациональной функцией переменной о с вещественными
коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из
способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.
203
5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и
бесконечно больших значений при со>О. Неотрицательность
|Я(/со)|2 следует из свойств квадрата модуля комплексной
величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах
объясняется так же, как и в свойстве 3.
9.7. ПОНЯТИЕ О СИНТЕЗЕ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Задачи синтеза. Синтезировать четырехполюсник—значит по-
строить его схему и рассчитать элементы по заданной харак-
теристике (амплитудно-частотной, фазочастотной, импульсной
и др.).
Характеристика может быть задана в виде графика или
таблицы, поэтому необходимо получить ее аналитическое выра-
жение, т. е. решить задачу аппроксимации. Однако не всякой
полученной в результате аппроксимации аналитической функции
можно сопоставить реальный четырехполюсник. Нужно, чтобы эта
функция удовлетворяла условиям физической реализуемости, т. е.
чтобы она отвечала свойствам соответствующей функции цепи
(например, описанным в § 9.6).
После решения задачи аппроксимации и проверки выполнения
условий физической реализуемости полученного аналитического
выражения приступают к реализации четырехполюсника, т. е. к
получению схемы и расчету ее элементов.
Методы аппроксимации. Обозначим заданную функцию £(х). Как
уже говорилось, это может быть: АЧХ |Я(/а>)| или ее квадрат
|Я(/со)|2; ФЧХ ф(ш) или ее тангенс tg ср (<»)• характеристика
группового времени прохождения (ГВП) trp (со)=dtp (со)/аа; им-
пульсная характеристика й (г); переходная характеристика g(t) и т. д.
В качестве аппроксимирующей функции выбирают соответ-
ствующую частотную или временную функцию цепи F(x). Напри-
мер, если задан квадрат АЧХ, т. е. Цсо) = | Н(/'со)|2, то функция
цепи, аппроксимирующая заданную, ищется в общем случае в виде
Р/ \_ с0в>2"+с1<о2"-2+с2<о2"-4+ ... +С„_1<02+С„
' dom2m+d1m2m~2+d2ai2m~4 + ...+ dm^1a^2+dm,
где подлежат определению значения коэффициентов с0, ..., с„,
d0, ..., dm.
Для заданной переходной функции £(/)=#(/) аппроксимирую-
nt
щая функция может описываться выражением F(t) = £ AkePt‘, где в
*=i
результате аппроксимации определяются значения коэффициентов
Ак и корней характеристического уравнения pk = ak+j<ok и т. д.
Из рассмотренных примеров видно, что аппроксимирующая
функция F(x) зависит от некоторых параметров цепи (в первом
204
L
случае от е0, ..., с„, dQ, dm, во втором—от Ак и рк и др.).
Обозначим параметры цепи в общем виде буквами а15 а2, ..., aw,
т. е. F(x)=F(x, ах, а2, ..., a.N). Решением задачи аппроксимации
считается нахождение наилучших значений коэффициентов а15
а2, ..., cln, при которых функция F(x) будет наиболее «близка» к
функции £(х).
Различные аппроксимации (приближения одной функции к
другой) отличаются, прежде всего, понятиями «близости» двух
функций. Наиболее широкое распространение в радиотехнике и
связи получили такие методы аппроксимации, как интерполяция,
приближение по Тейлору, приближение по Чебышеву, среднеквад-
ратическое приближение.
При приближении функции F(x) и £(х) методом интерполяции
наилучшей «близостью» этих функций считается совпадение их
значений в выбранных точках—узлах интерполяции—х15 х2, ...,
xN, т. е.
F(xt, a15 a2, ..., aJV)=^(xi), z=l, 2, ..., N.
Решение этой системы уравнений позволяет найти искомые
значения коэффициентов а15 а2, ..., a.N.
Данный метод аппроксимации применяется довольно часто
ввиду его простоты, однако он не гарантирует получения
физически реализуемой функции F(x).
Приближение функций по Тейлору предполагает, что наилучшая
«близость» F(x) и £ (х) достигается при совпадении в выбранной точке
х0 значений самих функций и их (N— 1) производных. Таким образом,
F(x0, a15 a2, ..., aN)=£(x0),
F'(x0, ax, a2, ..., aiV)=^'(x0),
^-‘’(xo, av a2, ..., aN)=^N-1)(x0).
В основе этой системы уравнений лежит разложение функций
F(x) и £(х) в ряды Тейлора и приравнивание первых N
коэффициентов соответствующих рядов. Приближение по Тейлору
нашло применение, в частности, при синтезе электрических
фильтров. По имени автора, впервые предложившего такой вид
аппроксимации в теории фильтров, она называется аппроксима-
цией по Баттерворту (см. § 10.2).
Наилучшее приближение функции F(x) к ц(х) при аппрокси-
мации по Чебышеву определяется из условия
А=шах |7^(х)—С(х)|-> min
X ...«»)
Этот критерий «близости» функций следует понимать так: коэффи-
циенты а15 а2, ..., aN функции F(x) должны быть выбраны такими,
чтобы самое наибольшее отклонение F(x) от £(х) в любой точке х
рассматриваемого диапазона сделать минимально возможным.
205
Задача чебышевских приближений решена аналитически для
электрических фильтров (см. § 10.3).
При среднеквадратическом приближении наилучшая «близость»
двух функций достигается при выполнении условия
м
Л= £ |^(х()-^(хг)|2-> min ,
i=l {«paj,...,»)»}
т. е. при таких значениях коэффициентов ап а,, ..., av, при
которых сумма квадратов отклонений F(x) от £(х) в точках хп
х2, ..., xM(M>N) является минимально возможной.
При решении задач среднеквадратических приближений разра-
ботано большое количество численных методов, предназначенных
для использования их на ЭВМ.
Заметим, что не существует четких рекомендаций по примене-
нию того или иного метода аппроксимации. Зачастую выбор
метода зависит от сложности решения задачи аппроксимации
(аналитического или численного), от конкретного применения
синтезированной цепи и т. п.
Реализация четырехполюсников. Полученная в результате ап-
проксимации • функция цепи F(x) подлежит в дальнейшем реа-
лизации в виде конкретной схемы. Существует большое чи-
сло методов реализации цепи по функции квадрата АЧХ
|Я(/со)|2, ФЧХ ф(ш) или характеристике ГВП frp(a»), по пере-
ходной g(t) и импульсной й(г) характеристикам. Даже краткое
упоминание обо всех методах привело бы к чрезмерному
увеличению объема книги. В § 10.5 приведены примеры реализации
электрических фильтров по функции квадрата АЧХ в виде
пассивных лестничных £С-схем и активных ЛС-схем. Ниже дан
пример реализации четырехполюсника в виде пассивной цепи по
функции |Яр(/со)|2.
От квадрата АЧХ |Яр(/о>)| , полученного в результате аппрок-
симации, перейдем к функции |Яр(р)|2 путем замены p=j®. При
этом |Яр(р)|2 = Яр(р)Яр(— р). Определяя нули и полюсы функции
| Яр(р) |2, можно из полюсов, лежащих в левой полуплоскости (см.
свойства передаточных функций в § 9.6), и половины нулей (на их
расположение ограничений нет) сформировать по теореме Виета
передаточную функцию Яр(р). Полюсы в правой полуплоскости и
остальные нули относятся к Яр(—р).
Для симметричного Т-перекрытого четырехполюсника, пока-
занного на рис. 9.17, а, характеристические сопротивления
2 с 1 = ;?с2 = \/^12М21 = 1—2
при взаимно-обратных двухполюсниках ZjZ2 = R2 равны R, т. е.
четырехполюсник включен согласованно. Следовательно, его соб-
ственная постоянная передачи непосредственно связана с рабо-
чей передаточной функцией е_-с = Яр или
206
Рис. 9.17
гс=1пЦ11+ч/л12л21)=1п(1+71//?)=1п^.
Отсюда
Яр(/ш)=1/(1+И1/Я) или Яр(р)=1/(1+^
Из последнего равенства и условия Zi(p)Z2(p) = R2 находим
Z (n\ — R z (n\ — R
к Яр(р) ’ 1-Яр(р)’
Двухполюсники Zx(p) и Z2(p) в плечах схемы рис. 9.17, а могут
быть реализованы известными способами.
Пример. В результате аппроксимации получена функция |Яр(/®)|2=((02 +
+ 1010)/(со2+9 • 1О10). Осуществим ее реализацию в виде симметричного Т-перекры-
того четырехполюсника (см. рис. 9.17, а) при нагрузке на сопротивление Я=1 кОм.
Заменим оператор /со на р:
IW МК. 101О-Р2 _ (ю5-р)(ю5+р)
1 ₽WI 9 101О-р2 (3-105—р)(3-105+р)
Очевидно, что Яр(р)=(р+Ю5)/(р+3 105). Сопротивление Zi(p) в схеме на
рис. 9.17, а определяется по формуле:
Zl(p)=R
1-Я„(р) 2-108
Нр(р) р+105'
Разложение Z,(p) в цепную дробь:
pC+\/Ri 510‘9р+1/2-103
приводит к схеме параллельного ЯС-контура с элементами С=5 нФ и Rr=2 кОм.
Двухполюсник Z2 (р) является обратным, т. е. последовательным ЯЬ-контуром
с элементами L=5 мГн и Я2=0,5 кОм.
Схема реализованного четырехполюсника приведена на рис. 9.17, б.
207
Глава 10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
10.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определение и классификация. Одним из наиболее «массовых»
устройств техники связи и радиотехники являются электрические
фильтры. Они применяются для выделения или подавления
определенных колебаний, разделения каналов, формирования
спектра сигналов. Электрические фильтры входят в состав
многоканальных и радиорелейных систем передачи, измеритель-
ной аппаратуры, в каскады радиопередатчиков и радиоприемников
и т. п.
Электрическим фильтром называется четырехполюсник, про-
пускающий без ослабления или с малым ослаблением колебания
определенных частот и пропускающий с большим ослаблением
колебания других частот.
Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой
пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико,
называется полосой непропускания (задерживания). Между этими
полосами находится переходная область.
По расположению на шкале частот полосы пропускания
различают следующие фильтры:
нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания распо-
лагается на шкале частот от со=О до некоторой граничной
частоты ю=<вп, а полоса непропускания (задерживания)—от
частоты <о=со3 до бесконечно больших частот (рис. 10.1, а);
верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты со=соп
до бесконечно больших частот и полосой непропускания от
частоты со = О до со = (о3 (рис. 10.1,6);
Рис. 10.1
208
полосовые (ПФ), в которые полоса пропускания шп1.. .шп2
располагается между полосами непропускания 0. ..соэ1 и юэ2. ..оо
(рис. 10.1, в);
заграждающие (режекторные) (ЗФ или РФ), в которых между
полосами пропускания 0.. .соп1 и соп2.. .оо находится полоса
непропускания <в31...<вэ2 (рис. 10.1,г);
многополосные, имеющие несколько полос пропускания.
На рис. 10.1, а—г показаны также условные обозначения
фильтров каждого типа в соответствии с ГОСТ.
В соответствии с используемой элементной базой к настояще-
му моменту выделились несколько классов фильтров. Исторически
первыми (и все еще наиболее широко применяемыми) являются
пассивные фильтры, содержащие элементы L и С. Они носят
название LC-фильтров.
Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая
избирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и
непропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению
фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнито-
стрикционных, электромеханических.
По-видимому, самые значительные достижения в области
теории и проектирования фильтров связацы с успехами микроэлек-
троники. Требования микроминиатюризации радиоэлектронной
аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивно-
стей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на
низких частотах, и не поддаются исполнению в микроминиатюр-
ном виде. Появились активные /?С-фильтры, состоящие из
резисторов, конденсаторов и активных приборов (например,
транзисторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде
микромодульной конструкции или интегральной схемы. Примене-
ние активных НС-фильтров ограничивается пока сравнительно
небольшим диапазоном частот до десятков (иногда сотен)
килогерц.
Разработка цифровых систем связи и достижения в области
цифровых вычислительных машин стимулировали создание фильт-
ров на базе элементов цифровой и вычислительной техники —
цифровых фильтров. В силу специфики элементной базы фильтров
не будем далее упоминать о них, хотя расчет таких фильтров
производится методами теории электрических цепей. Заинтересо-
ванные читатели могут обратиться к специальной литературе по
цифровым фильтрам.*
Требования к электрическим характеристикам фильтров. Изби-
рательность фильтра (степень разграничения полос пропускания и
непропускания) определяется крутизной характеристики рабочего
* Более подробно с существующими фильтрами можно ознакомиться по
книге: Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ./Под ред.
И. Н. Теплюка.— М.: Мир, 1977.
209
ослабления. Чем больше крутизна этой характеристики и чем
сильнее ослабление в полосе пропускания, тем лучше избиратель-
ность фильтра и, следовательно, меньше уровень помех от
подавляемых колебаний. В идеальном случае (идеальный фильтр)
характеристика рабочего ослабления, например для ФНЧ, имеет
вид, показанный на рис. 10.2, а. С рабочим ослаблением связана
согласно (9.46) рабочая амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ): | Яр(/со) |=е-А₽(ш). На рис. 10.2,6 изображена АЧХ идеаль-
ногоz фильтра нижних частот.
Реальные фильтры (т. е. фильтры, состоящие из реальных
элементов) имеют характеристики рабочего ослабления и ампли-
тудно-частотную, отличные от идеальных.
Требования к электрическим характеристикам фильтров за-
даются в виде допустимых пределов изменения этих характе-
ристик. Так, рабочее ослабление в полосе пропускания не должно
превышать некоторого максимального допустимого значения
Артах, а в полосе непропускания не должно быть ниже некоторого
минимально допустимого значения ApmiB. Нетрудно изобразить
эти требования графически, как это сделано на рис. 10.3, а. На
этом рисунке соп и ш3— граничные частоты полос пропускания и
непропускания.
Зная требования к Ар, можно пересчитать их в требования к
АЧХ или, как это принято в теории фильтров, в требования к
квадрату АЧХ (рис. 10.3,6):
\н 0<(О<(Оп,
|£W ->-2А₽~<», (0>(03.
Характеристики проектируемых фильтров должны «уклады-
ваться» в эти требования (рис. 10.3, а и 6).
Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослаб-
ления (а значит, и к АЧХ) могут задаваться также требования к
фазочастотной характеристике фильтра (скажем, допустимые
отклонения от линейного закона) и величине нелинейных искаже-
ний (обусловленных, например, наличием железа в катушках
210
индуктивности). Могут предъявляться требования и к другим
характеристикам и параметрам фильтра. Ниже будем учитывать
только требования к рабочему ослаблению и АЧХ.
Идеальные частотные характеристики фильтра (см. рис. 10.2, а)
заведомо нереализуемы. Частотные характеристики реальных
фильтров могут лишь приближаться к ним с той или иной
степенью точности в зависимости от сложности схемы филь-
тра.
Электрические фильтры с передаточной функцией вида (ср. с
(9.47))
(101)
называются полиномиальными. Амплитудно-частотная характе-
ристика таких фильтров (ср. с (9.48))
I (/со) | = _ . _ ...U-...-=^-= (10.2)
^dow,2m+dl«,2m 2+ ... +</M_1(o2 + rfm
и, следовательно, рабочее ослабление
Ap=101g(Joco2"*+rf1«)2”,-2-|- ... +<4,_1ш2+^) (10.3)
могут при надлежащем выборе степени полинома (порядка
фильтра) и коэффициентов dk удовлетворить заданным требова-
ниям (см. рис. 10.3).
Среди полиномиальных фильтров широкое использование
нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Они будут изучаться в
§ 10.2 и 10.3.
Возможно применение в качестве фильтров электрических
цепей с передаточной функцией вида (9.47) и АЧХ, опре-
деляемой формулой (9.48). Такие фильтры будут рассмотрены в
§ Ю.4.
Перед тем как перейти к конкретным электрическим фильтрам,
необходимо сделать два замечания.
Во-первых, в теории фильтров принято иметь дело не
с обычной угловой частотой со, а с нормированной часто-
той П = со/сон, где сон — нормирующая частота. Обычно в ка-
честве нормирующей частоты выбирают граничную частоту
полосы пропускания соп, так что £2п = соп/сон = соп/соп = 1.
Во-вторых, имеет смысл подробно изучать только филь-
тры нижних частот, так как остальные типы фильтров (верх-
. них частот, полосовые и заграждающие) могут быть легко
получены из ФНЧ с помощью замены переменной (частоты) или,
как принято говорить, с помощью преобразования частоты.
Вопросы, связанные с преобразованием частоты, будут рас-
сматриваться в § 10.6.
211
10.2. ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТА
Частотные характеристики. Если в (10.2) и (10.3) принять
коэффициенты dr = d2 =... = dm _ i = 0 и dm = 1, то получим (с учетом
нормирования частоты):
<1М>
Ap-lln(l+rf0<22-). (10.5)
Полиномы 5m(Q)=Qm известны под названием полиномов Бат-
терворта (по имени автора, предложившего использовать их для
«конструирования» частотных характеристик фильтра). Поэтому
фильтры, у которых квадрат АЧХ описывается выражением (10.4)
и рабочее ослабление—выражением (10.5), называются фильтра-
ми Баттерворта.
Из формул (10.4) и (10.5) следует, что на частоте Q=0
значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабле-
ния—нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Бат-
терворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно боль-
шой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до беско-
нечно большого значения. Таким образом, выражения (10.4) и
(10.5) приближенно воспроизводят характеристики идеального
фильтра.
Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к
фильтру требования (см. рис. 10.3), необходимо иметь рабочее
ослабление (10.5) в полосе пропускания меньшее АрИ|вх, а в полосе
непропускания большее Ар mi„. Первому условию можно удовле-
творить, если потребовать на граничной частоте полосы про-
пускания (Г2=1) выполнения равенства Ар(П)п=1 = Арпих или
|Яр(Д1)|о=1 =е-2Ар"””1. Отсюда с учетом (10.5) или (10.4) имеем
1 +д0 = е2Ар"““ и <Z0=e2Ap"““—1. Вычисленный таким способом
коэффициент d0 обозначается в литературе е2. Величина
Е = х/е2Ар"“*— 1 (10.6)
называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе
пропускания фильтра.
В формуле (10.6) величина Арпих имеет размерность непер.
Если воспользоваться значениями Арпих в децибелах, то
е = ч/10°’1А₽”“—1. (10.7)
С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра
Баттерворта запишется в виде
|Яр(Д2)|2 = 1/(1+£2Q2'”). (10.8)
212
Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных
четырехполюсников, и поэтому ей можно сопоставить физически
осуществимый электрический фильтр.
Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:
Ap=lln(l+£2fl2m) [Нп]; Ар= 101g(l +е2£22м) [дБ]. (10.9)
Крутизна частотных характеристик (10.8) и (10.9) зависит от
степени т (порядка фильтра). Чем больше степень т, тем выше
крутизна характеристик. На рис. 10.4, а, и б показаны графики
рабочего ослабления и квадрата АЧХ фильтра Баттерворта для
различных т. Таким образом, для удовлетворения требований в
полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий
порядок фильтра т. Его легко определить из условия: на
граничной частоте полосы непропускания Q3 Ap(Q3)>ApBlin или
|ЯР(Д2)| я=£1э<е2Ар"‘". С учетом этого условия получим 1+£2£22т>
>е2Ар”“", откуда Г22’"^^(е2Ар"“"—1). Логарифмируя обе части
неравенства, придем к выражению
2т In £2Э > In--—.
Из него находим окончательно
I (21nQ3). ' (10.10)
Величина Apmin входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в
децибелах, то
I (10.11)
Передаточная функция. Передаточную функцию фильтра Бат-
терворта можно получить из (10.8), если положить j£l=p'.
213
(10.12)
и разложить знаменатель полученной функции на произведение
сомножителей.
Вычислим корни знаменателя, т. е. полюсы функции Яр(р)х |
хНр(—р), отдельно для четных и нечетных значений т. Для |
четных значений т |
1— Е2р2т = 0 и pk=-j=2tf — 1, к = \, 2, ..., 2т. J
чуе '
Так как |
— 1 =e/<2’I-1)’'=cos(2A:— 1) n+jsin(2A: — 1)л, t
имеем J
, (2к— 1)л / \ 1
1 ?„/J(2it-i)« 1 J . 1 I 2Л-1 , . . 2Л-1 \ |
Pi=—=2<Уея ’ —e 2m =—- cos--------7r + /sin--it , J
-Д v тД -Д\ 2m 2m J j
k=\, 2, ..., 2m. (10.13) I
Для нечетных значений m '
рк=-Д=(cos —я+jsin —л ], fc=l,2, ..., 2m. I
m/g\ m m J I
r
Выражение (10.12) примет вид £
Яр(р)Яр(-р)=^—Р2) |
Половина полюсов функции Нр(Р)Нр( —р) лежит в левой “
полуплоскости комплексной переменной р и может быть отнесена
к передаточной функции реализуемого фильтра Нр(р). Другая t
половина полюсов, являясь зеркальным отражением первой,
располагается в правой полуплоскости и относится к Нр\—р).
Построенная из полюсов, лежащих в левой полуплоскости, ;
передаточная функция фильтра Баттерворта является полиноми-
альной передаточной функцией типа (10.1):
Нп(р) = Н-----------J----------,
рт+Ьт_1рт *+ ... +*,/>+/>0 :
гг 1
где Н=~.
£
Прнмф. Найдем выражения для частотной характеристики и передаточной
функции фильтра нижних частот Баттерворта, удовлетворяющего следующим
требовании: Аримх = 3 дБ; Apfni„= 12,2 дБ; /п= 159 кГц; /З=318 кГц.
214
Рис. 10.5
Определим нормированную частоту Q3=/3//n = 2 и по формуле (10.7) коэффи-
циент неравномерности ослабления е2 = 10о,1‘3—1 = 1. Порядок фильтра найдем
согласно (10.11):
w7>lg(10o,1‘12,2 —l)/(21g2)=2.
Выберем т = 2. Тогда в соответствии с (10.8) и (10.9)
1Я₽(Д1)|2=ТТ£?; Ар=1018(1+п4)-
Найдем передаточную функцию фильтра Яр(/?). Значения полюсов функции
|Яр(р)|2 = Яр(р)Я(— р)= 1/(1 +р4) вычислим из формулы (10.13): рг =0,707 +у0,707;
р2= —0,707 +у0,707; р3= —0,707—уО,707; р4=0,707—70,707. Расположение полюсов в
комплексной плоскости показано на рис. 10.5, а.
По теореме Виета из полюсов в левой полуплоскости р2 и р3 формулируем
передаточную функцию
Нр^ б(/>-р2)(р-/>з)_р2+1,41р+Г
Используя введенное ранее обозначение Вт(£1)=£У" полинома
Баттерворта, можно представить частотные характеристики (10.8)
и (10.9) фильтра Баттерворта в следующей форме:
|Яр(Д1)|2 = 1/[1+е252(£2)];
Ар(П)=11п[1+е252(£2)] [Нп], V (10.14)
Ар(П)= 101g[l +е2Л2(£2)] [дБ].
Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с мак-
симально плоским ослаблением в полосе пропускания (см.
рис. 10.4, а).
10.3. ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА
Частотные характеристики. Формулы типа(10.14), описывающие
частотные характеристики фильтра Баттерворта, по своей струк-
туре являются, вообще говоря, довольно универсальными. Доста-
215
точно заменить в них полином Баттерворта на какой-либо другой
подходящий полином (или дробь), как будет получен новый тип
фильтра. Например, если вместо полинома Bm(Q) использовать
так называемый полином Чебышева, формулы (10.14) примут вид:
|Яр(Д2)|2=1/[1+е2Т2(£2)];
Ар(£2)=11п[1+е2Г2(£2)] [Нп]; L (10.15)
Ар(£2)= 101g[l +е2Т2(£2)] [дБ], J
где Tm(Q)—полином Чебышева степени (порядка) т; £—коэф-
фициент неравномерности, определяемый (10.6) или (10.7).
Фильтры с частотными характеристиками (10.15) называются
фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристики'
фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства полино-
мов Г„(£2). Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева*:!
То(£2)=1, Т3(£2) = 4£23-3£2;
T1(Q)=Q; Т4(£2) = 8£24-8£22 + 1; (10.16а)
Г2(£2) = 2£22-1; Г5(£2)=16£25 - 20£23 + 5£2.
Любой полином Чебышева при т >2 может быть вычислен по
рекуррентной формуле 7’m(£2) = 2£27’m_1(£2) — Гт_2(£2). Таким обра-
зом, выражения (10.15) удовлетворяют общим выражениям
(10.1) — (10.3) характеристик полиномиальных фильтров.
Существует единая тригонометрическая форма записи поли-
номов Чебышева в интервале —1<£2<1:
Tm(£2)=cosmarccos£2. (10.166)
Действительно, То (£2У= cos 0 arccos £1=1; Tr (£2)=cos 1 arccos £2 =
= Q; T (Q) =cos 2 arccos £2 = 2 cos2 arccos £2— 1 = 2Q — 1. Вне интер-
вала —1^£2<1 полиномы Tm(Q) также представляются в тригоно-
метрической форме:
Тт (£2) =ch т Arch £2. (10.16в)
Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в
интервале —1<£2<1 угол 0 = arccos £2 изменяется от —л (при.
£2= — 1) до 0 (при £2=1), поэтому полином Tm(Q) = cosw0 ровно т
раз принимает значения, равные нулю, и т+1 раз достигает значе-
ний, равных +1 или — 1 и чередующихся друг с другом. Вне интерва-
ла — 1 <£2< 1 полином Тт(£2) согласно формуле (10.16в) монотонно
возрастает. В качестве примера на рис. 10.6, а изображен график по-
линома Чебышева Т4(£2), т. е. полинома четвертого порядка.
* Указанные полиномы были найдены и введены великим русским математиком
академиком П. Л. Чебышевым (1821 — 1894 гг.) в результате решения задачи
наилучшего приближения функций.
216
В соответствии с (10.15) рабочее ослабление Ap(Q) фильтра
Чебышева на тех частотах £2, где полином Тт(£2) обращается в
нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых Тт(£1)
равен ±1, рабочее ослабление достигает величины
Ар= 10 lg (1 +е2) = 101g(l + 10°-1А₽—1) = Армах.
С ростом значений полинома Тт(й) на частотах £2>1 рабочее
ослабление Ар(П) также монотонно растет. На рис. 10.6, б приведен
график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка.
Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволно-
вой характеристикой ослабления в полосе пропускания.
На рис. 10.7 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ
фильтра Чебышева для различных значений т, полученные для
|Яр(Д1)|2 из (10.15). Подобные зависимости могут быть построены
для рабочего ослабления фильтра.
Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе
непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра т из
условия |Яр(Д2)|п=£1з^е-2Ар"“". Для полосы непропускания Tm(£2)
определяется формулой (10.16; в), следовательно, 1 + е2 ch2 ли х
х АгсЬ£2э^е-2Ар«". Отсюда chтArchQ3>x/(e2Ap'»i" — 1)/е2. Далее
т Arch > ^/(е “ 2Ар™" — 1 )/е2 и ли > Arch -——- / ArchQ3.
Рис. 10.6
В этой формуле величина Apmjn
измеряется в неперах. При исполь-
зовании единицы децибел порядок
фильтра вычисляется из выраже-
ния
т Arch /---------/ Arch Q,.
Сравнивая частотные характе-
ристики фильтров Баттерворта и
Чебышева, следует указать, что
полиномы Чебышева являются
полиномами наилучшего прибли-
217
жения. Это означает, что при одинаковом значении т из всех
полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе про-
пускания не превышают Apmex, наибольшие значения ослабления в
полосе непропускания имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее
ослабление фильтра Чебышева в полосе непропускания может
превышать (и весьма значительно) рабочее ослабление фильтра
Баттерворта при равных значениях т и Артах. Однако характе-
ристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе
пропускания монотонный характер и легче поддается корректиро-
ванию для устранения искажений передаваемых сигналов.
Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкрет-
ными условиями их применения в аппаратуре связи и радиотехни-
ческих устройствах.
Передаточная функция. Для получения передаточной функции
фильтра Чебышева поступим аналогично тому, как делали это для
фильтров Баттерворта. Заменим оператор jSl на оператор р и
.перейдем от функции |Яр(Д2)|2 к функции
| Яр(р)|2 = Яр(р)Яр(—р)= 1/[1+е2Гт(р/у)].
Представим полином Tm(Q) в виде (10.166) и найдем полюсы
функции |Яр(р)|2, решив уравнение
e2cos2 warccos(p/j)+1 =0. (10.17)
Поскольку согласно (10.16а) коэффициент при старшем члене
полинома Чебышева Тт(П) равен 2т~1, то коэффициент при
старшем члене полинома в левой части приведенного выше
уравнения равен е222<’"-1).
Корни уравнения (10.17), как можно доказать, определяются
аналитически следующим выражением:
pt = shysin2^ 1 л+jchycos2^1 л, &=1,2, ..., 2т, (10.18)
где у=—Arsh-.
т е
Из корней в левой полуплоскости составляются сомножители
(р—р,), и по теореме Виета строится передаточная функция
фильтра Я_(р)=Я—— —г-------------- —, где Я=——т.
Ч' F PV7 рт+Ь„-1Р 1 + ... + 8-2м 1
Пример. Построим передаточную функцию фильтра Чебышева второго
порядка (т = 2), рабочее ослабление в полосе пропускания (от 0 до 159 кГц)
которого не превышает величину Арпшх = 3 дБ. Граничная частота полосы
непропускания 318 кГц.
Коэффициент неравномерности е такого фильтра согласно (10.7) равен 1.
Рабочее ослабление на частоте = 318/159=2 составляет Ар (Q)n=2 = 101g (1 +
+ch22Arch2)= 17 дБ, что почти на 5 дБ превышает рабочее ослабление на этой же
частоте фильтра Баттерворта второго порядка (см. пример в § 10.2).
218
Расчет полюсов функции Яр(р)Яр( — р) по формулам (10.18) дает величины:
Pl =0,322+70,777; р2 = 0,322-/0,777; р3 =-0,322-j0,777; р4=-0,322 +70,777. Распо-
ложение полюсов в комплексной плоскости показано на рис. 10.5, б.
Передаточная функция фильтра
1 _ °’707
₽ е\/2(р-Р4)(р-Рз) Р2+0,645/>+0,707
В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в
справочниках составлены весьма полные таблицы подюсов и
коэффициентов передаточных функций для различных величин
ApmtiX и т. Порядок же фильтров т определяется по специальным
графикам, исходя из заданных величин Ар(Ш)Х, Ар т{„ и fls.
10.4. ФИЛЬТРЫ СО ВСПЛЕСКАМИ
ОСЛАБЛЕНИЯ
Частотные характеристики полиномиальных фильтров, описываемые выраже-
ниями (10.1)—(10.3), имеют монотонный характер в полосе непропускания. В
частности, рабочее ослабление таких фильтров монотонно возрастает по мере
удаления от полосы пропускания (рис. 10.4, а и 10.6,6).
При «жестких» требованиях к частотным характеристикам (малая переходная
область между полосами пропускания и непропускания и большая величина
рабочего ослабления в полосе непропускания) порядок фильтра т может
получиться очень большим даже в случае применения полинома Чебышева. Это
приведет к существенному усложнению фильтра и к излишнему «расходу»
элементов.
В таких случаях целесообразно применять фильтры со всплесками рабочего
ослабления в полосе непропускания (рис. 10.8, а). На частотах всплеска Пда1, и
т. д. рабочее ослабление фильтра стремится к бесконечности; за счет этого
возрастает крутизна характеристики ослабления в переходной области. Соответст-
венно АЧХ фильтра на частотах и т. д. будет обращаться в нуль
(рис. 10.8,6).
Для выполнения указанных условий в выражениях (10.2)—(10.3) вместо
полиномов используют рациональные дроби:
219
। и (joii2 = (Q”1 Q2)(Q«>2 Q2)...(flL Q2).
’ р1АЛ d0Q2m^-diQ2m~2 +... + dm_lQ2 + dm"
А /ОХ 11п^2и + ^«2и-1 + -. +^-1«2 + ^
pl ' 2ln(QL-Q2)(Qi2-Q2)...(QL-Q2)-
(10.19)
(10.20)
Действительно, когда Q принимает значения Q^, Qoo2,...,£loon, |Яр(/О)|2 = 0 и
Ap(Q)-oo.
Передаточная функция таких фильтров в отличие от (10.1) является
дробно-рациональной:
(p2+Qji)(/?2+Q^2)-(p2+QL)
(10.21)
и кроме полюсов pl9 p2,—,Pm имеет нули
Poi = ±7^00Ь А) 2 = t/^oo2; •••JPon= i/^oon-
Фильтры со всплесками рабочего ослабления называют еще фильтрами с
нулями передачи.
Среди фильтров со всплесками ослабления наиболее широкое распространение
получили фильтры, построенные на основе дробей Чебышева и Золотарева. Чтобы
получить частотные характеристики фильтра на основе дробей Чебышева, нужно в
формулах (10.14) или (10.15) вместо полиномов Баттерворта или Чебышева
подставить дробь Чебышева. Обозначая ее Фт(£2), получим
|Яр(/П)|2=1/[1+е2Ф*(П)];
A₽(n)=jln[1 +е2ф»(Я)] [Нп], ►
Ар(й)= 10lg[l+е2Ф 2 (£1)] [дБ].
(10.22)
В качестве примера укажем дробь Чебышева пятого порядка, для которой
построены графики Ар(£1) и |Яр(/П)|2 на рис. 10.8, а и б:
Л, /ГЦ аоП’+сцй’+агй
И ' (й2к1-й2)(й2ю2-й2)’
где а0, ах и а2 — коэффициенты, связанные с частотами всплеска £1^ и
Очевидно, что подстановка этой дроби в (10.22) приведет после некоторых
преобразований к выражениям общего вида (10.19) и (10.20).
В полосе пропускания дробь Чебышева ведет себя так же, как и полином
Чебышева, т. е. рабочее ослабление фильтра носит равноволновый характер. На
частотах всплеска и £1да2 дробь Чебышева обращается в бесконечность, что
приводит к бесконечно большому рабочему ослаблению.
Следует отметить, что дробь Чебышева является дробью наилучшего
приближения. Это означает, что фильтр на основе дроби Чебышева на любой
частоте полосы непропускания имеет большее значение рабочего ослабления по
сравнению с фильтрами на основе других дробей (и полиномов, как частных
случаев дробей) при прочих равных условиях (при одинаковых порядках т, при
таком же количестве и расположении частот всплеска и тех же величинах Арпюх).
Частным случаем дробей Чебышева являются дроби Золотарева, названные
так в честь Е. И. Золотарева, ученика П. JI. Чебышева, применявшего эти дроби
220
Рис. 10.9 Рис. 10.10
для решения задач наилучшего приближения функций. Дроби Золотарева так же,
как и полиномы и дроби Чебышева, дают равноволновую характеристику рабочего
ослабления фильтра в полосе пропускания. Однако в полосе непропускания у
фильтров Золотарева значения всех минимумов рабочего ослабления оказываются
одинаковыми и равными значению рабочего ослабления на частоте Q3. Такие
фильтры называются также фильтрами с изоэкстремальными характеристиками
рабочего ослабления.
Фильтры с характеристиками Золотарева можно рассматривать как частный
случай фильтров с характеристиками Чебышева, когда значения минимумов
ослабления фильтра в полосе непропускания выравнены, а число всплесков —
максимально возможное при выбранном значении т.
10.5. РЕАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ФИЛЬТРОВ
Пассивные LC-фильтры. Любые из рассмотренных выше
фильтров, как полиномиальные, так и со всплесками ослабления,
в зависимости от особенностей их применения могут быть
реализованы либо в виде пассивных LC-цепей, либо в виде
активных /?С-цепей.
Пассивные ЛС-фильтры обычно представляют собой реактив-
ный лестничный четырехполюсник, включенный между генерато-
ром с активным внутренним сопротивлением RT и нагрузкой с
активным сопротивлением /?н (рис. 10.9)*. Входное сопротивление
реактивного четырехполюсника, нагруженного на сопротивление
Ra, обозначено на рисунке ZBxl (р).
Если фильтр со стороны зажимов 1—1 рассматривать как
двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и
нагрузкой Ан, то, зная выражение ZBX1 (р), можно реализовать
данный двухполюсник одним из известных в теории цепей
методов синтеза двухполюсников. Таким образом, задача реализа-
ции фильтра сводится к реализации двухполюсника по его
заданному входному сопротивлению. Идея данного подхода
* Существуют и другие способы включения пассивных LC-фильтров,
например, на входе усилительного каскада с очень большим входным сопротив-
лением. В этом случае ЛС-фильтр следует рассматривать в режиме холостого хода
на выходе, что приведет, естественно, к способу реализации, отличному от
описываемого в этом параграфе. Более подробно различные методы реализации
£С-фильтров описаны в [1].
221
принадлежит С. Дарлингтону и метод реализации фильтров
называется методом Дарлингтона.
На входе фильтра имеет место несогласованность, которую
можно оценить, введя в рассмотрение коэффициент отражения
Решая (10.23) относительно ZBX1(p), получаем
Z-W=/!’T^- <10-24’
В (10.24) неизвестным является коэффициент отражения ст(р). В
свою очередь, коэффициент отражения ст(р) связан с передаточной
функцией Hp(p) = w(p)/v(p) следующим соотношением:
(10.25)
Из (10.25) следует, что знаменатель у ст(р) такой же, как и у
Нр(р): им является полином v(p). Остается найти нули правой
части выражения (10.25) и половину из них «приписать» полиному
числителя' <у(р). Последний формируется из нулей по теореме
Виета.
Пример. Реализуем фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка из
примера § 10.2 в виде пассивной LC-схсмы. Внутреннее сопротивление генератора
1 кОм.
В примере § 10.2 была получена передаточная функция Баттерворта второго
порядка Яр(р)= 1/(р2 +1,41р+1) Для нормированных значений частоты Q = ®/coH =
=со/(2тг • 159 • 1О3)=со/1О6, где сон=®п=2л/п. Реализация нормированной передаточ-
ной функции приведет к схеме с нормированными значениями реактивных
элементов (обозначим их L, Q, которые затем необходимо денормировать для
получения реальных значений.
В соответствии с (10.25)
1 1 р4
О’ (/?) О ( —р) = 1 —-------------=------------------------.
р2 + 1,41р+1 Р2- 1,41р+1 (р2+1,41р+1)(/?2-1,41р+1)
Нули этой функции />01,02,03,04=0- Полином числителя а(р) в соответствии с
теоремой Виета равен (р— Ро1)(р—рО2)=Р2- Отсюда а(р)=р2/(р2 +1,41/>+О-
Согласно (10.24)
Z 1пз 1-Я2/(р2+1,41р-Ы)=1,41 • Ю3р4-103
1U 1+р2/(р2 + 1,41/>+1) 2р2 + 1,41/>+1’
Реализацию двухполюсника со входным сопротивлением ZBX1 (р) осуществим
разложением в цепную (лестничную) дробь по методу Кауэра. Представим
ZBX1 = 1/Увх1 (/>) и проведем разложение проводимости (см. гл. 8):
222
1-й этап 2р2 +1,4 \р +1
“ 2р2 + 1,41р
Г
1,41 • 103р+103
1,41 • 10-3р
2-й этап 1,41 10>+103 J
“ 1,41 10> 1,41 • 1О‘>
103
3-й этап 1 103
1 “о" 1О‘Э
Процесс разложения закончен. Входное сопротивление ZBX1 (р), представленное
цепной дробью, имеет вид
Z X 1 1
^вх 1 (р) — j — j •
P^+p£+l/GH 1,41 10 Р+1,41 • Ю3/>+1/10-3
Схема двухполюсника, входное сопротивление которого соответствует данной
цепной (лестничной) дроби, приведена на рис. 10.10. Нормированные значения
элементов С=1,41 10~3, L= 1,41 • 103. Активная проводимость нагрузки не
нормируется и равна (7н=103См, т. е. сопротивление нагрузки 7^=1 кОм.
Денормировать значения элементов можно следующим образом. Комплексная
со Л
проводимость нормированной емкости j£lC=j—C=j&C, откуда ненормированное
значение емкости С=С/сон = 1,41 • 10~3/106= 1,41 • 10~9Ф = 1,41 нФ.
Подобным образом комплексное сопротивление нормированной индуктивнос-
ти уП£=у—£=>£ или £=£/сон= 1,41 • 103/106= 1,41 • 10“3 Гн= 1,41 мГн.
сон
Аналогично рассмотренному примеру решается задача реализа-
ции фильтра любого порядка. Например, полиномиальный ФНЧ
пятого порядка (т = 5) реализуется в виде одной из двух схем,
показанных на рис. 10.11, а и б. Количество реактивных элементов
определяется порядком фильтра т. Отличие фильтра Баттерворта
от фильтра Чебышева будет заключаться в этом случае только в
Рис. 10.11
223
Рис. 10.12
разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе
реализации соответствующих передаточных функций.
По подобной схеме осуществляется и реализация передаточных функций
фильтров со всплесками затухания (Чебышева или Золотарева). Разложение
входного сопротивления таких фильтров в цепную дробь приведет к схемам,
содержащим резонансные контуры, в которых резонансы происходят на частотах
Qooi, На нние этих контуров и обеспечивает бесконечно большое затухание
на частотах всплеска.
Так, ФНЧ пятого порядка со всплесками затухания на частотах и
реализуется в виде одной из схем, приведенных на рис. 10.12, а и б. И в первой и во
второй схемах контуры рассчитаны на резонансные частоты и В первой
схеме в параллельных контурах происходят резонансы токов; сопротивления
контуров принимают бесконечно большие значения. В результате на частотах
резонансов и наблюдается «обрыв» продольных ветвей фильтра и сигнал
от генератора в нагрузку не поступает, т. е. фильтр вносит бесконечно большое
ослабление. Во второй схеме в последовательных контурах происходят резонансы
напряжений; сопротивления контуров обращаются в нуль. Таким образом, здесь на
частотах и поперечные ветви «закорачивают» нагрузку и сигнал на выход
фильтра не поступает. Таким образом, имеет место бесконечно большое
ослабление. ч
Активные RC-фильтры. Они представляют собой комбинацию
пассивной /?С-цепи и активного элемента. В качестве активного
элемента чаще всего используются операционные усилители* с
двумя входами: инвертирующим и неинвертирующим.
Реализация передаточных функций фильтров на активных
ЛС-цепях осуществляется следующим образом. Заданную функ-
цию Н^(р) порядка т разбивают на произведение передаточных
функции не выше второго порядка, т. е. Нр (р) = Нр1 (р)Нр2 (р)...Нрк(р).
Каждую передаточную функцию Hpi (р) реализуют в виде Л ЛС-зве-
на первого или второго порядка. Схему ЛИС-фильтра получают
путем каскадного соединения звеньев.
* Идеальный операционный усилитель представляет собой ИНУН (см. § 7.10)
с бесконечно большим коэффициентом усиления (Яц-*оо) и бесконечно большими
входным сопротивлением и выходной проводимостью (выходное сопротивление
равно нулю). Схемы и свойства операционных усилителей будут изучаться в гл. 17.
224
Пример. Пусть задана передаточная функция полиномиального фильтра
Чебышева пятого порядка
н , )=_______________0,0628______________
₽W р5+0,397/ +1,415р3 +0,543/ +0,408р+0,0628’
Полюсы этой функции (корни знаменателя): Pt= — 0,177; /»2>3 = —0,143±у0,597;
р4 5 = —0,0547 ±j'0,966. Вещественный полюс рх дает по теореме Виета сомножитель
первого порядка (р— р1 )=р+0,177; первая пара комплексно-сопряженных полюсов
Рг и Рз—сомножитель второго порядка (р—р2')(р—Рз)=р2+0,236р+0,377; вторая
пара полюсов р4 и р5—сомножитель (р—р4)(р—р5)=/+0,1 Юр+0,936. Тогда
₽W (р+0,177)(/+0,286р+0,377)(/+0,110р+0,936)
0,177 0,377_________0,936
р+0,177/+0,286р+0,377/+0,110р+0,936 plW ₽2W
Таким образом, фильтр Чебышева пятого порядка может быть реализован
двумя звеньями с передаточными функциями второго порядка и одним звеном с
передаточной функцией первого порядка.
В практике проектирования активных КС-фильтров использует-
ся большое число схем, реализующих передаточные функции
первого и второго порядка. Один из способов построения таких
схем показан на рис. 10.13, а. Пассивная часть схемы представлена
в виде цепи из элементов R и С. Между зажимами 2 и 3 включен
операционный усилитель, в котором использован инвертирующий
вход. Примером пассивной .RC-цепи является схема, приведенная
на рис. 10.13, б. Передаточная функция изображенной на рис. 10.13, б
активной КС-цепи • может быть получена любым из методов
теории цепей и имеет вид:
Яр^=^Ы=у(у+у+у+у)+у У (10.26)
1710») У5(У1 + У2+У3+У4)+У3У4
Для реализации в виде такой цепи полиномиального фильтро-
вого звена второго порядка с передаточной функцией
Яр(р)=/Л—---------г (10.27)
/»2/» +^1/»+^о
нужно выбрать проводимости У15 Y3 и У4 активными: Gt, С3 и G4,
а проводимости У2 и У5—емкостными: рС2 и рС5. Тогда (10.26)
запишется в следующей форме:
Яр(р)= зсс+ис^с+с urr- (10.28)
Р C5C2+pC5(G1 + G3 + G4)+G3G4
Сопоставление коэффициентов при р в соответствующих
степенях и свободных членов из (10.28), выраженных через
элементы фильтра, с заданными числовыми значениями коэффици-
225
8 - 3430
a)
Рис. 10.13 Рис. 10.14
ентов при р и свободных членов из (10.27) позволяет определить
значения элементов фильтра.
Пример. Реализуем фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка из
примера § 10.2 в виде активной ЛС-цепи.
Передаточная функция НЧ фильтра Баттерворта второго порядка была
получена ранее Яр(р)= 1/(р2+1,41р+1). Для сопоставления с ней передаточной
функции (10.28) представим последнюю в виде, когда коэффициент при р2 равен 1:
я (n\ .GlGi__________!__________
pW С2С5 Gt + Gt + Gi
Приравнивая коэффициенты при р и свободные члены этих передаточных
функций, получаем три уравнения с шестью неизвестными G2, G3, С4, и
C2:G1G3/C2C5 = 1; (G1 + G3 + G4)/C2= 1,41; G3G4/C2C5 = 1.
Следует учесть, что в уравнения входят нормированные значения емкостей С 2
и С 5, так как коэффициенты передаточной функции фильтра Баттерворта получены
для нормированной частоты П=ш/о)н (где шн=о)п = 2л/п = 2л • 159 • 103 = 106 рад/с).
Поскольку искомых величин больше, чем уравнений, зададимся частью из них.
Выберем приемлемые значения проводимостей G3 и С4, например С1 = (73 =
= G4=10-3Cm, т. е. Rr = R3 = R4=\ кОм. Далее из второго уравнения легко
получить С 2 = (Gi + Gз + С4)/1,41 = 2,128 • 10 " 3, а из первого и третьего уравне-
ний — С 5 = G3 G4/C 2 = 0,47 10-3. Денормированные значения емкостей С2 = С 2/шн =
= 2,13 нФ, С5 = С 5/сон = 0,47 нФ.
Схема фильтра приведена на рис. 10.14.
Реализация фильтров со всплесками ослабления, передаточные функции
которых описываются выражением (10.21), осуществляется так же, как и
реализация полиномиальных фильтров. Передаточная функция (10.21) разбивается
226
Рис. 10.15
на произведение простейших (первого и второго порядков) передаточных функций;
последние реализуются в виде фильтровых ЯС-звеньев первого и второго порядков,
соединяемых каскадно в общую схему фильтра.
Для реализации передаточных функций второго порядка с нулем передачи
Яр1(/’)=(р2+До)/(/’2+^1Р+^о) используются специальные фильтровые ЛЯС-звенья.
Более подробно методику синтеза активных ЯС-фильтров со всплесками
ослабления можно изучить, обратившись к специальной литературе.
10.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ
Преобразование шкалы частот ФНЧ. От фильтров нижних
частот можно перейти к фильтрам других типов (верхних частот,
полосовым и др.). Для этого во всех выражениях, содержащих
переменную со, нужно произвести замену переменной таким
образом, чтобы характеристики ФНЧ перешли в характеристики'
соответствующего фильтра. Подобная замена переменной со
называется преобразованием частоты, а исходный ФНЧ—фильт-
ром НЧ-прототипа.
На рис. 10.15 приведены характеристики ослабления фильтров:
нижних частот (а), верхних частот (о) и полосового (в). Для ФНЧ
эта характеристика построена как для положительных, так и для
отрицательных частот. Шкала частот для каждого фильтра
помечена для удобства буквенными обозначениями: «нч», «вч»,
«пф».
Из рис. 10.15,о и б видно, что характеристика ослабления ФНЧ
в отрицательной области частот повторяет характеристику ФВЧ.
Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ
можно с помощью замены переменной
®н.ч=-Юп/сов.ч, (10.29)
где ®п—граничная частота полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ.
Действительно, такое преобразование частоты приводит к соот-
ветствию: частоты юнч= —оо частоте совч=0; частоты а>нч=—соп
частоте <в_ =со„; частоты со„ =0 частоте со. =оо.
227
Чтобы из характеристики ФНЧ получить характеристику ПФ
(рис. 10.15, в), необходима замена переменной
®н.ч = ®п.ф - ® О /<О„.ф = («О п.ф - со о )/®п.ф =
= ®о(®п.ф/®о-Юо/®п.ф), (10.30)
где соо = соп2 = \/®з1 юз2^ ®ni и ®п2—граничные частоты
полосы пропускания ПФ; со31 и соз2—граничные частоты полосы
непропускания ПФ.
Преобразование частоты (10.30) приводит к соответствию
частоты сонч= — оо частоте сопф = 0, частоты сонч = 0 частоте
сопф = соо, частоты сон ч = оо частоте сопф=оо.
Преобразование схем пассивных LC-фильтров. Замена перемен-
ных (10.29) и (10.30) в выражении для квадрата АЧХ |Яр(/со)|2
фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к
преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное
сопротивление ФНЧ /сон ч LH4 переходит при преобразовании
частоты (10.29) в сопротивление:
>н.ч Ьн.ч =j (- ю 2 /сов.ч )LH,4=со2 /(/сов.ч£н.ч) = 1 /(/сов ч Q, )>
т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где Св ч = /.н ч /ю2.
Емкостная проводимость
7®н.ч Сн-Ч =J( ~ ® п /сов.ч) Ся ч = со п /(/совч Ся ч) = 1 /(/сов ч LB4 )
переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктив-
ностью LB4 = CH4/co2.
Преобразование частоты (10.30) приводит к замене индуктив-
ного сопротивления ФНЧ
У®Н.Ч ^Н.Ч У^п.ф ^Н.Ч ”1” ^'н.ч У®п.ф ^п.ф! Е
7шп.ф 7шп.ф Сп.ф1
сопротивлением последовательного контура в ПФ с элементами
^п.<Ь1 ^'н.ч И ^п.ф! V(® п ^н.ч )•
Емкостная проводимость ФНЧ
У®н.ч ^н.ч У®п.ф ^н.ч Е ~7~ С„=7«>п.ф ^п.ф2 7
7Шп.ф У®п.ф Ьп.ф2
заменяется в ПФ проводимостью параллельного контура с
элементами Сп.ф2 = Сн.ч и £п.ф2 = l/(cog Сн ч).
Пример. Рассчитаем полосовой фильтр с характеристиками Баттерворта,
удовлетворяющий требованиям: Арилх = 3 дБ; Apmf„ = 12,2дБ; /п1 = 1241 кГц; /п2 =
= 1400 кГц; /з1 = 1168,5 кГц; /з2 = 1486 кГц.
Для решения поставленной задачи нужно сначала построить фильтр НЧ-про-
тотипа, а затем с помощью преобразования частоты перейти к ПФ.
Пересчитаем требования ПФ (рис. 10.15, в) в требования к НЧ-прототипу (см.
рис. 10.15, а). Воспользуемся формулой (10.30): = /п1/п2 = \/Л1/з2 — 1737,4 кГц;
А=/п2-/о//„2=/п2-/п1 = 159 кГц;/3=/з2-/о//,2=/з2-/,1 = 318 кГц. В качестве нор-
228
7* 1,НнГн Мп?
мирующей частоты выберем /н=/п. Тогда
нормированные частоты Qn=l и Q3=/3/
/п = 2. Итак, требования к НЧ-прототипу
имеют вид: Артлх = 3 дБ; Apwi„= 12,2 дБ;
/и = 159 кГц(С2п= 1); /З = 318 кГц (П3 = 2).
В примере в § 10.2 для такого НЧ-
фильтра были получены квадрат АЧХ
|Яр(/П)|2= 1/(1+Q4), рабочее ослабление Ар= 101g(l + Q4) и передаточная функция
Нр(р)=1/(р2+1,41^+1).
В примере § 10.5 этот фильтр был реализован в виде схемы, изображенной на
рис. 10.10 с элементами £нч=1,41 мГн и Снч=1,41 нФ.
При переходе к требуемому полосовому фильтру необходимо индуктивность
продольного плеча £нч фильтра НЧ-прототипа заменить последовательным
контуром с элементами £п ф1 = £н ч = 1,41 мГн и Сп ф1 = - —=6 • 10 "12 Ф =
(2^70) ^н.ч
= 6,0 пФ.
Вместо емкости Са ч в поперечном плече полосового фильтра будет включен
1
параллельный контур с элементами Спф2 = Сн ч= 1,41 нФ и £п.ф2= - г 2-—=
(2^70) ^н-ч
= 6-10-6 Гн=6 мкГн.
Схема искомого полосового фильтра приведена на рис. 10.16.
Преобразование передаточных функций активных 7?С-фильтров.
Для того чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-про-
тотипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осущест-
вить замену комплексной переменной р. Из (10.29) получаем для
ФВЧ
ус0н.ч = (0п/(/а>в.ч) или у£2и.ч= 1 /(у£2в.ч), (10.31)
ГДе Он. ч = (Он. ч / Юп И Ов. ч = ©в. ч / (0п.
Заменяя в (10.31) оператор у© на оператор р, запишем
преобразование переменной р в выражении нормированной по
частоте передаточной функции ФНЧ-прототипа:
Рн.Ч=1/Рв.Ч. (10.32)
Передаточная функция полиномиального звена второго по-
рядка ФНЧ имеет вид:
Нр(рв.ч)=Н—2—2--------- (10.33)
biPa. ч + Ь 1Ра.ч +
Замена переменной (10.32) в этом выражении приводит к
передаточной функции полиномиального звена второго поряд-
ка ФВЧ
Яр(Лч)-ЯМ.\+>,1к,+5:
(10.34)
229
Рис. 10.17 Рис. 10.18
Для реализации звена с передаточной функцией (10.34) может
быть использована схема рис. 10.13, б, в которой следует выбрать
проводимости Y2 и Y5— активными, т. е. Y2 = G2 и Y5 = G5, а
проводимости У15 У3 и У4—емкостными, т. е. Yl=pCl; Y3=pC3
и У4=рС4. Подставляя эти значения проводимостей в выражение
(10.26), получаем передаточную функцию
ЛЛС-звена ФВЧ второго порядка, схема которого дана на
рис. 10.17. Значения элементов схемы будут найдены, если
приравнять коэффициенты из (10.34) и (10.35) при соответствую-
щих степенях р.
Для перехода от НЧ-прототипа к полосовому фильтру
воспользуемся (10.30):
усон.ч=(®о-®п.ф)/(М.ф) или /£2н.ч=(Оо-^п.ф)/(7Лп.ф), (10.36)
где Он.ч=®н.ч/®п; Оп.ф=®п.ф/®п; О0=®о/®п- ,
Вводя переменную p=j£ln учитывая, что р — — Г2 , находим из
(10.36)
/’н.ч=(Рн.ч+^о)/л.ф- (10.37)
Такая замена переменной рн.ч в (10.33) приводит к переда-
точной функции полосового фильтра
(,М8>
где bt=b2; b'3=bl; b'2 = 2b2£l%+b0; Ь'1=Ь^; b'o = b2£lo.
Видим, что при переходе к ПФ порядок передаточной функции
удваивается. Передаточную функцию (10.38) можно разбить на
произведение передаточных функций второго порядка и каждую из
них реализовать отдельной А RC-схемой.
Запишем передаточную функцию ПФ второго порядка:
^р(Рв.ф) = Я Рвф . (10.39)
02 п п.фАгф-Ь^Оп.ф
Подобную передаточную функцию имеет ARC-схема, изображен-
230
-ст С-СП
О * О
1 2
а)
Рис. 10.19
ная на рис. 10.13,6 при K1 = G1, Y2 = G2, Y5 = G5 и У3=рС3,
У4=рС4. Действительно, из (10.26) находим
Рп.ф{*1 Q
НЛр^) p2n.tC3Ci+pa.tG5(C3 + C4)+G5(G1+G2)
(10.40)
Элементы схемы фильтра (рис. 10.18) определяются сопостав-
лением (10.39) и (10.40).
10.7. ДРУГИЕ ТИПЫ ФИЛЬТРОВ
Фильтры типа кит. Фильтром типа к называются лестничные схемы со
взаимно-обратными сопротивлениями плеч Z1Z2 = A2. Элементарным фильтром
типа к является Г-образная схема, представленная на рис. 10.19, а. Сопротивления
плеч этого фильтра взаимообратны: ZiZ2 = L!C=R2. Сопротивление 7? = ^/ L/C
называется номинальным характеристическим сопротивлением фильтра. Характе-
ристика собственного ослабления Ас фильтра (рис. 10.19,6) равна нулю в
диапазоне частот 0^Q^ 1 и монотонно растет по закону Ac=ArchQ при изменении
частоты от 1 до оо. Характеристические сопротивления фильтра Zcl и Zc2 в полосе
пропускания являются активными, но изменяются с ростом частоты по законам
(рис. 10.19,в): Zc1 = Zct = /?71-Q2 и Zc2 = Zcn = A/^/l-Q2.
Из двух Г-образных фильтров можно образовать симметричные Т-образные и
П-образные фильтры.
Фильтры типа к обладают двумя существенными недостатками. Во-первых,
они имеют малую крутизну характеристики ослабления Ас, что требует исполь-
зования при построении реальных фильтров очень большого числа Г-, Т- или
П-образных схем. Во-вторых, частотная зависимость характеристических сопро-
тивлений в полосе пропускания не позволяет сколь-нибудь удовлетворительно
согласовать фильтр с нагрузкой и генератором. Это приводит к потерям энергии за
счет ее отражения и, как следствие, рабочее ослабление фильтра в полосе
пропускания значительно отличается от нуля, особенно на краях полосы
пропускания, где рассогласование наибольшее.
Чтобы избежать этих недостатков, используют фильтры типа т (рис. 10.20, а),
которые дают всплески ослабления Ас на частоте резонанса контуров
(рис. 10.20, б). Свое название фильтры получили из-за того, что значения элементов
фильтра типа т определяются значениями элементов фильтра типа к и параметра
m = — 1 / Q^ (рис. 10.20, а). Фильтры типа т обладают меньшей частот-
231
mL mL
ной зависимостью характеристических сопротивлений в полосе пропускания
(рис. 10.20, в) и лучше согласуются с генератором и нагрузкой.
К сожалению, фильтры типа т имеют в полосе непропускания глубокий спад
ослабления Ас. Обычно используют каскадное соединение фильтров типа т и к.
Фильтры типа к увеличивают ослабление в полосе непропускания, а фильтры типа
т поднимают крутизну характеристики ослабления вблизи частоты среза. Ввиду
того, что фильтры типа т лучше согласуются с генератором и нагрузкой, их ставят
по краям, а звенья типа к — в середине составного фильтра.
При расчете сложного фильтра задаются значением номинального характе-
ристического сопротивления R и определяют элементы £ и С простейших фильтров
(называемых звеньями сложного) типа к по заданным значениям R=^/ LjC и
£4=1/ соп=1А\/£С. Параметры т2 и т. д. звеньев типа т находят по
частотам всплеска Q^i, £4о2 и т. д. Зная параметры т2 и т. д., вычисляют
элементы звеньев типа т. Количество звеньев к и т выбирают таким, чтобы
удовлетворить заданным требованиям на ослабление фильтра.
На рис. 10.21, а показан фильтр, состоящий из согласованно включенных
звеньев: типа к, типа с частотой всплеска Q0ol = \ /у/1 —ml и типа т2 с частотой
Й«о2=1//Т —т2, а на рис. 10.21,6—характеристика собственного ослабления
каждого звена и фильтра в целом.
Чтобы проверить, удовлетворяет ли данный фильтр заданным требованиям к
рабочему ослаблению Ар, необходимо дополнительно вычислить ослабление,
вносимое фильтром в полосе пропускания за счет потерь в реальных элементах
фильтра и несогласованности характеристических сопротивлений фильтра с
внутренним сопротивлением генератора и сопротивлением нагрузки.
232
Рис. 10.21
Мостовые фильтры. Фильтры этого типа строятся по схеме симметричного
мостового четырехполюсника (см. рис. 9.2, а). В качестве примера на рис. 10.22, а
и б приведены схемы звеньев мостового фильтра нижних частот и полосового
фильтра. Для простоты на схемах показана половина элементов; остальные
элементы на рисунке заменены штриховой линией.
Фильтры с механическими резонаторами. В многоканальных системах передачи
разделение каналов по частоте осуществляется с помощью полосовых фильтров.
Чтобы сигналы одного канала не попадали в другой, ПФ должны иметь высокую
избирательность. Добротность резонансных контуров таких фильтров б >20 ...
... 25/о/(/П2—/п1). Так, для фильтра с /О = 62 кГц и полосой пропускания
/п2—/П1=4 кГц б>300, в то же время для фильтра с/0= 106 кГц и/,2—/ni=4 кГц
Q> 1500.
В радиосвязи используются еще более высокие частоты (десятки и сот-
ни мегагерц) и для построения избирательных фильтров нужны резонато-
ры с добротностью в тысячи и десятки тысяч единиц. Такие значения доброт-
ности никогда не обеспечиваются в £С-резонаторах (их добротность не пре-
вышает сотен единиц), поэтому в фильтрах применяют высокодобротные
механические резонаторы, пьезоэлектрические, магнитострикционные и электро-
механические.
233
oHOI-o z
L С
Рис. 10.23
В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет пластинка,
вырезанная специальным образом из материала, обладающего пьезоэлектрическим
эффектом (например, из кристалла кварца). Пьезоэффект кварцевой пластинки
заключается в появлении на ее поверхностях электрических зарядов при
механическом воздействии на пластинку. Существует и обратный пьезоэффект—
возникновение механических колебаний пьезопластинки при помещении ее в
переменное электрическое поле.
Если пьезопластинку поместить между металлическими обкладками и подать
на обкладки переменное напряжение, то пластинка начнет совершать механические
колебания. На поверхностях пластинки возникнут электрические заряды и во
внешней цепи потечет ток. При совпадении частоты переменного напряжения и
частоты собственных колебаний пластинки возникает механический резонанс;
амплитуда колебаний достигнет максимума и ток во внешней цепи будет
максимальным. Таким образом, механический резонанс в кварцевой пластине
подобен резонансу напряжений в последовательном колебательном контуре.
Эквивалентная схема пьезоэлектрического (в частности, кварцевого) резо-
натора (рис. 10.23) помимо эквивалентных индуктивности L и емкости С
резонатора содержит емкость кварцедержателя Ск, т. е. обкладок, между которыми
помещена кварцевая пластинка.
Пьезоэлектрические фильтры с кварцевыми резонаторами называют кварце-
выми. Добротность кварцевых резонаторов достигает 10 ... 20 тыс. ед. Кварцевые
фильтры могут быть построены по мостовой схеме (рис. 10.24).
Магнитострикционные фильтры строятся на основе резонаторов из ферромаг-
нитного материала, обладающего магнитострикционным эффектом (например, из
сплава никеля с кобальтом). Магнитострикционный эффект состоит в том, что
стержень из ферромагнетика, помещенный в переменное магнитное поле, изменяет
свои геометрические размеры. Обратный эффек!—изменение магнитной прони-
цаемости стержня при механическом воздействии на него. Если, например,
никель-кобальтовый стержень поместить внутрь катушки индуктивности, создаю-
щей переменное магнитное поле, его геометрические размеры начнут меняться.
При этом будет меняться и его магнитная проницаемость. В катушке индуктив-
ности наведется ЭДС, направленная против ЭДС генератора и уменьшающая ток
во внешней цепи. При -механическом резонансе амплитуда колебаний стержня будет
максимальной, а ток во внешней цепи—минимальный. Таким образом, механи-
ческий резонанс магнитострикционного стержня подобен резонансу токов парал-
лельного колебательного контура.
Эквивалентная схема резонатора приведена на рис. 10.25 и включает в себя
элементы £м и См эквивалентного резонатору контура, а также индуктивность £0,
учитывающую рассеяние магнитного потока при замыкании его через воздух.
234
Добротность магнитострикционных резонаторов ниже, чем кварцевых, и
составляет 5 ... 10 тыс. ед. Магнитострикционные фильтры строятся по мостовой
схеме (рис. 10.26).
В электромеханических фильтрах резонаторами являются металлические тела
(диски, шарики, стержни, пластинки), соединенные металлическими связками. На
рис. 10.27 изображен трехрезонаторный стержневой электромеханический фильтр.
Возбуждаются колебания в фильтре с помощью входного магнитострикционного
преобразователя (МСП); снимаются колебания с выхода фильтра с помощью
выходного МСП. Электромеханические фильтры являются также высоко доб-
ротными.
Глава 11. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
11.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
До сих пор рассматривались электрические цепи с элементами L,
С и R в предположении, что эти элементы сосредоточены
в определенных точках схемы: индуктивность сосредоточе-
на в катушке (энергия магнитного поля катушки локализова-
на в ее магнитопроводе); емкость сосредоточена в конденсаторе
(энергия электрического поля локализована между обкладками
конденсатора); активное сопротивление сосредоточено в ре-
зисторе (преобразование электрической энергии в резисторе
в тепловую осуществляется в токопроводящем слое резисто-
ра). Такие цепи получили название цепей с сосредоточенными
параметрами.
Однако представление электрических цепей в виде цепей с
сосредоточенными параметрами не всегда возможно. Например,
235
рассматривая передачу электромагнитной энергии в линии связи,
фидере, антенне, волноводе и т. п., следует учитывать, что
магнитное и электрическое поля распределены по всей длине этих
устройств и превращение электромагнитной энергии в тепло также
происходит по всей длине устройств. В таких цепях имеем дело с
распределенными по длине индуктивностями, емкостями, актив-
ными сопротивлениями, и поэтому они называются цепями с
распределенными параметрами.
Ток и напряжение на выходе сколь угодно малого участка
(отрезка) цепи с распределенными параметрами не равны соот-
ветственно току и напряжению на его входе и отличаются как по
величине, так и по фазе. Таким образом, ток и напряжение в
любой точке цепи являются функциями не только времени Г, но и
пространственных координат (например, расстояния от одного из
концов цепи).
Заметим, что деление цепей на два класса—с сосредоточенными и распреде-
ленными параметрами, достаточно условно. Одну и ту же цепь следует
рассматривать как систему с сосредоточенными или распределенными параметра-
ми в зависимости от частоты, на которой она работает. Действительно, если на
входе цепи действует синусоидальное напряжение, то в силу конечной скорости
распространения электромагнитных колебаний (близкой к скорости света) возму-
щение от источника за время, равное периоду колебания Г, пройдет расстояние,
равное длине волны электромагнитного колебания 'k = cT=clf, где с—скорость
света; f—частота колебания.
При длине цепи, совпадающей с длиной волны колебания, изменение
мгновенного значения напряжения в конце цепи запаздывает на целый период по
сравнению с изменением мгновенного значения напряжения источника. В цепях,
длина которых />Х, запаздывание может составлять большое число периодов.
Следовательно, если длина цепи соизмерима или значительно превышает длину
волны распространяющегося в ней электромагнитного колебания, то напряжение
(ток) является функцией времени и расстояния от начала цепи. Цепь является
системой с распределенными параметрами.
Если длина цепи намного меньше длины волны, то изменения напряжения в
любой точке и в конце цепи происходят одновременно с изменением мгновенного
значения напряжения источника. Никакого запаздывания в такой цепи нет;
напряжение (ток) является только функцией времени. Эту цепь можно считать
системой с сосредоточенными параметрами. Например, отрезок коаксиального
кабеля длиной 30 см при передаче по нему телевизионных сигналов (с наивысшей
частотой 8,5 мГц) может считаться цепью с сосредоточенными параметрами,
поскольку X = c//mflx = 3 • 108/(8,5 • 106)=35 м=0,3 м. Наоборот, в области деци-
метровых волн (X—десятки сантиметров) этот же отрезок кабеля должен
рассматриваться как цепь с распределенными параметрами. Отрезок же коаксиаль-
ного кабеля длиной в 1 км является цепью с распределенными параметрами и для
телевизионного сигнала.
В дальнейшем из обширного класса цепей с распределенными
параметрами будем изучать так называемые длинные линии,
предназначенные для передачи электромагнитной энергии на
236
Рис. 11.1
расстояние и имеющие длину, превышающую длину волны
электромагнитных колебаний. К ним относятся двухпроводные
воздушные линии связи, симметричные и коаксиальные кабель-
ные линии проводных систем связи, фидеры, связывающие
радиопередатчики с антеннами, и т. п. При этом будем по-
лагать, что конструктивные данные длинной линии (материал и
диаметр ее проводов, их взаимное расположение) сохраняются
неизменными по длине линии. Такие длинные линии называются
однородными.
Целью изучения однородных длинных линий является анализ
распределений напряжений и токов вдоль линии. В основе анализа
лежит представление о длинной линии как о цепи с бесконечно
большим числом бесконечно малых по величине пассивных
элементов, распределенных равномерно по ее длине.
11.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ ОДНОРОДНОЙ
ЛИНИИ
Первичные параметры. Длинные линии могут иметь самую
различную конструкцию. Так, двухпроводная воздушная линия
(рис. 11.1, а) состоит из параллельных неизолированных проводов,
укрепленных с помощью изоляторов на специальных опорах.
Симметричная кабельная цепь представляет собой два изолиро-
ванных скрученных друг с другом провода, образующих так
называемую пару (рис. 11.1,6). Скрученные между собой пары
(или четверки), заключенные в металлическую или пластмассовую
защитную оболочку, образуют симметричный кабель.
Коаксиальная пара является основой коаксиального кабеля и
состоит из внутреннего цилиндра—провода сплошного сечения,
помещенного в полый цилиндр (рис. 11.1, в).
Электрические свойства длинной линии характеризуются пер-
вичными параметрами, т. е. параметрами, отнесенными к единице
длины линии (1 км в линиях проводной связи и 1 м в линиях
радиосвязи). Первичными параметрами являются: активное сопро-
тивление единицы длины линии R (Ом/км или Ом/м), индуктив-
ность единицы длины линии L (Гн/км или Гн/м), емкость единицы
237
длины линии С (Ф/км или Ф/м) и проводимость изоляции
единицы длины линии G (См/км или См/м).
Сопротивление R—это сопротивление проводов линии еди-
ничной длины. Например, для двухпроводной линии R =
21 2000 ~ .
= р—=р—г Ом/Км, где р—удельное сопротивление материала
О яг
проводов при температуре 20° С, Ом мм2/м; I—длина линии, м;
S—площадь поперечного сечения провода, мм; г—радиус про-
вода, мм.
При температурах, отличных от 20° С, сопротивление проводов
вычисляется по формуле = + стг(Т—20°)], где ог—темпера-
турный коэффициент, 1/град; Т—температура, °C. Так, сопротив-
ление двухпроводной медной линии длиной 1 км {километрическое
сопротивление) из проводов диаметром 4 мм при температуре
Т=20°С для частоты /=0 составляет 2,84 Ом/км.
Наличие поверхностного эффекта (вытеснение тока из внутрен-
них слоев проводника на его поверхность при увеличении частоты)
приводит к увеличению сопротивления R с ростом частоты.
Индуктивность L определяется отношением магнитного пото-
ка, сцепляющегося с контуром единичной длины, к току,
вызывающему этот поток. Индуктивность линии складывается из
внешней и внутренней индуктивностей. Первая определяется
геометрическими размерами линии и не зависит от частоты.
Вторая зависит от материала проводов, их диаметра и частоты.
Поверхностный эффект уменьшает внутреннюю индуктивность
при возрастании частоты. Например, километрическая индуктив-
ность двухпроводной медной цепи Г = 4 [1п(/пр/г) + А:п.эц] • 10-4,
Гн/км с диаметром проводов 2г = 4 мм и расстоянием между
проводами /пр = 200мм составляет на частоте /=10 Гц (с учетом
магнитной проницаемости ц=1 и коэффициента действия по-
верхностного эффекта &п.э=1,8) 1,89 мГн/км.
Емкость С определяется отношением заряда, приходящегося на
единицу длины линии, к напряжению между проводами линии.
гг - е -10 6
Для двухпроводной ЛИНИИ С=——Г.------------о
361п(/пр/г)
Ф/км, где 8—диэлектри-
ческая проницаемость вещества в пространстве между проводами.
Например, километрическая емкость воздушной двухпроводной
медной цепи из проводов диаметром 2г=4 мм и расстоянием
между проводами /пр = 200 мм составляет (е воздуха равна 1)
7,4 нФ/км.
Проводимость G обусловлена несовершенством изоляции и
представляет собой активную составляющую проводимости изо-
ляции между проводами, отнесенную к единице длины линии. Для
воздушной линии проводимость изоляции зависит от климати-
ческих условий (влажности, температуры и др.), чистоты поверх-
ностей изоляторов и т. д.
238
Проводимость изоляции воз-
растает с ростом частоты (особен-
но для кабельных цепей) за счет
увеличения потерь в диэлектрике.
Для воздушных цепей G = G0+A:Il/',
См/км, где Go—проводимость
изоляции на постоянном токе;
кп — коэффициент, учитывающий Рис- 112
потери в диэлектрике при переменном токе; f—частота.
Для кабельных цепей G=Go + coCtgS, См/км, где tg 8—тангенс
угла диэлектрических потерь.
После введения первичных параметров можно уточнить по-
нятие однородной длинной линии. Однородной называется та-
кая линия, первичные параметры которой неизменны на всей ее
длине.
Уравнения передачи однородной линии. Дальнейшей целью
является изучение распределения напряжения и тока в линии по ее
длине и во времени.
Выделим элементарный участок линии длиной Дх, находя-
щийся на расстоянии х от начала линии (рис. 11.2). Его
эквивалентную схему можно приближенно представить в ви-
де последовательно включенных сопротивления ИДх и индук-
тивности СДх и параллельно включенных активной проводимости
СДх и емкости СДх.
Таким образом, линия рассматривается как цепь с бесконечно
большим числом звеньев, электрические параметры которых
бесконечно малы. При стремлении Дх к нулю точность такого
представления возрастает.
Напряжения и токи, их изменения на участке линии показаны
на рис. 11.2. Уменьшение напряжения в конце участка линии Дх
по сравнению с его началом вызвано падением напряжения на
индуктивности СДх и сопротивлении /?Лх. Поэтому
— Д и = 1Лх —+ЛД х/.
dt
(11.1а)
Здесь и далее используются частные производные, так как
напряжение и ток являются функциями двух переменных: / их.
Уменьшение тока на участке Дх происходит за счет ответвле-
ния тока через емкость СДх и проводимость изоляции СДх.
Пренебрегая изменением напряжения как величиной второго
порядка малости, можно написать
-Д/=СДх^+СДхи. (11.16)
Разделив обе части уравнений (11.1 а и б) на Дхи перейдя к
пределу при Дх->0, получим дифференциальные уравнения линии:
239
T=LTt+Rii
di „ди , „
—=C—+Gu.
dx dt
(U.2)
Эти уравнения называются телеграфными, так как впервые
были получены для линии телеграфной связи.
Будем считать, что в линии имеет место режим установивших-
ся синусоидальных колебаний. Поскольку закон изменения напря-
жений и токов во времени известен, то из дифференциальных
уравнений (11.2) остается найти лишь законы изменения амплитуд
и фаз напряжений и токов с расстоянием х.
Используя символический метод анализа гармонических коле-
баний, в котором
u=U; i=I; ^=j(S)U;
— — dt ~ du J ~
преобразуем уравнения (11.2) к виду
(11.3)
Так как комплексные действующие значения U и_1 являются
функциями только х, уравнения записываются не в частных, а в
полных производных.
Продифференцировав первое уравнение из (11.3) по х и подста-
вив в него второе уравнение, получим d2U / dx2 = (R+j(i3L)x
x(G+j(dC)U. Введя обозначение
X = V (R + J <0L) (G +J(i)C), (11.4)
перепишем это уравнение в виде
d2U 2ТТ А
-^-2 2и=о.
dx
(11.5)
Корни характеристического уравнения р2—jy2 = O равны pt,2 —
= +l, поэтому общее решение дифференциального уравнения
(11.5) для । напряжения в точке х ищем в виде
UX = A^X+A2^X. (11.6а)
Из первого уравнения системы (11.3) имеем
1 dUx _ Д t л _ -дх_ л
R+jasL dx R+j(olS~1 — 2 '
240
Введя еще одно обозначение
«+>£= /я+ycoZ.
J V G+/<oC V 7
запишем решение для тока в точке х в форме
(11.66)
Постоянные интегрирования А х и А 2 можно найти из
начальных условий: при х=0 Ux = Ur и _/х=_Л, где Ur
и— напряжение и ток в начале линии. Тогда из (11.6 а и б) для
х = 0:
Откуда
Ji=(^+ZiZB)/2; J2=(C/1-J1Zb)/2.
Подстановка полученных значений постоянных интегрирования
в (11.6) дает следующие уравнения для определения напряже-
ния Ux и тока _1Х в произвольной точке х длинной линии
jj _ ^i+ZiZ.g —ух । ух.
~х 2 2 ’ /1 ] о\
J ух Vrl& yx Г ' ‘°7
2ZB 2Z,
Они называются уравнениями передачи однородной длинной
линии. Параметры и ZB получили название коэффициента
распространения и волнового сопротивления линии. Их физический
смысл будет рассмотрен позже.
Если учесть, что (e-*x+e_JfX)/2 = chyx и (е^х-е~-^)/2 =
= shjx, то уравнения передачи (11.8) можно переписать в более
компактной форме:
t7x= t/jchjyx-I_iZB shjx;]
и ? (11.9а)
lx=-^ishjyx+21chjfx. J
В конце линии х=/ и U=U2, 1=1г. Уравнения (11.9а)
примут ВИД -2 _х _2 Н
и2 = U, chjyl-I1Z,shjyZ;)
и, f (1196)
_Z2=-:Tishi/+Zichj/. J
241
(11.9в)
Разрешая эту систему уравнений относительно напряже-
ния Ut и тока _(i в начале линии, получаем
C/i = C/2chj/+Z2shj/;
_Z1=^shjy/+J2chjy/.
— В
Эти уравнения совпадают с известными нам уравнения-
ми передачи (9.35) для симметричного четырехполюсника
при jy/=rc и ZB = ZC, что вполне понятно, так как линия связи
представляет собой симметричный четырехполюсник.
11.3. ПАДАЮЩИЕ И ОТРАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ
Обозначим в уравнениях передачи (11.8) Un=(U1+_IiZB)/2 и
U0 = (U1 —Z^Iij/2. С учетом этих обозначений запись уравнений
передачи однородной длинной линии упростится и будет иметь вид:
их=ипС~Ух+ио^х=ихпаа+ихотр-,'
1х=^е-^-^е^=1хпаа+1хотр,
(11.10)
где Uxaaa=Une-Jx-, Uxmp=U0^x- J_xaaa=^^x- _Ixmp =
_в
_ ух
—----с •
Z,
Напряжение и ток состоят из сумм двух слагаемых. Первые сла-
гаемые уменьшаются с увеличением расстояния от начала линии х,
вторые—возрастают. Создается впечатление о существовании в
линии двух типов волн: падающей и отраженной. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим мгновенные значения напряжения и тока.
