BOUNDARY
ELEMENT
TECHNIQUES
Theory and Applications in Engineering
С A. BREBBIA
Dept. of Civil Engineering, University of Southhamton
J. С F. TELLES, L. С WROBEL
COPPE — Univ. Federal do Rio de Janeiro
SPRINGE R-VERLAG
BERLIN HEIDELBERG NEW YORK TOKYO
1984

К. БРЕББИЯ, Ж.ТЕИ/1ЕС, Л ВРОУБЕ/1
МЕТОДЫ
ГВ4НИЧНЫХ
Э/1ЕУИЕНЮВ
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук Л. Г. Корнейчука
под редакцией
чл.-корр. АН СССР Э. И. Григолюка
МОСКВА «МИР» 1987

ББК 22.193 : 62
Б87
УДК 519.67
Бреббия К. и др.
Б87 Методы граничных элементов: Пер. с англ./Бреббия К-,
Теллес Ж-, Вроубел Л. — М.: Мир, 1987. — 524 с, ил.
Монография известных зарубежных специалистов К. Бреббия (Великобри-
(Великобритания) и Ж. Теллеса и Л. Вроубела (Бразилия), посвященная теории и приложе-
приложениям метода граничных элементов. Рассмотрены вопросы применения метода
к проблемаь г. лопроводности, механики деформируемых тел, гидродинамики.
Представлены программы расчетов на 3BiM.
Для студентов и аспирантов, а также специалистов в различных областях
механики.
1702070000—181 ББК 22.193: 62
041 @1)—87 ' Ч'
Редакция литературы по новой технике и космическим исследованиям
Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1984
All rights reserved. Authorized translation from Eng-
English language edition published by Springer-Verlag Berlin,
Heidelberg, New York, Tokyo.
перевод на русский язык, «Мир», 1987

Предисловие редактора перевода
Предлагаемая вниманию советских читателей монография
известных специалистов К. Бреббия (Великобритания) и Л. Вроу-
бела, Ж- Теллеса (Бразилия) посвящена методам граничных эле-
элементов.
Исторически методу граничных элементов предшествовал род-
родственный ему метод конечных элементов. Фактически применение
метода конечных элементов восходит к работе А. Хренникоффа
[I*]1), предложившего необычную дискретизацию плоской по-
полосы с помощью фермы с идеальными шарнирами. Дальнейшая
разработка метода конечных элементов была предпринята Р. Ку-
Курантом [2* ], Дж. Аргирисом [3* ], М. Тернером, Р. Клафом,
Г. Мартином, Л. Топпом [4* ] и Дж. Сингом [5* ], и в настоящее
время данный метод является одним из наиболее популярных
численных методов решения задач механики сплошных сред.
Вышедшая в 1976 г. библиография по этому методу [6* ] содержит
около 8 тыс. ссылок, а в настоящее время число работ в этой
области превышает 30 тысяч!
Еще одним важным предшественником и основой метода гра-
граничных элементов является теория интегральных уравнений.
Интегральное уравнение теории потенциала вывел Георг Грин
[7* ]. Метод интегральных граничных уравнений был существенно
развит Фредгольмом, который доказал существование решения
уравнения с помощью предельной дискретизации [8* ]. Фред-
гольм [9* ] также использовал метод теории потенциала и теорию
линейных интегральных уравнений для решения статической
задачи теории упругости однородных тел, когда на границе тела
заданы смещения. Современные возможности численной реализа-
реализации позволили расширить и улучшить формулировку проблем,
связанных с интегральными уравнениями Фредгольма первого
и второго родов, а также с интегральными уравнениями нефред-
гольмовского типа.
Возможности метода Фредгольма расширил В. Д. Купрадзе;
с помощью теории потенциала и сингулярных интегральных урав-
уравнений он доказал существование решения, развил приближенный
*) Звездочкой отмечены ссылки на дополнительную литературу.— Прим. ред.

Предисловие редактора переезда
метод решения статических задач для однородных упругих тел
и динамических задач для кусочно-однородных тел. Используя
гипотетическое распределение поверхностной плотности источни-
источников, В. Д. Купрадзе [10*, 11* ] сформулировал связь перемещений
и напряжений на границе линейно-упругой среды, способству-
способствующую решению основных задач теории упругости. Развитые
В. Д. Купрадзе непрямая и предложенная позднее прямая фор-
формулировки задачи, доказательство их эквивалентности выявили
многие возможности метода граничных интегральных уравнений.
Связь этого метода с методом граничных элементов показана
в статье К. Бреббия и С. Уокера [12*] и монографии [13*].
В методе граничных элементов поведение исследуемых функций
внутренней области описывается граничными интегральными
уравнениями, а на границе представляется граничными эле-
элементами.
Известно, что метод конечных элементов неэффективен в слу-
случае удлиненных областей вследствие невозможности описания
с необходимой точностью поведения модели при дискретизации
как для двумерных, так и для трехмерных линейно-упругих за-
задач и задач теории потенциала. При этом метод граничных элемен-
элементов имеет явные преимущества по сравнению с методом конечных
элементов; это касается также и ряда задач, сводящихся к решению
уравнений Гельмгольца, Пуассона, Лапласа.
При редактировании перевода данной книги были внесены
необходимые уточнения, относящиеся к случаям применения
метода решения дифференциальных уравнений, разработанного
Иваном Григорьевичем Бубновым A872—1919) х), конструктором
военных судов и основоположником строительной механики ко-
корабельных конструкций.
Метод Бубнова состоит в том, что решение исходного диффе-
дифференциального уравнения заменяется разрешением условия орто-
ортогональности этого уравнения, преобразованного в соответствии
с выбранным представлением для исходной функции, к самой
функции. Данный метод достаточно универсален: он применим
к линейным и нелинейным уравнениям (и системам уравнений)
любого рода и порядка. Процесс решения при этом может строиться
и путем сведения дифференциальных уравнений к алгебраиче-
алгебраическим, и путем сведения дифференциальных уравнений с частными
производными к обыкновенному дифференциальному уравнению.
Впервые этот метод описан Бубновым в работе [43* ] и моногра-
монографии [44* ]. Подробнее с методом Бубнова, описанием его связи
с вариационной задачей, историей и развитием этого метода можно
ознакомиться в статье [45*].
х) Родоначальником данного метода некоторые авторы считают Б. Г. Галёрки-
на. — Прим. ред.

Предисловие редактора перевода
В данной книге рассмотрены численные методы, связанные
с теорией потенциала, применение метода граничных элементов
к задачам теории упругости (и представлен набор программ для
плоской задачи), проблемам неупругого и упругопластического
поведения среды (в том числе и нестационарного), вопросам
теории теплопроводности. Отдельные разделы посвящены изгибу
тонких упругих пластин, колебаниям деформируемых тел, распро-
распространению волн в средах, динамике жидкости. Таким образом,
в книге представлены применения метода граничных элементов
к различным проблемам механики деформируемых тел, в основ-
основном для хорошо изученных (другими методами) проблем меха-
механики, где имеются многочисленные результаты. Имея в виду
установленные преимущества метода граничных элементов, было
бы желательно применить этот метод и к новым моделям механики
и вновь поставленным задачам.
Книга будет полезна научным работникам, аспирантам, инже-
инженерам, специализирующимся в использовании численных методов
в разнообразных задачах механики деформируемых тел, при ана-
анализе упругого, упругопластического, вязкопластического стати-
статического поведения твердых тел, распространения упругих волн
в двумерных и трехмерных телах, при изучении колебаний твер-
твердых деформируемых тел, установившихся и неустановившихся
течений жидкостей.
Э. И. Григолюк
Москва,
апрель 1986 г.

Предисловие
При написании этой книги предполагалось дать всестороннее
и современное изложение метода (или точнее методов) граничных
элементов. Данный метод предоставляет широкие возможности
для решения задач теории механики, исследования нелинейного
поведения систем, в том числе зависящего от времени, а также
решения некоторых новых задач.
Подход, которым пользовались авторы, состоял в том, чтобы
представить этот метод как ответвление метода конечных элемен-
элементов и в форме, доступной для инженеров. Математическое обосно-
обоснование обсуждается лишь постольку, поскольку это требуется для
ясности изложения и возможности практического применения
результатов.
Таким образом, читатель найдет в этой монографии широкое
исследование вопроса от его основ до реализации на ЭВМ, включая
полные тексты программ.

Глава 1
Приближенные методы
1.1. Введение
Инженеры и ученые, специалисты в области физических наук,
широко используют в последнее время численные методы иссле-
исследований. Эти методы основаны на приближенном решении урав-
уравнений, описывающих физическую задачу. Одним из первых при-
приближенных методов был метод конечных разностей, в котором
разрешающие уравнения задачи аппроксимировались с помощью
локальных разложений неизвестных функций в ряды, как пра-
правило, в усеченные ряды Тейлора. Как будет показано в разд. 1.8,
этот прием можно интерпретировать как частный случай более
общего метода взвешенных невязок.
Метод конечных элементов привлек к себе внимание исследова-
исследователей главным образом тем свойством, что сплошная среда раз-
разбивается на ряд элементов, которые можно рассматривать как
конкретные ее части. При этом данный метод может основываться
как на вариационных принципах, так и на более общих выраже-
выражениях метода взвешенных невязок. Имеющаяся в настоящее время
литература по конечным элементам весьма обширна и включает
в себя вопросы расчета конструкций [1], течения жидкости [2]
и другие виды задач.
Большой интерес, который был проявлен к этому методу
в начале 1960-х гг., имел два важных следствия: во-первых, он
породил впечатляющее количество работ по численным методам
и эффективным инженерным подходам к решению задач и, во-
вторых, привел к углубленному исследованию основных физико-
математических принципов, таких как вариационные подходы
и методы взвешенных невязок.
Первое из указанных следствий непосредственно связано
с появлением мощных вычислительных машин,т.е. ^|>М второго
поколения,которые могли решать инженерные задачи, требующие
хранения большого числового материала и проведения значитель-
значительного объема вычислений. На некоторое время непрерывный про-
прогресс в вычислительной технике, включающий в себя создание
ЭВМ третьего поколения, отвлек ученых от развития математиче-
математических методов (и их физических основ), т. е. от указанного выше
второго следствия. Эти методы, применение которых восходит ко
времени, когда еще не было вычислительной техники [3, 4],

10 Глава 1
описывали различные пути решения уравнений задачи; к ним
относятся методы Бубнова, коллокаций, наименьших квадра-
квадратов, графические приемы решений, матричные разложения и метод
передаточных матриц, комбинации различных приемов и т. д.
К счастью, они не были забыты и вновь появились в литературе,
иногда под другими названиями, подобными методам конечных
элементов, Бубнова, конечно-элементных полос, неким схемам
интегрирования по времени и т. д. Другим важным направлением
приближенного анализа было развитие смешанных принципов,
когда физические задачи можно выражать и решать самыми раз-
разными способами в соответствии с видом используемых аппрокси-
аппроксимаций уравнений. Эти аппроксимации имеют основополагающее
значение при машинной реализации различных численных мето-
методов. Использование смешанных методов восходит к Рейсснеру
[5 ] и в более специфическом виде к Пиану [6] в методе конечных
элементов. Прекрасное описание применения смешанных методов
в строительной механике можно найти в книге Вашицу [7].
Методы интегральных уравнений рассматривались до послед-
последнего времени как некий тип аналитического метода, не связанный
непосредственно с приближенными методами. Они стали из-
известны благодаря работам советских ученых Н. И. Мусхели-
швили [8], С. Г. Михлина [9], В. Д. Купрадзе [10] и В. И. Смир-
Смирнова [11], но они были не очень популярны среди инженеров.
Предшественником некоторых из этих исследователей был Келлог
[12], который применял интегральные уравнения для решения
уравнений типа уравнения Лапласа. Метод интегральных уравне-
уравнений использовался главным образом в механике жидкости и за-
задачах общей теории потенциала и известен как метод источника,
который относится к «непрямым» методам исследования, т. е. не-
неизвестные в этих задачах не являются физическими переменными.
Работа по развитию этого метода продолжалась в 1960—1970-х гг.
в трудах Джесуона [13], Симма [14], Массоне [15], Гесса [16]
и многих других.
Трудно точно установить, кто первым предложил «прямой»
метод исследования. В виде одного из вариантов он использован
в книге В. Д. Купрадзе [10]. Однако с точки зрения инженера
следует, по-видимому, считать, что метод был впервые предложен
в работе Крузе и Риццо [17]. Именно прямой метод будет глав-
главным образом использоваться в этой книге, поскольку он наиболее
приемлем для инженеров и ученых-механиков.
Еще в начале 1960-х гг. небольшая исследовательская группа
Саутхемптонского университета уже работала над приложением
интегральных уравнений к решению задач о напряженном со-
состоянии. К сожалению, характер представления задачи, трудности
определения соответствующих функций Грина и одновременное
появление метода конечных элементов — все это привело к сни-

Приближенные методы 11
жению значимости этой работы. В начале 1970-х гг. последние
достижения в формулировке конечных элементов начали обнару-
обнаруживать их связь с формулировкой граничных интегральных урав-
уравнений и привели к появлению обобщенных криволинейных элемен-
элементов. Вопрос о том, насколько эффективно последние связывают
граничные интегральные уравнения с другими приближенными
подходами, в то время не был решен. Это было сделано Бреббия,
который в 1970-х гг. исследовал связь различных приближенных
методов. Результатом этих исследований была вышедшая в 1978 г.
книга [18], где впервые использован заголовок «Граничные эле-
элементы». Немного позже эта работа была расширена за счет вклю-
включения в ременных и нелинейных задач [ 19 ]. По этой теме состоялись
представительные международные конференции в Саутхемптон-
ском университете A978, 1980 и 1982 гг.) и в Калифорнии A981 г.).
На труды этих конференций [20—23], касающиеся рассматривае-
рассматриваемой здесь темы, теперь постоянно ссылаются в научных публи-
публикациях.
В этой главе будут описаны общие основы всех фундаменталь-
фундаментальных методов со специальным упором на связь с граничными
элементами. При использовании различных методов важно пони-
понимать смысл аппроксимаций и уметь комбинировать метод гранич-
граничных элементов с другими численными методами.
1.2. Основные определения
В этой книге будет в основном рассматриваться решение диф-
дифференциальных уравнений, представляющих отдельную физиче-
физическую задачу. Эти уравнения могут быть эллиптического, парабо-
параболического или гиперболического типа. В данный момент будем
рассматривать только эллиптические уравнения. Предположим,
что последние можно представить с помощью оператора & в виде
S (и) = Ь в области п. A.1)
Оператор S по определению представляет собой перечень опера-
операций над функцией «, в результате которых получается другая
функция Ь. Область Q представляет собой пространственную об-
область, обычно описываемую координатами хг (i = 1, 2, 3) или
просто координатой х в одномерных задачах.
Оператор S в дальнейшем будет рассматриваться как диффе-
дифференциальный оператор вида
SB ( ) = d2 ( );дх2
или
SB{\- di{ } 4- d( ) -L ( ) A2V
х *• > ~ dx* г dx i к )' У1-*)

12 Глава 1
а в случае двумерного уравнения Лапласа
Когда оператор применяется к функции и, эту функцию следует
подставлять вместо скобок. Хотя в данном случае функция и
считается скалярной, важно учитывать то обстоятельство, что она
может быть и вектором, как, скажем, в механике сплошной среды,
где функция и может быть заменена вектором и, компонентами
которого являются перемещения в трех взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направлениях.
Рассмотрим однородное уравнение A.1) вида
2 (и) = 0 в области Q. A.3)
Внутренним произведением будем называть левую часть соот-
соотношения
J 2(u)wdQ = 0, A.4)
Q
которая зачастую обозначается как B (и), w). Возможны и иные,
отличные от соответствующих выражений A.4) определения вну-
внутренних произведений, но в данной книге в основном будет ис-
использоваться именно приведенное выражение. Внутреннее про-
произведение A.4) можно интегрировать по частям до тех пор, пока
под интегралом не останется производных функций и. Это приводит
к преобразованной форме внутреннего произведения, и в резуль-
результате интегрирования по частям получаются слагаемые, содержа-
содержащие интегралы по поверхности, охватывающей область Q. В общем
случае внутреннее произведение можно представить в виде
J SP (и) w du = J ug* (ш) dQ + J [S* И G (и) - G* (w) S {и)] dT,
я а г
A.5)
где Г — внешняя граница области Q; S и G — дифференциальные
операторы, обусловленные интегрированием по частям. Через
S* (w) обозначены слагаемые, содержащие функцию w и получа-
получающиеся на начальном этапе интегрирования; S (и) содержит со-
соответствующие слагаемые с функцией и.
Оператор 3?* называется сопряженным оператору 3?. Если
S* —Z, то 3? называется самосопряженным оператором. В дан-
данном случае имеем G = G* и S = S*. Самосопряженность опера-
оператора аналогична симметричности матрицы, элементы которой
являются действительными числами. Оператор 5 (и) называется
оператором существенных граничных условий, а оператор G (и) —
оператором несущественных или естественных граничных усло-
условий . На границе области можно задать любой тип граничных

Приближенные методы 13
условий. Однако, для того чтобы решение было единственным,
в некоторых точках следует задать существенные граничные
условия. Пусть Гх и Г2 обозначают участки полной поверхно-
поверхности Г, тогда граничные условия для самосопряженной задачи
{S£* = S£) можно записать в виде:
5 (и) задано на участке Гг границы;
G (и) задано на участке Г2 границы.
Самосопряженный оператор является также положительно опре-
определенным, если условие
\u£(u)dQ^0 A.6)
я
выполняется для всех функций и, и равен нулю только для три-
тривиального случая и = 0. Для того чтобы определить, является ли
оператор 3! положительно определенным, можно интегрировать
внутреннее произведение по частям до тех пор, пока в нем оста-
останутся производные одинакового порядка. Этот оператор является
промежуточным при преобразовании оператора Я? в Я?*. Положи-
Положительная определенность является исключительно важным свой-
свойством, влияющим на выбор схемы решения, а также на запись
вариационных формулировок.
Пример 1.1. Рассмотрим уравнение
S?(и) =-%£--Ми = 0; 0<х<\. (а)
Внутреннее произведение имеет вид
1 1
\2?{u)wdx= M-^-tfulwdx^O. (б)
о о
Интегрируя далее это соотношение по частям, получаем
j
о о
Снова интегрируя, найдем
Замечая, что первое слагаемое в правой части этого равенства
может быть написано с помощью оператора, получаем
i 1
J 2(и)wdx = \ <?(ш)иdx + [S(w)G(и)]] -[S(u)G(w%. (д)

14 Глава 1
Следовательно, оператор 3? является самосопряженным, а опера-
операторы, описывающие граничные условия, имеют вид
S ( ) = ( ), G ( ) = d ( )ldx.
Отметим, что оператор 3? является отрицательно определенным,
т. е. если положить и = т и взять однородные граничные условия,
то после первого интегрирования выражение (а) примет вид
1 1
о! о
Отрицательно определенные операторы можно легко превра-
превратить в положительно определенные умножением их на —1.
Пример 1.2. Рассмотрим теперь оператор, содержащий наряду
со второй и первую производную:
^И = -^" + -^- + и; 0<х<\. (а)
Напишем далее внутреннее произведение, дважды интегрируя
по частям
1 1
d2u , du , . 1 ....... f ( d?w dw ^
Ш " dx '
Заметим, что в данном случае сопряженный оператор имеет вид
а операторы граничных условий равны
U\ ' ' (г)
Пример 1.3. Другим важным для инженерных приложений
оператором является оператор четвертого порядка (описывающий
статический изгиб балки)
SE (и) = d4a/dx4. (a)
В этом случае внутреннее произведение имеет вид
1 1
f diu , ,„.
О

Приближенные методы 15
Дважды интегрируя по частям, найдем
1 1
dw d-u ~\i , ( d-w d2u , , .
Вновь интегрируя дважды по частям, получаем
1
1
Г d^w du 11 Г d3w 11 f d^w ,
1 L dx* dx Jo [. dx3 Jo ' J dx* ' >
о
Отметим, что в данном случае имеются два типа операторов гра-
граничных условий
1 !
j 9? (и) w dx = j 9?* (ш) и dx + [Si (ay) Gi (u) - S2 (ay) G2 (u)]J +
0 3
+ [G2HS2(«)~-Gi(ay)S1(«)];. (д)
Здесь операторы существенных граничных условий равны
Sx (u) = и, S2 (и) = du/dx, (e)
а операторы естественных граничных условий имеют вид
Gx (a) = d3u!dx3, G2 (u) = d2ui'dx2. (ж)
Оператор i? является самосопряженным:
9" ( \ = 3?* ( \ — di I Mdx* Сч1»
Если в уравнении (в) с однородными граничными условиями
положить w — и, то получим
о о
Отметим, что этот интеграл является положительно определен-
определенным и обращается в нуль лишь при и = ах + р; поэтому, для
того чтобы интеграл (и) был больше нуля для любых функций и,
следует задать по крайней мере два значения функции и или
одно значение для и и другое для duldx. Для задачи изгиба балки
это означает, что следует запретить все ее перемещения как целого.

16 Глава 1
1.3. Приближенные решения
Большинство инженерных задач, которые описываются слож-
сложными дифференциальными уравнениями, могут быть решены лишь
приближенными методами. К наиболее хорошо известным методам
относятся метод конечных разностей и метод конечных элементов.
Оба этих метода, несмотря на очевидное различие между ними,
позволяют свести уравнения для сплошной среды с бесконечным
числом степеней свободы к уравнениям для системы с конечным
числом степеней свободы, после чего задача может быть решена
численно с применением ЭВМ. В методе конечных разностей за-
задается набор узловых точек, в которых связь между функциями
и их производными определяется исходными дифференциальными
уравнениями. В методе конечных элементов дифференциальное
уравнение или его интегральный эквивалент удовлетворяются
в среднем по области каждого элемента. В обоих этих методах
используется дискретное представление как самой области, так
и ее границы, в то время как метод граничных элементов основы-
основывается на дискретном представлении лишь внешней границы. Все
эти методы имеют много общего, что особенно ясно видно из
характера используемых в них аппроксимаций. Чтобы показать
это, запишем сначала следующую систему уравнений:
2! (и0) = Ь в области Q A.7)
с граничными условиями
5 («„) = s на участке Гх границы,
G (и0) = g на участке Г2 границы. ^
Здесь г^ •—точное решение задачи, которое, как правило, не-
невозможно найти. Функцию ы0 можно представить в виде ряда
по функциям (pft (л;):
п
" = И aft<Pft-ra0. A-9)
k=l
Здесь слагаемое а0 в правой части введено для того, чтобы удов-
удовлетворить неоднородной части граничных условий; а^ — неизвест-
неизвестные параметры; ц>к — полная система линейно независимых функ-
функций
Фх (х), ф2 (*), •■•, Ц>п (х), A.10)
где х — координаты в пространстве Q.
Эти функции обычно выбираются таким образом, чтобы они
удовлетворяли некоторым заданным условиям, так называемым
условиям допустимости, связывающим граничные условия со
степенью дискретизации сплошной среды.

Приближенные методы 17
Линейная независимость системы функции A.10) означает, что
равенство
«l<Pl + «2<P2 + ••• + «пфп = 0 A.11)
возможно для всех значений х только при ait равных нулю.
Система линейно независимых функций называется полной,
если можно выбрать число ее членов п и соответствующую систему
постоянных ah таким образом, чтобы для произвольной функ-
функции и0, удовлетворяющей условиям допустимости, неравенства
выполнялось для сколь угодно малых значений р.
Возвращаясь к уравнению A.7), потребуем сначала, чтобы
аппроксимирующие функции удовлетворяли всем граничным
условиям задачи и имели необходимую степень непрерывности,
с тем чтобы сделать левую часть уравнения A.7) отличной от нуля
B (и) Ф 0).
Подстановка приближенного выражения для и0 в уравне-
уравнение A.7) дает функцию невязок
R = & (и) — ЬфО. A.12)
Точность аппроксимации определяется при этом осредненными,
интегральными характеристиками функции невязок, выбор ко-
которых зависит от конкретного метода.
Если функция и не удовлетворяет всем граничным условиям,
то можно получить еще два типа функций невязок:
1) связанные с существенными граничными условиями
/?х = 5 (и) — s Ф 0 на участке 1\ границы, A-13)
2) связанные с естественными граничными условиями
R2 = G (и) — g Ф 0 на участке Г2 границы.
Наша цель состоит в том, чтобы сделать отличия пробной
функции и от и0, определяемые осредненными значениями R,
Rlt R2, сколь угодно малыми как внутри области Q, так и на
границе Г. Различные подходы к выполнению этой задачи и по-
порождают разные типы приближенных методов.
Пример 1.4. Рассмотрим следующее уравнение:
2{и)=-%£- = Ь, 0<Х<\, (а)
где Ь — некоторая постоянная, значения которой могут изме-
изменяться от 0 до 1; граничные условия считаются однородными,
т. е. и = 0 при х = 0 и х = 1. Точное решение можно легко
получить, интегрируя уравнение (а), что дает
ио = Ч2Ьх(х—1). (б)

18
Глава 1
В качестве аппроксимирующих используем синусоидальные
функции, причем в нулевом приближении
и = а^ = a sin ях. (в)
Отметим, что эта функция удовлетворяет граничным (однородным)
условиям нашей задачи.
Функция невязок равна
R = -т4 b = —ал2 sin ях — Ь. (г)
Рис. 1.1. Графики точной («„), ап-
аппроксимирующей (и) функций и
функции невязок (R). Значками от-
отмечены значения функций, приве-
приведенные в табл. 1.1.
0,2 0,3 0,4 0,5
Параметр а в этом случае найдем из условия R = 0 в середине
области, т. е. при х = 1/2 (это будет простейшим случаем при-
применения метода коллокаций):
—ал3 = b или а = —Ь/я2. (д)
Таким образом, приближенное решение имеет вид
и — —(Ь/л3) sin ях. (е)
Результаты для точного и приближенного решения, а также
функции невязок
R = b sin nx — b (ж)
Таблица 1.1
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ио/Ь
— 0,045000
—0,080000
—0,105000
— 0,120000
—0,125000
и/Ь
— 0,031309
—0,059555
— 0,081970
—0,096362
—0,101321
Rib
—0,690983
— 0,412214
—0,190983
—0,048943
0,000000

Приближенные методы
19
Рис. 1.2. Точная и аппроксимирую-
аппроксимирующая функции и функция невязок
(первое приближение).
приводятся в табл. 1.1 и на
рис. 1.1. Как видно издан-
изданных, приведенных на рис. 1.1,
разность между точной и
аппроксимирующей функция-
функциями и функция невязок имеют
весьма несходные зависимос-
зависимости от координат.
Можно было бы выбрать и
иное локальное условие для
функции невязок, например
положить R = О при х = 1/4
вместо х = 1/2. В этом слу-
случае имеем
Ri/i = [—агпг sin лх —
— ЬЬ=1/4 = О,
а = — b у'Т/я2. (з)
Новые значения для аппроксимаций функции
и = — {b i^2У я2) sin лх
и функции невязок
= Ь
sin я* — b
0,5
0,06
(и)
(к)
приведены в табл. 1.2, а их графики показаны на рис. 1.2. От-
Отметим, что аппроксимация функцией (и) несколько точнее, чем
функцией (е).
Таблица 1.2
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
uojb
—0,45000
—0,080000
—0,105000
—0,120000
—0,125000
ujb
—0,440278
—0,084223
—0,115923
—0,136276
—0,143289
«/6
—0,562983
—0,168746
+0,144122
+0,344997
+0,414213

20 Глава 1
Пример 1.5. Рассмотрим следующее уравнение, заданное
в области 0 < х < 1
2?(ио)-Ь=^2- + ио + х = 0 (а)
с граничными условиями и = 0 при х = 0 и х =1.
В качестве полной системы функций возьмем ряд степенных
функций
Ф1 = 1| ф2 = *. ФЗ = -Л Ф4 = X3, ■■■ ■ (б)
Аппроксимирующая функция принимает вид
и = ахф! -f а2ф2 + а3фз + «4ф4 + ••• = av 1 + «г1* + as-x2 +
+ а4-х3 + ... . (в)
Рассмотрим сначала три первых слагаемых и попытаемся
подчинить функцию и граничным условиям задачи:
и = аг = 0 при х = 0,
и — аг + а2 + аз = 0 при х = 1.
Отсюда следует, что а2 = —а3. Соответственно аппроксимирую-
аппроксимирующая функция, удовлетворяющая граничным условиям, равна
и — ах — ах2 = ах A — х), (д)
где а = а2.
Если взять четыре слагаемых, то получим
и = ахЛ + а2-х + а3-*2 + ац-х? + ••• • (е)
Граничные условия приводят к следующему выражению для и:
и = х A — х) (ау + а2х). (ж)
В общем случае произвольного числа членов ряда (е) граничные
условия дают
и = х A — х) (а1 + «2* + «з*2 -г ••• )• C)
Точным решением уравнения (а), удовлетворяющим указан-
указанным выше граничным условиям, является функция
S— (и)
[^Отметим, что в этом случае выражение (з) удовлетворяет
условию допустимости, поскольку оно соответствует граничным
условиям и имеет необходимую степень непрерывности. Условие
полноты также выполняется, поскольку норма разности и — и0
будет уменьшаться при увеличении числа слагаемых, входящих
в выражение (з).

Приближенные методы 21
1.4. Метод взвешенных невязок
Если принять, что функциями невязок являются
R в области Q,
Ri на участке Гх границы Г, A-14)
R2 на участке Г2 границы Г,
г = г\ + г2,
то можно предложить такой способ их минимизации, когда обра-
обращаются в нуль их усредненные значения. Зададим еще одну
систему линейно независимых функций у[\:
\|)х (х), г|?2 (х), \|K (х), .... \|>ft(x).
Иногда используют функции \|;ft (x), удовлетворяющие одно-
однородным граничным условиям, хотя, как будет показано ниже,
это не всегда обязательно. Теперь можно ввести систему произ-
произвольных коэффициентов |Зг, которые определяют некую функцию и.
с помощью системы функций \|)£:
Предположим теперь, что аппроксимирующая функция и удовле-
удовлетворяет всем граничным условиям задачи. В этом случае R± =
= Ri = 0 и только R Ф 0. Используя функцию т, можно рас-
рассмотреть усредненное по области й значение функции невязок R
l(R,rw) = \RwdQ = 0. A.16)
я
При этом w будем называть весовой функцией. Поскольку коэф-
коэффициенты рг являются произвольными, то из неравенства A.16)
следует, что
О = 0, i = 1, 2, .... k. A.17)
В следующих разделах будет рассмотрен ряд хорошо известных
приближенных методов с позиций введенных [выше определений.
1.4.1. Метод коллокаций.
Так же как и в примере 1.4, вместо удовлетворения уравнений
«в среднем», попытаемся удовлетворить им лишь в отдельных точ-
точках, называемых точками коллокаций. Эти точки обычно (но не
обязательно) располагают равномерно по всей области.
Для случая однородных граничных условий можно использо-
использовать аппроксимирующую функцию
k=\

22
Глава 1
где q>ft — функции, удовлетворяющие однородным граничным
условиям.
Условие обращения в нуль функции невязок
R a SB (и) — b = 0 A.19)
должно выполняться в п точках области Q. Отметим, что в прин-
принципе число коэффициентов ah должно совпадать с числом выбран-
выбранных точек коллокаций. Это условие можно выразить в форме
метода взвешенных невязок, если в качестве \|)г использовать
П
дельта-функцию Дирака. Дельта-
функция Дирака Аг (х) является обоб-
обобщенной функцией, которую можно
рассматривать как предел обычных
функций (рис. 1.3). Дельта-функция
Аг (х) равна нулю во всех точках об-
области, за исключением точки, в кото-
которой нулю равен ее аргумент, афункция
обращается в бесконечность (т. е. при
х = xt, где х% — координата точки i,
в которой «локализована» дельта-
функция Дирака). Функцию А; (х)
можно представить в виде
At(x) = A(x-Xi).
Дельта-функция Дирака имеет очень полезное с точки зрения
инженера свойство:
-К
Рис. 1.3. Дельта-функция Ди-
Дирака, аппроксимируемая функ-
функцией прямоугольной формы,
площадь поверхности которой
D2K = 1 при А^ОиО^оо.
где е — произвольное малое положительное число. Кроме того,
для произвольной функции / (х), непрерывной в точке хь можно
написать следующее соотношение:
j / (х) А (х- xt) dx= \ f (х) А (х- Xi) dx = f (xt) = fit A.20)
— oo Х1~г
где fi — значение функции f в точке i. В дальнейшем, когда не
будет необходимости представлять в явном виде аргументы функ-
функции, для простоты используются краткие обозначения ft и А;.
Метод коллокаций на множестве точек i (или метод точечных
коллокаций) теперь можно определить соотношением (см. фор-
формулу A.16)):
\RwdQ=0, A.21)
а

Приближенные методы
где
w = PA + p2A2 + p3A3 -f ... -f P/A. A-22)
Здесь А; — дельта-функция Дирака, заданная в точках i = 1,
9 £>
Z,, . . . , К.
Пример 1.6. Рассмотрим следующее уравнение, заданное
в области 0 <: х < 1:
SB (и) - Ь = -g- 4- и 4- х = 0 (а)
с однородными граничными условиями вида
« = О при х = О, х = 1.
Возьмем (см. пример 1.5) аппроксимирующую функцию, со-
содержащую только два неизвестных параметра:
и = х A — х) (а1 4- сс2х). (б)
Подставляя это приближенное выражение для и в уравнение (а),
получим функцию невязок
Т^к \Л &V I Е / f~\ I О V X / С*\ Г* 1 О *? \ \
13 j | ' v* _. „ I *) ! V* \*^ I /"V I / Т~\ \* \*~ \*^ I »*V | v*
j\ -— —, . ——■ И, ■ А -—■ I £* I— А А 1 Ш\ '— I ^ VJA " A A I Lto ~~\ A *
(в)
Далее можно ввести весовую функцию в форме дельта-функ-
дельта-функции Дирака, заданной в точках ху = 1/4 и х% = 1/2:
w = РА (* — ги) + Р2А2 (х — V2). (г)
Это означает, что условие
1
^ Rwdx = 0 (д)
о
сводится к равенству
R = 0 при х = 1/4 w х = 1/2.
Отсюда получаем два уравнения, которые можно записать в ма-
матричной форме
29/16 —35/64 I (ау) |1/4|
7/4 7/8 J * \сс2 / = I 1/2}" (б)
Решая эту систему, получим значения осг:
ot! = 6/31, аа = 40/217 (ж)
и соответствующее выражения для пробной функции
ы = x(lZX) D2-р40х). (з)
217

24
Глава 1
Отметим, что функция невязок имеет вид
R = -gjy (—4 + 19л: - 2л:2 -
(и)
Результаты вычислений представлены в табл. 1.3 и на рис. 1.4.
Пример 1.7. Интересно отметить, что специальная форма
метода коллокаций приводит к методу конечных разностей.
0,08
ячейка
0,02
о
0,2
Рис. 1.4. Точная и аппроксимирующая функции,
и функция невязок (пример 1.6).
Рис. 1.5. Ячейка колло-
кации и функции ф^.
Рассмотрим для примера область или «ячейку» (рис. 1.5), рас-
расположенную в окрестности узла i. Можно выбрать следующего
вида «локальную» аппроксимирующую функцию в области ячейки:
где иь Ui_lt ul+1 — значения функции в узлах конечно-разно-
конечно-разностной сетки. Функции фг являются квадратичными функциями
безразмерной координаты г\ = 2x11:
<Pi = xltf\ Oi — 1). Ф2 = A — Л) A + Л). Фз = 1Uf\ A + Л)- (б)
Вид этих функций представлен на рис. 1.5.
Если продифференцировать функцию (а), учитывая выраже-
выражения (б) для функций фь, то для точки I функцию невязок можно
записать в виде
^г («i-i - 2"i + Щ+1) + ui + xi = 0. (в)
Л-иЛ-х =

Приближенные методы
25
Таблица 1.3
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
ujb
0,018641
0,036097
0,051194
0,062782
0,069746
0,071018
0,065585
0,052502
0,030901
и.'Ь
0,019078
0,036866
0,052258
0,064147
0,071428
0,072995
0,065806
0,054562
0,032350
R/b
—0,009953
—0,002764
+0,002027
+0,003317
+0,000000
—0,009032
—0,024884
—0,048663
—0,081474
Это выражение совпадает с тем, что было получено с использова-
использованием центральных конечных разностей.
Описанный выше подход, детали которого обсуждаются
в статье [24], позволяет найти множество различных конечно
разностных представлений и облегчает использование криволи-
криволинейных координат в этом методе.
1.4.2. Метод коллокаций с подобластями
Этот метод аналогичен методу коллокаций, только вместо
требования равенства нулю функции невязок в отдельных точках
используется условие обращения в нуль интеграла по различным
областям от функции невязок
\ RdQ = 0.
Пример 1.8. Вновь рассмотрим уравнение
A.23)
(а)
с граничными условиями и = 0 при х = 0 и х = 1. Возьмем для
искомого решения следующее приближенное представление:
и = х A — х) (ах + а2х +...). (б)
Для первого приближения (т. е. для случая, когда имеется
только слагаемое аг) в качестве подобласти можно взять всю
область. Подставляя выражение
R = (-2 + х - х") аг + х (в)
в формулу A.23) и полагая Q; = Q, получаем
1
Jf(-2 + x-x2)a1 + x]dx = --^-a1+-^-=,0, (г)
о

26
Глава 1
откуда имеем аг = 3/11. Следовательно, в первом приближении
*1их{\—х). (д)
Для получения второго приближения можно взять две подобла-
подобласти: 0 < х < 1/2 и 0 < х < 1. Отметим, что одна из них включает
в себя другую. Функция невязок имеет тот же вид, что и в при-
примере 1.6:
R = (—2 + х — хъ) ах + B — 6х + х1 — .V3) а2 + х. (е)
Проинтегрировав выражения
1/2
получим
1 11
Q 1 О '"l
о 1 ^
откуда найдем
Rdx
0
, 53
■ 192 а*
= о,
1 #
0
1
2
dx =
11
6
о,
11
12
ot! = 97/517, а2 = 24/141.
Таким образом, второе приближение имеет вид
291 + 264*
«B) = Х(\~Х)
1551
(Ж)
). (з)
(и)
(к)
Функция «0, обе аппроксимации для функции и и функции
невязок представлены в табл. 1.4 и на рис. 1.6. Отметим, что
результаты заметно улучшаются для второго приближения.
Хотя на первый взгляд метод коллокаций с подобластями
должен иметь преимущество по сравнению с методом коллокаций
в точках, на практике преимущество, получаемое за счет исполь-
использования интегральных соотношений, зачастую исчезает из-за
того, по-видимому, что функция ошибок несколько раз изменяет
Таблица 1.4
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
«0
0,018641
0,036097
0,051194
0,062782
0,069746
0,071018
0,065585
0,052502
0,030901
«A)
0,024545
0 043636
0,057272
0,065454
0,068181
0,065454
0,057272
0,043636
0,024545
«B)
0,018417
0,035466
0,050123
0 061369
0,068181
0,069539
0,064421
0,051806
0,030673
Я<1)
— 0,420909
— 0,301818
— 0,188181
— 0,080000
+0,022727
+ 0,120000
+ 0,211818
+ 0,298181
+ 0,379090
— 0,018526
— 0,003605
+0,008924
+ 0,018042
+0,022727
+0,021957
+ 0,014711
— 0,000030
— 0,023292

Приближенные методы
27
Рис. 1.6. Точная и аппроксимирующие функции, функции невязок (пример 1.8).
свой знак в рассматриваемой области, в результате чего возни-
возникают довольно большие ошибки.
Пример 1.9. Очень интересным применением метода коллока-
ций к подобластям является случай, когда весовая функция имеет
ступенчатый вид (рис. 1.7). Отметим, что здесь рассматривается
элемент, аналогичный конечному элементу с системой функций:
Ч>1 = 1>'гЧ {Ц — 1). Фа = A — 11) A -г Т])> Фз = ^т] A + Л)- (а)
Тогда имеем О
где Ui_lt ии «;+1 — значения функции
соответственно в узлах i—1, i, i + 1.
Рассмотрим конечно-разностный
аналог для уравнения
(Г-и1йхг = Ь, (в)
Рис. 1.7. Коллокации с подобластями в виде
конечно-разностных или конечно-элементных
сеток.
И /|

28 Глава 1
который имеет вид (см. пример 1.7)
-р- (ыг_1- 2щ + им) = bt. (г)
Рассмотрим сначала соотношение
= 0 (д)
для метода взвешенных невязок и потребуем выполнения этого
равенства в области —//4 < х < //4. Интегрируя по частям,
получим
Г / du dw \ , с
du
-//4 - -//4
Поскольку ау является ступенчатой функцией, в левой части
останется только одно слагаемое
С , , Г du I Г d«  • , .
bdx = —г- — —г— . (ж)
J L dX J//4 L </* J-//4 V ^
-;/4
Если b — постоянная величина, то для узла i получаем следующее
соотношение:
-Y- = — [ui.i~2ui -|-и!+1] (з)
или
— [«i-i-2«j-|-Mj+i]-bi = 0. (и)
Отметим, что это соотношение в точности совпадает с полу-
полученным в примере 1.7, но здесь оно было найдено с использова-
использованием описывающего граничные условия оператора и интегриро-
интегрирования по подобласти.
С помощью этого же примера легко показать возможности
метода коллокаций, который широко применяется при форму-
формулировании метода граничных элементов, как это будет видно из
последующего изложения.
Пример 1.10. Уравнение A.16) удобно использовать для де-
демонстрации широких возможностей подходов с использованием
взвешенных невязок, таких, как метод моментов, метод Бубнова
(см. разд. 1.5), а также уже обсуждавшийся выше метод колло-
коллокаций.
Метод моментов состоит в том, что записываются моменты от
функции ошибок аналогично тому, как это делается в теории

Приближенные методы
29
вероятностей. Например, для одномерных задач в качестве весо-
весовых функций для функции невязок R используется система
1, х, х2, Xs, ..., (а)
и соответственно
W = Pi- 1 + p2JC + Рз*2 + • • • • (б)
Проиллюстрируем этот случай на примере уже рассмотренного
ранее уравнен i
dx*
■и + х = 0.
(в)
В качестве приближенного решения возьмем функцию
и — б^ф! + а2ф2 + ... = осхх A — х) + агх2 A — х) + ... . (г)
Функция невязок при удержании лишь двух первых членов
имеет вид
Ц = х + (—2 + х — х2) ах + B — 6* + х2 — х3) а2. (д)
Эта функция должна быть ортогональна как Ф1 = 1, так и ф2 =
= х, т. е. можно записать следующие два условия для функции R:
1 1
\ R • 1 dx = 0, \ R • х dx = 0. (е)
о о
Выполнив интегрирование, получим систему двух уравнений
Г 11/6 [11/2 1 («11A/2)
[ 11/12 19/20 J * I ct21 \ 1/3 j'
Решая эту систему, найдем ах = 122/649, а2 = 110/649, и аппрок-
аппроксимирующая функция принимает вид
— (\ ч / 122 110
U - ХA — Х){ ^д + ^д
Таблица 1.5
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
«0
0,018641
0,036097
0,051194
0,062782
0,069746
0,071018
0,065585
0,052502
0,030901
и
0,018443
0,035500
0,050154
0,061386
0,068181
0,069522
0,064391
0,051771
0,030647
—0,020231
—0,004869
+0,008089
+0,017627
+0,022727
+0,022372
+0,015546
+0,001232
—0,021587

30
Глава 1
О 0,2 ОЛ 0,6 0,8 1,0
х
Рис. 1.8. Результаты расчетов по методу моментов.
Функция невязок равна
R = х 4- (-2 - х - х2)
122
• B — 6* + л-2 —
ПО
Полученные результаты иллюстрируются табл. 1.5 и рис. 1.8.
1.5. Метод Бубнова1)
Метод Бубнова является частным случаем метода взвешенных
невязок, где в качестве весовых функций берется та же самая
система аппроксимирующих или пробных функций. Для заданной
системы в области Q
2 Ы = Ь
A.24)
J) В оригинале — метод Галёркина. В связи с этим см. предисловие редактора
перевода. — Прим. ред.

Приближенные методы 31
с однородными граничными условиями в качестве аппроксими-
аппроксимирующей функции, удовлетворяющей этим граничным условиям,
можно взять
п
и = 2 aftq>fe, A.25)
*=i
что дает функцию невязок
R = 3?(u) — ЬфО, A.26)
которая, согласно методу Бубнова, должна быть ортогональна
аппроксимирующим функциям
\ 0. A.27)
я
Здесь
+ рафа + Рзфз + ... • A.28)
В случае линейного оператора 3? условие A.27) приводит к си-
системе линейных алгебраических уравнений, решив которую,
можно найти коэффициенты рг. Поскольку одни и те же функции
используются для представления и и до, а коэффициенты рг яв-
являются произвольными, то можно представить функцию до как
вариацию функции «:
до = б« = 6o&i(pi + ба2ф2 + ба3ф3 + ..., A.29)
где баг = р;. Эти вариации можно рассматривать как виртуаль-
виртуальные (возможные) величины, подобные возможным перемещениям
или скоростям.
То, что одни и те же функции используются в качестве как
весовых, так и аппроксимирующих функций, является очень
важным свойством с точки зрения инженерной практики, по-
поскольку во многих случаях это порождает симметричную форму
коэффициентов. Большинство вариантов метода конечных эле-
элементов основаны на процедуре типа метода Бубнова.
Пример 1.11. Вновь вернемся к уже рассматривавшемуся
уравнению и попробуем решить его методом Бубнова. При этом
можно взять уже использовавшиеся аппроксимирующие функции
и = ахфх + а2ф2 = ах* A — х) + агхг A — х). (а)
Отметим, что здесь, как и ранее, ах и а2 являются не узловыми
значениями функции и, а обобщенными неизвестными коэффи-
коэффициентами.
В соответствии с методом взвешенных невязок имеем
j Rw dx = 0, (б)

32
Глава 1
откуда получаем следующие два уравнения:
1 1
(в)
о
Здесь функция R совпадает с использованной в примере 1.10,
что дает
1
j [х + (—2 -{-х- х2) ач + B - 6л: + *2 - Xs) а2) х A - х) dx = 0,
о
1
( [х + (—2 + х - л:2)щ, + B - 6л: + х2 - xz)а2] хЦ1 -x)dx = 0.
Выполняя интегрирование, получаем
Г 3/10 3/20 Л («i|_ A/12)
[з/20 13/105 J " \ обя J ~ \ 1/20 ]'
(г)
(Д)
Отметим, что в этом уравнении матрица симметрична, поскольку
в качестве весовой и аппроксимирующей функций взята одна
и та же функция. Из уравнения (д) для коэффициентов а имеем
ах = 71/369, а2 = 7/41.
Таким образом, приближенное решение равно
(е)
и хорошо соответствует точному решению (см. табл. 1.6 и рис. 1.9).
Таблица 1.6
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
ио/Ь
0,018641
0,036097
0,051194
0,062782
0,069746
0,071018
0,065582
0,052502
0,030901
и/Ь
0,018853
0,036249
0,051162
0,062569
0,069444
0,070764
0,065504
0,052639
0,031146
Rib
—0,026945
— 0,011989
+0,000485
+0,009452
+0,013888
+0,012769
+0,005070
—0,010233
—0,034165

Приближенные методы
33
.0,06
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X
Рис. 1.9. Результаты расчетов но методу Бубнова.
1.6. Ослабленные формулировки
Во всех рассмотренных в предыдущем разделе примерах
аппроксимирующие функции точно удовлетворяли граничным
условиям задачи. Взвешенные невязки можно также использовать
и для аппроксимации граничных условий, которые, таким образом,
удовлетворяются лишь приближенно и, что еще более суще-
существенно, соответствуют ослабленным требованиям.
Вновь рассмотрим уравнение второго порядка, использовав-
использовавшееся ранее в некоторых примерах:
^(U)_b = ^. +и -fx = 0; 0<x«l. A-30)
Применение метода взвешенных невязок для решения уравне-
уравнения A.30), т. е. условия
,-0,
A.31)
2 Преббия К. и др.

34 Глава 1
накладывает различные требования непрерывности функций и их
производных для и и w. Для того чтобы установить эти условия
непрерывности, необходимо ввести классификацию степени не-
непрерывности функции. Предположим, что функция / разрывна
в отдельных точках, но конечна в области определения (см.
рис. 1.10), т. е. ее норма удовлетворяет следующему условию:
*dx<<*>. A.32)
/
Такие функции f будем называть интегрируемыми с квадратом.
Если ввести аналогичное условие
для первой производной функции
(рис. 1.11), то функция будет называть-
называться интегрируемой с квадратом первой
_^_ производной и ее норма будет ограниче-
* на неравенством
Рис. 1.10. Функция, инте- Г Г fa i / ^f
грируемая с квадратом. J I \~5Г
Подобные требования можно накладывать и с использованием
производных более высокого порядка. Например, для нормы
функций, интегрируемых с квадратом второй производной
(рис. 1.12), имеем
Приведенные выше определения можно распространить на двух-
и трехмерные задачи путем замены скалярных величин на
векторные.
Из сказанного становится очевидным, что аппроксимирующая
функция и в соотношении A.31) должна быть интегрируемой
с квадратом второй производной (рис. 1.12), а для весовой функ-
функции w достаточно быть лишь интегрируемой с квадратом. Это
было показано выше на ряде примеров, в том числе в примере 1.9,
где функция и была представлена полиномом второго порядка,
а функция w — постоянной.
Во многих случаях предпочтительней снизить степень непре-
непрерывности функции и, что можно сделать путем интегрирования по
частям. Интегрируя первое слагаемое левой части равенства
A.31) по частям, получим
1 1
du dw , ,
-
A.35)

Приближенные методы
35
±
dx
У
х ^S х
Рис. 1.11. Функция, интегрируемая с квадратом первой производной.
где q — du/dx. Отметим, что теперь обе функции и и w должны
быть непрерывными (или кусочно-непрерывными) вместе с их
первыми производными, т. е. в качестве системы базисных функ-
функций и и w, интегрируемых с первой производной, можно взять
функции
«2ф2
w = Ьи =
A.36)
(Если граничные условия для функции и неоднородные, то для
удовлетворения этих условий обычно в функцию и вводят допол-
дополнительные слагаемые.)
Слагаемое с функцией q в соотношении A.35) связано с гранич-
граничными условиями вида
существенные: и — и,
естественные: q = q,
A.37)
где черточками обозначены заданные значения и и q.
Если используются существенные граничные условия и аппро-
аппроксимирующие функции им удовлетворяют, то функция w также
будет тождественно удовлетворять их однородному варианту.
Для того чтобы показать это, предположим, что граничные усло-
условия A.35) имеют вид
и = 0 при х = 0 (существенные условия),
q — q при х — 1 (естественные условия).
A.38)
а
dx'
X
S
йЧ
d2x
X
S
Рис. 1.12. Функция, интегрируемая с квадратом второй производной.

36 Глава I
Представляется естественным подставить в равенство A.35)
вместо q значение q, что дает
1 1
- J -w чгdx -~ J <" ' х) w dx ; {qw]x=' -= °- A -39)
о о
Здесь, однако, имеется тонкое обстоятельство, связанное с тем,
какая именно делается аппроксимация, когда вместо q подстав-
подставляется q. Сказанное лучше объяснить, попытавшись получить
равенство A.31) из соотношения A.39). Если проинтегрировать
по частям первое слагаемое в левой части соотношения A.39),
получим
1
к-
и -j- x\ wdx -j- [(q — (/) ш]л:=1 — 0. A.40)
о
Отметим, что пропорциональное q — q слагаемое, связанное с гра-
граничными условиями, не должно обязательно обращаться в нуль,
поскольку точно удовлетворяются лишь существенные граничные
условия, а естественные условия выполняются приближенно.
Поэтому равенство A.40) является корректным исходным соотно-
соотношением для случая, когда приближенно удовлетворяются как
разрешающее уравнение, так и естественное граничное условие.
Для того чтобы еще лучше проиллюстрировать сказанное, рас-
рассмотрим уравнение Лапласа в области Q
V2«0 = 0 A.41)
с граничными условиями
существенные: и0 = п на участке 1\ границы Г,
естественные: q0 = q на участке Г2 границы Г.
Здесь Г = 1\ + Г2 — граница области Q. Если аппроксимиро-
аппроксимировать функции «0 и q0 с помощью функций и и q (q = ди/дп), то
для корректности следует начать с записи равенства
( (V2w) w dil = \(q-q)wdT. A.42)
й г2
(Существенные граничные условия удовлетворяются тождест-
тождественно.) Интегрируя по частям оператор Лапласа, найдем
£r£)
Здесь используются индексные обозначения и правило суммиро-
суммирования по повторяющимся индексам. Равенство A.43) является
отправным выражением для конечно-элементного аналога урав-
уравнения Лапласа.

Приближенные методы 37
Обобщая изложенное выше, введем две функции невязок:
Rx = i? (и) — Ъ в области Q,
R2 — G (и)—g на участке Г2 границы Г.
Для обеих функций невязок и весовой функции w можно записать
lC?(u) — b)wdQ= \(G(u)-g)wdT. A.45)
я г,
Теперь можно выполнить интегрирование по частям в левой
части этого равенства. Если оператор 3? самосопряженный, то
в результате получим два одинаковых оператора меньшего по-
порядка, которые обозначим через ЗЬ:
\ Ж) («) Ж) (ш) йп + J bw dQ = \gwdT. A.46)
я я г2
В случае двумерного уравнения Лапласа имеем
Отметим, что равенство A.43) можно получить, если интеграл
в правой части уравнения
A.48)
я
взять по частям с учетом соотношения
ди dw j^ f ди _.. JT, ,j .g.
я г
и заменить производную ди/дп на q участке Г2 границы (на уча-
участке 1\ имеем w = 0)
я г2
При использовании этого равенства также следует иметь
в виду, что при его получении использовалась определенная
аппроксимация, обусловленная заменой q = ди/дп на q участке Г2
границы области.
Пример 1.12. Снова рассмотрим уравнение второго порядка
^ + «о + * = О (а)
и граничное условие и0 — 0 при х — 0; при х = 1 введем условие
q = dujdx = q, (б)
где ^—заданная функция.

38 Глава 1
Приближенное решение и уравнения (а) будем искать в виде
и = аг + а2х + а3х2 (в)
и попытаемся удовлетворить обоим граничным условиям
а = ах = 0, х = 0;
q = duldx = 2a3 + аа = ^, х = 1. ^
В результате находим
а3 = q — 2а3. (д)
Обозначая а3 = а, выражение (в) можно написать в виде
и = ах1 + {q— 2х) х == qx — 2ах + ах2. (е)
Функция невязок в этом случае равна
R = "S~ +"" + х = 2а + ч* ~2ах + ах2 + х- ^ж)
При составлении уравнения невязок можно использовать условие
ортогональности R лишь с полиномом х2 — 2х, т. е. положить
w = Ьи = бос (х2 — 2х).
(Пропорциональное q слагаемое в выражении (е) необходимо для
удовлетворения неоднородных граничных условий и поэтому оно
не должно присутствовать в выражении для w.) В результате
метод взвешенных невязок дает
1
j Ba + qx- 2ах -{- ах2 + х) (х2 - 2х) dx = 0,
о
34/ба + 6/2<7 + 5/2 = 0 и а = —0,5208 (<? + 1). (и)
Функция и при этом принимает вид
«х = ^ — 0,5208 (? + 1) (х2 — 2х). (к)
Этот результат получен при удовлетворении обоих граничных
условий. Рассмотрим теперь случай, когда одно граничное усло-
условие (« = 0) удовлетворяется точно, а второе (q = q) — прибли-
приближенно, и можно написать
о
Интегрируя первое слагаемое в правой части по частям, получим
x = [q6u]^. (и)

Приближенные методы
39
Здесь можно воспользоваться следующей аппроксимацией:
«2 = агхг + а2х, (н)
что дает возможность тождественно удовлетворить условию и = О
при х — 0, но не позволяет выполнить условие q = q при х = 1.
Тогда равенство (м) принимает вид
а
6a3) —
1 + a.2x + л:) (ба]Л:2 + Ьагх)] dx =
l + баг)-. (О)
Проинтегрировав, придем к следующей системе уравнений:
17/5 3/4 1 jai\
3/4 2/3 J * I «a J =
Производная не равна 0
(п)
U + 1/3J'
решая которую, получим
ttl = —0,4319 — 0,4322$,
а2 = 0,9859 + 1,9864$. (р)
Найдем теперь значение q
при х = 1:
,(удовлетворяет всем
граничным условиям)
о-^(удовлетворяет лишь
условию и =0 лри х = 0)
J
1,0
О 0,2 0,4 0,6 08
=0,1221 + 1,122$. (с) к
Отсюда следует, ЧТО При Х= 1 Рис. 1.13. Аппроксимирующие функции их
величина q равна $ неточно, и  (пРимеР 112)-
а лишь приближенно.
В середине области (х = 1/2) имеем
и2ц = х/4а! + 1/2а2 = 0,3850 + 0,8852$.
Отметим, что первое решение (к) при х = 1/2 равно
«1Ц = 0,3906 + 0,8906$.
Значения функций их и «2 приведены в табл. 1.7 и показаны
на рис. 1.13 для случая $ = 0. Читателю предоставляется возмож-
Таблица 1.7
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,098958
0,187500
0,265625
0,333333
0,390625
"г
0,094271
0,179904
0,256899
0,325256
0,384975
X
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0

0 437500
0,473958
0,500000
0,515625
0,520833
«2
0,436056
0,478499
0,512304
0,537471
0,554000

40
Глава 1
ность подсчитать значения невязок, с тем чтобы увидеть, как на
их распределение влияет наложение естественных граничных
условий.
Пример 1.13. Рассмотрим случай балки, лежащей на упругом
основании (рис. 1.14), поперечное смещение которой описывается
уравнением
El -g- \ ки = Ь, (а)
где и — поперечное перемещение, El — жесткость балки при
изгибе, k — коэффициент упругости основания, Ь — приложен-
ш
Ых)
Н * * Н
л
Рис. 1.14. Балка, лежащая на упругом основании.
ное к балке поперечное давление; при этом Ь — b (x), а жесткость
балки EI предполагается постоянной по ее длине.
В соответствии с методом взвешенных невязок можно записать
Интегрируя это равенство по частям, получим
d3u dw , , _. , \ , , Г ^, d?u Лх=1
К
El
F)
0. (в)
Вновь интегрируя по частям, найдем
-е—л-5-П-о. (D
где Q = —EldPu/dx3 и М = EI d*u/dx2. Отметим, что полученное
соотношение является отправным для конечно-элементных ана-
аналогов уравнений балок.
Интегрируя еще один раз, найдем
kw-bw)dx
(д)

Приближенные метода
41
где 8 = duldx — угол наклона касательной к средней линии
балки. Четвертое и последнее интегрирование дает
j [EIu Aj- -f kuw - bw) dx -
- в£/
x=0
= 0.
(е)
Отметим, что интегрированием но частям можно снизить порядок
функций, необходимых для представления и, но при этом требуется
повышать порядок аналогичных функций для w. Концевые или
граничные условия для балки можно классифицировать следу-
следующим образом:
естественные условия для М и Q,
существенные условия для и и 0.
(ж)
Пример 1.14. Рассмотрим балку, показанную на рис. 1.15.
Разрешающее уравнение
& (и) = El tfuldx* -= 0,
(а)
где и — поперечное перемещение, EI — жесткость балки при
изгибе. Граничными условиями для балки, изображенной на
рис. 1.15, будут
и — du/dx = 0 при х = 0, 1 существенные
и = 0 при х ~= I ) условия,
М = Eld'2u/dx2 = М, ) естественные
Q = —Eld'ti/dx'^ — 0 при х =™ 21 ) условия.
(б)
М--М
Pitc 1.15. Балка, нагруженная па свободном конце изгибающим моментом сил,

42 Глава 1
Начнем со следующей формы реализации метода взвешенных не-
невязок (см. пример 1.13)
21
(в)
В принципе функции и должны быть интегрируемыми с ква-
квадратом их четвертых производных. Интегрируя равенство (в)
дважды по частям, можно понизить порядок используемых для
представления и функций, если взять
21
г „ r d2u d2w Л
J EIdx
Это выражение позволяет приближенно удовлетворять естествен-
естественным граничным условиям и использовать для этих приближенных
представлений функции, интегрируемые с квадратом вторых
производных.
Рассмотрим простейшее представление для функции и:
нA) = а!!>ф, = а{1У(х-0. (Д)
Отметим, что это выражение тождественно удовлетворяет лишь
существенным граничным условиям задачи, а не естественным.
Подставляя выражение (д) в равенство (г) и полагая Q = О,
получим
.. e
El] а[1) Fх ~ 2lf dx = 812М.
о
Выполнив интегрирование, имеем
56EIa\l)l3 = 812М,
откуда
A) __ 1 М
ai — ~~j рл • (ж)

Приближенные методы 43
Теперь можно найти значения угла поворота, изгибающего мо-
момента М и поперечной силы Q при х = 2
C)
Можно видеть, что найденные значения М и Q существенно отли-
отличаются от значения приложенного изгибающего момента М
и равного нулю значения поперечной силы (Q = 0). Однако угол
наклона касательной к средней линии не столь уж сильно отли-
отличается от точного значения
Ml .
Эти результаты теперь можно улучшить, взяв второе приближе-
приближение для функции и в виде
М2 = «A2)Ф1 + «22>ф2, (К)
где
фх = X2 (X — I), ф2 = X3 (X — /). (Л)
Это выражение можно подставить в равенство (г), что дает
где р|2) и Р22> — произвольные величины. Приравняв коэффи-
коэффициенты при этих величинах, получаем после интегрирования
два не связанных уравнения
56ai2> + 152/с42> = -%-, 152а!2» + 441,6/а<22> = -Й?-, (н)
откуда имеем
af» = 0,30315-^-, /af> = —0,05905-^-. (о)

44 Глава 1
Далее можно определить значения угла наклона касательной
к средней линии, изгибающий момент и поперечную силу при
х = 21: _
du \ i ел Ml
{-%-) = 1,2
\ dx jx=2l
244
El
М \x=3l = 0.90557И, Q|,«2, =-0,6614-^-. (п)
Отметим, что второе приближение для искомого решения даст
прекрасный результат для угла наклона касательной к средней
линии; что же касается естественных (силовых) граничных усло-
условий, то для них сходимость к точному решению не столь быстрая.
1.7. Обратная задача и решение граничных задач
До сих пор рассматривались функции, которые точно удов-
удовлетворяли только условиям на границе (или на части их) и лишь
приближенно — внутри области, т. е. разрешающие уравнения
удовлетворялись не точно. В противоположность сказанному
можно использовать функции, которые будут точно удовлетворять
разрешающим уравнениям и приближенно — граничным усло-
условиям. Это будет служить начальным этапом формулировки гра-
граничных методов, и в частности метода сингулярных граничных
интегралов.
Здесь можно выделить два случая:
1. Аппроксимирующие функции и выбираются так, чтобы
они тождественно удовлетворяли разрешающему уравнению, т. е.
выполнялось условие 9?(и) = 0. Отметим, что если одни и те же
функции используются для представления как и, так и w, то это
означает, что весовая функция удовлетворяет разрешающему
уравнению, т. е. 3! (w) = 0.
2. Весовая функция удовлетворяет либо разрешающему урав-
уравнению 9?{w) =0 (самосопряженная задача), либо его сопряжен-
сопряженному аналогу 3?* (w) = 0 (несамосопряженная задача).
Для того чтобы пояснить различие между этими случаями,
рассмотрим самосопряженный оператор у2 и оператор д ( )/дп,
описывающий граничные условия на участках Г2 и 1\ границы.
Прежде всего напишем следующее равенство, соответствующее
методу взвешенных невязок:
j (\2u - b) w dQ = 0. A.51)
Интегрируя по частям, найдем
ди ди , ,

Приближенные методы 45
где q = duldn. Интегрируя еще раз, получаем
J A.53)
а г га
Если теперь задать граничные условия
и = п на участке 1\ границы,
q —- q на участке Г2 границы,
то равенство A.53) приобретает вид
Г, Г2
h \bwdu. A.54)
г, г. а
Задавая таким способом граничные условия, мы вводим некую
аппроксимацию, что можно показать, проинтегрировав дважды
по частям равенство A.54) для того, чтобы привести \2 и к функ-
функции и, в результате чего получаем
3M- b)wdQ = ^{q-if)wdr- J(«~fi)-^-dr. A.55)
а г2 г,
Как видно из уравнения A.55), теперь имеем три функции невязок.
Уравнение A.55) можно представить в виде
Rr~dT. A.56)
Q Г, Г,
Полученное выражение является обобщением интегрального
выражения A.42), используемого в методе конечных элементов
и иных методах. В уравнении A.42) приближенно удовлетворяются
как разрешающее уравнение, так и граничные условия задачи.
В уравнении A.56) существенные граничные условия удовлетво-
удовлетворяются с достаточно хорошим приближением, поэтому уравнение
A.56) можно рассматривать как обобщение ранее введенных
соотношений. В статических задачах теории упругости уравне-
уравнения, аналогичные A.42), можно рассматривать как приложения
принципа возможных перемещений к нахождению приближенного
решения (виртуальные перемещения являются такими, что они
удовлетворяют однородным существенным или кинематическим
граничным условиям и не удовлетворяют естественным или си-
силовым условиям). Уравнение A.56) можно рассматривать как
приложение принципа возможных работ, согласно которому
виртуальные перемещения рассматриваются как обобщенные,
когда от них не требуется удовлетворять какому-либо граничному
условию. Разумеется, при таких определениях многое еще остается

46 Глава 1
неясным, но они являются основополагающе важными не только
для понимания метода граничных элементов, но также для пони-
понимания гибридных равновесных или смешанных конечно-элемент-
конечно-элементных моделей и возможностей применения различных вариацион-
вариационных подходов в инженерных задачах.
Рассмотрим теперь несколько примеров, для того чтобы пока-
показать, как можно граничным методом получить решение с помощью
аппроксимирующих или весовых функций, удовлетворяющих
разрешающим уравнениям.
Сначала обратимся к случаю, когда каждая из функций, вхо-
входящая в и, удовлетворяет разрешающему уравнению, т. е. в дан-
данном случае \2и = 0. Задача, таким образом, сводится к инте-
интегральному уравнению A.55) с неоднородностью Ь = 0, а именно:
(и ~ п)-^-dT. A.57)
£2 Г, Г,
Поскольку V2m = 0, требуется удовлетворить равенству
l(q-q)wdT= J(«-u)-^dT. A.58)
г, г,
Если для представления и и w выбраны одни и те же функции,
то приходим к методу Трефца [25]. Отметим, что в соответствии
с теоремой Грина
| (^^T. A.59)
Когда для представления и и w выбирают одни и те же функции,
имеем V2m = V2^ = 0 и в этом случае можно положить w = бы.
Тогда равенство A.59) сводится к виду
г г
С учетом граничных условий из этого выражения следует равен-
равенство
J^6udr-f J g ба dr = J«^-dr+ Ju-^-dr. A.61)
г, г2 ' г, г,
Применение полученного интегрального соотношения будет про-
продемонстрировано в примерах 1.15 и 1.16, а случай, когда функ-
функции w (но не и) удовлетворяют уравнению Лапласа, — в приме-
примерах 1.17 и 1.18. Важно отметить, что в методе Трефца для полу-
получения решений граничных задач не обязательно использовать
обратное соотношение, а из интегрального соотношения A.55)
следует красивый путь перехода к методу граничных элементов.

Приближенные методы 47
Пример 1.15 (метод Трефца). Рассмотрим уравнение Пуассона
узы — ъ = 0 (а)
с однородными граничными условиями и = 0 при х = ±1 и
</ = +!•
Сначала приведем уравнение (а) к виду уравнения Лапласа,
воспользовавшись новой функцией v:
и = ЧАЬ (х2 + у2) + v. (б)
Подставляя выражение (б) в уравнение (а), получим
V2« — Ъ =r V2v = 0, (в)
где v — —гиь (х2 + у2) на границе х = ±1 и у = ±1. Теперь
функцию v можно приближенно описать с помощью некоторой
пробной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа, на-
например
v = (х* — 6*У + f) а. (г)
В силу симметрии задачи требуется рассмотреть лишь часть гра-
границы, скажем х — 1, 0 < у < 1. Отметим, что в этом случае вся
граница принадлежит к типу 1\. При этом равенство A.60) при-
принимает форму
Ti Г,
С учетом симметрии это равенство представляется в виде
о
Подставляя выражение (г) в равенство (е), получим уравнение
J [V*&A f У2) D - 12у2) ба + а D - 12у2) A — 6(/2 + У%) 6а] dy = 0,
о
(ж)
из которого следует
1
J [V4b A + Уг) + а A - 6у2 + У4)] D - 12i/3) df/ = 0. (з)
о
После интегрирования имеем
1 , . 144 л , .
или
а -- G/144) Ь. (к)

48 Глава 1
Таким образом, для функции v находим
v = (х4 - 6*У + У4) « - 7/144& (** - 6*У + у% (л)
а функция и определяется выражением (б). Отметим, что для
функций и и v вместо точного решения можно взять некоторую
постоянную величину. Для того чтобы определить эту величины,
требуется проинтегрировать по линии х = 1, 0 < у < 1 выра-
выражение
1
f (v - v с) dy --= 0 (м)
'о
или
1
j llUb(l -f уг) + «A - 6у3 f ^) + с] dy = 0, (н)
о
что дает
с - - -E3/180) Ь. (о)
Пример 1.16. Задачу, рассмотренную в примере 1.15, решим
теперь с помощью метода граничной коллокации, взяв за исходное
уравнение A.58), а не A.60). В качестве приближенного решения
можно взять ту же функцию, что и в предыдущем примере:
и = V4b (х2 + у2) + а, + а2 (xi - 6*У + у4), (а)
и потребовать, чтобы она удовлетворяла граничным условиям
только в отдельных точках границы х = 1, 0 < у < 1. Начнем
с равенства
г,
= 0 №
г,
или
1
о
которое для двух точек коллокации сводится к виду
1
[(и - и) Atdy = 0, i=l, 2. (г)
6
Возьмем на линии х = 1 две точки у — 0,25 и у = 0,75. Это
приводит к следующей системе уравнений:
1 0,6289 1 (ее, | 10,2656)
1 -2,0586 Г о. I ~ 10,3906 |/;> (Л)

Приближенные методы 49
откуда получаем
ат = —0,2949ft, а2 = 0,04656. (е)
Тогда для искомого решения имеем
и = V4ft (хг + у9) — 0,2949ft + 0,0465ft (л;4 — 6*V + У4)- (ж)
Решение (ж) дает значения, близкие к тем, что были получены
в примере 1.15. Например, если для обоих примеров сравнить
значения и в центре области (при х = у — 0), то имеем
предыдущий пример — ;/ц -~ —0,2944ft,
данный пример -— мц — —0,2949ft.
Пример 1.17 (метод решения граничных задач с использова-
использованием решения уравнения \2w = 0). Вновь рассмотрим в обла-
области Q уравнение
-^Ч-«о-М = О (а)
и граничные условия ы0 -= 0 при х = 0 и х - 1.
Из интегрального соотношения A.57) можно записать (учиты-
(учитывая, что все границы здесь относятся к типу Fj):
о
Интегрируя дважды по частям, получим
о о
Отметим, что здесь требуется найти решение уравнения (в),
которое бы удовлетворяло соотношению
Общее решение уравнения (г) имеет вид
w — f>l cos x + $2 sin x. (д)
При этом
dwldx = —рг sin х -г р2 cos x. (е)
Отметим, что решения для и и ш могут иметь произвольную форму
и что эти функции определены только на границе. В данном при-
примере границы сводятся к двум точкам, поэтому в качестве не-
неизвестных получаем q0 и qx (т. е. значения daldx в точках 0 и 1).

50 Глава 1
Рассмотрим теперь уравнение (в), подставив в него весовую
функцию (е), что дает
1
J xw dx + [qw]x — [qw)o = 0.
о
1
J x(PiCosx-f Рг sinх) dx -f- <7i (PicoS 1 +PaSin 1) — <7oPi = 0- (ж)
о
Отсюда следуют уравнения
. i
J x cos x dx = — (qt cos 1 — q0),
о
l
j xslnxdx = —qi sin 1, (з)
о
решениями которых являются
cos 1 , 1 , , .
O-i = —:—= 1, qa = —г—: 1. (И)
V1 sin 1 ^" sin 1 v >
Таким образом, получим точные значения производной duldx
в точках х = 1 и д; = 0.
Пример 1.18 (использование фундаментального решения).
Вновь рассмотрим уравнение из примера 1.17, взяв в качестве
исходного следующее соотношение:
j (*f- + w) и dx + f xw dx -f ДОЙ - [ б ^:; = 0. (a)
о о
Обычно, хотя и не обязательно, в методе граничных элементов
в качестве весовой функции w выбирается фундаментальное
решение. Это решение обозначается звездочкой (w*), с тем чтобы
подчеркнуть его специальный характер, и удовлетворяет урав-
уравнению
где Лг—дельта-функция Дирака, отличная от нуля только
в точке i с координатой xt (см. рис. 1.3). Интегрируя уравнение
(б), получаем
1 1
I (l**~ + ">*)"<**= j hiUdx= щ. (в)
о о
Отсюда следует, что в уравнении (а) первый интеграл можно за-
заменить на значение функции в точке i, где локализована дельта-

Приближенные методы 51
функция Дирака. Приняв во внимание граничное условие и =
= 0, сведем уравнение (а) к виду
1
ui = - ]xw* dx — [qw'Yx^o- (г)
о
Функция w*, удовлетворяющая уравнению (б), равна
w* — V2 sin г, (д)
где
Г = | X — Xi |.
Теперь найденное значение w* можно подставить в равенство
(г) и получить в результате систему уравнений (одно для точки
х — 0, другое для х = 1), откуда можно найти два значения q
в точках х = 0 и х — 1. Как и ранее, найденные решения
41 1 ^
оказываются точными. Отметим, что равенство (г) можно исполь-
использовать для вычисления значений функции и в произвольной вну-
внутренней точке. Если в качестве xi выбирается центральная точка
рассматриваемой внутренней области, то получим значение функ-
функции и при х = 1/2:
1/2
/1\ If /I \
О
1
If / 1 \ г 1 1
2" л: sin ( х J jdx — 71 sin -у -f- q0 sin -у, (ж)
1/2
где
1 1
-»—x при 0<х<:-у,
X 2" ПРИ "У < х < 1-
Окончательно найдем
«(V2) = ^ 1/2 [(cos I - l)/sin 1] sin (Va) - Va (Va - sin (V2)) -
- 1/2 [V, + sin (V«) - cos (V2)] = 0,069746964, (з)
что совпадает с точным решением

52 Глава 1
1.8. Классификация приближенных методов
Заметим, что для методов взвешенных невязок, записанных
для случая уравнения Пуассона, можно применить следующую
классификацию:
I. Исходная формулировка:
j(v3w- b)wdQ-= \(q q)wdT- \{u-u)~dY. A.62)
a v, i\
II. Слабая формулировка:
г, г, г,
A.63)
III. Обратная формулировка:
£J Я Г2 rt Г,
г,
Эта классификация может быть обобщена и на другие самосопря-
самосопряженные и даже несамосопряженные операторы, что позволяет
делать различие между разными приближенными методами.
Другое существенное различие между подходами связано с типом
базисных функций, используемых для приближенного задания
функции и и для описания весовой функции w. Численные методы
различаются тем, используются ли одни и те же или разные ба-
базисные функции для представления и и w.
Попытка привести рациональную классификацию представ-
представлена на рис. 1.16, где можно видеть, что основные инженерные
методы разбиваются на следующие группы:
1. Метод конечных разностей. Здесь обычно имеются различ-
различные базисные функции для и и ш, причем последние берутся
в форме дельта-функций Дирака (пример 1.7). Большинство ко-
конечно-разностных схем основано на формулировке I, хотя для
некоторых (подобных энергетическим) подходов используется
формулировка II.
2. Метод конечных элементов. Здесь обычным является ис-
использование одних и тех же базисных функций и и ш, что при-
приводит к симметричным матрицам. Схемы с конечными элементами
основаны на ослабленных формулировках (типа II).
3. Метод граничных элементов. Схемы с граничными элемен-
элементами обычно основываются на обратной формулировке III, как
это показано в примерах 1.17 и 1.18. Для весовой функции w

Приближенные методы
53
базисные функции для
и и и> одинаковы
Классическая сровма
метода
Бубнова
Конечные элементы.
Решение по Бубнову
Базисные функции для
и и и> различны
Конечные разности.
Метод моментов обоб-
обобщенных взвешенных
невязок
Обобщенная ослаблен-
ослабленная формулировка со
взвешенными невязками
Ш.Обратная формулировк
метод Тресрца
Граничные интегралы.
Решения, включающие
метод сингулярных грв-
ничных интегралов
Рис. 1.16. Классификация различных приближенных методов.
здесь используется система базисных функций, которые обращают
в нуль интегралы по области и сводят тем самым задачу к опре-
определению только граничных функций. Эти функции могут быть
сингулярными, т. е. задаваемыми в отдельных точках с помощью
дельта-функций Дирака, или регулярными, как это имеет место
в тех случаях, которым соответствует решение однородных урав-
уравнений.
Место других численных подходов, подобных методу моментов,
методу Бубнова в исходной формулировке (т. е. без ослабленных
формулировок), методу Трефца (обсуждавшемуся в примере 1.15),
легко устанавливается из диаграммы на рис. 1.16. Подобную клас-
классификацию можно ввести также и для других методов типа ко-
конечно-разностных «энергетических» подходов, метода «встречных»
конечных элементов, подобных тем, которые используются в за-
задачах конвенции, метода смешанных конечных элементов и т. п.

Глава 2
Задачи теории потенциала
2.1. Введение
К настоящему времени твердо установлено, что метод гранич-
граничных элементов является важным, альтернативным по отношению
к существующим численным методам подходом к исследованию
в механике сплошных сред. Одной из наиболее важных областей
его применения является решение задач диффузии, некоторых ти-
типов движения жидкости, течения в пористой среде, электроста-
электростатики и многих других задач, в которых используется функция
потенциала и чьи разрешающие уравнения представляют собой
классические уравнения Лапласа или Пуассона. Все эти задачи
для потенциала в общем случае можно эффективно и экономично
исследовать с помощью метода граничных элементов.
Суть метода состоит в преобразовании дифференциального
уравнения в частных производных, описывающего поведение неиз-
неизвестной функции внутри и на границе области, в интегральное
уравнение, определяющее только граничные значения, и затем
отыскании численного решения этого уравнения. Если требуется
найти значения потенциала во внутренних точках области, то их
можно вычислить, используя известные решения на границе.
Поскольку все обусловленные численными расчетами приближе-
приближения связаны только с границей, размерность задачи уменьшается
на единицу и получаемая система уравнений оказывается меньшей
по сравнению с исходной системой дифференциальных уравнений.
Данная глава посвящена применению метода граничных
элементов к решению задач об установившемся потенциальном
течении, описывающихся уравнениями Лапласа или Пуассона.
Будут рассмотрены двумерные осесимметричные и трехмерные
задачи общего вида.
Впервые интегральные уравнения были использованы для фор-
формулировки фундаментальных краевых задач теории потенциала
в 1903 г. Фредгольмом [1 ], доказавшим существование решений
таких уравнений с помощью процедуры дискретного представле-
представления. Из-за трудностей нахождения аналитических решений при-
применение интегральных уравнений ограничивалось большей частью
теоретическим исследованием вопросов существования и единст-
единственности решения задач математической физики. Однако появ-
появление быстродействующих ЭВМ сделало возможным применять

Задачи теории потенциала 55
процедуру дискретного представления аналитически, а затем без
особого труда получать численные решения.
Интегральные уравнения Фредгольма вытекают из представ-
представления гармонических потенциалов в виде потенциалов простого и
двойного слоев и служат основой так называемого непрямого ме-
метода граничных элементов. Векторные интегральные уравнения,
аналогичные интегральным уравнениям Фредгольма в теории
потенциалов, были введены Купрадзе [2 ] применительно к зада-
задачам теории упругости.
Интегральные уравнения для линейных задач могут быть по-
получены и другим способом, а именно с помощью третьей формулы
Грина, согласно которой гармоническая функция может быть пред-
представлена как сумма потенциалов простого и двойного слоев. Если
рассматривать только точки, принадлежащие границе области,
то получим интегральное уравнение, связывающее значения гар-
гармонической функции на границе и ее нормальных производных.
В теории упругости этому соответствует формула Сомильяны [4],
использование которой позволяет перейти к методу граничных
элементов. В последнее время было показано, что некоторые ин-
интегральные соотношения можно получить путем рассмотрения
взвешенных невязок [5], как это было показано в гл. 1. Поступая
так, можно наиболее просто связывать и комбинировать метод
граничных элементов с другими численными подходами, напри-
например методом конечных элементов, а также распространить его на
случаи исследования задач, описываемых более сложными диф-
дифференциальными уравнениями в частных производных, включаю-
включающими различные нелинейности. Отсюда следует, что метод взве-
взвешенных невязок будет использоваться чаще других методов, по-
поскольку он более общий и лучше соответствует приближенным под-
подходам, известным инженерам и другим исследователям.
Хотя интегральные уравнения широко использовались для
формулировки граничных задач теории потенциала, аналитиче-
аналитические решения таких уравнений были получены только для очень
простой геометрии, в частности с использованием функции Грина
для такой геометрии, которая удовлетворяет граничным условиям
задачи [6—8]. Метод решения граничных задач с использованием
функции Грина самым непосредственным образом связан с диф-
дифференциальными уравнениями в частных производных эллипти-
эллиптического типа. На самом же деле концепция функций Грина вы-
выходит далеко за пределы подобных граничных задач, и сам метод
можно также распространить и на решение уравнений с частными
производными параболического и гиперболического типов, что
показано в гл. 4 и 10. Однако для задач общего вида со сложными
геометрией и граничными условиями можно считать, что не суще-
существует ни точного выражения для функции Грина, ни какого-
либо другого общего аналитического способа .исследования.

56 Глива 2
В 1963 г. Джесуон [9] и Симм ЦО] предложили численный
подход к решению граничных интегральных уравнений Фред-
гольма. Использованный ими подход состоял в разбиении границы
на ряд малых участков (элементов) и предположении, что плотность
источников постоянна на каждом участке. Далее с помощью метода
коллокаций для отдельных точек, принадлежащих каждому из
участков, записывалось уравнение и с использованием формулы
Симпсона приближенно подсчитывались коэффициенты влияния.
Исключение делается для сингулярных (обусловленных собст-
собственным влиянием каждого из участков) коэффициентов, которые
находят либо аналитически (для задачи Дирихле или задач,
в которых все условия являются существенными), либо путем
сложения всех недиагональных коэффициентов и свободного
члена (для задач Неймана или задач, в которых все условия ес-
естественные). В результате получается система линейных алгебраи-
алгебраических уравнений, которую можно решить численно методом ис-
исключения Гаусса.
Применяя такой подход, Джесуон и Симм получили решения
для простых двумерных задач Неймана и Дирихле. Ими была пред-
предложена общего вида численная методика решения граничных
задач Коши (называемых также смешанными, поскольку на одной
части границы задаются существенные условия, на другой — ес-
естественные), основанная на применении третьей формулы Грина,
которая приводит к гармоническому интегральному уравнению,
где значения функции на границе и нормальные производные
физических величин играют роль плотности фиктивных источни-
источников. Результаты, полученные по этой методике, были опубликованы
Симмом [10], а также Джесуоном и Понтером [11 ].
Хесс и Смит, [12] разработали метод решения граничных
задач типа Неймана, или, более конкретно, задачи о потенциаль-
потенциальном течении вокруг тел произвольной формы. Используя по су-
существу тот же (непрямой) подход, они вычисляли неизвестные
величины (потенциал и скорость течения) при заданной плотности
распределения источников, используя прямое интегрирование
соответствующих уравнений. Этот метод был ими распространен
на различные формы двумерных, осесимметричных и трехмерных
тел. Для двух- и трехмерных случаев все коэффициенты влияния
были найдены аналитически, хотя впоследствии, для того чтобы
улучшить эффективность алгоритма, было предложено при вы-
вычислении коэффициентов влияния для расположенных далеко
от рассматриваемого узла элементов применять многомерное раз-
разложение в ряды, после чего результирующую систему уравнений
решали итерационно методом Гаусса—Зайделя. Для осесимметрич-
ных задач коэффициенты влияния определялись численно по пра-
правилу Симпсона, но при этом число иодэлементов выбиралось та-
таким образом, чтобы для более удаленного от рассматриваемого узла

Задачи теории потенциала 57
элемента задавалось меньшее число подэлементов. Сингулярные
коэффициенты (описывающие собственное влияние) находились
аналитически с помощью разложения в ряды.
Харрингтон с соавторами [13] применили данный метод для
решения некоторых двумерных задач электротехники, где имеется
более общее импедансного типа граничное условие, т. е. условие
типа Робина, когда задается линейная комбинация потенциала и
его нормальной производной. Ими была также предложена ку-
кусочно-линейная аппроксимация функции плотности источника.
Мауц и Харрингтон [14] рассмотрели осесимметричные задачи
электротехники с граничными условиями типа Дирихле, где также
использовали непрямую формулировку и предположение о том,
что плотность источников остается постоянной для каждого эле-
элемента. Некоторые из проведенных ими численных исследований
впоследствии обсуждались Джесуоном и Симмом [15].
В следующем разделе будет показано, как задачу, описываемую
уравнением Лапласа, можно представить в форме интегрального
уравнения, которое путем предельного перехода приводит к гра-
граничному интегральному уравнению относительно лишь неизвест-
неизвестной функции на границе. Обсуждаются как прямая, так и непря-
непрямая формулировки метода граничных элементов. Затем для по-
получения интегральных уравнений будет применен метод взвешен-
взвешенных невязок. Показывается, каким образом здесь можно учесть
такие свойства, как наличие внутренних источников, неоднород-
неоднородность, ортотропию и анизотропию. Рассматриваются двумерные,
осесимметричные и трехмерные задачи общего вида, представлены
результаты их решений.
2.2. Элементы теории потенциала
Вновь кратко рассмотрим некоторые основные элементы клас-
классической теории потенциала. Введем лишь представление о том,
что является важным с точки зрения рассматриваемого предмета,
и будем следовать при этом Крузе [16], а также Джесуону и Сим-
му [15]. С более формальной математической стороной дела,
включая все строгие доказательства необходимости и достаточно-
достаточности, можно познакомиться в монографиях Келлога [3], Куранта
н Гильберта [17], Штернберга и Смита [18].
Если частица с единичной массой, на которую действует сила
со стороны некоторого специфического поля F, движется от то-
точки § к точке х пространства, то работа, совершаемая этим полем
при движении частицы, равна
X
\ B.1)

58
Глава 2
где F — сила, обусловленная действием векюрного поля, г —
радиус-векгор точки на траектории, по которой движется частица
В общем случае работа зависит не только от расстояния между точ-
точками х и Е. но также и от пути, по которому движется частица.
Если поле таково, что работа не зависит от пути, т. е. W имеет
одно и го же значение для любых соединяющих точки ^ и х двух
путей, которые можно непрерывно деформировать один в другой,
то это поле называется консерва-
консервативным.
Полагая точку Е фиксированной,
а точку х переменной, рассмотрим
интеграл B.1) как функцию х. Такая
скалярная функция
и(х)
B.2)
называется потенциалом поля F.
Если поле гравитационное, то
потенциал является ньютоновским.
Ньютоновский потенциал при дан-
данном определении порождается двумя
частицами с массами тх и т2, по-
помещенными в точках \ (неподвижной) и х (переменной), и
имеет вид
Рис. 2.1. Расположение точки
источника \ и произвольной
точки пространства JC.
X
и (х) = | Gm-jrii у (—) dr = Gm^ — + const,
B.3)
где G — постоянная тяготения, г — расстояние между точками
и х:
г (Е, х) - {1хг (I) - хх (х) Р + U, (Е) - х2 (х) ]2 +
B-4)
где .V; — координаты рассматриваемой точки.
Силы притяжения такого же характера, что и обусловленные
тяготением, действуют между электрическими зарядами, а также
между полюсами магнитов. В этой работе для общности будут
в дальнейшем рассматриваться, как правило, источники, а не
массы и, кроме того, предполагается, что единичный простой ис-
источник, помещенный в точку £ пространства (рис. 2.1), создает
в точке с координатой х ньютоновский потенциал
Mr (I, x). B.5)

Задачи теории потенциала
59
Этот потенциал является непрерывной бесконечно дифференциру-
дифференцируемой функцией всюду, кроме точки £, в которой помещен источник.
Аналогично при дискретном расположении простых источников
с интенсивностью аи а2, ..., aN, помещенных в точках соответ-
соответственно Ix, |2, ..., |Л', в точке х имеем ньютоновский потенциал
вида
л=1
"(in
B.6)
Этот потенциал также является непрерывной и сколь угодно
большое число раз дифференцируемой функцией от х, определен-
определенной всюду, кроме случая, когда координаты точки х совпадают
с координатами точек £„.
Рассмотрим теперь непрерыв-
непрерывно распределенные по области Q
простые источники с плотностью р
(рис. 2.2). Потенциал, соответст-
соответствующий этому силовому полю,
является объемным потенциалом,
получаемым с помощью интегри-
интегрирования
B.7) Рис.
,ицаГ
"(*)= JP
о
Этот объемный потенциал является непрерывной, сколь
угодно большое число раз дифференцируемой функцией, опре-
определенной во всех точках свободного пространства, т. е. лежащих
вне рассматриваемой области Q. Когда точка х лежит в об-
области Q, интеграл B.7) содержит особенность. Однако если плот-
плотность р является ограниченной функцией в области Q, то потен-
потенциал и (х) существует во всех точках х £ Q, непрерывен и диф-
дифференцируем всюду [3]. Сказанное равносильно тому, что про-
производную первого порядка функции и можно получить путем диф-
дифференцирования под знаком интеграла
Однако ограниченности р недостаточно для аналогичного
представления производных более высокого порядка. Для этого
необходимо принять, что плотность р (I) должна удовлетворять
условию Гельдера
\PA)-PW\< Аг&ху, B.9)
где А и а — произвольные положительные постоянные.

60 Глава 2
Для того чтобы получить частные производные функции вто-
второго порядка, можно начать с интегрирования по частям выраже-
выражения B.8). Тогда с учетом теоремы Остроградского—Гаусса имеем
г
При этом учитываем, что
dxt(x) г F, х) ~ dxid) Г(Е,
Используя тождество
BЛ2)
и взяв производную выражения B.10), найдем
lp «> -
Второй интеграл в правой части выражения B.13) можно проин-
проинтегрировать по частям, вновь применяя теорему Остроградского—
Гаусса:
что в итоге дает
J IP (Б) - Р (*)] -аяк (тцЬо ) dQ ®« BЛ4)
dQ ©• BЛ5)

Задачи теории потенциала
61
Далее, складывая три производные второго порядка (т. е. выраже-
выражение B.15), записанное для i = 1, 2, 3), получим представление
оператора Лапласа от функции ы:
BЛ6>
+ J [р {%) - р (х)}
Во втором интеграле, стоящем в правой части выражения
B.16), область Q можно разбить на две части, одна из которых огра-
ограничена малой сферой радиуса е,
окружающей точку х, другая —
остальная часть области Q, обо-
обозначенная £2е. Поскольку точка х
является внешней по отношению
к области QE и функция Иг яв-
является гармонической (что будет
показано ниже), то оператор Лап- *
ласа or этой функции равен нулю
в области Qe. Интеграл по облас-
области, ограниченной сферой, также
стремится к нулю при е -> О, по-
поскольку функция р (£) удовлетво-
удовлетворяет условию Гельдера в каждой точке х. Таким образом, остает-
остается определить поверхностный интеграл (рис. 2.3).
Вновь рассмотрим расположенную в окрестности точки х
бесконечно малую сферу радиуса е с поверхностью Ге. Стоящий
в правой части выражения B.16) интеграл по этой поверхности
равен
(Ь) dT(l)±\dT 4п B.17)
Рис. 2.3.
Так как в области, заключенной между границами Ге и Г,
отсутствуют источники, ньютоновское поле является соленоидаль-
иым, т. е. поток из этой области равен нулю
Жт)*1-0- BЛ8>
Здесь нормаль является внешней для границы Г и внутренней
для границы Г8. Подставляя в уравнение B.18) равенство B.17)
и учитывая изменение направления нормали по границе Ге,
получим
f d / 1 \ ,р /{.ч , ( 10Л

62 Глава 2
Подставляя B.19) в уравнение B.16), находим
V2 и (х) = —4пр (х). B.20)
Значения потенциала и (х) можно выразить через его характери-
характеристики на поверхности. Наиболее важными для последующего
изложения будут следующие два способа задания поверхностных
характеристик. Один из них связан с непрерывным распределением
на поверхности Г простых источников с поверхностной плотно-
плотностью а. При этом величина и (х) равна
(gO^rdr(g) B.21)
_и называется потенциалом простого слоя._
Рассмотрим теперь расположенные на малом расстоянии
h (I, I') друг от друга две поверхности Г(|) и Г (£') с распреде-
распределенными источниками, равными соответственно а (£) и а (I').
Эти источники распределены таким образом, что для элементов
соответствующей площади можно написать
a(l)dra) = -a(t')dT(Z'). B.22)
Тогда потенциал, обусловленный этими двумя слоями, равен
Г'
b]}. B.23)
При h -*■ 0 и а -*- с» положим oh -*- \л равномерно на поверхности.
Учитывая, что предел выражения, стоящего в квадратных скоб-
скобках в правой части равенства B.23), равен
л «!Й - о { ME. I') [тЦЛГ ~ 7W7*)] } = ~^W (tJzTv) ' B<24)
потенциал можно написать в виде
Это и есть второй способ задания потенциала — с помощью двух
бесконечно близких простых слоев противоположных знаков.
Данное представление называется потенциалом двойного слоя.
Функция ц называется поверхностной плотностью или моментом
двойного слоя.
Потенциалы B.21) и B.25) являются непрерывными функциями
от х, сколь угодно большое число раз дифференцируемые всюду,
кроме х £ Г, поскольку подынтегральные функции в этих вы-
выражениях содержат особенности Для того чтобы исследовать
поведение этих поверхностных потенциалов вблизи особенностей,

Задачи теории потенциала
63
разобьем 1раничную поверхность Г на два участка: один из них
представляет собой бесконечно малый круг, касающийся поверх-
поверхности в точке х (поверхность предполагается такой, что через каж-
каждую ее точку можно провести только одну касательную поверх-
поверхность), другой участок — вся остальная поверхность, где нет
особенностей, если х Ф \.
п
г«.х)
Рис 2.4. Геометрия предельного перехода к значениям на поверхности потенциа-
потенциала двойного слоя в трехмерном пространстве
В соответствии с рис. 2.4, а точка х, первоначально располо-
расположенная внутри области Q, движется вдоль нормали к поверх-
поверхности Г, пока не достигнет поверхности Г. Круг с центром в х
имеет радиус е и обозначается Ге, остальная часть поверхности
обозначается Г — Ге. Точка х сначала располагается на расстоя-
расстоянии л от поверхности, причем | К | <^ е и Я, < 0, если х первона-
первоначально располагается вне области Q, и Я, > О, если х располага-
располагается внутри области Q. Тогда интегралы в выражениях B.21)
и B.25) можно разбить на составляющие вида
} B.26)
г—ге
и (Х) = lim
(Б)
dY (I) +

64 Глава 2
Очевидно, что интегралы по поверхности Г — ГЕ являются
непрерывными для каждой точки х, проходящей по поверхности,
поэтому в пределе будут опять получаться выражения B.21) и
B.25).
Интеграл по поверхности Ге в выражении B.26) содержит
слабую особенность и также непрерывен в каждой принадлежа-
принадлежащей поверхности точке при условии, что плотность а является
ограниченной функцией всюду на поверхности Г. Сказанное не
относится ко второму интегралу в правой части выражения B.27),
поскольку наличие производной по нормали порождает особен-
особенность более высокого порядка. Этот интеграл можно записать
в виде
х Ыт)dr ©+>»,<*> I ukr (ттЫdT
Это означает, что потенциал, связанный с непрерывной плотно-
плотностью источника на поверхности в каждой точке х, представляет
собой сумму поверхностных потенциалов, один из которых имеет
стремящуюся к нулю Плотность источника в точке х, а другой обу-
обусловлен постоянной плотностью, равной значению плотности
гисточника в точке £. Если плотность р (х) удовлетворяет условию
Гельдера в точке х, то первый интеграл, стоящий в правой части
выражения B.28), непрерывен в каждой точке, принадлежащей
поверхности. Второй интеграл в правой части выражения B.28)
(обозначения приведены на рис. 2.4, б) равен
B-29)
Так как для заданного | X \ < е имеем pd(J = rdr, то заменой пе-
переменной находим
о ui
B.30)
где через sgn (к) обозначен знак величины Я.
Переходя к пределу при е -*- 0 (и учитывая при этом, что %
стремится к нулю быстрее, чем е), из равенства B.28) получаем
ге

Задачи теории потенциала 65
Таким образом, в качестве предельной формы выражения B.25),
когда точка х перемещается изнутри к поверхности Г, можно
взять
и* (дг) = -2я^ (х) + j ц (Б) -^ir(-TfL_r) dT (Б). B.32)
г
а при перемещении х снаружи — выражение
и- (дг) = 2Я[А (х) + J ц (I) ^ (тцЬг) dr ©• B-33)
г
В соответствии с таким поведением и (х) принято говорить, что
трехмерный потенциал двойного слоя имеет в каждой точке х.
разрыв или скачок, равный —4яр, (х), при переходе от внешней
к внутренней области, а именно при х £ Г;
и* (х) — и- (х) = — 4яц (х). B.34)
Все сказанное до сих пор справедливо и для двумерных за-
задач, для которых аналогичный ньютоновский потенциал определя-
определяется логарифмической функцией
1п г(|, х) ' <2<35)
где г (Б, х) имеет вид
г (I, х) = \[Xl (I) - Xl (х)]« + [х2 (Б) - х2 (х)р}'/2. B.36)
Логарифмический потенциал можно получить либо путем рассмо-
рассмотрения двумерного линейного источника, либо проинтегрировав
ньютоновский потенциал линейного источника по линии i [3,
17, 18].
Двумерный объемный потенциал
и (х) = } р (g) inyj^-dQ (I) - B.37)
удовлетворяет уравнению Пуассона
V2u (*) = —2яр (х) B.38)
для каждой точки х £ Q, поскольку, как и в трехмерном случае,
выполняется равенство
И2я B.39)
где Г8 в данном случае является участком кривой — границы.
Потенциал простого слоя для двумерных задач имеет вид
и(дг) = |<т(&)!п7^1ГД'(Б). B.40)
г
3 Бреббия К- и др.

66
Глава 2
Как и в трехмерном случае, потенциал непрерывен во всех точках,
принадлежащих поверхности, если плотность о является ограни-
ограниченной функцией во всех точках поверхности.
Двумерный потенциал двойного слоя можно записать в форме
«W=
B.41)
согласно которой он имеет разрыв, который можно исследовать
так же, как и в трехмерном случае. При этом кривая Г разбивается
на два участка Г — ГЕ и Гс,
последний заменяется коротким
прямолинейным отрезком с
центром в точке х (рис. 2.5, а),
и затем предполагается, что
поверхность ограничена глад-
гладким контуром. Рассматривают-
Рассматриваются точки х ± X на нормали к
поверхности, проведенной к гра-
границе через точку х, причем
расстояние между двумя точка-
точками х ± Я, считается много мень-
меньшим 2е, т. е. длины отрезка Ге.
Разбивая интеграл B.41) на
участки, как это было сделано
с выражением B.28), и предпо-
предполагая, что функция ц (£) удов-
удовлетворяет в точке х условию
Гельдера, получим, что разрыв и* — и~ определяется выраже-
выражением
B.42)
Этог интеграл содержит полный дифференциал, поскольку для
угла 9 (рис. 2.5, б) подынтегральную функцию можно переписать
в виде
B.43)
Таким образом, для выражения B.42) с учетом неравенства | Х-
< е получаем
limj
П1Г
ln
dV ®} =* -

Задачи теории потенциала 67
Таким образом, выражение B.41) в пределе принимает вид при х,
стремящемся к границе изнутри:
и+ (х) = —яц (х) + J ц (Б) -^щ- (in | )dT (I), B.45)
г
а при стремлении х к границе снаружи
м- (х) = яц (х) + | JA (Б) -щ$ (in fg| ) dr ft). B.46)
г
Таким образом, скачок потенциала равен
и* (х) — иГ (х) = —2яр, (х). B.47)
2.3. Непрямая формулировка
В этом разделе изучаются решения уравнения Лапласа
V2" (х) = 0, х £ й, B.48)
с граничными условиями
типа Дирихле
uj(x) = п (х) на участке Гх
границы (х £ 1\) B.49)
или типа Неймана
q{x) = ди (х)[дп = q на |\ xtf=u- на
участке Г2 границы (х 6 Г2), 9-9 н^ "W^ ^х^Л границы
(Z.oU) ^- границы
где п — внешняя единичная рИс. 2.6.
нормаль к поверхности Г, п.
и q — заданные значения функции и ее нормальной производ-
производной на границе Г = 1\ + Г2 (рис. 2.6).
Функцию и называют гармонической в области Q, ограничен-
ограниченной замкнутой поверхностью Г, если она:
1) непрерывна в области Q и на границе Г;
2) имеет в области Q производную по крайней мере второго
порядка;
3) удовлетворяет уравнению Лапласа в области й. Любую
гармоническую функцию можно представить как некоторое рас-
распределение потенциала, и наоборот, каждый потенциал является
гармонической функцией [3, 18].
Таким образом, эффективный способ формулировки граничных
задач теории потенциала состоит в представлении гармонической
Функции в виде потенциала простого или двойного слоя, обуслов-,
ленного непрерывно распределенной на границе Г функцией ис-
источника, при условии, что эти потенциалы удовлетворяют гранич-

68 Глава 2
ным условиям для функции и. В результате этот подход приводит
к формулировке интегральных уравнений, где неизвестной явля-
является функция плотности источников. Эти уравнения можно пред-
представлять в дискретной форме и решать численно, а значения функ-
функции и во внутренних точках можно вычислить путем численного
интегрирования, используя найденные значения на границе, что
и будет показано ниже
Для того чтобы получить интегральное уравнение для функции,
являющейся решением задачи Неймана, предположим, что неиз-
неизвестную функцию и можно представить единственным образом
как потенциал простого слоя с неизвестной плотностью а:
. x)dT(l). B.51)
Функцию и* (£,, х), являющуюся ньютоновским потенциалом
B.5) для трехмерной задачи или логарифмическим потенциалом
B.35) для двумерных задач, называют фундаментальным решением
уравнения Лапласа.
Взяв производную выражения B.51) по направлению внешней
нормали к поверхности Г, получим представление для гранич-
граничного условия, когда х берется на поверхности Г:
q(х) = -ала(х)+\о ® ди*д^х> йГ®, B.52)
г
где а = 1 для двумерных задач и а = 2 для трехмерных. Напи-
Написанное соотношение представляет собой уравнение Фредгольма
второго рода относительно неизвестной функции (а), выраженное
через ц, причем"правая часть уравнения B.52) характеризуется
как локальной, так и интегральной зависимостью от а. Решив
систему соответствующих алгебраических уравнений, значения
функции и в произвольной внутренней или граничной точке можно
вычислить с помощью представления B.51), поскольку и* (£,, х)
является непрерывной функцией, когда х принадлежит границе Г.
Важно отметить, что уравнение B.52) имеет решение лишь
при выполнении условия Гаусса [3]:
= Q, B-53)
причем это решение является единственным с точностью до про-
произвольной постоянной. Однако и эту постоянную можно опреде-
определить, накладывая некоторое дополнительное «нормирующее» ус-
условие [15].
Описанный выше метод многократно использовался Хессом и
Смитом [12] для решения задач течения жидкости, включая задачу
обтекания гидродинамических профилей, решеток профилей и

Задачи теории потенциала 69
аэродинамических профилей. Численные результаты приведены
в работах [10, 11, 15].
Для получения интегрального уравнения для функции, явля-
являющейся решением задачи Дирихле, в классическом подходе пред-
предполагается, что неизвестная функция и может быть представлена
единственным образом в виде потенциала двойного слоя с неиз-
неизвестной плотностью \i:
^ir-rfrF). B-54)
г
Принимая во внимание скачок потенциала двойного слоя, в ка»
честве прздела для выражения B.54) можно взять
и (х) = -ащ (х) + \р © ди*д^х) dT (Б). B.55)
г
Поскольку для задачи Дирихле функция и (х) известна, неизвест-
неизвестной оказывается лишь плотность источников р. Таким образом,
как и ранее, соотношение B.55) является уравнением Фредгольма
второго рода, решив которое, можно определить функцию и (х)
всюду в области Q, воспользовавшись выражением B.54). Числен-
Численные результаты с использованием этой формулировки были полу-
получены, например, Л. В. Канторовичем и В. И. Крыловым'[19].
Поскольку и* (£, х) = и* (х, £,), говорят, что уравнение B.55)
содержит ядро, -сопряженное ядру уравнения B.52). Ядром явля-
является стоящая под знаком интеграла функция от £ и х, которая умно-
умножается на плотность источников. Для скалярных ядер сопряжен-
сопряженность получается за счет симметрии относительно х и £,.
Другой подход к получению интегрального уравнения, описы-
описывающего решение задачи Дирихле, состоит в предположении, что
неизвестную функцию можно выразить единственным образом
через потенциал простого слоя с неизвестной плотностью источ-
источников а:
и (х) = J а (I) и* & х) dT (%), х£п. B.56)
г
Поскольку ядро этого уравнения является непрерывной функцией,
если х берется на поверхности, предельной формой уравнения
B.56) для этого случая будет
и(х)= \а (|) и* A, х) dT (I), х £ Г, B.57)
г
и так как и (х) известная функция, то неизвестной функцией в этом
уравнении оказывается лишь плотность источников а.
Уравнение B.57) является уравнением Фредгольма первого
рода, так как неизвестная функция имеется только под интегралом.

70 Глава 2
Для многих задач Дирихле постановки, использующие такие урав-
уравнения, являются более важными с физической и более удобными
с математической точек зрения, чем те, где используются уравне-
уравнения второго рода.
Касаясь вопроса численного решения системы соответствую-
соответствующих алгебраических уравнений, получаемых путем дискретного
представления, можно утверждать, что из-за присутствия локаль-
локального слагаемого в уравнениях второго рода матрица системы урав-
уравнений будет всегда диагонально преобладающей. Уравнение пер
вого рода с несингулярным ядром может оказаться очень трудным
для решения, поскольку уравнения этого типа являются сущест-
существенно плохо обусловленными [20], однако в данном случае син-
сингулярность ядра обеспечивает диагональное преобладание ма-
матрицы системы уравнений, поэтому задача в общем случае является
хорошо обусловленной. Численные решения уравнения B.57)
приведены, например, в [10, 11, 13—15].
2.4. Прямая формулировка
Неудобство представления о потенциалах простого и двойного
слоев состоит во введении формальных функций плотности ис-
источника, которые обычно не имеют отношения к физическому смы-
смыслу задачи. Это можно преодолеть, воспользовавшись прямой фор-
формулировкой метода граничных элементов, где значения неизвест-
неизвестной функции и ее производных на границе Г играют роль плотно-
плотностей источников, определяющих функцию и внутри области й.
К этой формулировке можно прийти, используя третье тождество
Грина, теоремы Бетти и т. п. или общие принципы, аналогичные
принципу возможной работы. С другой стороны, можно следовать
теории, изложенной в гл. 1, и использовать метод взвешенных не-
невязок [5]. Преимущество метода взвешенных невязок состоит в
его универсальности; данный метод можно непосредственно рас-
распространить на решение более сложных уравнений в частных про-
производных и применить для получения других численных подхо-
подходов, таких, как метод конечных элементов, поэтому оказывается,
что не составляет труда связать (или комбинировать) метод гра-
граничных элементов с классическими численными методами.
Пусть требуется получить приближенное решение задачи, опи-
описываемой уравнением
V2« (х) = 0, х £ Й B.58)
и граничными условиями вида
и (х) = й (х), х £ 1\;
q(x) = q(x) *6Г B-59)

Задачи теории потенциала 71
Ошибку, получаемую за счет замены функций и и q приближен-
приближенными представлениями, можно свести к минимуму, если в соответ-
соответствии с методом взвешенных невязок записать следующее соот-
соотношение:
J V2« (х) и* (Б, Jf) du (x) = \[q(x)-q (х)) и* (g, x) dT (x) -
Q г,
- J [и (дг) - й (х)} ц* (Б, х) dT (дг), B.60)
где ы* имеет смысл весовой функции и
q* (Б, х) = ди* (Б, х)ЛЭя (х). B.61)
Интегрирование соотношения B.60) по частям по Х| дает
г,
- J ^ (дг) «* (Б, Jf) dT (х) - J [ы (Jf) - п (jf)] <т* (Б, х) <*Г (jf). B.62)
г, г,
Здесь i — 1, 2, 3 и используется правило суммирования по повто-
повторяющимся индексам. Еще раз интегрируя по частям, получим
J v2"* (I, х) и (х) dU (x) = - j q (x) и* (I x) dr (x) -
a r,
- \q(x)u*& x)dT(x)+ \u(x)q*(l, x)dT(x) +
Гг Г, *
\u(x)q*&, x)dT(x) B.63)
г,
или в более общем виде
J v2«* (I, x) и (jf) dQ (x) = - J q (x) u* (I, jf) dY (x) +
Q Г
+ \u(x)q*(l, x)dT(x). B.64)
Напомним, что дельта-функция Дирака А (Б, х) имеет следующие
свойства:
Д(Б, *) = 0 при 1фх, Л(Б, х) = оо при 1 = х, B.65)
и, кроме того,
f и (х) А (I, х) du (x) = и (|). B.66)

72 Глава 2
Предположение о том, что функция и* является фундаментальным
решением уравнения Лапласа, дает
V2u* (£, х) = -2аяД F, х), B.67)
где а = 1 для двумерных задач и а = 2 для трехмерных. Под-
Подставляя равенство B.67) в уравнение B.64), найдем
2аяи(%) + J и(х)q*(£, х) dT(jt)»J?(лг)и*(|, х)dT(х). B.68)
г г
Из уравнения B.68) следует, что гармоническую функцию можно
представить как сумму потенциала простого слоя с плотностью
q/Ban) и потенциала двойного слоя с плотностью — «/Bая).
Другим преимуществом прямой формулировки по сравнению
с непрямой является то, что здесь могут быть ослаблены ограниче-
ограничения на гладкость (по Ляпунову) поверхности. Действительно,
ее можно применять для более общего вида регулярных поверх-
поверхностей Келлога [31, допускается рассматривать также поверхно-
поверхности с углами и ребрами. Так, если взять точку £ на границе и
учесть скачок интеграла, стоящего в левой части равенства B.68),
то получим следующее граничное интегральное уравнение:
с £) иA) + \и (х) д* (I, х) dT (x) = J q (x) и* & x) dT (x). B.69)
г г
Это уравнение обеспечивает функциональную связь между функ-
функциями и и q на границе Г, что доказывает совместность их зна-
значений на границе. Если требуется найти решение задачи Ней-
Неймана, то известной будет правая часть уравнения B.69), и тогда
требуется решить уравнение Фредгольма второго рода относи-
относительно неизвестных значений функции и на границе. Если требу-
требуется решить задачу Дирихле, то заданными будут значения функ-
функции на границе, в результате получаем уравнение Фредгольма
первого рода для неизвестных значений производных q по нормали
на границе. Решение граничных задач Коши (т. е. смешанных)
приводит к смешанному интегральному уравнению относительно
значений неизвестных функций на границе.
Для вычисления функции с (£) можно использовать две раз-
различные процедуры: согласно одной из них предполагается, что
постоянный по величине потенциал в случае сплошного тела не
порождает потоков, что эквивалентно перемещениям твердого
тела как целого в теории упругости, и будет подробно обсуждать-
обсуждаться в гл. 3, вторая процедура представлена здесь для двумерных
задач, но ее можно применять также и для трехмерных.
Предположим, что рассматриваемую область можно допол-
дополнить малой областью Ге, являющейся частью круга радиуса е

Задачи теории потенциала
73
Рис. 2.7. Двумерная область, дополненная областью Гц.
с центром в точке £, лежащей на границе Г (рис. 2.7). Выполняя
те же расчеты, что и при определении скачка потенциала двойного
слоя в разд. 2.2, и предполагая, что функция и (х) удовлетворяет
в точке £ условию Гельдера, имеем
с ft) = 2я + lim J -^ Aп _L_) dT {x)>
B.70)
откуда в соответствии с рис. 2.7 получаем
в,
7 1 fe
с (|) = 2я — lim — d0 = я -f ax — oca,
е-°в,
B.71)
т. е. величина с (£) равна внутреннему углу границы в точ-
точке |.
Поскольку в корректно поставленной граничной задаче для
уравнения B.69) задается только половина граничных условий,
это уравнение можно применить для получения значений неизвест-
неизвестной функции на границе. В разд. 2.6 будет представлена схема
численного решения этого граничного интегрального уравнения.
Таким образом, значение функции и в произвольной внутренней
точке | можно вычислить путем численного интегрирования урав-
уравнения B.68). При необходимости произвольную функцию и
в точке | (по декартовым координатам xt (£), i = 1, 2, 3) также

74 Глава 2
можно найти путем численного интегрирования с помощью урав-
уравнения
B.72)
поскольку уравнение B.68) можно, как правило, дифференциро-
дифференцировать под знаком интеграла.
2.5. Метод граничных элементов
Вместо того чтобы пытаться получить аналитическое решение
уравнения B.69) для частного вида геометрии и граничных ус-
условий, выполним необходимое сведение исходного уравнения
в алгебраическую систему уравнений, с тем чтобы можно было вос-
воспользоваться численным подходом. Этот подход, как правило,
состоит из следующих этапов [5, 15, 21 ].
1) Граница Г разбивается на ряд элементов, внутри которых
предполагается, что потенциал и его нормальная производная
изменяются в соответствии с выбранными интерполирующими
функциями. Эти элементы можно образовать с помощью прямых
линий, круговых дуг, парабол и т. п.
2) Используется метод коллокаций, согласно которому для
отдельных узловых точек, распределенных внутри каждого эле-
элемента, записывается дискретная форма уравнения, связывающего
значение потенциала и его нормальных производных в каждом
узле.
3) Интегралы по каждому элементу вычисляются с помощью
одной из схем численного интегрирования.
4) Путем наложения заданных граничных условий получается
система линейных алгебраических уравнений, решение этой си-
системы уравнений, которое может быть выполнено с помощью пря-
прямого или итерационного методов, дает остальные значения неиз-
неизвестной функции на границе.
При необходимости значения функции и в произвольной вну-
внутренней точке могут быть найдены по известным значениям на
границе с помощью численного интегрирования выражения B.68).
Аналогично численным интегрированием выражения B.72) мо-
можно найти производные функции и в произвольной внутренней
точке.
В разд. 2.6 перечисленные выше этапы подробно рассматрива-
рассматриваются в связи с определенными на конечных областях изотропной
среды двумерными задачами с граничными условиями типа Ней-
Неймана, Дирихле, Коши или Робина. В последующих разделах будет
показано, как можно распространить метод на случай внутренних

Задачи теории потенциала 75
источников. Если область является неоднородной, но состоит из
конечного числа однородных подобластей с различными физиче-
физическими свойствами, то метод можно применять, записав сначала
систему уравнений для каждой подобласти и введя затем условия
совместности (записанные через потенциалы) и равновесия
(записанные через нормальные производные) для подоблас-
подобластей.
Приводятся фундаментальные решения для ортотропных и
анизотропных областей и показывается, что все положения, об-
обсуждавшиеся в предыдущих разделах, справедливы также и для
бесконечных областей при выполнении определенных условий
регулярности на бесконечности. Привлечение подходящего фун-
фундаментального решения, удовлетворяющего части граничных
условий рассматриваемой задачи, позволяет снизить объем вы-
вычислительной работы, как это показывается в разд. 2.11. И на-
наконец, "описываются специальные численные процедуры для об-
общего вида трехмерных и осесимметричных задач.
2.6. Двумерные задачи
Интегральному уравнению B.69) можно придать дискретную
форму, записав его для ряда элементов. Для простоты будем рас-
рассматривать двумерную область, границу которой разобьем
на ряд «сегментов» или «граничных элементов» (рис. 2.8, а).
Точки, в которых рассматриваются значения неизвестной функции,
называются узлами и располагаются они в середине каждого сег-
сегмента для так называемых «постоянных» элементов. Данное раз-
размещение узлов используется лишь для элементов, рассматривае-
рассматриваемых в этой главе, а в гл. 3 будут обсуждаться случаи линейных
элементов (т. е. элементов, для которых узлы располагаются
(рис. 2.8, б) в местах соединения двух элементов) и криволиней-
криволинейных элементов, подобных показанным на рис. 2.8, в. Для после-
последнего случая требуется задавать расположенный в центре эле-
элемента дополнительный узел, такие элементы называются квадра-
квадратичными.
Для случая постоянных элементов граница разбивается на N
элементов, из которых Л^г элементов задается на части 1\ границы,
a N2 — на части Г2 границы. Значения функций ^ и и полагаются
постоянными в области каждого элемента и равны их значениям
в узле элемента. Предполагается, что для каждого элемен-
элемента известно значение одной из двух неизвестных (и
или q).
Уравнение B.69) можно записать так:
ctu, + \uq*dr= I qu* dY, B.73)

76
Глава 2
Элемент
Узлы
■У\ Элемент
УЗЛЫ
Злемен
' в
Рис. 2.8. Граничные элементы (а— постоянные; б—линейные; в— квадратич-
квадратичные).
где для двумерного случая имеем
а для трехмерных задач
4я
B.74)
B.75)
Отметим, что здесь | берется в качестве точки i, для которой
имеется фундаментальное решение, т. е. и (£) = щ. То же самое
справедливо для коэффициента с (£). Для упрощения здесь опу-
опущены также стоящие в скобках буквы £ и х.
Дискретная, форма для уравнения B.73) принимает вид
N N
\Y \ B.76)
/=i г,.
/=i г,
Отметим, что для постоянных элементов граница всегда является
«гладкой», поэтому коэффициент ct тождественно равен 1/2,
где Г;- — длина /-го элемента. Уравнение B.76) представляет
в дискретной форме связь между узлом i, в котором задается фун-
фундаментальное решение, и всеми /-ми элементами (включая элемент
с i = /) на границе (рис. 2.9).
Функции и я q, стоящие под знаком интеграла в уравнении
B.76), имеют постоянные значения в области каждого элемента и

Задачи теории потенциала 77
Рис. 2.9. Схема связи между фундаментальным решением в граничном узле i и
граничными элементами.
поэтому могут быть вынесены из-под знака интеграла, что
дает
N N
Интегралы J q*dT устанавливают связь между i-м узлом с /-м
элементом, по длине которого берется интеграл, и будут обозна-
обозначаться Hij. Аналогично интегралы вида J u*dT будем обозначать
Gl}. Тогда уравнение B.77) можно записать в в.иде
N N
В рассматриваемом случае интегралы можно вычислить анали-
аналитически, поскольку фундаментальное решение и геометрия эле-
элементов имеют очень простой вид. В общем же случае необходимо
(либо более удобно) выполнять интегрирование численно.
Уравнение B.78) можно записать для каждого 1-го рассматри-
рассматриваемого узла. Введем обозначения
I HtJ i- 1/2, i = /.
Тогда уравнение B.78) можно записать в виде
S Htlu, = g Gtjqj. B.80)
Полную систему уравнений можно также представить в матричной
форме
HU = GQ. B.81)
Отметим, что на границе Г известно #г значений функции и
и N2 значений функции q, поэтому уравнение B.81) представляет

78 Глава 2
собой систему N неизвестных, и эту систему следует преобразовать
таким образом, чтобы ее порядок соответствовал числу рассматри-
рассматриваемых неизвестных. Уравнение B.81) можно преобразовать
путем переноса всех неизвестных в левую часть, тогда в правой ча-
части остается вектор, получаемый умножением элементов матрицы
на известные значения потенциала и потока, что дает
AY = F, B.8.2)
где Y — вектор, компонентами которого являются неизвестные
значения функций и и q.
Элемент
Рнс. 2.10. Схема связи между фундаментальным решением для внутренней точки
i н граничными элементами. Номер узла / изменяется от 1 до №.
Отметим, что матрица А является полностью заполненной
матрицей порядка N. Поскольку слагаемые, содержащие Htj
и Gtj, можно непосредственно объединить в матрице.4, уравнение
B.81) не требуется преобразовывать.
После того как уравнение B.82) будет решено, станут из-
известны все значения потенциала и потока на границе, что дает
возможность вычислить значения потенциалов и потоков в произ-
произвольной внутренней точке с помощью соотношения
Ut = J qu* dT - [ q*u dr. B.83)
г г
Это соотношение дает в интегральной форме связь между внутрен-
внутренней точкой i и значениями функций и и q на границе (рис. 2.10).
Дискретное представление связи B.83) имеет вид
Щ = g Gifn - § #„ц,. B.84)
Значения внутренних потоков можно вычислить, дифференцируя
соотношение B.83) так же, как это было сделано с выражением
B.72):

Задачи теории потенциала 79
здесь Xi — координаты, /=1,2 для двумерной области н / =
= 1, 2, 3 для трехмерных случаев.
Интегралы Htj и Gi;- можно вычислить, используя для всех
элементов (за исключением того элемента, которому соответствует
рассматриваемый узел) простые квадратурные формулы Гаусса:
Нй, = J q* dT = J± J] (q*)h wk, B.86)
к
Gti = j u* dT = Ц- J] (u*)h wh, B.87)
i
где /^ — длина элемента, w^. — весовое число, соответствующее
точке k при численном интегрировании. В этой же точке должны
быть вычислены значения функции и* или q*. Длина элемента lj
делится на 2, поскольку формулы численного интегрирования обыч-
обычно используют значения от —1 до +1 с весом 2. Для получения
требуемой точности в двумерных задачах, как правило, достаточно
взять четыре точки на интервале интегрирования.
Для интегралов, соответствующих сингулярным элементам,
необходимо использовать квадратурные формулы более высокого
порядка, некоторые из которых приводятся в приложении А.
В частном> случае постоянных элементов интегралы Hti и Gu
можно легко вычислить аналитически. Диагональный элемент
матрицы Нц, например, тождественно равен нулю, поскольку
нормаль и поверхность элемента ортогональны
\ l^j-dT = O. B.88)
Для Gn- имеем
Gu = J и* dT = -^ J In -J- dT. B.89)
Используя однородную координату ц на сегменте (рис. 2.11),
получаем
B) B)
G» = it J InTdr = 4r f lnTdT- <2-90)
(I) @)
Вводя новые координаты г = ц \ гг \, где \гг\ = \гг\, находим
B) Г 1 "I
0„=4 J Ini-dT-JuL Ы^-Ь Jlni-Л, . B.91)
@) L о J

80
Глава 2
Учитывая, что последний интеграл равен 1, имеем
О« = -Н"|г1|Aпт1т+ 1). B.92)
Прежде чем закончить этот раздел, отметим, что столь же не-
несложно получить соотношение и для других типов граничных
условий, которые часто появляются в практических задачах, на-
например для условия типа Робина.
Точка B)
, = 0
Рнс. 2.11. Геометрия постоянного элемента.
Условие типа Робина представляет собой линейную комбина-
комбинацию потенциала и его производной по нормали, заданной в точ-
точках, принадлежащих границе Г:
eu + fq = d, B.93)
где d, е и / — функции положения точки. Отметим, что условие
B.93) включает в себя все упоминающиеся ранее условия, пос-
поскольку при / = 0 получаем условие Дирихле, при е = 0 имеем
условие Неймана. К более общему случаю, когда е^=0 и/^0,
можно отнести граничное условие импедансного типа в задачах
электромагнетизма, граничное условие конвективного типа для
задач теплопроводности и т. п.
Если условие записать для всех узловых точек, то получим
Q = D- EU, B.94)
где вектор D и диагональная матрица Е содержат в каждом гра-
граничном узле величины соответственно dlf и e/f.
Подставляя условие B.94) в уравнение B.81), получим систему
уравнений
(Н + GE)U = GD B.95)
или в более простой форме
AY = F. B.96)

Задачи теории потенциала 81
Решив систему уравнений B.96), с помощью условий B.93)
можно найти значения на границе производной потенциала по
нормали.
2.6.1. Формулировки задач, учитывающие источники
Формулировки задач, учитывающие источники, также можно
записать в матричной форме, начав с выражений B.51) и B.52):
ы, = J ou* dT, q, = - -i- at + j aq* dT. B.97)
г г
Еще раз воспользуемся фундаментальными решениями B.74) и
B.75). Разбивая границу на элементы, получаем
N N
щ = 2 °^' qt== —г °г+2 а>в* B-98>
Различие между данной и прямой формулировками состоит в том,
что матрицы О и Н здесь оказываются не связанными и что диа-
диагональные элементы в матрице Н равны
Ни = Ни - 1/2 B.99)
вместо прежней формулы Нц + 1/2. При использовании обозна-
обозначения B.99) выражение B.98) принимает вид
N N
Щ = Е afilt, qt = Е о,Нц. B.100)
Теперь выражение B.100) можно записать для всех принадлежа-
принадлежащих границе точек, задав условие
щ = Hi в #х точках на участке 1\ границы,
qt— qt в N2 точках на участке Г2 границы. * ' '
Окончательно система уравнений принимает вид
Ao = F, B.102)
где неизвестные, входящие в вектор а, являются интенсивностями
источников.
Пример 2.1. Этот пример позволяет оценить точность постоян-
постоянных элементов при решении следующей задачи Дирихле: найти
распределение температуры для случая, когда на двух конфо-
конфокальных эллипсах заданы температуры ивнт и «внш соответствен-
соответственно на внутреннем и внешнем эллипсах.