Помня, что в (11.10) все величины в общем случае
комплексные:
£п=1 t/0=|L70|e>»; j=V(/?+>L)(G+>C)=a+jP;
ZB = V(/?+>L)/(G+>C) = | ZB | e>.,
можно по известным правилам перейти от уравнений (11.10)
для комплексных значений к уравнениям передачи для мгновен-
ных значений напряжений и токов. Для простоты положим
Фп = Фо = 0- Тогда
их (0=I У. и Iе “х s*n ~ Рх)+1 и о I е“* sin (ю*+Рх);
е a*sin(<»n—Рх—<рв)—
(П-11)
- =2 eejcsin(®z+px- <рв).
^в
242
Проанализируем сначала первые слагаемые этих уравнений,
которые обозначим
«хпад (0 = I u„ I е ях sin (со/ - Р*);
е “ах sin (cor — Рх—<рв).
(11.12)
i (t}=
*хпад\*/ g
=. в
В каждом сечении линии (т. е. в каждой точке х) колебания
напряжения и тока являются гармоническими. Амплитуда этих
колебаний уменьшается по мере удаления от начала линии по
закону е-ох. В каждой последующей точке линии колебания
отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (на это
указывает знак «минус» перед Рх).
Если в момент времени сделать фотографию распределения,
например напряжения мхпад вдоль линии, то она будет иметь вид
кривой 1 на рис. 11.3. В следующий момент времени
t2 фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину
<в(/2 — /1) и вся картина как бы сместится вдоль оси х вправо
(кривая 2, рис. 11.3). Аналогичная ситуация будет наблюдаться и в
момент времени t3>t2 (кривая 3, рис. 11.3).
Если сделать последовательно ряд мгновенных фотографий и
затем их проецировать на экран, то создается впечатление
движущейся волны напряжения вдоль цепи. Фактически же вдоль
цепи распространяется состояние равной фазы. Например, можно
взять точку цепи хь соответствующую максимуму напряжения в
момент времени (на рис. 11.3—точка А) и определить скорость
ее перемещения. Скорость распространения вдоль цепи состояния
равной фазы называется фазовой скоростью распространения.
В момент времени tt в точке х, будет определенное фазовое
состояние co/j —Pxt. Это же фазовое состояние будет наблюдаться
в точке х2, но уже в момент времени t2: <ot2 — рх2. Приравнивая
их, получим — Pxt = a>t2 — Рх2.
Фазовую скорость распространения, км/с, найдем как отно-
шение расстояния х2 —х,, пройденного точкой А, ко времени
Z2 t^‘.
Ч = (Х2 - *1 ) / (G -'1 ) = ®/Р-
243
Таким образом, уравнения (11.12) описывают волны напря-
жения и тока, распространяющиеся от начала к концу линии.
Такие волны называются падающими.
Обратимся ко вторым слагаемым выражений (10.11), которые
обозначим
«хотр (0 = I и01 е“х sin (со/ + Рх);
«хотр (?) = I Uo / ZB | еох sin (cor + Рх - <рв).
Эти слагаемые описывают волны точно такого же характера, как
и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении,
т. е. от конца линии к началу. Эти волны называются
отраженными волнами напряжения и тока. Амплитуды отра-
женных волн убывают от конца линии к началу. Наибольшая
амплитуда отраженных волн наблюдается в конце линии.
В соответствии с рассмотренной картиной можно сказать, что
в установившемся режиме гармонических колебаний напряжение и
ток в любой точке линии складываются из падающих и
отраженных волн напряжения и тока, т. е. «х = иХпад+Кхотр;
ix = /хпад+/яотр. Отраженные волны возникают в конце линии.
Определим соотношения между падающими и отраженными
волнами в конце линии.
Полагая в (11.10) х=/ и обозначая напряжение и ток в конце
ЛИНИИ U2 Hj2, получим С/2 = ^2пад + ^2отр;_(2=22пад + /2отр. Эти
равенства в соответствии с обозначениями, принятыми в (11.10), и
с учетом того, что t/7 = /?Z„ (Zh—сопротивление нагрузки
линии), можно переписать следующим образом:
J.2—B ~ —2пад“ЬХ^2отр, _^2—в = ^2пад ^2отр‘
Складывая эти равенства и вычитая из первого равенства
второе, имеем:
Т7 Т ^h + Zb тт т Zh — Zb
LL 2 пад ~_L 2 И — 2 ОТР 2 2 ’
Отношение комплексной амплитуды отраженной волны к
комплексной амплитуде падающей волны называется коэффи-
циентом отражения по напряжению'.
^u = ^2oTp/I/2naa = (ZH-ZB)/(ZH + ZB). (11.13)
ОтСЮДа С/2отр = СТиС/2пад.
Коэффициент отражения по напряжению показывает, какую
часть амплитуды падающей волны в конце линии составляет
амплитуда отраженной волны. Амплитуда отраженной волны тока
В то же время_(2отр = ст, /_ 2паД, где ст,-—коэффициент отражения по
244
току. Отсюда видно, что af=— ои, т. е. коэффициент отражения
по току равен по значению и противоположен по знаку
коэффициенту отражения по напряжению.
Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии.
Если линия замкнута накоротко на конце, т. е. ZH = 0, то
коэффициент отражения по напряжению (11.13) равен сти= — 1, а
коэффициент отражения по току а{=1. Падающая и отраженная
волны напряжения в конце линии имеют равные амплитуды и
сдвинуты по отношению друг к другу на 180°. Амплитуда
результирующей волны напряжения в конце линии будет равна
нулю. В то же время падающая и отраженная волны тока будут
иметь равные амплитуды, что приведет к увеличению тока в конце
короткозамкнутой линии.
При холостом ходе в конце линии (ZH = oo) ou=l и а,= —1,
т. е. картина изменится на противоположную: ток в нагрузке
будет равен нулю, а напряжение увеличится вдвое. Случай, ког-
да ZH = ZB, рассмотрен ниже.
11.4. ВТОРИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ
Волновое сопротивление. Одним из вторичных парамет-
ров однородной линии является волновое сопротивление ли-
нии, определяемое через первичные параметры формулой
(11.7) ZB = ^/ (/? +j(f)L) / (G +ja>C). При со=0 R/G, <рв = 0, т. е.
волновое сопротивление чисто активное. Точно такой же характер
имеет ZB при со->оо: z^Juc, фв = 0.
Для всех реально существующих цепей RfG>LIC. поэтому
модуль волнового сопротивления с увеличением частоты умень-
шается, стремясь к величине у/ L/C. Угол фв изменяется от
нулевого значения при со = 0 до нулевого значения при со->оо.
Следовательно, на какой-то частоте он будет иметь максимум.
Можно показать, что угол фв на всех частотах является
отрицательным. На рис. 11.4 показаны графики частотных зави-
симостей модуля и угла волнового сопротивления однородной
линии.
245
Чтобы выяснить физический смысл волнового сопротивления,
воспользуемся выражениями для комплексных амплитуд па-
дающих волн напряжения и тока из (11.10): Uxnaji==^—• х.
и _/Хпад = ~1+~а^1 Из этих отношений следует, что
^в=С7хпад/2хпад, (И-14)
т. е. волновое сопротивление линии выражает соотношение между
амплитудами и фазами напряжения и тока падающей волны в
любой точке линии. При этом
__I I/хпад I __ (/хпад
LZх пад I пал Л х пад
0^ФИхпад ^/хпад) = | Zв | в^в,
откуда
f/хпад/_/хпад I И фв фихпад ф/хпад*
Аналогичным образом можно сказать, что ZB= — C/XOTp/
_/хОтр- Волновое сопротивление не зависит от длины линии —
оно постоянно в любой точке линии.
Пример. Определим волновое сопротивление воздушной медной цепи из
проводов диаметром 2г=4 мм и расстоянием между проводами /пр = 20см и
кабельной цепи с бумажной изоляцией жил диаметром 2г=0,5 мм на частотах /=0;
0,8 и 10 кГц для воздушной цепи и /=0 и 0,8 кГц для кабельной цепи.
Для воздушной цепи первичные параметры, взятые из справочника:
Я = 2,84 Ом/км; С=6,3 нФ/км; L = 1,93 мГн/км; (7 = 0,57 • 10"6 См/км.
При /=0 ZB = X/A/G = 2,38 кОм. При /=800 Гц (ш = 2я800 рад/с)
Ir+Jg)L I 2,84+/2л • 800 • 1,93 • 10"3
ZB= / = /-------------------------------г=564 e"j7,4 Ом.
“в V (7+JcoC V 0,5710"6+у2я • 800 • 6,3 • 10"9
На частоте /=10кГц (&L»R и соС»(7, поэтому ZB = 4/L/C=548 Ом.
Для кабельной цепи: R= 190 Ом/км; С=50 нФ/км; 1 = 0,7 мГн/км; (7=
= 5-10"4 мкСм/км. На частоте /=0 ZB = ^//?/(7 = 615 кОм. Для частоты /=800 Гц
справедливосоотношение R»uL и соС»(7. Следовательно,
е’>45 =870е";45 Ом.
Согласованное включение линии. Рассмотрим режим работы
линии, когда ZH = ZB. В этом случае коэффициенты отраже-
ния пи = а — 0 и отраженные волны напряжения и тока будут
отсутствовать (Uxorp = 0 и /хотр = 0).
Напряжение и ток в любой i очке линии, в том числе и на входе
(х = 0), будут определяться только падающими волнами. Согласно
(11.14) ZB = Clnafl^lnafl=CiZ/1=ZBX, т. е. входное сопротивление
такой линии будет равно ее волновому сопротивлению. Таким
246
образом, волновое сопротивление линии является аналогом ха-
рактеристического сопротивления симметричного четырехполю-
сника.
Указанный режим работы линии является режимом согласо-
ванного включения. При этом вся энергия поглощается в конце
линии нагрузочным сопротивлением. Этот режим работы наибо-
лее выгоден для передачи сигналов связи, так как отражение
энергии от нагрузки приводит помимо увеличения рабочего
ослабления линии к появлению так называемых эхо-сигналов,
накладывающихся на основной сигнал и искажающих его.
Уравнения передачи однородной линии в режиме согласованно-
го включения могут быть легко получены из (11.96 и в), если
учесть, что при согласованном включении U2=J^2ZB, Gx=JxZa,
а также, что chy/±shy/=e "•
^1=^2^ 1 ~У.2=и^~~ '
!л=12<^ J 12=1^~~
(11.15а)
Для любой ТОЧКИ ЛИНИИ X
их=и^х и .
(11.156)
Коэффициент распространения. Ко вторичным параметрам
линии относится также коэффициент распространения, введенный
в рассмотрение формулой (11.4):
у = y/(R+j<oL)(G+j\oC) = а +ур.
В режиме согласованного
или
включения линии из (11.15) имеем:
It
е>(Ф,1-ч,>х>-е“хе-'₽х
Отсюда еах
и Р*=Фи1-фИх = Ф.1-<Р1х-
Для отрезка линии единичной длины (1 км, 1 м и т. д.) можно
записать:
Р=Ф»1 - Ф«х=Фп - Ф.х- Вещественная
часть коэффициента распространения — а характеризует изменение
напряжения и тока по абсолютной величине при распространении
энергии на расстояние, равное единице длины линии. Она
называется коэффициентом ослабления линии и измеряется в
неперах, отнесенных к единице длины линии (Нп/км—в провод-
ной связи, Нп/м — в радиосвязи). При использовании десятичного
логарифма вместо натурального а = 201g | U t / Ux | = 201g [ /1ZZ х I и
измеряется в дБ/км или дБ/м.
Мнимая часть коэффициента распространения — р характеризу-
ет изменение напряжения и тока по фазе. Она называется
247
Рис. 11.5
коэффициентом фазы линии и измеряется в рад/км или рад/м.
Вместо радиан могут использоваться градусы.
Таким образом, коэффициент распространения линии^у харак-
теризует изменение напряжения и тока по абсолютной величине и
по фазе при распространении энергии на расстояние, равное
единице длины линии (1 км или 1 м) в условиях согласованного
включения линии.
Процесс изменения напряжения (тока) вдоль согласованно
нагруженной линии можно проиллюстрировать векторной диа-
граммой, показанной на рис. 11.5, а или так называемой спираль-
ной диаграммой, приведенной на рис. 11.5,6.
Численные значения коэффициентов а и 0 можно найти по первичным
параметрам из общей формулы (11.4). Однако в ряде случаев можно получить
более простые выражения. Так, на высоких частотах (для медной цепи, например,
это частоты выше 10 кГц), где выполняются условия &>L>R и <oC>G, пользуются
упрощенными формулами:
R fl G IT, п
Вывод этих формул дан в специальной литературе и здесь не приводится. Для
кабельных цепей в области низких частот (например, от 0 до 800 Гц) выполняются
соотношения и В этом случае можно показать, что а=0 =
=y/(i)CR/2. Вторичные параметры а и 0 зависят от частоты сложным образом. На
рис. 11.6, а и б даны графики, качественно отражающие эту зависимость.
Пример. Определим коэффициент распространения воздушной медной цепи с
параметрами 2г=4 мм и /пр = 20 см на частоте /=800 Гц.
Значение коэффициента j найдем по полной формуле (11.4), взяв первичные
параметры из предыдущего примера:
Y=v/(«+y<o£)(G+jcoC)=v/(2,87+j2n 800 • 1,93 • 10"3)(0,57 • 10~6 + 2л 800-6,3 • 10’’)=
= 17,9-10-3eJ81-3°=(2,86+/17,6)10-3.
248
Отсюда коэффициент ослабления а=2,86 • 10"3 Нп/км=2,86 мНп/км. Перевод
неперов в децибелы дает а(дБ) = а(Нп) 8,7 = 24,9 • 10"3 дБ/км. Коэффициент фазы
Р= 17,6-10"3 рад/км.
Постоянная передачи длинной линии. При распространении энергии по линии на
расстояние / напряжение и ток уменьшаются в eal раз, а фазы напряжения и тока
изменятся на величину р/.
Величина а/ описывает ослабление напряжения и тока при распространении
энергии по всей длине линии и называется характеристической (собственной)
постоянной ослабления линии: Ас=а/.
Из формул (10.15а) следует, что
|t7i/t/2|=e«'=eA=; Sl/S2 = |C/1/1/</2/2l=e2Ac,
где и S2—-полные мощности на входе и выходе линии. Поэтому
Ac=ln|C/1/t72|=lnL71/22|=4n(S1/S2).
Величина Вс = р/=фи1 — Фи2 = Фн — Ф»2 называется характеристической (собст-
венной) постоянной фазы линии.
По аналогии с -теорией четырехполюсников величина Гс=Ас+уВс является
характеристической (собственной) постоянной передачи линии.
Заметим, что при отсутствии согласования, т. е. при ZH#ZB, условия
передачи энергии по линии следует оценивать величиной рабочей постоянной
передачи Гр = Ар+уВр по формулам, полученным в общей теории четырехполюсни-
ков (см. гл. 9).
11.5. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛИНИИ
Входное сопротивление линии определяется отношением напря-
жения и тока в начале линии. Найдем выражение для ZBX,
используя уравнения передачи линии в форме (11.9в):
z _^i = ^2 0hY/+72ZBshjy/ =
-вх “(2chj/+L72/ZBshj/“
ZHchy/+ZBshy /
(11.16)
Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии.
249
При согласованном включении линии (ZH = ZB) из (11.16)
получим, что ZBX = ZB, как и было установлено ранее.
Если выходные зажимы линии замкнуты накоротко (ZH = 0),
формула (11.16) упрощается и принимает вид
ZB„.3 = ZBthi/. (11.17а)
В случае разомкнутых выходных зажимов (ZH = oo)
ZBXX.x = ZBcthY/. (11.176)
Когда линия нагружена на произвольное сопротивление, не
равное волновому (ZH^ZB), можно пользоваться для расчетов
общей формулой (11.16). Однако иногда удобно выразить ZBX
через параметры холостого хода и короткого замыкания. Для
этого разделим числитель и знаменатель (11.16) на ZBchy/:
_ ZH + ZBthy/ ZH + ZBxll>3 7 ZH + ZBXXi3
-вх“ ' +(ZH/Z.)thy/= 1 +ZH/ZBXX.X=-BXXXZB+Z„,_;
Данная формула позволяет по измеренным значениям сопротивле-
ний холостого хода и короткого замыкания рассчитать входное
сопротивление линии.
Существует еще одна форма представления входного сопротивления. Для
получения ее перепишем выражение (11.16) после деления на ZBchy/ в другом виде:
7 ZB/ZB+thy/
-’i+fz./z.Jthj/-
Обозначим thj<=ZH/ZB. Тогда
<"18>
Эта формула дает возможность по заданным параметрам ZB и ZH опреде-
лить и = Arth(ZH/ZB)=^ln|(ZB + ZH)/(ZB—ZH)| и затем найти входное сопротивле-
ние линии.
Во всех случаях, когда нагрузка на конце линии не равна ее
волновому сопротивлению, входное сопротивление определяется
гиперболическим тангенсом комплексного аргумента. Чтобы дать
представление о характере изменения входного сопротивления
линии, на рис. 11.7, <7 показаны зависимости модулей сопротивле-
ний XX и КЗ от длины линии, построенные в соответствии с
формулами (11.17), а на рис. 11.7,6 изображена зависимость
модуля ZBX от частоты из (11.18) при несогласованной нагрузке
линии.
Колебательный характер входного сопротивления при несогла-
сованной нагрузке объясняется наличием в линии падающих и
отраженных волн. Фаза отраженной волны в начале цепи зависит
от величины р/, т. е. от частоты и длины линии. При изменении
250
частоты или длины линии фаза отраженной волны напряжения то
будет совпадать с фазой падающей волны напряжения, то будет
противоположна фазе падающей волны. В то же время для тока
все будет происходить наоборот: при совпадении фаз падающей и
отраженной волн напряжения фазы падающей и отраженной волн
тока будут противоположны, т. е. если результирующая волна
напряжения максимальна по амплитуде, то результирующая волна
тока имеет минимальную амплитуду. Таким образом, IZBxmaxl =
1 maxLL. Iminl’ IminZZImaxl*
11.6. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ
Вторичные параметры и уравнения передачи. Реальная линия
всегда обладает потерями. Однако в ряде случаев удобно считать
линию идеальной, т. е. не имеющей потерь. Линия без потерь —
это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, что имеет
место при значениях первичных параметров R = 0 и G=0.
Такая идеализация оправдана для коротких по длине линий,
работающих на сверхвысоких частотах (фидеров, элементов
радиотехнических устройств, полосковых линий, измерительных
линий, согласующих СВЧ устройств и др.), где выполняются
условия R^toL и и поэтому активными сопротивлением
проводов и проводимостью изоляции можно пренебречь по
сравнению с индуктивным сопротивлением и емкостной проводи-
мостью линии.
Коэффициент распространения линии без потерь jy=a+JP =
= y/(R +j©L)(G +jcoC) = 5/ — со2 LC = jco -J~LC. Отсюда коэффициент
ослабления a=0, а коэффициент фазы P = cox/Zc линейно зависит
от частоты.
Волновое сопротивление линии без потерь ZB=yj{R 4-joL)/
J(G+j<i)C) = jLic = рв является чисто активным.
251
Коэффициент фазы 0 связан с длиной волны электромагнитно-
го колебания. Длиной волны X называется расстояние между двумя
точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы в
которых отличаются на 2л. Следовательно, 0Х = 2л и Х = 2л/0.
Уравнения передачи линии без потерь получаются из (11.9в),
если учесть, что chy/=chj0/=cos 0/ и shjy/=sh/0/=jsin0/:
UY = t/2cos0/+7ZB_/2sin 1ЭД )
It =licos Pf+№ sin ₽/• J
_B
При анализе процессов, происходящих в линии без по-
терь, общепринято расположение той или иной точки на ли-
нии характеризовать ее удалением не от начала линии, как
это делали прежде, а от конца линии (рис. 11.8). В этом
случае уравнения передачи линии без потерь, выражающие
комплексные действующие значения напряжения и тока в про-
извольной точке линии х, отсчитанной от ее конца, запишутся в
виде:
U = U 7 cos 0х+/Z. I г sin 0х; )
и ? (П-19)
_/л=_/2с°8 Px+y=^sin 0Х. J
~в
Рассмотрим различные режимы работы линии без потерь.
Согласованное включение линии. При нагрузке линии без потерь
на активное сопротивление ZH = /?H, равное волновому ZB=pB,
tok_Z2 = t/2/T?H = t/2/рв и уравнения передачи (11.19) преобразуют-
ся следующим образом:
их = и 2 (cos 0х +j sin 0х) = U2e= С/хпад; 1
1х =12 (cos 0х 4-J sin 0х) = / 2е=Дхта. J
Заменяя комплексные амплитуды их модулями и фазами,
т. е. U 2 = | U 21 еЛ>“2 и Z2 = |J2|e>«, и полагая для упрощения <ри2 =
= <pi2 = 0, перейдем к уравнениям передачи для мгновенных
значений напряжений и токов. Тогда
M0 = l^2lsin(®'+P*) = “xnaa; 1
^(0=l^2lsin(<or+px) = zxnaa. J
Эти уравнения описывают падающие волны, распространяю-
щиеся в линии слева направо, т. е. от начала к концу линии
(рис. 11.9, а). На направление распространения волн указывает
знак «плюс» перед 0х (напомним, что расстояние х отсчитывается
от конца линии).
Таким образом, при согласованном включении линии без
потерь в ней существуют только падающие, или бегущие, волны
напряжения и тока. При этом амплитуды колебаний постоянны по
всей длине линии (рис. 11.9, б). Данный режим работы линии
252
Рис. 11.8 Рис. 11.9
называют также режимом бегущей волны. Сдвиг фаз между
напряжением их и током ix равен нулю, поэтому энергия бегущей
волны носит активный характер.
Короткое замыкание линии. При ZH = 0 напряжение в конце
линии С/2=0. Уравнения передачи (11.19) для данного режима
работы линии примут вид:
(7x=/ZB_(2sin Рх; 1х=1г cos (11.20)
Если положить для простоты начальную фазу ф,-2 тока в конце
линии равной нулю, то мгновенные значения напряжения и тока в
любой точке линии будут описываться выражениями:
«х(0 = 1£2IpBsinpxsin(oz+n/2); | (11.21)
ix (?)=1121 cos sin cor. j
Амплитуды напряжения |_/21 pBsin Px и тока |_f21 cos Px являют-
ся функциями координаты x. В линии есть точки, в которых
амплитуда напряжения (тока) в любой момент времени равна
нулю. Это так называемые узлы напряжения (тока). И есть
точки, в которых амплитуда напряжения (тока) имеет максималь-
ное значение—пучности напряжения (тока).
Узлы напряжения и пучности тока образуются в точках, в
которых Рх=0, л, 2л, ..., так как при этом sinPx=0 и их=0, а
cosPx= + l и ток ix имеет максимальную амплитуду. Пучности
напряжения и узлы тока возникают в тех точках линии, где Рх=р
253
3 5
-it; -it; ... . При этих значениях Рх sinPx=±l и амплитуда
напряжения их максимальна, a cosPx=0 и амплитуда тока ix равна
нулю. Рассмотрим причины появления узлов и пучностей напряже-
ния и тока.
При коротком замыкании линии коэффициенты отражения
равны a„=(ZH—ZB)/(Z„4-ZB)= — 1 и а,= -ст„=1, т. е. происхо-
дит полное отражение энергии, в результате чего в любой точке
цепи результирующее напряжение (ток) складывается из суммы
падающих и отраженных волн. Действительно, из уравнений в
комплексной форме (11.20) следует:
=jZJ. 2 sin Рх=е'₽х - ^2 е “7₽х=е'₽л +
+^е-^-’>=1/,11ад+1/хотр;
1х =12 COS рх = =£ е7₽Х + ^ е“7₽Х =_(хпад +1хотр-
Поскольку потерь в линии нет, амплитуды падающих и отражен-
ных волн во всех точках линии одинаковы.
Сдвиг фаз между падающей и отраженной волнами напряже-
ния в точке х
фв = Рх-[-(Рх-я)] = 2Рх-л=^х-л,
а между падающей и отраженной волнами тока
ф; = Рх-(-Рх) = 2рх = ^х.
Л.
Удобно рассматривать в линии без потерь точки х, кратные
четверти длины волны, т. е. кратные 1/4. В конце (х = 0) ф„= — л и
Ф, = 0. Следовательно, падающая и отраженная волны напряжения
находятся в противофазе, а падающая и отраженная волны
тока — в фазе. Поэтому в конце линии наблюдается узел
напряжения и пучность тока.
На расстоянии 1/4 от конца линии фи = 0 и ф,= л, т. е. фазы
падающей и отраженной волн напряжения совпадают, а волн
тока — противоположны. В этой точке образуется пучность напря-
жения и узел тока. В точке х = 1/2 (ф„ = л, ф, = 2л) возникают
пучность тока и узел напряжения и т. д.
В промежуточных точках между узлдми и пучностями фазовые
соотношения отличны от 0, л, 2л и т. п. В них амплитуды
напряжения и тока принимают промежуточные значения между
нулем и удвоенной величиной.
254
Векторная диаграмма, приведенная на рис. 11.10, иллюстрирует
соотношение фаз между падающей и отраженной волнами тока в
различных точках короткозамкнутой линии.
Распределение модулей комплексных амплитуд напряжения
| Ux | и тока |_ZX| по длине линии представлено на рис. 11.11.
Расстояние между соседними узлами (пучностями) равно 1/2.
Вернемся к рассмотрению мгновенных значений напряжения и
тока, описываемых формулами (11.21). Делая моментальные
фотографии распределения мгновенных значений, например напря-
жения вдоль линии в моменты времени t2, t3, t4, t5 и т. д., и
проецируя их затем на экран, получим картину «пульсирующего»
напряжения, в которой узлы напряжения остаются на месте, а
напряжение между узлами пульсирует, достигая положительного и
отрицательного амплитудных значений (рис. 11.12). Та же картина,
но смещенная по оси х на величину 1/4, будет наблюдаться и для
тока ix.
Таким образом, в короткозамкнутой линии возникают волны
напряжения и тока, которые не распространяются вдоль линии, а
стоят на месте. Такие волны называются стоячими, а уравнения
передачи (11.20) и (11.21)—уравнениями стоячих волн. Описывае-
мый режим работы линии получил также название режима
стоячих волн.
Напряжение их и ток ix в короткозамкнутой линии согласно
(11.21) сдвинуты по фазе на 90°. Это свидетельствует о том, что
энергия стоячей волны имеет реактивный характер.
255
Определим входное сопротивление короткозамкнутой линии в
произвольной точке х. Из (11.20) следует, что ZMK3=—=
.Lx
_jz,l2 яд P* _g tg px ПрИ x=0, X/2, X, |x, ... величина Px=^x=
12 cos px 2 A.
X 3
= 0, it, 2л, 3л, ... и входное сопротивление ZBXX3j=0. При х=~, -X,
5 2л
-1, ... величина |3х=—х=0, л, 2л, Зл, ... и входное сопротивле-
4 А
ние ZBXX3=+co.
На рис. 11.13 приведена зависимость ZmKJj от длины линии
(расстояния х от конца линии).
Меняя длину короткозамкнутой линии без потерь, будем
получать входное сопротивление, имеющее индуктивный характер
(в диапазоне х=0. ..Х/4), емкостный характер (х = Х/4...Х/2), затем
опять индуктивный (х=Х/2.. .ЗХ/4) и т. д.
При длинах, кратных Х/4, входное сопротивление коротко-
замкнутой линии без потерь эквивалентно входному сопротивле-
нию параллельного колебательного контура, а при длинах,
кратных Х/2,—входному сопротивлению последовательного ко-
лебательного контура.
Учитывая, что в линиях без потерь = и, следова-
тельно, частота со и длина линии I (или расстояние от конца линии
х) входят в выражение ZBXX 3 симметричным образом, приходим к
выводу, что частотная зависимость ZBXX 3 аналогична зависимости
от длины линии (рис. 11.14). На тех частотах, где р/ кратно
ZBXX 3= + оо, а где р/ кратно it, ZBXX 3=0. При фиксированной
длине короткозамкнутая линия представляет собой двухполюсник
с бесконечным числом резонансов.
Размыкание линии. В режиме холостого хода ZH = oo и_/2 = 0.
Уравнения передачи получим из (11.19):
t/x=tf2cosPx; Jx=j^sinPx. (11.22)
~в
Для мгновенных значений имеем (при начальной фазе напря-
жения <ри2 = 0):
256
Рис. 11.13
Рис. 11.14
их(<) = 1 С/21cos Рх sin /х(0=1C2/ZJ s*n 0xsin(ciH-|-7t/2). (11.23)
Сравнивая уравнения передачи (11.22) и (11.23) с уравнениями
короткозамкнутой линии (11.20) и (11.21), видим, что полученные
уравнения также являются уравнениями стоячих волн. Разница
состоит в том, что узлы и пучности напряжения при холостом
ходе совпадают с узлами и пучностями тока при коротком
замыкании, а узлы и пучности тока разомкнутой линии—с узлами
и пучностями напряжения короткозамкнутой линии. В конце
разомкнутой линии образуется пучность напряжения и узел тока.
Данный режим работы линии по аналогии с предыдущим называ-
ется режимом стоячих волн. Входное сопротивление разомкнутой
линии без. потерь-определяется из (11.22): ZBX,x.x=yi= —jZBctgPx.
Его график, отражающий зависимость от х, дан на рис. 11.15.
А-вхю
J
Т Т Т Т Т Т
Рис. 11.15
9 - 3439
257
Включение линии на реактивное сопротивление. Пусть линия нагружена,
на индуктивность £н (рис. 11.16, а). При заданной частоте со сопротивление!
нагрузки ZH = j(&L№.
Из рис. 11.13 видно, что отрезок закороченной линии длиной, меньше Х/4, '
имеет входное сопротивление индуктивного характера. Поэтому всегда можно [
подобрать такую длину отрезка /', при которой его входное сопротивление^
равнялось бы заданному сопротивлению ZH. Заменим индуктивность £н отрезком (
короткозамкнутой линии (рис. 11.16,6). Эта замена позволяет применить теорию
короткозамкнутой линии и сразу же построить кривые распределения напряжения и f
тока в линии, нагруженной на индуктивность (рис. 11.16, в). В рассматриваемой
линии возникают стоячие волны. Этот режим отличается от режима короткого
замыкания тем, что ближайший узел и пучность сдвинуты от конца линии на '
некоторое расстояние.
На рис. 11.16, г приведен график входного сопротивления линии, включенной
на индуктивность в зависимости от ее длины. Оно имеет реактивный характер в {
любом сечении линии.
В случае, когда линия нагружена на емкость Са с сопротивлением ZH= '
= 1 /(/шСн), можно заменить эту емкость отрезком разомкнутой линии длиной
Г < Х/4 (см. рис. 11.15), входное сопротивление которого равняется заданному ।
1/(/о)Сн). Очевидно, и в этом случае в линии возникают стоячие волны.
Предоставляем читателю возможность проанализировать данный режим работы
линии самостоятельно.
Включение линии на активное сопротивление, не равное волно-
вому. Положим для определенности, что сопротивление нагрузки
/?H>ZB = pB, и рассмотрим распространение по линии волны
напряжения.
Падающая волна не вся поглощается нагрузкой, часть ее
отражается обратно в линию. Амплитуда отраженной волны
меньше амплитуды падающей волны, поэтому падающую волну
можно представить в виде суммы двух волн. Одна из них, равная
по амплитуде отраженной волне, взаимодействуя с ней, образует
стоячую волну. Оставшаяся падающая волна является бегущей.
258
Таким образом, в линии возникает смешанная волна, состоящая из
бегущей и падающей волн. Данный режим работы называется
режимом смешанных волн.
На рис. 11.17 показано распределение по длине линии модуля
комплексной амплитуды напряжения. В линии будут отсутство-
вать узлы и пучности, а будут наблюдаться минимумы и
максимумы амплитуды волны.
Чтобы оценить близость данного режима к режиму бегущей
волны, вводят коэффициент бегущей волны:
кЪл = \ихт1л\1\ихтах\.
Величина кЪв изменяется в пределах от 0^£бв^1. При ^6,в=0 в
линии имеет место стоячая волна, при &б.в=1—бегущая волна.
Коэффициент бегущей волны можно выразить через отношение
волнового сопротивления и сопротивления нагрузки. Действи-
тельно, минимальное значение амплитуды смешанной волны
| Uxmin\ представляет собой амплитуду бегущей волны | С7б в|, т. е.
той волны, которая поглощается частью сопротивления нагрузки,
равной волновому сопротивлению. Поэтому
Максимальное значение амплитуды смешанной волны
|с/хИИх1=11/6.в1+|с/с.в1=122|лн,
где | С/с.в |—максимальная амплитуда стоячей волны. Отсюда
находим’ &б.в = рв/Ян.
Часто используют обратную величину ксв= 1/£бв, которую
называют коэффициентом стоячей волны.
Из общих уравнений передачи линии без потерь (11.19) рассмотрим сначала
уравнение для напряжения:
Ux = U 2 cos рх + jZJ_ 2 sin Рх = U 2 (cos Рх +jkb в sin Рх).
Воспользуемся подстановкой в виде тождества
cos Рх=кбз cos Рх+(1 — кб в) cos Рх.
Тогда после несложных преобразований получим
Ux=U2k6^x+U2(\-fc6.B)cos Рх.
Уравнение передачи для мгновенных значений напряжения находим как обычно
(полагая при этом сри2 = О):
их (0=I И. г I ^б.в sin (cor + Рх) +1 U21 (1 - &б.в)cos Р* sin cor.
Первое слагаемое этого уравнения является бегущей волной, второе слагае-
мое—стоячей волной. При £бв = 0 первое слагаемое обращается в нуль и в
уравнении присутствует только стоячая волна. При £бв=1 обращается в нуль
второе слагаемое и уравнение содержит только бегущую волну.
Рассматривая аналогичным образом уравнение для тока /х(г), имеем:
259
ix (t)=k6 B sin (cor + 0x)+(1 — k6 ,) sin 0x sin (tot+-
P. Р» \ 2/
Можно сделать некоторые выводы:
если переносимая вдоль линии энергия полностью рассеивается
на ее конце (линия нагружена на активное сопротивление, равное
волновому), то отражение энергии отсутствует и в линии будут
существовать только бегущие волны;
если энергия в конце линии не рассеивается (короткое
замыкание, холостой ход, реактивная нагрузка), то происходит
полное отражение волн, и, как следствие этого, в линии
образуются только стоячие волны;
когда переносимая вдоль линии энергия лишь частично
рассеивается на ее конце (линия замкнута на активное сопротив-
ление, не равное волновому), в линии одновременно присутствуют
как бегущие, так и стоячие волны.
11.7. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ЛИНИЙ
С ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛЫМИ ПОТЕРЯМИ
Колебательный контур. В технике сверхвысоких частот вместо
колебательных контуров на сосредоточенных реактивных элемен-
тах используют отрезки короткозамкнутых или разомкнутых
линий с малыми потерями. Частотные характеристики входных
сопротивлений таких отрезков (см. рис. 11.13 —11.15) в области
частот, прилегающих к резонансной, достаточно хорошо воспроиз-
водят характеристики колебательных контуров. Значения доброт-
ностей отрезков линий достаточно велики и могут достигать,
например, для короткозамкнутых четвертьволновых отрезков
нескольких тысяч единиц. Это позволяет успешно использовать их
для селекции колебаний очень высоких частот.
Металлический изолятор. При х=Х/4 входное сопротивление
короткозамкнутого отрезка линии обращается в бесконечность
(см. рис. 11.13). Это дает возможность использовать четверть-
волновый короткозамкнутый отрезок в качестве изолятора, напри-
мер для подвески двухпроводных воздушных фидерных линий
(рис. 11.18). Отрезок линии выполняется в виде жестких металли-
ческих прутьев или труб. Их нижние концы заземляются, в
результате чего осуществляется короткое замыкание. Верхние
концы присоединяются непосредственно к линии. Такие изоляторы
по своим электрическим и конструктивным данным превосходят
изоляторы из диэлектрика.
Линейный вольтметр. Непосредственное включение в цепь
обычного измерительного прибора при очень высокой частоте
нарушает режим работы цепи, так как вносит в нее добавочное
реактивное и активное сопротивления. Измерительный прибор с
малым входным сопротивлением, включенный через четверть-
260
Рис. 11.19
волновый отрезок линии, называют линейным вольтметром
(рис. 11.19). Подключение измерительного прибора к отрезку
линии практически создает короткое замыкание. Входное сопро-
тивление линейного вольтметра оказывается очень большим, и он
не оказывает заметного влияния на цепь, в которой измеряется
напряжение. Измеряемое действующее значение напряжения свя-
зано с действующим значением тока, протекающего через измери-
тельный прибор, зависимостью U=pBI, что следует из уравнения
(11.20) при х=Х/4.
Полосовой фильтр. На сверхвысоких частотах, где потери в
линии пренебрежимо малы, короткозамкнутые отрезки линии
могут быть использованы для построения фильтров. В качестве
примера на рис. 11.20, о показана схема полосового фильтра,
построенного на двух короткозамкнутых отрезках линии. В
продольное плечо схемы включен полуволновый отрезок, в
поперечное плечо — четвертьволновый. Первый отрезок имеет
входное сопротивление, аналогичное входному сопротивлению
последовательного колебательного контура. Второй, четверть-
волновый, отрезок играет роль параллельного колебательного
контура. Эквивалентная электрическая схема фильтра дана на
рис. 11.20,6.
Четвертьволновый трансформатор сопротивлений. При длине
отрезка х = Х/4 уравнения передачи (11.19) упрощаются и при-
нимают вид:
ux=jZJ2;
Рис. 11.20
261
Входное сопротивление четвертьволнового отрезка линии с пре-
небрежимо малыми потерями
7 ___Их___72-Z1__— . 7 __ /7 7
-ВХ 1х -В U1 Zh’ -в V-BX-H-
Такой отрезок можно использовать в качестве согласую-
щего трансформатора сопротивлений. Если включаемые кас-
кадно линии имеют разные волновые сопротивления ZB1
и Zb2, то у четвертьволнового согласующего трансформато-
ра в качестве сопротивления нагрузки выступает волновое
сопротивление Zb2. Входное сопротивление согласующего транс-
форматора должно быть равно ZB1. Для выполнения это-
го условия достаточно выбрать ZB трансформатора равным
Тогда Zbx==Z*/Z*2 = ZbiZb2/Z*2 = Zb1. Такой со-
гласующий трансформатор приведен на рис. 11.21.
Пример. На входе отрезка линии без потерь длиной 7=1/2, нагружен-
ного на активное сопротивление Ян = 37,5 Ом, включен источник с С/Г=1ОВ.
Волновое сопротивление отрезка Zb = pb = 75Om. На расстоянии 1/4 от конца
отрезка к нему подключен короткозамкнутый шлейф длиной /ш = 1/8 и волновым
сопротивлением ZB = pB = 75 Ом. Определим входное сопротивление отрезка и ток
на его входе.
Отрезок линии с короткозамкнутым шлейфом изображен на рис. 11.22. Найдем
сначала входное сопротивление части отрезка длиной 1/4 от сопротивления Ra до
точек а—б, рассматривая эту часть как трансформатор сопротивления: Z'BX =
=^/Ян=150 Ом.
Входное сопротивление короткозамкнутого шлейфа длиной 1/8, будем искать
по формуле ZBX ш = jZB tg Р /ш = j 75 Ом, где р/ш = 2я/1 х 1/8 = л/4.
Таким образом, левая часть отрезка длиной 1/4 оказалась нагруженной на
параллельное соединение сопротивлений ZBX и ZBxm, т. е. на сопротивле-
ние za6=z;xzBX.UI/(z;x+zBXj=67^3°30' Ом.
Входное сопротивление всего отрезка определим, рассматривая первую
половину отрезка как трансформатор сопротивления. Поэтому ZBX = ZB/Za6 =
= 84e-j63 3° Ом. Ток на входе отрезка линии _/х = (7/ZBX = 0,l ^е763 30 А.
262
Глава 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ
В ЦЕПЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ
12.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу
линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются
постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи
описываются линейными дифференциальными уравнениями с
постоянными коэффициентами.
В качестве примера напомним (см. § 7.4), что свободные колебания напряжения
ис на емкости в последовательном Я£С-колебателыюм контуре удовлетворяют
дифференциальному уравнению
d2uc R duc 1
1P+11F+TcUc=q-
Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от
воздействия, то цепь описывается нелинейным дифференциальным
уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного
7?£С-контура, сопротивление которого зависит от напряжения ис,
получим
d2uc R(uc) duc 1
Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент
электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия,
называется нелинейным. Различают резистивные и реактивные
нелинейные элементы.
Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная
связь между током i и напряжением и, т. е. нелинейная характе-
ристика /=Г(и). Наиболее распространенными резистивными
нелинейными элементами являются ламповые и полупроводни-
ковые приборы, используемые в радиотехнике для усиления и
преобразования сигналов.
На рис. 12.1 приведены ВАХ типовых нелинейных резисторов и
их условные обозначения: полупроводникового (а) и туннельного
(б) диодов, биполярного (в) и полевого (г) транзисторов. Здесь иБЭ,
/Б и гк—соответственно напряжение, приложенное к участку
«база—эмиттер», и токи базы и коллектора биполярного тран-
зистора; мзи и ic—соответственно напряжение, приложенное к
участку, «затвор—исток» и ток стока полевого транзистора.
Для резистивных нелинейных элементов важным параметром
является их сопротивление, которое в отличие от линейных
263
Рис. 12.1
резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой
точке ВАХ оно определяется. На рис. 12.2 изображена ВАХ
нелинейного элемента. Можно определить сопротивление как
Ro — uli— Uq/Iq,
где Uо—приложенное к нелинейному элементу постоянное напря-
жение; I0 = F(U0)—протекающий по цепи постоянный ток. Это
сопротивление постоянному току (или статическое). Оно зависит
от приложенного напряжения.
Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u=UQ +
+ Umcos(ot, причем амплитуда Um переменной составляющей
достаточно мала (рис. 12.2), так что тот небольшой участок ВАХ,
в пределах которого действует переменное напряжение, можно
считать линейным. Тогда ток, протекающий через нелинейный
элемент, повторит по форме напряжение: i=I0 + Imcos(at. Опреде-
лим сопротивление 7?диф как отношение амплитуды переменного
напряжения Um к амплитуде переменного тока 1т (на графике это-
отношение приращения напряжения Ди к приращению тока Аг):
Ядиф= UJIm = bu/Ы.
Это сопротивление называется дифференциальным (динамиче-
ским) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента
переменному току малой амплитуды.
Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют
дифференциальное сопротивление в виде R^ = dufdi. Иногда
удобно пользоваться понятием дифференциальной крутизны (про-
водимости)
5диф=1//?диф=Л7</и.
Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ (см.
рис. 12.1, б), называются приборами с отрицательным сопротивле-
нием, так как на этих участках производные dijdu<S} и dufdi<Q.
К нелинейным реактивным элементам относятся нелинейная
емкость и нелинейная индуктивность. Примером нелинейной
емкости может служить любое устройство, обладающее нелиней-
ной вольт-кулонной характеристикой q=F(u) (например, вариконд
264
Рис. 12.2
nff(w)
L_____I______,
.Я ь)о
\iM а>
Li—Ы—i.u
1 Л 25? ш0~5? ^в*Я 2ш0
Рис. 12.3
и варикап). Нелинейной индуктивностью является катушка с
ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, дово-
дящим сердечник до магнитного насыщения.
Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является
то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому
невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов,
если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из
сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей
временного (интеграл наложения) и спектрального (преобразова-
ние Фурье) методов, которые применялись в теории линейных
цепей.
Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ)
нелинейного элемента описывается выражением z = aw2. Если на
такой элемент действует сложный сигнал u = ui + u2, то отклик
/ = «(«! 4-w2)2 = aMi + aM2 + 2awiZ/2 отличается от суммы откликов на
действие каждой составляющей в отдельности (аи2 + аи2) нали-
чием компоненты 2<хи1ы2, которая появляется только в случае
одновременного воздействия обеих составляющих.
Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных
цепей. Пусть u=u1+u2 = Umlcos(o0t+Um2cos£it, где Uml и Um2—
амплитуды напряжений щ и и2. Тогда ток в нелинейном элементе
с ВАХ i=a.u2 будет иметь вид:
i=a (Um! cos (Oo' + Um2 cos Qz)2 = | U21 (1+ cos 2<boz)+t72 2 (1 +
cos 2flt)+a Um i Um2 [cos (coo+fl) t+cos (o0—fl) /].
На рис. 12.3 построены спектры напряжения (а) и тока (б). Все
спектральные компоненты тока оказались новыми, не содержащи-
мися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях
возникают новые спектральные компоненты. В этом смысле
265
нелинейные цепи обладают гораздо большими возможностями,
чем линейные, и широко используются для преобразований
сигналов, связанных с изменением их спектров.
В заключение отметим, что устройство и характеристики
различных приборов, используемых в качестве нелинейных эле-
ментов, будут детально изучаться во второй части учебника (см.
гл. 15 и 16). При изучении же теории нелинейных цепей можно не
учитывать устройство нелинейного элемента и опираться только
на его внешние характеристики подобно тому, как при изучении
теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов,
конденсаторов и катушек и пользуются только их параметрами R,
L и С.
12.2. АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Методы аппроксимации. Как правило, ВАХ нелинейных элемен-
тов i=F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они
заданы в виде таблиц или графиков. Чтобы иметь дело с
аналитическими выражениями, приходится прибегать к аппрокси-
мации.
В гл. 9 рассматривались методы аппроксимации, используемые
в линейных цепях. Те же методы могут быть, по сути,
использованы и для представления характеристик нелинейных
цепей. Отличие будет состоять в выборе аналитических зависи-
мостей, так как аппроксимации подлежат функции совершенно
другого класса (в частности, ВАХ, а не АЧХ, ФЧХ и временные).
Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелиней-
ного элемента /=F5(w), а аналитическую функцию, аппроксими-
рующую заданную характеристику, i=F(u, а0, а15 а2, ..., ах), где
а0, а15 ..., aN—коэффициенты этой функции, которые нужно
найти в результате аппроксимации.
В методе Чебышева коэффициенты а0, а15 ..., aN функции F(u)
находятся из условия
A = max |F(ut)—7^(uk)|-> min , (12.1)
т. е. они определяются в процессе минимизации максимального
уклонения аналитической функции от заданной. Здесь ик, к=1,
2, ..., G—выбранные значения напряжения и.
При среднеквадратичном приближении коэффициенты а0,
at, ..., ay должны быть такими, чтобы минимизировать величину
G
л= Е min • <12-2)
t=l ...«N>
Приближение функции по Тейлору основано на представлении
функции i=F(u) рядом Тейлора в окрестности точки u=U0
266
i=F(u)=F(U0)+^(u-U0)+^(u-U0)2+ ... (12.3)
и определении коэффициентов этого разложения. Если ограни-
читься первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то,
очевидно, речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости
F(u) более простой линейной зависимостью. Такая замена
называется линеаризацией характеристик.
Заметим, что первый член разложения (12.3) F(t/0) = 70 пред-
ставляет собой постоянный ток в рабочей точке при и = Uo, а
второй член F'(U0) = ^~ = -^—= 5диф—дифференциальную кру-
““ u = U0 Лдиф
тизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке, т. е. при
u=U0.
Наиболее распространенным способом приближения заданной
функции является интерполяция (метод выбранных точек), при
которой коэффициенты а0, а15 ..., aN аппроксимирующей функции
F(u) находятся из равенства этой функции и заданной Х(и) в
выбранных точках (узлах интерполяции) ик=1, 2, ..., A+Y
Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных
элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функ-
ции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше
методов.
Степенная (полиномиальная) аппроксимация. Такое название
получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами
N
1=7г(и) = а0 + а1и+а2и2 + ... +a.NuN= £ asws. (12.4)
s = 0
Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной
характеристики в окрестности точки Uo, называемой рабочей.
Тогда используют степенной полином
i=F(u) = a.0 + a.1(u-U0)+a.2(u-U0)2+ ... + аДи-U0)N. (12.5)
Определить коэффициенты а0, а15 ..., aN полинома (12.4)
можно различными способами. При среднеквадратичном прибли-
жении они находятся из условия A->min, где Л определяется
формулой (12.2).
Из математики известно, что минимум функции нескольких
переменных достигается при равенстве нулю производных функ-
ции по ее параметрам, т. е. при 5Л/да( = 0, 1=0, 1, ..., N. Если
подставить в (12.2) выражение степенного полинома (12.4),
вычислить производные
fc=l |_з = 0_______________
da.
, /=0, 1,
..., N,
267
и приравнять их нулю, то получим, что коэффициенты а0,
а1# ..., aN, дающие наилучшее среднеквадратическое приближение,
находятся из решения следующей линейной системы уравнений:
N G G
Z as £ иГ°= Е /=0’ Ь N. (12.6)
s=0 к=1 к = 1
При этом число точек и = ик9 в которых оценивается приближе-
ние, может быть гораздо больше числа коэффициентов а0,
а15 aN.
Применение метода интерполяции (метода выбранных точек),
когда добиваются совпадения F(u) и F^(u) в выбранных точках
и = ик, приводит к линейной системе уравнений
N
Y<Wl = FM’ 2’ •••’ <12-7)
5 = 0
из которой и находятся коэффициенты а0, а19 ..., aN. В этом
методе число выбранных точек (узлов интерполяции) и = ик должно
совпадать с числом коэффициентов.
Существуют также способы определения коэффициентов сте-
пенного полинома путем .минимизации чебышевской погрешности
(12.1), использования разложений в ряд Тейлора и др. Степенная
аппроксимация широко используется при анализе работы нелиней-
ных устройств, на которые подаются относительно малые
внешние воздействия, поэтому требуется достаточно точное
воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности
рабочей точки.
Пример. На рис. 12.4 кружочками показана полученная экспериментально
характеристика zB = F(wB3), т- е- зависимость тока базы от напряжения между базой
и эмиттером для транзистора КТ301. Осуществим степенную аппроксимацию этой
характеристики в диапазоне мБЭ от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в
окрестности рабочей точки /7о = 0,7 В.
Коэффициенты а0, и а2 полинома /Б = а04-а1(мБЭ —£70)4-а2(мБЭ—(7О)2 найдем,
используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соот-
ветствующие напряжениям мБЭ = 0,5, 0,7 и 0,9 В, и составим систему уравнений (12.7):
а0—0,2а! 4- 0,04а2=0,05;
а2 = 0,15; >
а04-0,2а! 4- 0,04а2 = 0,50.
Решение этой системы дает ао = 0,15 мА, ах = 1,125 мА/B, а2 = 3,125 мА/В2.
Кривая тока /Б = 0,15 +1,125 (мБЭ—0,7) 4-3,125 (мБЭ—0,7)2 проходит через три экспери-
ментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (рис. 12.4, кривая /). Из
рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при мБЭ = 0,4 В)
плохо «ложатся» на эту кривую. Кроме того, нас не устраивает загиб в нижней
части характеристики.
268
Рис. 12.4
Рис. 12.5
Более лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином
четвертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,7;
0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока /Б пройдет через все пять экспериментальных
точек. Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить
аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для определения
коэффициентов а0, oij и а2. Попробуем найти эти коэффициенты, используя
среднеквадратическое приближение тока ко всем пяти экспериментальным значе-
ниям. Составим уравнения (12.6):
5а0 — 0,2аj + 0,18а2 = 0,98;
-O^ao+OJSaj — 0,026а2 = 0,106; >
0,18а0 - 0,026а t -Ь 0,0123а2=0,0272.
Решение этой системы уравнений ао = 0,164мА, aj = l,07MA/B и а2 =
= 2,069 мА/В2.
График тока /Б = 0,164+1,07 (иБЭ—0,7)+2,096(иБЭ—0,7)2 показан на рис. 12.4
(кривая 2). Эта характеристика является, по-видимому, более приемлемой для
аналитического описания экспериментальных результатов.
Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на
нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими
амплитудами, можно допустить более приближенную замену
характеристики нелинейного элемента и использовать более
простые аппроксимирующие функции. Наиболее часто при анализе
работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характе-
ристика заменяется отрезками прямых линий с различными
наклонами.
С математической точки зрения это означает, что на каждом
заменяемом участке характеристики используются степенные
полиномы (12.4) первой степени (N=l) с различными значениями
коэффициентов а0 и аР
Пример. На рис. 12.5 (кривая /) приведен график экспериментальной зависи-
мости /B = F(wB3) транзистора КТ306. Выполним кусочно-линейную аппроксимацию
этой зависимости.
269
Используя полином первой степени /Б = ао + а1 (мбэ~ ^о), осуществим аппрокси-
мацию заданной зависимости в окрестности точки (7о = 0,8 В и определим
коэффициенты по методу Тейлора (12.3):
4 = F (и0)+(иБЭ - и0) = /о+S (и0) (иБЭ - С/о).
Величина /0—ток в рабочей точке — в соответствии с экспериментальными
данными равна 1,2 мА. Крутизну S(U0) в рабочей точке можно найти приближенно
методом приращений:
~ А4
«вэ = 1'„ АиБЭ
“БЭ - V
0,8
Х"т=4 мА/В.
0,2
В результате аппроксимации имеем
/Б = 1,2 + 4 (иБ э - 0,8)=4 (иБЭ - 0,5).
Видно, что при мбэ<0,5 В ток /Б принимает отрицательные значения, что не
согласуется с экспериментальной зависимостью. Таким образом, полученным
полиномом будем аппроксимировать заданную зависимость на участке мБЭ>0,5.
На участке же 0^мБЭ^0,5 можно выбрать полином первой степени с нулевыми
коэффициентами, т. е. /Б = 0. Итак, аппроксимирующая функция х (рис. 12.5, кривая
2) запишется в виде
/ ч Jo, мбэ^0,5 В;
'б = Л“бэ) = |4(ибэ_0 5)> „бэ>0>5 В
Подобная аппроксимация применяется довольно часто, поэтому представим
эту зависимость в более общей форме:
i=F(u)=-[0’ и5?1/отс;
)s(u-UOTC), и>иотс,
где напряжение С7отс называется напряжением отсечки.
12.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО
КОЛЕБАНИЯ НА ЦЕПЬ
С НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Постановка задачи анализа. Пусть на нелинейный элемент с
вольт-амперной характеристикой i=F(u) подаются гармоническое
напряжение сигнала и (г) = Um cos coz и постоянное напряжение
смещения Uo, которое определяет положение рабочей точки на
характеристике (рис. 12.6).
На этом же рисунке показана форма тока в цепи с нелинейным
элементом i(t). Из-за нелинейности вольт-амперной характеристи-
ки формы напряжения и тока оказываются различными.
Ток z(z) имеет несинусоидальную форму, т. е. не является
гармоническим колебанием. Мы уже знаем, что в нелинейном
элементе возникают новые частоты колебаний и поэтому состав
270
спектра тока i(t} = F(U0+ Um cos art) отличается от состава спектра
напряжения и (t).
Так как функция /(/) является периодической с периодом
Г=2л/(о, она может быть представлена рядом Фурье (6.24):
»(0=/о+ Е 4rtCOS(faM-<pt).
k=l
Это значит, что ток в нелинейном элементе складывается из
постоянной составляющей и бесконечного числа гармоник с
частотами со, 2®, Зю, ....
Задача заключается в спектральном анализе состава тока, т. е.
в нахождении амплитуд спектральных составляющих 10, 1т1,
1т2> •> • • • в зависимости от постоянного напряжения смеще-
ния Uo и амплитуды переменного напряжения Um.
Спектральный состав тока при степенной аппроксимации. Для
определения амплитуд гармоник. тока подставим выражение для
напряжения, приложенного к нелинейному элементу u(t) = U0 +
+ Umcos(M, в формулу полинома (12.5), используемого для
степенной аппроксимации в окрестности рабочей точки Uo:
i=F(u) = a0 + a1(u—U0)+a2(u—U0)2+ ... + aN(u-U0)N.
В результате получим
i = a04-ai{7mcos®f+a2i7^cos2®Z4- ... + aJV(7£coslv«)/.
Воспользовавшись известными тригонометрическими форму-
лами
cos2 ot=- 4- - cos 2со/;
2 2
271
Рис. 12.7
ч 3 1
cos5 coz=- cos coz+- cos 3coZ;
4 4
3 1 i
cos4 (at=- 4- - cos 2(dt4-- cos 4cor;
8 2 8
cos5 (dt=-cos®/ 4--^ cos Зю/+4; cos 5(dt и т. д.
8 16 16
(12.8)
запишем выражение для тока, сгруппировав отдельно все постоян-
ные составляющие, все члены с косинусами, все члены с
косинусами удвоенного аргумента и т. п. в следующей форме:
г = (ао4-|а2^4-|а4С744-...)4-(а1С/т4-|азС/54-
4- | а5 U5m 4-...) cos (dt 4- (J а2 4-| а4 (7 4 4-...) cos 2ю/ 4- (j а3 С/5 4-
о / у Z о ] у Я-
4-^а5 J75 4-...^ cos Зеб/4-...
В более компактном виде формула (12.8) выглядит так:
i=10 4-Imi cos (dt4-Im2 cos 2®/4-Im3 cos 3®/4-...,
где значения амплитуд спектральных составляющих /0,1т1,1т2, ...
определяются выражениями, заключенными в формуле (12.8) в
скобки.
Спектральный состав тока при кусочно-линейной аппроксимации.
На рис. 12.7 показана форма тока в цепи с нелинейным элементом
при кусочно-линейной аппроксимации его характеристики функ-
цией
; _ г Л Л _ J ^отс>
\S(u-U„e), u>Ume,
(12.9)
272
когда на вход подается напряжение и = Uo 4- Um cos «И.
График тока имеет характерный вид косинусоидальных им-
пульсов с отсечкой. Половина той части периода, в течение
которой протекает ток, называется углом отсечки. На рис. 12.7
угол отсечки обозначен 9 и показан как на графике тока, так и на
графике напряжения. Измеряется угол отсечки в радианах или
градусах.
При
tot = 9 u(t) = Uo+ Umcostot = Uo + f7mcos9 = U0TC.
Последнее равенство позволяет определить угол отсечки:
UOTC = U0+Umcos&, откуда cos9 = (t/OTC-U0)/Um.
Ток на интервале — 9^ю/^9 отличен от нуля и определяется
из формулы (12.9) подстановкой в нее напряжения w(/)=C/0 +
+ Umcostot и напряжения {70ТС = Uo+ t/mcos9. В результате полу-
чаем
i=SUm (cos®/—cos 9). (12.10)
Периодическую последовательность импульсов тока (см.
рис. 12.7), описываемых выражением (12.10), можно разложить в
ряд Фурье. Поскольку эта последовательность является четной
функцией переменной tot, ряд Фурье будет содержать помимо
постоянной составляющей только косинусоидальные гармониче-
ские составляющие:
i=IQ + Imlcostot+Im2cos2tot+Im3cos3tot +... (12.11)
Постоянная составляющая и амплитуды гармоник ряда
(12.11) находятся как коэффициенты ряда Фурье по формулам
(6.3):
э э
/0=у- i (со?) d(tot)=^~ SU„(costot — cos3)d(tot) = SUmy0(9:);
-з -з 3 3 4ii=“ J i (tot) cos told (tot) = j" — 8 -( =SUm7i(3); 3 /mk=~ J i (tot) cos ktotd(tot) -8 - = SUmyk(S); В этих формулах функции SUm (cos tot—cos 9) cos totd (tot) = 3 SUm (cos оз t—cos Э) cos ktotd(tot) = -8 (12.12) 273
9
Yo(&)=^“ J (coscoZ — cos3)d(cor)=i(sin3—3cos9);
-9
9
Yi(&)=^ J (cos coz — cos9)cosozd(coz)=^(9 — sin 3 cos 3);
-9
9
/n\ 1 I / . n\ i л \ 2 sin£9cos9—£cos£9sin9
Yfc($) = - I (cos COZ — COS3)COSA;CO/fl(cOZ) = ---цр—------------
-9
называются функциями Берга (в честь крупного советского
радиотехника академика А. И. Берга). Так как они зависят
только от угла отсечки, их можно рассчитать заранее. В
соответствующих справочниках приводятся таблицы или графики
функций Берга. Графики нескольких таких функций представлены
на рис. 12.8.
Таким образом, амплитуды спектральных составляющих тока
рассчитывают в соответствии с (12.12) как
Imk = sumyk^), k=0, 1, 2,...
Чтобы получить максимальные амплитуды гармоник, следует
выбирать 3 = 180/Zc, так как при таких углах отсечки функции ук(3)
принимают максимальные значения.
12.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Нелинейный резонансный усилитель. Нелинейный резонаторный
усилитель изображен на рис. 12.9. На входе его действует
переменное напряжение Um cos (dt и постоянное напряжение сме-
щения Uo. Будем полагать, что вольт-амперная характеристика
/к = Г(иБЭ), т. е. зависимость тока коллектора от напряжения на
участке «база—эмиттер», достаточно точно представляется ку-
сочно-линейной функцией вида (12.9). Если на входе нелинейного
элемента (транзистора) действует напряжение «БЭ= (70 +(7mcoscoz,
не выходящее за пределы линейного участка, то ток в цепи
коллектора
iK = S(uB3-UOTJ = S(U0 + Um cos «И-C7OTC) = S(t70-Сотс)+
4- SUm cos (dt = Io 4- Im cos (dt
будет, как и входное напряжение, гармоническим (см.
рис. 12.10,6).
274
Рис. 12.8
—о
вых
Рис. 12.9
о
Если же амплитуда переменного напряжения велика, так что на-
пряжение мБЭ «выходит» за рамки линейного участка (подобная кар-
тина показана на рис. 12.7), то ток в цепи коллектора имеет форму ко-
синусоидальных импульсов с отсечкой. Резонансный контур настроен
на частоту первой гармоники тока, т. е. на частоту входного сигнала
со. Сопротивление параллельного контура на этой частоте велико, а
на частотах гармоник 2со, Зсо, ..., очень мало, так что высшие гармо-
нические составляющие практически не дают вклада в выходной сиг-
нал ивых и С7твых = /т17?о.э = 5С/мЛо эу1(Э), где /т1— амплитуда первой
гармоники тока коллектора iK, Яо э—сопротивление параллельного
контура на резонансной частоте со.
Выходное напряжение
«вых (0 = (3) cos со/ = итът cos со/
практически будет косинусоидальным (т. е. гармоническим).
Рис. 12.10
275
Резонансный умножитель частоты. Схема резонансного умножителя частоты
отличается от нелинейного резонансного усилителя (см. рис. 12.9) только тем, что
колебательный контур в выходной цепи настраивается на частоту одной из высших
гармоник входного сигнала. Амплитуда выходного сигнала умножителя при
кусочно-линейной аппроксимации равна Um3M = SRO3Umyk(ty, а выходной сигнал
«вых(0=^твыхС°8^ имеет частоту в к раз более высокую, чем у входного сигнала
и (z) = Um COS COZ.
При больших к функции уЛ(9) имеют небольшие значения, поэтому важно
выбрать угол отсечки $, при котором значение соответствующей функции Берга
максимально. Существует оптимальный угол отсечки $ОПТ=180/А:. При таком угле
отсечки амплитуда выходного напряжения получается наибольшей.
Умножители частоты применяются в радиотехнике для получения высоко-
частотных стабильных колебаний, когда в распоряжении имеется весьма стабиль-
ный низкочастотный генератор. Если отклонение частоты со, генерируемой
низкочастотной схемой, составляет Дсо, то относительная нестабильность частоты
равна Дсо/со. В умножителе частоты вместо частоты со+Дсо получаем частоту
/гео+/г Дсо, а относительная нестабильность Z:Дсо//гео = Дсо/со остается такой же, как и
у низкочастотного генератора.
Ограничители мгновенных и амплитудных значений. К ограничителям мгновен-
ных значений предъявляются следующие требования. Если мгновенное значение
входного сигнала превышает заданное значение, называемое порогом ограничения,
то значение выходного сигнала должно оставаться неизменным. Различают
ограничения снизу, сверху и двухстороннее. Ограничение снизу наглядно демон-
стрирует рис. 12.7. Таким образом, в схеме на транзисторе можно совмещать
функции усилителя и ограничителя, если амплитуда входного сигнала «выходит» за
рамки линейного участка вольт-амперной характеристики (см. рис. 12.7), а в цепи
коллектора включена резистивная нагрузка (см. рис. 12.10, а). Порог ограничения
можно регулировать напряжением смещения Uo.
Ограничение сигнала сверху и двухстороннее ограничение можно также
осуществить на транзисторном резистивном каскаде (см. рис. 12.10, а), если ВАХ
zk = F(mB3) будет иметь вид, показанный на рис. 12.11. Ограничение сверху
происходит за счет верхней отсечки коллекторного тока, двухстороннее ограни-
чение— за счет нижней и верхней отсечки тока /к. Характер ограничения
определяется положением рабочей точки на ВАХ (т. е. напряжением смещения Uo).
Указанная характеристика zk = F(mb3) транзистора получается при использовании
существенно пониженного напряжения коллекторного питания Ua. Идеализация
характеристики достигается применением кусочно-линейной аппроксимации тремя
отрезками прямых.
Ограничители мгновенных значений сигнала могут строиться на схемах с
диодами (см. § 19.3), ВАХ которых (см. рис. 12.1, а) может быть также
аппроксимирована отрезками прямых. На рис. 12.12 приведены схемы диодных
ограничителей снизу (а) и сверху (б). В этих схемах сигнал проходит на выход, если
диод закрыт. Меняя величину пороговых напряжений, можно осуществлять
ограничение на разных уровнях.
Задача ограничителя амплитудных значений состоит в том, чтобы из сигнала с
переменной амплитудой получить на его выходе колебание с постоянной
амплитудой. Такая операция может быть выполнена с помощью нелинейного
276
резонансного усилителя (см. рис. 12.9), работающего в режимах нижней и верхней
отсечки коллекторного тока zK. За счет двусторонней отсечки тока будут получены
почти прямоугольные импульсы, подобные приведенным на рис. 12.11. Гармони-
ческое же колебание с постоянной амплитудой выделяется колебательным
контуром, настроенным на частоту сигнала со.
Ограничители мгновенных значений применяются, например, когда необхо-
димо из синусоидального сигнала получить прямоугольные импульсы. Ограничи-
тели амплитудных значений широко используются для устранения паразитных
изменений амплитуды сигнала, которые могут возникнуть при передаче сигнала.
12.5. ВОЗДЕЙСТВИЕ СУММЫ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА ЦЕПЬ
С НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Спектральный состав тока при бигармоническом воздействии.
Бигармоническим воздействием называется сигнал, состоящий из
суммы двух гармонических колебаний с различными частотами
и (»2 и амплитудами Uml и Um2:
u(t)= Uml cos (0^4- Um2 cosco2z.
Спектр бигармонического сигнала изображен на рис. 12.13, о.
Пусть на вход нелинейного элемента, ВАХ которого аппрокси-
мирована полиномом второй степени
i=F(u) = a.0 + al (u-U0)+a.2 (u-U0)2,
277
0 w,-w2
Za>2 и>^ш2 2w, w
Рис. 12.13
подано напряжение смещения Uo и бигармонический сигнал «(/).
Подстановка напряжения и= Uo + Uml cosco^H- I7m2cos®2z в выра-
жение для ВАХ позволяет определить ток в цепи нелинейного
элемента в виде:
/(?) = % + «! (7ml COSClV + ajf/,^ COS®2z + a2^ml COS2©jZ +
4- 2a2 Um j Um2 cos © 11 cos co21+a2 (7£2 cos2 <o21.
Используя тригонометрические формулы
cos2k|/=^(1 +cos2k|/) и cosv|/1cosx|/2=^[cos(4/1-|-v|/2) +
+cos(i|Ci-i|f2)],
получим
»(')=
«о+Ц(Um 1 4- u*2) + 04 Uml cos ©! t+at Um2 cos m2t4-
+1X2 cos 2©j t+”2-^w2 cos 2®2< 4- a2 Uml Um2 cos (rot 4- ®2) 14-
4-a2t7mlL7m2cos(©1-®2)z. (12.13)
Спектральный состав тока в цепи с нелинейным элементом
показан на рис. 12.13, б.
Принципиально новым по сравнению с воздействием на
нелинейный элемент одного гармонического колебания здесь
является появление спектральных составляющих с комбинаци-
онными частотами ©^©г и ®i— ®2- Если ВАХ нелиней-
ного элемента аппроксимирована в общем случае полиномом
степени N, то в спектральном составе тока будут присут-
ствовать составляющие с комбинационными частотами р®1+^®2,
причем p+q = N, где р и q—целые положительные числа
(О, 1, 2, ...). Так, при аппроксимации полиномом третьей степени в
Таблица 12.1
Значения
Я
Частоты спектральных составляющих при
значениях р
0 12 3
со = 0
(02
(Ох +(02
2ш1±(о2
2ш2
3(о2
3(0 !
2
3
сох ±2.(о2
составе спектра присутствуют комбинационные частоты, приве-
денные в табл. 12.1.
Комбинационные частоты при воздействии суммы синусоидаль-
ных колебании. В общем случае входное воздействие можно
представить бесконечной суммой:
оо
« (0 = Uо + Y UmkC°$ ((Ofc t - ФО-
к=1
В зависимости от степени N аппроксимирующего полинома
(12.5) в спектре тока, протекающего через нелинейный элемент,
появляются комбинационные частоты вида: рсо1±?®2±5®з± •••
...+к(ок+ p+q+s+ ... +&+ ... = N; р, q, s, к—целые
положительные числа. Например, при воздействии на нелинейный
элемент с ВАХ в виде полинома второй степени суммы трех
гармонических колебаний в спектре тока помимо постоянной
составляющей и первых двух гармоник каждой частоты будут
присутствовать комбинационные частоты со1±со2; ®i±w3; ®2±со3.
При аппроксимации полиномом третьей степени дополнительно
появляются третьи гармоники За»!, 3®2, З®3 и комбинационные
частоты типа ®i±co2±®3, 2со1 + со3, ©1+2со3 и т. п.
Преобразователи частоты. При передаче электрических сигна-
лов на расстояние часто требуется переносить спектр сигнала
вверх или вниз по шкале частот. Такой перенос спектра назы-
вается преобразованием частоты. Необходимость в преобразова-
нии частот возникает, например, когда спектр сигнала, который
нужно передать, расположен на шкале частот значительно ниже
полосы пропускания системы передачи.
В качестве преобразователя частоты может быть использован
усилительный каскад на транзисторе с колебательным контуром
(рис. 12.14). Предположим, что нужно перенести вверх по шкале
частот на величину со гармоническое низкочастотное колебание с
279
a)
О)
6)
Рис. 12.15
частотой wn(0~ Uma cosQr. Подадим на вход нелинейного
резонансного усилителя кроме этого колебания также высоко-
частотное колебание с частотой со: ua(t)= Ume) cosot.
Амплитуды напряжений смещения С70, низкочастотного (7тП и
высокочастотного UmU) колебаний выберем так, чтобы работать на
участке ВАХ, который достаточно точно аппроксимируется
полиномом второй степени
*к = Л«бэ) = ао + «1 («бэ - Uo)+«2 («бэ - U0)2. (12.14)
Напряжение на участке «база—эмиттер»
«бэ =U0+Umacos Qt + Um0)cos cot
При подстановке этого выражения в зависимость гк=/’(иБЭ) в
формуле для тока появляются в соответствии с (12.13) гармони-
ческие колебания с частотами £2, со, 2£2, 2<о и с суммарной и
разностной комбинационными частотами со+£2 и со—£2.
Колебательный контур резонансного усилителя настроен на
частоту со+£2 и выделяет из спектрального состава тока колебание
'<o+n(0 = a2^mn^m<ocos(®+^)<- Выделенное колебание тока созда-
ет на резонансном сопротивлении контура RO3 падение на-
пряжения
«вых (0 = <*2^0.3 и „а Uma cos (со+£2) t = Ua+п cos (<о+£2) t,
которое и является выходным сигналом преобразователя ча-
стоты.
В реальных системах связи передаваемый низкочастотный
сигнал Mq(j) не является гармоническим, а имеет сложный спектр
280
Рис. 12.16
С/П(со) (рис. 12.15, о), т. е. состоит из суммы гармонических
колебаний с частотами £1Ь £22, f23, ...
Если этот сигнал вместе с высокочастотным колебани-
ем подать на нелинейный элемент, то в спектре то-
ка 4 (оу (рис. 12.15,6), протекающего через нелинейный эле-
мент, будут присутствовать полезные продукты преобразова-
ния—комбинационные частоты co+f21, <о+й2, <в+О3, ... Что-
бы отфильтровать токи с этими частотами, недостаточно
воспользоваться колебательным контуром, поскольку он не
сможет обеспечить хорошую фильтрацию полезных продук-
тов преобразования. Его можно заменить в схеме рис. 12.14
обычной резистивной нагрузкой, а на выходе схемы вклю-
чить электрический фильтр с характеристикой ослабления (на
рис. 12.15, б она показана штриховой линией), обеспечиваю-
щей необходимую степень подавления несущего колебания с
частотой со.
Приведем еще несколько практических схем преобразователей частоты. На
рис. 12.16 представлены диодные преобразователи: однотактный (а), двухтактный
или балансный (6) и кольцевой (в), работающие в режиме больших амплитуд
колебания частоты со, т. е. в режиме аппроксимации ВАХ диодов линейно-ло-
маными функциями. Схема балансного транзисторного преобразователя частоты
показана на рис. 12.17.
В балансных и кольцевых преобразователях гораздо меньше побочных
продуктов преобразования; тем самым значительно облегчаются требования к
фильтру, выделяющему полезные колебания.
281
12.6. МОДУЛЯЦИЯ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
КОЛЕБАНИЙ
Задача модуляции. Чтобы передать сигнал на расстояние,
нужно воспользоваться каким-либо переносчиком. В качестве
переносчика естественно использовать те материальные объекты,
которые имеют свойство перемещаться в пространстве, например
электромагнитное поле в проводах (проводная связь), в открытом
пространстве (радиосвязь), световой луч (оптическая связь). Таким
образом, передаваемый сигнал необходимо преобразовать в
другой сигнал, удобный для переноса по соответствующей среде
распространения, но наделенный в то же время всеми признаками
передаваемого сигнала.
Часто в качестве переносчика используют гармоническое ко-
лебание высокой частоты—несущее колебание (природа этого
колебания в дальнейшем нас интересовать не будет). Процесс
преобразования сигнала заключается в изменении одного или
нескольких параметров несущего колебания по закону изме-
нения передаваемого сигнала (т. е. в наделении несущего ко-
лебания признаками передаваемого сигнала) и называется мо-
дуляцией.
Промодулированное несущее колебание передается по среде
распространения. Восстановление на приеме исходного сигнала из
модулированного колебания называется детектированием (или
демодуляцией).
Амплитудная модуляция и детектирование. Запишем гармони-
ческое колебание, выбранное в качестве несущего, в виде
М0=^тНСО8(°М+Фн)- (12-15)
Это колебание полностью характеризуется тремя параметрами:
амплитудой Um„, частотой сон и начальной фазой фн. Модуляцию
можно осуществить изменением по закону передаваемого сигнала
любого из трех параметров. Изменение во времени амплитуды
колебания пропорционально сигналу uc(t), т. е. Umt(t)=Um„ +
+^ам“с(0 (^Ам ^ коэффициент пропорциональности), называется
амплитудной модуляцией. Модулированное колебание обозначим
“am (0 = итя (t) cos (сон t+фн).
Если в качестве передаваемого сигнала использовать также
гармоническое колебание (но с более низкой частотой Qc)
uc\t)=Umccos£lct, то модулированное колебание запишется в виде
(для упрощения взято Фн = 0):
“am cos Qcz) cos <внг.
Максимальное абсолютное изменение амплитуды модулиро-
ванного колебания составляет AUmH=kXMUmc. Вынесем UmB в
последнем выражении за скобки и обозначим Л/АМ =
Тогда
282
a)
Рис. 12.18
WAM (0=С/тн(1 + Л/АМ cos Qc/) cos coHZ. (12.16)
Относительное изменение амплитуды модулированного колеба-
ния МАМ = Лити/UmH называется глубиной амплитудной модуляции.
При Л/АМ = 0 никакой модуляции нет, т. е. получаем смодули-
рованное несущее колебание (12.15). Обычно амплитуда несущего
колебания выбирается больше амплитуды сигнала, так что
Л/АМ^1-
На рис. 12.18 показаны формы исходного сигнала (а), несущего
колебания (б) и модулированного по амплитуде колебания (в).
Производя в выражении (12.16) перемножение, получим, что
амплитудно-модулированное колебание
“am (0 = Um„ cos сонГ 4- cos (юн+Qc) t +
+ M^UmH cos (сон — Qc) t
(12.17)
состоит из суммы трех гармонических составляющих с частотами
йн, (dh+Qc и <вн—Qc и амплитудами соответственно Uma, Mf^U^/2
и Ммли„т1'2-. Таким образом, спектр частот амплитудно-модули-
рованного колебания (или AM-колебания) состоит из частоты
283
Uc(w)n
Umc
S?c ш
a)
Рис. 12.19
несущего колебания и двух боковых частот, симметричных
относительно несущей (рис. 12.19,6). Амплитуды колебаний боко-
вых частот одинаковые. Спектр исходного сигнала приведен на
рис. 12.19,о.
Сравнение спектральных составов AM-колебания (рис. 12.19,6)
и тока в цепи с нелинейным элементом при бигармоническом
воздействии (см. рис. 12.13,6) показывает, что для практического
получения AM-колебания можно использовать нелинейный эле-
мент. Действительно, пусть на вход нелинейного резонансного
усилителя (см. рис. 12.14) подано напряжение
«бэ(О= ио + итисск(>)и1+ Umccos£lct, (12.18)
а вольт-амперная характеристика транзистора гк = .Г(мБЭ) аппрокси-
мирована полиномом второй степени (12.14). Тогда ток в цепи
коллектора в соответствии с формулой (12.13), в которой следует
заменить Uml и на Стн и юн, a Um2 и со2 на Umc и Qc, будет
содержать постоянную составляющую, составляющие с частотами
сон, £2С, 2сон, 2QC и составляющие с комбинационными частотами
юн+£2с и (OH-QC.
Полезными составляющими тока являются колебания с часто-
той <он и комбинационными частотами (йн+Лс, т. е. те, которые
образуют АМ-сигнал
*АМ (0 = а1 Umn COS °М + «2 Uma Umc COS ((Он + £2С) +
+a2^cosK-Qc)t (12.19)
Эту группу колебаний можно выделить с помощью колебатель-
ного контура, настроенного на частоту <он. Сворачивая (12.19) по
правилам тригонометрии, получим
284
Рис. 12.20
'am (0 = «1 итя (1 + Umc cos £lct) cos «М.
\ а1 /
Выделенное на сопротивлении контура падение напряжения будет
совпадать с выражением (12.16) для AM-колебания. При этом
Амплитудно-модулированное колебание можно получить также
с помощью однотактной диодной схемы (см. рис. 12.16, а),
работающей в режиме малых амплитуд, т. е. при аппроксимации
вольт-амперной характеристики диода полиномом второй степени.
Анализ спектрального состава тока в этом случае ничем не будет
отличаться от проведенного выше. Для фильтрации АМ-колеба-
ния на выходе диодной схемы включают колебательный контур
либо более сложное фильтровое устройство.
Описанные транзисторный и диодный модуляторы могут
работать и в режиме больших амплитуд с отсечкой тока. На
рис. 12.20 даны графики процессов, происходящих в транзистор-
ной схеме (см. рис. 12.14) с кусочно-линейной характеристикой
zk = F(mB3)*. На входе схемы рис. 12.14 действует напряжение
(12.18), с той лишь разницей, что амплитуда несущего колебания
Um„ намного больше амплитуды сигнала Umc. За счет того, что
рабочая точка перемещается в такт с низкочастотным модули-
* Аналогичный анализ можно провести и для диодной схемы с подобной
вольт-амперной характеристикой.
285
рующим колебанием, происходит непрерывное изменение угла
отсечки несущего колебания. Амплитуда первой гармоники после-
довательности импульсов коллекторного тока оказывается непо-
стоянной во времени. Колебательный контур фильтрует коллек-
торный ток, выделяя на выходе AM-сигнал, т. е. колебание с
амплитудой, изменяющейся пропорционально исходному модули-
рующему сигналу.
До сих пор рассматривался случай, когда исходный (модулирующий) сигнал
являлся гармоническим. Если модулирующий сигнал сложный и спектр его
ограничен частотами Qmin и Qwax (см. рис. 12.19, в), то спектр AM-колебания будет
состоять из несущего колебания и двух боковых полос, симметричных относи-
тельно несущей (см. рис. 12.19, г). Анализ энергетических соотношений показывает,
что основная мощность AM-колебания заключена в несущем колебании, которое не
содержит полезной информации, а нижняя и верхняя боковые полосы несут
одинаковую информацию и имеют более низкую мощность.
Существенный выигрыш по мощности обеспечивается при применении баланс-
ной и однополосной модуляций. При балансной модуляции передаются только
боковые полосы частот без несущей, а при однополосной модуляции—только одна
боковая полоса частот. Подавление несущего колебания происходит в модулято-
рах, выполненных по балансной (см. рис. 12.16, б и рис. 12.17) и кольцевой (см.
рис. 12.16, в) схемам. Выделение двух боковых полос в случае балансной модуляции
и одной боковой полосы при однополосной модуляции производится фильтрами,
включенными на выходах модуляторов.
Описание принципа работы, анализ спектральных составов сигналов на
выходах модуляторов в различных режимах работы, преимущества и недостатки
данных видов модуляции можно найти в специальной литературе*.
Перейдем к рассмотрению процессов детектирования АМ-сиг-
налов. Операция детектирования прямо противоположна модуля-
ции. Детектор AM-сигнала должен из принятого модулированного
колебания
WAM (О = ити (14- МАМ cos Qc t) cos (0Hr
выделить исходный низкочастотный сигнал ue(t)= UmccosQet. Заме-
тим при этом, что в спектре АМ-сигнала (12.17) отсутствует
составляющая с частотой Qc.
Используем для целей детектирования однокаскадный тран-
зисторный усилитель с нагрузкой в виде параллельной ЛС-цепи
(рис. 12.21, а). В зависимости от режима работы он может
являться квадратичным детектором (работа при малых амплиту-
дах на участке вольт-амперной характеристики, описываемой
полиномом второй степени) или линейным детектором (режим
больших амплитуд с кусочно-линейной аппроксимацией).
* Системы электросвязи: Учебник для вузов/В. П. Шувалов, Г. П. Катунин,
Б. И. Крук и др.; Под ред. В. П. Шувалова.— M.: Радио и связь, 1987.— 512 с.
286
Рис. 12.21
При квадратичном детектировании вольт-амперная характе-
ристика транзистора описывается полиномом второй степени
(12.14). На вход нелинейного элемента (транзистора) подается
постоянное напряжение смещения Uq и AM-колебание иАМ(/), т- е-
мбэ = ^о + мам(0- Воспользовавшись формой записи АМ-колебания
(12.17), получаем, что на нелинейный элемент с квадратичной ВАХ
воздействует сумма трех синусоидальных колебаний с частотами
юн, coH+Qc и сон —Qc. Анализ спектрального состава тока в цепи с
нелинейным элементом, проведенный в § 12.5, показывает, что в
спектре тока будут в данном случае присутствовать составляющие
с комбинационными частотами ± я(о>и 4-£1С)± $(<»,—Пс); p+q+
+s=N=2.
Низкочастотные спектральные составляющие с частотами £2С и
2QC определяются наборами чисел р=1, q = 6, 5=1 и р=0, q=l,
5=1. Другие комбинации чисел р, q и s определяют высокочастот-
ные составляющие с частотами сон, 2юн+£2с, 2сон и т. п.
Величины низкочастотных составляющих тока можно найти
путем подстановки (12.17) или (12.16) в формулу степенного
полинома (12.14) и последующих несложных преобразований:
(О=«2 cos JV+~ М2ам cos 2Qcr. (12.20)
Чтобы подавить высокочастотные составляющие тока и выде-
лить низкочастотные, в схеме рис. 12.21, а, должны выполняться
условия: —«1? и ——»/?, т. е. для сигнала с частотой Q.
<о„с асс
нагрузка коллектора практически резистивна и равна R, в то же
время модуль сопротивления нагрузки, а значит, и коэффициент
передачи усилителя на несущей частоте сон пренебрежимо малы.
Таким образом, падение напряжения на резисторе R представ-
ляет собой результат детектирования АМ-колебания. Наличие в
287
Рис. 12.22
(12.20) слагаемого, пропорционального cos2Qc, свидетельствует о
том, что квадратичное детектирование сопровождается искаже-
ниями передаваемого сигнала. Коэффициент нелинейных искаже-
ний при этом А:ни = /2£2//£1 = Мам/4.
При линейном детектировании (рис. 12.22) последовательность
импульсов коллекторного тока iK оказывается промодулированной
по амплитуде. Спектральные составляющие тока zK определяются
формулой (12.11). Амплитуды спектральных составляющих опре-
деляются через коэффициенты Берга из (12.12). Если на вход
нелинейного элемента поступает немодулированное колебание
UmBcostoBt, то в спектре тока согласно (12.11) есть постоянная
составляющая Io = SUmiiy0(ty с амплитудой, пропорциональной
амплитуде входного напряжения UmB, и высокочастотные гармо-
ники частоты сон. Высокочастотные составляющие отфильтровы-
ваются 7?С-цепью; падение напряжения на резисторе R создает
только постоянная составляющая тока.
В Модулированном колебании амплитуда медленно меняется
по закону UmB(t) = C/mH(l +Mamcos£2c<)' следовательно, амплитуда
выделяемой на резисторе R постоянной составляющей тока также
будет медленно меняться во времени:
/о(0 = ^тн(1+А/АмСО8ПсГ)Уо(4
Напряжение смешения Uo обычно выбирают равным напряже-
нию отсечки, так что угол отсечки Э=90° и амплитуда тока I0(t)
288
не зависит от амплитуды входного сигнала. Выходное напряжение
схемы рис. 12.21, а пропорционально исходному (модулирующему)
сигналу. При линейном детектировании отсутствуют искажения
передаваемого сигнала.
Наряду с транзисторной схемой (см. рис. 12.21, а) для детекти-
рования AM-сигнала применяется диодная схема (см. рис. 12.21,6),
работающая либо в квадратичном, либо в линейном режиме.
Анализ работы этой схемы не отличается от анализа транзистор-
ной схемы.
Детектирование сигналов с балансной и однополосной модуляцией выпол-
няется с помощью балансных (см. рис. 12.16, б и 12.17) и кольцевой (см.
рис. 12.16, в) схем. При этом несущее колебание, подаваемое на балансную и
кольцевую схемы, должно быть восстановлено на приемном конце.
Угловая модуляция и детектирование. Можно изменять во
времени пропорционально входному сигналу uc(t) не амплитуду, а
частоту несущего колебания. Если передаваемый сигнал является
гармоническим ие (z) = Umc cos QCZ, то изменение частоты запишется
в виде:
®н (0 = ®н + &чмис (z) = <он + А®н cos QCZ, (12.21)
где /счм—коэффициент пропорциональности. Величина Д<вн =
= ^чм^тс называется девиацией частоты (фактически, это макси-
мальное отклонение частоты модулированного сигнала от частоты
несущего колебания). Такой вид модуляции называется частотной
модуляцией. На рис. 12.23 показано изменение частоты модулиро-
ванного колебания при частотной модуляции.
При изменении фазы несущего колебания пропорционально
сигналу nc(z) получим фазовую модуляцию
Фн (0=Фн + ^ФМ«С (0=Фн + Дфн cos QCZ, (12.22)
где &фм—коэффициент пропорциональности; Лфн=/гФМС7тс =
= Л/МФ—индекс фазовой модуляции.
Между частотной и фазовой модуляциями существует тесная
связь. Представим несущее колебание в виде
«н (0 = UmB cos (<вн t+фн) = C/mH cos фн (z),
где <рн—начальная фаза колебания, а x|/H(z)—полная фаза колеба-
ния. Между фазой фн (z) и частотой (он существует связь
фн(4 = К0Л + фн. (12.23)
о
Подставим в (12.23) выражение (12.21) для <oH(z) при частотной
модуляции. Получим
^(^«М+^яп^с'+Фн- (12.24)
289
Ю - 3439
Рис. 12.23
Величина Л/чм = Дсон/£2С называется индексом частотной мо-
дуляции.
Частотно-модулированное колебание запишется в виде:
«чм(0= l/WHcos(a>IIZ+Af4MsinftcZ+<p1I). (12.25)
Фазомодулированное колебание с учетом выражения (12.22)
для <рн(?) получится в форме
«Фм(0= ^тн<Ю8(<М + ^ФмСО8Ц./ + фн). (12.26)
Из сравнения (12.25) и (12.26) следует, что по внешнему виду
сигнала трудно различить, какой вид модуляции—частотная или
фазовая —применен. Поэтому часто оба эти вида модуляции
называют угловой модуляцией, а величины Мчм и А/ФМ— индек-
сами угл^цой модуляции.
Н.едуще^ .колебание, подвергнутое угловой модуляции (12.25)
или (12.26), можно представить в виде суммы гармонических
колебаний: ,
«чм, фм (0 = Uma{J0 (М) cos юн/+/j (М) cos (сон+Qc) t -
—Jj (Л/) cos (сон—Qc)?+J2 (Л/) cos (сон + 2£2c)z+
+J2 (M) cos (coH—2Qc)r+J у (M) cos (<bh+3Qc)r—
-73(M)cos(coH-3Qc)/+ ...}.
Здесь M—индекс угловой модуляции, принимающий значение
Л/чм при ЧМ и Л/ФМ при ФМ. Амплитуды гармоник в этом
выражении определяются некоторыми коэффициентами Jk (М),
называемыми функциями Бесселя, значения которых при различ-
290
ы+5Я ы-Я <а+Я ы+5Я <•>
Рис. 12.24
ных аргументах приводятся в специальных справочных таблицах.
Чем больше М, тем шире спектр модулированного колебания.
Таким образом, спектр модулированной несущей при угловой
модуляции даже при гармоническом исходном сигнале ис (/)
состоит из бесконечного количества дискретных составляющих,
образующих нижнюю и верхнюю боковые полосы спектра,
симметричные относительно несущей частоты и имеющие одина-
ковые амплитуды (рис. 12.24).
В случае, если первичный сигнал uc(t) имеет форму, отличную
от синусоидальной, и занимает полосу частот от £2mi„ до О„„У.
спектр модулированного колебания при угловой модуляции будет
иметь еще более сложный вид.
Принципы получения и детектирования сигналов с угловой
модуляцией рассмотрим на примере частотной модуляции. Вари-
анты схем частотных модуляторов и детекторов, а также схемы
фазовых модуляторов и детекторов рассматриваются в специаль-
ных курсах.
Для получения частотной модуляции необходимо, чтобы
частота несущего колебания, вырабатываемого генератором, изме-
нялась под действием исходного сигнала ис (/) по закону, описывае-
мому формулой (12.21). На рис. 12.25 штрихами обведена схема
автогенератора (она будет подробно изучаться в гл. 13), выраба-
тывающего высокочастотное синусоидальное напряжение ин(<) =
= C/mHcoscoHZ с частотой сон, равной резонансной частоте колеба-
тельного контура £НСН. Изменения частоты генерируекййх колеба-
ний можно добиться изменением емкости или индуктивности
контура.
Рис. 12.25
291
Рис. 12.26
Конструктивно проще изменять емкость колебательного кон-
тура. Для этого параллельно емкости Сн контура включают
реактивный нелинейный элемент, например варикап* (рис. 12.25),
емкость которого зависит от приложенного к нему напряжения,
т. е. C=F(u) (рис. 12.26).
Пусть к нелинейному реактивному элементу приложено напря-
жение u=U0+UmccosClct, а нелинейная зависимость C=F(u)
аппроксимирована полиномом второй степени:
C=F(w) = C0 + C1 (и—С/о) +C2(u-U0)2. (12.27)
Если выбрать напряжение смещения Uo и амплитуду сигнала Ume
так, чтобы работать на участке характеристики C=F(u) со слабо
выраженной нелинейностью, то последним слагаемым в (12.27)
можно. ;1цредебречь. Тогда получим, что емкость нелинейного
реактивного элемента изменяется во времени по закону C(t) =
= C0 + C1UmecosQct=C0 + ^CcosQct, т. е. пропорционально моду-
лирующему сигналу uc(t).
Частота генерируемых в схеме рис. 12.25 колебаний определя-
ется индуктивностью LB колебательного контура и емкостью
Ch + C(/) = Ch4-C04-ACcosQc/=(Ch+C0) Г1+ cosQc/^ =
= сэи> (1 + Ме cos Qc/),
♦ Варикап—это полупроводниковый диод, нелинейная емкость которого
определяется свойствами р-и-перехода.
292
где Сэт = Ся+С0—эквивалентная постоянная емкость контура;
Л/с = ДС/(Сн+С0). Учитывая, что сон = 1/у/ЬяСзп, имеем
ч/£нСэ« (1 + Afc COS йс/) 1 + Л/с cos йс/
Для работы на линейном участке характеристики C=F(u)
приходится выбирать малые величины Ме, поэтому можно
записать:
(1 + Мс cos £2cz)"1/2 »1 - (Мс cos Qcz)/2.
Окончательно выражения для частоты генерируемых колебаний
получим в виде, совпадающем с (12.21):
сон (0 = cos £1J=сон 4- Дсон cos Qet,
И \ / И V И И V у
где Дсон= — MJ2 = - -
Um с—девиация частоты, пропорцио-
'н+G))
нальная амплитуде модулирующего сигнала. На выходе схемы
рис. 12.25 имеем, таким образом, частотно-модулированный сиг-
нал.
Один из способов детектирования ЧМ-колебаний состоит в
превращении его в АМ-кодебание и последующем детектировании
с помощью амплитудного детектора.
Преобразование ЧМ-сигнала в AM-сигнал выполняется с
помощью расстроенного колебательного контура. Предположим,
что колебательный контур настроен на частоту соо и на него
подается ЧМ-колебание с постоянной амплитудой и меняющейся
во времени частотой coH(/)=coH+AcoHcos QCZ. Модуль сопротивле-
ния контура при каждой мгновенной частоте принимает свое
определенное значение, так что амплитуда напряжения, выделяе-
мого на контуре,*' будет изменяться во времени с изменением
частоты входного ЧМ-сигнала. Это положение иллкЗс^ируется
рис. 12.27, где показана частотная зависимость амплитуды 'напря-
жения на контуре С/ж (со) при постоянной амплитуде входного*
сигнала, изменение во времени частоты сон(0 входного ЧМ-сигна-
ла и изменение во времени амплитуды U*(t) ЧМ-колебания.
Выбирая линейный участок частотной характеристики контура
UK (со) и аппроксимируя его полиномом первой степени Uk(g>) =
= (7ж0 + Utl (со—сон), в окрестности частоты <он получаем после
подстановки ®=(йн+А®н cosQcC:
U* (0 = U*o + cos £lct = UJ 1 +
ЛА Л
cosQcH =
<Ло /
— С7ко (1 +^/ам cos
293
Рис. 12.27
Таким образом, амплитуда ЧМ-колебания на выходе колеба-
тельного контура изменяется во времени пропорционально моду-
лирующему сигналу, т. е. частотно-модулированный сигнал стал
модулированным и по амплитуде. Для получения низкочастотного
сигнала достаточно подать модулированный по амплитуде ЧМ-
сигнал на амплитудный детектор (рис. 12.28).
Модуляцию (AM, ЧМ и ФМ) гармонического несущего
колебания исходным сигналом ис (t) называют непрерывной
(аналоговой), так как в качестве переносчика выбран непрерывный
(аналоговый) периодический сигнал ин(7).
Сравнение различных видов непрерывной (аналоговой) модуля-
ции позволяет выявить их особенности. При амплитудной
модуляции ширина спектра модулированного колебания, как
правило, значительно меньше, чем при угловой модуляции
(частотной и фазовой). Таким образом, налицо экономия частотного
спектра: для амплитудно-модулированных сигналов можно отво-
дить при передаче более узкую полосу частот. Это особенно
важно при построении многоканальных систем передачи.
В то же время угловая модуляция является более устойчивой к
воздействию помех. Она применяется, например, когда система
передачи работает в условиях больших помех.
Импульсная модуляция сигнала. Часто в качестве переносчика используют
периодическую последовательность сравнительно узких импульсов. Последователь-
ность прямоугольных импульсов одного знака wo(0 (рис. 12.29) характеризуется
параметрами: амплитудой импульсов (70; длительностью (шириной) импульсов /и;
частотой следования (или тактовой частотой) /т=\[Т, где Т—период следования
импульсов; положением (фазой) импульсов относительно тактовых (отсчетных) точек.
294
Рис. 12.29
Рис. 12.30
По закону передаваемого сигнала ис (t) можно изменять (модулировать) любой
из перечисленных параметров импульсной последовательности. При этом модуля-
ция называется импульсной.
В зависимости от того, какой параметр модулируется сигналом ис (z),
различают амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), когда по закону передавае-
мого сигнала (рис. 12.30, а) изменяется амплитуда импульсов (рис. 12.30, б);
широтно-импульсную модуляцию (ШИМ), когда изменяется ширина импуль-
сов (рис. 12.30, в); частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ)—меняется часто-
та следования импульсов (рис. 12.30, г); фазо-импульсную модуляцию (ФИМ)—ме-
няется фаза импульсов (временное положение относительно тактовых точек)
(рис. 12.30, Э).
Часто ФИМ и ЧИМ объединяют в один вид модуляции — вреМеннб-импульс-
ную (ВИМ). Между ними существует связь, аналогичная связи меЯОД^фазовой и
частотной модуляциями синусоидального колебания. ° г t {•” ’
В качестве примера на рис. 12.31 показан спектр АИМ-сигнала при модуляции
импульсной последовательности сложным сигналом ис (t) с полосой частот от 0 до
Q. Он содержит спектр исходного сигнала uc(t), гармоники тактовой частоты шт
(т. е. частоты 2сот, Зсот, 4сот и т. д.) и боковые полосы частот около гармоник
тактовой частоты.
Спектры сигналов ШИМ, ЧИМ и ФИМ имеют еще более сложный
ВИД.
Из рис. 12.31 видно, что тактовую частоту импульсной последовательности —
переносчика—следует выбирать не ниже удвоенной максимальной частоты спектра
исходного сигнала, т. е. coT^2Q, иначе невозможно будет выделить, например с
помощью фильтра,, исходный сигнал при детектировании АИМ-сигнала. Этот же
295
Ж Ж1Ж /пткЬпч
О 51 а>т-$? о>т о>т+5? 2а>г
/ПТГхЯ^тЛТк
Jo>T а>
Рис. 12.31
результат вытекает из известной теоремы В. А. Котельникова, которая гласит:
функция ис (0 с частотным спектром, ограниченным частотой Q, полностью
характеризуется своими мгновенными значениями, отсчитанными через интервал
времени Т=я/О. Значит, импульсы переносчика должны следовать с частотой
<oT^2Q.
Глава 13. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
13.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определение и классификация. Автоколебательными называются
активные электрические цепи, в которых без посторонних воздей-
ствий самостоятельно возникают электрические колебания. Такие
колебания называются автоколебаниями, а сами электрические
цепи, в которых возникают автоколебания,—автогенераторами
(или, чаще, генераторами). Автогенераторы широко используются
в радиотехнике и связи. В зависимости от формы вырабатываемых
колебаний различают генераторы синусоидальных и несинусои-
дальных колебаний.
По принципу работы различают генераторы с внешней и
внутренней обратной связью (ОС). Наконец, различие в элемент-
ной базе, пассивной части схемы генератора позволяет вести речь
об LCr иж RC-генераторах. В качестве активных элементов в
генераторах применяются электронные лампы, транзисторы (бипо-
лярные, полевые и др.), туннельные диоды, ОУ.
В данной главе наибольшее внимание будет уделено теории
ЕС-генераторов синусоидальных колебаний с внешней обратной
связью, использующих в качестве активного элемента биполярные
транзисторы. Затем будут кратко рассмотрены особенности
построения ЯС-генераторов и генераторов с внутренней ОС.
Следует указать, что хотя изучение свойств автогенераторов
проводится на примере конкретных схем, результаты исследования
носят достаточно общий характер.
Практические схемы различных типов генераторов приводятся
в гл. 18.
296
Физические процессы в автоколебательных цепях. На рис. 13.1, а
показан параллельный колебательный контур, состоящий из
элементов L, С и G. Если контуру сообщить некоторое количество
энергии, то в нем возникнут свободные колебания. По первому
закону Кирхгофа (ЗТК) /c-H’G-H‘t = 0. Каждое из слагаемых этого
уравнения можно выразить через напряжение на элементах
контура. Тогда
C^+GuK+ 1 L<* = 0.
dt LJ
Дифференцируя данное уравнение по времени и деля обе его части
на С, получаем
^ + |^ + -^ик=0. (13.1)
dt2 С dt LC * ' ’
2
Напомним, что при /?>0,5р или, иначе, G<-j== переходный
процесс имеет колебательный характер. Коэффициент затухания
контура равен а = (7/2 С, а резонансная частота контура—соо =
= \ly/LC. В этих обозначениях (13.1) перепишется в виде
^4-2а^+®К = 0. (13.2)
Дифференциальное уравнение (13.2) имеет следующее решение:
ик = UmkQ~M sm<oct, (13.3)
где Umk—начальная амплитуда напряжения на контуре, зависящая
от введенной в контур энергии; <вс = ч/соо — а2—частота собствен-
ных затухающих колебаний.
Так как а=(7/2С>0, то колебание (13.3) будет иметь затухаю-
щий характер (рис. 13.1,6), что объясняется потерями в контуре
из-за наличия активной проводимости G. Чтобы превратить такой
контур в генератор незатухающих колебаний, нужно- возмещать в
нем потери, т. е. пополнять контур энергией. Причем если энергии
в контур вводится ровно столько, сколько необходимо для
компенсации потерь, то это эквивалентно внесению в контур
отрицательной проводимости <7ВН, равной по величине проводи-
мости G, так что результирующая проводимость контура (7+(7вн
обращается в нуль. При этом а=0, и в контуре возникают
незатухающие колебания. В случае же, когда энергии в контур
вводится больше, чем это необходимо для компенсации потерь
(т. е. отрицательная проводимость Gm>G и, следовательно,
(7вн+(7<0), в контуре возникают нарастающие по амплитуде
колебания, так как коэффициент затухания становится отрицатель-1.
297
Рис. 13.1 Рис. 13.2
ным. Энергию в контуре можно пополнять, например, за счет
собственных колебаний, снятых с контура и усиленных усилите-
лем. Работающая на таком принципе схема автогенератора
показана на рис. 13.2.
Рассмотрим физические процессы, происходящие в этой схеме.
Нас будет интересовать процесс возникновения колебаний в
автогенераторе, или механизм самовозбуждения колебаний, и
процесс установления колебаний определенной амплитуды, т. е.
стационарный режим работы генератора.
Причиной возникновения колебаний в автогенераторе являются
флуктуации тока в элементах реальной схемы (за счет теплового
движения электронов в активных элементах, резисторах и т. д).
Флуктуации тока «ж, протекающего через контур, вызывают
флуктуации напряжения на контуре ик. Спектр этих случайных
флуктуаций весьма широк и содержит составляющие всех частот.
Составляющие напряжения ик с частотами, близкими к
резонансной частоте контура <оо, будут иметь наибольшую
амплитуду, так как модуль комплексного эквивалентного сопро-
тивления контура является наибольшим и равным /?ОЭ=1/6ОЭ
именно на этой частоте. Выделенное на контуре синусоидальное с
частотой «0 напряжение через цепь обратной связи, образованную
вториЧИвй1(Обмоткой трансформатора, передается на вход транзис-
тора, создавая переменное напряжение иБЭ. Это напряжение
вызовет увеличение коллекторного тока iK, что, в свою очередь,
приведет к увеличению напряжения на контуре иж. Как следствие
этого, увеличатся напряжение обратной связи «ос и напряжение на
контуре иж и т. д. Таким образом, в замкнутой системе автогенера-
тора самовозбуждаются колебания частоты, близкой к резонанс-
ной частоте контура соо.
Очевидно, важным условием возникновения колебаний являет-
ся то, что фаза напряжения ыБЭ должна быть такой, чтобы
увеличение напряжения иж вызывало увеличение коллекторного
тока zK и тем самым новое увеличение иж. Это условие получило
название баланса фаз. Баланс фаз достигается правильным
298
включением вторичной обмотки трансформатора. При переполю-
совке обмотки трансформатора возрастание напряжения на конту-
ре ик приведет к уменьшению коллекторного тока, т. е. баланс фаз
нарушится и самовозбуждение в генераторе не произойдет.
Обратная связь, при которой выполняется баланс фаз, называ-
ется положительной. В противном случае ОС отрицательная.
Самовозбуждение автогенератора возможно только при наличии
положительной ОС.
Процесс самовозбуждения колебаний в контуре с энергетиче-
ской точки зрения объясняется тем, что транзистор отдает в
контур за один период колебания энергии больше, чем расходуется
ее в активной проводимости контура. Это эквивалентно, как уже
отмечалось ранее, внесению в контур отрицательной проводи-
мости Свн, превышающей по величине эквивалентную проводи-
мость контура G, что приводит к отрицательному значению
коэффициента затухания контура а и, следовательно, к возникно-
вению в контуре нарастающих колебаний.
Пока амплитуда напряжения иБЭ была мала, работа происходи-
ла на линейном участке ВАХ 1к = Р(иБЭ) транзистора. С увеличе-
нием амплитуды колебаний на контуре возрастает напряжение иОс
и, значит, входное напряжение транзистора иБЭ. При этом все
сильнее сказывается нелинейность ВАХ транзистора. Наконец, при
достаточно больших амплитудах колебаний ток коллектора iK
перестает увеличиваться, значения напряжения на контуре ut,
обратной связи «ос и входное иБЭ стабилизируются и в автогенера-
торе установится стационарный динамический режим с постоян-
ной амплитудой колебаний и частотой генерации, близкой к
резонансной частоте колебательного контура <оо. Таким образом,
ограничение роста амплитуды колебаний и установление тем
самым стационарных колебаний в автогенераторе происходит
только благодаря наличию нелинейности ВАХ транзистора.
В стационарном режиме энергия, отдаваемая в контур транзис-
тором, вся расходуется на эквивалентной активной проводимости
контура, т. е. вносимая в контур отрицательная проводимость (7ВН
оказывается равной проводимости контура G и полностью
компенсирует ее; коэффициент затухания контура а обращается в
нуль. В контуре существуют незатухающие гармонические колеба-
ния.
Обобщенная схема автогенератора. Из предыдущего рассмотрения следует,
что любая схема автогенератора должна содержать активный элемент с
нелинейной ВАХ, колебательную систему (в частности, контур), внешнюю цепь
положительной ОС, по которой колебание с выхода колебательной системы
подается на вход активного элемента. Такие автогенераторы являются ге-
нераторами с внешней ОС; структурная схема построения таких генераторов
приведена на рис. 13.3.
Заметим, что нелинейный активный элемент с колебательной системой
образуют нелинейный резонансный усилитель (см. рис. 12.10). Поэтому можно
299
6)
Рис. 13.3 Рис. 13.4
представить обобщенную структурную схему автогенератора с внешней ОС в виде,
изображенном на рис. 13.4, а. Воспользуемся символическим методом анализа.
Комплексные передаточные функции усилителя и цепи обратной связи определяют-
ся соответственно Яус= t7F/t7px и Нос= где UK—комплексное действующее
значение напряжения на выходе колебательной системы; UDX—комплексное
действующее значение напряжения на входе усилителя; —комплексное дейст-
вующее значение напряжения на выходе цепи ОС.
На рис. 13.4,6 представлена эта .же обобщенная схема автогенератора с
разомкнутой цепью ОС. Комплексная передаточная функция всей схемы Яо =
Для того чтобы в генераторе происходило самовозбуждение колебаний,
необходимо, чтобы модуль комплексного напряжения | | на выходе схемы был
больше модуля комплексного напряжения I ЯРХ1 на входе схемы, откуда |Я0| =
= I Яус 11 ЯоС | > 1. При приближении к стационарному режиму модуль комплексного
коэффициента передачи усилителя | Яус | за счет влияния нелинейности начинает
уменьшаться до тех пор, пока не наступит динамическое равновесие |Яо1 =
— I Яус 11 ЯоС |=1. Это условие соответствует стационарному режиму и известно под
названием баланса амплитуд. Учитывая, что Я0=|Я0|е7Ф°; Яус = | Яус | е^Фус и Яос=
= 1 Woc|ey’’oc, получим фо=Ф,с+Фос*
Баланс фаз, т. е. совпадение фаз напряжения на входе и выходе схе-
мы рис. 13.4,6, наступает при ф0 = 2л. Таким образом, сдвиг фаз в цепи
обратной связи зависит от сдвига фаз в усилителе и дополняет его до 2л. Если на
частоте генерируемых колебаний усилитель вносит сдвиг фаз фус=л (как,
например, в схеме рис. 13.2), то цепь обратной связи должна на этой же частоте
вносить сдвиг фаз Фос=я. В схеме автогенератора рис. 13.2 поворот фазы
напряжения ^(z) на 180° достигается, как уже отмечалось, соответствующим
включением обмоток катушки индуктивности L^. В общем случае условие баланса
фаз: ф0 = 2£л.
300
13.2. ТЕОРИЯ АВТОГЕНЕРАТОРОВ С
ВНЕШНЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Дифференциальное уравнение генератора. Обратимся вновь к
схеме рис 13.2. По первому закону Кирхгофа (ЗТК) /с4-/в+4,=4
или
c^+g»,+ Im=4-
dt * L ' ж
(13.4)
Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений оди-
ночного колебательного контура, полученных в § 13.1 тем, что в
правой части записан вынуждающий коллекторный ток iK.
Вольт-амперная характеристика транзистора в окрестности
рабочей точки Uo гк=Г(цБЭ— Uo) является, вообще говоря, нели-
нейной, т. е. ток коллектора zK нелинейно зависит от напряжения
(иБЭ— Uo). Из рис. 13.2 следует, что снимаемое с катушки
индуктивности обратной связи Ьж напряжение иос=иъэ— Uo,
поэтому в дальнейшем удобно рассматривать ВАХ zK = F(woc).
Заметим далее, что напряжение «ос вычисляется через коэффи-
циент взаимной индукции М и ток iL в катушке L*:
> ж dir
«ОС — М •
at
В свою очередь, ток в катушке iL и напряжение на ней ик связаны
т diL
соотношением м= L, поэтому «ос можно выразить через
at
напряжение на контуре wK:
«ос’уЦ,- (13-5)
Вернемся к уравнению (13.4). Продифференцируем его по
времени и разделим обе части на С:
<4 , J_ =1 ^4 (“ос)
dt2 Cdt LC‘ С dt
. <1М>
В отличие от уравнения (13.1) для одиночного колебательного
контура в уравнении (13.6) в правой части присутствует вынуж-
дающая составляющая d\(uoc)ldt. Производную функцию 4 («ос)
будем искать как производную сложной функции:
(“ос) _ diK (иос) dupe _ S (ирс) М duK (13 7)
dt duoc dt L dt ’
* Так как обычно ток базы гБ iL, влиянием напряжения самоиндукции здесь
и далее пренебрегаем.
301
где S (иос) = ^иос^—дифференциальная крутизна ВАХ транзисто-
аиос
ра, нелинейно зависящая от напряжения обратной связи иОс- При
дифференцировании напряжения ОС по времени учтено соотноше-
ние (13.5).
Подставляя (13.7) в (13.6), получим дифференциальное уравне-
ние автогенератора
$ + Г| - ^§^1$ +«0^ = 0, (13.8)
at LC J at
где соо= \jyjLC—резонансная частота контура.
Это дифференциальное уравнение является нелинейным, так
как коэффициент при первой производной напряжения и*, в
который входит крутизна S(«oc)> нелинейно зависит от на-
пряжения обратной связи «ос (или, что то же, от иско-
мой переменной—напряжения на контуре иж). Уравнение (13.8)
определяет все свойства автогенератора и позволяет устано-
вить и условия самовозбуждения колебаний, и особенности
стационарного режима и характер переходных процессов в
автогенераторе.
Условие возникновения колебаний. При определении усло-
вий самовозбуждения следует учесть, что амплитуда нара-
стающих колебаний в автогенераторе достаточно мала и ра-
бота автогенератора происходит на линейном участке ВАХ
транзистора i^Fluoc)- Иными словами, для малых ампли-
туд колебаний ВАХ можно аппроксимировать линейно-ломаной
функцией, крутизна которой в рабочем диапазоне амплитуд
напряжения является постоянной, не зависящей от напряжения мос,
т. е. S(uoc) = S.
В этом случае дифференциальное уравнение автогенератора
(13.8) становится линейным:
л2 дх;
SM\duK
~LCj~dt
+(0^ = 0.
Перепишем его в виде:
d2u. , « du. , 2 л
(13.9)
1 (G SM\ „ , ,
где аэ=-1- ——I —эквивалентный коэффициент затухания ко-
лебательного контура, включенного в цепь коллекторного тран-
зистора.
Сравнение уравнения (13.9) с уравнением (13.2) для одиночного
колебательного контура показывает, что при включении колеба-
тельного контура в коллекторную цепь транзистора коэффициент 1
302 ’
затухания контура аэ уменьшится по сравнению с а на величину
SM/ (2LC), зависящую от взаимоиндукции М, т. е. от ОС:
аэ = а-5Л//(2£С).
Чтобы в контуре возникли нарастающие по амплитуде
колебания, необходимо сделать коэффициент аэ<0. Это возможно
при условии SMILC>GIC. Отсюда получаем значение коэффи-
циента взаимной индукции М, при котором в колебательном
контуре возникнут нарастающие по амплитуде колебания:
M>LG)S, (13.10)
Условие (13.10) называется условием самовозбуждения автоге-
нератора. Величина Mip = LGfS называется критическим коэффи-
циентом взаимной индукции. Колебания в автогенераторе могут
возникнуть только при обратной связи с М>Мкр. При М<Мкр
коэффициент затухания контура аэ>0 и колебания в контуре
становятся затухающими. Коэффициент аэ в (13.9) можно пред-
ставить в таком виде:
аэ=^'(С+Свн), (13.11)
где Gm= —SMfL—проводимость, вносимая в контур за счет
действия обратной связи. Знак коэффициента М может меняться в
зависимости от направления включения (согласного или встречно-
го) вторичной обмотки трансформатора. При М>0 вносимая
проводимость оказывается отрицательной, и если ее величина
I Gbh I > G, что имеет место при М>Мкр, то аэ<0 и в контуре
возникнут нарастающие по амплитуде колебания. Положительные
значения М соответствуют положительной ОС, отрицательные—
отрицательной ОС.
Эквивалентная схема колебательного контура, соответствую-
щая уравнению (13.9) с аэ 'из (13.11), приведена на рис. 13.5.
Отрицательная общая проводимость контура G+GBH<0 при
М>Мкр свидетельствует о том, что в контур поступает энер-
гия больше, чем расходуется ее на активной прдйодимости
контура G. ,,
Стационарный режим работы. При больших амплитудах сигнала
нелинейностью ВАХ транзистора zK = F(nOc) пренебречь уже
нельзя: в общем случае она должна аппроксимироваться степен-
ным полиномом высокого порядка.
Ток в цепи коллектора в стационарном режиме будет из-за
нелинейности ВАХ несинусоидальной периодической функцией
времени и может быть представлен рядом Фурье (см. гл. 12):
«к = 4 + 4 1 cos co0Z+7m2cos2©0f+ ...
Падение напряжения на колебательном контуре, настроен-
ном на частоту соо, будет определяться в основном первой
зоз
L Т*7 1и
>^ср (Ц>с)
гармоникой коллекторного тока, так как сопротивление контура
для тока этой гармоники будет наибольшим (равным 1?оэ= 1/(70Э),
а для остальных гармоник—достаточно малым. Напряжение
обратной связи мос, определяемое (13.5), вследствие этого также
будет гармоническим; его можно записать в виде m0c=^ocC°s®o^
где Uос—действующее значение напряжения «ос-
Введем понятие средней крутизны ВАХ Scp (С7ос) = Л/^ос- Она
определяется отношением действующего значения Ц первой
гармоники тока »ж, протекающего через нелинейный элемент, к
действующему значению напряжения обратной связи мос. Сред-
нюю крутизну часто поэтому называют крутизной ВАХ по первой
гармонике.
Средняя крутизна 5,ср({7ос) зависит от действующего значения
напряжения обратной связи Uqc и of положения рабочей точки Uo.
На рис. 13.6 показана типичная ВАХ транзистора zK = F(wOc)-
Пусть рабочая точка выбрана на середине линейного участка
характеристики (U0 = Uq). При увеличении действующего значения
напряжения Uqc средняя крутизна в пределах линейного участка
характеристики остается неизменной. Затем средняя крутизна ВАХ
падает (рис. 13.7, а).
Если выбрать рабочую точку (U0 = Uq) на нижнем загибе
характеристики iK = F(uoc), где средняя крутизна мала, то по мере
увеличения действующего значения L7OC будут охватываться
участки характеристики с большей крутизной и, следовательно,
5ср(17ос) будет расти. После прохождения участка с наибольшей
крутизной дальнейшее увеличение Uqc приводит к уменьшению
средней крутизны (рис. 13.7,6).
Дифференциальное уравнение (13.8) при работе генератора в
режиме больших амплитуд является, вообще говоря, нелинейным,
304
Рис. 13.8
поскольку в коэффициент аэ при dujdt входит средняя кру-
тизна S’cp(J7oc), зависящая от действующего значения Сос. Одна-
ко в стационарном режиме, когда гармоническое напряжение
на контуре характеризуется установившимся (стационарным)
значением 1/ж, гармоническое напряжение обратной связи иос
также описывается установившимся (стационарным) значением
Uос. При этом средняя крутизна 5cp(t/oc) является постоянной
величиной и дифференциальное уравнение (13.8) можно считать
линейным: •
с~-~Её— d7+t0°
(13.12)
В стационарном режиме генерируются незатухающие гармони-
ческие колебания. Это имеет место, когда
«э
1Г<7 5ср(17ос)Л/1_ М [LC „ (тт Л_п
----------5Ес ^“М^ос) "°-
2 С LC
Отсюда установившееся (стационарное) значение средней крутизны
Scp(Uoc) = LG/M=S^,. С учетом этого обозначения коэффициент
затухания контура аэ перепишем в виде:
м
2LC
Из формулы (13.13) при аэ = 0 можно определить стационарное
значение U&, которое соответствует точке пересечения кривой
S'cp(^oc) и прямой линии Sc*. Рисунок 13.8 иллюстрирует процесс
нахождения этого стационарного значения для двух зависимостей
средней крутизны, соответствующих различным положениям рабо-
чей точки на ВАХ (см. рис. 13.6).
Частота генерируемых колебаний, определяемая как <ог =
= х/®о + “э > в стационарном режиме при аэ=0 совпадает с
резонансной частотой колебательного контура ю0.
Устойчивость стационарного режима. Стационарный режим
называется устойчивым, если отклонение Uoc от стационар-
ного значения U& с течением времени будет уменьшаться.
а,=^ Sc*P-Scp(l/oc) •
(13.13)
305
Рассмотрим стационарный режим в точке А на рис. 13.8, о.
Уменьшение напряжения ОС, т. е. отклонение Сос влево от
значения Ufa приведет к Scp(t/Oc)>Sc* в соответствии с (13.13) к
аэ>0. В результате амплитуда колебаний будет увеличиваться и
приближаться к стационарному значению. При увеличении напря-
жения ОС, т. е. при отклонении Uqc вправо от U$c средняя
крутизна Scp(Uoc)< S*p, т. е. коэффициент затухания аэ станет
отрицательным и значение t/oc уменьшится, вновь приближаясь к
стационарному. Таким образом, точка А является устойчивым
стационарным режимом.
Точка В на рис. 13.8,6 соответствует неустойчивому ста-
ционарному режиму, так как отклонение действующего зна-
чения Uoc от стационарного значения UqC в сторону умень-
шения ведет к Sep(Uoc)<S*p и аэ>0, т. е. к дальнейшему
уменьшению напряжения t/oc, а отклонение действующего зна-
чения Uoc от стационарного значения U$c в сторону уве-
личения вызовет дальнейший его рост и переход в следую-
щее стационарное состояние, отмеченное точкой С. Стацио-
нарное состояние в точке С является устойчивым, в чем легко
убедиться с помощью рассуждений, аналогичных приведенным
выше.
Можно заметить, что справедливо следующее утверждение:
пересечение прямой линии 5С* с кривой средней крутизны 5ср([7Ос)
дает устойчивое стационарное значение U&, если на этом участке
dScp(U()C)/dUoc<Q, и неустойчивое значение — если dScp(Uoc)/
dUoc>0. Поэтому условие dScp(Uoc)/dUnc<0 можно считать
условием устойчивости стационарного режима.
Режим самовозбуждения. Будем менять коэффициент взаимной
индукции М и наблюдать за процессом возникновения колебаний.
Этот процесс зависит также от выбора рабочей точки на ВАХ
(напряжение смещения Uo). Выбору рабочей точки в области
наибольшей крутизны (напряжение смещения Uq на рис. 13.6)
соответствует график средней крутизны Scp(L7OcX показанный на
рис. 13.9, а.
При изменении параметра М меняется значение средней
крутизны S*p = LGfM. На рис. 13.9, а изображены несколько
прямых Sc*, соответствующих различным М. При М=Мг ко-
лебания в автогенераторе возникнуть не могут, поскольку
S*i>Scp(C7Oc) и коэффициент затухания контура аэ>0. Значит,
любые случайные флуктуации напряжения мОс будут быстро
затухать.
Увеличение М до значения М2 приводит к S'cp2 = Scp (С/Ос) и
аэ = 0. Дальнейший рост М снижает значение оср; при этом
коэффициент аэ становится отрицательным, т. е. аэ<0. Таким
образом, начиная с М=М2 в автогенераторе возникают незату-
хающие колебания с соответствующими стационарными значе-
ниями U$c. С увеличением М стационарное действующее значение
306
a) 6)
Рис. 13.9 Г
U$c плавно нарастает. Уменьшение М вызовет плавное умень-
шение значений стационарного значения U(*c. График зависи-
мости стационарного действующего значения U*c генерируе-
мых в автогенераторе колебаний от коэффициента взаимной
индукции М приведен на рис. 13.9,6. Такой режим самовоз-
буждения генератора, при котором амплитуда колебаний плавно
нарастает с увеличением М, называется мягким режимом само-
возбуждения.
Если рабочую точку выбрать на нижнем загибе ВАХ, :как это
показано на рис. 13.6, при Uq = Uq, то график средней крутизны
ScpfVoc) имеет вид, показанный на рис. 13.10,о.
При М, равном Ми М2 и М3, наличие малых флуктуаций
напряжение иос не приведет к установлению стационарной
амплитуды, поскольку при значениях Sc*, равных S*pl, 5С*2 и 5С^3,
коэффициент затухания контура аэ будет положительным.
Только начиная с М=М4, когда (С7ос) = '$'<:* 4 и аэ=0, малые
флуктуации амплитуды напряжения ОС начинают быстро расти,
пока не установится устойчивое стационарное значение CcJc4.
Рис. 13.10
307
Рис. 13.11
Дальнее увеличение М ведет к плавному росту стационарной
амплитуды.
При плавном уменьшении обратной связи (коэффициента М)
стационарное значение UqC будет также плавно уменьшаться.
Колебания сорвутся при значении М=М2, меньшем Л/4, когда
перестанет выполняться условие стационарности Scp (J7Oc) = 5'cp- На
рис. 13.10, б дан график изменения действующего значения Uoc в
зависимости от М. Такой режим, когда колебания возбуждаются
при большем значении М, а срываются при меньшем значении М,
называется жестким режимом самовозбуждения.
Достоинством мягкого режима самовозбуждения является
плавное изменение действующего значения U*c при измене-
нии коэффициента М; достоинством жесткого режима яв-
ляется высокий КПД за счет работы с отсечкой коллектор-
ного тока.
Можно объединить достоинства мягкого и жесткого режимов
самовозбуждения, если ввести в автогенератор цепь автоматиче-
ского смещения R6C6 (рис. 13.11, а). Исходное смещение Uo
выбирают таким, чтобы рабочая точка находилась на участке
наибольшей крутизны вольт-амперной характеристики, что соот-
ветствует мягкому режиму. При нарастании амплитуды коле-
баний «ос в Цепи базы за счет нелинейности ВАХ ib = F(uB3) бу-
дет происходить детектирование колебаний. Возрастание по-
стоянной составляющей тока базы /Б0, которая на активном
сопротивлении R6 создает напряжение /Бо^б, приведет к умень-
шению результирующего напряжения смещения С/о —/Б0Лб и, как
308
результат, к сдвигу рабочей точки влево (рис. 13.11,6) к нижнему
загибу ВАХ гк = Г(иБэ). Переходный процесс заканчивается (при
соответствующей величине Л6) установлением жесткого стацио-
нарного режима с более высоким КПД.
13.3. СХЕМЫ АВТОГЕНЕРАТОРОВ С
ВНЕШНЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
LC—генераторы с трансформаторной обратной связью. Выше
была исследована схема LC-автогенератора с трансформаторной
ОС (см. рис. 13.2 и 13.11, а). На рис. 13.12 изображена другая
схема LC-генератора с трансформаторной связью, в которой
колебательный контур включен в цепь ОС, а коллекторной
нагрузкой транзистора является катушка La. Анализ этой схемы
ничем не отличается от проведенного ранее.
LC-генераторы с автотрансформаторной ОС. Недостатком схем
LC-генераторов с трансформаторной ОС является наличие двух
индуктивно связанных катушек. Поэтому на практике чаще всего
используют схемы LC-генераторов с автотрансформаторной ОС, в
которых напряжение ОС снимается с части колебательного
контура. Такая схема изображена на рис. 13.13. Она известна
также под названием схемы индуктивной трехточки. Элементы С,
Lj и L2 образуют колебательный контур; резистор R& является
элементом цепи автоматического смещения, через который проте-
кает постоянная составляющая тока базы, конденсатор Сб
предотвращает попадание напряжения питания Uu на базу и
влияет на постоянную времени цепи автосмещения.
/?С-генераторы. На сравнительно низких частотах, где реализа-
ция LC-контуров становится затруднительной из-за больших
габаритов и массы, низкой добротности и невозможности пере-
стройки, используют 7?С-автогенераторы. Они представляют со-
Рис. 13.12
309
Рис. 13.14
бой комбинацию активных четырехполюсников (усилителей) и
пассивных 1?С-цепей для создания ОС.
На рис. 13.14, а показан один из способов построения ЛС-гене-
ратора. Такой генератор представляет собой однокаскадный
транзисторный усилитель, между выходом и входом которого
включена 1?С-цепь.
Для возникновения генерации колебаний необходимо, что-
бы напряжение ОС, подаваемое на вход генератора, непре-
рывно возрастало. Это возможно только тогда, когда уси-
ление усилительного каскада больше ослабления, вносимого
цепью ОС. Кроме того, должно выполняться условие баланса фаз.
Последнее означает, что поскольку один каскад транзисторного
усилителя вносит сдвиг фаз, равный 180°, то цепь ОС также
должна вносить сдвиг фаз 180°, чтобы общий сдвиг фаз равнялся
0° (или 360°).
Одно простейшее ЛС-звено вносит сдвиг фаз, не превышающий
90°. Поэтому необходимо взять число звеньев не меньше трех.
Зависимость сдвига фаз от частоты 7?С-цепи из трех звеньев
показана на рис. 13.14,6. Элементы ЛС-цепи рассчитывают так,
чтобы на частоте генерации получить сдвиг фаз 180°.
В стационарном режиме кроме баланса фаз выполняется также
и баланс амплитуд, т. е. усиление усилительного каскада становит-
ся равным ослаблению цепи ОС, так что амплитуда напряжения
ОС, а значит и выходного, остается постоянной.
Недостатком ЛС-генераторов является то, что в стацио-
нарном режиме за счет нелинейности ВАХ (благодаря кото-
рой и устанавливается стационарная амплитуда колебаний) про-
исходит искажение формы тока zK в цепи коллектора. Вы-
ходное напряжение в ЛС-автогенераторе снимается с резистора
Ли и имеет ту же форму, что и ток zK, т. е. является
несинусоидальным.
Для получения формы колебаний, близкой к синусоидальной,
нужно, чтобы колебания не выходили за пределы линейного
участка ВАХ. Поэтому на практике рост колебаний ограничива-
ется не нелинейностью транзистора, а специальным нелинейным
элементом, включаемым в цепь обратной связи. В качестве таких
зю
нелинейных элементов используются полупроводниковые или
металлические терморезисторы.
Существуют также другие схемы ЛС-генераторов (см. гл. 18, 19).
13.4. АВТОГЕНЕРАТОРЫ С ВНУТРЕННЕЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Ранее была получена одна из форм дифференциального
уравнения автогенератора с внешней ОС (13.9):
d2u. , л du. t у л
^+2«I-+MJU. = 0
с коэффициентом аэ, определяемым формулой (13.11):
аэ = ^;(с+Свн)-
Здесь Свн— проводимость, вносимая в колебательный контур за
счет действия внешней ОС. Стационарному режиму соответствует
равенство GBH = — G. Условие возникновения колебаний удовлетво-
ряется при (7вн<0 и | GBB | > G.
Сравнение данного дифференциального уравнения с дифферен-
циальным уравнением одиночного колебательного контура (13.2)
позволяет составить эквивалентную схему генератора. Она дана на
рис. 13.5 и отличается' от схемы обычного контура наличием в ней
отрицательной проводимости.
Отрицательную проводимость можно получить не только за
счет действия внешней ОС, но и с помощью нелинейных
элементов с ВАХ, имеющей падающий участок (см. рис. 12.1, б).
Электронные приборы, являющиеся резистивными нелинейными
элементами с падающими участками ВАХ i=F(u), называются
приборами с отрицательным сопротивлением. В частности, таким
прибором является туннельный диод.
Генераторы, построенные на приборах с отрицательным
сопротивлением, не содержат внешней цепи ОС и называются
поэтому генераторами с внутренней ОС.
На рис. 13.15, а приведена ВАХ туннельного диода. На участке
а—б дифференциальная проводимость G (u) = di/du<0.
Эквивалентная схема туннельного диода, соответствующая
падающему участку характеристики, представляет собой парал-
лельное соединение нелинейной отрицательной проводимости
диода G(u), зависящей от приложенного к нему напряжения и и
емкости Сд р-и-перехода (рис. 13.15,6).
Схема генератора с внутренней ОС, выполненного на туннель-
ном диоде, изображена на рис. 13.16, а. При помощи напряжения
смещения Uo рабочая точка устанавливается примерно в середине
падающего участка ВАХ диода. Блокировочная емкость Сбл
зп
Рис. 13.15 Рис. 13.16
предохраняет источник постоянного напряжения от прохождения
через него переменного тока генерируемой частоты.
Заменив туннельный диод параллельным соединением отрица-
тельной проводимости G(u) и емкости Сд, перейдем к эквивалент-
ной схеме генератора по переменному току. Она дана на
рис. 13.16, б. Емкость эквивалентной схемы С=С* + СД. Данная
эквивалентная схема полностью удовлетворяет приведенному в
начале параграфа дифференциальному уравнению.
Генератор на туннельном диоде является генератором почти
гармонических колебаний, и анализ его работы можно провести
так же, как и анализ работы генератора с внешней ОС. Введем
понятие средней проводимости нелинейного элемента GCp(C/1)<0
по первой гармонике с действующим значением Uv Графики
зависимостей |<?cp(i71)| от при различных напряжениях
смещения Uo приведены на рис. 13.17. На нем же показаны
различные значения проводимости контура G.
Возбуждаются колебания при | G^, () | > G. Стационарные
значения U* устанавливаются при | G™ (U1) | = G.
Проводя анализ зависимостей рис. 13.17 (подобный анализу
зависимостей на рис. 13.9 и 13.10 для генераторов с внешней ОС),
можно убедиться, что в генераторах с внутренней ОС возможны
мягкий и жесткий режимы самовозбуждения (рис. 13.18). Мягкий
режим самовозбуждения происходит при напряжениях смещения
0,15 В< С/о^О,3 В; жесткий режим—при (7о>0,3 В.
На рис. 13.17 на кривой средней проводимости |(7Ср(171)|,
полученной при (7о=0,4 В, показаны стационарные точки А', А" и
А'". Колебания возникают при значении проводимости контура G'
(точка А'). Действующее значение колебаний равно С7*'. При
увеличении проводимости G стационарное значение U* уменьша-
ется; срыв колебаний происходит при G'" (точка А'"). Поэтому
жесткому режиму самовозбуждения соответствует сплошная кри-
312
Рис. 13.17
Рис. 13.18
вая на рис. 13.18. Мягкому режиму возбуждения соответствует
штриховая кривая, полученная для средней проводимости при
1/о = 0,3 В.
Часть 2. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ
Глава 14. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
14.1. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
В первой части учебника рассмотрены основные законы теории
цепей, даны основы анализа и синтеза электрических цепей, а
также простейших устройств на их основе. Этот материал
является основой для изучения свойств и применений электронных
приборов, рассматриваемых во второй части курса: «Основы
электроники».
Здесь рассматриваются физические явления в электронных
приборах, электрические характеристики и параметры электрон-
ных приборов, а также вопросы применения электронных при-
боров и изделий на их основе в различных областях науки и
техники.
В электронике можно выделить четыре главных области
применения электронных приборов—электросвязь, радиоэлект-
ронную аппаратуру широкого применения, вычислительную техни-
ку и техническую кибернетику, промышленную электронику.
Электросвязь охватывает несколько направлений техники:
радиосвязь, радиовещание, телевидение, звуковое вещание, авто-
матическую электросвязь, многоканальную электросвязь, радиоре-
лейную связь, космическую связь, волоконно-оптическую связь.
К радиоэлектронной аппаратуре широкого применения относятся
радиоприемники, телевизоры, электрофоны, магнитофоны, ра-
диолы, магнитолы, музыкальные центры, устройства бытовой
автоматики, электронные часы, электронные игрушки и др.
Вычислительная техника и техническая кибернетика связана с
разработкой и применением ЭВМ, автоматизированных систем
управления (АСУ), систем автоматизированного проектирования
(САПР), автоматизированных информационных систем, автомати-
зированных обучающих и контролирующих систем, гибких авто-
матизированных производств (ГАП) и др.
Промышленная электроника включает аппаратуру производ-
ственной связи, измерительную аппаратуру, устройства электро-
питания, промышленное телевидение, станки с числовым програм-
мным управлением, аппаратуру автоматики, телеуправления,
314
телеметрии, медицинскую аппаратуру, электротехническое и энер-
гетическое оборудование, аппаратуру радиолокации и радионави-
гации, лазерную технику, ядерную электронику, биологическую
электронику и др.
Специфика отдельных областей электроники заключается в
использовании электронных устройств, особенностях их техни-
ческих решений и характеристик. Номенклатура электронных
устройств чрезвычайно разнообразна. Основные классы элект-
ронных устройств широкого применения рассматриваются в
гл. 17—21.
14.2. КЛАССИФИКАЦИЯ И СИСТЕМА
ОБОЗНАЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Основными типами электронных приборов являются:
Электронные электровакуумные приборы, к которым относятся
электронные лампы, а также электронно-лучевые трубки (ЭЛТ):
осциллографические (применяемые в приборах для визуального
наблюдения электрических процессов), кинескопы (применяемые в
телевизионных приемниках) и др.
Ионные электровакуумные или газоразрядные приборы, принцип
действия которых основан на взаимодействии электронов с ионной
плазмой. К ионным приборам относятся тиратроны, ионные
разрядники, газоразрядные стабилитроны (стабилизаторы напря-
жения) и др.
Полупроводниковые приборы, действие которых основано на
использовании свойств полупроводников—веществ, занимающих
промежуточное положение между проводниками и диэлектриками
по величине их удельного электрического сопротивления. Основ-
ными классами полупроводниковых приборов являются диоды,
биполярные и полевые транзисторы, тиристоры, фотоэлектронные
и оптоэлектронные приборы.
Интегральные микросхемы (ИС) — приборы, использующие
свойства полупроводниковых веществ и представляющие собой
совокупность нескольких взаимосвязанных компонентов (транзис-
торов, диодов, резисторов и т. д.), изготовленных в едином
технологическом цикле на полупроводниковых или диэлектриче-
ских подложках и выполняющих функцию преобразования инфор-
мации.
В зависимости от вида физических сигналов на входах и
выходах различают четыре основных вида электронных приборов:
электропреобразовательные с электрическими сигналами на вхо-
дах и выходах; электросветовые с электрическими сигналами на
входе и световыми на выходе; фотоэлектрические, на входах
которых световые сигналы, на выходах—электрические; тер-
моэлектрические, на входах которых тепловые сигналы, на
выходах—электрические.
315
14.3. КЛАССИФИКАЦИЯ И СИСТЕМА
ОБОЗНАЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫХ
ПРИБОРОВ
Электровакуумные приборы предназначены для различного
рода преобразований электрических величин: выпрямления, усиле-
ния, генерации и др. Обозначения электронных электровакуумных
приборов в соответствии с ГОСТ 13.393—67 состоят из четырех
элементов:
числа, соответствующего напряжению накала ламп в вольтах;
буквы, обозначающей тип прибора (Д—диод; X—двойной
диод, С—триод; Н—двойной триод; Э—тетрод; П, Ж, К — пен-
тод; Е—электронно-световой индикатор);
числа, соответствующего порядковому номеру разработки
данного типа прибора;
буквы, обозначающей их конструктивное оформление (П —
пальчиковые в стеклянной оболочке, миниатюрные; С—в стеклян-
ной оболочке; К — в керамической оболочке).
В обозначение может также входить добавочный элемент—
буквы, характеризующие специальные свойства ламп, например:
В—повышенной надежности и механической прочности; КВ—по-
вышенной надежности и долговечности; И—предназначенные для
работы в импульсном режиме.
Обозначение ЭЛТ состоит из следующих элементов:
числа, указывающего диаметр или диагональ экрана в санти-.
метрах;
двух букв, указывающих вид трубки (ЛО—трубка с электро-
статическим управлением луча; ЛМ—осциллографическая трубка
с электромагнитным управлением луча; ЛК—кинескоп с электро-
магнитным отклонением луча);
числа, указывающего порядковый номер разработки;
буквы, обозначающей цвет люминофора (А—синий; Б—бе-
лый, И—зеленый, Н—голубой, П—красный, Ц — цветной).
Обозначения ионных приборов состоят из следующих элементов:
буквы, указывающей тип (СН—сигнальная неоновая лампа,
ИН—индикаторная неоновая лампа; СГ—стабилитрон газораз-
рядный; ТХ—тиратрон с холодным катодом);
числа, соответствующего порядковому номеру разработки;
буквы, указывающей конструктивное оформление ионного
прибора.
Примеры обозначений электровакуумных приборов,
6П14П — пальчиковый пентод с напряжением накала 6 В, порядковый номер
разработки 14;
59ЛК2Б — кинескоп с магнитным отклонением луча, размер экрана по
диагонали 59 см, цвет свечения экрана — белый, порядковый номер разработки 2;
СГ1П—пальчиковый стабилизатор напряжения газоразрядный, порядковый
номер разработки 1.
316
14.4. КЛАССИФИКАЦИЯ И СИСТЕМА
ОБОЗНАЧЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
ПРИБОРОВ
В зависимости от типа исходного полупроводникового мате-
риала различают германиевые, кремниевые и арсенид-галлиевые
приборы. Первый элемент буквенно-цифрового обозначения полу-
проводникового прибора указывает в соответствии с ОСТ
11.336.919—81 тип материала: Г или 1—для германия; К или
2—для кремния; А или 3—для арсенида галлия. Второй элемент
обозначения указывает на класс прибора. Основные классы
полупроводниковых приборов: Т—транзисторы биполярные; П —
транзисторы полевые; Д—диоды выпрямительные; С—стабилит-
роны; Н—диодные тиристоры; У—триодные тиристоры.
Диапазон основных параметров прибора—максимальную
допустимую рассеиваемую мощность коллектора Рктах и верхнюю
граничную частоту — определяет третий элемент обозначения,
представляющий собой однозначное число от 1 до 9. В частности,
для биполярных транзисторов цифры указывают:
1 —маломощные (РКтах ^0,3 Вт) низкочастотные (/гр< 3 МГц);
2—маломощные средней частоты (3^/’„^ 30 МГц);
3 —маломощные высокочастотные и СВЧ (/гр>30 МГц);
4 —средней мощности (0,3 Вт<РКтвх^ 1,5 Вт) низкочастотные;
5 —средней мощности средней частоты;
6 —средней мощности высокочастотные и СВЧ;
7—большой мощности (РКишх> 1,5 Вт) низкочастотные;
8 —большой мощности средней частоты;
9 —большой мощности высокочастотные и СВЧ.
Четвертый элемент обозначения—двузначное или трехзначное
число, указывающее порядковый номер разработки. Пятый эле-
мент обозначения (буквы от А до Я) указывает параметрическую
группу приборов данного технологического типа.
Примеры обозначений:
ГТ101А — германиевый биполярный маломощный низкочастотный транзистор,
порядковый номер разработки 1, группа А;
2П904Б — кремниевый полевой мощный высокочастотный транзистор, поряд-
ковый номер разработки 4, группа Б.
145. КЛАССИФИКАЦИЯ И СИСТЕМА
ОБОЗНАЧЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
МИКРОСХЕМ
В зависимости от функционального назначения ИС делятся на
аналоговые и цифровые. Аналоговые ИС предназначены для
* На этой частоте коэффициент передачи тока уменьшается на 3 дБ от
значения на низких частотах.
317
обработки и преобразования сигналов, являющихся непрерывны-
ми функциями времени. Цифровые ИС предназначены для
обработки и преобразования сигналов, являющихся дискретными
функциями времени (в частном, но широко распространенном
случае, имеющих вид двоичных импульсов).
В зависимости от технологии изготовления различают полу-
проводниковые, пленочные и гибридные ИС. В полупроводниковой
ИС все элементы и межэлементные соединения выполнены в
объеме и на поверхности полупроводниковой подложки.
В пленочной ИС все элементы и межэлементные соединения
выполнены только в виде пленок проводящих и диэлектрических
материалов на поверхности диэлектрической подложки. Различают
две разновидности пленочных ИС: тонкопленочные, если использу-
ются плешей толщиной менее 1 мкм; толстопленочные, если
используются пленки толщиной более Г мкм. В гибридных ИС,
кроме элементов, содержатся простые и сложные бескорпусные
компоненты (например, кристаллы полупроводниковых ИС), рас-
положенные на поверхности диэлектрической подложки.
Если в ИС элементы и межэлементные соединения выполнены
в виде пленок, а также содержатся бескорпусные компоненты
(транзисторы, диоды, индуктивности и др.), то она называется
гибридно-пленочной.
Интегральные схемы подразделяются также по степени интег-
рации. Степень интеграции /CH = lg^c, где Кя—показатель степени
сложности ИС; Уис—число входящих в ИС элементов и компо-
нентов. На практике значение Ка округляется до ближайшего
целого ’числа. Например, если 1^и = 3, то это означает число
элементов и компонентов ИС порядка 103.
Классификация и система обозначения ИС проводятся в
соответствии с ГОСТ 18682—73. Согласно этому ГОСТ по
конструктивно-технологическому исполнению ИС подразделяются
на три группы, которым присвоены следующие обозначения: 1, 5,
7—полупроводниковые; 2, 4, 6, 8—гибридные; 3 — прочие.
Условное обозначение типа ИС состоит из четырех элементов:
цифры, указывающей конструктивно-технологическое исполне-
ние;
двух цифр, указывающих порядковый номер разработки;
двух букв, указывающих функциональное назначение мик-
росхемы;
одной или нескольких цифр, указывающих порядковый номер
разработки ИС по функциональному признаку в данной серии.
Первые два элемента обозначают номер серии ИС. Серией
называют совокупность типов ИС, которые могут выполнять
различные функции, имеют единое конструктивно-технологическое
исполнение и предназначены для совместного применения.
В маркировке микросхем, выпускаемых для широкого примене-
ния, перед первым элементом обозначения ставят индекс «К». В
318
конце условного обозначения иногда проставляется дополнитель-
ная буква от А до Я для учета разброса отдельных электрических
параметров.
Примеры обозначений ИС:
101КТ1А — полупроводниковая ИС, серия 101, порядковый номер разработки
внутри серии 1, выполняет функцию ключа тока; группа А, означающая, что
остаточное напряжение ключа не превышает 50 мкВ.
К284УД1В— гибридно-пленочная ИС широкого применения, серии 284, поряд-
ковый номер разработки внутри серии 1, функциональное назначение—дифферен-
циальный операционный усилитель, группа А, означающая уровень собственных
шумов в полосе 0,1...10 Гц не более 6 мкВ.
14.6. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОНИКИ
Понятие о групповом методе изготовления электронных при-
боров. Групповой метод был предложен для изготовления
транзисторов в конце 50-х годов. Сущность метода состоит в том,
что в полупроводниковой пластине диаметром 25...80 мм и
толщиной 0,2...0,5 мм одновременно изготавливается множество
транзисторов, регулярно расположенных на поверхности пласти-
ны. Затем пластина разрезается на множество отдельных кристал-
лов, содержащих по одному транзистору. После этого кристаллы
помещаются в корпусы с внешними выводами.
Идея группового метода стала очень широко использоваться
при изготовлении интегральных схем, что иллюстрирует рис. 14.1.
Здесь реализуется возможность технологической интеграции ком-
понентов на одной подложке. Суть интеграции состоит в том, что
на исходной пластине (см. рис. 14.1, а) вместо отдельных транзис-
торов одновременно изготавливается множество ИС, каждая из
которых содержит все компоненты (резисторы R, диоды VD,
транзисторы VT, указанные на рис. 14.1,6, в), необходимые для
построения функционального узла. Эти компоненты соединяются
Рис. 14.1
319
друг с другом тонкими металлическими полосками (часто
алюминиевыми). Как видно из рис. 14.1, а все ИС регулярно
расположены на поверхности пластины. Пластина разрезается на
отдельные кристаллы (называемые в специальной литературе
чипами), которые помещаются в корпус, что иллюстрирует
рис. 14.1, г. При этом разработчик аппаратуры получает готовый
функциональный узел в виде электронного прибора определенного
типа и назначения.
Планарная технология. При разработке электронной аппарату-
ры на электронных лампах и транзисторах всегда возникает
необходимость в многочисленных соединениях приборов между
собой с помощью пайки. Обилие паяных соединений резко
снижает надежность аппаратуры и увеличивает ее стоимость
вследствие множества сборочных и монтажных операций.
В значительной степени избежать указанных недостатков позво-
ляет так называемая планарная технология, широко используемая
в настоящее время при производстве ИС.
Планарная технология обеспечивает изготовление разнотипных
элементов в полупроводниковой пластине с расположением их
выводов в одной плоскости. Это позволяет выполнять межсоеди-
нения элементов в едином технологическом цикле с помощью
металлических полосок. При разработке сложных ИС для обеспе-
чения необходимых межсоединений иногда используют несколько
слоев металлических пленок, разделенных между собой диэлектри-
ческими слоями.
Таким образом, при разработке аппаратуры на основе ИС,
изготовленных по планарной технологии, отпадает необходимость
в многочисленных паяных соединениях, резко сокращаются габа-
ритные размеры, масса, повышается надежность и снижается
стоимость.
Пленочная и гибридная технология. С помощью пленочной
технологии изготавливают пассивные элементы: резисторы, кон-
денсаторы, элементы индуктивности, а также соединительные
проводники и контактные площадки. Таким образом, чисто
пленочные ИС обычно являются пассивными. Пленочные инте-
гральные элементы часто используют совместно с миниатюрными
навесными компонентами в составе гибридных ИС. Последние,
уступая полупроводниковым ИС по надежности, плотности
упаковки и себестоимости, имеют во многих случаях лучшие
технические показатели за счет применения широкой номенклату-
ры навесных компонентов (транзисторов, конденсаторов и элемен-
тов индуктивности). Элементы пленочных и гибридных ИС
выполняются на поверхности диэлектрической подложки.
При изготовлении гибридных ИС используют как толстые, так
и тонкие пленки. Исходными материалами для элементов толсто-
пленочных ИС являются специальные резистивные, проводящие и
диэлектрические полужидкие пасты стеклоэмалей. Они наносятся
320
Рис. 14.2
на поверхность подложки через специальный трафарет. С по-
мощью трафарета обеспечивается заданная конфигурация изготав-
ливаемых элементов. Затем трафарет убирают, а локально
нанесенную пасту высушивают и вжигают в подложку. Для
толстопленочных ИС используют теплостойкие диэлектрические
подложки (например, керамические). Такие ИС обладают высокой
механической прочностью, имеют хорошую коррозийную устойчи-
вость. Использование в толстопленочных ИС подложек с высокой
теплопроводностью позволяет создавать мощные ИС. Толстопле-
ночные ИС отличает низкая стоимость, для их изготовления не
требуется сложное оборудование. Однако толстопленочная техно-
логия не обеспечивает высокой точности изготовления элементов,
что приводит к большим отклонениям реальных значений их
параметров от расчетных номинальных значений.
Технология тонкопленочных ИС позволяет изготавливать
пассивные элементы с более узкими допусками номиналов по
сравнению с другими видами технологий. При производстве
тонкопленочных ИС используется дорогостоящее оборудование,
позволяющее путем локального напыления резистивных, проводя-
щих или диэлектрических материалов создавать элементы и
межсоединения. По сравнению с толстопленочными ИС элементы
в них размещены более плотно.
Технологии пленочных ИС не обеспечивают изготовление
высококачественных активных элементов, а также элементов
индуктивности и конденсаторов с большими номинальными
значениями параметров.
Избежать указанного недостатка позволяет гибридно-пле-
ночная технология. Она обеспечивает производство ИС, у которых
на диэлектрических подложках создаются пленочные элементы, а
также располагаются навесные бескорпусные активные элементы и
другие миниатюрные пассивные элементы.
Конструктивное устройство простейшей гибридно-пленочной ИС
и ее электрическая схема показаны на рис. 14.2, а и б. Здесь
изображены пассивные пленочные элементы (резистор R, кон-
денсатор С) и бескорпусной активный элемент (транзистор VT),
приклеенный к подложке.
Гибридно-пленочная технология отличается гибкостью. Она
позволяет быстро создавать разнообразные электронные уст-
,, 321
11 ~ 3439
Рис. 14.3
ройства. Из-за малых паразитных емкостей, хорошей взаимной изо-
ляции элементов и возможности использования высококачественных
навесных активных элементов гибридно-пленочные ИС имеют
лучшие частотные и импульсные свойства, чем схемы на обычных
дискретных элементах. Благодаря этим особенностям гибридно-пле-
ночная технология является перспективной для производства
аналоговых ИС, отличающихся большим разнообразием функций.
Полупроводниковая технология. Для изготовления полупро-
водниковых ИС обычно используют пластины монокристалли-
ческого кремния с проводимостью р- или n-типа. Изменяя
определенным образом концентрацию примесей в различных
частях пластины, получают многослойную структуру, воспроиз-
водящую заданную электрическую функцию и эквивалентную
обычному резистору, конденсатору, диоду или транзистору. Как
правило, технология ориентирована на изготовление одной или
нескольких транзисторных структур, причем в процессе их
изготовления в едином технологическом процессе одновременно
создаются и другие требуемые структуры (резистивные, диодные
и др.), что иллюстрирует рис. 14.3, а, б.
Процесс изготовления современных полупроводниковых ИС
очень сложен. Он проводится в специальных помещениях с
микроклиматом и высокой чистоты с использованием дорого-
стоящего прецизионного оборудования.
Рассмотрим основные технологические процессы, выполняемые
при изготовлении полупроводниковых ИС. Исходный полупро-
водниковый материал получают в виде слитков из расплава
кремниевого вещества (песка).
Процесс предварительной обработки полупроводникового мате-
риала. От цилиндрического слитка монокристаллического кремния
диаметром до 15 см отделяют круглые пластины толщиной
0,25...0,6 мм. Затем пластины шлифуют с целью уменьшения толщи-
ны нарушенного приповерхностного слоя до 1...2 мкм. Для оконча-
тельной доводки поверхности применяют химическое травление.
Процесс создания полупроводниковых слоев с заданным типом
проводимости. Изменение проводимости исходного материала пла-
стины осуществляют с помощью процессов эпитаксии и диффузии.
322
Эпитаксия—-это процесс ориентированного наращивания
монокристаллических слоев на пластину. При эпитаксии крис-
таллографическая ориентация наращиваемого слоя повторяет
кристаллографическую ориентацию подложки. Эпитаксиальный
слой характеризуется равномерным по глубине распределением
примесей, что иллюстрирует кривая 1 на рис. 14.4. На практике
используется типовой хлоридный процесс эпитаксии, основанный
на химической реакции, происходящей при температуре 1200° С:
SiCl4 + 2H2 = Si+4HCl.
В результате реакции на поверхности пластины осажда-
ется слой чистого кремния Si. При введении дополнительных
примесей получают эпитаксиальные слои с заданным типом
проводимости. Для получения 'проводимости и-типа используют
соединения фосфора, проводимость p-типа обеспечивают соеди-
нения бора.
Эпитаксиальный слой представляет собой монокристалличес-
кое продолжение основного материала, не имеет механических
дефектов и напряжений. Скорость наращивания пленки невели-
ка—несколько микрометров в час.
Диффузией называется процесс переноса примесей в полу-
проводниковую пластину при высокой температуре. Этот процесс
проводят в диффузионных печах при температуре 1200° С с
применением диффузантов: фосфора, сурьмы, мышьяка для
получения проводимости n-типа; бора, галлия, индия—для по-
лучения проводимости р-типа.
Диффузия может быть общей и локальной. В первом случае она
осуществляется по всей поверхности пластины, а во втором—на
определенных участках пластины через специальные окна в
диэлектрическом слое SiO2. Общая диффузия приводит к обра-
зованию в пластине тонкого диффузионного слоя, который
отличается от эпитаксиального неоднородным по глубине рас-
пределением примеси (рис. 14.4, кривая 2).
Получение глубоких диффузионных слоев требует большого
времени. Установлено, что время проведения диффузии пропор-
ционально квадрату желательной глубины диффузионного слоя.
323
Окисление поверхности пластины. Для защиты и маскирования
поверхности кремния при операциях диффузии применяют окис-
ление пластин в атмосфере кислорода или паров воды при
температуре 1000... 1300° С. При этом создается диэлектрический
слой двуокиси кремния толщиной 0,1... 1 мкм.
Диэлектрические слои из двуокиси кремния используются для:
защиты поверхности полупроводниковой пластины от внешних
воздействий; создания масок, через окна которых вводятся
примеси и обеспечивается требуемая конфигурация отдельных
полупроводниковых слоев; создания диэлектрика под затвором
транзисторов со структурой «металл—диэлектрик — полупровод-
ник» (МДП); изоляции элементов ИС между собой. Благодаря
этим возможностям кремний стал основным материалом для
изготовления ИС.
Процессы литографии. Литография (гравировка) используется
при изготовлении ИС для создания окон в масках с целью
обеспечения локального характера внедрения примесей в полу-
проводниковую пластину и получения заданной конфигурации
элементов.
Среди методов гравировки наиболее широкое применение в
настоящее время имеет фотолитография. В основе фотолито-
графии лежит использование материалов, которые называют
фоторезистами. Это разновидность фотоэмульсий, известных в
обычной фотографии. Фоторезисты чувствительны к ультра-
фиолетовому свету, поэтому их можно обрабатывать в не очень
затемненном помещении. Фоторезисты бывают негативные и
позитивные. Негативные фоторезисты под действием света
полимеризуются и становятся устойчивыми к кислотным и
щелочным травителям. Таким образом, после локальной засветки,
обеспечиваемой фотошаблоном, будут вытравляться незасвечен-
ные участки, как в обычном фотонегативе. В позитивных
фоторезистах свет, наоборот, разрушает полимерные цепочки и,
следовательно, вытравляются засвеченные участки.
Фотошаблон представляет собой толстую стеклянную плас-
тину, на одной из сторон которой нанесена тонкая непрозрачная
пленка с необходимым рисунком в виде прозрачных для света
участков-окон. Эти окна в масштабе 1:1 соответствуют будущим
элементам ИС. Поскольку ИС изготавливаются групповым
методом, на фотошаблоне разрешается множество однотипных
рисунков. Размер каждого рисунка соответствует размеру буду-
щего кристалла ИС.
Комплекс фотолитографических процессов повторяется в тех-
нологическом процессе изготовления ИС многократно (от 3 до 14
раз). Каждый раз на окисленную пластину кремния наносят
тонкий слой фоторезиста, который засвечивается через фото-
шаблон от источника ультрафиолетового излучения. Затем фо-
торезист проявляется и вскрываются необходимые окна на
324
поверхности двуокиси кремния. В этих окнах смесью фтористого
аммония и плавиковой кислоты двуокись кремния стравливается и
тем самым селективно открывается поверхность полупроводни-
ковой подложки. Таким образом обеспечиваются условия для
использования процессов диффузии и эпитаксии при изготовлении
элементов ИС.
Процесс создания межсоединений. Для создания соединений
элементов полупроводниковой ИС между собой пластина кремния со
сформированными элементами (транзисторами, диодами и резисто-
рами) покрывается слоем осажденного алюминия толщиной
0,5...2 мкм, который затем (после заключительной операции
фотолитографии) в ненужных местах стравливается через соответ-
ствующие окна фоторезиста. При этом на поверхности полупровод-
ника остается рисунок соединительных алюминиевых проводников,
имеющих ширину около 10 мкм, а также контактных площадок.
В настоящее время при производстве полупроводниковых ИС
на биполярных и полевых транзисторах используется несколько
разновидностей технологических процессов, отличающихся, глав-
ным образом, способами создания изоляции между отдельными
элементами. Наиболее широкое применение находит планарно-
эпитаксиальная технология с изоляцией элементов при помощи
обратно-смещенных ^-«-переходов.
Глава 15. ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫЕ И ИОННЫЕ
ПРИБОРЫ
15.1. ПРИНЦИП РАБОТЫ
ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫХ ПРИБОРОВ
Электровакуумными называют приборы, принцип действия ко-
торых основан на использовании электрических явлений в вакууме
или газе. Электровакуумные приборы подразделяют на электрон-
ные и ионные.
В электронных электровакуумных приборах прохождение
электрического тока осуществляется свободными электронами.
Рабочей средой этих приборов является вакуум, обеспечиваемый
газонепроницаемой оболочкой. Семейство электронных электро-
вакуумных приборов объединяет несколько групп приборов:
электронные лампы, электронно-лучевые приборы, электрова-
куумные фотоэлектронные приборы и др.
Принцип действия электронных электровакуумных приборов
основан на управлении свободными электронами с помощью
электрических или магнитных полей. Для получения потока
325
свободных электронов в электронных приборах используют
специальный металлический или полупроводниковый электрод—
катод. Процесс выхода электронов из катода называется элект-
ронной эмиссией.