82
Глава 2
Взяв полуоси эллипсов равными [22]'
Явят = С Ch Увнш» Ьвяш — С sh 7вяш.
Явнт = С Ch Vbht. Ьвнт = С Sh 7ВНТ,
(а)
где с — постоянная, 0< 7ВНТ < ■увнш<- °°. точное решение за-
задачи можно записать в виде
и = и
внш
Твнш —
< у < ?в
(б)
Число элементов
Рис. 2.12. .Сходимость решений, определяющих распределение температуры
(пример 2.1); мпр— приближенные результаты, полученные методом граничных
элементов, «т — точное решение, полученное аналитически.
На рис. 2.12 представлена относительная погрешность найден-
найденного распределения температуры по линии хх = 0, х2 =
— с sh [(Ybht + ?внш)/2 ] для двух различных вариантов дискрет-
дискретного представления и нескольких значений отношения alb для
эллипсов. Полагая, что значение постоянной с равно единице,
получим, что нижняя кривая на рис. 2.12 соответствует эллипсам
с отношениями (а/Ьъят) = 1,313 и (а/ЬВИШ) = 1,037, тогда как
верхняя кривая соответствует (а/Ь)внт = 10,033 и (а/Ь)ваш —
= 5,066. Во втором случае внутренний эллипс является намного
более вытянутым, чем внешний, поскольку их большие оси почти
совпадают по длине. С помощью рис. 2.12 можно также оценить
сходимость приближенного решения.
На рис. 2.13 показано распределение нормальных к внешней
границе потоков вдоль внешней поверхности при использовании
наиболее благоприятного способа дискретного представления.
В силу симметрии задачи необходимо исследовать только четверть
области. Симметрия принимается во внимание при реализации про-
процесса прямой конденсации с интегрированием по симметрично рас-

Задачи теории потенциала
83
too
80
60
40
20
-
Случай
Случай
i i
t(IOOq)
1
-о-ч>--о-о<
1
1
1
1
0,2
0,4
0,6
0,6
1.0
Рис. 2.13. Распределение нормального потока вдоль внешней границы (пример
2.1). Штриховые линии соответствуют аналитическому решению, точки — реше-
решению методом постоянных граничных элементов.
положенным элементам, поэтому здесь не требуется использовать
дискретное представление для осей симметрии [41 ].
Пример 2.2. Распределение температуры на бесконечно длин-
длинном круговом цилиндре радиуса R имеет вид, показанный на рис.
2.14. Требуется найти поле установившейся температуры цилин-
цилиндра. Задачу можно описать уравнением
д2и
ди
(а)
т. е. уравнением Лапласа в полярной системе координат. От-
Отметим, что здесь имеет место разрыв в распределении темпе-
Рис. 2.14. Геометрия бесконечно длинного кругового цилиндра с заданным рас-
распределением температуры по поверхности (пример 2.2)
и иг в» - 1"°' ° < е < л
и (R в) 1

84
Глава 2
! / \Ле-ф
-90°
О 45°
90° 9
Рис. 2 15. Расположение вну-
внутренних точек.
Рис. 2.16. Распределение радиальных по-
потоков.
ратур в точках (R, 0) и (R, я). Аналогичное решение можно
получить с помощью ряда Фурье B3]:
.= .,3,5.... (б)
Результаты, полученные с помощью постоянных элементов для
некоторых внутренних точек (рнс. 2.15), сопоставлены в табл. 2.1
для двух способов дискретного представления при и0 = R = 1.
Видно, что соответствие полученных результатов очень хорошее
даже при грубом способе дискретного представления. Поскольку
аналитическое решение ищется в виде ряда по синусам, на его
основе нельзя определить распределение потоков. Радиальные
потоки имеют сингулярность, как это показано на рис. 2.Г6,
где представлено распределение потоков на границе. Численные
Таблица 2.1. Значения температуры во виутреиинх точках (пример 2.2)
Номер точки
1
2
3
4
5
6
7
8
Решение по методу граничных
элементов
24 элемента
0,500
0,799
0,776
0,689
0,500
0,311
0,224
0,201
48 элементов
0,500
0,796
0,774
0,688
0,500
0,312
0,226
0,204
Аналитическое
решение
0,500
0,795
0,773
0,687
0,500
0,313
0,227
0,205

Задачи теории потенциала
85
2 -
- грубое дискретное представление
- хорошее дискретное представление
•j-o-
0 15° 30° 45° 60° 75е 90°
в
Рис. 2.17. Результаты численного решения для радиальных потоков.
результаты, полученные при обоих способах дискретного пред-
представления, также указывают на наличие этой сингулярности
(рис. 2.17).
Пример 2.3. В этом примере рассматривается бетонный блок
прямоугольного поперечного сечения, где часть граничной
поверхности находится в условиях воздействия внутренней среды,
часть подвергается воздействию внешней окружающей среды, а
остальная часть находится в контакте со стеной, разделяющей этн
области. Граничные условия в этой задаче относятся к конвектив-
конвективному типу:
q + Ли = Лиокр,
где Л — коэффициент теплопередачи, иокр — температура окру-
окружающей среды.
Температура и коэффициент теплопроводности на внутренней
поверхности (х1 = 0) равны соответственно 100 и 0,5 (все величины
безразмерные), на внешней поверхности (хх = /) — соответственно
О и 6,0. Значения температуры и коэффициента теплопроводности
на поверхностях х2 = ±а представлены на рис. 2.18. Отметим,
что теплопроводность полагалась равной А = 1.
Результаты, полученные для трех различных положений раз-
разделяющей стены, представлены на рис. 2.19, где сопоставляются
данные, полученные методом конечных элементов [24], и аналити-
аналитическое решение [25 ] для среднего (по толщине поперечного се-
сечения) значения температуры. Исследование методом граничных

Глава 2
А=6,0-.
«S=1OO
Л = 0.5
Рис. 2.18. Геометрия, способ дискретного представления границы и граничные
условия для прямоугольного бетонного блока.
100
90
80
70
60
50
АО
30
20
10
аналитическое решение
—о—решение методом
граничных элементов
х,-а
с0 36
Рис. 2.19. Распределение температуры в бетонном блоке для трех различных
положений разделяющей стены.

Задачи теории потенциала 87
элементов было проведено путем разбиения половины стержня на
20 постоянных элементов (см. рис. 2.18) с учетом симметрии от-
относительно оси хх, тогда как в методе конечных элементов потребо-
потребовалось 252 четырехугольных элемента.
2.7. Уравнение Пуассона
Предположим, что внутри области Q помещен источник, на-
например внутренний тепловой источник в задачах теплопроводности,
тогда разрешающее уравнение задачи принимает вид уравнения
Пуассона
V2« = Ь в области Й, B.103)
где Ь — известная функция координат.
Граничные задачи для уравнения Пуассона можно свести
к аналогичным задачам для уравнения Лапласа, если из общего
решения вычесть частное решение, не зависящее от граничных
условий [15, 16].
Для некоторых частных задач может оказаться, что функция b_
задана только в отдельных точках, и тогда отыскание частного ре-
решения задачи окажется трудным делом. В этих случаях к левой
части выражения B.69) следует прибавить слагаемое
jb(x)u*(t, x)dQ(x), B.104)
с
содержащее объемный интеграл от функции Ь. Это интегральное
выражение можно преобразовать, разбив область на ряд ячеек,
для которых применяется формула численного интегрирования.
Введение указанного выше интеграла может быть оправдано, если
в соотношении B.60) использовать вместо уравнения Лапласа
уравнение B.103). Тогда в соответствии с методом взвешенных не-
невязок получим
\ [V2« (х) - Ь (х)] и* (I, х) dU (х) = J [q (х) - q (х)] и* (|, х) dT (x) -
о г,
- J [и (х) - п (х)] <?* (|, х) dT (х). B.105)
г,
Дважды выполнив в этом соотношении интегрирование по
частям и вычислив интегралы по границе, найдем
с (I) и (|) + J и (х) q* (I, х) dV (x) + \b (х) и* (|, х) йп (х) =
г о
= J<7 (*)«*(£, x)dT(x), B.106)
Г

88
Глава 2
Теперь для вычисления интеграла B.104) можно воспользоваться
численным интегрированием по ячейкам или участкам (рис. 2.20).
Для численного интегрирования можно записать
Вг = J bu* dQ = Yi ( S wh (bu*)h ) А„ B.107)
где wh — веса, функцию Ьи* следует задавать в К точках интегри
рования, Ne — число ячеек, на которые была разбита область Q.
Ае — площадь каждой из них, Bt определено для каждого значе-
значения фундаментального решения, заданного в t-м узле.
Одна из ячеек,
•^используемых
для численно-
численного интегри-
интегрирования
Рис. 2.20. Граничные элементы н внутренние ячейки.
Полную систему уравнений для N узлов можно представить
в матричной форме
B.108)
Отметим, что на границе известны Nx значений и и N2 значений q.
Тогда уравнение B.108) можно преобразовать, с тем чтобы пони-
понизить его порядок, перенося все неизвестные величины в левую
часть:
AV = F, B.109)
где К—вектор, компонентами которого являются неизвестные
значения функций и и q.
После того как будут найдены значения функций и и q на
всей границе, можно вычислить и в произвольной внутренней
точке с помощью выражения
N
и. = £
B.110)

Задачи теории потенциала 89
Другой путь учета внутренних источников при формулировке
задачи состоит в преобразовании интеграла B 104) в эквивалент-
эквивалентные граничные интегралы в тех случаях, когда функция b явля-
является гармонической в области Q, т. е. имеет место равенство
V2b = 0. Если найти функцию v*, такую, что V2v* = и*,
то можно записать вторую формулу Грина [3 ] в виде
J F W - v* УЩ dQ = J (б 4£- - и* i£-) dl\ B.111)
Q Г
откуда следует
J J(££) B.112)
о г
Одна из таких функций v* приведена в [26] в виде
+ = 1к{ыт
тогда, как легко убедиться, имеем
Отметим, что в качестве специального случая можно получить
сосредоточенные источники, помещенные во внутренней точке /.
В этом случае функция Ь принимает вид
6 = Q«A|, B.115)
где Aj—дельта-функция Дирака, Уравнение B.106) можно
обобщить на случай нескольких таких источников, что дает
cm + j uq* dY + J ЬиГ dQ + J] Q/«? = J qu' dT. B.116)
Г Q Г
Эти сосредоточенные источники очень удобно использовать, по-
поскольку при этом не требуется каких-либо специальных приемов
интегрирования.
Пример 2.4. Уравнение движения однородной несжимаемой
вязкой жидкости при установившемся одноосном течении (в на-
направлении оси х3) имеет вид [27]
др .
где \л — коэффициент вязкости жидкости, др/дх3 = G — градиент
давления (постоянная величина), и — составляющая вектора
скорости в направлении оси х3. Это уравнение можно переписать
в виде
V2u = — G/ц. (б)

90
Глава 2
х, ,,
1,0
-о,б<н
■1,50-
■г,о-
Рис. 2.21. Геометрия и разбиение иа элементы для трубы эллиптического попе-
поперечного сечеиия.
Для трубы эллиптического поперечного сечения скорость те-
течения жидкости распределена по закону (рис. 2.21)
где а и Ъ — полуоси эллипса. Взяв в качестве исходных данных
G/ц, = 2, а = 2, Ъ = 1, для рассматриваемой задачи получим
уравнение
V2« = —2 (г)
и граничные условия
м = 0 на границе Г. (д)
Решение приведенного выше уравнения Пуассона можно пред-
представить в виде суммы двух функций
и = «! -f «a, (e)
где «! = —(х? + 4)/2— частное решение исходного уравнения,
ы2 — решение, удовлетворяющее уравнению v2«2 = 0 и гранич-
граничному условию и2 = —иг на границе Г.

Задачи теории потенциала
91
Таблица 2.2
Точка
А A,50; 0)
В @,60; 0,45)
С @; 0,45)
Искомые
функции
и
ди/дх1
ди/дх2
и
du/dxt
ди/дх2
и
ди/дх1
ди/дх2
Решение урав-
веиия Пуас-
соиа •)
0,345
—0,597
0,0
0,563
-0,253
0,718
0,634
0,0
0,722
Решение урав-
уравнения
Лапласа ')
0,351
— 0,604
0,0
0,569
—0,240
0,720
0,641
0,0
0,720
Точное
решение
0,350
—0,600
0,0
0,566
—0,240
0,720
0,638
0,0
0,720
>) Используется восемь элементов при разбненнн четверти границы.
В табл. 2.2 приведены значения скорости и и ее производных
ди/дхх и ди/дх?, (последние нужны для определения касательных
напряжений xXlX3 и тХ2Хъ), найденные как приближенным методом,
так и из точного решения.
Сначала при решении было использовано представление (е)
и получено решение уравнения Лапласа. Затем задача решалась
для уравнения Пуассона (г), а область разбивалась на 12 ячеек
и использовалась схема Хаммера численного интегрирования
[34]. Разбиение области на более мелкие ячейки или применение
более совершенных схем численного интегрирования не привело
к заметному уточнению решения. Благодаря двойной симметрии
задачи потребовалось рассмотреть лишь четверть поперечного
сечения.
2.8. Подобласти
Если задача решается для области, которая обладает кусоч-
кусочной однородностью, то описанные выше процедуры можно при-
применять к каждой однородной подобласти, поскольку они отделены
друг от друга. Окончательная система уравнений для всей обла-
области получается объединением в одну систему уравнений вида

92
Глава 2
B 81) для каждой из подобластей и условий совместности и равно-
равновесия на границах между подобластями [21 ].
Для того чтобы более детально проиллюстрировать сказан-
сказанное, рассмотрим область &, состоящую из двух подоблас-
подобластей Q1 и Q2 (рис. 2 22). Для подобласти Q1 введем обозначе-
обозначения:
U1, Q1 — значение потенциалов и потоков (<7i = k^u/dn) в узлах
внешней границы Г1;
U], Q] — значение потенциалов и потоков в узлах внутренней
границы - Г7 со стороны подобласти Q1.
Внутренняя
граница Г/
Рис. 2.22. Граничные элементы для области, состоящей из двух однородных под-
подобластей.
Для подобласти Q2 используя обозначения:
U2, Q2 — значение потенциалов и потоков (<72 = к2ди/дп) в уз-
узлах внешней границы Г2;
U], Q] — значение потенциалов и потоков в узлах внутренней
границы Г, со стороны подобласти Q2.
Систему уравнений B.81) для области Q1 можно записать в виде
B.117)
Для подобласти Q2 имеем
[я2
G2]
Q2
B.118)
Условия совместности и равновесия на внутренней границе Г7
между подобластями Q1 и Q2 таковы:
Q) =-Q? =
B.119)

Задачи теории потенциала
93
Уравнения B.117)—B.119) можно объединить в одну систему вида
Гя' н) о
[о я2, я2
или еще компактнее
U1
и,
U2
&
0
О -О? G2
Q1
Q,
Q2
B.120)
B.121)
Эта система уравнений формально аналогична системе B.81),
за исключением того, что здесь матрицы Н и G являются ленточ-
ленточными. Полагая выполненными граничные условия задачи и учи-
учитывая, что потенциалы и потоки на внутренней границе рассматри-
рассматриваются как неизвестные функции, систему B.120) можно преобра-
преобразовать к виду
U1
—G) 0 I U,
G) Я2] Qi
и2
B.122)
В соответствии с заданными граничными условиями подматрицы
соответствующие участкам 1\ и Г2 границы, можно менять ме-
местами. Отметим, что матрица окончательной системы B.122)
также является ленточной
Детальное пояснение реализации на ЭВМ описанной выше про-
процедуры, включая и результаты численных решений, можно найти
в работах [21, 28, 29].
Пример 2.5. В этом примере исследуется водонепроницаемая
плотина со шпунтовыми сваями, установленными в водопроница-
водопроницаемый грунт с водонепроницаемым пластом в основании. Предпола-
Предполагается, что справа и слева заданы условия непроницаемости,
а в узлах, контактирующих с водой, задаются граничные условия
потенциального типа. Коэффициент проницаемости грунта равен
0,03048 м/мин, ширина плотины в основании составляет
79 м
Эта задача была решена аналитически Лэмбом и Уитменом [30]
и численно с помощью методов граничных и конечных элементов —
Чангом [29]. Способ дискретизации показан на рис. 2.23, и как
можно видеть при использодвании подхода, основанного на методе
граничных элементов, область была разбита на три подобласти
в связи с наличием шпунтовых свай. На рис. 2.24 представлено
распределение высоты напора, полученное тремя методами. Там
же приводятся полученные методом граничных элементов линии
равных потенциалов и скоростей в некоторых внутренних
точках.

a d
Рнс. 2.23. Распределение 72 постоянных граничных элементов (а) и сетка 95 конечных элементов с 66 узлами (б).

«О
m
о
s
10
20 -
-
•4
—(
——ti
метод граничных
элементов
о— -о метод конечных
элементов
д Лэмб и Уитмен L30]
20,6 20.1 19,2 18,1 16,9 15,8 14,7 13,8133
25 23 21 19 Л 15 13 11
Рис. 2.24. Распределение давления н потока под плотиной с двумя рядами свай.

96 Глава 2
2.9. Ортотропня и анизотропия
Предположим теперь, что среда, применительно к которой рас-
рассматривается задача, является ортотропной (рис. 2.25). Разреша-
Разрешающее уравнение в осях координат, связанных с направлением орто-
ортотропии, можно записать для двумерного случая в виде
Ь-Щ- + Ь*Ж = 0, B.123)
где kt — характеристики среды в направлении t-й оси ортотропии.
Фундаментальным решением этого уравнения является функция [21]
где
. B.125)
*ji i /i Применяя к уравнению B.123) тео-
теорему Остроградского—Гаусса, полу-
получим
Рис. 2.25. Ортотропная среда; с / ди ди \
У\ и у2 — направления орто- =1*1 -д— П„. + k2 -т— пв,) пГ,
тропии. J, \ °У1 °Уъ '
B.126)
где пУ1 и пу, — направляющие косинусы внешней нормали к
границе Г (рис. 2.25). Выражение (в круглых скобках), стоящее
в правой части, представляет собой направленный по нормали
к границе поток q. Аналогично можно написать
ч «. ди* (£, х) , , ди* (|, х) /
X) = k> дуЛх) пУ> + к> дуТ(х) пу (
Далее задачу можно решать так же, как это делалось для изо-
изотропной среды, т. е. разрешающее уравнение B.126) и граничные
условия преобразуются в граничное интегральное уравнение,
аналогичное уравнению B.69).
В случае полностью анизотропной среды для двумерных задач
разрешающее уравнение принимает вид
^ж+2"»тёк+к'>ж-0- <2-128>

Задачи теории потенциала 97
где коэффициенты kti характеризуют свойства среды. Это урав-
уравнение имеет следующее фундаментальное решение [31 ]:
^nMibp BЛ29>
где | kij | — определитель матрицы коэффициентов, характеризу-
характеризующих свойства среды,
W2
• B.130)
Поток, нормальный к границе, в этом случае равен
Аналогично получаем
Далее задачу можно решать аналогично тому, как это было сделана
ранее.
Пример 2.6. Рассмотрим случай течения грунтовых вод под
плотиной с двумя различными ортотропными слоями грунта в ос-
основании. Коэффициенты проницаемости нижнего слоя равны kx =
= 0,25. 10~5 м/с и /г2 = 0,075- Ю м/с, направление наибольшей
проницаемости верхнего слоя составляет 45° к горизонту, значе-
значения коэффициентов проницаемости этого слоя равны kx = 4,0 X
X 10~5 м/с, fe2 = 1,0-10 м/с. Плотина поддерживает уровень
воды 20 м на верхнем бьефе и имеет уровень 5 м на нижнем бьефе,.
На рис. 2.26 представлены распределение давления по основа-
основанию плотины, линии равных потенциалов, значения скоростей
течения в различных точках основания плотины. Эти результаты!
были получены с использованием 74 постоянных граничных эле-
элементов.
Пример 2.7. Для того чтобы проверить влияние анизотропии
на распределение температуры, Чанг и др. [31] рассмотрели
круговой цилиндр с эксцентрично расположенной круговой поло-
полостью, на внешней и внутренней границах которого заданы посто-
постоянные равномерно распределенные температуры.
Результаты, полученные методом граничных элементов, пред-
представлены на рис. 2.27. Интересно отметить, что наиболее сущест-
существенное влияние на характер анизотропии оказывает значение дис-
4 Бреббия К. н др.

о
ю
20
110 и
x
«о
НО 5м/с у/
<Н0*!м/с
к.
0,75-10'5м/С
А,
0,25-10 м/с
Рис. 2.26. К расчету течения в двухслойном ортотропном грунте.

0,2
lit
РИС- 2.27. Изотермы в анизотропных и изотропных средах при различных значениях fel^.

100
Глава 2
криминанта, составленного из коэффициентов теплопроводности,
т. е. I kij | = /гп/г2г — *ю. и чем меньше значение | ki}\, тем более
асимметрично поле температуры.
2.10. Бесконечные области
Хотя граничное интегральное уравнение B.69) было получено
в предположении, что область Q является ограниченной, все ска-
сказанное до сих пор справедливо также и для бесконечных регуляр-
регулярных областей в смысле, определенном Келлогом [3], т. е. области
считаются ограниченными регулярной по-
поверхностью (отсюда граничная поверх-
поверхность) и содержащими все достаточно уда-
удаленные точки. Однако, для того чтобы
расширение было справедливым, должны
выполняться определенные условия регу-
регулярности, касающиеся поведения функ-
функций, для которых справедливо уравнение
B.69), на поверхности, бесконечно уда-
удаленной от начала координат.
Пусть Г — граница круга (или сферы»
если задача трехмерная) радиуса R с
центром в точке | (рис. 2.28), охватываю-
охватывающая границу Г. Граничное интегральное уравнение, аналогичное
уравнению B.69), для конечной области Q, ограниченной дейст-
действительной границей Г и фиктивной границей Г, можно написать
в виде
с (g) и&) + \и (х) q* (|, х) dT (x) + J и (х) q* (g, x) dT (x) =
г г
= J q (х) и* (£, х) dT (x) + \q (х) и* (|, х) dT (x). B.133)
Если положить R -*■ со, то уравнение B.133) будет справедливым
только для точек, принадлежащих границе Г (и области Q) при
условии
lim [ [q(x)u*(%, x)-u(x)q*(%, x)]dT(x) = 0. B.134)
Рис. 2.28. Геометрия бес-
бесконечной области с по-
полостью.
В случае трехмерных задач, для которых
B.135)

Задачи теории потенциала 101
{J j — якобиан, О ( ) означает асимптотическое поведение функ-
функции при R -*■ со, условие B.134) выполняется в том случае, если
функция и (х) имеет асимптотику по крайней мере О (R'1), а для
ее производной справедливо q (х) = О (R~2). Все перечисленные
требования и представляют собой условия на бесконечности [3,
16], из которых следует, что каждое слагаемое в равенстве B.134)
ведет себя по крайней мере как О (R'1), т. е. стремится к нулю
при R-+ со.
В двумерных задачах функция м* (£, х) ведет себя как лога-
логарифмическая функция In R, а ее производная — как q* (£, х) =
= О (R'1) при R -*■ со. Условие регулярности на бесконечности
в этом случае означает, что функция и (х) ведет себя по крайней
мере как In R, а ее производная — как q ( х) = О (R'1). Отметим
здесь, что входящие в интеграл B.134) функции, вообще говоря,
не стремятся к нулю при R -> со, поскольку d\ (х) = | J | di
и | J | = О (R), но в совокупности они ведут себя так, что выпол-
выполняется условие B.134).
Используя далее условие B.134), из уравнения B.133) полу-
получаем
с A)УЖ+ J " (х) q* №) Щх) = } q (x) <& х) dT (x). B.136)
Отсюда видно, что граничное интегральное уравнение, записан-
записанное для внутренней границы бесконечной регулярной области,
совпадает по форме с уравнением B.69) для конечных областей.
Все сказанное справедливо для интегрального уравнения для
точек, принадлежащих бесконечной области.
Рассмотрим трехмерную задачу Неймана для бесконечной
области Q. В отличие от случая конечных областей (разд. 2.3)
уравнение B.136) имеет единственное решение для произвольных
непрерывных функций q, заданных на внутренней границе Г.
Более того, здесь не требуется выполнение условия Гаусса B.53),
поскольку интеграл от функции q по границе Г уравновешивается
на бесконечности компенсирующим потоком. Поскольку область,
заключенная между границами Г и Г, является соленоидальной,
можно написать
\ \=O, B.137)
где
\ B.138)

102
Глава 2
поскольку и (х) = О (R'1) при R-+oo. Если функция и (х)
имеет порядок малости О (R~2), то поток по границе Г равен нулю*
и соотношение B.137) превращается в условие Гаусса
= 0. B.139)
Напротив, если выполняется условие B.139), то отсюда сле-
следует, что функция и (х) ведет себя как О (R~2) при R -*■ оо.
Из аналогичных рассуждений можно заключить, что для дву-
двумерных задач Неймана из выполнения условия Гаусса B.139)>
следует, что функция и (х) ведет себя по
крайней мере как О (R'1) при R -> оо.
ЕсЛй функция q такова, что на беско-
бесконечности она принимает не равное нулю-
конечное значение, то это значение можно-
рассматривать как частное решение, что-
будет показано в следующем примере.^ф
Лример 2.8. Рассмотрим задачу с гра-
граничным условием типа Неймана о круго-
круговой области единичного радиуса, распо-
расположенной в бесконечном двумерном про-
пространстве, т. е. на границе круга (рис. 2.29)
задан постоянный по величине радиаль-
радиальный поток энергии 31,21 Дж/(м2.с).
Поскольку условие Гаусса B.139) не
удовлетворяется, решение ведет себя на
бесконечности как логарифмический потенциал. Точное реше-
решение этой задачи имеет вид
и = —31,21 1пЯ,
откуда и видеи указанный характер поведения функции.
Таблица 2.3. Температура в точках, принадлежащих бесконечной области
Рис. 2.29. Круговое от-
отверстие единичного ра-
радиуса, расположенное в
бесконечной двумерной
области.
R
1,0
1.5
2,0
3,0
5,0
10,0
100,0
1000,0
Решение
N = 4
— 0,48
— 12,57
— 21,49
—34,07
—49,91
— 71,40
— 142,81
—214,21
по методу граничных
элементов
N = 8
—0,12
— 12,63
—21,60
—34,23
—50,15
—71,75
— 143,50
—215,24
Точное решение
0,00
— 12,65
—21,63
—34,28
—50,22
— 71,86
— 143,72
—215,58

Задачи теории потенциала
103
Таблица 2.4. Радиальные потоки в точках, принадлежащих бесконечной
области
R
1,5
2,0
3,0
5,0
10,0
100,0
1000,0
Решение
N = 4
20,68
15,51
10,34
6,20
3,10
0,31
0,03
по методу граничных
элементов
N = 8
20,77
15,58
10,39
6,23
3,12
0,31
0,03
Точное решение
20,81
15,61
10,40
6,24
3,12
0,31
0,03
Найденные значения температуры в точках, лежащих на гра-
границе Г и внутри области Q, а также величины радиальных потоков
в точках, принадлежащих области Й, приведены соответственно
в табл. 2.3 и 2.4, где даны также и точные значения. С учетом сим-
симметрии задачи рассматривается лишь четверть границы, при раз-
разбиении которой использовались постоянные элементы.
Пример 2.9. Рассмотренную выше формулировку задачи для
бесконечных областей можно легко распространить на имеющие
практическое значение задачи, например задачи потенциального
течения жидкости за препятствием.
В качестве примера рассмотрим двумерное потенциальное те-
течение с постоянной скоростью V на входе в направлении оси Xj.
при обтекании профиля крыла NACA 0018, форма которого по-
показана на рис. 2.30, б. Для решения этой задачи введем функцию
тока v|j:
Далее удобнее представлять функцию тока \|э в виде двух слагае-
слагаемых v|5 = i|5x + v|j2, где фх = Vx2 определяет установившееся тече-
течение на входе, ф,— функция, описывающая возмущение потока.
Поскольку возмущение затухает на бесконечности, потребуем,
чтобы выполнялось условие 1|э2 — О (R'1) при /?->-оо. Кроме
того, поскольку у2^ = 0 и ^i — гармоническая функция, то
V2^2 — 0 и задача сводится к нахождению функции возмуще-
возмущения l|52.
Рассматривая поверхность аэродинамического профиля как
линию тока с v|5 = 0, граничные условия задачи можно взя ть
в виде
v|j2 = —1|5Х = —Vx2 на границе Г.
Поскольку задача симметрична относительно оси х1г следует
рассматривать лишь половину профиля. Характер разбиения

104
Глава 2
0,8
0,4
аналитическое решение
0 - метоп граничных элементов
1 i i i i i i i
О __ 20
Рис. 2.30. Потенциальное обтекание крыла NACA 0018:
а — результаты аналитических расчетов скорости потока вблизи поверхности крыла ■
расчета по методу граничных элементов;
б — геометрия крыла н характер разбиения поверхности на граничные элементы.
границы на постоянные граничные элементы, использованные при
решении задачи, показан на рис. 2.30, б. Значения касательной
скорости (рис. 2.30, а) хорошо соответствуют результатам, при-
приведенным в книге [32].
2.11, Специальные фундаментальные решения
В фундаментальных решениях, которые рассматривались до
сих пор, нетрудно узнать функции Грина для бесконечной области.
Поскольку они были получены без соответствующего учета гра-
граничных условий, то граничные условия в реальной задаче вводят
в виде требования того, чтобы функция или ее нормальная произ-
производная (или их линейная комбинация) принимали заданные зна-
значения в точках, принадлежащих границе, которая предварительно
разбивается на отдельные участки. В некоторых задачах область
может быть ограничена неким регулярным образом, при котором
иногда удобнее находить фундаментальное решение специально
для этой области [21].
В качестве примера получим фундаментальное решение для
полубесконечной области, аналогичной той, что встречается в за-
задачах механики жидкости или в задачах геотехники (рис. 2.31).
В задачах такого рода удобнее расположить границу Г на беско-
бесконечности. Выбором фундаментального решения, тождественно

Задачи теории потенциала
105
удовлетворяющего граничному условию на границе Г, можно избе-
избежать дискретного представления этой границы, что значительно
снижает объем вычислительной работы, необходимой для решения
задачи.
Рассмотрим источник с интенсивностью а (£), помещенный
в точку |, принадлежащую границе Г (рис. 2.31). Потенциал, соз-
создаваемый этим источником, будет некоторым образом отражаться
■от границы Г в зависимости от граничных условий, заданных на
ней. Для того чтобы представить
это отражение, поместим в точку |'
изображение источника с интен-
интенсивностью а (£'), симметрично рас-
расположенного относительно грани.
цы Г. Таким образом, потенциал
в произвольной точке х поля бу-
будет равен сумме потенциалов по-
полей обоих источников
и (х) = а (I) и* (I, х) +
+ а (I1) и* (I', х), B.140)
где и* — фундаментальное реше-
решение для бесконечной области.
Задавая на границе Г условие
и — 0, получим
с (£)и* (I, х) + а (Г) и* (Г, х) =
= 0 на границе Г. B.141)
Возьмем в качестве примера уравнение Лапласа для двумерной
области, тогда из условия B.141) следует равенство
<r ft) In-I+ <r ft') In Jr = О,
1
х
Рис. 2.31. Геометрия
иечиой области.
полубеско-
B.142)
что дает
а (I) = -а
B.143)
Отметим, что для точек х, лежащих на границе Г (рис. 2.31),
имеем г = г'.
Поскольку по определению фундаментальное решение экви-
эквивалентно потенциалу поля, образованного единичными источни-
источниками, фундаментальное решение для полубесконечной области
с равным нулю потенциалом на границе имеет вид
J-
2л
—
г
B.144)

106 Глава 2
Если граничное условие на границе Г соответствует равенству
нулю нормальной компоненты потока, т. е.
o(t)q*(l, *) + о(Г) 4*(V. *) = 0. *€ Г, B.145)
или
-а (Е) (//г) + а (Г) (//г') = 0, B.146)
то в результате][получаем
о (Z) = оA') B.147)
и фундаментальным решением задачи будет функция
"•(Б. *)l=-^rlnK). B.148)
Тем же способом можно получать фундаментальные решение и
других задач для областей с параллельными границами, а также
трехмерных задач.
Пример 2.10. В этом примере рассматривается стационарная
задача теплопереноса в полубесконечной среде, в которой распо-
расположены две параллельные цилиндрические полости равных диа-
диаметров (рис. 2.32). Температура на границе Г равна нулю, тем-
температура на бесконечности также равна нулю, и на поверхностях
цилиндрических полостей заданы постоянные температуры.
Если глубина d расположения цилиндрических полостей зна-
значительно превышает их радиус а, то эту задачу можно рассмотреть-
как приближенное представление имеющей большое практическое
значение задачи о двух электрических кабелях с одинаковым
напряжением, помещенных в грунт параллельно его поверхности.
В данной же задаче интерес представляет олределение внешнего-
теплового сопротивления каждого кабеля.
Тепловое сопротивление G, отнесенное к единице расстояния;
между поверхностью Г с температурой с и поверхностью Г с ну-
нулевой температурой для среды,,
имеющей теплопроводность k, равно-
I
I
1 В табл. 2.5 представлены резуль-
i r таты расчетов безразмерного пара-
i
I Ку _/i Рис. 2.32. К задаче теплопереноса в полубес-
I ! ,! конечной области с двумя одинаковыми
la ' lb' 2а'' круговымии отверстиями.
Г)
\ /\
! !

Задачи теории потенциала
107
Таблица 2.5
ь
0
а
dla
10
25
50
100
10
25
50
100
Решение по мето-
методу граничных эле-
элементов
0,810
1.102
1,322
1,543
0,726
1.016
1.236
1,457
Аналитическое
решение
0,810
1,102
1,322
1,543
0,724
1,014
1,235
1.456
метра Gk, полученные для нескольких значений отношения dla
и единичного значения температуры с на поверхности цилиндри-
цилиндрической полости. Были рассмотрены два случая, когда кабели
соприкасаются (т. е. Ь = 0) и когда они расположены на расстоя-
расстоянии, равном их диаметру (Ь — а). Эти результаты были получены
при разбиении поверхности одного из цилиндров на 32 элемента
с учетом симметрии относительно оси х2. В таблице приведены
также результаты приближенного аналитического решения [33],
откуда видно хорошее соответствие обоих решений.
2.12, Трехмерные задачи
Решение уравнения B.69) для трехмерных задач можно по-
попытаться получить, следуя по существу тем же путем, который
•обсуждался в разд. 2.4 для двумерных задач. Границу Г, теперь
уже двумерную поверхность, можно описать с помощью плоских
или криволинейных треугольников или четырехугольников (гл. 3),
причем потенциалы и нормальные производные на этой границе
можно считать кусочно-постоянными, линейными, квадратичными
и т. п. Интерполирующие функции принимаются теми же самыми,
что и используемые при исследовании двумерных задач методом
конечных элементов.
Ниже будут подробно описаны процедуры, необходимые для
■численных расчетов и использующие простые элементы, а именно
плоские треугольные элементы с постоянными значениями потен-
потенциала и его нормальной производной. Результаты численных
расчетов приводятся в колце данного раздела и показывают эф-
эффективность упомянутых процедур. Так же как и в двумерном
случае, не представляет дополнительных трудностей распростра-

108
Глава 2
нить подход на случай более высокого порядка интерполирующих
функций (гл. 3).
Функции и и q полагаются постоянными внутри каждого эле-
элемента и равными их узловым значениям в центре тяжести эле-
элемента (рис. 2.33). Если границу Г разбить на / ячеек, уравне-
уравнение B.69) принимает форму
N
Н1Г
B.149)
Преобразование глобальной декартовой системы координат
элемента dT граничной поверхности к внутренней системе ко-
Зо@,0,1) а ординат в случае треугольного
ь элемента приводит к выраже-
выражению
dT = | J | d^i dtjj, B.150)
где якобиан | J | равен удвоенной
площади треугольника (дальней-
(дальнейшие подробности приведены в
гл. 3). Единичный нормальный
вектор, необходимый для опреде-
определения функции q*, можно полу-
получить, рассмотрев векторное про-
произведение векторов B—1) и C—1)
(рис. 2.33).
Интегральные слагаемые в уравнении B.149) определяются
выражениями
AД0) 7з*° - @.1.0)
Рис. 2.33. Внутренние треуголь-
треугольные координаты.
Г1—т). 
L о J
Г1-П "I
J U*(T,)dTU Uh.
L о J
B.151)
В тех случаях, когда i-й узел не принадлежит элементу с гра-
границей Т), эти интегралы определяются чиеленно по квадратурной
схеме Хаммера [34]. Так, внедиагональные коэффициенты ма-
матриц Н и G, входящих в уравнение B.81), находятся в виде сумм
к к
Ни = 2Ajdi] У 4- wh, Gu = 2Aj У ± щ, B.152)
где Aj и da относятся к /-му элементу, причем А} — его площадь,
da — длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости

Задачи теории потенциала
109
элемента. Коэффициенты Htj равны 1/2 для постоянных элемен-
элементов. Коэффициенты Gtj, содержащие интегрируемые сингулярно-
сингулярности, можно вычислить аналитически, перейдя к полярной системе
координат (рис. 2.34)
е4 яле) е,+е, яле) an я, (в)
G,, = j j dRdQ+ j J dfld0 + J J dtfdG.
oo в, о в,+в, о
Из этого выражения находим
tg(«a/2)
tg(a3/2)
/2]
+■
tg
Рис. 2.34. Геометрические пред-
представления, используемые при ана-
аналитическом интегрировании.
tg(ai/2,
Пример 2.11. Здесь мы впервые
рассмотрим трехмерный случай,
где исследуется распределение тем-
температуры в кубике с ребрами
единичной длины и с условиями
типа Дирихле (рис. 2.35)
и = 1 при хх — +0,5; и — 0 при хг = ±0,5;
и — 2 при % = —0,5; и = 0 при х3 = ±0,5.
В силу симметрии относительно плоскостей хгх2 и хгх3 здесь
рассматривается только четверть кубика, заданного в условии
задачи. Рассматривались две различные схемы разбиения, более
удачная из которых показана на рис. 2.35, б. Найденные значения
темпертуры для некоторых внутренних точек представлены
в табл. 2.6, где также приведены результаты известного анали-
аналитического решения [7].
Таблица 2.6. Распределение температуры вдоль оси Xi
—0,375
— 0,250
— 0,125
0,000
0,125
0,250
0,375
Решение
N = 12
1,637
1,044
0,678
0,500
0,478
0,597
0,855
по методу граничных
элементов
N = 24
1,472
0,979
0,661
0,500
0,472
0,566
0,770
Аналитическое
решение
1,430
0,967
0,659
0,500
0,472
0,560
0,748

но
Глава 2
1/1
X)
а К
Рис. 2 35 Кубик с гранями единичной длнны: а — геометрия; б ■
ния на ячейки
схема разбие-
разбиеПример 2.12» Этот пример относится к распределению темпе-
температуры в прямоугольном параллелепипеде, для которого заданы
следующие смешанные граничные условия (рис. 2.36):
и = 10 при хг = —0,5;
dddn + Ъи — 0 при хг = +0,5;
ди/дп + Ъи — 0 при Хх — ±1;
ды/д/г + 5м = 0 при *з = ±1.
Как и в предыдущей задаче, здесь используется симметрия
относительно плоскостей хххг и хгх3. На рис. 2.36 представлена
наиболее удачная для данной задачи схема разбиения на ячейки
D8 ячеек). В табл. 2.7 даны результаты численного решения,
'*i
Рис. 2.36. Прямоугольный параллелепипед; а — геометрия, б — схема разбие-
разбиения иа ячейки.

Задачи теории потенциала
III
Таблица 2.7 Значения температуры во внутренних точках
— 0,25
0,00
0,00
0,25
0,25
0,25
0,25
0,00
0,00
0,50
0,00
0,25
0,50
0,75
0,00
0,00
0,50
0,00
0,25
0,50
0,75
Решение
граничиыл
N = 24
7,387
4,827
3,745
2,816
2,612
2,000
1,050
по методу
элементов
N = 48
7,282
4,840
3,843
2,843
2,658
2,073
1,144
Аналити-
Аналитическое
решение
7,259
4,837
3,843
2,844
2,658
2,089
1,180
полученные для некоторых точек, а также данные аналитиче-
аналитического решения [7].
Пример 2.13. Рассмотрим теперь задачу о помещенной в бес-
бесконечное пространство сферической полости единичного радиуса,
на поверхности которой задан постоянный по величине радиаль-
радиальный поток с интенсивностью 10 Дж/(м2-с). Точное решение этой
задачи имеет простой вид и = Ю/R, откуда видно, что решение
ведет себя как О (R'1) при R -> оо и что условие Гаусса B.139)
не выполняется.
С учетом симметрии задачи требуется рассмотреть только
восьмую часть поверхности полости. Найденные значения средней
температуры поверхности и температур в отдельных точках, при-
принадлежащих области Q, представлены в табл. 2.8, где даны также
результаты точного решения. Медленная сходимость численного
решения на поверхности полости и вблизи нее обусловлена тем,
что для геометрического представления сферической поверхности
используются плоские элементы.
Таблица 28
о
*\
1,0
1,5
2,0
3,0
6,0
10,0
100,0
1000,0
Температура в точках бесконечной области
Решение по методу граничных
элементов
N = 7
9,676
6,505
4,899
3,274
1,639
0,983
0,098
0,010
N = 16
9,727
6,569
4,922
3,281
1,640
0,984
0,098
0,010
Точное оешеНне
10,000
6,667
5,000
3,333
1,667
1,000
0,100
0,010

112
Глава 2
2.13. Осесимметричные задачи
В разд. 2.2 обращалось внимание на то, что фундаментальное
решение для двумерного уравнения Лапласа (логарифмический
потенциал) можно получить, проинтегрировав решение для трех-
трехмерного случая (ньютоновский потенциал) с распределенным по
линии источником в точке |. Ту же идею можно использовать для
того, чтобы получить фундаментальное решение уравнения Лап-
Лапласа для осесимметричиой области, что эквивалентно рассмотре-
рассмотрению случая с распределенным по кольцу источником.
Предполагая, что граничные условия обладают осевой сим-
симметрией (соответственно должны быть осесимметричными и все
относящиеся к этой области функции), уравнение B.69) можно
записать в цилиндрической системе координат R, 8, Z в виде
с (l)]u (g) -I- j и(х) j q* (I, x) d& (x) R (x) dT (x) =
г °
2л
= \q (x) | u* (I, *) d9 (х) R (x) df (x), B.154)
f °
поскольку
(xlt %, x3) = RdB dT (R, Z).
B.155)
Отметим, что Г—образующая граничной поверхности, получае-
получаемая при пересечении поверхности Г с полуплоскостью R Z*
(рис. 2.37).
Записав фундаментальное решение для трехмерного случая
в цилиндрической системе координат
Ь х) = \1г (I, х) = [R* (I) + Д2 (х) — 2R (I) R (х) X
X cos [9 (I) — 9 (х) ] + [Z{l)—Z (x)
Р|-1/2-
B-156)
решение для осесимметричного случая можно представить в виде
эллиптического интеграла первого рода К (т):
2я
Z J
fl*(g, *)= )«*(£, x)d&(x) = -jjl—щ
где
m =- 2b/(a + b), a = Д2 (g) +
2R(t)R(x).
;, B.157)
12 (x) +
B.158)
Рис.2 37. Контур образующгй тела вращения и об-
область, ограниченная этим контуром и осью враще-
вращения.

Задачи теории потенциала 113
Диапазон изменения параметра т составляет 0 <s m <: 1. В отли-
отличие от двух- и трехмерных случаев фундаментальное решение для
осеснмметрнчной задачи нельзя записать просто как функцию
расстояния между двумя точками, поскольку оно зависит также
от расстояния между точкой и осью вращения.
Производная фундаментального решения по нормали к гра-
граничному контуру Г имеет вид
4 f
x) _ (a + b)l/a {пщ I ^t (m) -
nR(x) + Z®ZZb(X)E{,m)nz{x))t B.159)
где E (m) — эллиптический интеграл второго рода.
Из выражений B.157) можно видеть, что при R (£) -*■ 0 имеем
ГП-+0, К (т) -+■ я/2, Е (т) -> я/2, откуда следует, что распре-
распределенный по кольцу источник стремится к точечному источнику
с интенсивностью 2я, расположенному на оси вращения.
Подставляя выражения B.157) и B.159) в уравнение B.154),
получим граничное интегральное уравнение вида
с (I) и (Е) + J «» ? (Е, х) R (х) dT [x) = \q (х) Ъ* (|, х) R (x) dT (x).
г г
B.160)
Решение уравнения B.160) можно попытаться получить, вос-
воспользовавшись теми же основными расчетными схемами, что рас-
рассматривались в разд. 2.6 для двумерных задач.
Для удобства проведения численных расчетов эллиптические
интегралы можно представить в виде разложения по полиномам
135].
В результате дискретного представления уравнения B.160)
и суммирования вклада от всех граничных элементов получается
система уравнений в форме B.81). Матрицы Н15 и Gl} (i Ф j)
этой системы определяются численно с помощью стандартной
квадратурной схемы Гаусса с четырьмя точками интегрирования.
Однако диагональные члены Нн и Gn являются результатом вы-
вычислений сингулярных интегралов, где стандартные квадратур-
квадратурные схемы применять невозможно.
Для того чтобы облегчить вычисления этих интегралов, фун-
фундаментальное решение и его производную можно записать в виде
функции Лежандра второго рода:
й'(Е, x) = 8WQ-lp(y)lbW, B.161)
v\_ 8 /[Q-i/aW , fl(E)-K*(*) + [Z(i)-Z(*)I х,
'~~ ЯМб^Н 2 + Ъ
B.162)

114 Глава 2
где
B.163)
В такой форме фундаментальное решение было дано Сноу [36].
Для малых значений параметра у функции Лежандра можно
представить в виде [37]:
2^ ^ ^ B.165)
Подстановка представлений B.164) и B.165) в выражения B.161)
и B.162) позволяет облегчить вычисление сингулярных интегра-
интегралов. Формулы, полученные при аналитическом интегрировании,
приведены в работе [38].
Отметим, что для элементов, расположенных вблизи оси вра-
вращения (т. е. при малых расстояниях R (£)), не всегда оказывается
возможным аналитическое интегрирование по всему элементу так,
как это было описано, поскольку значение параметра 7 будет
велико для точек, удаленных от точек с сингулярностями, поэтому
представления B.164) и B.165) уже не будут справедливы для
этих точек. Таким образом, удобной для таких случаев схемой
является та, в которой для коротких элементов, расположенных
вблизи сингулярности, интегрирование выполняется аналитически,
а для остальных элементов проводится такое численное интегри-
интегрирование с использованием стандартной квадратурной схемы
Гаусса, как если бы эти части были отдельными элементами.
При реализации численных процессов можно взять длину L ана-
аналитически интегрируемой части элемента, удовлетворяющую усло-
условию
где I — полная длина элемента, R (х) — расстояние от ближай-
ближайшей точки этой части до оси вращения.
Пример 2.14. Задача о расположенной в бесконечной среде
сферической полости единичного радиуса, рассматривавшаяся с по-
помощью трехмерных элементов в примере 2.13, здесь будет рас-
рассматриваться с помощью осесимметричных постоянных элементов,
с тем чтобы сравнить оба типа аппроксимаций.
В табл. 2.9 представлены результаты расчетов, проведенных
двумя различными способами дискретного представления (с уче-
учетом симметрии задачи) половины контура образующей сферы. Это
обеспечило более адекватное геометрическое представление по-
поверхности полости, что отразилось в улучшении получаемых ре-
результатов.
Пример 2.15. Более важное практическое применение имеет
исследование прототипа оболочки ядерного реактора в виде тол-

Задачи теории потенциала
115
Рис. 2.38. Схема разбиеиия иа конечные элемеиты и изотермы.
L
Рис. 2.39. Схема разбиеиия иа граиичиые элемеиты и изотермы.

116
Глава 2
Таб.шца 2.9. Температура в точках, принадлежащих бесконечной области
р
1,0
1,5
2,0
3,0
6,0
10,0
100,0
1000,0
Решение
N = 4
9,961
6,539
4,904
3,269
1,635
0,981
0,098
0,010
по методу граничных
элементов
N = 8
9,991
6,634
4,976
3,317
1,659
0,995
0,100
0,010
10,000
6,667
5,000
3,333
1,667
1,000
0,100
■0,010
стостенного сосуда,- на внутренней поверхности которого задана
высокая температура. Эта задача решалась с помощью 96 тре-
треугольных конечных элементов в работе [40], и результаты вместе
со схемой разбиения на конечные элементы показаны на рис. 2.38.
На рис. 2.39 приводятся результаты, полученные при раз-
разбиении границы на 31 постоянный граничный элемент и учете
симметрии относительно оси вращения JR; видно хорошее соответ-
соответствие с решением, полученным методом конечных элементов.
2.14. Осесимметричные задачи
с произвольными граничными условиями
Если осесимметричное тело имеет граничные условия произ-
произвольного вида (неосесимметричные), то оказывается невозможным
использовать уравнение B.154), поскольку функции и и q здесь
зависят также и от угловой переменной. Тем не менее для подоб-
подобных задач разрешающие соотношения можно получить, восполь-
воспользовавшись соответствующим разложением неизвестных функций
в ряды Фурье, в результате чего получается последовательность
несвязанных и не зависящих от угловых переменных двумерных,
задач [42].
В этом разделе будет обсуждаться (следуя работе [43]) по-
последовательность процедур, необходимых для решения такого
рода задач методом граничных элементов. Заметим, что процедура
решения полученной для каждого элемента последовательности
двумерных уравнений предполагает возможность дальнейшего
понижения размерности, поскольку граничные задачи для осе-
симметричных тел с произвольными граничными условиями сво-
сводятся к последовательности одномерных задач, где требуется
только интегрирование по линии.

Задачи теории потенциала 117
Начнем с напоминания того, что исходное интегральное соот-
соотношение B.68) метода граничных элементов для трехмерных за-
задач теории потенциала имеет вид
и (I) = A/4я) J [q (x) и* F, х)-и (х) q* (g, х)} dT (x), B.167)
г
где ы* (£, х) = Mr (| , х). С учетом того что граница Г является
осесимметричной, функции, стоящие в соотношении B.167), можно
разложить в ряды Фурье
оо
о (*) = £ К (*) cos n9 (х) + Й (*) sin nB (х)], B.168>
оо
v* (I, х) = £ [о;с (S, х) cos п9 (х) + t»;s (E, i) sin n9 (x)], B.169)
где вместо v следует подставлять либо и, либо*?; величина х озна-
означает совокупность переменных R (х) и Z (х), так что
vn(x)~vn[R(x),Z(x)]. B.170)
Коэффициенты для заданной функции v B.168) находятся
обычным приемом как коэффициенты Фурье, тогда как для не-
неизвестной функции v коэффициенты vn являются решением после-
последовательности одномерных граничных интегральных уравнений.
Формулы для вычисления коэффициентов, входящих, например,
в представление для функции v*, определяются выражениями
B.173) и B.174).
Используя выражение B.155) для элемента границы dT (x}
и принимая во внимание ортогональность тригонометрических
функций [43], можно получить следующие интегральные уравне-
уравнения для коэффициентов разложения Фурье:
К (I) = IS" i t<£ (*)"«' (I. *) + Яп (х) и? (I х) -
г
-«■n(x)q'n(l x)-usn(x)q'ns(l x)] R (x) df (x); B.171)
«n (I) =-^ j Wn (х) ипс (|, х) - qcn (х) Uns (I x) -
г
- < (х) qnc (|, х) + исп (х) q'ns (|, Jc)] R (x) dT (x), B.172)
где
л
К" (I, Jc)= j o'(|, x, e)cosn9d8, B.173)
— я
я
С (I, x) =- j w* (I, jc, 9) sin n8 dB, B.174)
—я
e = 9 (x) -

118 Глава 2
Интегралы по угловой координате B.Г73) и B.174) можно
без особого труда записать через эллиптические интегралы пер-
первого и второго рода. Однако получающиеся в результате криволи-
криволинейные интегралы B.171) и B.172) можно вычислить лишь чис-
численно
Численное решение последовательности граничных интеграль-
интегральных уравнений, получающихся при вычислении интегралов B.171)
и B.172) вдоль границы, обсуждается в работе [44], где пред-
представлены некоторые результаты подобных расчетов. Отметим, что
слагаемое с п = 0 соответствует случаю осесимметричных гра-
граничных условий, рассмотренному в предыдущем разделе.
Распространение изложенных выше соображений на исследо-
исследование задач теории упругости кратко рассматривается в разд. 5.15,
где дан перечень соответствующей литературы. Некоторые более
специальные задачи для осесимметричных тел с произвольными
граничными условиями исследуются в разд. 9.3 и 12.4.
■2. 15. Материалы с нелинейным поведением
и нелинейные граничные условия
Во многих важных для практики задачах теории потенциалов
проводимость является функцией потенциала, т. е. k = k (и).
В этом случае разрешающее уравнение принимает вид
тде слагаемое Ь обусловлено наличием источника. Граничные
условия для этого уравнения таковы:
и — п на участке 1\ границы,
q = kdu/dn = q на участке Г2 границы. ' ^
На части границы могут быть заданы условия конвективного
типа, рассматривавшиеся в разд. 2.3, а именно
q = h (uf — и) на участке Г3 границы, B.177)
где щ — потенциал или температура окружающей среды, h —
некий коэффициент (например, коэффициент теплопередачи).
Уравнение B.175) нелинейное, поскольку k — k(u), и, для
того чтобы решить его с помощью граничных элементов, необхо-
необходимо выделить слагаемое, характеризующее источник и содержа-
содержащее все нелинейности, и применить для нахождения решения
рекуррентную процедуру того или иного вида. Такие подходы
применяются с использованием разбиения области на ячейки,
как это сделано в разд. 2.7. Иной, более красивый и эффективный
путь решения задачи состоит в использовании преобразования
Кирхгофа, сводящего нелинейную задачу к линейной [45—47].

Задачи теории потенциала 119"
В данном подходе вводится новая функция i|) (и), градиент кото-
которой имеет вид
(dd) \u. B.178>
Сравнивая правые части уравнений B,178) и B.175), можно за-
записать для функции г|з
cty/d» = k (и), B.179>
или в интегральной форме
y = K(u)=\ k(u)du. B.180>
«.
Это выражение представляет собой преобразование Кирхгофа,.
где и0 — произвольная исходная величина. Из соотношений.
B.178) и B.179) следует
dy/dxt = k duldxu i = 1, 2, 3. B.181>
Уравнение B.175) теперь можно представить в виде
[уф + 6 = 0. B.182>
Таким образом, уравнение B.175) сведено к уравнению Пуассона
для изотропной однородной среды, записанное относительно функ-
функции гр. /'ршение для случая постоянной проводимости теперь можно-
получить, Залепив и на if>. Задачи будут оставаться линейными
при условии, чя» граничные условия являются либо существен-
существенными (на участке Г^), либу естественными (на участке Г2). Если"
используются граничные условьч смешанного типа, т. е. условия*
задаются на участке границы Г3, процедура преобразованияг
Кирхгофа вводит нелинейность.
Условия на участках Г1 и Г2 границы для уравнения B.182I
имеют вид
г|) = ф на участке ]\ границы,
-. -v т, B.183):
щ1дп = q на участке Га границы. '
Эти условия связаны с исходными соотношениями
й
ф = Чр = j k Аи на участке 1\ границы,
д^/дп = kdu/дп = q на участке Га границы. B.184)
Граничные условия третьего типа имеют вид
дЩдп + h \Kr\ft) - Щ\ = 0 B.185>
и являются нелинейными, /С — обратное преобразование Кирх-
Кирхгофа
K'lWi = u. B.186>

120 Глава 2
Преобразование исходных соотношений в граничное интегральное
уравнение теперь уже не представляет особых трудностей. Ре-
Результирующее уравнение не будет содержать интегралов по об-
области, кроме тех, что обусловлены членом, содержащим источ-
источник Ь, и его можно записать в виде
+ 1 Ч> (х) f E, х) йГ (х) + ( ЛЯ [ф (х)] X
Г.+Г.+Г, ft
* (g, х) йГ (х) = J 9 (х) и* F, х) dr (х) + J Ь (х) и* (£, х) dQ (x) +
г,+г, а
ft. x)dT(x). B.187)
J
г,
Это уравнение можно представить в дискретном виде обычным
•способом. При наличии граничных условий смешанного типа
•система уравнений будет нелинейной и решать ее следует с по-
помощью итераций.
Ниже представлены различные зависимости проводимости от
потенциала, используемые в задачах электродинамики.
1. Экспоненциальная зависимость. В этом случае
k = k0 ехр [0 (и + ыо)/ио]. <2.188)
где и0, р и k постоянные, характеризующие материал. Тогда
получаем
- * _ j\ ехр [р •=!.] Ы =4^ ехр
и»
B.189)
а потенциал ^принимает вид
Отметим, что выражения B.189) и B.190) справедливы всегда,
т. е. при р < 0, Р > 0, и — щ > 0, и — а0 < 0.
2. Степенная зависимость. Здесь используется следующее
•представление:
где п — заданное число. Применение преобразования ;B.180) в
этом случае дает
1 BЛ92)

Задачи теории потенциала
121'
при этом потенциал tB произвольной *
точке будет описываться функцией
q = h(uf-u)
_
Р
B.193) \
Для случая линейной функции, т. е.
при п — 1 имеем
B.194)
Т
Рис. 2.40. Граничные условия'
и схема разбиения границы и»
элементы для квадратной об-
области.
B.195)
Эти выражения справедливы при любых знаках Р и и — иОг
если выполняется условие k (и) > 0.
Пример 2.16. Беляцки и Новак [46] исследовали двумерное
стационарное температурное поле в квадратной области
(рис. 2.40). Предполагалось, что коэффициент теплопроводности"
зависит линейно от температуры, а именно
k = К A + Ры),
где k0 — 1. Задача решалась при различных значениях коэффи-
коэффициента р. Границы Xi = 0 и х2 = 0 считались изолированными,
на границе хг = 1 была задана температура и = 300 К, на гра-
границе х2 — 1 предполагалось, что происходнт конвективный тепло-
теплообмен с жидкостью, температура которой равна щ — 500 К.
Коэффициент теплопередачи предполагался постоянный и равный
h = 10 Вт/(м2-К).
На рис. 2.41 и 2.42 представлено распределение температуры
по периметру квадрата для конкретных значений р. Погрешность
i № z.
В С D А
Координата точки на границе
"А В С D
Координата точки на границе
Рис. 2.41. Распределение температуры Рис. 2.42. Разность между температу-
по периметру в линейной задаче (р = рами для нелинейной (Р ф 0) и линей-
= 0). ной (Р = 0) задач.

122 Глава 2
{т. е. разность между значениями, полученными на двух последу-
последующих шагах расчета1) порядка величины 10~4 была достигнута
8а 5—10 шагов.
2.15.1. Нелинейные граничные условия
Предположим, что нелинейность обусловлена тепловым излу-
излучением на участке Г3 границы. В этом случае условие B.177)
•следует заменить на условие вида
4 = h (iif — и) — ае («4 — и\) на участке Г3 границы, B.196)
где а — постоянная Стефана—
Больцмана, е — зависящая от тем-
пературы относительная излуча-
тельная способность между участ-
участком Г3 границы и излучающей
средой, температура которой равна
us, h — зависящий от температуры
координата точки на границе коэффициент теплопередачи.
Рис. 2.43. Температура по пери- Введение в соответствии с ме-
-метру квадрата с излучением тепла ТОДОМ взвешенных невязок усло-
по краю ВС. вия B.196) в разрешающее уравне-
уравнение приводит к появлению опре-
определяемого условием излучения нелинейного вклада в соответ-
соответствующее уравнение от участка Г3 границы.
Пример 2.17. Следующий пример с нелинейными граничными
условиями также приведен в работе [46], где задача решалась
•с помощью итерационной процедуры.
Была рассмотрена та же квадратная область, что и в примере
2.16, в предположении о постоянном значении коэффициента
теплопроводности k0 = 1 Вт/(м-К) и р = 0. На границе хг = 1
тепло передается за счет как конвективного теплообмена с жид-
жидкостью, имеющей температуру щ = 500 К, так и за счет излуче-
излучения поверхности с температурой us = 500 К- Коэффициент тепло-
теплопередачи считался постоянным и равным h = 10 Вт/(м2-К),
•относительная излучательная способность 8=1, постоянная
Стефана—Больцмана равна а = 5,667-10"8 Вт/(м2-К). Остальные
граничные условия были такими же, как и в предыдущем примере.
Результаты расчетов, представленные на рис. 2.43, были полу-
получены методом Рунге—Кутта—Гилла четвертого порядка с авто-
автоматическим выбором шага. Отметим, что метод простых итераций
в данной задаче не обеспечивал сходимости.

Глава 3
Интерполирующие функции
3.1. Введение
В гл. 2 функции и и q полагались постоянными на каждомг
из элементов. В общем случае, однако, функции и и q могут изме-
изменяться, например, по линейному или квадратичному закону.
Кроме того, степени соответствующих полиномов не обязательно-
должны быть одинаковыми: иногда может оказаться более удоб-
удобным задать степень полинома для функции и на единицу меньшей,
чем для функции q, поскольку q является производной потен-
потенциала. Обычно функции и и q проще задавать так, чтобы они,
имели одинаковую степень полинома, в противном случае вычис-
вычислительные процедуры становятся более сложными.
В данной главе сначала обсуждаются способы построения"
элементов с линейным изменением функций и и q (т. е. линейных
элементов) применительно к двумерным задачам. Затем перейдем
к элементам квадратичным и более высокого порядка, применяя
их к двумерным задачам.
Если рассматривается трехмерное тело, то граничные элементы
составляют часть внешней поверхности тела и обычно бывают
двух типов; четырехугольные и треугольные. Для того чтобы
описать эти элементы, необходимо перейти от глобальной трех-
трехмерной системы координат к двумерной системе, связанной с по-
поверхностью тела. В этой главе представлены различные
типы элементов, а также соответствующие законы преобразова-
преобразования.
Здесь также обсуждаются трехмерные элементы в форме
ячеек, напоминающие классические конечные элементы. Эти
элементы могут оказаться полезными для представления тех ча-
частей тела, где требуется интегрировать по объему тела (например,,
для членов уравнений, обусловленных учетом различного вида,,
объемных сил). В заключение описывается методика использова-
использования разрывных элементов. Метод граничных элементов допускает
использование элементов, для которых не требуется выполнять
условие совместности для потенциалов. Простейшим из них.
является ранее рассмотренный постоянный элемент, полное же
семейство разрывных граничных элементов описывается в данной,
главе.

124
Глава 3
3.2. Линейные элементы для двумерных задач
Рассмотрим случай линейного изменения функций и и q,
причем узлы здесь будут располагаться на стыке двух прямоли-
прямолинейных элементов, аналогичных показанным на рис. 2.8, в.
Уравнение B.69) теперь можно записать в виде
\uq*dT = \qu*dT
г г
C.1)
или в дискретной форме
N N
/=i г, /=i г.
Отметим, что коэффициент 1/2 при щ здесь заменен на неизвест-
неизвестный коэффициент Cj. Так сделано потому, что коэффициент ci
равен 1/2 лишь для гладкой границы.
Определение коэффициентов cj уже об-
обсуждалось в разд. 2.4, но, как будет
показано ниже, иет необходимости
знать их явные выражения, что упро-
упрощает формулировку задачи.
Интегралы в уравнении C.1) теперь
оказываются более трудными для вы-
вычислений, чем рассмотренные в разд. 2.6,
поскольку функции и и q изменяются
Рис. 3.1. Лииейиый элемент. линейио по длине элемента (рис. 3.1).
Значения функций и и q в произволь-
произвольной точке элемента можно выразить через их значения в узлах
с помощью двух лииейиых интерполирующих функций фх и ф2
однородной координаты tj;
U (tj) =
= [Ф1Ф2]
«1
м2
Ях
Я*
= фтип
= фтч™.
Безразмерная координата tj равна xl(l/2), а функции
равны
ф1 = 1/1A-т|), Фа = V, A + г,).
C.2)
C.3)
Интегралы по длине /-го сегмента, стоящие в левой части урав-
уравнения C.1), можно записать таким образом:
[ uq' йГ = J [Ф1ф2] 9* йГ ( "'
и2
C.4)

Интерполирующие функции
125
где
Л'/=
Здесь hi] — коэффициенты влияния, характеризующие связь
между рассматриваемой точкой i и узлом k на элементе /'.
Для интегралов, стоящих в правой части уравнения C.1),
можно записать
J
qu" dT = j [Ф1ф2]«'
C.5)
где
Для того чтобы написать в дискретной форме уравнение, соответ-
соответствующее i-му узлу, необходимо добавить слагаемое, учитывающее
вклад двух соседних (/ — 1)-го и /-го элементов и определяющее
величину узлового коэффициента. В результате получим урав-
уравнение
ц . . .Нш)

uN)
ii - .. Gm]
Qi
C.6)
где каждая компонента Н^ равна сумме компоненты Л2 (/ — 1)-го
элемента и компоненты h1 /-го элемента, если используется нуме-
нумерация в направлении против часовой стрелки. То же делается
и с компонентами матрицы G^. Поэтому уравнение C.6) пред-
представляет собой результирующее уравнение для г'-го узла и его
можно записать так
N
= g Gi3q}
или в более простом виде
N
2 им =
C.7)
C.8)
где
Hu = Hi} при
НЩ
ц + Ci при i = j.

126 Глава 3
При рассмотрении всех узлов, из уравнений вида C.8) полу-
получаем систему N х N уравнений, которые можно представить.
в матричной форме
HU = GQ. C.9>
Если в точке i поверхность оказывается негладкой, то равен-
равенство С; = 1/2 уже не будет справедливым, и здесь диагональные
члены матрицы Н надо вычислять, используя то обстоятельство,
что на всем теле задается постоянный потенциал и поток Ц должен:
быть равен нулю. При этом условии уравнение C.9) для замкну-
замкнутой области принимает вид
Я/ = 0. (ЗЛО)
Из уравнения C.10) следует, что сумма всех элементов строки,
матрицы Н должна быть равна нулю. Отсюда можно без труда
определить диагональные элементы, если известны все внедиаго-
нальные элементы:
Нц = -Т>Ни, t=l, 2 N. (З.П>
S3
Диагональные элементы матрицы Н в случае бесконечных,
областей также можно определять из условия C.10), но при этом
требуется соблюдать осторожность, поскольку на бесконечности,
нарушаются условия регулярности (разд. 2.10), так как функ-
функция и теперь полагается постоянной всюду в области Я. По-
Поскольку, как легко показать, для двумерных и трехмерных задач
справедливо равенство
lim L*dr=-1, C.12)
граница Г определяется так, кахэтосделаио в разд. 2.10, и вместо
уравнения C.11) получаем следующее соотношение:
Hti = - I! Я„ + 1, i = 1,2 N. C.13)
Компоненты Git матрицы для линейных элементов можно опре-
определить аналитически:
£ J
х
' (ЗЛ4)
где tt_x и /; — длины двух элементов, сходящихся в узле i.

Интерполирующие функции 127
Используя заданные в задаче граничные условия, уравнение
{3.9) можно переписать таким образом, чтобы в результате полу-
получилась система
AY^F, C.15)
где А — полностью заполненная матрица порядка N, Y—вектор,
компонентами которого являются все неизвестные значения на
границе.
Отметим, что, когда компоненты Нц (i Ф /) и Gtj вычислены,
ях легко просуммировать и получить матрицу А непосредственно,
не прибегая к уравнению C.9).
Пример 3.1. Течения в озерах и других водоемах можно опи-
описать приближенно, если наложить условие на начальную вели-
величину циркуляции, которое загем можно проверить, решив полные
уравнения для мелкой воды. Это течение описывается линеаризо-
линеаризованными уравнениями, получающимися при отбрасывании инер-
инерционных слагаемых в уравнениях моментов [11:
+ pgH ||[- + ti - т? =0,
g6
и условием неразрывности течения
ld*t дх
где f — параметр Кориолиса; q1 и q2 — проинтегрированные по
вертикали компоненты скорости в направлении осей соответ-
соответственно Хх и хг; р — плотность; g — ускорение силы тяжести;
Н = h + т) — полная глубина воды; h — глубина относительно
среднего уровня воды; т) — высота подъема свободной поверхно-
поверхности воды: ts — касательные напряжения, создаваемые ветром;
ть — касательные напряжения, возникающие за счет трения
о дно водоема.
Если подъем г\ намного меньше глубины h, то можно положить
Н « h и система уравнений (а) принимает вид
JJ+ ■*?-*? = 0,
b 0
Предполагая, что касательные напряжения т* линейно зависят
от компонент средней скорости
Ti = 7^, t2 = Y<72» (г)

128 Глава 3
можно продифференцировать первое из уравнений системы (в)
по л'2, а второе по хх и вычесть из первого уравнения второе.
Полагая, что производные h пренебрежимо малы (т. е. мал угол
наклона дна), с учетом условия неразрывности получаем следу-
следующее уравнение:
дх% дх1 * \ dxz дхх
1_.ли функцию тока ty взять такой, что выполняются равенства
ft = д$!дхг, q2 = d\Spldxlf
уравнение (д) примет вид
VN> = A/y) w (Xl, xj, (e)
где
Отметим, что здесь сохранен параметр Кориолиса, но он пола-
полагается постоянным для всего объема воды, т. е. озеро полагается
достаточно малым, чтобы пренебречь локальными изменениями
сил Кориолиса. Если взять
Aj = Xi/L, Ji. 2 = Xg/JLr,
^ ^ (ж)
где L — характерная длина озера, Т — характерное ветровое
напряжение, е — коэффициент вихревой вязкости, то уравнение
(е) можно записать в безразмерной форме:
±.W(X1, Хш), (з)
где
А_ уМ/е/2)
а- ^ .
С помощью описанного здесь подхода была исследована цир-
циркуляция ветра над озером Патос (Бразилия) (рис. 3.2, а). В ка-
качестве первого примера численного исследования были получены
линии токов для течений внутри и вне озера без учета влияния
ветра при W = 0 для западного берега и W = 1 для восточного.
Результаты представлены на рис. 3.2, б. В этом случае разреша-
разрешающим уравнением было уравнение Лапласа.
Если последовательно положить правую часть уравнения (з)
равной 1, Хх и Хг, то, используя принцип наложения трех

Интерполирующие функции
129
60 км
Рис. 3.2. Озеро Патос:
а — геометрия; б — линия тока при потенциальном течении; в — уровни осреднениых
циркуляции атмосферных потоков при линейном законе распределения напряжений;
г — уровни осредненных циркуляции атмосферных потоков при квадратичном законе
распределения напряжений.
различных решений, можно получить решение уравнений
типа
V21F = А + ВХ1 + СХг,
где правая часть соответствует квадратичному закону распределе-
распределения напряжений, обусловленных ветром. На рис. 3.2, в пред-
представлены результаты, соответствующие линейному закону рас-
распределения напряжений от ветра (А = 1, В = С = 0), а на
рис. 3.2, г — результаты для квадратичного закона распределе-
распределения напряжений от ветра (А = 1, В — —3, С = 0). Все упомя-
упомянутые выше результаты были получены путем дискретного пред-
представления границы озера с помощью 93 линейных элементов и
выделения частного решения уравнения (з).
Пример 3.2. С помощью линейных элементов была исследо-
исследована также задача, показанная на рис. 3.3, т. е. двумерная за-
задача течения подземных вод вокруг туннеля с проницаемой гра-
границей. Если среда однородна и изотропна, то задача сводится
к уравнению Лапласа для давления и подземных вод. Граничные
условия в задаче таковы:
и = d на границе Г,
и — 0 на участке 1\ границы, (а)
q = —cos в на участке Гг границы,
5 Бреббнл К- н др.

130
Глава 3
Рис. 3.3. К задаче о течении подземных вод вокруг туннеля.
где d— глубина реки, 6 — угол, измеряемый от вертикали
(рис. 3.3). По предположению поверхность 1\ является свободно
проницаемой частью поверхности туннеля, поверхность Г2 пред-
представляет собою непроницаемую часть поверхности туннеля, на
которой задается условие отсутствия протекания. Отметим, что
для точки на бесконечности выполняется условие и = d — х2.
Задачу можно переформулировать, выделив решение на беско-
бесконечности. Давление подземных вод разобьем на две части:
U = Uj + U2, (б)
где решение их = d — х2 удовлетворяет условию на бесконеч-
бесконечности. Отсюда следует, что решение ы2 стремится к нулю на беско-
бесконечности и, кроме того, \2и2 = 0. Таким образом, задача сводится
к нахождению функции иг. Граничными условиями для реше-
решения и2 будут
и, = 0 на границе Г;
иг = —d + о — r( cos 6 на участке 1\ границы; (в)
q2 = 0 на участке Г2 границы;
где г( — радиус туннеля, а — расстояние от центра туннеля до
дна реки. Численные результаты были получены для значений
параметров d = 60, а = 30, гх — 3,5 и в = Ззх/4.
При решении методом граничных элементов используется
фундаментальное решение для полубесконечной области, рассмо-
рассмотренное в разд. 2.11, поэтому здесь не требуется представлять
в дискетной форме границу Г. Более того, благодаря симметрии
рассматриваемой в задаче области относительно оси х2 требуется
рассматривать лишь половину поверхности туннеля.
Полученные при решении значения функции и2 в некоторых
граничных точках для трех различных способов дискретного пред-
представления с помощью линейных граничных элементов представ-

Интерполирующие функции
131
Рнс. 3.4. Сетка конечных элементов в задаче о течении подземных вод вокруг
туннеля.
лены в табл. 3.1, где для сравнения приведены результаты реше-
решения методом конечных элементов [2], полученного при разбиении
всей полубесконечной области на 152 треугольных конечных эле-
элемента и несколько бесконечных элементов (рис. 3.4). Расхождение
между обоими решениями обусловлено использованием грубой
Таблица 3.1. Распределение значений функции —аг на поверхности туииеля
в
0
я/8
я/4
Зп/8
л/2
5я/8
Метод
N = 8-
30,51
31,52
34,60
39,96
48,24
61,43
граничных элементов
N = 16
29,08
30,03
32,87
38,05
45,96
58,42
N = 32
28,87
29,83
32,73
37,85
45,72
58,10
Метод
конечных
элементов
33,44
34,51
37,76
43,46
52,34
66,46

132
Глава 3
сетки конечных элементов вокруг туннеля (рис. 3.4), которая не
позволяет соответствующим образом учесть разрыв в точке В
функции, определящей радиальный поток.
Пример 3.3. Здесь рассматривается сплошной круговой ци-
цилиндр конечной длины @ < R < а, 0 < Z < I), на одной поверх-
поверхности которого задано граничное условие
конвективного типа (см. пример 2.3). Гра-
Граничные условия задачи имеют вид
и = 0 при Z — I,
и = V при 2 = 0,
q + hu — 0 при R=a.
Здесь также использовались линейные
граничные элементы, поверхность цилиндра
разбивалась на 20 одинаковых элементов
(рИС' 3-5)> °™етиМ' что 3Аесь не требуется
вводить элементы на оси вращения, по-
скольку она не относится к образующему
контуру. При расчетах использовались сле-
следующие значения: а = 1, / = 3, h = 0,1,
V — 1. Сопоставление полученных результатов с аналитиче-
аналитическим решением [3] приводится в табл. 3.2 и 3.3.
Таблица 3.2. Распределение температуры иа
поверхности с R = 0,25
Рис 3 5
предстой поверх-
ности сплошного кру-
гового цилиндра.
Z
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Решение по мето-
методу граничных
элементов
0,781
0,585
0,416
0,267
0,130
Аналитическое
решение
0,781
0,585
0,416
0,267
0,130
Таблица 3.3. Распределение температуры иа
поверхности с R ~ 1,00
Z
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Решение по мето-
методу граничных
элементов
0,751
0,560
0,397
0,254
0,124
Аналитическое
решение
0,751
0,560
0,397
0,254
0,124

Интерполирующие функции
133
3.3. Элементы квадратичные и более высокого типа
Для улучшения аппроксимации зачастую используются также
квадратичные элементы. При этом не возникает дополнительных
трудностей, но для их применения необходимо перейти от декар-
декартовых координат к криволинейным.
Рис. 3.6. Представление бесконечно малого участка криволинейной граннцы.
Рассмотрим криволинейную границу, показанную на рис. 3.6,
и элемент, изображенный на рис. 3.7. Функции и н q можно выра-
выразить с помощью однородной координаты rj следующим об-
образом:
и (tj) =
q (tj) =
= f Tttn,
C.16)
где
Ф1 = V,T| (tj - 1), ф2 = V2tj (I + tj). Фа = A - Л) A + т|).
Отметим, что эти функции в узловых точках принимают значения
рассматриваемых неизвестных функций (см. таблицу, приведен-
приведенную на рис. 3.7) и имеют квадратичный закон изменения.
Узгя
1
3
г
-hi
ч
-1
0
1
C)
-4-
1
0
0
B)
■|гг1—1
0
1
0
0
0
Рис. 3.7. Геометрия квадратичного элемента.

134 Глава 3
Интегралы по /-му элементу из уравнения C.1) аналогичны
тем, что имели место для линейного элемента. Например, инте-
интеграл с функцией и имеет вид
j и (ц) q" dT = J [ф1ф2фз] q* dT
"s
и
«j
C-17)
Вычисление интегралов требует использования якобиана,
поскольку ф; являются функциями т), а интегрирование прово-
проводится по границе Г. Для двумерной задачи, подобной рассматри-
рассматриваемой, преобразование не сложно, так как якобиан равен
где
dT=n\G\di\. C.19)
Подставляя это выражение в соотношение C.17), получим
Iй
= J U(T,)^|G|dt|, C.20)
который можно найти численно. Аналогичные приемы приме-
применяются для вычисления интегралов, содержащих функцию q.
fL Отметим, что в выражении C.18) требуется представить ко-
координаты %! и хг как функции значений т) на границе. Это можно
сделать тем же способом, как и в случае функций и и q, а именно:
х2 = ф
где х[ и х{2 — координаты узла, связанные с глобальной системой
координат (см. рис. 31>).
Можно показать, что, для того чтобы удовлетворить гранич-
граничному условию типа постоянного потенциала, функция и должна
иметь по крайней мере тот же порядок (степень полинома), что и
функции в представлениях для хг и х2, используемых при описании
геометрии тела.
Можно построить также и элементы более высокого порядка.
Например, кубический закон изменения для функций и и q можно
получить, взяв на каждом элементе по четыре узла (рис. 3.8):
и = ViUt + ф2ыа + Фз"8 + Ф4"«. i C.22)

Интерполирующие функции
135
л.
и или
и или
A)
о—
у^Г
1
3
4
2
C)
1
-1
-1/S
1/3
1
-+
t
v
f
0
0
0
IM)
г
0
1
0
0
%
0
0
1
0
B)
—о
V
0
0
0
1
Рис. 3.8. Геометрия кубического элемента.
где
fi = V« A - Л) [-Ю + 9 (tj2 + 1I,
Фа *= Vle A + л) [-Ю + 9(па+ 1I,
Ф» = 9/ie A - П2) A ~ 3ti), ф4 = »/м A - ti4) (I + 3tj).
Кубический закон изменения функции и можно задать (это
же справедливо для функции q и координату и хг), взяв в качестве
неизвестных значения самой функции и ее производной в двух
крайних узлах (рис. 3.9), что дает
^) C.23)
Узел 2
Рнс. 3.9. Кубический элемент, описываемый с помощью углов наклона касатель-
касательных в концевых узлах.

136
Глава 3
где
Ф1 = i/4 (tj _ 1)г (т, + 2), ф2 - V4 (ц - l)a (ti + 1),
Ф, = ЧМц + 1)* (ti - 2), ф4 = V4 (Tj + 1)* (tj - 1).
Пример З.4. Целесообразность использования криволинейных
элементов можно показать на примере волновых воздействий на
морские сооружения. Рассмотрим для простоты случай верти-
вертикального кругового цилиндра (рис. 3.10), для которого резуль-
результаты численного решения сравниваются с хорошо известными ана-
аналитическими решениями.
Набегакщзя волна
Рис ЗЛО. Вертикальный круговой цилиндр, погруженный в колеблющуюся
жидкость. Частота колебаний ш в волне связана с волновым числомх дисперсион-
дисперсионным уравнением х th (xft) = uP/g. В расчетах использованы значения R = 10
и А= 5.
Задачу можно сформулировать относительно волнового по-
потенциала, как это показано в статье [4]. Используя, линейную
теорию распространения волн для постоянного значения глубины
Л, задачу можно свести к решению уравнения Гельмгольца
области Q
с граничными условиями вида
ди *
—
ди *7 ri
— = ——- — — q на поверхности Гс тела
и условием излучения типа Зоммерфельда
ди/дп = iv.u на бесконечности Г,».
(а)
(б)
(в)
Здесь иг — потенциал набегающей волны, известный из теории
Эри.
Представленное выше уравнение и граничные условия можно
записать в форме метода граничных элементов, используя в каче-
качестве весовых функций невязки
J(V»«-|-x«a)a*dQ= J и* (j^
} и* (^ ~ Ыи) d?. (r)

Интерполирующие функции
137
Дважды интегрируя по частям, получим
- J " -7ST■ <*Г f J «(V2"* + х2"*) dQ = J u*q dV - J ixu*« dr. (д)
га гс гш
Отметим, что для уравнения Гельмгольца
фундаментальное решение известно и равно
(е)
(ж)
о б в
Рис, 3.11. Схемы разбиения на элементы A2 узлов):
о — 12 постоянных элементов; 6—12 лилейных элементов; в — 6 квадратичных элемен-
элеменгде
т = \[хг (х) - * (g)p + U, (X) - х2 <ЮРИ/2•
#оГ) — функция Ханкеля первого рода и нулевого порядка.
Тогда для граничной точки из уравнения (е) получаем
ctut 4- \ (~^—и 4-и*а^) dT—0. (з)
Следует обратить внимание на то, что фундаментальное решение
(ж) удовлетворяет условию излучения, т. е. при подстановке
его в интеграл по границе Г» последний стремится к нулю при
Г —*■ ОО
()^0. (и)
J (^~-т
Вертикальный стержень рассматривался Исаксоном [4 ] с ис-
использованием заданного распределения источников на поверх-
поверхности цилиндра (т. е. с использованием непрямой формы метода
граничных элементов), а также Маккейми и Фуксом [5], которые
получили точное решение для сил
Fx - Я,A) (хА) pgaoRh th (xA)/(xA), (к)
где а0 — амплитуда волны. Было проведено исследование схо-
сходимости метода путем использования постоянных, линейных и
квадратичных элементов [61; схемы некоторых разбиений на
элементы показаны на рис. З.П.

138
Глава 3
На рис. 3.12 показана сходимость решений для полной гори-
горизонтальной силы, которые можно сравнить с точным решением (к).
Видно, что квадратичные элементы обеспечивают лучшую схо-
сходимость процесса численного решения, поскольку с их помощью
можно более точно описать поверхность цилиндра. Однако более
удивительным является то, что при использовании постоянных
элементов была достигнута луч-
2,7| ————| шая сходимость, чем при исполь-
использовании линейных элементов. Это,
по-видимому, связано с труд-
2.5|- ^ /^ ^ ностью представления с достаточ-
достаточной точностью нормалей в угло-
угловых точках при использовании
линейных элементов.
2.3
!„
1.9
1.7
о-постоянные
элементы
линейные
элементы
v- квадратичные
элементы
i
i
' 0 4 8 12 16 20 14
Число узлов
Пример 3.5. Одной из задач,
для которых обычно рекомендует-
рекомендуется использовать элементы более
высокого порядка, является за-
задача о течении жидкости со сво-
свободной поверхностью.
Свободные поверхности обычно
связывают с задачами течения
подземных вод через насыщенную
бесконечную пористую среду,
Рис. 3.12. Сходимость решений для подчиняющуюся закону Дарси
горизонтальной силы, действую- П ]. Если рассматриваемая среда
щей на цилиндр. В расчетах ис-
использовались значения R = 10,
XR = 0,4.
является однородной и изотроп-
изотропной, то задача сводится к уравне-
уравнению Лапласа относительно потен-
потенциала скорости и с граничными
условиями, показанными на рис. 3.13: q — 0 на непроницаемой
границе, т. е. на поверхности слоя грунта и породы (поверх-
(поверхность AF на рисунке); и - const на поверхностях ABC и EF
пористой среды; и = хг на фильтрующей поверхности DE, где
вода проходит сквозь грунт и стекает вниз; и = хг и q = 0 на
свободной поверхности CD. Кроме того, заранее неизвестно точ-
точное положение свободной поверхности, и определение его пред-
представляет собой часть процесса решения задачи.
При численном расчете этой задачи начальное положение
свободной поверхности задается произвольным образом, и, кроме
того, во всех точках ее принимается условие q — 0. Найденное
для каждой узловой точки свободной поверхности значение по-
потенциала сравнивается с высотой водной поверхности; если раз-
разность между ними больше, чем максимальная допустимая по-
погрешность, эта разность алгебраически суммируется с высотой

Интерполирующие функции
139
«•х,
Плоскость отсчета
Рис. 3.13. Граничные условия в задаче стечения воды со свободной поверхностью.
поверхности в соответствующей узловой точке и проводится но-
новая итерация.
Отметим, что элементы матрид G и Н из уравнений C.9),
соответствующие влиянию фиксированных граничных узлов друг
на друга, остаются постоянными в процессе численного решения,
поэтому их можно вычислить всего один раз и записать в память
ЭВМ. При необходимости значения потенциалов во внутренних
точках определяются после того, как найдено истинное положение
свободной поверхности.
На рис. 3.14 показано разбиение на граничные элементы
в задаче о течении со свободной поверхностью через блок из
пористого материала. Высоты верхнего и нижнего бьефов состав-
составляют соответственно 0,5 и 0,033 м относительно поверхности
отсчета. Граничные условия задачи имеют виц: и — 0,5 на по-
поверхности, обращенной к потоку (узлы 22—26), q = 0 на нижней
(непроницаемой) поверхности (узлы 1—8), и = 0,033 на поверх-
поверхности, направленной по потоку (узлы 9 и 10), и q — 0 на свободной
поверхности (узлы 11—21). Отметим, что на начальном этапе
расчетов форма свободной поверхности была произвольно выбрана
плоской и столь же произвольно было задано положение этой
поверхности. Окончательное положение свободной поверхности
было получено, как уже объяснялось ранее, с помощью итераций.
0,033 м
26= 1 2 3 'i 5 6 7 6=9
Рис. 3.14. Схема расположения граничных элементов для грунтового блока при
течении со свободной поверхностью.

140
Глава 3
0,3
0,2
0,1
■ Метод граничных элементов^,
• Метод конечных элементов
- Эксперимент
_L
Ju
0,1 0,2 0 3 0,<<
Расстояние,м
0,5 0,6 0,675
Рис. 3.15. Сравнение экспериментальных и расчетных результатов для потен-
потенциала прн течении со свободной поверхностью.
Полученные результаты представлены на рис. 3.15, где при-
приводятся также решение, полученное методом конечных элемен-
элементов, и результаты экспериментов, проведенных на аналоговой
модели [7]. После седьмой итерации максимальная разность
между вычисленными значениями потенциала и высотой каждого
узла, лежащего на свободной поверхности, не превышала 0,1 %
высоты, и на этом расчеты были закончены.
Пример 3.6. С помощью граничных элементов можно исследо-
исследовать с достаточной точностью течение со свободной поверхностью
под действием силы тяжести [8].
Рассмотрим, например, задачу о течении под задвижкой шлюза
(рис. 3.16), для которой разрешающее уравнение течения жидко-
жидкости можно записать в форме уравнения Лапласа для функции
тока \|э. Граничными условиями задачи будут
\|э = 0 на нижней границе,
\|) = Q на свободной поверхности и на задвижке шлюза, ^
2
Уровень спокоинои
воды
дс/>/дп -0
— п о J- п п д.1 X1
Рис. 3.16. Схема течения вблизи вертикальной задвижки шлюза.

Интерполирующие функции 141
где Q — скорость течения, отнесенная к единице ширины. На
свободной поверхности требуется выполнение динамического гра-
граничного условия
где g — ускорение силы тяжести, р — давление, В — постоян-
постоянная Бернулли. Известными являются либо скорость течения Q,
либо постоянная Бернулли; при этом та величина, которая яв-
является неизвестной, определяется из решения.
Течение под задвижкой шлюза обычно рассматривается на
интервале от —оо до -f-oo. При выполнении численного расчета
втекающий и вытекающий потоки отрезаются под прямым углом
к начальному направлению скорости на некоторых конечных
расстояниях от задвижки. На линии отреза задается граничное
условие
д^/дп = 0, (в)
которое означает отсутствие составляющей скорости, нормаль-
нормальной к главному направлению течения.
Граничное условие (б) соответствует условию на свободной
поверхности и приводит к дополнительным трудностям, которые
преодолевают во многом так же, как это делалось в большинстве
исследований, где решения получались методом конечных эле-
элементов. Таким образом, для задач, в которых задана скорость
течения Q, положение границы со свободной поверхностью также
задается, и решается задача с граничными условиями (а) и (в).
Затем для свободной поверхности с помощью уравнения (б) вы-
вычисляется «постоянная» В. Задача считается решенной, если по-
постоянная В имеет одно и то же значение во всех точках свободной
поверхности. В противном случае путем итераций подбирается
такое положение свободной поверхности, при котором постоян-
постоянная В имеет одинаковое значение во всех точках.
Аналогичную процедуру можно использовать для задач, в ко-
которых задана постоянная Бернулли. Сначала задача решается
для выбранного положения свободной поверхности при заданном
условии (б) типа условия на свободной поверхности. Скорость
течения Q в условии (а) относится к неизвестным, определяемым
при решении. Задача считается решенной, если скорость Q по-
постоянна для всех точек свободной поверхности, в противном слу-
случае следует использовать итерационную схему и определять
высоту свободной поверхности.
Подобный подход был использован Ченгом [8] для исследова-
исследования течения под вертикальной задвижкой шлюза (рис. 3.16).
Численные результаты были получены при Ь = 0,3 и В = 1.
На первом шаге профиль свободной поверхности на верхнем

142
Глава 3
0,30
'Край 5адвижки
\ Последняя jB-я) итерация
0,16
0.11
0,12
0,10
начальный
(имеет форму четверти
эллипса)
о од
0,6 0,8
1,0 1.» 2,0
бьефе полагался плоским
(хг = 1), а профиль на ниж-
нижнем бьефе аппроксимировал-
аппроксимировался четвертью эллипса с про-
произвольной высотой х2 = 0,5Ь
потока на сливе. Дискретная
форма границы течения за-
задавалась с помощью 39 ли-
линейных граничных элементов,
сходимость решения с по-
погрешностью ±0,1 % была
получена на 6-й итерации
(рис. 3.17). Как показано в
работе Лигета и Салмона [9 J,
еще более эффективное ре-
решение задачи можно полу-
получить с помощью граничных
элементов в форме кубиче-
кубических сплайнов.
3.4. Граничные элементы
для трехмерных задач
Если тело тело является
трехмерным, ю граничные
бй
Рис. 3.17. Характер сходимости реше-
решения, описывающего профиль потока в
нижнем бьефе вертикальной задвижки
шлюза. . .
элементы представляют собой
части его внешней поверхности (рис. 3.18). Обычно исполь-
используются либо четырехугольные, либо треугольные элементы.
Функции, используемые для описания их геометрии или ха-
характера изменения функций и и q на элементе, аналогичны при-
применяемым для конечных элементов.
Для того чтобы изучить эти элементы, необходимо сначала
рассмотреть путь, которым можно перейти от глобальной системы
Рис. 3.18. Граничные элементы для трехмерных тел.

Интерполирующие функции
143
координат (*!, хг, х3) к системе координат (г\х, г\г, £), связанной
с поверхностью тела.
Рассмотрим системы координат, показанные на рис. 3.19.
Для произвольной функции и общий закон преобразования за-
задается выражениями
[ ди \
Эт1,
ди_
ЭТJ
ди
х% дх3 ) [j)u
3% 3гц дц!
дх1 дхг дх3
дх1 3; 1 ()х3
дх,
ди
3.,
C.24)
или
3«!
ЗТ)!
Зи
Зи
_ у
Зи
ди
3*2
Зи
3*,
Отсюда можно найти обратное х3
соотношение
ди
3*i
_3и_
Зл'2
Зи
)
ди
3th
ЗТJ
ди
h
. C.26) «1
Рис. 3.19. Геометрия граничного эле-
элемента.
Подставляя в эти соотношения вместо и, например, радиус-век-
радиус-вектор г, получаем
C.27)
;ением
C.28)
C.29)
Дифференциал площади (аналогичный dT) задается выражением
где
дг _ I dXj 3*а дхг \ a_j 2
Зт)а \ Зт)а ' Зт)а ' Зт)а / ' '
Учитывая, что \G \ — модуль нормального вектора
п = ^-х
). C.30)

144
Глава Я
где
дх2
£2=-
дх3 дху
дх2 дх3
дх1 дх3
дг\г дг\2 '
дхг dxx
C.31)
получаем, что
|Oi = (e? f ei + eD"*. C.32)
Эти соотношения будут использоваться для вычисления интегра-
интегралов типа
J u*qdT, j uq*dT,
которые в новых обозначениях примут вид
Интеграл по объему типа
\bu*dU
C.33)
C.34)
C.35)
C.36)
также будет р авен
где и, b н q — функции от тц, ti2 и С-
3.4.1. Четырехугольные элементы
Простейший четырехугольный элемент задается четырьмя
своими угловыми точками или узлами (рис. 3 20). Здесь можно
воспользоваться системой безразмерных координат (тц, г]2), где
/7- 1
Hi.
Рис. 3.20. Простейший четырехугольный элемент. Справа показана безразмерная
базисная система координат

Интерполирующие функции
145
ria изменяются от —1 до +1, а также интерполирующими функ-
функциями ерь что дает
U = ф^х + ф2«2 + ф3Ыз + Ф4«4. C.37)
где ф; определяются выражениями
Фх = V4 A - лО A - Л.). Ф2 = V4 A + лО A - Л.).
Фз = XU A + ЛО 0 + Л.). Ф4 = V4 A - лО A + Л.)-
Здесь Ы; — потенциалы в узлах, i = 1, 2, 3, 4. Те же функции
можно использовать для описания геометрии элемента, а именно
4
*1 = Ч>1*1 f Ф2*? + ФЗАГ? + Ф4ЛГ{ = S Ф<^1 • C-38)
Аналогичные представления можно записать для хг и х3- Зная
коэффициенты х\ в разложениях типа C.38), нетрудно определить
значения |G| и |У|, используя соответственно выражения C.25)
и C.32).
3.4.2. Четырехугольные элементы высокого порядка
Для улучшения аппроксимации можно взять четырехугольный
граничный элемент второго порядка (рис. 3.21), когда разложения
имеют вид
8
*/= S«P<*/. /=!. 2- 3. C.39)
<Pi = ги A — лО A ~ %) ( — Л1 — Ля — 1).
ф2 = lU A + Ла) A — Ла) (Л1 — Ла — 1),
Фз - V4 A + Л1) A + л.) Oli + Л2 - 1), fC.40)
7 ' .
где
Рис. 3.21. Четырехугольный элемент с восемью узлами.

146
Глава .V
Рис. 3.22. Элементы высокого поридка:
я — элемент с 12 узлами, неизвестными величинами являются значения функции и в уз-
узлах; б — элемент с 4 узлами, неизвестные величины — значения и и производных ди/дт),
д/д
лах; б
и ди/дт\г.
ф4 =
Ф5 =
Ф7 -
(-
4 A - тн) A +
A ~ Л?) A - %)• Фб
A - П?) A 4- Л»). Ф8
+ Л» - 1).
i A - Ла) A + Ч,),
i A -
Аналогичные функции можно использовать для представления и
или q.
В качестве граничных элементов можно использовать четырех-
четырехугольные элементы и более высокого порядка, например
(рис. 3.22, а) кубического типа (функции изменяются по длине
стороны элемента по кубическому закону). В этом элементе на
каждой стороне размещаются по два дополнительных узла,
однако можно учитывать лишь угловые узлы, используя в каче-
качестве узловых переменных также и производные от функций.
3.4.3. Лагранжевы четырехугольные элементы
К специальному типу четырехугольных элементов относятся
лагранжевы элементы, показанные на рис. 3.23. Первый четырех-
четырехугольный элемент содержит девять узлов, т. е. один узел в центре
и восемь по границе, второй четырехугольный элемент имеет ше-
шестнадцать узлов, в том числе четыре внутренних.
Эти элементы получаются разложением одномерных интерпо-
интерполирующих функций в ряд по степеням т]х и %. Рассмотрим, на-
6
Рнс. 3.23. Лагранжевы четырехугольные элементы: а — квадратичный лагран-
жев элемент, 9 узлов; б — кубический лагранжев элемент, 16 узлов.

Интерполирующие функции 147
пример, квадратичный одномерный элемент, для которого нс-
пользуется представление C.16):
«Di) = Va 4i Di - 1) «4 [ (l - 4i)  + Vi4i A + 4i) «6- C.41)
Если теперь разложить функции ы4, иъ и и« по координате т]а»
то получим
иDi. 42)^=1/44iDi ~ 1L2D2— 1) «i + VjO — 41L2D2—1)«2 +
~Ь V441 A Н~ 4i) 42D2 — 1) из -\~
+ 7»4i D. - 1) A - 42) «4 + A - 4?) A - 42)  + C.42)
+ Vi4i (I + 40 A - 4а) «6 + V«4i Di - 1) 42 X
X A + 42) «7 + V. A ~ 4?) 42 A + 42) «в + V«4i A + 4i) 4a A + 42) «9.
При использовании кубического элемента, показанного на
рис. 3.23, б, функции можно представлять в виде одномерного
кубического полинома C.22) как по переменной ti2, так и т^.
Лагранжевы элементы редко используются при исследованиях
методом конечных элементов, где обычно внутренние узлы сгу-
сгущаются и ранее рассмотренные четырехугольные элементы ока-
оказываются более эффективными. В методе граничных элементов,
напротив, применение лагранжевых элементов может оказаться
необходимым, поскольку дополнительные условия, налагаемые
внутренними узлами, иногда существенно улучшают результаты,
как это имеет место в случае разрывных элементов, обсуждаю-
обсуждающихся в разд. 3.6.
3.4.4. Треугольные элементы
К простейшим относится треугольный элемент, показанный
на рис. 3.24. В этом элементе задается линейное изменение функ-
функции и можно использовать косоугольную систему координат (тц,
tja), изменяющихся от 0 до 1
вдоль пары сторон элемента
(рис. 3.24).
Радиус-вектор точки, принад-
принадлежащей треугольнику, имеет вид
+ xl/-\- x%k + /iTiitfi + /242*2,
C.43)
Рис. 3.24. Простейший треугольный эле-
элемент.

148
Глава 3
где
«1 =
«2 =
'■ + '■
•l <1
V3
k.
C.44)
Отсюда для радиус-вектора г получаем
г = [*? \ (х\ 4)л. f D -х?Ы/
+ [4 + D - 4) Л1 + D - 4) лг] j 4
+ [4 + D - 4) Л1 + D - 4) л,) л.
Сравнивая выражения C.43) и C.45), найдем
— Л1 — Лг) ^1»
~ Л1 ~~ Лг) ^2»
-П1-
C.45)
C.46)
Далее целесообразно ввести величину т|3 = 1 — тц — Лг — но-
новую, но не независимую координату. При этом
Л1 + Лг + Лз = 1-
В итоге приходим к системе вида
*1
„1
Х2
А
4
4
4
4
4
4
*2 =
411
Л2
Лз,
C-47)
Поскольку координата Лз не является независимой, первые два
уравнения этой системы можно представить в форме
C-48)
Тогда с учетом представления Лз = 1 — Лг — Лг находим
1 л
Лз = -пт- BЛ3 -f Ьз^1 + ОзДГг). C.49)
Коэффициенты в правых частях уравнений C.48) и C.49) равны
/Y v« v/ 1« v/ te* 0 4 v'v V *•' /О СЛ\
uf = Л) — Л1, Of — Л2 — л2, Z/if — Л1Л2 — Л1Л2, (y.DUl
где i — 1, 2, 3; / = 2, 3, 1; ft = 3, 1, 2. Величина Л равна
A = V2 (b^j — bja^ C.51)

Интерполирующие функции 149
и представляет собой площадь проекции элемента на плоскость
Далее преобразование выполняется так же, как и прежде.
Целесообразность использования r\s в качестве зависимой пере-
переменной связана с тем, что при этом получается простое выражение
для интерполирующих функций; следует, однако, быть внима-
внимательным и не принять ее за независимую переменную.
Линейные выражения для координат и функции и имеют вид
з
и = UiTJi -\- и^(\г ~\~ ^з^з == 2j "{ф{,
';' C.52)
I 2 3 VI i
Отметим, что для интерполирующих функций выполняется ра-
равенство ф( = TJj.
Однородные треугольные координаты имеют еще одно преиму-
преимущество. Оно состоит в том, что интегралы от слагаемых, содержа-
содержащих полиномы, можно вычислять, используя простую формулу
Л II ]\ kl п л ir\ г*с\\
С помощью этой формулы можно значительно упростить алгебраи-
алгебраические преобразования, когда не требуется выполнять численного
интегрирования.
3.4.5. Треугольные элементы высокого порядка
В следующей модели треугольного элемента функция пред-
представляется в виде полного полинома второго порядка с одним из
узлов, расположенных в середине стороны треугольника (рис. 3.25).
Модель удовлетворяет условию внутриэлементной совместимости
и дает следующее представление для функции и:
б
« = L ф|«|. C.54)
где
Ф1 = ill B% — !). Ф* = Чг BтЬ — 1)»
C.55)
Фз = Лв BЛз — 1). ф4 -
Фв =
Функции могут быть представлены и в форме полных кубических
полиномов. Каждое представление будет содержать по десять

150
Глава 3
Рис. 3.25. Квадратичный элемент. Рис. 3.26. Кубические элементы.
параметров. Для того чтобы удовлетворить условию внутриэле-
ментной совместности для функции на каждой стороне элемента
(являющейся кубической кривой), требуется ввести четыре узла.
Одним из вариантов является использование в качестве узлов
угловых и двух внутренних точек на каждой из сторон (рис. 3.26,а),
где в качестве неизвестных узловых значений используются
компоненты функций и н q. Дополнительный узел, расположен-
расположенный внутри элемента, необходим для того, чтобы полином был пол-
полным, в противном случае, когда полином неполный, его свойства
могут существенно различаться для разных направлений, что
нежелательно. Внутренний узел удобно поместить в центр тяжести
элемента. Можно также попытаться использовать в расчетах
лишь угловые узлы (рис. 3.26, б). Поскольку для удовлетворения
внутриэлементной совместности необходимы четыре величины,
здесь придется использовать совокупность значений функции и
ее производных в качестве неизвестных узловых величин:
{и, ди/дх]ъ
C.56)
Как и ранее, здесь требуется вводить дополнительную неизвест-
неизвестную величину, не связанную с границей элемента, т. е. значение
функции и в центре тяжести ис.
3.5. Трехмерные элементы в форме ячеек
Трехмерные элементы в форме ячеек могут быть полезны для
представления тех частей тела, где требуется выполнять интегри-
интегрирование по объему, т. е. вычислять интегралы вида
bu*du.
C.57)
Эти элементы аналогичны тем, что используются в методе конеч-
конечных элементов и хорошо известны из литературы. Простейшими
из них являются четырехгранник и куб (рис. 3.27).

Интерполирующие функции
151
Рис. 3.27. Трехмерные элементы первого порядка в форме ячеек: а — четырех-
четырехгранник; б— куб.
3.5.1. Четырехгранник
Безразмерные однородные координаты можно ввести так же,
как и для рассмотренных выше треугольных элементов (рис. 3.27),
а именно
ГЦ = VJV, щ = VJV,
C.58)
Лз = V3/V, ти = VJV,
где Vi — объемы показанных на рисунке частей и V — объем
четырехгранника. Функцию, допустим Ь, можно записать в виде
Ь = Mi + Ьгх\г + Ь3ц3 + bti\t, C.59)
где bi — значения функции b в узлах, а в качестве интерполиру-
интерполирующих функций взяты просто т]г.
Четырехгранник с узлами, расположенными в центре ребер
(рис. 3.28, а), также можно легко описать, причем здесь интерпо-
интерполирующие функции можно получить из функций, использовав-
использовавшихся для треугольника (см. выражения C.55)).
3.5.2. Куб
Простейший тип элемента в форме куба (когда куб недеформи-
рован и координаты безразмерные) показан на рис. 3.27, б. Можно
также задать квадратичный закон изменения функций на сто-
сторонах куба (рис. 3.28, б).
10
Рис. 3.28. Трехмерные элементы второго порядка в форме ячеек' а — четырех-
четырехгранник; б — куб.

152
Глава 3
Интерполирующие функции для этих и других трехмерных
элементов в форме ячеек приведены в книге Коннора и Бреб-
бия [1].
3.6. Разрывные граничные элементы
Одно из наиболее интересных свойств граничных элементов
состоит в том, что базисные функции, используемые для аппрок-
аппроксимации функции и, могут быть постоянными внутри элемента.
Это свойство вытекает из применения обратной формулировки
(разд. 1.7), при которой любая производная приближенного пред-
Рис. 3.29. Разрывные элементы: а — разрывный квадратичный элемент; б —
разрывный кубический элемент.
ставления функции легко преобразуется в весовую функцию. При
этом возникают разрывы функции и на общей границе элементов,
вследствие чего теряется строгое обоснование сходимости итера-
итерационных методов. В действительности же постоянный элемент,
который можно рассматривать как подобласть (метод коллокаций
с элементами), дает хорошие результаты для многих сложных за-
задач и обычно используют именно его вместо более точных элемен-
элементов.
Это свойство метода граничных элементов, допускающее ис-
использование разрывных функций, побудило Денсона [10] по-
построить семейство элементов, для которых приближенное выраже-
выражение функции задается с помощью полиномов Лагранжа и все узлы
располагаются внутри элементов (рис. 3.29). Элементы могут быть
изопараметрического типа, поскольку их геометрия определяется
только координатами угловых точек (т. е. +1 или —1).
Эти элементы представляют интерес для задач, в которых рас-
рассматриваемые неизвестные (функции и или q) терпят разрыв на
границе между элементами. Сходимость итерационных процедур
для этих элементов оказывается во многих случаях более высокой,
а дополнительным преимуществом этих элементов является то, что
здесь можно легко сочетать элементы различных форм, поскольку
не^ требуется выполнять условие совместности между элемен-
элементами,

Интерполирующие функции
153
Пример 3.7. На рис. 3.30 показан полый цилиндр, на внешней
и внутренней поверхностях которого заданы значения темпера-
температуры, рассмотренный Денсоном [10] с использованием разрывных
квадратичных элементов. На рис. 3 31 представлены четыре ва-
Рис 3.30. Геометрия неравномерно на -
гретого полого цилиндра. Внутренний
радиус Rx = 30 мм, внешний радиус
R2 =80 мм, внутренняя температура
Тх = 100 °С, внешняя температура
Г2 = 0 °С, длина цилиндра L = 50 мм.
Используются элементы квадратично-
квадратичного типа, разрывные с интерполирую-
интерполирующими полиномами Лежаидра.
Поверхность 1
Поверхность 3
Рис. 3.31. Дискретное представление
полого цилиндра с разрывными эле-
элементами:
а — 1/8 часть цилиндра; б — 1-й вариант
C элемента, 27 степеней свободы): в —
2-й вариант E элементов, 45 степеней сво-
свободы); г— 3-й вариант A6 элементов, 144
степени свободы); д — 4-й вариант C6 эле-
элементов, 324 степени свободы).
Поверхность 3

154
Глава 3
рианта дискретного представления для этого цилиндра, с помощью
которых исследуется сходимость метода расчета. Форма элемента
и изменение потенциала описывались с помощью полиномов Лаг-
ранжа (разд. 3.4), при этом все значения неизвестных узловых
величин берутся внутри элемента, а не на границе.
Вследствие симметрии необходимо использовать дискретное
представление только для 1/8 части цилиндра и не требуется
вводить элементы на плоскостях симметрии. Сходимость реше-
решения можно видеть из рис. 3.32, где приведена зависимость найден-
найденных значений температуры во внутренней точке, расположенной
на срединной поверхности (с радиусом R = 55 мм), от числа
39,0
37,0
Погрешность 0,13%
Точное решение 1
|38.0- ^-~°-;= Т
50 100 150 200 250 300 350
Число степеней свободы
Рис. 3.32. Потенциал полого цилиндра при R = 55 мм.
степеней свободы. Результаты, полученные для наиболее удобного
варианта дискретного представления, прекрасно согласуются с
точным решением (погрешность примерно равна 0,13 %).
3.7. Порядок интерполирующих функций
Используя криволинейные элементы, следует иметь в виду,
что выражение для функции и в криволинейных координатах
должно представлять собой полный полином от хъ х2 и xs. Таким
образом, с помощью узловых значений потенциалов выражение
и = Е Фг«« C.60)
можно представить в форме
и = сх + сг
C.61)
Если узловые значения потенциалов представить в виде C.61) и
подставить в выражение C.60), то найдем
ф*
+ С2Х[ + С3*2 + С4*з).
C.62)

Интерполирующие функции 155
Для того чтобы представление C.61) можно было использовать
на всем элементе, должны выполняться условия
S ф| = 1. C.63)
= х2 = фХ, C.64)
Условию C.63) удовлетворяет любая интерполирующая функция,
но соотношения C.64) будут выполняться лишь в том случае,
когда функция и имеет по крайней мере тот же порядок, что и
функции хи х2 и *3.
Отметим, что для граничных элементов используются те же
ограничения, что и для конечных элементов.

Глава 4
Задачи теории теплопроводности
4.1. Введение
В этой главе исследуется приложение метода граничных ин-
интегральных уравнений к уравнению теплопроводности
V*u{x, t) 1гд-^Л = 0, x£Q D.1)
с граничными условиями следующего типа:
и (х, t) = п (х, t), х £ 1\,
q (x, t) = ди (x, t)ldn (x) = q (x, t), x 6 Г2. D.2)
Коэффициент k в уравнении D.1) может принимать различные зна-
значения в зависимости от рассматриваемой физической задачи и
считается независимым как от координат, так и времени. Посколь-
Поскольку рассматриваемая задача зависит от времени, необходимо
задать некоторые начальные условия в момент времени / = t0:
и (х, t) = Но (х, tQ), х 6 Й- D.3)
Задаче, описываемой уравнением D.1), граничными условиями
D.2) и начальным условием D.3), можно придать форму интеграль-
интегрального уравнения относительно неизвестной функции и, и для вы-
выполнения этого преобразования могут быть использованы различ-
различные приемы. Один из них был предложен в 1970 г. Риццо и
Шиппи [1], которые применили прямую формулировку метода
граничных элементов в сочетании с преобразованием Лапласа к ре-
решению задач неустановившейся теплопроводности. В предполо-
предположении, что все входящие в задачу функции допускают преобразо-
преобразование Лапласа, граничное интегральное уравнение записывалось
и решалось в пространстве изображений для последовательности
действительных положительных значений параметра преобразо-
преобразования. Затем применялась численная процедура обратного пре-
преобразования для нахождения значений неизвестных в действи-
действительном пространстве. При использовании такого подхода вре-
временная зависимость задачи на какой-то период устранялась и
вместо исходного уравнения параболического типа решалось более
удобное уравнение в частных производных эллиптического типа.
Баттерфилд и Томлин [2, 3] применили непрямую формули-
формулировку (с использованием источника), рассмотрев среду с ортотроп-

Задачи теории теплопроводности 157
ными областями, встречающуюся в механике грунтов. Решение
для неустановившегося случая было получено распределением
мгновенных источников в рассматриваемой области в начальный
момент времени, с тем чтобы воспроизвести заданное начальное
условие, и заданием на внешней и внутренних границах непре-
непрерывных функций источников, удовлетворяющих заданным усло-
условиям на внешней границе и на границах раздела.
Чанг, Канг и Чен [4] использовали зависящие от времени
фундаментальные решения в сочетании с прямым методом решения
двумерных задач теплопроводности как в изотропной, так и в
анизотропной средах. Дискретное представление граничного ин-
интегрального уравнения было выполнено с постоянными шагами
по пространственным и временной координатам. Аналогичный
подход к решению трехмерных задач использовал Шоу [5], ко-
который в основном рассмотрел аналитические, а не численные
аспекты метода. Этот прием обсуждался впоследствии Вроубелом
и Бреббия [6], исследовавшими возможность включения в рас-
рассмотрение интерполирующих функций высокого порядка от про-
пространственных и временной переменных и тем самым рассмотрения
более важных с практической точки зрения задач. Они также ис-
исследовали численную процедуру для решения неустановившихся
осесимметричных задач [7], где из-за сложности получения фунда-
фундаментального решения потребовалось ввести разложение в ряды и
аналитически вычислять интегралы по времени, входящие в гра-
граничное интегральное уравнение.
Иной подход, основанный на использовании комбинации мето-
методов граничных элементов и конечных разностей при решении не-
нестационарных задач, был предложен Бреббия и Уокером [81.
Здесь производная по времени аппроксимировалась конечными
разностями, и для нахождения зависимости решения от вре-
времени использовалась шаговая процедура конечно-разностного
типа.
Все упомянутые выше численные схемы рассматриваются ниже,
где также приведены основные процедуры для их численной реа-
реализации применительно к двумерным задачам. Хотя обсуждаются
в основном задачи для конечной однородной изотропной среды,
рассмотрены также задачи с внутренними источниками, кусочной
неоднородностью среды, ортотропией и анизотропией, бесконеч-
бесконечными или полубесконечными областями — все это делается точно
так же, как и в гл. 2 для задач о потенциале.
Затем кратко обсуждаются трехмерные задачи и несколько
более подробно описано приложение к асимметричным случаям.
Зависящее от времени фундаментальное решение для осесимме-
тричного случая получается непосредственно из решения для трех-
трехмерной задачи, и представлена процедура численного решения
уравнения D.1) для осесимметричной области.

158 Глава 4
4.2. Преобразование Лапласа
Введем следующее обозначение преобразования Лапласа для
функции и (х, t), для которой это преобразование допускается (см.,
например, книгу [9]):
L [и {х, t)] = U {х, X) = J и {х, <)«-" dt, D.4)
и предположим, что параметр преобразования X — действительное
положительное число.
Интегрируя по частям, можно показать, что
L [ди (х, t)/dt] = XV (jc, X) — и0 (х, t0). D.5)
Уравнение D.1) после выполнения преобразования принимает вид
(х, X) —\-U (х, X) + -j- "о (*, g = 0. D.6)
Граничные условия D.2) также следует преобразовать в соответ-
соответствии с формулой D.4), полагая для простоты, что они не зависят
от времени, и получая в результате
U (х, X) = D (х, Х) = ~п (х, t)/X, х £ Ти
Q(х, X) = Q(х, X) =~q{x, t)/X, x 6 Г,.
Аналогично находим и преобразование Лапласа для уравнения
взвешенных невязок
J [_ К К J
Q
= J [Q (x, X) - Q(x, X)) U* Ц, х, X) dT {x) -
- J [V {x, X)-V {x, X)] Q* (I, x, X) dT (x), D.8)
r,
где Q*(|, x, X) = dU*{l, x, ХIдп {х). Интегрируя оператор
Лапласа дважды по частям, получим
, х, X)-^U*(l, x, X)]U{x, X)dQ{x) +
o(*, to)U*(t, x, X)dQ{x) =
= - J Q {x, X) U* (I, x, X) dT (x) + J U {x, X) Q* Ц, x, X) dT (x). D.9)

'Jiuhviu теории пи плоиро/юдношш 1Г>0
Полагая U* фундаментальным решением уравнения D.6), удов-
удовлетворяющим равенству
k v2t7* (|, х, Ц - XU* (I, x, %) = -A (I, x), D.10)
из уравнения D.9) найдем
k\U{x, X)Q*(l, x, X)dT(x) =
г
= k\Q(x, X)U*& x, X)dT(x)
г
+ j щ {x, t0) U* H, x, X) dQ (x). D.11)
Фундаментальное решение U* для трехмерных задач имеет вид
а для двумерных задач —
где Kv — модифицированная функция Бесселя второго рода по-
порядка V.
Исследуем особенности записанных выше фундаментальных
решений. При г -*■ 0 к нулю стремится и аргумент модифициро-
модифицированных функций Бесселя. Предел функции Ki/2 (z) при z -*■ 0
имеет вид [10]
1шД'1/2(г) = (я/2гI/2> D.14)
2-Й)
что дает
,,л (kk)' I Я \l/2/ k \1/« 1 л -. 1СЧ
U " AiLrbr) М =ШГ пРИ^-0. D.15)
Отсюда следует, что фундаментальное решение уравнения D.6)
имеет особенность того же типа, что и фундаментальное решение
исходного уравнения Лапласа.
Аналогично получаем предел функции /Со (г) при 2 -♦■ 0 [10]:
/С» (г) =-In г, D.16)
откуда имеем
£/* = —Vhi — --A-'n 4- при г-^0. D.17)
ink г ink k v v '
Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет
собой фундаментальное решение для двумерного уравнения Лап-
Лапласа, тогда как второе слагаемое является некоторой постоянной.

160 Глава 4
Считая точку \ в уравнении D.11) принадлежащей границе и
учитывая, что интеграл от функции Q* имеет разрыв, когда точка |
находится на границе Г, получим уравнение
\ )l х,
г
= k \Q(x, X)U*(l, x, K)dT(x) + \uo(x, to)U*(l, x, X)dQ(x),
г а
D.18)
где коэффициент с имеет то же значение, что и раньше (см. гл. 2).
В дискретной форме это уравнение решается численно для
последовательности N выбранных значений параметра преобразо-
преобразования Я,, задаваемых достаточно произвольно [1]. Отметим, что
наличие специальных начальных условий приводит к интегралу
по области Q. Один путь вычисления этого интеграла состоит в раз-
разбиении всей области на ячейки и численном интегрировании по
каждой из них. Однако если функция ы0 удовлетворяет уравнению
Лапласа, то интеграл по области в уравнении D.18) можно преоб-
преобразовать в эквивалентные граничные интегралы [11]. Каким бы
ни был метод вычисления интеграла по области, этот интеграл уже
ие вводит дополнительной неизвестной, поскольку функция и0
задается, а уравнение D.18) по-прежнему остается граничным ин-
интегральным уравнением.
Последним этапом является обратное преобразование решения,
которое выполняется численно. Следуя, например, методу Ша-
пери [12] (ср. с работой [1]), предположим, что функция и в лю-
любой точке может быть представлена в виде бесконечного ряда
«(£, <) = «(&. «)+S ОпA)ехр[-МШ]. D.19)
где и (£, оо) — стационарное решение, ап и Ьп — функции про-
пространственных координат. Применяя к представлению D.19)
преобразование Лапласа, получим
п=\
Значения коэффициентов Ьп полагаются равными предвари-
предварительно выбранным значениям %. Таким образом, остается опреде-
определить N значений коэффициента а в каждой граничной точке
(плюс в каждой внутренней точке, в которой требуется знать ре-
решение). Решения уравнения D.18) дают N значений функции U
в каждой точке, что позволяет с помощью выражения D.20) опре-
определить коэффициенты ап и, следовательно, с помощью выражения
D.19) найти значения физической величины и. Аналогичные рас-

Задачи теории теплопроводности
161
четы требуется проводить и при определении действительных зна-
значений внутренних и граничных потоков.
Отметим, что обратное преобразование по существу представ-
представляет собой процесс аппроксимации кривой, и раз так, то в про-
процессе численного решения важно знать ожидаемый характер по-
поведения решения, с тем чтобы подобрать значения параметра пре-
преобразования %, поскольку, выбрав слишком много значений, можно
сделать неустойчивым процесс нахождения решения с помощью
выражения D.20), тогда как выбор слишком малого числа значе-
значений не позволит с достаточной точностью аппроксимировать кри-
кривую [13]. Более того, как отмечено в работе [11], такой подход
будет неэффективным в том случае, если граничные условия
имеют сложный характер поведения во времени, поэтому здесь
предпочтительнее использовать пошаговые методы, которые будут
обсуждаться ниже.
Пример 4.1. В качестве простого примера применения только
что описанной численной процедуры рассмотрим задачу для круго-
круговой области единичного радиуса с ы0 = 0 и граничным условием
q = 2 A — и) на границе Г (см. статью [1]). Параметр k пола-
полагается равным 1, и в силу симметрии задачи рассматривалась
только четверть длины границы, которая разбивалась на шесть
постоянных граничных элементов (рис. 4.1).
Для того чтобы выбрать последовательность значений параме-
параметра преобразования, в работе Шапери [12] предложен прием,
согласно которому существует способ выбора основного диапазона
значений Я,, необходимых для обращения, если имеется график
зависимости XU от lg X. Например, на рис. 4.2 показаны графики
зависимости %U от lg Я, для двух значений безразмерного радиуса
в круговой области. Можно видеть, что диапазон значений Я,, кото-
которые надо рассмотреть, составляет 10 ... 102 для одной кривой и
10 ... 103 для другой кривой.
и)
Рис. 4.1. К примеру 4.1.
6 Бреббия К. к др
V 103 Ю2 J01 10' 10"' 10
X
Рис. 4.2. Зависимость XV от %..

162
Рлава 4
Таблица 4.1. Изменение температуры в круговой области
Ill
—4.0
-3,6
—3,2
—2,8
—2,4
—2,0
-1,6
-1,2
-0,8
—0,4
0,0
0,4 ,
0,8
г =
Аналити-
Аналитическое
решение
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,007
0,134
0,517
0,896
•0,998
1,000
= 0
Числен-
Численное ре-
решение
—0,002
—0,001
0,001
0,001
—0,001
0,001
—0,001
0,007
0,135
0,516
0,897
0,998
1,000
г =
Аналити-
Аналитическое
решение
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,005
0,061
0,249
0,591
0,912
0,998
1,000
0,5
Числен-
Численное ре-
решение
—0,001
— 0,001
0,000
0,001
—0,001
0,001
0,005
0,061
0,248
0,590
0,912
0,998
1,000
г = 1,0
Аналити-
Аналитическое
решенне
0,028
0,037
0,055
0,085
0,131
0,199
* 0,295
0,423
0,584
0,780
0,953
0,999
1,000
Числен-
Численное ре-
решение
0,026
0,034
0,052
0,086
0,133
0,199
0,295
0,423
0,584
0,780
0,953
0,999
1,000
Для рассматриваемой задачи была выбрана последователь-
последовательность из 14 значений, начиная с Хх = 10, по формуле Xi+1/Xt = 2.
Для определения коэффициентов в представлении D.20) использо-
использовалась схема с обращением матрицы Гаусса—Жордана. Резуль-
Результаты численного решения приводятся в табл. 4.1, где даны также
результаты аналитического решения [14].
4.3. Комбинация методов граничных элементов
и конечных разностей
Предположим теперь, что производную по времени в уравне-
уравнении D.1) можно представить в конечно-разностной форме для до-
достаточно малого шага по времени:
ди(х, t) _ и(х, t + At) — u(*. I)
dt ~ М
D.21)
Тогда уравнение D.1) можно переписать в виде
Та (х, t + АО - -щ- и (х, t + АО + -щ- и (х, t) = 0. D.22)
Это уравнение аналогично по форме уравнению D.6), поэтому его
фундаментальные решения совпадут с выражениями D.12) и D.13),
если в них вместо X подставить 1/А^.
Граничное интегральное уравнение в этом случае можно по-
получить с помощью метода взвешенных невязок так же, как это

Задачи теории теплопроводности 163
делалось в предыдущем разделе. По аналогии с уравнением D.18)
можно написать
\ , x, At)dT{x) =
*(t, x,
+ -± f и (x, t) и* (I, x, M) dQ (x). D.23)
Q
Начав с известных начальных значений функции и при t — t0,
можно продолжить процесс интегрирования по времени, решая
уравнение D.23) численно. Затем находят значения функции и
в момент времени t = t0 -\~ kt в выбранных внутренних точках
с тем, чтобы использовать их в качестве псевдоначальных значений
для следующего шага по времени.
Численные результаты, полученные в рамках такого подхода,
представлены в работе [15]. Отметим, что при использовании
аппроксимации D.21) для получения достаточно точных резуль-
результатов потребовалось ечень мало шагов по времени. Как отмечается
в работе [15], точность описанного подхода можно значительно
улучшить применением конечно-разностных схем второго порядка,
но при этом условия сходимости решения становятся более тя-
тяжелыми .
4.4. Фундаментальные решения, зависящие от времени
Рассматривая задачу с зависимостью -от времени непосредст-
непосредственно в процессе интегрирования по частям, в соответствии с мето-
методом взвешенных невязок для разрешающего уравнения D.1)
с граничными условиями D.2) можно написать
x, tF, t)dQ(x)dt =
L • и. L»» J
t, a
= J J [q(x, t)-q(x, t)\u*(l, x, tF, t)dT(x)dt-
t. r,
- f f [u(x, t))q*(l x, tF, t)dT{x)dt, D.24)

164 Глава 4
где q* (I, x, tF, t) — ди* (I, x, tF, t)ldn \x). Интегрируя дважды
по частям оператор Лапласа и один раз производную по времени,
из уравнения B.24) получаем
J \[W(l, х, tF, 0 + xa"*(SVf'°H*- t)dQ(x)dt-
t, a
-4-1 I u{x, t)u*(l, x, tF, t)dQ(x)
<==/„
I'
= -f \q{x, t)u*{t, x, tF, t)dT(x)dt +
t. г
и г
\u{x, t)q*(\t x, tF, t)dY{x)dt. D.25)
Зависящее от времени фундаментальное решение ы* имеет вид
[14, 16]
d/2
(Ankx)
где т = tp — t, d — размерность пространства, рассматриваемого
в задаче, например d = 3 для трехмерных задач. Отметим, что
выражения D.12) и D.13) получаются с помощью преобразования
Лапласа из выражения D.26) соответственно для d = 3 и d = 2.
Функция Хевисайда Н (т) введена в выражение D.26) для того,
чтобы показать, что решение тождественно равно нулю при t > tF.
Это условие известно под названием условия причинности [16].
Фундаментальное решение обладает следующими свойствами:
kW (t x, tf, t) + ди*(l' *' tF- ° = - A (L x) A (tF, t), D.27)
lim u*(|, x, tF, t) = A (£, x). D.28)
t-+tF
Исследуем сингулярность, которая появляется в уравнении
D.25) в момент времени t = tF. Для того чтобы избежать остановки
процесса интегрирования точно в точке, в которой задается дельта-
функция Дирака, надо вычесть или прибавить к верхнему пределу
интегрирования бесконечно малую величину е. В предыдущем
случае первый интеграл в левой части уравнения тождественно
равен нулю, когда время t изменяется в диапазоне от 0 до tF — е;

Задачи теории теплопроводности 165
переходя к пределу при е -> 0 и учитывая условие D.28), из ураи-
нения D.25) получим [14, 17]
иF, tF) + k\ \u(x, t)q*(t х, tF, t)dT(x)dt =
/о Г
tF
= k\ \q{x, t)u*(t x, tF, t)dT(x)dt +
t* v
+ \uo(x, to)w*(l, x, tF, to)d£l(x). D.29)
a
Такое же соотношение можно получить, если величину е приба-
прибавить к верхнему пределу интегрирования в уравнении D.25).
В этом случае функция и* (I, x, tF + e) равна нулю из-за усло-
условия причинности. Таким образом, ожидаемый результат полу-
получается, если взять предел от выражения D.25) при е -+■ 0 и нало-
наложить условие D.27) на первый интеграл в левой части уравнения
[16].
Другое свойство зависящего от времени фундаментального
решения D.26) состоит в том, что при установившемся состоянии
оно сводится к фундаментальному решению уравнения Лапласа
*F
lim ( и*{I, x, tF, t)dt~u*(t, x). D.30)
Доказательство приведем лишь для случая трехмерных задач
(для двумерных задач оно осуществляется аналогично). Итак,
рассмотрим интегральное соотношение
Этот интеграл можно вычислить аналитически, перейдя к новой
переменной х = г2/4£т. Замена переменных дает
где а = r/Aktp, Г — неполная гамма-функция. Рассмотрев пре-
предел выражения D.32) при tp -*- оо, получим выражение [10]
в котором можно, узнать фундаментальное решение уравнения
k \2и = 0.

166 Глава 4
Отметим, что первые два интеграла в уравнении D.29) описы-
описывают влияние граничных условий, тогда как третье слагаемое
отражает влияние начального значения и0 функции и. При tr -*■
-> оо влияние начальных условий становится несущественным и
интегрирование по времени граничных слагаемых можно прово-
проводить, полагая, что функции и и q не зависят от времени t (или по
крайней мере считая, что вклад от интегралов, взятых по t от О
до оо от функций и и q, зависящих от времени, пренебрежимо
мал по сравнению с вкладом остальных слагаемых). Таким обра-
образом, с помощью выражения D.30) фундаментальное решение
сводится к решению для уравнения Лапласа, а уравнение D.29)
становится интегральным уравнением вида B.69) для стационарных
задач о потенциале.
Считая точки \ в уравнении D.29) принадлежащими границе
и учитывая скачок интеграла, стоящего в левой части уравнения,
приходим к граничному интегральному уравнению
<F
с (I) и (|, tF) + k \ \и (х, t) q* (Б, х, tf, t) dT (x) dt =
t Г
= *[ [q(x, t)u*(t x, tF, t)dr{x)dt±
u г
«o(*. 'o)«*(S> x, tF, to)dQ(x), D.34)
где, как и ранее, с (|) — функция телесного угла в точке | границы
(см. уравнение B.69)).
Поскольку характер зависимости от времени функций и и q
заранее не известен, для получения численного решения необхо-
необходимо применить прием шагового интегрирования по времени (его
не следует путать с изложенным выше методом конечных разно-
разностей). Однако, поскольку фундаментальное решение само зависит
от времени, обычно можно применять большие шаги по времени.
Для получения этого численного решения можно воспользо-
воспользоваться двумя различными шаговыми по времени схемами: 1-я
схема рассматривает каждый шаг по времени как новую задачу,
поэтому в конце каждого шага подсчитываются значения функции
и в достаточно большом числе внутренних точек, с тем чтобы ис-
использовать их как псевдоначальные значения для следующего
шага; во 2-й схеме процесс интегрирования по времени всегда
начинается с момента времени t0, и, таким образом, несмотря на
возрастающее число промежуточных шагов с течением времени,
здесь не требуется вновь подсчитывать значения функции и во вну-
внутренних точках. Более того, если и0 удовлетворяет уравнению

Задачи теории теплопроводности 167
Лапласа, интеграл по области в уравнении D.34) можно преобра-
преобразовать в эквивалентные граничные интегралы. Процедуры, необ-
необходимые для численной реализации обеих схем с шагами по вре-
времени, обсуждаются в следующем разделе.
4.5. Двумерные задачи
При численном решении уравнения D.34) граница Г разби-
разбивается на ряд элементов. Геометрию этих элементов можно моде-
моделировать прямыми линиями, круговыми арками, параболами и
т. п., как об этом говорилось в гл. 3. Кроме того, предполагается,
что функции и и q изменяются по длине каждого элемента на каж-
каждом шаге по времени в соответствии с выбранными интерполирую-
интерполирующими функциями пространственных и временной переменных,
а именно
и = <рта|шп,
q =- (f^qn, " '
где ф и о|з— функции соответственно пространственных и времен-
временной переменных.
Для двумерных задач фундаментальное решение и его нормаль-
нормальная производная (выражение D.26)) имеют вид
D-36>
где d = [хх (|) — *х (х)] пг (х) + [хъ (|) — хг {х)] пг (х).
Если граница Г разбивается на N элементов, область Q — на
L ячеек и интервал времени — на F шагов, то, подставляя выра-
выражение D.35) в уравнение D.34), для 1-й схемы найдем
N I lF \ L
= k^j\ 14>т J u*$dtdT )qn 4- £ j u*ur.xdU. D.38)
Для 2-й схемы это уравнение принимает вид
N F f '/ \
}
=^2£(j<PT Jf«4*drU» + 2 \u*uodQ. D.39)

168 Глава 4
4.5.1. Интерполяция по времени постоянными функциями
Предполагая, что функции и и q являются постоянными по
времени на каждом временном шаге, т. е. интерполирующая
функция ij) = 1, и записывая уравнение D.39) для всех выбранных
на границе точек, получим следующую систему уравнений (ср.
с уравнением C.9)):
S HfFU, = £, GiFQ, -f- ВД,. D.40)
Коэффициенты матриц Н и G состоят из выражений (или их
комбинации) вида (см. формулы C.4) и C.5)):
Г ?
"■fFij — k J фщ j q*dt dT,
f ff
gfFil = k tpm u*dtdT,
J J
rj 4-i
где HfFij — HfFii -f Cj8fF6j/, 6;j — символы Кронекера.
Определение коэффициентов матрицы Во, зависящей от ин-
интеграла по области, будет рассмотрено позже. Отметим, что система
уравнений D.40) решается для времени t = tF, а значения матриц
Uf и Qf при /= 1, 2, ..., F—1 известны из решения на преды-
предыдущем шаге.
Уравнение D.38) для всех граничных узлов в случае шаговой
по времени 1-й схемы можно представить в виде
HUF = GQF + BUF.U D.42)
где коэффициенты матриц Н и G определяются выражениями
D.41) при / = F.
Интегрирование по времени в выражении D.41) можно выпол-
выполнить аналитически. Интеграл от функции q* равен
D.44)

Задачи теории теплопроводности
Для того чтобы вычислить интеграл от функции и*, необходимо
сделать замену переменной; полагая
х = гг/DЬ), D.45)
получим [18]
'/-1 4-
1
_х
пг-dx =■ -ш[El toJ - Ei <fl'N- D-46)
где £х — интегральная показательная функция. Из равенства
D.44) видно, что в соотношении D.43) следует положив
ехр (—aF) = 0, а в соотношении D.46) — £х (aF) = 0.
4.5.2. Линейная интерполяция по времени
Рассмотрим теперь случай линейного изменения во времени
функций и и q внутри каждого временного шага и для интерполи-
интерполирующих функций используем выражения
y = (tf-t)/Mf, Ч>, = (* - <м)/А'/. D-47)
где ktf = tf — tf_x. Система уравнений, получающаяся при за-
записи уравнения D.49) для всех граничных узлов, имеет в данном
случае вид
S (///г^-1 + H2fFU,) = £ (G}fQm + ОШ + BoUo, D.48)
где коэффициенты матриц состоят из слагаемых типа
4
f Ф« J {tf-t)q*dtdT,
Фт J (t~tf-i)q*dtdT,
'% D-49)

170 Глаза 4
где H}Fii = Щт) + сfiji^u- Записывая 'аналогично уравнение
D.38) для всех граничных узлов, получим систему уравнений
HxUP-x hH2UF = GlQF^+G2QF + BUF^, D.50)
причем, как и прежде, коэффициенты матриц Н и G соответствуют
слагаемым вида D.49) при f = F. Интегралы по времени можно
представить как сумму рассматривавшихся ранее интегралов
D.43) и D.46) и интегралов типа
D-52)
Интегралы в этих выражениях аналогичны приведенным в форму-
формулах D.43) и D.46), за исключением последнего интеграла в выра-
выражении D.52), который равен [18]
J ~ dx = Г (- 1, а}.х) - Г (- 1, я,), D.53)
ai-i
где Г — неполная гамма-функция.
Таким образом, вычисляя сумму всех слагаемых и принимая
во внимание связь между функциями Г и Ех [10]
i=o J
D.54)
можно получить окончательные выражения для интегралов по вре-
времени в правых частях формул D.49), комбинируя соответствую-
соответствующие члены, которые просто получаются из D.43), D.46) и D.53) [19].

Задачи теории теплопроводности 171
4.5.3. Квадратичная интерполяция по времени
Рассмотрим теперь такие функции и и q, которые изменяются
внутри каждого шага по времени по квадратичному закону в соот-
соответствии с интерполирующими функциями вида
4>i = 2Р — 3? + 1, D.55)
ft-4?(l-f), y3 = tBi~\), D.56)
где I = (t — tf_x)l(tf — ^_х); tf.lf tf-i/2, //—соответствующие
моменты времени; ff_i/2 = (</_i + //)/2. Записав, например,
уравнение D.38) для всех граничных узлов, найдем
Я1 UF-\ + H2UF-m + H3UF = G'Qf-i + G2QF_,/2 +
+ GZQF + BUF^. D.57)
Коэффициенты приведенных здесь матриц включают в себя интег-
интегралы по пространственным и временной переменным, аналогичные
выражениям D.41) и D.49). После добавления к уравнению D.57)
граничных условий получается система М уравнений с 2Л4 неиз-
неизвестными (М — число граничных узлов), поскольку все значения
матриц /7F_! и QF_X задаются (или вычисляются заранее), а в мо-
моменты времени tF-\/2 и tF известна только половина граничных
значений.
Это означает, что для правильно поставленной задачи необхо-
необходимо удвоить общее число уравнений системы, решаемых на каж-
каждом шаге по времени. Это можно сделать, записав граничное ин-
интегральное уравнение, аналогичное D.34), для момента времени
t = tF—\ji-
'f—1/2
с (I) и (I, tF-i/2) + k j j и {x, t) q* {I, x, tF-]/2, t) dT (x) dt =
t г
/
= k \ \q(x,f)u* (|, x, tF-w, t) dT{x)dti-
t. r
+ j u0 (x, to) u* d, x, tp-w, t0) dQ (x). D.58)
a
Верхний предел интегралов по времени полагался равным tF—\/2
в силу условия причинности (см. разд. 4.4), согласно которому
функции и* и q* тождественно равны нулю при t > tF-\/2.
Представляя уравнение D.58) в дискретной форме для каж-
каждого граничного узла, получим систему уравнений
G2QF-m + G3QF + BUf-u D.59)

172
Глава 4
где коэффициент матриц можно также „определить с помощью
выражений, аналогичных выражениям D.41) и D.49).
Решая совместно системы уравнений D.57) и D.59), нетрудю
определить неизвестные граничные значения U и Q в моменты
времени tF-x/2 и tF по известным начальным условиям в момент
времени tF_x и заданным граничным условиям в моменты времени
ff—1/2 И tF.
Подобный подход можно распространить и на функции от
времени более высокого порядка; однако следует учитывать, что
при этом увеличивается общее число входящих в систему уравне-
уравнений, которые требуется решать шаговым методом.
4.5.4. Интегрирование по пространственным координатам
Последним шагом при численном решении уравнения D.34)
является вычисление интегралов по пространственным координа-
координатам. Хотя интерполирующие по пространственным координатам
функции ф в представлениях D.35)
можно взять как постоянными, так и
линейными, квадратичными и т. д.,
здесь будет рассматриваться только слу-
случай постоянных функций. Распростране-
Распространение на случай элементов более высо-
высокого порядка будет сделано в соответст-
соответствии с процедурой, изложенной в гл. 3.
Как и в случае уравнения Лапласа,
внедиагональные коэффициенты мат-
матриц G и Н можно определить численным
способом с помощью квадратурной фор-
формулы Гаусса. Обычно для достижения требуемой точности до-
достаточно взять шесть точек, хотя для увеличения скорости рас-
расчетов можно брать и меньше точек, применяя схему интегрирова-
интегрирования по Гауссу.
Диагональные коэффициенты GFFii в уравнении D.40) со-
содержат интегралы с логарифмической (интегрируемой) сингуляр-
сингулярностью. Такие интегралы можно записать (рис. 4.3) в виде
1/2 1
If / X2 \ I С
Gfhi = -пг I Ех ( -ЩГГ) dx = -щг \Е1 (a1f) dr), D-60)
-1/2 -1
a = /2/A66 A^.). D.61)
Поскольку разложение интегральной показательной функции
в ряд имеет вид [10]
Рис. 4.3. К аналитическому
интегрированию уравнений
D.60).
п(п\)
D.62)

Задачи теории теплопроводности
где С — постоянная Эйлера, то интеграл в выражении D.60)
можно вычислить аналитически:
2-С-1па + £(-1)"-' * . D.63)
п=1 J
Ряд в выражении D.63) сходится очень быстро при малых значе-
значениях а и медленно — когда а приближается к величине порядка
единицы. Чтобы преодолеть это затруднение, интегрирование по
отрезку, лежащему вблизи сингулярности, можно выполнить
аналитически, поскольку при этом коэффициент а всегда меньше
или равен единице (что гарантирует сходимость ряда с требуемой
точностью при удержании не более шести членов ряда), а числен-
численное интегрирование с использованием стандартной квадратурной
формулы Гаусса — по остальной части длины элемента, как
если бы эти части были отдельными элементами. Длина L части
элемента, допускающей аналитическое интегрирование, опреде-
определяется с учетом выражения D.61) из неравенства
'2 <t. D.64)
Подобный подход можно распространить как на линейные функ-
функции, так и-на функции более высокого порядка. Следует отметить,
что используя некоторую интерполирующую по пространствен-
пространственным координатам функцию и повышая порядок аппроксимации
по времени, можно получить лишь дополнительные регулярные
вклады в граничные интегралы.
Диагональные коэффициенты HFFii в уравнении D.40) со-
содержат интегралы с особенностями более высокого порядка, ин-
интегрируемые только в смысле главного значения. Эти коэффи-
коэффициенты можно найти аналогично тому, как это делалось при рас-
рассмотрении уравнения Лапласа, воспользовавшись равномерно
распределенным по всему телу потенциалом, однако наличие ин-
интегралов по области делает этот процесс неэффективным. По-
Поэтому оба слагаемых с; и Нп (Нн + Нн) необходимо вычислять
непосредственно.
Значения свободных членов с получаются, как и в случае
уравнения Лапласа, с помощью предельного перехода, что дает
D.65)
В случае постоянных и линейных элементов члены Нп тож-
тождественно равны нулю, поскольку г и я ортогональны, что при-
приводит к равенству d = 0 в выражении D.37). В случае элементов

174 Глава 4
более высокого порядка это условие не выполняется и интегриро-
интегрирование следует выполнить аналитически (хотя бы по короткому
прямолинейному отрезку, включающему сингулярность), с тем
чтобы соответствующим образом выделить главные значения ин-
интегралов.
4.6. Шаговые по времени схемы
Основное различие между представленными здесь двумя ша-
шаговыми по времени схемами лежит в способе, которым значения
переменных, относящихся к данному моменту времени, учиты-
учитываются при получении решения
для нового момента времени.
В 1-й схеме они учитываются в
интеграле по области как псев-
псевдоначальные значения, тогда
• граничные как во 2-й схеме их изменение
узлы учитывается путем суммирова-
о внутренние ния граничных интегралов. 1-я
v?!"" схема использовалась в работах
Рис. 4.4. Разбиение области Q и ее гра- [2—6,20,21]; 2-я схема была
иицы Г на граничные элементы и ячей- , предложена Тэлером и Мулле-
ки- ром [22] в сочетании с непря-
непрямой формулировкой еще в
1970 г. и впоследствии использовалась в работах [13,
19, 23].
Начнем с более детального рассмотрения 1-й схемы. В начале
процесса (при t = t0) устанавливаются начальные значения и0
функции и в области й. Область разбивается на L (треугольных
в данном случае) ячеек (рис. 4.4). Начальные условия берутся
в соответствии с результатами численного интегрирования по об-
области и теми их значениями, которые задаются в некоторых рас-
рассматриваемых внутренних точках.
Поскольку половина граничных значений функций ы и q за-
задана, для определения остальных граничных значений на первом
шаге по времени (F = 1) можно использовать уравнение D.38).
Отметим, что при использовании линейных (или более высокого по-
порядка) интерполяций функций по времени должны быть также
заданы значения функции q на границе Г (см. уравнение D.50)).
В конце каждого шага по времени в предварительно выбран-
выбранных внутренних точках снова определяются значения функции
и, с тем чтобы использовать их в качестве начальных условий на
следующем шаге. Это можно сделать с помощью уравнения D.29),
которое в матричной форме принимает (например, в случае по-
постоянных элементов) вид
VF = G'QF - H'UV + B'V^,. D.66)

Задачи теории теплопроводности
175
Коэффициенты матриц G и Н, входящих в уравнение D.42),
и матриц б" и //' из уравнения D.66) зависят от геометрии, свойств
среды и величины шага по времени. Так, если применяется по-
постоянный шаг по времени, их можно вычислить только один раз
и записать в память.
То же самое применимо для коэффициентов матриц В и В',
обусловленных интегрированием по ячейке. Для численного ин-
интегрирования по ячейке можно применить квадратурную схему
Хаммера [24] и допустить, что значения функции U в каждой
точке интегрирования вычис-
вычисляются непосредственно; тогда
для коэффициентов матрицы В
получаем следующие выраже-
выражения:
Рис. 4.5. Зависимость функции и* от г
для различных значений шага по вре-
времени.
D.67)
где |У| — якобиан, Wj — ве-
весовой коэффициент в квадра-
квадратурной схеме Хаммера.
С другой стороны, можно
предположить, что функция и
изменяется по области, зани-
занимаемой ячейкой, в соответствии
с выбранной формой интегри-
интегрирующей функции, и вычислить коэффициенты Bij, используя,
например, полуаналитическую схему интегрирования [25].
Хотя в литературе имеются сообщения об очень хороших ре-
результатах, полученных при использовании этой схемы, необхо-
необходимо соблюдать осторожность при выборе шага по времени. По-
Поскольку при Af->0 подынтегральная функция в интеграле по
области (фундаментальное решение) становится все менее гладкой,
превращаясь в пределе в дельта-функцию Дирака (рис. 4.5),
трудность численного интегрирования функции с указанным ха-
характером поведения может породить проблемы численного харак-
характера (см. работы [21, 26]).
Во 2-й схеме не требуется находить значения функции и во
внутренних точках в конце каждого шага по времени. Интеграл
по области, обусловленный учетом начальных условий при t = t0,
требуется только 6 том случае, если и0 Ф 0. Кроме того, если
\ги0 = 0, то интеграл по области можно преобразовать в экви-
эквивалентный граничный интеграл. Так же как и в большинстве
практически важных задач, снижение размерности задачи в дан-
данном случае является важным достоинством. Поскольку с ростом
числа шагов по времени увеличивается количество граничных ин-

176 Глава 4
тегралов, для эффективной работы численной процедуры необхо-
необходимо использовать специально подобранные схемы численного
интегрирования.
Для того чтобы пояснить сказанное, вернемся к уравнению
D.40). Как видно из этого уравнения, при вычислении неизвест-
неизвестных граничных значений в момент времени t = tF требуется опре-
определять матрицы GfF и Hfp для / = 1, 2, ..., F. Матрицы от GlF
доО(^_1)^и от H1F до H(f-\)f будут последовательно умножать
заданные или вычисленные на предыдущем шаге по времени зна-
значения функций и и q, представленные в форме вектора с неизвест-
неизвестными компонентами. В силу характера зависимости от времени
подынтегральных функций в выражении D.41) допустимо при под-
подсчете вклада матриц, соответствующих начальным шагам, брать
меньшее число точек в квадратурной формуле Гаусса.
Заметим, что если в процессе численного решения задается
постоянный шаг по времени, то на каждом шаге требуется опреде-
определять только две новые матрицы, тогда как все остальные сохра-
сохраняются в памяти ЭВМ.
Важно отметить, что в методе граничных элементов благодаря
его простоте не возникает проблем устойчивости решения. Дейст-
Действительно, математическое доказательство равномерной сходимости
и устойчивости численных расчетов по методу граничных элемен-
элементов в приложении, например, к нелинейным двумерным нестацио-
нестационарным задачам теплопроводности недавно было дано в работе [271.
С помощью второго тождества Грина интеграл по области
можно преобразовать в эквивалентные граничные интегралы для
случая, когда «„ — гармоническая функция:
\u0V*UdQ= Uu^-U^dT. D.68)
Q Г
Поскольку интеграл по области в соответствии с уравнением
D.34) имеет вид
\uou*dQi, D.69)
о ,
функцию U следует взять такой, чтобы выполнялось равенство
уа£/ = и*. Одну из таких функций можно легко найти:
-5г)- DJ0>
Тогда из соотношения D.68) получаем
J uou* dQ = -±-\{-±.ext>[-ik ;2_ ] и0 -
Q Г
DJI)

Задачи теории теплопроводности
177
Здесь q0 = dujdn, d определяется из выражения D.37). Приве-
Приведенные выше интегралы можно найти численно, за исключением
сингулярных слагаемых, для которых интегралы вычисляются
аналитически, как об этом говорилось в предыдущем разделе.
Пример 4.2. Предметом исследования здесь является распре-
распределение температуры в квадратной области размером 3x3 м с на-
начальной температурой и0 = —1,111 °С и коэффициентом тепло-
теплопроводности, равным k = 0,204 Вт/(м-°С), для которой задано
граничное условие и = 17,77 °С на границе Г при t > t0. Эти ис-
исходные данные были выбраны для того, чтобы иметь возможность
сравнить полученные результаты с решением методом конечных
элементов [28].
Поскольку начальные условия удовлетворяют уравнению
Лапласа, равенство D.71) можно использовать для преобразова-
преобразования интеграла по области в уравнении D.39) в эквивалентные
граничные интегралы, как было показано в разд. 4.5. В табл. 4.2
и 4.3 приводятся результаты, полученные с помощью изложенного
подхода B-го метода граничных элементов) и подхода, основанного
на шаговой по времени 1-й схеме A-го метода граничных элемен-
элементов), метода конечных элементов [28], а также результаты анали-
аналитического решения [28], причем расчеты проводились с двумя
значениями шага по времени. Характер разбиения исследуемой
области показан на рис. 4.6. Как можно видеть из табл. 4.2 и 4.3,
решения методом граничных элементов имеют одинаковую точ-
точность и превосходят по точности решения по методу конечных
элементов во всех точках области при обоих значениях шага по
времени, несмотря на более грубый характер дискретного пред-
представления.
Для того чтобы проверить, привело ли использование представ-
представления D.71) к появлению дополнительных вычислительных оши-
Таблица 4.2. Температура ("С) в момент времени ^ = 1,2 ч
при шаге по времени Kt = 0,1 ч
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
0,3
0,6
0,9
1,2
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
Решение по
1-му методу
граничных
элементов
— 16,673
— 16,726
— 16,881
— 17,122
— 17,428
— 16,777
— 17,050
— 17,389
— 17,667
Решение по
2-му методу
граничных
элементов
— 16,662
— 16,715
— 16,871
— 17,114
— 17,423
— 16,766
— 17,042
— 17,383
— 17,666
Решение по
методу конеч-
конечных элементов
— 16,607
— 16,664
— 16,830
— 17,089
— 17,416
— 16,718
— 17,011
— 17,373
— 17,666
Аналитическое
решение
— 16,771
— 16,820
— 16,963
— 17,186
— 17,467
— 16,867
— 17,119
— 17,430
— 17,682

178
Глава 4
/
/
/
/
/
Li. ^
г" /1
I /
I /
I /
Id j
1 0 *
/
/
/
/
/
—
I
Рис. 4.6. Варианты дискретного представлеиия четверти квадратной области;
а — метод конечных элементов; б — 1-й метод граничных элементов; в — 2-й метод гра-
граничных элементов.
бок, задача была решена вновь при условии, что из начального
значения температуры вычиталось постоянное значение, равнее
—1,111 СС, с тем чтобы сделать начальные условия нулевыми. Это
постоянное значение затем было прибавлено к вновь полученному
решению. Результаты, полученные таким путем, близки, как видно
из табл. 4.2 и 4.3, к найденным ранее.
Таблица 4.3. Температура (°С) в момент времени t= 1,2 ч
при шаге по времени kt = 0,5 ч
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
0,3
0,6
0,9
1,2
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
Решение по
1-му методу
граничных
элементов
— 16,729
— 16,779
— 16,925
— 17,159
— 17,451
— 16,826
— 17,103
— 17,413
— 17,676
Решение по
2-му методу
граничных
элементов
— 16,721
— 16,773
— 16,922
— 17,154
— 17,447
— 16,822
— 17,084
— 17,409
— 17,730
РеШенне по
методу конеч-
конечных элементов
— 16,701
— 16,754
— 16,907
— 17,145
— 17,445
— 16,804
— 17,073
— 17,406
— 17,730
Аналитическое
решение
— 16,771
— 16,820
— 16,963
— 17,186
— 17,467
— 16,867
— 17,119
—17,430. _
— 17,682
Пример 4.3. Задача для круговой области единичного радиуса
с нулевыми начальными условиями и граничными условиями
(их зависимость от времени показана на рис. 4.7) решалась с по-
помощью дискретного представления границы одной четверти этой
области шестью линейными граничными элементами. Было вы-
выбрано значение параметра k = 5.
Сначала была сделана попытка решить задачу, полагая функ-
функции и и q кусочно-постоянными и считая задаваемые значения
функции и равными их средним значениям на каждом шаге по

Задачи теории теплопроводности
170
времени. Результаты, полученные с по-
помощью обеих шаговых по времени схем,
фактически совпали и представлены на
рис. 4.8.
Затем задача была вновь решена с
использованием кусочно-линейного за-
закона изменения функций и и q, когда
можно было точно удовлетворить за-
заданным граничным условиям на каж-
каждом шаге по времени. Результаты, по-
полученные по обеим схемам, соответст-
соответствуют аналитическому решению, приве- вреМеии граничного зиаче-
денному в работе [14], с точностью до иия и.
трех значащих цифр даже для первого
шага по времени и приведены на рис. 4.8. Все численные реше-
решения выполнялись с одинаковым шагом по времени Af = 0,02.
0,3 0.1
0.1 0,2
t
Рис. 4.7. Зависимость от
1.2
0,9
0.6
0,3
• метод граничных эл~ментов
(постоянный элемент)
о метод граничных элемр
то&( линейный элемент)
г 08
0.1
0.2
Рис. 4.8. Значения функции и во внутреииих точках. Сплошиые кривые соответ-
соответствуют аналитическому решению.
Пример 4.4. Для задач, в которых рассматриваются бесконеч-
бесконечные области, метод граничных элементов оказывается гораздо
более экономичным, чем метод конечных элементов. Для того
чтобы показать это, рассмотрим круговое отверстие в бесконечной
плоской области (рис. 4.9) с начальным условием и0 = 10 и гра-
граничными условиями конвективного типа (см. пример 2.3). Радиус
отверстия равен единице, температура среды внутри отверстия
равна нулю, все физические постоянные материала для простоты
полагаются равными единице.
На рис. 4.10 для различных значений коэффициента тепло-
теплопередачи h показано изменение температуры на крае отверстия

180
Глава 4
Рис. 4.9. Способы дискретного представления бесконечной областн с отверстием:
а — метод граничных элементов; б — метод конечных элементов н 1-я схема метода гра-
граничных элементов.
в зависимости от времени и дано сравнение с аналитическим реше1-
нием, полученным в работе [14]. Видно, что решения очень хо-
хорошо соответствуют друг другу. Шаг по времени брался равным
Atf = 0,5, и расчеты производились до тех пор, пока температура
на краю отверстия не начинала резко уменьшаться. Решение по
ю
Рис. 4.10. Изменение температуры на крае отверстия в бесконечной области.
Сплошная кривая соответствует аналитическому решению, точки — решению
по методу граничных элементов.

Задачи теории теплопроводности
181
а б
Рис. 4.11. Дискретное представление сечения диска турбины:
а — метод конечных элементов; б — метод граничных элементов.
методу граничных элементов было получено при кусочно-постоян-
кусочно-постоянном характере изменения функций. Благодаря симметрии задачи
дискретное представление с помощью шести линейных граничных
элементов использовалось лишь для четверти длины границы меж-
между отверстием и средой (рис. 4.9, а).
Эта задача решалась также методом конечных элементов [29],
но, так как метод конечных элементов связан с дискретным пред-
представлением области, для исходной бесконечной области была за-
задана граница конечного размера, на которой проводимость пола-
полагалась равной нулю. Для того чтобы получить такую же точность,
как и в методе граничных элементов, использовался в десять раз
меньший шаг по времени (Atf = 0,05), а область была разбита на
70 треугольных элементов или 3 кубических изопараметрических
элемента (см. рис. 4.9, б). Отметим, что аналогичная аппроксима-
аппроксимация вводится и в методе граничных элементов, если используется
шаговая по времени 1-я схема: хотя граничные элементы по-преж-
по-прежнему вводятся только для представления границы раздела между

182
Г лам 4
2500
900 1000 1100 " 2500
2600
Рис 4 12 Изменение во времени коэффициента теплопередачи А и температуры
окружающего газа us для одной из граничных зон.
отверстием и средой, ячейки необходимы для интегрирования по
бесконечной области.
Поимер 4 5. Здесь изучается более сложная практическая
задача с зависящими от времени граничными условиями: найти
распределение температуры внутри реального^ диска турбины.
Хотя эта конструкция является осесимметричнои, в целях сравне-
сравнения было проведено исследование методом конечных элементов
для двумерного случая с использованием 85 квадратичных изо-
^1^^^^^ ЯМ К,
«WO ЛжЯкг. Ю На границе имеется 18 различных зон, каждая
со своей системой заданных значений для коэффициента тепло-
теплопередачи и температуры окружающего газа; изменение этих вели-
величин во времени для одной из таких граничных зон показано на
рис. 4.12.

Рис. 4.13 Изотермы для различных моментов времени, полученные методами граничных элементов (слева) н конечных элементов
(справа), a— t — 60 с; б — t = 1065 с.

184 Глава 4
При дискретном представлении в соответствии с методом гра-
граничных элементов использовалось 90 линейных элементов и 106
узлов, в том числе 16 двойных узлов в местах стыковки граничных
зон (рис. 4.11, б). Температура на границе задавалась как кусоч-
кусочно-линейная функция. Поток на границе полагался линейной или
квазиквадратичной функцией, соответствующей изменениям функ-
функций h и us на каждом шаге по времени [26]. Для упрощения рас-
расчетов из температуры вычиталась постоянная величина, равная
начальному значению температуры, поскольку при этом не требо-
требовалось выполнять интегрирование по области. Эта величина впо-
впоследствии прибавлялась к найденному решению.
На рис, 4.13 показаны изотермы для некоторых моментов вре-
времени и дано сравнение решений по методам конечных и граничных
элементов. Видно, что результаты в основном очень хорошо согла-
согласуются.
4.7. Трехмерные задачи
Для трехмерного уравнения теплопроводности фундаменталь-
фундаментальное решение и его производную по нормали к контуру Г можно
записать в виде (см. формулу D.26)):
«♦ =
d = [*i (I) - x1 {x)\ nx (x) + [x2 (|) - x2 (x)] n2 (x) +
+ [x3(l)-x3(x)]n3{x).
Процедуры численного решения уравнения D.34) для трехмер-
трехмерной области в основном аналогичны тем, что применялись в дву-
двумерном случае. Соответственно интегралы D.43) и D.46) по вре-
времени применительно к данному случаю примут вид
1
D-74)
D.75)
Все поверхностные граничные элементы, описанные в гл. 3,
могут применяться и в данном случае, включая несогласующиеся
элементы. В частности, если требуется интегрировать по области,
следует применять и элементы в форме трехмерных ячеек, рассма-
рассматривавшиеся в разд. 3.5.

Задачи теории теплопроводности 185
4.8. Осесимметричные задачи
Полагая, что все граничные и внутренние значения являются
осесимметричными, уравнение D.34) можно записать в цилиндри-
цилиндрической системе координат:
'/» 2Я
\
]u{x, t)\q*& х, tF, t)dQ(x)R(x)dT(x)dt =
г °
F 2я
= k j \q(x, t)\u*(l, x, tF, t)dQ(x)R(x)df{x)dt +
t, y о
In
+ J «o (*. U) J «* F, Jf. tr, U) dQ (x) R (x) dQ {x), D.76)
°
где Г — часть контура образующей тела вращения, й — часть
ограниченной этим контуром плоской области, получающаяся
при пересечении поверхности й и контура Г с полуплоскостью
R+Z (см. рис. 2.37).
Записывая трехмерное фундаментальное решение D.72) в ци-
цилиндрической системе координат и интегрируя его по окружности
радиуса R (х), лежащей в плоскости Z = Z (х), получим
2я
п*(|, х, tF, 0= J и* (I, x, t,, t)dQ{x) =
о
1 CXD /
2я
i_\[ гхр Г R (I) R W cos [6 F) - 9
D.77)
где s = #2 (I) + R2 (x) + [2 A) — Z (x) ]a. Это выражение для
осесимметричного фундаментального решения можно представить
в виде [30]
й* _ *п е _ / i_ \ / / L_ \ га ja\
где I — R (I) R (х), /„ — модифицированная функция Бесселя
первого рода нулевого порядка. Производную фундаментального
решения по нормали к граничному контуру можно найти, продиф-
продифференцировав выражение D.78), что дает
1 ..... / S \ ffj^w / I \
\ D.79)

186 Глава 4
где /j — модифицированная функция Бесселя первого рода и
первого порядка. Из приведенных выражений можно видеть, что
при R (£) -»- 0 имеем / -»- 0, /„ (//26т) -»- 1, /, A!2Ь) -»- 0 и, сле-
следовательно, кольцевой источник переходит в точечный источник
с интенсивностью 2я на оси вращения.
Подставляя выражения D.78) и D.79) в уравнение D.76), полу-
получим граничное интегральное уравнение для зависящих от времени
функций:
с №) и {%, tF) + k\ \и (х, t) q* (t, x, tF, t) R (x) dT (x) dt =
h г
= \ \q(x, t)u*(l, x, tF, t)R(x)dr(x)dt +
t, г
'+ J ы0 (x, t0) «* (I, x, tF, t0) R (x) dQ (x). D.80
Q )
Для решения уравнения D.80) можно использовать численные
процедуры, которые обсуждались ранее. Для простоты далее будут
использоваться функции и и q кусочно-постоянного типа.
После введения дискретного представления поверхности и вну-
внутренней части рассматриваемой области с помощью соответственно
граничных элементов и ячеек получается аналогичное D.39) урав-
уравнение, матрицы которого определяются выражением D.41). Для
того чтобы выполнить интегрирование по времени аналитически,
требуется перейти к новым переменным. Вводя обозначения
с = Us, у = s/Djfer), a = s/Dk Щ, D.81)
для интеграла от функции ы* получим
'/ а1
Ju*df = ——q-2 j IQ{2cy)y-l'4~ydy. D.82)
Функцию Бесселя /0 можно разложить в ряд Вида [10]
п=0
и после подстановки этого выражения в формулу D.82) и почлен-
почленного интегрирования найдем
*f
/1=0
-rBn+-i-. a,)]. D.84)

Задачи теории теплопроводности 187
Для интеграла от функции q* имеем
Я* dt = - L , ' [R (х) nR (x) - [Z (|) - Z (*)] пг (x)] x
'/-1
af af
X j I0Bcy)yl/4-ydy-R(l)nR(x) j lx{2cy)ifi4-ydy
°f-i af-i
Представляя функцию Бесселя lr в виде [10]
. D.85)
n=0
получим
'M
2
П=0
:r' «/-0-
+ -|-. аЩ. D.87)
Все неполные гамма-функции, фигурирующие в приведенных
выше выражениях, можно выразить через функции Г A/2, а) с по-
помощью рекуррентной формулы [18]
Г (л + 1, а) = пТ (я, а) + апе~а. D.88)
В соответствии с введенными обозначениями D.81) величина
с изменяется от 0 (при R (Е) = 0, R (х) = 0 или s -»- оо) до 0,5 (при
| = х). Ряды в выражениях D.84) и D.87) сходятся очень быстро
для малых значений с и медленно при с —*■ 0,5. При с = 0,5 эти
ряды расходятся из-за наличия сингулярности для {• = х. Таким
образом, видим, что с вычислительной точки зрения не следует
использовать ряды D.83) и D.86) для значений с, лежащих в ок-
окрестности с = 0,5.
Чтобы преодолеть эту трудность, можно воспользоваться асим-
асимптотическими представлениями функций Бесселя, которые будут

188 Глава 4
справедливы для больших значений их аргументов. Так, для боль-
больших значений у можно записать [10]:
Mn) = Bn-l)«Bn-3)»...l,
/а(л) = (-1)«[4-Bл-1J][4-B/г-3J]...[4-1]. у- ]
Тогда интегралы по времени принимают вид
(
u*dt =
00 \
+ 2 Tfli^r [Г (- «. S/-i) - Г (- n. fl,)] , D.92)
te"*
+ [Z (I) - Z (х)] nz (x)] + [R (x) nR (x) - [Z (I) - Z (x)] nz (x)\ x
~ [Г A - n, BM) - Г A - п. В,)} - R (E) nR (x) x
n=l
X У, ^iL.' 1Г A - n, В,_г) - Г A - n, В,)} \, D.93)
где b = 1—2c, В = ab. Неполные гамма-функции можно теперь
выразить через Г (О, В) с помощью рекуррентных формул [10]:
Г(-п, В) = 1- ГгA — /г, В)-^Л, Г (О, В) = Е1(В). D.94)
Когда с принимает значения, близкие к 0,5, а значения у малы на
части интервала интегрирования (af_v at), представления D.89)

Задача теории теплопроводности
189
и D.90) нельзя применять непосредственно. С другой стороны,
выражение D.82) можно записать в виде
J u*dt =
D.95)
Рис. 4 14. Геометрия линейного элемента-
koi да значения у достаточно велики на интервале (а', af). Теперь
первый интеграл в правой части этого равенства можно вычислить
по формуле D.84), а для вы-
вычисления второго интеграла
использовать разложение в
ряд D.89). Аналогичный под-
подход можно использовать и
при вычислении интеграла
по времени от функции q*,
Заключительным шагом
численного решения гранич-
граничного интегрального уравне-
уравнения D.80) является вычисле-
вычисление пространственных инте-
интегралов. Коэффициенты Нц и
G{j (i ф. j) окончательной
системы уравнений (аналогичной системе D.40)) можно вычислить,
используя шеститочечную квадратурную формулу Гаусса. Однако
с диагональными коэффициентами Hlt и GH следует обращаться
более осторожно, поскольку при их нахождении требуется вычис-
вычислять сингулярные интегралы.
Коэффициенты Glt представляют собой интегралы с логариф-
логарифмической особенностью. Разложением интегральной показатель-
показательной функции в формуле D.92) можно изолировать слагаемое с ло-
логарифмической особенностью и проинтегрировать его аналити-
аналитически [26]. Остальные слагаемые являются несингулярными,
поэтому в расчетах можно использовать стандартную квадратур-
квадратурную формулу Гаусса.
Коэффициенты Я,; содержат сумму логарифмической и вида
l/b особенностей. Первая из них является интегрируемой, а вто-
вторая интегрируется только в смысле главного значения. Тем не
менее для случая постоянных или линейных элементов (рис. 4.14)
можно записать
пд (х) = cos a, nz (х) = sin а, R {%) — R (х) = —r\ -y sin а,
L D.96)

190 Глава 4
Таким образом, первое слагаемое в правой части выражения D.93),
которое имеет особенность вида Mb, будет тождественно равно
нулю. Выделяя первые слагаемые каждого ряда в выражении
D.93), содержащие логарифмические особенности, можно вычис-
вычислить их аналитически [26], а остальные расчеты проводить с по-
помощью стандартной квадратурной формулы Гаусса.
Свободные коэффициенты сь обусловлены появлением скачка
в интеграле от функции q* в точках, принадлежащих границе Г.
В рассматриваемом случае можно показать, что значения с (|)
совпадают с найденными для двумерных задач (см. равенство
D.65)).
Пример 4.6. Сначала рассмотрим сплошной цилиндр с единич-
единичными начальными условиями и граничными условиями вида
и = 0 при R = а,
q = 1и при Z = ±/.
Схема дискретного представления показана на рис. 4.14. Отме-
Отметим, что благодаря симметрии относительно оси R необходимо
рассматривать лишь половину поперечного сечения. Численные
исследования проводились для поперечного сечения размерами
а = 1, / = 1; для простоты коэффициент k, характеризующий
физические свойства материала, также полагался равным единице.
Полученные здесь решения сопоставляются с аналитическим
решением [14] на рис. 4.15 и 4.16, где видно хорошее их согласо-
согласование. При расчетах использовался шаг по времени Ы = 0,025.
Пример 4.7. В этом примере исследуется задача теплопровод-
теплопроводности для эллипсоида, температура которого в начальный момент
времени равнялась нулю, а температура поверхности равнялась
единице. Параметрические уравнения точек эллипсоида, лежащих
в плоскости RZ, имеют вид
R = Lx cos ф, Z — L2 sin ф,
где ф — угол (рис. 4.17).
На рис. 4.17 представлены схема дискретного представления
и результаты численного решения для k = 1, Lx — 1 и L2 = 2.
Найденные значения температуры в центральной точке (R = Z =
= 0), результаты аналитического решения [31 ] и полученные
методом конечных элементов [29] с использованием параболиче-
параболических трехмерных изопараметрических элементов сопоставляются
на рис. 4.17. В методе конечных элементов использовался шаг по
времени At — 0,025, в методе граничных элементов — шаг Д^ =
= 0,05.

Задачи теории теплопроводности
191
Рис. 4.15. Зависимость и
от радиуса на поверхно-
поверхностях Z = ±/. Сплошная
кривая соответствует ана-
аналитическому решению,
точки — решению по ме-
методу граничных элемен-
элементов.
0,2 -
\ \
" V
@,8,0)x
i
\ i
\
\ ■—
V V io;o)
h
I
5,0,5)
0.8
0,6
0,2 -
0 , 0.1
0,2 0,3 0,ч 0,5
t
Рнс. 4.16. Зависимость темпера-
температуры от времени для некоторых
внутренних точек.
Рис. 4.17. Зависимость темпера-
температуры в центре вытянутого сфе-
сфероида от времени. Сплошная
линия соответствует аналитиче-
аналитическому решению.

192 Глапа 4
4.9. Нелинейная теплопрозоднэсть
До сих пор в данной главе рассматривались только линейные
задачи теплопроводности. Однако во многих практически важных
задачах линейность не сохраняется. Наиболее важные типы не-
линейностей, возникающие в связи с задачами теплопроводности,
обусловлены следующими причинами:
а) нелинейным материалом, когда коэффициент теплопровод-
теплопроводности зависит от потенциала и его градиента;
б) нелинейными граничными условиями, обусловленными,
например, излучением тепла;
в) наличием нелинейных источников внутри рассматриваемой
области;
г) наличием подвижных границ, что связано, например, с фа-
фазовыми нелинейностями.
Первый и второй типы нелинейностей могут быть исследованы
так же, как и в случае стационарных задач о потенциале
(разд. 2.15). Случай нелинейных источников можно исследовать
путем разбиения исследуемой области на ячейки и интегрирова-
интегрирования по ячейкам (интересным для практики случаем является про-
процесс неустановившегося горения [32]).
В этом разделе рассматривается применение метода гранич-
граничных элементов к задаче с подвижными границами, связанными
с фазовыми превращениями (затвердением или плавлением), —
так называемой задаче Стефана [33]. Эти исследования были вы-
выполнены Хуангом и др. [34—37]. Интерес также представляют
задачи с подвижными границами, встречающиеся в механике
жидкостей (разд. 12.3).
Для простоты в дальнейшем ограничимся случаем одномерных
задач. Рассмотрим сплошную вертикальную пластину, занимай?»
щую область —7 < х < /, в которой задано начальное распределе-
распределение температуры; в момент времени t = t0 эта пластина помещается
в расплав того же материала. Вопрос состоит в том, как будет
протекать процесс плавления или затвердения (рис. 4.18).
Граничную задачу о распространении тепла в твердой фазе
можно выразить в форме линейного уравнения
-^-Т^Г1-0' -*<«)< *<*(«). D-97)
где X (t) — зависящая от времени координата подвижной границы.
Граничные условия при х = ±Х (t) можно записать в форме
и (х, t) = и„, D.98>
q (х, t) = К (ди (х, t)/dx) = / @ - hu (х, t), D.99)
где функция / (t) характеризует движение границы фазовых со-
состояний материала, ир — температура фазового перехода (плав-

Задачи теории теплопроводности
193
ления), К — коэффициент температуропроводности материала
в твердом состоянии, h —• коэффициент теплопередачи («,„ К
н h полагаются постоянными). Начальное условие имеет вид
и (х, t) = и0 (х, to)> —l<x<.l, D.100)
причем X (t) = I при t = t0. Условие D.98) означает, что пластина
имеет на границе фазовых состояний температуру плавления; ра-
равенство D.99) является выражением условия теплового баланса
на подвижной границе.
Up
Материал в
расплавленном
состоянии
и.
материал в
расплавленном
состоянии
РнС. 4.18. Геометрия стальной пластины, помещенной в расплав.
Описанную выше задачу можно представить в эквивалентной
форме интегрального уравнения:
*F
и (|, tF) + kup j q* (I, x, t» 0|Si(x\/) dt =
= k\if (t) -
t
i, x, tF,
dt +
—i
+ J и {x, t) u* (I, x, tF, t) |ж=_х (о dx
+ J U(M, t)U*(\, X, t» 0U-X(O*f +
1
J«0(x, to)u*(l x, tf, to)dx. D.101)
Фундаментальное решение и* для одномерного случая опреде-
определяется выражением D.26).
Поскольку температура на границе фазовых состояний пла-
пластины соответствует точке плавления, взяв в уравнении D.101)
точку | на границе, получим, что единственной неизвестной функ-
7 Бреббия К- и др.

194
Глава 4
20'OOr
Рис. 4.19. Графики распределения тем-
\ пературы в стальной пластине до рас-
расплавлении.
Рис. 4.20. Зависимость положения гра-
границы плавления от времени.
0,4 0,Б
дгД.З)
0,6
ХШ/ХЮ)
цией в результирующем граничном интегральном уравнении будет
координата, определяющая положение подвижной границы X (t).
Таким образом, задачу можно решать численно, используя шаго-
шаговый процесс, в котором для определения положения границы за-
затвердения на каждом шаге по времени используется итерационная
процедура. Подробное описание данного подхода к решению при-
приводится в работах [34—37].
Пример 4.8. В этом примере, взятом из работы [35], рассма-
рассматривается стальная пластина, в начальный момент имеющая одно-
однородную температуру. В момент времени t = 0 пластина погру-
погружается в хорошо перемешанный расплав стали, температура кото-
которого выше температуры плавления.
Для такой задачи (рис. 4.18) граничные условия D.99) прини-
принимают вид
дх
ИЛИ
(а)
(б)
Здесь р — плотность, АН — скрытая теплота плавления, иь —
внутренняя температура расплава. При расчетах были исполь-
использованы следующие исходные данные:

Задачи теории теплопроводности 195
I = 0,0254 м; «„ - 294,3 К; и„ - 1811 К; иь ~= 1922 К; h --■
= 5,674 кВт/(ма.К); АЯ- 255,6 кДж/кг; k -= 10,33-10'° м*/с;
р = 7130 кг/м:<; К ~ 34,6 Вт/(м. К). В начальный момент времени
половина ширины пластины Хп -- 0,0254 м.
На рис. 4.19 и 4.20 приведены полученные в результате про-
проведенных расчетов графики распределения неустановившихся
температур и положения границы плавления в зависимости от
времени.
Координата границы плавления (рис. 4.20) после некоторого
переходного периода становится линейной функцией времени.
Это соответствует известному факту, что после некоторого началь-
начального периода времени температура всего бруса достигает точки
плавления, поэтому в дальнейшем плавление происходит с по-
постоянной скоростью. Данное утверждение можно легко прове-
проверить, сравнивая значение скорости плавления, получаемое из
уравнения (а), если там положить ди/дх = 0, со значением, при-
приведенным на рис. 4.20 для заключительного этапа процесса плав-
плавления. Соответствующие значения скорости | dX/dt \ равны
0,0345 м/с и 0,0341 м/с и достаточно близки друг другу.

Глава 5
Статические задачи теории упругости
5.1. Введение в теорию упругости
Часть этой главы посвящается изложению основных положе-
положений теории упругости, необходимых для построения различных
моделей метода граничных элементов. Глава начинается с изло-
изложения теории упругости при малых деформациях в соответствии
с тем, как это принято в известных учебниках A—5 ].
В гл. 6—8 рассматриваются задачи для пластичных, вязко-
пластичных, проявляющих свойства ползучести, а также нерас-
нерастяжимых материалов, т. е. задачи для неупругнх материалов, но
в данной главе исследуется только упругое поведение материалов.
Здесь и ниже используются тензорные обозначения в декарто-
декартовой системе координат. Эти обозначения не только экономят время
при записи громоздких выражений, но и исключительно полезны
при формулировке и доказательстве теорем. При этом нижние ин-
индексы 1, 2 и 3 используются для обозначения осей х, у и г; они же
делают излишним применение обычных символов суммирования,
заменяя их простым правилом повторения индексов. Так, в трех-
трехмерном случае имеем
@kh — ^11 \ ^22 ~Y ^33*
Кроме того, ниже используются абсолютно антисимметричный
тензор третьего ранга eii№ и символ Кронекера 8if
О при равенстве любых двух индексов;
+ 1, когда I, /, k равны соответственно 1, 2, 3
или составляют четную перестановку 1,
2,3; ^
— 1, когда i, /, k составляют нечетную пере-
перестановку 1, 2, 3;
g _ f 1 при i =- j,
11 \ 0 при 1ф\.
Здесь, если это не оговаривается специально, индексы принимают
значения 1, 2, 3 в случае трехмерных задач, для двумерных задач

Статические задача теории упругости
197
(плоское напряженное и плоское деформированное состояния)
они имеют значения 1 и 2. В данном разделе будет рассматриваться
трехмерный случай.
Внешние напряжения, которые могут действовать на тело,
бывают объемными или поверхностными. Объемные напряжения,
например гравитационные, действуют на малые элементы объема
или массы внутри тела. Эти напряжения определяются для еди-
единицы объема. Поверхностные напряжения действуют на поверх-
поверхность, ограничивающую тело, и относятся к единице площади, на
которой они заданы. На рис. 5.1 показаны растягивающне напря-
напряжения.
Если рассмотреть бесконечно малый прямоугольный паралле-
параллелепипед, внутри которого располагается заданная внутренняя
точка тела, легко видеть, чго условия статического равновесия
напряжений и моментов требуют, чтобы удовлетворялись уравне-
уравнения
аи, , + 6, = 0, E.3)
где через аи обозначены компоненты тензора напряжений, b-t —
компоненты объемных напряжений. Производные по пространст-
пространственным координатам обозначаются запятой: da^/OXj = otjj.
Кроме того, если в теле отсутствуют объемные моменты, то кз
условия равновесия следуют равенства
аи = а,;. E.4)
Если в некоторой точке известны шесть компонент тензора
напряжений, то соответствующие усилия pt в произвольной пло-
плоскости, проведенной через эту точку, можно определить из выра-
выражений
Pi = CTjjrtj,
где rij — направляющие косинусы нормали к площадке.
E.5)
Рис. 5.1. Напряжения (а), поверхностные усилия (б) и объемные силы (е).

198 Глава 5
Независимо от характера напряженного состояния всегда
можно выбрать такую систему координат в данной точке, в которей
касательные напряжения равны нулю. Направления таких спе-
специальных осей координат называются главными, а нормальные
напряжения, действующие в плоскостях, перпендикулярных
главным напряжениям, называются главными напряжениями.
Направления главных напряжений можно определить, рас-
рассмотрев соотношение
Pt == '-nt, E.6)
которое означает, что вектор равнодействующей параллелен нор-
нормальному вектору. Подставляя соотношение E.6) в формулу E.5),
получим
(аи-Х8и)п^-0. E.7)
Это соотношение представляет собой систему трех линейных одно-
однородных уравнений, которые при atj Ф 0 должны допускать суще-
существование нетривиального решения (ягл; — 1). Соответственно
имеем
|а„~Му = 0 E.8)
нли в развернутой форме
Я3 — /Д2 — /2>. — /3 -- 0, E.9)
где
г . 1 , I ,2
, E.Ю)
Значения главных напряжений, являющихся корнями куби-
кубического уравнения E.9), не зависят от того, в какой системе коор-
координат первоначально были заданы компоненты тензора напряже-
напряжений, т. е. они являются инвариантами напряженного состояния
в точке. Отсюда непосредственно вытекает, что 11: /2 и /3 также
инвариантны относительно любых поворотов осей декартовой си-
системы координат.
Можно показать, что три главных направления являются взаим-
взаимно перпендикулярными. Отсюда следует, что если рассматривае-
рассматриваемые оси выбраны так, что совпадают с главными осями напряжен-
напряженного состояния, то
13'=- <yta2as, E.11)
где at, о., и (Т-, — главные напряжения.
Во многих случаях бывает удобно расщепить тензор напря-
напряжений па две части, одна из которых называется сферическим

Статические задача теории yndyaoonVi I9S
тензором напряжений, другая — девиатором напряжений или де-
виаторным тензором напряжений. Сферический тензор напря-
напряжений atj связан с главными напряжениями соотношением
Оц=-^-ак„6и = -^116и, E.12)
а компоненты девиаторного тензора напряжений определяются
выражениями
Sii = ati-dlJ=atj--^-l16ii. E-13)
Главные направления напряжений девиаторного тензора совпа-
совпадают с направлениями тензора напряжений, и, как правило, легче
бывает вычислять главные девиаторные напряжения Sk, чем
напряжения ак. Если X обозначает одно из главных девиаторных
напряжений, то вместо уравнения E.9) можно записать
?„3_ J,X — J3 = 0, E.14)
где /,, J2 и J3 — скалярные инварианты девиаторных напряже-
напряжений, аналогичные тем, что определяются выражениями E.10),
в которых вместо atj подставлены Stf
Ji = o, Л = 4~^% J* =-г sltsiKshl. EЛ5>
Уравнение E.14) просто решается с помощью следующей подста-
подстановки [3, 6]:
I = 2 (/2/3I''2 sin a, E.16)
которая приводит к уравнению
2 G2'3K''2 [4 sin3 а — 3 sin a] = J3. E.17)
Выражение в квадратных скобках равно —sin За; таким образом,
имеем
sin За = —(Л/2) C//2K/2. E.18)
Полагая, что первое решение получается, когда угол За рас-
располагается в диапазоне +я/2 (т. е. —я/6 < а < л/6), два других
решения уравнения E.18) находим нз условия периодичности
тригонометрических функций sin (За -(- 2ял). Это дает три paS-
личных корня уравнения E.14):
Sk = 2 G,/3) sin ah, E.19)
где при Sx > S.2 > S3 имеем а, = а + 2я/3, а^ = а и а3 --- а -f-
+ 4л/3. Отметим, что главные напряжения можно найти нз про-
простого соотношения
а* = Sft т-Uo-. E-2°)

200 Глава 5
Креме того, параметр а (—я<'6 < а «£ л/6) также является инва-
инвариантом напряженного состояния, который можно использовать
вместо /3 прн определении напряженного состояния в точке. Этн
соотношения являются основополагающими для задач о неупру-
неупругом поведении материала.
Прн силовом воздействии тело изменяет свою первоначальную
конфигурацию. Если через Х( обозначить начальные координаты
принадлежащей телу точки Р, а через xt -{- U{ — положение
той же точки после деформирования тела, то м; назовем компонен-
компонентами перемещения, зависящими от координат xt. Если первые
производные перемещений настолько малы, что их квадратами и
произведениями частных производных от перемещении ut можно
пренебречь, то деформации можно представить в форме тензора
малых деформаций Коши
4s = -Y{ul,i + u1,i). E.21)
В общем случае малый элемент тела в процессе деформирова-
деформирования изменяет форму, перемещается н поворачивается. Рассмотрим
точку Р' с координатами Х( -\- dxt, расположенную вблизи
точки Р. Перемещение точки Р' относительно точки Р прн дефор-
деформировании равно
dui = ui,jdxj, E.22)
что можно представить в форме
diii = -g- (к,-, , + uj, t) dxj — -^-(tij, t — ih, j) dxj E.23)
или
dut = ei}dXj -- (Oijdxj, E-24)
где (O;j — тензор поворотов поля прн бесконечно малых перемеще-
перемещениях:
Из данных соотношений видно, что, хотя перемещение одно-
однозначно определяет тензор деформации, обратная задача нахожде-
нахождения перемещения с помощью тензора деформаций не является
простой. В первом случае деформации связаны с относительными
перемещениями, тогда как перемещения включают в себя движе-
движение тела как целого, которое не влияет на деформации. Решение
этой задачи можно тем не менее сделать единственным, задав
движение тела как целого (т. е. задав перемещения и повороты)
в некоторой точке тела. Более трудной задачей оказывается на-
нахождение с помощью выражения E.21) перемещений но известным
деформациям. Здесь получается система шести дифференциальных

Статические задачи теории упругости 201
уравнений для трех неизвестных функций ut, следовательно,
можно ожидать, что получить решения невозможно, пока не будут
заданы дополнительные условия. Этн условия дают уравнения
совместности, которые приводятся в учебниках по теории упру-
упругости:
Чц, hi -V е*/, и - f-;S, ji - е,],, ih = 0. E.26)
Это равенство является необходимым и достаточным условием
того, что компоненты деформации однозначно определяют пере-
перемещения для односвязных областей. Для многосвязных областей
это условие является необходимым, но в общем случае недоста-
недостаточным.
Следует отметить, что все представляемые до снх пор соотно-
соотношения не зависели от свойств материала, поэтому они могут
применяться как при упругом, так н неупругом (см. гл. 6) по-
поведении материалов.
Для изотропного упругого материала, в котором постоянна
температура, закон Гука, связывающий напряжения и деформа-
деформации, можно написать в виде
1^ E-27)
илн в обратной форме
где v — коэффициент Пуассона, G — модуль упругости при сдвиге.
А1одуль упругости при сдвиге связан с модулем Юнга Е и
коэффициентом Пуассона v соотношением
G = £/[2A +v)]. E.29)
Соотношение E.27) можно записать в более компактном виде
о ц = Ст1еы, E.30)
где С аи — изотропный тензор упругих постоянных четвертого
порядка, равный
сим ^ 1 _ 2V S*A< + G (б;Аг + 6iA*)- E.31)
Соотношения E.3), E.21) н E.27) представляют собой си-
систему 15 уравнений для 6 напряжений, 6 деформаций и 3 переме-
перемещений. Иногда подставляют выражение E.21) в формулу E.27),
с тем чтобы выразить напряжения через градиенты перемещений,
а затем результат подставить в уравнение E.3) и в итоге полу-
получить трн уравнения второго порядка в частных производных
относительно трех компонент перемещения. В результате этих

202 Глава 5
операций получается хорошо известное уравнение Навье, которое
можно представить в форме
Gub ы + -j-^27 "*■ w ~ b> = °- <5-32>
Это уравнение особенно удобно в том случае, когда на границе
задаются условия для перемещений. Используя, как и прежде,
соотношения E.21) и E.27), но, подставив их в данном случае
в выражение E.5), записанное для точек, лежащих на границе,
получим граничные условия для напряжений
—_Z^Uh,hni Г О («;, j — UU i) Hj = Pi, E.33)
где tij — компоненты единичного вектора, нормального к гра-
границе тела.
Интересно отметить, что, поскольку здесь условие равновесия
E.32) выражено через перемещения, не возникает необходимости
в уравнениях совместности деформаций. Перемещения нахо-
находятся из решения уравнений Навье и должны удовлетворять
граничным условиям. После того как для каждой точки найдены
компоненты перемещений uh из выражения E.21) определяются
деформации, а затем с помощью закона Гука вычисляются напря-
напряжения.
5.1.1. Начальные напряжения или начальные деформации
Для некоторых задач в описанных выше формулировках воз-
возможно учесть влияние, например, температур, начальных напря-
напряжений или деформаций. Если влияние нагрева учесть в форме
начальных напряжений, то получим
oii = 2Се,-;- -f —-g^-EfcA/ — d\j = a',- — crj,- =-- Ci/kfiki — ffl/, E.34)
где напряжения ai;- теперь представляют собой сумму упругих
напряжений а?,- и температурных компонент аТ/.
Для температурпо-изотропного материала напряжения а}/
определяются выражениями
A±^)„ E.35)
el,- = аТЬф E.36)
где а"— коэффициент линейного температурного расширения,
Г — разность температур.

Статические задачи теории упругости
5.2. Фундаментальное интегральное соотношение
Для того чтобы внести ясность в дальнейшее изложение,
сделаем одно предварительное замечание: во всей книге исполь-
используется представление о регулярной области, приведенное в книге
Келлога [7]. Для конкретности укажем, что здесь всегда рас-
рассматриваются только регулярные области, ограниченные регу-
регулярными поверхностями (не обязательно гладкими всюду), кото-
которые могут иметь углы и края. Распространение этого представле-
представления на бесконечные и полубесконечные области обсуждается
в следующем разделе.
Следуя тем же соображениям, которые приводились в предыду-
предыдущих главах, можно записать модифицированное уравнение ме-
метода взвешенных невязок, в которое войдут уравнение равнове-
равновесия E.3) и граничные условия. Условия для напряжений (пли
естественные граничные условия E.5)) имеют вид
Pi — Gjitij = pi на части Г2 границы, E.37)
где rij—внешняя нормаль; pf — напряжения, заданные на ча-
части Г2 границы.
К другому типу относятся граничные условия, выражаемые
через компоненты заданных перемещений. Пусть Тг — часть гра-
границы, на которой заданы перемещения, тогда имеем
И; = м( на части Т\ границы. E.38)
Заметим, что полной внешней границей тела является Г = I\ -f-
+ Г2. Разделение границы Г на две части следует понимать
так, что в физической точке можно реализовать два тина гранич-
граничных условий в различных направлениях или даже их комбинацию,
что имеет место в случае упругих опор.
В соответствии с методом взвешенных невязок можно записать
J К*. / + bk) и\ йп = j (рк — рк) u*kdT -f j (m* — «t) pt с/Г, E.39)
Q T2 Г,
где иъ и pi — перемещения и напряжения, соответствующие полю
весовых значений, а именно:
р1 = п,а%. E.40)
Предполагается, что соотношения E.21) между деформациями
и перемещениями, а также закона Гука E.27) применяются как
для аппроксимирующих, так и весовых функций.

204 Глава 5
Первое слагаемое правой части уравнения E.39) можно про-
проинтегрировать по частям, что дает
— j ajke']k dQ + | ьк'Л dQ = — j pki4 dT —
о й гг
\pkutdT+ \{uk-uk)pldT. E.41)
В соответствии с формулой E.30) напряжения можно представить
в форме
E.42)
Подставив это выражение в уравнение E.41), найдем
— Cjbueue'k dQ f j bku% dQ =
= - j pkut dT— I pktil dT + j [пк — Uk) pi dT. E,43)
Г, Г, Г,
Вновь интегрируя по частям первое слагаемое правой части
уравнения E.43) и учитывая соотношения закона Гука, т. е.
обусловленный симметрией тензора Сцм принцип взаимности
dQ, E.44)
получим
f Ojk.jUkdQ -f-
-= - f pktit dT— \ Pkii'k dT + j йкр\ dT \ j i(tp| dr. E.45)
Г Г Г Г
\
Г, Г,
Поскольку объемные силы являются известными функциями,
второй интеграл в левой части уравнения E.45) не будет давать
дополнительных неизвестных. Однако первый интеграл содер-
содержит неизвестные перемещения в области Q, граничные же инте-
интегралы в правой части уравнения содержат в качестве неизвестных
только перемещения и усилия на внешней поверхности тела.
В соответствии с идеей метода граничных элементов необходимо
исключить интеграл по области (первый интеграл в левой части
уравнения), задав поле весовых функций, которые удовлетворяют
уравнению равновесия в области Q.

Статическое задачи теории упругости
205
5.2.1. Тождество Сомпльяны
В данной книге представление о невязках и их минимизации
используется для того, чтобы стали более понятными типы исполь-
используемой аппроксимации и чтобы метод граничных элементов рас-
распространить на случай нелинейных задач. Однако при исполь-
использовании граничных интегральных уравнений в статических за-
задачах теории упругости обычно начинают с задания тождества
Сомильяны. Это тождество можно получить из соотношений вза-
взаимности E.44) следующим образом.
Г"
Рис. 5.2. Трехмерное тело с объ- Рис. 5.3. Обобщенная область среды
емом Й и границей Г.
Q* _|_ г*, заключающая в себе тело
Я -f- Г с теми же упругими свойствами.
Рассмотрим тело, занимающее область Q 4- Г, где Г — граница,
й — внутренняя область (рис. 5.2), и находящееся в состоянии
равновесия при действии некоторых заданных нагрузок и при
заданных перемещениях. Для этого состояния здесь введена
система обозначений atj, eu-, щ, pt, bt.
Возьмем далее область Q* с границей Г* (она может быть и
бесконечной), которая содержит в себе рассматриваемое тело
Q 4- Г (рис. 5.3). Как и прежде, предполагается, что эта новая
область находится в состоянии равновесия, которое характери-
характеризуется величинами а*/, е*;, и*, р! и заданными объемными си-
силами Ы, о которых будет сказано ниже. Если упругие характе-
характеристики в обоих случаях остаются одинаковыми, то интеграл
взаимности E.44) получается как следствие простой симметрии
введенных тензоров, а именно:
E.46)
= j &jka}k dQ..
Отметим, что здесь предполагается существование решения
для a*k, удовлетворяющего разрешающему уравнению, и, кроме
того, считается, что действительное решение удовлетворяет урав-
уравнениям равновесия. Такое предположение справедливо для при-

206 Глава 5
блнжепных решений, поскольку напряженное состояние внутри
тела будет описываться комбинацией решит» для внешней об-
области (обозначаемой звездочкой), которая по определению на-
находится в состоянии равновесия. Отметим, что при использовании
метода взвешенных невязок не требуется выполнять указанные
условия.
С целью получить уравнения равновесия в интегралах по
объему возьмем по частям интегралы в равенстве E.46), в резуль-
результате чего получим
[tik dQ -f- | piuк dl - | Ьки% dQ -f j p,M dT. E.47)
и f & г
Данное равенство соответствует второй теореме Бетти о взаимности
работ. Видно, что первое слагаемое левой части этого равенства
рйвно (с обратным знаком) аналогичному слагаемому в уравне-
уравнении E.45), а именно;
[ о]к, j ик dQ = — I bkUk dQ. E.48)
& а
Таким образом, уравнения E.47) и E.45) совпадают, если выпол-
выполняются граничные условия.
Уравнение E.47) можно преобразовать, полагая, что компо-
компоненты объемных сил £>| соответствуют положительным единичным
сосредоточенным нагрузкам, приложенным в точке £ £ fi* в на-
направлении каждого из трех взаимно ортогональных единичных
векторов е,-, что дает
Ь) = А (£, х) е,-, E.49)
где А (|, х) — дельта-функция Дирака; £ — особая точка; х £
£ Q* — точка пространства. Напомним, что дельта-функция
Дирака обладает следующими свойствами:
А (I, х) = 0 при Е Ф х,
А (|, х) = оо при | = х, '
\g(x)A(l, x)dQ(x) = g(l).
а'
В соответствии с этим, если £ £ й, первый интеграл в формуле
E.47) можно представить в виде
b)ii;dQ ~ lit (Da. E.51)

Статические задача теории упругости 207
Кроме того, если прикладываемые в точке сосредоточенные на-
нагрузки считать независимыми, то для перемещения и напряже-
напряжения со звездочками можно написать
«/ = иЬ (I. х) ei, pi = р*ц A, х) et, E.52)
где и*/ {I, х) и pi, (I, х) представляют собой перемещения и на-
напряжения, возникающие в точке х в r-м направлении и соответ-
соответствующие единичной сосредоточенной нагрузке, действующей
в 1-м направлении (направлении единичного вектора е,-) и при-
приложенной в точке |.
Из сказанного следует, что уравнение E.47) можно перепи-
переписать для каждой из трех компонент перемещения в точке | в виде
«,-£)= [«</& x)pi(x)dT(x)~
г
- [ pi, (£, х) и,- (х) с!Г (х) |- ( «?/ (g, х) Ь,- (х) dr (дг). E.53)
г г
Уравнение E.53) известно как тождество Сомильяпы для переме-
перемещений [8] и было получено им как взаимное с сингулярным реше-
решением уравнения Навье
Си). kk + -j-^ ul. kl + Д (g, x) e,- - 0. E.54)
Решения этого уравнения называются фундаментальными ре-
решениями.
Уравнение E.53) было получено иным способом — путем рас-
рассмотрения взвешенных невязок [9, 10]. Подобная процедура об-
обладает тем достоинством, что носит более общий характер и позво-
позволяет в дальнейшем распространить подход на более сложные
дифференциальные уравнения.
5.3. Фундаментальные решения
Следуя определению фундаментального решения, введенного
в предыдущем разделе (см. уравнение E.54)), здесь будут по-
получены другие сингулярные решения уравнения Навье примени-
применительно к рассматриваемой области О* -|-Г* (рис. 5.3).
В первом из рассматриваемых классов й* — бесконечная
упругая среда и соответственно Г* — бесконечная граница.
Этот случай соответствует полученному Кельвином [1] фунда-
фундаментальному решению. Тогда соответствующие выражения для
фундаментальных перемещений (см. выражение E.52)) имеют
вид [9, 10]
( ) К3

208 Глава 5
для трехмерного случая и
иЬ & х) Г [C
C - 4v)ln W 6" - '• ""■'] E-56)
для двумерных задач в случае плоского деформированного со-
состояния.
Для напряжений на границе имеем
— A -2v)(>, М-г^пЛ, E.57)
где а = 2, 1; р = 3, 2 соответственно для трехмерных задач и
задач плоского деформированного состояния. Здесь г = г (£, я) —
расстояние между точкой \, к которой прикладывается нагрузка,
и некоторой точкой х пространства, производные этой функции
берутся по координатам точки х, а именно:
г = (/У,I "\ г, = х,(х)-х,A), r^-^dr/dXiM^ri/r. E.58)
Деформации е** в произвольной точке q, обусловленные единич-
единичной сосредоточенной нагрузкой, приложенной в точке | и направ-
направленной вдоль i-й оси, имеют вид
— ^ «6/h-|-p/-, j/-, j/-, h], E.59)
а для напряжений можно написать
<*; E Л) Г [A
+ $г,,г,]Г,к). E.60)
Приведенные выражения для плоского деформированного состоя-
состояния будут справедливы и для плоского напряженного состояния,
если v заменить на v = \7A +v).
Для того чтобы показать некоторые особенности такого фун-
фундаментального решения, а также сделать более ясным последую-
последующее изложение, рассмотрим переход от трехмерной задачи к за-
задаче о плоском деформированном состоянии. Сразу отметим, что
в трехмерных задачах перемещения и*/ стремятся к нулю при
г -»- оо. В двумерных задачах это не так, поскольку иг, -» °°
при г -»- оо из-за присутствия логарифмической функции в выра-
выражении E.56). Такое поведение в двумерном случае не представ-
представляет собой чего-либо неожиданного. Например, с физической
точки зрения можно рассмотреть случай полубесконечного
стержня, координата которого у. изменяется от х (А) --- 0 до
.v (В) -у оо. Предполагая, что конец В жестко закреплен, и

Статические задачи теории упругости 209
прикладывая в точке А осевую нагрузку в положительном на-
направлении, получим в стержне постоянные деформации. Тогда
после интегрирования найдем, что и (А) ->- оо. С другой стороны,
если перемещение в точке А отсчитывать от некоторой точки С,
которая находится на конечном расстоянии от точки А, то пере-
перемещение и (А) будет конечным, а и (С) = 0 и и (В) ->■ —оо.
Этот простой пример ясно показывает физическую природу
выражения E.56) и может быть использован для объяснения пе-
перехода от трехмерной задачи к двумерной путем интегрирования
по координате х3 (£). Итак, рассмотрим следующее выражение
для перемещений в трехмерном случае:
«*/ (£. х) -^ а г, - «,*,- =
где перемещения иц определяются выражением E.55); iifj =
= ufj (Е, х) — перемещения в некоторой точке х, лежащей на
перпендикуляре к i'-му направлению действия силы, проходящем
через точку |. Кроме того, имеем
х3 (х) = х3 (х), r = r(t х) ={r\-\- II'2. E.62, 5.63)
Выражение E.61) можно использовать для нахождения фунда-
фундаментальных решений для двумерного случая с помощью формулы
[«?,-(£, *)]дву«= J й;у(|( x)dx3(l), I, /- 1, 2, E.64)
содержащей интегралы вида
1
(
2
dr3 - —2 In r,
E.65)
-;
г.г, f y.+\T., dr3 - ^р- - 2Л ,г,г E.66)
Из приведенных выше соотношений можно легко получить выраже-
выражение E.56). Отметим, что перемещения равны нулю в точках х
(зависящих от направления действия нагрузки).
Второй класс фундаментальных решений относится к задачам
для полупространства. В этом случае область Кельвина разби-
разбивается бесконечной горизонтальной плоскостью Г и нижняя
часть этой области обозначается Q* -j- Г*. Таким образом, теперь
рассматривается полубесконечная среда с плоским участком Г*,

210
Глава 5
Рис. 5.4. Тело, занимающее область
£2 -^ Г и помещенное в полубескопеч-
ное пространство х1 > 0.
представляемым поверхностью
Г. Предполагается, чтоэто ниж-
нижнее полупространство содержит
область Q, + Г, а плоскость
х, = 0 берется в качестве гра-
граничной поверхности Г, которая
в данном случае считается
свободной от напряжений
(рис. 5.4).
Распределение напряжений,
обусловленных действием со-
сосредоточенных нагрузок, при-
приложенных внутри изотропной
полуплоскости, былс дано Ме-
лаиом [11). Решение эквивалеитиой трехмерной задачи (рис. 5.5)
было дано Миидлином [12], который получил не только напряже-
напряжения, по также и соответствующие им перемещения при действии
сосредоточенных нагрузок, приложенных внутри полупространст-
полупространства. Применение фундаментального решения Миндлина к
граничным элементам было описано в работе Накагума
[131, цель данного раздела состоит в представлении в явном
виде решения задачи Мелаиа (включая и перемещения) с
целью применения этого решения в методе граничных элемен-
элементов.
Анализируя процедуру, используемую А^индлииом [121, можно
видеть, что в явном виде фуидамеитальиое решение для полупро-
полупространства получается с помощью суммирования 18 ядер деформа-
деформации (см. книгу Лява [1]),
полученных из решения
Кельвина (по шесть для каж-
каждой из трех компонент силы).
Кроме того, первое сингу-
сингулярное решение для каждого
направления нагрузки оказы-
оказывается фундаментальным ре-
решением Кельвина, соотретст-
вующпм выражениям E.55)—
E.60) для трехмерного
случая. Все другие ядра со-
содержат координаты мнимой
Г ^- + -"
точки приложения нагрузки
относительно поверхности Г.
Это позволяет удовлетворить
условию Обращения в нуль
папряжешш на поверхности
Рис. 5.5. 1 шмефия приложения едннич-
1|Ь;:< сосредоточенных нагрузок внутри по-
лупросфянства (\ps | — | р..\ = \г,\ = 1).

Статические задачи теории упругости 21 i
полупространств;!. Таким образом, этот класс решений можну
представить в форме
( Г = ( Т i ( У, E.67)
где обозначения ( )k и ( )с относятся соответственно к реше-
решению Кельвина (выражения E.55)—E.60) для трех- и двумерных
решений) и к дополнительному решению.
Чтобы избежать излишних повторений, в дальнейшем будет
обсуждаться только дополнительная часть решений. Но при
этом всегда подразумевается, что полные выражения для
фундаментальных решений определяются соотношением типа
E.67).
Полная система выражений для перемещений и напряжений
в трехмерных случаях приводится в статье Миндлииа. Для того
чтобы получить фундаментальные решения для плоского деформи-
деформированного состояния, можно использовать процедуру интегриро-
интегрирования, уже упоминавшуюся в связи с задачей Кельвина, как было
показано Теллесом и Бреббия [14], также можно получить в яв-
явном виде и фундаментальное решение для полуплоскости. Допол-
Дополнительные решения для различных случаев приведены в прило-
приложении Б.
5.4. Напряжения во внутренних точках
Выражения E.53) дают непрерывное распределение перемеще-
перемещений в произвольной точке £ (; Я, и напряженное состояние в этой
точке можно изучить, дифференцируя функции E.53) по коорди-
координатам в точке | и получая таким образом тензор деформаций,
а затем подставляя найденные величины в закон Гука. Окончатель-
Окончательное выражение имеет вид
оц (£) = f u'ilk (I, х) pk (x) dT (x) — f ptik (g, x) uk (x) dT (x) \-
г г
u}ik E, x) bk (a-) dQ (x). E.68)
Отметим, что дифференцирование производилось под знаком ии-
теграла. Очевидно, что это допустимо для граничных интегралов,
но для слагаемого с объемной силой требуется специальное дока-
доказательство. Этот вопрос затрагивается в гл. 6, где обсуждается
неупругое поведение материала и дано строгое обоснование воз-
возможности применения описанной процедуры

212
Глава о
ii'i тензор, соответствующий фундаментальному решению
Кельвина, можно записать в чиде
H'ljk -- — а?,-.., E.69)
[A — 2v) &цг, k + v Fjft/-. / -[- бд/-,,-) —
дг
~ У, i'', /■ /■] "I" PV ('V, /, /i 1 "/> ir, ft) "I" A - 2
-1 «A* : Л;О)А)-A -4v)nAo,v}. E.70)
где а = 2 и 1, f> — 3 и 2, у --- 5 п 4 соответственно для грех-
и двумерных задач. Отметим, что обозначение
;-, i ::- *'/5х; (х) = —дг/dxi Ц) E.71)
было введено ранее.
Выражения для дополнительных частей тензора, соответству-
соответствующего фундаментальному решению для полуплоскости, представ-
представлены в работе Теллеса и Бреббия [14]. Решение Миндлииа полу-
получено на основе такого же подхода.
5.5. Граничное интегральное уравнение
В предыдущих разделах был дан вывод тождества Сомильяны,
но не было указано различие между использованными при этом
фундаментальными решениями. В данном разделе предлагается
сначала рассмотреть решение Кельвина и
применить его для решения задач для по-
полупространства, где может выявиться пол-
полное преимущество условия обращения в
нуль напряжений на границе.
Рассматривая случай решения Кель-
Кельвина, видим, что тождество Сомильяны не
удовлетворяется для получаемых решений,
если не известны перемещения и напря-
напряжения на границе Г (объемные силы всегда
считаются заданными). Поэтому интересно
исследовать предельную форму выражения
E.53) при перемещении точки £ к границе.
Предположим сначала, что тело может быть
представлено так, как показано на рис. 5.6, при этом точка | рас-
рассматривается как внутренняя точка, окруженная сферической по-
поверхностью радиуса е, тогда выражение E.53) можно записать в виде
«г A) = j _ utj (|, х) Pi (x) dr (x) —
г-г£+ге
- j Pa (I. x) u, (x) dT (x) -f f u^ (I, x) b, (x) clQ (X). E.72)
r-rp_+fE -Q/
Рис. 5.6, Особая точка
на границе, окруженная
сферической поверхно-
поверхностью.

Статические задачи теории упругости 213
Рассмотрим теперь предел каждого интеграла, входящего
в выражение E.72), при е ->- 0. Первый интеграл можно записать
в виде
lim j p'j (I, x) Uj (x) dY (x) =
= lim \p*i(l, x)Uj(x)dY(x)-\-lim } p*i} (E, x) u,- (x) dY (x), E.73)
fE f-ur-re
где для первого слагаемого правой части этого равенства получаем
lim j ptj (I, x) tij (x) dY (x) = lim j p?,- (g, x) [a, (x) Uj (|)] dT (x) |-
lim Г и,-(|) (
E-° L f"P
E.74)
Ясно, что первый интеграл в правой части равенства E.74) обра-
обращается в нуль при выполнении условия непрерывности функции
Uj (x). Второй интеграл в правой части и интеграл в левой части
выражения E.72) можно представить в форме
си (I) = Г6.7 -V Иш j Ph (I. x) dT (x) 1. E.75)
L гв J
Возвращаясь вновь к выражению E.73), видим, что второй ин-
интеграл в его правой части может быть взят в смысле главного
значения [15], которое будет существовать, если функции tij (x)
удовлетворяют в точке % условию Гельдера 171
\uj(x)-Uj(l)\<Bra, E.76)
где В и а — произвольные положительные постоянные.
Остальные интегралы в выражении E.72) не содержат сингу-
лярностей специального вида и их можно понимать как интегралы
в обычном смысле. Поэтому при е.—>■ 0 приходим к следующему
уравнению:
сц (I) «/ (I) + \ Pii it x) и, (х) dV (х) --.
г
= f «,7 (I. x) Pi W ^Г (X) -f j uif (|, x) bj (x) dQ (x), E.77)
Г Q
где интеграл в левой части понимается в смысле главного зна-
значения.
i Уравнение E.77) справедливо как для трех-, так и для дву-
двумерных задач и представляет собой соотношение, которое должно
выполняться между перемещениями и напряжениями на поверх-

214 Г лапа 5
иостн, а также объемными силами. Поскольку объемные силы
всегда известны, нетрудно видеть, что при заданных граничных
условиях это уравнение представляет собой граничное интеграль-
интегральное уравнение относительно значений функций на границе. Это
важное обстоятельство придает наибольшую привлекательность
этому уравнению, которое оказывается весьма подходящим для
исследования численными методами.
Коэффициенты са (g) определяются выражениями E.75). Если
в точке | можно провести касательную плоскость, то имеем Сц (|) =
=- б(/2; в том случае, когда этого сделать нельзя, выражения для
этих коэффициентов в явной
форме были получены в рабо-
работах' [16, 17J для двух- и трех-
трехмерных задач. Однако для
практического использования,
как будет показано ниже, коэф-
коэффициенты Сц и соответствующее
главное значение можно найти
Рис. 5.7. Тело, часть границы Г кото- косвенным путем, используя
рого совпадает с поверхностью полу- уравнение E.77) для нахожде-
бесконечного пространства. НИЯ движения тела как це-
целого.
Уравнение E.77) является исходным в методе граничных эле-
элементов, где используется фундаментальное решение Кельвина.
При рассмотрении решений задачи для полупространства было бы
интересно начать с пересмотра тождества Сомильяны, с тем чтобы
выявить возможность упрощения этого уравнения, не упоминав-
упоминавшуюся ранее. Если часть границы рассматриваемого тела совпа-
совпадает с поверхностью полубесконечного пространства Г (рис. 5.7),
то интеграл по этой части границы от функций рЬ, будет тожде-
тождественно равен нулю, поскольку фундаментальное решение полу-
получено для условия, когда напряжения на границе равны пулю.
В результате тождество Сомильяны можно переписать в следующей
форме (для трех- или двумерных задач):
и,- (|) = J Utj (|, х) pj (x) dT {x) —
г
- | Pij (I. x) tij (x) dr (x) I- j и*ч (I. x) bj (x) dQ (x), E.78)
где Г' — часть границы Г при хх > 0. Кроме того, уравнение
E.78) можно без каких-либо дополнительных преобразований
применять в том случае, когда точки приложения нагрузки лежат
иа поверхности Г—Г' полупространства. Действительно, когда
с —■ 0 (см. рис. 5.5), сингулярность, которая присутствует в пер-

Статические задачи теории упругости 215
вом интеграле в правой части выражения E.78), можно проин-
проинтегрировать обычным путем. Более того, если в исследуемой за-
задаче выполняются условия равенства нулю напряжений (р, (х) =
= 0) на некоторой части Г—Г' границы, то эту слабую сингуляр-
сингулярность также можно устранить, рассматривая точки приложения
нагрузки, лежащие на этой части границы, как внутренние точки.
Как будет показано в дальнейшем, описанные выше свойства
постановок задач для полупространства играют важную роль
в методе граничных элементов.
Благодаря регулярному характеру дополнительных выраже-
выражений (см. формулы (Б.1)—(Б.12)) применение соотношения E.78)
для точек приложения нагрузок, лежащих на границе Г', поро-
порождает точно такие же сингулярности, как и при использовании
только решения Кельвина. В результате получаем следующее
уравнение:
с„(Б)и,(|)+ \pt,(t, x)ul{x)dY{x) =
Г'
= [ ui, (I, х) Pi (x) dT (x) -f f ui, (I x) b, (x) dQ (x), E.79)
Г Q
в котором стоящий в левой части интеграл понимается в смысле
главного значения, а функции ci;- (g) соответствуют только реше-
решению Кельвина, являющемуся частью фундаментального решения.
Поэтому на гладких поверхностях имеем си = Ьц/2, что отме-
отмечается и в работах [16, 17].
С помощью уравнения E.79) можно рассмотреть также и спе-
специальный случай, когда нагрузка прикладывается на стыке гра-
границ Г' и Г. Однако в этом случае предельные соотношения содер-
содержат другие выражения для функций Сц. Это различие не вызывает
каких-либо особых трудностей, и соответствующее выражение
для си можно получить, используя уравнение E.79) для перемеще-
перемещений тела как целого.
В заключение отметим, что уравнение E.79) можно в общем
случае рассматривать как результат применения уравнения E.78)
для произвольной лежащей на границе Г—Г' точки приложения
нагрузки, если Сц — 6;>
Следуя подходу, изложенному в разд. 5.4, производные функ-
функций E.78) по координатам точки приложения нагрузки можно
подставить в соотношения для закона Гука и получить частный
вариант выражений E.68):
оц (?) =- I' «*> (S, *) pk (х) dT (x) - f pblk (|, x) uk (x) dr (x) +
f f'
+ ["//*(£. x)bk(x)dQ(x). E.80)

216 Глава 3
Отметим, что если в рассматриваемой задаче требуется удовлетво-
удовлетворять условию равенства нулю напряжений (ph (х) = 0) иа части
Г—Г' границы, то напряжения в граничных точках, лежащих
иа этой части границы, также можно получить с помощью выра-
выражения E.80).
В уравнениях, приводившихся до сих пор, присутствовали
объемные силы. В следующем разделе слагаемое, обусловленное
этими силами, будет для простоты опущено, а детальное рассмо-
рассмотрение его влияния приведено в разд. 5.14. Однако следует упомя-
упомянуть, что во многих практических задачах можно избежать вклю-
включения интеграла по области, воспользовавшись некоторыми спе-
циальицми процедурами, например найти частное решение, соот-
соответствующее объемным силам, и как заданное поле напряжений
наложить его иа решение, получаемое методом граничных элемен-
элементов. Более интересный подход был предложен Риццо и Шиппи
[18], которые показали возможность преобразования интеграла
от объемных сил в поверхностный интеграл. Этот подход был при-
применен к некоторым самым общим случаям объемных сил, таких,
как гравитационные, центробежные, возникающие при вращении
вокруг фиксированной оси, а также для решения задачи об уста-
установлении температуры. Единый подход для решения подобных
задач (как двумерных, так и трехмерных) представлен в разд. 5.14.
5.6. Бесконечные и полубескоиечные области
Все обсуждавшееся до сих пор в этой главе относилось к ко-
конечным объемам. В данном разделе будет показано, что получен-
полученные ранее выражения (осиоваииые на фундаментальном решении
Кельвина) могут быть использованы и в случае внешних задач
для бесконечных регулярных областей. Как и прежде, будем
следовать соображениям, заимствованным из книги Келлога [7].
Таким образом, под регулярной областью подразумевается об-
область, ограниченная регулярной поверхностью (отсюда и название
«ограничивающая поверхность») и содержащая все достаточно уда-
удаленные точки. Кроме того, будет показана возможность распро-
распространения этого подхода и на задачи для полубесконечного про-
пространства с полостями и без них. Поэтому все последующее будет
обобщено таким образом, чтобы включить и такие случаи.
Уравнение E.77) нельзя применять к бесконечным регуляр-
регулярным областям, не задавая дополнительных гипотез для исполь-
используемых функций. Эти гипотезы касаются поведения функций на
бесконечно удаленной поверхности и определяются как условия
регулярности.
Пусть (> — радиус сферы, ограниченной поверхностью Гг,
с центром в точке g. Внутри сферы имеется полость (пли

Статические задачи теории упругости
217
несколько полостей). Расс'мэтрим для данного тела внешнюю
задачу (рис. 5.8).
Уравнение E.77) для области, ограниченной поверхностями Г
и Гр, можно записать в виде
СИ (I) ui (?) + [ Ph (S. х) «/ (*) dr (х) -т I Pq (I, х) и, (х) dT (х) -
^ f uf, (|, x)Pl (x) dT (x) -J- j </?,- A. x) p,- (Л") г/Г (x). E.81)
f гр
Очевидно, что, если рассматривается предельный случай [> -*-
-*■ оо, уравнение E.81) можно записать с помощью лишь
граничных интегралов, если выполняется
условие
lim I [pli(l,X) Ui(x)—ulj(t,x) р/(х))йГ(х) =
р^°"гр
= 0. E.82)
Для трехмерных задач имеем (х <с Гр)
dT (х) = | G | Ар dQ при | G \ = О (р3),
= О (Р~ ), РЬ (I, х) = О
)
E.83)
Рис. 5.8. Сферическая
область радиуса (> с по-
полостью.
где символ О ( ) характеризует асимп-
асимптотическое поведение при р—>-оо, Следо-
Следовательно, если большинство функций Uj (x) и pj (x) ведут себя на
бесконечности как р~' и р~2, то условия регулярности выполняют-
выполняются. Отметим, что если общая нагрузка, приложенная па границе
полости, не является самоуравновешенной, то из принципа
Сен-Венена [3] следует, что функции Uj (х) и р,-(х) будут
вести себя как фундаментальное решение для сосредоточенной
силы, совпадающей по направлению с равнодействующей нагруз-
нагрузки. В результате получаем Uj = О (р) и р } (х) --■- О (р~2), а это
гарантирует, что все слагаемые выражения E.82) стремятся к
нулю независимо друг от друга.
Для двумерных задач соотношения E.83) принимают вид
\dtp, |C| = O(p),
О (In р [-1), i =
■"•'*■*>-
1Ф1.
E'84)
Отсюда видно, что для обращения в нуль каждого интеграла
по поверхности в выражении E.82) при р —>- оо необходимо,
как и прежде, выполнение условий Uj (х) — О (р) и р,- (х) —

218
Глаза 5
т-г
= О (р 2) [19]. Этот случай, однако, ие соответствует поведению
на бесконечности фундаментального решения. Основываясь на
тех же соображениях, что и в трехмерном случае, можно подста-
подставить вместо и} (х) и р, (х) выражения, соответствующие фундамен-
фундаментальному решению двумерной задачи, и проверкой убедиться,
что соотношение E.82) выполняется. Единственное отличие со-
состоит в том, что оба слагаемые этого соотношения ие стремятся
к нулю независимо др>г от дру-
друга, а взаимно уничтожаются при
() ~> оо.
Приведенные рассуждении со-
содержат сильное условие, что тре-
требование регулярности выполняет-
выполняется всегда, если функции «, (.v)
и Pi (x) ведут себя по крайней ме-
мере как фундаментальное решение
иа бесконечности. Это утвержде-
утверждение будет справедливо и для
полубесконечных тел, где соответствующие условия налагаются
фундаментальными решениями для полупространства и полупло-
полуплоскости. Сюда же относится и интересный случай, когда нагрузка
приложена на части границы Г (рис. 5.9).
Рис. 5.9. Полусферическая область
радиуса р с полостью (или без
нее).
Рис. 5.10. Правило проведения нормали (а— внешняя задача, б— внутренняя
задача).
В заключение отметим, что если условия регулярности вы-
выполняются, то задачи о полостях во внешней области можно
представить в ином виде (см. рис. 5.8) для бесконечных областей
(решение Кельвина):
си (l)iij (s) + j pi, (Б, и) и, (х) dV(x) = f ujf (|, x) pj (x) dT (.v), E.85)
г г
а для полубескоиечных областей, которые могут иметь нагрузки
па участке Г—Г' границы (рис. 5.9), уравнение имеет вид
сч Ц) iij A) Ь | Рп (I- ") "/ W dT (х) ^ \ н?,. A, a-) Pj (х) dT (х). E.86)
Г' Г

Статические задачи теории упругости 219
Очевидно, что выводы, содержащиеся в этом разделе, спра-
справедливы для тождества Сомильяиы и гарантируют более сильную
регулярность функций напряжений во внутренних точках. Отме-
Отметим, что для внешних задач с полостями интегральные уравнения
имеют ту же форму, что и для внутренних задач, отличаясь лишь
направлениями нормального вектора и, как показано на рис. 5.10.
5.7. Численная реализация
В этом разделе будет описана общего вида численная процедура
решения граничных задач механики твердого деформируемого
тела. Для того чтобы сосредоточить внимание на главных момен-
моментах данного процесса, можно представить единым образом (объем-
(объемные силы для простоты опускаются) различные формы граничного
интегрального уравнения, введенные в предыдущих разделах:
сц © Щ (Б) if Pb (£, х) и, (х) с!Г (х) = \ и}, (I, х) Pj (х) dT (.v). E.87)
г г
Здесь в зависимости от вида используемого фундаментального
решения (для бесконечного или полубсскоиечиого пространства)
выбирается соответствующее выражение для ctj (£) и в первом
интеграле вводится замена Г на Г'.
Вместо попытки найти решения уравнения E.87) в явном
виде, что является трудной задачей, решить которую можно лишь
для тел простой геометрии и несложных граничных условий,
в методе граничных элементов используется численный подход.
Основные этапы этого подхода, составляющие его сущность (см.
гл. 2 н работы [19, 20]), можно определить следующим образом:
а) граница Г разбивается на ряд элементов, на которых пере-
перемещения и усилия задаются в форме кусочных интерполирующих
функций между узловыми точками элементов;
уравнение E.87) записывается в дискретной форме для
каждой точки | границы Г и вычисляются'интегралы (обычно по
схемам численного интегрирования) по каждому граничному
элементу. В результате получается система N линейных алгебраи-
алгебраических уравнений относительно .V напряжений и N перемещений
в узлах;
в) налагаются граничные условия и соответственно задается
N узловых величин (напряжения илн перемещение в каждом узле
и каждом направлении). Для нахождения остальных граничных
величин стандартными методами решается система N уравнений.
Значения перемещений и напряжений в произвольной внутрен-
внутренней точке можно легко найти по формулам численного интегри-
интегрирования, используя соответствующие уравнения (например, урав-
уравнения E.53) п E.62) или E.78) п E 80)) также в дискретном пред-
представлении. Отметим, что неравные нулю объемные силы можно

220 Глава 5
учесть с помощью простой схемы численного интегрирования,
которая дает в результате некоторую добавку к свободному
члену системы уравнений и аналогичную добавку к перемещениям
н напряжениям во внутренних точках. Полное исследование влия-
влияния объемных сил содержится в разд. 5.14.
При дискретном представлении уравнения E.87) граница Г
задается с помощью набора элементов. Декартовы координаты
точек, лежащих внутри элемента Г;-, выражаются через интерпо-
интерполирующие функции ЧГ и координаты Хт узлов элемента с помощью
матричного соотношения
х = ЧТх'п, E.88)
где через л: обозначены координаты хъ х2 и х3 трехмерных задач.
Аналогичным образом аппроксимируются на каждом элементе
перемещения и напряжения на границе с помощью интерполиру-
интерполирующих функций
и = ФТип, р =- Фтр\ E,89)
где и" и р" — соответственно перемещения и напряжения в узлах.
Отметим, что индекс т в выражении E.88) обозначает номера
граничных точек, требующихся для описания геометрии каждого
граничного элемента, а индекс п в выражениях E.89) обозначает
номера граничных узлов, которым соответствуют узловые значе-
значения перемещений и напряжений. Эти номера могут быть в общем
случае различными при условии, что, как показано в разд. 3.7,
выполняется неравенство т. < п для того, чтобы удовлетворялись
условия перемещения тела как целого.
Теперь будет удобнее работать с уравнениями в векторной,
а не тензорной форме записи. Для этого можно ввести обобщенный
вектор перемещений и и вектор напряжений р:
р = Pa • E.90)
а =
Кроме того, можно ввести следующие две матрицы:
ц"=-\«*, «г., «:, , р* = />:, pi, р:л, E.91)
Ь'л «з, «*J Lp.ti p'ji p'<\
где u'if и pi, — соответственно перемещения и напряжения в рас-
рассматриваемой точке в /-м направлении при действии единичной
силы в |-м направлении.

Статические задачи теории упругости
221
Наицшем сначала уравнение E.87), не задавая каких-либо
граничных условий:
CtjUj - Ь { p'ijtij dT =-- j u'apj dT. E.92)
г f
Это уравнение можно представить в матричной форме
си+ ]p*udr= | u*pdV.
г г
E.93)
Оно справедливо для сосредоточенной нагрузки, приложенной
в точке £г границы. Отметим, что р* и и*— известные функции,
с можно определить аналитически или из условий движения тела
как целого (см. разд. 5,8). Неизвестными являются значения и
и р на границе.
5.8. Граничные элементы
Предположим теперь, что граница разбита па элементы. Они
могут быть постоянными, линейными, квадратичными или более
высокого порядка — треугольными или четырехугольными. На
рис. 5.11, а показано тело, граница которого разбита на постоян-
постоянные элементы. В подобных элементах считается, что неизвестные
заданы в центре элемента и имеют постоянное по всему элементу
значение. В случае, показанном на рис. 5.11, б, неизвестные изме-
изменяются по линейному закону, а на рис. 5.11, в — по квадратич-
квадратичному закону. Кроме того, квадратичЕШми функциями описывается
и геометрия элемента. Отметим, что в постоянных элементах усло-
условие т < п (т. е. условие, что функции, используемые для аппро-
аппроксимации неизвестных величин, имеют такой же или больший
порядок, чем функции, описывающие геометрию) ие выполняется.
Это будет приводить к появлению перемещений тела как целого и
легко обнаруживается в таких случаях, как прогиб жестко закреп-
закрепленной на одном конце (и свободной на другом) балки, а также
и в других задачах с перемещениями тела как целого.
Узлы
Рис. 5.11. Трехмерные тела, граница которых разбита на треугольные элементы
(а — постоянные; б — линейные; в — квадратичные).