Выходу электронов из катода препятствуют силы двойного
электрического слоя у его поверхности. Этот слой создается
электронами, находящимися на границе между катодом и окру-
жающей средой, а также нескомпенсированными положительными
ионами, образовавшимися из атомов, которые потеряли элект-
роны, ушедшие с поверхности катода. Для выхода из катода
электронам необходимо преодолеть тормозящее действие этого
слоя, для чего требуется дополнительная энергия. Работу, которую
совершает электрон для выхода из катода, называют работой
выхода и обозначают Лвых.
В зависимости от способа сообщения электронам добавочной
энергии различают следующие виды электронной эмиссии:
термоэлектронную, при которой дополнительная энергия
сообщается электронам при нагреве катода;
вторичную электронную, являющуюся результатом бомбар-
дировки катода потоком электронов и ионов, двигающихся с
большой скоростью;
фотоэлектронную, при которой на поверхность катода воз-
действует электромагнитное излучение;
электростатическую, при которой выход электронов из катода
обеспечивает сильное электрическое поле у его поверхности.
В электронных приборах широкое применение находит явление
термоэлектронной эмиссии. С этой целью используют термо-
катоды прямого и косвенного накала.
В катодах прямого накала ток накала проходит непосредст-
венно по катоду, который одновременно является подогревателем.
Катоды прямого накала обычно изготавливают из вольфрама,
который необходимо разогревать до очень высоких температур.
Это требует больших затрат энергии от источников постоянного
напряжения. При использовании источника переменного напря-
жения температура катода зависит от частоты питающего
напряжения, это приводит к нарушению нормального режима
работы прибора.
Меньшей работой выхода электронов обладают активирован-
ные катоды. У них на поверхность основного металла наносят
слой активных металлов (например, тория). Активированный слой
создает у поверхности основного металла электрическое поле
нескомпенсированных положительных ионов, которое способст-
вует выходу электронов из катода. Однако в процессе работы
электронного прибора активированный слой постепенно разру-
шается, что приводит к выходу прибора из строя.
Недостатки катодов прямого накала существенно снижены в
катодах косвенного накала. Этот тип катодов является наиболее
326
распространенным. Катод косвенного накала выполняют в виде
полого цилиндра, внутри которого помещают спираль подогре-
вателя, изолированную от катода. Наружную поверхность ци-
линдра покрывают оксидной пленкой, представляющей собой
смесь окислов. Поэтому такие катоды называют оксидными.
Оксидные катоды отличаются высокой экономичностью и пи-
таются обычно от источника переменного напряжения. В баллонах
электронных приборов должен быть высокий вакуум, чтобы
уменьшить вероятность повреждения поверхности катода при
бомбардировке ее ионами остаточного газа.
Катоды косвенного накала обладают значительной тепловой
инерцией: выход электронов происходит лишь через некоторое
время с момента подачи напряжения питания (1...2 мин).
15.2. ПРИНЦИП.РАБОТЫ ИОННЫХ
ПРИБОРОВ
В ионных электровакуумных приборах используется электрический разряд в
газе. Поэтому их часто называют газоразрядными. В зависимости от вида
электрического разряда различают приборы тлеющего разряда, дугового разряда
и др. Ионный прибор обычно представляет собой стеклянный баллон, заполненный
инертным газом, водородом или парами ртути, внутри которого помещаются
электроды. Рабочее давление газа в приборах разных типов колеблется в пределах
(0,1...1,5) • 103 Па.
Ионные приборы отличаются от электронных тем, что в их работе
используются как свободные электроны, так и ионы газа. При небольших
напряжениях между катодом и выходным электродом—анодом ток в приборе в
основном определяется движением свободных электронов к аноду. Свободные
электроны между катодом и анодом образуются вследствие ионизации газа и
вторичной эмиссии из катода под действием различных внешних факторов. Эти
электроны называются первичными.
С ростом анодного напряжения возрастает число электронов, достигающих
анода, и положительных ионов, достигающих катода. При некотором значении
анодного напряжения рост анодного тока прекращается и наступает режим
насыщения. Появление тока насыщения объясняется тем, что число заряженных
частиц, имеющихся в газе за счет действия внешних ионизаторов, равно числу
частиц, достигающих анода и катода за тот же промежуток времени. Ток
насыщения можно увеличить только путем увеличения интенсивности внешних
ионизаторов.
При дальнейшем повышении анодного напряжения происходит увеличение
скорости первичных электронов. Это приводит к росту интенсивности ударной
ионизации, способствующей появлению новых свободных электронов, называемых
вторичными.
При высоких напряжениях между анодом и катодом ионы выбивают из катода
новые свободные электроны и создают вторичную электронно-ионную эмиссию.
Описанный тип разряда называется несамостоятельным, так как для его
поддержания требуются внешние ионизаторы.
327
Рис. 15.1
Если напряжение на газоразрядном приборе достигает напряжения возникно-
вения разряда, то процессы ионизации и вторичной электронно-ионной эмиссии
протекают лавинообразно. Проводимость прибора при этом увеличивается
скачком, и возникает самостоятельный электрический разряд, для поддержания
которого не требуется внешних ионизаторов. В этом случае происходит
перераспределение напряжения источника питания между резистором, включенным
в цепь анода, и уменьшившимся сопротивлением участка «анод—катод» прибора.
Если теперь уменьшать сопротивление резистора в цепи анода, то в приборе
возникает нормальный тлеющий разряд, приводящий к еще большему снижению
сопротивления прибора. При дальнейшем уменьшении сопротивления резистора в
цепи анода наблюдается рост тока при практическом постоянстве напряжения на
приборе. Это происходит за счет вовлечения л процесс вторичной электронно-
ионной эмиссии большей части поверхности катода. Наконец наступает момент,
когда вся поверхность катода охвачена эмиссией. Рост тока в приборе возможен
теперь лишь при повышении анодного напряжения, что усилит процесс вторичной
эмиссии из катода. При этом будет наблюдаться аномальный тлеющий разряд.
Наряду с процессами ионизации в приборе происходят процессы рекомбинации
(электроны с положительными ионами образуют нейтральные атомы). В данном
случае энергия выделяется в виде фотонов, в результате чего газ светится. Цвет
свечения определяется родом газа — наполнителя.
При дальнейшем увеличении анодного напряжения электрический разряд
переходит в дуговой самостоятельный разряд, характеризуемый большими токами
и малыми падениями напряжения.
Вольт-амперная характеристика ионного прибора изображена на рис. 15.1, а.
На этой кривой участок О А соответствует несамостоятельному разряду, АВ—
начальной стадии самостоятельного разряда, ВС—переходной области от са-
мостоятельного к тлеющему разряду, CD—области нормального тлеющего разряда,
DE—области аномального тлеющего разряда, EF—области термо-
электронной и электростатической эмиссии, FG—области дугового разряда.
Рассмотренные виды разрядов находят применение в различных типах ионных
приборов. Особенно широко используется нормальный тлеющий разряд. Приборы,
использующие этот тип разряда, просты, экономичны и имеют большой срок службы.
328
' Схема включения ионного прибора для снятия вольт-амперной характеристики
показана на рис. 15.1, б.
15.3. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ
ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМПАХ
В электронных лампах управление движением электронов,
эмиттированных катодом, осуществляется с помощью электри-
ческих полей. Для создания электрических полей к электродам
подключаются внешние источники напряжения. Значения напря-
жения на электродах и токи в их цепях определяют электрический
режим работы лампы. Величина, характеризующая режим работы,
называется параметром режима.
В технических условиях указываются номинальный и пре-
дельный режимы работы лампы. Номинальный режим характе-
ризует условия работы, на которые рассчитан данный прибор.
Предельный режим определяет максимально или минимально
допустимые значения параметров режима. Если к электродам
лампы подключены источники постоянного напряжения, то па-
раметры режима являются неизменными. Такой режим работы
называется статическим.
Величины, характеризующие в статическом режиме влия-
ние изменений напряжений на одном или двух электродах
лампы на изменение тока в цепи какого-либо электрода,
при неизменных значениях напряжений на остальных электро-
дах, называются статическими параметрами. Зависимость то-
ка в цепи какого-либо электрода от напряжения на элек-
троде в статическом режиме называется статической харак-
теристикой.
В зависимости от числа электродов различают двухэлек-
тродные лампы—диоды, трехэлектродные лампы—триоды, че-
тырехэлектродные лампы—тетроды, пятиэлектродные лампы —
пентоды, шестиэлектродные лампы—гептоды и др. Для эффек-
тивной эмиссии электронов катодом электронная лампа каж-
дого типа имеет также цепь накала для подогрева катода.
Условные обозначения электронных ламп разных типов при-
ведены на рис. 15.2. Принцип действия, особенности характе-
ристик и некоторые применения электронных ламп рассматри-
ваются ниже.
Рис. 15.2
329
15.4. ДИОДЫ
Простейшей электронной лампой является диод. Вакуумный диод состоит из
катода К, который является источником электронов, и анода А. Электроды диода
расположены в стеклянном или металлическом баллоне, в котором создан высокий
вакуум. Условное графическое обозначение диода показано на рис. 15.2, а.
Принцип действия диодов и других электровакуумных приборов основан на
использовании явления термоэлектронной эмиссии катода. Эмиссионная способ-
ность катода зависит от состояния его поверхности и температуры катода.
Необходимая температура катода обеспечивается нитью накала Н. При нагревании
катода наблюдается рост энергии электронов в нем. Это приводит к увеличению
числа электронов, способных преодолеть силы притяжения и вылететь с
поверхности катода. При подаче между анодом и катодом диода положительного
напряжения в промежутке между анодом и катодом создается ускоряющее
электрическое поле и возникает электрический ток.
Во внешней цепи протекает анодный ток /а, направление которого проти-
воположно направлению движения электронов (см. § 1.2). При изменении
полярности анодного напряжения Ua электрическое поле становится тормозящим
для электронов. При обратной полярности (7а анодный ток практически
отсутствует.
При (7а = 0 в анодной цепи реальных диодов наблюдается некоторый
«начальный» ток /а0. Наличие этого тока объясняется тем, что некоторые
вылетающие с поверхности катода электроны обладают существенной начальной
скоростью и, следовательно, энергией, достаточной для преодоления тормозящего
поля (создаваемого электронами вблизи катода) и достижения анода. Вольт-
амперные характеристики идеального и реального диодов приведены на рис. 15.3,
штриховой и сплошной линиями соответственно.
У идеального диода анодный ток растет при повышении анодного напряжения,
подчиняясь степенному закону:
h = (15.1)
где Ка — коэффициент, зависящий от конструкции электродов диода.
У реальных n&qrqk вследствие ограниченных эмиссионных возможностей катода
при больших положительных напряжениях на аноде наблюдается замедление роста
анодного тока, и при некотором напряжении (7нас устанавливается максимальное
значение анодного тока, называемое током насыщения 1ЯЛС. Как видно из рис. 15.3,
ток насыщения зависит от напряжения накала. В режиме насыщения все электроны,
эмиттируемые катодом, участвуют в анодном токе диода.
Свойства ламп в статическом режиме характеризуют статические параметры.
Для диода такими параметрами являются крутизна анодной характеристики Sb
дифференциальное (внутреннее) сопротивление Rt и сопротивление при постоянном
токе (статическое сопротивление) 7?0. Указанные параметры можно определить,
используя вольт-амперную характеристику диода, по формулам:
S.=dIJdU^bIJbU^
R^dUJdl^XIS^^UJM^
Rq— Uао/ 4о-
(15.2)
(15.3)
(15.4)
330
Рис. 15.5
В рабочем режиме во внешнюю цепь диода включается нагрузка. Если
нагрузкой диодов является резистор Ra (рис. 15.4, а), то электрические свойства
схемы описываются вторым законом Кирхгофа (ЗНК):
С/п = 7аЯн+С/а. (15.5)
Это уравнение представляет собой уравнение прямой. Такую прямую называют
линией нагрузки. Ее легко построить, используя анодную характеристику диода.
Полагая /а = 0, находят отрезок, отсекаемый этой прямой на оси абсцисс Ua=Un.
Задавая условие (7а=0, находят ток Ia = Un/Ru. Построение линии нагрузки
иллюстрирует рис. 15.4, б.
Точка 0 пересечения линии нагрузки с анодной характеристикой является
решением уравнения (15.5). Проекция этой точки на ось ординат позволяет
определить значение тока /а0, протекающего в цепи диода с нагрузкой, а проекция
ее на ось абсцисс позволяет определить напряжение на аноде лампы (7а и
напряжение на сопротивлении нагрузки UR*.
331
На практике широко используется свойство диодов обладать односторонней
проводимостью. Это свойство, в частности, используется в схемах выпрямителей
переменного тока. Простейший выпрямитель реализуется схемой, приведенной на
рис. 15.4, а, если вместо Ua использовать синусоидальное напряжение wBX, а
выходное напряжение снимать с нагрузки RB. Ток через диод протекает лишь в
течение положительных полупериодов синусоидального напряжения. Поэтому
напряжение на нагрузке (URf) имеет вид периодической последовательности
импульсов, показанных на рис. 15.5. Отрицательные полупериоды напряжения (wa)
выделяются на диоде.
15.5. ТРИОДЫ
Триодом называется электронная лампа, у которой между
анодом и катодом расположен управляющий электрод—сетка С.
При наличии сетки число электронов, попадающих на анод, и,
следовательно, анодный ток зависит не только от величины
анодного напряжения, но и от величины и полярности напряжения
между сеткой и катодом. Изменяя потенциал сетки относительно
катода, можно управлять потоком электронов в лампе, т. е.
анодным током. Поэтому сетка в триоде называется управля-
ющей. Условное графическое обозначение триода приведено на
рис. 15.2, б, схема включения триода показана на рис. 15.6.
При одновременном приложении анодного и сеточного на-
пряжений между анодом и катодом действует электрическое поле,
равное сумме напряженностей анодного и сеточного полей. При
отрицательном потенциале сетки относительно катода между
указанными электродами создается тормозящее для электронов
поле и часть электронов возвращается к катоду. С увеличением
отрицательного потенциала сетки анодный ток уменьшается. При
отрицательном потенциале сетки, называемом напряжением за-
пирания и,Л„, анодный ток становится равным нулю.
На практике в триодах сетку располагают вблизи катода.
Благодаря этому сеточное поле оказывает большее влияние на
электронный поток, чем анодное поле. Это свойство сетки
позволяет использовать триод в качестве усилительного прибора и
получать значительные изменения анодного тока при небольших
значениях управляющих сеточных напряжений.
Работу триода в статическом режиме характеризуют семейства
выходных (анодных) /а=/(17а)| Uc = const и передаточных (анодно-
сеточных) /a=/(t7c)| Ua=const характеристик. Примерный вид этих
характеристик показан на рис. 15.7, а и б соответственно. Эти
характеристики можно получить с помощью приборов, вклю-
ченных по схеме на рис. 15.6.
Если при ил = const между сеткой и катодом подавать
отрицательные напряжения в пределах от С7зап до Uc = 0 и измерять
соответствующие им значения анодного тока, то можно снять
зависимость анодного тока от сеточного напряжения /а=/(С7с).
332
Устанавливая другие значения С/а и повторно снимая зависимости
анодного тока от сеточного напряжения, можно получить се-
мейство анодно-сеточных характеристик триода. Из сравнения
характеристик видно, что увеличение анодного напряжения не
меняет характера зависимости, но характеристика сдвигается
влево и повышается С/зап.
Анодную характеристику получают при изменении анодного
напряжения и неизменном сеточном напряжении, устанавливая
определенные значения анодного напряжения С7а и измеряя
соответствующие им значения анодного тока /а. Устанавливая
другие значения напряжения на сетке в пределах от 0 до £/зап и
повторно снимая зависимости анодного тока от анодного на-
пряжения, получают семейство анодных характеристик триода.
При положительном напряжении на управляющей сетке
электронные лампы используют редко, так как при этом возникает
прямой сеточный ток и теряется важное достоинство —
высокое входное сопротивление.
Семейство выходных и передаточных характеристик исполь-
зуют для расчета статических параметров:
крутизны
S^dlJdUJ
Ua — const А/а/А^с1 l/a = const? (15.6)
внутреннего сопротивления
Rt=dUa/dIa\
Uc — const АС4/АЛ1 Uc = const? (15.7)
статического коэффициента усиления
li31l-dUa/dUe | /a=const« - АС7а/А<7С | /a=const. (15.8)
Знак «минус» показывает, что влияние анодного и сеточного
напряжений на анодный ток противофазны.
Управляющее действие сетки зависит от числа витков сетки
(«густоты» сетки). Воздействие напряжений Uca и UaK на изменение
катодного тока характеризуется параметром D, называемым
проницаемостью лампы:
D=-Al7cr/AtfeJ/g=Const. (15.9)
При работе лампы без сеточных токов /а = 4 справедливо
равенство
Иэл=1/П. (15.10)
Очевидно, что для реализации больших значений коэффициента
цэл лампа должна иметь малую проницаемость, т. е. густую сетку.
Основные параметры триода связаны между собой простым
соотношением, получившим название уравнения параметров триода:
Пэл = 5Л- (15.11)
Использование семейства выходных характеристик позволяет
выделить рабочий участок характеристик лампы, ограниченный
333
Рис. 15.6
Рис. 15.8
Рис. 15.7
следующими параметрами: максимальным допустимым током
анода 1лтах. максимально допустимым напряжением анода {7адоп,
максимально допустимой мощностью, рассеиваемой на аноде,
р
л а доп*
Статические характеристики триода и других ламп используют
при анализе свойств и применении ламп при постоянных и
медленно изменяющихся напряжениях на электродах, т. е. в
области низких частот.
Эквивалентные схемы замещения триода в области низких
частот рассмотрены в § 7.10. На высоких частотах свойства ламп
в существенной степени зависят от междуэлектродных емкостей.
Для анализа этих свойств широко используют высокочастотные
334
модели приборов — эквивалентные схемы замещения. Простейшая
высокочастотная эквивалентная схема триода типа источника
напряжения управляемого напряжением (ИНУН) показана на
рис. 15.8. Здесь усилительные свойства прибора характеризует
зависимый источник напряжения С7вых = Щл£Аы> выходное сопротив-
ление учитывает элемент Rb а частотные свойства прибора
характеризуют междуэлектродные емкости: входная Сск, проход-
ная Сса и выходная Саа.
Отрицательное влияние на частотные свойства оказывает
проходная емкость. Именно из-за этой емкости на высоких
частотах часть сигнала с выхода поступает обратно на вход
прибора и возникает нежелательная (паразитная) обратная связь.
Недостатками триодов являются сравнительно низкие вну-
тренние сопротивления (от сотен ом до десятков килоом), и,
следовательно, низкие значения статического коэффициента уси-
ления напряжения (десятки—сотни единиц), а также большая
проходная емкость Сс а.
Стремление избежать указанных недостатков привело к созда-
нию многосеточных электронных ламп: тетродов (рис. 15.2, в),
лучевых тетродов (рис. 15.2, г), пентодов (рис. 15.2, д), гептодов
(рис. 15.2, е) и др.
15.6. ДИНАМИЧЕСКИЙ И
КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ РАБОТЫ
ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМП
Режим работы прибора, при котором хотя бы один из
параметров меняется по времени, называется динамическим.
В приборах, работающих на сверхвысоких частотах (выше 300
МГц), под динамическим режимом подразумевают режим, при
котором время пролета электронов от катода к аноду т больше
периода переменного напряжения на электродах прибора Т.
При работе прибора в области низких и высоких частот
типичным является случай, когда время пролета электронов
намного меньше периода переменного напряжения на электродах
(т«Г). В этом случае наблюдаются изменения параметров
настолько медленные, что режим работы в каждый момент
времени несущественно отличается от статического. Такой режим
называют квазистатическим.
Если в цепи какого-либо электрода лампы включены резистор,
элемент индуктивности либо другие элементы, то работа лампы
характеризуется режимом нагрузки, или рабочим режимом.
Рассмотрим простейший случай работы лампы в квазиста-
тическом режиме при включении резистора в анодную цепь
(рис. 15.9).
При включении нагрузки в анодную цепь изменения тока 1Л при
изменениях напряжения сетки не определяются статической ха-
335
Рис. 15.9
рактеристикой, так как в этом режиме анодное напряжение
зависит от анодного тока:
Ua=Un-IaRH. (15.12)
Изменение напряжения на сетке приводит к изменению анодного
тока и противофазному изменению анодного напряжения. На-
пример, если при изменении сеточного напряжения увеличился
анодный ток, то увеличится падение напряжения на сопротивлении
нагрузки и, следовательно, уменьшится анодное напряжение.
Уменьшение анодного напряжения сопровождается ослаблением
роста анодного тока. Передаточная характеристика лампы с
учетом нагрузки называется динамической, или нагрузочной. Она
располагается ниже статической передаточной характеристики
(рис. 15.10, а).
336
Величина сдвига нагрузочной передаточной характеристики
вправо прямо пропорциональна сопротивлению нагрузки и
обратно пропорциональна коэффициенту усиления р.эл:
Ucn=IaRa/^- (15.13)
Использование нагрузочной передаточной характеристики
позволяет рассчитать значение коэффициента усиления по
напряжению каскада усилителя на триоде, используя данные
рис. 15.10, б:
Hu = IBmRB/Um. (15.14)
Коэффициент усиления каскада усилителя можно определить и
другим способом: используя семейство выходных характеристик и
строя нагрузочную прямую, как показано на рис. 15.10, б. Здесь
входное напряжение можно определить как разность напряжений
на сетке Uci — Uc2.
Из уравнения (15.12) видно, что при Ia=0 Ua=U„, а при С7а = 0
Ia=UJRB. Эти данные используются для построения нагрузочной
прямой.
С помощью нагрузочной прямой можно определить анодный
ток и анодное напряжение при любом заданном напряжении на
управляющей сетке. Для того чтобы форма выходного сигнала
мало отличалась от формы входного сигнала (т. е. не было
заметных нелинейных искажений), необходимо правильно выбрать
исходную рабочую точку 0 (примерно на середине рабочего
участка характеристик). Это достигается подачей на вход лампы
помимо напряжения сигнала напряжения смещения С7с0, исполь-
зуемого для установки требуемого исходного режима.
15.7. МНОГОСЕТОЧНЫЕ ЛАМПЫ
Для повышения коэффициента усиления, уменьшения проход-
ной емкости и расширения функциональных возможностей в
некоторых типах ламп используют две и более сеток. Лампа,
имеющая две сетки—управляющую и экранирующую, получила
название тетрод. Условное обозначение тетрода приведено на
рис. 15.2, в. Экранирующая сетка располагается между анодом и
управляющей сеткой и выполняется в виде густой спирали,
окружающей управляющую сетку. На экранирующую сетку
подается постоянное положительное напряжение относительно
катода. Обычно это напряжение по величине несколько меньше
анодного. Экранирующая сетка при этом эффективно ослабляет
воздействие анодного напряжения на электроны, вылетающие с
катода. Благодаря этому коэффициент усиления в тетроде
получается больше, чем в триоде, и достигает нескольких сотен.
Введение экранирующей сетки приводит к ослаблению
электрического поля между анодом и управляющей сеткой.
337
Рис. 15.11 Рис. 15.12
Следовательно, емкость между анодом и управляющей сеткой
резко уменьшается. Проходная емкость тетрода в сотни раз
меньше, чем у триода, и составляет сотые доли пикофарады.
Величина анодного тока тетрода является функцией трех
напряжений: анодного 1/а, экранирующей U3 и управляющей Uc
сеток.
Типичные статические характеристики тетрода — передаточные
и выходные—показаны на рис. 15.11, а и б соответственно.
Как видно из рис. 15.11, а, изменение анодного напряжения
мало влияет на характеристики и приводит лишь к изменению ее
крутизны. Однако изменение напряжения на экранирующей сетке
сильно влияет на передаточную характеристику. При увеличении
напряжения на экранирующей сетке наблюдается сдвиг переда-
точной характеристики влево.
Особенностью анодной характеристики тетрода является на-
личие падающего участка при малых анодных напряжениях
(участок А—В на рис. 15.11, б). Эта особенность обусловлена
вторичной эмиссией электронов с анода на экранирующую сетку.
Такое явление получило название динатронного эффекта. По мере
повышения анодного напряжения все больше выбитых из анода
вторичных электронов возвращается на анод. При номинальном
анодном напряжении все вторичные электроны возвращаются на
анод. Для устранения динатронного эффекта вблизи анода
располагают электрод, имеющий потенциал, близкий к нулю. При
этом между анодом и экранирующей сеткой создается тормозящее
для вторичных электронов поле. Роль электрода, устраняющего
динатронный эффект, может играть дополнительная сетка, рас-
положенная между экранирующей сеткой и анодом. Такая сетка
получила название защитной и используется в электронной лампе,
получившей название пентод (С3 на рис. 15.2, д). Условное
графическое обозначение пентода приведено на рис. 15.2, д.
Динатронный эффект также отсутствует в лучевом тетроде.
Здесь между анодом и экранирующей сеткой расположены
специальные электроды—экраны Э1 и Э2, соединенные внутри
лампы с катодом. Условное обозначение лучевого тетрода
338
приведено на рис. 15.2, г. У лучевого тетрода электроны, выле-
тающие с катода, сфокусированы в плотные лучи, препятствую-
щие движению вторичных электронов от анода к экранирующей
сетке.
Семейство анодных характеристик лучевого тетрода и пентода
приведено на рис. 15.12. Характеристики имеют пологие рабочие
участки, поэтому указанные приборы обладают высоким внут-
ренним сопротивлением (десятки—сотни килоом), и следова-
тельно, очень большим коэффициентом усиления напряжения
(сотни—тысячи единиц).
Основные параметры тетродов и пентодов определяют так же,
как и у триодов, дополнительно обеспечивая фиксированные
значения напряжения на экранирующей сетке.
15.8. ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫЕ
ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВЫЕ ПРИБОРЫ
Общие сведения. К электровакуумным электронно-лучевым
приборам относятся осциллографическая трубка, приемная теле-
визионная трубка (кинескоп) и др. В этих приборах используется
поток электронов, сконцентрированный в форме луча или пучка
лучей и бомбардирующих люминесцирующий экран с целью
получения оптического (светового) изображения.
При использовании фотоэлектронных катодов электронно-
лучевые приборы позволяют осуществить преобразование
изображения в последовательность электрических сигналов опре-
деленной формы. Такое преобразование используется в передаю-
щих телевизионных трубках.
Управление пространственным положением электронного луча
осуществляется с помощью электрических или магнитных полей, а
управление плотностью тока—с помощью электрических полей.
Электронно-лучевые приборы, использующие для управления
электронным лучом электрические поля, называются приборами с
электростатическим управлением, а использующие электрические
и магнитные поля,— приборами с магнитным управлением.
Упрощенное устройство электронно-лучевого прибора пока;
зано на рис. 15.13. Основными узлами его являются: баллон 1,
внутри которого создается вакуум; катод 2, эмиттирующий
электроны; электронный прожектор 3, используемый для форми-
рования электронных пучков требуемой конфигурации и интен-
сивности; отклоняющая система 4, используемая для изменения
направления электронных пучков внутри баллона; приемник
электронов 5 (экран или мишень). Назначение и функции баллона
и катода аналогичны любому электровакуумному прибору.
Электронный прожектор представляет собой электронно-
оптическую систему, формирующую электронный луч на рабочей
поверхности приемника электронов с возможно меньшим сечением
339
и управляемой величиной тока. Для выполнения функции фокуси-
рующего устройства электронный прожектор содержит одну или
несколько электронных линз.
Большинство электронно-лучевых приборов используют про-
жекторы с двумя линзами: короткофокусной и длиннофокусной.
Такие прожекторы обеспечивают в плоскости приемника элект-
ронов поперечное сечение луча радиусом 0,1 мм, что удовлет-
воряет требованиям, предъявляемым к электронно-лучевым при-
борам.
Фокусировка электронного пучка может осуществляться как
электрическим, так и магнитным полем, а электронные линзы
соответственно могут быть электростатическими и магнитными.
Первая линза прожектора, кроме фокусировки, должна ускорять
электроны, эмиттируемые катодом, т. е. должна быть обязательно
электростатической. Вторая линза прожектора может быть и
электростатической, и магнитной.
Для управления электронным пучком, сформированным про-
жектором, используются отклоняющие системы, представляющие
собой электронные призмы. Отклонение электронного луча в
таких призмах осуществляется в поперечных полях—либо в
электрическом, либо в магнитном. В зависимости от способа
управления отклонениями электронного луча различают элект-
ронно-лучевые приборы с электростатическим и магнитным
управлением.
Основными параметрами отклоняющих систем являются
чувствительность и вносимые ими искажения.
Чувствительностью отклоняющих систем называют отношение
смещения электронного луча на рабочей поверхности приемника
электронов к величине вызвавшего его отклоняющего фактора.
Для трубок с электростатическим отклонением чувствительность
определяется отношением смещения h [мм] светящегося пятна на
ее экране к отклоняющему напряжению С7упр [В]:
5э=А/С7Упр- (15.15)
Чувствительность на различных участках поверхности прием-
ника электронов неодинакова. Она выше в центре рабочей
поверхности приемника электронов. В результате этого в дина-
мическом режиме траектория движения электронного луча по
рабочей поверхности приемника электронов не совпадает с
формой напряжения или тока, действующего в отклоняющей
системе, т. е. в электронно-лучевом приборе наблюдаются иска-
жения.
В качестве приемника электронов широко используются спе-
циальные экраны, на которых под воздействием электронной
бомбардировки создается световое изображение. Преобразование
кинетической энергии электронов в световое излучение осущест-
вляется с помощью люминофора, наносимого на дно баллона
340
Рис. 15.13 Рис. 15.14
электронно-лучевого прибора. Электроны, бомбардируя люми-
нофор, возбуждают его атомы. При обратном переходе каждого
возбужденного атома в нормальное состояние испускается квант
света, причем яркость свечения люминофора пропорциональна
числу электронов и их энергии.
Свечение экрана наблюдают со стороны, противоположной
той, которая подвергается электронной бомбардировке, поэтому
дно баллона делают прозрачным для света.
Характеристики экранов определяются параметрами люми-
нофоров: световой отдачей, спектральными и временными ха-
рактеристиками.
Световая отдача характеризует энергетический КПД люми-
нофора и выражается через отношение силы света к энергии
возбуждающего его электронного пучка.
Цвет свечения люминофора определяется его спектральной
характеристикой. Из энергетических соображений целесообразно,
чтобы спектральная характеристика люминофора совпадала со
спектральной характеристикой приемника излучения—человечес-
кого глаза. Максимум чувствительности человеческого глаза
лежит в желто-зеленой части спектра. Поэтому для экранов
электронно-лучевых приборов широко применяют люминофоры с
зеленым свечением.
' Основным параметром люминофоров является длительность
послесвечения — время, в течение которого яркость его свечения
падает до 1% начального значения. Длительность послесвечения
различных люминофоров лежит в пределах от единиц микро-
секунд до десятков секунд.
Электронно-лучевые приборы с коротким послесвечением ши-
роко применяются в осциллографах и телевизорах, а с длитель-
ным послесвечением—в радиолокационных системах.
Осциллографическая трубка. Схематическое изображение ос-
циллографической трубки представлено на рис. 15.14. В приборе
341
используются электростатическая фокусировка и электростатичес-
кое отклонение луча.
Система электродов трубки размещена в стеклянном баллоне
1, из которого откачан воздух до остаточного давления 10 ~5...
10-6 Па. В торце узкой части расположен катод косвенного
накала 2, имеющий вид небольшого цилиндра. Внутри цилиндра
помещена спираль 3 для подогрева.
Катод расположен внутри другого цилиндра 4 с небольшим
круглым отверстием — диафрагмой. Этот цилиндр называется
управляющим электродом, или модулятором, и используется для
изменения плотности тока электронного луча. На модулятор
подается небольшое относительно катода напряжение, регули-
руемое переменным резистором (потенциометром) Rv При из-
менении этого напряжения меняется число электронов, попадаю-
щих в электронный прожектор, а следовательно, ток электронного
луча и яркость пятна на экране трубки.
Электронный прожектор состоит из ускоряющего электрода 5,
первого 6 и второго 7 анода.
На рис. 15.14 штриховыми линиями показан примерный вид
эквипотенциальных линий электрического поля в диаметральном
сечении электродов трубки. Такая форма поля обеспечивает
получение тонкого, хорошо сфокусированного электронного луча.
Электрическое поле первого анода играет роль первой (ко-
роткофокусной) электронной линзы, а электрическое поле второго
анода — второй (длиннофокусной) линзы. Ускоряющий электрод
является вспомогательным. Он служит экраном между модуля-
тором и первым анодом. За счет этого возрастает независимость
регулировки яркости и фокусировки электронного луча.
Прожектор трубки предназначен для формирования пучка
электронов с радиальной симметрией, поэтому все его электро-
ды имеют форму цилиндров с диафрагмами. Для получения
необходимых скоростей движения электронов на аноды подают
высокие, относительно катода, положительные напряжения (по-
рядка 100 В на первый анод, и порядка единиц киловольт на
второй анод и соединенный с ним ускоряющий электрод).
Фокусировку электронного луча осуществляют изменением на-
пряжения между первым анодом и катодом с помощью потен-
циометра R3.
Для отклонения электронного луча вблизи второго анода
располагают перпендикулярно друг к другу две пары пластин:
вертикального Y и горизонтального X отклонений. Каждую пару
пластин можно рассматривать как плоский конденсатор, электри-
ческое поле которого перпендикулярно направлению движения
электронного луча. При изменении полярности или величины
напряжения, приложенного к пластинам, электрическое поле
между ними меняется, в результате чего электронный луч
отклоняется, а светящееся пятно перемещается по экрану.
342
Электроны, попадающие на экран, могут зарядить его до
высокого напряжения. Чтобы этого не произошло, стенки баллона
трубки вблизи экрана покрывают токопроводящим графитовым
слоем—аквадагом. Вторичные электроны, выбитые из экрана
первичными электронами, притягиваются к аквадагу и стекают по
нему на второй анод, устраняя тем самым отрицательные заряды
с экрана.
Чувствительность электронно-лучевых трубок составляет
0,1...0,4 мм/В. Повышению чувствительности способствует увели-
чение размеров отклоняющих пластин, а также их приближение ко
второму аноду.
Все питающие электронный прожектор напряжения снимают с
резистивного делителя (см. рис. 15.14), подключенного к высоко-
вольтному источнику питания 1/п. По эксплуатационным сообра-
жениям второй анод трубки обычно заземлен и имеет нулевой
потенциал.
Основными достоинствами трубок с электростатическим
отклонением являются: простота конструкции отклоняющей сис-
темы; малая мощность, затрачиваемая на отклонение электрон-
ного луча; малая инерционность, позволяющая использовать эти
трубки для исследования высокочастотных сигналов.
Кинескопы. Приемная электронно-лучевая трубка, предназна-
ченная для преобразования электрических сигналов в видимое
изображение, называется кинескопом. Кинескопы находят широкое
применение в телевизионных приемниках черно-белого и цветного
изображений.
Схематический вид кинескопа черно-белого изображения по-
казан на рис. 15.15. Основными узлами кинескопа являются:
1—стеклянный баллон; 2—нить накала; 3—катод; 4—модуля-
тор; 5 — ускоряющий электрод; 6—первый анод; 7—второй анод;
8 и 9—катушки горизонтального и вертикального магнитных
отклонений; 10—экран. В отличие от осциллографической трубки
здесь используется магнитная система отклонения луча. Она
образована двумя парами отклоняющих катушек, расположенных
на горловине трубки перпендикулярно друг к другу и к оси
трубки. Токи, проходящие через катушки, создают магнитые поля,
которые и вызывают отклонение луча. Как правило, катушки
имеют единую конструкцию, называемую отклоняющей системой.
В современных унифицированных телевизионных приемниках
используются кинескопы с прямоугольной формой экрана и
короткой горловиной. С помощью электромагнитной отклоняющей
системы обеспечивается широкий угол отклонения луча (до 114°), что
позволяет создавать короткие трубки с большим размером экрана, и,
следовательно, уменьшить габариты телевизионного приемника. В
кинескопах обычно используется электростатическая фокусировка
луча. Это дает возможность сделать ее практически независимой от
колебаний напряжения питающей сети.
343
Рис. 15.15
Качество ЭЛТ оценивается ее чувствительностью, инерцион-
ностью и потребляемой мощностью.
Чувствительность кинескопа определяется отношением вели-
чины смещения светящегося пятна на экране h [мм] к намагни-
чивающей силе отклоняющей системы wl [А]:
6м=Л/и1, (15.16)
где w—число витков катушек отклоняющей системы.
Основные характеристики ЭЛТ с электростатическим и маг-
нитным отклонениями существенно отличаются. Благодаря маг-
нитной отклоняющей системе в кинескопе обеспечивается при
большом экране хорошая фокусировка и достаточная яркость.
Недостатком магнитной отклоняющей системы является значи-
тельная инерционность, что не позволяет использовать ее для
наблюдения быстропротекающих процессов.
В приемниках цветного изображения используются специаль-
ные типы кинескопов—трехлучевые трубки с мозаичным экраном
из люминофора красного, зеленого и синего свечений. Схемати-
ческий вид цветного кинескопа показан на рис. 15.16. Особен-
ностью рассматриваемого устройства является использование трех
электронных прожекторов, создающих три луча. Каждый про-
жектор состоит из нити накала 2, катода 3, модулятора 4,
ускоряющего электрода 5, первого 6 и второго 7 анодов. Высокое
напряжение второго анода (около 25 кВ) обеспечивает достаточ-
ную яркость свечения люминофора. В таком кинескопе исполь-
зуется магнитная система сведения лучей трех электронных
прожекторов (катушки S) и магнитная система развертки лучей
(катушки 9). Катушки 8 и 9 располагаются на горловине трубки. В
таком кинескопе внутри колбы 1 перед люминофором располо-
жена металлическая распределительная маска 11, обеспечивающая
попадание электронных лучей, модулированных сигналами «крас-
ного R», «синего В» и «зеленого G» цветов на соответствующие
точки люминофора. При этом точки экрана (красная, синяя и
зеленая) определяют один элемент изображения. Число отверстий
в маске достигает 0,5 млн., а люминофорных точек 1,5 млн.
344
При одновременном включении трех лучей в зависимости от
соотношения их интенсивности получается свечение того или
иного цвета.
Глава 16. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРИБОРЫ
16.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О
ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Полупроводниковыми называются приборы, действие которых
основано на использовании свойств веществ, занимающих по
электропроводности промежуточное положение между провод-
никами и диэлектриками. Удельная электропроводность полу-
проводников ст= 1О2...1О“8 См/м (у проводников ст=104 * * *...
103 См/м, у диэлектриков ст< 10-8 См/м). Согласно зонной
теории, к полупроводникам относятся вещества, ширина запре-
щенной зоны AJV которых не превосходит 3 эВ.
Электрические свойства полупроводников зависят от внешних
условий: температуры, освещенности, внешних полей и др.
Характерной особенностью полупроводников является повышение
их электропроводности с увеличением температуры и при введе-
нии примесей.
В качестве веществ, используемых для изготовления полу-
проводниковых приборов, широко используются германий Ge,
кремний Si и арсенид галлия GaAs (элементы четвертой группы
таблицы Менделеева). Они имеют монокристаллическую структу-
ру и кристаллическую решетку алмазного типа: каждый атом
окружен четырьмя атомами, находящимися в вершинах правиль-
ного тетраэдра. Атомы удерживаются в узлах решетки за счет
валентных электронов.
Связь между двумя соседними атомами осуществляется двумя
валентными электронами—по одному от каждого атома. Такая
связь между атомами называется ковалентной.
Каждый атом указанных выше веществ на наружной оболочке
имеет четыре валентных электрона. Поэтому каждый атом
образует четыре ковалентных связи с четырьмя ближайшими от
него атомами. В результате внешняя орбита каждого из атомов
имеет восемь электронов и становится полностью заполненной.
Кристаллическая решетка, в которой каждый электрон внешней
орбиты связан ковалентными связями с остальными атомами
вещества, является идеальной. В таком кристалле все валентные
электроны прочно связаны между собой и свободных электронов,
которые могли бы участвовать в переносе зарядов, нет. Такую
345
Рис. 16.2
кристаллическую решетку имеют все химически чистые беспри-
месные полупроводники при температуре абсолютного нуля
(—273° С). В этих условиях полупроводники обладают свойствами
идеальных изоляторов.
Суть ковалентной связи атомов полупроводников поясняется
рис. 16.1
16.2. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Электропроводность полупроводников, как и других твердых
тел, определяется направленным движением электронов под
действием внешнего электрического поля. Существенные отличия
электропроводности полупроводников от проводников и ди-
электриков объясняется различием их энергетических диаграмм,
показанных на рис. 16.2. Здесь 1—зона проводимости, 2—
валентная зона, 3 — запрещенная зона.
У проводников запрещенная зона отсутствует. Как видно из
рисунка, зона проводимости и валентная зона частично перекры-
ваются. При этом образуется свободная зона, имеющая свободные
энергетические уровни. Электроны заполненных валентных
уровней могут легко переходить на близлежащие свободные
энергетические уровни. Это определяет возможность их переме-
щения под действием внешнего электрического поля и хорошую
электропроводность металлов.
В полупроводниках валентная зона и зона проводимости
разделены неширокой запрещенной зоной (A1F=O,67 эВ для Ge;
1,12 эВ для Si; 1,41 эВ для GaAs). Под действием внешнего
электрического поля, теплового, светового и другого излучений
возможен переход электронов из валентной зоны в зону прово-
димости. При этом в валентной зоне возникают свободные
энергетические уровни, а в зоне проводимости появляются
свободные электроны, называемые электронами проводимости.
346
Этот процесс называют генерацией пар носителей, а не занятое
электроном энергетическое состояние в валентной зоне—дыркой.
Генерация носителей заряда приводит к тому, что электроны
могут перемещаться в зоне проводимости, переходя на ближайшие
свободные энергетические уровни, а дырки — в валентной зоне.
Это эквивалентно перемещению положительных зарядов, равных
по абсолютной величине зарядам электронов. Перемещение дырок
можно представить как заполнение свободных энергетических
уровней в валентной зоне электронами близлежащих занятых
энергетических уровней.
Электропроводность, обусловленную генерацией пар носителей
заряда «электрон—дырка», называют собственной электропро-
водностью. Возвращение возбужденных электронов из зоны
проводимости в валентную зону, в результате которого пара
носителей заряда «электрон—дырка» исчезает, называют ре-
комбинацией. Рекомбинация сопровождается выделением кванта
энергии в виде фотона.
Генерация пар носителей заряда и рекомбинация происходят
одновременно. Поэтому в полупроводнике устанавливается ди-
намическое равновесие, определяющее равновесную концентрацию
электронов и дырок. Скорость генерации гген равна скорости
рекомбинации иреж:
^reH = ^peK = Yp«iPi = Yp«H
где ур—коэффициент рекомбинации, определяемый свойствами
полупроводника; п,—концентрация свободных электронов; —
концентрация свободных электронов; р(—концентрация дырок в
собственном (беспримесном) полупроводнике.
С увеличением температуры концентрация свободных электро-
нов в полупроводнике возрастает по экспоненциальному закону:
щ = п0 ехр [—Д fV/(2kT)],
где п{—количество свободных электронов в 1 см3 собственного
полупроводника; п0—коэффициент, учитывающий тип полупро-
водникового вещества (по = 5-1019 см-3 для Ge; 2-102Осм-3 для
Si); к—постоянная Больцмана; Т—абсолютная температура, К.
Процесс генерации—рекомбинации носителей зарядов в полу-
проводнике имеет вероятностный характер и описывается ста-
тистикой Ферми—Дирака. Согласно статистике Ферми—Дирака
вероятность того, что состояние с энергией W при данной
температуре Т будет занято электроном, выражается функцией
P(W, Т)=1/ ехр(^=^+1 ,
где WF—энергия (уровень) Ферми. Причем имеются лишь две
возможности: либо уровень с энергией IV занят электроном, либо
нет.
347
При любых значениях температуры уровень Ферми совпадает с
тем энергетическим уровнем, для которого характерна вероят-
ность занятия его электроном Р = 0,5, т. е. 50%. Энергетическая
диаграмма и графики распределения Ферми—Дирака для беспри-
месного полупроводника при различных температурах показаны
на рис. 16.3.
Здесь по оси абсцисс отложена вероятность Р заполнения
электронами соответствующих энергетических уровней. Мини-
мальное значение энергии зоны проводимости обозначено Wn,
максимальное значение энергии валентной зоны—Wa. При темпе-
ратуре абсолютного нуля ( — 273° С) все валентные уровни
заполнены с вероятностью, равной Р=1, а вероятность заполне-
ния любого уровня зоны проводимости равна нулю. Это показано
на рис. 16.3 ломаной линией 1. При комнатной температуре часть
валентных электронов переходит в зону проводимости, поэтому
вероятность заполнения электронами валентной зоны оказывается
несколько меньше единицы, а вероятность заполнения электро-
нами зоны проводимости — более нуля (кривая 2). Уровень Ферми
располагается посередине запрещенной зоны, а вероятность
заполнения этого уровня равна 0,5. Однако поскольку он
находится в запрещенной зоне, то практически электроны не могут
стабильно находиться на этом уровне.
Прямая 3 на рис. 16.3 характеризует теоретические случаи,
когда температура стремится к бесконечности. В этом случае
вероятность заполнения любого разрешенного уровня стремится к
0,5.
Из-за малой ширины запрещенной зоны у полупроводников
даже при комнатной температуре наблюдается заметная проводи-
мость. У диэлектриков из-за большой ширины запрещенной зоны
проводимость при этом крайне мала.
Если внешнее электрическое поле отсутствует, то в полупроводни-
ке наблюдается хаотическое тепловое движение электронов и дырок.
В электрическом поле движение электронов и дырок становится-
вится упорядоченным. Проводимость полупроводника обусловлена
перемещением как свободных электронов, так и дырок. В полупро-
воднике различают проводимости n-типа (от слова negative—отри-
цательный), обусловленную движение электронов, и p-типа (от слова
positive — положительный), обусловленную движением дырок.
Плотность тока в полупроводнике J [А/см2] равна сумме
электронной Jn и дырочной Jp составляющих:
J=J„4-Jp = ?e(nnnj4-HppI.)E, (16.1)
где цл— подвижность электронов; — подвижность дырок; qe —
заряд электрона; Е—напряженность электрического поля.
Подвижность [м2/(Вс)] характеризует среднюю скорость
перемещения носителей заряда под действием электрического поля
напряженностью 1 В/м:
348
Рис. 16.3 Рис. 16.4
И = %/£•
Подвижность зависит от вида полупроводника и типа носите-
лей заряда. У носителей n-типа она выше, чем у носителей р-типа.
Как видно из приведенной выше формулы, электропроводность
полупроводника зависит от подвижности носителей заряда, а
также их концентрации. Введение примесей в полупроводник
существенно изменяет его проводимость. Введение в четырехва-
лентный полупроводник пятивалентной примеси, например фос-
фора (F), позволяет получить донорную проводимость (и-типа).
Введение трехвалентной примеси, например бора (В), позволяет
получить полупроводник с акцепторной проводимостью (р-типа).
Энергетические диаграммы полупроводников п- и p-типа показаны
на рис. 16.4, а.
В отличие от собственного полупроводника у полупроводника
и-типа кривая распределения Ферми—Дирака и уровень Ферми
смещаются вверх. Это объясняется тем, что атомы примеси
обладают энергетическими уровнями, отличающимися от уровней
собственного полупроводника. Пятивалентные примеси имеют
энергетические уровни валентных электронов вблизи зоны прово-
димости собственного полупроводника. Величина AWn=Wn—WF
мала (около 0,05 эВ), поэтому даже при комнатной температуре
почти все электроны с примесного уровня переходят в зону
проводимости. Концентрация электронов в зоне проводимости
полупроводника п-типа определяется выражением пи=^-Ьп{«Уд,
где Na—концентрация доноров.
Электроны составляют подавляющее большинство носителей в
полупроводнике n-типа, и поэтому называются основными носи-
телями, а дырки—неосновными.
У полупроводника p-типа кривая распределения Ферми—
Дирака и уровень Ферми смещаются вниз (см. рис. 16.4,6).
Трехвалентные примеси имеют энергетические уровни валентных
электронов вблизи валентной зоны собственного полупроводника.
349
Величина AJVp=WF — Wa также мала (около 0,05 эВ), поэтому
электроны валентной зоны легко переходят на примесный уровень.
При этом в валентной зоне появляется большое число дырок. Они
заполняются другими электронами валентной зоны, что сопровож-
дается образованием новых дырок. Следовательно, появляется
возможность перемещения электронов в валентной зоне и повыше-
ния электропроводности, называемой дырочной. Концентрация
дырок в полупроводнике p-типа определяется выражением рр =
= Na+Pi^sNa, где Na—концентрация акцепторов.
В отличие от полупроводников с донорной примесью у
полупроводников р—типа основными носителями заряда яв-
ляются дырки, а неосновными—электроны.
Концентрация электронов в полупроводнике с акцепторной
примесью существенно меньше, чем в собственном полупро-
воднике: Пр = П{
16.3. ТОКИ В ПОЛУПРОВОДНИКЕ
В полупроводниковых приборах могут протекать дрейфовый и
диффузионный токи. Дрейфовым называется ток, обусловленный
электрическим полем. Если к полупроводнику приложить внешнее
электрическое поле, то в нем наблюдается направленное движение
дырок вдоль поля и направленное движение электронов в
противоположном направлении. Суммарный дрейфовый ток элек-
тронов и дырок определяется выражением
+ (16.2)
где п и р—число электронов и дырок, пересекающих пло-
щадь в 1 см2/с; S—площадь поперечного сечения полупровод-
ника.
Диффузионный ток обусловлен перемещением носителей за-
ряда из области с высокой концентрацией в область с бо-
лее низкой концентрацией, т. е. обусловлен наличием гради-
ента концентрации (dnldx—градиент концентрации электронов;
dpjdx—градиент концентрации дырок). Суммарный диффузион-
ный ток электронов и дырок определяется соотношением
!M = g.SD.^-q,SD/£, (16.3)
где Dn и Dp—коэффициенты диффузии электронов и дырок
соответственно.
Коэффициент диффузии равен числу носителей заряда, диф-
фундирующих за одну секунду через единичную площадку при
единичном градиенте концентрации. Знак «минус» в формуле
означает, что диффузия происходит в направлении уменьшения
концентрации, а так как дырки имеют положительный заряд, то
диффузионный ток будет положительным при dpjdx<^.
350
Коэффициенты диффузии зависят от типа полупроводника,
концентрации примесей, температуры и состояния кристалличе-
ской решетки. Например, при комнатной температуре для
германия D„k 100 см2/с, Z>_«47 см2/с для кремния Д,%30 см2/с,
Рр«13см2/с.
Коэффициент диффузии связан с подвижностью носителей
заряда соотношением Эйнштейна:
D„/(kT) = ii„/qe-, Dpl(kT)=pplqe.
Общий ток в полупроводнике может содержать четыре состав-
ляющие:
Лбщ Лр л Лр р "I" Лиф л “1" Лиф р'
Закономерности движения носителей заряда. Концентрация носителей заряда в
электронном объеме полупроводника может изменяться за счет генерации и
рекомбинации носителей, а также при возбуждении полупроводника (например, при
освещении, действии внешнего электрического или магнитного поля). При
возбуждении полупроводника концентрация подвижных носителей заряда—элек-
тронов (л) и дырок (р)—превышает равновесную концентрацию (и0 и р0). Это
приводит к увеличению проводимости полупроводника. Электроны или дырки
проводимости, не находящиеся в термодинамическом равновесии, называются
неравновесными носителями заряда.
После прекращения действия возбуждающего фактора избыточные концентра-
ции носителей заряда (например, электронов Ди = и—и0) стремятся к нулю в
результате процесса рекомбинации. При этом главную роль играют особые центры
рекомбинации—ловушки, обладающие локальными энергетическими уровнями в
запрещенной зоне. Они способны захватить электрон из зоны проводимости и
дырку из валентной зоны, осуществляя их рекомбинацию. Такими ловушками
являются дефекты кристаллической решетки внутри и на поверхности полу-
проводника.
_ dn
Скорость уменьшения концентрации неравновесных носителей заряда —
dt
вследствие рекомбинации характеризуется временем жизни неравновесных носи-
телей заряда тн:
•Лн=1Л„б+1/твов,
где тоб — объемное время жизни неравновесных носителей заряда; тпов—поверх-
ностное время жизни неравновесных носителей заряда. Объемное время жизни
уменьшается с ростом плотности дефектов решетки. Увеличение концентрации
примесей в полупроводнике также уменьшает т^. Максимальное значение имеет
собственный полупроводник.
На поверхности полупроводника имеется большое количество различных
дефектов, которым соответствуют в запрещенной зоне незанятые энергетические
уровни, играющие роль ловушек. Скорость поверхностной рекомбинации зависит от
геометрии полупроводника, состояния поверхности и подвижности носителей заряда.
Спад начальной избыточной концентрации Ди (0) во времени подчиняется
экспоненциальному закону
351
An = An (0) exp (—Z/th).
Следовательно, время жизни неравновесных носителей можно определить интер-
валом времени, за которое избыточная концентрация уменьшается в е раз.
Результирующая скорость спада избыточной концентрации в полупроводнике
4Ди)/Ж=-n/T„+n0/T„.
Здесь и/тн представляет собой скорость рекомбинации и зависит от мгновенного
значения избыточной концентрации носителей заряда, a nQlxH—скорость генерации
носителей заряда, которая зависит от равновесной концентрации носителей заряда.
Величина тн является временем жизни избыточных носителей, одинаковым для
электронов и дырок и близким к времени жизни неосновных носителей. Зная время
тн, можно определить среднее расстояние, которое проходят носители заряда. Оно
называется диффузионной длиной L. Так, для электронов
^h = VTh^h-
Концентрация носителей заряда зависит от координаты X и времени t.
Скорость изменения концентрации носителей заряда зависит от избыточной
концентрации, ее градиента и пространственной производной градиента. Эту
зависимость можно найти, решая уравнение непрерывности. Для потока дырок в
полупроводнике и-типа оно имеет вид:
р-р0 1
—=------------divJ
Ot Тн Яе
Дивергенция вектора плотности потока характеризует скорость накопления
(или рассасывания) носителей заряда в элементарном объеме полупроводника,
обусловленную неравенством втекающих и вытекающих потоков носителей. В
одномерном случае
1 1 д , .
где Удафр—плотность диффузионного тока дырок; /дрр — плотность дрейфового
тока дырок. Учитывая, что
т n dP т г
/цифр Qe^p Дх’ a Jjipp ЯеР\^рЕ>
(16.4)
и подставляя эти выражения в (16.4), получаем
1 J- 1 д2Р т^Р
—div J = -Р —z + p Е—+Црр—.
qe р рдх* р дх дх
С учетом последнего выражения уравнение непрерывности принимает вид
Ф Р—Ръ д2Р г^Р дЕ
(16.5)
Аналогично можно получить уравнение непрерывности для потока электронов в
полупроводнике ^-типа. Оно имеет вид:
352
дп
Tt
п—п0 д2п дп дЕ
-----
тн--ох ох ох
Уравнение непрерывности позволяет проводить анализ процессов в полупро-
водниковых приборах.
16.4. ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЙ ПЕРЕХОД
Общие сведения. Электронно-дырочным (р-п) называют такой
переход, который образован двумя областями полупроводника с
разными типами проводимости: электронной и дырочной. Элек-
тронно-дырочный переход нельзя создать простым соприкоснове-
нием полупроводниковых пластин п- и p-типа, так как в месте
соединения невозможно обеспечить общую кристаллическую ре-
шетку без дефектов. На практике широко используется метод
получения р-л-перехода путем введения в примесный полупровод-
ник примеси с противоположным типом проводимости, например
с помощью диффузии или эпитаксии.
Электронно-дырочные переходы используются в большинстве
полупроводниковых приборов (в диодах и полевых транзисторах
используются по одному р-л-переходу, в биполярных транзисто-
рах—два р-л-перехода, в тиристорах—три р-л-перехода). Поэтому
очень важным является понимание физических явлений и электри-
ческих свойств р-и-перехода.
Формирование р-п-перехода. Предположим, что р-л-переход
образован электрическим контактом полупроводников л- и р-типа
с одинаковой концентрацией донорных и акцепторных примесей
(рис. 16.5, а). На границе областей возникают градиенты концен-
траций электронов и дырок. Вследствие того, что концентрация
электронов в л-области выше, чем в p-области, возникает
диффузионный ток электронов из p-области в л-область. А из-за
того, что концентрация дырок в p-области выше, чем в л-области,
возникает диффузионный ток дырок из p-области в л-область.
В результате диффузии основных носителей заряда в граничном
слое происходит рекомбинация. Приграничная p-область при-
обретает нескомпенсированный отрицательный заряд, обусловлен-
ный отрицательными ионами. Приграничная л-область приобре-
тает нескомпенсированный положительный заряд, обусловленный
положительными ионами.
На рис. 16.5,6 показано распределение концентраций дырок
р(х) и электронов л(х) в полупроводнике. В граничном слое
образуется электрическое поле, направленное от л-области к
p-области, как показано на рис. 16.5, а. Это поле является
тормозящим для основных носителей заряда. Теперь любой
электрон, проходящий из л-области в p-область, попадает в
электрическое поле, стремящееся возвратить его обратно в
электронную область. Аналогично любая дырка, проходящая из
353
p-области в «-область, также попадает в электрическое поле,
стремящееся возвратить ее обратно в дырочную область.
Внутреннее поле является ускоряющим для неосновных носите-
лей. Если электроны p-области вследствие, например, хаотического
теплового движения попадут в зону р-п-перехода, то внутреннее
поле обеспечит их быстрый переход через приграничную область.
Аналогично будут преодолевать р-и-переход дырки «-области. Для
них внутреннее поле также является ускоряющим.
Таким образом, внутреннее электрическое поле р-«-перехода1
создает дрейфовый ток неосновных носителей заряда. Этот ток
направлен встречно диффузионному току основных носителей,
заряда.
Если к полупроводнику не прикладывается внешнее напряже-
ние, то результирующий1 ток через р-«-переход отсутствует:
I "Е ^дифр ^дрп О'
Это равенство устанавливается при определенной контактной
разности потенциалов'У' (рис. 16.5, в). Эта разность потенциалов
препятствует перемещешцо основных носителей заряда, т. е.
создает потенциаль‘йкй: /барьер. Для того чтобы преодолеть
потенциальный барьер'1'электрон должен обладать энергией
W=qeU*. С увеличением потенциального барьера диффузионный
ток должен убывать. Толщина слоя й, в котором действует
внутреннее электрическое поле, мала и определяет толщину
р-«-перехода (обычно й<10-6м). Однако сопротивление этого
слоя велико, поскольку он обеднен основными носителями заряда.
Поэтому его часто называют запирающим. При одинаковых
концентрация! носителей зарядов в р- и «-областях полупровод-
354
ника толщина р-л-перехода образуется из двух равных частей hp и
hn (см. рис. 16.5, а).
В общем случае справедливо соотношение
Nahp = Nahn. (16.6)
Контактная разность потенциалов и толщина р-л-перехода зависят
от концентрации доноров и акцепторов:
TJ кт. NaN
U=—In-4^;
Яе П
(16.7)
h=
(16.8)
где £—диэлектрическая проницаемость.
Очевидно, что увеличение концентрации доноров и акцепторов
приводит к увеличению контактной разности потенциалов и
уменьшению толщины р-п-перехода.
Вольт-амперная характеристика р-п-перехода. Вольт-амперной ха-
рактеристикой р-л-перехода называется зависимость тока, протека-
ющего через р-и-переход, от величины и полярности приложенного
напряжения. Аналитическое выражение ВАХ р-п-перехода имеет вид:
Z=Z0<b>£exp(^et7/A:7)-l], (16.9)
где /о6р—обратный ток насыщения р-п-перехода; U—напряжение,
приложенное к р-и-переходу.
Характеристика, построенная с использованием этого выраже-
ния, имеет два характерных участка (рис. 16.6): 1—соответствую-
щий прямому управляющему напряжению Unp, 2—соответствую-
щий обратному напряжению U^.
При больших обратных напряжениях наблюдается пробой р-п-
перехода, при котором обратный ток резко увеличивается.
Различают два вида пробоя: электрический (обратимый) и
тепловой (необратимый). .
Прямое включение р-п-перехода. Включение, при котором к
р-и-переходу прикладывается внешнее напряжение U„p в противо-
фазе с контактной разностью потенциалов, называется прямым.
Прямое включение р-и-перехода показано; на рис. 16.7, а. Практи-
чески все внешнее напряжение прикладывается к запирающему
слою, поскольку его сопротивление значительно больше сопротив-
ления остальной части полупроводника. (Сак видно из потенциаль-
ной диаграммы (рис. 16.7, о), высота потенциального барьера
уменьшается: U* = Ut— Unp. Ширина р-и-перехода также умень-
шается (й' <й). Дрейфовый ток уменьшается, диффузионный ток
резко возрастает. Динамическое равновесие нарушается и через
р-и-переход протекает прямой ток:
1=1 —Ix.f = J exn I ?et/n|> I
2пр 2диф 2др~2диф 2обрСЛР I ’
(16.10)
355
Рис. 16.7
Как видно из формулы (16.10), при увеличении прямого
напряжения ток может возрасти до больших значений, так как он
обусловлен движением основных носителей, концентрация кото-
рых в обеих областях полупроводника велика.
При прямом включении дрейфовая составляющая тока пре-
небрежимо мала по сравнению с диффузионной. Это объясняется
низкой концентрацией неосновных носителей заряда и уменьше-
нием результирующей напряженности электрического поля, обу-
словливающих дрейфовый ток.
Процесс введения основных носителей заряда через р-л-переход
с пониженной высотой потенциального барьера в область полу-
проводника, где эти носители заряда являются неосновными,
называется инжекцией. Инжектированные носители диффундируют
вглубь полупроводника, рекомбинируя с основными носителями
этой области. Дырки, проникшие из p-области в «-область,
рекомбинируют с электронами, поэтому диффузионный дырочный
ток 1р постепенно спадает в «-области до нуля.
Поступающие от внешнего источника в «-область электроны
продвигаются к р-я-переходу, создавая электронный ток 1„. По
мере приближения к переходу, вследствие рекомбинации электро-
нов с дырками, этот ток' спадает до нуля. Суммарный же ток в
«-области /диф = 1р+1„ во всех точках полупроводника и-типа
остается неизменным. Одновременно с инжекцией дырок в
«-область происходит инжекция электронов в p-область. Проте-
кающие при этом процессы аналогичны описанным выше.
Обратное включение р-п-перехода. Включение, при котором к
р-л-переходу прикладывается внешнее напряжение в фазе с
контактной разностью потенциалов, называется обратным. Этот
случай иллюстрирует рис. 16.8, а.
356
Под действием электрического поля, создаваемого внешним
источником Uo6p, основные носители оттягиваются от прикон-
тактных слоев вглубь полупроводника. Как видно из рис. 16.8,6,
это приводит к расширению р-п-перехода (h’>h). Потенциальный
барьер возрастает и становится равным (76= Сгк+[7^. Число
основных носителей, способных преодолеть действие результирую-
щего поля, уменьшается. Это приводит к уменьшению диффузион-
ного тока, который может быть определен по формуле
4иф = /обРехр(-^У (16.11)
Для неосновных носителей (дырок в «-области и электронов в
p-области) потенциальный барьер в электронно-дырочном пере-
ходе отсутствует. Неосновные носители втягиваются полем в
переход и быстро преодолевают его. Это явление называется
экстракцией.
При обратном включении преобладающую роль играет дрей-
фовый ток. Он имеет небольшую величину, так как создается
движением неосновных носителей. Этот ток называется обратным
и может быть определен по формуле /овр=/др—Лиф- Величина
обратного тока практически не зависит от напряжения Это
объясняется тем, что в единицу времени количество генерируемых
пар «электрон—дырка» при неизменной температуре остается
неизменным. Поскольку концентрация неосновных носителей
значительно меньше концентрации основных носителей заряда,
обратный ток р-и-перехода существенно меньше прямого (обычно
на несколько порядков). Это определяет выпрямительные свойства
р-п-перехода: способность пропускать ток только в одном
направлении.
Для получения хороших выпрямительных свойств желательно
уменьшить обратный ток, что достигается очисткой исходного
полупроводникового материала с целью снижения концентрации
неосновных носителей заряда. Высокая .степень чистоты полупро-
водниковых материалов обеспечивается^,специальной дорогостоя-
щей технологией.
Электрический пробой происходит ^ результате внутренней
электростатической эмиссии и под действием ударной ионизации
атомов. Внутренняя электростатическая/Эмиссия в полупроводни-
ках аналогична электростатической эмиссии электронов из метал-
ла. Под действием сильного электрического поля часть электронов
освобождается из ковалентных связей и получает энергию,
достаточную для преодоления высокого .потенциального барьера
р-л-перехода. Двигаясь с большой скоростью, электроны сталки-
ваются с нейтральными атомами и ионизируют их. В результате
Ударной ионизации появляются новые свободные электроны и
Дырки. Они, в свою очередь, разгоняются полем и создают
Дополнительные носители тока. Описанный процесс носит лавино-
357
образный характер и приводит к значительному увеличению
обратного тока через р-и-переход. Электрическому пробою соот-
ветствует участок 3 на рис. 16.6. Если чрезмерно увеличивать
обратное напряжение (до значений, превышающих максимально
допустимое напряжение указанное на рис. 16.6), то
произойдет тепловой пробой р-п-перехода, и он потеряет свойство
односторонней проводимости. Обратная ветвь характеристики при
тепловом пробое имеет вид участка 4.
Тепловой пробой р-п-перехода происходит вследствие вырыва-
ния валентных электронов из связей в атомах при тепловых
колебаниях кристаллической решетки. Тепловая генерация пар
«электрон—дырка» приводит к увеличению концентрации не-
основных носителей заряда и росту обратного тока. Увеличение
тока сопровождается дальнейшим повышением температуры.
Процесс нарастает лавинообразно, происходит изменение струк-
туры кристалла и переход необратимо выходит из строя. Если же
при возникновении пробоя ток через р-и-переход ограничен
сопротивлением внешней цепи и мощность, выделяемая на
переходе, невелика, то пробой обратим.
Анализ ВАХ р-и-перехода позволяет рассматривать его как
нелинейный элемент, сопротивление которого 7?д изменяется в
зависимости от величины и полярности приложенного напряже-
ния. Нелинейные свойства р-п-перехода лежат в основе работы
полупроводниковых диодов, транзисторов и других приборов.
На рис. 16.9 приведена модель реального р-и-перехода. Здесь
помимо управляемого сопротивления Ra показаны неуправляемые
сопротивления контактов R и емкости р-и-перехода: барьерная Сб
и диффузионная Сдил- Наличие у реальных р-и-переходов сопро-
тивлений контактов К сказывается на виде ВАХ в области прямых
управляющих напряжений: характеристика располагается ниже по
сравнению с идеализированным р-п-переходом (область 5 на
рис. 16.6).
Потенциальный барьер образован неподвижными зарядами:
положительными и отрицательными ионами. Емкость, обуслов-
ленная этими зарядами, называется барьерной. При изменении
запирающего напряжения меняется толщина р-п-перехода, а
следовательно, и его емкость. Величина барьерной емкости
пропорциональна площади р-и-перехода, концентрации носителей
заряда и диэлектрической проницаемости материала полупровод-
ника. При малом обратном напряжении толщина р-п-перехода
мала, носители зарядов противоположных знаков находятся на
небольшом расстоянии друг от друга. При этом собственная
емкость р-л-перехода велика. В случае увеличения обратного
напряжения толщина р-л-перехода растет и емкость р-и-перехода
уменьшается. Таким образом, р-л-переход можно использовать
как емкость, управляемую обратным напряжением: C^qjU^,
где q6 — объемный заряд равновесных носителей.
358
При прямом напряжении р-л-переход, кроме барьерной ем-
кости, обладает диффузионной емкостью Сдпф. Эта емкость
обусловлена накоплением подвижных носителей заряда в п и
p-областях. При прямом напряжении основные носители заряда в
большом количестве диффундируют через пониженный потенци-
альный барьер и, не успев рекомбинировать, накапливаются в л- и
р-областях.
Каждому значению прямого напряжения соответствует опреде-
ленный накопленный неравновесный заряд (/диф:
Сдиф 9т^1 ^пр*
Диффузионная емкость не оказывает существенного влияния на
работу р-л-перехода, так как она всегда зашунтирована малым
прямым сопротивлением Ra. Зависимости емкостей р-п-перехода
от управляющего напряжения имеют вид, изображенный на
рис. 16.10.
16.5. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ
Полупроводниковым диодом называется прибор с двумя выво-
дами (двухполюсный элемент), содержащий один р-л-переход. На
практике широко используются германиевые, кремниевые и
арсенид-галлиевые полупроводниковые диоды. Данные об основ-
ных типах, обозначениях и основные характеристики полупровод-
никовых диодов приведены в табл. 16. К
Полупроводниковые диоды имеют ряд преимуществ по
сравнению с электронными лампами:1 (небольшие габаритные
размеры, малую массу, высокий коэффициент полезного действия,
отсутствие накаливаемого источника электронов, большой срок
службы, высокую надежность. В основу системы обозначений
полупроводниковых диодов положен буквенно-цифровой код,
рассмотренный в § 14.4.
Важное свойство полупроводниковых диодов—односторонняя
проводимость—широко применяется в устройствах выпрямления,
ограничения и преобразования электрических сигналов. Изменение
барьерной емкости р-л-перехода под действием обратного напря-
359
Таблица 16.1
I
г.
жения используется в приборах, получивших название варикапы.
Явление обратимого электрического пробоя р-п-перехода исполь-
зуется в приборах для стабилизации напряжения. Эти приборы
называются стабилитронами.
16.6. БИПОЛЯРНЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ
Общие сведения. Биполярным транзистором (БТ) называется
электропреобразовательный полупроводниковый прибор, имею-
щий два взаимодействующих перехода. Название прибора введено
в 1948 г., оно происходит от английских слов transfer (преобразо-
ватель) и resistor (сопротивление). Транзистор представляет собой
кристалл полупроводника, содержащий три области с поочередно
меняющимися типами проводимости. В зависимости от порядка
чередования областей различают БТ типов р-п-р и п-р-п. Принцип
действия БТ различных типов одинаков. Транзисторы получили
название биполярных, так как их работа обеспечивается носите-
лями зарядов двух типов: основными и неосновными.
Схематическое устройство и условное графическое обозначение
р-п-р транзисторов показано на рис. 16.11, а и п-р-п транзисто-
ров— на рис. 16.11, б. из крайних областей транзисторной
структуры создают с повышенной концентрацией примесей, ис-
пользуют в режиме инжекции и называют эмиттером. Среднюю
область называют базой, а другую крайнюю область—кол-
лектором. Два перехода БТ называются эмиттерным и кол-
лекторным.
В зависимости от того, какой электрод имеет общую точку
соединения со входной и выходной цепями, различают три
способа включения транзистора: с общей базой; общим эмиттером
и общим коллектором. Электрические параметры и характеристи-
ки БТ существенно различаются при разных схемах включения.
На практике БТ широко используются в качестве усилительных
приборов. В этом случае к эмиттерному переходу для обеспечения
режима инжекции подается прямое напряжение, а к коллектор-
ному переходу, работающему в режиме экстракции,— обратное
напряжение. Такой режим работы БТ называется активным.
Кроме рассмотренного выше, БТ может работать в следующих
режимах: отсечки, когда оба перехода находятся под действием
обратных напряжений; насыщения, когда оба перехода находятся
под действием прямых напряжений; инверсном режиме, когда к
эмиттерному переходу приложено запирающее напряжение, а к
коллекторному переходу—отпирающее. Последний режим часто
встречается при работе БТ в качестве ключа разнополярных
электрических сигналов.
Технологические типы БТ. Исторически первыми широко распространившимися
БТ явились сплавные транзисторы. Упрощенный вид структуры сплавного р-п-р
транзистора показан на рис. 16.12, а.
361
Рис. 16.11
Рис. 16.12
Здесь в полупроводниковую пластину с проводимостью и-типа с двух сторон
вплавляли полупроводниковый материал с проводимостью /?-типа. Процесс
вплавления продолжался до тех пор, пока расстояние между образующимися
^-областями не становилось достаточно малым (50.. .60 мкм). Затем полупроводни-
ковую пластину укрепляли на металлическом кристаллодержателе и помещали в
герметический металлический корпус. Выводы эмиттера и коллектора пропускали
сквозь стеклянные изоляторы, закрепленные в корпусе, вывод базы соединяли
непосредственно с корпусом. Транзисторы имели малую максимально допустимую
постоянную рассеиваемую мощность коллектора (Рктах^ 250 мВт), так как отвод
тепла происходит вдоль тонкой полупроводниковой пластины базы, имеющей
малую теплопроводность. Максимальная рабочая частота сплавных транзисторов
не превышала 30 МГц.
Современные БТ изготавливаются по планарной технологии с использованием
методов диффузии и эпитаксии. Упрощенный вид планарного БТ со структурой
п-р-п, изготовленный методом трех диффузий, показан на рис. 16.12, б. Здесь в
полупроводниковую пластину с проводимостью /?-типа при первой диффузии
вводят донорную примесь на заданную глубину (например, порядка 20 мкм).
Таким образом, создают коллекторную область БТ. При второй диффузии в
полупроводниковую пластину вводят акцепторную примесь на меньшую глубину
(15 мкм) и создают базовую область БТ. При последней, третьей диффузии
вводят примеси с высокой концентрацией доноров, создавая эмиттерную об-
ласть (п+ -типа). Выводы БТ’’ располагаются в одной плоскости, поэтому
транзистор называется плЛйрпым. Это упрощает процесс изготовления и
позволяет автоматизировать' монтаж транзистора в корпус, а также снизить его
стоимость.
Локальное введение примесей в полупроводниковую пластину обеспечивается
использованием специальных шаблонов и методов литографии.
Использование метода диффузии обеспечивает неравномерное распределение
примесей в полупроводниковой пластине, что видно из рис. 16.13, а. Здесь
1—соответствует коллекторной диффузии, 2—базовой диффузии, 3—эмиттерной
диффузии.
362
Рис. 16.13 Рис. 16.14
Результирующая характеристика распределения примесей в полупроводнике
показана на рис. 16.13,6. Существенной особенностью рассматриваемой структуры
является неравномерное распределение примесей в области базы и возможность
создания тонкой (порядка единиц микрометров) базовой области. Благодаря этому
в базе создается ускоряющее поле и время движения неосновных носителей зарядов
через базу к коллектору уменьшается, что позволяет создавать транзисторы,
работающие на частотах до 1 ГГц и более. Транзисторы, имеющие ускоряющее
поле в базовой области, получили название дрейфовых.
Наряду с методом диффузии, на практике при изготовлении БТ широко
используется метод создания полупроводниковых слоев путем эпитаксии. Суть
этого метода заключается в последовательном выращивании на Тюверхности
полупроводниковой и диэлектрической пластины слоев с заданным типом
проводимости. При эпитаксии получают слои с равномерным распределением
примеси.
Статические характеристики БТ. Статические характеристики
отражают зависимость между постоянными токами и напряже-
ниями на входе и выходе БТ. Полное представление о свойствах
БТ можно Получить, воспользовавшись двумя семействами харак-
теристик: входных и выходных. Для схемы с общей базой входные
(Лэ=У(^вэ)1 Пкв-о " (7к=/(^кв)1/э.^ характеристики
показаны на рис. 16.14, о, б. Как видно из рис. 16.14, а, входные
характеристики имеют вид вольт-амперщш характеристики диода
при прямом включении. С увеличением, отрицательного напряже-
ния иКБ наблюдается слабо выраженное смещение входных
характеристик влево. Это объясняется тем, что электрическое
поле, создаваемое напряжением С7КБ почти полностью сосредото-
чено в коллекторном переходе и оказывает незначительное
влияние на прохождение зарядов через эмиттерный переход.
Выходные характеристики БТ в схеме с общей базой
(рис. 16.14,6) представляют собой пологие, почти прямые линии.
Это характеризует высокое выходное сопротивление выходной
зм
цепи переменному току (ЛКБд=ДСКБ/Д/Э). При таком включении
даже при С/КБ=0 происходит явление экстрации и ток коллектора
может иметь большое значение, зависящее от тока эмиттера 13.
При 7э = 0 характеристика начинается в начале координат и
имеет вид обратной ветви р-п-перехода. Выходной ток /КБ0 в этом
случае является неуправляемым током коллектора. При /э/0
выходной ток близок к входному. Однако если меняется поляр-
ность напряжения UKb, то он резко уменьшается и достигает нуля
при значениях С7КБ порядка десятых долей вольта. В последнем
случае коллекторный переход работает в прямом направлении.
Ток через этот переход резко возрастает и идет в направлении,
обратном нормальному рабочему току, что может вывести
транзистор из строя. Поэтому на данном участке характеристики
показаны штриховыми линиями, они не являются рабочими и
обычно на графиках не приводятся.
На рис. 16.15, а, б показаны соответственно семейства входных
и выходных характеристик для схемы с общим эмиттером.
Статическая входная характеристика показывает зависимость
С ростом отрицательного напряжения UK3
наблюдается сдвиг входных характеристик вправо. При увеличе-
нии UK3 растет обратное напряжение, приложенное к коллектор-
ному переходу и почти все подвижные носители заряда быстро
втягиваются в коллектор, не успев рекомбинировать в базе.
Поэтому ток базы уменьшается при увеличении напряжения UK3,
что видно из рис. 16.15, а.
Значения входных токов в схеме с общим эмиттером гораздо
меньше, чем в схеме с общей базой. Следовательно, входное
сопротивление в схеме с общим эмиттером существенно больше,
чем в схеме с общей базой.
Принцип работы БТ. Работу БТ рассмотрим на примере
структуры п-р-п, включенной в схеме с общей базой (рис. 16.16).
К коллекторному переходу приложено обратное напряжение.
Пока ток /э = 0, в , транзисторе протекает ток неосновных
носителей заряда через коллекторный переход. Этот ток называют
начальным коллекторным- При подключении к эмиттерному
переходу прямого напряжения иъз в транзисторе возникает
эмиттерный ток, равный сумме дырочной и электронной состав-
ляющих: /Э = /Эр + 7Э„. ,gq
Если бы концентрацйж .электронов и дырок в эмиттере и базе
была одинаковой, то указанные выше составляющие эмиттерного
тока были равны. Но в транзисторе создают эмиттерную
п+-область с существенно большей концентрацией электронов по
сравнению с концентрацией дырок в базовой области. Это
приводит к тому, что число электронов, инжектированных из
эмиттера в базу, во много раз превышает число дырок,
движущихся в противоположном направлении. Следовательно,
почти весь ток эмиттерного перехода обусловлен электронами.
364
S)
Рис. 16.15
Рис. 16.16
Эффективность эмиттера оценивается коэффициентом инжек-
ции уи. Для БТ со структурой п-р-п он равен отношению
электронной составляющей эмиттерного тока к общему току
эмиттера: уи = /ЭиМэ- У современных транзисторов ун«0,999.
Инжектированные через эмиттерный переход электроны прони-
кают вглубь базы, для которой они являются неосновными
носителями. В базе происходит частичная рекомбинация электро-
нов с дырками. Однако если база тонкая,1 то преобладающая часть
электронов достигает коллекторного перехода, не успев рекомби-
нировать. При этом электроны попадают в ускоряющее поле
коллекторного перехода. В результате экстрации электроны
быстро втягиваются из базы в коллектор и участвуют в создании
тока коллектора. '
Малая часть электронов, которая рекомбинирует в области
базы с дырками, создает небольшой токг'базы /Б. Ток базы равен
разности токов эмиттера и коллектора: Таким образом,
в рассматриваемом режиме (называемом активным) через БТ
протекает сквозной ток от эмиттера через базу к коллектору.
Незначительная часть эмиттерного тока ответвляется в цепь базы.
Для оценки влияния рекомбинации носителей заряда в базе на
свойства БТ в активном режиме используют коэффициент
переноса носителей в базе vn. Этот коэффициент показывает, какая
часть инжектированных эмиттеров электронов достигает коллек-
365
торного перехода: Уа = 1кп11Эп. Коэффициент переноса vn тем ближе
к единице, чем тоньше база и меньше концентрация дырок в базе
по сравнению с концентрацией электронов в эмиттере.
Важнейшим параметром БТ является коэффициент передачи
тока эмиттера: а6.т = Тиуп- Так как уи и vn меньше единицы, то
коэффициент передачи тока эмиттера также не превышает
единицы. Обычно т = 0,95.. .0,999. В практических случаях коэф-
фициент аб т находят как отношение приращения тока коллектора
к приращению тока эмиттера при неизменном напряжении на
коллекторном переходе:
абт = Д7к/Д7э. (16.12)
Поскольку в цепи коллектора, кроме тока, обусловленно-
го экстракцией электронов из базы в коллектор, протекает
обратный ток коллекторного перехода /КБ0, то полный ток
коллектора
Ас = аб.т^э+^кво- (16.13)
Однако учитывая, что ток /КБ0 незначителен, можно считать
/к«<Хб.тЛ- Из последнего выражения видно, что БТ является
прибором, управляемым током: значение коллекторного тока
зависит от входного эмиттерного тока. Если рассматривать БТ
как прибор с зависимыми источниками (см. § 7.9), то он близок по
свойствам к источнику тока, управляемому током (ИТУТ). В свою
очередь, входным током 1Э управляет прямое напряжение С/БЭ. Как
видно из потенциальной диаграммы, показанной на рис. 16.16, б, с
ростом прямого напряжения уменьшается потенциальный барьер
эмиттерного перехода. Это сопровождается экспоненциальным
ростом тока эмиттера /э. К коллекторному переходу в ак-
тивном режиме прикладывается большое запирающее напря-
жение. Как видно из потенциальной диаграммы, это приво-
дит к значительному увеличению потенциального барьера кол-
лекторного перехода. Вследствие того, что напряжение в цепи
коллектора значительно превышает напряжение в цепи эмит-
тера, а токи в цепях эмиттера и коллектора примерно равны,
мощность полезного сигнала на выходе схемы оказывается
существенно большей, чем на входе. Это и открывает широкие
возможности использования БТ в качестве усилительных при-
боров. ;1Br
Наилучшим образом усилительные свойства БТ проявляются
при включении в схеме с общим эмиттером, показанной на
рис. 16.17.
Основной особенностью схемы с общим эмиттером является
то, что входным током в ней является ток базы, существенно
меньший тока эмиттера. Выходным током, как и в схеме с общей
базой, является ток коллектора. Следовательно, коэффициент
передачи тока в схеме с общим эмиттером равен отношению
366
приращений тока коллектора и приращению тока базы. Этот
коэффициент принято обозначать |Зб т. Нетрудно найти и соотно-
шение между коэффициентами аб т и 0б т:
О _ ДДы1 _ Ык _ аб.т 1Л\
Д/вх Д/Б Д/э—Д7К Д7Э/Д/К—1 1—аб1
Если, например, ОбТ = 0,99, то Рбт=0,99/(1—0,99) = 99.
Таким образом, в схеме с общим эмиттером нетрудно
достигнуть больших значений коэффициента усиления по току. А
так как при таком включении можно получить усиление и по
напряжению, то достигаемый коэффициент усиления по мощности
Hp=HiHu значительно превосходит значения, достигаемые при
других способах включения (с общей базой и с общим коллекто-
ром). Это и объясняет широкое применение БТ, включенных по
схеме с общим эмиттером.
Входное сопротивление БТ в схеме с общим эмиттером
значительно больше, чем в схеме с общей базой. Это следует из
очевидного неравенства Д17ВХ/А/Б»Д/7ВХ/Д/Э.
Представляет интерес определение зависимости выходного
тока от входного для схемы с общим эмиттером. Используя
приведенное выше выражение для полного тока коллектора,
заменим в нем значение тока 1Э на его составляющие /К + /Б и
выполним элементарные преобразования:
Ас = аб.т (Ас + ^б) + КБО = Is + . = Рб.т ^Б + Асэо» (16.15)
1 **б.т ®б.т
где /КБ/(1 — абт) = Асэо — начальный коллекторный ток в схеме с
общим эмиттером при /Б = 0.
В схеме с общим коллектором входной сигнал подается на
участок «база—коллектор». Входным током является ток базы, а
выходным—ток эмиттера. Поэтому коэффициент передачи тока
для этой схемы . !,i
Д/>_+ _О I 1 '• I
—ы; Рбт+1-
I!!'
При таком включении БТ обеспечивает большие значения
коэффициента передачи тока и имеет эддрокое входное сопротив-
ление, однако коэффициент передачи напряжения не превышает
единицу. v J;r
Дифференциальные параметры БТ. Биполярный транзистор
удобно представить активным нелинейным четырехполюсни-
ком, изображенным на рис. 16.18, а, у. которого выходной ток
/2 и входное напряжение Ux зависят от входного тока
и выходного напряжения U2- Как следует из § 9.2, в этом случае
четырехполюсник описывается системой уравнений в //-пара-
метрах.
367
+ о-
^53
а)
| Транзистор | ff2
б)
Рис. 16.17 Рис. 16.18
Переходя к мгновенным значениям напряжений и токов,
уравнения (9.5) можно представить в виде:
«1 =Л (h> «2); I
h=/2(h, «г)- J
При малых изменениях токов и напряжений приращения
входного и выходного напряжений и токов можно найти из
следующих уравнений:
Aut=^i Д«2;
ci. ди,
V (16.16)
Ai2=^Aii+^-Au2.
z ди2 J
Частные производные в уравнениях (16.16) являются дифферен-
циальными //-параметрами транзистора:
ТТ ___. тт _______^2
£?11“Т7"’ ££21~
01Y
тт ___^1. тт ____ ^2
££12—у-» 6122—^Г-
аи2 du2
(16.17)
Если значения переменных напряжений и токов транзистора
существенно меньше значений постоянных напряжений и токов
транзистора, то приведенные выше уравнения можно записать в
виде:
[/вХ = Я11/вх + Я121/вых;
/вых Н21 /вх “Ь Н22 ^вых •
Здесь /в^/i и С7вых=С72 — постоянные составляющие соответст-
венно входного тока и выходного напряжения.
Каждый из параметров, приведенных в уравнениях, имеет
определенный физический смысл: Яп=—* —входное со-
^вх ^вых = const
(16.18)
368
противление транзистора при коротком замыкании на выходе
(^ВЫХ = 0),
Я12=у^- —коэффициент обратной связи, характеризуй
ющий влияние выходного напряжения на режиме разомкнутой
входной цепи транзистора (zBX = 0); Я21=-^ —коэффициент
^ВХ ^вых = const
усиления по току при мВых = 0;
Н22 =т-^ —выходная проводимость транзистора при
^Цвых ZBX = const
разомкнутой входной цепи (/вх = 0).
Указанные параметры можно определить по статическим харак-
теристикам БТ, используя вместо частных производных соответству-
ющие им малые приращения токов и напряжений. Значения Я-пара-
метров зависят от схемы включения БТ. В справочниках обычно при-
водят значения Я-параметров для БТ, включенных по схеме с общим
эмиттером. Для них приняты обозначения Я11э, Я12э, Я21э, Я22э.
Используя Я-параметры, нетрудно представить формальную
эквивалентную схему БТ в виде рис. 16.18, б, справедливую для лю-
бой схемы включения транзистора. Очевидно, что это одна из моде-
лей приборов с зависимыми источниками, рассмотренных в § 7.9.
Система Я-параметров называется гибридной, так как одни
Я-параметры определяются в режиме холостого хода на выходе
(zBX=0), а другие в режиме короткого замыкания на выходе
(Ивых=0)- При этом параметры имеют разную размерность.
Рассмотренные параметры широко используются при расчетах
низкочастотных транзисторных схем.
16.7. ПОЛЕВЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ
Принцип действия полевых транзисторов (ПТ). В соответствии с
определением в ПТ управление выходным током происходит под
действием электрического поля. Рассмотрим, как это можно
осуществить.
Допустим, что имеется полупроводниковый материал в форме па-
раллелепипеда (стержень, брусок) длиной /, толщиной h и шириной b
(рис. 16.19). В этот материал внедрены, например, акцепторные при-
меси. В свое время такую конструкцию рассматривал Шокли и
предполагал, что примеси внедрены равномерно по всему объему.
Подключим к концам стержня электроды и назовем их исток и
сток. Область полупроводника между истоком и стоком, по
которой протекает ток, назовем каналом. Сопротивление полу-
проводникового стержня рассчитывается по формуле
Я=Рп.т
bh'
(16.19)
369
Рис. 16.19
Здесь Рп.т= 1/(<7еРН)> где Че — заряд электрона, К; ц—дрейфовая
подвижность носителей заряда, см2/(В с); р — концентрация при-
месей, атом/см3.
Очевидно, ток будет зависеть от геометрических размеров
стержня, концентрации примесей, подвижности носителей. В ре-
альных приборах используют зависимость либо толщины ка-
нала, либо концентрации примесей в канале от электрического
поля. С целью управления выходным током в приборе введен
дополнительный электрод — затвор.
Управление током возможно с помощью: р-п-перехода; кон-
денсатора, образованного структурой «металл—диэлектрик—
полупроводник»; перехода «металл — полупроводник», названного
барьером Шотки. У полевых транзисторов с р-п-переходом и
барьером Шотки изменение выходного тока происходит из-за
изменения эффективной толщины канала (содержащей подвижные
носители заряда), а у МДП-транзисторов—за счет изменения
концентрации носителей заряда.
Упрощенные конструкции ПТ разных структур показаны на
рис. 16.20.
Для реализации ПТ с управляющим р-п-переходом у полу-
проводникового стержня p-типа сверху и снизу создают слои с
высокой концентрацией донорной примеси Na, соединенные между
собой и подключенные к внешнему выводу — затвору. Эти слои
принято обозначать п +. Структура п+-р представляет собой
электронно-дырочный переход. Известно, что у электронно-дыроч-
ного перехода N h„ = Nahp. Следовательно, так как Na»Na, то
hn<s^hp. Таким образом, рассматриваемый электронно-дырочный
переход в основном расположен в p-области, а области с
толщиной hp, показанные на рис. 16.20, а, обеднены подвижными
носителями заряда. Эффективная толщина канала, по которому
протекает ток, hi=h — 2hp. Очевидно, ее можно менять, изменяя hp
за счет внешнего управляющего напряжения. Если к электронно-
дырочному переходу прикладывать запирающее напряжение, hp
увеличивается, а эффектная толщина проводящего канала и,
следовательно, выходной ток уменьшаются. При определенном
запирающем напряжении (называемым напряжением запирания)
области, обедненные подвижными носителями зарядов, смыкают-
ся и выходной ток теоретически должен быть равен нулю. У ре-
альных приборов в этом случае протекает незначительный ток, как
и в обычных диодах при обратном включении.
370
a)
0)
Рис. 16.20
Для удобства использования на практике в справочниках для
маломощных ПТ с ^-«-переходом вместо напряжения запирания
указывают напряжение отсечки СЛиотс, определяемой при токе
стока 7с=10-5А. Если к электронно-дырочнрму переходу «за-
твор—канал» прикладывать отпирающее напряжение, то hp
уменьшается, а эффективная толщина проводящего канала увели-
чивается и стремится к максимально возможному значению h.
Выходной ток в данном случае возрастает. Однако при опре-
деленных значениях отпирающего напряжения (превышающих
0,6 В для кремниевых приборов) возникают существенные прямые
токи перехода «затвор—канал» и входное сопротивление прибора
резко падает. В большинстве случаев применения ПТ это явление
нежелательно. Поэтому обычно транзисторы с р-л-переходом
используют при запирающих входных напряжениях.
На рис. 16.20,6 показана конструкция МДП транзистора. Здесь
в исходном полупроводниковом материале p-типа, называемом
подложкой, создается слой и-типа. Это слой выполняет функцию
встроенного канала. Для обеспечения механизма управления током
канала в транзисторе предусмотрены тонкий слой высококачест-
венного диэлектрика (Д) и металлический слой (М), выполняющий
функцию затвора (3). Если к затвору приложить положительный
заряд, то по закону электростатической индукции в канале будет
индуцироваться отрицательный заряд. За счет увеличения концент-
рации электронов, обусловленной их дополнительным поступле-
371
нием из подложки и внешних областей транзистора (не перекры-
тых затвором), наблюдается возрастание тока канала. И наобо-
рот, если к затвору приложить отрицательный заряд, то кон-
центрация электронов в канале уменьшится и, следовательно,
уменьшится ток канала.
Очевидно, МДП структура получится, если непосредственно на
подложку последовательно нанести диэлектрический и металли-
ческий слои. Такой случай реализуется, если в структуре,
показанной на рис. 16.20,6, отказаться от создания области с
проводимостью и-типа, расположив там часть подложки р-типа.
Теперь, если к затвору приложить достаточно большой положи-
тельный заряд, то по закону электростатической индукции в
канале индуцируется соответствующий отрицательный заряд,
увеличивается концентрация подвижных носителей и-типа и
возникает проводящий канал. Такой транзистор получил название
МДП ПТ с индуцированным каналом n-типа. Области и + исполь-
зуются для создания низкоомных омических (невыпрямляющих)
контактов стока и истока. Они же препятствуют протеканию
существенного тока между выходными электродами ПТ при
нулевом или отрицательном заряде на затворе. Это объясняется
тем, что п+-области и часть р-подложки образуют два после-
довательно встречно включенных между истоком и стоком
электронно-дырочных перехода.
В зависимости от типа подложки, типа канала и числа
затворов различают несколько разновидностей МДП ПТ. Следует
отметить, что наличие диэлектрика между затвором и каналом
обусловливает чрезвычайно высокое входное сопротивление МДП
транзисторов постоянному току любой полярности (7?вх= 1О10 ...
... 1014 Ом). Однако наличие емкости «затвор — канал», обеспе-
чивающей управление выходным током прибора, приводит к
заметному снижению входного сопротивления МДП ПТ на
высоких частотах.
Полевые транзисторы с р-и-переходом при одинаковых геомет-
рических размерах с МДП транзисторами могут иметь в рабочем
режиме меньшие входные емкости. Это объясняется тем, что в
рабочем режиме к электронно-дырочному переходу «затвор —
канал» прикладывается запирающее напряжение и, следовательно,
барьерная емкость перехода (аналогично варикапу) уменьшается.
Сочетание достоинств полевых транзисторов с р-и-переходом и
МДП ПТ реализуется в транзисторах с барьером Шотки, упрощенная
конструкция которых приведена на рис. 16.20, в. Здесь в качестве
управляющей цепи используется контакт «металл—полупровод-
ник», обладающий выпрямительными свойствами и очень малой
емкостью. Механизм управления аналогичен приборам с управляю-
щим р-и-переходом. В качестве исходного материала применяется
обычно арсенид галлия и-типа. Это обеспечивает хорошие
температурные, усилительные и частотные свойства приборов.
372
Таблица 16.2
Наименование Обозначения
Транзистор с р-л-переходом и pc
каналом р-типа J
3 1 1и
Транзистор с р-л-переходом и 1
каналом л-типа _J
з 1 , 1 Iй 1. ic
Транзистор со структурой МДП и со 3J Fn
встроенным каналом р-типа З-J | 1 1 и
1 1 c
Транзистор со структурой МДП и с 3_J| —П
индуцированным каналом р-типа 1 и
1 pc
Транзистор со структурой 3-1 ±7"
МДП и со встроенным каналом л-типа 1 1 и
1 1 c
Транзистор со структурой МДП и с JI h*—n
индуцированным каналом л-типа 3—1 1 1 1 и
3 1 1 I—J c
МДП тетрод со встроенным каналом J E-n
л-типа 31—1 I 1 | и
n H-Jc
Транзистор со структурой МНОП 3-1 i Fn
1 I и
Транзистор с барьером Шотки и каналом л-типа IC
L in
Графические обозначения ПТ разных типов и структур
приведены в табл. 16.2.
Статические характеристики ПТ. В качестве статических харак-
теристик ПТ представляются функциональные зависимости между
токами и напряжениями, прикладываемыми к их электродам:
373
входная характеристика 13 =
=/(^зи) при 1/си=const;
характеристика обратной пере-
дачи /3=ДС7си) при С/зи=const;
характеристика прямой пере-
дачи Ic=f(U3U) при Ucn=const;
выходная характеристика 1С =
=f(Ucn) при Um = const.
На практике широко использу-
ются лишь две последние характе-
ристики, причем первую из них ча-
сто называют характеристикой
передачи.
Входная характеристика и характеристика обратной передачи
используются редко, так как в абсолютном большинстве случаев
применения входные токи ПТ (10-8 ... 10-12 А) пренебрежительно
малы по сравнению с токами, протекающими через элементы,
подключенные к их входам.
Ориентировочный вид характеристик передачи ПТ разных
типов и структур показан в табл. 16.2.
Основные параметры, интересующие разработчиков электрон-
ной аппаратуры, могут быть получены из семейства выходных
(стоковых) характеристик. Поэтому они заслуживают подробного
рассмотрения.
Стоковые характеристики ПТ разных структур и типов
приведены на рис. 16.21. Условно их можно разбить на четыре
области: крутую, пологую, пробоя и возникновения прямых токов
затвора. В крутой области наблюдается резко выраженная
зависимость тока стока 1С от напряжений сток — исток С7си и
затвор—исток Сзи. Здесь транзистор ведет себя как сопротивле-
ние, управляемое напряжением С7ЗИ. Пологая область отделена от
крутой геометрическим местом точек (кривая О А на рис. 16.21),
для которых выполняется условие: (7Си = ^зи— Сойоте- Для пологой
области характерна слабовыраженная зависимость /с=/({7Си)-
При больших напряжениях на стоке наблюдается резкое
увеличение 7С, и если мощность рассеивания на стоке превышает
допустимую, то происходит необратимый пробой участка «за-
твор—сток». При подаче на вход ПТ запирающего напряжения
увеличивается разность потенциалов между затвором и стоком. В
этом случае пробой наблюдается при меньшем напряжении С/Си на
величину напряжения (7ЗИ.
В отличие от электронных ламп ПТ могут работать и при
смене полярности выходного напряжения. Однако необходимо
помнить, что, как только напряжение (7Си превысит напряжение
С7ЗИ на величину контактной разности потенциалов U* р-п-пере-
хода, возникает прямой ток затвора и входное сопротивление
резко падает.
374
Область возникновения токов затвора, как показано на
рис. 16.21, отделена от крутой области геометрическим местом
точек (кривая О В), для которых выполняется соотношение
Ucn = ^зи+
Выходные характеристики МДП транзисторов также можно
условно разбить на вышеупомянутые области, исключив область
возникновения прямых токов затвора. Однако следует учитывать,
что аналогичная область будет иметь место и у МДП транзисто-
ров, если их подложка соединена с истоком. В последнем случае
при обратной полярности стокового напряжения возникают
прямые токи подложки.
С целью увеличения рабочих токов и, следовательно, крутизны
в современных приборах широкое применение находит параллель-
ное соединение элементарных ячеек. Такое решение используется,
в частности, в мощных МДП транзисторах.
В пологой области статические характеристики идеального ПТ
любого типа описываются уравнением
/с=М^зиотс-М2/2, (16.20)
где рп т—постоянный коэффициент, зависящий от конструкции
транзистора и свойства материала, из которого транзистор
изготовлен.
Значение Р„.т можно выразить через параметры ПТ. Например,
в случае ПТ с ^-«-переходом и МДП транзисторов со встроенным
каналом Рп.твстр = 27со/^зиотс, гДе /со—ток насыщения стока при
£/зи = 0. В случае использования ПТ с индуцированным каналом
РптИНД = 2/с/(^зипор-^зи)2, где с/зипор—пороговое напряжение ПТ,
соответствующее току стока /с=10 5 А; 1С—ток насыщения
стока, измеренный при входном напряжении U3H = 2U3UBOp.
Дифференцируя (16.20), находим, что крутизна характеристики
тока стока по напряжению на затворе у идеального ПТ является
линейной функцией напряжения Z73H:
So.т = Рп. т ( U3Uотс - с/зи )• (16.21)
Характеристики реального ПТ с р-л-переходом отличаются от
идеализированных из-за несовершенства технологии изготовления,
наличия сопротивлений между рабочей областью транзистора и
внешними выводами стока и истока (называемых смодулирован-
ными сопротивлениями), зависимости подвижности носителей от
потенциалов, прикладываемых к электродам ПТ. У МДП тран-
зисторов дополнительное влияние на характеристики оказывают
поверхностные состояния, эффекты поверхностного рассеивания,
состояние подложки.
В крутой области ПТ ведет себя как сопротивление, управляе-
мое напряжением. Управляя проводимостью канала ПТ, можно
изменять либо коэффициент передачи напряжения аттенюатора,
либо усиления каскада, охваченного регулируемой обратной
375
связью и т. п. При этом к каналу ПТ прикладывается все
напряжение сигнала или его часть, а к участку «затвор—ис-
ток»—управляющее напряжение (в общем случае изменяющееся
по произвольному закону). Регулировка проводимости ПТ может
осуществляться как при наличии постоянной составляющей тока в
цепи канала, так и без нее. В первом случае регулировка
аналогична осуществляемым с помощью ламп и биполярных
транзисторов и сопровождается изменением режима по постоян-
ному току. Важнейшей особенностью ПТ является возможность
регулировки их выходной проводимости при отсутствии постоян-
ной составляющей в цепи канала. В последнем случае точка покоя
выбирается в начале координат. Регуляторы, реализующие такой
режим работы ПТ, имеют ряд достоинств: простую схему,
высокую экономичность (за счет отсутствия цепи питания стока и
потребления ею энергии), а также максимальный диапазон
регулирования.
В крутой области статические характеристики таких ПТ
описываются уравнением
/с = ₽п.т [(С/зиотс- м f/си- ^и/2]. (16.22)
Взяв производную функции (16.3) при £/си“>0, найдем выход-
ную активную проводимость канала:
G=Рп. т (1/зиотс - изи). (16.23)
Таким образом, при малых напряжениях С/си выходная
проводимость канала идеального ПТ линейно зависит от напря-
жения (7ЗИ.
Как указывалось выше, характеристики реального ПТ отли-
чаются от идеализированных. Наиболее близка к идеализирован-
ной характеристика ПТ простой конструкции. У ПТ сложной
конструкции, состоящих из большого количества элементарных
ячеек, существенные отклонения от идеализированной характерис-
тики наблюдается при 1/зи, близких к нулю и напряжению
запирания. В первом случае основной причиной отклонения
является наличие немодулированных сопротивлений стока и
истока, во втором—неидентичность элементарных ячеек прибора
и неоднородности в канале.
В паспортных данных ПТ обычно проводятся данные о
крутизне So, напряжении отсечки £Аи0Тс и токе насыщения стока
1СО в типовом режиме. В случае ПТ с характеристиками передачи,
близкими к квадратичной параболе, достаточно знать только два
из упомянутых параметров, чтобы отыскать третий, используя
соотношение
S0 = 2Ic0/Umorc. (16.24)
Зная значения крутизны ПТ в пологой области, можно
предсказать, какие значения будет иметь проводимость канала в
376
крутой области. Это объясняется следующим образом. Сравнив
выражение (16.21), описывающее зависимость Sn.T идеального
транзистора от С/зи в пологой области с выражением (16.23),
описывающим зависимость проводимости канала G от С/зи в
крутой области, нетрудно заметить, что они идентичны.
Параметры ПТ. Основными параметрами ПТ, приводимыми в
справочных данных, являются: крутизна, внутреннее сопротивле-
ние, коэффициент усиления, ток утечки затвора, междуэлектрод-
ные емкости.
Крутизна передаточной характеристики в типовом режиме
“^п. т = dlQ / dUyfn | = const •
В частности, для ПТ с р-и-переходом в справочниках приводится
значение крутизны при Сси=const и С/зи = 0 и обозначается 50.
Значение крутизны ПТ So можно рассчитать по известным
параметрам: току стока насыщения при £7зи = 0, 1С0 и напряжению
отсечки (7ЗИотс по формуле (16.24). Крутизну ПТ можно опреде-
лить, используя передаточную характеристику или семейство
выходных характеристик. Отечественные ПТ имеют крутизну от
0,15 мА/B (КП101Г) до 510 мА/B (КП904).
Внутреннее (дифференциальное) сопротивление Ri = duCKl
did и = const- Внутреннее сопротивление ПТ в рабочей точке можно
найти, используя семейство выходных характеристик ПТ, по
формуле Rt = Д Uch / Д Ic | v . const •
Следует помнить, что у реальных ПТ значение R{ в пологой
области существенно возрастает при увеличении запирающего
напряжения С/зи (например, порядка 104 Ом при Сзи=0 и бо-
лее 106 Ом при С/зи-> J/зИотс).
Статический коэффициент усиления, показывающий, во сколь-
ко раз изменение напряжения на затворе воздействует эффективнее
на ток стока /с, чем изменение напряжения на стоке
Цп.т
4иси
</«зи
/с = const
At/C
A U3
1С = const
Коэффициент усиления можно определить, используя семейство
выходных характеристик или расчетным путем по формуле
11п.т = 1?Л.т- Типичные значения цп.т—несколько сотен единиц.
Ток утечки затвора. Полевые транзисторы имеют очень малые
токи утечки 73ут (обычно 10-8 ... 10-12 А). Это обусловливает
очень высокие значения входного сопротивления ПТ постоянному
току (более 108 Ом).
Междуэлектродные емкости: проходная Сзс, входная Сзи,
выходная Сея. Емкости ПТ определяют частотные свойства
транзисторов. Особенно сильное влияние на частотные свойства
ПТ оказывает проходная емкость.
Полевой транзистор, как и биполярный, можно представить в
виде эквивалентного четырехполюсника. При работе ПТ с
377
сигналами малых амплитуд такой четырехполюсник можно
считать линейным. Поскольку ПТ, как и электронная лампа,
является прибором, управляемым напряжением, то рационально
использовать систему уравнений с У-параметрами (см. § 9.1). Токи
в этой системе считают функциями напряжений:
А=/1(^зи, ^си); ^с=/г(^зи, ^си)-
Тогда
<Zz3—-2- du3K+—2- ducn;
7й ^си V (16.25)
dic=^du3H+^duCH-,
VUcVl
Yit = 8i3/дизи\и =о=7®(Ссз+Сзи)—входная проводимость;
Y12 = Si3 / д«си I и™=о = —j<оСсз—проводимость обратной пере-
дачи;
Y2i=dic/ дизи\и =0 = S—joCC3—проводимость прямой пере-
дачи; си
X22 = 8iclЗиен |„ =о= l/Ri+j(f)CC3—выходная проводимость.
Заметим, что ^"параметры определяются в режиме короткого
замыкания для переменной составляющей тока на входе (У22
и У12) и на выходе ( У21 и Уп)- Это трудно обеспечить на низких
частотах и легко на высоких частотах.
Особенности реальных ПТ. При изготовлении современных ПТ
широко используется планарная технология. Выводы приборов,
находятся в одной плоскости. При такой конструкции затвор не
перекрывает полностью канал, поэтому имеются немодулирован-
ные сопротивления стока Rc и истока 7?и. С целью улучшения
усилительных свойств и мощности широкое применение находит
параллельное соединение элементарных ячеек (транзистор КП 103
содержит 5 ячеек, КП903 —100).
Транзисторы со структурой МДП нуждаются в элементах
защиты от пробоя статическим электричеством. При хранении и
транспортировке выводы МДП транзисторов, не имеющих встро-
енной защиты, должны быть соединены между собой.
При работе ПТ в режиме усиления следует учитывать конечное
значение выходного сопротивления. Выходное сопротивление
реальных ПТ в пологой области при U3li=0 гораздо меньше, чем
при (7зи -* ^зиотс:
R = ^‘а __^со р
1С‘”'
где RiB—динамическое сопротивление ПТ при С7си=^зиотс и
^зи=0-
Эквивалентные схемы ПТ. Полевые транзисторы, по существу,
являются приборами с распределенными параметрами. Распреде-
378
б)
ленное сопротивление канала возрастает в направлении контакта
стока, а сам канал расположен между двумя распределенными
емкостями «канал—подложка» Скп и «канал—затвор» Сг з.
Управление сопротивлением канала происходит с помощью
распределенного генератора тока (рис. 16.22, а).
На практике используют упрощенные модели, напоминающие
модели электронных ламп. Упрощенная физическая модель ПТ
приведена на рис. 16.22,6. Здесь /?и—сопротивление между рабо-
чей областью транзистора и внешним выводом прибора (назы-
ваемое немодулированным сопротивлением истока). Рассматривая
ПТ как прибор с зависимыми источниками, нетрудно увидеть, что
он близок по свойствам к источнику тока, управляемому
напряжением (ИТУН).
16.8. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ
ТРАНЗИСТОРОВ
Эксплуатационные параметры транзисторов. Транзисторы харак-
теризуются эксплуатационными параметрами, предельные значе-
ния которых указывают на возможности их практического
применения. При работе в качестве усилительных приборов
используются рабочие области характеристик биполярных и
полевых транзисторов, показанные на рис. 16.23 и 16.24 соот-
ветственно.
К основным эксплуатационным параметрам относятся:
Максимально допустимый выходной ток, обозначаемый для
биполярных транзисторов как /ктах- Превышение /к max приводит к
тепловому пробою коллекторного перехода и выходу транзистора
из строя. Для полевых транзисторов этот ток обозначается /Стах.
Он ограничивается максимально допустимой мощностью, рассеи-
ваемой стоком транзистора.
379
Рис. 16.23 Рис. 16.24
Максимально допустимое напряжение между выходными элект-
родами: (7КЭтах ДЛЯ бИПОЛЯрНЫХ ТраНЗИСТОрОВ И С/сит», для
полевых транзисторов. Это напряжение определяется значениями
пробивного напряжения коллекторного перехода биполярных
транзисторов и пробивного напряжения участка «сток—затвор»
полевых транзисторов.
Максимально допустимая мощность, рассеиваемая выходным
электродом транзистора. В биполярном транзисторе это мощ-
ность Рктах, рассеиваемая коллектором и бесполезно расходуемая
на нагревание транзистора. В случае ПТ это мощность РГтят.
рассеиваемая стоком транзистора.
У биполярных транзисторов при недостаточном теплоотводе
разогрев коллекторного перехода приводит к резкому увеличению
1К. Процесс имеет лавинообразный характер и транзистор
необратимо выходит из строя. Влияние температуры на основные
характеристики БТ иллюстрируют рис. 16.25, а, б. Здесь сплош-
ными линиями показаны характеристики, соответствующие нор-
мальной температуре (+20° С), а штриховыми—повышенной
температуре (4-60° С).
380
С ростом температуры входная характеристика сдвигается
влево и уменьшается входное сопротивление БТ. При повы-
шении температуры наблюдается смещение выходных характе-
ристик БТ вверх, как показано на рис. 16.25,6. В этом случае
наблюдается уменьшение выходного сопротивления БТ, что
можно заметить по изменению наклона выходных характеристик.
Особенно сильно зависит от температуры неуправляемый ток
коллектора. Он возрастает примерно вдвое при повышении
температуры на 10° С.
При повышении температуры окружающей среды мощность
Ас шах уменьшается, поэтому БТ нуждаются в схемах температур-
ной стабилизации режима. Полевые транзисторы имеют заметные
преимущества по температурной стабильности при сравнении с
БТ. Следует отметить, что влияние температуры отличается от
наблюдаемого в БТ и проявляется по-разному у ПТ разных
структур. У транзисторов с ^-«-переходом с ростом температуры
уменьшается контактная разность потенциалов UK, что способст-
вует увеличению 1С. Одновременно с повышением температуры
уменьшается подвижность носителей в канале, что способствует
уменьшению /с.
При определенном напряжении С7ЗИ влияние изменения кон-
тактной разности потенциалов и изменения подвижности носи-
телей в канале на 1С оказывается одинаковым. В этом случае у ПТ
с р-и-переходом наблюдается точка температурной стабильности
тока стока. Здесь £73т={73иО1С— (0,5 ... 0,9) В. Указанное свойство
ПТ с р-и-переходом иллюстрирует рис. 16.26. У МДП транзисто-
ров р-и-переход «подложка—канал» оказывает меньшее управ-
ляющее действие на 1С. Под действием температуры меняется (7ЗИ,
изменяются подвижность носителей в канале и концентрация
носителей за счет ионизации поверхностных уровней. Эти явления
обусловливают наличие точек температурной стабильности 1С у
МДП транзисторов: С/Зт= С7ЗИпор4-(0,8 ... 2,4) В. У полевых тран-
зисторов с р-и-переходом наблюдается резкое изменение входной
характеристики при изменении температуры:
Л = Ао [ехР (geU3nl кТ)— 1].
При отрицательных температурах значение /3 очень мало и
практически не меняется. Это объясняется наличием линейного
сопротивления утечки между выводами прибора.
Работа транзисторов с нагрузкой. При работе транзисторов в
качестве усилительных элементов в их выходную цепь включают
нагрузку, а во входную—источник сигнала. Наилучшими усили-
тельными свойствами обладают транзисторы, включенные по
схеме с общим эмиттером (рис. 16.27, а) и общим истоком
(рис. 16.27,6). Режим работы транзистора с нагрузкой называют
динамическим. В таком режиме напряжения и токи на электродах
транзистора непрерывно изменяются.
381
Ьык f
pr
—о
♦
“Вых
Рис. 16.26 Рис. 16.27
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для выходной
цепи как БТ, так и ПТ справедливо уравнение
£4ых=£/п-4ь.хЯн. (16.26)
Уравнение (16.26) получило название уравнения динамического
режима для выходной цепи. На семействах выходных характерис-
тик эти уравнения имеют вид прямых линий, проходящих через
точки с координатами О, U„ и U„/Ra, 0. Эти линии часто называют
динамической характеристикой, или нагрузочной прямой. Проме-
жуточные положения точек на линии нагрузки характеризуют
возможные напряжения и токи в соответствующих цепях транзис-
тора при подаче сигнала (с учетом сопротивления нагрузки).
В случае БТ любому напряжению на входе соответствует
определенный ток базы, которому, в свою очередь, соответствует
определенный выходной ток коллектора и выходное напряжение
«коллектор-эмиттер». Например, если до подачи напряжения
сигнала Uc ко входу транзистора прикладывается постоянное
напряжение £/Бэо, то во входной цепи будет протекать постоянный
ток базы /Б. В этом случае через транзистор будет протекать
выходной ток 1К0, а на выходе транзистора будет напряжение UK0.
0 10 1В0 30 40 1в,мкА 0 0,2 0,4 0,6 0,8и63.в
6) в)
Рис. 16.28
382
Этим токам и напряжению соответствует точка А на рис. 16.28, о,
называемая рабочей.
В каскаде с ПТ (рис. 16.29, а) заданное положение рабочей
точки А задается постоянным напряжением СЛио- Так как к
р-и-переходу транзистора в рассматриваемом режиме приклады-
вается запирающее напряжение, то входной ток чрезвычайно мал
и не оказывает существенного влияния на режим работы схемы.
Важным достоинством каскада на ПТ является высокое входное
сопротивление.
В схеме с БТ сопротивления нагрузки Лн и в цепи ба-
зы /?б существенно влияют на вид входной характеристики,
называемой в этом случае динамической входной характери-
стикой.
Динамическая характеристика как зависимость выходного тока
iK от входного тока % строится по точкам пересечения на-
грузочной линии с выходными характеристиками транзистора
(рис. 16.28,6).
Используя входные характеристики транзистора /Б=/(17Бэ),
нетрудно перестроить динамическую характеристику в координа-
тах /к, иБЭ. Динамическая характеристика как зависимость
тока коллектора /к от входного напряжения иБЭ показана на
рис. 16.28, в.
Обращает на себя внимание худшая линейность характеристики
/к=/(иБэ) по сравнению с характеристикой /к=/('в)> что типично
для БТ.
В каскадах с ПТ имеет смысл только динамическая характе-
ристика как зависимость выходного тока ic от входного напря-
жения изи при сопротивлении нагрузки 7?н. Она строится по
точкам пересечения нагрузочной линии с выходными характерис-
тиками транзистора и изображена на рис. 16.29,6.
Динамическая характеристика ПТ обладает существенно луч-
шей линейностью по сравнению с характеристикой БТ, что
очевидно из рассмотрения рис. 16.28, в и рис. 16.29,6.
383
Рис. 16.30
Усилительные свойства транзисторов. Простейшие схемы уси-
лителей при разных способах включения биполярных и по-
левых транзисторов показаны на рис. 16.30 и 16.31 соответ-
ственно.
Основным показателем усилителей является коэффициент уси-
ления по напряжению ЯИ = А С7ВЫХ/ A Um. В усилителях на БТ
обычно находят также коэффициенты усиления по току Ht и
мощности Нр: А7ВХ; Яр = А7>вых/В низко-
частотных усилителях на ПТ значения Я; и Нр очень велики и их
обычно не рассчитывают.
Усилители на основе ПТ с общим затвором (рис. 16.31, а) не
находят широкого применения. Это объясняется низким входным
сопротивлением схемы по отношению к источнику входного
сигнала.
Усилители на основе ПТ, включенных по схемам с общим
истоком (рис. 16.31,6) и общим стоком (рис. 16.31, в) имеют
чрезвычайно большое входное сопротивление при работе на
постоянном токе и низких частотах. При использовании сопро-
тивлений нагрузки, существенно меньших выходного сопротивле-
ния транзистора, коэффициенты усиления по напряжению для схем
с общим истоком и стоком определяются по формулам: Яио.и =
= 5П ТЛН и Яио.с = 5пт/?н/(1+5п т/?н), где 5П Т—крутизна транзисто-
ра в рабочей точке.
—О
^бых |
Рис. 16.31
384
L
Таблица 16.3
Схема включения н, яв я,
Общая база Д7К 7Т=СХбт Д 7Б Д7К7?Н аб.т^н Д^Э^вх.в ^вх.б «6-тЛ. Т^вх.б
Общий эмиттер Д/к „ Д7б &.IKRa р6.тД, А7БАВХфЭ -^вх.э Pi.,/г, ^вх.э
Общий коллектор Д7Э „ , гг=₽+1 Д 7Б AIjRu . . R **вх. к
При включении транзистора по схеме с общим стоком
усилитель выполняет функции повторителя напряжения и имеет
низкое выходное сопротивление, близкое к значению Квых = 1/5бт.
Основные показатели усилителей на основе БТ сведены в
табл. 16.3.
Усилитель на БТ, включенном по схеме с ОБ (рис. 16.30, а),
имеет низкое входное сопротивление и коэффициент передачи
тока, меньший 1. Наилучшими усилительными свойствами обла-
дают усилители с включением транзисторов по схемам с общим
эмиттером (рис. 16.30,6) и общим истоком (рис. 16.31,6). При
включении БТ по схеме с общим коллектором (рис. 16.30, в)
усилитель работает как повторитель напряжения (Я„-> 1), имеет
высокое входное и низкое выходное сопротивления.
Частотные свойства транзисторов. Качество транзисторов ха-
рактеризуется их способностью усиливать мощность входных
сигналов. На высоких частотах наблюдается уменьшение коэф-
фициента усиления по мощности, обусловленное увеличением
проводимости цепи обратной связи Х12- При этом может
произойти нарушение устойчивости усилителя, если не использо-
вать внешние обратные связи для компенсации влияния прово-
димости У12. Для обеспечения максимального усиления по
мощности реактивные составляющие входной и выходной прово-
димостей должны быть скомпенсированы, а проводимость нагруз-
ки выбрана равной активной проводимости транзистора. Тогда
коэффициенты усиления по току Я{, по напряжению и
мощности Нр определяются выражениями:
и Х21Х, . н = Ibil. гг г21 .
111122-1.’ *' 2Gn’ Y22+I.’
н н - 112112
2G22’ ~р 4GtlG22
Частотная зависимость коэффициента усиления по мощности
определяется зависимостями от частоты прямой проводимости
385
|K2i I, входной Gn и выходной G22 активными проводимостями. I
Вид частотной зависимости Нр показан на рис. 16.32. Максималь- I
ная частота усиления (частота единичного усиления /, по |
мощности) БТ определяется по формуле /j =ч/_/а/(8лЛбСжб). Для 1
определения максимальной частоты усиления необходимо знать 1
предельную частоту передачи тока эмиттера и величину постоян- 1
ной времени коллекторной цепи т1 = 7?бСжб, обычно приводимую в
справочных данных БТ.
При нахождении зависимости коэффициента передачи тран-
зистора от частоты в схеме с общей базой учитывают действие
трех факторов: емкости эмиттерного перехода, времени пролета
через базу и времени пролета через коллекторный переход.
Коэффициент передачи тока эмиттера
а = ------—----------------- (16.27)
— (1+у<о/<от)(1+;ш/а>у)(1+/со/<о,)
где юу=£11б/Сэ—предельная частота инжекции; g116—проводи-
мость эмиттерного перехода; юу=1/тДф—предельная частота
коэффициента переноса (величина, обратная среднему времени
диффузии неосновных носителей заряда через базу тдф); <ок ^2/тк—
предельная частота пролета через коллекторный переход (величи-
на обратно пропорциональна толщине коллекторного перехода Лж
и прямо пропорциональна скорости движения носителей гж).
Из указанных факторов наиболее существенным является
второй, при учете которого
• Здесь величина юа называется предельной частотой коэффициента^
передачи тока эмиттера.
Аналогичным образом определяют j36.T:
Ь.т=-^-. (16.29)
1 +JG)/COP
Величину Юр называют предельной частотой коэффициента пере-
дачи тока базы.
Используя (16.29), можно определить модуль коэффициента
передачи тока базы:
LBI= (16.30)
у/ 1 +<о2/со^
При ю = Юр модуль коэффициента передачи тока базы Ц3| =
= Рб.т/х/2. Частота юр/(2л)=/р согласно ГОСТ обозначается
При анализе импульсных свойств транзисторов используют
переходные характеристики: зависимости коэффициента передачи
386
Рис. 16.32
(16.31)
от времени при подаче на вход импульса прямоугольной формы.
Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером
переходная характеристика описывается формулой
Рб.т0) = ₽б.т[1-ехр(-?/Тр)],
где Тр = тДф/(1-аб.т) = тдф(1 + 0б. _
Хотя на низких частотах ПТ обладают чрезвычайно малой
входной проводимостью, на высоких частотах вследствие влияния
входной емкости пренебрегать влиянием входной проводимости
нельзя. Входная емкость Сзя и смодулированное сопротивление в
цепи истока полевого транзистора R* (см. рис. 16.22,6) образуют
ЛС-цепочку, обусловливающую увеличение активной составляю-
щей входной проводимости на высоких частотах. На частотах в
сотни мегагерц входные активные проводимости ПТ и БТ
становятся соизмеримыми.
Частотная зависимость основных параметров полевого тран-
зистора показана на рис. 16.33. Частотная зависимость парамет-
ров |К21 I и G22 также обусловлена наличием у ПТ междуэлек-
тродных емкостей и немодулированных сопротивлений в цепях
электродов. Причем установлено, что параметр |T2i I» характери-
зующий усилительные свойства ПТ, постоянен вплоть до частот,
несколько меньших предельной, рассчитываемой по формуле
fnpen = Sn т/(2лСзс).
Из сказанного выше следует, что для широкополосных
усилителей целесообразно использовать БТ с высокими значения-
ми fa малым сопротивлением базы R6 и малой проходной
емкостью С6ж, а также ПТ с высокой крутизной Сбж малой
проходной емкостью Sn.T и малым Сзс.
Шумовые свойства усилительных приборов. Собственные шумы
в транзисторах и электронных лампах обусловлены как физически-
ми особенностями их работы, так и их конструкцией и техноло-
гией производства. У транзисторов и электронных ламп шумы
имеют сходную природу и аналогичный спектральный состав. В
отличие от тепловых шумов идеального активного сопротивления,
характеризующихся равномерным распределением энергии шума в
387
полосе частот от нуля до бесконечности, энергия шумов активных
элементов распределяется по частотному диапазону неравномерно.
Кривая спектральной плотности шума любого активного элемента
показана на рис. 16.34. Спектральная плотность характеризует
мощность шума на единицу частоты.
Анализ шумовых свойств усилительных приборов включает
рассмотрение основных составляющих шума: тепловой, дробовой,
избыточной низкочастотной, избыточной высокочастотной.
Среднеквадратическое значение напряжения теплового шума
определяется по формуле Найквиста:
U2=4kTRkf, (16.32)
где R—сопротивление, создающее тепловой шум. Тепловой
шум обусловлен хаотическим тепловым движением носителей
заряда.
Среднеквадратическое значение тока дробового шума опреде-
ляется по формуле Шотки i2ap = 2ql^f, где I—ток, дискретная
структура которого является причиной шума; А/—полоса частот,
в которой рассчитывается шум.
Тепловой и дробовой шумы имеют равномерный и непрерыв-
ный частотный спектр (так называемый «белый» шум). На
рис. 16.34 «белому» шуму соответствует участок, на котором
среднеквадратические значения частотных составляющих напря-
жения шума равны между собой.
Избыточные низкочастотные шумы транзисторов обусловлены
процессами генерации и рекомбинации носителей, а также зависят
от состояния поверхности полупроводника. В электронных лампах
такие шумы возникают из-за неравномерного испускания электро-
нов катодом на низких частотах—эффекта мерцания катода (так
называемого фликкер-эффекта).
Избыточные низкочастотные шумы существенно зависят от
конструкции и технологии изготовления усилительных приборов и
не поддаются точному расчету. На практике этот вид шумов
учитывают, вводя в выражение для теплового шума (16.32) член,
пропорциональный 1//“:
где /н.изб—нижняя гранич-
ная частота избыточных шумов (см. рис. 16.34).
Нижняя граничная частота избыточных шумов у БТ, ПТ с
р-п-переходом и с барьером Шотки, а также электронных ламп
лежит в области от сотен герц до единиц килогерц, а у МДП
транзисторов часто доходит до десятков килогерц (что объясняет-
ся их особым принципом управления).
Избыточные высокочастотные шумы обусловлены падением
крутизны ламп и ПТ, коэффициента усиления по току БТ на этих
частотах, а также прохождением шумов с выхода во входные цепи
через проходные емкости приборов. Избыточные высокочастотные
шумы сильно зависят от типа транзистора или лампы. У
388
Рис. 16.36
[к
Рис. 16.35
высокочастотных приборов верхняя граничная частота избыточ-
ных шумов Дизб -(см.'рис. 16.34) лежит в области десятков или
сотен мегагерц.
Эквивалентные схемы БТ и ПТ с учетом источников собствен-
ных шумов приведены на рис. 16.35, а и б соответственно. В
них источники тепловых шумов представлены генераторами
напряжения. Тепловые шумы обусловлены наличием как у БТ, так
и у ПТ объемных сопротивлений в цепях электродов (R6, R3,
RK—у биполярного транзистора, R3, Ra и Rc—у полевого
транзистора).
Наличие у транзисторов входных и выходных токов приводит
к возникновению дробовых шумов, учтенных в приведенных
схемах генераторами шумовых токов (базы ^/Гбэ, х/^бк и
эмиттера у/7эк—у биполярных транзисторов; затвора стока
\/Тс—у полевых транзисторов).
389
Таблица 16.4
Тип прибора
Сопротивление генератора
шумового напряжения Rm н
шумового тока Rm т
Биполярный
транзистор
Полевой
транзистор
Электронная
лампа
Rt+l/(2S6.r)
‘Sn.T
^э.л/§э.л
2ро.э/5в.л
кТ1(1м-де)
кТ
/с0?еехр[^1/сж/(АТк)]*
* ТК температура катода
Эквивалентная схема электронной лампы с источником шумов
аналогична схеме ПТ.
В инженерной практике шумовые свойства усилительных
приборов удобно характеризовать, используя модель, приведен-
ную на рис. 16.36, и только два шумовых параметра: сопротивле-
ние генератора шумового напряжения 7?ш н и сопротивление
генератора шумового тока 7?шт. Принимается, что эти сопротив-
ления подключаются ко входу идеального нешумящего усилитель-
ного прибора и имитируют шумы реального прибора.
Выражения для определения указанных шумовых параметров,
без учета избыточных шумов, сведены в табл. 16.4.
Качество электронного прибора с точки зрения собственных
шумов будет тем лучше, чем меньше сопротивление 7?ш.н и больше
Сопротивление /?ш.н у полевых транзисторов и электронных
ламп существенно зависит от типа и особенностей конструкции,
что учитывается коэффициентами Лпт и Лэ.л. В частности, для ПТ
с р-л-переходом Лп.т«1, для МДП транзисторов Лп.т = 2 ... 4; для
ламповых триодов Яэ.л = 2,4, а для многосеточных ламп Лэ.л
существенно больше. Малые значения н достигаются у прибо-
ров с высокими значениями крутизны S в рабочей точке. При
одинаковых геометрических размерах наибольшими значениями S
обладают БТ.
Сопротивление Лшт обратно пропорционально входному току
усилительного прибора. Если сравнивать по этому параметру
усилительные приборы, то выявляются преимущества ПТ, имею-
щих чрезвычайно малые входные токи.
Уровень шумов в любом усилительном каскаде можно оценить
коэффициентом шума Кш, который в общем случае определяется
отношением полной мощности шумов в нагрузке к той части
полной мощности, которая обусловлена тепловыми шумами
сопротивления источника сигнала Лг. Из этого определения
следует, что для идеального «нешумящего» усилительного каскада
390
Рис. 16.37 Рис. 16.38
А^ш=1, поскольку в данном случае шумы обусловлены только
сопротивлением источника сигнала.
Коэффициент шума нетрудно определить, зная шумовые
параметры Лш.„ и 7?ш т по формуле
Хш=1+Лш.н/Лг + /?г/Лш.т. (16.33)
Наименьшими шумами будет обладать каскад, работающий
при оптимальном сопротивлении источника сигнала.
Представляет интерес определение минимального коэффициен-
та шума Kmml„=l+2Rm^/R^. Зависимость Km=f{RI/Ягопт) при-
ведена на рис. 16.37. При использовании ПТ и ламп отношение
1?ш.т/^ш.н обычно превышает 104. Следовательно, они могут
обеспечивать очень низкие значения Кш при источниках сигнала,
имеющих внутреннее сопротивление RT, значительно отличаю-
щееся от оптимального RT.om. При использовании БТ отношение
^ш.т/^ш.н обычно существенно меньше, поэтому малые значения
Кт здесь достигаются при соответствующем выборе режима
работы и сопротивлении источника сигнала, близком к опти-
мальному.
Цифровые ключи на транзисторах. В цифровой технике широко
распространены логические элементы на основе ключей, у которых
управляющие и коммутируемые сигналы имеют форму двоичных
импульсов. В установившемся режиме сигналы на входе и выходе
цифровых ключей принимают лишь два дискретных значения,
условно обозначаемых логическим «О» и «1». Если в ключе
логическому «О» соответствует низкий уровень напряжения, а
логической «1»—высокий уровень напряжения, то такой элемент
относят к положительной логике.
Качество цифрового ключа определяется следующими основ-
ными параметрами: падением напряжения на ключе в замкнутом
состоянии, скоростью переключения ключа из одного состояния в
391
Рис. 16.40
другое, мощностью потребляемой цепью управления ключа.
Рассмотрим работу БТ и ПТ в режиме ключа цифровых сигналов.
Простейшая схема ключа на БТ транзисторе изображена на
рис. 16.38, а процессы, происходящие в ключе, иллюстрирует
рис. 16.39.
На участке 0 — ti (рис. 16.39, а) оба перехода закрыты, и
транзистор находится в режиме отсечки. В цепи базы (см.
рис. 16.39, в) протекает небольшой дрейфовый ток неосновных
носителей, обусловленный источниками Un и С/БЭ: 7б = 7э+Лс-
Этому режиму соответствует точка А на рис. 16.40. Транзистор
находится в закрытом состоянии. Коллекторный ток, как видно из
рис. 16.39, г, мал и равен тепловому току закрытого коллекторно-
го перехода 7КО. Напряжение на выходе ключа близко к
напряжению источника питания Un, а сопротивление транзистора
постоянному току велико: UJ/ко-
На участке —t2 ко входу транзистора прикладывается
импульс положительной полярности, приводящей к переключению
в открытое состояние как эмиттерный, так и коллекторный
переходы. Поясним процесс переключения. В момент рабочая
точка находилась в точке А (см. рис. 16.40), а затем стала
перемещаться по нагрузочной прямой в направлении точки В. К
эмиттерному переходу прикладывается отпирающее напряжение,
и, если сопротивление в цепи базы R6 мало, он быстро пере-
ходит в открытое состояние (зависимость i3=f(t) показана на
рис. 16.39, в). В эмиттерном переходе преобладает диффузия
392
электронов в базу. Происходит частичная рекомбинация электро-
нов, но основная их часть поступает к коллекторному переходу и
за счет экстрации достигает коллектора. Сопротивление тран-
зистора резко уменьшается, а ток коллектора 1к^1к«лс-
Вследствие падения напряжения на нагрузке R„ понижается
напряжение коллектора, а следовательно, уменьшаются толщина
коллекторного перехода и заряд в нем. Происходит разряд
емкости коллекторного перехода.
В точке В (см. рис. 16.40) транзистор переходит в режим
насыщения. При этом наблюдается инжекция электронов из
коллектора в базу. Коллекторный переход переходит в открытое
состояние. В базе наблюдается рекомбинация электронов с
дырками. Концентрация дырок в базе невелика, по сравнению с
концентрацией поступающих в базу электронов. Поэтому в базе
происходит накопление неосновных носителей—электронов. На
участке —12 ток базы равен разности токов эмиттера и
коллектора: zB = i3 —zK. Коллекторный переход начинает участво-
вать в процессе переключения с некоторой задержкой t3 (см.
рис. 16.39), определяемой временем пролета носителей через базу.
Время нарастания выходного тока zK определяет длительность
фронта /ф (см. рис. 16.39, г) и зависит от скоростей разряда
коллекторной емкости и накопления неравновесного заряда в базе.
Полное время включения транзистора характеризует время пере-
хода из состояния логического «0» в состояние логической «1» и
состоит из времени задержки и длительности фронта:
/01 = '3 + 'ф- (16.34)
Как видно из рис. 16.40, транзистор перешел в режим
насыщения при токе базы, равном 7Б4. Дальнейшее увеличение
тока базы до значения 7Б5 уже не приводит к заметному
увеличению выходного тока zK; при этом лишь увеличивается
степень насыщения транзистора и величина неравновесного заряда
в базе.
Режим насыщения соответствует замкнутому состоянию тран-
зистора. В этом случае транзистор имеет минимальное сопро-
тивление постоянному току Л0Т1р, равное сопротивлению двух р-п-
переходов, включенных в прямом направлении Ro„p= иКнлс/1Княс,
где UK наС—остаточное напряжение на транзисторе в замкнутом
состоянии.
На участке t2— G прекращается действие входного импульса
положительной полярности, однако транзистор не сразу возвра-
щается в исходное состояние. На участке tp происходит рассасы-
вание неравновесного заряда в базе. На первом этапе выключения
концентрация носителей заряда у коллекторного перехода остается
практически неизменной и, следовательно, он сохраняет прямое
смещение. Рассасывание происходит за счет ускоряющего поля
эмиттерного перехода и рекомбинации носителей в базовой и
393
коллекторной областях. Только после определенного уменьшения
концентраций неосновных носителей в базе транзистор переходит
в активный режим, и рабочая точка из положения В перемещается
по нагрузочной линии в направлении точки А.
При переходе транзистора в активный режим происходит
окончательное рассасывание неравновесного заряда через коллек-
торный переход. Выходная емкость транзистора заряжается, а ток
коллектора уменьшается по экспоненциальному закону и после
определенного времени, называемого временем спада tc (см.
рис. 16.39, г), принимает исходное значение 1К0.
Время перехода транзистора из состояния «1» в «О» равно
сумме времени рассасывания tp и длительности спада tc:
tl0 = tp+tc. В цифровых устройствах принято использовать понятие
среднего времени задержки сигнала при прохождении через ключ:
/зср = (г01+ /10)/2. Очевидно, для реализации высокого быстродей-
ствия в качестве ключевых транзисторов необходимо использовать
специальные транзисторы: с малыми междуэлектродными емко-
стями; малой толщиной базы и, следовательно, малым сопротив-
лением базовой области; неравномерным распределением примесей в
базе с целью создания дополнительного ускоряющего поля для
неосновных носителей.
Следует отметить, что в разомкнутом и замкнутом состояниях
ключи на биполярных транзисторах обладают высокими показате-
лями, близкими к идеальным (см. § 7.1). Разброс параметров транзи-
сторов и их изменение от дестабилизирующих факторов (особенно
температуры) влияют на работу транзисторов в ключевом режиме
значительно меньше, чем в активном режиме. Это связано с тем, что в
режиме насыщения положение рабочей точки В практически не
меняется при изменении входных токов в больших пределах.
Количественный ‘анализ переходных процессов в ключе проведем методом
заряда. В режиме насыщения в базе накапливается избыточный заряд неосновных
неравновесных
W ж ТН ж
носителей ?Я^ = /Бтя-—/Кис,
Рб.т
где тн—время жизни неосновных
неравновесных носителей заряда (и-типа для транзисторов со структурой п-р-п). На
семействе выходных характеристик (см. рис. 16.40) режиму насыщения соответ-
ствует участок ОВ, где ток коллектора не зависит от тока базы. Так как
напряжения (7Кнас, £7КБ, иБЭ в режиме насыщения малы, то все три электрода
насыщенного транзистора можно считать короткозамкнутыми и представлять
транзистор единой эквипотенциальной точкой.
В основе метода заряда лежит принцип нейтральности базы. При отсутствии
электрического поля (Е=0) уравнение (16.5) принимает вид
Р-Ро п д2р
St тя + pdx2'
Перемножив правые и левые части уравнения (16.5) на qeS и проинтегрировав в
пределах от 0 до АГ=АГИЮХ, получим уравнение заряда базы
394
</?/<й=-?/т„+1в. (16.35)
Запишем уравнение (16.35) в виде dql(xKit—q)=dtl‘tK. После интегрирования
дифференциального уравнения находим зависимость заряда неосновных неравно-
весных носителей в базе от времени, предполагая, что при г=0, <? = <?(()):
Я W=Vb - [тв «в - Я (о)] ехр (- г/тн).
Из последнего выражения найдем
,_т lnVs-?(0)
В момент подачи отпирающего импульса тока базы /Б = Д7Б1:
?(г)=тяД/Б1 [1 - ехр (-?/тя)].
Для активной области с учетом (16.14) и (16.31) имеем:
*К(0 — Рб.т (0 = ^Б1 Рб.т [ 1 ~ехР (“ ^/Тб т)]-
Сравнивая выражения (16.37) и (16.38), получаем
(16.36)
(16.37)
(16.38)
Я^—iM-
Рб.т
Отсюда следует, что в активной области характеристик временные изменения
заряда неравновесных носителей в базе пропорциональны изменениям тока
коллектора.
Если Рб.-Д41<Лсн«с> то время нарастания тока коллектора до установившегося
значения составляет гф»(3.. .5)тбт. Если 0бтД7Б1 >7Кнас, то максимальный ток
коллектора ограничивается значением 7Кнас. Время нарастания тока коллектора до
уровня 0,97Кнас определяется из уравнений (16.34) и (16.37). Подставив в них
значения t=/ф/к(<ф)=0,9/Кн11С, <?(())=О, /Б=Д/Б1, получим
/ =т In А/В1Рб,т
ф 61
Очевидно, время нарастания тем меньше, чем меньше тб т и 7Кнас, а также чем
больше Д7Б1 и рбт. В режиме насыщения в базе и коллекторной области
накапливаются избыточные заряды неосновных носителей в течение времени
fHaK = (3. • .5)ти, где ти — постоянная времени коэффициента передачи тока базы при
инверсном включении. При этом в базе накапливается заряд ^(^н)=тиД7Б1. После
окончания входного насыщающего импульса тока базы Д7Б1 длительностью
И подачи запирающего импульса ток коллектора начинает изменяться
через некоторое время, необходимое для рассасывания избыточного заряда. Время
рассасывания tp определяется как интервал между моментом подачи на базу
насыщенного транзистора запирающего импульса и моментом, когда напряжение
на коллекторе достигает уровня О,ШП. Рассасывание неравновесных носителей
производится в основном за счет поверхностной и объемной рекомбинаций. Ток
базы при этом может значительно превышать свое значение в режиме отсечки.
Подставляя в выражение (16.36) ?(0)=?(,я)=т„Д/Б1; ;Б=Л/Е2; Z=Zp; “
Рб.т
395
считая тр~ти; 7и»ти, находим формулу для приближенной оценки времени
рассасывания:
t — т A^E1~A^E2
^р 1П . _
^Кнас/Рб.т“^Б2
(16.39)
Время рассасывания тем меньше, чем меньше степень насыщения и больше
амплитуда запирающего импульса, а также чем меньше сопротивление внешней
цепи, через которую происходит рассасывание.
Формула (16.39) справедлива для нормального рассасывания, т. е. когда
плотность носителей у коллекторного перехода достигает равновесного значения
раньше, чем у эмиттерного. Коллекторный ток начинает спадать с момента выхода
транзистора из насыщения. Время спада tc тока коллектора от уровня 7Кнас до
уровня 0,17Кнас под воздействием изменения тока базы Д7Б2 определяется из
соотношений, описывающих работу транзистора в активной области характе-
ристики. При ?2(0)=^7Кнас; 1Ъ=МЪ2', 1=‘с и g{tc)=^0,HKmc получаем
* 1 Рб т^^Б2 Лснас
с" 61 р6.тД42-0,17К1Ис
(16.40)
При оценке времени нарастания и спада следует учитывать влияние паразитной
емкости коллектора, соответствующим образом увеличив т6г (на величину
РбтЛкСг). Современные дрейфовые транзисторы позволяют получить времена
нарастания и спада порядка единиц наносекунд.
Простейший ключ на основе ПТ изображен на рис. 16.41, а.
В качестве ключевого элемента используется МДП ПТ с
индуцированным каналом p-типа. Такой ключ имеет очевидные
преимущества перед рассмотренным выше ключом на БТ: нет
необходимости в источнике запирающего напряжения на входе
транзистора; ключ потребляет крайне малую мощность от источника
управляющего сигнала, так как транзистор обладает входным
сопротивлением; полярность управляющего напряжения такая же,
как и полярность коммутируемого напряжения, что позволяет
осуществлять гальваническое соединение нескольких однотипных
ключей между собой. Принцип действия любого ключа на основе ПТ
основан на использовании основных носителей заряда. Поэтому в
этих ключах нет явлений, связанных с накоплением и рассасыванием
неосновных носителей заряда. Здесь переходные процессы обусловле-
ны лишь наличием у транзисторов междуэлектродных емкостей, как
и в случае электронных ламп.
Явления, происходящие в цифровом ключе на МДП ПТ,
иллюстрируют рис. 16,42, а и 16.43. Анализ динамических свойств
ключа удобно провести с использованием модели, приведенной на
рис. 16.42,6.
Процесс включения. В исходном состоянии (£7г=0) емкость,
образованная параллельным соединением выходной емкости Сел,
емкости монтажа Сы и емкости нагрузки Сн, заряжена до
396
напряжения Ua. При подаче управляющего напряжения (UT =
= ^зи>^зипоР) транзистор открывается и через его канал происхо-
дит разряд выходной емкости.
Процесс включения транзистора иллюстрирует рис. 16.43—ра-
бочая точка из положения А переходит в положение В, характеризуе-
мое параметрами U3]/[B, ICB, UCiAB. Этот процесс состоит из трех эта-
пов. На первом этапе формируется проводящий канал. Время форми-
рования канала называется временем задержки и зависит от сопро-
тивления источника управляющего напряжения RT и эквивалент-
ной входной емкости ключа Сзиэ (она больше междуэлектродной
емкости транзистора Сэи за счет влияния емкости монтажа См,
проходной Сэс и эквивалентной выходной Сси емкостей). Это
время зависит также от амплитуды управляющего напряжения и
значения порогового напряжения транзистора (7эипор:
. ^звэ ^ЗИпор_^зиэ ^ЗИпор п
397
Если ключ управляется идеальным источником напряжения
(Лг->0), то временем задержки можно пренебречь.
В начале второго этапа рабочая точка скачком переходит из
положения А в положение Это объясняется тем, что выходное
напряжение ивых не может мгновенно уменьшиться из-за влияния
емкости Ссиэ, для разряда которой требуется определенное время.
По мере разряда емкости Ссиэ через открытый канал током zp
рабочая точка перемещается из положения в положение А2.
Как показано в § 16.7, при работе ПТ в пологой области
идеализированная ВАХ описывается уравнением (16.20), которое
(перейдя к мгновенным значениям напряжений и тока) можно
записать в виде
zc = *р=(мзи ~ ^зи пор)2 •
В этом случае справедливо соотношение = Ссиэ^т2. Определяя
р at
емкость Сси при низкоомном R, следует учесть проходную
емкость Сзс.
Переходя в формуле к конечным приращениям и учитывая
начальные условия (Z=0, иси=-17п; t=tt, иси= -(изив-иЗИтр),
определяем время нахождения транзистора в пологой об-
ласти:
(16.41)
£ __ Сси э [ — ( ^ЗИ ~ ^ЗИ пор)]
Рп.т ( ^ЗИ ~ ^ЗИ пор)2
С учетом взаимосвязи параметров ПТ, отмеченной в § 16.7,
Рп.т = 5п,т/(С/3и-^ипор). (16.42)
Подставляя (16.42) в (16.41), определяем время второго этапа:
_ 2Ссиэ f__Сп _____ Л
•^п.т \СЗИ—С7ЗИпор J
На третьем этапе транзистор работает в крутой (омической)
области характеристик. Рабочая точка перемещается за время t2 из
положения А 2 в положение В. На этом этапе транзистор
представляет собой омическое сопротивление Л1ОткР= ^сив/ 1св-
Значение тока стока в точке В можно найти из уравнения (16.22),
представленного в виде /с = 2₽п.т[(^зив-с/зипор)С/сив-с/сив/2]-
Время t2 может быть оценено с помощью известного соотношения
для элементарной ЛС-цепочки: /2%2,3/?;отгрСсиэ. Полное время
включения транзистора ^ = ^+<14-^.
Из рассмотренного следует, что для уменьшения времени
включения необходимо выбирать транзисторы с большими значе-
ниями крутизны £вл. и малыми пороговыми напряжениями.
398
Процесс выключения. Здесь можно выделить два этапа, сначала
при уменьшении входного напряжения ниже порогового значения
I/зипор рабочая точка переходит из положения В в положение Bv
Время перехода зависит от эквивалентной входной емкости
транзистора Стэ и сопротивления источника сигнала RT. При
малых значениях RT время данного этапа пренебрежимо мало.
Затем происходит заряд емкости Сеяз через резистор нагрузки Rc
от источника Un. На этом этапе ключ моделируется элементарной
ЛС-цепью. Следовательно, время выключения можно определить
по известной формуле /выкл~2,3^сСсиз.
Время выключения рассмотренного ключа обычно существенно
больше времени включения, так как сопротивление Rc обычно
велико (7?с» 7?1откр). В практических случаях следует учитывать,
что быстродействие ключа существенно зависит от элементов
управляющей цепи. В частности, при высокоомном сопротивлении
источника сигнала цепи затвора ключ будет иметь время
включения и выключения, в основном зависящее от сопротивления
и эквивалентной емкости цепи затвора С' 4гл = <выгл«2,3т =
X DRJ1 UuilAJJL J Л
= 2,3C№3R3.
Таким образом, высокого быстродействия ключей на полевых
транзисторах можно добиться при использовании низкоомных
источников напряжения сигнала, а также транзисторов с малыми
междуэлектродными емкостями, малыми сопротивлениями канала
в открытом состоянии и при работе на низкоомные нагрузки.
Однако следует иметь в виду, что уменьшение сопротивления
нагрузки сопровождается ростом остаточного напряжения С7СИост,
что нежелательно, так как приводит к уменьшению логического
перепада уровней и снижению помехоустойчивости ключа.
Избежать указанных недостатков удается, если заменить
сопротивление нагрузки МДП транзистором с индуцированным
каналом n-типа, включив его, как показано на рис. 16.41,6. Такой
ключ, использующий транзисторы с разными типами проводи-
мости. каналов, получил название ключа на комплементарных
транзисторах.
Принцип работы ключа заключается в следующем. При
отсутствии управляющего напряжения на входе (С73и = О) тран-
зистор VT2 закрыт и, следовательно, выходное напряжение
С/ВЫХ«{7П, так как это напряжение прикладывается ко входу
транзистора VTt и поддерживает его в открытом состоянии. Ток,
потребляемый ключом, крайне мал, так как практически опреде-
ляется сопротивлением утечки открытого канала транзистора VT2-
При подаче на вход ключа управляющего напряжения
Um = — U„ транзистор ¥7\ закрывается, a VT2 открывается. Это
приводит к уменьшению выходного напряжения (17вых = 0). Ток,
потребляемый ключом в этом случае, крайне мал, так как
определяется током утечки закрытого канала транзистора VTt.
Таким образом, рассматриваемый ключ отличается высокой
399
экономичностью: мощность потребляется только во время пере-
ключения и возрастает с частотой переключения. Заряд и разряд
емкости Сн в таком ключе происходит через сопротивления
каналов транзисторов, находящихся в открытом состоянии.
Следовательно, ключ обладает повышенным быстродействием.
Следует отметить, что при одинаковых геометрических разме-
рах ключи на полевых транзисторах имеют существенно большие
сопротивления в открытом состоянии (Л(отжр« 1/50, где 50 —
справочное значение крутизны ПТ).
Получить малые /?;отжр удается, если применить мощные ПТ, в
которых используются либо параллельное соединение большого
числа элементарных ячеек, либо конструкция специального типа с
коротким каналом. В частности, высокими коммутационными
свойствами обладают мощные ПТ серий КП901.. .КП913, способ-
ные коммутировать большие токи и обладающие высоким
быстродействием. В этих приборах достигнуты высокие отноше-
ния параметров + что позволило реализовать
ключевые параметры, превосходящие параметры ключей, выпол-
ненных как на основе электронных ламп, так и на основе
биполярных транзисторов. Например, ПТ типа КП907 переклю-
чает ток 2А за время 10~9 с.
Аналоговые ключи на транзисторах. В отличие от цифровых
ключей аналоговые коммутируют сигналы с неограниченным
множеством значений напряжений и токов. Такие ключи широко
используются для коммутации телефонных, радиовещательных и
телевизионных сигналов. К аналоговым ключам предъявляются
такие же требования, как и к цифровым ключам: малое
сопротивление в открытом и большое сопротивление в закрытом
состояниях, малое время включения и выключения, небольшая
потребляемая цепями управления мощность. Кроме указанных, к
аналоговым ключам предъявляются жесткие требования по
вносимым нелинейным, частотным и фазовым искажениям, а
также динамическому диапазону коммутируемых сигналов.
В принципе, в качестве ключевых элементов аналогового ключа
можно использовать любой элемент, способный работать в
режиме управляемого сопротивления. Однако лучшим образом
удовлетворяет перечисленным выше требованиям аналоговые
ключи на основе ПТ.
Рассмотрим принцип действия и особенности простейшего
аналогового ключа на ПТ, изображенного на рис. 16.44, а.
В отличие от электронных ламп, ПТ может работать при
любой полярности выходного напряжения. При этом в аналого-
вом ключе на ПТ отпадает необходимость в источнике постоян-
ного напряжения в выходной цепи и, следовательно, существенно
упрощается схема ключа и снижается потребляемая мощность.
Работа ключа (рис. 16.44,6) происходит при нулевом постоян-
ном напряжении на участке «сток—исток» ((7си=0). Если при
400
Рис. 16.44
этом управляющее напряжение цепи затвора равно нулю (С7упр = 0),
выходная цепь транзистора представляет собой малое омическое
сопротивление, и коммутируемое напряжение Um с малым
ослаблением поступает в нагрузку. Коэффициент передачи по
напряжению в открытом состоянии Ни0 = Лн/(/?н +/?10ткр +/?г).
Для перевода ключа в выключенное состояние ко входу
транзистора следует приложить запирающее напряжение, превы-
шающее сумму напряжения отсечки и входного напряжения
сигнала Цю. При подаче запирающего напряжения уменьшается
наклон выходных характеристик ПТ в омической области и,
следовательно, увеличивается выходное сопротивление. В выклю-
ченном состоянии выходная цепь представляет очень большое
сопротивление /?Ьакр, обычно превышающее 107 Ом, шунтирован-
ное емкостями Сси и См.
Коэффициент передачи напряжения ключа в выключенном
состоянии мал и может быть рассчитан по формуле
_________
Ля+1/[/<о(Сси + См)] + Лг •
Важнейшим показателем аналогового ключа является переход-
ное затухание Лп. Оно показывает, во сколько раз коэффициент
передачи ключа во включенном состоянии больше коэффициента
передачи ключа в выключенном состоянии:
д _ И ио _ ^а + l/E/MfCg, + См)] + /?г
~П Sa.3 Ла + Л(от«р+Лг
Учитывая, что в диапазоне низких частот 1/[/со(Сси + См)] »/?н +
+ ЛГ, последнее выражение можно упростить и записать в виде
----------Ц-7--------(16.43)
-п (Ла+Л(эт,1,+Яг)ХСсн+Сн) v 7
401
Интересно отметить, что при использовании в аналоговом
ключе (ПТ) с управляющим переходом удается реализовать
большие значения Ап, чем в случае использования МДП тран-
зистора. Это объясняется уменьшением емкости Сси при подаче к
р-и-переходу «затвор—канал» запирающего напряжения. Эффект
аналогичен наблюдаемому в варикапе.
Верхняя рабочая частота коммутируемого сигнала ограничена
междуэлектродными емкостями и емкостями монтажа. В первом
приближении при рассмотрении частотных свойств ключа учиты-
вают проходную емкость ключа Спрох = Сси4-См.
Другим важным показателем аналогового ключа являются
вносимые им нелинейные искажения. При использовании мало-
мощных транзисторов в состоянии «Включено» (Сзи = 0) выходная
характеристика аппроксимируется выражением (16.22). Предполо-
жим, что в состоянии «Включено» к каналу ПТ приложено
напряжение
Wen = sin О/. (16.44)
Подставляя (16.44) в (16.22), найдем мгновенное значение
выходного тока:
ic = Рп.т ^зи отс sin Qt - i (1 - cos 2Q/). (16.45)
Из выражения (16.45) следует, что выходной ток ПТ помимо
основной содержит вторую гармонику.
Используя (16.45) и учитывая, что в состоянии «Включено»
к каналу ПТ приложена лишь малая часть входного напря-
жения (иси = мвх(1— #«<>)), определим коэффициент гармоник как
отношение амплитуд второй гармоники к основной: Кт =
= Свх(1 — Яио)/(4СЗИотс). Очевидно, для обеспечения малых нелиней-
ных искажений сигнала необходимо использовать ПТ с малым
сопротивлением канала в открытом состоянии и высокими
значениями напряжения отсечки. Как видно, нелинейные искаже-
ния ключа уменьшаются с ростом Нио, обусловленным увеличени-
ем сопротивления нагрузки. Однако нужно учитывать, что увели-
чение сопротивления нагрузки сопровождается снижением переход-
ного затухания ключа Ап, что следует из выражения (16.43).
Время включения и выключения ключа зависит от значений
емкостей Сзя и Сзе и сопротивления R3 в цепи затвора транзистора.
Уменьшение его обеспечивается за счет использования низкоом-
ных источников управляющих сигналов и транзисторов с малыми
междуэлектродными емкостями.
16.9. ТИРИСТОРЫ
Тиристором называется электропреобразовательный полупро-
водниковый прибор с тремя или более р-п-переходами, используе-
402
Таблица 16.5
Наименование
Тиристор диодный,
запираемый в обратном
направлении
Тиристор диодный,
проводящий в обратном
направлении
Тиристор диодный
симметричный
Тиристор триодный,
запираемый в обратном
направлении, с управлением:
по аноду
по катоду
Тиристор триодный,
запираемый в обратном
направлении, с управлением:
по аноду
по катоду
Тиристор триодный,
проводящий в обратном
направлении, с управлением:
по аноду
по катоду
Тиристор триодный
симметричный
Обозначения
403
мый для переключения, в вольт-амперной характеристике кото-
рого имеется участок отрицательного дифференциального сопро-
тивления.
Классификация, обозначения и типовые ВАХ тиристоров
приведены в табл. 16.5.
Простейшим тиристором является динистор—неуправляемый
переключающий диод, представляющий собой четырехслойную |
структуру типа р-п-р-п (рис. 16.45, о). Здесь, как и у других типов «
тиристоров, крайние ^-«-переходы называются эмиттерными, а
средний р-п-переход—коллекторным. Внутренние области струк-
туры, лежащие между переходами, называются базами. Электрод,
обеспечивающий электрическую связь с внешней «-областью,
называется катодом, а с внешней р-областью—анодом.
При включении динистора по схеме, приведенной на
рис. 16.45, а, коллекторный р-п-переход закрыт, а эмиттерные
переходы открыты. Сопротивления открытых переходов малы,
поэтому почти все напряжение источника питания приложено к
коллекторному переходу, имеющему высокое сопротивление.
В этом случае через тиристор протекает малый ток (участок 1 на
рис. 16.45, о).
Если увеличивать напряжение источника питания, ток тиристо-
ра увеличивается незначительно, пока это напряжение не прибли-
зится к некоторому критическому значению, равному напряжению
включения С/вжл. При напряжении Umsj в динисторе создаются
условия для лавинного размножения носителей заряда в области
коллекторного перехода. Происходит обратимый электрический
пробой коллекторного перехода (участок 2 на рис. 16.45,6). В
«-области коллекторного перехода образуется избыточная кон-
центрация электронов, а в ^-области—избыточная концентрация
дырок. С увеличением этих концентраций снижаются потенциаль-
ные барьеры всех переходов динистора. Возрастает инжекция
носителей через эмиттерные переходы. Процесс носит лавинооб-
разный характер и сопровождается переключением коллекторного
перехода в открытое состояние. Рост тока происходит одновре-
менно с уменьшением сопротивлений всех областей прибора.
Поэтому увеличение тока через прибор сопровождается уменьше-
нием напряжения между анодом и катодом. На ВАХ этот участок
обозначен цифрой 3. Здесь прибор обладает отрицательным
дифференциальным сопротивлением. Напряжение на резисторе
возрастает и происходит переключение динистора.
После перехода коллекторного перехода в открытое состояние
ВАХ имеет вид, соответствующий прямой ветви диода (участок 4).
После переключения напряжение на динисторе снижается до 1 В.
Если и дальше увеличивать напряжение источника питания или
уменьшать сопротивление резистора R, то будет наблюдаться
рост выходного тока, как в обычной схеме с диодом при прямом
включении.
404
НатоЗ
Рис. 16.45
КатоВ
АноВ
При уменьшении напряжения источника питания восстанавли-
вается высокое сопротивление коллекторного перехода. Время
восстановления сопротивления этого перехода может составлять
десятки микросекунд.
Напряжение С7ВЖЛ, при котором начинается лавинообразное
нарастание тока, может быть снижено введением неосновных
носителей заряда в любой из слоев, прилегающих к коллектор-
ному переходу. Дополнительные носители заряда вводятся в
тиристоре вспомогательным электродом, питаемым от независи-
мого источника управляющего напряжения ((7^). Тиристор со
вспомогательным управляющим электродом называется триод-
ным, или тринисторным. Схема включения тринистора показана
на рис. 16.46. Возможность снижения напряжения С/вжл при росте
тока управления, показывает семейство ВАХ, изображенных в
табл. 16.5.