222
Глава 5
Величины и и р можно аппроксимировать на каждом элементе
с помощью интерполирующих функций (см. выражение E.89)):
и ==Фта", р^Фтр". E.94,5.95)
Отметим, что интерполирующие функции для и и р в общем слу-
случае могут быть различными. Для совместности может оказаться
лучшим взять функции для р па один порядок меньше, чем для и.
Интерполирующие функции уже обсуждались в гл. 3, И" и р" —
узловые перемещения и напряжения.
Приведенные выше выражения можно подставить в уравнение
E.93), тогда в каждой точке |; имеем
N
У
си
N
[ р'ФтйГ\ и" -= У
* !
а*ФМГ\ р", E.96)
где суммирование но / от 1 до Л' выполняется для Л' элементов на
поверхности тела, Vj -- поверхность элемента.
Интегралы, входящие в уравнение E.96), обычно определяются
численно, а функции Ф представляются в той же однородной
системе координат, что и описанная в гл. 3. Затем интегралы
следует записать в однородной системе координат, обозначаемой
через 1ц, %, для которой элемент поверхности равен
dr = |G|dTiidtl2- E.97)
Поскольку уравнение E.96) интегрировать сложно, обычно
используется одна из схем численного интегрирования, когда
уравнение E.96) принимает вид
Л'
У
N
и"
P\
E.98)'
— весовые
Здесь | G | — якобиан для трехмерного случая, щ
коэффициенты при численном интегрировании.
Отметим, что уравнения E.98) представляют собой систему
алгебраических уравнений для (-го узла:"
.. hn... hir]

Статические задачи теории упругости
223
= [gngit ■■■ gii--- gir]
E.99)
Pi
Pt
Pr
где и, и Pj— неизвестные.величины в /-м узле, htj и ga— коэф-
коэффициенты, характеризующие связь (-го узла со всеми остальными
узлами на поверхности тела. Отметим, что, за исключением
случая постоянных элементов, подматрицы И.ц и g^- имеют поря-
порядок, больший единицы CX3 в трехмерном случае и 2X2 в дву-
двумерном).
5.9. Система уравнений
Для каждого рассматриваемого узла можно записать матрич-
матричное уравнение в E.99); объединив их, получим
. • • flu ... Air
fin fii2 ... tin ■ ■ ■ hir
h,-i ... tt,i ■. ■ h,r ur
gn gl2 • • • gli ■ ■ ■ gl,
gn g-22 • • • g-2! • • • gir
gil gl2 ■ ■■ gii ■ ■ ■ gir
-gn gr° ■•■ grt ■■■ gn . Pr
E.100)

224 Г.шш 5
где подматрицы йг;, стоящие по диагонали, имеют вид
А--А-- '-с- EЛ01)
Уравнения E.100) можно записать в форме
HU =GP. E.102)
Далее к этой системе следует добавить граничные условия,
которые относятся к двум тинам: I) И; м, на границе Г,, 2) pi —
—- Pi на границе Т.,. Если известны перемещения, можно найти
напряжения и наоборот. Это означает, что система уравнений*
E.102) может быть преобразована таким образом, что все неизвест-
неизвестные окажутся в левой части в виде вектора Y. Окончательно
можно записать
AY^F. E.103)
Отметим, что в соотношение E.101) входят пока еще не опреде-
определенные коэффициенты ct. Их несложно получить, рассмотрев
для заданного ограниченного тела его перемещения как целого.
Предположим, что имеется равное единице перемещение тела как
целого в каком-либо направлении, тогда уравнение E.102) при-
примет вид
Hh = Q, E.104)
где 11 — вектор, определяющий единичные перемещения тела
как целого в направлении /. При этом нетрудно получить диа-
диагональные элементы матрицы Н:
*»= ~ % Ли, E.105)
что означает, что в явном виде требуется определять либо коэф-
коэффициенты с;, либо hij.
Решив систему уравнений E.103), найдем напряжения и пере-
перемещения на всей поверхности тела. Затем можно вычислить на-
напряжения и перемещения в произвольной внутренней точке.
Выражение E.105) справедливо для тела конечного размера,
в случае бесконечных или полубесконечных тел необходимо ввести
добавочное слагаемое. Легко проверить (см. разд. 5.6), что, по-
поскольку перемещения тела как целого есть функция порядка
О (I), условие регулярности на бесконечности уже более не удо-
удовлетворяется. Поэтому здесь следует рассмотреть следующее
соотношение:
сц (I) и, + щ f pi, Цх) dT (x) + lim Г и, J p!j (|, x) dY (x) I = 0,
г ^°Ч г J
E.106)
где iij соответствует произвольному постоянному по величине
перемещению тела как целого; точка \ £ Г.

Статические задачи теории упругости 225
Так как тензор pt; (\, х) соответствует положительной еди-
единичной сосредоточенной нагрузке, действующей в t-м направле-
направлении, условие равновесия для фундаментального решения в об-
области Q* + Г* дает
lim f ptj (|, x)dY (x) =-&lh E.107)
где Гр — граница сферической области, лежащей в бесконечном
пространстве, или граница полусферы, расположенной в полу-
полубесконечном пространстве.
Подставляя равенство E.107) в уравнение E.106) и используя
дискретное представление, для случая перемещений тела как
целого получим
*о = '-Е*и. E-108)
где I — единичная матрица. Это соотношение используется вместо
формулы E.105) для диагональных элементов в случае тел неогра-
неограниченных размеров.
5.10. Напряжения и перемещения внутри тела
Когда узловые значения перемещений и напряжений на гра-
границе известны, можно вычислить внутренние перемещения и на-
напряжения, воспользовавшись соответствующими выражениями,
представленными также в дискретной форме. Поскольку здесь
не требуется вычисления сингулярных интегралов, можно восполь-
воспользоваться стандартными квадратурными схемами.
Интересно отметить, что использование фундаментального ре-
решения для полубесконечной области делает необязательным
дискретное представление свободной от напряжений части гра-
границы, поскольку перемещения н напряжения на этой части по-
поверхности определяются так же, как и для внутренних точек.
Это обстоятельство приводит к системе уравнений меньшего по-
порядка и, кроме того, позволяет не вводить каких-либо численных
аппроксимаций на свободной от нагрузок поверхности. Поэтому
с одинаковой легкостью можно решать задачи как для полу-
полубесконечных, так и конечных областей.
Перемещения во внутренних точках описываются уравнением
E.93) при с =-- [, а именно:
и = j u*p dY - | p*udT. E.109)
г г
Выражения для напряжений во внутренних точках были полу-
получены в разд. 5.4 и 5.5 для бесконечных н полубесконечных обла-
областей, в том числе и для случая, когда действуют объемные силы.
8 БребОин К. и др.

226
Глава 5
: л
5.11. Напряжения на границе
В большинстве практических случаев конструктора интере-
интересуют не только напряжения внутри тела и на любой поверхности,
но и полный тензор напряжений на границе. С этой целью можно
найти предел интегральных выражений E.68) или E.80), когда
точка приложения нагрузки движется к границе. Однако подоб-
подобная процедура, по-виднмому, не приведет к точным результатам
(за исключением случая свободной от напряжений поверхности,
когда используется фундаментальное решение для полупро-
полупространства), и, более того, оиа дает син-
сингулярные граничные интегралы, которые
можно вычислять только в смысле глав-
главного значения [19, 21]. Менее громоздкий
подход состоит в восстановлении части
компонент тензора напряжений путем
представления усилий в локальной си-
системе координат и получения соотношений
между деформациями и перемещениями
в направлении касательной к границе
[22, 23]. Эта процедура не требует инте-
интегрирования и приводится ниже.
Возьмем трехмерный граничный эле-
элемент общего вида с локальной системой
декартовых координат, две оси которой
касательны к поверхности элемента (рис. 5.12). С учетом выра-
выражения E.94) для узловых перемещений в локальной системе
координат получим
й=Фтй". E.110)
Три компоненты тензора деформаций (eu, е12, ё22) на поверх-
поверхности граничного элемента можно представить в виде
Рис. 5.12. Трехмерный
граничный элемент н ло-
локальная декартова си-
система координат, направ-
направление одной из осей ко-
которой (ха) параллельно
нормали п.
где для элементов высокого порядка используются соответствую-
соответствующие преобразования координат. Эти соотношения вместе с урав-
уравнениями закона Гука дают трн дополнительные связи, которые
можно использовать вместе с уравнениями равновесия н в резуль-
результате получить шесть компонент тензора напряжений
°п =т=7lvd83 + 2G &1
5 Ivd
i-|-2G(eaa-|-ve11)]> a13 = p!,
3 " Рз, 0^23 = Рз-

Статические задачи теории упругости
227
Для двумерных задач процедура аналогична, различие со-
состоит лишь в том, что требуется найти только компоненту дефор-
деформации, тогда можно записать (рис. 5.13)
ell = dujdx1, E.113)
и окончательные выражения для плоского деформированного
состояния примут вид
5и ^ A/1 -- v) (v022 t 2Geu), 012 = ри 6-22 = ра, E.114)
В случае плоского напряженного состояния v следует заменить
на v.
Рис. 5.13. Двумерный гранич-
граничный элемент общего вида н ло-
локальная система координат, свя-
связанная с точкой, в которой нс-
следуется напряженное состоя-
состояние.
Рис. 5.14. К представлению о двойных узлах
для линейных элементов.
5.12. Разрывы в напряжениях,
возникающих на поверхности
Для того чтобы адекватно опи-
описать разрывы напряжений на гра-
границе, можно воспользоваться представлением о двойных точ-
точках. Например, в случае двумерных задач вводится представле-
представление о двух граничных узлах с одинаковыми координатами, между
которыми не помещается какой-либо граничный элемент [16,
24, 251 (рис. 5.14, а).
В этой процедуре связь между элементами определяется так,
как показано на рис. 5.14, б. Тогда разрывы напряжений можно
представить, задав различные значения напряжений в узлах /
и k. Здесь следует отметить, что, поскольку перемещения в обоих
узлах одинаковы, в каждом направлении имеются две допустимые
комбинации задаваемых граничных условий:
1) в узлах / и k задаются напряжения;
2) в узле j задаются напряжения, а в узле k — перемещения
(или наоборот).
Единственным ограничением здесь является случай, когда
оба узла имеют компоненты перемещений с одинаковым направле-
направлением, заданные в качестве граничного условия. Это приводит
к сингулярной матрице А (подобная возможность привела бы
к нарушению условия непрерывности перемещений). Тем не менее
этот специальный случай (рис. 5.15) обычно ассоциируется с за-
задачей об угловой точке (отметим, что на гладких частях границы
8*

228
Глава 5
могут также встретиться другие комбинации). Поэтому здесь
можно воспользоваться процедурой, описанной в работе [25]:
Малый элемент
ДЛИНОЙ £
Рнс, Ьл5. Двойной
а б
Рис. 5.16. Внутренние гра- Рнс. 5.17. К решению
узел в угловой точке ницы подобластей (а — три задач с угловыми точ-
с заданными первые- подобласти (с углами); б — ками.
щениямн.
разрывные элементы).
поскольку внешняя нормаль к границе претерпевает разрыв,
предположение о единственности тензора напряжений и инвари-
инвариантности следа тензора деформа-
деформаций в двойном узле (т. е. сумма
ехх + еуу ~Ь вгг является инвари-
инвариантом) приводит к двум допол-
дополнительным уравнениям, которые
можно использовать для устра-
устранения сингулярности матрицы А.
Трехмерные задачи можно ис-
исследовать, используя те же ме-
методы. Поскольку идея введения
узлов с одинаковыми координа-
координатами может потребовать задания
более двух узлов в одной и той же
точке в трехмерном случае, вклад
каждого элемента в общую мат-
матрицу G можно выделить в левую
часть так, чтобы в каждом узле
было только три неизвестных [26].
Математически это эквивалентно
введению не только двойных, но
и тройных и т. д. узлов и не по-
повышает действительный размер
окончательной матрицы А.
Во многих случаях, напри-
например когда объединяются не-
несколько подобластей (рис. 5.16),
любой из описанных выше подходов может оказаться слишком
громоздким при численной реализации. При этом преиму-
преимущество использования разрывных элементов является еще
Рис. 5.18. Дискретное представ-
представление сферической полости с по-
помощью граничных элементов
(шесть элементов: два для цилин-
цилиндра -|- четыре для полости; 28 уз-
узлов). Задача решалась для следу-
следующих значений параметров (( =
= 0,254 м, ш = 0,127 м, а =
= 68,95 МПа, Е = 1,243 X
X 1011 Н/м2, v = 0,3).

Статические задачи теории упругости
229
более заметным, поскольку полностью устраняется проблема
угловых точек. Такой подход можно использовать для произ-
произвольного вида углов (рис. 5.15), и в данном случае обычно
получаются достаточно точные результаты. Подход состоит в ис-
использовании двух узлов для угла, близких, но не совпадающих
с углом [9]. Это расстояние может быть сколь угодно малым
(равным нулю для двойного узла), единственным ограничением
является случай, когда для соединения двух узлов используется
слишком малый элемент (рис. 5.17). Однако такие элементы не
2,5
1,0
о - квадратичный элемент
• - линейной элрнент
0,2
0,6
0,8
1,0
a/w
Рис. 5.19. Кониентрацня напряжения в сферической полости (Ktn ~ <тманс'сг.с —
— <т/[1 — (a/wI]): сплошная линия взята из работы Петерсона; точки соот-
соответствуют методам граничных элементов.
требуются на практике, как это показано для двойных узлов, но
некоторые программы (см., например, работу [9]) все еще исполь-
используют такой подход. В этих случаях следует соблюдать осторож-
осторожность, с тем чтобы длина е не стала слишком малой.
Пример 5.1. В качестве примера применения описанного выше
подхода рассмотрим задачу о концентрации напряжения в сфе-
сферической полости (пример взят из работы Крузе [27]). На на-
начальном этапе своего исследования Крузе воспользовался урав-
уравнением, аналогичным E.53). При дискретном представлении
поверхности рассматриваемой в задаче области (рис. 5.18) он
мог бы выбрать четырехугольный криволинейный поверхностный
элемент. (Треугольные элементы, показанные на рис. 5.18, яв-
являются вырожденными и имеют по существу ту же форму.) Для
того чтобы описать кривизну поверхности, Крузе использовал
квадратичные функции при задании расположения элементов на
поверхности, и поскольку функции, интерполирующие поверх-
поверхности элемента, также были квадратичными, то применяемая им
формулировка имела изопараметрическую форму (гл. 3). Учет
симметрии задачи позволил представить поверхность с помощью
всего шести элементов.
Представленные на рис. 5.19 зависимости концентрации на-
напряжения от параметров геометрии полости показывают хорошее

230
Глава 5
хг
Поверхность
Фронт
трещинь
Поверхность А ^
(*3- 0, п.жкосто
трецины) X;
Эершина и боковая пс
о Узлозыб точки, отстоят
от края на четверть
длиьы элемента
• ■Узловые точки,отстоят
на гюловину длины
элемента
роит -рео,ины
Изопарвметр1-чесчие элементы на
фронте трещинь!
Рис. 5.20. Дискретное представление с помощью граничных элементов в задаче
о круговой трещине. Параметры задачи: w --. 0,127 м, I — 0,254 м.
Рнс. 5.21. Изменение перемещений и во внутренней круговой трещине в зависи-
зависимости от расстояния d до фронта трещины. Сплошная линия соответствует точ-
точному решению; штриховые — решению методом граничных элементов Пара-
Параметры задачи: d = 25,4 мм, о = 68,95 ЛШа, Е = 2,07 10й Н/ш3, v - 0,3.
/ — узловые точки, отстоящие от края на четверть длины элемента (квадратичный закон)-
2 — узловые точки, отстоящие иа четверть длины элемента (линейный закон); 3 — узло-
узловые точки, отстоящие на половину длины элемента (квадратичный зак'>н): 4 — узловые
точки, отстоящие на половину длины элемента (линейный закон).

Статические задачи теории упругости
231
— Результат работы [28]
о Метод граничных элемен-
тоз (квадратичный закон,
узлы отстоят от края нв
гилозииу длины элемента)
соответствие между опубликованными результатами, на этом же
рисунке приведены результаты, полученные с помощью более
простых линейных граничных элементов.
Пример 5.2. Крузе [27] рассмотрел также задачу о распро-
распространении трещины, исследовав напряжения в окрестности кру-
круговой трещины с по-
1'36i : : ' мощью квадратичных гра-
граничных элементов. На рис.
5.20 показано дискретное
представление с помощью
граничных элементов чет-
четверти полуцилиндра с вну-
внутренней и поверхностной
трещинами. Четверть по-
полуцилиндра здесь рассма-
рассматривается в силу симмет-
симметрии задачи.
На рис. 5.21 приводятся
результаты для круговой
трещины, полученные в
численных расчетах, для
1,00 L
30°
60°
Рис. 5.22. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений для полукру-
полукруговой трещины от угла 0 в плоскости хъ х2, отсчитываемого от оси хг.
внутренней трещины дано сравнение результатов при линейном
и квадратичном элементах. Представление с помощью квадра-
квадратичной функции точнее описывает перемещения в теле. Светлыми
кружками на рис. 5.21 показаны узлы, отстоящие от края тре-
трещины на одну четверть длины элемента, когда трещину охваты-
охватывают два ряда элементов.
На рис. 5.22 показана зависимость коэффициента интенсив-
интенсивности напряжения в поверхностной трещине от перемещений при
раскрытии трещины (см. работу Крузе и Мейера [28]). Эти ре-
результаты сравниваются с результатами, полученными в той же
работе с использованием линейных элементов; видно, что модель
с линейным законом изменения величин позволяет с достаточной
точностью определять интенсивность напряжения.

232
Глава 5
Пример 5.3. Встречаются задачи, в которых исследуется (см.,
например, работу [29]) концентрация напряжений в месте пере-
пересечения двух толстостенных цилиндров. На рис. 5.23 и 5.24 по-
Рис. 5.23. Соединение двух толстостен-
толстостенных цилиндров.
Рнс. 5.24. Геометрия соединения.
-
-
\
\
\
\
\
Номер точки
Рнс. 5.25. Дискретное представление Рис. 5.26. Значения растягивающих
соединения. напряжений о22 и а33 (а22 = as3) в вы-
выбранных точках.
казан частный случай соединеиия таких цилиндров. В силу сим-
симметрии задачи требуется рассмотреть лишь восьмую часть соеди-
соединения.
Для дискретного представления задачи использовалось 76 по-
постоянных треугольных граничных элементов типа показанных

Статические задачи теории упругости 233
на рис. 5.25; напряжения определялись в пяти точках соединения
(рис. 5.24). На рис. 5.26 показано изменение нормальных напря-
напряжений, направленных по оси г (или х3), в соответствии с выбран-
выбранными точками.
5.13. Двумерные задачи теории упругости
Остановимся подробнее на применении уравнений статической
упругости к двумерным задачам. Фундаментальное решение раз-
разрешающего уравнения
стД,, + Д (£, х) е, = 0, /=1,2; 6=1,2 E.115)
для плоского деформированного состояния имеет вид (см. выра-
выражения E.56) и E.57)):
"'* = toO(l-v) [C ^ 4v) 1п "Г fi<* Ь г- "■
[ж К1 ~ 2vN'* + 2г- *■ Л - E-П6)
- A - 2v) (r, ,nk - r, ki
здесь p*k и н*)г — соответственно напряжения и перемещения
в 6-м направлении при действии единичной силы в /-м направле-
направлении. Величины p*k и и$ь можно записать в матричной форме
1 Рг.
Введем также векторные представления соответственно для пере-
перемещений, напряжений на границе и объемных напряжений:
f «ml I Pi
И= , p=\
I «2 I iP2
E.118)
Исходное уравнение можно записать в матричной форме,
аналогичной уравнению E.93) для трехмерной задачи теории упру-
упругости:
си + j p*udT -^ \ u*p dT -f- j u*b dQ. E.119)
Остальные матричные операции аналогичны описанным в разд. 5.8
для трехмерного случая, различие состоит лишь в том, что здесь
граничные интегралы являются контурными, а слагаемые с объем-
объемными силами получаются с помощью интегрирования по площади,
а не по объему.
Если перемещения н напряжения найдены на всей поверхности,
то перемещения и напряжения в произвольной внутренней точке

234 Глава 5
можно найти по формулам для перемещений, записанных в век-
векторном или тензорном виде:
и = ( и*р dT - j p*u dT + | u*b du,
г г я
E.120)
+ 'fidQ
а также для напряжений (см. формулу E.68):
оц (?) = J «?/*Р* dV - j ptikuk dT |- } u*ilkbk dQ, E.12Г)
г
где и*ik и p'jk определяются выражениями E.69) и E.70).
Как и прежде, интегралы можно вычислять либо методами
численного интегрирования, либо для очень простых случаев —
аналитически.
Отметим, что при переходе от плоского деформированного
состояния к плоскому напряженному состоянию вместо коэффи-
коэффициента Пуассона следует использовать величину
v = v/(l + v). E.122)
Полученные выше выражения справедливы лишь в случае не-
неограниченного пространства, если же рассматривается задача
для полуплоскости, то следует использовать фундаментальное
решение для свободной от напряжений границы [14], приведенное
в приложении Б.
Было обнаружено [10], что среди различного типа элементов,
которые можно применять при численном решении дискретного
аналога интегрального уравнения, линейные элементы дают при-
приемлемую точность, не требуя значительных усилий с точки зрения
численной реализации. В дальнейшем будет подробно рассмо-
рассмотрено применение этого элемента при численных исследованиях,
геометрия которого представляется прямой линией (рис. 5.27).
Для данного элемента якобиан C.24) равен | G \ = 1/2, а ин-
интерполирующие функции C.3) равны
Ф1 = -у A—■*!)> Ф2= ~<гA ~Ь г\)- E.123)
В результате приходим к двухэлементным матрицам hug по-
порядка Bx4) вида
* = [А1/А?,] = 4" J
~\
E.124)
-I

Статические задачи теории упругоспги
235
Эти интегралы обычно вычисляются численно с помощью формул
численного интегрирования Гаусса для всех элементов, за исклю-
исключением тех, что содержат сингулярный узел. Как было обна-
обнаружено, для получения приемлемых результатов в большинстве
случаев достаточно взять четыре точки в формуле Гаусса.
В специальном случае, когда в элементе имеется сингулярный
узел, сложную подматрицу в матрице h можно получить, рассмо-
рассмотрев перемещения тела как целого, а остальная часть находится
г\--1ГЦ
7-1
Рис. 5.27. Линейный элемент Рис. 5.28. Геометрия задачи о трещине:
с внутренней координатой х\. W = 2В, а = В, Н = 1,2В, D = 0,5В,
W = 2,5В, tfj. = 0,65В.
нт трещины
Рис. 5.29. Дискретное представление в задаче о трещине с помощью граничных
элементов.
по схемам численного интегрирования. В матрице g имеются ин-
интегрируемые сингулярности, для которых можно использовать
специальные формулы численного интегрирования (типа лога-
логарифмической формулы в приложении А) либо проводить вычис-
вычисления аналитически в случае линейных и постоянных элементов.
Пример 5.4. Задача распространения трещин в двумерной по-
постановке (рис. 5.28) исследовалась в статье [30]. На рис. 5.29 и
5.30 показаны применяемые в этой задаче способы дискретного
представления. Здесь использовались кубические граничные эле-

236
Глава 5
менты, усилия прикладывались в 12-м узле в указанном на
рис. 5.30 направлении. Для различных образцов коэффициент ин-
интенсивности напряжения находился путем вычисления интеграла
Раиса по контуру J (рис. 5.29), экспериментальные результаты
сравнивались с результатами решения по методам конечных и
граничных элементов. Как видно из табл. 5.1, соответствие между
этими результатами
7Г—]—7f.—|—71 вполне удовлетвори-
удовлетворительное.
Крузе [27, 31 ] взял-
взялся за решение анало-
аналогичной задачи, исполь-
используя фундаментальное
решение, которое соот-
соответствовало упругому
деформированию плос-
плоской, свободной от уси-
усилий трещины. Фунда-
Фундаментальное решение бы-
было получено с помощью
метода изображений и
сложного отображения.
При таком подходе наличие трещин учитывается автоматически
и не требуется модельного представления для геометрии поверх-
поверхности трещины. Однако этот метод можно применять только в
двумерных задачах.
Пример 5.5. Лаша 122] исследовал случай растяжения рези-
резиновой полосы, армированной стальными тросами, при плоском
деформированном состоянии (рис. 5.31). Он использовал кубиче-
кубические элементы и два способа дискретного представления: в одном
граница разбивалась иа 9 сегментов, в другом — на 18 сегментов
(рис. 5.32). В силу симметрии задачи рассматривалась только
область ABCDE (рис. 5.31). Для упрощения трос считался абсо-
Фрснт трещины
Рис. 5.30. Дискретное представление ^в"* задаче
о трещине с помощью конечных элементов.
Таблица 5.1
напряжения
Относительные значения коэффициентов интенсивности
для задачи о распространении трещины
Номер образца
1
2
3
4
5
эксперимента
194
226
224
247
260
Решение по мето-
методу конечных эле-
элементов
189
221
239
241
254
Решение по мето-
методу граничных
элементов
192
223
242
247
257

Статические задачи теории упругости
237
лютно жестким. Предполагалось, что в направлении хх деформа-
деформация составляла 1,667- 10~2. Модуль упругости при растяжении
брался равным 2-10' Н/м2, для коэффициента Пуассона зада-
задавалось два значения: 0,45 и 0,5. При v = 0,45 напряжения а1и
вычисленные с помощью
двух способов дискретного
представления, практиче-
практически неразличимы (рис.
5.33, а). Светлые кружки
на рисунке соответствуют
грубому способу дис-
дискретного представления,
Рис. 5.31. Геометрия полосы из резины,
армированной стальными тросами.
сплошная линия — более
точному представлению с
помощью 18 элементов.
При v = 0,5 (рис. 5.33, б) это различие было большим, достигая
5 % максимального напряжения. Однако для перемещений
различие и в этом случае очень мало. Отметим, что метод конеч-
конечных элементов в форме метода перемещений неприменим при
v = 0,5.
Рис. 5.32. Способы дискретного представления прн исследовании методом конеч-
конечных элементов: а— грубое разбиение (9 сегментов); б—уточненное разбиение
A8 сегментов).
Пример 5.6. Данный пример относится к задаче о нагружении
плоским жестким штампом 114]. Штамп считается идеально глад-
гладким. Перемещения плоского штампа предполагаются заданными.
При решении методом граничных элементов использовалось
дискретное представление половины поверхности контакта с по-
помощью двенадцати линейных граничных элементов разных раз-

238
Глава 5
2,0
1,0 -
0,5-
-0,5 -
■У
***
1 1 1
1 /
1 1 1
67,5° «5° 22.5°
Угол
a
0°90° 61,5°
А угоп
6
Z2,5C 0°
Рис. 5.33. Изменение напряжения <ju на контуре АВ (а — v = 0,45; б — v = 0,5).
/7-с
Штамп
1Б
а
О
Рнс. 5.34. Задача о гладком штампе:
а — расчетная схема; б — изменение контактного напряжения по длине границы, причем
сплошная кривая соответствует аналитическим расчетам, точки — расчету по методу
граничных элементов.

Статические задачи теории упругости
239
меров. Тринадцать граничных узлов располагались вдоль рассма-
рассматриваемой части границы в соответствии с формулой
у = 6,5 A — <х)/<х,
где у — координата узла с номером а.
Дополнительные данные были получены для четырех внутрен-
внутренних точек (рис. 5.34, а). Отметим, что симметрия учитывалась
с помощью процесса прямой конденсации с автоматическим инте-
интегрированием по отраженным элементам, не требующим какого-
либо дискретного представления оси симметрии.
Контактные напряжения на представленной в дискретном виде
границе на рис. 5.34, б сравниваются с аналитическим решением
[32]. За исключением некоторого возмущения в усилиях на очень
маленьком элементе, который граничит с узлом 13, сингулярность
на крае штампа не должна, по-видимому, искажать результаты.
Сказанное подтверждается и точностью результатов расчета для
внутренних точек (табл. 5.2).
Пример 5.7. Здесь исследуется полу бесконечная пластина
с круговым отверстием, расположенным вблизи прямолинейной
границы [14]. Задача рассматривается для двух случаев нагруже-
ния: единичного нормального давления, действующего по поверх-
поверхности отверстия, и растягивающего напряжения ду, направлен-
направленного параллельно прямолинейному краю. Для указанных обоих
случаев напряжение ау, возникающее на свободной от нагрузки
границе, сопоставляется с результатами аналитического решения
Джефри [33] и Миндлина [34].
Таблица i
Метод
решения
Метод
гранич-
граничных
элемен-
элементов
Точное
решение
".2. Задача о гладком штампе.
Точ-
Точка
14
15
16
17
14
15
16
17
(и—и)х
X 10*.
м 1)
— 0,724
—0,826
— 1,824
-0,908
—0,735
—0,842
— 1,841
—0,917
vX 102, м
0,0
— 1,210
—2.038
— 0,234
0,0
— 1,208
—2,038
—0,234
Решения для внутренних
охх io-s,
Н/мг
— 133,92
—330.64 '
0,0
— 151,87
— 133,91
-326,47
0,0
— 152,00
ах Ю-',
Н/мв
— 89,28
— 113,16
0,0
— 77,69
-89,27
— 114,43
0,0
—77,67
точек
■а
*"н/м«
0,0
107,93
0.0
-3,14
0,0
110,50
0,0
—3,35
1) Здесь и— и — разность между найденным значением перемещения н заданным
перемещением штампа.

240
Глава 5
Расстояние между центром отверстия и прямолинейной по-
поверхностью сравнительно невелико и составляет 1,34 радиуса
отверстия. При решении методом граничных элементов дискрет-
дискретное представление необходимо применять только для поверхиости
отверстия, причем вследствие симметрии задачи здесь рассматри-
рассматривалась лишь половина этой поверхности.
Результаты для первого случая нагружения (рис. 5.35) отно-
относились к нескольким расположенным на прямолинейной границе
Рис, 5.35. Круговое отверстие вблизи прямолинейной границы, нагруженное
равномерным внутренним давлением. Напряжение ву направлено вдоль свобод-
свободной от нагрузки прямолинейной границы.
точкам (рассматривавшимся как внутренние); для представления
полукруга той же площади использовалось 24 граничиых элемента.
Второй случай нагружения был исследован с помощью простого
наложения решений; напряжения ру, равные скалярному произ-
произведению растягивающего напряжения и единичной нормали
к границе отверстия, прикладывались на круговой границе и
соответствующие результаты суммировались с полем постоянных
напряжений ау.
Для иллюстрации характера сходимости метода результаты,
полученные при использовании 6, 12 и 24 граничных элементов
для дискретного представления полукруга, сравнивались с ана-
аналитическим решением (рис. 5.36).
Следует упомянуть, что при увеличении расстояния между
отверстием и прямолинейным краем для получения той же точ-
точности можно было брать меньшее число элементов. Для первого
случая нагружения при dlr' = 1,81 использование 12 элементов

Статические задачи теории упругости
241
давало погрешность порядка 2,7 % относительно максимального
напряжения, при dlr' = 1,34 погрешность составила 6,5 %.
Последние два представленных здесь примера показывают не-
некоторые возможные способы применения методов решения с ис-
использованием полуплоскости. Очевидно, что подобные задачи бо-
более эффективно решаются с помощью изложенной процедуры, чем
при помощи фундаментального решения Кельвина, для которого
требуется вводить элементы на свободной от нагрузки поверхности.
2,0
Рис. 5.36. Распределение напряжений вблнзи кругового отверстня около прямо-
прямолинейной границы при действии растягивающего напряжеиня ду, приложенного
иа бесконечности. Напряжение ау направлено вдоль свободной от нагрузки пря-
прямолинейной границы.
/ — аналитический расчет; 2 — расчет по методу граничных элементов B4 элемента на
полуокружности); 3—12 элементов; 4 — 5 элементов.
Число таких элементов в принципе следует неограниченно уве-
увеличивать или по крайней мере выбирать его очень большим для
получения достаточно точных решений. В работе [35], для того
чтобы уменьшить число элементов, при дискретном представлении
свободной от нагрузки поверхности было предложено ввести
специальные элементы, распространяющиеся на бесконечность,
но законность их применения требует дальнейшей проверки.
Наиболее точный и наиболее эффективный с вычислительной
точки зрения подход состоит в использовании фундаментального
решения для полуплоскости, что исключает необходимость введе-
введения какой-либо численной аппроксимации на свободной от на-
напряжений поверхности.
5.14. Объемные силы
Поскольку в ряде практических приложений исследуемых
задач объемные силы не равны нулю, приведем здесь также про-
процедуры, которые позволяют оценить их влияние. Сразу же видим,

242 Глава 5
что если объемные силы рассматриваются в соответствии с уравне-
уравнением E.87) (разд. 5.7), то требуется вычислять интегралы по об-
области (см. уравнения E.77) и E.79)). Очевидно, что это требует
при интегрировании разбивать область, для которой рассматри-
рассматривается задача, на внутренние ячейки. Сказанное справедливо
в общем случае, но во многих конкретных случаях интеграл по
области можно соответствующим образом свести 118, 36—38]
к поверхностному интегралу, который можно определять численно
тогда же, когда определяются граничные интегралы (разд. 5.7).
Эта процедура может применяться к ряду обычно встречающихся.
объемных сил, таких, как постоянная гравитационная нагрузка
(т. е. собственный вес), центробежная нагрузка, обусловленная
вращением вокруг неподвижной оси, и влияние установившейся
температурной нагрузки. Ниже эти три частных случая иссле-
исследуются с помощью единой процедуры, предложенной Дансоном
[37]: повсюду используется вектор, соответствующий фундамен-
фундаментальному решению Кельвина (для трех- и двумерных областей).
Следует отметить, что с равным успехом данная процедура может
применяться и с фундаментальными решениями для полупро-
полупространства.
Обозначим через G1; тензор, который связан с фундаменталь-
фундаментальным решением и]; (формулы E.55) и E.56) разд. 5.3) следующим
соотношением:
и*ц = Gth kk - 2A-v) °*ik- "'• E.125)
где точно так же, как и*;, можно рассматривать как три (в трех-
трехмерном случае), так и два (в двумерном случае) вектора пере-
перемещения, каждый из которых соответствует £-му направлению
единичной нагрузки; Glj можно рассматривать как три или два
вектора, каждый из которых соответствует i'-му направлению
действия единичной нагрузки.
Для того чтобы упростить это представление, интеграл E.77)
от объемных сил напишем в виде
Bi= \u1;b[dQ. E.126)
а
Кроме того, можно учесть влияние температурных деформаций,
представив в соответствующей форме (см. выражение E.34))
aHl и подставив его в уравнение E.41), что дает
ал = Cjkiitn - 1G -j-X^L аГвд E.127)
или
E.128)

Статические задачи теории упругости 243
где а — коэффициент линейного температурного расширения,
Т — разность температур. Подставляя выражения E.128) в урав-
уравнение E.41), придем к двум интегралам вида
— \ejks]kdQ=— \ о)къ]к dQ + 2G ,' + v a f 7"б,7е;, dQ, E.129)
а а a
где первый интеграл в правой части соответствует первому ин-
интегралу в левых частях соотношений E.43) и E.44), а последний
интеграл в уравнении E.129) остается неизменным. Поэтому
считая, что каждая приложенная в точке нагрузка действует не-
независимо, к правым частям выражений E.53) и E.77) следует
добавить следующий интеграл:
B~i = 2G у^ a j z)HTbik dQ, E.130)
а
который можно записать в форме
В, = 2G-i±£-ajB7*.*rdQ. E.131)
а
Выражение E.131) справедливо для трехмерных задач и двумер-
двумерных задач о плоском деформированном состоянии. Для случая
плоского напряженного состояния следует, как и прежде, вместо v
подставить v, а коэффициент а заменить на
Для того чтобы преобразовать интегралы по области E.126)
и E.131) в граничные интегралы, введем упомянутый выше тензор.
Тогда получим для трехмерных задач
°Ь = шгЬЧ' EЛ33)
а для двумерных задач —
Относительно двумерного случая здесь следует сделать важное
замечание. Тогда как для трехмерных задач при подстановке
выражения E.133) в тензор E.125) получаются точные формулы
для фундаментальных перемещений, присутствующих в уравне-
уравнении E.55), для трехмерных задач это не так. Действительно,
в трехмерном случае получаем следующее выражение:
E.135)
которое, как можно видеть, отличается постоянным слагаемым
от иыражения E.56) для фундаментальных перемещений. Это

244 Глава 5
отличие, однако, не является важным с точки зрения теории,
поскольку оно соответствует лишь перемещению тела как целого.
Тем не менее при выборе фундаментального решения надо учиты-
учитывать условие совместности, которое означает, что, когда речь
идет об обсуждаемых здесь задачах с объемными силами, следует
в уравнение E.56) подставлять выражение E.135) для и*ц.
В дальнейшем будут введены обозначения Bt и Bt отдельно
для каждого частного случая. Детали различных форм примене-
применения теоремы Остроградского—Гаусса можно найти в статье 1371.
Подстановка выражения E.125) в формулу E.126) дает
,, kk - 2(i-v) G'k' *') btdQ' E-136)
и
где, как легко видеть, можно легко выполнить преобразование
к гравитационному интегралу.
5.14.1. Гравитационные нагрузки
На тело с постоянной плотностью р, находящееся в поле
постоянных гравитационных сил, действует постоянная объемная
сила с компонентами
bj = pgj- E.137)
При подстановке этого выражения в формулу E.136) получаем
граничный интеграл
В> = bj j [g?,, k - 2A' v) Gh. j] nk dT, E.138)
г
который можно записать короче:
Bi=\P,dr, E.139)
г
причем в трехмерном случае
~ I Г I I
а для плоского деформированного состояния (двумерного случая)
Л = -^([sin-^ 1] (biHhr,h - 2(i!_ V) V, аД;)]- E.141)
Кроме того, для напряжений во внутренних точках имеем
Oi, = j u'lkpkdT— | p'ljkiikdT -|- j Sttdr, E.142)
г г г

Статические задачи теории упругости 245
u = -^r [ nmr, m (b,r, j -f bf, {) + —- Uibij (»m/\ mbsrt s - bmiim)
где для трехмерного случая
1 — v|
Y [bmr, т (пгг,} г ft/, i) -г A - 2v) (btn.j -j- bjtii))\\, E.143)
а для двумерного
ьЬ {v6^ B/W.«V.. + A - 2 In -i-) M
-2In-J-)F,/iy-T-bjni)}]- E-144)
5.14.2. Центробежная нагрузка
Рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью ю,»
Если ось вращения проходит через начало координат, то задача
эквивалентна задаче с заданными объемными силами
Ь, -=-- — ре|лк<о/е&*А*9> E-'45)
где ei№ — абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга.
Выражение E.145) можно записать короче:
bj = gijxl, E.146)
где gtj можно представить в матричной форме
Г и>1 + а>1 —е»,о»2 — Юзй), 
g = P —"А «з + »? —»#з , E.147)
L J
или ga = рфитттт - tOjCOj).
Подставляя выражение E.146) в формулу E.136), получим
\[ ,mm— 2A!_v) G^. ш* ] dQ. E.148)
Это выражение эквивалентно следующему:
fi(^'**-т) ~Gh-
' m
EЛ49)

246 Глава 5
которое в свою очередь можно преобразовать к граничному ин-
интегралу
Bt = Elk J [х-, [Cm, m-2(iLv)G^.^] «<"-Т(Г=^7 G'**"/) dr-
E.150)
При этом с учетом E.139) найдем
E.151)
Аналогично для выражения E.142) имеем
ijgimW. E.152)
Выражения E.151) и E.152) справедливы для трехмерных задач.
В двумерных случаях, для того чтобы задача оставалась плоской,
ось вращения должна а) либо лежать в плоскости, б) либо состав-
составлять прямой угол с плоскостью. Для случая а) имеем га3 = О
и с учетом формулы E.147) получаем
Г а>1 —е>,е>2"]
#=Р _w@ tf * EЛ53)
В случае б) имеем coj = ш2 = 0, что дает
E.154)
Для обоих случаев можно написать
п 4-
E155)
и = -^ 2птг, т (xsgsir, j + xsgs}r, t) + -^ — X
{ \ ( О ' \
+ i^h-21nl
— («,„§,„;'■, i ! »»«?«/, i) r] - rmgmsxs («/,; -f и/, j) • E.156)

Статические задачи теории упругости 247
5.14.3. Температурная нагрузка
Подставляя выражение E.125) в формулу E.131), получим
Bi = G y±^ a j Gh, kilT du. E.157)
a
Принимая во внимание, что в случае установившейся теплопро-
теплопроводности Tjj — 0, можем написать
I — и ~г^— « | yJik, kjl< — uD, k' , HI "!>'. (О. loo)
ii
что эквивалентно
Bi = g-j-^ta f -^-(G?^ *;r - G^. *r. /)dQ- E-159)
J OX;
Выражение E.159) можно теперь преобразовать к граничному ин-
интегралу вида
В,- = G -|±^- а | (G?*, ц,Т - Gh. kT,,) n, dT. E.160)
г
Более удобной формой этого выражения будет
Bt = J PtTdT - f QtT, hnh dT, E.161)
г г
где
Pi = G -j^- aG**, *;«y> E.162)
Qi--G|i^«G?*.*. E.163)
Для трехмерных задач выражения E.162) н E.163) соответственно
принимают вид
v°r ("i-^.»"»). E-164)
в случае плоского деформированного состояния (двумерная за-
задача) имеем соответственно

248 Глава 5
Приведенные выше выражения можно продифференцировать и
получить напряжения во внутренних точках. В этом случае ис-
используется закон Гука в форме E.127) и окончательное выражение
представляет собой сумму выражения E.142) и величины
E.168)
г г
где для трехмерных задач
1,], E.169)
> i * J
и для двумерных задач
A ) V. / + V,.] . E-170)
Отметим, что все представленные в этом разделе выражения для
плоского деформированного состояния будут справедливы и для
плоского напряженного состояния, если v заменить на v, a a
заменить на а.
Наконец, для тех объемных сил, которые не рассматривались
в этом разделе, всегда можно использовать внутренние ячейки
для интегрирования. Описывающие геометрию функции, а так-
также интерполирующие функции, относящиеся к таким ячейкам,
были представлены в гл. 3, а формулы для численного интегриро-
интегрирования можно без труда установить. Здесь оказывается выгоднее
использовать полуаналитическую схему, в которой для интегри-
интегрирования применяется полярная система координат г, <р, 6. В этой
процедуре благодаря самой природе фундаментального решения
Кельвина совсем не сложно выполнить интегрирование по г и
устранить сингулярности. Интегрирование по углам <р и 6 мо-
можно выполнить численным путем, но так как при этом сингуляр-
сингулярность отсутствует, то можно брать меньшее число точек интегри-
интегрирования. Описание этой процедуры дано в гл. 6, где обсуждается
нагружение, обусловленное нестационарным температурным по-
полем.

Статические задачи теории упругости
249
-Ох
5.15. Осесимметричные задачи
В ряде технических приложений инженеры сталкиваются с не-
необходимостью исследовать напряжения в трехмерных телах,
геометрия и характер нагрузки которых являются осесиммет-
рнчными. Сюда относятся задачи
для нагруженных внутренним да-
давлением сосудов, некоторых видов
трубопроводов, вращающихся дис-
дисков и различного типа контейнеров,
и здесь вполне естественно исполь-
использовать более точные и эффективные
процедуры решения, в которых учи-
учитывается особая симметрия задачи.
Начав с фундаментального реше-
решения для трехмерной области, всегда
можно с помощью соответствующего
преобразования координат выразить
фундаментальные перемещения в по-
полярной системе координат г, <р, г;
определяемые формулой E.55) пере-
перемещения можно выразить через
единичные сосредоточенные нагруз-
хг
Рис. 5.37. Цилиндрическая си-
система координат.
ки, приложенные в точке | параллельно базовым векторам ег,
еф и ех, и получить перемещения в точке х в цилиндрической
системе координат (рис. 5.37), а именно:
а*(|, х) = Г
и*{1,х)Т(х),
E.171)
где а* получается из выражения E.55) при ху = г cos ф, х2 =
= г sin <р, х3 = z; T — матрица преобразования координат, ма-
матрица Р используется для представления перемещений а*, соот-
соответствующих единичным нагрузкам с новым направлением. Эти
матрицы имеют вид
fcoscp -sin<p О
sin ф cos ф О
О
О
E.172)
О (Г
(cos <p -f sin фГх О
О 1
E.173)

250
Глава 5
Выражение E.171) можно теперь проинтегрнровать и получить
искомое осесимметричное фундаментальное решение (кольцевые
нагрузки) в виде
2я
и!i(l, х) = ± J йГ/F, дг)Лр(Е), '■ / = '. Ф. г, E.174)
о
где (рис. 5.38) перемещения «?,- не зависят от <р.
<ь
а б в
Рис. 5.38. Кольцевые нагрузки (а — радиальная; б— касательная; в — осевая).
Перемещения г (х) на произвольном круговом кольце с центром
на оси можно выразить с помощью функций Лежаидра нулевого
порядка и их первых производных [39, 40]:
r
GVTrr [
===-(?+I/S(Y),
E.175)
16л2 A — v) (
' + 1/2 '
(у-ж)-
dy
Игф = 0, «*г =
I
16л2 (I — v)O
C-4v)Q_,/2(t) -■
где используются следующие обозначения:
tf = r(&), г = г(х), Z = z(|), Z = Z - z,
,-=r{x), у = 1 -f [Z2 + (/? -
E.176)

Статические задачи теории упругости 251
Кроме того, функции Лежандра Q+i/s и Q-i/s и их производные
в выражениях E.175) можно выразить через полные эллиптические
интегралы первого и второго рода;
Q+./2(Y) = уЬК{т) - |f(m), ^L = | [/((„,) - ^£ (т)] ,
E.177)
где ЛГ (т) и £ (т) — соответственно полные эллиптические нн-
тегралы первого и второго ряда, т и к — соответственно параметр
и модуль эллиптического интеграла
= 2/A+7), k-уГт. E.178)
о случая можно получить, ис
ений в цилиидрической систе
_ 2Gv / щ | duz 1 — у диг \
arr~l-2v\ r +~ЭГ v дГ)'
Напряжения для этого случая можно получить, используя соот-
соотношения для перемещений в цилиидрической системе координат
дих . ди
_ 2Gy / а«г йнг 1—v иг \
аФФ - i _ 2v V. дг "+" "IT "+" v г У '
_ За, _ 2Gv f ur диг 1—у a«z \
"V - и й ' °zz — 1 - 2v V г "+" йс "t ^~ аг J "
E.179)
Подставляя в E.179) выражения E.175), получим фундамен-
фундаментальные напряжения, от этих напряжений можно затем перейти
к усилиям на границе Г (х), нспользуя единичный вектор внешней
нормали, что дает

252
Глава б
дг
Пг.
E.180)
касателэные в
точке 5
Здесь при дифференцировании фундаментальных перемещений
можно воспользоваться следующими соотношениями [41 ]:
dK (m) __ £ (т) -~(\ — т)К (т) dE (m) E(m) — K(m)
dm ~~ ЧтA~т) ' dm '" 2т
E.181)'
Как можно видеть из выражений E.175)—E.180), не только
результирующие уравнения не зависят от ср, но и сама физическая
\ч задача является несвязанной, посколь-
поскольку, с одной стороны, имеются компо-
компоненты перемещений и усилий, завися-
зависящие лишь от г и г, с другой стороны,
имеются зависящие только от ср компо-
компоненты *4Ф и Рфф- Поэтому будем рас-
рассматривать систему координат с ося-
осями г и г; за подробностями следует об-
обратиться к работам Мейера [42 ] и Риццо
и др. [46], где описано применение
выделенной части фундаментального
решения, определяющего изменения
в поперечном направлении, к задачам
чистого кручения. Применительно к
граничному интегральному уравнению
использование фундаментального решения в виде функции
г от г дает
Cij (I) Uj (I) + 2n j ptj (I, X) U; (X) Г (X) dT (X) = 2JT J Utj (t X) Pj (X) X
Г Г
X r{x)dT{x)-T2n^uti(l, x)bj(x)r(x)dQ(x), i, j = r, z, E.182)
a
где коэффициент 2кг (х) появляется вследствие интегрирования
по ф и, следовательно, граница Г и область Q соответствуют
только двумерному случаю. Отметим, что это уравнение справед-
справедливо также и для внутренних точек (с £ Я), если с;; (|) = бг;.
Другой особенностью уравнения E.182) является то, что в от-
отличие от ранее рассмотренных трех- и двумерных случаев коэф-
коэффициент си (I) вместе с соответствующим главным значением ин-
интеграла нельзя найти из-за наличия перемещений тела как целого
в направлении оси г. Но вместо этого можно использовать более
простые аналитические решения (например, соответствующие
Рис. 5.39. Углы, используе-
используемые при вычислении коэф-
коэффициентов L'if.

Статические задачи теории упругости
253
иагружению внутренним давлением). Более того, из определения
коэффициентов сц (см. выражение E.75)) следует, что этот случай
соответствует плоскому деформированному состоянию, где имеем
117]
8пA—v) Л
Г4A—v)(9,—92)-f-sin29,~sin29, 6|п29, - sin292 "j
Х| sin2ex - sm2e3 4A— v)(9,—92)—sin 291+sin292J'
E.183)
Здесь Qt определяется так, как показано иа рис. 5.39, и, кроме
того,
92 = 9, — ДО, E.184)
где Д9 — абсолютное значение внутреннего угла в точке £.
Следуя обычной процедуре метода граничных элементов, на-
напряжения во внутренних точках можно вычислить, подставив вы-
выражение E.182) с ctj =,f в формулу E.179), причем производные
e-f 20
S|
Кубический закон для перемгщений] Метод ко-
кона треугольнике млечны
Гибридный элемент Jэлементов
Решение с помощью интегральных уравнений
1-ю
j-го
e
12 5 4
Время счета,относительные единицы
5
Рис. 5.40. Зависимость относительной погрешности вычисления коэффициента
концентрации напряжений от времени счета для различных численных методов
решения задачи о цилиндре со сферической полостью.
находятся в цилиндрическон системе координат, связанной с то-
точкой £. Эти производные можно найти с помощью выражений
E.181).
Для того чтобы продемонстрировать эффективность осесим-
метрической постановки, здесь рассмотрен случай цилиндра со
сферической полостью при одноосном растяжении. Этот пример
исследован Мейером [44] с помощью постоянных граничных эле-
элементов. На рис. 5.40 представлена зависимость относительной
погрешности для коэффициента концентрации напряжений от вре-
времени счета и приведены результаты двух исследований той же

254 Глава 5
задачи методом конечных элементов. Очевидно, что в этом случае
решение методом граничных элементов оказывается очень эффек-
эффективным.
5.15.1. Распространение на случай неосесимметричных
граничных условий
Если для осесимметричного тела заданы неосесимметрнчпые
граничные условия, то решение задачи будет зависеть не только
от радиальной г и осевой г координат, но также и от угловой ко-
координаты ф. Подобные случаи также можно исследовать с помощью
специальной формы метода граничных элементов, в которой ис-
используется разложение неизвестных функций в ряды Фурье
(см. разд. 2.14). Основным моментом в такого рода задачах явля-
является достаточно точное представление перемещений и напряжений
(вместе с тензором фундаментального решения) в виде разложения
в ряд по ортогональной системе функций от <р. Это позволяет вы-
выполнить интегрирование по <р аналитически, и поэтому, несмотря
на некоторое усложнение, трехмерная задача вновь сведется
к двумерной. Описание такого метода приведено в работе [44],
подробное рассмотрение аналитической формулировки, включая
фундаментальные решения, читатель может найти в работах
Мей ера и др. [43] и Шиптш ц др. [45].
5.16. Анизотропия
Основным в применении метода граничных элементов к иссле-
исследованию анизотропных задач теории упругости является получе-
получение соответствующего фундаментального решения. Исходное гра-
граничное интегральное уравнение можно, как и ранее, взять в виде
E.77) при условии, что упругие характеристики для фундамен-
фундаментальной задачи берутся такими же, как и в действительности.
Следуя общему подходу, предложенному Джоном [471, Фогель
и Риццо [48] использовали для фундаментальных перемещений
в трехмерном случае следующее интегральное представление (см.
также работу Синга [491):
и'ц A, х) = -glj- § Kl) (р) ds, E.185)
где контурный интеграл берется по окружности, лежащей в пло-
плоскости, перпендикулярной вектору г (равному разности между
радиус-векторами точек к и £), с центром в точке \. Функция
Kl} (р) представляет собою матрицу, обратную матрице характе-
характеристик Кц'-
E.186)

Статические задачи теории упругости 255
где clJhi — тензор анизотропных упругих характеристик, который
в изотропном случае принимает вид E.31).
Как отмечали Фогель и Риццо, контурный интеграл в E.185)
аналитически можно вычислить только для некоторых частных
случаев. Он зависит, однако, только от направления вектора г
и поэтому является несингулярным. Следовательно, здесь можно
легко применить методы численного интегрирования. В своей
последней публикации Уилсон и Крузе 150] исследовали эту
процедуру с точки зрения эффективности ее реализации на ЭВМ
и предложили следующее представление:
Gij(vh щ)= § K7}(p)ds, E.187)
|р 1=1
где Uj и и2 определяют ориентацию вектора г. Сравнивая выра-
выражения E.187) и E.185), получим
u?/= G,;/8jiV, E.188)
что также позволяет без труда найти соответствующие производные
по координатам х для определения фундаментальных напряжений.
Эти производные можно записать в виде
о = 1, 2. E.189)
Описание приемов эффективного вычисления интегралов, вхо-
входящих в выражения E.185) и E.189), можно найти в работе [50];
они применимы для общего вида анизотропии в трехмерных те-
телах. Для случая трансверсально изотропных материалов явное
фундаментальное решение можно записать, как указывали Паи
и Чоу, для бесконечных [51] и полубесконечных 152] сред. Ре-
Решения для трансверсально изотропного полупространства обсу-
обсуждали также Кобаяси и Нишимура [53].
Применение метода граничных элементов к плоским задачам
для анизотропных сред было дано в работе Риццо и Шиппи [54].
Они отмечали, что здесь может быть получено фундаментальное
решение в явной форме 155]; в работе [54] был подробно рассмо-
рассмотрен случай ортотропин, включая некоторые практические при-
примеры. Для ясности ниже приводится это фундаментальное решение.
В предположении о плоском напряженном состоянии в одно-
однородном ортотропном материале закон Гука принимает вид
«1,1 = sii°ii + si2°22, Щ, 2 = suau -}- s22(T22, иь 2 [- «2,i -= sw(T12.
E.190)

256
Глава $
Фундаментальные перемещения, обусловленные единичной со-
сосредоточенной нагрузкой, приложенной в начале системы коорди-
координат, равны
и*1 = Ка [у «1 Al In i\ — у а2Л|1п г2],
ыГ2 == w?3 = -/СаЛ,Л2(91-92), E.191)
«и = - /СЛ( 1IV^Ti) Л?1п г, ~ (I/у"ЕГ2) Л§ 1п г2],
:ц = 1/[2л (а, - а,) sM], aj | а2 ^ (l/s22) Bs12 f soe),
= sxlsSj, Л г = su — a,sM; E.192)
]. E.193)
где
Здесь aj и a2 — действительные положительные числа (это спра-
справедливо для большинства материалов).
Рис. 5.41. Круговое ортотропиое коль- Рис. 5.42. Распределение кольцевых
цо, нагруженное равномерно распреде- напряжений на внутреннем контуре
леиным сдвигающим напряжением. кругового кольца.
Фундаментальные усилия можно записать следующим образом:
Х2 Г 2
4l
Здесь
E.194)
E.195)
Фундаментальное решение, для двумерной задачи (плоского на-
напряженного или деформированного состояния) и ортотропных уп-
Mt =
xtnx.

Статические задачи теории упругости
257
Таблица 5.3. Распределение кольцевых напряжений вблизи отверстия
Угол, от-
отсчитываемый
от оси,
град
0,0
7,5
15,0
22,5
30,0
37,5
45,0
Напряжение/р0
Численное
решение
0,0
—0,85
— 1,16
— 1,05
—0,77
—0,44
—0,08
Аналити-
Аналитическое
решение
0.0
— 0,84
— 1,15
— 1,05
—0,78
—0,44
—0,08
Угол, от-
отсчитываемый
от оси,
град
52,5
60,0
67,5
75,0
87,5
90,0
Напряжение/Ро
Численное
решение
0,29
0,69
1,П
1,45
1,28
0,0
Аналити-
Аналитическое
решение
0,29
0,69
1,11
1,45
1,31
0,0
ругих материалов было получено Томлином 156], который следо-
следовал работе Лехницки [57].
Пример 5.8. Применяя приведенное выше фундаментальное
решение (см. выражения E.191)—E.195)), Риццо и Шиппи [54]
рассмотрели задачу о круговом ортотропном кольце, жестко за-
закрепленном на внешней границе и нагруженном равномерно
распределенным по внутренней границе сдвигающим напряжением
р0 (рис. 5.41). При дискретном представлении использовалось по
48 постоянных граничных элементов одинаковой длины на внешней
и внутренней границах кольца; характеристики материала (фа-
(фанера) были следующими [57]:
sn = 1,18-10-» м2/Н, s22 = 2,37-Ю"» м2/Н,
s12 = —0,852- Ю-10 м2/Н, se6 = 20,3-10-» м2/Н.
Задача решалась для нескольких значений отношений rtlrB
(рис. 5.41), при этом внутренний радиус оставался постоянным.
На рис. 5.42 приведено распределение кольцевых напряжений
на внутреннем контуре для г^гй = 0, 3/7 и 3/4. Первый случай,
как можно видеть, приближенно соответствует бесконечной плас-
пластине с круговым отверстием и имеет аналитическое решение [57].
Как видно нз табл. 5.3, для этого предельного случая полученные
решения хорошо соответствуют аналитическим.
Бреббия К. и др.

Глава 6
Применение метода граничных элементов
в задачах для неупругих тел
6.1. Введение
Хотя о применении интегральных уравнений в теории упру-
упругости было известно уже с 1960-х гг., только в последнее десяти-
десятилетие появились первые работы, в которых рассматривались
задачи для материалов с нелинейным поведением. Первая публика-
публикация на эту тему, появившаяся в 1971 г., принадлежит Сведлоу
и Крузе[1]. В статье рассмотрены полученные ранее первым автором
определяющие соотношения для упрочняющегося упругопластиче-
ского материала, обобщенные на случай пластического течения
сжимаемого анизотропного материала; там же была дана модифи-
модифицированная форма тождества Сомильяиы, включающая скорости
пластических деформаций. Кроме того, в этой работе впервые было
написано граничное интегральное уравнение для прямой форму-
формулировки метода граничных элементов применительно к трехмер-
трехмерным задачам, но там отсутствовали примеры и не были получены
интегральные выражения для внутренних напряжений. Авторы,
однако, доказали существование интеграла по области, который
учитывал влияние пластических деформаций.
В 1973 г. была опубликована работа Риккарделлы [3], где
были использованы условие текучести Мизеса (при изотропном
упрочнении) для двумерных задач и кусочно-постоянное представ-
представление для пластических деформаций. В работе [3] не представ-
представлено явное выражение в интегральной форме для напряжений во
внутренних точках, поскольку ее автор обнаружил сингулярность
интеграла для пластических деформаций. Автор преодолел эту
трудность, взяв аналитически интеграл в слагаемом с пластиче-
пластической деформацией, после чего им были получены производные
также в явной форме. Прямым следствием такого подхода было то,
что при этом нельзя было использовать какие-либо интерполиру-
интерполирующие функции, кроме постоянных. С помощью довольно громозд-
громоздкого, но ясного способа были решены некоторые примеры, и ав-
автор сделал вывод, что полученные результаты являются хотя и
не полностью успешными, но обнадеживающими. Работа [3]
сыграла большую роль не только потому, что была первой работой
такого рода, но также и потому, что заложила основы численного
подхода для многих последующих работ. Например, там было впер-
впервые даио представление о линейных граничных элементах вместе

Граничные элементы е задачах для неупругих тел 259
с аналитическими выражениями для свободного члена. Кроме того,
полученные в работе в явной форме интегралы для слагаемого
с пластическими деформациями были до последнего времени един-
единственными корректными выражениями, которые можно было
использовать.
В то же время Менделсои [2] представил и обсудил различные
интегральные формулировки для задач с упругопластическим по-
поведением материала, а именно непрямую, прямую и прямую би-
гармоиическую формулировку, названную им полупрямым под-
подходом. Были представлены частные решения некоторых задач для
упругопластических материалов, включая тривиальное, записан-
записанное в явной форме выражение для задачи о кручении кругового
вала, и некоторые ранние результаты, относящиеся к задаче
чистого изгиба балки с надрезом. Последняя была решена с по-
помощью так называемой полупрямой формулировки. В отличие
от работ [1, 3] в работе [2] была представлена прямая формули-
формулировка, включая интегральное выражение для внутренних напря-
напряжений (в двух- и трехмерных задачах). Однако, как обнаружи-
обнаружилось позже, эти выражения были неверными из-за способа, кото-
которым рассматривалось слагаемое, учитывающее пластические де-
деформации.
В 1975 г. Менделсоном и Алберсом [4] было дано развитие ра-
работы [2]. В их статье опубликованы результаты численного ис-
исследования задачи кручения стержня квадратного поперечного
сечения в рамках прямой формулировки (вводилась функция
искажения плоской формы поперечного сечения) и деформацион-
деформационной теории пластичности. Рассматривались случаи идеальной
пластичности и деформационного упрочнения; сопоставление по-
полученных результатов с решением методом конечных разностей
указало на большие возможности такого подхода. В статье вос-
воспроизводились некоторые дополнительные результаты для упоми-
упоминавшейся ранее задачи о балке. Однако наряду с решением в яв-
явной форме, полученным с помощью полупрямой формулировки,
была сделана попытка применить прямую формулировку с не-
неубедительными результатами.
Спустя два года Мукерджи [5] опубликовал работу теорети-
теоретического характера, где детально рассматривается сведение трех-
трехмерной прямой формулировки метода граничных элементов к слу-
случаю плоского деформированного состояния. В этой работе были
частично уточнены уравнения, представленные в статьях [2,
4], и предложены модифицированные варианты ядер для интегра-
интегралов с пластическими деформациями. Эти модификации целиком
основывались на предположении о несжимаемости материала при
пластических деформациях и, следовательно, не могли быть спра-
справедливы для задач теории пластичности, где могло возникать
объемное расширение (пластические потенциалы типа Дракера —

260 Глета 6
Прагера или Мора — Кулона). В работе [16] также обсуждалось
применение этой формулировки для получения решений в явной
форме для некоторых простых задач.
Еще в 1977 г. Шадонере [11] использовал прямую формули-
формулировку метода граничных элементов для исследования вязкопла-
стической пластины с надрезом. В этой работе использованы ори-
оригинальные определяющие уравнения, а полученные результаты
были подтверждены экспериментально. Представленные там ин-
интегральные уравнения основывались на учете вязкопластических
деформаций в форме «начальных напряжений», а при численной
реализации использовались линейные граничные элементы и
постоянные прямоугольные ячейки при интегрировании нели-
нелинейного слагаемого. Стоит упомянуть, что здесь следовало бы ис-
использовать процедуру Рикарделлы при получении внутренних
напряжений, поскольку соответствующие интегральные выраже-
выражения, представленные в статье [11], были некорректны.
В следующем году основной вклад был сделан за счет получе-
получения формулировки метода граничных элементов для задачи
о иеупругом поведении материала. В статье Би [6] приводятся
соображения по поводу получения производной сингулярного ин-
интеграла для слагаемого, учитывающего неупругие свойства мате-
материала (первоначально это было сделано С. Г. Михлиным [17]).
В работе [6] обсуждены интегральные соотношения для трех-
трехмерного случая и указано на существование свободного члена в ин-
интегральном выражении для внутренних напряжений, о котором
не говорилось ни в одной из предшествующих публикаций. Однако
его довольно сложно рассчитать численно, поскольку соответству-
соответствующий интеграл по области (для неупругой составляющей) тре-
требуется находить в смысле главного значения. Тем не менее в этой
работе впервые написано корректное интегральное соотношение.
Результаты работы [6] побудили Мукерджи н Кумара [10]
воспользоваться описанной выше процедудой Риккарделлы. В этой
статье ими было рассмотрено неупругое, зависящее от времени
поведение материала в задачах о плоском напряженном состоянии
со степенным законом ползучести, а также с недавно опублико-
опубликованными определяющими соотношениями Харта (для металлов).
Использованная ими процедура была основана на схеме типа
предиктор — корректор при интегрировании по времени с ку-
кусочно-постоянными по области интерполирующими функциями как
для неизвестных на границе, так и для неупругих деформаций.
В 1979 г. Теллес и Бреббия [7] привели полную формулировку
метода граничных элементов для трех- и двумерных задач теории
пластичности. Они дали корректные выражения для внутренних
напряжений, включая соответствующие производные простран-
пространственных сингулярных интегралов. При этом основное внимание
было уделено численному решению интегральных уравнений;

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 261
была предложена простая процедура для нахождения главных
значений интегралов от пластических деформаций и приведены
соответствующие свободные члены. Эта процедура основана на
применении однородного поля пластических деформаций для
представленных в дискретной форме граничных интегралов и
может быть применена также н для внутренних ячеек высокого
порядка. В работе [7] не было дано каких-либо инженерных при-
приложений, однако в ней впервые была показана возможность
корректного использоваиия представлений высокого порядка для
неупругих деформаций.
Известно, что в 1970-е гг. развернулась широкая дискуссия по
поводу корректности формулировок метода граничных элементов.
Тем не менее уже в начале нынешнего десятилетия уровень вы-
вычислительной техники позволял решать многие практические
задачи, используя более изощренные численные методы. Напри-
Например, еще в 1980 г. Теллес и Бреббия применили прямую форму-
формулировку метода граничных элементов для решения некоторых дву-
двумерных задач для упругопластических деформаций (плоское на-
напряженное или плоское деформированное состояния). Была рас-
рассмотрена форма «начальных деформаций» для слагаемого, учиты-
учитывающего неупругие деформации, н предложен подход, который
позволял исследовать пластические деформации для несжимаемого
материала прн критерии текучести Мизеса в случаях упрочнения,
идеальной пластичности н разупрочнения. Численная реализа-
реализация осуществлялась с использованием линейных интерполирую-
интерполирующих функций как для граничных элементов, так и для внутренних
ячеек. В этой работе потенциальные возможности метода гранич-
граничных элементов при анализе неупругого поведения материалов были
ярко высвечены путем сравнения с решениями тех же задач, по-
полученными методом конечных элементов.
В другой публикации Теллеса и Бреббия [9] использована
формулировка с «начальными напряжениями» для четырех раз-
различных критериев текучести (Треска, Мизеса, Мора — Кулона
и Дракера—Прагера), в связи с чем учитывалось пластическое
объемное расширение. Кроме того, там были обсуждены различ-
различные подходы, применяющиеся при прямой формулировке метода
граничных элементов, когда используются начальные деформации
либо начальные напряжения, а также фиктивные внешние или
объемные силы. Среди прочих приложений рассмотрена геотех-
геотехническая задача о туннеле глубокого заложения, показывающая
возможность применения граничных элементов в задачах о неу-
неупругом поведении сред конечных размеров.
Усовершенствование прежней формулировки было дано в ра-
работе Моржариа и Мукерджи [12], где подход, использованный ра-
ранее в работе [10], был улучшен путем применения линейных гра-
граничных элементов и схемы типа Эйлера интегрирования но вре-

262 Глава 6
мени. Однако для слагаемого, учитывающего неупругие деформа-
деформации, использовались по-прежнему кусочно-постоянные простран-
пространственные аппроксимации. В статье [12] были решены некоторые
новые примеры (для плоского напряженного состояния), включая
задачу о пластине с эллиптическим вырезом; сравнение с предыду-
предыдущими решениями показало существенное улучшение с точки зре-
зрения эффективности численных расчетов.
В 1981 г. была впервые приведена удовлетворительная форму-
формулировка, использующая фундаментальные решения, которые соот-
соответствуют частным граничным условиям. Теллес и Бреббия [13]
применили сингулярное решение для полуплоскости в сочетании
с различными предложенными ранее ими формулировками. В этой
работе были решены задачи теории пластичности для конечных
и полубесконечных областей без использования дискретных пред-
представлений свободной от напряжений границы полуплоскости.
Другой интересный способ решения предложен Моржариа и Му-
керджи [14], которые предложили непрямую и бигармоническую
формулировку метода граничных элементов в сочетании с фунда-
фундаментальным решением для плоских тел с вырезами (круговыми и
эллиптическими). Эта бигармоничная формулировка была ис-
использована для решения двух примеров, включая хорошо извест-
известную задачу об образовании трещины в пластине, причем трещина
аппроксимировалась узким эллиптическим вырезом.
Дальнейшее развитие было сделано Теллесом и Бреббия
[15], которые ввели вязкопластический граничный элемент,
позволивший применять единый подход при рассмотрении пласти-
пластичности, ползучести и вязкопластичности. Применительно к этому
была использована модель Перцины, описывающая упруговяз-
копластическое поведение материала и четыре различные крите-
критерия текучести. В процедуре решения использовалась простая схема
Эйлера при интегрировании по времени с введением ограничений
на шаг повремени. Представленные примеры демонстрируют воз-
возможности метода граничных элементов в задачах для нелинейных
и зависящих от времени сред.
В данной главе представлена общая формулировка с исполь-
использованием граничных интегралов в задачах для неупругих тел.
применение которых дается в двух последующих главах. Гл. 7
посвящена применению уравнений метода граничных элементов
для неупругих материалов к решению задач теории пластичности.
Условие текучести, представленное в разд. 6.2, распространяется
на общие задачи механики сплошной среды, а критерий текуче-
текучести Мизеса [18—22, 26—29] сначала применяется в сочетании
с уравнениями, использующими начальные деформации. Представ-
Представлен также использующий эти выражения алгоритм решения [21]
и расмотрен ряд примеров, для которых выполнено сопоставление
с другими решениями.

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 263
Чтобы расширить область применения такого подхода, в диф-
дифференциальной форме вводятся обобщенные соотношения между
напряжениями и деформациями, описывающие поведение матери-
материала за пределом упругости, для четырех различных критериев
текучести, а именно условия Треска, Мизеса, Мора—Кулона н
Дракера—Прагера [34]. Подобные соотношения особенно по-
полезны, когда используются уравнения с начальными напряже-
напряжениями, поэтому здесь представлены два различных алгоритма для
шаговых процедур решения задач теории пластичности, приспо-
приспособленные для подхода, в котором вводятся начальные напряже-
напряжения. В конце гл. 7 приведены примеры решений и сопоставление
с другими решениями, включая применение .фундаментального
решения для полуплоскости.
Гл. 8 главным образом посвящается использованию метода
граничных элементов в нелинейных задачах, в которых характе-
характеристики материала зависят от времени. Показано применение эк-
эквивалентной или эффективной формы одномерных моделей, опи-
описанных в разд. 6.2, для получения определяющих соотношений и
такой единообразной процедуры, которая была бы пригодна как
для вязкопластического материала, так н для материала, проявля-
проявляющего свойства ползучести. Кроме того, эта процедура позволяет
получать решения для материалов, обладающих исключительно
упругопластическими свойствами, путем рассмотрения длитель-
длительных по времени приращений нагрузки. Последний раздел гл. 8
посвящен анализу материалов, не сопротивляющихся растяжению,
таких, как бетон, горная порода и т. п. В этих задачах в процессе
нагружения происходит перераспределение напряжений, поэтому
метод их решения аналогичен методу решения задач теории пла-
пластичности.
6.2. Неупругое поведение материалов
При изложении в разд. 5.1 теории упругости были использо-
использованы следующие предположения: конфигурации полностью вос-
восстанавливаются послеснятия нагрузки, деформации зависят только
от конечных значений напряжений и не зависят как от истории
нагружения, так и от путей деформирования. При пластических
деформациях, как и в общем случае неупругого поведения матери-
материалов, все эти предположения не реализуются.
Пластичность определяется как способность материала непре-
непрерывно и постоянно деформироваться без разрушения при возни-
возникновении напряжений, превышающих предел упругости матери-
материала. Таким образом, здесь следует ожидать появления остаточных
деформаций при снятии нагрузки, и поэтому результирующие зна-
значения деформации зависят не только от окончательных значений
напряжений, но также и от всей истории изменения напряжений
от момента возникновения пластических деформаций.

264
Глава 6
Сформулировать физические соотношения, описывающие ис-
истинное поведение материала при пластическом течении, — за-
задача очень сложная. Сложность ее связана с нелинейностью и не-
необратимостью процесса деформирования, а также с рядом явлений,
которые возникают только после перехода материала в пластиче-
пластическое состояние. Пластические характеристики многих материалов,
например, определяются скоростью деформирования, причем со-
сопротивление деформированию заметно возрастает с ростом ско-
<*4
Рис. 6.1. Диаграмма напряжения — де-
деформации при одноосном растяжении-
сжатии для идеально-упругопласти-
ческого материала. Модуль упругости
Е = tga.
Рис. 6.2. Диаграмма напряжения —
деформации при одноосном растяженин-
сжатии для упрочняющегося материа-
материала. Модуль упругости £ = tga, мо-
модуль упругопластической деформации
£г = tg p.
роста нагружения (влияние вязкости). С другой стороны, ползу-
ползучесть материалов является одним из примеров, когда деформации
будут развиваться (особенно при повышенных температурах)
с течением времени при постоянных значениях напряжений. Для
упрощения в дальнейшем рассматривается несколько наиболее
простых диаграмм, которые характеризуют поведение образца
лишь при растяжении или сжатии.
На рис. 6.1 представлен график зависимости напряжений от
деформаций для идеально-упругопластического материала. Видно,
что при изменении напряжения в нагруженном образце от точки О
до Л в образце возникает обратимая деформация, до тех пор пока
напряжения не достигнут значения а = Y, когда возникает пла-
пластическая деформация, после чего дальнейшее деформирование
будет происходить при постоянном напряжении, равном пределу
текучести. Если после того, как будет достигнута точка В, обра-
образец разгрузить, то участок ОАВ пройти в обратном направлении
не удастся вследствие необратимости пластической деформации;
при этом точка, определяющая напряжение, будет следовать по
линии ВС, параллельной ОА. Напряжение образца при ежа-

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 265
тии будет определяться точкой С, для которой сжимающее напря-
напряжение достигает предела текучести а = —Y. Далее образец бу-
будет деформироваться при постоянном значении напряжения, рав-
равном пределу текучести, после чего может быть достигнута точка D
и тем самым кривая полного цикла замыкается.
Более сложная ситуация возникает, когда учитывается влия-
влияние упрочнения-разупрочнения. Это можно видеть на рис. 6.2,
где простейшее линейное упрочнение характеризуется постоянным
значением модуля Ет- После достижения точки А, где а = У,
дальнейшее увеличение напряжения потребует дальнейшего уве-
увеличения деформации. Когда после состояния, характеризуемого
точкой В, образец разгружается, точка, характеризующая напря-
напряженное состояние образца, перемещается, как и ранее, вдоль
отрезка ВС, но, как известно из экспериментов, предел текуче-
текучести при сжатии будет зависеть от истории деформаций, поэтому
в общем случае | ов \ Ф \ ас | — это явление получило название
«эффект Баушингера».
Для описания эффекта Баушингера имеется несколько упро-
упрощенных моделей. В одной из моделей предполагается, что диапа-
диапазон упругой разгрузки будет равен удвоенному значению предела
текучести (кинематическое упрочнение), что дает
<тс = (Тв —2F. F.1)
Другая модель соответствует теории изотропного упрочнения,
где предполагается, что механизм, определяющий упрочнение,
действует одинаково как при растяжении, так и при сжатии, а
именно:
<*с = — <тв- F.2)
В действительности же никакая из теорий не дает достаточно
точного учета влияния упрочнения при разгрузке. Кинематиче-
Кинематическая модель, хотя и более точная в этой ситуации, приводит к не-
неточностям при описании эффекта Баушингера [21], а изотропная
модель не учитывает подобную анизотропию поведения матери-
материала. Тем не менее модель изотропного упрочнення является более
простой и поэтому довольно широко используется.
Более того, препятствие, имеющееся в теории с изотропным
упрочнением, можно преодолеть, воспользовавшись фракционной
моделью [35, 36]. В этой модели частица материала считается как бы
состоящей из различных частей, которые можно рассматривать
как подэлементы, соединенные параллельно и представляющие
изотропное упрочнение при пластическом деформировании. На-
Наделяя каждый подэлемент различными свойствами и предполагая,
что все подэлементы имеют одну и ту же общую деформацию,
можно сколь угодно близко описать реальное поведение матери-
материала, включая и эффект Баушиигера.

266
Глава 6
Если оставить один подэлемент, получим теорию с изотроп-
изотропным упрочнением. Однако при необходимости модель может опи-
описать также и кинематическое упрочнение, если соответствующим
образом выбрать число подэлементов, их размер и закон изотроп-
изотропного упрочнения. Это означает, что в кинематической модели уже
больше нет необходимости, и поэтому в последующих разделах
книги внимание будет уделено теории изотропного упрочнения.
Кроме того, здесь и далее для простоты полагаем а Зз 0.
Если считать, что пол-
полная деформация е состоит
из упругой 8е и пластиче-
пластической еР деформаций, то
можно написать
6 = 8е + ер, F.3)
е< = а/Е. F.4)
Как видно из рис. 6.3,
чисто упругое поведение
па начальном этапе нагру-
жения возникает при
а — Y< 0. F.5)
Рис. 6.3. Диаграмма напряжения — дефор-
деформации при одноосном растяжении-сжатии,
когда деформация имеет упругую и пласти-
пластическую составляющие.
Когда напряжение а пре-
превышает предел упруго-
упругости Y, это условие меня-
меняется и а сравнивается с пределом текучести а0, что дает
а - а0 < 0, F.6)
где а0 имеет начальное значение, равное Y, и изменяется по опре-
определенному закону при развитии пластических деформаций. Для
случая, указанного на рис. 6.3, имеем
Для того чтобы сохранить достаточно общий характер настоящего
обсуждения, это выражение можно связать с гипотезой о работе
упрочнения, предположив, что а0 является функцией параметра
упрочнения k, который представляет собой пластическую работу
F.8)
откуда следует
k — ade",
а„ = g j ade",
dg
,j,p
H'
a
F.9)
F.10)

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 267
где Н' — тангенс угла наклона касательной к кривой, определя-
определяющей зависимость напряжения от деформации при одноосном
растяжении.
Выражение F.7), соответствующее линейной функции, описы-
описывающей работу деформации, можно представить в виде
ао = К + Я'еР, F.11)
где Н' в этом случае будет постоянной, равной
Н' = ЕТ1{\ —ЕТ1Е). F.12)
Учитывая неравенство F.6), видим, что пластическое поведение
возможно при выполнении следующего условия или критерия:
F (a, k) = а — а0 = 0. F.13)
где F (а, к) — функция текучести, удовлетворяющая условию
F(a, k) < 0. F.14)
Как уже упоминалось ранее, пластическое поведение некото-
некоторых материалов зависит от скорости деформации. Однако, со-
согласно содержанию классической или нереологической теории
пластичности, независимость от времени является основным из
допущений этой теории, что делает невозможным одновременное
описание как пластических, так и реологических эффектов.
Подобное единообразное описание составляет содержание теории
вязкопластичности.
Каждый материал обладает более или менее выраженными
свойствами вязкости. В ряде задач этими свойствами можно пре-
пренебречь, что никак не скажется на результатах; однако имеются
задачи, где их влияние может оказаться существенным, и тогда
зависимость процесса деформирования от времени станет важной
характеристикой иеупругого поведения. В подобных случаях
неупругне деформации зависят от всей истории изменения напря-
напряжений во времени и от пути нагружения. Отсюда следует, что раз-
различным путям нагружения и различной длительности процесса
нагружения будут соответствовать различные результаты.
Одной из наиболее общих моделей неупругого материала
является упруговязкопластическая модель Перципы [30—32].
В этой модели предполагается, что материал проявляет вязкие
свойства только в пластической области, а это означает, что при
F< 0 имеет место чисто упругое состояние. Кроме того, условие
текучести F.13) теперь будет представлять собой лишь начальное
условие, называемое здесь статическим условием текучести. Не-
Несмотря на эти общие особенности, вязкопластическое состояние
возникает при
F (a, k) >0, F.15)
что невозможно для так называемых нереологических теорий
пластичности.

268
Глава 6
Пластическая деформация при одноосном нагружении для
чувствительных к скорости нагружения пластических материалов
определяется скоростью деформации в виде
kP = y{O(F/a0)), F.16)
где точкой обозначена производная по времени, у — параметр
материала, который может быть функцией времени, температуры
и т. п. Кроме того, здесь имеем
(Ф (F/a0)) = О при F <: 0,
@(F/ao))#O при F>0.
Функция Ф выбирается на основе экспериментов и может иметь
различный вид, например [30]:
Ф (X) =-- X", Ф (X) = X, Ф (X) = ехр (X) — 1,
F.17)
Ф(Х)= £ Ла[ехр(Х<*)-1],
Ф(Х)= 21 ВаХа. F.18)
Из выражений F.18) ясно видно, что скорость нарастания не-
неупругих деформаций является функцией приращений напряжений
относительно статического критерия
текучести. Эта функция указанных
приращений напряжений определяет
скорость вязкопластических дефор-
деформаций в соответствии с предвари-
предварительно выбранным законом, описы-
описывающим вязкие свойства материала,
который представлен реологической
моделью, показанной на рис. 6.4.
В этой механической модели пред-
предполагается, что узел с трением спо-
способен выдержать напряжение сгвплоть
до значения а = а0, после чего при
о > а„ в узле возникает проскаль-
проскальзывание. Когда это происходит,
__*-
Рис, 6.4. Реологическая модель
описывающая упруговязкопла
стические свойства материала.
приращение напряжения a — a0 вос-
воспринимается демпфером (который
может иметь нелинейную характеристику), что порождает вяз-
вязко пластическую деформацию. Упругая часть полной деформации
создается упругой пружиной.
Следует отметить, что в общем случае демпфер и узел с трением
могут обладать свойствами, которые зависят от вязкопластическои
деформации (#' Ф 0). Таким образом, спустя некоторое время
при действии постоянного напряжения а механизм с трением ста-
становится снова жестким и при выполнении статического критерия
текучести вновь восстанавливается асимптотическая статическая
конфигурация {& = 0).

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 269
Для того чтобы показать эквивалентность реологической
модели и выражения F.16), рассмотрим условие равновесия
(or 5г (То)
а = F + (То F.19)
где F — напряжение, воспринимаемое демпфером, а0 — часть
напряжения, относящаяся к механизму трения. Напряжение
в вязком демпфере связано со скоростью вязкопластической де-
деформации соотношением
F = |X6P= AF- ёе), F.20)
где ц — характеристика демпфера. Подставляя выражение F.20)
в равенство F.19), получаем
-<г0). F.21)
Поскольку скорость деформаций в соответствии с формулой F.3)
равна
ё = ё«+ёр, F.22)
из выражения F.21) имеем
гр =A/ц) (а-(Т0). F.23)
Это выражение будет соответствовать формуле F.16), если поло-
положить
A = (Т0/у, Ф (F/aB) = Fh0. F.24, 6.25)
Рассмотрим некоторые аналитические решения уравнения
F.21). Для простоты предположим, что Н' = 0 (сг0 = У), ис-
используется модель одноосного растяжения-сжатия и нагружение
соответствует постоянной общей скорости деформации. Тогда
уравнение F.21) принимает вид
e=-|-+-f (<т-У), F.26)
откуда получаем следующее линейное дифференциальное урав-
уравнение:
a + ^-a = £(8+v), F.27)
где ё = const. Решение уравнения F.27) имеет вид
а = У (-1 + 1) V С ехр (- &■ t) , F.28)
где i — время, постоянная С зависит от начальных условий.
Если при t = 0 имеем в = YIE и е*> = 0, то для напряжений по-
получаем выражение
J2[(^)] ir, F-29)

270
Глава 6
которое можно представить как функцию не времени, а деформа-
деформации (рис. 6.5)
2±{Н(£)]} 16.30)
С другой стороны, можно предположить, что в начальный момент
возникает деформация е = (Y/E) (в/у + 1), а затем полная де-
деформация увеличивается с постоянной скоростью. В этом случае
приведенное выше выражение значительно упрощается и напря-
напряжение становится постоянным:
or = Y [(г/у) -|- 1]. F.31)
Этот случай показан на рис. 6.6
Y -
/ Ст
/
/
/
!e),
Рис. 6.5. Диаграмма напряжения — Рис. 6.6. Диаграмма напряжения —
деформации при одноосном растяже- деформации при одноосном растяже-
растяжении-сжатии, когда к — const (при t — нии-сжатии, когда г — const (при t =
= 0 имеем 8 = Y/E). =0 мгновенно прикладывается де-
деформация е = (Y/E) [(e!y) -\- I ]).
Здесь будет поучительным обратить внимание на важное раз-
различие между нереологической теорией пластичности и предложен-
предложенной здесь теорией пластичности для вязких материалов. В случае
чистой пластичности критерий текучести F.13) дает необходимое
условие возникновения пластического поведения. Как только точ-
точка, характеризующая напряженное состояние, будет удовлетво-
удовлетворять условию F = 0, можно определить условие нагружения
(//' > 0), зависящее от того, что произойдет затем, а именно при
о < 0, имеет место разгрузка (упругое деформирование), а при
а > 0 — догружение (упругопластическое деформирование). Од-
Однако для вязкопластических материалов имеет место и случай
F > 0, и поэтому они будут демонстрировать вязкопластическое
поведение, полностью независимое от условий а > 0 или а < 0.
Интересной особенностью упруговязкопластической модели
является то, что при медленном увеличении нагрузки получаются
результаты, соответствующие классической теории пластичности
(при условии, что возможно статическое состояние F = 0). Об
этом уже упоминалось ранее при описании реологической модели

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 271
(см. также рис. 6.6). В данном случае функция Ф и параметр у
становятся несущественными, причем последний будет скалярным
коэффициентом прн времени, превращая время в фиктивную пере-
переменную величину.
Эту особенность можно легко объяснить, переписав выражение
F.16) в виде (F 5э 0)
вр= уФ (F/or0), F.32)
что можно представить в следующих эквивалентных формах:
F = (ТоФ-1 (вр/у), F.33)
F = <T0O-1i[s-(a/£)]/Y!. F.34)
Для медленного шагового процесса нагружения скорость
становится пренебрежимо малой на пути нагружения, поэтому
повсюду приблизительно выполняется условие F = 0. На практи-
практике можно придумать программу дискретного нагружения, согла-
согласно которой нагрузке непрерывно даются малые приращения.
После каждого приращения нагрузка остается постоянной и та-
таким образом система получает возможность прийти к стационар-
стационарному состоянию (т. е. в реологической модели вновь выключается
фрикционный элемент). Подобным способом можно проследовать
по всему пути нагружения, причем статическое условие текучести
будет удовлетворяться в отдельных точках пути нагружения.
В рассматриваемом здесь случае одноосного нагружения при-
приращения нагрузки можно задавать произвольно, сохраняя не-
неизменной лишь их сумму (в конечной точке). В случае задач для
сплошных сред это не так, поскольку там возникает перераспре-
перераспределение напряжений и тогда можно не получить один и тот же
процесс изменения напряжений. Поэтому в общем случае следует
всегда придерживаться малых приращений.
Из представленной на рис. 6.4 механической модели видно,
что выключив демпфер, т. е. полагая ц = 0 (или считая у —>- оо),
получаем упругопластическую модель с мгновенной реакцией.
Отсюда непосредственно следует ограничение сг < сг0, необходимое
для выполнения условия равновесия. Другое полезное свойство
можно получить, предположив, что вместо демпфера отключается
механизм с трением (т. е. считая а0 = 0). В этом случае механиче-
механическая модель сохраняет свои реологические свойства и соответствует
хорошо известной модели Максвелла, где демпфер с линейной
характеристикой соединяется с рядом пружин. Поэтому приняв,
что демпфер обладает нелинейной характеристикой, с помощью
такой всеохватывающей модели легко описать так называемую
вторичную или установившуюся ползучесть металлов [21, 23—
25]. Этот вопрос будет обсуждаться ниже.
Из экспериментов известно, что некоторые металлы, обычно
при повышенной температуре, могут с течением времени непре-

272 Глава 6
рывно деформироваться при постоянной нагрузке. Это явление
называется ползучестью, а зависящая от времени деформация,
порождаемая этим процессом, называется деформацией ползуче-
ползучести. Типичная зависимость деформации ползучести ъс от времени
при постоянном одноосном нагружении показана на рис. 6.7.
Первый участок АВ кривой, где быстро уменьшается скорость
ползучести, относится к первичной или неустановившейся ползу-
ползучести. На этом участке при снятии нагрузки состояние обычно
восстанавливается. На втором участке ВС скорость ползучести
постоянна и поэтому он опи-
описывает процесс установившейся
или вторичной ползучести. На
этом этапе ползучесть дает
остаточную деформацию. По-
Последний этап CD, называемый
третичной ползучестью, харак-
характеризуется быстрым увеличе-
увеличением скорости ползучести и
вскоре приводит к разрушению.
врем? pja Третичную ползучесть в зна-
Рис. 6.7. Типичная кривая ползучести чительной степени влияетумень-
при действии постоянной нагрузки. шение площади поперечного
сечения образца при больших
деформациях. Это обстоятельство, а также, как правило, незна-
незначительная длительность первичного этапа обычно приводят к тому,
что в основном интересуются вторичной ползучестью, хотя от-
отнюдь не всегда можно пренебрегать и первичной.
В испытаниях при постоянном напряжении обычно описывают
деформацию ползучести с помощью соотношения
е< = g (a, t, T), F.35)
где Т — температура. Хороший обзор различных вариантов со-
соотношений типа F.35) дан в книге [24]. При кратких по времени
испытаниях превалирует первичная ползучесть. Широко исполь-
используемое для описания первичной ползучести выражение имеет
вид
ес = Bantk+[. F.36)
Для вторичной ползучести предпочтительнее следующее представ-
представление:
где В, К, m, n и k — зависящие от времени характеристики
материала.
Обобщение приведенных выше соотношений на случай напря-
напряжений, изменяющихся во времени, обычно сопровождается введе-
введением спорных допущений. Здесь наибольший интерес представляет

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 273
скорость деформации в произвольный момент времени. Таким
образом, из выражения F.36) получаем
ic = (k \-\)Ba»t\ F.38)
а из представления F.37) приходим к хорошо известному закону
Нортона
гс = Кот. F.39)
Выражение F.39) можно применять для материалов, которые
обладают свойством вторичной ползучести; оно широко использу-
используется для ряда практических задач. Отметим, что это выражение
вместе со скоростью упругой деформации alF можно использовать
для построения упоминавшейся выше нелинейной модели Макс-
Максвелла.
Для задач, исследующих начальный промежуток времени,
вместо выражения F.38) можно воспользоваться его аналогом.
Это можно сделать, выразив с помощью выражения F.36) время t
как функцию гс и а и подставив результат в выражение F.38).
Окончательно получаем
е" = (fc-f- l)Bl/<ft+'>(T"/<*+'>(e<r)ft«*+'). F.40)
Если напряжение постоянно, то написанное выражение сов-
совпадает с F.38), но для напряжения, зависящего от времени,
результаты будут различными. Данные экспериментов показывают
лучшее соответствие с выражением F.40). Это особенно верно
в случае опытов с малой продолжительностью нагружения [24].
Недостаток обоих этих подходов состоит в том, что они не описы-
описывают восстановление деформаций, обусловленных ползучестью,
после снятия нагрузки. Здесь предпочтительнее использовать
модели типа описанных в работах [35, 36].
В данном кратком описании рассматривался только случай
а :=; 0. Следует учитывать, что при а < 0 будут возникать отри-
отрицательные деформации ползучести или пластичности (| а | :=;
:=; (Т„). Выражения остаются справедливыми, если во внимание
принимать только абсолютные значения напряжений. Необходи-
Необходимость выполнения условия <т^ 0 станет более ясной в гл. 7 и 8,
где будет дано обобщение на неодноосные напряженные состояния,
а полученные при этом соотношения легко позволяют перейти к
эквивалентной или более удобной форме.
Для ряда практических приложений такие материалы, как
бетон и грунт, можно в идеале считать способными выдерживать
только сжимающие напряжения и деформации и не сопротивляю-
сопротивляющимися растяжению, что в литературе характеризуется как по-
поведение, не допускающее растяжения [37]. В этом случае можно
сказать, что материал может вести себя одним из следующих двух
способов. В первом из них материал не может воспринимать ни-
никакого растяжения (рис. 6.8, а), нагружение н разгрузка при ра-

274
Глава 6
стяжении описываются горизонтальной линией, а наклонная пря-
прямая представляет линейно-упругие свойства материала при сжа-
сжатии. Материал при этом считается упругим. При втором способе
материал ведет себя как пластический при отсутствии растяжения.
В результате получаются
/ различные пути разгрузки,
.^линейно-упругое как это видно из рис. 6.8, б.
/■ поведение
/чу-о 6.3. Разрешающие
нагружения уравнения
£И«а
Путь
разгрузки
~£( растя кг> не)
^Линейно-упругое
поведение
П^ть
нагрукения
t (растяменле!
разгрузки
Рис. 6.8. Виды диаграмм (а — при сов-
совпадении путей нагружения; б—при не-
несовпадении путей нагружения).
В этом разделе приво-
приводятся основные дифференци-
дифференциальные уравнения для неуп-
неупругой сплошной среды. Для
того чтобы сохранить един-
единство обозначений, уравнения
записаны в скоростях. Это
является естественным для
таких задач с зависящим от
времени поведением, как за-
задачи вязкопластичиости и
ползучести. Следует отме-
отметить, что н в классической
теории пластичности также
можно использовать прира-
приращения, поскольку ее соот-
соотношения не меняются во вре-
времени. Тем не менее наступ-
наступление пластического состоя-
состояния можно связать с пара-
параметром, аналогичным вре-
времени, который в действи-
действительности является не зави-
сящей от времени скалярной величиной. Согласно теории малых
упругопластических деформаций, общая скорость деформации для
иеупругих материалов может быть записана в форме
где е<; и kij— соответственно упругая и иеуиругая части тензора
общей скорости деформации. Здесь под неупругими деформациями
понимается любого вида поле деформаций, которые можно рас-
матривать как «начальные деформации», а именно:
1, ■ -Т , ■ /
«/ -Г" е<7 -г г-;/.
F.42)

Граничные элементы в задачах лля неупругих тел 275
где if) — скорость пластической или вязкопластической дефор-
деформации; i°ii — скорость деформации, обусловленной ползучестью;
ец — скорость температурной деформации; е,-/ — скорость началь-
начальной деформации, обусловленной различными другими причинами.
Уравнение равновесия E.3) здесь можно записать в скоростях:
6y,i 1- Ь, = 0. F.43)
Уравнение F.43) справедливо для внутренних точек тела. Условие
равновесия, записанное на граничной поверхности, приводит
к соотношению E.5), записанному в скоростях:
Pi — Oijitj = 0, F.44)
где щ — направляющие косинусы внешней нормали к границе
тела. Если неупругие деформации рассматриваются как началь-
начальные, то применение закона Гука к упругой части тензора скорости
полной деформации дает следующее выражение для компонент
скорости напряжения:
Ьн = 2G (гц - ё?,) + ^ (ён - ё)й„, F.45)
где ё = &kk — скорость неупругой объемной деформации. Это
выражение можно записать через начальные напряжения
b[j = IGzii -\- -.—=-t &kkbij — b(i, F.46)
где isij — компоненты «начальных напряжений», имеющие вид
dtj = 2Gk(i -j—5—5— e6f/. F.47)
Подставляя выражение F.45) в F.43), с учетом выражений
F.44) и F.41) получим [23]
й/. н+ ТГГ35 */.'/= 2 (*?/.« +ГГ^й-')-'Т' F8)
Р( 4- 2GI
Уравнение F.48) является расширенной формой уравнения Навье
E.32), а соотношение F.49) описывает граничные условия в на-
напряжениях (см. формулу E.53)). Другая форма записанных выше
уравнений и граничных условий имеет вид
Ч » Ьу-г^ "/,!,=-- --^-> F.50)

276 Глава 5
где 5j и pi являются соответственно псевдообъемными силами и
псевдонапряжениями:
Ъ, = 6/ - 2G (ё?,. ,• f ^ ё, ,) = Й, - д^, t. F.52)
pt = Pt-\- 2О(ё?,п,-г-TJL-gn<) = & + d?,n,. F.53)
Можно видеть, что уравнение F.50) определяет собой систему
трех квазилинейных дифференциальных уравнений в частных про-
производных относительно скоростей перемещений (слагаемые, обу-
обусловленные неупругим поведением материала, находятся в правой
части). Поэтому если скорости неупругих деформаций известны,
можно снова воспользоваться фундаментальными решениями
(см. гл. 5).
Соотношения F.41)—F.53) относились к трехмерным телам.
Эти уравнения можно применять также и для плоских задач,
положив (, /, k, I = 1, 2 и ё — б?; + ё?,-г ё", для плоского де-
деформированного состояния, заменяя v на v = v/(l + v) и полагая
ё — ё^ + ё°2 для плоского напряженного состояния.
В этой книге описаны различные процедуры решения приве-
приведенных выше уравнений методом граничных элементов. Как пока-
показано ниже, из приведенных здесь уравнений вытекают различные
формулировки, поэтому далее широко используются понятия о
начальной деформации и начальном напряжении для обозначения
соответствующих им интегральных выражений. В этом замечании,
возможно, нет необходимости, но оно здесь приводится во избежа-
избежание путаницы с некоторыми ранее приводившимися формулиров-
формулировками метода конечных элементов, где слагаемые с начальными
деформациями или напряжениями были введены для обозначения
способа, которым вычислялись приращения пластической дефор-
деформации с помощью определяющих соотношений [39]. Эти форму-
формулировки с так называемой начальной деформацией не позволяют
рассматривать случай идеальной пластичности. Это ограничение,
разумеется, не распространяется на используемые здесь соотно-
соотношения.
6.4. Формулировка, использующая граничные интегралы
В гл. 5 было показано, каким образом следует использовать
метод взвешенных невязок для получения интегральных урав-
уравнений. Преимущество использования подхода, основанного на ме-
методе взвешенных невязок, состоит в том, что он очень хорошо соот-
соответствует методу численного решения реальной задачи. Этот под-
подход включает некоторые интуитивные физические соображения
в процессе численного решения дифференциальных уравнений, и,
что более важно, позволяет (поскольку он носит общий характер)

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 277
получить единообразную процедуру, которая дает возможность
связать метод граничных элементов с другими численными мето-
методами (такими, как методы конечных элементов и конечных раз-
разностей). Основные моменты этой процедуры приводятся ниже;
остальные детали читатель может найти в гл. 1 и 2, где представ-
представлено подробное обсуждение.
Будем искать приближенное решение уравнения равновесия
(см. уравнение F.43))
<*и,« + *у = 0 F-54)
с граничными условиями
и; — к,- на участке 1\ границы,
l F.55)
Pi — Pi иа участке Г2 границы,
где 1\ + Г2 = Г. Для выбранного решения йу погрешность
можно минимизировать, записав в соответствии с методом взве-
взвешенных невязок соотношение
J F,k, i — bk) u*kdQ = \(Pk- рк) u"k dT + J (uft — йк) pi dT,
a rs r,
F.56)
где u% и pi соответствуют перемещениям и поверхностным напря-
напряжениям в поле весовых функций. Отметим, что величины р%
равны
Рк ■-= а]кП1, F.57)
где П] — направляющие косинусы внешней нормали к границе
тела.
Если одни и те же характеристики материала (Е, G и v)
применимы как для аппроксимирующего, так и весового полей,
то первое слагаемое в соотношении F.56) можно проинтегрировать
по частям, что дает
- j bjk£]k dQ 4- j bku% dQ. = - j PkUldr - - j pku\ dT f
а г2 г,
йк-йк)р14Г. F.58)
г,
Из соотношения F.46) получаем
а„ = а'„ - о?,, F.59)

278 Глава 6
где a'ij = Симги (см. выражение E.31)). Подставляя выражение
F.59) в уравнение F.58), найдем
- j a)k?]k dQ ■{- j а%ъ}к dQ - j Ькик dQ =
Q Q Q
= - j pkutdT - j pfttt| !- j (hk - uk)ptdT. F.60)
j j
Г. Г, Г,
Здесь также можно проинтегрировать первое слагаемое по частям:
Q \ j a^e^ dQ j - j
a a
uftpjdr [-j U^Jdr. F.61)
Г, Г, Г, rt
Это соотношение в общей форме можно представить так:
j Ъ\йк dQ. = j ulph dT - j p'kukdY Ь j uj6fc dQ -f | eJ^dQ, F.62)
Q Г Г 12 Q
где использовалась подстановка a;V ;- = —fej.
Поступая так же, как и в гл. 5, можно предположить, что
поле весовых функций является решением фундаментальной задачи
E.54), в которой функции Ь% определяются выражением E.49).
Таким образом, для каждой единичной сосредоточенной нагрузки
е, получаем следующее уравнение:
й< (I) = } и*/ (I, х) р, (х) dY (х) - j p'i (g, x) ui (x) dV (x) j
г г
'u (I, x) bj (x) dQ (x) - | elkt (i X) a% (x) dQ (x). F.63)
Уравнение F.63) является аналогом уравнения E.53) для ма-
материалов с неупругим поведением. Следовательно, как уже го-
говорилось ранее, если исследуется фундаментальное решение для
полупространства, то при вычислении второго граничного инте-
интеграла вместо поверхности Г надо взять Г'. Интересной особенно-
особенностью метода в форме начальных напряжений является то, что
в отличие от уравнения с начальными деформациями здесь переход
к двумерной задаче сводится к уменьшению до двух числа значе-
значений, принимаемых индексами. Однако в обонх случаях переход

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 279
Е —v Г можно выполнять так же, как и в случае идеально упру-
упругого тела. В результате получаем следующее соотношение:
сц (I) и,- F) + j pjj (I, x) ui (x) dT (x) = j «?, (g. x) Pi (*) dT (x) -f-
+ j и'„Ц, xNi(x)dQ(\) f }e*w(g, x)afk(x)dQ(x), F.64)
в а
где для формулировки с начальными деформациями последний
интеграл можно взять в виде
\a'ilit(l, x)e%(x)dQ(x). F.65)
а
Следует отметить, что формы уравнений как с начальными на-
напряжениями, так и с начальными деформациями полностью экви-
эквивалентны. Это будет показано в разд. 6.6, где представлено под-
подробное обсуждение двух формулировок метода граничных эле-
элементов.
6.5. Внутренние напряжения
Основное значение при шаговом методе решения задач для
нелинейных материалов имеет вычисление напряжений во внут-
внутренних точках. Как было показано Теллесом и Бреббия [13],
для того чтобы добиться как точности, так и эффективности вы-
вычислительного процесса, предпочтительнее при вычислении пере-
перемещений во внутренних точках использовать соответствующее ин-
интегральное уравнение, а затем дифференцировать перемещения
численно, как это делается в методах конечных разностей и конеч-
конечных элементов.
Авторами данной книги в предыдущих публикациях были
представлены корректные интегральные уравнения для напряже-
напряжений во внутренних точках. Поскольку при их выводе требовалось
вычислять сингулярный интеграл от функций, описывающих ие-
упругие свойства материала, что зачастую приводило к неправиль-
неправильным соотношениям [2, 5, 11, 16], в данном разделе приводится
соответствующая процедура [151 получения этих уравнений. Ав-
Авторы надеются, что это прольет свет на общую концепцию, перво-
первоначально сформулированную С. Г. Михлиным [17] и использо-
использованную в работах [6, 7].
Для простоты будет рассмотрено только фундаментальное
решение Кельвина и уравнение с начальными напряжениями.
Кроме того, ранее использовавшиеся обозначения здесь будут

280
Глава 5
несколько упрощены и выражение F.63) можно записать в виде
iit = j u-tiPj dT — j ptjuj dT -}- j u'ijbj dQ, -j-
г г а
X F.66)
Принимая закон Гука для упругой части тензора скорости
полной деформации, получаем (см. выражение F.46)) следующее
выражение для скоростей напряжения:
„ j dui . duj \ 2Gv duh с -а 1(- ст\
Напряжения в точках, расположенных внутри тела, можно
вычислить, подставив в эту формулу выражение F.66), причем
производные по пространственным координатам в выражении
F.67) берутся по координатам, связанным с точкой приложения
нагрузки. Так же как и в случае упругого материала, такое диф-
Рис. 6.9. К решению двумерных задач:
а — полярная система координат с началом в точке О — |; 6 — смещение точки % вдоль
координаты х прямоугольной системы координат.
ференцирование можно выполнить непосредственно для тензоров
фундаментального решения, входящих в три первых интеграла вы-
выражения F.66). Однако последний интеграл требует специаль-
специального рассмотрения; с формальной точки зрения этот интеграл мо-
можно записать в следующем виде:
&ikiQjkd£i, F.68)
где область Qe получается удалением из области Q сферической
области радиуса в с центром в точке % приложения нагрузки.

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 281
Тогда соответствующие производные функции Vt можно записать
в виде
g j^(«a?*dQ). F.69)
Для упрощения и сохранения в то же время достаточной об-
общности выкладки будут сделаны для двумерного случая. Тогда е
представляет собой радиус_ круга, который можно задать в поляр-
полярной системе координат г, 9 с началом в точке Он! (рис. 6.9, а).
В этой системе координат тензор е^- можно представить в виде
ТЛ,(Ф)/г(г, в). F.70)
Тогда для случая, показанного на рис. 6.9, а имеем г (г, 9) = г
и ф (г, 9) = 9; но если сингулярной точке дается малое переме-
перемещение в направлении координаты х^ прямоугольной системы ко-
координат, то при этом не только координаты г и <р будут отлича-
отличаться от г и 9, но изменится и граница Г8 (см. рис. 6.9, б), что
указывает на зависимость ее от координат точки приложения
нагрузки.
Выражение F.69) можно представить в форме
^^rdrU, F.71)
е->-0 (™ i г j
что позволяет применить формулу Лейбница 1) для выражения
в скобках, а именно:
F.72)
Учитывая равенства О = I и г (ё, 9) = е, после подстановки вы-
выражения F.72) в F.71) получим
2л R (ф) 2л
4£i= [ lim f * (*M)ay»rdrdq> -aj»(g) f VIU cos(r,xm)dy,
F.73)
где a"js E) — значение скорости начального напряжения в осо-
особой точке.
*) Формула Лейбница имеет вид
<ра (а) ф, (а)
— f - f — d
d<x J ' J d^
<Pi (a) <Pt (a)

282 Глава 6
Наконец, следует доказать существование первого интеграла
в выражении F.73), который можно записать в виде
о
2 л
= \ lim Vlhtm f (a% - Ь% (g)) -L dr\ d<p -
6% (£) [ V,htm \nRdy- lim eft (|) Ine f Ч,Ыт chp\, F.74)
где Чтт (ф) = r3<5 №jht/r)ldxm. Функции а% удовлетворяют ус-
условию Гельдера [40, 41 ] в точке I
- oft (£) | < Ага, F.75)
где Л и а — постоянные. Очевидно, что первые два слагаемых
в правой части равенства F.74) сходятся, а для последнего слага-
слагаемого требуется, чтобы выполнялось равенство
Мте!ф = О, F.76)
что в свою очередь обеспечивается свойствами функции Ч^Мт.
На этом доказательство заканчивается и выражение F.73) можно
вновь записать в прямоугольной системе координат
дт/. Г t?E?. , п Г -
~~jw~ = J fa— a/* "li — alk (?) J Sjktr, m dl , @.77)
m a m rj
где первый интеграл следует понимать в смысле главного значе-
значения, Г[ — окружность единичного радиуса с центром в точке при-
приложения нагрузки, г, т — производная радиус-вектора г по ко-
координатам, причем r>m = —дг/дхт.
Следует отметить, что аналогичным образом можно найти про-
производную от интеграла с объемными силами. В этом случае бла-
благодаря слабой сингулярности функций utj свободный член (со-
(соответствующий интегралу по контуру Г!) стремится к нулю при
Выражение F.77) справедливо также и в случае трехмерных
задач, при этом Г| представляет собой сферу единичного радиуса.
В обоих случаях интегралы по поверхности П можно вычислить
в явном виде и подставить в выражение F.67). Кроме того, по-
поскольку функции a]ki и e]ki имеют особенность одного порядка,
то такой же прием применяется и при формулировке с начальными

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 283
деформациями. В следующем разделе представлена полная система
разрешающих уравнений для двух- и трехмерных задач (задача
Кельвина).
6.6. Альтернативные формулировки метода граничных
элементов
В этом разделе обсуждаются различные формулировки, ис-
использующие фундаментальные решения Кельвина.
6.6.1. Начальная деформация
На основе формулировки с начальными деформациями для
трехмерных неупругих тел получаем
сцй, = j u'npj dT - J Р1,й, dT + j wftfydQ -Ь { a'jkti,% dQ. F.78)
г г а а
Это выражение предполагается справедливым для произвольного
положения точки приложения нагрузки (как внутренней, так и
граничной точек) при условии, что коэффициенты си и второй гра-
граничный интеграл в правой части считаются, вообще говоря, из-
известными в результате применения данного подхода к задаче для
упругой среды. При таком предположении скорости изменения
напряжений во внутренних точках можно найти с помощью выра-
выражений F.41) и F.45). Производная выражения F.78) при сц = 6;;-
равна
+ \д-^~ Щ dQ - haik j' o'mr. m dT. F.79)
a m r;
Здесь четвертый интеграл в правой части понимается в смысле
главного значения, а последний интеграл берется по поверхности
сферы единичного радиуса с центром в особой точке. Отметим,
что производные берутся относительно точки приложения нагру-
нагрузки; как и прежде, это обозначает явное дифференцирование по
переменной, индекс которой стоит после запятой н которая со-
соответствует точке наблюдения.
Теперь можно вычислить последний интеграл в выражении
F.79):
- 8/* J a'lklr. ndY = rgTi—^[(8 - 10v)e?m - A - 5v)B?,e<m].
'' F.80)

284 Глава 6
Выражения для компонент новых тензоров, соответствующих
фундаментальным решением, и необходимые для дальнейшего из-
изменения читатель может найти в конце этого раздела.
Приведенные выше соотношения вместе с выражениями F.41)
и F.45) позволяют определить внутренние напряжения
о И = j utjkpk cir — J pijkuk dT — J u'tjkbk dQ )-
г г а
0-15f_v)[G- 5v)ef,- |-(l + 5v)e?,fi,;-]. F.81)
где последние два слагаемых характеризуют влияние неупругих
деформаций.
В случае плоского деформированного состояния используется
аналогичная процедура, единственное отличие которой состоит
в том, что интегралы от скоростей изменения неупругих деформа-
деформаций следует вычислять с учетом работы Озз^ёзз, соответствующей
деформации в направлении оси х3. Ее влияние легко учесть с по-
помощью ряда таких специфических допущений, как предположение
о несжимаемости материала при неупругих деформациях (что при-
приемлемо для материала, проявляющего свойства ползучести,
а также для пластического материала) или предположение о чи-
чисто температурном характере деформаций, в результате чего по-
получаем
ctiuj .= | ну,- dT - J plju; dY f- J u'ijbj dQ 4 J d"ikik% dQ, F.82)
г г i! a
где (см. разд. 6.3)
= "hi -}- 4™l%r при ё - 0, F.83)
ir^ip прн Ь1к'~ ^k -~ ^bik- F-84'
Здесь a — коэффициент температурного расширения, Т — ско-
скорость измерения температуры. Соответствующие скорости из-
изменения напряжений во внутренних точках имеют вид
o'tj = J u'ijkPk dY - | p'jkuk dT + J u'ijkbk dQ ~-
т т а
J- \o'ijkiiikidQ l-ftiWi), F-85)

Граничные элементы в задачах бля неупругих тел 285
где последний интеграл берется в смысле главного значения,
и если ё = 0, то получаем
-v)r* [4vr- гЛ i8kl ~ 2vS'/6*'b
7)[2fe?' +A ~ 4v) k'Al1 F-86>
Для чисто температурных деформаций имеем
'tjki = а?,-*, - 2jlA^v)f2' [2vr. (r, ,-6», - v6,7
F-87)
При плоском напряженном состоянии также можно исполь-
использовать выражения F.82) и F.85), если в этих выражениях поло-
положить а]м = a]ki и й*уц/ = a'jki, коэффициент Пуассона v заме-
заменить на v в выражениях для компонент тензора, а свободный член
взять в виде
fa = -T(nhfB*'H-*»6'')- F-88)
6.6.2. Начальное напряжение
Для того чтобы обсудить формулировку с начальным напряже-
напряжением, рассмотрим только интеграл в правой части выражения
G.68), содержащий скорость пластической деформации. Из выра-
выражений E.59) и E.60) имеем
J а]ыг% dQ = J CikrsZrsii!jk dQ, F.89)
а а
а из формулы E.31) получаем
Cjht, = Crsjk- F-90)
Кроме того, известно, что
С,„»в?» = с?,, F.91)
где cr"s определяется из выражения F.47), в результате чего имеем
следующее равенство:
| а)ыв% dQ = | е;*,<т°* dQ. F.92)
q a
Отсюда видно, что уравнение для случая с начальным напряже-
напряжением эквивалентно случаю с начальными деформациями. Анало-
Аналогичное равенство для задач о плоском деформированном состоянии
принимает форму
\ J F.93)

286 Глава 6
В обоих случаях напряжения во внутренних точках можно найти
с помощью выражений
Oij — j u'ijkpk dT - J ptjkuk d? -r J utjkbkdQ. \-
а
Q + guW,), F.94)
где интеграл, содержащий начальные напряжения, понимается
в смысле главного значения, а свободный член имеет вид соответ-
соответственно для трехмерного случая и двумерного случая с плоским
деформированным состоянием:
Sa = i5(i'-v) tG~ 5v)°?; И1 -5v)OiAy], F.95)
Вч =~ - -^ТГ^гГ &"Ъ И1 - 4v) а?,в(/]. F.96)
Следует отметить, что в случае плоского деформированного
состояния при вычислении интегралов, содержащих начальные на-
напряжения, не требуется ни знания обусловленной деформацией
в направлении оси х3 добавки к общей работе, ни введения специ-
специальных предположений относительно деформаций ё",-. Это свя-
связано с тем, что в данной задаче е|3/ = 0, а влияние деформации е?/
уже учтено в выражениях для компонент тензора о?/. В заключение
можно написать аналогичные выражения для задачи о плоском
напряженном состоянии, заменив в выражениях для плоского
деформированного состояния коэффициент Пуассона v на v.
6.6.3. Фиктивные поверхностные и объемные напряжения
Последний интеграл в выражении F.78) можно выразить через
функции и*,- следующим образом:
j a'jkitfk dQ — I I G (и,',-, к - и и, /) у- , _\v u'ti, Ajh \tfk dQ. F.97)
q a ■ '
Интегрируя по частям, получим
4 dY -
- j u',2G (saik, k -f -y^- %,. i) dQ, F.98)

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 287
Подставляя интеграл F.98) в выражения F.78), найдем
Ctjiij = j и'цр i dT - J p'tjlij dY -j- j ufj% dQ, F.99)
г г а
где 6; и pj определяются соответственно выражениями F.52) и
F.53).
Далее перейдем к формулировке для неупругих сред, где
скорости изменения поверхностных и объемных напряжений
являются фиктивными (зависящими от неупругих деформаций),
а перемещения являются действительными. При использовании
выражения F.99) следует отдавать себе отчет в том, что хотя оно
выглядит так же, как и в случае упругой среды, тем не менее вну-
внутренние напряжения следует вычислять с учетом выражений
F.41) и F.45), что дает
®и - \utikPhdT \ PmuhdY ~ \ utuJjkdQ -Стъ%,- F.100)
Другим отличием этой формулировки от двух предыдущих
является то, что здесь требуется вычислять производные по про-
пространственным координатам от неупругих деформаций (см. вы-
выражение F.52)). С точки зрения численной реализации это можно
рассматривать как недостаток (поскольку используется интерпо-
интерполирование с помощью постоянных функций), но тем не менее эта
процедура вполне допустима при использовании метода граничных
элементов для неупругих сред.
И наконец, приведем выражения для компонент новых тензоров,
соответствующих фундаментальным решениям, которые встре-
встречались в данном разделе:
vF[jr, ;r,k + SjV, tr, t -\- bihr, ir, j -i- Ьцг, tr.k) —
r, tr, ,r,kr. i (l-2v)F,ft6,; !- bjkbn)- A -4vNi,6fti],
F.101)
К1 2^ ^^ + 66
4аяA — v)rp
— S;Ai + p6j/, kr, i) -\- pv F(
-г- &яг, ir, j 4- 6,-(r, tr,k) -J-
F.102)
где для трехмерных задач и плоского деформированного состояния
имеем соответственно а = 2и 1, р = 3 и 2, ^ = 5 и 4.