Если к тиристору приложить напряжение питания, противопо-
ложной полярности (рис. 16.46), то эмиттерные переходы окажутся
закрытыми. В этом случае ВАХ тиристора напоминает обратную
ветвь характеристики обычного диода. При очень больших
обратных напряжениях наблюдается необратимый пробой ти-
ристора.
В отличие от рассмотренных несимметричных тиристоров в
симметричных обратная ветвь ВАХ имеет вид прямой ветви. Это
405
достигается встречно-параллельным включением двух одинаковых
четырехслойных структур или применением пятислойных структур
с четырьмя р-п-переходами.
Тиристоры имеют широкий диапазон применений (управляе-
мые выпрямители, генераторы импульсов и др.), выпускаются с
рабочими токами от долей ампера до тысяч ампер и с
напряжениями включения от единиц до тысяч вольт.
16.10. ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И ИЗЛУЧАЮЩИЕ ПРИБОРЫ
Фотоэлектрическими называют приборы для преобразования
лучистой энергии в электрическую энергию. Обратное преобразо-
вание энергии осуществляют излучающие приборы. Фотоэлектри-
ческие приборы широко используются в качестве приемников
электромагнитных излучений оптического диапазона:
инфракрасного: 1 = 300.. .0,78 мкм, v = 1012.. .4-1014 Гц;
видимого: 1 = 0,78.. .0,35 мкм, v = 4-1014.. .7,6-1014 Гц;
ультрафиолетового: 1=0,35.. .0,01 Мкм, v = (7,6-1014.. .1016) Гц.
Принцип действия фотоэлектрических приборов основан на
использовании явлений внутреннего или внешнего фотоэффектов.
Внутренний фотоэффект наблюдается в полупроводниках и
диэлектриках. В них под действием излучения происходит возбуж-
дение электронов. Переход электронов на более высокий энергети-
ческий уровень приводит к изменению концентрации свободных
носителей заряда и, следовательно, электрических свойств ве-
щества. При воздействии лучистой энергии на полупроводник у
части валентных электронов увеличивается энергия настолько, что
они преодолевают запрещенную зону и переходят в зону
проводимости.
Лучистая энергия излучается и поглощается веществом в
виде квантов (фотонов). Энергия кванта WVB=hnv, где йп =
= 6,6-10" 34 Дж-с—постоянная Планка. Внутренний фотоэффект
возникает, если превышает ширину запрещенной зоны APT,.
Например, для проявления внутреннего фотоэффекта в германии
требуется ^„>0,67 эВ.
При уменьшении частоты излучения наступает порог фотоэф-
фекта, когда v0 = A!P3/An. Длину волны, соответствующую частоте
v0, называют границей фотоэффекта. Для германия эта граница
лежит в инфракрасной области: 10=1,7мкм. В диэлектриках
внутренний фотоэффект проявляется слабее, так как они имеют
большую ширину запрещенной зоны.
В металлах лучистая энергия оптического диапазона воздей-
ствует только на свободные электроны и не приводит к изменению
их концентрации, поэтому внутренний фотоэффект отсутствует.
Внутренний фотоэффект используется в фоторезисторах, фото-
диодах, фототранзисторах.
406
Внешний фотоэффект может наблюдаться в любых веществах.
Он основан на явлении фотоэлектронной эмиссии. Здесь исполь-
зуется выход электронов за пределы поверхности веществ под
действием излучения. Например, у металлов внешний эффект
проявляется, если энергия кванта превысит работу выхода
электрона из металла А. Для цезия должна быть не менее
1,2 эВ, для золота — 5 эВ.
Внешний эффект используется в электронных и ионных
фотоэлементах, в фотоэлектронных умножителях.
Принцип действия излучающих полупроводниковых приборов
основан на излучении квантов электромагнитной энергии при
переходе частиц из высокого энергетического состояния в более
низкое. Переходы, при которых излучаются кванты лучистой
энергии, называются излучательными. Они обусловливают явле-
ния люминесценции и индуцированного излучения.
Люминесценцией называют избыточное по сравнению с тепло-
вым излучение и характеризуемое длительностью, значительно
превышающей период световых колебаний. При люминесценции
эмиттируется некогерентное оптическое излучение с относительно
широким спектром (около 10“2 мкм).
Для возникновения люминесценции к полупроводнику подклю-
чают внешний источник энергии с целью его перехода в
возбужденное состояние. Возбужденному состоянию полупровод-
ника соответствует образование неравновесных концентраций
свободных частиц: электронов в зоне проводимости и дырок в
валентной зоне.
Явление люминесценции широко используется в некогерентных
излучающих полупроводниковых приборах.
Явление индуцированного излучения лежит в основе работы
квантовых приборов. Длительность индуцированного излучения
близка к периоду световых колебаний (примерно 10“15 с). Индуци-
рованное излучение отличается когерентностью и узким спектром
(менее 10“5 мкм).
На практике широко используются методы возбуждения
полупроводникового кристалла, содержащего электронно-дыроч-
ный переход: инжекцию неосновных носителей под действием
внешнего источника напряжения, включенного в прямом направ-
лении; лавинный пробой в р-и-переходе при подключении обрат-
ного напряжения и др.
Обычно в полупроводниках наряду с излучательными перехо-
дами наблюдаются также переходы безызлучательные, поэтому
энергия, затрачиваемая на возбуждение полупроводника, лишь
частично превращается в энергию люминесцентного излучения.
Эффективность процесса люминесцентного излучения определяет-
ся отношением выделяемой лучистой энергии к полной энергии
возбуждения. Эффективность люминесценции тем выше, чем
больше число локальных уровней, участвующих в излучательных
407
переходах, и чем ближе они расположены к границам соответ-
ствующих зон, т. е. легче захват электронов и дырок.
Излучательные переходы могут происходить, например, в
результате рекомбинации электронов, захваченных на примесный
уровень вблизи дна зоны проводимости с дырками в валентной
зоне, или в результате рекомбинации дырок, находящихся на
локальных уровнях вблизи потолка валентной зоны с электронами
из зоны проводимости.
Широко распространенным излучающим прибором является
светодиод. В качестве материалов для изготовления светодиодов
используются соединения карбида кремния SiC, фосфид галлия
GaP, арсенид галлия GaAs. Спектр излучения зависит от ширины
запрещенной зоны используемого материала, а также от рода и
концентрации примесей. Например, для арсенида галлия ДИЛ3=
= 1,4 эВ, а максимум спектральной характеристики лежит в
инфракрасной области спектра (Х«0,9 мкм); светодиоды из кар-
бида кремния излучают желтый цвет (Х«0,6 мкм). Использование
совокупности люминесцирующих кристаллов позволяет синтезиро-
вать знаковые индикаторы.
Объединение излучателя и приемника света в одном изделии
позволяет реализовать прибор, получивший название оптрон.
Простейший оптрон состоит из светодиода й фотодиода, разме-
щенных в общем корпусе. Кроме диодных оптронов электронной
промышленностью выпускаются резисторные, транзисторные и
тиристорные оптроны. Однонаправленность светового луча от
источника света к приемнику позволяет создавать управляемые
электронные элементы, у которых цепь управления электрически
развязана от входной цепи, так как связь между указанными
цепями осуществляется оптически.
Электрическая изоляция входа от выхода позволяет с по-
мощью низких напряжений управлять высокими, осуществлять
развязку низкочастотных и высокочастотных цепей, выполнять
высококачественные электронные реле и коммутаторы.
Условные графические обозначения фотоэлектрических и излу-
чающих приборов и примерный вид их основных характеристик
приведены в табл. 16.6.
Особую группу индикаторных приборов составляют жидко-
кристаллические индикаторы. В этих приборах используются
вещества, имеющие свойства, промежуточные между свойствами
твердого кристалла и жидкости. Эти свойства проявляются в том,
что в определенном диапазоне температур вещество может
образовывать капли, не имеет формы для большого объема и,
кроме этого, обладает анизотропией различных свойств: характе-
ризуется различными для разных направлений сопротивлениями,
диэлектрическими постоянными показателями преломления и др.
Особенность жидкокристаллических веществ заключается в
наличии стержневидных молекул, способных располагаться парал-
408
L
Таблица 16.6
Наименование
Обозначения Основные характеристики
Фоторезистор
Фотодиод
Диодный фототиристор
Солнечный фотоэлемент
Батарея солнечная
Светодиод
Фототранэистор типа
Диодный оптрон
Тиристорный оптрон
Резисторный оптрон
Прибор электронный
с фототранзистором
В — яркость свечения
409
Рис. 16.47
дельными цепочками (в диапазоне температур 5... 55° С), образуя
упорядоченную кристаллическую структуру. Под действием элект-
рического поля в жидких кристаллах нарушается ориентация
молекул. При этом в веществе возникает эффект динамического
рассеяния, сопровождающийся изменением прозрачности жид-
кости. Этот эффект используется для создания индикаторов.
В отличие от других типов индикаторов жидкокристаллические
индикаторы не испускают свет. Для работы жидкокристалличе-
ских индикаторов необходимы источники проходящего либо
отраженного света. Устройство индикатора, работающего в
отраженном свете, показано на рис. 16.47. Здесь 1 — зеркальный
электрод; 2—слой жидкокристаллического вещества: 3, 4—про-
зрачные электроды; 5, 6—стеклянные пластины.
Нижний электрод 1 имеет зеркальную поверхность, хорошо
отражающую свет. В качестве источника падающего света может
служить естественное освещение. Верхние прозрачные электроды 3,
4 являются сегментами знаков, каждый из них имеет свой вывод.
Для получения изображения на электроды—сегменты подаются
напряжения относительно нижнего электрода. При этом прозрач-
ность жидкости под этими электродами уменьшается и таким
образом формируется определенный знак либо мнемосхема
(условно-графическое изображение объекта, информации, процесса
и др.).
Перспективной разновидностью жидкокристаллических индика-
торов являются индикаторы, использующие эффект вращения
плоскости поляризации света под действием электрического поля.
Приложенное электрическое поле вызывает поворот осей молекул
вокруг их центров параллельно вектору электрического поля. При
этом участок, находящийся в скрещенных поляризаторах, стано-
вится темным, непрозрачным, а в параллельных поляризаторах —
светлым, прозрачным.
Эффективность работы жидкокристаллических индикаторов
оценивается контрастом. Этот показатель определяется отноше-
нием интенсивности света, проходящего через индикатор при
отсутствии напряжения, к интенсивности света, прошедшего сквозь
рассеивающий жидкий кристалл при подаче напряжения. С
410
Таблица 16.7
Параметр Индикатор
с динамическим рассеянием с вращением плоскости поляризации
Рабочее напряжение, В Средняя плотность тока, мкА/см2 Среднее время включения, мс Среднее время выключения, мс Контраст Диапазон рабочих температур, °C 7...30 10 15 300 10...20 5...55 1,5...10 1 10 100 20... 50 5...55
увеличением управляющего напряжения выше порогового наблю-
дается монотонное возрастание значения контраста, который
может достигать 20... 50 раз.
, Жидкокристаллические индикаторы, использующие эффект вра-
щения плоскости поляризации, обладают малым потреблением
энергии, что обеспечивает хорошую согласованность с интеграль-
ными схемами, и имеют высокие значения контраста при меньших
напряжениях по сравнению с индикаторами с динамическим
рассеянием. Основные параметры рассмотренных типов жидко-
кристаллических индикаторов сведены в табл. 16.7.
Жидкокристаллические индикаторы находят широкое примене-
ние в электронных часах, микрокалькуляторах и микроЭВМ, в
системах контроля и управления. Вследствие малого энергопотреб-
ления использование их особенно перспективно в устройствах с
ограниченным запасом питания.
Глава 17. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИОННЫЕ
УСИЛИТЕЛИ
17.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Операционным (ОУ) называют усилитель с большим коэффи-
циентом усиления с двумя высокоомными входами и одним
низкоомным выходом, предназначенный для построения разно-
образных узлов электронной аппаратуры. Первые ОУ появились
до разработки интегральных микросхем. Они были выполнены на
электронных лампах и впервые использовались в узлах аналого-
вых ЭВМ, реализующих различные математические операции:
суммирование, вычитание, дифференцирование, интегрирование
и др. В настоящее время на основе ОУ выполняют более 200
411
Рис. 17.1
функциональных узлов электронной аппаратуры. Модели некото-
рых из них уже описаны в §7.10, где ОУ рассматриваются как
приборы с зависимыми источниками типа ИНУН.
Согласно ГОСТ 2.759—82 для ОУ введено графическое
обозначение, показанное на рис. 17.1, а. Ранее в технической
литературе широко использовалось обозначение, приведенное на
рис. 17.1, б.
Основными характеристиками ОУ являются амплитудная (АХ)
(рис. 17.2, а) и амплитудно-частотная (АЧХ) (рис. 17.2,6).
При подаче сигнала на неинвертирующий вход АХ имеет вид
кривой АВ (рис. 17.2, а), а при подаче сигнала на инвертирующий
вход—вид кривой CD. Линейный участок АХ сверху и снизу
практически ограничен напряжениями источников питания поло-
жительной и отрицательной полярностей. Коэффициент усиления
постоянного тока и очень низких частот современных ОУ
достигает 104...10б, а частота единичного усиления —15-106 Гц.
Наличие у ОУ инвертирующего входа позволяет охватывать его
отрицательной обратной связью (ООС) и реализовывать требуе-
мые АХ и АЧХ (например, показанные на рис. 17.2 штриховыми
линиями).
Важным достоинством функциональных узлов на основе ОУ с
глубокой ООС является возможность обеспечения высоких техни-
412
ческих показателей, практически не зависящих от параметров
элементов, из которых состоит ОУ.
В принципе, ОУ можно рассматривать как перспективный тип
активного прибора универсального назначения, который с успехом
может заменить электронные лампы и транзисторы в ряде
функциональных узлов электронной аппаратуры.
17.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПАРАМЕТРЫ ОУ
С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Упрощенная модель (макромодель) ОУ, охваченного обратной
связью (ОС) посредством четырехполюсника Нж, приведена на
рис. 7.34. На практике ОУ обычно используются с цепями
обратной связи. Элементы теории работы ОУ с цепями отрица-
тельной и положительной (ПОС) обратными связями изложены в
§7.10. Отрицательная ОС широко используется в усилителях на
основе ОУ. Вариант практического применения модели рис. 7.34
для реализации усилителя показан на рис. 17.3.
Здесь ООС задается резисторами ROC1 и ЛОС2. Коэффициент
передачи четырехполюсника ОС определяется по формуле
ОС (^OCl + ^OCl)
(17-1)
Этот коэффициент называют коэффициентом ООС. Он может прини-
мать значения в пределах 0... 1. Подставляя (17.1) в (7.105), можно най-
ти коэффициент усиления устройства с ООС. Без учета реактивных
элементов ОУ выражение для расчета Яоос принимает вид:
^оос = Я0/(1 + ЯосЯ0)=Я0/Л, (17.2)
где Яо—коэффициент усиления ОУ без ООС, А = 1+ ЯОСЯ0—глу-
бина ООС. В практических случаях НОСН0'»’1. Пренебрегая
единицей, видим, что Яоос обратно пропорционален Яос:
ЯООС«1/ЯОС=(Л ОС1 + 7?ос2)/7? ОС1- (17.3)
413
г
I
| Как видно из этой формулы, коэффициент усиления ОУ с ООС
практически не зависит от Но, а определяется внешними элемен-
тами: резисторами /?ОС1 и Roc2^ которые могут быть выбраны
достаточно точными и стабильными. Усилитель, у которого
коэффициент передачи задается внешними резисторами, получил
название масштабного.
При использовании ООС в А раз уменьшается коэффициент
усиления ОУ. Важными преимуществами ОУ с ООС являются:
уменьшение в А раз частотных и нелинейных искажений,
вносимых ОУ, а также выходного сопротивления ОУ. Как
показано на рис. 17.2, при ООС существенно расширяется диапа-
зон входных сигналов, для которых соблюдается линейность АХ и
АЧХ. Указанные свойства определяют широкое применение ОУ с
ООС.
Если подавать в фазе с напряжением генератора входного
сигнала иг (т. е. подключать выход четырехполюсника Нж к
неинвертирующему входу), то ОУ оказывается охваченным ПОС.
В формуле для расчета Нпос это отражается как изменение знака
У Яос:
ЯПОс = Я0/(1-ЯосЯ0). (17.4)
Из этой формулы видно, что ПОС способствует увеличению
коэффициента усиления ОУ по сравнению с Яо. Однако введение
ПОС в усилителе сопровождается ухудшением стабильности
(устойчивости) его режима, увеличением частотных и нелинейных
искажений, уменьшением динамического диапазона уровней усили-
ваемых сигналов. Поэтому ПОС в усилителях используется редко.
При глубокой ПОС, если ЯОСЯ0> 1, происходит самовозбужде-
ние ОУ. Это явление, как полезное, широко используется в
автогенераторах.
Более полное представление о свойствах ОУ с ОС дают модели
с учетом реактивных элементов схем (в первую очередь между
электродных и монтажных емкостей). При этом все параметры в
приведенных выше формулах (17.1 ... 17.4) представляются в
комплексной форме.
17.3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И
ПОКОЛЕНИЯ ОУ
Первые типы интегральных ОУ были разработаны в начале
60-х годов и содержали три каскада усиления напряжения и
выходной эмиттерный повторитель (ЭП). Структурная схема
указанных ОУ показана на рис. 17.4, а. В литературе ОУ,
выполненные по такой структурной схеме, получили название
трехкаскадных. Название объясняется числом каскадов усиления
напряжения. Как правило, здесь и в других типах ОУ на входе
используется дифференциальный каскад усиления (ДУ). Выход ДУ
414
L
подключен к каскаду усиления напряжения (УН). Между УН и ЭП
включен усилитель мощности (УМ) со схемой сдвига уровней.
Схема сдвига уровней широко используется в ОУ для обеспечения
нулевого постоянного напряжения в нагрузке при отсутствии
входного сигнала.
Операционные усилители первого поколения обычно содержали
три каскада усиления напряжения на основе «-р-«-транзисторов.
Они имели сравнительно малое входное сопротивление и коэффи-
циент усиления. На высоких частотах трехкаскадные ОУ вносят
большие фазовые сдвиги и склонны к самовозбуждению. В ка-
честве нагрузок в каскадах таких ОУ использовались резисторы.
К трехкаскадным усилителям первого поколения относятся ОУ
типов К140УД1 и К140УД5.
Широкое применение в настоящее время находят двухкаскад-
ные ОУ (рис. 17.4,6). Отличительной особенностью таких ОУ
является совмещение функций усиления напряжения и мощности в
одном каскаде УМ. Переход к двухкаскадным схемам стал
возможным благодаря применению в них биполярных транзисто-
ров (БТ) с большими значениями коэффициента усиления по току,
работающих на динамические нагрузки. Динамические нагрузки
представляют собой генераторы тока на основе транзисторов и
обеспечивают высокие значения сопротивлений переменному току.
Операционные усилители второго поколения обычно содер-
жат биполярные транзисторы п-р-п- и p-n-p-типов. В некото-
рых типах с целью реализации высокого входного сопротивления
на входах в ДУ используются полевые транзисторы (ПТ).
Существенной отличительной особенностью современных двух-
каскадных ОУ является широкое применение в них динамических
нагрузок.
Необходимость в ОУ обладающих одновременно высоким
входным сопротивлением, большим коэффициентом усиления
напряжения и повышенным быстродействием, привела к разработ-
ке ОУ третьего поколения. Особенность этих ОУ заключается в
применении БТ со сверхбольшими значениями коэффициента
415
усиления по току (рб т=103 ... 104). Такие транзисторы имеют
сверхтонкую базовую область и называются транзисторами
супер-[3.
К усилителям третьего поколения относят ОУ типа К140УД6 и
К140УД14.
Четвертое поколение объединяет ОУ, имеющие рекордные
значения отдельных параметров. Такие ОУ начали разрабатывать
с 1974 г. Они получили также название специализированных. К ним
можно отнести, например, ОУ типа К153УД5 с очень большим
значением коэффициента усиления по напряжению (более 10б раз),
К154УД2 с высокой скоростью нарастания выходного напряжения
(более 75 В/мкс) и К140УД12 с малым током потребления (менее
0,2 мА).
Питание ОУ обычно осуществляется от двух разнопо-
лярных источников питания. Для большинства современных
ОУ напряжения питания можно менять в широких пределах
± (3 ... 15) В, что позволяет создавать как экономичные устрой-
ства, так и устройства с большой амплитудой выходного
сигнала.
17.4. ТЕХНИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОУ
Рассмотрим технические решения основных типов функцио-
нальных узлов ОУ. Важнейшим узлом является дифференциаль-
ный каскад усиления. Простейшие схемы ДУ, выполненные на
основе БТ и ПТ, приведены на рис. 17.5, о и б соответственно.
Дифференциальным каскадом усиления называют функциональный
узел, усиливающий разность двух напряжений (дифференциальное
напряжение). В идеальном случае (когда Т?1 = Т?2 и идентичны
характеристики Vl\ и КТ2) выходное напряжение ДУ пропорцио-
нально только разности напряжений, приложенных к двум его
416
выходам, и не зависит от их абсолютных значений: ивых =
Яд(ивх1 — ивх2), гДе Н_а—коэффициент усиления разности входных
напряжений.
Реальный ДУ не обладает идеальной симметрией, в результате
чего выходное напряжение зависит не только от разности, но и от
суммы входных сигналов. При этом половина этой суммы
(mbxi + mbx2)/2 называется синфазным сигналом. Выходное напряжение
реального ДУ ивых = Яд(ивх1-Мвх2)4-Яс(Мвх14-Мвх2)/2, где Яс —
комплексный коэффициент передачи синфазного сигнала. Качество
ДУ оценивается коэффициентом ослабления синфазного сигнала
#осс = #д/#с- У реальных ДУ |^осс | = 103 ... 105.
Для реализации ДУ с большими значениями Яд в качестве и R2
целесообразно использовать динамические нагрузки. Для реализа-
ции ДУ с малыми значениями Яс необходима высокая степень
симметрии плеч и глубокая местная ООС для синфазного сигнала.
Это достигается включением динамической нагрузки вместо
резистора R3.
Роль динамических нагрузок в ОУ выполняют генераторы тока на
основе БТ и ПТ, показанные на рис. 17.6, aw. б соответственно. Здесь
высокие динамические сопротивления достигаются благодаря
использованию свойств ООС по току. Динамическое сопротивление
генератора тока на основе БТ рассчитывается по формуле
И22з
| _|__^21э^1
Л1 + Л2 + Я11э_
Динамическое сопротивление генератора тока на основе ПТ
рассчитывается по формуле /? =ЯСИ(1+5Пгде /?си—дина-
мическое сопротивление ПТ без ООС (сопротивление участка
сток — исток переменному току), 5П Т—крутизна ПТ в рабочей
точке. Значение динамических сопротивлений 7?д, реализуемых
схемами на рис. 17.6, на один-два порядка превосходят допусти-
мые значения сопротивлений резисторов в схемах ДУ, приведен-
ных на рис. 17.5. Для реализации очень больших значений Ra
необходимы высокоомные резисторы во входных цепях генерато-
ров тока. Однако это нежелательно из-за существенного падения
на них напряжения постоянного . тока. Избежать применения
резисторов и реализовать динамические сопротивления позволяют
отражатели типа первого и второго родов, приведенные на
рис. 17.7, а и б соответственно. Здесь выходные токи /, с
приемлемой для практики точностью повторяют входные токи
Такие узлы иногда называют «зеркалом» тока первого и второго
родов соответственно.
Для отражателя тока первого рода справедливо выраже-
ние 72 = 7i [1 — 2/(Р6 т+2)], для отражателя второго рода вы-
417
14 - 3440
Рис. 17.6
Рис. 17.7
ходной ток с высокой точностью повторяет входной ток:
Ь=Л [1-2(рб2т + 2рб.т+2)].
Схема узла сдвига уровней приведена на рис. 17.8. Принцип
действия узла основан на выполнении следующих условий: а) для
постоянного тока сопротивления R гораздо больше сопротивления
генератора тока; б) для переменного тока, наоборот, сопротивле-
ние R гораздо меньше динамического сопротивления генератора
тока. Таким образом, при отсутствии переменного напряжения на
входе на резисторе R выделяется основная часть постоянного
напряжения и только незначительная часть его поступает на
выход. При появлении переменного напряжения узел работает как
повторитель напряжения с коэффициентом передачи, близким к
единице.
На входе ОУ обычно применяют эмиттерные повторите-
ли с целью обеспечения низкого выходного сопротивления.
Простейший эмиттерный повторитель изображен на рис. 17.9.
Выходное сопротивление этого функционального узла будет тем
меньше, чем выше сопротивление резистора R. Для улучшения
показателей ЭП в нем вместо R целесообразно также ис-
пользовать динамическую нагрузку. Следует отметить, что вы-
ходной каскад потребляет основную мощность от источников
питания. С целью улучшения энергетических показателей в ОУ
часто применяют сложные эмиттерные повторители на тран-
Рис. 17.9
Рис. 17.8
418
зисторах, работающих в одном из экономичных режимов (АВ, В),
рассматриваемых в § 18.2.
17.5. ОБОБЩЕННАЯ МАКРОМОДЕЛЬ
ПРИМЕНЕНИЙ ОУ
При использовании высококачественных ОУ свойства функцио-
нальных узлов зависят от параметров внешних цепей, подключен-
ных к ОУ, и практически не зависят от параметров элементов
внутри ОУ. Эта особенность позволяет при проектировании
устройств на ОУ пользоваться упрощенными моделями—макро-
моделями.
Возможные случаи применения ОУ охватывает обобщенная
макромодель применений ОУ, приведенная на рис. 17.10. Здесь к
ОУ подключены элементы Z, (р)... Z6(p). На практике в качестве
Zj (р)... Z6 (р) используются элементы R, С, L, D и др.
Электрические свойства приведенной макромодели могут быть
описаны системой уравнений Кирхгофа, представленных в опера-
торной форме:
Ыр) 1г(Р}23(р)
Рис. 17.10
419
U,m(p)= -ит1(р)^-ию2(р)^+ UM3(p) %® х
Z1\P) Z2(P) ^3\Р) + ^5\Р)
Zs(p) (j | Z6(p)\
Z4(p)+Z5(p)\ Z(p)J’
X
где Z(p)=
Zt(p)Z2(p)
Zi(p)+Z2(p)’
Последнее уравнение представляет собой обобщенную запись
характеристики прямой передачи функциональных узлов на основе
ОУ.
Использование рассмотренной макромодели позволяет про-
стым образом синтезировать усилители, узлы, выполняющие
разнообразные математические операции, импульсные и не-
линейные устройства. Широко применяемые электронные уз-
лы на основе ОУ рассматриваются в § 18.2—18.5 и 19.6.
Глава 18. АНАЛОГОВЫЕ УСТРОЙСТВА
18.1. КЛАССИФИКАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ
УСТРОЙСТВ
Аналоговым называются устройства, у которых сигналы являются
непрерывными функциями времени. К основным классам аналого-
вых устройств относятся: усилители, аналоговые фильтры и
генераторы, электронные и автоматические регуляторы, аналого-
вые перемножители напряжений, преобразователи, вторичные
источники питания.
В зависимости от конкретной области применения ана-
логовые устройства подразделяются на измерительные, теле-
визионные, радиоприемные, телефонные, радиовещательные и
др. Дополнительными признаками для классификации явля-
ются диапазон рабочих частот и потребляемая мощность. В
зависимости от массы и объема аналоговые устройства под-
разделяются на носимые, бортовые и стационарные. В за-
висимости от используемой элементной базы аналоговые
устройства подразделяются на электровакуумные, транзистор-
ные и интегральные. Наиболее перспективными являются ин-
тегральные аналоговые устройства, обладающие высокой на-
дежностью, малой массой, объемом, экономичностью и дру-
гими. Классификация аналоговых интегральных микросхем, со-
ответствующая ГОСТ 17021—75, приведена в табл. 18.1.
420
65
Таблица 18.1
Подгруппа и вид ИС Буквенное обозначение Подгруппа и вид ИС Буквенное обозначение
Усилители: высокой частоты операционные повторители широкополосные импульсных сигналов низкой частоты постоянного тока прочие Фильтры: верхних частот полосовые нижних частот режекторные прочие Генераторы: гармонических сигна- лов сигналов специальной формы линейно изменяющих- ся сигналов прочие Ключи и коммутаторы: напряжения тока прочие УВ уд УЕ УК УИ УН УТ УП ФВ ФЕ ФН ФР ФП ГС ГФ ГЛ гп КН кт КП Преобразователи: цифро-аналоговые аналого-цифровые умножители частоты делители частоты мощности напряжения перемножители сигна- лов Вторичные источники питания: выпрямители стабилизаторы напря- жения импульсные стабилизаторы напря- жения непрерывные стабилизаторы тока преобразователи прочие ПА ПВ ПЕ ПК ПМ ПН ПС ЕВ ЕК ЕН ЕТ ЕМ ЕП
18.2. УСИЛИТЕЛИ
Общие сведения. Как было показано в § 16.8, важным
назначением электронных приборов является усиление электриче-
ских сигналов. Устройства для решения этой задачи называются
усилителями.
Структурная схема усилителя приведена на рис. 18.1.
Устройство содержит входное устройство (ВХУ) для передачи
сигнала от источника (Ист. С) ко входу первого каскада. Его
применяют, когда непосредственное подключение источника сигна-
ла ко входу усилителя невозможно или нецелесообразно. Обычно
входное устройство выполняется в виде трансформатора или
ЯС-цепочки, предотвращающих прохождение постоянной состав-
ляющей тока от источника к усилителю, или наоборот.
Предварительный усилитель (Предв. У) состоит из одного или
нескольких каскадов усиления. Он служит для усиления входного
сигнала до величины, достаточной для работы усилителя мощ-
ности. Наиболее часто в качестве предварительных усилителей
используют усилители напряжения на транзисторах. Усилитель
мощности (УМ) служит для отдачи в нагрузку необходимой
421
Рис. 18.1
мощности сигнала. В зависимости от отдаваемой мощности он
содержит один или несколько каскадов усиления. Выходное
устройство (Вых. У) используется для передачи усиленного сигна-
ла из выходной цепи усилителя мощности в нагрузку (Н). Оно
применяется в тех случаях, когда непосредственное подключение
нагрузки к усилителю мощности невозможно или нецелесо-
образно. Тогда роль выходного устройства могут выполнять
разделительный конденсатор или трансформатор, не пропускаю-
щие постоянную составляющую тока с выхода усилителя в
нагрузку. При использовании трансформатора добиваются согла-
сования сопротивления выхода усилителя и нагрузки с целью
достижения максимальных значений КПД и малых нелинейных
искажений. В усилителях на основе интегральных схем избегают
применения трансформаторов вследствие их больших габаритных
размеров и технологических трудностей изготовления.
Источник питания обеспечивает питание активных элементов
усилителя.
Основными признаками для классификации усилителей явля-
ются диапазон рабочих частот и параметры, характеризующие его
усилительные способности: ток, напряжение, мощность. Важней-
шими техническими показателями усилителя являются: коэффи-
циент усиления, входное и выходное сопротивления, диапазон
усиливаемых частот, динамический диапазон, нелинейные, частот-
ные и фазовые искажения. Усилители мощности характеризуются
выходной мощностью и КПД.
Для реализации высоких значений коэффициента усиления
используют последовательное включение нескольких каскадов.
Для многокаскадных усилителей (содержащих п каскадов) общий
коэффициент усиления равен произведению коэффициентов усиле-
ния отдельных каскадов:
H=H.H2 ... Н„. (18.1)
Первый каскад определяет входное сопротивление усилителя 4
422
Явх = UM/IBX.
Если этот каскад работает при слабых входных сигналах, то к
нему предъявляются жесткие требования по уровню собственных
шумов.
Выходной каскад усилителя обычно является усилителем
мощности. Он характеризуется выходным сопротивлением RBm =
= UBM/IBm. Важным показателем является полезная мощность в
нагрузке RB:
Paoa=U2m/RH=I2BmRH, (18.2)
где UBM и 7ВЫХ—действующие значения выходного напряжения и
тока соответственно.
Коэффициент полезного действия определяется отношением
полезной мощности в нагрузке Рпол к мощности, потребляемой
усилителем от всех источников питания
71=^100%. (18.3)
^пот
При больших амплитудах сигналов из-за нелинейности харак-
теристик усилительных элементов возникают нелинейные искаже-
ния. Поэтому в практике используют понятие номинальной
выходной мощности—максимальной мощности при искажениях,
не превышающих допустимое значение. Степень нелинейных
искажений усилителя оценивают величиной коэффициента гар-
моник:
к= y/u22+u23+...+ui 1(И)О/о, (18.4)
где U2, U3, Un—действующие значения напряжений гармоник,
возникших в результате нелинейного усиления; —действующее
напряжение первой гармоники.
Общая величина коэффициента гармоник многокаскадного
усилителя зависит от нелинейных искажений, вносимых отдель-
ными каскадами, и определяется по формуле
^г.общ = \/ K2l+Kr2 + -'^Rrn- (18.5)
В электросвязи нелинейность усилителей принято оценивать
затуханием нелинейности А в неперах:
А = 1п (t71/V^+C7i + ... + C/„2).
Наличие в усилителях реактивных элементов (емкостей и
индуктивностей) приводит к возникновению частотных искажений
и не позволяет получить постоянный коэффициент усиления в
широкой полосе частот. Примерный вид АЧХ усилителя показан
на рис. 18.2, а.
423
Рис. 18.2
Степень искажений на отдельных частотах оценивается коэффи-
циентом частотных искажений Кч, равным отношению коэффи-
циента усиления Но на средней частоте /0 к коэффициенту
усиления Hf на данной частоте f:
K4 = H0/Hf. (18.6)
Обычно наибольшие частотные искажения возникают на
границах диапазона рабочих частот: нижней /н и верхней /в.
Коэффициенты частотных искажений в этом случае КЧ Я = НО/НЯ;
Кч В = НО/НВ. Коэффициент частотных искажений многокаскадного
усилителя равен произведению коэффициентов частотных искаже-
ний отдельных каскадов:
Яч = Хч1Хч2 ... Хчи. ' (18.7)
Обычно коэффициент частотных искажений выражают в деци-
белах X’4 = 201gX4 = X’41+X42 + ... +/ГЧВ.
Частотные искажения в усилителе сопровождаются появлением
сдвига фаз между входным и выходным напряжениями, что
приводит к фазовым искажениям. Фазовые искажения, вносимые
усилителем, оцениваются по его фазочастотной характеристике
(рис. 18.2, б). Фазовые искажения в усилителе отсутствуют, когда
фазовый сдвиг линейно зависит от частоты.
Идеальная АЧХ представляет собой прямую, параллельную
оси частот (штриховая линия на рис. 18.2, а).
Идеальная фазочастотная характеристика (ФЧХ) — прямая,
начинающаяся из начала координат (штриховая линия на
рис. 18.2, б). Идеальная амплитудная характеристика усилителя
показана штриховой линией на рис. 18.2, в. В реальных усилителях
наблюдаются отклонения от идеальной характеристики при
слабых и больших входных сигналах. В первом случае это
объясняется наличием собственных шумов усилителя, во вто-
ром— ограниченностью линейного участка характеристик усили-
тельных каскадов (обычно последнего).
Отношение амплитуд наиболее сильного и наиболее слабого сиг-
нала на входе усилителя называют его динамическим диапазоном D:
424
D = 20lg(UMmax/UBxmitt). (18.8)
Предварительные усилители на биполярных транзисторах. В ка-
честве базового узла предварительных усилителей наиболее
широко применяется усилительный каскад на БТ, включенный по
схеме с общим эмиттером. Простейшая схема такого каскада
приведена на рис. 18.3, а графики, поясняющие его работу,—на
рис. 18.4. Для получения наименьших нелинейных искажений
усиливаемого сигнала рабочую точку А выбирают посередине
рабочего участка характеристик (участок ВС на рис. 18.4,6).
Выбранный режим обеспечивается требуемой величиной тока базы
1БА, задаваемого резистором 7?б. Сопротивление резистора 7?б
рассчитывается по формуле
D _(ип-ивэл)
кб------j----
'БЛ
В и°
Рб.тТ
7кл
Здесь С/БЭЛ, 1КА, 1БА—напряжение и соответствующие токи в рабочей
точке А.
При подаче на вход транзистора напряжения сигнала ивх
происходит изменение тока базы, а следовательно, и изменение тока
коллектора iK и напряжения на сопротивлении нагрузки RB.
Амплитуда выходного тока г
Ч l\ Л
1кт примерно в рбт раз
больше амплитуды базового
тока 1Бт, а амплитуда кол-
лекторного напряжения UKm
во много раз больше ам-
плитуды входного напряжения:
иКт^имт=иЪЭт. Таким об-
разом, каскад усиливает ток и
напряжение входного сигнала,
что иллюстрирует рис. 18.4, а
и б.
Пользуясь графиками, при-
веденными на этих рисунках,
нетрудно определить основные
параметры каскада:
Рис. 18.3 Рис. 18.4
425
Рис. 18.5
входное сопротивление
^вх ^БЭт/^Бт’
коэффициент усиления по току
Hi Лст/Л»т»
коэффициент усиления по напряжению
Ни = Urnm/UbSm'’
коэффициент усиления по мощности
Нр = НиН,
Обычно каскады предварительных усилителей работают в
режиме усиления слабых сигналов (постоянные составляющие тока
базы и коллектора существенно превосходят аналогичные перемен-
ные составляющие). Эта особенность позволяет использовать
аналитические методы расчета параметров каскадов по известным
Я-параметрам транзистора.
Для определения параметров предварительного усилителя на БТ
аналитическим методом воспользуемся моделью, приведенной на
рис. 18.5, а. Предположим вещественный характер Я-параметров,
что справедливо в области низких частот. Здесь усилитель
представлен четырехполюсником, описываемым системой уравне-
ний вида (9.5), где
426
Л —Дх-^п 1 Г18 91
/2=4ых= U2=uam. J 1 ’ 7
Решая совместно системы уравнений (9.5) и (16.18), получаем
формулы для расчета основных параметров усилителя, пригодные
для любой схемы включения транзистора:
я.=/вых//вх=я21/(1+я221?н.э);
тт _ ^выж = _^н.з _ ^21 ^н.з .
u~ Un~ ' Явк “ 1+Я22Яа.э ’
Яр=ЯгЯп/?н.э/[/?вх(1 + Я22/?н.э)];
/?вх=[Яп+(ЯПЯ22-Я12Я21) /?н.э]/(1+Я22ЯН.Э).
Анализ полученных уравнений показывает, что все параметры
усилителей на БТ существенно зависят от сопротивления RK э. В
каскадах усилителей (см., в частности, рис. 18.3) под R„3
понимается эквивалентное сопротивление нагрузки каскада, обра-
зованное параллельным включением сопротивлений Ra и входного
сопротивления следующего каскада Явх сл. При определенном
сопротивлении нагрузки, называемом оптимальным, наблюдается
максимальное усиление мощности входного сигнала:
*н.э.опт~
Однако обычно в предварительных усилителях не ставится условие
получения максимального усиления мощности входного сигнала и
выполняется неравенство /?нэс/?нэопт. С учетом этого можно
использовать упрощенные формулы для расчета параметров
каскада предварительного усилителя: ЛВХ«ЯП; ЯГ«Я21;
Я*. ZJ . тг ^21 п
“ *яп’ ' яп «•’
Приведенные выше параметры получены без учета влияния
реактивных элементов схемы. Это справедливо для области
средних частот (см. рис. 18.2, о), где коэффициенты усиления по
току, напряжению и мощности не зависят от частоты.
Модели предварительного усилителя с учетом реактивных
элементов. На входе и выходе предварительного усилителя
(рис. 18.3 и 18.5, б) используются элементы межкаскадной связи:
разделительные конденсаторы Ср1 и Ср2. Разделительный конден-
сатор Ср1 обеспечивает гальваническую развязку источника сигна-
ла и входа транзистора, а конденсатор Ср2 препятствует попада-
нию постоянной составляющей тока коллектора на вход следую-
щего каскада. Для получения больших значений коэффициента
усиления используют последовательное соединение однотипных
каскадов, выделенных на рис. 18.3 штриховой линией. Модели
предварительного усилителя с учетом реактивных элементов
приведены на рис. 18.5, б—д.
427
Наличие в усилителях емкостей межкаскадной связи приводит S
к частотным искажениям усиливаемых сигналов в области нижних |
частот. Это нетрудно объяснить, рассматривая модели усилителя с
генератором тока (рис. 18.5, б) или с эквивалентным генератором %
напряжения (рис. 18.5, в).
В усилителе на транзисторе, включенном по схеме с общим
эмиттером, роль Rr выполняет динамическое сопротивление
«коллектор—база» Rt6, а напряжение генератора определя-
ется выражением 1/г = р.б,TU'BX = H21J^ U'BX = S6_TRK6U'n, где U'm —
напряжение на эмиттерном переходе (отличается от Um на
величину падения напряжения на сопротивлении базы 7?б). При
понижении частоты увеличивается сопротивление емкости раз-
делительного конденсатора (Хс= 1/(юСр2), включенного последо-
вательно с внешней нагрузкой каскада (входом следующего
каскада).
На низких частотах увеличивается падение напряжения сигнала
на емкости разделительного конденсатора и, следовательно,
снижается выходное напряжение каскада. Это приводит к умень-
шению коэффициента усиления с понижением частоты. Как видно
из модели на рис. 18.5, в, функцию внешней нагрузки рассмат-
риваемого предварительного усилителя выполняет эквива-
лентное входное сопротивление следующего каскада: R3 =
= «62 {R6 сл + R63 сл)/(«б2 + «бел + «бэ ел), ГДв /?б2 — СОПрОТИВЛвНИе,
обеспечивающее требуемый ток базы в исходном режиме следую-
щего транзистора; R6 сл—сопротивление базы следующего транзи-
стора; «бэсл—сопротивление эмиттерного перехода следующего
транзистора.
Для облегчения анализа низкочастотных свойств предваритель-
ного усилителя полную модель (рис. 18.5, в) преобразуют в
упрощенную модель, изображенную на рис. 18.5, г. Здесь усили-
тельные свойства биполярного транзистора учтены эквивалентным
генератором напряжения с UT H„ и внутренним сопротивлением
«г.н.ч*
^г.н.ч= ^г«н/(«г + «н)> «г.н.ч = «г«н/(«г + «н)"
Выходное напряжение усилителя в области нижних частот, как
видно из рис. 18.5, г, определяется выражением
^вых.н.ч /вых«э ^г.н.ч /I «г.н.ч j~~7, Ь«э I.
— - / \ °>Ср2 /
В области средних частот сопротивление емкости Ср2 стано-
вится пренебрежимо малым и выходное напряжение определяется
выражением
^вых.ср=^г.н.ч«э/(«Гн.ч + «э)- 4
428
Отношение напряжения С7ВЫХНЧ к напряжению позволяет
определить в комплексной форме относительное усиление каскада
в области нижних частот:
Величину Ср2 (^г.н.ч + ^э) называют постоянной времени каскада
на нижних частотах и обозначают тнч. Модуль выражения (18.10)
является уравнением нормированной АЧХ каскада в области
нижних частот, а величина, обратная модулю, показывает
зависимость коэффициента частотных искажений от частоты:
Н=
(18.11)
(18.12)
Отношение множителя при мнимой части выражения (18.10) к
его действительной части позволяет определить tgq>, необходимый
для расчета фазочастотной характеристики каскада:
Ф = arctg [ 1 /(сотнч)] = arctg [ 1 /®Ср2 (Яг.н.ч + Яэ)].
(18.13)
Как следует из (18.13), при изменении частоты со от нуля до
бесконечности, угол сдвига фазы между выходным и входным
напряжениями меняется от +90° до нуля.
Для определения импульсной характеристики каскада в об-
ласти больших времен выражение (18.10) запишем в операторной
форме: Я(р)=ртн ч/(1+ртн.ч). Этому изображению соответствует
оригинал, представляющий импульсную характеристику усили-
теля:
Я(г) = ехр(-//тн.ч).
(18.14)
Полученные выше расчетные формулы пригодны и для
предварительных усилителей на полевых транзисторах, если
принять в качестве С/Г = рп.т^вх, а в качестве Лэ н ч сопротивление
утечки, включенное между затвором и истоком’ В усилителях на
биполярных транзисторах вследствие малых значений сопротивле-
ния н ч для получения требуемых значений тн „ и, следовательно,
небольших частотных искажений в области нижних частот
приходится использовать электролитические конденсаторы боль-
шой емкости. Этого недостатка лишены усилители на полевых
транзисторах. Вследствие высокого входного сопротивления в
каскадах с полевыми транзисторами нетрудно обеспечить требуе-
мые тн ч при использовании разделительных конденсаторов малой
емкости.
429
Наличие в усилителях междуэлектродных емкостей транзисто-
ров и монтажных емкостей приводит к возникновению частотных
искажений усиливаемых сигналов в области верхних частот. Для
анализа высокочастотных свойств предварительного усилителя
полную модель (см.' рис. 18.5,о) преобразуют в упрощенную
модель, приведенную на рис. 18.5, д.
Здесь усилительные свойства биполярного транзистора учтены
генератором напряжения с внутренним сопротивлением, опреде-
ляемым выражением
П ____ -^бэсл^г-^п + ^бсл (*г + *в) Z|Q 1
гв ч- RMR^ + R^Kr+^r 1 ?
где 1?н=RaR62/(Ra+R62). В предварительных усилителях обычно
Поэтому в дальнейшем можно использовать выраже-
ние (18.15) в упрощенном виде /?г вч«/?бэсл(1?6сл + /?У/
(Ябэсл + Ябсл + Ян)-
В высокочастотной модели каскада предварительного усиления
междуэлектродные и монтажные емкости учтены в виде нагру-
жающей каскад эквивалентной емкости Сэ = Свых + См-1-Свх.сл, где
Свых—выходная емкость транзистора рассматриваемого каскада;
См—монтажная емкость; Свх сл—входная емкость следующего
каскада. Наибольший вклад в Сэ вносит емкость Свх сл. Эта
емкость определяется выражением Свх сл = С6э+СхЯи, где Сбэ =
= 1/(2л/рЛбэ)—емкость перехода база—эмиттер; Сх—емкость
коллекторного перехода; Ни—коэффициент усиления по напряже-
нию следующего каскада.
Эффект увеличения коллекторной емкости объясняется тем, что
через нее протекает ток, пропорциональный разности потенциалов
между базой и коллектором следующего каскада.
Выходное напряжение каскада в области верхних частот
согласно модели рис. 18.5, д определяется по формуле
Величину Сэ1?г в ч называют постоянной времени каскада в
области верхних частот и обозначают тв_ч. На средних частотах
соСэ/?гвч«1 и, следовательно, С/вых.ср становится равным С/гвч.
Нормированный коэффициент усиления в области верхних частот
в комплексной форме определяется выражением
На ч= ^вых/^вых ср= и,т/иг в ч= 1/(1 +j(i)C3Rr , ч). (18.16)
Модуль выражения (18.16) представляет собой уравнение
нормированной АЧХ каскада в области верхних частот, а
430
обратная ему величина характеризует зависимость коэффициента
частотных искажений от частоты
(18.17)
*ч.в.,= l//fB.4 = Vl+(«)C3JRr.B.4)2. (18.18)
Аргумент выражения (18.16) представляет собой фазочастот-
ную характеристику в области верхних частот <р = arctg (<оСэ1?г в„).
Отрицательное значение угла сдвига фазы свидетельствует об
отставании выходного напряжения от входного на верхних
частотах (при со->оо, ф-> —90°).
Для определения импульсной характеристики каскада в об-
ласти малых времен запишем выражение (18.16) в операторной
форме: Яв,ч(р) = 1/(1 +ръл,). Этому изображению соответствует
оригинал, представляющий нормированную импульсную характе-
ристику в области малых времен:
Яв.ч(г)=1-ехр(-//тв.ч). (18.19)
Выражения (18.14) и (18.19) позволяют рассчитать нормирован-
ные характеристики каскадов предварительного усиления, необхо-
димые для анализа свойств усилителей.
Модель, изображенная на рис. 18.5, д, пригодна для анализа
усилителей на полевых транзисторах. В последних также наиболь-
ший вклад в Сэ вносит входная динамическая емкость. Однако
если у биполярных транзисторов наибольшее влияние оказывает
входная емкость (емкость перехода «база—эмиттер»), то в случае
полевых транзисторов преобладающее влияние оказывает динами-
ческая проходная емкость «затвор—сток»: Сзсдин = Сзс (1+Яи).
Стабилизация режима работы усилителей. Рассмотренный кас-
кад предварительного усиления (см. рис. 18.3) отличается просто-
той и малым потреблением тока от источника питания. Однако он
имеет существенный недостаток: режим работы сильно зависит от
температуры окружающей среды и нарушается при смене транзис-
тора, а также с течением времени. В той или иной степени
избежать этого недостатка позволяют каскады усиления со
стабилизацией режима, схемы которых приведены на рис. 18.6.
В схеме на рис. 18.6, а стабилизация режима достигается
включением резистора между базой и коллектором. При этом
транзистор оказывается охваченным параллельной ООС по напря-
жению. Это приводит к уменьшению входного и выходного сопро-
тивлений, а также к стабилизации режима. Такой способ получил
название коллекторной стабилизации. Каскады с коллекторной
стабилизацией сохраняют нормальную работу при перепадах
температуры до 30° С и изменении Р6 т транзисторов до двух раз.
В схеме рис. 18.6, б, получившей название схемы эмиттерной
стабилизации, используется последовательная ООС по постоян-
ному току. Она достигается включением резистора в цепь
431
Рис. 18.6
эмиттера транзистора. Для того чтобы избежать уменьшения
коэффициента усиления полезного сигнала резистор R3 шунтиру-
ется конденсатором Сэ. Этот конденсатор имеет малое сопротив-
ление в диапазоне рабочих частот полезного сигнала и, следова-
тельно, ООС по переменному току, таким образом, устраняется.
Эффективность работы такой схемы стабилизации тем лучше, чем
высокоомнее сопротивление R3, так как в этом случае больше
глубина ООС. При эмиттерной стабилизации каскад сохраняет
нормальную работу при перепадах температуры порядка 70° С и
изменении 0б т транзисторов в 5 раз.
На рис. 18.6, в приведена схема комбинированной стабилизации
режима. Она обеспечивает наилучшую стабильность режима, так
как, по сути, является объединением схемы коллекторной и
эмиттерной стабилизаций. При этом транзистор оказывается
охваченным комбинированной ООС как по напряжению, так и по
току.
Предварительные усилители на полевых транзисторах. В предва-
рительных усилителях могут использоваться ПТ в трех схемах
включения, рассмотренных в § 16.8: с общим истоком, общим
затвором и общим стоком. Усилительные каскады с общим
затвором обладают низким входным сопротивлением, не имеют
преимуществ по сравнению с каскадами на БТ и вследствие этого
используются редко.
Усилительные каскады с общими истоком и стоком обладают
значительно большим входным сопротивлением по сравнению с
усилительными каскадами на БТ. Наилучшими усилительными
свойствами обладают каскады усиления на ПТ, включенные по
схеме с общим истоком. Схема такого каскада приведена на
рис. 18.7. Здесь в качестве усилительного элемента используется
ПТ с р-п-переходом и каналом и-типа. Усиленный входной сигнал
выделяется в нагрузке RB, включенной в цепь стока. В цепь истока
включен резистор R„. В режиме покоя через резистор R„ протекает
432
Рис. 18.7
ток стока и создает на нем падение напряжения, являющееся
напряжением смещения между затвором и истоком. Напряжение
смещения необходимо для установки требуемого режима работы
усилительного каскада. В цепь затвора включен резистор R3,
обеспечивающий гальваническую связь затвора с общим прово-
дом. Посредством этого резистора напряжение смещения прикла-
дывается ко входу транзистора: участку «затвор—исток». В рас-
сматриваемом каскаде ко входному ^-«-переходу «затвор—исток»
прикладывается запирающее напряжение смещения с резистора R„.
Поэтому транзистор обладает чрезвычайно высоким входным
сопротивлением постоянному току. Практически оно определяется
выбором сопротивления резистора R3, которое может составлять
105 ... 107 Ом, что существенно превышает входное сопротивление
каскадов усиления на БТ.
Для исключения влияния постоянных напряжений источни-
ка сигнала и следующего каскада на режим работы рас-
сматриваемого каскада используются разделительные конден-
саторы Ср1 и Ср2. При подаче переменного входного на-
пряжения в цепи канала появляется переменный ток стока, равный
току истока (так как ток затвора практически равен нулю). За счет
падения напряжения на резисторе R„ от переменной составляющей
тока истока переменная составляющая напряжения м3и, уси-
ливаемая транзистором, уменьшается: изи = им — 1^я. Следова-
тельно, здесь наблюдается явление ООС, приводящее к уменьше-
нию коэффициента усиления каскада. Для устранения ООС
параллельно R* включают конденсатор Ся, емкостное сопро-
тивление которого на самой низкой частоте усиливаемого
напряжения должно быть гораздо меньше сопротивления рези-
стора R„.
Принцип действия усилительного каскада на ПТ поясняется
графиками, приведенными на рис. 18.8. В каскаде предваритель-
ного усиления исходную рабочую точку А выбирают посередине
рабочего участка на семействе выходных характеристик или
динамической передаточной характеристики (рис. 18.9). Выбрав
положение рабочей точки А, определяют сопротивление резистора
^и: ^и=^зил/Ам-
433
Рис. 18.8
При подаче на вход транзистора напряжения сигнала ит
происходит изменение тока стока, а следовательно, и выходного
напряжения на нагрузке Ли: uCM = icKH.
Основным параметром схемы является коэффициент усиления
напряжения, который определяют как отношение действующих
или амплитудных значений выходного и входного напряжений:
Ни= UtmjUn= UCHIU3Vl. Его можно также определить, анализируя
эквивалентную схему каскада. Принципиальные схемы каскадов
предварительных усилителей на БТ (см. рис. 18.3) и ПТ (см.
рис. 18.7) имеют сходство. Это позволяет при рассмотрении
свойств каскада предварительного усилителя на ПТ пользоваться
упрощенной моделью, приведенной на рис. 18.5, в, учитывая
специфические параметры ПТ: крутизну Sn T и дифференциальное
выходное сопротивление
На средних частотах влиянием Сэ и Ср2 можно пренебречь.
Тогда выходное переменное напряжение можно рассчитать по
формуле
<7ВЫХ = Нп т ^вх Г^н э/(-^н э +
где /?н.э = ^н^вх.сл/(^н + ^вх.сл)—эквивалентное сопротивление на-
грузки каскада переменному току. Учитывая, что рпт = 5пт7?<,
найдем
тг = ^вых — С ^в.э _ С* ^н.э
“ пт Ч.,+Я< пт1+яв.э/я,’
где 5ПТ —крутизна транзистора в рабочей точке.
434
При работе каскада с сопротивлением нагрузки существенно
меньшим входного сопротивления следующего каскада 7?вх сл и
внутреннего сопротивления транзистора, формула для расчета
коэффициента усиления может быть записана в упрощенном виде:
ЯИ«5П.Т7?Н.
Идентичность моделей каскадов предварительного усиления на
БТ и ПТ позволяет использовать выражения (18.27) — (18.37) для
анализа свойств предварительных усилителей на ПТ. Сравнивая
свойства каскадов предварительного усиления на БТ и ПТ, можно
отметить следующее: каскады на БТ, как правило, обладают
большими значениями Ни, так как у маломощных приборов
$б.т ^п.т-
Усилители мощности на транзисторах. Усилители мощности
предназначены для отдачи максимальной мощности в заданную
нагрузку при допустимых нелинейных и частотных искажениях.
Они содержат один или несколько каскадов усиления. Выходной
(оконечный) каскад работает в режиме больших сигналов и,
следовательно, потребляет большую мощность от источников
питания. Он должен иметь достаточно высокий КПД. Выходные
каскады выполняются на специальных мощных транзисторах,
включенных обычно по схеме с общим эмиттером или с общим
коллектором. Выходной каскад отдает в нагрузку максимальную
мощность при определенном сопротивлении нагрузки, называемом
оптимальным (7?н опт), часто отличающимся от заданного сопро-
тивления Ra. Обеспечить оптимальное сопротивление нагрузки
позволяет использование трансформатора в выходном каскаде.
Необходимое значение коэффициента трансформации рассчиты-
вают по формуле
г _ w2 j R„
А / Г* ’
V ПтрЯИ.опТ
где wt, и>2 — число витков первичной и вторичной обмо-
ток трансформатора соответственно; т]тр—КПД трансформа-
тора.
Выходные каскады усилителей выполняются по одно-
(рис. 18.10) и двухтактной (рис. 18.11) схемам.
В зависимости от выбора рабочей точки различают несколько
режимов работы каскадов усиления мощности: А, В, АВ и др.
Если рабочая точка при отсутствии входного сигнала располага-
ется на середине рабочего участка выходных характеристик
транзистора (как в рассмотренных выше предварительных усили-
телях), то каскад работает в режиме А. По постоянному току
сопротивление нагрузки мало, линия нагрузки в этом случае имеет
вид прямой линии ВС (рис. 18.12, а). По переменному току,,
транзистор нагружен на оптимальное сопротивление 7?н.опт, что
достигается выбором коэффициента трансформации Ктр.
435
Рис. 18.9
Рис. 18.10
Максимальная мощность отдается каскадом При эффективном
использовании транзистора как по току, так и по напряжению.
Коэффициенты использования транзистора в режиме А по току и
напряжению определяются по формулам
^a=IkJIka, ^A = UKm/UKA. (18.20), (18.21)
Коэффициент полезного действия усилителя мощности в
режиме А определяется по формуле
Па=^тАл-100%. (18.22)
В формулах (18.20) — (18.22) индексы А означают, что пара-
метры определяются в режиме А, а индексы т указывают на
амплитудные значения токов и напряжений. Очевидно, что в
идеальном случае при 100%-ном использовании транзистора по
току и напряжению Г|л стремится к 50%.
В реальных усилителях £тЛ и меньше единицы. Полезная
мощность определяется площадью одного из треугольников,
выделенных на рис. 18.12, потребляемая мощность—площадью,
заштрихованного прямоугольника. Эти площади могут быть
рассчитаны через значения амплитуд токов и напряжений транзис-
тора: P„onA = IKmUKm/2; Ра<пЛ = 1КАикл. Коэффициент полезного
Рис. 18.11.
436
Рис. 18.12
действия реального каскада усиления мощности в режиме А
рассчитывается по формуле Г|л=(РполЛ/РпотЛ) 100%.
Схема двухтактного усилителя мощности, работающего в
режиме В, приведена на рис. 18.11, а графики, поясняющие работу
одного из плеч, показаны на рис. 18.12, б. В двухтактном
усилителе желательно использовать транзисторы с близкими
характеристиками, работающие по очереди в режиме В. Последнее
достигается выбором небольшого напряжения смещения для
попадания в точку В, при котором в режиме покоя еще
отсутствует входной базовый ток.
437
Входной трансформатор Tpt обеспечивает получение двух
одинаковых по величине, но противоположных по фазе напряже-
ний (7ВХ1, Um2 (выполняет функции так называемой фазоинверс-
ной, или парафазной схемы). Выходной трансформатор Тр2
суммирует переменные выходные токи и напряжения и обеспечи-
вает передачу полезной мощности в нагрузку.
Как видно из рис. 18.12, б, транзисторы в режиме В эффективно
используются по току и напряжению. Полезная мощность,
отдаваемая в нагрузку каждым транзистором, определяется
площадью заштрихованного на рис. 18.12, б треугольника и
рассчитывается по формуле РПояв = ^кт^кт/^- Мощность, потреб-
ляемая каждым транзистором от источника питания, РпотВ =
= /КсрСп, гДе ^кср = ^кт/я- Вследствие симметрии схемы КПД
двухтактного каскада в режиме В
—_ __ 2/»поЛв _ 1 ^Кт ^Кт
1в-2?^; ~ 2 7^; тг
(18.23)
При полном использовании транзисторов по току и напряже-
нию КПД двухтактного усилителя в режиме В может достигать
78%.
Разность потребляемой и полезной мощностей выделяется в
виде тепла на коллекторах транзисторов: РК = РПОТ —Рпол. При
большой мощности Рк используют радиаторы для отвода
избыточного тепла, которое не могут рассеивать транзисторы
непосредственно.
Двухтактные усилители могут работать и в режиме А. Для
этого необходимо увеличить напряжение смещения, соответствую-
щим увеличением сопротивления резистора Рб1, чтобы в состоя-
нии покоя через каждый транзистор протекал входной ток 1Б2 (см.
рис. 18.12, б). Если исходную рабочую точку выбирать между
рабочими точками, соответствующими режимам А и В, то
усилитель будет работать в промежуточном режиме АВ. Здесь
удается добиться компромисса: достаточной мощности, удовлет-
ворительных значений КПД и небольших нелинейных искажений.
Зависимости Рпот, Рпол и Рк в режимах А и В от амплитуды
входного напряжения приведены на рис. 18.13, а, б соответственно.
Из сравнения приведенных зависимостей очевидны преимущества
усилителей, работающих в режиме В.
С разработкой интегральных схем усилителей мощности и
дискретных мощных транзисторов с большими выходными тока-
ми появилась возможность отказа от применения в усилителях
мощности трансформаторов — громоздких и нетехнологичных эле-
ментов. Схемы бестрансформаторных усилителей мощности, не
имеющих аналогов среди схем на электронных лампах, приведены
на рис. 18.14, о, б. В них используются либо БТ (рис. 18.4, а)
разных типов (п-р-п и р-п-р), либо ПТ (рис. 18.4,6) с разными
438
Рис. 18.13
типами проводимости канала (р и п). Совместное применение
разнотипных транзисторов позволяет существенно упростить
схему усилителя. В схемах используется последовательное включе-
ние выходных цепей с источником питания и параллельное
включение входов. По переменному напряжению выходы транзис-
торов параллельно соединены между собой и с нагрузкой. При
положительной полуволне напряжения в усилении участвуют
транзисторы К7\, при отрицательной полуволне—транзисторы
КТ2. Выходная мощность может быть рассчитана по формуле
РПОЛ = 2/|ЯН.
439
Рис. 18.15
В рассмотренных усилителях используется один источник
питания, что является их достоинством. Недостаток устройств —
наличие емкости Ср. При низкоомной нагрузке в усилителях
необходимы электролитические конденсаторы очень большой
емкости [Ср=(2 ... 4 • 103 мкФ]. Избежать указанного недостатка
позволяет выполнение схем усилителей мощности с двумя
источниками питания, как показано на рис. 18.14, в, г. Здесь в
каждом усилителе используются однотипные транзисторы, для
управления которыми требуются фазоинверсные каскады на
входах. Следует отметить, что в схеме на рис. 18.14, в БТ
включены разными способами: VTt—по схеме с общим коллекто-
ром, VT2—по схеме с общим эмиттером.
В схеме рис. 18.14, г ПТ также включены разными способами:
VTt—по схеме с общим стоком, а транзистор VT2 — по схеме с
общим истоком.
Так как усилительные свойства при разных способах включения
различны, необходимо принять меры для выравнивания коэф-
фициентов усиления обоих полуволн входного сигнала. При
одинаковых транзисторах это может быть достигнуто выбором
необходимых величин напряжений С/вх1 и Um2.
Усилители на интегральных схемах. Возможности построения
усилителей на основе ИС рассмотрим, используя обобщенную
макромодель применений ОУ.
Если в обобщенной макромодели, приведенной на рис. 17.1,
выполнить условия Zj (p) = R1, Z2(p)=oo; Z3(p)=co, Z4(p) = oo,
Z5(p) = /?5, Z6(p) = R6, то реализуется модель устройства
(рис. 18.15, а), характеристика прямой передачи которого в опера-
торной форме описывается выражением
Ki
(18.24)
Используя свойство линейного преобразования Лапласа (см. § 7.7),
выражение (18.24) запишем в виде ивых(/) = — — Из этого
440
выражения следует, что реализован усилитель, у которого
коэффициент усиления по напряжению задается двумя резисто-
рами— R6 и Rt: Н= —R6/Rv Знак «минус» в формуле означает,
что фаза выходного напряжения отличается от входного (инверти-
руется) на 180°. Отношение сопротивлений задает коэффициент
усиления (масштаб). Поэтому такой усилитель получил название
инвертирующего масштабного усилителя. Резисторы Rt и R6
образуют цепь параллельной ООС по напряжению. При этом в
А = (1 -I-—— Но ) раз уменьшаются входное и выходное сопро-
\ Л1+^6 )
тивления ОУ, повышается стабильность режима, уменьшаются
частотные и нелинейные искажения (см. § 17.2).
Если в обобщенной макромодели выполнить условия Zx(p) =
= /?!, Z2(p)=oo, Z3(p) = /?3, Z4(p) = oo, Z5(p) = T?5, Z6(p) = l?6, TO
реализуется неинвертирующий усилитель (рис. 18.15,6), характе-
ристика прямой передачи которого описывается выражением
Если 1?3=0, то и в этом усилителе коэффициент усиления
напряжения определяется выбором элементов цепи ООС:
H^X+R^. (18.25)
Если в обобщенной макромодели выполнить условия Z2(p) =
= /?!, Z2(p)=oo, Z3(p) = /?3, Z4(p) = oo, Z5(p) = /?5, Z6(p)=7?6, to
реализуется вычитатель. Модель приобретает вид рис. 18.15, в и
описывается характеристикой прямой передачи
«вых (0= 6 + «вхз (0- «вх1 (О-
Аналогичным образом, используя макромодель, получают и
другие типы усилителей на основе ОУ, например инвертирующий
(рис. 18.15, г) и неинвертирующий (рис. 18.15, г) сумматоры.
18.3. ЭЛЕКТРОННЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ
И АНАЛОГОВЫЕ КЛЮЧИ
В электронных устройствах часто возникает необходимость в
регулировках коэффициента передачи, частоты и других парамет-
ров. В качестве регулируемых элементов широкое применение
находят полупроводниковые приборы: диоды, биполярные и
полевые транзисторы, а также интегральные микросхемы. Схемы
базовых функциональных узлов электронных регуляторов приве-
дены на рис. 18.16.
В схеме рис. 18.16, а диоды VDt и VD2 используются в качестве
сопротивлений, управляемых прямым током. Этому устройству
441
«НИ-
|^.х
Рис. 18.16
свойственны существенные недостатки: отсутствие развязки цепей
управления и сигнала; значительная мощность, потребляемая
цепью управления; существенные нелинейные искажения при
малых коэффициентах передачи.
Регулятор на БТ, изображенный на рис. 18.16, б, по свойствам
напоминает регулятор на диодах. Это объясняется тем, что, по
сути, у транзистора переход «база—эмиттер» выполняет функцию
диода PZ>i, а переход «база—коллектор»—функцию диода VD2.
Лучшими свойствами обладает регулятор на основе ПТ,
изображенной на рис. 18.16, в. Здесь ПТ используется в качестве
управляемого сопротивления. Цепь управления практически не
потребляет мощность, так как транзистор обладает чрезвычайно
большим сопротивлением по управляющему входу. Регулятор
характеризуется хорошей развязкой цепей сигнала и управления.
В цепи сигнала нет ^-«-переходов, а имеется омическое сопротив-
ление, управляемое напряжением. Регулятор способен коммутиро-
вать сигналы с широким динамическим диапазоном с меньшими
нелинейными искажениями, чем рассмотренные выше регуляторы.
Перспективным узлом для регуляторов являются интегральные
схемы аналоговых перемножителей напряжения (рис. 18.16, г):
реализующих передаточную функцию Uът = KUт2’ где К—
масштабный коэффициент. При использовании перемножителей в
качестве регуляторов, один из входов, например UM1, является
управляющим, а второй Um2, используется для подачи входного
сигнала. Изменяя напряжение на управляющем входе, регулируют
выходное напряжение С7ВЫХ, а следовательно, и коэффициент
передачи устройства. Современные перемножители имеют слож-
ные технические решения, благодаря которым способны регулиро-
вать напряжения с амплитудой, достигающей 10 В с погреш-
ностью, не превышающей 1%.
Рассмотренные регуляторы могут выполнять функции аналого-
вых ключей. При этом ключи рассматриваются как частные случаи
регуляторов, работающих в двух режимах. В одном из них к
управляющим входам прикладывается отпирающее напряжение.
Коэффициент передачи принимает максимальное значение Ня= 1, и
442
ключ пропускает аналоговый сигнал на выход. В другом—к
управляющим входам прикладывается большое запирающее на-
пряжение. Устройство имеет минимальный коэффициент передачи
(Яи«0) и лишь малая доля входного сигнала из-за наличия в
выходной цепи сопротивлений утечки, проходной и монтажных
емкостей проходит на выход. Этот режим соответствует выклю-
ченному состоянию ключа.
18.4. ФИЛЬТРЫ НА ИНТЕГРАЛЬНЫХ
СХЕМАХ
В электронике широкое применение находят устройства частот-
ной селекции сигналов, пропускающие сигналы в заданной полосе
частот. В некоторых случаях используются устройства, не про-
пускающие сигналы в заданной полосе частот, получившие
название режекторных. Основы теории фильтров разных типов
изложены в гл. 10. Здесь рассматриваются вопросы практической
реализации активных фильтров на перспективной элементной
базе—интегральных микросхемах. Интегральные схемы, специ-
ально разработанные для построения устройств частотной селекции
фильтров, имеют в обозначении буквы СС.
Перспективными базовыми узлами для построения фильтров
являются операционные усилители. Фильтры, сочетающие исполь-
зование 1?С-цепей и усилительных приборов, получили название
активных. Обобщенная макромодель фильтра приведена на
рис. 18.17. Вид АЧХ определяет частотно-селективная цепь, масштаб
характеристики (коэффициент передачи в заданной полосе частот)
обеспечивает усилитель с ООС. В некоторых фильтрах удается
совместить частотно-селективную цепь с цепью ООС. Другими
словами, использовать для реализации фильтра частотно-зависимую
ООС.
Возможности реализации фильтров на интегральных схемах
удобно иллюстрировать на примерах использования ОУ. Данные о
базовых функциональных узлах фильтров на основе ОУ и вид их
АЧХ сведены в табл. 18.2.
В рассматриваемых фильтрах используются такие достоинства
ОУ, как высокое входное и низкое выходное сопротивления. Это
Рис. 18.17
443
представляет разработчику широкие возможности в выборе
элементов, определяющих вид АЧХ, например в активных
7?С-фильтрах использовать дешевые высокоомные резисторы,
дешевые и высокостабильные конденсаторы малой емкости.
Другими достоинствами ОУ, используемыми в фильтрах,
являются два входа и возможность использования ООС и ПОС.
Как видно из табл. 18.2, ООС используется во всех базовых
444
Окончание табл. 18.2
функциональных узлах фильтра. Она обеспечивает стабильность
режима работы ОУ и очень низкое выходное сопротивление
каждого фильтра. Положительная обратная связь используется
для повышения добротности фильтра. Так, в узкополосном
LC-фильтре использование ПОС эквивалентно внесению в контур
отрицательного сопротивления потерь. Таким образом, появля-
ется возможность увеличения добротности контура выше значе-
ний, определяемых конструктивными особенностями контура.
Глубина ПОС регулируется потенциометром R3 и ограничивается
резистором R2, чтобы не произошло самовозбуждения устройства.
Активные фильтры нижних и верхних частот используют по
два 7?С-звена, и поэтому относятся к фильтрам второго порядка.
Рабочая полоса ограничивается частотой среза, на которой
коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ. Для повышения
затухания вне рабочей полосы частот используют последователь-
ное соединение однотипных базовых узлов. Для построения
полосовых фильтров используют последовательное соединение
разнотипных базовых узлов.
Узкополосный LC-фильтр представляет, по сути, разновид-
ность инвертирующего масштабного усилителя с частотно-зависи-
мой ООС. При отсутствии ПОС (Я3 = 0) на частоте резонанса
контур представляет собой высокоомное активное сопротивление
и коэффициент передачи фильтра может быть рассчитан по
формуле
Яи0= -JR3//?1 = 2Jt/oLMe/JR1 = 0/(27t/oCI[l?1).
При введении ПОС увеличивается значение Ни0 и сужается полоса
пропускания фильтра: 2&f=Hu()IQ.
Избежать применения индуктивности в узкополосном фильтре
(что особенно желательно в низкочастотных устройствах) позво-
ляет использование двойного Т-образного моста. При точном
подборе одноименных элементов моста в соотношениях, указан-
ных на схеме узла с ЛС-фильтром в табл. 18.2, ослабление,
обеспечиваемое мостом на частоте квазирезонанса /с= 1/(2я/?С),
445
стремится к бесконечности, а фазовый сдвиг выходного напряже-
ния по отношению ко входному стремится к нулю. Следова-
тельно, по основным свойствам двойной Т-образный мост
напоминает параллельный колебательный контур, рассмотренный
в § 3.4. Добротность такой частотно-селективной цепи можно
уменьшить, подключив к ней резистор Rv Выбором сопротивле-
ния /?! можно добиться требуемой полосы пропускания фильтра.
Указанные свойства двойного Т-образного моста используются
в режекторном фильтре (см. табл. 18.2). На частоте режекции мост
представляет собой очень большое сопротивление, и, следова-
тельно, фильтр эффективно ослабляет эту частоту. Операционный
усилитель выполняет здесь функцию высококачественного буфер-
ного усилителя, способствующего получению высокой добротости
фильтра. В фильтре используется 100% ООС по напряже-
нию. Поэтому максимальный коэффициент передачи вне полосы
режекции не превышает единицы. Глубокая ООС обеспечивает
высокую стабильность режима работы фильтра.
18.5. АВТОГЕНЕРАТОРЫ НА ИНТЕГРАЛЬНЫХ
СХЕМАХ
Автогенераторами называются устройства для генерации элек-
трических колебаний требуемой формы, частоты и мощности за
счет использования энергии источников питания. Они находят
широкое применение в радиопередающих, радиоприемных и
телевизионных устройствах, в измерительной технике, в системах
многоканальной связи и др.
Обобщенная макромодель автогенератора приведена на
рис. 13.3. Как видно, автогенераторы реализуются на усили-
телях, охваченных цепями ПОС и ООС. В качестве цепей,
задающих частоту генерации, используют частотно-селектив-
ные цепи (LC-контуры, ЯС-цепи и кварцы). Элементы, за-
дающие частоту генерации, включаются в цепь либо ООС,
либо ПОС.
В зависимости от формы генерируемых колебаний различают
автогенераторы синусоидальных (гармонических) и импульсных
сигналов. Ниже рассматриваются основные типы автогенераторов
синусоидальных сигналов, реализованные на основе ОУ. Импульс-
ные автогенераторы рассматриваются в гл. 19.
На рис. 18.18,о приведена схема LC-автогенератора. По виду
она напоминает схему узкополосного ГС-фильтра, описанного в
§ 18.5, однако здесь используется более глубокая ПОС. Баланс фаз
обеспечивается наличием в устройстве положительной обратной
связи, обеспечиваемой подключением резисторов R2, R3 между
выходом и неинвертирующим входом ОУ. Баланс амплитуд
достигается правильным выбором сопротивлений резисторов R2,
R3, чтобы- выполнялось условие
446
Рис. 18.18
я-я-=^я->‘-
Здесь под Ни подразумевается масштабный коэффициент усиления
H^RJR^ где R3—сопротивление контура на частоте резонанса.
Частота генерации определяется элементами LC-контура и рас-
считывается по известной формуле (/^ = 1 /(2л
Для анализа свойств описанного генератора можно воспользо-
ваться соотношениями, приведенными в § 13.2, представив ОУ
высококачественным эквивалентом транзистора с коэффициентом
усиления Ни и дифференциальной крутизной Soy.
Избежать применения индуктивностей, что важно в низко-
частотных автогенераторах, позволяет применение селективных
ЛС-цепей. Наибольшее применение в RС-автогенераторах полу-
чила так называемая полосовая фазирующая цепь (рис. 8.17,6),
включенная между выходом и неинвертирующим входом ОУ. На
частоте генерации ослабление, вносимое этой цепью ЛО«3,3, а
фазовый сдвиг <ро=0. Поэтому используемый способ подключения
фазирующей цепи к ОУ обеспечивает выполнение баланса фаз.
Для выполнения условия баланса амплитуд усилитель должен
скомпенсировать затухание, вносимое фазирующей цепью на
частоте генерации. Это просто достичь выбором элементов цепи
ООС (резисторов R{ и R2) при условии R2/{R1 + R2) = HOOC = A0.
Нетрудно также обеспечить неравенство ЯООС»Л0, что означает
выполнение условия генерации одновременно для многих частот.
В этом случае вместо генерации колебаний синусоидальной формы
генерируется колебание сложной формы, близкое к прямоуголь-
ной. Для обеспечения высокой точности равенства НООС=А0 схему
генератора усложняют узлом автоматической регулировки усиле-
ния ОУ.
Если вместо резисторов R фазирующей 1?С-цепи использовать
управляемые напряжением сопротивления, то реализуется генера-
тор с электронной перестройкой частоты. Схема 7?С-авто-
447
генератора с электронной перестройкой частоты приведена на
рис. 18.17, в. Здесь в качестве управляемых сопротивлений исполь-
зуется сдвоенный ПТ, у которого проводимость канала GK
является линейной функцией управляющего напряжения: GK =
= 7- =со(^зи<>тс-^упр)/^зиотс- Подставляя это выражение в фор-
^си
Г 1
мулу для расчета частоты генерации, получаем /0 =-----------=
2nRC
= Go (СЗИотс — £/упр)/2яС£/ЗИотс.
При изменении постоянного управляющего напряжения про-
исходит электронная перестройка частоты. Если в качестве
управляющего напряжения использовать низкочастотное колеба-
ние, то по закону изменения амплитуды этого колебания будет
изменяться частота автогенератора, т. е. будет осуществляться
частотная модуляция.
Для получения высокой стабильности частоты автогенераторов
к элементам LC-контуров и ЛС-цепей предъявляются жесткие
требования как по точности выбора элементов, так и по их
температурной стабильности. Нестабильность частоты, достигаемая
в обычных LC-генераторах, составляет 10-3 ... 10-4%/°С,
7?С-генераторов—примерно на порядок ниже.
Гораздо лучшие показатели стабильности частоты обеспечивают
кварцевые генераторы. Схема кварцевого генератора приведена на
рис. 18.18, г. Здесь кварц используется в качестве эквивалентной ин-
дуктивности. Он образует с емкостью конденсатора С последова-
тельный колебательный контур, имеющий на частоте резонанса ми-
нимальное сопротивление (см. § 3.3). Следовательно, на этой частоте
ПОС достигает максимума и возникает генерация. Для стабилизации
режима усилитель охвачен глубокой ООС по постоянному
напряжению. Для облегчения выполнения условия баланса амплитуд
ООС на частоте генерации устраняется правильным выбором
емкости конденсатора С3. Для этого необходимо выполнение
условия Хс1 = 1 /(2 л/0 R. В термостатированных кварцевых
генераторах достигается нестабильность частоты порядка 10”* % /°C.
Глава 19. ИМПУЛЬСНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
УСТРОЙСТВА
19.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В гл. 18 рассматривались аналоговые устройства, в которых
сигналы представляли собой непрерывные функции времени.
Однако наряду с ними широко распространены импульсные
448
Рис. 19.1
устройства, у которых сигналы являются дискретными функциями
(кратковременное воздействие сигнала чередуется с паузой).
Импульсные устройства удобно классифицировать по фор-
ме используемых сигналов. На рис. 19.1 показаны формы ос-
новных типов импульсов: прямоугольный (о), пилообразный (б),
экспоненциальный (в), колоколообразный (г), ступенчатый (д'),
трапецеидальный (е). Импульсные устройства часто работают с
последовательностями периодических импульсов (ж), а иногда с
пакетами высокочастотных колебаний, называемыми радиоим-
пульсами (з).
Большую группу импульсных устройств составляют генерато-
ры прямоугольных сигналов, для обозначения которых согласно
ГОСТ 18682—73 используют буквы ГГ. Генераторы линейно
изменяющихся сигналов обозначаются ГЛ, а генераторы сигналов
специальной формы обозначаются ГФ.
Для усиления сигналов импульсной формы требуются широко-
полосные усилители (обозначаемые УК), повторители напряжения
(УЕ) и специальные импульсные усилители (УИ).
Группа импульсных устройств, работающих с одиночными
прямоугольными импульсами (рис. 19.1, а) или с последователь-
ностями прямоугольных импульсов (рис. 19.1, ж), выделилась (в
силу большой значимости в современной электронике) в самостоя-
тельный класс цифровых устройств и рассматривается в гл. 20.
Импульсные устройства, как правило, используют ключевой
режим работы электронных ламп и транзисторов в отличие от
активного режима, используемого в аналоговых устройствах.
Импульсный режим работы имеет ряд преимуществ перед
активным режимом, что обеспечивает следующие достоинства
импульсных устройств.
1. В импульсном режиме достигается большая мощность во
время действия импульсов при малом значении средней мощности
устройства. Поэтому импульсные устройства обладают меньшими
массой и габаритными размерами.
449
15 - 3430
2. При использовании . импульсного режима может быть
расширен температурный интервал работы полупроводниковых
приборов и снижены требования к разбросу их параметров.
Первое объясняется уменьшением энергии, выделяемой в полупро-
водниковых элементах устройства, второе—использованием клю-
чевого режима. Разброс параметров может привести к некоторому
искажению формы импульсов, однако это не является существен-
ным, если в данном случае не искажается информация, заключен-
ная в определенном сочетании импульсов. Указанная особенность
объясняет повышенную помехоустойчивость импульсной элект-
ронной аппаратуры.
3. Для реализации импульсных устройств любой сложности
требуются однотипные элементы, легко выполняемые методами
интегральной технологии.
В аналоговых устройствах нередко используется режим малого
сигнала, а устройства, в которых применяется такой режим рабо-
ты, являются ,линейными. В линейных устройствах амплитуды
переменных составляющих напряжений и токов существенно меньше
значений постоянного тока и постоянного напряжения, используе-
мых для установки режима электронных ламп или транзисторов. При
этом параметры усилительных приборов считают неизменными, так
как используются линейные участки ВАХ.
На практике находят применение и устройства, работающие в
режиме больших сигналов. В этих устройствах используется
практически вся область ВАХ электронных приборов. При этом
параметры приборов не остаются постоянными, а меняются в
значительных пределах. Устройства, работающие в режиме боль-
ших сигналов, являются нелинейными. Простейшими, уже знако-
мыми примерами нелинейных устройств являются усилители
мощности при больших амплитудах входного напряжения, а также
электронные ключи цифровых сигналов.
Основными типами нелинейных устройств являются: ограничи-
тели; выпрямители; де1скторы—устройства для выделения тре-
буемого сигнала из сш пала более сложной формы; умножители
частоты; преобразова1ели частоты; модуляторы.
Особую группу составляют устройства, у которых в процессе
работы параметры меняются не только в зависимости от
электрического режима, но и от времени. Такие устройства
получили название нелинейно-параметрических.
К нелинейно-параметрическим относят-устройства, использую-
щие нелинейно-параметрические резисторы, емкости и индуктив-
ности.
Общей отличительной особенностью нелинейных устройств
является резкое отличие спектра выходного сигнала от спектра
входного сигнала Эта -особенность позволяет решать задачи
умножения, преобразования, модуляции и детектирования сигна-
лов, рассмотренные в гл. 12.
450
19.2. ИМПУЛЬСНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
Для усиления сигналов импульсной или сложной формы
необходимы усилители, способные работать в широкой полосе
частот (от единиц герц до многих мегагерц). Анализ таких
усилителей проводят в предположении, что на их входы подаются
идеальные импульсы прямоугольной формы. Как показано в § 6.3,
импульсный сигнал прямоугольной формы характеризуется широ-
ким спектром гармонических составляющих. Передний и задний
фронты импульса определяются высокочастотной частью спектра,
а вершина импульса—его низкочастотной частью. Следовательно,
для малоискаженной передачи фронтов импульса необходимы
усилители с хорошими высокочастотными свойствами (большими
значениями верхней рабочей частоты), а для малоискаженной
передачи плоской вершины требуются усилители с малыми
значениями нижней частоты (в идеальном случае /н=0, что
характерно для усилителей постоянного тока).
Для построения импульсных усилителей необходимы широко-
полосные каскады усиления. Показателем качества широкополос-
\ ного каскада усиления является его площадь усиления'. Syc = Hofarp,
где Но—коэффициент усиления на средних частотах; JB гр—верх-
няя граничная частота. Для построения широкополосных усилите-
лей используются усилительные приборы с максимальным отно-
шением крутизны к емкости, нагружающей каскад Со, что следует
из выражения: Syc = 5/(2лС0).
До разработки интегральных усилителей импульсные усилите-
ли выполнялись на основе каскадного соединения резисторных
каскадов усиления, обладающих хорошими частотной, фазовой и
переходной характеристиками. Дополнительно для расширения
полосы усиливаемых частот в резистивных каскадах использова-
лись цепи коррекции. Данные о резистивных каскадах с низкочас-
тотной и высокочастотной коррекциями приведены в табл. 19.1
(варианты а и б соответственно).
Низкочастотная коррекция осуществляется цепочкой Сф/?ф,
включенной в выходную цепь каскада. Такая схема коррекции
удобна тем, что цепочка Сф/?ф одновременно выполняет роль
развязывающего фильтра, защищающего каскад от паразитной
обратной связи через общий источник питания. Как видно из
эквивалентной схемы, приведенной в табл. 19.1, вариант а,
эквивалентное сопротивление нагрузки R3 образовано параллель-
ным соединением внутреннего сопротивления транзистора Rt,
сопротивления внешней нагрузки RB и выходной цепи, образован-
ной резистором Rc и цепочкой СфЛф.
Емкость Сф берут такой, чтобы на средних и верхних частотах
ее сопротивление было мало по сравнению с сопротивлением Rc.
При понижении частоты полное сопротивление цепочки Сф 7?ф
увеличивается и, следовательно, возрастает и эквивалентное
451
Таблица 19.1
сопротивление нагрузки каскада. Это приводит к увеличению
коэффициента усиления каскада в области низких частот: Н=
=SB T R3. Таким образом, будет скомпенсировано снижение усиления
на низких частотах из-за влияния емкости конденсатора межкаскад-
ной связи. При соответствующем выборе элементов Сф7?ф схема
низкочастотной коррекции позволяет расширить полосу пропуска-
ния каскада в области низких частот в 3...5 раз. Эффективность
действия низкочастотной коррекции повышается с уменьшением
отношения сопротивлений Rc /IL, а также с увеличением коэффициен-
та низкочастотной коррекции лич = Сф1?с/(С7?н). Характеристика с
наиболее широкой полосой усиливаемых частот, но без подъема,
соответствует при /?с/Лф=0,5 коэффициенту Хнч=1,4.
Два способа высокочастотной коррекции позволяет реализовать
.схема, приведенная в табл. 19.1, вариант б. Первый способ
осуществляется включением корректирующей индуктивности L
последовательно с резистором Re. Как видно из эквивалентной
схемы, эта индуктивность образует с эквивалентной емкостью Со,
нагружающей каскад, параллельный колебательный контур. Ин-
дуктивность катушки L выбирается малой, поэтому ее влияние
сказывается только в области верхних частот. Вид частотной
характеристики зависит от выбора коэффициента высокочастотной
коррекции Kg4 = L/C0/?c- Эффективность высокочастотной коррек-
ции возрастает с увеличением коэффициента А^ ч. При Кв ч = 0,414
наблюдается подъем в области верхних частот.
Второй способ высокочастотной коррекции реализуется при
соответствующем выборе элементов цепи истока: емкости конден-
452
сатора Си и сопротивления резистора 1?и. Включение резистора /?и
в цепь истока транзистора приводит к возникновению в каскаде
последовательной ООС, уменьшающей усиление в широкой полосе
частот. Включение конденсатора малой емкости Си параллельно
/?и приводит к ослаблению глубины ООС лишь на верхних
частотах. Это увеличивает усиление каскада на верхних частотах,
компенсируя его уменьшение от влияния емкости Со, нагружаю-
щей каскад. Использование высокочастотной коррекции позволяет
увеличить площадь усиления каскада в 1,5...2 раза.
При необходимости создания мощных усилителей импульсных
сигналов применяют специальные технические решения. Парал-
лельное соединение усилительных приборов не решает задачи, так
как несмотря на рост эквивалентной крутизны наблюдается и
соответствующее увеличение эквивалентной емкости Со, что
заставляет снижать 7?э. Избежать отмеченного недостатка удается
в усилителе с распределенным усилением (рис. 19.2), использую-
щем режим бегущей волны. В таком усилителе общая крутизна
используемых транзисторов равна сумме крутизны отдельных
транзисторов: S3=nS„ T.
Емкости в цепях стоков Сс и затворов С, образованы
междуэлектродными и монтажными емкостями. Суммирование
одноименных емкостей не происходит, что достигается включени-
ем разделительных индуктивностей Lc и L3. По сути, во входной и
выходной цепях образуются две искусственные линии бегущей
волны, что обеспечивается равенством волнового сопротивления
входной линии р3 сопротивлению источника сигнала RT, а
волнового сопротивления выходной линии рс сопротивлению
нагрузки 1?н. Для того чтобы не было отражений' от концов
входной и выходной линий, их нагружают активными резисторами
Яс = рс, Лэ=Рз-
Индуктивность звеньев линий Le и Д выбирают таким
образом, чтобы скорость распространения сигнала в режиме
бегущей волны по обеим линиям была одинаковой. Это обеспечи-
453
вается при LcCc = L3C3. В этих условиях напряжение сигнала,
распространяющегося по выходной линии вправо, суммируется с
напряжениями сигнала, поступающего от следующих транзисто-
ров, и на нагрузке R„ в конце выходной линии создается усиленное
напряжение сигнала: UBm = nSnxUm^, где п—число транзисторов
усилителя. 2
Из-за сложения токов сигнала отдельных транзисторов в
нагрузке выделяется требуемая мощность усиливаемого сигнала.
В рассмотренном усилителе отношение 5пт/С0 и площадь
усиления оказываются в п раз больше, чем каждого используемого
в усилителе транзистора. Описанное техническое решение позволя-
ет создавать импульсные усилители с рабочей полосой частот в
сотни мегагерц.
Импульсные усилители с полосой пропускания от единиц до
десятков мегагерц в настоящее время изготавливаются в виде
интегральных схем, выполненных по схемам усилителей постоян-
ного тока с использованием СВЧ транзисторов, имеющих
максимальные отношения крутизны 5ПТ к междуэлектродным
емкостям.
19.3. ОГРАНИЧИТЕЛИ АМПЛИТУДЫ
ИМПУЛЬСОВ
Амплитудным ограничителем называют устройство, напря-
жение на выходе которого повторяет форму входного на-
пряжения, если последнее не выходит за уровни ограниче-
ния, и почти не изменяется, если входное напряжение пре-
вышает эти уровни. Ограничитель можно представить в виде
нелинейного четырехполюсника с амплитудной характеристи-
кой, изображенной на рис. 19.3 (для двустороннего ограни-
чения).
Роль нелинейного элемента в ограничителях выполняют
диодные и транзисторные ключи на дискретных или на интеграль-
ных компонентах (при использовании транзисторных ключей
наряду с ограничением можно получить и усиление сигналов).
В простейшем случае ключ—двухполюсник (например, ключ на
диоде). В зависимости от способа включения ключа различают
последовательные и параллельные схемы ограничителей. Последо-
вательная схема работает в режиме ограничения, когда ключ
разомкнут, а параллельная— когда ключ замкнут. Уровень и порог
ограничения могут быть заданы с помощью дополнительных
источников напряжения, включаемых в схему.
Ограничители используют: для формирования импульсов с
постоянной амплитудой; выравнивания вершины импульсов, полу-
чивших какие-либо искажения при передаче через цепи; получения
напряжения, по форме близкого к прямоугольному, из синусои-
454 ,
дальнего напряжения. Ограничители позволяют осуществлять
выделение (селекцию) импульсов по амплитуде.
Различают ограничители по максимуму (ограничение сверху), у
которых напряжение на выходе ивых остается практически на
постоянном уровне, когда входное напряжение мвх превышает
некоторое пороговое значение С/п1; ограничители по минимуму
(ограничение снизу), у которых ивых остается на постоянном
уровне, когда ивх принимает значение ниже порогового (7п2, и
двухсторонние ограничители, у которых выходное напряжение
остается на постоянном уровне, если ит выходит за пределы
пороговых уровней Ual и С7п2: t/n2 wBX^ (7П1.
На рис. 19.3 показано двухстороннее ограничение синусоидаль-
ного напряжения. Здесь U01 и Uo2—уровни ограничения сверху и
снизу.
К основным параметрам ограничителя относятся коэффициен-
ты передачи (отношение приращений выходного напряжения к
входному) в области ограничения Нотр и в области пропускания Нар.
Основными требованиями к ограничителю являются: высокая
стабильность положения точек излома его характеристики, высо-
кая точность ограничения (т. е. высокое постоянство выходного
напряжения в области ограничения), высокая линейность схемы в
области пропускания (вне области ограничения).
На рис. 19.4 приведена схема двустороннего диодного ограни-
чителя (параллельного). Двусторонние диодные ограничители
получают путем сочетания двух односторонних ограничителей
(последовательных или параллельных).
Напряжения источников питания Uoi и Uo2 задают уровни
ограничения (см. рис. 19.3), а Ло—резистор, определяющий
четкость ограничения (без этого резистора в данном устройстве
455
ограничения не будет, так как даже при открытом диоде все
напряжение wBX будет передаваться на выход).
Коэффициент передачи в .режиме пропускания (при условии,
что среднее значение обратного сопротивления диода удов-
летворяет неравенству рассчитывается по формуле
Нпр =/?н/(/?„ +/?0). В режиме ограничения (когда один из диодов
открыт) значение сопротивления диода R„p обычно значительно
меньше значения сопротивления резистора Ro (Ro выбирается из усло-
вия: /?0»/?пр), поэтому коэффициент передачи H0=Rnp/(R+R0).
Если выполняется условие Rnp-^.R0<^RB-^zRo6p, то Япр»1,
Яогр«0; уровни ограничения (и пороги ограничения) определяются
опорными напряжениями U01 и Uo2.
При положительной полярности входного сигнала и выпол-
нения неравенства um>U01 диод VD2 закрыт, а диод KDl отк-
рыт. Напряжение на выходе схемы (при выполнении условия
Rnp<$zR0<z:RB<^Ro6„) uam = uaa+U01, где иак—напряжение на
открытом диоде vDt, так как обычно ua.t<zUol, то мвых~Со1
(на рис. 19.3 интервал времени от tx до if2). При отрицатель-
ной полярности входного сигнала и выполнения неравенства
wBX<Co2 диод закрыт, поскольку напряжение на его аноде
меньше напряжения на катоде. При этом диод КО2 открыт и
напряжение на выходе зафиксировано на уровне мвых = С/о2 +
+ иа.х«(7о2 (на рис. 19.2 интервал времени от t3 до t4). При
Яо2 < ивых < t/oi закрыты оба диода, и входной сигнал передается
на нагрузку RB.
Усилители-ограничители. Транзисторный ключ, а также тран-
зисторные логические элементы могут использоваться в качестве
ограничителей, имеющих два порога ограничения. Первый порог
(ограничение снизу) определяется уровнем входного напряжения
ивх, при котором транзистор закрыт, а второй (ограничение
сверху)—уровнем мвх, при котором транзистор открыт. Усили-
тель-ограничитель в режиме двустороннего ограничения часто
применяется для формирования из синусоидального напряжения
импульсов с крутыми фронтами.
19.4. ГЕНЕРАТОРЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ИМПУЛЬСОВ
Для получения импульсов прямоугольной формы применяются
устройства, принцип работы которых основан на использовании
электронных усилителей с ПОС. К этим устройствам относятся
так называемые релаксационные генераторы — мультивибраторы,
блокинг-генераторы.
Генераторы релаксационных колебаний используются в качест-
ве запускающих и переключающих элементов, для деления
частоты, в качестве времязадающих элементов, для получения
развертки электронного луча в электронно-лучевых трубках. Эти
456
генераторы могут работать в одном из следующих режимов:
ждущем, автоколебательном (см. гл. 13), синхронизации и деления
частоты.
В ждущем режиме генератор имеет состояния устойчивого
равновесия и квазиравновесия. Переход из первого состояния во
второе происходит под воздействием внешнего запускающего
импульса, а обратный переход—самопроизвольно по истечении
некоторого времени, определяемого параметрами устройства.
Таким образом, в ждущем режиме генерируется один импульс с
определенными параметрами при воздействии запускающего им-
пульса. Основными требованиями к таким генераторам являются
стабильность длительности формируемого импульса и устойчи-
вость его исходного состояния.
В режиме автоколебаний у генератора нет состояния устойчи-
вого равновесия, имеются два состояния квазиравновесия. Генера-
тор переходит из одного состояния квазиравновесия в другое без
внешних воздействий, генерируя импульсы, параметры которых
зависят от параметров устройства. Основным требованием,
предъявляемым к релаксационным генераторам в автоколебатель-
ном режиме, является стабильность частоты автоколебаний.
В режиме синхронизации частота повторения импульсов опреде-
ляется частотой внешнего синхронизирующего напряжения. Часто-
та повторения генерируемых импульсов равна или кратна частоте
синхронизирующего напряжения.
Мультивибраторы. Мультивибратором называется релаксаци-
онный автогенератор, представляющий собой двухкаскадный
/?С-усилитель с емкостной ПОС между каскадами. Мультивибра-
торы могут быть реализованы на основе транзисторных ключей,
операционных усилителей и интегральных логических схем.
Автоколебательные мультивибраторы используются в качестве
генераторов прямоугольных импульсов с заданной длительностью
и частотой повторения в тех случаях, когда нет жестких
требований к стабильности этих параметров. Такие мультивибра-
торы не имеют длительно устойчивых состояний равновесия.
Простейшая схема автоколебательного мультивибратора при-
ведена на рис. 19.5. Схема имеет перекрестные коллекторно-базо-
вые связи транзисторных каскадов, осуществляемые через емкости
конденсаторов и С. Временные диаграммы напряжений на
базах и коллекторах обоих транзисторов приведены на рис. 19.6.
В момент времени ?=0 напряжение на конденсаторе Ct и на
базе транзистора V7\ равно нулю. Так как напряжение на
конденсаторе С2 равно Un, напряжение на базе транзистора VT2
будет равно +СП, а в связи с тем, что С/с1 = 0, напряжение на
коллекторе VT2 будет равно нулю. В схеме начнется заряд
емкости конденсатора С2 со скоростью, определяемой постоянной
времени т3 = /?1[2С1, и перезаряд емкости конденсатора С2 со
скоростью, определяемой постоянной времени tp = R^2C2. При
457
этом напряжения на коллекторе и на базе транзистора VT2 будет
стремиться к — U„.
В момент t = t1 напряжение мБ2 станет равным нулю, транзистор
VT2 откроется, a V7\ окажется закрытым. В результате этого
напряжения на базе первого транзистора и коллектора второго
транзистора скачком изменятся на величину + Un. В схеме начнется
заряд емкости конденсатора С2 и перезаряд емкости конденсатора
Ср В момент t=t2, когда напряжение на базе первого транзистора
станет равным нулю, произойдет новый переброс ключей и т. д.
Длительность импульса на коллекторе VT2 соответствует
времени пребывания транзистора в закрытом состоянии и
определяется временем разряда емкости конденсатора Ct: Тр=
= /?б) Сг1п2 » 0,77?б1 Ci. Период колебаний Т = 0,7 Сх + Т?б2 С2 ).
Длительность фронта выходного импульса равна времени заряда
емкости конденсатора Сх через 7?ж2:гф = Зт3 = ЗЛк2 С.
Блокинг-генераторы. Блокинг-генератором называется однокас-
кадный релаксационный генератор с сильной ПОС, осуществляе-
мой импульсными трансформаторами (обычно с ферромагнитными
сердечниками (см. § 4.5), обладающими малыми паразитными
параметрами).
Достоинствами блокинг-генераторов являются: относитель-
ная простота схемы; способность формировать мощные им-
пульсы, близкие по форме к прямоугольным; возможность
подключения нагрузки через трансформатор. Блокинг-генера-
торы применяются в качестве источников коротких импуль-
сов с крутыми фронтами повторяющихся с относительно боль-
шой скважностью, а также в качестве
преобразователей постоянного на-
пряжения низкого уровня в на-
пряжение более высокого уровня.
Важнейшими параметрами бло-
кинг-генераторов являются: длитель-
ность формируемых импульсов и их
стабильность, предельная частота
срабатываний.
458
Рис. 19.7
Рис. 19.8
Блокинг-генераторы, как правило, строятся на дискретных
компонентах. Стабильность частоты электрических колебаний на
выходе блокинг-генератора невысока, поэтому блокинг-генераторы
чаще используются в ждущем режиме.
На рис. 19.7 приведена схема блокинг-генератора на транзисто-
ре типа р=п=р, работающая в ждущем режиме. Обмотки wx и w6
включены так (начала обмоток отмечены точками), чтобы
обратная связь была положительной. Нагрузка Rn подключена с
помощью дополнительной обмотки wH = A^TpwK и включается для
ограничения коллекторного тока на уровне, не превосходящем
допустимый для данного транзистора.
Исходное состояние. В исходном состоянии транзистор закрыт. Напряжение
смещения С7Б выбрано запирающим. При этом напряжение на базе закрытого
транзистора мБЭ=^Б. Напряжение на коллекторе транзистора ик— — UK, напряже-
ние на обмотках и\, wH равны нулю (и1=0, и2 = 0); ток намагничивания и
магнитный поток в сердечнике также равны нулю. Исходное состояние является
состоянием устойчивого равновесия.
Запуск и опрокидывание. Блокинг-генератор запускается введением в цепь базы
отпирающего импульса тока (рис. 19.8). При открытии транзистора восста-
навливается действие ПОС и возникает лавинообразный (регенеративный) процесс
роста коллекторного и базового iK токов транзистора: рост скорости изменения
коллекторного тока iK приводит к росту абсолютного значения напряжения и2 (на
базовой обмотке и>б), имеющего отрицательную полярность; последнее приводит к
росту /Б и /к.
Если коэффициент петлевого усиления HQ (см. § 7.10) больше единицы, то рост
токов zK, /Б и напряжений их, и2 на обмотках трансформатора носит лавинообразный
характер. Регенеративный процесс изменения токов и напряжений длится до тех
459
пор, пока действует положительная обратная связь и выполняется условие Но>\.
Нарушение этого условия наступает при переходе транзистора в режим насыщения
в результате роста базового напряжения |мБ1 = 1м21 и спада коллекторного
напряжения |мк| = С/к~1м21 (из-за роста IwJ). В результате опрокидывания напряже-
ние ImJ возрастает практически до UK, а |мк| уменьшается практически до нуля.
Формирование импульса. Вершина импульса формируется в интервале работы
транзистора в режиме насыщения. Будем считать, что заряд в базе практически не
меняется в режиме насыщения. После опрокидывания к обмоткам трансформатора
приложены напряжения |wil = £7K, |м21 = ^тР^к и в соответствии с законом
электромагнитной индукции магнитный поток и ток намагничивания должны
возрастать во времени. Увеличение тока намагничивания приводит к увеличению
коллекторного тока /к, который, в свою очередь, * обусловливает рост уровня
граничного заряда в базе транзистора. Этот процесс приводит к тому, что
транзистор в некоторый момент времени переходит из режима насыщения в
активный. В этот момент завершается формирование вершины импульса.
Обратное опрокидывание и восстановление исходного состояния. В момент
перехода транзистора в активный режим восстанавливается действие ПОС и
возникает регенеративный процесс обратного опрокидывания, аналогичный процес-
су при запуске блокинг-генератора. Происходит рассасывание граничного заряда
через коллекторный переход, и транзистор закрывается.
За время обратного опрокидывания ток намагничивания трансформатора не
успевает существенно измениться и к моменту закрывания транзистора в
магнитном поле трансформатора запасена определенная энергия. Восстановление
исходного состояния связано с рассеянием этой энергии—спадом тока намагничи-
вания в контуре ЬкЯяэ(Яяэ = Яя1К*р). В режиме восстановления транзистор закрыт
О’к=О).
Этот процесс может быть колебательным и апериодическим и завершается
сравнительно быстро. Чтобы обеспечить апериодический режим, трансформатор
шунтируют цепочкой Яш, VD, которая влияет только на форму обратного выброса
и уменьшает его амплитуду.
Для получения автоколебательного режима в блокинг-генераторе необходимо
включить в цепь б<ны конденсатор С и выбрать напряжение смещения UB
отрицательной полярности для транзистора ^-л-р-типа и положительной—для
транзистора и-р-и-типа. При этом устойчивое исходное состояние невозможно, если
выполняется ус ювие возникновения регенеративного процесса.
19.5. ГЕНЕРАТОРЫ ЛИНЕЙНО
ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
Генераторами линейно изменяющегося напряжения называют
устройства, напряжение на выходе которых имеет либо линейно
нарастающий, либо линейно падающий участок, либо треуголь-
ную форму (рис. 19.9, а).
Практически все современные генераторы линейно изменяюще-
гося напряжения основаны на использовании заряда или разряда
емкости конденсатора во время рабочего хода с последующим
восстановлением исходного состояния во время обратного хода.
460
Рис. 19.9
Как известно, напряжение на емкости ис связано с током через
него соотношением uc=±Jicdt. Для того чтобы нарастание
напряжения на емкости было линейным, необходимо выполнить
условие duc)dt=const. Поскольку ducldt=icIC, для создания
линейно нарастающего напряжения нужно, чтобы зарядный ток
емкости был постоянен.
Для получения периодической последовательности импульсов
линейно изменяющегося напряжения требуется периодически заря-
жать емкость конденсатора. Таким образом, функциональная
схема генератора линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН)
должна иметь вид, показанный на рис. 19.9, б. Она состоит из двух
основных частей: токостабилизирующего и ключевого устройств
(Zt и Z2).
В генераторе линейно растущего напряжения зарядным двухпо-
люсником Z, (рис. 19.9,6) является устройство, обеспечивающее
по возможности постоянный ток заряда емкости конденсатора
(стабилизатор тока), а разрядным Z2—управляемый ключ, кото-
рый размыкается на время рабочего хода и замыкается во время
паузы между рабочими ходами.
В ГЛИН разрядный двухполюсник представляет собой стаби-
лизатор тока, обычно управляемый, т. е. подключаемый к
конденсатору во время рабочего хода. Зарядным двухполюсником
здесь обычно является сопротивление резистора, постоянно под-
ключенного к конденсатору.
Пилообразное напряжение используется в ряде импульсных
устройств, например в схемах точного измерения времени,
радиолокационных индикаторах, телевизионных ЭЛТ для получе-
ния временной развертки луча, а также для преобразования
напряжения во временной интервал.
Основными параметрами, характеризующими линейно изменя-
ющееся напряжение (ток), являются период Т, длительность
рабочего хода /раб, длительности обратного хода амплитуда
коэффициент нелинейности A:H = (vBMlx-vMi„)/|vmfB|, где
v=du/dt\t=t —скорость изменения напряжения во время рабоче-
го хода v„^ vm-n—соответственно максимальное и минимальное
461
Рис. 19.10
значения скорости. Так как обычно скорость нарастания напряже-
ния изменяется монотонно, то коэффициент нелинейности можно
определить из выражения ^H = (|vHa4|-|vg<>Ii|)/|vIIa4| = |Av/vIia4|, где
гнач, гжон—соответственно значения скорости в начале и конце
рабочего хода.
В качестве ключевых устройств в ГЛИН используют обычные
электронные ключи. Токостабилизирующие устройства более
разнообразны. В зависимости от типа токостабилизирующего
устройства схемы ГЛИН делятся на три вида: с простой
интегрирующей цепью, с токостабилизирующим двухполюсником,
с компенсационными схемами. Генераторы указанных разновид-
ностей могут быть автоколебательными и ждущими.
В ГЛИН с простой интегрирующей цепочкой постоянная
времени цепи заряда т»/раб, т. е. используется только начальный
участок зарядной экспоненты, поэтому ток ic успевает лишь
незначительно измениться относительно своего начального значе-
ния и приближенно может считаться постоянным. Основным
недостатком таких ГЛИН является малый коэффициент использо-
вания напряжения питания (Um/Un).
Принципиальная схема простейшего ГЛИН с транзисторным
ключом и соответствующие диаграммы напряжения приведены на
рис. 19.10. В исходном состоянии при t<t1 (рис. 19.10,6) транзис-
тор насыщен и ток базы IT}KUn!R&. Формирование рабочего хода
происходит в интервале t раб, когда транзистор закрыт входным
отрицательным импульсом. Конденсатор С заряжается от источ-
ника коллекторного питания через резистор R* по закону
и= С7П(1 — ег/’), где т = С/?ж. В конце рабочего хода (момент t2)
напряжение на выходе равно Um. При случайном обрыве в цепи
конденсатора или увеличении длительности запускающего импуль-
са возможен пробой транзистора (обычно (7п»С/т). Для предот-
вращения пробоя включается фиксирующий диод VD. При
напряжении 17ф(С/т< С7ф< 17ждоп) открывается диод и фиксирует-
ся коллекторное напряжение на уровне (7ф (при и < 17ф диод
462
Таблица 19.2
закрыт). Обратный ход формируется после прекращения действия
входного импульса (t>t2). Транзистор открывается. Конденсатор
разряжается через выходное сопротивление открытого транзистора.
Более совершенными являются ГЛИН с токостабилизирующи-
ми двухполюсниками, которые позволяют получить напряжения с
большей линейностью при коэффициенте использования питающе-
го напряжения, близком к единице.
В качестве токостабилизирующего двухполюсника часто исполь-
зуется транзистор. Как известно, при постоянном токе базы
коллекторный ток транзистора мало меняется при изменении
напряжения коллектора в широких пределах. Это свойство
транзисторов используется для стабилизации разрядного или
зарядного тока в ГЛИН. Лучших показателей ГЛИН можно
достигнуть при выполнении их на основе операционных усилителей с
отрицательной (см. табл. 19.2, вариант а), либо с положительной (см.
табл. 19.6, вариант в) обратными связями, рассматриваемых в § 19.6.
19.6. ИМПУЛЬСНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
УСТРОЙСТВА НА ОПЕРАЦИОННЫХ
УСИЛИТЕЛЯХ
Возможности построения импульсных устройств на интеграль-
ных схемах рассмотрим на примерах использования обобщенной
макромодели применений ОУ, приведенной на рис. 17.10.
463
Если в обобщенной макромодели принять следующие условия:
Zi=7?, Z2 = oo, Z3 = oo, Z4=oo, Z5 = 0, Z6 = l/(pQ, то реализуется
устройство с характеристикой прямой передачи, имеющей в
операторной форме вид ивых
pLIx
Как показано в
§ 7.10, деление на р соответствует выполнению операции интегри-
рования. Следовательно, реализованное устройство выполняет
функции интегратора. Данные о схеме и работе интегратора
сведены в табл. 19.2, вариант а. При подаче на входе последова-
тельности прямоугольных импульсов на выходе наблюдается
линейно изменяющееся напряжение. Так как входной сигнал
поступает на инвертирующий вход ОУ, то выходное напряжение
будет в противоположной фазе, что учтено знаком «минус» в
вышеприведенной формуле.
Применение ОУ позволяет добиться повышенной точности
интегрирования по сравнению со случаем использования обычной
интегрирующей цепочки, описанной в § 7.10. Это достигается
благодаря высокому входному и низкому выходному сопротивле-
ниям ОУ. Первая особенность позволяет выбирать достаточно
высокоомные резисторы R, при этом сопротивление источника
сигнала будет оказывать меньшее влияние на работу интегратора.
Вторая особенность позволяет избежать влияния нагрузки на
работу интегратора.
Рассмотренный интегратор может использоваться для реализа-
ции компенсационного ГЛИН. При этом конденсатор С включает-
ся в цепь отрицательной обратной связи ОУ с большим
коэффициентом усиления, что обеспечивает заряд емкости по
закону, близкому к линейному. При достаточно большом значе-
нии коэффициента усиления ОУ изменение зарядного тока по мере
заряда емкости конденсатора С мало и коэффициент нелинейности
также мал. Действительно, при достаточно большом коэффициен-
те усиления Яо и wBX<cl7n |wBblx|«\ис|где i=\Un\/R, а
|t7n| — модуль напряжения источника питания ОУ.
Дифференцирующие устройства. Если в обобщенной макромоде-
ли принять условия Zj = l/(pC), Z2 = oo, Z3 = oo, Z4 = oo, Z5=0,
Z6 = R, то реализуется устройство с передаточной характеристикой
в операторной форме, имеющей вид U„m(p) = — pCRUm(p).
Схема реализованного устройства приведена в табл. 19.2,
вариант б, и выполняет операцию дифференцирования. Здесь
показано, что при подаче на вход дифференциатора синусоидаль-
ного напряжения на выходе наблюдается косинусоидальное
напряжение, дополнительно сдвинутое по фазе относительно
входного на 180°. Последнее объясняется использованием при
работе инвертирующего входа ОУ и учитывается в формуле,
описывающей работу дифференциатора, знаком «минус». Точ-
464
a) б)
Рис. 19.11 Рис. 19.12
ность дифференцирования рассмотренного устройства существенно
выше точности, обеспечиваемой обычной дифференцирующей
цепочкой, описанной в § 7.10.
Здесь так же, как и в случае интегратора, используются важные
достоинства ОУ: высокое входное и низкое выходное сопротивле-
ния, обеспечивающие оптимальные условия работы дифференци-
рующей 1?С-цепи. В частности, нагрузка устройства практически
не оказывает влияния на точность дифференциатора.
Компараторы. Наличие у ОУ двух входов позволяет использо-
вать их в качестве компараторов: устройств, осуществляющих
сравнение измеряемого входного напряжения (ивх) с опорным
напряжением С70П. Простейшая схема компаратора приведена на
рис.' 19.11, а, а его передаточная характеристика—на рис. 19.11,6.
Опорное напряжение представляет собой неизменное по вели-
чине напряжение (в рассматриваемом случае положительной
полярности). Входное напряжение изменяется во времени. При
достижении им уровня опорного напряжения С70П происходит
изменение полярности напряжения на выходе ОУ от значения
до U2, указанных на рис. 19.11,6.
Если принять С7ОП = 0, то компаратор будет осуществлять фик-
сацию момента перехода входного напряжения через нуль. Поэто-
му компараторы иногда называют нуль-органами (переключение
происходит при ит— Соп«0). По сути, компараторы являются
простейшим типом аналого-цифровых преобразователей (АЦП).
При необходимости работы с большими уровнями сравнивае-
мых напряжений, превышающими допустимые паспортные значе-
ния входных напряжений ОУ, на выходах ОУ используют
резистивные делители напряжения.
Широкое применение находит компаратор на основе ОУ с
ПОС, осуществляемой с помощью резисторов Rt, R2. Такой
компаратор получил название триггера Шмитта. Как видно из
рис. 19.12,6, компаратор обладает гистерезисом, что объясняется
наличием цепи ПОС.
Переключение схемы в состояние U2 происходит при достиже-
нии входным напряжением уровня срабатывания 1/ср, а возвраще-
ние в исходное состояние — при uBhK = Ur, при снижении им до
напряжения отпускания С70ТП.
465
Значения входных пороговых напряжений определяются по
формулам Uej = Ui Rtl(Rv+R2y, Uon=U2Rll{Rl +R2). Отсюда
можно определить ширину зоны гистерезиса:
Ягист = UCD-Uom = -^—(U2-Ur ).
Важнейшим показателем ОУ в рассматриваемых случаях
является их быстродействие, оцениваемое задержкой срабатывания
и временем нарастания выходного напряжения. Задержка сра-
батывания оценивается задержкой выходного импульса. Луч-
шим быстродействием обладают специальные ИС компараторов,
представляющие собой специализированные ОУ. Повышенное
быстродействие в них достигается использованием СВЧ транзис-
торов и исключением режима их насыщения.
Выпрямители и детекторы. Выпрямителями называют устройст-
ва для преобразования переменного напряжения в постоянное.
Детекторами называют устройства для выделения абсолютной
величины сигнала. Как было показано в § 12.6, для детектирова-
ния используют приборы с односторонней проводимостью, напри-
мер полупроводниковые диоды. Но, как видно из рассмотрения
ВАХ диода при малых сигналах, он обладает неприемлемо
большой нелинейностью. Избежать этого недостатка позволяет
использование ОУ совместно с диодами в цепи ООС, как показано
в табл. 19.3, варианты а, б.
Применение ОУ позволяет осуществить выпрямление и де-
тектирование сигналов амплитудой от нескольких милливольт и
выше с высокой точностью. Передаточная характеристика рас-
сматриваемых устройств напоминает ВАХ идеального диода.
Поэтому в литературе рассматриваемые устройства часто назы-
вают «идеальными» диодами.
Рассмотрим принцип действия выпрямителя на основе ОУ
(табл. 19.3, вариант а). Для положительной полуволны входного
сигнала диод VD2 открыт и на выходе выделяется напряжение
отрицательной полярности (так как входной сигнал подается на
инвертирующий вход). В отличие от обычного выпрямителя на
диоде здесь коэффициент передачи может быть больше единицы,
так как он задается сопротивлениями цепи ООС: Яос=1/#оос =
=(Ri + R2 + Rt)/R2, где RT—сопротивление источника сигнала.
Для отрицательной полуволны сигнала диод VD2 закрыт, но
открыт диод VDr, который закорачивает вход и выход ОУ.
В этом случае ОУ не обладает свойством усиления напряжения, и
на выходе выпрямителя напряжение практически равно нулю.
Минимальные значения входных напряжений, которые могут
быть выпрямлены с достаточной точностью, зависят от коэффи-
циента усиления ОУ (Яы). Диод VD2 практически переходит в
открытое состояние при входном напряжении, большем его
порогового значения Ua, т. е. при ит>иДНи. Следует учитывать,
466
Таблица 19.3
что точность работы выпрямителя снижается с увеличением
частоты, это объясняется уменьшением Ни с ростом частоты.
Для выпрямления отрицательных полуволн входного сигнала
можно закоротить инвертирующий вход устройства, а сигнал
подать на неинвертирующий вход ОУ. Другой способ выпрямле-
ния отрицательных полуволн входного сигнала реализуется в
схеме варианта б табл. 19.3. Как видно, она отличается от
рассмотренной выше противоположным включением диодов.
Включение диода VD в цепь ООС (табл. 19.4, вариант а)
позволяет реализовать логарифматор; включение диода последо-
вательно со входом (табл. 19.4, вариант б) обеспечивает реализа-
цию антилогарифматора.
Пороговое устройство. Включение диодного моста в цепь ООС
ОУ позволяет реализовать высокоточное пороговое устройство.
Схема устройства приведена на рис. а, табл. 19.5. При малых
входных сигналах ОУ не обладает свойством усиления напряже-
ния, так как инвертирующий вход и выход ОУ зашунтирован
малым сопротивлением диодов моста. При определенном значе-
нии напряжения входного сигнала диодный мост закрывается.
В этом случае ОУ имеет максимальный коэффициент усиления по
напряжению, и на выходе устанавливается напряжение 4- U„ или
— Ua в зависимости от полярности входного напряжения. Условия
закрывания диодного моста определяются выбором управляющих
напряжений + Супр1 и — Супр2. Очевидно, изменяя условия
467
Таблица 19.4
468
закрывания моста, можно менять пороги срабатывания устройства
((7Х и U2). Формулы для расчета Ur и U2 в зависимости от
значений управляющих напряжений приведены в табл. 19.5,
вариант а.
Важными достоинствами рассмотренного устройства являются
возможность установки требуемого порога срабатывания и высо-
кая точность работы устройства. Следует отметить существенное
отличие свойств рассмотренного устройства от пороговых уст-
ройств с цепями ПОС, обладающих разными порогами сраба-
тывания и возврата в исходное состояние (т. е. гистерезисом).
В рассмотренном устройстве вместо ПОС используется ООС, при
этом пороги срабатывания (при uM>Unop) и возврата в исходное
состояние (при иВх^^поР) соответствуют с высокой точностью
одному и тому же значению напряжения (Uaop=U1 при положи-
тельных им либо Спор=С2 при отрицательных ит). Другим
достоинством рассмотренного устройства является возможность
независимой установки порогов срабатывания Щ и U2 путем
соответствующего выбора управляющих напряжений C7ynpi и
^упр2-
Управляемый ограничитель уровней. Если рассмотренное выше
устройство усложнить добавлением параметрического стабилиза-
тора напряжения (см. табл. 19.5, вариант б), то получится новое
устройство, способное выполнять функции высокоточного управ-
ляемого ограничителя уровней. Рассмотрим принцип действия
устройства.
В исходном состоянии диоды моста VDt ... И04 открыты за
счет прямых управляющих напряжений + L7ynpi, — t/ynp2- Инвер-
тирующий вход и выход ОУ зашунтированы малым сопротив-
лением диодов моста, и поэтому ОУ не усиливает напряжение
входного сигнала.
При малых входных напряжениях ОУ в работе не участвует.
Входное напряжение фактически прикладывается к делителю,
состоящему из сопротивлений резистора R3 и нагрузки R„. Часть
напряжения входного сигнала выделяется на сопротивлении
нагрузки R„. При определенном входном напряжении происходит
закрывание диодов моста. Коэффициент усиления напряжения ОУ
принимает максимальное значение. Напряжение на выходе ОУ
приобретает максимальное положительное или отрицательное
значение (+С7П или — U„ в зависимости от полярности напряжения
входного сигнала). При этом происходит электрический пробой
одного из стабилитронов (VD6 при напряжении на выходе ОУ + U„,
VD5—при — Un). Дальнейшему увеличению напряжения на выходе с
ростом им препятствует стабилитрон, находящийся в состоянии
обратимого электрического пробоя.
Задавая определенные значения управляющих напряжений
+ Ц-npi и — (7упр2, задают требуемый режим работы моста и, следо-
вательно, условия перехода ОУ в режим усиления напряжения, вызы-
469
вающего пробой одного из стабилитронов. Таким образом, в конеч-
ном счете с помощью управляющих напряжений + ^упр1 и — Цтц>2
устанавливается требуемый уровень напряжения ограничения.
Особенностью устройства является возможность независимой
установки уровней ограничения Ut и U2, которые можно
рассчитать по формулам, приведенным в табл. 19.5.
Импульсные генераторы. На основе ОУ удобно генерировать
одиночные импульсы и периодические последовательности им-
пульсов прямоугольной и пилообразной формы с требуемыми
амплитудой, длительностью и частотой срабатывания.
Устройство, схема которого приведена на рисунке в табл. 19.6,
варианта а, выполняет функции автоколебательного мультивибра-
тора. Ее основой служит компаратор на ОУ с ПОС, обладающий
передаточной характеристикой, изображенной на рис. 19.12,6.
Автоколебательный режим обеспечивается времязадающей
7?С-цепью, подключенной между выходом и инвертирующим
входом ОУ.
Рассмотрим принцип действия мультивибратора на основе ОУ.
Начнем с момента времени, когда на выходе ОУ появилось
напряжение U2. Такое напряжение соответствует наличию на входе
ОУ опорного напряжения — Uon = R1U2/(Ri + R2). Наличие на
выходе ОУ напряжения U2 обусловливает процесс заряда конден-
сатора С через резистор R. К инвертирующему входу прикла-
дывается снимаемое с конденсатора С напряжение отрицательной
полярности, меняющееся по экспоненциальному закону. Как
только напряжение на конденсаторе С достигнет значения
напряжения на неинвертирующем входе Uo„, происходит сраба-
тывание компаратора и напряжение на выходе ОУ изменит свою
полярность, приняв значение Ut. Это напряжение соответствует
наличию на входе напряжения +U0B = RlU1/(Ri + R2). С этого
момента начинается перезаряд конденсатора от уровня напряже-
ния — Uon до уровня напряжения +Uon. Затем происходит
повторное переключение, и процессы протекают аналогично.
Эпюры напряжений на выходе ОУ и емкости С показаны на
рисунке в табл. 19.6, вариант а. Если Ui = U2, то реализуется
симметричный мультивибратор: частота следования импульсов
может быть рассчитана по формуле /=1/Т=1/(/И1 + 7и2)=1/(27и).
При снятии напряжения с выхода ОУ реализуется генератор
прямоугольных импульсов, а при снятии с конденсатора С—гене-
ратор напряжения пилообразной формы.
Для генерации одиночного импульса прямоугольной или
треугольной формы требуемой длительности можно использовать
одновибратор на основе ОУ, схема которого приведена на
рисунке в (табл. 19.6, вариант б). Здесь в отличие от мультивибра-
торов, в которых оба состояния являются неустойчивыми (Ul и
U2 ), одно состояние—устойчивое, а другое—неустойчивое. Ус-
тойчивое состояние характеризует исходный режим работы (ре-
470
Таблица 19.6
жим ожидания). Поэтому одновибраторы часто называют жду-
щими мультивибраторами. Неустойчивое состояние наступает с
приходом кратковременного входного запускающего импульса.
Это состояние сохраняется требуемое время, задаваемое выбором
элементов /?С-цепи, после чего одновибратор возвращается в
исходное устойчивое состояние.
Схема, эпюры напряжений и формула для расчета длитель-
ности выходного импульса одновибратора приведены в табл. 19.6,
вариант б.
471
Для создания ждущего режима в одновибраторе параллельно
времязадающему конденсатору включен диод VDU а запуск
осуществляется импульсом напряжения положительной поляр-
ности. В исходном состоянии напряжение на выходе ОУ равно U2,
что соответствует наличию на инвертирующем входе опорного
напряжения — Rt U2I (Л1 + Л2 )• Напряжение на инвертирую-
щем входе мало, так как оно равно напряжению на диоде, к
которому приложено отпирающее напряжение. Поступающий
входной импульс положительной полярности переводит ОУ в
состояние с выходным уровнем положительной полярности. На
неинвертирующем входе опорное напряжение становится равным
+ Utm = R1Ui/(R1 + R2). Происходит процесс заряда конденсатора
С через сопротивление R. Как только напряжение на конденсаторе
достигнет значения + Uo„, срабатывает компаратор, и схема
возвращается в исходное устойчивое состояние.
Процесс восстановления исходного состояния схемы должен
быть завершен к приходу очередного запускающего импульса. Для
уменьшения времени восстановления, указанного на эпюре в
табл. 19.6, вариант б, в схеме одновибратора параллельно резисто-
ру R включают цепочку из дополнительного резистора R3 и диода
VD2, уменьшают постоянную времени этапа восстановления.
Рассмотренные схемы мультивибратора и одновибратора можно
использовать для получения импульсов пилообразной формы,
однако амплитуда импульсов невелика (не превышает + Uon, — Uo„).
Для получения линейно изменяющегося напряжения требуемой амплитуды с
малым значением коэффициента нелинейности и слабым влиянием нагрузки на
форму выходного напряжения используют схему генератора на основе ОУ, данные
о которой сведены в табл. 19.6, вариант в.
Генератор состоит из зарядной цепи R3C, разрядного транзистора VT (со
структурой МДП и индуцированным каналом и-типа) и операционного усилителя,
охваченного положительной (с помощью резистора Л4) и отрицательной (с
помощью делителя из резисторов обратными связями.
Управление работой генератора осуществляется транзистором VT. При подаче
на его вход импульса положительной полярности, он имеет малое выходное
сопротивление и происходит быстрый разряд конденсатора (практически до нуля).
Это обеспечивает малое время обратного хода При формировании линейно
изменяющегося напряжения на интервале граб ОУ работает в линейном режиме.
При больших значениях коэффициента усиления, что типично для ОУ, можно
допустить, что (1/0-“с)/Л1=(ис-«.ых)/Л2- При этом Ивых = «с^-^-^^.
Через емкость С протекает ток: /с = (^з~мс)/^з“(мс~мвых)/^4- Учитывая, что
ic=Cduc[dt, находим
duc Uq / 1 \ 1 ( R2 \
—+—----------— =- — -Vn—— .
dt C\R3 R^Rj C\R3 RiRj
Если R3>RlR4./R2, to напряжение uc представляет собой импульсы вогнутой
формы. Если R3<RlR4/R2, то напряжение ис представляет собой импульсы
472
выпуклой формы. При R2/ Rl = R4/R3 напряжение на емкости конденсатора
изменяется во времени по линейному закону, что и целесообразно использовать на
практике:
11 U3 R2 \
«с=- — -ио—— к
с\я3
Обычно выполняют условия Rr = R3, R2 = R4 и выбирают U3>UO, причем в
качестве U3 используют источник питания ОУ положительной полярности (+£7ОП)-
При соблюдении указанных условий uc = (U3—Uo)t/CR3. Линейное изменение
напряжения на конденсаторе сопровождается линейным изменением напряжения на
выходе генератора. Если принять Uo=0, то формируется напряжение, имеющее вид
пилы положительной полярности. При необходимости напряжения (7О, отличного
от 0, но меньшего U3, используют резистивный делитель напряжения, подключен-
ный к одному из источников питания ОУ.
Глава 20. ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА
20.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Цифровыми называются устройства, в которых обрабатываемая
информация имеет вид электрических сигналов с ограниченным
множеством дискретных значений. В настоящее время в цифровых
системах наибольшее распространение получили цифровые уст-
ройства, работающие с двоичным кодированием информации.
Электрические сигналы в таких системах обычно имеют вид
прямоугольных импульсов, характеризуемых двумя значениями
уровней: высоким и низким. Элементы, используемые для обра-
ботки цифровых сигналов, называют логическими элементами.
Различают логические элементы, работающие в положительной и
отрицательной логиках. К положительной логике относятся
логические элементы, работающие с цифровыми сигналами, у
которых максимальный потенциальный уровень соответствует
логической 1, а минимальный потенциальный уровень—логи-
ческому 0. К отрицательной логике относят элементы, у которых
максимальный потенциальный уровень соответствует логическо-
му 0, а минимальный потенциальный уровень—логической 1.
Современные логические элементы и цифровые устройства
выполняются на основе интегральных микросхем и обычно
используют положительную логику.
Теоретической основой проектирования цифровых систем яв-
ляется алгебра логики или булева алгебра (по имени ее
основоположника Д. Буля). В алгебре логики переменные вели-
чины и функции от них могут принимать только два значения 0 и
1 и называются Логическими переменными и логическими функ-
473
циями. Устройства, реализующие логические функции, называются
логическими, или цифровыми.
Цифровые устройства имеют принципиальные схемотехни-
ческие отличия от аналоговых устройств, обусловленные следую-
щими факторами: менее жесткими требованиями к точности,
стабильности параметров и характеристик элементов; возмож-
ностью синтеза систем любой сложности с помощью ограниченного
набора базовых логических элементов и элементов памяти;
возможностью сопряжения функциональных узлов без специальных
согласующих элементов (благодаря использованию гальванической
связи между функциональными узлами); простотой расширения
функциональных возможностей путем набора требуемых сочетаний
интегральных микросхем. .
Различают два основных класса цифровых устройств; комби-
национные и последовательностные автоматы. В комбинационных
автоматах определенному сочетанию входных сигналов (набору)
соответствует определенный выходной сигнал. Они, как правило, не
обладают памятью. В последовательностных автоматах такая
однозначность отсутствует. В них выходной сигнал зависит от сово-
купности входных сигналов как в текущий, так и в предыдущие мо-
менты времени. Эти автоматы обладают памятью. В комбинаци-
онных автоматах наиболее широкое применение находят такие циф-
ровые устройства, как сумматоры, дешифраторы и преобразователи
кодов. В последовательностных автоматах широко используются
цифровые устройства с двумя устойчивыми состояниями—тригге-
ры. На их основе строят регистры, счетчики, схемы памяти.
20.2. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
В алгебре логике различные логические выражения могут иметь
только два значения: «истинно» или «ложно». Для обозначения
истинности или ложности пользуются символами 1 и 0.
В алгебре логики используются функции вида Y=f(Xt, Х2, ...,
Х„), где сама функция и ее аргументы могут принимать лишь два
дискретных значения 1 и 0. Если имеется п аргументов (логических
переменных), то они образуют 2" возможных логических наборов
из 1 и 0. Для каждого набора переменйых логическая функция Y
может принимать значение 0 или 1. Поэтому для п переменных
можно образовать Х=22" различных функций. Например, при
п=1 получим четыре булевых функции: fo(X)=0—постоянный 0;
J\(X) = X—тождественность X; f2(X)=X—инверсия X; /3(Х) =
= 1 — тождественность 1.
Все возможные логические функции п переменных можно
образовать с помощью трех основных операций: логического
отрицания (инверсии, операции НЕ), логического сложения (дизъ-
юнкции, операции ИЛИ), логического умножения (конъюнкции,
операции И).
474
Ниже приведены математические записи основных аксиом и
законов булевой алгебры. Применение данных аксиом и законов
позволяет производить упрощение логических функций. Логи-
ческие функции могут иметь различные формы представления:
словесное, табличное, алгебраическое, графическое. Наиболее
широко используют представление функций в виде таблиц
истинности. Таблица истинности содержит все возможные наборы
значений логических переменных и значения функций, соответст-
вующих каждому из наборов.
Аксиомы'.
1+х=1
0х=0
0+х=х
1 х=х
х+х=х
Х'Х = Х
х+х=\
х-х=0
х=х
Законы:
Х1+Х2 = Х2 + Х1
Х1'Х2 = Х2'Х1
х1+х2+х3=х1+(х2+х3)
/I х2 Х3=Х1 (х2х3)
Xi -fe+XjUfx, Х2) + (х1 Х3)
*1 +(*2 *з) = (*1 + *2)(Х1+Хз)
Л1+Х2=Х1 Х2
X! •Х2=Х1+Х2
*1+*Г*2=*1
•Х1(*1+*2) = *1
Как было уже указано, любую логическую функцию можно
представить с помощью соответствующей комбинации простей-
ших логических функций И, ИЛИ, НЕ. Поэтому такой набор
называют логическим базисом или функционально полным.
Используя законы булевой алгебры, нетрудно доказать, что
функционально полными наборами также являются логические
функции И, НЕ, ИЛИ, а также наборы из одной функции И-НЕ,
ИЛИ-HE. Функциональная полнота этих наборов следует из того,
что с их помощью можно реализовать все другие функции
логических базисов.
Ниже рассматриваются электронные схемы, выполняющие
простейшие логические операции. Для реализации цифровых
систем любой сложности достаточно иметь набор логических
элементов, реализующих операции хотя бы одного из функцио-
нально полных наборов. Этот набор элементов называют мини-
мальной базой. В современной микроэлектронике такой базой
являются элементы либо И-НЕ, либо ИЛИ-HE, выполняемые по
различным технологиям на основе биполярных и полевых
транзисторных структур.
20.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПАРАМЕТРЫ
ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ
Основными параметрами логических элементов и цифровых
устройств являются функциональные, статические, динамические и
технико-экономические.
475
Функциональные параметры определяют логические возмож-
ности узла или устройства. К ним относятся: ЛГраз—коэффициент
разветвления по выходу (нагрузочная способность), характеризую-
щий максимальное число однотипных логических элементов,
которые можно одновременно подключить к выходу устройства и
Лоб—коэффициент объединения по входу, определяющий макси-
мальное число логических элементов, которые можно подключить
к устройству.
К статическим параметрам относят входные и выходные токи
и напряжения, соответствующие логическим 1 и 0; токи потребле-
ния в двух состояниях; мощности, потребляемые схемой в
состояниях 0 и 1. Средняя потребляемая мощность определяется
ПО формуле Рпот.ср (^пот + ^пот)/2 ^Zcp^noM? ГДС Р пот мощ-
ность, потребляемая устройством в состоянии 0; Р;от — мощность,
потребляемая устройством в состоянии 1; /ср—средний ток,
потребляемый одним элементом устройства. Помехоустойчивость
характеризуется допустимым напряжением статической помехи
(/пом, при подаче которого на вход цифрового устройства не
наблюдается его ложного срабатывания.
К динамическим параметрам относятся: г01—время перехода
из состояния логического 0 в состояние логической 1; Г10—время
перехода из состояния логической 1 в состояние логического 0;
G.cp—среднее время задержки: <3.ср=(<01 -Н10)/2. Параметр <3.ср
характеризует среднее время выполнения логических операций,
т. е. быстродействие устройства.
При сравнении цифровых устройств часто пользуются па-
раметром, называемым работой переключения'. А„ = Pnm.l.pt3,l.p.
Совершенствование технологии цифровых интегральных схем
(ЦИС) сопровождается непрерывным снижением АП цифровых
устройств.
С ростом частоты переключения у многих цифровых устройств
наблюдается увеличение потребляемого тока. Для учета этого
явления используют дополнительный параметр—динамическую
мощность Р при максимальной частоте переключения /птах'-
Pa = CJBm.x(Ul-U0), где Сн—емкость нагрузки. Максимальная
частота переключения обратно пропорциональна среднему вре-
мени задержки: /птвх«4//3.ср.
К технико-экономическим параметрам относятся: стоимость,
степень интеграции, объемно-габаритные показатели, функцио-
нальная сложность, надежность. Основными характеристиками
цифровых устройств являются: входная гвх =f\um); выходная
4ых=/(“вых) и передаточная uBm=f(um). На практике наиболее
широко используется передаточная характеристика.
Передаточной характеристикой называется зависимость напря-
жения на выходе от напряжения на одном из входов при
постоянных значениях напряжения (U° и С71) на остальных
входах. По типу передаточных характеристик цифровые устрой-
476
ства делятся на инвертирующие и неинвертирующие. Случай,
показанный на рис. 20.1, а, соответствует инвертирующему уст-
ройству.
С помощью передаточной характеристики можно определить
допустимое напряжение статической помехи по низкому „ом и
высокому U „ом уровням, указанные на рис. 20.1, а.
Динамические параметры цифровых устройств удобно опреде-
лять по временным диаграммам. Вследствие наличия в ци-
фровом устройстве реактивных элементов (в частности, меж-
дуэлектронных емкостей транзисторов и емкости нагрузки) форма
выходного сигнала всегда отличается от идеальной (формы
прямоугольного импульса) и может иметь вид, показанный на
рис. 20.1,6.
По форме выходного импульса определяют время включения
г01, время выключения /10 и среднее время задержки z3.cp.
20.4. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
И ЭЛЕМЕНТЫ
Основными логическими операциями являются операции ин-
версии (НЕ), сложения (ИЛИ), умножения (И), а так^се операции
ИЛИ-HE и И-НЕ. Простейшие схемотехнические реализации этих
операций приведены в табл. 20.1. Здесь же указаны условные
буквенные и графические обозначения и соответствующие им
таблицы истинности.
Базовыми элементами любого логического устройства явля-
ются цифровые ключи на основе БТ и ПТ, особенности
выполнения и работа которых рассмотрены в гл. 16.
477
Таблица 20.1
Ключ, выполненный на БТ, включенном по схеме с общим
эмиттером, либо на ПТ, включенном по схеме с общим истоком,
реализует операцию НЕ. Действительно, если на входе транзис-
тора низкий уровень напряжения С/£х, то он закрыт и имеет
высокое выходное сопротивление Лвых. Напряжение питания
распределяется между сопротивлением нагрузки RH и выходным
сопротивлением транзистора. Так как в этом случае /?ВЫх»Ян> то
практически все напряжение источника питания выделяется на
выходе транзистора (С/вых= С7ВЫХ« Ua). И наоборот, если на входе
транзистора высокий уровень напряжения С7ВХ, транзистор откры-
478 I
вается, при этом ЯВЫх«Ян и на выходе устанавливается низкий
уровень напряжения UBta.
В схеме, реализующей операцию ИЛИ, высокий уровень
напряжения на выходе появляется, если аналогичный уровень
имеется хотя бы на одном из входов. Для этого транзисторы
включаются по схемам повторителей напряжения. Нагрузка
включается в цепь эмиттера, а выходные цепи транзисторов
включаются параллельно. Если в такой схеме включить нагрузку в
цепь коллекторов и снимать выходное напряжение с коллекторов,
то элемент будет реализовывать операцию ИЛИ-НЕ.
В схеме, осуществляющей операцию И, высокий уровень
напряжения на выходе появляется лишь в случае аналогичных
уровней на всех входах элемента. Для этого выходные цепи
транзисторов соединяют последовательно, а выходное напряжение
снимают с сопротивления нагрузки в цепи эмиттера. Если в таком
элементе включить нагрузку в цепь коллектора верхнего транзис-
тора (как показано в табл. 20.1) и снимать с него выходное
напряжение, то реализуется операция И-НЕ.
20.5. СЕМЕЙСТВА ЦИФРОВЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМ
В зависимости от типа применяемых элементов и особенностей
схемотехники различают следующие семейства ЦИС: ТЛНС—
транзисторные логические ИС с непосредственной (гальвани-
ческой) связью; РТЛ—резисторно-транзисторные логические ИС;
РЕТЛ—резисторно-емкостные логические ИС; ДТЛ—диодно-
транзисторные логические ИС; ТТЛ—транзисторно-транзистор-
ные логические ИС; И2Л—интегральные инжекционные ло-
гические схемы; ЭСЛ—эмиттерно-связанные логические ИС;
МДП—логические схемы на основе МДП транзисторов; КМДП —
логические схемы на основе комплементарных МДП транзисторов.
Чтобы правильно выбрать тип ЦИС, необходимо представлять
внутреннюю структуру базовых логических, элементов, знать
функциональные возможности и основные параметры логических
элементов разных семейств.
Исторически первым было семейство ЦИСтипа ТЛНС. Базовые элементы имеют
технические решения, приведенные в табл. 20.1. Следует учитывать, что нагрузками
логических элементов являются входные цепи аналогичных элементов. Серьезный
недостаток ТЛНС — неравномерное распределение тока между базами нагрузочных
транзисторов. Такая неравномерность связана с различием входных характеристик
транзисторов, обусловленным не технологическим разбросом (который в ИС мал), а
неизбежным различием коллекторных токов насыщенных транзисторов. Токи
насыщения существенно зависят от числа транзисторов базового элемента,
находящихся в открытом состоянии. При подключении нескольких нагрузок к
базовому элементу снижается логический перепад выходных уровней и, следователь-
но, допустимое значение статической помехи (до значения ^пом~0,2 В).
479
1
В семействе РТЛ используются технические решения, аналогичные ТЛНС, но
для выравнивания входных характеристик транзисторов в цепях баз включены
резисторы с сопротивлением нескольких сот ом. При этом возросли уровень
логической 1, логический перепад уровней и допустимое напряжение статической
помехи, но снизилось быстродействие. Сопротивления в цепи базы и входные
емкости образуют цепочки, из-за которых возрастает длительность фронта
выходного импульса.
Для того чтобы избежать указанного недостатка в семействе РЕТЛ,
явившемся развитием РТЛ. резисторы в цепях базы шунтированы конденсаторами
небольшой емкости. В момент переключения предыдущего элемента эти конденса-
торы на некоторое время шунтируют резисторы и обеспечивают повышенные
значения базовых токов, тем самым снижая длительность фронта.
В ИС резисторы и особенно конденсаторы занимают большую площадь.
Поэтому элементы семейств РТЛ и РЕТЛ оказались неперспективными и в
настоящее время используются редко. Семейство ТЛНС явилось прототипом
весьма перспективного варианта логических элементов семейства И2Л, рассмат-
риваемого ниже.
В базовых элементах семейства ДТЛ отказались от резисторов и конденса-
торов в цепях баз транзисторов и используют вместо них диоды.
Базовый элемент семейства ДТЛ, выполняющий операцию
И-НЕ, приведен на рис. 20.2, а.
В элементе ДТЛ базовый ток выходного транзистора, выпол-
няющего функции инвертора, проходит через резистор /?15 диоды
ЕО3 и VD4 только тогда, когда закрыты оба входных диода VDX и
VD2, т. е. если все входные напряжения имеют высокий уровень
(С71х1, ^вхз)- В этом случае транзистор VT открыт и на выходе
имеется низкий уровень UвЫХ •
Базовый ток, протекающий через диоды КР3, ИР4, вызывает
на них падение напряжения около 1,2 В. Вместе с напряжением на
базе открытого транзистора это составит U= 1,2 + 0,6= 1,8 В. Если
входное напряжение не превышает 1,2 В, соответствующий вход-
ной диод открывается, а напряжение С73 снижается. Следователь-
но, диоды ИР3, а вместе с ними и транзистор VT
закрываются.
Введение в схему диодов Р7)3, VD4 способствует увеличению
перепада логических уровней и помехоустойчивости элемента
(С^пом ~0,5 В). Для того чтобы работа диодов ИР3, VD4 не
зависела от состояния транзистора VT, в схеме предусмотрено
сопротивление R2.
В семействе ТТЛ удалось избежать основного недостатка
элементов ДТЛ — большого количества диодов. В базовом эле-
менте семейства ТТЛ (рис. 20.2,6) функции диодов выполняет
входной многоэмиттерный транзистор VT\.
Если все входные напряжения имеют высокий уровень, ток,
протекающий через резистор Rx по открытому в прямом
направлении переходу «база—коллектор» входного транзистора
ИТ19 течет в базу транзистора VT2 и приводит его в открытое
480
состояние. В этом случае на выходе транзистора VT2 будет низкий
уровень Utm- Если хотя бы на один из входов подано низкое
напряжение, то соответствующий переход «база—эмиттер» от-
крывается и отбирает базовый ток транзистора VT2. Транзистор
VT2 закрывается, и выходное напряжение принимает значение,
соответствующее высокому уровню (С/ вых)- Таким образом,
элемент выполняет операцию И-НЕ.
Базовый элемент семейства ТТЛ занимает существенно мень-
шую площадь по сравнению с элементом семейства ДТЛ,
сохраняя его достоинства. Поэтому схемы ТТЛ в настоящее время
практически вытеснили схемы ДТЛ и получили очень широкое
распространение.
Для увеличения нагрузочной способности и повышения поме-
хоустойчивости в ТТЛ схемах вместо простого инвертора на
одном транзисторе часто используют специальные каскады уси-
ления мощности на двух-трех транзисторах.
Для повышения быстродействия между базой и коллектором
VT2 включают диод Шотки. Как известно, максимальная частота
переключения транзистора ограничивается в основном временем
рассасывания накопленных зарядов. Для повышения максималь-
ной частоты переключения необходимо предотвратить насыщение
транзистора и этим исключить накопление заряда. Включение
диода Шотки параллельно переходу «база—коллектор» транзис-
тора приводит к возникновению ООС по напряжению и препят-
ствует снижению напряжения между коллектором и эмиттером
ниже 0,3 В.
Элементы транзисторной логики с диодами Шотки получили
название ТТЛШ. Они имеют примерно в 3 раза меньшее среднее
время задержки сигналов.
Базовый элемент семейства ЭСЛ имеет упрощенную схему,
приведенную на рис. 20.2, в. Как видно из схемы, транзисторы
VI\, VT2 и VT3 образуют дифференциальный усилитель, который
может использоваться в качестве переключателя токов основных
транзисторов VT\ либо VT2 и вспомогательного транзистора VT3.
Причем для переключения токов достаточна небольшая разность
входных напряжений (примерно +100 мВ). Нагрузочные сопро-
тивления Т?2 и лз выбирают низкоомными, чтобы предотвратить
насыщение открытого транзистора.
Рассмотрим принцип работы базового элемента семейства ЭСЛ.
На базу вспомогательного транзистора VT3 подается постоянное
опорное напряжение U°„ < Uoa <U^X. Если все входные напряжения
имеют низкий уровень (Ut = U„, U2 = U^X), транзисторы VTt и VT2
закрыты. В этом случае эмиттерный ток транзистора VT3, протекая
через резистор , вызывает на нем падение напряжения, являющееся
для транзисторов УТг и VT2 запирающим. Поэтому на первом
выходе будет высокий уровень напряжения (7ВЫХ i = Uвых, а на втором
выходе—низкий Свь1Х2 = С”Ых-
481
16 — адао
Если хотя бы на одном из входов напряжение будет иметь
высокий уровень, то на сопротивлении возрастет напряжение и
транзистор VT3 окажется в закрытом состоянии. При этом
напряжение на первом выходе уменьшится (Свых1 = ^2ых), а на
втором выходе увеличится (UBm2 = Свых). Таким образом, элемент
может выполнять операции ИЛИ (при снятии выходного сигнала
со второго выхода) либо ИЛИ-HE (при снятии выходного сигнала
с первого выхода).
Базовые элементы семейства ЭСЛ потребляют значительную
мощность от источника питания, однако обеспечивают наимень-
шее время переключения по сравнению с другими типами
логических элементов. Среднее время задержки «для элементов
семейства ЭСЛ лежит в пределах десятых долей или единиц
наносекунды. Несмотря на малый перепад логических уровней,
элементы семейства ЭСЛ обладают удовлетворительной помехо-
устойчивостью. Импульсные помехи в цепях питания незначи-
тельны, так как потребление тока в схеме не изменяется при
переключении ее элементов.
В реальных схемах на выходах логических элементов семейства
ЭСЛ используют усилители мощности на основе эмиттерных
повторителей, что улучшает их нагрузочную способность.
Семейство МДП содержит несколько типов базовых элементов
на основе транзисторов: с индуцированным каналом p-типа, с
индуцированным каналом /7-типа, со встроенным каналом р-типа,
со встроенным каналом n-типа. Схемы простейших базовых
элементов названных типов, реализующих операцию НЕ, приве-
дены на рис. 20.3. Здесь транзисторы VT\ выполняют функцию
ключа, а транзисторы VT2—функции нелинейных резисторов
нагрузки. Использование транзисторов VT2 в качестве нагрузоч-
ных элементов позволяет отказаться от создания высокоомных
резисторов, что при интегральном исполнении дает возможность
повышать плотность компоновки и создавать все элементы в
едином технологическом цикле. Для поддержания транзисторов
VT2 в открытом состоянии их затворы соединяют с источником
питания, как показано на рис. 20.3. Транзисторы VTi в схемах на
рис. 20.2, а, б имеют индуцированные каналы и, следовательно,
при отсутствии входного сигнала (UBX = U%X) закрыты. При этом
на выходе напряжение соответствует логической 1 (Uem=Ulm).
Следует помнить, что р-канальные элементы работают в режиме
отрицательной логики, л-канальные—в режиме положительной
логики.
При подаче на входы отпирающего напряжения (UBX = Ulx)
транзисторы открываются и на выходе напряжение прини-
мает значение, соответствующее логическому 0 (UBUX = UBUX).
Таким образом, элементы выполняют функции инверторов и
реализуют операцию НЕ. Аналогичным образом работают ин-
верторы на основе транзисторов со встроенными каналами
482
Рис. 20.2 Рис. 20.3
(рис. 20.3, в, г). Однако управлять такими транзисторами сложнее.
Это объясняется тем, что в нормальном состоянии (при С/вх = 0)
через транзисторы протекает некоторый ток. При этом UBm = Un
за счет падения напряжения на транзисторах V7\. Для надежного
закрытия транзисторов Vl\ требуется исходное напряжение
смещения с полярностью, отличной от напряжения С/п.
Логические элементы на основе МДП транзисторов имеют ряд
особенностей:
1. Входные цепи практически не потребляют тока и, следо-
вательно, не нагружают предшествующие элементы аналогичного
483
типа. Таким образом, МДП логические элементы могут иметь
очень большие значения коэффициентов разветвления по выходу.
Его верхнее значение в основном определяется требуемым
временем переключения, так как с ростом числа нагрузок
пропорционально возрастет емкость нагрузки.
2. Несмотря на использование гальванической связи МДП,
логические элементы функционируют независимо друг от друга. В
частности, логические уровни U%m и СвЫ1 не зависят от числа
подключенных входов следующих элементов.
3. Напряжение питания выбирают в 3 ... 4 раза больше
порогового напряжения МДП транзисторов. Поэтому перспектив-
ными являются разработки с использованием низкопороговых
МДП транзисторов (С7зИпор«1 В). Это позволяет синтезировать
логические элементы семейства МДП, совместимые по уровням с
другими семействами, в частности с ТТЛ. При этом МДП
логические элементы обладают повышенной помехоустойчивостью
(С/пом = 1 ...2 В).
4. Элементы семейства МДП обладают невысоким быстро-
действием. Быстродействие ограничивается скоростью перезаряда
емкости нагрузки. Для повышения быстродействия необходимо
увеличивать рабочие токи. Это возможно путем увеличения
ширины каналов и, следовательно, площади, занимаемой тран-
зисторами. Увеличение рабочих токов связано с увеличением
потребляемой мощности. Таким образом, повышение быстро-
действия логических 1МДП схем связано с неизбежным уменьше-
нием степени интеграции.
Исторически первыми стали широко использоваться логические
элементы на основе р-канальных транзисторов с индуцирован-
ными каналами, имеющие простую технологию изготовления
(рис. 20.3, а). Затем были разработаны «-канальные логические
элементы, обладающие повышенным быстродействием.
В настоящее время очень широко применяются логические
элементы, использующие МДП транзисторы с разными типами
проводимости каналов. Они выделились в самостоятельное се-
мейство, получившее название комплементарной МДП логики
(КМДП). Базовые технические решения семейства КМДП при-
ведены на рис. 20.4.
Недостатком инверторов семейства МДП (рис. 20.3) является
нахождение нагрузочных транзисторов (VT2) в открытом состоянии,
независимо от состояния ключевых транзисторов (KTj). Суще-
ственно лучшими показателями обладает инвертор КМДП логики
(рис. 20.4, а), у которого нагрузочный транзистор УТ2 включается и
выключается в противофазе с транзистором Vl\. Для упрощения
схемы управления удобно использовать транзисторы Vl\ и VT2 с
разными типами проводимости каналов. Это позволяет соединить их
затворы между собой и управлять однополярными импульсами.
Рассмотрим принцип действия инвертора.
484
Рис. 20.4
Если на входе низкий уровень напряжения Um=UBX, то открыт
/^-канальный транзистор ИТ2, а «-канальный УТ. закрыт. Выход-
ное напряжение соответствует логической 1 (UBm =
Причем это напряжение поддерживает транзистор VT2 в откры-
том состоянии. Если на входе появляется высокий уровень
напряжения то транзистор VTt открывается,
a VT-, закрывается. Выходное напряжение близко к нулю
(ивт=и°вт^о).
Современные КМДП элементы допускают работу с напряже-
ниями питания, изменяющимися в широких пределах (3 ... 15 В).
Очевидно, что в статическом режиме потребление тока данным
элементом равно нулю. Лишь в момент переключения потребляет-
ся ток, определяемый в основном процессами перезаряда емкости
нагрузки. Мощность, потребляемая элементом, растет пропорци-
онально частоте переключения.
При напряжении U„ = 5 В элементы КМДП обладают сов-
местимостью с элементами ТТЛ логики, превосходя последние по
помехоустойчивости (С/пом« UJ3).
На рис. 20.4,5 изображен логический элемент ИЛИ-HE, ра-
ботающий на том же принципе, что и рассмотренный, КМДП
инвертор.
Для того чтобы всегда можно было обеспечить большое
управляемое сопротивление нагрузки, когда любое из входных
напряжений будет иметь высокий уровень, соответствующее число
р-канальных транзисторов включается последовательно. Несмотря
на то, что при этом выходное сопротивление элемента в состоянии
логической 1 возрастает, выходное напряжение логической 1
остается близким к напряжению источника питания U„, так как в
стационарном режиме ток не течет. Если нагрузочные транзисто-
ры по выходу соединить параллельно, а каналы входных
транзисторов соединить последовательно, то получится логи-
ческий элемент, выполяющий операцию И-НЕ, представленный на
рис. 20.4, в.
485
и11
VD1
VD2
U
и 2
Рис. 20.5
Как известно, МДП транзисторы чувствительны к наведенным
электростатическим зарядам. Чтобы избежать пробоя МДП
транзисторов, в современных ИС предусматривается встроенная
защита с помощью диодов.
Логические элементы семейства И2Л появились позднее других
и очень перспективны для интегрального исполнения. По сущест-
ву, они являются модификацией схем ТЛНС, у которых вместо
базовых и нагрузочных сопротивлений используются инжекторы:
транзисторы в роли генераторов тока. Для реализации операции
И на входе элемента И2Л включают диоды Шотки. Базовый
элемент семейства И2Л, выполняющий операцию И-НЕ, показан
на рис. 20.5. Как видно, базовый элемент семейства И2Л очень
похож на элемент семейства ДТЛ, у которого на входе обычные
диоды заменены диодами Шотки. Особенностью элементов се-
мейства И2Л является широкое использование многоколлектор-
ных транзисторов.
Принцип действия элемента И2Л аналогичен принципу дейст-
вия элемента ДТЛ. Здесь базовый ток выходного транзистора VT2
обеспечивается выходной цепью р-п-р транзистора (KTj), рабо-
тающего в режиме генератора постоянного тока. Такая комби-
нация р-п-р и п-р-п транзисторов, реализуемая с помощью
специального технологического процесса, занимает на кристалле
очень малую площадь.
Ток, инжектируемый транзистором К7\, может меняться в
широких пределах применительно к различным потребностям.
Чем больше его величина, тем меньше среднее время задержки.
20.6. СРАВНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОСНОВНЫХ
СЕМЕЙСТВ
Для рационального выбора элементной базы при проектиро-
вании цифровой аппаратуры можно воспользоваться сравнением
параметров однотипных базовых элементов разных семейств. В
табл. 20.2 сведены параметры типовых базовых логических эле-
ментов с двумя входами для разных семейств.
486
Таблица 20.2
Тип элемента Напряжение питания, В Средняя потребляемая мощность, Р, мВт Среднее время задержки G ср» ис Работа переключения Аа, пДЖ Нагрузочная способность
РТЛ 3 5 25 125 4
ДТЛ 5 9 25 225 7
ТТЛ 5 10 10 100 10
ттлш 5 2 10 20 10
ЭСЛ 5 40 0,75 30 10
/7-МДП +4, —12 0,5 100 50 20
и-МДП + 12, ±5 0,5 30 15 20
КМДП + 3 до 15 (0,2 ...0,3)-103 90... 30 0,05 50
И2Л 1 (1... 100) -103 1000 ...10 1 3
Из таблицы видно, что наименьшее время задержки имеют
элементы с малым перепадом логических уровней и повышенным
энергопотреблением. Комплексным показателем качества элемента
является работа переключения Лп = Рпот.ср/3.Ср. Сравнение логи-
ческих элементов по этому показателю позволяет сделать вывод,
что наиболее перспективными семействами логических элементов
являются И2Л и КМДП. Показатели средней мощности и работы
переключения для КМДП логических элементов соответствуют
частоте переключения /п=1 кГц.
20.7. ТРИГГЕРЫ
Общие сведения. Помимо логических элементов, реализующих
основные логические операции, в цифровой технике широко
используются в качестве базовых элементов ячейки памяти на
основе разнообразных триггеров. Обобщенная модель триггера
показана на рис. 20.6. Очевидно, любой триггер состоит из схемы
управления (СУ) и бистабильной ячейки памяти (ЯП). Триггеры
имеют входы управляющих сигналов Х2, ... , Хп, два взаи-
моинверсных выхода Q и Q, а также могут иметь вход
синхронизации С.
В общем случае к триггерам относят устройства, имеющие два
устойчивых состояния, которые устанавливаются при подаче
соответствующей комбинации сигналов на управляющие входы и
Рис. 20.6
487
сохраняются в течение заданного времени после окончания
действия этих сигналов. Триггеры способны хранить двоичную
информацию (состояния «О» и «1») после окончания действия
входных импульсов. Это свойство обусловлено тем, что устройст-
вом управляют не только внешние сигналы, но и сигналы
обратной связи самого триггера.