288 Глоту
6.7. Формулировки задач для полуплоскости
При распространении формулировки, основанной на примене-
применении метода граничных элементов к упругой полуплоскости, будем
следовать процедуре, основанной на использовании решения
Кельвина.
Если рассматривать неупругие деформации несжимаемых ма-
материалов, то исходным соотношением формулировки с начальными
деформациями будет
ctjuj = j им, dT - j pljuj dT -|- j u;,6j dQ -f [ &)k[k% dQ, F.103)
Г Г' Q В
где дополнительная часть тензора, на который умножаются ско-
скорости неупругих деформаций для задач о плоском деформирован-
деформированном состоянии, имеет вид
tfkt = olki - \всшЬ1к, F.104)
а для задач о плоском напряженном состоянии
&jki --= аст. F.105)
Равенство F.105) справедливо для произвольной точки приложе-
приложения нагрузки при условии, что коэффициенты си и интеграл на
границе Г" имеют смысл, указанный в гл. 5.
Путем соответствующей модификации интеграла, содержащего
скорости неупругих деформаций, уравнение с начальными на-
напряжениями без условия несжимаемости неупругих деформаций
сии, -- \ u'tlp, dY - j p-цй, dT -|- } u'fbj dQ + j e'iH6% dQ, F.106)
Г Г' Q Q
можно получить также и для плоского деформированного состоя-
состояния, а к задаче о плоском напряженном состоянии можно прийти,
как уже говорилось в разд. 6.6, заменив соответствующим выраже-
выражением коэффициент Пуассоиа.
Для того чтобы точно вычислить скорости изменения напря-
напряжений во внутренних точках, следует взять соответствующие
комбинации производных выражения F.103) и получить скорости
полных деформаций, а затем подставить их в формулу F.45).
Отметим, что в силу несингулярного характера дополнительных
тензоров производные интегралов, содержащих скорости неупру-
неупругих деформаций, приводят к тем же сингулярностям, что и полу-
получаемые при использовании только решения Кельвина. Так, для
плоского деформированного состояния имеем уравнение
- j Р*/*МГ f J u'mbh dQ +
Г' Q
Q + fu{H,), F.107)

Граничные элементы в задачах для неупругих тел
289
где интеграл, содержащий неупругие деформации, понимается в
смысле главного значения, a fi3 — свободный член — такой же,
как и в случае с решением Кельвина, а именно:
П, = - тсгЬг[26?' +A ~4v) k"nb
Кроме того, следует иметь в виду соотношения
2Gv
F.108)
F.109)
Рис. 6.10. Ненагруженное тело в фор-
форме полуцилиндра при заданном поле
постоянных пластических деформаций.
где производные берутся относительно точки приложения на-
нагрузки, а выражения для D/t и p\-lk приведены в работе [42].
Интересной особенностью г=
задач для полуплоскости явля- —
ется то, что если в исследуемой
задаче внешние напряжения
обращаются в нуль (ph = 0) на
некоторой части границы Г—Г',
то напряжения в точках, рас-
расположенных на этой части
границы, можно вычислять так,
как если бы оии были вну-
внутренними. Для того чтобы фор-
формулу F.107) можно было применять в подобных случаях,
необходимо лишь видоизменить выражения для ftl, с тем
чтобы учесть предельный случай хЛ E) = 0. Это выражение
можно без труда получить следующим образом [13]: возьмем
ненагруженное тело в форме полуцилиндра радиуса р, плоский
участок границы которого совпадает с полуплоскостью
(рис. 6.10). Если не учитывать объемные напряжения, то при за-
задании поля постоянных пластических деформаций ё?/ в теле будут
возникать только перемещения; внутренние напряжения и уси-
усилия на поверхности будут оставаться равными нулю.
Применение выражения F.107) для представления напряжений
на оси i полуцилиндра непосредственно дает
f P'iikuhdT = it, \e'ikidQ+ftj(Hi)- F.111)
f- Q
Более того, можно доказать, что из условия существования глав-
главного значения интеграла (см. выражение F.78)) следует равенство
а'т dQ - 0,
F.112)
10 Бреббия К. и др.

290 Глава 6
из которого получаем связь
!чШ= \pbkuhdT, F.113)
Г'
где соответствующие перемещения на границе (без учета переме-
перемещений тела как целого) можно иайти из соотношения [7]:
й, = p(e?/-veg*6o)n/. F.114)
Здесь'п.) — направляющие косинусы внешней нормали к криво-
криволинейной границе. Далее из формулы F.113) получаются выра-
выражения для ftj при хх (£) -= 0, а именно:
h = h = о, Ы = - tw=v)№ - ё")- FЛ15)
Для формулировки с начальными напряжениями используется
точно такая же процедура, и выражение, эквивалентное F.107),
принимает вид
в и = J «f/tPft dY - j рГ/ftuh. dr +
Г Г'
J / j
Г Г'
( F.116)
я a
где e!tjkt получаем из соотношения F.110), куда вместо a)ki
подставляется е/^:
gi, = - 8A1_v) [2a?/ + A - 4v) af,bu] при х, (|) > 0, F.117)
I /я я \
gll = gl2 = 0, g22 = — 4A —v) '^ ~~ ^"' "РИ Xl ^ = ^-
F.118)
Задачи для плоского напряженного состояния можно решать,
используя выражения F.107) и F.116), если, как это делалось
ранее, использовать модифицированный коэффициент Пуассона,
положить aqki = ацы и вместо выражения F.108) взять
Отметим, что выражения F.115), F.117) и F.118) остаются без
изменений.
6.8. Дискретное представление пространства
Дискретное представление пространства для приведенных
выше уравнений показано здесь на примере двумерных задач.
Предполагается, что граница тела представляется с помощью
поверхностных элементов (гл. 5), а при интегрировании по ча-

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 291
стям внутренней области, где ожидается возникновение неупру-
неупругих деформаций, используются внутренние ячейки. Слагаемое,
учитывающее влияние объемных напряжений, здесь для простоты
отбрасывается, но и учет его не составляет труда.
Дискретное представление при вычислении граничных инте-
интегралов, подробно обсужденное в разд. 5.8, можно использовать
н для данной задачи. Поэтому внимание будет уделяться простран-
пространственным интегралам, входящим в неупругие слагаемые.
Полезно начать с формулировки с начальными деформациями,
где используется предположение о несжимаемости. Поэтому
сосредоточим внимание на уравнении
сцй] г- 1 P'ifii d? = | UtiPj dT J- j ~a]ki r% dQ, F.120)
г г а
куда в случае задач для полуплоскости вносятся соответствующие
изменения.
При дискретном представлении области определения для
уравнения F.120) декартовы координаты х точек, принадлежа-
принадлежащих ячейке Qj, можно представить в виде
x = Wxm, F.121)
где Ч*1— интерполирующие функции, хт—координаты некото-
некоторых характерных точек, определяющих геометрию ячейки. Пред-
Предполагается, что скорости неупругих деформаций внутри ячейки
можно интерполировать с помощью выражения
ё" A) = Фг" п, F.122)
где Ф обозначают интерполирующие функции, еа> " — скорости
неупругих деформаций в точках с определенным номером (экви-
(эквивалентной узловым точкам в двумерных конечных элементах).
При N граничных элементах и М внутренних ячейках дискрет-
дискретная форма уравнения F.120) для граничного узла |; такова:
( j и'ФЧг\р« , S / f S'OTdQ\ к'-\ F.123)
\r, / /_i\d, J
Эта форма применима и для внутренних точек |4 (при с = /).
Для общности интегралы по ячейкам удобнее вычислять,
используя подходящую численную квадратурную схему, иапри-
10*

292 Глава 6
мер для треугольных ячеек можно применять формулу интегри-
интегрирования Хаммера
к
\ а'Ф1 dQ = Yi\J\kwh Га'ф\. F.124)
Q] 4=1
где К — число точек интегрирования, wk — соответствующий ве-
весовой коэффициент, \ J \ — якобиан преобразования системы ко-
координат, позволяющего представлять интерполирующие функции
с помощью системы однородных координат гц, ц2. Отметим, что
эти интегралы содержат интегрируемые особенности, когда син-
сингулярный узел |; лежит в ячейке Q;. Таким образом, в подобных
случаях требуется только несколько большее внимание.
Используя уравнения F.123) для всех граничных узлов,
получим следующее матричное соотношение:
HU =GP + Dka, F.125)
где матрицы Н и О аналогичны тем, что были получены для упру-
упругого материала, а матрице D соответствует интеграл, содержащий
неупругие деформации.
Вычисление скоростей изменения напряжений во внутренних
точках выполняется аналогичным образом. При этом выражение,
эквивалентное F.120), имеет вид
аи = j u'ijkPk d? — I p*ikUh dT + f Zljkfili dQ -f fa (ej?/), F.126)
й
где для задач о полуплоскости следует ввести, как и ранее, со-
соответствующие изменения. Приведем также дискретную форму
уравнения F.126) для точки
N
- 2 I J Р*'ФТ dP\ и" 1-2 (' j 5*'ФТdQ) еа- п -{■ с (Юеа ft,).
7=1 \Г, / 7=1 \Q, /
F.127)
Как и ранее, при интегрировании по ячейкам можно использо-
использовать схемы численного интегрирования. Однако в этом случае
некоторые интегралы следует понимать только в смысле главного
значения, если особая точка |г лежит в ячейке Qj. Здесь следует
указать на предложенную Теллесом и Бреббия [7] процедуру
общего характера, которая дает непрямой способ вычисления
главных значений интегралов для некоторых видов интерполи-
интерполирующих функций и форм ячеек. Эта процедура основана на вве-
введении поля постоянных неупругих деформаций в представленные

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 293
в дискретной форме интегральные уравнения. Для упрощения,
но вместе с тем без потери общности при демонстрации данной
процедуры будут использованы треугольные ячейки. Рассмотрим
часть области Q, в которой все смежные ячейки подходят к
особой точке li (рис. 6.11).
При задании поля постоянных неунругих деформаций §?/ на
дискретном аналоге свободного от внешних напряжений тела
(рис. 6.11) внутренние напряжения и их значения на границе
будут равны нулю. Следовательно, дискретную форму уравнения
F.126) можно использовать для представления равных нулю
напряжений во внутренней точке Е;. В результате получаем
Л! Л
£ (' [ 5*'ФТ ДЛ ?■ " + с' (lt) ia = 2 (' J Р*'ФТ dT\ It", F.128)
где М — уменьшенное число ячеек, N — число фиктивных гра-
граничных элементов Г;-, заменяющих противолежащие точке |4
стороны ячеек (отметим, что в общем случае М ф N). Кроме
того, для плоского деформированного и для плоского напряжен-
напряженного состояний соответственно имеем [7 ]
щ = (ё?, - velAj) bxs, Mf = lii A*J. F-129> 6-130)
где &Х] — разность координат произвольной точки Xj и рассма-
рассматриваемой точки |(.
Легко проверить, что если выбрать
функции или формулы, описывающие
форму ячейки, полностью независи-
независимыми, то для каждой ячейки будет
необходимо вычислять три главных зна-
значения интегралов для каждой компо-
компоненты напряжения (т. е. слагаемые
в уравнении F.127), содержащие мно-
множители k'lj (li)). Следовательно, по-
поскольку перемещения и" вычисляются
аналитически, ЭТИ главные значения Рис. 6.11. Участок внутрен-
и свободный член С (£,) получаются ^^^ХТ
путем представления с помощью выра- g
жени я F.128) трех независимых систем
постоянных неупругих деформаций в виде g?y = б^б^-. £?/ =1 —&и>
e"y=6ai62j. Следует отметить, что при численном решении эту про-
процедуру можно применять одновременно по всем ячейкам, т. е. после
вычисления интегралов по ячейке в данный момент времени под-
подпрограмма, которая вычисляет граничные интегралы, вызывается
для интегрирования по противолежащей стороне ячейки. Соответ-

294 Глава 6
ствующие операции проводятся до конца, и полная система инте-
интегралов становится пригодной для объединения в законченную
форму, включающую не только глгвные значения, но также и
части, соответствующие слагаемым с величинами с'.
Уравнение F.127), написанное для всех внутренних точек,
имеет вид
0 = G'P-H'U + (D' -<rC')ea, F.131)
где С — хорошо определенная матрица, представляющая сво-
свободный член (т. е. последнее слагаемое в уравнении F.127)), D'—
матрица, в которую входит интеграл, содержащий неупругне
деформации. Матрицы И' и G' содержат граничные интегралы,
аналогичные входящим в матрицы И и G.
Отметим, что уравнение F.131) справедливо только для вну-
внутренних точек и, по-видимому, справедливо для точек, принад-
принадлежащих свободной от напряжений части Г — Г' границы.
Поэтому для вычисления скоростей изменения напряжений в гра-
граничных узлах следует использовать различные выражения. Эти
выражения получаются с помощью соотношений между деформа-
деформациями и перемещениями и значений скоростей изменения напря-
напряжений в каждом граничном элементе. Они не требуют интегриро-
интегрирования, и их выражения для упругих деформаций были представ-
представлены в гл. 5. Таким образом, применяя полностью аналогичную
процедуру, можно найти скорости изменения напряжений в гра-
граничных узлах относительно локальной системы координат xt,
в результате чего для плоского деформированного состояния
имеем
ои = Т7Т7 BGe,i + V022) + 2G (у^- ем - tu),
<*12 = Pi, <*22 = Pi, F.132)
а для плоского напряженного состояния первое уравнение сле-
следует заменить на следующее:
on = j±= BGeu - V022)-~- en. F.133)
Из написанного выше видно, что эти простые выражения можно
свести к уравнению вида F.131), в результате чего становится
возможным с помощью единого подхода вычислять скорости
изменения напряжений во всех точках. Отметим, что после вы-
выполнения необходимого преобразования координат (при переходе
от локальной к глобальной системе) приведенные выше выраже-
выражения могут быть объединены в соответствующие глобальные ма-
матрицы, в которых вклад смежных элементов в общие граничные
узлы будет автоматически осредняться для недвойных узлов.

Граничные элементы в задачах для неупруги,v тел 295
Очевидно, что все сказанное также применимо для уравнений
с начальными напряжениями. В этом случае вместо уравнений
F.125) н F.131) используются уравнения соответственно
HU = GP + Q°", a = G'P-H'U+ (Q' + E') a", F.134, 6.135)
где матрица Е' соответствует свободным членам giS интеграль-
интегральных уравнений, а матрицы Q' и Q — интегралам, содержащим
начальные напряжения. Отметим, что главные значения интегра-
интегралов, входящих в Q', можно также найти, используя состояние
с постоянными начальными напряжениями и действуя при этом
в основном аналогично тому, как это было сделано в случае урав-
уравнений с начальными деформациями.
Кроме того, скорости изменения напряжений в заданных
граничных узлах можно вычислить, используя уравнение F.135)
и следуя ранее описанной процедуре, заменив первое из выраже-
выражений F.132) на следующее:
«Ii = Т^Г BGeu + V022) + -j^-ai - of,. F.136)
где в случае плоского напряженного состояния коэффициент
Пуассона v следует заменить на v. Отметим, что здесь уже не
используется условие несжимаемости при неупругих деформа-
деформациях.
Для того чтобы сделать минимальной погрешность численного
решения задач о неупругом поведении тел, вновь вернемся к урав-
уравнениям F.125) и F.131). В правильно сформулированной задаче
необходимо иметь достаточное число фиксированных напряжений
и перемещений на границе. Затем неизвестные величины группи-
группируются и уравнения приобретают вид
АУ = F + Dsa, 0 = — А'У |- F' + D*'sa, F.137,6.138)
где D* = D' -f- С, а влияние заданных величин учитывается
векторами F и F'■
Умножая уравнение F.137) на А'1, получим
К= K'sajrM, F.139)
где
К = A-W, М = A-iF. F.140, 6.141)
Подставляя уравнение F.139) в соотношение F.138), найдем
а = В'г" + М, F.142)
где
B = D*-A'K, N=F'-A'M. F.143,6.144)
Отметим, что при упругом поведении материала в написанной
в скоростях задаче решение задается векторами М н N.

29G Глава 6
Нетрудно видеть, что уравнение F.142) представляет собой
рекуррентное соотношение, связывающее скорости изменения
напряжений в заданных граничных узлах и внутренних точках
с соответствующими неупругими деформациями и решением для
упругого материала. Кроме того, это уравнение теперь не зависит
от граничного уравнения F.139) и является хорошим средством
решения задач для материалов с нелинейным поведением, которые
обсуждаются в гл. 7.
№' Следует отметить, что с точки зрения программирования
исходная матрица А входит в матрицу В, поэтому при решении
системы уравнений соотношение F.142) строится таким путем,
при котором фактически вычисляется лишь матрица В. Таким
образом, при численном решении требуется хранить в памяти
ЭВМ только матрицы К и В.
Наконец, с помощью аналогичных матричных манипуляций
можно преобразовать и уравнения F.134) и F.135) с начальными
напряжениями. Однако было показано, что в этом случае при
решении задач об упругопластическом поведении тел удобнее
использовать некоторую модификацию уравнения F.135), рас-
рассмотренную в гл. 7. Уравнения с начальными напряжениями
используются также и в гл. 8, где обсуждаются задачи вязкопла-
стичности и ползучести.
6.9. Внутренние ячейки
Применение граничных элементов и внутренних ячеек можно
осуществлять, следуя описанным выше процедурам и используя
интерполирующие функции, о которых говорилось в гл. 3. Инте-
Интегралы по внутренним ячейкам можно вычислять с помощью формул
численного интегрирования или в некоторых простых случаях
аналитически. В более сложных случаях аналитическое интегри-
интегрирование становится весьма затруднительным, поэтому численные
или комбинированные процедуры представляются единственно
возможной альтернативой.
Теллесом и Бреббия [8] была предложена схема, полуанали-
полуаналитического интегрирования, которая особенно удобна тогда, когда
сингулярные узлы или точки совпадают с одной из точек нчейки.
Поэтому схема такого интегрирования будет описана ниже для
треугольных ячеек с линейными интерполирующими функциями.
Рассмотрим треугольную ячейку, показанную на рис. 6.12.
Для такой ячейки интерполирующие функции выражаются через
однородные координаты % и tJ, а якобиан | / | в выражении F.124)
равен удвоенной площади треугольника. Кроме того, интерполи-
интерполирующие функции задаются в форме
Фт = [/%, /ть, /т]3], F.145)

Граничные элементы в задачах для неупругих тел
297
где т]3 = 1 — "Пг — %i I — единичная матрица третьего порядка.
Напомним, что соотношения, связывающие координаты ца и
декартову систему координат х, у, приведены в гл. 3.
При вычислении компонент матрицы D каждая ячейка будет
давать вклад с помощью матриц размерности 2x9 вида
d = |{[а*т)ь а*т]2, S*i\B]\dSi, F.146)
где "Л
Г0,*11 2of2i 0221 1
о* = .* п-. -. • F.147)
L<Jfi2 2af22 0&2 J y >
Для иллюстрации представляемой здесь полуаналитической
схемы интегрирования рассмотрим случай, когда сингулярный
А
@,0) Ц,0) 7,
Рис. 6.12. Треугольная ячейка с
внутренней системой координат гц,
la-
Рис. 6.13. Полярная система коор-
координат, связанная с особой точкой V-
Величина R (ср) = — 2Al[by cos ф-j-
4- "у sin ф], cos ф = дг/дх, sin ф =
= дг/ду.
узел совпадает с одной из точек ячейки. Возьмем типичное выра-
выражение
\ F.148)
d<*= \o*r\adQ,
где d™ — а-я подматрица матрицы d размерности 2x3. Для
вычисления интеграла можно ввести полярную систему коорди-
координат г, ф, связанную с особой точкой у, так, как показано на
рис. 6.13. В этой системе координат тензор Кельвина д*ы при-
приобретает вид
Vjkitr, F.149)
где Wjhi — функции, зависящие только от <р. Тогда выражение
F.148) запишется в форме
<Pi R (Ф)
da = lim f f ^цаскйц>, F.150)

298
Глаза 6
где ца — интерполирующая функция в системе координат г, <р:
Ча = ■>$-!--^-Fа cos cp + aK sin ср). F.151)
Здесь г]к — значение интерполирующей функции в сингулярной
точке у.
tjv — 0 при а ф у, t]V = 1 при ос = 7- F.152)
Выражения для аа, Ьа и А можно найти в гл. 3.
Поскольку t|> не зависит от г, то интеграл по этой переменной
можно вычислять без труда и затем перейти к пределу при е —>- 0.
В результате получаем следующие выражения:
F.154)
Преимущество аналитического интегрирования по координате г
теперь очевидно, поскольку получаются очень простые выраже-
выражения и устраняется сингулярность тензора Щк1. Интегрирование
по ф не представляет никаких проблем и здесь целесообразно
использовать стандартную одномерную квадратурную формулу
Гаусса. Это можно сделать, выразив переменную ср в виде
— Ы
F.155)
где г] задается на отрезке I—1, 1 ].
Вычисление матрицы D' проводится тем же способом, за
исключением того, что каждой ячейке соответствуют матрицы
размерности 3x9 вида
j
йд
где
0* =
&22П 2Й2212 ^2222
Для примера можно рассмотреть
йд
F.156)
F.157)
F.158)
Как и ранее, для иллюстрации полуаналитического процесса
интегрирования будем рассматривать случай, когда особая точка

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 299
совпадает с одной из точек ячейки. В этом случае интеграл F.158)
оказывается сингулярным (поскольку имеется особенность при
а = у), однако его можно вычислить в смысле главного значения,
принимая во внимание вклад всех смежных ячеек, сходящихся
в точке у.
В полярной системе координат (рис. 6.13) тензор Кельвина atjki
можно записать в форме
Ьт'г\ F.159)
где i|>W;,( — функция, зависящая от ср. Тогда выражение F.158)
сводится к следующему:
ф, R (ф)
K' = lim f [ >j>'-D2_drd<p. F.160)
(f E
При а =т^ У после интегрирования по г переходим к пределу
при в -»■ 0 и из выражения F.160) получаем
фа
d = - J I" fevcos9 + ,TsiiJ dcP- FЛ61)
Ф1
При ос = 7 интегрирование по г дает
dK' = lim [ Чз
Ф
by cos ф -|- av sin ф
Ф1
cos Ф + av sin Ч5) — Ineldcp. F.162)
Для нахождения главного значения рассмотрим сначала сле-
следующую часть интеграла F.162):
со = — j \J>'A -f Ine)dq.'. F.163)
Ф1
Легко проверить, что, для того чтобы просуммировать вклад
всех смежных ячеек, сходящихся в точке у, следует в интеграле
F.163) просто изменить пределы интегрирования. В силу свойств
тензора г|)ш( (см. выражение F.76)) получаем
2л
ш т^ —A -|-1пе)| \\'дя) = 0. F.164)

300 Глава 6
Поскольку сингулярный вклад обращается в нуль, можно
рассмотреть предел оставшейся части выражения F.162) при
е -> 0, в результате получаем
ф,
dK' = (У In {-, ~—=—)d<f. F.165)
J * \ by cos ф + ay sm ф / ^ v '
Ф1
Как и ранее, для интегрирования выражений F.161) и F.165)
можно воспользоваться одномерными квадратурными формулами
Гаусса.
В общем случае, когда сингулярный узел или точка у не совпа-
совпадают ни с одной из точек ячейки, можно следовать той же про-
процедуре. Здесь уже не обязательно использовать полуаналитиче-
полуаналитическую процедуру интегрирования, поскольку интегралы оказы-
оказываются регулярными. Тем не менее по-прежнему рекомендуется
использовать описанную процедуру, так как это экономит время,
затрачиваемое на решение.
Заметим, что поскольку тензоры Кельвина е*ы и e.*iki могут
иметь форму F.149) и F.159), то аналогичную схему интегриро-
интегрирования можно применять и в формулировке с начальными напря-
напряжениями. Кроме того, для того чтобы сделать процедуру оптималь-
оптимальной, значение угла ср2 — срх можно использовать для контроля
погрешности численного способа вычисления интеграла. Как
показывает практика, обычно требуется менее пяти точек инте-
интегрирования.
Описанная выше схема широко использовалась в вычисли-
вычислительных программах, где показала высокую эффективность.
Применительно к задачам для полуплоскости было показано
(приложение Б), что дополнительная часть выражений не содер-
содержит особенностей при с > 0. Поэтому при вычислении интегра-
интегралов по области можно использовать простые квадратурные фор-
формулы. Видно, что предельному случаю с = 0 соответствуют осо-
особенности того же порядка, что и в решении Кельвина, поэтому
обе части фундаментального решения суммируются и интегралы
вычисляются с помощью той же схемы интегрирования, которая
обычно используется для кельвиновской части решения.
6.10. Осесимметричный случай
Осесимметричные задачи для неупругих материалов можно
исследовать с помощью тех же самых процедур, которые уже были
описаны в этой главе, применяя соответствующее фундаменталь-
фундаментальное решение (разд. 5.15). Для иллюстрации применения такой
процедуры воспользуемся подходом с начальными деформациями.
В этом случае, когда отбрасываются слагаемые, связанные с кру-

Граничные элементы в задачах для неупругих тел 301
ченпем, скорости неупругнх деформаций будут учитываться с по-
помощью последнего интеграла по области в следующем уравнении
(см. также уравнение E.182)):
сц (I) й, (|) -] 2л; J рЬ (Б, х) й, (х) г (х) dT (х) =
г
= 2ге j и',, (I, х) р, (х) г (х) dT (x) + 2я J и}, (|, х) 6j (x) r (x) dQ (x) +
г в
Г 2л J a^t (I, x)iaaf<{x)r(x)dQ(x), F.166)
я
J
я
i, j — r, z; a, p = r, q>, г.
Внутренние напряжения можно найти из выражения
авЭ (|) ~ 2jt j ujp« (|, x) ph (x) r (x) dT (x) -
j
r
2я f p'a№ (|, x) йк (x) r (x) dT (x) + 2it J «Sp* (Б, x)
f a
J oSpvp (I. *) e?p (*) г (л:) dfi (a:) | - /га(з (е"р), F.167)
f
2л
k — r, z; a, p, y = r, cp, г,
где последний интеграл по области понимается в смысле главного
значения, а величины йар находят путем рассмотрения пределов
выражений для а^с в окрестности особенности. Как уже говори-
говорилось в разд. 5.15 применительно к коэффициентам си, выраже-
выражения для йкр совпадают с типовыми для случая плоского деформи-
деформированного состояния, причем в пренебрежении влиянием третьей
координаты на две остальные они имеют вид
F.168)
4A
в
2A-
С
-v)
V)

Глава 7
Теория пластичности
7.1. Введение
В этой главе уравнения метода граничных элементов, пред-
представленные в гл. ,6, используются для решения задач классиче-
классической нереологической теории пластичности. Сначала приводятся
уравнения с начальными деформациями для несжимаемых пла-
пластических деформаций с условием текучести Мизеса и метод по-
последовательных упругих решений Мендельсона [4]. Этот простой
прием решения, названный Шрейером и др. [10] «метод упругого
предиктора — радиального корректора», является, как было
показано, очень эффективным и устойчивым к выбору значений
приращения нагрузки. С другой стороны, уравнения с начальными
напряжениями иосят более общий характер и здесь они приводятся
в сочетании с четырьмя условиями текучести (Треска, Мизеса,
Мора—Кулона, Дракера—Прагера). Описаны также две раз-
различные итерационные процедуры. Первая является чисто шаго-
шаговым подходом, сходным с тем, что использовался Зинкевичем
и др. [11 ] применительно к конечным элементам. Вторая связана
с накоплением значений начальных напряжений, так же как это
делалось в случае с начальными деформациями.
Представлено несколько примеров для иллюстрации приме-
применимости метода граничных элементов к решению упругопласти-
ческих задач. Приведены также задачи механики грунтов, ре-
решенные с помощью фундаментального решения для полуплоскости.
7.2. Некоторые простейшие соотношения теории пластичности
В разд. 6.2 было показано, что одноосное пластическое пове-
поведение возможно только в том случае, если выполняется условие
текучести F.13). Это выражение приводим здесь еще раз для
полноты изложения:
F(a, k) = a — ao = 0. G.1)
Как было показано, это условие текучести можно применять для
описания одноосного пластического поведения. Для общего слу-
случая напряженного состояния соотношения такого вида обоб-
обобщаются на любую возможную комбинацию напряжений. В дан-

Теория пластичности 303
ном разделе будет рассматриваться только условие текучести
Мизеса, которое можно представить в виде [1—9]
F(<yu, k) = у'372-а„-0, G.2)
где ,/2 — второй инвариант тензора девиаций напряжений (см.
выражение E.15)), k, как и прежде, параметр упрочнения, харак-
характеризующий работу при пластических деформациях:
k = W = } otJ Mi- G.3)
Как говорилось выше, пластичность — это явление, харак-
характеризующееся также и историей нагружения, поэтому необходимо
вычислять дифференциалы или приращения пластической дефор-
деформации в процессе нагружения, а затем находить суммарные де-
деформации путем интегрирования или сложения. Соотношениями,
определяющими приращеиия пластических деформаций, являются
хорошо известные уравнения Прандтля—Рейсса [1, 2, 4]:
d&ij = StjdX, G.4)
где dX — коэффициент пропорциональности, который может из-
изменяться в процессе иагружения, оставаясь всегда положитель-
положительным. Кроме того, далее удобно ввести эквивалентное или эффек-
эффективное напряжение, а также эквивалентное или эффективное при-
приращение деформации вида
ст. = /Ж, <fe? = у' ~dzptidiPti. G.5, 7.6)
В одноосном случае, рассмотренном в разд. 6.2, имеем
сте = а и de? = d&". Критерий текучести Мизеса здесь можно
записать в виде
ае - ст„ = 0, G.7)
что полностью совпадает с выражением G.1).
Из уравнения G.4) видно, что коэффициент пропорциональ-
пропорциональности dX можно выразить через эквивалентные формы ст„ и <fe?,
если возвести в квадрат обе части уравнения
что дает
(-!-&?)' = (а. ЛJ G.9)
или
А = (-!■)(*£/«».)• G-10)
При использовании метода граничных элементов в варианте
с начальными деформациями приращения пластических дефор-
деформаций вычисляются с помощью приведенных выше соотношений

304 Глава 7
следующим образом [4]. Предположим, что найдено значение
нагрузки, при которой достигаются заданное напряженное со-
состояние и суммарные пластические деформации г?/. При малом
увеличении нагрузки возникают дополнительные пластические
деформации Ае?/, так что полные деформации будут равны
eu = eJ/ + ef/ + Aef/, G.11)
где в деформации гец уже учитывается текущее приращение на-
нагрузки. Теперь удобно ввести модифицированный тензор полной
деформации в форме
ei/ = e»-B?; G.12)
где выражение G.13) представляет собой соотношение (см. также
выражение E.28))
г'ц = е-/ + Aef,. -У G.14)
Выражение G.13) можно (с учетом равенства Дб£* = 0) за-
записать в двух девиаториых формах
е'„ = Stj/2G + Ае?;, ец = щ - \- 6uekk. G.15,7.16)
С учетом уравнений Праидтля—Рейсса G.4) выражение G.15)
можно представить в виде
Возводя в квадрат обе части выражения G.17) аналогично
тому, как это было сделано с выражениями G.8)—G.10), получим
где
4t = ~\f \et]eti. G.19)
Подставляя выражение G.18) в формулу G.17), найдем
Aef, = (Aef/ert)e;/. G.20)
Из приведенных выше соотношений видно, что для определения
истинных значений приращений пластических деформаций необ-
необходимо найти эквивалентное приращение пластической деформа-

Теория пластичности 305
ции. Поэтому, подставляя выражение G.10) для коэффициента
пропорциональности ДА, в соотношение G.18), найдем
откуда следует
Дв? = ве( - oe/3G. G.22)
Поскольку условие G.7) должно выполняться при пластиче-
пластическом деформировании, то в соотношение G.22) вместо ае можно
подставить а„:
Дв? = евг - ао/ЗС. G.23)
Отметим, что 0 — напряжение, соответствующее пределу теку-
текучести при одноосном иагружеиии и достигаемое при текущем
приращении нагрузки; поэтому оно еще неизвестно. Однако это
напряжение можно представить усеченным рядом Тейлора при
разложении в окрестности значения ов на предыдущем шаге
(т. е. значение напряжения а„ до задания приращения нагрузки)
в следующем виде:
ст* = <,£-' -|- Н'("-1) Лв? + .. ., G.24)
где Н' — функция, описанная в разд. 6.2.
Подставляя разложение G.24) в формулу G.23), находим
др _ 3Geet — Сто /7 9с,
д 7 9
Ле' ~ зо + н' • ('-гь>
где значения <т0 и Н' берутся из предыдущего шага иагружения.
Рассмотренные здесь уравнения были представлены для об-
общего трехмерного случая. Для двумерных задач эти уравнения
соответствующим образом видоизменяются применительно к пло-
плоскому напряженному или плоскому деформированному состоя-
состояниям (приложение В). Это позволяет вести расчеты путем после-
последовательного суммирования значений напряжений на границах,
перемещений и напряжений во внутренних точках в уравнениях
F.139), F.142). Уравнение F.139) теперь можно записать в виде
У = К (ер + Де») + М, G.26)
а уравнение F.142) взять в форме
а = В {up + Аер)-[-N, G.27)
где ер — текущие значения пластических деформаций до (т. е.
не включая) значения &&>, соответствующего текущему прира-
приращению нагрузки и которое необходимо определять итерацион-
итерационным методом.

306 Глава 7
7.3. Начальные деформации. Методы численного решения
В связи с уравнениями G.26) и G.27) следует отметить, что
вектор М представляет решение граничной задачи теории упру-
упругости (неизвестными являются напряжения и перемещения),
а вектор N обозначает соответствующие напряжения. Нагрузку,
соответствующую появлению первых пластических деформаций,
можно вычислить, взяв граничный узел или внутреннюю точку
с наиболее напряженным состоянием и сравнивая эквивалентное
напряжение сте,манс в этой точке с пределом текучести материала
прн одноосном растяжении. Шаговый процесс начинается с деле-
деления этого напряжения на коэффициент нагрузки, равный
К = О-оЧ.манс- G-28)
Затем вычисляется приращение нагрузки и следующее значение
коэффициента нагрузки:
h = Кл + Р. G-29)
где |3 = 10и>, ш — заданное приращение нагрузки относительно
того значения, при котором появились первые пластические де-
деформации. Тогда уравнения G.26) и G.27) можно записать в виде
У = К(е" 4- Ае") -|- hM, а = В {в? ~- Ае") + XjJV. G.30, 7.31)
Для заданного значения Xt приращение пластической деформации
в каждом выбранном граничном узле и внутренней точке опреде-
определяется итерационным путем, а именно: а) вычисляются напря-
напряжения (выражение G.31)); б) вычисляются гц (уравнение G.13)),
eet (выражение G.19)), Аб£ 5= 0 (выражение G.25)); в) прове-
проверяется сходимость процесса, т. е. сравнивается вычисленное зна-
значение приращения Ав£ с его предыдущим значением; г) вычис-
вычисляется новое значение Aef/ (выражение G.20)); д) переходят
к следующему узлу и начинается расчет опять с позиции «б»,
пока не будут рассмотрены все узлы и точки; е) переходят к по-
позиции «а» для выполнения новой итерации.
Как только достигается сходимость (с заданной точностью)
для всех выбранных узлов и точек, приращение Aep суммируется
се' и полученное значение используется как исходное для сле-
следующего шага по нагрузке.
Отметим, что, для того чтобы выполнялся шаговый процесс
с итерациями, требуется только выражение G.31). Уравнение
G.30) используется только после достижения сходимости и если
требуется найти неизвестные на границе. Более того, матрицы К
и В, так же как н векторы М н N, строятся только один раз в на-
начале всего процесса, что позволяет достичь большой экономии
времен» счета.

Теория пластичности
307
7.3.1. Примеры использования формулировок с начальными
деформациями
Для того чтобы показать применимость описанной в преды-
предыдущих разделах процедуры, было решено несколько примеров
с использованием линей-
линейных элементов и ячеек.
Полученные результаты
сравнивались с решениями
методом конечных элемен-
элементов и данными экспери-
экспериментов. Кроме того, везде,
где это возможно, для
подтверждения получен-
полученных результатов приво-
приводятся аналитические ре-
решения.
Пример 7.1. Задача
растрескивания полисти-
полистирола [12]. Для того чтобы
исследовать влияние пус-
пустот на прочность полисти-
полистирола, эта задача впервые
была рассмотрена Гавард-
дом н Оуэном [13] с по-
помощью метода конечных
элементов. На рис. 7.1
показана расчетная схема
задачи, где виден также
способ дискретного пред-
представления с помощью гра-
граничных элементов и вну-
внутренних ячеек. В данном
примере использовалась
модель с плоским дефор-
деформированным состоянием,
расчеты проводились как
методом конечных элемен-
элементов, такн методом гранич-
граничных элементов, причем
в первом случае исполь-
использовались квадратичные
изопараметрические эле-
элементы (рнс. 7.2).
Рис. 7.1. Двумерная модель цилиндрической
полости и дискретное представление в методе
граничных элементов.
Рис. 7.2. Сетка квадратичных изопарачетри-
ческих конечных элементов в задаче растрес-
растрескивания полистирола.
Параметры, характеризующие идеально-пластическое поведе-
поведение материала, таковы: Е = 42-109 Н/ма, <т0 = Y = 105 МПа,

308
Глава Т
v = 0,33. Рассматривались два условия нагружения —двухосное
и одноосное растяжения, причем оба осуществлялись путем зада-
задания перемещений на краях.
На рис. 7.3, а и б приводятся результаты, полученные по
обоим методам для двух случаев нагружения. Как можно видеть,
результаты оказываются очень близкими.
г:
? 50
25 -
-
1 1
1 1
Д.—
0,01
0,02 0,03
L I(a < i '
0.0*1
0,05 _,
б
fl-равнодейст-
fl-равнодействующая "ила
Рис. 7.3. Зависимости средиих напряжений от средних деформаций в задаче рас-
растрескивания полистирола:
а — двухосное растяжение; б — одноосное растяжение (защемленный кран). Сплошная
кривая получена методом конечных элементов, штриховая — по методу граничных эле-
Пример 7.2. Плоская деформация при воздействии штампом
[12]. В этом примере рассматривается плоский абсолютно жест-
жесткий штамп, внедряющийся в твердый деформируемый образец
и создающий в нем плоское деформированное состояние (рис. 7.4).
Решение методом конечных элементов для различных значений
параметров, определяющих свойство материала, было получено
Найаком и Зинкевичем [14]. Результаты, полученные методом
граничных элементов с заданием шаговых приращений переме-
перемещения абсолютно жесткого штампа, представлены на рис. 7.4,
где показан и способ дискретного представления в этой задаче
(на оси симметрии граничные элементы отсутствуют).
Здесь рассматривались два различных материала: идеально-
пластический {IV = 0) и разупрочняющийся (Я' = —O.l/;). За-
Зависимости среднего давления от перемещення показаны иа рис. 7.5

Теория пластичности
309
Рис. 7.4. Геометрия зада-
задачи о плоском деформиро-
деформированном состоянии при воз-
воздействии штампом и дис-
дискретное представление с
помощью граничных эле-
элементов и внутренних яче-
ячеек. Здесь р — среднее да-
давление, соотношение раз-
размеров 5/6=2,7, h!b= 1,7.
1.2-
/
/
t
X
1 1
ч
1
-о,1 е
Ч
\
\
N
1
'—O.1f
0,001
0,003
0,005
д/ь
0,007
Рнс. 7.5. Зависимости среднего давления от перемещения в задаче о плоском де-
деформированном состоянии при воздействии штампом. Сплошные кривые получе-
получены методом конечных элементов, штриховые — по методу граничных элементов.
Использовались следующие значения параметров; У — 89,7 МПа, Е =
= 6,895 -107 Н/м2, v^, 0,33.
Рнс. 7.6. Задача о плоском
деформированном состоя-
состоянии при воздействии
Штампом:
а — сетка квадратичных
изопараметрических конеч-
конечных элементов; б — сопо-
сопоставление границ пластнче-
скнх зон, полученных мето-
методом конечных элементов, и
точек с пластическими де-
деформациями, найденных ме-
методом граничных элементов
(А/Ь —0 ,0052).

310
Глава 7
Рис. 7.7. Задача о толстостен-
толстостенном цилиндре. Дискретное
представление с помощью
граничных элементов и вну-
внутренних ячеек. Размеры рав-
равны: а -- 100 мм, * --- 2а.
Рис. 7.8. Перемещение внешнен
поверхности толстостенного цн-
линдра в зависимости от значе-
значения давления р. Сплошная кри-
кривая соответствует аналитиче-
аналитическому решению, кружки — рас-
расчету по методу граничных эле-
элементов.
Рис. 7.9. Распределение окруж-
окружных напряжений в толстостен-
толстостенном цилиндре. Сплошная кривая
получена аналитически, круж-
кружки— методом граничных элемен-
элементов. Радиальная координата
пластической зоны г' — 1,6я.
/)/гт0 _- 0,755.
1.0

Теория пластичности 311
и демонстрируют близость результатов, полученных методами
граничных и конечных элементов, несмотря на довольно грубый
способ дискретного представления в методе граничных элементов.
Пластические зоны, полученные методом конечных элемен-
элементов для случая разупрочняющегося материала с помощью сетки,
показанной на рис. 7.6, а, довольно хорошо согласуются с полу-
полученными методом граничных элементов (рис. 7.6, б).
Пример 7.3. Толстостенный цилиндр [16]. В этом примере
исследуется расширение толстостенного цилиндра, нагруженного
внутренним давлением, при плоском деформированном состоянии.
Предполагается идеально-пластическое поведение материала со
следующими параметрами:
Е = 12-108 Н/м2, ст„ = 2,4 МПа, v = 0,3.
Результаты, полученные методом граничных элементов без
использования дискретного представления границы, совпадающей
с осью симметрии (рис. 7.7), сравниваются с аналитическим ре-
решением, полученным Прагером и Ходжем [3]. Радиальные пере-
перемещения внешней границы и распределение окружных напряже-
напряжений (граница пластической зоны находится при г' = 1,6а) хо-
хорошо соответствуют аналитическому решению (рис. 7.8 н 7.9).
Приложения, обсуждаемые в этом разделе, ясно указывают на
большие возможности метода граничных элементов при решении
задач теории пластичности. Во всех рассмотренных примерах
приращение нагрузки составляло от 5 до 25 % нагрузки, которой
соответствовало появление пластической деформации; при этом
было подтверждено, что процедура сведения к последователь-
последовательности упругих решений является весьма устойчивой к величине
шага по нагрузке. Поэтому указанная процедура наиболее под-
подходит к задачам, в которых материал подчиняется условию теку-
текучести Мизеса. В следующем разделе для решения задач с началь-
начальным напряжением будут представлены более общего вида соотно-
соотношения между напряжениями и деформациями, к которым добав-
добавлялись различные условия текучести.
7.4. Общего вида соотношения между напряжениями
и деформациями для упругопластических материалов
При формулировке теории, описывающей модели поведения
материала при упругопластических деформациях, приходится
встречаться со следующими требованиями, в соответствии с ко-
которыми следует задать:
а) соотношение между упругими напряжениями и деформа-
деформациями до момента возникновения пластических деформаций;
б) условие текучести, указывающее значение напряжения, при
котором начинается пластическое течение;

312 Глава 7
в) соотношение между напряжениями и деформациями, опи-
описывающее поведение материала при пластических деформациях.
Требование «а» было подробно рассмотрено в гл. 5. Поэтому
здесь будут обсуждаться только требования «б» и «в».
Условие текучести при изотропном упрочнении можно записать
в следующей общей форме:
F (а„, к) = 0, G.32)
где k — параметр, характеризующий работу упрочнения (см.
выражение G.3)) и мгновенное положение поверхности текучести
в «-мерном пространстве напряжений. Из физического смысла
задачи вытекает, что условие текучести не зависит от ориентации
используемой системы координат и является функцией трех
инвариантов напряжений. Принято два из этих инвариантов
представлять как функции девиаций напряжений (см. гл. 5):
5S J -g-
J3 =-g-
В данном случае вместо инварианта У3 используется другой
инвариант напряжений а, известный как угол Лоде [151. Этот
инвариант был введен в разд. 5.1 и удовлетворяет условию
Используя эти инварианты напряжений, можно применять раз-
различные условия текучести, в том числе [151
условие Треска 2 >Л/3 cos а — ст0 = 0; G.34)
условие Мизеса ]/ЗУ2 — а0 = 0; G.35)
условие Мора—Кулона -jpsinq>'-|-
-j- \ У3 /cosа j=r sin a sin ср' \ —с coscp = 0 G.36)
здесь ф' — угол внутреннего трения, с' — коэффициент сцепле-
сцепления материала);
условие Дракера—Прагера a7r|- -/Tt — К' = 0, G.37)
где
а' = Zs'nq/ „, _ бе' cos q/ ~ gg,
|ЛГ C — sin<p') ' ~~ V"Z C — sin <p') ' '
Гипотеза Мора—Кулона следует из условия Дракера—Прагера
при плоском деформированном состоянии, если а' и К' записать
в виде [17]
(9-1- 12tg^'I/2> (9+ ^tg^'I'2 ' У >

Теория пластичности 313
Для рассматриваемых здесь задач условие G.32) можно взять
в виде
F(atj, k) =f(ou)--i|)(*) = 0, G.40)
где, как можно видеть, f (ви) — скалярная функция напряже-
напряжений оа< которая играет роль эквивалентного напряжения <зе.
В заключение можно определить эквивалентную пластическую
деформацию ef, приращение которой порождает приращение
энергии пластической деформации
aede? = aijdf.fi = dk. G.41)
Отметим, что для критерия Мизеса величина df-e в формуле G.41)
определяется выражением G.6).
Для того чтобы получить соотношения между напряжениями
и деформациями, описывающие поведение материала при пласти-
пластических деформациях, перепишем сначала выражение F.45) в диф-
дифференциальной форме
toil = Сш (deM - dz%)- G-42)
В соответствии с положениями ассоциированной теории пла-
пластичности закон течения, известный как принцип нормальности
[1, 6, 7], можно записать в виде
dB?t = dk{dF/dal}), G.43)
где dk— коэффициент пропорциональности, характеризующий
пластические свойства материала. Следует обратить внимание
на то, что отсюда можно получить также уравнения Прандтля—■
Рейсса при условии текучести Мизеса, однако в дальнейшем ко-
коэффициент dk не будет определяться выражением G.10).
Подставляя выражение G.43) в соотношение G.42), найдем
dou = Cim (dzhl - ahl dk), G.44)
где
ам = dF/dahi = df/dohi. G.45)
При пластических деформациях напряжения будут удовлетво-
удовлетворять условию G.40), продифференцировав которое, получим
dF = audau — (d^ldk) dk = 0, G.46)
или с учетом выражения G.3)
auda,} - {d^/dk)ai}dB^ = 0. G.47)
Применяя принцип нормальности к уравнению G.47), найдем
atl dan — (dtydk) аца1} dk = 0. G.48)

.314 Глава 7
Если в эту формулу подставить выражение G.44) для йвц то,
решив результирующее соотношение относительно dk, найдем
с& =A/у') аиС1Шс1гы, G.49)
где
У' = <н£иыаы -j- (dtydk)otjal}. G.50)
Прежде чем идти дальше, можно рассмотреть последнее сла-
слагаемое в равенстве G.50). Легко показать, что / (а,;) — однород-
однородная функция первого порядка, тогда, применяя теорему Эйлера
[18], можно записать
<yu(df/dou) = f(eu) = oe. G.51)
Подставляя это выражение и равенство G.41) в формулу
G.50), получим
Y' = a,jCl]klahl f dtydtZ, G.52)
где dty/ds? = Я', если г[> — предел текучести при одноосном
нагружении.
Выражение G.49) можно использовать, подставив dX в фор-
формулу G.44), если применяется соотношение между прираще-
приращениями напряжений и деформаций
doti = C\4kl dshi, G.53)
где
Сф1 = Cim — (Ъ/У^СцмпОтпОгрСгры. G.54)
Для того чтобы эти соотношения применять, используя форму-
формулировку с начальными напряжениями, удобнее провести допол-
дополнительное преобразование. Введем следующее обозначение (см.
выражение F.59)):
a'n = Cijhidek!, G.55)
где dalj — компоненты приращений упругих напряжений (т. е.
значения приращений напряжений, соответствующих чисто упру-
упругим деформациям).
Выражение G.53) можно переписать в форме
deu = dolj - A/y') Симптом daii- G.56)
Это уравнение означает, что истинные значения напряжений
можно вычислить с помощью соответствующих упругих напря-
напряжений, взяв эти значения в форме приращений. Кроме того, можно
вычислить приращения начальных напряжений (см. выражение
F.47)), воспользовавшись следующим соотношением:
da'a = da\, - dau = A/у') Cilmnamnaki dot,, G.57)
где dOij соответствует dot, при defj = defy.

Теория пластичности 315
Все соотношения этого раздела справедливы для трехмерного
случая. Подробности, относящиеся к двумерным задачам, чита-
читатель найдет в приложении В.
Из рассмотрения выражения F.46) видно, что соотношения
F.135) можно использовать для нахождения da'ij, если матрицу Е'
заменить на
£ = £'+/, G.58)
где / — единичная матрица, что дает
da" -G'dP -H'dU 1 QUO?, G.59)
где __
Q* = Q' -г £. G.60)
Наконец, следует упомянуть, что проблему неопределенности,
присутствующую в принципе нормальности (см. выражение G.43))
в связи с так называемыми угловыми точками на поверхности те-
текучести (характерные поверхности для условий Треска и Мора—
Кулона), можно обойти с помощью простой процедуры, описан-
описанной в работе [14]. Она состоит в «округлении» угловых участ-
участков, когда | а | >(я/6 — л/180), благодаря чему обходится осо-
особенность, соответствующая | а \ = я/6.
7.5. Задачи с начальными напряжениями.
Описание подходов к решению
Для облегчения численного способа решения задач с началь-
начальными напряжениями уравнения F.134) и G.59) можно преобра-
преобразовать так, как об этом говорилось в разд. 6.8, что дает
dV = R da" -|- dM, dae = S da" + dN, G.61, 7.62)
где
R = A-^Q, S = Q* - A'R. G.63, 7.64)
Отметим, что, как и прежде, векторы dM и dN представляют
собой упругие решения задачи внутри шага по нагрузке (дей-
(действительное решение при отсутствии пластичности). Уравнения
G.61) и G.62) будут справедливы и в том случае, если вместо при-
приращения подставить полную нагрузку. Единственная причина,
по которой сохраняется дифференциальная форма, состоит в опре-
определяющих соотношениях G.53). Это позволяет вычислять нагрузку,
соответствующую моменту возникновения пластических деформа-
деформаций, простым делением общего упругого решения на коэффициент
нагрузки ка. Шаговый процесс начинается с этого значения на-
нагрузки, а последующие значения коэффициента нагрузки опре-
определяются выражением G.29).

316 Глава 7
Для упругопластического состояния уравнения G.61) и G.62)
можно взять в виде
К = /?К+Да")~}-Х,!/И, G.65)
ас = 5 (а" г Аа") -Г ^Д G.66)
либо в форме, соответствующей только приращениям,
&Y ^ /?ДаР + {Ш, Лае = So" | рЛГ, G.67, 7.68)
где векторы М и Л' соответствуют случаю приложения полной
нагрузки, Дар — текущее приращение начальных напряжений.
Для типичного приращения нагрузки (т. е. для заданного
значения коэффициента \) можно с помощью итераций по упомя-
упомянутым двум процессам определить приращение начальных на-
напряжений в любом граничном узле или внутренней точке, в ко-
которых ожидается возникновение пластических деформаций. Пер-
Первый из этих процессов по существу является чисто шаговым.
После приложения приращения нагрузки |W вычисляется при-
приращение начальных напряжений, соответствующее чисто упру-
упругим деформациям, которое затем считается заданным для рас-
рассматриваемого тела, обеспечивая тем самым перераспределение
упругих напряжений. Эта операция позволяет получить новое
поле начальных напряжений, которое должно перераспределяться
упруго, и т. д. Итерационный процесс прекращается, когда
добавками к предыдущим значениям начальных напряжений можно
будет пренебречь ввиду их малости.
Описанный выше процесс по существу аналогичен приведен-
приведенному в работе Ш] применительно к методу конечных элементов
и может быть представлен в виде следующих шагов:
а) Вычисление приращений упругих напряжений в соответ-
соответствии с выражением G.68), если закончена предыдущая итерация,
или, иначе, Аое = SAap.
б) Нахождение приращений истинных напряжений Aatj (см.
выражение G.56)).
в) Проверка сходимости процесса, т. е. сравнение вычислен-
вычисленных приращений деформаций Де£ с текущими значениями дефор-
деформаций, найденными для очередного шага по нагрузке, с тем чтобы
определить, можно ли пренебречь приращениями.
г) Вычисление приращений начальных напряжений с по-
помощью выражения Aof/ = &о'ц — Aojj.
д) Уточнение значений начальных и истинных напряжений:
a?/ -v a"tj -f- Да?/, otl ->■ ои (- Аои.
е) Переход к следующему узлу или точке и повторение вы-
вычислений, начиная с пункта «б» до тех пор, пока не будут рас-
рассмотрены все узлы и точки.

Теория пластичности 317
ж) Возвращение к пункту «а» для выполнения следующей
итерации.
Итерации выполняются до тех пор, пока не будет достигнута
сходимость (с заданной точностью) процесса вычислений в каж-
каждом узле и каждой точке.
Интересно отметить, что, для того чтобы избежать накопления
погрешностей, значения Аар, полученные в конце итерационного
процесса, подставляются вместе с fW в уравнение G.68) для
выполнения первой итерации для следующего шага по нагрузке.
Второй процесс, который, как было показано, меньше зависит
от величины приращения нагрузки, по не всегда является более
экономичным [19], основан на суммировании приращений упру-
упругих напряжений аналогично тому, как это делалось в процедуре,
построенной для задач с начальными деформациями.
Приращения начальных напряжений не суммируются с пол-
полными значениями, пока не будет достигнута сходимость процесса,
этапы которого таковы.
а) Вычисление упругих напряжений (см. выражение G.66)).
б) Вычисление приращений упругих напряжений с помощью
выражения Да;; = а'ц — ои — of/.
в) Нахождение приращения истинных напряжений Даи- (см.
выражение G.56)).
г) Вычисление нового приращения начальных напряжений
Л< = Да',- — Ла^.
е) Переход к следующему узлу или точке и возобновление
расчетов с пункта «б» до тех пор, пока не будут рассмотрены все
узлы и точки.
Когда достигается сходимость процесса во всех узлах и точ-
точках, все приращения истинных напряжений и начальных напря-
напряжений суммируются и результат используется как начальное
значение для следующего шага по нагрузке.
Отметим, что в этих процедурах не требуется вычислять
значения неизвестных на границе. Следовательно, уравнение
G.65) требуется только при выводе на печать значений неизвест-
неизвестных на границе, как только итерационный процесс сойдется.
Если, кроме того, в исследуемом теле задано поле начальных
напряжений, то эти напряжения просто суммируются с вектором
полных напряжений в начале процесса. В этом случае нагрузку,
соответствующую появлению первых пластических деформаций,
уже нельзя находить из выражения G-28), но, для того чтобы
начать шаговый процесс, здесь можно взять произвольное прибли-
приближенное значение коэффициента ?.„ (с условием, что при этом реали-
реализуется чисто упругое напряженное состояние).
Прежде чем использовать приведенные выше алгоритмы для
решения задач теории пластичности, следует отметить, что по-

318 Глава 7
скольку процедуры решения являются шаговыми, то всегда
задаются конечные значения приращений нагрузки, а это может
привести к некоторому смещению уровня напряжений выше
поверхности текучести. Если приращения нагрузки брать доста-
достаточно малыми, то этой проблемы практически не возникает, но
если требуется задавать сравнительно большие приращения
нагрузки, то необходимо использовать специальный прием тина
описанного в работах [10, 14, 20], для того чтобы значения на-
напряжений лежали па поверхности текучести, По существу этот
прием использует процедуру дробных шагов, когда приращение
упругих напряжений разбивается на ряд более мелких прираще-
приращений. Прн этом для каждого дробного шага используется соотно-
соотношение G.56), Кроме того, как только будут пройдены все дроб-
дробные шаги, проводится проверка выполнения условия G.40) н
окончательная добавка напряжений (если таковая имеется), все
еще удовлетворяющая условию текучести, прибавляется к при-
приращению начальных напряжений.
7.5.1. Примеры применения решения Кельвина
Здесь приводятся результаты решений методом граничных
элементов для ряда примеров в соответствии с алгоритмами ре-
решений, представленных в этом разделе; дано сравнение с име-
имеющимися аналитическими решениями и решениями, полученными
методом конечных элементов.
Пример 7.4. Растяжение образца с выточкой [19]. Этот пример
является одной из самых первых задач теории пластичности,
решенной с помощью метода конечных элементов. В нескольких
статьях были приведены результаты для плоских напряженного
и деформированного состояний, что явилось хорошей возмож-
возможностью сравнить их с расчетами, выполненными методом гранич-
граничных элементов.
В задаче использовались следующие значения параметров:
Е --= 7-Ю8 Н/м3, ст0 = 2,43 МПа, v = 0,2, Н' = 0
(условие текучести Мизеса). Плоское напряженное состояние
исследовалось с помощью дискретного представления, показан-
показанного на рнс. 7.10. Отметим, что в связи с симметрией задачи на
оси симметрии граничные элементы не используются. Это связано
с процессом прямой конденсации, при котором автоматически
учитываются интегралы по изображениям элементов и ячеек,
поэтому результирующим матрицам соответствует меньшее число
граничных элементов н внутренних точек.
На рис. 7.11 приводится зависимость относительного напря-
напряжения, создаваемого нагрузкой, от относительного перемещения
для рассматриваемого случая. Видно, что эта зависимость прак-
практически линейная вплоть до самой предельной нагрузки, н лишь

Теория пластичности
319
вблизи этой нагрузки появляется излом кривой. Такое поведение
наблюдалось в аналогичной задаче Ямадон [21 ]. Значение
B<та/<т0 = 1,21) предельного напряжения, найденное методом гра-
граничных элементов, совпадает с результатами, полученными Найя-
ком и Зинкевичем [14] с использованием различных конечных
элементов для этой же задачи. Значение найденного ими относи-
Уг ^ I v Гч i^\ *T -v. ^
Рис. 7.10. Растяжение образ-
образна с: выточкой. Дискретное
представление)! с помощью
граничных элементов и вну-
внутренних ячеек (плоское на-
напряженное состояние).
Рис. 7.11. Зависимость отно-
относительного напряжения от
относительного перемещения
для образца с выточкой при
плоском напряженном со-
состоянии, полученная мето-
методом граничных элементов.
тельного предельного напряжения 2аа1а0 располагалось между
1,19 и 1,23, а в расчетах использовались простой треугольный,
изопараметрический линейный, квадратичный и кубический эле-
элементы, причем во всех четырех сетках было 97 узлов.
В случае плоского деформированного состояния из-за значи-
значительного распространения пластической зоны при приближении
нагрузки к ее предельному значению число внутренних точек и
ячеек увеличивалось соответственно с 33 и 51 до 59 и 97. На
рис. 7.12 показана зависимость относительного напряжения от
относительного перемещения; там же показаны результаты,
О 003

320
Глава 7
полученные Ченом [5 ] по методу конечных элементов. Пре-
Предельное значение относительного напряжения нагрузки, полу-
полученное методом граничных элементов Bоа/а0 — 1,64), меньше
значения, найденного методом конечных элементов Bсга/а0 =
= 1,85). Но, как отмечает Чен, нз предельных теорем следует,
Рис. 7.12. Зависимость
относительного напряже-
напряжения от относительного
перемещения для образ-
образца с выточкой при плос-
плоском деформированном со-
состоянии. Сплошная кри-
кривая получена методом ко-
конечных элементов, штри-
штриховая — по методу гра-
граничных элементов.
Рис. 7.13. Пластические
зоны, полученные при
расчете методом гранич-
граничных элементов, для раз-
различных уровней нагрузки
(плоское деформирован-
деформированное состояние).
2<S«'on-l.30
0.01В
да
что максимальное значение этой величины находится между 1,52
и 1,73, что подтверждает результаты, полученные методом гра-
граничных элементов.
Распространение пластических зон для соответствующих урав-
уравнений нагрузки показано на рис. 7.13, где видно хорошее соответ-
соответствие с решением, полученным методом конечных элементов
[5, 11].
Пример 7.5. Круговой туннель глубокого заложения [19].
Этот пример был выбран для того, чтобы показать преимущества
метода граничных элементов при использовании подходов, осно-
основанных на рассмотрении «внешних» областей при решении задач

Теория пластичности
321
г а г''~
для бесконечных областей. Выемка кругового поперечного сече-
сечения исследовалась Рейесом [22] и позже Бейкером и др. 123]
с использованием линейных перемещений соответственно для
треугольных и простого четырехугольного конечных элементов;
эти результаты сравниваются с полученными методом граничных
элементов.
Задача о плоском деформированном состоянии исследовалась
с помощью модели Дракера—Прагера, условия текучести Мора—
Кулона (а' и К' описывались выражениями G.39)) и предполо-
Поле постоянных
начальных непряэ+срний
8.895 мпа
2,758 МПз
Рис. 7.14. Круговой тун-
туннель глубокого заложе-
заложения. Дискретное предста-
представление, использованное
для расчета методом гра-
граничных элементов, и по-
полученное расположение
пластической области.
жения о бесконечности области, первоначально имеющей одно-
однородное поле напряжений 6,895 МПа в вертикальном и 2,758 МПа
в обоих горизонтальных направлениях (Ко = 0,4). В данном
исследовании на открытой поверхности прикладывалась внешняя
нагрузка, соответствующая моменту установления этого поля
напряжений.
Материал (грунт) предполагается идеально-пластическим со
следующими характеристиками: £ = 3,447-109 Н'м3, с' =
= 1,932 МПа, v = 0,2, <р' = 30°.
На рис. 7.14 показано дискретное представление с помощью
граничных элементов и внутренних ячеек; там же можно видеть
окончательное расположение пластической области, развитие
которой началось от границы выемки.
Напряжения иа горизонтальной площадке, вычисленные на
момент окончания процесса установления, сравнивались с най-
найденными Рейесом и Бейкером (рис. 7.15).
В данном случае внутренние напряжения в той части области,
которая не была подвергнута дискретному представлению, вы-
вычислялись в отдельных внутренних точках, не связанных ни с одной
из внутренних ячеек.
11 Брсббия К. и др .

322
Глава 7
Важно отметить, что применение двух более совершенных
сеток конечных элементов B53 узла) не должно приводить к уточ-
уточнению напряжений ау (рис. 7.15). Авторы соответствующих работ
ие обсуждали это обстоятельство, но данное различие связано,
по-видимому, с тем, что в обоих исследованиях задавались внеш-
внешние граничные условия. В методе же граничных элементов не
требуется вводить дискретное представление внешней границы,
Рис. 7.15. Распределение
нормальных напряжений
вдоль радиусов в гори-
горизонтальном поперечном
сечении. Напряжение Оу
характеризуется следую-
следующими расчетными кри-
кривыми:
/ — метод конечных элемен-
элементов (Бейкер н др. [23 ]): 2 —
метод граничных элементов
[19]; 3 — метод конечных
элементов (Рейс [22]). Для
величины с^все три метода
дали практически совпадаю-
совпадающие результаты.
но здесь для того, чтобы изучить влияние границы на результаты
решения, иа четверти круга радиуса, равного девяти радиусам
выемки, было использовано дискретное представление внешней
границы с помощью шести граничных элементов, что примерно
соответствовало сеткам конечных элементов. Для внешней круго-
круговой границы задавалось условие свободного перемещения, что
дало результат, лучше согласующийся с данными Бейкера. Во
втором варианте перемещения на внешней окружности полага-
полагались равными нулю, что дало лучшее соответствие с результатами
Рейеса.
Пример 7.6. Шероховатый штамп [19]. В этом примере ис-
исследуется поведение бесконечного блока квадратного поперечного
сечения, сжатого между двумя шероховатыми абсолютно жест-
жесткими штампами. Эта задача исследуется для плоского деформи-
деформированного состояния, материал полагается идеально-пластиче-
идеально-пластическим, удовлетворяющим условию текучести Мизеса.
С помощью весьма совершенной сетки, содержащей 274 тре-
треугольных конечных элемента с линейными перемещениями и
173 узловые точки (рис. 7.16, а), решение этой задачи было вы-
выполнено Ченом [5, 24]. Исследование методом граничных элемен-
элементов было выполнено с дискретным представлением, показанным

Теория пластичности
323
иа рис. 7.16, б, причем здесь потребовалось менее одной трети
данных, вводившихся при использовании конечных элементов.
Процесс сжатия двумя штампами развивался путем задания
перемещений плоским участком штампов, в результате была по-
р - среднее ааэлгмие
Абсолютчс i I ♦ t I
кестк/й
Рис. 7.16. К задаче о шероховатом штампе: о — дискретизация при расчете по
методу конечных элементов; б — дискретизация при расчете по методу граничных
элементов (вдоль оси симметрии граничные элементы не используются). Заданы
следующие размеры: I = 1,27 мм, bll = 6, blh = 1.
3
Рис. 7.17. Зависимость среднего давления под штампом от заданного перемещения
в задаче о шероховатом штампе. При расчетах использовались следующие значе-
значения параметров: Е = 6,895-Ю10 Н/м2, а0 = 89,7 МПа, v = 0,33, Я' = 0.
строена зависимость среднего давления под штампом от заданного
перемещения (рис. 7.17). Как можно видеть, имеется хорошее
соответствие между результатами, полученными обоими методами,.
11*

324
Глава 7
и, кроме того, эти результаты дают превышение всего на 4 %
значения предельной нагрузки i' Зр/'Bсго) = 2.5, найденного тео-
теоретически.
7.5.2. Примеры использования решения для полуплоскости
Здесь результаты некоторых приложений решений для полу-
полуплоскости сравниваются с численными и аналитическими реше-
решениями, известными из литературы.
Рис. 7.18. Ленточный фундамент на упругопластическом грунте. Дискретное
представление при использовании метода граничных элементов.
Пример 7.7. Ленточный фундамент [16]. В этом примере ис-
исследуется плоское деформированное состояние гибкого ленточного
фундамента при равномерном нагружении. Для конечных раз-
размеров пласта грунта использовалось дискретное представление,
полностью реализующее достоинства как условий симметрии, так
и свободной от нагрузок поверхности; при этом дискретизация
осуществлялась с помощью 14 граничных элементов и 42 внутрен-
внутренних точек (рис. 7.18).
Грунт рассматривался как идеально-пластический материал,
подчиняющийся условию Мора—Кулона и характеризующийся
следующими параметрами: Е — 2,069-108 Н/'м2, с' = 68,95 кПа,
v = 0,3, ф' = 30°.
Другое решение было получено с помощью условия текучести
Дракера—Прагера, описываемого выражениями G.37) и G.39).
На рис. 7.19 показаны перемещения поверхности грунта.
Там же представлено решение методом конечных элементов при
условии текучести Мора—Кулона, полученное Зннкевичем н др.

Теория пластичности
325
[25] с использованием квадратичных изопараметрических эле-
элементов со 121 узловой точкой. Предельные нагрузки, найденные
методами граничных и конечных элементов при условии теку-
текучести Мора—Кулона, равны соответственно pic' = 14,9 и р/с' =
= 15,1, что хорошо согласуется с решением Прандтля (см. ра-
работу Чена [5], где было получено значение р'.с' = 14,8). Что
16
Рис. 7.19. Зависимости на-
нагрузки от перемещения для
задачи о ленточном фунда-
фундаменте. Сплошная кривая по-
получена методом конечных
элементов (условие Мора —
Кулона), штриховая — по
методу граничных элементов
(условие Дракера — Праге-
ра), кружки соответствуют
методу граничных элементов
(условия Мора — Кулона).
Рис. 7.20. Распространение
пластической области с ро-
ростом нагрузки (условие те-
текучести Мора—Кулоиа).
же касается условия текучести Дракера—Прагера, то можно
видеть, что, хотя при этом перемещения имели большее по вели-
величине значение, максимальная нагрузка незначительно отличалась
от упоминавшихся выше.
Пластические области, соответствующие решению, в котором
использовалось условие текучести Мора—Кулона, показаны на
рис. 7.20. Эти области хорошо соответствуют областям, найденным
при использовании метода конечных элементов.
Пример 7.8. Туннель неглубокого заложения [16]. В преды-
предыдущем примере метод граничных элементов, приспособленный для
решения упругопластических задач, применялся для расчета

326
Глава 7
круговой выемки радиуса г', лежащей глубоко под землей (т. е.
в бесконечной среде). Были отмечены большие преимущества
метода граничных элементов по сравнению с методом конечных
элементов. Здесь аналогичная задача рассматривается для тун-
Рис. 7.21. Задача о неглу-
неглубоком туннеле кругового
поперечного сечення. Дис-
Дискретное представление,
использованное прн ре-
решении методом граничных
элементов, и окончатель-
окончательное расположение пла-
пластической области.
неля, проложенного
вблизи поверхности
земли и лежащего,
таким образом, в по-
полубесконечной обла-
области, причем его ось
отстоит от поверхно-
поверхности на расстояние,
равное пяти его ра-
радиусам.
Как и ранее, ма-
материал, подобный
грунту, считался удо-
удовлетворяющим усло-
условию текучести Драке-
ра—Прагера (а' и К'
описываются выражениями
G.39)) и обладающим следу-
следующими характеристиками:
£ = 3,447-109 Н/м2, с' =
1,932 МПа, v = 0,2, ср' =
= 30е. Для того чтобы дан-
данное исследование приблизить
к реальным задачам, было принято, что в полубесконечной среде
имеется начальное напряженное состояние с линейно изменя-
изменяющимися напряжениями вида
ov =-av -\- yh — напряжение в вертикальном направлении,
а/, = 0,4а„ — напряжение в горизонтальном направлении,
где д„ — равномерное давление, обусловленное, например, слоем
воды или очень мягкого материала, у — удельный вес грунта,
h — расстояние до поверхности земли.

Теория пластичности
327
Для представления напряженного состояния в задаче о тун-
туннеле глубокого заложения (а„ = 6,895 МПа) на глубине, соответ-
соответствующей положению оси выемки, использовались следующие
данные; д„ = 2,069 МПа, у = 2,733-Ю8 Н/м3, г' = 39,8 м. Иссле-
Исследование плоского деформированного состояния выполнялось с по-
помощью шаговой процедуры, при которой задавались приращения
нагрузки, соответствующие моменту установления внутренних
напряжений на границе выемки. Способ дискретного представле-
представления приведен на рис. 7.21,
там же показано располо-
расположение пластической об-
области.
На рис. 7.22 дано рас-
распределение напряжений
вдоль края горизонталь-
горизонтального поперечного сечения
и там же для сравнения
приведены результаты для
туннеля глубокого зало-
заложения. Отметим, что зна-
значения напряжений в части
области, лежащей вне
ячеек, вычислялись в про-
простых внутренних точках.
Тунчель глубокого
эалоксния
Туннель неглубо-
неглубокого заложения
Рнс. 7.22. Распределение напряжений вдоль
края горизонтального сечення.
Приведенный пример
ясно демонстрирует по-
полезность применения ре-
решения для' полуплоскости. Такого рода задачи можно более
или менее успешно решать только с помощью такого под-
подхода, при котором не требуется вводить дискретное представление
ни для поверхности земли, ни для внутренней границы.
7.6. Сравнение с результатами,
полученными методом конечных элементов
В этом разделе дается сравнение решений задач для упруго-
пластических материалов, полученных методами граничных и
конечных элементов. Сравнение проводится по главным показа-
показателям, которые определяют эффективность программ, а именно:
время счета, точность решения и простота представления исход-
исходных данных. Программа расчета иа ЭВМ с помощью метода гра-
граничных элементов была опубликована Теллесом [26] в 1979 г.,
программа метода конечных элементов была создана Оуэном и
Хинтоном [27 ]. Во всех случаях была использована ЭВМ ICL 2970
и решались две типовые задачи [28]:
1) перфорированная алюминиевая полоса;
2) круговая полость, в которой задано внутреннее давление.

328
Глава 7
18 мм
0
тттН
Рис. 7.23. Перфорированная
полоса:
а — сетка конечных элементов
для перфорированной полосы;
6 — дискретное представление
с помощью граничных элементов.
Рис. 7.24. Зависимость на-
нагрузки от перемещения для
задачи о перфорированной
полосе. Сплошная кривая
получена методом граничных
элементов, штриховая — по
методу конечных элементов.

Теория пластичности
329
Таблица 7.1. Сопоставление решений, полученных методам
граничных элементов (МГЭ) и методом конечных элементов (Л1КЭ)
Рассматриваемая задача
Перфорированная алю-
алюминиевая полоса
Круговая полость, на-
нагруженная внутренним
давлением
Методы
решения
МКЭ
мгэ
мкэ
(защемле-
(защемление на
внешней
границе)
мкэ
(в нешняя
гра ница не
защемлена)
МГЭ
Общее
число
точек и
узлов,
используе-
используемых при
решении
87
40
135
135
20
Число
граничных
или конеч-
конечных эле-
элементов
17
23
28
28
4
Время
счета
иа ЭВМ
ICL 2970
(в услов-
условных едини-
единицах)
430
142
1212
1341
103
Пример 7.9. Перфорированная алюминиевая полоса. В этом
примере рассматривается прямоугольная алюминиевая пластина
с центрально расположенным отверстием при п-уоском напряжен-
напряженном состоянии, создаваемом постоянным напряжением, действу-
действующим на концах пластины. Сетка конечных лагранжевых элемен-
элементов с девятью узлами показана на рис. 7.23, а, а дискретное
представление в соответствии с методом конечных элементов
(с линейной интерполяцией как неизвестных на границе, так и
пластических деформаций) представлено на рис. 7.23, б. Исполь-
Использовались следующие параметры материалов: Е = 7-Ю10 Н/'м2,
v = 0,2, У = 243 МПа, Я' = 0,032£ (условие текучести Мизеса).
На рис. 7.24 представлены зависимости нагрузки от переме-
перемещения в точке, лежащей на нагруженном крае, полученные
методами граничных и конечных элементов. Оба метода дают ре-
результаты с одинаковой точностью, но с точки зрения времени,
затрачиваемого на счет и на подготовку исходных данных
(табл. 7.1), метод граничных элементов имеет определенные пре-
преимущества.
Отметим, что, для того чтобы получить одинаковую точность
в методе граничных элементов, требуется задавать значительно
меньшее число узлов на поверхности тела, чем число узлов в ме-

330
Глава 7
тоде конечных элементов. Это объясняется хорошей сходимостью
«смешанного типа» формулировок метода граничных элементов.
Пример 7.10. Круговая полость,
нагруженная внутренним давлением.
Метод граничных элементов не имеет
равных при решении задач для беско-
Линейные граничные
элементы и ячейки
иг/а
Рис. 7.25. Полость кругово-
кругового поперечного сечення:
а — сетка конечных элементов;
б — дискретное представление
в методе граничных элементов.
Рис. 7.26. Зависимость ра-
радиального перемещения от
нагрузки для круговой по-
полости. Кружки получены ме-
методом граничных элементов,
сплошные кривые — методом
конечных элементов:
/ — перемещения иа границе
равны нулю; 2 — граница пере-
мещается свободно.
печной области, напри-
например задачи о круговой
полости, нагруженной
внутренним давлением.
Эта задача является
задачей о плоском деформированном состоянии, и здесь воз-
возникают трудности при дискретном представлении с помощью
конечных элементов части области определенного размера, при-
примыкающей к границе полости. Этот размер брался равным де-

Теория пластичности 331
сяти радну ам полости. На рис. 7.25, а показана сетка девяти-
узловых конечных элементов, а материал подчинялся условию
текучести Мизеса и имел следующие характеристики: Е = 7 X
X 1010 Н/м2, v = 0,2, а0 = 103 МПа (идеальная пластичность).
Задача была решена методом конечных элементов, причем
сначала предполагалось, что на внешней границе перемещения
равны нулю, а затем принималось, что внешняя граница может
свободно перемещаться. Согласно теоретическим представлениям,
истинные радиальные перемещения на границе полости имеют
значения, лежащие между значениями, соответствующими этим
двум предположениям. Затем задача была решена методом гра-
граничных элементов, в котором можно адекватно рассматривать
бесконечное тело. Дискретное представление показано на
рис. 7.25, б. На рис. 7.26 представлены полученные методом гра-
граничных элементов результаты вычисления перемещений, значения
которых при максимальных значениях нагрузки лежат между
результатами двух упоминавшихся вариантов решений по методу
конечных элементов. Однако на первых шагах по нагрузке пере-
перемещения, определяемые по методу граничных элементов, не-
несколько превышают перемещения, вычисляемые методом конеч-
конечных элементов. Возможно, это объясняется хорошо известной
более высокой «жесткостью» конечных элементов, особенно для
упругих областей большой протяженности. Когда зоны с пла-
пластическими деформациями располагаются вблизи выемки, под-
подкрепляющее влияние внешней границы мало сказывается на
радиальных перемещениях поверхности полости и тогда оказы-
оказывается существенным влияние «жесткости» конечных элементов.
Остальные преимущества использования метода граничных эле-
элементов видны из табл. 7.1. Отметим, что в этой задаче существенно
упрощен ввод исходных данных, особенно когда учитывается
симметрия. Метод граничных элементов более эффективен по
сравнению с методом конечных элементов и с точки зрения вре-
времени счета на ЭВМ.

Глава 8
Вязкопластичность
8.1. Введение
В этой главе описывается применение уравнений метода
граничных элементов к задачам вязкопластичности. Эту же
процедуру можно применять и к задачам ползучести. Здесь ис-
используется прием, предложенный Перциной [1—3], поскольку
он удобен при численной реализации и — как об этом уже гово-
говорилось в гл. 6 — может применяться для построения решений
упругопластических задач. Решение, зависящее от времени,
получается с помощью одношаговой процедуры Эйлера. Кроме
того, обсуждаютс я некоторые соображения по поводу выбора
шага по времени. Представлен и проиллюстрирован на примерах
случай материалов, не сопротивляющихся растяжению.
8.2. Определяющие уравнения в скоростях
Далее ограничимся решением задач ползучести или упруго-
вязкопластичности в виде, описанном Перциной [1]. Следует
отметить, что тем же способом можно рассмотреть случаи с не-
неустановившимися или установившимися температурными дефор-
деформациями путем решения задач комбинированным методом гранич-
граничных элементов, следуя описанной в гл. 4 процедуре, при рассмо-
рассмотрении той части задачи, которая учитывает температурные яв-
явления.
В соответствии с изложенным в разд. 6.2 статическое условие
текучести при изотропном упрочнении имеет следующий общий
вид:
F(atJ, k) -0, (8.1)
где, как н прежде, k — параметр упрочнения, определяющий
положение поверхности текучести при статическом нагружении
в девятимерном * пространстве напряжений. Это условие лучше
поддается анализу, будучи представленным в форме
/ (а„) = Ч> (к), (8.2)
где F = / — \f, a если вводятся гипотезы, связанные с работой
упрочнения, то параметр k определяется выражением G.3).
Отметим, что условия (8.1) или (8.2) не отличаются от анало-
аналогичных условий текучести для так называемой нереологической

Вязкопластичность 333
теории пластичности. Поэтому здесь также можно использовать
различные выражения для F, введенные в разд. 7.4. Сказанное
делает возможной следующую интерпретацию: обозначим, как
и прежде, через оге скалярную функцию / (сгг/). Используя это
обозначение, для скорости эквивалентной пластической дефор-
деформации (см. выражение G.41)) можно написать
*.ё? = аигЬ = k. (8.3)
Следуя обобщенному принципу нормальности, предложенному
Перцнной [1—3], скорости вязкопластических деформаций можно
представить в виде
где у, Ф и обозначение ( } имеют тот же смысл, что и в разд. 6.2.
Выражение (8.4) можно далее переписать в форме
Умножая обе части этого равенства на аи, найдем
^- (8-6)
Считая / (сгг/) однородной функцией первого порядка (это
требование удовлетворяется вследствие условия текучести) и
воспользовавшись теоремой Эйлера, напишем [7]
(«т,,). (8.7)
С учетом соотношений (8.3) выражение (8.7) можно оконча-
окончательно представить в виде
^;-^(ф(т)>' (8-8)
тогда при F > 0 получаем
/(а„) = ф(А)[1+Ф~1(*г/7)]- (8.9)
Сравнивая формулы (8.9) и (8.2), видим явную зависимость по-
поверхности течения от скорости эквивалентной пластической де-
деформации.
Далее рассмотрим соотношение
ёе^а'!Е + гре, (8.10)
где Е — модуль Юнга, ее — скорость полной деформации. Отме-
Отметим, что в одномерных задачах ге, ое и е? — соответственно ско-
скорости действительной полной деформации, напряжения и пласти-
пластической деформации, если г|? — предел текучести при одноосном
напряженном состоянии.

334 Глава 8
Уравнение поверхности течения имеет вид
показывающий явную зависимость / (Оц) от скоростей возника-
возникающих деформаций и скоростей напряжений.
В задачах для испытывающих ползучесть материалов экви-
эквивалентный вариант выражения (8.8) принимает форму (разд. 6.2)
г". = Ko?tn, (8.12)
где К — параметр, характеризующий свойства материала, ае —
— f (аа) — эквивалентное напряжение Мизеса.
Интересно отметить, что зависящую от времени функцию /"
можно исключить из выражения (8.12) с помощью преобразования
вида [9]:
t
I = J тп d%, (8.13)
о
где i — преобразованное время. При этом для выражения (8.12)
имеем __
"£cJdI = Ко?. (8.14)
Это означает, что задачу можно решать относительно переменной t,
которая связана с истинным временем t обратным преобразова-
преобразованием
f — yt(n -\- 1)]1'<л+''. (8.15)
Другие функции упрочнения во времени также можно преоб-
преобразовать указанным выше способом, если принять, что выраже-
выражение (8.12) соответствует экспериментам, проводимым при постоян-
постоянных значениях напряжения. Тогда скорости деформации при
ползучести можно записать в виде
(8.16)
где точкой обозначается производная по t при п Ф 0. Это урав-
уравнение соответствует уравнению Праидтля—Рейсса и может быть
представлено в форме (8.5). В обоих случаях соответствующие
скорости начальных напряжений можно иайти из простых соот-
соотношений
аац = у(Ф)й1), dt, = cUkldf/dohl. (8.17,8.18)
Здесь при использовании метода граничных элементов следует
применять уравнения с начальными напряжениями, поскольку
они обладают тем достоинством, что позволяют учитывать с мень-
меньшими изменениями сжимаемость или несжимаемость иеупруги.ч
деформаций в задачах с плоским деформированным или напря-
напряженным состояниями. Соответствующие соотношения для дву-
двумерных случаев представлены в приложении В.

Вяжопластичность 335
Для того чтобы применять выражения F.134) и F.135) при
решении задач для материалов, свойства которых зависят от
времени, можно воспользоваться преобразованиями, представ-
представленными в разд. 6.8. В результате получим следующие матричные
уравнения:
Y = Rha + ЛГ, 6=Vba + N, (8.19, 8.20)
где векторы М и N определяются выражениями F.141) и F.144),
матрица R описывается выражением G.63). Новая матрица V
определяется соотношениями
V^Q-A'R, Q=Q'+E'. (8.21,8.22)
Из написанного выше видно (см. выражение (8.17)), что равен-
равенство (8.20) представляет собой систему обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений относительно значений напряжений в за-
заданных граничных узлах и внутренних точках, которые могут
быть решены стандартными методами (при условии, что выпол-
выполняется условие Липшица [4—61), в результате чего будет полу-
получено единственное решение задачи с зависимостью от времени.
Простая и эффективная процедура решения этого матричного
уравнения является предметом обсуждения в следующем разделе.
8.3. Метод решения задач вязкопластичиости
Для решения примеров, представленных в этой главе, одно-
шаговая процедура Эйлера применялась следующим образом
[8 ]: предположим, что коэффициент нагрузки к (t) рассматри-
рассматривается как известная функция времени. Уравнения (8.19) и (8.20)
можно проинтегрировать по времени, что дает
Y = Roa + X (t) M, a=yaa + k(t)N, (8.23,8.24)
где векторы М и N соответствуют упругим решениям для теку-
текущего уровня нагрузки. При использовании шаговой по времени
процедуры уравнение (8.24) решается внутри каждого шага по
времени At = ^+' — tk, при этом значения начальных напряже-
напряжений в отдельных узлах и внутренних точках вычисляются по фор-
формуле Эйлера
а?-+1 = а?,* + A*Y <Ф*> **/• «.25)
При реализации этого процесса коэффициент % (t) можно на
некоторое время принять постоянной величиной, что приводит
к тому, что после достаточно большого числа шагов по времени
величины Atepe или cr*+1 —а£ становятся во всех точках исчезающе
малыми. В подобных случаях должно сработать условие стацио-
стационарности и шаговая по времени процедура может остановиться.

336 Глава 8
Интересно отметить, что в процедуре интегрирования по
времени не требуется вычисления неизвестных на границе. По-
Поэтому уравнение (8.23) следует использовать только при выводе
на печать значений неизвестных на границе, соответствующих
определенным моменту времени и уровню нагрузки.
Успешность применения этой простой схемы с интегрирова-
интегрированием по времени зависит от выбора длины шага по времени-.
Одно время считалось [9], что идеальным является применение
малых шагов по времени на ранних этапах вычисления (т. е.
после приложения нагрузки или ее приращения) и затем увеличе-
увеличение этих шагов при достижении стационарного или установив-
установившегося состояния.
Следуя примеру многих авторов [9—12], использовавших
различные способы дискретного представления пространства (глав-
(главным образом с помощью конечных элементов), шаг по времени
следовало бы контролировать соотношением между текущим
значением и скоростью изменения некоторых переменных, с тем
чтобы организовать описанное выше автоматическое увеличение
шага по мере достижения асимптотического состояния. Сказанное
можно рассматривать как выполнение в каждом узле или точке
следующего условия:
д'< 4-1=-=if (-£- + "*)' l8-26>
если выполняется неравенство
Дг<*+" « тHД/<*>, (8.27)
где т]! и тH — зависящие от характера задачи параметры, которые
выбираются путем компромисса между требованиями ограниче-
ограничения времени, затрачиваемого на решение задачи, и достижения
определенной точности. Обычно используются значения 0,01 <
< т|, < 0,15 и 1,2 < тH < 2.
Недостатком соотношений (8.26) и (8.27) является то, что они
не гарантируют полную сходимость явной схемы интегрирования
по времени, особенно вблизи установившегося состояния, когда
задаются большие шаги по времени. Удобные ограничения для
максимального шага по времени были представлены в статье
Кормиу [13] применительно к идеальным вязкопластнческим
материалам, которые соответствуют задаче о релаксации вида
*'/ = 0- (8'28)
Здесь кроме указанных выше ограничений использовались при-
приближенные, но весьма общего характера предельные значения
для шага по времени.

Вязкопластичность 337
Перепишем выражение (8.10) в форме
ое = g (t, О. (8.29)
где при ее = 0 имеем
g(t, ue) = -Еу(Ф). (8.30)
Соотношение (8.29) для эквивалентных напряжении можно исполь-
использовать [4 ] для оценки границ устойчивости применяемой здесь
процедуры Эйлера. Из соотношений (8.25) и (8.29) получаем
(tJ+i = ake + Atg(t, ake). (8.31)
Предположим, что при шаговом по времени процессе возникли
ошибки усечения и округления. Тогда общая ошибка в момент
времени /* будет равна
р" = ст* - <**, (8.32)
где ае — значение величины <тв, получаемое при точном интегри-
интегрировании по времени уравнения (8.29) и соответствующее точному
решению уравнения (8.24). Предполагая, что погрешность р
достаточно мала и можно для представления функции g (/, ое)
использовать усеченный ряд Тейлора по сге, получаем
(8.33)
Подставляя выражение (8.32), записанное для моментов /*
и tk+l времени, в соотношение (8.31), с учетом представления
(8.33) найдем
д*+' + р*+' = а\ + р* • |- A* [g (t, ake) - pkyEk (ЗФ/Лт.)]. (8.34)
При установившемся состоянии имеем
dk+l = el g (t, ak) = 0, (8.35)
отсюда следует
а^}. (8.36)
Для того чтобы гарантировать, что погрешности будут ограни-
ограниченными (т. е. процесс будет устойчивым), требуется выполнение
условия | р*+' | < | р* |, откуда следует
At < Д4-р„т = 2/[у(дФ/дае)Е]. (8.37)
Принимая во внимание, что для работы упрочнения вязко-
пластических материалов имеет место соотношение
[~WdT~dtr\' (8 8)

338 Глава 8
где Ф' = йФ1й (F/ty), окончательно получаем
]. (8.39)
Здесь при i' = сг0 имеем dty/de? = Я'. В случае задачи ползу-
ползучести аналогичное выражение имеет вид
Л*крит = 2/(КЕти?-1), (8.40)
а если используется выражение (8.12), то в знаменателе появляется
функция tn, и тогда этот критический шаг по времени совпадает
с найденным Кррмеу [13] и Айронсом [14] при v -* 0,5.
Для того чтобы исследовать влияние упрочнения на крити-
критическое значение шага по времени, рассмотрим случай Ф' = 1,
d^idee = Я' = const. В этом случае выражение (8.39) упро-
упрощается:
А^крит = 2<4/[y£ (V + Н'е.)]. (8.41)
Здесь использовалось соотношение сге = Е (ее — е£), где ее =
= const. Из приведенного выше соотношения следует, что при
Я' > 0 благодаря влиянию упрочнения получаем сначала умень-
уменьшение критического шага по времени (по сравнению со случаем
Я' = 0), а затем по мере развития вязкопластического течения эта
величина возрастает как и^. Можно отметить, что этого не будет
в случае Я' < 0 (разупрочняющийся материал); здесь шаг по
времени сначала возрастает, а затем уменьшается при развитии
вязкопластических деформаций, что ведет к уменьшению области
устойчивого счета, и этот случай следует изучить более внима-
внимательно.
В следующем разделе сопоставляются результаты для не-
нескольких примеров, решенных в соответствии с представленном
в этом разделе теорией, с результатами, имеющимися в литера-
литературе.
8.4. Примеры решения задач для материалов,
характеристики которых зависят от времени
Интересной особенностью теории упруговязкопластичности
(разд. 6.2) является то, что если нагрузка прикладывается с ма-
малыми приращениями, при которых на каждом шаге по нагрузке
достигаются условия стационарности, то получается решение
лишь задачи теории упругопластичности. Вопрос о том, насколько
малыми следует брать эти приращения, до сих пор остается от-
открытым н на самом деле это определяется типом задачи. В пред-
представленном здесь примере 8.1 данная особенность подробно
исследуется на актуальной задаче об упругопластическом пове-
поведении материала. Но в примерах 8.2 и 8.3 суммарная нагрузка

Вязкопластичность
339
прикладывается на одном шаге и далее исследуется задача пол-
ползучести со степенным законом и квазилинейной вязкопластич-
вязкопластичность ю.
Пример 8.1. Балка с высокой стеикой. В данном примере
изучается упругопластическое поведение свободно опертой балки
Т
Рис. 8.1. Задача упругопла-
стического прогиба для бал-
балки с высокой стенкой: гео-
геометрия и способ дискретного
представления для решения
методом граничных элемен-
элементов (плоское напряженное
состояние). Длина балки
I = 0,446 м.
Рис. 8.2. Зависимость нагруз-
нагрузки от прогиба в середине
пролета для задачи о балке
с высокой стеикой.
0,12
0,08
0,125
- j
/
теория предельного
рэвно&ЕСИ5 балок)
/f - балочнэ? теори?
V mbtoq конечных
/У . метод гоакичнь'Ч
с - граница упругих
i i
элементов
элеиентое
деформаций
i
0,002
3,055
0,009
с высокой стенкой при действии равномерно распределенной на-
нагрузки методом граничных элементов, приспособленным для ре-
решения задач вязкопластичиости. На рис. 8.1 показано дискретиое
представление балки, материал которой подчиняется условию
текучести Треска и обладает следующими характеристиками:
Е = 20,69-1010 Н/м2, сг0 = 247,9 МПа, v = 0,3, Я' = О, Ф (F/ф) =
= /7\|), у = 1 с. Эта задача исследовалась Анандом и др. [15]
с помощью сетки, содержавшей 272 треугольных конечных эле-
элемента с линейными перемещениями; при этом на границе было на
33 % больше элементов, чем в применявшемся здесь дискретном
представлении [8].
Сравнение результатов приведено на рис. 8.2, где показаны
зависимости нагрузки от прогиба в середине пролета, получен-

340
Глава 8
ные обоими методами; там же воспроизведена зависимость, соот-
соответствующая балочной теории [16]. Как можно видеть, решение
методом граничных элементов дает в пределе значение нагрузки,
получаемое по балочной теории, тогда как результаты, полученные
методом конечных элементов, дают несколько больший уровень
нагрузки. Пренебрежимо малое различие наблюдается уже на
Рис. 8.3. Дискретное представление с
помощью граничных элементов и вну-
внутренних ячеек в задаче о диске, нахо-
находящемся в плоском напряженном со-
состоянии, со степенным законом ползу-
ползучести, Использовались следующие зна-
значения параметров: а — 4.064 мм, b ■—
= 1,5625 а, р = 0.6895 МПа.
■О'', с
Рис. 8.4. Зависимость радиального пе-
перемещения внешнего контура от вре-
времени (штриховая линия) в задаче о пол-
зучести тонкого диска.
стадии упругих деформаций,
при этом метод граничных эле-
элементов дает более низкое зне-
чение нагрузки, при которой
возникают первые пластические деформации, и большие пере-
перемещения при одном и том же значении нагрузки.
Пример 8.2. Тонкий диск [8]. Весьма точные оценки в зада-
задачах ползучести для тонкого диска с расположенной в центре
абсолютно жесткой вставкой при постоянном значении равномерно
распределенной по краю нагрузки были даны Симом [17]. Это
было сделано путем непосредственного интегрирования по вре-
времени аналитического решения и представления результата в без-
безразмерной форме с использованием так называемых относитель-
относительных напряжений. Для того чтобы проверить метод граничных эле-
элементов на такой же задаче, былн использованы следующие харак-
характеристики материала: Е -■■■ 11,72-Ю10 Н/'м2, v = 0,33, ге = 1,88X
Xl08r4'4, где гсе измеряется в с, сге — в МПа.
Геометрия диска, нагрузка, а также дискретное представление
для применения метода граничных элементов показаны на рис. 8.3,

Вязкопластичноапь
341
Отметим, что вследствие симметрии задачи дискретное представле-
представление на осях симметрии не использовалось.
Зависимости радиального перемещения на внешнем контуре
от времени, полученные различными способами, показаны на
Рис. 8.5. Дискретное пред-
представление прямоугольной
пластины при температур-
температурных деформациях и рас-
расположение области пла-
пластических деформаций.
Использовались следую-
следующие значения парамет-
параметров: «=1м, Е —
-10' Н/м2, <т„=0,1 ЛШа,
\'= 0,32. у = 1с.
■г
i \г" Область пластических
' \ деформаций
рис. 8.4. Как и следовало ожидать, методу граничных элементов
соответствует зависимость в виде прямой, лежащей между двумя
предельными прямыми, взятыми из работы [17]. Интересно от-
отметить, что угол наклона
этих предельных парал-
параллельных прямых был най-
найден при условии почти
стационарного состояния,
когда изменение скорости
перемещения составляло
1 %. Поэтому здесь ис-
использовалось такое же
условие стационарности,
что привело к прямоли-
прямолинейной форме зависимо-
зависимости перемещений от вре- _Q,6
мени.
Пример 8.3. Темпера-
Температурные деформации в пла- ~с,50
стине [8]. В этом примере
исследуется прямоуголь-
прямоугольная защемленная на од-
1,00
0,75 -
С,50 -
0 -
Г —
C0CT09-J
" ние [
Вязкэпга:
СОСТОЯНИЕ
— бауэр и Рейсе[18]
• метод конечных эгечентов
с-метод граничных элементов
. , »е-оа кснечн„л /
\ «етод //
граничныч If
элементоз / о
i i i
0,2
С,1!
0,6
0,8
у/а
ноы крае пластина при
Рис. 8.6. Изменение напряжения ох по дли-
длине защемленного края при t—- 0 и асимпто-
асимптотическое состояние (?->оо).

342
Глава ■
быстром равномерном повышении
температуры. Темпера-
Температурные деформации принимались такими, что е[;- — —0,016^.
Задачу можно решать путем задания равных etj = —ef/ танген-
тангенциальных перемещений на
жестко закрепленном крае
и вычисления окончатель-
1,50
1,25
Г Бауэр и Рейсе [18J
Упругое I в_метод маз-ечнь'ч
К состоя-1 элементов /
ние I °~метсд граиичньх
1,00
,х 3,75
0,50
0,25
элементов
*
тОд
элементов
метоп граничных
элементов
0,2
0.6
0,8
у/а
пых значений перемещений
простым сложением реше-
решений. Материал полагался
квазилинейным (Ф (F-t) =
= F'ty), идеально-вязкоп-
ластическим и подчиняю-
подчиняющимся условию текучести
Мизеса.
Вследствие симметрии
рассматривалась лишь по-
половина пластины (рис. 8.5),
для дискретного представ-
представши ления которой использова-
я лось 26 линейных гранич-
граничных элементов и 17 вну-
внутренних точек, распола-
располагавшихся в области, при-
прилежащей к защемленному
краю (линейные ячейки).
Там же показана область
пластических деформаций,
обусловленных мгновен-
мгновенным охлаждением.
Решение этой задачи
методом конечных элемен-
элементов было дано Зинкевичем
и Кормеу [11]. Они исполь-
использовали сетку из 96 четы-
четырехугольных элементов,
эквивалентных по разме-
размерам граничным элементам,
использовавшимся при дис-
дискретном представлении за-
защемленного края АВ, при
этом на противоположном
крае CD использовались
элементы большей длины. Интересные выводы следуют из сравнения
результатов, показанных на рис. 8.6—8.8, где вычисленные значе-
значения напряжений на жестко закрепленном крае показаны для времен
Рис. 8.7. Изменение напряжения ау по дли-
длине защемленного края при (=Ои асимпто-
асимптотическое состоянье (t -*• оо).
1,25
иск
3,50 К
О С.2 3,4 0,6 :,8
Л у/а ;
Рис. ^.^. Изменение напряжения аХу по
длине защемленного края при t = 0 и
асимптотическое состояние (t -»■ оо).
Угр\
СОСт
-
-
9-
'.1
КОЕ
G?-
1
\ •
1 -
ее- <
— Бауэр и
- метод коне>-
-метод гран
Ргйсс
HblX Э
^етсд кс-1
элементе
метэд г^э
1
[16]
ЛРМЕпТЭВ
элементов

Вязкопластичносп
343
£=0 (упругое поведение) и t-*oo, когда реализуется условие стацио-
стационарности. Здесь даны не только результаты, полученные методами
конечных и граничных элементов, но также приводится получен-
полученное с достаточно высокой точностью методом конечных разностей
решение Бауэра и Рейсса [18] для случая упругого поведения
0,-75
пластины, поскольку
это решение может быть
полезным при сравне-
сравнении результатов при
t = 0.
Следует отметить,
что ни один метод не
в состоянии предсказать
бесконечные по вели-
величине упругие напряже-
напряжения в концевых точках
жестко закрепленного
края. Поэтому в окре-
окрестности угловой точки
В следует ожидать воз-
возмущения в поведении
решений. Тем не менее,
хотя здесь и нренебре-
гается результатами в
окрестности сингуляр-
сингулярного узла, можно отме-
отметить, что метод гранич-
граничных элементов дает луч-
лучшее представление о
сингулярном поведении,
чем метод конечных
элементов. Это различие можно отчасти ]объяснить тем фак-
фактом, что напряжения, вычисляемые по методу конечных элемен-
элементов, определялись в точках гауссовской схемы Bx2) инте-
интегрирования, и частично обнаруживается на рис. 8.7, где напря-
напряжения qv заметно различаются на большой протяженности.
Окончательное сравнение представлено на рис. 8.9, где по-
показаны эквивалентные пластические деформации, найденные мето-
методом граничных элементов, причем наблюдается большее развитие
пластических деформаций вблизи углов, чем в случае применения
метода конечных элементов.
8.5, Материалы, не сопротивляющиеся растяжению
При проектировании туннелей и многих других подземных
сооружений считается, что материалы, подобные скальным грун-
грунтам, не сопротивляются растяжению. В этом случае грунт, окру-
Рис 8.9. Распределение эквивалентных пласти-
пластических деформаций вдоль защемленного края
при стационарном состоянии (^-*оо): сплош-
сплошная линия получена методом конечных элемен-
элементов, штрихпунктирная — по методу граничных
элементов.

.344
Глава
жающий туннель, не может сопротивляться растягивающим на-
напряжениям, возникающим в процессе выемки грунта при сооруже-
сооружении туннеля. Такого рода задачи, значительное число которых
было решено в последнее время [19, 20], особенно удобны для
Поверхность грунта
Рис. 8.10. Дискретное
представление с помощью
граничных элементов и
внутренних ячеек. Разме-
Размеры указаны в метрах.
применения метода граничных элементов. Соответствующая про-
процедура в основном следует первой схеме решения с начальными
напряжениями, представленной в разд. 7.5, за исключением того,
что начальные напряжения вычисляются путем определения глав-
главных напряжений в каждой точке, а растягивающие напряжения
при этом полагались равными нулю. В результате получается
поле начальных напряжений, которое вновь задается для рассма-
рассматриваемого тела, что приводит к перераспределению напряжений.
Итерационная процедура, таким образом, аналогична описанной
в гл. 7 чисто шаговой процедуре решения уравнений с начальными

Вяжопластшность
34S
напряжениями. В качестве иллюстрации сказанного в данном
разделе представлено несколько примеров.
Пример 8.4. Расчет конструкции гидроэлектростанции. Тун-
Туннель глубокого заложения (рис. 8.10) впервые был рассмотрен
Валиапаном [21 ] с применением 500 треугольных конечных
элементов с линейными перемещениями. В последней публикации
Т Поверхность грунта
^илы.газД
дающие
првдаари-ель-
нае обжатие
Рис. 8.11. Дискретное представление с помощью граничных элементов и внутрен-
внутренних ячеек и распределение сил предварительного обжатия для туннеля глубокого
заложения. Размеры указаны в метрах.
[19] Вентурини и Бреббия исследовали подобную задачу для ма-
материала, не сопротивляющегося растяжению, с помощью метода
граничных элементов. Решение методом граничных элементов
было получено для двух случаев, представленных на рис. 8.10
и 8.11 (с учетом и без учета усилий предварительного обжатия),
там же показано дискретное представление с помощью линейных
элементов и ячеек. В первом случае прикладывались только силы,
соответствующие перемещениям в грунте; на рис. 8.12 показаны
результаты решений для первоначально упругого состояния и
материала, не сопротивляющегося растяжению.
Отметим наличие больших зон, не сопротивляющихся растяже-
растяжению, у верхнего свода туннеля, что требует введения дополни-

346
Глава S
тельных конструктивных элементов, обеспечивающих предвари-
предварительное сжатие, с тем чтобы не случилось обвала грунта.
Дискретное представление с помощью граничных элементов
во втором случае (с предварительным обжатием) имело такой же
Граница области с упругими
растягивающими напряжениями
граница области без растяги-
растягивающих напряжений
Сжимающие ьапрядеения
направление образования
трещин
Граница области : ^поуп-ми застя -
гиваищими ьапочкениями
Граница облает г in гестягиваюь^х
напряжений
Снимающие напсякения
направ/ение зЗоазования трещин
Рис. 8.12. Туннель без предвари-
предварительного обжатия. Результаты расче-
расчетов для упругого материала и грунта,
не сопротивляющегося растяжению.
Рис. 8.13. Туннель с предваритель-
предварительным [Ъбжатием. Результаты расчетов
для упругого материала и грунта, не
сопротивляющегося растяжению.
вид, как и ранее, но конфигурация внутренних ячеек была изме-
изменена, для того чтобы учесть возможность появления новых сво-
свободных от растяжения зон. Силы, создающие предварительное
обжатие, прикладывались в 20 граничных точках и 20 внутренних
точках, расположенных вдоль кругового участка поперечного
сечения.
Результаты, полученные методом граничных элементов, пока-
показаны на рис. 8.13, откуда видно, что области в верхней части,
в которых нет растяжения, значительно уменьшились. Эти резуль-
результаты хорошо соответствуют решению, полученному методом конеч-

Вязкопластичность
347
Рис. 8.14. Дискретное пред-
представление и результаты рас-
расчетов напряжений для обли-
облицованного туннеля при упру-
упругом поведении материала.
Размеры указаны в метрах -
Грубая сеткау Улучшенная
; сетка
1,3 1,15
120 -
'DO -
= 65
-О -
с
■
]
о
-
Р-\ мнV
О
rf*/2 (бетон)
\
-дй (бетон)
У
V
^ rf,.(грунт)
- теория
- грубая сетка
- улучшенная сетка
-бщ и dj (грунт)
1 1 1
Рис. 8.15. Схема расположе-
расположения ячеек и результаты
расчета напряжений для
облицованного туннеля в слу-
случае, когда материал не сопро-
сопротивляется растяжению.
.1 Чгучшеньа'
сетка у сетка
Грубая
Неповрежденный
грунт
Грунт с
трещинами

348 Глава 8
ных элементов 121 ]. Однако более эффективным является решение
по методу граничных элементов.
Пример 8.5. Облицованный туннель [20]. В этом примере
рассматривается облицованный туннель, нагруженный внутрен-
внутренним давлением и расположенный в бесконечной среде. Исследова-
Исследование было проведено путем рассмотрения трех областей (рис. 8.14
и 8.15); первая является бесконечной средой, которая предпола-
предполагается способной выдерживать растягивающие напряжения, вто-
вторая область образуется внутренними ячейками и не может сопро-
сопротивляться растягивающим напряжениям, третья область представ-
представляет собой толстостенную бетонную трубу (из линейно-упругого
материала). Первые две области образуются грунтом с коэффи-
коэффициентом Пуассона v = 0,2. Материал облицовки (бетон) имел
коэффициент Пуассона, равный v = 0,15, отношение модулей
упругости бетона и грунта полагалось равным 2. Рассматривался
случай, когда внутренние напряжения в массиве грунта равны
нулю, чтобы иметь возможность сравнить численные и аналити-
аналитические результаты.
Результаты, полученные по линейной теории упругости, с ис-
использованием двух вариантов дискретного представления, пока-
показаны на рис. 8.14. Эти результаты, как было обнаружено, хорошо
согласуются с аналитическим решением [22], причем максималь-
максимальная относительная погрешность составила в обоих случаях соот-
соответственно 1,7 и 0,3 %.
В областях, где материалы не сопротивляются растяжению,
использовались две схемы разбиения на внутренние ячейки и са-
самое грубое дискретное представление для границы. Решение,
соответствующее методу граничных элементов, показано на
рис. 8.15, где даны также результаты теоретического решения,
взятые из работы [23]. Отметим, что по-прежнему имеет место
довольно хорошее соответствие, при этом максимальные относи-
относительные погрешности составили в обоих случаях соответственно

Глава 9
Изгиб пластин
9.1. Введение
Эта глава посвящена теории грапичных интегралов н некоторым
ее приложениям с использованием граничных элементов. Обсу-
Обсуждаются известные гипотезы теории изгиба тонких пластин,
трактуемые в духе представлений о взвешенных невязках в соот-
соответствии с идеями, высказанными Вапшцу [1] и другими авто-
авторами [2]. Теория пластичности с учетом поперечных сдвигов
существенно проще теории тонких пластин. Это связано с тем,
что при учете деформаций поперечного сдвига перемещения и углы
поворотов оказываются не зависящими друг от друга, тогда как
для тонких пластин это не так.
Впервые метод граничных элементов был применен в задачах
изгиба пластин Джесуоном и Маити [3 ], которые для случая
действия простых нагрузок свели исходную задачу к бигармо-
нической граничной задаче и искали ее решение как функцию
двух потенциалов. Маити и Чакрабарти [1] в 1974 г. опублико-
опубликовали решение для свободно опертых многоугольных пластин.
Тогда же Нива, Кобаяси и Фукуи [5] дали решение для пластин
произвольной формы. В конце 70-х гг. Альтиеро и Сикарски [6]
опубликовали еще одну важную статью об изгибе пластин, под-
подчеркнув возможность использования отличных от функций Грина
решений для неограниченной области. Безин [7—9] исследовал
этот вопрос и в работе [9] пришел к важному выводу, что для ре-
решения задачи можно использовать концепцию подобия. Сегедин
и Брикелл [10] представили интегральный метод решения задач
для пластин с внутренними углами.
Важный вклад в решение задачи изгиба пластин с помощью
интегральных уравнений был сделан Штерном [11], который
недавно опубликовал обзор, посвященный общей теории и ее при-
приложениям [12]. Ряд прикладных работ опубликован в трудах
последней Международной конференции по методам граничных
элементов — это работы, посвященные смешанным принципам
в приложении к граничным элементам [13], исследованию трех-
трехслойных пластин [141, приемам исследования больших перемеще-
перемещении [15] н задачам концентрации напряжения [16]. Разрешающие
уравнения изгиба пластин в форме интегральных уравнений
подробно обсуждаются в работе [17].