По функциональному признаку, определяющему поведение
триггера при воздействии сигнала управления и способа управ-
ления, триггеры подразделяют на следующие типы:
RS-триггеры, имеющие два управляющих входа: S (set —
установка) и R (reset—сброс); D-триггеры (D — delay—задержка),
имеющие один информационный вход;
Т—триггеры (Г—time — время, характеризующее внутреннюю
задержку), переключающиеся в противоположное состояние с
приходом каждого очередного входного импульса.
Часто Т-триггеры называют триггерами со счетным запуском.
Иногда Т-триггеры обозначают MS. Это отражает то, что каждый
из них состоит из двух RS-триггеров, один из которых является
основным (М—master—хозяин), а другой — вспомогательный
(S—slave—раб);
JK—универсальные триггеры, имеющие управляющие входы
J (J—jump—прыжок, переброс) и К (keep—держать, сохранять)
и допускающие установку выходных уровней при наличии сигнала
на входе синхронизации С.
По способу управления триггеры подразделяют на асинхрон-
ные и тактируемые. В асинхронных триггерах переключение из
одного состояния в другое осуществляется непосредственно с
поступлением сигнала на информационный вход. В тактируемых
триггерах переключение производится только при наличии раз-
решающего, тактирующего импульса на входе синхронизации.
В зависимости от типа используемых ячеек памяти триггеры
подразделяются на статические, статико-динамические и дина-
мические. Первые два типа реализуются на основе логических
элементов НЕ, ИЛИ-HE, И-НЕ, а последний на основе МДП
транзисторов.
В зависимости от типа базовых логических элементов реали-
зуются триггеры с различными параметрами: быстродействием,
потребляемой мощностью, нагрузочной способностью и др.
RS-триггер. Простейшим триггером является асинхронный
RS-триггер. Такой триггер нетрудно реализовать на основе
двух логических элементов ИЛИ-HE (рис. 20.7, а) или И-НЕ
(рис. 20.7, в).
Как видно из рассмотрения принципиальных схем, основу
триггеров составляют два инвертора, связанные между собой
взаимными перекрестными связями. Эти связи обусловливают в
процессе переключения возникновение положительной обратной
связи, способствующей повышению быстродействия и надежности
488
работы схемы. При наличии логической 1 на выходе одного
инвертора на выходе другого поддерживается логический 0.
Необходимые уровни напряжения на выходе издаются схемой
управления, которая при использовании логических элементов
семейства ТЛНС (см. рис. 20.7, а) образована транзисторами
VTt и УТ4, а при использовании элементов семейства ТТЛ
(см. рис. 20.7, в) образована эмиттерными переходами транзисто-
ров VTr и УТ,. Триггеры, реализованные на основе логических
элементов ИЛИ-HE, работают в положительной логике, а
реализованные на основе логических элементов И-НЕ работают в
отрицательной логике. Для работы в положительной логике схема
управления последних усложняется добавлением двух инверторов.
Уровни напряжений на обоих выходах триггера различны и
одновременно изменяются на противоположные при работе
устройства управления. Поэтому на условном обозначении
триггера (см. рис. 20.7, б, г) один из выходов обозначен Q, а
второй—через Q (факт инверсии отражается кружком на стороне
прямоугольника). Выход Q считается главным: значениями Q
характеризуют состояние триггера в целом.
489
Уравнение состояний 7?5-триггера имеет вид Qn+i =S+RQ п.
Здесь индексами п и п+1 обозначены значения величины Q до и
после поступления управляющих сигналов. Используя это уравне-
ние, можно определить возможные состояния триггера при разных
наборах управляющих сигналов:
если 5=0, R = 0, то 2”+1=0+1 -Qn = Qn, т. е. триггер сохраня-
ет прежнее состояние;
если 5=0, А=1, то Qn + i =0+0• 2" = 0, т. е. триггер по
основному выходу находится в состоянии логического 0;
если 5= 1, 7? = 0, то Qn+i = 1 + 1 • Qn = 1 + 0”= 1, т. е. триггер по
основному выходу находится в состоянии логической 1;
если 5=1 и R=\, то триггер находится в неопределённом
состоянии X (т. е. с равной вероятностью может находиться в-,
любом из устойчивых состояний Q=1 или Q = 0), поэтому тдкшгЛ
набор является запрещенным: нельзя одновременно подаватьчкР
триггер противоположные команды 5 (установить 1) и R
(установить 0).
Интегральные триггеры. Наряду с простыми логическими
элементами в состав серий ЦИС входят триггеры различных
типов и устройства на их основе: регистры, счетчики, сумматоры
и др. Данные об основных типах интегральных триггеров сведены
в табл. 20.3.
Наибольшей универсальностью среди триггеров обладает
JAT-триггер. Он работает как Л5-триггер, причем в отличие от
/?5-триггеров здесь допустимо, чтобы оба управляющих сигнала
были равны 1.
Если управляющие сигналы J и К равны 1, то /АГ-триггер
работает как Г-триггер. При подаче на вход С синхронизирую-
щего импульса триггер будет работать в режиме делителя на 2.
Этот режим используется при построении последовательных
счетчиков и делителей частоты любой сложности.
Если на информационные входы J и К подавать противофаз-
ные логические сигналы, то триггер будет работать в режиме
синхронной записи информации. При подаче тактового импульса
на вход С эта информация появляется на выходе, т. е. сдвигается в
следующую ячейку. Такой режим используется при построении
сдвигающих регистров, распределителей импульсов, синхронных
счетчиков.
Интегральные JAf-триггеры часто имеют несколько управ-
ляющих J, К входов, что расширяет его функциональные
возможности и позволяет экономить внешние логические эле-
менты. С помощью указанных входов триггер можно установить в
определенное состояние независимо от тактового импульса.
Поэтому эти входы получили названия предустановки и стирания.
Квазистатические и динамические триггеры. В квазистатических и динамических
триггерах используют свойство МДП транзистора сохранять заряд на паразитной
емкости затвора в течение определенного времени.
490
Таблица 203
Вариант Тип триггера Условные обозначения Таблица истинности Временные диаграммы
Si
а Асинхронный Л5-триггер Ro R т —oQ R S ел+1
So— ——oQ 0 0 ея R -I ! 1 1 4Л1 —
S 0 0 1 LL_ *
1 0 0
1 1 X
q
б /Л-триггер Jo J тт об J к е"+1 J\ f П | —1— 1
Со с оё 0 0 е” Ki
Ко— 0 1 0 1,. 1. -1 i L
К 1—1 1 0 1 Q\ 1 ' 1 t
1 1 i J |
Q Tl
а Т-триггер т oQ т <?я+‘ t
То oQ 0 е" Q 1 i 1 1 1 1 i i 1
1 С” 1 1 э- f
c> I
г D-триггер —> f
DO— D т oQ D 0Л+1 D J 1 1
Со— С 0 0 _rn_ 1
1 OQ 1 —1—
1 1 Qi I 1 1
- 1
Рис. 20.8
Квазистатические триггеры в отличие от динамических не требуют так
называемого «тактового питания» в период хранения информации. При за-
писи информации тактовое питание необходимо, оно осуществляется такто-
выми импульсами, имеющими длительность, меньшую, чем постоянная времени
заряда и разряда паразитных емкостей затворов МДП транзисторов схемы. По
сравнению со схемами статического типа квазистатические и динамические схемы
триггеров позволяют в 2—3 раза уменьшить число используемых МДП
транзисторов.
В динамических триггерах по истечении времени хранения информация
теряется. Для сохранения информации необходимо ее периодическое восстановле-
ние путем подачи последовательности внешних импульсов, период которых Т
меньше времени хранения информации гхр. Эти импульсы одновременно выпол-
няют функции синхронизации. В зависимости от числа последовательностей
синхроимпульсов различают двух- и четырехфазные динамические элементы.
Характерной особенностью цифровых устройств на основе динамических
триггеров является то, что синхронизация в них осуществляется путем подключе-
ния и отключения соответствующих элементов к цепи питания. При этом элементы
потребляют мощность от источника питания не постоянно, а периодически в
течение относительно коротких промежутков времени, когда производится пе-
реключение элементов или восстановление информации. В результате устройства
на динамических элементах при низких частотах переключения потребляют
существенно меньшую мощность, чем на основе статических триггеров. Поэтому
динамические триггеры являются весьма перспективными элементами для БИС
памяти. Рассмотрим принцип действия динамического триггера, пригодного для
использования в качестве ячейки памяти БИС.
На рис. 20.8 изображена схема динамического триггера на основе двух
инверторов VTlf VT3 и VT2, VT4 с взаимными перекрестными связями. В триггере
используются МДП транзисторы с каналом /?-типа. Питание и синхронизация
работы триггера производятся импульсными последовательностями, подаваемыми
в разрядные шины РШ0 ИТР1Щ (в них потенциалы могут принимать значения — (7П,
0 В). Хранение информации обеспечивается паразитными емкостями МДП
транзисторов, для удобства обозначенными С\ и С2.
Для записи на адресную шину подают напряжение — (7П, а на разрядные шины
PIIIj и РШ0 подают уровни — Un и 0. Уровень — Un через ключ VT4 поступает на
вход транзистора V7\ и открывает его. На затвор транзистора VT2 поступает
уровень 0, и, следовательно, он закрывается. Напряжение на емкости Сг принимает
492
значение иС1 = — 1/п, а на емкости C2 равно нулю (иС2 =0). После записи отключают
напряжение на адресной шине.
Так как остаточный ток закрытого транзистора VTl мал, то емкость Ct будет
сохраняться на выходах ячейки (на стоках VTt и ^Т2) длительное время. За это
время можно несколько раз считывать информацию ячейки (следует учитывать, что
при считывании приходится открывать транзистор VT* и разряд Ct ускоря-
ется). Для того чтобы поддерживать напряжение на. емкости С1; несмотря
на неизбежный ее разряд, осуществляют регенерацию: периодическую запись того
же кода.
Динамические триггеры на МДП транзисторах экономичнее и компактнее
триггеров на биполярных транзисторах, но уступают им по быстродействию.
20.8. КЛАССИФИКАЦИЯ ЦИФРОВЫХ
УСТРОЙСТВ НА ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМАХ
Развитие микроэлектроники способствовало разработке ма-
логабаритной, высоконадежной и экономичной цифровой аппара-
туры. В зависимости от функционального назначения, требований
к быстродействию и потребляемой мощности цифровой аппара-
туры производят выбор удовлетворяющей элементной базы. В
настоящее время микроэлектронная промышленность освоила
выпуск чрезвычайно широкой номенклатуры цифровых инте-
гральных микросхем, различных семейств и технологического
исполнения.
Цифровые интегральные схемы выпускаются сериями, входя-
щими в состав семейств. Серия представляет собой комплект ИС,
имеющих единое конструктивно-технологическое исполнение.
В состав серий ЦИС входят как простейшие логические элементы,
рассмотренные выше, так и узлы, блоки, субблоки и даже системы
на их основе. Так, в состав серии К155, широко используемой для
создания ЕС ЭВМ, входит более 100 типов ИС.
Признаком для классификации серий ЦИС может быть тип
базовых логических элементов с учетом особенностей технологи-
ческого исполнения: резисторно-транзисторные; резисторно-ем-
костные-транзисторные; диодно-транзисторные; биполярные
транзисторно-транзисторные; эмиттерно-связные; интегрально-
инжекционные; полевые МДП транзисторные; полевые КМДП
транзисторные.
Среди указанных первые три типа серий ЦИС не являются
перспективными. Они используются для комплектации серийной
цифровой аппаратуры, но не рекомендуются для применения в
новых разработках. Последующие типы серии содержат ЦИС с
лучшими электрическими параметрами, имеющими более высокую
степень интеграции, и обладают большим функциональным
разнообразием.
По функциональному признаку ЦИС подразделяется на ряд
групп и подгрупп, основные из которых указаны в табл. 20.4.
493
Таблица 20.4
Группа Подгруппа Обозначение
Схемы вычислительных средств Схемы арифметических и дискретных устройств Преобразователи ♦ Схемы запоминающих уст- ройств Формирователи Триггеры Микропроцессоры МикроЭВМ Контроллеры Функциональные преобразователи Микрокалькуляторы Времязадающие схемы Комбинированные схемы Арифметическо-логические устройст- ва Шифраторы Дешифраторы Счетчики Полусумматоры Сумматоры Регистры Комбинированные Цифро-аналоговые Аналого-цифровые Делители частоты Код—код Постоянные Постоянные со схемами управления и многократным программированием Постоянные с ультрафиолетовым стиранием и электрической записью информации Оперативные со схемами управления Адресных напряжений или токов Разрядных напряжений или токов Импульсов прямоугольной формы (ждущие мультивибраторы, блокинг- генераторы) и др. Импульсов специальной формы Типа RS Универсальные (JK) Динамические TD Типа D с задержкой (D) Счетные типа Т вм BE ВГ ВФ ВХ ВИ вк ИА ИВ ид ИЕ ИЛ ИМ ИР ИК ПА ПВ пц ПР РВ рр РФ РУ АА АР АГ АФ ТР ТВ тд тм тт
* В группе преобразователей приведены АЦП и ЦАП, так как они содержат цифровые узлы. Строго
говоря, АЦП и ЦАП занимают промежуточное положение между аналоговыми и цифровыми устройствами.
В зависимости от технологии изготовления ЦИС подразде-
ляются на полупроводниковые и гибридно-пленочные. Наиболее
перспективными являются полупроводниковые ЦИС, имеющие
высокие показатели степени интеграции и меньшую удельную
стоимость элементов.
20.9. КОМБИНАЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА
Комбинационное устройство (КУ) представляет собой логичес-
кую схему с т входами (аи>1) и п выходами (л> 1) (рис. 20.9), у
494
iilhL
I
I
КУ
Y, (ti)
Yi (t°l
—о
I
Рис. 20.9
которой состояния выходов, т. е. значения выходных сигналов в
данный момент времени, определяются лишь состояниями входов
в этот же момент времени:
Y^FAX,. Х2, .... Хт,
Y2 = F2{^ Х2, Хт, 4
х2. Хт, ti).
Входные (Xit Х2, ..., Х„) и выходные (У1( У2> •••> ¥п) сигналы
комбинационных устройств могут принимать только два значения:
1 или 0.
Комбинационные узлы и блоки цифровых систем либо
собираются из отдельных микросхем малой степени интеграции
(элементов И-НЕ, ИЛИ-HE и др.), либо изготавливаются в виде
СИС, либо входят в состав БИС и СБИС. Различные типы
комбинационных узлов и блоков широко используются в уст-
ройствах ввода-вывода и управления, операционных запоминаю-
щих устройствах современных цифровых систем. По функцио-
нальному назначению можно выделить следующие классы ком-
бинационных устройств: преобразователи кодов; мультиплексоры
и демультиплексоры, сумматоры, шифраторы и дешифраторы,
цифровые компараторы, программируемые логические матрицы,
перемножители, арифметическо-логические устройства.
Шифраторы и дешифраторы. Устройства, имеющие т входов и
п выходов, причем п<т, и осуществляющие преобразование
/«-разрядного кода в однозначно соответствующий ему «-разряд-
ный код (табл. 20.5, о), называются комбинационными шифрато-
рами. В технике связи шифраторы выполняют задачу преобразо-
вания информации из десятичной системы счисления в двоичную.
В результате шифрации осуществляется «сжатие» информации для
передачи по меньшему числу линий связи. Обратное преобразо-
вание, т. е. восстановление информации в первоначальном /«-раз-
рядном коде, называется дешифрацией. Дешифратор называется
полным, если каждой комбинации значений входных сигналов
соответствует сигнал, равный 1, только на одном выходе.
В табл. 20.5, а приведен пример реализации элемента де-
шифратора для дешифрации кода 1 0 0 (при т = 3 для полного
дешифратора требуется восемь элементов).
Таким образом, для построения дешифратора можно исполь-
зовать схемы И, на входы которых подаются входные сигналы и
495
Таблица 20.5
Класс КУ Г рафическое обозначение Пример реализации
т>п
а) Шифратор (т>п) Xi у, * DC 1 । & I
дешифратор Уп<п) Х2 Л У2 тг»
—— — — — — —»
^-м_Ш—г» Гз‘|'Т1—[_| ।
?и=2*
в) Мультиплексор
Четырехканальный
мультиплексор
г) Дешифратор-
демультиплексор
Четырехканальный
дешифратор-демультиплексор
их инверсные значения. В общем случае дешифратор содержит т
«-входных схем И. Подобные дешифраторы называются матрич-
ными. Можно построить дешифратор только на двухвходовых
схемах, подобные дешифраторы называются пирамидальными.
496
Наконец, можно построить дешифратор в виде определенной
совокупности многовходовых схем И. Примером последних
являются так называемые ступенчатые дешифраторы.
Преобразователи кодов. Назначением преобразователей явля-
ется перевод информации из одной формы в другую (одного
цифрового кода в другой), например из двоичного кода в
десятичный или из прямого кода в обратный.
Задача преобразователя кодов может быть решена с помощью
комбинации дешифратора и шифратора. Можно вначале дешиф-
рировать w-элементный код и на каждой из 2“ выходных шин
получить сигнал, соответствующий одной из выходных кодовых
комбинаций. Затем каждый из выходных сигналов дешифратора
кодируется в n-элементном коде с помощью шифратора.
Мультиплексоры и демультиплексоры. Мультиплексором на-
зываются КУ, имеющие т + 2т входов и один выход, где
т—число адресных входов, а 2т — число информационных входов
мультиплексора (см. табл. 20.5, в). Адреса представляются в
двоичном коде и им присваивается номер j. Каждому адресу с
номером j соответствует свой информационный вход JQ, сигнал с
которого при данном адресе проходит на выход. Основным
назначением мультиплексора является коммутация 2т входных
сигналов на один выход.
Демультиплексоры выполняют функцию, обратную мульти-
плексорам, т. е. производят коммутацию одного информацион-
ного входного сигнала на 2т выходов, где т—число адресных
входов. В табл. 20.5, г приведен пример схемы дешифратора—
демультиплексора, который может использоваться и в качестве
дешифратора, и в качестве демультиплексора.
Комбинационные сумматоры. Основной операцией при выпол-
нении арифметических действий в современных цифровых систе-
мах является сложение. Поэтому основным блоком операционных
устройств обычно является сумматор, который используется также
для вычитания, умножения, деления, преобразования чисел в
дополнительный код и в ряде других операций.
Суммирование многоразрядных чисел производится путем их
поразрядного сложения с переносом между разрядами. Поэтому
основным узлом многоразрядных сумматоров является комби-
национный одноразрядный сумматор, который выполняет ариф-
метическое сложение одноразрядных двоичных чисел At, Bh
перенос из младшего разряда С{ и образует на выходах значения
суммы Si и переноса в старший разряд С{+1 (табл. 20.6). Функции
и Ci+1 имеет вид:
^(^фд.)©^;
с£+1=лд+лд+вд,
где знак ф—сложение по модулю два (без учета переноса), т. е.
когда переноса в старший разряд нет.
497
17 - 3439
Таблица 20.6
Ai Bi с< ci+1 Ai q s. G+i
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
На основе одноразрядных сумматоров строятся многораз-
рядные сумматоры. Простейшая структура и-разрядного двоич-
ного сумматора с последовательным переносом приведена на
рис. 20.10.
20.10. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ
УСТРОЙСТВА
Для построения цифровых систем кроме комбинационных
узлов требуются последовательностные устройства, логическое
состояние которых определяется последовательностью поступле-
ния входных сигналов. Последовательностные устройства, или так
называемые конечные автоматы (КА), содержат с комбинацион-
ными устройствами элементы памяти—запоминающие устройс-
тва (ЗУ). Обобщенная модель последовательностного устройства
приведена на рис. 20.11.
В цифровых устройствах процессы изменения напряжений или
токов могут начинаться только в дискретные моменты времени
t2, ..., tk. Эти моменты определяют временные интервалы—такты
работы цифрового устройства, внутри которых возможны изме-
нения и установление стационарных значений сигналов.
В последовательностных устройствах выходные сигналы (Ур
У2, Yk) в стационарном режиме на к-м такте зависят не только
498
0)
Рис. 20.12
от входных сигналов на этом такте (Х\, Х2, ..., Хк), но еще от
внутреннего состояния устройства на этом такте, т. е. от сигналов
на элементах памяти (например, Qr).
Простейшими конечными автоматами являются триггеры, они
же, в свою очередь, являются элементами памяти более сложных
КА. Правила функционирования КА могут быть заданы в виде
логических функций, описывающих работу КА, или в виде
таблицы переходов КА, т. е. таблицы информационных значений
входных сигналов, внутренних состояний и выходных сигналов.
Основными типами последовательностных функциональных
узлов являются регистры, счетчики и генераторы чисел.
Регистры. Регистром называется функциональный узел, вы-
полняющий хранение двоичных чисел и их сдвиг на определенное
число разрядов. По способу приема и выдачи информации
регистры делятся на следующие группы: с параллельными
приемом и выдачей (рис. 20.12, а), последовательным приемом и
выдачей (рис. 20.12, б), последовательным приемом и параллель-
ной выдачей (рис. 20.12, в), параллельным приемом и последо-
вательной выдачей (рис. 20.12, г), комбинированные с различными
способами приема и выдачи (рис. 20.12, д).
Параллельные регистры (регистры памяти) используются глав-
ным образом для запоминания в течение некоторого интервала
времени многоразрядного двоичного кода. Последовательные
регистры (сдвиговые регистры) используются как для кратко-
499
Запись
DDg 00g
OOi,
Считывание
Рис. 20.13
временного хранения двоичного кода, так и для многих других
целей (создания генераторов кода, синтеза кольцевых счетчиков и
управляющих устройств).
Параллельные регистры. На рис. 20.13 дана схема построения
трехразрядного регистра параллельного действия на .RS'-триггерах.
Число триггеров DD3, DD^, DDS определяется числом разрядов
кода. До начала записи триггеры, номера которых соответствуют
номеру разряда, устанавливаются импульсом сброса в состояние,
соответствующее уровню логического 0 на выходе. Запись и
считывание информации в регистре производятся сразу по всем
разрядам. Поэтому регистр имеет число входов и выходов, равное
числу разрядов кода. Постоянный уровень сигнала на каждом
входе соответствует значению коэффициента а(.
При поступлении импульса записи те из элементов DD0, DDr,
DD2, которые имеют на обоих входах единичные сигналы,
формируют импульсы на выходе. Эти импульсы устанавливают
соответствующие триггеры в состояние, соответствующее уровню
логической 1 на выходе. Те же схемы совпадения (из DD0, DDX,
DD2), которые имеют нулевой уровень сигнала на входе, не
передают импульс записи на выход. Поэтому подключенные к ним
триггеры не изменяют своего состояния, соответствующего ну-
левому уровню на выходе.
Для считывания числа подается импульс считывания, который
поступает на входы схем совпадения DD6, DDn, DD8. Второй вход
каждой схемы соединен с выходом триггера соответствующего
разряда. При воздействии считывающего импульса на выходах
элементов DD6, DD-j, DDS появляются сигналы, соответствующие
уровням на выходах триггеров DD3, DD*, DDS соответственно.
После считывания информация, записанная в триггерах DD3, DD*,
DDS, сохраняется. Считывание информации можно производить
несколько раз.
Для записи нового числа триггеры предварительно устанав-
ливаются в состояния, соответствующие уровням логического 0 на
500
Рис. 20.14
выходе. Последовательность подачи входных импульсов на шины
сброса, записи и считывания должна быть следующей: сброс —
запись—считывание.
Последовательные регистры. Регистры с последовательным
приемом или выдачей информации называются сдвиговыми. В
таком регистре (рис. 20.14) первый разряд вводимого числа А
подается на вход одного, крайнего слева разряда регистра и
вводится в него при поступлении первого синхроимпульса (на вход
С): *бт=А- При поступлении следующего синхроимпульса зна-
чение поступающее с выхода разряда Qm, вводится в
следующий разряд, т. е. устанавливается Qm_1 = Al, а в крайний
слева разряд поступает следующий разряд числа А2: устанавли-
вается Qm=A2 и т. д. Таким образом, производится последова-
тельный сдвиг поступающей на вход информации на один разряд
вправо в каждом такте синхросигналов. После поступления т
синхроимпульсов весь регистр оказывается заполненным разря-
дами числа А и первый разряд числа (JJ появляется на выходе
регистра. В течение последующих т синхроимпульсов произ-
водится последовательный поразрядный вывод из регистра запи-
санного числа, после чего регистр оказывается полностью очи-
щенным.
На рис. 20.14 приведен сдвиговый регистр на синхронных
/А'-триггерах, синхронизируемых фронтом. Синхронизация фрон-
том необходима, так как во время действия синхросигнала
изменяются состояния выходов триггеров, которые подключены
ко входам последующих триггеров. Таким образом, изменяется
состояние входов последующих триггеров, и если синхроимпульс
еще не кончился, то триггеры, синхронизированные уровнем,
переключаются в новое состояние. В результате за время действия
одного синхроимпульса (один такт) информация в регистре
продвигается более чем на один разряд, т. е. нормальное
функционирование регистра нарушается.
Счетчики. Счетчиком называют конечный автомат с одним
информационным входом, циклически переходящий из одного
состояния в другое под действием входных сигналов. Счетчики
импульсов реализуют счет числа импульсов и фиксируют это
число в каком-либо коде. Обычно счетчики строят на основе
триггеров. Для этой цели используют последовательное включение
счетных триггеров. После воздействия на вход первого триггера
501
Установки нуля
Рис. 20.15
нескольких импульсов об их числе можно судить по состоянию
триггеров счетной цепи.
При соединении нескольких триггеров получаются счетчики с
коэффициентами пересчета (модулем счета) АГСЧ; Ксч—число
входных переключающих сигналов (импульсов), которые нужно
подать на информационный вход счетчика, чтобы он вернулся в
исходное состояние. Если А?сч = 2, где ш>0—целое число, то
счетчик называется двоичным. Исходя из заданного значения Ксч
определяется необходимое число триггеров т = [log2Ксч ], где [X ]
означает наименьшее целое число, большее величины X (или не
меньшее, если X—целое).
Цифровые счетчики импульсов применяют для счета либо деле-
ния числа импульсов. Счет числа импульсов, поступающих на вход с
высокой частотой, необходим в вычислительной технике, автома-
тике, информационно-измерительной технике, ядерной физике.
Различают суммирующие, вычитающие и реверсивные счет-
чики. В суммирующих счетчиках каждый входной переключающий
сигнал вызывает изменение состояния счетчика на единицу в
сторону увеличения, а в вычитающих счетчиках—в сторону
уменьшения. Реверсивные счетчики могут работать в режиме
суммирования или вычитания в зависимости от управляющих
сигналов.
Различают счетчики с последовательным, параллельным и
последовательно-параллельным переносом. В счетчиках с после-
довательным переносом z-й триггер счетчика переключается
выходным сигналом (г—1)-го триггера счетчика. В счетчиках с
параллельным переносом на все триггеры счетчика воздействует
входной сигнал счетчика и, кроме того, управляющие сигналы с
выходов других триггеров. В последовательно-параллельных
счетчиках все его т триггеров разбиты на к групп, в каждой из
которых реализуется параллельный перенос; сигнал переключения
j-й группы создается на выходном триггере (/—1)-й группы.
Функциональная схема простейшего трехразрядного счетчика с
последовательным переносом представлена на рис. 20.15. Такой
счетчик осуществляет счет импульсов до ./V = 2’" = 23 = 8, где
т—число счетных триггеров.
502
Состояние триггера определяется уровнем сигнала на выходе
Q, счетный вход последующего триггера соединен с выходом Q
предыдущего. До начала счета все триггеры устанавливают в
состояние, соответствующее 6=0, путем подачи импульса на
шину «Установка нуля», связанную с входами R триггеров.
Первый входной импульс вызывает переключение первого
триггера, второй соответствует переключению второго, четвер-
тый—третьего. Восьмой импульс переводит все триггеры счет-
чика в такое состояние, которое было до прихода первого
импульса (для каждого триггера 6 = 0). Таким образом, одно-
значный счет осуществляют в пределах от одного до семи
импульсов (рис. 20.16).
Для любого числа импульсов в этих пределах совокупность
состояний триггеров однозначна; Например, после воздействия
пяти входных импульсов состояние триггеров можно выразить
набором 10 1 (первым записано значение Q в триггере старшего
разряда).
Недостатком простейшего двоичного счетчика является малое
быстродействие. В общем случае при m-разрядном счетчике время
задержки установления кода t3=mt„, где t„—время переключения
одного триггера. Необходимо, чтобы интервал времени между
входными сигналами был больше значения t3.
Для повышения быстродействия вместо последовательного
переключения триггеров (последовательный перенос) используют
счетчики с параллельным переносом информации. Работа счет-
чиков с параллельным переносом основана на следующей за-
кономерности двоичных чисел: если к какому-то числу прибавля-
ется 1, то данное сложение эквивалентно замене исходного числа
таким, у которого по сравнению с исходным первый нуль (при
движении от младшего разряда к старшему) заменяется на
503
единицу, а предшествующие ему единицы — нулями. Например, в
трехразрядном коде:
а) 1 + 1=2 001 б) 3 + 1=4 ОН
+ 1 + 1
010 100
Указанную закономерность используют в счетчиках со «сквоз-
ным» переносом. На рис. 20.17 приведена схема счетчика с
ускоренным переносом, выполненная на синхронных JX-триггерах.
Триггер DDt переключается каждым входным импульсом.
Каждый второй импульс производит переключение DD2, а каждый
четвертый—DD3. Однако задержка срабатывания триггера DD3 в
этом случае не связана с задержками срабатывания всех предшест-
вующих триггеров. Импульс, переключающий триггер DD3,
образуется при совпадении предварительно установленных единич-
ных уровней напряжения на входах J, К и единичного уровня на
входе С, т. е. осуществляется «сквозной перенос».
Глава 21. БОЛЬШИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СХЕМЫ
21.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
С каждым годом расширяются функции и повышается сложность
электронной аппаратуры. Замечена тенденция увеличения на
порядок сложности электронной аппаратуры через каждые десять
лет. Современные комплексы электронной аппаратуры насчиты-
вают 1О5...1О8 элементов. Для обеспечения их надежной работы в
течение длительного времени требуются новые технические ре-
шения.
Время безотказной работы Тб электронной аппаратуры
ориентировочно можно определить по формуле Тб = 7’ОТ1[/(иэХэ)+
+ РОтк/(и<Лс)’ где пэ—число элементов; Хэ—интенсивность отказа
504
элемента; nc—количество соединений; лс—интенсивность отказа
соединения; Роп—вероятность отказа. Из приведенной формулы
видно, что выполнение сложной электронной аппаратуры на
основе дискретных приборов и простых интегральных схем
нецелесообразно. Из-за обилия соединений время безотказной
работы в этом случае будет недопустимо мало. Таким образом,
для разработки современной аппаратуры необходимы компле-
ктующие изделия, отличающиеся при большой сложности высокой
надежностью и ограниченным числом внешних выводов. Такими
изделиями являются большие интегральные схемы (БИС).
К большим интегральным схемам относят микросхемы, содер-
жащие одно или несколько функциональных устройств с общим
числом элементов не менее 100. В настоящее время уже
разработаны БИС, содержащие более 105 элементов. Поэтому
часто для характеристики БИС используют показатель степени
интеграции, количественно определяемый десятичным логариф-
мом от числа элементов микросхемы. Число выводов у совре-
менных БИС обычно не превышает 48.
Большие интегральные схемы, как и простые микросхемы,
характеризуются совокупностью функциональных и электрических
параметров. Отличительной особенностью БИС является воз-
можность реализации сложных блоков, субблоков и даже целых
электронных устройств. Поэтому они, как правило, не обладают
широкой универсальностью и предназначаются для конкретных
типов аппаратуры.
Стоимость аппаратуры на основе БИС ниже стоимости
аналогичной аппаратуры на другой элементной базе. Это объяс-
няется использованием перспективной технологии и уменьшением
объема монтажно-сборочных работ. Разработка БИС проводится
машинными методами и использует все достижения разработок
простых микросхем.
21.2. КЛАССИФИКАЦИЯ БИС
По виду обрабатываемой информации БИС подразделяют на
аналоговые и цифровые. Среди^аналоговых БИС наиболее широ-
кое применение находят аналого-цифровые (АЦП) и цифро-ана-
логовые (ЦАП) преобразователи, многоканальные коммутаторы
(аналоговые мультиплексоры). Среди цифровых устройств
наибольшее применение находят микропроцессоры, запоминаю-
щие устройства, многоразрядные регистры, счетчики, цифровые
мультиплексоры.
В зависимости от технологии изготовления БИС подразделяют
на полупроводниковые и гибридные. Полупроводниковые БИС
являются самыми перспективными, так как позволяют добиться
лучших показателей по степени интеграции элементов и наи-
меньшей удельной стоимости элемента. Для построения гибридных
505
БИС используют бескорпусные микросхемы и другие элементы и
многослойную разведку с помощью пленочных проводников.
В зависимости от назначения и области применения различают
БИС:
унифицированные для построения разнообразных средств обра-
ботки информации;
заказные для построения конкретного типа или узкого класса .
изделий;
комплект БИС, представляющий совокупность типов микро-
схем, выполняющих различные функции и предназначенных для
совместного применения в электронной аппаратуре;
семейство комплектов БИС, представляющее совокупность
комплектов БИС для построения сложных систем обработки
информации.
В зависимости от типа базовых функциональных узлов
различают БИС, выполненные на основе:
биполярных транзисторов;
полевых транзисторов («-канальных, р-канальных, а также
КМДП);
элементов интегрально-инжекционной логики (ИИЛ или И2Л);
элементов транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ);
элементов транзисторной логики с эмиттерными связями (ЭСЛ).
21.3. МИКРОПРОЦЕССОРЫ
Общие сведения. Развитие микроэлектроники привело в начале
70-х годов к появлению узкоспециализированных БИС, содержащих
сотни и тысячи логических элементов и выполняющих одну или
ограниченное число функций. Разнообразие типов цифровой
аппаратуры требовало расширения номенклатуры БИС, что
сопряжено с неприемлемыми с точки зрения экономики затратами.
Выходом из этого положения явилась разработка и крупносерийное
производство ограниченной номенклатуры БИС, выполняющих
разнообразные функции, зависящие от внешних управляющих
сигналов. Совокупности таких БИС образуют микропроцессорные
комплекты и позволяют строить разнообразную цифровую аппара-
туру любой сложности. Важнейшим суперкомпонентом комплекта
БИС является микропроцессор (МП): универсальная стандартная
БИС, функции которой определяются задацной программой.
Качественной особенностью МП является возможность их
функциональной перестройки с помощью изменения внешней
программы. По сути, МП представляют собой центральные
процессорные элементы ЭВМ, выполненные в виде одной или
нескольких БИС.
Главное отличие МП от других типов интегральных схем —
способность к программированию последовательности выполня-
емых функций, т. е. возможность работы по заданной программе.
506
Таблица 21.1
Обозначение МПК Базовая технология Число ИС в серии Разрядность, бит Быстродействие, мкс
К536 р-МДП 12 8 10...30
К580, КР580 и-МДП 17 8 0,5; 0,4
К581, КР581 и-МДП 5, 8 8 0,4
КР582 и<л 5 4 1,75
К583 И2Л 12 8 1,0
К584, КР584 И2Л 4 4 2,0
К586 и-МДП 4 16 0,5...1,2
К587, КР587 КМДП 4 4 2,0
К588, КР588 КМДП 19 16 1,2
К589 ттлш 10 2 0,1
1604 кмдп/кнс 6 4 0,6
К1800 ЭСЛ 9 4 0,03
К1801 и-МДП 5 16 0,2
КР1802 ттлш 13 8 0,15
КР1803 /?-МДП 4 4 33
К1804 ттлш 18 4 0,1
КБ 1805 кмдп/кнс 9 4 0,6
К1808 И2Л 9 8 30
1809 ЭСЛ 7 16 0,03
К1810 и-МДП 3 16 0,4
КР1811 /,-МДП 5 8 0,3
1814 1815 р-М^П 4 7 4 16 3,0 0,12
U83-K183 и-МДП 4 8 1,4
Внедрение микропроцессоров позволяет изменять принцип
проектирования цифровой аппаратуры. Раньше для реализации
нового алгоритма требовалась новая разработка аппаратуры.
Теперь при использовании МП для реализации нового алгоритма
не требуется новой аппаратуры, достаточно изменить соответст-
вующим образом программу его работы. Указанная особенность
и объясняет огромный интерес, проявляемый у нас в стране и за
рубежом к микропроцессорным устройствам.
Короткий интервал времени (1971 — 1975 гг.) характеризуется
появлением МП самых разнообразных модификаций. В настоящее
время число типов МП в мире превышает 500.
Параметры основных типов отечественных микропроцессорных
комплектов (МПК) приведены в табл. 21.1.
Структура микропроцессора. Упрощенная структурная схема
МП приведена на рис. 21.1. Микропроцессор содержит арифмети-
чески-логическое устройство АЛУ, запоминающие устройства ЗУ
для оперативного (ОЗУ) и постоянного (ПЗУ) хранения информа-
ции, устройство управления, осуществляющее прием, расшифровку
команд и задающее последовательность их выполнения, а также
устройства ввода-вывода (УВВ) информации, с помощью которо-
го вводятся исходные и выводятся полученные в результате
работы МП данные.
507
Рис. 21.1
Рис. 21.2
Микропроцессоры обрабатывают 2-, 4-, 8-, 16-, 32-разрядные
числа, выполняют 30...500 команд сложения, вычитания, сдвига,
логических операций. Четырех- и восьмиразрядные МП представ-
ляют собой БИС с размерами кристалла 5 х 5 х 0,2 мм.
Обобщенная структурная схема МП приведена на рис. 21.2. Арифметическо-ло-
гическое устройство АЛУ совершает различные арифметические и логические
операции над числами и адресами, представленными в двоичном коде. Состав
операций, выполняемых АЛУ, определен списком инструкций (набором команд). В
набор команд входят, как правило, арифметические и логические сложения и
умножения, сдвиги, сравнения и т. п. Арифметические операции выполняются в
соответствии с правилами двоичной арифметики. Логические операции выполняют-
ся по правилам булевой алгебры.
В состав АЛУ входят сумматор, сдвигатели, регистры и другие элементы.
Устройство управления управляет работой АЛУ и всех других блоков МП. В
УУ поступают команды из блока памяти. Здесь они преобразуются в двоичные
сигналы управления для выполнения данной команды. Работа УУ синхронизирует-
ся таймером, распределяющим процесс выполнения команды во времени. Команда
представляет собой двоичное слово из 8, 16, 24 разрядов и более (до 64), часть
которых представляет код операции, а остальные распределены между адресами
данных (операндов) в памяти. Команда с 16-разрядной адресной частью позволяет
обращаться к 216 —1=65635 ячейкам памяти. Этого количества, как правило,
вполне достаточно для задач, решаемых МП. Такое обращение к памяти
называется прямой адресацией.
Однако чаще применяется косвенная адресация, которая необходима, когда
разрядность адресной части меньше, чем требуется. В этом случае адресация
проводится в два этапа. На первом этапе по адресу, содержащемуся в команде,
выбирается ячейка, содержащая адрес другой ячейки, из которой на втором этапе
выбирается операнд. Команда при косвенном методе адресации должна содержать
один разряд признака операнда, состояние которого определяет, что выбирается на
данном этапе: адрес операнда или сам операнд? Конечно, косвенный способ
адресации медленнее прямого. Он позволяет за счет наращивания объема памяти
508
адресов обращаться к числу операндов в 2" раза (где п—разрядность адресной
части команды) большему, чем при прямом способе.
Управляющее устройство любую операцию согласно коду, заданному команд-
ным словом, распределяет на последовательность фаз (фазы адресации и фазы
выполнения), называемую циклом. Из-за ограниченной разрядности МП действия над
операндами большой разрядности могут выполняться за два и более циклов.
Очевидно, что это в 2 и более раз снижает быстродействие МП. Отсюда следует
интересный и практически важный вывод: быстродействие МП находится в обратной
зависимости от точности, однозначно определяемой разрядностью операндов.
Микропроцессор содержит блок регистров (Р). Рабочие регистры МП
физически представляют собой одинаковые ячейки памяти, служащие для сверх-
оперативного хранения текущей информации (СОЗУ). По выполненным функциям
Р содержит группы, связанные с определенными элементами структуры МП.
Два регистра операндов (О) в течение выполнения операции в АЛУ хранят два
двоичных числа. По окончании операции в первом регистре число заменяется
результатом, т. е. как бы накапливается (отсюда и название регистра «аккумуля-
тор»). Содержимое второго регистра операндов заменяется в следующей операции
другим операндом, в то время как содержимое аккумулятора может быть
сохранено по ряду специальных команд.
Регистр команд (К) хранит в течение выполнения операции несколько разрядов
командного слова, представляющих собой код этой операции. Адресная часть
командного слова содержится в регистре адреса А.
После реализации какой-либо операции разрядность результата может
оказаться больше разрядности каждого из операндов, что регистрируется
состоянием специального флагового регистра, иногда называемого триггером
переполнения. В процессе отладки составленной программы программист должен
следить за состоянием флагового регистра и в случае необходимости устранять
возникшее переполнение.
Очень важными в системе команд МП являются команды переходов к выполнению
заданного участка программы по определенным признакам и условиям, так
называемые команды условных переходов. Наличие таких команд определяет уровень
«интеллектуальности» МП, так как характеризует его способность принимать
альтернативные решения и выбирать различные пути в зависимости от возникающих в
ходе решения условий. Для определения таких условий служит специальный регистр
состояний (С), фиксирующий состояние МП в каждый момент выполнения программы
и посылающий в УУ сигнал перехода к команде, адрес которой содержится в
специальном регистре, называемом счетчиком команд (СК). Команды в памяти
записываются в определенной программной последовательности по адресам,
образующим натуральный ряд, т. е. адрес следующей команды отличается от
адреса предыдущей на единицу. Поэтому при реализации непрерывной последова-
тельности команд адрес следующей команды получается путем прибавления к
содержимому СК единицы, т. е. образуется в результате счета. Назначение
СК—нахождение необходимых адресов команд, причем при наличии в программе
команд перехода очередная команда может не иметь следующего адреса. В таком
случае в СК записывается адресная часть команды перехода.
Регистры общего назначения (РОН) используются для хранения промежуточных
результатов, адресов и команд, возникающих в ходе выполнения программы, и
509
могут связываться по общим шинам с другими рабочими регистрами, а также со
счетчиками команд и блоком ввода-вывода информации. В МП обычно содержится
10... 16 РОН разрядностью 2... 8 бит каждый. Количество РОН косвенно
характеризует вычислительные возможности МП.
Особый интерес представляет наличие у многих моделей МП группы
регистров, имеющих магазинную или стековую организацию,— так называемые
стеки. Стек позволяет без обмена с памятью организовать правильную последо-
вательность выполнения различных последовательностей арифметических действий.
Операнд или другая информация может посылаться в стек без указания адреса,
поскольку каждое помещаемое в него слово занимает сначала первый регистр,
затем «проталкивается» последующими словами каждый раз на регистр глубже.
Вывод информации происходит в обратном порядке, начиная с первого регистра, в
котором хранится слово, посланное в стек последним. При этом последние
регистры очищаются.
Блоки АЛУ, УУ, Р образуют центральный процессор (ЦП), входящий в состав
любой ЭВМ: выделенный на рис. 21.2 штриховой линией. В состав МП мож.ет
входить таймер (Т), использующий навесной времязадающий конденсатор или
кварцевый резонатор. Таймер—сердце МП, поскольку его работа определяет
динамику всех информационных, адресных и управляющих сигналов и синхронизи-
рует работу УУ, а через него и других элементов структуры. Частота
синхронизации, называемая тактовой, выбирается максимальной и ограничивается
только задержками прохождения сигналов, определяемыми в основном технологи-
ей изготовления БИС. Скорость выполнения микропроцессором программы прямо
пропорциональна тактовой частоте.
В составе МП может быть устройство ввода-вывода (У В В) для обмена ।
информацией между МП и другими устройствами.
Сигналы трех видов — информационные, адресные и управляющие—могут
передаваться по одной, двум или трем шинам. Шина представляет собой группу
линий связи, число которых определяет разрядноечь одновременно передаваемой
по ней двоичной информации.
Число линий информационной шины (ИШ) определяет объем информации,
получаемой или передаваемой МП за одно обращение к памяти, к устройству
ввода или вывода. Большинство МП имеет 8-шинную информационную магис-
траль. Это позволяет за один раз принять восемь двоичных единиц информации (1
байт). Один байт информации может содержать один из 256 возможных символов
алфавита источника информации или один из 256 возможных кодов операций.
Такое количество допустимых символов и типов операций для большинства
применений является достаточным.
Существуют МП, содержащие 16 и 32 шины в информационной магистрали.
Число линий в шине управления (VIII) зависит от порядка взаимодействия
между МП, ЗУ, внешними УВВ информации. Обычно шины управления содержат
8... 16 линий.
21.4. МИКРОЭВМ
Важным итогом развития программируемых БИС явилась
разработка микроЭВМ. Если микроЭВМ создается на одной
510
иш
УШ
Рис. 21.3
интегральной микросхеме, то она называется однокристальной.
Упрощенная структурная схема микроЭВМ приведена на рис. 21.3.
Как видно, она содержит центральный процессор ЦП (имею-
щий устройство аналогично рассмотренному выше МП), ПЗУ,
ОЗУ и устройства ввода и вывода информации. Устройство ввода
содержит селектор адреса и так называемые порты ввода для
считывания информации с гибкого диска, АЦП, телетайпа,
перфоленты. Устройство вывода также содержит селектор адреса
и порты вывода информации (дисплею, печатающему устройству,
устройству выхода на перфоленту, ЦАП).
Данные, поступающие с' устройства ввода, передаются на
адресную магистраль обычно в виде 8-разрядных параллельных
или последовательных кодовых сигналов через порт ввода.
Селектор адреса определяет порт ввода, который передает данные
на информационную магистраль в некоторый момент времени.
Основная память состоит из ПЗУ и ОЗУ. Постоянное ЗУ
используется как память программы, которую разработчик микро-
ЭВМ заранее запрограммировал в соответствии с требованием
пользователя. Для различных программ используют различные
части ПЗУ.
Памятью данных в микроЭВМ является ОЗУ. Информация,
хранящаяся в ОЗУ, стирается, когда отключается напряжение
питания. Данные, поступающие в ОЗУ, обрабатываются в ЦП в
соответствии с программой, хранящейся в ПЗУ. Результаты
операций в ЦП хранятся в специальном накопителе информации,
называемом аккумулятором или ОЗУ. Они могут быть выведены
по команде через один из портов вывода на устройства вывода,
подсоединенные к этому порту. Требуемый порт вывода выбирает-
ся с помощью схемы селекции адреса.
21.5. ЗАПОМИНАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Важнейшими блоками цифровой аппаратуры являются запоми-
нающие устройства (блоки памяти), которые подразделяются на
внешние и внутренние. Внешние ЗУ до сих пор реализуются на
магнитных лентах и магнитных дисках. Они обеспечивают
511
неопределенно длительное сохранение информации при отсутствии
питания, а также практически любую необходимую емкость
памяти. Внутренние ЗУ являются неотъемлемой частью цифровой
аппаратуры. Раньше они выполнялись на основе ферритовых
сердечников с прямоугольной петлей гистерезиса. Теперь в связи с
разработкой ИС имеются широкие возможности создания полу-
проводниковых ЗУ.
К устройствам памяти относятся следующие виды запоминаю-
щих устройств:
Оперативные запоминающие устройства, выполняющие запись
и хранение произвольной двоичной информации. В цифровых
системах ОЗУ хранят массивы обрабатываемых данных и про-
граммы, определяющие процесс текущей обработки информации.
В зависимости от назначения и структуры ОЗУ имеют емкость
102... 107 бит.
Постоянные запоминающие устройства, служащие для хране-
ния информации, содержание которой не изменяется в ходе
работы системы, например используемые в процессе работы
стандартные подпрограммы и микропрограммы, табличные значе-
ния различных функций, константы и др. Запись информации в
ПЗУ производится заводом-изготовителем БИС.
Программируемые постоянные запоминающие устройства явля-
ются разновидностью ПЗУ, отличающиеся возможностью одно-
кратной записи информации по заданию заказчика.
Репрограммируемые ПЗУ, отличающиеся от обычных воз-
можностью многократной электрической сменой информации,
осуществляемой заказчиком. Объем РПЗУ обычно составляет
102... 105 бит.
К устройствам постоянной памяти (ПЗУ, ППЗУ, РПЗУ)
предъявляется требование сохранности информации при отключе-
нии питания.
Основными параметрами ЗУ являются: информационная ем-
кость в битах; минимальный период обращения; минималь-
но допустимый интервал между началом одного цикла и
началом второго; максимальная частота обращения — величи-
на, обратная минимальному периоду обращения; удельная мощ-
ность— общая мощность, потребляемая в режиме хранения,
отнесенная к 1 биту; удельная стоимость одного бита ин-
формации— общая стоимость кристалла, поделенная на инфор-
мационную емкость.
Структура ОЗУ. Типовая структура БИС ОЗУ приведена на
рис. 21.4. Основным узлом является матрица ячеек памяти (МЯП),
состоящая из п строк с т запоминающими ячейками (образующи-
ми разрядное слово) в каждой строке. Информационная емкость
БИС памяти определяется по формуле N=nm бит. Функции ячеек
памяти выполняют статические или динамические триггеры,
рассмотренные в гл. 20.
512
Рис. 21.4
Входы и выходы ячеек памяти подключаются к адресным АШ
и разрядным РШ шинам. При записи и считывании осуществляет-
ся обращение (выборка) к одной или одновременно к нескольким
ячейкам памяти. В первом случае используются двухкоординатные
матрицы (рис. 21.5, а), во втором случае матрицы с пословной
выборкой (рис. 21.5, б).
Дешифратор адресных сигналов (ДАС) при подаче соответству-
ющих адресных сигналов осуществляет выбор требуемых ячеек
памяти. С помощью РШ осуществляется связь МЯП с буферными
усилителями записи (БУЗ) и считывания (БМС) информации.
Схема управления записью (СУЗ) определяет режим работы БИС
(запись, считывание, хранение информации). Схема выбора крис-
талла (СВК) разрешает выполнение операций записи-считывания
данной микросхемы. Сигнал выборки кристалла обеспечивает
выбор требуемой БИС памяти в ЗУ, состоящем из нескольких
БИС.
Подача управляющего сигнала на вход СУЗ при наличии
сигнала выборки кристалла на входе СВК осуществляет операцию
записи. Сигнал на информационном входе БУЗ (1 или 0)
определяет записываемую в ячейку памяти информацию. Выход-
ной информационный сигнал снимается с БУС и имеет уровни,
согласующиеся с серийными ЦИС.
Большие интегральные схемы ОЗУ стремятся на основе
простейших элементов ТТЛ, ТТЛШ, МДП, КМДП, И2 Л, ЭСЛ,
модифицированных с учетом специфики конкретных изделий. В
динамических ячейках памяти чаще всего используются накопи-
тельные емкости, а в качестве ключевых элементов—МДП
транзисторы.
Выбор элементной базы определяется требованиями к инфор-
мационной емкости и быстродействию БИС памяти. Наибольшей
емкости достигают при использовании логических элементов,
занимающих малую площадь на кристалле: И2Л, МДП, динами-
ческих ЗЯ. Высоким быстродействием обладают БИС с логически-
ми элементами, имеющими малые перепады логических уровней
(ЭСЛ, И2 Л), а также логические элементы ТТЛШ.
513
Рис. 21.6
Частотные области применения БИС, использующих различ-
ные базовые технические решения, иллюстрирует рис. 21.6. Благо-
даря развитию технологии и схемотехники быстродействие эле-
ментов непрерывно возрастает, поэтому границы раздела указан-
ных областей с течением времени сдвигаются в область больших
рабочих частот.
Структура ПЗУ. Схема ПЗУ аналогична схеме ОЗУ (см.
рис. 21.4). Отличия состоят лишь в следующем:
ПЗУ используются для считывания информации;
в ПЗУ осуществляется выборка нескольких разрядов одного
адреса одновременно (4, 8, 16 разрядов);
информация, записанная в ПЗУ, не может меняться, и в
режиме выборки происходит только ее считывание.
Большие интегральные схемы ПЗУ подразделяются на про-
граммируемые изготовителем (с помощью специальных фотошаб-
лонов) и программируемые заказчиком (электрически).
В ПЗУ используется матричная структура: строки образуются
адресными шинами ДШ, а столбцы—разрядами РШ. Каждая АШ
хранит определенный код: заданную совокупность логических 1 и
0. В МЯП, изображенной на рис. 21.7, а, однократная запись кода
осуществляется с помощью диодов, которые присоединены между
АШ и теми РШ, на которых при считывании должна быть
логическая 1. Обычно заказчику поставляют ПЗУ с матрицей, во
всех узлах которой имеются диоды.
Суть однократного электрического программирования ППЗУ
заключается в том, что пользователь (с помощью специального
устройства—программатора) пережигает выводы—перемычки
тех диодов, которые находятся в местах расположения логических
0. Пережигание выводов осуществляется путем пропускания через
соответствующий диод тока, превышающего допустимое значение.
Диодные ПЗУ отличаются простотой, но имеют существенный
недостаток, потребляют значительную мощность. Чтобы облег-
чить работу дешифратора, вместо диодов используют биполярные
(рис. 21.7,6) и (рис. 21.7, в) транзисторы.
514
Рис. 21.7
в)
При использовании биполярных транзисторов АШ обеспечива-
ет протекание базового тока, который в рбт+1 раз меньше
эмиттерного, питающего РШ. Следовательно, существеннб умень-
шается необходимая мощность дешифратора.
Еще больший выигрыш обеспечивает применение МДП тран-
зисторов, так как цепь затвора практически не потребляет
мощности. Здесь используется не пережигание выводов, а отсутст-
вие металлизации затвора у транзисторов, обеспечивающих
считывание логических 0 в разрядной шине.
Структура РПЗУ. Репрограммируемые ПЗУ являются наиболее
универсальными устройствами памяти. Структурная схема РПЗУ
аналогична схеме ОЗУ (см. рис. 21.4). Важной отличительной
особенностью РПЗУ является использование в МЯП транзистора
специальной конструкции со структурой «металл—нитрид—оки-
сел—полупроводник» (МНОП). Принцип действия такой ячейки
памяти основан на обратимом изменении порогового напряжения
МНОП транзистора. Например, если сделать СЗИпор> САШ, то
транзистор не будет отпираться адресными импульсами (т. е. не
участвует в работе). В то же время другие МНОП транзисторы, у
которых СЗИпОр < САШ, будут функционировать как обычные МДП
транзисторы.
Структура МНОП транзистора с индуцированным каналом
/лтипа показана на рис. 21.8, а. Здесь диэлектрик состоит из двух
слоев: нитрида кремния (Si3N4) и окисла кремния (SiO2).
Пороговое напряжение можно менять, подавая на затвор короткие
(порядка 100 мкс) импульсы напряжения разной полярности, с
большой амплитудой 30...50 В. При подаче импульса +30 В
устанавливается пороговое напряжение СЗИпор=—5 В. Это напря-
жение сохраняется, если использовать транзистор или напряжения
на затворе С7ЗИ= + 1ОВ. В таком режиме МНОП транзистор
работает как обычный МДП транзистор с индуцированным
каналом р-типа.
При подаче импульса —30 В пороговое напряжение принимает
значение Um„op = —20 В, как показано на рис. 21.8,6 и в. При этом
515
сигналы на входе транзистора С/Зи = ± 10 В не могут вывести тран-
зистор из закрытого состояния. Это явление используется в РПЗУ.
В основе работы МНОП транзисторов лежит накопление
заряда на границе нитридного и оксидного слоев. Это накопление
есть результат неодинаковых токов проводимости в слоях.
Процесс накопления описывается выражением dqjdt = Isi3n4-
При большом отрицательном напряжении С/зи на границе накап-
ливается положительный заряд. Это равносильно введению
доноров в диэлектрик и сопровождается увеличением отрицатель-
ного порогового напряжения. При большом положительном
напряжении U3n а границе накапливается отрицательный заряд.
Это приводит к уменьшению отрицательного порогового напряже-
ния. При малых напряжениях 17зи токи в диэлектрических слоях
уменьшаются на 10... 15 порядков, поэтому накопленный заряд
сохраняется в течение тысяч часов, а следовательно, сохраняется и
пороговое напряжение.
Известна и другая возможность построения ячейки памяти для
РПЗУ на основе МДП транзисторов с однослойным диэлектри-
ком. Если прикладывать к затвору достаточно большое напряже-
ние, то будет наблюдаться лавинный пробой диэлектрика, в
результате чего в нем будут накапливаться электроны. При этом у
транзистора изменится пороговое напряжение. Заряд электронов
сохраняется в течение тысяч часов. Для того чтобы осуществить
перезапись информации, нужно удалить электроны из диэлектри-
ка. Это достигается путем освещения кристалла ультрафиолето-
вым светом, вызывающим фотоэффект: выбивание электронов из
диэлектрика.
При использовании ультрафиолетового стирания удается суще-
ственно упростить схему РПЗУ. Обобщенная структурная схема
РПЗУ с ультрафиолетовым стиранием (рис. 21.9) содержит кроме
МЯП дешифратор адресных сигналов (ДАС), устройство выбора
кристалла (УВК) и буферный усилитель (БУ) для считывания
информации.
516
Рис. 21.9
По приведенной структурной схеме выполнена, в частности,
БИС РПЗУ с ультрафиолетовым стиранием типа К573РФ1
емкостью 8192 бита.
21.6. ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
СИГНАЛОВ
Общие сведения. В нашей стране широким фронтом развернуты
работы по созданию Единой автоматизированной системы связи
(ЕАСС), предусматривающей передачу всех видов информации по
цифровым каналам. Однако большинство источников информации
характеризуются параметрами, являющимися непрерывными функ-
циями времени, т. е. являются источниками аналоговых сигналов.
Чтобы передавать эти сигналы по цифровым каналам, необходимо
преобразовать их в цифровые сигналы. Эту функцию выполняют
специальные устройства—аналого-цифровые преобразователи. На
приемной части цифровой системы необходимо выделение исходных
аналоговых сигналов. Эту функцию выполняют специальные
устройства, называемые цифроаналоговыми преобразователями.
С каждым годом все большее применение находят цифровые
преобразователи в автоматизированных и автоматических систе-
мах, в качестве устройств сопряжения ЭВМ с источниками и
потребителями аналоговой информации. Передача аналоговой
информации в цифровом виде позволяет повысить помехоустойчи-
вость системы связи, реализовать аналоговую и цифровую
аппаратуру на единой элементной базе. Преимущества цифровых
методов обработки информации реализуются, если АЦП и ЦАП
обладают достаточной точностью и быстродействием. Высокока-.
чественные преобразователи могут быть реализованы лишь в виде
БИС. Попытки разработки высококачественных АЦП и ЦАП на
обычной элементной базе не увенчались успехом. Это объясняется
тем, что чрезвычайно трудно обеспечить с высокой точностью
подбор резисторов и аналоговых узлов с одновременным их
размещением в ограниченном объеме.
Реализация АЦП и ЦАП в виде БИС позволяет добиться
приемлемых экономических и надежностных показателей, малых
значений объемно-весовых показателей. Интегральные АЦП и
ЦАП обладают повышенным быстродействием и точностью за
517
Un. Uc Ug UA UA Ug Uc Un
a) 6)
Рис. 21.10
счет уменьшения паразитных связей, использования взаимной
компенсации и идентичности отдельных элементов ИС.
Цифроаналоговые преобразователи. Назначение ЦАП—преоб-
разование двоичного цифрового сигнала в эквивалентное аналого-
вое напряжение. Такое преобразование можно произвести с
помощью резистивных цепей, показанных на рис. 21.10.
В ЦАП с двоично-весовыми резисторами (рис. 21.10, о) требует-
ся меньшее число резисторов, однако при этом необходим целый
ряд номиналов прецизионных сопротивлений. Аналоговое выход-
ное напряжение С7ан ЦАП определяется как функция двухуровне-
вых входных напряжений:
С7ан=(С7л-|-2Пв+4С7с+...)/(1+2+4+...).
На цифровых входах UA, UB, Uc... напряжение может прини-
мать лишь два фиксированных значения, например, либо 0, либо
1.
Для ЦАП, в котором используются резисторы R и 7?/2,
требуется больше резисторов (рис. 21.10, б), но только с двумя
номиналами. Аналоговое напряжение на выходе такого ЦАП
определяется по формуле
иав=(UA 4- 2UB+4UC +...+mUn )/2",
где п—число разрядов ЦАП; т—коэффициент, зависящий от
числа разрядов ЦАП.
Для обеспечения высокой точности работы резистивные цепи
ЦАП должны работать на высокоомную нагрузку. Чтобы
согласовать резистивные цепи с низкоомной нагрузкой, использу-
ют буферные усилители на основе операционных усилителей,
показанные на рис. 21.10, а, б.
Аналого-цифровые преобразователи. Назначение АЦП—преобра-
зование аналогового напряжения в его цифровой эквивалент. Как
правило, АЦП имеют более сложную схему, чем ЦАП, причем ЦАП
518
часто является узлом АЦП. Обобщенная структурная схема АЦП
с ЦАП в цепи рбратной связи показана на рис. 21.11.
Выполненные по такой схеме АЦП находят широкое примене-
ние благодаря хорошим показателям по точности, быстродейст-
вию при сравнительной простоте и низкой стоимости.
В состав АЦП входят «-разрядный триггерный регистр
результатов преобразования DD 1—DD„, управляющий разрядами
ЦАП; компаратор, связанный с устройством управления УУ и
содержащий генератор тактовой частоты. Реализуя в УУ различ-
ные алгоритмы работы АЦП, получают различные характеристи-
ки преобразователя.
Используя рис. 21.11, рассмотрим принцип действия АЦП,
предполагая, что в качестве триггерного регистра используется
реверсивный счетчик. Реверсивный счетчик имеет цифровой выход,
напряжение на котором возрастает от каждого тактового импуль-
са, когда на входе счетчика «Прямой счет» высокий уровень
напряжения, а на входе «Обратный счет» — низкий. И наоборот,
напряжение на цифровом выходе при каждом тактовом импульсе
уменьшается, когда на входе «Прямой счет» низкий, а на входе
«Обратный счет»—высокий уровень напряжения.
Важнейшим узлом АЦП является компаратор (К), имеющий
два аналоговых входа £7ЦАП и 17ан и цифровой выход, подключен-
ный через УУ к реверсивному счетчику. Если напряжение на
выходе компаратора имеет высокий уровень, уровень на входе
счетчика «Прямой счет» также будет высоким. И наоборот, когда
выходное напряжение компаратора имеет низкий уровень, низким
будет также и уровень на входе «Прямой счет».
Таким образом, в зависимости от того, высокий или низкий
уровень на выходе компаратора, реверсивный счетчик считает
соответственно в прямом или обратном направлении. В первом
случае на входе С\дЛП компаратора наблюдается ступенчато-нара-
стающее напряжение, а во втором—ступенчато-спадающее.
Поскольку компаратор работает без обратной связи, уровень
его выходного напряжения делается высоким, когда напряжение
на его входе UaB станет немного отрицательнее,. чем на входе
(Тцап- И наоборот, уровень его выходного напряжения становится
низким, как только напряжение на входе UaB станет немного
положительнее напряжения на входе С/ЦАП-
На вход С/цап компаратора поступает выходное напряжение
ЦАП, которое сравнивается с аналоговым входным напряжением,
поступающим ца вход UaB.
Если аналоговое напряжение UaB превышает напряжение,
снимаемое с выхода ЦАП, реверсивный счетчик считает в прямом
направлении, ступенями наращивая напряжение на входе С/цАП Д°
значения напряжения на входе UaB. Если же С/аи<^цАп или
становится таковым в процессе счета, напряжение на выходе
519
Рис. 21.11
Рис. 21.12
компаратора имеет низкий уровень и счетчик считает в обратном
направлении, вновь приводя {7ЦАП к Uaa. Таким образом, система
имеет обратную связь, которая поддерживает выходное напряже-
ние ЦАП приблизительно равным напряжению Uaa. Следователь-
но, выход реверсивного счетчика всегда представляет собой
цифровой эквивалент аналогового входного напряжения. С выхода
реверсивного счетчика считывается цифровой эквивалент аналого-
вого входного сигнала АЦП. -
Цифровые и аналоговые мультиплексоры. В микропроцессорных
системах, АЦП, ЦАП, а также в системах электронной коммута-
ции широкое применение находят мультиплексоры: многоканаль-
ные коммутаторы (имеющие 4, 8, 16, 32, 64 входа и 1—2 выхода) с
цифровым устройством управления. Простейшие мультиплексоры
цифровых и аналоговых сигналов показаны на рис. 21.12, а и б
соответственно.
Цифровой мультиплексор (рис. 21.12, а) позволяет осуществ-
лять последовательный или произвольный опрос логических
состояний источников сигналов Хо, Хх, Х2, Х3 и передачу
результата опроса на выход У. В зависимости от логических
уровней адресных сигналов Ао, Аг устройство управления обеспе-
чивает соединение выхода мультиплексора с ^эдним из информа-
ционных входов, реализуя алгоритм: Y=AlA0X0 + AlA0Xl +
4" Аг А о-У24- А1АоХ3.
Следует отметить, что логическое произведение адресных
сигналов равно 1 только для того информационного входа, индекс
которого совпадает с требуемым адресом. Например, если At = l и
Ло=0, то выход Y подключается к информационному входу
Х2:У=01 Хо+00Х2+1 1 Х2 + 1 0Х3 = Х2.
По указанному принципу строятся мультиплексоры на любое
требуемое число информационных входов. Некоторые типы
цифровых мультиплексоров допускают коммутацию и аналоговых
информационных сигналов.
520
Однакб лучшими показателями обладают аналоговые мульти-
плексоры, содержащие матрицу высококачественных аналоговых
ключей (AKi...AK4), работающих на выходной буферный усили-
тель, цифровое УУ. Соединение узлов между собой иллюстрирует
рис. 21.12,6.
Примером БИС аналогового мультиплексора является микро-
схема типа К591КН1, выполненная на основе МДП транзисторов.
Она обеспечивает коммутацию 16 аналоговых источников инфор-
мации на один выход, позволяя производить как адресацию, так и
последовательную выборку каналов. При разработке БИС анало-
говых мультиплексоров учитывают необходимость их совмести-
мости с системой команд микропроцессоров.
Аналоговые мультиплексоры являются весьма перспективными
изделиями для электронных коммутационных полей и многока-
нальных электронных коммутаторов связи, радиовещания и
телевидения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей.— М.: Радио и связь,
1986.—544 с.
2. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.— М.:
Высшая школа, 1981.—334 с.
3. Теория линейных электрических цепей/Б. П. Афанасьев, О. Е. Гольдин,
И. Г. Кляцкин и др.; Под ред. И. Г. Кляцкина.— М.: Высшая школа, 1975.—
592 с.
4. В. С. Андреев. Теория нелинейных электрических цепей: Учебное пособие для
вузов.— М.: Радио и связь, 1982.— 280 с.
5. Калабеков Б. А. Применение ЭВМ в инженерных расчетах в технике свя-
зи.— М.: Радио и связь, 1981.— 224 с.
6. Ильин В. Н., Коган В. Л. Разработка и применение программ автоматизации
схемотехнического проектирования.— М.: Радио и связь, 1984.— 368 с.
7. Норенков И. П., Маничев В. Б. Системы автоматизированного проектирования
электронной и вычислительной аппаратуры.— М.: Высшая школа, 1983.— 272 с.
8. Батушев В. А. Электронные приборы.— М.: Высшая школа, 1980.— 383 с.
9. Дулин В. И. Электронные приборы.— М.: Энергия, 1977.—424 с.
10. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем.—М.:
Энергия, 1977.— 672 с.
11. Виноградов Ю. В. Основы электронной и полупроводниковой техники.—М.:
Энергия, 1972.— 536 с.
12. Забродин Ю. С. Промышленная электроника.— М.: Высшая школа, 1982.—
496 с.
13. Ушаков В. Н. Основы радиоэлектроники и радиотехнические устройства.— М.:
Высшая школа, 1976.—424 с.
14. Основы промышленной электроники/Под ред. В. Г. Герасимова—М.: Высшая
школа, 1978.— 336 с. л
15. Гершунскии Б. С. Основы электроники.— Киев: Высшая школа, 1977.— 344 с.
16. Степаненко И. П. Основы микроэлектроники.—М.: Советское радио, 1980.—
424 с.
17. Игнатов А. Н. Полевые транзисторы и их применение.— М.: Радио и связь,
1984.—216 с.
18. Цыкин Г. С. Усилительные устройства.— М.: Связь, 1971,— 368 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................. 3
Часть!. основы теории электрических цепей ............................ 7
Глава 1. основные понятия, законы и методы анализа
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ .................................................. 7
1.1. Ток, напряжение, мощность ....................................... 7
1.2. Элементы электрической цепи ..................................... 9
1.3. Электрическая схема. Топология электрической цепи .............. 15
1.4. Законы Кирхгофа ................................................ 18
1.5. Преобразование электрических схем .............................. 19
1.6. Принцип наложения .............................................. 24
1.7. Метод контурных токов .......................................... 26
1.8. Метод узловых напряжений ....................................... 29
1.9. Метод эквивалентного генератора ................................ 31
1.10. Принцип дуальности ........................................... 33
1.11. Теорема Телледжена. Баланс мощности ........................... 34
Г л а в а 2. электрические цепи в режиме гармонических '
воздействий ........................................ 37
2.1. Гармонические колебания. Основные понятия и определения ........ 37
2.2. Способы представления гармонических колебаний .................. 39
2.3. Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных
цепях ............................................................... 42
2.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении
R, L, С элементов ................................................... 43
2.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении
R, £, С элементов ................................................... 45
2.6. Символический метод расчета разветвленных цепей при гармониче-
ском воздействии .................................................... 46
2.7. Баланс мощности в цепях при гармонических воздействиях ......... 51
Г л а в а 3. простые колебательные контуры ...................... 54
3.1. Явление резонанса и его значение в радиотехнике и электросвязи. 54
3.2. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений..... 55
3.3. Частотные характеристики последовательного контура. Полоса пропус-
кания ............................................................... 57
3.4. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов .............. 60
3.5. Частотные характеристики параллельного контура .................. 62 .
Глава 4. индуктивно связанные цепи .......................... 66
4.1. Явление взаимной индукции. Коэффициент связи ................... 66
4.2. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов ..... 69
4.3. Параллельное соединение индуктивно связанных элементов ......... 71
4.4. Методы расчета индуктивно связанных цепей ...................... 74
4.5. Трансформатор .................................................. 76
523
Глава 5. трехфазные цепи .................................... 79
5.1. Трехфазная система. Соединение генератора и нагрузки звездой и
треугольником ...................................................... 79
5.2. Расчет трехфазных цепей ....................................... 82
5.3. Мощность в трехфазных цепях .................................. 83
5.4. Вращающееся магнитное поле. Принцип работы асинхронного дви-
гателя ........................................................... 85
Г л а в а 6. цепи при периодических несинусоидальных
воздействиях ...................................... 87
6.1. Несинусоидальные воздействия. Разложение в ряд Фурье и интеграл
Фурье ................................................................ 87
6.2. Действующее, среднее значения и мощность периодического несинусои-
дального сигнала ................................................. 93
6.3. Спектры типовых сигналов ............................:........... 95
6.4. Расчет цепей при периодических несинусоидальных воздействиях ... 100
Глава 7. переходные процессы в электрических цепях ........... 103
7.1. Переходный и установившийся режимы. Законы коммутации ........ 103
7.2. Переходные процессы в Я£-цепях ............................... 105
7.3. Переходные процессы в ЯС-цепях ............................... 109
7.4. Разряд емкости С на цепь RL ................................. 112
7.5. Включение Л£С-цепи на постоянное напряжение ..................... 117
7.6. Переходные процессы в разветвленных цепях ....................... 119
7.7. Операторный метод расчета переходных процессов
Преобразование Лапласа и его свойства ............................. 121
7.8. Метод переменных состояния ................................... 127
7.9. Расчет цепей при непериодических воздействиях ................ 132
7.10. Цепи с зависимыми источниками. Электронные модели цепей...... 137
Глава 8. двухполюсники ................................... 145
8.1. Общие положения ............................................ 145
8.2. Реактивные двухполюсники ................................... 146
8.3. Канонические схемы реактивных двухполюсников ............^.. 152
8.4. Двухполюсники общего вида (RLC) ............................ 160
8.5. Обратные двухполюсники ..................................... 165
8.6. Понятие о синтезе двухполюсников ......................... 167
Глава 9. четырехполюсники ................................ 170
Общие положения ...............................................
Уравнения передачи четырехполюсника ...........................
Применение матриц к расчету четырехполюсников .................
Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника
Характеристические параметры четырехполюсника .................
Рабочие меры передачи .........................................
Понятие о синтезе четырехполюсников ...........................
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ ............................
Общие положения ...............................................
Фильтры Баттерворта ...........................................
Фильтры Чебышева ..............................................
Фильтры со всплесками ослабления ..............................
Реализация электрических фильтров .............................
Преобразование частоты ........................................
Другие типы фильтров ..........................................
Глава 11. цепи с распределенными параметрами ......................
11.1. Общие положения .............................................
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
Г лава 10.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
170
173
181
188
189
197
204
208
208
212
215
219
221
227
231
235
235
524
11.2. Уравнения передачи однородной линии ......................... 237
11.3. Падающие и отраженные волны ................................. 242
11.4. Вторичные параметры однородной линии ........................ 245
11.5. Входное сопротивление линии ................................. 249
11.6. Линия без потерь ............................................ 251
11.7. Применение отрезков линии с пренебрежимо малыми потерями 260
Глава 12. преобразование сигналов в цепях с нелинейными ,
ЭЛЕМЕНТАМИ ........................................................ 263
12.1. Общие положения .............................................. 263
12.2. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов ............. 266
12.3. Воздействие гармонического колебания на цепь с нелинейным эле-
ментом ............................................................. 270
12.4. Нелинейные преобразователи гармонического сигнала ............ 274
12.5. Воздействие суммы гармонических колебаний на цепь с нелинейным
элементом .......................................................... 277
12.6. Модуляция и детектирование колебаний ......................... 282
Глава 13. автоколебательные цепи ............................ 296
13.1. Общие положения .............................................. 296
13.2. Теория автогенераторов с внешней обратной связью ............ 301
13.3. Схемы автогенераторов с внешней обратной связью ............. 309
13.4. Автогенераторы с внутренней обратной связью .................. 311
Часть 2. основы электроники ................................ 314
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ...................................
Области применения электронных приборов ......................
Классификация и система обозначений электронных приборов .....
Классж шкация и система обозначений электровакуумных приборов.
Классш шкация и система обозначений полупроводниковых приборов ...
Классификация и система обозначений интегральных микросхем ...
Технологические основы электроники ...........................
ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫЕ И ИОННЫЕ ПРИБОРЫ ................
Принцип работы электровакуумных приборов .....................
Принцип работы ионных приборов ...............................
Общие сведения об электронных лампах .........................
Диоды ........................................................
Триоды .......................................................
Динамический и квазистатический режимы работы электронных ламп
Многосеточные лампы ..........................................
Г лава 14.
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.
14.6.
Г лава 15.
15.1.
15.2.
15.3.
15.4.
15.5.
15.6.
15.7.
15.8. Электровакуумные электронно-лучевые приборы
Г лава 16.
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
16.5.
16.6.
16.7.
16.8.
16.9.
16.10. Фотоэлектрические и излучающие приборы ......................
Глава 17. интегральные операционные усилители ...
17.1. Общие сведения ...............................................
17.2. Характеристики и параметры ОУ с обратными связями
17.3. Структурные схемы и поколения ОУ .............................
полупроводниковые приборы
Общие сведения о полупроводниках .....
Электропроводность полупроводников ...
Токи в полупроводнике ................
Электронно-дырочный переход ..........
Полупроводниковые диоды ..............
Биполярные транзисторы ...............
Полевые транзисторы ..................
Свойства и применение транзисторов ...
Тиристоры ............................
314
314
315
316
317
317
319
325
325
327
329
330
332
335
337
339
345
345
346
350
353
359
361
369
379
402
406
411
411
413
414
525
АНАЛОГОВЫЕ УСТРОЙСТВА ..............
Классификация аналоговых устройств .............
Усилители ......................................
Электронные регуляторы и аналоговые ключи ......
Фильтры на интегральных схемах .................
Автогенераторы на интегральных схемах ..........
ИМПУЛЬСНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА
17.4. Технические решения ОУ ...............
17.5. Обобщенная макромодель применения ОУ
Г лава 18.
18.1.
18.2.
18.3.
18.4.
18.5.
Глава 19.
19.1. Общие сведения ...............................................
19.2. Импульсные усилители .........................................
19.3. Ограничители амплитуды импульсов .............................
19.4. Генераторы прямоугольных импульсов ...........................
19.5. Генераторы линейно изменяющегося напряжения ..................
19.6. Импульсные и нелинейные устройства на операционных усилителях
Г л а в а 20 цифровые устройства ...............................
20.1. Общие сведения ...............................................
20.2. Основы алгебры логики ........................................
20.3. Характеристики и параметры цифровых устройств ................
20.4. Основные логические операции и элементы ......................
20.5. Семейства цифровых интегральных схем- ........................
20.6. Сравнение параметров логических элементов основных семейств
20.7. Триггеры .....................................................
20.8. Классификация цифровых устройств на интегральных схемах ......
20.9. Комбинационные устройства ....................................
20.10. Последовательностные устройства .............................
Глава 21. большие интегральные схемы ...............................
21.1. Общие сведения ...............................................
21.2. Классификация БИС ............................................
21.3. Микропроцессоры ..............................................
21.4. МикроЭВМ .....................................................
21.5. Запоминающие устройства ......................................
21.6. Цифровые преобразователи сигналов ............................
Список литературы ..................................................
416
419
420
420
421
441
443
446
448
448
451
454
456
460
463
473
473
474
475
477
479
486
487
493
494
498
504
504
505
506
510
511
517
522
Учебное издание
Бакалов Валерий Пантелеевич, Игнатов Александр Николаевич,
Крук Борис Иванович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ЭЛЕКТРОНИКИ
Учебник
Заведующий редакцией В. И. Вяльцев. Редактор Е. В. Комарова.
Переплет художника- Ю. В Архангельского. Художественный редактор А. В. Проценко.
Технический редактор Л. А. Горшкова. Корректор Н. Л. Жукова
ИБ № 1411
Сдано в набор 05.07.88. Подписано в печать 17.01.89. Т—4)4616. Формат 60 x 88/16. Бумага офс. № 2.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная Усл. печ. л. 32,34. Усл. кр.-отт. 32,34. Уч -изд. л. 32,70. Тираж 18 000 экз.
Изд. № 21606. Зак. № 3439. Цена 1р 40к.
Издательство «Радио и связь», 101000-Москва, Почтамт, а/я 693
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая
типография» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28.
СПИСОК МАГАЗИНОВ—ОПОРНЫХ ПУНКТОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВА
110024, Москва, шоссе Энтузиастов, 124/43, магазин № 15
197198, Ленинград ПС, Большой пр., 34, магазин № 55*
226000, Рига, Бульвар Падомью, 17, магазин «Гайсма»*
630000, Новосибирск, Красный пр., 60, магазин № 7*
443090, Куйбышев, ул. Советский армии, 124, магазин № 16
700070, Ташкент, ул. Шота Руставели, 43, магазин № 21
390000, Рязань, ул. Циолковского, I, магазин № 7
173016, Новгород, Ленинградская ул., 13, магазин № 2 «Про-
метей»
634032, Томск, ул. Нахимова, 15/1, магазин № 15
Звездочкой отмечены магазины, имеющие «Книга — почтой».