350
Глава 9
9.2. Разрешающие уравнения
При рассмотрении изгиба пластин принимается, что плоскость
Х]Хг совпадает со срединной плоскостью пластины (рис. 9.1).
Толщина пластины принимается равной h. Приложенные силы
относятся к единице
площади срединной по-
поверхности и единице
длины границы Г. На-
Нагрузки могут быть за-
заданы как удельные силы
или удельные моменты.
Положительные напра-
направления удельных момен-
моментов и поперечных сил
Рис. 9.1. Геометрия задачи об
изгибе пластины.
Рис. 9.2. К задаче об изгибе
пластины.
показаны на рис. 9.2. Удельные моменты и поперечные силы равны
Л/2 Л/2 Л/2
onxsdxs, qY= j olsdxs,, m22 = J a22xsdxs,
—Л/2 —hft
ft/2 ft/2 1
j C2sdxs, m12 = m2l = J cyix3dxs. (9.1)
—ft/2 — ft/2
j
—ft/2

Изгиб пластин 351
Если ti( (i = 1, 2) — направляющие косинусы нормали относи-
относительно осей соответственно ху и х2, то для удельных моментов на
границе можно написать
т1 = rtj/иц + п2т12, т2 = пхтУ2 -)- я2т22. (9.2)
Уравнения равновесия записываются относительно удельных мо-
моментов и удельных поперечных сил (рис. 9.2) в следующем виде:
^ - )
Естественный способ записи удельных моментов на границе со-
состоит в представлении их через равнодействующие
тп = п^ту + я2яг2 = Шц («i)a +
+ mla Brtjrt2) + m22 (n2J; (9.4)
/И, = —tl2tTl\ -\- П\Ш2 = — (Till —
Отметим, что <7i и ^г в уравнениях (9.3) являются удельными попе-
поперечными силами (рис. 9.2). Выражения (9.2) и (9.4) определяют
заданные значения удельных моментов на границе (тп — изги-
изгибающий, am, —■ крутящий моменты).
В рассматриваемой теории пластин вертикальное перемещение,
обозначаемое w, можно выразить через повороты. Это делается
в предположении, что обобщенные перемещения изменяются по
толщине по линейному закону. Тогда их можно подставить в при-
принятые в теории упругости выражения для деформаций и получить,
что предположение о пренебрежнмой малости деформаций попереч-
поперечного сдвига приводит к выражениям
pt = —dwldxy, p2 = — dw/dx2. (9.5)
Выражения (9.5) накладывают ограничення на компоненты вектора
поворота рх и р2, которые теперь уже не являются независимыми
переменными. Поэтому уравнения равновесия (нх, вообще го-
говоря, три — см. формулу (9.3)) сводятся к первому уравнению,
а два остальных тождественно удовлетворяются, если положить
dmn дт12 _ дтгг . дтг, -п fi
На границе (с нормалью Я) имеется следующая нормальная со-
составляющая удельной силы:
Q = «i<7i + «2?2- (9.7)

352 Глава 9
9.3. Интегральные уравнения
Далее можно записать соотношения метода взвешенных не-
невязок для первого из уравнений равновесия (9.3) и граничных
условий, которые разделяются на существенные
w=w, (9.8)
Рл — Pn- fc = Ps на участке 1\ границы, и естественные
Я = Я,
тп — тп, ms = ma на участке Г2 границы. Здесь р„ и рл —
тангенциальная и нормальная компоненты вектора поворота на
границе (р, = —dwlds, fin — —dwldn). Применяя метод взвешен-
взвешенных невязок к первому из уравнений (9.3) и к граничным ус-
условиям (9.8), получим
J (9i, 1 + Я2,2 + Ь) w° dQ = J [{тп - тп) р% + (т, - т.) 0! — (q—
а тг
— я) w*]dT -L j [фп - Р„) т,*, + (Р, - Р„) /геГ - г (а> - ш) (/*] ЙГ. (9.9)
Интегрируя это соотношение дважды по частям, найдем
2mi2xi2 — m^xh)dQ ~ ] bw* dQ =
Q
= j (mnp« - /re,pa* + 9ai') ЙГ + J (mnp% - mspj - qw") dT
j
r,
-I - (ш - Ш) q'] dT, (9.10)
где компоненты тензора кривизны %t) PaBHbi
Zii ~ w, iii X22 ~ w, 221 X12 = w, i2- (9-11)
Отметим, что выражение (9.10) является обобщенным представле-
представлением принципа возможной работы. Если поперечные перемеще-
перемещения взять такими, что граничные условия относительно переме-
перемещений (и поворотов) будут тождественно удовлетворяться, как
это имеет место в однородном случае для возможных перемещений,
а именно
Рп = PJ = да* = 0 на участке Ti границы, (9.12)
то полечим следующее представление принципа возможных пере-
перемещений для задачи об изгибе пластины:
2mi2"/i*2 — «22X2*2) dQ — j bw' dQ =
(9.13)

Изгиб пластин 353
Это соотношение часто используется при построении моделей
конечных элементов.
Вновь обратимся к соотношению (9.10) и, дважды проинтегри-
проинтегрировав по частям, с учетом соотношений между напряжениями
и деформациями для однородной изотропной пластины получим
/«и = D (Xn + vX22),
тгг = D (Х22 + vXll), (9.14)
т12 = D A — v) Xi2-
Здесь D = £/г2/[12A —va) ] —жесткость пластины при изгибе.
Новой форме пространственного интеграла (9.9) соответствует
соотношение
(qt. i -f ql 2) w dQ. -\- J Ьда* dQ =
=— J (mnPH + m$t + (/да*) dT - J (
J(ffijpn + ffi,'P, + 9'B))dr, (9.15)
г,
г,
которое является исходным при решении задач об изгибе пластин
методом граничных элементов. Если для упрощения положить
Г = 1\ — Г2, то соотношение (9.15) примет вид
а а
= - J (mn% - ffi.p? +i9a>*)dr + J (m^pn -f m*sp, + 9*ю) dr. (9.16)
г г
Таким образом, задача сведена к отысканию фундаментального
решения для пластины. Для пластин постоянной жесткости имеем
^Ь2^ + Т + &*=-^* + А^*) = 0.(9.17)
где у4 — бигармонический оператор вида
или в полярной системе координат (осесимметричный случай)
Фундаментальное решение уравнения (9.17) является реше-
решением для случая действия единичной сосредоточенной нагрузки
и описывает соответствующее ей перемещение
w* = (г78я£>) 1п г. (9.20)
Бреббкя К. к др

354
Г лапа 9
Дифференцируя это выражение, можно получить векторы пово-
поворотов, удельные моменты и удельные поперечные силы, соответ-
соответствующие этому фундаментальному решению.
Некоторые криволинейные интегралы в соотношении (9.9)
можно преобразовать путем интегрирования по частям, с тем
чтобы получить выражения относительно поперечного перемеще-
перемещения w и нормальной компоненты вектора поворота рп. Рассмотрим
слагаемые, содержащие прогиб w и компоненту ps:
\ l(ms - ms) p; + (q - q) W] dr = - [{ms - mt) w']Tl +
T,
г,
Слагаемое q -г dmjds называется эффективной удельной попе-
поперечной силой. Отметим, что первое слагаемое в интеграле по
участку Г2 границы обусловлено разностью
значений на концах этого участка границы.
Эффективную поперечную силу обозначают
следующим образом:
dmjds.
(9.22)
Рис. 9.3. Угловая
точка границы.
При этом число рассматриваемых перемен-
переменных сводится к четырем: t, mn, рп и w.
С учетом фундаментального решения и новых
членов с граничными интегралами соотно-
соотношение (9.16) для произвольной точки] |,,
к которой прикладывается нагрузка, можно записать в виде
f bw' dQ, — f (mnp'n + tw') dT = cw( + f (m'npn -f- t'w) dT, (9.23)
Q Г Г
где, как и ранее, для случая гладкой границы с — 1/2, а во вну-
внутренней точке с = 1. Это соотношение является исходным для
моделей, описывающих решение задачи об изгибе пластин методом
граничных элементов. Следует отметить, что если величина tns
имеет разрыв или граница содержит угловую точку (рис. 9.3),
то становится очевидной важность первого слагаемого в правой
части соотношения (9.21). В угловой точке 0 (рис. 9.3) в приведен-
приведенном выше соотношении необходимо учесть силу с помощью вы-
выражения
= l(msH- — (ms)o+].
(9.24)

Изгиб пластин 355
Эти силы и их обратные величины легко учесть введением сла-
слагаемых вида tcw* и t*w соответственно в левую и правую части
соотношения (9.23):
cwt + f (т'Р + t'w) dV~Yi 1°ш = J И3* " tw')dv ^
г г
+ j bw* dQ, -f £ f,ai*, (9.25)
где под знаком суммирования содержится столько слагаемых,
сколько имеется угловых точек. Отметим, что здесь для простоты
вместо р\, и тп введены соответственно р" и т. Теперь, как можно
видеть, имеются два значения неизвестных функций в каждом
угзле: прогиб w или эффективная удельная поперечная сила t,
а также угол поворота |3 или удельный момент т. Поэтому для
решения задачи необходимо получить второе уравнение. Это урав-
уравнение можно получить, если написать производную соотношения
(9.25) по нормали:
в.- -г -з— Р - -5— w)dY + > -^-w =
1 } \ дп г дп ) ^_j дп
Г
г
ды>*
Кроме того, для некоторых задач с угловыми точками моменты
на границе могут иметь разрывы и тогда потребуется дополни-
дополнительное уравнение, которое эквивалентно дополнительному урав-
уравнению, упоминавшемуся в гл. 5 применительно к статическим
задачам теории упругости. Другой путь состоит в использовании
двойного узла или несогласующихся элементов для угловых
точек. Интересующихся этой проблемой отсылаем к работе [12],
где содержится детальное обсуждение вопроса.
Приведенную выше формулировку можно легко распростра-
распространить на случай пластин на упругом основании типа Винклера,
представляющем собой набор пружин. Влияние этих пружин
можно учесть с помощью уравнения равновесия
gi.i-</2.2 + b = — D^w^b--=kw, (9.27)
где k — коэффициент постели (упругой силы пружин, отнесенной
к единице поверхности). Тогда учет влияния упругого основания
приводит к появлению в левой части соотношения (9.25) еще одного
интегрального слагаемого
\kww*dQ. (9.28)
Q
12*

356 Глава 9
Наиболее изящный путь решения задачи состоит в отыскании
фундаментального решения, которое сведет исходную задачу
только к решению граничной задачи, т. е. к нахождению решения
уравнения
D^w* + kw* = Д (£, х). (9.29)
Если же это невозможно, следует проинтегрировать интегральное
слагаемое (9.28) численным путем с использованием внутренних
ячеек.
К сожалению, фундаментальное решение для пластин, лежа-
лежащих на упругом полупространстве, как отмечалось в монографии
Тимошенко и Войиовского-Кригера [18], имеет довольно сложный
вид и поэтому здесь не приводится.
9.3.1. Другие фундаментальные решения
В ряде случаев представляет интерес использование фунда-
фундаментальных решений для нагрузок, отличающихся от сосредото-
сосредоточенных сил (см. выражение (9.20)). Решения задач о поведении
пластин npii различных граничных условиях и видах нагрузок
приводятся во многих классических монографиях, и ими можно
пользоваться вместо фундаментального решения типа функции
Грина. В этом случае имеется решение w*, которое может быть
и несингулярным и обусловлено некоторой несосредоточенной
нагрузкой. Например, при решении уравнения
a2m*i t 2 a"m'2 -L a*m|a -u h* — 0 (9 3(h
можно получить следующее обобщенное интегральное соотно-
соотношение:
[ b"w dQ -)- } (t'w + m*P) dV + У fcw =
я г
= } bw* dQ + \ (tw* -f mp*)dr + £ tcw*. (9.31)
а г
Отметим, что, поскольку здесь нагрузка ие является сосре-
сосредоточенной, в левой части этого соотношения появилось новое
интегральное слагаемое, которое характеризует работу фунда-
фундаментальных внешних сил на действительном поперечном пере-
перемещении.
Альтиеро и Сикарски [6] использовали в качестве фундамен-
фундаментального решение для защемленной круговой пластины. При-
Приведенные ими примеры показывают, каким образом можно обоб-
обобщить метод граничных элементов; при этом сделан вывод, что не
всегда требуется использовать фундаментальные решения, соот-
соответствующие неограниченной области. Энтис Г19] обобщил эти

Изгиб пластин
357
вдеи на случай задачи о поведении круговых цилиндрических
оболочек, где и спользованы известные решения для функций
напряжений.
9.4. Примеры применения метода
Пример 9.1. Штерн [12] рассмотрел квадратную пластину
при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки
для двух случаев: шар-
нирио опертой пластины
по всем четырем сторонам
и защемленной на трех -,'0
сторонах и шарнирно опе-
опертой на четвертой. В каж-
каждой из рассмотренных за-
задач стороны разбивались
на 4, 8 или 16 элементов,
что давало соответственно
80, 144 или 272 степени
свободы.
При граничных усло-
условиях типа шарнирного опи-
рания иа каждой стороне
равны нулю прогибы и
удельные изгибающие мо-
моменты, поэтому неизвест-
неизвестными будут: поворот в нор-
нормальной (к рассматривае-
рассматриваемой стороне) плоскости,
удельная эффективная по-
поперечная сила и сосредо-
сосредоточенная сила в каждой
угловой точке. В силу
симметрии задачи иа рис.
9.4 представлены резуль-
результаты, полученные для по-
половины длины стороны пластины. Из сравнения этих резуль-
результатов с результатами аналитического решения [18] видно их
достаточно хорошее соответствие. Реакции ti(bP) в угловых
точках составляли 0,0641 в работе Штерна и 0,065 в работе [18].
Аналогичная картина наблюдается ив случае пластины стремя
защемленными и одной шарнирио опертой сторонами (см. рис. 9.5,
где сравниваются результаты, полученные методом граничных
элементов и методом конечных разностей в работе Муди [20]).
Пример 9.2. Этот пример взят из работы Безина [7], где дано
решение для квадратной пластины при различных граничных
УГОЛ
Середина
стззоиы
Рис. 9.4. Результаты расчетов угла наклона
Р в нормальной плоскости и удельной попе-
поперечной силы tlbl для шариирно опертой
пластины при дейстаии равномерно распре-
распределенной поперечной нагрузки Ь.

Глава 9
6
5
ч
3
L
1 -
0,5
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2 J
I
i
3 -16
Число I
элементов 1
на стороне °__—^
л. - Муди [18". o ^^-ж
-
-
Г 0
1
у
!
X
и
а
i 1 i i i
У
1
i i i
УГОЛ
Положение узлов
на стороне А
Середина
стоооны
Опертый
Защемленный
угол чго;1
Рис. 9.5. Результаты расчетов удельного^изгнбающего момента mlbP и удельной
эффективной поперечной силы "t!bl для шарнирно опертой по одной стороне и за-
защемленной по трем другим сторонам пластины при действии равномерно распре-
распределенной поперечной нагрузки Ь.
Сетке б»б
Рис. 9.6. Дискретное представление с помощью граничных элементов (а) и сетки
конечных элементов (б).

Изгиб пластин
359
Таблица 9.1.-Прогиб в центре пластины при различных
граничных условиях
Прогиб, отнесенный к вели-
величине Ю-' Fll,'D
Защемленная по всем сто-
зонам пластина
Ларнирно опертая по всем
сторонам пластина
Защемленная по одной сто-
хше пластина и шарнирио
опертая по остальным
Решение
ДУ гра
по мето-
ничных
элементов
24 эле-
элемента
0,05564
0,1159
0,4756
1Й эле-
элементов
0,05599
0,1159
0,4628
Аналити-
Аналитическое
решение
0,05605
0,1160
Решение
по мето-
ду конечных
элементов
Сетка
6X6
0,05911
0.1197
0,4708
Сетка
4X4
0,06134
0,1233
0,4709
условиях. Здесь рассмотрим три варианта этих граничных усло-
условий: защемление по всем сторонам, шарнирное опирание и, на-
наконец, шарнирное опирание по трем сторонам, а по четвертой —
защемление; нагрузка — сосредоточенная сила, приложенная
в центре пластины, коэффициент Пуассона v = 0,3. На каждой
стороне пластины вводилось 6 или 12 постоянных элементов оди-
одинаковой длины; поскольку симметрия не использовалась, то
общее число граничных элементов составляло 24 или 48 (рис. 9.6,а).
Были получены значения прогиба, углов наклонов, удельного
изгибающего момента и удельной поперечной силы в отдельных
точках на границе, а также прогибов в нескольких точках, при-
принадлежащих внутренней области пластины. Приведено сравнение
с результатами, полученными методом конечных элементов, где
использовался элемент с двенадцатью степенями свободы [21].
Сетка разбиения пластины на конечные элементы показана на
рис. 9.6, б.
Защемленная пластина. Точное решение для прогиба в центре
пластины, полученное в работе [18], а также результаты решения
методами граничных и конечных элементов приводятся в табл. 9.1.
Отметим точность решения, полученного методом граничных
элементов. Значения изгибающего момента и удельной поперечной
силы, вычисленные на краю пластины, показаны на рис. 9.7,
где приведены также аналогичные результаты из работы Сандерса
[22], полученные методом конечных элементов с использованием
как уравнений равновесия, так и жесткости элементов.
Шарнирно опертая пластина. Прогибы в центре шарнирно
опертой пластины приводятся также в табл. 9.1. Видно хорошее
совпадение результатов аналитических решений (Фабре 123])
и решений, полученных методом граничных элементов.

360
Глаза 9
150
125
5l 75
-I! 50
25 -
о
-
1
ш
\
\
1
У
р
1. ( г
X
\
\
0,1
0,3
0,5
х/а
Конечные элементы метод жесткостей
(Сандерс[223)
Конечные элементы, уравнение.равнове-
уравнение.равновесия (Сандерс[22])
Метод -раничных элементов '
Пластина с тремя свободными и одной жестко защемленной
сторонами (консольная пластина). Для такой пластины теорети-
теоретического решения не имеется, поэтому сравниваются только ре-
результаты, полученные ме-
методами граничных и ко-
конечных элементов. Про-
Прогибы в центре пластины
приводятся в табл. 9.1;
на рис. 9.8, а и б дано
сравнение результатов для
прогибов и производных
по нормали к границе; на
рис. 9.8, в показано изме-
изменение прогибов вдоль оси
симметрии.
Пример 9.3. Альтиеро
и Сикарски [6] решили
задачу для защемленной
треугольной пластины с
равномерно распределен-
распределенной нагрузкой (рис. 9.9).
При этом считалось, что
рассматриваемая пластина
расположена внутри фик-
фиктивной круговой защем-
защемленной по краю пластины,
для которой известна фун-
функция Грина. Поэтому фун-
фундаментальное решение для
нее уже не описывается
решением (9.20) для бес-
бесконечной пластины, но
для такого типа пластин
оно имеется в книге [18].
Здесь не делалось по-
попытки свести интеграл от
поперечной нагрузки к
контурному — он нахо-
находился численно путем се-
сеточного представления об-
области, занимаемой пла-
Рис. 9.7. Защешенная по всем сторонам стиной. Число ПОСТОЯННЫХ
нойТцент£еГРУЖеНШ5Я СИЛ°Й ?' приложен" граничных элементов рав-
а — изменение удельного изгибающего момента НЯЛОСЬ 60; НЭ рИС. 9.10
вдоль половины стороны; 6 — изменение удель. ПпедСТЭБЛеНЫ ОТНОСЯЩИе-
иого изгибающего момента поперечной оси вдоль
половины стороны. СЯ К ОСИ (/ результаты
-с/,

Изгиб пластин
361
о Решение методой конечных
элементов
• Решение методом гранитных
элементов
-Ofi -0,2 0
,4 у// В
Рис. 9.8. Пластина с тремя свободными и одной жестко защемленной сторонами,
нагруженная силой Р, приложенной в центре:
а — прогибы да иа свободных сторонах АВ и ВС; б — тангенсы углов наклонов dw/dn на
свободных сторонах АВ и ВС; е — прогибы т иа оси симметрии.
Таблица 9.2. Удельные изгибающие моменты
в центре пластины
Решение по
методу гра-
граничных эле-
элементов
Результаты из
монографии [18 1
0,0179
0,0180
0,0196
0,0191

362
Глава 9
расчетов. Найденные значения прогибов и удельных изгиба-
изгибающих моментов были затем пересчитаны путем экстраполяции
на всю область, занимаемую треугольником, с тем чтобы иметь
^Область, для кото-
которой имеется
ч фундаментальное
решение -
Рис. 9.9. Геометрия тре-
треугольной пластины, по-
помещенной внутри круго-
круговой пластины.
Рис. 9.10. Прогибы и из-
изгибающие моменты в тре-
треугольной пластине.
D,5
возможность сравнить их с данными, приведенными в книге
[18], где использовался метод конечных разностей. В табл. 9.2
приведены значения изгибающих моментов в центре пластины.
Наиболее интересным в работе Альтиеро и Сикарски [6] яв-
является то, что они указали на возможность использования функ-
функций Грина, построенных не только для бесконечных областей.

Глава 10
Задачи о распространении волн
10.1. Введение
Вопросы распространения волн представляют интерес для
целого ряда инженерных дисциплин. Например, при конструиро-
конструировании антенн важно уметь рассчитывать угловое распределение
излучаемых электромагнитных волн. При исследовании земле-
землетрясений весьма существенным является характер распростра-
распространения упругих волн. Проблемы распространения и затухания
волн в воде широко исследуются в механике жидкости, что свя-
связано с проектированием портов, волнорезов, прибрежных соору-
сооружений и т. п.
В данной главе рассматриваются решения в виде граничных
интегралов для нестационарного скалярного волнового уравнения
^(x,t)-^^Jl=O A0.1)
с заданными граничными и начальными условиями. Коэффициент с
называется скоростью распространения волны. Прошло много
времени с тех пор, как эта задача была представлена в виде ин-
интегрального уравнения относительно неизвестной потенциальной
функции и [1—4]. Для трехмерных задач оно было получено еще
Кирхгофом [5]. Применительно к методу граничных элементов
численная процедура решения этого интегрального уравнения
описана в работах Фридмана и Шоу [6], Шоу [7], Гроненбума
[8, 9] и Мансура и Бреббия [10, 11].
Для гармонических волн (т. е. для случая, когда изменение
во времени описывается функцией вида ехр (—Ш)) эта задача
сводится к решению уравнения Гельмгольца
V2m (х) + х2и (х) = 0, A0.2)
где х = со/с— волновое число, со — частота колебаний. Уравне-
Уравнение A0.2) является разрешающим уравнением для задач о распро-
распространении [1], и наиболее удачно оно применяется в случае
рассеяния или излучения акустических волн на жестких препят-
препятствиях [12, 13]. Здесь ограничимся обсуждением гармонических
задач для волн на воде, предполагая, что безвихревое движение
невязкой несжимаемой жидкости описывается уравнением Ла-
Лапласа. Однако частный случай этой задачи, который обсуждается

364
Глава 10
в разд. 10.5, сводится к двумерному уравнению Гельмгольца,
что указывает на полную аналогию с задачей об акустических
волнах.
10.2. Трехмерные задачи распространеиия воли на воде
В этом разделе подробно обсуждается задача о взаимодействии
волны с трехмерным телом произвольной формы. Рассматривается
линейная задача дифракции, которая возникает, если амплитуда
волны достаточно мала,
что позволяет использо-
использовать линейную волновую
теорию 114, 15]. При этом
задача сводится к опреде-
определению потенциала скоро-
скоростей и, который в области,
занимаемой жидкостью,
Направление рас-
распространения волны
должен удовлетворять ура-
уравнению Лапласа
V2u = 0 A0.3)
и граничным условиям
вида (рис. 10.1):
■ +
1 дх.
при х3 = 0, A0.4)
!=-4-(-^)^.A0-5)
Рис. 10.1. К задаче о дифракции ванн на аб-
абсолютно жестком препятствии.
ди!дхь = 0 при х3 = —d, A0.6)
ди/дп = 0 на поверхности тела Г, (Ю.7)
где g — постоянная гравитация, j] — подъем свободной поверх-
поверхности, п — внешняя (по отношению к жидкости) нормаль к по-
поверхности тела. Соотношения A0.4) и A0.5) получаются из линеа-
линеаризованных кинематических и динамических граничных условий
для свободных от усилий поверхностей; соотношения A0.6) и
A0.7) соответствуют кинематическим граничным условиям соот-
соответственно на дне и на поверхности тела.
В общем случае потенциал скорости и равен сумме потенциа-
потенциалов набегающей и, и рассеянной us волн:
и —
= ,/. 4-
A0.8)

Задачи о распространении волн 365
Для того чтобы обеспечить корректное поведение функции м8
в достаточно удаленной области, введем условие излучения Зом-
мерфельда [16]:
1 im г1-'2 [dujdr - im,] = 0, A0.9)
где г — радиальная координата.
Представление потенциала скорости в виде A0.8), где выде-
выделяются компоненты невозмущенной набегающей волны и рассеи-
рассеиваемой волны, является основным в теории дифракции. Потенциал
набегающей волны удовлетворяет уравнению A0.3) и условиям
A0.4)—A0.6) и в комплексной форме имеет вид
"/ = --С- £17 е'<«.-^), A0.10)
где Н — высота волны, со = 2л1Т — угловая частота волны,
х = 2ri<'L, L — длина волны, Т — ее период.
Поскольку все уравнения задачи линейные, то потенциал и,
также удовлетворяет уравнению A0.3) и условиям A0.4)—A0.6),
а также условию излучения A0.9). На поверхности тела Г можно
написать граничное условие
dujdn = —ди,/дп, A0.11)
связывающее функции us и м7.. Уравнение A0.3), условия A0.4)—-
A0.6), записанные для функции и„, вместе с условиями A0.9)
и A0.11) составляют задачу для функции и3. Поскольку рассма-
рассматривается гармоническое во времени течение жидкости, зави-
зависимость от времени выражается явно и потенциал скорости при-
примет вид
и {х, t) = Re [и' (х) е~ш ], A0.12)
где и — в общем случае комплексная функция, и' = и) + щ.
Лэмб [1] с помощью теоремы Грина показал, что потенциал
скорости при обтекании тела можно представить в виде непре-
непрерывно распределенных по смоченной поверхности тела сосредо-
сосредоточенных волновых источников. Тогда потенциал в произвольной
точке потока можно представить в виде
Это выражение является исходным для непрямого метода гра-
граничных элементов (см. выражение B.51), разд. 2.3). Для того
чтобы определить неизвестную плотность распределения источ-
источников, следует продифференцировать выражение A0.13) по внеш-
внешней нормали к границе Г в точке х, лежащей на границе Г, что

366 Глава 10
дает следующее граничное интегральное уравнение (ср. с выра-
выражением B.52); см. также работу [17]):
Решив это уравнение и найдя функцию, описывающую плотность
распределения источников, значения функции u's в произвольной
точке на границе илн в области, занимаемой жидкостью, можно
вычислить путем непосредственного интегрирования выражения
A0.13).
С другой стороны, при решении задач для потенциала ско-
скорости рассеивания м8 можно также использовать прямой метод
граничных элементов. В этом случае граничное интегральное
уравнение принимает вид
г
Это уравнение аналогично уравнению B.69); решив его, получаем
значения неизвестной функции u's на границе Г.
Хотя прн решении задачи можно использовать фундаменталь-
фундаментальное решение вида и* = IIЦ, это требует дискретного представле-
представления не только поверхности Г, но также дна и свободной поверх-
поверхности воды. Кроме того, требуется ввести боковые границы на
конечном расстоянии, где можно было бы задать условие излу-
излучения.
В наиболее широко применяемых численных методах решения
задачи, описанных в работах [15, 18—22], используется фунда-
фундаментальное решение (или функция Грина) и*, которая удовлетво-
удовлетворяет всем граничным условиям A0.4)—A0.6), A0.9), за исключе-
исключением кинематического условия A0.7) на поверхности тела. Ко-
Короче говоря, применяется функция и* вида
к* = VR + п*„ A0.16)
где R — расстояние от точки | до точки х, п* — регулярная
функция, удовлетворяющая уравнению \га* = 0 в области,
занимаемой жидкостью (разд. 2.11). Частное выражение для
функции и*, удовлетворяющее поставленной граничной задаче,
было предложено в работе Джона [23] и имеет вид
,.* = J , J_ , о °f (У- + v) exp (-jid) ch [ц (xa (x) + d)] ch [Ц (x3 (I) -4- d)\
R ""i R' i J tisMud)— vch(nd) x
о
X Jo (цг) d[t - iC0 ch[x (xs (x) + d)] ch [x(xs Ц) + d)] Jo (w), A0.17)

Задачи о распространении волн 367
где Jo — функция Бесселя нулевого порядка,
R = {[хг (I) - xi (х)? + [х, (|) - х2 (дг)]а11/я.
R' = {[*х (I) - хх (х)Р + [ха F) - *2 (х)Р + [х, F) + 2d + х3 (д;)]2}1'2,
' = U*i(I) - х. (х)Р + [х, (?) -
В формуле A0.17) следует брать главное значение интеграла.
Иное выражение для и* (в форме ряда) приведено в работе [23]
и' = —iCch \x[Xi(x) -Ь d]( ch 1х[хзй) + d]| #S" (w) +
S ), A0.18)
где Ко — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка,
#!>"—функция Ганкеля нулевого порядка, коэффициенты
"
Здесь [tm — действительные положительные корни уравнения
цт thnm rf + v = 0. A0.19)
Производную ди*1дп можно представить в виде
ди* ди* , ди* , Зи* ,,„ п„.
где величины du*/dxt определянэтся путем непосредственного
дифференцирования функции и*, п, — направляющие косинусы
нормали и к поверхности Г.
Численные процедуры для нахождения интегралов по каждому
граничному элементу обсуждаются в ряде статей [15, 18—22].
Как правило, там применялись постоянные четырехугольные
граничные элементы. В качестве критерия прн выборе формы
A0.17) или A0.18) фундаментального решения Гаррнсон н Чоу
[18] предложили следующее: при хг>0,1 достаточно быстро
сходится решение в виде ряда, а при хг < 0,1 более удобна ин-
интегральная форма.
Прежде чем закончить этот раздел, следует указать на затруд-
затруднение, которое иногда возникает при использовании подходов
с интегральными уравнениями. Оно состоит в том, что процедура
счета становится неустойчивой прн определенных «нерегулярных»
волновых частотах [23], которые обычно соответствуют длинам
волн порядка или несколько меньших характерного размера тела.
Это явление было описано Мэрфи [24] и присуще уравнению
A0.14); при таких частотах решение интегрального уравнения

368
Глава 10
Рис. 10.2. Конструкция частного вида:
а — тело с вертикально направленной осью симметрии; б — горизонтально расположен-
расположенный цилиндр произвольного поперечного сечения; в — вертикально расположенный цн-
линдр произвольного поперечного сечения.
0,1
Рис. 10.3. Зависимость коэффициента
горизонтальной силы Fx от геометри-
геометрических параметров задачи. Сплошные
кривые получены методом граничных
элементов.
Рис. 10.4. Коэффициент вертикальной
силы. Сплошные кривые получены
методом граничных элементов.

Задачи о распространении волн
369
10 -
е -
б -
10'
2 -
становится не единственным, поэтому задачу нельзя решать с по-
помощью данного интегрального уравнения. Однако это затрудне-
затруднение не столь серьезное, поскольку относительно короткие длины
волн, соответствующие нерегулярным частотам, как правило,
не являются характерными для конструкций [15].
Подход, изложенный в
этом разделе, обычно требует
больших затрат времени при
реализации на ЭВМ, по-
поскольку фундаментальное ре-
решение является комплексной
функцией. В следующих раз-
разделах будут обсуждаться
другие более экономичные
методы, которые можно при-
применять лишь для конструк-
конструкций частного вида (рис. 10.2).
Пример 10.1. На рис.
10.3—10.5 показаны взятые
из работы Гаррисона и Чоу
[18] результаты сравнения
численного и эксперимен-
экспериментального исследований по-
погруженного в воду бака.
На рис. 10.3 и 10.4 пред-
представлены результаты, отно-
относящиеся соответственно к го-
горизонтальной и вертикаль-
вертикальной силам для различных
безразмерных значений глу-
глубины dla (отметим, что вы-
10"
Горизонтальная
сила
Вертикальная
■' сила
0,1
гяа/L
Рис. 10.5. Коэффициенты горизонтальной
и вертикальной сил при d = 3,9. Сплош-
Сплошные кривые получены методом граничных
элементов.
сота бака бралась примерно
равной а). Отметим, что
с ростом глубины и умень-
уменьшением длины волны волновые силы уменьшаются. На рис.
10.5 даны зависимости для коэффициентов горизонтальной и
вертикальной сил для случая, когда бак располагается таким об-
образом, что направление его наибольшего размера (примерно
равного 6а) оказывается перпендикулярным гребию волны.
Сравнивая эти результаты с приведенными на рис. 10.3, ^ видим,
что максимальное значение коэффициента горизонтальной силы
уменьшилось примерно на 50 %. При больших значениях пара-
параметра 2яй/Х коэффициенты горизонтальной и вертикальной сил
резко уменьшаются.

370 Глава 10
10.3. Тела с вертикальной осью симметрии
Случай тел с вертикально расположенной осью симметрии
(рис. 10.2, а) исследовался Блэком [25] и Фентоном [26]. Блэк
получил осесимметричное фундаментальное решение с помощью
метода, развитого Морсом и Фешбахом [4]. Позже Фентон пока-
показал, что это осесимметричное фундаментальное решение можно
получить, используя по существу идею, представленную
в разд. 2.13, т. е. записав фундаментальное решение для трехмер-
трехмерного случая, полученное Джоном [23], в цилиндрической системе
координат и проинтегрировав его аналитически по угловой коор-
координате. Главное различие теперь будет состоять в том, что хотя
тело осесимметричное, для него задаются произвольные (неосе-
симметричные) граничные условия. Таким образом, ряды вида
A0.18), представляющие фундаментальное решение Джона (с ко-
которым удобнее работать, поскольку в нем переменные разделены),
сначала выражаются в форме рядов Фурье по координате 0 [261
(см. рис. 10.1):
и*= Е ( Е GJ-] B-вл)со8{/[в(*)-е(Б)]|, A0.21)
где
G/o = -1С» ch {* [х3 (х) + d]\ ch jx [хъ A) + d]\Jj [^ ) H
X h\ „ r > при m^l,
R = Ixi (If + x2 (IJ], r = [Xl (xf + x2 (xf]W.
Здесь 6го — символы Кронекера, Ij — модифицированная функ-
функция Бесселя первого рода /-го порядка, остальные обозначения
те же, что и в выражении A0.18), за исключением новых, введен-
введенных здесь переменных R и г. Верхние аргументы используются
при г Э= R- нижние — при г < R.
Используем теперь граничное интегральное уравнение A0.14),
куда подставим разложение в ряд Фурье фундаментального реше-
решения A0.21), в результате получим ряды Фурье, коэффициентами
которых являются интегральные выражения, заданные на дуге А А'
(см. рис. 10.2, а).
Плотность источника а является функцией положения точки
на теле, и поэтому можно ее представить, как это было сделано
в разд. 2.13, в виде а (Г, 0), где Г определяет положение точки
на дуге АА'. Поскольку характер обтекания является симметрич-

Задачи о распространении волн
371
ным относительно оси хъ плотность о можно разложить в ряд
Фурье по 0 для четной функции:
о (Г, в) = £ а( (Г) cos/в.
(=0
A0.22)
Слагаемое в уравнении A0.14), характеризующее потенциал и),
также можно разложить в ряд Фурье для четной функции
A0.23)
где выражения для и( берутся из работы Фентона [26]. Подстав-
Подставляя выражения A0.21)—A0.23) в уравнение A0.14) и учитывая
соотношение йГ = RdQ dV (см. выражение B.155)), поверхност-
поверхностный интеграл в уравнении A0.14) можно проинтегрировать по
переменной 0 (§) и в результате получим ряд Фурье по аргу-
аргументу Э (.г), где каждый коэффициент будет содержать интеграл
лишь по граничному контуру Г. Теперь можно приравнять ко-
Направление распро-
распространения вогнь —
Рис. 10.6. Геометрия задачи и дискретное
лредставление поверхности подводного по-
полусферического бака.
Рис. 10.7. Коэффициент горизон-
горизонтальной силы при d/a = 3. Сплош-
Сплошная кривая получена в работе [281.
Точки найдены методом граничных
элементов.
эффициенты Фурье для каждого значения /ив результате полу-
получить бесконечное число одномерных не зависящих от В (х) ин-
интегральных уравнений вида
—^(Г)-|аг(Г) У-^2- \RdT=— 2щ, / = 0,1,2.... A0.24)
Каждое такое уравнение можно решать обычным методом гранич-
граничных элементов. Выражения для коэффициентов матриц, входящих

372
Глава 10
в решение (см. разд. 2.6), приводятся в работе Фентона [26];
они очень громоздкие и представляют собой сумму рядов, но все
эти ряды сходятся очень быстро, а их члены являются конечными
по величине.
И наконец, в работе Фентона 126 ] получены выражения для сил
и моментов, записанные через потенциал скоростей. Их компоненты
таковы, что вертикальная сила определяется слагаемым, соот-
соответствующим / = 0, горизонталь-
горизонтальная сила и опрокидывающий
момент (в плоскости ххх3) опреде-
определяются только слагаемым с /= 1,
а три остальные ортогональные
компоненты сил и моментов равны
нулю. Таким образом, для опре-
определения волновых нагрузок на
тело требуется решить два одно-
одномерных интегральных уравнения,
соответствующих / = 0 и / = 1
(но при этом остается неизве-
неизвестным распределение давления
на поверхности тела).
Пример 10.2. Этот пример
взят из работы Ау [27]. который
решил несколько задач дифракции
волн с помощью фундаментального
решения Фентона при реализа-
реализации метода граничных элемен-
элементов (см. разд. 2.4). В примере рассматривается полусферический
бак радиусом 10 м, закрепленный на дне моря. Глубина моря по-
полагается равной 10 м, амплитуда волны равна 2 м. Для дискрет-
дискретного представления поверхности полусферы использовалось де-
девять постоянных граничных элементов с угловым шагом 10°
(рис. 10.6). Результаты вычислений коэффициентов горизонталь-
горизонтальной и вертикальной сил представлены соответствеино на рис. 10.7
и 10.8; там же для сравнения даны результаты аналитического
решения, полученного Гаррисоном и др. [28].
10.4. Горизонтально расположенные цилиндры
произвольного поперечного сечения
Другим интересным с практической точки зрения случаем
является движение волны в плоскости хххц вокруг горизонтально
расположенного цилиндра, ось которого параллельна оси х„
(рис. 10.2, б). Усилия исследователей были направлены на рас-
рассмотрение двух главных аспектов задачи: на определение коэф-
коэффициентов отражения и прохождения волн, характеризующих
Рис. 10.8. Коэффициент верти-
вертикальной силы при d!a — 3.

Задачи о распространении волн 373
поведение тела как волнореза [29, 30], и изучение движения за-
закрепленных на якоре и свободно плавающих тел [31, 32]. Раз-
Разрешающие уравнения задачи по существу остаются теми же са-
самыми (см. выражения A0.3)—A0.7)), за исключением условия
излучения A0.9), которое берется в несколько измененном виде
116]:
-j-^-^-« при г-^-оо. A0.25)
Фундаментальное решение для двумерного случая, удовлетворя-
удовлетворяющее всем граничным условиям, кроме условий на контуре Г\
приведено в работе Джона [23]:
»![
(ц -т- v) exp (-Md) ch {ц fa (т) + d}} ch fri [у, (|) + d\) cos цл
1^ (,u sh |^d — v ch
,10.26)
где обозначения те же, что и в A0.17). Кроме того, здесь прини-
принимается, что х» (с) — х, (х) = 0, а интеграл вычисляется в смысле
главного значения.
Представление для а* в виде ряда можно представить в форме
"* = K(vrf + sh*xd) ch Iх [Xs W + d]\ ch |x[*s (|) -f d]l sin w -
m=l
A0.27)
где обозначения те же, что и в выражении A0.18). Как отмеча-
отмечалось в работе Нефтцгера и Чакрабарти [29], при больших значе-
значениях г ряды для функции м* можно вычислять численно, что ока-
оказывается гораздо более эффективным, чем использование выраже-
выражения A0.26).
В работах [30—32 ] применяется метод, в котором используются
фундаментальное решение к* = In A/i?) и граничное интеграль-
интегральное уравнение A0.15), где вместо Г подставляется граница S
выделенной области, показанной на рис. 10.9. К преимуществам
этого метода относится то, что он позволяет учесть переменность
глубины вблизи тела и что используется очень простое фундамен-
фундаментальное решение в форме логарифмической функции. Основным
неудобством является то, что требуется представлять в дискрет-
дискретной форме сравнительно длинную границу. Тем не менее в упомя-
упомянутых выше работах утверждается, что были достигнуты очень
хорошие результаты.

374
Глава 10
Пример 10.3. Нефтцгер и Чакрабарти [29] исследовали пол-
полностью погруженный в воду цилиндр и сравнили свои численные
результаты с данными работы Огилви [33], где решение было полу-
получено в гюлуаналитической форме для случая бесконечной глубины.
На рис. ГОЛО—10.12 приведены найденные в работе [29] зави-
зависимости сил от параметров ха и xh, где а—радиус цилиндра,
Д-^скретноЕ представлЕ-
кон~ура S ■
Поверхность, нор^с.г=^ая
направлению э£Спрэс~р5
iHfl ВОЛНЫ
Рис. 10.9. Дискретное представление границы выделенной области.
Направление раслростса-
нения вслны
Уровень
Рис. 10.10. Зависимость приведенных сил, действующих на полностью погружен-
погруженный в воду цилиндр, от глубины h. Сплошная кривая соответствует значению
dla — 4, точки — результатам работы Огнлви 133} при dla -* эо.
h — глубина до оси цилиндра. Найденные по линейной теории
горизонтальная и вертикальная силы, действующие на цилиндр,
равны между собой для всех значений параметров ха и х/г. Был
выбран параметр ха = 2 и, как можно видеть, предельное значе-
значение параметра х/г, при котором цилиндр касается уровня спокой-
спокойной воды, равно xh = ха = 2. Как отмечалось в работе Огилви
[33], для того чтобы можно было применять линейную теорию,
расстояние между верхней частью цилиндра и уровнем спокойной
воды должно превосходить амплитуду волны.
На рис. 10.10 приведены результаты для da — 4. Поскольку
xd >я, влияние дна на набегающую волну пренебрежимо мало.
Оба решения по существу совпадают при х/г < 6. Когда цилиндр
располагается на дне, оно будет оказывать некоторое влияние на

Задачи о распространении волн
375
i,C
■ Л1
1.6
',2
C.B
О.''
n
-
/ /s
I //
/ A
/A
/ A
/ /'
/a
/ A
/ /'
//
/ //
/ //
/ //
С усовемь
дспокойной
^' \ воды ■
\ \ ^ ^"
\\
Vi
\
\
\
\
\
1 1 1
Направление
эаспространения
~ ~~ ЙОЛНЬ1
^W l г
1,25 Ч!_У i
i
\
k 6 в 10
6 в 10
Рис. 10.11, Приведенная максимальная горнзонтальная сила. Сплошные кривые-
соответствуют конечным глубинам, штриховая — результатам работы Огилвв
[33] при d!a -*■ оо.
Уровень
СПОКОЙНОЙ
~ воды —
~ h/в =1,25
Напрэалгние
г.ространвния
—*~
f Л T
/
/
/
у
рас- _
волнь /
/"I N
- ill
ill
'II
1/7/
/ /
/ /
/ /
V
1 1
tf/o-«,0
(\\
\\\
\\
\\
\i
\,
б е 10"
10° г «681С,1
Рис. 10.12. Приведенная максимальная вертикальная сила. Сплошные кривые
соответствуют конечным глубинам, штриховая — результатам работы Огилвй
[33] при din-* оо.

376 Глава 10
результаты. Однако в данном частном случае амплитуды измене-
изменения сил становятся столь малыми, что различие двух решений
неразличимо на графике.
Для того чтобы проиллюстрировать влияние дна, представлены
результаты на рис. 10.11 и 10.12 для /г/а = 1,25 и dla = 2,5
и 4. Отметим, что при d'ia -*■ оо горизонтальная н вертикальная
силы не равны, хотя имеют сходный характер изменения.
10.5. Вертикально расположенные цилиндры
произвольного поперечного сечения
Этот случай сводится к задаче о резонансном волнении в гаванн
произвольной формы. Волнение в гавани возникает прн заходе
в гавань волн из открытого моря. Эти волны, попадая внутрь га-
гаванн, могут резко усиливаться, если их частоты совпадают с ча-
частотами собственных колебаний (явление резонанса), характер-
характерных для гаванн.
Данный случай является гораздо более простым для исследо-
исследования, чем трехмерная задача общего вида, поскольку интеграль-
интегральное уравнение трехмерной задачи, содержащее поверхностный
интеграл, сводится в данном случае к криволинейному интегралу
по границе тела илн нескольких тел в горизонтальной плоскости.
Разрешающее уравнение Лапласа исходной трехмерной задачи
сводится к двумерному уравнению Гельмгольца. Соответствующее
■фундаментальное решение, которое удовлетворяло бы как урав-
уравнению Гельмгольца, так и условию излучения A0.25), имеет
весьма простой вид и может быть найдено без труда.
Как уже отмечалось в разд. 10.1, эта задача математически
эквивалентна задаче рассеяния н излучения акустических волн.
В связи с этим укажем, что первыми граничное интегральное
уравнение для решения уравнения Гельмгольца получили Банах
и Голдсмнт [12]. Применительно к акустическим волнам это было
сдельно Шоу [13], Хванг и Тук [34] и Лн [35] рассмотрели ре-
резонанс в залнве, Исааксон [36], Хармс [37], А у и Бреббия [38]
использовали подобные уравнения при исследовании дифракции
волн на воде.
Сведение исходной задачи к уравнению Гельмгольца при
'исследовании волн на воде связано с методом разделения пере-
переменных, при котором потенциал рассеяния ив связан определенным
образом с функциями гиперболического косинуса от значения
глубины (см. выражение A0.12)):
«. с*, ь = ^сЬ
Эта функция удовлетворяет условиям на дне и линеаризованным
условиям для свободной поверхности. Подставляя выражение

Задачи о распространении волн
377
в уравнение Лапласа, получим для функции us уравнение
С (S) Ms (ь) — — J ^ us {.*■)
dV(x), A0.30)
A0.28)
вида
V2«s + K?Ms = 0. A0.29)
Преобразование этого уравнения в граннчное интегральное урав-
уравнение уже выполнялось в гл. 3 (см. пример 3.4) с помощью метода
взвешенных навязок. Выполнив аналогичные расчеты, получим
■[..-/.., дц«(Е, х) , .„ Щ(х)
дп (х) "Г ^' > дп. (х)
г
где фундаментальное решение и* берется в форме
и = -L я<1> (кг)> (Ю.31)
а потенцнал набегающей волны (см. выражение A0.10)) нмеет вид
и, = е""'. A0.32)
Отметим, что если набегающая волна косая и ее направление со-
составляет угол а, с осью Xi, то потенциал набегающей волны можно
записать следующим образом [15, 38]:
и/ = exp [ix(xicosa — x2s\nа)]. A0.33)
В заключение отметим, что интегральная форма A0.30) урав-
уравнения Гельмгольца является известным уравнением Вебера [3].
Численное решение ура-
уравнения A0.30) подробно
обсуждалось рядом ав-
авторов (см., например,
работы [12, 34, 381),
которые привели выра-
выражения для аналитичес-
аналитического и численного вы-
вычисления интегралов по
каждому граничному
элементу.
Распростр анение
описанной в этом раз-
разделе формулировки на
случай залива, состоя-
состоящего из нескольких соединяющихся бассейнов, каждый из кото-
которых нмеет свою постоянную глубнну, было выполнено Ли и Рай-
хленом [39], Маттнолн [40] и Рахманом [41], использовавшими
метод разбиения на подобласти, описанный в разд. 2.8.
Задачи для гаваней переменной глубины исследовались путем
комбинирования метода граничных элементов с другими числен-
численными подходами в работах [42—44]. Комбинация метода гранич-
граничных элементов с методом конечных элементов подробно рассма-
рассматривается в гл. 13.
Набегающая волна
Pirc. 10.13. Геометрия и дискретизация для вер-
вертикального цилиндра эллиптического попереч-
поперечного сечения. Параметры задачи: о = 10,
b!a= 0,15, dla= 1.

378
Глава 10
Рис. 10.14. Сила f действующая на
эллиптический цилиндр при а = 30°.
1,21 - — - -
Пример 10.4. В этом примере, взятом из работы Ау и Бреб-
бия [38], рассматривается вертикальный цилиндр эллиптического
поперечного сечения (рис. 10.13). Аналитическое решение этой
задачи было получено Годой
и Иошимурой [45], которые
решали уравнение Гельм-
гольца методом разделения
переменных. Решение мето-
методом граничных элементов
[38] было получено с ис-
использованием 32 постоянных
или 16 квадратичных эле-
элементов, причем вблизи боль-
большей оси эллипса использова-
использовались меньшие по размеру
элементы (рис. 10.13), с тем
чтобы учесть влияние более
быстрого изменения угла на-
наклона касательной в этой
области. Были получены зна-
значения сил для двух различ-
различных углов набегания волны
а, равных 30° и 60°. Резуль-
Результаты решения представлены
на рис. 10.14 и 10.15, причем
было достигнуто хорошее со-
соответствие с результатами
работы [45].
10.6. Скалярное волновое
уравнение для
неустановившегося
состояния
Приступим теперь к изу-
изучению применения метода
граничных интегральных
уравнений к случаю, опи-
описывающему неустановившее-
состояние, скалярного волнового уравнения
= 0, х £ Q, A0.34)
Рис. 10.15. Сила Fx , действующая на эл
липтический цилиндр при а — 60°
СЯ
с граничными условиями вида
к (х, 0 = к (х, t), х £ 1\,
q (х, t) = Ш (х, t)ldn {х)] = q (x, t), x £ Г2,
A0.35)

Задачи о распространении волн 379
и начальными условиями типа
и (х, t) = щ (х, t0), х d Q,
ди(х, t),'dt = 1ди(х, f)/dt]0, x £ Q. A0.36)
Как и в случае уравнения диффузии (гл. 4), задача с уравне-
уравнением A0.34). граничными и начальными условиями A0.35),
A0.36) может быть представлена в виде интегрального уравнения
относительно неизвестной функции к, Хотя для подобного пред-
представления можно воспользоваться формулировками (см. гл. 11
и работу [46]), в которых применяется преобразование Лапласа
(разд. 4.2), здесь будут рассматриваться формулировки, которые
включают в себя зависящие от времени фундаментальные решения.
Начнем с записи следующего соотношения, вытекающего из
применения к задаче метода взвешенных невязок:
tF
{ I | ¥2и (х, t) 5 " *' [ и* (g, х, tF, t)dQ(x)dt =
to i!
*F
= f \{q(x, t)-q {x, t)\ u* (g, x, tF, t) dT (x) dt —
J J
to Г.
'f
- f j [u (x, t)-u (x, t)] q*(t x, tF, t) dT (x)dt, A0.37)
i. r,
где q* {I, x, tF, t) = Зк* (£, x, tF, t)/dn (x). Интегрируя дважды
по частям оператор Лапласа по пространственным координатам
и дважды дифференцируя по времени, получим
F 1 ВРи* Ц, х, tr, t) )
2к* (I, x, tF, t) \t, ' м (x, t) dQ, (x) dt t-
c- at j
t=t.
F
= -\\q{x, t)u*(l, x, tF, t)dV(x)dt
■| Jk(*. t)q*(l, x, tF, t)dT{x)dt. A0.38)
to Г

380 Глава JO
Фундаментальное решение и* удовлетворяет уравнению
V2k* (g, х, tF, t)-± dV{l'dXt: tF'l) = A (g. -*) Д [tF, (), A0.39)
а также условию
и*(I, x, tF, t) = 0 при c(*p-*)<|*-£|. A0.40)
Для того чтобы процесс численного интегрирования не окан-
оканчивался в точке, в которой дельта-функцня Днрака имеет осо-
особенность, к верхнему пределу интегралов можно прибавить про-
произвольную малую величину 6. Таким образом получаем, что вто-
второй интеграл в левой части уравнения A0.38) тождественно равен
нулю при значениях, соответствующих верхнему пределу в силу
условия A0.40). Рассмотрев предел при б —>- 0, с учетом условия
A0.39) получим следующее уравнение [4, 10]:
«g. tF)-r\ \u(x, t)q*h&, x, tF, t)dT(x)dt =
to Г
= J \q(x, t) м* (I, x, tP, t) с(Г (x) dt —
которое, если взять точку % на границе, дает следующее граничное
интегральное уравнение:
, (F)~\ \u{x, t)q*(t x, tF, t)dT(x)dt =
to Г
= J \q(x, t)u*(l x, tg, t)dY(x)dt--^\[uo{x, to)x
t
, (Ю.42)
где интегралы берутся в смысле главного значения. Следует
отметить аналогию между этим уравнением и граничным инте-
интегральным уравнением D.34) для задач диффузии.

Задачи о распространении волн 381
10.7. Трехмерные задачи. Запаздывающий потенциал
Здесь рассматривается фундаментальное «запаздывающее» ре-
решение волнового трехмерного уравнения. Поскольку скорость
распространения волны конечна (и равна скорости звука или
света), взаимное влияние полей двух точек пространства не будет
мгновенным. Время запаздывания зависит от расстояния между
точкой, в которой помещен источник, и точкой наблюдения.
Это фундаментальное решение имеет вид [4, 47]
и* = Д (t, tR)/(inr), A0.43)
где г — расстояние^между точками | и х, величина tR = tF — r/c
характеризует запаздывание. Нормальная производная функ-
функции и* на границе Г равна [8, 9]
±
4 дп 4лл [г с dt
где пг = дп'дп. Интегрирование по времени в уравнении A0,42)
можно выполнить аналитически следующим образом:
*F <F
j q (x, t) и* (|, x, tF, t)dt = -^ J q (x, t) Д ((, tR) dt = -^ q {x, tR),
и и
A0.45)
*F Г 'р
j u(x, t)q*(l x, (F, f)*=_-g--LJ u(x, ()A(t, tR)dt-
В последнем соотношении интеграл брался по частям. Подставляя
соотношения A0.45) и A0.46) в уравнение A0.42), получаем гра-
граничное интегральное уравнение для трехмерного случая
A0Л7)
с (I) и (I, 1р) = -^\у\я {х, tR) + nrfyu (х, tB)
где Мо и No — средние значения соответственно и0 и [du/dt ]„ на
сферической поверхности с центром в точке 1 и с переменным
радиусом ct [10]. Можно видеть, что коэффициент с (I) имеет то же
значение, что и в случае уравнения Лапласа [8, 9]. Уравнение

382
Глава 10
A0.47) можно рассматривать как одно из представлений хорошо
известного интегрального уравнения Кирхгофа [1—5]. Про-
Процедуры, необходимые для численного решения этого уравнения,
подробно обсуждаются в книгах [8, 9]. Характерной особенностью
исследования трехмерного случая является то, что здесь не тре-
требуется интегрирования по времени в отличие от двумерного слу-
случая, который обсуждается в следующем разделе.
30 351
время
Рис. 10.16. Приведенный потенциал и точечного источника, помещенного в ящик
в форме параллелепипеда.
Пример 10.5. Грёненбум опубликовал [8] некоторые предва-
предварительные результаты по созданию вычислительной программы,
основанной на описанных здесь методах. В качестве специального
примера для трехмерного случая было рассмотрено распростране-
распространение волн от точечного источника, помещенного в ящик в форме
параллелепипеда. Эта задача была выбрана потому, что здесь
можно получить аналитическое решение, используя метод ото-
отображений.
Размеры ящика составляли 3X4X5 (в безразмерных единицах),
а его поверхность была разбита на 376 постоянных прямоугольных
граничных элементов"! размером 0,5x0,5. В качестве функции
источника брался набор коротких импульсов с гауссовским рас-
распределением.
Поскольку в уравнении A0.47) потенциал и выражается через
значения величин, найденных на предыдущем шаге по времени,
при численном решении применялась шаговая по времени про-
процедура. На рис. 10.16 представлены результаты решения для гра-
граничной точки, соответствующие двум шагам по времени (шаг Д/
брался равным 0,5 и 2), и дано сопоставление с точным решением.
При большем шаге по времени решение Для потенциала было не

Задачи о распространении волн 383
очень точным для столь быстро изменяющегося процесса, поэтому
имеются небольшие расхождения с точным решением. Для ht =
= 0,5 приближенное решение довольно хорошо описывает кар-
картину второго и третьего отражения волны, но затем лроцесс чис-
численного решения становится неустойчивым. Грёненбум [8] делает
вывод, что для столь грубой сетки полученные результаты яв-
являются ободряющими.
10.8. Двумерные задачи
Фундаментальное решение двумерного скалярного волнового
уравнения для нестационарных процессов имеет вид [4, 47]
H[c(tF-t)-r], A0.48)
2Я[е» (*,-<)*-,*]'/*
где Н — функция Хевисайда. Нормальная производная функции
и* на границе Г равна [9, 10]
* ди*
k[c(tF~t)~r]\nr. A0.49)
2я [<*(*,-<)*-
Поскольку фундаментальное решение для двумерной задачи
выражается через функцию Хевисайда (ступенчатую функцию),
а не через дельта-функцню, как это имеет место в трехмерной
задаче, влияние функции источника, помещенного в точке х, на
потенциал в точке (|; tF) уже не ограничивается временем за-
запаздывания, и интегрирование следует проводить от начального
момента времени t0 до текущего момента времени tF. Поэтому при
численном решении соответствующего граничного интегрального
уравнения следует использовать шаговые по времени схемы реше-
решения, описанные в гл. 4.
Подынтегральные функции в уравнении A0.42) имеют два типа
сингулярностей. Первый тип появляется в пространственных ин-
интегралах при г = 0 илн в граничных интегралах, когда и г, и
с (tj, — t) одновременно обращаются в нуль. Второй тип сингу-
сингулярности появляется в точках, располагающихся на фронте волны,
представляемой фундаментальным решением, т. е. в граничных
интегралах при г — с (tF — t) или в интегралах по области при
г = ctw Несмотря на присутствие этих сингулярностей, числен-
численное решение уравнения A0.42) не сопровождается какими-либо
особыми трудностями [10], и некоторые результаты, полученные
с помощью подобной формулировки, уже были представлены Ман-
суром и Бреббия [11 ].

Глава 11
Колебания
11.1. Введение
В то время как в ряде инженерных наук метод граничных
элементов быстро завоевывал позиции,исследованию этим методом
динамических задач теории упругости было посвящено лишь не-
несколько статей. Впервые формулировка и решение динамической
задачи теории упругости для неустановившегося процесса с по-
помощью метода граничных элементов и преобразования Лапласа
были представлены в работах Крузе и Риццо [4], а также Крузе
E], в которых была решена задача о распространении волн в по-
полуплоскости. В качестве приложения была рассмотрена задача
о распространении одиночной антиплоской волны. В 1978 г. Коле
и др. [6] сформулировали задачу, записав граничные интеграль-
интегральные уравнения для трехмерного пространства и времени и решая
их с помощью шаговой по времени численной процедуры.
Манолис и Веское G] использовали решение Крузе при рас-
рассмотрении задачи о концентрации установившихся динамических
напряжений, используя модифицированную схему обратного пре-
преобразования Лапласа. Одной из главных проблем в подобном под-
подходе является способ численного обратного преобразования Лап-
Лапласа, хотя ряд соображений по этому поводу приводится в работе
[8]. Динамическая жесткость фундаментов, лежащих на полупро-
полупространстве при установившемся движении, недавно исследовалась
в работах Домингеца и др. [9, 10].
В самое последнее время было опубликовано несколько серьез-
серьезных исследований динамических задач теории упругости, в том
числе работы Хатчинсона 111], Нива и др. [12], Нардини [26],
где методом граничных элементов находились собственные значе-
значения и собственные векторы.
11.2. Разрешающие уравнения
Представленные здесь уравнения соответствуют теории малых
перемещений для однородных изотропных материалов с линейно-
упругим поведением. Кроме того, здесь используются те же, что
и в гл. 5, предложения о регулярности на бесконечности.
Здесь рассматривается область Q с границей Г (рис. 11.1).
Введем следующие обозначения для компонент перемещения
точки х с координатами xt:
ui(x, t). A1.1)

Колебания 385
При указанных предположениях уравнение движения в пере-
перемещениях можно записать в виде [1—3]
(С? - Ct) и,. „ + С|иЛ „ + Ь,/р = й/, A1.2)
где, как и прежде, запятые обозначают пространственные произ-
производные, а точки — производные по времени. Скорости распростра-
распространения продольных волн (волн сжатия) и поперечных (сдвиговых)
волн соответственно равны
Сх = /(А, + 2[г)/р, С2 = /ЙУр",
A1.3)
где А, и ц — постоянные Ламэ:
- Я, = £v/[(l +v) (I — 2v)],
H = G = £/[2A +v)], A1.4)
p — плотность материала. Деформа-
Деформации равны *i
1 л. l «. n /i i е.\ Р110- HI. К задаче об упругих
e*i == " («i.i "Г «i. l). (П.5) колебаниях.
поведение материала описывается законом Гука
о и = 2цеи + X*ftft6 „. A1.6)
Основными граничными и начальными условиями, которые
должны удовлетворяться при решении динамических задач теории
упругости, являются:
начальные условия — при t = t0 ь области Q -f Г:
ut (х, t) - и0, (х), ui(х, t) - v\ (x), A1.7)
где ui (x) и v°[ (x) — заданные функции;
граничные условия для перемещений — при t > t0 на
участке Гг границы Г:
U>l\Xt ij — Hi \Xt Iff ^Xl.O^
граничные условия для напряжений — при t > t0 на
участке Г2 границы Г:
Pl yX, tj :== Oi)tlj == Р( (X, /), A1 .У)
где черточкой обозначены заданные величины; Г = Га + Г2.
^ Компоненты внутренних напряжений и напряжений на гра-
границе можно представить как функции перемещений:
Оц = \l (Ut,j -\- «j, j) -\- ^.Uh.h^H, A1.10)
Рi — И1 (diii/dn -)- iij, lit)) -(■ hi), )Щ, A1.11)
где nt — направляющие косинусы внешней нормали к границе
(рис. 11.1).
13 Вреббия К- и др.

386 Глава 11
В отсутствие объемных сил уравнение ,A1.2) можно записать
[3] в следующем виде:
2(? A1.12)
A1.13)
где е— объемное расширение (е = ehh), ю— вектор вращения,
который связан с тензором вращения (см. выражения E.25)) соот-
соотношениями
Из уравнений A1.12) и A1.13) следует, что скорость Сх соответ-
соответствует волнам сжатия или Р-волнам, а скорость С2 соответствует
поперечным или сдвиговым волнам, называемым также S-волнами.
Процесс распространения этих волн представляет собой довольно
сложное явление. Кроме того, когда распространяющиеся волны
встречают разрывы в характеристиках среды, то возникают отра-
отражения, преломления, дифракции, поэтому результирующее вол-
волновое движение является суммой всех компонент. В телах из слоис-
слоистого материала возникают различного типа плоские волны, назы-
называемые поверхностными и распространяющиеся параллельно
поверхности, разделяющей неоднородные части тела, причем воз-
возмущения затухают по экспоненциальному закону с удалением от
поверхности раздела. Для свободной поверхности они называются
волнами Рэлея [13]; перемещения, соответствующие им, представ-
представляют собой эллипсообразные движения против часовой стрелки
в плоскости распространения волны. Поверхностные волны, пере-
перемещения в которых перпендикулярны плоскости распространения
волны, возникают только в слоистых полупространствах. Они
называются волнами Лява [14].
11.3. Формулировка,
использующая зависящие от времени интегралы
Фундаментальное решение уравнения A1.2) можно представить
как реакцию бесконечной среды на единичный импульс, прило-
приложенный в момент времени т, т. е. реакцию на сосредоточенную
единичную силу, приложенную в точке I в i-м направлении и дей-
действующую на бесконечно малом промежутке времени:
(С? - ф *4, k, Jr C|ulL kk - »,-,. = _ F,,/p) A (I, x) Л (т, 0. (П-15)
где A (t, t) — дельта-функция Дирака, зависящая от времени.
Решение этого уравнения можно записать через компоненты пере-
перемещений в следующем виде [1 ] для трехмерного случая:
*• О = тЫтCг- "•' ~ 6"> \н (''• тг) ~ н (*'• £
A1.16)

Колебания 387
где Я — функция Хевисайда (ступенчатая функция), t' = t — т;
и двумерного случая:
[2 (/')»- (г/ОЧ Я (<', r/Q
Я (<', г/Сг)
4 AU7)
Используя эти выражения с помощью формул A1.10) и A1.11),
можно найти соответствующие внутренние напряжения и напря-
напряжения на границе.
С помощью метода взвешенных по времени и пространству
невязок можно написать граничное интегральное уравнение для
нестационарных задач (эта процедура аналогична описанной
в гл. 10):
J [ р*цщdTdt=\\ u'liPidTdt+\j и'ф,dudt-\-
t, f и г и о
+ Р [ ["?/u/]/.dQ + Р ([«'/«/к dQ. A1-18)
где для гладких поверхностей (I £ Г) имеем ci;- = 6^/2, а для
внутренних точек (| ^ Q) подставляем ci;- = btJ. Это уравнение
является исходным для метода граничных элементов, и для него
можно использовать дискретное представление по времени и про-
пространству аналогично тому, как это сделано в схеме численного
решения скалярного волнового уравнения в гл. 10. Попытка дать
полную формулировку в рамках такого подхода была сделана
только в работе Мансура [15]. Другие авторы [4, 5, 7] пред-
предпочли решать задачу, используя методы преобразования Лапласа,
как это будет описано в следующем разделе.
11.4. Формулировка, использующая преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа для функции f (t) имеет вид
\-«ctt, A1.19)
о
13*

388 Глава И
где { @ — кусочно-дифференцируемая функция с конечным чис-
числом разрывов первого рода; предполагается, что /@ = 0 при
t < 0. Обратное преобразование имеет вид
f (t) = L~l [F(s)] =-^r j F(s)tstds, A1.20)
V—lao
где у — положительное число, большее, чем любая из действи-
действительных частей особых точек функции F (s), s — комплексное
число, удовлетворяющее условию Re (s) ^ у. В рассматриваемых
в данном разделе случаях в основном будем иметь некоторое число,
простых особых точек функции F для тех значений s, которые
требуются при вычислениях с помощью конечных элементов.
Поэтому для обратного преобразования необходимо использовать
численные приемы.
Для того чтобы в разрешающих уравнениях избавиться от
временной зависимости и записать их в интегральной форме, вос-
воспользуемся преобразованием Лапласа. Тогда уравнение A1.2)
примет вид
(С? - d) Ult и + Ф,. „ + A/р)£/ - А// + su°, + v) = 0, A1.21)
где s — аргумент преобразования,
Ut{x, s) = L[ut(x, 01, Bt(x, s) = L[bt(x, t)], A1.22)
начальную скорость v°j и начальное перемещение и) можно объеди-
объединить с В} для того, чтобы получить неоднородность в уравнении,
учитывающую объемные силы:
Q/ = B/ + p(sa} + °?)- A1.23)
В результате уравнение A1-21) приобретает вид
{С\ - С|) Uit u + d U,. u-s2Ui + (l/p)Q4 - 0 A1.24)
и решать его следует с использованием граничных условий, взя-
взятых также в преобразованной форме:
U)(x, s) = Uj(x, s) на участке 1\ границы,
A1.25)
Pj(x, s) = Pj (x, s) на участке Г2 границы.
Следуя Дойлу [16] и Крузе [4, 5], фундаментальное решение
уравнения динамики напишем в пространстве изображений Лап-
Лапласа
«I/F, х, s) = (anpCt) (#*/ -7tr.tr.!)' (И-26)

Колебания 389
где для двумерных задач ос = 2, функции г|) и % равны
♦ -«.(£)+•!■[«• (■£■)-£*• (■£)]• <"-27>
/С( — модифицированные функции Бесселя второго рода и порядка
I [17, 18].
Для трехмерного случая а = 4 и
A1.28)
ЗС1 ЗС, ,\e~'r/C' C| / SCf , 3Ct ,
ir+ — +*) — -fVl^+ir+
+
Найдем фундаментальный тензор напряжений Р?/, возникаю-
возникающих на поверхности, подставив выражение A1.26) для [/?/ в фор-
формулу A1.11). Используя метод взвешенных невязок таким образом,
как это было показано выше, можно получить динамическое ин-
интегральное уравнение относительно изображений внутренних
перемещений
j \\ A1.29)
Внутренние напряжения получаем в виде изображений, под-
подставив выражение A1.29) в следующее соотношение:
] A1.30)
где производные берутся по координатам точки приложения на-
нагрузки. Если взять точку | на границе Г, получим исходное соот-
соотношение для дискретной формы метода граничных элементов:
сц1Г, + I P'uUidT = [ U*t,P, dT+\ UljQidQ, A1.31)
г г а
где для гладкой границы cti = 6i;-/2. Уравнение A1.31) является
классическим уравнением метода граничных элементов, которое
следует решать для заданных значений параметра преобразова-
преобразования s. При наличии решений для достаточно большого числа зна-
значений параметра s можно сделать численное обратное преобразо-
преобразование для соответствующих функций U{, Pt и L \ои] и получить
зависящее от времени решение, пользуясь различными методами
численного обратного преобразования: Крузе [5] применил про-
процедуру, описанную в работе Папулиса [10], Манолис и Веское [7]
предпочли метод, взятый из работы Дурбина [20], который хотя
и требует больших затрат времени, приводит, как оказалось,

390
Глава 11
к лучшим результатам. Более подробные сведения относительно
способов численного обратного преобразования можно найти
в работе [8].
Рис. 11.2. Картина изменения коэффициента концентрации напряжения в квад-
квадратном отверстии при действии плоской ударной волны для 9 = 9,5°:
/ — статическое решение методом граничных элементов; 2 — метод конечных элементов;
3 — метод граничных элементов [20]; 4 — метод граничных элементов [19].
Рис. 11.3. Картина изменения коэффициента концентрации напряжения в квад-
квадратном отверстии при действии плоской ударной волны для 9 = 50,2°:
/ — метод граничных элементов [19]; 2 — метод конечных элементов; 3 — статическое
решение методом граничных элементов; 4 — метод граничных элементов [20].
Пример 11.1. Прямоугольное отверстие, на которое воздей-
воздействует плоская ударная волна. Некоторые интересные сопоставле-
сопоставления различных решений, полученных методом граничных элемен-
элементов с использованием описанных выше приемов численного обрат-
обратного преобразования, и решений, найденных методом конечных

Колебания
.'591
элементов, имеются в работе Манолиса и Бескоса 17]. Результаты
решений некоторых примеров из этой работы приведены на
рис. 11.2—11.4. Эти результаты относятся к задаче о плоском
деформированном состоянии при наличии квадратного отверстия
и действии ударной волны расширения, фронт которой параллелен
одной из сторон отверстия.
Параметры материала соответствовали стали: на всех рисун-
рисунках дается зависимость от времени коэффициента концентрации
i
СО
О.
-1,0
и
-8
||-з,о
-«,0
к 3
1 |
А
i t i
-о—»о—о—<
1
15
fx!0",ee
Рис. 11.4. Картина изменения коэффициента концентрации напряжения в квад-
квадратном отверстии при действии плоской ударной волны для 9 = 80,5°:
/ — метод граничных элементов [19]; 2 — статическое решение методом граничных эле-
элементов; 3 — метод конечных элементов; 4 — метод граничных элементов [20].
напряжения, возникающего в направлении границы отверстия и
вычисленного в различных точках на границе. Положение этих то-
точек определяется углом 6, который соответствует цилиндрической
системе координат с началом в центре отверстия. Там же даны
результаты, полученные с помощью вычислительной программы
SAP IV [21], которые, как видно, дают более высокие значения
динамического коэффициента концентрации напряжения при
6 = 50,2°, чем в статическом случае.
11.5. Динамические задачи теории упругости
при установившемся состоянии
Для ряда практических приложений важно знать динамиче-
динамическое поведение тела или конструкции при гармоническом возбуж-
возбуждении. При этом реакция^будет зависеть от частоты возбуждающего
воздействия, а начальными условиями можно пренебречь, пред-
предполагая, что переходный процесс завершился и система перешла
в установившееся состояние. Подобную ситуацию можно матема-
математически описать с помощью преобразования Фурье уравнений
движения. Применяя это преобразование, можем написать
Ut (х, <*) = &- [и, (х, t)), В, (х, ш) = 0- [Ь, (х, t)], A1.32)

392
Глава ll
тогда уравнение движения принимает вид,
Для соответствующих граничных условий имеем
Ut (х, со) = Ut (х, со) иа участке 1\ границы,
pt (х, со) = Pt (x, со) иа участке Г2 границы.
Отметим, что в сформулированной задаче отсутствуют начальные
условия.
У*
A1.34)
Ускорение ■-
Рис. 11.5. Сетка конечных элементов, использованная в работе Клауха и Чопры
[23}. Параметры грунта: модуль сдвига G= 1,97-10е Н/м», коэффициент Пуас-
соиа v = 0,45, удельная масса р = 647 кг/м8.
Рис. 11.6. Дяскретное представление с помощью граничных элементов.
кЖак можно видеть, уравнение A1.23) отличается от A1.21)
тем, что вместо s подставлена величина ico и отсутствуют началь-
начальные значения величин. Поэтому фундаментальные решения
A1.26)—A1.28) справедливы и для этих уравнений, если подста-
подставить s = ш. Соответствующее граничное интегральное уравнение
принимает вид
C,U, 4-
A1.35)

Колебания
393
Как и прежде, можно решить уравнение A1.35) для достаточного
числа значений со и путем численного обращения функции Uj (x, со)
получить зависящие от времени перемещения Uj (х, t). Непосред-
Непосредственным рассмотрением значений U}- (х, со) для различных значе-
значений со получим собст- о
венные формы колеба- '°
ний упругого тела. На
самом деле именно это
делает указанную про-
процедуру наиболее при-
привлекательной. Напри-
Например, если каждую неиз-
неизвестную функцию запи-
запий
32
28
20
- 16
12
сать в комплексной
форме
f (х, t) = F (x) e"»',
A1.36)
то можно получить со-'
отношение A1.33) в ка-
качестве разрешающего
уравнения, решая ко-
которое для каждого за-
заданного значения ча-
частоты со, непосредствен-
непосредственно найдем реакцию тела
в виде амплитуд с7г и
Р, [7, 8, 10]. Ниже
приводится несколько
примеров использова-
использования подобного подхода;
в первом примере рас-
рассматривается задача на
собственные значения
для земляной дамбы,
во втором примере по-
показано, как с помощью
Сказанного подхода можно вычислить жесткость оснований.
Пример 11.2. Земляная дамба [22]. Здесь исследуется пове-
поведение земляной дамбы при землетрясении в предположении, что
нижняя часть дамбы прикреплена к асбсолютно жесткому осно-
основанию. Это граничное условие, несмотря на всю его нереальность,
используется здесь для того, чтобы иметь возможность сравни-
сравнивать результаты работы [22] с решением методом конечных эле-
элементов [23]. На рис. 11.5 показаны размеры дамбы, а также сетка
конечных элементов, использованная в работе Клауха и Чопры [23 ],
Рнс. 11.7. Смещение точки В в горизонтальном
направлении в зависимости от частоты со.

394
Глава 11
Таблица ILL Сравнение результатов вычислений
основной частоты ю, рад/с
Метод гранич-
граничных элементов
7,78
Метод конеч-
конечных элементов
7,71
Теория клина, ра-
работающего на
сдвнг
8,01
Благодаря выбранным граничным условиям движением осно-
основания дамбы можно пренебречь. Поэтому здесь можно применять
теорию условного сдвига клина, в которой дамба представляется
как вертикальная работающая на сдвиг балка переменной высоты,
что является хорошим приближением для исходной задачи.
Граница дамбы разбивается на 30 постоянных граничных эле-
элементов и 5 внутренних точек (рис. 11.6). Вместо того чтобы при-
прикладывать к основанию дамбы возмущение в виде задания ускоре-
ускорения основания в горизонтальном направлении, задаются изменяю-
изменяющиеся по линейному закону напряжения по обеим сторонам дамбы,
представляющие силы инерции, действующие на дамбу.
На рис. 11.7 пока-
показано перемещение точки
В (узел 20 на рис. 11.6)
в горизонтальном на-
направлении при измене-
изменении частоты со от 0 до
1,43 Гц. Основная ча-
частота, как видно из ри-
рисунка, . равна со! =
1,24 Гц. Различие ме-
Рис. 11.8. Основная форма колебаний грунто-
грунтовой дамбы. Штрихпуиктирные линии соответст-
соответствуют теории работающего иа сдвиг клииа,
кружки получены методом граничных элемен-
элементов.
жду представленным
здесь решением и ре-
решениями, полученными
методом конечных элементов и по методу работающего на
сдвиг клина, составляют соответственно 0,9 и 2,89 % (табл. 11.1).
Последняя цифра расхождения результатов является ожидаемой,
поскольку дамба будет более жесткой, если ввести запрещение на
перемещение основания.
На рис. 11.8 представлена нормированная форма колебаний,
там же для сравнения показана форма, вытекающая из теории
работающего на сдвиг клина. Как можно видеть, между этими ре-
результатами имеется хорошее соответствие.
Пример 11.3. Динамическая жесткость оснований [22]. В ряде
инженерных приложений требуется определять динамическую
жесткость основания. В большинстве случаев свойства грунта

Колебания 395
неоднородны по глубине (модуль сдвига, как правило, растет с глу-
глубиной) либо осадочные породы конечной толщины будут лежать
на гораздо более жестких породах скального типа. Тем не менее
в качестве удобной математической модели обычно выбирают
однородное изотропное линейно-упругое полупространство, и в не-
недавней работе Домингуэца и Аларкона [9] метод граничных эле-
элементов был использован в сочетании с данной моделью; эти ре-
результаты демонстрируют хорошее соответствие полученным ранее.
Удобство применения граничных элементов при моделирова-
моделировании основания состоит в том, что при этом автоматически учиты-
учитывается демпфирование за счет излучения, а гистерезисное демпфи-
демпфирование можно учесть введением комплексного модуля сдвига [24].
Частью процесса исследования задач взаимодействия грунта и
конструкции является установление динамической жесткости ос-
оснований, т. е. определение сил (или моментов), требующихся для
создания равного единице динамического перемещения (или пово-
поворота) невесомого абсолютно жесткого основания, лежащего на по-
полупространстве; по остальным направлениям перемещения не до-
допускаются.
Поскольку фундаментальное решение соответствует бесконеч-
бесконечной области, дискретное представление необходимо только для
границы или точнее для поверхности раздела основания и грунта
и для поверхности, свободной от напряжений. Согласно теории,
дискретное представление необходимо распространить на бесконеч-
бесконечность. Однако для основания, лежащего на поверхности, приемле-
приемлемое решение можно получить, не вводя элементов на свободной от
напряжений границе. Можно показать, что все слагаемые, опре-
определяющие влияние элементов, заданных на свободной от напряже-
напряжений границе, равны нулю, за исключением тех, которые учитывают
влияние вертикального перемещения на горизонтальное и наобо-
наоборот. Тем не менее это влияние мало и в задачах о взаимодействии
грунта с конструкцией им обычно пренебрегают, если рассматри-
рассматриваются условия типа гладкого основания.
В данном примере результаты численного решения сопостав-
сопоставлялись с результатами решения Якуба [25], которое имело вид
где Ко — статическая жесткость; k и d — коэффициенты, завися-
зависящие от частоты; а0 = (оВ/С2 — безразмерная частота; С2—уско-
С2—ускорение волны сдвига в грунте; D — коэффициент внутреннего демп-
демпфирования в грунте.
Размеры основания (лежащая на поверхности полоса) и свой-
свойства грунта таковы: полуширина основания В = 1, модуль сдвига
G = 1 +0,1 (если не задается другое выражение), коэффициент
Пуассона v = 1/3, плотность р = 1.

396
Глава 11
Для того чтобы пояснить влияние дискретного представления,
на рис. 11.9 показана зависимость жесткости скальной породы
от способа дискретного представления свободной от напряжений
работа Якуба L253
о - мвтод граничных элементов
(действительная часть)
• -метод граничных элементов
(мнимая часть)
J_
SI8
Рис. 11.9. Зависимость жесткости /Сф скальной породы от ширины S дискретного
представления свободной от напряжений границы (а0 = 0,01).
Рис. 11.10. Дискретное представление полупространства.
работа Якуба С251
о-метоц граничных элементов (действительная часть)
•-метод граничных элементов (мнимая часть)
ill! i |
1
2
5
6
SIB
Рнс. 11.11. Зависимость жесткости Кх в горизонтальном направлении от ширины S
дискретного представления свободной от напряжений границы (ав = 0,9).
границы для очень низкого значения безразмерной частоты а0 =
= 0,01. Граница между грунтом и основанием разбивалась на
восемь элементов (рис. 11.10), и, как и ожидалось, влияние рас-
расширения дискретно представляемого участка границы, свобод-
свободного от напряжений, было пренебрежимо малым. Сказанное спра-
справедливо и для более высоких частот. На рис. 11.11 показаны ре-

Колебания
397
зультаты аналогичных исследований жесткости в горизонтальном
направлении для частоты а0 — 0,9.
На рис. 11.12 показана действительная часть перемещений
свободной от напряжения поверхности, когда к основанию с ча-
Вертикальные
перемещения
/
Горизонтальные
V
Рис. 11.12. Действительная часть'.перемещеннй свободной от> напряжений по-
поверхности (ао= 1).
стотой а0 = 1 прикладывается единичное гармоническое переме-
перемещение (горизонтальное, опрокидывающее или вертикальное). Все
полученные результаты
находятся в полном со-
соответствии с результа-
результатами, полученными До-
мингуэцем и Аларко-
иом 19].
На рис. 11.13 дана
зависимость жесткости
качания от частоты при
G = 1. Хотя в этом слу-
случае внутреннее демпфи-
демпфирование не учитыва-
учитывалось, здесь появлялись
2 -
£
1 -
работа Якуба сгбП3----^
о - метод граничных элементов >■
(действительная часть) >Х"»
• -метод граничных уг
элементов у/*
(мнимая частьЬ^^
>*-
В'
<?«
V ■
Р"
1
1
1/J
1
0,5
1,0
1.6
2.0
Рис. 11.13. Зависимость жесткости Кф качании
от частоты а0.
мнимые части, что было
связано с геометричес-
геометрическим демпфированием или демпфированием излучением, т. е. энер-
энергия передавалась по направлению к находящимся на бесконечном
удалении границам. Действительные части уменьшались с ростом
а0, что приводило к снижению жесткости; если же мнимые части
возрастали, это указывало на усиление демпфирования.

398 Глава И
11.6. Свободные колебания
Фундаментальное решение, используемое в формулировке,
описанной в предыдущем разделе, зависит от частоты. Поэтому
если главный интерес представляют только собственные частоты и
формы колебаний, то при проведении исследований необходимо
последовательно задавать различные значения частот возмущаю-
возмущающих сил для систем без демпфирования, до тех пор пока не появится
резонанс. Поскольку полная система уравнений должна пере-
перестраиваться и решаться для каждого значения частоты, то подоб-
подобная процедура обычно требует больших затрат времени. Главное
неудобство состоит в том, что хотя фундаментальное решение само
по себе зависит от частоты, тем не менее исследование нельзя све-
свести к алгебраической задаче на собственные значения.
Другая интересная процедура получения собственных частот
и форм колебаний конструкций была представлена Нардини и
Бреббия [26]. Она обладает тем достоинством, что сводит задачу
свободных колебаний к алгебраической задаче на собственные зна-
значения и поэтому является более простой. Основная идея состоит
в непосредственном использовании фундаментальных решений
Кельвина для статических задач, описанных в гл. 5, вместо зави-
зависящих от времени решений, использованных в последнем
разд. 11.5. Это приводит к граничному интегральному уравнению,
которое соответствует разрешающему уравнению A1.33) при обра-
обращении в нуль объемных сил [26] и имеет вид
J PijdT = J u},PtdT + co2p J u},U,da, A1.37)
Г Г Й
где звездочками обозначены функции, соответствующие хорошо
известному фундаментальному решению Кельвина для статиче-
статической задачи.
В уравнение A1.37) входят не только амплитуды перемещений,
но также и неизвестные перемещения Uj внутри области, присут-
присутствующие в инерционном слагаемом. Поэтому чтобы сформулиро-
сформулировать задачу только относительно значений неизвестных на границе,
необходимо ввести дополнительную аппроксимацию для амплитуд
внутренних перемещений. Для этого можно использовать линей-
линейную комбинацию функций fk (k — номер члена в групп£, k = 1,
..., N) с коэффициентами
i// = JX/&. A1.38)
Тогда пространственный интеграл по области A1.37) принимает
вид
N
ijUi dQ = 2 «* J u'uf d®■ (И -39)

Колебания 399
Поскольку конечной целью является преобразование соотношения
A1.39) в эквивалентные граничные интегралы, можно связать
набор функций f с полями перемещений i|)/,- и соответствующими
им полями напряжений акцт соотношениями
■С* = 6,/. A1.40)
Это позволяет преобразовать выражение A1.39) в граничные
интегралы с помощью процедуры, уже использовавшейся при обыч-
обычном статическом анализе и приводящей к следующему уравнению:
- \P\,U,dY-\u)lpldT =
г г
N ,
п \Л I ь f » .* m f*fe ^.\ t
— й Р 2j ~cimi + "*/'// <" ~ PtmtdT) a", A1.41)
где t'tj = хцщПт — напряжения на границе, соответствующие
полям перемещений гр*/.
Уравнение A1.41) можно обычным способом представить в диск-
дискретной форме; граничные интегралы, соответствующие инерцион-
инерционному члену, содержат лишь известные выражения и их можно
вычислить, как обычно, либо аналитически, либо численно. Од-
Однако численный способ требует значительных усилий, поскольку
здесь требуется интегрировать по всей границе для каждого неиз-
неизвестного коэффициента ак. Поэтому, чтобы уменьшить время чис-
численного решения, для представления изменений величин ip*/ и
tkj на границе можно использовать те же самые интерполирую-
интерполирующие функции, что и применявшиеся для интерполирования функ-
функций Uj и Рj\ в результате будут получаться те же самые стан-
стандартные матрицы Н и О. Кроме того, если общее число N функций
fk совпадает с числом узловых точек, то неизвестные коэффициенты
а* можно получить как функции амплитуд перемещений на гра-
границе (см. выражение A1.38)) в виде
a = F-lU, A1.42)
где матрица F содержит значения функций /* в узловых точках.
Уравнение A1.41), представленное в дискретной форме, и
уравнение A1.42) составляют обобщенную алгебраическую задачу
на собственные значения, которая, несмотря на использование
приближенных представлений в инерционных членах, дает доста-

400
Глава 11
точно точные результаты. Ниже приведен один из примеров реше-
решения двумерных задач из работы [26], в котором использован набор
функций вида
/* (*) = с - г (б*, х),
где г — расстояние между узлом lh и точкой наблюдения х, с —
подходящим образом выбранная постоянная.
1
1
1
(
) ф- 1
1
)
)
[►—• 0 9 '
a
Рис. 11.14. Дискретное представление для стенки, работающей иа сдвнг;
а — граничные элементы, 58 узлов; б — конечные элементы, 559 узлов.
Пример 11.4. Стенка, работающая на сдвиг. На рис. 11.14
показана работающая на сдвиг стенка с четырьмя отверстиями.
При дискретном представлении в методе граничных элементов ис-
использовалось 29 квадратичных элементов и 58 узлов. В табл. 11.2
представлены результаты определения периодов собственных коле-
колебаний для первых восьми мод; там же приведены результаты, полу-
полученные с помощью конечно-элементной программы SAP IV, сетка
конечных элементов для которой показана на рис. 11.14 E59 уз-

Колебания
401
Таблица 11.2. Периоды собственных колебаний для первых восьми мод,
найденные различными методами
Форма колебаний
Метод граничных эле-
элементов
Метод конечных эле-
элементов
1
3,022
3,029
2
0,875
0,885
3
0,822
0,824
4
0,531
0,526
5
0,394
0,409
в
0,337
0,342
7
0,310
0,316
8
0,276
0.283
лов). Несмотря на сложную геометрию и довольно малое число ис-
использованных граничных элементов, результаты решений очень
близки.

Глава 12
Примеры решения задач механики жидкости
12.1. Введение
Некоторые случаи использования метода граничных элементов
в механике жидкости уже обсуждались в гл. 2—4 и 10, однако
область применения этого метода не-ограничивается примерами,
рассмотренными в указанных главах. Подтверждением этого слу-
служат самые разные задачи механики жидкости, среди которых
имеются задачи с довольно сложными особенностями типа нелиней-
нелинейного поведения материалов, подвижных границ и т. п., успешно
решенные с помощью метода граничных элементов.
В данной главе собраны некоторые из наиболее интересных
случаев применения граничных элементов в упомянутой выше об-
области; здесь же приведены результаты численных исследований,
демонстрирующих эффективность предложенных методов.
12.2. Неустановившееся течение подземных вод
Метод граничных элементов при решении задач о неустано-
неустановившемся течении подземных вод использовался Лигетом [1],
Лью и Лигетом [2] и Ленноном и др. [3, 4). Эти задачи описыва-
описывались уравнением Лапласа для потенциала скоростей и и кинема-
кинематическим (нелинейным) граничным условием на свободной поверх-
поверхности вида [51:
■Э-=*■&-*• <12-»>
где qt и q% — скорости в направлении осей х и у, ц — смещение
свободной поверхности относительно произвольно выбранной пло-
плоскости. Из рис. 12.1 видно, что имеет место соотношение ч
дц/дхг = —tg p, A2.2)
где р — угол между касательной к свободной поверхности с осью
хг. Отсюда следует, что
дщ/dt = — qkos р, A2.3)
где q = ди/дп — нормальная компонента скорости. Используя
на свободной поверхности условие и — % из формулы A2.3) полу-
получим
ди/dt = —q/cos p. A2.4)

Примеры решения задач механики жидкости
403
Это отношение в конечно-разностной форме имеет вид
= и' -
A2.5)
где 8 — весовой коэффициент, который определяет значение про-
производной между моментами времени t и t -j~ kt. В этом соотноше-
соотношении угол Р вычисляется для момента времени t, несмотря на то что
само отношение записано для момента времени t -j- А/. Хотя ука-
Рис. 12.1. Форма свобод*
ной поверхности жидко*
ста.
занное обстоятельство можно обойти с помощью итерации, доста-
достаточно высокую точность можно получить, используя малые шаги
по времени [1 ]. В качестве примера того, как граничное условие
для свободной поверхности в форме A2.5) можно ввести в систему
уравнений B.81), рассмотрим задачу, представленную на рис. 3.13,
где предполагается, что уровень воды понижался вниз по потоку.
Тогда систему уравнении B,81) применительно к этой задаче
можно записать в виде
(
[—Оавс — Gcd — Ode —
Яавс
cd
Чив
(*Af]
U-ABC
UEF
4af
A2-6)

404
Глава 12
Подставляя в эту систему выражение A2.5)' для ый>Л', получим
G
abc
~\
г
) ~~
Чавс
— [—H
abc
H
cd
Hde—
J
и авс
A— 9) А*
cosp'
UDE
Uef
4af
Qef
UAF
4cd
A2.7)
Поскольку стоящие в правой части уравнения A2.7) значения
функций на границе известны, систему уравнений можно решить
и найти нормальные составляющие скоростей на свободной по-
поверхности в момент времени t + Д*. Затем из соотношения A2.5)
получаем значения потенциала на свободной поверхности, чем
и заканчивается цикл вычислений. После этого можно переходить
к следующему шагу по времени.
Пример 12.1. В этом.примере, взятом из работы [1], иссле-
исследуется фильтрация со свободной поверхности через грунтовую
плотину прямоугольного поперечного сечения (рис. 12.2). Пред-
Предполагается, что в момент времени t = 0 внезапно начинается сброс
с уровня, равного 10 м, до равного 3 м уровня воды ниже по по-
потоку. Таким образом, на стороне плотины, расположенной ниже
по течению, образуется смоченная поверхность, и граничные усло-
условия задачи принимают вид (см. пример 3.5): а) и = 10 м на стороне
плотины, расположенной выше по течению, б) q = 0 на поверх-
поверхности дна, в) и = 3 м на стороне плотины, расположенной ниже
по течению, г) и = х% на смоченной поверхности, д) на свободной
поверхности задается кинематическое граничное условие A2.4).
На рис. 12.3 представлены результаты расчетов для после-
последовательности моментов времени, полученные при использовании
дискретного представления B4 линейных элемента), показанного
на рис. 12.2. Линия, соответствующая t -*■ оо, была получена в ре-
результате численного решения задачи об установившемся течении
с помощью процедуры, описанной в примере 3.5, и в результате
исследования неустановившегося течения при t— 30. Точность этих
результатов можно проверить путем сравнения с точным решением,
приведенным в работе [6]: на рис. 12.3 кружком отмечена точка

Примеры решения задач механики жидкости
405
пересечения свободной поверхности воды и смоченной поверхности
плотины, соответствующая точному решению; как видно, числен-
численные результаты хорошо соответствуют точному решению.
Пример 12.2. Задачи о подземном течении вод, в которых
рассматривается приток жидкости, исследовались с помощью ме-
Юм
Рис. 12.2. Форма и дис-
дискретное представление
границы грунтовой пло-
плотины.
3
Рис. 12.3. Профили сво-
свободных поверхностей для
последовательных момен-
моментов времени в задаче о
внезапном сбросе воды.
ю
8
6
к
2
-^^^^—^-С4
-
-
i 1 i i i i i i i
0
0,69
1,61
3,06
4,61
6,88
10,16
0 2 4 Б 8 Ю
Длина,м
тода граничных элементов в работе [2]. &ти задачи аналогичны
рассмотренным выше, за исключением граничного условия на сво-
свободной поверхности, которое имеет вид
где >W — интенсивность притока. Конечно-разностный аналог
этого соотношения имеет вид
Ы'+А< = «<
cos
+ A-
At [eW+At + A
■B)W*].
(б)

406
Глава 12
|-«-23,8см—I
Задача притока в модели Хеле—Шоу (ретс. 12.4) исследовалась
экспериментально в работе Марино [7], в работе [2] были приве-
приведены результаты численного исследования с помощью метода гра-
граничных элементов, дискретное представление для которого пока-
показано на рис. 12.4. Поверх-
Поверхность дна, а также левая
и правая поверхности мо-
модели являются водонепро-
водонепроницаемыми, т. е. на этих
поверхностях q — 0. В на-
начальный момент времени
жидкость была неподвиж-
неподвижной и имела плоскую сво-
свободную поверхность. В мо-
момент времени t = 0 на
5
1
-2«,8см
Рис. 1Z4. Схема модели Хеле — Шоу н дис-
дискретное представление с помощью граничных
элементов.
расположенном на левом
краю участке длиной
23,8 см задается равномерная скорость, равная 0,056 см/с. Весо-
Весовой коэффициент 6 в уравнении (б) считался равным 0,7.
Результаты численного исследования конфигурации свободной
поверхности в различные моменты времени представлены на
рис. 12.5. Шаг по времени брался равным At — 0,5 (эта величина
25
20 '=2~~1—
10
" •«^
-о оШГГ--
_
1 1
"•Чае-* мин
1 1
_»_
о
_5_мйн
-«Is-
1
-экспериментПЗ
- метод конечных
элементов [8]
--метод гранич-
граничных элементов
i i
20
60
80
х, см
Рис. 12.5. Форма свободной поверхности в различные моменты времени.
была безразмерной, поскольку и все остальные переменные ^
решении считались безразмерными; подробности можно найти
в работе [2]). На этом-же рисунке приведены результаты.^получен-
ные Ньюменом и др. [8] методом конечных элементов. Имеется
хорошее соответствие между результатами численного решения,
а также результатами экспериментальных исследований, которые
указывают на приращение массы (т. е. уровень жидкости в модели
равен сумме уровней исходной жидкости и накопленного объема)
примерно на 10 %, тогда как при численном решении масса всегда
остается постоянной.

Примеры решения задач механики жидкости 407
Распространение описанного подхода на несимметричные и
трехмерные задачи было сделано в работах соответственно [3] и
[4]. Кроме того, в работе [2] было выполнено интересное исследо-
исследование притока в полубесконечном объеме, где решения для беско-
бесконечных областей использовались как функции формы для «беско-
«бесконечных граничных элементов», когда граница характерной обла-
области удаляется на бесконечность.
12.3. Задачи с подвижными границами
Лью и др. [9] применили метод граничных элементов для ре-
решения задач с подвижной границей, разделяющей две жидкости,
текущие в пористой среде, исполь-
используя так называемую модель с резко
выраженной границей, в которой
предполагается, что перемешивание
жидкостей незначительно и толщина
переходного слоя мала по сравнению
с характерным размером потока в
правлении течения.
Отметим, что задачу с устано-
установившимся положением границы раз- х,
дела (т. е. в предположении о том, рИС- 12.6. К задаче о подвиж-
что граница занимает фиксированное ной границе,
положение) можно решать, исполь-
используя метод подобластей, описанный в разд. 2.8. В данной
постановке используется та же идея, но с кинематическим
условием на границе раздела двух жидкостей, согласно кото-
которому в любой момент времени задается перемещение (вообще
говоря, неизвестное) границы раздела между жидкостями.
Для того чтобы сформулировать реальную задачу математи-
математически, разделим область, занимаемую потоком, на две подобласти
Q1 и Q2, которые занимают соответственно первая и вторая жид-
жидкости. Эти подобласти разделяются резко выраженной границей
хг = т] (х2, t). Тогда граничную задачу можно описать с помощью
уравнения Лапласа для потенциала и (пьезометрического напора)
VV = 0 в области Q' (/ = 1, 2), A2.8)
и граничных условий типа Дирихле и Неймана, заданных на
внешних поверхностях Г1 и Г2 (рис. 12.6), и внутренних гранич-
граничных условий на границе хх = т] (х2, /):
s«2 — и1 = (s — 1) хг, A2.10)
где а = ц^/ц,1, s = р2/рх, ц' —динамическая вязкость, р/ — плот-
плотность жидкости. Для получения решения задачи о неустановив-

408
Глава 12
шемся состоянии необходимо задать начальные условия: началь-
начальное положение границы раздела и начальное распределение по-
потенциала.
Для удобства при решении численным методом кинематическое
граничное условие A2.9) можно записать в виде
9t
тедт\/дх2 = ctg р.?1 = диЧдп1,? = диЧдп?(рис. 12.6).
Для того чтобы показать, каким образом условияA2.10)и A2.11)
на границе раздела можно ввести в систему уравнений B.81),
представим уравнения B.117) и B.118) соответственно для под-
подобластей 1 и 2 в форме
Г//1 н) о о "I
L о о н2 н) J
и1
и)
иг
и)
Го1 g\ о о 1
L 0 О G8 G) J
Q1
A2.12)
Вводя граничные условия A2.10) и A2.11) на внутренней гра-
границе и учитывая, что потенциалы и потоки на границе раздела
являются неизвестными, перепишем систему уравнений A2.12)
в виде
-о!
(т)о?
н2
и1
и]
и*
О» 0
0 1
Н2,\
Q1
A2.13)
В соответствии с граничными условиями на участках Г1 и Г2 гра-
границы подматрицы U1 и Q1, £/2 и Q2 можно поменять местами. От-
Отметим, что окончательная матрица системы уравнений A2.13) яв-
является ленточной. Решив эту систему линейных уравнений, иай-
дем значения потенциалов и потоков на границе раздела Г}.
Затем с помощью выражений A2.10) и A2.11) можно определить
значения функций U) и Q] на границе раздела Г/, после4 чего,
используя конечно-разностный аналог соотношения A2.11)
^ A2.14)
можно найти новое положение границы раздела. Повторяя эту
процедуру, находим перемещения границы раздела в каждый мо-
меит времени,

Непроницаемая стенка
'/fat//////
Q со
SI
Пресная вода
Граница раздела
соленой и пресной
воды
носок
\
Рис. 12.7. Схема экспериментальной модели для исследования
проникновения, соленой воды.
'//////////////////"/////////////////////уу/у/т^/////,
О непроницаемая
^ стенка
-5
-10
-15
-20
-25
метод конечных элементов
эксперимент
метод граничных элементов
- 19,1 см*/с
-200 -180 -1Б0 -НО -120 -100 -80
Рис. 12.8. Наступающий
клнн соленой воды (экспери-
(эксперимент 1 работы [10]).
20

410
Глава
2 к
га т^
О, осо
Пример 12.3. Типичная
задача о вторжении мор-
морской воды в ограниченный
берегом объем пресной
воды была рассмотрена
Лью и др. [9]. Предпола-
Предполагалось, что объем имеет
постоянную толщину, го-
горизонтальное дно и изве-
известную величину стока
пресной воды в море.
В момент времени t= 0
изменялся знак стока и
далее прослеживается дви-
движение клина морской воды.
Вир и Деген [10] провели
экспериментальное иссле-
исследование подобной задачи
на модели Хеле—Шоу, схе-
схема которой показана на
рис. 12.7.
Граница раздела соле-
соленой и пресной воды разби-
разбивалась на 11—12 линейных
граничных элементов, для
дискретного представле-
представления внешних границ ис-
использовалось 30—35 эле-
элементов. Дальний конец
слоя соленой воды отсе-
отсекался на расстоянии хг =
= 200 см, и там задава-
задавалось либо условие посто-
постоянного потенциала, либо
условие отсутствия пере-
перетекания, поскольку на та-
таком расстоянии влиянием
течения морской воды
можно пренебречь.-*Слой
пресной воды распростра-
распространяется на 400 см в глубь
берега, и там задается
условие постоянства рас-
расхода. Начальная конфи-
конфигурация границы раздела
при установившемся со-

Примеры решения задач механики жидкости 411
стоянии была получена путем детального исследования неуста-
неустановившегося состояния [9]. В момент времени t = 0 счи-
считается, что мгновенно изменяется знак стока на береговом
конце слоя, после чего записываются соответствующие перемеще-
перемещения границы раздела. Для того чтобы описать эксперименты
Вира и Дегена [10], использовалось от 40 до 50шагов повремени.
Изменения во времени границ, разделяющих соленую и прес-
пресную воду, для наступающего клина соленой воды (эксперимент 1
из работы. [10]) и для отступающего клина (эксперимент 3) пока-
показаны на рис. 12.8 и 12.9. Там же показаны результаты экспери-
экспериментов [11 ] и решения методом конечных элементов [11 ], где ис-
использовалась аппроксимация Дюпюи—Форхаймера.
Отметим, что специальное исследование было посвящено особым
точкам В и С (см. рис. 12.7); для повышения точности решения для
дискретного представления окрестности точки В использовались
сингулярные граничные элементы [12], а решение, полученное
методом возмущений [12, 13], использовалось в окрестности точки.
С для определения ее положения.
12.4. Осесимметричные тела при поперечном обтекании
Задача поперечного (потенциального) обтекания помещенного
в однородный поток осесимметричиого тела, когда поток перпен-
перпендикулярен оси симметрии тела, изучалась Хессом и Смитом [14].
В этом случае и потенциал скорости и и ее производная по нор-
нормали q пропорциональны косинусу угла, отсчитываемого от на-
направления движения однородного потока [15]. Задача чисто попе-
поперечного обтекания соответствует случаю п — 1 (когда используется
разложение в ряд Фурье для четных функций) в общей задаче для
осесимметричных тел с произвольными граничными условиями.
Комбинируя такое обтекание с осесимметричным обтеканием того
же тела (случай п = 0, рассматривавшийся в разд. 2.13), можно
рассматривать задачу обтекания под произвольным углом атаки.
Значения функций и и q в произвольной точке пространства
можно связать с их значениями в точке плоскости RZ (предпола-
(предполагая, что однородный поток параллелен оси R), имеющей такие же
осевую и радиальную координаты, что и рассматриваемая точка
(здесь используются те же обозначения, что и в выражении B.170)):
«(*) = «(*) cos 8 (х), q(x) = q(x)cosQ(x). A2.15)
Граничное интегральное уравнение, эквивалентное B.154),
для рассматриваемой задачи можно записать в виде
я
с (£) и (I) + j и (х) J q* (|, х)cos8 (х) № (х) R (x) df (х) «
Г -Я
я
= \q(x) \ и*(%, x)cosQ(x)dQ(x)R(x)df(x). A2.16)

412 Глава 12
Фундаментальное решение, которое мржно представить как
кольцевой источник, интенсивность которого изменяется по за-
закону косинуса угла в, имеет вид
я
й*(|, Зс) = J ы*(|, х)cose(*)<№(*). A2.17)
—я
Аналогично можно записать
л
q*& х) = \ q*(t x)cosQ(x)dQ(x). A2.18)
-я
Записанные выше интегралы можно выразить в явном виде
через полные эллиптические интегралы первого К (т) и второго
Е (т) родов
[4] A2Л9)
Klf)} A2.20)
где
а = Я» (£) + Я* (х) + [Z ф - Z (х) ]*,
Ь = 2R (I) R (х), с = [Z F) - Z (х) I2 - 7?2 (I),
/ = [Z (S) - Z (х) ]2 + 7?2 (|), m = 2fe/(a + b). A2.21)
Подставляя выражения A2.19) и A2.20) в уравнение A2.16),
получим граничное интегральное уравнение, решением которого
являются значения функций и и q в плоскости RZ. Значения функ-
функций и и q в произвольной точке границы в окружном направле-
направлении можно найти с помощью выражений A2.15).
Интегрирование по каждому граничному элементу выпол-
выполняется точно так же, как и в осесимметричном случае (разд. 2.13).
Сингулярные интегралы можно вычислять аналогичным образом)
а именно записав эллиптическне интегралы через функции Ле-
жандра второго рода и воспользовавшись ргзложениями этих
функций для малых значений их аргументов.
12.5. Медленное течение вязкой жидкости (течение Стокса)
Классическая задача течения Стокса, где исследуется устано-
установившееся медленное вязкое обтекание препятствия безынерцион-
безынерционной безграничной несжимаемой жидкостью, изучалась Юнгреном

Примеры решения задач механики жидкости 413
и Акривасом [16] с помощью метода граничных элементов. За-
Задача сводится к решению уравнений [17, 18]
»i,j} = P,t, "m = 0 A2.22, 12.23)
с граничными условиями
щ — —Ut на поверхности тела, A2.24)
Ы|,р->0 на бесконечности, A2.25)
где щ — вектор скорости, р — давление, Ut — начальный вектор
скорости; все переменные являются безразмерными и исполь-
используются тензорные обозначения для декартовой системы коорди-
координат (гл. 5).
Уравнение движения A2.22) имеет вид векторного уравнения
Пуассона, уравнение A2.23) описывает условие неразрывности
течения. Выражения A2.24) и A2.25) описывают граничные усло-
условия соответственно на поверхности тела (условие отсутствия прили-
прилипания) и на бесконечности. Фундаментальное решение этой задачи
имеет вид [16, 19] .
«;/ = (8n/-r1Fl7 + /-,«r,i), A2.26)
Р;=г,//Dпг2), A2.27)
где обозначения те же, что и в выражении E.57).
Используя теорему Остроградского—Гаусса [20], получаем
соотношение, которое можно было бы назвать формулой Грина
для задачи Стокса для гладких соленоидальных векторных а, <о и
скалярных р, q функций в ограниченной области с границей Г:
| {«I (*) ["!.и(х) - <7, i (*)] ~ »i (*) [и,, jj(х) -p,t(x)]) du (х) =
а
= J К (х) Ти[vt (x)] n,(x) - vt (x) Ti}[ut (x)] пг (x)} dr (x), A2.28)
г
где Tt] — тензор касательных напряжений, причем
«./ +«/.i. A2.29)
Подставляя вместо vt и q фундаментальные решения u%t и /?|, рас-
рассматривая функции иг и р как решения уравнений A2.22) и A2.23)
и учитывая, что ut (х) = О (| х |~') и р (х) = О (| х |) при х -> оо
(см. разд. 2.10 и 5.6), получим аналог третьего равенства Грина
[20] для задачи Стокса:
и* (Ю + ( Ч1п (I. х) ик (х) п, (х) dT (х) =
г
= { <k (|, х) Тк! [щ (х)] п; (х) dT {х), A2.30)
г

414 Глава 12
Р (I) + J tU (I, X) Uk (x) П, {x)'dY (x) =
г
- J Pi (Б. х) Тц [и, (х)] п, (х) dT (x), A2.31)
г
где
JJ ^ » A2.32)
б/*-3/-. /г.*). A2.33)
Следует иметь в виду, что в интегральных уравнениях A2.30) и
A2.31) можно выполнять интегрирование по частям. Интересно
отметить, что выражения A2.26) и A2.32) идентичны фундамен-
фундаментальному решению E.55) и выражению для напряжений E.60)
в случае несжимаемых материалов.
Взяв точку | в уравнении A2.30) на границе и учитывая ска-
скачок интеграла от функции q* и граничное условие A2.24) отсутст-
отсутствия прилипания, получим следующее граничное интегральное
уравнение:
сц (I) U, (|) + j qllt F, х) Uk (х) щ (х) dT (х) =
г
«(E. x)U(x)dT(x), A2.34)
где неизвестными являются локальные поверхностные напряже-
напряжения fh (x) — Tki [ut (х)] щ (х). При такой формулировке задачи
Стокса непосредственно определяются обусловленные указан-
указанными напряжениями касательныесилы, нахождение которых обыч-
обычно и является целью исследования. Более того, используя выра-
выражение A2.31), можно вычислить давление в произвольной точке.
Для случая однородного бесконечного потока уравнение A2.31)
принимает более простой вид. Характерно, что если функция
Ui (x) является постоянной и равна Wt, то, используя уравнение
A2.28), можно показать [16], что справедливо равенство
I Ч1ц (I, х) Wkn, (х) dT (x) = -±Wt, A2.35)
г
и уравнение A2.34) принимает вид
4
w+c © w=- J "** & *)/* w ^ w- A2-36)

Примеры решения задач механики жидкости
415
Численное решение уравнений A2.34) или A2.36) выполняется
в основном так же, как и в разд. 2.12 и 5.7- 5.9. Подробности, от-
относящиеся к этим решениям, можно найти в работе [16], где,
Рис. 12.10. Результаты
численных исследова-
исследований напряжений, воз-
возникающих при осесим-
метричном обтекании:
а — сплющенный эллип-
эллипсоид; б — вытянутый эл-
эллипсоид. Сплошная ли-
линия соответствует анали-
аналитическому решению.
кроме того, обсуждается упрощенный вариант^уравнения A2.34),
соответствующий случаю осесимметричного течения; при этом
фундаментальные решения выражаются явно через полные эллип-
эллиптические интегралы К и Е.
Пример 12.4. Здесь воспроизводятся результаты, полученные
Юнгреном и Акривасом [16] для задачи осесимметричного обтека-
обтекания эллипсоида, поверхность которого определяется уравнением

416 Глава 12
xl + (** + xlVa2 — 1- Эллипсоид перемещается в направлении
оси хг.
На рис. 12.10 сопоставляются результаты для поверхностных
напряжений, полученные путем дискретного представления по-
поверхности эллипсоида с помощью N постоянных граничных эле-
элементов одинакового размера и найденные аналитически. Можно
видеть, что наибольшие погрешности для функции fx имеют^место,
как и ожидалось, в тех областях, где градиент функции /х прини-
принимает наибольшие значения (из аналитического решения следует,
что значение fR тождественно равно нулю, а численное решение
равно нулю с точностью до погрешности вычислений). Точность
численного решения в дальнейшем можно увеличить, используя
дискретное представление с большим числом граничных элементов
в области больших значений градиентов.
12.6. Обобщенная задача о течении вязкой жидкости
Трехмерные задачи о течении несжимаемой вязкой жидкости
описываются уравнением Навье—Стокса [17—19]:
Р(«1 + «Я|,Л = Р,| + 1Ш|,« A2.37)
и условием неразрывности течения A2.23). Параметры р и ц —
соответственно плотность и коэффициент вязкости жидкости,
точкой обозначается производная по времени. Отметим, что урав-
уравнение A2.37) при обращении в нуль его левой части совпадает
с уравнением A2.22).
В большей части конечно-разностных и конечно-элементных ме-
методов решения подобных задач уравнение Навье—Стокса обычно
используется в приведенной выше форме (т. е. они записываются
относительно скорости и давления), а в двумерном случае эти
уравнения пишутся для функции тока и вихрей или относительно
одной функции тока [21 ]. Главная трудность, встречающаяся
в этих методах, связана с тем, что численная процедура, определя-
определяющая кинематическую часть задачи, должна быть неявной. Вслед-
Вследствие этого решение требуется находить для всей области, занимае-
занимаемой потоком, включая сюда области как с вязким, так и,£ невяз-,
ким течением. Более того, для задач внешнего обтекания тел ко-
конечных размеров удовлетворение граничных условий, заданных
на бесконечности, сводится к рассмотрению вместо бесконечно
удаленной границы поверхности, отстоящей на конечном расстоя-
расстоянии.
Более удобная с точки зрения применения численншх методов
форма уравнений Навье—Стокса получается, если, как это сделано
в работе Лайтхилла [22], в качестве независимых переменных
используются скорость или вихри. Таким путем можно записать
систему уравнений, часть из которых определяет кинетику, т. е.

Примеры решения задач, механики жидкости 417
изменение во времени поля вихрей, а часть — кинематику, т. е.
связывает поле скоростей в произвольный момент времени с полем
вихрей в тот же момент времени. Преимущества такого подхода
были замечены и появилось несколько работ [23—26], исполь-
использующих различные формулировки в сочетании с методами конеч-
конечных разностей и конечных элементов. Эти формулировки приво-
приводят кинематическую часть задачи к интегральному уравнению
для скоростей, записанных через вихри. Главным достоинством
такого подхода является то, что он позволяет применять явную
поточечную схему вычисления скоростей.
Непосредственным следствием указанного выше подхода яв-
является то, что при вычислении распределения скоростей по потоку
учитывается лишь распределение вихрей в вязкой области потока.
Поскольку такая вязкая область обычно располагается внутри
намного более обширной области идеального течения, при этом
достигается значительное уменьшение размеров области, рассма-
рассматриваемой при численном решении. Более того, в задачах внеш-
внешнего обтекания в интегральное уравнение неявно входят гранич-
граничные условия, задаваемые на бесконечности, поэтому здесь не тре-
требуется заменять бесконечную область границей, расположенной
на конечном расстоянии. Однако кинетическая часть уравнений
была представлена в дифференциальной форме, поэтому здесь
оставались некоторые трудности, связанные с удовлетворением
граничных условий на поверхности твердого тела (см. работу
By [2]).
В этом разделе будут описаны основанные на методе гранич-
граничных элементов подходы, согласно которым как кинематическая,
так и кинетическая стороны задачи формулируются в интеграль-
интегральной форме. Для того чтобы воспользоваться этими подходами, не-
необходимо перейти от использовавшихся ранее тензорных обозна-
обозначений к векторным. Тогда уравнение A2.37) примет вид
. A2.38)
Записав роторы от левой и правой частей уравнения A2.38), по-
получим уравнение переноса вихрей
^- = V X (и х ») + WV A2.39)
где было учтено уравнение неразрывности
V-P = 0 A2.40)
и использовано обозначение для вектора завихренности
<й = УХй. A2.41)
Параметр v в уравнении A2.39) определяет кинематическую вяз-
вязкость жидкости.
14 Бреббия К- и др.

418 Глава 12
Кинематическое соотношение между и и <t> определяется урав-
уравнениями A2.40) и A2.41). Для заданного распределения завихрен-
завихренности со распределение скоростей по потоку обычно находится
с помощью векторного уравнения Пуассона, получаемого путем
применения оператора ротора к соотношению A2.41), что с учетом
уравнения A2.40) дает связь
V2h = — vX<o. A2 42)
Сравнивая это соотношение с уравнением B.103) и следуя проце-
процедуре вывода уравнения B.68), можно написать следующее интег-
интегральное уравнение, эквивалентное' уравнению A2.42):
ди(х)
л.
и* F, х) dT (х) + J [V X о) {х)] и* (I, х) dQ (х), A2.43)
где и* (|, х) — фундаментальное решение уравнения Лапласа
(см. разд. 2.3), п{х) — единичный нормальный вектор.
Корректные граничные условия для физической задачи фор-
формулируются путем задания распределения скоростей. Поэтому,
прежде чем вычислять значения и в каждой точке потока (при из-
известном распределении вихрей), необходимо в уравнении A2.43)
взять точку £ на границе, и, таким образом, получить граничное
интегральное уравнение относительно значений ди/дпна границе
Г. Эти значения затем подставляются в уравнение A2.43), решая
которое, можно найти распределение скоростей в области Q.
By и Томпсон [24] выразили сомнения в возможности исполь-
использования уравнения A2.42) для описания кинематики течения. Они
обратили внимание на то, что решение уравнений A2.40) и A2.41)
для функции и единственно только в том случае, если на границе
Г заданы функции ut и ип (ut — касательная, ип — нормальная
компоненты вектора и). Таким образом, когда решения уравнений
A2.40) и A2.41) с заданными ut или ип удовлетворяют также и
уравнению A2.42), это не обязательно гарантирует сходимость
процесса численного решения, т. е. решения уравнений A2.42)
при заданных ut и ип могут не удовлетворять уравнениям"*A2.40)
и A2.41).
Более удобное интегральное представление для кинематики
течения было получено By и Томпсоном [24] непосредственно из
уравнений A2.40) и A2.41). Оно вытекает из применения теоремы
Грина к векторам [28]:
J
= J [Е х (V X F) + E(V-F) -Fx{VxE)- F{V-E)]-ndT,{l2A4)

Примеры решения задач механики жидкости 4194
где
V2f = V(V-f)-VXVXf. A2.45)
Пусть вектор v* (£, х) — фундаментальное решение векторного
уравнения Лапласа y*F = 0 вида
V* (£, х) = v [«*(?. х))хо, A2.46>
где а—постоянный единичный вектор. Прямой подстановкой;
убеждаемся, что справедливы равенства
уг>* = 0, A2.47>
Vx ©* = v(e*V"*) Для 6ч*1*- A2.48>
Из уравнения A2.40) видно, что существует векторный потенциал.
V, для которого справедливы соотношения [18]
УхТ=и, V-T = 0. A2.49, 12.50).
Таким образом, подставляя в уравнение A2.44) вместо F фунда-
фундаментальное решение v* и вместо Е векторный потенциал Чг, учи-
учитывая уравнения A2.41) и A2.46)—A2.50) и вводя (см. разд. 2.2)
охватывающую точку | малую сферу радиусом е с поверхностью»
Гг, которая исключается из области интегрирования, из уравнения
A2.44) получим
(V«*X a
= j Tx V(a-Vu*)»dr - J (Vw*xa)X u-ndT. A2.51)
Г+Г, Г+Г,
Это уравнение можно переписать в следующей форме:
= ( (а-Щ*)(и-п.)йТ- ( a-[(«-»)X V«*]dl\ A2.62>
r+r, r+r.
При e -> 0 область интегрирования Q в левой части уравнения:
A2.52) представляет собой пространство, ограниченное поверх-
поверхностью Г, поскольку пространственный интеграл по области, огра-
ограниченной поверхностью Ге, будет стремиться к нулю при е -*■ 0_
Для интегралов по поверхности Ге, стоящих в правой части
уравнения A2.52), имеем
limff {a-Vu*)(a-n)dT- \ а-[(и х я) X V«*]dr) =
е-° Ire ге ]
i- f \{a-n){u-n)— a-[(uxn x n]\ dr\= Ana-u(l). A2.53)
е f /

420 Глава 12
Учитывая это соотношение, а также то, что вектор а имеет произ-
произвольное направление, из уравнения A2.52) получаем
\{u-n)Vu*dT = \(и X п) х
г г
4-jwx V«* du. A2.54)
а
Аналогичные выражения можно получить и для двумерных
задач течения, взяв в качестве функции и* (|, х) фундаментальное
решение для двумерного случая (см. разд. 2.3), причем здесь пре-
предел в выражении A2.53) равен 2па-и(\). Таким образом, получаем
обобщенное выражение для скорости и [24]:
х п (*И х г
I» (*)•«(*)] г (g, x) jt,,^)
—?(Г5— (у
где для трехмерного случая имеем а = 2, d = 3,
г (|, *) = {xt (|) — хх (х), хг (I) — х2 (х),
х3A) —х3(х)\,
а для двумерного случая
г (I х) = {хх (|) - дсх (х), х2 (I) - х2(х)}.
Отметим, что при использовании уравнения A2.55) для опре-
определения значений функции и в области, занимаемой потоком,
необходимо, чтобы на границе Г были заданы значения щ и ип.
Если эти значения являются совместными, т. е. если одно из этих
значений получается из решения уравнений A2.40) и A2.41), когда
второе из этих значений используется в качестве граничного зна-
значения,то обе эти функции, входящие в уравнение A2.55), являются i
допустимыми и не переопределяют задачу.
Для задачи о внешнем обтекании тел конечных размеров можно
считать, что область п в уравнении A2.55) является бесконечной
и полностью занята жидкостью. Тогда, следуя процедуре, изло-
изложенной в разд. 2.10, границу можно разбить на две части: часть
границы между твердым телом и жидкостью, где выполняется
условие отсутствия прилипания (и = 0), и часть бесконечно уда-
удаленной от тела окружающей его поверхности, где задается гра-
граничное условие, согласно которому скорость равна скорости не-

Пример/л решения задач механики жидкости 421
возмущенного потока (и = вж). Вычисляя поверхностные, ин-
интегралы в уравнении A2.55), получаем в этом случае
В приведенном уравнении можно узнать закон Био—Савара для
индуцированных скоростей [18, 29]. Таким образом, интеграль-
интегральное уравнение A2.55) является распространением закона Био—
Савара на область, ограниченную поверхностью Г.
Если заданы значения функций и на границе Г и ш в области Q,
то из уравнения A2.55) можно получить неявную схему вычисле-
вычисления скоростей в произвольной точке потока. Отметим, что, как
видно из выражения A2.56), в уравнении A2.55) в неявном виде
содержатся граничные условия на бесконечности и, кроме того,
при вычислении скоростей необходимо рассматривать только рас-
распределение завихренности в вязкой области потока, поскольку по-
подынтегральная функция в пространственном интеграле равна
нулю при ю = 0.
12.6.1. Задачи об установившемся течении
Прежде чем переходить к решению уравнений Навье—Стокса
A2.39) для неустановившегося течения, обсудим сначала проце-
процедуры численного решения задач для установившегося течения не-
несжимаемой вязкой жидкости. Хотя в ряде численных исследова-
исследований задач об установившемся течении применяются уравнения
с временными зависимостями (чтобы решения для установившегося
течения получать с помощью асимптотических представлений),
тем не менее в этом подходе в процедуру численного решения вво-
вводится новая зависимая переменная —время, что приводит к до-
дополнительным трудностям вычислительного характера.
Как уже отмечалось выше, кинематика течения жидкости опи-
описывается соотношениями A2.55). Кинетическая сторона течения
представляется уравнениями Навье—Стокса, которые для случая
установившегося течения можно написать в следующем виде [18]:
J A2.57)
где h — общий напор, равный
h =-J-+-j- <12-58>
Здесь р—давление, р — плотность жидкости, и2 — и-и. Из
определения завихренности A2.41) имеем
V-w = 0. A2.59)

422 Глава 12
Таким образом, можно видеть, что дифференциальные уравнения
A2.57) и A2.58) для завихренности аналогичны системе уравнений
A2.40) и A2.41) для скоростей. Поэтому интегральное уравнение,
описывающее кинетику потока, можно получить простой заменой
в уравнении A2.55) векторов кию соответственно на йи(вХй —
h B результате чего получаем
= _1_ LL [ I«(*)x«(*)-vM*)xr(E,*)]rg,») dQ {х) +
4- \ I«» (*) X ft (*)] X г (I, x) .p , .
-J
. A2.60)
Применяя теорему Остроградского—Гаусса к слагаемому, содер-
содержащему h, найдем
- J
и уравнение A2.60) можно представить в следующем виде:
2яа v J r (%, x)
X n (x)\ x r (|, *) - [m (x) ■ n (x)\ г (I, x)
rd A, x)
л. f [«»(-^) X n (x)\ x r (|, *) [m (x) n (x)\ г (I, x) ^ . . _
J d A ;
L (h(x)n(x)Xr(l,x) Л A 2
v J r" (| x) ;) Л ;
Значения ю в области, занимаемой потоком, можно вычислять
итерационным путем, используя приведенное выше уравнение и
считая, что для него известны значения и в области Й,а также о>
и h на границе Г. Так же как это было при нахождении и (см.
уравнение A2.55)), в любой точке невязкой части потока вектор *»
равен нулю. Таким образом, при вычислении используются^голько
значения функции и на границе Г (они являются заданными гра-
граничными условиями) и в тех областях, где поток является вязким.
С учетом сказанного в качестве области, для которой ищется ре-
решение, можно взять область, где поток является вязким.
Алгоритм численного решения задач о неустановившемся те-
течении несжимаемой вязкой жидкости с использованием уравнений
A2.55) и A2.62) был описан и подробно обсужден в работах By и
Вахбаха [30, 31 ].

Примеры решения задач механики жидкости
423
Пример 12.5. By и Вахбах [30] методом граничных элементов
получили решение задачи о течении вдоль полости квадратного
профиля с числом Рейнольдса, равным 600. Они использовали
линейные граничные элементы и треугольные ячейки с линейными
интерполирующими функциями для дискретного представления
границы и области внутри ее.
F ШОС
с
-75Сс
-500 с
-25С<-
1000
с
-500 с
-250 о
о
1000
о
-732 о
-Wo
-2i3°
1000
о
-732 с
-lice
■291е
- 157с
юсо
с
-72So
-464 о
-242 о
-178 с
Г Г /"
}% 90
1000
о
-745 о
-516о
- 547 с.
-239°
75
-7ч1 о
-51<|°
-ЗЗБо
-225°
1000 1000
с
-700o
■ 472o
■ 281o
■ 550-
. 310
.242'
66
/7
V
Г120
f IBS
153
<
I
A
looo E Ю0О
-727
-275
750
500
250
"8
Рис. 12.11. Установившееся течение несжимаемой вязкой жядкостя вдоль поло-
полости при Re = 600.
Характер течения для этой задачи виден из рис. 12.11, где
показаны открытая полость квадратного поперечного сечения и
движущаяся пластинка, отстоящая от полости на расстояние,
равное одной шестой ширины полости. Там же показаны гранич-
граничные условия для скоростей. Граничные условия для скоростей
на входе и выходе являются линейными и соответствуют распре-
распределению Куэтта для скоростей по высоте профиля, когда отсутст-
отсутствуют градиенты давления. Эти условия задаются в поперечных
сечениях канала, отстоящих от ее краев на расстояние, равное од-
одной трети ширины полости.
В результате вычисления векторов скоростей (рис. 12.11)
была получена та же картина обтекания с центральным вихрем
в полости, что и найденная в работе [32] методом конечных эле-
элементов и в работах [33, 34 ] методом конечных разностей.

424 Глава 12
12.6.2. Задачи о неустановившемся течен"ии
Задачи о неустановившемся течении несжимаемой вязкой жид-
жидкости описываются системой уравнений A2.39)—A2.41). Интег-
Интегральное уравнение, эквивалентное уравнениям A2.40) и A2.41),
определяющее кинематику потока, уже было получено ранее
(см. уравнение A2.55) ). Ниже будет получено интегральное пред-
представление для кинетической картины течения [35—38].
Перепишем уравнение A2.39) для завихренности в следующем
виде:
v2<a - 7¥ = ---v х (" х «)• A2-63>
Сравнивая это уравнение с уравнением D.1), можно видеть, что
уравнение A2.63) можно рассматривать как нелинейное неодно-
неоднородное уравнение диффузии, где нелинейность обусловлена кон-
конвективным слагаемым, стоящим в правой части. Таким образом,
Интегральное уравнение, эквивалентное уравнению A2.63), можно
легко получить (см. уравнение D.29) ) в следующем виде:
«F, tp) 4- v f J ю (х, t) [Vu* (I, х, tF, t) ■ n (x)) dT (x) dt =
f J
t. г
= vj ]u*£,x.tF.t)[[VX»{x, t)]xn(x)\dV(x)dt
<o Г
+ ] ©о {x, t0) u* (g, x, tF, t0) du (x) +
Q
*F
+ J j (V X [tt(x, t) x «(x, t)])u*(l, x, tr, t)du{x)dt,
*• Q A2.64)
где и* (^, x, tF, t) — фундаментальное решение уравнения диф-
диффузии (см. уравнение D.26)).
Используя приведенные выше уравнения, можно с помощью
итерационной процедуры найти значения © в каждой точке поля
в произвольный момент времени t. Для простоты рассмотрим дву-
двумерную задачу обтекания препятствия, помещенного в бесконечное
пространство. Внутренний интеграл в последнем слагаемом урав-
уравнения A2.64) можно взять по частям, что дает
—J[V•(©«)]u*dQ= - ju*o)(tt.«)dr4- J©(B-Vu*)dQ, A2.65)

Примеры решения задач механики жидкости 425
но поскольку первый интеграл в правой части этого уравнения
равен нулю в силу условия отсутствия прилипания, то уравнение
A2.64) можно свести к виду
»• M + v j Je>(x, <)[V«*(g, x, *„ O-*(*)]dT(x)tf =
<o Г
*F
■= v j J и* F, x, tF, t) [V© (x, 0 • л (x)] dr (x) dt +
j \
<0 Г
+ j ©o (x, t0) u* (I, x, tF, t0) dQ (x) +
Q
*F
+ j j a(x, <)[»(*. O-V«*tt. *, h. t)]dQ(x)dt. A2.66)
<o Г
Для жидкости, находящейся в контакте с движущимся телом,
условие отсутствия прилипания приводит к механизму зарожде-
Рис. 12.12. Картина обтекания кругового цилиндра.
ния (или исчезновения) вихрей на поверхности твердого тела.
В случае когда жидкость в начальный момент времени находилась
в покое, безвихревое течение, обусловленное движением твердого
тела, имеет отличную от нуля тангенциальную скорость относи-
относительно этого тела. Поэтому при t = 0 здесь возникает разрыв
тангенциальных скоростей, обусловленный условием отсутствия

426
Глава 12
прилипания, приводящий к возникновению вихревого слоя на
границе [27, 29]. При t > 0 вихрь, который при t = 0 распола-
располагался на границе, затягивается путем диффузии внутрь области,.
занимаемой жидкостью, и в какой-то момент выносится оттуда
путем конвекции и диффузии.
Математически этот процесс описывается уравнением A2.66).
В соответствии с обсуждением, имевшим место при получении
соотношения D.33), можно
видеть, что третий инте-
интеграл в уравнении A2.66)
описывает влияние на-
начального распределения
завихренности. Посколь-
Поскольку вихревое движение в
покоящейся жидкости от-
отсутствует, начальное рас-
распределение завихренности
изменяется вследствие про-
процесса конвекции, описы-
описываемого последним слагае-
слагаемым в уравнении A2.66).
И наконец, граничные ин-
интегралы в уравнении
A2.66) описывают влия-
влияние образования (или ис-
исчезновения) вихрей на по-
поверхности Г, причем этот
процесс связан, как об
этом уже говорилось, с ус-
условием отсутствия прили-
прилипания. Так же как и в слу-
случае установившегося тече-
течения, при нахождении <*
численным путем те части области, в которых вязкость равна нулю,
можно не рассматривать. Таким образом, при вычислениях <*
необходимо знать только значения и в тех частях потока, где вяз-
вязкость не равна нулю. Эффективные алгоритмы численного решения
этой задачи, построенные на основе процедур, описанных в гл. 4„
представлены в работах [35, 37, 38]. v
Распространение подхода, описанного в этом разделе, на слу-
случай учета сжимаемости и турбулентности потока было сделано
в работах By и др. (соответственно [40] и [41]).
Пример 12.6. Результаты решения классической задачи обте-
обтекания кругового цилиндра, полученные методом граничных эле-
элементов, представлены в работе By и Рицка [35], где число Рей-
нольдса полагалось равным 40. На верхней и нижней половинах
метод граничных
элементов
метод конечных
разностей первого
порядка
метод конечных разностей
второго порядка
i i i i
О
Рис. 12.13. Зависимость нормальной компо-
компоненты градиента вихря h от угла в для
кругового цилиндра.

Примеры решения задач механики жидкости 427
рис. 12.12 показаны найденные путем численного решения соот-
соответственно линии тока и контуры вихрей. Показанные на рисунке
линии тока соответствуют асимптотическому поведению решения
для установившегося течения.
Для того чтобы найти силы, действующие на твердое тело
в вязком потоке, важно с достаточной точностью определить вихри
и их нормальные градиенты на границе твердого тела. Обычно эти
величины вычисляют с использованием формул для односторон-
односторонних конечных разностей, экстраполируя известные значения на
точки, не лежащие на границе. Результаты, полученные таким
способом, чувствительны к выбору сетки для пристеночной об-
области и точности формул конечных разностей. В методе граничных
элементов эти величины получаются непосредственно из решения
интегральных уравнений, что обеспечивает высокую точность
получаемых результатов. На рис. 12.13 приведено сравнение ре-
результатов вычисления градиента вихря в нормальном направле-
направлении методом граничных элементов и с помощью формул конечных
разностей различного порядка. Полярный угол 0 (рис. 12.13)
отсчитывается от передней точки застоя.

Глава 13
Использование метода граничных элементов
совместно с другими методами
13.1. Введение
В ряде инженерных задач возникает вопрос о характере свя-
связей или взаимодействия между различными частями конструкции
или системами. Например системы, состоящие из конструкции,
жидкости и грунта, можно рассматривать в рамках одной и той же
задачи, причем каждой части подобных систем будет соответство-
соответствовать своя область, внутри которой можно использовать независи-
независимый численный способ решения. Жидкости, например вода или
смазка, и воздух могут взаимодействовать с элементами таких
конструкций, как здания, плотины, прибрежные сооружения,
детали машин, сосуды высокого давления и т. п. Наземные соору-
сооружения взаимодействуют с грунтом через свои фундаменты, поэтому
поведение таких конструкций в значительной мере зависит от
характеристик окружающих их слоев горной породы и грунта.
Во многих случаях с достаточной для практики точностью можно
предположить, что воздействия одних систем на другие не прояв-
проявляются одновременно. Типичными примерами такого несвязан-
несвязанного взаимодействия является воздействие Еетровых сил на соору-
сооружения и гидродинамических сил на массивные засыпные при-
прибрежные платформы. В этих случаях силы, действующие на кон-
конструкцию, можно вычислят^ предполагая, что конструкция яв-
является абсолютно жесткой, и пренебрегая взаимодействием ее
с окружающей жидкостью. При решении подобных задач целесооб-
целесообразно использовать граничьые элементы, поскольку ими удобно
моделировать бесконечные области. С помощью метода граничных
элементов быстро решаются задачи дифракции волн, резонансных
колебаний в гавани, течения жидкости и т. п. В этих случаях
метод граничных элементов использует гораздо меньшее число ис-
исходных данных, чем метсд конечных элементов и метод конечных
разностей.
Для таких конструкций, как гибкие мачты или податливые
прибрежные сооружения, системы, моделирующие твердое дефор-
деформируемое тело и жидкость, необходимо рассматривать для одного и
того же момента времени. Подобные системы называются связан-
связанными, поскольку в любой момент времени поведение одной из си-
систем оказывает влияние на поведение другой и наоборот. В ряде
случаев приходится описывать часть общей системы с помощью

Метод граничных элементов и другие методы 429
граничных элементов, а другую часть — с помощью, например,
конечных элементов. Учет взаимодействия може1 оказаться необ-
необходимым для получения более точных результатов для какой-либо
из частей общей задачи. Например, метод граничных элементов
дает, как правило, более точные результаты, чем метод крнечных
элементов, в тех областях, где имеется концентрация напряжений
илп потоков. Можно, например, ввести специальные граничные
элементы для областей с сингулярностями и использовать их затем
в сочетании со стандартными конечными элементами.
Граничные элементы часто используются и в задачах для бес-
бесконечных областей, поскольку они удовлетворяют условиям излу-
излучения, которые трудно записать с помощью конечных элементов.
Одним из очевидных недостатков метода конечных элементов яв-
является невозможность применения его для бесконечных областей.
Напротив, граничные элементы предполагают использование
фундаментальных решений, которые естественным образом удов-
удовлетворяют условию излучения. К настоящему времени выполнено
много работ [1 —16], в которых используются комбинации гранич-
граничных и конечных элементов. Однако применение точного фундамен-
фундаментального решения во всех случаях может оказаться делом трудным
или неудобным, поэтому при численном решении с равным успе-
успехом можно использовать некоторые приближенные представления,
приводящие лишь к незначительной потере точности.
Специального типа аппроксимация использует условие излу-
излучения Зоммерфельда. Аналогичная идея состоит в использовании
специальных конечных элементов (иногда называемых «бесконеч-
«бесконечными элементами») для приближенного удовлетворения условию
излечения. Использование этой и другого типа формулировок об-
обсуждается в работах [17—24].
Ниже будут обсуждаться подходы, комбинирующие методы
граничных и конечных элементов, и построение приближенных
решений. Преимущество использования приближенных граничных
или пространственных решений для представления условий излу-
излучения состоит в том, что при этом не требуется рассматривать все
узлы одновременно, а только каждый узел и смежные с ним узлы.
13.2. Решения, получаемые при совместном использовании
методов конечных и граничных элементов
Для многих практических задач как для бесконечных областей,
так и для областей с высокими концентрациями напряжений пред-
представляет большой интерес сочетать оба численных подхода, осо-
особенно при использовании решений граничных интегральных урав-
уравнений. С другой стороны, конечные элементы легче применять при
рассмотрении тех частей рассматриваемой области, где материал
проявляет свойства анизотропии или нелинейного поведения.

430 Глава 13
Использование для граничных элементов линейных или более
высокого порядка аппроксимирующих функций позволяет соче-
сочетать области с дискретным представлением с помощью как конеч-
конечных, так и граничных элементов без нарушения условий нераз-
неразрывности. В одном из подходов предусматривается превращение
области, представляемой конечными элементами, в граничный эле-
элемент, что особенно удобно при использовании смешанной конечно-
элементной формулировки, поскольку в этих случаях легко подо-
подобрать степени свободы для обеих частей. Более обычным является
преобразование области, описываемой граничными элементами,
в эквивалентный конечный элемент. В результате этой операции
получаются несимметричные матрицы, хотя опыт показывает, что
эти матрицы можно привести к симметричному виду без существен-
существенной потери точности. Симметричные матрицы удобны тем, что их
можно легко приспособить к существующим программам метода
конечных элементов, и, кроме того, они более эффективны с вычис-
вычислительной точки зрения.
Матрицы, соответствующие методу конечных элементов, можно
построить с помощью излагавшегося ранее метода взвешенных
невязок. Отправным для потенциальной модели является следую-
следующее соотношение:
J<7i-§7-dQ = \qbudTl+ \bbudu, A3.1)
Q ' ' Г, Q
где Ьи—вариация или возможное приращение потенциала,
Цг—компонента вектора потока в направлении оси Х{, q — нор-
нормальная компонента потока на участке Г2 границы, Ь — источ-
источники, распределенные внутри рассматриваемой области. От-
Отметим, что функция и тождественно удовлетворяет существен-
существенным граничным условиям задачи, т. е. и —и и 6ы=0 на участке
Т\ границы.
Далее на каждом элементе задается интерполирующая
функция для и. Такая же функция задается и для бы, что при-
приводит к симметричным матрицам. Эта процедура хорошо из-
известна и здесь излагаться не будет. Заинтересованный читатель
может найти подробности в книге [26].
Для задач теории упругости исходное соотношение
j a^eiydQ = j pMi dY + j bfiui du. A3.2)
Q Г, Q
вытекает из принципа возможных перемещений. Здесь ot] и вц —
компоненты тензоров соответственно напряжений и деформаций,
р — напряжения, заданные на участке Г2 границы, bt —компо-
—компоненты объемных сил, ut — компоненты вектора перемещений.
Условия на участке Г\ границы удовлетворяются тождественно,
т. е. имеем ut = п г, быг = 0.

Метод граничных элементов и другие методы 431
Если для областей, соответствующих уравнениям A3.1) и
A3.2), использовать дискретное представление с помощью конеч-
конечных элементов, то получим окончательную систему уравнения,
которая в матричной форме имеет вид
KU = F + D. A3.3)
Здесь К — глобальная матрица жесткости для системы, U —
неизвестные узловые перемещения или потенциалы, F— экви-
эквивалентная сила в узле или проинтегрированный вектор потока,
определяемые первым интегралом, стоящим в правой части урав-
уравнения A3.1) или A3.2), D — вектор, характеризующий влияние
распределенных источников или объемных сил.
Отметим, что вектор F был получен с помощью метода взве-
взвешенных невязок, когда подынтегральные функции являются про-
произведениями приложенных напряжений (или потоков) и интер-
интерполирующих функций для возможных перемещений (или потен-
потенциалов). Отсюда следует, что всегда можно найти матрицу рас-
распределения N, такую, что вектор F примет вид
F = NQ, A3.4)
где вектор Q определяет узловые значения напряжений или
потоков. Элементы матрицы N будут зависеть от типа интерпо-
интерполирующих функций, используемых для представления перемеще-
перемещений и напряжений или потенциалов и потоков. Важно учитывать
то, что симметрия матрицы К обусловлена симметричными свой-
свойствами интегралов, стоящих в левых частях уравнений (.13.1)
и A3.2), а именно:
( ааЬгийп = j гцЬоцйп. A3.5)
Q Q
Матричные уравнения метода конечных элементов можно
теперь записать в виде
KU = NQ + D. A3.6)
Для области, представляемой граничными элементами, раз-
разрешающие граничные интегральные уравнения можно записать
в следующем виде для задачи о потенциале:
си + J q*u dT = j u*q dT+\ bu* dQ A3.7)
г г в
и задачи теории упругости:
сф, + j p'ijUj dT = j uliPj dT + j bfi"tl dQ. A3.8)
г г о
Для обоих случаев результирующие граничные интегральные
уравнения можно представить в следующей матричной форме:
B, A3.9)

432
Глава 13
где U и Q — соответственно векторы узловых перемещений (или
потенциалов) и напряжений (или потоков), В — вектор, обуслов-
обусловленный учетом объемных сил (или распределенных источников),
матрицы И и G получаются с использованием фундаментального
решения и функций формы для представления значений на гра-
границе неизвестных функций и и q. Затем применяется процесс,
основанный на методе пото-
поточечных коллокаций для каж-
каждого граничного узла.
Рассмотрим задачу с двумя
областями Q1 и Q2 (рис. 13.1).
Эти области имеют общую гра-
границу Гх; для исследования обла-
области Q1 используются конечные
элементы, для области Q2 —
граничные элементы. При соеди-
соединении этих двух частей необ-
необходимо, чтобы на границе 1\
Рис. 13.1. Область, для дискретного
представления одно.й из частей которой
(О1) использовались конечные элемен-
элементы, для другой (С2) — граничные эле-
элементы.
выполнялись условия совмест-
совместности и равновесия следующего
вида:
1. Условие совместности. Перемещения (или потенциалы)
U) и V) на границе раздела 1\ соответственно между областями 1
н 2 должны быть равны, т. е.
U) = Uf на границе IV
A3.10)
2. Условие равновесия. Сумма напряжений (или потоков) Q]
и Q/ на границе раздела 1\ между областями 1 и 2 должна рав-
равняться нулю:
• Q}-fQ/ = 0 на границе IV A3.11)
Теперь можно преобразовать область Q2 в эквивалентный ко-
конечный элемент и затем объединить получающиеся глобальные
матрицы с матрицами уравнения A3.6) метода конечных эле-
элементов.
Преобразуем уравнение A3.9), введя матрицу, обратную ма-
матрице G, что дает
G-ЦНи -B) = Q, A3.12)
и умножим левую и правую части этого уравнения на матрицу
распределения N (определяемую соотношением A3.4)):
NG-4W-NG~lB = NQ. A3.13)
В новых обозначениях
A3.14)

Метод граничных элементов и другие методы 433
уравнение A3.13) метода конечных элементов принимает сле-
следующий вид:
KU=F' + D'. A3.15)
Главным недостатком подобной формулировки является то, что
матрица К' в общем случае будет несимметричной, несмотря на
то что матрицы, получаемые в методе конечных элементов, в силу
симметричности операторов также являются симметричными.
Несимметричность возникает вследствие использования аппрокси-
аппроксимаций при дискретном представлении и в методе коллокаций,
а также для описания весовых функций, т. е. фундаментального
решения. Единственными соображениями, по которым матрице К'
следовало бы быть симметричной, являются соображения удоб-
удобства и эффективности с вычислительной точки зрения. Симметрич-
Симметричность матрицы К является следствием применения либо неслож-
несложных приемов «минимизации погрешностей», либо энергетических
подходов, но в основном к симметричному виду ее приводят
путем отбрасывания несимметричной части, для чего получают
среднее арифметическое самой матрицы К' и транспонированной
матрицы К'1 т- Применение теоремы взаимности для доказатель-
доказательства симметричности результирующей матрицы является некор-
некорректным.
Георгиу [27] показал, что узловые силы в соотношэниях для
жесткостей эквивалентны некоторому распределению напряжений
на границе и получаются путем соответствующего весового осред-
осреднения этого распределения напряжений по границе. Поэтому,
когда в произвольной точке прикладывается узловая сила, рав-
равная, скажем, 1, то это не имеет физического смысла точечного
источника, а означает некоторое локальное распределение напря-
напряжений по границе, зависящее от геометрии и выбранных функций
формы. Отсюда следует, что, прикладывая в различных точках
нагрузку, равную 1, получаем одни и те же с точки зрения физи-
физического смысла общие нагрузки, но способы распределения этих
нагрузок будут различными. Именно из-за этого различия в физи-
физической интерпретации точного характера распределения нагрузки
нельзя дать единственного толкования теоремами взаимности
н тем самым объяснить отсутствие симметрии матрицы К' Это
явление, однако, обычно носит неярко выраженный характер
и на определенном этапе его можно не учитывать. При таком
допущении матрицу К' можно приводить к симметричному виду.
Один из способов приведения матрицы к симметричному виду
состоит в оценке «погрешности» недиагональных членов матрицы
К- Погрешность произвольного элемента Кц можно записать
как разность между этим пока еще не известным коэффициентом
и коэффициентами К'ц и /Су,-:
г{, =-^[{кИ - k'tl) H- (*„ - Л),)]. A3.16)

434 Глава 13
Квадрат функции погрешности е^ можно минимизировать по ktj,
что приводит к уравнению (суммирование по повторяющимся
индексам не производится)
= 2kt, - k'u - k',t = 0, A3.17)
из которого получаем новые коэффициенты
Эквивалентная матрица метода конечных элементов для области 2
(рис. 13.1) таким образом имеет вид
К2=±[К' + К''Т), A3.19)
и вместо уравнения A3.15) можно взять следующее:
K*U = Fi + Di, A3.20)
где F* = F' и D* = D' (см. уравнение A3.15)).
Уравнение A3.20) можно обычным образом объединить с ис-
исходными матричными соотношениями метода конечных элементов
для области 1
ДСЧ/^/я + 01, A3.21)
что обеспечит выполнение условий совместности и равновесия.
Как отмечалось в работе Георгиу [27], особое внимание
следует уделить угловым узлам, для которых может потребо-
потребоваться введение дополнительных условий (разд. 13.5). Один иа
методов обхода подобных трудностей состоит в том, чтобы не
помещать узлы в угловые точки, т. е. использовать непрерыв-
непрерывные элементы либо всюду, либо только в углах. Такая проце-
процедура была успешно применена во многих программах (cmv
разд. 13.5 и работу [13], либо программы, приведенные в работе
[36]). Если узлы помещают в угловых точках и появляется раз-
разрывность геометрического характера, т. е. напряжения прини-
принимают различные значения на сторонах рассматриваемого узла,
то можно воспользоваться процедурой, предложенной Шадоне-
ром [28] (см. разд. 13.5). Однако, как было обнаружено Геор-
Георгиу [27], предварительное включение Шадонером дополнитель-
дополнительных уравнений нарушает «почти симметричный» характер мат-
матрицы К', поэтому Георгиу предложил ввести подобные
«угловые условия» в виде системы матриц вращений в общую-
матричную формулировку, что во многом аналогично введению
системы линейно независимых ограничений в глобальную мат-
матрицу метода конечных элементов. Этот прием был использован
в ряде практических приложений и оказался весьма* эффек-
эффективным.

Мстсд граничных элементов и другие методы 435
13.2.1. Энергетический подход
В последнее время стало модным пытаться обосновать при-
приведение к симметричному виду матриц, получаемых при исполь-
использовании граничных элементов, с использованием энергетических
методов |6J. Этот прием хотя и получил распространение вслед-
вследствие своей простоты, не является строгим. Достаточно сказать,
что в основу кладутся энергетические рассмотрения, с тем
чтобы доказать, что матрицы являются симметричными, даже
если это не так. Ошибка здесь состоит в том, что используются
энергетические принципы, основанные на рассмотрении симмет-
симметрии, но распространение этих соображений на интегральные
операторы не является обоснованным. Соотношения метода
граничных элементов следует интерпретировать так, как это
делается в смешанных формулировках метода конечных эле-
элементов, многие из которых приводят к несимметричным мат-
матрицам.
В основе энергетического подхода лежит положение, что для
задачи о потенциале для области, заключенной внутри гранич-
граничных элементов, энергию можно записать в следующем виде:'
be6udQi A3-22)
а ' г, а
где первое слагаемое в правой части описывает внутреннюю
энергию системы, второе характеризует изменение энергии
из-за наличия внешних источников. В теории упругости это со-
соотношение используется при рассмотрении хорошо известного
принципа минимума потенциальной энергии
- \piUidY - \btUidQ. A3.23)
а г, а
Первый интеграл в выражениях A3.22) и A3.23) можно пред-
представить в виде граничного интеграла, используя то обстоятель-
обстоятельство, что функции, описывающие и (и соответственно q или о),
точно удовлетворяют уравнениям равновесия, поскольку в эти
функции входят фундаментальные решения, получаемые при ис-
исследовании интегральных уравнений. Предполагается, что в при-
приведенных выше выражениях и, р и q получаются из решения за-
задачи, описываемой интегральными уравнениями. Итак, выраже-
выражения A3.22) и A3.23) можно представить соответственно в виде
U = -Y\qudr~\qudr—\bud£i, A3.24)
г г, а
п=4- f PiutdV - f £«"«dV - JbiUi dQ- A3-25)
i г, а

436 Ггава 13
Далее напишем >равнения равновесия, соответствующие обраще-
обращению в нуль вариации П для выражения A3.24):
6П = -I j (qbu + 8qu) dY- \qSudT- j Ь8и dQ == 0 A3.26)
Г Г, Q
и для выражения A3.25)
6П = -I- \ {pfiu, -|- bptUi) dT-\ pibux dT - j ЬгЬиг dU = 0. A3.27)
Г Г, Q
Зти уравнения можно записать в матричной форме, используя
одинаковые обозначения для обоих случаев
6П ='-L [ Fит? + bq'u) dT - j бит^ dV -
г , г,
— [ bifbdu = 0. A3.28)
Q
Здесь и—функции перемещений или потенциалов, q— напряже-
напряжения или потоки. При подстановке обычных интерполирующих
функций для и и q вида
и = Фи", q = Ф#" ,A3.29)
уравнение A3.28) можно записать в следующей форме:
6П = -L {bUrNQ + 8QTNTU] ~ bUrF - bWD = 0, A3.30)
где (/и Q— значения неизвестных в узлах. Матрица ^образуется
из интегралов, содержащих функции формы, аналогично тому,
как sto имеет место в обычном методе конечных элементов. Вместо
неизвестьых Q можно взять величиьы A3.12), которые являются
решением интегрального уравнения
Q = G1{HU) = CU. A3.31)
Подставляя выражение A3.31) в уравнение A3.30), получим сим-
симметричные результирующие матрицы
8UT l-~(NCU f CrNTU) -F~d\ = 0, A3.32)
откуда можно записать соотношение, аналогичное уравнению
A3.15):
D. A3.33)
Отметим, что теперь матрица является симметричной и имеет вид
\ CNT\. A3.34)

Метод граничных элементов и другие методы
437
10 1С 10 10 10
ж-
12
Область
5 Область'?
Это выражение аналогично полученному ранее выражению A3.19).
Хотя окончательные результаты совпадают, приведенный выше
вывод ошибочен. Ошибка возникает при подстановке в матрицу Q
решений интегральных уравнений. На самом деле матрицу Q
следует строить, используя поля перемещений или потенциалов,
соответствующих фундамен-
фундаментальному решению.
Пример 13.1. Статическое
взаимодействие. В качестве
примера рассмотрим здание,
стоящее на грунте, заполня-
заполняющем бесконечное полупро-
полупространство (рис. 13.2, а). Зани-
Занимаемая конструкцией область
разбивается на конечные
элементы, а бесконечному
полупространству соответст-
соответствует область с граничными
элементами. Отметим, что
поскольку плоскость, изо-
изображающая грунт, должка
быть бесконечной, то, вообще
говоря, необходимо вводить
бесконечно большое число
граничных элементов. Зту
трудность ка практике мож-
можно обойти одним из следую-
следующих двух путей
1. Приближенный способ.
Проводится (рис. 13.2, б)
граница на конечном расстоя-
расстоянии, которая и рассматрива-
рассматривается при решении данного примера. Отметим, что в данном слу-
случае область замыкалась с помощью нескольких больших гра-
граничных элементов. В общем случае это не обязательно, но здесь
это делалось дл^ того, чтобы иметь возможность сравнить решения
методами граничных и конечных элементов, получаемых для одной
и той же ограниченной области.
2. Вместо функций Грина для неограниченного пространства
используется фундаментальное решение задачи для полупростран-
полупространства. При использовании такого подхода граничные элементы
вводятся только для дискретного представления границы между
грунтом и конструкцией. При этом остальная область, занимаемая
грунтом, строго учитывается в том случае, если грунт считается
однородным, изотропным и упругим (в других случаях требуется
применять фундаментальные решения более сложного вида).
\
\
\
^ч
\
18
Область 1 |
Область 2
5 ■ •-
/
/
/
р
/
Рис. 13.2. Дискретное представление с по-
помощью комбинации конечных н граничных
элементов.

438
Глава 13
Показанные на рис. 13.2, а области били затем объединены
таким образом, что область 2 могла быть либо граничным элемен-
элементом (рис. 13.2, б), либо набором конечных элементов (рис. 13 3).
нагружа
ю ю « ю ю
30
Рис. 13.3. Сетка конечных элементов.
Таблица 13.1. Вертикальные
перемещения I X 10е в пяти точках
верхнто конца, к которому приложена
■нагрузка
Решение методом
конечных элементов
Решение комбини-
комбинированный методом
Дискретные представления с помощью граничных элементов для
■области 2 и конечных элементов для области 1 использовались
для построения эквивалентной симметричной матрицы жесткости
для области с граничными элементами (см. выражение A3.19)).
Рассматривалась нагрузка
в виде пяти сосредоточенных
вертикальных сил, прило-
приложенных к верхней части,
и дополнительной силы, при-
приложенной в угловой точке.
Полученные результаты при-
приведены в табл. 13.1.
Решение комбинирован-
комбинированным методом хорошо согла-
согласуется с результатами расче-
расчетов, при которых конечными
элементами представлялась
вся область, но интересно
отметить, что для дискрет-
лого представления основания использовалось только 37 узлов
в методе граничных элементов, тогда как в методе конечных эле-
элементов их требовалось 163. Еще большее различие возникает
в трехмерном случае.
—339
—97
135
361
600
—355
— 105
135
370
617

Метод граничных элементов и другие методы 439
13.3. Метод Бубнова и энергетический подход
Этот подход состоит в использовании методов Бубнова и взве-
взвешенных невязок или энергетических представлений для нахожде-
нахождения эквивалентных матриц метода конечных элементов для об-
области, дискретное представление которой осуществлялось гра-
граничными элементами. Находя граничные интегральные соотно-
соотношения для области 1 (рис. 13.1), можно в пренебрежении простран-
пространственными интегралами написать для задачи о потенциале урав-
уравнение
си -f \q*udT = \u*qdT. A3.35)
г г
В теории упругости соответствующее соотношение имеет вид
сии1 + J Рии! dT = j «(>/ dT. A3.36).
г г
Как и прежде, предположим, что потенциальную энергию для
элемента можно представить следующим образом (см. разд. 13.2) i
U = 4- V dT - \ qu dT, A3.37)
2 г г,
Y. A3.38)
Используя соотношение A3.35) для точек, лежащих внутри об-
области, приведем выражение A3.37) к виду
+ j U*(t x)q(l)dT(l)\dT(x)-\ql-\q*(l, x) и (|) dT (g) +
г j r, l г
+ J u* (I, x) q (£) dT (E)J dT (x). A3.39>
Из выражения A3.38) с учетом соотношения A3.36) получается
представление для потенциальной энергии для статических задач*
теории упругости
П = -j- \ Pt(x) j- J Рц F, х) И/ A) dT A) +
+ f <, (|, x) w (g) dT (g)l dT (x) - f p£ f- j Л*/ (£, x) u, (I) dT (I) +
г j r. l г
+ f «?/ F, x) P/ (I) dT (g)l dr (x). A3.40>

440 Глава 13
Теперь и и q (или Uj и pj) можно выразить с помощью обычных
интерполирующих функций. В этом подходе используются двой-
двойные интегралы, где внутреннее интегрирование ведется по 1,
а внешнее — по х.
Следующие шаги аналогичны используемым в энергетическом
подходе (разд. 13.2). Маргулис [7] предложил выражать внутрен-
внутреннюю энергию через пространственные интегралы (см. выражение
A3.22) и A3.23)), а не с помощью граничных интегральных выра-
выражений A3.37) и A3.38). Он доказал, что получаемые матрицы
симметричны и что эта процедура не только следует из вариацион-
вариационной формулировки, но и может быть получена в рамках метода
Бубнова.
Маргулис [7] предложил также использовать функцию Грина
для ограниченной, а не для бесконечной области. В этом случае
функцию и* можно определить следующим образом:
и*(Ъ, х) = 0 на границе Г. A3.41)
Для такого типа функций уравнения A3.35) и A3.36) упрощаются
и принимают вид соответственно
си + J q*u dY = 0, ctlu, + J Л>/ДГ = 0. A3.42, 13.43)
г г
Используя эти выражения, в пренебрежении интегралами по
части Гг границы энергию можно представить следующим образом:
П = 4-] ?(*){-]> & x)u(l)dY(l)\dT(x), A3.44)
n = ~\Pi (x) j- j p], A, x) Uj (l) йГ AI dr (x). A3.45)
г l г J
При подобном подходе также получаются симметричные матрицы,
если неизвестные выразить через интерполирующие функции.
Данный подход часто применялся при непрямых формулиров-
формулировках метода граничных элементов [2, 30, 31]. В этом случае для
задач о потенциале можно начать со следующих выражений:
u=ju*odl\ <7=j^£ordr. A3.46, 13.47)
г г
Теперь можно ввести энергетический функционал
П(а) = - —\oqdT. A3.48)
г
Подставив сюда выражение A3.47), получим
|. A3.49)

Метод граничных элементов и другие методы
441
При этом также получаются симметричные матрицы. Аналогичные
рассуждения могут быть применены и для задач теории упругости.
13.4. Задачи о поведении жидкости внутри сосуда
Рассмотрим теперь такую задачу о взаимодействии жидкости
и конструкции, когда жидкость находится внутри замкнутого»
сосуда (рис. 13.4). Сосуд может быть представлен стандартными
Кидкость
I.область Я.г)
Свободна? поверхность
жидкости, на которой
могут возникнуть
колебания
Система конструкция + жидкость I область SJ1+SJ2)
Рис. 13.4. К задаче о поведении жидкости внутри замкнутого сосуда.
конечными элементами, а для дискретного представления жидкости?
используются конечные или граничные элементы. Для такого тип*
задач оказывается более удобным представлять область, занимае-
занимаемую жидкостью, с помощью граничных элементов, поскольку
здесь внутренние узлы не представляют интереса. Поэтому сле-
следует построить матрицы для жидкости и связать их с конструк-
конструкционной системой.
Предположим сначала, что жидкость несжимаемая и невязкая
и что ее поведение можно описать с помощью потенциала, который
здесь обозначим ф. Матрицы влияния метода граничных эле-
элементов в этом случае можно записать в виде
= GQ,
A3.50)
где <р и Q—векторы, компонентами которых являются узловые
значения соответственно потенциалов и нормальных скоростей~

442 Глава 13
Для простоты будем считать, что движение является гармони-
гармоническим. Тогда для произвольной точки k скорость можно выра-
выразить через перемещение Uh:
Qk = mUh. A3.51)
Потенциал скорости можно связать с давлением Pk с помощью
уравнения Бернулли. При гармоническом движении оно имеет
вид
Тогда уравнение A3.50) можно представить как
HP = ю2р<?{/. A3.53)
Обращая матрицу Н, получим
р = tfpH-WU. A3.54)
Для того чтобы связать уравнение A3.54) с системой уравнений
метода конечных' элементов, описывающих поведение конструк-
конструкции, необходимо воспользоваться эквивалентными узловыми си-
силами. Соотношения между узловым давлением Рн эквивалентными
силами F можно записать с помощью матрицы распределения N:
F = NP. A3.55)
'С учетом формулы A3.54) можно написать
F = (o2p(NH-1G)U = MFU. A3.56)
■Структура матрицы MF такая же, как и в методе конечных эле-
элементов. Поэтому ее можно сложить с матрицей масс сосуда и полу-
получить окончательные матрицы для системы жидкость—конструк-
жидкость—конструкция. Отметим, что матрицы Н и О уравнения A3.50) имеют та-
такую же форму, как и в статической задаче о потенциале. Матрица
Мр в общем случае будет несимметричной, но ее можно привести
к симметричному виду с помощью процедуры вида A3.19).
13.4.1. Граничное условие на свободной поверхности
Для того чтобы представить процесс образования волн на
•свободной поверхности, необходимо принять во внимание кинема-
кинематическое условие
дер 1 д^ .._ __
где ось z направлена по нормали к свободной поверхности. Отме-
Отметим, что dyldz является скоростью движения жидкости в вертикаль-
вертикальном направлении.
Для гармонических задач можно написать
<2 ^ Ф <1358)

Метод граничных элементов и другие методы
Таблица 13.2. Безразмерные значения частот la^R/g
в круговом цилиндрическом сосуде (H/R -= 1)
п
0
1
2
3
г
m
1
2
3.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
собственных
Сетка конечных элементов
10Х 10Х 10
3,86
7,07
10,19
1,81
5,48
8,84
3,16
6,95
10,42
4,40
8,39
12,02
15Х 15Х 15
3,85
7,08
10,27
1,79
5,43
8,74
3,12
6,85
10,25
4,32
8,23
11,74
20X20X20
3,84
7,07
10,27
1,77
5,39
8,69
3,09
6,81
10,17
4,27
8,16
11,61
25X25X25
3,84
7,06
10,25
1,76
5,38
8,65
3,07
6,78
10,13
4,25
8,12
11,55
колебаний
Точное ре-
решение [35]
3,83
7,02
10,17
1,75
5,33
8,54
3,04
6,71
9,97
4,20
8,02
11,35
Как было показано ранее, эту нормальную составляющую ско-
скорости можно рассматривать как функцию перемещений U, а по-
потенциал можно представить как функцию давления, т. е. для
произвольной точки k имеем
Qk = tof/*=--|"^^, Pk = gpUh. A3.59, 13.60>
Эти давления можно вновь выразить через эквивалентные узловые
силы, используя матрицу распределения N. Эквивалентные узло-
узловые силы Fs, действующие на свободной поверхности, равны
где Fs и Ue — соответственно силы и перемещения в узлах ко-
колеблющейся или свободной поверхности. Соотношение A3 61)
применяется только для узлов на свободной поверхности и его-
можно подставить вместо вектора F в формуле A3.56). Узлы на
колеблющейся поверхности в дальнейшем обычно устраняются
с помощью приема матричной конденсации, поскольку они не-
неимеют непосредственной связи с узлами конструкции.
Пример 13.2. Колебания в абсолютно жестком сосуде. Комацу
[34 ] рассмотрел несколько интересных примеров, где учитывалось
колебание жидкости в абсолютно жестком сосуде. В этом случае-
уравнение движения при гармонических колебаниях можно запи-
записать в виде
(К - <АИ) U = 0, (а>

444
Глава 13
где К — матрица, обусловленная только учетом колебаний сво-
свободной поверхности, М — матрица масс жидкогти. Вектор U
относится только к узлам на свободной поверхности. Варьируя
величину о, можно найти собственные значения и соответствую-
соответствующие им собственные векторы.
В табл. 13.2 представлены результаты вычисления собственных
значений частоты колебаний для жидкости, вращающейся в абсо-
абсолютно жестком круговом цилиндрическом сосуде с плоским дном
5
«о
3000
2500
2000
1500
1000
500
— -метод граничных
о - эксперимент
элементов
i
Окружное волнрвое число п
Рис. 13.5. Геометрия круго-
кругового цилиндрического со-
сосуда.
Рис. 13.6. Частоты собствен-
собственных упругих колебаний по-
полусферической оболочки, ча-
частично заполненной водой.
Параметры задачи- Е =
= 7-1010 Н/м2, А = 0,3, v =
= 280 (кг-с2)/м2, /i =
= 5-10"* м, R = 0,1 м,
HlR = 0,5&. При расчете
использовалось 15 элементов
оболочечного типа н 21 коль-
кольцевой граничный элемент.
(рис. 13.5). Результаты были получены с использованием кольце-
кольцевого граничного элемента и различных сеток конечных элементов.
Например, для представленной в таблице сетки 10x10x10 рас-
располагалось по 10 элементов на дне, стенке и свободной поверхности.
В табл. 13.2 приведено точное решение [35], показывающее хоро-
хорошее соответствие результатов.
Пример 13.3. Колебания в мягком контейнере. Этот пример
также взят из работы Комацу [34]. В нем исследуются частоты
колебаний полусферической оболочки, частично заполненной во-
водой (рис. 13.6). Результаты численных и экспериментальных ис-
исследований, приведенные в работе Комацу, достаточно хорошо
соответствуют друг другу.
13.4.2. Учет сжимаемости жидкости
Распространение изложенной выше теории на случай сжимае-
сжимаемой жидкости имеет важные приложения в технике при решении
задач типа взрыва внутри сосуда высокого давления, распростра-
распространения волн сжатия и т. п. Математически они соответствуют за-

Метод граничных эчемешпоз и другие истоды 445
дачам дифракции, рассматривавшимся в гл. 10. Учет сжимаемости
жидкости важен, когда частоты становятся высокими, но при низ-
низких частотах ею обычно пренебрегают [33].
Разрешающее уравнение для потенциального течения сжимае-
сжимаемой жидкости имеет вид
где с — скорость распространения звука в жидкости. При гар-
гармоническом движении уравнение A3.62) принимает форму
У2Ф + х2Ф = 0, A3.63)
где к — со/с — волновое число.
Функция Грина, соответствующая уравнению A3.63), имеет
вид
ф* = (t'/4) Hol) (w) для двумерного случая, A3.64)
ф* = ехр (—iw) для трехмерного случая. A3.65)
Дальнейший путь решения аналогичен изложенному в гл. 10.
13.5. Приближенная форма метода граничных элементов
Ранее уже обращалось внимание на то, что приближенные
решения граничных уравнений можно использовать вместе с гра-
граничными элементами. Практический интерес к этому возникает
тогда, когда фундаментальное решение трудно получать или оно
слишком громоздкое, чтобы им можно было пользоваться. Кроме
того, при этом уменьшается размерность результирующих матриц,
поскольку граничные узлы теперь оказываются связанными ие
со всеми, а только с соседними узлами [20, 21, 31].
Для иллюстрации такого приема рассмотрим для простоты
случай уравнения Лапласа
J (V2u*) u du = J uq* dV - J qu* dT, A3.66)
Q Г Г
где Г — полная граница. Предположим, что это уравнение за-
задано для внешней области (рис. 13.7), которая распространяется
на бесконечность. Фундаментальное решение трехмерного урав-
уравнения Лапласа имеет вид
и* = 1/Dяг). A3.67)
Для произвольной принадлежащей внутренней области точки,
включая сюда и точки, лежащие вблизи, но не на самой внутренней
границе Гъ можно написать
\uq*dT=\u*qdT. A3.68)
г г

446
Глава 13
Отметим, что граничные интегралы по удаленной на бесконечно
большое расстояние части Г границы обращаются в нуль при
г ->■ оо. Подставляя фундаментальное решение A3.67) в уравнение
A3.68), получим
К)|^(^Г. (,3.69)
Это соотношение получается, если рассматриваемую точку взять.
вне тела, т. е. во внутренней области, поэтому в соотношении
Внутренняя граница
, Внешняя область
Внутренняя
область, пред-
представленная
конечными
элементами
Рис. 13.7. Внутренняя (с конечными элементами) и внешняя области.
A3.68) отсутствует слагаемое с с. Здесь все еще сохраняется
взаимосвязь значений величин на границе, обусловленная тем,
что система уравнений бесконечна. Однако уравнение A3.69)
можно упростить, если граничную поверхность Г, рассматри-
рассматривать как сферу достаточно большого радиуса. Для элемента по-
поверхности сферы можно написать dY = R2 sin ф d8 dcp (здесь 6
и ф — угловые координаты). Отметим, что на поверхности сферы
д/дп = д/дг, поэтому соотношение A3.69) принимает вид
2я 2Я
Это соотношение является специальной формой условия излуче-
излучения Зоммерфельда, которое для границы Г7 в приближенном
виде можно представить так:
г (ди/дг) + и = const. A3.71)

Метод граничных элементов и другие методы 447
Условие A3.71) можно задавать в каждом узле независимо от
других условий, но при этом сохраняется влияние соседних узлов,
что дает, как и в методе конечных элементов, конечную систему
уравнений.
Важность описанной выше процедуры состоит в том, что ее
можно обобщить на случай формулировки приближенных условий
излучения, когда фундаментальное решение имеет сложный вид.
Рассмотрим, например, волновое уравнение (или уравнение
Гельмгольца) для двумерной задачи в области Q
V2u + и2ы = 0, A3.72)
где к — волновое число, и — потенциал. В соответствии с рис. 13.7
для двумерной задачи область с граничными элементами рас-
распространяется на бесконечность, а фундаментальное решение
имеет вид
и* = (i/4) Я»1» (кг), A3.73)
где Н — функция Ганкеля, г — расстояние от рассматриваемой
точки до точки на границе Г7. Применяя обратную формулировку
метода взвешенных невязок к уравнению A3.72) и тем же гранич-
граничным условиям, что и применявшиеся ранее (т. е. существенным
и естественным), получим
J (V2u* + А*) и dQ = J q*udT — f u*q dV. A3.74)
Поскольку функция и* удовлетворяет уравнению Гельмгольца,
то для произвольной точки, внешней по отношению к области
с граничными элементами, можно написать
\u*qdT = \uq*dY, A3.75)
или, используя фундаментальное решение,
J^ A3.76)
Г/ г7
Это соотношение можно упростить, если принять, что рассма-
рассматриваемая точка или точка наблюдения находится достаточно
далеко от исследуемой области. Это означает, что можно восполь-
воспользоваться асимптотическим разложением для функции Ганкеля
л ее производной (отметим, что на окружности д/дп = д/дг):
)} (I3J7>
дп дг \ \ i у mr

448
Глава 13
Если граница Г; представляет собой круг радиуса R, то получаем
V Ъ^т J w (ж - ш)eiKR dV = °- <'13-78>
В двумерном случае для элемента длины можно написать dT =
= RdQ, откуда следует условие
2я
J утг (-S--
-о.
A3.79)
Это соотношение является другой формой записи условия Зоммер-
фельда, которое для границы Г7 можно представить в форме
ди/дг — Ыи = 0. A3.80)
Аналогичным образом можно получить соответствующее условие
в задачах исследования напряженного состояния, динамики
грунтов, течения жидкости и многих других сложных задачах.
Пример 13.4. Дифракция волн на препятствиях цилиндриче-
цилиндрической формы [19]. Случай одиночной вертикальной колонны, на
161 узел
26В элементов
Рис. 13.8. Сетка конечных элементов.
которую набегает гармоническая волна, был рассмотрен для того,
чтобы определить, как учет условия излучения влияет на точность
получаемого решения.
Область вокруг колонны была разбита на конечные элементы,
как показано на рис. 13.8. Результаты расчетов дифракции волн
были получены для различных длин волн при задании условия
излучения на внешней границе.
Для того чтобы проверить пригодность условия излучения
для группы плоских гармонических волн, сначала был рассмотрен
случай, когда цилиндр не является абсолютно жестким. Для длин-

Метод граничных элементов и другие методы
449
ных волн (длина волны К « 30 м) полученные результаты были
весьма точными: относительная погрешность составляла 3 %.
При уменьшении длины волны погрешность возрастала, что и
можно было ожидать, поскольку сетка конечных элементов ста-
становилась слишком грубой. Было обнаружено, что для линейных
элементов (а здесь применялись именно такие элементы) идеаль-
идеальным оказался выбор восьми
элементов на длину волны.
Дальнейшие исследования
проводились с целью сравнения
полученных результатов с ре-
результатами, приведенными в ра-
боте Мея [20], где использова-
лась сетка конечных элементов
и ряды по функциям Ганкеля.
Результаты были получены для
набегающей волны с X = 2я м
и подъема поверхности воды
с частотой о = 3,1321. На рис.
13.9 дано сравнение точного
решения, решения Мея методом
конечных элементов И решения, Рис 13.9. Результаты определения
приведенного В работе [19]. максимального подъема поверхности
Сравнение показывает, что по- воды Ч п0 ттш^тк> к высоте набе-
следнее решение весьма удачно, SS^^lbpJ^fSi,^ w
Особенно есЛИ учесть, ЧТО Об- цилиндра равен 2 м, длина волны
ласть вокруг цилиндра пред- Я, = 2я м Сплошная кривая соответ-
СТЭВЛЯЛась Грубой сеткой КО- ствУет аналитическому решению,
нечных элементов. В решении
штриховая — решению Мея [20 J,
кружки — решению методом конечных
Мея, например, ИСПОЛЬЗОВаЛОСЬ элементов [19] с дискретизацией, по-
18 элементов для области, ле- казанной на рис. 13 8
жащей вокруг цилиндра, и,
кроме того, более точно была описана геометрия препятствия.
Пример 13.5. Резонансные колебания в гавани [21 ]. В каче-
качестве еще одного примера применения условия излучения рас-
рассмотрим уравнение резонансных колебаний в гавани
-г- (h -т— ) + -г;- (h -^—) -f v?hu — 0
дх \ дх Iе ду \ ду 1 '
с граничным условием
h (ди/дп) = q на участке Г2 границы,
(а)
(б)
где и — высота волны относительно уровня спокойной воды
в плоской системе координат ху, h — глубина, q — заданный рас-
расход на участке Г2 границы, у. — волновое число.
15 Бреббия К- и дг.

450
Глава 13
Ситуация, рассматриваемая в примере, показана на рис. 13.10.
Здесь необходимо задавать граничное условие на фиктивной гра-
границе Г/ океана, проходя через которую волна не теряет энергию.
Для этого необходимо общий подъем волны разбить на три со-
составляющие:
I) поле набегающих волн щ\
II) поле отраженных волн uR, получаемое при отражении
плоских волн от береговой линии;
Амплит\да плоских набегаю-
набегающих волн и0
1^ис. 13.10. К задаче о резонансных колебаниях в гавани.
III) поле рассеянных волн us, возникающих внутри гавани.
Гаким образом, суммарное волновое поле можно представить
так:
и = и0 + uR + и„ (в)
где поле набегающих волн представляется следующим образом:
и0 = а ехр [—Ыг cos (8 — а) ]. (г)
Известно, что поле рассеянных волн и% будет перемещаться
из входа в гавань к границе Г7. Это обстоятельство можно описать
условием излучения Зоммерфельда на границе, которое можно
представить следующим образом:
)}0' (д)

Метод граничных элементов и другие методы 451
либо в приближенной форме
dujdr -f- ixug = 0 на участке Г/ границы. (е)
Используя условие (е), для суммарного поля и можно записать
ди/дг + Ыи ="д (и0 + uR)/dr -f '* ("о + «л) = /• ' (*)
Отметим, что в правой части этого выражения находится из-
известная функция / горизонтальных координат, угла, определя-
определяющего локальную геометрию, и угла набегания волнового поля и0.
Теперь можно включить это граничное условие в общую форму-
формулировку вариационного типа:
If«)«•*'+ lh (£ + *"f)** C)
J( Ifl
г, г,
откуда, интегрируя по частям, получаем
ди ди* . . ди ди*
+ h
К, ди ди* . . ди ди*
й h-dT-dT + h-w-dT-
= j qu* dT + J Л (/ — <xu) u* Д1, (и)
г, г,
что является исходным соотношением для той части используе-
используемого здесь подхода, которая связана с применением конечных
элементов, и где учтено граничное условие (е) на участке Ti
границы. Численные результаты были получены для классического
случая бассейна Дункан в бухте Столовая в Южной Африке.
Для описания влияния волн, входящих в гавань, используется
дискретное представление последней с помощью конечных эле-
элементов, показанное на рис. 13.11. На контуре ABCDEF обычно
задается условие равенства нулю нормальной компоненты потока
ди/дп = 0. На входе в гавань AF задается условие излучения для
плоской набегающей волны единичной амплитуды, распространя-
распространяющейся вдоль оси у, когда отражением от соседних берегов пре-
пренебрегают. На рис. 13.12 представлены результаты определения
подъема воды при волнении в 70-м узле для набегающих волн еди-
единичной амплитуды и различной частоты. Первые пики соответ-
соответствуют тем же частотам, что и полученные при гармоническом
анализе, выполненном в работе Бреббия и Эдея [32]. Например,
первый пик характеризует достаточно длинный период около
11,45 мин, и ему соответствует особая форма, описывающая про-
процесс втекания и вытекания воды из бассейна и называемая помпаж-
ная форма. Второй пик также соответствует простому движению —
так называемой колебательной форме. Вычисления проводились
15*

452
Глава 13
до значения частоты со = 0,4 с-1, что является нижней границей
части волнового спектра, обусловленной действием ветра.
Интересно отметить, что после серий продольных (в основном)
форм колебаний более значительную роль начинают играть попе-
поперечные формы. Влияние последних форм колебаний существенно,
особенно с вероятностной точки зрения. Задавая условие излуче-
Рис. 13.11. Сетка с 70 уз-
g лами, использованная в
примере 13.5.
. I
УУ////У/////7/////У/////У/////7////7У,
*г . С
2070 м
Рис. 13.12. Максимальные
значения подъема поверх-
поверхности воды и в 70-м узле
при волнении с учетом
излучения.
- Продольные колебания
Поперечные колебания
0,20 0,25
, рад/с
ния на выходе из гавани, удается с достаточной достоверностью
описать вклад энергии волн в общую энергию системы, а также
вынос энергии из гавани. Более подробное обсуждение этого при-
примера можно найти в статье Уокера и Бреббия [21 ].
13.6* Приближенная форма метода конечных элементов
Применение метода конечных элементов обычно ограничивается
областями конечных размеров и достаточно гладкими интерполи-
интерполирующими функциями, хотя иногда этот метод можно комбиниро-
комбинировать с методом'граничных элементов, как это было показано в пре-
предыдущем разделе. Для задач механики разрушения или задач для
бесконечных областей могут быть построены специальные конеч-
конечные элементы. Эти элементы могут быть основаны на использова-
использовании соответствующих сингулярных функций (например, вида г1'2)
в механике разрушения или применении «бесконечных» элементов
для учета излучения. Применение конечных элементов в задачах

Метод граничных элементов и другие методы 453
для бесконечных областей особенно важно для связанных задач
и привлекает к себе большое внимание. Хотя в некоторых случаях
их можно использовать вместо граничных элементов, важно учи-
учитывать их существенное различие, поскольку они основаны на
классическом конечно-элементном подходе, в котором рассматри-
рассматривается и пространственный конечно-элементный подход. Предпо-
Предположим, например, что имеется задача о потенциале, сформулиро-
сформулированная с применением конечных элементов, и при этом вместо
использования стандартных базисных функций и и Ьи отыски-
отыскиваются убывающие функции, с тем чтобы смоделировать поведение
2
\ 7
\ я« /■- граница
"^^.^ ^у раздела /}
аг
Рис. 13.13. Бесконечные элементы: а —две области и разделяющая их граница;
б — внутренний элемент (треугольный).
потенциала и потока при бесконечном увеличении области. Ска-
Сказанное лучше объяснить, рассмотрев внутреннюю границу, пока-
показанную на рис. 13.13. Штриховые линии, исходящие из углов
элемента, изображают плоскости, нормальные к внутренней
границе; при этом стороны элемента для упрощения полагаются
прямолинейными. Ось 1 исходит из центра тяжести элемента и
может использоваться как координатная ось.
Функцию, описывающую потенциал, можно написать в сле-
следующем виде:
и (I, тц, тJ) - й (ть т),) / (I), A3.81)
где й (т)!, т]2) — стандартная двумерная интерполирующая функ-
функция с однородными координатами г\л и г|2 для треугольного эле-
элемента, / (!) — убывающая функция, которая уменьшает вели-
величину и при увеличении |. Она равна единице при £ = 0 и стре-
стремится к нулю при 1 -у оо. Простой вид функции / (£) был предло-
предложен Англессом [17, 24]
Эта функция обычным способом подставляется в уравнения метода
конечных элементов, и единственное отличие дальнейшей про-
процедуры состоит в том, что интегрирование по й теперь проводится
по бесконечному пространству и поэтому приходится выполнять
его численным способом.

454
Глава 13
В работе Беттесса [18] вместо функции A3.82) использовалась
убывающая экспонента. В качестве зависящих от £, функций
форм использовались произведения полиномов Лагранжа и убы-
-30000 м-
Поверхность Н10ОООм
воды
Высота острова 400 м
Сетка конечных
элементов
Линии постоянной высоты
типичной водной поверхности
Рис. 13.14. Дифракция воли иа параболической отмели и цилиндре.
вающих экспонент. В этом случае необходимо использовать си-
систему внутренних узлов, поскольку используются полиномы,
простейший из которых является линейной функцией.
Форма решения будет зависеть от коэффициентов в убывающих
экспоненциальных функциях, т. е. от параметра % в выражении
f(l) = F(l)e-i'K A3.83)
Преимущество бесконечных элементов состоит в том, что их
можно использовать в ряде задач, в которых фундаментальное

Метод граничных элементов и другие методы
455
решение, необходимое при использовании метода граничных
элементов, бывает трудно найти. Рассмотренный подход не дает
точного описания поведения системы при стремлении области к бес-
бесконечности, но влияние удаленных частей на рассматриваемую
область здесь можно легко учесть.
Направление набегания млн
в - 180 е
30°
60"
90° 120°
0
180
Рис. 13.15. Зависимость относительных амплитуд волн вблизи острова-(иа ци-
цилиндре) от угла 0 для различных значений периода т. Сплошные линии соответ-
соответствуют теоретическим результатам, кружки — численным расчетам.
Пример 13.6. Дифракция и рефракция волн на отмели парабо-
параболической формы, на которой расположен остров цилиндрической
формы [22]. На рис. 13.14 показаны основные геометрические
характеристики, необходимые для решения задач, а также сетка
конечных элементов. Сетка конечных элементов окружена рядом
бесконечных элементов; функция, описывающая изменение в ра-
радиальном направлении, имеет вид
Р (г) e-r'L~iw.
(а)
Зависимость от времени определяется функцией ехр (iu>t). Функ-
Функция Р (г) — полином, L — так называемая длина затухания,
к — волновое число, соответствующее частоте <о. Эта функция
формы удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда. Длина
затухания L выбирается таким образом, чтобы вблизи острова
значение функции ехр (—r/L) примерно равнялось первому члену
^о1' (*"■) РяДа обобщенного решения, где Я^1' — функция Ганкеля

456 Глава 13
нулевого порядка первого рода. Более подробное пояснение
изложенного подхода можно найти в работе Беттесса и Зинке-
вича [22].
На рис. 13.15 дано сравнение подъема воды у острова, най-
найденного численным методом и аналитически (см. работы Хомма
[37], Вастано и Рейда [38]). Видно очень хорошее соответствие,
особенно для волн средней длины.
Слабым местом такого подхода является то, что для определе-
определения параметра L требуется некоторая достаточно хорошая аппро-
аппроксимация точного решения. Однако, если эти данные имеются,
то подход оказывается достаточно эффективным.

Глава 14
Программы численного решения на ЭВМ двумерных
статических задач теории упругости
14.1. Введение
Здесь приведем простую программу на языке Фортран для
решения на ЭВМ двумерных статических задач теории упругости
с использованием линейных граничных элементов, т. е. элементов
с линейным изменением перемещений и напряжений.
В этой программе требуется меньше шагов, чем # алгоритмах,
основанных на методе конечных элементов, поскольку здесь
нет необходимости в специальной собирающей подпрограмме.
Значительно меньше также число неизвестных, поскольку исполь-
используются лишь узлы, расположенные на границе. На рис. 14.1
сопоставляются основные этапы решения по данным методам.
В методе граничных элементов требуется не только меньшее число
этапов решения, но и значительно более простой вРод исходных
данных, чем в методе конечных элементов. Промежуточные ре-
результаты вычисляются только в заданных точках, а не в точках,
расположенных по всей области, как это имеет место в методе
конечных элементов.
Программа позволяет:
1) решать статические задачи теории упругости для плоских
напряженного и деформированного состояний для избранного-
материала;
2) находить поверхностные напряжения и перемещения,
а также напряжения и перемещения в произвольных внутренних
точках; кроме того, можно рассчитать напряжение на границе;
3) учитывать наличие плоскостей симметрии, перпендикуляр-
перпендикулярных осям х и ?/, при этом не требуется вводить граничные узлы
на данных плоскостях (рис. 14.2);
4) учитывать, не вводя особых требований, границу, удален-
удаленную на бесконечно большое расстояние (рис. 14.3);
5) рассматривать многосвязные области;
6) учитывать разрывы напряжений путем введения двойных
узлов, как это было описано в разд. 5.12; единственное ограни-
ограничение состоит в том, что в каждом направлении должно ^быть
задано по крайней мере одно напряжение в одном из двойных,
узлов.

458
Глава 14
Метод конечных элементов
/Ввод исход-
I ных данных
Построение матриц
Построение общей системы уравнений
Введение существенных гра-
граничных условий
Решение систем уравнений относи-
относительно перемещений
Определение значений напряжений
в каждом элементе
Вывод на печать
I результатов
решения
'Метод гран/.чных элементов
/Ввод исход-
I ных данных
Построение матрицы влияния
Решение системы уравнений в
перемещениях и напряжениях
Определение перемещений и напряже-
напряжений в выбранных внутренних .точках
Выаод на печать
результатов
расчета
Рис. 14.1. Сравнение программ, основанных на методах конечных и граничных
элементов.
Г
6
Рис. 14.2. Плоскости симметрии: а — полная граница, IDSYM=0; б — сим-
симметрия относительно оси х, IDSYM= 1; в — симметрия относительно оси у,
IDSYM = 2; г — симметрия отиосительио осей х « у, IDSYM = 3.

Программы решения на ЭВМ двумерных задач
459
Рис. 14.3. Способы стыковки областей: а — случай бесконечной области, стыков-
стыковка в направлении по часовой стрелке, INFB = 1; б — область конечных размеров,
стыковка в направлении против часовой стрелки, INFB = 0; в — многосвязная
область, INFB = 0.
14.2. Основная программа и структура исходных данных
Блок-схема программы метода граничных элементов приведена
на рис. 14.4. Основная программа определяет максимальные
размеры системы уравнений (в данном случае используется
100 или 50 узлов с двумя
неизвестными в каждом уз-
узле). Кроме того, канал 5
предназначается для ввода
данных (IRE-5), а канал
6 — для вывода (IWR-6).
Основная программа вы-
вызывает следующие подпро-
подпрограммы:
INPUT — эта подпро-
подпрограмма счи-
считывает ис-
исходные дан-
данные.
MATRX — вычисляются матрица А и вектор правой части F,
обозначаемые соответственно А A00, 100) и ХМ
A00).
SLNDP — решается система уравнений методом исключения
Гаусса. Этой программой при необходимости про-
производится перестановка строк.
OUTPT — вывод результатов решения граничной задачи;
сюда же входит вычисление и печать значений на-
напряжений на границе, а также значений переме-
перемещений и напряжений во внутренних точках.
Перечень используемых в программе переменных и их зна-
значений:
INPUT
MATRX
SLNPD
OUT?
Осно
riporp
амма
Рис. 14.4. Основная блок-схема.

460 Глаза И
NE — число элементов;
NN — число узлов;
NP — число внутренних точек;
NN2— удвоенное число узлов (NN2 = 2XNN);
NT — сумма граничных узлов и внутренних точек
(NT = NN -г NP):
Е — модуль Юнга;
РО — коэффициент Пуассона;
IPL — индекс, означающий тип задачи A — плоское на-
напряженное состояние. 2 — плоское деформиро-
деформированное состояние):
С1—СИ —постоянные, характеризующие свойства мате-
материала, необходимые для получения фундамен-
фундаментального решения и других выражений;
IDSYM — индекс, характеризующий наличие симметрии
@ — несимметричный случай, 1 — плоскость сим-
симметрии, перпендикулярная оси у, 2 — плоскость
симметрии, перпендикулярная оси х, 3 — имеются
две плоскости симметрии, перпендикулярные осям
У и х);
XSYM — координаты соответственно х и у, определяющие
или YSYM положение плоскостей;
INFB — индекс, характеризующий наличие бесконечно
удаленной границы A — имеется бесконечно уда-
удаленная граница, 0 — тело конечных размеров);
IFA и NIF — параметры, определяющие симметрию петли ги-
гистерезиса;
IFAIL — индекс, указывающий, является ли матрица А
сингулярной.
Приведенные ниже массивы используются в программе, i;x
размерность зависит от типа задач и может изменяться при необ-
необходимости. Отметим, что в приводимом тексте программы _ишо
NN = 50, NE = 50 и NP = 50.
D B, 2) — матрица символов Кронекера;
XI F, 3) — абсциссы точек гауссовой схемы интегрирования;
W F, 3) — веса точек гауссовой схемы интегрирования:
IDUP (NN) — вектор, указывающий на наличие двойных узлов
(он равен нулю при отсутствии двойного узла и
равен числу узлов с одинаковыми координатами);
INC (NE, 2) — стыковка элементов;
IS (NT) — вектор, указывающий на то, имеются ли узел
или внутренняя точка, находящиеся в какой-
либо плоскости симметрии (он равен нулю, если
таковых нет; равен 1 для плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси у; равен 2 для плоскости, перпен-
перпендикулярной оси х; равен 3, если точки распола-

Программы решения на ЭВМ двумерных задач 461
гаются на линии пересечения плоскостей симме-
симметрии);
С (NE) — вектор, компоненты которого определяют длину
элементов;
S (NN, 3) — матрица, элементами которой являются напряже-
напряжения в граничных узлах;
X (NT) — координаты х граничных узлов и внутренних
точек;
У (NT) — координаты у граничных узлов и внутренних
точек;
1FIP (NN2) — вектор, указывающий характер граничных усло-
условий (равен 0, если заданы напряжения; равен 1,
если заданы перемещения);
A (NN2, NN2)—матрица системы;
Р (NN2) — вспомогательный вектор, который используется
при считывании заданных значений напряжений
и перемещений. По окончании счета его компо-
компонентами являются значения напряжений в узлах;
ХМ (NN2) — вектор правых частей системы уравнений. Когда
вызывается после подпрограммы SLNPD, содер-
содержит решения для неизвестных на границе, а после
окончания работы программы содержит значения
перемещений в узлах.
Текст основной программы
С ПРОГРАММА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ
С - . СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
COMMON 'RW' IRE,[WR
COMMON /«/ DB ,21 ,X! !6 ,3 ) ,WF .3! , IDUP<50 ) . INCE0 .2 > .С E0 ) .
*S'50.3).ISYM<1C01.X!'. OOJ.Y! !00>.iFIP!100).AA0O.100).PA00)
* > м (i с о)
ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
! RE =5
IW R = i
CALl INPUT:N E .S N N°.IPL,PO.NN2.NI,Cl.C2,
* с з C4.,c;,:",c8,i:i> cio.cm.icsym.xsym.ysym.infb)
Г ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ А И НЕЗАВИСИМЫХ ЧЛЕНОВ ХМ
С All H*IRX < N Е SN.NN2.N1,C1.C2.C3.C4,C5.C6,C7.C8.
•C9.Clu,CII,FO,]CS"M,X5lfM.YSYM,INFB.IF».NlF)
Г, . . РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С * L ' 5LNP0DN:.C8.IF*ILI
ifiifail _ne.o:go to <
г ВЫВОД НА ПЕЧАТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ
СА L OinpTtNN NT NN2 ,NE . IFA.NIF .Cl ,C2.C3 .C4.CS.C6.
■47'. cs.cs.cig.ciiIpc.xsym.ysym»
4 5 ГОР
END
14.3. Подпрограмма INPUT
С помощью этой подпрограммы вводятся исходные данные,
необходимые для'работы программы. Исходные данные содержатся
в следующей группе перфокарт:

462 Глаза 14
1. Титульная карта. Одна карта, которая содержит наимено-
наименование задачи. Запись должна начинаться с 16-й колонки.
2. Карта базовых параметров. Содержит следующую инфор-
информацию:
INFB, NE, NN, NP, IPL, IDSYM, Е, РО
FORMAT (II, 14, 415, 2F10.0).
3. Координаты граничных узлов и внутренних точек карг
с координатами каждого узла или точки К (внутренние точки ну-
нумеруются после граничных узлов, т. е. NN + 1 < К «? NT):
К, X (К), Y (К), IDUP (К), ISYM (К)
FORMAT A5, 2F10.0, 215).
Замечание. В случае если два узла имеют одинаковые
координаты (двойные узлы), то на перфокарте для первого узла
должны быть заданы координаты х и у, a IDUP должен содержать
пробел слева. Координаты второго узла должны содержать про-
пробелы слева, a IDUP должен равняться номеру К предыдущего
узла. Программа автоматически введет координаты и идентифи-
идентифицирует эти два узла как один двойной.
4. Стыковка элементов NE перфокарт, содержащих число К
элементов, номера первого и второго узлов в виде
К, INC (К, 1), INC (К, 2)
FORMAT C15).
5. Ввод заданных граничных значений. Одна карта, содержа-
содержащая число узлов, в которых заданы перемещения (NFIP), и число
узлов с заданными и равными нулю напряжениями (NDFIP):
MFIP, NDF1P
FORMAT B15).
Замечание. В программе все напряжения в обоих направ-
направлениях первоначально полагаются равными нулю. Поэтому не-
необходимо вводить только отличные от нуля значеиия напряжений.
6. Ввод заданных значений перемещений, т. е. NFIP перфо-
перфокарт, в которых для каждого К-го узла имеем
К, Р B х К — 1), Р B * К), IFIP B * К)
FORMAT A5, 2F10.0, 215).
Замечание. Для узлов, лежащих в плоскостях симметрии,
задавать перемещения в направлении нормали К соответствующей
плоскости не следует. Условие равенства нулю перемещения
в этом направлении автоматически удовлетворяется системой
уравнений, поэтому в результате численного решения эти пере-
перемещения будут равны нулю.
7. Ввод заданных значений напряжений, т. е. NDFIP пер-
перфокарт, в которых для каждого К-го узла имеем
К, Р B * К- 1), Р B * К)
FORMAT A5, 2F10.0).

Программы решения на ЭВМ двумерных задач
463
Текст подпрограммы INPUT
SUBROUTINE [NPUT(NE,NN,NP,IPL.PO.NN2,N7.C1,C2.
*C3.C4.CS.C6.C7,CB.C9.C10,Cll.[DsrM.XSYM.YSYM.[NFB)
С OMMON /RW/ IRE.1WR
COMMON /A' Di2 . 2 ) , X1 C6 ,3),WF.3), 1DUP(SO) . INCE 0,2 ) . С(SO )
*5(S0.3>.[SYM([00).XA00>.YA00),[FIPA00).A<[00.[00>.P<[00).
*XMA00 I
WRIТЕ 1 1WR.[ )
1 FORMAT II 11 I 111/11 ,24X. '" •• BOUNDARY ELEMENT
*T H 0 D APPLIED TO ■• "'.//.Z4X.'" * ' PLANE
*ASTOSTATIC P'R OBLEMS "" *',///)
:.... НАИМЕНОВАНИЕ ЗАДАЧИ
READ[ I RE .2)
2 FORMAT( '
WRITE![WR,2)
С .... ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЗАДАЧЕ
REAO([RE,3MNFB.NE,NN,NP,IPL.IDSYM.E.PO
3 FORMATdl .14.41S.ZF10.0)
[F<1NFB.EQ.O)GO TO 60
WRITE ( 1>R ,6 1 )
61 FORMAT(//,13X.'• INFINITE BOUNDARY ■')
6 0 WR1TEAWR,4)NE.NN,NP,1PL,IDSYM,E.PO
FORMAT(//,15X.'NO. ELEMENTS -'.I5.//.IS
. 15, // , 1SX . 'NO
SYMME . TYPE -
■ , F 1 0 . О .
, F 15 . S , / / / , 3 0 X
ME
EL
NO. NODES "- '
YPE =' . IS.// .t 5 К.
. V / . 1 5 X . ' E =
/ / , 15X. "POISSON = '
/y.IZX. '«DOE' ,14X, 'X'
NN2 = NN•2
N T - N N • N P
КООРДИНАТЫ УЗЛОВ И ТОЧЕК
DO 5 1 - [ .NN
REAO<1RE,6)K,X(K).Y(K),1DUP(IC),
FORMAT( 15 ,2F10 .0 ,2[S)
IF(lOUP(K).EQ.0)C0 TO S
J=1DUP(K)
1ОУР(J )=K
X < К 5 = К I J )
Y ( К ) - Y t J )
POINTS = ' . 1 5 , / / . 1 5 X . ■ P R DB L . T
1S,/// .15X. 'MATERI AL PROPERTIES
COORDINATES OF BDUNOARV NODE5'
DOUBLE'./)
S С О N ' : N U E
DO 63 К - 1 . NN
IF(IOUP(К).NE.0)GO TO 62
GO TO 63
62 WRITE!!WR,16)K.X(K).Y(K).IDUP(K)
16 FORMATA0X,15,5X,F15.4.U.F15.4.7X,IS)
63 CONTINUE
7 FORMATASX, IS 5X , F15 .4 . 1 X . F15 .4)
IF (NP .EQ . 0 i GO TD 9
WRIT E AWR ,8 >
S FDRMAI (// ,30X, 'С0ORD1NAIES OF INTERNAL POINTS ,// . 11X . ' P01 NT ' , 1 4X ,
К -NN • 1
REA0(]RE.I4)(J.X(J].Y(J).15YM(J),JJ:|C,NT)
14 F ORMA T(I5,2F10.0.5X.15)
WR1TE(IWR,7)!J.X(J).Y(J),J=K,NT)
[ - . . . УЗЛЫ И ТОЧКИ РАСПОЛАГАЮТСЯ НА ОСЯХ СИММЕТРИИ
9 IFADSYM.EQ.0)GО ТО 49
■ WRITE ( IWR,42 )
42 FORMAT(//,ЗОХ. 'BOUNDARY NODES AND INTERNAL POINTS
* (S ) ,II. 12X. 'L . X' . 12X . ' L . Y' . I)
DO 43 Г.- 1 .NT
IFA5YM(K).EQ.0)GO TO 43
IZZ = I5YM1K)
GO TO D4.45,46).IZZ
44 YSYW=YCK)
WR'l ТЕ ( ! WR . 4 7 ) К
GO TO 4 3
15 X 'j Y M = X I < )
WSITEIiWR 48>K
48 Г С R:.:« T ( 26X IS )
SYMMETRY LINE

464 Глава 14
5 0 FORN*ATA0>.I5,11X. .15}
-; с с n -: n и e
... СВЯЗАННОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
~Э W R I ~ E I А' Р . 1 ~
: О F CR4A Т ( -' ' , 3 j >. . ELEMENT CONNECTIVITY' .■'Л.13Х. EL , 1 3 X . " N . 1".12Х
г [<»,ч'..
do i: : = l .nE
READ;iRE.!2K.;nC''K.M.!NC[K.2)
12 F 0 R VI * ' : 3 I 5 !
1 1 = INC IK, L)
I F - I N С С < . 2 ?
11 CK)-SQRr((Mlc:-X(I[))*e2l("l'(]F}-V(I[))**2)
WB 1 Г E( IWR .13 ! ( : , !ЧС : [ , 1 ! , 1 N С A .2 ) .С ([ ) , 1 = 1 .NЕ )
13 FORMA" ( 1 0 X . !5,I ! *.!5,11X,15.5X.F15 d)
.. постоянные
g = е .' 12 - : . • = :
с • 1 = р с
if( jpl-: LC.-z ,-i:
п : р о - р о / ■ : .' р с'
С 1 1 = 0 .
4-: с 2 - з . - i . •" :■
СЗ = 1 -/ ( М -Рп ■12 .5663т062 )
С А - 1 . - 2 . • " С
С 6 "- 2 . ■ С 3 • С
С 7 - 1 .-£.•? О
С1 =СЗ ! 2 -3
С 5 = С 1 / 2 .
с в = 2. ■ а / ■ : - =;
с 9 -- р :■' •: - р :'
с 1 о -- < 2 - р ; . . - -:
ЗАДАННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
СО 15 1=1.N42
Р i I i = С .
1 q ■ f : р'; 1 -:
REAOC Г"Е ,2С N - . Р ■.:-": Р
2 0 FORM Л ' 2 : £
wriге (;w°. 2: ,n- ;р.Nd- 1 р
21 FORMAT i// . 15л. ■ЧС . DiSPL. PRE5C. = . 15 ./ / . 1 5X . 'N О . TRACT PPESC
"'.15.' '/.15* DISPLACEMENTS
•'./'. 12/. 'N50E-.14*. 'U .lSX.'V'./)
IF(NFIF.£2.0 GO 1С 22
DO 2 3 I '- '. 4 F ! P
21 FORMAr(I5,2F10.3.2I5;
1ND=1FIP<2-K-: >-2-lFIPB-K)
GO TC B5 .26 .27 ) . [ MO
25 WRITEU*». ,28)K.'SC2-K-1 i
28 FORMAItlOX.I5.5X.F1S.4)
GO T С 2 3
2 6 WR I IE ( 1WP .21 К . » ,'2-K )
29 FCRMH ( 1 0 X , :5 , 21X . F 1 5 . 1 )
GO TO 23
27 WRlIE(IWR,3t>:>:.P12"K-l>,PB"K>
30 fORMAr<10X.I5.5X,F15.4.1X.F15.4)
2 3 CONTINUE
22 [FINDF1P Ea.OJCO 10 31
WRIT E( IWR , 34 )
jA FDRMAT(//,:5X.'IRACt:0N5'.'/.12X.'M0DE'.13X,PX'.14

Программы решения на ЭВМ двумерных задач 465
DO 32 1 -
f?E«DA RE
33 F 0 RMU T f I
I ,NDF IP
,33>k.pBuk-i),p<2*io
5,2F10.0 )
32 WRlIEIP*R.30)i;,PB1K-l),PB"IC)
. . ТОЧКИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
3 1 XI A .3 ) =
XIB,31=
XI C.31 =
X] D ,31 =
XI E.31 =
XI F .3) =
W( 1 , 31 = 0
W( 2.3) = 0
WI3.3 ) = 0
W{4, 3 ) -W
-0 .932469514203152
-0.661209386466265
-0.2386191860B3197
-XIC.3 )
-XK2.3)
-XIA,3)
, 171324492379170
.360761573048139
.467913934572691
C,31
WE.3)=W< 2, 3 >
WF.3)=W(!,31
XI A ,2 1.
X 1 ( 2 , 2 ) =
XI C '. 2 ) =
X 1 ( 4 . 2 ) =
W ( 1 , 2 1 = 0
W( 2 ,2 1 = 0
WC .21=W
W < 4 . 2 I = W
XI ( 1 . 1 ) =
XI 12 .1 ) =
WA . 1 ) = 1
W ( 2 , 1 ) = L
RE^UP.4
end
-0.86 1136311594053
-0 .339981043584856
-XIB,2)
-XI A ,2 )
347854845137454
.652145154862546
; 2 . 2 )
I 1 , 2 1
-0 .5773502691B9626
-X I ( 1 , 1 )
14.4. Подпрограмма MATRX
С помощью этой подпрограммы строятся матрица А и вектор F
из уравнения E.103). Коэффициент влияния вычисляется путем
вызова подпрограммы FUNC. Подпрограмма FUNC вычисляет
матрицы влияния hag, необходимые для построения матрицы А
и независимого члена F (в программе обозначается массивом ХМ).
Подпрограмма MATRX формирует систему уравнений непо-
непосредственно с помощью матрицы А без перехода к глобальным
матрицам Н и О. Это делается путем учета заданных граничных
условий в рассматриваемом узле до объединения в общую матрицу.
Диагональные подматрицы матрицы Н вычисляются с использо-
использованием перемещений тела как целого. Поэтому для неограничен-
неограниченных тел необходимо использовать различного вида представле-
представления для абсолютно жестких тел (см. выражение E.108)).
Симметрия учитывается путем отражения ие элементов, а син-
сингулярных узлов. Подобная процедура очень проста и имеет
самый общий характер.
16 Ереббия К. и др.

466 Г лака 14
Текст подпрограммы MATRX
' И R к О li I ; к MAIK\INL.NN.NN2,NT,LM.C2 (.3.C4.C^,Cb,l?.C3.
COMMON' J Di2 2 1 , X i it , 3 1 ,*U .3 ) , 1OUP ! 50 ) . INC E0 .2 ) .C E0 ) .
*S((:0 3).1SYMA00>,XA00;,Y1100).IF]PA00).AA00.100).FM100>.
■ x w : э о)
TO^MON 'A4/ H с 3 , 4 > , G ( 3 /4 1 , HL С 3 , 4 1 , GL ( 3 , й )
С ... СИМВОЛЫ КРОНЕКЕРА
I) ( 1 , 1 ) = 1 ,
ГЧ .' , 2 > = 1 .
1! 1 ,2 1 = 0 ,
1 i 2 , 1 ) = 0 .
Г . . . ОБНУЛЕНИЕ МАССИВОВ
"'О 1 I = 1 , N N 2
* М I ! 1 = 0 ,
10 ! J =; , N N 2
1 0 ( ] ,J I=0 .
С . . ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО СЛУЧАЯ
:; г -1
N! F = 1
IF(lDSYM.EQ.l)lFA-2
IF ( 1D5YU ,NE.2 )G0 ID t0
N1 - =2
60 i F ( IDSYM . EQ.3 ) IF A = 4
С .... ПРОВЕРКА СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ГРАНИЦЫ
IF ( 1NFB .EQ .0)G0 To 90
0 0 9 1 I=1.NN2
IF ( ] F IP( I ) .NE . 0 )G0 TO 92
A( I , I ) = 1 .
GO TO 91
92 XM( I ) = -P( I )
9 1 CONTINUE .
С .... СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
90 00 2 I SY = 1 , IFA ,NlF
С .... ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ, КОНТРОЛИРУЮЩИХ ЗНАК
GO TO G0,71.71.73), ISY
7 1 I I 5 = 4 - 15 Y
1F5 = I IS
GO TO 70
73 115=1
1 F5 = 2
С.... КОНТУР НАД ГРАНИЧНЫМИ УЗЛАМИ
7 0 D0 2 I=1,NN
»S = X( I >
Y S = Y ( 1 )
IF;:SY.EQ.2.OR.ISY.EQ.4)Y5=2."YSYM-Y5
С...- ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ АИ ВЕКТОРА ХМ НЕЗАВИСИМЫХ ЧЛЕНОВ
С..-. ЗАМЕЧАНИЕ: СТОЛБЦЫ МАТРИЦЫ А СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ВЕКТОРУ G
С .... УМНОЖАЮТСЯ НА С8 ДЛЯ ИЗБЕЖАНИЯ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ
0 0 10 J -- 1 . К Е
1 I = INC(J.1 )
IF - INC!J,2)
1CDD=1
IF( I5Y.NE.1 .AND . I5YM(I ) .NE . ( I 5Y- 1 ) )G0 TO 6
IFA.EQ.II.OR.1.EQ.IDUPAI))ICOD=2
IFCI,EQ.IF.0R.l.EQ.IDUP(IF))ICOD=3
t CALL FUNC(IC0D.J.Cl,C2.C3,C4.C5.C6.C7,pD.II.IF.X5.YS.ISY.I15.
• I FS )
DO 10 K-1.2
Г J - 2 - ( I 1 )-K
DO. I 0 NX = 1 . 2
DO 10 NV = I , 2
1С-2'INC ( J .NXl-NV-2
1Г(IF IP( 1С ) .NE .0 )GD TO t7
A(JJ.[C)=A(JJ.1C)-H(K.M)
XMCJJ)=XM(JJ)'G(K.M)*PAC)
GO TO 68
'-7 AIJJ.[C)=A(JJ.1C)-G(K,M)<CB
XM(JJ)=XM(JJ)-H(K.M)'P<1C)
С .... ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ КОЗФФ. ПУТЕМ УЧЕТА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ТЕЛА КАК ЦЕЛОГС

Программы решения на ЭВМ двумерных задач 467
68 GO 10 Fi,62.63.64).iSY
6 2 IFCNV-2N1.64.61
63 IF(NV-1Nl,64.61
64 Н(К,М):-Н(К.М)
61 IF( If 1Р!JJ'NV-K ) . NE . D )G0 ID 69
A(JJ.JJ'NV-K)=«(JJ,JJ.NV-K)-H(K.M)
GO TO ID
69 XM(JJ)=XM!JJ)>H(K.M)-p(Jj»NV-K)
1С CONTINUE
2 CONTINUE
RETURN
END
14.5. Подпрограмма FUNC
В этой подпрограмме вычисляются интегралы, входящие
в коэффициеиты системы уравнений, перемещения и напряжения
во внутренних точках. Численное интегрирование по несингуляр-
несингулярным элементам выполняется с помощью формул Гаусса с двумя,
четырьмя и шестью точками. Число точек выбирается в соответ-
соответствии с относительным расстоянием от сингулярного узла или
точки до центра рассматриваемого элемента.
Для элементов с сингулярностью в одной из крайних точек
необходимые интегралы вычисляются аналитически, для того
чтобы получаемые результаты были более точными. Отметим, что
в конце подпрограммы имеется проверка симметрии, с тем чтобы
при необходимости изменить знак некоторых строк подматриц.
Текст подпрограммы FUNC
SUBROUTINE FUNC:[C0D,JA,Cl.C2.C3.C4.C5.Cfc.C7.PO.II,IF.XS.Y5,lSY,
■ I 15 . 1F5 )
С ИНТЕГРАЛЫ ПО ГРАНИЦАМ ЭЛЕМЕНТОВ
COMMON /A/ D B , 2 ) .X I F .3 > ,WU . 3 ) , IDUP < 50 > , INC < 50 . 2 ) . С E0 > .
'5E0. 3),l5YM!:00).XA00),YnOO).IFIPA00),AA00. 100). P(LOO).
• X-M ( 1 0 0 >
:0MMON /АЛ/ H[3.4).GC.4).HLC.4).GLC,4> -
D ■ *"E N 5 I 0 N DHYi2).BNB),BB).0RB).ULB.2),PLB,2).ULLB.2.2),
•PL . B ,2 ,2 )
00 5 KK - 1 . 3
CO 5 L = 1 . 4
G I < К PC , L ) = 0 .
H L ( f. К , L ) = 0 ,
G ( < К , L ) =0 .
5 H ( < К . L ) ■ 0 .
DXVA)=XAF)-X([M
DXY<2)=V(IF)-Y([I)
GO TO A .2.2, L5.ICDD
1 BN(i)=GXY<2)/CUA)
8 N I 2 ) -DXY(l)/C(JA)
С ВЫБОР НОМЕРОВ ТОЧЕК ИНТЕГРИРОВАНИЯ
5tL=0.5-5QRT(I2.'XS-X(I[)-X(lF))"-2.B."Y5-Y(li)-y<lF))-'2)/C(J«
NP 1 =4
IFEEL . LE . 1 .5 )NPI=6
IFEEL .CI ; 5 , 5 )NP I = 2
1 NP =NP W2
С ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦ
•DO 50 К К =1 . N р 1
ХМХ 1 = D 5*(l.'XlllCK.lNP))"DXy(l)'X(ll)-XS
YMyi=0.5"l.'Xl(ICK,IMP)l>DXVB)'V<lII-V5
R -5QR Т (ХМХI-'YMY1')
В t 1 ) = - 0 25- (XI ( IX , INp)-1 . )'С(JA )
8 t 2 ) - 0 25» :XI (К К, INP ) • 1 . )■С(JA )
DR! 1 ) = ХМХ: /R
DR12)-YMY!/R
DRDN=DRA)*BNA)'DRB)'BNB)
16*

468 Глава 14
Г .... ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ Н И G
DD 6 1=1,2
DO 6 J - 1 , 2
UL[I.J>=-C1MC2*AIOG(R)"DA J)-DRIl)'DR(J))
t PL(I.J]---C3"((C4'D<I,J)'2.'DR<I)-DR(J))>DRDN-C4*(DR<J)*BN([)--[>R(I)
■"BN(J )) ) / R
DO 7 LA= i 2
U--t
DO 7 LL= 1 .2
BO 7 JJ=1 2
K = 1C» 1
G(LA.[C> = G(LA.IC>4IL(LA.JJ)'B<LL)«W(ICIC,1NP>
; H[L*.1C)=H(LX.IC)>PL[LA.JJ)'B(LL)*W(KK.1NP)
IF ( 1COD .ME .4)GO 10 50
С ... ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ HL И GL (НАПРЯЖЕНИЙ ВО ВНУТРЕННИХ ТОЧКАХ)
10 DO 11 1=1,2
DO 11 J= 1 .2
DO 11 К - 1 .2
ULL(I,J.K)=C3"<C<"(DRtJ)*D(r.l>»DR(l)*D(K.J)-DRtK)*D(I.J))'2."DR(I
■)*DR(J)*DR(K)WR
BJ=2.*DRDN"tC4*DRCK)(l.J)*PO*(DR(J)*D[I.K)-DR(])"D[J.K))-4.-DR(I
• )-DR(J )"DR[K > >
B2 = 2.'PO"(BN(I)*DR(J)-DR<i:)'BN(J)"DR<])>DR(K)>
B3=CJ*B.-BNCK)-DRCI)-DRCJ)-BM(J)"D(I.K)*BNtl)-D[J,K))
11 PLLA ,J,K)-C6*(B1*B2'B3-C7'BN(IC)*D(] , J ) ) / R " " 2
I L - 0
DO 12 1=1.2
DO 12 J- I . 2
1L = 1 L» 1 .
I С = 0
DO 12 1AA = 1 , 2
DO 12 J A A -- ) 2
1CMC- 1
GL1I1..IC) = GLAL,IC>'BAAALILLA,J.JAA)'W(KI;.1NP>
12 HL(IL.[C) = HLAL,IC)'BAAA)"PLL([,J.JAA)'W(ICK,1NP>
50 CONTINUE
G D 10 18
С .... ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦ Н И G АНАПИТИЧЕСК , СПОСОБОМ (ПО УРАВН . СВЯЗЕЙ НА ГРАНИЦЕ)
2 AL=C5*C2*C(JA)
AA = AL" (О .5-MDGIC (JA ) I )
DO 15 1=1,2
DO 15 J "- 1 , 4
1 T=(J/2 )•2'2-J
G(l.J) = C5"DXyH)*DXY(lT)/C(JA)
1FA 1 .EQ. I )G ( 1 . J) = GA . J )»AA
15 CON I 1 NJ E
IAA=-2
1F(ICOD,EQ.3IAA=0
Gtl.3*!AA);G(l,3*!AA)*AL
GB.4*1AA)=GB.4-IAA]*AL
HA.2-IAA)-C3*C4e(l.'lAA)
HB 1-IAA)--HA 2-lAA)
С. . СИММЕТРИЧНАЯ ТЕСТОВАЯ ЗАДАЧА
IB IFA5Y.EQ.1)GO 10 8
00 24 I-I15.1FS
DO 24 J = l .4
HA,J)=-H(I,JI
24 G( 1 ,J) = -C(] .J)
1fA COD.NE .4 .OR . 15Y .EQ.4 ) G0 TO B
DO 25 J=1,4
HLB,J):-HLB,J)
25 GLB,J)=-GLB,J)
В RETURN
END
14.6. Подпрограмма SLNPD
Эта подпрограмма является стандартной и применяется для
решения уравнений с неположительно определенными матрицами
методом исключения Гаусса [П. Если матрица А имеет нули
на диагонали, следует произвести перестановку строк; при этом
матрица системы уравнении считается сингулярной только в том

Программы решения на ЭВМ двумерных задач 469
случае, если никакая перестановка строк не приводит к ненуле-
ненулевому коэффициенту на диагонали для заданного номера строки.
Окончательный результат представляет собой вектор с не-
неизвестными граничными значениями перемещений и напряжений.
Он переписывается в массив В (NN2), который локально соответ-
соответствует массиву ХМ (NN2) основной программы.
Текст подпрограммы SLNPD
5UBROUTINE S1NPD(N,CB.[FAIL)
С .... РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕДУРЫ
С . . . ГАУССА И ПРИСВОЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ВЕКТОРУ ХМ
COMMON f RW/ IRE . 1WR
COMMON /A/ DB,2J . XI li . 3 ) ,W<6,31 . IDUPEO ) .INCE0 .2 ) С ( 50 )
•5E0,3) . !5УМ( 100) ,X( 100).У A00 ). IF [PI 100). At Ю'О 100) P(IOO)
•В С 100 )
N 1 - N - 1
DO 1 0 D K- 1 . N 1
К 1 = К • 1
CC- A!К,К )
IF(AB5(CC) ) 1 , 1 ,3
1 DO 7 J = К 1 ,N
]F(ABS(A(J,K)M7,7.5
5 DO fc L- К , N
С С = A 1 К , L )
A(K L ) = A (J ,L )
t *(J,L)=CC
CC=B(K )
В(С I = B(J ]
8 ( J ) "- С С
С С = А ( К . К )
GO I 0 3
7 С ON I 1 N U Е
8 WR I IE ( IWR . 2 Ж
2 FDRMAИ/'///,20Х ■ • * SINGULARITY IN ROW,15,' * • *')
IF A 1L= 1
GO TO 30 0
3 DO в J=K1,N
4 AU J>--ACK.J)/CC
В ( С ) "- В ( К IV С С
D0 10 I =K1 ,N
С С -- А ( 1 . К )
9 A([.J) = AM.J)-CC*A(K,J)
10 BA) = B(I)-CC*BU)
100 CONTINUE
IF(AB5(A(N.N)))B,8,101
10 1 В(N1=B(N)/Д(N,N1
DO 2 0 D L - 1 . N 1
K;N-L
К 1 = К ' 1
DO 200 J=K1.N
200 В(К)=8'К1-Д(K,J)a8(Jl
С .... УМНОЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕН. ЗНАЧ. УСИЛИЙ НА СВ ДЛЯ ПОЛУЧ, ДЕЙСТВИТ. ЗНАЧЕНИЙ
lF(IFlPn>.EQ.0)GO 10 70
В ( 1 )=В( 1 1-С8
70 CONTINUE
IFA1L = О
300 RETURN
END
14.7. Подпрограмма OUTPT
Эта подпрограмма печатает результаты вычислений значений
перемещений н напряжений на границе. Кроме того, она вычис-
вычисляет перемещения н напряжения во внутренних точках.

470 Глава 14
Значения напряжений на границе вычисляются с помощью
подпрограммы FENC, они являются важными для ряда практи-
практических приложений. Перемещения н напряжения во внутренних
точках вычисляются путем интегрирования по граничным элемен-
элементам с помощью подпрограммы FUNC.
Общая печать содержит:
1) значения перемещений и напряжений в граничных узлах;
2) значения перемещений и напряжений в граничных узлах
и внутренних точках.
Текст^подпрограммы^О UTPT
SUBROUTINE 0UTPT(NK.\NT.NN2.NE.[FA,NlF,Cl.C2.C3,C4,Cb.C6,
•С7.С8,О С 1 0 . С 1 1 РО . XSYM.YSYW)
: . ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ НА ПЕЧАТЬ ■
гОММЗЧ RW/ IRE.IWK
CDMMON .'A' D ?.2).XiF.3;,W(fe,3).IDUPE(M.lNCtS0,2),CE0),
*5{50.3J.ISvM.100>.k(]CO:.YA00).IFlP<100>', AUQO.lOGt.PUOO),
■<УA]0 >
:OWMON . А 4 . hi3,4>.G13.a).HLC,4).C-LC,4)
DIMENSION LM2),SA[4)
WF1IE(IW=.6
b F с R M A T [
*/// 30X . 'BOUNDARY p ; 5 P L А С E M E 4 T 5 AND T P « С T I ONS ' . i ' , 1 2X . NODE.H
■ X , ' U .15*, \< , 1 4 X . PX , 1U, 'PY ./)
С .... ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УСИЛИЯ НА ГРАНИЦАХ
DC a 1 = 1 . N N 2
I F (
PA -
F 1 P ( 1 ', EQ 0)GO TO 8
M ( I )
) = p (l :
= p д
WRITE( 1WB .1 1 к 1 ХМ1 !•I - 1 ) ,ХМB- 1 I Р ! 2 • I - 1 ) .Р г 2• I ) . 1 = 1 ,NN I
11 FORMA Г ( 1 0" . 15 ,5Х F15 4 , 1 X . F 1 S . 1 , 1 X , F 1 5 . 4 . 1 X . F 1 5 5)
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В УЗЛАХ И ВНУТРЕННИХ ТОЧКАХ
'ARTE1WR,1JJ
12 F С RMAI ( / ' . 15 А . DISPLACEMENTS AND STRESSES AT NODES ANCi INTERNAL PO
*INIS-.'/,ll*,'ND.P!',14X. U .15*. V ,14X. 5X ,;4X.'SXY , 1 3 X SY ,
* I 1 X S I . / )
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ
DO : d ■ 1 . t\ N
DO 11 J-1,3
11 5 ! I , J ) = 0
. ОБХОД ВСЕХ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
do за ; :,nE
п 1 ч с | ! , ; >
I г - 1 N С ( I . 2 )
CCl=tY(IF)-Y!ll))'C(I)
CC2-!X(II)-x:iF))/C(I>
САМ FENC(C8.CVC1O.CC1.CC2,!>
DO 30 J P = 1 ,2
I I " = I N С ! I , J P )
« F А С - 2 .
IF(IDJP(I1F).NE.O-OR.[SYM(I1F1.NE.C]XFAC=1
DO 3D I P- 1 , 3
M'D
00 30 1 '-. 1 .2
[ 0 -i ' И F • I P-2
S(Iir.lR)=S(!If,IR)-GCTR.lP)-P(IO)/XFAC
DC 3 0 j P = 1 . 2
M = M* 1
I0 = 2-INC (I , IP )• JR-2
30 S(IIF,IR):SU]F,IR)-H(]R.M)*XMUD>/XF«C

Программы решения на ЭВМ двумерных задач 471
ПЕЧАТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ГРАНИЦЫ
0 :> 17 I ■ 1 . м N
5A14>C11M3'11>-MI,JH
IF ( 1SYM( М . NE О I S ( I . 2 ) = 0 .
13 WfflTE(lWR,15)],XMB4-ll.XMI2M).SC[.l),SlI.2),5A.3).SAD)
15 FORMAT(IOX.15.4X.6CIX.F15.4l)
IMNN.EQ.NljGO TO 5
. . . ВЫЧИСЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ЗНАЧЕНИЙ
NN I = NN • 1
1 С 0 D --4
. . . ОБХОД ВСЕХ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК
00 16 I - NN 1 ,N"
I! ( ! ) - Л
1! ; 2 ) - 0 .
11 0 17 J - 1 . 3
17 SА к , ) - О
. СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
DO 2 0 lSY-l.LHA.NIF
XS■> ( 1 i
Y S - Y ( 1 I
IFtlSY EQ.2.GR.15V.EQ,4)YS=2,»Y5YH-Y5
IFC1SY.GE 3)XS.*XSYM-XS
GO TO 170, 71.71,73), ISY
7 1 I I S = 4 - 1ST
If5 = 1 IS
GO !O 7 0
73 I I S= 1
1 f S^2
... ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛО ГРАНИЦЕ
70 DO 20 J--1 .FJE
1 1 - I MC t J . 1 )
1F=IMC!J.2]
CAIL FUNC(lC0D.J.Cl.C2.C3,C4,C5.Cfc,C7.PO,M.lF.XS,YS.lSY
• 1 1 S. 1FS )
DO 20 1С = 1 , 3
M = D
DO 20 NX ; I , 2
DD 20 NV : 1 . 2
M = M* 1
1C» = 2- [NC (J ,NX ) -NV-2
IF(t.LI.3)U(K)=UIK)-H(IC,M)-XMCU«)'SCIC,M|-P(lC«)
20 5»(IC) = 5JCIC)-HL(IC.M)-XM(IC»)'GL(IC.M)-P(IC»I
SA,C4)=C11M5«A)-5AC))
16 WRITEUWR 15I,UA),UB),SAA).SAB).SAO),SAD)
5 RfTUHN
END
14.8. Подпрограмма FENC
Эта^подпрограмма вычисляет напряжения з граничных узлах
по формулам С5.114).
Текст подпрограммы FENC
SUBROUTINE FENCCC8,С9,С10.ССI .CC2,I ) -
. ЗНАЧЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 8 ГРАНИЧНЫХ УЗЛАХ
COMMON Ik/ Dt2,2).X[F,3).WF.3).IDUPf50).IMCf50.2).CE0)
«5E0 .3 ) . ISYM С 100 ) .X A00 ) .1 < I 00 ) . IF !Р( [ 00 ) , А < 100 100) PU00)
■ХМA00 I
. COMMON 1кЧ И < 3 , 4 ) .G C , 4 ) . HI C , 4 ) ,GL < 3 . 4 )
. МАТРИЦА Н
С0= -С8/С(I )
НA . 1 ) = С0*СС2**3
Н( 1 . 2 ) = - С О* С С I>CC2*
И ( 1 ,3)=-НС 1 . 1 )
И( 1 ,4 )= -ИA.2 >

472
Глава 14
H ( 7
Hi ?
НB
НB
Н( 3
Н( 3
Н( 3
НC
G B
GB
G<3
1 ) = НA . 2 )
2>=С0"СС2Ч"С1'
3 ) -- - Н I 1 2 1
-НB.2 )
НB.2 )
-CD'CCl 
-НB,2 )
МАТРИЦА G
G< 1
-НО ,2 )
cci**з«с1d * с с 1 - с с 2 * * г
2) = - С С 2 - С С 1-*2-С9"СС2*
1 ) = СС2'-3-С9"СС2'СС 1*'2
2 )=СС1-С9'СС 1 " С С 2 * - 2
1 > = -СС 1 ■СС2*'2'С9"СС 1-М
2) = сс2"з-с 1 о-ссг'сс 1 "г
RETURN
END
14.9. ^Примеры
Для того чтобы продемонстрировать подготовку исходных
данных для пользования программой, ниже разбираются два не-
несложных лрнмера.
14.9.1. Квадратная пластина
В этом примере рассматривается квадратная пластина при
двухосном нагруженнн. На рис. 14.5 показан способ дискретного
представления, а соответствующие исходные данные приведены
в табл. 14.1. В этом решении используются четыре граничных
элемента с шестью граничными узлами н четыре внутренние точки.
Полная распечатка результатов расчета приводится ниже.
Как легко проверить, совпадение с аналитическим решением
оказывается достаточно хорошим.
Таблица 14.1. Исходные данные для квадратной пластины
ЗАДАЧА О КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНЕ
1 3 5
4
1
2
3
4
5
6
7
8
Ч
1 0
1
2
3
4
3
4
5
it
1
2
3
2 .
2
2 .
I .
1 .
I .
2 .
2 .
1 .
1,
1
2
4
5
3
4
2
3
5
6
1
2
2
1
1
D ,3

Программы решения на ЭВМ двумерных задач
473
Рис. 14.5. К задаче о квадратной пла-
пластине. Параметры материала: Е = 5,
v= 0,3.
Рис. 14.6. К задаче о цилиндрической
полости. Параметры материала: Е =
= 21,v = 0,1.
14.9.2. Задача о цилиндрической полости
В этом примере рассматривается цилиндрическая полость,
нагруженная внутренним давлением. Область, рассматриваемая
в задаче, является бесконечной, и поэтому здесь INFB = 1.
На рис. 14.6 показан способ дискретного представления, а
в табл. 14.2 приведены исходные данные. При решении испольэо-
Таблица 14.2. Исходные данные для задачи о цилиндрической
полости
ь
1
2
3
4
5
6
7
8
Ч
1 D
1 1
1 2
13
1
2
3
4
5
6
1
2
3
а
5
6
7
3
7
2.5882
5 .
7 . D7 1 i
8.6603
9.6593
1 0 .
12 .
' 15 .
2D .
8.4853
10.6D66
14.1421
1
2
3
4
5
6
'
3.8823
7 .5
1 D . 6D66
12 . 990 a
14.4889
15 .
w
G
2
3
4
5
ь
7
^ЧАОЦИЛИНД
2 3
10 .
9 .6593
8 .6603
7 .0711
5
2.5882
8.4853
10 . 6066
14.1421
15 .
14 .4889
1 2 .9904
10 .6066
7 .5
3.B823
iPHHECt
21
СОЙ ПОЛОС
с
2
1
1
1
1

474
Глава 14
валось шесть граничных элементов н семь граничных узлов.
Дополнительная информация была получена для шести внутрен-
внутренних точек.
Ниже представлена распечатка результатов расчета. Эти ре-
результаты находятся в хорошем соответствии с результатами ана-
аналитического решения [2], прн этом максимальная относительная
погрешность составляет 2 %.

СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕМЕНТ
№ ЗАДАННОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
№ ЗАДАННОГО УСИЛИЯ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
УЗЕЛ »
УСИЛИЯ
УЗЕЛ '» '
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УСИЛИЯ НА ГРАНИЦЕ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В УЗЛАХ И ВНУ
ТРЕННИХ ТОЧКА

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИМЕНЯЕТСЯ
К СТАТИСТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ЗАДАЧА О ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
" БЕСКОНЕЧНО УДАПЕННАЯ " ГРАНИЦА
N" ЭЛЕМЕНТОВ -6
№ У 3 Л О В - >
«•ТОЧЕК . '
ТИП ЗАДАЧ И -- 2
ТИП СИММЕТРИИ--3
СВОЙСТВА МАТЕРИАЛА
Е = 21.
КОЭФФИЦИЕНТ ., ,,,,,
ПУАССОНА
КООРДИНАТЫ ГРАНИЧНЫ* УЗЛОВ
сп х 1 ДВОЙНЫЕ
КООРДИНАТЫ ВН
УТРЕННИХ ТОЧЕК
ГРАНИЧНЫЕ УЗЛЫ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ НА ОСЯХ СИММЕТРИИ S.

Программы решения на ЭВМ двумерных задач 477
о
X
X
СП
о
I
I
ct

Приложение А
Формулы численного интегрирования
АЛ. Введение
В этом приложении представлены некоторые правила числен-
численных методов определения интегралов по элементам и ячейкам.
Поскольку формула Гаусса численного интегрирования в настоя-
настоящее время является лучшей с точки зрения точности при заданном
числе точек, упор будет сделан именно на данную процедуру
численного интегрирования.
Приводимые ниже формулы численного интегрирования разде-
разделены на две группы. Первая группа относится к стандартной
схеме интегрирования и используется в том случае, когда в ин-
интегралах отсутствуют какне-лнбо сингулярности. Вторая группа
связана с интегрированием по элементам или ячейкам, в которых
на краю области интегрирования имеется особая точка (место
приложения точечного источника илн сосредоточенной силы),
и поэтому этн формулы следует применять только в подобных
случаях (т. е. при вычислении ведущих диагональных подматриц
матриц И н G).
А.2. Стандартные формулы гауссовых квадратур
А.2.1. Одномерные квадратуры [1]
где xt — координата i'-й точки интегрирования, wt — соответ-
соответствующий весовой коэффициент, п — общее число точек ин-
интегрирования (табл. АЛ). Погрешность равна Еп =
= О ((Pnfldx2n).

Формулы численного интегрирования
479
Таблица АЛ
п = 1
П_577Я5 02691 89626
и-3
0.00000 00000 00000
0.77459 66692 41483
0.33998 10435 84856
0.86113 63115 94053
и = 5
0.00000 00000 00000
0.53846 93101 05683
0.90617 98459 38664
п = 6
0.2.38619186083197
0.66120 93864 66265
0.93246 95142 03152
л-7
0.00000 00000 00000
0.40584 51513 77.497
0 7415? Н855 99394
0.94910 79123 42759
1.00000 00000 00000
0.55555 55555 55556
0.65214 51548 62546
0.34785 48451 37454
0.56888 88888 88889
U,47862 86704 99366
О.23692 6885О56189
0.46791 39345 72691
0.36076 15730 48139
0.17132 44923 79170
0,41795 91836 73469
O38183OO5O5O5I19
0.27970 53914 S9277
0 12948 49661 68870
0.18343 46424 95650
0.52553 24099 16329
0 79666 64774 13627
0.96028 98564 97536
л = 9
0.00000 00000 00000
0.32425 34234 03809
0.61337 14327 00590
0.83603 11073 26636
0.96816 02.395 07626
п- 10
0.14887 43389 81631
0.43339 53941 29247
0.67940 95682 99024
0,86506 33666 88985
0 97390 65285 17172
: 12
0,12523 34085 11469
0.36783 149S9 98180
0.58731 79542 86617
0.76990 26741 94305
0.90411 72563 70475
0.98156 06342 46719
О 36268 37833 78362
0,31370 66458 77887
0,22238 10344 53374
0,10122 85362 90376
0.33023 93550 01260
0.31234 70770 40003
0.26061 06964 02935
0.18064 81606 94857
O.08127 43883 6I574
0.29552 42247 14753
0.26926 67193 09996
0,21908 63625 15982
О 14945 13491 50581
0 06667 13443 08688
0.24914 70458 13403
0.23349 25365 38355
0.20316 74267 2.3066
0.16007 83285 43346
0.10693 93259 95318
0.04717 53363 86512
А.2.2. Двух- и трехмерные квадратуры
для прямоугольников и прямоугольных шестигранников
Формулы для двух- и трехмерных случаев следуют из выра-
выражения (АЛ) и имеют вид
I 1
ii'
i i=\
(A.2)
i i l
\\\
-1-1-1
1
\f(x,y,
n n n
*==! /=1 1=1
Координаты точек интегрирования и весовые коэффициенты
приведены в табл. АЛ.

480
Приложение А
A.2.3. Треугольная область
Численное интегрирование по треугольной области можно
выполнить, воспользовавшись симплексными координатами г\и
tJ и тK (гл. 3), в результате чего получим (рис. АЛ):
f/V "\ V, i , ,
I = / (ци ц2, Лз) dr\! ЫЛ2 ** 2j » (Л*> Лг Лз) ш*> (А-4)
D V 0 / '=1
где симплексные координаты и
соответствующие весовые коэф-
коэффициенты взяты из работы Хам-
мера и др. [2] и приведены в
табл. А.2.
Из выражений (А.4) и (АЛ)
можно, как это было сде-
сделано выше, получить формулы
численного интегрирования
для трехмерных пятигранных
ячеек.
@,0)
Рис. A.I.
ордииат t
() If
Косоугольная система ко-
Таблица А.2
1 (линейный)!
2 (квадра- I
тичный) 2
3
4(куби- 1
ческий) 2
3
4
7 (ПЯГОН 1
степени) 2
3
4
5
6
7
1/3
1/2
О
1/2
1/3
3/5
1/5
1/5
0,333 333 33
0,797 426 99
0,101 286 51
0,101 286 51
0,059 715 87
0,470 142 06
0,470 142 06
1/3
1/2
1/2
0
1/3
1/5
3/5
1/5
0,333 333 33
0,101 286 51
0,797 426 99
0,101 28651
0,470 142 06
0,059 715 87
0,470 142 06
0
1/2
1/2
1/3
1/5
1/5
3/5
0,333 333 33
0,101 28651
0,Ю1 286 51
0,797 426 99
0,470 142 06
0,470 142 06
0,059 715 87
1/3
1/3
1/3
-9/16
25/48
25/48
25/48
0,225 000 00
0,125 939 18
0,125 939)8
0,125 9.19 18
0,132 394 15
0,132 394 15
0,132 394 15
А.З. Вычисление сингулярных интегралов
А.3.1. Одномерные логарифмические формулы гауссовых квад-
квадратур [1 ]
[xt) wt. (A.5)

Формулы численного интегрирования
481
В табл. А.З представлены координаты точек и значения весов.
Отметим, что приведенное выражение удобно применять в случае
двумерных граничных элементов, где часто встречается лога-
логарифмическая особенность.
Таблица А.З
п
2
4
5
6
7
0.11200880
0,60227691
0,63890792 (-
0,36899706
0,76688030
0,41448480 (-
0,24527491
0,55616545
0.84898239
0,29134472 (-
0,17397721
0,41170251
0,67731417
0,89477136
0,21634005 (-
0,1 2958339
0,31402045
0,53865721
0,75691533
0,92266884
0,16719355 (-
0,10018568
0,24629424
0,43346.349
0,63235098
0,81111862
0,94084816
1)
1)
1)
1)
1)
0,71853931
0,28146068
0,51340455
0,39198004
0,94615406 (-1) -
0,38346406
0,38687532
0,19043513
0,39225487 (- 1)
0,29789346
0,34977622
0,23448829
0,98930460 (- 1)
0,18911552<- 1)
0,23876366
0,30828657
0,24531742
0,14200875
0,55454622(- I)
0,10168958 (- I)
0,19616938
0,27030264
0,23968187
0,16577577
0,88943226 (- 1)
0,33194304 (- 1)
0,59327869 (- 2)
n
8
9
Ю
xi
0,13320243 (- 1)
0,79750427 (- 1)
0,19787102
0,35415398
0,52945857
0,70181452
0,84937932
0,95332645
0,108693.38 (- 1)
0,64983682 (- I)
0,16222943
0,29374996
0,44663195
0,60548172
0,75411017
0,87726585
0,96225056
0,90425944 {- 2J
0,53971054 (- I)
0,13531134
0.24705169
0,38021171
0,52379159
0,66577472
0,79419019
0,89816102
0,96884798
«-i
0,16441660
0,23752560
0,22684198
0,17575408
0,11292402
0,57872212 1 - ll
0,209790741- 1)
0,36864071 (-2)
0,14006846
0,20977224
0,21142716
0,17715622
0,12779920
0,784788791- 1)
0,39022490 1- ll
0,13867290 (- П
0,24080402 (- 2)
0,12095474
0,18636310
0,19566066
0, P357723
0,13569597
0,93647084 (- 1)
0,55787938 (- 1)
0,27159893 (- 1)
0,95151992 (-2)
0,1638J586(-2)
Приведенные в таблице числа следует умножить на ID в степени, указанной справа
в круглых скобках.
А. 3.2. Численное интегрирование при особенности вида Mr
по треугольным и квадратным областям
Квадратные формулы для этих случаев были получены Кри-
стеску и Лоубинаком [3] и позже Пине и др. [4]. Здесь приво-
приводится формула, полученная в- работе [4]:
(А.6)
где со — область интегрирования (рис. А.2). Точки и веса при-
приведены в табл. А.4, где обозначения TV k или ТМ k относятся

482
Таблица АЛ Формупа
TV 1 '
TV 2'
TV 2"
IV 3
ТМ 1
ТМ2'
ТМ2"
ГМ 3
QVl
QV2'
■ QV2"
QV 3
QM 1
QM 2'
QM 2"
QM 3
Приложение А
Координаты v.
0.25
0.16666667
0.81742619
0.53764799
0.0
■V;, - Уг
016385495
0.61114353
■vi = >i
Vj = .14
0 125
0.28295366
0.24706775
Vi — V-i
0.46805571
0.50271173
A,= 14
OO7332S962
A.26640495
v4 = r,
-0.26501817
-0.58105530
1.0
0.39666491
- 0.15632872
■Y, = 1 ^
-0.37512304
0.69629093
* - = _i i
1 - =.':
0.0
0.0
0.76138824
-V; = \S
0 0
1.0
X 1 ~ — Л '
A.44855808
ОЛ7322^1
x i " * i
Vj - \,
Координаты г,
f, = V,
V, -~ -V,
0.18257381
I'l = \'ч
У\ ~ vi
О.355147О5
Л = X2
0.04756957
0.17753138
Уз = -vi
J'4 = -v:
V, = V,
V] = V,
0.75293225
i'i = -v;
0.0
,l'l = V;
0.33623395
0.61878355
l'i — л j
.''4 = Л2
Г, = Л,
.I'l =Л1
-0.21877566
.i'l = vi
-1.0
I'l = A:
-0.92928746
-0.15602536
И - л,
г, = .v:
-0.34313433
0 13130626
г1.0
'i — У:
-0.65952349
0.64186697
Vi - У:
0 73405341
0.4540"'U6
11 ^ .i'i
vi ~ .l'j
Веса i.r
1.24645048
0.93483790
0.15580629
i ~~ 2
0.25071485
0.49786782
И з = Н4
0.31161231
0.31161293
и-, -- ч'.
Н'4 = Н4
1.76274717
1.01519055
0.37377831
1.00578450
0.37848134
И , = 1Г;
0.25051549
0.63085810
11 3 = 1Г|
1Г4 = 114 1
3.52549435
2.37881900
0.57333767
if, = iii
0.13250102
1.19649666
И ; = 114
1.02276580
0.73998134
Н', = И
11'4 - Iti
4.81211825
2.79404031
1.00903897
If, = И',
3.64221415
0.58495205
IV ; = W-,
1 61441436
(O9164476
и , =- if,
Ч4 = И;

Формулы численного интегрированы
483
к формуле с k-й степенью для конфигураций TV и ТМ областей,
показанных на рис. А.2. Сказанное справедливо и для QV k
и QM k. Когда для одной и той же степени приводится не одна
формула, то вводятся обозначения с помощью штрихов.
Рис. А.2. Описание конфигураций областей интегрирования. Кружком указана
особая точка.
Отметим, что в формулах используются положительные зна-
значения весов и точки интегрирования располагаются внутри области
интегрирования, за исключением формулы TV2", для которой
точка 1 находится на некотором расстоянии от треугольника.
А.3.3. Численный прием нахождения главных значений
интегралов
Известно, что вычисление главных значений интегралов можно
выполнять, используя интегралы с конечными значениями 15].
Для иллюстрации рассмотрим главное значение интеграла Коши:
s+e
(А.7)
где предполагается, что функция / (х) удовлетворяет условию
Гельдера в точке s и f (s) ф 0, поэтому особенность имеет первый
порядок.

484 Приложение А
Очевидно, что каждый из интегралов, стоящих в правой
части выражения (А.7), можно вычислить, взяв конечное значение
интегралов
(A.8)
где через j- обозначена конечная часть интеграла [5—7].
Конечная часть интеграла является линейным и непрерывным
функционалом, куда входят регулярные интегралы, поэтому
здесь можно использовать многие свойства обычных интегралов,
но не все будут справедливы в общем случае. Например, в слу-
случае выражений (А.8) в обычной форме возможны перенос и отобра-
отображение интервала интегрирования, но недопустимо изменение
масштаба. Если во втором из выражений (А.8) изменить масштаб,
то следует использовать следующее выражение [7]:
(A.9)
Интересно отметить, что, используя представление о конечных
частях, можно интегрировать также и особенности более высокого
порядка, но полное изложение этой теории выходит за рамки
данного приложения. Интересующегося этим вопросом читателя
отсылаем к работам [5—7].
Формулы численного интегрирования для вычисления конеч-
конечных частей интегралов были представлены Куттом [8]. Для пол-
полноты изложения частично воспроизводится таблица, иллюстри-
иллюстрирующая выражения (А.8). Данные таблицы получены для отрезка
единичной длины и поэтому выражения (А.9) следует представить
в виде
s п
г = ( 4=7 dx ~ - 2 f Kfl ~ s)Xi + sl Ш1 - f (s) In | a - s|, (A.10)
l
Г=
где xt и &'( — соответственно координаты и веса гауссовых формул
интегрирования (их значения приведены в табл. А.5). Отметим,
что первая точка интегрирования лежит вне пределов интегри-
интегрирования, но поскольку для функции f (x) известно аналитическое
выражение, то это не существенно.

Формул!'! численного интегрирования
485
Таблица А.5
/1 = 2
-0.1318813079 12986667215670599477 A)-0.1309307341 4159542875 9658491249
0.6318813079 1298666721 5670599477 A) 0.1309307341 4159542875 9658491249
(- 1) -0.3969686527 5763972364 5602577574 (I) -0,2051668519 3485338763 3677477371
О.ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ 3333333333 3333333333 A) 0,1588235294 1176470588 2352941176
0.8396968652 7576397236 4560257757 0.4634332252 3088681751 3245361943
(- l)-0.1835380883 6002397574 3306030308 A)-0.2593628689 4206353141 1986911649
0.19973818104998674591 7610636251 A) 0.1672029801 3533497561 5800624534
0,58395304746507837000 6565400789 0.6754334170 2765424584 0955338683
0 9099872556 4561260632 5479241316 0.2461654710 3963131212 0907532468
(- 1)-0.1034864035 5610450391 3216228982 A)-0.3020220188 0167489499 1983779419
0,1318792969 25423204448930810801 A) 0.1706705519 0523283409 5676514538
0,4110445071 4059390565 4861696346 0.7655771077 6620893412 7999254496
0.720610O604 8734965175 5922829110 0.3940320876 1668993050 9861730341
0.9423703313 5779924408 7161842197 0.15390547358152174432 5211663977
/7 = 6
(-2)-0.6556081602 2445314564 8046162307 A)-0.3371785154 0107025091 6620840281
(-1) 0.9325015355 08349533414314714990 A) 0.1723519097 4105612509 3829789834
0.8125117342 9233737746 8770569286
0.4683097364 8467610133 5742374651
0.2618278247 3224660162 0697426204
0.1056167610 9088117780 2700134329
()
0.9325015355 0834953341 4314714990 A)
0.3004462888 0792320156 8234438420
0.5594481971 0305566728 1833365623
0.8008212350 0722462324 6583676282
0.9599558342 0686235675 4960217165
п-1
(- 2) -0.4486017976 3859046160 9844627776
(- 1) 0.6930868259 3891477203 9902359773
0.2276496031 4328665070 4908345661
0.4390637610 4952800515 8487273996
0.6616489750 8666059405 0408569646
0 8513209482 8767406448 2920243734
0 9705646914 5741732651 6168706619
71=8
(- 2) -0.3242501597 2971718707 6226447723
(- 1) 0.5349076607 2145996351 6325759777
0.1778273263 9269532029 1476101206
0.3507178785 5254952494 1759499784
0.5458195204 6848788049 7113433351
0.7334270806 5718625775 7460821281
0.8849830533 7011672211 4798993637
0.9774543783 7979958378 2452886991
A)-0.3670695942 0541972514 7338842722
A) 0.1732436531 9568001126 4627034186
0.840О787344 9383995169 0577594652
0.5112251766 0748204799 5326075488
0.3222444519 0458395756 1663455934
0.1876463072 3129246428 5563208552
(- 1H.7706473986 0198717293 9877507356
A)-0.3930636810 06855112567343685901
A) 0.1737406310 9О02152856 2172435669
0.8576345422 7306884948 2376287755
0.5383607734 8249803899 5953311080
0.3597575915 9203737679 5700571782
0.2372676990 9455128730 7264145652
0.1414622854 9686852832 8034959954
(- 1H.5874760722 9311759142 3832261022
Приведенные в таблице числа следует умножить
слева в круглых скобках.
10 :
степени, указанной

486 Приложение А
Приведенные выше формулы можно использовать при вычис-
вычислении главных значений интегралов для двумерных граничных
элементов (т. е. при нахождении ведущих диагональных под-
подматриц матрицы Н).
В трехмерном случае и при неупругом поведении материала
(пластичность, ползучесть и т. п.) можно также использовать
полярную систему координат (г, у, 9), которая позволяет выпол-
выполнять одномерное интегрирование по г путем нахождения главной
части интегралов и применять стандартные квадратурные формулы
для угловых координат ср и 0.

Приложение Б
Фундаментальные решения
для полубесконечных областей
В этом приложении представлены дополнительные части фун-
фундаментальных решений задач для полупространства н полупло-
полуплоскости. Эти выражения, прибавляемые к соответствующему реше-
решению Кельвина, дают необходимые фундаментальные решения
(см. формулу E.67)) для трех- н двумерных задач.
Б.1. Полупространство [1]
В соответствии с рис. Б.1 дополнительные выражения для
перемещений, обусловленные единичной сосредоточенной нагруз-
нагрузкой, приложенной внутри полупространства, имеют вид
с _ к Г 8 A - v)a — C — 4v) | C - 4у) R* - 2сх бсхЩ ~\
«11-Л<*[ R , £5 h-^6-J-
C-4V)/-! 4A-у) A - 2у) 6cxRi ] ..о _ г3 с
R3 ' Rtf + Rj + ^i """■ ■""
C — 4v) п ^_ 4A—у) A — 2v)
1 , C —4y)/-j . Чех i . 3/-1
x+—w— + ж11~ж
R{R + Ri) /Г
и° —Кгг Г 3 " 4v 4(l-v)(l—2v)
«23 - KdWs [—
«31=-?-«21» «32 = «23,
' ' <3-4v)' l 2С
4A-у)A-2у) /■ г! \]
^ R + Rt \l RIR + RJ )}'
где I = 1, 2, 3, Л = (Д,/?,)'/*, г, = *, (х) - хг (|),
i?i = хг (х) - xt g'), c = x1g)>0,
x = xlW^0, /(,= 16MA'_V)O. (Б.2)

488
Приложение Б
Рис. Б.1. Геометрия задачи
о единичной сосредоточенной
нагрузке, приложенной вну-
внутри полупространства
(l^l!^l= |Рз1= О-
Дополнительные выражения для соответствующих напряжений
равны:
I — 2v) п 3 C — 4v) ZRI — 3c^i Eх — с) _ 30cxR^ J
~^ ^ /?' J'
1—2v 3 C — 4v) xR! — Зс (Ъх + с) _ ЗОсх^М
(Jin = A"s
0?21 = '
221 = As |
O221
1 — 2v 3 C — 4v) xRx — 3c C» + c)
A —2y)C/-i —4vj?t) 3 C — 4v) f jf) — 6cR, [ A — 2v) j? — 2vc]
-2v) / . _ rl _ _r|\ 1
i) V R(R + Ri) R41'
„с
0231 =
3C —4V))-!
! ^5
V
a331~As
2v) / 1 . 1 \
r R* (R + RJ \R + R1'T R )
A — 2v) (Зг! — ivRx) 3 C — 4v) /-J/-1 — 6c^t [A — 2v) ic—2vc]
Oll2= Asf2 [
-2v) / . _ r| _ J_
Ri) \ R(,R + Ri) R*
{~2v 3C-4v)Rf ,
^5 £ - +

Фундаментальные пешения для полубесконечных областей 489
с к f
22 = As i
A —2v)/i 3C —4v);
6c
Ol22 vs i -^3 ^,
, —A—2v)r2
^r f(l-2v)E-4v) 3C-4v)fg
(Т222 = A s^2 j ^ ^
^r f(l-2v)(
= A s^2 j ^з
-v)(l —2v)
RiR + RiJ [ R*(R +
о
0232 = A sH 1 —^j- ^j
1-1C^ + ^I te /. 5rj \>
К г Г U - 2v) C - 4v) 3 C - 4v) rl
= Л/2 j ^5 ^5
4A—v)(l-.2v) Г. rlCR + R,) 1
Ri) 1 '
R (R + Rif L R1 {R +
„с к
О133 = As
0]13= — Oll2i
Ol23 = Ol32, (Б.З)
A—2v)f! 3 C — 4v) rjRi
с K . f (l-2v)C-4v) 3C-4v)fl
О223 = A^3 < ^ ^5
f
<
4A —v)(l-2v) Г.
R(R + Rf [
* . . '-2v 3C-4v)r§
О233 = ."-'
4(l-v)(l —2v) r. rUSR + Ri) ; бег / 5r§
R{R + Rif L R*(R + Ri) J Л6 V /г3

490
Приложение Б
О33 =
— 2v) E—4v) 3 C — 4v) f\
4A—-v) A— 2v) Г„_ rU
R № + tfiK L Ra (R + Ri) J
где
— v).
(Б.4)
Фундаментальные напряжения можно найти из выражения
(Б.З), используя соотношение
Pij = Ojkflk- (Б.5)
?'
11
К
(\ Я '*.
^2
1—/•,=)?,—И
Рис. Б.2. Геометрия задачи о единичной сосредоточенной нагрузке, приложенной
внутри полуплоскости (| — точка приложения нагрузки; х — произвольная точ-
точка; %' — изображение точки g, | Р1 \ = | Ра | = 1).
Б.2. Полуплоскость [2 ]
В соответствии с рис. Б.2 дополнительную часть фундамен-
фундаментальных перемещений для плоского деформированного состояния
можно записать в форме
< - Ц- [8A - vf-C-4v)ln*+ IP-*>ff-»'l
«21=.
[8A-v)
(Б.6)
[C-<
icxrl

Фундаментальные решения для полубесконечных областей 491
где используются обозначения (Б.2) при i = 1, 2, и, кроме того,
|2-, ^d=l/8n(l-v)G. (Б.7)
Дополнительные напряжения, обусловленные действием еди-
единичных сил, приложенных внутри полуплоскости, для плоского
деформированного состояния равны
If
•7111 = — As
, 2 [R, (Щ + 2сх) - 2xrj A - 2v)l KcxR.rj
с
O121 =
2 [j?t (/■! + 2x?) - 2C/-J + 2fr| A - 2v)]
^i
f-
^ f ' -2v 2 [c2 - хг + Hex — 2xR, A - 2v)]
= — AV2 j—^5 : £i :
с _ 77
0122 = — As
2 [Bcj + r%) R, - 2хЩ A — 2v)]
где
К, = 1/4лA -v), (Б.9)
а соответствующие поверхностные напряжения можно найти из
выражения (Б.5). Для плоского напряженного состояния в фор-
формулах (Б.6)—(Б.9) коэффициент v заменяется на v = v/(l + v).
Интересно отметить, что дополнительные выражения не со-
содержат сингулярностей при хг > 0 и с > 0 (т.е. в том случае,
когда точка приложения нагрузки располагается внутри об-
области^*). Для случая когда точка~приложения нагрузки'лежит
иа поверхности Г (с -» 0), легко видеть, что дополнительные
выражения вместе с решением Кельвина (см. выражение E.67)
дают полное решение трехмерной задачи Буссинеска—Черрути

492 Приложение Б
И, 3] или двумерной задачи Фламана [3, 4]. В последнем слу-
случае, например, фундаментальные перемещения и напряжения
на поверхности равны (£ £ Г):
«1*2= --/CiKl^M.s],
(b. 10)
«2i = —ЯЛ—(l-2v)9-ri2r. [],
«2*2 = —/СЛ2A -v)lnr r%],
а также имеем
*'*'=--sKr'"■•'•£■)■ ^=1/2яО- (Б.11, Б.12)
Из приведенных выше выражений ясно, что фундаментальное
решение для полуплоскости содержит особенности того же по-
порядка, что и соответствующее фундаментальное решение Кель-
Кельвина; аналогичная ситуация имеет место и в трехмерном случае.
Важно указать на то, что условие отсутствия поверхностных
напряжений на поверхности полубесконечного пространства те-
теперь обеспечивается наличием производной дг/дп в выражении
(Б.11) (т. е. задается условие дг/дп = 0 для \, х £ Г).

Приложение В
Некоторые частные выражения для двумерных задач
о неупругом поведении
Применительно к формулировке с начальными деформациями
(см. разд. 7.2) для двумерных задач пластичности справедливы
следующие выражения соответственно для плоского деформиро-
деформированного и плоского напряженного состояний:
4"
(ог)„д = v (о, + а„) + Е (е£ +
«I = -£- [ff» — v (Ojc -f az)] -h Де£,
для плоского дефармированного состояния,
- ау) -\- Де? -[- Дв^ Для плоского напряженного
состояния;
(B.I)
(B.2)
e^ - eiK + 6 (ъ'ху)\ (В.З)
Де?
дв»; ,
(B.4)
При использовании формулировки с начальными напряже-
напряжениями (гл. 7) удобно представить коэффициенты aiS в векторной
форме
а =
«83
(В.5)

494
Некоторые выражения для двумерных задач
Кроме того, коэффициенты dtj (см. выражение (8.18)) для
плоского деформированного состояния имеют вид
«11-
«12
«22"
«33
-СО
-со
<■>
«22 + «зз). (В.6)
а для плоского напряженного состояния
ап
«12
«22
0
1
"Г
г
@
(О
(В.7)
Приведенные векторные обозначения позволяют представить
выражения G.52) и G.56) в форме
dax
daxy
daz
dax
daxy
dal
YdaT
dax
daexy
dal
dal
(B.8)
(B.9)
где
v (daex -J- daey) Для плоского деформированного
состояния,
О для плоского напряженного состоя-
состояния.
Формула (8.17) теперь принимает вид
(В. 10)
а
ху
аг
у(ф)а,
(В.11)
где напряжение az определяется выражениями
v (ox -j- оу -\- а" + Оу) — о" для плоского деформи-
деформированного состояния,
О для плоского напря-
напряженного состояния.
(В.12)

Литература
К главе 1
l.Brebbia. С. Д.. ami Connor. .1. J.. Fundamentals of Finite Element Techniques for
Structural Engineers, Butterworths. London, 1973.
2. Connor. .1 J., and Hrebbia. С. Д.. Finite Element Techniques for Fluid Flow, Butterworths.
London. 1976.
л Kantorovich. L. V. mid Knlov. V. I.. Approximate Methods of Higher Analysis,
Noordhoff. Groningen. 1958. C3*)
4. Courant. R.. and Hilbert. D,, Methods of Mathematical Physics, Imerscience, New York.
1953.A9*)
5. Rcissner, E., A note on variational principle in elasticity. Int. J. Solids Structures 1.
93-95A965).
6. Pian. T. H. H.. and Tong. P.. Basis of finite element method for solid continua. Int. J.
Numerical Methods Engng. 1,3-28 A969).
1, Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, 2nd ed.. Pergamon,
New York. 1975.
8. Muskhelishvili. N. I., Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity,
Noordhoff. Groningen, 1953.C7*)
9. Mikhlin, S. G., Integral Equations, Pergamon, New York. 1957. C5*)
10. Kupradze. O. D., Potential Methods in the Theory of Elasticity, Daniel Davey & Co., New
York, 1965.A1*)
11. Smirnov, V. J.. Integral equations and partial differential equations, in A Course in Higher
Mathematics, Vol. IV, Addison-Weslev. London, 1964. C9*)
12. Kellogg, O. D,. Foundations of Potential Theory, Dover, New York, 1953.
13. Jaswon, M. A.. Integral equation methods in potential theory I, Proc Roy Soc Ser
A 275, 23-32 A963).
14. Symm, G, Т.. Integral equation methods in potential theory, II, Proc. Roy. Soc Ser A
275.3.3-46A963).
15. Massonnet. С. Е., Numerical Use of Integral Procedures, in Sires1: Analysis (О. С Zien-
kiewicz and G. S. Holister, Eds.). Wiley, London. 1966.
16. Hess. J. L., and Smith, A. M. O,, Calculation of potential flow about arbitrary bodies,
Progress in Aeronaulical Sciences Vol. 8 (D. Kuchemann, Ed.), Pergamon. London, 1967.
17. Cruse, T. A., and Rizzo, F. J., A direct formulation and numerical solution of the general
transient elasto-dynamic problem, I, J. Math. Anal. Appl. 22, 244-259 A968).
х) Имеющиеся переводы и оригинальные работы отечественных авторов
приведены в списке дополнительной литературы и отмечены номерами со звез-
лочкямм R скобкаy r кпнттр ггылпк.
дочками в скобках в конце ссылок

Литература
18. Brebbia. С. Л.. 77?е Boundary Element Method lor Engineers, Pcmech Press. London;
HalMend Press. New York. 1978.
19. Brebbia. С. A., and Walker. S.. Boundary Element Techniques in Engineering,. Newnes-
Butterworths. London. 1980.A3*1
20. Brebbia. C. A. (Ed.), Recent Advances in Boundary Element Methods, Proc. Is! Int.
Conference Boundary Elemeni Methods. Southampton University, 1978. Pentech Press,
London, 197S.
21. Brebbia, C. A. (Ed.). New Developments in Boundary Element Methods, Proc. 2nd Int.
Conference Boundary Element Methods, Southampton University. 1980. CML Publica-
Publications. Southampton and Butterworths. London. 1980.
.22. Brebbia. C. A. (Ed.). Boundary Element Methods. Proc. 3rd Int. Conf. Boundary Element
Methods. Irvine. California. 1981: Springer- Verlag. Berlin. 1981.
23 Brebbia. С. Л. (Ed,). Boundary Elemeni Methods in Engineering. Pioc. 4th Int.
Conference Boundary Element Methods. Southampton I'niversin 19S"> Springer Verla"
Berlin. 19S2.
24 l.au. P.. and Hrehhia. С. Л.. The cell collocation method. Int. .1. Mech. Sci 20. N3-95
I ITS).
2>. Г relit/. 1-.. bin Geiienstuck 711111 Rit/.schen Verfahren. Proc 2nd Int. Consress Appl.
Mech . /uiich. 1426.
•k *
Bie7eno. С. В.. and Koch. .). J.. Over ecu nicuwe methode ter brerkening \an \lokke platen
(__ met toepassiii!! op. lukele Voor de Technick Belangri|ke Belastingsgevallen. Ing. (irav.
38. 25-ЛЛ A923).
Bie7cno. С. В., and (irammel. R. Engineeiinn Dynamics. Vol. 1. Theory of Elastic jt\
Boekic & Son. London. 1955.
Brebbia. C. A., and Tottenham. 11. (Eds.). I'ariational Methods in Engineering B \ob).
Southampton University Press. England, 1973, reprinted 1975.
Brebbia. С A., and Domingue7, J., The boundary element method for potential problems,
Appl. Math. Modelling, 1, 372-378 A977).
Brebbia, C. A.. Fundamentals of boundary elements, in Sew Developments in Boundary
Elemeni Methods, Butterworths, London. 1980.
Uvebbia, C. A., Basis of.boundary elements, in Progress in Boundary Elements, Vol. 1, Pentech
Press. Londoir. Wiley. New York, 1981.
Collut/, L, The Mtmerical Treatment of Differential Equations. 3rd Ed., Springer-Verlag,
Berlin. 1967.
linla\son. B. A.. The Method of Weighted Residuals and lariatiomtl Principles, Academic
Press. New York. 1972.
(ialerkin. В.. Contribution a la solution generale du probleme de In theorie de 1'elasticite
dans le cas de trois dimensions, Comptes Rendus 190, 1047-1048 A930). Comptes
RenduslDokl.) Acad. Sci. I'RSSSer. Л 14,353 A930).B9*)
1 Iclhiricr. Г.. l)er Alliicnicinc Ansat/ der Mechanik dcr Koiuinus. in Encvclopadie der
\lalliemalisi_hen И issensehafien. Vol. 4. Part 4, 1974.
llildebrand. 1 B, Methods of Applied Mathematics. Prentice-Hall. Fnglewood Cliffs. N..1..
1905.
Никои. S. (L and Anderson, D. 1.., Finite element methods: A Oalerkin approach, J. Engng.
Mech. I)i\. ASCE7, 1503-1520A971).
KantoioMch. L. V.. and Kr\lo\, \'. 1.. Approximate Methods o\ Higher Analysis. Noordhofl'.
Cnoningen. 1958.C 3*) '
Lanc/os. С The I'lin'ational Principles of Mechanics. University of Toronto Press. Toronto.
194().D 0*)
Mikhlm. S. (i., 1 '(/national Methods in Mathematical Phvsi, s. MacMillan. New York, 1964. C6*)

Литература 497
К главе 2
1. Fredholm. I- Sur une classe d'equations tonctionelles, Aeta Math. 27, 365- 390 A903).
2. Kupradzc. V. D.. Potential Methods in the Theory of Elasticity, Israel Program for Scientific
Translation*. Jerusalem, 1965.A1*)
3. Kellogg. O. D., Foundations of Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1929.
4. Somigliana. С Sopra Tequilibrio di un corpo elastico isotropo, // Nuovo Ciemento 17- is>
A886).
5 Brebbia. С A.. The Boundary Element .Method for Engineers. Pentech Press. London:
Halstead Press. New York, 1978 (Second edition. 1980).
6. Morse. P. M, and Feshbach, H.. Methods of Theoretical Plnsics, McGraw-Hill, New York.
1953.B3*)
7. Carslaw, H. S., and Jaeger, J. C. Conduction of Heal in Solids, 2nd ed., Clarendon Press.
Oxford, 1959.
8. Roach. G. ¥.. Green's Functions: Introductory Theory with Applications, Van Nostrand
Reinhold. London, 1970.
9. Jaswon, M. A.. Integral equation methods in potential theory, 1. Proc. Roy. Soc. Ser. A
275,23-32A963).
10. Symm. G. Т.. Integral equation methods in potential theory, II, Proc. Roy. Soc. Ser. A 275.
33-46A963).
11. Jaswon, M. A., and Ponter, A. R, "An integral equation solution of the torsion problem.
Proc. Roy. Soc. Ser. A 273,237-246 A963).
12. Hess, J. L.. jnd Smith. A, M. O., Calculation of potential flow ;ibout arbitrary bodies.
Progress in Aeronautical Sciences Vol.8, (D. Kiichemann, Ed.). Peraamon Press, London.
1967.
1.3. Harrington. R. F., Pontoppidan, K., Abrahamsen. P., and Albertsen, N. C, Computation
of Laplacian potentials by an equivalent-source method, Proc. 1EE 116, 1715- 1720 A969).
14. Mautz. J. R., and Harrington. R. F., Computation of rotationally symmetric Laplacian
potentials. Proc. 1EE 117,850-852 A970).
15. Jaswon. M. A., and Symm, G. Т., Integral Equation Methods in Potential Theory
and EliKtostatics, Academic Press. London, 1977.
16. Cruse. T. A.. Boundary integral equation methods in solid mechanics, Report SM-73-17
Dept. of Mechanical Engineering, Carnegie-Mellon University, Pittsburgh, 1973.
17. Courant. R.. and Hilbert, D., Methods of Mathematical Plnsics, Vol. 2, Interscience
Publishers. New York, 1962.A9")
18. Sternberg. W. J., and Smith, T. L., The Theory of Potential and Spherical Harmonics^
University of Toronto Press, Toronto, 1944.
19. Kantorovich. L. V., and Krylov. V. L Approximate Methods of Higher Analysis,
Noordlwff. Groningen, 1958. C3*1
20. Miller. G. F.. Fredholm equations of the first kind, in Numerical Solution of Integral
Equations (L. M. Delves and J. Walsh, Eds.), Clarendon Press, Oxford, 1974.
21. Brebbia. C. A., and Walker, S., Boundary Element Techniques in Engineering, Butter-
worths. London. 1980. A3*1
22. Moon. P.. and Spencer, D. E., Field Theory Handbook, 2nd edn.. Springer-Verlag. Berlin,
1971. .
17 Бреббия К. и др.

498 Литература
23. Arpaci. V. S.. Conduction Heat Transfer, Addison - Wesley. Reading. Mass.. 1966.
24. Wilson. E. L.. and Nickell. R. E.. Application of the finite element method to heat
conduction analysis. Nuclear Engng. Design 4,276-286 A966).
25. Peavy. B. A., Steady-state heat conduction in an exposed exterior column of rectangular
cross-section. I Res.Nat. Bur. Stand. 69 C, 145-151 A965).
,26, Fairweather. G.. Rizzo. F. I. Shippy. D. I, and Wu. Y. S., On the numerical solution of
-^ two-dimensional poiential problems by an improved boundary integral equation method,
J. Comput. Plus. 31,96-112A979).
27. Batchelor. G. K.. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Universiiy Press,
Cambridge. 1967.
28. Nakaguma. R. K.. Three-dimensional elastostatics using the boundary element meihod,
Ph. D. Thesis. Southampton University. 1979.
29. Chang. O. V.. Boundary elements applied to seepage problems in zoned anisotropic soils.
MSc. Thesis. Southampton University. 1979.
30. Lambe. T. W.. and Whitman; R. V.. So/7 Mechanics. Wiley. New York. 1969.
31. Chang. Y. P.. Kang. C. S.. and Chen. D. J.. The use of fundamenial Green's functions for
the soluiion of heat conduction in anisotropic media, int. .1. Heat Mass Transfer 16,
1905-1918A973).
32. Abbott. 1. H.. and von Doenhoff. A. E.. Theory of Wing Sections. Do\er. New York. 1959.
33. Goldenberg. H,. External thermal resistance of two buried cables. Proc. IEH 116, 822-826
A969).
34. Hammer. P. C. Marlowe. O. ■}.. and Stroud. A. H.. Numerical integration o\er simplex_e.s
and cones. Math. Comput. 10. 130-137 A956),
35. Abramowitz. M., and Steaun. I. A. (Eds.). Handbook of \futhenui!ital Functions. Dover,
New York. 1965.B4*)
36. Snow. C. Hypergcomctric and Legendre Functions with Application in /mesial Equations-
of Potential Theory. Applied Mathematical Series No. 19- National Bureau of Standards,
Washington. D.C. 1952.
?7. Erdelyi. A., eta/.. Higher Transcendental Functions. Vol. 1. Bateman Manuscript Project.
McGraw-Hill. New York. 1953.A 4 *)
38. Wrobel. L. C. Potential and viscous flow problems using the boundary element method.
Ph. D. Thesis. Southampton University. 1981
39. Wrobel. L. C. and Brebbia. C. A.. Axisymmetric potential problems, in Yen- Developments
in Boumlory Element Methods. BMlerworlhs. London, 1980. CML Publications. Southampton.
1980.
40. Zienkiewicz. О. С and Cheung. Y. K.. Finite elements in the solution of field problem^
The Engineer 220. 507-510 A965).
41. Ricardella. P. С An implementation of the boundary-integral technique for planar
problems in elasticity and elasto-plasticity. Ph. D. Thesis. Carnegie'-Mellon University.
1973.
42. Wilson. E. S.. Structural analysis of axisymmetriс solids. AIAA J. 3. 2269-22~4 A965).
43. Rizzo. F. J.. and Shippy. D. J.. A boundary integral approach to potential and elasticity
problems for axisymmetric bodies with arbitrary boundary conditions. Mech. Res
Commun. 6,99-103 A979).
44. Shippy. D. I. Rizzo. F. J.. and Gupta. A. K.. Boundary integral solution of potential
problem-: involving axisymmetric bodies and nonsymmetric boundary conditions, in Pick,
10th South Eastern Conf. on Theoretical and Applied Mechanics. 1980.
45. Akkuratov. Yu. N.. and Mikhailov. V. N.. The method of boundary integral equation?
for solving nonlinear heat transmission problems. USSR Comput. Maths. Math, Phys. 20,
117- 125 П980).( 2 8*)
46. Bialccki. R.. and Nowak. ,V J., Boundary value problems lor nonlinear maierial and non-
nonlinear boundary conditions. Applied Mathematical Modelling. 5.41"-421 A9S1 I.
4~\ Svelek. P.. and Brebbia. C. Nonlinear potential problems, in Progress in Boundary
Elanem Methods; !<;/. 3. Penteeh Press. London. Springer- Veilag. N.Y.. 1983
48. \n/a. J. J., Aheda E.. Da Riva. [.. and AUircon. E.. A new boundary condition solved with
BEM. in Boundary Elemeiil Methods in Engineering (C, Brebbia. Ed.). Springer-Verla;;.
Berlin. 1'Л2.

Литература 499
К главе 3
1. Connor, J. J.. and Brebbia, С. A.. Finite Element Techniques for Fluid Flow, Newnes-
Butterworths. London. 1976.
2. Wood. W. L.. On the finite element solution of an exterior boundary-value problem,
int. J. Numerical Methods Engng 10, 885-891 A976).
3. Carslaw. H. S.. and Jaeger, J. C, Conduction of Heat in Solids, 2nd ed Clarendon Press,
Oxford, 1959.
4. Isaacson, M. de St. Q.. Vertical cylinder of arbitrary section in waves, J. Waterways. Port,
Coastal and Ocean Div.ASCE, 104,309-324A978).
5. MacCamy, R. C. and Fuchs, R. A., Wave force on piles: A diffraction theory, Tech.
Memo 69. US Army Corps of Engineers, Beach Erosion Board, Washington, D.C., 1954.
ft. Au. M. C. and Brebbia, C. A., Diffraction of water waves for \ertical cylinders using
boundary elements. App. Math. Modelling 7,106-114 A983).
". France, P. W.. Parekh. C. J., Peters, J. C. and Taylor, C, Numerical analysis of free
surface seepage problems. J. Irrigation Drainage Div. ASCE 97, 165- 179 A971).
Я. Cheng. A. H.-D.. Liggett. J. A., and Liu, P. L.-F., Boundary calculations of sluice and
spillway flows. J. Hydraulics Div. ASCE 107, 1163- 1178 A981).
9. Liggett. J. A., and Salmon, J. R., Cubic spline boundary elements, Int. J. Numerical
Methods Engng 17,543-556A981).
10. Danson. D.. BEASY Boundary Element Analysis System, Computational Mechanics Cen-
Centre. MANUAL: Southampton, UK, 1982,
К главе 4
1. Rizzo. F. J,. and Shippy. D. J., A method of solution for certain problems of transient heat
conduction. AIAA J. 8, 2004-2009 A970).
2. Butterfield. R. and Tomlin. G. R., Integral techniques for sohing zoned anisotropic
continuum problems, in Proc. Int. Conf. on Variational Methods in Engineering. Vol. 2
(C. A. Brebbia and H. Tottenham. Eds.). Southampton University Press. Southampton
1972.
3. Tomlin. G. R.. Numerical analysis of continuum problems in zoned anisotropic media.
Ph.D. Thesis. Southampton University. 1972.
4. Chang. Y. P.. Kang. С S.. and Chen. D. J.. The use of fundamental Green's functions for
the solution of problems of heat conduction in anisotropic media. Int. J. Heat Mass
Transfer 16,1905-1918 A973).
5. Shaw. R. P.. An integral equation approach to diffusion. Int. J. Heat Mass Transfer 17.
693-699A974).
6. Wrobel. L. C, and Brebbia. C. A.. The boundary element method for steady-state and
transient heat conduction, in Ушпепса! Methods in Thermal Problems (R. W. Lewis and
K. Morgan. Eds.), Pineridge Press. Swansea, Wales, 1979.
7. Wrobel. L. С and Brebbia. С A., A formulation of the boundary element method for
axisymmetric transient heat conduction. Int. J. Heat Mass Transfer 24, 843-850 A981).
8. Brebbia. С A., and Walker. S.. Boundary Element Techniques in Engineering, Newnes-
Butterworths, London, 1980.
9. Widder, V. D., The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton. 1946.
10. Abramowitz. M., and Stegun, I. A. (Eds.), Handbook of Mathematical Functions, Dover,
■New York, 1965.B4*)
17*

500 Литература
11. Lachai. J. С. and Combescure. A.. Laplace iransform and boundary integral equation:
application ю transient heat conduction problems, in Innovative \umencal Analysis in
Applied Engineering Science (T. A. Cruse et a!.. Eds.), CETIM. Versailles. 1977,
12. Schapery, R. A., Approximate methods of transform inversion for visco-elastic stress
analysis, in Proc. Fourth U.S. National Congress on Applied Mechanics. Vol. 2, 1962.
1-Я. Liggett, J. A., and Liu, P. L. F., Unsteady flow in confined aquifers: A comparison of two
boundary integral methods. Water Resources Res. 15,861-866A979).
14. Carslaw, H. S., and Jaeger. J. С Conduction of Heat in Solids, 2nd ed.. Clarendon Press.
Oxford, 1959.
15. Curran, D. A. S., Cross, M, and Lewis, B. A., Solution of parabolic differential equa-
equations by the boundary element method using discretization in time, Appl. Math.
Modelling 4,398-400 A980).
16. Morse. P. M., and Feshbach, H., Methods of Theoretical Physics, Mc-Graw-Hill, New
York. 1953. B3*)
17. Roach. G. F., Green's Functions: Introductory Theory with Applications, Van Nostrand
Reinhold. London. 1970.
18. Gradshteyn, I. S., and Rvzhik. I. M.. Table of Integrals, Series and Products, Academic
Press. London. 1965.
19. Wrobel. L. C. and Brebbia. C. A.. Time-dependent potential problems, in Progress in
Boundary Element Methods, Vol. 1 (C. A. Brebbia. Ed,.>. Pentech Press, London, Halstead
Press, NY. 1981.
20. Dubois. M.. and Bujsse. M.. Transient heat transfer analysis by the boundary integral
equation method, in .Vpit1 Developments in Boundary Eiemen; Methods (C. A. Brebbia.
Ed. i. CML Publications. Southampton. 1980.
2Г. Curran. D.. Cross. M.. and Lewis, B. A.. A preliminary analysis of boundary element
methods applied to parabolic partial differential equations, in Уел Developments in
Boundary Element Methods (C. A. Brebbia. Ed.), CML Publications, Southampton. 1980.
22. Thaler. R. H., and Mueller, W. K.. A new computational method for transient heat
conduction in arbitrarily shaped regions, in Fourth In:. Нел Transfer Conference (l\
Grigull and E. Hahne. Eds.). Elsevier Publishing Co.. Amsterdam. 1970.
23. Onishi. K., and K,uroki. Т.. Boundary element method in transient heat transfer problems.
Bull. Inst. Advan. Res. Fukuoka Univ. 52 A9811,
24. Hammer, P. C, Marlowe, O. J.. and Stroud. A H,. Numerical integration over simplexo
and cones, Math. Comput. fo, 130- 137 A956)
25. Wrobel. L. C, and Brebbia, C. A.. Boundary elements .n thermal problems, in Numerical
Methods' in Heat Transfer (R. Lewis. K. Morgan, and О С. Zienkiewicz. Eds.). Wilev.
Chichester. 1981.
26. Wrobel, L. C, Potential and viscous flow problems u^.ig *he boundary element method.
Ph.D. Thesis. Southampton University. 1981.
27. Onishi. K.. Convergence in the boundary eiemen; method for heat equation. TRU Math.
17,213-225A981).
28. Bruch. J. C. Jr., and Zyvoloski, G.. Transient two-dimensional heat conduction solved bv
ihe finite element method, Int. J. Numerical Methods Engng. 8,481 -494 A974),
29. Zienkiewicz, O. C, and Parekh. C. J.. Transient-field problems: Two-dimensional and
three-dimensional analysis by isoparametric finite elements. Int. J. Numerical Method1-
Engng. 2,61-71 A970).
30. Watson, G. N., A Treatise on the Theory of Bcst\ Functions, 2nd ed., Cambridge
University Press, Cambridge, 1944.
31. Haji-Sheik, A., and Sparrow, E. M.. Transient heat conduction in a prolate spheroidal
solid, J. Heat Transfer Trans. ASME 88 C, 331 - 333 A966).
32. Anderson, С A., and Zienkiewicz. О. С Spontaneous ignition: Finite element solutions
for steady and transient conditions, J. Heat Transfer Trans. ASME 96 C, 398-404 A977).
33. Rubinstein, L. ].', The Stefan Problem, AMS Translations of Mathematical Monographs.
Vol. 27, Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1971.
34. Chuang, Y. K., The melting and dissolution of a solid in a liquid with a strong exothermic
heat of solution. Ph.D. Thesis, State University of New York at Buffalo, 1971.
35. Chuang, Y. K., and Szekely, J., On the use of Green's functions for solving melting or
solidification problems, Int. J. Heat Mass Transfer 14,1285-1294A971).

Лише; an у fa 501
36. Chuang, Y. К., and Szekely, J., The use of Green's functions for solving melting or
solidification problems in the cylindrical coordinate system. Int. J. Heat Mass Transfer 15.
37. Chuang, Y. K... and Ehrich, O., On the integral technique for spherical growth problems
int. J. Heai Mass Transfer 17,945-953 A974).
К главе 5
1. Love, A. E. H. A Treatise on the Mathematical Theorx of Elasticity, Dover. New York,
1944. . " • "
2. Ford, H., and Alexander, J. M., Advanced Mechanics of Materials, 2nd ed., Ellis Horwood
Chichester. 1977.
3. Malvern L. E,, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice—Hall'
Englewood Cliffs. N. J., 1969.
4. Fung, Y. C, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1965.
5. Timoshenko. S. P., and Goodier, J. N., Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill, Tokyo.
1970.
6. Nayak. G. C. and Zienkiewicz, О. С, Convenient form of stress invariants for plasticiiy.
Proc. Am. Soc. Civil Engrs., J. Struct. Div. 98,949-954 A972).
7. Kellogg, O. D.. Foundations of Potential Theory, Springer Verlag, Berlin, 1929.
8. Somigliana, C, Sopra l'equilibrio di un corpo elastico isotropo, // Nuovo Ciemento 17- 19
A886).
9. Brebbia, С. А-, The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press. London:
Halsiead Press, New York, 1978 (second edition, 1980).
10. Brebbia, C. A., and Walker, S., Boundary Element Techniques in Engineering, Butter-
won hs, London, 1980.
ll.Melan, E., Der Spannungszustand der durch eine Einzelkraft im Innern beanspruchten
Halbscheibe. Z. Angew. Math. Mech. 12,343-346A932).
12. Mindlin, R. D,, Force at a point in the interior of a semi-infinite solid, Physics 7,
195-202A936).
13. Nakaguma. R. K,. Three dimensional elastostatics using the boundary element method.
Ph.D. Thesis. University of Southampton, 1979.
14. Telles, J. C. F.. and Brebbia, C. A., Boundary element solution for half-plane problems,
!nt. J. Solids Structures 17, 1149- 1158 A981).
15. Zabreyko, Pv P.. et ai, Integral Equations - A Reference Text, Noordhoft^ Amsterdam
1975.
16. Riccardella. P. C, An implementation of the boundary integral technique for planar
problems in elasticity and elastoplasticity. Report No. SM-73-10. Dept. Mech. Engng.
Carnegie Mellon Univ., Pittsburg. 1973.
17. Hartmann. F.. Computing the C-matrix in non-smooth boundary points, in Sew Devel-
Developments in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.), pp. 367-379. Butterworth^
London, 19S0. CML Southampton, 1983.
18. Rizzo, F. J.. and Shippy, D. J., An advanced boundary integral equation method for threi
dimensional thermoelasticity, Int. J. Numerical Methods Engng. 11, 1753- 1768, A977).
19. Cruse, T. A., Mathematical foundations of the boundary integral equation method in solid
mechanics, Report No. AFOSR-TR-77-1002, Pratt and Whitney Aircraft Group, 1977.
20. Jaswon, M. A., and Symm, G. Т., Integral Equation Methods in Potential Theory and
Elastostatics, Academic Press, London, 1977.
21. Cruse, T. A, and Vanburen, W., Three-dimensional elastic stress analysis of a fracture
specimen with an edge crack, Int. J. Fracture Mech. 7, 1 - 15 A971).
22. Lachat, J. C, A further development of the boundary integral technique for elastostatics,
Ph.D. Thesis, University of Southampton, 1975.
23. Telles, J. С F., and Brebbia, С A., On the application of the boundary element method to
plasticity, Appl. Math. Modelling 3,466-470 A979).

502 Литература
24. Telles, J. С. F., Mansur, W. I, and Halbritter, A. L., The boundary element method
_, applied to two dimensional linear elasticity, in Proc. 2nd Symposium on Computational
Systems in Civil Engineering, pp. 303-314, CESP, Sao Paulo, 1978.
25. Chaudonneret, M, On the discontinuity of the stress vector in the boundary integral equa-
equation method for elastic analysis, in Recent Advances in Boundary Element Methods (C. A.
Brebbia, Ed.), pp. 185-194, Pentech Press, London, 1978.
26. Cruse, T. A.. An improved boundary integral equation method for three dimensional
elastic stress analysis. Сотр. Structures 4,741 — 754 A974).
27. Cruse. T. A., and Wilson, R. В., Advanced applications of boundary integral equation
methods. Nuclear Engng. Design 46,223-234 A978).
28. Cruse, T. A., and Meyers, G. J., Two dimensional fracture mechanics analysis. J. Struct.
Div. Proc. ASCE 103,309-320 A977).
29. Brebbia, С A., and Nakaguma, R., Applications of boundary elements in the analysis of
offshore structures, in Proc. Brazil Ofsshorc/77 Rio de Janeiro, Pentech Press. London.
GULF Publications, Houston. 1978.
30. Boissenot. J. M., Lachat. J. C. and Watson, J., Etude par equations integrals d'une
eprouvette C.T. 15, Rev. Phys. Appl. 9,611 A974).
31. Cruse, T. A., Two dimensional BIE fracture mechanics analysis, in Proc. ht Int. Scminat
on Recent Advances in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia. Ed.). Pentech Press.
London. 1978.
32. Poulos, H. G.. and Davis. E. H.. Elastic Solutions far Soil and Rock Metlumics. Wilev.
New York, 1974.
33. Jeffery. G. В.. Plane stress and plane strain in bipolar coordinates. Trans. Roy Soc
(London). Ser. A 221,265 - 293 A920).
34. Mindlin. R. D.. Stress distribution around a hole near the edge of a plate under tension.
Proc. Soc. Exptl. Stress. Anal. 5.56-68 A948).
35. Watson, J. O.. The solution of boundary integral equations of three-dimensional elasto-
statics for infinite regions. Paper presented ai the 1st Int. Seminar on Recent Advances in
Boundary Element Methods. University of Southampton. 1978. '
36. Stippes. M.. and Rizzo. F. J.. A Note on the body force integral of classical elastostatics, Z.
Angevv. Math. Phys. 28,339-341 A977).
37. Danson. D. J., A boundary element formulation of problems in linear isotropic ehsticitv
with body forces, in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia. Ed.), pp. 105-122.
Springer-Verlag. Berlin. 1981.
38. Cruse. T. A.. Boundary integral equation method for three dimensional elastic fracture
mechanics. Report No. AFOSR-TR-75-0813. Pratt and Whitney Aircraft Group. (lu).
39. Kermanidis. Т.. A numerical solution for axially symmetrical elasticuv problems. Int. J,
Solids Structures 11.493-500A975).
40. Cruse. T. A.. Snow. D. W.. and Wilson. R. В.. Numerical solutions m j\isvmmetrie
elasticity. Comput. Structures 7,445-451 A977).
41. Erdelyi. A., et ai. Higher Transcendental Functions. Baethman Manuscript Project. Vol 1.
McGraw-Hill, New York. 1953.A4*)
42. Mayr. M.. and Neuretier. W.. Ein Numerisches Verfahren zur Losung des A\ials\mnieiri-
schen Torsionsproblems. Ingenieur-Archi\. 46. 137—142 A977).
43. Mayr. M.. Drexler. W.. and Kuhn. G., A semianalytical boundan integral approach for
axisymmetric elastic bodies with arbitrary boundary conditions. Int. .1. Solids Structures
16,863-871A980).
44. Mayr. M.. On the numerical solution of axisymmetric elasticity problems using an integral
equation approach. Mech. Res. Com. 3, 393-398 A976).
45. Shippy. D. J.. Rizzo. F. J.. and Nigan. R. K., A boundary integral equation method for
axisymmetric elastostatie bodies under arbitrary surface loads, in Proc. 2ml Int. Svmp. on
Innovative Numerical Anahsis in Appl. Engng. Sci. (R.P. Shaw et ai. Eds). University of
Virginia Press, Charlottesville, 1980.
46. Rizzo, F. J., Gupta, A. K., and Wu, Y.. A boundary integral equation method for torsion
of variable diameter circular shafts and related problems, in Proc. 2ml Int. Svmp. on
Innovative Numerical Analysis in Appl. Engng. Sci. (R.P. Shaw et ai. Eds), University of
Virginia Press, Charlottesville, 1980. ^
47. John, F., Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differvntial Equations. Inter-
Science Publishers, New York, 1955.

Литература 503
48. Vogel, S. К., and Rizzo, F. J., An integral equation formulation of three dimensional
anisotropic elastostatic boundary value problems, J. Elasticity 3,203 - 216 A973).
49. Synge, J. L., The Hypercirck in Mathematical Phvsics, Cambridge University Press.
Cambridge, 1957.
50. Wilson, R. В., and Cruse, T. A., Efficient implementation of anisotropic three dimensional
boundary-integral equation stress analysis, Int. J. Numerical Methods Engng. 12.
1383-1397A978).
51. Pan. Y. C, and Chou,'T. W.. Point force solution for an infinite transversely isotropic
solid. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 43,608 - 612 A976).
52. Pan. Y. C. and Chou, T. W., Green's function solutions for semi-infinite transversely
isotropic materials, Int. J. Engng. Sci. 17,545-551 A979).
53. Kobayashi, S.. and Nishimura, N., Green's tensors for elastic half-spaces: An application
of boundary integral equation method. Mem. Faculty Engng. Kyoto Univ 42, 228-241
A980).
54. Rizzo, F. 1, and Shippy, D. J., A method for stress determination in plane anisotropic
bodies. J. Composite Materials 4,36-61 A970).
55. Green. A. E., A note on stress systems in aelotropic materials, Philos Mag 34, 416-41S
A943).
56. Tomlin, G. R., Numerical analysis of continuum problems of zoned anisotropic media.
Ph.D. Thesis, Southampton University, 1972.
57. Lekhnitskii, S. G., Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body, Holden-Day, San
Francisco, 1963..( 3 4*)
58. Alarcon. E., Brebbia, C, and Dominguez. J., The boundary element method in elasticity.
Int. J. Mech. Sci. 20,625-639 A978).
К главе 6
1. Suedlow. J. L.. and Cruse. T. A., Formulation of boundary integral equations for three-
dimensional elastoplastic flow, Int. J. Solids Structures 7, 1673— 1683 A971).
2. Mcndelson. A., Boundary integral methods in elasticity and plasticity, Report No
N'ASATN D-7418, NASA, 1973.
3. Riecardella. P. C, An implementation of the boundary integral technique for planar
problems in elasticity and elastoplasticity, Report No. SM-73-10, Dept. Mech. Engng..
Carnegie Mellon University, Pittsburg, 1973.
4. Mendelsoh. A., and Albers, L. U., Application of boundary integral equations to elasto-
elastoplastic problems, in Boundary Integral Equation Method: Computational Applications in
Applied Mechanics (T. A. Cruse and F. J. Rizzo, Eds.), pp. 47-84, ASME, New York.
1975.
5. Mukherjee, S.. Corrected boundary integral equations in planar thermoelastoplasticity.
Int. J. Solids Structures, 13,331-335 A977).
6. Bui, H. D., Some1 remarks about the formulation of three-dimensional thermoelastoplastie
problems by integral equations, Int. J. Solids Structures 14,935-939 A978).
7. Telles, J. C. F., and Brebbia, C. A., On the application of the boundary element method
to plasticity, Appl. Math. Modelling 3,466-470 A979).
8. Telles, J. ,C. F., and Brebbia, С A., The boundary element method in plasticity, in
New Developments in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.), pp. 295-317, CML
Publications. Southampton, 1980; Appl. Math. Modelling 5, 275-281 A981).
9. Telles, J. С F., and Brebbia, С A., Elastoplastic boundary element analysis, in Pcoc. Europi
- U.S. Workshop on Nonlinear Finite Element Analysis in Structural Mechanics (W.
Wunderlich et al, Eds.), pp. 403-434, Ruhr-University Bochum, Ruhr, Springer-Verlag
Berlin, 1980.
10. Mukherjee. S., and Kumar, V., Numerical analysis of time dependent inelastic deforma-
\ion in metallic media using the boundary integral equation method, Trans. ASME J.
Appl. Mech. 45, 785-790 A978).
11. Chaudonneret, M., Methode des equations integrates appliquees a la resolution de
problemes de viscoplasticite, J. Mecanique Appl 1,113-132 A977).

504 Литература
12. Morjaria, M., and Mukherjee, S., Improved boundary integral equation method for time
dependent inelastic deformation in metals, Int. J. Numerical Methods Engng. 15, 97-111
A980).
13. Telles, J. C. F., and Brebbia, С A., Boundary elements: New developments in elastoplastic
analysis, Appl. Math. Modelling 5,376-382 A981).
14. Morjaria, M., and Mukherjee, S., Numerical analysis of planar time dependent inelastic
deformation of plates with cracks by the boundary element method, Int. J. Solids.
Structures 17,127- 143 A981).
15. Telles, J. С F.. and Brebbia, С A.. Elastic/viscoplastic problems using boundary
elements, Int. J. Mech. Sci., 24,605-618 A982).
16. Kumar, V., and Mukherjee, S., A boundary integral equation formulation for time-
dependent inelastic deformation in metals, Int. J. Mech. Sci. 19, 713-724 A977).
17. Miknlin. S. G.. Singular integral equations. Amer. Math. Soc. Trans. Series 1, 10, 84-197
A962).
18. Hill, R., The Mathematical Theory of Plasticity. Clarendon Press. Oxford. 1950. ( 2 7 *)
19. Ford. R, and Alexander, J. M., Advanced Mechanics of Materials. 2nd ed.. Ellis Horwood,
Chichester, 1977.
20. Prager. W.. and Hodge, P. G., Theory of Perfectly Plastic Solids, Dover. New York, 1968
21. Mendelson. A., Plasticity: Theory and Application, Macmillan, New York. 1968.
22. Chen, W. F., Limit Analysis and Soil Plasticity, Elsevier. Amsterdam. 1975.
23. Lin, Т. Н, Theory of Inelastic Structures, Wiley, New York, 1968.
24. Penny, R. K. and Marriott, D. L.. Design for Creep. McGraw-Hill, London, 1971.
25. OdqvistF. К G.. Mathematical Theory of Creep and Creep Rupture. 2nd ed.. Clarendon
Press. Oxford. 1974.
26. Malvern. L. E., Introduction to the Mechanics of и Continuous Medium. Prentice-Hall.
Englewood Cliffs, N.J., 1969.
27. Fung, Y. C, Foundations of Solid Mechanics. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. N.J.. 1965.
28. Johnson, W., and Mellor, P. В.. Plasticity for Mechanical Engineers, Van Nostrand,
London, 1962.
29. Olszak, W., Mroz, Z., and Perzyna, P., Recent Trends in the Development of the Theory of
Plasticity, Pergamon Press, Oxford; PWN. Warsaw. 1963.
30. Perzyna, P., Fundamental problems in viscoplasticity, Advan. Appl. Mech. 9, 243-377
A966).
31. Perzyna, P., The constitutive equations for rate sensitive plastic materials. Quart. Appl.
Math. 20,321-332A963).
32. Olszak. W., and Perzyna, P., Stationary and non stationary visco-plasticity, in Inelastic
Behaviour of Solids, (Kanninen, et al, Eds.), pp.53-75, McGraw-Hill. New York, 1970.
33. Timoshenko. S. P.. and Goodier, J. N, Theory of Elasticity, 3rd ed.. McGraw-Hill. Tokyo.
1970.B6*)
34. Nayak, G. C. and Zienkiewicz, О. С, Convenient form of stress invariants for plasticity
Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. J. Struct. Div. 98,949-954 A972).
?5. Besseling, J. F., A theory of elastic, plastic and creep deformations of an initially isotropic
material showing anisotropic strain hardening, creep recovery, and secondary creep.
Trans. ASCE, J. Appl. Mech. 25, 529-536 A958).
36. Owen( D. R. J., Prakash, A., and Zienkiewicz, О. С Finite element anahsis of nonlinear
composite materials by use of overlay systems, Computer Structures 4, 1251 - 1267 A974).
37. Zienkiewicz, O. C, Valliappan, S., and King, I. P.. Stress analysis of rock as a no-tension
Material, Geotechnique 18,56-66 A968).
38. Venturing W. S., and Brebbia, C. A., The boundary element method for ihe solution of
no-teibion materials, in Boundary Element Methods. (C. A. Brebbia. Ed.). Springer-
Verlag. Berlin. 1981.
'<). Zienkiewicz, О. С., The Finite Element Method, 3rd ed.. McGraw-Hill. London, 1977. A6*)
40. Kellogg. O. D.. Foundations of Potential Theory, Springer-Verlag. Berlin. 1929.
41. Zabreyko. P. P., et al. Integral Equations - A Reference Text, Noordhoff. Holland. 1975.C2*)
42. Telles. J. C. F.. and Brebbia, С A., Boundary element solution for half-plane problems.
Int. J. Solids Structures 17,1149- 1158 A981).
4л Novati. G.. and Brebbia. C. A., Boundary element formulation for geometrically nonlinear
elastostatics. Appl. Math. Modelling 6,136-138 A982).

Литература 505
К главе 7
1. Hill, R.. The Mathematical Theory of Plasticity, Clarendon Press, Oxford, 1950.
2. Ford, H., and Alexander, J. M., Advanced Mechanics of Materials, 2nd ed., Ellis Horwood,
Chichester. 1977.
3. Pi-ager. W., and Hodge, P. G., Theory of Perfectly Plastic Solids, Dover, New York, 1968.
4. Mendelson, A.. Plasticity: Theory and Application, Macmillan, New York, 1968.
5. Chen, W. F., Limit Analysis and Soil Plasticity, Elsevier, Amsterdam, 1975.
6. Mahern, L. E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice—Hall,
Fnglewood Cliffs, N. J., 1969.
7. Fung, Y. C. Foundations of Solid Mechanics, Prentice —Hall. Etiglewood Cliffs, NT. J.,
1965.
8. Johnson, W., and Mellor, P. В., Phut/city for Mechanical Engineers, Van Nostrand,
London, 1962.
9. Olszak, W., Mroz, A., and Perzyna, P., Recent Trends in the Development of the Theory of
Plasticity, Pergamon Pre.ss, Oxford; PWN, Warsaw, 1963.
10. Schreyer, H. L.. Kulak, R. F., and Kramer, J. M., Accurate numerical solutions for elastic-
plastic models, Trans. ASME J. Pressure Vessel Technol. 101,226-234 A979).
11. Zienkiewicz, О. С Valliappan, S., and King, T. P., Elasto-plastic solutions of engineering
problems, initial stress finite element approach, Int. J. Numerical Methods Engng. 1,
75-100A969).
12. Telles, J. С F., Brebbia, C. A., The boundary element method in plasticity, Appl. Math,
Modelling 5,275-281 A981).
1.1 Haward, R. N.. and Owen, D. R. J., The yielding of a two dimensional void assembly in
an organic glass, J. Materials Sci 8,1136 - 1144 A973).
14. Nayak, G. C, and Zienkiewicz, О. С, Elasto-plastic stress analysis: a generalization for
various constitutive relations including strain softening, Int. J. Numerical Methods Engng.
5,113-135A972).
15. Nayak, G. C, and Zienkiewicz, О. С, Convenient form of stress invariants for plasticity,
Proc. Amer. Soc. Ci,vil Engrs. J. Struct. Div. 98,949-954 A972).
16. Telles, J. C. F.. and Brebbia, C, A., Boundary elements; New developments д'п elastoplastic
analysis, Appl. Math. Modelling 5,376-382 A981).
17. Drucker, D. C. and Prager, W., Soil mechanics and plastic analysis or limit design, Quart.
Appl. Math. 10,157-165A952). ' .
18. Wylie, C. R., Advanced Engineering Mathematics, 4th ed., McGraw-Hill, Tokyo, 1975.
19. Telles, J. С F., and Brebbia, C. A., Elastoplastic boundary element analysis, in Proc.
Europe—U.S. Workshop on Nonlinear Finite Element Analysis in Structural Mechanics
(W. Wunderlich et al, Eds.), pp. 403-434, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
20. Bushnell, D., A strategy for the solution of problems involving large deflections, plasticity
and Creep, Int. J. Numerical Methods Engng. 11,683-708 A977).
21. Yamada, Y, Yoshimura, N., and Sakurai, Т., Plastic stress-strain matrix and its applica-
application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method, Int. J. Mech.
Sci. 10,343-354A968). - . \
22. Reyes, S. F., and Deere, D. U., Elastic-plastic analysis of underground openings by the
finite element method, in Proc. 1st Int. Congr. Rock Mechanics, pp. 477 - 483, Lisbon. 1966.
23. Baker, L. E., Shandu, R. S., and Shieh, W. Y, Application of elastoplastic analysis in
rock mechanics by finite element method, in Proc. 11th Symp. Rock Mechanics,
(J.Somerton, Ed.), pp. 237-251, University of California, Berkeley, 1969. ■
24. Chen, А. С. Т., and Chen, W, F., Constitutive equations and punch-indentation of
concrete, Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. J. Engng. Mech. Div. 101; 889-906 A975). ' '
25. Zienkiewicz, O. C, Humpheson, C, and Lewis, R. W., Associated and non-assQcLaVed
visco-plasticity and plasticity in soil mechanics, Geotechnique 25,671 -689 A975).

506 Литература
26. Telles, J. С. F., On the application of the boundary element method to inelastic problems,.
Ph.D. Thesis. University of Southampton, 1981.
27. Owen.' D. R. J., and Hinton, E., Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice,
Pineridge Press, Swansea, 1980.
28. Lee. K. N.. A comparison of finite elements and boundary element solutions in plasticity
M.Sc. Thesis. University of Southampton. 1982.
29. Maier. G.. and Novati. G.. Elastic-plastic boundary element analysis as a linear com-
complementarity problem. Applied Mathematical Modelling, 7 A983)
К главе 8
1. Perzyna, P., Fundamental problems in viscoplasticity, Advan. Appl. Mech. 9, 243-377'
A966).
2. Perzyna, P., The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Quart. Appl.
Math. 20,321-332A963).
3. Olszak, W., and Perzyna, P., Stationary and non stationary visco-plasticity, in Inelastic-
Behaviour of Solids (Kanninen et al, Eds.), pp. 53-75, McGraw-Hill, New York, 197C.
4. Dahlquist, G., and Bjorck, A., Numerical Methods, Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.J.,.
1974.
5. Gear, С W.. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations.
Prentice-Hall. Englewood Cliffs. N.J., 1971.
6. Lambert, J. D.. Computational Methods in Ordinary Differential Equations, Wiley, London.
1973.
7. Wylie. C. R., Advanced Engineering Mathematics, 4th ed.. McGraw-Hill, Tokyo, 1975.
8. Telles. J. С F.. and Brebbia. С A.. Elastic/viscoplastic problems using boundan,
elements. Int. J. Mech. Sci. 24, 605-618A982).
J. Penny, R. K., The creep of spherical shells containing discontinuities, Int. J. Mech. Sci.
9,373-388A967).
10. Penny. R. K., and Hayhurst, D. R.. The deformations and stresses in a stretched thir?
plate containing a hole during stress redistribution caused by creep, Int. J. Mech. Sci.
11,23-39A969).
11. Zienkiewicz, 0. C. and Cormeau, I. C. Viscoplasticity and plasticity, an alternative for
finite element solution of material nonlinearities. in Proc. Colloque Meth. Calcul Sci,
Tech, pp. 171-199. IRIA, Paris. 1973.
12. Sutherland. W. H., AXICRIP - Finite element computer code for creep analysis of plane
stress, plane strain and axisymmetric bodies, Nucl. Engng. Design 11,269-285 A970).
13. Cormeau. I.. Numerical stability in quasi-static elasto/viscoplasticity. Int. J. Numerical
Methods Engng. 9, 109-127 A975).
14. Irons. В.. and Treharne. G.. A bound theorem in Eigenvalues and its practical applica-
applications, in Proc. 3rd Conf. Matrix Meth. Struct. Mech., 245-254, Wright-Patterson A. F. В..
USA Air Force. Ohio, 1971.
15. Anand. S. C. Lee, S. L., and Rossow, E. C, Finite element analysis based upon Tresca
\ield criterion. Ingenieur-Archiv 39, 73-86 A970).
16. Prager. \V..and Hodge, P. G.. Theory of Perfectly Plastic Solids, Dover. New York. 1968.
17. Sim. R. G.. Reference results for plane stress creep behaviour. J. Mech. Engng. Sii. 14,.
404-410A972).
18. Bauer. F.. and Reiss. E. L.. On the numerical determination of shrinkage stresses. Trans.
ASMEJ. Appl. Mech. 37, 123- 127 A970).
19- Venturini. W. S.. and Brebbia. С A.. The boundary element method for the solution of
no-tension materials, in Boundary Element Methods (C. A. Brebbiu. Ed). Spiinger-
Veriag. Berlin. 1981.
•.c. Venturini. VV. S.. and Brebbia. C. A.. Boundan element formulation to solve no-teitbion
problenis in geomechanics. in SATO Advanced Summer Institute on Лumcriaii \ljthod>.

Литература 507
in Geomcchanics (J. Martins. Ed.), D. Reidel Pub. Co.. Holland, 1982.
21. Valliappan, S.. Non-linear stress analysis of two-dimensional problems with special
reference to rock and soil mechanics. Ph.D. Thesis. University College of Swansea, 1968.
22. jaeger. C. Rock Mechanics and Engineering. Cambridge University Press, Cambridge
1972.
23. Camargo. W. M, Projeto de tiineis em macico rochoso sob pressao. hidrostatica
interna, Ph.D. Thesis, University of Sao Paulo, 1968.
24. Chaudonneret, M.. Methode des equations integrales appliquees a la resolution .de
problemesde viscoplasticite. J. Mechanique Appliquee 1,113. 1977.
-25. Mukherjee, S., and Kumar. V.. Numerical analysis of time dependent inelastic deforma-
deformations in metallic media using the boundary integral equation method. Trans. ASME, J.
Appl. Mech. 45,785, 1978.
2-6. Morjaria. M., and Mukherjee. S.. Improved boundary integral equation method for the
time dependent inelastic deformation in metals. Int. J. Num. Meth. Engng. 15,97, 1980.
21. 3runet, M., Numerical analysis of viscoplasticity using the boundary element method, in
Boundary Element Methods in Engineering (C. A. Brebbia. Ed.), Springer-Verlag, Berlin,
!982.
К главе 9
l.\Vashizu, К., Variational Melliods in Elasticity and Plasticity, 2nd cd., Pergamon Press,
New York,-1975. , ' ^
2. Tottenham, H., and Brebbia, C, (Eds.), Finite Element Techniques in Structural Mechanics.
Stress Analysis Publishers, Southampton, England, 1970.
3. Jaswon, M. A., and Maiti, M.. An integral formulation of plate bending problems, J.
Engng. Math. 2,83-93A968).
4. Maiti. M.. and Chakrabarty, S. K_, Integral equation solutions for simply supported
polygonal plates. Int. J. Engng. Sci. 12,793-806 A974).
5. Niwa, Y., Kobayashi, S.. and Fukui, Т., An application of the integral equation method
to plate bending, Faculty Engng., Kyoto Univ. 36 (Pt. 2), 140-158 A974).
<&. Altiero, N. J., and Sikarskie, D. L., A boundary integral method applied to plates of
arbitrary plan form, Computer and Structures 9, 163- 168 A978).
7. Bezine. G. P., and Gamby, D. A.. A new integral equation formulation for plate
bending problems, in Recent Advances in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.).
Pentech Press, London, 1978.
.& Bezine G. P., Boundary integral formulation for plate flexure with arbitrary boundary
conditions, Mech. Res. Commun. 5, A978).
9. Bezine, G. P., Application of similarity of results of new boundary integral equations for
plate flexure problems, Appl. Math. Modelling 5 A981).
10. Segedin,' С M., and Brickell, D.G. A., Integral equation method for corner plates, J.
Struct. Div. Proc. ASCE 94,41 -52 A968).
11. Stern, M.. A general boundary integral formulation for the numerical solution of plate
bending problems, Int. J. Solids. Structures 15,769-782 A979).
J2. Stern, M., Boundary integral equations for bending of thin plates, in Progress in Boundary
Element Methods, Vol. 2, Pentech Press, London; Springer-Verlag, New York, 1983.
IX Weeen, F. V., Application of the direct boundary element method to Reissner's plate
model, in Boundary Elements in Engineering (C. Brebbia, Ed.), Springer-Verlag, Berlin.
1982.
14. Kamiya, N., Sawaki. Y.. and Nakamura. Y., Boundary element nonlinear bending analysis
of clamped sandwich plates and shells, in Boundary Elements in Engineering (C. Brebbia,
1 Ed.), Springer-Verlag. Berlin, 1982.
115. Tanaka, R, Integral equation approach to small and large displacements of thin elastic
plates, in Boundary Elements in Engineering (C. Brebbia, Ed.) Springer-Verlag Berlin
1982.

508 Литература
16. Kim. J. W., Ojl the computation of the stress intensity factors in elastic plate flexure
\ia boundary integral equations, in Boundary Elements in Engineering (C. Brebbia, Ed.),
Springer-Verlag. Berlin. 1982.
17. Danson. D. J., Plate bending analysis using the boundary element method, Technical
Report, Computational Mechanics Centre. Southampton, England, 1981.
!8. Timoshenko, S.. and Woinowsky-Krieger. S., Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill,
New York. 1959.
14, Antes, H.. On boundary integral equations for circular cylindrical shells, in Boundary
Element Methods (C. Brebbia. Ed.). Springer-Verlag, Berlin, 1981.
20. Moody. N. Т.. Moments and reactions for rectangular plates, US- Department of Interior,
Bureau of Reclamation. Engineering Monograph 27. I960.
21. Melosh. R. J.. Basis for deri\ation of matrices by the direct stiffness method, AIAA J. 1-
1631 A963).
22. Sanders, G., Applications de la methode des elements finis a la flexion des plaques,
Ph.D. Thesis. University of Liege. 1969.
23. Fabre, H.. Numerical solution of integro differential and singular integral equations for
plate bending problems. J. Elasticity 6,39-56 A976).
К главе 10
1. Lamb. H.. Hydmilxmmm s. 6ih ed.. Cambridge University Press. Cambridge. 1932.
2. Straiton. J. A.. Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York. 1941 D6")
3. Baker, В. В., and Copson, E, Т.. The Mathematical Theory of Huygen ■■ Principle. 2nd ed.,
Oxford University Press, Oxford, 1953.
4. Morse. P. M., and Feshbach, H.. Methods oj Theoretical Phvsics. McGraw-Hill, New York,
1953.
5. Kirchhoff, G., Zur Theorie der Lichtstrahlen, Berliner Ber. 641, 1882.
6. Friedman, M. В., and Shaw, R. P., Diffraction of a plane shock ua\e by an arbitrary
rigid cylindrical obstacle, Trans. ASME J. Appl. Mech. 29,40- 46 A962).
". Shaw, R. P., An outer boundary integral equation applied to transient wave scattering in
an inhomogeneous medium, Jrans. ASME J. Appl. Mech. 42, 147- 152 A975).
8. Groenenboom, P. H. L,. The application of boundary elements to steady and unsteady
potential fluid flow problems in two and three dimensions, in Boundary Element Method-.
(C. A. Brebbia, Ed.), Springer-Verlag, Berlin, 1981.
9. Groenenboom, P. H. L., Wave propagation phenomena, in Progress in Boundary Element*.
Vol. 2, Pentech Press, London, Springer-Verlag, New York, 1982.
10. Mansur, \V. J., and Brebbia, C. A., Formulation of the boundary element method lor
transient problems governed by the scalar wave equation, Appl. Math. Modelling 6.
307-312A982).
11. Mansur, \V. J., and Brebbia, С A., Application of the boundary element method to soKc
the transient scalar wave equation, in Boundarv Elements in Engineering (C. A. Brebbia.
Fd.). Springer-Verlag. Berlin. 1982.
12. Banaugh, R, P.. and Goldsmith, W.. Diffraction of steady acoustic-waves by surfaces of
arbitrary shape, J. Acoust. Soc. Amer. 35, 1590- 1601 A963).
13. Shaw. R. P., An integral equation approach to acoustic radiation and scattering, in 1 :ipic\-
in Ocean Engineering, Vol. II (C. Bretschneider. Ed,), Gulf Publishing Co., Houston.
1970.
14. Brebbia. С A., and Walker, S., Dynamic Analysis of Off-Shore Structures, Butterworths.
London, 1979.
15. Sarpkava, Т., and Isaacson, M., Mechanics of Wa\e Forces on Off-Shore Structures, Van
Nostrand Reinhold, New York, 1981. " T
16. Sommerfeld, A., Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York,
1449. '

Литература 509
17. Wehausen, J. V. and Laitone, E. V., Surface waves, in Encyclopedia of Phvsics (S. Flugge,
Ed.), Vol. 9. pp 446-^78. Springer-Verlag. Berlin, 1960.
IS. Garrison. С .1.. and Chow, p, Y.. Wave forces on submerged bodies, J. Waterways
Harbours Coastal Eng. Div. ASCE 98, 375-392 A972).
14 Hogben. N.. Osbome. .'., and Standing. R. G., Wave loading on off-shore structures -
Theory and experiment, in PmL Syrup. Ocean Eng., pp. 19-36, National Physical Labora-
lory. London. 1974.
20 Hogben. N . and Standing, R. 0.. Wave loads on large bodies, in Proc. Int. Symp. on the
Dynamic; o) Marine Vehicles and Structures in Waves, pp. 258-277, Univ. College.
London. 1974
21. Faltinsen. О \1 . and Michelsen. F. C. Motions of large structures in waves at zero
Fronde number, in Proc Int. Svmp. on the Dynamics of Marine Vehicles and Structures in
limes, pp. 91- 106. Univ College. London. 1974.
22. Garrison. C. J. H\drod\namic loading on large off-shore structures. Three-dimensional
source distribution nc'.hods. щ Numerical Methods in Off-shore Engineering (О. С
/ienkiewicz. R. W Lewis, and R. G. Stagg. Ed.). Wiley, Chichester, 1978.
2v John. F. On the motion >f floating bodies II. Commun. Pure Appl. Math. 3, 45—101
A950).
24. Murph\. J. H. Integral equation failure in wave calculations, J. Waterways Port Coastal
Ocean Di\. ASCF 104, 3.V- 334 A978).
25 Black. J. 1... vWi.e ;'.,-^-> >". vertical axisymmetric bodies. J. Fluid Mech. 67, 369-376
A975).
26. Fenton, J. D., Wa _■ forces on .ertical bodies of revolution. J. Fluid Mech. 85, 241 —255
A978).
27. Ли. М. С, Application of boundary element methods in wave propagation studies. M.Sc
Thesis. Southampton I'niversity, Southampton. 1979.
Ж Garrison. C. I. Rao. V. S, and Snider, R. H.. Wa\e interaction with large submerged
objects, in Proc. Offshore Tech. Conf, Paper No. OTC 1278. 1970.
29. Naftzger. R. A. and Chakrabarti, S. K.. Scattering of waves by two-dimensional
circular obstacles in finite water depths. J. Ship Res. 23,32-42 A979).
3.0. Finnigan, T. D.. and Yamamoto, Т.. Analysis of semi-submerged porous breakwaters, in
Proc. Civil Engineering m the Oceans IV. pp. 380- 397, ASCE, San Francisco, 1979.
31. Yamamoto, Т.. and Yoshida. A., Elastic mooring of floating breakwaters, in Proc. ~th Int.
Harbour Congress, Antwerp, 1978. ,
32. Ijima. Т.. Chou. С R . and Yoshida. A.. Method of analysis for two-dimensional.water
wave problems, in Ре-к 15th Coastal Eng. Conf, pp. 2717-2736, ASCE, Honolulu..l976.
.4.3. Ogilvie. T. F.. First- and second-order forces on a cylinder submerged under a free
surface. J. Huid mech. 16,451-472A963).
34. Hwang. L. S.. and Tuck. E. O., On the oscillations of harbours of arbitrary shape. J. Fluid
Mech. 42.447-464A970).
35. Lee. J. J.. Wave-induced oscillations in harbours of arbitrary geometry, J. Fluid Mech. 45,
375-394A971).
VS. Isaacson. M. de St. Vertical cylinders of arbitrary section in waves, J. Waterways Jport
Coastal Ocean Div. ASCE 104,309-324 A978).
i7. Harms. V. W.. Diffraction of water waves by isolated structures, J. Waterways Por
Coastal Ocean Div. ASCF 105,131 - 147 A979).
ЗХ. Аи, M. C, and Bicbbia. С A,. Diffraction of water waves by vertical cylinder^ using
boundary elements. Appl. Math. Modelling 7,106- 114 A983).
39. Lee. J. }.. and Raichlen. F.. Oscillations in harbour with connected basins, J. Waterways
Harbours Coastal Engng. Div. ASCE 98,311-332 A972).
40. Mattioli. F., Wave-induced oscillations in harbours of variable depth, Comput. Fluids 6.
161-172A978).
41. Rahman, M., Numerical response of an arbitrarily shaped harbour, Appl. Math,
Modelling5,109-121 A981).
42. Shaw, R. P., and Falby, W., FEBIE - A Combined finite element-boundarx integral
equation method, Comput. Fluids 6,153- 160 A978).
43. Zienkiewicz, O. C, Bettess, P., and Kelly. D. W,. The finite element method for
determining fluid loadings on rigid structures: Two- and three-dimensional formulations.

510 Литератора
in Xumcrical Methods in Off-shore Engineering (О. С Zienkiewicz. R. W. Lewis, and R
G. Stagg, Eds.), Wiley, Chichester, 1978.
44. Mattioli, F., Element integral approach for water waves. Comput. Fluids 9, 181-203
_ A981).
45. Goda. Y. and Yoshimura, Т., Wave force on a vessel tied at off-shore dolphins, in Proc.
13th Coastal Eng. Cotif, pp. 1723 -1742, ASCE. Vancouver. 1972.
46. Cruse. T. A., and Rizzo. F. J., A direct formulation and numerical solution of the general
clasto dynamic problem land II, J. Math. Anal, Appl. 22,244-259. 341-355 A968).
47. Stakgold, I,. Green s Functions and Boundary I blue Problems. Wiley, New York. 1979.
К главе 11
1. Eringen, A, C, and Suhubi, E. S., Elasiodynamia ]'ol II: Linear Theory, Academic Press,
London, 1975.
2. Achenbach, .1. D., Wove Propagation in Elastic Solid.s, North-Holland, Amsterdam, 1973.
3. Miklowitz. J-. The Theory of Elastic Waves and IVaveguides, North-Holland, Amsterdam.
197S.
4. Cruse. T. A., and Rizzo, F. J,, A direct formulation and numerical solution of the general
transient elastod\namic problem, I, J. Math. Anal. Appl, 22, 244-259 A968).
5. Cruse, T, A-, A direct formulation and numerical solution of the general transient elasto-
dynamic problem, II, J. Math. Anal. Appl. 22,341-355 A968).
<>. Cole, D. M. Kosloff, D. D,, and Minster, J. В., A numerical boundary integral equation
method forelastodynamics, I, Bull. Seism. Soc, Amer. 68,1331 - 1357 A978).
7. Manolis, G. D, and Beskos, D. E., Dynamic stress concentration studies by boundary
integrals and Laplace transform. Int. J. Numerical Methods. Engng. 17, 573-599 A981).
S. Bellman. R. E., Kalaba. R, E.. and Locked. J., Sumerical Inversion of the Laplace
Tran form, American Elsevier New York. 1966.
9. Dominguez. J., and Alarcon, E., Elastodynamics. in Progress in Boundary Element Methods
Vol. I, (С Л. Brebbia, Ed.), Pentech Press, London, Halstead Press, МЛ'., 1981.
10. Domingiiez, .1.. Dynamic stiffness of rectangular foundations. M.I. T. Research Report No.
R-78-20 Ci\il Engineering Department, 1978.
11. Huldiinson. R.. Determination of membrane vibrational characteristics by the boundary
integral equation method, in Recent Advances in Boundary Element Methods (C. A,
Breb iia, Ed.), pp. 301 —315, Southampton, Pentech Press. London. 1978.
12. N'iua, Y, Kobayashi, S.. and Kitahara, M.. Eigenfrequency analysis of a plate by the
integral equation method, in Theoretical and Applied Mechanics, Vol. 29, pp. 287-306,
L'niversi у of Tokyo Press. Tokyo. 1981.
13. Ra\leigh,'X W S.! The Theory of Sound. Dover. New York, 1945. B5*)
14.Love, A. li H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Dover, New York,
1944.
E, Mansur, \V, J.. Time stepping scheme to solve transient wave propagation problems using
the Boundary Element Method, Ph.D. Thesis. University of Southampton. 1983,
16. Do>le, J. M.. Integration of the Laplace transformed equations of classical elastokinetics,
J. Math, Anal. Appl. 13A966).
17. Watson, G. N., A Treatise on the Theory ofBessel Functions. MacMillan, New York, 1944.
18. Abramowitz. M. and Stegun, I. R., Handbook of Mathematical Functions, Dover, New
York, 1965.B4*)
19. Papoulis, A., A new method of inversion of the Laplace transform. Quart. Appl. Math. 14,
405-414A957).
2(J. Durbiii, P., Numerical inversion of Laplace transforms: An efficient improvement to
Dubner and Abate'» method. Computer J. 17, 371 - 376 A974).
21, Bailie, K. J., Wilson, E. L., and Peterson, F. E.. SAP IV, A structural analysis program for
static and dynamic response of linear systems, Report No. F.RRC 73-11, University of
СлЫоша, Ikrkelev, 1973.

Литература 511
22. Chuang. P, К. Application of boundary element methods in elastodynamics, M.Sc. disser-
dissertation. University of Southampton, 1981.
23. Qough. R. W,. and Chopra. A. K.. Earthquake stress anahsis in earth dams Proc ASCE
J. Appl. Mech. 92,197-211 A966).
24. Fliigge. W., Viscoelaslicily. Blaisdell Publ. Co., Waltham, Mass, 1967.
25. Jakub. M.. Dynamic stiffness of foundations: 2-D vs 3-D solutions. M.l.T. Research
Report No. R 77-36. Civil Engineering Department. 1977.
26. Nardini, D.. and Brebbia. C, A,. A new approach to free vibration anahsis им rig.
boundary elements, in Boundary Element Methods in Engineering (C. A. Brebbia. Ed.),
Springer-Verlag. Berlin, 198Э.
К главе 12
1. Liggett. J. A., Location of free surface in porous media, J, Hydraulics Di\. ASCE 103,
353-365A977).
2. Liu. P. L. F., and Liggett, J. A., Boundary solutions to two problems in porous media,
J. Hydraulics Div. ASCE 105,171-183 A979).
3. Lennon, G. P.; Liu, P. L. F., and Liggett, J. A., Boundary integral equation solution to
axisymmetric potential flows'. Part 1 - Basic formulation; Part 2 - Recharge and «ell
problems in porous media, Water Resources Res, 15,1102-1115 A979).
4. Lennon, G. P.. Liu. P. L. F., and Liggett, J. A., Boundary integral solutions to three-
dimensional unconfined Darcy's flow, Water Resources Res. 16,651-658 A980).
5. Connor, J. J., and Brebbia, C. A., Finite Element Techniques for Fluid Flow, Butter-
worths, London, 1976.
6. Polubarinova-Kochina, P. Ya,, Theory of Groumlwater Movement, Princeton Uni\ ei'sity
Press, Princeton, 1962.
7. Marino, M. A., Hele-Shaw model study of the growth and decay of groundwater ridges,
J. Geophys. Res. 72, 1195-1205 A967).'
8. Newman, S. P., Narasimhan, T. N., and Witherspoon, P. A., Application of mixed
explicit-implicit finite element method to nonlinear diffusion-type problems, in Proc.
Finite Elements in Water Resources Vol. I, Pentech Press, London. 1976,
9. Liu. P. L. F.. Cheng, A. H. D., Liggett, J. A., and Lee. J. H., Boundary integral equation
solutions to moving ir'erface between two fluids in porous media. Water Resources Res.
17,1445-1452A981).
10. Bear, J., and Dagan, G., Moving interface in coastal aquifers, .1. Hydraulics Div. ASCE
90,193-216A964).
11. Sa da Costa, A. A., and Wilson, J. L., A numerical model of sea water intrusion in
aquifers, Report 247, Ralph M. Parsons Lab., M.I,Т., Cambridge, 1979.
12. Lafe, O. E, Montes, J. A,, Cheng, A. H. D,, Liggett, J. A., and Liu, P. L. F., Singularities,
in Darcy flow through porous media, J. Hydraulics Div. ASCE 106,977-997 A980).
13. Jaswon, M. A. and Symm, G. Т., Integral Equation Methods in Potential Theory and
Eksloslalics, Academic Press, New York. 1977.
14. Hess, J. L., and Smith, A. M. O., Calculation of potential flow about arbitrary bodies,
Progress in Aeronautical Sciences, Vol. 8 (D. Kuchemman, Ed.), Pergamon Press. London,
1967.
15. Hess, J. L., Calculation of potential flow about bodies of revolution tuning axes
perpendicular to the free stream direction. J, Aerospace Sci. 29,726 A962).
16. Youngren, G. K,, and Acrivos, A.. Stokes flow past a particle of arbitrary shape: Л
numerical method of solution. J. Fluid Mech, 69, Part 2. 377-403 A975).
17. Lamb, H., Hydrodynamics. 6th ed.. Cambridge University Press, London, 1932. B0*)
18. Batchelor, G. K.. An Introduction to Fluid Dyiutmki, Cambridge Unhersnv Tress,
Cambridge, 1967.
19. Ladyzhenskaya, O. A., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordor»
and Breach, New York, 1963.

512 Литература
20. Kellogg. О. D., Foundations of Potential Theory, Springer- Verlag, Berlin, 1929.
21. Hm-biier. К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley-Interscience, New York
1975.
12. Lighthill, M. .1.. Introduction. Boundary layer theory, in Laminar Boundary Layer,
(L. Rosenhead. Ed.). Oxford University Press, London!. 1963.
23. Payne, R. В., Calculations of unsteady viscous 41ow past л circular cylinder. .1. Fluid
Mcch. 4,81-86A958).
24. Wu, .1. C, and Thompson. .1. F., Numerical solutions of time-dependent incompressible
N;ivier—Stokes equations using an imegro-differential formulation. Compul. Fluids 1,
1<T-215(I973).
25. Schmall. R. A., and Kinney. R. В.. Numerical study of unsteady \iscous flow past a
lifting plate. А1ЛА.Г. 12, 1566-15"? A974).
26. Brai.inow. Т.. and Spehert. Т., Computational flow development for unsteady mscous
flou. NASA CR-2995. 19Ж
27. Wu. J. C. Numerical boundary conditions for viscous flou problems. AIAA .1. 14,
11D2-1049A976).
28. Mi>r-e. P. M.. and Feshbach, H., Methods of Theoretical Phvsics. McGraw-Hill. New York.
195л
29. Milne-Thompson, L. M., Theoretical Aerodynamics, 4th ed., Dover, New York, 1958.
30. Wn, J. C. and Wahbah, M. M., Numerical solution of viscous flow equations using
integral representations, Lecture Notes in Physics Vol. 59, pp. 448-453, Springer-Verlag.
New York, 1976.
31. W.thbah, M. M.. Computation of internal flows with arbitrary boundaries using the mtc-
gr.il representation method. Report, Georgia Institute of Technology, Atlanta, 1978.
32. Taylor, C. and Hood, P., A numerical solution of the Na\ ier-Stokes equations usiny iIn-
iInfinite element technique, Comput. Fluids 1,73-100A973).
33. Mills, R. D., Numerical solution of the viscous flow equations for a class of closed flows,
J. Aeronaut. Soc. 69,714-718A965).
34. Bnrggraf, O. R.. Analytical and numerical studies of the structure of stead\ separated
Hows, J. Fluid Mech. 24, 113-151 A966).
35. Wit, I C. and Rizk, Y. M.. Integral-representation approach for time-dependent viscous
flow, Lecture Notes in Physics. Vol. 90, pp. 558-564, Springer-Verlag, New York. 1978.
36. Biebbia. С A., and Wrobel. L. C. The boundary element method, in Computer Methods
in Fluids (K. Morgan. С Taylor, and С A. Brebbia, Eds.), Penlech Press, London. 1980.
37. Ri?k. Y., An integral-representation approach for lime-dependent viscous flows, Ph.D.
Thesis, Georgia Institute of Technology, Atlanta, 1980.
38. Wrobel. L C. Potential and viscous flow problems using the boundary element method.
Ph.D. thesis. Southampton University, Southampton, 1981.
39. El-Refaee, M. M.. A numerical study of laminar unsteady compressible flow over airfoils,
Ph.D. thesis, Georgia Institute of Technology. Atlanta. 1981.
40. Wu, J. C. Wahbah. M. M.. and Sugavanam. A., Some numerical solutions of turbulcnl
How problems by the use of integral representations, in Proc, Symposium on Application
of Computer Methods in Engineering, University of Southern California. Los Angeles.
1977.
41. Wi:. J. C, and Sugavanam. A.. Method for the numerical solution of turbulent flow
problems. AIAA 1.16,948-955 (l^St.
К главе 13
1 Shaw, R. P., and Falb\, W., FEBIE: A combined finite element-boundary integial
equations method, in Proc. 1st Symposium on Innovative Numerical Analysis in Applied
Engineering Science. Versailles, CETIM. 1977.
2. McDonald, B. H.. and Wexler, A., Finite element solution of unbounded field problems.
Ill F Trans. Microwave Theory Tech. MTT-20,841-847 A972)

Литература 513
3. Osias. J. R., Wilson, R. В.. and Seitelman, L. A., Combined boundary integral equation
finite element analysis of solids, in Proc. 1st Symp. on Innovative Numerical Analysis in
Applied Engineering Science. Versailles. CETIM. 1977.
4. Brebbia, С A., Basis of boundary elements, in Recent Advances in Boundary Element
Methods (C. A. Brebbia. Ed.). Penlech Press, London, 1978.
5. Brebbia, С A., and Georgiou. P.. Combination of boundary and finite elements for
elastostatics, Appl. Malh. Modelling 3,212-220 A979).
6. Zienkiewicz, O. C, Kelly, D. W.. and Betiess. P.. The coupling of the finite element
method and boundar\ solution procedures. Int. J. Numerical Meth. Engng. 11, 355 —37i
A9"?).
~. Margulies, M., Combination of the boundary element and finite element methods, in
Progress in Boundary Element Methods, Vol. I (C. A. Brebbia, Ed.). Pentech Press, London:
Halstead Press, New York. 1981.
H. Silvester, P., and Hsieh. M. S., Finite element solution of two dimensional exterior field
problems, Proc. IEE 118. 1743- 1747 A971).
M. Chari. M. V. K., and Silvester. P. (Eds.). Finite Elements in Electrical and Magnetic
Field Problems, Wile\, New York. 1978.
10. Margulies, M., Exact treatment of the exterior problem in the combined FEM-BEM, in
New Developments in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.). CML Publications.
Southampton; Butterworths. London. 1980.
(l.Felippa, C. A., Interfacing finite elements and boundary element discretizations, ir
Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.), Springer-Verlag. Berlin. 1981.
J. Hartman. F.., The derivation of stiffness matrices from integral equations, in Boundary
Element Methods (C. A. Brebbia. Ed.). Springer-Verlag. Berlin, 1981.
13. Volait, F., Three dimensional super-element by the boundary integral equation method
for elaslostatics, in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia. Ed.). Springer-Verlaa.
Berlin, 1981.
D. Beer. G.. and Meek, J. L.. The coupling of boundary and finite element methods for
infinite domain problems in elasto-plasticity, in Bounda.'- Element Methods (C. A.
Brebbia, Ed.), Springer-Verlag. Berlin. 1981.
15. Dendrou, B. A., and Dendrou, S. A.. A finite element-boundary integral scheme to
formulate rock-effects on the lines of an underground intersection, in Boundan Element
Methods (C. A. Brebbia, Ed.), Springer-Verlag. Berlin, 1981.
16. Katz, C, The use of Green's functions in the numerical analysis of potential, elastic
and plate bending problems, in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia. Ed.). Sprin-
Springer-Verlag, Berlin. 1981.
17. Ungless, R. F., An infinite finite element."MSc. thesis. Dept. of Civil Eng.. University of
British Columbia. Canada, 1973.
18. Beiless, P., Infinite elements. Int. J. Numerical Meth. Engng. 11,53-64 A977).
19. Brebbia, С A., and Walker, S.. Simplified boundary elements for radiation problems.
Appl. Math. Modelling 2, 135-137A978).
20. Chen, H. S., and Mei, С. С, Oscillations and wave forces in a man-made harbor in the
open sea, in Proc. 10th Symp. on Naval Hydrodynamics, pp. 573-594. London. 1974.
21. Walker, S., and Brebbia, C. A., Harbonr resonance problems using finite elements.
Adv. Water Res. 1,205-211 A978).
22. Bettess, P., and Zienkiewicz, О. С, Diffraction and refraction of surface waves using finite
and infinite elements, Int. J. Numerical Meth. Engng. 11, 1271 - 1290 A977).
23. Beer, G., and Meek, J. L., A boundary finite element for underground mining applica-
applications, in New Developments in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.), CML
Publications, Southampton; Butterworths, London. 1980.
24. Anderson, D. L.. and Ungless. R. L., Infinite finite elements, in Proc. Int. Symp. on Inno-
Innovative Xumericul Anal) si.v in Applied Engineering Science, Versailles, CETIM, 1977.
25. Gartling. D. K., and Becker, E. В., Finite element analysis of viscous incompressible fluid
How, Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. 8, 51 -60 A976).
26. Brebbia, C. A., and Connor, J. J., Finite Element Techniques for Fluid Flow, 2nd ed.,
Butteruorths, London. 1977.
27. Georgiou, P., The coupling of the direct boundary element method with the finite element
displacement technique in elastostatics. Ph.D. thesis. Southampton University. 1981.

514 Литература
28. Chaudonneret, M., On the discontinuity of the stress vector in the boundary integral
equation method for elastic analysis, in Recent Advances in Boundary Element Methods
(C. A. Brebbia, Ed.), Pentech Press. London, 1978.
29. Jeng, G., and Wexler, A., Self-adjoint variational formulation of problems having non-
self adjoint operators. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. MTT-26,91 -94 A978).
30. Jaswon, M. A., and Sjram, G. Т., Integral Equation Methods in Potential Theory and
Elastostatics, Academic Press, London, 1977.
31. Alliney, S., An approximate numerical model for radiation problems, Appl. Math.
Modelling 6,192-196 A982).
32. Brebbia, С A., and Ades1, R., Circulation problems, in Proc. Finite Element Symp. Atlas
Computer, Rutherford Laboratory, Didcot, UK, HMSO, London, 1974.
33. Walker, S., Boundary elements in fluid/structure interaction problems, in New Devel-
Developments in Boundary Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.), CML Publications,
Southampton; Butterworths, London, 1980.
34. Komatsu, Т., Fluid-structure interaction, in Progress in Boundary Element Methods, Vol. 2,
Pentech Press, London; Springer-Verlag, New York, 1982.
35. Abramson, H. N. (Ed.), The dynamic behavior of fluids in moving containers, NASA-SP-
106. 1966.
36. Brebbia. С A, (Ed.), Boundary Element Methods in Engineering, Proceedings of the 4th Inter*
national Conference on Boundary Element Methods, Springer-Verlag. Berlin, 1982.
37. Homma. S., On the behavior of seismic sea waves around circular island, Geophys,
Magazine 21, 199-208 A950).
38. Vastano, A. C, and Reid, R. O., Tsunami response for islands: Verification of a numerical
procedure, J. Marine Res. 25,129-139 A967).
К главе 14
1. Brebbia, С A., and Ferrante, A. 1, Computation'al Methods for the Solution of Engineering
Problems, Pentech Press, London, 1978.
2. Timoshenko. S. P., and Goodier, J. H, Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill Tokyo,
1970.B6*)
i. Brebbia, С A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London and
Halstead Press, New York, 1978.
К приложению А
1. Stroud, A. H., and Secrest, D., Gaussian Quadrature Formulas, Prentice —Hall, New York,
1966.
2. Hammer. P. C, Marlowe, O. J., and Stroud, A. H., Numerical integration over simplexes
and cones, Math. Tables Other Aids Comput. 10, 130-139 A956).
3. Cristescu, M., and Loubignac, G., Gaussian quadrature formulas for functions with
singularities in 1/r over triangles and quadrangles, in Recent Advances in,Boundary
Element Methods (C. A. Brebbia, Ed.), 375-390, Pentech Press, London, 1978.
4. Pina. H. L. G., Fernandes. J. L. M., and Brebbia, С A., Some numerical integration-
formulae over triangles and squares with a 1/r singularity, Appl. Math. Modelling 5,
209-211 A981).
5. Gel'fand. 1. M., and Shilov, G. E., Generalized Functions, Vol. 1, Academic Press, New
York. 1964.C0*)

Литература 515
6. Kuit. H. R., The numerical e\alualion of principal value integrals by finite part
integration. Numer. Math. 24, 205-210 A975).
7. Kutt", H. R.. On the numerical evaluation of finite part integrals involving an algebraic
singularity. Report W1SK 179, The National Research Institute for Mathematical Sciences,
Pretoria. 1975.
8. Kutt, H. R.. Quadrature formulae for finite part integral». Report WISK 178, The National
Research Institute for Mathematical Science?, Pretoria. 1975.
К приложению Б
1. Mindlin, R. D., Force at a point in the interior of a semi-infinite solid, Physics 7, 195-202
A936). '
2. Telles, J. С F.. and Brebbia. C. A.. Boundary element solution for half-plane problems.
Int. J. Solids Structures 17. 1149-1158 A981).
3. Love, A. E. H., А Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Dover New York.
1944.
4. Timoshenko, S. P., and Goodier, J. K, Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill, Tokyo.
1970.B6*)

Дополнительная литература
1. Hrennikoff A., Solution of problems of elasticity by the framework method.
Journal of Applied Mechanics, 8, A169—A175 A941).
2. Courant R., Variational methods for the solution of problems of equilibrium
and variation, Bulletine of the American Mathematical Soeiety, 49, 1—23 A943).
3. Argiris J. H., Energy theorems of structural analysis, Part 1, General theo-
rie, Aircraft Engineering, 26, N 308, 347—356; N 309, 383—387, 394 A954),
27, N 312, 42-58; N 313, 80—94; N 314, 125—134; N 315, 145—158 A955).
4. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C, Topp L. J., Stiffness and deflec-
deflection analysis of complex structures, Journal of the Aeronautical Sciences, 23,
805—823 A956).
5. Synge J. L., The hypercircle in mathematical physics, Cambridge University
Press, London, 1957.
6. Norris D. H., G. de Vries, Finite element bibliography, New York, Plenum
Press, 1976, 686 pp.
7. Green G., An assay on the application of mathematical analysis to the theory
of electricity and magnetism, Nottingham, 1828.
8. Fredholm I., Sur une classe d'equations fonctionelles, Ada Mathematica, 27,
365—390 A903).
9. Fredholm I., Solution d'un probleme fondamental de la theorie de l'elasticite,
Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysic, 2, 28, 3—8 A906).
10. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний. —
Успехи математических наук, 1953, т. 8, № 3 E5), с. 21—74.
11. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. — М.: Физматгиз,
1963, 472 с.
12. Brebbia С. A., Walker S., Symplified boundary elements, for radiation prob-
problems, Res. Notes Appl. Math. Modelling, 2, N 2, A978).
13. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. — М/.
Мир, 1982, 248 с. — Пер. изд.: Brebbia С. A., Walker S., Boundary element
techniques for engineering, Newnes-Butterworths, London — Boston — Syd-
Sydney — Wellington — Durban — Toronto, 1980.
14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (гипергеометриче-
(гипергеометрическая функция, функция Лежандра). — М.: Физматгиз, 1965.
15. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций: ч. 1. —М.: ИЛ, 1949.
16. Зенкевич О. Метод конченых элементов в технике. — М.: Мир, 1975.
17. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. —
М.: Мир, 1953.
18. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964.
19. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: В 2т. — М.—Л.:
Гостехиздат, 1951.
20. Ламб Г. Гидродинамика. — М.—Л.: Гостехиздат, 1947.
21. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: ОНТИ, 1935.
22. Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.
23. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2 т. — М.: ИЛ,
1958.
24. Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовица, И. Сти-
ган. — М.: Наука, 1979.

Дополнительная литература 517
25. Стретт Дж. (лорд Рэлей). Теория звука: В 2 т. — М.— Л.: Гостехиздат, 1955.
26. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Физматгиз, 1975
27. Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гостехиздат, 1958.
28. Аккуратов Ю. Н., Михайлов В. Н. Метод граничных интегральных уравне-
уравнений и решение нелинейных задач теплопроводности. — Журн. вычислит,
мат. и математической физики, 1980, т. 20, № 3, с. 656—663.
29. Галёркии Б. Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в уп-
упругом изотропном теле. — Докл. АН СССР, 1930, Сер. А, № 14, с. 353—358.
30. Гельфанд И. Н., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними:
Вып. 1. Обобщенные функции. — М.: Физматгиз, 1959, 470 с.
31. Градштейи И. С, Рыжик Н. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ-
произведений.— М.: Физматгиз, 1971.
32. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Ра-
ковщик Л. С, Стеценко В. Я. Интегральные уравнения. — М.: Наука,.
1968.
33. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. —
М.—Л.: Гостехиздат, 1949.
34. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Гостехиздат,,
1950.
35. Михлин С. Г. Интегральные уравнения. — М.—Л.: Гостехиздат, 1947.
36. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — Изд.
2-е. — М.: Наука, 1970.
37. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории,
упругости.—М.: Физматгиз, 1966.
38. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод.—М.:Гос-
техиздат, 1952. — 676 с.
39. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. Т. 4. — М.: Физматгиз, 1981.
40. Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Мир, 1965.—408 с.
41. Тимошенко С. П., Войиовский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М.:
Физматгиз, 1963. — 635 с.
42. Ладыженская О. А. Математические вопросы вязкой несжимаемой жидко-
жидкости. — М.: Физматгиз, 1961. —203 с.
43. Бубнов И. Г. Отзыв о работе проф. С. П. Тимошенко «Об устойчивости упру-
упругих систем». — Сб. С.-Петербургского института инженеров путей сообще-
сообщения, 1913, вып. 81, с. 33—36 (см. также: Бубнов И. Г. Избранные труды. —
Л.: Судпромгиз, 1956, с. 136—139).
44. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля: Ч. II. — СПБ: Типография
морского министерства, 1914.
45. ГриголюкЭ. И. О методе Бубнова. К шестидесятилетию его создания. — Веб.:
Исследование по теории пластин и оболочек. Вып. П. Изд-во Казанского'
университета, Казань, 1975, с. 3—41.
46. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ„
1948.

Предметный указатель
--Анизотропная среда 96
Жалка на упругом основании 40
Баушингера эффект 265
Бубнова метод 6, 30, 439
Внутреннее произведение 12
Волны 361
— в жидкости трехмерные 364
Вязкопластичность 333
Гаусса квадратурная формула 189
— условия 102
Тельмгольца уравнение 6, 136, 363
Граничные условия конвективные 118
нелинейные 122
произвольные 116
Граничные элементы 74, 221
квадратичные 75, 133
кубические 135
линейные 75, 124, 221
повышенного порядка 145, 149
постоянные 75, 221
разрывные 152
треугольные 108, 147
трехмерные 150
четырехугольные 145
Гука закон 201
.Деформации 200
— при единичной нагрузке 208
Динамическая жесткость основания 394
Дирака дельта-функция 22, 206
Дирихле граничные условия 67, 86
— задача 69
Дифракция волн на параболической
отмели 454, 455
• цилиндре 448
Задачи диффузии 156
• нелинейные 192
с подвижными границами 407
— теории потенциала 54
для бесконечной области 100
полубесконечной области
105
осесимметричные 112
трехмерные 107
■ упругости 234
анизотропные 254
осесимметричные 249
— теплопроводности 156
осесимметричные 185
стационарные 106
трехмерные 184
Запаздывающий потенциал 381
Зоммерфельда условие излучения 136
Изгиб балки 14
— пластины 349
квадратной 357
при различных граничных ус-
условиях 359
• треугольной 362
Интерполяция по времени линейная
169
квадратичная 171
постоянными функциями 168
Кельвина фундаментальное решение
207, 212
Кирхгофа преобразование 119
Колебания 385
— жидкости в замкнутом сосуде 441
— резонансные в гавани 449
— свободные 398
Кронекера символы 196
Лагранжевы граничные элементы 146
Лапласа преобразование 158, 387
— уравнение 6, 67
—• — в полярной системе координат 83
Материал идеальнопластический 321
— несопротивляющийся растяжению
343
— неупругий 263
Метод взвешенных невязок 21
— граничных интегральных уравне-
уравнений 5, 10
элементов 74

Предметный указатель
519'
— коллокаций 21, 48
с подобластями 25
— конечных разностей 162
— конечных элементов 10
— моментов 28
Мизеса условие текучести 303, 312
Навье уравнение 202
Навье—Стокса уравнение 416
Напряжения 197
— главные 198
— во внутренних точках 211
— на границе 203, 208, 226
Начальные деформации 306
Неймана граничные условия 67, 80
— задача 101
Неустановившееся течение несжимае-
несжимаемой вязкой жидкости 424
Ньютона потенциал 59
Обтекание осесимметричного тела 411
Обратная задача 44
Оператор самосопряженный 12
— — положительно определенный 13
Ортотропная среда 96
Перемещения 200
— на границе 203
Пластины при изгибе 349
квадратные 357
— •—• — треугольные 360
Ползучесть диска 340
Полоса перфорированная 327
Полость круговая при внутреннем дав-
давлении 330
Потенциал 58
— двойного слоя 62
— единичного источника 105
— объемный 59
— простого слоя 62
Прагера—Дракера условие текучести
312
Прандтля—Рейсса уравнение 303
Приближенные решения 16
Принцип нормальности 333
Прямой метод 10
Пуассона уравнение 6, 87
Сомильяны тождество 205
Стокса течение вязкой жидкости 413
Тензор напряжений 197
Теория потенциала 57
Течение подземных вод неустановив-
неустановившееся 403
Треска условие текучести 312
Трефца метод 47
Туннель глубокого заложения 320,.
345
— неглубокого заложения 325
— облицованный 348
Узлы 75
Уравнение теплопроводности 156
Уравнение изгиба пластин 351
Условие текучести 312
Установившееся течение вязкой жид-
жидкости 421
Физически нелинейные задачи 118
Фильтрация через грунтовую плотину
404
Фундаментальные решения 104, 207,
212
— ■— в цилиндрической системе коор-
координат 112, 113
для двумерных задач 159, 167
полубесконечной области 105-
потенциал скоростей 366, 370,
373
— — трехмерных задач 159
— •— зависящие от времени 164,,
386
■ уравнения изгиба пластин 353,.
356
Функции гармонические 67
— интерполирующие 123, 154
— невязок 17
Фурье ряд 84, 117, 370
Цилиндрическая полость с внутрен-
внутренним давлением 473
Шаговые по времени схемы 174
Штамп шероховатый 324
Хаммера квадратурная схема 175
Эйлера процедура для задач вязко-
пластичности 335

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 8
'.Глава 1. Приближенные методы 9
1.1. Введение 9
1.2. Основные определения 11
1.3. Приближенные решения 16
1.4. Метод взвешенных невязок 21
1.4.1. Метод коллокаций 21
1.4.2. Метод коллокацнй с подобластями 25
1.5. Метод Бубнова 30
1.6. Ослабленные формулировки 33
1.7. Обратная задача и решение граничных задач 44
1.8. Классификация приближенных методов 52
1Глава 2. Задачи теории потенциала 54
2.1. Введение 54
2.2. Элементы теорнн потенциала 57
2.3. Непрямая формулировка 67
2.4. Прямая формулировка 70
2.5. Метод граничных элементов 74
2.6. Двумерные задачи 75
2.6.1. Формулировки задач, учитывающие источники 81
2.7. Уравнение Пуассона 87
2.8. Подобласти 91
2.9. Ортотропня н анизотропия 96
'2.10. Бесконечные области 100
2.11. Специальные фундаментальные решения 104
2.12. Трехмерные задачи 107
2.13. Осеснмметрнчные задачи П2
2.14. Осесимметричные задачи с произвольными граничными усло-
условиями 116
2.15. Материалы с нелинейным поведением и нелинейные граничные
условия 118
2.15.1. Нелинейные граничные условия 122
Глава 3. Интерполирующие функции 123
3.1. Введение ] 123
3.2. Линейные элементы для двумерных задач 124
3.3. Элементы квадратичные и более высокого типа 133
■3.4. Граничные элементы для трехмерных задач 142
3.4.1. Четырехугольные элементы 144
3.4.2. Четырехугольные элементы высокого порядка . . 145

Оглавление 521
3.4.3. Лагранжевы четырехугольные элементы 146.
3.4.4. Треугольные элементы 147
3.4.5. Треугольные элементы высокого порядка 149
3.5. Трехмерные элементы в форме ячеек 150
3.5.1. Четырехгранник 151
3.5.2. Куб ! 151
3.6. Разрывные граничные элементы 152'
3.7. Порядок интерполирующих функций 154
Глава 4. Задачи теории теплопроводности 156
4.1. Введение 156
4.2. Преобразование Лапласа 158
4.3. Комбинация методов граничных элементов н конечных разностей 162
4.4. Фундаментальные решения, зависящие от времени 163
4.5. Двумерные задачи 167
4.5.1. Интерполяция по времени постоянными функциями . . . 168-
4.5.2. Линейная интерполяция по времени 169
4.5.3. Квадратичная интерполяция по времени 171
4.5.4. Интегрирование по пространственным координатам . . . 172
4.6. Шаговые по времени схемы 174
4.7. Трехмерные задачи 184
4.8. Осесимметричные задачи 185-
4.9. Нелинейная диффузия 192
Глава 5. Статические задачи теории упругости 200
5.1. Введение в теорию упругости 200
5.1.1. Начальные напряжения или деформация 202
5.2. Фундаментальное интегральное соотношение 203-
5.2.1. Тождество Сомильяны 205
5.3. Фундаментальные решения 207
5.4. Напряжения во внутренних точках 211
5.5. Граничное интегральное уравнение 212'
5.6. Бесконечные и полубесконечные области 216
5.7. Численная реализация 219
5.8. Граничные элементы 221
5.9. Система уравнений 223
5.10. Напряжения и перемещения внутри тела 225
5.11. Напряжения на границе 22fr
5.12. Разрывы в напряжениях, возникающих на поверхности . . . 227
5.13. Двумерные задачи теории упругости 233^
5.14. Объемные силы 241
5.14.1. Гравитационные нагрузки 244
5.14.2. Центробежная нагрузка 245
5.14.3. Температурная нагрузка 247
5.15. Осесимметричные задачи 249'
5.15.1. Распространение на случай неосесимметрнчных гранич-
граничных значений 254
5.16. Анизотропия 254-
Глава 6. Применение метода граничных элементов в задачах для неупру-
неупругих тел 25&
6.1. Введение 258
6.2. Неупругое поведение материалов 263-
6.3. Разрешающие уравнения 274
6.4. Формулировка, использующая граничные интегралы 276
6.5. Внутренние напряжения 279>

■522 Оглавление
6.6. Альтернативные формулировки метода граничных элементов 283
6.6.1. Начальная деформация 283
6.6.2. Начальное напряжение 285
6.6.3. Фиктивные поверхностные и объемные напряжения . . 286
6.7. Формулировки задач для полуплоскости 288
6.8. Дискретное представление пространства 290
6.9. Внутренние ячейки 296
6.10. Осесимметричный случай 300
^Глава 7. Теория пластичности 302
7.1. Введение 302
7.2. Некоторые простейшие соотношения теории пластичности . . . 302
7.3. Начальные деформации. Методы численного решения .... 306
7.3.1. Примеры использования формулировок с начальными де-
деформациями 307
7.4. Общего вида соотношения между напряжениями и деформациями
для упругопластических материалов 311
7.5. Задачи с начальными напряжениями. Описание подходов к реше-
решению 315
7.5.1. Примеры применения решения Кельвина 318
7.5.2. Примеры использования решения для полуплоскости . . 324
7.6. Сравнение с результатами, полученными методом конечных эле-
элементов 327
Глава 8. Вязкопластичность 332
8.1. Введение 332
8.2. Определяющие уравнения в скоростях 332
8.3. Метод решения задач вязкопластичности 335
8.4. Примеры решения задач для материачов, характеристики которых
зависят от времени 338
8.5. Материалы, не сопротивляющиеся растяжению 343
Тлавз 9. Изгиб пластин 349
9.1. Введение 349
9.2. Разрешающие уравнения 350
9.3. Интегральные уравнения 352
9.3.1. Другие фундаментальные решения 356
9.4. Примеры применения метода 357
Глава 10. Задачи о распространении волн 363
10.1. Введение 363
10.2. Трехмерные задачи распространения волн на воде 364
10.3. Тела с вертикальной осью симметрии 370
10.4. Горизонтально расположенные цилиндры произвольного по-
поперечного сечения 372
10.5. Вертикально расположенные цилиндры произвольного попереч-
поперечного сечения 376
10.6. Скалярное волновое уравнение для неустановившегося состоя-
состояния 378
10.7. Трехмерные задачи. Запаздывающий потенциал 381
10.8. Двумерные задачи 383
Глава 11. Колебания 384
11.1. Введение 384
11.2. Разрешающие уравнения 384

Оглавление
52*
11.3. Формулировка, использующая зависящие от времени интегра-
интегралы 386-
11.4. Формулировка, использующая преобразование Лапласа . . . 387"
11.5. Динамические задачи теории упругости при установившемся
состоянии 391
11.6. Свободные колебания 39&-
Глава 12. Примеры решения задач механики жидкости 402
12.1. Введение 402
12.2. Неустановившееся течение подземных вод 402"
12.3. Задачи с подвижными границами 407
12.4. Осеси.мметричны тела при поперечном обтекании 411
12.5. Медленное течение вязкой жидкости (течение Стокса) 412"
12.6. Обобщенная задача о течении вязкой жидкости 416
12.6.1. Задачи об установившемся течении 421
12.6.2. Задачи о неустановившемся течении 424
Глава 13. Использование метода граничных элементов совместно с дру-
другими методами 428
13.1. Введение 428
13.2. Решения, получаемые при совместном использовании методов
конечных и граничных элементов 429
13.2.1. Энергетический подход 435
13.3. Метод Бубнова и энергетический подход 439
13.4. Задачи о поведении жидкости внутри сосуда 441
13.4.1. Граничное условие на свободной поверхности 442
13.4.2. Учет сжимаемости жидкости 444
13.5. Приближенная форма метода граничных элементов 445
13.6. Приближенная форма метода конечных элементов 452
Глава 14. Программа численного решения на ЭВМ двумерных статических
задач теории упругости 457
14.1. Введение 457
14.2. Основная программа и структура исходных данных 459
14.3. Подпрограмма INPUT 461
14.4. Подпрограмма MATRX 465
14.5. Подпрограмма FUNC 467
14.6. Подпрограмма SLIS'PD 469
14.7. Подпрограмма OUTPT 469
14.8. Подпрограмма FENC 471
14.9. Примеры 472
14.9.1.Квадратная пластина 472
14.9.2. Задача о цилиндрической полости 473
Приложение А. Формулы численного интегрирования 478
А.1. Введение 478
А.2. Стандартные формулы гауссовых квадратур 478
А.2.1. Одномерные квадратуры 478
А.2.2. Двух- и трехмерные квадратуры для прямоугольников и
прямоугольных шестигранников 478
А.2.3. Треугольная область 480
А.З. Вычисление сингулярных интегралов 480
А.3.1. Одномерные логарифмические формулы гауссовских квад-
квадратур [1 1 480

524 Оглавление
А.3.2. Численное интегрирование при особенности вида \!г по
треугольным и квадратным областям 48!
А.3.3. Численный прием нахождения главных значений интегра-
интегралов 4d3
Приложение Б. Фундаментальные решения для полубесконечных облаете": 487
Б.1. Полупространство [1] 487
Б.2. Полуплоскость 12] 490
Приложение В. Некоторые частные выражения для двумерных здллч о не-
неупругом поведении 493
Литература 495
Дополнительная литература 516
Предметный указатель 518

Монография
КАРЛОС БРЕББИЯ. ЖОЗЕ ТЕЛЛЕС. ЛУИС
В РОУ Б Е»П
Методы граничных элементов
Старший научный редактор А. Ю. Кирий
Младший научный редактор Л. В. Тарасова
Художник А. М. Савелов
Художественный редактор Н. М. Иванов
Технический редактор Л. П. Бирюкова
Корректор С. А. Денисова
ИБ № 6075
Сдано в набор 05.06.86. Подписано к печати 25.12.86.
Формат бОхЭО'/ц. Бумага типографская № 1.
Печать высокая. Гарнитура литературная.
Объем 16,50 бум. л. Усл. печ. л. 33. Усл. кр.-отт. 33.
Уч.-нзд. л. 32.27. Изд. J™ 7/4786. Тираж 8000 экз. Зак. 949
Цена 3 р. 60 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110,
1-й Рижский пер., 2
Отпечатано с набора Ленинградской типографии № 6 орде-
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объедине-
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзпо-
лнграфпрома при Государственном комитете СССР по де-
делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Монсеенко. 10 в Ленинградской
типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ле-
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евге-
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по детам издательств, полиграфии и книж-
книжной торговли. 196126. Ленинград. Социалистическая ул.. 14.